FLUID ~ Physique et Dynamique des Fluides
TRAVAUX PRATIQUES
2013-2014
Département : Mécanique des Fluides et Energétique
Avant-propos Ce document polycopié correspond au support des enseignements pratiques de la formation en Fluides, Physique et Dynamique des Fluides, enseignée en première année à l’École Centrale de Nantes. Les séances de Travaux Pratiques sont essentielles pour une bonne compréhension des phénomènes fluides. Elles sont, en outre, une initiation aux méthodes expérimentales et aux pratiques de mesure.
Notez que les ordinateurs présents en salle n'ont pas d'accès au réseau de l’Ecole. Il convient d'apporter vos travaux préparatoires à l'aide d'une clé USB ou d'apporter votre propre machine. Il convient de préparer la manipulation, m anipulation, AVANT chaque séance, en lisant le texte correspondant (les pré-requis théoriques sont détaillés, les montages
décrits…)
faire les calculs préliminaires demandés mettre en place la feuille de calcul dans un logiciel tableur qui permettra de noter les mesures, calculer les grandeurs utiles et affic her les courbes demandées
PENDANT la séance de 2 heures, vous effectuerez les mesures, traiterez les données et discuterez des résultats obtenus avec les encadrants du TP. Le compte-rendu de la manipulation est rédigé APRES la séance de Travaux Pratiques. Il s’agit de rédiger un rapport d’étude d’ingénieur simplifié et non un compte-rendu compte -rendu de type scolaire. Un tel rapport ingénieur complet devrait comporter dans une première partie descriptive les éléments suivants (dont vous êtes dispensés pour vous simplifier le travail) 1) Une brève introduction dans laquelle le problème sera clairement posé et les objectifs clairement définis,
2) Un schéma synthétique de l’installation expérimentale, 3) Un rappel des éléments théoriques concernant l’écoulement considéré et une description des méthodes suivies précisant les hypothèses retenues, Ensuite le rapport que vous rédigerez devra contenir les mesures et leur analyse grâce aux éléments suivants 4) Des tableaux de mesures brutes et une estimation des incertitudes de mesures pour chaque paramètre mesuré, 5) Les tableaux de résultats finaux avec leurs incertitudes et les graphiques correspondantes, 6) Une analyse des résultats (critique de la mise en équation du problème, incertitudes des
mesures, défauts du montage expérimental, commentaires sur les difficultés rencontrées…) Vous prendrez l’habitude : l’i ncertitude Pour les valeurs numériques, d’ajuster le nombre de chiffres significatifs à l’incertitude de mesure.
Pour les graphiques, d’inclure un titre, une légende et les unités pour chaque axe.
L’équipe pédagogique
I - ACTION D’UN JET RAPPEL : Avant de participer à la séance de Travaux Pratiques, vous devez la préparez personnellement à l’aide des indications contenues au fil de l’énoncé. Il est important de se référer à l’avant-propos de ce document.
1. BUT DE LA MANIPULATION Il s’agit de mesurer l’action d’un jet s ur un obstacle et de la comparer à la force calculée par application du théorème des quantités de mouvement. Ce TP concerne trois montages différents dont la modélisation théorique est présentée dans une première partie commune. Chacun des montages est ensuite présenté et les mesures et l’analyse des résultats à faire sont décrites.
2. THEORIE A.
Calcul des efforts par application du théorème d’Euler
Le théorème des quantités de mouvement s’écrit pour un volume de contrôle fixe
V limité
par une
enveloppe S (équation (15.1) du polycopié de cours) :
V t dV V V.n dS gdV P.n dS .n dS V
S
(I)
V
(II)
S
(III)
: masse volumique du fluide
S
(IV)
(V)
z
V : champ de vitesse instantanée
: normale extérieure au volume de contrôle P : pression totale dans le fluide
(1)
n
n1
obstacle
: tenseur des contraintes visqueuses g : vecteur accélération de la pesanteur.
S1
Si
Se
On l’applique ici sur un volume fluide compris entre la sortie de la tuyère et un obstacle,
g
l’ensemble ayant l’axe vertical ascendant Oz comme axe de symétrie de révolution.
L’enveloppe S est donnée par S
S0 S1 Se Si
V est le volume d’eau considéré.
S0 est la section de la tuyère, S 1 la section de sortie du jet, S i la surface de l’obstacle en contact avec le jet et S e l’interface eau-air (Fig. 1).
O
no
So tuyère
Figure 1 : Volume fluide utilisé pour le théorème des quantités de mouvement
Calcul du terme (I) :
Le terme (I) est nul, l’écoulement étant supposé stationnaire. Calcul du terme (II) : Pour le terme (II), seules les intégrales sur S 0 et S1 donnent des termes non nuls. En effet, le produit V.n est nul sur S i (condition d'étanchéité) et sur Se (enveloppe du tube de courant). En introduisant les vitesses moyennes (ou vitesses de débit) U d et les coefficients cinétiques
V dS 2
S
dans les sections S 0 et S1, il vient :
2
U dS
2
2
(II)= 0U d0 S0 n 0 1 U d1 S1n1 0 U d0 Qv n 0 1 U d1 Q vn 1
(2)
où Q v est le débit volumique de l’écoulement. Calcul du terme (III) : Ce terme représente les forces de pesanteur qui sont les seules forces de type volumique retenues ici. Ce terme s’écrit : (III)= gez où
ez
est le vecteur directeur de l’axe z.
Calcul du terme (IV) : Sur la section Se, la pression est égale à la pression atmosphérique P atm par contact avec le milieu ambiant. Dans les sections S 0 et S1, où les filets fluides sont rectilignes et parallèles entre eux, la pression étoilée P* P gz est constante. Sur S0, l’altitude z étant constante, la pression P l’est aussi et par continuité, on a P=P atm. Sur S1, on obtient de même P=P atm en négligeant les variations de z sur l’épaisseur de la section. (IV)=
PndS Si
S0 S1 Se
Patm ndS
PndS Patm ndS Patm ndS P Patm ndS Si
Si
Si
S
0
Ce terme correspond à l’opposé des efforts de pression sur l’obstacle. On remarque que c’est une pression relative qui intervient : on calcule donc ici uniquement les efforts dus à la surpression
P P Patm générée par le jet, ou si l’on veut, les efforts de pression sur l’obstacle dus au jet et à la pression atmosphérique compensés en partie par les efforts de pression atmosphérique sur la
face supérieure de l’obstacle (voir Fig. 2). Calcul du terme (V) :
Ce terme représente l’action des forces de viscosité du milieu extérieur sur les différentes surfaces du volume de contrôle . Généralement, ces efforts sont supposés négligeables dans les sections droites, ici S 0 et S1.
(3)
De plus, on considère que le frottement eau-air sur S e est négligeable devant le frottement sur l’obstacle. Finalement :
.ndS .ndS S
(4)
Si
Forces crées par la surpression générée par le jet Forces dues à la pression atmosphérique
Figure 2 : Définition des efforts agissant sur l’obstacle
La somme des termes (IV) et (V) représente donc au signe près l’ensemble des efforts du fluide Fz
(dus à la pression et à la viscosité) sur l’obstacle défini par la surface S i.
En conclusion :
0Ud Q v n 0 1U d Q vn1 ge z P Patm ndS .ndS 0
1
Si
(5)
Si
Fz
De plus, le problème étant à symétrie radiale, l’effort Fz sera forcément porté par l’axe vertical z. Avec n 0 ez ,
n1.ez cos et Fz Fz .ez , il reste :
Fz Qv 0 Ud 0 1Ud1 cos g Dans ce qui suit, on explicite la formule précédente pour trois cas :
le fluide parfait
le fluide réel
la prise en compte de la pesanteur (c’est -à-dire du terme - g )
ce pour les deux obstacles étudiés, disque plan et calotte hémisphérique.
(6)
B.
Disque plan
Voici le schéma de principe du jet impactant sur le disque plan, en coupe dans un plan vertical passant par l’axe du jet.
z
S1
Se
Si
g
So
Figure 3 : Schéma de principe du disque plan.
B.1. Fluide parfait non pesant : Les profils de vitesse dans les sections droites S 0 et S1 sont supposés uniformes donc 0 1 1.
Ici, l’angle vaut 90° donc Fz
Q v U d
0
(7)
B.2. Fluide réel non pesant : Le terme (V) de l’équation (1) représentant les effets de viscosité étant inclus directement dans l’expression de l’effort
Fz
que l’on souhaite calculer -voir formule (5)- l’influence de la viscosité du
fluide apparaît dans le calcul du coefficient 1 . Cependant, dans le cas du disque plan, cette influence est annulée par la valeur de cos . Dès la sortie de la tuyère, l’écoulement est en contact avec l’air et la répartition des vitesses devient rapidement uniforme. On fera donc l’hypothèse 0 1 et
0
1
dans la section S 0.
Dans le cas du fluide réel non pesant, F z s’écrit donc encore :
Fz Qv Ud0
(8)
B.3. Fluide pesant : Aussi bien en fluide parfait qu’en fluide réel, on peut prendre en compte le terme de pesanteur dans l’équation (6) en explicitant .
2
Pour le disque plan, le volume est approché par la formule S0 z R h
(9)
Pour déterminer h, on utilise la conservation du débit volumique entre les sections d’entrée et de sortie, soit
QV
U d 0 S0
U d1 2R h d’où h
Qv U d1 2R
(10)
Pour finir, on exprime Ud en fonction des données d’entrée en utilisant la relation de Bernoulli 1
généralisée (on suppose que les pertes de charge sont négligeables entre S 0 et S1) :
0
avec P0
P1
Ud20 2g
P0 g
z0 1
Ud21 2g
P1 g
z1
(11)
Patm et z z1 z0
2
Finalement,
U d1
0 U d 2gz 0
et
1
h
Qv
1
2R
0 U
2 d0
(12)
2gz
1
Pour le calcul des coefficients cinétiques, reportez-vous à la partie 2.D.
C.
Calotte hémisphérique
Pour la calotte hémisphérique , l’angle de sortie vaut 180°.
z
g Si Se R Ud S
o
0
h
S1
x’
Ud
1
Figure 5 : Schéma de la calotte hémisphérique
C.1. Fluide parfait non pesant En appliquant le théorème de Bernoulli fluide parfait entre les sectio ns d’entrée et de sortie, on montre que Ud0 Ud1 . Avec 0 1 1 et =180°, la relation (6) devient :
Fz 2Qv Ud0
(17)
C.2. Fluide réel non pesant Pour finir, on exprime U d en fonction de Ud en appliquant la relation de B ernoulli généralisée 1
0
entre S0 et S1 (on suppose les pertes de charge négligeables entre S 0 et S1). Il vient :
U 2d0
0
avec P0
P1
Patm et z1
2g
Ud
P0
z 0 1
g
U 2d1 2g
P1 g
z1
(18)
z 0 d’où :
1
Ud
0
0
(19)
1
Finalement, la relation (6) donne :
Fz
Qv Ud 1 1 0 1 0
(20)
Comme dans le cas du disque plan, Pour le calcul des coefficients cinétiques, reportez-vous à la partie 2.D.
C.3. Fluide pesant Ici, le volume d’eau considéré vaut : S0 R 2R 2 h
(25)
Pour déterminer h, on utilise la conservation du débit volumique entre les sections d’entrée et de sortie, soit :
QV
U d0 S0
U d1 h 2R h U d1 2 Rh
En combinant la relation ci-dessus avec la formule (19), on obtient : h
d’où un volume fluide :
S0
2R
1
(26)
S0 R 1 1 0
(27)
0
Comme dans le cas du disque plan, Pour le calcul des coefficients cinétiques, reportez-vous à la partie 2.D.
D.
Calcul des coefficients cinétiques dans la section S1 : D.1. En régime laminaire
V1 z
U
1max
z
R
Au niveau de la section de sortie S 1, on suppose que le profil de vitesse instantanée V1 est de type semiparabolique (Fig. 4) :
V1
h
z z 2 2 h h
S1
Se
Si
z (13)
U1
max
z
g
Ud
o
So
où h est l’épaisseur (supposée constante) de la lame de fluide dans la section de sortie.
Figure 4 : Disque plan, paramètres pour le calcul des coefficients cinétiques et h
V dS V z 2Rdz 1
S1
La vitesse de débit est donnée par : U d
1
S1
V dS
1
0
2Rh
2 3
U max
(14)
2
1
1 est donné par
S1
1
2
Ud S1
6 5
(15)
1
Le coefficient 1 qui apparaît dans l’équation de Bernoulli pour un fluide réel est donné par
V dS 3 1
S1
1
3
U d S1
54 35
1,543
(16)
1
Après calcul, il vient : Ud
U max 8R
1
6
2R
5h
h
2
2R h 128R 93h 35 8R 5h 36 2R h 16R 11h 1 2 15 8R 5h 54
1
(21)
3
(22)
(23)
Ici, on suppose l’épaisseur de la lame de fluide très faible devant le rayon de la calotte, soit h R , d’où :
Ud
1
2
1
1
3
54
U max
35 6 5
1, 543
(24)
1, 2
D.2. En régime turbulent En faisant l’hypothèse d’un régime turbulent, on considère que le profil moyen est quasi uniforme sauf dans les couches limites de faible épaisseur près des parois. Par conséquent, les coefficients cinétiques sont proches de un.
3. DEROULEMENT DES TRAVAUX PRATIQUES A.
Montage A A.1. Description du montage
On dispose d’une tuyère verticale qui dirige un jet vers un obstacle. La tuyère et l’obstacle sont enfermés dans un cylindre transparent fermé aux extrémités. La base supporte la canalisation d’arrivée du fluide dans la
tuyère et comporte une évacuation. L’extrémité supérieure laisse passer une tige qui fixe l’obstacle au dispositif de mesure de la force exercée par le jet.
Le débit est réglé par l’intermédiaire d’une vanne et sa mesure effectuée à l’aide du banc hydraulique (voir vidéo sur serveur pédagogique ou fiche à la fin du sujet).
Figure 6 : Vue générale de l’installation.
Le dispositif de mesure est constitué d’une poutre rigide qui reprend en son milieu la force exercée sur l’obstacle (Fig. 7). L’une de ses extrémités est fixe, l’autre étant maintenue par l’intermédiaire d’un capteur de forces à jauge de contrainte (ou pont d’extensométrie) du type SEDEME AC 20 : la force exercée par l e jet est ainsi directement transmise au capteur.
Le capteur est relié à un conditionneur de pont d’extensométrie TS 37 et à un voltmètre. capteur
Figure 7 : Chaîne de mesure. A gauche, le capteur de force (pont d’extensométrie); à droite, le conditionneur et le voltmètre. Pour le premier obstacle étudié (indifféremment, obstacle plan ou demi-sphère), il faut effectuer un étalonnage en soumettant le capteur à différents efforts connus (on utilise des masses marquées
et la petite balance que l’on relie au capteur à l’aide du crochet), ce qui permet de relever la tension correspondante sur le voltmètre et de tracer une courbe d’étalonnage de l’effort mesuré par le capteur (en Newtons) en fonction de la tension enregistrée au voltmètre . Cet étalonnage sera valable pour les deux obstacles.
Une fois l’étalonnage effectué, ne pas oublier de décrocher le fil reliant la balance au capteur . On relève pour différents débits (dont les valeurs sont estimées par le banc hydraulique), les tensions affichées au voltmètre et on en déduit grâce à l’étalonnage effectué, les efforts correspondants.
A.2. Préparation du TP On se réfèrera à l’avant-propos du TP pour les détails concernant la préparation du TP qui doit être effectuée avant la séance.
A.2.1. Données mesurées Les mesures effectuées sont les tensions relevées au niveau du capteur de force (figure 7) dues : - au poids imposé sur le capteur via différentes masses pour l’étalonnage (7 mesures à faire de 100 à 700 g) - aux efforts produits par le jet sur chacun des deux obstacles. On mesure alors les tensions pour 10 débits mesurés au banc hydraulique.
On fournit sur le serveur pédagogique une feuille de calcul de type tableur qu’il vous convient de compléter afin d’y inscrire l’ensemble des mesures faites au cour s de la séance de TP.
A.2.2. Etalonnage Le capteur de force doit être étalonné en accrochant un plateau au capteur et en mesurant les valeurs données par le voltmètre pour différentes masses ; ceci permet d’en déduire une courbe d’étalonnage pour le capteur; ces éléments sont déjà construits dans la feuille de calcul. Ceci n’est à faire qu’une seule fois au début de la séance et sera valable pour les 2 obstacles.
A.2.3. Mesures des efforts Les valeurs affichées au voltmètre doivent être relevées, ce pour 10 valeurs de
débits mesurées avec le dispositif de banc hydraulique. Un calcul d’incertitude doit être effectué pour les efforts expérimentaux. Ceci est à faire pour les 2 obstacles et est déjà mis en place dans la feuille de calcul pour un obstacle.
A.2.4. Calcul des efforts par le théorème de quantité de mouvement et comparaison expérience-théorie Pour les 2 obstacles, les efforts théoriques basés sur les formules tirées du théorème de quantité de mouvement doivent être calculés pour les 3 modèles suivants : fluide parfait non pesant, fluide réel non pesant et fluide réel pesant. Préparez le calcul des efforts en programmant les formules dans la feuille de calcul. Pour vérifier vos formules, les efforts en fluide réel pesant doivent être, pour un débit donné, très légèrement inférieurs aux efforts en fluide réel non pesant et ces derniers légèrement inférieurs aux efforts en fluide parfait non pesant. Un calcul d’incertitude sur les efforts thé orique en fluide parfait non pesant doit être effectué.
Préparez pour chacun des 2 obstacles un graphique des efforts calculés pour les différents modèles théoriques (fluide parfait non pesant, fluide réel non pesant, fluide réel pesant) en fonction des ef forts mesurés. Les calculs d’incertitude faits
précédemment seront intégrés aux courbes sous forme de barres d’erreurs horizontales ou verticales. Ne reliez pas les points entre eux et ajouter une courbe de régression linéaire. Données numériques :
Distance du point d’impact du jet à l’axe de rotation de la balance : 15,2 cm Diamètre de sortie de la tuyère : 10 mm Diamètre du disque plan : 75 mm Diamètre de la calotte hémisphérique : 60 mm Distance z de la sortie de la tuyère au disque plan : 28 mm (grandeurs données à titre indicatif et à vérifier si possible lors des mesures)
A.3. Mesures Pour démarrer la manipulation , vous vous référerez à l’affiche disposée à proximité du montage I-A (disponible à la fin du sujet).
Pour le premier des deux obstacles seulement :
A.3.1. Réglage du dispositif de mesure de la force et étalonnage
A vide, régler l’équilibre du pont d’extensométrie (bouton du haut du conditionneur , voir figure 7) : les 2 diodes doivent être allumées et/ou le voltmètre doit indiquer 0 V.
Accrocher le plateau (100g) au capteur.
Relever les valeurs données par le voltmètre pour différentes masses (de 0 à 700 g par pas de 100g).
Tracer la courbe d’étalonnage donnant l’effort exercé sur le capteur (en Newton) en fonction de la tension lue sur le voltmètre enregistreur.
Décrocher le fil reliant le plateau au capteur
Opérations à faire pour les deux obstacles :
A.3.2. Mesures
Précautions liées au montage : faire la mesure d’effort en vidant bien la cuve de pesée (sinon la charge de la o pompe diminue et le débit avec) n’utilisez pas de trop grande masse lors de la pesée, sinon le niveau du o réservoir de la cuve descend trop, la charge de la pompe diminue et le débit aussi.
Pour le second obstacle, N’OUBLIEZ PAS DE REFAIRE, à débit nul, l’équilibre du pont. En revanche, ne touchez pas au bouton du gain (bouton du bas) sous peine de devoir refaire l’étalonnage.
Pour 10 débits (mesurés au banc hydraulique), mesurez l’effort exercé sur l’obstacle et complétez la feuille de calcul.
