Flexión

6

1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable

Flexión

255

1

2

OBJETIVOS DEL CAPÍTULO Las vigas y los ejes son elementos estructurales y mecánicos importantes en la ingeniería. En este capítulo se determinará el esfuerzo que produce la flexión en estos elementos. El capítulo comienza con un análisis de cómo se establecen los diagramas de fuerza cortante y de momento para una viga o eje. Al igual que los diagramas de fuerza normal y de par de torsión, los diagramas de fuerza cortante y de momento proporcionan un medio útil para determinar la fuerza cortante y el momento máximos en un elemento, así como para especificar dónde ocurren esos máximos. Una vez que se ha determinado el momento interno en una sección, es posible calcular el esfuerzo flexionante. Primero se considerarán los elementos rectos, con una sección transversal simétrica y que están hechos de un material elástico lineal homogéneo. Después se abordarán los casos especiales que involucran la flexión asimétrica y los elementos fabricados con materiales compuestos. Además, se estudiarán los elementos curvos, las concentraciones de esfuerzo, la flexión inelástica y los esfuerzos residuales.

6.1 Diagramas de fuerza cortante y de momento

Los elementos delgados que soportan cargas aplicadas en forma perpendicular a su eje longitudinal se denominan vigas. En general, las vigas son barras largas, lineales, con un área constante en su sección transversal. A menudo se clasifican de acuerdo con la forma en que están apoyadas. Por ejemplo, una viga simplemente apoyada está articulada en un extremo y sostenida por un rodillo en el otro, figura 6-1; una viga en voladizo se encuentra fija en un extremo y libre en el otro, y una viga con voladizo si tiene uno o ambos extremos extendidos más allá de los apoyos. Se considera que las vigas están entre los elementos estructurales más importantes. Se utilizan para sostener el piso de un edificio, la cubierta de un puente o el ala de un avión. Además, el eje de un automóvil, el aguilón de una grúa e incluso muchos de los huesos del cuerpo humano actúan como vigas.

Viga simplemente apoyada

Viga en voladizo

Viga con voladizo

Figura 6-1

255

Capitulo 06_Hibbeler.indd 255

13/1/11 20:44:03

256

Capítulo 6 Flexión

1

2

3

4

P

w0

5 A

B x1 6

D C

x2

x3

Figura 6-2

7 w(x)

8 Carga distribuida externa positiva V V

9

Fuerza cortante interna positiva M M

Momento flexionante interno positivo 10

Convención de signos en las vigas

Figura 6-3

Debido a las cargas aplicadas, las vigas desarrollan una fuerza cortante interna y un momento flexionante que, en general, varían de un punto a otro a lo largo del eje de la viga. Por lo tanto, para diseñar correctamente una viga es necesario determinar la fuerza cortante y el momento máximos en la viga. Una forma de hacerlo es expresar V y M en función de su posición arbitraria x sobre el eje de la viga. Después, estas funciones de fuerza cortante y de momento pueden representarse mediante gráficas llamadas diagramas de fuerza cortante y de momento. Los valores máximos de V y M pueden obtenerse a partir de estas gráficas. Además, como los diagramas de fuerza cortante y de momento proporcionan información detallada sobre la variación de la fuerza cortante y del momento en el eje de la viga, son utilizados con frecuencia por los ingenieros para decidir dónde colocar los materiales de refuerzo dentro de la viga o para determinar la proporción del tamaño de la viga en varios puntos de toda su longitud. Para formular V y M en términos de x es necesario elegir el origen y el sentido positivo de x. Aunque la elección es arbitraria, a menudo el origen se encuentra en el extremo izquierdo de la viga y la dirección positiva es hacia la derecha. En general, las funciones de x para la fuerza cortante interna y el momento serán discontinuas, o sus pendientes serán discontinuas, en los puntos donde una carga distribuida cambia o bien donde se aplican fuerzas concentradas o momentos de par. Debido a esto, las funciones de fuerza cortante y de momento deben determinarse para cada región de la viga entre cualesquiera dos discontinuidades de la carga. Por ejemplo, las coordenadas x1, x2 y x3 tendrán que usarse para describir la variación de V y M en toda la longitud de la viga mostrada en la figura 6-2. Estas coordenadas sólo serán válidas dentro de las regiones desde A hasta B para x1, desde B hasta C para x2, y desde C hasta D para x3.

