flambement

Flambement

Petit manuel pour surnager Version 3.0.0.1 22 septembre 2008

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Bernard ETIENNE [email protected]

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FLAMBEMENT

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FLAMBEMENT

Table des matières 1 Flambement de EULER 1.1 1.2 1.3

1.4 1.5

1.6

Etats d'équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phénomène de ambement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flambement de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Résolution analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2.1 Prise en compte de l'eort normal et du moment échissant seuls . . . 1.3.2.1.1 Force critique de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2.1.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2.2 Prise en compte de l'eort normal, de l'eort tranchant et du moment échissant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2.2.1 Force critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2.2.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Contrainte critique de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Approche énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Déformée sinusoïdale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Déformée polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2.1 Déformée parabolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2.2 Déformée quadrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Forme réduite de la courbe de ambement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 13 13 14 14 15 15 16 17

18 18 19 19 19 20 21 22 22 22 24 25

2 Flambement en grands déplacements

27

3 Imperfections de structures

29

2.1 3.1

3.2 3.3 3.4

Résolution numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Modélisation de Young . . . . . . . . . 3.1.1 Defaut de rectitude . . . . . . . 3.1.2 Défaut de centrage de la charge 3.1.3 Exemple . . . . . . . . . . . . Modélisation de Rankine . . . . . . . 3.2.1 Exemple . . . . . . . . . . . . Modélisation de Ayrton et Perry . . . 3.3.1 Exemple . . . . . . . . . . . . Modélisation de Dutheil . . . . . . . . 3.4.1 Exemple . . . . . . . . . . . .

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4 Longueur de ambement 4.1

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Structures à noeuds xes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Barre biencastrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1.1 Recherche des points d'inexions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

27

29 29 31 33 34 35 35 37 37 39

41 41 42 43

TABLE DES MATIÈRES 4.1.2 4.2

4.3 4.4 4.5

Barre encastrée à une extrémité et articulée à l'autre 4.1.2.1 Recherche des points d'inexions . . . . . . . Structures à noeuds libres de se déplacer . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Barre encastrée à une extrémité et libre à l'autre . . . 4.2.2 Barre biencastrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Barre encastrée à une extrémitée et sur appui élastique 4.2.3.1 Rigidité innie : r → ∞ . . . . . . . . . . . . 4.2.3.2 Rigidité nulle : r = 0 . . . . . . . . . . . . . En résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cas des structures en cadres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Expérimentation en laboratoire . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . à l'autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5 Courbes européennes de ambement 5.1

Interprétation du coecient η . 5.1.1 Coecient de Robertson 5.1.1.1 Exemple . . . 5.1.2 Coecients de Dutheil 5.1.2.1 Exemple . . . 5.1.3 Coecient de Godfrey . 5.1.3.1 Exemple . . . 5.1.4 Coecients de la CECM 5.1.4.1 Exemple . . . 5.1.5 En résumé . . . . . . . .

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6 Vérications reglementaires 6.1

6.2 6.3

51 51 51 51 52 52 52 52 53 53

55

Vérication suivant les règles de calculs des constructions en 6.1.1 Vérication des poutres à ame pleine . . . . . . . . . 6.1.1.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Vérication des poutres en treillis . . . . . . . . . . . 6.1.2.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vérication suivant l'additif 80 . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vérication suivant l'Eurocode 3 . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Courbes de ambement . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Vérication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

acier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(CM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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A Rappels mathématiques et de mécanique A.1 Rappels de mathématiques . . . . . . . . . . . . A.1.1 Expression de la courbure . . . . . . . . A.2 Rappels de mécanique . . . . . . . . . . . . . . A.2.1 Ame équivalente des poutres en treillis . A.2.1.1 Exemple . . . . . . . . . . . . A.2.2 Équations de comportement d'une barre

55 55 55 56 56 56 57 58 58 58 59

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B Tableaux des valeurs de k (CM 66), k0 (Additif 80) et χ (Eurocode 3) B.1 Valeurs de k pour les règles CM 66 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2 Valeurs de k0 pour l'Additif 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.3 Valeurs de χ pour l'Eurocode 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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44 45 45 45 46 47 48 48 48 48 48

FLAMBEMENT

61 61 61 61 63 63

65 66 70 72

TABLE DES MATIÈRES

C L'article de J. DUTHEIL parru dans la revue "Construction Métallique" du 2 juin 1966 77 C.1 Flambement simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.1.1 Processus de ambement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.1.2 Loi de déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.1.3 Critère de ruine, charge d'aaissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.1.4 Conception probabiliste de la sécurité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.1.5 Vérication expérimentale des formules et détermination des coecients a et b C.1.6 Extension aux barres à treillis ou à barettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.1.7 Déformation dans deux plans perpendiculaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.1.8 Cas d'une section simplement symétrique par rapport au plan de ambement . C.1.9 Vérication courante des pièces prismatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.2 Systèmes hyperstatiques dont certains éléments sont soumis au ambement . . . . . . C.2.1 Méthode directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.2.2 Méthode des modules ctifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.2.3 Inuence des imperfections sur la stabilité des systèmes hyperstatiques . . . . . C.2.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.3 Pièces soumises à une compression axiale avec exion dans le plan de ambement . . . C.3.1 Barres bi-articulées, idéalement parfaites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.3.2 Barres réelles avec leurs imperfections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.3.3 Coecients d'amplication des contraintes de exion . . . . . . . . . . . . . . .

D Bibliographie et remerciements

D.1 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.2 Remerciements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


77 77 78 80 81 82 83 83 84 85 86 86 87 89 89 89 89 89 89

91

91 91

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TABLE DES MATIÈRES

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FLAMBEMENT

Table des gures 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15

Etats d'équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flambement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sollicitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sollicitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flèches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Courbe de Euler Fcr / l . . . . . . . . . . . . . . Courbe de Euler σcr / λ . . . . . . . . . . . . . . Travail de F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Raccourcissement ∆l . . . . . . . . . . . . . . . EI Variation du coecient de 2 pour une déformée l Déformées quadriques . . . . . . . . . . . . . . . Courbe de ambement adimensionnelle N λ . . . Données Exemple 1.6.1 page 25 . . . . . . . . . . Exercice 1.6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . quadrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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13 14 14 15 15 16 18 20 20 21 23 24 25 26 26

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

Barre imparfaite . . . . . . . . . . . . . . Barre imparfaite sollicitée . . . . . . . . . Excentration de la charge . . . . . . . . . Sollicitation avec excentration de la charge Imperfections : coecients d'amplication Imperfections : courbes de ambement . . Modélisation de Rankine . . . . . . . . . . Courbe de ambement de Ayrton Perry . Exemple 3.3.1 page 37 . . . . . . . . . . .

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29 30 31 31 33 34 35 37 37

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14

Liaisons quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equilibre d'une section . . . . . . . . . . . . . . . . . Barre biencastrée noeuds xes . . . . . . . . . . . . . Points d'inexion de la barre biencastrée . . . . . . . Barre encastrée à une extrémité et articulée à l'autre . Barre encastrée à une extrémité et libre à l'autre . . . Barre equivalente à la barre encastrée . . . . . . . . . Barre biencastrée noeuds déplaçables . . . . . . . . . Barre equivalente à la barre biencastrée . . . . . . . . Schéma mécanique equivalente de la barre biencastrée Barre encastrée à une extrémitée et sur appui élastique Equilibre de la section à "droite" . . . . . . . . . . . . Equilibre d'une barre sur appuis élastiques . . . . . . . Expérimantation en laboratoire . . . . . . . . . . . . .

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41 41 42 43 44 45 46 46 46 46 47 47 48 49

A.1 Ame équivalente des poutres en treillis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

9

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TABLE DES FIGURES A.2 Conservation des angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3 Mat en treillis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4 Notation équations intrinsèques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62 63 64

C.1 C.2 C.3 C.4 C.5

77 78 82 84 86

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Liste des tableaux 1.1

Caractéristiques du tube NF A 49 541 φ 42.4 × 2.6 mm

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17

4.1

Longueurs de ambement usuelles

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

5.1

Forces critiques pour diverses imperfections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

A.1 Caractéristiques des cornières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

B.1 B.2 B.3 B.4 B.5 B.6 B.7 B.8 B.9 B.10 B.11 B.12

66 67 68 69 70 71 72 72 73 74 75 76

CM 66 : valeurs de k pour σe = 235M P a . . CM 66 : valeurs de k pour σe = 275M P a . . CM 66 : valeurs de k pour σe = 295M P a . . CM 66 : valeurs de k pour σe = 355M P a . . Additif 80 : valeurs de k0 pour la courbe "a" Additif 80 : valeurs de k0 pour la courbe "b" Additif 80 : valeurs de k0 pour la courbe "c" Eurocode 3 : valeurs de χ pour la courbe a0 . Eurocode 3 : valeurs de χ pour la courbe a . Eurocode 3 : valeurs de χ pour la courbe b . Eurocode 3 : valeurs de χ pour la courbe c . Eurocode 3 : valeurs de χ pour la courbe d .

11

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LISTE DES TABLEAUX

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FLAMBEMENT

Chapitre 1 Flambement de EULER Le phénomène du ammbement reste encore mystérieux pour bon nombre de mécaniciens, nous allons tenter de lever un coin du voile . . . en mettant l'accent sur l'aspect "construction métallique" où ce phénomène est trés sensible et a de fortes incidences économiques.

1.1 Etats d'équilibre On pose une bille sur trois surfaces : convexe, plane et concave (gure 1.1) Fig. 1.1 Etats d'équilibre

On obtient alors trois états d'équilibre distincts si l'on écarte la bille de sa position initiale. :

• Instable : la bille ne rejoindra pas sa position initiale. • Indiérent : la bille reste dans la position où elle a été placée. • Stable : la bille revient toujours à sa position initiale.

1.2 Phénomène de ambement Dans tout ce qui suit on considère que le matériaux est élastique linéaire de module de Young E et de caractéristiques mécaniques constantes : A : aire de la section : m2 . v : distange du centre de gravité à la bre extrème considérée : m. I : moment quadratique (ou module d'inertie) pour la direction de exion considérée : m4 . I Wel = : module élastique : m3 . v r I i= : rayon de giration : m. A − → On soumet une barre rectiligne homogène à deux forces F égales et oposées. On observe qu'en deça − → d'une certaine valeur de F la barre est en équilibre stable, si on l'écarte de sa position (légère exion), lorsque la perturbation cesse, elle retrouve sa rectitude. Au dela d'une certaine valeur l'état d'équilibre

13

CHAPITRE 1. FLAMBEMENT DE EULER devient instable, si l'on écarte la barre de sa position d'équilibre elle atteint un autre état d'équilibre stable cette fois là (gure 1.2).

Fig. 1.2 Flambement

F

F

F

F

l

Les sollicitations sont alors (gure 1.3).

Fig. 1.3 Sollicitations

F

y(l/2)

F

M=−Fy(l/2) N=−F

N=−F l/2

Le phénomène du ambement est donc, à partir d'un seuil de compression, le passage d'un état d'équilibre instable en compression simple à un état d'équilibre stable en exion composée. Le problème du ambement revient donc à déterminer le seuil de compression à partir duquel il y a bifurcation d'équilibre, une instabilité de structure. Ce seuil est la force critique de Euler 1 . Enn on remarquera que dans le problème du ambement les déformations inuent sur les sollicitations ce qui contrevient à une des hypothèses de la résistance des matériaux. On a donc plus à résoudre un problème au premier ordre mais au second ordre. Le principe de superposition ne s'applique plus, la structure est toujour élastique mais son comportement n'est plus linéaire.

1.3 Flambement de Euler 1.3.1 Modélisation On considère une barre rectiligne homogène de matériaux E de longueur l, biarticulée en G0 G1 , de − → section A à deux plans de symétrie, d'inertie constante I , soumise à un eort de compression F , dans un état ambé (gure 1.4 page suivante). 1 Leonhard

EULER : Bâle le 15 avril 1707 - Saint Petersbourg le 18 septembre 1783. Astronome, physicien et mathématicien

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FLAMBEMENT

1.3. FLAMBEMENT DE EULER Fig. 1.4 Modélisation

y

F

F G0

x

G1 x

y(x)

A l'abscisse x on a l'état de sollicitations (gure 1.5). Fig. 1.5 Sollicitations

V(x)

y M(x) α(x)

y(x)

N(x)

G(x)

F

x

x

G0 1.3.2 Résolution analytique

1.3.2.1 Prise en compte de l'eort normal et du moment échissant seuls → − Au second ordre on peut négliger les projections de F puisque les déformations en translations et rotations (α(x) ≈ 0) sont petites. A l'équilibre on peut donc écrire : N (x) ≈ −F

V (x) ≈ 0

M (x) = −F y(x)

(1.1)

En reprenant l'équation du moment échissant (1.1) on a : (1.2)

M (x) + F y(x) = 0 Sachant que M (x) = EIy ” (x)2 , on remplace M (x) dans (1.2) et l'on obtient :

EIy ” (x) + F y(x) = 0 ⇔ y ” (x) +

F y(x) = 0 EI

Equation diérentielle du second ordre à coecients constants, sans second membre, pour laquelle F on pose K 2 = , on a alors : EI

y ” (x) + K 2 y(x) = 0

(1.3)

2 Sachant

que ceci est une approximation liée à l'hypothèse des petits déplacements. On reprendra le problème au paragraphe 2.1 page 27 avec l'expression exacte de la courbure donnée en A.1.1 page 61


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CHAPITRE 1. FLAMBEMENT DE EULER Le polynome caractéristique de cette équation (1.3) est : ax2 + bx + c tel que : a = 1, b = 0 et c = K 2. Les solutions de l'équation caractéristique x2 + K 2 = 0 sont complexes et valent : ±iK . Sachant que dans le cas de solutions complexes α ± iβ de l'équation caractéristique, la solution de l'équation diérentielle est : y = eαx (A cos βx + B sin βx) où A et B sont des constantes réelles. La solution de l'équation (1.3) est avec α = 0 et β = K (en remarquant que e0x = 1) : (1.4)

y = A cos Kx + B sin Kx

Il reste donc à déterminer les constantes d'intégration A et B en trouvant deux conditions initiales. On sait que les déplacements suivant ~y sont nuls aux appuis G(0) et G(1), on peut donc écrire :

y(0) = 0

y(l) = 0

En reprenant la condition en x = 0 et en la reportant dans l'équation (1.4) on peut alors écrire :

0=A×1+B×0⇔A=0 En reprenant la condition en x = l et en la reportant dans l'équation (1.4) on peut alors écrire :

0 = 0 × cos Kl + B × sin Kl ⇔ B sin Kl = 0

(1.5)

L'équation (1.5) admet une première solution B = 0 mais celle ci est sans interêt pour notre → − problème car pour toute valeur de F la èche y(x) = 0 × cos Kx + 0 × sin Kx = 0 ce qui signie que la barre est toujours rectiligne et donc ne ambe pas. nπ ce qui donne comme solution de La deuxième solution est sin Kl = 0 soit Kl = nπ ⇔ K = l l'équation (1.4) :

y(x) = B sin

nπx l

(1.6)

Ce que nous apprend cette équation c'est . . . que l'on ne peut pas connaître quantitativement la valeur de la èche car la constante B reste indéterminée, il y a une innité de positions dééquilibre. On remarque que pour n = 1 la déformée est une arche de sinusoïde, pour n = 2 une double arche et ainsi de suite : voir la gure 1.6

n=1

Fig. 1.6 Flèches

n=2

Pour n = 2 et les valeurs supérieures, l'équilibre est instable (purement théorique) on ne retiendra donc que la valeur n = 1. Dans ce cas la barre G0 G1 est bien ambée.

K=

1.3.2.1.1 Force critique de Euler

π l

Ayant posé K 2 =

peut alors écrire :

K2 =

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(1.7)

F pour résoudre l'équation (1.3) on EI

F π2 π 2 EI = 2 ⇔F = EI l l2

FLAMBEMENT

1.3. FLAMBEMENT DE EULER Cette valeur de F est donc l'eort de compression qui est le seuil de ambement, Elle est nommée la force critique de Euler Fcr . Pour F < Fcr la barre est rectiligne, en équilibre stable en compression simple. Pour F = Fcr la barre est en équilibre instable, il peut y avoir (et il y aura) bifurcation d'équilibre pour atteindre un état d'équiliblre stable en exion composée. Au dela de Fcr le seul état possible est instable, la barre étant rectiligne.

Fcr =

π 2 EI l2

3

(1.8)

1.3.2.1.2 Exemple

On charge axialement un tube ni à froid conforme à la norme NF A 49 541 φ 42.4 × 2.6 mm de caractéristiques :

Tab. 1.1 Caractéristiques du tube NF A 49 541 φ 42.4 × 2.6 mm

Module de Young Limite élastique Section Moment quadratique Module élastique Rayon de giration Eort normal plastique

E σe A I Wel i Np

210 000 235 325.1 64 640 3 049 14.1 76 398.5

MP a MP a mm2 mm4 mm3 mm N

1. - Une barre de longueur l = 2 m soumise à une charge axiale de 3 T convient-elle (reporter les points sur la courbe) ? 2. - En dessous de quelle valeur de l le risque de plastication en compression simple intervient-il avant le risque de ambement (reporter les points sur la courbe suivante) ? 3. - Donner l'allure de la courbe représentant la variation de Fcr en fonction de l Force critique : Fcr =

π 2 × 210 000 M P a × 64 640 mm4 π 2 EI = l2 2 000 mm2 Fcr ≈ 33 493.5 N

(1.9)

La force appliquée est inférieure à la force critique, le prolé convient. La section est plastiée pour Np = 76 398.5 N , si la force critique atteint cette valeur on a : s r EI 210 000 M P a × 64 640 mm4 = Np ⇔ l = π =π ≈ 1 324.3 mm 2 l Np 76 398.5 N

π 2 EI

En dessous d'une longueur de 1324.3 mm la barre perrirait en compression simple puisque on aurait Fcr ≥ Np ce qui est impossible. 3 Publié

en 1778 à Potsdam alors qu'il était devenu aveugle depuis 1771...


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CHAPITRE 1. FLAMBEMENT DE EULER Fig. 1.7 Courbe de Euler Fcr / l

Fcr N

Np = 76 398.5 Fcr = 33 493.5

3T

1 324.3

l mm

2000

La variation de Fcr en fonction de l est représentée sur la courbe 1.7. On peut constater que la longueur est un premier facteur agravant du ambement.

