TEOREMA DEL IMPULSO EN MECANICA DE FLUIDOS Este teorema del impulso o de cantidad de movimiento, junto con la ecuación de continuidad, y la ecuación de Bernoulli; nos ayudarán a resolver problemas de mecánica de fluidos como es en el caso de máquinas hidráulicas y maquinas térmicas. Por ejemplo, en poder hallar las fuerzas que se generan sobre un codo, esto, de suma importancia para los proyectos de los anclajes en tubería forzada, que conduce el agua desde el embalse a las turbinas en una estación hidroeléctrica. Otra aplicación del teorema de impulso seria la propulsión a chorro en donde también es necesario hallar las fuerzas actuantes (FUERZA DE EMPUJE) en un turborreactor.
F
m
A1v1
dv
segunda ley de newton en términos de momento lineal
dt
gy
Ecuación de continuidad fluido incompresible
A2v 2
1 2
v
2
k ( cte)
Ecuación de Bernoulli
FUERZA SOBRE UN ALABE Y POTENCIA DE UNA TURBINA DE ACCION
“Entre sus tantas aplicaciones, la más importante es poder deducir a partir de este
teorema, la ecuación fundamental de toda turbo máquina, ya sea hidráulicas, como también turbo máquinas térmicas ECUACION FUNDAMENTAL DE EULER.” Antes de adentrarnos a la ECUACION FUNDAMENTAL DE EULER, primero debemos saber la aplicación del TEOREMA DEL IMPULSO sobre un alabe y potencia de una turbina de acción, en este caso nuestra turbina de acción vendría a ser una turbina PELTON. A continuación, se mostrará una deducción del TEOREMA DE IMPULSO O DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO en función de ciertas propiedades de un fluido incompresible como el caudal “ Q ” y densidad ” ”
DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE IMPULSO O DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO 1. Segunda ley de newton expresado en términos de momento lineal:
F
m
dv dt
Esta expresión de la fuerza es equivalente a las siguientes 3 ecuaciones cartesianas:
Fx
m
dVx dt
Fy
Fz
m
m
dVy dt dVz dt
2. Para una partícula según el eje X:
d : diferencial de volumen de la partícula de masa infinitesimal.
m : masa de
dFx : diferencial de la resultante de las fuerzas que actúan en el eje X
dQ : diferencial de Caudal.
una partícula infinitesimal.
dt : diferencial de tiempo.
dVx : diferencial de velocidad.
: densidad. d m3 ( ) dt s
(I)
dQ
(II)
m
d (kg )
. . . reemplazamos “ d ” en (II)
(III)
m
(dQdt )
. . . reemplazamos “ m ” en
dFx
. . . despejamos “ d ” en (I)
dVx m dt
dFx
3. Obtenemos el siguiente diferencial de “ Fx ” :
( dQdt )
dFx
dVx dt
dFx
dQdVx
(#)
4. Integramos a ecuación anterior asumiendo que: = constante (fluido incompresible)
Q = constante (movimiento permanente)
TEOREMA DEL IMPULSO O DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
dFx dQ
2
1
dVx
dQ (Vx2
Vx1 )
5. Expresando este teorema de impulso en cada eje: “X”, “Y”, “Z”
F
Fx
dQ(Vx2
Vx1 )
Fy
dQ(Vy2
Vy1 )
Fy
dQ(Vy2
Vy1 )
dQV …. Vectorialmente
(#)
FUERZA SOBRE UN ALABE Y POTENCIA DE UNA TURBINA DE ACCION La ecuación (#) explica el funcionamiento de una turbina de acción (turbina Pelton). Hay 3 diferentes casos para el estudio de los alabes de la tubina Pelton: I)
Un solo álabe del rodete fijo
II)
Un solo álabe en movimiento
III)
Un rodete que consta de muchos álabes
