ELEMENTOS FINITOS
MAESTRIA INGENIERIA ESTRUCTURAL Y SISMICA
ASIGNATURA: ASIGNATURA :
Elementos Finitos.
TAREA:
Practica 3.
INSTRUCTOR:
Ing. Nelson Lafontaine, PhD.
REALIZADO POR: POR:
Ing. Juan Carlos Mendoza
FECHA DE ENTREGA :
25 de Noviembre de 2017.
Dr.
Nelson Lafontaine
ELEMENTOS FINITOS
RESUMEN EJECUTIVO Sección Aproximaciones cuadráticas. Formulación Isoparamétricas. Práctica 2 REALIZAR LOS EJECICIOS 4 Y 5 DE LA PRACTICA 1 USANDO FORMULACION ISOPARAMÉTRICA CON INTERPOLACION CUADRÁTICA
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ELEMENTOS FINITOS
EJERCICIOS PRACTICA 3 EJERCICIO 1
EJERCICIO 2
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ELEMENTOS FINITOS RESULTADOS Y CONCLUSIONES Ejercic io 1
+ −2= 0<<1
La línea azul corresponde a la solución exacta y la línea verde a la aproximada. Las líneas punteadas solo representan las funciones de formas físicas. Podemos observar, con este método la aproximación a los datos exactos es más preciso, debido que se observa valga la redundancia menos error que los otros métodos, al mismo tiempo verificamos cómo se suaviza la curva a la suavidad de la solución exacta, debido a la interpolación cuadrática. Y realizamos su comparativa con los resultados de una interpolación lineal (a la derecha), para el mismo ejercicio con el método de Galerkin, también discretizada con tres elementos de la tarea 1. Dando como conclusión que el comportamiento es mucho mejor utilizando la formulación isoparamétrica con interpolación cuadrática. U1 = 0 U2 = 0.1547 U3 = 0.2978 U4 = 0.4430 U5 = 0.6015 U6 = 0.7839 U7 = 1 Dr.
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ELEMENTOS FINITOS Ejercic io 2
A lo mismo nos podremos referir con el segundo ejercicio.
+2 −2=
0<<1
U= 0.6612 1.2454 1.5117 1.6645 1.7837 1.8920 2.0000
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ELEMENTOS FINITOS
RESUMEN TECNICO
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Nelson Lafontaine
ELEMENTOS FINITOS EJERCICIO 1
+ −2= 0<<1 En la práctica 1 se había determinado la form a débil de la ecuación, la cual se intro dujo en Matlab por parte enumerada por l a secuencia en la misma.
∫(− ) −2=∫ − | 1 0
SCRIPT en Matlab p ara resolv er el ejerci cio.
Script Prac3Ejerc4_3Elemento_Cuadrática EDITOR MATLAB: % EJERCICIO 4 CON TRES ELEMENTOS % e1=(0,1/6,1/3) , e2=(1/3,1/2,2/3) , e3=(2/3,5/6,1) clc; clear; %% SOLUCION EXACTA DE LA ECUACION DIFERENCIAL syms x Chi Du_dx u11 u12 u13 u21 u22 u23 u31 u32 u33 xii=0:0.001:1; ua=dsolve('D2u+Du-2*u=x','u(0)=0,u(1)=1','x'); uap=double(subs(ua,x,xii)); %% N1 N2 N3
FACTORES DE FORMAS EN FUNCION DE Chi (COORD. INTRINSECAS) = 0.5*Chi*(Chi-1); = (Chi+1)*(1-Chi); = 0.5*Chi*(Chi+1);
