Fluidodinámica-Aplicada-a-la-Minería-Capítulos-1-2-y-3

FLUIDODINÁMICA APLICAD APLICADA A A LA MINERÍA Editor Juan Rayo Capacitación S.A.

TOMO I

Copyright © Copyright 2013. Juan R ayo Capacitación S.A. ( JRCap) JRCap).. Todos los derechos reservados. Prohibida la reproducción reproducción total o parcial de est a obra, por cua lquier medio, sin la autorización escrita de JRCap.

Registro de propiedad intelectual inscripción N° 224.267 ISBN 978-956-9285-01-1 978-956 -9285-01-1 (Tomo I) ISBN 978-956-9285-00-4 (Ob (Obra ra completa completa)) Juan Rayo Capacitación S.A. Luis Uribe 2343, Ñuñoa Santiago, Chile Fono: (56 2) 2361 8200 www.jrcap.cl

Esta PRIM ERA EDICIÓN, de 200 ejemplares, fue impresa por Caupolicán Serv icios Grácos, Fono 26716467, 26716467, en Santiago de C hile, durante febrero de 2013.

PRÓLOGO Mi primer contacto con la uidodinámica fue hace poco más de 40 años. Corría el último año de la década del 60, con todo lo que un joven de esa época podía pedir (protestas (prote stas contra la guerra g uerra de Vietnam, el hombre hombre a la luna, la reforma universitaria, etc.), y dado que mi paso por la universidad sólo había sido de teorías y números (ecuaciones (ecuaci ones diferenciales, mecánica racional, etc.), realmente tuve una grata sorpresa: me enfrentaba a un curso que mezclaba teoría, sobre bases matemáticas matemáticas duras (vectores y tensores) con aplicaciones prácticas directas (podía entender hasta la hidráulica domiciliaria). Poco después entendí que la uidodinámica que nos enseñaba el profesor Ramón Fuentes (PhD), era esencialmente la base cientíca y empírica para comprender los fenómenos continuos de la minería y metalurgia del país. Con esa base entendí los fenómenos fenóme nos de: ventilación minera, manejo de ag uas y pulpas, manejo de gases cal ientes y otros. Las bases que nos enseñó, a jóvenes que recién cumplíamos los veinte años, posiblemente no se nos haya olvidado a ninguno. Más aún, hace algún t iempo iempo,, en la empresa Juan Rayo Ingeniería S.A. (hoy, JRI Ingeniería S.A.), nos tocó revisar un proyecto de drenaje de una mina subterránea profunda de la V Región, y nos encontramos con un sistema que levantaba alrededor de 20 m 3/h de aguas mina desde una profundidad de 800 metros, y cuyas memorias de cálculo (fechadas año 1976), estaban basadas sólo en los apuntes de las clases de uidodinámica que yo asistí y cuyo autor era un ex compañero que se demoró algo más que el promedio en terminar la carrera. Ese ejemplo es relevante, porque en base a conceptos y pautas de una enseñanza de pregrado, se había materializado con éxito un sistema que operó por más de 20 años. El desarrollo de mi carrera profesional estuvo tempranamente ligado a la uidodinámica. Mi tesis la realicé en base a estudiar el sistema presurizado de transporte de relaves de Minera Andi na (División de Codelco Chile), cuando, a principios de la década del 70, tras la nacionalización de la Gran Minería del Cobre, no quedaba en Chile ningún ningú n ingeniero norteamericano que explicara los conceptos de ese proyecto. Posteriormente, y después de u na variada participación en investigación, ingeniería Posteriormente, y operaciones, que me llevó casi 10 años, tuve la oportunidad de formar mi empresa consultora para dar apoyo a la operación de las plantas concentradoras de ese entonces. Los proble problemas mas operacionales siempre siempre fueron similares: canaletas que rebosaban, tuberías que se embancaban, sistemas de bombeo con falta de capacidad, etc. Todos estos problemas requerían de un análisis profundo de uidodinámica, para ver en qué fallaban y cómo resolverlos. resolverlos. La empresa consultora JRI, sociedad que encabeza el Grupo JRI al cual pertenece JRCap, creció en base al prestigio de lograr resolver los problemas operacionales complejos. La década del 90 tuvo para nosotros el desafío uidodinámico mayor, consistente consistente en diseñar (hasta el nivel de detalles) y poner en funcionamiento, el sistema de transporte de pulpa de mineral molido de Los Bronces a Las Tórtolas. Ese fue realmente un desafío extremo, que consistía en bajar 37.000 37.000 ton/día de mineral en una pulpa al al 57% de concentración concentración en peso, desde la cota 3.500 m.s.n.m. hasta la cota 750 m.s.n.m., atravesando tres valles mediante túneles y puentes relevantes. El éxito o fracaso de

la empresa minera Disputada-Exxon, Disputada-Exxon, dependían de la correcta funcionalidad de u n sistema que nunca se había probado en el mundo y que, hasta hoy, constituye un hito no superado. El día 5 de mayo de 1992, y contra los malos presagios de alg unos envidiosos competidores, el sistema empezó a operar sin problemas mayores hasta nuestros días. Por el éxito de ese proyecto proyecto,, recibí el premio al Profesi Profesional onal DistinguiDistingu ido del año 1995, del Instituto de Ingenieros de Minas de Chile. El desarrollo de JRI, con 30 años de vida, siempre ha estado ligado a la uidodinámica aplicada a la mi nería. Como empresa participamos (directa o indirectamente) en todos los concentraductos de Sudamérica, en la gran mayoría de los gra ndes rela veductos y en más má s de la mitad de los acueductos ac ueductos constru con struidos idos en Chile. Chile . Acumulamos Acumula mos experiencias de manejo de pulpas espumosas, en pulpas de alta concentración, en pulpas de ujo muy variado, en manejo de todo tipo t ipo de uidos industriales (acei (aceites, tes, reactivos, lechada, ácidos, soluciones, soluciones, etc.) y en condiciones uidodinámicas ext remas (golpe de ariete, a riete, cavitación, mezclado, etc.). Desde hace más de 15 años que JR I dispone como consultor permanente al profesor profesor Ramón Fuentes (PhD). Como parte relevante de su sta, este doctor en ciencias ha enseñado uidodinámica compleja, compleja, a más de 50 ingenieros i ngenieros que han tenido la suerte de tener que trabajar con él en la solución de problemas complejos y desafíos rele vantes.. Para JRI, vantes JR I, y para mi persona pe rsona en particu par ticular, lar, es un orgu llo tener como gu ía tecnológica a un Miembro de Honor de la Asociación Internacional de Investigaciones Hidráulicas (IAHR - Internacional Association of Hydraulic Research). Research). El equipo de especialistas en uidodinámica de JRI, incluyendo al Dr. Fuentes y quien expone, creemos que el mundo minero de Chile necesita que el conocimiento acumulado de nuestro profesor profesor y de todos los especialistas de JRI, sea compartido en forma abierta y sin restricciones con los profesionales del mundo minero nacional (operaciones, (op eraciones, mantenimiento, ingeniería, investigación, docencia). Es por ello que hemos impulsado la edición del libro Fluidodinámica Aplicada a la Minería, el cual constituye el primer texto en esta materia elaborado elaborado por un organismo no-universitario de Chile. En este caso, es JRI, a través de su r ma ligada JRCap, que, con su participació part icipación, n, avala y endosa que los conceptos que se expresan en este documento, constituyen el estado del saber sobre la uidodinámica minera. El documento que estoy presentando presentando no ha tenido ningún t ipo de sesgos en sus fundamentos y aplicaciones. Los conceptos básicos han sido expresados mediante matemáticas avanzadas, las ideas en forma explícitas y las aplicaciones en base a ejemplos reales de la minería sudamericana (se ha suprimido, eso sí, el nombre de las empresas mineras involucradas involucradas). ).

Juan Rayo Prieto Gerente General JRCap Gerente Técnico JRI

AUTORES RAMÓN FUENTES AGUILAR Educación: Ingeniero Civil, mención Hidráulica, Universidad de Chile, 1964 Ingénieur Hydraulique, Université de Grenoble, Francia, 1966 Docteur en Physique, Université de Grenoble, Francia, 1969 Experiencia: Más de 40 años de experiencia como consultor, tanto en el área cientíca como en proyectos mineros. En estos últimos, ha participado en la caracterización de relaves y en la simulación y modelación de transporte de agua y otros uidos. Experto en: Mecánica de uidos, diná mica de suspensiones y fenómenos fenómenos de transporte tra nsporte en metalurgia Membresías: Miembro Honorario de la International Association for Hydraulic Research (IAHR) JUAN RAYO PRIETO Educación: Ingeniero Civil de Minas, Mi nas, Universidad de Chile, 1974 Diplomado en Transporte Hidráulico de Sólidos, Saskatchewan Research Council, Canadá, 1975 Experiencia: Más de 35 años de experiencia en dirección de proyectos de ingeniería, desarrollo de actividades académicas, trabajos de investigación aplicada, y realización de auditorías técnicas, estud ios de validación, perles de negocios y planes estratégicos. Experto en: Transporte hidráulico de sólidos, proyectos industriales de plantas de concentraciónn y análisis concentració aná lisis de riesgos en minería Membresías: Colegio de Ingenieros de Chile A.G. Colegio de Ingenieros del Perú Instituto de Ingenieros de Chile Instituto de Ingenieros de Minas de Chile (II MCh MCh))

CHRISTIAN MORENO GONZÁLEZ Educación: Ingeniero Civil, con mención en Hidráulica, Universi Universidad dad de Chile, 1998 M.Sc. in Water Resources Engineering and Management, Universität Stuttgart, Alemania, 2004 Experiencia: 13 años de experiencia profesional, especializándose en las áreas de abastecimiento de agua y sistemas de transporte de pulpas minerales. Experto en: Sistemas de transporte de pulpas minerales y sistemas de suministro de ag ua Membresías: CRISTIÁN RICKENBERG DÍAZ Educación: Ingeniero Civil Metalurgista, Universidad de Santiago de Chile, 200 0 Experiencia: 12 años de experiencia como ingeniero y especialist a de procesos, participando tanto en el diseño como en la puesta en marcha de proyectos industriales y mineros. Experto en: Optimización de plantas concentradoras, manejo de costos de plantas concentradoras, plantas de manejo y disposición de relaves Membresías: ALBERTO SALAZAR OGUEDA Educación: Ingeniero Civil Mecánico, Universidad Técnica del Estado, 1975 Diplomado en Transporte Hidráulico de Sólidos, Saskatchewan Research Council, Canadá, 197 19766 Experiencia: 40 años de experiencia en estudios y proyectos de ingeniería en el sector minero-metalúrgico, desempeñándose como Gerente/Jefe de Proyecto en una vasta cantidad de proyectos de gran tamaño, y actuando también como consultor-especialista consultor-esp ecialista en múltiples estudios y proyectos. Experto en: Plantas de benecio y sistemas de manejo y transporte de pulpas minera les Membresías: -

