Física 2 Capítulo 3 Hidrodinâmica Livro texto: Fundamentos de Física 2, Gravitação, Ondas e Termodinâmica. Halliday – Resnick – Merrill , vol. 2, Editora LTC. Cada capítulo tem 5 aulas por semana, repetidas na semana seguinte (de duas horas-aula cada). Uma para cada dia de estudo de cada semana, perfazendo os 5 dias úteis de cada semana: aula 1/item 3.1, teoria; aula 2/item 3.2, teoria; aula 3/item 3.3, consolidação (exercícios resolvidos e propostos); aula 4/item 3.4, PCCC e aula 5/ item 3.5, Experimento. Tudo precedido de uma Motivação. Sugerimos Sugerimos links para consulta e um pouco de História para reflexão. Ao final há um Resumo, dica de filmes e Referências Bibliográficas. Atividades Obrigatórias - são 5 por capítulo (uma para cada aula): 1 resumo da teoria do item 3.1 (conta para nota da V.A.); 1 resumo da teoria do item 3.2 (conta para nota da V.A.); 4 exercícios: 2 resolvidos e 2 propostos (conta para nota da V.A.); 1 relatório do PCCC (conta para média final da disciplina) e 1 relatório do Experimento/prática de laboratório (conta para nota da V.A.).
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Sumário Física 2 Capítulo 3 Hidrodinâmica .......................................................................................... 1 Motivação ................................................................................................................................ 4 Daniel Bernoulli .................................................................................................................... 4 3.1 Teoria: Hidrodinâmica. Equações da Continuidade e de Bernoulli ........................... 6 Movimento de um fluido ....................................................................................................... 6 Linhas de corrente e a Equação de Continuidade .............................................................. 7 Equação de Bernoulli ........................................................................................................... 8 3.2 Teoria: Aplicações da Hidrodinâmica ........................................................................... 10 3.3 Consolidação .................................................................................................................... 12 3.3.1 Exercícios resolvidos .................................................................................................. 12 3.3.2 Exercícios propostos................................................................................................... 15 3.4 Prática Como Componente Curricular (PCCC) ................................................................ 16 3.5 Experimento/Prática/Laboratório ...................................................................................... 16 Prática 3 – Hidrodinâmica .............................................................................................................................................Er ro! Indicador não definido.
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Motivação Uma bola de futebol, após um chute muito forte de um jogador, gira no ar causando um “efeito” e enganando o goleiro. O mesmo acontece com um saque de voleibol ou com uma bola de beisebol. Como explicar esse efeito? E um avião? Quantas toneladas a decolar! Que Física está contida na obra de Santos Dumont?
Links: http://pt.wikipedia.org/wiki/hidrodinamica http://www.feiradeciencias.com.br/sala04/04_18.asp http://pt.wikipedia.org/wiki/vazao http://pt.wikipedia.org/wiki/Trajet%C3%B3ria http://br.geocities.com/saladefisica8/bernoulli.htm
Um pouco de história não faz mal a ninguem: Bernoulli e Bernoulli e Bernoulli. Ô família.
Daniel Bernoulli
Daniel Bernoulli (Groningen, 8 de fevereiro de 1700 - Basileia, 17 de março de 1782), um matemático holandês, membro de uma família de talentosos matemáticos, físicos e filósofos, ele é particularmente lembrado por suas aplicações da matemática à mecânica, especialmente a
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mecânica de fluidos, e pelo seu trabalho pioneiro em probabilidade e estatística e o primeiro a entender a pressão atmosférica em termos moleculares. Ele imaginou um cilindro vertical, fechado com um pistão no topo, o pistão tendo um peso sobre ele, ambos o pistão e o peso sendo suportados pela pressão dentro do cilindro. Ele descreveu o que ocorria dentro do cilindro da seguinte forma: "Imagine que a cavidade contenha partículas muito pequenas, que movimentam-se freneticamente para lá e para cá, de modo que quando estas partículas batam no pistão elas o sustentam com repetidos impactos, formando um fluido que expande sobre si caso o peso for retirado ou diminuido ..." Seu relato, apesar de correto, não foi aceito de maneira geral. A maioria dos cientistas acreditava que as moléculas de um gás estavam em repouso, repelindo-se à distância, fixas de alguma forma por um éter . Newton mostrou que PV = constante era uma consequência dessa teoria, se a repulsão dependesse inversamente com o quadrado da distância. De fato, em 1820 um inglês, John Herapath, deduziu uma relação entre pressão e velocidade molecular, e tentou publicá-la pela Royal Society (a academia de ciências britânica). Foi rejeitada pelo presidente, Humphry Davy, que replicou que igualando pressão e temperatura, como feito por Herapath, implicava que deveria existir um zero absoluto de temperatura, uma idéia que Davy relutava em aceitar. Bernuolli era um contemporâneo e amigo íntimo de Leonard Euler . Ele mudou-se para São Petersburgo em 1724 como professor de matemática, mas foi infeliz lá, e uma doença em 1733 lhe deu uma desculpa para sair. Retornou para a Universidade de Basel, onde ocupou a cátedra sucessiva de medicina , Metafísica e filosofia natural até a sua morte. Foi o mais antigo escritor que tentou formular uma teoria cinética de gases, e aplicou a idéia para explicar a Lei de Boyle-Mariotte. (Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre).