%% VALOR DE X xi=0:1/6:1; %% X EN FUNCION DE Chi x_Chi1 = N1*xi(1) + N2*xi(2) + N3*xi(3); x_Chi2 = N1*xi(3) + N2*xi(4) + N3*xi(5); x_Chi3 = N1*xi(5) + N2*xi(6) + N3*xi(7); %% DERIVADA DE Chi CON RESPECTO A x dChi_dx1 = 2/(xi(3)-xi(1)); dChi_dx2 = 2/(xi(5)-xi(3)); dChi_dx3 = 2/(xi(7)-xi(5)); %% VALOR DE dx dx1 = (xi(3)-xi(1))/2; %*dChi dx2 = (xi(5)-xi(3))/2; %*dChi dx3 = (xi(7)-xi(5))/2; %*dChi
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ELEMENTOS FINITOS %% FUNCION DE PESO W = [N1 N2 N3]'; %% FUNCION DE DESPLAZAMIENTOS u_Chi1 = N1*u11 + N2*u12 + N3*u13; u_Chi2 = N1*u21 + N2*u22 + N3*u23; u_Chi3 = N1*u31 + N2*u32 + N3*u33; %% DERIVADA DE LA FUNCION DE PESO CON dw_dx1 = [diff(N1,Chi), diff(N2,Chi), dw_dx2 = [diff(N1,Chi), diff(N2,Chi), dw_dx3 = [diff(N1,Chi), diff(N2,Chi),
RESPECTO A x diff(N3,Chi)]'*dChi_dx1; diff(N3,Chi)]'*dChi_dx2; diff(N3,Chi)]'*dChi_dx3;
%% DERIVADA DE LAS FUNCIONES DE PESOS CON RESPECTO A x du_dx1 = dChi_dx1*[diff(N1,Chi), diff(N2,Chi), diff(N3,Chi)]*[u11;u12;u13]; du_dx2 = dChi_dx2*[diff(N1,Chi), diff(N2,Chi), diff(N3,Chi)]*[u21;u22;u23]; du_dx3 = dChi_dx3*[diff(N1,Chi), diff(N2,Chi), diff(N3,Chi)]*[u31;u32;u33]; %% ECUACION DIFERENCIAL EN SU FORMA DEBIL %% PRIMERA PARTE (INT((W-DW/DX)*DU/DX-2*W*U)*DX) disp('SOLUCIÓN DE LA PRIMERA PARTE DE LA FORMA DEBIL DE LA ECUACIÓN') I11 = int(((W-dw_dx1).*du_dx1-2.*W*u_Chi1)*dx1,Chi,-1,1) I12 = int(((W-dw_dx2).*du_dx2-2.*W*u_Chi2)*dx2,Chi,-1,1) I13 = int(((W-dw_dx3).*du_dx3-2.*W*u_Chi3)*dx3,Chi,-1,1) %% TERCERA PARTE (INT(W*(2-X)DX)) disp('SOLUCIÓN DE LA SEGUNDA PARTE DE LA FORMA DEBIL DE LA ECUACIÓN') I21 = int(W*x_Chi1*dx1,Chi,[-1;1]) I22 = int(W*x_Chi2*dx2,Chi,[-1;1]) I23 = int(W*x_Chi3*dx3,Chi,[-1;1]) %% TERCERA PARTE (W*DU/DX,-1,1) disp('SOLUCIÓN DE LA TERCERA PARTE DE LA FORMA DEBIL DE LA ECUACIÓN') Parte_2= -W*Du_dx; I311=subs(Parte_2,Chi,1); I312=subs(Parte_2,Chi,-1); I31 = I311-I312 Part_2= -W*Du_dx; I321=subs(Part_2,Chi,1); I322=subs(Part_2,Chi,-1); I32 = I321-I322 Par_2= -W*Du_dx; I331=subs(Par_2,Chi,1); I332=subs(Par_2,Chi,-1); I33 = I331-I332 %Nota: El ensamble de la Matriz Global fue realizada a mano
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Nelson Lafontaine
ELEMENTOS FINITOS %% LA MATRIZ FUE ENSAMBLADA A MANO K=[-736/45 388/45 0 0 0; 328/45 -638/45 388/45 -103/90 0; 0 328/45 -736/45 388/45 0; 0 -73/90 328/45 -638/45 388/45; 0 0 0 328/45 -736/45]; f=[1/27;1/27;1/9;329/270;-1139/135]; %% CALCULOS DE LOS DESPLAZAMIENTOS U = K^-1*f u1 = 0; u2 = U(1); u3 = U(2); u4 = U(3); u5 = U(4); u6 = U(5); u7 = 1; x1=xi(1):0.01:xi(3); x2=xi(3):0.01:xi(5); x3=xi(5):0.01:xi(7); %% FUNCIONES DE FORMAS EN COORD. FISICAS N11=(6.*x1-1).*(3.*x1-1); N12=(6.*x1).*(2-6.*x1); N13=(6.*x1-1).*(3.*x1); N21=(3-6.*x2).*(2-3.*x2); N22=(6.*x2-4).*(2-6.*x2); N23=(6.*x2-3).*(3.*x2-1); N31=(3-3.*x3).*(5-6.*x3); N32=(6-6.