VÍCTOR ENCINA MONTENEGRO Educación: Ingeniero Civil de Minas, Mi nas, Universidad de Chile, 1976 Experiencia: Más de 35 años de experiencia en las á reas de estudios, proyectos y operaciones, en empresas de ingeniería y faenas mineras subterráneas, de mediano y gran tamaño. Experto en: Minería subterránea e in novación tecnológica tecnológica en minería mi nería Membresías: Instituto de Ingenieros de Minas de Chile (II MCh MCh)) SOLEDAD GUTIÉRREZ DELGADO Educación: Ingeniera Civil, con menció menciónn en Hidráulica, Ponticia Universidad Católica de Chile, 2000 Experiencia: Más de 10 años de experiencia como ingeniera y especialista hidráulica en proyectos mineros mineros y de transporte t ransporte de pulpas. Experta en: Sistemas de bombeo de pulpas, sistemas de conducción gravitacional en presión y en acueducto, análisis de transientes hidráulico, y sistemas de transporte de uidos a larga dista ncia Membresías: -

LISTA LIST A DE COLABORADORES Alejandra Álvarez, Licenciada en Ciencias, con mención en Física, y Doctora en Ciencias, con mención en Física, de la Universidad de Chile. Sofía Arriagada, Ingeniera Civil de la Universidad de Concepción. Daniel García, Ingeniero Civil Metalúrgico de la Universidad de Santiago de Chile. Felipe Hernández, Ingeniero Civil de la Universidad Técnica Federico Santa María. Jorge Ipinza, Ingeniero Civil Metalúrgico y Doctor en Ciencias de la Ingeniería, con mención en Metalurgia, de la Universidad de Concepción. Ximena Lira, Dibujante Técnico Industrial de INACAP. José Muñoz, Ingeniero Civil, con mención en Hidráulica, Sanitaria y Ambiental, de la Universidad de Chile. Yasna Olivares, Ingeniera Civil Química de la Ponticia Universidad Católica de Valparaíso. María Teresa Prado, Ingeniera Civil de la Universidad de Concepción. Concepción. Jorge Serey, Ingeniero Civil, con mención en Hidráulica, Sanitaria y Ambiental, de la Universidad de Chile. Carolina Silva, Ingeniera Civil, con mención en Hidráulica, Sanitaria y Ambiental, de la Universidad de Chile. Héctor Stack, Ingeniero Civil Mecánico de la Universidad de Santiago de Chile. Marcela Rojas, Ingeniera Civil Metalurgista de la Univers Universidad idad de Santiago de Chi le.

ÍNDICE TOMO I Módulo I: FLUIDODINÁMICA CLÁSICA I ............................................ ............................. 11 Capítulo 1 Historia de la uidodinámica clásica ..................... ............................. ................. .................. ................. ................. ............13 ...13 Capítulo 2 Propiedades de algunos uidos .............................................................................21 Capítulo 3 Hidrostática .............................................................................................................35 Capítulo 4 Conceptos básicos de uidodinámica ..................................................................45 Capítulo 5 Hidrodinámica aplicada: tuberías ......... ................. ................. ................. ................. .................. ................. ................. ........... 155 Capítulo 6 Hidrodinámica aplicada: canales ........ ................. ................. ................. ................. ................. .................. ................. ........... ... 17 1755 Capítulo 7 Hidrodinámica aplicada: bombas.......................................................................197 bombas .......................................................................197 Capítulo 8 Inyección de burbujas en un reactor ..................................................................219 Módulo II: FLUIDODINÁMICA CLÁSICA II ............................................. ........................ 223 Capítulo 9 Escurrimientos impermanentes en tuberias a presió presiónn ......... .................. .................. .................225 ........225 Capítulo 10 Flujo compresible de gases en ductos .................................................................269 Capítulo 11 Escurrimientos multifasicos en minería................ ........................ ................. .................. ................. ................. ..........285 .285 Capítulo 12 Mecánica de suspensiones ...................................................................................293

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MÓDULO I FLUIDODINÁMICA CLÁSICA I

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MÓDULO I

FLUIDODINÁMICA CLÁSICA I

C a p í t u l o 1

Historia de la fluidodinámica clásica Autor: Ramón Fuentes

CONTENIDO 1.

HISTORIA DE LA FLUIDODINÁMICA CLÁSICA ............ ....................... ....................... ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ..................15 ......15 1.1.

Introducción ............ ....................... ....................... ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ................15 ....15

1.2.

Inicio del riego ........... ....................... ........................ ....................... ....................... ........................ ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ........................15 ............15

1.3.

Culturas uviales uviales ........... ....................... ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ....................16 ........16

1.4.

Sistematización de las obras hidráulicas hidráulicas ........... ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ........................17 ............17

1.5.

Nacimiento de de la física de uidos ........... ....................... ....................... ....................... ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ........................17 ............17

1.6.

Galileo y Newton........... ....................... ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ....................17 ........17

1.7.

Nacimiento de la hidrodinámica hidrodinámica ideal y de de la hidráulica experimental........ experimental.................... ....................... ....................... ...............18 ...18

1.8.

Advenimiento de la mecánica de uidos uidos moderna moderna ............ ....................... ....................... ........................ ........................ ........................ ....................... ............18 .18

1.9.

Referencias ............ ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ........................ ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ..................19 ......19

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1. HISTORIA DE LA FLUIDODINÁMICA CLÁSICA 1.1. Introducción Lugar común (LC) es una palabra, fra se o idea considerada como un vicio del lenguaje por ser demasiado sabido o por su uso excesivo o gastado. Se entiende que son juicios, opiniones o aseveraciones que todo el mundo acepta y nadie discute. El problema es que nadie toma en cuenta los lugares comunes. Estos lugares comunes corresponden a los listados a continuación. LC1: El agua es la fuente de la vida LC2: El agua es indispensable para la vida LC3: El agua es el elemento más abundante: cubre la mayor parte del planeta Para comenzar, el tercer punto (LC3) es cierto para los peces pero es falso para los animales de t ierra rme, en particular para el hombre: en la Tabla 1.1 se muestra la distribución del agu a en la Tierra (adaptado (adaptado de Nanía y Gómez Valentín, 2004). Efectivamente, el agua salada (marina o no) es muy abundante (97,5 % del total), pero el agua dulce es solo una pequeña fracción: 2,53 %. Esta cifra es inquietante, pero lo es más el advertir que el agua de los ríos, que ha sido la fuente natural para los seres humanos, es solamente 2 millonésimos del agua dulce total.

En el caso de Chile, en que una parte signicativa del país es desértico, estas cifras son de un efecto mayor que en otros países cercanos y, para la minería, resultan especialmente graves. Examinando nuevamente la Tabla 1.1 sólo caben tres lugares comunes: Economizar agua Buscar fuentes nuevas Emplear agua de mar •

•

•

Finalizando la introducción, el lugar común LC1 pertenece a la biología y no se discutirá aquí; El LC2 tiene un enorme contenido contenido histórico y es el tema.

1.2. Inicio del riego

Figura 1.1 Localidad de El-Kown, Presencia de canales para evacuación de aguas serv idas, 6500 AC (Adaptada de Viollet, 2004)

Tabla 1.1 Distri Distribución bución del agua en la Tierra Agua Salada [km3] Océanos Agua subterránea dulce Agua subterránea salada Humedad del suelo Hielo polar Hielo no polar y nieve Lagos dulces Lagos salinos Embalses Ríos Agua biológica Agua atmosférica Agua Salada Total Agua Dulce Total Agua Total

Agua Dulce [km3]

1.338.000.000

Agua Salada % 96,5

10.530.000 12.870.000

0,76 0,929

16.500 24.023.500 340.600 91.000 85.400

0,0012 1,73 0,0246 0,0066 0,0062

11.470 2.120 1.120 12.900 1.350.955.40 0

0,000 8 0,0002 0,0001 0,0009 97,5 97 ,5

35.029.210 1.385.98 4.610

Agua Dulce %

2,53

a c i s á l c a c i m á n i d o d i u l f a l e d a i r o t s i H

: 1 o l u t í p a C

16 I A C I S Á L C A C I M Á N I D O D I U L F

I O L U D Ó M

Figura 1.2 Expansión del núcleo levantino, alrededor del 9500 AC AC (Adaptada de Viollet, Viollet, 2004)

La agricultura nace en el “cuarto creciente fértil” (croissant fertile, fertile crescent) regado por cuatro ríos: el Éufrates, el Tigres, el Jordán y el Nilo. A llí, hacia 12500 AC, los recogedores-cazadores trashumantes se establecen, haciéndose sedentarios. Hacia 9500 AC se expanden al “núcleo levantino” (Figura 1.2) y comienza la “domesticación de los cereales” esto es la agr icultura. Hacia 7000 AC, la agricultura se ha expandido hacia el Este y el Oeste. La lluvia y los escurrimientos uviales llegan a ser insucientes. Hacia 5000 AC, se obtiene agua de fuentes artesanas. Aún antes, es plausible la existencia de canales de riego. Vestigios de pequeños canales para evacuar aguas servidas se encuentran en El-Kown. La ubicación de esta localidad se muestra en el mapa de la Figura 1.1 y datan de 6500 AC.

1.3. Culturas uviales La relación directa entre la civilización y el agua se ve clara si se considera que las grandes culturas antiguas se desarrollaron alrededor de g randes ríos (Figura 1.3): Egipto y el Nilo, Sumer y el dúo Tigris – Éufrates, India y el Indus, China y el Río Amaril lo. Esta relación lleva de inmediato a las obras hidráulicas, esto es, a la hidráulica clásica. Hacia 3000 AC existían canales entre el Tigres y el Éufrates (al menos cuatro de treinta metros de ancho). Eran lo sucientemente desarrollados e importantes como para ser sometidos a reglas de navegación (código de Hammurabi (1760 AC), en Viollet, 2004). Estas notas podrían extenderse muchísimo si se agregaran las máquinas hidráulicas, los barcos y así adelante. Al respecto puede consultarse a Viollet, 2004 y la WEB.

Figura 1.3 Desarrollo de antiguas cultura s en las cercanías de ríos (Adaptada (Adaptada de Viollet, 2004)

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Pero la intención aquí es simplemente mostrar lo antiguas que son las obras hidráulicas y la planicación asociada a ellas.