Aula 1 (todo o item 3.1 – equivalente a 2 horas-aula) Objetivo: Conhecer e entender a Hidrodinâmica, especialmente as equações da Continuidade e de Bernoulli.
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3.1 Teoria: Hidrodinâmica. Equações da
Continuidade e de Bernoulli
Movimento de um fluido Em muitos problemas de mecânica, você encontra a seguinte recomendação: “Despreze o atrito”. Isto significa uma admissão implícita de que, se você considerar o atrito, o problema ficará demasiadamente difícil. Este é o caso nesta seção. O movimento de um fluido real é complicado e ainda não é bem compreendido. Discutiremos, então, o movimento de um fluido ideal que é mais simples de tratar matematicamente. Apesar de nossos resultados não concordarem totalmente com o comportamento dos fluidos reais, a diferença é desprezível em algumas aplicações práticas. Apresentamos agora quatro suposições a respeito do nosso fluido ideal:
1. Escoamento Estacionário. Num escoamento estacionário (ou escoamento permanente), a velocidade do fluido em movimento, num dado ponto, não varia no decorrer do tempo, nem em módulo, nem em sentido. O suave fluxo da água perto do centro de um rio calmo é estacionário, porém, numa corredeira, não o é. A ascensão da fumaça de um cigarro (ver a Fig. 15) permite visualizar uma zona de transição entre o escoamento estacionário e o escoamento não estacionário ou turbulento. A velocidade das partículas de fumaça aumenta à medida que elas sobem e, para uma dada velocidade crítica, o fluxo muda seu caráter de estacionário para não estacionário.
2. Escoamento Incompressível. Tal como admitimos no estudo do equilíbrio do fluido, vamos supor que o escoamento de um fluido ideal seja incompressível, ou seja, sua densidade permanece sempre constante.
3. Escoamento Não-Viscoso. A viscosidade num fluido é semelhante ao atrito num sólido. Em ambos os casos, a energia cinética do corpo que se move pode transformar-se em energia térmica. Na ausência de atrito, um bloco pode escorregar sobre uma superfície horizontal com velocidade constante. Analogamente, um objeto movendo-se no seio um fluido ideal (sem viscosidade) não deveria sofrer a ação de nenhuma força de arraste devido ao atrito viscoso. O lorde Rayleigh chamou a atenção para o fato de que, em um fluido ideal, a hélice de um navio não funcionaria, mas, em compensação, um navio (uma vez colocado em movimento) não precisaria de hélice alguma!
4. Escoamento Irrotacional. Apesar de não mais tratarmos deste assunto, vamos supor sempre que o escoamento seja irrotacional. Para testar esta propriedade, deixe um pequeno grão de poeira se mover junto com o fluido. Embora este corpo de teste possa (ou não) se mover numa trajetória circular, no chamado escoamento irrotacional o corpo de teste não gira em torno de nenhum eixo passando pelo seu centro de massa. Fazendo uma analogia grosseira, o movimento
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da cadeira (e do passageiro) de uma roda-gigante é irrotacional, porém o movimento da rodagigante é rotacional.
Linhas de corrente e a Equação de Continuidade Uma linha de corrente é a trajetória descrita por um minúsculo elemento do fluido, o qual pode ser chamado de “partícula” do fluido. À medida que a partícula de fluido se move, sua velocidade pode mudar de módulo e de direção. Sua velocidade em cada ponto é sempre tangente à linha de corrente naquele ponto. As linhas de corrente nunca se cruzam, porque, se isto ocorresse, uma partícula do fluido, chegando ao cruzamento, teria que assumir duas velocidades distintas simultaneamente, o que é impossível. Podemos construir um tubo de escoamento cujo contorno é constituído por linhas de corrente. Este tubo de corrente funciona como um cano, porque as partículas que nele entram não podem escapar pelas paredes laterais; caso ocorresse, teríamos o cruzamento de linhas de corrente (o que é impossível). Considere duas seções transversais, de áreas A1 e A2 ao longo de um tubo de escoamento fino. Vamos nos situar em um ponto qualquer P e observar o fluido durante um pequeno intervalo de tempo ∆t. Durante este intervalo uma partícula do fluido percorrerá uma distância v1∆t e um volume de fluido ∆V, dado por ∆V
= A1v1∆t
atravessará a área A1 da seção reta considerada. O fluido é incompressível e não pode ser criado nem destruído. Logo, neste intervalo de tempo, o mesmo volume de fluido deve passar em um outro ponto Q, ou seja, ∆V
= A1v1∆t = A2v2∆t.
Podemos escrever para qualquer ponto ao longo do tubo de escoamento R = A.v = constante
(Eq. 1)
onde R, cuja unidade no SI é m3/s, é a chamada vazão volumar. Multiplicando R pela densidade (constante) do fluido, obtemos a quantidade A.v.ρ , denominada vazão mássica, cuja unidade no SI é kg/s. A Eq. 1 denomina-se equação de continuidade. Ela mostra que, nas partes mais estreitas do tubo, onde as linhas de corrente são necessariamente mais densas, o escoamento torna-se mais veloz. A Eq. 1 pode ser encarada como uma expressão da Lei de Conservação da Massa , adaptada para formalismo da mecânica dos fluidos.
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R = A.v = constante denomina-se Equação de Continuidade. Ela mostra que, nas partes mais estreitas de um tubo, o escoamento torna-se mais veloz e pode ser encarada como uma expressão da Lei de Conservação da Massa, adaptada para formalismo da mecânica dos fluidos.
