fizika4

Dario MiǏiǎ

Fizika IV

Zagreb, akademska godina 2010./2011. www.pripreme-pomak.hr

1PMB[OJL

Nakladnik Pomak, Zagreb 1. Ferenščica 45 tel.: 01/24 50 904, 01/24 52 809 mtel.: +385 (91) 513 6794 www.pripreme-pomak.hr

Za nakladnika Branko Lemac

Dizajn ovitka minimum d.o.o.

© Pomak, Zagreb, 2009. Intelektualno je vlasništvo, poput svakog drugog vlasništva, neotuđivo, zakonom zaštićeno i mora se poštovati (NN 167/03). Nijedan dio ove skripte ne smije se preslikavati ni umnažati na bilo koji način, bez pismenog dopuštenja nakladnika. Skripta služi isključivo za internu uporabu na tečajevima koji se, u okviru Priprema Pomak, održavaju kao pripreme za polaganje ispita iz fizike na Državnoj maturi.

IV. TITRANJE I VALOVI IV. 1. TITRANJE Titranje je periodično gibanje oko ravnotežnog položaja.

k

m

Npr. harmonijski oscilator (H. O.) Sastoji se od (crtež): - elastične opruge konstante k - tijela pričvršćenog za oprugu mase m

ravnotežni položaj

Njihalo Sastoji se od niti duljine l, za koju je obješeno neko tijelo mase m i sve se to nalazi u gravitacionom polju. Obično se uzima da je masa niti puno manja od mase tijela. Osnovni pojmovi: - elogancija, y Trenutna udaljenost od ravnotežnog položaja -amplituda, Y0 Maksimalni pomak od ravnotežnog položaja. (maksimalana elongacija)

-Y0

- titraj Proces pri kojem se tijelo koje titra vrati sljedeći put u neki položaj u istom stanju gibanja.

Y0

0

y

ravnotežni položaj

0

-Y0

Y0

y

- period, T - vrijeme jednog titraja - frekvencija, ν - broj titraja u 1s → ν =

[ν ] =

1 T

1 1 = ≡ s −1 ≡ 1Hz herc [T ] s

y svjetlo

y0 a) analogija jednolikog gibanja po kružnici i titranja y(t) y(t) Tijelo se jednoliko vrti po kružnici radijusa R, kutnom brzinom ω, obasjavamo 0 ga paralelnim snopom svjetlosti i gledamo sjenu tijela na ravnotežni okomitom zastoru → sjena titra položaj ω=

ϕ

t R = Y0

zastor

→ ϕ=ωt

71

sjene

Pripreme za razredbene ispite

Iz pravokutnog trokuta slijedi:

y (t ) → y (t ) = R sin ϕ otkuda slijedi R da je elongacija titranja y (t ) = Y0 sin ω t . sin ϕ =

Ako u početnm trenutku tijelo nije u ravnotežnom položaju onda je početna faza ϕ 0 različita od nule pa je elongacija titranja

y (t ) = Y0 sin(ω t + ϕ 0 )

Izraz ω t + ϕ 0 se zove faza titranja. Brzina, v(t) Projiciramo vektore brzine tijela (crtež)

cos ϕ =

v(t ) v0

v(t ) = v0 cos ω t v0 = ω R = ωY0 → v0 = ωY0 v1 = v2 = ... = v0

y

Općenito je brzina tijela

v(t ) = v0 cos(ω t + ϕ 0 )

Ubrzanje, a(t) Projiciramo vektor ubrzanja tijela (crtež)

sin ϕ =

0

0

a(t ) a0

a(t ) = a0 sin ω t a0 ≡ acp = ω 2 R = ω 2Y0

a0 = acp1 = acp 2 = ... = acp

v2 v0 v(t) v(t) v1 v0

općenito

a (t ) = a0 sin(ω t + ϕ 0 )

ili

a (t ) = ω 2Y0 sin(ω t + ϕ 0 ) a(t ) = ω 2 y (t )

ili ako uzmemo u obzir smjerove otklona y(t) i a(t), koji su suprotni

a (t ) = −ω 2 y (t )

acp2

a(t)

a(t)

acp1

72


Povratna sila, Fp (t ) se uvijek pojavljuje u sustavima

0

koji titraju i usmjerena je prema ravnotežnom položaju.

k

Fp (t ) = m a (t ) = − mω 2 y (t )

Fp(t) m

Povratna sila je proporcionalna elongaciji:

Fp (t ) = −k y (t )

y(t)

Povratnu silu često zovemo kvazielastična sila. a1) Period titranja H. O. Usporedbom izraza

Fp = − mω 2 y (t )

Fp (t ) = −k y (t ) → k = m ω² k ω= tj. - kružna frekvencija titranja m 2π T=

ω

m - period titranja harmonijskog oscilatora k

T = 2π

a2) energija H. O. Tijelo se giba → kinetička energija – opruga se rasteže → potencijalna elastična Kinetička

Ek (t ) =

k

v(t) m 0

y(t)

m v 2 (t ) mv02 cos 2 ω t = 2 2

Elastična potencijalna

E pel (t ) =

k y (t ) kY02 sin 2 ω t = 2 2

Ukupna energija u bilo kom trenutku je zbroj tih dviju energija:

Eu (t ) = Ek (t ) + E p el = mω 2Y02 cos 2 ω t mω 2Y02 sin 2 ω t mω 2Y02 + = (cos 2 ωt + sin 2 ωt ) . 2 2 2 Ukupna energija ne ovisi o vremenu! Ona je konstantna tijekom vremena.

mω 2Y02 . Ukupna energija je proporcionalna s kvadratom amplitude Y0 ( Eu ~ Y02 ), 2 kvadratom kružne frekvencije ω2 ( Eu ~ ω 2 ) i masom tijela m ( Eu ~ m ). Eu =

b) matematičko njihalo Za male kuteve otklona ϕ (crtež na sljedećoj stranici) iz sličnosti pravokutnih trokuta slijedi Fgp y (t ) =− Fg l Vidimo da ulogu povratne sile igra komponenta sile teže Fgp. Uvrštavanjem izraza za silu težu mg y (t ) . Obzirom da je povratna sila kvazielastična sila tj. Fg = mg dobivamo Fgp = − l

Fgp = − k y (t ) , zaključujemo da je konstanta elastičnosti u ovom slučaju jednaka k =

73

mg . l


g

Kvazielastična sila uzrokuje harmonijsko titranje

T = 2π

m = 2π k

m otkuda slijedi da je mg l

l y(t)

period titranja matematičkog njihala jednak

m

l T = 2π . g

FN FgN

Fgp Fg

Ukoliko je njihalo obješeno u ubrzanom sustavu, tada treba naći ”rezultantno ubrzanje” g R

T = 2π

l gR

g

Npr. u vagonu koji se giba ubrzano po horizontali

FR = F + Fi = m g + a = mg R 2 g

2

2

2

FN

α

a = konst

F

gR = g 2 + a2 F

R c) LC – titrajni krug q (0) = q0 - početna količina naboja na kondenzatoru

Fg

q(t ) = q0 cos ω t Napon između ploča će se mijenjati po zakonu

u (t ) =

q(t ) C

i(t)

jakost struje u krugu se mijenja po zakonu

∆q(t ) i (t ) = ∆t

q(t) L

C

sve te veličine mijenjaju se frekvencijom

ν0 =

1 2π LC

- vlastita frekvencija LC - kruga otkuda slijedi izraz za period titranja

ovog strujnog kruga:

T0 = 2π LC - Thomsonova formula d) prigušeno titranje Ako na sustav koji titra djeluje sila “trenja”, otpora, koja troši energiju unesenu u titrajni sustav → opaža se da se amplituda titranja s vremenom smanjuje.