1.3.2.2 Prise en compte de l'eort normal, de l'eort tranchant et du moment échissant On a toujour l'équation du moment échissant (1.1) soit : M (x) = −F y(x). On exprime la courbure de la déformée dans le cas général avec G le module de YOUNG transversal et Av la section réduite d'eort tranchant soit : · ¸ d V (x) d2 y(x) M (x) + = dx2 EI dx GAv En remplaçant M (x) par sa valeur et en remarquant que G et Av sont des constantes il vient :

d2 y(x) 1 dV (x) F y(x) + =− 2 dx EI GAv dx

(1.10)

dM (x) dy(x) et en remplaçant M (x) par sa valeur il vient V (x) = F que dx dx l'on reporte dans l'équation (1.10) on obtient : µ ¶ d2 y(x) F F d2 y(x) F F ” =− y(x) + ⇔ y (x) 1 − + y(x) = 0 (1.11) 2 2 dx EI GAv dx GAv EI Sachant que V (x) = −

F EI En posant Kv2 = l'équation (1.11) s'écrit : F 1− GAv y ” (x) + Kv2 y(x) = 0 et admet la solution trouvée en (1.6) avec la valeur de Kv =

π vue en (1.7) l

1.3.2.2.1 Force critique Ayant posé Kv : Kv2

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F π2 F GAv π2 EI = = 2 ⇔ = 2 F l EI (GAv − F ) l 1− GAv

FLAMBEMENT

(1.12)

1.4. CONTRAINTE CRITIQUE DE EULER π 2 EI vue en (1.8) l'équation (1.12) devient : l2 GAv Fcr F = GAv + Fcr

Avec la force critique de EULER : Fcr =

qui peut se mettre, lorsque on l'inverse, sous la forme :

1 1 1 = + F Fcr GAv

(1.13)

Comme on puvait s'y attendre la force critique en tenant compte de l'eet de l'eort tranchant est inférieure à la force critique de EULER déterminée en n'en tenant pas compte ( 1.8 page 17). Cette diérence est peu sensible pour les poutres à ame pleine mais non négligeable pour des éléments composés en treillis.

1.3.2.2.2 Exemple TO DO

1.4 Contrainte critique de Euler Fcr . A la force critique de Euler correspond la contrainte critique telle que σcr = A Avec le rayon de giration i : r i=

I A

(1.14)

l i

(1.15)

Avec l'élancement λ :

λ= La contrainte critique de Euler devient :

σcr

Fcr = = A

π 2 EI 2 2 2 l2 = π Ei = π E A l2 λ2 σcr =

π2E λ2

(1.16)

1.4.1 Exemple En reprenant les données de l'exemple 1.3.2.1.2 page 17 : 1. - Une barre de longueur l = 2 m soumise à une charge axiale de 3 T convient-elle (reporter les points sur la courbe suivante) ? 2. - En dessous de quelle valeur de λ le risque de plastication en compression simple intervient-il avant le risque de ambement (reporter les points sur la courbe suivante) ? 3. - Donner l'allure de la courbe représentant la variation de σcr en fonction de λ

30 000 N F = ≈ 92.3M P a. A 325.1 mm2 π2E l 2 000 π 2 × 210 000 M P a La contrainte critique vaut : σcr = 2 . Avec λ = = ≈ 141.8 on a σcr = ≈ λ i 14.1 141.82 103 M P a soit σ ≤ σcr le prolé convient. La contrainte normale vaut : σ =


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CHAPITRE 1. FLAMBEMENT DE EULER r r π2E E 210 000 M P a Lorsque σcr = σe soit : 2 = σe on a λ = π ≈ 93.9 =π λ σe 235 M P a En dessous d'un élancement de 93.9 la barre perrirait en compression simple puisque on aurait σcr ≥ σe Fig. 1.8 Courbe de Euler σcr / λ

σcr MPa

235 103 92.3 93.9

λ

141.8

La variation de σcr en fonction de λ est représentée sur la courbe 1.8. On peut constater que l'élancement est un deuxième facteur agravant du ambement.

1.5 Approche énergétique Pour mettre en évidence le phénomène du ambement on va étudier, dans le cas d'équilibre en → − ambement, le travail de la force extérieure F et des forces de cohésion (N et M ). On écrira ensuite que le travail des forces extérieures est égal au travail des forces de cohésion. Sur la gure 1.9 sont matérialisés les déplacements avec δl << ∆l. Fig. 1.9 Travail de F

F

F

F

F ∆l

δl l

l

En compression simple δl << ∆l.

− → En état de ambement (exion composée) le travail de F , qui est donc la force critique, vaut :Fcr ∆l. En négligeant le travail de l'eort normal qui est petit devant le travail du moment échissant, le travail M 1 Rl M dx. On a donc l'équation : des forces intérieures vaut : 2 0 EI Z 1 l M Fcr ∆l = M dx (1.17) 2 0 EI

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FLAMBEMENT

1.5. APPROCHE ÉNERGÉTIQUE En remarquant que M = EI

d2 y(x) l'équation (1.17) devient : dx2 µ 2 ¶2 Z d y(x) 1 l Fcr ∆l = EI dx 2 0 dx2

(1.18)

Il faut maintenant exprimer ∆l. Sur un tronçon de longueur dl à partir de la gure 1.10 : Fig. 1.10 Raccourcissement ∆l

dl

θ (x) y(x)

x

On écrira alors ∆l = l −

Rl 0

dlcosθ

dl cos θ(x) soit en remarquant que l = Z

Rl 0

dl :

l

∆l =

[1 − cos θ(x)] dl 0

(1.19)

On reste toutefois dans le domaine des petits déplacements. Sachant qu'un développement limité 1 dy(x) θ2 et que tan θ ≈ θ on écrit 1 − cos θ ≈ tan2 θ. En remarquant qu'enn tan θ = de cos θ ≈ 1 − 2 2 dx l'équation (1.19) devient :

1 ∆l = 2

Z lµ 0

dy(x) dx

¶2 dx

(1.20)

En reportant (1.20) dans (1.18) on a l'expression de la force critique :

µ 2 ¶2 d y(x) EI dx 0 dx2 = ¶ µ R l dy(x) 2 dx 0 dx Rl

Fcr

(1.21)

Pour déterminer Fcr il faut donc connaitre la déformée. Nous allons donc étudier les cas suivants.

1.5.1 Déformée sinusoïdale

πx Une déformée du type y(x) = a sin satisfait aux conditions initiales y(0) = 0 et y(l) = 0. Elle l µ ¶ l l est de plus maximale : y = a et symétrique en x = . 2 2 Soit en dérivant : πx π y 0 (x) = a cos l l πx π2 y”(x) = −a 2 sin l l


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CHAPITRE 1. FLAMBEMENT DE EULER Soit en intégrant le numérateur et le dénominateur de l'équation (1.21) :

R l 2 πx Rl a2 π 4 πx EI 0 sin2 dx dx 2 EI 0 sin 4 π l l Fcr = l 2 2 = R πx l l2 2 a π Rl πx dx 2 0 cos dx cos l l2 0 l 1 − cos 2x 1 + cos 2x Avec sin2 x = et cos2 x = : 2 2 Z

l

πx dx = l 0 Z l πx cos2 dx = l 0 La force critique est : Fcr =

sin2

l 2 l 2

π 2 EI ce qui est le résultat attendu. l2

1.5.2 Déformée polynomiale Le polynome représentant la déformée doit avoir deux racines en x = 0 et x = l, être maximal et l avoir un axe de symétrie en x = . Son degré ne peut pas être 3 car ceci ne permet pas de vérier les 2 conditions sur la déformée. Pour les degrés 2 et 4 il existe une solution et au dela il n'y a pas assez de conditions pour déterminer tous les coecients du polynome.

1.5.2.1 Déformée parabolique 4a Une déformée du type y(x) = 2 x (l − x) est satisfaisante avec y l Soit en dérivant :

µ ¶ l = a. 2

¶ µ 8a l y (x) = 2 −x l 2 8a y”(x) = − 2 l 0

Soit en intégrant le numérateur et le dénominateur de l'équation (1.21) :

¶ Z lµ 8a 2 64a2 EI − 2 dx = 3 EI l l 0 ¶¸2 Z l· µ 8a l 16a2 − x = l2 2 3l 0 12EI π 2 EI (indépendante de a), valeur supérieure à (1.8). On ne retiendra 2 l l2 donc pas cette déformée puisque elle s'écarte de ≈ 22 % de la valeur inférieure. Soit la valeur de Fcr =

1.5.2.2 Déformée quadrique ¡ 2 ¢ 16a 2 est satisfaisante avec y x (l − x) x − lx + kl Une déformée du type y(x) = (4k − 1)l4 mais la valeur de k détermine si la déformée n'admet qu'un maximum entre 0 et l.. Soit en dérivant :

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FLAMBEMENT

µ ¶ l =a 2

1.5. APPROCHE ÉNERGÉTIQUE

µ ¶µ ¶ l −16a l2 2 ¶ y (x) = µ x− x − lx + k 1 4 2 2 l k− 4 · ¸ −48a 1 2 2 µ ¶ y”(x) = x − lx + (k + 1) l 1 4 6 k− l 4 0

Soit en intégrant le numérateur et le dénominateur de l'équation (1.21) :



2 µ ¶ l  ¡ 2 ¢ 1 64a2 2 2   µ −48a¶ µ ¶ EI x − lx + (k + 1) l dx = k − 7.2 ∗ 10−14 k + 0.2 EI   1 4 1 3 6 0 k− l k− l 4 4 2  µ ¶µ ¶ Z l 2  −16a ¡ 2 ¢ l l2  2  dx = µ 16a ¶ µ ¶ x − x − lx + k k − 0.4k + 0.0571   1 2 1 4 2 2 0 l 3 k− l k− 4 4 Z

k 2 − 7.2 ∗ 10−14 k + 0.2 EI qui dépend de la valeur de k donc de la forme k 2 − 0.4k + 0.0571 l2 EI de la déformée. On représente la variation du coecient de 2 gure 1.11 l Soit la valeur de Fcr = 12

Fig. 1.11 Variation du coecient de EI l

EI pour une déformée quadrique l2 171.5

12 9.876 0.215

−0.93 0

k

EI à 6/10 000 l2 prés. Pour cette valeur de k la èche de la déformée quadrique s'écarte au maximum de 6% de la déformée sinusoïdale. La gure 1.12 page suivante donne un apperçu de la déformée pour diverses valeurs de k . La force critique minimale est atteinte pour une valeur de k = −0.93 soit Fcr ≈ π 2


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CHAPITRE 1. FLAMBEMENT DE EULER Fig. 1.12 Déformées quadriques a

sinusoide 0.057a

k=−0.93

k=0

0.15l

l 2 k=0.215

0

Il y a bien sûr des représentations irréalistes mais pour k = −0.93 (k ≈ −0.929463676694 . . .) on obtient une approximations trés acceptable.

1.6 Forme réduite de la courbe de ambement On va chercher à exprimer la courbe de ambement (gure 1.7 page 18) sous forme adimensionnelle. Pour cela on va dénir les valeurs λ et N sous forme de ratios adimensionnels de λ et de N .

λ. La valeur maximale de σcr ne peut pas dépasser la limite élastique σe . En reprenant la valeur de σcr en (1.16) on a en notant λe l'élancement correspondant : σcr = σe = r λe = π

π2 E λ2e E σe

(1.22)

On notera l'élancement réduit λ :

λ λ λ= = λe π

r

σe E

(1.23)

2

On remarquera la valeur de λ : 2

λ =

σe σcr

(1.24)

N . La valeur maximale de l'eort normal N ne peut pas dépasser l'eort normal plastique Np = Aσe . On notera l'eort normal réduit N : N=

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N Np

FLAMBEMENT

(1.25)

1.6. FORME RÉDUITE DE LA COURBE DE FLAMBEMENT Sachant qu'en plus l'eort normal maximal ne peut pas non plus dépasser Fcr , la valeur maximale Fcr de N devient alors N = . Exprimons N en fonction de λ : Np

π 2 EI 2 Fcr N= = l Np Aσe r Avec i =

I l (1.14), λ = (1.15), λe = π A i N=

r

σe λ (1.23) on obtient : (1.22) et λ = E λe

π2E λ2e 1 π 2 Ei2 = = = 2 2 2 2 l σe σe λ λ λ N=

1

(1.26)

2

λ

La variation de N en fonction de λ est représentée sur la courbe 1.13.

N

λ = λr

Fig. 1.13 Courbe de ambement adimensionnelle N λ

N cr = N p

1

1

λ

La limite du ambement est la frontière de la zone hachurée. Tout point N , λ au dessus de cette limite est impossible. Pour tout point en deça il n'y a pas de risque de ambement ni de plastication en compression simple. Pour 0 ≤ λ < ∞ alors 0 ≤ N < 1.

1.6.1 Exemple En reprenant les données de l'exemple 1.3.2.1.2 page 17 : 3 barres biarticulées soumises à un chargement axial.

r λe = π

E ≈ 93.91 σe


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CHAPITRE 1. FLAMBEMENT DE EULER Fig. 1.14 Données Exemple 1.6.1 page précédente

N3=0.7T

N2=3.5T

l1=1m

l2=2m

l3=4m

N1=7T

1

3

2

Soit les valeurs :

Nappliqu N appliqu

N Nappliqu = Np

l

mm l λ= i λ λ= λe Ncr N

1 Ncr = 2 N maxi = Np λ N appliqu ≤ N maxi

N1 = 70 000

N2 = 35 000

N3 = 7 000

N1 = 0.916

N2 = 0.458

N3 = 0.1

l1 = 1 000

l2 = 2 000

l3 = 4 000

λ1 = 70.92

λ2 = 141.84

λ3 = 283.69

λ1 = 0.755

λ2 = 1.510

λ3 = 3.021

133 973, 96 1 2 = 1.753 λ1 OK

33 493, 49 1 2 = 0.438 λ2 Danger

8 373, 37 1 2 = 0.11 λ3 Juste

La représentation des points sur la courbe adimensionnelle est : Fig. 1.15 Exercice 1.6.1

N 1.753

1 0.916 0.458 0.438 0.11 0.755

1

1.51

3.021

On remarquera que pour la barre 1 il n'y a pas de risque de ambement.

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FLAMBEMENT

λ

Chapitre 2 Flambement en grands déplacements 2.1 Résolution numérique On reprend le déroulement vu en 1.3.1 page 14 mais cette fois sans l'approximation des petits déplacements. En utilisant la courbure dénie en A.1.1 page 61 l'équation (1.3) devient, avec K 2 =

y ” (x) 02 3 2

(1 + y )

+ K 2 y(x) = 0

Cette équation n'admet pas de solution analytique . . .

27

F : EI (2.1)

CHAPITRE 2. FLAMBEMENT EN GRANDS DÉPLACEMENTS

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FLAMBEMENT

Chapitre 3 Imperfections de structures Dans ce chapitre, contrairement au ambement de Euler ( 1 page 13), le problème n'est plus indéterminé, on trouve une équation de la déformée. Ce n'est donc plus vraiment un problème de ambement puisqu'il n'y a plus d'instabilité mais plutot un problème au second ordre. Néanmoins, par analogie avec le ambement de Euler, on continuera à chercher unei expression de la force critique de compression simple conduisant à la ruine.

3.1 Modélisation de Young Young 1 a repris les travaux de son illustre prédécesseur. En cherchant des solutions plus proches de la réalité il a emit les hypothèses suivantes :

• La barre n'est pas parfaitement rectiligne, elle possède une déformée initiale. • L'eort de compression n'est pas parfaitement centré.

3.1.1 Defaut de rectitude On considère maintenant une barre possédant une imperfection géométrique. Elle n'est plus rectiligne, elle a la forme d'une arche de sinusoÃ de, ce qui pour une "petite" imperfection est une hypothèse parfaitement acceptable (gure 3.1).

y

Fig. 3.1 Barre imparfaite

x G1

e0

G0 l/2

La déformée initiale a pour équation : 1 Thomas

YOUNG médecin et physicien anglais 1773-1829

29

CHAPITRE 3. IMPERFECTIONS DE STRUCTURES πx l On aurait pu prendre une autre forme de déformée initiale, par exemple un polynome de degré 2 ou 4 ( 1.5.2 page 22) mais les solutions du problème ne sont plus du tout triviales. Sollicitée, à l'abscisse x, la barre est alors dans l'état déformé (gure 3.2) y0 (x) = e0 sin

Fig. 3.2 Barre imparfaite sollicitée

y(x)

y

x

F

0

y(x)

G0

En reprenant le déroulement en 1.3.1 page 14 on obtient une nouvelle équation de moments (gure 1.5 page 15) :

M (x) + F [y(x) + y0 (x)] = 0 L'équation diérentielle devient :

y ” (x) + K 2 y(x) = −K 2 e0 sin

πx l

(3.1)

On cherche use solution particulière de la forme :

y(x) = A sin

πx πx + B cos l l

En remplaÃant y ” (x) et y(x) par leurs valeurs dans l'équation (3.1) :

Aπ 2 πx Bπ 2 πx sin − 2 cos 2 l l l l πx πx 2 2 +K A sin + K B cos l l −

= −K 2 e0 sin

πx l

En identiant terme à terme on a, c'est une évidence, B = 0 et pour A :

µ 2 ¶ π 2 A − 2 +K = −K 2 e0 l e0 A= 2 π −1 K 2 l2 En remplaÃant K 2 par sa valeur

30/ 91

F et en reprenant la valeur de Fcr en (1.8) on obtient : EI e0 A= F cr −1 F

FLAMBEMENT

3.1. MODÉLISATION DE YOUNG L'équation de la déformée est donc :

y(x) =

En

e0 πx sin Fcr l −1 F

l la èche est maximale et s'écrit : 2 l e = e0 + y( ) ⇔ e = e0 2

1 1−

(3.2)

F Fcr

Avec la valeur maximale de la èche (3.2) le momemt échissant est maximal en

M = F e ⇔ M = F e0

1

l et vaut : 2 (3.3)

F 1− Fcr

En posant le coecient d'amplication k1 le moment échissant M devient : M = k1 F e0 avec k1 :

k1 =

1 1−

(3.4)

F Fcr

Le système n'a pas un comportement linéaire. Pour 0 ≤ F ≤ Fcr on a 1 ≤ k1 < ∞

3.1.2 Défaut de centrage de la charge On considère maintenant une barre rectiligne mais excentrée de e0 (gure 3.3). Fig. 3.3 Excentration de la charge

y

G0

e0

x G1

Sollicitée, à l'abscisse x, la barre est alors dans l'état déformé (gure 3.4)

y

y(x)

Fig. 3.4 Sollicitation avec excentration de la charge

x

F

e0

G0 Petit manuel pour surnager . . .