Equação de Bernoulli A equação de Bernoulli, inicialmente desenvolvida por Daniel Bernoulli, em 1738, não é um novo princípio básico, mas sim uma proposição decorrente da Lei de Conservação da Energia adaptada para problemas que envolvam fluidos.
Os muitos Bernoullis foram cientistas e matemáticos famosos.
Considere um tubo de escoamento (ou um cano real) através do qual um fluido ideal escoa com uma vazão estacionária. No intervalo de tempo ∆t, suponha que o volume de fluido ∆V, entra pela extremidade esquerda do tubo. O volume que emerge, na outra extremidade, deve ser o mesmo que o volume que entra, porque o fluido é incompressível, com uma densidade constante ρ. Sejam y1, v1 e p1 a altura, a velocidade e a pressão do fluido que entra na extremidade esquerda e y2, v 2 e p 2 as quantidades correspondentes para o fluido que emerge na extremidade direita. Aplicando a Lei de Conservação da Energia a um fluido, pode-se mostrar que estas quantidades estão relacionadas por
p1 +
1 2
2
ρ v1
+ ρ gy1 = p 2 +
1 2
2
ρ v 2
+ ρ gy 2 .
(Eq. 2)
Podemos reescrever isto como
p +
1 2
ρ v
2
+ ρ gy = constante
Estas equações são formas equivalentes da Equação de Bernoulli. Como a Equação de Continuidade, Eq. 1, a Equação de Bernoulli não é um princípio novo, mas a reformulação de um princípio já conhecido (a Conservação da Energia) numa forma mais conveniente ao problema exposto. Para confirmar, vamos aplicar a Equação de Bernoulli num fluido em repouso, colocando v1 = v2 = 0 na equação. Daí resulta p2 = p1 + ρ.g.(y1 – y2) que é a Equação de Stevin, já conhecida.
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Uma previsão fundamental da Equação de Bernoulli surge quando consideramos y constante (y = 0, por exemplo) de modo que o fluido não mude de nível de altura enquanto escoa, então,
p1 +
1 2
2
ρ v1
= p2 +
1 2
2
ρ v2 ,
a qual nos diz que: Se a velocidade de uma partícula do fluido aumenta enquanto ela escoa ao longo de uma linha de corrente, a pressão do fluido deve diminuir, e reciprocamente. Em outras palavras, onde as linhas de corrente são relativamente mais próximas (isto é, onde a velocidade é relativamente maior), a pressão é relativamente menor e vice-versa. Este resultado talvez seja o oposto do que você possa esperar. Por exemplo, se você puser sua mão para fora da janela de um carro, você “sentirá” um aumento da pressão associada à velocidade relativa do ar em movimento, não uma diminuição. A dificuldade é que, ao “sentir” a pressão deste modo, você estará interferindo com o escoamento. A pressão tem que ser medida de maneira que não haja esta interferência. Se você quebrar um pedaço da janela de um carro, isto não interferirá no fluir do ar de fora e você perceberá que uma fumaça produzida dentro do carro se deslocará para fora do mesmo, devido à pressão externa menor. Para demonstrar a relação velocidade-pressão de um modo simples, segure um pedaço de papel bem abaixo dos seus lábios e sopre suavemente. Você notará um aumento na velocidade do ar acima da superfície superior do papel e, portanto, a pressão nesta região ficará reduzida. A pressão abaixo da superfície do papel, onde a velocidade é nula, permanecerá inalterada, de forma que o papel ficará suspenso na horizontal. A Equação de Bernoulli vale somente para fluidos ideais, estritamente falando. Existindo forças viscosas, a energia térmica será envolvida. Isto não será levado em conta na demonstração, de modo que a equação de Bernoulli deve ser usada com muita cautela nestes casos.
A equação de Bernoulli p +
1 2
ρ v
2
+ ρ gy = constante, não é um princípio novo, mas a
reformulação de um princípio já conhecido (a Conservação da Energia) numa forma mais conveniente ao estudo dos fluidos.
Atividade obrigatória 1: Caro Cursista. Faça um RESUMO, com as suas palavras, da teoria desse item 3.1 e o entregue na próxima visita do Tutor Virtual, no encontro presencial, no seu Pólo. Isso contará para a sua nota da V. A. Você pode realizar essa atividade em grupo, mas a tarefa a ser entregue é individual.
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Aula 2 (todo o item 3.2 - equivalente a 2 horas-aula) Objetivo: Conhecer e entender algumas aplicações da Hidrodinâmica
3.2 Teoria: Aplicações da Hidrodinâmica
Algumas aplicações da Equação de Bernoulli:
I) Ruptura de Janelas. Se um vento forte sopra através da janela, a pressão no lado de fora é reduzida e a janela pode quebrar-se de dentro para fora. Este mecanismo fica evidente quando telhados planos são arrancados de prédios durante furacões; os telhados são, pelo menos em parte, empurrados para cima pela pressão do ar estagnado embaixo deles.
II) O Medidor Venturi . O medidor Venturi é um dispositivo usado para medir a velocidade de escoamento de um fluido dentro de um tubo. Num estrangulamento, a área se reduz de A até a e a velocidade cresce de v para V. No estrangulamento, onde a velocidade é máxima, a pressão deve ser mínima, como previsto pela Equação de Bernoulli. Pode-se mostrar, usando a equação de Bernoulli e a equação de continuidade, a relação
v=
2a 2 ∆ p
(
ρ A
2
− a2
)
,
onde ρ é a densidade do fluido. A vazão volumar R pode ser calculada pela relação R = A.v e o dispositivo pode ser calibrado para a leitura direta desta vazão.
