2/8/2017
Investigación Investig ación de Operaciones
https://www.youtube.com/watch?v=pMjOy9catNI
1
2/8/2017
Ejemplo « Ensamble de sillas y mesas » •
Recursos:
6 bloques grandes
6
8 bloques pequeños •
•
8
Productos: –
Mesas (2 grandes, 2 pequeños), precio 8
–
Sillas (1 grande, 2 pequeños), precio 5
Producción óptima?
Preguntas •
Cuál es la producción óptima?
8
6
8
6
6
2
2/8/2017
Ejemplo « Ensamble de sillas y mesas » •
Recursos:
6 bloques grandes
6
8 bloques pequeños •
•
8
Productos: –
Mesas (2 grandes, 2 pequeños), precio 8
–
Sillas (1 grande, 2 pequeños), precio 5
Producción óptima?
Preguntas •
Cuál es la producción óptima?
8
6
8
6
6
2
2/8/2017
Variación « Las sillas valen 3 y las mesas 8 » •
Cuál es la producción óptima? 8
6
8
6
6
Y si las sillas valen 4 y las mesas 8 ?
3
2/8/2017
Etapas de formulación en PL 1.
2.
3.
Cuáles son las variables de decisión? •
Cantidades producidas
•
Cantidad transportada
•
Personal asignado
Cuál es el objetivo a maximizar o minimizar? •
Beneficio
•
Costo
•
Tiempo
Cuáles son las restricciones? •
Recursos limitados (e.g. materiales)
•
Exigencias de calidad o cantidad
•
Tiempo (horario)
Ejemplo « Ensamble de Sillas y Mesas » Mesas Sillas
Precio
8
5
Recursos
Disponibilidad
Bloques grandes
2
1
6
Bloques pequeños
2
2
8
4
2/8/2017
Reiser Sports Products (I/IV) RSP quiere determinar la cantidad de balones de futbol de AllPro (A) y Universitario (U) a producir con el fin de maximizar las utilidades durante el siguiente horizonte de planeación de cuatro semanas. Las restricciones que afectan las cantidades de producción son las capacidades de producción en tres departamentos: corte y teñido, costura e inspección y empaque. Para el periodo de planeación de cuatro semanas se dispone de 340 horas de corte y teñido, 420 horas de costura y 200 horas de inspección y empaque. La utilidad y las horas para cada producto en cada proceso se definen en la siguiente tabla:
Reiser Sports Products (II/IV)
Producto
Corte y Empaque e Costura Utilidad teñido inspección (min/unidad) (min/unidad) (min/unidad) (USD/unidad)
A
12
9
6
5
U
6
15
6
4
Disponible (horas/mes)
340
420
200
-
5
2/8/2017
Reiser Sports Products (III/IV)
Determine la cantidad de cada producto que RSP debe producir para maximizar las utilidades.
Reiser Sports Products (IV/IV)
¿Cuál es la ganancia por unidad de cada tipo de balón? •
¿De cuántas horas de cada proceso dispone para la elaboración de los balones? •
¿Cuál es el requerimiento en minutos de cada proceso para producir una unidad de cada tipo de producto? •
6
2/8/2017
World Light Company (I/IV) WLC produce dos aparatos de iluminación que necesitan partes de marco metálico y componentes eléctricos.
Producto 1
1 unidad de marco 2 componentes eléctricos
Producto 2
3 unidades de marcos 2 componentes eléctricos
World Light Company (II/IV) La compañía cuenta con 200 unidades de partes de marco y 300 de componentes eléctricos. La ganancia para el producto 1 es de $1 y para el producto 2 es $2. Cualquier excedente de 60 unidades del producto 2 no da ganancia alguna, por lo que no se toma en cuenta tal excedente. La dirección quiere determinar cuántas unidades de cada producto debe producir para maximizar la ganancia.
7
2/8/2017
World Light Company (III/IV) Unidades requeridas Producto
Ganancia (dólares)
Unidades máximas a vender
Marcos
Componentes eléctricos
1
1
2
1
-
2
3
2
2
60
Disponible
200
300
-
-
World Light Company (IV/IV) ¿Cuál es la ganancia por unidad de cada tipo de producto? •
¿De cuántas unidades de cada tipo de componentes dispone para la elaboración de los productos? •
¿Cuál es la demanda de cada producto?