74


y Y0

Pri slabom prigušenju definiramo faktor prigušenja (dekrement):

Y δ= M YM +1

YM

konstantno

YM+1

“Period” se pritom gotovo ne mijenja. Faktor dobrote:

Q = 2π

t

En E = 2π n En − En +1 ∆En

∆En - smanjenje energije u n-tom titraju En - energija na početku n-tog titraja

-Y0

e) prinudno titranje Ako na titrajni sustav djeluje vanjska periodična sila

Fpr (t ) = F0 sin ω t

tada se uspostavi titranje s frekvencijom ω. Što je ω bliži ω 0 - vlastitoj frekvenciji titrajnog sustava, to je amplituda titranja veća. Kad ω → ω 0 dolazi do rezonancije. Amplituda beskonačno raste, titrajni sustav se “razara”. Tad je maksimalni prijenos energije s uzbudnog sustava na uzbuđivani sustav. U realnim situacijama su uvijek prisutne i sile trenja ili sile otpora tako da se pri rezonanciji dostigne samo najveća amplituda koja je konačne veličine.

IV. 2. MEHANIČKI VALOVI Val – predstavlja širenje titranja u nekom elastičnom sredstvu. Npr. val na žici: Zamislimo žicu kao skup točkastih čestica koje su međusobno povezane elastičnim oprugama: Kad se prva čestica 1 (izvor) pomakne gore-dolje (ili lijevo-desno), opruga se rastegne i povuče za sobom česticu , što dovodi do rastezanja sljedeće opruge i pokretanja čestice itd. Sve čestice titraju na isti način s istim periodom T i istom amplitudom Y0 . Međutim, nisu

sve čestice u istom stanju titranja tj. nemaju jednaku fazu. Uočimo položaje svih čestica u početni trenutak vremena t = 0, potom nakon četvrtine perioda titranja, … , te nakon punog perioda titranja (crteži):

t=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 1314 1

t= 1 T 4

1 t= T 2

2

1

3

2

3

75

4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14

4

5

6

7 8 9 10 1112 13 14 Pripreme za razredbene ispite

t= 3 T 4 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

Svaka od čestica titra oko svog ravnotežnog položaja. Tijekom titranja čestice kasne jedna za drugom u fazi. Čestice ne putuju udesno po žici. Mijenja se samo njihov položaj po vertikali. Oblik žice se, u odnosu na početni položaj, mijenja tijekom vremena. Kažemo da se po žici udesno giba val. Val ne možemo nacrtati! Ono što je prikazano na crtežima su položaji pojedinih čestica (dakle oblici žice) u pojedinim trenucima vremena. Obzirom da smo izvršili rad kojim smo čestice doveli u titranje očito je, prema zakonu očuvanja energije, da val nosi energiju! Dakle, jedan način prijenosa energije po žici je pomoću vala! Valja uočiti da svaki val (mehanički, elektromagnetski) prenosi energiju! smjer titranja

smjer titranja

brijeg smjer širenja vala

zgušcaj smjer širenja vala razrjedaj

dol

Transverzalni val – čestice titraju širenja okomito na smjer širenja vala. (npr. val na žici)

Longitudinalni val – čestice titraju na pravcu vala (npr. zvučni val)

Valna duljina, λ Udaljenost između dva susjedna brijega (ili dva susjedna zgušćaja). To je najmanja udaljenost između dviju najbližih čestica koje titraju u fazi. To je udaljenost koju val prevali dok jedna od čestica načini puni titraj. Ako je medij po kojem putuje val homogen onda se val širi konstantom brzinom:

v=

s t

Odaberemo za t period T. Tad je s = λ

v=

λ

=λ

1 1 . Držeći na umu izraz za frekvenciju titranja čestica f = dobivamo T T

T v = λ ⋅ f. Ova relacija vrijedi za sve valove. Valja uočiti da elektromagnetski val ne treba medij koji bi ga prenosio! Pomislite, koji medij omogućuje prijenos sunčeva svjetla do npr. Zemlje! a) jednadžba progresivnog vala

Sve čestice titraju harmonijski. Tako npr. čestica u ishodištu x = 0 ima elongaciju y ( x = 0; t ) = Y0 sin ω t . Jednadžbom vala nazivamo izraz za elongaciju y(x, t) čestice na mjestu x u trenutku t.

76


y

Čestica na mjestu x titra na potpuno isti način kao i izvor, jedino kasni za izvorom u vremenu za

tx =

x v

v y(x,t)

izvor vala

x

x

Toliko vremena treba da se val proširi od izvora do čestice na mjestu x. Možemo pisati

x

2π x x ⎤ ⎡ ⋅ ) y ( x, t ) = y ( x = 0, t − t x ) = Y0 sin [ω (t − t x )] = Y0 sin ⎢ω (t − )⎥ = Y0 sin(ωt − v ⎦ T v ⎣ Kako je T ⋅ v = λ dobivamo 2π ⎞ ⎛ 2π y ( x, t ) = Y0 sin ⎜ t− x ⎟ - jednadžba progresivnog vala λ ⎠ ⎝ T Uvedemo li valni broj k

k=

2π

λ

može se prethodni izraz zapisati u obliku y ( x, t ) = Y0 sin(ω t − kx) - jednadžba progresivnog vala Pritom se smjer širenja podudara s pozitivnim smjerom osi x. Ako se val širi u negativnom smjeru x-osi, jednadžba glasi

y ( x, t ) = Y0 sin(ω t + kx)

y

a1) razlika u fazi ∆ϕ Za dvije čestice, koje se nalaze na položajima x1 , odnosno

x2 od izvora, je razlika u fazi u zadanom trenutku t jednaka:

v

x1

x2

x

t=konst. 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ 2π ⎛ ∆ϕ = ⎜ ωt − x1 ⎟ − ⎜ ωt − x2 ⎟ = ( x2 − x1 ) λ ⎠ ⎝ λ ⎠ λ ⎝ 2π ∆ϕ = ∆x gdje smo uveli uobičajenu pokratu ∆x = x2 − x1 .

λ

a2) brzina vala Uz malo složeniji izvod, može se pokazati da se brzina progresivnog vala može iskazati preko nekih karakteristika materijala u kom se širi val. Tako npr. brzina: transverzalnog vala na žici je jednaka:

v=

F

µ

gdje je F – napetost žice i µ =

m linearna gustoća materijala (žice) (m je l

masa žice a l duljina žice) longitudinalnog vala u štapu:

v=

E

ρ

gdje je E Youngov modul elastičnosti i ρ je gustoća materijala (štapa).

