Mosik, Bahan Ajar Fisika Modern Modern
BAHAN AJAR
MATA KULIAH : FISIKA MODERN (3 SKS) Kode MK : Rombel : 01 dan 02 Semester Gasal
Disusun oleh: Mosik
PRODI FISIKA JURUSAN PENDIDIKAN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAN UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG TAHUN 2010/2011
Pendahuluan
1
PENDAHULUAN Beberapa pertanyaan yang menjadi bahan renungan dalam bagian ini antara lain adalah sebagai berikut:
Apakah Fisika Modern itu ?
Bagaimanakah Bagaimanaka h perbedaan dan kesamaan antara Fisika Modern Modern dan Fisika Klasik ?
Pokok-pokok Pokok-pok ok pikiran yang manakah dari Fisika Klasik yang tidak dapat diubah ke dalam Fisika Modern, dan pada bagian manakah yang mesti diubah atau diadakan pergantian?
Pertanyaan-pertanyaan tersebut dan mungkin sejumlah pertanyaan lain yang penting akan menjadi bahan pembahasan dalam bagian ini.
A. Program dari Fisika. Program dari Fisika bertujuan untuk merencanakan konsep-konsep dan hukum-hukum yang meberikan bantuan terhadap pemahamabn alam semesta ini. Hukum-hukum dalam Fisika disusun atas dasar pemikiran dan pemahaman yang terbatas atas semua obyek. Hukum-hukum itu dapat berubah, dan alam semesta ini tidak dapat dipaksa untuk menuruti hukum-hukum tersebut. Hukum dalam Fisika merupakan penyataan, yang pada umumnya dinyatakan dalam bahsa matematika, berisikan hubungan dari penemuan hasil eksperimen yang berupa bilangan-bilangan, dan merupakan gambaran yang teratur dalam tingkah laku dari dunia Fisika.Hukum Fisika yng baik adalah berlaku secara umum, sederhana, dan benar. Kriteria terakhir dari hukum Fisika yang sukses adalah bagaimana hukum itu dengan tepat dapat meramalkan hasik eksperimen. Di samping itu, ekstrapolasi setiap hukum di luar uji yang valid akan meramalkan hasil eksperimen yang tidak tetap. Sebagai contoh adalah eksperimen Michelson-Morley, yang dilakukan pada abad ke 19 untuk membuktikan
konsep
eter
sebagai
medium
rambatan
gelombang
elektromagnetik. Perbedaan teori dalam Fisika merupakan hal yang penting guna perkembangan Fisika itu sendiri. Pada mulanya teori-teori dan hukum-hukum susunannya tidak memadai dan kemudian diganti dengan teori yang lebih umum, teori-teori dan hukum-hukum yang komperhensip dijelaskan dalam bentuk gejala
Pendahuluan
2
baru, yang proses penemuannya cukup memakan waktu lama, melalui kegiatan penelitian.. Gambar-1 menunjukkan daerah-daerah
Fisika Klasik ,
Fisika
Relativistik , Fisika Kuantum, Kuantum, dan penerapan Fisika Kuantum-Relativistik Kuantum-Relativistik . Fisika Klasik adalah Fisika yang mempelajari obyek bergerak dengan ukuran dan kecepatan biasa. Fisika Klasik mencakup Mekanika Newton, dan Elektromagnet. Untuk obyek yang bergerak dengan kecepatan mendekati kecepatan cahaya, Fisika Klasik haris diganti dengan Fisika Relativistik. Untuk obyek dengan ukuran sekitar 10 -10m, Fisika Klasik harus diganti Fisika Kuantum. Pada ukuran-ukuran subatomic dan kecepatan mendekati kecepatan cahaya, hanya Fisika Kuantum-Relativistik yang memadai. Batasan-batasan dari teori pada Fisika belum dinyatakan dengan tegas, yang dalam kenyataannya teoriteori tersebut saling tumpang tindih. Sampai saat ini Fisika Kuantum-Relativistik merupakan Fisika yang paling komperhensip dan struktur teorinya paling lengkap. Pada ukuran sekitar 10 -15m, gejalanya agak ruwet, yang padasaat ini hanya sebagian dari gejala yang dapat dipahami. Sama halnya, dengan pertanyaan-pertanyaan penting kosmologi yang belum terpecahkan dalam ranah yang sangat luas (dengan orde sekitar 10 -25m) n at a p e
Kecepatan Cahaya c e
Kuantum Relativistik K
?
Relativistik
Kuantum
10-15m (nukleus)
Klasik
10-10m (atom)
Ukuran
Gambar-1: Gambar-1: Daerah penerapan berbagai Teori Fisika
Pemahaman tentang atom dan struktur nuklir didasarkan pada dua buah pikiran utama dalam Fisika Modern yaitu teori relativitas dan teoro kuantum. Kedua teori ini dikembangkan pada awal abad XX, ketika terjada perbaikan dalam cara melakukan penelitian yang pertama kali melibatkan Fisikawan untuk mempelajari gejala dan fenomena fisika pada ukuran yang relatif kecil dengan
Pendahuluan
3
melibatkan kecepatan dan energi yang cukup tinggi. Oleh sebab itu sering disebutkan bahwa Fisika Modern adalah fisika pada abad duapuluh. Setelah ditinjau beberapa aspek yang rumit dalam Fisika Klasik, akan dipelajari teori Relativitas dan teori Kuantum, dan keduanya digunakan untuk menganalisis struktur aton dan struktur nuklir. Didapatkan sejumlah keadaan yang berkaitan dengan fisika tetapi tidak dapat diterapkan dalam Fisika Klasik, sehingga menurut tijauan Fisika Klasik dianggap salah. Apakah berarti bahwa penemuan-penemuan dan waktu yang dipergunakan untuk mempelajari Fisika Klasik tidak berguna karena itu merupakan pemborosan? Apakah lebih baik mulai dengan teori relativitan dan teori Kuantum saja? Samasekali tidak. Semua hasil percobaan, meskipun diperoleh dari pengalaman biasa harus dinyatakan dalam bentuk sesuai dengan Fisika Klasik, misalnya konsep momentum, energi, posisi, dan waktu. Pada akhirnya akan diketahui banyak konsep-konsep dan hukum-hukum dalam Fisika Klasik yang dapat dipindahkan ke dalam Fisika Modern.
B. Azas Korespondensi Telah dinyatakan sebelumnya, bahwa teori atau hukum dalam Fisika Klasik lebih kurang bersifat coba-coba dan kira-kira, ekstrapolasi pada keadaan yang tidak teruji dapat dinyatakan tidak lengkap atau tidak benar. Jika ada sesuatu yang baru, yang diajukan sebagai teori yang lebih umum, maka dapat diandalkan untuk melengkapi hubungan antara teori yang baru dengan teori yang lama. Hal ini menunjukkan, suatu Azas Korespondensi , yang pertama kali diajukan oleh fisikawan
Denmark
yang
bernama
Niels Bohr pada
tahun
1923
dan
menerapkannya pada teori struktur atom. Akan ditemukan hal yang lebih jauh dalam Fisika Relativitas dan Fisika Kuantum. Azas Korespondensi : Setiap teori baru dalam Fisika, baik yang umum atau bagian-bagiannya, harus menyederhanakan teori klasik yang sudah mapan dengan hubunganhubungannya bila hal itu diketahui bukan teori yang umum . Sebagai
contoh,
apabila
akan
dianalisis
suatu
gerak
peluru,
dengan
perbandingan jarak yang kecil, maka akan digunakan asumsi sebagai berikut : 1. Berat dari peluru adalah tetap besarannya dan merupakan perkalian antara massa dengan besar kecepatan gravitasi yang nilainya tetap.
Pendahuluan
4
2. Permukaan bumi adalah datar 3. Arah gaya berat peluru tetap dalam yaitu pada arah ke permukaan bumi bawah. Dengan asumsi tersebut, teori meramalkan suatu lintasan parabola yang sesuai dengan percobaan, dan diketahui bahwa gerak dari peluru adalah pada jarak yang relative kecil. Tetapi, jika berusaha akan menjelaskan gerak suatu satelit bumi dengan asumsi yang sama, kesalahan yang serius akan terjadi. Untuk membicarakan gerak satelit harus dibuat asumsi sebagai berikut : 1. berat benda berubah-ubah tergantung pada jaraknya dari pusat bumi 2. permukaan bumi tidak datar tetapi berbentuk bola 3. arah dari gaya berat benda berubah-ubah dan selalu menuju ke pusat bumi Dengan
asumsi-asumsi
tersebut,
maka
dengan
teori
akan
dapat
diramalkan bahwa lintasan satelit berupa ellip dan satelit bergerak dengan sebenarnya. Pada penerapan yang kedua, yang lebih umum, teori dari gerak benda pada jarak yang lebih kecil daripada jari-jari bumi jika benda berada pada permukaan bumi, perhatikan apa yang terjadi, Berat dan arah benda mendekati tetap, permukaan bumi mendekati datar, dan lintasan ellips menjadi parabola. Hal ini menunjukkan perlunya Azas Korespondensi. Azas Korespondensi menyatakan bahwa pada waktu terdapat hubungan antara teori baru dan lama, juga akan berhubungan dengan ramalan. Jadi setiap teori baru (yang umum) merupakan hasil teori lama (terbatas) sebagai perkiraan khusus. Selanjutnya akan didapatkan petunjuk untuk menguji teori atau hukum yang baru, setiap teori yang baru harus sederhana untuk menggantikan teori yang lama. Setiap teori baru yang jatuh dalam pengujian maka teori itu menjadi cacat dan tidak dapat diterima. Perlu diketahui bahwa teori Relativitas dan teori Kuantum harus menghasilkan Fisika Klasik pada waktu diterapkan pada objek yang besar, bergerak pada kecepatan yang jauh lebih kecil daripada kecepatan cahaya. Pada pasal berikut akan dilihat contoh lain dari Azas Korespondensi.
C. Cahaya Optik dan Gelombang Optik Terdapat dua pengertian dari penjelasan pada rambatan cahaya, yaitu cahaya (geometri) optic dan gelombang (fisis) optik. Hanya gelombang optik yang dapat dijelaskan dengan gejala seperti interferensi dan difraksi, akan tetapi
Pendahuluan
5
cahaya optik dapat dijelaskan dengan gejala seperti rambatan lurus, pemantulan dan pembiasan. Gelombang optik dapat juga menjelaskan gejala ini. Gelombang optik adalah teori cahaya yang komprehensif, sedangkan cahaya optik adalah teori yang memadai untuk keadaan terbatas tertentu. Seringkali teori gelombang tidak dapat menghitung semua efek gejala dari cahaya, teori ini harus diganti dengan teori kuantum dari radiasi electromagnet. Azas
Korespondensi
memerlukan
teori
yang
komprehensif
untuk
menyederhanakan teori khusus dalam hubungan yang terbatas. Jadi gelombang optik akan menjadi cahaya optik pada keadaan yang membedakan gejala gelombang seperti interferensi dan difraksi adalah tidak penting. Diketahui bahwa interferensi dan difraksi akan lebih jelas jika jarak d pada rintangan atau celah dari cahaya yang masuk dapat dibandingkan dengan panjang gelombang λ. Pada waktu d , kelakuan gelombang sama dengan kelakuan cahaya. Sebagai lambang, dituliskan
Limit ( gelombang optik ) cahaya optik d
0
Gambar-2 menunjukkan peralihan dari keadaan gelombang optik yang diperlukan menjadi keadaan yang lebih sederhana yang sama gelombang dan cahaya optik merupakan hasil yang sama. Pada gambar menunjukkan bentuk difraksi monokromatis melalui celah tunggal untuk (a) panjang gelombang sebanding lebar celah d , (b) panjang gelombang kebih kecil daripada lebar celah, dan (c) panjang gelombang sangat kecil daripada lebar celah. Dalam diagram pertama ditunjukkan bahwa penyebaran gelombang berbentuk bayangan geometris dan mempunyai karateristik sebagai pita difraksi etrang dan gelap. Dalam diagram kedua, secara pasti difraksi lebih kecil, dan cahaya terpusat suatu tempat sebagai bayangan cahaya. Dalam diagram ketiga, pada mana panjang gelombang sangat kecil daripada lebar elah yang terbuka, bentuk intensitas tidak dapat dibedakan dari yang diramalkan oleh cahaya optik *. Cahaya optik semata-mata berkaitan dengan lintasan cahaya, yang diperlihatkan oleh arah lintasan cahaya. Pengaruh dari model untuk menjelaskan sifat cahaya disebut model partikel. Dalam model ini, cahaya di asumsikan terdiri atas butiran kecil, yaitu partikel tanpa berat, atau korpuskel
Pendahuluan
6
d
kisi
Intensitas (a) layar
d
Intensitas (b)
d
Intensitas (c)
Gambar-2.: Distribusi dari cahaya monokromatis melalui celah tunggal yang diperlebar. (Pilihanya, layar jauh dari celah untuk (a) tetapi tertutup untuk (b) dan (c))
. Model partikel dinyatakan sebagai berikut : 1. Dalam ruang bebas, cahaya mempunyai lintasan yang lurus sebagai arus partikel. 2. Pada waktu terjadi pemantulan partikel-partikel bertumbukkan lenting sempurna dengan permukaan 3. Pada waktu mengalami pembiasan dalam benda bening, misalnya kaca,arah partikel mengalami perubahan pada permukaan dalam. 4. intensitas dari titik pusat sumber berubah-ubah tergantung jaraknya. Yang mengenalkan teori partikel cahaya adalah Sir Isaac Newton. Newton menunjukkan bahwa menurut konsep partikel, kecepatan cahaya di dalam medium pembias lebih besar daripada di dalam ruang hampa. Dalam percobaan Foucolt diketemukan bahwa kecepatan cahaya melalui air lebih kecil daripada melalui udara, dalam teori gelombang diramalkan bahwa kecepatan cahaya dalam medium pembias adalah lebih kecil. Dalam percobaan Foucolt , yang mulamula bekerja adalah Young dan Fresnel pada interferensi dan difraksi cahaya,
Pendahuluan
7
menurut ahli fisika tersebut cahaya adalah tetap sebagai gelombang, sesuai dengan yang diajukan oleh Huygens. Meskipun ahli gfisika mengetahui, baik sebelum 1864, bahwa cahaya adalah gelombang dan ahli tersebut dapat menjelaskan interferensi dan difraksi, ahli-ahli itu tidak mengetahui “apakah gelombang itu” sebelum Maxwell mengajukan teori gelombang electromagnet pada tahun itu juga.
D. Deskripsi Partikel dan Gelombang dalam fisika klasik Pemikiran tentang partikel dan gelombang memegang peranan pokok dalam Fisika Klasik dan Fisika Modern. Di sini, secara gamblang disajikan secara ringkas sifat –sifat dari partikel dan gelombang. Sebuah partkel yang sempurna dapat dinyatakan sebagai berikut. Massa dan muatan listrik dari partikel dapat ditentukan dengan tepat karena partikel tersebut dapat dinyatakan sebagai massa titik. Meskipun dalam alam, semua partikel punya ukuran tertentu, dapat dinyatakan sebagai massa titik di bawah keadaan yang sesuai. Sebagai contoh, dalam teori kinetik molekul dinyatakan sebagai partikel titik meskipun ukuran partikel tertentu dan mempunyai struktur dalam,
sama
halnya,
bintang-bintang
dinyatakan
sebagai
partikel
ketika
mempelajari tingkah laku galaksi-galaksi. Ringkasnya, sebuah objek dinyatakan pertikel bilamana ukuranya relatif sangat kecil dibandingkan dengan ukuran dari system yang di tempati, dan struktur internal bukan masalah yang penting. Mekanika Newton membicarakan sejumlah partikel sempurna, ditandai dengan posisi dan kecepatan partikel dan gaya tarik yang bekerja padanya, dapat diramalkan secara terperinci posisi dan kecepatan berikutnya pada pertikel tersebut. Tipe gelombang yang sederhana adalah bentuk sinusoide yang dibedakan oleh frekuensi atau panjang gelombang. Diumpamakan medan listrik ( E ) bekerja pada gelombang elektromagnetik, besar amplitudo ( E 0 ), frekuensi ( ) dan panjang gelombang ( ). Gelombang itu merambat pada arah x-positif dengan kecepatan
v
. Maka E E 0
x t E 0 sin t k x
sin 2
(1)
Pendahuluan
8
2 dan
k
2
.
Dengan demikian gelombang sinusoida yang dibentuk oleh perubahan E untuk waktu yang tetap, dalam hal ini sinusoide menunjukkan perubahan E terhadap waktu untuk titik tetap x . Persamaan (1) menunjukkan adanya getaran listrik yang bekerja pada jarak x untuk waktu tertentu. Sebuah gelombang sempurna, panjang gelombang dan frekuensi dapat diketahui dengan tepat, tidak dapat ditemukan pada tempat tertentu, yang agaknya gelombang ini berjalan sepanjang arah rambatnya, gelombang yang sederhana dapat ditunjukkan dengan hipotesis (perkiraan) melalui percobaan, jika ingin mengukur frekuensi gelombang maka gelombangnya harus tidak terbatas. Dibutuhkan jam standar untuk mengukur bagaimana gelombang melalui titik tertentu per satuan waktu. Untuk sederhananya, dibayangkan jam standar adalah sebuah oscillator yang menghasilkan gelombang yang frekuensinya dapat dibandingkan dengan gelombang datang. Bagaimana dapat dinyatakan dengan lengkap bahwa frekuensi gelombang yang datang sama dengan frekuensi gelombang dari jam standar?. Akan dibicarakan dua buah gelombang yang berinterferensi sebagai paduan getaran. Banyaknya getaran per satuan waktu sama dengan perbedaan frekuensi antara ke dua gelombang tersebut. Jika ke dua gelombang mempunyai frekuensi yang sama, selanjutnya akan dilihat apakah ada getaran atau tidak. Jika diamati resultan amplitudo dari interferensi untuk beberapa saat, tidak akan ditemukan perubahan amplitudo, tetapi tidak dapat dinyatakan bahwa di situ tidak ada sesuatu yang dapat diukur. Kalau ditunggu lebih lama, akan ditemukan kombinasi amplitudo dari dua gelombang yang bergerak naik atau turun (lihat gambar-3), ini menunjukkan permulaan getaran atau perbedaan frekuensi. Secara mutlak dapat dikatakan tidak ada getaran, harus menunggu waktu yang agak lama. Kalau ditunggu dalam waktu yang lama, maka gelombang yang diukur akan merambat untuk waktu dan tempat yang lama. Sekarang ingin menentukkan ketidakpastian jika mengukur getaran 2 dengan hasil jam standar 1 dengan waktu
t .
diamati getaran dengan lengkap dalam waktu
Dalam dasar yang lama dapat
t hanya
jika getaran mempunyai
Pendahuluan
waktu getar
9
t
atau lebih kecil. Ini dihubungkan dengan cacah getaran
persatuan waktu, atau perbedaan frekuensi minimum yang teramati
Frekuensi standard
Frekuensi terukur
1
1
1
1
2
2
1
waktu
Kombinasi bentuk gelombangmemperlihatkan frekuensi getaran
Gambar-3:
t
2
Bentuk getaran hasil superposisi gelombang dengan frekuensi
1
1
atau
1
dan
2
t 1
(2)
Dari persamaan (2) terlihat bahwa ketidakpastian adalah besar jika frekuensi diukur dalam selang waktu yang kecil, dan jika adalah nol, maka
t harus
tak terbatas. Pada nada suatu musik, misalnya hasil dua getaran perdetik dibunyikan pada garputala standar 440 Hz , maka frekuensi nada itu adalah 438 Hz atau 442 Hz .Nada ini memerlukan waktu paling tidak
t
1
1 2 Hz
0,5 det ik untuk mendengarkan satu getaran.
Hubungan tyang diberikan dari ketidakpastian panjang gelombang secara mudah dapat diturunkan dari persamaan (2). Tentu saja gelombang hanya dapat dilihat untuk selang waktu tertentu pada jarak x ,
t ,
sehingga untuk waktu itu gelombang merambat
Pendahuluan
10
x v t
Dan dimasukkan pada persamaan (2)
x Tetapi karena
v
v
(3)
,
Maka diperolaeh
v 2
(4)
Persamaan (4) dimasukkan ke persamaan (3) didapat, 2
x
(5)
Jika besar gelombang dalam ruangan tidak ditentukan besar x , maka panjang gelombangnya juga tidak ditentukan besar
2 x
.
Pada persamaan (5) menunjukkan 0 jika x Pembicaraan mengenai gelombang hanya berkenaan dengan gelombang sinusoide
monokromatik.
Pulsa
gelombang,
yang
merupakan
gangguan
gelombang yang diterima dalam tempat yang terbatas, juga dapat merambat. Setipa pulsa dapat dilihat sama dengan bilangan matematik yang ditempatkan pada gelombnag sinusoida pada frekuensi yang berbeda. Jika dihitung bilangan gelombang dari frekuensi yang berbeda harus ditambahkan bentuk pulsa yang lengkap, semua gelombang dari frekuensi nol sampai tak berhingga harus disertakan (lihat analisis di bawah). Pulsa ini sesuai dengan apa yang akan diketemukan. Jika pulsa gelombang terbatas pada tempat yang sempit, tidak dapat ditentukkan panjang gelombangnya. Jadi sebenarnya tidak dapat dikatakan pulsa dengan “frekuensi” tunggal.