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CHAPITRE 3. IMPERFECTIONS DE STRUCTURES En reprenant le déroulement en 1.3.1 page 14 on obtient une nouvelle équation de moments (gure 1.5 page 15) :

M (x) + F (y(x) + e0 ) = 0 L'équation diérentielle devient :

y ” (x) + K 2 y(x) = −K 2 e0 On cherche use solution particulière de la forme : (3.5)

y(x) = A sin Kx + B cos Kx On va déterminer A et B en exploitant les conditions aux limites : y(0) = e0 et y(l) = e0 Première condition dans (3.5) :

e0 = A × 0 + B × 1 ⇔ B = e0 Deuxième condition dans (3.5) :

e0 = A sin Kl + e0 cos Kl ⇔ A = e0

1 − cos Kl sin Kl

Kl Kl Kl Kl − sin2 et sin Kl = 2 sin cos on peut écrire : 2 2 2 2 Kl Kl Kl 1 − cos2 + sin2 2 sin2 Kl 1 − cos Kl 2 2 2 = = ⇔ A = e0 tan Kl Kl Kl Kl sin Kl 2 cos cos 2 sin 2 sin 2 2 2 2

Avec cos Kl = cos2

La déformée a donc pour équation :

µ ¶ Kl y(x) = e0 tan sin Kx + cos Kx 2

(3.6)

l soit en reportant dans (3.6) : 2 µ ¶ l Kl Kl Kl 1 y( ) = e0 tan sin + cos ⇔ e = e0 Kl 2 2 2 2 cos 2 r 2 π EI Kl π F F et Fcr = (1.8) on a = Avec K 2 = 2 EI l 2 2 Fcr l En la èche est maximale et s'écrit : 2 1 r e = e0 F π cos 2 Fcr La valeur maximale e de la èche est atteinte pour x =

Avec la valeur maximale de la èche (3.7) le momemt échissant est maximal en

M = F e ⇔ M = F e0 cos

π 2

1 r

(3.7)

l et vaut : 2

F Fcr

En posant le coecient d'amplication k2 le moment échissant M devient : M = k2 F e0 avec k2 :

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FLAMBEMENT

3.1. MODÉLISATION DE YOUNG

k2 = cos

π 2

1 r

F Fcr

Là non plus le système n'a pas un comportement linéaire. Pour 0 ≤ F ≤ Fcr on a 1 ≤ k2 < ∞

3.1.3 Exemple On reprendra les données de l'exemple 1.3.2.1.2 page 17 pour une barre de longeur 2 m soumise à une charge de 2.88 T .

l pour la déformée initiale et l'excentration de la charge. 1000 F 1. - Donner l'allure des courbes k1 et k2 en fonction du rapport Fcr 2. - Dans le cas d'un défaut de rectitude déterminer la contrainte normale et conclure (reporter les point sur la courbe).

On admetra une imperfection de e0 =

3. - Dans le cas d'un défaut de centrage déterminer la contrainte normale et conclure (reporter les point sur la courbe). 4. - Aprés avoir déterminé les forces critiques pour la barre parfaite et pour les deux cas d'imperfection, reporter sur la courbe de ambement adimensionnelle les valeurs de N . On représente les variations des coecient k en fonction de

F sur la gure 3.5. Fcr

Fig. 3.5 Imperfections : coecients d'amplication

k k2

k1

Déformée initiale

Charge excentrée

8.775 7.136

F Fcr

1 0.86

1

0

N kF e0 + soit avec les valeurs de k1 et k2 : A Wel F F Fe F e0 ¶ µ 0 r et σ2 = σ1 = + + F A A π F Wel 1 − Wel cos Fcr 2 Fcr

La contrainte normale est : σ =

Avec la veleur de Fcr (1.9) on a :


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CHAPITRE 3. IMPERFECTIONS DE STRUCTURES

σ1 =

28 800 N + 325.1 mm2

28 800 N × 2 mm µ ¶ ≈ 233.4 M P a ≤ 235 M P a 28 800 N 3 3 049 mm × 1 − 33 493.5 N

Pour le défaut de rectitude la barre convient.

σ2 =

28 800 N + 325.1 mm2

28 800 N × 2 mm r ≈ 254.4 M P A > 235 M P a π 28 800 N 3 3 049 mm × cos 2 33 493.5 N

Pour le défaut de centrage la barre ne convient pas. On pourra montrer que la capacité maximale dans le cas du défaut de rectitude est ≈ 29217.7 N et dans le cas du défaut de centrage ≈ 28462.4 N , ce qui donne la courbe 3.6. Fig. 3.6 Imperfections : courbes de ambement

N 1 k1 Ncr=0.438 k2

N1=0.382

Nappl=0.377 N2=0.373 1.51

λ

3.2 Modélisation de Rankine Rankine 2 proposa sa "formule d'intéraction" dans laquelle σk est la contrainte de ruine en compression simple :

σk σk 1 σk + =1⇔ = σe σcr σe σe 1+ σcr On exprime

σk : σe N σk N = A = =N Np σe Np A

Avec

(3.8)

(3.9)

σe 2 = λ (1.24) l'équation (3.8) devient : σcr N=

1 2

1+λ

Ce qui a pour conséquence de faire passer la courbe par N = 1 pour λ = 0 c'est à dire qu'il n'y a que le risque de ruine par ambement ce risque étant atteint avant le risque de plastication en 2 William

John Macquorn RANKINE : ingénieur en génie civil et physicien né le 5 juillet 1820 à Edimbourg et mort le 24 décembre 1872 à Glasgow. Publié en 1867 dans "Manual of Civil Engineering"

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FLAMBEMENT

3.3. MODÉLISATION DE AYRTON ET PERRY compression simple. Enn la deuxième conséquence et de décaler la courbe de Euler vers le bas comme l'illustre la gure 3.7 ce qui a tendence à diminuer la force critique. Fig. 3.7 Modélisation de Rankine

N 1 1 2

1

λ

3.2.1 Exemple On reprendra les données de l'exemple 1.3.2.1.2 page 17 pour une barre de longeur 2 m. Déterminer N et Fcr ?

N ≈ 0.3983 Fcr ≈ 30433.1 N

3.3 Modélisation de Ayrton et Perry Dans ce modèle on va faire l'hypothèse que l'imperfection de structure est seulement un défaut de rectitude et que ce défaut est une fonction de la longueur de la barre : 3

e0 =

l γ

(3.10)

On va déterminer la contrainte à la ruine pour ensuite en déduire une courbe de ambement réduite. A la ruine, la contrainte de esion composée s'écrit en reprenant le coecient k1 (3.4) :

N kN e0 + = σe I A v En posant σk = apparaître σk et σcr

(3.11)

N : contrainte de ruine, on va alors reprendre l'équation (3.11) pour y faire A ( 1.16 page 19)

N e0 N Ncr N 1− e0 A v N Ncr N e0 v N N Ncr + = + = + A A = σe (3.11) = N I I Ncr A A Ncr − N I A − v A A Soit en fonction de σcr et de σk : 3 En

1894 JASINSKI justiait dans les Annales des Ponts et Chaussées une valeur de γ = 1000


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σk +

Avec i2 =

σcr σk e0 vA = σe σcr − σk I e0 vA = (σe − σk ) (σcr − σk ) σk σcr I

(3.12)

I l l e0 vA lv (1.14), λ = (1.15), e0 = (3.10) et en posant η = = 2 soit : A i γ I γi λv η= γi

(3.13)

l'équation (3.12) devient :

ησcr σk = (σe − σk ) (σcr − σk ) A partir de cette équation (3.14) on va faire apparaître les termes en

µ ¶ µ ¶ σk σk ησcr σk = σe 1 − σcr 1 − σe σcr µ ¶µ ¶ σk σk σk η = 1− 1− σe σe σcr On exprime

σk : σcr

r

(3.14)

σk σk et . On obtient : σe σcr

(3.15)

σk σk = 2 σcr π E λ2

E λ (1.23) et de λ = (1.22) : σe λe π2E σk σk 2 λ2e σe σe 2 = λ =λ N = = 2 ⇔ 2 2 λ λ σ σ cr e λ

En reprenant la valeur de λe = π

(3.16)

En reprenant les valeurs (3.9) et (3.16) et en les reportant dans (3.15) on obtient l'équation de Ayrton et Perry ou η est une caractéristique géométrique de la barre fonction de la longueur de celle ci et du diamètre relatif de l'ellipse d'inertie de la section pour la direction de ambement considérée :

´ ¡ ¢³ 2 ηN = 1 − N 1 − N λ

4

(3.17)

En développant :

³ ´ 2 2 2 N λ −N 1+η+λ +1=0

(3.18)

La connaissance de λ permet, par la résolution de ce polynome du second degré, de déterminer N donc Ncr . Pour η = 0 on retrouve la courbe 1.13 page 25 pour les valeur de η croissantes la courbe de ambement se décale vers le bas (gure 3.8 page suivante). Pour η 6= 0 et λ = 0 il y a un problème de représentation car on devrait avoir N = 1 alors que 1 l'équation (3.18) donne : N = 1+η 4 W.E.

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AYRTON et J. PERRY. Publié dans "The Engineer" en 1886

FLAMBEMENT

3.4. MODÉLISATION DE DUTHEIL Fig. 3.8 Courbe de ambement de Ayrton Perry

ent bem

λ = λr

Flam

N

PlastificationN cr= N p

(1−N)

1 2

an

t

(1−Nλ ) λ

η

cr

oi ss

1

3.3.1 Exemple On reprend l'exemple 1.3.2.1.2 page 17 avec un tube de longueur l = 2 m. Déterminer N et Ncr . Le coecient η (3.13) vaut : 0.213 La résolution de l'équation de Ayrton-Perry (3.18) donne les valeurs de N dont nous ne retiendrons que la valeur inférieure 0 ≤ N ≤ 1 soit : N ≈ 0.3809. On a la représentation : Fig. 3.9 Exemple 3.3.1

N 1

Euler

0.824 Ayrton−Perry

0.438 0.381 1

1.51

λ

On constate que la prise en compte des imperfections nous éloigne fortement de la force critique de Euler.

3.4 Modélisation de Dutheil Comme pour la modélisation de Ayrton-Perry ( 3.3 page 35) On va seulement considérer le défaut de rectitude mais ce défaut sera quantié par une série d'expériences. Ainsi Dutheil 5 a proposé une valeur maximale de la èche représentative des irrégularités de structure : 5 J.

DUTHEIL : publié dans les annales de l'ITBTP Paris 1947


37/ 91


f = cσ

Wel σcr Fcr σcr − (1 + c)σ

(3.19)

I Avec les notations suivantes pour le module plastique : Wel = et la contrainte de compression v F simple : σ = . A Cette forme "surprenante" de f a été choisie pour simplier des calculs ultérieurs mais elle est proportionnelle à Wel , ce qui manque de réalisme. On y retrouve une valeur ampliée du coecient k1 σcr 1 (3.4) par l'intermédiaire de = . F σcr − (1 + c)σ 1 − (1 + c) Fcr Pendant les essais il sut de mesurer la èche pour en déduire la valeur de c. Deux valeurs ont été déterminées :

c=

1 qui donne la valeur la plus probable de f 12

c = 0.3 qui donne la mÃªme valeur aux deux probabilités : Probabilité 1 : la valeur calculée de f est inférieure à la valeur mesurée . Probabilité 2 : la limite élastique mesurée σe du matériaux est inférieure à la limite conventionnelle garantie. On se placera en sécurité en prenant c = 0.3. Avec les valeurs de c on va chercher quelle est la contrainte de ruine σk en compression simple. En

l l le moment échissant est maximl : M ( ) = F f (3.3). La contrainte normale s'écrit : 2 2 σ=

F M F σcr + ⇔ σk + cσk = σe A Wel Fcr σcr − (1 + c)σk

σk F = l'équation (3.20) devient : Fcr σcr µ ¶ · ¸ cσk2 σk σk σk σk + = σe ⇔ 1− = 1 − (1 + c) σcr − (1 + c)σk σe σcr σcr

(3.20)

En remarquant que

En reprenant les valeurs de

(3.21)

σk σk en (3.9) et en (3.16) l'équation (3.21) devient : σe σcr ³ ´ h i 2 2 N 1 − N λ = 1 − (1 + c) N λ

Soit en développant :

h i 2 2 2 N λ − N 1 + (1 + c) λ + 1 = 0

(3.22)

La connaissance de λ permet, par la résolution de ce polynome du second degré, de déterminer N donc Fcr .

38/ 91

FLAMBEMENT

3.4. MODÉLISATION DE DUTHEIL

3.4.1 Exemple On reprend l'exemple 1.3.2.1.2 page 17 avec un tube de longueur l = 2 m et les valeurs de c, 1 respectivement : c = et c = 0.3. Déterminer dans chaque cas N et Fcr . 12 La résolution de l'équation de Dutheil (3.22) donne les valeurs de N dont nous ne retiendrons que la valeur 0 ≤ N ≤ 1 1 c= : N ≈ 0.3860 Fcr ≈ 29 487.9 N 12 c = 0.3 : N ≈ 0.3061 Fcr ≈ 23 381.8 N


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40/ 91

FLAMBEMENT

Chapitre 4 Longueur de ambement Dans le cas général d'une barre appartenant à une structure et liée à elle par des liaisons quelconques la résolution du problème de ambement devient rapidement trés complexe. Pour "simplier" le problème on va le ramener au problème de base de la barre biarticulée et pour ce faire on déplace la diculté vers la recherche de la barre équivalente de longueur lf : dite longueur de ambement, distance entre deux points de moment nul réels ou ctifs (situés à l'extérieur de la barre). Ces points pourront être soit des articulations soit des points d'inexion de la déformée.

4.1 Structures à noeuds xes Dans cette partie nous considèrerons que les noeuds n'ont pas de liberté de translation perpendiculairement à l'axe de la barre. Jusque là nous avons vu le cas d'une barre biarticulée. Nous allons nous intéresser maintenant au cas général de liaisons en G0 et G1 (gure 4.1) et montrer comment, en remplaçant la longueur initiale l par la longueur de ambement lf , on ramènera le problème à celui d'un liaison biarticulée. Fig. 4.1 Liaisons quelconques

y

M1

M0 F

F x

M 0 + M1

M 0 + M1

l

l

On écrit l'équilibre d'une section d'abscisse x (gure 4.2). Fig. 4.2 Equilibre d'une section

y

M0

Gx

F G0

N(x) x

M 0 + M1 l

y(x)

M(x)

x

La somme des moments en Gx sur l'axe ~z s'écrit :

41

CHAPITRE 4. LONGUEUR DE FLAMBEMENT M0 + M1 x + F y(x) = 0 l En reprenant le déroulement en 1.3.1 page 14 on obtient une nouvelle équation diérentielle avec second membre cette fois. M (x) + M0 −

K2 y (x) + K y(x) = F ”

µ

2

M0 + M1 x − M0 l

¶ (4.1)

La solution de l'équation homogène (sans second membre) est celle obtenue en (1.4). La solution de l'équation particulière, avec second membre, lorsque celui ci est un polynome P (x) 0 dépend des coecients a,b et c de ay ” (x) + by (x) + cy(x). Danc notre cas c 6= 0, la solution est un polynome de même degré que P (x) c'est à dire 1. On a donc une solution Q(x) = ax + b En reportant Q(x) dans (4.1) on peut écrire, en remarquant que : 0

Q (x) = a Q” (x) = 0 µ ¶ K 2 M0 + M1 x − M0 Q (x) + K Q(x) = F l K 2 M0 + M1 K2 K 2 ax + K 2 b = x− M0 F l F ”

2

Soit en identiant terme à terme :

a=

1 M0 + M1 F l

b=−

M0 F

Soit :

1 Q(x) = ax + b = F

µ

M0 + M1 x − M0 l

¶

La solution est alors la somme de la solution de l'équation homogène et la solution de l'équation particulière soit : µ ¶ 1 M0 + M1 y(x) = A cos Kx + B sin Kx + x − M0 (4.2) F l

4.1.1 Barre biencastrée Fig. 4.3 Barre biencastrée noeuds xes y

F

F G0

x

G1

On a M0 = −M1 , l'équation (4.2) devient alors :

y(x) = A cos Kx + B sin Kx −

42/ 91

FLAMBEMENT

M0 F

(4.3)

4.1. STRUCTURES À NOEUDS FIXES 0

En x = 0 on a un encastrement donc on a deux conditions aux limites : y(0) = 0 et y (0) = 0 (si l'on néglige les deormations d'eort tranchant). Avec y(0) = 0 l'équation (4.3) devient :

0=A−

M0 M0 ⇔A= F F

La dérivée de l'équation (4.3) est : 0

(4.4)

y (x) = −AK sin Kx + BK cos Kx 0

Avec y (0) = 0 l'équation (4.4) devient :

0 = BK ⇔ B = 0 La solution de l'équation (4.3) est :

M0 (cos Kx − 1) (4.5) F En x = l on a aussi un encastrement. L'équation (4.5) doit satisfaire aux conditions y(l) = 0 et 0 y (l) = 0. Pour y(l) = 0 on écrit alors : y(x) =

M0 (cos Kl − 1) ⇔ cos Kl = 1 ⇔ Kl = 2nπ F 4π 2 EI π 2 EI Pour n = 1 la force critique d'Euler s'écrit : F cr = = µ ¶ . l2 l 2 y(l) = 0 =

2 Par rapport à une barre biarticulée la longueur de ambement est donc : lf =

l 2

4.1.1.1 Recherche des points d'inexions l l Puisque lf = on doit donc avoir un premier point d'inexion à l'abscisse x = et un second à 2 4 3l l'abscisse x = comme représenté gure 4.4. 4 Fig. 4.4 Points d'inexion de la barre biencastrée Courbure > 0

Courbure < 0 l 4

l 2

l 4

l

M0 On reprend l'équation (4.5) de la déformée dont la dérivée seconde est : y”(x) = −K 2 cos Kx. F π Elle s'annule pour Kx = (n + 1) 2 4π 2 EI 2π F cr l2 = ⇔K= . En situation de ambement on a K 2 = EI EI l


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CHAPITRE 4. LONGUEUR DE FLAMBEMENT π l π Il y a donc des points d'inexions lorsque 2 x = (n + 1) ⇔ x = (n + 1) soit pour les valeurs de l 2 4 l 3l x comprises entr 0 et l : x = et x = . 4 4

4.1.2 Barre encastrée à une extrémité et articulée à l'autre Fig. 4.5 Barre encastrée à une extrémité et articulée à l'autre y

F

F G0

x

G1

Avec M1 =0 l'équation (4.2) s'écrit :

y(x) = A cos Kx + B sin Kx + La condition initiale y(0) = 0 donne : A =

´ M0 ³ x −1 F l

M0 . F

0

La condition initiale y (0) = 0 (encastrement) donne : B = La solution est donc :

M0 y(x) = F

−M0 KlF

µ ¶ 1 x cos Kx − sin Kx + − 1 Kl l

(4.6)

En reprenant l'équation (4.6) la condition initiale y(l) = 0 conduit à l'équation :

M0 y(l) = F

µ ¶ 1 cos Kl − sin Kl = 0 ⇔ tan Kl = Kl Kl

La solution de cette équation intrinsèque est telle que : Kl ≈ 4.49340946 . . . soit K 2 ≈ 2.046

Fcr ≈

π 2 EI . La longueur de ambement est donc : (0.7l)2

π2 ⇔ l2

lf = 0.7l0 À l'époque quasi préhistorique d'avant l'ordinateur les calculs à la main telle que :

1.432

1

on faisait une autre approximation facilitant 2π 2 EI ≈ 2 (erreur de l'ordre de 1%) on peut écrire que Fcr = = l2

π 2 EI µ ¶ . l 2 √ 2 Par conséquent la longueur de ambement etait :

l lf = √ 2 1 Èpoque

bâtiments

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que j'ai connue et au cours de laquelle on a quand même construit, à la règle à calcul, de beaux

FLAMBEMENT

4.2. STRUCTURES À NOEUDS LIBRES DE SE DÉPLACER

4.1.2.1 Recherche des points d'inexions Dans ce cas on a déjà un point de moment nul en G1 et la position du point d'inexion ne pourra pas être déterminée exactement car nous n'avons pas pu déterminer exactement la longueur de ambement. Lorsque l'équation de la dérivée seconde s'annule on obtient la relation :

tan Kx = Kl (4.7) π En reprenant la valeur K ≈ 1.43029665312 l On pose x = αl et en reportant dans l'équation 4.7 on doit résoudre avec α pour inconnue : tan 1.43πα = 1.43π soit α ≈ 0.3 ce qui est exact à l'incertitude de calcul prés.