*x3).*(6.*x3-4); N33=(5-6.*x3).*(2-3*x3); uh1=[N11*u1+N12*u2+N13*u3]; uh2=[N21*u3+N22*u4+N23*u5]; uh3=[N31*u5+N32*u6+N33*u7]; plot(xii,uap,'b','lineWidth',2.5) title('\bf SOLUCION CUADRÁTICA DE LOS VALORES DISCRETOS') set(gcf,'color','white') grid on hold on plot(x1,N11*u1,'--m'... ,x1,N12*u2,'--m'... ,x1,N13*u3,'--m'... ,x2,N21*u3,'--m'... ,x2,N22*u4,'--m'... ,x2,N23*u5,'--m'... ,x3,N31*u5,'--m'... ,x3,N32*u6,'--m'... ,x3,N33*u7,'--m','lineWidth',0.5) plot(x1,uh1,'g'... ,x2,uh2,'g'... ,x3,uh3,'g','lineWidth',1.5)
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ELEMENTOS FINITOS Las funciones de formas físicas análogas a las funciones intrínsecas que cumplen con las condiciones de fronteras son: N11 = (6x1 - 1)*(3x1 - 1); N12 = (6x1)*(2 - 6x1); N13 = (6x - 1)*(3x1); N21 = (3 - 6x2)*(2 - 3x); N22 = (6x2 - 4)*(2 - 6x2); N23 = (6x2 - 3)*(3x2 - 1); N31 = (3 - 3x3)*(5 - 6x3); N32 = (6 - 6x3)*(6x3 - 4); N33 = (5 - 6x3)*(2 - 3x3); Donde; x1, x2 y x3 son las longitudes de los elementos 1, 2 y 3 respectivamente COMMAND WINDOW MATLAB Resultados de las integrales y de la parte a evaluar de la forma débil de la ecuación. SOLUCIÓN DE LA PRIMERA PARTE I11 = (388*u12)/45 - (683*u11)/90 (328*u11)/45 - (736*u12)/45 (328*u12)/45 - (73*u11)/90
DE LA FORMA DEBIL DE LA ECUACIÓN - (103*u13)/90 + (388*u13)/45 - (593*u13)/90
I12 = (388*u22)/45 - (683*u21)/90 - (103*u23)/90 (328*u21)/45 - (736*u22)/45 + (388*u23)/45 (328*u22)/45 - (73*u21)/90 - (593*u23)/90 I13 = (388*u32)/45 - (683*u31)/90 - (103*u33)/90 (328*u31)/45 - (736*u32)/45 + (388*u33)/45 (328*u32)/45 - (73*u31)/90 - (593*u33)/90 SOLUCIÓN DE LA SEGUNDA PARTE DE LA FORMA DEBIL DE LA ECUACIÓN I21 = I22 = I23 = 0 1/54 1/27 1/27 1/9 5/27 1/54 1/27 1/18 SOLUCIÓN DE LA TERCERA PARTE DE LA FORMA DEBIL DE LA ECUACIÓN I31 =
I32 = Du_dx 0 -Du_dx
Du_dx 0 -Du_dx
I33 = Du_dx 0 -Du_dx Dr.
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ELEMENTOS FINITOS Nota: Con estos resultados f ormamos l as contribu ciones de cada elemento. La mayoría de los cálculos se realizaron en Matlab. Contribuci ón del Elemento 1
′ 1 −683/90 388/45 −103/90 0 11 0 1/27 328/45 −736/45 388/45 K= −73/90 = + 12 1 328/45 −593/90 13 1/54 −′3 1 ′ −683/90 388/45 −103/90 0 11 3 1/27 328/45 −736/45 388/45 K= −73/90 = + 12 0 328/45 −593/90 13 1/54 [−′23] 2 −683/90 388/45 −103/90 0 11 ′ 3 1/27 328/45 −736/45 388/45 K= −73/90 = + 12 0 328/45 −593/90 13 1/54 −′1
Contribuci ón del Elemento 2
Contribuci ón del Elemento 3
Ensamble de la Matriz glo bal y del si stema global
−32868390 38873645 − 38810390 45− 73 −32845 − 59345− 683 388 − 103 ′ 0 1 23 1/271/271/9 90 45 90328 90 −45736 38890 45− 73 32845 − 593 −45683 388 − 103 456 = 2/275/27 90 45 90 32890 −45736 38890 7 181 −′1 45−73 32845 − 59390 90 45 90 Dr.