•
¿Cuál es el requerimiento en unidades de componentes para producir una unidad de cada tipo de producto? •
8
2/8/2017
Administración de una granja (I/III) Sara y Carlos han manejado la granja familiar durante 30 años. Actualmente planean la mezcla de cultivos que plantarán en su granja de 120 hectáreas para la temporada que se avecina. La pareja y sus hijos pueden trabajar al menos 6500 horas en total durante la temporada que viene. Disponen de 6500 toneladas de fertilizante. La información necesaria se presenta a continuación: Cultivo Avena Trigo Maíz
Mano de obra requerida (horas por hectárea) 50 60 105
Fertilizante requerido (toneladas por hectárea) 1,5 2 4
Ganancia esperada (por hectárea) $500 $600 $950
Administración de una granja (II/III)
¿Qué mezcla de cultivos deben plantar para maximizar la ganancia total de la familia?
9
2/8/2017
Administración de una granja (III/III) ¿Cuál es la ganancia por hectárea de cada tipo de cultivo? •
¿De cuántas toneladas de fertilizante, hectáreas para la siembrea y horas de M.O. dispone la familia para la siembra de todos los cultivos? •
¿Cuáles son los requerimientos en toneladas de fertilizantes y horas de M.O. para sembrar una hectárea de cada tipo de cultivo? •
2-19
Omega Manufacturing Company (I/III) La OM co. ha descontinuado la producción de cierta línea de productos no rentable. Esto originó un exceso importante de capacidad de producción. La administración está considerando destinarla a uno o más de tres productos. La capacidad disponible de las máquinas, que podría limitar la producción, El número de horas-máquina necesarias para cada unidad de los productos respectivos se resume en la tabla siguiente:
10
2/8/2017
Omega Manufacturing Company (II/III) Horas-máquina necesarias por unidad Tipo de máquina Producto Producto 1 2
Producto 3
Tiempo disponible (horas-máquina por semana)
Molino
9
3
5
500
Torno
5
4
0
350
Trituradora
3
0
2
150
Ganancia (UDS/unidad)
50
20
25
Omega Manufacturing Company (III/III)
El departamento de ventas indica que las ventas potenciales para los productos 1 y 2 exceden la tasa máxima de producción y que las ventas potenciales para el producto 3 es 20 unidades a la semana. El objetivo es determinar la cantidad de cada producto que Omega debe producir para maximizar las ganancias.
11
2/8/2017
2. PROBLEMAS DE DIETA
Ejemplo 2.1: Prisión Sing Sing (I/II) La gerente de cocina de la prisión Sing Sing intenta decidir qué dar de comer a los prisioneros. Ella quiere ofrecer alguna combinación entre leche, fríjoles y naranjas. La meta es minimizar los costos y satisfacer los requerimiento nutricionales mínimos que impone la ley. El costo y contenido nutricional de cada alimento, así como los requerimientos nutricionales mínimos, se muestran en la siguiente tabla:
12
2/8/2017
Ejemplo 2.1: Prisión Sing Sing (II/II) Componente
Leche (galones)
Frijoles (tazas)
Naranjas (Libras)
Requerimiento diario mínimo por preso
Niacina (mg)
3,2
4,9
0,8
13,0
Tiamina (mg) Vitamina C (mg) Costo (dólares)
1,12
1,3
0,19
1,5
32,0
0,0
93,0
45,0
2,00
0,20
0,25
¿Qué dieta debe proporcionar a cada prisionero?
Ejemplo 2.2: Ricitos de Oro Ricitos de Oro necesita encontrar por lo menos 12 lb de oro y al menos 18 lb de plata para pagar la renta mensual. Hay dos minas en las cuales Ricitos de Oro puede encontrar oro y plata. Cada día que Ricitos de Oro pasa en la mina 2 encuentra 2 lb de oro y 2 lb de plata. Cada día que Ricitos de oro pasa en la mina 2 encuentra 1 lb de oro y 3 lb de plata. Plantee un PL que ayude e Ricitos de Oro a cumplir con sus requerimientos pasando el menor tiempo posible en las minas.