A débit donné, la tension donnée par le voltmètre n’est pas parfaitement constante. La touche MIN MAX du voltmètre permet d’avoir les valeurs minimale et maximale de la tension pendant la durée de mesure et donc de pouvoir estimer l’incertitude faite sur cette mesure. Pour les 10 débits, prendre des valeurs régulièrement reparties entre 0 et la valeur maximale pouvant être délivrée par la pompe.
Pour un débit très faible (le jet entrant juste en co ntact avec l’obstacle), regardez l’effort obtenu.
A.4. Analyse des résultats On se réfère à l’avant-propos du TP pour les détails concernant le rapport de TP. Notez que ce rapport d’études simplifié devra entre autres répondre aux questions/remarques identifiés ciaprès.
A.4.1. Hypothèse fluide non pesant, parfait ou turbulent
Pour chacun des 2 obstacles, calculez les efforts théoriques donnés par le théorème des quantités de mouvement dans l’hypothèse du fluide parfait non pesant et celle du fluide visqueux pesant. Précisez comment vous choisissez le régime d’écoulement.
Tracez les efforts théoriques en fonction des efforts mesurés (un graphique par obstacle).
Faites un calcul d’incertitudes pour les efforts théoriques et les efforts mesurés (donner les formules littérales employées) et reportez ces valeurs sur la courbe précédente sous
forme de barres d’erreur.
Commentez les résultats obtenus. Que pensez-vous des hypothèses initiales ?
Quel est l’intérêt de la grille de ventilation placée au niveau de la tuyère ?
Quelles sont les limitations/défauts/inconvénients du montage expérimental et/ou de la
formulation théorique utilisés pouvant jouer sur l’accord entre résultats ex périmentaux et théoriques.
Comment évaluez-vous les performances du modèle fluide parfait ? Que dire des efforts
de frottement pour l’étude des jets impactants ? Pour le cas d’un débit très faible (le jet entrant juste en contact avec l’obstacle), regardez l’effort obtenu. Q uels sont les phénomènes physiques en cause ? Le domaine fluide que vous observez est-il cohérent avec le volume fluide retenu pour expliciter les différents termes du bilan ?
A.4.2. Hypothèse fluide pesant
Afin d’affiner les résultats, on repr end les hypothèses du fluide visqueux en introduisant la pesanteur.
Calculez les deux termes du bilan de quantité de mouvement (forces d’inertie et forces de pesanteur) en fonction du débit. Reportez sur les graphiques précédents (paragraphe A.4.1) les efforts théoriques pour le cas du fluide visqueux pesant. Quelle amélioration constatez-vous ? L’hypothèse admise pour de nombreuses applications -basées sur l’utilisation du théorème de quantité de mouvement- de ne considérer que les forces de pression dans le calcul de la variation de la quantité de mouvement vous semble-t-elle acceptable ?
B.
Montage B B.1. Description du montage
Une pompe centrifuge placée près du sol prélève d e l’eau dans un premier réservoir et alimente un autre réservoir muni d’un trop-plein.
rotamètre dynamomètre
obstacle
tuyère
vanne
Figure 8 : Vue générale de l’installation. Le circuit de mesure (Fig. 8) comporte une vanne, permettant de faire varier le débit, qui est mesuré à l’aide d’un rotamètre. L’étalonnage de celui -ci est donné par une équation (voir cidessous). A la sortie de la tuyère, le jet est dirigé sur un obstacle (disque plan ou calotte hémisphérique). L’action du jet est mesurée par l’intermédiaire d’un dynamomètre à jauge de contrainte (Fig. 9) qui donne les efforts en grammes. Après avoir frappé l’obstacle, l’eau tombe par gravité dans le réservoir inférieur.
Figure 9 : Dynamomètre, obstacle et tuyère.
B.2. Préparation du TP B.2.1. Données mesurées Pour 10 débits mesurés au rotamètre, les mesures effectuées sont les efforts exercés sur le jet par chacun des 2 obstacles.
On fournit sur le serveur pédagogique une feuille de calcul de type tableur qu’il vous convient de compléter afin d’y inscrire l’ensemble des mesures faites au cours de la séance de TP.
B.2.2. Mesures des débits et des efforts L’équation de la courbe d’étalonnage du rotamètre est :
où z est la cote du bord supérieur du
flotteur en mm et z0 vaut 200 mm. Les efforts mesurés en grammes sont à convertir en Newtons.
Un calcul d’incertitude doit être effectué pour les efforts expérimentaux. Ceci est à faire pour les 2 obstacles et est déjà mis en place dans la feuille de calcul pour un obstacle.
B.2.3. Calcul des efforts par le théorème de quantité de mouvement et comparaison expérience-théorie Pour les 2 obstacles, les efforts théoriques basés sur les formules tirées du théorème de quantité de mouvement doivent être calculés pour les 3 modèles suivants : fluide parfait non pesant, fluide réel non pesant et fluide réel pesant. Préparez le calcul des efforts en programmant les formules dans la feuille de calcul. Pour vérifier vos formules, les efforts en fluide réel pesant doivent être, pour un débit donné, très légèrement inférieurs aux efforts en fluide réel non pesant et ces derniers légèrement inférieurs aux efforts en fluide parfait non pesant.
Un calcul d’incertitude sur les efforts théorique en fluide parfait non pesant doit être effectué. Préparez pour chacun des 2 obstacles un graphique des efforts calculés pour les différents modèles théoriques (fluide parfait non pesant, fluide réel non pesant, fluide
réel pesant) en fonction des efforts mesurés. Les calculs d’incertitude faits précédemment seront intégrés aux courbes sous forme de barres d’erreur s horizontales ou verticales. Ne reliez pas les points entre eux et ajouter une courbe de régression linéaire. Données numériques :
Diamètre de sortie de la tuyère : 10 mm Diamètre du disque plan : 75 mm Diamètre de la calotte hémisphérique : 60 mm Distance z de la sortie de la tuyère au disque plan : 41 mm (grandeurs données à titre indicatif et à vérifier si possible)
B.3. Mesures Pour démarrer la manipulation , vous vous référerez à l’affiche disposée à proximité du montage I-B. Pour chacun des 2 obstacles et 10 débits (mesurés au banc hydraulique), mesurez l’effort exercé et complétez la feuille de calcul . Pour les 10 débits, prendre des valeurs régulièrement reparties entre 0 et la valeur maximale
pouvant être délivrée par la pompe (estimation approchée via l’élévation du rotamètre). B.4. Analyse des résultats On se réfère à l’avant -propos du TP pour les détails concernant le rapport de TP. Notez que ce rappo rt d’études simplifié devra entre autres répondre aux questions/remarques identifiés ci-après. Lors des mesures faites précédemment, quel dispositif assure un débit constant ?
B.4.1. Hypothèse fluide non pesant, parfait ou visqueux
Pour chacun des 2 obstacles, calculez les efforts théoriques donnés par le théorème des
quantités de mouvement dans l’hypothèse du fluide parfait non pesant et celle du fluide visqueux pesant. Précisez comment vous choisissez le régime d’écoulement.
Tracez les efforts théoriques en fonction des efforts mesurés (un graphique par obstacle).
Faites un calcul d’incertitudes pour les efforts théoriques et les efforts mesurés (donner les formules littérales employées) et reportez ces valeurs sur la courbe précédente sous forme de barres d’e rreur.
Commentez les résultats obtenus. Que pensez-vous des hypothèses initiales ?
Quel est l’intérêt de la grille de ventilation placée au niveau de la tuyère ?
Quelles sont les limitations/défauts/inconvénients du montage expérimental et/ou de la formulation théorique utilisés pouvant jouer sur l’accord entre résultats expérimentaux et théoriques.
Comment évaluez-vous les performances du modèle fluide parfait ? Que dire des efforts
de frottement pour l’étude des jets impactants ? Pour le cas d’un débit tr ès faible (le jet entrant juste en contact avec l’obstacle), regardez l’effort obtenu. Q uels sont les phénomènes physiques en cause ? Le domaine fluide que vous observez est-il cohérent avec le volume fluide retenu pour expliciter les différents termes du bilan ?
B.4.2. Hypothèse fluide visqueux pesant
Afin d’affiner les résultats, on reprend les hypothèses du fluide visqueux en introduisant la pesanteur.
Calculez les deux termes du bilan de quantité de mouvement (forces d’inertie et forces de pesanteur) en fonction du débit. Reportez sur les graphiques précédents (paragraphe A.4.1) les efforts théoriques pour les cas du fluide visqueux pesant. Quelle amélioration constatez-vous ? L’hypothèse admise pour de nombreuses applications -basées sur l’utilisation du théorème de quantité de mouvement- de ne considérer que les forces de pression dans le calcul de la variation de la quantité de mouvement vous semble-t-elle acceptable ?
C.
Montage C C.1. Description du montage
Figure 10 : Vue générale de l’installation.
Figure 11 : Capteur et obstacle.
Une pompe prélève de l’eau dans un premier réservoir et alimente un autre réservoir muni d’un trop-plein. Le circuit de mesure (Fig. 10) comporte une vanne, permettant de faire varier le débit, qui est mesuré à l’aide d’un rotamètre. A la sortie de la tuyère, le jet est dirigé sur un obstacle (disque plan
ou calotte hémisphérique). L’action du jet est mesurée par l’intermédiaire d’un capteur de forces
(Fig. 11) donnant les efforts en Newtons. Après avoir frappé l’obstacle, l’eau tombe par gravité dans le réservoir inférieur.
C.2. Préparation du TP C.2.1. Données mesurées Pour 10 débits mesurés au rotamètre, les mesures effectuées sont les effo rts exercés sur le jet par chacun des 2 obstacles. On fournit sur le serveur pédagogique une feuille de calcul de type tableur qu’il vous
convient de compléter afin d’y inscrire l’ensemble des mesures faites au cours de la séance de TP.
C.2.2. Mesures des débits et des efforts Les débits sont relevés directement au rotamètre en l/h.
Un calcul d’incertitude doit être effectué pour les efforts expérimentaux. Ceci est à faire pour les 2 obstacles et est déjà mis en place dans la feuille de calcul pour un obstacle.
C.2.3. Calcul des efforts par le théorème de quantité de mouvement et comparaison expérience-théorie Pour les 2 obstacles, les efforts théoriques basés sur les formules tirées du théorème de quantité de mouvement doivent être calculés pour les 3 modèles suivants : fluide parfait non pesant, fluide réel non pesant et fluide réel pesant. Préparez le calcul des efforts en programmant les formules dans la feuille de calcul. Pour vérifier vos formules, les efforts en fluide réel pesant doivent être, pour un débit donné, très légèrement inférieurs aux efforts en fluide réel non pesant et ces derniers légèrement inférieurs aux efforts en fluide parfait non pesant.
Un calcul d’incertitude sur les efforts théorique en fluide parfait non pesant doit être effectué. Préparez pour chacun des 2 obstacles un graphique des efforts calculés pour les différents modèles théoriques (fluide parfait non pesant, fluide réel non pesant, fluide
réel pesant) en fonction des efforts mesurés. Les calculs d’incertitude faits précédemment seront intégrés aux courbes sous forme de barres d’erreurs horizontales ou verticales. Ne reliez pas les points entre eux et ajouter une courbe de régression linéaire. Données numériques :
Diamètre de sortie de la tuyère : 10 mm Diamètre du disque plan : 80 mm Diamètre de la calotte hémisphérique : 82 mm Distance z de la sortie de la tuyère au disque plan : 56 mm (grandeurs données à titre indicatif et à vérifier)
C.3. Manipulation Pour démarrer la manipulation , vous vous référerez à l’affiche disposée à proximité du montage I-C. Pour chacun des 2 obstacles et 10 débits (mesurés au banc hydraulique), mesurez l’effort exercé et complétez la feuille de calcul . Pour les 10 débits, prenez des valeurs régulièrement reparties entre 0 et la valeur maximale pouvant être délivrée par la pompe (estimation approchée via l’élévation du rotamètre). Pour la calotte hémisphérique, pensez à monter la grille de ventilation de la poche d’air
qui se forme naturellement avec l’écoulement. C.4. Analyse des résultats On se réfère à l’ avant-propos du TP pour les détails concernant le rapport de TP. Notez que ce rapport d’études simplifié devra entre autres répondre aux questions/remarqu es identifiés ci-après. Lors des mesures faites précédemment, quel dispositif assure un débit constant ?
C.4.1. Hypothèse fluide non pesant, parfait ou visqueux
Pour chacun des 2 obstacles, calculez les efforts théoriques donnés par le théorème des
quantités de mouvement dans l’hypothèse du fluide parfait non pesant et celle du fluide visqueux pesant. Précisez c omment vous choisissez le régime d’écoulement.
Tracez les efforts théoriques en fonction des efforts mesurés (un graphique par obstacle).
Faites un calcul d’incertitudes pour les efforts théoriques et les efforts mesurés (donner les formules littérales employées) et reportez ces valeurs sur la courbe précédente sous
forme de barres d’erreur.
Commentez les résultats obtenus. Que pensez-vous des hypothèses initiales ?
Quelles sont les limitations/défauts/inconvénients du montage expérimental et/ou de la
formulation théorique utilisés pouvant jouer sur l’accord entre résultats expérimentaux et théoriques.
Comment évaluez-vous les performances du modèle fluide parfait ? Que dire des efforts
de frottement pour l’étude des jets impactants ? Pour le cas d’un débit très faible (le jet entrant juste en contact avec l’obstacle), regardez l’effort obtenu. Q uels sont les phénomènes physiques en cause ? Le domaine fluide que vous observez est-il cohérent avec le volume fluide retenu pour expliciter les différents termes du bilan ?
C.4.2. Hypothèse fluide visqueux non pesant et fluide visqueux pesant
Afin d’affiner les résultats, on reprend les hypothèses du fluide parfait en introduisant la viscosité et la pesanteur. Calculez les deux termes du bilan de quantité de mouvement (forces d’inertie et forces de pesanteur) en fonction du débit. Reportez sur les graphiques précédents (paragraphe A.4.1) les efforts théoriques pour les cas de fluide visqueux non pesant et fluide visqueux pesant. Quelle amélioration constatez-vous ? L’hypothèse admise pour de nombreuses applications -basées sur l’utilisation du théorème de quantité de mouvement- de ne considérer que les forces de pression dans le calcul de la variation de la quantité de mouvement vous semble-t-elle acceptable ?
II - REPARTITION DES PRESSIONS SUR UN CYLINDRE RAPPEL : Avant de participer à la séance de Travaux Pratiques, vous devez la préparez personnellement à l’aide des indications contenues au fil de l’énoncé. Il est important de se référer à l’avant-propos de ce document.
1. BUT DE LA MANIPULATION On se propose d’étudier la répartition des pressions sur un cylindre fixe placé dans un écoulement d’air uniforme afin : d’évaluer le coefficient de traînée de pression C xp ,
de comparer le coefficient de traînée total induit à la fois par les forces de pression et les forces de frottement à des données expérimentales,
de mettre en évidence la différence de comportement de l’écoulement autour du cylindre en fluide réel et en fluide parfait en comparant les mesures faites dans la soufflerie avec les résultats de la théorie «fluide parfait».
Ce TP concerne deux montages identiques II-A et II-B dont la modélisation théorique est présentée dans une première partie. Le montage est ensuite présenté et les mesures et l’analyse des résultats sont décrites.
2. THEORIE A.
Efforts exercés par un fluide sur un corps et coefficient de traînée
La résultante des efforts exercés par un fluide sur un corps peut se décomposer en : er
une force de traînée direction
e
x
T
M
parallèle à la V
de l’écoulement incident
une force de portance perpendiculaire à la
A
D O
P
direction de l’écoulement incident.
C
Figure 1 : Repère et notations Le coefficient de traînée C x (ou C D en anglais pour Drag coefficient ) permet d'introduire dans les équations du mouvement d'un corps la force de traînée sous forme adimensionnelle en posant : T T .e x
1 2
2
C x SV
où T est la force de traînée due à l'écoulement du fluide de masse volumique et de vitesse non perturbée V et S est la surface du corps opposée l’écoulement incident (Remarque : le terme
1 2
SV
2
est homogène à une pression et est fréquemment appelé pression dynamique). Dans de
nombreuses applications, le coefficient de traînée C x est supposé constant en première
approximation. En offshore, où l’on rencontre souvent des corps d e forme cylindrique (risers, câbles, piles de plates- formes…), le C x du cylindre fixe est couramment pris égal à 1,2. En réalité, le C x dépend de la vitesse de l’écoulement, de la longueur caractéristique du corps (dan s le cas du cylindre son diamètre D) et des propriétés du fluide (masse volumique et viscosité dynamique ). Une analyse en similitude permet de montrer que le C x du cylindre fixe en écoulement uniforme
dépend d’un seul nombre sans di mension, le nombre de Reynolds, défini dans ce cas par : Re
V D
Ces efforts exercés par un fluide sur un corps sont dus aux forces de pression et aux forces
visqueuses. Chacune des composantes (traînée et portance) peut s’interpréter comme la somme de ces deux contributions.
La résultante des efforts exercés par le fluide sur la surface du cylindre s’écrit :
dS
F
Surface
où le vecteur contrainte .n où
2 P divV I 2D 3
pour un fluide newtonien, le tenseur des contraintes vaut n
est la normale dirigée vers l’extérieur du cylindre ( n
e
r
)
Dans le cas d’un fluide incompressible, la loi de comportement se réduit à : PI 2D et F
P I 2 D ndS P ndS 2 DndS Surface
Surface
Surface
Force de pression
Force de frottement
où P est la pression au point courant M du cylindre.
B.
Coefficient de traînée de pression C xp d’un cylindre
Considérons uniquement ici la contribution des forc es de pression :
F p
P ndS P ndS ( P P )ndS
Surface
Surface
Surface
0
Dans le repère cylindrique avec
T p
n
Fp .ex
e
r
, on obtient en projection selon
Surface
e
x
:
(P P )er .e xdS (P P ) cos R l d C
où R est le rayon du cylindre et l sa longueur. Par définition, le coefficient de traînée de pression s’écrit C xp
Pour le cylindre, la surface S opposée à l’écoulement est
S
Dl
T p 1
2
SV
2
. On peut donc écrire :
C xp
(P P ) cos
d
V2
C
L’application du théorème de Bernoulli sur une ligne de courant entre l’infini amont et le point d’arrêt s’écrit :
PA
1 2
1 2 2 P V . A
V
2
Sachant que la vitesse du fluide est nulle au point d’arrêt ( 2
V 2
VA
0
), on en déduit :
PA P
En remplaçant dans l’expression de C xp , on obtient : Cxp
P P
1
2P C
A P
P P
1
2P
cos d
C
Définissons le coefficient de pression local :
C p
Cxp
On peut alors écrire :
A P
d(sin )
PP
(1)
PA
1 2
P
C d(sin ) p
C
La mesure du coefficient de pression local C p tout autour du cylindre permet donc la détermination par intégration numérique ou au planimètre (voir annexe 5) du coefficient de traînée de pression C xp.
C.
Calcul du coefficient de pression local Cp d’un cylindre par la théorie de fluide parfait
Le problème étudié est très sensiblement celui d’un écoulement plan (au moins dans la partie centrale de la veine de mesure). En faisan t l’approximation de fluide parfait, la cinématique de l’écoulement uniforme autour d’un cylindre peut être représentée par la superposition : - d’un écoulement uniforme à l’infini : V V ex - et d’un doublet placé au centre du cercle de rayon R :
V
p cos 2
r
2
er
p sin r2
2
e où p est le potentiel du doublet.
La vitesse en un point M de cet écoulement s’écrit : p cos p sin V V cos e r V sin e 2 2 r 2 r 2 Le champ de vitesses doit satisfaire les conditions aux limites suivantes : - A l’infini ( r ), on doit avoir : V V e x , ce qui est automatiquement vérifié.