III) O buraco num tanque de água . No velho Oeste, um tiro num tanque de água aberto, faria um buraco situado a uma distância h abaixo da superfície da água. Qual é a velocidade da água que emergiria do buraco? Vamos considerar o nível em que se encontra o buraco como nosso nível de referência e notamos que a pressão no topo do tanque e na saída do buraco é a pressão atmosférica. Aplicando a equação de Bernoulli, obtemos
p0 + 0 + ρ.g.h = p0 +
1 2
ρ v
2
+ 0.
No membro esquerdo da relação anterior, o 0 indica que a velocidade do líquido no topo do tanque (isto é, a velocidade com que o nível diminui) é desprezível. O valor 0 do membro direito indica que utilizamos o nível de referência no plano do buraco. Logo, encontramos
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v = 2 gh, que é a mesma velocidade que seria adquirida por um objeto largado, sem velocidade inicial, de uma altura h (calculada pela Equação de Torricelli).
IV) A Asa de um Avião. Consideremos as linhas de corrente em torno da asa de um avião. Utilizando apenas a equação de Bernoulli, não podemos fazer a previsão da distribuição das linhas de corrente em torno do perfil de uma dada asa de avião. Contudo, conhecida a distribuição das linhas de corrente, podemos verificar que ela é consistente com a existência de uma força F dirigida de baixo para cima agindo sobre a asa. O espaçamento relativo das linhas de corrente sugere, a velocidade do ar acima da asa é maior do que a velocidade abaixo da asa. Assim, pela equação de Bernoulli, concluímos que a pressão abaixa da asa é maior do que a pressão acima da asa. A força F pode ser decomposta numa componente vertical, denominada força de sustentação, e numa componente horizontal, conhecida como força de arraste. Podemos também explicar a força de sustentação em termos de Terceira Lei de Newton. Como as linhas de corrente sugerem, a asa força a corrente de ar para baixo. A força de reação da corrente desviada deve atuar sobre componente orientado para cima. Esta interpretação de força de sustentação é particularmente apropriada para entendermos a força de sustentação que atua sobre o rotor de um helicóptero. Quando o helicóptero está suspenso no ar próximo do solo, o escoamento do ar para baixo é evidente para todas as pessoas que estão paradas nas vizinhanças do local considerado. A força de sustentação que atua sobre uma asa de avião (normalmente chamada de sustentação aerodinâmica) não deve ser confundida com a sustentação estática proporcionada pela força de empuxo, baseada no princípio de Arquimedes. A sustentação dinâmica ocorre somente quando existe movimento relativo entre o objeto e a corrente do fluido.
Ruptura de janelas, O medidor Venturi, O buraco num tanque de água, a asa de um avião são algumas aplicações da Equação de Bernoulli da Hidrodinâmica.
Atividade obrigatória 2: Caro Cursista. Faça um RESUMO, com as suas palavras, da teoria desse item 3.2 e o entregue na próxima visita do Tutor Virtual, no encontro presencial, no seu Pólo. Isso contará para a sua nota da V. A. Você pode realizar essa atividade em grupo, mas a tarefa a ser entregue é individual.
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3.3 Consolidação
Aula 3 (todo o item 3.3 - equivalente a 2 horas-aula) Objetivos: acompanhar resoluções dos exercícios da atividade passo a passo (resolvidos) e resolver exercícios de fixação (propostos).
Atividade passo a passo
Atividade obrigatória 3: Caro cursista, escolha dois exercícios resolvidos e dois propostos das listas abaixo. Resolva–os, e os entregue na
próxima visita do Tutor Virtual, no encontro
presencial, no seu Pólo. Isso contará para a sua nota da V. A. Você pode realizar essa atividade em grupo, mas a tarefa a ser entregue é individual.
3.3.1 Exercícios resolvidos 1. A área, A0, da seção transversal da aorta (o maior vaso sanguíneo emergente do coração), para uma pessoa normal, em repouso é aproximadamente igual a 3 cm2 e a velocidade v0 do sangue é igual a 30 cm/s. Um vaso capilar típico (diâmetro ≈ 6µm) possui uma seção transversal de área A = 3 x 10-7 cm2 e uma velocidade de escoamento igual a 0,05 cm/s. Estime o número de vasos capilares que esta pessoa possui. Resolução: O sangue que passa através de todos os capilares é o mesmo sangue que tem de passar pela aorta; então, pela Eq. 1, A0v0 = n.A.v onde n é o número de vasos capilares. Explicitando n, resulta
n=
A0 v0 Av
(3cm )(30cm / s ) = (3 x10 cm )(0,05cm / s ) 3
−7
n = 6 x 109 ou 6 bilhões
2
(resposta)
Você poderá mostrar facilmente que a área da seção transversal dos capilares é aproximadamente igual a 600 vezes a área da seção reta da aorta. 2. Um filete de água saindo de uma torneira se estreita enquanto cai. A área A0 da seção transversal, próximo à boca da torneira, é igual a 1,2 cm2 e a área A, num outro ponto, mais 12
abaixo, é igual a 0,35 cm2. Os dois níveis estão separados por uma distância h (= 45 mm). Calcule a vazão deste escoamento. Resolução: Da equação de continuidade (Eq. 1), temos A0v0 = A.v onde v0 e v são as velocidades da água nos níveis correspondentes. Da Eq. de Torricelli, podemos também escrever
v2 =
v02 + 2 gh
Eliminando v das duas equações e explicitando v0, obtemos
v0 =
2 ghA 2 A02 − A 2
(2)(9,8m / s 2 )(0,045m)(0,35cm 2 )
2
=
v0 v0
(1,2cm ) − (0,35cm ) 2 2
2 2
= 0,286 m/s = 28,6 cm/s.