Paket Gelombang . Sebuah gelombang monokromatik melalui sumbu x dengan kecepatan
v
ditunjukkan oleh,
x vt
A A0 cos 2
(6)
Pendahuluan
11
Disini adalah panjang gelombang dan adalah frekuensi. Gelombang usikan A diberikan sebagai fungsi x dan waktu t , harga ini maksimum, A0 adalah amplitudo gelombang. Variabel A dapat terdiri daari beberapa kuantitas, bergantung pada pertanyaan : medan listrik atau medan magnet untuk sebuah gelombang elektromagnet, tekanan udara untuk gelombang bunyi di udara, perpindahan melintang untuk gelombnag transversal pada tali. Dengan definisi k
2
(7)
Dimana k adalah bilangan gelombang, persamaan (6) dapat ditulis
A A0 cos k x vt
(8)
Gambar 4 menunjukan amplitudo sebuah gelombang monokhromatik tunggal yang mem-punyai bilangan gelombang k , atau panjang gelombang
2
k
. Dan
gambar 5 menunjukkan A sebagai fungsi x pada waktu t=0.
Amplitudo
A0
k
Gambar-4: Spektrum frekuensi dari gelombang monokhromatik A
A0 x
Waktu t=0
Gambar-5: Variasi ruang dari gelombang monokhromatik
Dilihat sebuah kumpulan atau paket dari gelombang monokromatik, meambat pada kecepatan yang sama (terlihat tidak ada dispresi) pada arah x positif.
Pendahuluan
12
Untuk mudahnya, dibayangkan bahwa semua gelombang mempunyai amplitudo yang sama A0 dan paket gelombang meliputi semua bilangan yang bergerak dari k
k 2
sampai
k
k 2
.
Selanjutnya
semua
gelombang
mempunayi
pita
gelombang dengan lebar Δk , seperti ditunjukkan pada gambar-6. Jika k 0 pita gelombang menjadi gelombang monokromatik tunggal seperti pada gambar-7 menunjukkan besarnya ruang dari paket gelombang pada waktu
t = 0 ,
dihubungkan dengan gambar-5.
k
k
n a ut as r e p o d
A0 ut li p m A
k
k 2
k
k 2
Gambar 6: Spektrum frekuensi dari paket gelombang
A
k k 2
k
k k 2
A0
x
Waktu t 0
Gambar 7: Variasi ruang dari paket gelombang monokhromatik
Pada permulaan ( x=0 ), semua komponen gelombang dalam fase dan bertambah konstruktif, menghasilkan amplitudo yang besar. Dari titik awal kea
Pendahuluan
13
rah berikutnya, gelombang bertambah fase, dan penambahan secara aljabar dari komponen gelombang menghasilkan amplitudo A, yang segera mendekati nol. Sekarang akan dihitung setiap titik x dan waktu t pada resultan amplitudo A, yang menyusun sumbangan gelombang monokromatik dalam pita k . Jumlahkan sumbangan komponen Ak dk dari k waktu
x vt x' .
k 2
sampai k
k 2
. Hal ini akan mudah
Sehingga persamaan 1-8 menjadi : Ak
Ao cos kx'
dengan Ao adalah amplitudo per satuan k. Hasil pergantian itu dinyatakan dengan k
A
k
k
2
A
k
k
dk A0
k
A 0 sin x '
A0 x '
2
cos kx' dk k
2
k
k 2
k
kx' k
k 2
k 2
k k x k x sin ' sin ' k 2 2
Disederhanakan dengan menggunakan trigonometri
sin a b
sin a b 2 sin b cos a
Sehingga akan menjadi A
2 A0 x'
sin
x' k 2
cos x' k
(9)
Tiga buah diagam pertama dari gambar-8 menunjukkan adanya factorfactor yang terpisah pada persamaan (9) yang digambarkan terhadap x’ , dua buah diagram yang terakhir menunjukkan resultan gelombang A dan bidang A2 sebagai fungsi x’ . Pada waktu x’ sama dengan pulsa pada
x' ),
x
vt (ini adalah merambatnya
gambar-8e juga menunjukkan intensitas pulsa, secara
proporsional merupakan besar dari amplitude. Daerah
2
k
(daerah bayangan pada gambar-8e) kira –kira adalah sama
dengan tiga per empat kurva, lebih dari setengan dari energi total berada pada daerah ini. PAda setiap saat, ketidakpastian x pada lebar paket gelombang paling tidak adalah
2
k
:
Pendahuluan
14
x
2
k
(10)
Dimasukkan bilangan gelombang k dalam perhitungan integral. Dengan menuliskan kembali persamaan (10) dalam bentuk
k
2
k
, dimulai dengan,
2
2
Dan persamaan 1-10 menjadi,
x 2
(11)
Dengan alasan sederhana dapat diterima persamaan sama dengan persamaan (5),
selanjutnya
jika
kecil
(misalnya,
jika
gelombang
monokromatik
menimbulkan paket dengan panjang gelombang yang sama), besarnya ruang dari paket x akan menjadi sangat luas, seperti halnya, jika paket terbatas pada daerah yang sempit, harus sangat besar. Gelombang dan partikel dalam fisika adalah penting karena merupakan media banyaknya energi rambat yang timbul antara dua buah titik. Interaksi atau perpindahan energi, hanya dapat terjadi anatara partikel dengnan partikel atau antara gelombang dengan partikel. Interaksi partikel – partikel dapat terjadi pada waktu dua buah partikel atau lebih mengalami tumbukan, baik lenting sempurna maupun tidak lenting sama sekali. Interaksi partikel –gelombang terjadi apda waktu partikel memberikan energinya untuk membentuk gelombang, atau pada waktu energi yang dibawa oleh gelombang diserap oleh partikel yang terdekat. Sebuah papan kayu yang dijatuhkan ke dalam air,atau muatan listrik yang dipercepat, dapat menimbulkan gelombang, gelombang –gelombang ini membawa energi yang dapat diserap oleh papan kayu atau muatan listrik. Tetapi dua buah gelombang tidak akan berinteraksi, jiak dua buah gelombang bertemu, gelombang –gelombang itu saling melewati satu sama lain dan tidak mengalami perubahan, dan berakibat pada tiap –tiap titik pada ruang itu semata – mata hanya mengalami penambahan bersama menurut prinsip superposisi dalam bentuk resultan pada titik –titik itu. Setiap orang dapat melihat efek ini. Dua buah gelombang dalam air akan merambat satu sama lain, bertemu dalam bentuk interferensi, kemudian merambat maju tidak dalam bentuk masing –
Pendahuluan
15
masing gelombang. Prinsip superposisi adalah dasar untuk memecahkan semua masalah dalam intereferensi dan difraksi. 2 A0 x '
(a) x '
sin
x ' k 2
(b) 2 k
x '
cos x' k
(c)
x '
A
2 A0 x '
sin
x 'k 2
cos x' k
(d) x '
A '
(e)
2
k
x '
Gambar-8 Variasi ruang dari factor pendekatan dalam persamaan 1-9 untuk paket gelombang (bagian a, b, dan c ), resultan gelombang (bagian e) semuanya merupakan fungsi pendekatan terhadap x’ .
E. Kecepatan Fase dan Kecepatan Grup Perbedaan antara kecepatan fase dan kecepatan grup merupakan bagian yang penting dalam pembicaraan gelombang kuantum dari benda. Pada waktu dua buah gelombang sinusoide dengan frekuensi yang berbeda memaluli medium dalam arah dan kecepatan yang sama, perpindahan energi dilakukan oleh resultan gelombang yang merambat dengan kecepatan yang sama pada masing-masing komponen gelombang. Tetapi ketika dua buah gelombang dengan frekuensi yang berbeda merambat memaluli medium yang sama dengan kecepatan yang berbeda, perpindahan energi terjadi pada
Pendahuluan
16
kecepatan, yang disebut kecepatan grup, karena terdapat perbedaan kecepatan fase pada masing-masing komponen gelombang. Pertimbangan pertama, dalam gelombang sinusoidal dengan frekuensi dan
2
1
, merambat pada arah dan kecepatan yang sama. Secara sederhana,
diasumsikan bahwa amplitude A besarnya sama untuk kedua gelombang tersebut. Bentuk resultante gelombang (dengan segera) ditemukan dengan adanya superposisi dari komponen gelombang seperti yang terlihat dalam gambar-9. (Dengan catatan bahwa gambar-9 merupakan pemotretan komponen gelombang dan resultantenya sebagai fungsi perpindahan sepanjang aeah rambatan gelombang. Bentuk ini kelihatannya sama dengan gambar-3, tetapi sebenarnya tidak sama, yang menunjukkan komponen dan resultante getaran padasatu titik sebagai fungsi waktu). Gerak bolak-balik dari konstruktif dan destruktif pada inetrferensi pada masing-masing gelombang, menghasilkan sampul gelombang yang bervariasi. Pada waktu energi pada getaran sederhana dari ossilator sama dengan amplitude getaran, energi itu akan dibawa oleh resultante gelombang yang terpusat pada amplitudo pada sampul gelombang adalah besar. Jadi kecepatan ketika terjadi perpindahan energi gelombang melalui medium sama dengan kecepatan pada sampul gelombang berikutnya. Pada kecepatan komponen gelombang yang sama, kece[atan sampul gelombang (disebut kecepatan grup) besarnya sama dengan kecepatan fase dari setiap komponen gelombang. Yang dimaksud dengan kecepatan fase adalah kecepatan titik pad afase yang tetap dalam gelombang misalnya pada puncak, yang berjalan sepanjang arah rambatan. Dengan pengertian
v
k
Untuk frekuensi , panjang gelombang , frekuensi anguler bilangan gelombang
k
2
2 ,
dan
.
Pada waktu gelombang dari berbagai frekuensi mempunyai kecepatan fase yang sama, simpangan puncak gelombang yang satu sama dengan simpangan puncak gelombang yang lain, atau sama dengan resultantenya.
Pendahuluan
17
Pertimbangan yang kedua, jika gelombang-gelombang sinusoidal yang frekuensinya berbeda merambat pada medium dan arah yang sama, tetapi kecepatan fase berbeda : V 1
1 1
1
dan
k 1
1
y
V 2
2 2
2
2 k 2
v
1
v
x
y
2
selubung v
x
Gambar-9: Dua buah gelombang monokhromatik pada frekuensi yang berbeda dan resultannya
Medium seperti ini menunjukkan adanya hamburan. Salah satu contoh bentuk hamburan adalah ketika cahaya putih polikromatik melalui medium pembias. Cahaya violet, biru dan hijau merambat melalui prisma kaca dengan kecepatan yang lebih rendah daripada cahaya kuning, oranye atau merah, karena indeks bais kaca untuk cahaya violet lebih besar daripada cahaya biru, indeks bias kaca untuk cahaya biru lebih besar daripada cahaya hijau dan seterusnya. Akibatnya cahaya putih yang merambat melalui prisma kaca akan diuraikan ke dalam spektrum dengan ujung-ujungnya warna violet dan warna merah. Adalah mudah untuk mengetahui kecepatan grup v gr , yang besarnya berbeda dengan kecepatan afse di dalam medium pengurai. Sebab salah satu dari dua grup gelombang dengan frekuensi yang berbeda akan merambat lebih cepat daripada yang lainnya, berjalanya puncak pada gelombang yang satu tidak sama dengan berjalannya puncak pada gelombang yang lain, dan tempat perubahan interferensi yang kuat merupakan gain gelombang yang satu terhadap lainnya. Resultante sampul gelombang hanya sebentar dan terletak
Pendahuluan
18
pada komponen gelombang yang lain. Seperti yang ditunjukkan pada gambar10, dalam waktu t sebuah puncak gelombang dengan ferkuensi tiap titik yang lain dengan fase yang tetap), merambat sejauh gelombang yang lain merambat sejauh
v2 t .
1
v1t ,
(atau pada
dan puncak
Sehingga pada waktu yang sama
terjadi perubahan sampul gelombang sebesar v gr t .
v1t v
1
v 2 t v
2
v gr t v gr
Gambar-10: Sebuah gelombang merambat pada kecepatan fase v 1, gelombang monokhromatik ke dua dengan frekuensi yang berbeda merambat pada kecepatan fase v 2 , dan selubung resultan ke dua gelombang merambat dengan kecepatan v gr .
Suatu gelombang sinusoidal tunggal yang merambat sepanjang sumbu x positif dapat dinyatakan dengan:
A sin 2 vt Selanjutnay
perpindahan
x
A sin t kx
resultante
y pada dua gelombang yang telah
dinyatakan di atas merupakan fungsi dari x dan t dengan :
y A sin 1t k 1 x A sin 2t k 2t
(12)
Dengan mempergunakan persamaan trigonometri: sin
sin 2 cos
2
sin
2
Dapat ditulis kembali resultante gelombang dalam bentuk:
k k 2 k k 2 1 2 2 t 1 x sin 1 t 1 2 2 2 2
y 2 A cos Kalau
pada
komponen
gelombang
itu
frekuensi
gelombangnya berbeda, dpat diulis jumlahnya sebagai :
anguler
dan
x (13)
bialngan
Pendahuluan
19
Dimana
1 2
dan k
2
k 1 k 2
2
(14)
dan k adalah harga rata-rata. Juga dapat ditulis perbedaan sebagai
berikut : d
1
2 dan
dk
k 1
k 2
(15)
Dengan mempergunakan persamaan (14) dan (15), ditulis persamaan dalam bentuk yang sederhana
d dk t x sin t kx 2 2
y 2 A cos
(16)
Persamaan resultante gelombang meliputi dua buah factor. Pertama (dalam kurung), menggambarkan sampul gelombang, dan yang kedua menggambarkan kecepatan fase rata-rata dari komponen gelombang yang merambat, V f
k
.
Kecepatan grup adalah kecepatan dari sampul gelombang dan ditemukan sebagai kasus dari kecepatan fase, yang diambil dari koofisien pembandingan antara t dan x . Jadi :
d
V gr
V f
dk
k
(17)
Kecepatan grup diturunkan dari merupakan perbandingan antara
V gr
d v f k dk
terhadap k , dimana kecepatan fase
dengan k . Menulis
V f k
d v f dk
sebagai V f k , maka :
(18)
Jika kecepatan fase untuk semua frekuensi adalah sama, dan
dV f dk
0,
kecepatan fase sama dengan kecepatan grup. Tetapi untuk suatu medium dalam mana frekuensi bergantung pada kecepatan fase, maka kecepatan grup lebih besar dari pada kecepatan fase ketika daripada kecepatan fase ketika
dV f dk
dV f dk
0. -oOo-
0,
dan kecepatan grup lebih kecil
Pendahuluan
20
BAB I TEORI RELATIVITAS KHUSUS lbert
Einstein (1879-1855,
warga Jerman Amirika Serikat) Seorang filsuf pecinta damai yang ramah. Guru intelektual bagi dua generasi fisikawan teori yang meninggalkan sidik karyanya dalam hampir setiap bidang kajian fisika modern
Pada bab ini akan dibahas tentang implementasi dari azas-azas relativitas khusus Einstein yang meliputi alih bentuk kecepatan, kontraksi panjang, delatasi waktu, dan tentang massa relativistik, kesetaraan massa dan tenaga, serta hubungan antara tenaga dan momentum untuk partikel yang bergerak dengan kecepatan tinggi.
Kompetensi dasar dan Idikator Memahami penerapkan asas-asas relatifitas khusus Einstein pada gejala dan fenomena fisika, dengan indikator:: o
menunjukkan penerapan yang tepat dari alih bentuk Gali0
o
menerapkan alih bentuk Lorentz pada kinematikarelativistik
o
menghitung perbedaan hasil pengamatan besaran kecepatan dari dua kerangka kelembaman yang saling bergerak
o
menghitung perbedaan hasil pengamatan besaran selang waktu dari dua kerangka kelembaman yang saling bergerak
o
menghitung perbedaan hasil pengamatan besaran spanjang dari dua kerangka kelembaman yang saling bergerak
o
menghitung kesetaraan massa dan tenaga
o
menyusun bahan sajian berbasis computer sesuai dengan kurikulum SMA/MA
o
menususn alat evaluasi sesuai dengan bahan sajian
.
1.1
Perumusan Azas-azas Relativitas Khusus
a).
Azas ke Nol: Azas Korespondensi
Pendahuluan
21
Untuk kelajuan rendah/pusa rendah konsep-konsep dan hukum-hukum
relativistik harus sesuai dengan konsep-konsep dan hukum-hukum Newton (non relativistik: v<
Azas Pertama: Azas Kovariansi Semua hukum fisika tetap bentuknya (kovarian) terhadap perpindahan peninjauan dari kerangka inersial yang satu ke kerangka inersial lain yang saling bergerak dengan kecepatan tetap.
c).
Azas ke Dua: Menghadirkan c sebagai tetapan alam yang baku dalam teori relativitas khusus. Laju maksimal yang dapat dimiliki oleh wujud fisis/isyarat, terbatas nilainya dengan nilai batas invarian (tak bergantung nilainya) terhadap pilihan kerangka inersial sebagai akibat azas pertama. Nilai batas ini=c dimiliki oleh kelajuan cahaya/gelombang elektromagnetik dalam hampa.
1.2. Kinematika Relativistik a).
Alihbentuk Galilea Ditinjau dua kerangka inersial O dan O’ yang bergerak terhadap O dengan
kecepatan tetap sebesar V pada arah sumbu x , seperti pada Gambar 1.1 Dalam alihbentuk Galilea skala waktu adalah mutlak. Artinya skala waktu tidak benrubah untuk dua kerangka inersial yang saling bergerak dengan kecepatan tetap
y’ y
V
O’
x’
O
x z’
z Gambar 1.1
Saat t =0
Setelah t tidak nol
Pendahuluan
22
'
x' x
x
y '
y
y
z ' z
z
t
'
'
'
0
t
x
vt
y
tnasformasi balik
x
x'vt '
y
y
'
'
z
z z
t
t t
'
Dimisalkan dari kedua kerangka inersial O dan O’ diamati sumber cahaya titik yang rehat terhadap kerangka inersial O, sehingga laju dari rambatan gelombang cahaya ke segala arah adalah sama yaitu sebesar c (laju cahaya dalam hampa). Rambatan cahaya tesebut menghasilkan fron gelombang yang berbentuk bola, yang menurut kerangka inersial O dinyatakan sebagai
x 2 y 2 z 2 c 2 t 2 0
(1-1)
sedangkan menurut kerangka inersial O’ dinyatakan dalam persamaan
x' 2 y ' 2 z ' 2 c 2t ' 2 0
(1-2)
Bila digunakan alihbentuk Galilea, pers. (!-2) bentuknya menjadi
( x vt ) 2 y 2 z 2 c 2 t 2 0
(1-3)
Hasil tranformasi seperti pers. (1-3) ternyata tidak identik dengan pers (11), hal ini menunjukkan tidak sesuai dengan azas pertama (azas kovriansi.). Pers. (1-3) tidak lagi menyatakan betuk persamaan bola, juga menunjukkan bahwa hasil tranformasi ini tidak memenuhi azas ke dua
b).
