B/ d t de acuerdo con la ley de Faraday. E n la figura 34-16b, las dos puntas del voltím etro, todavía conectadas entre sí, form an una espira que rodea al solenoide donde la corriente varía. E n este caso la lectura del voltím etro no es cero y tam poco es posible servirse del concepto de potencial para descri bir esta situación. El cam po eléctrico inducido proveniente de un cam po m agnético variable no es conservativo y ni puede re presentarse con un potencial. (Lo m ism o sucede con el cam po m agnético p roducid o p o r un a co rriente. Las líneas del ca m po m agnético form an espiras cerradas, y el cam po m agnético tam poco puede describirse p o r m edio de un potencial.)
b) En este caso tenemos r > R, de modo que el flujo total del imán pasa por la trayectoria circular. Por tanto, $8 = B(rrR2). Con báse en la ley de Faraday (Ec. 34-13) obtenemos entonces 3(277 r)
, dB dt
dt
Resolviendo para E y tomando otra vez las magnitudes, encontramos dB dt
£
R2 r
(34-17)
Un campo eléctrico se induce en este caso, incluso en puntos que están muy por afuera del campo magnético (variable), resultado importante que permite construir transformadores (Sec. 37-5). Si r = 12.5 cm, la ecuación 34-17 nos da £ = 4 (0.13 T/s) ■ = 3.8
X
.5 X 10 2 m ) 2
12.5
X
10 2 m
10~3 V/m = 3.8 mV/m.
Como debe ser, las ecuaciones 34-16 y 34-17 dan el mismo re sultado con r = R. La figura 34-17 incluye una gráfica de £ (r) basada en las dos ecuaciones precedentes.
©
©
b) a) 3 4 -1 s . a) Las puntas de un voltímetro están conectadas en una región donde hay un campo eléctrico producido por las cargas. La integral E • d s alrededor de la trayectoria cerrada constituida por los conductores y el voltímetro, da cero, por lo cual éste indica cero, b) Ahora los conductores rodean un solenoide donde la corriente está cambiando. La lectura del voltímetro no es cero, a pesar de estar conectadas las puntas. F ig u r a
F ís u s a
3 4-1 7.
El
e n e l p r o b l e m a re su el t o
c a m p o e l é c t r i c o i n d u c i d o q u e se
34-6.
encontró
El betatrón* E l betatrón es un dispositivo que acelera electrones (llam ados tam bién partículas beta) h asta altas velocidades, sirviéndose para ello del cam po m agnético producido p or un cam po m agné tico variable. Las energías norm ales de ellos son 50 a 100 MeV. Estos electrones de alta energía se em plean en la investigación básica de la física, lo m ism o que en la producción de rayos X, para la investigación ap licada en la in d u stria y p ara fines m é dicos com o el tratam iento del cáncer. L a figura 3 4 -18a m u estra u n a sección transversal de la estructura interna de una betatrón. E l cam po m agnético, cuya form a depende de las piezas polares M hechas con m aterial m agnético, puede variarse m odifican d o la corriente en las b o binas. L os electrones circulan en el tu b o al vacío en form a de rosquilla. Las bobinas tran sp o rtan una corriente alterna y crean el cam po m agnético que aparece en la figura 34-18A P ara que los electrones circulen en la d irección señalada (en sentido contrario al de las m anecillas del reloj visto desde arriba), es necesario que el cam po m agnético apunte hacia arriba (direc ción que suponem os p ositiva). E l cam po variable debe tener d B /d t > 0, así que d
roblema
R
esuelto
3 4 - 1 7 . En un betatrón de 100 MeV, el
radio orbital r mide 84 cm. El campo magnético en la región delimi tada por la órbita se eleva periódicamente (60 veces por segundo) de cero a un valor máximo promedio ¿?pr0 m = 0.80 T en el interva * Una reseña de los avances y de las aplicaciones de betatrones y de dispositi vos similares se da en “Ultra-high-current Electron Induction Accelerators” de Chris A. K a p e t a n a k o s y Phillip S p r a n g l e , Physics Today, febrero de 19S5, p. 58.
a)
lo de aceleración de un cuarto de periodo, o sea 4.2 ms. a) ¿Cuánta energía adquiere el electrón en un recorrido normal alrededor de su órbita en este flujo variable? b) ¿Cuál es la velocidad promedio de un electrón durante su ciclo de aceleración? Solución a) Durante el intervalo de aceleración el flujo central pa sa de cero a un máximo de = (Spro = (0.80 T)( tt)(0.84 m)2 = 1.8 Wb. Así pues, el valor promedio de d<í>B/d t durante el intervalo de ace leración es d$B dt
1.8 Wb = 430 Wb/s. 4.2 x 1CT3 s
Según la ley de Faraday (Ec. 34-3), este valor es también la fuerza electromotriz promedio en volts. Por tanto, el electrón incrementa su energía en un promedio de 430 eV por revolución durante este flujo variable. Para alcanzar su energía final completa de 100 MeV, ha de efectuar unas 230,000 revoluciones dentro de su órbita, una longitud total de trayectoria de 1200 km aproximadamente. b) La longitud del ciclo de aceleración está dada por 4.2 ms y la de la trayectoria antes calculada es de 1200 km. Por tanto, la velocidad promedio es 1200 X 103 m = 2.86 4.2 X 1CT3 s
X
108 m/s.
Esta velocidad es 95% de la luz. La velocidad real de un electrón completamente acelerado es 99.9987% de la velocidad de la luz cuando alcanza su energía definitiva de 100 MeV.
3 4 . - 7 LA INDUCCIÓN Y EL MOVIMIENTO RELATIVO (opcional) E n la sección 33-6 expusim os la idea de que la clasificación de los efectos electrom agnéticos en p u ram ente eléctricos o p uram en te m agnéticos se basaba en el m arco de referencia del observador. P o r ejem plo, lo que parece ser un cam po m agnético en un m arco de referencia quizá p arezca una m ez cla de cam pos eléctricos y m agnéticos en otro. D ebido a que
b)
co n t rar ia a la d e las m a n e c i l l a s d e l rel oj
d e las manecillas d e l rel oj
F i g u r a 3 4 - 1 3 . a) Sección transversal de un betatrón, que muestra la órbita de los electrones acelerados y una instantánea del campo magnético en cierto momento del ciclo. Las bobinas producen el campo magnético C y lo moldean las piezas de polo magnético M. Los electrones circulan dentro del tubo de cerámica D en forma de rosquilla y al vacío. Los electrones giran perpendicularmente al plano de la figura, entrando por la derecha y saliendo por la izquierda, b) Variación con el tiempo del campo magnético del betatrón durante un ciclo.
la fuerza electrom otriz de m ovim iento está determ inada p o r la velocidad del objeto que se desplaza p o r el cam po m agnético, evidentem ente depende del m arco de referencia del observador. Otros observadores en distintos m arcos m edirán u na velocidad y diferentes intensidades del cam po m agnético. Es, pues, in dispensable calcular las fuerzas electrom otrices y las co rrien tes inducidas para especificar el m arco del observador. E n la figura 34-19a se ve una espira cerrada, que un agen te extem o (no m ostrado) hace que se desplace a una velocidad v respecto al im án que produce un cam po uniform e B en una re gión. U n observador S está en reposo respecto al im án co n que se crea el cam po B. En este caso, la fuerza electrom otriz indu cida es una fu erza electrom otriz de m ovim iento porque la espi ra conductora se desplaza en relación con el observador. Supongam os un portador de carga p ositiva en el extrem o izquierdo de la espira. Para el ob serv ad o r S, esta carga q se ve obligada a m overse po r el cam p o B , co n una v elo cid ad v , hacia la derecha, a lo largo de la espira; experim enta una fu er za m agnética dada por F = q v X B (que no aparece en la Fig. 3 4 -19a). E sta fuerza ocasiona que los portadores asciendan (en dirección y) a lo largo del conductor; con el tiem po ad quieren la velocidad de deriva v d, com o se indica en la fig u ra 3 4 -19a. L a velocidad resultante de equilibrio de los portad o res es ahora Y , o sea la sum a vectorial de v y v d. En esta situación la fuerza m agnética es qV X
( 3 4 - 1 8 )
que (com o de costum bre) actúa en ángulos rectos con la ve locid ad v resultante del portador, según se aprecia en la figu ra 3 4 -19a. C om o opera sola, la fuerza F fi tendería a em pujar los p ortadores a través de la pared izquierda del conductor. C om o esto no sucede, la pared ha de ejercer una fuerza norm al N so b re estos portadores (Fig. 34-19a) de m agnitud tal que v d es p aralela al eje del alam bre; en otras palabras, Ñ cancela exac tam ente el com ponente horizontal de WB, dejando sólo el com ponente F b eos 6 que se encuentra en la dirección del conductor. E ste últim o com ponente de fuerza en el portador tam bién es cancelado ahora p o r la fuerza F¡ asociada a las colisiones in ternas que experim enta el portador al desplazarse con una ve locid ad (constante) vd a través del alam bre. L a energía cinética del portador de carga al desplazarse p o r el alam bre no cambia. Esto concuerda con el hecho de que la fuerza resultante que opera sobre el portador de carga ( = F g + F ¡ + N ) es cero. El trabajo efectuado por es cero porque las fuerzas m agnéticas, las cuales operan en ángulos rectos con la velocidad de una carga en m ovim iento, no pueden rea lizar trabajo en ella. Así pues, el trabajo (positivo) efectuado en el portador p o r la fuerza N debe cancelar exactam ente el trabajo (negativo) hecho en la portadora por la fuerza de coli sión interna prom edio F ¿. En últim a instancia, el agente que em puja la espira a través del cam po m agnético sum inistra N; la energía m ecánica entregada por este agente aparece com o energía interna en la espira, según vim os en la sección 34-4. C alculem os ahora el trabajo d W que la fuerza N efectúa en el po rtad o r durante el tiem po di. dW = N (v d t),
(34-19)
donde v dt es la distancia que la espira (y el portador) ha re co rrido a la derecha de la figura 3 4 -19a en el tiem po dt. P o dem os escrib ir p ara N (Ec. 34-18 y Fig. 3 4 -19a) N = F b sen 6 = (qV B )(vd/V ) = q B v¿ .
(34-20)
Al sustituir la ecuación 34-20 en la ecuación 34-19, obtenem os d W = (qB vd)(v dt) = (qBv){vá dt) = q B v d s, (34-21) d onde d s ( = vd dt) es la distancia que el p ortador se desplaza a lo largo del conductor en el tiem po dt. E l trabajo realizado en el portador cuando éste recorre un circuito com p leto de la espira se calcula integrando la ecua ción 34-21 alrededor de la espira y es d W = qBvD.
W
F i g u r a 3 4 . - 1 9 . Una espira conductora cenada está en movimiento respecto a un imán que produce el campo B. ct) Un observador fijo respecto al imán, ve la espira desplazarse a la derecha y la fuerza magnética FB eos &actuar hacia arriba sobre los portadores de carga positiva, b) Un observador S' fijo respecto a la espira, ve el imán dirigirse hacia la izquierda y una fuerza que opera hacia arriba sobre los portadores de carga positiva. En ambas figuras hay fuerzas internas de colisión (no mostradas) que impiden acelerar a los portadores.
( 3 4 - 2 2 )
Se llega a esta conclusión porque las contribuciones del tra bajo en la parte superior e inferior de la espira presentan signo contrario y se cancelan, y no se realiza trabajo en las p o rcio nes que están fuera del cam po m agnético. U n agente qu e efectúa trabajo en los portadores de carga, creando así un a corriente en una espira conductora cerrada, p uede considerarse com o una fuerza electrom otriz. P o r m edio de la ecuación 3 4 - 2 2 encontram os W qBvD cg
=
.—
q
=
--------------- =
q
S D V j
( 3 4 - 2 3 )
el m ism o resultado que obtuvim os de la ley de inducción de F araday (Ec. 34-6). A sí pues, un a fuerza electrom otriz de m o vim iento está co n ectad a estrecham ente a la deflexión lateral de una partícula cargada que se desplaza a través de un cam po m agnético. A con tinuación verem os cóm o se vería la situación d es crita en la figura 3 4 -19a un observador S ', que se h alla en re p o so respecto a la espira. P ara él, el im án se dirige a la izquierda de la fig u ra 3 4 -19b con un a velocidad —v y la car ga q no se m ueve en la d irección x ' con la espira, sino que se d esplaza en d irección de las m anecillas del reloj alrededor de la espira. El observador S ' m ide una fuerza electrom otriz %', la cual desde el p u n to de vista m icroscópico se exp lica p ostulan do que un cam po eléctrico E ' se induce en esta espira p o r la acción de un im án en m ovim iento. L a fuerza electrom otriz %' se relacio n a con E ' p o r m edio de la ecuación 34-12,
u n cam po eléctrico E ' y atribuye la fuerza en la carga (inicial m ente en reposo respecto a 5 ') al cam po eléctrico. S dice que la fu erza es de origen m agnético en su totalidad, en tanto que p ara S ' es en teram ente de origen eléctrico. D esde el punto de vista del o b servador S, la fuerza electrom otriz inducida está d ad a p o r
(34-27)
v arios observadores hacen distintas evaluaciones de E , B y de v , pero cuando se com binan, todos ellos llegan a una mism a ev alu ació n de F / q y todos o btienen el m ism o valor de la fuer za electrom otriz inducida en la espira (que depende exclusi v am en te del m ovim iento relativo). D icho de otra m anera, la fuerza total (y, en consecuencia, la aceleración total) es la m ism a p ara todos los observadores, sólo que cada uno rea liza u n a estim ación p ropia de las fuerzas eléctricas y m agné ticas separadas que constituyen una fuerza total idéntica. H e aq u í el punto esencial: lo que a un observador le pa rece un cam po m agnético a otro puede parecerle una mezcla de cam po eléctrico y m agnético en otro m arco de referencia in ercial. Pero am bos observadores coinciden en el resultado global m ensurable: la corriente en la espira en ei caso de la fi g ura 34-19. Nos vem os obligados a concluir que los campos m ag n ético y eléctrico n o son independientes entre sí y que no tien en existencia individual; dependen del m arco inercial, co n clu sió n a la que llegam os en la sección 33-6. E n todos los resultados de esta sección se supone que la velocidad relativa entre S y S' es pequeña com parada con la de la lu z c. Si v tiende a c, hay que aplicar el conjunto apro piad o de transform aciones relativistas. E n este caso podría m os descubrir que las fuerzas electrom otrices inducidas m ed id as p o r am bos observadores ya no son iguales y que el cam po eléctrico inducido no está dado p o r la ecuación 34-27. P ero si definim os rigurosam ente todas las m agnitudes en una fo rm a relativista adecuada, com probarem os una vez m ás que las leyes básicas del electrom agnetism o, entre ellas la de Fa raday, se cum plen en todos los m arcos de referencia inerciales.* E n efecto, tales consideraciones im p u lsaron a E instein a fo rm u lar la teoría especial de la relatividad; en la term inolo g ía de ella, decim os que las ecuaciones de M axw ell son inva rian tes respecto a la transform ación de L orentz. ■
N o hem os probado la ecuación 34-27, salvo en el caso espe cial de la figura 34-19; pese a ello es verdad en general, sin que im porte el ángulo en tre v y B. Interpretam os la ecuación 34-27 de la siguiente m anera. El observador S fijo resp ecto al im án se p ercata sólo de un cam po m agnético. P ara este observador, la fuerza proviene del m ovim iento de las cargas a través de B . T am bién el obser vador S' fijo en el p o rtad o r de carga advierte la presencia de
* Una explicación muy completa de las fuerzas electromotrices de movi miento en el caso de velocidades no necesariamente pequeñas comparadas con c se ofrece en “Application of Special Relativity to a Simple System in which a Motional emf Exists" de Murray D. Sirkis, American Journal of Phy sics, junio de 19S6, p. 538. Un estudio más exhaustivo sobre la transforma ción relativista de los campos eléctrico y magnético se da en Introduction to Special Relativity, de Robert Resnick (Wiley, 1968), capítulo 4.
E l cam po inducido E ', que tiene el m ism o origen que los cam pos inducidos m encio n ad o s en la sección 34-6, ejerce una fuerza E ' sobre el p o rta d o r de carga. El cam po inducido E ' que produce la corriente existe sólo en el extrem o izquierdo de la espira. (Al resolver la integral de la Ec. 34-12 alrededor de ella, las contribuciones a la integral hechas por el com ponente x ' de E ' se cancelan en los lados su perior e inferior, considerando que no existe una contribución de las partes de la espira que no se hallan en el cam po m agnético.) Así, por m edio de la ecuación 34-12 obtenemos %' = E 'D .
(34-25)
E n el m ov im ien to con velocidades pequeñas en com pa ración con la velo cid ad de la luz, las fuerzas electrom otrices dadas en las ecu ac io n e s 34-23 y 34-25 han de ser idénticas, porque el m o v im ien to rela tiv o de la espira y del im án es idéntico en los dos caso s que aparecen en la fig u ra 34-19. A l ig u alar esas relacio n es se ob tien e E 'D = B D v, o bien E ' = vB.
(34-26)
E n la figura 34-19&, el v ecto r E ' apunta hacia arriba a lo lar go del eje del extrem o izquierdo de la espira conductora, p o r ser ésa la dirección en que se o b se rv a q u e las cargas positivas se desplazan. Las d irecciones de v y B se observan claram en te en esta figura. V em os entonces que la ecuación 34-26 es com patible con la relació n vectorial m ás general E' = v X I.
t /P C I Ó N MÚLTIPLE L o s e x p e rim e n to s d e F a ra d a y L a ley d e inducción d e F a r a d a y 1. Un campo uniforme B perpendicular a una espira de alambre vana con el tiempo como se indica en la figura 34-20«. ¿Cuál de las gráficas de la figura representa mejor la corriente induci da en la espira en función del tiempo?
3 4 -1
3 4 .-2
F
ig u r a
3 4 -2 1
. Pregunta de opción múltiple 5.
6. La corriente que pasa a la derecha de la figura 34-2 varía como se aprecia en la figura 34-22«. ¿Qué gráfica de la figura 34-224 des cribe mejor la lectura del amperímetro en función del tiempo?
Una espira conductora flexible presenta la forma de un círculo con un radio variable. Esta espira se encuentra en un campo magnético uniforme perpendicular al plano de ella. Para mante ner una fuerza electromotriz constante % en ella, el radio r ha de variar con el tiempo conforme a A) r(í) °c V t. B) r(t) « t. D) r debe ser constante.
C) r(f)
fi. :
Una espira de alambre flexible en forma de círculo tiene un ra dio que crece linealmente con el tiempo. Hay un campo magné tico perpendicular al plano de ella cuya magnitud es inversamente proporcional a la distancia de su centro, B{r) « l/ r . ¿Cómo va ría con el tiempo la fuerza electromotriz 1 ? C) % « Vi B) % a í A) % a rD) % es constante. 4. El flujo magnético que pasa a través de una espira de alambre cambia por A<í>fi en un tiempo A t. El cambio de flujo A<Í>B es proporcional a A) la corriente del alambre. B) la resistencia del alambre. C) la carga neta que fluye por una sección transversal del alambre. D) la diferencia de potencial entre dos puntos fijos del alambre. 3 4 -3 L ey d e L en z 5. Se deja caer un imán de barra a través de una espira de alambre. ¿Cuál gráfica de la figura 34-21 describe mejor cómo la corriente de la espira varía con el tiempo? Suponga que una corriente ne gativa se refiere a una corriente que fluye en dirección inversa.
7. El alambre largo y recto de la figura 34-23 transporta una co rriente i hacia la derecha. ¿Qué dirección sigue la corriente in ducida en la espira de alambre? A) La dirección de las manecillas del reloj B) La dirección contraria a las manecillas del reloj C) No hay comente inducida.
8. El alambre largo y recto de la figura 34-23 lleva una comente i hacia la derecha que crece con el tiempo. ¿Qué dirección tiene la corriente inducida en la espira de alambre? A) La dirección de las manecillas del reloj B) La dirección contraria a la de las manecillas del reloj C) No hay corriente inducida. 9. El alambre largo y recto de la figura 34-23 transporta una co rriente i que disminuye linealmente con el tiempo. En el tiempo t la corriente es cero y luego empieza a aumentar linealmente en otra dirección. ¿Qué dirección sigue la corriente inducida en la espira del alambre? A) La dirección de las manecillas del reloj B) La dirección contraria a la de las manecillas del reloj C) La corriente inducida arranca en una dirección, pero en tiempo t se detiene y luego empieza a fluir en la otra di rección. D) No existe corriente inducida. 10. El alambre largo y recto de la figura 34-24 lleva hacia la dere cha una corriente i que crece con el tiempo. ¿Qué dirección tie ne la corriente inducida en la espira circular de alambre, que se halla en un plano perpendicular a él? A) La dirección de las manecillas del reloj vista desde la derecha B) La dirección contraria a la de las manecillas del reloj vista desde la derecha C) No hay comente inducida
F
ig u r a
3 4 - 2 4 . Pregunta de opción múltiple 10.
3 4 - 4 F u e rz a e le c tro m o triz d e m o v im ie n to 11. Considere de nuevo el alambre recto y la espira de la figura 3423. Transporta una corriente i hacia la derecha. a) Una fuerza extema tira directamente de la espira hacia arri ba. ¿Cuál es la dirección (si la hay) de la corriente inducida en la espira? A) La dirección de las manecillas del reloj B) La dirección contraria a la de las manecillas del reloj C) No existe corriente inducida. b) Mientras la fuerza extema tira de la espira hacia arriba, ¿qué dirección sigue (si la hay) la fuerza magnética en la espira? A) Hacia arriba B) Hacia abajo C) Hacia la izquierda D) No hay fuerza magnética. c) Si, en cambio, la fuerza extema jala de la espira hacia la iz quierda, ¿cuál es la dirección (si la hay) de la corriente induci da en ella? A) La dirección de las manecillas del reloj B) La dirección contraria a la de las manecillas del reloj C) No existe corriente inducida.
3 4 -5
G e n e ra d o re s y m o to re s
12. Una persona utiliza un generador manual para encender una lámpara de resistencia constante. Al reducirse la rapidez con que gira la manivela, ¿cuál de las siguientes magnitudes dismi nuirá? A) La fuerza electromotriz B) La corriente C) La frecuencia D) Dos de las anteriores E) Todas las anteriores 13. Considere el generador de una bicicleta sujeto a una rueda y co nectado a una lámpara de resistencia constante. Si se duplica la velocidad del pedaleo, la salida de su potencia A) no se alterará. B) se duplicará. C) aumentará en un factor de cuatro. D) aumentará en un factor de ocho. 14. ¿Tiene un motor eléctrico una resistencia efectiva mayor cuan do está detenido o cuando gira? A) Cuando gira B) Cuando está detenido C) La resistencia efectiva es igual en ambos casos. 15. En igualdad de condiciones, ¿tenderá usted a “quemar" el mo tor de arranque de su automóvil, si el acumulador está sobrecar gado o subcargado? A) Si el acumulador está sobrecargado B) Si el acumulador está subcargado C) En este caso no tiene importancia la carga del acumulador. 3 4 - s C a m p o s e lé c tric o s in d u c id o s 16. El campo magnético en una región del espacio está dado por B = (0.001 T /s 2)f2I cuando — 2 s £ t ^ 2 s. ¿Qué dirección tiene el campo eléctrico inducido cuando t = Os? A) Paralela al eje x B) Paralela al eje y C) El campo eléctrico está en círculos centrados en el ejex D) No hay campo eléctrico inducido cuando t = 0 s. 17. La comente en un solenoide infinitamente grande crece lineal mente en función del tiempo. a) El campo eléctrico dentro del solenoide A) tiene la forma de círculos centrados en el eje del sole noide. B) es paralelo al eje del solenoide. C) se dirige radialmente hacia afuera del eje del cilindro. D) es cero. b) La magnitud del campo eléctrico fuera del solenoide A) Es uniforme y no cero. B) Es radialmente simétrica, disminuyendo con la distan cia del solenoide. C) Es radialmente simétrica, aumentando con la distancia del solenoide. D) Es cero. 18. Un alambre largo y recto transporta una comente que disminu ye linealmente con el tiempo. ¿Qué dirección tiene fuera del campo la corriente eléctrica inducida? A) Paralelo a la corriente B) Opuesto a la corriente C) Apunta radialmente hacia afuera del alambre D) Apunta radialmente hacia dentro del alambre E) No existe campo eléctrico inducido fuera del alambre.
'REGUNTAS Demuestre que 1 volt = 1 weber/segundo. ¿Son en alguna forma las fuerzas electromotrices y las com en tes diferentes a las generadas por una batería conectada a una espira conductora? 3 . ¿El tamaño del voltaje inducido en una bobina por donde se mueve un imán se ve afectado por la intensidad de éste? De ser así, explique de qué manera. 4. Con sus propias palabras explique la diferencia entre un campo magnético B y el flujo de un campo magnético
11. En un solenoide largo, ¿una fuerza electromotriz es inducida por un imán de barra que se mueve en el interior a lo largo de un eje del solenoide? Explique su respuesta. 12. Dos espiras conductoras están una frente a otra, separadas por una distancia d, como se indica en la figura 34-27. Un observa dor está viendo en su eje común de izquierda a derecha. De re pente, una batería, que no aparece en la figura genera una corriente i en dirección de las manecillas del reloj en la espira más grande, a) ¿Qué dirección sigue la corriente inducida en la espira más pequeña? b) ¿Cuál es la dirección de la fuerza (si la hay) que opera sobre esta última?
nf
y
li
M — d— F
ig u r a
34 -2 7.
Pregunta 12.
13. ¿Cuál es la dirección de la corriente inducida en la bobina Y de la figura 34-28 a) cuando ésta se dirige hacia la bobina XI b) cuan do la corriente en la bobina X disminuye sin ningún cambio en las posiciones relativas de las bobinas?
ZT\_ vjy
F
10. La figura 34-26 muestra un anillo de cobre colgado del techo por medio de dos hilos. Describa en detalle cómo podría apro vechar al máximo un imán de barra para lograr que el anillo os cile de un lado al otro.
ig u r a
34 -2 3.
Pregunta 13.
Alejamos de un anillo de cobre el polo norte de un imán, como se muestra en la figura 34-29. ¿Qué dirección tiene la corriente en la parte del anillo más distante del lector?
15. Una espira circular se desplaza con velocidad constante por re giones donde campos magnéticos uniformes de la misma magni tud se dirigen hacia adentro y afuera del plano de la página, como se ve en la figura 34-30. ¿En cuál de las siete posiciones indica das la corriente inducida a) estará en la dirección de la manecillas del reloj, b) en dirección contraria a ellas y c) será cero?
F ig u r a .
3 4 - 3 0 . Pregunta 15.
po? Es este polo norte efectivo de la bobina, e) ¿Cómo los elec trones de la bobina que contiene a i? se enteran del flujo dentro de la bobina larga? ¿Qué es lo que realmente los mueve? 19. ¿Puede alguna vez una comente inducida crear un campo mag nético B que siga la misma dirección que el que la induce? Fun damente su respuesta. 20. ¿Cómo puede sintetizar en un enunciado todas las formas de determinar la dirección de una fuerza electromotriz inducida? 21. La espira de alambre que se describe en la figura 34-34 gira con una velocidad angular constante alrededor del eje x. Hay un cam po magnético uniforme B, cuya dirección es la del eje y positivo. ¿En qué partes de la rotación la comente inducida a) se dirige de P a Q, b) de O a P y c) ¿es cero? Repita la solución si se invierte la dirección de la rotación respecto a la que aparece en la figura.
16. Un solenoide corto que transporta una corriente estacionaria se dirige hacia una espira conductora según se muestra en la figu ra 34-31. ¿Cuál es la dirección de la comente inducida en la es pira cuando uno mira hacia ella como se indica?
F ig u r a
3 4 -3 1
. Pregunta 16.
17. Se está aumentado con rapidez constante la resistencia R en el circuito de la izquierda de la figura 34-32. ¿Qué dirección sigue, la corriente inducida en el circuito de la derecha?
22. En la figura 34-35, el segmento del alambre recto móvil se diri ge a la derecha con una velocidad constante v. Una comente in ducida aparece en la dirección señalada. ¿Cuál es la dirección del campo magnético uniforme (supuestamente constante y per pendicular a la página) en la región A l
-*i¡-------i
A
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v
¡ --u g u r a
3 4 - 3 2 . Pregunta 17. F ig u r a
18. ¿Qué dirección tiene la comente inducida a través del resistor R en la figura 34-33 a) inmediatamente después de cerrar el inte rruptor S, b) un poco después de cerrarlo y c) inmediatamente después de abrirlo? d) Cuando se mantiene cerrado el interrup tor, ¿por cuál extremo de la bobina larga salen las líneas de cam
3 4 - 3 5 . Pregunta 22.
23. Una espira conductora, la cual se muestra en la figura 34-36, se ex trae de un imán permanente tirando de ella verticalmente hacia arriba, a) ¿Qué dirección tiene la comente inducida? b) ¿Se re quiere una fuerza para sacar la espira? c) La cantidad total de ener gía interna producida depende del tiempo necesario para sacarla?
Una espira plana cerrada se coloca en un campo magnético unifor me. ¿En qué formas podemos moverla sin inducir una fuerza elec tromotriz. Suponga movimientos de rotación y de traslación. Una tira de cobre se monta en un péndulo alrededor de O en la figura 34-37. Puede oscilar libremente a través de un campo magnético normal a la página. Si la tira tiene ranuras como se muestra, podrá oscilar libremente en el campo. Si se sustituye por una tira sin ranuras, el movimiento queda muy amortiguado (iamortiguamiento magnético). Explique estas observaciones. (Su gerencia: aplique la ley de Lenz; tenga en cuenta las trayectorias que los portadores de la tira han de seguir para poder oponerse al movimiento.)
F ig u r a
3 4 - 3 7 , Pregunta 25.
Considere una hoja conductora situada en un plano perpendicu lar a un campo magnético B, como se muestra en la figura 3438. a) Si B cambia de pronto, el cambio total de B no se detecta de inmediato en los puntos cercanos a P (blindaje electromag nético). Explique esto, b) Si la resistividad de la hoja es cero, el cambio nunca se detectará en el punto P. c) Si B cambia perió dicamente a alta frecuencia y si el conductor está hecho de un material de baja resistividad, la región cercana a P casi está blindada completamente contra las variaciones del flujo. Expli que esto, d) ¿Por qué el conductor no tiene utilidad como blin daje contra los campos magnéticos estáticos?
H o ja c o n d u c to ra
F ig u r a
3 4 -3 8 .
Pregunta 26.
a) En la figura 34-15¿>, ¿necesita el círculo de radio r ser una es pira conductora a fin de que existan E y %! b) Si el círculo de radio r no fuese concéntrico (desplazado un poco hacia la iz quierda, por ejemplo), ¿cambiaría ‘8? ¿Se modificaría la confi guración de E alrededor del círculo? c) En un círculo concéntrico de radio r, con r > R, ¿hay una fuerza electromo triz? ¿Existen campos eléctricos?
Un anillo de cobre y otro de madera, con las mismas dimensio nes, se colocan de modo que en ambos se produzca el mismo flujo magnético cambiante. Compare los campos eléctricos in ducidos en ellos. 29. Un avión cruza en vuelo plano sobre Alaska, donde el campo magnético de la Tierra cuenta con un gran componente hacia abajo. ¿Cuál de los extremos de sus alas (derecho o izquierdo) tiene más electrones? 30. En la figura 34-15¡i, ¿cómo pueden ser idénticas las fuerzas electromotrices inducidas alrededor de las trayectorias 1 y 2? Los campos eléctricos inducidos son mucho más débiles cerca de la trayectoria 1 que de la trayectoria 2, como se observa en el espaciamiento de las líneas de campo. Véase también la figu ra 34-17. 3 1 . Demuestre que, en el betatrón de la figura 34-18, la dirección de las líneas de B está trazada correctamente para que coincida con la de la circulación mostrada de los electrones. 3 2 . La figura 34-29a ofrece una visión desde arriba de la órbita de los electrones en un betatrón. Los electrones son acelerados en una órbita circular dentro del plano xy y luego son retirados pa ra golpear el blanco T. El campo magnético B se encuentra en el eje z (el eje z positivo está hacia afuera de la página). El cam po magnético B, en ese eje varía senoidalmente como se indica en la figura 34-39b. Recuerde que el campo magnético debe i) guiar los electrones en su trayectoria circular y ii) generar el campo eléctrico que acelere los electrones. ¿Cuál cuarto o cuar tos de ciclo en la figura 34-39b son idóneos á) de acuerdo con i), b) de acuerdo con ii) y c) en la operación del betatrón?
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7
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3 4 -3 9 .
Pregunta 32.
33. En el betatrón de la figura 34-18, ¿por qué el núcleo de hierro del imán está hecho de hojas laminadas y no de un metal sólido como el ciclotrón de la sección 32-3? 34. En la figura 34-19a vemos que una fuerza (FB eos 6) actúa so bre los portadores de carga en la rama izquierda de la espira. Pero para que haya una corriente continua en ella — y la hay—■,algu na clase de fuerza ha de operar sobre los portadores en las tres ramas restantes si queremos mantener la misma velocidad de deriva vd en ellas. ¿Cuál es su origen? (Sugerencia: suponga que la rama izquierda de la espira es el único elemento conductor y que los tres restantes no lo son. ¿No se acumularía una carga po sitiva en la parte superior de la mitad izquierda y una carga ne gativa en la parte inferior?)
Í S je r c ic io s ^ 3 4 -1
experimentos de F a r a d a y ley de inducción de F a r a d a y
L os
3 4 -2 L a
a í = 2 s; í = 2 s a / = 4 s; c) í = 4 s a f = 8 s. El campo magnético (uniforme) es perpendicular al plano de la espira.
1. En cierto lugar del hemisferio norte, el campo magnético de la Tierra tiene una magnitud de 42 ¿¡.T y apunta hacia abajo a 57° con la vertical. Calcule el flujo que pasa por una superficie ho rizontal de 2.5 m2 de área (Fig. 34-40).
t (s) F ig u r a
2. Una antena circular de televisión UHF tiene un diámetro de 11.2 cm. El campo magnético de una señal de televisión es normal al pla no de la espira y en un instante su magnitud cambia con una ra pidez de 157 m T/s. El campo es uniforme. Calcule la fuerza electromotriz de la antena. 3 4 -3 L ey d e L en z
3. En la figura 34-41, el flujo magnético en la espira mostrada cre ce conforme a la relación = (6 m W b /s2)r2 + (7 mWb/s)f. a) ¿Qué valor absoluto tiene la fuerza electromotriz inducida en la espira cuando t = 2.0 s? tí) ¿Cuál es la dirección de la corrien te que pasa por el resistor?
34-4-2.
Ejercicio
4.
5. Un campo magnético uniforme es perpendicular al plano de una espira circular de 10.4 cm de diámetro, hecha de alambre de co bre (diámetro = 2.50 mm). a) Calcule la resistencia del alambre (Tabla 29-1). b) ¿A qué velocidad debe cambiar el campo mag nético con el tiempo para que en la espira aparezca una fuerza inducida de 9.66 A? 6. Una antena de superficie A y de resistencia R es perpendicular a un campo magnético uniforme B. Éste disminuye linealmente a cero en el intervalo At. Encuentre una expresión de la energía interna total que se disipa en la espira. 7. Suponga que la corriente en el solenoide del problema resuelto 34-1 cambia ahora, no en ese problema, de acuerdo con i = (3.0 A /s)/ + (1.0 A /s2)/2. a) Grafique la fuerza electromotriz indu cida en la bobina de / = 0 ¡i / = 4 s. b) La resistencia de la bo bina es 0.15 Í2. ¿Cuál es la comente en la bobina en í = 2.0 s? 8. En la figura 34-43, una bobina de 120 vueltas con un radio de 1.8 cm y con una resistencia de 5.3 Í1 se pone fuera de un sole noide como el del problema resuelto 34-1. Si la corriente en el solenoide se modifica como en el problema, á) ¿qué corriente aparece en la bobina mientras se modifica la corriente de él? b) ¿Cómo los electrones de conducción de la bobina “reciben el mensaje” del solenoide de que deben moverse para crear una corriente? Después de todo, el flujo magnético está confinado enteramente al interior del solenoide.
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34-4-0.
Ejercicios 3 y 11.
4. El campo magnético en una espira de una vuelta con 16 cm de radio y con 8.5 f l de resistencia cambia con el tiempo según se muestra en la figura 34-42. Calcule la fuerza electromotriz de la espira en función del tiempo. Suponga intervalos de tiempo a) t = 0
ig u r a
3 4 - 4 3 . Ejercicios.
9. Recibe 52.5 cm de alambre, de cobre (diámetro = 1 .1 0 mm). El alambre forma una espira circular y se pone en ángulos rectos con un campo magnético uniforme que crece con el tiempo a una velocidad constante de .9.82 m T/s. ¿Con que rapidez se ge nera la energía interna en la espira? 10. Una espira cuadrada de alambre con 2.3 m de lado es perpendicu lar a un campo magnético uniforme, con la mitad del área de la espira perpendicular a él como se ve en la figura 34-44. La es
pira contiene una batería de 2.0 V con una resistencia interna in significante. Si la magnitud del campo varía con el tiempo se gún B = (0.042 T) — (0.87 T /s )t, ¿cuál es la fuerza electromotriz total del circuito? © G 0 Q © 3 Q © * 3 Q
F ig u r a
3 4-44.
E je r c ic io
10.
po con una velocidad constante de 100 rev/min; el ángulo entre la normal y la dirección del campo (30°) permanece inalterada du rante el proceso. ¿Qué fuerza electromotriz aparece en la espira? 16. La figura 34-46 muestra una varilla conductora de longitud L que es jalada en carriles conductores horizontales sin fricción, a una velocidad constante v.Un campo magnético uniforme y ver tical B llena la región donde se desplaza la varilla. Suponga que L — 10.8 cm, v = 4.86 m /s y B = 1.18 T. a) Determine la fuer za inducida en la varilla, b) Calcule la comente en la espira con ductora. Suponga que la resistencia de la varilla es 415 m il y que la resistencia de los carriles es insignificantemente pequeña, c) ¿A qué velocidad crece su energía interna? d) Encuentre la fuerza que ha de aplicar un agente extemo a la varilla para man tenerla en movimiento, e) ¿Con qué velocidad esta fuerza efec túa trabajo en ella? Compare esta respuesta con la de c).
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11. En la figura 34-41, supongamos que el flujo en la espira es í>fl(0) en el tiempo t = 0. Después supongamos que la magni tud y la dirección del campo magnético B varían en forma con tinua pero inespecífica; así que en el tiempo t, el flujo está presentado por ®B(f). a) Demuestre que la carga neta q{t) que cruza por el resistor R en el tiempo t es q(t) =
[$*(0) - ®B(Ü],
independientemente de cómo haya cambiado B. b) Si <í>B(f) =
34-4 Fuerza electromotriz de movimiento 14. Un automóvil con una antena de radio de 110 cm de largo va a 90 km /h en una región donde el campo magnético es 55 /¿T. Calcu le el valor máximo posible de la fuerza electromotriz inducida. 15. Una espira circular de alambre, con un diámetro de 10 cm, se co loca con su normal formando un ángulo de 30° con la dirección de un campo magnético uniforme de 0.50 T. Se tambalea de manera que su normal gira en un cono alrededor de la dirección del cam-
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Ejercicio 16.
34-4 6 .
17. En la figura 34-47, una varilla conductora de masa m y de lon gitud L se desliza sin fricción por dos carriles horizontales lar gos. Un campo magnético uniforme vertical B llena la región donde la varilla se mueve libremente. El generador G suminis tra una comente i que fluye hacia abajo del carril, que atraviesa la varilla y retorna al generador a través del otro carril. Un estu diante lo vigila, ajustándolo continuamente para que la corrien te'producida sea constante sin importar la carga. Calcule la velocidad de la varilla en función del tiempo, suponiendo que ésta se encuentra en reposo en t = 0. 0
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3 4 -4 7 .
Ejercicios 17
y
18.
18. En el ejercicio 17 (Fig. 34-47), se reemplaza el generador G por una batería que aporta una fuerza electromotriz constante %. a) Demuestre que ahora la velocidad de la varilla se aproxima al valor terminal constante v, dando su magnitud y su dirección. b) ¿Cuál es la corriente en la varilla cuando se alcanza esta ve locidad terminal? c) Analice esta situación y la del ejercicio 17 desde el punto de vista de las transferencias de energía. 19. Se jala rápidamente un pequeño imán de barra a través de su es pira conductora, a lo largo de su eje. Dibuje cualitativamente a) la comente inducida y b) la rapidez con que se produce la energía interna en función de la posición del centro del imán. Suponga que su polo norte entra primero en la espira y que el imán se mueve con velocidad constante. Grafique como positi va la comente inducida sí sigue la dirección de las manecillas del reloj, vista en la trayectoria del imán. 20. En el arreglo del problema resuelto 34-4, haga B = 1.2 T y ?? = 5.3 cm. Si % = 1.4 V, ¿qué aceleración presentará un punto en el extremo de la varilla giratoria?
21 . En cierto lugar de la Tierra el campo magnético posee una mag nitud B = 59 ¿¿T y está inclinado hacia abajo en un ángulo de 70° con la horizontal. Una bobina circular horizontal y plana de alam bre con un radio de 13 cm tiene 950 vueltas y una resistencia to tal de 85 íl. Se le gira media revolución alrededor de un diámetro de modo que vuelva a quedar horizontal. ¿Cuánta carga fluye por ella durante esta maniobra? (Sugerencia: consulte el Ej. 11.) La figura 34-48 muestra una varilla de longitud L que hacemos moverse con una velocidad constante v a lo largo de carriles conductores. En este caso el campo magnético por donde se desplaza no es uniforme, sino que proviene de una corriente i en una alambre paralelo largo. Suponga que v = 4.86 m /s, a = 10.2 mm, L = 9.83 cm e í = 110 A. a) Calcule la fuerza elec tromotriz inducida en la varilla, b) ¿Cuál es la corriente que pa sa por la espira conductora? Suponga que la resistencia de la varilla es 415 m il y que la resistencia de los rieles es insignifi cante. c) ¿A qué velocidad crece la energía interna de la varilla? d) ¿Qué fuerza debe aplicar a la varilla extema un agente exter no para conservar su movimiento? e) ¿Con qué rapidez el agen te realiza trabajo en la varilla? Compare esta respuesta con c).
arranca del vértice en el tiempo t = 0 y con velocidad constante v se dirige a la derecha, como se ve en la figura 34-50. Un campo magnético B apunta hacia afuera de la página, a) Determine en función del tiempo la fuerza electromotriz inducida, b) Si 8 = 110°, B = 352 mT y v = 5.21 m /s, ¿cuándo será igual a 56.8 V?
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3 4-4 3.
34-3 0.
Ejercicio 24.
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Ejercicio 22.
s Generadores y motores 34' ■ 25 . La armadura de un motor tiene 97 vueltas, cada una con una su perficie de 190 cm2 y gira en un campo magnético de 0.33T. Se aplica una diferencia de potencial de 24 V. Si no se incorpora a un circuito y si se desprecia la fricción, obtenga la velocidad de rotación en estado de equilibrio. Un alambre rígido que se dobla para que forme un semicírculo de radio a se hace girar con una frecuencia/en un campo mag nético uniforme, como se muestra en la figura 34-51. ¿Cuáles son a) la frecuencia y b) la amplitud de la fuerza electromotriz inducida en la espira?
23. Una espira rectangular de alambre,, con una longitud a, un an
cho b y una resistencia R, se pone cerca de un alambre infinita mente largo que transporta la corriente i, como se muestra en la figura 34-49. La distancia entre él y la espira es D. Calcule a) el flujo magnético en la espira y b) la corriente en la espira a me dida que se aleja del alambre con una velocidad v.
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F ig u r a
3 4 - 4 3 . Ejercicio 23.
24. Dos caniles conductores rectos forman un ángulo 6 donde se unen sus extremos. Una barra conductora que está en contacto con los carriles y que forma un triángulo isósceles con ellos
34-5 1.
Ejercicio 26.
27. Un generador consta de 100 vueltas de alambre que forman una espira rectangular de 50 por 30 cm, colocada enteramente en un campo magnético uniforme con una magnitud B = 3.5 T. ¿Cuál es el valor máximo de la fuerza electromotriz producida cuando la espira se hace girar a 1000 revoluciones por minuto alrededor de un eje perpendicular a B? 28. Le han asignado el trabajo de diseñar un generador que produz ca una fuerza electromotriz de 150 V de amplitud, cuando gira a 60 rev/s en un campo magnético de 0.50 T. a) Si usara una es pira de una sola vuelta, ¿qué tamaño debe tener la superficie? b) Si en cambio utilizara una espira de 100 vueltas, ¿qué super ficie se requeriría?
29. La figura 34-52 muestra dos regiones circulares R x y R0 con los radios rx = 21.2 cm y r2 = 32.3 cm, respectivamente. En R x hay un campo magnético uniforme B x = 48.6 mT que entra en la pá gina y en i?, hay un campo magnético uniforme B7 = 77.2 mT que sale de ella (ignore los bordes de los campos). Ambos dis minuyen con una velocidad de 8.50 m T/s. Calcule la integral f E • d s en la tres trayectorias señaladas.
puesta, siempre que exista simetría radial alrededor del eje per pendicular a través de b.)
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3 4 - 5 2 . E jercicio 29.
30. Un solenoide largo tiene un diámetro de 12.6 cm. Cuando se hace pasar una corriente i por sus devanados, en su interior aparece un campo magnético uniforme B = 28.6 mT. Al reducir i, se hace que el campo disminuya con una rapidez de 6.51 m T /s. Calcu le la magnitud del campo eléctrico inducido a) a 2.20 cm y & )a 8.20 cm del eje del solenoide. __ 31. En la figura 34-53 se observa un campo magnético uniforme B encerrado en un volumen cilindrico de radio R. La magnitud de B decrece con una rapidez constante de 10.7 m T/s. ¿Qué ace leración (dirección y magnitud) instantánea experimenta un electrón situado en a, & y c? Suponga que r = 4.82 cm. (Los bordes necesarios del campo más allá de R no cambiarán su res
ig u r a
34 -S 3.
Ejercicio 31.
32. A comienzos de 1981, el Francis Bitter National Magnet Labora tory en el MIT inició la operación de un imán cilindrico de 3.3 cm de diámetro que producía un campo de 30 T, en ese tiempo el cam po de estado estacionario más grande del mundo. El campo puede variar senoidalmente entre los límites de 29.6 T y 30.0 T, con una frecuencia de 15 Hz. Cuando se hace esto, ¿cuál será el valor má ximo del campo eléctrico inducido a una distancia radial de 1.6 cm del eje? Este imán se describe en Physics Today, agosto de 1984. 3 4 -7
Inducción y el movimiento relativo
33. a) Calcule 0 en la figura 34-19. Recuerde que vd = 4 X 10~2 cm /s en un caso representativo. Suponga que v = 15 cm/s. b) es evidente que 6 será pequeño. No obstante, ¿hay que tener 9 # 0 para que sean válidos los argumentos aducidos en rela ción con esta figura?
BQBLEMAS La magnitud de un campo magnético uniforme B cambia con una velocidad constante dB/dt. Usted recibe una masa m de co bre que debe estirarse para hacer un alambre de radio r y formar una espira circular de radio R. Demuestre que la corriente indu cida en ella, no depende del tamaño del alambre ni del de la es pira y suponga que B es perpendicular a ella, está dada por ■—
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donde p es la resistividad y 8 la densidad del cobre. Una espira cerrada de alambre consta de un par de semicírculos idénticos, de 3.7 cm de radio, que se hallan en planos mutua mente perpendiculares. Se obtuvo doblando una espira circular a lo largo de un diámetro hasta que las dos mitades estuvieron perpendiculares. Un campo magnético uniforme B de 76 mT de magnitud se dirige perpendicularmente al diámetro doblado y forma ángulos de 62° y 28° con los planos de los semicírculos como se observa en la figura 34-54. Durante un intervalo de 4.5 ms se reduce a cero el campo magnético con una velocidad unifor me. Calcule la fuerza electromotriz inducida.
4 -.
Problema 2.
Se dobla un alambre para formar tres segmentos circulares de radio r = 10.4 cm, como se observa en la figura 34-55. Cada segmento es un cuadrante de un círculo: ab se halla en el plano xy, be, en el plano yz, y ca en el plano zx. o.) Si un campo mag nético uniforme B apunta en la dirección x positiva, obtenga la
fuerza electromotriz inducida en el alambre cuando B crece con una velocidad de 3.32 m T/s. b) ¿Qué dirección sigue la corrien te en el segmento bel
¡,-í g u b a
34 .-5 ia .
Problem as.
Un alambre conductor de longitud fija L puede enrollarse para que forme N vueltas circulares y usarse como la armadura de un generador. ¿Qué valor de N seleccionaría usted para conseguir la máxima fuerza electromotriz? En la figura 34-56, el cuadrado tiene lados de 2.0 cm de longi tud. Un campo magnético apunta hacia afuera de la página; su magnitud está dada por B = (4 T /m • s2)t2y. Determine la fuer za electromotriz alrededor del cuadrado cuando t = 2.5 s e in dique su dirección.
valor que en el eje. Supóngase que x aumenta con la rapidez cons tante dx/dt = v. a) Determine en función de x el flujo magnético en la superficie delimitada por la espira más pequeña, b) Calcule la fuerza electromotriz generada en ella, c) Determine la direc ción de la comente inducida que fluye en esta espira. Una espira circular hecha de material conductor elástico estirado tiene un radio de 1.23 m. Se pone en un plano formando ángu los rectos con un campo magnético uniforme de 785 mT. Cuando se suelta, su radio empieza a disminuir a una velocidad instan tánea de 7.50 cm /s. Calcule la fuerza electromotriz inducida en la espira en ese momento. La figura 34-58 contiene un “generador homopolar”, dispositi vo con un disco conductor sólido como rotor. Puede producir más fuerza electromotriz que el que utiliza rotores de espiras de alambre, pues gira con mucho mayor velocidad angular antes que las fuerzas centrífugas alteren el rotor, a) Demuestre que la fuerza electromotriz producida está dada por % = v f B R 2, d o n d e/es la frecuencia del giro, R el radio del rotor y B el cam po magnético uniforme perpendicular al rotor, b) Obtenga el par que debe suministrar el motor que lo hace girar cuando la co rriente de salida es i.
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34-5 6 .
Problema5.
La figura 34-57 muestra dos espiras paralelas de alambre que tie nen un eje común. La más pequeña (radio r) está arriba de la más grande (radio R), con una distancia x » R. En consecuencia, el campo magnético procedente de la corriente i en la espira más grande, es casi constante en toda la pequeña y tiene el mismo
9. Una varilla de longitud L>de masa m y de resistencia R se des liza sin fricción por carriles conductores paralelos de resistencia insignificante, según se aprecia en la figura 34-59. Los carriles están conectados entre sí en el fondo como se indica allí, for mando una espira conductora con la varilla como miembro de la parte superior. El plano de ellos forma un ángulo 6 con la hori zontal y un campo magnético uniforme B existe en toda la re gión. a) Demuestre que la varilla adquiere una velocidad terminal de estado estacionario cuya magnitud es , — msR V ~ B2L?
sen 6 eos2 6 ,
b) Demuestre que la velocidad con que crece la energía interna de la varilla es igual a la velocidad con que se pierde la energía potencial gravitacional. c) Explique la situación si B se dirigie se hacia abajo y no hacia arriba. 10. Un alambre, cuya superficie transversal mide 1.2 mm2 y cuya re sistividad es 1.7 X 10~s m se dobla para formar un arco circular de 24 cm de radio según se indica en la figura 34-60. Una lon gitud adicional de este alambre, OP, puede girar libremente al rededor de O y establecer un contacto deslizante con el arco en P. Finalmente, otra longitud recta de este alambre 0 0 completa el circuito. El arreglo está íntegramente situado en un campo mag nético B = 0.15 T que se dirige hacia afuera del plano de la fi gura. El alambre recto OP parte del reposo con 0 = 0 y tiene una aceleración angular constante de 12 rad /s2. a) Calcule la re sistencia de la espira OPOO en función de 6. b) Encuentre el flujo magnético a través de la espira en función de 6. c) ¿Con que valor de 9 se alcanza el valor máximo de la corriente indu cida en la espira? d) ¿Cuál es el máximo valor de la comente in ducida en la espira? © O
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3 4 - 6 2 . Problema 13.
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13. Pruebe que el campo eléctrico E en un capacitor de placas pa ralelas y con carga no puede disminuir abruptamente a cero al desplazarse en ángulos rectos con él, como lo indica la flecha en la figura 34-62 (vea el punto a). En los capacitores reales siempre hay efectos de bordes de las líneas de fuerza, lo cual significa que E se aproxima a cero en forma gradual y continua: compa re esto con el problema 11 del capítulo 33. (Sugerencia: aplique la ley de Faraday la trayectoria rectangular señalada por las lí neas punteadas.)
14. Un campo magnético uniforme B llena un volumen cilindrico de radio R. Una varilla metálica de longitud L se coloca como se ve en la figura 34-63. Si B varía a una velocidad dB/dt, de muestre que la fuerza electromotriz generada por el campo mag nético variable que opera entre los extremos de la varilla, está dada por
3 4 - 6 0 . Problema 10.
11. El freno de una comente electromagnética parásita es un disco de conductividad cr y de espesor t que gira alrededor de un eje que pasa por su centro, con un campo magnético B aplicado per pendicularmente al plano del disco en una superficie pequeña a2 (Fig. 34-61). Si la superficie dr se halla a una distancia r del eje, obtenga una expresión aproximada del par que tiende a dis minuir la velocidad del disco en el instante en que su velocidad angular es a).
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F ig u r a 3 4 - 6 1 .
Problema 11.
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12. Un alambre superconductor en forma de anillo de radio R no transporta inicialmente corriente alguna. Acercamos un imán a lo largo del eje del anillo y cambiamos en el flujo que pa sa por él. Demuestre que la corriente en el anillo está dada por o n ne-ar i = 2Rme A
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. ----------------------------------- ÍS=-
3 4 - 6 3 . Problema 14.
15. En un betatrón, el radio de la órbita de un electrón mide 32 cm y el campo magnético en ella está dado por Bórb = (0.28 T) sen (120?r s~ ')í. En el betatrón, el valor promedio Bpm del campo encerrado por la órbita es el doble del valor de Bórb en ella. a) Calcule el campo eléctrico inducido que experimentan los electrones cuando f = 0. b) Determine la aceleración de los electrones en este instante. No tenga en cuenta los efectos re lativistas.
/P ro blem a s para reso lv er POR COMPUTADORA 1. He aquí algunas mediciones del campo magnético máximo en función del radio de un betatrón: r (cm)
B (tesla)
r (cm)
B (tesla)
0 10.2 68.2 73.2 75.2
0.950 0.950 0.950 0.528 0.451
81.2 83.7 88.9 91.4 93.5
0.409 0.400 0.381 0.372 0.360
Demuestre por análisis gráfico que la relación 5 pro = 2Bérb mencionada en el problema 15 como esencial para el funciona miento del betatrón se satisface en la órbita de radio R = 84 cm. (Sugerencia: note que 1 Vro
ttR2
B{r)2Trrdr,
y evalúe la integral numéricamente.)
PROPIEDADES MAGNÉTICAS DE LOS MATERIALES
/ os m ateria les m agnéticos tienen una im portancia cada día m ayor en nuestra vida diaria. A lgunos, com o el hierro, que son im anes p erm anentes a tem peraturas ordina rias, se em plean com únm ente en los m otores eléctricos y generadores, lo m ism o que en ciertas clases de a lta voces. Otros p u ed en ‘'m a g n etiza rse ” o “d esm a g n etiza rse” con relativa fa cilid a d ; sirven para a lm acenar inform ación en las cintas m agnetofónicas m agnéticas (que se usan en las grabadoras y videocaseteras), los d is cos de com putadoras y las tarjetas de crédito. E xisten otros m ateria les que se asem ejan a los dieléctricos en que adquieren un cam po m a g n ético inducido en respuesta a un cam po m a gnético externo: el cam po inducido d e sa parece al elim inar el cam po externo. En este capítulo exam inam os la estructura interna de los m ateria les que da origen a las propiedades m a g néticas de éstos. M o stra m o s que el com portam iento de diferentes m ateria les m agnéticos se entiende a p a rtir de los m om entos dipolares m agnéticos de los átom os individuales. Un conocim iento com pleto de las p ropiedades m agnéticas exige un curso de m ecánica cuántica, el cual está fu e r a d el alcance de este libro, pero p u ed e lo g ra r se un conocim iento cu alitativo basado en los p rin cip io s expuestos en él. P o r último, estudiam os una fo r m a m a g nética de la ley de G auss, la cual tiene en cuenta la inexistencia aparente de p o lo s m agnéticos aislados.
3SM
E L M E O L O M A G N É T IC O
En los cam pos eléctricos estáticos, la carga individual aislada es la parte fundam ental. L as cargas individuales producen un cam po eléctrico y éste a su vez, generado p o r el grupo de car gas, es capaz de influir en el com portam iento de otras. C on base en esta interacción elem ental entre cargas eléctricas, pue den explicarse m uchos fenóm enos com unes: la fuerza que ejerce el núcleo en los electrones, la cual los m antiene unidos; la fuerza ejercida p or un átom o sobre otras m oléculas iónicas y sólidos; las fuerzas elásticas y de fricción, etcétera. En algunas m oléculas neutras conviene suponer que la interacción fundam ental se b a sa en el dipolo eléctrico (el cual, a su vez, puede analizarse com o dos cargas puntuales). H em os visto cóm o el dipolo pro d u ce u n cam po eléctrico (Sec. 26-3) y tam bién de qué m anera otros cam pos influyen en este cam po (Sec. 26-7). E n los cam pos m agnéticos estacionarios, la parte funda m ental son las cargas eléctricas que se m ueven en un elem en
to de c o m en te; éstas no sólo crean un cam po m agnético, si no tam bién p u ed en verse afectadas po r el cam po m agnético proveniente de otros elem entos. N o obstante, cuando se inten ta ex p licar las propiedades m agnéticas de los m ateriales, esta ex p licación a p artir de los elem entos de corriente no es tan sa tisfactoria com o la que se basa en el dipolo m agnético. En de finitiva, podem os considerar que lo causan las cargas en m ovim iento, p roducen un dipolo m agnético, m ientras que un dipolo eléctrico está form ado p o r dos cargas estáticas. Pero cuando nos referim os a las propiedades m agnéticas de los m ateriales, se logra un conocim iento m ejor de éstas al tener en cuenta que son una colección de átom os con m om entos in dividuales dipolares m agnéticos. E m p ezam o s exam inando el cam po m agnético generado po r un a esp ira circular de corriente (Sec. 33-2) en un punto del eje z: p
P o iR 2
9^2
.2)3/2 •
n
-
n
( JD -1 )
Si estam os lejos de la esp ira (z » ¡j.qÍR~ B
R ), esto se expresa así
R o ta c ió n d e la e s p i r a
/¿o íztR~ (35-2)
2-3
L a e x p resió n irrR2 en la e c u a c ió n a n te rio r p u ed e e sc rib ir se com o zA, donde A = ttR 1 es el área de la espira circular. Se define esta parte com o la m ag n itu d del m om ento dipolar m agnético fx de esta espira: ¡jl =
iA.
(35-3)
El m om ento dipolar m ag n ético de u n a espira con corriente es el producto de la m ag n itu d de la corriente y del área de la es pira. A unque obtuvim os la ecuación 35-3 p ara una espira circu lar, ésa se aplica a las espiras de cu alq u ier form a. S i la espira tiene N vueltas, /x = N iA. L a ecuación 35-3 in d ica q u e las unidades de ¡ll son A • m 2 (am p ere/m etro 2). M ás adelante, en esta sección, vem os que las unidades equivalentes so n J / T (joules por tesla). A sem ejanza del m om ento dip o lar eléctrico, el m om ento dipolar m agnético es un a m ag n itu d vectorial. L a dirección de Jl es perpendicular al plan o de la espira con corriente, esta dirección se determ ina con el uso de la reg la de la m ano de recha: si los dedos están en la direcció n de la corriente, el p u l gar indicará la d irección de Jl (Fig. 35-1). C on esta definición la ecuación 35-2 p uede escrib irse com o u n a ecuación vecto rial: B -
.
(35-4)
N ótese que B y Jl son vectores qu e apuntan en la m ism a di rección, según se aprecia en la figura 35-1. E n la ecuación 35-4, B es el cam po m agnético p ro d u cid o p o r el m om ento dipolar m agnético jl . A nalicem os ah o ra el efecto que un cam po m agnético tie ne en un dipolo m ag n ético . L a fig u ra 35-2 m uestra una espi ra con corriente en un cam p o m ag n ético uniform e B . (Este
F i g u r a 3 5 - 2 . En un campo magnético extemo, un momento dipolar magnético experimenta un par que gira j i hasta alinearlo con B.
cam po B se debe a un agente extem o, que no se incluye en la fi gura, acaso un solenoide grande). En la sección 32-6 abordamos un problem a sim ilar (Fig. 32-26) y concluim os que en un cam po uniform e la espira no experim enta fuerza alguna, pero sí un par neto dado por r = zAri X B (Ec. 32-35), donde ñ es un vec tor unitario perpendicular a la espira en una dirección determ i n a d a p o r la regla de la m ano derecha. D ebido a que definim os las d irecciones de Jl y de ñ exactam ente en la m ism a forma, p o d em o s escrib ir J l = zAri, y entonces la ecuación 32-35 se con v ierte en r = Jl X B.
E n otras p alabras, el p ar tiende a girar la espira de m odo que j l se alinea con B . N ó tese la sem ejanza de la ecuación 35-5 con el resultado d el p ar que hace girar un dipolo eléctrico en un cam po eléctrico: r = p X E (Ec. 26-27). La ecuación 35-5 es válida, sin im p o rtar la form a de la espira ni su orientación con el cam po m agnético. L as ecuaciones 35-4 y 35-5 satisfacen nuestros dos obje tivos: la p rim era in d ica cóm o un dipolo m agnético produce un cam po m agn ético ; la segunda, de qué m anera un campo m agnético aplicado influye en un dipolo m agnético. Tener p resentes estos dos conceptos nos servirá para entender el co m portam iento m agnético de los m ateriales. P odem os co n tin u ar la analogía entre los cam pos eléctri co y m agnético con sid eran d o el trabajo hecho p ara cam biar la o rientación del d ipolo m agnético en un cam po m agnético y relacio n an d o el trabajo con la energía p o tencial de un dipolo m agnético en un cam po m agnético. L a energía p otencial pue de escribirse así U = — p.B eos 9 = - Jl ■5 ,
F i g u r a 3 5 - 1 . Momento dipolar magnético de una espira de comente y el campo magnético en el punto P a una distancia z de la espira en su eje.
(35-5)
(35-6)
para un dipolo m agnético cuyo m om ento Jl form a un ángulo 9 con B . L a ecuación an terio r se parece a la ecuación que se uti liza p ara calcu lar la energía potencial de un dipolo eléctrico, U — — p • E (Ec. 26-32). En la ecuación 35-6, U = 0 cuan do 9 = 90° (J¿ es p erp en d icu lar a B o, en form a equivalente, B es paralelo al plan o de la espira). U tiene su valor m ás peque ño ( = —fxB) cuando J l y B son paralelos, y su v alor m ás al to ( = +/J.B) cuando J l y B son antiparalelos. C om o todas las fuerzas que dependen de la velocidad, la fuerza m agnética casi nunca es conservativa y, por lo mismo, generalm ente no puede representarse m ediante una energía po tencial. En este caso especial en que e-1 par en un dipolo se basa
f.
¡x = NÍA = (250)(85 X 10~6 A)(2.52 X 10~4 n r) = 5.36 X 10~s A -m 2 = 5.36 X 10~6J/T. Sistema
A (J/T)
N úcleo de áto m o de nitró g eno Protón Neutrón Electrón Átom o de n itró g en o Bobina típ ica0 peq u eñ a Im án de b arra p eq u eñ o B obina su p erco n d u cto ra La T ierra
2.04 1.41 9.65 9.28 2.8 5.4
X 10~ 2S X I 0 “ 26 X 10~ 27 X 1 0 ~ 24 X 10~ 23 X 10~ 6 5 400 8.0 X 1022
flPor ejemplo, la del problema resuelto 35-1.
en su posición respecto al cam po, es posible definir la energía potencial de un sistema constituido por un dipolo en el campo. Adviértase que la energía potencial no caracteriza exclusiva mente al cam po, sino tam bién al dipolo en él. Por lo regular, no puede definirse una “energía potencial m agnética escalar” de una carga puntual ni un “potencial m agnético” del campo, tal como lo hicim os con los cam pos eléctricos en el capítulo 28. M uchos sistem as físicos tienen m om entos dipolares m ag néticos: la T ierra, los im anes de barra, las espiras de co rrien te, los átom os, ios núcleos y las partículas elem entales. L a tabla 35-1 ofrece algunos valores com unes. O bsérvese que la ecuación 35-6 sugiere las unidades para /x de energía dividida entre el cam po m agnético, o sea J/T . La ecuación 35-3 indica las unidades de la m agnitud de la co rriente por la superficie, es decir, A ■ m 2. Puede dem ostrarse que las dos unidades son'equivalentes; se elige la m ás adecua da para cada caso. C om o lo m uestran los ejem plos del protón y del átom o de nitrógeno en la tabla 35-1, la m agnitud de los m om entos dipolares nucleares m agnéticos suele ser tres o seis órdenes de m agnitud m ás pequeños que la d e los m om entos dipolares m ag néticos atóm icos. De esta observación se deducen de inm ediato varias conclusiones: 1) Los electrones no pueden ser elem en tos del núcleo, pues de lo con trario la m agnitud de los m o mentos dipolares m agnéticos nucleares sería casi igual a los del electrón. 2) Los efectos m agnéticos ordinarios en los m a teriales dependen del m agnetism o atóm ico, y no del m agne tismo nuclear, que es m ucho m ás débil. 3) P ara aplicar el par necesario a fin de alinear los dipolos nucleares, se requiere que el cam po m agnético tenga una m agnitud de tres a seis ó r denes de m agnitud m ás grandes que los que se requiere para alinear los dipolos atóm icos. a) Una bobina rectangular de 250 vueltas, que mide 2.10 era de largo y 1.25 era de ancho, transporta una comente de 85 ¡jA. ¿Cuál es su momento dipolar magnético? b) El momento dipolar magnético de la bobina está alineado con un campo magnético externo cuya fuerza es 0.85T. ¿Cuánto trabajo rea lizará un agente externo para hacerla girar 180o? P roblem a
R e su e lto
tí) El trabajo externo es igual al incremento de la energía potencial del sistema, que es W = A i/ = - f i B eos 180° — ( —fu,B eos 0°) = 2¡xB = 2(5.36 X 10~6 J /T X 0 .8 5T ) = 9.1 X 10~6 J = 9.1 fxL El resultado es aproximadamente igual al trabajo necesario para le vantar una pastilla de aspirina a una altura de unos 3 mm.