A vazão volumar R será R = A0v0 = (1,2cm2) (28,6cm2/s) R = 34 cm3/s
(resposta)
Com esta vazão, bastariam 3 s para encher um béquer de 100 ml. 3. Demonstre a Equação de Bernoulli. Resolução: vamos tomar como nosso sistema o volume total de um fluido (ideal). Agora apliquemos a Lei de Conservação da Energia a este sistema, enquanto ele se move de seu estado inicial para o estado final. Percebemos que a parte do fluido que se encontra entre os dois planos verticais separados por uma distância L, não altera suas propriedades durante este processo; precisamos nos preocupar somente com as variações que ocorrem na extremidade da entrada e na da saída. Podemos aplicar a Lei de Conservação da Energia sob a forma do teorema do trabalhoenergia cinética, ou seja, W = ∆K (teorema do trabalho-energia).
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Isto nos diz que a variação da energia cinética de nosso sistema tem que ser igual ao trabalho resultante realizado sobre o sistema. A variação da energia cinética ocorre somente nas extremidades, sendo dada por
1 ∆K = 2
∆mv 22 −
1 2
∆mv12 =
1 2
(
)
p∆V v 22 − v12 ,
onde ∆m (= p ∆V) é a massa do fluido que penetra pela entrada e emerge da extremidade da saída. O trabalho realizado sobre o sistema de duas fontes. O trabalho Wg realizado pela força gravitacional para sustentar o elemento de fluido, desde o nível da entrada até o nível da saída, é dado por Wg = - ∆m ρ(y2 – y1) = - ρg ∆V(y2 – y1). Este trabalho é negativo, porque o deslocamento (para cima) é contrário ao sentido da força da gravidade (para baixo). Um trabalho Wp também deve ser realizado sobre o sistema (na extremidade da entrada) para impulsionar o fluido através do tubo e pelo sistema (na saída) para empurrar o fluido que se encontra no seu caminho na saída. Nestas circunstâncias, o trabalho realizado pode ser calculado do seguinte modo: F ∆x = (p.A) (∆x) = (p).(A ∆x) = p ∆V, onde, a força F, agindo num elemento de fluido contido num tubo de área A, move o fluido através de uma distância ∆x. O trabalho resultante é, então Wp = p2 ∆V + p1 ∆V = - (p2 – p1)∆V. Pelo Teorema Trabalho-Energia, W = ∆K, resulta W + Wg + Wp = ∆K. Das Equações para ∆K, Wg e Wp, encontramos
1 - ρg ∆V(y2 – y1) - ∆V (p2 – p1) = 2
(v
ρ ∆V
2 2
)
− v12 .
Depois de pequena modificação, temos exatamente a Equação de Bernoulli:
p1 +
1 2
2
ρ v1
+ ρ gy1 = p 2 +
1 2
2
ρ v 2
+ ρ gy 2 .
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Atividade de fixação
3.3.2 Exercícios propostos Atividade de fixação
1. A mangueira de um jardim possui um diâmetro de 2 cm e está ligada a um irrigador que consiste num recipiente munido de 14 orifícios, cada um dos quais com diâmetro de 0,14 cm. A velocidade da água na mangueira vale 0,85 m/s. Calcule a velocidade da água ao sair dos orifícios. 2. Um tanque contém água até a altura H. É feito um pequeno orifício, na sua parede, à profundidade h abaixo da superfície da água. (a) Mostre que a distância x da base da parede até onde o jato atinge o solo é dada por x = 2 h( H − h ). (b) Você poderia ter perfurado em outra profundidade de modo que este segundo jato tivesse o mesmo alcance? Em caso afirmativo, a que profundidade? (c) Calcule a profundidade do buraco para que o jato emergente atinja o solo a uma distância máxima da base do tanque. 3. Uma placa de 80 cm2 de área e massa igual a 500 g está suspensa por uma das extremidades. Calcule a velocidade do ar soprado através da superfície superior da placa para mantê-la numa posição horizontal. 4. Aplicando a Equação de Bernoulli e a Equação da Continuidade no ponto de entrada e no estrangulamento (estreitamento) de um Medidor de Venturi, mostre que a velocidade do escoamento na entrada é dada por
v=
2a 2 ∆ p
(
p A 2 − a 2
)
.
5. Um medidor de Venturi tem diâmetro de 25 cm no tubo de entrada e de 12,5 cm no estrangulamento. A pressão da água no tubo é de 0,54 atm e no estreitamento é de 0,41 atm. Determine a vazão em litros/s.