1.4. Sistematiza Sistematización ción de las obras hidráulicas

Figura 1.4 Fotografía del Pont du Gard (gentileza (gentileza de Ramón Fuentes)

Hace 2000 años el Imperio Romano era dueño de todo el mundo conocido por Occidente. El gobierno de este enorme imperio requería de muchas condiciones. Una de ellas era desarrollar normas y reglas para construir y operar obras hidráulicas. Existen documentos al respecto, y son de destacar los tratados de Vitrubius y de Frontinus (Rouse & Ince, 1963). Pero no han llegado hasta hoy docu mentos que indiquen bases conceptuales y/o mecánicas. Empero, el nivel alcanzado en las obras es tal, que muchas de ellas funcionan o podrían funcionar hoy, hoy, y a menudo se trata de instalaciones que i ncluyen elemenelementos de elevado nivel tecnológico. Para muestra, basta observar el Pont du Gard (Figura 1.4). Resulta inimaginable que estas obras fuesen diseñadas y construidas mediante “trial and error” como sugerirían algunos alg unos empiristas de hoy.

tantes aportes aislados. En este contexto hay que citar a Arquímedes de Siracusa. Contrariamente a lo que se dice habitualmente, es demostrable que los primeros avances cientícos cercanos a ideas modernas fueron realizados en la Edad Media. Citando solamente tres autores, Swineshead (Oxford), Nicolas de Oresme y Jean Buridan (Paris) en el siglo XIV, realizaron aportes decisivos a la cinemática y a la dinámica, incluyendo críticas a la física de Aristóteles. Algunos de estos aportes preguraban los de Galileo y Newton, realiz ados en el siglo XVII. Aunque es un juicio debatible, se plantea aquí que el estudio físico de los uidos nació con la obra de Leonardo da Vinci (1452-1519), tanto en los aspectos especulativos como en las bases físicas directas. En efecto, de los escritos de Leonardo se deduce claramente que construyó lo que hoy se llamarían instalaciones experimentales para estudiar el movimiento del agua. Algunos de sus juicios y observaciones son válidos hoy (Rouse e Ince, 1963). En uno de sus códices, Leonardo explica cómo realizar un tanque para visualizar los orbitales del oleaje. Más adelante esquematiza un canal para estudiar ondas de gravedad.

1.6 Galileo y Newton Sus aportes a la mecánica de uidos son enormes, tanto directos como indirectos. En el caso de Ga lileo el aporte indirecto mayor está contenido en los “Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno à due nuove scienze” (1638). Basta indicar que las dos nuevas ciencias son la Mecánica y la Resistencia de Materiales. Materiales. Newton, en sus “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica” (1686) entrega nada menos que las leyes de la dinámica y del análisis innitesimal. Como aportes directos de Galileo, para mencionar solo un mínimo, mín imo, se mencionan los siguientes: La introducción cuantitativa de la presión de vacío; El desarrollo del aná lisis dimensional; El estudio de los fenómenos capilares; capilares; La experimentación directa de la convección natural. En el caso de Newton, igualmente una lista arbitrariamente corta es: • La ley hidrodinámica hidrodinámica de resistencia resistencia cuadrática; • El coeciente de contracc contracción ión de chorros; • El período de las ondas de gravedad; • La introducción y denición de la viscosidad dinámica. •

•

•

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1.5. Nacimiento de la física de uidos Resulta claro que no era posible un avance en la uidodinámica sin que la física lo hiciese. Ahora bien, pese a la magníca herencia griega, la física de Aristóteles no contenía una mecánica satisfactoria ni aún una cinemática coherente, coherente, y sus textos tex tos tuvieron fuerza de ley hasta y aún después de la revolución copernicana. Hay que reconocer, sin embargo, que se realizaron impor-




I O L U D Ó M

1.7 Nacimiento de la hidrodinámica ideal y de la hidráulica experimental Las herramientas entregadas por Galileo y Newton fueron desarrolladas y empleadas grandemente en el siglo XVIII. En la mecánica de uidos basta mencionar a Bernoulli, Bernoull i, Euler, Clairaut, D’Alembert, D’Alembert, Lagrange y Laplace. Nuevamente como juicio personal, se considera aquí que el mayor aporte es el entregado por Euler, quién abarcó en forma profundizada profundizada la hidrostática, la dinámica del uido invíscido, las turbomáquinas, etc. Una disquisición necesaria:

La herramienta más básica que se asocia a la hidráulica clásica es el teorema de Bernoulli. Una de variass formas de enunciarlo varia enu nciarlo es Z + P + V 

2

2 g

=

Cte.

Rouse e Ince (1963) examinaron el texto de Bernoulli (1738). De su análisis se deduce que Bernoulli jamás llegó a nada parecido a la fórmula escri escrita ta arriba. Solamente se obtiene una relación bastante

obscura entre la velocidad y la presión. El año 1755 Euler presentó tres memorias sobre mecánica de uidos a la Academia de Ciencias de Berlín. La tercera (Euler, 1755), en la página 354, muestra la fórmula siguiente:

V corresponde al potencial de las fuerzas externas. En el caso particular part icular del potencial gravitatorio V = - g Z. Z . Introduciendo esta expresión en la fórmula de Euler, colectando las variables en el primer miembro y dividiendo por 2 g se encuentra exactamente el enunciado, erróneamente atribuido a Bernoulli. Resulta entonces claro que el teorema de Bernoulli debiera llevar el nombre de Euler. Estos comentarios

ya fueron indicados parcialmente por Rouse e Ince, 1963. En lo que se reere a la uidodinámica, la mayor parte de los aportes se realizaron para un uido invíscido, esto es, de viscosidad estrictamente nula. Esta hidrodinámica invíscida o ideal entregaba resultados notables, pero que se alejaban f uertemente de los valores reales, si la resistencia del uido era i mportante.

Esta situación culminó con un acontecimiento especial: A raíz de un concurso abierto por la Academia de Ciencias de Berlín (1750), D’Alembert demostró matemáticamente que un cuerpo sometido a una corriente uida no expe experimentaba rimentaba ninguna resisten resistencia. cia. El estudio era para un uido invíscido. El propio D’alembert encontró que el resultado contradecía la experiencia. Había nacido así la paradoja de D’Alembert, pero el enorme (y merecido) prestigio de D’Alembert hizo que este resultado se difundiera, para confusión y consternación de los investigadores en uidodinámica. Se puede admitir así que los ingenieros abocados a problemas reales de diseño no se interesaron en los resultados de la hidrodinámica teórica y se volcaron hacia la investigación experimental. Así, los siglos XVIII y XIX mostraron un u n desarrollo enorme de los estudios de laboratorio concernientes a los problemas hidráulicos. Por otra parte, los hidrodinamicistas siguieron realizando trabajos para el uido invíscido. Algunos intentaron enfrentarse con la hidrodinámica del uido viscoso. visc oso. Este problema es muy complicado, tanto que hasta hoy los resultados exactos completos son poco numerosos. Ellos, sin embargo son muy valiosos, ya que una vez vericados experimentalmente, resolvían el misterio planteado por la paradoja de D’Alembert.

1.8. Advenimiento de la mecánica de uidos moderna En Agosto 1904, se realizó en Heidelberg, el Tercer Congreso Internacional de Matemáticas. Un ingeniero mecánico joven, Ludwig Prandtl, a la sazón enseñaba en la Technische Hochschule de Hannover y había apreciado la diferencia entre teoría y experiencia, mientras trabajaba en una empresa de maquinarias. Realizó algunas alg unas investigaciones originales y se decidió a presentarlas en dicho Congreso. Se expusieron más de ochenta trabajos y el de Prandtl pasó casi inadvertido (la presentación duró 10 minutos (Anderson, 2005). Pero Félix Klein, el prestigiado matemático y profesor de Gottingen, apreció el trabajo, tanto que l lamó a Prandtl para que fuera f uera profesor profesor y director de un pequeño laboratorio de ingeniería mecánica (Rouse e Ince, 1963). En breve, el trabajo de Prandtl contenía las bases de la Teoría de la Capa Límite (Grenzschicht- eorie, éorie de la couche limite, Boundary layer theory), pilar fundamental de la mecánica de uidos moderna y cuya importancia ha crecido incesantemente hasta hoy.

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1.9 Referencias Anderson, J.D. (2005). Ludwig Prandtl’s Boundary La yer. Physics Today, 42-48. Bernoulli, Bernou lli, D. (1738). (1738). Hydrodynamica, Sive de Viribus et Motibus Fluidorum Flui dorum Comentarii. Come ntarii. Estrasburgo. Euler, L. (1757). Continuation des Recherches Sur la eorie du Mouvement des Fluides. Mémoires de l’Académie des Sciences de Berlin, 11, 1757, 316361. Galilei, Galileo (1638). Discorsi e Dimostrazioni Matematiche, Intorno à due Nuove Scienze. Editorial Elsevier, Leyden, Holanda. Nanía, L.S. L. S. y Gomez Valentin, Valentin, Manuel (2004). Ingeniería Hidrológica. Grupo Editorial Universitario, España. Newton, Isaac (1686). Philosophiae Naturalis Naturalis Principia Matematica. Imprimatur S. Pepys, Royal Society Praeses, London, UK. Rouse, H. e Ince, S. (1963). History of Hydraulics. Do ver, New York, York, USA. Viollet, P.L. (2004). L’Hydraulique dans les Civilisations Anciennes.. 2ª edición, Pressea de l’Ecole Naciona Anciennes les des Ponts et Chaussées, Paris.



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MÓDULO I


C a p í t u l o 2

Propiedades de algunos fluidos Autor: Ramón Fuentes

CONTENIDO 2.

PROPIEDADE PROPI EDADES S DE ALGUNOS FLUIDOS ............................ .......................................................... ............................................................ .................................. 23 2.1.

Introducción ............ ....................... ....................... ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ................23 ....23

2.2.

Densidad ............ ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ......................23 ..........23

2.3.

Peso especíco ............ ........................ ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ......................23 ..........23

2.4.

Ecuación de estado ........... ....................... ........................ ....................... ....................... ........................ ........................ ........................ ....................... ...................... ....................... ........................ ................23 ....23 2.4.1. Unidades .......... ...................... ........................ ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ....................... ....................... ........................ ......................24 ..........24

2.5.

Ecuación de de estado de de los gases gases perfectos ........... ....................... ........................ ........................ ....................... ....................... ....................... ....................... ..................24 ......24

2.6.

Procesos Politrópicos Politrópicos........... ....................... ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ........................ ....................... ....................... ........................24 ............24

2.7.

Densidad de los los líquidos ............ ....................... ....................... ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ........................ ........................ ................25 ....25

2.8.

Densidad de los los gases........... ....................... ....................... ....................... ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ........................ ......................26 ..........26

2.9.