E l cam p o de u n dipolo H asta ahora nos hem os ocupado del cam po de un dipolo m ag nético (una espira con corriente) en puntos ubicados exclusiva m ente en el eje. A continuación vam os a concentrarnos en el cam po com pleto del dipolo m agnético. Tratándose del dipolo eléctrico, en la figura 26-12 se m ostró un patrón com pleto de las líneas de cam po. U nas cuantas líneas de un dipolo eléctrico se incluyen en la figura 35-3a y pueden com pararse con las lí neas del cam po de una espira con corriente de la figura 35-3¿>. Se descubre una gran sem ejanza entre el patrón de las líneas del cam po fuera de la espira. Otra semejanza entre los campos del dipolo eléctrico y m agnético consiste en que varían com o r ~ 3, cuando estam os lejos del dipolo. U na diferencia im portante en tre las líneas del cam po m agnético y eléctrico radica en que las líneas del cam po eléctrico parten de las cargas positivas y ter m inan en las cargas negativas, m ientras que las líneas del cam po m agnético siem pre form an espiras cerradas. E n la figura 35-3c se m uestran las líneas del cam po de un im án de barra; ofrece el mism o patrón de líneas del cam po que el de la espira con com ente; así que el im án de barra tam bién puede considerarse un dipolo m agnético. Es conveniente desig nar a sus dos extrem os com o polo norte (N) y polo sur (S): las líneas del cam po salen del polo norte y convergen en el polo sur. A sim ple vista, los polos dan la im presión de com portarse com o cargas positivas y negativas de un dipolo eléctrico. Pero al exa m inar m ás detenidam ente la figura 35-3c, se observa que las lí neas del cam po no comienzan ni terminan en los polos, sino que prosiguen p o r el interior del imán, formando otra vez espiras ce rradas. L os polos norte y sur no se com portan como cargas en un dipolo eléctrico y, según señalamos en la sección 35-37, los polos m agnéticos aislados no parecen existir en la naturaleza.
4
3 5 -1 .
Solución a) La magnitud del momento dipolar magnético de la bobina, que tiene un superficie A (0.0210 m)(0.0125 m) = 2.52 X 10~4 m2, es
k td ‘V a
J )
, ,S x 4
a)
\
4
b)
V
c) ■
F i g u r a 3 5 - 3 . a) Campo eléctrico de un dipolo eléctrico. b) Campo de dipolo magnético de un imán de barra, c) Campo de dipolo magnético de un imán de barra. Las líneas punteadas representan las líneas de campo en el interior del imán.
FU E R Z A SO B R E UN D IPO L O E N UN C A M PO NO U N IFO R M E En un campo eléctrico uniform e, las fuerzas sobre las dos cargas de un dipolo eléctrico tienen igual m agnitud y siguen direc ciones opuestas (Fig. 26-19). Si el cam po es no uniform e, las fuerzas tienen d istin ta m ag n itu d y, en consecuencia, una fuer za neta puede ejercer sobre el dipolo. L a m ism a conclusión se aplica a los dipolos m agnéticos: en un cam po m agnético u ni form e puede h ab er un p a r neto en el dipolo, pero no existe una fuerza neta. P ara que ésta se ejerza sobre él, es preciso que el cam po m agnético sea no uniform e. Tomem os el par de espiras con corriente de la figura 35-4. Estas espiras se encuentran en un eje com ún y, vistas desde arri ba, ambas llevan la co m en te en dirección de las manecillas del reloj. L a espira 1 produce un cam po m agnético B j, que luego interactúa con la espira 2. (Suponem os que ésta ya fue girada por el par producido por el cam po de la espira 1, que alinea con este el m om ento d ip o lar de la espira con el cam po de la espi ra 1.) En los puntos C y D , que son extrem os opuestos de un diám etro de la espira 2, las fuerzas d F = i0d s X B ¡ e n los ele m entos d s presentan com ponentes hacia abajo y radialm ente hacia afuera. C uando sum am os las fuerzas en todos los pares de elem entos, vem os que los com ponentes radiales se cancelan y que los com ponentes hacia abajo se sum an para dar una fuerza neta descendente sobre la espira con corriente. También es posible analizar esta fuerza a partir de los po los m agnéticos. Las espiras con com ente pueden representarse com o imanes cuyos poios norte y sur están orientados como se ve en la figura 35-4. L a atracción de la espira 1 hacia la 2 se des cribe en función de la fuerza existente entre los polos m agnéti cos: el polo norte del im án que representa a la espira 1 atrae al polo sur del im án que representa a la espira 2. En la figura 35-4, existe tam bién repulsión entre los dos polos N y los dos polos S, pero la fuerza de atracción N -S es la fuerza m ayor porque los polos se encuentran m ás cerca uno del otro.
F i g u r a 3 5 - 4 . El campo magnético B¡ producido por la espira 1 produce una fuerza neta descendente en la espira 2.
A l em plear la ecuación 35-6 para calcular la energía po ten cial del m om ento dipolar m agnético de la espira 2 en el cam po m agnético producido por la espira 1 {U = - - ju , • B j), se obtiene U = —¡x~,_B^ porque el m om ento m agnético de la es pira 2 tiene sólo un com ponente z. É ste com ponente de la fu erza F 9 ejercid a en la espira 2 p o r la espira 1, se relaciona con la energía poten cial m ediante F t = —d U /d z \ por tanto, A .- = -■
dU dz
d , (
dz
n
d B iz 1-) — /Xo- ■ dz
(35-7)
E n la figura 35-4, al tom ar el eje z com o positivo hacia arri ba, se tiene ¡x0_ = > 0 y d B xJ d z < 0 (puesto que el com po n en te z del cam po dism inuye conform e ascendem os); así que < 0. L a fuerza en la espira 2 p roveniente de la espira 1 se dirige h acia abajo, com o ya lo determ inam os. Consideraciones sim ilares a las anteriores revelan que la fuerza en la espira 1, producida por la espira 2, se dirige hacia arriba; de lo cual se deduce que las dos espiras se atraen entre sí.
M om entos dipolares m agnéticos inducidos E n algunos m ateriales donde las m oléculas no tienen un mo m ento dipolar eléctrico perm anente, según vim os en la sección 29-6, un cam po eléctrico aplicado puede inducir un m om ento dipolar al causar la separación de las cargas positivas y nega tivas en la m olécula. U n efecto sem ejante se presenta en los cam pos m agnéticos: la aplicación de un cam po m agnético pu ed e inducir un m om ento dipolar en los m ateriales que care cen de m om entos dipolares m agnéticos perm anentes. La fig u ra 35-5 describe cóm o podría su ceder lo anterior. S upongam os una esp ira doble, constituida p o r dos espiras sim ples que transportan corrientes idénticas en direcciones contrarias, dentro de u n cam po no uniform e que pudo haber sido creado p o r un im án perm anente. E l m om ento m agnético n eto de la espira doble es cero, ya que dos espiras sim ples tie-
F i g u r a 3 5 - 5 . La espira doble no tiene un momento dipolar permanente magnético, pero adquiere un momento dipolar inducido cuando el imán se acerca a ella. La repele la fuerza en el momento inducido.
nen m om entos m agnéticos de igual m agnitud pero con d irec ción contraria. Al acercar el im án a esta esp ira doble, el flujo de las espiras crece y ocasiona que la corriente inducida, de acuerdo con la ley de Lenz, siga la dirección de las m an ec i llas del reloj (vista desde arriba). E sta corriente inducida, que se incorpora a las corrientes en las dos espiras, g en era una co rriente n eta i — iind en la espira de arriba e i + i-md en la de abajo. E l resultado es un m om ento m agnético inducido neto que se dirige hacia abajo. Se m uestran los p olos N y S del imán equivalente; se ve, así, que la fuerza en la espira doble proveniente del im án es una de repulsión (hacia arriba). L a ecuación 35-7 nos p erm ite co m p ro b ar (suponiendo otra vez que el eje z sea positivo hacia arriba) /x7 < 0 y d B j dz < 0, de m odo que F , > 0, correspondiente a un a fuerza h acia arriba; esto coincide con la conclusión anterior. E n resum en, dentro de un cam po m agnético no uniform e, se giran los dipolos perm anentes para alinearlos con el cam po y son atraídos hacia la fuente de dicho cam po; pero, los dipolos inducidos son repelidos p o r la fuente del cam po. ss
M A G N E T IS M O A T Ó M IC O Y NUCLEAR Las propiedades eléctricas volum étricas de u n a su stan cia d ie léctrica com o el agua se basan en los m om entos dipolos e léc tricos individuales de sus moléculas. Cada una tiene un lado positivo y otro negativo, com portándose com o un dipolo eléc trico. Si separam os las m oléculas, podem os h acer lo m ism o con las partes positiva y negativa. T am bién las propiedades m agnéticas de los m ateriales dependen de los m om entos de dipolo m agnético de los áto mos individuales; podem os suponer que los m ateriales m ag néticos se com ponen de varios dipolos atóm icos, que podríán alinearse al aplicar un cam po m agnético externo (Fig. 35-6). Sin em bargo, a diferencia del dipolo eléctrico, no es posible separar los átom os en polos m agnéticos individuales N y S. Por el contrario, los m om entos m agnéticos pueden ser dim i-
F i g u h a 3 5 - 6 . El material magnético puede considerarse como una serie de momentos dipolares magnéticos, cada uno con un polo norte y uno sur. Desde el punto de vista microscópico, los dipolos son en realidad una espira de corriente que no puede dividirse en polos individuales.
ñutas espiras de corriente, causadas, por ejem plo, por la circu lación de los electrones en las órbitas de un átom o. E n esta sección explicam os el m om ento dipolar m agnético relaciona do con un electrón en una trayectoria circular. E studiam os un m odelo sim ple de un átom o donde un electrón describe una órbita circular de radio r y se desplaza con una velocidad v alrededor del núcleo. Podem os pensar que este electrón en m ovim iento es una espira de co m en te, en la cual la c o m e n te es la m agnitud de la carga del electrón di vidida entre el periodo T de una órbita: e (35-8) T ~~ "2-rrr/v El m om ento dipolar m agnético de la espira se obtiene por m e dio de la ecuación 35-3: ¡j. = iA —
ev ( IT T 2 ) =
erv ?
(35-9)
El m om ento dipolar m agnético que hem os calculado aquí pa ra los átom os se conoce com o m om ento dipolar m agnético orbital, porque se debe al m ovim iento orbital de los electro nes alrededor del núcleo. A l an alizar las propiedades de los átom os, es útil reescrib ir la ecuación 35-9 com o erv _ e e I, (35-10) A/ = 2 2m 2m donde m es la m asa del electrón. La expresión m vr es el m o m ento’ angular l del electrón que describe una órbita circular alrededor del núcleo del átom o. Piemos designado con ¡±, el m om ento dip o lar m agnético orbital p ara indicar que se origi n a en el m om ento angular orbital /. En la teoría cuántica de los átom os, tem a que se expone en los capítulos 47 y 48, el m om ento angular se m ide en unidades de h /2 tt, donde h es la constante de Planck. Al sustituir esta unidad fundam ental de m om ento angular en la ecuación 35-10, se obtiene una uni dad fundam ental del m om ento de dipolo m agnético llam ada m agnetón de B o h r /¿B: 6 h ch Ab = 7 P - T 2 T7 7 - = ~4a u n í = 9 2 1 x 1(r24 J/'L
(35-11)
cuyo v alor num érico se obtiene insertando los valores n um é ricos e, h y rn en la ecuación 35-11. L os m om entos m agnéti cos ató m ic o s su elen m ed irse en u n id ad es de /xB y n o rm alm ente tienen una m agnitud de 1 /.tg, com o se observa en el ejem plo del átom o de nitrógeno en la tabla 35-1. L os m om entos dipolares m agnéticos de los átom os se m iden pasando un haz de átom os por una región donde existe un campo magnético no uniforme. Como señalamos en la sección anterior, una fuerza neta opera sobre el dipolo m agnético en un cam po no uniforme; de ahí que los átomos sean desviados de su trayectoria original cuando pasan a través de la región del cam po. En la década de 1920, los experim entos de este tipo dem os traron que un cam po m agnético desviaba todavía los átomos sin m om entos dipolares m agnéticos orbitales. Este resultado revela la presencia de otra aportación a los m om entos dipolares magnéticos, en este caso procedentes de los momentos de los elec trones, denom inados m om ento m agnético intrínseco o “spín”.
Los electrones en diversos estados de m ovim iento tienen dis tintos m om entos dipolares m agnéticos orbitales, pero todos presentan exactam ente el m ism o m om ento dipolar m agnético intrínseco. El spín intrínseco del electrón y su efecto en la es tructura del átom o se explica en los capítulos 47 y 48. En la ta bla 35-1 se incluye el m om ento dipolar m agnético intrínseco de un electrón. Su valor casi es igual a 1 Los m om entos dipolares m agnéticos orbitales de spín de los electrones m iden aproxim adam ente lo m ism o (del orden de 1 ytig); de allí que contribuyan m ucho a determ inar las propie dades m agnéticas de los átom os. El m om ento m agnético total de un átom o se obtiene m ediante la sum a vectorial de los m om en tos magnéticos orbital y de spín de todos sus electrones. Estas sumas vectoriales a veces se com plican muchos en un átomo con m uchos electrones. P ero en algunos átom os los m om en tos m agnéticos totales orb itales y de spín resultan ser cero. Los m ateriales hechos de este tipo de átomos son prácticam en te no m agnéticos y presentan sólo un efecto inducido débil, de nom inado diam agnetism o (análogo al de la Fig. 35-5). En otros átomos, el m om ento m agnético total orbital y de spín (o ambos) puede ser no cero; por consiguiente, los átomos se alinean en presencia de un cam po m agnético extem o. A estos materiales se les llam a param agnéticos. El tipo m ás com ún de com portam ien to m agnético es el ferro m a g n etism o , en el cual debido a las in teracciones de los átom os, su alineación se conserva aun cuando se elimine el cam po extem o. M ás tarde en este capítulo estudia mos m ás a fondo las Les clases de materiales magnéticos.
El núcleo, que se com pone de protones y de neutrones en m o vim iento orbital y que está bajo la influencia de sus fuerzas m utuas, tiene un m om ento m agnético constituido de dos partes: una parte orbital, debida al m ovim iento de los protones (los neu trones no llevan carga y, por ello, no contribuyen al m om ento m agnético orbital, a pesar de que puede tener m om ento angu lar), y otra, intrínseca, debida a los m om entos m agnéticos intrín secos de los protones y neutrones, que se incluyen en la tabla 35-1. (Q uizá el lector se sorprenda al enterarse de que el neutrón sin carga, tiene un m om ento m agnético intrínseco no cero. Si el neutrón fuera una partícula elem ental verdaderam ente sin carga eléctrica, no tendría, efectivam ente, un m om ento de dipolo magnético. E l m om ento no cero del neutrón nos indica su es tructura interna y puede explicarse en form a bastante satisfacto ria, suponiendo que el neutrón consta de tres quarks cargados.) Los núcleos tienen m om entos dipolares m agnéticos orbi tales de spín que pueden expresarse p o r m edio de la ecuación 35-10. Sin em bargo, la m asa que aparece en esas ecuaciones (la del electrón) debe sustituirse p o r la del protón o la del neu trón, la cual es unas 1800 veces m ay o r que la del electrón. Los m om entos nucleares típicos del dipolo m agnético son m ás p e queños que los m om entos atóm icos del dipolo en un factor del orden de 10_J (Tabla 35-1) y su contribución a las propieda des m agnéticas de los m ateriales suele ser insignificante. Los efectos del m agnetism o n uclear cobran im portancia en el caso de la resonancia m a gnética nuclear, en la cual al núcleo se le som ete a una rad iació n electrom agnética de una
' ¡ G i ’ S A 3 5 - 7 . Perfil de una cabeza humana, tornado por método de imágenes de resonancia magnética (IRM). Muestra de manera detallada el cerebro y los tejidos faciales, invisibles en las radiografías, y no entraña riesgos médicos para el paciente. frecu en cia rigurosam ente definida que se requiere p ara que el m om ento m agnético n uclear cam bie de dirección. Podem os alinear los m om entos m agnéticos nucleares en una m uestra de m aterial por m edio de un cam po m agnético estático; la di rección de los dipolos se invierte cuando absorben la radia ción electrom agnética que varía con el tiem po. Es fácil detectar la absorción de esta radiación. Este efecto constituye el fun d am en to de las im ágenes de resonancia m agnética (IR M ), m étodo de diagnóstico en que las im ágenes de los ór ganos p u ed en obtenerse usando radiación m ucho m enos peli grosa p ara el cuerpo que los rayos X (Fig. 35-7). P r o b l e m a R e s u e l t o 3 5 - 2 . U n protón se halla en un campo magnético de intensidad B = 1.5 T. El momento dipolar magnético del protón es inicialmente paralelo a la dirección de B. ¿Cuánto tra bajo externo se requiere para invertir la dirección del momento di polar magnético del protón? Solución La energía de interacción de un dipolo magnético con un campo magnético está dada por la ecuación 35-6, U = —pi • B. Cuando JX es antiparalelo al campo como en el estado inicial del pro blema. la energía inicial U-í es Q = —Jx • B = ¡jlB, porque el ángulo entre ,ü y B es 180°. Cuando el momento dipolar magnético cambia de dirección (llamada “oscilación de spín”), el mo mento magnético se vuelve paralelo a B y la energía final es U¡ = —¡p. • B = —¡J.B. El trabajo externo realizado en el sistema es igual al cambio de ener gía, o sea VV = Uf - U, = - ¡jlB - pB = - 2/j.B = - 2 ( 1 .4 1 X 10-26 J/T )( 1.5 T)
= -4 .2 3 x ¡CT:fiJ = -0 .2 6 p .eV .
Como el ambiente efectúa trabajo negativo en el sistema, éste lleva a cabo trabajo positivo sobre su ambiente. Esta energía podría trans mitirse al entorno en forma de radiación electromagnética, que se hallaría en el intervalo de radiofrecuencia del espectro y que tendría una frecuencia de 64 MHz, ligeramente por debajo del intervalo de sintonización de un radio de frecuencia modulada.
En el capítulo 30 estudiam os el efecto de llen ar el espacio en tre las placas del capacitor con un m aterial dieléctrico; d escu brimos lo siguiente: al introducir el dieléctrico y conservar constante la carga en las placas, se reducía el cam po eléctrico en la región entre ellas. E n otras palabras, si E 0 es el cam po eléc trico sin dieléctrico, el cam po E con él estará dado p o r la ecuación 29-23 que escribirem os en form a vectorial así
En/fC-.
(35-12)
El efecto del dieléctrico se caracteriza p o r su constante d ie léctrica K t , núm ero absoluto con un valor m ay o r que 1 en los m ateriales (Tabla 29-2). C onsiderem os ahora un m edio m agnético com puesto de átomos con los m om entos dipolares m agnéticos f i . E n g en e ral, estos dipolos apuntan en varias direcciones del espacio. Calculem os el m om ento dipolar neto ß en un volum en V del m aterial, efectuando la sum a vectorial de todos los dipolos del volum en: 'S iß ... E ntonces definim os la m a g n etiza ción M del m aterial com o el m om ento d ipolar neto p o r u n i dad de volum en, o sea El (35-13) V V Si querem os considerar la m agnetización una m agnitud m i croscópica, la ecuación 35-13 debe escribirse com o el lím ite, a medida que el volum en se aproxim a a cero. Ello nos perm ite suponer que el m aterial presenta una m agnetización uniforme. Supóngase que este m aterial se coloca en un cam po u n i forme B 0. E ste cam po aplicado lo “m ag n etiza” y alinea los dipolos. Los dipolos alineados producen un cam po m ag n éti co propio, en analogía con el cam po eléctrico generado p o r los dipolos eléctricos en un m edio dieléctrico (Sec. 29-6). En cualquier punto del espacio el cam po m agnético neto B es la sum a del cam po aplicado B 0 y del p roducido p o r los dipolos, al que llam am os B M. P or tanto, B = B 0 + B m.
(35-14)
El cam po B M puede estar form ado p o r las aportaciones de los dipolos perm anentes en los m ateriales param agnéticos (an á logos a los dieléctricos polares) y de los dipolos inducidos en todos los m ateriales (com o en los d ieléctricos no polares). E l cam po de m agnetización B M se relacio n a con la m a g netización M , la cual, com o se definió en la ecuación 35-13, se determ ina tam bién m ediante los dipolos del m aterial. En los cam pos débiles, M es proporcional al cam po aplicado B 0. No obstante, suele ser difícil calcular B M a m enos que la m agnetización sea uniform e y la form a sea m uy sim étrica. Com o un ejem plo de este caso, consideram os un solenoide
r c c m
m
F i g u r a 3 5 - 8 . a) En un solenoide vacío, la corriente genera un campo B 0. b ) Cuando el solenoide se llena con material magnético, el campo total B incluye las contribuciones B 0 procedentes de la corriente y /¿0M provenientes del material magnético.
largo (ideal) de sección transversal circular, lleno con m ate ria l m agnético (Fig. 35-8). E n este caso, el cam po aplicado es un iform e en todo el interior; B 0 y M son paralelos al eje, pudiendo dem ostrarse que B M = /¿0M e n el interior del solenoide. (Le recom endam os com probar las dim ensiones y dem ostrar que / i 0M tiene las m ism as dim ensiones que B .) Podem os, pues, escribir el cam po neto com o B = B 0 + p 0M ,
(35-15)
com o se ilustra en la figura 35 -8b. E n los_campos débiles, M crece finealm ente con el cam po aplicado B 0 y, por lo m ism o, B debe ser proporcional a B Q. En este caso, podem os escribir B = KmB 0,
(35-16)
donde Km es la perm eabilidad del m aterial, que se define en relación con el vacío, para el cual x m = 1. L a perm eabilidad de la m ayor parte de los m ateriales com unes (excepto los ferrom agnéticos) tiene valores m uy cercanos a 1, com o verem os en la siguiente sección. C on respecto a otros m ateriales que no son ferrom agnéticos, la perm eabilidad puede depender de propie dades com o la tem p eratu ra y la densidad del m aterial, pero no del cam po B 0. En condiciones ordinarias, la ecuación 35-16 describe una relación lineal y el cam po neto B crece linealm en te conform e se aum enta el cam po aplicado. P or el contrario, en los ferrom agnéticos podem os suponer que la ecuación 35-16 define una x m particular que depende del cam po aplicado B 0; p o r tanto, la ecuación 35-16 deja de ser lineal.* A l com binar las ecuaciones 35-15 y 35-16, podem os es crib ir así la m agnetización inducida p o r el cam po aplicado: /x0M = (Km — 1) B 0.
(35-17)
L a m agnitud x m — 1 es casi siem pre del orden de 10~3 a 10~6 en la m ayor parte de los m ateriales no ferrom agnéticos; así que
* Como de costumbre, hay una analogía entre los campos eléctrico y magné tico. Existen materiales dieléctricos, denominados fe rro e lé c tric o s , dondeja relación entre E y E 0 no es lineal, esto es, depende del campo aplicado E 0 . Con estos materiales pueden construirse dipolos eléctricos cuasi permanen tes, llamados, eiectretos, que se parecen a los imanes permanentes. La mayor parte de los materiales dieléctricos de uso común son lineales, en tanto que casi todos los materiales magnéticos de uso común son no lineales.
PPP* en general la contribución de la m agnetización /a0M al cam po total es m ucho m enor que B 0. E llo contrasta m ucho con el ca so de los cam pos eléctricos, donde ks presenta los valores de los m ateriales típicos en el intervalo 3 a 100. E l m aterial dieléc trico m odifica sustancialm ente al cam po eléctrico neto; en cam bio, tratándose de no ferrom agnéticos, el m aterial m agné tico tiene un efecto m uy pequeño en el cam po magnético. El campo magnético en el interior de cierto solenoide posee el valor 6.5 X 10“ 4 T cuando este último esta vacío. Si está lleno con hierro, el valor del campo es 1.4 T. a) Determine la permeabilidad relativa en tales condiciones, b) Ob tenga el momento magnético promedio de un átomo de hierro en esas mismas circunstancias. P r o b l e m a
R e s u e l t o
35-3 .
Solución a) A partir de la ecuación 35-16 tenemos (tomando las magnitudes solamente) B B0
1.4 T
6.5
X
2200 .
lC r4 T
b) Con el uso de la ecuación 35-15 obtenemos M
B — B0
1.4 T - 6.5 X 10~4 T 4 tr X 1CT'7 T • m/A
1.11
X
106 A /m .
Nótese que las unidades de M pueden expresarse también como A • m2/m 3. Se representa así el momento magnético por unidad de volumen del hierro. Si queremos determinar el momento magnético por átomo, se requiere la densidad numérica n de átomos (número de átomos por unidad de volumen): átomos volumen
masa átomos volumen masa
masa átomos/mol volumen m asa/m ol
A/a ^ m '
Aquí p es la densidad del hierro, NA es el número de Avogadro y m es la masa molar del hierro. Al introducir los valores, obtenemos n = (7.87 8.49
X
X
103 kg/m3)
6.02
X 1023 átomos/mol 0.0558 ka/mol
1028 á t o m o s / m 3.
El momento magnético promedio por átomo es M_ __ 1.11 X 106 A/m n ~ 8.49 X 102S/m3
1.31
X
10~23 J/T = 1.4 p B.
El resultado anterior concuerda muy bien con lo que se espera de un momento magnético atómico. El cálculo indica que cada átomo de la muestra de hierro aporta su momento completo de dipolo magné tico a la magnetización del material, situación que caracteriza a los ferromagnéticos.
3 S “S
M A T E R IA L E S M A G N É T IC O S
A hora estam os preparados p ara exam inar algunas caracterís ticas de tres tipos de m ateriales m agnéticos. C om o verem os luego, en parte estas clasificaciones se basan, p o r una parte, en los m om entos dipolares m agnéticos de sus átom os y, por la otra, en las interacciones entre estos últim os.
-S> (xqM— / - H > ^ 0 —*-£> a)
b)
F i g u r a 3 5 - 9 . a) En un material no magnetizado los momentos magnéticos atómicos presentan una orientación aleatoria, b) Cuando se aplica un campo externo B 0, los dipolos giran hasta alinearse con él y la suma vectorial de los momentos hace una contribución /¿0M al campo del material.
Paramagneíismo E l p aram ag n etism o se o bserva en m ateriales cuyos átom os tienen m om entos d ipolares m agnéticos perm anentes; no im p o rta si los m om entos son del tipo orbital o del tipo spín. E n una m uestra de m aterial paxamagnético a la que no se le aplica un cam po m agnético, al inicio los m om entos dipolares atóm icos se orientan aleatoriam ente en el espacio (Fig. 35-9«). L a m agnetización, calculada de acuerdo con la ecuación 35-13, es cero p o rque las d irecciones aleatorias de ¡Zn hacen desaparecer la sum a vectorial, del m ism o m odo que la sum a de las v elocidades con dirección aleatoria de las m oléculas en la m u estra de un gas da cero p ara la velocidad del centro de m a sa de to d a la m uestra. C uando al m aterial se le aplica un cam po m agnético ex terno (quizá co locándolo dentro de los devanados de un sole noide), el p ar resu ltan te en los dipolos tiende a alinearlos con el cam po (Fig. 35 -9 b). L a sum a vectorial de los m om entos di polares individuales y a no es cero. El cam po dentro del m ate rial tiene ah o ra dos com ponentes: el cam po aplicado B Q y el cam po inducido /xQM p rocedente de la m agnetización de los dipolos. A dviértase que los dos cam pos son paralelos; los di polos aum entan el cam po aplicado, a diferencia de lo que ocurre en el caso eléctrico: el cam po del dipolo se oponía al cam po aplicado y red u cía el cam po eléctrico total en el m ate rial (Fi^g 29-11). C on base en la ecuación 35-17, la razón de /x0M a B 0 se determ in a p o r /cm — 1, que es pequeña y positi va en los m ateriales p aram agnéticos. L a tabla 35-2 contiene algunos valores representativos.
T A B L A 3 á “2 Perm eabilidad relativa de algunos m ateria les param agnéticos a tem p eratu ra ambiente Material G d ,0 3 CuCl, Cromo Tungsteno Aluminio Magnesio Oxígeno (1 atm) Aire (1 atm)
K„ 1.2 3.5 3.3
X X
1 KT2 1CT4
X íc r4 vx 6.8 X\ 1CT5 2.2 X
KT5
1.2 X
íc r5
1.9 3.6
X
ic r6
X
1(T7
E l m ovim iento térmico de los átom os tiende a alterar la ali neación de los dipolos; de ahí que la m agnetización dism inuya al aum entar la tem peratura. En 1895 Pierre Curie descubrió que la relación entre M y la tem peratura, T, es inversa; se escribe así M = C -y -,
(35-18)
a esta expresión se le conoce com o ley de Curie y a la constan te C se le llam a constante de Curie. L a u nidad de la tem pera tura en la ecuación 35-18 que debe utilizarse es el kelvin. E sta ecuación es válida sólo cuando B j T es pequeña, o sea co n cam pos pequeños o con tem peraturas elevadas. E n cam pos aplicados grandes, la m agnetización se acer ca a su valor m áxim o, que ocurre cuando todos los dipolos son paralelos. Si hay N de ellos en el volum en V, el valor m á xim o de es Nf¿n, correspondiente a N vectores paralelos ¡í . E n este caso la ecuación 35-13 da N p„. (35-19) V C uando la m agnetización alcanza este valor de sa tu ra ción, los increm entos del cam po aplicado B 0 dejan de tener efecto en la m agnetización. L a ley de C urie, la cual establece que M crece linealm ente con B Q, es válida sólo cuando la m agnetización está lejos de la saturación, esto es, cuando ¿?0/ T es pequeña. L a figura 35-10 m uestra la m agnetización m edida M com o una fracción del valor m áxim o M máx en fu n ción de B q/T , en varias tem peraturas para la sal param agnética de alum bre cróm ico C rK (S 0 4), • 1 2 H ,0 . (En esta sal, los iones crom o causan el param agneiism o.) N ótese la aproxim a ción a la saturación y que la ley de C urie es válida sólo en v a lores p eq u eñ o s de ¿?0/ T (c o rre sp o n d ien te s a cam p o s aplicados pequeños o a tem peraturas elevadas). C uando el cam po m agnético externo se retira de una m uestra param agnética, el m ovim iento térm ico ocasiona que la dirección de los m om entos dipolares m agnéticos se vuelvan aleatorios otra vez: las fuerzas m agnéticas entre átomos son de m asiado débiles para m antener la alineación e im pedir la aleatoriedad. Este efecto sirve para enfriar' m ediante un proceso que se conoce com o desm agnetización adiabática. Se m agnetiza una m uestra a tem peratura constante. Los dipolos entran en un estado de energía m ínim a y se alinean com pleta o parcialm ente con el cam po aplicado; al hacerlo estos dipolos deben liberar
l.O 0.75 r
}L ey d e / r C u r ie 3
1.30 K i 2.00 K « 3.00 K ] ° 4 .21 K j
|
0.50
- T e o r ía j c u á n tic a -; — m o d e rn a!
0 .2 3 - r -
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1.0
2.0
3.0
4.0
B0/T{7/K) F
i g u r a
3 ;
O. En un material paramagnètico la razón de la
V
energía al m aterial circundante. Esta energía fluye en forma'He" calor hacia el recipiente térmico del entorno. Ahora, la m uestra está térm icam ente aislada de su ambiente y se desm agnetiza en form a adiabática. C uando la alineación de los dipolos se vuelve aleatoria, el aum ento de la energía m agnética de estos dipolos debe com pensarse con una reducción correspondiente de la energía interna del sistem a (ya que el calor no puede fluir hacia ni desde el sistem a aislado en un proceso adiabático.) A sí pues, la tem peratura de la m uestra debe descender. La tem peratura más baja que puede conseguirse depende del cam po residual causado p o r los dipólos. L a desmagnetización de los dipolos m agnéticos atóm icos sirve para alcanzar tem peraturas del orden de 0.001 K, en tanto que la desm agnetización de los dipolos m agnéticos nucleares, m ucho menores, perm ite obtener tem pe raturas por debajo de los 10~6 K.
líiamagnetisiuo En 1847 M ichael Faraday descubrió que una m uestra de bism u to era repelida por un im án fuerte. A esa sustancia la llamó dia m agnética. (En cambio, las sustancias param agnéticas siempre son atraídas por un im án.) El diamagnetismo se observa en to dos los m ateriales. Pero, generalmente es un efecto mucho más débil que el param agnetism o; por ello puede observarse m uy fá cilm ente sólo en los materiales no param agnéticos. Esos mate riales podrían ser los que presentan cero m om entos dipolares m agnéticos atóm icos, acaso provenientes de átomos que tienen varios electrones en su órbita y sus mom entos magnéticos orbi tales y de spín dan una sum a vectorial igual a cero. El efecto del diam agnetism o se parece al efecto de los cam pos eléctricos inducidos en electrostática: un fragm ento no cargado de m aterial com o el papel es atraído p o r una vari lla cargada de una u otra polaridad. Las m oléculas del papel no tienen m om entos dipolares eléctricos perm anentes, pero adquieren m om entos dipolares inducidos procedentes de la acción del cam po eléctrico; estos m om entos inducidos pue den después ser atraídos por el cam po (Fig. 25-5). E n los m ate riale s diam agnéticos, los átom os que ca re cen de m om entos dipolares magnéticos perm anentes adquieren m om entos dipolares inducidos, cuando se colocan en un cam po m agnético extem o, com o se com enta en la sección 35-2. Su pongam os que los electrones que giran alrededor de un átom o se com portan com o espiras de corriente. C uando se aplica un cam po ex tem o B 0, cam bia el flujo que pasa a través de dichas espiras. C onform e a la ley de Lenz, el m ovim iento debe cam biar de tal m anera que el cam po inducido se oponga al incre m ento del flujo. Un cálculo basado en las órbitas circulares (Prob. 7) m uestra que el cam bio de m ovim iento se logra ace lerando ligeram ente positiva o negativam ente, el m ovim iento orbital, en form a tal que la frecuencia circular asociada a di cho m om ento se m odifique en Ac
2m
(35-20)
d onde B 0 es la m agnitud del cam po aplicado, y m la m asa de un electrón. E n efecto, este cam bio de la frecuencia orbital
m odifica el m ovim iento m agnético orbital de un electrón (Ec. 35-8 y P rob. res. 35-5). Si quisiéram os acercar al p o lo norte de un im án un sólo átom o individual de un m aterial com o el bism uto, el cam po (que apunta alejándose del polo) tendería a in crem entar el flu jo que pasa a través de la esp ira de corriente, que representa un electrón circulante en el átom o de bism uto. L a ley de Lenz establece que debe h ab er un cam po inducido que apunte en d irección contraria (hacia el polo). E l polo norte inducido se halla en el lado de la esp ira h acia el im án y los dos polos nor te se repelen entre sí, com o se ve en la fig u ra 35-5. E ste efecto se presen ta cualquiera que sea el sentido de la rotación de la órbita o riginal; de ahí que la m agnetización de un m aterial diam agnético siem pre se opone al cam po aplica do. L a razón entre la contrib u ció n de la m agnetización al cam po /x0M, y el cam po aplicado B Q, está d ad a p o r xm — 1 se gún la ecuación 35-17, es de unos —ICE6 a —1 0 ^ 5 en los m a teriales diam agnéticos ordinarios. L a tabla 35-3 contiene algunos de estos m ateriales, ju n to con sus perm eabilidades.
Ferromagnetism© E l ferrom agnetism o, igual que el param agnetism o, se observa en m ateriales cuyos átom os tienen m om entos bipolares m agné ticos perm anentes. L o que los distingue de los m ateriales param agnéticos es que los ferrom agnéticos m uestran una fuerte interacción entre los átom os cercanos que conservan alineados sus m om entos bipolares, aun cuando se elim ine el cam po m agnético externo. En todo caso, el que ocurra esto depende de la intensidad de los dipolos y, com o el cam po dipolar cam bia con la distancia, tam bién de la separación entre los átom os del m aterial. A lgunos átom os pueden ser ferrom agnéticos en una clase de m aterial pero no en otra, p o r ser distinto su espaciam iento. E ntre los m ateriales ferrom agnéticos com unes a tem peratura am biente se cuentan el hierro, el cobalto y el n í quel. Los elem entos ferrom agnéticos m enos com unes, algunos de los cuales m uestran su ferrom agnetism o sólo en tem pera turas m uy por debajo de la tem peratura ambiente, son las tierras raras com o el gadolinio y el disprosio. Los com puestos y las aleaciones pueden ser ferrom agnéticas; por ejem plo, C r 0 9, in grediente básico de la cinta m agnetofónica; esta sustancia p er tenece a esta categoría a p esar de que el crom o ni el oxígeno son ferrom agnéticos a tem peratura am biente.
Podem os dism inuir la efectividad del acoplam iento entre átom os cercanos que causa el ferrom agnetism o, elevando la tem peratura de la sustancia. L a tem peratura a la cual un mate rial ferro m ag n ètico se convierte en uno p aram agnètico se lla m a tem peratura de Curie. P or ejem plo, la tem peratura de Curie del hierro es de 770°C; por arriba de esta tem peratura se vuelve param agnètico. L a tem peratura Curie del gadolinio es de 16°C; a tem peratura am biente es param agnètico y se transform a en fe rrom agnètico a tem peraturas m enores que los 16°C. E l cam po aplicado aum enta de m odo considerable en los ferro m ag n ético s. L a m ag n itud del cam po m agnético total B dentro de uno ferrom agnètico puede ser de IO3 o 104 veces m ay o r que la m ag n itu d del cam po aplicado B 0. L a perm eabi lidad /cm de un m aterial ferrom agnètico no es constante; tam p oco el cam po B ni la m agnetización M crecen linealm ente con B 0, ni siquiera con valores pequeños de B 0. H isté re sis y d o m in io s m a g n ético s. Introduzcam os un m ate rial ferro m ag n ètico com o el hierro en un solenoide, según se observ a en la fig u ra 35-8¿>. Suponem os que la corriente es cero al inicio y que el hierro no está m agnetizado, así que ori g in a lm e n te tan to B q com o M son cero. A u m en tam o s B 0 in crem entando la c o m en te en el solenoide. L a m agnetización aum enta rápidam ente al valor de saturación com o lo indica, en la figura 35-11, el segm ento ab. A hora reducim os la corriente a cero. La m agnetización no recorre nuevam ente su trayectoria original, sino que el hierro perm anece m agnetizado (en el pun to c) a p esar de ser cero el cam po aplicado B Q. Si invertim os después la dirección de la corriente en el solenoide, alcanzare m os una m agnetización saturada en la dirección contraria (punto d)\ retom ando a cero la corriente, descubrirem os que la m u estra m antiene u n a m agnetización perm an ente en el punto e. E nto n ces podem os aum entar de nuevo la corriente para re to m a r a la m agnetización saturada en la dirección original (punto b). L a trayectoria bcdeb puede seguirse una y otra vez. A l com portam iento descrito en la figura 35-11 se le cono ce com o histéresis. En los puntos c y e, el hierro está m agneti zado, aun cuando el solenoide no tenga co m ente. M ás aún, el hierro “recuerda” cóm o se magnetizó: una co m en te negativa produce una m agnetización distinta a la que produce una co rriente positiva. E sta “m em oria” es indispensable para que la in form ación se alm acene en form a magnética, com o ocurre en las cintas de los casetes o en los discos de com putadora.
M 1 5 = 3 P erm eabilidad relativa de algunas sustan ÍA 3 L cias diam agnéticas a tem p eratu ra ambiente Sustancia Mercurio Plata Bismuto Alcohol etílico Cobre Dióxido de carbono (1 atm) Nitrógeno (1 atm)
A'm
“-1
-3 .2 X í c r 5 -2 .6 X 1 (T 5 -1 .7
X íc r5
-1 .3
X
íc r5
-9 .7 X
IO “ 6
X
íc r8
-5 .4 X
íc r9
-1 .1
F i g u r a 3 S - 1 1 . Variación de la magnetización de una muestra de material ferromagnètico a medida que se modifica el campo aplicado. La trayectoria bcdeb se conoce como curva de histéresis.
(3 /2 )kT (Sec. 22-4). Estas dos energías tienen la misma magnitud cuando la temperatura es T=
/xg
= (3.3)(9.27 X ÍCT24 J/T)(5.2 T)
(3/2)* _
(1.5X1.38 X IO"23 J/K)
= 7.7 K.
P r o b l e m a R e s u e l t o 3 3 - 5 . Calcule el cambio del momento magnético en un electrón que circula en un campo aplicado B0 de 2.0 T que actúa perpendicularmente al plano de la órbita. Supongamos que r = 5.29 X 10- u m para el radio de la órbita, correspondiente al es tado normal de un átomo de hidrógeno.
Solución Podemos escribir así la ecuación 35-9: /x
F i g u r a 3 5 - 1 2 . Patrones de dominio en un cristal simple de níquel. Las líneas blancas, que indican las fronteras de los dominios, son producidas por el polvo de óxido de hierro esparcido en la superficie. Las flechas señalan la orientación de los dipolos magnéticos dentro de los dominios.
= | erv — j er2iv,
usando para ello v = reo. Entonces, el cambio A/a del momento mag nético correspondiente al de la frecuencia angular es A/a = \ e r 2 Aco —
eB0 2m
4m
_ , (1-6 X 1Q-|1JC);(2.0T)(5.29 X 1 0 "' 1 m)2 4(9.1 X KT31 kg) U n m aterial ferrom agnètico se acerca a la saturación a través de un m ecanism o distinto al de un m aterial p aram ag n è tico (que describim os sirviéndonos de la rotación de dipolos m agnéticos individuales que los alinean con el cam po aplica do). U n m aterial com o el hierro se com pone de un a gran can tidad de cristales m icroscópicos. En cada uno hay dom inios m agnéticos, regiones que m iden aproxim adam ente 0.01 m m y en que el acoplamiento de los dipolos magnéticos atóm icos produce esencialm ente una alineación perfecta de todos los áto mos. En la figura 35-12 se incluye un patrón de dom inios en un cristal simple de níquel ferrom agnètico. Existen m uchos dom i nios: sus dipolos apuntan hacia varias direcciones y el resultado neto de sum ar estos m om entos dipolares en un m aterial ferromagnético no m agnetizado da m agnetización cero. C uando el ferrom agnètico se coloca en un cam po ex ter no, pueden presentarse dos efectos: 1) los dipolos fuera de las paredes de los dom inios que se alinean con el cam po pueden girar y alinearse, perm itiendo con ello que tales dom inios crez can a expensas de los dom inios cercanos; 2) los dipolos de los dom inios no alin ead o s p u ed en o sc ila r e n teram en te h a s ta alinearse con el cam po aplicado. E n uno y otro caso hay ahora m ás dipolos alineados con él y el m aterial presenta gran m agnetización. C uando se elim ina el cam po, las paredes del dominio no recobran por com pleto su posición anterior y el m a terial conserva una m agnetización en dirección del cam po aplicado. P r o b l e m a R e s u e l t o 3 S - 4 - . Una sustancia paramagnètica consta de átomos con un momento dipolar magnético de 3.3 /xB. Se pone en un campo magnético de 5.2 T de intensidad. ¿A qué tempe ratura debe enfriarse esta sustancia para que la energía magnética de sus átomos alcance la magnitud de la energía cinética traslacional media por átomo?
Solución La energía magnética de un dipolo en un campo extemo es U = —p. ■B, y la energía cinética traslacional media por átomo,
= ± 3 .9 X 1CT29 J/T,
donde hemos empleado la ecuación 35-20 para Ao». En comparación con el valor del momento magnético /Xg = 9.27 X 10~24 J/T, comprobamos que este efecto representa apenas 4 X 10~6 aproximadamente, del momento magnético. Ello coincide con el orden de magnitud previsto en los efectos diamagnéticos (Ta bla 35-3).
■se» E L M A G N E T ISM O D E LO S PLA N ETA S (opcional) A p esar de que las brújulas m agnéticas se han utilizado, por varios siglos, com o instrum entos de navegación, no se sabía con ex actitud el por qué funcionaban así hasta 1600, cuando Sir W illiam G ilbert — m ás tarde físico oficial de la R eina Elizabeth I— propuso que la Tierra era un enorm e im án con un polo m agnético cerca de cada polo geográfico. Investigadores posteriores han descrito m inuciosam ente el cam po m agnético de la T ierra y las naves interplanetarias han estudiado los cam pos m agnéticos de otros planetas. El cam po de la T ierra puede considerarse aproxim ada m ente el de un dipolo m agnético, con un m om ento /x = 8.0 X 1022 J /T . E l cam po en la superficie tiene una m agnitud que fluctúa entre 30 /xT cerca del ecuador y unas 60 /xT cerca de los p olos. E n u n dipolo, cabe esperar que el cam po m agnéti co en el eje sea el doble del cam po en la m ism a distancia a lo largo del bisector, com o en el caso de un dipolo eléctrico (Sec. 26-3). E stos valores del cam po m agnético de la T ierra co n cuerdan con dichas expectativas. E l eje del dipolo form a un ángulo aproxim ado de 11.5° con el eje rotacional terrestre (que tam bién fo rm a un ángulo de 23.5° co n la no rm al al plano de la ó rb ita de la T ierra al rededor del Sol, com o se observa en la Fig. 35-13). Lo que lla m am os com únm ente polo norte m agnético, situado en el
F i g u r a 3 5 - 1 4 - . Aurora boreal muy impresionante, conocida también como “luces del Norte”.
F i g u r a 3 5 - 1 3 . Representación simplificada del campo magnético de la Tierra cerca de la superficie. Nótese que el polo norte magnético es en realidad el polo sur del dipolo que representa al campo de la Tierra. El eje magnético se encuentra más o menos a la mitad entre el eje de rotación y la normal al plano de la órbita terrestre (línea punteada vertical).
norte de C anadá, es en realid ad el polo sur del dipolo terres tre, tal com o lo defin im o s h aciendo converger las líneas del cam po m agnético. E ste polo , ubicado en el A ntàrtico, se re presenta m ediante el p o lo n orte de un dipolo porque de él salen las líneas de B . D ich o con otras palabras, cuando utili zam os una brú ju la m ag n ética p ara determ inar la dirección, el extrem o que apunta al norte es un verdadero polo norte del im án suspendido en la b rújula; lo atrae un polo sur verdade ro, que se h alla cerca del polo norte geográfico de la Tierra. El cam po m agnético de la T ierra tiene im portancia práctica no sólo en la navegación, sino tam bién en la exploración y en las com unicaciones. D e ahí que haya sido estudiado de m odo exhaustivo desde hace m uchos años, en la superficie mediante la medición de su m agnitud y dirección y arriba de ella por m e dio de satélites. Entre sus efectos se encuentran los cinturones de radiación de Van A lien que rodean la T ierra (Fig. 35-15) y las llam adas “luces del N o rte ” , el conocido fenóm eno de la aurora boreal* (Fig. 35-14). E n virtud de que se en cu en tran rocas m agnetizadas en el suelo, es tentador p en sar que un núcleo de rocas m agnetiza das perm anentem ente es la fuente del cam po m agnético de la Tierra. Pero la h ip ó tesis no p uede ser correcta, porque el nú cleo tiene una tem p eratu ra m ayor, de m iles de grados, que la
* Consúltese “The Dynamic Aurora”, de Syun-Ichi Akasofu. Scientific Ame rican, mayo de 1989, p. 90.
tem p eratu ra de C urie del hierro. En consecuencia, el hierro del núcleo terrestre no puede ser ferrom agnético. M ás aún, las m ediciones efectuadas en los últim os cien tos de años indican que el polo norte m agnético em igra en re lación con el polo norte geográfico; basándonos en el registro g eológico sabem os que los polos se invierten en una escala tem p o ral de m iles de años. (M ás aún, com o verem os m ás ade lante, algunos planetas del sistem a solar con com posición pa recida a la de la Tierra carecen de cam po magnético; en cambio, oíros que no contienen m aterial m agnético p resentan cam pos m uy grandes.) Tales observaciones son difíciles de explicar p artiendo de la suposición de la existencia de un núcleo con m agn etizació n perm anente. N o se conoce bien la fuente ex acta del m agnetism o te rrestre, pero quizá intervenga alguna especie de efecto dínamo. E l núcleo externo contiene m inerales en estado líquido, los cuales conducen la electricidad fácilm ente. U n pequeño cam po m agnético inicial causa que las c o m e n te s fluyan en este c o n d u ctor m óvil, de acuerdo con la ley de inducción de Faraday. L as c o m e n te s pueden intensificar el cam po m agnético y es precisam en te el cam po intensificado lo que observam os en el cam po terrestre. N o obstante, el estudio de la inducción in d ica que un conductor al m overse en un cam po m agnético ex p erim en ta una fuerza de frenado. Todavía no se conoce la fu en te de energía necesaria para co n trarrestarla y m antener en m ov im ien to el núcleo. L a T ierra contiene un registro de los cam bios de direc ción y de m agnitud del cam po. P o r ejem plo, en los restos de cerám ica antigua hay dim inutas partículas de hierro que se m agn etizaro n en el cam po terrestre al enfriarse la cerám ica d espués de quem arse. A p artir de la intensidad de la m agneti zación de estas partículas se deduce la in tensidad del cam po terrestre en el tiem po y en el sitio de la com bustión. U n regis tro geológico de origen sim ilar se conservó en el suelo del m ar (Fig. 35-15). A m edida que el m agm a fluye de un cerro y se solidifica, se m agnetizan las partículas de hierro. L a direc ción de su m agnetización indica la dirección del cam po te-
C o r d ille r a e n m i ta d d e l A tlá n tic o
a)
F i g u r a 3 S - 1 5 . Al salir el material fundido por una cordillera en el fondo del mar y al enfriarse, conserva un registro de la dirección del campo magnético de la Tierra en ese momento (flechas). Cada segmento podría representar un tiempo de 100,000 a 1,000,000 de años.
rrestre. A partir de los patrones de m agnetización podem os deducir que los polos de la T ierra se han invertido con gran regularidad a lo largo de la historia geológica. L a inversión tiene lugar aproxim adam ente cada 100,000-1,000,000 años y su frecuencia ha aum entado últim am ente. N o se conocen las causas de esta inversión ni de su rapidez acelerada, pero al p a recer el efecto dínam o interviene de alguna m anera.* En años recientes, las sondas espaciales interplanetarias han logrado m edir la dirección y m agnitud de los cam pos m agnéticos de los planetas. L as observaciones corroboran el m ecanism o de dínam o com o fuente de esos cam pos. L a tabla 35-4 ofrece los valores de los m om entos d e dipolo m agnético y de los cam pos m agnéticos superficiales de los planetas. Venus, cuyo núcleo se asem eja al de la T ierra, carece de cam po porque su rotación es dem asiado lenta (una cad a 244 días terrestres) para sostener el efecto dínam o. M arte, cuyo periodo rotacional dura casi lo m ism o que el de la T ierra, tie-
* Véase “ The Evolution of Earth’s Magnetic Field”, de Jeremy Bloxham y David Gubbins, Scientific American, diciembre de 1989, p. 68; y “The Sour ce of the Earth’s Magnetic Field”, de Charles R. Carrigan y David Gubbins, Scientific American, febrero de 1979, p. 118.
'Ài 3 s - 4
Campos magnéticos en el sistema solar
Planeta
/x(A • m2)
Mercurio Venus Tierra Marte Júpiter Saturno Urano Neptuno
5 X 1019 < 1019 8.0 X 1022 1.5 X 1019 1.6 X 1027 4.7 X 1025 4.0 X 1024 2.2 X 1024
b)
a) Alineación del eje del dipolo magnético de Júpiter en relación con su eje de rotación y con el plano de su órbita. Nótese que, en contraste con la Tierra, el polo norte magnético es un polo norte verdadero del campo dipolar. b) Alineación del eje del dipolo magnético de Urano. F ig u r a
3 5-1 S.
ne un cam po dim inuto porque, al parecer, su núcleo es muy pequeño; este hecho se deduce de la m edición de la densidad del núcleo de M arte. L os planetas m ás lejanos (de Júpiter en adelante) se com ponen principalm ente de hidrógeno y de h e lio, m ateriales que generalm ente no se consideran m agnéti cos; no obstante, cerca de ellos, y a tem peraturas y presiones elevadas, el hidrógeno y el helio pueden com portarse com o m etales; p o r tanto, m uestran, en particular, una gran conduc tividad. eléctrica, y esto perm ite el efecto dínam o. L a figura 35-16 m uestra el alineam iento del eje rotacional y del eje del cam po m agnético de Júpiter y U rano; com páre lo con el d e la T ierra que se m uestra en la figura 35-13. N ó tese que el eje rotacional de U rano es casi paralelo al plano de su órbita, en contraste con otros planetas. N ótese asim ism o que el eje m agnético de U rano está m al alineado con su eje rotacional y que el dipolo está desplazado del centro del pla neta. P or desgracia, la inform ación obtenida m ediante la ob servación sobre los planetas proviene de los vuelos espaciales que p erm anecieron cerca de U rano alrededor de un día. Si se p udiera ex am inar otras propiedades y sus registros geográfi cos, se conocería m ucho m ejor el origen del m agnetism o de los planetas.* P r o b l e m a R e s u e l t o 3 5 - 6 . Una medición de la componente horizontal Bh del campo terrestre en Tucson (Arizona) dio un valor de 26 /zT. Se suspende un imán pequeño como una brújula que osci la libremente en un plano vertical; se mide así el ángulo entre la di rección del campo y el plano horizontal, denominado inclinación o
B en la superficie (/xT) 0.35 < 0.01 30 0.04 430 20 30 20
* Consúltese “Magnetic Fields in the Cosmos”, de E. N. Parker, Scientific American, agosto de 1983, p. 44; y “Uranus”, de Andrew P. Ingersoll, Scien tific American, enero de 1987, p. 38.
F i g u r a 3 5 - 1 7 . Problema resuelto 35-6. Los componentes horizontales y verticales del campo magnético de la Tierra cerca de Tucson (Arizona). El ángulo <¡>- es el ángulo de inclinación.
ángulo inclinado <£¡. El que se midió en Arizona era de 59°. Calcule la magnitud del campo y su componente vertical en esa localidad. Solución Como se aprecia en la figura 35-17, la magnitud del cam po puede obtenerse de Bh eos 0¡
26 fj.T = 50 txY. eos 59°
La componente vertical está dada por £ v = Bh tan c¡>-, = (26 p.T)(tan 59°) = 43 p.T. Como se espera en un campo dipolar (Fig. 35-13), los valores medi dos del ángulo inclinado fluctúan entre 0° cerca del ecuador (en rea lidad, el ecuador magnético) y 90° cerca de los polos magnéticos.
3 3 = 7 L E Y D E GAU SS A PL IC A D A A L M A G N E T IS M O E n la figura 35-18« se d escribe gráficam ente el cam po relacio nado con una varilla aislante qu e tiene iguales cantidades de cargas positiva y negativa colocadas en los extrem os opuestos. Esto es un ejem plo de un dipolo eléctrico. La figura 35-1 S¿>
v
y
'V-r/V' ¡rV pw ra e
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~
..
m u estra el caso análogo del dipolo m agnético, com o el cono cido im án de barra, con un polo norte en un extrem o y un po lo su r en el otro. E n este nivel los casos eléctrico y m agnético se asem ejan m ucho. (C om pare la figura 26-146 con la figura 32-6 y verá otro ejem plo de esta sem ejanza.) D e hecho, estamos tentados a postular la existencia de polos m agnéticos indivi duales parecidos a las cargas eléctricas; si existieran, produci rían cam pos m agnéticos (sim ilares a los creados por las cargas) proporcionales a la fuerza del polo e inversam ente pro po rcionales al cuadrado de la distancia de él. C om o veremos luego, esta hipótesis no concuerda con el experim ento. C ortem os a la m itad los objetos de la figura 35-18 y se parem os las dos m itades. E n la figura 35-19 se ve que los ca sos eléctrico y m agnético ya no son sim ilares. En el prim ero hay dos objetos que, al ser separados p o r una d istancia bas tante grande, p odrían considerarse cargas p untuales de pola rid ad opuesta, p roduciendo cada una un cam po representativo de una carga puntual. E n cam bio, en el caso m agnético no se o btien en polos norte y sur aislados, sino un p ar de im anes con sus p ropios polos norte y sur. L a diferencia anterior parece ser im portante entre los di p olos eléctricos y m agnéticos: un dipolo eléctrico puede divi d irse en sus cargas sim ples constitutivas (o “p o lo s”), no así el dip o lo m agnético. C ada vez que intentam os dividir un di po lo m agnético en polos norte y sur individuales, cream os un nuevo p ar de polos. E ste proceso ocurre m icroscópicam ente, es d ecir a nivel de los átom os individuales. C ada átom o se co m p o rta com o un dipolo m agnético con un polo norte y sur; po r lo que hasta ahora conocem os, el dipolo no aparece como uno solo aislado, sino com o la unidad fun d am en tal m ás pe q u eñ a de la estructura m agnética. E sta diferencia entre los cam pos eléctrico y m agnético tiene una expresión m atem ática en la ley de G auss. E n la fi gura 35-18(3, el flujo del cam po eléctrico que pasa a través de las superficies gaussianas d epende de la carg a n e ta encerrada
.
V \ t Ÿ V 7 — S u p e r f ic ie s sea ¡ g a u s s ia n a s
!
?
Vi V. ' a) F i g u r a 3 5 -1 3 . a) Dipolo eléctrico, que consta de una varilla aislante con una carga positiva en un extremo y con una carga negativa en el otro. Se muestran varias superficies gaussianas. b) Dipolo magnético, constituido por un imán de barra con un polo norte en un extremo y con un polo sur en el otro.
a)
b)
F i g u r a 3 5 - 1 S. a) Cuando el dipolo eléctrico de la figura 37-18« se corta a la mitad, se aísla la carga positiva en un trozo y la carga negativa en el otro, tí) Cuando el dipolo magnético de la figura 35-186 se corta a la mitad, aparece un nuevo par. Obsérvese la diferencia en los patrones del campo.
por ellas. Si la superficie no eng lo b a un a carga ni una carga neta (es decir, m agnitudes iguales de carga p ositiva y n egati va com o el dipolo entero), el flujo del cam po eléctrico a tra vés de la superficie es cero. Si la superficie atraviesa el dipolo y encierra u n a carga neta q, el flu jo d>£ del cam po eléctrico está dado p o r la ley de G auss: (35-21)
3E ■d A — q í6q .
Tam bién podem os co n stru ir superficies gaussianas para el cam po m agnético, com o se señala en la fig u ra 35-18A Si la superficie gaussiana no contiene una “carga m agnética” neta, el flujo del cam po m agnético a través de ella será cero. No obstante, com o hem os visto, in clusive esas superficies gau s sianas que cruzan el im án de b arra no encierran una carga m agnética, pues todos los cortes a través del im án producen una pieza que tiene polo norte y sur. L a ley de G auss en su forma m agnética se escribe así (35-22)
$ , = ( ) B ' ¿ A = 0.
El flu jo neto del cam po m agnético que p a sa a través de cu a l quier superficie cerrada es cero. L a fig u ra 35-20 m u estra u n a rep resen tació n m ás d eta llada de los cam pos m agn ético s de un im án de barra y de un solenoide, pudiéndose considerar am bos com o dipolos m ag néticos. A dviértase en la figura 35-20a que las líneas de B entran en la superficie gaussiana dentro del im án y salen de él. El flujo total hacia adentro es igual al flujo total hacia afuera; y es cero el flujo neto p o r la superficie. Lo m ism o
k j / ' Superficiegaussiana
sucede con la superficie gaussiana que cruza el solenoide de la figura 3 5 -20b. En ninguno de los dos casos hay un punto de donde partan las líneas de B o hacia el cual conveijan, es de cir, no existe una carga m agnética aislada.
Monopolios m agnéticos E n el capítulo 27 m ostram os que la ley de G auss aplicada a los cam pos eléctricos equivale a la de C oulom b, ésta se basa en la o b servación experim ental de la fuerza entre cargas p u n tuales. L a ley de G auss aplicada al m agnetism o tam bién se basa en una observación experim ental, que es im posible vel los polos m agnéticos aislados, com o un solo polo norte o sur. E n 1931 el físico teórico Paul Dirac propuso que existían cargas m agnéticas aisladas, basándose para ello en argum entos que in clu ían la m ecá n ica cu án tica y la sim etría. A esas car gas las llam ó m onopolos m agnéticos y predijo algunas pro piedades básicas esperadas de dichos m opolos, entre ellas la m agnitud de la “carga m agnética (análogo a la carga electróni ca e). D espués de la predicción de Dirac, se em pezó a buscar los m onopolos m agnéticos utilizando grandes aceleradores de partículas y analizando m uestras de m ateria terrestre e interpla netaria. N inguna de las prim eras investigaciones aportó prue bas en favor de la existencia de m onopolos m agnéticos. E l interés por los m onopolos m agnéticos ha decaído ante los intentos recientes por unificar las leyes de la física, integran do la s’fuerzas débiles, fuertes y electrom agnéticas en un solo modelo. E stas teorías predicen la existencia de m onopolos m ag néticos extrem adam ente m asivos, unas 1016 veces la masa del protón. Se trata de un volum en demasiado grande para cualquier acelerador existente en la Tierra; de hecho, las únicas condicio nes conocidas en que esos monopolos pudieron haberse cons truido ocurrieron en la m ateria densa y caliente de los primeros años del universo. La búsqueda de m onopolos m agnéticos pro sigue, pero sin que hasta la fecha se haya conseguido evidencia convincente acerca de su existencia. * En el m om ento actual su ponem os que los monopolos no existen y que, por lo mismo, la ecuación 35-22 es exacta y universalm ente válida, o que, si exis ten, son tan raros que la ecuación es una aproxim ación m uy precisa. L a ecuación 35-25 se convierte entonces en una des cripción fundam ental del com portam iento de los campos m ag néticos en la naturaleza y se incluye com o una de las cuatro ecuaciones del electrom agnetism o de M axw ell.
./B \\ b)
4 ¿A
F i g u r a 3 5 - 2 0 . Las líneas de B de a) un imán de barra y b) de un solenoide corto. En ambos casos el polo norte está en la parte superior de la figura. Las líneas punteadas representan las superficies
gaussianas.
*Véase "Searches for Magnetic Monopoles and Fractional Electric Charges”, de Susan B. Felch, The Physics Teacher, marzo de 1984, p. 142. Véase tam bién “Superheavy Magnetic Monopoles”, de Richard A. Carrigan, Jr. y W. Peter Trower, Scientific American, abril de 19S2, p. 106.
Op c i ó n m ú l t i p l e ■i E! d ip o lo m a g n é tic o 1. Un dipolo magnético está orientado en un campo magnético uniforme, de modo que la energía potencial tiene su nivel má ximo. La magnitud de su par sobre el dipolo A) será máxima. B) será mínima. C) dependerá de la fuente del dipolo magnético. 2 . Un imán simple de barra cuelga de una cuerda como se ve en la figura 35-21«. Se crea entonces un campo magnético uniforme B dirigido horizontalmente a la derecha. ¿Cuál de las imágenes de la figura 35-215 muestra la orientación de equilibrio del imán?
35-
a) F
b)
ig u r a
A/
3 5 -2 1
. Pregunta de opción múltiple 2.
L a fu e rz a so b re u n dipolo en u n c a m p o n o u n ifo rm e 3. Un dipolo magnético se halla en un campo magnético no unifor me. El dipolo A) siempre será atraído a la región con un campo magnéti
3 5 -2
co m ás fuerte.
B) siempre será repelido de la región con un campo mag nético más fuerte. C) podría ser repelido, pero finalmente caerá y será atraído a la región con un campo magnético más fuerte. D) podría ser atraído, pero caerá y luego será repelido de la región con un campo magnético más fuerte. 4. Con distancias d mucho mayores que las dimensiones de los di polos magnéticos, la fuerza entre dos dipolos será proporcional a A) ¿T6. B) c r A, C) d - \ D) d~2. 3 5 - 3 M a g n e tism o a tó m ic o y n u c le a r 5. ¿Cuál de las siguientes opciones no contribuye mucho a las pro piedades magnéticas de una sustancia? A) Los momentos magnéticos orbitales de los electrones B) Los momentos magnéticos de spín de los electrones C) Los momentos magnéticos de protones y de neutrones D) Todos contribuyen igual. M a g n e tiz a c ió n 6. ¿Cuál de las siguientes son unidades de magnetización M? A) T B) T /m 3 C) C /m • s D) C • m /s
3 5 -4
3 5 - s M a te ria le s m a g n é tic o s 7. ¿Q ué tipo de su stan cia tiene los m om entos m ás grandes de
dipolo A) C) D)
magnético? Paramagnètica B) Diamagnética Ferromagnètica Las sustancias paramagnéticas y ferromagnéticas tien den a ser más o menos iguales, en tanto que las diamag néticas no tienen un momento magnético permanente. E) Los tres tipos son más o menos iguales.
