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ECUACIONES DIFERENCIALES (1ER PARCIAL)
ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES MÉTODO DEL FACTOR INTEGRANTE ECUACIONES DIFERENCIALES DE BERNOULLI ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS CON FACTOR INTEGRANTE ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE COEFICIENTES LINEALES APLICACIONES CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE 1ER ORDEN ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Sign up to vote on this title useful SERIES D Useful NotPOR RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES POTENCIA
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− ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ − − ⇒ − − =0
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2
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=
2
+ 7 13 +3 +6
=
Resolviendo la división entre polinomios de la 1era integral, nos queda lo siguiente:
+2
5 + 25 = +3 +6
2
5 + 25 = +3 +6
2
5 +25=2
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Resolviendo el sistema A = 5/2, B = 35/2
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′ − )
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− ⇒ ′ − ⇒ ⇒ − − − −− −− −− − − − − − − − − − ′
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Resolviendo el sistema A = -3, B = ½ , C = 0
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE COEFICIENTES LINEALES
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− −− )
+
=
⇒ ⇒ − −− − − −−− −− − −− − −− − −− ⇒ − − ⇒ ⇒ −− ⇒ − −− −− ⇒ −− −− − − − − − ⇒ − − − − =
2 2
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+ 2 + 2
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2 2
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1
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Resolviendo el sistema A = -3/2, B = ½
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⇒ ⇒ − − −−− − −− −− − − ⇒ − ⇒ ⇒ − ⇒ −−− − − ⇒ − − − − − − − ⇒ − − 3
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6=0 + +2=0 =
+
1
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Resolviendo el sistema A = ½ , B = ½
+1=
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⇒ ⇒ − − − − − ⇒ − ⇒ ⇒ − ⇒ − − − − − − ⇒ − − − − − − − +3 + + +
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4 +3 +5=0 2 + +7=0
+5 = +7
2
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2+
2
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2+ = 2
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;
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Resolviendo el sistema A = ½ , B = 5/2
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− − − ⇒ − − ⇒ − − − − ⇒ − − − ⇒ − ⇒ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − 1 1 2 2
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1 2
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;
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1
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Resolviendo el sistema
2
,
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1 17
1 2 1 + + 2 17 17
1 2
2
+4 +
5 2
+4 +
5 2
1 2 1 1 2 + + = With 2 2 Free 1Download 7 17 17 Trial
1 17
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+
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1 2 2 You're 17 Reading a Preview
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1
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Retornando a la ecuación
1 2
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5 2 17
1 2
2 17
1 2
2 = 17
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LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON 1) Un asado de 4 libras inicialmente a 50°F se coloca en un horno a 375°F a las 5 P.M después
75 minutos se observa que la temperatura del asado es 125°F ¿Cuándo estará el asado a 150°F
− − ⇒ − ⇒ − − − −− ⇒ − − − ⇒ − − −− −− ⇒ − ⇒ − − ⇒ − − ⇒ − =
=
375
375
;
=
375
=
+
No tomamos en cuenta el valor absoluto, debido a que la temperatura del asado nunca superará la temperatura del horno, por lo tanto siempre será un valor positivo 375
=
375
= 375
;
=
375
=
ó
" "
Según las condiciones que nos da el problema para:
0 = 50°
1
1 = 125° 4
You're Reading a Preview
Reemplazando nuestra primera condición:
50 = 375
(0)
0
50 = 375
325
5
4
= 325
Download With Free Trial
Reemplazando la segunda condición:
125 = 375
Unlock full access with a free trial.
5
4
=
375 125 325
5
=
250 325
4
Entonces reemplazando todas las constantes en nuestra ecuación, nos queda:
−− ⇒ − 5
= 375
= 375
325
250 325
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2) Justo antes del mediodía se encuentra el cuerpo de una víctima de un presunto homicid Sheet Music
dentro de un cuarto que se conserva a una temperatura constante de 70°F. A las 12 del día
temperatura del cuerpo es de 80°F y a la 1 P.M es de 75°F. Considere que la temperatura d
cuerpo al morir es de 98.6°F y que este se ha enfriado de acuerdo con la ley de enfriamiento d Newton. Determine la hora del homicidio.
− ⇒ − ⇒ − − − −−− ⇒ − − − −− −− ⇒ − ⇒ − − ⇒ − ⇒ ⇒ ⇒ ≈− =
=
=
=
+
=
=
El problema nos dice que el cuerpo está en un cuarto donde existe una temperatura constante, entonces A = 70
= 70
Si consideramos las 12 del día como t = 0, entonces T(0) = 80
80=70
(0)
80 = 70
= 10
Después, nos dice que transcurrido una hora la temperatura del cuerpo es de 75°F, entonces T(1) = 75
75=70+10
=
1 2
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Unlockecuación: full access with a free trial. Reemplazando todas estas constantes en nuestra
=70+10
1 2
Download With Free Trial
La última condición, nos dice que la temperatura del cuerpo al morir es de 98.6°F, es decir T(t) = 98.6
98.6 = 70 + 10 1.5
1 2
1 2
= 2.86
1 2
=
2.86
=
2.86 0.5
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Pero la hora del asesinato sería 12 – 1.5 horas, es decir la hora del asesinato fue aproximadamente a las 10 y 30
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PROBLEMAS DE MEZCLAS Sheet Music
1) Un tanque contiene originalmente 400 lit. de agua limpia. Entonces se vierte en el tanq
agua que contiene 0.05 kg de sal por litro a una velocidad de 8 lit. por minuto y se deja que mezcla salga bien homogenizada con la misma rapidez ¿Cuál es la cantidad de sal en recipiente luego de 10 min? Tasa de acumulación = Tasa de entrada – Tasa de salida Sea x(t) las libras de sal en el instante t
= Tasa de acumulación = Tasa de entrada del soluto – Tasa de salida
− − ⇒ − ⇒ − − ⇒ − − − ⇒ − − − − −− − ⇒ − − − − − ⇒ − − − ⇒ −− − ⇒ =
1 1
2 2
;
ó
1
ó
2
El problema no dice con que rapidez sale la mezcla, por lo tanto asumimos que la velocidad con que entra la mezcla misma que sale.