Alihbentuk Lorentz. Untuk gerak dengan kecepatan yang besarnya mendekati c , oleh Einstein
disarankan menggunakan tranformasi Lorentz. Seperti pada dua kerangka inersial yang dilukiskan secara skematik pada Gambar 1.1, yaitu
x' k x
y ' y
z ' z
vt
x k x vt '
atau y
y
'
'
(1-4)
z z
'
faktor k sama untuk kedua kerangka inersial. Eliminasikan x’ dari dua hubungan di atas
x k k x vt vt ' atau
x 1 t ' k 2 1 t v k Untuk fron gelombang bola yang menurut kerangka inersial O dinyatakan dalam pers, (1-1), dan dari kerangka inersial O’ dinyatakan dalam pers. (1 -2), bila
Pendahuluan
23
ke dalam pers. (1-2) dilakukan substitusi diperoleh hubungan seperti pada pers. (1-5)
x' k x vt ; y' y; z ' z ; dan
x 1 2 1 t v k
t ' k
(1-5)
maka akan diperoleh
x ' 2 y ' 2 z ' 2 c 2 t ' 2
x 1 1 t k x vt y z c k v k 2
2
2
2
2
2
2
2
yang kemudian dapat disusun seperti berikut
c k 1 2c k 1 1 x 2vk 1 xt y x k v k v k c k v k t 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Apabila persamaan tersebut harus sama dengan pers. (1-1), maka koefisien dari x 2 harus sama dengan 1, koefisien ( xt ) harus sama dengan 0, dan koefisien dari t 2 harus sama dengan c 2 , sehingga bila diambil bagian terakhir 2
c k
2
2
v k
2
1
k
v c
2
c
2
maka diperoleh
(1-6)
1
nilai k tersebut juga cocok bila digunakan untuk mengevaluasi koefisien dari ( xt ) dan x 2 dan diperoleh berturut-turut 0 dan 1 Penggabungan pers. (1-6) dengan pers. (1-4) diperoleh rumusan Alihbentuk Lorentz sebagai berikut
x' k x vt
x k x'vt '
y ' y
y y '
z ' z
atau z z '
t ' k t
c).
vx
c 2
Alihbentuk Kecepatan
t k t '
vx'
c 2
(1-7)
Pendahuluan
24
Misalkan pada dua kerangka inersial seperti pada Gambar 1.1 diamati sebuah benda yang bergerak. Menurut pengamat di kerangka O kecepatannya sebesar U sedangkan menurut kerangan O’ adalah U’ maka berdasarkan pers. (1-7) adalah U
dx
dx'
U '
U
dt '
U
1
d).
dan
dt
dx dt v U v vdx vdx dt 1 vU k dt 1 k dx vdt
v
vU
c
c
2
c
2
c
2
(1-8)
2
Kontraksi Panjang Suatu batang yang rehat terhadap kerangka inersial O diamati panjangnya
L0 , bila diamati dari kerangka inersial O’ yang bergerak terhadap kerangka O dengan kecepatan tetap v dalam arah sumbu x adalah L, perhatikan Gambar 1.2
y’ v’
y O’ O
x’ x
z’
z Gambar 1.2
Pada kerangka O untuk menentukan nilai Lo dilakukan pengkukuran x 1 pada saat t 1 dan x 2 pada saat t 2 sehingga Lo x2 x1 , sedangkan pada kerangka O’ untuk menentukan nilai L dilakukan pengkukuran x’ 1 pada saat t’ 1 dan x’ 2 pada saat t’ 2 sehingga L
x' 2
x'1 ,
Karena tongkat rehat terhadap kerangka O, maka '
dengan t 2 , tetapi untuk kerangka O harus terpenuhi t '1 sehingga
x1 k x'1 vt '1
t 1
t ' 2
,
tidak harus sama
Pendahuluan
25
x2 k x' 2 vt ' 2 x2 x1 L
1
k
k x' 2 vt '2 k x'1 vt '1 k x'2 x'1 jadi
Lo
(1-9)
karena k >1 maka L Lo dan pers. (1-9) merupakan persamaam kontraksi Panjang
d).
Delatasi Waktu Suatu lilin yang rehat terhadap kerangka inersial O diamati lamanya nyala
lilin To, bila diamati dari kerangka inersial O’ yang bergerak terhadap kerangka O dengan kecepatan tetap v dalam arah sumbu x adalah T , perhatikan Gambar 1.3 Menurut kerangka O lilin mulai menyala pada saat saat
t 2
di
x
2
, lilin menyala selama To
t 2
t 1 .
x
2
sedangkan
x
1
x'
2
di
x
1
, dan padam
Menurut kerangka O’ lilin mulai
menyala pada saat t '1 di x '1 , dan padam saat t ' 2 di T t ' 2 t '1 . Dalam hal ini
t 1
x'1
x'
2
, lilin menyala selama
. Jadi dengan mnggunakan
alihbentuk Lorentz seperti pada pers. (1-8) akan diperoleh sebagai berikut
y’ v’
y
x’
O’ O
x z’
z
Gambar 1.3
t '1 k t 1
vx1
t ' 2 k t 2
c 2
vx 2
c 2
t ' 2 t '1 k t 2
vx2
vx1 k t 1 2 jadi c 2 c
Pendahuluan
26
T
kTo
(1-10)
karena k >1 maka T To dan pers. (1-10) merupakan persamaam delatasi waktu
Contoh Berapa besar kecepatan muon harus bergerak munuju permukaan bumi dari ketinggian 100km agar masih berupa muon ketika tiba di permukaan bumi (umur rata-rata muon=2x10 -6s) Penyelesaian Dimisalkan muon bergerak dengan laju mendekati c=3x108ms-1.Untuk menempuh jarak 100km paling tidak dibutuhkan waktumenurut pengamat di luar muon sebesar T’ =100x10 3/3x108 3x10-4s
T '
T
v c
2 x10
4
2
3 x10
6
v c
1
2
x 0,99998c
1
1.3. Dinamika Relativistik a).
Massa Relativistik Dua buah bola A dan B yang identik dengan massa m A=mB dilempar dari
dua kerangka kelembaman O di A dan kerangka kel;embaman O’ di B dalam arah sumbu y . Kedua kerangka kelembaman saling bergerak menurut arah sumbu x seperti yang dilukiskan pada gambar 1.4 Bagi pengamat di O : Bola A dilempar dengan kecepatan kecepatan
v A , dan ditangkap kembali dengan
v A
Bola B dilempar dengan kecepatan
v , dan ditangkap kembali dengan B
kecepatan v B Kedua bola bertumbukkan lenting sempurna Menurut hokum kekekalan momentum
m Av A m B v B m Av A m B v B 2m Av A 2m B v B m A v A m B v B
Pendahuluan
27
m A m0 bagi pengamat di O bola dilempar dan ditangkap pada tempat yang sama ( relative tidak bergerak terhadap pengamat dalam arah sumbu x ) m B
m bagi pengamat di O bola dilempar dan ditangkap pada tempat yang
berbeda (bergerak terhadap pengamat dalam arah sumbu x )
y’ v’
y
x’
O’ O
x z’
z
Gambar 1.4
v A
m0
y
dan
T 0
y T 0
m
y T
m
v B
y T
karena m Av A
sehingga m
T T 0
m0
m B v B
m
maka
kT 0 T 0
m0 diperoleh
km0
(1-11)
Pers. (1-11) menyatakan persamaan massa relativistic. Kemudian massa rehat dan
b).
m
m
0
disebut
disebut massa relativistik
Kesetaraan Massa dan Tenaga Untuk benda yang bergerak memiliki pusa ( momentum)
p mv km0 v
m0 v
v c
1
2
(1-12)
Pendahuluan
F
dp
28
d
dt
dt
km v 0
s
E k
s
Fds 0
0
kv
d dt
km v ds m 0
0
v
vd kv m vvdk kdv 0
0
0
v
E k
m0 v 2 dk kvdv 0
2
k
c
1
1
v
2
c
2
c
2
v
2
2
2
k c
2
k v
2
c
2kc 2 dk (2kv 2 dk 2k 2 vdv) 0 2k (c kvdv (c
v
2
E k
m0 v
2
)dk 2k (kvdv)
k
dk c
2
v
dk m c dk
2
2
0
1
E k
v
)dk
k
2
2
1
m0c 2 k 1 km0c 2 m0c 2 mc 2 m0c E k
E K
m0 c
2
k
(1-13)
1
pada pers. (1-13) menyatakan rumusan tenaga gerak menurut relativitas
khusus E E pada
2
(1-14)
pers. (1-14) menyatakan rumusan tenaga total E 0
E 0
mc
m0 c
2
(1-15)
pada pers. (1-15) menyatakan rumusan tenaga rehat
Jadi E E 0
E K
(1-16)
Kembali ke pers.(1-12): p mv km0 v 2
p c
2
2
2
2
k m0 c v
2
2
p 2 c 2 k 2 m0 c 2 1 2
2
p c
2
2
E
k m0 c
2 2
v2 c2
1
km c k 0
2
2
E 0
2
atau
2
E
m c 2
2
2
0
2
E 0
2
2
p c
(1-17)
Pendahuluan
29
Pers. (1-17) menyatakan hubungan antara tenaga dan pusa dari partikel yang bergerak
Contoh: Andaiakan sebuah lampu pijar 100W dan catu dayanya diletakkan dalam selubung tembus cahaya dan digantungkanpada timbangan yang sangat peka. Hitung perubahan massa yang tejadi pada lampu bila menyala selama 1 tahun. Penyelesaian Waktu 1 tahun
x10
x10 E 0 100 x
7
7
s. Tenaga yang diradiasikan lampu dalam 1 tahun
3x10
9
J
E 0 m 0 c
c).
2
m 0
E 0 c
2
3x10
8
kg
Penyelesaian altrenatif Terdapat penyelesaian alternative dalam menjelaskan dinamika relativistik
tanpa menggunakan konsep massa relativistik , yaitu sebagai berikut.
d p
Hukum dinamika
dt
F diangkatbdari Hukum II Newton, lewat Azas ke
Nol dengan perluasan p mv untuk (v c)
F .d r
Fds cos
dW F
dE
Jadi
dE
d p dt
.d r
d r
d p.
dt
v .d p
(1-18)
Untuk gerak 1 dimensi
v // d p dE vdp
(1-19)
Apabila pers. (1-18) diterapkan pada cahaya v=c yang invarian dan tetap terhadap semua kerangka inersial maka
E cahaya dE c dp E pc C (konstan ) pada p=0, E=E 0 (tenaga rehat) sehingga C(konstan)= E 0, dan untuk cahaya yang takpernah rehat E 0= 0 jadi
p 2 c 2 E 2 untuk v c
(1-20)
Untuk sistem lain misalnya zarah mermassa m (dalam mekanika Newton)
Pendahuluan
E 0 0 E k
1 2
30
secara
mv
2
dan
E E 0 E k
umum
E k
p mv sehingga
p 2
menurut
2m
2mE k
Newton
(v<
p 2 ,
jadi untuk kelajuan ekstrim berlaku
2mE k 2m E E 0 v c p E E 2 0 vc 2 c 2
atau secara umum dapat dituliskan sebagai fungsi analitik dari E dalam bentuk deret pangkat Taylor
p
2
a0
a1 E E 0 a2 E E 0 ........ 2
Melihat bentuk asimtot baik v< > Maka
a
0
0; a1
1
2m; a 2
c
2
; a3
0
sehingga diperoleh kaitan dispersi
p
2
2m E E 0
E E
2
0
untuk 0 v c
c2
(1-21)
E k p 2mE k diambil derivatif ke E k maka c p p p p x y z 2
2
atau
2
2
2 p x
dp x dE k
2 p
2
2 p y
dp dE k
2
dp y dE k
2m
2 p z
dp z dE k
2m
2 E k
c2
2 E k
c2
p .d p dE k E k m c dE k v.d p
(1-22)
2
kuadrat dari pers.(1-22) dan melihat penyederhanaan pers.(1-21) diperoleh
2 E k E k 1 p m v mc m c E k 2 p mE k c 2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
maka
Pendahuluan
31
mv 2 2 E k
m v 2
2
m v
2
E k
c 2
m v
c
bila dikalikan dengan
v c
m 2v 2c 2 1
v
c 2
c2
2
2mE k
4
E k v 1 c c 2
2 2
mv 2 E k c
2
2mE k
2 2
2
E k 2
2mc
2
E k
c2
m 2v 2c 2 1 v
2
c
p 2 c 2 sehingga
2
p
2
E k 2
2
1
diperoleh
2
2
2mE k
c4
v E k
v 1 c
2
c2 2
2
v 2 E k 2
mv
2
1 v
c
2
mv
(1-23)
Pers. (1-23) menyatakan rumus pusa linier dengan
1
1 untuk v c k 1 p mv memenuhi Azas
1 v2 c2
Korespondensi
E 2mc E k 2 k
2
m 2v 2c
1 v2 c2
(1-24)
dapat dituliskan dalam bentuk persamaan kuadrat dalam E k seperti berikut 2
2
2
E k 2mc E k
2
m v c
1 v2
2
c
2
E k E k
0 karena harus dipenuhi
2mc 2 2 2mc 2 2
E k mc 2
1 2
1 2
4m c 4
E k
0 maka dapat dihitung
4m 2 c 2 v 2 1 v2 c2
4m 2 c 4 4m 2 c 2 v 2 4m 2 c 2 v 2 1 v2 c2 mc 2
1 v c 2
2
E 0 E
atau
Pendahuluan
32
E mc 2 (tenaga rehat) 0 2 mc mc 2 (tenaga total) E 1 v2 c2 2 E k k 1mc (tenaga gerak)
(1-25)
Pers. (1-25) menyatakan rumus massa dan tenaga Dengan memasukkan E k E E 0 pada pers. (1-17) dapat dituliskan 2
p c 2
E
2
2mc
2
E 0
2
E E E
2
0
2
2 EE 0
2
E 0
2
E
2
E 0 atau
2
p c
(1-26)
Bentuk alihbentuk Lorentz untuk tenaga total dan pusa linier dari kerangka inersial O ke kerangka inersial O” yang bergerak dengan kecerpatan tetap pada arah komponen sumbu x adalah
P x' k P x v
E
' ' ; P y P y ; P z P z c 2
(1-27)
E ' k E vP x
Latihan 1. Dalam teori relativitas tenaga gerak benda dinyatakan dalam persamaan
1 2. E k 1mc 2 2 1 v 2 c Buktikan bawa unut gerak dengan laju gerak menjadi E k
1 2
v c
bentuk persamaan tenaga
mv 2
3. Di suatu tempat pada jarak 1,5x1011m, intensitas radiasi matahari adalah sekitar 1,4x103Wm-2. Hitung laju berkurangnya massa matahari 4. Hitunglah tenaga gerak suatu partikel dengan massa rehat m 0 yang bergerak sehingga massanya menjadi dua kali. (c=laju rambat cahaya dalam hampa).
Rangkuman
Pendahuluan
33
Alihbentuk Lorentz sebagai berikut
x ' k x vt
x k x 'vt '
y ' y
y y '
z ' z
atau z z '
t ' k t
vx
t k t '
c 2
1-7)
vx'
c 2
Alihbentuk Kecepatan U
U
1
v
(1-8)
vU
c
2
Kontraksi Panjang L
1
k
Lo
(1-9)
Delatasi Waktu T
kTo
(1-10)
km0
(1-11)
Massa Relativistik m
Kesetaraan Massa dan Tenaga
m0 v
p mv km0 v
v c
2
(1-12)
1
E k m0 c 2 k 1 E
mc
p 2 c 2
2
(1-13)
E 2 E 02
(1-14) atau
E 2
E 02
p 2 c 2
(1-17)
Evaluasi Kerjakan soal berikut 1. Si A di bumi duduk selama 2 jam, si B naik pesawat ruang angkasa yang bergerak lurus dengan kelajuan 0,6 c . Hitung berapa lama si A duduk menurut pengamatan si B!
Pendahuluan
34
2. Dua buah pesawat bergerak berlawanan arah. Kelajuan pesawat I 0,25 c , kelajuan pesawat II 0,75c, Tentukan besar dan arah kecepatan relatif pesawat I terhadap pesawat II ! 3.
Suatu benda semula dalam keadaan rehat, kemudian meledak menjadi dua bagian yang masing-masing bermassa rehat 1kg dan bergerak saling menjauhi dengan kelajuan masing-masing 0,6 c . Berapa massa rehat benda semula?
4. Suatu partikel dengan massa rehat m0 bergerak sehingga massanya menjadi dua kali. (c =laju rambat cahaya dalam hampa). Berapakah tenaga gerak dari partikel tersebut? 5. Setiap detik di matahari terjadi perubahan 4x10 9kg materi menjadi tenaga radiasi (c =3x108ms-1), Hitung daya yang dipancarkan oleh matahari! 6. Dua buah pesawat masing-masing bergerak sejajar berlawanan arah. Besar kecepatan pesawat I
1 4
c dan besar kecepatan pesawat II
3 4
c. Hitung besar
kecepatan pesawat II relative terhadap pesawat I ! 7. Sebuah gedung setinggi 50m diamati oleh seorang dalam pesawat yang bergerak vertikal dengan kecepatan sebesar
2 3
8
3.10
m.s-1. Hjitung tinggi
gedung menurut perhitungan pengamat! 8.
Sebuah pesawat ruang angkasa mendekati bumi dengan laju 0,4 c menembakkan sebuah roket ke arah bumi dengan laju 0,8 c relatif terhadap pesawat. Hitung laju roket menurut acuan di bumi.
9.
Hitung prosentase perbedaan perhitungan antara mekanika newton dengan relativistik untuk pusa (momentum) dari sebuah meteor yang mencapai bumi dengan laju 72 km.s -1.
10. Sebuah elektron memiliki tenaga rehat 0,51 MeV. Jika electron tersebut bergerak dengan laju 0,8c , hitunglah massa, pusa, dan tenaga totalnya. -oOo-
Pendahuluan
35
BAB II GEJALA KUANTISASI Max
Planck
(1858-1947, warga Jerman). Karyanya dalam distribusi spectrum radiasi, yang membuka jalan ke teori kuantum, mendapat penganugrahan hadiah Nobel d tahun 1918. Dalam tahun-tahun terakhirnya, banyak menulis tentang agama dan filsafat
Dalam bab ini dibahas tentang muncullnya hipotesis Planck tentang kuantisasi tenaga pada radiasi benda hitam. Didasarkan pada hipotesisi Plack dihasilkan rumusan-rumusan radiasi tenaga yang sesuai dengan fakta empirik. Juga dibahas bagaimana hipotesis Einstein tentang kuantum cahaya dapat menjelaskan fakta empirik gejala foto listrik yang diklarifikasi melalui percibaab Milikan
Kompetensi dan Indikator Menjelaskan gejala-gejala kuantisasi tenaga radiasi, dengan indikator o
membuktikan kebenaran teori Planck dalam menjelaskan radiasi benda hitam
o
menunjukkan kelebihan hipotesisi Einstein tentang kuantum cahaya dalam menjelaskan gejala fotolistrik
o
memecahkan soal-soal yang terkait dengan gejala kuantisasi
o
menyusun bahab sajian sesuai dengan materi fisika SMA/MA
o
menyusun alat evaluasi sesuia dengan bahan sajian
2.1. Radiasi Benda Hitam Salah satu hukum radiasi yang telah dikenal sejak lama adalah hukum yang ditemukan oleh Stefan berdasarkan hasil pengukuran Tyndall pada kawat platina pijar, yang kemudian dijabarkan secara teori oleh Boltzman tentang tenaga total radiasi yang dipancarkan dalam seluruh spektrum. Untuk benda hitam dituliskan dalam rumusan 4 R T (2-1) dengan: R = tenaga radiasi yang dipancarkan per satuan luas per satuan waktu
Pendahuluan
36
= tetapan Stefan-Boltzman yang besarnya 5,67x10 -8 watt m-2 K-4
T= suhu benda hitam. Tenaga yang dipancarkan dalam tiap bagian dari spektrum kemudian diselidiki oleh Wien sehingga diperoleh agihan spektral dari rapat tenaga radiasi dari benda hitam yang dinyatakan dalam rumus yang dikenal dengan rumus pergeseran Wien (2-2) mT 2,9 x10 3 m K , mT tetapan
dengan: = panjang gelombang spektral dengan intensitas radiasi maksimum m
T = suhu benda yang memancarkan tenaga radiasi Benda hitam yang dimaksud adalah benda yang menyerap seluruh radiasi yang
datang
bila
suhunya
lebih
rendah
dari
suhu
sekelilingnya,
dan
memancarkan seluruh tenaga radiasinya bila suhunya lebih tinggi dari suhu sekelilingnya. Dari sifat-sifat benda hitam seperti tersebut maka benda hitam sempurna dapat dipandang sebagai rongga yang berisi gelombang-gelombang elektromagnet. Untuk mempermudah pembahasan dianggap rongga tersebut berbentuk kubus dengan rusuk a, dan didalamnya ditinjau penjalaran suatu gelombang datar dari gelombang elektromagnet yang arah normalnya berturut-turut membentuk sudut , , dan terhadap sumbu x, y , dan z seperti yang dilukiskan pada Gambar 2.1 Bila laju rambat gelombang adalah c , maka sepanjang rusuk kubus dalam arah sumbu koordinat masing-masing adalah c cos , c cos , dan c cos dan terpantul diantara dua dinding yang berhadapan. Syarat terjadinya gelombang stasioner pada setiap rusuk harus berisi kelipatan bulat dari setengah panjang gelombang, jadi Pada arah sumbu x :
a n1
x 2
x
cos
a cos n1 2
Pada arah sumbu y : a
n2
y 2
y
cos
a cos n 2
2
Pada arah sumbu z :
a n3
z 2
z
cos
a cos n3 2
Pendahuluan
37
a
2
n
cos 2
1
2
cos 2 cos 2
2
2
n2 n3
2
2
2
2
n1 n2 n3
2
2
2
a
(2-3)
z a
y
x Gambar 2.1 Model benda hitam
Hal ini mengandung arti bahwa tiap pasangan bilangan bulat positif ( n1, n2 , dan n3) yang memenuhi pers. (2-3) sesuai dengan gelombang elektromagnetik yang stasioner dengan panjang gelombang dalam rongga tersebut. Cacah titik yang memenuhi syarat untuk dilewati gelombang stasioner yang panjang gelombangnya antara dan ( +d ) yang mungkin dalam rongga dapat ditentukan dengan meninjau sebuah oktan (seperdelapan ruang) yang dibatasi oleh bidang-bidang melalui sumbu n1 , n2 , dan n3 seperti pada Gambar 2.2 n3
dr r o
Gambar 2.2
Titik-titik yang terletak pada jarak n1
r
n2
2a sesuai dengan cara-cara getar
dari gelonmbang stasioner yang panjang gelombangnya . Jadi pada kulit bola 2 yang volumenya 1 84 r dr terdapat titik-titik representatif yang sesuai dengan cara getar gelombang stasioner yang panjang gelombangnya terletak antara dan ( +d ). Bila dalam rongga kubus pada setiap satuan volume terdapat satu titik representatif, maka cacah titik yang memenuhi syarat untuk dilalui gelombang stasioner dalam rongga kubus adalah dZ 12 8a 3 4 d (2-4)
Setiap gelombang elektromagnetik memiliki dua buah arah polarisasi, sehingga cacah gelombang elektromagnetik dalam kubus dapat ditentukan
Pendahuluan
38
N d 8 a 3 4 d
(2-5)
N d menyatakan cacah gelombang dengan panjang gelombang dan ( +d ). dengan menggunakan hubungan c , pers.(2-5) dapat ditulis dalam bentuk
N d
3
2
8 a
3
c d
(2-6)
N d menyatakan cacah gelombang dengan frekuensi antara dan ( +d ) a).