8. ¿Qué sucede cuando ponemos una sustancia paramagnética en un campo magnético extemo? A) Los momentos dipolares atómicos se debilitan un poco, pero tienden a alinearse con el campo extemo. B) Los momentos dipolares atómicos se fortalecen un po co y tienden a alinearse con el campo extemo. C) Los momentos dipolares atómicos se debilitan un poco y tienden a alinearse contra el campo extemo. D) Los momentos dipolares atómicos se fortalecen un po co, pero tienden a alinearse contra el campo extemo. 9. Un pequeño imán de barra cilindrico tiene un diámetro de 1 cm, una longitud de 2 cm y un momento dipolar de 5 J/T. Suponien do que el campo magnético fuera producido por una espira de comente alrededor del imán, ¿qué magnitud tendría esta co rriente? A) 0.7 mA B) 0.7 A C) 70 A D) 70,000 A 3 5 - s E l m a g n e tis m o d e los p la n e ta s 10. Suponga que el momento dipolar magnético terrestre se debe a un anillo de carga en el ecuador y a la rotación de la Tierra al rededor de su eje. a) ¿Qué signo tendrá esta carga? A) Positivo B) Negativo C) Cualquiera de las dos respuesta producirá el mismo mo mento dipolar. b) ¿Qué estimación se aproxima más a la cantidad de carga re querida? A) 1015C B) 105 C C) 1(T5 C D) I ( T 15C 3 5 - 7 L ey d e G a u ss a p lic a d a al m a g n e tis m o 11. ¿Cuáles serían las unidades apropiadas para que existiese un monopolo magnético? A) W b/T B) T /m 3 C) C • m /s D) C /T E) La carga del monopolo exigiría introducir una nueva unidad. 12. Un monopolo magnético (¿hipotético?) pasa por una espira de alambre. ¿Cuál de las gráficas de la figura 35-22 muestra la co rriente en función del tiempo que tarda en cruzarla?
i^ E O T N m s 1. En el problema resuelto 35-1 demostramos que 2/jB es el traba jo requerido para girar una espira de corriente, extremo por ex tremo en un campo magnético extemo. ¿Es válido este resultado sin importar la orientación original que tenía la espira? 2. El par ejercido por un campo magnético sobre un dipolo mag nético sirve para medir la intensidad del campo. En una medi ción minuciosa, ¿importa si el momento dipolar era pequeño o no? Recuerde que, en el caso de la medición de un campo eléc trico, la carga de prueba debía ser lo más pequeña posible para no perturbar la fuente del campo. 3. Recibe una esfera sin fricción del tamaño de una bola de ping pong y le dicen que contiene un dipolo magnético. ¿Qué expe rimentos realizará para conocer la magnitud y la dirección de su momento dipolar magnético? 4. ¿Cómo podría medir el momento dipolar magnético de la aguja de una brújula?
15. Comenzando con X y Y en las posiciones y orientaciones de la figura 35-23, con X fijo y con Y que gira libremente, ¿qué su cede si a y X es un dipolo eléctrico y si Y es un dipolo magnéti co; b) si X y Y son dipolos magnéticos; c) si X y Y son dipolos eléctricos? Conteste las mismas preguntas si Y está fijo y si X gira libremente.
A
F ig u r a
3 3 - 2 3 . P regunta 15.
5. Una espira circular de alambre está en el piso de un cuarto donde está usted sentado. Transporta una corriente constante i en direc ción de las manecillas del reloj, vista desde arriba. ¿Qué dirección tiene el momento dipolar magnético de esta espira de corriente?
16. Es usted un fabricante de brújulas, a) Describa cómo podría magnetizar las agujas, b) El extremo de la aguja que apunta al norte suele pintarse en un color típico. Sin suspender la aguja en el campo de la Tierra, ¿cómo podría averiguar cuál extremo pin tar? c ) ¿Es el extremo pintado un polo magnético norte o sur?
6. Dos barras de hierro tienen aspecto idéntico. Una es un imán, y la otra no. ¿Cómo las distinguiría? No se le permite suspender ninguna de ellas como aguja de brújula ni utilizar un aparato que no sean las dos barras.
17. ¿Esperaría usted que la magnetización de saturación en una sus tancia paramagnética fuera muy distinta a la de una sustancia ferromagnética más o menos del mismo tamaño? Explique su respuesta afirmativa o negativa.
7. Dos barras de hierro siempre se atraen, cualquier que sea la combinación en que acerquemos sus extremos. ¿Puede con cluirse que una de ellas ha de estar no magnetizada?
18. ¿Puede dar una razón del hecho de que los materiales ferromagnéticos se vuelvan puramente paramagnéticos a profundidades mayores que unos 20 Ion debajo de la superficie terrestre?
8. ¿En qué se parecen o se distinguen los siguientes fenómenos? a) Una varilla cargada puede atraer pequeñas piezas de aislan tes sin carga, b) un imán permanente puede atraer una muestra no magnetizada de material ferromagnético. 9. ¿Cómo puede determinarse la polaridad de un imán no marcado? 10. Demuestre que por lo regular una carga positiva que gira tendrá un momento magnético de spín que apunta en la misma direc ción que su momento angular de spín. 11. El neutrón, partícula sin carga, tiene un momento dipolar mag nético. Según el electromagnetismo clásico, ¿es posible eso o esta prueba por sí misma indica que se ha violado el electro magnetismo clásico? 12. ¿Deben todos los imanes permanentes tener polos norte y sur identificables? Considere formas distintas a las de un imán debarra y a la de una herradura de caballo. 13. Suponga dos situaciones: a) con una velocidad constante un monopolo magnético (hipotético) se jala a través de una espi ra conductora de una vuelta a lo largo de su eje; b) lo mismo se hace con un imán corto de barra (un dipolo magnético). Compa re cualitativamente las cantidades netas de carga transferidas en una sección transversal de la espira durante los dos procesos. Los experimentos destinados a detectar' posibles monopolos magnéticos aprovechan esas diferencias. 14. Mediante una prueba se descubre que una varilla corta de hierro tiene un polo norte en cada extremo. Usted esparce limaduras de hierro en ella. ¿Dónde (en el caso más simple) se adherirán? Ha ga un dibujo aproximado de qué aspecto deben presentar las lí neas de B, tanto dentro de la varilla como fuera de ella.
19. Se quiere desmagnetizar una muestra de material ferromagnéti co que retiene el magnetismo adquirido cuando se pone en un campo externo. ¿Para lograrlo debe elevarse la temperatura de la muestra hasta que alcance la temperatura de fusión? 20. La magnetización inducida en una esfera diamagnética por un campo varía con la temperatura, en gran contraste con la si tuación en el paramagnetismo. Explique este comportamiento basándose en la descripción que dimos del origen del diamagnetismo. 21. Explique por qué un imán atrae un objeto no magnetizado de hierro; por ejemplo, un clavo. 22. ¿Una fuerza neta o par actúa a) sobre una barra de hierro no magnetizada o b) sobre un imán permanente de barra cuando se pone en un campo magnético uniforme? 23. Ponemos en reposo un anillo sobre una mesa sin fricción cerca de un imán fuerte. Lo liberamos y lo atrae el imán. ¿Cuál es la fuente de la energía cinética que tiene poco antes que choque contra el imán? 24. Se dice que los superconductores son perfectamente diamagné ticos. Explique esto. 25. Explique por qué un pequeño imán de barra que se coloca ver ticalmente arriba de un tazón hecho de plomo superconductor no necesita fuerzas de contacto que lo sostengan. 26. Compare las curvas de magnetización de una sustancia para magnética (Fig. 35-10) y de una sustancia ferromagnética (Fig. 35-11). ¿Qué aspecto tendrá una curva similar de una sustancia diamagnética?
27. ¿Por qué las limaduras de hierro se alinean con un campo mag nético? Después de todo, no tienen magnetización intrínseca? 28. El campo magnético terrestre puede representarse muy bien mediante el de un dipolo magnético situado en el centro de la Tierra o cerca de él. Podemos concebir los polos magnéticos de ella como a) los puntos donde el eje de este dipolo craza la su perficie terrestre o ti) como los puntos de la superficie donde una aguja inclinada apuntaría verticalmente. ¿Se trata necesa riamente de los mismos puntos? 29. ¿Existen lugares de Estados Unidos donde una brújula magné tica apunte al polo norte geográfico? 30. Un “amigo” le pide prestada su brújula favorita y pinta de rojo toda la aguja. Cuando usted descubre esto, está perdido en una cueva y lleva dos linternas, unos cuantos metros de alambre y, desde luego, este libro. ¿Cómo podría descubrir cuál extremo de la aguja de la brújula apunta al norte? 31. ¿Cómo puede magnetizar una barra de hierro si la Tierra es el único imán disponible? 32. ¿Cómo protegería cierto volumen del espacio contra los campos magnéticos externos? Si piensa que no es posible, explique por qué.
33. Los rayos cósmicos son partículas cargadas que chocan contra la atmósfera provenientes de una fuente externa. Comprobamos que más rayos cósmicos de poca energía llegan a ella cerca de los polos magnéticos norte y sur que al ecuador (magnético). Explique a qué se debe eso. 34. Los campos magnéticos repelen sustancias diamagnéticas. ¿Por qué una sustancia diamagnética no “brinca” y se ve atraída co mo cualquier otro dipolo magnético? 35. ¿Cómo podría medirse el momento dipolar magnético de la Tierra? 36. Dé tres razones para creer que el flujo í>g del campo magné tico terrestre es mayor en los confines de Alaska que en los de Texas. 37. La aurora se observa con mayor frecuencia no en el polo norte ni en el sur, sino en latitudes magnéticas de unos 23° de los polos (que cruzan la Bahía de Hudson —por ejemplo— en el hemis ferio geomagnético norte). ¿Se le ocurre alguna razón cualitati va por la cual la actividad de la aurora no debería alcanzar su máxima intensidad en ellos? 38. ¿Se le ocurre un mecanismo por el cual una tormenta magnéti ca — es decir—■una gran perturbación del campo magnético de la Tierra, interfiere con la comunicación por radio?
aI/JERCICIQS 3 5 -1 E l d ip o lo m a g n é tic o 1. El momento dipolar magnético de la Tierra es 8.0 X 1022 J/T. Suponga que esto se debe a las cargas que fluyen en el núcleo externo fundido de la Tierra. Si el radio de la trayectoria circu lar es 3500 km, calcule la corriente requerida. 2. Una bobina circular de 160 vueltas tiene un radio de 1.93 cm. a) Calcule la corriente que crea un momento magnético de 2.33 A • m2. ti) Determine el par máximo que la bobina que lle va esta corriente puede experimentar en un campo magnético uniforme de 34.6 mT. 3. En el plano xy dos espiras circulares concéntricas, de 20.0 y 30.0 cm de radio, transportan una corriente de 7.00 A en dirección de las manecillas del reloj, como se indica en la figura 35-24. a) Calcu le el momento magnético neto de este sistema, ti) Repita el ejer cicio si se invierte la corriente externa.
a su plano forme un ángulo de 41.0°, con un campo magnético uniforme de 1.20 T. a) Calcule su momento dipolar magnético. b) Determine el par de la espira. 5. El campo magnético B en varios puntos del eje de una espira cuadrada de comente de lado a se obtuvo en el problema 4 del capítulo 33. a) Demuestre que el campo axial de la esfera con z » a es el de un dipolo magnético, ti) Determine el momento dipolar magnético de la espira. 6. Una espira circular de alambre que tiene un radio de 8.0 cm transporta una corriente de 0.20 A. Un vector unitario paralelo al momento dipolar /I está dado por 0.60i — O.SOj. Si la espira se encuentra en un campo magnético dado por B = (0.251 + 0.30k) T, obtenga a) el par en ella y ti) la energía potencial mag nética de la espira. 7. Recibe un circuito cerrado de radios a y b, como se indica en la figura 35-25, que lleva una corriente i. Determine el momento de dipolo magnético del circuito.
F ig u r a F ig u r a
3 5-2 4.
35-2 5.
Ejercicio 7.
Ejercicio 3.
4. Una espira circular de alambre, cuyo radio mide 16.0 cm, lleva una corriente de 2.58 A. La colocamos de modo que la normal
8. Considere la espira rectangular que transporta la corriente i de la figura 35-26. El punto P se halla a una distancia x del centro
de ella. Encuentre una expresión del campo magnético en P de bido a la espira de corriente, suponiendo que P está muy lejos. Con /x = iA = iab, obtenga una expresión similar a la ecuación 35-4 para el campo producido por un dipolo distante en los pun tos del plano de la espira (perpendiculares al eje). (Sugerencia: los lados opuestos del rectángulo pueden tratarse juntos, pero examine detenidamente las direcciones de B producidas por ca da lado.)
15. Un campo magnético de 0.50 T se aplica a un gas paramagnético, cuyos átomos tienen un momento dipolar magnético intrín seco de 1.2 X 10-2 j J/T. ¿A qué temperatura la energía cinética media de traslación de átomos del gas es igual a la energía re querida para invertir el dipolo extremo por extremo en este campo magnético? 16. Las mediciones en minas y en taladros indican que la tempera tura en la Tierra aumenta con la profundidad a una rapidez pro medio de 30 C°/km . Suponiendo una temperatura superficial de 20°C, ¿a qué profundidad el hierro deja de ser ferromagnético? (La temperatura del hierro varía muy poco con la presión.) 17. Una muestra de sal paramagnética a la que se aplica la curva de magnetización de la figura 35-10 se mantiene a una temperatu ra ambiente (300 K). ¿A qué campo magnético aplicado el gra do de saturación magnética de la muestra será a) 50%? b) 90%? c) ¿Pueden obtenerse estos campos en el laboratorio?
¥
I_eg
a ------- 0^
FIGURA 3 5 - 2 6 . Ejercicio 8.
35-2 L a fuerza so b re u n dip o lo e n u n c am p o n o u n ifo rm e
18. Una muestra de sal paramagnética a la que se aplica la curva de magnetización de la figura 35-10 está inmersa en un campo magnético de 1.8 T. ¿A qué temperatura su grado de satura ción magnética será a) 50% y b) 90%? 19. Sometemos a prueba la sal paramagnética a la que se aplica la curva de magnetización de la figura 35-10 para comprobar si obedece la ley de Curie. La colocamos en un campo magnético de 0.50 T que permanece constante durante todo el experimen to. La magnetización M se mide después a temperaturas que fluctúan entre 10 y 300 K. ¿Será válida la ley de Curie en tales condiciones?
3 5 - 3 M a g n e tism o ató m ic o y n u c le a r 9. En el estado de energía mínima del átomo de hidrógeno, la dis tancia más probable entre el electrón individual que gira y el protón central es 5.29 X 10~n m. Calcule a) el campo eléctri co y b) el campo magnético creado por el protón en esta distan 20. La magnetización de saturación dei níquel, un metal ferromag cia y que se mide a lo largo del eje de spín del protón. Vea en la nético, es 511 IcA/ m. Calcule el momento magnético de un áto tabla 35-1 el momento magnético de este último. mo de níquel. (Consiga los datos necesarios en el Ap. D.) 1 0 . Suponga que los núcleos de hidrógeno (protones) en 1.50g de agua podrían estar alineados todos. Calcule el campo magnéti ’ 21. El acoplamiento mencionado en la sección 35-5 como causa del co que producirían a 5.33 m de la muestra a lo largo del eje de ferromagnetismo no es la energía de interacción magnética mutua alineación. entre dos dipolos magnéticos elementales. Para probar esto calcu 1 1. Una carga q se distribuye uniformemente alrededor de un anillo le a) el campo magnético a una distancia de 10 nm, a lo largo delgado de radio r. El anillo gira alrededor de un eje por su cen del eje dipolar de un átomo con el momento de dipolo magné tro y perpendicularmente a su plano con una velocidad angular w. tico 1.5 X 10-23 J/T (cobalto) y tí) la energía mínima requeri a) demuestre que el momento magnético procedente de la carga da para girar en este campo un segundo dipolo idéntico extremo en rotación es por extremo. Compare estos resultados con los del problema re suelto 35-4. ¿A qué conclusión llega? ¡x = \q io r2. b) Si L es el momento angular del anillo, demuestre que ¡x/L = ql2m. 3 3 -4 M a g n e tiz a c ió n 12. El momento dipolar asociado a un átomo de hierro en una barra de hierro es 3.22 /¿g. Suponga que todos los átomos de la barra, cuya superficie transversal mide 1.31 cm2, tienen alineado su momento dipolar. a) ¿Cuál es el momento dipolar de la barra? tí) ¿Qué par debe ejercerse para mantener este imán en ángulos rectos con un campo extemo de 1.53 T? 13. Un imán en forma de varilla cilindrica tiene una longitud de 4.8 cm y un diámetro de 1.1 cm. Tiene una magnetización uniforme de 5.3 kA /m . Calcule su momento dipolar magnético. 14. Un solenoide con 16 vueltas/cm transporta una corriente de 1.3 A. a) ¿Cuánto aumenta el campo magnético dentro del solenoide cuando se introduce una varilla de cromo de ajuste estrecho? tí) Determine la magnetización de la varilla (Tabla 35-2).
3 3 -s
El magnetismo de los planetas
22. En el problema resuelto 35-6, se comprobó que el componente vertical del campo magnético de la Tierra en Tucson (Atizona) es 43 ¡xY. Suponga que éste es el valor promedio en todo el es tado, cuya superficie mide de 295,000 km cuadrados, y calcule el flujo magnético neto en el resto de la superficie terrestre (sin incluir Atizona). ¿Se dirige hacia adentro o hacia afuera? 23. El momento dipolar magnético de la Tierra es 8.0 X 1Q22 J/T. a) ¿Cuál seria el radio si el origen de este magnetismo fuera una esfera magnetizada de hierro en el centro de la Tierra? tí) ¿Qué fracción del volumen de la Tierra ocuparía la esfera? La densi dad del núcleo interno de la Tierra es 14 g/cm 3. El'momento di polar magnético de un átomo de hierro es 2.1 X 10~23 J/T. 24. Utilice el resultado mencionado en el problema 9 y prediga el valor del campo magnético de la Tierra (magnitud e inclinación) en a) el ecuador magnético; b) un punto en la latitud magnética 60°; c) en el polo norte magnético.
25. Determine la altitud arriba de la superficie de la Tierra donde su campo magnético posee una magnitud de una mitad del valor de la superficie en la misma latitud magnética. (Utilice la aproxi mación del campo dipolar dada en el Prob. 9.) 26. Mediante la aproximación del campo dipolar al campo magné tico de la Tierra (Prob. 9), calcule la intensidad máxima de este último en la frontera núcleo-manto, que está 2900 km debajo de la superficie. 27. Utilice las propiedades del campo dipolar mencionadas en el problema 9 para calcular la magnitud y el ángulo de inclinación del campo magnético de la Tierra en el polo norte geográfico. (Sugerencia: el ángulo entre el eje magnético y el eje rotacional de la Tierra es 11.5o.) ¿Por qué los valores calculados probable mente no coincidirán con los medidos?
33-7 L ey de G auss aplicada al m agnetism o 28. Una superficie gaussiana en forma de un cilindro circular recto tiene un radio de 13 cm y una longitud de 80 cm. Por un extre mo pasa un flujo magnético de 25 ¡xWb que se desplaza hacia el interior. En el otro extremo hay un campo magnético uniforme de 1.6 mT, normal a la superficie y dirigido hacia afuera. Calcule el flujo magnético neto que pasa por la superficie curva. 29. El flujo magnético en las cinco caras de un miembro de un par de dados está dado por = ± N Wb, donde N (=1 a 5) es el número de puntos de la cara. El flujo es positivo (hacia afuera) con N par y negativo (hacia adentro) con N impar. ¿Cuál es el flujo que cruza la sexta cara? 30. La figura 35-27 muestra cuatro arreglos de pares de pequeñas agujas de brújula, creados en un espacio donde no existe un campo magnético externo. En los cuatro identifique el equili brio como estable o inestable. En cada par considere solamente
el par que opera sobre una aguja y que proviene del campo mag nético generado por la otra. Explique sus respuestas.
«
M
F ig u r a
o 3 5-2 7.
f
d) Ejercicio 30.
31. Dos alambres, paralelos al eje z y separados por una distancia 4r, transportan comentes iguales i en direcciones opuestas, se gún se indica en la figura 35-28. Un cilindro circular de radio r y de longitud L tiene su eje en el eje z, a la mitad entre los alam bres. Utilice la ley del magnetismo de Gauss para calcular el flujo magnético neto hacia afuera que cruza la mitad de la su perficie cilindrica sobre el eje x. (Sugerencia: determine el flu jo en esa parte del plano xz que se halla dentro del cilindro.) y
P roblem as 1. Un delgado disco de plástico con radio R tiene una carga q dis tribuida uniformemente en su superficie. Si gira con una fre cuencia angular w alrededor de su eje, demuestre que su momento dipolar magnético es ojqR2 (Sugerencia: el disco giratorio equivale a un sistema de espiras de corriente.) 2. a) Calcule el momento magnético de una esfera giratoria y car gada uniformemente, b) Demuestre que el momento puede es cribirse como jx = qL/2m , donde L es el momento angular de la esfera y rn su masa, c) Demuestre que éste no es un buen mo delo de la estructura de un electrón. (Sugerencia: la esfera con carga uniforme ha de dividirse en espiras infinitesimales de co rriente y obtener por medio de integración una expresión del momento magnético.) 3. Un electrón con energía cinética Ks describe una trayectoria circu lar que es perpendicular a un campo magnético uniforme, so metido sólo a la fuerza de este último, a) Demuestre que el momento dipolar magnético a causa de su movimiento orbital tiene la magnitud ¡x = K j B y que sigue la dirección contraria a la de B. b) ¿Cuál es la magnitud y la dirección del momento
dipolar magnético de un ion positivo con energía cinética ICXen las mismas circunstancias? c) Un gas ionizado tiene 5 .28 X 1021 electrones/m3 e igual número de iones/m 3. Suponga que la energía cinética promedio de los electrones es 6.21 X 1 0 ~ 20 J y que la energía cinética de los iones es 7.58 X 1 0 ~ 21 J. Calcule la magnetización del gas en un campo magnético de 1.18 T. 4. Una sustancia paramagnética es atraída (débilmente) hacia un polo de un imán. La figura 3 5-2 9 muestra un modelo de este fe nómeno. La sustancia es una espira de comente L, que se pone en el eje de un imán de barra más cerca de su polo norte que sur. A causa del par r = pi X B ejercido sobre la espira por el cam po B del imán, el momento dipolar magnético p. de la espira se alineará paralelamente a B. a) Haga un bosquejo que muestre las líneas del campo B procedentes del imán de barra, b) Indi que la dirección de la comente i en la espira, c) Por medio de d F b = i d s X B, demuestre a partir de a) y b) que la fuerza ne ta en L se dirige hacia el polo norte del imán de barra. L
5. Un polo de un imán repele (débilmente) una sustancia diamagné tica. En la figura 35-29 se incluye un modelo de este fenómeno. La sustancia es una espira de corriente L que se coloca en el eje de un imán de barra más cercano al polo norte que al polo sur. Por tratarse de una sustancia diamagnética, el momentojnagnético p de la espira se alineará antiparalelamente al campo B del imán de barra, a) Haga un boceto que muestre las líneas del campo B pro cedentes del imán, b) Indique la dirección de la corriente i en la espira, c) Por medio de d ¥ B = i d s X B, demuestre a partir de a) y b) que la fuerza neta en L se aleja del polo norte del imán de barra. 6. Considere un sólido que contiene N átomos por unidad de vólumen, cuyo momento dipolar magnético es p . Suponga que la dirección de p sólo puede ser paralela o antiparalela a un cam po magnético aplicado externamente B (esto sucedería si p pro viniera del spin de un electrón individual). De acuerdo con la mecánica estadística, puede demostrarse que la probabilidad de que un átomo se halle en un estado con la energía U es propor cional a s donde j es temperatura y k es la constante de Boltzmann. Por tanto, como U = —p • B, lafracción de los áto mos cuyo momento dipolar es paralelo a B es proporcional a efj.B/kT y ja de los átomos cuyo momento dipolar es antiparalelo a B es proporcional a e'~flB/ kT. a) Demuestre que la magnetiza ción de este sólido es M = N p tanh{pB/kT). Aquí tanh es la función tangente hiperbólica: tanh x = (ex — e~x)/{e x + e~x). b) Demuestre que a) se reduce a M = N p rB /kT para pB « kT. c) Demuestre que a) se reduce a M = N p para pB » kT. d) Demuestre que b) y c) coinciden cualitativamente con la fi gura 35-10. 7. C onsidere un átom o donde un electrón describe una órbita circu lar de radie» r y de frecu en cia an g u lar ojq. Se aplica luí cam po
magnético perpendicularmente al plano de la órbita. A conse cuencia de la fuerza magnética, el electrón circula en ella con el mismo radio r, pero con una nueva frecuencia angular a> = + Acá. a) Demuestre que, cuando se aplica el campo, el cambio de la aceleración centrípeta del electrón es 2 rw0 Aa>. b) De muestre la ecuación 35-20, suponiendo que el campo de la ace leración centrípeta se deba enteramente a la fuerza magnética. 8. La Tierra tiene un momento dipolar magnético de 8.0 X 1022 J/T. a) ¿Qué comente habrá de transportar en una vuelta de alambre que esté alrededor de ella en su ecuador magnético, si quisiéramos crear ese dipolo? b) ¿Podría emplearse este arreglo para cancelar el magnetismo terrestre en puntos del espacio muy por arriba de la superficie? c) ¿Y en ésta? 9. El campo magnético de la Tierna puede aproximarse como un campo magnético dipolar, con componentes horizontales y ver ticales, en un punto situado a una distancia r del centro de la Tierra, dado por 4-jrr3
eos L„
2-rrr3
sen L„
donde Lm es la latitud magnética (medida del ecuador magnéti co hacia el polo norte o sur magnético). El momento dipolar magnético p es 8.0 X 1022 A ■m2. a) Demuestre que la inten sidad en la latitud L está dada por B
4 irr3
sj 1 + 3 sen2 Ln .
tí) Demuestre que la inclinación 4>. del campo magnético se re laciona con la latitud magnética L dada por i
tan
INBUCTANCIA
j¡ = _ -
_ --J
n el capítulo 3 0 estudiam os el com portam iento de los
capacitores, éstos alm acenan carga y, al hacerlo, crean un cam po eléctrico, donde se alm acena energía. En es te capítulo vam os a a n a liza r un dispositivo denom inado inductor, d onde se guarda energía en el cam po m a g n é tico que rodea sus alam bres p orta d o res de corriente. D eterm inam os la inductancia de un inductor aplicando la ley de Faraday, en la cual una corriente ca m biante produce una fu e r za electrom otriz. La inductancia m ide la ca p a cid a d de un inductor p a ra alm acenar en er gía en el cam po m agnético p roducido p o r u ñ a corriente. En un,circuito, un inductor sum inistra “inercia" que se opone al cam bio de corriente. A n a liza m o s tam bién los circuitos que contienen sólo un capacitor y un ind u c tor; en éstos, la energía alm acenada p u ed e ir y venir entre los dos elem entos.
3 6 -1
IN B U C TA N C IA
E l inductor es un elem ento de u n circuito que guarda energía en el cam po m agnético que ro d ea a sus alam bres portadores de corriente, del m ism o m odo que un capacitor guarda dicha energía en el cam po eléctrico form ado entre sus placas carga das. E l inductor se caracteriza p o r su inductancia, la cual d e pende de la form a de dicho inductor; de m odo parecido, en el capítulo 30 caracterizam os un capacitor p o r su capacitancia, la cual depende tam bién de la form a del capacitor. E n la figura 36-1 se m uestra un inductor, por ejem plo, un solenoide ideal, que lleva una corriente i productora de un cam po m agnético B en su interior. Si m odificam os la corriente cam biando así B y el flujo m agnético que pasa a través del so lenoide, la le}' de F araday indica que se genera una fuerza electrom otriz en el inductor. L a in d uctancia L se define* co m o la constante de proporcionalidad que relaciona la rapidez del cam bio de la corriente con la fuerza electrom otriz inducida: %l = L ^ .
E sta ecuación se parece a la que define la capacitancia (A A = q /C ). A l ig u al que la capacitancia, la inductancia es siem pre una m ag n itu d positiva. L a ecuación 36-1 m uestra que la unidad de la in ductan cia en el SI es volt • seg u n d o /am p ere. E sta com binación de unidades recibe el nom bre especial de henry (cuya abreviatu ra es H ); así que 1 henry = 1 volt • seg u n d o /am p ere E sta u nidad se llam a así en h o n o r de Joseph H enry (17971878), físico norteam ericano y contem poráneo de Faraday. En el d iagram a de un circuito eléctrico, el inductor se representa con el sím bolo - /W N- , el cual nos recuerda la form a de un so lenoide. C on la ley de L enz se determ ina la relación existente en tre el signo de %L y el de d i/d t. R eduzcam os la corriente i en el solenoide de la figura 36-1. E sta dism inución es el cam bio al que, según la ley de Lenz, la inductancia debe oponerse. P ara o ponerse a la corriente decreciente, la fuerza electrom o-
(36-1)
* En rigor, a L se le llama “autoinductancia”, con lo cual se indica que el cam bio de la corriente en el dispositivo ocasiona la fuerza electromotriz en él. Una magnitud similar relacionada con dos elementos cercanos portadores de corriente es la “inductancia mutua”, en que un cambio de corriente en un ele mento produce una fuerza electromotriz en el otro.
F i g u r a 3 6 - 1 . Inductor arbitrario, representado como un solenoide. La corriente i crea un campo magnético B.
L a fu erza electrom otriz puede obtenerse a p artir de la ley de Faraday. „ _ _d(NB)
-M W Ô W Ü Ô M a)
! ----------6sd e c re c ie n te
L as ecuaciones 36-1 y 36-3 relacionan la fu erza electrom otriz de un in d u cto r con la derivada de la corriente (Ec. 36-1) o con la deriv ad a de una propiedad proporcional a la corriente ( $ en la Ec. 36-3). A l com parar las dos ecuaciones (y al tom ar la m ag n itu d de todas las cantidades), se obtiene
^Ü Ü Û Ü ÏÏÛ O O ^ b)
c re c ie n te
a) Una corriente decreciente induce en el inductor una fuerza electromotriz que se opone a la disminución de esta corriente, b) Una corriente creciente induce en el inductor una fuerza electromotriz que se opone al incremento. F
ig u r a
36-2.
triz inducida debe g en erar una corriente adicional en la m is m a dirección que i. Si, p o r el contrario, aum entam os la corriente, la ley de L enz indica que el increm en to se opone a la inductancia a tra vés de una corriente adicio n al en una dirección contraria a i. E n todos los casos, la fuerza electrom otriz inducida se opone al cam bio de corriente. L a figura 36-2 resum e la rela ción entre el signo de d i/ d t y el de %v E n la figura 36-2a, las diferencias de p o ten cial inducidas son tales que Vb es m ayor que V , de m an era que Vb — Va = \ L d i / d t \ . P uesto que i em pieza a dism inuir, d i/ d t es negativa, p o r lo cual podem os es cribir esto com o ■L di!dt.
36-2)
En la figura 36-2b, d i/d t es positiva y Va es m ayor que Vb\ por consiguiente, la ecuación 36-2 se aplica tam bién en este caso. Esta ecuación es de gran utilidad cuando recurrim os al teorem a de la espira para analizar los circuitos que contienen inductores.
S S - B C Á L C U L O D E LA IN D U C TA N C IA Por m edio de la ecuación 36-1 obtenem os la inductancia de un inductor de cu alq u ier tam año o form a. N uestro m étodo consistirá en em p lear el cam po m agnético del inductor p orta dor de corriente p ara encontrar el flujo que pasa p o r él y, lu e go, la ley de F arad ay p ara calcular la fuerza electrom otriz correspondiente a u n a corriente cam biante. L a ecuación 36-1 nos da entonces la inductancia. Con un m étodo similar, determ i nam os la capacitancia en la sección 30-3, al calcular la diferen cia de potencial entre las dos placas cargadas y, después, al utilizar la proporcionalidad entre AVC y q para obtener C. S upóngase que la corriente del inductor origina a un cam po m agnético B , que podem os calcular partiendo del ta m año y de la fo rm a del inductor, así com o de la distribución de la corriente. E sto perm ite obtener el flujo m agnético
L
di
d{N
dt
dt
Si integram os respecto al tiempo (y si suponem os que cuando i = 0), encontram os que
= 0
o bien L
MÍA (36-4)
L a ecuación 36-4, que se basa en la ley de Faraday, perm ite d eterm in ar d irectam ente la inductancia del núm ero de cone xiones de flujo. N ó tese que, p o r ser
A pliquem os la ecuación 36-4 para calcular L en una sección de lon g itu d / de un solenoide largo con un a superficie trans versal A. S uponem os que la sección se en cuentra cerca del centro de este solenoide, p o r lo cual no es n ecesario tener en cuenta los efectos del borde. En la sección 33-5 se dem ostró que el cam po m agnético B dentro del solenoide que transpor ta una corriente i es B = p Qni,
(36-5)
donde n es el núm ero de vueltas por unidad de longitud. El nú m ero de conexiones de flujo en la longitud l es M P b = (nl){BA), que tras sustituir p ara B, se convierte en M P fl = p.0n 2liA.
(36-6)
Entonces la ecuación 36-4 nos da directam ente la inductancia: L
M PS
p 0n 2UA
i
i
p 0n 2iA.
(36-7)
L a inductancia p o r unidad de longitud del solenoide puede es cribirse así L — - p 0n~A.
(36_§)
L a expresión anterior incluye exclusivam ente factores geométri cos: la superficie transversal y el número de vueltas por unidad de longitud. La inductancia no depende de la com ente ni del cam po magnético. Se espera que la proporcionalidad con n2\ si
duplicamos el núm ero de vueltas por unidad de longitud, no só lo se duplica el núm ero N de vueltas, sino tam bién el flujo en cada vuelta', al mism o tiempo el núm ero de conexiones de flujo se incrementa en un factor de 4, lo m ism o que la inductancia. Las ecuaciones 36-7 y 36-8 son válidas con un solenoide de longitud m ucho m ayor que su radio. H em os despreciado la dis persión de las líneas del cam po m agnético cerca del extrem o de un solenoide, tal com o lo hicim os con los bordes del cam po eléctrico cerca de los bordes de las placas de un capacitor.
La indu ctan cia de u n toroide A continuación vam os a calcular la inductancia de un toroide de sección transversal rectangular, com o se m uestra en la fi gura 36-3. El cam po m agnético B de un toroide está dado por la ecuación 33-36: =
¡x0iN 2 irr
(36-9)
donde N es el núm ero total de vueltas del toroide. N ótese que el cam po m agnético no es constante dentro del toroide, sino que varía con el radio r. El flujo
ri A = ¡x0iNh 2 tt
B(h rir)
h dr ,
r
¡i0iN 2777-
h dr
UniNh b ----------- ln -—
donde h d r es la superficie de la tira elem ental de ancho dr que aparece en la figura 36-3. E ntonces podem os obten er di rectam ente la inductancia de la ecuación 36-4: A *«
MoN 2h , b ■ln — 2'
L a ecuación 35-16 indica que la p resencia de un m aterial m agnético cam b ia el cam po m agnético en el m aterial del cam po aplicado ' KmB 0 donde K m , es la perm eabili dad del m aterial. El cam po m agnético en el interior de induc to r está contenido en el factor
(36-11)
donde L es la inductancia del inductor con el m aterial m agné tico, y L 0 la in d uctancia del inductor vacío. En virtud de que las perm eabilidades de las sustancias param agnéticas o diam agnéticas no difieren mucho de 1, los va lores de las inductancias de los inductores llenos con ellas son casi iguales a los valores que tienen cuando están vacíos; por tanto, no se consigue un cam bio im portante en las propiedades del inductor cuando se llena con un m aterial param agnètico o uno diam agnético. Pero, en el caso de un m aterial ferrom agnè tico pueden aparecer cam bios im portantes. A unque, en general, la perm eabilidad no se define para m ateriales ferrom agnéticos (porque el cam po total no crece en proporción lineal con el cam po aplicado), en ciertas circunstancias B puede ser m iles de veces m ayor que B Q. Por tanto, la perm eabilidad “efectiva” de un m aterial ferrom agnètico puede tener valores en el intervalo de IO3 a 104 y la inductancia de un inductor lleno con m aterial fe rrom agnètico (es decir, aquel cuyos devanados están hechos en un núcleo de un material com o el hierro) puede ser m ayor que la inductancia de un grupo sim ilar devanados en un núcleo va cío por un factor de IO3 a 104. Los núcleos ferrom agnéticos ofrecen los m edios para obtener grandes inductancias, del m is m o m odo que los materiales dieléctricos en los capacitores per m iten obtener capacitancias m ás grandes.
(36-10)
Una vez m ás, L depende exclusivam ente de factores g eo m é tricos.
Inductores con m ateriales m agnéticos En la sección 30-6 dijim os que la capacitancia aum enta al lle nar un capacitor con una sustancia dieléctrica. Esto perm ite al capacitor alm acenar m ás carga en sus placas o m ás energía en su cam po eléctrico. A sim ism o, la inductancia aum enta cu an do se llena un inductor con un m aterial m agnético.
P r o b l e m a R e s u e l t o 3 6 - 1 . Una sección de un solenoide con una longitud / = 12 cm y con una superficie circular transversal de diámetro d = 1.6 cm transporta una coniente estacionaria de i = 3.80 A. La sección contiene 75 vueltas a lo largo de su extensión. a) ¿Qué inductancia tiene el solenoide cuando el núcleo está vacío? b) Se reduce la corriente con una rapidez de 3.20 A en un tiempo de 15 s. ¿Cuál es la fuerza electromotriz resultante que produce el sole noide y en qué dirección opera?
Solución a) La inductancia del solenoide se obtiene de la ecuación 36-7: L = [x0n 2lA = (4tt X 10"7 H/m)(75 vueltas/0.12 m)2(0.12 m)(7r)(0.008 m)2 = 1.2 X IO"3 H = 12 ¿di. Nótese que hemos expresado ¿x0 en unidades de H /m . Una inductan cia siempre puede expresarse como /x0 multiplicada por una canti dad con la dimensión de longitud. Una solución parecida se aplica a la capacitancia (Sec. 30-3). b) La rapidez con que cambia la corriente es
ÉL =
F i g u r a 3 6 - 3 . S ección tran sv ersal de un toroide; ésta m u estra la c o m e n te que p asa a través de los d evanados y el cam po m ag n é tico en el interior.
3.20 A - 3.80 A ■0.040 A/s, dt 15 s y la fuerza electromotriz correspondiente tiene la magnitud dada por la ecuación 36-1 : %L = | L dildt | = (12 ¿iH)(0.040 A/s) = 0.48 ¿¿V.
Como la corriente está disminuyendo, la fuerza electromotriz inducida debe actuar en la misma dirección que la corriente; por eso, la fuerza electromotriz inducida se opone a las reducciones de la corriente. P r o b l e m a R e s u e l t o 3 S - 2 . El núcleo del solenoide del pro blema resuelto 36-1 se llena con hierro mientras mantenemos cons tante la corriente a 3.20 A. Saturamos la magnetización del hierro de modo que B = 1.4 T. ¿Cuál es la inductancia resultante?
Solución La permeabilidad “efectiva” del núcleo sujeto a este cam po aplicado se obtiene por medio de B B
0
fx0n i
1.4 T
5o7.
(4rr X 10 ' 7 T - m/A)(75 v u elta s/0 .12 m )(3.20 A)
La inductancia está dada por la ecuación 36-11 como L =
K mL Q
niente de la batería y otra variable %L de signo contrario proce dente de la inductancia. M ientras exista esta segunda fuerza, la c o m en te del circuito será m enor que % /R. C on el transcurso del tiempo, la corriente crece con menor rapidez y la fuerza electrom otriz inducida, proporcional a di/dt, se vuelve m ás pequeña. C uanto más aum enta la corriente, más lento será su crecim iento y más se reducirá la fuerza electrom o triz inducida. A l dism inuir esta últim a a un tam año insignifican te, la corriente se aproxim ará a su valor m áxim o % /R . E n un circuito com o este, podem os suponer que el inductor se com porta com o un a resistencia infinita poco después de co nectar la b atería al circuito. M ucho m ás tarde el inductor se co m p o rta com o una resistencia de v alor cero, a m edida que la corriente se acerca a su valor estacionario. A nalicem os ahora este circuito cu antitativam ente. C uan do el in terru p to r se encuentra en a, se crea una corriente que flu y e en la direcció n de las m anecillas del reloj en el circuito y la reg la de la m alla (Sec. 31-3) nos da
= (55 7 )(1 2 /xH) = 6.7 mH.
di _
iR
dt
0
o bien
C IR C U IT O S L R
di iR
En esta sección vam os a estu d iar el com portam iento de los circuitos que co ntienen u n resisto r y un in d u cto r en serie. En varios aspectos, este tem a nos recu erd a el análisis de los cir cuitos R C , el cual se estu d ió en la sección 31-7. A llí vim os que, cuando una b atería está co n ectad a a una com binación en serie de un resistor y de un capacitor, la carga en este últim o se aproxim a exponencialm ente a su m áxim o con una constan te de tiem po rc = R C . E n fo rm a sim ilar, la d escarga de un ca pacitor a través de un resisto r tam bién es exponencial, con la m ism a constante de tiem po. L a figura 36-4 m u estra un circuito donde un resistor y un inductor L están conectados en serie. Se cuenta con dispositi vos adecuados p ara m edir las diferencias de voltaje a través del resistor (AVR) y el ind u cto r (AUL). U n interruptor S puede conectar una batería de fuerza electrom otriz % dentro del cir cuito. En un principio, no fluye co m en te p o r él. C uando el in terruptor se pone en a , la corriente del resistor em pieza a elevarse. Si el in d u cto r no estuviera presente, la corriente au m entaría rápidam ente hasta alcanzar un valor estacionario %¡R . Sin em bargo, el inductor produce una fuerza electrom otriz inducida %v que, según la ley de Lenz, se opone al incremento de la com ente. E n otras palabras, se opone a la polaridad de la fuerza electrom otriz de la batería. L a corriente del circuito de pende de dos fuerzas electrom otrices: una constante % prove-
Aty =¡R -3 — —*ss~
i(t)
r!GURA 3 '5 -A. Un circuito LR.
di dt
(36-12)
dt
(1
- i/t ,
),
(36-13)
donde (36-14) L a constante de tiem po inductiva rL indica la rapidez con que la corriente se aproxim a a su valor estacionario, en analogía con la constante cap acitiv a de tiem po r c N ótese que la ecua ción 36-13 da i = 0 cuando t — 0 c i ^ % / R com o t —> se gún lo previsto. A l tom ar la derivada de la ecuación 36-13 y al reem plazar i y d i/d t en la ecuación 36-12, deberá verificar que la ecuación 36-13 sea efectivam ente la solución de la ecuación 36-12. P ara d em o strar que la m agnitud = L /R presenta la di m en sió n de tiem po, tenem os [L] _
AVr
L
d onde hem o s utilizad o la ecuación 36-2 con la diferencia de p o ten cial en el inductor. L a solución de la ecuación 36-12 es una función i(t) es co g id a de m odo que, cuando ella y su prim era derivada sean sustituidas en la ecuación 36-12, satislagan ésta. E sta ecua ció n tiene ex actam en te la m ism a form a que la ecuación 31-25 co n el circuito R C y no debería sorprendem os que su solución tam bién p resen te la m ism a form a (Ec. 31-27):
[A l
w v u
+
[i?]
henry _ ohm volt
am pere • ohm
volt • segundo/am pere ohm segundo = segundo,
donde la cantidad entre paréntesis es igual a 1 porque 1 ohm 1 v o lt/am p ere (com o en R = V¡i).
12
E l significado físico de rL se deduce de la ecuación 36-13. Si introducim os t = en ella, se red u cirá a — (1 - e " 1) = (1 - 0 .3 7 )' K R
0.63
<3
R
La constante es el tiem po en que la corriente del circuito es m enor que su valor estacionario fin al %/ R en un factor de l / e (alrededor de 37%). En la figura 36-5 se m uestra la diferencia de potencial AV^ [ = z(0-K] a través del resisto r i? y la diferencia de p o ten cial A V l [= L { d i/d t)] en el inductor ideal. Por m edio de la ecuación 36-13 obtenem os AV* = iR = %{ 1 - e~ "T0
y
AV, = L
di dt
= % e' (36-15)
que son las cantidades graficadas en la fig u ra 36-5. A partir de la ecuación 36-15 obtenem os A V R + á V L = %, que p o d ría mos calcular aplicándole al circuito la reg la de la m alla. E ste resultado tam bién se consigue sum ando las gráficas de las fi guras 36-5a y 36-5b. Si m ovem os el interruptor de la figura 36-4 de a a b cuando la corriente tiene algún v alo r z'0, quitarem os el efecto de la batería del circuito. A hora, la regla de la m alla nos da L — + i R = 0. dt
(36-16)
Por sustitución o integración directa se com prueba que la so lución de esta ecuación es (36-17)
K0
donde iQ es la corriente cuando t — 0 (que ahora significa el tiempo que tardamos en m over el interruptor de a a b). L a caída ; de la corriente a cero y su in crem ento ocurren con la m ism a constante exponencial de tiem po r ¿ = L /R . La figura 36-6 m uestra las diferencias de potencial AV^ y AV¿ a través del resistor y del in d u cto r en el caso en que de jam os el interruptor en a por un tiem po m uy largo co m p ara do con r¿ ; por tanto, podem os su p o n er que la corriente ha alcanzado su valor m áxim o % /R cuando lo ponem os en b.
4
\
-
- \
-
-
-
4
a) F
t (ms)
igu s a
3 6 - 6 . Lo mismo que la figura 36-5 en el circuito de
la figura 36-4, con el interruptor puesto en b luego de haber permanecido en a largo tiempo.
Si con la ecuación 36-17 el lector obtiene AV^ y AV£ en form a sim ilar a la ecuación 36-15, deberá ser capaz de dem ostrar que AVfl + AL¿ = 0, que tam bién puede verse directam ente con só lo sum ar las gráficas de las figuras 36-6¿z y 36-6b. P ara construir el circuito de la fig u ra 36-4, debem os u ti lizar un tipo especial de interruptor denom inado interruptor de “contacto antes de ru p tu ra” . Este interruptor com pleta la co nexión en b antes de suspender la conexión en a. Si no utilizá ram os este tipo de interruptor, la corriente trataría de seguir fluyendo con la term inal del interruptor entre a y b, salvando la separación entre a y la term inal, con una chispa que podría con ten er to d a la energía alm acenada en el inductor. P roblem a R esu elto 3 6 - 3 . Un solenoide tiene una inductancia de 53 mH y una resistencia de 0.37 í). Si lo conectamos a una batería, ¿cuánto tardará la comente en alcanzar la mitad d e su valor final en el estado estacionario? Solución E l valor en el estado estacionario de la comente, que se logra en t —* =°, es %/R según la ecuación 36-13. Si la corriente tie ne la mitad de este valor en un tiempo particular, esta ecuación que da así 1 -
Al resolver para t, rearxeglando y tomando el logaritmo (natural) de cada lado, obtenemos t = tl ln 2 = — ln 2 L R
53 X 10~3 H 0.37 í i
ln 2 = 0.10 s.
12
A L M A C E N A M IE N T O D E EN E R G ÍA EN UN CAM PO M A G N É TIC O a)
t (ras)
b)
t (ras)
F i g u r a 3 6 - 5 . Variación de a) á V R con el tiempo, la diferencia de potencial en el resistor dentro del circuito de la figura 36-4 y b) AV¿) la diferencia de potencial en el inductor de ese circuito. Las curvas se trazan con R = 2000 fi, L = 4.0 H y i = 10 V. La constante inductiva de tiempo es 2 ms; los intervalos sucesivos iguales a tl están marcados por triángulos en el eje horizontal.
E n el cap ítu lo 28 vim os que un conjunto de cargas eléctricas puede describirse m ediante su energía potencial. En fo rm a eq uivalente, podem os decir que la energía se alm acena en el cam po eléctrico producido por las cargas. P or ejem plo, el tra bajo efectuado al separar dos cargas de signo contrario se guarda en la energía del campo eléctrico producido por las car gas; la en erg ía podrá recuperarse al perm itir que las cargas vuelvan a ju n tarse.
D e m odo similar, hay energía alm acenada en la región que rodea un alam bre portador de com ente, donde existe un cam po magnético. A sí, dos alam bres que llevan corrientes paralelas se atraen entre sí; el trabajo realizado para separar los alam bres se guarda en la energía de su cam po magnético. Podríamos reco brar esta energía dejando que los alambres vuelvan a atraerse. E n el capítulo 30 explicam os cóm o la energía se alm acena en un capacitor. G en eralizam o s esa exposición suponiendo que la energía está g uardada en el cam po eléctrico de un cap a citor; por inferencia calculam os la energía de cualquier campo eléctrico. A q u í nos o cuparem os de la energía de un inductor, lo cual nos llev ará a calc u lar la energía alm acenada en cu a l quier cam po m agnético. V olvam os al circu ito de la figura 36-4, con el interruptor en a. C on el uso de la reg la de la m alla (Sec. 31-3) obtenem os la ecu ació n 36-1 2 : % — iR + L d i/d t. En el capítulo 31 d i jim os que esta reg la de la m alla es esencialm ente una fo rm u lación de la co n serv ació n de energía en el circuito. E sto lo vem os m ás claram en te al m ultiplicar am bos lados de la ecu a ción 36-12 p o r la co rrien te i: %i = i2R + L i~ — ,
(36-18)
la cual tiene la sig u ien te interpretación física en función del trabajo y la energía: 1. Si un a carga d q pasa p o r la batería, en la figura 36-4, durante el tiem po dt, la batería realiza trabajo sobre dicha carga en la cantidad % dq. L a rapidez con que se realiza este trabajo es (% d q )jd t o %i. A sí pues, el lado izquierdo de la ecuación 36-18 es la rapidez con que el dispositivo de fu e rza electro m otriz sum inistra energía al circuito. 2. E l segundo térm ino de la ecuación 36-18, i2R, es la ra p id ez con que se d isipa la energía en el resistor. E sta energía aparece com o en erg ía in tern a relacionada con los m o v im ien to atóm icos del resistor. 3. La energía sum in istrad a al circuito, pero que no se di sipa en el resisto r deberá, conform e a nuestra hipótesis, g u ar darse en el cam po m agnético. C om o la ecuación 36-18 es una form ulación de la conserv ació n de energía en los circuitos LR, el últim o térm ino debe representar la rapidez con que se alm acena la energía en el cam po m agnético. R epresentem os con UB la energía guardada en el cam po m agnético; entonces la rapidez con que se guarda esta energía es dJJB/d t. A l igualar la rapidez con que se alm acena la ener gía con el últim o térm ino de la ecuación 36-18, obtenem os di dU B Li (36-19) dt dt o bien d U B = Li di. (36-20) lp ®
Bill
lili
Supóngase que el in d u cto r no tiene co m en te (i = 0) y que no se guarda energía en su cam po m agnético. G radualm ente in tensificam os la corriente h asta que alcance su valor final i. L a energía UB alm acenada en el cam po m agnético puede calcu larse al in teg rar la ecuación 36-20, lo cual nos da Un dU R
■
L i di
que rep resen ta la energía total alm acenada en una inductancia L que tran sp o rta un a corriente i. Si en la fig u ra 36-4 pasam os el interruptor de a a b des pués de c rear u n a corriente iQ, la energía alm acenada en el in du cto r se disipa, con el calentam iento Joule, en el resistor. U na situ ació n parecida se da cuando se carga y descarga un capacitor. S i el capacitor ha acum ulado u n a carga q, la en erg ía que se guarda en el cam po eléctrico es r
VC ~ ± 2
c '
E sta ex p resió n la obtuvim os en la sección 30-5, al hacer la en erg ía alm acen ad a igual al trabajo que debe realizarse al crear el cam po. E l capacitor puede descargarse a través de un resistor, y entonces la energía alm acenada vuelve a disiparse con el calen tam iento Joule. P r o b l e m a R e s u e l t o 3 S - 4 . Una bobina tiene una inductancia de 53 mH y una resistencia de 0.35 O. a) Si se le aplica una fuerza electromotriz de 12V, ¿cuánta energía se almacena en el campo mag nético después que la corriente se haya incrementado hasta alcanzar su valor máximo? b) En función de t l , ¿cuánto tarda la energía al macenada en alcanzar la mitad de su valor máximo?
Solución a) Conforme a la ecuación 36-13, la corriente máxima es % 12 V R ~ 0.35 n
'm"
= 34.3 A.
Al sustituir la corriente anterior en la ecuación 36-21, obtenemos la energía almacenada: UB = 'jL il
= £(53 X
10~3 H)(34.3 A)2
= 31 J, b) Sea i la corriente en el instante en que la energía almacenada tie ne la mitad de su valor máximo. Entonces ¡¡Li2 = (¡¡)¡¡Lil o bien „/Vi. Sin embargo, i está dada por la ecuación 36-13 e im (véase arriba) es %/R\ así que (1
R
j - U t,.
Vi/? '
Esto puede escribirse así e -Vr,
/V i - 0.293,
que nos da t
in 0.293
1.23
tl
1.231 La energía almacenada alcanza la mitad de su valor máximo después de 1.23 veces constante de tiempo.
P ro b le m a
R e su e lto
3 S - 5 . Un inductor de 3.56 H se pone en
serie con un resistor de 12.8 Í2 y repentinamente se aplica a la combi nación una fuerza electromotriz de 3.25 V. Transcurridos 0.278 s (que es una constante inductiva de tiempo) después de haber cerrado el contacto, calcule a) la rapidez P con que la batería entrega energía, b) la rapidez PR con que la energía interna aparece en el resistor y c) la rapidez PB con que se almacena energía en el campo magnético. Solución á) La corriente está dada por la ecuación 36-13. Cuando t = tl , obtenemos
R
3.25 V
-f/ T t
G
12.8 a
b) La rapidez PR con que se disipa la energía en el resistor está dada por PR = i2R = (0.1605 A)2(12.8 íl) = 0.330 W. c) La rapidez PB (~ dUB/df) con que se guarda energía en el campo magnético está dada por la ecuación 36-19. Al diferenciar la ecua ción 36-13 y al emplear t = tl = L /R , obtenemos 3.25 V 3.56 H
1
-B 2
2po
di L i dt
= (3.56 H)(0.1605 A)(0.3358 A/s) = 0.192 W. Nótese que, como lo exige la conservación de la energía, P = Pr + Pb, o bien P = 0.330 W + 0.192 W = 0.522 W.
A hora obtendrem os una expresión de la den sid a d de energía (energía por unidad de volum en) uB en un cam po m agnético. Pensem os en un solenoide m uy largo, de superficie transversal A, cuyo interior no contiene m aterial. U na porción de lo n g i tud l lejos de am bos extrem os d elim ita un volum en A l. L a energía m agnética g uardada en esa p arte del solenoide debe estar enteram ente dentro de este volum en, porque el cam po m agnético fuera del solenoide es esencialm ente cero. M ás aún, la energía alm acenada debe distribuirse uniform em ente en el volum en del solenoide, ya que el cam po m agnético es uniform e en todo el interior. A sí pues, la densidad de energía puede escribirse com o
(36-22)
C on esta ecuación se puede calcular la densidad de energía al m acenada en cu alquier punto (en el vacío o en una sustancia no m agnética), donde el cam po m agnético es B . E sta ecua ción es verdadera con todas las configuraciones del cam po m agnético, a p esar de que la obtuvim os tom ando un caso es pecial, el del solenoide. D ebem os com parar la ecuación 36-22 con la ecuación 30-28, : £qE~,
0.3358 AJs.
A partir de la ecuación 36-19, la rapidez deseada es dUR dt
donde L es la in d uctancia del solenoide de longitud l. Si que rem os expresar lo anterior en función del cam po m agnético, podem os reso lv er la ecuación 36-5 {B = p Qin) para i y susti tu ir en esta ecuación. T am bién podem os sustituir L utilizan do la relación L = p Qn2lA (Ec. 36-7). Al hacerlo se obtiene finalm ente uB
P = %i = (3.25 V)(0.1605 A) = 0.522 W.
L
\L i2 u R — —------ . B Al
(1 - e -1) = 0.1605 A.
Entonces, la rapidez P con que la batería entrega energía es
di dt
tenem os
(36-23)
que contiene la densidad de energía (en el vacío) en cualquier punto de un cam po eléctrico. Observe que uB y uf son propor cionales al cuadrado de la m agnitud de campo apropiada, B o E. L a función del solenoide en los cam pos m agnéticos se parece a la del capacitor de placas paralelas en los campos eléc tricos. En ambos casos, hay un dispositivo simple que sirve para crear un cam po uniform e en una región bien definida del espa cio y para deducir con facilidad las propiedades de estos campos. R e s u e l t o 3 S - S . Un largo cable coaxial (Fig. 36-7) consta de dos conductores cilindricos concéntricos con radios a y b, donde b » a. Su conductor central transporta una comente estacio naria i y el conductor extemo ofrece la trayectoria de retomo, a) Calcule la energía almacenada en el campo magnético que rodea al cable de longitud /. b) ¿Qué inductancia tiene una longitud i de dicho cable?
P ro b le m a
Solución a) Suponemos que el conductor interno es tan delgado que podemos despreciar de la energía magnética almacenada en su inte-
UB
Us = ~XF o, puesto que UR
\L i
Problema resuelto 36-6. Sección transversal de un cable coaxial, que transporta corrientes estacionarias, iguales, pero opuestas en sus conductores interno y extemo. Las líneas de 1 forman círculos en la región comprendida entre los conductores.
F isu r a 3 S -7 .
rior. Hacemos la misma suposición respecto al conductor extemo. Si construimos una espira amperiana en forma de círculo con un radio mayor que el radio extemo del conductor, la comente neta que cruza la superficie acotada por la espira será cero (porque los conductores interno y externo llevan igual corriente en dirección contraria); po demos, pues, concluir que B - O en todos los puntos más allá del conductor externo. En consecuencia, la energía magnética quedará confinada a la re gión entre los dos conductores. El campo magnético en ella es idéntico al de un alambre recto, que se calculó en las secciones 33-2 y 33-5. Po demos demostrar esto construyendo la espira amperiana que aparece en la figura 36-7 y observando que la corriente en el conductor ex temo no pasa por la superficie delimitada por la espira, de manera que no contribuye a la ley de Ampère. Por tanto, suponemos que B = /.j,Qi/2 m ■(Ec. 33-13) en la región entre los conductores. De acuerdo con la ecuación 36-22, la densidad de energía en esos puntos es 1 Mo' -B 2 = 2¡x0 \ 2 i r r 2¡x0
Mor
Considere un elemento de volumen dV constituido por una capa ci lindrica cuyos radios son r y r + dr y cuya longitud (perpendicular al plano de la Fig. 36-7) es 1. La energía dUB contenida en él es ’2
dUo = «o dV = -— - y (2rrrl){dr) ~ iTr-r~ bf
Mo'2/
4 tt
dr r
La energía magnética total almacenada se calcula por integración: /x0i 2/ f b dr 4-?r
UR = \ dUR =
Mo'2/ b — - l, n —
4 7r
a
.
b) Podemos obtener la induetancia L a partir de la ecuación 36-21 (UB = \ L i 2) que nos da L =
2 Uñ
Mo/ , b —— ln — . 2
tt
a
También debería obtener la expresión anterior directamente de la de finición de induetancia, sirviéndose de los procedimientos de la sec ción 36-2 (Prob. 5). Compare la energía requerida para crear, en un cubo / = 10 cm de lado, a) un campo eléctrico unifor me de 1.0 X 105 V /m y b) un campo magnético uniforme de 1.0 T. Ambos campos son bastante grandes, pero es fácil producirlos en el laboratorio. P
roblema
R
esuelto
36 -7 .
Solución a) en el caso eléctrico tenemos, con / 3 el volumen del cubo, Ue = " £ /2 = k e0£ 2/ 3 = (0.5)(8.9 X 10~12 C 2/N -m 2)(105 V/m)2(0.1 m)3 = 4.5 x 10~3 J. b) En el caso magnético, conforme a la ecuación 36-22 tenemos Lfi — Uní2
2p,0
■l3 =
(LO T)2(0.1 m)3 (2)(4 tt X 10-7 T-m/A)
= 400 J. Respecto a los campos normalmente disponibles en el laboratorio, pueden guardarse cantidades de. energía mucho mayores en un campo magnético que en uno eléctrico; en este ejemplo la proporción es apro
ximadamente 107. Por el contrario, se necesita mucha más energía pa ra generar un campo magnético de magnitud razonable en el laborato rio que para producir un campo eléctrico de magnitud semejante.
3 3 = 3 OSCILACIONES ELECTRO MAGNÉTICAS: CUALITATIVAS A h o ra vam os a estudiar las propiedades de los circuitos que co n tien en un cap acito r C y un in d u cto r L. E stos circuitos for m an un o scila d o r electrom agnético, donde la corriente varía sen o id alm en te con el tiem po, en form a m uy parecida a com o lo hace el desplazam iento de un oscilador m ecánico. D e hecho, co m o verem os luego, hay varias analogías entre los oscilado res electro m ag n ético s y los m ecánicos, las cuales sim plifican n u estra explicació n de las oscilaciones electrom agnéticas, pues nos p erm iten referim os al análisis anterior de las oscila ciones m ecánicas (Cap. 17). P o r ahora, supondrem os que el circuito no tiene una re sistencia. El circuito con resistencia, que exam inarem os en la sección 36-7, se parece al oscilador am ortiguado que vim os en la sección 17-7. Supondrem os asim ism o que n o existe una fuente de fuerza electrom otriz en el circuito; los circuitos os ciladores con la fuerza electrom otriz presente, de los cuales tam bién nos ocuparem os en la sección 36-7, se p arecen a los o sciladores m ecánicos forzados, com o los de la sección 17-8. C uando no existe una fuente de fuerza electrom otriz, la energía del circuito se origina de la energía que inicialm ente es taba alm acenada en uno o dos de los com ponentes de dicho cir cuito. S upongam os que el capacitor C está cargado (por alguna fuente ex tem a que aquí no nos interesa); por tanto, contiene una carga qm, al m om ento en que se separa de la fuente exter na y se conecta al inductor L. El circuito L C aparece en la figu ra 36-8a. A l inicio, la energía UE guardada en el capacitor es m
c
(36-24)
m ien tras qu e la en erg ía UB = \ L i 2 (Ec. 36-21) alm acen a da en el in d u c to r es cero al inicio, p o rq u e tam b ién lo es la co rrien te. A hora el capacitor empieza a descargarse a través del induc tor, y la carga positiva se mueve en dirección contraria a la de las manecillas del reloj com o se aprecia en la figura 36-8¿. U na co rriente i — d q /d t fluye ahora p o r el inductor, increm entando desde cero su energía almacenada. Al mism o tiempo, con la des carga del capacitor se disminuye su energía almacenada. Si el cir cuito no tiene resistencia, no se disipa energía y la dism inución de la energía alm acenada en el capacitor se com pensa exactamente por un increm ento de la alm acenada en el inductor, de m anera que la energía total perm anece constante. En efecto, el cam po eléctrico dism inuye y el cam po m agnético aum enta, transfi riéndose durante este proceso energía de uno a otro cam po. En el tiem po t de la figura 36-8c, el cap acitor está com pletam en te descargado y la energía alm acenada en él es cero. La corriente en el inductor ha alcanzado su valor m áxim o y to d a la energía del circuito está alm acenada en el cam po m ag-
U„
UB
UF
UE
-<53-----
£
' TIMJT Y
l
Un
111 c
£
yitfw c
Un
kkkkkk C
UR
Un
t.
C ■
U fí
UF
Un
UF
Un
Un
F i g u r a 3 S - S . Ocho etapas de un ciclo de oscilación en un circuito LC sin resistencia. Las gráficas de barras muestran las energías magnética y eléctrica almacenadas.
nético del inductor. O bserve que, aunque q = 0 en este in s tante, dq/clt difiere de cero porque la carga está fluyendo. L a corriente en el inductor continúa transportando carga de la placa de la parte superior del capacitor a la placa de la parte inferior, com o en la figura 36-8d\ ahora la energía reg re sa del inductor al capacitor, m ientras vuelve a form arse el cam po eléctrico. C on el tiem po (Fig. 36-8e), toda la energía se ha transferido de nuevo al capacitor, el cual está ahora carga do totalm ente pero en sentido contrario a la figura 36-8a. La situación continúa a m edida que el capacitor se va descargan do hasta que toda la energía se halla otra v ez en el inductor: el cam po m agnético y la energía correspondiente alcanzan en tonces su valor m áxim o (Fig. 36-8g). F inalm ente, la corriente en el inductor carga al capacitor una vez m ás hasta que éste es tá por com pleto cargado y el circuito recobra su condición ori ginal (Fig. 36-8a). E n ese m om ento, el proceso se reanuda y el ciclo se repite de m odo indefinido. C uando no existe resisten cia, que haría disiparse la energía, la carga y la corriente reco bran su valor m áxim o en cada ciclo. E l circuito L C oscila con una frecu en cia d e f in id a /( m e dida en H z), correspondiente a una frecuencia angular co ( = 2 tt/m e d id a en ra d /s ). C om o verem os en la siguiente sección, cú está determ inada por L y C. C on selecciones adecuadas de L y C, podem os construir circuitos oscilantes con frecuencias que incluyen desde frecuencias p o r debajo del audio (10 H z) hasta frecuencias por arriba de las m icroondas (10 G hz). Si querem os determ inar la carga q en función del tiem po, podem os m edir la diferencia de potencial variable AVc (f) que
e x iste'e n el capacitor C, que se relaciona con la carga q m e diante AVc = — q. P odem os determ inar la corriente introduciendo en el circuito un resisto r R tan pequeño que su efecto en él sea insignifican te. L a d iferencia de potencial A VR(t) a través de R es p ropor cional a la corriente, en conform idad con AIL
iR.
Si q uisiéram os m ostrar AVc (zj y A VR(t) com o en la pantalla de un osciloscopio, el resultado podría ser sim ilar al de la fi gura 36-9.
a)
b) F i g u r a 3 6 - 9 . a) Diferencia de potencial a través del capacitor en el circuito de la figura 36-8 en función del tiempo. Esta magnitud es proporcional a la carga del capacitor, b) Diferencia de potencial que pasa por un resistor pequeño introducido en el circuito de la figura 36-8. Esta magnitud es proporcional a la corriente. Las letras indican las etapas correspondientes de oscilación de la figura 36-8.