Módulo de compresibilidad compresibilidad del del agua ........... ....................... ....................... ....................... ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ................26 ....26

2.10. Dilatabilidad térmica isobárica del agua ............... ........................... ........................ ....................... ....................... ........................ ........................ ........................ ..................27 ......27 2.11. Presión de vapor del agua .................. ............................. ....................... ........................ ........................ ........................ ....................... ...................... ....................... ........................ ....................27 ........27 2.12. Viscosidad........... ...................... ....................... ........................ ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ....................... ....................... ........................ ......................27 ..........27 2.13. Viscosidad de metales líquidos .............. .......................... ........................ ....................... ....................... ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ..............29 ..29 2.14. Viscosidad de escorias....... escorias................... ....................... ....................... ........................ ........................ ........................ ....................... ........................ ........................ ....................... ........................ ..............29 ..29 2.15. Viscosidad de los gases........... ....................... ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ....................29 ........29 2.16. Modelos para la viscosidad de los gases ............ ........................ ........................ ........................ ........................ ....................... ...................... ....................... ......................30 ..........30 2.17. Tens Tensión ión supercial ...................... .................................. ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ..................30 ......30 2.18. Fórmula de Laplace ................ ............................ ....................... ....................... ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ........................ ......................31 ..........31 2.19. Ángulo de contacto ........................ ................................... ....................... ....................... ....................... ........................ ....................... ........................ ........................ ....................... ........................ ..............32 ..32 2.20. Referencias ............ ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ........................ ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ..................33 ......33

23

2. PROPIEDADES DE ALGUNOS FLUIDOS 2.1. Introducción Los dos uidos más conocidos son, por raz ones ob vias,, el agua vias agu a y el aire. aire . Más aún, en algu algunas nas especialid espec ialidaades de ingeniería son casi los ún icos que interesan. En otras áreas aparecen los aceites, el petróleo, los gases industriales, los magmas y más... En minería y metalurgia meta lurgia la lista de uidos que inter vienen es gra grande nde y las propiedades que interesa interesann son numerosas. Antes de empezar, se señala que en minería y metalúrgica son primordiales las propiedades de tra nsporte, asociadas a cantidad ca ntidad de movimiento (Newton), energía (Fourier)) y masa (Fick): viscosidad dinámica, conduc(Fourier tividad térmica y difu sión, respectivamente. respectivamente. Aquí se omitirá la información sobre conductividad térmica y difusión. Asimismo, la caracterización de las suspensiones y las propiedades asociadas a la reología se tratarán aparte y más adelante.

2.2 Densidad La noción corresponde a la masa por unidad de volumen. En forma algo más precisa (Figura 2.1), en un dominio pleno de un medio continuo se a ísla un volumen dV. Allí existe una masa dM. Se dene entonces la densidad:

En sistema SI las unidades son [N/m ]. Se requiere entonces el valor de la aceleración de gra vedad “g” para pa ra su determinación deter minación.. La determinación precisa de “g” es un problema complejo, ya que depende de numerosas variables, entre ellas la distancia al centro de la tierra y la latitud. Un valor estándar que se acepta normalmente es (BIPM, 1901): g0 = 9,80665 [m/s 2] El valor de “g” puede estudiarse hoy e investigarse fácilmente. Se concluye que para los cálculos referentes a las minas chilenas chi lenas puede emplearse emplearse un valor va lor grueso: 2 g = 9,8 [m/s ] Si se desea emplear emplear tres cifras signicativas, u n valor mejor es: g = 9,78 [m/s2] Entonces, aproximadamente, aproximadamente, para el ag ua: γ 1000 x 9,80 = 9800 [N/m [N/m 3] O bien: γ 1000 [Kgf/m 3] 3





2.4. Ecuación de estado En un medio continuo y deformable, la ecuación de estado es una relació relaciónn local o global que liga la presión P, la temperatura T y la densidad ρ: (2.3)

F(P, T, ) = 0

Si bien se sabe que ella existe, en la mayoría de los casos de interés la forma especíca de la ecuación de estado es desconocida. Se procede entonces a escribirla cerca de un punto e introducir coecientes medibles (Craya, 1960):   =

(

 



) T   P + ( ) P  T  P T

(2.4)

Coeciente isobárico de expansión térmica (β):   -

Figura 2.1 Denición de la densidad

 

dM dV

(2.1)

En sistema SI (Sistema Internacional de unidades) las unidades son [Kg/m3].

Corresponde al peso por unidad de volumen y se relaciona con la densidad: =

ρ  g





  T  P

(2.5)

Coeciente de compresibilidad isotermo ( K ): ): 1      K    P  T 1

=

(2.6)

Finalmente, la ecuación 2.4 puede escribirse como:

2.3. Peso especíco



1    

(2.2)

 



=

 P

K

-   T

(2.7)

s o d i u l f s o n u g l a e d s e d a d e i p o r P



I O L U D Ó M

2.4.1. Unidades

En el sistema SI la presión se mide en pascales: 1 [Pa] = 1[N/m 2] Esta unidad es relativamente pequeña: la presión atmosférica estándar vale 101.325 [Pa]. Se emplea entonces el [bar]: 1 [bar] = 100.000 [Pa] Si se emplea el sistema MKS o sistema técnico, la unidad es el [Kgf/m 2]. [Kgf/m 2] = g [N/m] = g [Pa] g corresponde a la aceleración de gravedad g. Cuando se trata de presiones pequeñas pequeñas puede ser útil emplear el sistema CGS. La presión se expresa entonces en [dina/cm 2]. Entonces: [dina/cm 2] = (1/10) [Pa] En el sistema USA, la unidad de presión más usada es [libra (fuerza)/pulgada 2] o: 1 [lb/sq in] = 1 [psi] ≈ 6894,8 6 894,8 [Pa] Por último, también se emplea la atmósfera, esto es la presión ambiente. Como esta es variable, se dene un valor estánd es tándar. ar. La temperatura que interviene en la ecuación de estado es la absoluta T y se expresa en grados Kelvin [°K]. La relación con la temperatura θ en grados centígrados [°C] es: T [°K] = θ [°C] + 273,15

2.5. Ecuación de estado de los gases perfectos Es uno de los ejemplos más simples y útiles. Constituye una aproximaci aproximación ón valedera para presion presiones es y temperaturas moderadas. En la mayor parte de los, casos las temperaturas y presiones que se manejan en mi nería y metalurgia, incluso en pirometalurgia, permiten su uso. Para el empleo en uidodinámica se escribe:

P =

Ro M

   T

(2.8)

R o = 8314,3 [Kg.(m/s)2/(Kg-mol.°K)] (constante universal de los gases ideales). M: Masa molecular del gas. Introduciendo la constante de un gas en particular R = Ro/M: P = R    T

(2.9)

En la Tabla 2.1 (BORSIG, c.1990) se da M para algunos gases; también se muestra el c alor especíco isobárico Cp y el isocórico C v , en condiciones estándar, denidas por: P=101325 [Pa]; θ = 0 [ oC] Tabla 2.1 Propiedade Propiedadess de algunos gases Gas Aire Oxígeno Hidróge no Nitróge no Anhídrido carbónico Anhídrido sulfuroso Vapor de agua

Cp

CV

[Kg/K g-mol]

M

[J/(Kg.°K]

[J/(Kg.°K]

28,964 32,00 2,016 28,016 44,011 64,066 18,016

1005 914 14248 1039 819 608 1855

716 654 10120 743 630 479 1390

El caso más frecuente es el del aire, para el cual: R = 8314,3/28,964 = 287,06 ≈ 287 [J/Kg-mol] [ J/Kg-mol] Es interesante recordar que Ro admite como expresión: Ro

=

N A  K B

(2.10)

NA = 6,023 x 1023 1023 [molécula [molécula/Kg-mol] /Kg-mol] (Número de Avogadro) KB = 1,3805 x 10-23 10-23 [J/(molécula [J/(molécula °K] (Constante de Boltzmann)

2.6. Procesos Politrópicos Por denición, son aquellos en que la presión es función solamente de la densidad. Los más frecuentes obedecen a la ley:

P = Ct Ctee   k

(2.11)

Donde k es el exponente politrópico. Un caso particular importante es la compresión adiabática de un gas ideal:

k=

=

Cp Cv

(2.12)

Cp : Calor especíco isobárico C v : Calor especíco isocórico El valor del exponente ex ponente adiabático γ depende del gas. Para el aire, el hidrógeno, el oxígeno y el nitrógeno, a

25

temperaturas entre 0 y 200 [ C] corresponde al presentado a continuación. γ = 1,40 (Daily y Harleman, 1966) Entonces: o

P = Cte   

Tabla 2.4 Densidad del agua en función de la temperatura ρ

(2.13)

2.7.. Densidad de los líquidos 2.7 En la Tabla 2.2 se muestra la densidad de algunos l íquidos importantes en la minería. Tabla 2.2 Densidad de algunos algunos líquidos Líquido Agua Aceites Petróleo Combus Ɵble Lubricante Mercurio Acido Sulfúrico

Temperatura [oC]

Densidad [Kg/m3]

20

1000

20 20 20 20 20

850 ї 928 928 ї 979 850 ї 876 13546 1834

[ºC]

[Kg/m3]

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

999,9 999,7 998,2 995,7 992,2 988,1 983,1 977,8 971,8 965,3 958,4

Conviene recordar que ρ no varía monotónicamente con la temperatura θ: la densidad alcanza un máximo (1000,0 [Kg/m 3]) para θ cercana a 4 [°C] (Figura 2.2).

D&H (1966) “ “ “ ICT (1926 (1926)) ICT(1928)

En la Tabla 2.3, se indican las densidades de algunos líquidos asociados a la pirometalurgia del cobre. Los líquidos son poco compresibles, es decir, su densidad aumenta muy suave y monotónicamente con la presión. La densidad de los líquidos disminuye monotónicamente con la temperatura (el agua es una excepción parcial notable). En la Tabla 2.4 se dan los valores de ρ para el agua en el intervalo de temperaturas [°C] (0,100) para una presión cercana a una atmósfera: 101,325 [KPa].

Figura 2.2 Variación de la densidad del agua dulce con la temperatura

Este comportamiento no tiene importancia en los cálculos de la hidráulica clásica, pero es de gran interés

Tabla 2.3 Densidades de algunos líquidos en en la pirometalurgia del cobre L íq u id o Cobre (*) Cobre blister Calcocina (Cu2S) Sulfuro ferroso (FeS) Metal blanco (**) Sílice (SiO2) (***) Escoria de fundición Escoria de conver Ɵdor

Temperatura [oC]

Densidad [Kg/m3]

R ef e r en c i a

1200 1080 1130 1190 1130 ¿? 1150 1150

7808-8328 7800 5900 1130 5900 2100 3500 3800

ICT(1926)) ICT(1926 Biswas y Davenport (1994] “ “ “ “ “ “

(*) 8940 [Kg/m3] a 20 [°C] (ICT, 1926) (**) 80 % Cu + Cu2S + FeS (***): Líquida




I O L U D Ó M

en estudios ambientales (convección (convección natural, otabilidad, etc.). En la práctica minera, el rango de temperaturas para manejar agua como líquido es normalmente (0 → 40) [°C]. En ese intervalo ρ no se aleja más allá de 0,8% de 1000 [Kg/m3]. Es, entonces, frecuente adoptar este valor:

Por otra otra parte se dispone para para ρ()de la fórmula fórmula de Kell (García Flores y Maza Alvarez, 1998):  (kg/m

)=

 =

1 1 + b

5

 a 

i

i

(2.14)

0

 (º C )

100

a0 = 999,83952 a1 = 1694,5176 a 2 = 79,870401 a3 = 46,170461 a 4 = 10,556302 a5 = 2,8054253

b = 1,687985

La presión ambiente es una atmósfera. La fórmula de Kell, en el intervalo θ[°C] (0 → 100) da resultados que no dieren en más de 0,1 [Kg/m 3] respecto a los de la Tabla 2.4.