Teori klasik dari Rayleigh-Jeans Menurut teori klasik dan hukum ekipartisi pada teori kinetik gas, setiap derajat kebebasan dari suatu sistem mekanik memiliki tenaga rerata 12 kT , dengan k adalah tetapan Boltzman=1,38x10 -23 J/derajat, T adalah suhu. Tenaga getar vibrator terdiri dari tenaga gerak dan tenaga potensial yang nilai reratanya sama, sehingga tenaga radtiasi yang dibawa oleh gelombang stasioner dengan panjang gelombang antara dan ( +d ) berdasar pada pers. (2-5) adalah 3 4 (2-7) E d 8 a kT d dan rapat tenaga radiasi yang terdapat dalam rongga kubus isoterm adalah
d 8 kT 4 d
(2-8) 8 kT 4 Pers. (2-8) kemudian disebut rumus rapat tenaga radiasi benda hitam dari Rayleigh-Jeans. Rumusan ini tidak sesuai dengan kenyataan empirik karena tidak menunjukkan adanya nilai maksimum dari ( ), dan pada 0 , nilai ini mengakibatkan pada daerah ultra violet besar tenaga radiasinya tak berhingga, Justru dalam kenyataan untuk 0 diperoleh nilai 0 . Dengan demikian teori klasik belum dapat menerangkan dengan benar tentang fenomena radiasi benda hitam. Hanya pada yang panjang saja rumus Rayleigh-Jeans sesuai dengan kenyataan empirik
Gambar di samping, menunjukkan bahwa pada daerah panjang gelombang yang panjang rumus Rayleigh-Jean klasik meng-hasilkan kurva ramalan yang tampak meng-hampiri data engamatan, tetapi pada daerah panjang elombang pendek, rumusan klasik ternyata sama sekali gagal b).
Teori kuantum Planck Planck mengemukakan suatu hipotesis yang menyatakan bahwa vobratorvibrator yang frekuensinya hanya mungkin memiliki tenaga sebesar kelipatan bulat dari catu keunsuran (kuanta) tenaga sebesar h . Jadi tenaga yang di pancarkan oleh vibrator E n nh
Tenaga rerata gelombang elektromagnetik dalam rongga yang dianggap sebagai vibrator denganm frekuensi adalah
Pendahuluan
39
E
E N E N E n
n
n
menyatakan cacah vibrator yang bertenaga
N E n
statistik Maxwell-Boltzman dinyatakan = e
nh e E
E n
/ kT
E n, yang menurut agihan
, jadi
nh / kT
n0
e
nh / kT
n0
dimisalkan maka
e
h / kT
E
x
0 h x 2h x 2 3h x 3 .........
1 x x 2 x 3 ...................... 1 2 x 3 x 2 ......................... E h x 1 x x 2 x 3 ....................... dengan menggunakan penyelesaian deret tak berhingga diperoleh E
E
h x
1 1 x
h x h 1 x 1 x 1 1 1 x
h
e
h / kT
1
2
(2-9)
Dari pers. (2-6) dan pers. (2-9) tenaga yang dibawa oleh vibrator dengan frekuensi antara dan ( +d ) dapat ditentukan yaitu
E d
E d
8 a 3
2
/c
8 a hc / 3
3
h
e
h / kT
1
1
d
d
5
e
hc / kT
Jadi rapat tenaga radiasi
( )d
8 hc
( ) 8 hc 5
5
d
e
hc / kT
1
e
hc / kT
1
1 (2-10)
Pers. (2-10) menyatakan rumus radiasi benda hitam dari Planck, dan memberikan hasil perhitungan yang sesuai dengan fakta pengukuran dalam ujikaji. Untuk 0 juga diproleh 0 ini sesuai dengan rumusan Wien. Bila , maka fungsi eksponensial dari ruas kana padapers. (2-10) dapat diperluas menjadi deret tak berhingga dan pada akhirnya diperoleh bentuk seperti rumusan Rayleigh-Jeans. Selajutnya bila pers. (2-10) tersebut di integralkan akan diperoleh bentuk rumusan Stefan-Boltzman. c). 1).
Perluasan rumus radiasi benda hitam dari Planck Untuk panjang gelombang panjang
Pendahuluan
40
Dari pers. (2-10), hc kT
( ) 8 hc
x sehingga e
hc / kT
e
x
1
x 1!
x
2
2!
....
1 5 hc / kT 2 hc / kT 1 .......... . 1 . 2!
untuk nilai yang besar, maka suku
hc / kT
2
dapat diabaikan sehingga
2!
kT hc
( ) 8 hc 5
(2-11) ( ) 8 kT 4 Pers. (2-11) sesuai dengan pers. (2-8) yaitu rumus radiasi benda hitam dari Rayleigh-Jeans.
2).
Untuk panjang gelombang pendek. hc / kT Untuk yang bernilai kecil, maka e pada pers. (2-10) menjadi jauh
lebih besar dari nilai 1, sehingga e hc / kT menjadi ( ) 8 hc 5 e hc / kT
1 e
hc / kT
dan pers.(2-10) (2-12)
Untuk menentukan (panjang gelombang spektral yang memiliki rapat m
d
radiasi maksimum), pada pers. (2-12) harus dimasukan syarat
d
0,
sehingga diperoleh penyelesaian
m T
hc
5k
dalam hal ini
hc
5k
2,898 10-3 m K
mT tetap
(2-13)
Pers. (2-13) sesuai dengan pers. (2-2) yaitu menyatakan rumus pergeseran Wien. 3).
Tenaga radiasi total Untuk mendapatkan rumusan tenaga radiasi total dilakukan pengintralan terhadap pers. (2-10) yang meliputi panjang gelombang nol sampai
takberhingga
R ( )d 8 hc 0
R T
0
1
e
hc / kT
1
5
d
8 5 k 4 3
15c h
3
T 4
4
(2-14) Pers. (2-14) sesuai dengan pers. (2-1) yang menyatakan rumus dari 5
Stefan-Boltzman, dengan
8 k 3
4
15c h
3
5,67x10-8 watt.m-2.K-1 dan
selanjutnya dise-but tetapan Stefan-Boltzman Contoh: Pada panjang gelombang berapakah suatu benda pada suhu 20 oC
Pendahuluan
41
memancarkanradiasi termal maksimum? Penyelesaian Dengan mengubah suhu dalam sekala termodinamika T =293K, dari hukum pergeseran Wien 3
mak T 2,898 x10 mK maka mak
2,898 x10 3 293
9,89 µm
2.2. Gejala Fotolistrik R obert A. M illikan (1868-1953, warga Amerika
Serikat), fisikawan eksperimen terbaik pada zamannya. Pekerjaannya menyangkut penentuan tetapan Planck secara saksama dengan menggunakan efek otolistrik (menerima hadiah Nobel di tahun 1923), dan pengukuran muatan elementer dengan mengunakan peralatan “tetes minyak” Pada tahun 1888 Hallwachs melaporkan hasil pengamatannya bahwa sekeping seng yang netralkan bermuatan listrik positif setelah disinari cahaya ultraviolet. Sebelumnya Hertz juga telah mengamati bahwa pelucutan muatan antara dua elektroda meningkat ketika cahaya ultraviolet mengenai elektrodanya. Lenard kemudian menunjukkan bahwa cahaya ultraviolet meningkatan pelucutan muatan antara dua elektroda karena cahaya itu menyebabkan elektron meninggalkan permukaan katoda. Gejala-gejala tersebut di atas memberikan kesimpulan bahwa: Cahaya ultraviolet yang mengenai permukan logam mendesak keluar muatan listrik negatif dari permukaan keping logam. Gejala itu disebabkan oleh suatu efek dari cahaya yang dinamakan Efek Fotolistrik Untuk menerangkan efek fotolistrik, Einstein di tahun 1905 merumuskan hipotesis teori kuantum cahaya yang sangat erat kaitannya dengan hipotesis Planck tentang terkuantisasinya tenaga osilator pada benda hitam sempurna. Hipotesis Einstein mengandaikan bahwa: a). cahaya terdiri dari paket-paket tenaga (foton) yang bergerak dengan kelajuan c b). tenaga foton cahaya yang memiliki frekuensi adalah sebesar h c). dalam proses foto listrik, sebuah foton diserap seluruhnya oleh elektron pada permukaan logam. Kebenaran teori kuantum cahaya dari Einstein tentang efek fotolistrik dibuktikan melalui ujikaji yang dilakukan Millikan pada tahun 1909, yang secara skematik dilukiskan pada Gambar 2.3 Dalam tabung vakum dari kuarsa terdapat dua elektroda yang diberi beda tegangan listrik V . Elektroda positip disinari cahaya ultraviolet dari luar tabung, sehingga terjadi pelepasan elektron (fotoelektron) yang akan bergerak menuju elektroda negatif dengan mengalami perlambatan dari medan listrik di antara kedua elektroda dengan tenaga penghambat sebesar eV . Arus elektron yang mencapai elektroda negatip ditunjukkan olen ampermeter (A) Bila beda tegangan antar elektroda diubah-ubah, fotoelektron akan mencapai elektroda negatif apabila memiliki tenaga gerak E k eV Dengan nilai V yang divariasikan dari nilai terendah kemudian sedikit
Pendahuluan
42
demisedikit dinaikan, dinaikan, arus fotoelektron yang teramati pada amperemeter (A) menurun, ini menunjukkan bahwa tenaga gerak fotoelektron bervariasi. Pada saat arus eletron menunjukkan nol, berarti fotoelektron yang bertenaga maksimum tepat dapat dihambat oleh medan listrik antar elektroda. Bila pada saat itu beda tegangan antar eletroda sebut saja V 0 0, maka tegangan ini selanjutnya disebut tegangan penghambat (stopping potensial), dan tenaga gerak fotoelektron maksimum E k ˆ
eV 0
(2-15) cahaya
+
-
Fotoelektron
V A
Gambar 2.3 Percobaab Efek fotolistrik
Fakta-fakta eksperimental yang ditemukan dalam ujikaji efek fotolistrik adalah sebagai berikut a). Untuk penyinaran dengan frekuensi frekuens i cahaya tertentu yang nilainya tetap, potensial penghambat V 0 untuk bahan elektroda tertentu tidak 0 untuk bergantung pada intensitas penyinaran.. Gambar 2.4 b). Untuk bahan eletroda yang sama, nilai potensial penghambat V 0 bergantung secara linier terhadap frekuensi cahaya yang disinarkan ( ) c). Pada grafik grafik potensial potensial penghambat penghambat V 0 0 terhadap frekuensi cahaya yang disinarkan yang berhubungan secara linier, dan terdapat frekuensi potong 0 yang menjadikan menjadikan batas terjadinya efek fotolistrik. Artinya cahaya dengan frekuensi di bawah
0
tidak akan menghasilkan efek
fotolistrik walaupun dengan intensitas yang besar. Setiap bahan anoda memiliki nilai 0 yang berbeda. Perhatikan Gambar 2.5 Fakta eksperimental efek fotolistrik yang t ak dapat diterangkan dengan teori gelombang cahaya adalah sebagai berikut a). Nilai V 0 (atau E k ) tidak bergantung pada intensitas cahaya.. Padahal 0 (atau ˆ
menurut teori gelombang cahaya, kuat medan E berbanding berbanding lurus dengan I ( I adalah adalah intensitas cahaya). Jadi apabila E besar besar ( I besar), gaya yang bekerja pada elektron untuk lepas dari permukaan elektroda seharusnya semakin besar ( F =eE ), ), sehingga elektron lebih mudah lepas. b). Di bawah frekuensi frekuens i potong 0 , elektron tidak lagi dapat dibebaskan dari permukaan logam. Padahal menurut teori gelombang cahaya, kuat medan E tak tak bergantung frekuensi, sehingga asal intensitas cukup besar efek fotolistrik akan terjadi dan tidak bergantung pada frekuensi
Pendahuluan
43
cahaya penyinaran. Arus fotoelektron fotoelektron
2I
V 0
Cs
K Cu
I
0
V
V 0
Gambar 2.4 Grafik arus elektron terhadap tegangan
0
0
Gambar 2.5 Grafik Stopping Potensial terhadap Frekuensi
Untuk menerangkan fakta eksperimental tersebut di atas digunakan hipotesis Einstein tentang teori kuantum cahaya dengan pendekatan kekekalan tenaga. Pada efek f otolistrik suatu elektron meyerap sepenuhnya tenaga sebuah foton yang sebagian digunakan untuk lepas dari ikatannya, dan sebagaian lagi digunakan untuk tenaga gerak. h E k
W
.
Nilai dari E k bervariasi bergantung bagaimana proses elektron itu k bervariasi melepaskan diri dari pemukaan. Semakin kecil nilai W semakin semakin besar nilai dari E k k . Untuk nilai maksimum dari E k yang kemudian disebut tenaga gerak maksimum E k , W mencapai mencapai nilai terkecil, sebut saja W 0 0, sehingga dapat ˆ
dinyatakan sebagai h E k ˆ
W 0
(2-16)
dalam ujikaji dari Millikan E k dapat ditentukan yaitu samadengan eV 0 sehingga 0 sehingga ˆ
pers. (2-16) menjadi
h eV 0
W 0
(2-17)
Pers. (2-17) memberikan hubungan ketrgantungan ketrgantungan linier antara V 0 dan seperti seperti 0 dan yang dinyatakan dalam grafik pada Gambar 2.5 W 0 disebut fungsi kerja yang kerja yang mencirikan jenis bahan logam yang dapat 0 disebut dinyatakan dengan W 0 h 0 . Fungsi kerja kadang kadang dinyatakan dalam demensi beda potensial
W 0 e
sehingga
(2-18)
Jadi hipotesis Einstein tentang teori kuantum cahaya yang dikemukakan pada tahun 1905 dapat menerangkan fakta-fakta eksperimental yang berkaitan dengan efek fotolistrik.
Pendahuluan
44
Tabel 2.1 FUNGSI KERJA UNTUK BEBERAPA BAHAN LOGAM
*)
Logam Logam (dalam volt) (dalam volt) Ag 4,73 K 2,24 Al 4,08 Mg 3,68 An 4,82 Na 2,28 Bi 4,25 Ni 5,01 Ca 2,71 Sn 4,38 Cd An Wolfram 4,5 (~) Hg Bi Zn 3,7 (~) Funsi kerja kerja ini diukur dengan metoda fotoleistraik pada suhu suhu ruang, ruang, dikutip dari Handbook of Physics and Chemistry volume 50, crc, usa
Contoh: Fungsi kerja bagi logam tungsten adalah 4,52eV. Berapa tenaga gerak maksimum elektron foto yang dipancarkan apabila apabila digunakan radiasi dengan panjang gelombang 200.0nm? Penyelesaian hc 1240 h E k W 0 E k h W 0 W 0 4,52 1,68 eV 200 ˆ
ˆ
Latihan 1. Tunjukkan kegagalan teori klasik dari dari Rayleigh-Jeans dalam menerangkan fenomena radiasi benda hitam 2. Rapat teraga radiasi benda hitam menurut teori kuantum Planck dinyatakan seperti pada pers.(2-10) yaitu
( )d
8 hc 5
d
e
hc / kT
1
a). Buttikan Buttika n bahwa untuk panjang gelombang panjang pers.(2-10) pers.(2- 10) tersebut sesuai dengan rumus radiasi benda hitam dari teori klasik RayleighJeans. b). Bultikan unutk panjang panjang gelombang pendek pendek pers. (2-10) dapat digunakan digunakan untuk menjelaskan secara teoritik rumus pergeseran Wien mT tetap c) Tujukkan bahwa pers. (2-10) tersebut dapat dijabarkab menjadi rumusan 4 Stefan-Boltzman yaitu R T 3. Sebutkan hipotesisi Einstein tentang teori kuantum cahaya
4. Sebutkan kegagal kegagal teori klasik klasik dalam menjelaskan menjelaskan fakta empiric empiric tentang gejala fotolistrik 5. Tidak ada foto elektron yang dihasilkan dari suatu permukaan logam ketika disinari radiasi gelombang elektro-magnetik yang panjang ge-lombang 0 0.
Pendahuluan
45
Jika permukaan ini disinari dengan panjang gelombang ½ 0, berapa tenaga gerak maksimum fotoelektron yang dipancarkan dalam 0. Rangkuman R T
mT
4
(2-1)
2,9 x10
3
mT tetapan
m K ,
(2-2)
(2-8) 8 kT 4 Planck mengemukakan suatu hipotesis yang menyatakan bahwa vobratorvibrator yang frekuensinya hanya mungkin memiliki tenaga sebesar kelipatan bulat dari catu keunsuran (kuanta) tenaga sebesar h . Jadi tenaga yang di pancarkan oleh vibrator E n nh
( ) 8 hc 5
1
e
hc / kT
1
(2-10)
Gejala foto listrik E k ˆ
h E k ˆ
eV 0
W 0
W 0 e
(2-15) (2-16)
(2-18)
Evaluasi Kerjakan soal-soal berikut: 11. Diketahui tetapan Wien 2,9x10-3m.K. Berapa panjang gelombang dari gelombang elektromagnetik dengan intensitas tertinggi yang dipancarkan suatu benda yang bersuhu 14500K ? 12. Sebuah bola besi dengan suhu 2000K memancarkan kalor di sekitarnya. Jika memiliki emisivitas
1 2
dengan tetapan Stevan Boltzman 5,67x10 -8watt.m-1K-4
dan luas permukaan bola 4 cm 2, berapa daya untuk mempertahankan suhu bola tersebut ? 13. Sebuah benda berpijar pada suhu 2000K (tetapan Wien=2,898x10 -3 m.K). Hitung frekuensi gelombang cahaya yang dipancarkan dengan intensitas maksimum. 14. Permukaan logam yang memiliki frekuensi ambang 5x10 14Hz disinari cahaya dengan frekuensi 7x10 14Hz (tetapan Planck=6,6x10 -34J.s). Hitung tenaga gerak maksimum dari elektron yang dipancarkan permukaan logam.
Pendahuluan
46
15. Logam tungsten dengan fungsi kerja 4,52eV disinari foton sehingga memancarkan elektron dengan tenaga gerak maksimum 1,68eV. Hitung panjang gelombang foton yang digunakan 16. Panjang gelombang ambang fotolistrik natrium 5420A 0, disinari cahaya dengan panjang gelombang 4000A 0. Hitung laju maksimum fotoelektron yang dipancarkan. 17. Lithium dengan fungsi kerja 2,13eV disinari cahaya dengan panjang gelombang 4000A 0. Hitung tenaga gerak elektron tercepat yang dipancarkan. 18. Cahaya matahari mencapai bumi setelah menempu jarak rerata 1,6x10 11m pada laju 1,4x10 3W.m-2. pada permukaan yang tegak lurus arah rambatan cahaya.
Anggap
cahaya
matahari
monokhromatik
dengan
frekuensi
5x1014Hz. Berapa cacah foton datang per detik pada setiap meter persegi pada permukaan bumi yang langsung menghadap matahari 19. Panjang gelombang ambang pancaran fotoelektron pada tungsten adalah 230 nm. Berapa besar panjang gelombang cahaya yang harus dipakai supaya elektron dengan tenaga gerak maksimum 1,5 eV terlempar ke luar. Berapa
panjang
gelombang
maksimum
yang
dapat
fotoelektron terpancar dari natrium (fungsi kerja 2,3 eV) -oOo-
menyebabkan
Pendahuluan
47
BAB III DUALISME GELOMBANG PARTIKEL
rthur H. C ompton (1892-1962, warga Amerika Serikat). Penelitiannya dengan hamburan sinar-X membuktikan kebenaran teori foton Einstein. Penerima hadiah Nobel tahun 1927 ini juga merintis penelitian dengan sinar-X dan sinar kosmik. Selama perang dunia dua, mempimpin proyak penelitian bom atom
Pendahuluan
48
Pada bab ini disajikan konsep sifat materi dari gelombang, melalui pembahasan hamburan Compton. Demikian juga sifat gelombang dari materi dengan membahas bukti kebenaran hipotesis de Broglie melalui percobaan Devison-Germer yang diperjelas dengan contoh-contoh soal. Kemudia dibahas pula Prisip Ketidakpastian Heisenberg
Kompetensi dasar dan Indikator Memahami konsep-konsep dasar dualisme gelombang materi, dengan indikator o
menelusuri munculnya konsep pusa (momentum) photon melalui pecobaan Compton
o
menurunkan rumus perubahan panjang gelombang sinar terhambur pada hamburan Compton
o
memecahkan soal-soal yang terkait dengan hamburan Compton
o
membuktikan kebenaran hipotesisi de Broglie melalui percobaab Devison-Germer
o
memcahkan soal-soal yang terkait dengan sifat gelombang dari partikel
3.1. Hamburan Compton. Hamburan Compton merupakan hamburan lenting sempurna antara sebuah foton dan elektron bebas (dengan tenaga ikat lemah). Secara skematis hamburan Compton dapat dijelaskan dalam Gambar 3.1.
