FORMULARIO
Resistencia de Materiales
TEMA 2 ANÁLISIS DE TENSIONES COMPONENTES CARTESIANOS
CARTESIANAS
DE
LA
TENSIÓN
x y x z x
EN
x y
x z
y
y z
z y
PLANOS
z
Criterio de signos: En planos con vector normal según según las direcciones positivas de de los ejes (caras vistas), las tensiones ( , ) son positivas si llevan la dirección positiva de los ejes. En planos con vector normal según las direcciones negativas de los ejes (caras ocultas), las tensiones ( , ) son positivas si llevan la dirección negativa de los ejes.
CASO PARTICULAR; PLANO (Z) PLANO PRINCIPAL ( xz = yz = 0) TRACCIÓN – COMPRESIÓN UNIAXIAL Tensiones en un plano cuya normal forma º con el eje x:
n
x cos 2 x x
Tensiones en planos perpendiculares y +90º:
2
x
2
sen 2
90 º x 90 º
Formulario
TRACCIÓN – COMPRESIÓN BIAXIAL Tensiones en un plano cuya normal forma º con el eje x:
n
x cos 2 y sen 2
x x
x y
2
sen 2
90 º x y
Tensiones en planos perpendiculares y +90º:
90 º
ESFUERZOS COMBINADOS Y
Tensiones en un plano cuya normal forma con el eje x:
n
xy
x
x
Y
1 x y x y cos 2 xy sen 2 2 2 x y sen 2 xy cos 2 2
90 º x y
Tensiones en planos perpendiculares y +90º:
90 º
TENSIONES PRINCIPALES Caso particular; plano (z) plano principal ( xz = yz = 0)
1 i x y 2
2
x y xy 2 2
DIRECCIONES PRINCIPALES y
tag i
i x xy
i
i 1, 2 i
x
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Manera alternativa: Los ángulos que localizan los planos principales pueden obtenerse con la ecuación:
tag 2
2 xy x y
Despejando se obtienen dos valores de ángulo que difieren en 90º. Las correspondientes tensiones principales pueden calcularse sustituyendo los dos valores obtenidos de en la ecuación; i
x y
2
x
y cos 2 xy sen 2 2
Quedando claramente identificada cada tensión principal con su dirección principal.
TENSIÓN CORTANTE MÁXIMA
max .
1 3
2
;
esfuerzo plano
max .
1 x y 2 4 2 2
CÍRCULO DE MOHR CONSTRUCCIÓN DEL CÍRCULO: C
x
y 2
2
R x y xy2 2
tag 2
2 xy x y
CRITERIO DE SIGNOS: Tensiones normales : Serán positivas si someten al elemento a esfuerzos de tracción Negativas si lo someten someten a esfuerzos esfuerzos de compresión. compresión. Tensiones tangenciales : Serán consideradas positivas si crean un momento en sentido horario respecto a un punto del interior del elemento.
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TEMA 3 ANÁLISIS DE DEFORMACIONES COMPONENTES CARTESIANAS DE LA DEFORMACIÓN
x y x 2 z x 2
x y
2 y z y
2
x z
2 y z 2 z
Criterio de signos: Deformaciones longitudinales unitarias en un punto según las direcciones x, y o z (x, y, z), que serán positivas si producen alargamientos. Deformaciones transversales unitarias ( ij /2) o distorsiones angulares un punto correspondientes a dos direcciones mutuamente ortogonales ( xy, xz, yz) positivas si indican una disminución o cierre del ángulo inicialmente inicialmente recto.
COMPONENTES INTRÍNSECAS DEL VECTOR DEFORMACIÓN CASO PARTICULAR; PLANO (Z) PLANO PRINCIPAL ( xz = yz = 0)
ESFUERZO UNIAXIAL Deformaciones en una dirección que forma º con el eje x: x cos 2
x 2 2 sen 2
ESFUERZO BIAXIAL Deformaciones en un en una dirección que forma f orma º con el eje x: x cos 2 y sen 2
6
2
x y
2
sen 2
Formulario
ESFUERZOS COMBINADOS Deformaciones en un en una dirección que forma f orma º con el eje x: 1 x y x y cos 2 xy sen 2 2 2 2 x y xy 2 cos 2 sen 2 2 2
DEFORMACIONES PRINCIPALES Caso particular; plano (z) plano principal ( xz = yz = 0)
1, 2
x y
2
1 x y 2 x y 2 2
2
DEFORMACIÓN ANGULAR MÁXIMA
x y 1 2 2 2 max
max
2
x
y 2
2
x y xy 2 2
2
CÍRCULO DE MOHR CONSTRUCCIÓN DEL CÍRCULO: C
x
y 2
2
R x y xy 2 2 x y
tag 2
2
2
x y
2
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CRITERIO DE SIGNOS Deformación longitudinal unitaria : Serán positivas si producen alargamiento Negativas si producen producen acortamientos. acortamientos. Distorsiones angulares : Serán consideradas positivas si pasa de una dirección en su posición inicial a la posición deformada girando en sentido horario.