=
0.4
1 1
0.02
1 0.02
0.4
=
0.4
0.4
0.4 0.02
= 8 0.05
2 2
0.02
= +
=
0.02
0.02
0.02 =
0.02
0.02
8
= 0.4
400
0.02
=
You're Reading a Preview
0.4 0.02 = 0.02 0.02 Unlock full access with a free trial.
0.4 0.02
0.02
0.02
= With Free Trial Download
0.02 = 0.4
0.02
La ecuación para determinar la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo “t” es:
=
0.4 0.02
0.02
0.02
= 20
0.02
Sabemos que en t = 0, x = 0 , reemplazando esa condición resulta:
0=20
= 20
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Ecuaciones Diferenciales
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Después de 10 min se detiene el proceso y se vierte agua limpia al tanque con la misma rapide Sheet Music
de entrada. ¿Cuál es la cantidad de sal a los 20 min de toda la operación?
− − − ⇒ − − ⇒ − −− − − ≈ =
1 1
=
1
2 2
0
8
400
= 0.02
= 0.02
= 0.02 =
( )=
= 0.02 +
0.02 +
0.02
Pero para t = 0 , x = 3.63
3.63 =
Entonces, nuestra ecuación nos queda:
( ) = 3.63
0.02
You're Reading a Preview
Finalmente, la cantidad de sal a los 20 min es:
Unlock full access with a free trial.
20 = 3.63
0.02 20
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ecuaciones diferencial
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HUELLA ECOLÓGICA
Trabajo Electrónica
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Ecuaciones Diferenciales
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2) El aire de un teatro de dimensiones 12x8x4 mt contiene 0.12% de su solución de Sheet Music
. Se des
renovar en 10 minutos el aire, de modo que llegue a contener solamente el 0.06% de Calcular el número de contiene 0.04% de
por minuto que deben renovarse, suponiendo que el aire exter
.
Nos dice que determinemos la velocidad con que debe renovarse el aire de manera que llegue a contener el 0.06% 2
El problema no menciona cual es la velocidad de salida de la mezcla, por lo tanto asumiremos que la velocidad entrada es la misma que la de salida, entonces
1
=
2
=
− ⇒ − − ∗ ∗ ⇒ ∗ − − ∗− − ⇒ ⇒ ⇒ Sea “x” la concentración de
=
1 1
=
2 2
= 0.04%
, entonces: 2 para cualquier tiempo “t”
1
= 4 10
12 8 4
Para mayor comodidad, A = 384 y B = 4
=
+
=
+
=
4
384
10 4 , entonces:
=
Resolviendo la ecuación diferencial:
=
2
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=
=
=
La ecuación en forma implícita de la concentración de
2 es:
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Ecuaciones Diferenciales
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Sheet Music
− − − − − − − − − − − − − − − −− ∗∗ −− =
+
1
Pero se desea que en 10 minutos el aire llegue a contener el 0.06% de 0.2304, vamos a llamar z = 0.2304, entonces: 10
=
(10)
=
10
+
10
+
10
10
=
10
=
10
2 entonces en t = 0 , x = 6* 10
−
4 =
1
=
10
=
10 =
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Finalmente despejando v encontraremos la velocidad con que debe renovarse el aire del teatro
=
10
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Reemplazando, tenemos que:
=
384 10
=
.
0.4608 0.2304
4 10 4 10 /
4 4
384 384
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3) Un tanque contiene inicialmente agua pura. Salmuera que contiene 2 lib de sal/gal entra Sheet Music
tanque a una velocidad de 4 gal/min. Asumiendo la mezcla uniforme, la salmuera sale a u
velocidad de 3 gal/min. Si la concentración alcanza el 90% de su valor máximo en 30 m
Encuentre la ecuación que determine la cantidad de agua que había inicialmente en el tanque.
− ⇒ − − − − ⇒ − ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ − − − Sea Q la cantidad de 2 inicialmente en el tanque.
=
1 1
=4 2
3
3 +
+
=
2 2
+ 4
3
3
+
3
+
1
2
3 +
=8
3 +
=
+
2
=8
=
+
1 1
=8
3
=8
=2
+
3
+
+
4
=
+
3
=8
3
+
+
=
+
3
3
3
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+
Unlock full access free trial.en t = 0 , x = 0 El problema nos dice que inicialmente el tanque contiene aguawith puraa entonces 4
0=2
+
= 2
4
Download With Free Trial
Entonces, nuestra ecuación en forma implícita es:
+
3
=2
+
4
2
4
Nos dice el problema que en 30 min la concentración alcanza el 90% de su valor máximo, es decir que en t = 30 , x = por lo tanto la ecuación que nos pide, será expresada en forma implícita:
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)=
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Ecuaciones Diferenciales
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4) Un colorante sólido disuelto en un líquido no voltil, entra a un tanque a una velocidad Sheet Music
galones de solución por minuto y con concentración
libras de colorante/galón de solución.