4.2 Structures à noeuds libres de se déplacer Les noeuds ont un degré de liberté en translation perpendiculairement à l'axe de la barre. Nous ne sommes plus dans le cas général de l'équation de moment échissant déterminée en 4.2 page 42. Il faut déterminer, pour chaque cas, une situation d'équilibre dans le cas où la structure a déjà ambé.

4.2.1 Barre encastrée à une extrémité et libre à l'autre Fig. 4.6 Barre encastrée à une extrémité et libre à l'autre

y

G1 F

G0

y(x)

F a

x

x

l En x le moment échissant s'écrit :

M (x) = F [a − y(x)] Soit en posant K 2 =

F : EI EIy”(x) = F [a − y(x)] ⇔ y”(x) + K 2 y(x) = K 2 a

On a une solution du type :

y(x) = A cos Kx + B sin Kx + a Soit avec les conditions aux limites en G0 : y(0) = 0 ⇔ A = −a et y 0 (0) = 0 ⇔ B = 0 on a l'équation de la déformée :

y(x) = a(1 − cos Kx)

(4.8)

Il y a ambement quand y(l) = a, soit en resolvant l'equation (4.8) pour ces valeurs on obtient π cos Kl = 0 ⇔ Kl = . 2 π 2 EI En remplaçant K par sa valeur on obtient F = soit : lf = 2l . (2l)2


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CHAPITRE 4. LONGUEUR DE FLAMBEMENT Ce résultat était prévisible car cette conguration est équivalente à celle de la gure 4.7 avec une barre biarticulée de longueur 2l dans une structure à noeuds xes. Fig. 4.7 Barre equivalente à la barre encastrée y

F

F G1 x

G0 2l

4.2.2 Barre biencastrée Fig. 4.8 Barre biencastrée noeuds déplaçables y G1 F

F x

G0

Dans ce cas on ne peut pas déterminer simplement une équation de moment échissant. Toutefois l par symétrie on peut constater que en il y a une inversion de la courbure de la déformée donc en ce 2 point le moment échissant vaut 0. Ceci nous conduit à adopter un schéma équivalent : Fig. 4.9 Barre equivalente à la barre biencastrée

y

G1 F

F

G0 l 2

l 2

x

On a donc le schéma mécanique suivant : Fig. 4.10 Schéma mécanique equivalente de la barre biencastrée

y

F

G1 F

G0

F

F x l 2

l 2

La longueur de ambement est donc, comme déterminée dans le cas de la barre encastrée à une extrémité et libre à l'autre ( 4.2.1 page précédente) : lf = l

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FLAMBEMENT

4.2. STRUCTURES À NOEUDS LIBRES DE SE DÉPLACER

4.2.3 Barre encastrée à une extrémitée et sur appui élastique à l'autre On déni r : la raideur d'un appui élastique tel que la réaction R est propotionnelle au déplacement a soit : R = r × a. Si l'on considère la barre ambée on a le schéma mécanique suivant : Fig. 4.11 Barre encastrée à une extrémitée et sur appui élastique à l'autre

y

G1 F

F

G0 x l

On peut dénir l'équilibre des forces à "droite" de la section d'abscisse x : Fig. 4.12 Equilibre de la section à "droite" y ra

G1 G0

F

y(x)

F a

x

x

l

Le moment échissant à l'abscisse x s'écrit :

M (x) = F [a − y(x)] − ra(l − x) Soit avec M (x) = EIY ”(x) et en posant K 2 =

F on obtient : EI

K 2 ra (l − x) F ¶ µ ra rl − 1 et y 0 (0) = 0 ⇔ B = − Soit avec les conditions aux limites en G0 : y(0) = 0 ⇔ A = −a F KF on a l'équation de la déformée : y”(x) + K 2 y(x) = K 2 a −

·µ y(x) = a

¶ ¸ rl r r − 1 cos Kx − sin Kx + 1 − (l − x) F KF F

(4.9)

Il y a ambement quand y(l) = a, soit en resolvant l'equation (4.9) pour ces valeurs on obtient l'equation :

¶ µ F tan Kl = K l − r

(4.10)

Cette équation n'admet de solutions simples que dans quelques cas particuliers que nous allons étudier. Dans les autres cas nous ne trouverons de résultats qu'avec des valeurs numériques pour tous les termes.


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CHAPITRE 4. LONGUEUR DE FLAMBEMENT

4.2.3.1 Rigidité innie : r → ∞ On se retrouve dans le cas de la struecture à noeuds xes 4.1.2 page 44. L'équation (4.10) devient :

tan Kl = Kl Résultat que nous obtenions.

4.2.3.2 Rigidité nulle : r = 0 On se retrouve dans le cas de la struecture à noeuds libres 4.2.1 page 45. L'équation (4.10) devient :

tan Kl → ∞ ⇔ Kl =

π 2

Résultat que nous obtenions.

4.3 En résumé Tab. 4.1 Longueurs de ambement usuelles

4.4 Cas des structures en cadres Nous allons déterminer ici la valeur approchée de la longueur de ambement d'une barre donnée dans un réseau rectangulaire de barres quelconques pour en déduire une méthode, elle aussi approchée bien sûr, susement précise pour être utilisée par les projeteurs. On considère une barre G0 G1 liée en G0 par une articulation élastique de rigidité r0 , en G1 par une articulation élastique de rigidité r1 et un appui élastique de rigidité t1 . La gure 4.13 résume les données du problème : Fig. 4.13 Equilibre d'une barre sur appuis élastiques

M1 F F M0

r0

r1

θ0

t1

θ1 v1

l

En reprenant les équations de moment A.5 page 64 on peut écrire en notant que

4.5 Expérimentation en laboratoire La photo 2 4.14 page ci-contre illustre quelques cas que nous venons de voir.Vous remarquerez qualitativement, pour chacun d'eux, la charge et la èche qui conrment l'analyse théorique. 2 Courtoisie

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de Wikipedia

FLAMBEMENT

4.5. EXPÉRIMENTATION EN LABORATOIRE Fig. 4.14 Expérimantation en laboratoire


49/ 91

CHAPITRE 4. LONGUEUR DE FLAMBEMENT

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FLAMBEMENT

Chapitre 5 Courbes européennes de ambement 5.1 Interprétation du coecient η Par expérience on a pu montrer que dans une structure réelle, lors de la mise en charge d'une barre, les défauts d'homogénéité, les défauts de centrage et les contraintes résiduelles conduisaient à provoquer un comportement équivalent au seul défaut de rectitude. On ne considèrera donc plus que ce seul cas qui représentera l'ensemble des imperfections quantiées par η : "coecient d'imperfection généralisé".

5.1.1 Coecient de Robertson La première valeur de η a été proposée par Robertson 1 soit ηR = 0.003λ. Cela revient à proposer une déformation initiale proportionnelle à la longueur de la barre mais aussi fonction de la géométrie de la section du prol ce qui est un peut moins réaliste. Toutefois jusqu'en 1962, associée à la formulation de Ayrton et Perry cette valeur fut utilisée dans les règlements anglais. On observe que cette valeur conduit à se "mordre la queue" puisqu'il faut déjà avoir déterminé une section pour la vérier, on ne peut pas déterminer de prol à priori...

5.1.1.1 Exemple On reprend les caractéristiques du proles 1.3.2.1.2 page 17 avec une longueur l = 2 m. Aprés avoir déterminé ηR ,déterminer N puis Fcr .

ηR ≈ 0.426, N ≈ 0.3416, Fcr ≈ 26096.6 N

5.1.2 Coecients de Dutheil En rapprochant l'équation de Ayrton-Perry (3.18) et l'équation de Dutheil (3.22) on a deux polynomes du second degré en N :

³ ´ 2 2 2 N λ −N 1+η+λ +1=0 h i 2 2 2 N λ − N 1 + (1 + c) λ + 1 = 0 En faisant une égalité terme à terme on obtient : 2

2

1 + η + λ = 1 + (1 + c) λ ⇔ η = cλ 1 A.

2

ROBERTSON : publié dans "The strength of structures" Londres 1925

51

CHAPITRE 5. COURBES EUROPÉENNES DE FLAMBEMENT σe σcr On a vu les valeurs de c en 3.4 page 37. Ces valeurs sont encore utiliséees de nos jours avec à peu prés les mêmes inconvénients que les précédentes sauf que l'on tient compte maintenant de la limite λ2 σe 2 élastique du matériaux ce qui est un progrés. Toutefois cette valeur ηD = cλ = c 2 n'est pas en π E λv 2 accord avec la valeur de η = (3.13) puisqu'elle fait intervenir λ et non pas λ. γi Avec (1.24) on notera : ηD = c

5.1.2.1 Exemple Même question que 5.1.1.1 page précédente pour ηD . Résoudre l'équation de Ayrton-Perry pour les deux valeurs de ηD corrspondantes aux deux valeurs de c.

1 ηD ≈ 0.1901, 12 c = 0.3 ηD ≈ 0.6844 c=

5.1.3 Coecient de Godfrey Emprunté à la fois à Robertson ( 5.1.1 page précédente) et à Dutheil ( 5.1.2 page précédente), ¶ µ λ 2 2 Godfrey proposa : ηG = 0.3 en remplacement de ηR dans les codes anglais. 100

5.1.3.1 Exemple On reprend les caractéristiques du proles 1.3.2.1.2 page 17 avec une longueur l = 2 m. Aprés avoir déterminé ηG ,déterminer N puis Fcr .

ηG ≈ 0.6036, N ≈ 0.3161, Fcr ≈ 24 147.8 N

5.1.4 Coecients de la CECM A partir de 1960 la Convention Européenne de la Construction Métallique (CECM) tenta en vain d'uniformiser les réglements nationaux. Devant cette impossibilité la CECM proposa des courbes issues de statistiques d'essais (plus de 1000) réalisés dans les laboratoires d'Allemagne, Belgique, France, Grande-Bretagne, Italie, Pays-Bas et Yougoslavie. Tout en conservant la formule de Ayrton et Perry les campagnes d'essais visèrent à trouver une formulation de η . On arriva à une première conclusion qu'en dessous de λ = 0.2 il n'y avait jamais de ambement. La seconde conclusion fût de dénir 5 familles de courbes en fonction de la nature et/ou de la géométrie des prols. Il fut donc proposé la valeur de η :

¡ ¢ ηE = α λ − 0.2

(5.1)

L'équation de Ayrton-Perry (3.17) devient :

´ ¡ ¢ ¡ ¢³ 2 α λ − 0.2 N = 1 − N 1 − N λ Avec les valeurs de α

3

:

- α1 = 0.125 aciers de limite élastique σe ≥ 430 M P a. - α2 = 0.206 tubes nis à chaud conformes à la norme NF A 49-501. 2 G.

B. GODFREY : publié en 1962 dans "The structural engineer" en 1970

3 Publié

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FLAMBEMENT

(5.2)

5.1. INTERPRÉTATION DU COEFFICIENT η - α3 = 0.339 laminés I et H, les tubes nis à froid conformes à la norme NF A 49-541, les sections obtenues par assemblage de cornières ou de prols laminés. - α4 = 0.489 laminés L, T et U. - α5 = 0.756 prols dont l'épaisseur de parois est ≥ 40 mm. En développant (5.2) on peut trouver N : h i ¡ ¢ 2 2 2 N λ − N 1 + α λ − 0.2 + λ + 1 = 0

(5.3)

Soit en retenant la racine 0 ≤ N ≤ 1 :

h i rh i ¡ ¢ ¡ ¢ 2 2 2 2 1 + α λ − 0.2 + λ − 1 + α λ − 0.2 + λ − 4λ N=

(5.4)

2

2λ

5.1.4.1 Exemple On reprend les caractéristiques du proles 1.3.2.1.2 page 17 avec une longueur l = 2 m. Aprés avoir déterminé ηE , déterminer N et Fcr . On est dans le cas α3 = 0.339 (ηE ≈ 0.4442). N ≈ 0.3386, Fcr ≈ 25 872.2 N

5.1.5 En résumé On trouvera dans le tableau suivant les diérentes valeurs de Fcr dans les cas que nous avons étudiés.

Tab. 5.1 Forces critiques pour diverses imperfections

Référence 1.3.2.1.2 page 17 3.2.1 page 35

Auteur Euler Rankine

3.4.1 page 39

1 12 Défaut de rectitude Ayrton et Perry Défaut de centrage Robertson CECM Godfrey Dutheil c = 0.3 Dutheil c =

3.1.3 page 33 3.3.1 page 37 3.1.3 page 33 5.1.1.1 page 51 5.1.4.1 5.1.3.1 page ci-contre 3.4.1 page 39

η 0

Fcr : N 33 493.5 30 433.1

%Fcr 100 90.9

0.1901

29 487.9

88.0

29 29 28 26 25 24 23

87.2 86.9 84.0 77.9 77.2 72.1 69.8

0.2130 0.4260 0.4442 0.3161 0.6844


217.7 096.5 462.4 096.6 872.2 147.8 381.8

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CHAPITRE 5. COURBES EUROPÉENNES DE FLAMBEMENT

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FLAMBEMENT

Chapitre 6 Vérications reglementaires 6.1 Vérication suivant les règles de calculs des constructions en acier 1966 (CM 66) 6.1.1 Vérication des poutres à ame pleine On reprend l'équation (3.21) avec c = 0.3 (sécurité maximale) soit :

σk (σcr − σk ) = σe (1 + 1.3σk ) ⇔ σk2 − σk (σcr + 1.3σe ) + σe σcr = 0 σe on obtient : σcr σk2 µ ¶ σe σe σ2 σe − 1 + 1.3 + e2 = 0 σcr σk σcr σk

(6.1)

En multipliant chaque terme de (6.1) par

On pose maintenant k =

(6.2)

σe , l'équation (6.2) devient : σk µ ¶ σe σe − k 1 + 1.3 + k2 = 0 σcr σcr

(6.3)

La solution acceptable de ce polynome est :

µ ¶ sµ ¶ σe σe σe 2 k = 0.5 + 0.65 + − 0.5 + 0.65 σcr σcr σcr Pour vérier un élément conprimé on devra avoir σ ≤ σk soit avec k =

kσ ≤ σe

(6.4)

σe l'article 3.411 prescrit : σk (6.5)

6.1.1.1 Exemple On reprend les caractéristiques du proles 1.3.2.1.2 page 17 avec une longueur l = 2 m. Le vérier pour une charge de 2.3 T .

55

CHAPITRE 6. VÉRIFICATIONS REGLEMENTAIRES

l 2000 mm ≈ ≈ 141.84 i 14.1 mm π2E π 2 ∗ 210 000 M P a σcr = 2 ≈ ≈ 103.02 M P a λ 141.842 k = 3.267 Nappliqu 23 000 N σ= ≈ ≈ 70.75 M P a A 325.1 mm2 kσ ≈ 3.267 ∗ 70.75 M P a ≈ 231 M P a ≤ 235 M P a λ=

Le tube convient.