13
2/8/2017
Ejemplo 2.3: Granja el chanchito (I/II) Fred Jonasson administra una granja de propiedad familiar. Como complemento de los diversos productos alimenticios que cultiva, también cría cerdos para vender. Como éstos comen cualquier mezcla de estos tipos de alimento, el objetivo es determinar qué mezcla cumplirá con ciertos requerimientos nutricionales a un costo mínimo. El número de unidades de cada tipo de ingrediente nutricional básico que contiene un kilogramo de cada tipo de alimento se da en la tabla siguiente, junto con los requerimientos nutricionales diarios y los costos del alimento:
Ejemplo 2.3: Granja el chanchito (II/II) Ingrediente nutricional
Maíz (kg)
Proteína animal (kg)
Alfalfa (kg)
Requerimiento mínimo diario
Carbohidratos (Uds)
90
20
40
200
Proteína (Uds) Vitaminas (Uds) Costo (centavos/kg)
30 10
80 20
60 60
180 150
84
72
60
-
Ahora desea determinar las cantidades de los tipos de alimento disponibles (maíz, proteína animal y alfalfa) que debe dar a cada cerdo.
14
2/8/2017
Ejemplo 2.4: Ralph Edmund (I/II) Ralph Edmund adora la carne y las papas. Por tanto, ha decidido iniciar una dieta constante de sólo estos dos alimentos (además de algunos líquidos y complementos vitamínicos) en todas sus comidas. Ralph se da cuenta de que ésta no es la dieta más saludable, por lo que quiere estar seguro de que come las cantidades adecuadas de los dos alimentos para satisfacer algunos requerimientos nutricionales importantes. Ha obtenido la siguiente información nutricional y de costos:
Ejemplo 2.4: Ralph Edmund (II/II)
Ingrediente Carbohidratos (grs) Proteína (grs) Grasa (grs) Costo por porción
Gramos de ingrediente por porción Res Papas 5 15 20 5 15 2 4 2
Requerimiento diario (g) Máx 50 Máx 40 Mín 60 -
Ralph quiere determinar el número de porciones diarias (pueden ser fraccionarias) de carne y papas que cubrirán estos requerimientos con un mínimo costo.
15
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3. PROBLEMA DE HORARIOS DE TRABAJO
Ejemplo 3.1: Policía de Pueblo Chico Durante cada turno de cuatro horas, la policía de Pueblo Chico necesita la siguiente cantidad de oficiales de policía en servicio: Turno Policías necesarios
00-4 8
4-8
8-12
7
6
12-16 16-20 20-00 6
5
4
Cada oficial de policía trabaja dos turnos consecutivos de 4 horas. Plantee un PL que sea útil para minimizar el número de policías necesarios para cumplir con las demandas diarias de Pueblo Chico.
16
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Ejemplo 3.2 (I/III) Larry Edison es el director del Centro de cómputo de Buckly College. Larry necesita programar el reclutamiento de personal para el centro. Éste abre de 8:00 a.m. a medianoche. Larry monitoreó el uso del centro en distintas horas del día y determinó que se requiere el siguiente número de consultores en computación: Hora del día 8:00 am a mediodía Mediodía a 4:00 pm 4:00 p, a 8:00 pm 8:00 pm a medianoche
Número mínimo de consultores trabajando requeridos 6 8 12 6
Ejemplo 3.2 (II/III) Se pueden contratar dos tipos de consultores en computación: de tiempo completo y de tiempo parcial. Los primeros trabajan ocho horas consecutivas en cualquiera de los turnos siguientes: Mañana (8:00 a.m. - 4:00 p.m.), Tarde (mediodía - 8:00 p.m.), Noche (4:00 p.m. -medianoche). •
•
•
También es posible contratar consultores de tiempo parcial para trabajar en cualquiera de los turnos que se incluyen en la tabla.
17
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Ejemplo 3.2 (III/III) Los consultores de tiempo completo ganan 14 dólares por hora y los de tiempo parcial ganan 12 dólares por hora. Un requerimiento adicional es que durante cada periodo debe haber al menos dos consultores de tiempo completo por cada consultor de tiempo parcial. Larry quiere determinar cuántos consultores de tiempo completo y de tiempo parcial deben trabajar cada turno para satisfacer los requerimientos anteriores al menor costo posible.