solución bien homogenizada sale del tanque a una velocidad
galones de solución/min
entra en un segundo tanque del cual sale posteriormente a una velocidad de
solución/min. Inicialmente el primer tanque tenía de solución y el segundo tanque
galones
libras de colorante disueltas en
libras de colorante disueltas en
galon
galones de solució
Encontrar dos ecuaciones que determinen las libras de colorante presentes en cada tanque cualquier tiempo t. Sea: x = libras de colorante en el primer tanque en el instante t y = libras de colorante en el segundo tanque en el instante t
E.D para el primer tanque:
− ⇒ − − − ⇒ − ⇒ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − =
1 1
=
2 2
2
+
1
+
1
=
2
1
1
1
1+
+
1
+
2 1
1
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+
2
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=
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=
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=
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Pero sabemos que en t = 0 , x = 1 , entonces:
Sheet Music
− − ⇒ − − − −− −− − 1
=
1 1
2
+
1
1
2
=
2
1
1 1
1
1
2
Finalmente la ecuación para nuestro primer tanque es:
=
+
+
+
Ahora, vamos a encontrar la ecuación para el segundo tanque: E.D para el segundo tanque:
− ⇒ − − − − − ⇒ − ⇒ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− − − =
2 2
=
3 3
3
+
2+
2
1+
=
2
2
2
+
2
2
2
+
+
2
2
3
3
2
3
2
2
+
2
3
2
2+
3 2
3
=
3
2
2+
3
2
3
3
+
2
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=
=
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1
+
2 +With 2 1 Download 2 2
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+
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+1
2 3 + 2 + 3 + Sign 1 up to vote on this title 3
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2
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Trial 2
1
3
+
3
+
1
2
1
3
3 Free
1
2
+
2
=
2 + 2with 3a free trial. 1+ Unlock full access
2
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=
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Trabajo Electrónica
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Ecuaciones Diferenciales
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Pero sabemos que en t = 0 , y = 2 , entonces:
Sheet Music
− − ⇒ − − − − − − − − − −− − − − − − − − − − − −− −− − − −− − −− − − 2
=
2
1
3
+
2
2
=
3
2
2
1
3
2
2
3
Reemplazando en la ecuación:
= =
1
+
1
+ 1+ 2
2
2
2
3
1
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+
+
2
2
3
2
1
+
2
3
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1
3
2
3
2
2
2
+
2
3
2
3
+
2
3
2
3
3
2
3
2
3
Reemplazando “x”, obtendremos la ecuación para el segundo tanque:
=
+
+
+
+
+ +
+
+
+
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ANTIGÜEDAD DE UN FÓSIL Sheet Music
Se ha encontrado que un hueso fosilizado contiene 1/1000 de la cantidad original de car
14. Determine la edad del fósil, sabiendo que el tiempo de vida media del carbono 14 es 560 años. Sea Q la cantidad de carbono en cualquier tiempo “t”:
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ − ∗ − − ∗ − =
=
=
=
+
=
+
=
Entonces nuestra ecuación es:
=
Sabemos que en t = 0 la cantidad de carbono presente en el hueso es 0 0
0
=
=
0
Reemplazando la constante en la ecuación: You're
=
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Una de las condiciones nos dice que la edad media del carbono es 5600 años, entonces en t = 5600 , Q =
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1 2
0
=
0
5600
5600
=
5600
0
1 2
1
1 2
=
Entonces:
=
=
2 5600
= 1.24 10
4
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1.24 10
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Ecuaciones Diferenciales
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APLICACIONES GEOMÉTRICAS Sheet Music
1) Encontrar las curvas para las cuales la tangente en un punto P (x,y) y tiene intercepto sob los ejes “x” y “y” cuya suma es 2(x+y) Sabemos que la ecuación de una recta es: Entonces:
− − − − ⇒ − − ⇒ 0
=
− − =
0
;
0
=
0
Encontrando el intercepto en “x” , y = 0
− − ⇒ − − − − − − ⇒ − − − ⇒ ⇒ ⇒ 0
=
0
=
0
=
0
0
0
Encontrando el intercepto en “y” , x = 0
0
=
=
0
0
0
0 , 0 , y si llamamos el intercepto en y como A y el
Pero queremos la recta tangente en un punto (x,y), es decir en intercepto en x como B, entonces:
=
0
0
0
;
0
=
0
0
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La condición dice que la suma de lo s interceptos es 2(x+y), entonces:
+
=2
0
0
0
0
0
0
+
1+
Entonces:
0
0
0
0
0
0
+
+
0
0 0
+
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0
0
=
0
0
0
1+
=2
+
0
0
0
0
+
0
0
0
=0
+
0
0
0
0
0
+
+
+
0
0
0
0
0
0
+
+
0
0
0
0
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0
0
0
=2
0
+
0
=0
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0
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2) Hallar la ecuación de todas las curvas del plano xy que tienen la propiedad de que el triángu Sheet Music
formado por la tangente a la curva, el eje “x” y la recta vertical que pasa por el punto
tangencia siempre tiene un área igual a la suma de los cuadrados de las coordenadas del pun de tangencia.
− − − − ⇒ − − ⇒ − − − ⇒ − ⇒ − − − ⇒ − ⇒ − − ⇒ ⇒ − − ⇒ − − − ⇒ − − ⇒ − − =
0
0
Encontrando el intercepto en “x” , y = 0
0
=
0
=
0
=
0
0
0
0
0
Encontrando el intercepto en “y” , x = 0
=
0
=
0
0
0
0
0
El área del triángulo formado según el problema es:
Á
=
0
0
2
+
0
0 0
0
0
2
0
2
0
0
2
=
0
2
+
0
2
0
2
+
0
2
0
2
=2
2
+
0
2
You're Reading a Preview 0 0
0
0
0
= 2
0
0
2
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Entonces:
=
=
0
0
0
=
0
2
2
0 0
= +Download 0 With Free Trial 0
Reemplazando:
+
2
0
0
2
= 2
1 +2 +1
=
0
+
0
= 2 1 2
2
2
2
2
+ +2
=
0
0
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1 1 + 2 + 16 + 1 4
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3) Hallar la ecuación de todas las curvas que tienen la propiedad de que la distancia d Sheet Music
cualquier punto al origen, es igual a la longitud del segmento de normal entre el punto y intercepto con el eje x. Tenemos que encontrar la ecuación de una recta normal en dicho punto, pero sabemos que
∗ − ∗ − ⇒ ∗ − ⇒ − − − − − − ⇒ − ⇒ − − − − − ⇒ − − ⇒ ⇒ ⇒ = 1 ,
Entonces:
0
= 1
= 1
0
0
=
0
Ahora la ecuación de la recta norma es: 0
=
0
Encontrando el intercepto en “x” , y = 0
0
0
=
0
0
0
0
0
=
=
0
0
+
0
0
0
Planteando la condición: 1
=
2 ; siendo 1 la distancia entre el punto y el intercepto con “x” y 2 la distancia entre el punto y el origen.