Aula 4 (todo item 3.4 – equivalente a 2 horas-aula) Objetivos: desenvolver a criatividade na elaboração de atividades complementares, individuais, voltadas para a produção do Cursista no âmbito do ensino, na sua prática docente cotidiana, com seus alunos como co-participantes. 15
3.4 Prática Como Componente Curricular (PCCC) Atividade obrigatória 4: Parabéns, você agora completou uma etapa importante do seu Curso de Física, no entanto, vai aqui uma outra tarefa, e uma das mais importantes: Com base nos conhecimentos adquiridos durante o capítulo, planeje uma aula para seus alunos sobre os assuntos abordados. Aplique-a
como puder em sua escola. Envie um relatório “contando” como foi a aula (postar no campo TAREFA), até o final desta unidade, isto é, até o dia da 1ª V.A. Você pode realizar a atividade em grupo, mas o Relatório a ser enviado é individual. Relatórios de PCCC contam para média final da disciplina. Sugestão: Tente com seus alunos, 1) Para demonstrar a relação velocidade-pressão de um modo simples, segure um pedaço de papel bem abaixo dos seus lábios e sopre suavemente. Você notará um aumento na velocidade do ar acima da superfície superior do papel e, portanto, a pressão nesta região ficará reduzida. A pressão abaixo da superfície do papel, onde a velocidade é nula, permanecerá inalterada, de forma que o papel ficará suspenso na horizontal.
Aula 5 (todo o item 3.5 – equivalente a 2 horas-aula) Objetivos: Estudar fenômenos da Hidrodinâmica
3.5 Experimento/Prática/Laboratório Atividade obrigatória 5: Nesta atividade o Cursista deverá realizar este experimento, utilizando os recursos indicados ou similares encontrados no seu meio e entregar ao Tutor Virtual em forma de relatório ao final desta unidade (no próximo encontro presencial). Você pode realizar o experimento em grupo, mas o Relatório a ser entregue é individual. Isso contará para sua nota de V. A.
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Física II - Prática 3 – Fluidos - Hidrodinâmica Notas de laboratório do Professor Erivaldo Montarroyos
I – Finalidade Pretendemos nesta aula prática estudar as propriedades e o comportamento dos líquidos e gases no regime dinâmico.
II - Introdução Teórica Ver resumo teórico do curso apresentado no Capítulo 3 – Hidrostática (Cap. 16 Fluidos do Halliday)
III - Material Utilizado •
Uma Garrafa PET de 2litros ou maior.
•
2m de Mangueira de 1,5cm/2mm (1,5cm de diâmetro com paredes de 2mm)
•
5m de Mangueira de 0,5cm/1,5mm
•
Um tubo de cola de silicone.
•
Duas réguas de plástico de 30cm
•
10 Bolas de festa pequena redonda.
•
Três folhas de papel branco A4.
•
Fita crepe
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Figura 3-1 Utilize a garrafa PET calibrada como reservatório do líquido. As alturas do líquido h vão ser intervalos de 100ml, isto é, quando o nível da água atingir uma divisão o valor da altura h será Nx100ml onde N é o número de divisões acima do furo e neste instante o alcance A é medido na régua. O furo deve ser feito na primeira divisão de 100ml para eliminar as irregularidades da base da garrafa. São mantidos fixos a altura de queda H e o diâmetro do furo menor onde sai o líquido.
IV - Procedimento Experimental Atividade 1. Equações de Bernoulli e da Continuidade.
1- VELOCIDADE DE ESCOAMENTO DE UM LÍQUIDO. Vamos analisar a velocidade de escoamento de um líquido em um recipiente através de um furo na sua base em função da altura h do líquido no interior do recipiente. Utilizaremos como recipiente uma garrafa PET de 2litros como mostra a figura 3-1.
2- PREPARANDO UM LOCAL PARA A MONTAGEM. A montagem é feita como mostra a figura 3-1, porém devemos antes achar o melhor local para se realizar as medidas já que vamos ter água jorrando do recipiente. O melhor locar é uma pia ou uma área onde a água possa correr facilmente para um ralo. Determinado o local apropriado para o experimento, encha o recipiente com o líquido escolhido, no caso água, e verifique a direção do jato de água e o posicionamento da regra para medida do alcance. Como a régua é de plástico não vai ter problema se for molhada, porem ela tem que ficar bastante segura para não fugir da posição durante o experimento.
3- PREPARANDO SEU CADERNO PARA O INICIO DAS MEDIDAS Prepare no seu caderno de laboratório uma tabela com os valores escolhidos das alturas h de água. E deixe duas colunas, uma para colocar os alcances que vão ser medidos e a outra para os valores das velocidades de escoamento da água dado por :
vescoamento =A.(g/2H)1/2.
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Onde A é o alcance, g é a aceleração da gravidade local e H e a altura de queda do jato de água. Use os valores corretos das unidades envolvidas.
4- PREENCHENDO O RECIPIENTE COM ÁGUA E INICIANDO AS MEDIDAS. Tampe o furo de saída com o dedo e coloque água acima da primeira divisão da altura a ser medida. Inicie as medidas e fique atento para a leitura do alcance, caso seja necessário interrompa o processo tampando o furo com o dedo até anotar o valor do alcance. Atividade 2. Montando um Bico de Venturi.
1- O BICO DE VENTURI. De acordo com a equação de Bernoulli quando diminuímos o diâmetro de um duto no qual um líquido passa, aumentamos a sua velocidade e diminuímos sua pressão nesta região de menor diâmetro. Na figura 3-2 temos a montagem de um “Bico” de Venturi muito utilizado para sugar líquido sendo este princípio de funcionamento utilizado em bombas do tipo injetoras para recalque de água em profundidades abaixo de 10m, como também na maioria dos mecanismos dos pulverizadores (spray) de líquidos, bastante utilizados no nosso dia a dia como aqueles dos perfumes, desodorantes, inseticidas, tintas, lubrificantes, etc, mostrado na figura 3-3.