Cabe resaltar que en una turbina con alabes en movimiento rotacional, presenta tre s diferentes tipos de velocidades:
wi
= velocidad del chorro en relación al alabe, también llamado velocidad
relativa; es una velocidad tangencial a los álabes, para alabes en movimiento
ui
= velocidad periférica o velocidad del alabe en la misma dirección del
chorro en incidencia, es el que provoca potencia en el rodete
ci
= velocidad de incidencia del chorro, también llamado velocidad
absoluta; provoca reacciones en contra de las fuerzas del TEOREMA DE IMPULSO O CANTIDAD DE MOVIMIENTO Estas tres velocidades se relacionan mediante un triángulo de velocidades:
wi + ui = ci
I)
UN SOLO ALABE DE RODETE FIJO: Solo presenta velocidad c , esto se debe a que el alabe al no presentar i movimiento, entonces no se genera la velocidad ui , y a su vez tampoco se genera la velocidad wi que es la velocidad del chorro en relación al alabe en movimiento. Consideramos un punto inicial (1) y otro punto (2).Despreciando el rozamiento
c
1
= c2
= ángulo entre el eje “X” y “ c2 :eje del alabe”
Para hallar “ Fx ” y “ Fy ” , descomponemos las velocidades
componentes rectangulares.
c
1
y
c
2
en sus
c2 y
c2 sin
c
2 x
c
c1 x c1 y
2
cos
c1
0
Entonces tendremos:
Fx Fy II)
Q (c1
Q (0
c2 cos )
c2 sen )
Q c2 sen
UN SOLO ALABE EN MOVIMIENTO: Un alabe con movimiento , a parte de la velocidad del chorro de agua ci , presenta ahora las otras dos velocidades restantes wi y ui que son generadas gracias al movimiento de los alabes. Despreciando el rozamiento
w
2
= w en módulo . 1
Sabiendo la relación de triángulos de velocidades se obtiene:
2
c
( w2
2 c1
c
w1
( w2
)u
u
) (w1 u ) w2 w1
Para hallar “ Fx ” y “ Fy ” , descomponemos las velocidades
w
2
y
w
1
en
sus componentes rectangulares: w
c
w
(c1
1 x
2 x
w1 y
w2 y
1
u
u
) cos
0
(c1
u ) sen
“Considerando también que el caudal que llega al rodete en este caso no es el caudal “ Q ” del chorro, ya que el alabe en este caso se mueve con velocidad
ui , con lo que el chorro se alarga cada vez más y el caudal que hay que sustituir en la ecuación del TEOREMA DE IMPULSO será” :
V : velocidad “ wi ”
A : área transversal
Q : caudal
V
A
Q
(c1
d
m s
…. Reemplazamos en “ Q ”
)
2
u )(
4 AV
…. Reemplazamos en “ Q ”
(m2 )
d2 4
(c1
u )(
m3 s
)
Con este caudal hallado, y las relaciones encontradas de sus ejes rectangulares) en función de
wi (descompuesto a
ci y ui ; se obtendrá los valores de
“ Fx ” y “ Fy ” :
Fx
Q ( w1 x
w2 x )
Fy
Q ( w1 y
w2 y )
Reemplazando “ Q ” y las relaciones encontradas de “ wi ” en “ Fx ” y “ Fy ”; se obtiene:
Fx
Fy
d 2
4
(c1
u ) 2 (1
d 2 (c1 4
cos )
u ) 2 sen
III)
UN RODETE
“Consta de una serie de alabes con una misma velocidad u que aprovecha todo el i
caudal total del chorro Q , obteniéndose” : En el mismo caso de un alabe en movimiento, exceptuando en que el caudal es ahora el caudal total del chorro, se hace el mismo procedimiento para hallar Fx y Fy :
Fx
Q ( w1 x
w2 x )
Fy
Q ( w1 y
w2 y )
Para hallar “ Fx ” y “ Fy ” , descomponemos las velocidades
w
1
en sus componentes rectangulares: w
c
w
(c1
1 x
2 x
w1 y
w2 y
Reemplazando estas relaciones de
Fx
Fy
w
2
y
Q (c1
u
u
) cos
0
(c1
w
Q (c1
1
1
se obtiene:
u )(1
u ) sen
cos )
u )sen
w
2
y