Foton datang
Foton terhambur
Elektron pentalan
Pendahuluan
49
Gambar 3.1 Skema hamburan Compton
Foton datang dengan tenaga E dan pusa p berinteraksi dengan elektron 2 bebas yang memiliki massa dan tenaga rehat masing-masing m dan E 0= mc .
Foton dihamburkan pada sudut hambur terhadap arah sumbu x dengan tenaga foton E ’ ’ dan pusa linier p’ , kemudian elektron terpental pada sudut pental tehadap arah x , dengan tenaga pentalan E rec . Tenaga total dan pusa linier elektron masing-masing adalah E dan pe. Menurut hukum kekekalan tenaga E
E 0 E ' E
E rec
(3-19)
E E '
(3-20)
Dengan menggunakan hukum kekekalan pusa linier
p p' cos pe cos
Pada arah x :
p e2 cos 2 p 2
p' 2 cos 2 2 pp' cos
(3-21)
0 p' sin pe sin
Pada arah y :
2 2 2 2 pe sin p' sin
(3-22
dari penjumlahan pers. (3-21) dan (3-22) diperoleh p e2
p 2
p ' 2 2 pp ' cos
(3-23)
ruas kanan dan kiri pers. (3-23) dikalikan dengan c 2 , kemudian digunakan hubungan pc
E untuk foton, sehingga diperoleh
pe2 c 2 E 2 E ' 2 E E ' cos 2
2
Untuk elektron pentalan berlaku E 2
pe c
2
2
E
2
E 0
2
E 0
2
(3-24)
2
pe c , maka
E rec E
2
0
2
E 0
2
E rex
2 E 0 E rec
dengan memasukkan pers. (3-20) ke dalam pers. (3-25), diperoleh
(3-25)
Pendahuluan
50
pe2 c 2 E 2 E ' 2 E E ' 2 E 0 E E ' 2
(3-26)
Pers. (3-6)=Pers. (3-24) sehingga diperoleh persamaan
E E ' (1 cos ) E 0 E
E '
(3-27)
Bila tenaga foton datang dan tenaga foton hambur berturut-turut dinyatakan
hc
dalam bentuk E
,
hc
E '
'
, dan E 0 mc 2 , maka dari pers. (3-27)
diperoleh
'
h
mc
1
cos
(3-28)
Pers. (3-28) menyatakan bahwa untuk foton yang terhambur dengan sudut hambur semakin besar akan mengalami perubahan panjang belombang yang semakin besar pula. Dalam persamaan tersebut ( h/mc ) disebut dengan panjang gelombang Compton untuk elektron. sehingga dari pers.(3-27), juga dapat diperoleh persamaan untuk tenaga foton yang terhambur sebagai berikut E E ' (1 cos )
E 0 E E 0 E '
E E ' (1 cos ) E 0 E '
E (1 cos ) E 0 E ' E '
E '
E
E 0 E
E 0 E
E 0 E E (1 cos ) E 0
E
1
E '
E E 0
(3-29)
(3-30)
1 cos 1
1
E E 0
1 cos
Dengan pers. (3-20) dan (3-30) dapat diperoleh persamaan tenaga pentalan elektron
E E rec
E
1 cas
E 0 E
1
E 0
(3-31)
1 cos
Dari pers.(3-29), tenaga foton yang terhambur akan mencapai nilai terkecil
Pendahuluan
51
pada sudut hambur = rad, keadaan ini disebut hamburan balik, tenaga hamburan balik E bs
E bs
E 1 2 E E 0
(3-32)
Pada sudut hambur = rad, tenaga pentalan elektron mencapai nilai yang terbesar, yang selanjutnya disebut tenaga tepi Compton E ce 2 E E 0 (3-33) E ce E . 1 2 E E 0
3.2.
Hipotesis de Broglie Louis de Broglie (1892-1987, warga Perancis). Salah seorang keluarga ningrat, yang karyanya memberikan sumbangan sangat penting pada pengembangan awal teori kuantum mengemukakan suatu hipotesis sebagai berikut . Dualisme gelombang partikel yang berlaku pada cahaya, juga berlaku untuk partikel. Setiap partikel yang bergerak didampingi oleh suatu gelombang zat (matter-waves) yang mempresentasikan perilaku gelombang partikel itu.
Suatu partikel yang bergerak dengan pusa linier P , didampingi oleh gelombang zat yang memiliki panjang gelombang
h P
(3-34)
dengan h menyatakan tetapan Planck Dalam kehidupan sehari-harihipotesis de Broglie tidak banyak perannya, karena menyangkut ukuran-ukuran yang sangat kecil. Dapat diambil beberapa contoh berikut. Contoh 1: Seorang pengendara sepedamotor dengan massa total 160 kg melaju dengan kecepatan sebesar 60 km/jam. 1000 m Pusa linier total P 160 kg x60 x =2,67 x103 kg.m.s-1 3600 s Panjang Gelombang de Broglie:
h P
6,63 x10 34 2,67 x10
-37
3
=2,5x10-37m
Ukuran =2,5x10 m nilainya terlalu kecil sehingga tidak berarti bila dibandingkan dengan ukuran di sekitar kita sehari-hari. Contoh 2 : Sebuak lektron dipercepat dengan beda potensial listrik V =10 kV dalam tabung vakum di antara katoda dan anoda Tenaga gerak elektron E k 12 mv 2 eV Besar kecepatan elektron
Pendahuluan
52
20keV v m
12
12
2 x1,6 x10 19 x10 4 =5,9x107 m.s-1 31 9,1 x10
Besar pusa liniernya P mv =9,1x10-31x5,4x107=5,4x10-23 kg.m.s-1 Panjang gelombang de Broglie dari elektron
h
6,63 x10
34
23
P
1,23x10-11 m=1,23 A0
5,4 x10 Ukuran 1,23 A0 cukup bermakna dalam lingkungan elektron, seperti misal pada struktur kristal. Hipotesis de Broglie berhasil dibuktikan kebenarannya pada tahun 1927 melalui ujikaji difraksi berkas elektron yang dilakukan Devison-Germer . Dalam ujikaji Devison-Germer berkas elektron yang dipercepat dengan beda potensial listrik tertentu ditembakkan tegak-lurus pada suatu permukaan keping nikel yang sudah mengalami reduksi. T ernyata intensitas maksimum diperoleh pada berkas elektron yang terpantul pada sudut 50 0, bila potensial pemercepat sebesar 54 volt, sehingga tenaga gerak elektron E k= 54 eV. Perhatikan Gambar 3.2 Suatu kajian dengan sinar-X tentang bidang-bidang pada kristal nikel yang dipergunakan sebagai sasaran menunjukkan bahwa: a). Elektron dipantulkan oleh seperangkat bidang dalam keping kristal nikel yang tidak sejajar dengan permukaan keping, melainkan miring terhadap permukaan tersebut. Sudut pantul Bragg adalah 65 0 (= ) b). Jarak antar bidang adalah 0,91 A0 Bila digunakan perhitungan berdasarkan hipotesis de Broglie, untuk berkas elektron dengan tenaga E K =54 eV 2
E k P
1 2
mv
2
P
2m
2mE 1 2 k
2 x9,1 x10
31
x54 x1,6 x10
19
1
2
3,97x10 -24 kg.m.s -1 ini sesuai dengan panjang gelombang de Broglie: h 6,63 x10 34 m 1,67x10 -11 m 1,67 A 0 24 P 3,97 x10
500 650
650
Gambar 3.2
3.3.
Representasi Gelombang de Broglie
Gelombang berjalan secara matematik dapat dinyatakan dalam beberapa bentuk persamaan, seperti umpamanya:
Pendahuluan
53
x.t A0 coskx t
atau
x.t A0 sin kx t
x.t A0 e i kx t
atau
x.t A0 e i kx t
Misal saja digunakan persamaan
kx t , yang
x.t A0 cos
merupakan gelombang tunggal pada saat tertentu t =t0 seperti dilukiskan pada Gambar 3.3
x0
x Gambar 3.3
Maka gelombang tersebut tidak dapat menyatakan kedudukan partikel dalam ruang, karena meliputi daerah dari x samapi dengan x . Cara yang ditempuh dalam menyatakan kedudukan partikel dengan lebih teliti adalah dengan melakukan superposisi beberapa gelombang yang memiliki vektor gelombang k yang tidak berbeda jauh dari yang satu dengan yang lain. Diambil superposisi dari dua gelombang yang memiliki vektor gelombang berturut-turut k dan (k k ) , dan frekuensi sudut dan dengan k k dan
1 x, t A0 coskx t 2 x, t A0 cosk k x t Gelombang superposisi: r x, t 1 x, t 2 x, t k r x, t 2 A0 cos x cos t kx t 2 2
(3-35)
gelombang superposisi tersebut dapat dianggap sebagai suatu gelombang harmonik dengan vektor gelombang k serta frekuensi dengan amplitudo
k x t yang berubah dengan lambat 2 2
2 A0 cos
terhadap kedudukan x maupun terhadap waktu t seperti yang dilukiskan dalam Gambar 3.4
x v 0
x
Gambar 3.4
v
Dari Gambar 3.4, gelombang dengan k dan merupakan gelombang Suatu titik dengan fase tetap pada gelombang pembawa (carrier wave). pembawa ini memenuhi hubungan kx t tetap, sehingga
kdx dt 0
dx
atau v
dt k k selanjutnya v kecepatan fase gelombang pembawa.
(3-36)
Pendahuluan
54
Selubung dari gelombang pembawa juga merupakan gelombang berjalan yang dapat disamakan dengan gelombanmg modulasi amplitudo seperti gelombang radio. Suatu titik dengan fase tetap dalam gelombang selubung memenuhi hubungan
k 2 x 2 t =tetap k dx dt 0 dan diperoleh 2 2
sehingga
v g
dx dt
k
d dk
yang kemudian v g disebut kecepatan grup. Geometri dan konsep gelombang seperti yang dilukiskan pada Gambar 3.4 menunjukkan bahwa: 1
x x 2
1
1
(3-
2
Pada gelombang selubung berlaku hubungan 2 4 k 2 1 k 2 k 2
1 4
k
sehingga pers. (3-38) dapat dituliskan menjadi
x
1 4
k
1 2
atau
x k 2
(3-39)
dengan menggunakan hubungan
k
2
k 2 P k 2 P h h h
(3-40)
P
Pers. (3-40) dimasukkan ke dalam pers. (3-39), diperoleh bentuk hubungan
x P h
(3-41)
Pendahuluan
55
3.4. Ketidakpastian Heisenberg
Werner Heisenberg (1901-1976), warga Jerman). Sangat terkenal karena asas ketidakpastiannya, yang juga mengembangkan rumusan lengkep mengenai teori kuantum ang didasarkan pada matriks
Dalam analisis matematika lebih lanjut terdapat suatu cara optimal untuk menggunakan
konsep
gelombang
superposisi
(dengan
spektrum
vektor
gelombang k ) dalam menyatakan kedudukan partikel dengan sebaik-baiknya. Untuk bentuk gelombang superposisi yang optimun, hubungan antara agihan paket
gelombang
xk 1 2 ,
( x )dan
lebar
spektrum
gelombang
sedang yang lain memberikan hubungan
( k )
memenuhi
xk 1 2 ,
sehingga hubungan tersebut secara umum dapat dinyatakan dalam bentuk
xk 1 2
(3-42)
Kombinasi pers. (3-40) dan pers. (3-42), diperoleh
x P dengan
disebut tetapan
2
dengan
h
2
Dirac , dan pers. (3-43) dinamakan
(3-43) Prinsip
Ketidakpastian Heisenberg , yang secara lengkap dapat dinyatakan sebagai berikut.
Suatu ujikaji terhadap suatu sistem fisika pusa linier dan kedudukan suatu partikel keduanya tidak dapat ditentukan secara pasti dalam waktu yang bersamaan, sehingga:
x P
2
Hal tersebut di atas berlaku juga untuk pengukuran tenaga E dalam selang waktu
t E t
2
3.5. Syarat Normalisasi Dari gelombang superposisi seperti yang dilukiskan pada Gambar 3.4
Pendahuluan
karena
56
x 0 maka
harus digunakan konsep statistik dalam menentukan
kedudukan itu, yaitu kementakan untuk menemukan partikel pada kedudukan x+ pada saat t . Gelombang
mungkin fungsi komplek yang berbentuk
x t ,
x t .
f x t ig x t ,
,
untuk mendapatkan besaran rial, besaran komplek x, t dikalikan dengan konjugate-kompleknya yaitu * x, t . Bila x t f x t g x t maka conjugate-kopleknya adalah .
,
,
* x.t f x, t g x, t , sehingga
dan
x.t * x, t f 2 x, t g 2 x, t
2
x.t
(3-44)
2 adalah kementakan untuk menentukan kedudukan partikel
P x, t x, t
pada saat tertentu. Karena P x, t meyatakan kementakan untuk mendapatan kedudukan partikel, maka harus dipenuhi
P x, t dx 1 atau x, t * x, t dx 1
(3-45)
3.6. Partikel dalam Kotak Suatu partikel dengan massa m diandaikan bergerak dalam kotak satu dimensi dengan lebar a, seperti terlukis pada Gambar 3.5 Partikel tak dapat berada di luar kotak, sehingga untuk berlaku
x.t 0 .
x
0 dan
x
a
Apabila gerak partikel digambarkan dengan fungsi harmonik
sederhana, maka syarat batas tersebut dipenuhi oleh
x Asin kx dan k n
an
2
sehingga
k
2
2a n
atau
n a
n x x A sin a
(3-46)
m 0
a
x
Pendahuluan
57
Gambar 3.5 Kementakan untuk. mendapatkan partikel dalam kotak
A 2 sin 2
n x
P x
a
P x, t dx 1 atau
selanjutnya
(3-47)
A
sin
2
2
2 n x dx 1, sehingga A a a
n x a a 2 2 n x P x sin a a 2
x
sin
(3-48)
Dengan demikian perilaku gelombang dari partikel mewajibkan bahwa panjang gelombang terkuantisasi sebagai
n
2a
dengan n= 1, 2, 3, ……….
((3-49)
n
Dan diperoleh juga kuantisasi pusa linier h
P n
n
h 2a
atau P n n
(3-50)
dengan kuantisasi tenaga E k n
P n
2m
atau E k
n
n
2
h
2
8ma
2
(3-51)
Contoh Sinar-X dengan panjang gelombang 0,2400 nm mengalami hamburan Compton pada sudut hambur 60 o. Carilah panjang gelombang sinar-X terhambur Penyelesaian: '
h mc
1 cos '
' 0,2400 0,00243 1 cos 60
0
h mc
1 cos
0,2412nm
Latihan 1. Sebuah foton dengan panjang gelombang 1,0 A0
berinteraksi dengan
sebuah elektron yang semula dalam keadaan rehat. Setelah berinteraksi
Pendahuluan
58
elektron terpental searah dengan foton datang. Berapa panjang ge-lombang foton yang terhambur. 2. Foton sinar-X dengan panjang gelombang 1.24 A 0 menumbuk elektron bagian dalam atom. Tenaga ikat elektron adalah 2300 eV. Menurut hamburan Compton, berapa panjang gelombang dari foton yang terhambur kebelakang 3. Carilah panjang gelombang elektron yang semula rehat kemudian dipercepat dengan beda potensial (a) 100 V; (b) 100 kV; (c) 100 MV.
Rangkuman Hamburan Compton: E rec
E
'
h mc
E '
(3-20)
1 cos
(3-28)
Tenakan pentalan elektron E E rec
E 0
E
1
1 cas
E E 0
(3-31)
1 cos
Hamburan balik E bs
E ce
E
1 2 E E 0
(3-32)
Tepi Compton
E .
2 E
E 0
1 2 E
E 0
(3-33)
Panjang gelombang di Broglie
h
P
(3-34)
Prisip ketidakpastian Heisenberg Suatu ujikaji terhadap suatu sistem fisika pusa linier dan kedudukan suatu partikel keduanya tidak dapat ditentukan secara pasti dalam waktu yang bersamaan, sehingga:
xP
2
Pendahuluan
59
Hal tersebut di atas berlaku juga untuk pengukuran tenaga E dalam selang waktu
t E t
2
Perilaku gelombang dari partikel mewajibkan bahwa: Panjang gelombang terkuantisasi sebagai
n
2a
dengan n= 1, 2, 3, ……….
((3-49)
n
Kuantisasi pusa linier P n
h
n
h 2 a
atau P n n
(3-50)
Kuantisasi tenaga E k
n
P n
2m
atau E k
n
n
2
h
2
8ma
2
(3-51
Evaluasi Kerjakan soal-soal berilut 20. Tetapan Planck 6,6x10-34J.s. Berapa besar momentum cahaya dengan panjang-gelombang 5000 angstrum? 21. Sinar-X dengan panjang gelombang 0,2400 nm mengalami hamburan Compton pada sudut hambur 60 o (panjang gelombang Compton electron =2,43x10-12m). Hitung tenaga foton sinar-X terhambur. 22. Partikel yang memiliki massa 9,5x10 -31kg bergerak dengan kecepatan sebesar (9,5) -1x107 m.s-1, tetapan Planck=6,62x10 -34J.s. Hitung panjang gelombang partikel tersebut 23. Elektron yang massanya 9,0x10 -31kg bergerak dengan laju 2,2x10 7ms-1 (tetapan Planck=6,6x10-34Js). Berapa panjang gelombang elektron tersebut?
24. Elektron dengan massa 9,1x10 -31 kg dengan kecepatan v, sehingga memiliki panjanggelombang 6,6x10 -11m (tetapan Planck=6,6x10 -34J.s). Berapa besar kecepatan v?
Pendahuluan
60
25. Sebuah peluru bermassa 10 gram ditembakkan. Kelajuan peluru diukur dengan ketelitian pengukuran kelajuan 0,1 m.s -1 (tetapan Planck 6,6x10 -34 J.s). Berapa ketelitian pengukuran posisi peluru tersebut? 26. Hitung tenaga pentalan elektron bebas yang semula dalam keadaan rehat kemudian berinteraksi dengan foton 1MeV, dan foton terhambur dengan sudut 900. 27. Panjang gelombang cahaya yang terhambur dengan sudut 90 0 adalah 0,14 nm. Hitung panjang gelombang cahaya datang. 28. Sebuah elektron dalam keadaan rehat berinteraksi dengan sinar-x, sehingga terhambur dalam arah sinar-x datang, dan elektron terpental dengan tenaga pentalan 180 eV. Hitung panjang gelombang sinar-X terhambur. 29. Kecepatan sebuah elektron pada arah sumbu x ditetukan dengan ketelitian 10-7m.s-1. Hitung batas ketelitian dalam menentukan posisi elektron tersebut. -oOo-
BAB IV STRUKTUR ATOM Dalam bab ini disajikan moedl-model atom dengan membahas dasar-dasar pemikiran pada model atom Tomson, dasar epirik dari penyusunan model atom Rutherford dengan memaparkan kelemahannya, dan bagaimana upaya Bohr untuk mengatasi kelemahan model atom Ruterford. Kemudian membahas penurunan rumus spektrum tenaga atom hidrogen berdasa pada postulat Bohr
Kompetensi dasar dan Indikator Memahami dasar –dasar pemikiran yang melatarbelakangi munculnya beberapa model atom, dengan indikator: o
menunjukkan kelemahan dari model atom Thomson
o
menghitung tenaga elektron pada atom hydrogen
o
menunjukkan kelemahan dari model atom Rutherfort
o
menurunkan rumus deret spectrum hydrogen
o
menurunkan pemunculan bilangan kuantum pada konfigurasi elektron
Pendahuluan
o
61
menjelaskan terjadinya pemecahan spectrum atom karena pengaruh medan magnet eksternal
o
mengembangkan sasian materi fisika di SMA/MA
o
mengembangkan media pembelajaran sesuai dengan materi sajian
4.1. Model Atom Thomson Dalam tahun 1897, J.J. Thomson telah membuktikan adanya muatan listrik diskrit terkecil yang terkait dengan suatu massa yang diskrit pula, yang kemudian disebut elektron. Atas dasar penemuan ini pada tahun 1898 Thomson menyarankan suatu model tentang struktur atom yang dikenal Model Atom Thomson. Thomson menganggap bahwa atom berbentuk bola pepat yang memuat sebagian besar massa atom dengan muatan positip tersebar merata meliputi seluruh bola. Eletron-elektron bermuatan negatip berada pada kedudukan tertentu dan menetralisir muatan positip. Anadaikan elektron-elektron ini terganggu, maka timbul gaya listrik yang akan mengembalikan elektron pada kedudukan semula. Suatu elektron yang bermuatan -e dan berjarak r dari pusat atom akan mengalami gaya tarik listrik sebesar
F c
4 3
r 3
F c
e 3
e 2
4 r
(4-1)
r
adalah rapat muatan rerata dalam bola yang jejarinya r dan sepusat dengan atom. Model atom Thomson sangat sederhana dan tidak banyak memberikan informasi yang terkait dengan sifat dan perilaku atom
4.2. Perkiraan Ukuran Atom menurut Besaran Makro Dengan menggunakan besaran makro yang telah ada ukuran atom dapat diperkirakan sebagai berikut. Diambil contoh tembaga dengan nomor massa 63,5 dan massa jenis 8,92x10 3 kg.m-3
Pendahuluan
62
Diandaikan atom berbentuk kubus dengan rusuk a, maka volumenya vo=a3, dan volume tembaga per Mol nya adalah V
63,5 8,92.10
3
7,1.10 3 m3.Mol-1
Volume setiap atom dapat diperkirakan dengan menggunakan
bilangan
Avogadro (N A=6,02.1026 Mol-1), yaitu vo
V
N A
7,1.10
3
6,02.10
26
1,18.10
29
m3
karena vo=a3, maka dapat diperoleh nilai a=2,3.10-10m =2,3 A0
.(4-2)
4.3. Model Atom Rutherford
Ernest Rutherford (1871-1937, warga Inggris). Peletak dasar fisika nuklir. Terkenal sebagai perintis hamburan partikel alpha dan pererasan sinar radioaktif. Kepemim pinannya mengilhami generasi ilmuwan atom dan nukli Inggris
Rutherford berpendapat apabila model atom Thomson adalah benar, maka apabila partikel-partikel yang bermuatan listrik positif ditumbukkan pada keping lempeng tipis dan berhasil menembus, tidak mungkin akan mengalami hamburan dengan sudut hambur yang menyolok. Hal ini berkaitan dengan gaya tolak dari atom yang hanya berbanding lurus dengan r seperti yang dinyatakan dalam pers. (4-1). Berdasarkan hasil ujikaji yang dilakukan Geiger dan Mersden di laboratoriumnya Rutherford tentang hamburan alpha, diperoleh informasi bahwa jarak terdekat antara partikel alpha dan pusat atom yang dapat dicapai pada hamburan dengan sudut hambur 180 0 adalah -4 0 r 0= 3,0.10 A
(4-3)
Bila nilai r 0 pada pers. (4-3) dibandingkan dengan perkiraan makro yang ditampilkan pada pers. (4-2), bilangan a dan r 0 memiliki perbedaan dengan orde bilangan 10 4, suatu perbedaan yang menyolok.