6.1.2 Vérication des poutres en treillis L'idée est de dénir une inertie équivalente et un élancement équivalent pour se ramener à une vérication de poutre à ame pleine. Pour cela on reprend la valeur de la force critique dénie en (1.13) soit : µ ¶ 1 Fcr 1 = 1+ F Fcr GAv

Fcr π 2 EI A π2E A π2E = 2 = , et en prenant ≈ 26 valeur par exés qui nous place GAv l GAv A G λ2 Av G en sécurité, on pose le coecient δ : µ ¶ A δ = 1 + 26 2 λ Av On exprime

Fcr On a donc la force critique équivalente : F = δ I Ce qui implique l'inertie équivalent Iv = δ √ l l =v soit : λv = λ δ et l'élancement équivalent : λv = r uI Iv u v t A δ A

6.1.2.1 Exemple On reprend les caractéristiques de l'exemple A.2.1.1 page 63 TO DO

6.2 Vérication suivant l'additif 80 La règlementation française publiée en 1980 ajoute les recommandations de la CECM à l'actuel règlement "CM 66". C'est un progrés et une économie. Les 5 courbes de la CECM sont ramenées à 3 : a, b et c. Les courbes α1 , α2 en une seule courbe "a" et les courbes α4 , α5 en une seule courbe "c". La courbe "b" correspond naturellement à α3 .

courbe a : α1 = 0.206 Prolés en I laminés et tubes avec les restrictions suivantes : - Les prols creux formés à chaud conformes à la norme NFA 49 501. 56/ 91

FLAMBEMENT

6.2. VÉRIFICATION SUIVANT L'ADDITIF 80

- Les sections en I ou en caisson de limite élastique σe ≥ 430 M P a ou ayant subi un traitement thermique de relaxation des contraintes résiduelles.

courbe b : α2 = 0.339 Prolés en I laminés et tubes avec les restrictions suivantes : - Les sections en I ou en caisson pour lesquelles les courbes a et c ne s'appliquent pas. - Les prols creux formés à froid conformes à la norme NFA 49 541. - Les sections obtenues par assemblage de cornières ou de prols laminés. courbe c : α3 = 0.489 Prolés en I laminés et les U, T, L avec les restrictions suivantes : - Les sections en U, T, L laminés - Les sections en I ou en caisson dont une des épaisseur dépasse 40 mm On va chercher à vérier que l'eort normal appliqué est inférieur à l'eort normal critique soit : Ncr 1 Nappl Nappl ≤ Ncr . Avec N = alors Nappl ≤ N Np ⇔ ≤ 1. Np N Np En posant :

k0 =

1 N

Soit avec l'équation (5.4) : 2

2λ rh k0 = h i i ¡ ¢ ¡ ¢ 2 2 2 2 1 + α λ − 0.2 + λ − 1 + α λ − 0.2 + λ − 4λ

(6.6)

L'article 5.3.1 prescrit :

k0

Nappl ≤1 Np

6.2.1 Exemple On reprend les caractéristiques du proles 1.3.2.1.2 page 17 avec une longueur l = 2 m. Le vérier pour une charge de 2.3 T . Pour ce prolé on utilise la courbe "b" soit : α = 0.339

2000 mm l ≈ ≈ 141.84 i 14.1 mm r r λ σe 141.84 235 M P a λ= ≈ ≈ 1.51 π E π 210 000 M P a k0 = 2.952 Nappliqu 23 000 N ≈ 2.952 ∗ ≈ 0.889 ≤ 1 k0 Np 76 398.5 N λ=

Le tube convient.


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6.3 Vérication suivant l'Eurocode 3 Le document EuroCode n°3 - 1993 1-1 reprend la méthode de la CECM avec cette fois 5 courbes de ambement. On remarque, par rapport aux courbes de l'additif 80, que l'on a rajouté la courbe a0 pour quelques prolés à forte résistance, les trois courbes suivantes sont à peu de chose près les mêmes avec une meilleure prise en compte du sens de sollicitation des prolés. Une cuinqième courbe d apparaît qui pénalise les prolés de forte épaisseur.

6.3.1 Courbes de ambement 6.3.2 Vérication L'article 6.3.1.1 prescrit pour l'eort normal appliqué :

NEd ≤1 Nb,Rd Avec :

NEd : eort normal appliqué Nb,Rd : eort normal résistant = χ Avec :

Afy γM 1

A : aire de la section fy : limite élastique caractéristique du matériau γM 1 : coecient partiel de sécurité relatif au matériau. La limite élastique de calcul sera donc : fy = σe γM 1 On a donc Nb,Rd = χAσe = χNp Nk Nk Si on note Nk l'eort normal à la ruine, la vérication s'écrit : =1⇔ = χ = N. χNp Np χ nommé dans l'EC3 : coecient de réduction du mode de ambement, n'est autre que l'eort normal réduit N . Il est déni tel que : χ=

1 q 2 Φ + Φ2 − λ

et avec Φ tel que :

h i ¡ ¢ 2 Φ = 0.5 1 + α λ − 0.2 + λ On montre, en reprenant l'équation (5.4) de N , et en l'exprimant en fonction de Φ : q 2 Φ − Φ2 − λ N= λ2 En multipliant par l'inverse conjugé : q q 2 2 2 Φ + Φ2 − λ Φ− Φ −λ 1 q q × = =χ N= 2 λ 2 2 2 2 Φ+ Φ −λ Φ+ Φ −λ On est strictement dans la procédure de vérication de la CECM vue en 5.1.4 page 52 au coecient α prés.

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FLAMBEMENT

6.3. VÉRIFICATION SUIVANT L'EUROCODE 3

6.3.3 Exemple On reprend les caractéristiques du prol 1.3.2.1.2 page 17 avec une longueur l = 2 m. Le vérier pour une charge de 2.3 T . On commence par calculer Ncr puis λ.

π 2 EI π 2 × 210 000 × 64 640 Ncr = = ≈ 33 493.5N 2 2 0002 s l r Afy 325.1 × 235 = λ= ≈ 1.51 Ncr 33 493.5

NEd ≤ 0.04 ou λ ≤ 0.2. Aucune des conditions est Ncr satisfaite, il faut donc vérier ce prolé au ambement. On utilise la courbe c soit : α = 0.49 On regarde si la vérication est utile soit :

h i ¡ ¢ £ ¤ 2 Φ = 0.5 1 + α λ − 0.2 + λ = 0.5 1 + 0.49 (1.51 − 0.2) + 1.512 ≈ 1.961 1 1 q √ = ≈ 0.3113 2 1.961 + 1.9612 − 1.512 2 Φ+ Φ −λ Afy 325.1 × 235 = 0.3113 × ≈ 23 782.9N Nb,Rd = χ γM 1 1 NEd 23 000 = ≈ 0.97 ≤ 1 Nb,RD 23 782.9 χ=

Le tube convient.


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FLAMBEMENT

Annexe A Rappels mathématiques et de mécanique A.1 Rappels de mathématiques A.1.1 Expression de la courbure Avec l'hypothèse des petits déplacements on admet que la courbure d'une barre y(x) est dénie 1 par : = y”(x)x r(x) En grandes déformations cette courbure s'écrit exactement :

y ” (x) 3

(1 + y 0 2 ) 2

A.2 Rappels de mécanique A.2.1 Ame équivalente des poutres en treillis On considère un tronçon de treillis soumis en A et C à un eort tranchant T . Voir gure A.1 Fig. A.1 Ame équivalente des poutres en treillis

lm

V

C1 γ C2

A

C

A

d1

2

A1

ld

ld

h0

A2

V

A

d2

1

θ1

θ2

B

Ses caractéristiques sont : hauteur h0 , membrure supérieure AC de longeur lm et diagonales : AB de section Ad1 , de longueur ld1 et BC de section Ad2 et de longueur ld2 .

61

ANNEXE A. RAPPELS MATHÉMATIQUES ET DE MÉCANIQUE

Pour la simplication des calculs on considèrera que B est xe. Nous allons, à partir de la loi de Hooke transversale τ = Gγ exprimer τ et γ pour déterminer la section équivalente de l'ame Av .

AA1 + CC1 soit avec lm AA1 + CC1 T l'hypothèse des petites déformations : tan γ ≈ γ ⇔ γ = . D'autre part τ = , on peut lm Av donc écrire : Si l'on note γ le glissement angulaire du panneau de treillis, on a tan γ =

AA1 + CC1 T lm T =G ⇔ Av = Av lm G(AA1 + CC1 )

(A.1)

Le problème revient donc maintenant à déterminer AA1 et CC1 . Pour cela nous allons déterminer l'eort dans les diagonales pour en déduire les déplacements. La diagonale AB est soumise à un eort de compression N1 = T

ld1 . A partir de la loi de Hooke on h0

ld1 2 T ld1 AA2 h0 peut écrire : =E ⇔ AA2 = . Ad1 ld1 Eh0 Ad1 Vu l'hypothèse des petits déplacements il y a conservation des angles (voir gure A.2). T

Fig. A.2 Conservation des angles

A L d1 h0

A1

A2

θ1

θ1

AA2 ld1 ⇔ AA1 = AA2 . En sin θ1 h0 remplaçant AA2 par sa valeur on obtient donc AA1 et identiquement CC1 soit : On peut écrire la projection de AA2 pour obtenir AA1 soit : AA1 =

T AA1 + CC1 = Eh20

µ

3 ld1 l3 + d2 Ad1 Ad2

¶

E = 2(1 + ν) on a Av , ou pour simplier l'écriture : G µ 3 3 ¶ ld2 ld1 1 1 = + Av 2(1 + ν)lm h20 Ad1 Ad2

(A.2)

En reprenant l'equation (A.1), avec

(A.3)

Pour les aciers de construction on a ν = 0.3. L'équation (A.3) donne la valeur des règles "CM 66" :

1 0.385 = Av lm h20

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µ

3 ld1 l3 + d2 Ad1 Ad2

FLAMBEMENT

¶ (A.4)

A.2. RAPPELS DE MÉCANIQUE

A.2.1.1 Exemple Soit le mat en treillis déni gure A.3 soumis à une compression axiale de 5 T en G0 et G1

Section AA

Fig. A.3 Mat en treillis

1m

1m

Membrures: L 80x8 Treillis L 40x4

1m

A

A 10 m On a, pour les cornières, les caractéristiques mécaniques suivantes (rapportées aux axes orthogonaux) : Tab. A.1 Caractéristiques des cornières

Cornière L 80x8 L 40x4

Section mm2 1 227 308

Inertie mm4 72.25 104 4.47 104

On a, pour la section droite de la poutre G0 G1 , les caractéristiques mécaniques suivantes : - A = 4 908 mm2 - Av = mm2 - I = 122 989 104 mm4

A.2.2 Équations de comportement d'une barre On considère une barre d'origine i, d'extrémité j , de longueur lij , de matériau Eij et d'inertie Iij . Dans son repère on notera : θi , θj , vi , vj respectivement les rotations et les translations (suivant une direction perpendiculaire à ij ) des noeuds i, j . On notera Mij et Mji les moments aux noeuds i et j . Les notaions sont représentées sur la gure A.4 page suivante.


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ANNEXE A. RAPPELS MATHÉMATIQUES ET DE MÉCANIQUE Fig. A.4 Notation équations intrinsèques

Mji M ij

vi i

θj

θi I ij

Eij l ij

vj j

0 les moments aux noeuds i et j de la même poutre encastrée à ses extrémités, En notant Mij0 et Mji identiquement chargée et en négligeant les déplacements longitudinaux (dans la direction ij ) on aura les moments aux extrémités 1 :

4Eij Iij 2Eij Iij 6Eij Iij θi + θj − (vj − vi ) + Mij0 2 lij lij lij 4Eij Iij 2Eij Iij 6Eij Iij 0 Mji = θj + θi − (vj − vi ) + Mji 2 lij lij lij Mij =

1 Ces

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résultats sont issus de la méthode des déplacements

FLAMBEMENT

(A.5a) (A.5b)

Annexe B Tableaux des valeurs de k (CM 66), k0 (Additif 80) et χ (Eurocode 3)

65

ANNEXE B. TABLEAUX DES VALEURS DE K (CM 66), K0 (ADDITIF 80) ET χ (EUROCODE 3)

B.1 Valeurs de k pour les règles CM 66

Tab. B.1 CM 66 : valeurs de k pour σe = 235M P a

λ 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300

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0 1,000 1,003 1,014 1,034 1,066 1,114 1,187 1,292 1,439 1,631 1,867 2,143 2,458 2,809 3,193 3,610 4,058 4,538 5,048 5,589 6,160 6,761 7,392 8,053 8,743 9,464 10,214 10,993 11,803 12,642 13,511

1 1,000 1,004 1,016 1,037 1,070 1,120 1,196 1,305 1,456 1,652 1,892 2,173 2,492 2,846 3,233 3,653 4,105 4,587 5,101 5,644 6,218 6,822 7,456 8,120 8,814 9,537 10,290 11,073 11,885 12,727 13,599

2 1,000 1,005 1,017 1,039 1,074 1,126 1,205 1,318 1,474 1,674 1,919 2,203 2,526 2,883 3,274 3,697 4,152 4,637 5,154 5,700 6,277 6,884 7,521 8,188 8,885 9,611 10,367 11,153 11,968 12,813 13,688

3 1,000 1,006 1,019 1,042 1,078 1,133 1,214 1,332 1,492 1,697 1,945 2,234 2,560 2,921 3,315 3,741 4,199 4,688 5,207 5,757 6,337 6,947 7,587 8,257 8,956 9,685 10,445 11,233 12,051 12,899 13,777

4 1,001 1,007 1,021 1,045 1,083 1,140 1,224 1,346 1,510 1,720 1,973 2,265 2,594 2,959 3,356 3,785 4,246 4,738 5,261 5,813 6,396 7,009 7,652 8,325 9,028 9,760 10,522 11,314 12,135 12,986 13,866

5 1,001 1,008 1,023 1,048 1,087 1,147 1,235 1,360 1,529 1,743 2,000 2,296 2,629 2,997 3,397 3,830 4,294 4,789 5,315 5,870 6,456 7,072 7,718 8,394 9,100 9,835 10,600 11,394 12,219 13,073 13,956

FLAMBEMENT

6 1,001 1,009 1,025 1,051 1,092 1,154 1,246 1,375 1,549 1,767 2,028 2,328 2,665 3,035 3,439 3,875 4,342 4,840 5,369 5,928 6,517 7,136 7,785 8,463 9,172 9,910 10,678 11,476 12,303 13,160 14,046

7 1,002 1,010 1,027 1,055 1,097 1,162 1,257 1,390 1,569 1,791 2,056 2,360 2,700 3,074 3,481 3,920 4,391 4,892 5,423 5,985 6,577 7,199 7,851 8,533 9,244 9,986 10,756 11,557 12,387 13,247 14,136

8 1,002 1,011 1,029 1,058 1,103 1,170 1,268 1,406 1,589 1,816 2,085 2,392 2,736 3,114 3,524 3,966 4,439 4,943 5,478 6,043 6,638 7,263 7,918 8,603 9,317 10,061 10,835 11,639 12,472 13,334 14,227

9 1,003 1,013 1,032 1,062 1,108 1,178 1,280 1,422 1,610 1,841 2,114 2,425 2,772 3,153 3,567 4,012 4,488 4,996 5,533 6,101 6,699 7,327 7,985 8,673 9,390 10,137 10,914 11,721 12,557 13,422 14,318

B.1. VALEURS DE K POUR LES RÈGLES CM 66 Tab. B.2 CM 66 : valeurs de k pour σe = 275M P a

λ 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300

0 1,000 1,004 1,017 1,040 1,079 1,140 1,234 1,371 1,559 1,800 2,090 2,425 2,802 3,218 3,673 4,164 4,692 5,255 5,854 6,489 7,158 7,862 8,602 9,376 10,185 11,029 11,907 12,820 13,767 14,750 15,766

1 1,000 1,005 1,019 1,044 1,084 1,148 1,245 1,387 1,581 1,827 2,122 2,461 2,842 3,262 3,720 4,215 4,746 5,314 5,916 6,554 7,227 7,935 8,678 9,455 10,268 11,115 11,997 12,913 13,864 14,850 15,870

2 1,000 1,006 1,021 1,047 1,089 1,156 1,257 1,404 1,603 1,854 2,154 2,497 2,882 3,306 3,768 4,267 4,802 5,372 5,978 6,620 7,296 8,008 8,754 9,535 10,351 11,201 12,087 13,007 13,961 14,950 15,974

3 1,000 1,007 1,023 1,050 1,095 1,164 1,270 1,422 1,626 1,882 2,186 2,534 2,923 3,351 3,816 4,319 4,857 5,431 6,041 6,686 7,366 8,081 8,830 9,615 10,434 11,288 12,177 13,100 14,058 15,051 16,078

4 1,001 1,008 1,025 1,054 1,101 1,173 1,283 1,440 1,649 1,910 2,219 2,571 2,964 3,396 3,865 4,371 4,913 5,491 6,104 6,752 7,436 8,154 8,907 9,695 10,518 11,376 12,268 13,195 14,156 15,152 16,183

5 1,001 1,009 1,027 1,058 1,106 1,182 1,296 1,459 1,673 1,939 2,252 2,608 3,005 3,441 3,914 4,423 4,969 5,550 6,167 6,819 7,506 8,228 8,985 9,776 10,602 11,463 12,359 13,289 14,254 15,254 16,288

6 1,001 1,011 1,029 1,062 1,113 1,192 1,310 1,478 1,698 1,968 2,286 2,646 3,047 3,486 3,963 4,476 5,026 5,610 6,231 6,886 7,577 8,302 9,062 9,857 10,687 11,551 12,450 13,384 14,353 15,356 16,393


7 1,002 1,012 1,032 1,066 1,119 1,202 1,325 1,497 1,723 1,998 2,320 2,685 3,089 3,532 4,013 4,530 5,082 5,671 6,295 6,954 7,647 8,376 9,140 9,939 10,772 11,640 12,542 13,480 14,451 15,458 16,499

8 1,003 1,013 1,035 1,070 1,126 1,212 1,340 1,517 1,748 2,028 2,355 2,723 3,132 3,579 4,063 4,583 5,140 5,732 6,359 7,021 7,719 8,451 9,218 10,020 10,857 11,728 12,634 13,575 14,550 15,560 16,605

9 1,003 1,015 1,038 1,075 1,133 1,223 1,355 1,538 1,774 2,059 2,390 2,762 3,175 3,626 4,113 4,637 5,197 5,793 6,424 7,090 7,790 8,526 9,297 10,102 10,943 11,817 12,727 13,671 14,650 15,663 16,711

67/ 91

ANNEXE B. TABLEAUX DES VALEURS DE K (CM 66), K0 (ADDITIF 80) ET χ (EUROCODE 3) Tab. B.3 CM 66 : valeurs de k pour σe = 295M P a

λ 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300

68/ 91

0 1,000 1,004 1,018 1,044 1,086 1,154 1,259 1,413 1,623 1,888 2,205 2,568 2,976 3,425 3,914 4,442 5,009 5,615 6,258 6,939 7,658 8,414 9,207 10,038 10,906 11,811 12,754 13,733 14,750 15,804 16,895

1 1,000 1,005 1,020 1,047 1,092 1,163 1,272 1,432 1,647 1,918 2,239 2,607 3,019 3,472 3,965 4,497 5,068 5,677 6,325 7,009 7,732 8,492 9,289 10,123 10,995 11,904 12,850 13,833 14,854 15,911 17,006

2 1,000 1,006 1,022 1,051 1,098 1,172 1,286 1,451 1,672 1,948 2,274 2,646 3,062 3,519 4,016 4,553 5,127 5,740 6,391 7,080 7,806 8,570 9,371 10,209 11,084 11,997 12,947 13,934 14,958 16,019 17,117

