flexion1

DISEÑO A FLEXIÓN

ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 1

___________________ _____________________________ _____________________ _____________________ ____________________ ____________________ __________

3 DISEÑO A FLEXION DEL HORMIGÓN ARMADO 3.1 INTRODUCCION El principal objetivo del ingeniero estructural es el diseño de edificaciones. Se entiende por diseño la determinación de la forma general ( configuración) , las dimensiones ( dimensionamiento), el refuerzo y las condiciones de servicio de la estructura. Lo anterior con el fin de garantizar una adecuada estabilidad y comportamiento cuando actúen sobre ella las diferentes acciones llámense cargas directas, indirectas, medio ambiente o asentamientos del terreno. La herramienta bási básica ca del del proc proces esoo de dise diseño ño es la mecá mecáni nica ca estr estruc uctu tura rall la cual cual se pued puedee defi defini nirr como como el conjunto de conocimientos técnicos que permiten predecir con cierta confiabilidad como se comportara una estructura de una determinada configuración, dimensiones y refuerzo cuando esta sometida a las diferentes acciones consideradas. Los aspectos mas importantes que se deben considerar en la mecánica estructural se pued pueden en resu resumi mirr en en los los sigu siguie ient ntes es dos dos pun punto tos: s: §

§

La resistencia estructural , es decir cuales son las magnitudes y la distribución de las cargas que pueden producir en un momento dado el colapso o falla estructural. Las condiciones de servicio , es decir su estado de fisuracion y deflexión bajo bajo la acci acción ón de las las car carga gass ext exter erna nas. s.

3.2 HIPOTESIS FUNDAMENTALES FUNDAMENTALES El diseño del hormigón armado se fundamenta en las siguientes bases teóricas o hipótesis fundamentales que facilitan la modelación numérica sin perdida de prec precis isió iónn en los los resu result ltad ados os fina finale les: s: §

L as f uerz uer zas i nternas nter nas en en cualqui cual qui er sección cción de una es estructu tr ucturr a debe deben n estar estar en equilibrio con los efectos de las cargas externas . Esta se conoce también como la hipótesis de equilibrio y es realmente un hecho, ya que un cuerpo o

parte parte de él solo solo pued puedee esta estarr en repo reposo so si toda todass las las fuer fuerza zass que que actú actúan an está estánn en equilibrio. §

Se debe garantizar una unión perfecta entre el hormigón y el acero de refuerzo. Esta se conoce como la hipótesis de adherencia y significa que

bajo bajo carg cargaa ambo amboss mate materi rial ales es debe debenn tene tenerr la mism mismaa defo deform rmac ació ión. n. Esta Esta compatibilidad de deformaciones se incrementa con el uso de barras de refuerzo de adherencia mejorada ( barras corrugadas). §

§

Las secciones planas antes de la aplicación aplicación de las cargas continúan planas después de la aplicación de estas . Esto significa que hay una distribución

lineal de deformaciones en el material que aunque no es totalmente cierta, part partic icul ular arme ment ntee en rang rangos os cerc cercan anos os a la fall falla, a, es una una exce excele lent ntee apro aproxi xima maci ción ón matemática confirmada por numerosas evaluaciones experimentales. Se considera que la resistencia a la tracción del hormigón es despreciable . Lo anterior se basa en el hecho de que la resistencia a la tracción del hormigón es una pequeña fracción de la resistencia a compresión por lo que 123

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

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___________________ _____________________________ _____________________ _____________________ ____________________ ____________________ __________ en zonas donde el material este traccionado por lo general estará fisurado y no esta en capacidad de resistir tensiones de tracción. Realmente se ha confirmado el hecho de que el hormigón antes de fisurarse resiste tensiones de tracción bajas las cuales es importante considerarlas por ejemplo en el diseño a cortante del material. §

El diseño diseño se basa en el comporta comportamient miento o real tensión-d tensión-deforma eformación ción tanto del hormigón como del acero de refuerzo y en las propiedades resistentes de

cada uno, en lugar de utilizar supuestos teóricos sobre el comportamiento de ambos materiales. Este método reemplaza el tradicional o clásico en donde se asumía que tanto el hormigón como el acero se comportaban elásticamente. Aunque esta hipótesis elástica conduce a cálculos relativamente sencillos es importante aclarar que se aleja mucho de la realidad. Los métodos de diseño actuales reconocen la no elasticidad de los materiales en zonas de altas tensiones y se acercan mas estrechamente al comportamiento real de las estructuras.

Estas cinco hipótesis permiten predecir el comportamiento del hormigón armado en muchos casos sencillos, sin embargo para problemas mas complejos como los pres presen enta tado doss en estr estruc uctu tura rass espe especi cial ales es tipo tipo mens mensul ulas as,, viga vigass prof profun unda das, s, nudo nudos, s, combinación de tensiones se requieren consideraciones adicionales como por ejemplo los modelos de los campos de tensiones, el puntal y el tirante, la cercha espacial. En realidad la acción conjunta de estos dos materiales es de tal complejidad que no se tiene aun una teoría analítica completa para el diseño estructural, los métodos continúan basándose en los resultados de las investigaciones experimentales los cuales se van modificando a medida que se disponen de nuevos datos de laboratorio.

3.3 3.3 SECCIONES SOMETIDAS A CARGA AXIAL El estudio del comportamiento del hormigón armado a través de todo el amplio rango de cargas, desde cero hasta la falla, puede presentarse mas claramente si se estudia el caso mas simple de todos: los elementos sometidos a carga axial ya sea tracción o compresión. En realidad existe una muy baja probabilidad de que un elemento de una estructura de hormigón armado este sometido a carga axial y el proc proced edim imie ient ntoo que que se pres presen enta tara ra solo solo sirv sirvee acad académ émic icam amen ente te para para pres presen enta tarr una una teoría introductoria al diseño estructural. En las estructuras reales donde se presenta continuidad y transmisión de tensiones y aun en las isostaticas la carga axial por lo general esta acompañada de momentos flectores, cortantes y momentos torsores que afectan considerablemente las tareas del diseño. Los códigos y normas de construcción reconocen este hecho y recomiendan considerar en cualquier diseño estructural la presencia de la carga axial aun cuando el análisis indique que no existen. La principal razón de esta especificación es la existencia de excentricidades accidentales en las cargas aplicadas debido a defectos en la construcción ( desalineamientos en la formaleteria, problemas de montaje y ensamble de elementos ) y movimiento relativo de las cargas en la estructura.

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3.3.1 Compresión Los elementos estructurales sometidos fundamentalmente a carga axial son las columnas y muros de los edificios. En estos es económico hacer que el hormigón soporte la mayor proporción de la carga axial mientras que el acero permite absorber tanto las excentricidades accidentales de la carga axial como los momentos flectores originados por las cargas. Adicionalmente el refuerzo permite disminuir considerablemente las dimensiones de las secciones de hormigón debido a su mayor capacidad en resistencia mecánica. En la figura 3.1 se muestran los dos tipos básicos de columnas de hormigón armado utilizadas preferiblemente en edificaciones: la columna rectangular y la columna circular. La columna rectangular presenta siempre al menos cuatro (4) barras de refuerzo perimetrales las cuales se mantienen en posición por la acción de amarres rectangulares de diámetro 9.50 o 12.70 mm. La función del amarre transversal es fundamental porque facilita el armado durante las construcción de la estructura y evitan el pandeo de las barras longitudinales cuando se someten a carga. En la columna circular el refuerzo refuerzo perimetral perimetral esta conformado por al menos seis (6) barr barras as las las cual cuales es se mant mantie iene nenn en su posi posici ción ón por por el uso uso de amar amarre ress en espi espira rall que que las envuelve cumpliendo la misma función que los amarres en la columna rectangular.

Columna circular con amarres en espiral

Columna rectangular con amarres rectangulares rectangulares

Figura 3.1 Tipos de columnas de hormigón armado

1



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______________________________________________________________________ Experimentalmente se ha podido comparar el comportamiento estructural de ambas columnas llegando a la conclusión de que la columna circular es de mayor resistencia y deformación que la rectangular. La razón de esto es que el amarre en espiral produce un excelente confinamiento al hormigón aumentando no solo su capacidad resistente sino sus deformaciones ultimas. La figura 3.2 muestra comparativamente el comportamiento bajo carga axial mediante las curvas carga deformación para los dos tipos de columnas indicadas y una columna de hormigón sin refuerzo. La curva A representa una columna de hormigón sin refuerzo, en ella se aprecia como tanto su capacidad mecánica como su deformación ultima son relativamente bajas respecto a las otras dos columnas; la curva B es la columna rectangular esta presenta una alta capacidad mecánica pero un bajo incremento en la deformación y la curva C para columna circular muestra tres tendencias similares indicando una mayor deformación ultima sin perdida de capacidad de carga.

Carga

Cuantía alta de espiral

Falla de columnas con amarres o con poca espiral

Cuantía recomendada

Cuantía baja de espiral

Acortamiento Figura 3.2 Curvas carga-acortamiento en columnas de hormigón armado

1

El comportamiento de la columna de hormigón sin refuerzo es similar al presentado en los ensayos sobre probetas cilíndricas en la determinación del parámetro fć. La carga máxima se logra cuando la deformación alcanza un valor de 0.002, es decir 2000 micro deformaciones y su resistencia a compresión decrece con el aumento de la esbeltez de la columna indicando perdidas de capacidad entre un 5 y 30%. Como promedio se ha propuesto utilizar en estos casos el valor del 15% que indica una resistencia a compresión de 0.85 x fć. En el caso de columnas con refuerzo y convenientemente amarradas se obtiene una curva similar a la anterior pero la carga máxima, aunque muy superior a la columna sin refuerzo, se presenta a la misma deformación. La falla es este caso se presenta en forma distinta de acuerdo al tipo de columna. Si se analiza la rectangular se 126 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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______________________________________________________________________ encuentra que la falla se presenta a unas deformaciones entre 0.003 y 0.005, se caracteriza por la presencia de fisuras que siguen ya sea direcciones paralelas a la carga o planos inclinados 45° según las condiciones de restricción de los apoyos. En estas columnas una vez se logra la capacidad máxima de carga el hormigón que recubre el refuerzo se desprende y el acero al quedar totalmente expuesto pierde confinamiento y se pandea por lo general entre dos amarres consecutivos tal como se ilustra en la figura 3.3. En el caso de la columna circular la situación es similar hasta la perdida del hormigón que recubre el acero sin embargo después de esto el amarre en espiral actúa como elemento de confinamiento que no solo impide el pandeo del refuerzo sino que aumenta significativamente la deformación de la columna antes de la falla. De acuerdo con las características geométricas de la espiral la capacidad de carga será mayor o menor que la presentada al momento de desprenderse el recubrimiento de hormigón.

Figura 3.3 Falla típica de una columna con amarres rectangulares

1

Si la cuantía de la espiral es alta, produciendo un mayor confinamiento, la columna puede alcanzar una segunda carga máxima mayor que la inicial como se ilustra en la curva C2 de la figura 3.2. De otra parte si la cuantía de la espiral es baja, indicando un menor confinamiento, la capacidad de carga disminuirá gradualmente como lo indica la curva C3. Finalmente la curva C1 muestra el comportamiento sugerido por las normas y códigos de diseño proponiendo una cuantía promedio que garantice el mantenimiento de la capacidad de carga en la columna.



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______________________________________________________________________ 3.3.1.1 Columnas con amarres rectangulares El comportamiento bajo carga axial de compresión en estructuras de hormigón se puede introducir en forma simple usando como modelo la columna con amarres rectangulares. En este caso cuando se aplica carga las hipótesis dos y tres indican que al existir una adherencia perfecta entre el hormigón y el acero las deformaciones son las mismas en los dos materiales. La figura 3.4 es el punto de partida del análisis y muestra las curvas tensión deformación de un hormigón con fć = 28 MPa ( líneas b y c) y de un acero con fy = 420 MPa (línea a). La curva b es la forma típica obtenida en un ensayo a compresión sobre probetas cilíndricas. La curva c representa el comportamiento tensión deformación del hormigón cuando la velocidad de carga es lenta simulando las condiciones reales de carga en las estructuras. En estos casos se concluye que la resistencia a la compresión confiable del hormigón es de ochenta y cinco por ciento de la resistencia cilíndrica ( 0.85fć) como se observa en la figura 3.4. Es importante recordar que el factor de 0.85 para modificar la resistencia del hormigón no se debe solamente a las consideraciones de esbeltez y velocidad de aplicación de la carga mencionadas anteriormente. Existen otros factores que sumados a los anteriores se deben tener en cuenta al considerar este valor; entre otros las condiciones de fabricación y compactación de las probetas cilíndricas las cuales difieren considerablemente de las usadas en las estructuras reales. fs ( MPa)

fc ( MPa)

500

50

400

40

a 300

30

200

20

100

10

d b c

0.001

0.002

0.003

e s o ec

1

Figura 3.4 Curvas tensión deformación para hormigón y acero



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______________________________________________________________________ a) Análisis en rango elástico. Cuando las tensiones producidas por las cargas externas no superan el 50% del valor fć se puede asumir que tanto el hormigón como el acero tienen un comportamiento acertadamente lineal como lo ilustra la figura 3.4. Lo anterior se traduce en una proporcionalidad entre tensiones de compresión ( f ) y deformaciones (e) en esta fase. En el hormigón el rango aproximadamente elástico se prolonga hasta unas deformaciones de 0.0005 y en el acero hasta lograr la tensión de fluencia (fy) a una deformación de 0.002. Si la deformación a compresión en el hormigón (e c) es la misma que la del acero (es), para una determinada carga, se tiene por el principio de Hooke: f c

= E c ε c y

f s

= E sε s

En donde: f c y f s : Tensiones en el hormigón y el acero Ec y Es : Módulos elásticos del hormigón y del acero ec y es : deformaciones en el hormigón y en el acero Si se aplica el principio de igual deformación en ambos materiales cuando la estructura esta sometida a cargas se tiene: εc

=

f c E c

= ε s =

f s E s

De donde se obtiene la conocida relación entre fs y fc: f s

=

E s E c

f c

= n. f c

(3.1)

n: Relación modular en el hormigón armado = Es/Ec Si se considera que Ac es el área neta de la sección de hormigón ( es decir el área bruta Ag menos el área ocupada por el refuerzo As) y P la carga axial aplicada: P = P c + P s = f c Ac

+ f s A s = f c Ac + nf c A s = f c ( Ac + nA s )

(3.2)

En donde Pc: carga que resiste el hormigón y Ps: Carga que resiste el acero El termino ( Ac + nAs) es conocido como área transformada y puede interpretarse como un área ficticia de solo hormigón que resiste la carga axial “ P “ en forma similar a la sección compuesta de hormigón y acero. Esta sección transformada esta compuesta de la sección real de hormigón mas n veces el área de acero. En la figura 3.5 se representa gráficamente el concepto anterior en una sección de hormigón armado compuesto de seis barras de refuerzo colocadas en dos capas. Si el refuerzo se elimina y este se reemplaza por una sección imaginaria de hormigón el área 129 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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______________________________________________________________________ adicional será nAs, como lo muestra la figura 3.5.b. Alternativamente si el área que ocupan las barras se sustituye por hormigón hay que agregar al área total el valor de (n-1)As para obtener la misma sección transformada. P = f c ( Ac

+ nA s ) = f c ( A g − A s + nA s ) = f c [ A g + (n − 1) A s ]

(3.3)

Si se conocen las dimensiones de la sección transversal de la estructura y el nivel de carga aplicado, se pueden encontrar las tensiones tanto en el hormigón como en el acero utilizando las ecuaciones 3.1, 3.2 y 3.3. Las anteriores relaciones son validas siempre y cuando los materiales estén en el dominio del rango elástico. Por razones de seguridad y servicio las tensiones en las estructuras reales bajo condiciones de carga típicas se mantienen en este campo. Por lo que las anteriores ecuaciones son utilizadas para estudiar el comportamiento del material bajo condiciones normales de servicio.

Sección Real

At = Ac + n As

At = Ag + ( n-1) As

Figura 3.5 Sección transformada de hormigón armado

Ejemplo 3.1 Una columna de hormigón armado de dimensiones b = 400 mm y h = 500 mm esta reforzada con seis barras de acero # 9 como se indica en la figura. Si los materiales de la columna son los indicados en la figura 3.4 determinar el nivel de carga axial “ P “ que produce una tensión en el hormigón de 8.5 MPa.