Pendahuluan
Dari
63
pertimbangan
seperti
yang
diuraikan
diatas,
Rutherford
mengemukakan suatu model atom yang selanjutnya disebut model atom Rutherford dengan gambaran sebagai berikut.
tom terdiri dari inti atom dan elektron yang bergeriak mengelilingi inti
muatan positip dan massa atom terpusat pada intinya
sebagain besar volume atom berupa ruang vakum
inti atom hanya menempati sekitar 10-12 dari seluruh volume atom
Atau dapat dilukiskan dengan sketsa seperti pada Gambar 4.1 2a
2r 0 Gambar 4.1
Struktrur atom menurut model atom Rutherford dimungkinkan serupa dengan susunan tatasurya seperti planit mengelilingi matahari. Yaitu elektron yang membawa muatan litrik negatif, beredar mengelilingi inti yang bermuatan positip dalam lintasan lingkaran dengan jejari r . Untuk atom hidrogen yang memiliki sebuah elektron dapat dilukiskan seperti dalam Gambar 4.2 Gaya listrik antara inti dan elektron:
F c
2
1
e
4 0
r
2
gaya Coulomb ini bekerja sebagai gaya setripetal yaitu
F sp jadi Atau
F c
1
mv 2 r
F sp e
2
4 0 r
v
2
=
mv
2
r
e
4 0 mr 1 / 2
(4-4)
Pendahuluan
64
v
-e r
F c
+e
Gambar 4.2
Tenaga gerak elektron E k
1
mv
2
2
Tenaga potensial elektron
E p
e
2
4 0 r
Tenaga total elektron
E E k
E p =
1
mv
2
2
e
2
4 0 r
(4-5)
Dengan substitusi pers.(4-4) ke dalam pers.(4-5) diperoleh rumusan tenaga total elektron
E
e2 8 0 r
(4-6)
Rumusan pada pers. (4-6) menunjukkan bahwa elektron memiliki tenaga total negatif, artinya elektron terikat dengan intinya, dan jejari edarnya akan mengecil bila tenaga total elektron berkurang Menurut teori klasik elektrodinamika, model atom Rutherford tidak dapat menggambarkan suatu atom yang stabil. Karena gerak elektron mengalami percepatan. Maka elektron akan memancarkan tenaganya dalam bentuk gelombang elektromagnetik. Pancaran tenaga oleh elektron ini akan mengurangi tenaga total elektron, dan elektron dalam mengelilingi intinya tidak dalam lintasan lingkaran yang stasioner, melainkan dengan jejari lintasan yang semakin kecil sehingga lintasannya berbentuk pilin. Panjang gelombang elektromagnetik yang dipancarkan elektron memiliki spektrum yang malar (kontinyu). Hal ini tidak
Pendahuluan
65
sesuai dengan temuan empirik dari Balmer dan kawan-kawan. Balmer dan kawan-kawannya berhasil mengamati spektrum atom hidrogen dalam bentuk spektrum diskrit. (tidak malar).
4.4. Spektrum Atom Hidrogen Peralatan untuk mengukur spektrum cahaya sudah berkembang sejak akhir abad ke 19. Studi tentang spektrum secara kualitatip dinamakan Spektroskopi , sedang studi spektrum secara kuantitatip desebur Spektrometri . Pengamatan menunjukkan bahwa gas yang bersuhu tinggi memancarkan cahaya dengan spektrum berupa spektrum garis yang memiliki keteraturan tersendiri. Spektrum gas juga dapat diperoleh dengan menempatkan gas itu dalam suatu tabung Geister yang diberi beda potensial tinggi. Dalam tahun 1885, J.J Balmer, seorang guru sekolah menengah di Swiss berhasil menemukan suatu rumus empirik sederhana yang dengan ketepatan tinggi dapat menyatakan panjang gelombang (dan frekuensi) garis sektrum hidrogen dalam daerah tampak sebagai berikut
A
0
3645,6.m 2
m 4
2
(4-7)
menyatakan panjang gelombang dalam angstrum, m adalah bilangan bulat
3,4,5,….. Atau dengan frekuensi
1 1 2 4 m
3,229.1015 m
(4-7)
Pada saat itu beberapa model telah dicoba untuk menerangkan rumus empirik tersebut namun belum berhasil. Dalam tahun 1908, Paschen menemukan seri lain dari garis spektrum atom hidrogen yang terletak pada daerah inframerah yaitu
m
1 1 3,229.1015 2 9 m
(4-8)
Sebagaimana halnya dengan deret Balmer, deret Paschen juga merupakan hasil empirik Ternyata deret Balmer dan Paschen dapat dikembalikan dalam suatu bentuk sebagai berikut
Pendahuluan
66
1 1 2 2 m n
m 3,229.1015
(4-9)
Rydberg menemukan cara yang lebih mudah dengan mengemukakan batasan suatu besaran baru yang disebur resiprok panjang gelombang
1
dengan batasan besaran baru ini pers. (4-8) menjadi
1 1 2 atau 2 m n
mn 1,097.10 7
1 1 2 2 m n
mn R H
(4-10)
R H selanjutnya disebut tetapan Rydberg, yang dalam data spektroskopi nilainya adalah -1 R H= (10.967.757,6 1,2)m
yang telah ditentukan dengan ketelitian tinggi. Dengan nilai n dan m yang bervariasi diperoleh deret spektrum sebagai berikut. dalam tabel berikut
Tabel 4.1 Deret spektrum atom Hidrogen
Deret
n
Lyman
1
2,3,4,…………………….
Balmer
2
3,4,5,…………………….
Paschen
3
4,5,6,…………………….
Bracket
4
5,6,7,…………………….
Pfund
5
6,7,8,…………………….
m
4.5. Model Atom Bohr-Rutherford Niels Bohr (1885-1962, warga Denmark). Mengem-
bangkan teori spectrum radiasi atom hydrogen yang berhasil dan menyumbangkan gagasan mengenai keadaan mantap (stasioner) dan azas melengkapi (complementarity) bagi mekanika kuantum. Kemudian mengembangkan teori fisi nuklir. Institut fisika teorinya di Kopenhagen hingga saat ini tetap menarik kunjungan para fisikawan seluruh dunia
Pendahuluan
67
Setelah Rutherford merumuskan model atom yang dilandasi pada hasil percobaan tentang hamburan partikel alpha, maka sejauh mana model itu dapat diperluas agar dapat menerangkan spektrum garis yang dipancarkan atom hidrogen. Bohr berusaha untuk menyempunakan model atom Rutherford dengan dasar fikiran sebagi berikut: a). Karena radiasi yang dipancarkan oleh atom adalah terkuantisasi, maka seharusnya sistem atom yang menjadi sumber pancaran radiasi harus terkuantisasi pula. b). Apabila atom memancarkan tenaga dalam kuanta h , tentunya sistem atom akan kehilangan tenaga sebesar h pula. c). Beda tenaga antara berbagai aras tenaga dalam sistem atom memiliki nilai tertentu. Dari dasar pikiran seperti tersebut di atas, kemudaian Niels Bohr pada tahun 1913 mengajukan postulat tentang atom Hidrogen seperti berikut Postulat I: Atom Hidrogen terdiri dari sebuah elektron yang bergerak mengelilingi inti dalam lintasan lingkaran yang dipengaruhi gaya tarik Coulomb sesuai dengan kaidah mekanika klasik. Postulat II : Gerak elektron mengelilingi intinya dalam lintasan lingkaran stasioner, yang memiliki pusa sudut kelipatan bulat dari ( h / 2 ) atau L
n ;
n=1,2,3,………….
n=bilangan bulat, dan
h
2
(tetapan
Dirac)
Postulat III: Dalam
lintasan
stasioner,
elektron
yang
mengelilingi
inti
tidak
memancarkan tenaga elektromagnet, sehingga tenaga total elektron tidak berubah. Postulat IV:
Pendahuluan
68
Bila suatu elektron berpidah dari lintasan dengan tenaga E i berpidah kelintasan
dengan
tenaga
E f maka
akan
dipancarkan
radiasi
elektromagnetik dengan frekuensi
if
E i
E f
h
Dari postulat tersebut di atas, model atom Bohr dapat diterangkan sebagai berikut. Gaya tarik Coulomb antara elektron (benrmuatan -e) dan inti (bermuatan +Ze) yang berjarak r (jejari lintasan elektron) pada elektron bekerja sebagai gaya sentripetal 1
Ze
v
v
r
r
Ze 2
2
L
mv
2
4 0
v
2
4 0 mr mv r
2
dengan v laju linier elektron
(4-11)
n
atau
n
2
mr 2
2
2
2
n
m r
(4-12)
Dari pers.(4-11) dan pers. (4-12) diperoleh Ze
2
=
4 0 mr
n
2
2
2
m r
2
atau r
4 0 2 2
n
2
Ze m
secara umum dapat ditulis
r n
4 0 2 2
Ze m
4 0 2 2
Ze m
n2
(4-13)
=5,29x10-11m=a0 yang kemudian disebut jejari Bohr
Pers. (4-13) menunjukkan bahwa jejari lintasan elektron mengelilingi intinya adalah terkuantisasi.
Ze 2
E p mv
Dengan memasukan r =r n
seperti pers. (4-13) tenaga total elektron dapat
dinyatakan sebagai
2
4 0 r
Ze 2
Tenaga total elektron E E k
1 2
8 0 r
.
Pendahuluan
69
E n 2
Z 2 e 4 m
32 2 02 2 n 2
32
(4-14)
4
Z e m 2
1
2
0
2
=2,17x10-13J=13,6 eV dan
n=1,2,3,……
Pers. (4-14) menunjukkan bahwa tenaga total elektron terkuantisasi dan merupakan kelipatan dari 13,6 eV E n
1
n
2
13,6 eV
Jejari elektron dan tenaga sistem atom hidrogen sebagai fungsi n dicantumkan pada Tabel 4.2 Tabel 4.2 Jejari elektron dan tenaga sistem atom Hidrogen
n 1 2 3 4 5 . . .
r n ( A0) 0,529 2,120 4,760 8,460 13,22 . . .
En ( eV ) -13,60 -3,40 -1,51 -0,85 -0,54 . . . 0
Pada Gambar 4.3 dilukiskan suatau elektron dari lintasan ni pindah ke lintasan nf , akan memancarkan foton dengan frekuensi
if
h if
if
n Gambar 4.3
Atau
ni
if
h
1 13,6eV
h
2
if
3,282.10 3.10
8
13,6eV
ni
2
n f
13,6eV
h
1 1 n2 n2 f i
13,6.1,6.10 6,63.10
19
34
1 1 n2 n2 i f
1 1 , bila digunakan if n2 n2 i f
if 3,282.1015 15
Diperoleh
E i E f
if
1
c
1 1 1 1 7 1,0894.10 atau n2 n2 n2 n2 i i f f
maka
Pendahuluan
70
1 1 n2 n2 i f
if R
R =1,0894x107
dengan
0
5
-0,54
-0,87x10-19
-0,85
-1,36x10-19
-1,51
-2,42x10-19
-8,40
-5,44x10-19
-13,6
-21,8x10-19
E n(eV)
E n(J)
4
Bracket
3
Paschen
2
1
(4-15)
Balmer
Lyman
n
0
Gambar 4.4 Transisi pada aras tenaga untuk berbagai deret
Bila nilai R pada pers. (4-15) dibandingkan dengan nilai R H pada pers. (4-10) dida-patkan perbedaan yang sangat kecil yaiti 6,7 0/00. Perhitungan dengan model atom Bohr pada atom Hidrogen ternyata menghasilkan: a). ungkapan teoritik tentang resiprok panjang gelombang yang tepat sama dengan rumus empirik dari Rydberg b). nilai perhitungan R sama dengan nilai empirik R H Model atom Bohr untuk atom Hidrogen ternyata dapat memberikan keterangan tentang spektrum garis radiasi yang dipancarkannya, dan pola ramalan tentang frekuensi radiasi yang sesuai dengan hasil penentuan secara ekperimental. Aras tenaga sistem atom Hidrogen dan deret spektrumnya dapat dinyatakan dengan skema seperti pada Gambar 4.4
4.6. Koreksi terhadap Model Atom Bohr.
Pendahuluan
71
Secara garis besar teori atom Bohr tentang atom Hidrogen memberikan ramalan yang benar tentang spektrum garis atom Hidrogen. Meskipun hasilnya cukup baik dibandingkan dengan hasil pengukuran ekslerimental, beberapa koreksi masih dapat dilakukan.
a).
Koreksi karena Massa Inti Berhingga. Perhitungan tenaga atom E n didasarkan pada pengandaian bahwa massa inti takberhingga. Dalam kenyataan massa inti
M
1856 kali
massa
elektron Semua perhitungan akan sama dengan sebelumnya, asal saja digunakan massa tereduksi (U ) U
mM
=(1-5x10-4) m
mm
Koreksi terhadap nilai R H adalah 5x10-4, demikian pula dengan E n. Jelas koreksi ini sangat kecil.
b).
Koreksi Relativistik Dari pers. (4-13) yaitu
r n
4 0
2
2
n
2
Ze m
dan
mvr n
dapat diperoleh
persamaan untuk menyatakan kelajuan linier elektron yang terkuantisasi vn
Ze
2
1
4 0 n
(4-16)
Kejaluan terbesar adalah untui n=1 yaitu v1
Jadi
v c
Ze
2
4 0
=7,3x10-3
=2,18x106 m.s-1=7,3x10-3c
atau 2 =5,3x10-5. Oleh karena itu perubahan nilai
tenaga E n yang terjadi karena efek relativitas hanyalah sekitar 10 -4 yaitu nilai yang relatif kecil. Contoh: Hitunglah kedua panjang gelombang terpanjang deret Balmer ion berillium terionisasi tigta kali ( Z
Pemecahan
4)
Pendahuluan
72
Seluruh radiasi deret Balmer merakir pada
n
2.
Kedua panjang
gelombang terpanjang pada deret Balmer berkaitan dengan dan
n
4 n
2
n
3n
2,
Jadi tenaga radiasi dan panjang gelombang yang
bersangkutan adalah
1 1 E E 3 E 2 13,64 2 30,2 eV 9 4
hc
E
1240 30,2
41,0 nm
1 1 E E 4 E 2 13,64 2 40,8 eV 16 4
hc
E
1240 40,8
30,4 eV
Latihan 1. Hitungkah kecepatan, tenaga gerak, dan tenaga potensial dari elektron pada keadaan n=3 dalam atom hidrogen 2. Hitung jejari lintasan elektron atom hidrogen pada keadaan n=4 . 3. Sekelompok atom hidrogen dalam keadaan dasar disinari cahaya ultra violet dengan panjang gelombang 59,0nm. Hitunglah tenaga gerak elektron yang dipancarkan 4. Hitung tenaga ionisasi dari keadaan n=3 pada atom hidrogen 5. Berapakah tenaga yang diperlukan untuk mengeluarkan elektron dari atom hidrogen dalam keadaan n=2? 6. Hitung panjang gelombang terpendek dan terpanjang dari deret Lyman atom helium satu.
Rangkuman Model Atom Thomson
Pendahuluan
73
4
F c
3
F c
r 3
e
e 2
4 r
(4-1)
r
3
Model Atom Rutherford e v
4
1/ 2
0
E E k E p =
E
e
(4-4)
mr
1
mv
e
2
2
2
4 0 r
(4-5)
2
8 0 r
(4-6)
Model Atom Bohr r n
4 0
2
n
2
Ze m 2
E n
vn
Ze
2
(4-13)
4
1
Z e m 32 2
1
2
2
2
0 n
2
(4-14)
(4-16)
1 1 n2 n2 i f
(4-15)
4 0 n
Deret Spektrum
if R
Evaluasi Kerjakan soal berikut 30. Berapa tenaga yang diperlukan untuk mengeluarkan elektron atom hidrogen dalam keadaan n=2 31. Hitung tenaga foton yang dipancarkan bila sebuah atom hidrogen mengalami transisi dari keadaan n=3 ke n=1 32. Bila elektron atom hydrogen berpindah dari keadaan dengan bilangan kuantum n=2 ke keadaan dengan bilangan kuantum utama n=1, apa yang akan terjadi.
Pendahuluan
74
33. Panjang gelombang batas spektrum atom hidrogen pada deret Paschen sebesar 820,1 nm. Berapa panjang gelombang terpanjang dari deret Paschen ini. Diketahui Jejari Bohr =5,29A0. 34. Berapa jari-jari lintasan elektron atom hidrogen pada keadaan n=4 35. Gunakan model atom Bohr untuk menghitung panjang gelombang batas deret Lman dan Paschen dari atom hydrogen 36. Sebuah electron berada pada keadaan dengan n=5 dari atom hydrogen. Menuju ke keadaan aras tenaga manakah saja electron dapat melakukan transisi, dan berapa tenaga radiasi yang dipancarkannya untuk masingmasing transisi 37. Hitunglah tenaga ionisasi dari: hydrogen pada n=3; -oOo-
BAB V DASAR-DASAR MEKANIKA KUANTUM Erwin Shrỏdinger (1887-1961, warga Autria). Walaupun tidak sefahan dengan tafsiran probabilistik yang kemudian diterapkan pada pekerjaannya, beliu berjasa dalam mengembang-kan teor ma-tematik mekanika gelombang yang untuk pertama kalinya memungkinkan dihitungnya perilaku gelom-bang dari berbagai system fisika Dalam bab ini disajikan dasar-dasar mekanika kuantum dengan membahas dasar-dasar pemikiran tentang fungsi gelombang Schrödinger tak gayut waktu, menurunkan fungsi gelombang untuk partikel bebas, dan penggunaan fungsi gelombang Schrödinger untuk gerak partikel bebas pada potensial undak.
Pendahuluan
75
Kemudaian bagaimana menghitung catu tenaga untuk partikel dalam sumur potensial, dengan menggunakan funsi gelombang Schrödinger.