Se carga con 57 V un capacitor de 1.5 /xF. A continuación desconectamos la batería de carga y conecta mos una bobina de 12 mH al capacitor, de modo que se produzcan oscilaciones LC. ¿Cuál es la corriente máxima en la bobina? Supon ga que el circuito no contiene resistencia. ¡P ro b le m a R e s u e l to
3S -S.
Solución Con base en el principio de conservación de la energía, la energía máxima almacenada en el capacitor debe ser igual a la ener gía máxima guardada en el inductor (pero recuerde que los dos má ximos no ocurren al mismo tiempo). Por medio de las ecuaciones 36-21 y 36-24 obtenemos A 2C
= (57 V)
= 2 7 T /= ^
L a fó rm u la an terio r tam bién p uede obtenerse de un análisis riguroso de la oscilación electrom agnética, com o verem os en la siguiente sección.
1.5 X 1Q-6F = 0.64 A. 12 X 10~3 H
O S C IL A C IO N E S E L E C T R O M A G N É T IC A S: CUANTITATIVAS A hora vam os a obtener una expresión de la frecuencia de osci lación para un circuito LC (sin resistencia), aplicando el princi pio de conservación de la energía. L a energía total U presente en un instante cualquiera en un circuito oscilatorio L C es ~ LLíi2 - + — 4 U = Ug + UE = — 7 2
Analogía con el movimiento armónico sim ple La figura 12-5 indica que en un sistem a oscilatorio de m asaresorte, lo m ism o que en un circuito oscilatorio LC, hay dos clases de energía: la energía potencial del resorte com prim ido o extendido y la energía cinética de la m asa en m ovim iento. N os las dan las conocidas fórm ulas de la prim era colum na de la tabla 36-1. Vem os en ella que, en cierto m odo, un cap aci tor se parece a un resorte; un inductor, a un objeto m asivo (la m asa), y ciertas m agnitudes electrom agnéticas “co rresp o n den ” a algunas m ecánicas, a saber: i corresponde a v,
1 /C corresponde a k,
L corresponde a m.
(36-25) L a gran co rrespondencia se detecta al com parar la figura 36-8, que m u estra las oscilaciones de un circuito L C sin resis tencia, con la figura 12-5, que m uestra las oscilaciones en un sistem a de m asa-resorte sin fricción. N ótese cóm o v e i co rresponden en las dos figuras, lo m ism o que x y q. N ótese asi m ism o cóm o en am bos casos la energía alterna entre dos form as: m ag n ética y eléctrica en los sistem as LC, y la cin éti ca y potencial en el sistem a de m asa-resorte. E n la sección 17-3 vim os que la frecuencia angular n a tu ral de un o scilador m ecánico arm ónico sim ple es co = 2 tr f =
esto indica que en un tiem po arbitrario cualquiera una parte de la energía se alm acena en el cam po m agnético del induc to r y la o tra en el cam po eléctrico del capacitor. Si suponem os que la resisten cia del circuito es cero, no se disipa energía y U perm anece constante con el tiem po, aunque varíen i y q. En un lenguaje m ás form al d U /d t debe ser cero. E llo nos lleva a dü
ci
dt
dt
■Li2
Electromagnéticos
Resorte
us = |/ A
Masa
K = 4-mv2
Inductor
v = dx/clt
r di a dq L i — + -7 T -T - = °dt C dt
J__£l 2 C
L a q rep resen ta la carga en una placa p articular del capacitor (por ejem plo, la placa de la parte superior en la Fig. 36-8), y la i, la rap id ez con que la carga fluye hacia el interior de esa placa (así que i > 0 cuando una carga positiva fluye a través de la placa). E n este caso dq ~dt
UE = UB = \ L C i = d q /dt
di _
d 2q
dt ~
d t2 ’
Y
y al sustituir en la ecuación 36-28 obtenem os d 2q 1 _ _ |L + _ ,
= 0.
(36. 29)
L a ecuación 36-29 describe las oscilaciones de un circuito LC (sin resistencia). Si desea reso lv er esta ecuación, nótese la se m ejanza con la ecuación (17-4), d 2x
E nergía en sistemas oscilatorios
Capacitor
(36-27)
(36-28)
q corresponde a x,
Mecánicos
(36-26)
LC
¡, 5 m’
donde / es la corriente máxima y q es la carga máxima. Obsérve se que ninguna de las dos ocurren simultáneamente, sino con un in tervalo de un cuarto de ciclo (Figs. 36-8 y 36-9). Resolvemos para i y sustituimos qm por CV; de ese modo obtenemos = y
L a co rresp o n den cia entre los dos sistem as significa que, para en co n trar la frecu en cia de oscilación de un circuito L C (sin resistencia), h ab ría que reem p lazar k p o r 1 /C y m p o r L, y es to nos da
H t2
+
k
■x = 0,
(36-30)
que describe la oscilación m ecánica de una partícula fija a un resorte. E n lo esencial, las correspondencias de la ecuación 36-25 se logran com parando estas dos ecuaciones. La solución a la ecuación 36-30, obtenida en el capítulo 1 7 ,fue X = x m eos (cot +
donde xm es la am plitud del m ovim iento, y 0 una constante arbitraria de fase. D ado que q corresp o n d e a x, podem os es cribir así la solución de la ecuación 36-29 7 =
eos {cot + 0 ),
dq —— = i = — u q m sen ( u t + 0 )
d t2
= — a rq m eos (o>t + 0).
(36-32)
(36-33)
Tn sen2(cu? + 0). 2C
UR _=
(36-31)
donde co es la frecu en cia angular, tod av ía desconocida, de las oscilaciones electrom agnéticas. Podem os p rob ar si la ecuación 36-31 es en realidad una solución de la ecuación 36-29, co n sólo sustituirla ju n to con su segunda derivada en ella. P ara e ncontrar la segunda deriva da escribim os
d 2q
A l sustituir co de la ecuación 36-34 en esta últim a ecuación se obtiene (36-36)
L a fig u ra 36-10 m uestra las gráficas de UE{t) y UB{t) en el caso de 0 = 0. N ótese que 1) los valores m áxim os de UE y UB son iguales ( = q ^ / l Q - , 2) la sum a de UE y Ug es una constante ( = ¿ ¿ /2 C ) ; 3) cuando UE tiene su valor m áxim o, UB es cero y a la inversa; 4) UB y UE alcanzan su v alor m áxi m o dos veces durante cada ciclo. E ste análisis corrobora el análisis cu alitativo de la sección 36-5. C om pare esta explica ción con la de la sección 17-4 respecto a las transferencias de energía en un oscilador m ecánico arm ónico sim ple. R e s u e l t o 3 3 - S - . a ) En un circuito oscilatorio LC, ¿qué valor de carga expresado en función de la carga máxima exis te en el capacitor cuando la energía se comparte en cantidades iguales entre el campo eléctrico y el magnético? b) ¿En qué tiempo t se pre sentará esta condición, suponiendo que el capacitor está inicialmente cargado por completo? Suponga que L = 12 mH y que C = 1.7 fjF.
P r o b l e m a
La sustitución de q y de d rq ¡d t2 en la ecuación 36-29 nos da - a rq m eos (tur + 0 ) +
q m eos {cot + 0 ) = 0.
Al cancelar qm eos {cat + ó ) y al rearreg larla queda 1 (36-34)
Solución a) La energía almacenada UE y la energía máxima U guardada en el capacitor son, respectivamente, rr — 7 2C
U c — -------
Por tanto, si a co se le asigna el valor 1/ V LC, la ecuación 36-31 es, efectivam ente, una solución de la ecuación 36-29. E sta ex presión de co coincide con la ecuación 36-26, a la que llega mos en virtud de la correspondencia entre las oscilaciones m ecánicas y electrom agnéticas. L a constante de fase 0 en la ecuación 36-31 se d eterm i na m ediante las condiciones en t = 0. Si la condición inicial es la representada p o r la figura 36-8a, p o n em o s 0 = 0 a fin de que la ecuación 36-31 prediga q = qm en t = 0. ¿Q ué co n dición física inicial se supone en 0 = 9 0 o? ¿180o? ¿2 7 0 o? ¿C uál de los estados que aparecen en la figura 36-8 corres ponden a estos dos valores de 0 ? P or m edio de la ecuación 36-31 se obtiene la energía eléctrica alm acenada en el circuito L C
JL
■eos2 (cui + 0 ), UF = — 31 -b r = 2 C 2C
rt _ 7ñi m 2C
Y U - = --------.
y
La sustitución de UE = -f Um nos da 1 7m o bien 7 = b) Como 0 = 0 en la ecuación 36-31 porque q = qm en t = 0, tenemos q = qm cos cot
V 2’ que produce a>t
= cos” V ?
(36-35)
y, em pleando la ecuación 36-32, la energía m agnética es UB = g L i2 = j L ú r q 2^ sen 2(o>t + ó).
7m
4
3, utilizando co = i /Vic, ir 4cu
ttVZc
_ tW(12 X 10~3 H)( 1.7 X 1CT6 F)
4
= 1.1 X i c r 4 s = 110 /xs. Qm' 2C
U (-U B + U¿ I . /
0
\
V Vrr
'Q W
;\ '
■Ug{t)
;\ / ■, / ' 1 ' : \ / T/2
U£
/ '
/
F i g u r a 3 S - 1 0 . Energías magnética y eléctrica almacenadas y su suma en un circuito LC en función del tiempo. T (= 2 ir/ai) es el periodo de oscilación.
3 6 -7 O SC IL A C IO N E S A M O R TIG U A D A S Y FO R ZA D A S Siem pre hay una resistencia R en cualquier circuito real LC. C uando la tenem os en cuenta, descubrim os que la energía electrom agnética total U no es constante, sino que dism inuye conform e se disipa la energía interna en el resistor. C om o ve rem os luego, es exacta la analogía con el o scilador am ortigua
do del sistem a m asa-resorte de la sección 17-7. Igual que an tes, tenem os ahora 1
■L f
(36-37)
i2R,
(36-38)
U = UB + UE U ya no es constante sino que dU = dt
di ■i 2R = L i — + dt
q
dq
C
dt
Si sustituim os d q /d t para i y á^-q/dt1 p a r a J í / d / y si dividim os entre i, tras arreg lar los térm inos nos queda
■
lfc > í V
d t2
+ R
dq dt
+
1 C
0,
(36-39)
que describe las o scilaciones am ortiguadas LC . Si hacem os R = 0, la ecuación 36-39 se transform a, com o debe ser, en la ecuación 36-29; ésta describe las oscilaciones no am ortiguadas. Sin prueba afirm am os que la solución general de la ecuación 38-39 pued e escribirse en la form a
A -:; j, •'■•i,
d 2q
r o b l e m a R e su e l t o 3 6 - 1 0 . Un circuito tiene L= 12 mH, C — 1.6 /¿F y i? = 1.5 íl. o) ¿Después de cuánto tiempo t la amplitud de las oscilaciones de carga se reducirán a una mitad de su valor inicial? b) ¿A cuántos periodos de oscilación corresponde esto?
P
el signo negativo sig n ifica que la energía alm acenada U dis m inuye con el tiem po, con v irtién d o se en energía in tern a en el resistor con una rap id ez i2R . A l d eriv ar la ecuación 36-37 y al com binar el resultado con la ecuación 36-38, obtenem os
L
corriente oscila senoidalm ente co n la frecuencia co' y su am p litu d dism inuye de m an era ex p o n en cial co n el tiem po. E n ri gor, la frecu en cia co1 es m en o r que la frecu encia (co = l/\J ~ L C ) de las o scilaciones no am ortiguadas, pero en la m a yo r parte de los casos de interés p o d em o s h acer cu' = co, con un error insignificante.
q — q me ~ R,nL eos (co't + <$),
(36-40)
a,' = v/or - (R /2L )2.
(36-41)
Solución a) Esto ocurrirá cuando el factor de amplitud e~R,/-L en la ecuación 36-40 tenga el valor 1/2, o sea p ~Rll2L _ i e 2• Al tomar el logaritmo natural en ambos lados, se obtiene - Rt/2L = ln i = - ln 2, o, al resolver para t, 2L ■ln 2 R
(2)(12 X 10~3 H) ln 2 = 0.011 s. 1.5 n
tí) El número de oscilaciones es el tiempo transcurrido dividido en tre el periodo, que se relaciona con la frecuencia angular to por T = 2 tt¡ cü. La frecuencia angular es 1 4LC
7200 rad/s. a/(12 X 10“3 H)(1.6 X H T ^Fj
Entonces, el periodo de oscilación es
donde P or m edio de las analogías de la ecuación 36-25, vem os que la ecuación 36-40 es el equiv alen te exacto de la 17-39, la ecuación del desplazam iento en fu n ció n del tiem po en un m o vim iento arm ónico sim ple am ortiguado. C uando co m p ara m os la ecuación 36-41 con la ecuación 17-40, com probam os que la resistencia R corresp o n d e a la constante de am ortigua m iento b en el o scilad o r m ecánico am ortiguado. L a figura 36-11 m uestra, en función del tiem po, la co m e n te en un circuito L C (com párela con la Fig. 17-166). La
7200 rad/s
S.7 x 10“" s.
Así que el tiempo transcurrido, expresado en función del periodo de oscilación, es 0.011 s 8.7 X 10—4 s
13.
La amplitud se reduce a la mitad al cabo de unos 13 ciclos de oscila ción. En cambio, el amortiguamiento en este ejemplo es menos drás tico que el de la figura 36-11, donde la amplitud disminuye a la mitad en un ciclo aproximadamente. En el problema resuelto, hemos empleado w en vez de c o ' . Con base en la ecuación 36-41, calculamos <¿>— co' = 0.27 rad/s, de esta manera cometemos un error insignificante al utilizar a>.
O scilaciones fo rza d as y la reso n an cia P ensem os en un circuito L C am ortiguado que contiene una resisten cia R. Si el am o rtiguam iento es pequeño, el circuito oscilará con una frecuencia co = l / \ J L C , que llam am os fr e cuencia na tu ra l del sistem a. A hora supóngase que aplicam os al circuito una fuerza electrom otriz variable en el tiem po y dada por eos co t,
F i g u r a 3 6 - 1 1 . Trazo de un osciloscopio que muestra la
oscilación de un circuito LC amortiguado. La amplitud de oscilación disminuye porque se disipa energía en la resistencia del circuito.
(36-42)
usando para ello un generador extem o. A q u í co", que puede ha cerse variar a discreción, es la frecuencia de esta fuente externa. Calificam os de fo rza d a s a este tipo de oscilaciones. C uando la fuerza electrom otriz, descrita en la ecuación 36-42, se aplica
L = 100 p H - C = lO OpF
lf ? = 10 Q
-
-
*4
-
V R « 30 Q
100 Q
F i g u r a 3 6 - 1 2 . a) L as o sc ila cio n es electro m ag n éticas de un circuito se m antienen a una frecuencia angular ai'. b) L as oscilaciones m ecánicas de un sistem a m esa-resorte se m antienen a una frecuencia angular ai'. L o s elem en to s co rre sp o n d ien tes de los dos sistem as se dibujan o p uestos cad a uno.
---- -------
i = im sen{cü"t -
(36-43)
La am plitud de corriente im en la ecuación 36-43 es una m e dida de la respuesta del circuito de la fig u ra 3 6 -12a a la fuer za electrom otriz de excitación. Es lógico suponer (de la experiencia en em pujar colum pios, p o r ejem plo) que z'm es grande cuando la frecu en cia de excitació n oi ' se aproxim a a la frecuencia natural a) del sistem a. E n otras palabras, espera mos que una gráfica de / en función de ai' alcance su valor
-« |
0.90
0.95
|
-
1.00
1.05
------- = = — 1.10
w"/to 3 6 - 1 3 . C urvas de resonancia p ara el circuito oscilatorio fo rzad o de la ñ g . 36-12«. L as tres curvas co rre sp o n d en a diferen tes valores de la resistencia del circuito. Las flechas horizontales indican el ancho de la “a g u d eza” de cada resonancia. F
prim ero, en el circuito aparecen corrientes transitorias varia bles con el tiem po. S in em bargo, ahora nos interesan las co rrientes senoidales que existen en este circuito un a vez que se han extinguido estos transitorios iniciales. C ualquiera que sea la frecuencia natural ai, estas oscilaciones de carga, de corrien te o de diferencia de p o ten cia l en el circuito deben ocurrir en la frecuencia im pulsora externa ai'. E n la figura 36-12 se com para el sistem a electrom agnéti co oscilatorio con un sistem a m ecánico correspondiente. U n vibrador V, que im pone una fuerza alterna externa, correspon de al generador V, éste im pone una fuerza electrom otriz alter na externa. O tras m agnitudes “co rresponden” com o antes (Tabla 36-1): el desplazam iento a la carga y la velocidad a la corriente. L a inductancia L, que se opone a los cam bios de co rriente, corresponde a la m asa (inercial) m , que se opone a los cam bios de velocidad. L a constante de reso rte k y la capaci tancia inversa C -1 rep resen tan la “rig id ez” de sus sistem as y producen, respectivam ente, la respuesta (desplazam iento) det resorte ante la fuerza y la respuesta (carga) del capacitor ante la fuerza electrom otriz. En el capítulo 37 obtuvim os la solución p ara la corriente en el circuito de la fig u ra 3 6 -12a, que p u ed e escribirse en la form a
-
ig u r a
m áxim o cuando ai' = co= \l{ L C ,
(36-44)
que llam am os condición de resonancia. E n la figura 36-13 se incluyen tres gráficas de i en fu n ción de la razón ai'/ ao, cada una corresponde a un valor d is tinto de la resisten cia R. Vemos que los picos poseen en realidad un valor m áxim o cuando se cum ple la condición de resonancia de la ecuación 36-44. N ótese que, conform e se dism inuye R , el p ico de resonancia se vuelve m ás pronunciaf do, com o lo indican las tres flechas horizontales dibujadas en el niv el de la m itad m áxim a de cada curva. L a figura 36-13 refleja la experiencia com ún de sintonizar un radio. Al girar la perilla de sintonización, estam os ajustando la frecuencia natural oo de un circuito interno L C para acoplar la frecuencia de excitación ai’ de la señal transm itida por la ante na de la estación; buscam os la resonancia. L a nitidez de la sin tonización cobra im portancia en una zona m etropolitana, donde hay m uchas señales cuyas frecuencias están a m enudo cercanas. La fig u ra 36-13 se parece a la figura 17-19; ésta contie ne los pico s de resonancia en las oscilaciones forzadas de un o scilador m ecánico com o los de la figura 36-126. Tam bién, en este caso, la resp u esta m áxim a tiene lugar cuando ai' = co y los pico s de reso n an cia se vuelven m ás pronunciados al dis m in u ir el factor de am ortiguación (el coeficiente b). N ótese que las curvas de las figuras 36-13 y 17-19 no son ex actam en te iguales. L a prim era es una gráfica de am plitud de corriente, y la segunda, de la am plitud de desplazam iento. L a variable m ecánica correspondiente a la c o m en te no es el d esplaza m iento, sino la velocidad. Pese a ello, am bos conjuntos de curvas ejem plifican el fenóm eno de resonancia.
O p c ió n m ú l t ip l e Inductancia
3 6 - 1
3 S -2 C á lc u lo d e la in d u c ta n c ia 1. Dos inductores idénticos de inductancia L están conectados en serie. a) Si los inductores están muy distantes entre sí, la inductancia efectiva del sistema será A) L /2 . B) L / V 2. C) A/2L. D) 2L. b) Si acercamos los dos inductores, la inductancia efectiva A) aumentará. B) disminuirá. C) no se alterará. D) cambiará, pero la respuesta depende de la orientación de los inductores. 2. Dos inductores idénticos de inductancia L están conectados en paralelo. a) Si están muy distantes entre sí, la inductancia efectiva del sistema será r A) L /2. B) L /V 2 . C) V2L. D) 2L. b) Si acercamos los dos inductores, la inductancia efectiva A) aumentará. B) disminuirá. C) no se alterará. D) cambiará, pero la respuesta depende de la orientación de los inductores. 3. Una espira simple de alambre tiene una inductancia LQ. Si arri ba de ella ponemos otra, la nueva inductancia será A) 4L0. B) 2L0. C) V 2L 0. D) L%. 4. ¿Qué relación hay entre la inductancia por unidad de longitud en un solenoide reai cercano a su centro y la cercana a sus ex tremos? A) La inductancia por unidad de longitud es más grande cerca del centro. B) La inductancia por unidad de longitud está más grande cerca de los extremos. C) La inductancia por unidad de longitud es la misma en todas partes. 5. Puede hacer un inductor con un metal “elástico’/ que es funda mentalmente un solenoide flexible. Si lo alargamos hasta que alcance el doble de su longitud original, la inductancia A) se convertirá en L0/2 . B) se convertirá en L0/4 . C) se convertirá en V^oD) no se alterará. 6. Un inductor tiene una inductancia L0. Un segundo inductor es idéntico al primero, salvo que tiene el doble de tamaño; crece en un factor de dos. ¿Cuál es la razón de la inductancia del induc tor agrandado al inductor original? A) 4 B) 2 C) 1 D) 1/2 E) la respuesta depende de la geometría del inductor. 3 3 -3
C irc u ito s L R
7. Un resistor, un inductor, un interruptor y una batería están en se rie. Al inicio el interruptor está abierto. Luego se cierra y se per mite que fluya la corriente. a) Antes que el sistema alcance un estado estable, la diferencia de potencial en el resistor A) aumenta. B) disminuye. C) permanece fija. b) Antes que el sistema alcance un estado estable, la diferencia de potencial en el inductor A) aumenta. B) disminuye. C) permanece fija.
8. Un inductor ideal está conectado en serie con un resistor y una batería ideal. Ésta suministra energía con una rapidez P(t), el re sistor disipa esta energía con una rapidez PR(e) y, el inductor la almacena con una rapidez PL(t). ¿Qué puede concluirse respec to a la relación entrePR{t) y PL{t)l A) PR(t) > PL{t) en todos los tiempos t mientras carga. B) PR(t) = PL(t) en todos los tiempos t mientras carga. C) PR(t) < PL(t) en todos los tiempos t mientras carga. D) PR{t) > Pi(t) solo cerca del inicio de la carga. E) PR(t) < PL{t) sólo cerca del inicio de la carga.
36-4. A lm a ce n a m ien to d e e n e rg ía en un c a m p o m agnético 9. Considere otra vez los dos inductores de la pregunta de opción múltiple 6 y suponga que llevan la misma corriente. a) ¿Cuál es la razón de energía total almacenada del inductor agrandado a la del inductor original? A) 1/4 B) 1/2 C) 2 D) 4 b) ¿Cuál es la razón de la densidad de energía total almacenada del inductor agrandado a la del inductor original? A) 1/4 B) 1/2 C) 2 D) 4
3 6 - s O sc ila c io n e s e le c tro m a g n é tic a s: c u a lita tiv a s 10. Un circuito simple LC consta de un inductor L y de un capaci tor C en serie. Este circuito oscila con una frecuencia / 0. Un segundo inductor idéntico y un segundo capacitor también idén tico se incorporan en serie al circuito; suponga que los inducto res están lo bastante separados para que sus campos magnéticos no interfieran. ¿Cuál es la nueva frecuencia de oscilación en es te sistema? A) 4/0 B) 2/0 C) f Q D) / 0/ 2 B) f j 4 11. La frecuencia de un oscilador LC es / 0. Después separamos las placas del capacitor de placas paralelas el doble de la distancia original. ¿Cuál es la nueva frecuencia de oscilación? A) 2J0 B) V 2 /0 C) f j \ ¡ 2 D) / 0/2 12. ¿Cuál de los siguientes cambios aumentará la frecuencia de un oscilador LC? (Puede haber más de una respuesta correcta.) A) Introducir una lámina dieléctrica en el capacitor. B) Introducir una sustancia paramagnética en el inductor. C) Introducir una sustancia ferromagnética en el inductor. D) Introducir una sustancia diamagnética en el inductor. 3 S -S O sc ila c io n e s e le c tro m a g n é tic a s: c u a n tita tiv a s 13. Un circuito LC oscila con una frecuencia/ Cuando la corriente que pasa a través del inductor es i = imáx/ 2, la carga del capa citor es _ A) ? = W B) q = y 3 q m&¿ 2 . C) q = V 2 q mix/2 . D) q = qmj 2 . 14. Al inicio, un circuito LC oscila con una frecuencia/y con una corriente máxima ¡máx. Si su energía total se duplica, c¡) el p erio d o de oscilación aum en tará en un facto r de
A) 4. B) V s . C) 2. D) V 2. E) 1 (no se altera). b) la carga máxima que se acumule en el capacitor aumentará en un factor de A) 4. B) V s . E) 1 (no se altera).
C) 2.
D) \ V .
c) la corriente máxima que se produzca en el circuito aumenta rá en un factor de A) E)
4. B) V S . 1 (no se altera).
C) 2.
D) \¡2 .
3 6 -7 O scilacio n e s a m o rtig u a d a s y fo rz a d a s 15. ¿Cuándo la energía de un circuito LRC disminuye con la mayor rapidez?
A) Cuando la carga en el capacitor es máxima. B) Cuando la carga en el capacitor es mínima. C) Mientras la fuerza electromotriz inducida en el inductor es máxima. D) Cuando el calentamiento Joule en el resistor es mínimo.
P Í^ G U N T A S Demuestre que las dimensiones de las dos expresiones de L, N<í>B/ i (Ec. 36-4) y % L/(di/dt) (Ec. 36-1) son iguales. Si el flujo que pasa por las vueltas de una bobina es el mismo, la inductancia de ella puede calcularse a partir de L = N
w 1
O) f F ig u r a
3 6 -1 4 .
i)
r
.
íf
Pregunta 5.
6 . Explique por qué se espera que la inductancia de un cable co
axial aumente cuando incrementamos el radio del conductor ex terno, mientras el del conductor interno permanece fijo. 7. Le dan un alambre de cobre de longitud I. ¿Cómo lo arreglaría para obtener la inductancia máxima? Explique cómo un alambre recto puede mostramos los efectos de la inducción. ¿Qué haría para detectarlos? 9. Se crea una corriente estacionaria en una bobina con una cons tante inductiva de tiempo muy grande. Cuando se interrumpe, con un interruptor, un arco grande tiende a aparecer en las hojas del interruptor. Explique por qué. (Nota: la interrupción de co rrientes en circuitos con gran inducción puede resultar destruc tiva y peligrosa.) Suponga que conecta una bobina ideal (es decir, esencialmente sin resistencia) a una batería ideal (también sin resistencia). Se podría pensar que, como el circuito no tiene resistencia, la co rriente alcanzaría de inmediato un valor muy grande. Por otra parte, se podría pensar que la corriente se elevaría con mucha lentitud si es que se eleva, pues la constante inductiva del tiem po (= L/R ) es muy grande. ¿Qué es lo que sucede en realidad? En un circuito LR como el de la figura 36-4, ¿puede alguna vez la fuerza electromotriz inducida ser más grande que la de la batería?
12. En un circuito LR como el de la figura 36-6, ¿es la corriente del resistor siempre la misma que la corriente que pasa a través del inductor? 13. En el circuito de la figura 36-4, la fuerza electromotriz inducida alcanza su valor máximo en el instante en que se cierra el inte rruptor en a. ¿A qué se debe esto, pues en ese momento no pa sa corriente por el inductor? 14. ¿Depende del valor de la fuerza electromotriz constante aplica da el tiempo requerido para que la corriente de un circuito LR se acumule y produzca una parte de su valor de equilibrio? 15. Si la corriente en una fuente de fuerza electromotriz sigue la di rección de esta última, disminuirá la energía de la fuente; si tiene una dirección contraria a la fuerza electromotriz (como sucede cuando se carga una batería), aumentará la energía de la fuente. ¿Se aplican estas afirmaciones al inductor de la figura 36-2? 16. ¿Puede la fuerza electromotriz de un inductor seguir la misma dirección que la de la fuente; ésta le suministra al inductor su energía magnética? 17. Se pone en b el interruptor de la figura 36-4, que ha sido cerni do en a durante “largo” tiempo. ¿Qué sucede con la energía al macenada en el inductor? 18. Una bobina tiene una inductancia (medida) L y una resistencia (también medida) R. ¿Está la constante inductiva de tiempo da da necesariamente por rL = L /R l Recuerde que obtuvimos esa ecuación (Fig. 36-4) para una situación donde los elementos in ductivos y resistivos estuviesen físicamente separados. Expli que su respuesta. 19. Las figuras 36-5a y 31-21¿> son gráficas de L V R (t) para los cir cuitos LR y RC, respectivamente. ¿Por qué estas dos curvas son tan distintas? Justifique para cada una en términos de los proce sos físicos que tienen lugar en el circuito apropiado. 20. Dos solenoides, A y B; tienen el mismo diámetro y longitud y contienen sólo una capa de devanados de cobre; las vueltas con tinuas que se tocan y el espesor del aislamiento son insignifican tes. EÍ solenoide A tiene muchas vueltas de alambre delgado, y el solenoide B, menos vueltas de alambre grueso, a) ¿Cuál solenoi de presenta la mayor inductancia? b) ¿Cuál solenoide tiene la ma yor constante inductiva de tiempo? Fundamente sus respuestas. 21. ¿Puede presentar un argumento basado en la manipulación de los imanes de barra para indicar que la energía puede almace narse en un campo magnético? 22. Trace todas las analogías formales que se le ocurran entre un ca pacitor de placas paralelas (en campos eléctricos) y un solenoi de largo (en campos magnéticos). 23. Se consume energía en las siguientes operaciones. Parte de ella puede recuperarse (reconvertirse) transformándola en energía eléctrica con la cual puede realizarse trabajo útil o se desper dicia en otras formas. ¿En cuál caso habrá por lo menos una frac ción de energía eléctrica recuperable: a) carga de un capacitor,
24.
25.
26. 27.
28. 29. 30.
31.
32.
33.
34.
b) carga de una batería de almacenamiento, c) envío de una co rriente a través del resistor, d) creación de un campo magnético y e) desplazamiento de un conductor en un campo magnético? Se invierte la corriente de un^solenoide. ¿Qué cambios produce esto en el campo magnético B y la densidad de energía uB en va rios puntos a lo largo del solenoide? Algunos aparatos comerciales como los motores y generadores que intervienen en la transformación de energía entre formas eléctricas y mecánicas no contienen campos eléctricos, sino magnéticos. ¿A qué se debe ello? ¿Por qué el circuito LC de la figura 36-8 no deja simplemente de oscilar cuando se descarga por completo el capacitor? ¿Cómo podría hacer que un circuito LC empezara a oscilar apli cando la condición inicial que se representa en al figura 36-8c? Diseñe un esquema de interruptor para lograrlo. La curva de la parte inferior b de la figura 36-9 es proporcional a la derivada de la curva de la parte superior a. Explique por qué. En un circuito oscilatorio LC, supuestamente sin resistencia, ¿qué determina a) la frecuencia y b) la amplitud de las oscilaciones? En relación con las figuras 36-8c y 36-8g, explique por qué pue de haber una corriente en el inductor, aunque no la haya en el capacitor. En la figura 36-8, ¿qué cambios se requieren para que las osci laciones se realicen en dirección contraria a la de las manecillas del reloj alrededor de ella? En la figura 36-8, ¿qué constantes de fase de la ecuación 36-31 permitirían que las ocho situaciones de circuito descritas en ella sirvan a su vez de condiciones iniciales? ¿Qué problemas de construcción encontraría si intentara cons truir un circuito LC como el de la figura 36-8 para que oscilara a) a 0.01 Hz o b) a 10 Ghz? Dos inductores L l y L7 y dos capacitores Cj y C2 pueden conec tarse en serie conforme al arreglo de la figura 36-15« o de la fi-
C, L, a)
c, b) F
ig u r a
3 6 -1 5 . Pregunta 34.
gura 3 6 - 15b. ¿Son iguales las frecuencias de los dos circuitos oscilatorios? Considere los dos casos: a) Cl = C„ L 1 = L0 y b) C j ¥= C „ Lj r L-,. 35. En la analogía mecánica con el circuito oscilatorio LC, ¿qué magnitud mecánica corresponde a la diferencia de potencial? 36. Al comparar el sistema electromagnético oscilatorio con un siste ma mecánico también oscilatorio, ¿a qué propiedades mecánicas se parecen las siguientes propiedades electromagnéticas: capa citancia, resistencia, carga, energía del campo eléctrico, energía del campo magnético, inductancia y corriente? 37. Se unen y se conectan dos resortes a un objeto de masa m\ el sis tema puede oscilar libremente en una superficie horizontal sin fricción, como se ve en la figura 36-16. Dibuje el análogo elec tromagnético de este sistema mecánico oscilatorio.
F
ig u r a
36 -16 .
Pregunta
37.
38. Explique por qué no es posible tener a) un circuito real LC sin resistencia, b) un inductor real sin capacitancia intrínseca o c) un capacitor real sin inductancia intrínseca. Explique la validez práctica del circuito LC de la figura 36-8, donde se desprecian las realidades anteriores. 39. Todos los circuitos prácticos LC deben contener alguna resisten cia. Sin embargo, puede comprarse un oscilador de audio empaca do, en que la salida conserve indefinidamente una amplitud constante sin que decaiga, como se advierte en la figura 36-11. ¿A qué se debe esto? 40. ¿Qué aspecto tendría una curva de resonancia cuando R = 0, si se gráfica en la figura 36-13? 41. ¿Existe alguna razón física para suponer que R es “pequeña” en las ecuaciones 36-40 y 36-41 ? (Sugerencia: considere lo que po dría ocurrir si la R de amortiguamiento fuera tan grande que la ecuación 36-40 ni siquiera pudiera recorrer un ciclo de oscila ción antes que q fuese reducida esencialmente a cero. ¿Podría suceder eso? En caso de una respuesta afirmativa, ¿qué aspecto se imagina que tendría la figura 36-11? 42. ¿Qué diferencia hay entre los circuitos oscilatorios libres, los amortiguados y los forzados? 43. Tabule el mayor número posible de sistemas mecánicos o eléc tricos que posean una frecuencia natural, junto con la fórmula de ella si se da en el texto. 44. ¿Conviene que un circuito oscilatorio receptor de radio tenga un factor O alto o bajo? Explique su respuesta (Prob. 15).
ifójERCICIOS^ 3 6 -1 I n d u c ta n c ia 3 6 - 2 C á lcu lo d e la in d u c ta n c ia 1.
La inductancia de una bobina compacta de 400 vueltas es 8.0 mH. Calcule el flujo magnético en la bobina cuando la corrien te es 5.0 mA.
2. Una bobina circular tiene un radio de 10.3 cm y consta de 34 vueltas de alambre muy compactas. Un campo magnético pro ducido externamente de 2.62 mT es perpendicular a dicha bobi na. a) Si no hay corriente en la bobina, ¿cuál es el número de conexiones de flujo? b) Cuando la corriente de la bobina es 3.77 A en cierta dirección, se observa que desaparece el flujo neto a través de ella. Calcule la inductancia de la bobina.
Un solenoide se enrolla con una sola capa de alambre aislado de cobre (diámetro, 2.52 mm). Mide 4.10 cm de diámetro y 2.0 m de largo. ¿Cuál es la inductancia por metro en el solenoide cerca de su centro? Suponga que los alambres contiguos se tocan y que el espesor del aislamiento es insignificante. En cierto momento, la corriente y la fuerza electromotriz indu cida son las que se indican en la figura 36-17. a) ¿Aumenta o disminuye la comente? b) La fuerza electromotriz es 17 V y la rapidez de cambio de la comente es 25 kA /s; ¿qué valor tiene la inductancia?
b) ¿Por qué debe su separación ser grande para que se manten ga esta relación? 10. Dos inductores L l y L2 están conectados en serie y separados por una gran distancia, a) Demuestre que la inductancia equiva lente está dada por ¿eq = ¿ I "b L i .
b) ¿Por qué su separación debe ser grande para conservar esta relación? 3
---------- — s»---------------F ig u r a
36 -1 7 .
Ejercicio
4.
La inductancia de una bobina de N vueltas enrollada compacta mente es tal que una fuerza electromotriz de 3.0 mV se induce cuando la comente cambia con una rapidez de 5.0 A /s. Una co rriente estacionaria de 8.0 A produce un flujo magnético de 40 /xWb. a) Calcule la inductancia de la bobina, b) ¿Cuántas vueltas tiene? Un toroide con una sección transversal de 5.20 cm2 y un radio interno de 15.3 cm tiene 536 vueltas de alambre y transporta una corriente de 810 mA. Calcule el flujo magnético que pasa por la sección. Un solenoide de 126 cm de largo se forma con 1870 vueltas que transportan una corriente de 4.36 A. Su núcleo está lleno con hierro y la constante de permeabilidad efectiva es 968. Calcule la i n d u c t a n c i a d e l s o l e n o i d e , s u p o n i e n d o q u e p u e d e tratarse c o -
mo ideal, con un diámetro de 5.45 cm. La corriente i a través de un inductor varía con el tiempo t como se muestra en la gráfica de la figura 36-18. Calcule la fuerza elec tromotriz inducida durante los intervalos de tiempo a) t = 0 á t = 2 ms, b) t = 2 ms a t = 5 ms y c) t = 5 ms a t = 6 ms. (No tenga en cuenta el comportamiento en los extremos de los inter valos.)
S-3 Circuios LR
11. La comente en un circuito LR se reduce de 1.16 A a 10.2 mA en los 1.5 s inmediatamente después de sacar la batería del circui to. Si L es 9.44 H, calcule la resistencia R del circuito. 12. Considere el circuito LR de la figura 36-4. a) En función de la fuerza electromotriz de la batería %, cuál es la fuerza electromo triz inducida %L cuando se acaba de cerrar el circuito en a? b) ¿Cuál es %L después de dos constantes de tiempo? c) ¿Tras cuantas constantes de tiempo %L será justo una mitad de la fuer za electromotriz de la batería %1 13. El número de conexiones de flujo en cierta bobina con una resistencia 745 m il es 26.2 mWb cuando tiene una comente de 5.48 A. a) Calcule su inductancia. b) Si de repente conectamos una batería de 6.00 V en ella, ¿cuánto tardará la corriente en aumentar de 0 a 2.53 A? 14. a) Demuestre que la ecuación 36-12 puede escribirse
i
di = _R _ - %/R L
t%
: b) Integre esta ecuación para obtener la ecuación 36-13. Suponga que la fuerza electromotriz de la batería en el circuito de la figura 36-4 (el interruptor cerrado en a) varía con el tiem po t de manera que la comente está dada por i(t) = (3.0 A) + (5.0 A/s)f. Suponga que R = 4.0 Ú,, L = 6.0 H y encuentre una expresión de la fuerza electromotriz de la batería en función del tiempo. (Sugerencia: aplique la regla de la malla.) 16. En 5.22 s, la corriente en un circuito LR se eleva hasta alcanzar una tercera parte de su valor. Calcule la constante inductiva de tiempo. 17. Se aplica repentinamente una diferencia de potencial de 45 V a una bobina de L = 50 mH y R = 180 íl. ¿Con qué rapidez cre ce la comente al cabo de 1.2 ms? 18. En t = 0 se conecta una batería a un inductor y a un resistor co nectados en serie. En la siguiente tabla se incluyen la diferencia de potencial, en volts, en el inductor en función del tiempo, en ms, después de conectada la batería. Deduzca a) la fuerza elec tromotriz de la batería y b) la constante de tiempo del circuito. 15.
f(ms)
Al/£ (V)
f(ms)
t (ms) F ig u r a
36-1 3.
Ejercicio
8.
Dos inductores L ] y L , están conectados en paralelo y separa dos por una gran distancia, a) Demuestre que la inductancia equivalente se obtiene de 1 = 1 , 1 L,_q ~ L, + L 2 •
AV^V)
1.0
18.24
5.0
5.98
2.0
13.8
6.0
4.53
3.0
10.4
7.0
3.43
8.0
2.60
4.0
7.90
19. En la figura 36-19, % = 100 V, R l — 10 íl, R2 — 20 íl, R3 30 í l y L = 2.0 H. Determine los valores de i, e ¡2, a) inmedia tamente después de cerrar el interruptor S, b) mucho tiempo
después de hacerlo, c) inmediatamente después de volver a abrirlo y d) mucho tiempo más tarde.
20. Un núcleo toroidal de madera, con una sección transversal cua drada, tiene un radio interno de 10 cm y un radio extemo de 12 cm. Está enrollado con una capa de alambre (diámetro, 0.96 mm; resistencia por unidad de longitud, 2 1 m í l / m . Calcule a) la inductancia y b) la constante inductiva de tiempo. No tenga en cuenta el espesor del aislamiento. 21. En el circuito de la figura 36-20, % = 10 V, R l = 5.0 fi, R2 — 10 ü y L = 5.0 H. En dos condiciones separadas, (I) el interrup tor S acabado de cerrar y (II) cerrado durante largo tiempo, calcu le a) la corriente i x a través de R v b ) la corriente i2 a través de R7, c ) la corriente i en el interruptor, d ) la diferencia de poten cial en R0, e) la diferencia de potencial en L y f) di2/dt.
27. ¿Cuál debe ser la magnitud de un campo eléctrico uniforme pa ra que tenga la misma densidad de energía que la de un campo magnético de 0.50 T? 28. Suponga que la constante inductiva de tiempo en el circuito de la figura 36-4 es 37.5 ms y que su corriente es cero en el tiem po t = 0, cuando el interruptor está en a. ¿En qué tiempo la ra pidez con que la energía interna aumenta en el resistor es igual a la que se almacena en el inductor? 29. Se conecta una bobina en serie con un resistor de 10.4 kfl. Cuando una batería de 55.0 V se aplica a ambos, la comente al canza un valor de 1.96 mA al cabo de 5.20 ms. a) Determine la inductancia de la bobina, b) ¿Cuanta energía se guarda en ella en este mismo momento? 30. En el circuito de la figura 36-4, suponga que % = 12.2 V, R = 7.34 f l y que L = 5.48 H. Se conecta la batería en el tiempo t = 0.a) ¿Cuánta energía suministra durante los primeros 2.00 s? b) ¿Qué parte de ella se guarda en el campo magnético del in ductor? c) ¿Cuánta apareció en el resistor? 31. El campo magnético de la superficie terrestre tiene una intensi dad aproximada de 60 /¿T. Calcule la energía guardada en una capa entre la superficie terrestre y 16 km arriba de ella, supo niendo que sea relativamente constante en distancias radiales pequeñas en comparación con el radio de la Tierra y desprecian do las variaciones cerca de los polos magnéticos. 32. Una longitud de un alambre de cobre transporta una corriente de 10 A, distribuida uniformemente. Calcule a) la densidad de ener gía magnética y b ) la densidad de energía eléctrica en su superfi cie. El diámetro del alambre mide 2.5 mm y su resistencia por unidad de longitud es 3.3 íl/k m .
ss-5 Oscilaciones electromagnéticas: cualitativas
36 -4
Almacenamiento de energía en un campo magnético
22. Un inductor toroidal de 92 mH encierra un volumen de 0.022 m3. Si su densidad promedio de energía es 71 J/m 3, calcule la co rriente. 23. La energía magnética almacenada en un conductor es 25.3 mJ cuando la corriente es 62.0 mA. a) Calcule la inductancia. b) ¿Qué corriente se requiere para que la energía magnética cua druplique esa cantidad? 24. Un solenoide de 85.3 cm de largo tiene una superficie transver sal de 17.2 cm2. Hay 950 vueltas de alambre que llevan una co rriente de 6.57 A. a) Calcule la densidad de energía del campo magnético dentro del solenoide. b ) Determine la energía total almacenada en el campo magnético dentro de este solenoide. (Prescinda de los efectos de extremos.) 25. Calcule, en el átomo de hidrógeno, la densidad de energía mag nética en el centro de la trayectoria de un electrón circulante (Prob. res. 33-2). 26. El campo magnético en el espacio interestelar de nuestra gala. xia tiene una magnitud de 100 pT aproximadamente, a) Calcule en eV /cm 3 la densidad correspondiente de energía, b) ¿Cuánta energía se guarda en este campo en un cubo de 10 años luz de lado? (Recuerde que la estrella más cercana después del Sol es tá a una distancia de 4.3 años luz y que el “radio” de nuestra ga laxia es de unos 80,000 años luz.)
33. Un inductor de 1.48 mH en un circuito LC contiene una energía máxima de 11.2 /xJ. ¿Cuál es la comente pico? 34. ¿Cuál es la capacitancia de un circuito LC si la carga máxima del capacitor es 1.63 p,C y si la energía total es 142 p22 35. Se emplean los osciladores LC en circuitos conectados a altavo ces para crear algunos de los sonidos de “música electrónica”. ¿Qué inductancia ha de usarse con un capacitor de 6.7 jjF si quiere obtenerse una frecuencia de 10 kHz, cerca del extremo superior del intervalo de frecuencias audible? 36. En un circuito oscilatorio LC, L = 1.13 mH y C — 3.88 /xF. La carga máxima del capacitor es 2.94 pC. Obtenga la corriente máxima. 37. Examine detenidamente el circuito de la figura 36-21. Con el interruptor S ¡ cerrado y con los otros dos interruptores abiertos, el circuito tiene una constante de tiempo rc. Con el interruptor S-, cerrado y con los dos restantes abiertos, tiene una constante de tiempo rL. Cuando el interruptor S3 está cerrado y los otros dos están abiertos el circuito oscila con un periodo T. Demues tre que T = 27T\[ t^ :l .
38. Recibe un inductor de 10.0 mH y dos capacitores, cuya capaci tancia es de 5.00 pF y 2.00 pF. Anote las frecuencias resonantes que pueden generarse conectando estos elementos en diversas combinaciones. 39. Un cuerpo de 485 g oscila en un resorte que, cuando se extien de 2.10 mm del equilibrio, posee una fuerza restauradora de 8.13 N. a) Calcule la frecuencia angular de oscilación, b) ¿Cuál es su periodo de oscilación? c) ¿Cuál es la capacitancia del sis tema LC análogo si se decide que L sea 5.20 H? 3 6 -6
47.
48.
Oscilaciones electromagnéticas: cuantitativas
40. En un circuito LC con L = 52.2 mH y C = 4.21 pF, al inicio la corriente presenta su nivel máximo. ¿Cuánto tardará un capaci tor en cargarse totalmente por primera vez? 41. En cierto circuito LC, se convierte la energía total dentro del capacitor de energía eléctrica en energía magnética dentro del in ductor durante 1.52 ps. a) ¿Cuál es el periodo de oscilación? b) ¿Cuál es la frecuencia de oscilación? c) ¿Cuánto tiempo des pués volverá a obtener su máximo la energía magnética una vez que lo haya alcanzado? 42. Un circuito oscilatorio LC, que se compone de un capacitor de 1.13 nF y de una bobina de 3.17 mH, tiene una reducción má xima de potencial de 2.87 V. Calcule a) la carga máxima del ca pacitor, b) la corriente pico del circuito y c) la energía máxima almacenada en el campo magnético de la bobina. 43. Un circuito oscilatorio LC está diseñado para operar con una co rriente máxima de 31 mA. La inductancia de 42 mH permane ce fija y se varía la frecuencia cambiando C. a) Si el capacitor tiene un voltaje máximo de 50 V, ¿puede el circuito funcionar sin peligro con una frecuencia de 1.0 MHz? b) ¿Cuál es la fre cuencia máxima de operación segura? c) ¿Cuál es la capacitan cia mínima? 44. En el circuito de la figura 36-22, el interruptor lleva largo tiem po en la posición a. Ahora lo ponemos en b. a) Calcule la fre cuencia de la corriente oscilatoria resultante, b) ¿Cuál será la amplitud de sus oscilaciones?
49.
50.
rar la perilla 180°. Si L = 1.0 mH, grafique C en función del án gulo en una rotación de 180°. a) En un circuito oscilatorio LC, en función de la carga máxima del capacitor, ¿qué valor tiene la carga cuando la energía del campo eléctrico es la mitad de la del campo magnético? b) ¿Qué fracción de un periodo debe transcurrir después que el capacitor esté completamente cargado para que se realice esta condición? En un circuito LC, L = 24.8 mH y C = 7.73 pF. En el tiempo r = 0, la corriente es 9.16 mA, la carga del capacitor es 3.83 pC y el capacitor está cargando, a) ¿Qué energía total tiene el cir cuito? b) ¿Cuál es la carga máxima del capacitor? c) ¿Cuál es la corriente máxima? d) Si la carga del capacitor está dada por C 1 = ), ¿cuál es el ángulo de fase
S,
íoo u f :
10 H 3
900 a F I
34 V F l<
51
F
ig u r a
3S -2 2 .
Ejercicio 44.
45. Un circuito LC tiene una inductancia de 3.0 mH y una capaci tancia de 10 pF. Calcule a) la frecuencia angular y b) el periodo de oscilación, c ) En el tiempo t — 0 el capacitor está cargado a 200 pC y la corriente es cero. Bosqueje la carga del capacitor en función del tiempo. Se conecta un inductor a través de un capacitor cuya capacitan cia puede modificarse girando una perilla. Queremos hacer que la frecuencia de las oscilaciones LC varíe linealmente con el ángulo de rotación de la perilla, pasando de 200 a 400 kHz al gi
3-2 3
. Ejercicio 50.
En un circuito oscilatorio LC, L = 3.0 mH y C = 2.7 pF. En el tiempo t = 0, la carga en el capacitor es cero, y la corriente es 2.0 A. a) ¿Cuál es la carga máxima que aparecerá en el capacitor? b) Atendiendo al periodo T de oscilación, ¿cuánto tiempo trans currirá después que t = 0, antes que la energía almacenada en el capacitor crezca con la mayor rapidez? c) ¿Cuál es la rapidez má xima con que la energía fluye al interior de este capacitor?
- Oscilaciones amortiguadas y forzadas . Un circuito de malla simple consta de un resistor de 7.22 Í2, de un inductor de 12.3 H y de un capacitor de 3.18 pF. Al inicio este úl timo tiene una carga de 6.31 pC y la corriente es cero. Calcule la carga en el capacitor al cabo de N ciclos y para N = 5, 10 y 100. , En un circuito LC amortiguado, encuentre el tiempo requerido para que la energía máxima existente en el capacitor durante una oscilación disminuya a la mitad de su valor inicial. Supon ga que q = qm en t = 0.
54. ¿Qué resistencia R debería conectarse a un inductor L = 220 m H y a u n capacitor C = 12 ¿iF en serie, a fin de que la carga máxima en el capacitor disminuya al 99% de su valor inicial en 50 ciclos?
55. Un circuito tiene L = 12.6 mH y C = 1.15 ¡xF. ¿Qué resisten cia ha de introducirse en él para reducir en 0.01% la frecuencia resonante (no amortiguada)?
_ROBLEMAS Puede doblarse un solenoide largo y delgado para formar un to roide. Demuestre que, si es lo bastante largo y delgado, la ecua ción de su inductancia (Ec. 36-10) equivale a la de un solenoide de longitud apropiada (Ec. 36-7). Una ancha tira de cobre con W de ancho se dobla para obtener un trozo de tubo delgado de radio R, con dos extensiones planas como se aprecia en la figura 36-24. Por ella fluye una corriente i, distribuida uniformemente por todo su ancho. De este modo se ha formado una “solenoide de una vuelta”, a) Obtenga una ex presión de la magnitud del campo magnético B en la parte tubu lar (muy lejos de los bordes). (Sugerencia: suponga que el campo fuera del solenoide es insignificantemente pequeño.) b) Determine también la inductancia del solenoide, sin tener en cuenta las dos extensiones planas.
3. Dos largos alambres paralelos, con un radio a, cuyos centros es tán a una distancia d transportan una corriente igual en dirección contraria. Demuestre que, despreciando del flujo en su interior, la inductancia de una longitud l del par está dada por L =
p.0/ ,
d - a
l n --------- .
Consúltese el problema resuelto 33-4. (Sugerencia: calcule el flujo que pasa por un rectángulo donde los alambres forman dos lados opuestos.) 4. Dos largos alambres paralelos de cobre (diámetro = 2.60 mm) llevan corrientes de 11.3 A en dirección contraria, a) Si 21.8 mm separan sus centros, calcule el flujo por metro de alambre que existe en el espacio entre sus ejes, b) ¿Qué fracción del flujo se encuentra dentro de los alambres y, por tanto, qué error fraccional se comete al ignorarlo cuando se determina la inductancia de los dos alambres paralelos? (Prob. 3.) c) Repita los cálculos de a) para corriente paralelas. Calcule la inductancia del cable coaxial de la figura 36-7 direc tamente de la ecuación 36-4. (Sugerencia: determine el flujo que cruza una superficie rectangular, perpendicularmente a B, cuya longitud es l y cuyo ancho es b — a.) En la figura 36-25, el componente de la rama superior es un fusi ble ideal de 3.0 A. Tiene resistencia cero mientras la corriente en él sea menor que 3.0 A. Si alcanza ese valor, “se quema” y en lo sucesivo tiene una resistencia infinita. El interruptor S está cerra-
do en el tiempo t = 0.a) ¿Cuándo se quema el fusible? b) En fun ción del tiempo dibuje una gráfica de la corriente i que pasa por el inductor. Marque el tiempo en que se quema el fusible. Fusible
F ig u r a
3 5-2 =.
Problema
6.
7. Demuestre que la constante inductiva de tiempo puede defi nirse además como el tiempo necesario para que la corriente del circuito LR alcance su valor de equilibrio, si continúa creciendo con su rapidez inicial. 8. La bobina de un electroimán superconductor, utilizado en las in vestigaciones de la resonancia magnética tiene una inductancia de 152 H y transporta una corriente de 32 A. Está bobina está sumergida en helio líquido, cuyo calor latente de vaporización es 85 J/m ol. a) Calcule la energía de su campo magnético. b) Obtenga la masa de helio que se evapora por ebullición si el superconductor se agota y repentinamente adquiere una resis tencia finita. 9. a) Encuentre una expresión de la densidad de energía en función de la distancia radial r en un toroide de sección transversal rec tangular. b) Integre primero la densidad de energía en el volu men del toroide y calcule luego la energía total almacenada en su campo, c) Por medio de la ecuación 36-10, evalúe directa mente de la inductancia la energía contenida en un toroide y compárela con b). 10. Demuestre que, tras pasar de a a b el interruptor S de la figura 36-4, toda la energía almacenada en el inductor aparece final mente como energía interna en el resistor. 11. Un alambre largo transporta una corriente i uniformemente dis tribuida en una sección transversal de este alambre, a) Demues tre que la energía magnética en una longitud / contenida en su interior es /xQi2l/ 16 ir. (¿Por qué no depende del diámetro del alambre?) b) Demuestre que la inductancia de una longitud l del alambre relacionada con el flujo de su interior es f i Ql / 8 tt. 12. La frecuencia resonante de un circuito en serie que contiene la inductancia L x y la capacitancia Cl es u>Q. Un segundo circuito también en serie, que contiene la inductancia L, y la capacitan cia C,, presenta la misma frecuencia resonante. Respecto a
13. Tres inductores L y dos capacitores C idénticos están conecta dos en un circuito de dos espiras como el de la figura 36-26. a) Suponga que las corrientes son iguales a las de la figura 36-26a. ¿Qué corriente pasa por el inductor situado en medio? Escriba las ecuaciones de las mallas y pruebe que las satisface siempre que la corriente oscile con una frecuencia angular w = 1/ \J~LC. b) Ahora, suponga que las corrientes son como las de C
C
la figura 36-26b. ¿Cuál es la corriente del inductor intermedio? Escriba las ecuaciones de las mallas y pruebe que las satisface a condición de que la corriente oscile con una frecuencia angu lar w = 1¡ \jh L C . c) Dado que el circuito puede oscilar en dos frecuencias distintas, demuestre la imposibilidad de reemplazar este circuito de dos mallas por un equivalente LC de una malla. 14. á) Demuestre que w' = \J ur — (R /2L )2 sustituyendo directa mente la ecuación 36-40 en la ecuación 36-39. b) ¿En qué frac ción cambia la frecuencia de oscilación, cuando aumentamos la resistencia de 0 a 100 D, en un circuito donde L = 4.4 H y C = 7.3 a'-F? 15. En un circuito amortiguado LC, demuestre que la fracción de la energía perdida por ciclo de oscilación, A U/U, está dada con gran aproximación por 2irR/wL. A la magnitud cúL /R también se le llama O (calidad) del circuito. Un circuito con “O alta” tie ne baja resistencia y pierde poca energía fraccional por ciclo (= 2 7 7 /0 . 16. Suponga que en un circuito amortiguado LC la amplitud de las oscilaciones de carga disminuye a la mitad de su valor inicial tras n ciclos. Demuestre que la reducción fraccional en la frecuencia de resonancia, causada por la presencia del resistor, está dada con gran aproximación por u> — u> _ 0.0061 cu n2 que no depende de L, C ni de R.
r R 03L E M A S PARA RESOLVER POR COMPUTADORA 1. Un solenoide cilindrico real tiene una longitud /, un diámetro d = 0.10/ y n vueltas por unidad de longitud. Suponiendo que . dentro del solenoide el campo magnético en los puntos fuera ; del eje se describen con mucha precisión mediante la expre sión exacta a lo largo del eje (Ec. 33-27). Calcule numérica mente la inductancia del solenoide. Compare su respuesta con la aproximación ideal del solenoide. En este resultado numéri
co no se incluyó la variación del campo en los puntos fuera del eje. ¿Produce ello una respuesta demasiado grande o pequeña? 2. Calcule la inductancia de una espira plana de alambre con radio R. Suponga que el alambre tiene un radio r = 0.010/? y que es in significante la contribución a la inductancia proveniente del campo magnético en su interior.
pilli
11
CIRCUITOS DE .RIENTE TE R
H
o s circu ito s que contienen
a
.
comentes alternas (a b re v ia
d o s gen era lm en te com o CA) se em plean en lo s siste m a s d e d istrib u ció n d e en ergía eléctrica, en los radios, en los te le v iso re s y en otros a p a ra to s d e com u nicación, a s í com o en una gran v a rie d a d de m otores eléctricos. L a d e sig n ación “a ltern a" sign ifica que la co rrien te c a m b ia d e d irección , a lte rn a n d o p e rió d ic a m en te d e una d irección a otra. C a si siem p re tra b a ja m o s con c o rrie n tes q u e varían se n o id a lm e n te con e l tiem po; sin em bargo, com o vim os en p á g in a s an teriores a l tra ta r e l tem a d e l m o vim ien to on du latorio, la s fo r m a s de on da com p leja s p u e d e n verse com o una com bin ación de o n d a s se n o id a les (m ed ia n te e l a n á lisis d e F ou rier), y p o r an alogía se p u e d e en ten d er e l com p o rta m ien to d e los circu ito s que tienen c o rrie n tes d e d ep en d en cia a rb itra ria d e tiem po, si antes c o n o c e m os el c o m portam ien to de los circu ito s que tien en c o rrie n tes que va ría n sen oidalm en te con el tiem po. En e ste c a p ítu lo v a m o s a e stu d ia r el c o m p o rta m ien to d e lo s c ircu ito s sim p le s que con tien en resistores, in d u c to re s y c a p a cito res, cu an do ex iste una fu e n te d e fu e r z a e le c tro m o triz que v a ría en fo rm a sen oidal.
3 7 “1
C O R R IE N T E S A LTERN A S
• >
En la sección 36-7 examinamos un circuito R L C en serie, con centrándonos en su comportamiento cuando está en resonan cia; en esta situación, la frecuencia de la fuerza electromotriz de excitación es igual a la frecuencia natural del oscilador L C . Aquí vamos a examinar el mismo circuito, donde la fuerza de excitación puede estar lejos de la resonancia. Por lo regular, los circuitos L C tienen frecuencias de resonancia en el inter valo de IcHz a Mhz; en estos casos, la fuerza electromotriz de excitación suministrada por las compañías eléctricas de Esta dos Unidos, suele ser de 60 Hz. Nuestro enfoque general en este capítulo es válido con cualquier frecuencia de excitación e incluye la resonancia como un caso especial. Puede suponerse que la fuerza electromotriz de excitación se origina en un generador del tipo descrito en el capítulo 34 (Fig. 34-13). El generador produce una fuerza electromotriz que varía senoidalmente (Fig. 34-14); ésta puede escribirse así % {t)
= %m senoií,
tiempo es ------© . A medida que dicha fuerza varía en tre los valores positivo y negativo en cada ciclo, la corriente en este circuito cambia de dirección. A este circuito lo llama remos circuito de co rrien te altern a (CA). En este capítulo nos proponemos entender cuál es el efecto de aplicar una fuerza electromotriz alterna, como la de la ecuación 37-1, a un circuito que contiene resistores, induc tores y capacitores. Existen muchas formas de conectar estos elementos en un circuito; a manera de ejemplo, para llevar a ca bo el análisis de los circuitos de corriente alterna, vamos a describir en este capítulo el circuito R L C en serie que apare ce en la figura 37-1, donde un resistor R, un inductor L y un capacitor C están conectados en serie a través de una fuerza electromotriz alterna como la de la figura 37-1.
(37-1)
donde ‘g es la amplitud de la fuerza electromotriz variable, y ¿o, su frecuencia angular (en rad/s), relacionada con la fre cuencia/(en Hz) mediante w = 2 n f. En un circuito el sím bolo de esta fuente de fuerza electromotriz variable con el
F i g u r a 3 7 - 1 . Circuito de una malla, que consta de un resistor, un inductor y un capacitor. Un generador suministra una fuente de fuerza electrom otriz alterna que crea una corriente tam bién alterna.
La corriente varía de manera irregular con el tiempo du rante un pequeño intervalo, después de aplicar inicialmente la fuerza electromotriz al circuito. Estas variaciones, denomina das tra n s ito r ia s , desaparecen pronto, tras lo cual descubrimos que la c o rrie n te v a ría se n o id a lm e n te con la m ism a fre cu en cia a n g u la r q u e la fu e n te d e f u e r z a electro m o triz. Suponemos que examinamos el circuito una vez establecida esta condi ción, donde la corriente puede escribirse como i = ímsen(o)í - f>), (37-2) donde im es ia a m p litu d d e la c o rrie n te (su magnitud máxima) y cj> es una constante o ángulo de fase que indica la relación de fase entre % e i. (Nótese que hemos supuesto una constan te de fase de 0 en la Ec. 37-1, para la fuerza electromotriz. Nótese asimismo que escribimos la constante en la Ec. 37-2 con un signo negativo; es la opción habitual cuando se habla de la relación de fase entre la corriente y la fuerza electromo triz.) La frecuencia angular u> en la ecuación 37-2 es igual a la de la ecuación 37-1. Suponemos que se conocen %m, cu, R ,L y C. El objetivo del cálculo es encontrar z'm y f , a fin de que la ecuación 37-2 carac terice completamente la corriente. Nos servimos de un método general con el circuito R L C en serie; puede usarse un procedi miento similar para analizar otros circuitos más complicados (que contienen elementos en varias combinaciones en serie y en paralelo). También puede aplicarse a fuerzas electromotrices no senoidales, porque fuerzas electromotrices más complejas se escriben a veces en función de fuerzas electromotrices senoida les, por medio de las técnicas del análisis de Fourier (Sec. 18-7), y la corriente resultante puede considerarse, asimismo, como la superposición de muchos términos de la forma de la ecuación 37-2. Por tanto, es indispensable entender el circuito R L C en se rie, excitado por una fuerza electromotriz senoidal, si queremos comprender el comportamiento dependiente del tiempo en to dos los circuitos.
TRES ELEMENTOS SEPARADOS Antes de analizar el circuito de la figura 37-1, conviene expli car el efecto individual de los tres elementos frente a una co rriente alterna como la de la ecuación 37-2. Supondremos que se trata de elementos ideales; por ejemplo, el inductor sólo tiene inductancia y no resistencia ni capacitancia.
Un elemento resistivo En la figura 3 1 -2 a vemos un resistor en una sección de un cir cuito, donde la corriente i (dada por la Ec. 37-2) ha sido pro ducida por medios que no aparecen en esta figura. Definimos A V R (= Va - Vb) como la diferencia de potencial en el resis tor y entonces podemos escribir ÌR = i mR sen (a>t - ó ). LVd (37-3) La comparación de las ecuaciones 37-2 y 37-3 muestra que las magnitudes A V R que varían con el tiempo e i están en fa se : alcanzan su valor máximo simultáneamente. Esta relación se indica gráficamente en la figura 37 -2b.
a)
3 7 - 2 . a ) Un resistor en un circuito de corriente alterna. La comente y la diferencia de potencial en el resistor se hallan en fase, c) Diagrama de fasores que representa la comente y la diferencia de potencial. F ig u r a
b)
La figura 37-2c ofrece otra manera de observar la situa ción. Se le llama d ia g ra m a de fa so r e s : los fasores, represen tados por flechas abiertas, giran en dirección contraria a la de las manecillas del reloj, con una frecuencia angular co alrededor del origen. Los fasores tienen las siguientes propiedades: 1) su longitud es proporcional al valor m áxim o de la magnitud al ternante en cuestión, es decir, (A'VR) máx = ¡mR para la diferen cia de potencial según la ecuación 37-3 e / para la corriente según la ecuación 37-2; 2) la proyección de un fasor en el eje vertical nos da el valor in sta n tá n eo de la magnitud alternante en cuestión. Las flechas en el eje vertical representan las mag nitudes &VR y la i que varían con el tiempo, como en las ecua ciones 37-2 y 37-3, respectivamente. Se deduce que AVR e i están en fase, del hecho de que sus fasores se hallan a lo lar go de la misma línea en la figura 3 1 -2c. El diagrama de fasores se parece mucho al de la figura 174, donde hicimos la conexión entre el movimiento circular uniforme y el movimiento armónico simple. El lector recorda rá que, en cualquier eje, la proyección de una partícula que describe un movimiento circular uniforme origina un despla zamiento que varía senoidalmente, en analogía con el movi miento armónico simple. Aquí, a medida que los fasores giran, su proyección en el eje vertical produce una comente o voltaje de variación senoidal. Siga la rotación de los fasores en la figura 3 1 -2 c y se convencerá de que este diagrama describe en forma completa y correcta las ecuaciones 37-2 y 37-3.
