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Transformada de Laplace en Matlab.
Formulario de Transformada de Laplace
Transformada Inversa de Laplace En matemática, la transformada inversa de Laplace de una función F(s) es la función f(t) que cumple con la propiedad donde es la transformada de Laplace. La transformada de Laplace junto con la transformada inversa de Laplace tienen un número de propiedades que las hacen útiles para el análisis de sistemas dinámicos lineales.
Forma integral Una fórmula integral para la transformada inversa de Laplace, llamada integral de Bromwich, integral de Fourier-Mellin o fórmula inversa de Mellin, es dada por la integral lineal:
donde la integración se realiza a lo largo de la línea vertical que γ es mayor que la parte real de todas las singularidades de
Tabla de transformadas mas usadas
Ejemplos Ejemplo 1 Calcular la Antitransformada de Laplace
Puesto que
por lo tanto tenemos que:
en el plano complejo tal .
Ejemplo 2 Determinar
Utilizando las transformaciones de la Tabla1 obtenemos:
Ejemplo 3
Determinar
Ejemplo 4
Determinar
Por fracciones parciales.....
Ejemplo 5 Determinar
Ejemplo 6 Determinar
Dado que
obtenemos que
Ejemplo 7 Determinar
podemos separar el 6 en
y sacamos el 3
Luego tenemos que
es de la forma
Por lo que obtenemos que
Ejemplo 8
Determinar Podemos separar en dos partes
Podemos factorizar un 2 en ambas partes
Por lo que nos queda de la forma
y
respectivamente
Por lo tanto obtenemos que
Ejemplo 9 Determinar obtenemos que
restamos el corrimiento y obtenemos
Ejemplo 10 Determinar obtenemos que
Ejemplo 11 Calcular la Transformada de Laplace
Puesto que
por lo tanto tenemos que:
Ejemplo 12 Calcular
Aplicando conpletacion al cuadrado obtenemso los siguiente.
Ahora expresando la ecuacion como finalmente aplicando las transformadas inversas basicas q conocemos obtenemos que:
Ejemplo 13
Calcule
Ejemplo 14 Calcule Suponga que y utilizando Fracciones parciales encontramos los valores de nuestas constantes. ya que tenemos nuestros valores tenemos que
Ejemplo 15 Calcular la transformada inversa de Laplace
identificamos que Entonces
valuada de 0 a T
Ejemplo 16
Calcular:
Ejemplo 17 Calcular:
Transformada de laplace derivadas
Sean f(t) una función seccionalmente continua y de orden exponencial, cuya derivada también es así.
Demostración: Utilizando la definición de la transformada de Laplace obtenemos:
Recordando la forma como se calculan las integrales impropias y las propiedades de los límites:
Desarrollo del Teorema:
(que crece más rápido que e − st) no pueden ser obtenidas por Laplace, ya que , no es una función de orden exponencial.
Ejemplos Ejemplo 1 sea
Ejemplo2
Aplicamos transformada de Laplace a toda la Ecuación y obtenemos:
Agrupamos Y(s)
Aplicamos laplace inversa para encontrar y(t)
Ejemplo 3:
Aplicando transf. de Laplace a la ecuacion nos queda
sustituyendo los valores iniciales, y sacando factor comun Y(s) queda
por fracciones parciales obtenemos
y aplicando Laplace Inversa para encontrar y(t) obtenemos
Ejemplo 4:
Aplicando transf. de Laplace a la ecuacion nos queda
sustituyendo los valores iniciales, y sacando factor comun Y(s) queda
por fracciones parciales obtenemos
y aplicando Laplace Inversa para encontrar y(t) obtenemos