Kompetensi dasar dan Indikator Memahami prinsip penggunaan funsi gelombang Schrodinger, dengan indikator o
menurunkan fungsi gelombang Schrödinger
o
menurunkan fungsi gelombang Schrödinger tak gayut waktu
o
menyelesaikan fungsi gelombang Schrödinger tak gayut waktu pada gerak partikel bebas
o
menghitung koefisien transmisi gerak partikel pada potensial undak
o
menghitung spektrum tenaga patikel dalam sumur potensial
o
menyusun bahan sajian untuk fisika SMA/MA
5.1. Persamaan Schrödinger Ae
Fungsi gelombang dengan
2
E / h 2
E / , dan k i
Ae
x
i
i ( kx t )
P
2 i P x 2
P op i
P /
i
E
2
2 i E t 2
2
i E t
i P x i x
2 i E t 2
2
i
2 P / h
t 2
2 /
Px Et
2 i P x 2
P
x
x
Persamaan Schrödinger
P P 0 p
E
i t
E op i
t
i
t
E E 0 p
Pendahuluan
76
Perpindahan dari pemerian mekanika klasik ke mekanika kuantum: 1. Tuliskan persamaan gerak klasik dalam bentuk tenaga total E , pusa linier P , dan tenaga potensial V . 2. Gantikan E dengan pengandar tenaga E op, dan P dengan pengandar P op 3. Kenakan pengandar-pengandar tersebut pada fungsi gelombang
dan
x, t
selesaikan 2
E
P
2m
V E op
P op
2
2m
V E op
P op
2
2m
V
jadi 2 2 i V 2m x 2 t
i
t
x, t
2
2
2m x 2
x, t V x, t
(5-1)
Pers.(5-1) disebut Persamaan Schrödinger
Pesamaan Schrödinger tak gayut waktu Dengan menggunakan pemisahan peubah pada pers. (5-1) yaitu
x, t x. t i
t
i
t
2
2
2m x
2
2m
V
2
2
x
2
V
ruas kiri dan kanan dari persamaan di atas dibagi dengan sehingga diperoleh
i
1 t
2
1 2
2m x 2
V
(5-2)
Pada pers. (5-2) V V x yaitu tenaga potensial tidak bergantung waktu ( t ) tetapi bergantung pada posisi ( x ), sehingga ruas kiri dan kanan memiliki peubah yang berbeda. Oleh sebab itu hanya benar bila ke dua ruas pada persamaan tersebut sama dengan suatu tetapan yang sama, sebut saja c 1
i
c1 t 1
(5-3a)
Pendahuluan
77
pers. (5-3a)
1 2
2
2m x 2
1
i
d
c1t
0 e
(5-3b)
c1 dt ln
i
V c1
i
0
c1 berdimensi
c1t
tenaga
i
e
c1t
0
c1
E
Sehingga pers. (5-3b) menjadi
2
1
2
2m x
2
V E
2
2
2m x
2
V E
2 2m E V 0 x 2 2
(5-4)
Pers. (5-4) disebut Pesamaan Schrödinger tak gayut waktu
Untuk tiga dimensi
2
x
2
2
y
2
2
2
2
z
disebut pengandar Laplace
Dari pers. (5-4) diperoleh Pesamaan Schrödinger (PS) tak gayut waktu untuk tiga dimensi seperti pada pers. (5-5)
2
2m
E V 0
2
(5-5)
5.2. Fungsi Gelombang Partikel Bebas Untuk kasus satu dimensi PS tak gayut waktu seperti yang dinyatakan pada pers. (5-4) untuk partikel bebas V x
2
x
2
2m
2
2mE
Dengan menuliskan
2
0 sehingga
dapat dituliskan menjadi
E 0
k maka
(5-6)
pers. (5-6) menjadi
2
x
2
2
k 0
(5-7)
ikx
dan x e ikx yang melukiskan gerak partikel
dengan penyelesaian x e
dalam arah x+ dan x- Penyelesaian umum dari pers. (5-7) dapat ditulis sebagai kombinasi linier dari kedua penyelesaian di atas yaitu
x Aeikx Be ikx
(5-8)
Pendahuluan
78
Suku pertama melukiskan funsi gelombang partikel bergerak dalam arah x + dan suku ke dua melukiskan fungsi gelombang parikel bergerak kearah x -. Untuk kasus tiga dimensi pers. (5-8) menjadi
r Ae ikr Be ikr
(5-9)
5.3. Gerak Partikel pada Potensial Undak Ditinjau suatupartikel yang bergerak dalam daerah potensial undak seperti yang dilukiskan pada Gambar 5.1 dengan V =0 untuk x <0 dan V =V 0 yang nilainya tetap untuk x >0 Pada daerah I, dengan V x 0 PS tak gayut waktu satu dimensi dapat dituliskan
2
I
x
2
2mE
2
I
0
(5-10)
dengan penyelesaian
I x Aeik I r Be dan
k 12
ik I r
(5-11)
2mE
2
Pada daerah II, dengan
V x V 0 yang
nilainya tetap PS tak gayut waktu
satu dimensi dituliskan sebagai berikut
2 II 2m 2 E V 0 II 0 x 2
(5-11)
2
II
x
2
2
k 2 II 0
(5-12 V(x)
E
V 0 II
I x=0
x
Gambar 5.1 Potensial Undak
a).
Untuk E V 0 k 22 (5-12) adalah
2mE
2
E V 0 sehingga 0
penyelesaian dari pers.
Pendahuluan
79
II x Ce k 2r De k 2r
(5-13)
Agar II nilainya berhingga pada setiap nilai x , maka nilai D pada pers. (513) harus sama dengan nol sehingga persamaannya menjadi
II x
Ce
k 2 r
(5-14)
E<0 fungsi gelombang menurun secara eksponensial dalam daerah terlarang klasik, dengan tena-ga gerak klasik menadi negatif
Tetapan A,B, dan C dapat dicari dengan menggunakan syarat kontinuitas pada x =0, yaitu
I II
pada x =0 d I d II dx dx Dengan menggunakan dua syarat tersebut menghasilkan persamaan A B C
(5-15)
ik 1 A B k 2 C
(5-16)
Dari pers. (5-15) dan (5-16), nilai B dan C adalah B
k ik 2 2k 1 A dan C A 1 k ik k ik 1 1 2 2
II x 0 , ini menunjukkan bahwa partikel berhasil menerobos potensial undak, hal mana tidak dimungkinkan bila ditinjau menurut fisika klasik. Koefisien transmisi (T ) dapat ditentukan dengan definisi
T
T
fluks partikel yang menembus potensial undak fluks partikel yang datang ke potensial undak Ce
k 2 x
Ae
ik 1 x
2
2
untuk x =0
Pendahuluan
80
T
CC * AA *
2
2k 1
k 1
ik 2
2
T
b).
4k 1 2
k 1
2
k 2
2
Untuk E V 0 k 2
(5-17)
2mE
2
E V 0 sehingga 0
penyelesaian dari pers.
(5-18)
(5-12) adalah
II x Ceik r De 2
ik 2 r
E>V 0 , panjang gelombang de Broglie berubah apabila partikel melewati tongga potensial
Di daerah II hanya terdapat partikel yang bergerak ke kanan sehingga pers. (5-18) menjadi (5-19) II x Ceik r 2
Tetapan A,B, dan C dapat dicari dengan menggunakan syarat kontinuitas pada x =0, yaitu
I II
pada x =0 d I d II dx dx Dengan menggunakan dua syarat tersebut menghasilkan persamaan B
k k 2k 1 A 1 2 A dan C k k k k 1 1 2 2
II x 0 , ini menunjukkan bahwa partikel berhasil menerobos potensial undak, hal mana tidak dimungkinkan bila ditinjau menurut fisika klasik. Koefisien transmisi (T ) dapat ditentukan dengan definisi T
fluks partikel yang menembus potensial undak
fluks partikel yang datang ke potensial undak
Pendahuluan
81
2
Ce ik x 2
T
Ae
2
ik 1 x
2
AA *
2
2k T k k 1
1
T
untuk x =0
CC *
2
(5-20)
5.4. Partikel Dalam Sumur Potensial Salah satu contoh kasus partikel dengan tenaga terkuantisasi adalah partikel dalam sumur potensial V =
V = V =0
x=0
x
x=a Gambar 5.2 Sumur potensial
PS
2
x
2
Di luar sumur tidak ada partikel
2m
2
E V 0
x
0
0 untuk
0 x 1 V 0 sehingga
Di dalam sumur
x
2
x
2
2m
2
E x 0
x
0 dan
x
1
berlaku PS
(5-21)
Penyelesaian dari pers. (5-21) dapat ditulis dalam bentuk
x Asin kx B cos kx Dengan
k
(5-22)
2mE
2
2
Syarat batas mengharuskan bahwa di x =0 dan x =a, nilai ( x )=0. Bila syarat ini dikenakan pada pers. (5-22) diperole B=0 dan
k a=n, dengan n=1,2,3………
k 2
2mE
2
E
k 2 2 2m
E
(5-23)
k 2 a 2 2 2ma 2
(5-24)
Pendahuluan
82
Dengan kombinasi pers. (5-23) dan (5-24) dapat diperoleh persamaan tenaga partikel dalam sumur potensial yang terkuantisasi seperti berikut E n
2 2
2ma
2
n
2
dengan n=1,2,3….
(5-25)
Tenaga pada pers. (5-25) bersifat diskrit dan merupakan swanilai dari fungsi gelombang
n x A sin
2mE n x
A sin
n a
x
(5-26)
Nilai A dapat dihitung dengan menggunakan syarat normalisasi, yaitu bahwa kementakan untuk mendapatkan partikel dalam sumur potensial adalah satu.
a
x n
2
dx
1 A
2
sin
2
n
2
xdx
a
0
1
A a 2
1 A
2 a
sehingga fungsi gelombang ternormalisasi adalah 2
n x
sin
a
n a
x
(5-27)
Latihan 1. Elektron dengan tenaga 1eV dan 2eV dating pada perintang setinggi 5eV dan lebar 0,5 nm. Carilah peluang transisinya 2. Carilah peluang untuk mendapatkan partikel antara 0,45 L dan 0,55L untuk keadaan dasar dan eksitasi pertama bagi partikel yang terperangkap dalam kotak yang panjangnya L
Rangkuman Persamaan Schrödinger i
t
x, t
2
2
2m x 2
x, t V x, t
(5-1)
Pesamaan Schrödinger tak gayut waktu
2 2m E V 0 x 2 2 2
2m
2
E V 0
(5-4)
(5-5)
Pendahuluan
83
Persamaan tenaga partikel dalam sumur potensial yang terkuantisasi E n
2 2
2ma
2
n
2
dengan n=1,2,3….
(5-25)
Evaluasi Kerjakan soal berikut 1. Nyatakan berbagai persyaratan suatu fungsi gelombang 2. Berapakah tenaga minimum sebuah elektron yang terperangkap dalam suatu daerah satu dimensi selebar ukuran inti atom (1,0x10 -14m)? 3. Berkas elektron tiba pada perintang yang tingginya 5eV dan lebarnya 0,2 nm. Berapakah energi elektron supaya dapat menembus perintang tersebut 4. Elektron dan proton memiliki tenaga yang sama yaitu E,mendekati perintang yang tingginya V lebih besar dari E . Partikel mana yang berpeluang lebih besar untuk melewatinya 5. Sebuah partikel terperangkap pada sebuah kotak dua dimensi dengan
2
2
2
2
panjang L dan lebar 2L. Nilai tenaganya adalah : / 2mL (n x
2
n y / 4)
Carilah kedua tenaga terendah kedua yang terdegenerasi. -oOo-
BAB VI TINJAUAN KUANTUM ATOM HIDROGEN Kedua grafik hasil gambar dari computer ini menyatakan proba-bilitas untuk menemukan mene-mukan elektron atom hydrogen pada keadaan n=8 dengan bilangan kuantum pusa sudut l=2 dan l=6; koordinat tegak di suatu titik menyatakan probabi-litas menemukan elektron dalam suatu elemen volume kecil pada titik itu. Inti atom berada pada pusat tiap diagram
Dalam bab ini disajikan tentang penjabaran funsi gelombang Schrodinger tak gayut waktu untuk atom hidrogen sehingga memunculkan bilangan utama, bilangan
kuantum
orbital,
bilangan
kuantum
magnetal,
dan
bagaimana
mengintrerprestasikannya. Juga dibahas tentang penurunan aturan seleksi
Pendahuluan
84
sebagai syarat terjadinya peralihan, pengaruh medan magnet eksternal terhadap garis spektrum atao hidrogen
Kompetensi dasar dan Indikator Memahami penerapkan fungsi gelombang Schrodinger pada sistem atom Hidrogen, dengan indikator menjelaskamn munculnya bilangan-bilangan kuantum untuk atom o hidrogen dengan fungsi gelombang Schrodinger o
menginterpretasikan bilangan-bilangan kuantum pada atom hydrogen
o
menjelaskan aturan seleksi pada aatom hidrogen
o
menjelaskan pengaruh medan magnet eksternal terhadap spektrum atom hydrogen
o
menjelaskan terjadinya pemecahan spekrum atom karena pengaruh medan magnet eksternal
o
menyusun bahan sajian sesuai dengan kurikulum SMA/MA
6.1. Fungsi Gelombang Atom Hidrogen Pesamaan Schrödinger (PS) tak gayut waktu untuk tiga dimensi bentuknya seperti berikut
2
2m
2
E V 0
Apabila pengandar Laplace dinyatakan dalam koordinat bola
(6-1)
r , , maka
bentuknya menjadi
2
1 r
2
2 2 1 1 r sin 2 2 2 r r r 2 sin r sin
dan dari pers. (6-1), dapat dituliskan fungsi gelombang untuk atom hidrogen spserti berikut 1 2
r
2 2m 2 1 1 E V 0 r sin r r r 2 sin r 2 sin 2 2 2 (6-2)
Pemisahan peubah
Pendahuluan
85
r , , Rr
R 2 2 ; ; ; R R R 2 r r 2
2 2 R 1 1 r 2 R sin 2 2 R 2 (6-3) r r r sin r sin
1
2
2
r
Masukkan pers. (6-3) ke dalam pers. (6-2), dengan merubah turunan parsial menjadi turunan biasa, karena fungsi R, ,dan
masing-masing hanya
bergantung pada peubah r, , dan yang tidak saling terkait. Kemudian kalikan seluruh suku dalam persamaan dengan
r
2
sin
2
/ R , sehingga diperoleh
persamaan berikut. sin
2
R
2 r dr d
2 2 2 d 1 d 2mr sin E V 0 sin 2 2 dr d d d
dR
sin d
atau sin
2
R
2 r dr d
2 2 2 d 2mr sin 1 d E V 2 (6-4) sin 2 d d dr d
dR
sin d
Ruas kiri dan ruas kanan pada pers. (6-4) merupakan fungsi dari peubah yang berbeda, oleh sebab itu hanya benar bila kedua ruas sama dengan tetapan yang sama, sebut saja ml 2 , sehingga diperoleh
d 2 2 ml 2 d 1
atau
d 2 2 ml 2 0 d
(6-5)
Penyelesaian lebih lanjut dari pers. (6-5) diperoleh ml 0, 1, 2, 3, .............. l
Tetapan ml selanjutnya disebut bilangan kuantum magnetik . sin
2
R
2 r dr d
2 2 d 2mr sin E V ml 2 sin 2 dr d d
dR
sin d
seluruh suku pada pers.(6-6) dibagi dengan
sin
2
(6-6)
, kemudian suku-suku yang
mengandung peubah yang berbeda dipisahkan ke dalam ruas yang berbeda pula, sehingga diperoleh
ml 2 1 d 2 dR 2mr 2 1 d d r 2 E V 2 sin R dr dr d sin sin d
(6-7)
Pendahuluan
86
Pers. (6-7) hanya benar bila kedua ruas sama dengan tetapan yang sama, tertapan ini dipilih= l l 1
2 r R dr 1 d
dR
2mr
dr
2
2
E V l l 1
(6-8)
d sin l l 1 2 d sin sin d 2
ml
d
1
(6-9)
Penyelesaian lebih lanjut dari pers. (6-8) diperoleh E n
me 32
2
4
0
1
n
2
(6-10)
Pers. (6-10) menyatakan tenaga elektron dalam atom hidrogen di suatu keadaan yang hanya bergantung pada nilai n. Tetapan n selanjutnya disebut bilangan kuantum utama. Dari penyelesaian pers. (6-9), diperoleh nilai l yang mungkin yaitu = ml , ml +1, ml +2, ……………..
Jika nilai n ditentukan terlebih dahulu, maka l dan ml dapat dituliskan sebagai berikut n = 1, 2, 3, ………………………………….. l = 0, 1, 2, ………………………………, (n-1) ml .= -l , -(l +1), -(l +2), -(l +3), …..0, …………+l
Tabel 6.1: Beberapa Fungsi Gelombang Atom Hidrogen
n
l
ml
1
0
0
2 2 2
0 1 1
0 0 1
( )
( ) 1
1 2
a
1
2
6
2
2
e
i
3 2
3/ 2 0
e
r 'a0
1 ( 2 a0 )3 / 2
2
1
2
2
2
1
1
R ( r )
(2
cos
1 3 ( 2 a0 ) 3 / 2
sin
1 r 3 ( 2 a 0 ) 3 / 2 a0
r
r a
0
e
)e
r / 2 a0
r / 2 a0
a
0
e
r / 2 a 0
6.2. Interpretasi Bilangan Kuantum Penyelesaian pesamaan Schrödinger untuk atom hidrogen menampilkan bilangan-bilangan bulat n, l , dan ml . Bilangan-bilangan ini muncul karena
Pendahuluan
87
dipersyaratkan bahwa penyelesaian pesamaan Schrödinger tersebut harus merupakan fungsi berperilaku baik, artinya berharga tunggal, malar, berhingga untuk seluruh ruangan baik untuk fungsi itu sendiri maupun turunannya. Apabila perangkat bilangan kuantum ( n, l , dan ml ) diketahui, maka akan diketahui pula keadaan sistem atom, atau keadaan kuantisasinya. 1. Bilangan Kuantum Utama Bilangan kuantum utama ( n ) mencirikan kuantisasi tenaga total sistem atom.
E n
me 32
2
4
1
0
n
2
Dalam gambaran fisikanya, bilangan kuantum ini berkaitan dengan “jarak” elektron dari intinya (jarak dalam tanda petik mengandung pengertian statistik) 2. Bilangan Kuantum Orbital Interpretasi bilangan kuantum orbital (l ) dapat dilakukan dengan melakukan tinjauan pada pers. (6-8), dan memasukkan nilai V
2 seperti brikut r R dr 1 d
dR
2mr
dr
kanan dan kiri dikalikan dengan
2 r dr
1 d 2
r
atau
1 2
r
2 r dr d
dR
dr
2
2
R r
2
4 0 r
2 e E l l 1 , kemudian ruas r 4 0
sehingga menjadi
e 2m R E 2 4 0 r 2
l l 1 2m 2 E 2 dr r
dR
Tenaga total : E T radial T orbital
e2
e
l l 1
R 2
r
R 0 4 0 r e
2
2
4 0 r
, sehingga persamaan di atas
menjadi
1 d 2 dR l l 1 2m r 2 2 T radial T orbital R 0 2 r dr dr r
2 r dr
1 d 2
r
dR
dr
l l 1 2m T radial T orbital R 2 2 2mr 2
0
(6-11)
Pendahuluan
88
Pers. (6-11) berkaitan dengan arah radial dari gerak elektron dalam atom, dan seharusnya tidak ada hubungannya dengan gerak orbital. Hal ini terpenuhi apabila dua suku terakhir dari persamaan yang berada dalam kurung kotak saling meniadakan, sehingga persamaan deferensial tersebut hanya bergantung pada r saja. Untuk itu harus dipenuhi 2
T orbital
L yang 2
2
2mr
T orbital
mrvorbital
l l 1 1 2
mv
2
l l 1 2
2
2mr
mvorbital 2
1 2
mrv
2
orbital 2
2mr
disebut pusa sudut
l l 1
L
2
2mr
2
L l l 1
2
2mr
sehingga besarnya pusa sudut elektron dapat dinyatakan sebagai L
l l 1
2
(6-12)
Pers. (6-12) menunjukkan bahwa bilangan kuantum orbital ( l ) berkatitan dengan besarnya pusa sudut elektron dalam atom. Untuk suatu bilangan kuantum utama n, nilai l yang diperbolehkan adalah: l = 0, 1, 2, ………………..(n-1) 3
Bilangan Kuantum Magnetal
Bilangan kuantum magnetal ml sangan dekat kaitannya dengan bilangan kuantum orbital. Untuk suatu bilangan kuantum orbital l , bilangan kuantum magnetal memiliki nilai ml = -l , -(l -1), -(l -2), ……0,
+l .
Menurut tinjauan mekanika kuantum, komponen vektor pusa sudut orbital L pada arah tertentu (diambil pada arah sumbu Z ), tidak dapat memiliki sembarang nilai melainkan terkuantisasi dalam kelipatan bulat dari L Z
L cos ml
. (6-13)
Dengan terkuantisasinya nilai LZ , maka orientasi vektor Lterkuantisasi dalam ruang, dengan aturan kuantisasi ruang cos
ml
l l 1
2
l
L
L Z
2; L
6
Pendahuluan
89
Gambar 6.1 Kuantisasi ruang dari vektor L
6.3. Aturan Seleksi Kementakan peralihan per satuan waktu dari suatu keadaan awal dengan fungsi gelombang I ke suatu keadaan akhir dengan fungsi gelombang f adalah sebanding dengan faktor A
i
*
xi dvi ; x i dapat berupa x , y , atau z
Untuk keadaan awal dicirikan dengan n, l , dan ml , serta keadaan akhir dicirikan dengan n’ , l’ , dan ml’ maka A
Jika faktor di atas
*
nlml
0,
xi n l m dv ' '
l '
(6-14)
disebut peralihan yang diperbolehkan, dan jika =0 disebut
peralihan terlarang . Dengan mengganti fungsi gelombang untuk atom hidrogen pada pers. (614), diperoleh bahwa peralihan diperbolehkan terjadi apabila
l 1, dan ml 1 atau 0
(6-15)
Syarat peralihan seperti tersebut di atas dinamakan aturan seleksi .