- Sur le cylindre (r = R), la vitesse doit être tangente au contour (étanchéité). Ceci implique V.er
r R
0, p 2R 2V .
Le champ de vitesse vérifiant ces conditions à la limite s’écrit donc :
R2 R 2 V V cos 1 2 er V sin 1 2 e r r Par application de la relation de Bernoulli entre l’infini amont et le point d’arrêt A, on a : PA
P V2 2
(2)
Par application de la relation de Bernoulli entre l’infini amont et un point du cylindre, on a : P P
Or V (r R) 2V sin e d’où P P
2
2
V
2
V
2
1
V ( r R)
4 sin 2
Le coefficient de pression local C p en fluide parfait s’écrit donc : C p P P 1 4 sin 2 PA P
(3)
3. DEROULEMENT DES TRAVAUX PRATIQUES A.
Description du dispositif expérimental
On dispose d’une soufflerie à retour équipée d’une veine semi -guidée dans le plan horizontal permettant d’obtenir une vitesse uniforme à l’endroit des mesures. La vitesse de l’air dans la soufflerie peut atteindre 40m/s.
Figure 2 : Vue générale de l’installation
Figure 3 : Veine d’essai er
V
M
A
O
P
A'
Figure 4 : Manomètres différentiels
D
ex
s
Figure 5 : Coupe dans le plan de mesures
A l’intérieur de la soufflerie sont placés : un cylindre de diamètre D = 30 mm, orientable sur 360° à l’aide d’un orienteur indiquant un angle en dixième de degré. Le cylindre est muni d’une prise de pression en M dont la position azimutale est repérée par l’angle (voir figure 1).
une sonde de Prandtl (tube de Pitot double) reliée à un manomètre différentiel permettant de mesurer la quantité PA' P PA P puisque les points A et A’ sont
tous les deux des points d’arrêt. La prise de pression statique S de la sonde (mesurant
P
) et la prise de pression M du cylindre
(mesurant P) sont reliées à un second manomètre différentiel qui donne accès à la quantité
PP
.
Les manomètres différentiels donnent une différence de pression en mm CE (Colonne d’Eau).
B.
Préparation du TP
On se réfère à l’avant-propos du TP pour les détails concernant la préparation du TP qui doit être effectuée avant la séance.
B.1. Données mesurées B.1.1. Remarque préliminaire : r églage de la vitesse de l’écoulement
V
Le réglage de la vitesse du fluide se fait au moyen du tube de Pitot double. En effet, il existe une relation entre la vitesse V et la différence de hauteur d’eau h p lue au manomètre relié au tube de
Pitot. Comme indiqué dans l’annexe 1, on a tout d’abord : V
2
P A
P
.
Pour une différence de pression donnée, la dénivellation du liquide h p dans le manomètre dépend des masses volumiques respectives des 2 fluides. En effet, un calcul de statique des fluides à l’intérieur du dispositif (Pitot + manomètre) indique que : P A P ( eau ) gh p où g = 9,81 m/s 2
est l’accélération de pesanteur. Les deux relations précédentes permettent d’exprimer la dénivellation h p en fonction de V .
B.1.2. Mesures à effectuer Les mesures effectuées durant ce TP sont, pour des azimuts compris entre 0 et 360° par pas de 10°, les hauteurs de fluide affichées par les deux manomètres différentiels (en mmCE): h p telle que P A P ( eau ) gh p (manomètre relié au tube de Pitot),
hc telle que P P
( eau ) ghc (manomètre relié à la prise de pression M sur le
cylindre et à la prise de pression statique S). N.B. : durant l’expérience, étant donné le montage utilisé, la position angulaire pour laquelle la
prise de pression M sur le cylindre est face à l’écoulement incident ne correspondra pas forcément à un azimut indiqué par l’orienteur de 0°. Il sera donc nécessaire d’effectuer une correction angulaire de manière à ce que les mesures effectuées correspondent bien à des azimuts compris entre 0 et 360°. Ce décalage angulaire sera déterminé à l’aide du tracé de la co urbe C p f ( ) en
tenant compte des propriétés de symétrie de la courbe C p f ( ) par rapport à la position
180 qui doit correspondre au milieu du segment délimité par les deux points où C p
0.
Cette technique est beaucoup plus précise que de déduire la valeur de correspondant à à partir de la valeur maximale du obtenu. En effet, l'évolution de au passage à son maximum se situe sur une tangente horizontale, ce qui a pour conséquence une forte variation d'angle pour une faible variation de . L'angle déduit en utilisant la valeur maximale de possède donc une incertitude beaucoup plus forte que par la méthode préconisée.
On fournit sur le serveur pédagogique une feuille d e calcul de type tableur qu’il vous convient de compléter (un exemple illustré d’utilisation de tableur est également donné sur le serveur). Elle contient un tableau de 7 colonnes dont les 3 premières sont destinées à la saisie des hauteurs h p et hc en fonction de l’angle
.
B.2. Calculs préliminaires et étude en fluide parfait Les calculs suivant sont à réaliser à l’aide du tableur avant la séance de travaux pratiques : Préparer le calcul de la dénivellation h p correspondant à une vitesse d'écoulement de V
20
m/s en fonction de la température de l’air et de la pression
atmosphérique dont dépendent les masses volumiques de l’eau et l’air et (voir l’annexe 6). A titre indicatif, une vitesse de 20 m/s doit correspondre à une hauteur de l’ordre de 25 mm. eau
Dans le tableur, préparer la formule permettant de calculer le coefficient de pression C p à partir des mesures de hauteurs h p et hc .
Pour le modèle de fluide parfait . : Pour des azimuts compris entre 0 et 360°, calculer le coefficient de o pression C p . o
o
Tracer la courbe C p f ( ) en prévoyant d’y ajouter le tracé des grandeurs mesurées. Tracer la courbe C p
f (sin( )) . Ce tracé doit être réalisé en gardant à
l’esprit qu’il doit permettre une intégration graphique convenable de ce contour fermé à l’a ide du planimètre (voir annexe 5) pour une estimation de C xp . o
A partir des valeurs de C p obtenues, calculer par intégration numérique (voir annexe 5) de la courbe fermée C p
f (sin( )) (relation 2), le
coefficient de traînée de pression C xp . o
Comparer ce résultat à celui que l’on peut obtenir par intégration directe de la relation 3 donnant C p en fluide parfait. Ce résultat pouvait-il être attendu étant données la géométrie du problème et l’hypothèse de fluide parfait ? Commenter (on parle de paradoxe de d’Alembert).
Préparer les colonnes et formules dans le tableur permettant de reproduire les calculs et tracés effectués en fluide parfait à partir des grandeurs mesurées.
C.
Mesures
Mesurer la température ambiante et la pression atmosphérique, pour le calcul de h p .
Pour démarrer la manipulation, vous vous référerez à l’affiche disposée à proximité du montage. Faites attention, les graduations du potentiomètre ne correspondent pas à la vitesse : celle-ci est évaluée à l’aide du manomètre inclinée. Vérifiez que la prise de pression du cylindre est située face à l’écoulement incident. Tournez lentement le potentiomètre et réglez la vi tesse de l’écoulement correspondant à la hauteur h p calculée précédemment.
Effectuez des mesures de pression ( hc ) sur le cylindre de 10° en 10° sur 360°. On
relèvera en même temps l’angle indiqué par l’orienteur ainsi que la pression au tube de Pitot ( h p ). D.
Analyse des résultats D.1. Tracés et calculs
A partir des mesures effectuées et du tableur préparé : Convertir les angles relevés en angles à l’aide de la méthode pr éconisée en B-1. Ajoutez sur le graphe fluide parfait la courbe C p f ( ) obtenue en fluide réel.
Tracez la courbe fermée C p f (sin( )) .
En intégrant ce contour fermé de manière numérique par méthode des trapèzes et à l’aide du planimètre, déterminer la valeur de C xp en fluide réel.
Calcul d’incertitudes : on pourra évaluer l'incertitude de lecture de la hauteur d'eau dans le dispositif de mesure puis, en utilisant l'équation (1), majorez l'incertitude
h
C p en
fonction de h . On en déduira enfin l'ordre de grandeur de la précision de mesure de C xp à
l’aide de la relation (2) et de l’annexe 5. Commentez. D.2. Comparaison Fluide réel-Fluide parfait
Discutez de l’allure des lignes de courant que l’on peut attendre en fluide réel en fonction de la valeur du nombre de Reynolds Re
V
D
et en fluide parfait.
Déterminez le nombre de Reynolds correspondant à l’écoulement étudié. La viscosité dynamique de l’air dépend des conditions de pression et de température (voir l’annexe 6 ). Dans quelle zone les écoulements en fluide parfait et fluide réel sont-ils comparables (même allure des lignes de courant) ? Même question pour la distribution de pression. Donnez la valeur de l’azimut de décollement en fluide réel, c’est -à-dire la position angulaire sur le cylindre à partir de laquelle on observe un décollement des lignes de courant de la surface du cylindre. Discutez de l’origine de la traînée en fluide réel et de la part relative des efforts de pression et de frottement. Que vaut le coefficient C xp en fluide parfait. L’approche de fluide parfait vous paraît -elle
adaptée pour l’évaluation des effort s de traînée exercés par un écoulement sur un obstacle (paradoxe de d’Alembert) ? Quid des efforts de portance ?
D.3. Détermination du coefficient de traînée total C x
Afin de déterminer le coefficient de traînée total C x , il faut remarquer que seul le coefficient de traînée de pression C xp a été mesuré au cours de votre manipulation. Pour obtenir le C x , il conviendra d’ajouter au C xp obtenu expérimentalement un coefficient de traînée de frottement C f résultant de l’action des contraintes visqueuses. Dans cette manipulation, C f est estimé à 0,1. Que pouvez-vous en conclure ?
La détermination du coefficient de traînée totale du cylindre C x peut aussi se faire par la seule connaissance du nombre de Reynolds, en se reportant au graphe donné en fin
d’énoncé qui représente le
C x du cylindre en fonction de
Re
V D
. A partir de la
valeur de Re calculée précédemment, déduisez graphiquement le coefficient de traînée C x .
Confrontez les deux résultats obtenus pour le C x en tenant compte des incertitudes
calculées. Commentez l’intérêt de profiler les obstacles placés dans un écoulement.
Commentez la chute de coefficient de traînée C x observée vers Re 5.10 .
5
Figure 6 : Coefficient de traînée pour un cylindre circulaire en fonction du nombre de Reynolds.
D’après H. Schlichting : Boundary Layer Theory (8 th edition), Springer-Verlag (2000).
III – ECOULEMENTS EN CONDUITE RAPPEL : Avant de participer à la séance de Travaux Pratiques, vous devez la préparez personnellement à l’aide des indications contenues au fil de l’énoncé. Il est important de se référer à l’avant-propos de ce document.
1. BUT DE LA MANIPULATION Le but de ce TP sur l’écoulement d’un fluide dans une conduite lisse est de mettre en évidence l’existence de deux régimes d’é coulements appelés
Régime laminaire Régime turbulent
Ces deux régimes sont caractérisés du point de vue de l’ingénieur par des nombres de Reynolds, des coefficients de pertes de charge et des répartitions de vitesses (dans une section droite) différents.
2. DISPOSITIF EXPERIMENTAL Le banc d’essais (Fig. 1) fonctionne en circuit fermé et a pour but d’assurer l’écoulement permanent d’un fluide visqueux newtonien dans une conduite cylindrique de section circulaire, de grande longueur et dont la paroi intérieure peut être qualifiée de lisse. Un réservoir de grande capacité (environ 230 litres) est en communication avec le circuit de mesure par l’intermédiaire d’un groupe moto -pompe à débit constant. Une vanne de débit permet de renvoyer dans le circuit de mesure une partie plus ou moins importante du débit du groupe moto-pompe.
La conduite cylindrique d’essais est précédée d’une chambre de mise en charge munie d’un thermomètre, d’un purgeur d’air et d’un convergent à profil parabolique favorisant l’établissement de l’écoulement dans la conduite.
Figure 1 : Schéma de l’installation.
La conduite est munie de 18 prises de pression et d’un dispositif de relevé de vitesses situé à l’extrémité, en aval. Ce dernier permet de déterminer la répartition des vitesses suivant deux diamètres orthogonaux d’une même section droite par l’intermédiaire de deux tubes de Pitot commandés par un micromètre à lecture directe. Pour la mesure de vites se à l’aide d’un tube de Pitot on pourra se référer à l’annexe 1 en fin de polycopié. La conduite cylindrique débite à l’air libre. Le jet rencontre un déflecteur et l’huile est ensuite recueillie dans le réservoir d’un banc de pesée.
3. ETUDE THEORIQUE DES ECOULEMENTS EN CONDUITE A.
Notions générales de pertes de charge
Dans une conduite lisse en charge, cylindrique de diamètre D, la perte de charge H entre deux 2 sections distantes de L, exprimée en hauteur de fluide, est proportionnelle à U d ; elle est fonction du nombre de Reynolds et du rapport géométrique L/D :
la fonction
étant de la forme :
où
est le coefficient de pertes de charge
régulières d’où :
(1)
La perte de charge peut également s’exprimer en chute de pression entre deux sections droites distantes de L : (2)
Des formules (1) et (2) on peut donc obtenir une valeur du coefficient de perte de charge liée à l’évolution de la pression le long de la conduite :
B.
(3)
Régime d’écoulement laminaire B.1. Hypothèses et équations
On se place dans le cadre d’un fluide visqueux isovolume en régime laminaire, permanent et établi. En régime laminaire, les filets fluides sont parallèles entre eux. Avec ces hypothèses, l’équation de Navier -Stokes prend la forme simplifiée suivante :
⃗ ⃗ ⃗
Pour une conduite cylindrique de section circulaire, dans laquelle l’écoulement est permanent et établi, le champ de vitesse est défini par Les deux inconnues
et
.
vérifient les équations suivantes :
{
Figure 2 : Définition des axes.
B.2. Vitesse locale Les équations (5) et (6) montrent que la pression étoilée ne dépend que de x. L’équation (4) contient un premier membre qui est fonction de x, un second membre fonction de r : les deux sont donc égaux à une constante. La résolution de l’équation différentielle (4) pour un régime laminaire établi conduit à un champ de vitesse dans une section droite quelconque de la forme :
La vitesse sur l’axe de la conduite correspond au maxi mum de V(r) :
L’expression de V(r) en variables adimensionnelles s’écrit donc : (7)
B.3. Vitesse moyenne ou vitesse de débit
⃗ ⃗ ∫
Le débit volumique dans la conduite est donné par :
Par définition de la vitesse moyenne ou vitesse de débit, on a
d’où : (8)
B.4. Coefficient de perte de charge en régime laminaire En combinant les équations (8) et (2) il vient (1) :
d’où, en reportant cette valeur dans
C.
Ecoulement turbulent
le régime d’écoulement change Lorsque le nombre de Reynolds dépasse une valeur critique de nature et devient turbulent. Dans les conduites industrielles, dont les parois sont rugueuses, on prend généralement comme valeur critique la valeur de l’ordre de . Le régime turbulent est caractérisé par Un mouvement désordonné aux petites échelles (fluctuations rapides de moyenne nulle), Des zones de forte vorticité, Un écoulement moyen présentant éventuellement de grandes structures cohérentes (tourbillon de grande échelle par exemple), Un mélange rapide et efficace des différentes parties de l’écoulement. ATTENTION Dans des conduites lisses comme celle du TP, il est toutefois possible de maintenir un régime laminaire pour des valeurs du nombre de Reynolds supérieures à 2300, autrement dit la valeur critique est plus supérieure à 2300. Avec le montage proposé en TP, le débit maximum de la pompe correspond à une valeur de , pour laquelle on observe encore le régime laminaire. La valeur critique est plus élevée que 12500. Pour étudier le régime turbulent avec le montage de TP, on doit stimuler la transition vers la
turbulence. Pour cela, on crée une perturbation locale dans la section droite d’entrée de la conduite en introduisant une tige filetée. Dans l’écoulement qui contourne la tige se créent des tourbillons, des décrochements qui rendent l’écoulement locale ment turbulent. Cet écoulement turbulent est ensuite convecté dans toute la conduite. On peut alors étudier un régime turbulent établi pour un domaine de 12500.
compris entre 2300 et
C.1. Loi des vitesses En régime turbulent établi, J.Nikuradse a établi empiriquement la loi adimensionnelle suivante pour le profil moyen de vitesse
Dans cette expression, le paramètre n dépend du nombre de Reynolds empirique, le calcul de la vitesse moyenne conduit à :
(9)
. Avec cette loi
Remarque : on donne les valeurs empiriques suivantes
C.2. Coefficient de perte de charge en régime turbulent Il existe diverses formules empiriques pour exprimer le coefficient de perte de charge en régime turbulent établi. Pour un nombre de Reynolds , on peut utiliser la relation proposée par H. Blasius (1913) :
⁄
(10)
4. MANIPULATION A.
Caractéristiques du montage
Diamètre intérieur de la conduite Longueur de la conduite Débit maximum Température
: 19 mm : 6,1 m : 1,4 l/s : à relever au cours de chaque mesure Précision de l’afficheur : affichage +/- 0.001 bar Précision du capteur de pression : écart à la droite de régression linéaire : 0.02 % de la pleine échelle (3.5 bars) erreur liée à une variation de température : +/- 0.12 % de la pleine échelle (3.5 bars) n°
L (cm)
n°
L (cm)
1
15
10
152
2
30
11
183
3
46
12
213
4
61
13
244
5
76
14
274
6
91
15
351
7
107
16
427
8
122
17
503
9
137
18
551
Tableau 1 : Position des prises de pression : l’origine est prise à l’entrée de la conduite.
840
masse volumique de l'huile (kg/m3)
835 830 825 820 5
10
15
20
25
30
température (°C) Figure 3 : Masse volumique de l’huile en fonction de la température.
B.
Préparation du TP
On se réfère à l’avant-propos du TP pour les détails concernant la préparation du TP qui doit être effectuée avant la séance.
On fournit sur le serveur pédagogique un fichier de type tableur qu’il vous convient de compléter (un exemple illustré d’utilisation de tableur est également donné sur le serveur) . Ce fichier contient trois feuilles de calcul :
La première est liée à l’étude des pertes de charge régulières. Elle contient un tableau de 20 lignes ainsi que les données géométriques données ci-dessous.
La seconde correspond à l’étude des profils de vitess e La troisième fournit un exemple type de courbe avec barres d’erreur B.1. Fichier tableur
Dans la première feuille, préparez les formules nécessaires au calcul
du débit volumique
de la vitesse de débit
du nombre de Reynolds
du coefficient de pertes de charge régulières à partir de la formule (3)
B.2. Incertitudes Donnez les sources d’erreur liées à ce TP. Réfléchissez à minimiser l’incertitude sur la mesure de débit au banc de pesée hydraulique. Proposez alors un protocole expérimental adapté. Ajoutez au besoin des cases aux feuilles de calcul. Faites un calcul théorique des incertitudes sur le coefficient de pertes de charge (formule (3)) et sur la vitesse de débit (formule (8)) (voir Annexe 4).
C.
Mesures
Les mesures se déroulent en deux parties avec à chaque fois l’étude des deux régimes, laminaire et turbulent. La première partie traite des pertes de charge régulières dans la conduite lisse La seconde partie concerne l’étude du profil de vitesse dans une section droite de la conduite.
C.1. Etude des pertes de charge C.1.1. Ecoulement laminaire Assurez-vous que la pointe de stimulation de turbulence est hors conduite. Réglez le débit de façon à ce que la pression dans la première section droite de la conduite soit de l’ordre de 0,25 bar. Pour ce débit, relevez les pressions le long de la conduite (prises n°1 à 18).