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ELEMENTOS FINITOS
−32873645 63838845 388 103 2711 328 0 45 −32845 − 73645 −38890 234 = 271 − −4573 ∗0− 10300 ∗1 90 − 45 9 45 45 5 73− 90 32845 − 63845 38845 6 272 [ 000 ] [ 3884590 ] 32845 − 73645 275 127 −32873645 63838845 388 103 1 − − 2 45 32845 − 73645 38890 34 = 271 45 9 45 45 5 − 7390 32845 − 63832845 38873645 6 3292701139 − − [ 45 45 ] 135
Nota: Este sist ema fue introduci do en Matlab para obtener los r esultados del vector u
U2 = 0.1547 U3 = 0.2978 U4 = 0.4430 U5 = 0.6015 U6 = 0.7839 U1 y U7 se definen de las condiciones iniciales: U1 = 0, U7 = 1.0 CON ESTO Y HACIENDO USO DEL SCRIPT EN MATLAB GRAFICAMOS
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ELEMENTOS FINITOS La línea azul corresponde a la solución exacta y la línea verde a la aproximada. Las líneas punteadas solo representan las funciones de formas físicas. Ejercic io 2
+2 −2=
Forma débil de la ecuación d iferencial.
1<<4
SCRIPT en Matlab p ara resolver el ejercic io.
Script Prac3Ejerc5_3Elemento_Cuadrática EDITOR MATLAB: %% EJERCICIO 5 CON TRES ELEMENTOS % e1=(1,1.5,2) , e2=(2,2.5,3) , e3=(3,3.5,4) clc; clear; %% SOLUCION EXACTA DE LA ECUACION DIFERENCIAL syms x Chi u11 u12 u13 u21 u22 u23 u31 u32 u33 Du_dx xii=1:0.01:4; ua=dsolve('x^2*D2u+2*x*Du+2=x','Du(1)=2,u(4)=2','x'); uap=double(subs(ua,x,xii)); %% N1 N2 N3
FACTORES DE FORMAS EN FUNCION DE Chi (COORD. INTRINSECAS) = 0.5*Chi*(Chi-1); = (Chi+1)*(1-Chi); = 0.5*Chi*(Chi+1);
%% VALOR DE X xi=1:0.5:4; %% X EN FUNCION DE Chi x_Chi1 = N1*xi(1) + N2*xi(2) + N3*xi(3); x_Chi2 = N1*xi(3) + N2*xi(4) + N3*xi(5); x_Chi3 = N1*xi(5) + N2*xi(6) + N3*xi(7); %% DERIVADA DE Chi CON RESPECTO A x dChi_dx1 = 2/(xi(3)-xi(1)); dChi_dx2 = 2/(xi(5)-xi(3)); dChi_dx3 = 2/(xi(7)-xi(5)); %% dx1 dx2 dx3
VALOR DE dx = (xi(3)-xi(1))/2; %*dChi = (xi(5)-xi(3))/2; %*dChi = (xi(7)-xi(5))/2; %*dChi
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ELEMENTOS FINITOS %% FUNCION DE PESO W = [N1 N2 N3]'; %% DERIVADA DE LA FUNCION DE PESO CON dw_dx1 = [diff(N1,Chi), diff(N2,Chi), dw_dx2 = [diff(N1,Chi), diff(N2,Chi), dw_dx3 = [diff(N1,Chi), diff(N2,Chi),
RESPECTO A x diff(N3,Chi)]'*dChi_dx1; diff(N3,Chi)]'*dChi_dx2; diff(N3,Chi)]'*dChi_dx3;