77


b) odbijanje (refleksija) valova čvrsti (nepomičan) kraj Brijeg se reflektira kao dol. Val se odbija suprotnom fazom, tj doživi skok u fazi za π: ∆ϕ = π

upadni puls reflektirani puls

slobodni (pomičan) kraj Brijeg se reflektira kao brijeg. Val se odbije s istom fazom, tj.nema skoka u fazi. ∆ϕ = 0 c) Huygensov princip širenja Valove često grafički opisujemo valnim frontama – plohama do kojih se val proširi do nekog momenta. Npr. kod ravnog vala:

sferni val Često koristimo i valne zrake – pravci, tj. linije koje pokazuju smjer širenja vala (smjer transporta energije)

ravni val

sferni val

Valne zrake su okomite na valne fronte u svakoj točki sredstva.

78


Huygensov princip – svaka točka medija koju pogodi valna fronta postaje izvor elementarnih (sfernih) valova, čija ovojnica daje novu valnu frontu

d) Pojave s valovima d1) odbijanje (refleksija) Upadna zraka, normala i lomljena zraka leže u istoj ravnini i kut odbijanja jednak je kutu upada. α=β d2) lom (refrakcija) Val prelazi iz jednog medija u drugi. Upadna zraka, normala i lomljena zraka leže u istoj ravnini i vrijedi

sin α v = n21 = 1 v2 sin β

n21 - relativni indeks loma Frekvencija vala se ne mijenja pri prelasku iz jednog medija u drugi (to je karakteristika izvora).

ν1 = ν 2 v1

λ1

=

v2

λ2

d3) interferencija Kad istovremeno dva ili više valova stigne u istu točku prostora . Tad je rezultantno titranje vektorski zbroj pojedinih titranja, tj. rezultantna elongacija je y = y1 + y2 - princip superpozicije Gledamo dva vala jednakih frekvencija i stalne razlike u fazi – koherentni valovi I1 , I 2 - koherentni izvori

∆r = r2 − r1 - razlika u hodu do točke T Ako su valovi harmonijski tada je razlika u fazi titranja

∆ϕ =

2π

λ

∆r

Konstruktivna interferencija (pojačavanje) Kad je ∆r = 0, λ, 2λ … tj.

∆r = 2m

λ

2

, m – cijeli broj

Razlika u hodu mora biti paran broj (2m) valnih polu-duljina Destruktivna interferencija (slabljenje)

Kad je ∆r =

λ 3λ 5λ

, , ... tj. 2 2 2

79


∆r = ( 2m + 1)

λ 2

Razlika u hodu mora biti neparan broj valnih polu-duljina. c1) stojni val Dobije se interferencijom upadnog i odbijenog vala Na žici duljine L učvršćenoj na oba kraja: v – brzina širenja osnovni stojni: Udaljenost između dva susjedna čvora (čestice

stalno miruju) je

λ1 2

λ

2

cvor

!

L ravnotezni polozaj cestica

λ1 trbuh 2

cvor

= L → λ1 = 2 L v

ν1 =

λ1

=

v - osnovna frekvencija 2L

Tek za tu frekvenciju dobijemo na žici stojni val. prvi pobuđeni:

4⋅

λ2

= L →ν 2 =

4 λ2 = L → ν 2 = 2ν 1

v v =2 L 2L

Udaljenost između trbuha i susjednog čvora je

λ2 4

L

Zatvorena svirala, duljina L osnovni:

λ1 4

trbuh

= L → λ1 = 4 L

cvor

λ1 4

v 4L

ν1 =

! Za više harmonike je ν n = nν 1 , n = 2, 3, …

L

prvi pobuđeni:

3⋅

λ2 4

= L → λ2 =

ν2 = 3

4 L 3

v 4L

3⋅

ν 2 = 3ν 1 . Općenito je ν n = (2 n − 1)ν 1 , n = 2, 3, ...

λ1 4

e) valovi zvuka Longitudinalni valovi u mediju. Ljudsko uho reagira na frekventni raspon 16Hz – 20000Hz. e1) razina zvuka, L Intezitet zvučnog vala (snage P na površini S) je

I=

P 1 2 = ω ρ Y02 v . S 2

v – brzina širenja zvuka Y0 - amplituda titranja čestica

80


ρ - gustoća medija 2π - kružna frekvencija ω= T Prag čujnosti – najmanji intezitet koji izazove osjet zvuka W I 0 = 10−12 2 m Najjači zvučni inteziteti koji još ne oštećuju uho su približno ~ 10

W . m2

Uvodi se veličina koju je uobičajeno zvati razina zvuka, L

L = 10 log

I I0

[L] = dB decibel Za sferni val je

I~

1 r2

tj.

I1 ⎛ r2 ⎞ =⎜ ⎟ I 2 ⎝ r1 ⎠

2

r – udaljenost od izvora zvuka e2) Dopplerov efekt Neka se po pravcu jednolikom brzinom vi giba izvor zvuka (npr. ambulantni automobil s uključenom sirenom po autoputu) kojemu je frekvencija fi. Neka se maturant Tibor giba jednoliko po (paralelnom) pravcu brzinom v p (brzina promatrača) koji opaža da je frekvencija

izvora jednaka fp (Dopplerov efekt). Može se pokazati da je frekvencija koju registrira opažač (Tibor) jednaka

f p = fi

v + vp v − vp

gdje je v brzina zvuka. Predznake brzina u ovom izrazu valja uzeti na

sljedeći način: vi , v p > 0 kad se izvor i promatrač međusobno približavaju

vi , v p < 0 kad se izvor i promatrač međusobno udaljavaju

IV. 3. Elektromagnetski valovi Iz Maxwellove teorije je slijedilo da se pomoću LC – kruga (ubrzanog naboja) mogu stvoriti elektromagnetski valovi. Prvi ih registrira 1888 Herz. To je širenje promjenjivih električnih i magnetskih polja (koja se međusobno proizvode) u prostoru. Nije potreban nikakav medij (sredstvo) za njihovo širenje. To su transverzalni valovi.