Relevez également l’offset de pression observé lorsqu’aucun écoulement n’a lieu. C.1.2. Ecoulement turbulent Précaution d’usage : réglez le débit qui circule dans la conduite à sa valeur minimale avant
d’introduire la pointe de stimulation. Réglez le débit de façon à ce que la pression dans la première section droite de la conduite soit de l’ordre de 1,00 bar. Les mesures à effectuer sont les mêmes que celles faites pour le régime laminaire.
C.2. Etude des vitesses Dispositif expérimental : On dispose, dans une section droite,
Pression au point d’arrêt
d’un tube de Pitot permettant d’étudier la répartition des pressions d’arrêt sur le
translation
diamètre horizontal. La différence entre cette pression d’arrêt (prise n°19) et la pression statique donnée par la prise n°18 sur la conduite permet de déterminer la vitesse locale.
Pression statique Un micromètre à lecture directe permet de positionner précisément le tube de Pitot sur le diamètre de la conduite. Quand le tube de Pitot est en butée sur la paroi intérieure de la conduite son axe est situé à 1,1 mm de la paroi.
C.2.1. Ecoulement laminaire Après avoir mis la pointe de stimulation de turbulence hors conduite, réglez et mesurez le débit au voisinage de son maximum. Relevez la pression d’arrêt et la pression statique sur le diamètre horizontal. Vous pourrez utiliser un écartement de 1 mm entre les points de mesure successifs et explorer l'écoulement entre la paroi et un peu au-delà du centre de la conduite.
C.2.2. Ecoulement turbulent Réglez le débit au minimum puis introduisez la pointe de stimulation de turbulence.
Procédez comme pour l’étude en laminaire. D.
Analyse des résultats
Vous vous réfèrerez à l'avant-propos du TP pour les détails concernant le rapport de TP. Notez que ce rapport d'étude simplifié devra entre autres répondre aux questions/remarques identifiées ci-après.
L’analyse des résultats, comme les mesures, est constituée de deux parties, pertes de charge régulières d’une part et profil de vitesse d’autre part. D.1. Etude des pertes de charge D.1.1. Ecoulement laminaire a) Représentez les mesures de pressions graphiquement en fonction des abscisses des prises de pression le long de la conduite (données dans le tableau 1 ou dans le fichier tableur). b) Déduisez de ce graphe la perte de charge en régime établi entre deux sections droites judicieusement choisies. c) Déduisez la valeur du coefficient par la formule (3). La valeur de la vitesse moyenne ou vitesse de débit, est déduite de la mesure du débit massique faite au banc de pesée. d) Déterminez le nombre de Reynolds de l’écoulement. La valeur de la viscosité
cinématique de l’huile utilisée est fournie sous la forme d’un graphe donnant son évolution en fonction de la température (Figure 4).
e) La figure 5 donnant l’évolution de en fonction du nombre de Reynolds Re en échelles logarithmiques. Reportez le point expérimental déduit des mesures effectuées. f) A partir de la mesure du gradient de pression en écoulement établi, calculez la valeur de la vitesse de débit donnée par la relation (8) et comparez-la à la valeur déduite de la mesure du débit masse. g) Estimez les valeurs des incertitudes pour Les grandeurs mesurées (pression, masse, temps, position) Le coefficient de pertes de charge à l’aide des formules obtenues en B2 La vitesse de débit obtenue à la question ci- dessus à l’aide de la question B2. h) Commentez la présence d’un offset de pression lorsque l’écoulement est arrêté : est-ce
gênant pour l’analyse faite lors de ce TP? D.1.2. Ecoulement turbulent L’étude à mener est la même que celle effectuée p our le régime laminaire, en répondant aux questions a) à e) et g).
D.2. Etude des vitesses D.2.1. Ecoulement laminaire
De la mesure des pressions à la sonde de Pitot, déduisez la vitesse locale en ces différents points. Tracez la courbe représentative de la vitesse adimensionnelle
et la courbe
théorique donnée par la relation (7). Commentez les résultats obtenus, en distinguant notamment ce qui se passe au centre et sur les bords.
D.2.1. Ecoulement turbulent L’étude à mener est la même que celle effectu ée pour le régime laminaire. Le profil de vitesse adimensionnelle théorique est donné par la formule (9) .
Figure 4 : Viscosité cinématique en fonction de la température
1
Régime laminaire Régime turbulent
Régime laminaire
10-1
Régime turbulent
−⁄
Coefficient de pertes de charge régulières λ 10-2
10-3 102
103
104
Nombre de Reynolds Figure 5 : Coefficient de perte de charge en conduite lisse.
105
IV – MESURE DE DEBITS ET CALCUL DE PERTES DE CHARGE RAPPEL : Avant de participer à la séance de Travaux Pratiques, vous devez la préparez personnellement à l’aide des indications contenues au fil de l’énoncé. Il est important de se référer à l’avant-propos de ce document.
1. BUT DE LA MANIPULATION On se propose de déterminer :
les pertes de charge entre différentes sections et les coefficients de perte de charge pour les singularités Venturi, élargissement brusque et diaphragme.
le débit masse d'un liquide dans une conduite par un dispositif de type tube de Venturi ou diaphragme.
Ce TP concerne trois montages différents dont la modélisation théorique est présentée dans une première partie commune. Chacun des montages est ensuite présenté et les mesures et l’anal yse des résultats sont décrites.
2. THEORIE A.
Calcul des pertes de charge
En fluide réel, on définit la charge totale ou technique H (homogène à une longueur) dans une section S de l’écoulement par :
avec
u dS 3
le coefficient cinétique défini par
S 3
qui dépend du
VS
nombre de Reynolds (voir chapitre 14 du polycopié)
V2 2g
la hauteur dynamique
P g
h
la hauteur piézométrique ou manométrique la hauteur géométrique ou cote du point considéré
Cette charge H est liée à l'énergie mécanique E du fluide suivant la relation le débit volumique dans la section considérée.
où q v est
Le long de la conduite, la charge H varie soit par l’action d’une machine (pompe ou turbine), soit par dissipation visqueuse (voir chapitre 14 du polycopié de cours). On appelle :
ligne manométrique, la courbe P/ g en fonction de la position sur la conduite
ligne de charge, celle de H
Dans ce TP, la zone d’étude de la conduite ne comporte pas de machines : la variation de charge
−
, appelée dans ce cas perte de charge, entre deux sections est seulement due à la
viscosité. Elle exprime une perte d ’énergie puisque
.
La connaissance de chacune des hauteurs constituant la charge permet de calculer directement
la perte de charge entre deux sections. En pratique, il est d’usage d'exprimer la perte de charge singulière (en opposition aux pertes de charge régulières dans une conduite de section constante) en fonction d'un coefficient adimensionnel appelé coefficient de pertes singulières :
où la hauteur dynamique de référence
sera prise ici par convention en amont de la
singularité. Les coefficients sont déterminés expérimentalement pour to ut type de singularité et leurs valeurs numériques sont regroupées dans des tables et abaques.
Cas particulier d’un élargissement brusque : L’application des bilans de quantité de mouvement, de masse et d’énergie entre des sections amont S1 et aval S 2 permet de donner une formulation analytique du coefficient de pertes singulières. La perte de charge de l’élargissement s’écrit :
avec
Dans le cas d’un écoulement turbulent où les coefficients cinétiques α et β sont proches de un, on obtient une forme approchée :
En utilisant la conservation du débit, on peut réécrire la perte de charge selon la formule dite de Borda-Belanger :
( )
Remarque : Dans l’hypothèse de fluide parfait, la charge technique H est calculée avec un coefficient cinétique α valant 1 (le profil de vitesse est uniforme dans la conduite). Cette charge est
constante quelle que soit la section puisqu'il n'y a pas de dissipation d’énergie due aux forces visqueuses dans le volume.
B.
Calcul des débits
Le débit volumique q v de la conduite est
où S est la section droite de la conduite et V la
vitesse moyenne à travers cette section. Pour estimer le débit q v, une façon simple de faire en pratique est de mesurer des pressions en différentes sections. Il convient donc de pouvoir relier ces pressions au débit. Pour cela, on utilise le théorème de Bernoulli pour un écoulement d'un fluide parfait incompressible stationnaire, qui s'écrit, le long d'une ligne de courant (voir chapitre 13 du pol ycopié de cours) :
où est la densité, V la vitesse, P la pression, g l’accélération de pesanteur et h l’altitude
* (positive vers le haut). En introduisant la pression étoilée notée P et définie par P Pg , on obtient une expression équivalente :
Pour les liquides, il est d'usage d'exprimer les différents termes de l'expression en hauteur de liquide. On peut écrire :
N.B. il est possible d’appliquer ce théorème sur une ligne de courant d’un écoulement réel à condition que les effets visqueux soient négligeables le long de cette ligne de courant
B.1. Tube de Venturi Un tube de Venturi est constitué d'un tuyau convergent divergent comme le montre la Figure 1. Considérons une ligne de courant du convergent entre les deux sections S 1 en amont du col et S2 au col. Sur cette ligne de courant, les effets visqueux étant négligeables, le théorème de Bernoulli permet d’écrire :
En supposant des profils de vitesse uniformes dans les sections S 1 et S2, on a de plus par conservation du débit :
* * P P 1 2
S 1
S 2
Figure 1: Schéma du tube de Venturi.
√ √
Les calculs se font de la manière suivante :
Le débit volumique q v de la conduite donné par
vaut donc :
La dernière égalité étant obtenue puisque la co nduite est horizontale. Dans la suite, nous conserverons l’expression de débit avec P*. S1, S 2 étant des sections connues, il suffit de- mesurer la différence volumique. Le débit massique
ou encore
−
−
pour calculer le débit
s'exprime par :
√ en introduisant le coefficient
[−√ ]
Ce coefficient k dépend de la géométrie et sa valeur sera propre à chaque montage.
B.2. Orifice en mince paroi: Diaphragme Dans une conduite de section S 1, on dispose un obturateur réduisant la section offerte au passage du fluide à la valeur (voir la Figure 2). L’écoulement commence à décoller des parois de la
conduite dans une section S 1 qui précède l'obturateur. Il présente ensuite une section contractée
après le passage de l'obturateur et recolle aux parois dans une section S 2 en aval. Au niveau de la
section contractée, les filets fluides sont parallèles et orientés suivant l’axe de la conduite.
s Figure 2: Schéma du diaphragme. Considérons une ligne de courant du convergent entre A et B. Sur cette ligne de courant, les
√ √ √ √
effets visqueux étant négligeables, le théorème de Bernoulli permet d’écrire :
Avec
d'où un débit volumique : et un débit massique :
En introduisant le coefficient de contraction
, il vient :
Soit pour un diaphragme donné,
Le coefficient de contraction
avec
√
est fonction du nombre de Reynolds et du rapport de la
section amont et de celle du diaphragme. Comme dans le cas du tube de Venturi, le coefficient k’ dépend du diaphragme considéré et sera à évaluer pour chaque manipulation.
3. DEROULEMENT DES TRAVAUX PRATIQUES A.
Montage A A.1. Description du montage :
La conduite en plexiglas comporte trois singularités différentes, un tube de Venturi, un élargissement brusque et un diaphragme. Des prises de pression sont placées sur la conduite et, en particulier, au niveau des sections en amont et en aval des singularités. Elles sont reliées à un multimanomètre permettant de mesurer des pressions sous forme de hauteurs manométriques notées
pour i=1 à 8.
Le circuit comporte également un rotamètre (appareil servant aux mesures de débit : voir annexe 2) qui ne sera pas utilisé au cours de la manipulation. Enfin, un banc hydraulique de pesée permet de mesurer le débit réel dans l a conduite. La conduite est alimentée par une pompe branchée sur le secteur. Une vanne placée sur la conduite permet de régler le débit.
Attention :
i) Lorsqu’on veut arrêter la pompe, on prendra garde de bien fermer la vanne avant de couper le courant pour ne pas risquer de désamorcer la pompe. ii) Les tubes du multi-manomètre en verre sont fragiles.
Figure 3 : Schéma de la conduite à étudier
A.2. Préparation du TP On se réfère à l’avant-propos du TP pour les détails concernant la préparation du TP qui doit être effectuée avant la séance.
A.2.1. Données mesurées Les mesures effectuées sont les huit pressions relevées au multi-manomètre à colonne de liquide, notées
pour i=1 à 8, la masse m et le temps t de pesée au banc hydraulique. La mesure de
débit au banc hydraulique de pesée sera la référence (les explications sont données dans l’annexe 3). On fournit sur le serveur pédagogique une feuille de calcul de type tableur qu’il vous convient de compléter (un exemple illustré d’utilisation de tableur est également donné sur le serveur). Elle contient un tableau de 10 colonnes ainsi que les données géométriques données cidessous.
A.2.2. Pertes de charge
Pour cette partie, le débit sera fixé à une valeur choisie lors des manipulations.
Préparez un tableau contenant : o
o
La ligne manométrique à partir des données mesurées sur les huit prises de pression le long de la conduite Le calcul de la charge dynamique. Vous ferez attention au choix de la section à considérer, notamment en sortie de diaphragme. Validez votre formule à l'aide des données suivantes (T=20°C)
Débit
Re
Kg/s 10
α
Amont venturi (S1)
Section contractée (σ)
(section S1)
m
m
5
18,1
91,8
4,88.10 o
Charge dynamique
1
La charge totale en les différentes positions du montage
Préparez une courbe permettant la représentation de la ligne manométrique et de la ligne de charge.
Calculez la perte de charge théorique du divergent qui peut être considéré comme un élargissement brusque. La formule de Borda est applicable pour le calcul de cette perte de charge.
Faites un calcul d’incertitude sur la hauteur manométriq ue et la charge totale et intégrez-les aux courbes précédentes sous forme de barres d’erreur.
A.2.3. Débitmètres
Déterminez les coefficients k et k’, intervenant dans l’expression théorique des débits dans le Venturi et le diaphragme, à partir des données géométriques suivantes
Tube de Venturi
- Diamètre D1 de la section S 1 amont : - Diamètre D2 de la section S 2 au col :
D1=26 mm D2=16 mm
Diaphragme
- Diamètre d de la section : - Diamètre D de la section aval : - Coefficient de contraction :
d=20 mm D=50 mm Cc = 0,75
Ajoutez le calcul des débits dans la feuille de calcul.
A l’aide des données de test suivantes, validez vo s formules. Pressions
Débits
P1/g
P2/g
P6/g
P7/g
Col de Venturi
Diaphragme
mmCE
mmCE
mmCE
mmCE
kg/s
kg/s
2000
1000
3000
2000
0,961
1,04
Préparez deux courbes de résultat, une par singularité. Vous tracerez le débit estimé
à l’aide des mesures de pression et des formules théoriques en fonction du débit mesuré à l’aide du banc hydraulique. N’oubliez pas que les courbes expérimentales doivent passer par l’origine. Faites un calcul d’incertitude sur le débit estimé et sur le débit mesuré et intégrez les aux courbes précédentes sous forme de barres d’erreur.
A.3. Mesures
Pour démarrer le montage, vous vous référerez à l’affiche disposée à proximité du montage. Vous prendrez garde, entre autres, à ce que les vannes soient fermées au moment ou vous allumez ou éteignez la pompe pour ne pas risquer de la désamorcer.
Réglez le débit de la pompe à l’aide de la vanne, pour une dizaine de valeurs à choisir dans la gamme accessible.
Notez pour chaque débit les hauteurs manométriques de toutes les prises de pression ainsi que les mesures liées au banc hydraulique.
Reportez ces mesures dans la feuille de calcul fournie que vous aurez modifiée.
A.4. Analyse des résultats On se réfère à l'avant-propos du TP pour les détails concernant le rapport de TP. Notez que ce rapport d'étude simplifié devra entre autres répondre aux questions/remarques identifiées ciaprès.
A.4.1. Etude des pertes de charge
Pour un débit donné, par exemple autour de
, tracez la ligne
manométrique de l’installation pour les huit prises de pression le long de la conduite.
Commentez l’évolution de la ligne manométrique. Tracez la ligne de charge de la conduite pour le débit considéré.
Quelles anomalies pouvez-vous remarquez ? Donnez une interprétation. (vous pourrez étudier si les hypothèses permettant de considérer une pression étoilée constante et un coefficient égal à 1 sont partout vérifiées).
Déterminez le coefficient de perte de charge du Venturi.
Déterminez le coefficient de pertes de charge du diaphragme. Quelles prises de pression faut-il choisir et pourquoi?
Comparez les coefficients obtenus aux valeurs des coefficients de perte de charge
qui, pour l’installation, sont : Tube de Venturi : =1,1 Diaphragme : = 86
Déterminez la perte de charge du divergent et comparez le résultat à la valeur donnée par la formule de Borda.
A.4.2. Débitmètres
Commentez l’allure générale des courbes obtenues. Dans une analyse plus fine, expliquez l’origine physique des différences entre les courbes et la première bissectrice. Si l’on veut se servir du tube de Venturi et du diaphragme comme débitmètres dans une installation, quelles corrections empiriques doit-on apporter aux deux formules théoriques ? Donnez les nouveaux
coefficients k et k’ ainsi corrigés.
B.
Montage B B.1. Description du montage :
Ce banc de mesure a été conçu pour réaliser des démonstrations portant sur les chapitres fondamentaux de l'hydraulique. Il permet de mettre en évidence les lois relatives aux pertes de charges.
Figure 5 : Schéma du montage La pompe est alimentée en charge par un réservoir de 120 litres et refoule à travers un débitmètre à flotteur dans huit branches montées en parallèle (deux en face arrière, et six en face avant). Chaque branche est équipée à l'amont d'une vanne d'isolement quart de tour. Le débit est ajusté par la vanne V3 ou V4 suivant le débit désiré. Pour ce TP, on étudiera deux cond uites différentes selon que l’on s’intéresse au calcul des débits (V9) ou aux pertes de charges (V10). Pour les petits débits, on utilisera la mesure des pressions au manomètre différentiel à eau, et pour les débits plus importants les manomètres à membrane. Les pressions mesurées aux manomètres à membrane sont relatives (par rapport à la pression atmosphérique).
Attention :
i) Lorsqu’on veut arrêter la pompe, on prendra garde de bien fermer l es vannes avant de couper le courant pour ne pas risquer de désamorcer la pompe. ii) Il est possible que localement la pression soit supérieure à l’étendue de mesure des manomètres les plus sensibles. Pour cette raison, il est impératif de débrancher les manomètres après la mesure, et toujours de commencer par le manomètre le moins sensible. De plus, pour éviter de détériorer la membrane, il faut après mesure les remettre à zéro.
iii) Une seule des vannes d’isolement V9 et V10 ne doit être ouverte pour chaque manipulation et de la même manière, une seule vanne V3 ou V4 ne doit être utilisée pour régler le débit.
B.2. Préparation du TP On se réfère à l’avant-propos du TP pour les détails concernant la préparation du TP qui doit être effectuée avant la séance.
B.2.1. Données mesurées Les mesures effectuées lors de ce TP sont :
les pressions sur les branches V9 et V10 qui seront obtenues soit au manomètre différentiel à eau (faibles débits), soit aux manomètres à membrane (pour les débits plus importants) : o Branche V9 : pressions en amont et au col du Venturi et en amont et en aval du diaphragme Branche V10 : huit pressions le long de la conduite, notées P i=1 à 8 réparties o selon la figure ci-dessous
les débits relevés sur la branche V3 ou V4 avec un débitmètre ou un rotamètre respectivement (voir annexe 2 pour l’explication du fonctionnement).
Figure 6 : Schéma des prises de pression
On fournit sur le serveur pédagogique une feuille de calcul de type tableur qu’il vous convient de compléter (un exemple illustré d’utilisation de tableur est également donné sur le serveur) . Elle contient un tableau de 10 colonnes ainsi que les données géométriques données ci-dessous.