3 barras # 9

3#9 h = 500 mm

3 barras # 9

b = 400 mm Figura 3.6 Sección de columna para el ejemplo 3.1 130 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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______________________________________________________________________

Solución: Ag = 400 x 500 = 200000 mm2 El área de una barra # 9 es = 642 mm

2

2

Por lo tanto As = 6 x 642 = 3852 mm 0.5

Ec = 4790 x 28

= 25346 MPa y Es = 204000 MPa

De donde n = 204000 / 25346 = 8.05 ˜ 8 ( En general esta relación se redondea el entero mas cercano ya que no se justifica mayor precisión dadas las variaciones propias de los valores de los módulos). P = 8.5 x [ 200000 + (8 –1) x 6 x 642]=1929194 N = 1929 kN La carga axial que produce una tensión en el hormigón de 8.5 MPa es de 1929 kN. Para determinar la carga que resiste independientemente el hormigón y el acero se procede así: Pc = 8.5 x ( 200000 – 6 x 642)= 1667258 N = 1667 kN Ps = 8 x 8.5 x 6 x 642 = 261936 N = 262 kN En otras palabras el hormigón resiste el 86% de la carga axial y el acero el 14%. b) Análisis en rango inelástico. Cuando las cargas externas producen tensiones en el hormigón que se traducen en deformaciones mayores que 0.0005 se concluye que el material esta en zona inelástica y las relaciones obtenidas en el numeral anterior no son adecuadas para analizar su comportamiento estructural. En estos casos se debe utilizar la información experimental de la curva tensión deformación de cada material en forma similar a la ilustrada en la figura 3.4 como se podrá ver en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.2 Utilizando la columna del ejemplo 3.1 determinar la magnitud de la carga axial que produce una deformación de 0.001. Solución: Analizando el grafico 3.4 se puede ver como a esta deformación todavía el acero esta en rango elástico por lo que se tiene: f s = 204000 x 0.001 = 204 MPa Por el contrario el hormigón esta en rango inelástico de tal forma que las tensiones no pueden calcularse directamente con la expresión f c = Ec ec sino que debe utilizarse la grafica 3.4 o la ecuación del modelo matemático seleccionada para este hormigón. Lo anterior permite resolver el problema tanto para carga lenta ( situación real ) como rápida ( ensayos de laboratorio ).



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______________________________________________________________________ Carga rápida.

Si la carga se aplica en un periodo corto de tiempo ( similar a los ensayos de laboratorio entre 3 y 5 minutos) la curva b de la figura 3.4 es la que se debe utilizar. De ella puede leerse una tensión f c = 22 MPa para la ec=0.001. En este caso se tiene: P = 22 x ( 200000 - 6 x 642 ) + 204 ( 6 x 642 ) = 4315256 + 785808 = 5101064 N La carga axial que resiste la columna es de P = 5101 kN. De esta el 15% lo resiste el acero y el 85% el hormigón. Estos porcentajes son prácticamente similares a los obtenidos en el ejemplo 3.1 para rango elástico. Carga lenta.

En este caso la curva c de la figura 3.4 representa el comportamiento del hormigón. Para una deformación de 0.001 se lee un f c = 18 MPa, por tanto: P = 18 x ( 200000 – 6 x 642) + 204 x 6 x 642 = 3530664 + 785808 = 4316472 N La columna resiste una carga axial de P = 4316 kN y en este caso el acero aporta una capacidad resistente del 18% mientras el hormigón esta en el 82%. Comparando las tensiones en el acero para ambas velocidades de carga se nota como para carga lenta este resiste mas que para carga rápida. Los resultados obtenidos tanto para carga lenta como rápida reflejan algunas conclusiones importantes en el comportamiento estructural de la columna. Por ejemplo debido a la fluencia del hormigón una carga aplicada lentamente produce un acortamiento mayor que una carga rápida. Además cuanto mas alta es la relación fc / fć o mas lentamente se aplique la carga o mas tiempo se mantenga, menor es la proporción de carga resistida por el hormigón y mayor la del acero. c) Análisis por resistencia. Realmente desde el punto de vista de la seguridad estructural esta es la etapa decisiva del diseño. En esta se obtiene la carga máxima que la estructura o elemento puede soportar antes de la falla. Para determinar esta capacidad de carga se requiere el conocimiento previo de las relaciones entre tensiones y deformaciones deducidas experimentalmente para ambos materiales. De los ejemplos 3.1 y 3.2 se deduce que: 1) en el rango de grandes tensiones y deformaciones, que preceden la resistencia ultima y la posterior falla, no se deben utilizar relaciones elásticas, 2) El comportamiento estructural difiere de acuerdo a si la carga se aplica lenta o rápidamente mostrando la lenta mayor resistencia. En las edificaciones muchos tipos de carga se mantienen durante un periodo prolongado y otras se aplican lentamente como en el caso del peso propio, las instalaciones, los acabados, las cargas por uso y ocupación. Por esta razón se debe utilizar la curva c de la figura 3.4 en la determinación de la resistencia del hormigón. El acero por el contrario alcanza su resistencia ultima a una deformación relativamente alta respecto al hormigón, es = 0.08 ( es decir 40 veces la deformación para resistencia máxima del hormigón, ec = 0.002).



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______________________________________________________________________ La falla del hormigón a compresión se presenta a deformaciones entre el 0.002 y 0.003 como se aprecia en la figura 3.4 considerando que a mayor f´ c menor es la deformación en la falla. Al considerar que las deformaciones de la estructura a compresión son las mismas para el hormigón y el acero, se puede concluir que la carga para la cual el acero inicia la fluencia se puede obtener de la figura 3.4. Si se desprecia la pequeña curva de transición entre la zona elástica del acero y su etapa de fluencia, curva a de la figura 3.4 se puede determinar la deformación para la tensión de fluencia con la ecuación 3.6. Si el acero es de f y = 420 MPa se obtiene una deformación de ey = 0.00206. ε y

=

f y

(3.4)

E s

De la curva c, fig. 3.4 se obtiene para esta deformación una tensión en el hormigón de f c = 23.5 MPa. En definitiva la carga axial para la cual el acero comienza a fluir y el hormigón alcanza su máxima resistencia es: Py = 23.5 x ( 200000 – 6 x 642 ) + 420 x 6 x 642 = 6227318 N = 6227 kN A esta carga el hormigón esta próximo a la falla la cual se logra cuando la resistencia a compresión f c = 0.85 ( 28 ) = 23.8 MPa. En este estado el acero se deforma a tensión constante hasta que el hormigón se agota totalmente y se produce la falla estructural. La carga axial así lograda se conoce como la capacidad nominal a carga axial del hormigón armado, P n y se da en al ecuación 3.7. ´

P n = 0.85 f c Ac + A s f y

(3.5)

La precisión de la ecuación 3.7 ha sido comprobada en pruebas de laboratorio usando columnas cortas cargadas concentricamente con resultados satisfactorios. Resumidamente se puede decir que en el rango de bajas tensiones el acero soporta una fracción pequeña de la carga axial respecto al hormigón. A medida que se aumentan las cargas y la estructura se acerca a su capacidad resistente se presenta una redistribución de tensiones que se traduce en una mayor participación del acero en la resistencia estructural. En la carga ultima la resistencia estructural es la contribución del acero a su tensión de fluencia mas la del hormigón tensionado al 85% de su resistencia a compresión.

Ejemplo 3.3 Determinar para la columna del ejemplo 3.1 la capacidad máxima a carga axial y la contribución del acero y del hormigón a esta resistencia. Comparar los resultados numéricos con los obtenidos en los ejemplos 3.1 y 3.2. Solución: Los materiales tienen las siguientes resistencias: Hormigón de fć = 28 MPa Acero de f y = 420 MPa 133 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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______________________________________________________________________

Pn = 0.85 x 28 x ( 200000 – 6 x 642) + ( 6 x 642 ) x 420 = 4668322 + 1617840 Pn = 6286162 N = 6286 kN La columna tiene una resistencia a carga axial de Pn = 6286 kN de los cuales el 75% es la participación del hormigón y el 25 % del acero. En un cuadro comparativo la evolución de la capacidad de carga de la columna se puede fácilmente resumir así:

Zona Elástica Inelástica- Carga rápida Inelástica – Carga lenta Resistencia

Capacidad total (kN) 1929 5101 4316 6286

Aporte hormigón (kN) (%) 1667 ( 86 ) 4315 ( 85 ) 3530 ( 82 ) 4668 ( 75 )

Aporte Acero (kN) (%) 262 ( 14 ) 785 ( 15 ) 785 ( 15 ) 1618 ( 25 )

3.3.2 Tracción Ya que la resistencia a tracción del hormigón es solo una pequeña fracción de la compresión se concluye que el hormigón armado no es un material adecuado para usar en estos casos ya que el hormigón contribuirá muy poco a la resistencia estructural de la sección o elemento. Sin embargo en la practica se presentan algunos casos en donde el hormigón queda sometido a tracción como por ejemplo en vigas de amarre de estructuras en arco en donde el acero de refuerzo perimetralmente dispuesto esta rodeado por hormigón en forma similar a las columnas de edificios. Cuando la fuerza de tracción es pequeña de tal forma que las tensiones resultantes no superan la resistencia a tracción del hormigón ( f t , f ct , f r ) tanto el acero como el hormigón se comportan elásticamente. En este caso las ecuaciones utilizadas para determinar la carga axial de compresión, P, se aplican en forma similar a la tracción axial en especial la ecuación 3.2. P = f ct ( Ac

+ nA s )

(3.6)

En donde fct es la resistencia a la tracción del hormigón determinada por el ensayo de tracción por compresión NTC-722. Cuando se incrementa la carga el hormigón llega rápidamente a su resistencia a tracción, la cual se logra para unas deformaciones del orden de una décima parte de las de compresión. En este estado el hormigón esta fisurado y deja de resistir cargas, por lo que el acero debe resistir toda la carga axial. En este caso la ecuación 3.7 da la capacidad de tracción axial del hormigón armado. P = A s . f s

(3.7)

Para cargas cercanas a la que produce la fluencia del acero de refuerzo la estructura sufre grandes deformaciones manteniendo la misma capacidad de carga, pero estas



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______________________________________________________________________ altas deformaciones lo hacen inutilizable desde el punto de vista estructural. En este caso la resistencia máxima a tracción esta dada por la ecuación 3.8. P n = A s . f y

(3.8)

Para garantizar una seguridad apropiada en el diseño estructural, la máxima carga axial permitida en un elemento de hormigón armado sometido a tracción debe ser el 50% de la determinada con la ecuación 3.8. Ya que el hormigón se fisura para cargas axiales considerablemente menores que este valor, en la etapa de servicio este no contribuirá a la capacidad de carga axial. Sin embargo su presencia permite proteger el acero de la corrosión debido al ataque de sales y ácidos, el fuego y los agentes atmosféricos. Cuando se utiliza el hormigón armado en la construcción de tanques circulares de almacenamiento de agua, es importante garantizar que la estructura no presente fisuras a tracción. Para ello se recomienda utilizar la ecuación 3.6 determinando experimentalmente el valor de fct o asumiendo un valor estadísticamente adecuado para el diseño.

3.4 SECCIONES SOMETIDAS A FLEXION 3.4.1 Generalidades El estudio de la flexión en el hormigón armado permite considerar mas elementos teóricos y experimentales que los presentados en la carga axial. La estática y la resistencia de materiales son la herramientas básicas para trabajar estos temas cuyo objetivo final es el diseño estructural a flexión del hormigón armado. Los elementos típicos que se estudian en este caso son las vigas y las losas de los edificios. Estos están controlados por el comportamiento a flexión y aunque también están sometidos a otras tensiones como la cortante y la torsión, en un alto porcentaje es la flexión la que ejerce la mayor influencia en el diseño. La filosofía es que en el elemento de hormigón armado se agote primero la capacidad a flexión que a cortante o torsión para evitar fallas o colapsos súbitos y catastróficos.

3.4.2 La flexión desde el punto de vista de la resistencia de materiales El elemento típico estructural sometido a flexión se conoce como viga y en este las tensiones producidas por las cargas externas son equilibradas por momentos y cortantes internos. La figura 3.7 permite visualizar una viga sometida a la acción de su propio peso,W, y a una carga adicional concentrada de magnitud P. Si la carga axial es nula ( P = 0 ) el elemento se conoce como VIGA. Si la carga axial es diferente de cero y somete a compresión el elemento este se conoce como VIGACOLUMNA. Si la carga axial es de tracción el elemento es un TIRANTE. Las cargas externas ( q y p ) producen una distribución de momentos flectores como lo indica la figura 3.7 Estos momentos se determinan directamente de las leyes de



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______________________________________________________________________ equilibrio dadas por la estática. Además estos son independientes de la composición y las dimensiones de la sección. q

P=0

M V

C j jd

T

Figura 3.7 Cargas y tensiones internas en una viga

7

En cualquier sección de la viga existen tensiones internas que pueden dividirse en tensiones normales ( tracción y compresión) y tensiones tangenciales ( cortante). La tensiones normales se deben a los momentos internos que se producen por efecto de las cargas y las resultantes a tracción y a compresión deben estar en equilibrio. Las tensiones cortantes se deben al deslizamiento horizontal que se produce entre capas imaginarias de hormigón cuando la viga deflecta por acción de las cargas. 136 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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______________________________________________________________________ El estudio de la flexión, desde el punto de vista de la resistencia de materiales, se inicia con la postulación de las hipótesis básicas de comportamiento. Estas se pueden resumir en los siguientes apartes: § §

§

§ § §

Las secciones planas antes de la aplicación de las cargas continúan planas bajo la acción de estas. Las tensiones normales ( f ) que genera la flexión en cualquier punto de la viga dependen de la deformación en ese punto según el diagrama tensión deformación del material. La figura 3.7 ilustra esta hipótesis. La distribución de las tensiones cortantes ( v ) en una sección de viga dependen de la forma de la sección y del diagrama tensión deformación del material. Ver la figura 3.8. Debido a la acción simultanea de f y v en una viga se producen tensiones inclinadas que definen los campos de tensiones principales en la estructura. Las tensiones principales en el eje neutro forman un ángulo de 45° con la horizontal y su magnitud es igual al valor de la cortante en ese punto. Cuando las tensiones por flexión, f, son menores que el limite de proporcionalidad, fp, la viga se comporta elásticamente.

Una explicación mas detallada de las anteriores hipótesis permite aclarar los fundamentos matemáticos de la teoría general a flexión en los materiales. Para la primera hipótesis se tiene en resumen que las deformaciones por encima y por debajo del eje neutro son proporcionales a la distancia a este eje. Esta linealidad del perfil de deformaciones facilita los cálculos numéricos y para la mayoría de las aplicaciones es valida durante toda la fase de carga.

Tensiones: f

e < ep

f < f p

e1

f 2

f 1

f p - e p

f 1

e1 ep -f p

e2

Deformaciones : e

e > ep

f > f p

e p

Figura 3.8 Distribución de tensiones y deformaciones en vigas homogéneas

f p

7



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______________________________________________________________________ En la segunda hipótesis se puede utilizar la figura 3.8. En esta se presenta el grafico tensión deformación de un material elasto plástico ( caso típico del acero) tanto en tracción como en compresión. Se puede notar que si la deformación máxima, en el borde mas comprimido o traccionado de la sección, no supera la deformación máxima elástica del material, e p , se concluye que las tensiones y deformaciones son realmente proporcionales. Cuando las deformaciones son mayores que e p se debe utilizar el diagrama tensión deformación del material. Para la tercera hipótesis la figura 3.9 muestra como la forma y magnitud de las tensiones cortantes dependen de la forma de la sección transversal. Las tensiones cortantes son máximas en el eje neutro y nulas en los bordes de la sección.

t prom. = ( V / A)

H

b t max = 1.5 ( V / A)

t max = 1.33 ( V / A)

Y t zy

t yz

Z

Figura 3.9 distribución de tensiones cortantes en vigas

7

La magnitud de las tensiones principales, t , esta dada por la expresión 3.9 la cual es tomada directamente de la resistencia de materiales y con la única diferencia de cambio de nomenclatura. En este caso las tensiones normales se denominan con f y las cortantes como v.

 f  f  2 2  t =  ±   + v   2  2  

(3.9)

El ángulo que hacen las tensiones principales con la horizontal es a y se determina con la expresión: tan 2 a = (2v)/f.



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______________________________________________________________________ De la sexta hipótesis se concluye que : a) El eje neutro pasa por el centro de gravedad de la sección transversal y b) la magnitud de las tensiones normales se puede expresar con la ecuación 3.10 en donde las tensiones por flexión ( f ) dependen del momento interno (M), el momento de inercia de la sección ( I ) y de la distancia del punto considerado al eje neutro (y). f

=

M . y I

=

M

(3.10)

S

La máxima tensión normal por flexión se presenta en cada borde extremo de la sección, es decir cuando y=h/2. Si la relación S entre la inercia y la distancia al eje neutro de maximiza se obtiene la mejor sección resistente a flexión. La relación S se conoce como el modulo de la sección transversal y es una medida de la resistencia relativa a la flexión de un elemento estructural. En la viga de la figura 3.7 el momento producido por la carga externa en cualquier punto de la viga (Me) se equilibra con el momento interno (Mi) y una fuerza cortante Vi. El momento interno es el resultado de la acción simultanea de una fuerza interna de compresión (C) y una interna de tracción (T) separadas una distancia Jd denominada brazo de palanca. Como las fuerzas axiales son nulas por equilibrio horizontal se tiene:

∑ F = 0 ⇒ C − T = 0 ∴ C = T x

Si se toman momentos alrededor de un eje que pasa por el punto de aplicación de la resultante a compresión (C) el momento interno es: M int .