2.8. Densidad de los gases En el caso más general, hay que recurrir a tablas especiales. Pero en la práctica minera es casi siempre aplicable la Ec. 2.8 para los gases perfectos. Tomando como condiciones estándar: P = 101325 [Pa]; θ = 0 [oC] → T = 273,15 [°K] Se encuentran los valores estándar de la densidad del gas. Como ejemplo, la Tabla 2.5 muestra cifras aproximadas obtenidas de la Ec. 2.8 y la Tabla 2.1. Tabla 2.5 Densidad estándar aproximada de algunos gases Gas Hidrógeno Oxígeno Nitrógeno Aire

De acuerdo a Batchelor (1967), K se dene en general como:   =   (2.15)  K es una función de estado:

ρ = 1000 [Kg/m 3]

3

2.9. Módulo de compresibilidad del agua

Densidad estándar [Kg/m3] 0,0899 1,428 1,250 1,293

(

 =   

)

(2.16)

Asimismo, depende del proceso termodinámico que sufre el uido. En el caso del agua, K varía muy suavemente con la temperatura y la presión (Perry, 1985). Para temperaturas θ (20 → 40) [oC] y P = 50 [GPa], K crece en 2,6 [%]. Para presiones P (1,3 → 20) [GPa] y θ = 20 [ oC], K crece en 4,9 [% [%]. ]. Entonces, para las temperaturas y presio presiones nes normales en estudios de conducciones [θ (10 → 40) y (1 → 10) [GPa]], K puede considerarse una constante. Como es de esperar, el valor de K es diferente según el autor que se consulte. Esto puede constatarse observando la Tabla 2.6. Tabla 2.6 Valor de la constant constante eK según diferentes autores Autor (ES)

K [GPa]

Batchelor Streete r (1978) Streete r (1993) Chaudry Thorley Jaeger Mancebo Díaz y Sosa

2,04 2,20 2,24 2,19 2,19 2,03 2,20 2,19

Se recomienda adoptar el valor dado por Streeter en 1993, ya que el método de obtención es convincente convincent e y es conservativo para el cálculo de presiones:

[]

 =  

(2.17)

Para los gases, K es variable y depende del proceso. Generalizando la Ec. 2.6:  

=







 



Para un proceso isotermo vale la Ec. 2.8; entonces: K=P Para un proceso adiabático, empleando empleando la Ec. 2.12: K = γ ·P

27

2.10. 2.1 0. Dilatabilidad térmica isobárica del agua La dilatabilidad térmica isobárica del agua (β) se muestra en la Tabla 2.7 como función de la temperatura, para una presión cercana a una atmósfera (Isachenko et al., 1977). Ya que la densidad del agua tiene un valor máximo para una temperatura cercana a 4 [°C [°C], ], la dilatabilidad es nula allí y pasa de valores negativos a positivos. En todo caso, ella es relativamente pequeña, pero su efecto es considerable en muchos fenómenos ambientales e industriales (convección (convección natural: circulación en calderas y chimeneas, por ejemplo). Tabla 2.7 Dilatabilidad térmica isobárica del agua (Pу1 [atm]) q

ɴ x 104

[°C] 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

[1/°K] -0,63 +0,70 1,82 3,21 3,87 4,49 5,11 5,70 6,32 6,95 7,52

La dilatabilidad térmica de los gases ideales se obtiene de las Ecs. 2.5 y 2.7: β = 1/T

2.11. 2.1 1. Presión de vapor del agua d e vapor del agua (Pv) es la presión para La presión de la cual el vapor está saturado. Su valor depende de la temperatura. Esto es equivalente a decir que, para una temperatura del aire dada, ex iste un máximo máx imo contenido de humedad que el aire puede tener. En la Tabla 2.8, se muestra la presión de vapor del agua como función fu nción de la temperatura (WEB, 2012 2012). ). Existen varias curvas interpolantes para calcular Pv. Aquí se da la de Raudkivi (Chow et al., 1994):

 17,27   [ o C ]   237,3 +  [o C ]  (2.18)

Pv [ Pa] = 611  exp

Esta fórmula, en el intervalo θ(0→10) [°C] muestra una discrepancia máxima de 5 [%] respecto a los valores da-

dos en la Tabla 2.8. En el intervalo θ(10→100)[°C], esta discrepancia máxima baja a 2 [%]. Tabla 2.8 Presión de vapor del agua en función de la temperatura Temperatura Temperatura [°C]

Presión de vapor [KPa]

Presión de vapor [mmHg]

0,6 0,8 0,9 1,1 1,2 1,4 1,6 1,8 2,1 2,2 2,3 2,5 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,8 5,6 7,4 12,3 19,9 31,2 47,3 70,1 101,3

4,5 6,0 6,8 8,3 9,0 10,5 12,0 13,5 15,8 16,5 17,3 18,8 19,5 21,0 22,5 24,0 25,5 27,0 28,5 30,0 31,5 36,0 42,0 5 5,5 92,3 149,3 234,1 35 4,9 525,9 760,0

0 3 5 8 10 12 14 16 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 32 35 40 50 60 70 80 90 100

2.12. Viscosidad Su denición puede asociarse al resultado del siguiente ensayo imaginario (Figura 2. 3):

Figura 2.3 Esquema del escurrimiento de un uido

Sea un escurrimiento en una dirección invariable. Más especícamente, se considera la capa de uido comprendida entre dos planos paralelos separados a




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una distancia dy . Estos planos están orientados en la dirección del movimiento. En el plano superior, el uido tiene una velocidad superior en du a la del plano inferior.. Aparece una tensión tangencial τ. Asimismo, se ferior produce una deformación deformación angu lar dγ. Es fácil ver que:

 

=

 

 =



Tabla 2.9 Viscosidad dinámica del agua agua en función de la temperatura

(2.19)

γ: Velocidad de deformación angular Se dene entonces como viscosidad dinámica μ o simplemente simplem ente viscosidad: 

 

(2.20)







(2.21)



La fórmula dimensional de la v iscosidad cinemática es [L 2T-1] y entonces, en el sistema métrico se expresa en [m2/s]. Como un valor de uso frecuente: ν = 10 -6 [m2/s] (agu (aguaa – θ ≈ 20 2 0 [°C]) La viscosidad de los líquidos varía moderadamente con la presión. Cuando P cambia de 1 a 100 [bar] y la temperatura lo hace entre 0 y 100 [°C], la viscosidad del agua muestra un comportamiento complejo, pero la diferencia máxima, en valor absoluto, absoluto, es ∆μ = 2,2 x 10-5 [Pa.s]. Esto representa 2,2 x 10 -7 [Pa.s/bar]. Se deduce que para presiones moderadas la variación de μ con P es prácticamente despreciable despreciable para el agua. agu a. Como ejemplo de lubricantes, el M100 experimenta un crecimiento máximo de la viscosidad con la presión para una temperatura cercana a 20 [°C] y es de (240→450) [mPa.s] para P (0→200) [bar]. Este aumento es 1 [mPa.s/bar] y es prácticamente despreciable para presiones que se alejan poco de la ambiente. En cambio, la variación con la temperatura es signicativa. La Tabla 2.9 entrega la viscosidad dinámica μ del agua en el intervalo θ[°C] (0→100) (presión ambiente cercana a una atmósfera).

μ [mPa s]

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

1,792 1,308 1,005 0,801 0,656 0,549 0,469 0,406 0,356 0,317 0,284

1 [mPa.s] = 1 [cPoise]

 

Ella es una variable va riable de estado y como tal depende de la presión y la temperatura. En muchas aplicaciones la viscosidad visco sidad se introduc introducee como c omo difusi d ifusividad vidad de momentum o viscosidad cinemática ν:

θ [ºC]

Como puede verse, μ disminuye signicativamente con la temperatura: ella decrece a la mitad, aproximadamente, cuando cua ndo la temperatu temperatura ra pasa de 10 10 [°C] [°C] a 40 [°C]. A continuación se da la relación desarrollada por Bingham y Jackson, ecuación 2.22, que da buenos resultados entre 0 y 100 °C: 

1 =

1

10 2,1482  -



 0

+

(

-

 0

) 2 + 8078,4  

120

(2.22)

μ : Viscosidad dinámica dinám ica en [Pa.s] θ : Temperatura [°C] [°C] θ 0 = 8,435 [°C] La viscosidad cinemática cinemática puede calcularse de su dedenición o buscarse en tablas y grácos, pero si se emplea en computadora es más conveniente emplear una fórmula. A continuación se muestra una correlación desarrollada en base a la ecuación de Williams, Landel y Ferry (Paz Castillo Ca stillo y Fuentes, 1983): 1983):

 =

 θ0  θ1 + θ

4,56 10-8 exp

  

(2.23)

v : Viscosidad cinemátic c inemáticaa [m2/s] [m2/s] θ : Tem Temperatu peratura ra [°C] θ 0 = 394,8 [°C] θ1 = 107,6 [°C] Esta fórmula no produce un error mayor que 0,4 % en el intervalo θ [°C] (0→ 40).

29 s o d i u l f s o n u g l a e d s e d a d e i p o r P

2.13. 2.1 3. Viscosidad de metales líquidos Se muestra en la Figura 2.4, expresada en [cP] (o [mPa.s]) como función de mil veces el valor recíproco de la temperatura Kelvin (adaptado de Szekely y emelis, 1971 1971). ). Si se recuerda que el agua para θ cercana a 20 [°C] tiene viscosidad de 1 [cP], se concluye que las viscosidades de los metales líquidos son moderadas.


Figura 2.5 Ampliación de una parte del diagrama de la Figura Figura 2.4

Figura 2.4 Viscosidad de metales líquidos en en función de 1/T

En la Figura 2.5 se muestra ampliada una parte del diagrama anterior anterior.. La viscosidad del cobre puede calcula rse empleando una curva interpolante:

 [ Pa. sec]

=

 3300  1  exp o  2700 T [ K]  

La temperatura del cobre en un convertidor PeirceSmith está razonablemente en el intervalo (1250→1300) [°C] (Carrillo (Carrillo et al., 2004). Si T = 1600 [°K] (≈1327 [°C]):  [ Pa.s]

=

exp(3300/1600) 2700

=

0,0029 [Pa.s] 3[mPa.s] 

Es interesante observar que a esa temperatura: ¡El cobre es solamente 3 veces más viscoso que el agua a 20 [°C]!

2.14. 2.1 4. Viscosidad de escorias Las escorias de cobre tienen viscosidades altas: pueden alcanzar 0,1 y 1 [Pa.s] (Szekely y emelis, 1971). Estos valores dependen fuertemente de la composición, y entonces, no es fácil dar valores, salvo en algunos casos ya estudiados. Existen métodos de cálculo semiempíricos (“modelos”). Como ilustración, puede consultarse Szekely y emelis (1971) y Kondratiev et al. (2006).