%% DERIVADA DE LAS FUNCIONES DE PESOS CON RESPECTO A x du_dx1 = dChi_dx1*[diff(N1,Chi), diff(N2,Chi), diff(N3,Chi)]*[u11;u12;u13]; du_dx2 = dChi_dx2*[diff(N1,Chi), diff(N2,Chi), diff(N3,Chi)]*[u21;u22;u23]; du_dx3 = dChi_dx3*[diff(N1,Chi), diff(N2,Chi), diff(N3,Chi)]*[u31;u32;u33]; %% ECUACION DIFERENCIAL EN SU FORMA DEBIL %% PRIMERA PARTE (INT(X^2*DW/DX*DU/DX*DX)) disp('SOLUCIÓN DE LA PRIMERA PARTE DE LA FORMA DEBIL DE LA ECUACIÓN') I11 = int(x_Chi1^2*dw_dx1*du_dx1*dx1,Chi,-1,1) I12 = int(x_Chi2^2*dw_dx2*du_dx2*dx2,Chi,-1,1) I13 = int(x_Chi3^2*dw_dx3*du_dx3*dx3,Chi,-1,1) %% SEGUNDA PARTE (W*X^2*DU/DX,-1,1) disp('SOLUCIÓN DE LA SEGUNDA PARTE DE LA FORMA DEBIL DE LA ECUACIÓN') Parte_2= W*x_Chi1^2*Du_dx; I121=subs(Parte_2,Chi,1); I221=subs(Parte_2,Chi,-1); I21 = I121-I221 Part_2= W*x_Chi2^2*Du_dx; I122=subs(Part_2,Chi,1); I222=subs(Part_2,Chi,-1); I22 = I122-I222 Par_2= W*x_Chi3^2*Du_dx; I123=subs(Par_2,Chi,1); I223=subs(Par_2,Chi,-1); I23 = I123-I223 %% TERCERA PARTE (INT(W*(2-X)DX)) disp('SOLUCIÓN DE LA TERCERA PARTE DE LA FORMA DEBIL DE LA ECUACIÓN') I31 = int(W*(2-x_Chi1)*dx1,Chi,[-1;1]) I32 = int(W*(2-x_Chi2)*dx2,Chi,[-1;1]) I33 = int(W*(2-x_Chi3)*dx3,Chi,[-1;1]) %Nota: El ensamble de la Matriz Global fue realizada a mano %% LA MATRIZ FUE ENSAMBLADA A MANO K=[53/15 -22/5 13/15 0 0 0; -22/5 64/5 -42/5 0 0 0; 13/15 -42/5 286/15 -206/15 11/5 0; 0 0 -206/15 512/15 -102/5 0; 0 0 11/5 -102/5 212/5 -142/5; 0 0 0 0 -142/5 992/15];
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ELEMENTOS FINITOS
f=[-11/6;1/3;0;-1/3;-131/15;1117/15]; %% CALCULOS DE LOS DESPLAZAMIENTOS U = K^-1*f u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7
= = = = = = =
U(1); U(2); U(3); U(4); U(5); U(6); 2;
x1=xi(1):0.01:xi(3); x2=xi(3):0.01:xi(5); x3=xi(5):0.01:xi(7); %% FUNCIONES DE FORMAS EN COORD. FISICAS N11=(2-x1).*(3-2.*x1); N12=(x1-2).*(4-4.*x1); N13=(1-x1).*(3-2.*x1); N21=(3-x2).*(5-2.*x2); N22=(x2-3).*(8-4.*x2); N23=(2-x2).*(5-2.*x2); N31=(4-x3).*(7-2.*x3); N32=(x3-4).*(12-4.*x3); N33=(3-x3).*(7-2*x3); uh1=[N11*u1+N12*u2+N13*u3]; uh2=[N21*u3+N22*u4+N23*u5]; uh3=[N31*u5+N32*u6+N33*u7]; plot(xii,uap,'b','lineWidth',2) title('\bf SOLUCION CUADRÁTICA DE LOS VALORES DISCRETOS') set(gcf,'color','white') grid on hold on plot(x1,N11*u1,'--m'... ,x1,N12*u2,'--m'... ,x1,N13*u3,'--m'... ,x2,N21*u3,'--m'... ,x2,N22*u4,'--m'... ,x2,N23*u5,'--m'... ,x3,N31*u5,'--m'... ,x3,N32*u6,'--m'... ,x3,N33*u7,'--m','lineWidth',0.5) plot(x1,uh1,'g'... ,x2,uh2,'g'... ,x3,uh3,'g','lineWidth',1.5)