Entonces:
2
0
2
0
0
0
+
+
0
2
0
0
=
0
2
2
=
+
0 2+
0
0
2
0
2
+
0
0
2
=
0
2
+
0
2
2
=
2
0
2
2
=
2
0
0
+
Finalmente la ecuación de todas las curvas es:
0
0
0
2
0
0
0
2
=
0
2
2
+
0
2
=
0
2
0
+
0
2
=
0
2
0
2
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CRECIMIENTO LOGÍSTICO Sheet Music
1) Encuentre el modelo de la ecuación diferencial si P(t) representa el número de individuos
una población con cierta enfermedad contagiosa incurable y esta se extiende por encuentr
casuales entonces la razón de cambio del número de personas infectadas con respecto al tiemp es proporcional al número de personas infectadas en ese momento y al número de personas infectadas en ese momento.
− =
(
)
Suponga es ese modelo en el tiempo t = 0 , 10000 personas en una ciudad con una población
100000 han oído un cierto rumor. Después de una semana el número número de personas de aquel
que la escucharon se incrementa a 20000 ¿Cuándo escucharan el 80% de la población el rumor
− − − − − ⇒ − − =
(100000
)
=
100000 100000
Resolviendo por fracciones parciales, tenemos:
1 100000 100000
1=
100000 100000
=
+
100000
+
1=
+ 100000 100000
1 = 1000 100000 0000 00
0=
Resolviendo el sistema A = 1/1000000 , B = 1/1000000 1/1000000
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Entonces:
− +
100000
=
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Ecuaciones Diferenciales
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Además nos dice que después de una semana el número de personas infectadas es 20000, entonces en t = 1 , P = 200
Sheet Music
− − − − − −− ⇒ ≈
1 1000000
20000 20000
=
1 1000000
1 4
=
1 1000000
9 4
100000 100000
1 1000000
20000 =
+
1 1000000
1 9
1 9
Entonces nuestra ecuación nos queda lo siguiente:
1 1000000
=
100000
1 1000000
9 4
+
1 1000000
1 9
Pero el problema nos pide el tiempo en que el 80% de la población total escuchan el rumor, es decir P(t) = 80000
1 1000000
80000 1 = 100000 80000 1000000
4 =
9 4
4
1 = 9
36 36 =
9 4
+
1 1000000
1 9
1 9
+
9 4
9 4
Entonces:
=
36 36 9 4
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2) Suponga que en una comunidad cuenta con 15000 personas que son susceptibles de adqui Sheet Music
una enfermedad contagiosa, en el tiempo t = 0, el número de personas que han desarrollado enfermedad es 5000 y este se incrementa a una tasa proporcional al producto del número aquellas que han adquirido la enfermedad y de aquellas que no. (Considere que la tasa inicial
incremento es de 500 sujetos por día). ¿Cuánto tiempo pasara para que otras person desarrollen la enfermedad? Planteando el modelo:
− − − − − − =
15000 15000
=
15000 15000
Entonces:
1 15000
15000
=
+
Pero en t = 0 , N = 5000
1 15000
5000 = 15000 5000
1 15000
=
1 2
Además nos dice que consideremos que la tasa inicial de incremento es 500 personas por día, es decir
=
5000 5000 (15000 (15000
5000)
500 =
5000 5000 (15000 (15000
5000)
=
1 100000
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= 500
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Finalmente nos dice que, cuanto tiempo pasará para que otras 5000 personas se infecte, es decir el número total infectados será de 10000, entonces:
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APLICACIONES A LA FÍSICA Sheet Music
1) Una pelota se proyecta hacia arriba desde el piso con una velocidad
y la resistencia d
aire es proporcional al cuadrado de la velocidad. Demuestre que la altura máxima que alcanza pelota es
á
=
+
, donde
=
⇒ −− ⇒ −− −− ⇒ − − ⇒ − − ⇒ − − ⇒ − − ⇒ − − =
=
2
2
+
=
2
1
+
2
=
2
=
2
+
1
=
+
1
=
=
2
=
1
=
+
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=
=
+
+
1
=
+
Unlock full access with a free trial.
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+
La ecuación que describe la velocidad de la pelota en cualquier tiempo “t” es:
( )=
+
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El problema nos dice que en t = 0 la velocidad de la pelota es
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0 , es decir v(0) = 0
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⇒ − ⇒ − − − − − − 1
=
=
1
+
+
Sabemos que en t = 0 , y = 0
0=
=
1
+
1
=
1
0
2
+
La ecuación que describe la posición de la pelota en cualquier tiempo “t” es:
=
=
1
1
+
1
1
+
0
2
+
El problema nos dice que determinemos la altura máxima que alcanza la pelota, entonces en el punto más alto velocidad de la pelota es cero
0=
− +
á
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Como el resultado de esa ecuación es cero,Unlock entonces el ángulo tiene que ser full access with a free trial.
ó
es decir:
− − − − ⇒ ⇒ ó 0
0=
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+
á
Entonces:
á
=
1
+
á
1
0
2
+
0
á
=
1
á
+
á
=
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=
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2) Un cuerpo con masa “m” se lanza verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial Sheet Music
un medio que ofrece una resistencia proporcional a la raíz cuadrada de la magnitud de
velocidad. Encuentre la relación que hay entre la velocid ad y el tiempo “t”. Determine velocidad límite.
⇒ − − − ⇒ − − − − − − − − − − − =
=
= =
=
=
2
=2
=2
Realizando la división entre polinomios, nos queda:
=2
=2
1
=
2
1
+
1
+
2
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+
2
La ecuaci ón en forma implícita que describe la posición del cuerpo en cualquier tiempo “t” es:
1
=
2
2
2
+
Pero sabemos que en t = 0 , v = 0
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Ecuaciones Diferenciales
Documents La relación que existe entre la velocidad y el tiempo, es que, la velocidad límite es cuando “t” tiende al infinito.