Un elemento inductivo La figura 37-3« muestra parte de un circuito que contiene sola mente un inductor. La diferencia de potencial AV¿ (= Va — Vb) en el inductor está relacionada con la comente mediante la ecuación 36-2: AVl
= L
di dt
L imcú eos (cot —
),
(37-4)
H —
i
a)
AVi í
Jr
av¿—H
a
b
l
a)
' /(^Kü,)máx
c v
U '"
r
c)
F i g u r a 3 7 - 3 . a) Uñ inductor en un circuito de corriente alterna, b) La corriente se rezaga 90° con la diferencia de potencial en el inductor, c) Diagram a de fasores que representa la com ente y la diferencia de potencial.
la cual obtenemos al derivar la comente en la ecuación 37-2. La identidad geométrica eos 8 = sen (8 + tt/ 2 ) nos permite es cribir la ecuación 37-4 así A V l = L imco sen (iot —
(37-6)
cúL,
en función de lo cual la ecuación 37-5 puede reescribirse como AV¿
= i mX L sen (to t -
$ +
t t / 2) .
(37-7)
Al comparar las ecuaciones 37-3 y 37-7 vemos que las unida des de X L en el SI deben de ser las mismas que las de R, o sea el ohm. Esto se aprecia fácilmente al comparar la ecuación 37-6 con la expresión de la constante inductiva de tiempo tl = L /R . Pese a que ambas se miden en ohms, la reactancia y la resistencia no son idénticas. De acuerdo con la ecuación 37-7, el valor máximo de A V l es
c) F ig u r a
3 7 - 4 . a) Capacitor en un circuito de corriente alterna.
b) La corriente aventaja 90° la diferencia de potencial en el capacitor. c ) D iagram a de fasores que representa la corriente y la diferencia de potencial.
Un elemento capacitivo La figura 37-4u muestra una parte de un circuito que contie ne solamente un capacitor. Una vez más, la corriente i dada por la ecuación 37-2 se ha creado con medios que no apare cen en la figura.* Supongamos que la carga de la placa de la izquierda es q, de manera que una comente positiva que en tra produce un incremento en q, es decir, i = d q / d t significa que d q > 0 cuando i > 0. La diferencia de potencial A V C (= Va — Vb) en el capacitor está dada por q _ f i dt (37-9) AVr ~C ~~
c
Al integrar la corriente i dada por la ecuación 37-2, tenemos c
ir
coC
toC
COS
(ü)t
— ó)
sen (tot — 4> —
tt/2 ),
(37-10)
donde hemos utilizado la identidad trigonométrica eos 8 — sen ( 6 — t t / 2 ) . * A! principio tal vez sea difícil concebir el capacitor como parte de un circuito portador de corriente; claro que la carga no fluye por este capacitor. Convie ne considerar el flujo de carga en esta forma: la corriente i lleva la carga q a la placa de la izquierda del capacitor; así que una carga —q debe fluir hacia la placa de la derecha del circuito que esté más allá del capacitor a la dere cha. Este flujo de carga —q de derecha a izquierda equivale enteramente a un flujo de carga +q de izquierda a derecha, que es idéntico al flujo de corriente en la izquierda del capacitor. Así pues, la corriente en un lado del capacitor puede aparecer en el otro, aun cuando no haya una trayectoria conductora en tre las dos placas.
A M B —A 3 7 - 1
Relaciones de fase y de amplitud para las corrientes y los voltajes alternos
Elemento del circuito
Símbolo
Impedanciaa
Fase de la corriente
Relación de amplitud
Resistor Inductor Capacitor
R L C
R
En fase con XV R Se rezaga 90° con AV¿ Se adelanta 90° respecto a AVC
A LU * = LA
XL
=
imR
3 A A A á x ~ ‘mX C “Muchos estudiantes norteamericanos memorizan las relaciones de fase mediante el mnemónico “ELI the ICE man”, donde L y C indican la inductancia y la capacitancia; E, el voltaje; I, la corriente. Así, en un circuito inductivo (ELI) la corriente (/) se rezaga con el voltaje (E) y en un circuito capacitivo (ICE) la co rriente (/) se adelanta al voltaje (£). aImpedancia es el término genérico que abarca la resistencia y la reactancia
La comparación de las ecuaciones 37-2 y 37-10 nos permi te ver que i y AVC están 90° fuera de fase, con i adelan te d e AVC. La figura 37-4 b muestra a i y a A Vc graficados fuera de fase, en función del tiempo; obsérvese que i alcanza su máximo un cuarto de ciclo o 90° a n te s que AVC. En forma equivalente, podemos decir que la corriente v a a d e la n te 90° de la diferen cia de potencial en un capacitor. La relación de fase se indica en el diagrama de fasores de la figura 37-4c. A medida que los fasores giran en dirección contraria a la de las manecillas del reloj, es evidente que el fasor i va delante del fasor X V c un cuarto de ciclo. En analogía con la reactancia inductiva, conviene definir la rea c ta n cia c a p a c itiv a X c : 1
(37-11)
coC ’
y a partir de esta expresión podemos reescribir la ecuación 3/-10 conio AVr
i mX c
sen (o >t — 4> —
tt/2).
(37-12)
Al comparar las figuras 37-3 y 37-12, vemos que la unidad de también es el ohm. A esta conclusión se llega también comparando la ecuación 37-11 con la expresión rc = R C re ferentes a la constante capacitiva de tiempo. Conforme a la ecuación 37-12, el valor máximo de X V c es
Xc
(A Vc) mfc
(37-13)
La tabla 37-1 resume el resultado individual obtenido de los tres elementos del circuito. P r o b l e m a R e s u e l t o 3 7 - 1 . En la figura 37-3a, supongamos que L = 230 m H , / = 60 Hz y (AL¿)max = 36 V. a) Calcule la reactan cia inductiva X L. b) Obtenga la amplitud de la corriente del circuito.
Solución a ) Con base en la ecuación 37-6, X L = coL = Ir r fL = (2tt)(60 Hz)(230 X 10 ~3 H) = 87 ÍL b) Según la ecuación 37-8, la amplitud de la corriente es (AV, )nl¡k 'm_
7,
36 V “
87 f l ^ ° ' 4] A -
Vemos que, aunque una reactancia no es una resistencia, la reactan cia inductiva desem peña la m isma función en un inductor que la re sistencia en un resistor. Nótese que si duplicáramos la frecuencia, la reactancia inductiva tam bién se duplicaría y la amplitud de la corrien te se reduciría a la mitad. También entendemos lo anterior con un ra zonamiento físico: para conseguir el mismo valor de AV¿ debemos m odificar la corriente con la m isma rapidez (AV¿ = L d i/dt). Si la
frecuencia se duplica, se corta a la m itad el tiempo de cambio, a fin de hacer lo mismo con la corriente máxima. En síntesis: cuanto ma yor sea la frecuencia en los inductores, más grande será la reactancia. P r o b l e m a R e s u e l t o 3 7 - 2 . En la figura 37-4u, supongamos que C = 15 p F , f — 60 Hz y (AVc)máx = 36 V. a) Determ ine la reac tancia capacitiva X c . b ) Calcule la am plitud de la corriente en este circuito.
Solución a) A partir de la ecuación 37-11 tenemos wC
2 trfC
(2rr)(60 Hz)(15 X 10
F)
77 n .
b) Conform e a la ecuación 37-13, en el caso de la am plitud de la co rriente tenem os . _ (AV/c )má, 36 V 0.20 A. 177 n AC A dviértase que, si duplicáram os la frecuencia, la reactancia capaci tiva dism inuiría a la mitad de su valor y la amplitud de com ente se duplicaría. Podem os entender esto con un razonam iento físico: para conseguir el m ism o valor de AVC, debem os aplicarle la m isma car ga al capacitor (AVc = q /C ). Si la frecuencia se duplica, se dispon drá de la m itad del tiempo para sum inistrar la carga que duplique el valor m áxim o de la corriente. En síntesis: cuanto m ás alta sea la fre cuencia en los capacitores, m enor será la reactancia.
3 1 - 3
E L C IR C U IT O R L C D E U N A
M A L L A S IM P L E Una vez concluido el estudio de los elementos individuales R, L y C, retomamos el análisis del circuito de la figura 37-1, donde se encuentran los tres. La fuerza electromotriz está dada por la ecuación 37-1, % — %m sen cot, y la comente del circuito tiene la forma de la ecuación 37-2, i = im sen (cut — ó ). Nuestro propósito es determinar im y Comenzamos aplicando la regla al circuito de la figura 37-1; de ese X V R — X V L — AVC = 0, o sea % = ¿\VR + X V L +
ó.
de la malla (Sec. 31-3) modo obtenemos % — AVC.
(37-14)
La ecuación 37-14 puede resolverse para calcular la amplitud de la comente im y la fase ó , aplicando vanas técnicas: un análisis trigonométrico, un análisis gráfico por medio de faso res y un análisis diferencial.
Hemos obtenido ya la relación entre la diferencia de potencial en cada elemento y la corriente que fluye por ellos. Ahora va mos a sustituir las ecuaciones 37-3, 37-7 y 37-12 en la ecua ción 37-14; con ello obtendremos ^ msen o t — i mR s e n ( o t —
= i mR sen (tur — $ ) + imX L eos (cot — <$>) — i mX c eos { o t — cj>) = i m[R sen (cot + (X L - X c )
— 0) eos (o >t -
(37-16)
que se reduce a (Ej. 12) ? msen o t 'I r 2 -r ( x , a condición de que escojamos tan
XL
- Xc R
X c )2
sen o t 1 / iúC
oL R
(37-17)
que es la condición de reson an cia dada en la ecuación 36-44. Aunque la ecuación 37-19 es un resultado general válido con cualquier frecuencia de excitación, incluye como caso espe cial, la condición de resonancia.
A nálisis gráfico Es muy ilustrativo utilizar un diagrama de fasores para anali zar el circuito R L C en serie. En la figura 37-5 a se incluye un fasor que representa la comente. Su longitud es z'm, y su pro yección en el eje vertical, im sen { o t — <¿); ésta es la corrien te i que varía con el tiempo. En la figura 37-5¿> se dibujaron los fasores que representan diferencias de potencial indivi duales en R, L y C. Nótese su valor máximo y sus proyeccio nes que varían con el tiempo en el eje vertical. Asegúrese de observar que las fases coinciden con las conclusiones extraí das de la sección 37-2: AV^ se halla en fase con la corriente, á.VL se a d e la n ta 90° a ella y tS.Vc se rezaga 90°. De acuerdo con la ecuación 37-14, la suma a lg eb ra ic a de las proyecciones (instantáneas) de &VR, AL¿ y AVC en el eje vertical da el valor máximo (también instantáneo) de %. Por otra parte, afirmamos que la suma v ec to ria l de las amplitudes
(37-18)
La amplitud de la corriente se obtiene directamente de la ecuación 37-17: Vi?2 + {X L - Xc)2
Vi?2 + (coL - l/o C ')2 (37-19)
Con esto se termina el análisis del circuito R L C en serie, por que hemos logrado el objetivo de expresar la amplitud de la corriente / y la fase
a)
(37-20)
y, por ello, la ecuación 37-19 se puede escribir
b)
(37-21) lo cual nos recuerda la relación i = % /R en redes resistivas de malla simple, con fuerza electromotriz estacionaria. La uni dad de impedancia en el SI es naturalmente el ohm. La ecuación 37-19 da la amplitud de corriente de la ecua ción 36-43, y la figura 36-13 es una gráfica de la ecuación 3719. La corriente z alcanza su valor máximo cuando la impedancia Z tiene su valor mínimo i?, lo cual sucede cuando X L = X c , o sea coL = 1I cúC, asi que
F i g u r a 3 7 - S . a) Fasor que representa la comente alterna en el circuito RLC de la figura 37-1. b ) Fasores que representan las^ diferencias de potencial en el resistor, capacitor e inductor. Nótense sus diferencias de fase respecto a la corriente, c) Se incluyó un fasor que representa la fuerza electromotriz interna.
de los fasores (AVi?)máx, (AV¿) máx5 y (A V c W . producen un fasor cuya amplitud es la %m de la ecuación 37-1. La proyec ción de % sobre el eje vertical es la variación con el tiempo de % de la ecuación 37-1, es decir, es X V R + + AVC, tal como lo señala la ecuación 37-14. En las operaciones con vec tores, la suma (algebraica) de las proyecciones de cualquier número de vectores sobre una línea recta es igual a la proyec ción sobre ella de la suma (vectorial) de dichos vectores. En la figura 37-5c hemos formado primero la suma vec torial de (AV¿) máx y (A yc)máx, que es el fasor ( A V ^ (A yc)máx. A continuación formamos la suma de este fasor con (AV^máx- Como los dos fasores están en ángulo recto, la am plitud de su suma, que es la del fasor %m, es ^
P ro b lem a R e s u e lto 3 7 - 3 . En la figura 37-1, supongam os que R = 160 fl, C = 15 /¿F, L = 230 m H , / = 60 Hz y %m = 36 V. Calcule a) la reactancia inductiva X L, b) la reactancia capacitiva X c , c) la im pedancia Z del circuito, d) la amplitud de la corriente i y e) la constante de fase (j>.
Solución a) X L = 87 f l, como en el problem a resuelto 37-1. b) X c = 177 O , com o en el problem a resuelto 37-2. Nótese que X c > XL, de m anera que el circuito es más capacitivo que inductivo, c) De acuerdo con la ecuación 37-20, Z = s¡R2 + (X L - X c)2 V(160 H )2 + (87 f l - 177 O )2 = 184 fl. d)
D e acuerdo con la ecuación 37-21, •
= V[(AV*)mfa]2 + [(AVt ) mis - (AVc)raSJ 2 A (jmR ?
+ ( i mX L ~ i mX c f
e)
i m a¡R 2 + ( XL - X c )2,
tan
(AV¿)máx (ALc)máx
0.196 A.
XL - Xc
87 Í1 -
R
177 f l
160 f l
■0.563.
A sí pues, obtenem os 4> = t a n - 'f —0.563) = -2 9 .4 ° . Una constante de fase negativa es adecuada para un circuito capaci tivo, como se infiere de la tabla 37-1 y de la figura 37-5. P r o b l e m a R e s u e l t o 3 7 - 4 . a) ¿Cuál es la frecuencia de reso nancia en Hz del circuito del problem a resuelto 37-3? b) ¿Cuál es la am plitud de la corriente en resonancia?
(A L «)n ív mVU. ¿mR
36 V 184Ü
De acuerdo con la ecuación 37-24 tenem os
(37-23)
utilizando las ecuaciones 37-3, 37-8 y 37-13 para reemplazar la amplitud de los fasores. La ecuación 37-23 es idéntica a la ecuación 37-19, la cual obtuvimos mediante el análisis trigo nométrico. Como se aprecia en la figura 3 1 -5c, ó es el ángulo entre los fasores i y %m, y comprobamos a partir de esa figura
^ Z
Xr
R
(37-24)
la cual es idéntica a la ecuación 37-18. Hemos trazado arbitrariamente la figura 3 1 -5 b con X L > X c , esto es, supusimos que el circuito de la figura 37-1 es más inductivo que capacitivo. En esta suposición, im se reza g a d e %m (aunque no por un cuarto de ciclo, como en el caso del elemento puramente inductivo de laFig. 37-3). El ángulo de fa se op en la ecuación 37-23 (y, por tanto, también en la Ec. 37-2) es positivo, pero menor que + 90°. Por el contrario, si tuviéramos X c > X L, el circuito sería más capacitivo que inductivo e se adelantaría a <8 m (aun que no por un cuarto de ciclo, como en el caso del elemento puramente capacitivo de la Fig. 37-4). En conformidad con esta transición de rezago a adelantamiento, el ángulo
Solución a) Con base en la ecuación 37-22, 1
1
VLC
a/(0.23H )(15 X IO-6 F)
538 rad/s.
Entonces fb)
i Hz.
2 tt
En resonancia, X L = X c y por tanto Z = R. Según la ecuación 37-21, %m
36 V
R
160 f l
0.23 A.
La frecuencia de 60 H z del problem a resuelto 37-3 se aproxim a bas tante a la resonancia.
Análisis d ife re n c ia l
á o n a l)
Con AVC = q / C y AV¿ = L d i / d t , la ecuación 37-14 puede escribirse así ¡R
+ l di + q dt
C
(37-25)
o, utilizando i = d q /d t, junto con la ecuación 37-1, para sus tituirla por la fuerza electromotriz, L
d 2q „ dq 1 „ —f + R + — q = %m sen cot. dt~
dt
L
(37-26)
Esta ecuación tiene la misma forma que la del oscilador me cánico forzado que se describió en la sección 17-8 (Ec. 17-42).
Haciendo las analogías x —* q ,
m —* L ,
b —* R
y
k —* 1/C,
que también empleamos en las secciones 36-5 a 36-7, inme diatamente podemos adaptar al oscilador electromagnético (resistivo) el resultado de la ecuación 17-43 al oscilador me cánico amortiguado forzado: q
=
%
tr eos (atf - 4>),
(x)L
(37-27)
donde, como debería demostrar el lector,
3 7 = 4 . PO T E N C IA EN LO S C IR CU ITO S DE C O R R IE N T E A LTERN A En un circuito eléctrico, la energía es suministrada por la fuen te de fuerza electromotriz, almacenada en los elementos capaci tivos e inductivos y disipada en los elementos resistivos. La conservación de energía requiere lo siguiente: en un momento particular, la rapidez con que la fuente de fuerza electromotriz genera energía ha de ser igual a la rapidez con que se almacena esta energía en los capacitores e inductores, más la rapidez con que se disipa en los resistores. (Suponemos elementos capaciti vos e inductivos ideales que no tengan resistencia interna.) Supongamos que un resistor está aislado (como en la Fig. 37-2) en un circuito-de corriente alterna, donde la corriente está dada por la ecuación 37-2. (Lo examinamos en su estado estacio nario, bastante tiempo después de conectarlo a la fuente de fuer za electromotriz.) Igual que en un circuito de corriente directa, la rapidez con que se disipa la energía (calentamiento Joule) en un resistor de un circuito de corriente alterna está dada por P = i 2R = ¡IR
sen2(cot - cf>).
(37-28)
La energía disipada en el resistor fluctúa con el tiempo, lo mismo que la energía almacenada en los inductores y capacitores. En la generalidad de los casos en que intervienen corriente alternas, no interesa cómo varía la potencia durante cada ciclo; el interés se centra en la potencia p ro m ed io disipada durante cualquier ci clo. La energía p ro m e d io guardada en los inductores y capacito res permanece constante a lo largo de un ciclo completo; en efecto, la energía se transfiere de la fuente de fuerza electromo triz a los resistores, donde se disipa. Por ejemplo, la compañía eléctrica suministra a nuestros hogares una fuente de CA o una fuerza electromotriz de co rriente alterna que varía con una frecuencia d e / = 60 Hz. Nos cobra la potencia p ro m e d io que consumimos; no le interesa si tenemos un aparato totalmente resistivo cuya potencia máxi ma se disipa en fase con la fuente de fuerza electromotriz o un aparato parcialmente capacitivo o inductivo como un motor, donde la corriente máxima (y, por tanto, la potencia máxima) podría ocurrir fuera de fase con la fuerza electromotriz). Si la compañía midiera la energía que utilizamos en un tiempo me nor que I s, descubriría variaciones en la rapidez con que la consumimos, pero al medirla en un tiempo mayor que ^ s, sólo la rapidez promedio del consumo tiene importancia. Escribimos la potencia promedio P pr0 tomando el valor promedio de la ecuación 37-28, por un tiempo largo, en com paración con el periodo de un ciclo. En cada ciclo completo, el valor promedio de sen2 es Si el número de ciclos incluidos en el promedio es grande, las fracciones de un ciclo carecen de importancia y podemos obtener la potencia promedio sus tituyendo sen2 en la ecuación 37-28 por el valor-i-. Entonces la potencia promedio es Ppro = { i 2mR,
(37-29)
que también podemos escribir como Ppro = ( im/^ 2 )2R.
(37-30)
La magnitud z'm/ V 2 es igual al valor de la ra íz c u a d ra d a m edici de (rcm) de la corriente: (37-31) Es el resultado que obtendríamos si primero eleváramos al cuadrado la corriente y luego tomásemos su promedio (o me dia) en un número entero de ciclos y a continuación la raíz cuadrada. (En el Cap. 22 definimos de la misma manera la rapidez molecular rcm.) Conviene escribir la potencia rcm, porque la corriente alterna y los medidores de voltaje están diseñados para indicar los valores rcm. Los 120 V comunes de una instalación eléctrica casera es un valor de este tipo: el voltaje máximo es = \¡ 2 % xcxa = \ / 2 ( 120 V) = 170 V. A partir de z'rcm, la ecuación 37-30 puede escribirse así Ppm =
(37-32)
La ecuación anterior se parece a la expresión P = i2R, que describe la potencia disipada en un resistor dentro de un cir cuito de corriente directa. Si reemplazamos las corrientes y los voltajes de comente directa por los valores rcm de las co rrientes y voltajes de corriente alterna, las expresiones de es
ta última referentes a la disipación de energía sirven para ob tener la disipación promedio de la comente alterna.
P otencia en el circuito RLC en serie
Solución a)
Hasta ahora hemos examinado la potencia disipada en un resis tor aislado que está en un circuito de corriente alterna. A conti nuación vamos a analizar un circuito completo de comente alterna desde el punto de vista de la disipación de potencia. Para ello volvemos a escoger como ejemplo el circuito R L C en serie. El trabajo d W efectuado por una fuente de fuerza electro motriz % sobre una carga está dado por d W = % dq. Enton ces, la potencia P (= d W / d t) suministrada por la fuente de fuerza electromotriz es % d q / d t = %i o, usando las ecuacio nes 37-1 y 37-2, P = %i = %mi m sen cot sen ( cot - 0). (37-33) Rara vez nos interesa esta potencia instantánea, que suele ser una función rápidamente fluctuante del tiempo. Si queremos calcular la potencia p ro m e d io , recurrimos primero a una iden tidad trigonométrica a fin de desarrollar el factor sen {cot — 0): P = %mi m sen cot (sen cot eos 0 — eos cot sen 0 ) =
=
COS
0 -
( 3 7 - 3 5 )
Alreemplazar e z'm por sus valores rcm C§rcm = %xa/ \ ¡ 2 e iKm = im/ \ f l ) , la ecuación 37-35 puede escribirse como © ro = A c itÁ cm COS A
{31-36)
A la magnitud eos ó en la ecuación 37-36 se le llama f a c t o r de p o te n c ia del circuito de comente alterna. Evaluámoslo ahora en el circuito R L C en serie. Con base en la ecuación 3718, tan 0 = {XL — X c ) /R , podemos demostrar que C0S * =
= i
'
m a resuelto 37-3: R = 160 SI, C = 15 /jF, L = 230 m H , / = 60 Hz y %m = 36 V. Determ ine a) la fuerza electrom otriz rcm, b) la co rriente en rcm, c) el factor de potencia y d) la potencia promedio di sipada en el resistor.
(37-37)
Según la ecuación 37-36, la potencia suministrada al cir cuito por la fuente de fuerza electromotriz alcanza su nivel máximo cuando eos 0 = 1 ; esto sucede cuando el circuito es enteramente resistivo, sin que contenga inductores ni capaci tores, o está en resonancia cuando X L = X c ; por tanto, Z = R. En este caso la potencia promedio es P pro = LcnÁcm (circuito resistivo). (37-38) Si el circuito es fuertemente inductivo, como sucede frecuente mente con los motores, con los compresores y aparatos afines, la potencia suministrada al circuito puede maximizarse aumentando la capacitancia del circuito. Para ello las compañías eléctricas a menudo ponen capacitores en todo su sistema de transmisión. P r o b l e m a R e s u e l t o 3 7 - 3 . Exam inem os de nuevo el circuito de la figura 37-1, utilizando los m ismos parám etros que en el proble
^rcm =
= (36 V)/V2 = 25.5 V.
b) En el problem a resuelto 37-3 encontram os z'm = 0.196 A. Tene mos entonces ¡rcm = i j f l = (0.196 A)/V2 = 0.139 A. c) En el problem a resuelto 37-3 com probam os que la constante de fase 0 era —29.4°. A sí pues, factor de potencia = eos ( —29.4°) = 0.871. d) A partir de la ecuación 37-32 tenemos PPro= Tcmtf = (0.139 A )2(160 í l) = 3.1 W. Por su parte, la ecuación 37-36 nos da fp ro
^ r e m ú m (-OS 0
= (25.5 V)(0.139 A)(0.871) = 3.1 W, en concordancia perfecta. En otras palabras, la potencia promedio disipada en el resistor es igual a la sum inistrada por la fuerza electro m otriz. E n efecto, se transfiere energía de esta fuerza electrom o triz al circuito resistivo, donde se disipa. Nótese lo siguiente: para concordar los resultados anteriores con dos cifras significativas hu bim os de usar tres de ellas con las corrientes y los voltajes. Las ecua ciones 37-32 y 37-36 ofrecen resultados idénticos, sin considerar estos errores num éricos de redondeo.
" . ‘ E L T R A N SF O R M A D O R (opcional) En los circuitos de corriente directa, la disipación de potencia en un circuito resistivo está dada por la ecuación 31-21 (P R = i A V r = i2R ). Con determinada exigencia de potencia, podemos escoger una corriente relativamente grande i y una diferencia de potencial relativamente pequeña AV^, o todo lo contrario, a con dición de que su producto permanezca constante. Asimismo, en circuitos de comente alterna totalmente resistivos (en los cuales el factor de potencia, eos 0 en la Ec. 37-36, es igual a 1), la disipación promedio de la potencia está dada por la ecuación 37-38 (,Ppr0 = (M M in )’ disponemos de la misma opción res pecto a los valores relativos de ¿icm y (Srcm. En los sistemas de distribución de energía eléctrica con viene, por razones de seguridad y de un diseño eficiente del equipo, contar con voltajes relativamente bajos en el extremo generador (la planta de energía eléctrica) y en el extremo re ceptor (el hogar o la fábrica). Por ejemplo, nadie querrá que una tostadora eléctrica o el tren eléctrico de un niño opere a, digamos, 10 kV. Por el contrario, en la transmisión de energía eléctrica de una planta al consumidor deseamos la corriente práctica m ás b a ja (y , por tanto, la diferencia de potencial m á s g ra n d e ), con el fin de minimizar la disipación de energía i2R en la línea de transmisión. Los valores como
o bien ( ®T-*rcm, primario ~~ ^ T r c m , secundario • (37-40) En cada devanado, la fuerza electromotriz por vuelta es igual a la diferencia de potencial dividida entre el número de vuel tas de él; entonces la ecuación 37-40 puede escribirse así Primario
3 7 - 6 . U n transform ador ideal, que m uestra dos devanados de bobina en un núcleo de hierro.
F ig u ra
Para resolver el problema anterior, se necesita un dispositivo que, tal como lo requieren las consideraciones de diseño, au mente (o disminuya) la diferencia de potencial en un circuito, manteniendo esencialmente constante el producto ircm‘8 rcm- Nos referimos al transform ador de corriente alterna de la figura 37-6. Funciona basándose en la ley de inducción de Faraday, el trans formador no cuenta con un equivalente de corriente directa de igual simplicidad; por esta razón, los sistemas de distribución de corriente directa, propugnados decididamente por Edison, fueron sustituidos por los sistemas de corriente alterna, que con tanta firmeza defendieron Tesla y otros expertos.* En la figura 37-6 se incluyen dos bobinas enrolladas alre dedor de un núcleo de hierro. El devanado p rim a rio de N p vuel tas, está conectado a un generador de comente alterna cuya fuerza electromotriz está dada por % sen cot. El devanado secundario , de N s vueltas, es un circuito abierto mientras el in terruptor S esté abierto, cosa que suponemos por ahora. No flu ye corriente por el devanado secundario. Además suponernos la posibilidad de despreciar a todos los elementos disipad vos, co mo la resistencia de los devanados primario y secundario. En realidad, los transformadores bien diseñados y de alta capacidad pueden sufrir pérdidas de apenas 1%; así que nuestra suposición de un transformador ideal es verosímil. En las condiciones anteriores, el devanado primario es una inductancia pura, como en la figura 37-3 a. La corriente primaria (muy pequeña), denominada c o rrie n te d e m a g n e ti zación z'mao(0 se rezaga 90° con la diferencia de potencial pri maria AV (f); el factor de potencia (= eos
/prim a rio
( d
(37-39)
* Véase “The Transformer”, de John W. Coliman, Scientific American, enero de 1988, p. 86.
AVn
AV
Np
Ns
(37-41)
Aquí AVp y A V S se refieren a las magnitudes raíz cuadrada media (rcm). Al resolver para AVS, obtenemos AVS = AV p(Ns/N p). (37-42) Si N s > N p (y entonces, AVS > AV ), estamos refiriéndonos a un tra n sfo rm a d o r e le va d o r; si N s < N , estaremos refiriéndo nos a un tra n sfo rm a d o r reductor. En la exposición anterior, hemos supuesto un circuito abierto secundario, de modo que no se transmite potencia a través del transformador. En cambio, si ahora cerramos el in terruptor S, en la figura 37-6, y una situación más práctica: el devanado secundario está conectado a un circuito resistivo R. En el caso general, el circuito incluirá, además, elementos induc tivos y capacitivos; pero, por ahora, nos limitaremos a este caso especial de un circuito puramente resistivo. Ocurren varias cosas cuando cerramos el interruptor S: 1) una corriente rcm is aparece en el circuito secundario, con una disipación correspondiente promedio de potencia ijR en el cir cuito resistivo. 2) La corriente secundaria alterna induce su pro pio flujo magnético alterno en el núcleo de hierro, flujo que según las leyes de Faraday y de Lenz produce una fuerza elec tromotriz opuesta en los devanados primarios. 3) Sin embargo, A V no puede cambiar en respuesta a esta fuerza electromotriz opuesta, pues siempre debe ser igual a la que aporta el gene rador; el cierre del interruptor S no puede modificar este he cho. 4) Para garantizar esto, una nueva comente alterna i debe aparecer en el circuito primario, siendo magnitud y su constante de fase exactamente la que se requiere para cancelar la fuerza electromotriz contraria que is genera en los devanados primarios. En vez de analizar a fondo el proceso anterior tan com plejo, aprovechemos la idea global que nos ofrece el princi pio de conservación de la energía. En un transformador ideal con un circuito resistivo,
ZpAVp = zs AVs.
(37-43)
Dado que la ecuación 37-42 es válida, esté o no cerrado el in terruptor S de la figura 37-6, tenemos entonces Á = ípC'VN)
(37-44)
como la relación de transfomiación de las corrientes. Por último, sabiendo que ¡s = AVs/i?, con las ecuaciones 37-42 v 37-44, se obtiene AVn
(37-45) La ecuación anterior indica que, desde el punto de vista del circuito primario, la resistencia equivalente del circuito se cundario no es R sino
L a e c u a c ió n 3 7 -4 6 s u g ie re u n a fu n c ió n m á s del tra n s fo r m ador. H e m o s v isto q u e , c o n u n a tra n s fe re n c ia m á x im a d e e n erg ía p r o v e n ie n te d e u n sitio d e f u e rz a e le c tro m o triz a n te u n c irc u ito re sistiv o , la r e s is te n c ia del g e n e ra d o r y la del c ir c u ito se c u n d a rio h a n d e s e r ig u a le s (E j. 14 del C ap . 31). L a m is m a re la c ió n se d a e n lo s c irc u ito s d e c o rrie n te alte rn a , s a l vo q u e la im p e d a n c ia (y n o la re s is te n c ia ) d el g e n e ra d o r d e b e c o rre sp o n d e r a la d e l c irc u ito . S u c e d e a m e n u d o , c o m o c u a n do q u e re m o s c o n e c ta r u n a lta v o z a u n a m p lific a d o r, q u e e sta c o n d ic ió n n o se c u m p le e n a b so lu to , p u e s el a m p lific a d o r tie ne : g ra n im p e d a n c ia y el a lta v o z u n a p e q u e ñ a im p e d a n c ia . L a s im p e d a n c ia s d e a m b o s a p a ra to s p u e d e ig u a la rs e a c o p lá n d o lo s m e d ia n te u n tra n s f o rm a d o r c o n u n a ra z ó n a d e c u a d a d e v u e lta s.
1
P ro b lem a R e s u e lto 3 7 - 6 . Un transform ador en un poste eléctrico opera con AVp = 8.5 kV en el lado primario y sum inistra energía eléctrica a varias casas cercanas con AV'S = 120 V; ambas cantidades se dan en valores de raíz cuadrada media. La rapidez del consumo prom edio de energía en las casas a que da servicio el trans formador en un momento dado es de 78 kW. Suponga un transforma dor ideal, un circuito resistivo y un factor unitario de potencia, a) ¿Cuál es la razón de vueltas N / N s de este transformador reductor? b) ¿Cuá les son las corrientes raíz cuadrada m edia en los devanados primario y secundario? c) ¿Cuál es el circuito resistivo equivalente en el cir
cuito secundario? d) ¿Cuál es la carga resistiva equivalente en el circui to prim ario? Solución a) Con base en la ecuación 37-42 tenemos IL N.
A LEL = AL
8.5 X IO3 V
------------------------ = 7 0 _g_
120 V
b) Según la ecuación 37-38, X _IO = ^ Poto = _78_ _ _ 3_W_
78 X IO3 W AL
= 9.i8A
= 650 A.
120 V
c) En el circuito secundario, AL
120 V 650 A
= 0.185 a
d) A quí tenem os 8.5 X IO3 V
AL F
ip
9.18 A
= 930 a
Esto podem os verificarlo en la ecuación 37-46, que escribim os así R p = (Np/N S)2R S = (70.8)2(0.185 f t) = 930 O.
PCION M ULTIPLE 3 7 -1
C orrientes alternas
A) C)
37-2 Tres elementos separados 1. ¿Cuál de las siguientes m agnitudes aumenta al increm entar la frecuencia? A) R B) L C) C D) XL E) Xc 2. ¿Cuál elem ento de circuito sería el m ejor filtro en serie para im pedir que las señales de alta frecuencia crucen un altavoz de to no bajo? A) Un capacitor. B) Un inductor. C) Un resistor. D) Un transformador. 3. Una corriente alterna fluye por un capacitor de derecha a iz quierda, com o se ve en la figura 37-7. L a corriente de la dere cha es i j, y la de la izquierda, A l dism inuir la frecuencia, ¿qué sucede con q e ¿,? A) q perm anece constante e i, disminuye. B) q dism inuye, pero i2 dism inuye con m ayor rapidez. C) Aum enta la diferencia q — D) No se altera la diferencia q — ¡7
h F ig u ra
3.
5. El circuito R LC en serie energizado por una fuente ^ — < &m sen coi opera a una frecuencia m enor que la resonante. Se introduce una lám ina dieléctrica entre las placas del capacitor. ¿Cómo se altera i 7 A) aum enta ¡m. B) dism inuye ¡m. j no se altera. C) (podría aum entar o disminuir, pero no perm anece inal D) terado. E) No se cuenta con suficiente inform ación para contestar la pregunta. 6 . U na estudiante construye un circuito RLC en serie. M ientras és te opera con una frecuencia/ , la estudiante utiliza un voltímetro de corriente alterna y m ide la diferencia de potencial en cada elem ento, obteniendo ( A V ^ ) ^ = 8.8 V, (AVL)máx = 2.6 V y (AVc )máx = 7.4 V. a) El circuito está construido de m odo que el inductor esté al lado del capacitor. ¿Qué resultado debería el es tudiante prever al m edir la diferencia de potencial combinada (AV¿ + ALc )máx en el inductor y en el capacitor? B) 7.8 V
C) 7.4 V
D) 4.8 V
b) ¿Qué resultado debería esperar al m edir la am plitud % de la diferencia de potencial en la fuente de alim entación? A) 18.8 V
4. ¿Qué tipo de m aterial al ser introducido en un inductor causará el m áximo increm ento en la reactancia inductiva?
B) Diam agnético D) Ferrom agnètico
3 7 - 3 E l circuito R L C de una m alla simple
A) 10.0 V
11
3 7 - 7 . Pregunta de opción m últiple
Dieléctrico Param agnético
B) 13.6 V
C) 10.0 V
D) 4.0 V
7. Un estudiante construye un circuito RLC en serie. M ientras lo opera a una frecuencia /, se sirve de un voltím etro de corriente
alterna y mide la diferencia de potencial en cada dispositivo obte niendo (AV*)m& = 4.8 V, (AV¿)máx = 29 V y (AVc )máx = 20 V. a) ¿Cómo hay que m odificar la frecuencia del circuito para aum entar la corriente i que pasa por él? A) A u m entar/. B) D ism inuir/. C) La corriente ya alcanzó su valor m áxim o. D) No se cuenta con suficiente inform ación para contestar la pregunta. b) ¿Qué sucederá con el valor de (AV¿)máx si ajustam os la fre cuencia para aum entar la corriente que pasa por el circuito? A) (AV/)máx aumentará. B) (AV¿)má3C disminuirá. C) (AL¿)máx no se alterará sin im portar los cam bios d e /. D ) L a corriente ya alcanzó su valor máximo. E) No se cuenta con suficiente inform ación para contestar la pregunta. ¿Cuál de los siguientes casos nunca se dará en un circuito R LC en serie? A) (AV*)máx> ^ m B) (AV/)máx > %m C) (ALc )máx > D) (AV¿ )máx > (AVc )máx
9.
¿Qué sucede con la potencia “faltante” en la ecuación 37-35 cuando
3 7 - 5 E l transform ador 10.
¿Qué efecto se obtiene en la resistencia equivalente de un trans form ador cuando se duplica el número de vueltas en la bobina' primaria, m ientras se reduce a la mitad el de las vueltas de la bo bina secundaria? A) L a resistencia equivalente aumenta 64 veces. B) La resistencia equivalente aumenta 16 veces. C) L a resistencia equivalente aumenta 4 veces. D) L a resistencia equivalente dism inuye 1/ 4 del valor an terior.
P reguntas 1. En la relación ai = 2 ijf, cuando se usan las unidades del SI m e dimos a) en radianes por segundo y / e n hertz o ciclos por segun do. El radián es una m edida del ángulo. ¿Qué conexiones tienen los ángulos con la com ente alterna? 2. Si la salida de un generador de corriente alterna como el de la figura 34-13 se conecta a un circuito RLC como el de la figura 37-1, ¿cuál es el sitio final de la energía que se disipa en el resistor? 3 . ¿Por qué los sistemas de distribución de potencial son menos eficaces sin corriente alterna? 4. En el circuito de la figura 37-1, ¿por qué puede suponerse con seguridad que a) la corriente alterna de la figura 37-2 tiene la misma frecuencia angular co que la fuerza electromotriz alterna de ' la figura 37-1 y b) suponiendo que el ángulo de fase / en la ecuación 37-2 no varía con el tiempo, ¿qué sucedería si fuera falsa (verdadera) una de las dos afirm aciones? 5. ¿En qué difiere un fasor de un vector? Sabemos, por ejemplo, que ni las fuerzas electrom otrices ni las diferencias de potencial y tampoco las corrientes son vectores. ¿Cómo, entonces, justifi car las construcciones como las de la figura 37-5? 6 . En el elem ento puram ente resistivo de la figura 37-2, ¿varía el valor m áximo i de la corriente alterna con la frecuencia angu lar de la fuerza electrom otriz aplicada? 7. ¿Sería inválida alguna explicación de la sección 37-3, si los dia gramas de fasores girasen en dirección de las manecillas del re loj en vez de hacerlo en sentido contrario, com o se supuso allí? 8 . Suponga que, en un circuito R LC en serie, se m odificara la fre cuencia del voltaje aplicado de un valor m uy bajo a un valor muy alto. ¿De qué m anera cam biará la constante de fase? 9. ¿Podría depender de la frecuencia la resistencia de corriente al terna de un dispositivo? 10. El análisis de un circuito R LC nos perm ite determinar el com portam iento de un circuito RL (sin capacitor) haciendo C = <», en tanto que hacem os L = 0 para determ inar el com portam ien to de un circuito R C (sin inductor). Explique la diferencia. 11. Durante la Segunda Guerra M undial, un generador de corriente alterna fue colocado a aproxim adam ente una m illa del edificio
■
12.
13.
14.
15.
16. 17. 18.
19. 20.
21.
de laboratorios a los que sum inistraba energía. Un técnico aumentó la rapidez del generador para compensar lo que calificó de “pérdida de frecuencia en la línea de transm isión” que conec ta b a el generador con el edificio. Comente este procedimiento. A m edida que a partir de cero se aumenta la rapidez de las hojas de un ventilador, se observa una serie de patrones estacionarios cuando son iluminadas por la luz procedente de una fuente de co rriente alterna. El efecto resulta más pronunciado cuando se usa un tubo fluorescente o una lámpara de neón que una lámpara de filamento de tungsteno. Explique las observaciones anteriores. Suponga que en la figura 37-1, suponemos cu —> 0. ¿Se aproxi ma la ecuación 37-19 a un valor esperado? ¿Cuál es ese valor? Co m ente su respuesta. Con sus propias palabras explique lo que queremos decir al se ñalar que una com ente alterna “se adelante” o “se rezaga” con una fuerza electrom otriz alterna. Si, com o vim os en la sección 37-3, un circuito es “m ás inducti vo que capacitivo”, es decir XL > X c , a) significa que en una frecuencia angular fija L es relativamente “grande “ y C relati vamente “pequeña” o que ambas son relativamente “grandes” ? b) Con valores fijos de L y de C, ¿significa que a> es relativa m ente “grande” o relativamente “pequeña” ? ¿En qué forma podríamos determinar, en un circuito RLC en se rie, si su frecuencia está por arriba o por debajo de la resonancia? Critique la afirmación; “Si X L > X c , debem os tener L > 1 / C ” . ¿Cómo hay que modificar (si fuera posible) las reglas de Kirchhoff (las de la m alla y de la unión [nodo]) para m odificar los circui tos de corriente cuando se apliquen a circuitos de corriente al terna? ¿Se aplican las reglas de la malla y del nodo a circuitos multim allas de corriente directa? En el problem a resuelto 37-5, ¿cuál sería el efecto en P pro si au m entásem os a) R, b) C y c) L? d) ¿De qué m anera cam biaría
fuerza electrom otriz alterna y una corriente también alterna. Ex plique el flujo de energía que presenta en tales condiciones. 22. ¿Tiene un circuito de corriente alterna una potencia raíz cuadra
HK m m
111 H lite
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da m edia? 23. ¿Desean los ingenieros de estaciones eléctricas comerciales tener un factor bajo o alto de potencia o les es indiferente? ¿Entre qué valores puede oscilar el factor? Lo que lo determina, ¿es caracte rístico del generador, de la línea de transmisión, del circuito al que está conectada la línea o alguna combinación de éstos? 24. ¿A lguna vez puede ser negativa la potencia instantánea sum i nistrada por una fuente de com ente alterna? ¿Puede alguna vez ser negativo el factor de potencia? Si la respuesta es afirmativa, explique el significado de los valores negativos. 25. En un circuito R LC en serie, la fuerza electrom otriz se adelanta a la com ente en determ inada frecuencia de operación. En segui da reducim os un poco la frecuencia. ¿Disminuye, aumenta o perm anece inalterada la im pedancia total del circuito? 26. Si conocem os el factor de potencia (= eos 4> en la Ec. 37-36) de un circuito R L C , ¿puede indicar si la fuerza electrom otriz alterna aplicada va antes o después de la com ente? Si la res puesta es afirm ativa, indique cómo. Si es negativa, indique por qué no. 27. ¿Cuál es el dom inio perm isible de valores del ángulo de fase
30. En la ecuación 37-36, ¿es é el ángulo de fase entre 1(f) e i(t) o entre “i rcm e ¿rcm. Explique su respuesta. 31. El transform ador de un tim bre de puerta está diseñado para una entrada prim aria de 120 V raíz cuadrada m edia y para una sali da secundaria de 6 V. ¿Qué sucedería si las dos conexiones se intercam biaran accidentalm ente durante la instalación? ¿Ten dría usted que esperar para averiguarlo a que alguien lo opri m iese? Com ente su respuesta. 32. Le dan un transform ador dentro de una caja de madera; sus ter m inales prim aria y secundaria están disponibles en dos caras opuestas de ella. ¿Cómo podría calcular su razón de vueltas sin abrirla? 33. En el transform ador de la figura 37-6, en que el secundario es un circuito abierto, ¿cuál es la relación de fase entre a) la fuer za electrom otriz aplicada y la corriente primaria, b) la fuerza electrom otriz aplicada y el cam po magnético en el núcleo del transform ador y c) la com ente primaria y el campo magnético en el núcleo del transform ador? 34. ¿Cuáles son algunas aplicaciones de un transform ador eleva dor? ¿Y de un transform ador reductor? 35. ¿Qué determ ina cuál devanado de un transform ador es el prima rio y cuál el secundario? ¿Puede un transform ador tener un so lo devanado primario y dos secundarios? ¿Un solo secundario y dos prim arios? 36. En vez de la com ente de 120 V, 60 Hz típica de Estados Unidos, en Europa se emplean corrientes alternas de 240 V, 50 Hz. Mien tras vacacione en Europa, le gustaría usar sus electrodomésticos norteamericanos: un reloj, una rasuradora eléctrica y un secador de cabello. ¿Puede hacerlo con sólo enchufar un transformador elevador de 2:1? Explique por qué esta m aniobra tan simple tal vez no baste.
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EJERCICIOS 37-1 Corrientes alternas 37-2 Tres elementos separados
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1. Supongam os que la ecuación 37-1 describe la fuerza electrom o triz efectiva en una toma ordinaria de corriente alterna de 60 Hz. ¿A qué frecuencia angular w corresponde eso? ¿De qué m anera la com pañía eléctrica fija tal frecuencia? 2. Un inductor de 45.2 m H tiene una reactancia de 1.28 kfl. a) Calcule la frecuencia, b) ¿Qué capacitancia tiene un capaci tor con la m ism a reactancia en esa frecuencia? c) Si se duplica la frecuencia, ¿cuáles son las reactancias del inductor y del ca pacitor? 3. a) ¿A qué frecuencia angular tendrían la misma reactancia un inductor de 6.23 m H y un capacitor de 11.4 /¿F? b) ¿Cuál sería su reactancia? c) D em uestre que esta frecuencia sería igual a la frecuencia natural de oscilaciones libres LC. 4. La salida de un generador de corriente alterna es % = %m sen wt con % = 25.0 V y to — 377 ra d /s. a) ¿Cuál es el valor m áxi mo de la com ente? b) Cuando alcanza su nivel máximo, ¿qué fuerza electrom otriz tiene el generador? c) Cuando su fuerza electrom otriz es —13.8V y su magnitud crece, ¿cuál es la co rriente? d) En las condiciones de la parte c), ¿está el generador sum inistrando energía al resto del circuito o recibiéndola de él? 5. El generador de corriente alterna del ejercicio 4 está conectado a un capacitor de 4.1 jjF . a) ¿Cuál es el valor máximo de la corrien te? b) Cuando la com ente presenta su nivel más alto, ¿cuál es la
fuerza electromotriz del generador? c) Cuando la fuerza electro motriz del generador es —13.8 V y su magnitud crece, ¿cuál es la corriente? d) En las condiciones de la parte c), ¿está el generador sum inistrando energía al resto del circuito o recibiéndola de él?
37-3 Ei circuito R L C de una m alla simple 6 . Una bobina de 88.3 m H de inductancia y de resistencia desco
nocida y un capacitor de 937 nF están conectados en serie a un oscilador de 941 Hz de frecuencia. El ángulo de fase 6 entre la fuerza electrom otriz y la com ente aplicada es de 75.0°. Obten ga la resistencia de la bobina. 7. Vuelva a dibujar (aproxim adam ente) las figuras 37-5b y 37-5c para los casos de X c > X L y X c = X v 8 . a) Vuelva a calcular todas las cantidades que se piden en el pro blem a resuelto 37-3 cuando C — 70 ¿iF, permaneciendo inalte rados los otros parám etros allí señalados, b) Dibuje a escala un diagram a de fasores, como el de la figura 37-5c, para esta nue va situación y compare detenidam ente los dos diagramas. 9. Considere las curvas de resonancia de la figura 36-13. d) De m uestre que para las frecuencias por arriba de la resonancia el circuito es predom inantem ente inductivo y para las frecuencias por debajo de ella es predom inantem ente capacitivo, b) ¿Cómo se comporta el circuito en la resonancia? c) Dibuje un diagrama de fasores, com o el de la figura 37-5c, para las condiciones a una frecuencia m ayor que la de resonancia, en la de resonancia y pa ra frecuencias más bajas que la de resonancia.
Verifique matemáticam ente que la siguiente construcción geo m étrica proporciona en form a correcta la impedancia Z y la constante de fase
11. ¿Puede la amplitud del voltaje en un inductor ser m ayor que la amplitud de la fuerza electrom otriz del generador en un circui to RLC1 Considere un circuito con 1 m = 10 V, R = 9.6 f l, L = 1.2 H y C — 1.3 /jF. Calcule la am plitud del voltaje en un in ductor en resonancia. 12. Por medio de la ecuación 37-18 obtenga las relaciones de sen
19. Calcule la potencia promedio que se disipa en el problem a re suelto o7-3, suponiendo ci) que el inductor se extrae del circui to y b) que se extrae el capacitor. 20. Un acondicionador de aire conectado a una línea de com ente al terna raíz cuadrada media de 120 V equivale a una resistencia de 12.2 f l y a una reactancia inductiva en serie de 2.30 fl. a) Calcule la im pedancia del acondicionador de aire, b) Deter m ine la potencia promedio suministrada al electrodoméstico, c) ¿Cuál es el valor de la corriente raíz cuadrada media? 21. Un voltím etro de corriente alterna con alta im pedancia está co nectado por tum os a través del inductor, del capacitor y del re sistor en un circuito en serie que tiene una fuente de corriente alterna de 100 V (rcm) y que ofrece la misma lectura en volts en todos los casos. ¿Cuál es la lectura? 22. Considere el circuito de antena de FM que se m uestra en la fi gura 37-9, con L = 8.22 ¿¿H, C = 0.270 pF y R = 74.7 fl. La señal de radio induce una fuerza electromotriz alterna en la an tena con 1 rcm = 9.13 pN . Calcule a) la frecuencia de los ondas de entrada en que la antena está “sintonizada” , b) la corriente raíz cuadrada media, que pasa por la antena y c) la diferencia de potencial, raíz cuadrada media a través del capacitor.
F ig u ra
37-9 .
Ejercicio 22.
23. En la figura 37-10 demuestre que la potencia disipada en el re sistor R alcanza su valor máximo cuando R — ¡; donde r es la resistencia interna del generador de corriente alterna. En el tex to hemos supuesto implícitamente hasta ahora que r = 0. Com pare esto con el caso de la com ente directa.
3 7-4. Potencia en ios circuitos de corriente alterna 16. Demuestre que [sen 2 tu?]pro = 7 y [sen m eos wf]pro = 0, donde los prom edios se toman arriba de uno o de varios ciclos. 17. Un m otor eléctrico conectado a una tom a de com ente de 120 V, 60 Hz realiza trabajo m ecánico con una rapidez de 0.10 hp (1 hp = 746 W). Si extrae una com ente de 650 mA, ¿qué resistencia tiene en función de la transferencia de potencia? ¿Será la misma que la resistencia de sus bobinas, medidas con un óhmetro mientras el m otor está desconectado de la torna? 18. Demuestre que la potencia prom edio sum inistrada a un circuito R LC también puede escribirse P
1 p ro
R /7-
'- r c m 1 v/ ^
*
Demuestre que la expresión anterior ofrece resultados razona bles con un circuito totalmente resistivo, con un circuito R LC en resonancia, con un circuito enteram ente capacitivo y con un cir cuito com pletamente inductivo.
F ig u ra
3 7 - 1 O.
Ejercicios
23 y 32.
En un circuito RLC com o el de la figura 37-1, suponga que R — 5.0 O , L = 60 m H , / = 60 Hz y = 30 V. ¿Con qué valores de la capacitancia la potencia promedio disipada en el resistor presentaría a) un valor máximo y b) un valor mínimo? c) ¿Cuá les son esas potencias m áxima y mínima? d) ¿Cuáles son los án gulos correspondientes de fase? e) ¿Cuáles son los factores correspondientes de potencia? 25. En la figura 37-11 2? = 15.0 -O, C = 4.72 ¿uF y L = 25.3 mH. El generador produce un voltaje senoidal de 75.0 V (rcm) a una fre c u e n c ia / = 550 Hz. a) Calcule la amplitud de corriente rcm.
MI b ) D e t e r m i n e lo s v o l t a j e s r c m A V ab, A V fcc, A V cd, A V bi, A V ad. c) ¿Qué potencia prom edio disipa cada uno de los tres elem en tos del circuito?
-°r,
— 0 T2 3 Tx F ig u r a F ig u r a
37-1 1
37 -1 2 .
Ejercicio 29.
. Ejercicio 25.
26. En un circuito RLC, dem uestre que en un ciclo con periodo T a) la energía alm acenada en el capacitor no cambia, b) la ener gía alm acenada en el inductor tam poco cambia; c) el generador sum inistra energía i \ T ) cé mim eos 4>, y d) el resistor disipa ener gía e) Dem uestre que las m agnitudes encontradas en c) y en d) son iguales. 3 7 - s E l tra n s fo rm a d o r
27. Un generador sum inistra 150 V (rcm) a la bobina prim aria de un transform ador de 65 vueltas. Si la bobina secundaria tiene 780 vueltas, ¿cuál es el voltaje secundario? 28. Un transform ador tiene 500 vueltas primarias y 10 vueltas se cundarias. a ) Si AVp del prim ario es 120 V (rcm), ¿cuál es AVS del secundario, suponiendo que se trate de un circuito abierto? b) Si el secundario está ahora conectado a un circuito resistivo de 15 O , ¿qué corrientes fluyen por los devanados primario y secundario? 29. En la figura 37-12 se m uestra un autotransformador. Consta de una sola bobina (con un núcleo de hierro). Se incluyen tres to mas. Entre las tomas T l y T1 hay 200 vueltas y entre las tomas r , y T3 hay 800 vueltas. Dos de ellas pueden considerarse “ter m inales prim arios” y dos, “term inales secundarios” . Mencione todos los valores en que podem os convertir el voltaje primario en uno secundario.
30. Un agricultor m aneja una bom ba de agua de 3.8 A rcm. La línea conectora proveniente del transform ador mide 1.2 Ion de largo y se com pone de dos alam bres de cobre, de 1.8 m m de diáme tro cada uno. L a tem peratura es de 5.4°C. ¿Cuánta potencia se pierde al transm itir por la línea? 31. Un ingeniero eléctrico diseña un transformador ideal para que haga funcionar una máquina de rayos X con un potencial máxi mo de 74 kV y con una corriente rcm de 270 mA. El transforma dor funciona con una fuente de potencia rcm de 220 V. Sin em bargo, no se tuvo en cuenta la resistencia de los alambres que conectan la fuente al transformador. Terminada la instalación, se descubrió que los alambres de suministro tenían una resistencia de 0.62 H . ¿Cuánto debe incrementarse el voltaje de suministro a fin de m antener los m ismos parámetros de funcionamiento en el transform ador? 32. En la figura 37-10, supongam os que la caja rectangular de la iz quierda representa la salida (alta impedancia) de un amplifica dor de audio, con r = 1000 O. Sea R = 10 ÍL representa la bobina (baja impedancia) del altavoz. Ya dijimos que un trans form ador puede servir para “transform ar” las resistencias, ha ciendo que se comporten eléctricam ente como si fueran más grandes o pequeñas de lo que son en realidad. Dibuje las bobi nas prim arias y secundarias de un transform ador para introducir entre el “am plificador” y el “altavoz” en la figura 37-10, para “igualar las im pedancias". ¿Cuál ha de ser la razón de vueltas?
__ROBLEMAS_ 1. La salida de un generador de corriente alterna está dada por % = %m sen (wf - tí/ 4), donde %m = 3 1 .4 V y w = 350 rad /s. La com ente está dada por i(t) = im sen (cot — 3 tt/A), donde i = 622 mA. a) ¿En cuánto tiempo, después que t = 0, alcanza el ge nerador un valor m áxim o por primera vez? tí) ¿En cuánto tiem po, después que t = 0, hace lo m ismo la corriente? c) El circuito contiene un solo elem ento aparte del generador. ¿Es un capaci tor, un inductor o un resistor? Fundam ente su respuesta, d) ¿Cuál es el valor de la capacitancia, de la inductancia o de la resisten cia, según el caso? 2. Repita el problem a 1, sólo que ahora i = / sen (cot + rr¡4). 3. En un circuito R LC , que opera a 60 Hz, el voltaje máximo a tra vés del inductor es el doble del que tiene el resistor, en tanto que el voltaje m áxim o del capacitor es igual al del resistor, a) ¿Con qué ángulo de fase la com ente se rezaga con la fuerza electro m otriz del generador? tí) Si la fuerza electrom otriz m áxima del generador es 34.4 V, ¿cuál debe ser la resistencia del circuito pa ra obtener una corriente m áxim a de 320 mA?
4. Una generador de corriente alterna en la figura 37-13 suminis tra 170 V (m áxim o) a 60 Hz. Con el interruptor abierto como en el diagrama, la corriente resultante se adelanta 2 0 ° a la fuerza elec trom otriz del generador. Con el interruptor en posición 1 la co rriente se rezaga 10° con el generador. La corriente m áxim a es 2.82 A cuando el interruptor se encuentra en la posición 2. Cal cule los valores de R, L y C.
L
Un generador de tres fases G produce una potencia eléctrica que se transmite mediante los tres alam bres de la figura 37-14. Los potenciales (relativos a un nivel com ún de referencia) de ellos son Vl = Vm sen wt, V2 — Vm sen (w t — 120°) y V3 = Vm sen (wt — 240°). Algunos equipos industriales (los m otores por ejemplo) tienen tres terminales y están diseñados para conectar los directam ente a ellas. Si se quiere utilizar un dispositivo or dinario de dos terminales (digamos una lámpara), se conecta a dos de tres alambres. Dem uestre que la diferencia de potencial entre dos alam bres cualesquiera a) oscila senoidalm ente con la frecuencia angular coy b) que su am plitud es
-o í -02
-03
Línea de transmisión de tres alam bres F ig u ra
3 7 -1 4 ..
Problem a 5.
La figura 37-15 m uestra un generador de corriente alterna co nectado a una "‘caja negra” por medio de un par de terminales. La caja contiene un circuito R LC , posiblem ente inclusive un circui to multimallas, cuyos elementos y arreglos desconocemos. Las m ediciones fuera de la caja revelan que %(t) = (75 V) sen wt e i(t) = (1.2 A) sen (wt + 42°). a) ¿Cuál es el factor de potencia? b) ¿La corriente se adelanta o se rezaga con la fuerza electrom o triz? c) ¿Es el circuito de la caja principalm ente inductivo o ca pacitivo? d) ¿Está en resonancia? e) ¿Debe haber un capacitor en la caja?; ¿un inductor?, o ¿un resistor? f ) ¿Qué potencia pro medio sum inistra el generador a la caja? g) ¿Por qué no es ne cesario conocer la frecuencia angular w para contestar las preguntas anteriores?
F ig u ra
37 -1 5 .
Problem a 6 .
7. Un circuito tiene R = 5.12 f!, C = 19.3 yxF, L = 988 mH y %m = 31.3 V. a) ¿A qué frecuencia angular w presentará la corrien te su valor m áxim o, como en las curvas de resonancia de la fi gura 36-13? b) ¿Cuál es su valor m áxim o? c)¿Cuáles son las dos frecuencias angulares wl y cu, en que la am plitud de la corrien te tendrá la m itad de ese valor? d) Obtenga el ancho fraccional [= (
a) Dem uestre que el ancho fraccional de las curvas de resonan cia de la figura 36-13 está dado, con mucha aproximación, por Acá = a/3R w wL donde w es la frecuencia resonante y Acó es el ancho de la reso nancia m áxim a con i = \ ¡ m. Nótese (Prob. 15 del Cap. 36) que la expresión anterior puede escribirse como /O , que muestra claramente que un circuito con “O alta” presenta una resonancia máxima pronunciada, esto es, un valor pequeño de Aco/co. b) Utili ce este resultado para com probar la parte d) del problem a 7 . En un circuito RLC , R = 16.0 íl, C = 31.2 ¡LE, L = 9.20 mH, % = iSm sen wt con %m = 45.0 V y w = 3000 rad/s. Al tiempo t = 0.442 ms, obtenga a) la rapidez con que el generador produce energía, b) la rapidez con que se guarda energía en el capacitor, c) la rapidez con que se almacena energía en el inductor y d) la rapidez con que se disipa en el resistor, e) ¿Qué significa el resul tado negativo para cualquiera de las partes a), b) y c)?/) Demuestre que el resultado de las partes b), c ) y d) suman el de la parte a). 10 . En la figura 37-6, demuestre que i (t) en el circuito primario no se altera si conectam os una resistencia R ' [= R(N p/ N s)2] direc tam ente en el generador, el transformador y el circuito secunda rio se elim inan. Es decir, LÍO = 3 A R' En este sentido vemos que un transformador “transform a” no sólo las diferencias de potencial y las corrientes, sino también las resistencias. En el caso más general, en que el circuito se cundario de la figura 37-6 contiene capacitores e inductores, lo m ism o que resistores, decimos que un transform ador convierte las impedancias. i l . U n am ortiguador común de luz, con el cual se atenúa la ilum i nación del escenario de los teatros, consta de un inductor varia ble L conectado en serie con la lám para B, como se indica en la figura 37-16. La fuente de potencia es 120 V (rcm) a 60.0 Hz; la lám para está m arcada “ 120 V, 1000 W ” . a) ¿Cuál es la inductancia m áxim a L requerida si la potencia de una lám para debe variar por un factor de cinco? Suponga que su resistencia no de pende de la temperatura, b) ¿Podría usarse un resistor variable en vez de un inductor? De ser así, ¿qué resistencia m áxima se necesita? ¿Por qué no se hace esto? \M// l
y
flL ,
A ia fuente de p o te n c ia ^ F ig u ra
37-1 6.
Problema 11.
-t ' ROBLEM A PARA RESOLVER POR_COMPUTADORA 1. Considere otra vez el problem a resuelto 37-3. Con métodos nu méricos basados en la ecuación 37-25, genere una gráfica de la corriente en función del tiempo. E scoja un tamaño de paso de 1/6000 s ( 1 /1 0 0 de un periodo) y suponga que en t = 0 la carga
del capacitor es cero y que no existe corriente en el circuito. ¿Cuánto tiem po se requiere para que la corriente se convierta en una solución como la de la figura 37-2? ¿Son mejores los resul tados que los de la solución analítica?
LA' AL LAS ECUACIONES DE MAXWELL Y LAS ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS jT " 1
■é 1 n e ste c a p ítu lo re su m im o s las c u a tro e c u a c io n e s b á s i c a s d e l e le c tro m a g n e tism o , c o n o c id a s c o m o e c u a c io n e s d e M a x w e ll; las h e m o s e x p u e sto in d iv id u a lm e n te en c a p ítu lo s p r e c e d e n te s . Un a rg u m e n to in s p ir a d o e n la s im e tr ía re v e la un im p o rta n te té r m in o q u e f a l t a en un a d e e sta s e c u a c io n e s. C u a n d o lo in c lu im o s, la s e c u a c io n e s p e r m ite n p r e d e c ir la s o n d a s e le c tro m a g n é tic a s q u e se d e sp la za n c o n la v e lo c id a d d e la luz. T a m bién d e s c r ib im o s la s p ro p ie d a d e s de e sta s ondas, la s c u a le s so n im p o r ta n te s p a r a e n te n d e r la ó ptica, la s tr a n s m is io n e s d e ra d io y d e televisió n , a s í c o m o las p r o p ie d a d e s d e a p a ra to s c o m o lo s h o rn o s d e m ic ro o n d a s.
3 S - 1 LA S E C U A C IO N E S BÁ SICA S D EL E L E C T R O M A G N E T IS M O Aunque existen muchas diferencias en las propiedades físicas de los campos eléctrico y magnético, sus propiedades mate máticas tienen varias semejanzas. Para captarlas vamos no sólo a escribir las propiedades básicas del electromagnetismo, si no a aplicarlas a una región del espacio donde existen esos campos, pero no cargas ni corrientes (los campos pueden de berse a cargas y corrientes de otras regiones en el espacio). Si elegimos una superficie cerrada en esta región, podemos aplicar la ley de Gauss a los campos eléctrico y magnético: cf>É-¿A = 0,
(38-1)
B • d~A — 0.
(38-2)
En una superficie cerrada, las integrales de superficie de los campos magnético y eléctrico son cero, porque esta superficie cerrada no contiene carga eléctrica ni polos magnéticos. Las dos ecuaciones anteriores presentan exactamente la misma forma, que representa una importante simetría entre los cam pos eléctrico y magnético. A continuación escogemos cualquier trayectoria cerrada en esta región y aplicamos las leyes de Faraday y de Ampère
5
•ds = 0.
(38-3) (38-4)
La simetría entre É y B, que mostramos en las ecuaciones 38-1 y 38-2, parece estar ausente en las ecuaciones 38-3 y 38-4. La ley deFaraday (Ec. 38-3) nos indica que, enesta región, un campo magnético variable puede crear un campo eléctrico. ¿Es posible qué ocurra lo c o n tr a rio ? Maxwell fue el primero en hacerse esta pregunta.* Su respuesta correcta proporcionó el término faltante en la ley de Ampère que restableció la simetría entre los campos eléctrico y magnético en esa ley y en la de Faraday. El término adicio nal es la causa de las ondas electromagnéticas, que Maxwell logró deducir de su teoría. Poco después de su predicción, se descubrieron las ondas y se aplicaron a la invención de la ra * James Clerk Maxwell (1831-1879), físico escocés, fue el primero en formu lar la estructura matemática de las leyes del electromagnetismo. También descubrió la mecánica estadística de los gases e hizo importantes aportacio nes a la fotografía de color y al conocimiento de los anillos de Saturno. La forma actual de las ecuaciones del electromagnetismo no es obra de Maxwell, sino del físico británico Oliver Heaviside (1850-1925), quien reconoció en ellas la simetría entre E y B.
dio. No es exagerado señalar que las comunicaciones moder nas nacieron directamente del descubrimiento de Maxwell.