Convención de signos para las vigas. Antes de presentar un método para determinar la fuerza cortante y el momento en función de x, y para luego graficar esas funciones (diagramas de fuerza cortante y de momento), primero es necesario establecer una convención de signos para definir los valores “positivos” o “negativos” de V y M. Aunque la elección de una convención de signos es arbitraria, aquí se utilizará aquella que se emplea con mayor frecuencia en la práctica de la ingeniería y que se muestra en la figura 6-3. Las direcciones positivas son las siguientes: la carga distribuida actúa hacia arriba sobre la viga; la fuerza cortante interna ocasiona un giro en sentido horario del segmento de viga sobre el que actúa, y el momento interno causa compresión en las fibras superiores del segmento, de modo que éste se dobla como para retener agua. Las cargas que son opuestas a las descritas anteriormente se consideran negativas.

11


13/1/11 20:44:07


257

Puntos importantes

1

• Las vigas son elementos largos y rectos que están sometidos a cargas perpendiculares a su eje longitudinal. Se clasifican de acuerdo con la forma en que están apoyadas; por ejemplo, simplemente apoyadas, en voladizo o con voladizos. • Para diseñar una viga de manera correcta, es importante conocer la variación de la fuerza cortante y el momento internos a lo largo de su eje a fin de encontrar los puntos en que dichos valores son máximos. • Mediante el uso de una convención de signos establecida para la fuerza cortante y el momento positivos, es posible determinar la fuerza cortante y el momento en función de su posición x sobre la viga, y después estas funciones pueden graficarse para formar el diagrama de fuerza cortante y de momento.

2

3

4

Procedimiento de análisis Los diagramas de fuerza cortante y de momento para una viga pueden construirse mediante el siguiente procedimiento.

5

Reacciones en los apoyos.

• Determine todas las fuerzas reactivas y los momentos que actúan sobre la viga, después descomponga todas las fuerzas en componentes que actúen de forma perpendicular y paralela al eje de la viga. 6

Funciones de fuerza cortante y de momento.

• Especifique por separado las coordenadas x que tienen un origen en el extremo izquierdo de la viga y se extienden a las regiones de ésta ubicadas entre fuerzas y momentos concentrados, o bien donde no haya discontinuidad de la carga distribuida.

7

• Seccione la viga a cada distancia x y dibuje el diagrama de cuerpo libre de cada uno de los segmentos. Asegúrese de que V y M se muestren actuando en su sentido positivo, de acuerdo con la convención de signos dada en la figura 6-3.

• La fuerza cortante se obtiene si se suman las fuerzas perpendiculares al eje de la viga. • Para eliminar V, el momento se obtiene de manera directa al sumar los momentos alrededor del extre-

8

mo seccionado del segmento. Diagramas de fuerza cortante y de momento.

9

• Grafique el diagrama de fuerza cortante (V y x) y el diagrama de momento (M y x). Si los valores numéricos de las funciones que describen a V y M son positivos, éstos se representarán por encima del eje x, mientras que los valores negativos se graficarán por debajo de dicho eje.

• En general, es conveniente mostrar los diagramas de fuerza cortante y de momento por debajo del

10

diagrama de cuerpo libre de la viga.

11


13/1/11 20:44:07

258

1


6.1

EJEMPLO

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga que se muestra en la figura 6-4a. SOLUCIÓN

2 w

Reacciones en los apoyos. Las reacciones en los apoyos se muestran en la figura 6-4c.

3

Funciones de fuerza cortante y de momento. En la figura

L

6-4b se muestra un diagrama de cuerpo libre del segmento izquierdo de la viga. La carga distribuida en este segmento, wx, se representa mediante su fuerza resultante sólo después de que el segmento se aísla como un diagrama de cuerpo libre. Esta fuerza actúa a través del centroide del área que incluye a la carga distribuida, a una distancia de x>2 desde el extremo derecho. Al aplicar las dos ecuaciones de equilibrio se obtiene

(a)

4

wx 5

M

A x wL 2

6

wL - wx - V = 0 2

+ c ©Fy = 0;

x 2

V = wa

V

(b)

d+ ©M = 0;

-a

w

8

L

wL 2 V wL 2

M

10

x wL � 2

L 2

9

wL 2

2 Mmáx � wL 8

L 2

x (c)

w Lx - x2 2


(2)