= T ∗ Jd

De la misma forma al tomar momentos respecto a un eje que pasa por el punto de aplicación de la resultante a tracción (T) el momento interno es: M int .

= C ∗ Jd

Las ecuaciones anteriores son obtenidas del equilibrio estático y se pueden utilizar en el estudio de la flexión en vigas de madera, acero, aluminio u hormigón armado. De la teoría de elasticidad se obtiene que la distribución de tensiones producidas por la flexión en una viga homogénea y de sección rectangular es similar a la indicada en la figura 3.10. Se puede notar que esta distribución representa un volumen que se conoce como el bloque de tensiones tanto a tracción como a compresión. De lo anterior se concluye que C : Volumen de tensiones a compresión C = T =

h

2

×

f c max

2

×b



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______________________________________________________________________

σ

=

M × y

M

C

s c,max.

T s t,max. Figura 3.10 Tensiones en vigas elásticas y bloque de tensiones

Como C y T actúan en el centroide de cada uno de los bloques de tensiones la distancia Jd se puede determinar como: Jd =

h

3

h

+ = 3

2.h 3

Reemplazando en la ecuación del momento interno se tiene: Mi =

f c max bh3 . h 12

=

f c max

6

.bh 2

(3.11)

2 Las tensiones cortantes internas (v) en cualquier punto de la viga están dadas por la expresión 3.12 en donde V: es la fuerza cortante interna, Q: primer momento estático del área, b: ancho de la sección y I: momento de inercia. v

=

V .Q

(3.12)

b I .

El valor máximo para estas tensiones cortantes se presenta en los bordes de la sección y en el caso de vigas rectangulares es: vmax

=

3 V 2 b.h

3.4.3 Comportamiento a flexión en secciones simplemente reforzadas Como se ha mencionado previamente, debido a la baja resistencia del hormigón a tracción, una viga fabricada solo con este material será un elemento poco eficiente 140 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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______________________________________________________________________ en flexión. La falla se presentara rápidamente en la zona traccionada para cargas muy inferiores a las necesarias para alcanzar la falla a compresión del material. Es en definitiva esta la razón fundamental por la que se colocan barras de acero en las zonas mas traccionadas de las vigas e igualmente, en lo posible, lo mas alejadas del eje neutro garantizando al menos un recubrimiento mínimo de hormigón que proteja el refuerzo del ataque externo y el fuego. En una viga de hormigón armado la tracción producida por los momentos flectores es resistida principalmente por el refuerzo mientras que el hormigón solo es capaz de resistir las fuerzas a compresión en la sección. Esta acción conjunta de los dos materiales se garantiza si se previene el deslizamiento relativo del acero en el hormigón la cual de logra con el uso de barras corrugadas y anclajes de punta en el refuerzo. El siguiente análisis del comportamiento a flexión de las vigas de hormigón armado se basara en la figura 3.11 donde se muestra una viga de sección rectangular constante sometida a dos cargas concentradas en los tercios medios de la luz. Sin embargo este mismo tipo de análisis se puede realizar para otros tipos de sección, condiciones de apoyo y cargas. Cuando se incrementa la carga externa desde cero hasta alcanzar la falla del modelo estructural se pueden visualizar claramente varios estados de comportamiento que reflejan algunas particularidades especiales. §

Por ejemplo para cargas externas bajas, es decir aquellas que produzcan tensiones internas de tracción menores que el modulo de rotura del hormigón ( ft < fr ) se concluye que la sección total de la viga es efectiva para resistir la tracción y la compresión producida por las cargas externas. El refuerzo se deforma la misma cantidad que el hormigón y debido a la baja magnitud de las tensiones internas estas son proporcionales a las deformaciones. La figura 3.9.a ilustra la distribución de tensiones y deformaciones en este estado de carga. Este estado se denominara el estado elástico no fisurado.

§

A medida que se aumenta la carga se alcanza rápidamente la resistencia a la tracción del hormigón ( ft = fr ) y comienza un proceso de fisuracion capilar en las zonas mas traccionadas del elemento. Al inicio las fisura son imperceptibles a la vista y se propagan de los bordes a tracción hacia el eje neutro, mientras este se va desplazando a la zona comprimida por la perdida del hormigón a tracción. La forma general de estas fisuras se muestra en la figura 3.11.b lo mismo que el perfil de tensiones y deformaciones. Este segundo estado se conoce como el estado elástico fisurado. En vigas diseñadas correctamente el ancho de estas fisuras es tan pequeño que estas ni son perjudiciales para el deterioro del refuerzo ni afectan la estética de la estructura. Su presencia, sin embargo, afecta considerablemente el comportamiento estructural ya que en una sección fisurada el hormigón no transmite ninguna tensión al acero y es este el que debe absorber toda la tracción solicitada. Este estado se prolonga hasta que el hormigón alcance aproximadamente una tensión de compresión del 50% de la resistencia ultima del material ( fc = 0.50fć ) y en este estado aun se puede considerar que hay proporcionalidad entre las tensiones y deformaciones.



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______________________________________________________________________ P

P ec es

f c

f s et

f t

a) Comportamiento antes de la fisuración a tracción del hormigón P+ ?P

P+ ?P ec

f c

es f s < f y b) Comportamiento después de fisurar el hormigón y antes de la fluencia del acero

P+ ?P

P+ ?P

ec

f c

es f s c) Comportamiento antes de alcanzar la resistencia a flexion Figura 3.11 Comportamiento a flexión de una viga de hormigón armado §

7

Cuando la carga externa se incrementa aun mas, las tensiones y deformaciones aumentan y dejan de ser proporcionales. La correspondiente relación no lineal entre tensiones y deformaciones esta dada por el diagrama fc – ec del hormigón en la zona comprimida. Es por ello que la distribución de tensiones en esta zona es la misma que para secciones homogéneas siguiendo la forma del diagrama s – e del material. La figura 3.11.c muestra la viga y su distribución de tensiones y deformaciones próximas a la falla. Al llegar a la capacidad máxima de la estructura se puede presentar una de las dos siguientes formas típicas de falla : a) Falla por fluencia del acero a tracción y b) falla por rotura del hormigón a compresión. La falla por fluencia del acero se presenta en vigas con cantidades de refuerzo relativamente bajas de tal forma que para un cierto valor de la carga el acero alcanza primero la tensión de fluencia que el hormigón su resistencia máxima. En este estado el acero se alarga considerablemente aumentando 142

ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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______________________________________________________________________ tanto el ancho de las fisuras como las deflexiones. Mientras tanto el hormigón en la zona comprimida alcanza secundariamente su resistencia a compresión para una carga ligeramente mayor a la que produce la fluencia del acero. En estas vigas, moderadamente reforzadas, la capacidad de carga esta determinada por la fluencia del acero de refuerzo. En conclusión, este modo de falla es gradual y esta precedido por signos visibles de agotamiento de la estructura indicado por el crecimiento de la fisuracion y las deflexiones. La falla por agotamiento del hormigón a compresión se presenta cuando se utilizan o muy bajas o muy altas cantidades de acero de refuerzo por lo que la resistencia del hormigón se alcanza primero antes del acero lograr su tensión de fluencia. La falla del hormigón se presenta cuando las deformaciones son de tal magnitud que producen la desintegración del material. Experimentalmente se ha logrado obtener un rango de deformaciones para lo cual se presenta este fenómeno y sus valores varían entre 0.003 y 0.004. La rotura del hormigón es súbita, de naturaleza explosiva y lo que es mas importante sin ningún signo visible de falla. Es por esta razón que se recomienda diseñar a flexión el hormigón armado asegurando siempre la falla por fluencia del acero. 3.4.3.1 Comportamiento en el estado elástico no fisurado Cuando las tensiones de tracción en el hormigón ( f t ) producidas por las cargas externas no superan el modulo de rotura del material ( f r ) en la sección o elemento estructural no se presenta ningún tipo de fisuras y la distribución de tensiones y deformaciones es la indicada en la figura 3.9.a. Como se puede apreciar en la grafica estas distribuciones son idénticas a las presentadas en el numeral 3.4.2 para secciones homogéneas. La única diferencia es la presencia del acero en la sección problema similar al presentado para la carga axial en el numeral 3.3 en el cual para tensiones en el rango elástico y cualquier valor de la deformación la tensión en el acero es n veces la tensión en el hormigón ( ecuación 3.1). Igualmente se estableció, en ese mismo numeral, que para facilitar los cálculos la sección compuesta de hormigón y acero se podía reemplazar por una sección ficticia homogénea solo de hormigón. En esta sección transformada, figura 3.12, el área de acero (As) es reemplazada por el valor (nAs) o [(n-1)As] según se considere área neta o bruta de hormigón respectivamente.

Sección inicial

At = Ac + n As

At = Ag + ( n-1) As

Figura 3.12 Concepto de sección transformada en el hormigón armado



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______________________________________________________________________ Una vez se ha obtenido la sección transformada, se aplica el método usado para el análisis del comportamiento en vigas elásticas y homogéneas calculando primero las propiedades geométricas de la sección, posición del eje neutro, momento de inercia y finalmente las tensiones internas producidas por las cargas con la ecuación 3.10.

Ejemplo 3.3 Determinar las tensiones internas producidas en la sección de viga indicada si las cargas externas producen un momento flector Mext. = 62 kNxm. Utilizar los siguientes datos adicionales: b = 250 mm, h = 650 mm, d = 600 mm, As = 3 # 8, fć = 28 MPa, fy = 420 MPa. Usar las curvas tensión deformación indicadas en la figura 3.4.

h = 650mm

d= 600 mm

3 #8

b = 250 mm Figura 3.13 Sección de viga para el ejemplo 3.3

Solución: La barra # 8 tiene un diámetro: d b = 25.4 mm y área: Asb= 508 mm2 El área de refuerzo en la sección es de As = 3 x 508 = 1524 mm

2

0.5

n = 204000 / ( 4790 x 28 ) = 8.05 Se asume por tanto n = 8 El área transformada es : At = ( 8 – 1 ) x 1524 = 10668 mm

2

Y

2

(n-1)As/2= 5334 mm

2

(n-1)As/2= 5334 mm

yc X Figura 3.14 Sección transformada del ejemplo 3.3 144 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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___________________ _____________________________ _____________________ _____________________ ____________________ ____________________ __________ Si se considera que el espesor espesor del área equivalente equivalente es igual al diámetro de la barra se tiene el grafico de la figura 3.14. La sección esta transformada en homogénea ( solo de hormigón) y esta en rango elástico. Se puede utilizar la teoría básica de materiales para determinar las prop propie ieda dade dess geo geomé métr tric icas as:: Posición del eje neutro: Se definen inicialmente los ejes de referencia para los cálculos: El eje X pasa por el borde inferior de la sección ( borde mas traccionado) y el eje Y pasa por el eje neutro. Sea Yc la distancia desde el borde mas traccionado al eje neutro de la sección. Tomando momentos estáticos de área: Yc

+ x x x x x = (250 650) 325 2 (210 25.4) 50 = 53345900 = 308.mm (250 x 650) + 2 x(210 x 25.4) 173168

El eje neutro pasa a 308 mm del borde inferior de la sección. Aplicando el teorema de ejes paralelos se obtiene el momento de inercia: 250 x650 3 + (250 x650 ) x (325 − 308)2 = 5768 ×10 6 mm 4 Para el área mayor: I 1 = 12 210 x25.43 + (210 x 25.4) x (308 − 50)2 = 355 ×10 6 mm 4 Para las aletas : I 2 = I 3 = 12 6

4

4

El momento de inercia total es : I = I 1 + I2 + I3 = 6479 x 10 mm = 0.0065 m

Las tensiones tanto en el hormigón como en el acero se obtienen mediante la ecuación 3.5. 62 × 106 x308 = 2.9 MPa A tracción : f t = 6479 × 106 62 × 106 x(650 − 308) = 3.3 MPa A compresión : f c = 6479 ×10 6 El modulo de rotura del hormigón de esta viga es de f r r = 3.3 MPa el cual es superior al valor obtenido de 2.9 MPa . Por lo tanto para el momento aplicado la viga no esta fisurada en tracción y los cálculos realizados para zona elástica no fisurada y utilizando la sección transformada son totalmente adecuados. El hormigón a compresión esta ligeramente tensionado indicando que solo se ha alcanzado un 12% de la capacidad máxima a compresión. Las tensiones en el acero se determinan usando las expresiones 3.3 y 3.12 así:



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___________________ _____________________________ _____________________ _____________________ ____________________ ____________________ __________ 8 x 62 × 106 x (308 − 50 ) = = 20 MPa f s = n. I 6479 × 106 M . y

El acero esta tensionado a un 4.7% de la capacidad en fluencia del material. En resumen para esta carga, la viga del ejemplo muestra un rango muy bajo de tensiones en los dos materiales. En la practica este estado concuerda con el que se pres presen enta ta al actu actuar ar solo solo el peso peso prop propio io de los los ele eleme ment ntos os estr estruc uctu tura rale les. s. 3.4.3.2 Comportamiento en el estado elástico fisurado. Cuando las tensiones de tracción producidas por las cargas externas superan el modulo de rotura del hormigón ( f r r ) se inicia un proceso de fisuracion tal como se indico en al inicio de este numeral y en la figura 3.9.b. Si al mismo tiempo las tensiones a compresión en el hormigón no superan el 50% de fć y las tensiones a tracción en el acero están por debajo de la tensión de fluencia se puede concluir que el comportamiento de la sección es elástico y las tensiones son proporcionales a las deformaciones. Esta situación se presenta en la practica cuando las estructuras se ven sometidas a las cargas permanentes y por uso y ocupación ( cargas de servicio) y puede en este caso suponerse que las fisuras a tracción se han propagado hasta el eje neutro manteniendo un ancho lo suficientemente pequeño para evitar perdida de uso. En este caso las secciones continúan planas y el perfil de deformaciones es el indicado en la figura 3.11.c. Para la determinación de las tensiones y deformaciones de la sección se puede utilizar el concepto de la sección transformada. Para ello puede asumirse que todo el hormigón localizado en la zona traccionada esta fisurado y por lo tanto no contribuye a dar resistencia a la sección ( esto es una aproximación conservadora ya que en realidad aun para cargas cercanas a la máxima elástica parte del hormigón contribuye a la resistencia estructural). En la figura 3.15 se indica gráficamente los conceptos enunciados y puede verse como la sección transformada esta compuesta por por tod todoo el el hor hormi migó gónn a comp compre resi sión ón y n vece vecess el el áre áreaa de de ace acero ro en la zona zona a tra tracc cció ión. n.

kd/3

fc

kd h

C

d

jd n As As

b Sección real

Sección transformada

T

tensiones

Figura 3.15 Concepto de la sección transformada en zona elástica fisurada



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___________________ _____________________________ _____________________ _____________________ ____________________ ____________________ __________ La posición en este caso del eje neutro se mide con respecto al borde comprimido y se define como K veces la altura efectiva de la sección ( es decir Kd ). El hormigón que recubre el refuerzo ya es ineficiente y no es considerado en los cálculos. Tomando momentos de área respecto al eje neutro se tiene: Momento de área a compresión = Momento de área a tracción [ ( b x Kd )x Kd / 2 ] = [ n As x ( d – Kd ) ] Resolviendo esta ecuación para Kd se obtiene la posición del eje neutro: b

2

..( Kd )2 + n. As.( Kd ) − n. As.d = 0

Despejando Kd de la ecuación anterior: b  − n. As ± (n. As )2 + 4.   .(n. As.d )  2  Kd =  b  2.   2 

(3.13)

Para el siguiente análisis se puede utilizar la distribución de tensiones de la figura 3.15 en la que en el hormigón las tensiones están distribuidas linealmente desde una tensión fc < 0.50 fć en el borde mas comprimido hasta cero en el eje neutro con una fuerza resultante a compresión denominada C. En el acero toda el área esta sometida a una tensión uniforme fs con una fuerza de tracción denominada T. Estas fuerzas se determinan por el concepto de volúmenes de presiones así: C =

f c Kd .

2

.b

(3.14)

T = A s . f s

(3.15)

Para que estas dos fuerzas sean numéricamente iguales y la sección este en equilibrio estático se debe cumplir la ecuación 3.21. El momento que produce el par de fuerzas C y T debe estar en equilibrio con el momento externo. Si se toman momentos alrededor del punto de aplicación de C se obtiene: M = T Jd . = A s . f s Jd .