Sheet Music
− ∞ − − ∞ − ∞ − − − ∞ − − − =
2
+
0
2
0
2
Si el resultado de esa ecuación es ∞ , entonces:
2
=
0
í
+
2
0
2
í
Para que:
0
=
;
í
=0
í
Por lo tanto, la velocidad límite es: í
=
í
=
=0
í
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3) Una mujer que se lanza en paracaídas desde un avión a una altitud de 10000 pies c Sheet Music
libremente por 20 seg y entonces abre el paracaídas. Si se conoce que la resistencia debido
aire es proporcional a la velocidad (la constante de proporcionalidad es 0.15 sin paracaídas y 1 con paracaídas). Encontrar la ecuación en forma implícita del tiempo que demorar la mujer llegar al piso Para el 1er tramo tenemos
⇒ − ⇒ − ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ − =
=
=
0.15 =
Pero sabemos que:
=
=
=
Entonces:
+
0.15
=
Resolviendo la ecuación diferencial:
=
=
0.15
+
0.15
=
0.15
0.15
0.15
=
0.15
0.15
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0.15
=
0.15
0.15
=
0.15
0.15
+
Por lo tanto, la ecuación que describe la velocidad para cualquier tiempo “t” es: 1(
)=
0.15
+
0.15
Pero en t = 0 , v = 0
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Ecuaciones Diferenciales
Documents La velocidad de la mujer hasta que abra el paracaídas, es decir después de 20 seg es:
Sheet Music
−− −− ⇒ − − ⇒ − − − − − − − 1
200
20 =
Sabemos que:
=
1
2
10
=
1
=
10
10
+
Pero en t = 0 , x = 0 2
0=
10
2
+
=
10
La ecuación que describe la posición de la mujer durante el 1er tramo es: 2
1
=
2
10
10
10
La posición de la mujer en t = 20 seg es: 2
1
20 = 20
200
10
2
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Unlock full access with a free trial. Para el 2do tramo, tenemos que:
− ⇒ − − =
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1.5 =
Realizando todo el procedimiento anterior para encontrar la ecuación de la velocidad, nos queda lo siguiente: 1.5
2
=
1.5
+
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Useful Realizando un artificio para que esta ecuaci ón nos quede en término de “k” 1.5 10
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Ecuaciones Diferenciales
Documents Entonces la ecuación que describe la velocidad para cualquier tiempo “t” durante el 2do tramo es:
Sheet Music
−− − −− − ⇒ −− − − −− − =
2
10
+
9 10
200
100
Encontrando la ecuación que describe la posición:
=
2
=
2
=
10
9 10
+
200
=
2
9 10
10
100
200
100
10
+
9 10
200
100
+
Si consideramos un nuevo sistema de referencia para el 2do tramo, entonces en t = 0 , x = 0
− −− ⇒ −− − −− − −− ⇒ − − −− − −− − − − − 9 10
0=
200
+
=
9 10
200
Finalmente la ecuación que describe la posición de la mujer durante el 2do tramo es:
=
2
9 10
10
200
100
+
9 10
200
You're Reading a Preview y , es el tiempo que tomará en llegar al piso, por lo tant
Sabemos que el tiempo que demora en recorrer 1
+
2
= 10000
2
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= 10000
1
Entonces nuestra ecuación final, nos quedará: Download
10
9 10
200
100
+
9 10
200
With Free Trial 2
= 10000
20
200
10
2
10
− −− − −− − − − − 2
0.15 10
0.15
9 10
200(0.15)
100(0.15)
− −− − .
+
9 + 10
200(0.15)
−−
= 10000
20
0.15
0.15 10
200(0.15)
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=
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LEY DE TORRICELLI Sheet Music
Esta ley nos dice como cambia la altura con respecto al tiempo, es decir:
− =
;
=
2
á
Un tanque semiesférico tiene un radio de 4 pies, en t = 0 está lleno de agua, en ese momento
hace un orificio circular con un diámetro de una pulgada en el fondo del tanque ¿Cuánto tiem tomará a toda el agua salir?
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Documents Pero en t = 0 , y = 4
Sheet Music
− − − − ⇒ 16 4 3
3
2 4 5
2
5
2
=
=
Entonces:
16 3
3
2
2 5
5
2
=
⇒ ⇒
+
448 15
448 15
Nos pide que determinemos el tiempo en que demora en vaciarse el tanque, es decir y(t) = 0
0=
+
448 15
=
448 15
=
448 15
1 2
2
1 2
Hay que recordar que hay que convertir a pies
≈ ≈ =
1792 15 (0.8333)2 2(32.15)
2162.64
.
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REACCIONES QUÍMICAS Sheet Music
Cuando se combinan dos sustancia A y B, se forma un compuesto C. L a reacción entre ambas
tal que, por cada gramo de A se usan 4 gramos de B. Se observa que a los 10 minutos se h
formado 30 gramos del producto C. Calcule la cantidad de C en función del tiempo si la velocid de la reacción es proporcional a las cantidades A y B que quedan y al principio hay 50 gramos
→∞
A y 32 gramos de B. ¿Qué cantidad de compuesto C hay a los 15 minutos? Interprete la soluci cuando t
Sean x(t) los gramos del compuesto C presentes en un tiempo t. Si por ejemplo, hay 2 gramos del producto C, hemos debido de usar, digamos “a” gramos de A y “b” gramos de B, de
modo que a+b = 2 y b = 4a ; por consiguiente , reemplazando nos queda que a = 2/5 = 2(1/5)g de la sustancia b = 8/5 =2(4/5)g de B. En general, para obtener x gramos de C debemos emplear.