E (t ) ⊥ B (t ) k - valni vektor kojemu je modul k =

2π

λ

E (t ) ⊥ k B (t ) ⊥ k

81


E (t ) - vremenski ovisan vektor jakosti električnog polja B (t ) - vremenski ovisan vektor magnetske indukcije Brzina širenja tih valova ovisi o sredstvu u kojem se šire. U vakumu je

1

c=

3 ⋅108

ε 0 µ0

m s

Trenutne vrijednosti jakosti električnog E(t) i magnetskog B(t) polja su povezane relacijom

E =c B Spektar EM-valova:

λ

m 104 radio - valovi

0.3 10−1 10−3 10−4 7 ⋅ 10 −7

4 ⋅10−7 10−8

mikro - valovi

infracrveni ~ 7 ⋅10−7 −7 vidljiva ~ 6 ⋅10 −7 ~ 5.5 ⋅ 10 svjetlost ~ 4.5 ⋅10−7 ~ 4 ⋅ 10−7

crvena narancasta zelena plava ljubicasta

ultraljubicasti valovi

6 ⋅ 10−10 10

−12

x - zrake - zrake

10−14

82


V. OPTIKA Svijetlost – elektromagnetski val kojemu je valna duljina od ∼ 7,5 ⋅ 10−7 m do ∼ 4 ⋅10−7 m. Ljudsko oko je najosjetljivije na valnu duljinu zelene boje 5,5 ⋅10−7 m

V. 1. Valna optika Uzima u obzir činjenicu da je sjetlost val. Valne pojave:

x T

a) interferencija svjetlosti I1 , I 2 - koherentni izvori

r1

S0 - centralni maksimum

min max

xT

r2

I1 d

d – razmak između koherentnih izvora L – udaljenost zastora od izvora s – razmak između susjednih maksimuma λ - valna duljina upotrebljene svjetlosti koherentni izvori su oni koji imaju: 1. stalna razlika u fazi 2. istu frekvenciju, odnosno valnu duljinu

max

S max min max min max

S0

I2 L

zastor

preokrenuti zastor

Što će se dobiti u točki T ovisi o razlici u hodu valova

∆ = r2 − r1 tj. o razlici u fazi

∆ϕ =

2π

λ

∆

Uvjet maksimuma (svjetlo)

∆ = 2m ⋅

λ

2

= mλ m = 0, 1, 2 ... cijeli broj

Uvjet minimuma (tama)

∆ = ( 2m + 1)

λ

2

Iz trokuta na crtežu slijedi

xT = sin θ L ∆ sin θ = d

tgθ =

⇒ xT = ∆

L d

ako se u točki T dobije maksimum tada je ∆=mλ

xT ( m ) = m

λL d

Udaljenost između dva maksimuma je

S = xT ( m + 1) − xT ( m ) = ( m + 1)

λL d

−m

λL d

→ S=

λL d

. Dobili smo da razmak

između pruga ne ovisi o m tj. razmak između pruga je konstantan. Kažemo da su pruge ekvidistantne.

83


a1) optička razlika u hodu Ukoliko se valovi šire u nekom sredstvu indeksa loma n, ili doživljavaju refleksije na granici dvaju sredstava, tada je za pojavu interferencije bitna pojava optička razlika u hodu.

δ = n2r2 − n1r1 ± (razlika u hodu zbog refleksije)

Refleksija na čvrstom kraju: skok u fazi za π ∆ϕ = π

ili u hodu za

λ

2

Refleksija na mekom kraju: nema skoka u fazi ∆ϕ = 0 ili u hodu 0

a2) boja tankih listića optička razlika u hodu

δ = ( opt. put 2 ) − ( opt. put1) =

1

λ⎞ ⎛λ⎞ ⎛ = ⎜ 2n1d + ⎟ − ⎜ ⎟ = 2n1d 2⎠ ⎝2⎠ ⎝

n1 n 2 > n1

Uvjet minimuma reflektirane svjetlosti

δ = ( 2m + 1)

1

cvrsti

d cvrsti

λ

2

Debljina sredstva indeksa loma n1 za koju će se reflektirani valovi poništiti

2n1d m = ( 2m + 1) d = ( 2m + 1)

λ

λ 2

4n1

Minimalna debljina se dobije za m = 0:

d0 =

λ

4n1

b) ogib (difrakcija svjetlosti) Činjenica je da svjetlost prodire u područije geometrijske sjene. Npr. to se događa kod prolaza svjetla kroz usku pukotinu. Huygensov princip objašnjava pojavu zraka svijetlosti koje su otklonjene od upadnog smjera (zrake koje su doživjele ogib). Te zrake mogu interferirati i u geometrijskoj sjeni dati svjetlo-maksimum.

tama svjetlo tama

b1) Difrakciona rešetaka To je niz od N pukotina smještenih na međusobnoj udaljenosti l (crtež na sljedećoj stranici).

84


d – konstanta optičke rešetke

d=

l N

uvjet maksimuma:

d sin α m = mλ

m = 0, 1, 2 … cijeli broj

α m - kut između upadnog smjera i smjera m -tog maksimuma

Kako je

sin α m m≤

d

λ

mλ ≤1 d - najviši red maksimuma kojeg može dati difrakciona rešetka

Ukupni broj maksimuma jednak je 2m + 1. c) polarizacija svjetlosti polarizirani val – postoji istaknuta ravnina titranja Svjetlost je transverzalni val. Svjetlo iz žarulje ili neonske cijevi u sobi nije polarizirano. Dobivanje polariziranog vala: I. prolaskom kroz kristale (dvolomce) Pojavljuju se dvije zrake: linearno - obična – djelomično polarizirana polariziran - neobična – potpuno (linearno) polarizirana oznaka II. refleksijom – Brewstrov zakon Reflektirana zraka je potpuno polarizirana ukoliko je kut između reflektirane i lomljene zrake jednak 90°.

α '+ β = 90° α ' =α

Zakon loma:

sin α n2 = sin β n1

'

n1 n2

sin β = sin ( 90°-α ) = cos α

sin α n2 = cos α n1 n tgα = 2 . Kut α za kojega vrijedi polučena relacija zove se Brewsterov kut. n1 Optički aktivne tvari – zakreću ravninu polarizacije (npr. otopina šećera)

85


V. 2. Geometrijska optika Zanemarujemo činjenicu da je svjetlost val. Opisujemo pojave pomoću valnih zraka. a) Zakoni geometrijske optike I. Zakon pravocrtnog širenja U homogenom i izotropnom mediju svjetlost se širi pravocrtno. II. Zakon odbijanja (refleksije) Upadna zraka, normala i odbijena zraka leže u istoj ravnini i kut odbijanja jednak je kutu upada. β =α

III. Zakon loma (refrakcije) Upadna zraka, normala i lomljena zraka leže u istoj ravnini i omjer sinusa upadnog kuta i sinusa kuta loma je konstanan tj.

v1

sin α = n21 - Snellov zakon sin β

n21 - relativni indeks loma Koristeći Huygensov princip može se pokazati da je

n21 =

v1 v2

sredstvo 1 n 1 sredstvo 2 n 2 v2

v1 - brzina svjetlosti u prvom sredstvu v2 - brzina svjetlosti u drugom sredstvu Ukoliko je upadno sredstvo vakuum indeks loma se naziva apsolutnim indeksom loma.

n=

c v

Tako je

c v1 c n2 = v2 n1 =

Snellov zakon loma možemo zapisati u obliku:

sin α n2 = = n21 sin β n1

IV. Zakon nezavisnosti svjetlosnih snopova Nakon susreta svjetlosni snopovi se šire dalje bez ikakvih promjena u odnosu na upadne snopove.