B.2.2. Pertes de charge
Pour cette partie, le débit sera fixé à une valeur choisie lors des manipulations.
Préparez un tableau contenant : o
o
o
La ligne manométrique à partir des données mesurées sur les huit prises de pression le long de la conduite Le calcul de la charge dynamique. Validez votre formule à l'aide des données contenues dans le tableau ci-dessous (T=20°C) La charge totale en les différentes positions du montage
Re
Kg/s
(section S1) 5
10
Charge dynamique
α
Débit
4,68.10
1
S1
S2
S4
m
m
m
15,1
1,00
51,6
Préparez une courbe permettant la représentation de la ligne manométrique et de la ligne de charge.
Calculez la perte de charge théorique du divergent qui peut être considéré comme un élargissement brusque. La formule de Borda est applicable pour le calcul de cette perte de charge.
Faites un calcul d’incertitude sur la hauteur manométrique et la charge totale et intégrez-les aux courbes précédentes sous forme de barres d’erreur.
B.2.3. Débitmètres
Déterminez les coefficients k et k’, intervenant dans l’expression théorique des débits dans le Venturi et le diaphragme, à partir des données géométriques suivantes Tube de Venturi
- Diamètre D1 de la section S 1 amont : - Diamètre D2 de la section S 2 au col :
D1=53,7 mm D2=20 mm
Diaphragme
- Diamètre d de la section : - Diamètre D de la section aval : - Coefficient de contraction :
d=20 mm D=53,7 mm Cc = 0,605
Ajoutez le calcul des débits dans la feuille de calcul.
A l’aide des données de test suivantes, validez vos formules. Pressions
Débits
Amont Venturi
Col Venturi
Amont diaphragme
Aval diaphragme
Col de Venturi
Diaphragme
Pa
Pa
Pa
Pa
kg/s
kg/s
2.10⁵
1.10⁵
3.10⁵
2.10⁵
4,44
2,66
Préparez deux courbes de résultat, une par singularité. Vous tracerez le débit estimé
à l’aide des mesures de pression et des formules théoriques en fonction du débit mesuré à l’aide du banc hydraulique. N’oubliez pas que les courbes expérimentales doivent passer par l’origine. Faites un calcul d’incertitude sur le débit estimé et sur le débit mesuré et intégrez les aux courbes précédentes sous forme de barres d’erreur.
B.3. Mesures
Pour démarrer le montage, vous vous référerez à l’affiche disposée à proximité du montage. Vous prendrez garde, entre autres, à ce que les vannes soient fermées au moment ou vous allumez ou éteignez la pompe pour ne pas risquer de la désamorcer.
Débitmètres, branche V9 : o
Réglez le débit de la pompe à l’aide de la vanne V3 ou V4 pour une dizaine de valeurs à choisir dans les gammes accessibles par chacun des dispositifs de mesure (rotamètre et débitmètre).
o
Notez pour chaque débit les pressions en amont et au col du Venturi et en amont et en aval du diaphragme. Vous utiliserez le manomètre à
liquide où les manomètres à aiguille, suivant l’étendue de mesure la plus appropriée.
Pertes de charge, branche V10 :
o
Réglez le débit de la pompe à l’aide de la vanne V3 , par exemple à
o
environ . Notez pour ce débit les huit pressions le long de la conduite, notées P i=1 à 8. Vous utiliserez le manomètre à liquide où les manomètres à aiguille,
suivant l’étendue de mesure la plus appropriée.
Reportez ces mesures dans la feuille de calcul fournie que vous aurez modifiée.
B.4. Analyse des résultats On se réfère à l'avant-propos du TP pour les détails concernant le rapport de TP. Notez que ce rapport d'étude simplifié devra entre autres répondre aux questions/remarques identifiées ciaprès.
B.4.1. Etude des pertes de charge
Pour un débit donné, par exemple autour de
, tracez la ligne
manométrique de l’installation pour les huit prises de pression le long de la conduite.
Commentez l’évolution de la ligne manométrique. Tracez la ligne de charge de la conduite pour le débit considéré.
Quelles anomalies pouvez-vous remarquez ? Donnez une interprétation. (vous pourrez étudier si les hypothèses permettant de considérer une pression étoilée constante et un coefficient égal à 1 sont partout vérifiées).
Déterminez le coefficient de perte de charge du Venturi.
Comparez le coefficient obtenu à la valeur de coefficient de perte de charge singulière qui, pour l’installation, est : Tube de Venturi : =10
Déterminez la perte de charge du divergent et comparez le résultat à la valeur donnée par la formule de Borda.
B.4.2. Débitmètres
Commentez l’allure générale des courbes obtenues. Dans une analyse plus fine, expliquez l’origine physique des différences entre les courbes et la première bissectrice. Si l’on veut se servir du tube de Venturi et du diaphragme comme débitmètres dans une installation, quelles corrections empiriques doit-on apporter aux deux formules théoriques ? Donnez les nouveaux coefficients k et k’ ainsi corrigés.
C.
Montage C C.1. Description du montage :
La conduite comporte trois singularités différentes, un tube de Venturi, un élargissement brusque et un diaphragme. Des prises de pression sont placées sur la conduite et, en particulier, au niveau des sections en amont et en aval des singularités. Elles sont reliées à un multi-manomètre permettant de mesurer des pressions sous forme de hauteurs manométriques notées 11.
pour i=1 à
Une pompe prélève de l’eau dans un premier réservoir et alimente un autre réservoir supérieur muni d’un trop-plein. Le circuit de mesure comporte une vanne, permettant de faire varier le débit, qui est mesuré à
l’aide d’un rotamètre. Pour ce montage, plusieurs prises de pression ont été montées de façon à observer la variation de la pression le long des tubes après une singularité.
Figure 7 : Schéma de la conduite à étudier et des prises de pression
i) Le trop-plein doit être en fonctionnement lors de vos manipulations (niveau d’eau suffisant dans le réservoir supérieur). ii) La pompe est commune avec un autre banc de TP. Assurez- vous que l’arrêt de la pompe ne perturbe pas leurs manipulations. iii) Lorsqu’on veut arrêter la pompe, on prendra garde de bien fermer les vannes avant de couper le courant pour ne pas risquer de désamorcer la pompe.
Attention :
iv) Le sens de parcours du fluide dans la conduite étudiée est de droite à gauche.
C.2. Préparation du TP On se réfère à l’avant-propos du TP pour les détails concernant la préparation du TP qui doit être effectuée avant la séance.
C.2.1. Données mesurées Les mesures effectuées sont les onze pressions relevées au multi-manomètre à colonne de liquide, notées
pour i=1 à 11, ainsi que la mesure du débit grâce au rotamètre (dont le
fonctionnement est expliqué en annexe 2). On fournit sur le serveur pédagogique une feuille de
calcul de type tableur qu’il vous convient de compléter (un exemple illustré d’utilisation de tableur
est également donné sur le serveur). Elle contient un tableau de 12 colonnes ainsi que les données géométriques données ci-dessous.
C.2.2. Pertes de charge
Pour cette partie, le débit sera fixé à une valeur choisie lors des manipulations.
Préparez un tableau contenant : o
o
La ligne manométrique à partir des données mesurées sur les onze prises de pression le long de la conduite Le calcul de la charge dynamique. Vous ferez attention au choix de la section à considérer, notamment en sortie de diaphragme. Validez votre formule à l'aide des données suivantes (T=20°C)
Débit
Re
Kg/s 10
α
Amont venturi (S1)
Section contractée (σ)
(section S1)
m
m
5
15,1
31,8
4,68.10 o
Charge dynamique
1
La charge totale en les différentes positions du montage
Préparez une courbe permettant la représentation de la ligne manométrique et de la ligne de charge.
Calculez la perte de charge théorique du divergent qui peut être considéré comme un élargissement brusque. La formule de Borda est applicable pour le calcul de cette perte de charge.
Faites un calcul d’incertitude sur la hauteur manométrique et la charge totale et intégrez-les aux courbes précédentes sous for me de barres d’erreur.
C.2.3. Débitmètres
Déterminez les coefficients k et k’, intervenant dans l’expression théorique des débits dans le Venturi et le diaphragme, à partir des données géométriques suivantes Tube de Venturi
Diaphragme
- Diamètre D1 de la section S 1 amont :
D1=27,2 mm
- Diamètre D2 de la section S 2 au col :
D2=21 mm
- Diamètre d de la section : - Diamètre D de la section aval : - Coefficient de contraction :
d=28 mm D=53,6 mm Cc = 0,65
Ajoutez le calcul des débits dans la feuille de calcul.
A l’aide des données de test suivantes, validez vos formules.
Pressions P1/g
P2/g
Débits
P7/g
Col de
P8/g
Diaphragme
Venturi mmCE
mmCE
mmCE
mmCE
kg/s
kg/s
200
100
300
200
0,610
0,566
Préparez deux courbes de résultat, une par singularité. Vous tracerez le débit estimé
à l’aide des mesures de pression et des formules théoriques en fonction du débit mesuré à l’aide du banc hydraulique. N’oubliez pas que les courbes expérimentales doivent passer par l’origine. Faites un calcul d’incertitude sur le débit estimé et sur le débit mesuré et intégrez les aux courbes précédentes sous forme de barres d’erreur.
C.3. Mesures
Pour démarrer le montage, vous vous référerez à l’affiche disposée à proximité du montage. Vous prendrez garde, entre autres, à ce que les vannes soient fermées au moment ou vous allumez ou éteignez la pompe pour ne pas risquer de la désamorcer.
Réglez le débit de la pompe à l’aide de la vanne, pour une dizaine de valeurs à choisir dans la gamme accessible.
Notez pour chaque débit les hauteurs manométriques de toutes les prises de pression.
Reportez ces mesures dans la feuille de calcul fournie que vous aurez modifiée.
C.4. Analyse des résultats On se réfère à l'avant-propos du TP pour les détails concernant le rapport de TP. Notez que ce rapport d'étude simplifié devra entre autres répondre aux questions/remarques identifiées ciaprès.
C.4.1. Etude des pertes de charge
Pour un débit donné, par exemple autour de
, tracez la ligne
manométrique de l’installation pour les onze prises de pression le long de la conduite.
Commentez l’évolution de la ligne manométrique. Tracez la ligne de charge de la conduite pour le débit considéré.
Quelles anomalies pouvez-vous remarquez ? Donnez une interprétation. (vous pourrez étudier si les hypothèses permettant de considérer une pression étoilée constante et un coefficient égal à 1 sont partout vérifiées).
Déterminez le coefficient de perte de charge du Venturi.
Déterminez le coefficient de pertes de charge du diaphragme. Quelles prises de pression faut-il choisir et pourquoi?
Comparez les coefficients obtenus aux valeurs des coefficients de perte de charge
qui, pour l’installation, sont : Tube de Venturi : =0,3 Diaphragme : = 30
Déterminez la perte de charge du divergent et comparez le résultat à la valeur donnée par la formule de Borda.
C.4.2. Débitmètres
Commentez l’allure générale des courbes obtenues. Dans une analyse plus fine, expliquez l’origine physique des différences entre les courbes et la première bissectrice. Si l’on veut se servir du tube de Venturi et du diaphragme comme débitmètres dans une installation, quelles corrections empiriques doit-on apporter aux deux formules théoriques ? Donnez les nouveaux coefficients k et k’ ainsi co rrigés.
V – VISUALISATION D’ECOULEMENTS RAPPEL : Avant de participer à la séance de Travaux Pratiques, vous devez la préparez personnellement à l’aide des indications contenues au fil de l’énoncé. Il est important de se référer à l’avant-propos de ce document.
1. BUT DE LA MANIPULATION Le but de ce TP de visualisation d’écoulement s de fluide est de mettre en évidence les notions clés vues en cours de Physique et Dynamique des Fluides comme par exemple La viscosité des fluides Les régimes d’écoulement laminaire et turbulent La transition entre ces deux régimes Des ordres de grandeur du nombre de Reynolds pour des écoulements courants La portance et la traînée d’un objet placé dans un écoulement Vous vous réfèrerez à l’avant -propos du TP pour les détails concernant la préparation du TP qui doit être effectuée avant la séance. Cette préparation consiste à étudier les éléments théoriques regroupés dans la section 2 : Certaines parties proposent de visionner des vidéos qui sont sur le serveur pédagogique Des questions sont posées auxquelles il convient de répondre Les parties 3, 4 et 5 contiennent le travail à réaliser pendant la séance de Travaux Pratiques. Dans tout l’énoncé, les questions / vidéos proposées sont mises en gras pour être f acilement visibles. De nombreuses vidéos ou images seront visualisées à partir du DVD-ROM intitulé « Multimedia Fluid Mechanics », édité par G. M. Homsy et publié par Cambridge University Press en avril 2008. Le contenu de ce DVD est disponible sur l’ordi nateur présent en salle de TP. Certaines questions sont optionnelles, elles sont notées « Pour aller plus loin ». Vous y répondrez si vous avez assez de temps.
2. PREPARATION DU TP : ELEMENTS THEORIQUES A. Viscosité des fluides Lors de l’étude d’un écoulement de fluide, la prise en compte de la viscosité dudit fluide se traduit par la modification Des conditions aux limites Des équations de Navier-Stokes Pour les conditions aux limites 1, le type de paroi considérée entre en jeu suivant qu’on considère une paroi solide ou une interface entre deux fluides (liquide/liquide ou liquide gaz). Sur les parois solides, s’applique la condition d’adhérence : la vitesse du fluide à la paroi est égale à la vitesse de la paroi. Sur les interfaces avec d’autres fluides, on doit satisfaire 1 En fluide parfait, on applique une condition de glissement sur les solides et les interfaces fluides (égalité
des vitesses normales) et une égalité des pressions.
à l’égalité des vitesses à l’égalité des contraintes de cisaillement2 (normales et tangentielles)
Pour les équations de Navier- Stokes, s’ajoute à la contrainte normale de pression une contrainte visqueuse qui dépend de la loi de comportement du fluide considéré. Par exemple et dans la suite, nous nous intéressons à des fluides newtoniens pour lesquelles la contrainte visqueuse s’exprime simplement par τ=2μ D où D est le tenseur de déformation et μ la viscosité dynamique du fluide. Au cours de la partie sur la viscosité des fluides (voir la section 0), on illustre les faits énoncés cidessus ainsi que les notions suivantes Diffusion de quantité de mouvement Couche limite laminaire Cette dernière notion est introduite par Landau et Lifchitz de la manière suivante : « Les très grands nombres de Reynolds sont équivalents à une viscosité très faible, ce qui permet d’assimiler le fluide pour ces valeurs de Re à un fluide parfait. Néanmoins cette approximation est
inutilisable pour les écoulements à proximité des parois rigides. Dans le cas d’un fluide parfait, les conditions aux limites n’imposent que la composante normale de la vitesse, la composante de la vitesse tangente à la surface du corps plongé dans le fluide reste généralement finie. Or dans un
fluide visqueux réel, la vitesse doit s’annuler sur les parois rigides. On peut en conclure que pour les grands nombres de Reynolds la décroissance de la vitesse
jusqu’à zéro doit s’effectuer presque complètement dans une couche mince de fluide adjacente à la paroi. Cette couche, appelée couche limite, est caractérisée par d’importants gradients de vitesse. Le mouvement du fluide dans la couche limite peut être laminaire ou turbulent. La décroissance de la vitesse dans la couche limite est déterminée en définitive par la viscosité du fluide, que l’on ne peut négliger dans la couche limite. »
B.
Transition entre régime laminaire et régime turbulent
L'étude de l'écoulement de Poiseuille dans un tube cylindrique (cf. cours) a permis de trouver une solution analytique du problème stationnaire correspondant au cas laminaire. Le terme « laminaire » provient du fait que pour ce régime d'écoulement, les filets fluides donnent l'impression de former des «lames fluides » glissant les unes par rapport aux autres. Cependant, cet écoulement n'est plus STABLE dès que le nombre de Reynolds devient important, c'est -à-dire quand les forces d'inertie deviennent "grandes" par rapport aux forces visqueuses. L'apparition de ce régime instable en fonction d'un nombre caractéristique adimensionnel dépendant de la géométrie de la conduite et du fluide a été clairement mise en évidence expérimentalement (voir la Figure 2 ) pour la première fois par Osborne Reynolds en 1883.
Figure 2 Montage expérimental d'O. Reynolds 1883
2 Dans les pays anglo-saxons, on parle aussi de continuité du flux de quantité de mouvement.
Question 1 : Mathématiquement, la solution laminaire obtenue reste-elle valide pour les grands nombres de Reynolds ? Quelle est l'hypothèse que l'on a posée pour obtenir cette solution analytique qui n'est plus physiquement vérifiée lorsque le nombre de Reynolds devient important ?
Figure 3 Signal typique d'une quantité mesurée en un point d'un écoulement turbulent
Ces fluctuations en temps traduisent en fait l'existence de structures tourbillonnaires présentes de l'échelle macroscopique jusqu'aux plus petites échelles de l'écoulement. Ce phénomène chaotique est appelé TURBULENCE. On note par η l'ordre de grandeur des plus petites structures tourbillonnaires présentes dans un écoulement turbulent (en-deçà de cette échelle, elles sont dissipées par l'effet de la viscosité du fluide). Cette échelle est appelée échelle de Kolmogorov . Exemples : pour une voiture circulant à 100 km/h, l'échelle de longueur de Kolmogorov (η) à proximité de la fenêtre conduction est d'environ 4.5 μm, ce qui est très faible. Pour comparaison, le libre parcours moyen (lpm) dans l'air à pression atmosphérique est de 65 nm (c'est -à-dire environ 200 diamètres moléculaires de l'air). l'échelle de Kolmogorov est de l'ordre du millimètre dans une couche limite atmosphérique. Pour commenter ces valeurs, on cite souvent la phrase de Tennekes and Lumley (1983) "Even the smallest scales occuring in a turbulent flow are ordinarily far larger than any molecular length scale".
Question 2 : Qu'en déduidez-vous des phénomènes turbulents vis-à-vis du cadre général de la MMC (Mécanique des Milieux Continus) ?
Figure 4 Ecoulement turbulent autour d'un cylindre (Onera)
Figure 5 Jet turbulent (Onera)
Figure 6 Profils de vitesse instantanés dans une couche
Figure 7 Fluctuations de vitesse en un point géométriquement fixe d'un écoulement turbulent. Ces fluctuations traduisent en fait le passage de structures tourbillonnaires de tailles très diverse (de l'échelle macroscopique jusqu’aux plus petites échelles de l'écoulement)
La turbulence ne possède donc pas de définition univoque. On trouve cependant dans la littérature des tentatives plus ou moins précises : " Turbulence fluid motion is an irregular condition of flow in which the various quantities show a random variation in time and space coordinates, so that statistically distinct average values can be discerned " Hinze (1975) (revised definition of von Karman (1937) ) " Turbulence has a wide range of scales " Bradshaw L’ensemble des caractéristiques de la turbulence évoquées ci -dessus entraînent certaines conséquences pour la simulation numérique en mécanique des fluides. Les fluctuations spatiales et temporelles des variables pour des phénomènes turbulents rendent la résolution numérique des équations de Navier-Stokes instantanées très difficilement abordables : pour capturer toute la physique (i.e. toutes les échelles de la turbulence jusqu'à l'échelle de Kolmogorov), cela nécessite de lourdes contraintes en terme de densité de maillage et de pas de temps (en plus du caractère non linéaire) : on peut montrer que le nombre d'opérations croît comme le nombre de Reynolds au cube. En pratique, cette résolution n'est envisageable que sur des configurations très simples à des nombres de Reynolds limités exigeant déjà la mobilisation des plus puissants supercalculateurs. Ainsi, pour avoir un temps de réponse des simulations en adéquation avec les besoins industrielles et la puissance de calcul disponible, on a donc recours à un moyennage des équations de Navier-Stokes qui décompose chaque grandeur en une valeur moyenne notée et une partie fluctuante (voir la Figure 3) Un moyennage appliqué aux variables de vitesse et de pression dans les équations de Navier Stokes est dit « moyennage de Reynolds » ; il permet d'obtenir les équations de Navier -Stokes moyennées ou Reynolds Averaged Navier -Stokes Equations (RANSE). Pour des écoulements isovolumes de fluides Newtoniens, on obtient :
ϕ
φ
ϕ̅
Question 3 : Comparez ces équations RANSE par rapport aux équations de Navier-Stokes instantanées, quels termes supplémentaires apparaissent ?