(3.16)

Donde Jd es el brazo de palanca entre las fuerzas internas resultantes C y T de la sección. La tensión en el acero a tracción se obtiene de 3.24



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______________________________________________________________________ f s

=

M

(3.17)

A s. Jd

Análogamente si se toman momentos alrededor del punto de aplicación de la resultante a tracción T se obtiene: M = C Jd . =

f c

2

.b Kd . =

f c

2

K . J . .b.d 2

(3.18)

En donde la tensión en el hormigón es: f c

=

2 M . K J . .b.d 2

(3.19)

Las ecuaciones 3.17 y 3.19 permiten determinar las tensiones en el hormigón y en el acero en el caso de vigas en rango elástico fisurado. El uso de programas u hojas de calculo facilitan la solución de estos problemas para una diversidad de casos prácticos. Algunas simplicaciones se pueden lograr si se define el parámetro cuantía del refuerzo como ? = As / (b.d). El valor de K y J se pueden determinar así: K = −n.ρ + J = 1 −

(n. ρ )2 + 2.n.ρ

(3.20)

K

(3.21)

3

Ejemplo 3.4 Utilizando la viga del ejemplo 3.3 determinar las tensiones en el hormigón y en el acero cuando el momento aplicado es de M = 124 kN.m. Solución: Un calculo rápido para determinar si bajo este momento la viga se encuentra en estado fisurado o no fisurado indica que las tensiones a tracción y a compresión se han duplicado lo que demuestra que la sección esta en rango elástico fisurado. Las tensiones tanto en el hormigón como en el acero se obtienen mediante la ecuación 3.3. 124 ×10 6 x308 = 6.0 MPa A tracción : f t = 6479 × 106 124 × 106 × (650 − 308) = 6.5 MPa A compresión : f c = 6479 × 106 El modulo de rotura del hormigón de esta viga es de f r = 3.3 MPa el cual es inferior al valor obtenido de 6.0 MPa que confirma lo enunciado anteriormente. La cuantía del refuerzo a tracción es : ? = ( 3 x 508 ) / ( 250 x 600 ) = 0.0102 valor que se recomienda redondear siempre a la cuarta cifra decimal. 148 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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______________________________________________________________________ Si la relación modular es n = 8 ( del ejemplo 3.3) los valores de K y J son:

(8 × 0.0102 )2 + 2 × 8 × 0.0102 = 0.330 0.330 J = 1 − = 0.890 3

K = −8 × (0.0102 ) +

Esta por tanto definida la posición del eje neutro con Kd = 0.330 x 600 = 198 mm y el brazo de palanca de las resultantes a tracción y a compresión de la sección tiene un valor de Jd = 0.890 x 600 = 534 mm. Las tensiones en el hormigón y en el acero se determinan con las ecuaciones 3.17 y 3.19 para rango elástico fisurado: 124 × 106 N .mm = 152 MPa f s = 1524mm 2 × 534mm 2 × 124 ×10 6 = 9.4 MPa f c = 2 × × × 0.330 0.890 250 600 Los resultados indican que el acero esta en un 36% de su tensión de fluencia ( fy = 420 MPa) y el hormigón en un 34% de su capacidad en compresión ( fc = 28 MPa). Ambos materiales aun están en zona elástica de su diagrama tensión deformación como se puede comprobar en la figura 3.4. Algunas conclusiones importantes se pueden obtener de los resultados obtenidos en los ejemplos 3.3 y 3.4: §

§

§

La distancia desde el borde mas comprimido al eje neutro ha disminuido de 342 mm en la sección no fisurada a 198 mm en la fisurada, lo que explica el desplazamiento de este eje hacia la zona comprimida una vez aumenten las tensiones internas en los materiales. Con un incremento del doble del momento flector las tensiones en el acero y en el hormigón se aumentaron mostrando los siguientes resultados: en el acero las tensiones a tracción pasaron de 19.8 MPa a 152.4 MPa es decir un aumento de aproximadamente 8 veces. En el hormigón fue de 3.3 MPa a 9.4 MPa es decir un aumento de 3 veces. El momento de inercia de la sección fisurada se puede obtener fácilmente con las ecuaciones de la estática y su valor es de 0.0026 m4 el cual comparado con el de la no fisurada que es de 0.0065 m4 indica una disminución del 60% en su magnitud. Este efecto se manifiesta en las deflexiones de la estructura bajo condiciones de servicio.

Estas primeras conclusiones indican como la presencia de fisuras a tracción en los elementos de hormigón armado modifican apreciablemente el comportamiento del material cuando esta sometido a cargas externas.



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______________________________________________________________________ 3.4.3.4 Comportamiento a nivel de resistencia. Caso general utilizando las relaciones experimentales tensión deformación de los materiales. Desde un punto de vista práctico es importante para el ingeniero conocer el campo de tensiones cuando el hormigón armado se somete a cargas que agoten la resistencia estructural. Sin embargo mucho mas importante es poder predecir con una adecuada precisión la resistencia de una estructura. Este análisis se puede realizar en forma similar a los dos precedentes es decir considerando un comportamiento elástico de los materiales y así se realizo por mas de 70 años en los proyectos de ingeniería. Solo después de principios de la década de 1950 se reconoció, en los procedimientos de diseño, que para cargas cercanas a la falla las tensiones no son proporcionales a las deformaciones y la hipótesis de linealidad esta lejos de explicar el comportamiento real de las estructuras. En el numeral 3.3.3 el problema se planteo para cargas axiales, análogamente para flexión en el régimen de altas cargas el calculo se debe basar en la distribución real de tensiones y deformaciones de cada material tal como lo ilustra la figura 3.11. Los métodos actuales se basan en el comportamiento real de los materiales y en estudios experimentales que permiten correlacionar los valores estadísticos obtenidos en las pruebas con los deducidos de los análisis teóricos. Con el fin de plantear una teoría completamente racional de la resistencia a flexión del hormigón armado de manera similar a la propuesta en secciones elásticas, en donde la distribución de tensiones es lineal, se debe conocer la distribución real de tensiones del hormigón a compresión en cargas cercanas a la falla del material, figura 3.11.c. Si se analiza por ejemplo la figura 3.4 y en general cualquier curva tensión deformación del material, se puede concluir que la forma de la distribución de tensiones varia y en general depende de factores tales como: la resistencia del hormigón (fć), la velocidad y duración de la carga, la forma y tipo de probetas, las propiedades de los materiales. Esta es una de las razones por las cuales una teoría exacta de diseño todavía no esta propuesta y los métodos siguen basándose en aproximaciones adecuadas del comportamiento bajo carga de las estructuras.

ecu

ßc

C = ( a fć ) b c

c h

d

Z T = As fs es

b Figura 3.16 Distribución de tensiones y deformaciones en la falla por flexión



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______________________________________________________________________ La figura 3.16 representa la distribución de tensiones y deformaciones en una sección de hormigón armado próxima a la falla. En este caso el problema es encontrar cual es el momento máximo que resiste la sección antes de su agotamiento, este valor se denominara momento nominal (Mn). El criterio de falla puede ser, como se dijo anteriormente, o fluencia del acero a tracción o rotura del hormigón a compresión; si en el primer caso se asume que fs = fy y en el segundo e c = 0.003 se puede predecir de una manera exacta y segura la resistencia estructural de la sección. Teniendo en cuenta estos criterios no es necesario realmente conocer la forma exacta de la curva de tensiones del hormigón para determinar la resistencia. Lo que se requiere conocer para una determinada profundidad del eje neutro es : a) la resultante, C, de las fuerzas a compresión en el hormigón y b) el punto de aplicación de C en la altura de la sección. De la figura 3.16 se obtiene lo siguiente: El área de la zona comprimida es ( b x c ) la fuerza total a compresión es C = f prom . (b x c ). Donde el f prom indica la media de las tensiones a compresión. Inmediatamente se comprueba que el f prom depende el fć y entre mas alta es la resistencia del hormigón mayor será f prom . Por lo tanto: f prom

= α × f c´

Despejando el valor de a se obtiene: α

=

f prom

(3.22)

f c´

La fuerza a compresión resultante es : C = α . f c´ .b.c

(3.23)

Para una profundidad conocida del eje neutro, c, la posición de la resultante, C, puede definirse como una fracción ß de la profundidad del eje neutro. Por lo tanto para un determinado hormigón de resistencia fć solo es necesario conocer los valores de a y ß para definir completamente el estado de tensiones en el material. Por muchos años la investigación experimental en Estados Unidos se centro en la determinación de los parámetros a y ß. El trabajo mas reconocido fue realizado por Hognestad y otros ingenieros de la P.C.A. e independientemente por Rüsh en Alemania. Los resultados obtenidos no solo permitieron conocer los valores de a y ß sino también las curvas tensión deformación del hormigón a compresión y su deformación máxima antes de la falla. La tabla 3.1 y la figura 3.17 resumen los resultados presentados por Hognestad sobre este trabajo experimental. Como resultado de estas investigaciones el ACI recomienda utilizar los siguientes valores para a y ß en diseños estructurales:



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DISEÑO A FLEXIÓN


______________________________________________________________________ §

§

El valor de a es igual a 0.72 para hormigones con fć menor o igual a 28 MPa y disminuye en 0.04 por cada 7 MPa por encima de 28 MPa. Para hormigones de fć mayor de 56 MPa se debe usar un a constante de 0.56. El valor de ß es igual a 0.425 para hormigones de fć menor o igual a 28 MPa y disminuye en 0.025 por cada 7 MPa por encima de 28 MPa. Para hormigones de fć mayor de 56 MPa se debe usar un ß constante de 0.325.

Tabla 3.1 Valores experimentales de a , ß y ecu obtenidos por Hognestad

fć ( MPa) 21 28 35 42 49

? 0.795 0.743 0.690 0.653 0.623

ß 0.460 0.450 0.440 0.420 0.410

ecu 0.0035 0.0034 0.0032 0.0031 0.0029

La disminución de a y ß a medida que aumenta la resistencia del hormigón refleja el hecho de que en estos casos el hormigón es mas frágil y su rotura se presenta a menores deformaciones. Con base en esta información las hipótesis presentadas y el uso de la estática se puede determinar la resistencia a la flexión de la sección.

14

28

42

56

70

fć ( MPa)

Figura 3.17 Valores de a y ß obtenidos experimentalmente por Hognestad

7



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______________________________________________________________________ Del equilibrio interno de fuerzas: C = T ∴α . f c´.b.c

= A s . f s = ρ .b.d . f s

El momento interno generado por C y T se determina como: M n

= A s . f s .(d − β .c ) = α . f c´.b.c.(d − β .c )

Los modos de falla dependen de la relación “ c / d t “ cuando se alcanza la resistencia de la sección; “ dt ” es igual a “ d “ para refuerzo en una capa, en otros casos el “ dt ” es la altura efectiva respecto a la capa de refuerzo mas traccionado. §

Modo de falla por fluencia del acero a tracción: En este caso la falla se inicia cuando la deformación en el acero es = 0.005. De la figura 3.16 por semejanza de triángulos: ε s

= 0.003.

(d t − c ) c

≥ 0.005

(3.24)

Despejando de la ecuación 3.24 la relación “ c / d t “ se obtiene que cuando c d t

≤ 0.375 la sección garantiza falla dúctil. De la ecuación de equilibrio de

fuerzas horizontales se tiene: c d t

=

ρ. f y

(3.25)

α . f c´

La relación “ c / dt “ es la distancia al eje neutro respecto a la altura efectiva de la sección cuando se alcanza la resistencia a flexión. El momento nominal, Mn, se obtiene en forma similar: M n

ρ. f   = ρ . f y .b.d 2 .1 − 0.59 ´ y  f c   

(3.26)

La ecuación 3.26 es de amplio uso en el diseño a flexión del hormigón armado por lo que es importante que el ingeniero la recuerde constantemente para revisiones rápidas de la capacidad de elementos estructurales. Si se define la variable w: cuantía mecánica = ( ? fy / fć ), la ecuación 3.26 queda así: M n

= ω . f c´ .b.d 2 .(1 − 0.59.ω )

(3.27)

• Modo de falla por rotura del hormigón a compresión. En este caso el criterio que define la falla es que la relación “ c / dt “ es mayor que 0.375. Se comprueba que en estas circunstancias el acero esta en rango elástico y es < 0.002. 153 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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______________________________________________________________________

f s

=

0.003.(d t − c ) c

× E s

(3.28)

La ecuación de equilibrio se representa así: α . f c´ .b.c

. s . = A s .ε cu E

(d − c ) c

Lo cual da una ecuación cuadrática para resolver la profundidad del eje neutro. Si se realiza un cambio de variable haciendo: A = a fć b B = As ecu Es y D = As ecu Es d Se obtiene la siguiente solución para c: c

=

− B ±

B

2

+ 4 AD

2 A

Conocida la relación “ c / dt “ y la tensión en el acero en el momento de la falla se puede determinar inmediatamente el valor del momento nominal de la sección con la ecuación 3.27 colocando en lugar de fy el valor obtenido para fs. Es importante anotar que la falla a compresión se presenta súbitamente y de manera explosiva y es por esta razón que las normas y códigos de diseño recomiendan mantener un estado limite de deformaciones en el refuerzo a tracción que sea determinante en la medida de la ductilidad del elemento estructural, sea este de hormigón armado o pretensado. La cantidad de refuerzo a tracción debe controlar la deformación y definir el tipo de falla sea esta por fluencia del acero ( falla dúctil ) o por agotamiento del hormigón ( falla frágil). Si eventualmente la falla se manifiesta por la acción simultanea de la fluencia del acero y el agotamiento del hormigón en su fibra extrema a compresión tal modo se denomina “ falla balanceada”. En este caso la deformación limite en el acero, ey, se alcanza en el mismo instante que el hormigón tiene una deformación de ec = 0.003. Este es el caso de aquellas secciones donde se presentan relaciones “ c / dt “ en el rango de 0.375 y 0.600. Esta región se denomina también zona de transición entre la falla a tracción y la falla a compresión. En el diseño es necesario prevenir este estado de comportamiento en flexión por lo que se requiere garantizar una deformación del acero a tracción mayor que el limite ey. Por ejemplo si se usa acero de fy = 420 MPa è ey = ( fy / Es) = ( 420 / 204000) = 0.002 mm / mm. El diseño se debe basar en una deformación, e s suficientemente mayor que 0.002 tal que se garantice comportamiento dúctil. Para lograr este objetivo, la cuantía de refuerzo debe estar en el rango del 50 al 60% de la requerida para el limite balanceado. Este porcentaje de refuerzo 154 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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______________________________________________________________________ permite prevenir también problemas de congestión del acero en la estructura que dificulta las tareas durante la etapa de construcción.

• Condición balanceada. En este caso se presenta simultáneamente la fluencia del acero a tracción fs = fy y la rotura del hormigón a compresión e cu = 0.003.

Del perfil de deformaciones de la sección, figura 3.18 se obtiene: 0.003 c b d As ey Figura 3.18 Perfil de deformaciones en condición balanceada a flexión ε y

(d − cb )

=

0.003 cb

⇒ cb = d t

0.003 (ε y + 0.003)

(3.29)

Si se usa refuerzo de Es = 204000 MPa è cb d t

=

612 ( f y + 612)

(3.30)

En una sección de hormigón armado bien diseñada, la relación ( c / dt ) debe mantenerse por debajo de 0.375. con esto se asegura la falla por fluencia del acero a tracción.

Ejemplo 3.5 Utilizando la viga de los ejemplos 3.3 y 3.4 determinar el comportamiento y modo de falla cuando se alcanza la resistencia a flexión. Solución: Lo primero que se debe revisar es que tipo de comportamiento presenta la viga cuando esta próxima a alcanzar su capacidad en flexión. Esto se logra comparando la relación (c / dt ) con ( c b / dt ). cb d t

=

612 = 0.593 (612 + 420 )

Del ejemplo 3.4 se tiene que ? = 0.0102



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______________________________________________________________________ c d t

=

0.0102 × 420 = 0.212 0.72 × 28

Según este resultado c / d t < 0.593 lo que asegura un modo de falla por fluencia del acero a tracción, inclusive la relación es menor que 0.375. w

M n

=

0.0102 × 420 = 0.153 28

= 0.153 × 28 × 250 × 600 2 × (1 − 0.59 × 0.153) = 351 × 106 N .mm

Los resultados indican que en el umbral de la falla el eje neutro se encuentra a 127 mm del borde comprimido, es decir aproximadamente a “ d / 5 “, y el momento nominal es de Mn = 351 kN.m el cual es 2.8 veces el momento aplicado en el ejemplo 3.4. Otras características importantes de los ejemplos 3.3, 3.4 y 3.5 son: a) Cuando las tensiones a tracción en el hormigón, ft, son menores que el modulo de rotura del material el eje neutro se encuentra muy cercano al centro de gravedad de la sección bruta de hormigón ( yc = 350 mm). b) con el aumento de las cargas el hormigón a tracción se fisura y el eje neutro se desplaza a la zona comprimida localizándose aproximadamente a un tercio de la altura efectiva ( Kd = d / 3 = 200 mm ). c) En las zonas próximas a la falla el eje neutro se localiza en un punto muy cercano al borde mas comprimido de la sección equivalente a la quinta parte de la altura efectiva ( c = d / 5 = 120 mm). Este desplazamiento del eje neutro indican los cambios en el comportamiento de una sección a flexión de hormigón armado durante la fase de carga. El ejemplo 3.5 muestra en forma similar que los momentos máximos no pueden determinarse en forma precisa usando los métodos clásicos de la teoría elástica.