86


b) Zrcala Izglačana površina – ravna ili sferna

1´

1

b1) ravno zrcalo slika: - virtualna (dobije se kao presjecište produžetaka odbijenih zraka) - uspravna (2′ ispod 1′ kao što je 2 ispod 1) - jednake veličine x = – x′ Slika je jednako udaljena od zrcala kao i predmet. Zrcalo je stigmatično – od točke predmeta stvara točku sliku. Stvara se zrcalno simetrična slika.

2

2´ x´

x

T

b2) sferna zrcala

udubljeno (konkavno)

ispupčeno (konveksno)

C – središte zakrivljenosti plohe T – tjeme (najudubljenija ili najispupčenija točka) R – radijus (polumjer) zakrivljenosti plohe zrcala Sferno zrcalo nije strogo stigmatično no za paraaksijalne zrake (blizu su glavne optičke osi i s njom zatvaraju male kuteve) dobivamo dobru aproksimaciju stigmatičnosti – Gaussova aproksimacija.

F

Konstrukcija slike: fokus (F) – točka na glavnoj optičkoj osi kroz koju prolaze (realno ili virtualno) sve reflektirane zrake, koje su upadale paralelno glavnoj optičkoj osi.

T f

f ≡ TF - žarišna (fokalna) duljina Zraka koja upada kroz fokus nakon refleksije ide paralelno optičkoj osi. Zraka koja upada kroz središte zakrivljenosti C, nakon refleksije ide po istom pravcu u suprotnom smjeru. Zraka koja upada u tjeme odbija je simetrično s obzirom na glavnu optičku os. konkavno: realno žarište, f > 0 Kad je x > f slika je: - realna - obrnuta - uvećana za f < x < 2f - jednaka za x = 2f umanjena za x > 2f

x A Y

f T

F x´

87

B´

B

y´ A´


kad je x < f slika je: - virtualna - uspravna - uvećana

A´ A BF

B´

Konveksno: virtualno žarište, f < 0 slika je: - virtualna - uspravna - umanjena za sve x > 0

A

A´

B

T

B´

F

x x´ Jednadžba sfernog zrcala x – udaljenost predmeta od zrcala (tjemena) x´ - udaljenost slike od zrcala (tjemena) f – žarišna duljina Iz trokuta ∆TAB i ∆T´A´B´ se može dobiti relacija – jednadžba sfernog zrcala

1 1 1 2 + = = , R – radijus zakrivljenosti x x´ f R linearno povećanje: y – visina predmeta y´ – visina slike

m=

y´ x´ =− y x

Omjer linearnih dimenzija slike i linearnih dimenzija predmeta Dogovor o predznacima: U gornje relacije veličine uvrštavamo s: + predznakom – realne veličine – predznakom – virtualne veličine jedina razlika y´ - kad je obrnut (realan) onda - kad je uspravan (virtualan) onda + c) lom svjetlosti Ako je n1 > n2 (slika) tad kažemo da je sredstvo 1 optički

gušće od sredstva 2. Tad je α < β , zraka se lomi od okomice. Ako je n1 < n2 , tad je α > β, tj. lomi se k okomici.

88


c1) totalna refleksija Pojava kad svijetlost: - dolazi iz optički gušćeg sredstva - kut upada veći od α g

g

Svjetlost se reflektira na graničnoj površini natrag u isto sredstvo.

sin α g

n1 sin 90° n2 n sin α g = 1 n2

=90°

n1 n2 > n 1

=

´>

g

´

g

c2) optička prizma A = β1 − β 2 - kut prizme n - indeks loma δ = α1 + α 2 − A - kut otklona (devijacije) – kut između izlaznog i ulaznog pravca. Taj kut je minimalan, kada je zraka unutar prizme paralelna s osnovkom prizme tj.

α 2 = α1 ⇒ β1 = β 2

δ m = 2α1 − A ⇒ α1 =

δm + A 2

A A = 2 β1 ⇒ β = 2 n=

sin

sin α1 = sin β1

δm + A

2 A sin 2

Za A maleno je i δ m maleno pa se može dobiti

δ m = (n − 1) A Disperzija Ako na prizmu upada bijela svijetlost zapaža se da se ona cijepa u spektar boja To je pojava disperzije. Kut loma ovisi o valnoj duljini, tj. indeks loma je ovisan o valnoj duljini – disperzija svjetlosti. Približno vrijedi eksperimentalna relacija

n(λ ) = n0 +

a

λ2

n0 , a – konstante budući da je

λC > λLJ ⇒ nC < nLJ tad je iz zakona loma

sin β =

sin α n

zaključujemo da je

β C > β LJ

89


c3) leće prozirna sredina omeđena sfernim plohama (jedna može imati i beskonačan radijus zakrivljenosti) C1 , C2 - središta zakrivljenosti ploha

pravac C1 , C2 - središta zakrivljenosti ploha 0 – optičko središte leće

R1

konvergentna (sabirna)

0

C1

divergentna (rastresna)

R 2 C2

R1 0

C1

R 2 C2

Promatraju se tanke leće – debljina zanemariva Konstrukcija slike: Fokus (žarište) – točka na glavnoj optičkoj osi kroz koju prolaze sve lomljene zrake, ako su upadne bile, paralelne s glavnom optičkom osi.

Zraka koja upada kroz fokus nakon loma ide paralelno glavnoj optičkoj osi.

F f

F

Zraka koja prolazi kroz optičko središte leće se ne lomi.

F

F

F 0

Konvergentna: slika: - realna x > f - obrnuta - uvećana f < x < 2f jednaka x = 2f umanjena x > 2f - virtualna x < f - uspravna - uvećana

x A y

F

F´ 0

B

f

y´ x´

90

B´

A´


Divergentna: slika: - virtualna - uspravna - umanjena

x A F

A´ B B´ 0 x´

F´ f

Jednadžba leće Slično kao kod zrcala može se dobiti

1 1 1 + = - jednadžba leće x x´ f Pritom je jakost leće j definirana s

j=

1 , f

[ j] =

1 = m −1 = dpt (dioptrija) m

pritom za žarišnu duljinu vrijedi

1 ⎛ nL ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ = ⎜ − 1⎟ ⎜ − ⎟ f ⎝ n ⎠ ⎝ R1 R2 ⎠

nL - indeks loma n – indeks loma okolnog sredstva R > 0 ako svjetlost putuje od plohe prema središtu zakrivljenosti linearno povećanje:

m≡

y´ x´ =− y x

Dogovor o predznacima: Isti kao kod sfernih zrcala!

