FISIC A
2. Vectores Paralelos: Son aquellos que tienen sus líneas de acción respectivamente paralelas.
TEMA Nº 01 VECTORES Vector:
Un vector es un ente matemático, que se representa mediante un segmento de recta orientado, dentro del espacio euclidiano tridimensional. En física, el vector sirve para representar a las magnitudes físicas vectoriales.
3. Vectores Opuestos: Dos vectores serán opuestos cuando tienen igual dirección, igual módulo, pero sentidos opuestos. La suma de dos vectores opuestos es igual al vector nulo (Tamaño igual a cero)
y 3
4. Vectores Iguales: Dos vectores son iguales cuando tienen sus tres elementos respectivamente iguales.
Línea de acción
P
37º O
4
5. Vectores Coplanares: Dos o más vectores son coplanares, cuando todos ellos están contenidos en un mismo plano.
x
NOTACIÓN: NOTACIÓN: A : se lee: vector A O : origen del vector P : extremo del vector También se denota: A = OP
6. Vectores Concurrentes: Dos o más vectores se denominan concurrentes cuando todos ellos tienen un mis punto de aplicación o sus líneas de aplicación se intersectan en un mismo punto.
ELEMENTOS DE UN VECTOR
OPERACIONES CON VECTORES
1. Módulo: Indica el valor de la magnitud vectorial. Geométricamente es el tamaño del vector.
1. Suma de Vectores Colineales y Paralelos: La suma se realiza algebraicamente teniendo en consideración los signos( sentidos).
2. Dirección: Es la orientación que tiene el vector, respecto al sistema de coordenadas cartesianas.
2. Suma de Vectores (Método del Paralelogramo): Se construye un paralelogramo. Geométricamente el módulo del vector resultante se obtiene trazando la diagonal del paralelogramo desde el origen de los vectores. vectores.
En el plano se define mediante el ángulo que forma el vector respecto del eje positivo de las abcisas (Eje X)
El módulo resultante se determina:
3. Sentido: Indica hacia que lado de la dirección (Línea de acción) actúa el vector. Gráficamente se representa por una cabeza de flecha.
R =
CLASIFICACIÓN DE LOS VECTORES
A
2
B
2
2. A. B.Cos
i) A y B representan el tamaño de los vectores. ii) R es el tamaño del vector vector resultante. iii) es el ángulo que forman los vectores.
1. Vectores Colineales: Son aquellos que tienen una misma línea de acción o todos ellos están contenidos en una misma recta.
1
DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR
7
y P
53º
Ax = A . Cos Ay = A . Sen
A O
15
a) 16 d) 22
x
b) 18 e) 24
c) 20
4. Hallar el módulo de la resultante en: Para determinar la resultante de un sistema de vectores por este método, se sigue los siguientes pasos:
20
29
1. Cada vector se descompone rectangularmente, respecto de un sistema de ejes coordenados arbitrariamente elegido.
20 2
b) 10 e) 25
R y2
12 m/s
4. La dirección del vector resultante respecto del eje x se determina mediante la función tangente:
90º
R y
tg
c) 15
5. La corriente de un río tiene una velocidad de 12 m/s. Si un alumno cruza perpendicularmente un río con una velocidad de 5 m/s. ¿Cuál será el valor de la velocidad resultante?
3. El módulo del vector resultante se halla aplicando el Teorema de Pïtágoras: R x2
45º
a) 5 d) 20
2. Se determina la resultante en cada eje cartesiano: Rx = Resultante en el eje x Ry = Resultante en el eje y
R
37º
5 m/s
R x
EJERCICIOS
a) 7 m/s d) 17 m/s
1. Determinar el módulo de la resultante: 6
5
a) 5 d) 8
c) 13 m/s
6. Determinar la resultante para los vectores dados, siendo ā = 10, b = 2, c = 4 y d =3
4
b) 6 e) 9
b) 9 m/s e) 20 m/s
c) 7
2. Hallar el módulo de la resultante:
a
b
c
d
y
b) – 7 i d) 9 i
a) 7 i d) - 6 i
7
c) 6 i
x 2
7. ¿Cuál es el módulo de la resultante? Los vectores están colocados en un rectángulo.