2.15. 2.1 5. Viscosidad de los gases Para una temperatura dada, la viscosidad aumenta con la presión, pero levemente para presiones moderadas. En la Figura 2.6, se muestra un gráco en coordenadas adimensionales para la viscosidad de un gas. (Adaptado de Bird et al., 1960).


I O L U D Ó M

Tabla 2.10 2.10 Viscosidad dinámica en función de la temperatura absoluta (aire, oxígeno y nitrógeno, para P=1 atm) ʅ aire = f(T)

[°K]

Figura 2.6 Representación adimensional adimensional de la viscosidad de un gas. (Adaptado de Bird et al., 1960)

pc : Presión crítica absoluta Tc : T Temperatu emperatura ra crítica absoluta μo : Viscosidad dinám dinámica ica del gas a presión presión ambiente Para jar ideas, se puede examinar el caso del aire. De las tablas de Bird et al. (1960): pc = 36,4 [atm] Tc = 132 [°K] La curva T/Tc = 2 corresponde aproximadamente a θ = 0 [°C]. Entonces, para que la viscosidad a presión forzada exceda a la de presión ambiente en 1 [%], entonces p/pc = 0,36 (punto negro en la Figura 2.6). Esto signica = 0,36 x 36,4 ≈ 13 [atm] !! Se entiende que la viscosidad no dependa de la presión para presiones incluso un orden de magnitud mayor que la atmosférica. La viscosidad de los gases, a presiones cercanas a la atmosférica, aumenta signicativamente con la temperatura. En la Tabla 2.10 se muestra la viscosidad dinámica como función de la temperatura absoluta para el aire, el oxígeno y el nitrógeno, respectivamente. La razón de escoger estos gases y el r ango de temperaturas es para abarcar las aplicaciones pirometalúrgicas. pirometalúrgicas.

2 .16. .16. Modelos para la viscosidad de los gases Este es un tema extenso y aquí se mencionarán dos resultados clásicos. La teoría cinética de los gases predice que, en primera aproximación, la viscosidad de un gas crece con la raíz de la temperatura absoluta independientemente de la presión. En numerosos estudios se emplea la fórmula de Sutherland, basada en la teoría cinética de los gases (Comolet, 1963): C T0 T  C T 0 1+ T 1+

  0

T en grados Kelvin

=

(2.24)

ʅx

150 200 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 500 600 700 800 900 1000 1500 2000

10-6 [Pa.s] 10,64 13,59 16,14 16,63 17,12 17,6 18,02 18,43 18,87 19,29 19,71 20,13 20,54 20,94 21,34 21,75 22,12 22,52 26,33 29,74 29,7 4 33,03 35,89 38,65 41,52 53,82 64,77

ʅ O2 = f(T)

T [°K]

ʅx

10-6 [Pa.s]

ʅ N2 = f(T)

T [°K]

ʅ x 10-6 [Pa.s]

150 200 250

11,4 14,7 17,8

150 200 250

10,3 13,1 15,5

300

20,6

300

17,7 17 ,7

400 500 600

25,4 29,9 33,9

400 500 600

21,5 25,1 28,3

800

41,1

800

34,2

1000 1500 2000

47,6 62,1 74,9

1000 1500 2000

39,4 51,5 61,9

C, no es estrictamente estr ictamente una constante. Si se toma T 0 = 0 273 [ K] y μ0 = μ a 20[°C], 20[°C], los valores de C son los de la Tabla 2.11, que se muestra a continuación. Tabla 2.11 Valores de C para diferentes gases Gas Hidrógeno Amoníaco Metano Anhídrido carbónico Nitrógeno Oxígeno Aire

C [0K] 79 352 144144 277 109 138 113

2.17 2.1 7. Tensión super supercial cial La tensión supercial se asocia a las fuerzas que nacen en las interfaces entre líquidos, sólidos y gases. El caso más importante en minería es el de u na doble interfaz líquido gas (burbujas (burbujas)) y su presencia en las celdas de otación, pero existen otros ejemplos de interés. La acción capilar puede explicarse como una energía por unidad de supercie E. La Figura 2.7, muestra una interfase que abarca un área A de forma cualquiera.

31 s o d i u l f s o n u g l a e d s e d a d e i p o r P


Figura 2.7 Área interfasial de una forma forma geométrica arbitraria arbitraria

Entonces, si la tensión supercial o capilaridad se designa por σ: (2.25)

E =   A

Si una fuerza fuerz a dF, distribuida uni formeme formemente nte a lo largo del perímetro “s” logra aumentar el área en dA, se tiene que: dE = σ ·dA. Considerando ahora el trabajo equivalente a dE: dF ·dn = σ ·dA = σ ·dn ds Entonces:  =

Figura 2.8 Supercie innitesimal

(2.26)



Se deduce que la tensión supercial puede interpretarse como un fuerza por unidad de perímetro y normal a este en cada punto.

2.18. 2.1 8. Fórmula de Laplace La tensión supercial induce una discontinuidad de presión al actuar sobre una supercie curva. La relación cuantitativa que describe este fenómeno fue deducida por p or Laplace Lapla ce (1795-1825). (1795-1825). Se considera una supercie innitesimal (Figura 2.8). En un punto dado se traz a la normal a ella, d irección en la que actúan las presion presiones es P1 y P2. Se trazan dos radios de curvatura en planos ortogonales. Las fuerzas de tensión supercial en uno de esos planos se muestran en la Figura 2.9. 2 .9. Se observa que la presión debe ser mayor en la zona cóncava de la supercie elemental. El equilibrio de fuerzas indica:

Figura 2.9 Fuerzas de tensión supercial sobre un plano plano

      =    =     +         +  

De donde se obtiene:

 = 

 

+

  


I O L U D Ó M

Los cocientes diferenciales dθ 1/ds y dθ2/dn, son por denición los recíprocos de los radios de curvatura R 1 y R 2. Así queda la fórmula de Laplace:  = 

 

+

  

Como ilustración, se muestran en la Figura 2.11 los ángulos de contacto de una gota de solución ácida sobre dos láminas de minerales diferentes (azufre (S) y calcopirita (CuFeS2)).

(2.27)

En algunos textos, se indica que los radios R 1 y R 2, son los radios de curvatu ra principales (máximo y mínimo).. Esto no es así: existe nimo) ex iste un teorema de la geometría diferencial (Teorema de Meusnier, Voigt, 1925), desde el cual se puede demostrar que la suma (1/R1 + 1/R2) es un invariante que solamente depende del punto de la supercie en que se mide. Dicho de otra manera, R1 R 2 pueden ser cualquier par de radios de curvatura y R y ortogonales en un punto de la supercie.

2.19.. Ángulo de contac 2.19 contacto to Para jar ideas, se examina el equilibro de tres fases (gas, líquido y sólido) que se muestran en la Figura 2.10.

Figura 2.11 Esquema de ángulos de contacto de una gota gota de solución ácida con dos láminas de minerales

La tensión supercial disminuye con la temperatura. La Tabla 2.12 muestra valores de σ para diferentes líquidos (se supone que el sistema es aire-vidrio-líquido) (Adaptada de Daily & Harleman, 1966). Tabla 2.12 Tensión super Įcial para diferentes líquidos

Figura 2.10 Sistema trifásico en equilibrio

Realizando el balance de fuerza s se encuentra:

 =

 

 



Líquido (*)

ʍ [mN/m]

Agua Petróleo crudo Kerosén Mercurio (**) Alcohol eơ lico lico

73 23-38 23-32 514-486 22



Esta relación indica que ya que los tres valores de la tensión interfasial pueden ser diferentes, el ángulo α variará vari ará igual ig ualmente. mente. Se dice que un líquido moja la pared si α = 0 [°]. Es el caso clásico del sistema agua-aire-vidrio. El líquido [°]. La moja en forma imno moja la pared si α = 180 [°]. perfecta si el ángulo está comprendido entre 0 y 180 [°]. Por ejemplo, para el sistema aire-vidrio-mercurio α≈ 40 [°].

P= 101325 [Pa] θ = 20 [0C] (*) En contacto con el aire (**) En contacto con su propio vapor

33

2.20. Referencias Batchelor, G.K. (1967). An Introduction to Fluid Mechanics. Cambridge University Press. Bird, R.B., Stewart, W.E. & Lightfoot, E.N. (1960) Transport Phenomena, Ed. John Wiley & Sons, USA. Biswas, A. K. & Davenport, W.G. (1994). Extractive Metallurgy of Copper. Tercera edición. Pergamom, Great Britain, UK. Borsig (c.1990). Borsig Pocket Book, Borsig GmbH, 1 Berlin 27, Alemania. Bureau Internationale Des Poids Et Mesures (1901) 3er. Congres Générale des Poids et Mesures, Comptes Rendues 70. Carrillo, F., Hernández, R., Martínez, J & Roselló, A. (2004) Cinética del Soplado a Cobre en un Convertidor Peirce-Smith. Peirce-Smith. Kinetics of the Copper Blow in the Peirce-Smith Converter, Información Tecno-

lógica-Vol. 15 N°5-2004, págs.: 33-36. Chow, V.T., Maidment, D.R., Mays, L.W. (1994). Hidrología Aplicada. Traducción de J. G. Saldarriaga. E. McGraw-Hill Comolet , R. (1963) Mécanique expé expérimentale rimentale des uiParis. des Vol. 2, Editorial Masson, Paris. Craya, A. (1960) Mécanique des transfer ts dans les uids. ENSIH, Grenoble. Daily, J.W.& J.W.& Harleman Harlema n D.R.F. (1966) Fluids Dynamics, Addison-Wesley.

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.

MÓDULO I


C a p í t u l o 3

Hidrostática Autor: Ramón Fuentes

CONTENIDO 3.

HIDROSTÁ HIDRO STÁTICA TICA ............................. .......................................................... ........................................................... ............................................................ .......................................... ............ 37 3.1.

Introducción ............ ....................... ....................... ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ................37 ....37

3.2.

Tensiones Tens iones - conjetura de Euler ............ ....................... ....................... ........................ ........................ ........................ ....................... ...................... ....................... ........................ ..................37 ......37

3.3.

Isotropía de las presiones - principio de Pascal ............ ........................ ....................... ....................... ........................ ........................ ........................ ....................37 ........37

3.4.

Ecuación de equilibrio ............ ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ....................38 ........38

3.5.

Campo gravitatorio gravitatorio .......... ...................... ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ................38 ....38

3.6.

Fuerzas hidrostáticas sobre supercies ............ ....................... ....................... ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ........................39 ............39

3.7.

Caso particular de las las supercies supercies planas planas inclinadas inclinadas ........... ....................... ........................ ........................ ....................... ....................... ........................40 ............40

3.8.