91


VI. MODERNA FIZIKA VI. 1. SPECIJALNA TEORIJA RELATIVNOSTI Krajem 19., početkom 20 stoljeća je opaženo da klasična Newtonova mehanika ne uspjeva objasniti neke od eksperimentalnih činjenica. 1905. A. Einstein čini revolucionarni korak u pristupu. Postulati: A) Sve identične fizikalne pojave u inercijalnim sistemima referencije uz identične početne uvjete protječu na isti način (postulat opće relativnosti). B) Brzina svjetlosti u vakumu je jednaka u svim smjerovima i u bilo kojem području datog inercijalnog sistema referencije i jednaka je u svim inercijalnim sistemima referencije (postulat konstantnosti brzine svijetlosti). Posljedice su mnogobrojne: → Prostor i vrijeme su povezani → Relativnost istovremenosti → Relativnost vremenskih signala

∆t =

∆t´

- (dilatacija vremena)

V2 1− 2 c

V - brzina jednog ISR-a u odnosu na drugi ∆t´ - vremenski interval između događaja mjeren u istoj točki prostora jednim satom (vlastito vrijeme) ∆t – vremenski interval između događaja mjeren u dvjema različitim točkama prostora (dva sata) → Relativnost duljina (kontrakcija duljine)

L = L0 1 −

V2 c2

L0 - mjereno u sustavu mirovanja štapa L – mjereno u sustavu u odnosu na koji se štap giba brzinom V → Pokazuje se da se neke veličine, poput energije E i količine gibanja p moraju preciznije definirati

E=

p=

mc 2 V2 1− 2 c

mV V2 1− 2 c

- ukupna energija tijela

- količina gibanja

Pritom su one povezane fundamentalnom relacijom

E 2 = p 2c 2 + m2c 4 Odavde za V = 0 slijedi E0 = mc 2 - energija mirovanja Slično za m = 0 E = p c – npr. za fotone

92


VI. 2. ZRAČENJE CRNOG TIJELA Zračenje koje pada na neko tijelo obično se djelomično: - reflektira reflektirano - apsorbira - transmitira upadno Tijelo koje ima osobinu da ukupno zračenje koje na njega pada apsorbira nazivamo apsolutno crno tijelo.

transmitirano

apsorbirano

→Apsolutno crno tijelo ima koeficjent apsorpcije α = 1 U termodinamičkoj ravnoteži svako tijelo emitira onoliko energije koliko i apsorbira. a) Stefan-Boltzmannov zakon → Intezitet zračenja (energija koju emitira 1 m 2 površine crnog tijela u 1s) proporcionalan je s

T4.

σ = 5.67 ⋅10−8

I = σ T4 ,

W - Stefan-Boltzmannova konstanta m2 K 4

→ Ukupna snaga zračenja površine S je P = σ S T4

b) Wienov zakon Grafički prikaz eksperimentalnih rezultata mjerenja inteziteta zračenja I λ u ovisnosti o valnoj duljini λ, pri različitim temperaturama T, dat je na crtežu. → Zapaža se da porastom temperature maksimum krivulje odgovara manjoj valnoj duljini.

T2 > T1 → λ2 m < λ1m

λm - valna duljina na kojoj crno tijelo emitira najviše energije. Wien je došao do zaključka da je produkt apsolutne temperature crnog tijela i valne duljine na kojoj crno tijelo zrači najviše energije jednak konstanti koja ne ovisi o temperaturi: λm ⋅ T = C gdje je C = 2.9 ⋅10−3 Km - Wienova konstanta koja je određena mjerenjem. b1) Planckova hipoteza Iz klasične teorije zračenja crnog tijela je sljedilo da ono emitira beskonačno energije → besmisleno!! Izlaz nalazi Planck 1900. (14 prosinca). Postavlja hipotezu da crno tijelo emitira ili apsorbira energiju samo u određenim porcijama, kvantima energije (diskontinuirano). → Energija jednog kvanta proporcionalna je frekvenciji emitiranog elektromagnetskog vala (kvant se naziva fotonom) E f = h ⋅ν gdje je h = 6.626 ⋅10−34 J ⋅ s Planckova konstanta koja je određena

mjerenjem. → Ukupna energija za datu frekvenciju može se napisati kao E = N Ef = N h ν N = 0, 1, 2 … - cijeli broj → Koristeći tu hipotezu, Planck izvodi svoj zakon zračenja

Iλ =

2π hc 2

λ

1

5

e

hc λ kT

−1

koji izvanredno opisuje eksperimentalne rezultate. Dakako, ovaj izraz uključuje i Wienov rezultat o zračenju crnog tijela.

93


VI. 3. FOTOELEKTRIČNI EFEKT Ako se metalna pločica (npr. cink) postavi na elektroskop i zatim negativno nabije onda se zapaža da svijetlost određene frekvencije ima sposobnost da smanjuje negativan naboj te pločice, tj. da iz nje izbacuje elektrone → fotoelektrični efekt

zivina lampa obicna zarulja

Zn plocica

Kad pločicu obasjava obična žarulja, naboj elektroskopa se ne mijenja bez obzira kakav intezitet ima upadna svijetlost obične žarulje. Za razliku od te svjetlosti, svijetlost živine lampe vrlo malog inteziteta ima sposobnost da vrlo brzo neutralizira elektroskop, tj. da izbaci negativni naboj iz cinčane pločice. Prema klasičnoj predodžbi svjetlosti kao vala, očekivali bismo da povečavanjem inteziteta obične svijetlosti će rasti energija koju će primati elektroni, tako da će oni uz dovoljno velik intezitet početi izletati iz materijala → no to se ne opaža! → Svjetlost živine lampe, vrlo malog inteziteta izbacuje elektrone. Rješenje nalazi 1905. A. Einstein primjenjujući Planckovu hipotezu te rabeći zakon sačuvanja energije. Foton nosi energiju hν. Ona se djelomično troši za foton Ek kidanje veza elektrona s okolnim pozitivno površina E f = hν v nabijenim ionima ( Wi - izlazni rad), a ostatak se metala pretvara u kinetičku energiju foto-elektrona Ek .

hν = Wi + Ek hν = Wi +

tj.

slobodni elektron

2

mv - Einstenova relacija 2

Wi ioni

Frekvenciju svjetlosti za koju elektroni započnu izlaziti iz metalne pločice nazivamo graničnom frekvencijom.

hν g = Wi

Eksperimenti pokazuju da najveća kinetička energija foto-elektrona linearno ovisi o frekvenciji:

Ek = hν − Wi

u savršenom slaganju s Einsteinovom relacijom.

VI. 4. DUALNOST SVIJETLOSTI Svijetlost pokazuje osobine vala: - pojava interferencije - pojava difrakcije - pojava polarizacije ali i osobine čestice (korpuskule): - pojava fotoefekta - Comptonovo raspršenje (raspršenje svjetlosti na elekronu): Svijetlost ima značajke i jednog i drugog, tj. ona je dualne prirode (dakle dvojne prirode). U specijalnoj teoriji relativnosti su energija E, masa m i količina gibanja p povezane relacijom E 2 = m2c 4 + p 2c 2 .