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ELEMENTOS FINITOS Las funciones de formas físicas, que cumplieron con las condiciones de fronteras análogas a las funciones intrínsecas son: N11 = (2 - x1)*(3 - 2x1); N12 = (x1 - 2)*(4 - 4x1); N13 = (1 - x1)*(3 - 2x1); N21 = (3 - x2)*(5 - 2x2); N22 = (x2 - 3)*(8 - 4x2); N23 = (2 - x2)*(5 - 2x2); N31 = (4 - x3)*(7 - 2x3); N32 = (x3 - 4)*(12 - 4x3); N33 = (3 - x3)*(7 - 2x3); COMMAND WINDOW EN MATLAB SOLUCIÓN DE LA PRIMERA PARTE DE LA FORMA DEBIL DE LA ECUACIÓN I11 = (53*u11)/15 - (22*u12)/5 + (13*u13)/15 (64*u12)/5 - (22*u11)/5 - (42*u13)/5 (13*u11)/15 - (42*u12)/5 + (113*u13)/15 I12 = (173*u21)/15 - (206*u22)/15 + (11*u23)/5 (512*u22)/15 - (206*u21)/15 - (102*u23)/5 (11*u21)/5 - (102*u22)/5 + (91*u23)/5 I13 = (121*u31)/5 - (142*u32)/5 + (21*u33)/5 (992*u32)/15 - (142*u31)/5 - (566*u33)/15 (21*u31)/5 - (566*u32)/15 + (503*u33)/15 SOLUCIÓN DE LA SEGUNDA PARTE DE LA FORMA DEBIL DE LA ECUACIÓN I21 =
I22 =
I23 =
-Du_dx
-4*Du_dx
-9*Du_dx
0
0
0
4*Du_dx
9*Du_dx
16*Du_dx Dr.
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ELEMENTOS FINITOS SOLUCIÓN DE LA TERCERA PARTE DE LA FORMA DEBIL DE LA ECUACIÓN I31 =
I32 =
I33 =
1/6
0
-1/6
1/3
-1/3
-1
0
-1/6
-1/3
Nota: Con estos resultados f ormamos l as contribu ciones de cada elemento. Contribuci ón del Elemento 1
53/15 −22/5 13/15 −′ 1 1/6 11 64/5 −42/5 K1=−22/5 = + 0 12 1/3 13/15 −42/5 113/15 13 0 4′2 173/10 −206/15 11/5 0 −4′ 2 21 −1/3 512/15 −102/5 K2=−206/15 = + 0 22 11/5 −102/5 91/5 23 −1/6 9′3 121/5 −142/5 21/5 −1/6 −9′ 3 31 992/15 −566/15 −1 K3=−142/5 = + 0 32 21/5 −566/15 503/15 33 −1/3 16′4
Contribuci ón del Elemento 2
Contribuci ón del Elemento 3
Ensamble de la Matriz glo bal y del si stema global
5315 − 22135 15
− 22645 131542 5− 42 113− +5 173 − 206 5 15− 20615 51215 1511 − 10215 5 5
− 11− 5 12 11/3+1/6 0 3 102 −1/3 −91 5121 142 21 456 = −2/6−1 5− 142+ 5 992− 5 − 5665 7 164− 13 2155 −1556615 1550315 Dr.
Nelson Lafontaine
ELEMENTOS FINITOS
5315 − 225 1315 116 0 − 22− 5 645 − 425 1 0 1 632 206 1315 − 425 15 − 15 115 23 = 30 − 2100 ∗2 −1120615 10251215 212− 1025 142 456 − 132 − 5665 5 − 5 − 1425 992− 5 [ −−16 ] 15 5 15 5315 − 225 1315 11 − 6 22− 5 645 − 425 1 1 1315 − 425 63215 − 20615 115 23 = 301 −1120615 10251215 212− 1025 142 456 −−1313 15 − − 5 5 − 1425 9925 [ 111715 ] [ 5 15 ]
Desplazamientos (Estos fueron calculados en Matlab en el mismo Script)
Dr.
Nelson Lafontaine
ELEMENTOS FINITOS U= 0.6612 1.2454 1.5117 1.6645 1.7837 1.8920 2.0000
Dr.
Nelson Lafontaine