Esfuerzos sobre una pared pared vertical vertical de forma rectangular ........... ....................... ........................ ........................ ........................ ........................40 ............40

3.9.

Empuje de Arquímedes ........... ...................... ....................... ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ....................... ....................... ........................ ....................40 ........40

3.10. Tiraje de una chimenea ............................. ........................................ ....................... ........................ ........................ ........................ ....................... ...................... ....................... ........................ ..............41 ..41 3.11. Relaciones barométricas .................... ............................... ....................... ........................ ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ....................41 ........41 3.12. Distribución de presiones en silos y tolvas............ ....................... ....................... ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ..................41 ......41 3.13. Presión capilar........................ .................................... ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ....................... ....................... ........................ ........................42 ............42 3.14. Ley de Jurin ........................... ....................................... ....................... ....................... ........................ ........................ ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ..............43 ..43 3.15. Discontinuidad de presión en una burbuja ........... ....................... ........................ ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ................44 ....44 3.16. Referencias ............ ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ........................ ........................ ....................... ........................ ........................ ....................... ........................ ..................44 ......44

37

3. HIDROSTÁTICA 3.1. Introducción Una denominación más adecuada es uidoestática, ya que trata de los uidos en reposo, sean líquidos o gases. Pero históricamente se ha guardado la denominación referida referida al ag ua. Por denición no existe movimiento, y solamente se requiere expresar la igualdad de fuerzas opuestas en el interior del uido, considerado un medio continuo.

Esta es una interpretació i nterpretaciónn libre: el texto original puede examinarse en el recuadro de la Figura 3.2. Cuando Euler la enunció era simplemente una conjetura. A lo largo del tiempo su certeza ha recibido abrumadora evidencia teórica y experimental.

3.2. Tensiones - conjetura de Euler Se considera un glóbulo muy pequeño en el seno del uido en equilibrio (Figura 3.1). Si este glóbulo se separa en dos partes mediante un corte plano de área dA, en ambos trozos deben actuar fuerzas de contacto igua les y opuestas. Estas fuerzas, tomadas separadamente, totalizan dF. En general, dF puede considerarse la suma de una compon componente ente normal dFn y otra tangencial dFt.

Figura 3.2 Texto original de la obra Euler (1755) (1755)

3.3. Isotropía de las presiones - principio de Pascal Se analiza un prisma elemental en el seno del uido (Figura 3.3).

Figura 3.1 Esquema de un glóbulo pequeño en equilibrio en el seno del uido

Se denen naturalmente las tensiones τ como fuerzas por unidad de supercie. Aparece entonces la tensión normal



= n

dFn

(3.1)

dA Figura 3.3 Esquema de un prisma en el seno del uido

y la tangencial



t =

dFt

(3.2)

dA

Ahora debe introducirse la conjetura de Euler (1755): Para que el uido esté en equilibrio, las tensiones deben ser normales a las supercies en que se aplican; las tensiones tangenciales son entonces r igurosam igurosamenente nulas.

Tomando To mando como eje de proyección OY:

PdA cos  = P Y dAY Pero, examinando el ángulo diedro θ entre dA y dA Y:  =  

a c i t á t s o r d i H



I O L U D Ó M

Entonces:

El teorema de la divergenc d ivergencia ia o de Gauss-Ostrogadsky (Weatherburn, 1966), escrito para un escalar genérico λ se lee:

 = 

Generalizando para los otros ejes:

P X

=

P Y

=

P Z

 =

P

(3.3)

Esto es, en todo punto de un uido en reposo la presión es la misma en todas direcciones. dist ribución local de presiones es isotrópica. I.e., la distribución Esta aseveración se ha demostrado y entonces es un teorema, pero dada su enorme importancia y su origen histórico, se le designa como Principio de Pascal.



 dA

A

 d V

A

Haciendo λ = P y reemplazando en la suma:



V

(P -  f ) d

A

=0

Esta nulidad debe mantenerse para una elección arbitraria del volumen e incluso si este es innitesimal; entonces necesariamente:

1

P



f

=

(3.5)



Presión relativa y presión absoluta

La presión relativa se cuenta desde presión ambiente y la absoluta desde cero. Entonces Presión absoluta = Presión relativa + Presión ambiente



=

Esta es la condición general de equilibrio buscada. En forma desplegada:

1 P

((3.4)

 X

=

f X

(3.6X)

=

f Y

(3.6Y)

f Z

(3.6Z)

3.4. Ecuación de equilibrio 1 P  Y

1 P

=

 Z

3.5. Campo gravitatorio Se considera OXY como plano horizontal y OZ orientado según la vertical ascendente; el peso por unidad de masa es g : Figura 3.4 Diagrama de fuerzas externas másicas

g = 0 ˆi + 0 jˆ - g kˆ 

Se consideran fuerzas externas másicas, esto es, proporcionales a la masa (ver Figura 3.4). La intensidad, es decir, el el valor por unidad de masa de estas fuerzas es f . Si la densidad es ρ, la resultante de las fuerzas externas es:

Las ecs. 3.6 devienen:



 V

f d

 X

1



Ambas resultantes deben sumar cero: 





P dA = 0 A

P

 Z

A

 f d -

P

 Y

1



 P dA

V

P

=

0

(3.7X)

=

0

(3.7Y)

 g

(3.7Z)





La resultante de las presiones es:



1

=

Aplicando las dos primeras a la tercera: dP dZ

=







g

(3.8)

39

Esta es la ecuación básica para estudiar el equilibrio de los uidos pesados (¡en una tierra plana!). Se deduce: Para todos los uidos pesados en equilibrio la presión disminuye localmente con la cota.


3.6. Fuerzas hidrostáticas sobre supercies


Analicemos la Figura 3.6.

Si se considera un uido incompresible, entonces la densidad es invariable (líquidos). Integrando la Ec. 3.8: P +   g  Z = Cte.

(3.9)

Algunas consecuencias: En un plano horizontal la presión es constante. Una supercie libre es tal que toda ella se mantiene a presión constante. Entonces dicha supercie es necesariamente un plano horizontal. La presión disminuye cuando la cota Z aumenta, siempre siemp re que ésta se mida en la di rección de la vertical ascendente. La distribución de presiones en un líquido pesado en reposo es lineal. •

•

•

•

Las supercies libres más frecuentes son las que se encuentran a la atmósfera y entonces la presión allí es denominada atmosférica o ambiente. Interesa la expresión de la presión según la profundidad h, que se mide desde la supercie libre (Figura 3.5). Se tendrá Z+h = Cte. y entonces la ecuación se escribe:

Figura 3.6 Elemento de supercie

La fuerza total es:







F = Pd A AA

La presión se obtiene de la Ec. 3.10 y, descontando la presión atmosférica







F =   g hd A AA

P =

  g  h + P a

(3.10)

La componente vertical se obtiene proyectando en esa dirección:

Pa: Presión ambiente



F  k ˆ =   g h  d A k 





AA

esto es: F V

=  



g

AA

h  dAh

=

 

g  

Entonces: F V

=  

g   =   

(3.11)

Esto es, la componente vertical es exactamente el peso de la columna líquida que gr avita sobre la supercie A. Para obtener la componente horizontal hay que escoger una dirección hacia la cual proyectar. Ella queda denida por por un vector unitario hˆ . Entonces: Entonces: F  hˆ = 

Figura 3.5 La presión en función de la profundidad



  g

h  d A hˆ

AA




I O L U D Ó M

De donde: F h

=



  g

AA

h  dAV

(3.12)

3.8. Esfuerzos sobre una pared vertical de forma rectangular

El empuje horizontal horizontal en una dirección d irección dada iguala al peso especíco del uido multiplicado por el momento estático de la proyección vertical de la supercie en esa dirección. Ahora:

 h  dA

v

=

h

cg

 Av

hcg :

Profundidad del centro de gravedad del área A proyectada sobre la vertical (A v ). Entonces: F h

=

  hcg 

Av

(3.13)

3.7.. Caso particular de las supercies 3.7 planas inclinadas

Figura 3.8 Pared vertical de sección rectangular

Este ejemplo es muy simple, pero su importancia práctica aconseja que se exponga en detalle (Figura 3.8). La pared tiene un ancho B. Empleando la Ec. 3.16 3.16 y recordando que el centro de gravedad de un área rectangular se encuentra a media altura: 1

F = B

2

2

 H

Ahora bien el punto de aplicación de F no se encuentra a H/2 de la supercie, sino más abajo. Para calcular esta distancia YFA se toman momentos alrededor de un eje horizontal colocado en la intersección de la pared y la supercie libre: Figura 3.7 Fuerzas sobre un plano plano inclinado

Y FA  F = P  Y  dA = B   Y 2  dY = B   



El ángulo θ es constante y es cómodo considerar la supercie en su plano XY (Figura 3.7). Se tiene: (3.14)

Y  sin = h

La fuerza total F es perpendicular a la supercie plana y vale:







F = P  dA =  h  dA =   sin Y  dA

(3.15)



Entonces YFA= 2/3· H, como se indica en la Figura 3.8.

3.9. Empuje de Arquímedes Si se sumerge un cuerpo en un uido, éste ejerce una fuerza sobre el cuerpo (ver Figura 3.9). 3.9). Esta fuerza vale la resultante de las presiones sobre toda el área: 

F =

 Pd A 



=





.. A

Introduciendo el centro de gravedad Ycg del área A calculado en su plano XY: (3.16)







g hd A AA

El teorema de la divergencia entrega para el escalar h:

 hd A  hd  

F =   sin  Ycg  A

1  H 3 3

=

AA

V

41

Ahora: h

=

h  X

iˆ +

h Y

jˆ +

h  Z


3.10. 3.1 0. Tiraje de una chimen chimenea ea k ˆ = -kˆ


De donde:

 hd A 

AA

=



-kˆ d  -kˆ V

(3.17)

F =   kˆ 



es el volumen del cuerpo sumergido.

Figura 3.10 Esquema de una chimenea de altura H y área transversal A

Figura 3.9 Diagrama de cuerpo sumergido

La Ec. 3.17 dice que: Un cuerpo sumergido experimenta un empuje vertical ascendente igual al peso del uido desplazado.

Este enunciado expresa el principio de Arquímedes. Este enunciado es un teorema perfectamente demostrable, como se ha visto. Más aún, Arquímedes mismo lo hizo, pero, análogamente al principio de Pascal, su importancia ha hecho que se siga llamando “Principio de Arquímedes”.

Si el cuerpo está parcialmente inmerso, el principio se aplica a la parte su mergida. Si el cuerpo sumergido tiene una densidad homogénea ρ`, la fuerza neta en dirección vertical ascendente vale lo obtenido obten ido según segú n la ecuación ecua ción (3.18). (3.18). 