Diagramas de fuerza cortante y de momento. Los diagramas de fuerza cortante y de momento, que se muestran en la figura 6-4c, se obtienen al graficar las ecuaciones 1 y 2. El punto de fuerza cortante cero puede encontrarse a partir de la ecuación 1: V = wa x =

L - xb = 0 2

L 2

NOTA: Con base en el diagrama de momento, este valor de x representa el punto de la viga donde se produce el momento máximo, dado que a partir de la ecuación 6-2 (vea la sección 6.2) la pendiente V = dM>dx = 0. De la ecuación 2, se tiene Mmáx =

Figura 6-4 11

(1)

wL x bx + 1wx2a b + M = 0 2 2 M =

7

L - xb 2

=

w L L 2 B La b - a b R 2 2 2 wL2 8

13/1/11 20:44:10


259

6.2

EJEMPLO

1

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga mostrada en la figura 6-5a. w0 L 2

w0

2

w0

w0 L 2

L (a)

w0 L2 3

3

2 L 3 (b)

SOLUCIÓN 4

Reacciones en los apoyos. La carga distribuida se remplaza por su fuerza resultante y las reacciones se determinan de la manera mostrada en la figura 6-5b.


5

6-5c se muestra un diagrama de cuerpo libre de un segmento de viga con longitud x. Observe que la intensidad de la carga triangular en la sección se determina mediante proporción, es decir, w>x = w0 >L o bien w = w0 x>L. Al conocerse la intensidad de la carga, es posible determinar la resultante de la carga distribuida como el área bajo el diagrama. Así,

w0 L2 3

w0L 1 w0x - ¢ ≤x - V = 0 2 2 L

+ c ©Fy = 0;

w0 2 1L - x22 V = 2L

w0 L 2

w0 M = 1-2L3 + 3L2x - x32 6L

w0 w0x dV = 10 - 2x2 = dx 2L L w0 w0 2 dM V = = 10 + 3L2 - 3x22 = 1L - x22 dx 6L 2L

x

1x 3

6

V

7

w0 L 2

8

(2) w0 L2 V 3 w0 L 2

9 x

Correcto M

x

Correcto

Diagramas de fuerza cortante y de momento. En la figura


M

w0

�

6-5d se muestran las gráficas de las ecuaciones 1 y 2.

w0 x L

(1)

Estos resultados pueden comprobarse mediante la aplicación de las ecuaciones 6-1 y 6-2 de la sección 6.2, es decir, w =

w�

(c)

w0L2 w0L 1 w0x 1 1x2 + ¢ ≤ xa xb + M = 0 3 2 2 L 3

d+ ©M = 0;

1 w0 x x 2 L

w0 L2 3

10

(d)

Figura 6-5

11

13/1/11 20:44:12

260

1


6.3

EJEMPLO

6 kip/ pie 2 kip/pie 2

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga mostrada en la figura 6-6a.

SOLUCIÓN

Reacciones en los apoyos. La carga distribuida se divide en componentes de cargas, triangular y rectangular, y dichas cargas se reemplazan por sus fuerzas resultantes. Las reacciones se determinan de la manera mostrada en el diagrama de cuerpo libre de la viga, figura 6-6b.

18 pies (a)

3 36 kip 36 kip

4 kip/ pie


6-6c se muestra un diagrama de cuerpo libre del segmento izquierdo. Como se hizo anteriormente, la carga trapezoidal se sustituye por las distribuciones rectangulares y triangulares. Observe que la intensidad de la carga triangular en la sección se encuentra por proporción. También se muestra la fuerza resultante y la ubicación de cada carga distribuida. Al aplicar las ecuaciones de equilibrio, se tiene

2 kip/ pie

4

9 pies 12 pies 18 pies

30 kip

5

+ c ©Fy = 0; 30 kip - 12 kip>pie2x -

1 x 4 x 2x 2 18 x 4 kip/ pie 18 2 kip/pie

6

7

42 kip

(b)

30 kip

x 2

x 2

x 3

V = ¢ 30 - 2x -

M = ¢ 30x - x2 -

(c)

2 kip/pie 8

42 kip

9.735 pies M(kip�pie)

x3 ≤ kip # pie 27

Mmáx � 163 kip�pie

La ecuación 2 puede comprobarse observando que dM>dx = V, es decir, la ecuación 1. Además, w = dv>dx = - 2 - 2¬9 x. Esto comprueba la ecuación, ya que cuando x = 0, w = -2 kip>pie, y cuando x = 18 pies, w = -6 kip>pie, figura 6-6a.