y
x
x y
RELACIÓN ENTRE TENSIONES Y DEFORMACIONES Ley de Hooke solicitación uniaxial: x
x E
y
z
Ley de Hooke solicitación biaxial: x y
8
x E y E
y E
x E
x E
Formulario
z x
x
E
x E 2
1
x
y
y
y
x E 2
1
Ley de Hooke generalizada en ejes ejes principales . 1 1 1 2 3 E 1 2 2 1 3 E 1 3 3 1 2 E Ley De Hooke Generalizada xy 1 x x y z xy E G xy 1 y y x z xy E G yz 1 z z x y yz E G E Dónde G . 21
CRITERIOS DE PLASTIFICACIÓN (ROTURA)
C RITERIO DE LA TENSIÓN PRINCIPAL MÁXIMA O DE R ANKINE .
si equ si
0 3 0 1
t lim c 3 lim
1
t equ c equ
1 3
C RITERIO DE LA TENSIÓN TANGENCIAL MÁXIMA O DE T RESCA.
Para un estado de tensión dado
max
En el ensayo de tracción
max
1
3 lim 2 2
1
e
2
3 2
lim
equ
2
1 3
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ON M ISES C RITERIO DE LA ENERGÍA DE DISTORSIÓN O DE V ON
Para un estado de tensión dado
d = 1 2 2 2 3 2 1 3 2 1 6 E
En el ensayo de tracción t racción d = 1 e 2 3E equ
1 1 2 2 1 3 2 2 3 2 2
C RITERIO DE LOS ESTADOS LÍMITES DE M OHR OHR.
equiv
t 1 k 3 lim
Siendo k el cociente de los valores absolutos de las tensiones límites a tracción y a compresión del material obtenidos de los ensayos de tracción tr acción y compresión monoaxial.
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TEMA 4
EL ESFUERZO AXIL
ECUACIÓN DE RESISTENCIA N
adm
A
A
N
adm
ECUACIÓN DE DEFORMACION x
1
E
x
N
l
EA
N L E A
L x
EFECTOS TÉRMICOS Y DEFORMACIONES PREVIAS L
l
t
N l E S
l E
;
L
E t
x
x E
t
N L L T E A
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TEMA 5 TEORÍA DE VIGAS REACCIONES Apoyo articulado móvil (apoyo). Es libre el movimiento de la sección en la dirección del eje X, así como el giro en el plano XY. Una sola incógnita R A. Apoyo articulado fijo (articulación). El desplazamiento está impedido tanto en la dirección del eje X como en la del eje Y, pero el giro en el plano XY no lo está. Dos incógnitas R AX AX, R AY AY. Apoyo empotrado. Están impedidos los desplazamientos en las direcciones X e Y, así como los giros en el plano XY. Tres incógnitas R AX AX, R AY AY, MA. ESFUERZOS Se llama momento flector a la suma algebraica de los momentos respecto al centro de gravedad de la sección, de las fuerzas activas y reactivas que se encuentran a un lado de dicha sección. Se llama esfuerzo cortante a la suma algebraica de las fuerzas activas y reactivas r eactivas que se encuentran a un lado de la sección.
Convenio de signos. M
M V V
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V M
V
M
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TEMAS 6, 7 ESTUDIO DE LA SECCIÓN FLEXIÓN PURA SIMÉTRICA Fórmula de la flexión flexión x max
M y Z I Z
M max adm W
W
M max adm
FLEXIÓN DESVIADA Momento con dos componentes en los ejes y, z locales y principales de inercia de la sección. M f M z k M y j y
Mf
My x
x Mz z
M y z M z y I y I z
La ecuación del eje neutro, lugar geométrico de los puntos de tensión nula, puede determinarse igualando la tensión normal x a cero:
M y z M z y I y I z
0
FLEXIÓN COMPUESTA Combinación de esfuerzo axil y flector.
M f N
y M
My
x
N Mz z
x
N M y z M z y A I y I z
El eje neutro, lugar geométrico de los puntos de tensión nula, tendrá por ecuación:
N M y z M z y 0 A I y I z
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TEMA 8 ESFUERZO CORTANTE EN FLEXIÓN Fórmula de Colignon o del cortante. Puede usarse para determinar la tensión tangencial en cualquier punto en la sección transversal de una viga rectangular.