Figura 3-2 Montando um bico de Venturi. As mangueiras mais finas de 5mm devem ser cortadas como mostra a figura de modo que o encaixe não deixe rebarbas e fiquem com a forma de um “T”. Elas devem ser coladas com cola de silicone e após seca colocadas dentro das duas extremidades da mangueira maior e depois coladas também com cola de silicone.
2- MONTANDO UM BICO DE VENTURI Para montar um bico de Venturi utilizamos duas mangueiras de diâmetros deferentes, uma maior de 1,5cm e outra menor de 0,5cm de diâmetro. A figura 3-2 mostra com detalhes todo processo para montagem de um bico de Venturi bastante simples que vai servir para demonstrarmos o seu funcionamento. A região entre a mangueira fina e a grossa deve ficar preenchida com cola, porém deve-se tomar o cuidado para que a cola não tampe a entrada da mangueira fina.
3- TESTANDO O BICO DE VENTURI. Na figura 3-4 mostramos a utilização do bico de venturi para sugar água de um recipiente. Note que, como as duas mangueiras de entrada e de saída do bico de Venturi são iguais não faz diferença escolher uma ou a outra como entrada e saída. Em 19
alguns casos a saída é colocada com o diâmetro maior que a entrada. Para testar o bico de Venturi coloque a mangueira de diâmetro maior em uma torneira. A mangueira fina deve ficar no reservatório.
Figura 3-3 O bico de Venturi funcionando como pulverizador (Spray) de líquidos. Você sabe explicar o funcionamento deste pulverizador? Quais os fundamentos físicos utilizados?
Quando maior for a velocidade da água saindo da torneira maior a sucção na mangueira fina. Para testar o poder de sucção do sistema coloque o recipiente de água distante (em altura) do bico de Venturi. Regule a vazão da água na torneira e verifique o limite na distância entre o bico e o reservatório que faz a sucção parar.
Figura 3-4 Testando o bico de Venturi. Coloque a mangueira grossa na torneira e a outra em um pia para receber a água quando a torneira for aberta. Se o sistema estiver funcionando corretamente a água do recipiente será sugada pelo Bico de Venturi. Na saída B teremos a água que entrou em A mais a água sugado do recipiente. Você pode medir o volume de água saindo em B como também a velocidade de saída da água. Tampando a entrada da mangueira fina você pode medir através da saída em B o volume de água que está passando no sistema ou saindo em A.
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Atividade 3. Medidor de Fluxo de Venturi.
1- MONTANDO UM MEDIDOR DE FLUXO DE VENTURI . Na figura 3-5 temos a montagem do medidor de fluxo de Venturi, como podemos observar ele é o bico de Venturi onde a mangueira de sucção retornou para o sistema. Assim vai existir uma pressão maior no lado A do que no lado B, fazendo com que a coluna do líquido denso no interior da mangueira fina tenha uma diferença de altura h entre os dois ramos do circuito. Esta diferença é proporcional a velocidade do fluido no interior do sistema.
Figura 3-5 Montando um Medidor Venturi. O lado esquerdo da figura passa a ser a entrada do medidor Venturi. É feito um furo na mangueira grossa de aproximadamente 5mm para introdução do outro lado da mangueira mais fina (5mm). Corta-se a mangueira fina deixando um comprimento de 30cm. Ela é introduzida no furo e colada com cola silicone. Um líquido mais denso é introduzido na mangueira fina preenchendo metade da altura. Fazendo passar um líquido pelo medidor o lado A da mangueira fina vai ter uma pressão maior que o lado B, assim o líquido denso no interior da mangueira fina vai subir na direção de B e a diferença de altura h entre A e B é proporcional a velocidade do fluxo no Medidor Venturi. Note que o líquido denso no interior da mangueira fina deve permanecer lá. Caso a velocidade seja superior a certo valor ela pode sugar o liquido denso descaracterizando o medidor.
2- MEDINDO A VELOCIDADE DE UM LÍQUIDO. O medidor Venturi pode ser utilizado para medir velocidade de líquidos e gases. Vamos utilizar o nosso medidor Venturi para medir a velocidade da água que sai de uma torneira. No ramo do medidor vamos colocar como líquido denso óleo de soja bastante conhecido nas nossas cozinhas. Note que fica difícil a colocação de um líquido na mangueira fina na forma de U.
3- FAZENDO UMA ADAPTAÇÃO NA MONTAGEM. Seria interessante cortarmos a mangueira fina próximo ao ponto A e introduzirmos um pequeno tubo de alumínio que possa prender a mangueira nos dois lados e facilitar a colocação do líquido denso no medidor.
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4- MEDINDO A DENSIDADE DO ÓLEO DE SOJA. Para medirmos a densidade do óleo de soja colocamos certa quantidade de óleo dentro de uma proveta calibrada, assim temos na proveta o volume ocupado pelo óleo e, medindo a massa do óleo podemos obter a sua densidade. Meça estes valores e obtenha a densidade do óleo de soja. Coloque o óleo no medidor Venturi. Anote todos os valores medidos com suas unidades corretas.