3 1,000 1,007 1,024 1,055 1,104 1,181 1,300 1,470 1,697 1,978 2,309 2,686 3,106 3,567 4,068 4,608 5,187 5,804 6,459 7,151 7,881 8,648 9,453 10,295 11,174 12,090 13,044 14,034 15,062 16,127 17,229

4 1,001 1,009 1,027 1,058 1,110 1,191 1,314 1,490 1,723 2,009 2,345 2,726 3,150 3,616 4,121 4,665 5,247 5,868 6,526 7,222 7,956 8,727 9,535 10,381 11,264 12,184 13,141 14,135 15,167 16,236 17,341

5 1,001 1,010 1,029 1,063 1,117 1,201 1,329 1,511 1,749 2,040 2,381 2,767 3,195 3,664 4,173 4,721 5,307 5,932 6,594 7,294 8,031 8,806 9,618 10,467 11,354 12,278 13,239 14,237 15,272 16,345 17,454

FLAMBEMENT

6 1,002 1,011 1,032 1,067 1,123 1,212 1,345 1,532 1,776 2,072 2,417 2,808 3,240 3,713 4,226 4,778 5,368 5,996 6,662 7,366 8,107 8,885 9,701 10,554 11,445 12,372 13,337 14,339 15,378 16,454 17,567

7 1,002 1,013 1,035 1,071 1,131 1,223 1,361 1,554 1,803 2,105 2,455 2,849 3,286 3,763 4,280 4,835 5,429 6,061 6,731 7,438 8,183 8,965 9,785 10,642 11,536 12,467 13,436 14,441 15,484 16,563 17,680

8 1,003 1,014 1,038 1,076 1,138 1,235 1,378 1,576 1,831 2,138 2,492 2,891 3,332 3,813 4,334 4,893 5,491 6,126 6,800 7,511 8,260 9,046 9,869 10,730 11,627 12,562 13,534 14,544 15,590 16,673 17,794

9 1,003 1,016 1,041 1,081 1,146 1,247 1,395 1,599 1,859 2,171 2,530 2,933 3,378 3,863 4,388 4,951 5,553 6,192 6,869 7,584 8,337 9,126 9,953 10,818 11,719 12,658 13,634 14,647 15,697 16,784 17,908

B.1. VALEURS DE K POUR LES RÈGLES CM 66 Tab. B.4 CM 66 : valeurs de k pour σe = 355M P a

λ 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300

0 1,000 1,005 1,022 1,054 1,109 1,200 1,342 1,549 1,824 2,162 2,557 3,004 3,502 4,048 4,641 5,280 5,965 6,696 7,472 8,293 9,159 10,069 11,025 12,026 13,071 14,161 15,295 16,474 17,698 18,967 20,280

1 1,000 1,006 1,024 1,058 1,116 1,211 1,360 1,574 1,855 2,199 2,599 3,052 3,555 4,105 4,703 5,347 6,036 6,771 7,552 8,377 9,248 10,163 11,123 12,128 13,178 14,272 15,411 16,595 17,823 19,096 20,414

2 1,000 1,008 1,027 1,063 1,124 1,224 1,378 1,599 1,887 2,236 2,642 3,100 3,607 4,163 4,765 5,413 6,108 6,847 7,632 8,462 9,337 10,257 11,222 12,231 13,285 14,384 15,527 16,716 17,948 19,226 20,548

3 1,000 1,009 1,030 1,068 1,132 1,236 1,397 1,625 1,919 2,275 2,686 3,149 3,661 4,221 4,828 5,481 6,180 6,924 7,713 8,548 9,427 10,351 11,321 12,334 13,393 14,496 15,644 16,837 18,074 19,356 20,682

4 1,001 1,010 1,033 1,073 1,140 1,250 1,417 1,651 1,952 2,313 2,730 3,198 3,715 4,280 4,891 5,549 6,252 7,001 7,795 8,634 9,518 10,446 11,420 12,438 13,501 14,609 15,761 16,959 18,200 19,487 20,817

5 1,001 1,012 1,036 1,078 1,149 1,263 1,437 1,678 1,985 2,352 2,774 3,247 3,769 4,339 4,955 5,617 6,325 7,078 7,876 8,720 9,608 10,542 11,520 12,543 13,610 14,722 15,879 17,081 18,327 19,618 20,953

6 1,002 1,014 1,039 1,084 1,158 1,278 1,458 1,706 2,020 2,392 2,819 3,297 3,824 4,398 5,019 5,686 6,398 7,156 7,959 8,807 9,700 10,637 11,620 12,647 13,719 14,836 15,997 17,203 18,454 19,749 21,089


7 1,003 1,016 1,043 1,090 1,168 1,293 1,480 1,735 2,054 2,433 2,865 3,348 3,879 4,458 5,083 5,755 6,472 7,234 8,042 8,894 9,791 10,734 11,721 12,752 13,829 14,950 16,116 17,326 18,581 19,881 21,225

8 1,003 1,018 1,046 1,096 1,178 1,309 1,502 1,764 2,090 2,473 2,911 3,399 3,935 4,519 5,149 5,825 6,546 7,313 8,125 8,982 9,884 10,830 11,822 12,858 13,939 15,065 16,235 17,450 18,709 20,014 21,362

9 1,004 1,020 1,050 1,102 1,189 1,325 1,526 1,794 2,125 2,515 2,957 3,450 3,991 4,579 5,214 5,895 6,621 7,392 8,208 9,070 9,976 10,927 11,923 12,964 14,050 15,180 16,354 17,574 18,838 20,146 21,500

69/ 91

ANNEXE B. TABLEAUX DES VALEURS DE K (CM 66), K0 (ADDITIF 80) ET χ (EUROCODE 3)

B.2 Valeurs de k0 pour l'Additif 80

Tab. B.5 Additif 80 : valeurs de k0 pour la courbe "a"

λ 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5

70/ 91

0,00 1,000 1,023 1,049 1,080 1,121 1,177 1,253 1,358 1,497 1,671 1,880 2,119 2,386 2,677 2,993 3,332 3,692 4,074 4,477 4,902 5,347 5,812 6,299 6,805

0,01 1,002 1,025 1,051 1,084 1,126 1,183 1,262 1,370 1,513 1,691 1,903 2,145 2,414 2,708 3,026 3,367 3,729 4,113 4,519 4,945 5,392 5,860 6,348 6,857

0,02 1,004 1,027 1,054 1,088 1,131 1,190 1,271 1,382 1,529 1,711 1,926 2,170 2,442 2,739 3,059 3,402 3,767 4,153 4,561 4,989 5,438 5,908 6,398 6,909

0,03 1,007 1,030 1,057 1,092 1,136 1,197 1,281 1,396 1,545 1,731 1,949 2,196 2,471 2,770 3,092 3,437 3,804 4,193 4,603 5,033 5,484 5,956 6,449 6,961

0,04 1,009 1,032 1,060 1,095 1,141 1,204 1,291 1,409 1,562 1,751 1,972 2,223 2,499 2,801 3,126 3,473 3,842 4,233 4,645 5,077 5,531 6,005 6,499 7,014

0,05 1,011 1,035 1,064 1,099 1,147 1,211 1,301 1,423 1,580 1,772 1,996 2,249 2,528 2,832 3,160 3,509 3,880 4,273 4,687 5,122 5,577 6,053 6,550 7,066

FLAMBEMENT

0,06 1,013 1,038 1,067 1,104 1,152 1,219 1,312 1,437 1,597 1,793 2,020 2,276 2,558 2,864 3,193 3,545 3,919 4,314 4,729 5,166 5,624 6,102 6,600 7,119

0,07 1,016 1,040 1,070 1,108 1,158 1,227 1,323 1,451 1,615 1,814 2,044 2,303 2,587 2,896 3,228 3,582 3,957 4,354 4,772 5,211 5,671 6,151 6,651 7,172

0,08 1,018 1,043 1,073 1,112 1,164 1,235 1,334 1,466 1,634 1,836 2,069 2,330 2,617 2,928 3,262 3,618 3,996 4,395 4,815 5,256 5,718 6,200 6,702 7,225

0,09 1,020 1,046 1,077 1,117 1,170 1,244 1,346 1,481 1,652 1,858 2,094 2,358 2,647 2,960 3,297 3,655 4,035 4,436 4,858 5,301 5,765 6,249 6,754 7,279

B.2. VALEURS DE K0 POUR L'ADDITIF 80 Tab. B.6 Additif 80 : valeurs de k0 pour la courbe "b"

λ 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5

0,00 1,000 1,037 1,080 1,131 1,194 1,275 1,379 1,511 1,674 1,867 2,090 2,341 2,618 2,920 3,246 3,594 3,965 4,358 4,772 5,207 5,663 6,140 6,638 7,156

0,01 1,004 1,041 1,084 1,136 1,201 1,285 1,391 1,526 1,692 1,888 2,114 2,368 2,647 2,952 3,280 3,631 4,004 4,398 4,815 5,252 5,710 6,189 6,689 7,209

0,02 1,007 1,045 1,089 1,142 1,209 1,294 1,403 1,541 1,710 1,909 2,138 2,394 2,677 2,983 3,314 3,667 4,042 4,439 4,857 5,297 5,757 6,238 6,740 7,262

0,03 1,011 1,049 1,094 1,148 1,216 1,304 1,416 1,557 1,729 1,931 2,162 2,421 2,706 3,015 3,348 3,703 4,081 4,480 4,900 5,342 5,804 6,288 6,791 7,316

0,04 1,014 1,053 1,099 1,154 1,224 1,314 1,429 1,573 1,747 1,953 2,187 2,449 2,736 3,048 3,383 3,740 4,120 4,521 4,944 5,387 5,852 6,337 6,843 7,369

0,05 1,018 1,058 1,104 1,160 1,232 1,324 1,442 1,589 1,767 1,975 2,212 2,476 2,766 3,080 3,417 3,777 4,159 4,562 4,987 5,433 5,899 6,387 6,895 7,423

0,06 1,022 1,062 1,109 1,167 1,240 1,335 1,455 1,605 1,786 1,997 2,237 2,504 2,797 3,113 3,452 3,814 4,198 4,604 5,031 5,478 5,947 6,437 6,947 7,477


0,07 1,026 1,066 1,114 1,173 1,249 1,345 1,469 1,622 1,806 2,020 2,263 2,532 2,827 3,146 3,488 3,852 4,238 4,646 5,074 5,524 5,995 6,487 6,999 7,531

0,08 1,029 1,071 1,120 1,180 1,257 1,357 1,483 1,639 1,826 2,043 2,289 2,561 2,858 3,179 3,523 3,889 4,278 4,687 5,118 5,570 6,043 6,537 7,051 7,586

0,09 1,033 1,075 1,125 1,187 1,266 1,368 1,497 1,656 1,846 2,066 2,315 2,589 2,889 3,212 3,559 3,927 4,318 4,730 5,163 5,617 6,092 6,587 7,104 7,640

71/ 91

ANNEXE B. TABLEAUX DES VALEURS DE K (CM 66), K0 (ADDITIF 80) ET χ (EUROCODE 3) Tab. B.7 Additif 80 : valeurs de k0 pour la courbe "c"

λ 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5

0,00 1,000 1,053 1,114 1,186 1,273 1,379 1,509 1,666 1,851 2,064 2,304 2,570 2,862 3,178 3,517 3,878 4,262 4,668 5,095 5,544 6,013 6,503 7,015 7,547

0,01 1,005 1,059 1,121 1,194 1,282 1,391 1,524 1,683 1,871 2,087 2,329 2,598 2,892 3,210 3,552 3,916 4,302 4,710 5,139 5,590 6,061 6,554 7,067 7,601

0,02 1,010 1,065 1,128 1,202 1,292 1,403 1,539 1,701 1,891 2,110 2,355 2,627 2,923 3,244 3,587 3,953 4,342 4,752 5,183 5,636 6,110 6,604 7,119 7,655

0,03 1,015 1,071 1,134 1,210 1,302 1,416 1,554 1,719 1,912 2,133 2,381 2,655 2,954 3,277 3,623 3,991 4,382 4,794 5,227 5,682 6,158 6,655 7,172 7,710

0,04 1,021 1,077 1,141 1,219 1,313 1,428 1,569 1,737 1,933 2,157 2,407 2,684 2,985 3,310 3,659 4,029 4,422 4,836 5,272 5,729 6,207 6,705 7,225 7,765

0,05 1,026 1,083 1,148 1,227 1,323 1,441 1,584 1,755 1,954 2,181 2,434 2,713 3,017 3,344 3,695 4,068 4,462 4,879 5,317 5,776 6,256 6,756 7,278 7,820

0,06 1,031 1,089 1,156 1,236 1,334 1,454 1,600 1,774 1,975 2,205 2,461 2,742 3,049 3,378 3,731 4,106 4,503 4,922 5,362 5,823 6,305 6,808 7,331 7,875

0,07 1,037 1,095 1,163 1,245 1,345 1,468 1,616 1,793 1,997 2,229 2,488 2,772 3,080 3,413 3,767 4,145 4,544 4,965 5,407 5,870 6,354 6,859 7,385 7,931

0,08 1,042 1,101 1,170 1,254 1,356 1,481 1,633 1,812 2,019 2,254 2,515 2,802 3,113 3,447 3,804 4,184 4,585 5,008 5,452 5,918 6,404 6,911 7,438 7,987

B.3 Valeurs de χ pour l'Eurocode 3

Tab. B.8 Eurocode 3 : valeurs de χ pour la courbe a0

λ 0,2

72/ 91

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

FLAMBEMENT

0,06

0,07

0,08

0,09

0,09 1,048 1,108 1,178 1,263 1,368 1,495 1,649 1,831 2,041 2,279 2,543 2,832 3,145 3,482 3,841 4,223 4,626 5,051 5,498 5,965 6,454 6,963 7,492 8,043

B.3. VALEURS DE χ POUR L'EUROCODE 3 Tab. B.9 Eurocode 3 : valeurs de χ pour la courbe a

λ 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5

0,00 1,000 0,977 0,953 0,924 0,890 0,848 0,796 0,734 0,666 0,596 0,530 0,470 0,418 0,372 0,333 0,299 0,270 0,245 0,223 0,204 0,187 0,172 0,159 0,147

0,01 0,998 0,975 0,950 0,921 0,886 0,843 0,790 0,727 0,659 0,589 0,524 0,465 0,413 0,368 0,330 0,296 0,268 0,243 0,221 0,202 0,185 0,170 0,157 0,146

0,02 0,996 0,973 0,947 0,918 0,882 0,838 0,784 0,721 0,652 0,582 0,518 0,459 0,408 0,364 0,326 0,293 0,265 0,240 0,219 0,200 0,184 0,169 0,156 0,145

0,03 0,993 0,970 0,945 0,915 0,878 0,833 0,778 0,714 0,645 0,576 0,511 0,454 0,404 0,360 0,323 0,290 0,262 0,238 0,217 0,198 0,182 0,168 0,155 0,143

0,04 0,991 0,968 0,942 0,911 0,874 0,828 0,772 0,707 0,638 0,569 0,505 0,448 0,399 0,356 0,319 0,287 0,260 0,236 0,215 0,197 0,180 0,166 0,154 0,142

0,05 0,989 0,966 0,939 0,908 0,870 0,823 0,766 0,700 0,631 0,562 0,499 0,443 0,394 0,352 0,316 0,284 0,257 0,234 0,213 0,195 0,179 0,165 0,152 0,141

0,06 0,987 0,963 0,936 0,905 0,866 0,818 0,760 0,693 0,624 0,556 0,493 0,438 0,390 0,348 0,312 0,281 0,255 0,231 0,211 0,193 0,178 0,164 0,151 0,140


0,07 0,984 0,961 0,933 0,901 0,861 0,812 0,753 0,686 0,617 0,549 0,487 0,433 0,385 0,344 0,309 0,279 0,252 0,229 0,209 0,192 0,176 0,162 0,150 0,139

0,08 0,982 0,958 0,930 0,897 0,857 0,807 0,747 0,680 0,610 0,543 0,482 0,428 0,381 0,341 0,306 0,276 0,250 0,227 0,207 0,190 0,175 0,161 0,149 0,138

0,09 0,980 0,955 0,927 0,894 0,852 0,801 0,740 0,673 0,603 0,536 0,476 0,423 0,377 0,337 0,303 0,273 0,247 0,225 0,205 0,188 0,173 0,160 0,148 0,137

73/ 91

ANNEXE B. TABLEAUX DES VALEURS DE K (CM 66), K0 (ADDITIF 80) ET χ (EUROCODE 3) Tab. B.10 Eurocode 3 : valeurs de χ pour la courbe b

λ 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5

74/ 91

0,00 1,000 0,964 0,926 0,884 0,837 0,784 0,724 0,661 0,597 0,535 0,478 0,427 0,382 0,342 0,308 0,278 0,252 0,229 0,209 0,192 0,176 0,163 0,151 0,140

0,01 0,996 0,960 0,922 0,880 0,832 0,778 0,718 0,655 0,591 0,529 0,473 0,422 0,378 0,339 0,305 0,275 0,250 0,227 0,208 0,190 0,175 0,162 0,149 0,139

0,02 0,993 0,957 0,918 0,875 0,827 0,772 0,712 0,648 0,584 0,523 0,467 0,417 0,373 0,335 0,302 0,273 0,247 0,225 0,206 0,189 0,174 0,160 0,148 0,138

0,03 0,989 0,953 0,914 0,871 0,822 0,766 0,706 0,642 0,578 0,518 0,462 0,413 0,369 0,331 0,299 0,270 0,245 0,223 0,204 0,187 0,172 0,159 0,147 0,137

0,04 0,986 0,949 0,910 0,866 0,816 0,761 0,699 0,635 0,572 0,512 0,457 0,408 0,365 0,328 0,295 0,267 0,243 0,221 0,202 0,186 0,171 0,158 0,146 0,136

0,05 0,982 0,945 0,906 0,861 0,811 0,755 0,693 0,629 0,566 0,506 0,452 0,404 0,361 0,324 0,292 0,265 0,240 0,219 0,200 0,184 0,169 0,157 0,145 0,135

FLAMBEMENT

0,06 0,979 0,942 0,902 0,857 0,806 0,749 0,687 0,623 0,559 0,500 0,447 0,399 0,357 0,321 0,289 0,262 0,238 0,217 0,199 0,182 0,168 0,155 0,144 0,134