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V Q I z b
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TEMAS 9 y 10 ANÁLISIS DE DEFORMACIONES INTEGRACIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA CURVA CURVA DE DEFLEXIÓN d dv dv EI d M dx M dx dx dx dv Integrando EI M dx C 1 x C 1 dx EI v M
EI
Integrando EI v x C 1 dx C 2 x C 1 x C 2
Condiciones de contorno. A
B
vA = 0
C
A
v B = 0
B
v2
v1
v 1C = v 2C v´ = v´ q
A
B
B
A C
vA = 0 v´ A= 0
l/2
l/2
v´ C = 0 C =
Condiciones frontera
Condiciones de continuidad y simetría
TEOREMAS DE MOHR Primer teorema de de Mohr: el ángulo B/A entre las tangentes a la curva de deflexión en
dos puntos A y B es igual al área del diagrama M/EI entre esos dos puntos.
AB A M B A B A E I E I B Si en la aplicación de este teorema, resultase que la pendiente de la curva A, en el punto A fuese cero, por ser este punto un extremo empotrado o bien por ser un punto de máxima deflexión, obtendríamos directamente el ángulo de giro B B, del punto B. A M dx
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Si A 0
B A
B
AB A M E I E I
A M dx
B
Segundo teorema de Mohr : la desviación tangencial t B/A B/A del punto B desde la tangente
en el punto A es igual al momento estático del área del diagrama M/EI entre A y B, evaluado con respecto a B. B
BA Mdx S M t B dt x1 A A EI EI A B
Si en la aplicación de este teorema, resultase que la pendiente de la curva A, en el punto A fuese cero, por ser este punto un extremo empotrado o bien por ser un punto de máxima deflexión, la desviación tangencial así calculada coincidiría con la deflexión v B del punto B.
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TEOREMA DE CASTIGLIANO El desplazamiento del punto de aplicación de una fuerza cualquiera proyectado sobre la dirección de esta fuerza, es igual a la derivada parcial, con relación a esta fuerza, de la energía de deformación expresada en función de las fuerzas externas. i
U Pi
En el caso que la energía de deformación sea solo debida a la flexión, entonces la energía de deformación vendría dada por: M z2 ds U Mz 2 EI z L
Y la deformación en un punto i, según Pi sería, aplicando el teorema de Clastigliano y de acuerdo con las reglas del cálculo integral y diferencial: M z2 ds M z ds i M L z Pi EI z Pi Pi L 2EI z U
En el caso de querer calcular, mediante este teorema, el desplazamiento en un punto donde no exista la correspondiente carga aplicada, lo único que hay que hacer, es, aplicar en dicho punto una carga ficticia Pi , en la dirección del desplazamiento que se quiere obtener y determinar las expresiones en función de las cargas reales y la ficticia, haciéndola igual a cero en las expresiones finales: i
U Pi P 0 i
O bién; i
M z0 M I z L
ds EI z
Donde M z0 es la ley de momentos flectores debida a la acción de todas las cargas actuantes y M z I es la ley de momentos flectores debida a la carga unitaria Pi actuando en el punto y según la dirección del desplazamiento que pretendemos obtener.
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TEMA 11 FLEXIÓN HIPERESTÁTICA MÉTODO DE LAS FUERZAS 1. Establecer el grado de indeterminación estática o grado de hiperestaticidad y seleccionar las reacciones redundantes.
P HA
A
A a
MA R A
l
2. Formular las ecuaciones de equilibrio que relacionen las otras reacciones desconocidas con las redundantes y las cargas. R A PV R B M A P a R B l
R B
a) P
A
H A P H
B (B)1 b) (B)2
A c)
B R B
3. Liberar la estructura eliminando las ligaduras que daban origen a la existencia de las reacciones redundantes seleccionadas. La estructura que resulta se llama estructura liberada o primaria, que debe ser estáticamente determinada.
4. Someter a la estructura liberada la tanto a las cargas reales como a las reacciones redundantes que tendrán consideración de cargas. 5. Calcular las deformaciones (deflexiones o giros) de los puntos de aplicación de las reacciones redundantes seleccionadas.
B 1 f P
B 2 f R B
6. Formular las ecuaciones de compatibilidad que expresan el hecho de que las deformaciones de la estructura liberada en los puntos donde se eliminaron las restricciones son las mismas que las deformaciones en la viga original (en esos mismos puntos). B B 1 B 2 f P f R B 0
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