Ejemplo 3.3. (I/II) El Departamento de policía de Bloomington necesita por lo menos la cantidad de policías que se indica en la siguiente tabla durante cada periodo de 6 horas del día: Periodo
Número necesario de policías
0-6 6-12 12-18 18-0
12 8 6 15
18
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Ejemplo 3.3. (II/II) Se puede contratar a los policías para que trabajen 12 o 18 horas consecutivas. Los policías reciben 4 dólares por hora por cada una de las primeras 12 horas del día que trabajan, y cobran 6 dólares por hora por cada una de las siguientes 6 horas que trabajan en un día. Formule un PL que se utilice para minimizar los costos por cumplir con las necesidades diarias de policías en Bloomington.
Taller
•
Sección 3.1. Pag. 55: Ejercicios 1 – 5 –
•
Sección 3.4. Pag. 71: Ejercicios 1 – 2; 4 –
•
Sección 3.5. Pag. 75 Ejercicios 1; 3 – 4; 7 –
19
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4. PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN DE PORTAFOLIOS
Ejemplo 4.1. Es su día de suerte (I/II) Acaba de ganar un premio de 10,000 dólares. Va a guardar 4,000 para impuestos y otros gastos, pero ha decidido invertir los otros 6,000. Al oír la noticia, dos amigos le han ofrecido la oportunidad de convertirse en su socio en dos empresas diferentes, cada una planeada por cada uno de ellos. En ambos casos, la inversión implicaría dedicar parte de su tiempo del verano próximo, además de invertir el dinero. Para convertirse en socio con todos los derechos debe de invertir:
Empresa 1 Empresa 2
5,000 dólares 400 horas 4,000 dólares 500 horas
20
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Ejemplo 4.1. (II/II) La ganancia estimada para ambas empresas es de 4,500 dólares. Sin embargo, ambos amigos son flexibles y le permitirían incorporarse con cualquier fracción de una sociedad completa si así lo desea. Si opta por una fracción de una sociedad, todas las cifras que se dan arriba (inversión de tiempo, inversión de dinero y utilidad) deben multiplicarse por esa fracción. Como de cualquier manera busca un trabajo interesante para el verano (máximo 600 horas), ha decidido participar en una o en las dos sociedades de sus amigos, con la combinación que maximice su ganancia total estimada. Ahora necesita resolver el problema de encontrar la mejor combinación.
Ejemplo 4.2. Alva Electric Co (I/II) Maureen Laird es directora de finanzas de Alva Electric Co., una compañía de servicios públicos (gas, luz, agua) importante en el medio oeste de Estados Unidos. La compañía tiene programada la construcción de nuevas plantas hidroeléctricas en 5, 10 y 20 años para satisfacer las necesidades de la población creciente en la región a la que sirve. Para cubrir los costos de construcción, Maureen necesita invertir parte del dinero de la compañía ahora para satisfacer las necesidades futuras de flujo de efectivo. Maureen puede comprar sólo tres tipos de activos financieros, cada uno de los cuales cuesta 1 millón de dólares por unidad. Es posible adquirir unidades fraccionarias. Los activos producen ingresos a 5, 10 y 20 años, que se requieren para cubrir los requerimientos mínimos de flujo de efectivo en esos años, como se muestra en la tabla siguiente:
21
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Ejemplo 4.2. (II/II) Ingreso por unidad de activo ($millones/unidad)
Año 5 10 20
Activo 1
Activo 2
Activo 3
2 0,5 0
1 0,5 1,5
0,5 1 2
Flujo de caja mínimo requerido ($millones) 400 100 300
Maureen quiere determinar la mezcla de inversiones en estos activos que cubrirán los requerimientos de flujo de efectivo al tiempo que minimizan la cantidad total invertida.
Ejemplo 4.3. (I/II) Una compañía ha sometido 9 proyectos a consideración. El VNA sumado por cada proyecto y el capital requerido por cada proyecto durante los próximos años, se presenta en la siguiente tabla: (todos los valores están en millones) PROYECTO 1
2
3
4
5
6
7
8
9
Salida de efectivo año 1
12
54
6
6
30
6
48
36
18
Salida de efectivo año 2
3
7
6
2
35
6
4
3
3
VNA
14
17
17
15
40
12
14
10
12
22
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Ejemplo 4.3. (II/II)
Por ejemplo, el proyecto 1 sumará 14 millones de dólares en VNA y requiere gastos por 12 millones durante el año 1, y 3 millones durante el año 2. Se dispone de 50 millones de dólares para los proyectos durante el año 1 y 20 millones están disponibles durante el año 2. Si se supone que va a iniciar una fracción de cada proyecto, ¿Cómo se puede maximizar el VNA?