94


Fotoni nemaju masu mirovanja mf = 0 → E = p c S druge strane, prema Planckovoj hipotezi imamo za fotone

E = hν = h

c

λ

tj. E =

h

λ

c → p=

h

λ

.

p - količina gibanja (tipično korpuskularna karakteristika) λ - valna duljna (tipično valna karakteristika)

VI. 5. DE BROGLIEVA HIPOTEZA – DUALNOST TVARI De Broglieva hipoteza: Svakoj čestici mase m i brzine v treba pridružiti valnu duljinu, koja opisuje valne osobine dane čestice, datu relacijom

λ=

h h = gdje su m masa čestice (tijela) i v brzina čestice (tijela). p mv

Dakle, ne samo svjetlo nego sve čestice (uključivo i tijela) imaju dualnu prirodu! 1927. Davisson i Germer, te G. Thomson mjerenjem pokazuju da elektroni doživljavaju difrakciju na kristalnoj rešetki tj. ponašaju se kao val u skladu s De Broglievom hipotezom.

VI. 6. BOHROV MODEL ATOMA Krajem 19. stoljeća intezivno se ispituju spektri atoma. Za vodik se dobivaju 4 linije u vidljivom dijelu spektra. Njihove duljine, odnosno pripadne frekvencije Balmer povezuje pomoću jedne relacije

⎛ 1 1 ⎞ − 2 ⎟ , n = 3, 4, 5, 6 2 ⎝2 n ⎠

ν = cR ⎜

R – konstanta Rydberga c – brzina svjetlosti → U atomskom svijetu postoji nekakva harmoničnost. 1909. Rutherford nakon pokusa s bombardiranjem folije zlata α - česticama, dolazi na ideju da predoči atom kao sunčev sustav: pozitivna, teška jezgra → sunce negativni, lagani elektroni → planeti → nedostatak – elektroni koji se gibaju po kružnici morali bi zračiti energiju te bi pali na jezgru za oko 10−8 s .To je u suprotnosti s realnošću jer znamo da atomi “žive” puno dulje. Izlaz nalazi Niels Bohr uvodeći neke nove koncepte. Bohrovi postulati: 1) Postulat stacionarnih staza Elektroni mogu boraviti samo na određenim stazama – stacionarnim na kojima ne emitiraju energiju 2) Postulat emisije Elektroni emitiraju energiju kad prelaze s jedne stacionarne staze na drugu – energija emitiranog kvanta je hν = Em − En , m > n

gdje su energije elektrona na stacionarnim stazama Em , En .

95


3) Postulat kvantizacije momenta količine gibanja Moment količine gibanja elektrona može imati samo određene vrijednosti dane relacijom:

L = rn ⋅ me ⋅ vn = n

h 2π

n – prirodan broj h – Planckova konstanta rn - radijus n-te stacionarne staze

vn - brzina elektrona na n-toj stazi Promotrimo najjednostavniji atom – atom vodika. Coulombova sila igra ulogu centripetalne sile.

Fc = Fcp e2 e ⋅ e me vn2 2 = v k → = n rn me rn2 rn h h Bohrov postulat (3) → vn = n , [ = ] pa se izraz za kvadrat brzine zapisuje 2π rn me 2π k

u obliku n 2

h2 e2 k = otkuda dobivamo polumjere stacionarnih orbita elektrona rn me 4π 2 rn2 me2

oko protona u vodikovom atomu

h2 rn = n 4π 2 ke 2 me 2

n = 1, 2, 3, ...

→ Za radijus prve stacionarne staze dobijemo

r1 =

h2 ≈ 0.5 ⋅10−10 m - Bohrov radijus atoma 4π 2 ke 2 me

Radijusi ostalih stacionarnih staza su

rn = n 2 r1 tj. r2 = 4r1 , r3 = 9r1 Na svakoj stazi, n, elektron ima energiju vezanja En.

En = Ek ( n ) + E pel ( n )

me vn2 2 e2 E pel ( n ) = − k - potencijalna električna rn Ek ( n ) =

1 e2 e2 1 e2 e2 En = me k −k = k −k 2 rn me rn 2 rn rn 1 e2 En = − k 2 rn

tj. En =

1 n2

⎡ 1 e2 ⎤ ⎢− k ⎥ ⎣ 2 r1 ⎦

1 e2 E1 = − k = −13.6eV - energija osnovnog stanja 2 r1 E En = 21 n = 1, 2, 3, ... n Valja uočiti da se stacionarna orbita n = 1 u spektroskopiji obično označava kao K ljuska, stacionarna staza n = 2 kao L ljuska, stacionarna staza n = 3 kao M ljuska itd. Energija osnovnog stanja elektrona u vodikovu atomu je negativna što je odraz činjenice da je elektron vezan – dakle nije slobodan. Ionizacijom vodikova atoma se dobije slobodni elektron i slobodni proton. Energija ionizacije vodikova atoma u osnovnom stanju upravo je jednaka energiji veze elektrona u osnovnom stanju – dakle 13.6 eV.

96


Elektroni imaju diskretne vrijednosti energije (crtež) E1 = – 13.6 eV, E2 = – 3.4 eV, ... Uz pomoć drugog postulata E,eV

hν = Em − En → ν =

E1 ⎛ 1 1 ⎞ ⎜ 2− 2⎟ h ⎝m n ⎠

što je u skladu s Balmerovom relacijom

ν=

E1 ⎛ 1 1 ⎞ ⎜ 2 − 2 ⎟. h ⎝2 m ⎠

0 -0.85 -1.5

n=4 n=3

-3.4

n=2

Pomoću gornjih relacija mogu se objasniti serije karakterističnih linija vodikovog atoma. n=1 -13.6 Intezitet tih linija teorija ne objašnjava. Rješenje daje kvantna mehanika razvijena u radovima: Wernera Heisenberga (1901. – 1976.) koji među ostalim formulira princip neodređenosti

∆x ∆px ≥

2

tj. fizikalno je nemoguće istovremeno izmjeriti točan položaj i točnu količinu gibanja čestice (∆x – neodređenost u položaju, ∆px – neodređenost u količini gibanja) Erwin Schrödinger (1887. – 1961.) koji nerelativističkoj čestici (elektronu) pripisuje valnu funkciju ψ koja zadovoljava Schrödingerovu jednadžbu Hˆ ψ = Eψ . Paul Adrien Maurice Dirac (1902. – 1984.) koji relativističkom elektronu pripisuje Diracovu valnu funkciju ψ D koja zadovoljava Diracovu jednadžbu Hˆ Dψ D = EDψ D . Rješenja

Diracove jednadžbe ED , ψ D uključuju rješenja Schrödingerove jednadžbe kao specijalni slučaj.