Ejemplo 3.6 Determinar la capacidad resistente a flexión de la sección de viga del ejemplo 3.5 considerando ahora una cantidad de refuerzo a tracción igual a seis barras numero diez ( As = 6 # 10) colocadas en dos capas. Usar d = 550 mm y d t = 600 mm. Solución: La barra # 10 tiene un área de 819 mm2. è ρ

× = 6 819 = 0.0357 (250 × 550 )

Si se asume fluencia del acero a tracción

è

c d t

=

0.0357 × 420 = 0.744 0.72 × 28

Se concluye que ( c / dt ) > (c b / dt ) è la falla se inicia por agotamiento del hormigón a compresión. Ahora se requiere determinar mas exactamente la relación ( c / dt ) usando la verdadera tensión del acero a tracción. A =0.72 x 28 x 250 = 5040 B = 6 x 819 x 0.003 x 204000 = 3007368 156 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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______________________________________________________________________

D = 6 x 819 x 0.003 x 204000 x 550 =1654052400

− 3007368 + 30073682 + 4 × 5040 × 1654052400 = 347.mm c= 2 × 5040 ε t = 0.003 ×

(600 − 347 ) = 0.0022 347

c d t

=

347 = 0.578 600

Se comprueba que el acero mas traccionado esta en fluencia pero no se cumple que su deformación sea mayor o igual a 0.005 è la falla por compresión es importante como lo indica también la relación c / dt la cual es aproximadamente igual a la balanceada. De la ecuación 3.28 è f s

= 0.003 × 204000 ×

(600 − 347 ) = 446. MPa 347

ω

=

0.0357 × 420 = 0.535 28

Este valor es superior a f y =420 MPa por lo tanto el acero de la capa mas traccionada de la sección esta en fluencia en el momento en que el hormigón esta próximo a la rotura. De la ecuación 3.27: M n

. .mm = 0.535 × 28 × 250 × 5502 × (1 − 0.59 × 0.535) = 775 x10 6 N

En este caso la sección fallara súbitamente para un momento flector igual a 775 kN.m sin mostrar signos visibles de falla. Se puede apreciar como un aumento exagerado en la cantidad de refuerzo a flexión a pesar de aumentar la capacidad resistente de la viga la hace mas insegura desde el punto de vista del diseño estructural.

Ejemplo 3.7 Una viga de hormigón armado de sección rectangular ancho b = 250 mm y altura h = 500 mm esta reforzada con acero de fy = 280 MPa. Si el hormigón tiene una resistencia de fć = 21 MPa determinar la capacidad resistente en flexión si el refuerzo a tracción es : a) As = 4 # 9 con d = dt = 450 mm , b) As = 8 # 9 con d = 400 mm y dt = 450 mm, c) Acero correspondiente a la relación “c b / dt “ de la sección con d = 400 mm y dt = 450 mm. Solución: La relación balanceada es :

cb d t

=

612 = 0.686 (612 + 280 ) 2

a) Si el refuerzo es As = 4 # 9 = 4 x 645 = 2580 mm => La cuantía es: ? = 2580 / ( 250 x 450 ) = 0.0229 La profundidad relativa del eje neutro es:



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______________________________________________________________________ c d t

=

0.0229 × 280 = 0.424 0.72 × 21

w

=

0.0229 × 280 = 0.305 21

La relación indica que el acero esta en fluencia pero la falla se localiza en la zona de transición [ 0.375 < ( c / dt ) < 0.686 ] donde hay peligro de una falla por compresión. M n

= 0.305 × 21 × 250 × 4502 × (1 − 0.59 × 0.305 ) = 266 x10 6. N .mm

La sección tiene una capacidad en flexión de Mn = 266 kN.m b) Si el refuerzo es de As = 8 # 9 = 8 x 645 = 5160 mm2 ? = 5160 / ( 250 x 400 ) = 0.0516 Un primer tanteo es asumir f s = f y

è

c d t

=

0.0516 × 280 = 0.956 >> 0.686 por tanto 0.72 × 21

controla la falla por compresión. Para determinar mas correctamente la profundidad del eje neutro se hallan primero las siguientes constantes: A =0.72 x 21 x 250 = 3780 B = 5160 x 0.003 x 204000 = 3157920 D = 5160 x 0.003 x 204000 x 400 =1263168000

− 3157920 + 31579202 + 4 × 3780 × 1263168000 = 295.mm c= 2 × 3780 c d t f s

=

295 = 0.656 < 0.686 è Falla en zona de transición 450

= 0.003 × 204000 ×

(450 − 295) . = 321 MPa 295

w

=

0.0516 × 280 = 0.688 21

Este valor es superior a f y = 280 MPa por lo tanto la capa de acero mas traccionada esta en fluencia en el momento en que el hormigón esta próximo a la rotura. M n

= 0.688 × 21 × 250 × 4002 × (1 − 0.59 × 0.688 ) = 343 x10 6. N .mm = 343.kN .m

Se puede nuevamente concluir que a pesar de que la cantidad de refuerzo se duplico la ganancia de resistencia fue de un 30% de la sección inicial con el inconveniente de que la falla de la viga es frágil.



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______________________________________________________________________ c) Si la relación c / dt es igual a la c b / dt è? b = 0.0370 cb

El eje neutro se encuentra en: M n

d t

= 0.686

è c b = 309 mm y w b = 0.493

= 0.493 × 21× 250 × 400 2 × (1 − 0.59 × 0.493) = 294 x106. N .mm

Inmediatamente se nota como la capacidad a flexión balanceada es solo un 15% menor que la del caso b) lo que explica porque prácticamente un exceso de refuerzo por encima de la cuantía balanceada solo trae problemas estructurales. En la figura 3.19 se muestra un resumen grafico de la variación de la resistencia a flexión en función de la cuantía del refuerzo para el ejemplo 3.7. La grafica se dibujo utilizando los resultados indicados en los cálculos numéricos realizados.

Mn ( kN.m)

C

400

B Región donde controla la resistencia del hormigón

300 200

450 mm Región donde controla la resistencia del acero

100

A

2000 0.01

0.02

250 mm

4000 0.03

0.04

6000 0.05

0.06

8000 0.07

As ( mm2)

Cuantía : ?

Figura 3.19 Resistencia a flexión en función de la cuantía del refuerzo a tracción

7

De la figura 3.19 se concluye que en la zona de falla por fluencia del acero el momento resistente, Mn, aumenta con la cuantía pero no linealmente. En la región de falla a compresión no se percibe ningún aumento de la resistencia debido a que tanto las tensiones en el acero como el brazo de palanca disminuyen al aumentar la cantidad de refuerzo. En consecuencia la ganancia de resistencia a flexión es muy poca cuando las cuantías superan el valor balanceado. 3.4.3.5 Comportamiento a nivel de resistencia: bloque de Whitney. En el numeral anterior se explico el comportamiento a nivel de resistencia a flexión del hormigón armado con base en la mecánica estructural y la información experimental recogida al respecto. El método presentado se puede aplicar a cualquier forma de sección y a la acción simultanea de la flexión con otras tensiones externas. Sin embargo cuando se realizan estudios de comportamiento en estos últimos casos se generan largas y complicadas ecuaciones que le hacen perder al diseñador la idea física del problema y 159 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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______________________________________________________________________ lo que es mas grave aun es que crea una confianza ciega en las formulas con consiguiente perdida de comprensión del fenómeno. Lo anterior implicaría una alta probabilidad de cometer errores numéricos que por lo general no se presentarían cuando el ingeniero tiene una clara visión física de lo que esta analizando. Afortunadamente es posible, mediante un artificio conceptual, formular el estudio del comportamiento a flexión del hormigón armado en forma diferente tal que los resultados sean los mismos que los obtenidos en el análisis general del numeral anterior. Este procedimiento es mucho mas fácil de visualizar y aplicar en secciones de cualquier forma y al efecto simultaneo de diferentes tipos de tensiones internas. Se ha indicado que la forma de la distribución real de tensiones a compresión en secciones de hormigón armado sometidas a flexión varia considerablemente dependiendo de los materiales y los métodos de prueba. Además se puede intuir que en realidad no se requiere conocer la forma exacta de la distribución sino:

• La magnitud de la fuerza resultante a compresión del hormigón ( C ) • La posición de esta resultante respecto al borde comprimido de la sección ( c ) Experimentalmente se han obtenido resultados sobre estas variables expresándolas en función de dos parámetros definidos como a y ß. Para iniciar se puede pensar que la distribución real de tensiones del hormigón a compresión se reemplace por una distribución geométrica ficticia de forma sencilla y que produzca una fuerza resultante a compresión similar a la obtenida con la forma exacta y que adicionalmente este aplicada en la misma posición cuando el elemento este próximo a la falla. Las formas propuestas han variado de acuerdo al pensamiento de cada investigador desde triángulos, rectángulos y trapecios hasta polinomios de segundo y tercer grado. La figura 3.20 muestra un resumen de estas distribuciones. Sin embargo en 1940 el ingeniero C.S. Whitney propuso una forma rectangular como distribución equivalente que revoluciono prácticamente el diseño estructural. La figura 3.21 ilustra comparativamente la distribución real y la equivalente en una sección rectangular simplemente reforzada de hormigón armado. La magnitud ?.fć es la tensión promedia a compresión en el bloque rectangular y su profundidad se indica como “ a “. La determinación de estos parámetros se realiza comparando los bloques de tensiones. En la distribución real: C = (a fć) b. c

En la equivalente: C = ( ? fć) b. a

En la igualdad : (a fć) b. c = ( ? fć) b. a => γ = α . Como a = ß1 c => γ =

c a

α β1

De la misma forma se debe cumplir que: ß. c = a / 2 => ß. c = (ß 1 . c) / 2 ; ß1 = 2.ß 160 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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______________________________________________________________________ fc

fc

C = ¼ fc bh

½h h

C = ½ fc bc

c

¾h

fc

d

fs = n fc ( d-c) / c

T = As fs

T = As fs

1/12 h

ft

1. Köenen ( 1886)

2. Coignet y Tedesco ( 1894)

C = 2/3 fć bc

c d

3. Melan ( 1896)

C = fć ab

a

fs = 2n fć ( d-c) / c

d

z = d – a/2

T = As fs

T = As fs

Figura 3.20 Tipos de distribución equivalente de tensiones

ßc c h

a/2 C

a

C

d T

T

b Figura 3.21 Distribución de tensiones real y equivalente en el hormigón

La tabla 3.2 presenta los resultados numéricos de los valores de ? y ß 1 para hormigones con resistencias a compresión entre 21 y 56 MPa los cuales son los mas utilizados en los diseños convencionales. Se puede concluir que el parámetro ? es prácticamente independiente de la resistencia del hormigón y se puede asumir como 0.85 para el rango



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______________________________________________________________________ considerado. La ecuación 3.41 representa la fuerza a compresión resultante utilizando el bloque equivalente de tensiones. C = 0.85. f c´ .b.a

(3.31)

Igualmente se puede concluir que para hormigones con fć menor o igual a 28 MPa la altura del bloque a compresión del hormigón es 0.85 veces la profundidad del eje neutro y su valor disminuye en 0.05 por cada 7 MPa por encima de fć = 28 MPa. En ningún caso ß1 debe ser menor que 0.65 es decir: 0.65 < ß1< 0.85. La ecuación 3.42 representa la expresión matemática de esta relación. β1

( f ´ − 28) = 0.85 − 0.05.

(3.32)

c

7

De igual manera que el método general del numeral anterior se pueden derivar las ecuaciones de comportamiento a flexión del hormigón armado considerando los dos modos de falla: a) por fluencia del acero y b) por rotura del hormigón. Del equilibrio de fuerzas internas, utilizando la figura 3.18 se tiene: C = T ⇒

0.85. f c´ .a.b = A s . f s

(3.33)

El momento interno resistente es : M n

 a   a  = 0.85. f c´.a.b. d −  = A s . f s. d −   2   2 

(3.34)

Análogamente el estudio del comportamiento de la sección plantea los mismos tipos de falla estudiados en el método general dependiendo de las deformaciones de la sección:

0.85 fć ec d

c

a

a/2 C = 0.85 fć a b

es

T = As fs

fs

Figura 3.22 Perfil de tensiones y deformaciones bloque equivalente de Whitney 162 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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______________________________________________________________________ Tabla 3.2 Parámetros del bloque equivalente de tensiones del hormigón fć ( MPa)

α β β1 γ

< 28

35

42

49

> 56

0,72

0,68

0,64

0,6

0,56

0,425

0,4

0,375

0,35

0,325

0,85

0,8

0,75

0,7

0,65

0,85

0,85

0,85

0,86

0,86

Caso a) Cuando la falla se inicia por la fluencia del acero a tracción: La hipótesis es que el acero a tracción esta en fluencia cuando se alcanza la resistencia a flexión. Lo anterior equivale a que es = et = 0.005 o ( c / dt ) < 0.375. De la ecuación de equilibrio despejando “ a “è a

=

M n

A s f y

(3.35)

0.85 f c´.b

 a  = A s f y  d −   2 

(3.36)

Reemplazando 3.45 en 3.46, organizando términos y considerando la definición de cuantía: p = As / (bd) y w = p.fć / fy se tiene una expresión similar a la 3.27. M n

= ω. f c´.b.d 2 (1 − 0.59ω )

(3.37)

Caso b) Cuando la falla se inicia por agotamiento del hormigón. El criterio es: et < 0.002 del perfil de deformaciones de la sección, figura 3.18 se tiene: ε s εc

=

d − c c

⇒ ε s = 0.003 ×

d − c c

Si se reemplaza es en la ecuación f s = Es es considerando a = ß1 c se tiene: f s

= 0.003.

( β1.d − a ) a

E . s

(3.38)

Reemplazando el valor de fs de la ecuación 3.48 en la ecuación 3.43 => ( β .d − a ) 0.85 f cá.b = A s × 0.003 × 1 × E s a

Reorganizando términos se obtiene la ecuación cuadrática para a: 163 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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______________________________________________________________________

 0.85. f c´  2   .a + a.d − β1.d 2 = 0  . s .ρ   0.003 E

(3.39)

Resolviendo la ecuación cuadrática se obtiene la altura del bloque equivalente a compresión. Finalmente se halla Mn aplicando la ecuación 3.34. c) condición balanceada: Cuando simultáneamente e c= 0.003 y f s = f y De la figura 3.18 se concluye que la profundidad del eje neutro en esta condición es: ε s

0.003

=

d − cb cb

⇒

cb d t

=

0.003. E s (0.003 E . s + f y )

Y la altura del bloque comprimido en condición balanceada es: ab = β1.cb cb d t

=

612 (612 + f y )

En general, se recuerda nuevamente que el tipo de falla a flexión del hormigón armado depende de la cuantía ?. Si este valor es mayor que la cuantía balanceada la falla se inicia por el hormigón, en caso contrario la falla se inicia por el acero. La figura 3.20 indica las diferentes posiciones del eje neutro en un perfil típico de deformaciones para tres cantidades diferentes de cuantías. ec = 0.003

cb Falla a compresión ec = 0.003

d

Falla a tracción fs = fy

es > ey es = ey es < ey Figura 3.23 Perfiles de deformaciones a flexión y posición del eje neutro La figura 3.23 es muy clara al indicar que la posición del eje neutro depende de la cuantía del acero como lo indica también la ecuación 3.35. Por ejemplo si la cuantía de una sección es menor que la balanceada la profundidad del eje neutro es menor que la profundidad balanceada y en consecuencia las deformaciones en el acero son altas al inicio de la falla. Análogamente se presenta lo contrario cuando las cuantías son mayores que la balanceada.



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______________________________________________________________________

Ejemplo 3.8 Utilizando los datos del ejemplo 3.5 determinar las características geométricas y mecánicas de la sección considerando el bloque equivalente de tensiones. Comparar los resultados obtenidos en los dos ejemplos. b = 250 mm, h = 650 mm, d = dt = 600 mm, As = 3 # 8, fć = 28 MPa, fy = 420 MPa Es = 204000 MPa

3#8

h = 650mm

d= 600 mm

b = 250 mm Figura 3.24 Sección de hormigón armado ejemplo 3.8 Solución: Se determina inicialmente la cuantías de la sección: ρ

=

1524 = 0.0102 (250 × 600 )

c

=

107.6 = 127.mm 0.85 ε t = 0.003 ×

a

=

1524 × 420 = 108.mm 0.85 × 28 × 250

c d t

=

127 = 0.212 < 0.375 600

(600 − 127 ) = 0.0112 > 0.005 127

Se cumplen los requisitos para la fluencia del refuerzo a tracción cuando se alcance la resistencia a flexión è 420 ω = 0.0102 × = 0.153 28 M n

. .mm = 0.153 × 28 × 250 × 6002 × (1 − 0.59 × 0.153) = 351 ×10 6 N

Es decir la sección resiste una flexión de 351 kNx m valor que concuerda exactamente con el resultado obtenido en el ejemplo 3.5.