3 8 - 2 C A M PO S M A G N É T IC O S IN D U C ID O S Y LA C O R R IE N T E DE D E S P L A Z A M IE N T O En este apartado exponemos a fondo las pruebas de la supo sición de la sección anterior: un campo eléctrico cambiante induce un campo magnético. Aunque nos guiamos principal mente por consideraciones de simetría, también presentamos una verificación experimental directa. La figura 3 8 -la muestra un capacitor circular de placas paralelas. Una corriente i entra en la placa izquierda (que, su ponemos, transporta una corriente positiva) y una corriente igual i sale de la placa derecha. Una espira amperiana rodea el alambre, en la figura 3 8 -la, y crea la frontera de una super ficie atravesada por el alambre. La corriente que pasa por es te alambre genera un campo magnético; en la sección 33-5 vimos que el campo magnético y la corriente están relaciona dos mediante la ley de Ampère:
En otras palabras, la integral de línea del campo magnético al rededor de la espira es proporcional a la comente total que cruza la superficie limitada por la espira. En la figura 3 8-Ib conservamos la misma espira, pero he mos extendido la superficie delimitada por ella para que encie rre toda la placa izquierda del capacitor. Como la espira no ha cambiado (y tampoco el campo magnético), el lado izquierdo de la ley de Ampère ofrece el mismo resultado, pero el derecho da otro muy distinto, cero, porque ningún alambre conductor pa sa por la superficie. Al parecer, se ha violado la ley de Ampère.
Para restablecerla y para que describa correctamente la situación de la figura 38-l¿>, recurrimos a la conclusión de la sección anterior basada en la simetría: un c a m p o e léctrico ca m b ia n te c re a un ca m p o m a g n é tic o . Estudiemos con mayor detenimiento la situación de la figura 38-1. A medida que una carga es transportada al interior del capacitor, el campo eléc trico dentro de él se modifica con una rapidez d E /d t. Las lí neas de este campo eléctrico cruzan la superficie de la figura 3 8 -lé en el interior del capacitor; a partir del flujo eléctrico <1>£ hemos explicado el paso de las líneas del campo por esta superficie; el campo eléctrico cambiante debe producir un flujo eléctrico también cambiante, d<í>E/ d t. Para describir el nuevo efecto desde el punto de vista cuantitativo, nos hemos guiado por la analogía con la ley de inducción de Faraday (Ec. 38-3), la cual establece que un campo eléctrico (lado izquierdo) es producido por un campo magnético cambiante (lado derecho). En la versión simétrica escribimos* 1
-
d
(38-6)
La ecuación 38-6 señala que un campo magnético (lado iz quierdo) puede ser generado por un campo eléctrico cambian te (lado derecho). La situación que se muestra gráficamente en la figura 38-la, se describe mediante la ley de Ampère por medio de la ecuación 38-5, y la de la figura 38-l¿> mediante la ecuación 38-6. En el primer caso, la corriente que pasa a través de la su perficie es la que crea el campo magnético; en el segundo, el flujo eléctrico cambiante que atraviesa la superficie es el que genera el campo magnético. En términos generales se deben explicar a m bas formas de producir un campo magnético: a) con una comente y b) con un flujo eléctrico cambiante. Debemos, pues, modificar la ley de Ampère para que quede así f
d& p
0 B - d s = p 0i + fxQeQ—^ —.
(38-7)
Esta importante generalización de la ley de Ampère es obra de Maxwell. En el capítulo 33 supusimos que no hay campos eléctricos cambiantes, de modo que el término d^>E/ d t de la ecuación 38-7 era cero. Al comentar la figura 38-l¿> supusimos que no existían corrientes de conducción en el espacio que contiene al campo eléctrico. De ahí que el término p 0i de la ecuación 38-7 sea ce ro en este caso. Ahora nos damos cuenta de que cada una de las situaciones es un caso especial. Si hubiera alambres delgados que conectasen las dos placas de la figura 3 8-1 è, habría contri buciones de los dos términos en la ecuación 38-7. Otra forma de interpretar la ecuación 38-7 se sugiere en la figura 38-2; ésta muestra el campo eléctrico en la región si tuada entre las placas del capacitor de la figura 38-1. En se guida, suponemos que la espira amperiana es una trayectoria circular en esta región. El término i es cero en el lado derecho F i g u r a 3 8 - 1 . a) Una espira amperiana encierra una superficie que atraviesa un alambre portador de corriente, b) La misma espira encierra una superficie que pasa entre las placas del capacitor. Ninguna corriente de conducción atraviesa la superficie.
* El sistema de unidades del SI exige introducir las constantes e0 y /x0 en la ecuación 38-6. En otros sistemas de unidades no aparecerían.
o bien ¡j.Qe0R 2 dE
B = —
----- > R)
2r
dt
b) Con r — R las dos ecuaciones de B se reducen a la m isma expre sión, es decir, i dE B — i 1¿os qR dt = j(47r X
(5.0
= 2.8 F i g u r a 3 S - 2 . Campo magnético inducido B, que se muestra en cuatro puntos y que es producido por el campo eléctrico cambiante E dentro del capacitor de la figura 38-1. L a m agnitud del campo eléctrico está aumentando. Compare esta figura con la figura 34-156.
de la ecuación 38-7, no así el término d ® E/ d t . De hecho, el flu jo que pasa a través de la superficie es positivo si las líneas del campo son las que se indican; el flujo aumenta (en correspon dencia con el incremento del campo eléctrico) al ser transportada una carga positiva al interior de la placa izquierda de la figu ra 38-1. La integral de línea de B alrededor de la espira tam bién debe ser positiva, y las direcciones de B deben ser las qüe aparecen en la figura 38-2. La figura 38-2 es un excelente ejemplo de la simetría de la naturaleza. Un campo m a g n é tic o cambiante induce un cam po eléctrico (ley de Faraday); ahora vemos que un campo e lé c trico cambiante induce un campo m a g n é tic o . Compare con mucho cuidado la figura 38-2 con la 34-156; ésta ilustra la producción de un campo eléctrico por un campo magnético cambiante. En cada caso, crece el flujo apropiado
X
1CT7 T-m /A )(8.9
X
X
1CT12 C 2/N -rrr)
10~2 m)( 10 12 V/m • s)
X
10-7 T = 280 nT.
Lo anterior indica que los campos magnéticos inducidos en este ejem plo, son tan pequeños que apenas si pueden medirse con un aparato sim ple, lo cual contrasta mucho con los campos eléctricos inducidos (ley de Faraday). Eso puede demostrarse fácilmente. En parte, esta diferencia experim ental se debe a que es fácil multiplicar las fuerzas electromotrices inducidas, utilizando una bobina de muchas vueltas. No se cuenta con una técnica tan simple para los campos magnéticos. En experim entos que incluyan oscilaciones de muy alta frecuencia, d E /d t puede ser m uy grande y dar valores mucho más altos que los del cam po m agnético inducido.
C o rrien te de desplazam iento La comparación de las ecuaciones 38-5 y 38-6 indica que el término eQd
(3 8 - § )
Por tanto, podemos decir que un campo magnético puede crearse mediante una corriente de conducción i o mediante una corriente de desplazamiento zd; entonces la ecuación 38-6 pue de reescribirse así © E - d s = p 0(i -i- ;d).
(38-9)
Calculemos la corriente de desplazamiento zd en la sepa ración del capacitor de la figura 38-16. La carga q en las pla cas se relaciona con el campo eléctrico E en la separación por medio de la ecuación 30-3 (£ = c r / eQ), q -
Solución a) De acuerdo con la ecuación 38-6,
e0E A .
La derivación nos da
. _
dt
podemos escribir, con r s R, como en la figura 38-2, (B ){2vr) = p.0e0
dt
[(£ )(Trr2)] = ,u0e07r r 2- ^ . dt
d (E A ) 0
dt
La magnitud E A es el flujo eléctrico (¡>E y, por tanto, , = e0
Al resolver para B obtenemos , dE B = , /J.0
dq _
d®E —— .
(r< /? ).
Cuando r s R, la ecuación 38-6 nos da ( 5 ) ( 2 t t) = p,ne 0 - 7 -[(£)(-?r/?2)] =. ¿x0e 0Tr/?2 dt dt
* E l térm ino “ d e splazam ie nto ” se intro dujo por razones h istó ricas. N ad a tie ne que ve r co n el uso anterior de desplazam iento para in d ic a r la p o sic ió n de una p artícu la.
La comparación con la ecuación 38-8 indica que
Por tanto, la corriente de desplazamiento en la separación es igual a la comente de conducción en los alambres. Así pues, el concepto de comente de desplazamiento nos permite conservar la idea de que la c o rrie n te es con tin u a, principio establecido para las corrientes de conducción en la sección 31-1. Por ejemplo, en la figura 38-l¿>, una comente de conducción i entra en la placa positiva y sale de la placa negativa. La corriente de co n d u cció n no es continua en la se paración del capacitor, porque no se transporta carga alguna a través de esta separación. No obstante, allí la corriente de des plazamiento id es exactamente igual a z; con esto se mantiene el concepto de continuidad de la comente. Cuando el capacitor está cargado por completo, la co rriente de conducción desciende súbitamente a cero (no fluye corriente en los alambres). El campo eléctrico entre las placas se vuelve constante; en consecuencia, d E ¡ d t = 0 y, por lo mismo, la comente de desplazamiento también se reduce a cero. La comente de desplazamiento i¿, dada por la ecuación 38-8, tiene dirección y también magnitud. La dirección de la comente i es la del vector de densidad de corriente de con ducción J. De modo parecido, la dirección de la comente de desplazamiento id es la de su vector de densidad de co mente de desplazamiento jfd; ésta, como deducimos de la ecuación 38-8, es eQ( d E / d t ) . La regla de la mano derecha aplicada a id da la dirección del campo magnético producido, igual que en el caso de la corriente de conducción i. P r o b l e m a R e s u e l t o 3 S - 2 . ¿C uál es la corriente de d esp laza m ien to en la situ ació n del p ro b le m a resuelto 38-1?
Solución Con base en la ecuación 38-8, la com ente de desplaza miento se define, dE /d = 6q_d
E C U A C IO N E S D E M A X W EL L Las cuatro ecuaciones del electromagnetismo, conocidas como ecuaciones de Maxwell, están completas ahora con la adición del término del campo magnético inducido (corriente de despla zamiento) en la ley de Ampère. Estas ecuaciones se sintetizan en la tabla 38-1; ésta muestra además el experimento decisivo que dio origen a cada una de estas ecuaciones. Esta lista de experi mentos nos recuerda que las ecuaciones de Maxwell no son me ras especulaciones teóricas; más bien, fueron formuladas para explicar los resultados de los experimentos de laboratorio. Estas ecuaciones tan importantes reúnen algunas caracte rísticas que conviene examinar, 1. S im etría. La inclusión de la corriente de desplazamien to ocasiona que las ecuaciones III y IV de la tabla 38-1 se ase mejan más, mejorando con ello su simetría. Si se confirmase la existencia de las cargas magnéticas individuales (monopolos magnéticos), las ecuaciones parecerían más similares. Sí q representa la “carga magnetica’^ escribiremos la ley del magnetismo de Gauss como ■ d A = f¿Qq m- Esta ecuación afirma que el flujo magnético que pasa a través de cualquier superficie cerrada es proporcional a la carga magnética total encerrada por la superficie. En este caso, las ecuaciones I y II se tomarían más simétricas. Si pudiéramos formar un flujo de estas cargas magnéti cas y pudiéramos convertirlo en una comente magnética z'm = d q / d t (suponiendo que los experimentos lo comprobaran) podríamos agregar un término al lado derecho de la ecuación III que mostraría la posibilidad de que una condente magnéti ca produzca un campo eléctrico. Con ello, las ecuaciones III y IV serían más simétricas. Hasta ahora no contamos con datos experimentales que evidencien la existencia de monopolos magnéticos. Pero si se descubrieran, sería muy fácil modificar las ecuaciones de Maxwell para explicar sus efectos. 2. O n d a s e le ctro m a g n étic a s. Las cuatro ecuaciones se conocían ya, antes de la época de Maxwell; aparte de la co mente de desplazamiento, no se originan predicciones nuevas de ninguna de estas ecuaciones. Como veremos en la siguien te sección, cuando se combinan estas ecuaciones surge otra predicción: la existencia de ondas electromagnéticas y un va lor de su velocidad (la velocidad de la luz). Estas ondas fue ron predichas por Maxwell y descubiertas por Heinrich Hertz en 1888, quince años después de publicarse la teoría de Max well. Más adelante en el capítulo explicamos cómo esta pre dicción proviene de las ecuaciones de Maxwell. 3. E lec tro m a g n e tism o y rela tivid a d . Las ecuaciones de Maxwell son notables porque son enteramente compatibles con la teoría especial de la relatividad. A diferencia de las le yes de la mecánica de Newton, que exigen cambios radicales del movimiento en velocidades cercanas a la velocidad de la luz, las ecuaciones de Maxwell no cambian para ningún ob servador, cualquiera que sea su velocidad relativa. De hecho, el descubrimiento de Einstein de la relatividad se basó directa mente en la interpretación que éste dio a las leyes del electro magnetismo y a las ecuaciones de Maxwell.
3 8 -3
>S= 1 Número
E c u a c io n e s
d e
M a x w e ll
E cuaciones básicas del e lectrom agnetism o (ecuaciones de M axw ell)“ Capítulo del libro
Nombre________________ Ecuación
D escribe
Experimento decisivo
I
Ley de Gauss para la electricidad
§ E - d A = q/e0
L a carga y el campo eléctrico
II
Ley de Gauss para el m agnetismo
$ B -d A = 0
El campo m agnético
III
Ley de inducción de Faraday
j> E • d s = —d® B/dt
IV
Ley de Ampère (tal como la amplió M axwell)
f B - d s — ¡¿(¡i + p.ue0 d 9 E!dt
El efecto eléctrico de un cam po magnético cambiante El efecto m agnético de una com ente o un campo eléctrico cambiante
a) Cargas iguales se repelen y cargas diferentes se atraen como el cuadrado inverso de su separación. b) Una carga en un conductor aislado se dirige a su superficie exterior. Las líneas del campo magnético forman espiras cerradas; no hay evidencia de que existan monopolos magnéticos. Un imán de barra, introducido en una espira cerrada de alambre, creará una corriente en esta última. a) U na corriente en un alambre produce un cam po magnético cerca de él. b) La velocidad de la luz se calcula exclusivam ente con mediciones electromagnéticas.
27
35
34
33 38
a E scrita s supo n iend o que no h aya m ate rial d ie lé c trico ni m agnético.
Cavidades oscilantes (opcional) Existen muchas situaciones en que las ecuaciones de Maxwell sirven para obtener una comprensión teórica del funcionamien to de un dispositivo práctico o de un fenómeno cotidiano. Un caso particular es la cavidad metálica que contiene campos eléctricos y magnéticos oscilatorios. En muchos aspectos, el oscilador de cavidad electromag nética se parece a un oscilador de cavidad acústica; por ejem plo, el tubo o cañón cerrado de un órgano. Cuando hacemos oscilar el tubo mediante una perturbación extema, produci mos una onda estacionaria con oscilaciones tan intensas de densidad y de velocidad en las moléculas de aire, que la ener gía acústica del tubo oscila entre la energía potencial relacio nada con las compresiones y rarefacciones del gas y la energía cinética del gas en movimiento. La cavidad electromagnética resonante se comporta de modo similar, sólo que la energía oscila entre sus campos magnético y'eléctrico en una onda electromagnética estacio naria. La figura 38-3 es una representación de los campos
magnético y eléctrico en la mitad de un ciclo de oscilación. Los campos aparecen en todo el volumen de la cavidad. Las den sidades de energía en cualquier punto están dadas por las ecuaciones 30-28 (u£ - \ e {)E 2) y 36-22 (u B = B 2/ 2 / x Q): la energía total almacenada se calcula integrando sobre todo el volumen de la cavidad. Los dos extremos planos de la cavidad pueden conside rarse las placas de un capacitor que instantáneamente contie nen las cargas + q y — q para crear el campo eléctrico de la figura 38-3. A medida que la cavidad oscila, las cargas se des plazan a lo largo de las paredes conductoras de la cavidad pa ra invertir la dirección del campo. Si escogemos lina trayectoria circular en la cavidad de un plano paralelo a los extremos, cambiará el flujo eléctrico en la superficie rodeada por la trayectoria. Este flujo eléctrico cambiante crea un campo magnético tangente al círculo, se gún el término adicional de Maxwell que se incorporó a la ley de Ampère. En forma equivalente, puede considerarse que la corriente de desplazamiento fluye al interior del volumen de la cavidad (paralelamente a las líneas del campo eléctrico) y F i g u r a 3 8 - 3 . M edio ciclo de oscilación de una cavidad electromagnética. La gráfica debajo de cada figura presenta la energía eléctrica almacenada UE y la energía magnética UB. Las líneas de E son paralelas al eje de la cavidad, y las de B, círculos concéntricos con el eje.
que esta corriente de desplazamiento produce líneas circu lares de campo magnético como lo hacen las corrientes ordi narias en los alambres rectos. Si, en cambio, escogemos una trayectoria rectangular en el plano de las líneas del campo eléctrico, la ley de Faraday establece que el campo eléctrico en esta trayectoria depende de la rapidez con que cambie el flujo magnético en el rectán gulo. Tenemos, pues, dos resultados a partir de las ecuaciones de Maxwell: d (~í>£ dt
E oe-
d®E dt
(38-10)
Nótese que B tiene su valor máximo cuando el campo eléctrico cambia con la rapidez máxima lo cual sucede cuando E — 0, esto es, cuando el campo eléctrico invierte su dirección. Asimismo, E alcanza su valor máximo cuando B = 0. La ecuación 38-10 muestra la interdependencia de E y B en la cavidad. El campo eléctrico cambiante genera un campo magnético, y el campo magnético cambiante uno eléctrico. Las oscilaciones de E produce B y las oscilaciones de B produce E. Así pues, los campos oscilatorios se sostienen uno a otro; una vez establecida la oscilación, continuaría de modo indefinido si no fuera por las pérdidas resistivas en las paredes de la cavidad o por la fuga de energía a través de las aberturas de la cavidad. Se observa un acoplamiento mutuo similar de los campos mag nético y eléctrico en las ondas electromagnéticas viajeras, tema que abordaremos más adelante en este capítulo. Las cavidades oscilantes como las antes descritas consti tuyen el fundamento del m a gn eírón , que servía de generador de radiación de microondas utilizadas en el radar durante la dé cada de 1940. Otro dispositivo basado en la cavidad es el klystron^ con el cual se amplificaban las señalas reflejadas del ra dar. (Si las ondas cruzan una cavidad de klystron con la velo cidad de la luz, es posible estimar que una cavidad de unos pocos centímetros de longitud tendrá un periodo aproximado de 10“ 10 s, correspondiente a una frecuencia de 10 GHz.) Una aplicación común de este aparato son los aceleradores productores de haces de partículas cargadas con mucha ener gía. En la figura 38-4 se ve el interior del acelerador de elec-
F i g u r a 3 8 - 4 . Interior del Stanford Linear Accelerator de 2 millas. El largo cilindro vertical es una de cientos de cavidades electrom agnéticas resonantes (klystron) que generan los campos eléctricos necesarios para acelerar los electrones. Cada klystron produce una potencia m áxim a de 67 MW.
trones de dos millas en Stanford, donde cientos de cavidades resonantes en sucesión se emplean para elevar a 50 GeV la energía de los electrones. m
3 3 = 4 G E N E R A C IÓ N D E UNA ONDA E L E C T R O M A G N É T IC A Las ondas electromagnéticas transportan energía o momento de un punto a otro del espacio por medio de sus campos eléc trico y magnético. Antes de iniciar la descripción matemática de las ondas electromagnéticas, vamos a exponer algunas pro piedades generales que cabría esperar de estas ondas. ¿Qué tipo de arreglo de las cargas o comentes se prevé que produzca una.onda electromagnética? Un carga eléctrica en re poso origina un patrón de líneas del campo eléctrico. Una carga en movimiento con velocidad constante crea un patrón de líneas del campo magnético además de las líneas del campo eléctrico. Una vez alcanzada una condición estacionaria (esto es, después que la carga está en movimiento y que los campos se establecen en el espacio), existe en dicho espacio una densidad de energía relacionada con los campos eléctrico y magnético, pero la den sidad de la energía permanece constante en el tiempo. Fuera de la evidencia de su presencia, no se traslada ninguna señal de la carga a puntos distantes; tampoco se transporta energía ni mo mento, y no hay radiación electromagnética. En cambio, si agitamos la carga hacia adelante y atrás, po dríamos enviarle señales a un amigo distante que tuviera el equi po necesario para detectar los cambios en los campos eléctrico y magnético. Mediante un código preestablecido, podríamos enviar información agitando la carga a cierta velocidad o di rección. En este caso, se emitirían las señales con una onda electromagnética. Para producir esta onda hay que acelerar la carga. Es decir, a v e lo c id a d con stan te ni las cargas e stá tic a s ni las cargas en m ovim iento irra d ia n ; s í lo hacen las cargas a c ele radas. Dicho con otras palabras, el movimiento uniforme de car gas equivale a una comente que no cambia con el tiempo; el movimiento acelerado corresponde a una corriente que cambia con el tiempo; así, podemos suponer que la radiación provie ne de corrientes que varían con el tiempo. En el laboratorio, una forma fácil de generar una onda electromagnética consiste en hacer que las corrientes de los alambres cambien con el tiempo. Para simplificar las cosas su ponemos una variación senoidal con el tiempo. En la figura 38-5 se muestra un circuito que pudiera emplearse con este fin. Consta de un circuito R L C oscilatorio, con una fuente extema que restaura la energía disipada en el circuito o transportada por radiación. La comente en este circuito varía senoidalmente con la frecuencia angular resonante oq ésta es aproximadamente 1¡ \ ¡ L C si las pérdidas resistivas son pequeñas (Sec. 36-7). Con un transformador, el oscilador se acopla a una línea de tran sm i sión, que sirve para transportar la comente a una antena. (Los cables coaxiales, que llevan señales de televisión a muchos ho gares, son un ejemplo común de estas líneas.) La forma de la antena determina las propiedades geomé tricas de los campos eléctrico y magnético radiados. Sup'óne-
A ntena dipolar eléctrica F ig u r a
Po
3 8 - 5 . A rreglo para generar una onda electrom agnética
viajera.
mos una antena d ip o la r que, como se aprecia en la figura 38-5, puede considerarse simplemente como dos conductores rectos. Las cargas fluctúan hacia adelante y atrás en los dos conduc tores con la frecuencia o>, excitadas por el oscilador. Podemos pensar que la antena es un dipolo eléctrico oscilatorio, donde una rama lleva una carga instantánea q, y la otra una carga — q. La carga q vana senoidalmente con el tiempo y cambia de signo cada mitad de ciclo. Estas cargas se aceleran cuando se desplazan hacia atrás y adelante en la antena, de modo que dicha antena es una fu e n te d e radiación e léctrica dipolar. En cualquier punto del espacio hay campos eléctricos y magnéti cos que varían senoidalmente en el tiempo.* La figura 38-6 contiene una serie de “instantáneas” que ofrecen una imagen esquemática de cómo se fonna el campo de radiación. Las líneas del campo eléctrico pueden deducirse de los lugares donde surgen las cargas positiva y negativa del dipolo; el campo magnético correspondiente, que aparece en la figura 38-6
F i g u r a 3 8 - 7 . Ocho “instantáneas” cíclicas de una onda electrom agnética plana que irradian del dipolo oscilatorio de la figura 38-6, observados en el punto P. La dirección en que se desplaza la onda (dirección x en la Fig. 38-6) está fuera del plano de la página. Las líneas de E son verticales y las de B horizontales.
comparación con la longitud de onda de la radiación; el campo observado en tales condiciones recibe el nombre de c am po de radiación . A distancias menores observaremos el cam po cerca no más pomplejo, del que no nos ocuparemos aquí. Nótese que el campo “se rompe y se aleja” de la antena y forma espiras ce nadas, én contraste con el campo estático de un dipolo eléctri co, donde las líneas del campo siempre comienzan en las cargas positivas y terminan en las negativas. Otra perspectiva del campo de radiación se ofrece en la figura 38-7 que representa una serie de “instantáneas” de los campos eléctrico y magnético que rápidamente dejan atrás al observador situado en el punto P del eje x de la figura 38-6. Suponemos que el observador se halla tan lejos del dipolo que los frentes de onda pueden considerarse planos. Como de cos tumbre, la densidad de las líneas de campo indica la intensi dad de este campo. Adviértase especialmente que 1) E y B están en fase (ambos alcanzan su nivel máximo en el mismo instante y que son cero también en el mismo instante); 2) E y B son perpendiculares entre sí. En la siguiente sección expli-
* Al tipo dipolar pertenece la mayor parte de las radiaciones de la vida coti diana, desde las ondas de radio y la luz hasta los rayos X y los rayos gamma. Por lo regular, las antenas de radio y de televisión están diseñadas para trans mitir radiación dipolar. Desde el punto de vista de la emisión de radiación, a menudo puede suponerse que los átomos y núcleos individuales son dipolos oscilatorios.
C am po —x
yi
¡d _ |
a)
^
|
b)
|
c)
rx , \
x 1 ei^ctric°
^
nryia ¡íj¡x
-
\
/ í ' ^
/
j/¡íx |
d)
W
/ / //
//V / / /
C am po ^ m agnético
/ ¡ y '/ '/ f l J j J " j A / / j / e)
.A
F i g u r a 3 8 - 8 . Etapas sucesivas en la emisión de una onda electrom agnética desde una antena dipolar. En a )- (d ), sólo se muestran los patrones de campo. En e ) se m uestra el cam po m agnético como perpendicular al plano de la página.
caremos estas conclusiones, las cuales se infieren al analizar las ondas electromagnéticas viajeras en el espacio libre con el uso de las ecuaciones de Maxwell.
38=5 ONDAS V IA JE R A S Y LAS E C U A C IO N E S D E M A X W E L L La exposición anterior nos ofrece una descripción cualitativa de un tipo de onda electromagnética viajera. En la presente sección estudiamos la descripción matemática de esta onda, que, según veremos, concuerda con las ecuaciones de Maxwell. Al hacerlo también veremos que la velocidad de estas ondas en el espacio vacío es igual a la velocidad de la luz; esto nos lleva a concluir que también la luz es una onda electromagnética. Supóngase que el observador en el punto P de la figura 38-6 se halla tan lejos del dipolo oscilador que los frentes de onda que pasan por el punto P (mostrados en la Fig. 38-7) son planos. Laslíneas de E son paralelas al eje y, ylas líneas de B son paralelas al eje z- Escribimos los campos E y B en la forma matemática usual de una onda senoidal viajera (Secc. 18-3): S llll
1 V 7
E{x, t)
= fijasen (kx - oot),
(38-11)
B (x, t )
= Bmsen (kx — cot).
(38-12)
Aquí, to es la frecuencia angular relacionada con el dipolo os cilatorio, y el número de onda k tiene su significado habitual de 2 tt/ á . Si la onda se propaga con la rapidez de fase c, to y k se relacionan de acuerdo con c = co/k. La figura 38-8 representa la variación senoidal de los campos E y B en los puntos a lo largo del eje x en un instante particular. En esta onda plana, la misma variación de los campos E y B ocurre a lo largo de cualquier lí nea paralela al eje x, es decir, los campos en cualquier punto del eje x son iguales a los campos en todas partes en un plano que atraviesa ese punto perpendicular al eje x. Más adelante, demostraremos que las amplitudes E m y B m se relacionan entre sí. Nótese que, al escribir estas' ecua ciones para las magnitudes de E y B, hemos supuesto que E y B están en fase; es decir, las constantes de fase de las ecua ciones 38-11 y 38-12 tienen el mismo valor (que hemos su puesto que es cero). En páginas posteriores veremos que esta elección se basa en las ecuaciones de Maxwell.
F i g u r a 3 3 - 9 . Detalle de la tira vertical de la figura 38-8 en el m om ento en que la atraviesa la onda.
Vamos a examinar a fondo la onda cuando pasa por dos ti ras rectangulares en el punto P de la figura 38-8. Las tiras tienen una altura h y un ancho dx; una se encuentra en el plano xy (es decir, en el plano de E ) y la otra en el plano xz (el plano de 5 ). Vamos a considerar primero la tira en el plano xy, que se muestra de modo pormenorizado en la figura 38-9. Al pasar la onda sobre la tira, las líneas de E son paralelas a los lados largos de la tira y las líneas de B son perpendiculares al área de esta tira. En la terminología de la ley de Faraday, conforme pasa la on da, cambia el flujo magnético en la superficie rectangular y se crea entonces un campo eléctrico inducido alrededor de la su perficie. El campo eléctrico inducido es simplemente el campo eléctrico de la onda viajera. Examinamos la tira en el instante que aparece en la figu ra 38-9. Al dirigirse la onda a la derecha, el flujo magnético está disminuyendo en el tiempo porque el campo Ü de la on da que se mueve al interior de la tira es más pequeño. El cam po inducido E debe oponerse al cambio y esto s ig n ifica lo siguiente: se inducirá una corriente en el sentido de las mane cillas del reloj si imaginamos que la frontera del rectángulo sombreado es una espira de corriente. Dicha corriente induci ría un campo magnético que apuntaría hacia afuera de la pá gina dentro del rectángulo. Por supuesto, no fluye corriente por la espira, pero los vectores E son compatibles con esta ex plicación, ya que el campo eléctrico más grande en el borde derecho de la espira generaría una corriente neta en el senti do contrario al de las manecillas del reloj. Al aplicar la ley de Faraday, $ E • d s = —d<¡>B/ d t , pri mero necesitamos la integral de línea de E alrededor de la espira. Evaluaremos la integral desplazándonos en sentido
i- i g u r a 3 3 - 3 . ‘"Instantánea” de una onda electrom agnética que varía senoidalm ente viajando en la dirección x. Observam os la onda en el momento de pasar por el punto P. La longitud de los vectores E y B indica únicam ente su variación espacial en varios lugares del eje x. Las longitudes absolutas de estos vectores son arbitrarias.
contrario al de las manecillas del reloj en tomo a la espira. Puesto que E y r f s son perpendiculares en la parte superior e inferior de ella, la integral no recibe contribuciones de esos lados. Entonces, la integral queda así §
La razón de las amplitudes de los componentes magnéticos y eléctricos de la onda es la velocidad c de ella. En las ecuacio nes 38-11 y 38-12 vemos que la razón de las amplitudes es la misma que la razón de los valores instantáneos, o sea
E • d s = ( £ + dE )h - Eh = dE h.
cB.
El flujo
dB h dx ■ ....... d t
Conforme a la ley de Faraday (Ec. 38-3) tenemos entonces dEh
■h d x -
dE
dB
dx
dt
dB dt '
(38-13)
En realidad, tanto B como E son funciones de x y de t (Ecs. 38-11 y 38-12). Al evaluar d E /d x , suponemos que t es constante porque la figura 38-9 es una “instantánea”. También, al evaluar d B / d f suponemos que x es constante porque se re quiere la rapidez del cambio de B en un lugar particular, la ti ra de la figura 38-9. En tales circunstancias, las derivadas son d e riva d a s p a rc ia le s, t y entonces se emplea una notación di ferente para ellas; consúltense por ejemplo las secciones 18-3 y 18-5. En esta notación la ecuación 38-13 se convierte en —
dx
dt
(38-14)
El signo negativo en esta ecuación es apropiado y necesario, pues B disminuye con t, aunque E aumenta con x en el sitio del rectángulo sombreado en la figura 38-9. Dado que se co nocen E(x, t) y B(x, t ) (Ecs. 38-11 y 38-12), la ecuación 38-14 se convierte en k E m eos (kx — oií) = a>Bm eos (kx — cot). Si hubiera empleado otras constantes de fase en las ecuaciones 38-11 y 38-12, los términos de coseno en la ecuación anterior estarían fuera de fase y los dos lados no podrían ser iguales con todas las x y t. La ecuación 38-14, que se obtiene directa mente al aplicar las ecuaciones de Maxwell, indica que E y B deben estar en fase. Al eliminar el término coseno, obtenemos £m
cu
B„
k
(38-15)
* Usamos la regla de la mano derecha para el signo del flujo: si los dedos de la mano derecha apuntan en la dirección en que integramos alrededor de la trayectoria, el pulgar indicará la dirección en que el campo que pasa por el área encerrada produce un flujo positivo. . t Al tomar una derivada parcial respecto a cierta variable, como dE/dx, trata mos el resto de las variables (y, z y t, por ejemplo) como si fuesen constantes.
(38-16)
Este importante resultado será útil en las secciones posteriores. Ahora nos concentramos en la tira horizontal de la figu ra 38-8, que se halla en el plano xz. Un detalle de ella se observa en la figura 38-10. En este instante particular el cam po magnético B aumenta en la tira. El flujo eléctrico disminu ye en el tiempo porque la onda que se dirige al interior de ella tiene un campo E más pequeño. Para analizar los campos en esta tira, necesitamos la ley de Ampère con la modificación hecha por Maxwell (Ec. 38-6):
B
í>£ = (E)(h dx). La derivación nos da Ü-LÍ dt
dE h dx ■ dt
Por consiguiente, podemos escribir la ley de Ampère y de Maxwell (Ec. 38-6) así (
dE
/x0e0 I h d x —
—h d B =
o, cancelando h y sustituyendo las derivadas parciales, dB
dE Moeo '
dx
(38-17)
dt
Una vez más, el signo negativo de esta ecuación es apropiado y necesario, pues E disminuye con t, aunque B aumenta con x en el sitio del rectángulo sombreado de la figura 38-10. Al combinar la ecuación anterior con las ecuaciones 3811 y 38-12 encontramos —kBm eos (kx — oif) = —fx0e0(úEm eos (kx — u>t), o bien 1
In Bn
p
,0 € 0 ü
)
M o
6 0c
(38-18)
donde hemos usado u> = ck. La eliminación de E m/ B m entre las ecuaciones 38-15 y 38-18 nos da 1
ÌLI . -I Ci;
c
= -j= -.
(38-19)
N/T0€0 L
Y al sustituir los valores numéricos obtenemos
«*! 1____________________________________________
ksTÍ.
ML
a/(A ^X ~K )'’7 T • m /A)(8.9 X
10~12 C2/N ■n r)
= 3.0 X 108 m/s, que es la velocidad de la luz en el espacio libre. Este surgi miento de la velocidad de la luz, partiendo de consideraciones meramente electromagnéticas, es el broche de oro de la teoría electromagnética de Maxwell. Él hizo su predicción antes que se conocieran las ondas de radio y la naturaleza electromag nética de la luz. Su predicción originó el concepto del espec tro electromagnético y el descubrimiento de las ondas de radio por Heinrich Hertz en 1890. Permitió explicar la óptica como una rama del electromagnetismo y derivar sus leyes fundamentales de las ecuaciones de Maxwell. Como por definición jx0 es exactamente 4 t t X 10~7 H /m y como a la velocidad de la luz se le asigna ahora el valor exacto de 299,792,458 m /s, gracias a la ecuación 38-19 se obtiene un valor definido de e0: = 8.854187817...
X
10~12 C2/N •nr.
Es interesante precisar lo siguiente: Maxwell no consideró la propagación de las ondas electromagnéticas y los fenómenos electromagnéticas como se indica, digamos, en la figura 38-8. Como los físicos de su época, Maxwell estaba firmemente con vencido de que el espacio estaba lleno con una sustancia sutil denominada é te r y que los fenómenos electromagnéticos podían explicarse como vórtices que giraban en este éter.
Uno de los atributos de Maxwell es su genialidad ya que, aun con esos modelos mecánicos, logró deducir las leyes del electromagnetismo que llevan su nombre. Como ya señalamos con anterioridad, estas leyes no sólo no requirieron cambio al guno cuando tres décadas más tarde apareció la teoría espe cial de la relatividad de Einstein, sino que incluso recibieron un decidido apoyo de esta teoría. Hoy, según se menciona en la sección 41-6, ya no es necesario recurrir al concepto de éter para explicar la propagación de las ondas electromagnéticas.
3 8 - 6 TRANSPORTE B E ENERGÍA Y E L V E C TO R B E POYNTING Como cualquier forma de onda, una onda electromagnética pue de transportar energía de un lugar a otro. La luz emanada de una lámpara y el calor radiante de un fuego son ejemplos comunes de energía que fluye por medio de ondas electromagnéticas. El flujo de energía en una onda electromagnética suele medirse en función de la rapidez con que fluye la energía por unidad de superficie (o, en forma equivalente, la potencia elec tromagnética por unidad de superficie). Describimos la mag nitud y la dirección del flujo de energía en función de un vector denominado v e c to r d e P o y n tin g * S, definido a partir de § = — E X E . Ao
(38-20)
Convenzámonos primero de que S tal como se define en la ecuación 38-20 indica la dirección de desplazamiento de Ja on da. Según la regla usual del producto cruz, S debe ser perpen dicular al plano determinado por E y B en una dirección establecida por la regla de la mano derecha. Al aplicar esta re gla a la figura 38-8, se advierte que en la primera mitad del ci clo de la onda, donde E, sigue la dirección + y y B sigue la dirección +z, el producto cruz de E y B apunta en dirección +x que es, efectivamente, aquella en que se desplaza la onda. En la segunda mitad del ciclo, donde E tiene la dirección —y, y B la dirección —z, el producto cruz sigue otra vez la dirección + x. Nótese que una onda electromagnética puede especificarse en forma inequívoca con sólo dar su campo E y la dirección de su movimiento. En otras palabras, por medio de las ecuacio nes 38-15 y 38-20 podemos encontrar el campo B de una onda si conocemos su campo E y la dirección de su movi miento. La ecuación 38-15 contiene la magnitud de B, y la ecuación 38-20, su dirección. A continuación vamos a examinar la magnitud de S defi nida en la ecuación 38-20 y demostraremos que se obtiene la potencia por unidad de superficie de la onda. En el caso de la onda de la figura 38-8, la magnitud de S es S = — EB, Po
(38-21)
* Al vector de Poynting se le llama así en honor de John Henry Poynting (1852-1914), quien fue el primero en explicar las propiedades de este vector. Fue un físico británico famoso por sus estudios del electromagnetismo y de la gravitación.
donde S, E y B son los valores instantáneos en el punto de ob servación. Con el uso de las ecuaciones 38-16 y 38-19, pode ríos escribir lo anterior como S
= -L _ E 2 = ¡X 0C
€qCE ~
o
S =
—— B 2.
(38-22)
Ao
A ntes, o b tu v im o s la d e n sid ad de en erg ía (energía p o r u n id a d de volum en) e n c u a lq u ie r p u n to d o n d e h a y un c am p o eléctrico o m agnético: uE = \ e QE 2 (Ec. 30-28) y uB = ~ B 2/ /¿0 (E c. 36-22). E stas e c u a c io n e s, o b te n id a s p a ra lo s c a m p o s e sté tic o s, se a p lic an ig u a lm e n te a los c a m p o s q u e v a ría n c o n el tie m p o . C uando existe u n ca m p o eléctrico y otro m ag n ético (co m o e n las ondas e le ctro m ag n é tic as), la d e n sid a d to ta l d e e n erg ía e n c u a l q u ier p u n to es
1 UE +
UB
2
. 1 B2 enE 2 + 9 Ao
_S__ 2c
.
S
S
2c (38-23)
donde hemos utilizado la ecuación 38-22 para expresar E 2 y en función de S. Nótese en la ecuación 38-23 que u E = uB por donde quiera que pase la onda. La figura 38-11 representa los campos instantáneos a me dida que la onda cruza un pequeño volumen del espacio que rodea al punto P. El volumen tiene un espesor dx en la direc ción en que se mueve la onda y un área A transversal a su di rección de desplazamiento. El volumen d V puede expresarse como A dx. La onda recorre la distancia d x en un tiempo d t = d x /c , donde c es la velocidad de onda. La energía electromag nética clU en el elemento volumétrico d V es
Intensidad de una onda electrom agnética La ecuación 38-21 relaciona la magnitud de S en cualquier lugar con la de £ y la de B ahí en un valor particular de tiempo. Estos valores fluctúan muy rápidamente en el tiempo; por ejemplo, la frecuencia de una onda luminosa es de unos 1015 Hz. En la mayoría de los detectores (el ojo humano entre ellos), esta fluctuación resulta demasiado rápida para el observador. En cambio, vemos el p ro m e d io en el tiem p o de S, tomado en mu chos ciclos de onda. A dicho promedio Spro se le conoce tam bién como in te n sid a d I de la onda. A partir de las ecuaciones 38-11 y 38-22 tenemos 1 =
Snm= — ( £ 2)pr0 = “~ 7 E l [sen2 (Ex - mf)]pm. p 0c /x0c
Por lo regular, el intervalo temporal en que promediamos es mucho mayor que el periodo de un ciclo. En este caso pode mos despreciar el efecto de las fracciones de un ciclo y reem plazar el sen2 por su promedio en un número entero de ciclos, o sea 4 Y así obtenemos
B2
dU
S
S
c
c
= u d V = — d V = — A dx = SA dt.
(38-24)
Entonces, la magnitud del vector de Poynting es 1d U = P_ (38-25) dt A donde hemos hechos la rapidez de flujo de la energía d U / d t igual a la potencia P. La ecuación 38-25 muestra que la mag nitud del vector de Poynting indica la rapidez de flujo de la energía o la potencia por unidad de área de la onda. En la ecuación 38-25 es evidente que la unidad de S en el SI es watts/metro2. A
t Dirección d e la o n d a
F i g u r a 3 8 - 1 1 . Una onda electromagnética atraviesa un pequeño volumen en el punto P. Se muestran los campos y el vector de Poynting en un instante particular.
I
1
¿ p Qc
1
■E 2 Ej m
-A o
(38-26)
La intensidad también se expresa en términos de magnitudes de rcm (raíz cuadrada media) del campo. Con £ m = \ f l £ rcm, obtenemos I
1
1
P qC
Ao
.. .. •F ■*—'r r rn •B 1- 'r r
(38-27)
Nótese que la ecuación 38-27 se parece a la ecuación 38-21, si sus tituimos los valores instantáneos por sus valores promedio rcm. La figura 38-8 y las ecuación 38-11 y 38-12 representan una onda cuyas amplitudes £ m y B m no cambian con la posi ción conforme van desplazándose. La luz procedente de un lá ser es una buena aproximación de este tipo de onda. Otro ejemplo es la luz emanada de una fuente muy distante que ve mos desde distancias mucho menores que la de la fuente; por ejemplo, la luz procedente del Sol. Con todo, a menudo trata mos con fuentes cercanas en que las ecuaciones 38-11 y 38-12 con una amplitud constante no son válidas. Si consideramos una fuente puntual de ondas, como una lámpara vista a distan cias mucho mayores que el tamaño de la lámpara, los frentes de onda provenientes de la fuente se dispersan como esferas si la fuente emite su radiación con igual intensidad en todas di recciones (llamadas iso tró p ica s). Si las ondas no pierden energía al desplazarse, la energía de un frente de onda esférico permanece constante. En otras palabras, la rapidez con que la energía proveniente de la onda cruza una superficie esférica centrada en la fuente no depen de del radio r de la esfera. A medida que r crece, la potencia total suministrada por el frente de onda no se altera, pero dis minuye la potencia por unidad de superficie, porque aumenta el área superficial de la esfera. Si P es la potencia promedio emitida por la fuente, la intensidad en la superficie esférica es la potencia por unidad de superficie: P
La intensidad de la onda que se origina en una fuente puntual se reduce como 1/ r 2 con la distancia de ella. La comparación de las ecuaciones 38-27 y 38-28 muestra que la amplitud co rrespondiente de los campos eléctricos y magnéticos (Em y B m 0 E rcm Y B rcrr) disminuye como \/r. P r o b l e m a R e s u e l t o 3 S - 3 . U n observador se halla a 1.8 m de una fuente lum inosa (de dimensiones mucho m enores que 1.8 m), cuya salida de potencia P es 250 W. Calcule el valor rcm de los cam pos eléctrico y m agnético en la posición del observador. Suponga que la fuente irradia uniform em ente e n todas direcciones.
Solución La com binación de las ecuaciones 38-27 y 38-28 nos da / =
P 4rrr2
tos cuando la luz nos ilumina— , pero puede observarse en el laboratorio en condiciones rigurosamente controladas. La figura 38-12 muestra los campos eléctrico y magnético de una onda electromagnética que incide en una delgada hoja de material con alta resistividad. El campo eléctrico de esta onda ejerce una fuerza F £ = —éE en los electrones, que son acelera dos en una dirección opuesta al campo (la dirección - y en la Fig. 38-12). Cuando se aplica un campo eléctrico a un mate rial conductor, sabemos que los electrones adquieren una velo cidad de desplazamiento vd que es proporcional a la intensidad del campo (véase, por ejemplo, la Ec. 29-19). Vamos a prescin dir de todos los detalles de las propiedades del material y a es cribir que la magnitud de la velocidad de desplazamiento es proporcional a la fuerza eléctrica, de manera que
El campo eléctrico rcm es
- A I (25° W X477 x 10~7 H/m )(3.00 X ÍQ3 m/s) ~ V (4tt)(1.8 m )2 = 48 V/m. El valor rcm del campo magnético se deduce de la ecuación 38-15 y es
rcm
ó
Em c
48 V/m 3.00 X I O8 m/s = 1.6 X 10“ 7 T = 0.16 fiT .
"■(M}
Nótese que E ( = 48 V /m ) es considerable a juzgar por los están dares habituales de laboratorio, pero que Brcm ( = 0.16 jxT) es muy pequeño. Ello sirve para explicar por qué la m ayoría de los instru mentos con que se detectan y se m iden las ondas electrom agnéticas reaccionan al com ponente eléctrico de la onda. No obstante, es un error decir que el com ponente eléctrico de una onda electrom agnéti ca es “más fuerte” que el componente magnético, pues no es posible comparar magnitudes medidas en unidades diversas. Como ya vi mos, los com ponentes eléctrico y m agnético tienen la m isma base en lo tocante a la propagación de la onda. Sus energías prom edio, que pueden compararse, son idénticas.
-¡=3» í
(38-29)
bv¿ = eE,
donde b es una constante de proporcionalidad. Ésta desempe ña una función parecida a la constante de amortiguamiento en una partícula que se mueve en un fluido viscoso, digamos una piedra que cae en un contenedor de aceite. Si la fuerza efecti va de amortiguamiento (es decir, la resistividad) es grande, la velocidad del electrón se reajustará continuamente al campo eléctrico y, por lo mismo, la ecuación 38-29 conserva su va lidez, inclusive para un campo que varíe con el tiempo de una onda electromagnética. A medida que el electrón se desplaza a lo largo del eje y, el campo magnético de la onda ejerce una fuerza sobre él: F g = —e v d X B . En la figura 38 -1 2 se ve q u e la fuerza sig u e la dirección + x, esto es, la misma en que se mueve la onda. Cuando E y B invierten la dirección, la fuerza continúa en la dirección + x . Por ser vd y B perpendiculares entre sí, podemos escribir la magnitud de la fuerza magnética en un electrón in dividual como F b = e v áB. Al sustituir vd = e E /b , basándonos en la ecuación 38-29, obtenemos F r = e v dB
=
e-E B
e 2E 2 cb
(38-30)
donde el último resultado se deduce al utilizar B = E / c . Si la hoja está iluminada uniformemente y si contiene N electro nes, la fuerza total en la dirección x es F = N F R.
P R E S IÓ N D E R A D IA C IÓ N
Cuando una onda electromagnética incide en un objeto, éste se halla en condiciones de absorber energía de esta onda, y el resultado a menudo se manifiesta como un incremento en la temperatura del objeto. En realidad, el campo eléctrico de la onda ejerce fuerza sobre los electrones y los acelera. En coli siones con los átomos del material, los electrones pueden transferir su energía a todo el objeto, aumentando con ello su temperatura. En teoría es posible que la absorción de una onda electro magnética transfiera momento a todo el objeto al ejercer fuer za sobre sus electrones. En efecto, la onda ejerce una fuerza neta sobre el objeto en la dirección en que se desplaza la on da. La fuerza suele ser muy pequeña — no sentimos sus efec-
F i g u s a 3 8 - 1 2 . U na onda luminosa plana incidente cae sobre un electrón en una delgada hoja resistiva. Se indican los valores instantáneos de E , B, la velocidad del electrón v d y la fuerza de radiación F„.
Examinamos a continuación la rapidez con que la hoja ab sorbe energía de la onda. El campo B no realiza trabajo en los electrones porque la fuerza magnética siempre es perpendicular a su movimiento, pero el campo E sí realiza trabajo y, por tan to, transfiere energía. La potencia (rapidez de transferencia de energía) suministrada desde el campo E a un electrón es dU e dt
eE
F Evd = (eE)
(38-31)
~
La rapidez total de la absorción de energía en todos los elec trones en la hoja es d U / d t = N d U j d t . Ahora, podemos obtener una expresión de la fuerza total en dicha hoja partiendo de la rapidez de absorción de energía al combinar las ecuaciones 38-30 y 38-31: F
= NFn
N e 2E 2
dU
SA
cb
dt
c
(38-32)
donde A es el área total de la hoja. Al tomar el promedio tem poral de todas las cantidades, obtenemos F,pro
(absorción).
A
(38-33)
La ecuación 38-33 muestra que la presión total (fuerza por unidad de superficie) ejercida por la radiación sobre la hoja es proporcional a la intensidad I de la radiación. Con el uso de la segunda ley de Newton en la forma F = d p /d t, podemos escribir la ecuación 38-33 así dp
_ 1 dU
dt
c
dt
o
dp
dU c
Al integrar obtenemos 4p
AU
(absorción).
F i g u r a 3 3 - 1 3 . Arreglo de Nichols y Hull para medir la presión de radiación. L a presión de la luz sobre un espejo M causa que la fibra se tuerza en un ángulo pequeño. En el dibujo se omitieron muchos detalles de un experimento tan delicado.
En 1903 E. F. Nichols y G. E Hull efectuaron las prime ras mediciones de la presión de radiación. Hicieron incidir un haz luminoso sobre un espejo pequeño sujeto a una fibra de torsión, como se señala en la figura 38-13. Por la presión en el espejo la fibra se tuerce y forma un ángulo pequeño 6. La presión que midieron era de unos 10“ 5 N/m2 unos 10“ 10 ve ces más pequeña que la presión atmosférica. El lector imaginará el cuidado extraordinario que los experimentadores tuvieron pa ra observar un efecto tan pequeño. Hoy los rayos láser nos per miten alcanzar intensidades mucho mayores de la luz, y la p resió n : d e u n h az d e lá se r p u e d e e le v a r un o b je to p e q u e ñ o
(Fig. 38-14). Es difícil observar los efectos de la presión de radiación a causa de la luz que incide sobre objetos ordinarios; pero la ra diación afecta mucho a los objetos microscópicos. Las partícu las de polvo liberadas por los cometas experimentan la presión de radiación proveniente de la luz solar. Esta presión las em-
(38-34)
El resultado anterior indica el cambio del momento Ap en un objeto que “retrocede” tras absorber la energía A JJ de una on da electromagnética. También es posible que el objeto refleje la radiación in cidente en él en vez de absorberla. Puesto que la onda debe invertir la dirección al reflejarse, el objeto retrocede con el doble del momento que habría tenido en el caso de absorción. (Este caso se parece a la molécula de un gas que imparte una presión a las paredes de un contenedor en colisiones que in vierten su momento; Secc. 22-2). En el caso de la reflexión, la presión ejercida por la onda sobre el objeto y el momento impartido a él son el doble de grandes que en el caso de la ab sorción:
t.pro
21
A Ap
2 AU
(reflexión),
(reflexión).
(38-35)
(38-36)
F i g u r a 3 3 - 1 4 . Un haz de lásers vertical levanta un pequeña gota de líquido (menos de 10 pxa de diámetro). Los tubos horizontales son microscopios con que se observa la luz dispersada por la gota. Cortesía de David W. DuBois.
C
S74.
a p i t u l o
3 8
/ L a s
e c u a c i o n e s
d e
M a x w e ll
y
l a s
o n d a s
e l e c t r o m a g n é t i c a s
jo s de cualquier planeta. Suponiendo que absorba toda la luz inci dente, encuentre el radio r de esta partícula, si la fuerza de la presión de radiación equilibra exactam ente la atracción gravitacional del Sol Suponga que la partícula es esférica y que tiene la m isma densidad que el m aterial de la corteza terrestre, unos 3.0 X 103 k g /m 3. Solución A prim era vista, tal vez parezca que no disponemos de su ficiente información para resolver el problema, pues no conocemos la distancia R del Sol. Sin em bargo, la fuerza gravitacional y la inten sidad de radiación (Ec. 38-28) varían com o R ~ 2, de ahí que la dis tancia del Sol no afecte nuestro cálculo. L a fuerza ejercida sobre la partícula por la presión de la luz puede calcularse partiendo de la ecuación 38-33. En una superficie A donde la luz se absorba, em pleam os el área circular Trr2 de la par tícula de polvo. Si hacem os la fuerza causada por la presión de la luz igual a la fuerza gravitacional, obtendremos
í k &sss
IA _ GmM c
~~
R2
’
donde m ( = pV) es la m asa de la partícula y M la del Sol. Sustitui m os la ecuación 38-28 para la intensidad de la radiación y de ese mo do tenemos P ( 7t t 2) __ GmM _ 4 t tR 2c
G p{ÍT rr:')M
R2
¥
'
Al resolver para r obtenem os 3P
>jL¡
A 'TU tU ..
F i g u r a 3 3 - - . 5 . El com eta Hale-Bopp, que m uestra dos colas. La más brillante, la derecha, se origina en las partículas de polvo del cometa que la presión de radiación aleja del Sol. La cola menos brillante, de la izquierda, se debe a los iones del cometa acelerados put ei viento solar (protones y electrones de gran velocidad que provienen del Sol).
puja lejos del Sol, donde aparecen como la “cola” del cometa (Fig. 38-15). Inclusive se ha propuesto construir en el espacio hojas gigantes de material reflexivo delgado y utilizarlas para “enviar” naves espaciales a través del sistema solar. P r o b le m a R e s u e lto 3 8 - 4 . Considere una partícula de polvo procedente de un com eta que se halla a una distancia R del Sol y le
16ttcGPM En el apéndice C se incluyen los valores de la potencia radiante del Sol y de su masa. L a sustitución de los valores num éricos nos da r — 1.9 x 10“ ' m = 0.19 p.rn. A m edida que las partículas de este tam año se desprenden del come ta, ninguna fuerza neta opera sobre ellas y continúan m oviéndose en línea recta con una velocidad igual a la del cometa en el m omento de la separación. En virtud de que la fuerza gravitacional crece con la m asa de la partícula (o sea proporcionalm ente a r 3) m ientras que la fuerza de radiación lo hace con su superficie transversal (es decir, como r 2), las partículas más grandes caen hacia el Sol, pero las más pequeñas son empujadas lejos del Sol. El patrón neto de todas las par tículas form a la cola del cometa.
PCION MULTIPLE 33-1 Las ecuaciones básicas del electromagnetismo
A) id — 4.0 ¿xA. B) ¡d = i — (4.0 p,A /s)t. C) No hay corriente de desplazam iento en el alambre. D) Se necesita m ás inform ación para contestar la pregunta. b) ¿Qué dirección tiene la corriente de desplazam iento? A) Paralela a la com ente original. B) Antiparalela a la com ente original. C) No hay corriente de desplazam iento.
1. ¿De dónde proviene el signo negativo en la ecuación 38-3? A) C)
De la Ley de Gauss De la ley de Lenz
B) De la ley de Faraday D) De la ley de Colé
33-2 Campos magnéticos inducidos y la corriente de desplazamiento 2. La corriente en un alam bre largo y recto aumenta de acuerdo con i = (4.0 /xA/s)r. a) ¿Qué m agnitud tiene la corriente de desplazam iento en el alambre?
3 3 - 3 Ecuaciones de Maxwell 3.
¿Cuáles de las ecuaciones de M axwell en la tabla 38-1 se obtie nen de argum entos puram ente teóricos que no requieren m edi ciones?
A) las cuatro ecuaciones B) II solamente C) I y II, las ecuaciones de la ley de Gauss D) N inguna de ellas 4 . ¿Qué término necesita agregarse a la ley de inducción de Faraday, si se descubrieran m onopolos m agnéticos qml Suponga que la corriente m agnética se define com o i = dqm/d t. A) - e 0/m B) - i j e 0 C) - i j p o D) - ¡xQim 38-4
Generación de una onda electrom agnética
5. U na corriente oscilatoria en una espira de alam bre en un plano horizontal irradiará ondas electrom agnéticas. ¿Qué dirección tiene el vector de campo eléctrico en la región lejana hacia el norte de la espira? A) N o rte/su r B) E ste/oeste C) A rriba/abajo 6 . Se generan ondas de radio de am plitud m odulada con una ante na vertical de dipolo eléctrico; se reciben con un largo solenoide cilindrico. ¿Cóm o hay que orientarlo para que capte las señales de am plitud m odulada en form a óptim a? A) El eje del solenoide debe ser vertical. B) El eje del solenoide debe ser horizontal y apuntar hacia la antena transmisora. C) El eje del solenoide debe ser horizontal y perpendicular a la dirección de la antena transmisora. D) No im porta cómo esté orientado el solenoide, porque las señales de frecuencia m odulada son isotrópicas.
8. En cierto punto y tiempo, el campo eléctrico de una onda elec trom agnética apunta al norte cuando el campo magnético lo ha ce hacia arriba. ¿En qué dirección se desplaza la onda electrom agnética? A) C)
Este Oeste
B) Sur D) Abajo
9. De los tres vectores en la ecuación S = ^ E X B, ¿cuál par o pares siempre forman ángulo recto en una onda electrom agné tica plana del espacio vacío? (Puede haber más de una respues ta correcta.)
yE
B)
SyB
A)
S
C) E)
Ey B D) Ninguno Las tres deben form ar un ángulo recto.
10. U na fuente de radiación electrom agnética irradia uniform e mente en todas direcciones. ¿De qué manera la magnitud de la in tensidad del campo eléctrico vana con la distancia r de la fuente? A) £ m es constante para las ondas electromagnéticas. B) E m a 1 / r C) Em a 1 / r 2 D) E m a 1 / r 3 3 S - 7 Presión de radiación 11.
3 8 -5 Ondas viajeras y las ecuaciones de M axw ell 7. La ecuación 38-6, E = cB, se relaciona con A) lo instantáneo B) el promedio C) la raíz cuadrada m edia D) el valor m áxim o E) todos los valores anteriores de £ y de B.
Se perm ite que una onda electrom agnética se refleje en un espejq al m edir la presión de radiación. Si se duplica Ewm m ien tras la frecuencia de onda se reduce a la mitad, la presión de radiación A) se cuadriplica. C) no se altera.
B) se duplica. D) se reduce a la mitad.
f^ G U N m S 1. Con sus propias palabras, explique por qué la ley de inducción de Faraday (Tabla 38-1) puede interpretarse diciendo “un cam po m agnético cambiante genera un cam po eléctrico” . 2. Si un flujo uniforme d>£ a través de un anillo circular plano dis m inuye con el tiempo, ¿sigue el cam po m agnético inducido (visto a lo largo de la dirección de E ) la dirección de las m ane cillas del reloj o la dirección contraria? 3. Si (como sucede) hay sistemas de unidades en que no aparecen eo y Mo> ¿Por Qué Puede ser válida la ecuación 38-19? 4. ¿Por qué es tan fácil demostrar que “un cam po m agnético cam biante puede inducir un campo eléctrico” y tan difícil dem ostrar de modo simple que “un campo eléctrico cam biante produce un cam po m agnético” ? 5. En la figura 38-2 considere un círculo con r > R. ¿Cómo puede inducirse un campo m agnético a su alrededor, según se indica en el problem a resuelto 38-1? Después de todo, no hay campo eléctrico en el lugar de este círculo y aquí d E /d t — 0. 6 . En la figura 38-2, E entra en la figura y su m agnitud crece. En cuentre la dirección de B, si a) E entra en la figura y dism inu ye, b) E sale de ella y aumenta, c) E sale de la figura y disminuye, y d) E permanece constante. 7. E n la figura 36-8c se requiere una corriente de desplazam iento para conservar la continuidad de corriente en el capacitor. ¿Có mo puede existir suponiendo que no hay carga en él?
8 . a) En la figura 38-2, ¿qué dirección tiene la corriente de despla
9. 10. 11.
12.
13.
zam iento ¿d? En esta m isma figura, ¿puede encontrar una regla que relacione las direcciones b) de B y E y c) de B y cFE/dtl ¿Qué ventajas tiene llam ar com ente de desplazam iento al tér mino e0d® E/ d t en la ecuación IV, tabla 38-1? ¿Puede una corriente de desplazam iento m edirse con un ampe rímetro? ¿Por qué los cam pos m agnéticos de las com entes de conduc ción en los alambres son tan fáciles de detectar, mientras que re sulta muy difícil hacerlo con la com ente de desplazam iento en los capacitores? En la tabla 38-1 hay tres clases de una evidente asim etría en la ecuaciones de Maxwell, a) Las magnitudes e0 y /o p Qaparecen en I y en IV, pero no en II ni en II. ti) Hay un signo negativo en DI, pero no en IV. c) Eñ II y en III faltan “términos de polos m ag néticos” . ¿Cuál de ellos representa una asimetría auténtica? Si se descubrieran m onopolos magnéticos, ¿cómo reescribiría las ecuaciones anteriores para incluirlos? (Sugerencia: Sea qm la m agnitud del polo m agnético análogo al cuanto de la carga e\ ¿qué unidades del SI tendría qm?) Las ecuaciones de M axwell tal como se incluyen en la tabla 38-1 se escriben suponiendo que no hay materiales dieléctricos presentes. ¿Cómo deberían escribirse si se suprim iera esta res tricción?
h 'i ¡ -ri
14. Explique el flujo periódico de energía (si es que existe) de pun to a punto en una cavidad acústica resonante. 15. Una cavidad acústica resonante aire y una cavidad electrom ag nética resonante del m ism o tam año tienen frecuencias resonantes que se hallan en la razón de 106 aproxim adam ente. ¿Cuál de ellas tiene la frecuencia m ás alta y por qué? 16. A m enudo el interior de las cavidades electromagnéticas está re cubierta de plata. ¿Por qué? 17. ¿En qué partes del ciclo d) será cero la corriente de conducción y b) la de desplazam iento de la figura 38-3? 18. Explique la variación tem poral durante un ciclo completo de las cargas que aparecen en varios puntos de las paredes internas de la cavidad electrom agnética oscilatoria en la figura 38-3. 19. Con poco rigor científico, podem os decir que los componentes eléctrico y m agnético de una onda electrom agnética viajera “se alim entan” uno a otro. ¿Qué significa ello? 20. “Hay com entes de desplazam iento en una onda electrom agné tica viajera y podem os asociar el com ponente de campo m agnético de ella con estas corrientes.” ¿Es verdad el enunciado? Explique su respuesta en form a porm enorizada. 21. ¿Puede un cam po m agnético desviar una onda electrom agnéti ca? ¿Y un cam po eléctrico? 22. ¿Por qué la m odificación que M axwell hizo a la ley de Ampère (es decir, el término p.QeQdE/ d t en la Tabla 38-1) se necesitaba para entender la propagación de las ondas electromagnéticas? 23. ¿Es posible que algún día la teoria electrom agnética pueda pre decir el valor de c (3 X 10 8 m /s ), no en función de /xQy eQ, si no num éricam ente, sin recurrir a m edición alguna? 24. Si quisiera usted calcular el vector de Poynting para varios puntos dentro de un transform ador y alrededor de él, ¿qué aspecto se supone que tendría el patrón del cam po? Suponga que una di-
25.
26.
27. 28. 29.
30.
31.
32.
ferencia de potencial se aplicó a los devanados primarios y qUe el circuito resistivo está conectado a través de los devanados se cundarios. M encione dos experim entos históricos, además de las medicio nes de la presión de radiación realizadas por N ichols y Hull, en que se haya utilizado un equilibrio de torsión. Am bos se descri ben en el libro: uno en el volumen 1 , y el otro en el 2 . ¿Puede un objeto absorber energía luminosa sin que se le trans fiera un m om ento lineal? Si la respuesta es afirm ativa, dé un ejem plo. Si no lo es, explique por qué. Cuando se enciende una lám para, ¿experim enta una fuerza re lacionada con la em isión de luz? A sociam os la energía y el m omento lineal a las ondas electro m agnéticas. ¿Existe además un m omento angular? ¿Qué relación existe (si es que la hay) entre la intensidad I de una onda electrom agnética y la m agnitud S de su vector de Poynting? M ientras se encuentra usted recostado en una silla al Sol, ¿por qué está tan consciente de la energía térmica que recibe, pero no repara en absoluto en el m omento lineal proveniente de esa mis m a fuente? ¿Es verdad que, cuando atrapa una pelota de béisbol lanzada con m ucha fuerza, está consciente de la energía sum i nistrada, pero no del momento? Cuando un haz paralelo de luz cae sobre un objeto, las transfe rencias de m om ento están dadas por las ecuaciones 38-34 y 3836. ¿Son válidas las ecuaciones si la fuente lum inosa se mueve rápidam ente hacia el objeto o desde él, quizá a una velocidad de 0 . 1c? Se cree que a causa de la presión de radiación se fija un límite m áxim o (de unos 100MSol) a la masa de una estrella. Explique por qué.