Pour fermer ces équations RANSE, le tenseur de Reynolds n'est pas résolu directement (même si on peut former une équation d'évolution exacte pour celui -ci), ce qui reviendrait en terme de complexité et de ressources informatiques à résoudre les équations de Navier -Stokes instantanées, mais modélisé par un jeu d'équations plus ou moins complexes faisant intervenir les grandeurs moyennes, en tentant d'approcher au mieux la physique des phénomènes. Cette étape est nommée sous le nom générique de « modélisation de la turbulence ». Le caractère turbulent d'un écoulement est dû à une interaction complexe entre les termes visqueux et les termes d'inertie dans les équations de conservation de quantité de mouvement. Question 4 : Démontrez que le nombre de Reynolds représente le ratio de l'ordre de grandeur des forces d'inertie sur l'ordre de grandeur des forces visqueuses. Déduisez-en que le caractère turbulent d'un écoulement est donc intimement lié au nombre de Reynolds. Les écoulements turbulents sont-ils rencontrés plutôt à faibles nombres de Reynolds ou à fort nombre de Reynolds ? Pourquoi ? Question 5 : Evaluez les nombres de Reynolds pour les configurations industrielles classiques ou des objects de la vie quotidiennes suivants : a) Catamaran de course : L=36.8 m, vitesse : 25,53 nœuds (vitesse moyenne d’Orange lors du record de la traversée de la Méditerranée en 2004), Rappel : 1 noeud=1.8 km/h
Figure 8 Catamaran Orange
Figure 9 Maquette testée au bassin d’essai des carènes de l’ECN
b) Maquette d'un catamaran de course pour essai en bassin L=1.75 m, vitesse : 10 m/s (similitude de Froude par rapport aux caractéristiques précédentes) (on rappelera au passage pourquoi les essais en bassin sur des maquettes peuvent être effectués uniquement en similitude de Froude) c) Voiture : Longueur : 4 m et vitesse : 100 km/h
Figure 10 DS Citröen en soufflerie (Onera)
Figure 11 Répartition de la traînée pour une voiture classique (source M. Grandemange, GdR Contrôle des décollements, Novembre 2012)
d) Avion : A320 corde de référence : 3.75m , vitesse de croisière : Mach 0.82 à une altitude de z = 39 000 ft (soit 11700m)
Figure 12 Avion Airbus A320 à l'atterrissage
A 39000 pieds, la masse volumique de l'air vaut environ 0.03 kg/m 3 et la viscosité dynamique vaut 1.45.10-5 Pa.s . e) Dialyseur à fibres creuses : système de rein artificiel utilisé dans le cas d'insuffisance rénale Dialyseur : L’hémodialyse est un traitement extracorporel du sang à l'aide d'un rein artificiel. Cette technique fait appel à un générateur de dialyse. Le dialyseur, aussi appelé « rein artificiel » est un appareil permettant lors d'une hémodialyse les échanges entre le sang (canalisé généralement dans des capillaires creux) et un dialysat, liquide circulant à l'extérieur des capillaires et exempt de déchets. Ce processus entraîne le transfert par difffusion des déchets présents dans le sang qui traversent ainsi la membrane pour passer dans le dialysat. Ce traitement a pour résultat d'ajuster le volume de sang et d'éliminer les déchets produits par l'organisme.
Figure 13 Schéma hydraulique du circuit
~ 15000 fibres de diamètre interne 250 microns. Débit : ~ 20 litres/heure, sang : viscosité de 4 à 25 -3 Pa.s, masse volumique ~ 1060 kg/m3
Figure 14 Photo du dialyseur à fibre poreuse
C.
Ecoulements autour de profils
Quelques définitions ou rappels :
Intrados
côté du profil exposé à l’écoulement incident (on dit « au vent » dans le domaine de la voile)
Extrados
côté du profil ayant le profil entre lui et l’écoulement incident (on dit »sous le vent » dans le domaine de la voile)
Incidence
angle entre la corde du profil (droite qui relie le bord d’attaque et le bord de fuite) et l’écoulement incident
Squelette ou ligne moyenne du profil Courbure du profil Corde Flèche du profil Cambrure du profil
lieu des cercles tangents intérieurement au profil (voir la 3ème figure) forme du squelette
distance l entre les bords d’attaque et de fuite distance f maximale du squelette à la corde ratio f/l : de 1 à 2 % généralement
Figure 15 Schéma d'un profil portant
Traînée Portance
composante de la résultante des efforts de l’écoulement sur la structure parallèle à l’écoulement incident composante de la résultante des efforts de l’écoulement sur la structure perpendiculaire à l’écoulement incident
On peut définir les coefficients adimensionnels de traînée Cx et de portance Cz par
T :
C x
1 2
P , C z
SU
2
1 2
SU
2
Le principe de fonctionnement d’un profil portant est le suivant. Pour une aile en incidence, la portance va être associée à une différence de pression entre l’intrados et l’extrados liée à l’apparition d’une circulation autour du profil d’après l’hypothès e de Kutta-Joukowski (début XXème siècle) : cette circulation est mise en place au moment du démarrage de l’écoulement autour du profil (ou est modifiée lors d’un changement dans les conditions de l’écoulement comme un changement d’incidence) : un tourbillon est généré à l’arrière du profil et se détache au niveau du bord de fuite, ce qui provoque la formation autour du profil d’un « contre -tourbillon » qui correspond à la circulation autour du profil (mathématiquement , la circulation est donnée par l’intégrale sur un contour ( C) fermé autour du profil, étant un élément tangent à ce contour est non nulle). Principe du tourbillon de démarrage
Figure 16 Photo à la mise en incidence du profil
Ce phénomène peut facilement être visualisé expérimentalement ou numériquement : voir vidéo Start-stop motion of an inclined airfoil.mp4
De plus, la circulation s’adapte de façon à ce que l’écoulement, au niveau du bord de fuite, s’échappe du profil sans contourner le bord de fuite : voir vidéo Joukowski_Airfoil.flv Cette adaptation de l’écoulement suit la condition dite condition de Kutta -Joukowski (énoncée en 1902) et qui s’écrit :
l
avec :
circulation autour du profil corde du profil considéré
vitesse de l’écoulement amont (non perturbé) angle de portance nulle (angle d’incidence pour lequel la portance est nulle) incidence du profil
3. VISCOSITE DES FLUIDES A.
Conditions aux limites
Question 6 : A l’aide des pages 177 à 180, commentez la vidéo page 178 en expliquant pourquoi la ligne de colorant rouge reste attachée au fond du récipient.
B.
Diffusion de quantité de mouvement
On considère ici un fluide initialement au repos. Une paroi du récipient est mise en mouvement à vitesse constante : elle entraîne les couches fluides à proximité d’après la condition d’adhérence. Suivant la viscosité du fluide, l’influence de la paroi mo bile se fait sentir plus ou moins profondément dans le fluide. On introduit la longueur de diffusion λ=√νt.
Question 7 : En observant les vidéos de la page 198, estimez la viscosité cinématique des deux liquides les moins visqueux en prenant le diamètre du récipient égal à 10 cm.
C.
Couche limite laminaire
On considère un écoulement uniforme qui rencontre une plaque plane parallèle à l’écoulement. L’évolution théorique de l’épaisseur δ de couche limite en fonction de la distance x au bord d’attaque s’écrit δ = x / √Re où Re est le nombre de Reynolds estimé à partir de la distance x et de la vitesse U en dehors de la couche limite.
Question 8 : A l’aide des pages 624 à 625, étudiez l’évolution de l’épaisseur d’une couche limite laminaire expérimentale. Pour obtenir une mesure de l’épaisseur, cliquez gauche et faites glisser pour tracer un segment dont la longueur s’affiche dans le tableau de gauche. Effectuez une mesure sur 8 points à l’aide de l’applet page 627 et notez les valeurs dans votre rapport. A l’aide d’un tableur, vous tracerez l’évolution de l’épaisseur en fonction de t et de √t et statuerez sur la loi empirique observée.
4. REGIME TURBULENT ET TRANSITION DEPUIS LE REGIME LAMINAIRE A.
Turbulence
Afin de saisir la notion de turbulence, vous observerez les caractéristiques des différents régimes d'écoulements dans une conduite en visionnant les vidéos du DVD MFM2 en pages 730 -731-732 et aussi 728 qui montre un zoom de la conduite pour les différents régimes d'écoulements. En complément des images fournies dans la partie 2 et pour mieux appréhender les caractéristiques principales des écoulements turbulents, à savoir : instationnaire intrinséquement tridimensionnel, rotationnel (possédant une grande variété d'échelles tourbillonaires) dispersif et diffusif (grande capacité de mélange) chaotique mais possèdant des structures cohérentes très dissipatif (transformation de l'énergie cinétique en chaleur) vous visualiserez pour cela la vidéo CLT0c_behind_plate_lam_turb.mov (comparaison d'un sillage laminaire et turbulent) et les illustrations et les animations proposées sur le DVD MFM2 : page 728, Laminar/Turbulent Transition, page 736, Transitioning Boundary Layer, page 737, Rayleigh-Taylor Instability,
B.
page 738, Kelvin-Helmholtz Instability, page 741, Turbulence as a Random Process, page 748, Vortex streching and Breakdown, page 751, Jet Instability, page 758, Mixing Layer, page 761, Turbulent Flows are Highly Dissipative, Transition laminaire → turbulent et ordre de grandeur des nombres de Reynolds B.1. Ecoulement externe sur une plaque plane lisse :
Le développement d'une couche limite sur une plaque plane débute par une couche limite laminaire qui va au bout d'une certaine distance se déstabiliser et transitionner vers une couche limite turbulente (même si celle-ci comporte to ujours une sous-couche qui reste laminaire mais avec un gradient de vitesse plus important et donc avec un coefficient de frottement plus grand), (voir figure ci-dessous et aussi page 677->680 du DVD).
Figure 17 Les différentes zones d'une couche limite turbulente
Question 9 : En analysant le graphique ci-dessous qui donne le coefficient de frottement global en fonction du nombre de Reynolds (la longueur de référence correspond à la longueur de la plaque Xt), vous analyserez les mesures expérimentales et déterminerez l'ordre de grandeur du nombre de Reynolds local (c'est-à-dire basé sur la distance au début de la plaque) de transition au-delà duquel l'écoulement devient turbulent.
Figure 18 Coefficient de traînée total sur une surface plane et lisse en fonction du nombre de Reynolds (courbe issue de S.F. Hoerner, Fluid-Dynamic Drag, 1965
B.2. Ecoulement externe sur un obstacle non-profilé : Question 10 : Observez les vidéos page 5, flow past a sphere page 247 : Effect of Re and Geometry on flow page 271 : comparison of Potential flow Theory with experiment page 256 : drag coefficients for different shapes Donnez alors l'ordre de grandeur du nombre de Reynolds pour lequel on observe au moins un sillage pleinement turbulent.
B.3. Ecoulement interne : Question 11 : Rappelez l'ordre de grandeur du Reynolds de t ransition pour un écoulement en conduite cylindrique. Question 12 : Qu'en déduisez-vous en ce qui concerne le régime d'écoulement pour la majeure partie des applications industrielles ou quotidiennes (on se referera aux évaluations des nombres de Reynolds calculés en préambule)
C.
Grandeurs d'intérêt dans le cas d'écoulements turbulents :
Répondez aux questions suivantes :
Question 13 : que mesure un dispositif du type tube de Prandtl (plus communément appelé tube de Pitot) ? Une différence de pression instantanée ou moyennée ? Pourquoi ?
Figure 19 Tube de Pitot double ou tube de Prandtl
Question 14 : que représente le profil de vitesse cicontre dans une conduite en régime turbulent, un profil de vitesse instantanée ou un profil de vitesse moyen ? Question 15 : Dans la plupart des applications industrielles, s'intéresse-t-on aux grandeurs instantanées ou aux grandeurs moyennées (respectivement et sur la Figure 3) ?
̅
Rem : pour aller plus loin sur la notion d'équations RANS et de la décomposition en moyenne de Reynolds, on pourra se référer aux pages 789->792.
D.
Etudes de cas : D.1. Décollement de couches limites
Question 16 : Analysez la topologie de l'écoulement autour d'une sphère en régime 5 subcritique (Re<2.10 ) avec et sans dispositif permettant de déclencher la turbulence à l'aide des figures ci-dessous et de la vidéo Drag_Force_Sphere_IIHR.avi (Drag_Force_Sphere_Long_IIHR.avi si le temps le permet). Déduisez-en pourquoi la traînée est réduite dans le cas où l'on ajoute une aspérité ? Est-ce dû à une diminution de la traînée visqueuse ou de la traînée de pression ?
Figure 20 Ecoulements autour d'une sphère pour un nombre de Reynolds subcritique. Dans le cas de droite,une aspérité est placée en amont du point de décollement en régime laminaire ce qui permet d'induire la tr ansition vers une couche limite turbulente qui adhère mieux au paroi. Ainsi, le décollement est retardé par rapport au cas sans aspérité (photo de gauche). Cliché : H. Werlé, ONERA
Question 17 : Expliquez pourquoi l'état de surface irrégulier d'une balle de golf (golf dimples) lui permet d'aller plus loin qu'une balle similaire lisse ? Les caractéristique d’une balle de golf sont : vitesse initiale ~ 70 m/s, diamètre ~ 42 mm
Figure 21 Coefficient de traînée expérimental d'une sphère en fonction du nombre de Reynolds
D.2. Bandes rugueuses sur maquette Comme étudié en TD, l'écoulement d'un navire dépend de deux nombres caractéristiques adimensionnels, le nombre de Froude et le nombre de Reynolds. En similitude de Froude (condition réalisé en bassin de traction), le champ de vagues généré par la maquette est alors presque identique à celui du bateau réel (hormis la partie arrière en aval de la poupe du bateau). Cependant, la topologie de l'écoulement à proximité de la coque (dans la zone de couche limite) peut différer fortement entre celle de la maquette et le bateau réel. Question 18 : Pourquoi ? (on pourra se référer aux calculs des nombre de Reynolds du préambule).
Pour réduire cette différence, on ajoute des bandes rugueuses à l'avant des maquettes. Elles sont obtenues en collant des grains de sable calibrés sur des bandes d’environ 2 cm de large à une distance de l’avant du navire de 1/20 ème fois sa longueur.
Question 19 : Expliquez l'action de ce dispositif sur l'écoulement et déduisez- en pourquoi cela permet d'avoir un écoulement plus proche de l'écoulement au réel (on pourra s'aider de l'analyse précédente sur la plaque plane).
Figure 22 Maquette testée au bassin d’essai des carènes de l’ECN
D.3. Effets d'échelles On considère ici l'écoulement autour du ferry dans une configuration à échelle réelle (Full Scale) et à échelle modèle (Model Scale), dont les caractéristiques sont les suivantes :
Figure 23 Vue de profil de la coque du ferry
Longueur Vitesse
Full Scale 155 m 12 m/s
Model Scale (échelle 1:21) 2.6 m/s
Question 20 : Vérifiez que la configuration maquette est bien en similitude de Froude (Fr=U/√(Lg), et évaluez le nombre de Reynolds de chaque configuration. Les simulations ont été réalisées par le code de calcul ISIS-CFD développé au laboratoire LHEEA qui résout les équations RANS (voir section 2.B). Les maillages utilisés possèdent respectivement de 3.8 millions de cellules pour le cas Model Scale et 5.1 millio ns de cellules pour le cas Full Scale. Le code de calcul effectue des simulations RANSE avec une capture de la surface libre et une prise en compte de l'effet du propulseur caréné par un modèle de forces volumiques.
Figure 24 Comparaison de l'élévation de la surface libre entre la configuration maquette « Model Scale » (MS :WIP) et réelle « Full Scale » (FS:WIP), les deux prenant en compte l'effet du propulseur.
Question 21 : Les résultats de l'élévation de surface libre sur la Figure 24 sont-ils conformes à votre attente ? Pourquoi ?
5. ECOULEMENTS SUR PROFILS
On étudie dans cette partie l’écoulement autour de corps profilés en termes de performances portance et traînée puis on s’intéresse aux modèles en fluide parfait et en fluide visqueux.
A.
Physique des écoulements A.1. Caractéristiques des écoulements autour de profils portants
Question 22 : Quelle composante de l’effort s’appliquant sur les structures ci-dessus est exploitée pour le fonctionnement de ces structures ?
On s’intéresse à la visualisation expérimentale d’écoulements incompressibles en fluide visqueux. Question 23 : Regardez les vidéos du DVD MFM2 p 638 (ou 248 pour d’autres commentaires): on parle d’écoulement attaché pour des faibles incidences et d’écoulement détaché (ou décollé) pour des incidences plus fortes.
Pour tracer les efforts sur un profil, plutôt que de tracer séparément l’évolution du coefficient de traînée ou de portance en fonction de l’incidence du profil, on définit une polaire montrant l’évolution du coefficient de portance en fonction du coefficient de trainée.
Figure 25 Représentation classique des composantes des efforts en fonction de l’incidence (source : annales ENS Cachan, préparation BIA)
Figure 26 Polaire d’un profil (source : annales ENS Cachan, préparation BIA)
Question 24 : à quel phénomène physique sur les vidéos pouvez-vous associer le décrochage qui se caractérise par une chute brutale de la portance et une forte augmentation de la traînée ?
Plus précisément, si l’écoulement sur l’extrados rencontre un gradient de pression adverse, l’écoulement va être petit à petit ralenti jusqu’à ce que la vitesse s’annule au -dessus de la paroi et que l’écoulement décolle (voir figure ci -dessous).
Figure 27 Principe du décollement de l’écoulement sur une paroi (Rhyming, 1985)
Figure 28 Allure du coefficient de pression (p : pression locale sur l’extrados ; p0 : pression de l’écoulement à l’infini amont ; U_∞ : vitesse de l’écoulement incident) sur l’extrados et l’intrados d’un profil pour une incidence faible (2,5°) et une incidence forte (proche de l’angle critique) (Fédiaevski et al., 1974)
Sur la figure ci-dessus, on montre l’évolution du coefficient de pression sur l’extrados d’un profil pour une incidence faible (2,5°) et une incidence proche de l’angle critique (c’est -à-dire proche du décollement massif).
Question 25 : décrivez ce qui caractérise le champ de pression sur un profil en situation proche de décollement massif sur l’extrados ?
Les efforts fluides s’appliquant sur un profil bidimensionnel peuvent se décomposer en deux termes : la traînée de pression et la traînée visqueuse. Pour un profil tridimensi onnel d’envergure finie, la formation des tourbillons d’extrémité d’ailes est à l’origine d’une troisième composante de la traînée appelée traînée induite qui peut aller jusqu’à 10 % de la traînée totale.
Figure 29 Visualisation des tourbillons à l’extrémité de profils (images NASA à g. et O NERA à d.)
Lorsque l’écoulement n’est pas décollé, la traînée est essentiellement due à l a traînée visqueuse ; si l’écoulement est décollé, la part de la traînée de pression est nettement augmentée. A.2. Systèmes utilisés pour améliorer les performances d’un profil : Vortex generators Des dispositifs générateur de tourbillons peuvent aussi être utilisés près des bords d'attaque pour retarder les décollements et atténuer le décrochage, en générant des tourbillons longitudinaux qui vont rester à proximité de la voilure et ramener du fluide de plus grande vitesse à proximité de la paroi, et ainsi retarder le décrochage. Ils peuvent être aussi installés à proximité des volets arrière pour que ceux-ci puissent travailler avec un angle d'incidence important tout en gardant un écoulement attaché. Question 26 : Analysez les photos suivantes et la vidéo VG_0_50_100_Airplane.avi.