Ejemplo 3.9 Determinar la resistencia a flexión de la siguiente sección de hormigón armado: b = 250 mm, h = 550 mm, d = 500 mm As = 3 # 8 Es = 204000 MPa.



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______________________________________________________________________ a) fć = 21 MPa y fy = 420 MPa b) fć = 42 MPa y fy = 420 MPa c) fć = 21 MPa y fy = 280 MPa

3#8

h = 550mm

dt = 500 mm

b = 250 mm Figura 3.25 Grafico de la sección del ejemplo 3.9 En los tres casos se tiene la misma cuantía de acero: ρ

=

1524 = 0.0122 (250 × 500 )

a) Materiales con las siguientes propiedades: fć = 21 MPa ; fy = 420 MPa cb d t c

=

=

612 = 0.593 (612 + 420 )

a

=

1524 × 420 = 143.mm 0.85 × 21 × 250

143 = 168.mm 0.85 ε t = 0.003 ×

c d t

=

168 = 0.336 < 0.375 500

(500 − 168) = 0.0059 > 0.005 168


= 0.244 × 21 × 250 × 5002 × (1 − 0.59 × 0.244) = 274 × 106. N .mm

b) Materiales : fć =42 MPa y fy = 420 MPa



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______________________________________________________________________ cb d t c

=

612 = 0.593 (612 + 420 )

a

=

1524 × 420 = 72.mm 0.85 × 42 × 250

72 = 85.mm 0.85

=

ε t = 0.003 ×

c d t

=

72 = 0.144 < 0.375 500

(500 − 85) = 0.0146 > 0.005 85


= 0.122 × 42 × 250 × 5002 × (1 − 0.59 × 0.122) = 297 × 106. N .mm

Los resultados indican que un aumento del 100% en la resistencia a la compresión del hormigón solo incrementa la capacidad resistente a flexión en menos de un 10% lo que realmente es considerado como insignificante.

c) Materiales : fć =21 MPa y fy = 280 MPa cb d t c

=

=

612 = 0.686 (612 + 280 )

96 = 113.mm 0.85 ε t = 0.003 ×

a

=

1524 × 280 = 96.mm 0.85 × 21 × 250 c d t

=

113 = 0.226 < 0.375 500

(500 − 113) = 0.0103 > 0.005 113


= 0.163 × 21× 250 × 500 2 × (1 − 0.59 × 0.163) = 193 ×10 6. N .mm

Finalmente en este caso una reducción del 33% en la resistencia a fluencia del acero afecta en un 30% la capacidad resistente a flexión de la sección.

Ejemplo 3.10 Determinar la capacidad resistente a flexión de una sección rectangular de hormigón armado de b = 250 mm, h = 600 mm y d = 500 mm. La sección esta reforzada con seis barras de acero distribuidas en dos capas como se indica en la figura. 167 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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______________________________________________________________________ Los materiales tienen las siguientes propiedades mecánicas: hormigón de fć = 21 MPa y acero de fy = 420 MPa con Es = 204000 MPa.

Solución: El procedimiento de trabajo es similar al realizado en los ejemplos anteriores. Se determina inicialmente la cuantía del refuerzo para definir el tipo de falla y luego se entra a determinar la resistencia de la sección.

a

C

c h = 600 mm

dt = 550 mm

T

b = 250 mm As = 6 # 8 = 3040 mm

2

Figura 3.26 Sección del ejemplo 3.10

ρ

cb d t

c

=

=

=

3040 = 0.0243 (250 × 500 )

612 = 0.593 (612 + 420 )

286 = 336.mm 0.85 ε t = 0.003 ×

a

=

3040 × 420 = 286.mm 0.85 × 21 × 250 c d t

=

336 = 0.611 > 0.375 550

(550 − 336 ) = 0.0019 < 0.005 336

No se cumplen los requisitos para la fluencia del refuerzo a tracción cuando se alcance la resistencia a flexión è Hay peligro de falla frágil. Se debe calcular nuevamente el valor de “ c “ para determinar cual es la tensión del acero a tracción. De la ecuación 3.39:



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______________________________________________________________________ 0.85 × 21   2   × a + 500 × a − 0.85 × 500 2 = 0  0.003 × 204000 × 0.0243 

simplificando y resolviendo términos: 1.2 × a 2 + 500 × a − 212500 = 0

− 500 + 5002 + 4 × 1.2 × 212500 = 261.mm a= 2 × 1.2 c

=

261.2 = 307.mm 0.85 ε t = 0.003 ×

c d t

=

307 = 0.558 > 0.375 550

(550 − 307 ) = 0.0024 < 0.005 307

La sección no cumple los requisitos para garantizar fluencia del refuerzo a tracción cuando se alcanza la resistencia a flexión. ω

M n

= 0.0243 ×

420 = 0.486 21

= 0.486 × 21 × 250 × 5002 × (1 − 0.59 × 0.486) = 455 ×10 6. N .mm

Se encuentra que la cuantía de la sección es mayor que la balanceada, en consecuencia la falla se inicia por agotamiento del hormigón a compresión. Las ecuaciones para resolver este caso son: Otra forma de estimar Mn es hallando el valor de fs con la ecuación 3.38 y utilizando la segunda parte de la ecuación 3.34 [ Mn = As.fs (d – a / 2 ) ]. Las figuras 3.27 y 3.28 muestran los diagramas de flujo o algoritmos de trabajo para el estudio del comportamiento a flexión de secciones rectangulares de hormigón armado con refuerzo solo a tracción. Esta ayuda le permite al lector facilitar la programación del método para realizar numerosos ejercicios en corto tiempo. Se puede utilizar también para su programación una hoja de calculo tal como se muestra en los anexos.

3.4.4 Diseño a flexión de seccione s rectangulares simplemente reforzadas Los aspectos básicos del diseño se fundamentan en el hecho de que una estructura es segura si esta tiene la suficiente capacidad resistente para soportar las diferentes intensidades y combinaciones de carga que posiblemente puedan actuar sobre ella. En otras palabras esto significa que la capacidad resistente Mn, obtenida a partir de las características de los materiales y del comportamiento bajo carga, modificada por un factor de reducción de resistencia obtenido estadísticamente, F, debe ser mayor que la 169 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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______________________________________________________________________

b, h, As, d, dt , fć, fy, Mext.

E c

= 4790

n

=

f c´

E s

´ : f r = 0.63 f c

: At = (n − 1) A s

E c

Determinar por estática la posición del centroide de la sección : yc Determinar igualmente el momento de inercia respecto al centroide de la sección : I c

f t

=

M ext . yc

M n

= w. f c´ .b.d 2.(1 − 0.59w)

I c

f s

f t < f r

si

=n

M ext . [ y c

− (h − d )]

I c

La sección esta en rango elástico no fisurado

NO

FIN La sección se debe analizar En rango elástico fisurado

A Figura 3.27 Comportamiento a flexión de secciones de hormigón armado 170 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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______________________________________________________________________

A

=

ρ

f s

=

f c

=

A s

k = −nρ +

bd

M ext .

j

A s. j.d

= 1−

k

3

2 M . ext . k . j.b.d 2

no f c

(nρ )2 + 2nρ

< 0.5 f c´

El hormigón esta en rango inelástico

si La sección esta en rango Elástico fisurado

La sección se debe analizar bajo estado de resistencia

FIN Método general: diagrama tensión-deformación real Falla por agotamiento del hormigón a compresión

no c d t

<

cb

c

d t

d t

=

ρ . f y

cb

α . f c´

d t

=

612 f y + 612

si Falla por fluencia del acero a tracción

Figura 3.27 Continuación



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______________________________________________________________________

B

W =

M n

ρ . f y f c´

= w. f c´ .b.d 2.(1 − 0.59 w)

FIN

C

Determinar el verdadero valor de c Usar solución de ecuación cuadrática

ε t = 0.003

M n

(d t − c )

f s

= E s .ε t

ω

=

c

ρ . f s f c´

= w. f c´ .b.d 2.(1 − 0.59 w)

FI N

Figura 3.27 Continuación 172 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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______________________________________________________________________ b, d, dt , As, fć, fy

β1

( f ´ − 28 ) = 0.85 − 0.05 c

7

Como primera aproximación se asume falla por fluencia del

a

ε t = 0.003

0.85 f c´b

(d t − c )

=

c

c

NO

a β1

NO

c

ε t > 0.005

si

A s f y

=

d t

< 0.375

SI

Falla por agotamiento del hormigón a compresión

SI Se comprueba que la falla es por fluencia

w=

M n

ρ. f y

Hallar nuevamente el valor de “ c “ por

Determinar “ c / dt “ y et

f c´

= w. f c´ .b.d 2.(1 − 0.59 w)

f s = Es. et w = ?.f s / fć

FIN

Figura 3.28 Revisión de secciones de hormigón armado por bloque de Whitney



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______________________________________________________________________ resistencia requerida, Mu, que se obtiene a partir de las cargas aplicadas mayoradas por un factor de amplificación también obtenido estadísticamente, ?. De esta forma se llega a la ecuación básica del diseño a flexión: φ . M u

≥ γ . M s ⇔ φ M . n ≥ M u

(3.40)

Los subíndices n, s y u denotan respectivamente: valor nominal, en servicio y ultimo. El valor de F para flexión se asume como 0.90 siempre y cuando la relación ( c / dt ) sea menor que 0.375 o que et > 0.005; en caso contrario este valor se debe determinar utilizando el criterio de diseño de columnas. El valor de ? depende del tipo y combinación de cargas y del margen de seguridad. Por ejemplo para la combinación básica el factor por carga muerta es ? m=1.2 y por carga viva es ? v = 1.6. Experimentalmente se ha comprobado que una estructura diseñada sobre las anteriores bases tiene un comportamiento satisfactorio para las condiciones normales de servicio. Es decir las deflexiones están convenientemente controladas o se mantienen en los limites tolerables y las fisuras en las zonas traccionadas, que inevitablemente surgirán, se mantienen con un ancho controlado y adecuadamente distribuidas. Este método de diseño por resistencia contrasta con su predecesor, el método de diseño por tensiones admisibles, el cual consistía en limitar las deflexiones y ancho de fisuras indirectamente limitando las tensiones en los materiales cuando se sometían a las cargas de servicio. El procedimiento de diseño actual consiste en dimensionar y reforzar la estructura para soportar adecuadamente las cargas ultimas esperadas y posteriormente revisar las deflexiones y la fisuración para comprobar así las condiciones de servicio. Este enfoque de diseño, llamado en Europa diseño por estados limites, es la base fundamental del diseño a flexión a presentar en este texto. 3.4.4.1 Factores a considerar en el diseño a flexión. En el diseño a flexión de estructuras de hormigón armado se debe tener en cuenta: la posición, selección, separación y recubrimiento del refuerzo y las limitaciones tanto constructivas como dimensiónales de las secciones. a) Posición del refuerzo: Debido a la fisuración del hormigón en las zonas traccionadas de los elementos estructurales, cuando las tensiones externas superan el modulo de rotura del hormigón, es necesario colocar en estas regiones barras de refuerzo que resistan estas tensiones evitando así fallas súbitas por incapacidad resistente del hormigón. La figura 3.29 muestra una viga simplemente apoyada sometida a una carga uniformemente distribuida q, cuando el momento generado por la carga ( M ) produce tensiones ( f ) cercanas al modulo de rotura del hormigón se inicia el proceso de fisuración indicado en la figura. En la zona de momento máximo son mayores las tensiones y por tanto se requiere allí mas acero que en los apoyos. De la misma forma en la figura 3.30 se muestra una viga en voladizo sometida a una carga distribuida q. En este caso se presenta una característica importante respecto a la viga de la figura 3.23 y es que la zona traccionada esta en el borde superior y es por tanto allí donde se presenta la fisuración de la estructura y donde realmente se debe ubicar el refuerzo.



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______________________________________________________________________ Adicionalmente como en el voladizo se presenta el momento máximo en el apoyo se debe colocar en esta zona la mayor cantidad de acero.

q

Viga deflectada y fisurada

2

Mmax .= q l / 8 Diagrama de momentos

As Posición del refuerzo Figura 3.29 Colocación del refuerzo en vigas simplemente apoyadas En la practica la situación típica es la viga continua es decir aquella que presenta longitudinalmente varios apoyos consecutivos tal como lo ilustra la figura 3.31. Cuando estas vigas se someten a cargas externas se generan momentos y cortantes con algunas particularidades especiales respecto a los dos casos anteriores. Los momentos por ejemplo cambian de sentido entre la mitad de la luz y los apoyos lo que implica el desplazamiento de las zonas a tracción de la parte inferior a la superior y en consecuencia la posición del refuerzo. En las regiones centrales de estas vigas el refuerzo esta ol calizado cerca al borde inferior mientras que en las zonas cercanas a los apoyos se ubica cerca al borde superior. Por ahora el lector debe asumir que este refuerzo se requiere solo hasta los puntos de inflexión del diagrama de momentos. Sin embargo el tema es de tanta importancia y aplicación practica que en un próximo capitulo se explicaran detalladamente las bases de este detallado del refuerzo. Además de este refuerzo longitudinal por flexión, las secciones de hormigón armado deben reforzarse con barras de acero perimetrales que no solo mantienen en posición las 175 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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______________________________________________________________________ barras de flexión sino que brindan seguridad contra la eventual falla por cortante. Estos amarres perimetrales se conocen con el nombre de estribos y su estudio y detallado también se explicara en un próximo capitulo. Solo la practica y experiencia en el diseño le permitirán al lector adquirir la destreza y capacidad suficientes para definir y localizar en forma correcta aquellas zonas de hormigón que requieren de un determinado tipo de refuerzo y esto se logra manejando convenientemente los conceptos de fisuración y deflexiones en las estructuras.

Carga: q

Estructura deflectada y fisurada

Diagrama de momento flector

As

Colocación correcta del refuerzo

Figura 3.30 Colocación del refuerzo en vigas en voladizo



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______________________________________________________________________

q

a) Viga continua con carga uniformemente distribuida

b) Esquema de la estructura fisurada y deflectada bajo la acción de las cargas Vi1

Vi2

Vin

V j1 b) Diagrama de cortante

V j2

Mmax.(+)2 Mmax.(+)n

Mmax.(+)1

Mmax.(-)1

Mmax.(-)2

Mmax.(-)n

d) Diagrama de momentos

d) Colocación del refuerzo Figura 3.31 Patrón de fisuración y posición del refuerzo en vigas continuas 177 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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______________________________________________________________________ b) Requisitos constructivos: El proceso constructivo es la etapa siguiente a la del diseño y en esta se lleva a cabo la erección, el montaje y la instalación real en el sitio de todos las partes de la edificación. Sin embargo el ingeniero de diseño debe prever convenientemente algunas limitaciones propias de esta etapa las cuales eventualmente podrían aumentar el costo o interrumpir el proyecto si no se solucionan a tiempo. El primer requisito se refiere a la selección adecuada de los materiales a utilizar tanto de las características del hormigón como del acero verificando su disponibilidad comercial y capacidad de fabricación. El segundo es la correcta selección de las dimensiones de todas las partes de la estructura teniendo en cuenta no solo las dimensiones de las formaletas disponibles sino también la congestión y posición del refuerzo. El tercero es la capacidad técnica para el montaje e instalación de los diferentes sistemas de refuerzo con los accesorios y elementos adecuados. Solo mediante un correcto cumplimiento de los anteriores requisitos se logra optimizar el costo del proyecto. Se tiene evidencia de casos donde por desconocimiento de estos puntos el costo de la obra se ha incrementado entre un 35 y 60% del costo esperado. El costo de la formaleteria es un ítem critico en el proyecto. c) Relaciones dimensiónales: Se refieren a las características geométricas que deben cumplir las dimensiones de las secciones y las luces del proyecto. En el caso de vigas y losas unidireccionales se sabe que al aumentar la rigidez de las secciones (E.I) se disminuyen las deflexiones (d). En los curso básicos de mecánica estructural se aprende a manejar expresiones matemáticas que relacionan estas variables, por ejemplo la ecuación 3.55 indica la relación entre deflexiones (d), luces (l) y condiciones de apoyo (C1) contra la rigidez de la sección (E.I) para cargas uniformemente distribuidas. δ max

= C 1.

q.l 4

(3.41)

E . I

la deducción de los valores de la constante C 1 se pueden consultar en los textos de mecánica estructural sin embargo como referencia general la tabla 3.3 indica los mas típicos en el diseño. Tabla 3.3 Valores del coeficiente numérico C 1 en la ecuación 3.41