Ejemplo 4.4. Considere un problema de optimización de portafolios con los siguientes datos: Beneficio P Q R Costo unitario ($)
Contribución al beneficio por unidad de cada actividad 1 2 3 4 2 -1 4 3 1 4 -1 2 3 5 4 -1 400
600
500
300
Nivel mínimo aceptable 80 60 110 -
Formule un PL que permita minimizar el costo.
23
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5. PROBLEMA DE MEZCLAS
Ejemplo 5.1. (I/II) Eli Daisy fabrica el medicamento Rozac a partir de cuatro productos químicos. Hoy deben producir 1000 lb del fármaco. Los tres ingredientes activos de Rozac son A, B y C. Por eso, por lo menos 8% de Rozac debe ser A, por lo menos 4% de B y por lo menos 2% de C. el costo por libras de cada producto químico y la cantidad de cada ingrediente activo en una libra de cada producto se proporcionan en la siguiente tabla. Producto químico 1 2 3 4
Costo (dólares/ lb) 8 10 11 14
A
B
C
0,03 0,06 0,10 0,12
0,02 0,04 0,03 0,09
0,01 0,01 0,04 0,04
24
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Ejemplo 5.1. (II/II)
NOTA: Es necesario que se utilicen por lo menos 100 lb del
producto químico 2. Encuentre un PL cuya solución determine la forma más barata de producir el lote de hoy de Rozac.
Ejemplo 5.2. (I/II) Muchas compañías de Wall Street utilizan modelos de PL para seleccionar opciones de inversión de títulos. Solodrex está considerando invertir en cuatro títulos; dispone de 1000000 de dólares para invertir. El rendimiento anual esperado, el rendimiento anual en el peor de los casos de cada título y la duración de cada título se proporcionan en la siguiente tabla Título
Rendimiento esperado (%)
1 2 3 4
13 8 12 14
Rendimiento en el peor de los casos (%) 6 8 10 9
Duración 3 4 7 9
25
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Ejemplo 5.2. (II/II) La duración de un título es una medida de la sensibilidad del título a las tasas de interés. Solodex quiere maximizar el rendimiento esperado a partir de sus inversiones en títulos, sujeto a tres restricciones: Restricción 1 El rendimiento en el peor de los casos de la opción de
inversión en títulos debe ser por lo menos de 8% Restricción 2 La duración promedio de la opción de inversión debe ser
cuando mucho 6. Restricción 3 Debido a los requisitos de diversificación, cuando mucho
40% de la cantidad total invertida puede estar invertido en un solo título. Formule un PL que le permita a Solodrex maximizar el rendimiento esperado por sus inversiones.
Ejemplo 5.3. Metalco (I/I) La Metalco Company desea mezclar una nueva aleación que contenga 40% de estaño, 35% de zinc y 25% de plomo de diversas aleaciones disponibles que tienen las siguientes propiedades: Propiedad Porcentaje de aluminio Porcentaje de zinc Porcentaje de plomo Costo (dólares/libra)
1 60 10 30 22
Aleación 2 3 25 45 15 45 60 10 20 25
4 20 50 30 24
5 50 40 10 27
El objetivo es determinar las proporciones de estas aleaciones que deben mezclarse para producir la nueva aleación a un costo mínimo .
26
2/8/2017
Ejemplo 5.4. (I/I) Chandler Oil tiene 5000 barriles de crudo 1 y 10000 barriles de crudo 2. La compañía vende gasolina y aceite combustible. Ambos productos se elaboran combinando el crudo 1 y el crudo 2. La calidad de cada crudo es como sigue: crudo 1, 10; crudo 2; 5. La gasolina debe de tener una calidad promedio de por lo menos 8, y el aceite combustible, por lo menos 6. La demanda de cada producto debe ser creada por la publicidad. Cada dólar gastado en anunciar a la gasolina crea 5 barriles de demanda, y cada dólar gastado en el aceite combustible origina 10 barriles de demanda. La gasolina se vende a 25 dólares por barril y el aceite combustible a 20 dólares. Formule un PL para ayudar a Chandler a maximizar sus utilidades. Suponga que no se puede comprar crudo de ninguno de estos tipos.