B.
Modélisation en fluide parfait potentiel
Voir la partie préparation pour les équations caractérisant le modèle fluide parfait potentiel.
Question 27 : Comparez les écoulements autour d’un profil pour un cas expérimental 4 (Reynolds 10 ) et une modélisation en fluide parfait potentiel, et ce pour différentes incidences : voir vidéo du DVD MFM2 p. 271. Question 28 : quel problème majeur a-t-on dans la modélisation fluide parfait potentiel ? comment expliquez-vous ce comportement ? Le modèle fluide parfait potentiel permet malgré tout de m odéliser correctement l’écoulement
autour d’un profil et d’avoir une estimation correcte des efforts de portance dans les conditions définies ci-dessus.
Figure 30 Comparaison théorie fluide parfait 2D – expériences pour le coefficient de portance d’un profil
Dans un modèle de fluide parfait potentiel, même en l’absence de viscosité, on peut mettre en place une circulation autour d’un profil et donc reproduire les effets de portance seule (pour des modèles bidimensionnels) ou de portance et de trainée pour des modèles plus élaborés (modèles tridimensionnels comme celui de la ligne portante par exemple).
C.
Modélisation et simulation numérique des écoulements autour d’un profil NACA0012 par les équations de Navier-Stokes : comparaison avec les expériences
Voir la partie préparation du TP pour les équations de Navier -Stokes moyennées au sens de Reynolds (RANS Equations) utilisées ici.
C.1. Allure des écoulements simulés Des simulations 2D résolvant les équations de Navier-Stokes en moyenne de Reynolds (équations RANS) avec un modèle de turbulence à 2 équations k- SST ont été réalisées avec le code ISIS-CFD (CFD pour Computational Fluid Dynamics) développé au LHEEA (situé à Centrale nantes : Laboratoire de recherche en Hydrodynamique, Energétique et environnement Atmosphérique) pour un profil NACA0012 avec 5 incidences : 0°, 3°, 6°, 9° et 20°. L'écoulement est considéré 6 incompressible et isotherme, i.e. isovolume. Le nombre de Reynolds considéré est égal à 1,44.10 . Les conditions aux limites sont du type vitesse imposée sur toutes les frontières externes du domaine, sauf en sortie où on utilise une condition de pression imposée égale à 0. Une condition d'adhérence est imposée sur le profil. Les maillages contiennent selon l'incidence entre 30000 et 50000 cellules (plus l'incidence est grande et plus la zone pour capturer le sillage est importante d'où l'augmentation du nombre de points). Examinez les différents maillages à l’aide du logiciel de visualisation TECPLOT (installé sur le PC, notice à la fin de ce document) .
Question 29 : Pourquoi est-on obligé d'avoir des maillages de très faible épaisseur tout autour du profil ? Question 30 : Pourquoi le ratio longueur/hauteur des cellules est-il important ? Examinez les solutions pour les différentes incidences en utilisant le logiciel de visualisation Tecplot entre 0° et 9° (on pourra visualiser les champs de pression et de vitesse pour voir l’influence de l’incidence, s'intéresser aux maxima et minima de pression, tracer les lignes de courant autour du profil,...). Pour la simulation à 20°, qui possèdent une solution instationnaire, on se contentera de visualiser les animations ... Question 31 : Comparez qualitativement les solutions obtenues en résolvant les équations de Navier-Stokes avec les résultats de la m odélisation fluide parfait potentiel ou les résultats expérimentaux (DVD MFM2 p. 271). Conclusions ?
6. Pour aller plus loin A.
Turbulence
Question 32 : Analysez les topologies d'écoulements par l'intermédiaire des lignes de frottement pariétales pour la maquette (MS) et pour l'échelle réelle (FS) issues de simulations numériques (voir fig. ci-dessous). Quantifiez les effets d'échelle (modifications de l'écoulement dues aux non-respects de la similitude, en l'occurrence le nombre de Reynolds pour les essais s ur carène). Question 33 : Expliquez pourquoi l'optimisation de certaines parties de la coque à partir d'essais ou de simulations à échelle modèle est inadaptée.
Figure 31 Définition des différents supports de l'arbre d'hélice
Figure 32 Lignes de frottement pariétal sur la base du support S2
Figure 33 Lignes de frottement pariétal sur le support S3
B.
Ecoulements sur profils
̅
̅
Question 32 : (voir question 25) 25 ) Le coefficient de pression sur l’aile peut-il dépasser la valeur de 1 ? Y-a-il une limite inférieure à ? Question 33 : Comment pouvez-vous expliquer la formation des tourbillons d’extrémités d’aile (pensez à la dépression entre intrados et extrados qu’il existe du fait que l’aile considérée soit en incidence) ?
Question 34 : (voir question 28) Si les performances et le comportement de l'appareil peuvent être sensiblement améliorés par la pose de ces dispositifs, que pensez-vous de l'impact des générateurs de vortex en vol de croisière à faible incidence ? Pourquoi ne cherche-t-on pas à les dissimuler pour un avion de chasse à la différence des avions de ligne?
B.1. Efforts autour du profil Les résultats de portance et de traînée obtenus par le code de calcul ISIS-CFD sont rapportés dans le tableau suivant : Angle d'incidence
0°
3°
6°
9°
20°
Coefficient de portance CL
0
0,32
0,63
0,92
instationnaire
Coefficient de traînée CD
0,011
0,012
0,015
0,020
instationnaire
Question 35 : Comparez les résultats obtenus par le code de calcul avec les résultats du graphique fourni par Gregory et O'Reilly représentant des mesures expérimentales.
Evolution de la portance en fonction de la traînée pour un profil d'aile lisse avec ou sans bandes de transition (ballotini : « petites billes » déposés sur le bord d'attaque de la surface donnant à celle-ci un aspect rugueux déclenchant artificiellement artificiellement la turbulence). Source : Low-speed aerodynamic characteristics of NACA 0012 aerofoil section, including the effects of upper-surface roughness simulating hoar frost, National Physical Laboratory England, 1970 ,Gregory, N. & O'reilly, C.
Dans ce graphique, les conditions « clean » correspondent correspondent à un profil lisse et les cas « 0.18 mm ballotini » et « 0.3 mm ballotini » à des bandes rugueuses placées sur le bord d’attaque du profil expérimental ce qui permet de déclencher artificiellement l a turbulence et d’avoir donc un écoulement turbulent sur tout le profil. Les codes de calcul actuels basés sur la résolution des équations de Navier-Stokes moyennées au sens de Reynolds ont du mal à simuler correctement la transition des états laminaires vers les états l isse et turbulents : cela signifie qu’en voulant réaliser une simulation numérique sur un profil lisse supposant l’écoulement turbulent (c’est -à-dire en utilisant un modèle de turbulence pour résoudre les équations RANS), le modèle numérique ne sera pas capable de simuler un écoulement laminaire près du bord d’attaque du profil puis devenant turbulent (c’est là que se produit la « transition du laminaire vers le turbulent ») à un endroit donné le long du profil mais seulement un écoulement turbulent tout le long du profil (comme c’est le cas au niveau expérimental quand on utilise les
bandes rugueuses près du bord d’attaque du profil). pro fil). Question 36 : Avec la remarque faite ci-dessus, les résultats des simulations numériques s'accordent-ils bien avec les expériences réalisées avec des bandes rugueuses ? Essayez de quantifier les écarts entre simulation numérique et résultats expérimentaux.
VI – ETUDE D’AJUTAGES RAPPEL : Avant de participer à la séance de Travaux Pratiques, vous devez la préparez personnellement personnellement à l’aide des indications contenues au fil de l’énoncé. Il est important de se référer à l’avant-propos l’avant-propos de ce document.
1. BUT DE LA MANIPULATION Un ajutage est un petit conduit de forme variable qu’on fixe sur l’orifice d’un réservoir et par lequel s'écoule un liquide. L'ajutage modifie les conditions de l'écoulement et en particulier le débit. On caractérise un ajutage par son coefficient de débit C q, rapport du débit réel à un débit théorique maximal. La manipulation expérimentale proposée consiste à déterminer et comparer le coefficient de débit de trois ajutages : un orifice en mince paroi et deux ajutages de Borda (ajutages rentrants).
Cette partie expérimentale sera également l’occasion d’aborder une méthode de mesure de débit adaptée aux écoulements guidés possédant une surface libre : la méthode du déversoir de Bazin.
2. THEORIE A.
Définition du coefficient de débit
Le débit des écoulements dans les ajutages est le plus souvent étudié par référence à un débit théorique exprimé comme le produit d'une vitesse de référence U réf et d'une section efficace S eff . Comme il s'agit d'écoulements gravitaires, la vitesse de référence est la vitesse de Torricelli,
√
, où H est la charge ou hauteur à l’origine du mouvement. La section efficace S eff dépend de l'ajutage considéré. Le débit théorique vaut donc
√
.
On définit le coefficient de débit C q comme le rapport entre le débit réel et le débit théorique. L’expression du coefficient de débit C q est la suivante :
√
B.
Eléments théoriques relatifs aux ajutages
B.1. Ajutage de Borda à jet libre Soient S la section extérieure de l'ajutage rentrant et H la charge de la cuve (Fig. 2). Si l’ajutage n’est pas trop long, la veine fluide décolle sur l’arête intérieure et forme un jet laminaire qui ne recolle pas dans l’ajutage. Dans la cuve, c uve, le mouvement n’est sensible qu’à une très faible distance de l’ajutage. On constate également l’existence d’une section contractée juste en aval du décoll ement.
cuve
Le coefficient de débit volumique peut-être obtenu en écrivant le bilan de quantité de mouvement sur tout le fluide en amont de la section contractée.
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ( ) ⃗ ⏟ ⏟ (⃗ ⃗) ⃗ (⃗ ⃗)⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ( ) En projection sur l’axe
L
H e g r a h C
de l’ajutage :
S n o i t c e S
Section contractée
Figure 2 : Ajutage rentrant à jet libre
avec (cf. Fig. 3) :
Terme
:
Sur
:
parois
nL
solides
O
Sur
: projection suivant
Sur
nulle
(SP)
: tube de courant
nP
Il reste :
H (SS)
:
nA
z
(SC)
On peut considérer que le fluide est pratiquement au repos dans la cuve sauf
nF
au voisinage immédiat de l’entrée de l’ajutage. La pression est donc hydrostatique sur toute l’enveloppe S sauf
sur où règne atmosphérique. Ainsi : Sur : Sur
la
(SA)
(SF)
Figure 3 : Domaine fluide pour le bilan de quantité de mouvement
pression
:
Finalement :
nS nC
S
Terme
(SP)
g
nP
et donc :
√ }
Profil quasi-uniforme dans la section Bernoulli entre la surface libre et
∬ ⃗ ⃗
ou, en introduisant le coefficient de contraction :
ex
Coefficient de débit : Dans le cas de l'ajutage de Borda à jet libre, les filets fluides décollent sur l'arête biseautée de l'ajutage (Fig. 3); la section efficace est donc la section extérieure S.
√
Le coefficient de débit C q s'écrit donc dans ce cas: et donc, finalement :
Remarque : Les approximations faites dans le calcul du bilan de quantité de mouvement sont bien vérifiées . puisque l’expérience montre que
B.2. Ajutage en mince paroi (écoulement laminaire) Dans le cas d’un orifice en mince paroi, on ne peut pas
appliquer aussi facilement le théorème d’Euler car les vitesses sont appréciables le long des parois au voisinage de
l’orifice et la loi de l’hydrostatique ne peut plus s’appliquer.
H e g r a h C
cuve
Le coefficient de contraction peut être obtenu à l’aide de la théorie des écoulements à potentiel (hors programme du cours de Tronc Commun). On trouve :
S n o i t c e S
ex
Section contractée SC
Figure 4 : Ajutage en mince paroi
La section efficace est manifestement la section S de l'ajutage. On en déduit le coefficient de débit :
√ − 3
On peut aussi utiliser la relation empirique suivante :
avec
3
M. Carlier, Hydraulique Générale et Appliquée, Collection de la Direction des Etudes et Recherche d’EdF, n°14,
1986, Ed. Eyrolles.
B.3. Ajutage rentrant à gueule bée (écoulement turbulent) Pour une longueur de pénétration L suffisamment grande de l’ajutage, le jet est recollé. Soient s la section intérieure de l’ajutage et S sa section extérieure. Dans ce cas le théorème d’Euler , appliqué sur le domaine fluide compris entre la surface libre et la section de sortie de l’ajutage, donne :
Où β j est le coefficient cinétique à la section de sortie du jet et où l'on a considéré que la section efficace est la section s intérieure de l'ajutage.
cuve L
H e g r a h C
(S j ) c S n o i t c e S
s n o i t c e S
S n o i t c e S
Figure 5 : Ajutage rentrant à gueule bée
e
C.
Méthode du déversoir de Bazin pour la mesure de débit
Un déversoir est un orifice superficiel ouvert à sa partie supérieure et pratiqué dans une paroi généralement verticale. Le niveau h de la surface libre au-dessus du seuil est quasi constant à
l’amont et s’abaisse sensiblement au passage du seuil (Fig. 5). Le déversoir de Bazin est un déversoir vertical à mince paroi biseautée (e < h/2), rectangulaire et occupant toute la largeur d’un canal (pas de contraction latérale).
La méthode de mesure des débits par déversoir est issue d’une relation établie par Poleni au ème
XVIII siècle et des travaux expérimentaux de Bazin entre 1888 et 1898 sur un canal dérivé du Canal de Bourgogne, près de Dijon. Elle relie le débit Q dans le canal à la charge h et aux caractéristiques géométriques du déversoir. Le déversoir offre avant tout un moyen pratique d'évaluation du débit d'un cours d'eau. Formule de Bazin :
√
valable si
Figure 5 : Déversoir de Bazin Plusieurs autres formules empiriques ont été proposées. On utilise le plus souvent celle de Kindsvater et Carter (1957) qui constitue la référence pour l’Association Internationale de Normalisation (norme ISO).
Elle s’écrit :
√
valable si
Il faut noter que ces formules ne sont applicables que lorsque la veine d’eau décolle de la pelle en aval du déversoir. On prendra donc soin de décoller la veine d’eau de la pelle avant toute mesure
de h à l’aide du limnimètre.
3. DEROULEMENT DES TRAVAUX PRATIQUES Les manipulations proposées ont pour but de déterminer le coefficient de débit de trois types
d’ajutage en mesurant, à l’aide d’une cuve de pesée, le débit réel de liquide circulant dans l’installation pour une hauteur d’eau dans la cuve de mise en charge donnée. Ces coefficients de débit obtenus de manière expérimentale permettront de mettre en évidence
l’influence de l’ajutage sur les conditions d’écoulement et le débit de vidange de la cuve de mise charge. Ils pourront également être confrontés aux coefficients de débit obtenus de manière théorique. En complément, la mesure de la charge h au-dessus du déversoir équipant le canal permettra
d’évaluer le débit de fluide dans le canal à l’aide des formules proposées au paragraphe VI.5 et de le confronter à celui obtenu directement à l’aide de la cuve de pesée. La validité de cette approche pourra alors être discutée.
Figure 6 : Schéma de l’installation
A.
Description du montage
L'installation est représentée sur la Figure 6. Elle comprend : un bassin d'alimentation, une pompe immergée permettant de remplir la cuve de mise en charge, une vanne de réglage du débit, une cuve de mise en charge équipée, sur l'arrière, d'un déversoir de trop-plein permettant de régler précisément la charge H. Un ajutage peut être fixé sur la face avant. un canal de restitution et de tranquillisation, un canal de mesure de débit équipé d'un déversoir de Bazin et d'un limnimètre (dispositif permettant la mesure de la hauteur d'eau en un point donné dans un écoulement guidé possédant une surface libre), une cuve de mesure de débit massique munie d’une balance de pesée, une vanne (bleue) de vidange de la cuve de mise en charge.
A.1. Mise en route de l’installation La procédure de mise en route de l’installation est la suivante :
mettre sous tension la balance électronique de la cuve de pesée, mettre en place l’ajutage à étudier et fermer le carter de protection équipant le canal (éclaboussures),
s’assurer que la vanne d’alimentation de la cuve de mise en charge est positionnée sur « alimentation basse »,
s’assurer que la vanne de vidange de la cuve de pesée est bien ouverte, s’assurer que la vanne de vidange de la cuve de mise en charge est bien fermée, mettre en route la pompe immergée, ouvrir complètement la vanne de réglage de débit, laisser la cuve de mise en charge se remplir,
lorsque le niveau d’eau dans la cuve de mise en char ge atteint celui du trop plein, basculer la vanne d’alimentation de la cuve sur la position « alimentation haute », attendre la stabilisation du niveau d’eau dans la cuve.
A.2. Arrêt de l’installation La procédure d’arrêt de l’installation est la suivante :
fermer complètement la vanne de réglage de débit de la pompe, arrêter la pompe, ouvrir la vanne de vidange de la cuve de mise en charge,
basculer la vanne d’alimentation de la cuve de mise en charge sur la position « alimentation basse ».
A.3. Mesure du débit réel Qréel : utilisation d’une cuve de pesée C’est la méthode la plus directe basée sur la mesure du temps t nécessaire au passage d’une masse m de liquide. Elle consiste à dériver l’écoulement vers une cuve munie d’une balance et à mesurer à l’aide d’un chronomètre le temps t nécessaire au remplissage de la cuve d’une masse m. On accède alors au débit volumique par la relation :
Afin d’effectuer une mesure de débit à l’aide de la cuve de pesée, il faut : Attention :
faire le zéro de la balance (TARE), fermer la vanne de vidange de la cuve de pesée et déclencher simultanément le chronomètre, laisser la cuve se remplir suffisamment, arrêter le chronomètre et relever simultanément la masse indiquée par l a balance, rouvrir la vanne de vidange et laisser la cuve se vider avant une nouvelle mesure. i) La mise en place des ajutages doit être effectuée avec beaucoup de précaution car ce sont des éléments fragiles. ii) La balance doit être mise sous tension avant la mise en mouvement du liquide
dans l’installation afin de permettre une initialisation correcte. iii) Lors de la mesure de débit, le temps de mesure doit être suffisamment long pour avoir une bonne précision dans l'évaluation du débit. Cependant, l'arrêt du chronomètre doit être effectué avant que le niveau de liquide n'atteigne le tropplein. iv) Pour toutes les mesures concernant les ajutages, on veillera à ce que la charge H de la cuve de mise en charge reste parfaitement constante. v) Replacer le limnimètre en position ‘haute’ (i.e. hors de l’eau) après chaque mesure
afin d’éviter une mise à l’eau de l’électronique. vi) en fin de TP, ne pas oublier d’éteindre le limnimètre et la balance électronique et de démonter l’ajutage. B.
Préparation du TP
On se réfère à l’avant-propos du TP pour les détails concernant la préparation du TP qui doit être effectuée avant la séance.
B.1. Données mesurées Les mesures effectuées sont la masse m et le temps t de pesée à la cuve de pesée. Cette mesure de débit sera la référence. Une autre mesure de débit par la méthode du déversoir de Bazin sera utilisée où la donnée mesurée est la hauteur h de la surface libre au dessus du seuil du déversoir. Cette hauteur sera mesurée au limnimètre. On fournit sur le serveur pédagogique une feuille de
calcul de type tableur qu’il vous convient de compléter (un exemple illustré d’utilisation de tableur est également donné sur le serveur). Elle contient un tableau de 3 colonnes ainsi que les données géométriques données ci-dessous.