− − ∝ − − 4 5
5
Entonces las cantidades de A y B que quedan en cualquier momento son:
50
32
5
4 5
Respectivamente, sabemos que la rapidez de formación del compuesto C está definida por: You're Reading a Preview
4 trial. Unlock full access with a free 50
5
32
5
Download Freefactor Trialcomún del primer término, 4/5 del segun Para simplificar las operaciones algebraicas, sacaremos aWith 1/5 como término e introduciremos la constante de proporcionalidad.
− − − − − =
250
40
Separamos variables y por fracciones parciales llegamos a:
1
210 250
Integrando:
1
+
210 40
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−−
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250 40
210
=
⇒ −−
250 40
+
Pero sabemos que en t = 0 , x = 0
Y también que en t = 10 , x = 30
=
=
−− −− − − − − −− − − 210 (10)
210
88 = 25
10
210
1 10
210 =
25 4
250 30 25 = 40 30 4 88 = 25
210
10
88 25
El problema nos pide la cantidad de sustancia a los 15 minutos, pero primero despejemos “x”:
250 25 You're Reading a10Preview 25 = 1
40
88
4
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250
=
25 40 4
Download With Free Trial
1000
4 = 1000
( ) = 1000
25
1 4 25 1 10
1
15 = 1000
4
25
=
.
1 10
88 25 (15)
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Sheet Music
ECUACIONES DIFERENCIALES EN LAS QUE FALTA LA VARIABLE DEPENDIENTE “y”
′′ ′ ′ )
+
=
′ ⇒ ⇒ ⇒ − − ⇒ − − − − − − ⇒ − − − − ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ − ⇒ ′− ′ ⇒ ⇒ =
=
2
=
=
2
2
3
+
=2
2
1
2
=
=
2
1 2 2
+
3
3
=
2
2
=
1
2
2
2
=
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2
=
2
1
2
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= 1
2
2
2
=
+
2
=
3
= =
2
2
=
1 2
2
1 2 2
=
3
2
2
=
=
+
2
2
=
+
2
2
=
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+
=±
+
=±
+
=±
+
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′ ′ ′ ⇒ ′ )
Sheet Music
=
+
= +
=1+
− ⇒ ⇒ ′ ′ ⇒ ′ – ⇒ – − ⇒ − − − ⇒ − − − − 2
1=
2
=
2
+1
+1
+1
= +
+
= +
+
+
=
+
=
=
+
+
+ +
=
=
=
= 2
=
2
=
+
2
1
=
+ You're 2Reading a Preview
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ECUACIONES DIFERENCIALES EN LAS QUE FALTA LA VARIABLE INDEPENDIENTE “x”
Sheet Music
′ ′ )
+
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⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ =
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′ ′ ′ )
Sheet Music
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=
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ =
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2
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2
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2 = +2 +
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FÓRMULA DE ABEL
Sheet Music
′ ′ − − ′ ′ )
+
+
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;
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ó
− − ⇒ −− −− ⇒ − − ⇒ − −− −− ⇒ − − − +
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ó
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE COEFICIENTES CONSTANTES
Sheet Music
′ − ′ )
+
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′′ − − − − ′−′ ′′ − − − − − =
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2
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6 +9=0 2
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ECUACIÓN DIFERENCIAL DE EULER – CAUCHY
Sheet Music
′ ′ − ⇒ ⇒ )
+
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=
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⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ − ⇒ − −− − − ⇒ − ⇒ − − − ′′ −′′ ′ − − ′ ′ − − ⇒ − =
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Ecuaciones Diferenciales
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′ −′ ⇒ − ⇒ − ⇒ − − − − − −− ′ − ′ − ′ ′ − − − − − ⇒ )
Sheet Music
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=
Estableciéndolo como una fórmula
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MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS
Sheet Music
′ −′ )
+
=
+
Encontrando la solución complementaria
′ − ′ ′ ′ ⇒ ⇒ − ⇒ − ⇒ − − ⇒ ∴ ⇒ ′′ ′ ′ − 2
+ =0
=
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2
2
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2 +1=0
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3
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+2
+ 2 +4
+2
+
2
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′ ′ )
Sheet Music
+
+
=
Encontrando la solución complementaria
⇒ − − ′ ′ ′ ⇒ ′ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ − − − − ⇒ − − ∴ − − ′ ′ ′ − ′′ − − − − − − − − =
=
1
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+3
2
+2
+4 =0
+4 =0
+2
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2
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+2
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+4 =0
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2
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=
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3
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. . =
=
+4 =
= =
0
1,2
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= 4
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3
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0
; Unlock = 0 full access with a free trial.