0,07 0,975 0,938 0,897 0,852 0,800 0,743 0,680 0,616 0,553 0,495 0,442 0,395 0,354 0,318 0,287 0,259 0,236 0,215 0,197 0,181 0,167 0,154 0,143 0,133

0,08 0,971 0,934 0,893 0,847 0,795 0,737 0,674 0,610 0,547 0,489 0,437 0,390 0,350 0,314 0,284 0,257 0,234 0,213 0,195 0,179 0,165 0,153 0,142 0,132

0,09 0,968 0,930 0,889 0,842 0,789 0,731 0,668 0,603 0,541 0,484 0,432 0,386 0,346 0,311 0,281 0,255 0,231 0,211 0,194 0,178 0,164 0,152 0,141 0,131

B.3. VALEURS DE χ POUR L'EUROCODE 3 Tab. B.11 Eurocode 3 : valeurs de χ pour la courbe c

λ 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5

0,00 1,000 0,949 0,897 0,843 0,785 0,725 0,662 0,600 0,540 0,484 0,434 0,389 0,349 0,315 0,284 0,258 0,235 0,214 0,196 0,180 0,166 0,154 0,143 0,132

0,01 0,995 0,944 0,892 0,837 0,779 0,718 0,656 0,594 0,534 0,479 0,429 0,385 0,346 0,311 0,281 0,255 0,232 0,212 0,195 0,179 0,165 0,153 0,141 0,132

0,02 0,990 0,939 0,887 0,832 0,773 0,712 0,650 0,588 0,528 0,474 0,424 0,380 0,342 0,308 0,279 0,253 0,230 0,210 0,193 0,177 0,164 0,151 0,140 0,131

0,03 0,985 0,934 0,881 0,826 0,767 0,706 0,643 0,582 0,523 0,469 0,420 0,376 0,338 0,305 0,276 0,250 0,228 0,209 0,191 0,176 0,162 0,150 0,139 0,130

0,04 0,980 0,929 0,876 0,820 0,761 0,700 0,637 0,575 0,517 0,463 0,415 0,372 0,335 0,302 0,273 0,248 0,226 0,207 0,190 0,174 0,161 0,149 0,138 0,129

0,05 0,975 0,923 0,871 0,815 0,755 0,694 0,631 0,569 0,511 0,458 0,411 0,368 0,331 0,299 0,271 0,246 0,224 0,205 0,188 0,173 0,160 0,148 0,137 0,128

0,06 0,969 0,918 0,865 0,809 0,749 0,687 0,625 0,563 0,506 0,453 0,406 0,364 0,328 0,296 0,268 0,243 0,222 0,203 0,186 0,172 0,159 0,147 0,136 0,127


0,07 0,964 0,913 0,860 0,803 0,743 0,681 0,618 0,558 0,500 0,448 0,402 0,361 0,324 0,293 0,265 0,241 0,220 0,201 0,185 0,170 0,157 0,146 0,135 0,126

0,08 0,959 0,908 0,854 0,797 0,737 0,675 0,612 0,552 0,495 0,443 0,397 0,357 0,321 0,290 0,263 0,239 0,218 0,200 0,183 0,169 0,156 0,145 0,134 0,125

0,09 0,954 0,903 0,849 0,791 0,731 0,668 0,606 0,546 0,490 0,439 0,393 0,353 0,318 0,287 0,260 0,237 0,216 0,198 0,182 0,168 0,155 0,144 0,133 0,124

75/ 91

ANNEXE B. TABLEAUX DES VALEURS DE K (CM 66), K0 (ADDITIF 80) ET χ (EUROCODE 3) Tab. B.12 Eurocode 3 : valeurs de χ pour la courbe d

λ 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5

76/ 91

0,00 1,000 0,923 0,850 0,779 0,710 0,643 0,580 0,521 0,467 0,419 0,376 0,339 0,306 0,277 0,251 0,229 0,209 0,192 0,177 0,163 0,151 0,140 0,130 0,121

0,01 0,992 0,916 0,843 0,772 0,703 0,637 0,574 0,515 0,462 0,414 0,372 0,335 0,302 0,274 0,249 0,227 0,207 0,190 0,175 0,162 0,150 0,139 0,129 0,121

0,02 0,984 0,909 0,836 0,765 0,696 0,630 0,568 0,510 0,457 0,410 0,368 0,332 0,299 0,271 0,247 0,225 0,206 0,189 0,174 0,160 0,149 0,138 0,128 0,120

0,03 0,977 0,901 0,829 0,758 0,690 0,624 0,562 0,504 0,452 0,406 0,364 0,328 0,296 0,269 0,244 0,223 0,204 0,187 0,172 0,159 0,147 0,137 0,127 0,119

0,04 0,969 0,894 0,822 0,751 0,683 0,617 0,556 0,499 0,447 0,401 0,361 0,325 0,293 0,266 0,242 0,221 0,202 0,186 0,171 0,158 0,146 0,136 0,127 0,118

0,05 0,961 0,887 0,815 0,744 0,676 0,611 0,550 0,493 0,442 0,397 0,357 0,321 0,291 0,263 0,240 0,219 0,200 0,184 0,170 0,157 0,145 0,135 0,126 0,117

FLAMBEMENT

0,06 0,954 0,879 0,808 0,738 0,670 0,605 0,544 0,488 0,438 0,393 0,353 0,318 0,288 0,261 0,237 0,217 0,199 0,183 0,168 0,156 0,144 0,134 0,125 0,116

0,07 0,946 0,872 0,800 0,731 0,663 0,598 0,538 0,483 0,433 0,388 0,349 0,315 0,285 0,258 0,235 0,215 0,197 0,181 0,167 0,154 0,143 0,133 0,124 0,116

0,08 0,938 0,865 0,793 0,724 0,656 0,592 0,532 0,477 0,428 0,384 0,346 0,312 0,282 0,256 0,233 0,213 0,195 0,180 0,166 0,153 0,142 0,132 0,123 0,115

0,09 0,931 0,858 0,786 0,717 0,650 0,586 0,526 0,472 0,423 0,380 0,342 0,309 0,279 0,254 0,231 0,211 0,194 0,178 0,164 0,152 0,141 0,131 0,122 0,114

Annexe C L'article de J. DUTHEIL parru dans la revue "Construction Métallique" du 2 juin 1966 Cet article fondateur du célèbre règlement "CM 66" avait pour titre : "Vérication des pièces comprimées" et pour sous titre "Principes fondamentaux". Il est reproduit ici dans son intégralité.

C.1 Flambement simple C.1.1 Processus de ambement Considérons (gure C.1) une barre prismatique bi-articulée en acier doux à section massive, doublement symétrique, soumise à une compression naxiale N . Dés le début de l'application de cette compression axiale et quelles que soient les soins apportés à son centrage et au dressage de la barre, on constate l'apparition d'une èche f , croissant progressivement avec la charge.

N

l 2

f

l 2

N Fig. C.1

La variation de moment interne Mi dans la section médiane,relevée expérimentalement, est représentée gure C.2 page suivante par la courbe OCAB .

77

ANNEXE C. L'ARTICLE DE J. DUTHEIL PARRU DANS LA REVUE "CONSTRUCTION MÉTALLIQUE" DU 2 JUIN 1966 E

M=Nf

M ’i f Nz

Mi B

A J D D’

f1 =N 1 M1

C

O

F

f

f1

Fig. C.2

Quant au moment externe, sous l'eet d'une valeur particulière N1 de la charge à laquelle correspond une èche f1 , il est égal à :

Me = N1 f1 équation d'une droite passant par O et de coecient angulaire N1 . Le point de rencontre C de cette droite avec la courbe du moment interne, est le point guratif d'une position d'équilibre stable avec Me = Mi . Lorsque la charge croit le point C se déplace sur la courbe OCAB en direction de B mais sans pouvoir dépasser le point A pour lequel la droite représentative du moment externe est tangente à la courbe du moment interne. La charge correspondante N1 est la charge limite supportable, car au-delà, la droite du moment externe ne rencontrant plus la courbe du moment interne, il n'y a plus d'équilibre possible, l'aaissement se produit. Cet aaissement provient donc d'une rupture d'équilibre entre les moments interne et externe, ces deux moments croissant suivant des lois divergentes. Ce déséquilibre se produit en phase élasto-plastique avant tout allongement dangereux aux bres extrèmes, car l'acier doux est ductile. La rupture n'est donc pas le critère de l'aaissement (elle pourrait l'être dans la cas d'un matériaux élastique jusqu'à la rupture). Il est utile de remarquer que la courbe OACB correspond au premier chargement à charge constante croissante jusqu'en A. Mais si l'on arrête la première charge en un point quelconque avant ruine, par exemple au point 0 D qui correspond à l'apparition de la limite élastique, dans la bre la plus sollicitée, à la décharge, 0 0 la variation moment èche ne suit pas la courbe de charge OCD , mais une courbe diérente D F représentée en pointillés sur la gure C.2, et il apparaît une èche résiduelle OF . Ensuite toute nouvelle 0 charge et décharge limitée au point D0 , se fait en suivant une courbe D F , et les déformations correspondantes sont élastiques. Une partie des imperfections de structure s'est transformée en imperfections géométriques.

C.1.2 Loi de déformation Pour arriver à déterminer la charge de ruine d'une barre donnée, on sait qu'il est nécessaire de connaitre sa loi de déformation. On ne peut penser à la recherche du'une loi tenant compte des déformations plastiques, on se heurterait à des dicultés pratiquement inextricables.

78/ 91

FLAMBEMENT

C.1. FLAMBEMENT SIMPLE 0

Mais la connaissance de la loi de déformation élastique extrapolée suivant la courbe OCD JE , permet de résoudre le problème si l'on peut déterminet sur elle le point J tel que la droite OJ passe par le point de tangeance A. C'est le principe même de la méthode Dutheil : ramener le calcul de la charge de ruine à un problème simple de fexion composée en élasticité. Sur cette loi de déformation on ne peut faire que des hypothèses, quitte à les vérier par l'expérimentation. Il y a cependant un certain nombre d'impératifs découlant de considérations expérimentales ou théoriques qu'on peut résumer ainsi : La déformée, sinon tout à fait à son début (car dans cette période de début les imperfections géométriques sont prépondérantes), devient en fait sinosoïdale quand la contraine approche de sa limite supérieure. La èche doit donc être proportionnelle à F , l étant la longueur de ambement, et inversement proportionnelle à la valeur El. Les imperfections dans une barre bien dréssée et bien centrée existent à l'état potentiel et n'apparaissent que progressivement sous contrainte. La èche doit donc être une fonction croissante de σ , contrainte de compression. Certaines catégories d'imperfections ont pour eet de majorer l'amplitude des déformations en exion ce qui peut s'interpréter comme une réduction du module d'élasticité. La loi d'imperfection cherchée doit être mathématiquement correcte, elle doit ramener à la théorie d'Euler quand les termes caractérisant les imperfections s'annulent. Enn cette loi d'imperfection doit être aussi simple que possible. Compte tenu de ces impératifs et d'autres considérations trop longues à développer ici, nous sommes arrivés à la loi générale suivante applicable à tous les matériaux :

f=

a(1 + b)σσk W σk − σ(1 + b) Nk

(C.1)

π 2 EI l2 Nk σk contrainte critique d'Euler σk = A A surface de la section Nk charge critique d'Euler Nk =

σ contrainte de compression I v b coecient permettant d'interpreter certaines imperfections de structure par une réduction du module d'élasticité : E 0 E = 1+b

W module de la section W =

a coecient couvrant toutes les autres imperfections (défaut de rectitude, de centrage, tolérance sur les dimensions, etc . . . ). Pour ce qui concerne plus particulièrement l'acier, la comparaison avec les résultats d'essais a donné sensiblement :

a(1 + b) = b

(C.2)

ce qui a permis de simplier l'expression (C.1) en l'écrivant sous la forme :

f=

bσσk W σk − σ(1 + b) Nk


(C.3)

79/ 91

ANNEXE C. L'ARTICLE DE J. DUTHEIL PARRU DANS LA REVUE "CONSTRUCTION MÉTALLIQUE" DU 2 JUIN 1966 Le fait que cette formule ne renferme plus que le coecient b, celui qui correspond aux imperfections de structure réduisant le module d'élasticité, ne signie pas que les autres imperfections sont tenues négligeables. En fait les défauts de rectitude, dans une pièce mise en oeuvre et par conséquent bien dressée, sont peu importants. Par ailleur ils ne sont pas indépendants des imperfections de structure, puisqu'on ne peut dresser une barre d'acier à froid qu'en introduisant des contraintes internes.Il y a donc transformation d'imperfections géométriques en imperfection de structure. La transposition inverse peur d'ailleurs s'obtenir. En procédant à des charges et décharges successives de la barre soumise à une compression axiale, on voit apparaître une èche résiduelle, avec disparition partielle des contraintes internes. On voit donc qu'en fait, pour l'acier, les imperfections de structure sont prépondérantes : on peut en dénitive, et pour simplier, les considérer seules, quitte à leur dnner une importance susante pour négliger tpoutes les autres, sans distinctions d'origine.

C.1.3 Critère de ruine, charge d'aaissement Si Nz est la charge limite supportable et σz le contrainte de compression correspondante, on pourra déterminer σz en posant que la contrainte maximale dans la section mediane 1 est égale à :

(σe − σz )Φ + σz

(C.4)

σe Limite élastique. Φ Coecient d'adaptation dans la section correspondant à la saturation plastique. L'équation déterminant σz s'écrira :

σz +

σz Af = (σe − σz )Φ + σz W

et, en remplaçant f par sa valeur (C.3), on aboutit à une équation du second degré en σz dont la solution est :

s σz = σt − σt =

σt2 −

σe σk Φ Φ + b(Φ − 1)

Φ[σk + σe (1 + b)] 2[Φ + b(Φ − 1)]

(C.5a) (C.5b)

On peut toujours trouver une valeur de b qui donne une concordance de la déformation dans la zone élastique, et alors la valeur donnée par (C.5) est parfaitement conrmée par l'expérience. Autrement dit le point J , correspond bien à la contrainte donnée par (C.4), en supposant les déformations élastiques et en conformité avec la loi (C.3). Il n'y a plus évidement concordance des déformations dans la zone élasto-plastique, puisqu'on a ramené le problème à celui du ambement composé en déformations élastiques. Mais cela n'a aucune importance ; σz ne peut être en eet prise comme base de la sécurité, en raison justement des déformations plastiques qui rendent la barre inutilisable avant que la contrainte σz soit appliquée. On remarquera sur la gure C.2 page 78 que le début de déformations plastiques sensible se produit en un point D, correspondant à une charge supérieure à celle qui correspond à la limite élastique. On sait que c'est l'un des eets de l'adaptation de plasticité, de produire en exion un relèvement apparent de la limite élastique. 1 L'exploitation

janvier 1946

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du phénomène d'adaptation dans les ossatures en acier doux. Annales de I. T. B. T. P. n° 2,

FLAMBEMENT

C.1. FLAMBEMENT SIMPLE 0

Bien entendu ce relèvement est ctif, les déformations élasto-plastiques commencent au point D , mais leurs eets sont si faibles au début qu'ils n'apparaissent pas. Nous avons déterminé jusqu'à quelle limite on pouvait considérer les déformations comme quasi-élastiques 2 . Il en résulte, dans le cas qui nous occupe, qu'il sut de substituer Ψ à Φ dans les formules (C.5) pour obtenir la charge limite qui devrait rationnellement être prise comme base de la sécurité, en conformité avec ce qui a été admis dans les présentes règles pour l'adaptation de plasticité en exion simple :

s σz = σt − σt =

σt2 −

σe σk Ψ Ψ + b(Ψ − 1)

(C.6a)

Ψ[σk + σe (1 + b)] 2[Ψ + b(Ψ − 1)]

(C.6b) 0

Enn, si l'on veut calculer la contrainte correspondante au point D , c'est à dire celle qui fait apparaître la limite élastique au bord de la section médiane, il sut dans (C.6) de faire Ψ = 1 et l'on obtient :

q σs = σt − σt2 − σe σk 1 σt = [σk + σe (1 + b)] 2

(C.7a) (C.7b)

0

Pratiquement les trois charges σz , σs , σs sont trés voisines pour une barre déterminée. On en déduit que, sauf cas trés particulier, il est sans intérêt de prendre en compte l'adaptation de plasticité. On admet donc que la contrainte d'aaissement est σs donnée par (C.6).

C.1.4 Conception probabiliste de la sécurité Dans ce qui précède nous avons analysé le comportement expérimental d'une barre donnée, an de déterminer le mode de calcul de la contrainte d'aaissement, au moyen d'une valeur particulière des coecients a et b. Mais pratiquement, le projeteur ignore la valeur de b qui correspond aux barres qu'il calcule au ambement. On constate alors que, b dépendant de perturbations aléatoires, il apparaît comme nécessaire de procéder à une étude statistique, ce qui conduit à la conception probabiliste de la sécurité qui caractérise la méthode Dutheil. Cette conception a été exposée en 1954 à la tribune de la Société des Ingénieurs Civils de France, et plus récemment à l'occasion à l'A.I.P.C. congrés de Rio de Janeiro, août 1964. Nous rappelons ici trés brièvement en quoi elle consiste. Les barres comprimées d'une ossature sont en fait des pièces industrielles présentant à ce titre des imperfections plus grandes que les éprouvettes habituelles des laboratoires. Les essais statistiques doivent donc être faits sur des pièces réelles, telles qu'elles sortent des ateliers de construction. Pour un élancement quelconque λ1 supposons eectué un certain nombre d'essais de ambement sur des barres de même section en acier laminé du commerce. Les valeurs relevées pour la contrainte d'aaissement sont dispersées sur une bande ab (gure C.3 page suivante) 2 Voir

la note 1 page précédente


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ANNEXE C. L'ARTICLE DE J. DUTHEIL PARRU DANS LA REVUE "CONSTRUCTION MÉTALLIQUE" DU 2 JUIN 1966

σ

σ

A

a

e

b B

Euler

σs = f( λ) 0

λ1

C

λ

Fig. C.3

En procédant à un ajustement sur une loi de Laplace-Gauss, on peut classiquement déterminer la valeur de la contrainte d'aaissement dont la probabilité intégrale a une valeur donnée. On peut notament choisir comme valeur de cette probabilité intégrale, celle de la limite élastique conventionnelle σe . Soit B le point guratif de la contrainte d'aaissement déterminée pour l'élancement λ1 , dans ces conditions. Par des essais analogues sur d'autre élancements, on déduira autant de points analogues à B que l'on voudra. La courbe ABC qui joint tous ces points est la courbe des contraintes d'aaissement à probabilité intégrale constante σs = f (λ). On peut appliquer par rapport à σs un coecient de sécurité unique qui est le même que celui qu'on admet par rapport à σe en compression ou exion simple.