JER C IC IO S 3 3 - i Las ecuaciones básicas del electromagnetismo 3 3 - 2 Campos magnéticos inducidos y la corriente de desplazamiento
plazam iento que pasa por la trayectoria cuadrada punteada entre las placas) d ) ¿Cuál es B • d s alrededor de la trayectoria?
1 . En la situación descrita en el problem a resuelto 38-1, ¿cuándo
61 cm |-<—
es el cam po m agnético igual a la m itad de su valor máximo? Pruebe que la corriente de desplazam iento en un capacitor de placas paralelas puede escribirse
lili teíisi
1.22 m
dV dt Recibe un capacitor de placas paralelas de 1.0 pF. ¿Cómo pro duciría una corriente de desplazam iento (instantánea) de 1.0 mA en el espacio entre sus placas? 4. En el problem a resuelto 38-1 dem uestre que la densidad de la corriente de desplazam iento j á está dada por r < R, para Já
e0 '
dE dt
Un capacitor de placas paralelas tiene placas cuadradas de 1.22 m de lado, como se ve en la figura 38-16. Una corriente de carga de 1.84 A fluye hacia su interior (y sale de él), a) ¿Cuál es la corrien te de desplazamiento que pasa por la región entre las placas? tí) ¿Cuál es d E jd t en esta región? c) ¿Cuál es la corriente de des
Vista lateral F ig u ra
6.
Vista superior
J
3 8 - 1 6 . Ejercicio 5.
En el problem a resuelto 38-1, dem uestre que las expresiones obtenidas para B(r) pueden escribirse B (r ) =
B(-r ) =
Mo?d
2irr
(r a
R),
^ - *>■
Nótese que las expresiones anteriores tienen la m isma forma que las obtenidas en el capítulo 33, salvo que la corriente de conducción i ha sido reem plazada por la de desplazam iento iá.
Un campo eléctrico uniforme cae a cero a partir de una magnitud inicial de 0.60 M V /m en un tiempo de 15 /rs, tal como se apre cia en la figura 38-17. Calcule la com ente de desplazamiento en una región de 1.9 m 2 perpendicular al campo, durante los interva los temporales a), b) y c) que aparecen en la gráfica. (No tenga en cuenta el comportamiento en los extremos de los intervalos.)
1 2 . Dos paralelepípedos contiguos y cerrados comparten una cara, co
mo se observa en la figura 38-19. a) Podemos aplicar por separado # E • dÁ = q / e0 (Ec. I en la Tabla 38-1) a las dos superficies cerra das. Demuestre que ello basta para satisfacer automáticamente la ecuación I en la superficie cerrada compuesta, b) Repita el ejerci cio usando la ecuación n . Consulte el ejercicio 11.
F ig u ra . 3 8 -1 9 .
Ejercicio 12.
13. En térm inos m icroscópicos el principio de continuidad de la co rriente puede expresarse como
(j + Ja)’ r(us) F ig u r a
3 8 - 1 7 . Ejercicio 7.
8 . Un capacitor de placas paralelas con placas circulares de 21.6 cm
de diám etro está siendo cargado como se ve en la figura 38-2. La densidad de la corriente de desplazam iento en toda la región es uniform e hacia el interior del papel en el diagrama, y tiene un valor de 1.87 m A /cm 2. a) Calcule el cam po m agnético B a una distancia r = 53.0 mm del eje de simetría de la región, b) Calcu le d E /d t en esta región. 9. Suponga que un capacitor de placas paralelas tiene un radio R de 3 2 J mm y una separación de placas de 4.80 mm. Entre ellas se aplica una diferencia de potencial senoidal con un valor m á ximo de 162 V y una frecuencia de 60.0 Hz. Cuando r = R, ob tenga el valor m áxim o del campo m agnético inducido.
donde j es la densidad de la corriente de conducción, y Jd, la densidad de la corriente de desplazamiento. La integral debe tomar se en cualquier superficie cerrada; en esencia, la ecuación indica que toda corriente que fluya al interior del volumen cerrado debe hacerlo también hacia afuera. Aplique esta ecuación a la superfi cie indicada con las líneas punteadas en la figura 38-20 después de cerrado el interruptor S.
3 8 -3 Ecuaciones de M axw ell
F ig u ra
10. Recoja y tabule expresiones referentes a las siguientes cuatro mag nitudes, suponiendo que r < R y que r > R. Coloque las formas de obtención adosadas y estudíelas como aplicaciones interesan tes de las ecuaciones de Maxwell a problemas que tienen simetría cilindrica, a) B (r) para una com ente i en un alambre largo de ra dio R. b) E{r) en un cilindro uniforme, largo, con carga con un radio R. c) B (r) en un capacitor de placas paralelas, con placas circulares de radio R, donde E cam bia con una rapidez constan te. d ) E{r) en una región cilindrica de radio R donde un campo m agnético uniforme B cambia con rapidez constante. 11. Dos trayectorias adyacentes cerradas abefa y bcdeb comparten el lado be como se advierte en la figura 38-18. a) Podemos aplicar ¡j>E • d s = — dQ B/d t (Ec. DI de la Tabla 38-1) a cada una de es tas dos trayectorias cerradas de manera separada. Demuestre que con base en esto la ecuación III se satisface automáticamente en la trayectoria compuesta abcdefa. b) Repita lo anterior usando la ecuación TV. c) A esta relación se le llama propiedad de “autoconsistencia” ¿Por qué deben tenerla todas las ecuaciones de Maxwell?
= 0,
3 8-4
33-20.
Ejercicio 13.
G eaeracióii de una onda electrom agnética
14. La figura 38-21 m uestra un oscilador LC conectado mediante una línea de transmisión a una antena de un tipo de dipolo mag nético. Com párela con la figura 38-5, que tiene un arreglo simi lar sólo que con un tipo de antena de dipolo eléctrico, a) ¿En qué se basan los nom bres de los dos tipos de antena? b) Dibuje figuras correspondientes a las figuras 38-6 y 38-7 para describir la onda electrom agnética que rápidamente deja atrás al observa dor en el punto P de la figura 38-21.
Onda viajera
A ntena dipoiar m agnética F
/ ‘i g u r a
3 8-18.
e d Ejercicio 11.
ig u r a
3 8-2 1.
Ejercicio 14.
15. ¿Qué inductancia se requiere con un capacitor de 17 pF a fin de construir un oscilador capaz de generar ondas electrom agnéti cas de 550 nm (es decir, visibles)? Comente su respuesta.
3 S -S
O ndas viajeras y las ecuaciones de M axw ell
16. El campo eléctrico asociado a una onda electromagnética plana está dado por E x — 0, E = 0, E . = E0 sen k(x — ct), donde EQ = 2.34 X 10 - 4 V /m y 9.72 X 10s m - 1 . La onda se propaga en la dirección + x. a) Escriba las expresiones de los componentes de su campo magnético, tí) Determine la longitud de onda. 17. Una onda electrom agnética plana tiene un campo eléctrico m á ximo de 321 ¡jN / m. Calcule el cam po magnético máximo. 18. Com ience con las ecuaciones 38-14 y 38-17 y demuestre que E(x, t) y B(x, t), los com ponentes eléctrico y magnético de un plano que recorre la onda electrom agnética, deben satisfacer las “ecuaciones de onda”
k—
d2E
, d2E
d t2
C dx2
^
d2B
, d2B
d t2
dx2
19. a) D em uestre que las ecuaciones 38-11 y 38-12 satisfacen las ecuaciones de onda m ostradas en el ejercicio 18. tí) Demuestre que las expresiones de la form a E = Emf{ k x ± wr) y B = B f ( k x ± cüt), donde f( k x ± cot) que denotan una función arbi traria, tam bién satisfacen estas ecuaciones.
3 8 - s Transporte de energía y el vector de Poynting 20. Encuentre la dirección del vector de Poyting S y de ese modo de muestre que la dirección de los campos eléctrico y magnético en to dos los puntos de las figuras 38-6, 38-7 y 38-8 son compatibles en todos los tiempos con las direcciones supuestas de propagación. 21. Los rayos láser de neodim io-vidrio que se usan actualmente ge neran 100 TW de potencia en pulsos de 1.0 ns, con una longi tud de onda de 0.26 ¿¿m. ¿Cuánta energía está contenida en un solo pulso? 22. Una onda electrom agnética plana se desplaza en la dirección negativa y. En una posición y tiem po dados, el campo m agnéti co se halla en el eje positivo z y tiene una magnitud de 28 nT. ¿Cuáles son la dirección y la m agnitud del campo eléctrico en esa posición y tiem po? 23. Nuestro vecino espacial m ás cercano, la estrella a Centauri, se halla a 4.30 años luz. Se ha propuesto que los programas de te levisión transm itidos en nuestro planeta han llegado hasta esta estrella y han sido vistos por habitantes hipotéticos de un plane ta tam bién hipotético que gira alrededor de ella. Una estación en la Tierra tiene una salida de potencia de 960 kW. Calcule la in tensidad de su señal en a Centauri. 24. a) Dem uestre que en una onda electrom agnética viajera plana la intensidad prom edio, es decir, la rapidez promedio de transpor te de energía por unidad de superficie, está dada por c
~
a) ¿A qué distancia de la lám para estaba usted inicialm ente? (La lám para irradia uniformem ente en todas direcciones.) b) ¿Puede determ inar su salida de potencia? Si no puede hacerlo, explique por qué. 28. La luz solar llega a la Tierra justo afuera de su atm ósfera, con una intensidad de 1.38 k W /m 2. Calcule a) E m y b) B m en la luz solar, suponiendo que se trate de una onda plana. 29. El cam po eléctrico máximo a una distancia de 11.2 m de la fuente puntual lum inosa es 1.96 V /m . Calcule a) la amplitud del campo magnético, b) la intensidad y c) la salida de potencia de la fuente. 30. Frank D. Drake, un investigador que trabaja en el programa SETI (Search for Extra-Terrestrial Intelligence), ha dicho que el gran te lescopio de radio en Arecibo (Puerto Rico) “puede detectar una se ñal que ponga en toda la superficie terrestre la potencia apenas de un picowatt” (Fig. 38-22). a) ¿Cuál es la potencia que en realidad recibía la antena de Arecibo con dicha señal? Su diámetro mide 305 m. b) ¿Cuál sería la salida de potencia de una fuente en el cen tro de nuestra galaxia que pudiera suministrar esa señal? El centro galáctico está a una distancia 2.3 X 104 años luz. Suponga que la fuente irradia uniformemente en todas direcciones.
■ F i g u r a
3 8 - 3 2 .
Ejercicio 30.
<-'B2 0L
b) W hat is the average intensity o f a plane traveling electrom ag netic wave if B m, the m axim um value of its magnetic field com ponent, is 1.0 X 10_ 4 T? 25. La intensidad de la radiación solar directa no absorbida por la at mósfera en un día de verano es 130 W /m 2. ¿A qué distancia debe situarse frente a un calentador eléctrico de 1.0 kW para sentir la misma intensidad? Suponga que el calentador irradia uniforme mente en todas direcciones. 26. Pruebe que, en cualquier punto de una onda electromagnética como la de la figura 38-8, la densidad de energía almacenada en el campo eléctrico es igual a la de la que se guarda en el campo magnético. 27. Camina usted 162 m hacia una lám para de una calle y descubre que la intensidad aum enta 1.50 veces la de su posición original.
31. Un avión que vuela a una distancia de 11.3 km de un transmisor de radio recibe una señal de 7.83 ¿¿W /m 2. Calcule a) la ampli tud del cam po eléctrico en el avión proveniente de la señal; b) la amplitud de su campo magnético; c) la potencia total irradiada por el transmisor, suponiendo que éste irradie uniformemente en todas direcciones. 32. D urante una prueba el sistema de vigilancia por radar de la NA TO, que opera a 12 GHz con 183 kW de potencia de salida, in tenta detectar un avión “enem igo” a 88.2 km que se acerca. El avión blanco está diseñado de m odo que tenga una superficie efectiva m uy pequeña de 0.222 m 2 para la reflexión de las on das de radar. Suponga que el haz del radar se dispersa isotrópicam ente al interior del hemisferio anterior en la transm isión y la reflexión; no tenga en cuenta la atm ósfera. En el haz reflejado que se recibe en la parte posterior del sitio del radar calcule
a) la intensidad, b) la am plitud del vector del campo eléctrico y c) el valor rcm del campo magnético. 3 8 -7
Presión de radiación
33. Suponga que toma el Sol durante 2.5 h, exponiendo una super ficie de 1,3 m 2 a 90° bajo rayos de una intensidad 1.1 k W /m 2. Suponiendo una absorción completa de ellos, ¿cuánto momento recibe su cuerpo? 34. La intensidad prom edio de la radiación solar que cae norm al m ente en una superficie apenas afuera de la atm ósfera terrestre es 1.38 k W /m 2. a) ¿Qué presión de radiación se ejece sobre di cha superficie, suponiendo una absorción com pleta? b) ¿Qué re lación hay entre esta presión y la presión atm osférica de la Tierra a nivel del mar, que es de 101 kPa? 35. Se em plean láseres de alta potencia para com prim ir los plasmas de gas m ediante la presión de radiación. La reflectividad del plasm a es igual a uno, si la densidad de los electrones es lo bas tante alta. Un láser que genera pulsos de radiación con una poten cia m áxima de 1.5 GW, se enfoca en 1.3 mm 2 de plasma de alta densidad de electrones. Determ ine la presión ejercida sobre el plasma. 36. Calcule la presión de radiación a 1.50 m de distancia de una lám para de 500 W. Suponga que la superficie donde se ejerce la presión está delante de la lám para y que absorbe perfectamente; suponga además que la lám para irradia uniformem ente en todas direcciones. 37. La radiación procedente del Sol que llega a la Tierra tiene una intensidad de 1.38 k W /m 2. a) Suponiendo que la Tierra se com porta como un disco plano en ángulos rectos con los rayos so lares y que toda la energía incidente se absorbe, calcule la fuerza en la Tierra causada por la presión de radiación, b) Calcule la razón 7:rad/ F arav y compare esto con la fuerza ocasionada por la atracción gravitacional. 38. Demuestre que el vector ce0E X B tiene las dimensiones de mo m ento/járea • tiempo); en tanto que ¿¿0_1 E X B tiene las dimen siones de energía/(área • tiempo). (El vector ce^E X B puede servir para calcular el flujo de m omento en la m isma forma qu< S = /x0-1 E X B se emplea para calcular el flujo de energía.) 39. En condiciones normales, la radiación de intensidad 1 incide en un objeto que absorbe una fr a c c ió n /d e ella y refleja el resto. ¿Cuál es la presión de radiación? 40. Para una onda plana de incidencia normal en una superficie pla na, pruebe que la presión de radiación en la superficie es igual a la densidad de energía en el haz fuera de la superficie. Esta re
lación se mantiene sin importar la fracción de la energía inci dente que se refleje. 4 1 . En una corriente de balas que chocan contra una superficie plana de incidencia normal, pruebe que la “presión” es el doble de la densidad de energía cinética en la com ente arriba de la su perficie; suponga que las balas se absorben completamente en la superficie. Compare esto con el comportamiento de la luz (Ej. 40). 42. Una pequeña nave espacial cuya masa, incluidos los ocupantes, es de 1 500 kg, se desplaza en el espacio exterior, donde el cam po gravitacional es insignificante. Si el astronauta activa un haz láser de 10.0 kW, ¿qué velocidad alcanzará la nave en un día gracias a la fuerza de reacción relacionada con el m omento en viado afuera por el haz? 43. Un láser tiene una salida de potencia de 4.6 W y un diámetro de haz de 2.6 mm. Si lo dirigimos verticalmente hacia arriba, ¿cuál es la altura H de un cilindro perfectamente reflejante que pueda hacerse "oscilar” mediante la presión de radiación ejercida por el haz? Su ponga que la densidad del cilindro es 1.2 g /cm 3 (Fig. 38-23).
F ig u r a
3 3 -2 3 .
Ejercicio 43.
En el ejercicio 8 del capítulo 3 se describió el yate D iana, dise ñado para navegar en el sistema solar sirviéndose de la presión de la luz solar. El área de las velas es 3.1 Ion2, y la masa, 930 kg. Verifique que la fuerza máxima de radiación en las velas es 29 N a una distancia del Sol iaual al radio orbital de la Tierra.
PROBLEM AS En la figura 38-24 se muestran las placas P í y P 0 de un capaci tor de placas paralelas con radio R. Como se m uestra en la figu ra estas placas están conectadas a alambres rectos, donde existe una com ente constante de conducción i. Se muestran además tres círculos hipotéticos de radio r, dos de ellos están fuera del capacitor y uno entre las placas. Demuestre que el campo m ag nético en la circunferencia de los círculos está dado por n
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2. En 1929, por prim era vez, M. R. Van Cauwenberghe logró m e dir por vez prim era directam ente la corriente de desplazam ien to ¿d entre las placas de un capacitor de placas paralelas al que se aplicaba una diferencia de potencial alterna, según se indica en la figura 38-2. Utilizó placas circulares cuyo radio efectivo medía 40.0 cm y cuya capacitancia era de 100 pE La diferencia de potencial tenía un valor m áxim o de AVm de 174 kV a una frecuencia de 50.0 Hz. a) ¿Cuál era la corriente m áxim a de des plazam iento entre las placas? b) ¿Por qué era tan grande la dife rencia de potencial aplicada que se escogió? (Estas mediciones eran tan precisas que se efectuaron de modo directo apenas 60 años después que M axwell propusiera el concepto de corriente de desplazam iento. El experim ento se describe en Journal de Phvsique, núm. 8 , 1929.) 3. El capacitor de la figura 38-25, com puesto de dos placas circu lares con radio R = 18.2 cm, está conectado a una fuente de fuerza electrom otriz % = ti m sen wt, donde "Im = 225 V y o> = 128 ra d /s. El valor m áxim o de la corriente de desplazam iento es id = 7.63 /ulA. No tenga en cuenta el efecto de los bordes del cam po eléctrico en los extremos de las placas, a) ¿Cuál es el va lor m áxim o de la corriente i? b) ¿Cuál es el valor m áxim o de d&E/d t, donde
, < r< - R 'f
--
5. Un cubo de lado a tiene sus lados paralelos a los ejes x, y y z de un sistem a coordenado rectangular. U n cam po eléctrico unifor m e E es paralelo al eje y y un campo magnético uniform e B es paralelo al eje x. Calcule á) la rapidez con que, según el punto de vista del vector de Poynting, puede decirse que la energía cruza las caras del cubo y b) la rapidez neta con que puede de cirse que cam bia la energía alm acenada en él. 6 . Una cavidad electrom agnética cilindrica de 4.8 cm de diámetro y de 7.3 cm de longitud oscila como se muestra en la figura 38-3. a) Suponga que, en los puntos del eje de la cavidad, £ m = 13 k V /m . La frecuencia de oscilación es 2.4 GHz. En esos puntos axiales, ¿cuál es la rapidez m áxim a (d E /d t)m con que se altera E l b) Suponga que, en todos los puntos de la sección transver sal, el valor promedio de (d E /d t)m es la m itad del que se obtu vo antes en los puntos axiales. Con esta suposición, ¿cuál será el valor m áxim o de B en la superficie cilindrica de la cavidad? 7. La intensidad promedio de la luz solar, que cae con incidencia normal fuera de la atm ósfera terrestre, varía a lo largo del año a causa de la cam biante distancia entre Tierra y Sol. Demuestre que la variación fraccional anual está dada aproxim adam ente por Al / I = 4e, donde e es la excentricidad de la órbita elíptica de la Tierra alrededor del Sol. 8 . La radiación emitida por un láser no es exactam ente un haz pa ralelo; m ás bien, el haz se esparce en form a de cono con una sección transversal circular. Al ángulo 6 del cono (Fig. 38-27) se le conoce con el nombre de divergencia de haz con ángulo com pleto. Un láser de argón de 3.85 lcW, que irradie a 514.5 nm, se di rige a la Luna en un experimento de trayectoria; el láser tiene una divergencia de haz de ángulo completo de 0.880 /.irad. D e term ine la intensidad del haz en la superficie lunar.
"
.... . F ig u r a
38 -2 5 .
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P roblem as. F ig u ra
4. Una larga varilla conductora cilindrica con radio R se centra en el eje x, com o se ve en la figura 38-26. Se hace un estrecho cor te de sierra en la varilla en x = b. Una comente de conducción i, que crece con el tiem po y que está dada por i = a t, fluye hacia la derecha en la varilla; a es una constante de proporcionalidad (positiva). Cuando t = 0 no hay carga en las caras cortadas cer ca de a" = b. a) Determ ine la m agnitud de la carga en estas ca ras en función del tiempo, b) Utilice la ecuación I de la tabla 38-1 para encontrar E en la separación en función del tiempo, c) Dibuje las líneas de B para r < R, donde r es la distancia desde el eje x d) Use la ecuación IV de la tabla 38-1 para encontrar B(r) en la separación para con r < R. e) Com para la respuesta anterior con B(r) en la varilla cuando r < R.
38-2 7.
P ro b lem as.
9. Estudie la posibilidad de ondas electrom agnéticas estacionarias: E = E m sen kx sen wt, B = B m eos kx eos cot. a) Dem uestre que satisfacen las ecuación 38-14 y 38-17, si £ m se relaciona adecuadam ente con B m y w lo hace con k. ¿Cuáles son esas relaciones? b) Encuentre el vector de Poynting (instántaneo). c) Dem uestre que la potencia prom edio, en el tiempo que fluye a través de cualquier área es cero, d ) Describa el flu jo de energía en esta situación. 10. Un alam bre de cobre (diámetro, 2.48 mm; resistencia, 1.00 O por 300 m) lleva una corriente de 25.0 A. Calcule a) el campo eléctrico, tí) el campo m agnético y c) la magnitud del vector de Poynting en un punto de la superficie del alambre. 11. Un cable coaxial (radio interno a, radio extemo tí) se emplea como línea de transmisión entre una batería % y un resistor R, como se aprecia en la figura 38-28. a) Calcule E, B con a < r > b. b) Calcule el vector de Poynting S cuando a < r < tí. c ) M e diante una integración adecuada del vector de Poynting de-
m uestre que la potencia total que fluye por la sección transver sal anular a < r < b es %2/R . ¿Resulta lógico eso? d) D em ues tre que la dirección de S siempre se dirige de la batería al resistor, sin im portar la form a en que esté conectada.
¿cuáles son los valores de k y de cu? d) Determ ine la intensidad de la onda, e) Si cae en una hoja perfectam ente absorbente de superficie 1.85 m2, ¿con qué rapidez se sum inistrará momento a la hoja y qué presión de radiación se ejercerá sobre ella? 14. La figura 38-30 m uestra un capacitor de placas paralelas m ien tras se lec arg a . a) Demuestre que en todas partes el vector de Poyting S apunta radialmente hacia al interior del volumen ci lindrico. b) Dem uestre que la rapidez con que la energía fluye a su interior, que se calcula integrando el vector en la frontera ci lindrica de este volumen, es igual a la rapidez con que aumenta la energía electrostática almacenada, esto es, J s ..A
F ig u ra
38 -2 3 .
Problem a 11.
12. La figura 38-29 muestra un resistor cilindrico de longitud l, de radio a y de resistividad p, que transporta una com ente i. a) D e m uestre que en todas partes el vector de Poynting S en la super ficie del resistor se dirige norm alm ente a la superficie, como se indica, b) Demuestre que la rapidez con que fluye energía a su in terior a través de la superficie cilindrica, que se obtiene inte grando el vector en esta superficie, es igual a la rapidez con que se produce energía interna, esto es,
= «
2
( l eoE¡) ,
donde A d es el volumen del capacitor y \ e0E 2 la densidad de energía en todos los puntos dentro del volumen. Este análisis in dica que, desde el punto de vista del vector de Poynting, la ener gía alm acenada en un capacitor no entra en él por los alambres sino por el espacio alrededor de ellos y de las placas. [Sugeren cia: para encontrar S es preciso obtener prim ero B, que es el cam po magnético creado por la corriente de desplazam iento du rante el proceso de carga (Fig. 38-2)^N o tenga en cuenta los efectos de los bordes de las líneas de E.]
f
J S ■d A = i2R, donde d A es un elemento de área de la superficie cilindrica. Ello significa que, desde el punto de vista del vector de Poynting, la energía que aparece en un resistor como interna no entra e n !él por los alambres conectores, sino por el espacio que los rodea a ellos y al resistor.
F ig u ra
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Problema 14.
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3 8-3 0 .
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¡s» Problema 12.
13. Una onda electrom agnética plana, con una longitud de 3.18 m, se desplaza por el espacio libre en la dirección 4- x con su vec tor eléctrico E , de 288 V /m de amplitud, a lo largo del eje y. a) ¿Cuál es su frecuencia? b) ¿Qué dirección y am plitud tiene el campo m agnético asociado a ella? c) Si E = E m sen (kx — cut),
15. U n láser de helio-neón como el que se emplea en los laborato rios de física, tiene una salida de potencia de haz de 5.00 mW, con una longitud de onda de 633 nm. El haz se enfoca m ediante un lente sobre un punto circular, cuyo diámetro efectivo puede su ponerse que es de 2.10 longitudes de onda. Calcule a) la inten sidad del haz enfocado; b) la presión de radiación ejercida sobre una esfera delgada perfectam ente absorbente, cuyo diám etro es el del punto focal; c) la fuerza ejercida sobre la esfera y d) la aceleración que se le imparte. Suponga una densidad de la esfe ra de 4.88 g /c m 3. 16. Se ha propuesto que una nave espacial podría ser propulsada en el sistema solar m ediante la presión de radiación, utilizando una gran vela hecha de oropel. ¿Qué tamaño debe tener la vela para que la magnitud de la fuerza de radiación sea igual a la atrac ción gravitacional del Sol? Suponga que la masa de la nave + vela es de 1 650 kg, que la vela es perfectam ente reflejante y que está orientada a ángulos rectos con los rayos solares. Con súltense en el apéndice C los datos necesarios.
ONDAS DE LUZ
1
'¥ J n e ste c a p ítu lo e x p lic a m o s la s c a ra c te rístic a s d e la s o n d a s d e luz, en tre e lla s la ra d ia c ió n v isib le ; la v e lo c id a d d e p r o p a g a c ió n en e l v a cío y la m a te ria ; e l c a m b io de d ire c c ió n c u a n d o la lu z e n c u e n tr a u n a fr o n te r a entre d o s m a te r ia le s d o n d e la v e lo c id a d d e p ro p a g a c ió n es d istin ta , y e l e fe cto D o p p le r (c a m b io d e fr e c u e n c ia a c a u sa d e l m o v im ie n to re la tiv o d e la fu e n te y d e l o b s e r vador). E n v ir tu d de q u e n o e x iste n a d a fu n d a m e n ta l q u e d istin g a la lu z d e o tro tip o d e o n d a s electro m a g n ética s, c o n viene, p u e s, q u e ten g a p r e s e n te q u e la s e x p lic a c io n e s d e e ste c a p ítu lo se a p lic a n co n el m ism o rig o r a o tra s c la se s de o n d a s e le ctro m a g n ética s. N o o b sta n te, este c a p ítu lo sirv e d e p u e n te entre la e xp lica ció n d e las o n d a s e le c tro m a g n é tic a s d e l c a p ítu lo a n te r io r y el e stu d io d e la ó p tic a (la c ie n c ia d e la luz); este tem a lo a b o rd a m o s en los sig u ie n te s capítulos.
3 3 “ 1 EL ESPECTRO E L E C T R O M A G N É T IC O * En la época de Maxwell, la luz y las contiguas radiaciones infrarroja y ultravioleta fueron los únicos tipos conocidos de radiación electromagnética. Hoy el espectro electromagnéti co, que se muestra en la figura 39-1, incluye una amplia gama de tipos de radiación emanada de diversas fuentes. De la teo ría de Maxwell extraemos la siguiente conclusión: las propie dades de estas radiaciones difieren enormemente de sus medios de producción y de las formas en que las observamos;
La palabra espectro proviene del latín y significa “forma” o “aspecto”. Otras palabras procedentes de la misma raíz son “espectáculo” y “especie”. Newton la acuñó para describir la imagen de arco iris que se produce cuando un haz de luz solar cruza un prisma de vidrio. Hoy con la expresión espectro electromagnético designamos las distintas clases de radiación electromagné tica, clasificadas por su frecuencia o su longitud de onda en una escala cre ciente. También nos referimos al espectro político, que indica la amplia gama de posiciones políticas en una escala que abarca desde los ultraconservado res a los ultraliberales.
pero todas estas propiedades pueden ser descritas en función cíe ios campos eléctricos y magnéticos y todas se desplazan por el vacío con la misma velocidad (la velocidad de la luz). De hecho, en lo esencial se distinguen solamente por la lon gitud de onda o la frecuencia. Los nombres asignados a las regiones del espectro en la figura 39-1 tienen que ver sólo con la forma en que se producen u observan los tipos de ondas: nada tienen que ver con alguna propiedad básica. Aparte de la diferencia de su longitud de onda, no existe ninguna técnica experimental que permita distinguir una onda en la región visible de otra en la región infrarroja; las ondas tienen forma y descripciones matemáticas idénticas. No hay separaciones en el espectro ni tampoco límites bien definidos entre las categorías. (Algunas regiones del espectro son asignadas por las leyes comerciales o de otra índole, como la transmisión de televi sión, de frecuencia modulada o de amplitud modulada.) A continuación vamos a estudiar más a fondo los tipos anteriores de radiación electromagnética. 1. L u z. La región visible dei espectro es la más conocida, pues contamos con receptores adaptados (los ojos) que son sensibles a la radiación electromagnética más intensa emana da del Sol, la fuente extraterrestre más cercana. Los límites de
C a p í t u l o 3 9 / O N D A S DE LUZ
884.
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3 3 - 1 . El espectro electromagnético. Nótese que las escalas de longitud de onda
la longitud de onda de la región visible fluctúan entre 400 nm (violeta) y 700 nm (rojo) más o menos. La luz puede ser emitida por un conjunto de átomos disgre gados, como un gas, en el cual la luz es una característica de las propiedades. Los átomos individuales, o por un grupo de átomos compactados, como un sólido, en que la luz puede caracterizar las propiedades del objeto entero. El estudio de la luz emitida por el Sol y por las esrellas lejanas suministra información sobre su composición química, su temperatura y movimiento. 2. R a y o s infrarrojos. La radiación infrarroja, que tiene longitudes de onda mayores que la visible (de 0.7 /am a 1 mm apro.Amadamente), es emitida comúnmente por átomos o moléculas cuando modifican su movimiento rotacional o vibratorio. A veces a esta radiación se le llama radiación de c a lo r porque se rela ciona con la transferencia de calor a medida que un objeto gana 0 pierde energía interna; los objetos cuyas temperaturas caen en el intervalo que normalmente encontramos (hasta unos 3000 K) emiten su radiación más intensa en la región infrarroja. La des cripción de la radiación infrarroja proveniente del espacio nos ofrece información que complementa la conseguida de la radia ción visible (Fig. 39-2). 3. M ic ro o n d a s. Puede considerarse a las microondas como ondas cortas de radio, con longitudes típicas entre 1 mm y 1 m. Las producen circuitos eléctricos oscilantes, como en el caso de los hornos de microondas. Se emplean comúnmen te para retransmitir las llamadas telefónicas (Fig. 39-3). A escala cósmica, el universo está lleno de radiación residual del “Big Bang” que marcó el origen del universo hace unos 1010 (sección 52-5); esta radiación se produce principalmen te en la región de microondas del espectro. 4. O n d a s d e radio. Tienen una longitud de onda mayor que 1 m. Pueden producirlas los electrones que oscilan en los alam bres de circuitos eléctricos; se emplean antenas para transmitir o recibir las ondas de radio que llevan señales de radio de fre cuencia o amplitud moduladas y de televisión. Existen también fuentes extraterrestres de estas ondas; la más intensa es el Sol, cuyas emisiones puede interferir con la recepción de la radio y de la televisión en la Tierna. El planeta Júpiter también es una fuente activa de emisiones de radio. La observación de dichas emisiones, denominada astro n o m ía de radio, nos proporciona
y
de frecuencia son logarítmicas.
más información del universo. La figura 39-4 ofrece un ejemplo de radiotelescopio y la figura 39-5 contiene un mapa de emisio nes de radio en nuestra galaxia. 5. R a y o s u ltra v io le ta . Las radiaciones con longitud de onda más corta que la de la luz visible empiezan con la radia ción ultravioleta ( l a 400 nm), que puede ser producida por los electrones en los átomos y también por fuentes térmicas como el Sol. La exposición a la radiación ultravioleta puede
a)
b) F i g u r a 3 9 - 2 . a) Im agen infrarroja de la V ía Láctea, tomada por el satélite IRAS, b) Im agen de luz visible de la Vía Láctea. Las partes de la im agen visible, especialm ente las cercanas al centro de la galaxia, están oscurecidas por nubes de polvo que no afectan a la imagen infrarroja. Los dos objetos grandes debajo de la galaxia y a la derecha del centro son Las Nubes M agelánicas Grandes y Pequeñas, que son galaxias que acom pañan a la Vía Láctea.
con la figura 39-2.) Se toma en una longitud de onda de 73 cm. La radiación se origina principalmente en los electrones de gran energía que son desviados por los campos magnéticos de la galaxia. Nótense las intensas emisiones que salen del plano de la galaxia y que no aparecen en la figura 39-2.
F i g u r a 3 9 - 3 . Estación de relevador de m icroondas, el cual recibe y luego retransm ite señales que llevan llamadas telefónicas de larga distancia.
F i g u r a 3 9 - 4 . U na de los 27 platos de antena de un radiotelescopio de 25 m en Very Large Array, cerca de Socorro (Nuevo México). Los platos están dispuestos en una vía férrea en form a de Y; cada línea m ide 10 m illas de largo. Este sistema equivale a un plato individual de 20 millas de diámetro.
causar eritema solar y hasta cáncer en la piel; por fortuna, la mayor parte de ella se absorbe en la atmósfera terrestre. A causa de esta absorción la astronomía de la radiación ultra violeta debe basarse en los datos conseguidos en los observa torios situados en la órbita terrestre. 6. R a y o s X. Estos rayos (el intervalo típico de la longitud de onda es de 0.01 a 10 nm) pueden producirse con longitu des de onda discretas en los átomos por medio de transiciones en que intervienen los electrones más estrechamente ligados; también pueden producirse en un intervalo continuo de longi tudes de onda cuando se desaceleran partículas cargadas como los electrones. Los rayos X se emplean en el diagnósti co médico, pues pueden penetrar en los tejidos blandos, pero no el hueso. Por lo regular, las estrellas no son fuertes emiso ras de rayos X; pero, en los sistemas de estrellas binarios el material de una estrella puede emitir rayos X cuando se calienta y se acelera a medida que cae en la otra estrella. 7. R a y o s gam m a. Tienen la longitud de onda más corta del espectro electromagnético (menos de 10 pm). Se emiten durante el decaimiento de muchos núcleos radiactivos y de algunas partículas elementales. Los rayos gamma son la modalidad más penetrante de la radiación electromagnética, y la exposición intensa a ellos pueden causar efectos nocivos en el cuerpo humano. En dosis mucho menores, pueden introdu cirse materiales radiactivos en el cuerpo para que ios médicos tracen la imagen de un órgano, observando las radiaciones gamma emitidas. Cada tipo de núcleo radiactivo emite su pro pio patrón de radiación, y éstas emisiones sirven para identifi car la presencia de determinados elementos. En la astronomía de rayos gamma, la observación de estas radiaciones caracte rísticas procedentes de las estrellas y de las galaxias prueba la presencia de ciertos elementos y la existencia de determina dos procesos nucleares en el universo. En las descripciones anteriores vemos que hay fuentes naturales y artificiales de todo tipo de radiación electromag nética y que el estudio de estas radiaciones en todas las lon gitudes de onda sirve para enriquecer nuestro conocimiento de la estructura y evolución del universo.
El estudio de la luz en los siguientes capítulos se con centrará en su naturaleza ondulatoria. Sin embargo, algunos experimentos revelan que la luz puede comportarse no como una onda que varía suavemente, sino como un paquete con centrado de energía electromagnética, llamado fo tó n . A partir del capítulo 45 analizaremos el aspecto fotónico de la luz.
LA L U Z V IS IB L E De manera funcional podemos definir a la luz como la radiación electromagnética a la cual el ojo es sensible. La sensibilidad de los observadores varía, pero normalmente el hombre observa la radiación cuyas longitudes de onda van desde 400 a 700 nm (correspondientes a frecuencias entre 7 X 1014 Hz a 4 X 1014 Hz. Dentro de este dominio, la sensibilidad ante diversas longitudes de ondas no es constante. En la figura 39-6 vemos una repre sentación de cómo varía la sensibilidad de un observador común ante las radiaciones de distinta longitud de onda, pero de inten sidad radiante constante en la región visible del espectro. La máxima sensibilidad ocurre cerca de los 555 nm, correspon diente a la luz de color amarillo-verde. La sensibilidad decrece rápidamente en las longitudes de onda corta y larga; podemos fijar de modo aproximado en 430 nm (violeta) y 690 nm (rojo) los Límites de la región visible, donde equivale a 1% de la sen sibilidad máxima. (Compare el intervalo de longitudes de onda visibles, menos que un factor de 2, con el de las longitudes de onda o frecuencias a u d ib les, que como se aprecia en la figura 19-5 son un factor de alrededor de 100 en el límite de l% .) En definitiva, las fuentes de luz visible dependen del movimiento de los electrones. Podemos elevar los electrones de los átomos de su nivel más bajo de energía a sus niveles más altos por diversos medios; por ejemplo, al calentar la sus tancia o pasando una corriente eléctrica por ella. Cuando los electrones finalmente retoman a su nivel bajo, los átomos emi ten una radiación que puede hallarse en la región visible del espectro. La emisión de la luz visible es muy probable cuando los electrones extemos (valencia) realizan la transición. La fuente más conocida de luz visible es el Sol. Su superfi cie emite una radiación que abarca todo el espectro electromag nético, pero la radiación más intensa se encuentra en la región que definimos como visible; la intensidad radiante del Sol alcan za su nivel máximo a una longitud aproximada de onda de 550 nm, correspondiente precisamente a la sensibilidad máxima del observador promedio (Fig. 39-6). Esto significa que, a través de la selección natural, el ojo humano ha evolucionado de modo que su sensibilidad al espectro solar ha aumentado.
* L a asig n a ció n del c o lo r a varias regiones del espectro visible es sumamen te arbitraria, porque el color es una designación psicológica más que una cua lidad física. Del mismo modo que no existe una distinción física fundamental entre la luz y otras ondas electromagnéticas, tampoco hay una distinción físi ca básica entre la luz azul y la roja. Más información sobre la percepción del color se incluye en ‘T he Retinex Theory of Color Vision”, de Edwin H. Land, Scientific American, diciembre de 1977, p. 108, y Eye, Brain, and Vision, de David H. Hubei (Scientific American Library Series, 1998), capítulo 8.
400
450
500
550
600
650
700
Longitud de onda F i g u r a 3 9 - 6 . Sensibilidad relativa del ojo hum ano en función de la longitud de onda.
A causa de su temperatura, todos los objetos emiten radia ción electromagnética, denominada radiación térm ica. Algunos objetos como el Sol, cuya radiación térmica es visible, reciben el nombre de inca n d escen tes. Otros objetos incandescentes comunes son los filamentos de las lámparas ordinarias y las brasas brillantes provenientes de un carbón encendido. La incan descencia se relaciona normalmente con los objetos calientes: casi siempre se requieren temperaturas mayores de 1000°C. También es posible que la luz sea emitida por los objetos fríos; a este fenómeno se le llama lu m in isce n cia . He aquí algu nos ejemplos: lámparas fluorescentes comunes, los rayos, los relojes de pulsera y las carátulas luminosas de los relojes de pared, los televisores. En el caso de una lámpara fluorescente, una corriente eléctrica que pasa por el gas del tubo ocasiona que los electrones alcancen niveles más altos de energía; cuan do retoman a su estado original, ceden el exceso de energía en forma de radiación ultravioleta. Esta radiación es absorbida por los átomos de la capa interior del tubo de vidrio, el cual entonces, emite luz visible. En el caso de la carátula luminosa de un reloj de pared, la luz in c id e n te causa la excitación. Los objetos luminiscentes pueden calificarse en dos cate gorías dependiendo de la duración de la emisión de luz des pués de eliminar la fuente de excitación. Se da el nombre de flu o r e s c e n te s a aquellos objetos cuya emisión cesa inmediata mente (en 1CTS s) después de suspender la excitación; por ejemplo, las lámparas fluorescentes. Los objetos que siguen bri llando más de en 10~s s, una vez eliminada la fuente de excita ción (como la carátula de un reloj), reciben el nombre de fo s fo r e s c e n te s y el material que produce este efecto se cono ce como fó s fo r o (Fig. 39-7). La luminiscencia puede deberse a varias causas. Cuando la energía que excita los átomos se origina en una reacción química, se le conoce como q u im io lu m in isc e n c ia . A menudo el efecto ocurre en seres vivos, como en las luciérnagas y en muchos organismos marinos; en este caso, recibe el nombre de b io lu m in is c e n c ia (Fig. 39-8). También se emite luz cuan do se rompen algunos cristales, por ejemplo, el azúcar; el efecto denominado trib o lu m in isc e n c ia se observa en un cuar-
- .
¡BÍ88¡IIÍ
to oscuro al masticar una pastilla salvavidas. He aquí otra causas de luminiscencia: corrientes eléctricas (como en los relámpagos o en los diodos emisores de luz y el impacto de las partículas de mucha energía (como en la aurora boreal).
3 9 -3
1 F i g u r a 3 9 - 7 . Un material fosforescente hace brillar los números de este reloj. El radio radiactivo a m enudo se m ezcla con fósforo para obtener la energía de excitación.
LA V EL O C ID A D D E LA L U Z
De acuerdo con la teoría de Maxwell, todas las ondas electro magnéticas se desplazan con la misma velocidad por el espacio vacío. A esta velocidad se le llama “velocidad de la luz”, a pesar de que se aplica a todas las radiaciones electromagnéti cas y no sólo a la luz. Esta velocidad es una de las constantes más importantes de la naturaleza. Hasta el siglo x v ii se pensaba que la luz se propagaba instantáneamente, es decir, se creía que la velocidad de la luz era infinita. Galileo abordó esta cuestión en su famoso trabajo, D iá lo g o a c e r c a d e d o s cien cias, publicado en 1638. Expuso sus argumentos mediante un diálogo entre varios personajes, entre ellos Simplicio (que representaba al ignorante desde un punto de vista científico) y Sagredo (que representaba la voz de la razón y, probablemente, al propio Galileo): S im p l ic io : L a e x p e rie n c ia d ia ria n o s m u e s tra q u e la lu z se p ro p a g a e n fo rm a in sta n tá n e a ; p u e s c u a n d o v e m o s d is p a ra r u n a a rtille ría a u n a g ra n d istan c ia, el re lá m p a g o lle g a a n u e stro s ojos d e in m e d ia to , p e ro el so n id o lle g a al o íd o un in te rv alo c o n sid e ra b le .
ggHBs
F i g u r a 3 9 - 3 . Los puntos lum inosos son luciérnagas en una cueva de Nueva Zelanda. La luz atrae insectos, que quedan atrapados y sirven de alim ento a las larvas de las luciérnagas.
Pues bien, Simplicio, lo único que puedo deducir de esta experiencia familiar es que el sonido, al llegar a nuestros oídos, se desplaza más lentamente que la luz; pero no me dice si la luz llega instantáneamente o si tarda tiempo en hacerlo, por muy rápida que sea. S a g re d o :
Galileo empieza entonces a describir un experimento (que lle vó a cabo él mismo) para medir la velocidad de la luz. Por la noche él y un asistente estaban de pie uno frente al otro, sepa rados por una distancia aproximada de una milla, y llevaban una linterna que podían cubrir o destapar a discreción. Galileo comenzaba destapando su linterna y el asistente debía desta par la suya cuando viera la luz de Galileo. Éste trataba enton ces de medir el tiempo que transcurría entre el instante en que destapaba su linterna y el instante en que le llegaba la luz a su asistente. Aunque Galileo no logró determinar el valor de la velocidad de la luz (el tiempo del viaje redondo con una sepa ración de una milla era de apenas 11 ¡jls , o sea varios órdenes menores de magnitud que los tiempos de reacción humana) se le atribuye el primer intento de medirla. En 1676 Ole Roemer, astrónomo danés que trabajaba en París, se sirvió de observaciones astronómicas para deducir que la velocidad de la luz era finita. Su conclusión se basaba en una discrepancia entre el tiempo predicho y el observado de los eclipses de la luna más interna de Júpiter, lo (Problema 2). Unos 50 años más tarde James Bradley, astrónomo inglés,
girar con la velocidad angular a> por el ángulo 8 entre el cen tro de un diente y el de un corte. Es decir,
Rueda dentada giratoria ■ ^E spejo
2L _
A
kJ
C
c =
ÍWl Fuente F i g u r a 3 9 - 9 . Diagram a esquem ático del aparato con que Fizeau m idió la velocidad de la luz.
ap lic ó u n m é to d o d istin to b a sa d o en la lu z e s te la r p a ra o b te n e r u n v a lo r de 3 X 10 8 m / s .
El siguiente gran avance en la medición de la velocidad de la luz no se logra sino después de más de un siglo. En 1849 el físico francés Hipolyte Louis Fizeau (1819-1896) utilizó un mecanismo que se muestra gráficamente en la figura 39-9. En esencia, hizo que un haz luminoso describiera una larga tra yectoria de ida y vuelta (de longitud L = 8630 m en cada senti do), la cual cruzaba una rueda dentada en ambas direcciones. La rueda cortaba en breves pulsos el haz que se dirigía al espejo. Cuando en el tiempo en que el pulso realizaba el via je de ida y vuelta, la rueda giraba de modo que un diente blo queaba ia trayectoria luminosa, el observador no veía el pulso de luz. Cuando esto sucedía, el tiempo 2 L / c que tardaba el haz luminoso en realizar el recorrido de ida y vuelta entre la rueda y el espejo'debía ser igual al tiempo 6 /
3 5 -1
8 ü)
2 L ío (39-1)
Los haces cortados se usan en formas semejantes para medu la velocidad de los neutrones y de otras partículas. (Con una variante de este método se verificó la distribución de veloci dades de Maxwell, Fig. 22-8). El resultado que Fizeau obtuvo empleando ese método fue 3.133 X 10 8 m/s. A finales del siglo x ix y principios del siglo x x i, otros investigadores, entre ellos el físico estadouni dense Albert A. Michelson, utilizaron técnicas mecánicas parecidas. El trabajo de Michelson sobresale por su rigor y precisión; en 1907 fue galardonado con el Premio Nobel por su investigación mediante técnicas ópticas para efectuar mediciones exactas. A raíz de sus investigaciones se redujo a unos 1000 m /s la incertidumbre en c. La invención de técnicas electrónicas, sobre todo aplica das a las microondas, permitió realizar una nueva clase de mediciones durante la década de 1950. Se consiguieron resul tados que coincidieron con los de Michelson y que presenta ban límites similares de incertidumbre. Con la aplicación de los rayos láser en la década de 1970 se logró el adelanto decisivo en la medición de la velocidad de la luz. Se midieron directamente la frecuencia y la longi tud de onda de la luz; se descubrió así que la luz podía obte nerse con c = A/. Los refinamientos de esta técnica aportaron valores de c con una incertidumbre menor que 1 m/s. En la tabla 39-1 se resumen algunas de las mediciones de c que
V elocidad de la ra d ia ció n electrom agnética en el espacio lib re (alg u n as m ed id a s seleccionadas)
Fecha
Experim entador
País
M étodo
1600(?) 1676 1729 1849 1862 1880 1906 1923 1926 1950 1950 1950 1951 1952 1952 1958 1967 1973 1978 1987
Galileo Roem er Bradley Fizeau Foucault M ichelson R osa y Dorsey M ercier M ichelson Bergstrand Essen Bol y Hansen Aslakson Rank y otros Froome Froom e Grosse Evenson y colaboradores W oods y colaboradores Jennings y colaboradores
Italia Francia Inglaterra Francia Francia Estados Unidos Estados Unidos Francia Estados Unidos Suecia Inglaterra Estados Unidos Estados Unidos Estados Unidos Inglaterra Inglaterra Alemania Estados Unidos Inglaterra Estados Unidos
Linternas y ventanas Lunas de Júpiter Aberración de la luz de estrellas Rueda dentada Espejo giratorio Espejo giratorio Teoría electrom agnética Ondas estacionarias en alambres E spejo giratorio Geodímetro Cavidad de m icroondas Cavidad de microondas Radar Shoran Espectros moleculares Interferòm etro de microondas Interferòm etro de m icroondas G eodímetro M étodos láser M étodos láser M étodos láser
Velocidad (lem /s) “Rapidez extraordinaria” “Finita” 304,000 313,300 298,000 299,910 299,781 299,782 299,796 299,792.7 299,792.5 299,789.3 299,794.2 299,766 299,792.6 299,792.50 299,792.5 299,792,4574 299,792.4588 299,792.4586
Incerticlumbn (km /s)
500 50 10
15 4 0.25 3 0.4 1.9 7 0.7 0.10
0.05 0.0012 0.0002
0.0003
hemos venido mencionando.* Nótese la reducción del límite de la incertidumbre con los años. La precisión con que se mide la frecuencia (alrededor de una parte en 1013) ha rebasado con mucho la de la longitud de onda (aproximadamente una parte en 109). Así pues, en el momento actual, la velocidad de la luz tiene por definición el valor exacto de c = 299,792,458 m/s, y el segundo se define partiendo de las mediciones de fre cuencia; por tanto, el metro es ahora un patrón secundario, definido en función del segundo y del valor de c.
La velocidad de Sa luz en la m a te ria Cuando hablamos de la “velocidad de la luz”, casi siempre nos referimos a la velocidad en el vacío. En el capítulo 38 estudiamos la propagación de la radiación electromagnética, que se realiza por acoplamiento entre sus campos eléctrico y magnético. En el caso de los materiales dieléctricos, dijimos en la sección 29-6 que el campo eléctrico se ve alterado por un factor de k , la constante dieléctrica del material. Una for ma fácil de modificar las ecuaciones para los campos eléctri cos en el vacío para tomar en cuenta la presencia de los materiales dieléctricos es, como se señaló en la sección 29-6, reemplazar la constante dieléctrica eQ por la magnitud Ks eQ. Además hay que explicar el efecto de las propiedades m a g n éticas del medio en el campo magnético donde se propaga la onda electromagnética. Según comentamos en la sección 35-4, los materiales magnéticos se caracterizan por una permeabilidad relativa /c ; en analogía con el campo eléctrico, podemos modi ficar las ecuaciones del campo magnético en la materia con sólo sustituir la constante magnética /xQpor la magnitud Kmp.Q. Por medio de las sustituciones anteriores, podemos modifi car la ecuación 38-19 para obtener la velocidad de la luz en la materia: 1 1 c v ~~ i ~~ r ' (39-2) \ ' Km Ke
■ yp
()e 0
\ KmKe
Los materiales que transmiten luz son casi siempre no ferromagnéticos y, por eso, /cm suele diferir de 1 por no más de 10~4 (Tablas 35-2 y 35-3). En consecuencia, la constante die léctrica Ke determina la velocidad de la luz en un material. Sin embargo, las constantes dieléctricas incluidas en la tabla 29-2 no pueden emplearse en la ecuación 39-2, porque esos valo res caracterizan a las situaciones está tic a s. Recuerde que la constante dieléctrica es, en realidad, una medida de la res puesta de los dipolos (permanentes o inducidos) ante un cam po eléctrico aplicado. Si éste varía con una frecuencia alta, los dipclos talvez no dispongan de tiempo para responder, y no podemosutilizar las constantes dieléctricas estáticas en el caso de un campo E que varía rápidamente. A las frecuencias típicas de una onda luminosa (1 0 15 Hz), el campo oscila
* Las referencias a algunas mediciones se incluyen en “Resource Letter RMSL-1: Recent Measurements of the Speed of Light and The Redefinition of the Meter”, de Harry E. Bates, American Journal of Physics, agosto de 1988, p. 682.
LL a BÍLá 3 S = 2
Velocidad de la luz en algunos materiales0
M aterial
Velocidad de la luz ( 10s m /s) 3.00 3.00 2.26
Vacío Aire A gua Solución de azúcar (50%) Vidrio Crown D iamante
2.11
1.97 1.24
a En una longitud de onda de 589 nm (luz amarilla de sodio).
demasiado rápido para que los dipolos lo sigan por completo. Más aún, Ke en la ecuación 39-2 varía con la frecuencia y de ahí que la velocidad de la luz en la materia dependa de la lon gitud de onda de la luz o de su frecuencia. La tabla 39-2 contiene los valores de la velocidad de la luz en varios materiales.
Propagación de la luz en la m ateria (opcional) El mecanismo causante de que la luz se propage en la materia es la dispersión (en realidad, la absorción de la luz incidente por los átomos o moléculas del medio y la reemisión de la luz en varias direcciones). Las fases de las ondas dispersadas que se dirigen transversalmente hacia la luz incidente provocan una interferencia destructiva casi completa en las direcciones transversales. Las ondas dispersadas que se desplazan parale lamente en dirección de la luz incidente no están en fase con ella; a causa de la interferencia entre las dos ondas, la fase de su combinación es distinta a la de la onda incidente. Este cam bio en la fase lo observamos como un cambio de la velocidad. El campo eléctrico de la luz incidente hace que los elec trones del átomo oscilen con la frecuencia de la luz inciden te. Es razonable esperar que la fase de la onda reemitida dependa de la frecuencia de la oscilación atómica y, por lo mismo, de la frecuencia de la onda original. Cuando interfie ren las ondas incidentes y dispersadas, la fase de su combina ción se basa en su diferencia de fase y, por tanto, en la frecuencia. Así pues, la velocidad de la luz en un material depende de la frecuencia o de la longitud de onda. En la sec ción 39-4 se describe este fenómeno, denominado dispersión . En un sólido común, la distancia en que la luz original se absorbe y se reemite es del orden de micrómetros; en el aire es del orden de milímetros. En efecto, la luz que vemos en el Sol llega a nuestros ojos no directamente de él, sino de las moléculas de aire a unos cuantos milímetros de ellos. B R e s u e l t o 3 9 - 1 . La velocidad de la luz de color amarillo (A = 589 nm, correspondiente a / = 5.09 X 10 14 Hz) en el agua es de 2.26 X 10s m /s. ¿Cuál es la constante dieléctrica efecti va del agua en esta frecuencia?
P r o b l e m a
Solución Usam os la ecuación 39-2 y suponemos que, con suficien te exactitud en el cálculo, x m = 1. Al resolver la ecuación 39-2 para Ke y haciendo Km = 1 , obtenemos 3.00 X 1Q8 m/s V = 1 ?6 2.26 X 1 0 S m /s /
Este es m uy diferente de la constante dieléctrica estática del agua, cuyo valor es alrededor de 80 a tem peratura ambiente; esto refleja la dificultad que los m om entos dipolares de sus m oléculas tienen para seguir la variación del cam po eléctrico en esta frecuencia. Por lo regular, las constantes dieléctricas para alta frecuencia son más pequeñas que los valores estáticos correspondientes. Ello significa que el campo eléctrico inducido a alta frecuencia es m enor que el campo eléctrico inducido estático.
3 9 - 4 R E F L E X IÓ N Y R E F R A C C IÓ N DE LAS ON DAS D E L U Z
Normal Frente de onda
Cuando vemos a través de una ventana, nos damos cuenta de que la luz nos llega desde el otro lado del vidrio; un amigo que se encuentre allí podrá vemos. Pero si observa con mucha atención, contemplará su reflejo en el vidrio. Si proyecta la luz de una linterna sobre el cristal, su amigo vería el haz lumi noso, pero también usted vería la luz reflejada a sus espaldas. En términos generales, estos dos efectos pueden ocurrir siempre que un haz luminoso pase de un medio (el aire por ejemplo) a otro (un vidrio). Una parte de este haz regresará y se reflejará en el primer medio, y la otra se transmitirá al segundo medio. En la figura 39-10 se ilustran gráficamente los dos efectos. Nótese que el haz puede desviarse o re fra c ta rse al penetrar en el segundo medio.* En la figura 39-10, los haces se representan por medio de rayos. Éstos, trazados como líneas rectas perpendiculares a los frentes de onda (planos), indican la dirección en que se mueven los frentes. Observe los tres rayos de la figura 39-10: el original (o rayo in c id e n te ), el re fle ja d o y el re fra c ta d o ; éste cambia de dirección al entrar en el segundo medio. En el punto donde el rayo incidente choca contra la super ficie, trazamos una línea normal (perpendicular) a ella y defi nirnos tres ángulos medidos respecto a la normal: el án g u lo de in cid en cia 6 V el á n g u lo d e re fle xió n ff l y el á n g u lo de refrac ció n d0. (Los subíndices indican el medio por donde se despla za el rayo. En nuestro caso, el rayo incide desde el medio 1, el aire, y penetra en el medio 2, el vidrio.) El plano formado por el rayo incidente y la normal recibe el nombre de p la n o d e in ci den cia ; es el plano de la página en la figura 39-10. Por medio de un experimento deducimos las siguientes leyes que rigen la reflexión y la refracción: L e y d e la re fle xió n Los rayos reflejados se hallan en el plano de incidencia y 0Í = 0,. L e y de la re fra c c ió n
(39-3)
Los rayos reflejados se hallan en el pla
no de incidencia y ;z, sen Q{ = «2 sen Q2.
(39-4)
* Refractado es una palabra derivada del latín y significa roto; la misma raíz se encuentra en “fractura". Si introducimos un lápiz en el agua y lo inclina mos, la parte inclinada parece estar “rota”.
Rayo incidente“N i A
-r Rayo reflejado
(.b)
refractado
F i g u r a 3 9 - 1 O . a) Fotografía que m uestra la reflexión y la refracción de un haz lum inoso que incide en una superficie plana de vidrio, b) Una representación gráfica por m edio de rayos. Están marcados los ángulos de incidencia dx, de reflexión 6\ y de refracción 61. Nótese que los ángulos se m iden entre la norm al a la superficie y el rayo correspondiente.
A la ecuación 39-4 se le llama ley de S n e ll. Aquí n { y n 0 son constantes adimensionales denominadas ín d ic e d e refracción de los medios 1 y 2. El índice de refracción n de un medio es la razón entre la velocidad de la luz c en el vacío y la veloci dad v en dicho medio: n
= y.
(39-5)
En la sección anterior mencionamos la velocidad de la luz en varios materiales. Conviene precisar que la refracción se debe a que la velocidad de la luz cambia de un medio a otro. Esta idea la exponemos más a adelante en esta sección. La tabla 39-3 ofrece algunos ejemplos del índice de refracción de diversos materiales. Nótese que, para muchos
ijLA 3 3 “ 3
A lgunos índices de re fra c ció n “
M edio
índice
Vacío (exactamente) Aire (STP) Agua (20°C) Acetona Alcohol etílico Solución de azúcar (30%) Cuarzo fundido
1.00029 1.33 1.36 1.36 1.38 1.46
Solución de azúcar (80%)
1.49
M edio
1.00000 Vidrio típico crown
Cloruro de sodio Poliestireno Disulfuro de carbono Vidrio pesado de pedernal Zafiro Vidrio muy pesado de pedernal Diamante
0 En una longitud de onda de 589 nm (luz amarilla de sodio).
índice 1.52 1.54 1.55 1.63 1.65 1.77 1.89 2.42
1.45 -——i------------- 1----- !------1------------- !---300
400
500
600
!-----700
800
Longitud d e o n d a (nm)
F i g u r a 3 9 - 1 1. índice de refracción del cuarzo fundido en función de la longitud de onda.
propósitos, podemos suponer que el aire equivale al vacío en la refracción de la luz. El índice de refracción de un material casi siempre varía con la longitud de onda de la luz (Fig. 39-11). Así pues, la refracción sirve para dividir un haz luminoso en sus lon gitudes de onda constitutivas, como sucede en el arco iris o en un prisma de vidrio; a este efecto se le llama dispersión.
de caídas el ec irom agnéticas (opcional)
R e fle x ió n y r e f r a c c ió n
Las leyes de la reflexión y de la refracción son válidas en todas las regiones del espectro electromagnético, no sólo para la luz. De hecho, las ecuaciones 39-3 y 39-4 pueden obtener se de las ecuaciones de Maxwell, circunstancia que las hace generalmente aplicables a las ondas electromagnéticas. Los
datos experimentales referentes a esta aplicabilidad abarcan la reflexión de microondas o de ondas de radio provenientes de la ionosfera y la refracción de los rayos X por cristales. Por lo regular, pensamos que las superficies muy pulidas o suaves son “buenas reflectoras”, pero lo mismo puede decirse de otras superficies como la de una hoja de papel. La reflexión por el papel (denominada reflexión difusa ) dispersa la luz más o menos en todas direcciones. Es principalmente mediante este tipo de reflexión que vemos los objetos no luminosos del entor no. La diferencia entre la reflexión difusa y la especular (como la del espejo) se funda en la textura de la superficie: un haz reflejado se forma sólo si las dimensiones típicas de las irregu laridades de la superficie del reflector son esencialmente meno res que las de las longitudes de onda de la luz incidente. En consecuencia, la clasificación de las propiedades de reflexión de una superficie se basa en la longitud de onda de la radiación que recibe dicha superficie. Así, el fondo de una sartén de hie rro fundido puede ser un buen reflector de microondas con una longitud de 0.5 cm, no así de la luz visible. Las ecuaciones de Maxwell permiten calcular- cómo la energía incidente se divide entre los haces reflejados y refracta dos. En la figura 39-12 se muestra la predicción teórica referen te a a) un haz luminoso en el aire que incide sobre una interfaz vidrio-aire y b) un haz que cae en un vidrio sobre una interfaz vidrio-aire. En la figura 39-12¿z vemos que, en los ángulos de incidencia hasta de 60°, se refleja menos del 10% de la energía luminosa. La superficie se convierte en un reflector excelente en la incidencia de roce (con ángulos de incidencia cercanos a 90°). Ouo ejemplo de este efecto es el alto poder reflejante de una carretera mojada cuando la luz de los faros de los automóviles choca contra la carretera cerca de la incidencia de roce. F i g u r a 3 9 - 1 2 . a) Porcentaje de energía reflejada y refractada cuando una onda en el aire incide en vidrio (n = 1.50). b) Lo mismo para una onda en vidrio que incide en aire y que m uestra la reflexión interna total.
Ónda reflejad a
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Ond a reír actada~ ~ ''\ ¡ \
■ ; Aire i ..
|
I
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/
Ángulo d e incidencia, 9
- 1Vidrio
La figura 39-12 b muestra claramente que to d a la luz se refleja en cierto ángulo crítico (41.8° en este caso). En la sec ción 39-5 se da el nombre de reflexión in tern a to ta l a este fenómeno. P r o b l e m a R e s u e l t o 3 9 - 2 . En la figura 39-13 se m uestra un rayo incidente i que choca contra un espejo plano M M ' en un ángu lo de incidencia 6. El espejo M 'M " es perpendicular a M M '. Siga este rayo en sus reflexiones subsecuentes.
Solución El rayo reflejado r form a un ángulo 6 con la normal en b y llega como incidente contra un espejo M 'M '. Su ángulo de inci dencia 6' en este espejo es tt / 2 — 8. Un segundo rayo reflejado r' forma un ángulo & con la norm al trazada en b '. Los rayos i y r' son antiparalelos con cualquier valor de 8. Para comprobarlo nótese que 28' Dos líneas son paralelas si sus ángulos interiores opuestos en una línea de intersección (d> y 2 6) son iguales. Repita el problem a si el ángulo entre los espejos es 120° en vez de 90°. El análogo tridim ensional de la figura 39-13 es el reflector de esquina, que consta de tres espejos planos perpendiculares unidos como las secciones positivas de los planos coordenados en un siste ma xyz. El reflector de esquina posee la propiedad de que, con cual quier dirección de incidencia, el rayo incidente se refleja en la dirección opuesta. Los reflectores de carreteras aplican este princi pio, de modo que la luz proveniente de los faros de un automóvil que se acerca se refleja hacia él, sin im portar la dirección en que se apro xime ni el ángulo de los faros arriba de la carretera. Los astronautas del Apolo colocaron este tipo de reflectores en la Luna; se determ i na exactam ente la distancia entre Tierra y Luna cronometrando un haz reflejado de rayos láser proveniente de la Tierra. Los reflectores de ángulo se ponen en los m ástiles de botes pequeños, para que los radares los localicen m ás fácilm ente. Segundo rayo
P r o b l e m a R e s u e l t o 3 9 - 3 . Un haz lum inoso en el aire incide en la superficie plana de un bloque de cuarzo y form a un ángulo de 30.00° con la normal. Contiene dos longitudes de onda, de 400 y de 500 nm. El índice de refracción del cuarzo con estas longitudes es de 1.4702 y 1.4624, respectivamente. ¿Cuál es el ángulo entre los dos haces refractados en el cuarzo?
S olución Según la ecuación 39-4 («, sen 0¡ = n , sen dfl tenemos en el haz de 400 nm (suponiendo que n 1 = 1.0003 para aire) (1.0003) sen 30.00° = (1.4702) seni92, lo cual nos da
. 82 = 19.89°.
En el caso del haz de 500 nm tenemos (1.0003) sen 30.00° = (1.4624) sen 0, o bien 02 = 2 0 .00 °.
El ángulo A 0, entre los haces es de 0.11°; el componente de longi tud de onda más corta se dobla hacia el ángulo más grande, es decir, el que tiene el m enor ángulo de refracción. La diferencia del ángulo dism inuye a m edida que disminuye el ángulo de incidencia, convir tiéndose en 0.018° cuando 6l = 5°. En los instrum entos ópticos que em plean lentes, la variación del ángulo de refracción con la longitud de onda provoca una distorsión denominada aberración cromática. L a distorsión causada por este fenómeno se reduce por medio de ángulos pequeños de incidencia. P r o b l e m a R e s u e l t o 3 9 - 4 . Un haz lum inoso en el aire incide en una cara de un prism a de vidrio, como se indica en la figura 39 14. El ángulo 6 se escoge de modo que el rayo em ergente también form e un ángulo 6 con la normal a la otra cara. Obtenga una expre sión para el índice de refracción del material del prisma, suponiendo que n = 1 para el aire.