Apoyos C1

Articulados 5 / 384

Empotrados 1 / 384

Artic.- Empot. 1 / 185

Voladizo 1/8

La ecuación 3.55 indica que para una determinada condición de carga (q), material (E), luz (l) y características de los apoyos (C1) la deflexión (d) depende solo del momento de inercia de la sección (I). Ya que el parámetro que mas altera la inercia es la altura de la sección ( h ) se puede fácilmente obtener una expresión para representar la deflexión en función de esta altura. Si en la practica se limitan las deflexiones por razones arquitectónicas y de funcionabilidad de los sistemas estructurales indirectamente se están limitando también las alturas de las secciones (h). Estas recomendaciones están indicadas no solo en los manuales de diseño sino en todas las normas y códigos de construcción. Por ejemplo la tabla C.9.1 de la NSR-98 así como la equivalente en el 178 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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______________________________________________________________________ ACI-318-02 la 9.5.(a). recomiendan unos espesores mínimos en vigas y losas unidireccionales para no tener que calcular las deflexiones. Si se conocen estos espesores mínimos quedan prácticamente definidas las dimensiones de las secciones. Tabla 3.4 Espesores mínimos en vigas y losas unidireccionales NSR-98 ( ACI-318-02)

Estructura

Simple/ . Apoyada

Un apoyo continuo

Ambos apoyos continuos

En voladizo

Losa maciza Vigas o losas aligeradas

l / 20 l / 16

l / 24 l / 18.5

l /28 l /21

l / 10 l/8

d) Recubrimiento y separación de las barras de refuerzo: Es necesario proteger el acero de refuerzo del medio ambiente con un recubrimiento mínimo de hormigón en primer lugar para mantener una adecuada adherencia entre los dos materiales; en segundo termino para proteger el refuerzo del ataque corrosivo producido en algunos ambientes agresivos y finalmente protegerlo del fuego y las cargas abrasivas que desgastan la superficie del hormigón. Al respecto las normas y códigos recomiendan unos recubrimientos mínimos para hormigones vaciados en el sitio de acuerdo al tipo de sección y medio externo: se indica que para exposición directa al suelo o a la intemperie los muros y losas deben tener un recubrimiento mínimo de 20 mm y las vigas y columnas de 40 mm. En otros casos el recubrimiento es de 50 mm excepto cuando el hormigón es de baja resistencia ( fć < 21 MPa) donde se especifican 75 mm de recubrimiento. En relación con la disposición de las barras de refuerzo en una misma sección se indica que su distribución debe ser simétrica y que cuando se colocan en varias capas las barras superiores deben quedar exactamente sobre las inferiores conservando un arreglo regular. Se recomienda colocar siempre las barras de mayor diámetro en las capas inferiores y en los bordes de la sección. La figura 3.32 representa un ejemplo típico de refuerzo mostrando las formas correctas e incorrectas de realizar este proceso. El espaciamiento del refuerzo debe cumplir los siguientes requisitos: ninguna barra debe quedar separada menos de 25 mm de las barras adyacentes, ni menos del diámetro de la barra ni menos de un tercio el tamaño máximo del agregado del hormigón. En el caso de columnas la separación mínima es de 40 mm o 1.5 veces el diámetro del refuerzo. Cada capa de refuerzo debe estar separada 25 mm de las capas adyacentes. Figura 3.26. e) Dimensiones de la sección: en el hormigón armado la sección típica es la rectangular, aunque la forma T y L lo mismo que la circular son igualmente útiles. En el caso de la rectangular se prefieren generalmente formas cuadradas, sin embargo por consideraciones económicas ( en el caso de la inercia o el modulo de la sección ) es mejor que la altura de las secciones sea de 2 a 3 veces su ancho ( 2.b < h < 3.b). Algunas limitaciones arquitectónicas y constructivas obligan algunas veces a utilizar secciones fuera de los limites indicados es decir secciones esbeltas ( h > 4.b) caso de las vigas profundas o secciones planas ( h < b) en estos casos se deben considerar los 179 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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______________________________________________________________________ problemas adicionales que se generan por estos efectos dimensiónales. Las secciones de losas, vigas, muros y columnas se deben dimensionar en múltiplos de 50 o 100 mm iniciando siempre con 200 mm.

Incorrecta

Mayor que 40 m

Correcta

Mayor que: • 4 / 3 el T.M. del agregado • 25 m

Mayor que: • Diámetro de la barra • 25 mm • 4 /3 el T.M. del a re ado

Mayor que 40 m Figura 3.32 Disposición y separación del refuerzo

f) Selección de las barras de refuerzo: Los diámetros del refuerzo comercial para el hormigón están disponibles desde 9.5 mm ( 3/8”) hasta 35.8 mm (11/8”). Por lo general las barras #3, #4 y #5 se utilizan como refuerzo a flexión en losas y para retracción y temperatura, el #3 y #4 es el refuerzo usado en cortante y las barras #6 hasta #11 se utilizan como refuerzo a flexión y compresión en vigas y columnas de hormigón armado. Algunas siderurgicas producen barras de diámetros extra grandes como la #14 (43 mm) y la #18 (57.3 mm) estas ultimas si están comercialmente disponibles se recomienda usarlas en secciones grandes sometidas a compresión ( columnas, pilas de fundación). Cuando por razones de calculo se requieran mezclar diferentes barras de refuerzo para optimizar el área de acero requerida en la sección se recomienda usar solo dos tamaños de barras de tres consecutivas ( por ejemplo #6 y #8).



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______________________________________________________________________ 3.4.4.2 Numero máximo y mínimo de barras en una sección. La cantidad de barras de refuerzo que se deben colocar en una sección de hormigón armado esta limitada por razones dimensiónales y los requisitos de separación y recubrimiento del refuerzo enunciados en el numeral anterior. La tabla 3.5 da el numero máximo de barras que pueden colocarse en una sola capa considerando un recubrimiento del refuerzo de 40 mm y usando estribos #4. Igualmente existen también restricciones sobre el numero mínimo de barras a colocar en una sola capa con base en el control de fisuracion del elemento. La tabla 3.6 indica este numero mínimo de barras.

Ejemplo 3.11 Determinar para la sección de hormigón armado de la figura 3.27 la altura efectiva (d) y el ancho mínimo requerido si el tamaño máximo del agregado es de 20 mm y la altura total de la sección es de 600 mm.

2 de 2#8

12.7 mm

3 #9

25.4 mm 0.5 d b

28.7 mm 9.5 mm 40.0 mm

40 mm 40

28.7

x

28.7

x

28.7

40

Figura 3.33 Sección de hormigón armado del ejemplo 3.11

Solución: La sección cumple con los requisitos de refuerzo enunciados: tiene dos tamaños de barras diferentes ( #8 y #9) y las barras #9 están ubicadas en la capa inferior del refuerzo y en los bordes de la sección con el fin de mantener el mayor brazo de palanca de las fuerzas internas. Además la disposición del refuerzo es simétrica alrededor del eje vertical de la sección y las barras de la capa superior están exactamente sobre las barras inferiores amarradas perimetralmente por estribos que las mantienen en su posición y evitan el desalineamiento longitudinal.



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______________________________________________________________________ Tabla 3.5 Numero máximo de barras en una capa de refuerzo en secciones de hormigón armado con estribos #4 y tamaño máximo de 20 mm. Ancho de la sección, b en ( mm ) # barra 5 6 7

db(mm) 15,9 19,1 22,2

200 2 2 2

250 4 3 3

300 5 4 4

350 6 6 5

400 7 7 6

450 8 8 7

500 10 9 8

8 9 10

25,4 28,7 32,3

2 2 1

3 3 2

4 3 3

5 4 4

6 5 5

7 6 5

8 7 6

11

35,8

1

2

3

3

4

5

6

Tabla 3.6 Numero mínimo de barras en una capa de refuerzo de acuerdo a requisitos de control de fisuras en secciones de hormigón armado expuestas al ambiente. Ancho de la sección, b en (mm) # barra 5 6

db ( mm) 15,9 19,1

200 2 2

250 2 2

300 2 3

350 3 3

400 3 3

450 3 4

500 4 4

7 8 9

22,2 25,4 28,7

2 2 2

2 2 2

3 3 3

3 3 3

3 4 4

4 4 4

4 4 5

10 11

32,3 35,8

2 2

3 3

3 3

3 4

4 4

4 5

5 5

El recubrimiento mínimo del refuerzo es de 40 mm medido desde el borde exterior de los estribos lo que indica el cumplimiento de las recomendaciones del NSR-98 numeral C.7.7. La distancia mínima entre capas de refuerzo es la mayor entre 25 mm y 1.33 veces el tamaño máximo del agregado es decir 1.33 x 20 mm = 26.6 mm. Lo anterior confirma la correcta disposición de este refuerzo en la sección. Determinación de la altura efectiva ( d ): Si se ubica inicialmente el centroide del acero de refuerzo queda prácticamente definida la altura efectiva de la sección. El centroide se determina por el teorema de área de momentos: Tabla 3.7 Determinación del centroide del refuerzo a tracción Capa

Refuerzo

Diámetro

área

distancia al borde

momento de área

(mm)

(mm2)

(mm)

(mm3)

inferior

3#9

28,7

1935

63,85

123550

superior

2#8

25,4

1020

116,3

118626

2955

242176



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______________________________________________________________________ El centroide del refuerzo esta localizado a una distancia del borde inferior de: yc

=

242176 = 81.95.mm 2955

La altura efectiva es por tanto d = 600 – 81.95 mm = 518 mm Determinación del ancho mínimo de la sección ( bmin): Este se determina sumando el recubrimiento mínimo exigido para el refuerzo con los diámetros y separación de las barras y las dimensiones del estribo. Se debe tener en cuenta que el diámetro mínimo de doblado del estribo es de dos veces del diámetro del estribo, es decir 2*9.5 = 19 mm. Para barras menores que la # 11 la separación entre el refuerzo a flexión y el estribo es : 2*de – 0.5*db = 2 * 9.5 – 0.5 * 28.7 = 4.65 mm. El espaciamiento entre las barras a flexión debe ser mayor que 25 mm o 1.33 veces el tamaño máximo del agregado o el diámetro de la barra, controlando la mayor. En este caso controla el diámetro de las barras de refuerzo 28.7 mm. bmin

= 40 + 9.5 + 4.65 + 3 × 28.7 + 2 × 28.7 + 4.65 + 9.5 + 40 = 251.8.mm

Es decir la sección debe tener un ancho mayor o igual a 250 mm con una altura efectiva de 518 mm. En algunos casos se considera satisfactorio estimas la altura efectiva de las secciones de acuerdo al numero de capas: Para refuerzo en una capa asumir un d = h – 65 (mm) Para refuerzo en dos capas asumir un d = h – 90 (mm)

Por seguridad se recomienda que el valor de la altura efectiva no se sobreestime ya que en el momento de la construcción por lo general este valor se modifica colocando el refuerzo en posiciones diferentes a las indicadas en los planos. En losas el recubrimiento mínimo es de 20 mm y siempre se utiliza una capa de refuerzo con diámetros #3 o #4. Para estos casos la altura efectiva se puede asumir así: En losas unidireccionales con luces menores o iguales a 3.7 m d = h – 25 (mm) En losas unidireccionales con luces mayores a 3.7 m d = h – 28 (mm)

En general el ancho de las secciones no debe ser menor que 200 mm y preferiblemente mayor que 300 mm en vigas y columnas. Lo anterior se debe a que solo con dos barras el ancho mínimo es de 200 mm y estas secciones en la practica se refuerzan con cantidades de refuerzo considerables ( las vigas con cuantías mayores o iguales al 1% y las columnas entre el 2 y 3%). El incumplimiento de los requisitos anteriores de separación del refuerzo y colocación conducen a las fallas típicas por hendimiento que se presentan en dirección paralela a la posición de las barras. Ya que una falla de este tipo puede ocasionar la perdida de



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______________________________________________________________________ adherencia y anclaje del refuerzo y la exposición al ataque ambiente es recomendable respetar los espaciamientos mínimos indicados en las normas. 3.4.4.3 Cuantía mínima de refuerzo. Como previamente se indico en el numeral 3.4.3.1 una falla por agotamiento del hormigón es no solo indeseable sino peligrosa porque la estructura colapsa sin mostrar evidencias de falla. Por el contrario una falla por fluencia del acero a tracción es la ideal porque gradualmente se manifiestan signos de agotamiento de la estructura que indican la proximidad del colapso ( amplias fisuras y grandes deflexiones). Adicionalmente en aquellas estructuras donde la falla se inicia por fluencia del acero a tracción se dispone de una reserva importante de resistencia ( alrededor de un 30%) debido al endurecimiento por deformación plástica que sufre el acero después de la etapa de fluencia, la cual no se tiene en cuenta en el diseño convencional. En definitiva resulta conveniente desde todo punto de vista que el diseño a flexión se base en la premisa de que si se presenta la falla esta sea por fluencia del acero y no por rotura del hormigón. Esto se puede garantizar teóricamente suministrando una cuantía de refuerzo, ?, tal que se cumpla que ( c / d t ) < 0.375 o que et > 0.0075. En la practica lo que se hace es asumir en el diseño un valor de cuantía tal que se cumplan los dos criterios anteriores y luego proceder por ajustes sucesivos hasta encontrar el verdadero valor del refuerzo. Existen razones importantes para no utilizar valores de ( c / dt) o de et diferentes a los intervalos indicados. En primer lugar en una sección estructural con una ( c / dt ) = ( c b / dt ) la máxima capacidad en flexión se logra cuando simultáneamente el acero entra en fluencia y el hormigón inicia su rotura. Esto evidentemente no es aconsejable porque no hay manifestaciones previas de la falla. En segundo lugar las propiedades de los materiales varían estadísticamente y en realidad no se conocen con precisión. Como tercer punto el endurecimiento por deformación del acero de refuerzo, el cual no se ha tenido en cuenta en el diseño, puede ocasionar una falla frágil del hormigón a pesar de que se cumplan las relaciones indicadas y finalmente el área de acero colocada realmente en una sección es siempre mayor que la realmente requerida en los cálculos tendiendo a sobre reforzar las estructuras. Por estas razones las normas y códigos de construcción recomiendan usar los criterios indicados. La practica Estadounidense y la nuestra recomiendan: c d t

≤ 0.375

o

ε t ≥ 0.005

(3.42)

Si se utilizan estos criterios se asegura un modo de falla dúctil del elemento sometido a flexión. Estas limitaciones permiten de controlar la forma del perfil de deformaciones de la sección cuando se llega a su capacidad máxima. En estos casos la posición del eje neutro es una fracción de la posición en condición balanceada. Cuantía mínima: Al igual que el caso anterior existe una cuantía mínima que garantiza un modo de falla dúctil de la estructura. Cuando una sección de un elemento estructural esta ligeramente reforzada ( poca cantidad de acero) debido a las bajas tensiones que producen las cargas externas es probable que su comportamiento sea similar al del 184 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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______________________________________________________________________ estado elástico no fisurado ( es decir tensiones inferiores al modulo de rotura del hormigón). Sin embargo el procedimiento de diseño esta basado en la determinación de la capacidad resistente de la sección en estado fisurado. Por tanto si se calcula la capacidad resistente de la sección en condición fisurada se concluye que su magnitud es inferior a la capacidad resistente de la viga sin reforzar. Ya que una de las exigencias del diseño es garantizar una falla dúctil ( por fluencia del refuerzo) la cantidad mínima de acero permitida debe ser igual a la cantidad de acero que asegure una resistencia igual a la sección solo de hormigón. En otras palabras: M n > Mcr . En donde Mn es la resistencia a flexión de una sección de hormigón armado y Mcr es la resistencia a flexión de una viga de hormigón y se conoce como el momento de fisuracion. Si se asume para la sección de hormigón sin refuerzo las siguientes características: sección rectangular, homogénea, elástica e isotropica se cumple: M cr =

0.632 f c´ .bh3 12.

h

= 0.105

f c´ .bh2

2 Y para la sección de hormigón armado la expresión 3.46 se concluye:

 

A s . f y . d −

a 

 ≥ 0.105 2 

´

f c .bh

2

Organizando términos y asumiendo a = 0.05 d ; d = 0.90 h se obtiene: ρ

≥

0.13 f c´ f y

Para hormigones de diferentes resistencias el valor de ? varia incrementándose a medida que fć aumenta. Por razones normativas y de confiabilidad tanto en el ACI-318 como en la NSR-98 se incrementa en un 90% el valor dado en la ecuación anterior para recomendar una cuantía mínima de secciones a flexión del hormigón armado. La ecuación 3.43 es el valor indicado en los códigos recomendando además que en ningún caso la cuantía debe ser inferior al valor dado en la ecuación 3.44. 0.25 f c´

ρ min

=

ρ min

= 1 .4

(3.43)

f y

(3.44)

f y

En las ecuaciones 3.43 y 3.44 el valor de la resistencia de los materiales esta dado en 2 N/mm ( MPa). La ecuación 3.44 es altamente conservadora en el caso de secciones rectangulares. Aun en losas delgadas donde la relación h/d puede alcanzar un valor de 1.25 el coeficiente solo aumentaría un 25%. Ya que la ecuación 3.43 es similarmente



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______________________________________________________________________ conservadora para losas, los códigos recomiendan en estos casos utilizar el refuerzo de retracción y temperatura como el mínimo de flexión. El refuerzo de retracción y temperatura indicado en NSR-98 y ACI-318 es el siguiente: En losas reforzadas con acero de 280 o 350 MPa la cuantía de acero es de 0.0020 respecto a la sección bruta ( b.h). En losas reforzadas con malla electrosoldada o acero de 420 MPa la cuantía de acero debe ser 0.0018 En losas reforzadas con acero de resistencia en fluencia mayor a 420 MPa medida a una deformación de 0.35% la cuantía es: 0.0018 x 420 / fy.