C.1.5 Vérication expérimentale des formules et détermination des coecients a et b La conception probabiliste de la méthode Dtheil ayant été agréée par la commission n° 8 de la Convention Européenne de la Construction Métallique, il a été décidé de procéder à des essais statistiques de ambement à l'échelle européenne, et ce pour vérier la courbe de ambement σs = f (λ) des règles CM 56, qui apparaissait comme la plus avantageuse des toutes les courbes de ambement des règlements d'Europe. Ces essais ont été eectués sur des barres de laminés d'exécution industrielle, centrées le mieux possible, mais sans correction en cours d'essai. On a prévu un nombre d'essais parallèles susant pour permettre une exploitation statistique des résultats, avec un minimum d'une vingtaine par élancement, le cadre général du programme visant l'étude du ambement pour toute la gamme d'élancements pratiquement utilisés et pour tous les types usuels de sections simples et composées. Les plus de 700 essais de ambement eectués ont été répartis entre les laboratoires de six pays : Allemagne, Belgique, France, Grande-Bretagne, Italie, Yougoslavie 3 . Des spécialistes ont d'abord vérié qu'un ajustement était possible sur une loi de Laplace-Gauss ; les méthodes employées étaient diérentes , meis les conclusions concordantes : toutes les séries d'essais répondaient bien à une loi nor3 NDLR

On parle aujourd'hui d'ex Yougoslavie, à l'époque le maréchal Tito tenait fermemant le couvercle de la marmite sous pression . . .

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FLAMBEMENT

C.1. FLAMBEMENT SIMPLE male. On a pu ainsi tracer une courbe à probabilité intégrale constante en deux fois l'écart quadratique moyen de la valeur centrale. Il nous paraît intêtessant de constater que cette courbe, purement expérimentale, résultant d'une vaste recherche internationale et adoptée par le Convention Européenne de la Construction Métallique, se retrouve très dèlement à l'aide de notre formule fondamentale (C.1), les valeurs des coecients a et b correspondant aux résultats de cette recherche étant respectivement a = 0.17 et b = 0.21. Ces deux valeurs expérimentales conrment d'ailleurs le relation simplicatrice (C.2), car :

0.17(1 − 0.21) =

0.2057 0.21

Dans les nouvelles Règles CM on a pris b = 0.3 de telle façon que la formule (C.7) donne pour σs la même valeur que dans les Règles CM 56 tout en obtenant une simplication non négligeable des calculs. Il restait donc à comparer le courge σs = f (λ) obtenue par la formule (C.7) avec la courbe des contraintes limites à probabilité intégrale constante obtenue comme nous l'avions indiqué ci-dessus. La courbe obtenue par le moyen de la formule (C.7) donnait une très bonne concordance avec la courbe expérimentale tout en restant partout légèrement au-dessous à peu près dans la même proportion. En déduisant de la valeur centrale 2.6 fois l'écart type moyen, la courbe expérimentale se repprochait de la nôtre et la concordance devenait remarquable.On n'a pas cru devoir utiliser la marge de sécurité restant disponible mais la formule (C.7) avec b = 0.3 se trouvait pleinement vériée. Finalement, la formule fondamentale du ambement pour l'acier de construction devient :

q σs = σt − σt2 − σe σk 1 avec : σt = (σe + 1.3σk ) 2

(C.8a) (C.8b)

Il est important de remarquer qu'ayant donné une équation à la courbe expérimentale σs = f (λ), on dispose alors d'une méthode générale de calcul permettant la résolution de tous les prblèmes complexes de ambement d'ossatures en acier laminé qu'on peut rencontrer et sans qu'il soit nécessaire de faire d'autres essais statistiques.

C.1.6 Extension aux barres à treillis ou à barettes Ce cas correspond à celui d'un matériau qui se déformerait élastiquement jusqu'à rupture. Cette rupture se produit en eet par ambement des tronçons de membrure et il n'y a pas d'adaptation de plasticité possible. Le critère de ruine est alors non pas la limite élastique mais la contrainte limite d'aaissement des tronçons de membrures. Cette conception est valable chaque fois que la raideur individuelle des membrures est très faible par rapport à la raideur de l'eet poutre, ce qui est le cas le plus général. La prise en compte de la raideur des membrures, quand elle est nécessaire, n'ore pas de diculté particulières, mais elle ne correspond qu'à des cas fréquents en pratique et on a jugé inutile de compliquer les Règles en introduisant des calculs considérés comme sans grand intérêt.

C.1.7 Déformation dans deux plans perpendiculaires Les imperfections de structure n'ont pas d'irientation préférentielle ou tout au moins on ne les connaît pas. Il pourrait donc paraître normal de tenir compte des composantes de la èche représentative des imperfections de structuredans les deux plans principaux d'inertie. Pratiquement la composante dans la direction favorable est toujours prépondérante et les eets de l'autre composante peuvent être négligés.


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C.1.8 Cas d'une section simplement symétrique par rapport au plan de ambement considérons la section en simple té représentée gure C.4 et dont l'inertie minimum se situe sur l'axe xx, qui est donc le plan de ambement. y v’

v

x

x

y

Fig. C.4

Les imperfections déterminent le sens de la exion dans ce plan, tandis que l'amplitude de cette déformation ne dépend que de la raideur. Il en résulte que la variation de èche en fonction de la contrainte sera sensiblement la même, que la déviation se produise dans un sens ou dans l'autre. Il en résulte que la charge axiale faisant apparaître la limite élastique au bord de la section médiane, aura deux valeurs diérentes suivant que la déviation se produise dans un sens ou dans l'autre. Elle sera évidement plus faible quand cette déviation se produira âme côté concave. C'est donc ce sens de ambement qui est préférentiel et l'expérience le conrme. Il en résulte que dans l'expression (C.3) il faut prendre :

I v I étant le moment d'inertie minimum dans le plan xx, et la formule (C.8) restant applicable. Supposons maintenant que par le moyen d'une force auxiliaire transversale on provoque la déviation dans le sens âme côté convexe, la force auxiliaire disparaissant lorsqu'on obtient un équilibre échi 0 stable : le calcul de σs fait alors intervenir le module : W =

0

W =

I v0

et on aboutit à :

v u 2 0 σs = σt − u tσt −

σ σ µe k ¶ W 1+b 1− 0 W σk + σe (1 + b) µ ¶¸ avec : σt = · W 2 1+b 1− 0 W

(C.9a)

(C.9b)

Dans l'autre sens σs est donné par la formule (C.7). Il est toujours possible de trouver une valeur de b qui donne une concordance avec les déformations pour une éprouvette donnée. On constate alors 0 que σs et σs sont en parfaite concordance avec l'expérience de Ros. On constate qu'en faisant :

W =1 W0 la formule (C.9) devient identique à (C.7) et en faisant de plus b = 0.3 identique à (C.8).

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FLAMBEMENT

C.1. FLAMBEMENT SIMPLE

C.1.9 Vérication courante des pièces prismatiques La ruine se produit quand la compression simple atteint la contrainte limite d'aaissement σs donnée par (C.8). La condition de stabilité pourrait s'écrire :

σ ≤ σs

(C.10)

Si k est un coecient de ambement déni par :

k=

σe σs

la condition (C.10) peut alors s'écrire :

kσ ≤ σe

(C.11)

ce qui a l'avantage de faire apparaître σe au second membre, suivant la méthode de véricationà la ruine admise pour toutes les sollicitations, étant entendu que σ est la contrainte pondérée de compressionsimple. Les valeurs de k sont données par des tableaux et des courbes. Mais la valeur de k est valable à la limite de sorte que lorsque σ est notablement inférieur à σs , la contrainte kσ est surévaluée, ce qui peut avoir des inconvénients lorsque d'autres sollicitations intervienne simultanément, comme une exion dans le plen de ambement par exemple. On est ainsi conduit à considérer un autre coecient de ambement. Partant de :

fi = 0.3σ

W σk σk − 1.3σ Nk

on calcule le moment dans la section médiane :

M = N fi = σAfi

0.3σ 2 W σk − 1.3σ

La contrainte de exion correspondante est :

0.3σ 2 σk − 1.3σ et la contrainte totale :

σ+

σk − σ µ−1 0.3σ 2 =σ =σ σk − 1.3σ σk − 1.3σ µ − 1.3

avec :

µ=

σk σ

en posant :

k1 =

µ−1 µ − 1.3

on dénit un autre coecient de ambement, valable pour toutes les valeurs de σ qui était déjà préconisé dans les règles CM 56. La condition de stabilité est alors :

σk1 ≤ σe

(C.12)

Pour σ = σs on a : k1 = k et pour 0 < σ < σs on a toujours k1 < k .


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C.2 Systèmes hyperstatiques dont certains éléments sont soumis au ambement Les imperfections de toutes sortes présentées par les poutres constituant un système hyperstatique, créent des perturbations qui ont une inuence à la fois sur la position des points d'inexion réels ou ctifs, donc sur la longueur de ambement, en même temps que sur la stabilité propre de la barre bi-articulée qui en dénitive conditionne celle du système tout entier. La méthode employée pour la prise en compte des imperfections dans le cas fondamental de la barre bi-articulée, s'adapte particulièrement bien aux systèmes hyperstatiques. Si, en eet, on admet que les imperfections de dressage sont négligeables dans le premier cas, elles le sont à fortiori dans le second, car les liaisons hyperstatiques ont pour eet de parfaire le dressage. Par exemple, une poutre mal dressée sur deux appuis devient à peu près parfaitement droite quand on lui impose un appui central supplémentaire de niveau. À mesure qu'intervient la force axiale, la poutre droite au départ prend progessivement sa ligne déformée en s'adaptant aux liaisons hyperstatiques. S'il apparaît après quelques charges et décharges successives une déformation résiduelle, mais évidement pas avec un défaut de dressage de la barre avant sa charge. Il serait donc vain de vouloir interpréter les imperfections de toutes naturespar une déformation initiale pré-déterminée.

C.2.1 Méthode directe Cette méthode découle directement des principes fondamentaux exposés au chapitre précédent et appliqués à la barre bi-articulée. Qu'on limite la contrainte à la limite élastique, ou qu'on prenne en compte l'adaptation de plasticité dans la section au moyen du coecient ψ , tous les calculs de déformation sous une sollicitation donnée, peuvent s'eectuer au moyen de calculs classiques les règles de l'élasticité. on a ainsi un moyen réellement simple de détermination des systèmes hyperstatiques. Considérons par exemple la poutre gure C.2.1 symétrique, sur quatre appuis rigides, dont la travée centrale seule est comprimée. Fig. C.5

Sous la charge de compression N apparaissent deux points d'inexion C et D qui déterminent la longueur de ambement lf . La partie CD de la déformée est une demi-onde de sinusoïde avec une èche f . Les parties AC et DB sont des troçons d'une demi-onde identique. On peut exprimer la rotation sur les appuis A et B , soit au moyen de la déformation dans la travée centrale, ce qui donne :

l − lf π f cos π lf 2lf soit en partant de la déformation des travées latérales, on obtient : θ1 =

l − lf l1 sin π 3E0 I1 2lf En écrivant que ces deux rotations sont égales, on aboutit à l'équation : θ1 = N f

tan π

l − lf 3lf I1 E0 σkf = 2lf πl1 IEσ

dans laquelle :

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FLAMBEMENT

(C.13)

C.2. SYSTÈMES HYPERSTATIQUES DONT CERTAINS ÉLÉMENTS SONT SOUMIS AU FLAMBEMENT E 1.3 2. σkf : contrainte critique d'Euler correspondant à la longueur lf et au moment d'inertie I . N 3. σ = : contrainte de compression. A Cette équation donne la longueur de ambement lf correspondant à la charge N . On connait la contrainte et la déformation en tous points. 1. E0 =

C.2.2 Méthode des modules ctifs Cette méthode permet de ramener le calcul de la charge limite d'aaissement réelle, compte tenu des imperfections, à celui de la charge critique du système considéré, supposé idéalement parfait, à charge de prendre en compte um module ctif Es dont on connaît la variation en fonction de la contrainte de compression et de l'élancement. Le calcul de Es découle des considérations suivantes. La contrainte limite d'aaissement d'une barre bi-articulée peut s'écrire sous la forme :

π 2 Es λ2 qui correspond à la contrainte critique d'Euler d'une barre idéalement parfaite d'élancement λ, et de mudule d'élasticité Es . On en tire : Es =

λ2 (C.14) π2 Or pour un élancement donné λ, on connaît la valeur de σs donnée par la formule (C.8), on connaît donc la valeur de Es en fonction de σs , et pour faciliter l'application on peut tracer une courbe représentative de cette variation. Pour appliquer la méthode des modules ctifs à la poutre de la gure C.2.1 page précédente, on suppose que la travée centrale est soumise à sa charge d'aaissement Ns . On connaît alors par la E formule (C.14) ou la courbe Es = f (σ), le module Es de la travée centrale et le module E0 = 1.3 dans les travées latérales non comprimées. Dans ces hypothèses, et la poutre étant considérée comme idéalement parfaite, on aboutit classiquement à l'équation : Es = σs

tan π

l − lf 3lf I1 E0 = 2lf πl1 IEs

(C.15)

Pratiquement, pour résoudre cette équation, on est obligé d'opérer par approximations successives.On se donne une valeur de Ns , la courbe donne la valeur de Es correspondante, et l'équation (C.15) donne lf . La valeur de Ns admise est valable si lf satisfait à la relation :

Ns =

π 2 Es I lf2

(C.16)

En première approximation on peut faire Es = E0 , l'équation C.15 devenant relative à une poutre idéalement parfaite de module E ; on obtient ainsi directement la valeur de lf et la charge critique correspondante. Mais cette valeur ne satisfait pas à l'équation C.15, car puisque Es < E0 , la longueur de ambement diminue. On essaye donc une valeur supérieure à la charge, etc . . . On sait donc que les calculs sont un peu plus longs qu'à module constant. Mais par ailleurs on aboutit à une solution plus économique, tout au moins dans l'exemple considéré. On peut cependant apporter une très grande simplication aux calculs par le moyen de formules approchées. Les bases de ces formules ont été prises dans notre article publié dans le 25ième volume des mémoires de l'A.I.P.C. (Prise en compte des imperfections inévitables dans la détermination des systèmes hyperstatiques en acier sollicités au ambement).


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ANNEXE C. L'ARTICLE DE J. DUTHEIL PARRU DANS LA REVUE "CONSTRUCTION MÉTALLIQUE" DU 2 JUIN 1966 Dans le cas de la poutre de la gure C.2.1 page 86, on aboutit à une formule simple donnant lf en fonction de l, soit :

0.6 + α l 1.2 + α l1 IEs avec : α = lI1 E0 lf =

(C.17a) (C.17b)

On est obligé d'opérer encore par approximations successives, mais l'extrème simplicité des calculs permet un aboutissement rapide. Si les travées latérales étaient elles-même comprimées sous des charges identiques, la contrainte de compression commune étant σ1 , il surait pour appliquer la formule (C.17) de prendre :

α=

l1 IEs χ1 lI1 E0 1 − 0.371

avec : χ1 =

1−

(C.18a)

1 0 σk1

σ1 0 σk1

Es1 E 1. σk1 = contrainte critique d'Euler des travées latérales supposées bi-articulées. 2. Es1 = module ctif correspondant à σ1 dans les travées latérales. 0

et : σk1 = σk1

(C.18b)

(C.18c)

La méthode des modules ctifs a l'avantage de permettre l'emploi des méthodes classiques avec lesquelles les projeteurs sont familiarisés. Elle est dans de nombreux cas plus simple que la méthode directe, surtout avec l'emploi des formules simpliées. Les deux méthodes donnent des résultats identiques dans le cas de la poutre gure C.2.1 page 86 ; équations (C.13) et (C.15). Si en eet on se place dans le cas où σ est la contrainte limite d'aaissement (équation (C.13)) on peut avoir :

σ=

π 2 Es λ2f

et puisque :

σkf =

π 2 Es λ2f

d'où :

on a :

E0 σkf E0 = E σ Es

σkf E = σ Es d'où il résulte que les équations (C.13) et (C.15) sont identiques. Des investigations systématiques nous ont cependant permis de constater que l'application du module ctif aux barres d'un système qui ne ambent pas, mais qui au contraire soutiennent la barre la plus sollicitée, donne pour la charge limite d'aaissement de cette dernière des résultats légèrement diérents de ceux provenant de la méthode directe. L'erreur de 0 à 5%, ce qui reste admissible pour des problèmes de ce genre. D'ailleurs, il sut de réduire de 2.5% la contrainte limite d'aaissement obtenue par la méthode des modules ctifs pour obtenir une approximation de ±2.5%.

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FLAMBEMENT

C.3. PIÈCES SOUMISES À UNE COMPRESSION AXIALE AVEC FLEXION DANS LE PLAN DE FLAMBEMENT

C.2.3 Inuence des imperfections sur la stabilité des systèmes hyperstatiques C.2.4 Conclusion

C.3 Pièces soumises à une compression axiale avec exion dans le plan de ambement C.3.1 Barres bi-articulées, idéalement parfaites C.3.2 Barres réelles avec leurs imperfections C.3.3 Coecients d'amplication des contraintes de exion


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FLAMBEMENT

Annexe D Bibliographie et remerciements D.1 Bibliographie - Règles de calcul des constructions en acier. Règles CM décembre 1966 - EYROLLES - J. DUTHEIL - Construction Métallique n° 2 juin 1966 - CTICM - Règles de calcul des constructions en acier. Additif 80 - Construction Métallique n° 1 mars 1981 CTICM - M. ALBIGES, A. COIN - Résistance des matériaux appliquée - EYROLLES - Jacques RONDAL, René MARQUOI - Le ambement des colonnes en acier - Chambre syndicale des fabricants de tubes d'acier - Jean SALENÇON - Cours de mécanique - Éditions de l'École Polytechnique

D.2 Remerciements Merci à : - Mes camarades "d'infortune" de l'ENS de CACHAN : - Erick RINGOT - Christian ALBOUY - Mon camarade de doctorat à l'INSA de TOULOUSE : André NIZNIK - Ceux qui ont relu et corrigé. - Et ceux que j'ai oubliés, qu'ils ne m'en veuillent pas ...

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