Diagramas de fuerza cortante y de momento. Las ecua-

x = 9.735 pies Por lo tanto, a partir de la ecuación 2,

x(pie) (d) 11


(2)

ciones 1 y 2 se grafican en la figura 6-6d. Como el punto de momento máximo ocurre cuando dM>dx = V = 0 (ecuación 6-2), entonces, de la ecuación 1, x(pie) x2 V = 0 = 30 - 2x 9 Si se elige la raíz positiva, �42

30

10

(1)

x x 1 x -30 kip1x2 + 12 kip>pie2xa b + 14 kip>pie2a bxa b + M = 0 2 2 18 pies 3

V

6 kip/ pie

9

x2 ≤ kip 9

d+ ©M = 0;

M

30 kip V(kip)

1 x 14 kip>pie2a bx - V = 0 2 18 pies

Figura 6-6

Mmáx = 3019.7352 - 19.7352 2

= 163 kip # pie

19.73523 27

13/1/11 20:44:15

261


EJEMPLO

6.4

1

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga mostrada en la figura 6-7a. 15 kN

5 kN/ m

80 kN�m

2

80 kN�m M

C

A

x1

B 5m

5m

V

5.75 kN

(a)

3

(b)

SOLUCIÓN

Reacciones en los apoyos. Se han determinado las reacciones en los apoyos y se muestran en el diagrama de cuerpo libre de la viga, figura 6-7d.

15 kN 5(x2 � 5)

4

80 kN�m M

Funciones de fuerza cortante y de momento. Como existe una discontinuidad de la carga distribuida y también una carga concentrada en el centro de la viga, deben considerarse dos regiones de x a fin de describir las funciones de fuerza cortante y de momento para toda la viga.

5m

x2

d+ ©M = 0;

5.75 kN - V = 0 V = 5.75 kN -80 kN # m - 5.75 kN x1 + M = 0 M = (5.75x1 + 80) kN # m

(c)

(1) (2)

d + ©M = 0;

15 kN

C A

+ 5 kN>m1x2 - 5 m2 ¢

34.25 kN

(3) 5.75

x(m)

8

�9.25

(4)

Estos resultados pueden comprobarse, en parte, al señalar que w = dV>dx y V = dM>dx. Además, cuando x1 = 0, de las ecuaciones 1 y 2 resulta V = 5.75 kN y M = 80 kN ∙ m; cuando x2 = 10 m, de las ecuaciones 3 y 4 se obtiene V = -34.25 kN y M = 0. Estos valores coinciden con las reacciones de apoyo mostradas en el diagrama de cuerpo libre, figura 6-7d.

M (kN�m)

�34.25

9

108.75 80

Diagramas de fuerza cortante y de momento. En la figura


7

5m

V (kN)

x2 - 5 m ≤ + M = 0 2

M = 1 -2.5x22 + 15.75x2 + 92.52 kN # m

6-7d se grafican las ecuaciones 1 a 4.

B

5.75 kN

5.75 kN - 15 kN - 5 kN>m1x2 - 5 m2 - V = 0 -80 kN # m - 5.75 kN x2 + 15 kN1x2 - 5 m2

5 kN/ m

80 kN�m

5m

V = 115.75 - 5x22 kN

5

6

5 m 6 x2 … 10 m, figura 6-7c: + c ©Fy = 0;

V

5.75 kN

0 … x1 6 5 m, figura 6-7b: + c ©Fy = 0;

x2 � 5 x2 � 5 2 2

10 x(m) (d)

Figura 6-7 11

13/1/11 20:44:18

274

1

2


P ROBLEMAS 6-1. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para el eje. Los cojinetes en A y B sólo ejercen reacciones verticales sobre el eje.

*6-4. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga en voladizo. 2 kN/m

B

A

A

3

6 kN�m 2m

Prob. 6-4 800 mm

250 mm

6-5. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga.

4 24 kN

10 kN

Prob. 6-1

8 kN

5 15 kNm

6-2. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga simplemente apoyada. 2m

6

3m

Prob. 6-5

4 kN M � 2 kN�m A

7

B 2m

2m

6-6. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga con voladizo.

2m

8 kN/m

Prob. 6-2 C

A 8

B

6-3. Una grúa se usa para sostener el motor que tiene un peso de 1200 lb. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento del aguilón ABC cuando se encuentra en la posición horizontal mostrada.