(4 )
(4 )
+4
4
= 1± 3
en la ecuación para encontrar la solución particular
+
4
+2 +1=0
3
2
4
4
2
+2 +4 =0
12
3 ,
Reemplazando
+2
+
2
Download With Free Trial
(4 )
16
(4 )
Reemplazando:
16
4
16
16
4
16
(4 ) + 2 4
8
4
4
4
+8
+4
Sign up to vote on this title (4 ) + 4 4 + (4 ) = Useful Not useful 4 +4 4 +4 4 = 4
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′ ′ )
+
+
VARIACIÓN DE PARÁMETRO
− =
Encontrando la solución complementaria
′ ′ ′ ′ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ − ⇒ − − − − ∴ ⇒ − − − − −− − −− − −− −− −− − − − − − − − ⇒ − ⇒ − − − − ⇒ ⇒ − −− − +4
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+4 +4=0
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. . =
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2
,
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1
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2 2
2
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;
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2
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,
2
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2
,
2
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4
,
2
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4
2
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2 full access with a free trial. 2Unlock
2
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4
+2
2
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− ′ ′ − −− ′ − ′ − − − − − − −− − − − ⇒ ⇒ −−− − ⇒ − ⇒ − − −− ⇒ − ⇒ − −− − − ⇒ − −−− −− ⇒ − − −− − − ⇒ −−− − ⇒ − − ⇒ − ⇒ − − )
Sheet Music
+
+
2
=
1
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1
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;
=
ó
é
1)
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1
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2
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(
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(
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=
=
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2
ó
1 +
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2
. . =
1
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,
Encontrando la solución particular
=
1
1 1
+
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2
=
;
1, 2
2
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1
=
1, 2
Download With Free Trial
Determinando el wronskiano
1
=
=
,
=
,
=
2 (
1
1)
1
=
;
( (
=2 =
2
Sign up to vote on this title 2 2 1 = Useful Not useful
1) 1)
=
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′ −′ − )
Sheet Music
+
=
=
− − − −′ ⇒′ −− − ′ − ⇒ − ′ − ⇒ ⇒ − ⇒ − ⇒ − − − ⇒ ⇒ − − ⇒ − − − − ⇒ − −− ⇒ − ⇒ − − −− −− − − − ⇒ − − −− − ⇒ − − ⇒ − −− −− 1
2
2
3
+2 =
3
=
2
+2
2
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1
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+
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2
2
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. . =
2
,
1
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+2 =
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3
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2
+2 =
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Encontrando la solución particular
=
1
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+
2 2
2
=
1,
;
2
2
1
=
1, 2
Determinando el wronskiano 2
2
1
,
=
,
=
=
2
3
1
You're Reading a Preview
2
3
2
1
3
=
=
2 2
=
3 access with a free trial. , Unlock = full 2 Download With Free Trial
=
2
=
1 2
=
2
1 2
1 4
2
2
1
1 = 2
2
1 + 4
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2=
3
2
=
1+
2
=
+
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Documents Sheet Music
′ ′− )
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
=
=
′′ ′ ′ − − − ⇒ − − − − − =
2
=
3
=
Reemplazando: 3
=0
3
3
1
1 =0
1=0
=1
1
;
2,3
=
=
+ +1 =0
1± 1 4 1 1 = 21
+
)
2
+
=
De forma directa, tenemos que:
6
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Download With Free Trial
+1 =0
− 6
+
1 3 ± 2 2
+1=0
El problema se reduce a extraer las raíces sextas de -1, entonces: 6
= 1
Recordando que todas las raíces n-ésimas de
+2
=
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Ecuaciones Diferenciales
Documents Las tres raíces restantes, son la conjugada de las tres primeras, entonces:
Sheet Music
− − − − − −− − − − − − − − − − − − − − 3
=
4
=
5
=
3 2
3 2
1 2
1 2
Entonces:
=
+
)
+
6
6
3
4
3
4
+3 2
+3
2
+
+
+
+
=
1 =0
1 =0
Sabemos que: 3
2
=
3
2
+3
2
3
You're Reading a Preview
Entonces: 2
2
1
3
=0
Unlock full access with a free trial.
1=0
Download With Free Trial
= ±1
Recordemos que son 6 raíces, entonces: 1
=
2
=
=
3
=1 +
4
+
=
5
=
6
+
1
+
+
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Ecuaciones Diferenciales
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′ ′ ′′ ′ )
Sheet Music
+
+
=
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ − ⇒ − −− − − ⇒ − ⇒ − ⇒ ⇒ − −− ⇒ − −− − − −− ⇒ − − − − − − =
=
=
1
=
=
2
2
2
=
2
=
2
=
3
=
2
2
3
2
=
3
2
2
2
2
=
2
3
2
You're Reading a Preview 3
2
Unlock full = access with a free trial. 2
3 3 2 Download With 2 Free Trial 2
1
2
2
2
=
3
2
1
2
2
3
1
2
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2
2
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2
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2
2
3
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2
1
2
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2
=
2
2
1
=
3
=
2
3
2
2
2
2
2
+2
− − − ⇒ − ⇒ − − − 3
3
3
2
=
2
3
3
3
2
+2
3
=
3
1
2
2
3
3
2
+2
Reemplazando 3
3
3
2
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+6
+7
2
′′ ′ ′ ′ ′ ′ 3
2
6
6
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2
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− )
Sheet Music
+
+
+
=
Encontrando la solución complementaria
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − ⇒ − − − −− − ∴ ′ ′′′′ ′ ′ =
1
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2
3
6
3
2
6
+5
=
+ 11
3
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+5
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+7
+ 10
+7
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=
2
7
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=
2
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4
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3
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;
=
1
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1
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=0
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2
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+
2
+
. . = 1,
;
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2
=
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3
2
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,
+
2 ,
2
3
=
=3
=6
=6
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+
+
+
2
2
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;
+
20
4
4
(2 )
Encontrando la solución particular
=
2
+1
2 +5 =0
=1±2 (2 )
(2 )
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=1
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Sheet Music
B = 11/50, C = -43/125
− − − − − − − − 1 15
=
3
+
+
2
11 50
43 125
2
Entonces:
=
1
=
+
+
2
3
+
+
1 15
2
4
3
+
11 50
43 125
2
+
+
′ ′ ′ )
+
=
,
<
<
Encontrando la solución complementaria
⇒ ⇒ ⇒ ∴ − − − − − − − − − − − − − − − 3
1
+
=0 =
2
;
1
2
=0
0
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0
+
+1 =0 2,3
+
2
. . = 1,
,
1 1
+
2 2
+
1
+
+
2
3
( )
3 3
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Unlock full access with a free trial.
Determinando el wronskiano
1, 2, 3
=
3
Encontrando la solución particular
=
=±
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1 = 0 0
=
2
=
2
= 1
Determinando 1
0 0
1
=
( ) ( ) ( )
( )
1
( ) ( ) ( )
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− − − − − − − − − − − − ⇒ − − − − − − − − − ⇒ − Determinando 2
Sheet Music
2
=
2
=
1 0 0
0 0
( ) ( ) ( )
( ) 1
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2
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=
( ) ( )
( )
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( )
2
=
2
0
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=
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2
=
+
Determinando 3
3
=
3
=
3
=
1 0 0
( ) ( ) ( )
0 0
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=
1
( )
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( )
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RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES POR SERIES DE POTENCIAS
Sheet Music
−∞ ′ ′ )
+
=
;
∞ ′ − ∞ − −
=
+
=
=0
+
=
1
( )
=1
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´´
=
(
1)
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=2
Reemplazando
∞ ∞ − − − − ∞ ∞ − − − − − ∞ − − −∞ − − +
+
1
(
2
1)
+
=2
1
( )
=0
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∞ − ∞ − ∞ − ∞ − −∞ − ∞ − − − ⇒ − +
+
2
1
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2
=2
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Download With Free Trial +
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Unlock full access with a free trial.