6. PROBLEMA DE PRODUCCIÓN
27
2/8/2017
Ejemplo 6.1. (I/I) Daisy Drugs elabora dos fármacos que se producen mediante la mezcla de dos productos químicos: 1 y 2. Por peso, el fármaco 1 debe contener por lo menos 65% del producto químico 1, y el fármaco 2 debe contener por lo menos 55% del producto químico 1. El fármaco 1 se vende a 6 dólares de la onza, y el fármaco 2 se vende a 4 dólares la onza. Hay dos procesos distintos para elaborar los productos químicos y 1 y 2. Si se ejecuta el proceso 1 por 1 h se requieren 3 oz de materia prima y 2h de manos de obra calificada y rinde 3 oz de cada producto químico. En cambio, si se ejecuta el proceso 2 durante 1 h. se requieren 2 oz de materia prima y 3 h de mano de obra calificada, y rinde 3 oz, de producto químico 1 y 1 oz del producto químico 2. Hay disponible un total de 120 h de mano de obra calificada y 100 oz de materia prima. Plantee un PL que pueda utilizarse para maximizar los ingresos de Daisy por las ventas.
Ejemplo 6.2. (I/I) Furnco manufactura mesas y sillas. Una mesa requiere 40 pies de tablón de madera, en tanto que una silla requiere 30 pies tablón de madera. La madera se podría comprar a un costo de dólar por pie tablón, y hay disponibles 40000 pies tablón. Se necesitan dos horas de mano de obra calificada convierten una mesa sin acabado en una ya terminada, y 2 h más en el caso de las sillas. Se puede disponer de un total de 6000 horas de mano de obra calificada 8 (y ya se pagó por ella). Todos los muebles fabricados se venderán a los siguientes precios unitarios: Mesa sin terminar, 70 dólares; silla terminada, 110 dólares. Plantee un PL que maximice la contribución a las utilidades para la fabricación de mesas y sillas.
28
2/8/2017
Problema de Producción 3.9
29
2/8/2017
Problema de Corte Pacific Paper Company produce rollos de papel con un ancho estándar de 20 pies para cada uno. Los pedidos de los clientes, de rollos especiales de diversos anchos se producen recortando los rollos de tamaño estándar, los pedidos comunes se resumen en la tabla que sigue:
Pedido
Ancho deseado
Numero de rollos deseado
1
5
150
2
7
200
3
9
300
Como se deben cortar los rollos de tal forma que el desperdicio sea el minimo?
Recolección de Información Consumo de recursos por unidad de actividad Recurso 1
Actividad (Variable) n 2
Cantidad de recursos disponibles
1
a 11
a 12
a 1n
b 1
2
a 21
a 22
a 2n
b 2
m
a m1
a m2
a mn
Contribución a Z por unidad de actividad
c 1
c 2
c n
b m
3-60
30
2/8/2017
Formulación del modelo de P.L. Definición de Variables y parámetros = Nivel de la actividad j (para j = 1, 2,......, n). = Incremento en Z que resulta al aumentar una unidad en el nivel de la actividad j (costo o utilidad) = Valor de la medida global de efectividad. = Cantidad del recurso i disponible para asignar a las actividades (i =1,2,..., m) (recurso o requerimiento) = Cantidad del recurso i consumido por cada unidad de la actividad j. (Coeficientes tecnológicos)
X j C j Z b i a ij
3-61
Forma Estándar
MAX Z = c 1 X 1 + c 2 X 2 + ...........+ c n X n
S. a.:
Función objetivo
(restricciones funcionales) a 11 X 1 + a 12 X 2 + .............+ a 1n X n a 21 X 1 + a 22 X 2 + .............+ a 2n X n
b b 2 1
a m1 X 1 +a m2 X 2 + .............+ a mn X n b m
(restricciones de signo de las variables) X i 0 para i = 1,2,....,n
3-62
31
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Forma Matricial
Max Z = c x S. a.
A x
b
x
0 3-63
En el ejemplo de la Wyndor:
c= 3 5
x = x1 x2
1 A = 0 3
0 2 2
b = 4
12 18 3-64
32