F = ( 



 ' )



ˆ g k 

(3.18)

Dentro de una chimenea de área A y altu ra H circula un gas caliente y fuera de ella ex iste aire a la temperatura ambiente (Figura 3.10). Debido a la dilución, puede suponerse en primera aproximación que el gas ca liente es aire. Entonces, este aire será menos denso que el ambiente y el principio de Arquímedes, indica que se producirá un empuje vertical ascendente:

E = (  a -  )  g  A  H

Este empuje se suele llamar tiraje de la chimenea y es la fuerza motriz que hace circular el gas caliente desde la base hasta la salida superior. Es asimismo, la fuerza motriz que mueve el aire en túneles en que existen diferentes temperaturas temperaturas en los extremos. ex tremos.

3.11. 3.1 1. Relaci Relaciones ones baromé barométricas tricas Se trata de relacio relacionar nar las presiones con las cotas en el caso del aire ambiente. De la Ec.3.8:

dP =  ( P , T ) g dZ Si se supone válida la aproximación del gas ideal: 

Esta fuerza se denomina boyancia o otabilidad (hay otras denominaciones).

(3.19)

 =



P RT

Combinando ambas ecuaciones e integrando:       =            

(3.20)


I O L U D Ó M

Aún en atmósfera calma la relación entre Z y T es complicada. Con el n de comparar situaciones en diferentes sitios y también para obtener una relación sencilla entre la presión y la cota, se emplea la llamada Atmósfera Estándar (AS) (AS).. Esta atmósfera idealizada cumple (por denición) con los siguientes requisitos: •

•

•

•

El aire atmosférico se asimila a u n gas ideal seco; La temperatura para Z = 0 es θo = 15 [oC]; La presión para Z = 0 va le Po = 101 325 [Pa]; El gradiente térmico en el intervalo Z(0→10000) [m] es constante:

Tabla 3.1 Presión estándar de algunas operacion es mineras mineras MINA Isla Riesco El Teniente Salvador Chuquicamata Andina Collahuasi Pascua lama

COTA [msnm]

PRESIÓN SEGÚN ATMÓSFERA ESTÁNDAR [KPA]

800 (max.) 2000 2600 2850 3800 4400 5200

92,1 79,5 73,8 71,5 63,3 58,5 52,5

3.12. 3. 12. Distribución de presiones en silos y tolvas

dT/dZ = - λ = - 6.5 [oC/km] Para valores mayores de Z existen otras formulaciones para la temperatura de la AS, pero para los nes mineros basta con la cifra i ndicada. Entonces: T = T 0 -  Z

La relación explícita entre la cota y la presión se obtiene introduciendo esta expresión en la ec. 3.20 e integrando: g /( R   )

   P = P0  1   Z   T 0 

(3.21)

Esta relación se conoce como ecuación barométrica o altimétrica; en efecto, ella permite estimar groseramente la presión ambiente conociendo la cota Z. Constante universal de los gases R = 8314,3 [J/(KgMol.0K)] Masa molecular del aire MM = 28,964 [Kg/Kg-mol] Tomando g = 9,8 [m/s2], la fórmula 3.21 no diere en más de 1/1000 de la US Standard Atmosphere – 1976 (Perry, 1984). Es de interés conocer la presión que la Atmósfera Estándar indica en casos concretos. Aquí se ha realizado el cálculo para algunas minas chilenas. Los resultados se muestran en la Tabla 3.1. El examen de la tabla ind ica que en Chile existen faenas en que la presión estándar local puede disminuir muy signicativamente respecto a la estándar a nivel del mar. Este aspecto se debe tener en consideración para varias operaciones. Como un solo ejemplo, estos valores denen d enen la “performance” “per formance” de los ventiladores. ventil adores.

Figura 3.11 Esquema de silo para almacenamiento de sólidos sólidos

Figura 3.12 Elemento diferencial

En las faenas mineras se empl emplean ean silos para contener material granular (chancado, concentrado, por ejemplo). Estos silos presentan frecuentes problemas operacionales como el atasco de las tolvas. Pese a que se trata de un tema que se reere a un sistema de partículas, se puede considerar aquí si se limita el análisis al equilibrio del material contenido en el silo (Figura 3.11).

43

Considerando el equilibrio de un cilindro de sección transversal A, perímetro χ y altura dZ (Figura 3.12), se tiene:

Si el depósito es un cilindro circular, entonces Rh = D/4 y las Ecs. 3.24 y 3.25 devienen, respectivamente:

P  A - (P + dP dP))  A -   g  A  dZ +  w    dZ = 0

Pmax

=

De donde: - dP -   g  dZ +  w  dZ / Rh

=





g

(3.22)



Si la tensión normal en la pared es σw el esfuerzo de fricción se puede expresar en función del ángulo de fricción parietal φw:  w

=  w

 tan w

Janssen en 1895 (Molerus, 1985) introdujo la razón, supuesta constante para una insta lación:  =

 w

P

 tan  w P 

=



Rh



 g

    tan  w   1  exp   Z  (3.23)   tan w  R h  

Si la altura del silo crece indenidamente, la presión alcanza un valor límite: =

  g  Rh

(3.24)

  tan  w

Entonces:

P Pmax

=

   tan  w

1  exp 



 

1  exp  4 

  tan w D

  Z  (3.27) 

El empleo ecaz de la fórmula de Janssen requiere los valores del ángu lo de fricción pariet parietal al φw y del coeciente λ. Gallego (2006), ha publicado un estudio sobre este tema. Molerus (1985), considera como valores realistas λ = 0,22 y y φw φw =330. Empleando estas cifras y la Ec.3.27,, se alcanza Ec.3.27 alcan za la mitad de la presión máxima para Z/D ≈ 1,2. Si D = 1 [m] y el material particulado tiene una densidad aparente ρ = 2000 [Kg/m 3] entonces, de la Ec. 3.26, se tiene: =

2000  9,8  1 4  0,22  tan(33)

=

34300 [ Pa] = 34,30 [ KPa]

Entonces, la presión para Z/D = 1,2 será 34,3/2 = 17,15 17 ,15 [KPa]. [K Pa]. Si se tratase de un l íquido de la misma densidad, densidad, a la profundidad de Z =1,2 [m] la presión hidrostática sería: PH = ρ g Z = 2000 x 9,8 +1,2 = 23520 [Pa] = 23,52 [KPa]

  g  Rh

Pmax

Pma max x

=



Después de integrar e imponiendo presión presión nula para Z = 0:

P=

P

Pmax

Introduciendo estas dos últimas relaciones en la Ec.3.22, se tiene:

dP dZ

(3.26)

0

R H = A/χ (radio hidráulico) Resulta entonces la siguiente ecu ación diferencial: dP  w = dZ Rh

  g  D 4    tan  w

Rh

  Z  

(3.25)

Esta última es conocida como la fórmula fórmula de Janssen.

Este ejemplo da una idea sobre s obre la reducción en la presión producida producida al considerar material granular.

3.13. 3.1 3. Presión capil capilar ar Esta presión o diferencia de presión se produce en toda interfaz cur va entre dos uidos y obedece a la ley de Laplace:    =   

 +



   

(3.28)

R1, R2 son dos radios de curvatura en un punto de la supercie ortogonales entre sí (no necesariamente los radios principales). Si se supone que la interfase es una supercie sin espesor, entonces ΔP debe interpretarse como una discontinuidad en la presió presión. n.




Para el agua a 20 [OC [ OC], ], σ= 0,073 [N/m]. Entonces: l=

0,073 / (1000  9,8)

≈ 0,00 0,00273 273 [m [m]] = 2,73 [mm [mm]]

Para jar ideas se puede calcular el ascenso capilar para agua a 20 [0 C] y ángulo de contacto nulo, en un tubo de un milímetro de diámetro. De la ley de Jurin (Ec. 3.29):

I O L U D Ó M

h = 4x0,073/(1000x9,8x0,001) ≈ 0,030 [m] = 30 [mm]

Figura 3.13 Ascenso de un líquido en un tubo capilar

La curvatura se dene como κ = 1/R. La expresión κ1+ κ2= 1/R1+ 1/R2 se denomina curvatura media C (Voigt, 1925). Se menciona que existen autores que denen como curvatura media la mitad de C.

3.14. 3.1 4. Ley de Jurin Se trata del ascenso de un líquido, que la tensión supercial interfacial (m) produce en un tubo circular (Figuraa 3.13). (Figur 3.13). Como la supercie del menisco es de revolución, R 1 = R 2 = R. La presión en el líquido de la interfase es negativa respecto a la presión ambiente y varía con la cota Z. La Ec. 3.28 se escribe entonces:  2    P = -   g  Z + Cte. = -   R 

=

4    cos    g  D

(3.29)

Este es el enunciado de la ley de Jurin. Si la mojabilidad es perfecta, perfecta , α = 0. Si α >π/2, entonces h< 0 (mercurio (mercurio- vidrio-agu vidr io-agua). a). La escala lineal linea l de los fenómenos fenómenos en que intervienen simultáneamente la capilaridad y la gravedad es una longitud llamada de Laplace: l

 

  g

En este caso, hay que tomar en cuenta la existencia de dos interfaces de radios R’ y R’’. Si se puede considerar esférica entonces: 2   2   + P = R' ' R' R’ y R’’ son muy cercanos y entonces designando un valor común comú n medio por R: R: =

4   R

(3.31)

Si la burbuja es muy pequeña, la discontinuidad de presión puede ser muy grande.

3.16. Referencias

 2       R 

Se aplica esta ecuación al punto en que el menisco toca la pared. Allí R cosα = D/2. La cota de ese punto es h y entonces: h=

3.15. 3.1 5. Discontinuidad de presión en una burbuja

P

Se ja el origen de las cotas en la supercie libre lejos del tubo; como ella es plana allí, la curvatura en ese punto es nula y también lo es ΔP. Entonces, Cte. = 0 y:   g  Z

Como se dijo previamente, el ascenso capilar h se mide en el punto superior de la interfase; pero si se midiese en el fondo de la interfase, la diferencia no es grande si el diámetro del capilar es pequeño. En el ejemplo actual, la diferencia es cercana al radio del tubo, esto es, 1/2 [mm]. Respecto al ascenso capilar, esto representa 1/60 o 2[%] de discrepancia.

(3.30)

Euler, L. (1755) Principes généraux de l’état d’equilibre des uides, Memoria presentada a la Academia de Ciencias de Berlín, V. XI, pp 218-273. Gallego, E. (2006). Numerical Numerical simulation of loads exerted by stored materials in silos with non-elastic material models. Phd esis, Polytechnic University of Madrid, Madrid, España.. Molerus, O. (1985). Schuttgut Mechanik. Springer Verlag, Alemania. Perry, N. M. (1984 (1984)) Chemical Engi Engineer’s neer’s Handbook, 6a. Edición, Ed. McGraw McGraw-Hill. -Hill. Voigt, H. (1925). Elements de mathématiques supérieures. Edición No.19. Vol. 1. Librairie Vuibert, Paris. Weatherburn (1966). Advanced Vector Analysis. Ed. G. Bell & Sons, London, UK.

Fluidodinámica-Aplicada-a-la-Minería-Capítulos-1-2-y-3

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