1
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2 + Reading a1Preview 1 You're =0
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Sheet Music
n=1
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 3
=
2 3
2
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=
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3
=
3 4
3
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=
2 1 4 3
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1
3
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4
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1
4
Podemos observar un patrón: n=3
5
=
1
5
n =4
6
=
1
6
. . . . . . . .
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Entonces:
∞
…………… +
=
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2
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3
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.
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Documents Sabemos que:
Sheet Music
∞ +
− − ……… − ……… − − ……… − 1
=
1
=0
1
=1+ +
1
2
+
3
+
4
+
5
+
2
+
3
+
4
+
.
Integrando tenemos:
1
=
1
1+ + 2
1
= +
2
3
+
3
4
+
4
5
+
.
5
+
5
+
Entonces, la solución homogénea es:
=
+
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−∞ ′ ′ )
Sheet Music
+
+
=
;
=
∞ ′ − ∞ − − ∞ ∞ ∞ − − − − ∞ ∞ ∞ ∞ − − − − − − ∞ − −∞ − − ∞ ∞ − ∞ − −∞ ∞ ∞ +
=
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´´
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1)
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1)
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2
+
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(
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=2
+
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(
=2
2
1)
(
(
2
1)
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+2
+2
+4
1
1
− − − − − ⇒ 0
6
2
2
2
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2
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+
=0
+2
1
6
3
+4
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+
=1
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=0
+ 1 full + access 4 + 2trial. Unlock with a free
=0
3
+2
+
1
2 1
( )
You're Reading a Preview
+
=2
0
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=
∞ − −
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1
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1
=2
+2
∞ − − ∞ − −
+2
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1
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+ Download With Free Trial
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Sheet Music
n=2
⇒ ⇒ 4
=
2
4
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4
=
1
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=
. . . . . . . .
Entonces:
∞
…………… …………… ……… ……… ∞ − ∞ − +
=
You're Reading a Preview
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+
1
+
2
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0
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1+
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4
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3
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2
+
6
+
3
+
4
3
+
0
4
+Unlock full access . with a free trial.
4
+
+
.
Download With Free Trial 1
1+
2
+
4
+
6
+
Sabemos que:
1
1
+
=
=0 +
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∞ ′ ′ − )
Sheet Music
+
+
=
;
=
∞ ′ − ∞ − − ∞ ∞ ∞ − − − − ∞ ∞ ∞ ∞ − − − − − − ∞ − ∞ − − ∞ − ∞ − ∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ − − − − ∞ − − − − − ⇒ ⇒ +
=
=0
+
=
1
( )
=1
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´´
=
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+
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2
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+
+
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=2
2
1)
1)
( )
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+
+
+2
+
+ 2 ( Unlock + 1) full + access 2 ( ) a free2trial. with
+2
3 2
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You're Reading a Preview
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=2
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2
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+
=2
1
=1
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(
+
+2
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2
1
1
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2
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1
=0
=0
+
1 +
+2
+2
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2
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+
2
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3
+2
1
2
2
0
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+
1 +
+2
+2
+1 +2
2
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Sheet Music
n=2
4
=
n=3
5
=
n=4
6
=
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2
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1 3
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3
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− ⇒ 5 7
2
. . . . . . . .
=
1 7
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Entonces:
4
∞ +
=
=0
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Sheet Music
∞ − ∞ − − − −………… − − −………… − − −………… − − −………… =
1 1+
2
+
2
=
=0
+
=
2
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+
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Integrando tenemos:
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3
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2
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+
3
+ 5
4
5
4
+
5
6
+
6
Multiplicando por “x”:
=
2
4
3
5
+
4
6
5
6
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Unlock full access with a free trial.
Entonces:
=
7
+
+
+
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′ ∞′ − )
Sheet Music
+
=
′ ∞ − ∞ − − ∞ − − ∞ − − ∞ ∞ − − ∞ − ∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ − − − ⇒ − ⇒ − − ⇒ − ⇒ ∀≥ +
=
=0
+
=
1
( )
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+
´´
=
(
2
1)
=2
+
+
2
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1
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1
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+2
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2
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+
+
+2
+2
+1
+
+2
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2
2
0
+
+2
+2
=0
2
2
3
0
=0
3 2 +2
=0
+2
+2
+2
=
+ 1 Unlock + 2 full access 2 with=a free trial.
Download With Free Trial
=
1
1
2
+1 +2
2( + 1) +2 +1
1
=
You're Reading a Preview
+
2
2
=
6
2
3
2
2
1
1
=1
= +
=0
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=
+
;
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Sheet Music
n=2
4
=
2 4
n=3
5
=
2 5
n=4
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=
2 6
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7
=
2 7
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8
=
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n=7
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…… ∗∗ ∗∗ ∗∗ ∗∗ ∗∗ ∗∗ …… ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ …… ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ …… ∗∗ ∗∗ ∗∗ ∗∗ ∗∗∗ ∗∗∗ ∗∗ ∗∗ …… ∗ ∗∗∗∗ ∗ ∗ ∗∗∗ ∗ ∗∗∗ ∗ ∗∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗∗∗ …… …… ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗∗ ∗∗ ∗∗ ∗∗ ∗ …… ∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗∗ ∗∗ ∗∗ ∗∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗∗ ∗ …… 6
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Sheet Music
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9
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2 2 3 5 7 9
Haciendo artificios para dar forma de sumatoria a la sucesión: 6
=
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3
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8
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0
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Entonces:
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