Como el alabe no se desplaza en dirección y, la fuerza Fy , no realiza trabajo. La potencia teórica de la turbina será:
P
Fu
P
Fx(u )
Q (c1
u )(1
cos )u
(Potencia teórica de una turbina de acción)
APLICACIÓN Un chorro de agua de 50 mm de diámetro y 20 m/s de velocidad choca con un alabe en forma de cuchara, que es una semiesfera de radio de 180 mm, fijo a una rueda. El eje del chorro coincide con el eje de la cuchara. Despréciese la fricción de la cuchara. Calcular: a) La fuerza ejercida por el chorro sobre la cuchara, cuando está fija. b) Cuando se mueve en la misma dirección del chorro con velocidad de 8 m/s c) Sobre una serie de cucharas fijas a la misma rueda, que pasan por delante del chorro moviéndose con velocidad 8 m/s d) La potencia comunicada al álabe por el chorro en este último caso
SOLUCIÓN: Parte a)
c1
c1 x
h 2 O
Q Q
m s
1000
AxV
20
m3
0.050 2
kg
d 2 2
(c1 )
c1
c1
2
(20)
0.03927
m3 s
c 2 x
20m / s
La fuerza ejercida por el chorro sobre la cuchara fija es la reacción de la fuerza expresada por la ecuación (*) dQV …. (vectorialmente)
F
Fx
Q (c1
c2 cos ) …. (fuerza en X, para un alabe fijo)
*Como el eje del chorro coincide con el eje de la cuchara, entonces su Angulo es de 180° y solo se presenta una fuerza que actúa en el eje “X”
*Cuando se desprecia la fricción de la cuchara, entonces las velocidades de ingreso y de salida son iguales, en este caso : “ c
1
c
2
”
Ahora la fuerza Fx queda reducida a:
Fx Q (c1 x
c1x cos )
Fx Q (c1 x
c1x ( 1))
Fx Q (c1 x
c1x )........c1x
c2 x
*Reemplazando los valores correspondientes en Fx
Fx
Q (c1 x
Fx
0.03927(1000)(20 20)
Fx
1570,8 N
c2 x )
Parte b)
c
1
m
20
s
u
8
m s
cos
d
cos
1
0.050 m
h 2 O
kg
1000
m3
*Como ya se indicó en la parte a) aquí también solo se presenta una fuerza que es “ Fx ”
*Para un alabe en movimiento, se generan velocidades wi y ui , viéndose deducido en teoría la “ Fx ” es igual a:
Fx
d
2
4
(c1
2
u ) (1
*Reemplazando los valores correspondientes en
Fx
Fx Fx
d
cos )
Fx
2
4
(c1
0.0502
4 565,5 N
2
u ) (1
(20
cos )
8) 21000(1
( 1))
Parte c)
c
1
m
20
s
u
8
m s
h 2 O
Q
Q
1000
AxV
kg m3
d 2 2
0.0502 2
(c1 )
(20)
c1
c1
0.03927
c2 x
20 m / s
m3 s
*Una fuerza ejercida por el chorro del fluido para un rodete en movimiento en el eje X es:
Fx
Q (c1
u )(1
*Reemplazando los valores correspondientes en
Q (c1
Fx
0.03927(1000)(20
Fx
942,5 N
Parte d)
Fx hallado en la parte c)
Fx
u
942,5 N
8
m s
cos )
Fx :
Fx
u )(1
cos )
8)(1
( 1))
*La potencia comunicada o ejercida a los alabes por el chorro es:
P
Fu
P
Fx(u )
Q (c1
u )(1
cos )u
*Reemplazando los valores correspondientes en P :
P
Fx(u )
P
942,5(8)W
Q (c1
u )(1 cos )u
ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LAS TURBOMÁQUINAS O ECUACIÓN DE EULER “la ecuación de Euler es la ecuación fundamental para el estudio de las turbomaquinas,
tanto de las turbomaquinas hidráulicas, que se estudian en este libro, como de l as turbomaquinas térmicas. Constituye, pues, la ecuación básica tanto para el estudio de las bombas, ventiladores, turbinas hidráulicas (turbomaquinas hidráulicas), como para el estudio de los turbocompresores, turbinas de vapor y turbinas de gas (turbomaquinas térmicas). Es la ecuación que expresa la energía intercambiada en el rodete de todas máquinas.”
DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN DE EULER Con ayuda del “TEOREMA DEL IMPULSO O CANTIDAD DE MOVIMIENTO” y con la relación del “TRIANGULO DE VELOCIDADES” se podrá deducir la “ECUACION FUNDAMENTAL DE TODA TURBOMAQUINA”.
Como se hizo para el TEOREMA DEL IMPULSO, se consideran dos puntos (1) y (2), para la relación del TRIANGULO DE VELOCIDADES vectorialmente:
w
1
w
2
u
1
c
1
u2 c2
Del TEOREMA DEL IMPULSO se deduce el TEOREMA DEL MOMENTO CINÉTICO:
dF
dQ (c1
c2 )
“Tomando momentos con relación al eje de la maquina tendremos:”
dM : “momento resultante con relación al eje de la máquina de
todas las fuerzas que el rodete ha ejercido sobre las partículas que integran el filamento de corriente considerando para hacerle variar su momento cinético.”
dQ : diferencial de caudal
l 2 , l 1 : “ brazos de momento de los vectores
dM
c
2
l1
r cos 1 1
l2
r 2 cos 2
dQ (l2c2
,
c
1
, respectivamente”
l1c1 ) (ecuación #)
“Suponemos ahora que todas las partículas de fluido entran en el rodete a un diámetro D1 , con la misma velocidad
c
1
, y salen a un diámetro D con la misma velocidad 2
Esto equivale a suponer que todos los filamentos de corriente sufren la misma desviación…”. Integrando la ecuación (#):
dM dQ (l c
2 2
l1c1 )
M Q (l2 c2 l1c1 )
M
Q (r2c2 cos 2
r1c1 cos 1 )
M : momento total comunicado al fluido
Q : caudal total
c
2
.
Multiplicando la ecuación del momento por la velocidad angular del rodete
, será igual
a la potencia que el rodete comunica al fluido :
n
2
rpm = n(
60
)
Reemplazando este valor de “ “ en:
Pu
M
Pu
Q (r2c2 cos 2
r1c1 cos 1 )
Siendo:
G
Q (
Yu
kg : caudal másico ) s
(r2c2 cos 2
r1c1 cos 1 ) : energía especifica intercambiado
entre el rodete y fluido cos 1
c
c2 cos 2
u1
u
1
2
r 1
r 2
: proyección de
c
c2u : proyección de
c
c
1u
1
sobre
2
sobre
u
1
u
2
(relación semejante a V
r
)
(relación semejante a V
r
)
T
T
Entonces la energía especifica se puede representar como: Yu
(r2 c2 cos 2
Yu
(r2 * c2 cos 2
Yu
(u2 c2u
u1c1u )
r1c1 cos 1 )
r1 * c1 cos 1 )
Ahora la primera forma de la ecuación de Euler como una expresión energética será: Yu
(u2c2u
u1c1u )
Ecuación de Euler
También se puede obtener una expresión de alturas a la ecuación de Euler:
Yu Y u g
H u
gH u (
m s
2
2
)
H u
(u2c2 u
u1c1u )
g
Ecuación de Euler en expresión de altura