VI. 7. NUKLEARNA FIZIKA 1896. Henri Becquerel (1852. – 1908.) otkriva radioaktivnost uranove rude. Rutherford ispitivanjem pokazuje da postoje tri komponente radioaktivnog zračenja: I) α - zrake – pozitivno nabijene β - zrake – negativno nabijene II) III) γ - zrake – neutralne U Rutherfordovom modelu atoma pojavljuje se ideja o nuklearnoj jezgri koja sadrži gotovo svu masu atoma ali je za oko 105 puta manjih dimenzija od atoma tj. ima dimenzije oko 10−15 m. Radioaktivnost atoma uzrokovana je promjenama u jezgri! Daljnja ispitivanja pokazuju sa se jezgra sastoji od dvije vrste čestica: - protona p, pozitivno nabijen (po dogovoru) q p = +e , m p = 1.672 ⋅10−27 kg - neutron n, neutralan qn = 0 , mn = 1.674 ⋅10−27 kg Međusobno djeluju jakim nuklearnim silama koje su stotinjak puta jače od električnih. Ako se zanemari mala razlika u masi i električno međudjelovanje tada se te dvije čestice mogu smatrati ekvivalentnim → naziv nukleoni. Jezgre opisujemo: - masenim brojem A (broj nukleona ) - atomskim rednim brojem Z (broj protona) - brojem neutrona N = A – Z označavamo ih obično simbolom ZA X ← kemijski simbol elementa a) Radioaktivni raspadi. Zakon radioaktivnog raspada a1) α - raspad - iz jezgre izlaze čestice sastavljene od dva protona ( qα = +2e ) i dva neutrona → jezgre helija

α ≡ 24 He

4 2

97


Općenito se raspad može zapisati kao

X → ZA−−42Y + 24α Energija tih α-čestica je oko 10 MeV A Z

a2) β - raspad Iz jezgre izlijeću dvije vrste čestica: β − - elektroni koji nastaju raspadom neutrona 1 0

0

n → 11 p + −10 e − + 0ν e

β + - pozitroni koji nastaju raspadom protona 1 1 0 + 0 1 p → 0 n + +1 e + 0ν e Činjenica da nastale β - čestice mogu imati proizvoljnu energiju sugerirala je W. Pauliju da pretpostavi postojanje čestica neutrina ve koje su dvadesetak godina kasnije i eksperimentalno zapažene. Općenito se β - raspad jezgre može zapisati u obliku: Z A

X →

Y +

A Z ±1

β

0 ∓1

a3) γ - raspad To su fotoni vrlo velikih frekvencija odnosno vrlo velikih energija (kvanti elektromagnetskog vala). Emitiraju ih pobuđene jezgre (koje poput atoma imaju svoje energetske nivoe koji su praćeni prijelazima reda MeV-a) koje s višeg energetskog prelaze na niži energetski nivo. Općenito se to zapisuje u obliku:

X ∗ → ZA X + 00γ gdje je AZ X ∗ jezgra u pobuđenom stanju. Z A

a4) zakon radioaktivnog raspada Neka u početnom trenutku imamo N 0 jezgara koje se mogu raspadati na jedan od gore

opisanih načina. Broj jezgara koje će se za vrijeme ∆t raspasti je očito proporcionalan početnom broju jezgara ∆N ∼ N, vremenskom intervalu ∆N ∼ ∆t i očito ovisi o vrsti jezgre. Tu ovisnost opisujemo konstantom raspada λ koja karakterizira svaki radioaktivni element. ∆N = –λ N ∆t Predznak “–“ je zbog toga što se broj jezgara smanjuje tokom vremena. Uz pomoć integralnog računa dobivamo zakon radioaktivnog raspada: N ( t ) = N 0 e − λt - broj neraspadnutih jezgara u trenutku t Često je zgodno uvesti vrijeme poluraspada T1/ 2 - za to vrijeme se pola od prisutnih neraspadnutih jezgara raspadne, odnosno pola se ne raspadne. N ln 2 0.693 N (T1/ 2 ) = 0 → T1/ 2 = = λ λ 2 Tada se zakon radioaktivnog raspada može zapisati i u obliku: −

t T1/ 2

N (t ) = N0 2 Definiramo i veličinu brzinu raspada, odnosno aktivnost ∆N = λN A= − ∆t Broj raspada u jedinici vremena: [A] = 1Bq – Bekerel – jedan raspad u sekundi. Kako se broj neraspadnutih jezgara smanjuje tokom vremena, tako se smanjuje i aktivnost. Iz A0 = λ N 0 i A ( t ) = λ N ( t ) = λ N 0 2

−

t T1 / 2

slijedi A ( t ) = A0 ⋅ 2

98

−

t T1/ 2

.


Analogan izraz vrijedi za masu neraspadnutih jezgara:

m ( t ) = m0 ⋅ 2

−

t T1/ 2

Broj raspadnutih jezgara do nekog trenutka je

N R (t ) = N0 − N (t )

b) energija vezanja jezgre Usporedimo li masu nukleona prije nego formiraju jezgru

Z ⋅ m p + N ⋅ mn = Z mp + (A – Z) mn [ m p = 1.007276 u

1u = 1.66054 ⋅10−27 kg – atomska jedinica mase

mn = 1.008662 u , koristeći relativistički izraz E0 = mc 2 →1u = 931.494

MeV ] c2

s masom formirane, stabilne jezgre m j (Z, A) zapažamo da je

∆m = Zm p + ( A − Z ) mn − m j ( Z , A ) > 0 Uobičajeno je ∆m zvati defekt mase jezgre. Energiju, ∆Ev , koja po Einstenovoj relaciji odgovara defektu mase

∆Ev = ∆m ⋅ c 2 = ⎡⎣ Zm p + ( A − Z ) mm − m j ( Z , A ) ⎤⎦ ⋅ c 2 nazivamo energijom vezanja jezgre.

→Definiramo srednju energiju vezanja po nuklenu

Es =

∆Ev A

Krivulja ovisnosti Es o masenom broju (crtež) pokazuje maksimum kod izotopa jezgre

56 26

Fe .

c) Nuklearne reakcije Promotrimo reakciju u kojoj se jezgra meta X bombardira česticom a i kao rezultat toga nastaje jezgra kćer Y i čestica b a+X→Y+b kraći zapis X(a, b)Y Npr. prva umjetna reakcija 4 2

He + 147 N → 178 O + 11H

Vrijedi zakon očuvanja masenog broja: Zbroj masenih brojeva na lijevoj strani reakcije jednak je zbroju na desnoj strani reakcije. Te zakon očuvanja rednog broja: Zbroj rednih brojeva na lijevoj strani reakcije jednak je zbroju na desnoj strani.

99


Za sve sudare vrijede zakoni očuvanja energije i količine gibanja. Kod neelastičnih sudara mehanička energija nije očuvana. Definiramo Q – vrijednost reakcije Q = Ek (konačno) – Ek (početno) tj.

Q = ( M a + M X − M Y − M b ) c2

Q > 0 – egzotermne < 0 – endotermne – potrebna energija praga da bi se ona počela odvijati c1) Fuzija Proces spajanja lakih jezgara u teže, npr: 1 1

H + 12 H → 23 He + 00γ + 6MeV

Taj proces odgovoran za energiju zvijezda. c2) Fisija Proces cijepanja teških jezgara na lakše, npr 141 92 1 n + 235 92U → 56 Ba + 36 Kr + 3 0 n Zbog dinamičke nestabilnosti teških jezgara, kad se one pogode sporim neutronom one se raspadnu na dvije srednje teške jezgre, pri čemu se oslobodi i poneki neutron. Postoji mogućnost lančane reakcije. Pritom se oslobađa i energija (nuklearni fisijski 1 0

reaktor).

100


fizika4

Recommend Documents