6.4. Efek Zeeman Normal Efek Zeeman normal adalah terpecahnya garis spektral akibat pengaruh medan magnet luar yang kuat. Elektron bermuatan listrik negatif bergerak dalam lintasan tertutup dapat dipandang sebagai untai arus listrik tertutup. Dengan demikian kofigurasi medan magnetnya dapat dipandang sebagai magnet permanen kecil yang memiliki dwikutub magnet ( )
iA
(6-16)
Pendahuluan
90
Dimisalkan gerak elektron dalam lintasan lingkaran dengan laju v , jejari r , dan waktu edar T , maka i
e
e
T A
e
2m
2 r v
r 2 ; dan L
e 2m
ev
ev
2 r
mvr
2
2 r
x r
e
xmvr
2m
L
(6-17)
disebut tetapan giromagnet
Dalam medan magnet luar
B
dengan sudut antara dan
B
adalah ,
perubahan tenaga potensial akibat interaksi adalah
B cos E . B
e 2m
BL cos
dan L cos L Z ml E
nilai
e
2m
e 2m
ml B
(6-18)
=9,273x10 -24 J.T-1, disebut magneton Bohr ( B )
B
e
B
2m
E
S (l =0) (2l +1)= 1
+2 +1 0 -1 -2
+1 0 -1
0
P (l =1) 3
+3 +2 +1 0 -1 -2 -3
D (l =2) 5
F (l =3) 7
Gambar 6.2 Pemecahan aras tenaga karena medan magnet
Pendahuluan
91
Dengan demikian untuk suatu keadaan dengan bilangan kuantum n yang sama, mula-mula memiliki satu aras tenaga E n. Dengan adanya medan magnet
luar
B
, terjadilah pemecahan aras tenaga sebanyak (2l+1) pada masing-masing
nilai l yang bersesuaian Syarat peralihan harus memenuhi aturan seleksi sebagai berikut
l 1, dan ml 0 atau 1 Latihan
1. Hitung tenaga elektron pada keadaan dasar E 1 dengan memasukan fungsi gelombang radial R yang bersesuaian dengan n=1; l =0 ke dalam Pers.: 1 2
r
2 l l 1 2m e R 0 E 2 2 dr 4 0 r r
2 r dr
dR
d
2. Buktikan nilai rerata 1 / r untuk elektron 1s dalam atom hydrogen adalah 1 / a0
3. Hitung besar vector pusa sudut yang menyatakan gerak sebuah elektron dalam keadaan dengan l =1 dan keadaan l =2 4. Tentukan semua komponen z yang mungkin dari vector L yang menyatakan pusa sudut gerak orbital dari suatu keadaan dengan l=2
Rangkuman
2
2m
2
E V 0
d 2 2 ml 2 d 1
atau
(6-1)
d 2 2 ml 2 0 d
(6-5)
Penyelesaian lebih lanjut dari pers. (6-5) diperoleh
ml 0, 1, 2, 3, .............. l E n ml ,
ml +1,
me 4
1
32 2 0 n 2
ml +2, ……………..
ml .= -l , -(l +1), -(l +2), -(l +3), …..0, …………+l
(6-10)
Pendahuluan
92
L
l l 1
2
(6-12)
L Z L cos ml
(6-13)
Evaluasi Kerjakan soal berikut 1. Mengapa untuk mendiskripsikan keadaan elektron atomik diperlukan tiga bilangan kuantum (selain spin elektron)? 2. Hitung perubahan panjang gelombang dari foton yang dipancarkan pada peralihan 2 p ke 1s apabila atom hydrogen ditempatkan dalam pengaruh medan magnet luar 2,00T -oOo-
BAHAN AJAR PENGAYAAN
MATA KULIAH : FISIKA MODERN (3 SKS) Kode MK : Rombel : 01 dan 02 Semester Gasal
Disusun oleh: Mosik
Pendahuluan
93
PRODI FISIKA JURUSAN PENDIDIKAN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAN UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG TAHUN 2010/2011
BAB VII ATOM BERELEKTRON BANYAK
Wolfgang Pauli (1900-19580), warga Swis. Azas larangannya memberikan dasar untuk memahami struktur atom. Selain itu juga memberikan sumbangan terhadap pengembangan teori kuantum, peluruhan beta, dan pemahaman simetri dalam hokum-hukum fisika
7.1
Spin Elektron
Goudsmit dan Uhlenbeck (1925) mengusulkan bahwa elektron memiliki suatu pusa sudut intrinsik yang tidak dipengaruhi oleh gerak orbitalnya, dan disebut spin elektron. elektron. Elektron berotasi pada sumbunya sehingga menghasilkan
⃗. Karena elektron bermuatan listrik negatif, maka dari gerak rotasinya menghasilkan medan magnet dengan momen magnet yang berlawanan arah dengan .
pusa sudut spin
Pendahuluan
94
Jika suatu elektron yang memiliki pusa spin itu berada dalam medan magnet luar, maka diharapkan bahwa spin tersebut akan terkuantisasi ruang dan memberikan aras tenaga yang berbeda bergantung pada arah orientasinya
, karena pengaruh medan magnet inti akan terkuantisasi akan terkuantisasi ruang sebanyak 2 1. Dari hasil pengamatan, nilai tersebut selalu sama dengan 2, sehingga 2 1 2 atau (7-1) Suatu keadaan dengan bilangan kuantum spin
Dengan penalaran yang sama dengan pusa sudut orbital, maka pesar pusa sudut spin adalah
1ℏ √ 3 ℏ
(7-2)
Sedangkan komponen pusa sudut spin ke arah medan magnet adalah
ℏ Dalam hal ini menyatakan bilangan bernilaiu – dan atau -1/2 dan +1/2
(7-3) kuantum magnetal spin yang dapat
Hipotesis tentang adanya spin elektron, didukung oleh ujikaji yang dilakukan oleh Stern dan Gerlach (1922).
7.2
Ekslusi Pauli
Pada atom berelektron lebih dari satu, tenaga potensial yang ditinjau tidak hanya akibat interaksi antara elektron dan inti, tetapi juga interaksi antar elektron. Keadaan akibat adanya interaksi antar elekltron tersebut dilukiskan oleh Prinsip Eksklusi Pauli yang menyatakan bahwa: Hanya ada satu elektron yang berada dalam setiap keadaan dalam atom. Karena setiap keadaan dicirikan oleh suatu set bilangan kuantum:
,, , ,
maka aturan pauli megisyaratkan bahwa suatu elektron harus
memiliki kombinasi yang berbeda dengan elektron lain dalam suatu atom.
7.3
Struktur Halus Spektrum Atom
̅ dan pusa sudut spin ⃗ membentuk pusa ⃗ ⃗
Pusa sudut orbital
sudut total
⃗ (7-4)
Pendahuluan
95
Seperti pada pusa sudut orbital maupun spin, pusa sudut total
⃗ berkaitan
sebagai 1 ℏ
(7-5)
ℏ
(7-6)
dengan bilangan kuantum dan
dan
Dengan menurunkan pers. (7-4), diperoleh
Nilai yang mungkin untuk dan adalah | − | ≤ ≤ | | | dengan = − ,………………0,……………… ,………………0,………………
(7-7)
(7-8)
Sebuah elektron dalam atom dicirikan dengan sekumpulan bilangan kuantum
Dalam notasi spetroskopi dituliskan dengan ,, , , . Dalam +
(7-9)
Huruf dalam pers. (7-9) biasanya dinyatakan dengan simbol pusa sudut orbital s, p, d, f, .... dan seterusnya untuk elektron, atau S, P, D, F, ...dan ...dan seterusnya
untuk atom, yang sesuai dengan =0, 1, 2, 3, .... dan seterusnya. Sebagai contoh: Untuk keadaan teralan dengan dua keadaan yaitu
7.4
3, 1 , dan , terdapat
3/ dan 3/
Struktur Hiperhalus Spektrum Atom Pauli (1924) menyarankan bahwa inti atom juga memiliki pusa sudut spin
⃗
intrinsik dan momen magnet. Andaikan pusa sudut spin inti maka berlaku (7-10a) 1ℏ 1ℏ (7-10b) ℏ Momen magnet inti ( ) adalah (7-11) ⃗ dengan menyatakan massa proton dan adala tetapan. Spin inti ⃗ berinteraksi dengan pusa total atom ⃗, dan membentuk ⃗ yang memenuhi persamaan
⃗ ⃗ ⃗
(7-12a)
Pendahuluan
96
(7-12b) 1 ℏ Nilai bilangan kuantum adalah | − 1| ,........0, ........| 1|, hal ini menunjukkan arti bahwa suatu aras tenaga yang berkaitan dengan terpecah menjadi 2 1 aras tenaga untuk > atau sebanyak 2 1 aras tenaga untuk < Peralihan dwikutub yang diperbolehkan harus memenuhi aturan seleksi
△ ±1, 0 (kecuali dari 0 ke 0 ); △ ±1, 0 (7-13) Gerak elektron dalam atom menghasilkan medan magnet , sedang medan magnet dari inti , dengan tenaga interaksi (7-14) −⃗ . dan masing-masing sebanding dengan dan , sehingga tenaga interaksi pada pers. (7-14) dapat dinyatakan sebagai berikut
ℏ⃗.⃗
(7-15)
suatu tetapan yang melibatkan sifat-sifat atom dan intinya. Nilai ( ⃗. ⃗) ℏ [ 1 − 1 − 1. ], sehingga peres. (7-15) menjadi (7-16) [ 1 − 1 − 1] Sebagai contoh: Pada atom Na dengan 3/2, keadaan dasarnya 3/ pecah menjadi dua aras tenaga dengan 2 dan 1 , dan untuk keadaan dasar 3 / pecah menjadi empat aras tenaga dengan 3,2,1, 0 22
-oOo-
BAB VIII STRUKTUR MOLEKUL
Meskipun telah dijelaskan dan dikelompokkan berbagai proses fisika yang menentukan struktur berbagai molekul sederhana, pemahaman mengenai fisika molekul sangatlah komplek. Sepereti molekul DNA yang dilukiskan dalam model seperti gambar sebelah, belumlah lengkap
8.1. Ikatan Molekul
Pendahuluan
97
Jika atom-atom saling mendekat, pada suatu jarak tertentu gaya tarikmenarik mulai berperan dan mengikat atom-atom menjadi molekul. Ada perbedaan mikanisme timbulnya gaya tarik memarik tersebut dari suatu molekul dengan molekul yang lain Macam-macam mekanisme timbulnya gaya tarik menari antar atom dalam molekul adalah sebagai berikut.
a).
Gaya Van der Wals Gaya Van der Wals timbul akibat dari dua atom yang saling menginduksikan suatu dwikutub listrik, sehingga terjadi interaksi tarik menarik dengan potensial
–/6. untuk jarak yang kecil terjadi tumpang
tindih lintasan orbit elektron. Dengan adanya larangan Pauli, muncul gaya tolak yang membawa ke lintasan orbit yang lebih tinggi dengan potensial
/ , sehingga potensial efektifnya adalah (8-1) − dengan dan adah tetapan, sedang merupakan bilangan positif ≈ 10 b).
Ikatan Ionik Ikatan ionik terbentuk pada atom-atom yang memiliki kecenderungan untuk menerima elektron dan atom lain yang cenderung memberikan elektron sehingga menjadi ion negatif dan ion positif. Karena adanya interaksi coulomb, maka membentuk suatu ikatan yang disebut ikatan ionik. Interaksi tarik-menarik pasangan ion negatif dan positif tersebut tarik
–/. Sebagai contoh pada molekul KCl, atom K memiliki sebuah elektron falensi berkofigurasi 4 dengan tenaga ikat hanya 4,34 eV, atom Cl memiliki 5 elektron valesi pada kofigurasi 3 yang dapat menarik elektron valensi atom K sehingga pada konfigurasi 3 menarik dengan tenaga potensial
menjadi penuh dan mengikatnya dengan tenaga ikat 3,80 eV. Atom Cl yang telah mendapat tambahan satu elektron menjadi ion negatif, sedang atom K yang telah kehilangan satu elektron menjadi ion positif yang saling tarik menarik membentuk molekul dengan tenaga total sistem menjadi
−3,80 − −
(8-2)
Pendahuluan
98
dalam satuan eV dan dalam satuan angstrum. Suku terakhir dalam pers (8-2) adalah sumbangan dari interaksi Van der Wals, dan dapat diabaikan karena nilainya sangat kecil bila dibandingkan dengan interaksi coulomb Tenaga total sebagai fungsi jarak antar atom K dan Cl dilukiskan pada Gb. (8.1)
Gb. (8.1): Tenaga total sebagai fungsi jarak antar atom K dan Cl
c).
Ikatan Kovalen Dalam beberapa keadaan, electron-elektron valensi suatu atom dimiliki bersama dengan ataom lainnya. Hal ini terutama terjadi pada molekul-molekul
yang
tersusun
dari
atom-atom
identik
suatu
molekul,.sebagai contoh adalah molekul-molekul yang tersusun dari atomatom identik adalah H 2, O2 dan N2.
8.2. Tenaga Rotasi Molekul sebagai benda tegar, selain bertranslasi juga berotasi terhadap pusat massanya.
Pendahuluan
99
Pusat massa
Gb. (8.2): Rotasi molekul dwiatom terhadap pusat massanya
Ditinjau suatu molekul dwiatom, yang atom-atomnya berotasi pada sumbu
yang melalui pusat massanya. Pusa sudut molekul ( ) tegak lurus sumbu penghubung kedua inti atom pada molekul Momen kelembaman molekul terhadap sumbu yang melalui pousat masa dan tegak-lurus pada garis penghubung kedua atom adalah (8-3) dalam hal ini dan masing masing menyatakan jarak dan terhadap pusat massa, dan karena maka pers. (8-3) selanjutnya dapat dinyatakansebagi berikut
atau . (8-4) + (massa tereduksi inti), dan (jarak kesetimbangan inti) + Pusa sudut molekul , dengan menyatakan kecepatan sudut rotasi. Pusa sudut molekul terkuantisasi dengan bilangan kuantum rotasional ,sehingga 1. ℏ dengan 0, 1, 2, 3, …… … Tenaga gerak rotasi molekul adalah
ℏ . 1
oleh sebab itu aras tenaga rotasional molekul dapat dinyatakan
(8-5a)
ℏ . 1
Selisih aras tenaga rotasional yang berturutan adalah
ℏ △ + − . 1 4ℎ 1 Untuk radiasi dwikutub listrik, peralihan yang diperbolehkan adalah mengikuti aturan seleksi
∆ ±1.
Dengan demikian setiap peralihan hanya
terjadi di antara aras-aras tenaga yang saling berdekatan
Pendahuluan
100
Dalam kenyataan, spektrum rotasional selalu diperoleh dari penyerapan, sehingga setiap peralihan yang didapatkan, berkaitan dengan keadaan awal
dengan bilangan kuantum ke keadaan akhir dengan bilangan kuantum lebih tinggi
1. Dalam kasus molekul tegar, frekuensi foton yang diserap △ 1 ℏ 1
(8-5b)
Dari pers. (8-5), mengandung arti bahwa spektrum rotasi molekul dwiatom terdiri dari garis-garis spektrum yang berjarak sama, yaitu
△ ℏ ,
hal ini
dibuktikan dengan spektrum yang diperoleh dari hasil pengukuran. Pada Gb. (8.3), ditampilkan spektrum rotasi molekul HCl
Gb. (8.3): Spektrum Rotasi molekul HCl
8.3. Tenaga Vibrasi Jarak antar inti atom dalam molekul yang dianggap tepat, mengisyaratkan bahwa atom-atom penyusun molekul melakukan gerak vibrasi nisbi. Di sekitar
, bentuk tenaga potensial dapat didekati dengan fungsi parabola − , ( =jarak paling stabil sehingga gerak vibrasi nisbinya merupakan vibrasional sederhana dengan frekuensi sudut / , dengan menyatakan massa tereduksi molekul. Dengan demikian tenaga vibrasi
jarak kesetimbangan
molekul dwiatom adalah
ℏ Dengan 0,1,2,3, …… …… .. menyatakan bilangan kuantum vibrasi
(8-6)
Pendahuluan
101
Aturan seleksi untuk peralihan dwikutub listrik di antara aras-aras tenaga vibrasi adalah
∆ ±1. Ini mengandung arti bahwa peralihan hanya terjadi antara aras
tenaga yang bersebelahan, sehingga frekuensi yang diserap atau dipancarkan dalam suatu peralihan adalah sama, yaitu
2 Tenaga molekul karena rotasi dan vibrasi dapat dinyatakan sebagai
atau
(8-7) ℏ 1 ℏ ℏ Karena nilai jauh lebih kecil dari ℏ maka dapat dikatakan bahwa setiap aras tenaga vibrasi terdapat beberapa aras tenaga rotasi seperti yang ditunjukkan pada Gb.(8.4)
Gb. (8.4): Aras tenaga rotasi dan vibrasi molekul dwiatom
8.4. Peralihan Elektron Dalam Molekul
Setiap molekul memiliki konfigurasi elektron yang stabil atau keadaan elektronik yang stasioner. Untuk keadaan alaktronik, terdapat beberapa keadaan getar, dan setiap keadaan getar terdapat beberapa keadaan rotasi.
Pendahuluan
102
Tenaga molekul dapat dinyatakan sebagai
ℏ ℏ 1
(8-8)
menyatakan tenaga elektronik pada keadaan tenaga potensial
minimum. Dalam suatu peralihan elektronik terjadi perubahan tenaga
Δ Δ Δ Δ Dengan Δ " ′ perbedaan tenaga minimum
(8-9) dari dua keadaan
elektronik
Δ " ′ " ℏ" − ′ ℏ′ ℏ ℏ ∆ " ′ " "j" 1 − ′j' 1
Gb. (8.5): Dua aras elektronik dengan aras-aras vibrasi-rotasi
Frekuensi radiasi yang dipancarkan atau diserap dalam peralihan elektronik terdiri dari tiga bagian yaitu:disebabkan oleh perubahan tenaga elektronik, perubahan tenaga vibrasi, dan perubahan tenaga rotasi Pada peralihan dwikutub listrik untuk aras tenaga rotasional harus dipenuhi
∆ 0,±1, kecuali 0 ⟶ 0. Dalam hal ini peralihan dengan ∆ 0 diperbolehkan, karena pada saat peralihan elektronik, terjadi perubahan konfigurasi.
-oOo-
Pendahuluan
Daftar Pustaka Arthur Beiser. 1996. Konsep Fisika Modern. Erlangga. Bandung Kenneth S Krane. 1992. Fisika Modern. UI-Press. Jakarta Kusminarto. 1994. Pokok-Pokok Fisika Modern. FMIPA UGM. Yogyakarta. Sells,RL. 1962. Elementary Modern Physics. Allyn and Bacon, Inc. London Hariadi,PS. 1991. Fisika Modern. ITB. Bandung
103
Pendahuluan
104
Glosarium Azas Kovariansi
:
Semua hukum Fisika tetap bentuknya terhadap perpindahan kerangka enersial yang saling bergerak tanpa percepatan
Azas Korenpondensi
:
Pada kelajuan rendah (v <
Delatasi waktu
:
Efek relativistik pada pengukuran selang waktu bagi pengamat yang bergerak terhadap obyek pengukuran
Kontaksi panjang
:
Efek relativistik pada pengukuran panjang bagi pengamat
yang
bergerak
terhadap
obyek
pengukuran Massa relativistik
:
Massa suatu benda yang diukur oleh pengamat yang bergerak terhadap ubyek yang diukur
Foton
:
Paket tenaga cahaya berdasar hipotesisi Einstein pdata teori kuantum cahaya
Hamburan Compton
:
Interaksi foton dengan elektron bebas
Hamburan balik
:
Tenaga foton terhambur mencapai nilai terkecil pada sudut hambur radian
Tepi Comton
:
Tenaga pentalan elektron mencapai maksimum pada sudut hambur radian
Fotoelektron
:
Elektron yang terlepas akibat penyinaran pada gejala fotolistrik
Radiasi
:
Perpindahan
tenaga tanpa membutuhkan
zat
perantara Benda hitam
:
Benda yang menyerap
seluruh
radiasi
yang
datang bila suhunya lebih rendah daru suhu sekelilingnya, dan memancarkan seluruh tenaga radiasi
bila
suhunya
lebih
tinggi
dari
suhu
sekelilingnya Tenaga ionisasi
:
Tenaga yang diperlukan elektron untuk lepas dari ikatan inti dalam atom