5 3
a) 4 d) 7
b) 5 e) 8
a) b) c) d) e)
c) 6
3. Hallar el módulo de la resultante de:
2
15,5 19 25,5 25 8,5
12 3,5
8. Calcular el módulo de la suma de los vectores: a = 3i – 4j y b = -7i + 7j a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
14. Calcular la dirección de la resultante de la suma de los vectores: a = 7 i – 5j ; b = 5 i + 20 j ; c = -5i + 9 j
c) 3 a) 16º d) 53º
9. En el mar, un viento sopla en la dirección Este, mientras que un barco navega hacia el Norte. ¿En qué dirección puede estar flameando la bandera del barco? d
a
b
b) 37º e) 74º
c) 45º
15. Se tienen dos vectores de 10 N y 15 N cuya resultante es igual a 20 N. Determinar el coseno del ángulo que forman los vectores.
e
c
10 N 20 N
a) e
b) d
c) c
d) b
10. En la figura: c = 20 y d resultante.
e) a
15 N
= 40 determinar su a) 1/4 d) 2/5 c
d
80º
a) 20√2 d) 20√7
c) 2/3
16. Dos vectores tienen una resultante mínima que vale 4 y una resultante máxima igual a 16. ¿Cuál es el módulo de la resultante de estos vectores cuando formen 60º?
20º
b) 20√3 e) 20√11
b) 1/5 e) 1/3
c) 20√5
a
11. Si : a = 3 y b = 5, encontrar el módulo de la resultante:
r
60º b a) 12 d) 15
a 40º
a) 6 d) 9
b) 7 c) 10
c) 14
17. Un bote a motor se dirige hacia el Este con una velocidad de 10 m/s. Si la corriente marina tiene una velocidad de 6 m/s en la dirección N30ºE. ¿Cuál será el módulo de la velocidad resultante del bote?
20º
b
b) 13 e) 16
c) 8
12. Determinar el módulo de la resultante si: ā = b = 2 y c = 8 c
b
a) 13 m/s d) 16 m/s
120º
a
a) 4√2 d) 4√7
b) 4√3 e) 12
b) 22 e) 25
c) 15 m/s
18. En la figura, calcular el módulo de la resultante:
c) 4√5
10 6
13. Dados los vectores: a = 3 i – 4j ; b = 5 i + 22 j ; c = 2i + 2 j. Calcular 2a – b + 3c a) 21 d) 24
b) 14 m/s e) 20 m/s
60º
60º 6
a) 12 d) 16
c) 23
3
b) 14 e) 20
c) 15
19. Se tienen dos vectores perpendiculares de módulos 9 u y 12 u respectivamente. Calcular el módulo de la suma de dichos vectores. a) b) c) d) e)
10 u 15 u 20 u 25 u 30 u
5. Determinar el módulo de la resultante: a) b) c) d) e)
9
θ
√10 √11 √13 5√2 2√3
3 2
45º 8
4 3 60º
12
6. En el siguiente sistema de vectores, determinar el módulo del vector resultante. 20. Si el lado del cuadrado es 6 unidades. Hallar el módulo de la resultante del conjunto de vectores mostrados. a) b) c) d) e)
5√61 4√61 3√61 2√61 √61
4
a) b) c) d) e)
2
6
4 5 6 7 8
2 2
45º 13
10
53º
7. Hallar el módulo de la resultante: a) b) c) d) e)
TAREA DOMICILIARIA 1. Calcular el módulo de la resultante de los vectores indicados. a) 6√3 u 6u b) 6√2 u 4u c) 6 u d) 5√3 u e) 5√2 u
A√3 A 2A 3A 4A
A
A
60°
60° A
8. Dado los vectores, hallar la magnitud de la resultante.
/ /
/ /
1
a) b) c) d) e)
2. Calcular el valor de la resultante de dos vectores de 7 N y 25 N si forman un ángulo de 16º. a) √1001 7 b) √1003 c) √1007 16º d) √1010 25 e) √1017
37º 53º 30º 60º 45º
y 10
1
9. Calcular el módulo de la resultante en el gráfico: a) b) c) d) e)
3. En el conjunto de vectores mostrados, hallar la dirección del vector resultante: a) b) c) d) e)
√5 3 2 4 0
4
53º
24 23 22 21 20
2 √3 30° 30°
2 √3
30º 6
8
x
16
10. Para dos vectores, la máxima resultante es igual a 7 u y la mínima resultante es igual a 1 u. ¿Cuánto vale el módulo del vector resultante cuando los vectores formen un ángulo de 90°?
4. Calcular el módulo de la resultante de dos vectores de módulos 10 u y 24 u que son perpendiculares. a) 13 u b) 20 u c) 26 u d) 30 u e) 36 u
a) 1 u d) 4 u
4
b) 2 u e) 5 u
c) 3 u