B.2. Données géométriques Type d’ajutage Mince paroi - diaphragme Borda à jet libre Rentrant à gueule bée
Longueur L (mm) 36,0 150,0
Diamètre extérieur D (mm) 25,0 25,0
Dimensions des ajutages
Diamètre intérieur d (mm) 15,0 22,5 20,0
Dimensions du déversoir :
- profondeur p = 150 mm - largeur l = 130 mm
Hauteur d’eau dans la cuve de mise en charge lorsque le trop-plein fonctionne : H = 1320 mm.
B.3. Etude des ajutages Pour cette étude, la charge sera fixée constante avec un niveau d’eau fixe correspondant à celui du trop-plein.
Ajoutez dans la feuille de calcul fournie, pour chacun des ajutages, le calcul du coefficient de débit à partir des mesures à la cuve de pesée : ajutage de Borda à jet libre, rentrant L=36 mm (jet laminaire décollé o ajutage en mince paroi, o o
(4)
),
ajutage rentrant à gueule bée de longueur L=150 mm
Ajoutez le calcul du nombre de Reynolds de l’écoulement. Faites un calcul d’incertitude sur le débit mesuré et intégrez -le aux résultats de coefficients de débit.
B.4. Mesure de débit à l’aide d’un déversoir Dans cette partie, différentes valeurs de charge pourront être utilisées afin de faire varier les débits étudiés. Ajoutez le calcul des débits par la méthode du déversoir o o
Formule de Bazin Formule de Kindsvater et Carter
A l’aide des données de test suivantes, validez vos formules (trop-plein actif)
Cuve de pesée
Déversoir
Masse (kg)
Temps (s)
Cq Mince paroi
Hauteur surface libre h (mm)
Bazin
100
1
111,2
300
4,89.10
-2
Débit Kindsvater et Carter -2 4,73.10
Faites un calcul d’incertitude sur les débits obtenus à l’aide des méthode de déversoir.
Préparez une courbe permettant de trouver une nouvelle formule liant le débit Q dans le canal au niveau h de la surface libre au-dessus du déversoir dans le montage expérimental étudié.
(4)
Pour cet ajutage on peut obtenir naturellement un jet laminaire lors de la mise en charge de la cuve. Toutefois, il est possible de perturber manuellement l’écoulement de façon à provoquer un recollement de la veine d’eau dans l’ajutage. La perturbation provoque en outre la transition au régime turbulent. Cette configuration ne sera pas étudiée au cours de ce TP.
Indications : La forme des formules de Bazin et Kindsvater et Carter suggérant une évolution du type b
Q=a.h , tracer ln(Q) en fonction de ln(h).
C.
Mesures
Pour démarrer le montage, vous vous référerez à l’affiche disposée à proximité du montage, ainsi que de ce qui précède (A.1, A.2 et A.3).
L’étude des coefficients de débits : o
o
concerne les trois ajutages dont vous disposez : Borda à jet libre, mince paroi et rentrant à gueule bée. est réalisée pour la charge maximale où le trop-plein de la cuve de mise en charge est actif.
consiste en une mesure du débit à l’aide de la cuve de pesée et de la hauteur d’eau au dessus du déversoir à l’aide du limnimètre. Pour l’ajutage présentant le coefficient de débit C q le plus faible, complétez l’étude de la mesure de débit à l’aide d’un déversoir avec différents débits. Ces débits seront obtenus pour des hauteurs d’eau dans la cuve différentes en jouant sur l’ouverture de la vanne de vidange et/ou sur la vanne de réglage du débit d’entrée. o
D.
Lors de toutes vos mesures, vous étudierez conjointement aux incertitudes, la répétitivité de vos expériences.
Analyse des résultats
On se réfère à l'avant-propos du TP pour les détails concernant le rapport de TP. Notez que ce rapport d'étude simplifié devra entre autres répondre aux questions/remarques identifiées ciaprès.
Comparez les coefficients de débit mesurés (par pesée) et les débits théoriques. Commentez et expliquez les écarts obtenus.
Comparez les débits mesurés à la pesée avec ceux obtenus avec les deux méthodes de déversoir. Discutez la validité de ces formules et les éventuels écarts (on pourra évoquer les incertitudes et la répétitivité des mesures).
Proposez une nouvelle formule liant le débit Q dans le canal au niveau h de la surface libre au dessus du déversoir. Discutez la précision de cette nouvelle formule.
ANNEXES
1.
MESURE DE VITESSE D’ECOULEMENT AVEC UN TUBE DE PITOT
La mesure de la vitesse dans un écoulement incompressible en régime permanent , peut se faire en plaçant un tube de Pitot (Fig. 1) o u un tube de Prandtl -encore appelé tube de Pitot double- (Fig. 2) dans l'écoulement. Ce procédé de mesure est utilisé dans deux manipulations : Tube de Pitot dans le cas d’un écoulement d’huile en conduite lisse (TP III). Tube de Prandtl dans le cas d’un écoulement d’air en soufflerie (TP II).
U PA
A P
Figure 1: Tube de Pitot
Dans les deux cas, la prise A donne la pression totale (ou pression d'arrêt ou pression dynamique) PA au point d'arrêt A. Les prises B du tube de Prandtl donnent la pression statique P B.
Dans le cas où l’on utilise le tube de Pitot, il faut nécessairement avoir accès, par un dispositif séparé, à la pression statique P en amont du point d’arrêt.
A.
Tube de Pitot
L’application du théorème de Bernoulli sur la ligne de courant entre l’infini amont et le point d’arrêt A s’écrit :
PA
1 2
U
1 2 2 P U A 2
. Sachant que la vitesse du fluide est nulle au point d’arrêt
( U A 0 ), on en déduit facilement la vitesse en amont de la sonde : U
B.
2
PA P
(1)
Tube de Prandtl
La relation (1) reste bien sûr applicable. Les prises de pression B permettent de mesurer la pression statique P . Le tube est suffisamment bien profilé pour éviter un décollement de
l’écoulement au nez de la sonde. Les orifices B sont disposés suffisamment loin du nez de façon à retrouver localement un écoulement à filets fluides rectilignes et parallèles. Dans ces conditions la pression étoilée est constante dans la section B et donc PB P .
La relation (1) s’écrit donc :
U
2
PA PB
(3)
La mesure de P A et PB est donc suffisante pour déterminer la vitesse U de l’écoulement d’un fluide de densité connue. P
B
U
PA
A P
B
Figure 2: Tube de Prandtl
PB
2. THEORIE DU ROTAMETRE
Un rotamètre se compose d'un tube conique vertical contenant un flotteur. Le fluide se déplace à l'intérieur de ce tube d'un mouvement ascendant. Hypothèses : Le demi-angle au sommet du tube conique est faible. En outre, l'aire So de la partie supérieure du flotteur est voisine de l'aire d'une section quelconque du tube. On suppose le fluide parfait et on admet qu'au-dessus du flotteur, il existe une zone d'eau morte. Le coefficient de contraction est approximativement constant, quelle que soit la cote z. Le système étant en charge, nous n'aurons pas à prendre en compte les forces de pesanteur appliquées au fluide, à condition de ne faire intervenir que les pressions étoilées.
Le système considéré est l’ensemble du fluide compris entre une section S 1 où les vitesses sont parallèles à l'axe et
Figure 1 : Schéma du flotteur.
la section S2 infiniment voisine de S o (y compris la zone d'eau morte d'épaisseur très petite).
D'après le théorème des quantités de mouvement appliqué au volume fluide ainsi défini, il vient :
Qv Uc Qv U1 P2 S2 k P1 S1 k R R
avec :
R
'
R
Résultante des pressions étoilées sur le flotteur F, Résultante des pressions étoilées sur le tube conique,
k
Vecteur unitaire vertical ascendant de l'axe z d'où en projection sur l'axe z : '
R P1 S1 P2 S2 Q v ( Uc - U1) - R
La pression étoilée étant définie à une constante près, posons P1 =0 R P2 S2 Qv ( U c U1 ) R '
Appliquons le théorème de Bernoulli entre l es sections S 1 et S2 2
2
P1
soit :
U1 2
P2 (
P2
U12 2
U 2c 2
Uc 2
)
d'où
R S2 (
U 2c 2
U12 2
) Q v ( U c -U1 ) R '
'
'
Exprimons séparément R dR
'
P n ds
La composante verticale de l'action de P calculée entre deux sections aux cotes z et z+dz
S2 S
est égale à l'action de rayons rz et et rz
P
sur la couronne de
drz d'aire
S2
rz
z
R
+dr
'
P d S1
dR’
Appliquons une nouvelle fois Bernoulli entre la section S1 et la section S à la cote z. Dans
P
cette section règne une pression vitesse V.
Il vient : P
V
2
2
P1
2
U1 2
P
et une
2
U1 2
U V 2 R' V U d 2
P
Soit :
2
2
1
S2
et donc
2
2
1
S1
Un majorant de l'intégrand est Uc
Soit, R'
2
U
2 c
2
2
U et un de l'élément différentiel d est 1
U12 S2 So avec :
S2 - So .
0 1, le coefficient étant déterminé par
des considérations géométriques et cinématiques.
En définitive, en remplaçant R' par cette valeur :
R
S S S U 2 2
2
o
2 c
U12 2Qv Uc U1
Expression approchée Le fluide dans la section S1 à une vitesse très inférieure à celle de la section contractée, et les sections sont telles que :
So S1 , S2 So ; Uc >> U1
Le débit dans la section contractée si Cc est le coefficient de contraction s’écrit :
Qv Cc U c S2 So
A l'équilibre, la force agissant sur le flotteur équilibre son poids apparent P A, donc :
Q
2 v
2 Cc
2
S
2
So
2
S2 S2 So
PA
2C S c
2
So
Au repos, à l'altitude z=0 du flotteur, la section S 2 est confondue avec la section S o, soit l'angle d'évasement du cône,
So R 2o ; S2 R 22 av avec R 2 Ro z tg S2 R 2o 2 R o z tg ; S2 So 2 R o z tg
Soit en regroupant les termes constants ou géométriques :
Q2v K z 2
1 R 2 1 2Cc R o z tg 2 o
La géométrie du rotamètre, est telle que l'angle au sommet est très petit, de plus le coefficient de contraction est voisin de 0,5. Le dénominateur de l'expression ci dessus est donc en première approximation une constante et dans ces conditions, le débit du rotamètre est donc proportionnel à la cote z du flotteur
Qv
kz
3. MESURE DU DEBIT MASSIQUE AU BANC HYDRAULIQUE Le système de mesure du débit massique fonctionne en circuit fermé. On dispose d’une pompe centrifuge permettant d’alimenter un montage de manipulation à pression variable. Le débit de refoulement de la pompe est contrôlé par une vanne située entre la pompe et la manipulation. Le
circuit de retour est dirigé vers un bac de pesée qui, lorsqu’il est fermé par le bouchon, recueille l’eau qui circule dans le montage. montage. Ce bac est monté sur sur une balance qui, à l’origine (bac ouvert), est déséquilibrée par une tare M’.
Vanne Montage de manipulation
Butée haute
Axe balance ni el p
Butée basse
Bouchon p o r
Masse M T
Tare M’
Pompe M
Afin d’effectuer la mesure du débit de liquide dans la manipulation, il faut : Fermer le bac de pesée. Déclencher le chronomètre dès que l’on atteint l’équilibre c’est -à-dire quand le bras de levier est horizontal. La pesée commence alors. Placer ensuite une masse M en fonction du bras de levier de la balance. Cette masse déséquilibre à nouveau la balance. Arrêter le chronomètre dès l’obtention du nouvel équilibre, c’est -à-dire lorsque le bras est à nouveau horizontal. Ouvrir immédiatement le bouchon du bac de pesée afin de ne pas perturber le
fonctionnement de la pompe qui risque de se désamorcer si l’on remplit le bac. On a ainsi mesuré le t emps t nécessaire au passage dans la manipulation d’une masse M de liquide. Le débit massique Q m est donc donné par la relation :
Qm
M
t
4.
CALCULS D’INCERTITUDE
Soit Q une quantité fonction des paramètres p i. Elle peut s’écrire sous la forme :
Q p1a1 pa22 ... pamm f (1 , 2 ,..., n ) où 1 , 2 ,..., n , sont des nombres sans dimension dans lesquels interviennent les paramètres p i .
Exemple : Soit Q une fonction des quatre paramètres p 1, p2, p3, p4 s’exprimant de la façon suivante :
p Q p1a1 pa22 f ( 1 p1 p4) p3
et soit
la quantité
p1 p1 p 4 . p 3
Ecrivons la dérivée logarithmique de Q :
dQ Q
a1
dp1 p1
a2
dp 2 p 2
1 df f d
d
1 p1 p dp dp3 p1 dp 4 4 1 2 p p 3 3
avec d
On peut donc écrire :
dp2 1 df p1 1 df 1 a1 p 4 dp1 a 2 dp3 p1dp 4 2 Q p1 f d p3 f d p2 p3
dQ
L’incertitude relative sur Q est obtenue en remplaçant respectivement les dq i par des qi et les coefficients par leurs valeurs absolues. Il vient :
Q Q
a1 1 df 1 p 4 p1 f d p3
p1 a 2
p 2 p2
1 df p1 f d p
2 3
p3
1 df p1 p4 f d
Remarque : On n’oubliera pas de regrouper les termes en facteur du même dqi avant de passer aux valeurs absolues.
p4 est négatif , alors f d p3 a1 1 df 1 p4 a1 1 df 1 p4 p1 f d p3 p1 f d p3 Si par exemple :
1 df 1
5. Particularités TP II : Incertitudes, Intégration sur contour fermé A.
INCERTITUDE SUR LE COEFFICIENT TRAINEE DE PRESSION C xp
D’après la relation (2) de l’énoncé, le coefficient de traînée de pression C xp peut s’écrire :
C xp 1 2 C p d (sin ) C
Avec C p
P P
P A P
hc h p
où
hc telle que P P
cylindre et à la prise de pression statique S). h p telle que P A P ( eau ) gh p (manomètre relié au tube de Pitot).
( eau ) ghc (manomètre relié à la prise de pression M sur le
A.1. Incertitude sur le coefficient de pression L’incertitude sur le coefficient de pression vaut donc (en calculant la différentielle logarithmique de C p et en l’exprimant en fonction de h p et hc ): C p
En remarquant que
hc h p
h p hc
h p2
hc h p h , on a donc :
h h 1 hc 1 C p h c soit C p h p h p h p h p 2
A partir des mesures effectuées, on peut déterminer un majorant k de
hc h p
C p :
C p
h
h p
1 k
A.2. Incertitude sur le coefficient de traînée de pression
1 2 C p d (sin ) 1 2 C p cos d avec 0,2
Par définition, C xp
C
C xp 1 2 C p cos d soit C xp 12 C p cos d
Donc
C
C
2
Or
cos d 4
0
B.
C
2
cos d 4 donc
C xp 2C p
0
INTEGRATION NUMERIQUE PAR LA METHODE DES TRAPEZES
et donc majorer
Le coefficient de traînée de pression est donné, en fonction des valeurs locales du coefficient de pression par :
C xp 12 C p d (sin ) C
Afin de réaliser ce calcul à partir des mesures de pression effectuées en soufflerie, on se propose d’utiliser la méthode d’intégration numérique dite des « trapèzes » qui consiste à interpoler linéairement la courbe à intégrer entre les points discrets de mesure pour ensuite approcher la valeur de l’intégrale sur chaque intervalle par l’aire du trapèze corr espondant (voir figure A1). La
somme de ces intégrales fournit une approximation de l’intégrale à calculer.
Figure A1 : Intégration numérique par la méthode des trapèzes xn
L’intégrale
f ( x) dx d’une fonction f ( x) sur l’intervalle
x
1
, x à partir de n valeurs discrètes n
x1
peut donc être approximée par : xn
1
n1
f ( x) dx 2 f ( x
i 1
x1
C.
) f ( xi ) xi 1 xi
i 1
INTEGRATION GRAPHIQUE : UTILISATION DU PLANIMETRE
Voir sur serveur pédagogique partie III de :
6. MASSE VOLUMIQUE ET VISCOSITE DE L’AIR ET DE L’EAU A.
Les unités de viscosité Dimensions
Unités S.I.
-1
Poiseuille
2
-1
-1
(1 Pl = 1 kg.m .s )
-1
2
[L .T ]
Viscosité cinématique
B.
-1
[M.L .T ]
Viscosité dynamique
m /s
Unités C.G.S. Poise (1Po = 0,1 P1) -4
2
Stokes (1 St = 10 m /s)
Calcul de la viscosité des gaz
La viscosité dynamique des gaz dépend des conditions de pression et de t empérature. Sous la pression atmosphérique, elle est donnée par la relation: 0
où
T 1 CS T0 T0 1 CS T
T est la température absolue, CS est la constante de Sutherland, 0 est la
C.
viscosité dynamique du gaz à la température T0=273,15 K.
Domaine de validité :
-21°C < T < +302°C 5
1,733.10 Poiseuilles. Pour l’air : CS=119,4 et 0
Calcul de la masse volumique de l’air
La masse volumique de l’air, dépend des conditions de température et de pression. En notant H la pression et T la température, la loi de Boyle-Mariotte donne la masse volumique de l'air suivant la relation : = 3
1,293
H
1+0,00367 T 76
où est exprimée en kg/m , H en cm de mercure et T en ° Celsius.
D.
Masse volumique et viscosité de l’eau pure sous une atmosphère
Température T (°C) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 50 60 80 100
Masse volumique (kg.m-3) 999,9 1000,0 999,7 999,1 998,2 997,1 995,7 994,1 992,3 988,1 983,0 972,0 958,0
Viscosité dynamique (kg.m-1.s-1) 1,787.10-3 1,519.10-3 1,304.10-3 1,140.10-3 1,002.10-3 0,890.10-3 0,798.10-3 0,720.10-3 0,654.10-3 0,546.10-3 0,467.10-3 0,355.10-3 0,283.10-3
Viscosité cinématique (m2.s-1) 1,787.10 -6 1,519.10 -6 1,304.10 -6 1,140.10 -6 1,004.10 -6 0,893.10 -6 0,801.10 -6 0,724.10 -6 0,658.10 -6 0,553.10 -6 0,475.10 -6 0,366.10 -6 0,295.10 -6
122
7. UNITE DE PRESSION L'erreur relative commise en utilisant l'un des fa cteurs ci-dessous est inférieure à 1/1000 bar (ou
Pascal
-5
1 Pascal =
1
1 bar (ou 1 hpz) =
10
2
kg/cm
hpz)
2
-5
atmosphère -5
cm CE -2
mm Hg -2
mbar -2
inch Hg
psi -3
10
1,02.10
0,9869.10
1,02.10
0,75.10
1
1,02
0,9869
1020
750
1000
29,53
14,51
5
0,98
1
0,968
1000
735
980
28,96
14,22
5
1,033
1
1033
760
1013
29,95
14,7
5
1 kg/cm =
0,980.10
1 atmosphère =
1,013.10
1,013
1 cm CE =
98
0,098.10
1 mm Hg =
133,3
0,1333.10
1 mbar =
100
10-3
1 inch Hg =
3386
3,386.10
1 psi =
6890
6,89.10
-2
-2
-2
-2
0,2953.10
0,1451.10
0,968.10
-3
1
0,735
0,98
0,02896
0,01422
1,36.10
1,315.10
-3
1,36
1
1,333
0,03937
0,01934
1,02.10-3
0,9869.10-3
1,02
0,75
1
0,02953
0,01451
0,03453
0,03345
34,53
25,4
33,86
1
0,491
0,0703
0,068
70,3
51,75
68,947
2,041
1
10
-3
1,0.10
e
-3
Dans le système international S.I., l'unité légale est le Pascal (Pa). L'unité pratique est le bar.
-3