3 pies

5 pies B

10

Prob. 6-6 6-7. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga compuesta que está conectada mediante un pasador en B.

9 A

2m

4m

C

6 kip

8 kip

4 pies A C

B 4 pies

11

Prob. 6-3


6 pies

4 pies

4 pies

Prob. 6-7

13/1/11 20:45:01

275

6.2 Método gráfico para la construcción de diagramas de fuerza cortante y de momento

*6-8. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga simplemente apoyada.

150 lb/pie

6-11. La viga con voladizo se fabricó incluyendo en ella un brazo proyectado BD. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga ABC si soporta una carga de 800 lb. Sugerencia: La carga en el puntal de apoyo DE debe remplazarse por cargas equivalentes en el punto B sobre el eje de la viga.

2

300 lb�pie A

1

E

B 800 lb

12 pies

Prob. 6-8

6-9. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga. Sugerencia: La carga de 20 kip debe remplazarse por cargas equivalentes en el punto C sobre el eje de la viga.

15 kip 20 kip 1 pie

A

C

B

4 pies

2 pies

B

A

4 pies

5 pies

D

6 pies

3

C

4 pies

Prob. 6-11

4

*6-12. Un muelle de concreto reforzado se utiliza para sostener los largueros de la calzada de un puente. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para el muelle cuando se somete a las cargas indicadas. Suponga que las columnas A y B sólo ejercen reacciones verticales sobre el muelle.

5

60 kN 60 kN 35 kN 35 kN 35 kN 1 m 1 m 1.5 m 1.5 m 1 m 1 m 6

4 pies

Prob. 6-9 A

B

6-10. Los elementos ABC y BD de la silla mostrada están rígidamente conectados en B y el collarín liso en D puede moverse con libertad a lo largo de la ranura vertical. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para el elemento ABC.

7

Prob. 6-12 6-13. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga compuesta. Ésta se sostiene mediante una placa lisa en A la cual se desliza dentro de la ranura por lo que no puede soportar una fuerza vertical, aunque sí puede hacerlo con un momento y una carga axial.

P

P � 150 lb

1.5 pies

1.5 pies

9

P

C A

B

A

8

D

B

10

C

1.5 pies

D a

Prob. 6-10


a

a

a

11

Prob. 6-13

13/1/11 20:45:22

276

1

2


6-14. El robot industrial se mantiene en la posición estacionaria que se muestra en la figura. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento del brazo de ABC si éste se encuentra conectado mediante un pasador en A y unido al cilindro hidráulico BD (elemento de dos fuerzas). Suponga que el brazo y la empuñadura tienen un peso uniforme de 1.5 lb>pulg, y soportan una carga de 40 lb en C. 4 pulg A

50 pulg

10 pulg

B

•6-17. Dibuje los diagramas de cortante y de momento para la viga en voladizo. 300 lb

200 lb/pie

A

C

6 pies

Prob. 6-17

3 120

6-18. Dibuje los diagramas de cortante y de momento para la viga; asimismo determine la fuerza cortante y el momento a lo largo de la viga como funciones de x.

D 4

2 kip/pie

10 kip

8 kip 40 kip�pie

Prob. 6-14 5

6

6-15. Considere el problema general de la viga sometida a n cargas concentradas. Escriba un programa de computadora que pueda utilizarse para determinar la fuerza cortante y el momento internos en cualquier ubicación x dada a lo largo de la viga; asimismo grafique los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga. Muestre una aplicación del programa usando los valores de P1 = 500 lb, d1 = 5 pies, P2 = 800 lb, d2 = 15 pies, L1 = 10 pies, L = 15 pies. P1

P2

x 6 pies

4 pies Prob. 6-18 Prob. 6-18

6-19. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga.

Pn

2 kip/pie

7

30 kip�pie

B A d1 d2

8

5 pies

5 pies

dn

5 pies

Prob. 6-19

L1 L

9

Prob. 6-15 *6-16. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para el eje y determine la fuerza cortante y el momento en todo el eje como una función de x. Los cojinetes en A y B sólo ejercen reacciones verticales sobre el eje.

*6-20. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga simplemente apoyada. 10 kN 10 kN/m

500 lb 800 lb

10 A

A

B x

11

3 pies

2 pies

Prob. 6-16


0.5 pie

0.5 pie

B

3m

3m

Prob. 6-20

13/1/11 20:45:41

Flexión

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