5- MEDINDO A DENSIDADE DA ÁGUA. Utilizando o mesmo procedimento anterior determine a densidade da água da torneira. Anote todos os valores medidos.
6- MEDINDO A VELOCIDADE DA ÁGUA QUE SAI DE UMA TORNEIRA. Coloque a mangueira de entrada do Venturi na torneira e a saída em um pia. Abra a torneira lentamente e observe o nível do óleo de soja no medidor. Escolha cinco valores de vazão e anote as alturas h. Faça uma tabela no seu caderno de laboratório. A velocidade da água em função dos parâmetros do medidor é: v = a [2(ρsoja - ρágua)gh]1/2 / [ ρágua ( A2 - a2 )]1/2 onde a é a área da seção reta da mangueira fina onde a passagem da água é reduzida, A é a seção reta da mangueira mais grossa, ρsoja é a densidade da soja, ρágua é a densidade da água utilizada, g é a aceleração da gravidade local, h é diferença de altura entre A e B. Faça uma tabela com os valores obtidos
7- MEDINDO A VELOCIDADE DA ÁGUA QUE SAI DE UMA TORNEIRA ATRAVES DO ALCANCE. Utilizando o mesmos procedimentos da ATIVIDADE 1 meça os alcances para cada velocidade utilizada no item anterior. Atividade 4. Questionário e Outras ATIVIDADES.
1- VELOCIDADE DE ESCOAMENTO DE UM LÍQUIDO.
a. O que mudaria nos resultados do experimento do alcance em função da altura h do líquido no recipiente cilíndrico, caso seu diâmetro fosse reduzido á metade? Justifique! b. O alcance seria maior ou menor se o diâmetro do furo fosse o dobro? Justifique! c. Pegue uma garrafa PET de 600 ml faça dois furos de 3mm próximos da base. Tampe com os dedos os dois furos e coloque água até a metade. Abra os furos e observe os jatos de água saindo dos furos e de imediato solte a garrafa. O que acontece com os
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jatos de água? Você conseguiria explicar o que aconteceu para seus colegas, e que você justificaria para eles? d. Faça um pêndulo com uma garrafa PET de 600ml usando duas linhas (maior do que 1m cada) de modo que a garrafa não possa girar (veja figura ao lado). Faça um furo na lateral da garrafa, tampe e encha a garrafa. Desloque a garrafa da posição de equilíbrio erguendo acima de 50cm da posição inicial. Destampe o furo e solte a garrafa, observe e marque no chão o alcance quando ela passar pela posição mais baixa. Faça agora um furo de frente para a posição de oscilação e feche o lateral. Faça novamente a garrafa oscilar e observe lateralmente o que acontece com o jato de água. Analise o que acontece nas duas situações e discuta as forças que atuam sobre a água quando ela oscila em relação a ela parada.
e. Faça o gráfico da altura da água no recipiente em função da velocidade de escoamento da água no furo da garrafa PET. O gráfico corresponde ao previsto pela teoria?
2- O BICO DE VENTURI. a. Como funciona o mecanismo das torneiras que não respingam (elas possuem na sua saída um mecanismo que mistura a água com o ar)? b. Qual a altura (ou profundidade) máxima que um bico de Venturi conseguiria sugar a água? Justifique!
3- MEDIDOR VENTURI. a. Você já deve ter percebido que a água que corre de uma torneira não totalmente aberta pode formar um filete de água que afina a medida que ela cai, isto é, ela começa grossa e vai afinando sem sair do alinhamento, até que entra num regime caótico e perde o alinhamento. É possível através de medidas do diâmetro deste filete 23
determinar a velocidade da água. Se o diâmetro da água em A é DA= 1cm2 e em B é DB = 0,35cm2 e h=5,0cm
E sabendo que: AAvA = ABvB (1) isto é, a vazão é a mesma em qualquer ponto entre A e B onde AA e a área transversal da água em A e AB é a área em B. Como a água cai em queda livre v2B = v2A + 2gh
(2)
A partir destas duas equações determine uma expressão para vA e determine seu valor. Como a vazão é R = AA vA b. Use o método acima para medir a velocidade da água em uma torneira e sua vazão. Compare com o valor determinado pelo medidor Venturi
Resumo: Neste capítulo você estudou: Hidrodinâmica: equações da Continuidade e de Bernoulli; Aplicações da Hidrodinâmica: Ruptura de janelas, O medidor Venturi, O buraco num tanque de água e o estudo da asa de um avião. A asa de um avião
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Dica de Filmes: 1) Telecurso 2000 – Fita 5 – aulas 19, Editora Globo.
Referências Bibliográficas HALLIDAY, David; RESNICK, Robert ; MERRILL, John. Fundamentos da Física 2, 3ª e 6ª ed., LTC, 1994 e 2000. TIPLER, Paul A., Física, Mecânica, 4ª ed. São Paulo: LTC, 2000, vol. 2 SERWAY, Raymond A.; JEWETT Jr, John W. Princípios de Física. 3ª ed. São Paulo: Thomson, 2007, vol.2.
Bibliografia Complementar 1) Tópicos de Física, vol. 2, Mecânica Autores: Helou, Gualter e Newton Editora Saraiva 2) As Faces da Física, volume único Autores: Wilson Carron e Osvaldo Guimarães Editora Moderna 3) Curso de Física, volume 2 Autores: Beatriz Alvarenga e Antônio Máximo
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