Los códigos también recomiendan que si la cuantía de acero obtenida de los cálculos es menor que la cuantía mínima su valor se puede incrementar en un 33% y verificar si este valor incrementado es mayor que la cuantía mínima. En caso afirmativo se coloca esta cuantía incrementada y en el otro caso la cuantía mínima. Para secciones con aletas ( T y L) cuando el alma esta en tracción se debe usar para la determinación de la cuantía el ancho del alma, bw. Tabla 3.8 Cuantía mínima del refuerzo en secciones a flexión fy (MPa)

fć(MPa)

pmin

280

21

0,0050

"

28

0,0050

"

35

0,0053

"

42

0,0058

420

21

0,0033

"

28

0,0033

"

35

0,0035

"

42

0,0039

3.4.4.4 Procedimiento practico de diseño. El problema del diseño consiste en hallar las dimensiones de la sección y el refuerzo requerido para unas determinadas condiciones de carga, apoyos y luces. Evidentemente se puede ver que no existe una solución única al problema ya que se pueden disponer de varias secciones y refuerzos con una misma capacidad resistente. Por lo general lo que realiza el ingeniero es asumir inicialmente una variable y determinar luego la otra comprobando si la solución es acertada. Los pasos a seguir son:

• Seleccionar un valor adecuado para la altura de la sección “h”. Si se conoce la luz libre y las condiciones de apoyo se puede usar como guía la tabla 3.4.



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______________________________________________________________________

• Escoger un valor adecuado para el recubrimiento del refuerzo. Como criterio • • • •

inicial se asume acero en una capa. Queda por tanto definido “d” Seleccionar el ancho de la sección considerando que debe ser mayor que 200 mm y la relación d / b entre 1.5 y 4.0. Estimar las cargas que actúan sobre la estructura y hallar el momento mayorado para cada sección critica de diseño ( mitad de la luz y apoyos). Determinar la cantidad de acero requerido en cada sección de diseño y detallarlo correctamente en un plano Revisar la capacidad de carga de la sección diseñada para comprobar si esta se ajusta a la ecuación f.Mn > Mu.

Para determinar la cantidad de acero se pueden seguir varios algoritmos de trabajo con resultados similares. En las figuras 3.34 y 3.35 se ilustran estos procedimientos.

Ejemplo 3.12 Se requiere diseñar una viga rectangular de hormigón armado para soportar una carga muerta de 18.9 kN/m la cual incluye el peso propio y una carga viva de 36.4 kN/m. La viga esta simplemente apoyada en dos muros cargueros y la luz libre es de 4.6 m. Los materiales recomendados son fć = 28 MPa y fy = 420 MPa.

qu

luz = 4.60 m

Figura 3.30 Estructura del ejemplo 3.12

Solución: En este caso solo existen dos hipótesis de carga, la muerta y la viva por lo tanto la combinación de diseño que controla es: qu

= 1.2qm + 1.6 qv = 1.2 × 18.9 + 1.6 × 36.4 = 80.92.kN / m

En este ejemplo la única sección critica a flexión se presenta en la mitad de la luz en donde el momento flector alcanza su máximo valor: 80.92 × 4.6 2 = = 214.kN .m M u = 8 8 qu .l 2

De acuerdo a la tabla 3.4 el espesor mínimo de la viga es: hmin =

4600 = 288.mm 16



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______________________________________________________________________

Entre: b, h, fć, fy, Mu

β1

( f ´ − 28 ) = 0.85 − 0.05 c

7

Asumir una capa de acero a tracción => dt = d = (h – 65) mm

A = C =

ρ

=

− f y +

1.7 f c´ M u φ .b.d 2

f y2 + 4. A.C

2. A

a

Detallar el refuerzo en

f y2

=

ρ .d . f y

c

0.85 f c´

El diseño es correcto As => fy

SI

c d t

=

a β1

≤ 0.375 NO

A s

= ρ .b.d


Modificar las propiedades de la sección Revisar según figura

FIN

Figura 3.34 Algoritmos A para determinar el refuerzo en secciones a flexión 188 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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______________________________________________________________________

Entre: b, h, fć, fy, Mu

β1

( f ´ − 28 ) = 0.85 − 0.05 c

7

Asumir una capa de acero a tracción => dt = d = (h – 65) mm

Suponer: c d t

a

≤ 0.300

= β1.c

0.85 f c´ .a ρ = d . f y

A s

= ρ .b.d



Revisar según figura

FIN

Figura 3.35 Algoritmos B para determinar el refuerzo en secciones a flexión 189 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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______________________________________________________________________ Si se asume b = 250 mm y una relación d / b = 2.0 è d = 500 mm. Se puede iniciar el diseño con una sección de tanteo b = 250 mm h = 500 mm para un d =d t = 435 mm. Se puede iniciar el diseño determinando la cuantía del refuerzo “ ? “ a partir de la ecuación del diseño f.Mn > Mu así:

 

φ . ρ.bdf y  d −

a 

pero se tiene : a =

 ≥ M u 2 

ρ .b.d . f y

0.85 f c´.b

Resolviendo para “ ? “ se obtiene la solución de una ecuación cuadrática donde: A =

ρ

f y2

1.7 f c´

= 4941; B = f y = 420 y

C =

M u φ .b.d 2

= 5.0 è

− 420 ± 4202 + 4 × 4941 × 5 − 420 ± 525 = = = 0.0106 2 × 4941 9882

En la ecuación siempre se selecciona el valor positivo. Pero este procedimiento consume tiempo de calculo innecesario por lo que en muchos casos se obvia asumiendo mejor una posición del eje neutro y por comprobaciones sucesivas que convergen rápidamente se logra una solución practica y acertada. Sea ( c / dt ) = 0.30 è c = 435 x 0.30 = 130.5 mm y a = 130.5 x 0.85 = 111 mm

=

A s

0.85 × 21 × 250 × 111 = 1179.mm 2 420

Seleccionando como refuerzo 3 # 7 a

=

è

As = 3 x 387 = 1161 mm

1161× 420 = 109.mm 0.85 × 21 × 250 ε t = 0.003 ×

φ . M n

c

2

è

=

109 = 128.mm 0.85

(435 − 128) = 0.0072 128

109   = 0.90 × 0.85 × 21× 250 × 109 ×  435 −  = 167 ×10 6. N .mm 2  

A pesar de que ( c / dt ) < 0.375 y et > 0.005, no se cumple el requisito de resistencia f.Mn > Mu è se deben aumentar las dimensiones de la sección o usar una mayor relación ( c / dt ), considerándose mejor la primera opción. Sea b = 300 mm y d = 485 mm A s

è

=

c = 145.5 y a = 124 mm

0.85 × 21 × 300 ×124 = 1581.mm 2 420



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______________________________________________________________________ Seleccionando como refuerzo 3 # 8 è As = 3 x 510 = 1530 mm a

=

1530 × 420 = 120.mm 0.85 × 21 × 300 ε t = 0.003 ×

φ . M n

c

2

è

=

120 = 141.mm 0.85

(485 − 141) = 0.0073 141

120   . .mm = 0.90 × 0.85 × 21 × 300 ×120 ×  485 −  = 246 × 106 N 2   6

Se cumple satisfactoriamente la relación de diseño porque f.Mn = 246 x 10 N.mm > 6 Mu = 214 x 10 N.mm. Otras combinaciones de refuerzo que garantizan el cumplimiento de los requisitos del diseño dúctil y seguro se presentan en la tabla 3.9. La selección de la mejor opción debe también considerar requisitos económicos y constructivos. Tabla 3.9 Combinación de barras de refuerzo del ejemplo 3.12 2

# Barras

Area (mm )

p

a (mm)

c (mm)

et

F.Mn (kN.m)

3#8

1530

0.0105

120

141

0.0073

246

2 # 10

1638

0.0113

128

151

0.0066

261

2#9+1#7

1677

0.0115

132

155

0.0064

266

2#8+2#7

1794

0.0123

141

166

0.0058

281

De igual forma se puede revisar el refuerzo de las combinaciones 2, 3 y 4. El mejor diseño es el que garantiza un mayor e t . La selección que cumple la ecuación de diseño es la primera con tres barras # 8. b = 300 mm

d = 485 mm As = 3 # 8 Figura 3.36 Sección de hormigón armado para el ejemplo 3.12 191 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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______________________________________________________________________

Ejercicio 3.13 Determinar el área de acero requerida en la viga del ejemplo 3.12 si se usan las siguientes dimensiones b = 250 mm y h = 500 mm. Considerar un momento flector externo mayorado en la sección critica de Mu = 187 kN.m. Solución: En este caso se conocen las dimensiones y por tanto para acero en una capa el valor de la altura efectiva es d = dt = 435 mm. Del ejemplo anterior se sabe que para un valor de ( c / dt ) = 0.30 la capacidad en flexión es de 167 kN.m è no se cumple el requisito de resistencia exigido. Sea ( c / dt ) = 0.35 c = 435 x 0.35 = 152 mm

=

A s

y

0.85 × 21 × 250 × 129 = 1371.mm 2 420

Se puede seleccionar como refuerzo 2 # 8 + 1 # 7 a

=

è

2

As = 1407 mm

1407 × 420 = 132.mm 0.85 × 21 × 250 ε t = 0.003 ×

φ . M n

a = 152 x 0.85 = 129 mm

c

=

132 = 155.mm 0.85

(435 − 155) = 0.0054 155

132   = 0.90 × 0.85 × 21× 250 × 132 ×  435 −  = 196 × 106. N .mm 2  

Se cumple f.Mn > Mu è las dimensiones de la sección y el porcentaje de refuerzo son correctos para la exigencia de momento indicada. La tabla 3.10 da otros refuerzos. Tabla 3.10 Combinación de barras de refuerzo del ejemplo 3.13 2

# Barras

Area (mm )

p

a (mm)

c (mm)

et

F.Mn (kN.m)

2#8+1#6

1304

0.0120

123

144

0.0060

184

2#8+1#7

1407

0.0129

132

156

0.0054

196

3#8

1530

0.0141

144

169

0.0047

210

2 # 8 +1 # 9

1665

0.0153

157

184

0.0041

224

El refuerzo a seleccionar es 2 # 8 + 1 # 7 en donde se cumplen los criterios de ( c / dt ) < 0.375 y f.Mn > Mu. En este diseño, a pesar de que la deformación del acero a tracción no es mayor que 0.0075 que es lo ideal, se cumple que si es mayor que 0.005. 192 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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______________________________________________________________________ Como esta sección tiene un b = 250 mm el numero máximo de barras por capa es de tres lo que restringe aun mas la selección de una combinación acertada de barras.

Ejemplo 3.14 Se requiere diseñar una viga rectangular de hormigón armado la cual esta simplemente apoyada en dos muros cargueros con una luz libre de 10 m. La estructura soporta una carga muerta de 15 kN/m, sin incluir el peso propio, y una carga viva de 26 kN/m. Los materiales a utilizar son : fć = 25 MPa y f y = 420 MPa.

qu

luz = 10 m

Figura 3.37 Estructura del ejemplo 3.14

Solución: Se debe estimar inicialmente el peso propio de la estructura el cual se puede asumir porque no se conocen las dimensiones de la sección o se puede determinar dimensionando la estructura de acuerdo a los requisitos estudiados en 3.4.4.1. En el primer caso el peso propio generalmente esta entre un 10 y 20% de las cargas externas aplicadas es decir entre 0.4 y 0.8 kN/m. En el segundo método se deben estimar las dimensiones de la sección: h = ( 10000 / 16 ) = 625 mm è Sea h = 650 mm. Varios tanteos preliminares sugieren que h = 800 mm considerando la magnitud de las cargas externas. El ancho de la sección se puede asumir como b = h / 2 = 400 mm. 3

Si: b = 400 mm h = 800 mm è q pp = ( 2350 kg/m x 0.4 m x 0.8 m ) x 9.8 m/s

2

2

q pp = 752 kg/m x 9.8 m/s = 7370 N/m =7.4 kN/m Se puede notar como la carga por peso propio es el 18% de la carga externa. Determinación de la carga y el momento mayorados sobre la estructura: q u y Mu qu

= 1.2 × (15 + 7.4 ) + 1.6 × 26 = 68.5.kN / m



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______________________________________________________________________ 68.5 ×10 2 = 856.kN .m M u = 8 Antes de calcular la cantidad de acero de esta viga es importante revisar las dimensiones considerando una cuantía típica en vigas del 1% è ? = 0.010 2

856 ×10 6 N .mm

=

b.d

 

0.90 × 0.010 × 420 × 1 − 0.59 ×

0.010 × 420   25

Si se mantiene el ancho de la sección en: b = 400 mm para refuerzo en una capa una altura total de h = 900 mm.

è

= 251 × 106.mm3

d = 792 mm que significa

Se concluye que para mantener una cuantía razonable en la estructura es necesario aumentar la altura de la sección de 800 mm a 900 mm. Para iniciar se puede asumir è d = dt = 835 mm. Con las anteriores dimensiones se deben revisar los valores de q u y Mu : 3

2

q pp = ( 2350 kg/m x 0.4 m x 0.9 m ) x 9.8 m/s = 8.3 kN/m qu

70 × 102 = 875.kN .m M u = 8

= 1.2 × (15 + 8.3) + 1.6 × 26 = 70.kN / m

Inicialmente se tenia un momento mayorado de 856 kN.m el cual es solo un 2% diferente del nuevo valor de 875 kN.m por lo que no se justificaba repetir los cálculos. Cuando la diferencia es mayor del 10% si se recomienda repetir los pasos anteriores. Sea ( c / dt ) = 0.300 c = 835 x 0.30 = 250.5 mm

=

A s

y

a = 250.5 x 0.85 = 213 mm

0.85 × 25 × 400 × 213 = 4311.mm 2 420

La cantidad de barras para cumplir esta exigencia puede ser: 5 # 10 a

=

4095 × 420 = 202.mm 0.85 × 25 × 400 ε t = 0.003 ×

. n φ M

c

=

è

2

As = 4095 mm

202 = 238.mm 0.85

(835 − 238 ) = 0.0075 238

202   = 0.90 × 0.85 × 25 × 400 × 202 ×  835 −  = 1134 × 106. N .mm 2  



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______________________________________________________________________ Tabla 3.11 Combinación de barras de refuerzo del ejemplo 3.14 2

# Barras

Area (mm )

p

a (mm)

c (mm)

et

F.Mn (kN.m)

5 # 10 (1C)

4095

0.0123

202

238

0.0075

1136

4 # 11 (1C)

4024

0.0120

199

234

0.0077

1119

6#8

3060

0.0092

151

178

0.0111

878

5 # 9 (1C)

3225

0.0097

159

187

0.0104

921

El mejor refuerzo es 6 # 8 donde ( c / d t ) < 0.375, et > 0.0075 y f.Mn > Mu.

d = 835 mm Barra # 3

6 #8 b = 400 mm

Figura 3.38 Sección y refuerzo de la viga del ejemplo 3.14

Ejemplo 3.15 Se requiere determinar el refuerzo en la sección critica de una viga de hormigón armado simplemente apoyada con una luz libre de 8 m para soportar una carga muerta de qm = 15 kN/m, sin incluir el peso propio, y una carga viva de qv = 37 kN/m. Por limitaciones arquitectónicas se sugiere que la viga sea cuadrada de 600 mm en su dimensión transversal. Se deben usar materiales con las siguientes propiedades mecánicas: fć = 21 MPa y fy= 420 MPa. Solución: Se determinara primero el peso de la viga, luego la carga mayorada y el momento en la sección critica para finalmente calcular el refuerzo y distribuirlo correctamente en la sección. 3

2

q pp = ( 2350 kg/m x 0.6 m x 0.6 m ) x 9.8 m/s = 8.3 kN/m 195 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


2003

DISEÑO A FLEXIÓN


______________________________________________________________________

qu

= 1.2 × (15 + 8.3) + 1.6 × 37 = 87.kN / m

El momento en la sección critica es: 87 × 8 2 = 696.kN .m M u = 8 La altura efectiva se determina considerando una sola capa de acero en la zona traccionada ya que el ancho de la sección es lo suficientemente amplio para ubicar una alta cantidad de barras. Sea d = dt = 600 – 65 = 535 mm

qu =95.5 kN/m

8m

Mmax.= 696 kN.m Figura 3.39 Estructura del ejemplo 3.15 Sea ( c / dt ) = 0.30 c = 535 x 0.30 = 160.5 mm A s

=

y

a = 160.5 x 0.85 = 136 mm

0.85 × 21 × 600 × 136 = 3468.mm 2 420



2003

flexion1

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