Solución Nótese que Z. bad + a = tt/ 2 y que tt/2 , donde é es el ángulo del prisma. Por tanto,
bad + rp¡2 =
\é .
(39-6)
El ángulo de desviación ip es la suma de los dos ángulos inte riores opuestos en el triángulo aed, o sea ip = 2 (0 — a). Al sustituir i
(39-7)
E n el punto a, Q es el ángulo de incidencia, y a el ángulo de refracción. La ley de la refracción (ecuación 39-4) es se n 0 = n sen a, donde n es el índice de refracción del vidrio. C onform e a las ecuaciones 39-6 y 39-7, lo anterior nos da ip +
é
o bien sen(t/t -r é)/2 sen(<£/2 ) F i g u r a 3 9 - 1 3 . Problem a resuelto 39-2. Reflector de esquina bidimensional.
(39-8)
que es la relación deseada. Esta ecuación es válida sólo cuando 8 se esco ge de m odo que el rayo luminoso pase sim étricamente por el prisma.
F ig u ra
En este caso
O btención de la ley de la reflexión lista ley puede obtenerse en varias formas. A continuación explicaremos dos de ellas. Principio de Huygens. En 1678 el físico holandés Christiaan Huygens* propuso una teoría simple de la luz. En ella supo ne que la luz es una onda, pero nada dice sobre la naturaleza de esta última. (Como la teoría del electromagnetismo de Maxwell aparecería casi dos siglos más tarde, la de Huygens no alude en absoluto a la índole electromagnética de la luz.) Huygens no sabía si la luz era una onda transversal o longitu dinal; tampoco conocía las longitudes de onda de la luz visi ble; poco sabía respecto a la velocidad de la luz. Con todo, su teoría fue una guía útil en los experimentos durante muchos años y hoy sigue teniendo aplicaciones pedagógicas y de otro tipo. No debemos pensar que ofrezca una información tan rica V detallada como la más completa teoría electromagnética de Maxwell. La teoría de Huygens está basada en una construcción geométrica que nos permite saber dónde un frente de onda se hallará en cualquier momento futuro, si conocemos su posi ción actual. Puede formularse así; T odos lo s p u n to s d e un fr e n te d e o n d a p u e d e n c o n s id e ra rse fu e n te s p u n tu a le s en la p r o d u c c ió n d e o n d a s e sfé ric a s se c u n d a ria s. T ra n sc u rrid o e l tie m p o t, la n u e v a p o s ic ió n de un fr e n te d e o n d a es la su p e rfic ie ta n g e n te a las o n d a s e sfé ric a s se c u n d a ria s.
Vamos a explicar lo anterior con un ejemplo sencillo. En un frente de onda (a b en la figura 39-15) de una onda plana
* Christiaan Huygens (1629-1695) fue un científico muy profundo e influ yente. Además de la teoría ondulatoria de la luz, entre sus logros conviene citar el perfeccionamiento del diseño del telescopio que le permitió deducir la forma de los anillos de Saturno; el desarrollo del reloj de péndulo, y hacer contribuciones a la teoría de los cuerpos giratorios (descubrimiento de la existencia de la aceleración centrípeta) y de los objetos en colisión (principio de la conservación del momento).
3 9 - ? 4 . Problema resuelto
39-4 .
en el espacio libre, ¿cuál será el frente de onda un tiempo t más tarde? Conforme al principio de Huygens, varios puntos del plano (los de la figura 39-15) sirven de centro a las ondas esféricas secundarias. En un tiempo t, el radio de estas ondas esféricas es ct, donde c es la velocidad de la luz en el espacio libre. Con d e representamos el plano tangente a las esferas en el tiempo t. Como se espera, de es paralelo al plano a b y está a un distancia perpendicular c t de él. Así pues, los frentes de ondas planas se propagan como planos y con la velocidad c. Nótese que el método de Huygens incluye una construcción tridimensional y que la figura 39-15 es la intersección de ella con el plano de la página. Cabría esperar que, en contraste con la observación, una onda irradiaría hacia atrás y también hacia adelante desde los puntos de la figura 39-15. Este resultado se evita suponiendo que la intensidad de las ondas esféricas no es uniforme en todas direcciones, sino que varía continuamente de un máxi mo en la dirección hacia adelante hasta alcanzar un mínimo de cero en la dirección hacia atrás. Esto se indica con el som breado de los arcos circulares en la figura 39-15. El método
x A
Frente de onda en t=0
.flv -x /\
A
i
Nueva posición del frente de onda
F i g u r a 3 9 - 1 5 . L a construcción de Huygens describe la propagación de una onda plana en el espacio libre. Nótese que el rayo (flecha horizontal) que representa la onda es perpendicular a los frentes de onda.
de Huygens puede aplicarse en forma cuantitativa a to d o s los fenómenos ondulatorios (Ejercicio 12). Dos siglos después, Gustav Kirchhoff (1824-1887) aportó a este método una sóli da base matemática, y probó que la intensidad de las ondas varía con la dirección, tal como lo acabamos de mencionar. A continuación mostraremos cómo la ley de la reflexión se deduce del principio de Huygens. En la figura 39-16a se muestran tres frentes de onda en una onda plana que choca contra un espejo plano MM'. Para facilitar la explicación, decidimos que los frentes de onda se encuentran separados por una longitud de onda. Nótese que d x, el ángulo entre los frentes de onda y el espejo, es el mismo que el existente entre el rayo incidente y la normal al espejo. En otras palabras, 8 X es el án gu lo d e in c id e n c ia . Los tres frentes de onda están relacionados entre sí mediante la construcción de Huygens, como se aprecia en la figura 39-15. Consideremos el punto a en el frente de onda de la figu ra 39-16b como una fuente de la onda secundaria de Huygens, que se expande tras un tiempo A/c para incluir el punto b en la superficie del espejo. La luz proveniente del punto p en este mismo frente de onda no puede ir más allá del espejo, pero debe expandirse hacia arriba como onda esférica de Huygens. Cuando se pone un compás en el radio A y se genera un arco alrededor de p , se crea un semicírculo en el cual el frente de onda reflejado debe ser tangente. Esta tangente debe pasar por b, pues el punto b debe estar en el nuevo frente de onda. Nótese que el ángulo 9[ entre el frente de onda y el espejo es Onda incidente \
\
W '"
(a)
M
\
\
■ /•Y
\ /-
con lo cual se verifica la ley de la reflexión. Si recuerda que la construcción de Huygens es tridimensional y que los arcos mostrados representan segmentos de superficies esféricas, podrá convencerse de que el rayo reflejado se encuentra en el plano formado por el rayo incidente y la normal al espejo, es decir, al plano de la figura 39-16. Éste también es un requisi to de la ley de la reflexión. En las figuras 39-16c y 39-1 6 d se muestra cómo el pro ceso continúa hasta que los tres frentes de onda incidentes se hayan reflejado. Principio de Ferm at. En 1650 Pierre Fermat* descubrió un principio muy importante, el cual puede expresarse en los siguientes términos: Un ra yo lum in oso que p a sa d e un pu n to f ijo a otro seguirá una tra y e c to r ia ta l que, en c o m p a ra ció n con la s tra y ec to ria s c ercan as, e l tie m p o req u erid o es m ín im o, m áxim o o p e rm a n e c e in a lte ra d o (e sto es, e sta cio n a rio ).
Es fácil obtener de este principio la ley de la reflexión. La figura 39-17 contiene dos puntos fijos A y B. así como el radio reflejante A P B que ios conecta. (Suponemos que el rayo A P B se halla en el plano de la figura; ejercicio 11). La longi tud total L de este rayo es
-,
L = fc
A
\
el mismo que el existente entre el rayo reflejado y la normal al espejo. En otras palabras, 6[ es el án gu lo d e reflexión. Examine los triángulos rectos a b p y a ’b p. Tienen en común el lado b p , y el lado a b (= A) es igual al lado a ’p . De ahí que los dos triángulos rectos sean congruentes y qUe podamos concluir que
M'
X
X M’
AS 7 v
donde x localiza el punto P donde el rayo toca al espejo. De acuerdo con el principio de Fermat, P tendrá una posición tal que el tiempo de recorrido t = L / c de la luz debe ser mínimo (o máximo o debe permanecer inalterado); esto sucede cuando d t / d x = 0. Al tomar esta derivada se obtiene dt
__ 1 dL
dx
c 1
2c ■YV (c)
:< \ ■ ><
M;
A
A"
/ A
,
¡
(d)
M\
/
+ - — [b2 + (d - x ) 2] ~ i,2(2 )(d - x ) ( - 1 ) = 0 ,
2c
/V >
/A
(a 2 + x 2y u2( 2x)
Onda reflejada f
._
.—►-[ 1 /
dx
■ ' M’
A^ -t
+ Vh2 + (d — x )2,
ry
/
A
/
F i g u r a 3 9 - 1 S . Reflexión de una onda plana contra un espejo plano tal como se analiza en la construcción de Huygens.
* Fierre Fermat (1601-1665) fue un matemático francés a quien se ¡e recuer da por haber inventado la geometría analítica y por sus numerosas aportacio nes a la teoría de números. Quizá su contribución más interesante es el último teorema de Fermaf. la ecuación x" + yn = donde x, y, z y n son enteros positivos, no tiene solución cuando n > 2. Aunque decía haber probado este teorema (prueba que no publicó), eludió a los matemáticos más de 300 años, hasta que en 1994 lo resolvió el matemático de Princeton Andrew Wiles.
\ \
Aire Vidrio
F i g u r a 3 3 - 1 7 . Reflexión de una onda plana contra un espejo plano, tal como se analiza por m edio del principio de Fermat. Un rayo proveniente de A pasa por B luego de reflejarse en P.
Vidrio
que puede reescribirse como x
d —x
+ xL
A b 2 + (d — x)1
(A1 evaluar la derivada, adviértase que mantenemos fijos los puntos finales y modificamos la trayectoria permitiendo que x cambie.) La comparación con la figura 39-17 indica que podemos escribir lo anterior así
Vidrio
sen d[ — sen 9\
\ y Aire Vidrio
o bien 0, = d[, que es la ley de la reflexión.
A continuación usamos los principios de Huygens y de Fermat para obtener la ley de la refracción (Ec. 39-4). Principio de Huygens. La figura 39-18 muestra cuatro etapas en la refracción de tres frentes de onda sucesivos de una onda plana que inciden sobre una interfaz aire (medio 1) y vidrio (medio 2). Para facilitar la exposición supondremos que los frentes incidentes están separados por A;, la longitud de onda medida en el medio 1. Supongamos que la velocidad de la luz en el aire es vt y que en el vidrio es v 0. Además suponemos que v2 < V\-
(39-9)
Esta suposición sobre las velocidades es indispensable para la obtención de lo siguiente. Los frentes de onda de la figura 39-18« se relacionan entre sí mediante la construcción de Huygens de la figura 39-15. Al igual que en la figura 39-16, 8l es el ángulo de incidencia. En la figura 39-186 considere el tiempo (= A,/V[) durante el cual una onda secundaria de Huygens proveniente del punto e se despla za, para incluir el punto d. La luz procedente del punto h, que pasa por el vidrio a una velocidad reducida (recuerde la suposi ción de la ecuación 39-9), recorre una distancia más corta, A, = A.
(39-10)
durante este lapso. Ello se deduce de v = A / y = /,- El fren te de onda refractado debe ser tangente a un arco de este radio
F i g u r a 3 3 - 1 8 . Refracción de una onda plana en una interfaz plana, tal com o se describe en la construcción de Huygens. No se muestra la onda reflejada para simplificar el dibujo. Nótese el cambio de la longitud en la onda refractada.
centrado en h. Como d se halla en el nuevo frente de onda, la tangente debe pasar a través de este punto, según se indica. Nótese que el ángulo entre el frente de onda refractado y su interfaz aire-vidrio, es el mismo que el ángulo existente entre el rayo refractado y la normal a esa interfaz. En otras palabras, 02 es el án gu lo de refracción. Nótese que la longitud de onda en el vidrio (A,) es menor que la longitud de onda en el aire (Aj). Respecto a los triángulos rectos h de y hdf, podemos escribir sen 6,
AL
(para h d e )
hd
A2
(para h d f).
hd
Al dividir y utilizar la ecuación 39-10, obtenemos sen 6 1
A,
sen 9-¡
Ai
v.
L a in tro d u c c ió n d e u n fa c to r c o m ú n c n o s p e rm ite re sc rib ir la e c u a c ió n 39-11 a sí - se n 0 ,
c v-,
- sen i
D e a c u e rd o c o n la e c u a c ió n 3 9 -5 , c / v x = n x y c / v 7 que la e c u a c ió n 3 9 -1 2 se c o n v ie rte e n n¡ s e n 0 , = n 2 s e n 0 2,
(3 9 -1 2 ) n 0: asi (3 9 -1 3 )
que es la le y d e la re fra c c ió n . S i u n m e d io es e l v a c ío , la e c u a c ió n 3 9 -1 0 q u e d a así A„ = A — = — c n
( 39- 14)
d o n d e Án es la lo n g itu d d e o n d a d e la lu z e n un m e d io d e ín d i ce n, y A la lo n g itu d d e o n d a e n el v acío . A l p a sa r d e u n m e d io a otro, la v e lo c id a d d e la lu z y su lo n g itu d d e o n d a se re d u c e n el m is m o fa cto r, p e ro la fre c u e n c ia d e la lu z n o se altera. L a a p lic ac ió n d e l p rin c ip io d e H u y g e n s a la re fra c ció n e x i ge que, si d o b la m o s un ra y o lu m in o so h a cia la n o rm al c uando p a sa del aire a u n m e d io ó p tic a m e n te denso, la v elo c id ad de la luz en e ste ú ltim o (u n v id rio p o r e je m p lo ) d e b e se r m e n o r que en el a ire (e cu a ció n 39 -9 ). E ste re q u isito es v álido p a ra todas la teorías o n d u lato rias. E n la a n tig u a teoría d e p a rtícu la s p ro p u e s ta p o r N e w to n , la e x p lic a c ió n d e la re fra c ció n e stab lec ía que la v e lo c id a d d e la lu z e n el m e d io d o n d e se a cerca la luz a la n o r m al (el m ed io ó p tic a m e n te m á s denso) fu e ra m a y o r que en el aire. Se p e n sa b a q u e el m e d io m ás d en so ejercía fue rz a s de atracció n so b re los “c o rp ú sc u lo s lu m in o so s” a m e d id a que se a ce rca b an a la su p e rficie, a ce le rá n d o lo s y cam b ian d o su d irec ción p a ra h a c e r q u e fo rm a s e n á n g u lo s m ás p e q u eñ o s con la norm al. P o r e llo , u n a c o m p a ra c ió n e x p e rim e n ta l de la v e lo c id a d de la lu z e n el a ire c o n la v e lo c id a d de la lu z y en un m ed io ó p tic a m e n te m á s d e n so es in d is p e n s a b le p a ra e sc o g e r e n tre la te o ría o n d u la to ria y co rpuscular- d e la lu z. E s ta c o m p a ra c ió n la re a liz ó p o r p rim e ra v e z F o u c a u lt en 1850; d e m o stró de m a n e ra c o n v in c e n te q u e la lu z se d e sp la z a c o n m a y o r len titu d en el a g u a q u e en el a ire , c o n lo c u al e x c lu y ó la te o ría c o r p u sc u la r de N e w to n . P r in c ip io d e F e r u i a t . P a r a p r o b a r la ley d e la re fra c c ió n p a r tie n d o d e e ste p rin c ip io , e x a m in e c o n m u c h a a te n c ió n la fig u ra 3 9 -1 9 , q u e m u e s tra d o s p u n to s fijo s A y S e n do s m ed io s y un ra y o re fra c ta d o A P B q u e lo s c o n ec ta . E l tie m p o t q u e el ra y o tard a en p a s a r d e A a B e s tá d a d o p o r L,
¿-'2
c /v, p o d e m o s e sc rib ir lo antellnLi
E l p rin c ip io d e F e rm a t e sta b le c e lo sig u ie n te : el tiem p o t q u e la lu z tard a en re c o rre r la tra y e c to ria A P B d e b e se r m ín i m o (m á x im o o p e rm a n e c e r in a lte ra d o ); e sto a s u v e z re q u ie re se le c c io n a r ,r d e m o d o q u e d t/d x = 0. L a lo n g itu d d e l cam in o ó p tic o en la fig u ra 3 9 -1 9 es L = n iL [ + n 2L 2 = n lf a 2 + x 2 + n d ^ b 2 + {d — x ) 2. A l s u s titu ir el re su lta d o a n te rio r e n la e c u a c ió n 3 9 -1 5 y al d ife re n c ia r, o b te n e m o s dt dx
_
1
dL
c
dx
J 1 L (¿r + x 2r í/2(2x) 2c + ~l e
íh 2 + (d ~ x ^ ~ ' /2 (2 X d - * ) ( - ! ) = 0 ,
q u e p u e d e e sc rib irse co m o x
'fe
d —x n-, f b 2 + (d — x ) 2
n | sen <9¡ = n 2 sen d2, q u e es la ley d e la re fra c c ió n .
L (3 0 -1 5 )
d o n d e L es la lo n g itu d d e l c a m in o ó p tic o , d e fin id a co m o L = n lL i + n 2l 2 .
lo n g itu d d e la tra y e c to ria g e o m é tric a d e c a d a se g m e n to y el ín d ic e d e re fra c c ió n d e e se m e d io . L a e c u a c ió n 3 9 -1 4 (A = X /n ) m u e s tra q u e la lo n g itu d d e tra y e c to ria ó p tic a es ig u al a la lo n g itu d q u e e ste m is m o n ú m e ro de o n d a s te n d ría si el m e d io fu e ra el v acío . N o c o n fu n d a la lo n g itu d del cam in o ó p tic o c o n la de tra y e c to ria g e o m é tric a , q u e e s L x + ü 9 p ara e l ra y o d e la fig u ra 3 9 -1 9 .
L a c o m p a ra c ió n co n la fig u ra 3 9 -1 9 m u e s tra q u e p o d e m o s e s c rib ir lo a n te rio r así
V-) Si e m p le a m o s la re la c ió n n rio r así 7¡iL | t
F i g u r a 3 9 - 1 9 . Refracción de una onda plana en una interfaz plana, tal com o se analiza mediante el principio de Fermat. Un rayo A pasa por B después de refractarse en P.
(3 0 -1 6 )
E n c u a lq u ie r ra y o lu m in o s o q u e a tra v ie se m e d io s su c e siv o s, la lo n g itu d d e l c a m in o ó p tic o es la su m a del p ro d u c to de la
P r o s l e m a R e s u e l t o 3 9 - 5 . La luz roja de 632 nm de longitud de onda en el espacio libre incide, en un ángulo de 6{ = 3 9 ° respecto a la normal, en un microscopio de vidrio cuyo espesor es d = 0.78 mm y cuyo índice de refracción es n = 1.52 (Fig. 39-20). Encuentre a) la longitud de onda en el vidrio y b) la longitud del cam ino ópti co de la luz que se desplaza por el vidrio.
W IIÈ IÈ Ë Ê m m
...
I SURA 3 9 - 2 0 .
Problem a resuelto 39-5. F i g u r a 3 9 - 2 2 . Imagen de fibra óptica durante el paso del estómago al intestino delgado.
Solución a ) Podem os encontrar la longitud de onda en el vidrio usando la ecuación 39-14, que nos da A 632 nm y = — = -------— - = 416 nm. n 1.52 b)
El ángulo de refracción se obtiene de la ecuación 39-13, sen0,
sen 39° 1.52
d2 = 24.5°, y la longitud real de la trayectoria que pasa por el vidrio es — 0.857 mm.
El cam ino óptico es L = n(AB) = 1.52(0.857 mm) = 1.30 mm.
39=5
REFLEX IO N INTERNA TOTAL
La figura 39-21 muestra los rayos provenientes de una fuente puntual en un vidrio que inciden sobre una interfaz vidrioaire. Conforme aumenta el ángulo de incidencia 9, llegamos a una situación (véase el rayo é) donde el rayo refractado apunta a lo largo de una superficie, con un ángulo de refrac ción de 90°. En los ángulos de incidencia más grandes que este á n g u lo c rític o 6C, no existen rayos refractados, y habla mos entonces de una reflexión in tern a total. A
á
n|
sen 0C = n 2 sen 90° «2
= 0.414
o bien
d 0.78 mm A g — ----------= — -------eos 6*2 eos 24.0
El ángulo crítico lo obtenemos haciendo 07 = 90° en la ley de la refracción (Ec. 39-4):
«i
(39-17)
Para un vidrio en el aire, 9C — sen- *(1 -00/1.50) = 41.8°. La figura 39-12b indica que el 100% de la energía de la onda se refleja cuando el ángulo de incidencia rebasa los 41.8°. El seno de un ángulo no puede ser mayor que la unidad, por lo cual es preciso tener n7 < n { . Ello nos indica que la refle xión interna total no puede ocurrir cuando la luz incidente está en el medio con menor índice de refracción. El adjetivo total significa exactamente eso: la reflexión se realiza sin pérdida de intensidad. Por el contrario, en la reflexión ordinaria de un espejo hay una pérdida aproximada de intensidad de 4%. La reflexión interna total posibilita los dispositivos de fibra óptica con que los médicos estudian visualmente muchos sitios internos del cuerpo (Fig. 39-22). En estos apa ratos un haz de fibras transmite una imagen que puede obser varse visualmente fuera del cuerpo.* Las fibras ópticas se emplean asimismo en las comunicaciones telefónicas, en la transmisión electrónica de datos y gracias a su peso ligero y a * Consúltese “Optica! Fibers in Medicine" de Abraham Katzir, Scienñfic
American, mayo de 1989, p. 120.
-á Aire_______ '/¡ario
F i g u r a 3 9 - 2 1 . La reflexión interna total de la luz desde una fuente puntual S ocurre en todos los ángulos de incidencia mayores que el ángulo critico 6C. En este último los rayos refractados apuntan a lo largo de la interfaz aire-vidrio.
fig u r a
3 9-2 5.
a) Problem a resuelto 39-6. b) Problem a
resuelto 39-7.
o bien s e n 0c 'iG U R A
3 9 -2 3 .
La luz se transmite a través de una fibra óptica. -Cubierta
donde el índice de refracción del aire (= n0) es igual a la unidad. Puesto que se presenta una reflexión interna total, 0Cdebe ser menor que 45°; por consiguiente, n >
1
sen 45°
1.41.
En consecuencia, el índice de refracción del vidrio debe ser mayor que 1.41. Si n fuese m enor que 1.41, el rayo de la figura 39-25a se refractaría parcialm ente en el aire, en vez de retornar y reflejarse por com pleto en el vidrio. F i g u r a 3 9 - 2 - 4 . a) Fibra óptica mostrada en una sección transversal. Su diámetro mide más o menos lo mismo que un cabello humano, b) Vista transversal, que m uestra la propagación de la reflexión interna total. Se m uestran el núcleo, el revestim iento (de índice m enor que el núcleo) y la cubierta protectora.
la ausencia de interferencia electromagnética, en el transpor te de señales en aviones. La figura 39-23 muestra la luz pro veniente de una fibra óptica. * Como se ve en la figura 39-24, la fibra consta de un núcleo central que gradualmente se convierte en un revesti miento externo de un material con menor índice de refrac ción. Sólo los rayos que se reflejan internamente pueden propagarse por la fibra. Se han desarrollado materiales de extrema pureza con el propósito de reducir la atenuación de la señal cuando pasa a través de la fibra. Si el agua de mar fue se transparente como el vidrio con que se construyen las fibras, sería posible ver su fondo mediante la luz solar refle jada a varias millas de profundidad. P r o b l e m a R e s u e l t o 3 9 - 5 . La figura 39-25a m uestra un pris ma triangular de vidrio: se refleja totalmente un rayo incidente nor mal a una cara. Si 9Xes 45°, ¿qué puede concluirse respecto al índice de refracción n del vidrio? Solución El ángulo 6X debe ser igual o m ayor que el ángulo crítico 9C, donde 6C, está dado por la ecuación 39-17:
sen
’^Consúltese ’‘Lightwaves and Telecommunication” de Stewart E. Miller,
American Scientist, enero-febrero de 1984, p. 66, y “Light-Wave Communica tions”, de W. S. Boyle, Scientific American, agosto de 1977, p. 40.
P r o b l e m a R e s u e l t o 3 9 - 7 . ¿Qué sucede si el prism a del pro blem a resuelto 39-6 (suponga que n¡ = 1.50) está sum ergido en agua (/z, = 1.33)? (Fig. 39-25b).
S olución El nuevo ángulo crítico, dado por la ecuación 39-17, es 0,
, tu
, 1.33 1.50
62.5°.
El ángulo real de incidencia (45°) es m enor que esto, de m anera que no tenem os la reflexión interna total. Existe un rayo reflejado r, con un ángulo de reflexión de 45°, com o se observa en la figura 39-25b. Hay adem ás un rayo refracta do r', con un ángulo de refracción dado por n¡ s e n 0 , = n2 send2 (1.50)(sen 45°) = (1.33) sen A , que produce 90 — 52.9°. D em uestre que, a m edida que « , —* n v 19C ___ _____ _____ — 90°^ _ "___ __
¿De qué manera el rayo incidente i en las figura 39-25a y 39-25 b determina si hay aire o agua más allá del vidrio? En otras palabras, ¿cómo “sabe” si se refleja por completo o si se refracta parcialmente? La onda viajera en el vidrio crea campos eléctricos y magnéticos que son funciones exponenciales que decrecen fuertemente con fuerza la distancia, las cuales pene tran algunas longitudes de onda en el siguiente medio. Esos campos no se relacionan con una onda viajera, pero pueden con siderarse como una “muestra” del medio más allá de la interfaz. Podemos demostrar la penetración colocando un segundo prisma de vidrio cerca del primero, como se indica en la figura 39-26. Al muestrear el medio 2 (el aire), los campos perciben al segun do prisma; aunque la ley de la refracción prohíbe que las ondas aparezcan en el espacio de aire entre los prismas, sí les permite propagarse en el segundo prisma. Nótese en la figura 39-26 que
van. Ello significa que la “fuente que se aleja del observador” y “el observador que se aleja de la fuente” son situaciones físicamente idénticas y deben presentar ex actam en te la m is m a frecuencia de desplazamiento Doppler. En lo tocante a la luz, las ecuaciones 39-18 o 39-19 son incorrectas. Como veremos más adelante en la sección, el efecto Doppler predicho por la teoría de la relatividad es
r M. F i g u r a 3 9 - 2 6 . Reflexión interna total frustrada. Cuanto más gruesa es la separación de aire, más pequeña será la intensidad de la luz en el segundo prism a (indicado por el ancho de los rayos). Nótese que las ondas luminosas no aparecen en la separación.
el rayo luminoso aparece en el segundo prisma, no así en el espacio de aire. A este fenómeno se le conoce como reflexión interna to ta l fru stra d a y es una propiedad general de las ondas. (Puede hacerse con las microondas por ejemplo.) En la mecáni ca cuántica, las propiedades ondulatorias de las partículas materiales permiten un efecto similar llamado p e n e tr a c ió n de barrera: una partícula puede pasar de una región permitida a otra penetrando en una región donde esté prohibida. En el capí tulo 46 nos ocuparemos de la penetración de barrera.
3 9 = 6 EL EFECTO D O PPLER PARA LA LU Z En la sección 19-9 demostramos que, si una fuente so n o ra se dirige hacia un observador con una velocidad u, la frecuencia / escuchada por él es (consúltese la ecuación 19-42, que hemos rearrcglado y en que hemos sustituido u por vs ) f = fo-
1 1 + ulv
(onda sonora, observador fijo, fuente que se aleja).
(39-18)
En esta ecuación/0 es la frecuencia escuchada cuando la fuen te se halla en reposo y v la velocidad del sonido. Al cambio de frecuencia causado por el movimiento relativo se le llama efecto D oppler.
Si la fuente está en reposo en el medio transmisor pero el observador se aleja de ella con una velocidad u, la frecuencia observada (ecuación 19-39, donde u ha sido sustituida por v0 es / = /„ (1 - u h )
f —f Q
^ ~ u^c (onda de luz, fuente fija, Vi — u 2/ c 2observador que se aleja).
La ecuación 39-20 se aplica exclusivamente al caso especial en que la dirección de la propagación de la luz es la misma que la dirección del movimiento relativo de S y de S'. Podemos modificar la ecuación 39-20 en caso de que la fuente y el observador estén acercándose entre sí; basta reemplazar u por — u. Por medio del teorema del binomio podemos expandir la raíz cuadrada en la ecuación 39-20 como (1 — u2/ c 2) ~ l/2 = L if/c 1 + lo cual nos da 1 f = fo
1
U c
i 7'*
(39-21)
La razón u/c para la mayor parte de las fuentes de luz, aun en las de dimensiones atómicas es pequeña. En tales casos, los térmi nos en w2/c2 (y los términos de orden superior) son insignifi cantemente pequeños y el término de primer orden u / c ofrece una estimación razonable del desplazamiento Doppler. En 1938, H. E. Ivés y G. R. Stilwell efectuaron la prueba experimental clásica del efecto Doppler relativista. Enviaron un haz de átomos de hidrógeno, generado a partir de una des carga de gas, a lo largo de un tubo con una velocidad u, como se ve en la figura 39-27. Pudieron observar la luz emitida por los átomos en dirección contraria a 5 (átomo 1, por ejemplo), usando para ello un espejo y también en dirección paralela a fi (átomo 2, por ejemplo). Con un espectógrafo de gran pre cisión, pudieron fotografiar una línea espectral característica de esta luz, obteniendo en una escala de frecuencia las líneas marcadasyj y f 0 en la figura 39-27 b. Además es posible foto grafiar, en la misma placa, una línea correspondiente a la luz emitida de los átomos en re p o so ; las líneas aparecen como /
(onda sonora, fuente fija, observador que se aleja).
Con valores idénticos de la velocidad relativa de separación u de la fuente y del observador, las frecuencias predichas por las ecuaciones 39-18 y 39-19 son distintas. Ello no debe sorpren demos, pues una fuente sonora que se desplace por un medio donde el observador se halla en reposo será físicamente dife rente a un observador que se mueve por el medio con la fuen te en reposo, como se comprueba al comparar las figuras 19-14 y 19-15 y cómo se demostró en el problema resuelto 19-6. Estamos tentados a aplicar las ecuaciones 39-18 y 39-19 a la luz, sustituyendo c (la velocidad de la luz) por v (la velo cidad de sonido). Sin embargo, en el caso de la luz en con traste con el sonido ha sido imposible identificar un medio de transmisión respecto al cual la fuente y el observador se mue
(39-20)
30 kV
100 V
Al espectrógrafo .y .
a)
Región de-J arco de hidrógeno |A /l
by F ig u r a
f\
f
3 9-2 7.
Ives-Stilwell.
ísfi
Región de aceleración
i í
2
Aparato que se utilizó en el experimento de
•3 S -4 Velocidad u ( 106 m /s ) 0.865 1.01
1.15 1.33
Experimento de Ives-Síilwell A /// 10 - 5 Relativista
Clásica
Experimento
0.835 1.13 1.45 1.97
1.67 2.26 2.90 3.94
0.762 1.1
1.42 1.9
en la figura 39-27 b. En este experimento una magnitud fun damental medida es á f / f definida a partir de A / __ Af 2 - A/, (39-22) /
/
(Fig. 39-27¿>). Mide hasta qué punto la frecuencia de la luz emitida por los átomos en reposo no se sitúa a la mitad entre las frecuencias/j y /(,. La tabla 39-4 muestra que los resulta dos medidos coinciden con la fórmula predicha por la teoría de la relatividad (ecuación 39-20), y no con la fórmula clási ca tomada de la teoría de la propagación del sonido en un medio material (ecuación 39-18). Ivés y Stilvvell no presentaron sus resultados experimen tales como evidencia en favor de la teoría de la relatividad de Einstein; más bien les dieron una interpretación teórica alter na. Hoy los observadores modernos, que no sólo se centran en el excelente experimento de ambos sino también en toda los datos experimentales disponibles, interpretan el experimento de Ives-Stilwell como acabamos de señalar: como una prueba del efecto Doppler relativista. P r o b l e m a R e s u e l t o 3 9 - 3 . Un cuasar distante se aleja de la Tierra con una velocidad u. U n astrónomo busca cierta línea espec tral en la luz de este cuasar. Esa línea, emitida por el hidrógeno ató mico, se observa usando tubos de descarga de hidrógeno en la Tierra que tengan una longitud de onda de A0 = 121.6 nm. El astrónomo descubre la línea espectral de hidrógeno emitida por el cuasar en una longitud de onda de A = 460.9 nm. Suponiendo que el cuasar se ale ja radialm ente de la Tierra, ¿cuál es su velocidad en relación con ella?
Solución Utilizam os la ecuación 39-20, que reescribim os en fun ción de la longitud de onda: c
c
4
A0
A — An
1 — ule _ u 2/c 2 1 + ule
1 — ule
(39-22
Al resolver para la velocidad obtenem os u _
T ~
(A/A0): - 1 (A/A0)2
+1 '
(39-24)
Con A/A0 = 460.9 nm /1 2 1 .6 nm = 3.79, obtenemos (3.79 )2 c
1
(3.79 ) 2 + 1
= 0.87.
El cuasar se aleja de la Tierra a 87% de la velocidad de la luz. Este cálculo determ ina sólo el com ponente radial o la línea de vista de la velocidad relativa. El efecto D oppler causa el siguiente efecto: las longitudes de onda de luz provenientes de objetos que se alejan de la Tierra se alar-
F i g u r a 3 9 - 2 3 . a) Galaxia en la constelación Corona Boreal. b) L a raya central m uestra el espectro de longitudes de onda de la luz em itida por esta galaxia. Las dos bandas verticales oscuras m uestran las líneas de absorción relacionadas con el calcio, que se encuentra en esta galaxia. Las líneas espectrales arriba y debajo se registraron con una fuente de laboratorio para calibrar la longitud de onda. L a flecha horizontal índica a qué distancia se desplazan las líneas de calcio, desde donde se supone que deberían aparecer si las em itiera una fuente en reposo dentro del laboratorio. A partir de este corrim iento D oppler se deduce que la velocidad de alejam iento de la galaxia es de unos 21,000 k m /s.
gan o cam bian de dirección y se dirigen al extremo rojo (longitud de onda larga) del espectro visible. De allí que se les conozca como corri miento al rojo. En la figura 39-28 se incluye un ejemplo de dicho espectro, a partir del cual es posible determinar la velocidad de la gala xia en relación con la Tierra. Muchas observaciones revelan que todos los objetos distantes se alejan de nosotros y que se da una velación directa (lineal) entre la velocidad del objeto y su distancia de la Tierra: cuanto más apartado esté, más rápido se alejará de nosotros. Este com portamiento lineal, deducido de las mediciones del corrimiento al rojo, es la prueba fundamental de la expansión del universo.
O b i sil 2ióii d si S122Í© iAuoplsr relativ ista En seguida vamos a examinar el origen de la ecuación 39-20 referente al efecto Doppler relativista y por qué difiere de las ecuaciones 39-18 y 39-19. La figura 39-29a contiene un observador S' que transporta una fuente de ondas electro magnéticas. Esta fuente emite una serie de N frentes de onda. El observador 5 se halla en movimiento respecto a S' con una velocidad ü. En el instante presentado en la figura 39-2 9a, el primer frente de onda acaba de llegar a la posición actual de S. Desde el punto de vista de S', la distancia recorrida por el frente es c AtQ. Utilizamos el subíndice 0 para destacar que el intervalo Af0 es el tiem po p ro p io ; como se definió en el capí tulo 20, el intervalo de tiempo propio es aquel en que los eventos que marcan el inicio y el final del intervalo ocurren en el mismo sitio. S' mide el intervalo AfQ como el tiempo transcurrido entre la emisión del primer frente de onda y el frente en ésim o , que aparece en el mismo lugar dentro del marco de referencia de S'. De acuerdo con S ' , la longitud de onda A' es la distancia total que ocupan los N frentes de onda, dividida entre el número de estos frentes de onda, o sea
ó A f0
A'
(39-25)
N
La frecuencia y la longitud de onda están relacionadas por medio de c — A_/q, asi que c N /» =
^
^
(3 9 -2 6 ,
Examinemos ahora la misma situación desde el punto de vista del observador S, en la cual S' es quien está en movi miento con una velocidad —ü, como se aprecia en la figura 39-29 b. Para S, el primer frente de onda se dirige del sitio de 5' al lugar (fijo) de 5 en un tiempo At, y recorre una distancia c A/. En ese mismo intervalo, S' se mueve una distancia u Ai. (Nótese que At no es el intervalo de tiempo propio para S, quien observa el primer frente de onda que se emite cuando la fuente está en un lugar y el último frente de onda que se ori gina en dicha fuente cuando se encuentra en otro sitio. Desde el punto de vista de S, los N frentes de onda ocu pan una distancia de u Ai + c At y, por lo mismo, la longitud de onda A es A = ¿í A t + c At _ (39.27) Con/ = c/A y N = f Q At0 a partir de la ecuación 39-26, tenemos cN
A
u
Ai + c Ai
-fo
Aín Ai 1 + ule
(39-28)
La relación entre el intervalo de tiempo propio Aí0 y el intervalo (más largo) Ai está dada por la fpmmla de..dilatación del tiem po, ecuación 20-3: A? = A r . / ’V 1 - u2¡ c 2\ por consiguiente, Vi — i r l e 2
1
ule
(39-29) Vi u 2/ c 2 expresión idéntica a la ecuación 39-20. ¿Por qué el procedimiento anterior para las ondas lumino sas da un resultado diferente a los obtenidos con las ondas clá sicas (sonoras)? En las ecuaciones 39-26 y 39-28, hemos empleado c = A'/0 y c — Áf, esto significa que los observado res S ' y S miden la misma velocidad de las ondas luminosas. / = /o-
1 + ule
;fo
Esto lo exige el segundo principio de la relatividad: la veloci dad de la luz en el espacio vacío posee el mismo valor para todos los observadores, sin que importe cuál es su movimiento relativo. Sin embargo, tratándose de las ondas sonoras, la velo cidad ondulatoria relativa al medio que las transporta varía para los observadores que se desplazan con distinta velocidad.
E l efecto Doppler tran sv ersal Hemos obtenido la ecuación 39-29 para el caso especial en que el movimiento relativo de S y de S' se realiza a lo largo de la línea que los conecta. En términos generales, la velocidad v. podría encontrarse en algún ángulo 6 relativo a esta línea. En el primer término de la ecuación 39-29, el numerador se origina en el factor de dilatación del tiempo y depende sólo de la mag nitud de 5, y no de la dirección relativa del movimiento. No obstante, el denominador contiene al componente de 1 a lo lar go de la línea que conecta S y S', de modo que la distancia u At en la figura 39-29 b y en la ecuación 39-28 seria (u eos 6) At. En conclusión, la ecuación 39-29 queda así — u 2/ c 2 1 + (ule) eos 6 A
f = fo
(39-30)
En el caso especial en que 8 = 90°, la ecuación 39-30 es f ~ fo A — iT /c 2 . (39-31) La ecuación 39-31 describe el efecto D o p p le r tran sversal, que se aplica cuando la fuente o el observador se mueve transver sal o perpendicularmente a la línea que los conecta. El efecto Doppler clásico aplicado a las ondas sonoras no cuenta con un término transversal: no se modifica la frecuencia si la fuente sonora o el observador se mueve transversalmente. El efecio Doppler transversal es un efecto relativista en su totalidad, sin su complemento clásico. En 1963 Walter Kundig logró una confirmación elegante y sensible del efecto Doppler transver sal en los rayos gamma: utilizó una fuente de rayos gamma en el centro de un rotor centrífugo y un detector en el borde. Un resumen de sus resultados se incluye en la figura 39-30.
u Afn
b)
7 / i i TI i i í u Ai
c Ai
F i g u r a 3 9 - 2 9 . a) Fuente de ondas luminosas en el marco de referencia S' emite N frentes de onda. La figura m uestra el instante en que el prim er frente llega a S, que se desplaza con la velocidad S. b) La misma situación vista desde el marco de referencia de S.
Velocidad efectiva de la fuente Los resultados del experimento de Kundig (con los puntos de datos indicados por los puntos negros) referentes al efecto Doppler transversal coinciden con la teoría de la relatividad (Ec. 39-16) y discrepan con la teoría clásica, la cual predice la ausencia del efecto.
F ig u r a
3 9-3 0.
P r o b l e m a R e s u e l t o 3 9 - 9 . Un satélite terrestre gira de este a oeste a una altitud de h = 153 km en una órbita circular arriba del ecua dor (Fig. 39-31). Un barco de localización se encuentra en el ecuador en el meridiano primero a una longitud de 0 o (en la costa occidental de Àfrica). El satélite emite ondas de radio con una frecuencia de 122.450 Mhz. ¿A qué frecuencia debería el barco sintonizar su recep tor cuando el satélite se halla a) directamente arriba, b) a una longitud de 10° al oeste del barco y c) a una longitud de 10° al este de él?
Solución á) Suponemos que el marco S' se desplaza junto con el saté
lite en el instante en que se encuentra arriba del barco; el marco S es el del barco. La frecuencia f 0 observada en el marco S' (el satéüte) es 122.450 Mhz. La velocidad relativa u entre los marcos se debe a la rapidez orbital del satélite a una altitud h o a un radio R = Re + h, don de Re es el radio de la Tierra. La aceleración gravitacional en el radio R es M G /R2, que debe imprimir la aceleración centrípeta u2/R necesa ria para una órbita circular. Por tanto, M G /R 2 = it2/R , o sea
tí = Ú ^ L = J I m Z V R
Vr e + h
=
J V
(-5 M
= 7.82
X
x 1024 kg)(6.67 x~1 0 - 11 N-mVkg2) 6370 km + 153 km 103 m/s = 2.61
X
F íg s j r a 3 9 - 3 1 . Problema resuelto 39-9. Un satélite se encuentra en órbita circular a una altitud h sobre la superficie terrestre. Una nave en la superficie observa las señales emitidas por el satélite.
o bien Q = c o t-' 4.428 = 12.7°.
10~5c.
Cuando el satélite se encuentra exactamente arriba del barco, el corri miento Doppler se calcula mediante la ecuación 39-30 con 6 = 90°: / = /o Vi - u2/c2.
Ahora con la ecuación 39-30 podemos obtener la frecuencia, usando el resultado de la parte a) de que el factor de raíz cuadrada es casi 1 y sustituyendo —u por u, porque el satélite se aproxima al barco: /o
Con u /c = 2.61 X 10~5, tenemos u -/c - = 6.8 X 10~10. La magni tud bajo el radical difiere de 1 apenas por unas cuantas partes 10 10; así que con la precisión deseada / « / o = 122.450 MHz. b) Cuando el satélite no está arriba del barco, hay que calcular el ángulo 9 entre la velocidad del satélite y la línea directa del barco localizador (Fig. 39-31). Trazamos la línea BD perpendicular a AC (= R e + h). Entonces, como el ángulo ABD = 9, tenemos cot 9 = BD/AD , donde BD = RE sen ó y AD = AC - CD = RE + h - RE eos 4>. Por tanto, Rp señ ó cot 6 = -------------------------h + Rp/ 1 ~ eos ó) (6370 km)(sen 10°) = ----------- i----------------------- = 4.428 153 km + (6370km )(l — eos 10°)
1 - (u/c)cos 9
=
________ 122.450 MHz 1 - (2.61 X 10“5)(cos 12.7°) '
= 122.453 MHz. c) Una vez que el satélite pasa arriba del barco, su movimiento se aleja del observador y la ecuación 39-15 da /o = ________ 122.450 MHz 1 + (ufc)cos 9 1 + (2.61 X 10~3)(cos 12.7°) = 122.447 MHz. Vemos que la frecuencia detectada en la Tierra fluctúa entre 122.453 Mhz (cuando el satélite se acerca), 122.450 Mhz (cuando está arriba del barco) y 122.447 Mhz (cuando se aleja). Así pues, una medición de la frecuencia del corrimiento Doppler es suficiente para localizar al satélite.
L 'P C IÓ N MÚLTIPLE El espectro electromagnético 3."- a Luz visible 1. ¿Cuál color de la luz recibe una absorción mínima en las plantas? A) El rojo B) El amarillo C) El azul D) El violeta
3 9 -3 La velocidad de la luz 2. La velocidad de la luz en el agua es menor que en el aire. ¿Qué cambia cuando un rayo de luz roja, A = 650 nm, pasa del aire al agua?
A) La frecuencia C) El color E) A, B y C 3.
B) La longitud de onda D) A y B
¿En cuál de los siguientes tipos de sustancias podría ia veloci dad de la luz ser mayor que c? A) Dieléctrico B) Diamagnético C) Paramagnètico D) Ferromagnètico E) Ninguno de los anteriores
4.
Basándose en lo estudiado en la sección 39-3, ¿esperaría que la luz roja se moviera con mayor o menor rapidez a través de una sustancia que la luz azul? A) La luz roja se movería más rápidamente. B) La luz azul se movería más rápidamente. C) Las dos se mueven con la misma rapidez, pues el color es una designación psicológica. D) La respuesta depende de la sustancia.
9. Un rayo de luz incide en la frontera entre dos sustancias como se aprecia en la figura 39-34. Las sustancias tienen distinto índi ces de refracción. ¿Cuál rayo incidente no podría haberlo pro ducido?
39-4 Reflexión y refracción de las ondas luminosas 5 . Un rayo de luz choca contra un reflector de esquina como se
aprecia en la figura 39-13. Al aumentar el ángulo de incidencia O, el ángulo existente entre el rayo reflejado final y el rayo inci dente A) aumenta B) disminuye C) permanece inalterado D) La pregunta no puede contestarse sin calcular indivi dualmente cada ángulo incidente. 6 . Un rayo de luz choca contra uno de dos espejos que se encuen tran en un ángulo de 60°, como se ve en la figura 39-32. Al ir creciendo el ángulo de incidencia 8, el ángulo existente entre el rayo final reflejado y el rayo incidente A) aumenta B) disminuye C) no se altera D) La pregunta no puede contestarse sin calcular indivi dualmente cada ángulo incidente.
•t iGUF.A 3 9 - 3 4 . Pregunta de opción múltiple 9.
10. El ángulo de incidencia de un rayo luminoso es &■ = 20°, y el de refracción es 6V> 20°. a) Si el ángulo de incidencia disminuye 10°, el ángulo de refrac ción A) también disminuirá 10° B) disminuirá más de 10° C) disminuirá menos de 10° D) La pregunta no puede contestarse sin más información. b) Si cambiáramos el ángulo de incidencia de modo que el de refracción se duplicase, entonces el ángulo de incidencia ,.':.A) tam bién debe haberse duplicado B ) será m ás del doble
\
C) será menos del doble D) La pregunta no puede contestarse sin más información.
i \ 6>|-
A i F iG U S A
33-32 .
3 S - 5 Reflexión interna total Pregunta de opción múltiple
6.
7. Una rayo de luz brilla en dos espejos que se encuentran en un ángulo a- (medido en radianes). ¿Cuál es una estimación razo nable del número máximo de veces que la luz rebotará contra ellos antes de salir? --------A) 277-/a B) 77-/a C) y - i r /a D) y ir /a Un rayo de luz incide en la frontera entre dos sustancias, como se muestra en la figura 39-33. Las sustancias tienen distintos índices de refracción. ¿Cuál rayo saliente no podría producirse a partir del rayo incidente?
11. La luz que se desplaza por tres sustancias transparentes sigue la trayectoria mostrada en la figura 39-35. Ordene los índices de refracción del más pequeño al más grande. Nótese que la refle xión interna total sí tiene lugar en la superficie del fondo del medio 2. A)
« j < n-, < n-
B) n0 <
C )
71.
D) 7Z3 <
< 773 77, <
7Z,
n3 F ig u ra
39 -33.
Pregunta de
o p ció n
múltiple
11.
12, La luz incide en un bloque de vidrio como se indica en la figu ra 39-36. 6l aumenta un poco. ¿Qué sucede con #,? A) &-, también aumenta un poco B) fí, permanece inalterado C) 0, disminuye un poco D) 60 cambia repentinamente, pues el rayo experimenta una reflexión interna total
D) La respuesta depende del índice de refracción del agua. 14. Se observa que un rayo de luz sale de una frontera entre dos sus tancias, como se indica en el figura 39-37. La sustancia tiene varios índices de refracción. ¿Cuál rayo incidente podría no haber producido el rayo saliente? A B C
F i g u r a 3 9 - 3 7 . Pregunta de opción múltiple 14.
F i g u r a 3 9 - 3 6 . Pregunta de opción múltiple 12.
13. Una lámpara está sumergida en el agua. La luz viaja hacia afue ra en todas direcciones, pero sólo una parte de ella escapa de la superficie del agua. (Compare esto con la figura 39-21.) ¿Qué sucede con la fracción / de luz que escapa de la superficie del agua a medida que la lámpara baja más en el agua? A) /au m en ta B) /dism inuye C) / n o se altera
3 9 - s El efecto Doppler de la luz 15. Se aleja usted de la Tierra a una velocidad v y se da cuenta de que una señal de radio proveniente de ella pasa de 96 a 48 Mhz por el corrimiento Doppler. Se da la vuelta y se dirige hacia la Tierra con la misma velocidad. ¿Cuál será ahora la frecuencia de desplazamiento de la señal? A) Mayor que 192 MHz B) Igual a 192 MHz C) Menor que 192 Mhz.
„ J '^ G U N T A S 1. Las ondas electromagnéticas nos llegan desde muy lejos del espacio. Con la información que contienen, ¿podemos conocer el aspecto actual que presenta el universo?, ¿o en algún momen to del pasado? 2. Si en un examen le preguntaran qué parte del espectro electro magnético se encuentra en el intervalo visible, ¿qué contestaría? 3. Mencione varios aspectos en que las ondas de radio se distin guen de las ondas luminosas visibles. ¿En qué aspectos son iguales? 4. ¿Cómo caracterizaría la radiación electromagnética que tiene una frecuencia de 10 lcHz? ¿De 1020 Hz? ¿Y una longitud de onda de 500 nm? ¿O de 10 km? ¿O de 0.50 nm? 5. ¿Qué determina la longitud y la orientación adecuadas de la antena de televisor “orejas de conejo”? 6. ¿Cómo cocina comida un homo de microondas? ¿Puede hervir agua en una bolsa de plástico con él? ¿Cómo ocurre eso? 7. ¿De qué manera podría medirse una curva de sensibilidad del ojo como la de la figura 39-6? 8. ¿Por qué las señales de peligro están en rojo, cuando el ojo es más sensible al amarillo-verde? 9. En relación con la figura 39-6, a) ¿cree posible que la longitud de onda de la sensibilidad máxima podría variar si cambiara la intensidad de la luz? tí) ¿Qué aspecto podría tener la curva de la figura 39-6 para un grupo de daltónicos que no distinguieran, por ejemplo, entre el rojo y el verde?
10. Suponga que el ojo humano fuera insensible a la luz visible, pero muy sensible a la luz infrarroja. ¿Qué cambios ambienta les se necesitarían si usted tuviera que a) caminar por un largo corredor y b) conducir un automóvil? ¿Existiría el fenómeno del color? ¿Qué modificaciones habría que hacer a los semáforos? 11. ¿Qué característica de la luz corresponde a la sonoridad? 12. ¿Cómo pudo Galileo haber probado experimentalmente que los tiempos de reacción son una fuente potentísima de error cuando intentó medir la velocidad de la luz, como se describe en la sec ción 39-3? 13. ¿Se le ocurre una observación “ordinaria” (es decir, sin aparato experimental) que demuestre que la velocidad de la luz no es infinita? Piense en los relámpagos, en las posibles discrepancias entre el tiempo predicho de la salida del sol y el tiempo obser vado, en las comunicaciones de radio entre la Tierra y los astro nautas en naves que giran, etc. 14. Comente la siguiente afirmación: en virtud de la forma en que se define el metro, ya no es posible medir la velocidad de la luz. 15. Se ha dicho que con el tiempo la velocidad de la luz puede cambiar un poco. ¿Encuentra usted alguna prueba de esto en la figura 39-1? 16. En el vacío, ¿la velocidad de la luz depende de a) la longitud de onda, b) la frecuencia, c) la intensidad, d) la velocidad de la fuente o e) la velocidad del observador?. 17. Describa cómo sería su ambiente inmediato si todos los objetos absorbieran por completo la luz. ¿Podría ver algo si estuviera
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sentado en una silla en un cuarto? Si un gato entrara, ¿podría verlo? ¿Se le ocurre una prueba u observación simples para probar que la ley de la reflexión es igual con todas las longitudes de onda, en condiciones donde predomine la óptica geométrica? Una lámpara de la calle, vista por reflexión a través de un depó sito de agua donde hay ondulaciones, aparece muy alargada en la línea de visión, pero no a los lados. Explique el fenómeno. Las transmisiones de onda corta originadas en Europa se escu chan en Estados Unidos, a pesar de que la trayectoria no es una línea recta. Explique por qué. El tiempo de recorrido de las señales desde los satélites hasta las estaciones terrestres varía con su frecuencia. ¿Por qué? ¿En qué porcentaje la velocidad de luz azul en el cuarzo fusio nado difiere de la velocidad de la luz roja? ¿Cómo puede determinar los índices de refracción de los me dios de la tabla 39-3 en relación con el agua, con los datos que se incluyen en ella? ¿Esperaría usted que las ondas sonoras obedezcan las leyes de la reflexión y de la refracción? Por medio del principio de Huygens, explique la propagación de las ondas esféricas y cilindri cas. ¿Se aplica a las ondas sonoras en el aire? Si el principio de Huygens predice las leyes de la reflexión y de la refracción, ¿por qué es necesario o conveniente ver la luz co mo una onda electromagnética, con la complejidad asociada? Se ensancha un haz luminoso al penetrar en el agua. Explique su respuesta. ¿Es correcto decir que no existe interacción entre la luz visible y el medio transparente por donde pasa? ¿Cómo afecta la refracción atmosférica al tiempo de puesta del Sol?
29. Las estrellas parpadean, no así los planetas. ¿Por qué? 30. Explique por qué el extremo lejano de una alberca llena a una profundidad uniforme parece estar menos profundo que el que se halla cerca del observador en su borde. 31. Es un hermoso día soleado y usted quiere crear un arco iris en su patio utilizando una manguera de jardín. Describa con todo detalle cómo lo haría. A propósito, ¿por que no puede caminar debajo o ir al extremo de un arco iris? 32. ¿Es posible, usando uno o más prismas, recombinar en la luz blanca el espectro de colores que se forma cuando esta luz blan ca pasa por un solo prisma? Si la respuesta es afirmativa, expli que cómo. 33. Describa y explique lo que ve un pez cuando dirige la vista en varias direcciones arriba de su horizonte. 34. ¿Por qué un diamante “brilla” más que una imitación de vidrio cortado al mismo tamaño? 35. ¿Es verosímil que una longitud de onda de luz cambie al pasar del aire al vidrio, no así su frecuencia? Explique su contestación.
36. En la reflexión y en la refracción, ¿por qué los rayos reflejados y refractados se hallan en el plano definido por el rayo inciden te y normal a la superficie? ¿Se le ocurren algunas excepciones? 37. Diseñe un periscopio aprovechando la reflexión interna total. ¿Cuáles son las ventajas en comparación con los espejos platea dos? 38. ¿Qué características debe reunir un material a fin de servir de “tubo eficiente de luz”? 39. Una pasta dental tiene un mango rojo de plástico con hileras de cerdas de nailon. La parte superior de las cerdas (no sus lados) aparece de color rojo. Explique por qué. 40. ¿Por qué las fibras ópticas son portadores más eficaces de infor mación que, por ejemplo, las microondas o los cables? Refle xione sobre las frecuencias en cuestión. 41. ¿Es el efecto Doppler simplemente un efecto de dilatación dei tiempo y nada más o hay algo más en él? 42. Un miembro de un sistema binario de estrellas emite luz visible. Demuestre en una gráfica simple cómo varía con el tiempo el corrimiento de frecuencia Doppler en la Tierra. 43. ¿Puede una galaxia estar tan distante que su velocidad de retro ceso sea igual a c? De ser así, ¿cómo podemos verla? Es decir, ¿llegará algún día su luz a nosotros? 44. Los rayos gamma son radiación electromagnética emitida de los núcleos radiactivos. En el espacio libre, ¿se desplazan con la misma rapidez que la luz visible? ¿Depende su velocidad de la del núcleo que los emite? 45. Quizá ia observación astronómica más simple que puede hacerse es la siguiente: el cielo se pone rojo cuando el Sol se oculta. Esto es verdad y parece obvio, pero podemos afirmar que no debería ser,así. Reflexione: “Suponiendo un universo infinito, poblado uniformemente por estrellas más o menos como nuestro Sol, podríamos decir que una línea recta proyectada desde el obser vador en cualquier dirección terminará por chocar contra una estrella. La distancia R de la mayoría de estas estrellas será muy grande efectivamente y, por lo mismo, las estrellas iluminan al observador con muy poca intensidad: la iluminación varía como 1/i?2. Por otra parte, el número de estrellas lejanas situadas en una capa esférica cuyos radios son R y R + dR aumenta como R2 (suponiendo que dR sea constante). ¿Puede probar esta últi ma aseveración? Los dos efectos parecen cancelarse exacta mente. Así pues, el cielo nocturno debería tener una brillantez prácticamente infinita, pues una infinitad de soles iluminarían al observador”. ¿Tiene alguna falla este razonamiento (llamado generalmente la paradoja de Olber)? Imagine la velocidad infi nita de la luz, la gran escala del universo, el cosmos en expan sión y el corrimiento rojo asociado, la vida infinita de las estrellas, etc. (Consúltese en “The Dark Sky Paradox” de E. R. Harrison, American Journal ofPhysics, febrero de 1977, p. 119, una excelente reseña histórica y una explicación reveladora.)
___JER C X C X O S_ 3 3 - i E! espectro electromagnético 1. Demuestre que las marcas de frecuencia y de longitud de onda en la figura 39-1 satisfacen la relación /A = c. 2. El Proyecto Seafarer fue un programa muy ambicioso cuyo fin era construir una antena enorme, que se colocaría en un sitio
subterráneo de unos 4000 pies cuadrados de superficie. Su finali dad era transmitir señales a los submarinos mientras estaban sumergidos en lo profundo del mar. Si la longitud efectiva de onda era 1.0 X 104 radios terrestres, ¿cuáles serían a) la frecuencia y b) el periodo de las radiaciones emitidas? Las radiaciones electro
magnéticas rara vez penetran en lo profundo de conductores como el agua de mar. ¿Se le ocurre una razón por la cual las radiaciones de frecuencia extremadamente baja) deberían penetrar con mayor eficacia? Piense en el caso límite de la frecuencia cero. (¿Por qué no transmitir señales a una frecuencia cero? 3. a) Es 0.067 fm la longitud de onda de los rayos x más intensos producidos cuando los electrones se aceleran a 30 GeV en el Stanford Linear Accelerator chocan contra un blanco sólido. ¿Cuál es la frecuencia de estos rayos x? tí) Una onda de radio de muy baja frecuencia tiene una frecuencia apenas de 30 Hz. ¿Cuál es su longitud de onda? 4. La radiación emitida de cierto láser HeNe, aunque centrada en 632.8 nm. tiene un “ancho finito de línea” de 0.010 nm. Calcule el ancho de línea en unidades de frecuencia.
de onda cónico y que su medio ángulo a está dado por sen a = u/v. Esto se conoce como la onda de arco de un barco o la onda de choque causada por un objeto que se desplaza por el aire con una velocidad mayor que la del sonido, como se advierte en la figura 19-16. 13. En la figura 39-38 calcule los ángulos a) 6l y tí)
.58
3 S -2 Luz visible 5. a) ¿Con qué longitudes de onda el ojo de un observador común tiene la mitad de su sensibilidad máxima? tí) ¿Cuáles son la lon gitud de onda, la frecuencia y el periodo de la luz a que el ojo humano es más sensible? 6. ¿Cuántas vibraciones completas están contenidas en el tren de ondas luminosos de 520 nm de longitud, emitidas por un láser durante un tiempo de 430 ps?
39-3 La velocidad de la luz 7. a) Suponga que pudiésemos establecer comunicaciones de radio con habitantes hipotéticos de un planeta también hipotético que gira alrededor de nuestra estrella más cercana, a Centauri, que está a 4.34 años-luz de nosotros. ¿Cuánta tardaría en recibir la respuesta a un mensaje? tí) Repita el ejercicio con la Gran Nebulosa de Andrómeda, uno de nuestros vecinos extragaláctico s m ás cercanos, pero a u n a d istan c ia de 2.2 X 106 años-luz. ¿A qu é conclusión nos llevan las consideraciones anteriores res pecto a la naturaleza de una posible comunicación con civiliza ciones extraterrestres? 8. a) ¿Cuánto tarda una señal de radio en recorrer 150 km desde una antena transmisora hasta una antena receptora? b) Vemos la luna llena por la luz reflejada. ¿Cuánto tiempo antes la luz que llega a nuestros ojos sale del Sol? c) ¿Cuánto tiempo tarda la luz en realizar el viaje de ida y vuelta entre la Tierra y una nave espacial que gira alrededor de Saturno, a una distancia de 1.3 X 109 km? d) Se cree que la Nebulosa Cangrejo, que está a una distancia aproximada de 6500 años-luz, es resultado de la explosión de una supemova registrada por los astrónomos chi nos en 1054. ¿Más o menos en qué año se produjo la explosión? 9. La incertidumbre de la distancia de la Luna, medida por la refle xión de una luz láser proveniente de reflectores colocados en ella por los astronautas de Apolo 11, mide unos 2 cm. Esta incertidumbre se relaciona con la medición del tiempo transcu rrido; ¿qué incertidumbre presenta este tiempo?
F
ig u r a
39-2
Ejercicio 13.
14. La luz en el vacío incide en la superficie de una lámina de vidrio. En el vacío el haz forma un ángulo de 32.5° con la normal a la superficie, mientras en el vidrio forma un ángulo de 21.0° con la normal. Determine el índice de refracción del vidrio. 15. En cierto líquido la velocidad de la luz amarilla de sodio se mide y se descubre que es 1.92 X 108 m/s. Encuentre el índice de refracción de este líquido respecto al aire en el caso de la luz de sodio. 16. Calcule en cuarzo fundido la velocidad de la luz con una longi tud de onda de 550 nm (Fig. 39-11). 17. Cuando un electrón se mueve por un medio con una velocidad superior a la de la luz en ese medio, irradia ondas electromag néticas (el efecto Cerenkov). Para poder irradiar ¿qué velocidad mínima debe tener un electrón en un líquido cuyo índice de refracción es 1.54? 18. Un rayo láser se desplaza a lo largo del eje de una sección rec ta de tubo con 1.61 km de longitud. El tubo normalmente con tiene aire a temperatura y presión estándares, pero también puede vaciarse. ¿En qué caso el tiempo de recorrido del haz sería mayor y por cuánto? 19. Cuando el tanque metálico rectangular de la figura 39-39 se lle na hasta el borde con un líquido desconocido, un observador con los ojos al mismo nivel que el borde tan sólo ve el rincón E. Determine el índice de refracción del líquido. Observador
3 9 - 4 Reflexión y refracción de las ondas luminosas 10. Un reflector de esquina, que se utiliza ampliamente en la óptica, en microondas y en otras aplicaciones, consta de tres espejos pla nos sujetados en la esquina de un cubo. Tiene la propiedad de que un rayo incidente es retomado, luego de tres reflexiones, con su dirección exactamente invertida. Pruebe este resultado. 11. Por medio del principio de Fermat, pruebe que el rayo refleja do, el rayo incidente y la normal se hallan en el mismo plano. 12. Un extremo de un palo se arrastra por el agua con una veloci dad v mayor que la velocidad u de las ondas de agua. Aplíqueles la construcción de Huygens y demuestre que se crea un frente
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39 -39 .
Ejercicio 19.
20. Un rayo de luz pasa por un prisma equilátero en la posición de la desviación mínima. La desviación total es 37°. ¿Cuál es el índice de refracción del prisma? (Problema resuelto 39-4).
21. En la figura 39-14 (Problema resuelto 39-4) demuestre por tra zado gráfico de los rayos y utilizando un transportador, que si 0 el ángulo del rayo incidente aumenta o disminuye, el ángulo de desviación é aumenta. 22. La luz proveniente de un láser entra en un bloque de vidrio en A y sale en B (Fig. 39-40). E! bloque tiene una longitud L = 54.7 cm y un índice de refracción n = 1.63. El ángulo de inci dencia es 6 = 24.0°. Calcule el tiempo necesario para que la luz pase por el bloque.
29. En el vacío la luz de 612 nm de longitud de onda se desplaza 1.57 pm en un medio de 1.51 de índice de refracción. Encuentre a) la longitud de onda en el medio, b) la longitud de la trayec toria óptica y c) la diferencia de fase después de recorrer esa distancia respecto a la luz que se desplaza en el vacío. 30. En el aire la longitud de onda de la luz amarilla de sodio es de 589 nm. a) ¿Cuál es su frecuencia? tí) ¿Cuál es su longitud de onda en un vidrio cuyo índice de refracción es 1.53? c) Con ios resultados de a) y b) determine la velocidad en este vidrio. 31. Pruebe que la longitud de trayectoria óptica de la reflexión y de la refracción en las figuras 39-17 y 39-19 es mínima en compa ración con otras trayectorias cercanas que conectan esos dos mismos puntos. (Sugerencia: examine la magnitud d2L /d x2). 39-5
F i g u r a 3 9 - 4 0 . Ejercicio 22.
23. Debajo de la superficie de agua de un lago, un buzo levanta la vista a 27° de la vertical para ver un salvavidas que flota en la superficie. En el centro se ve la parte superior de un tubo de escape que mide 98 m de altura. ¿A qué distancia del salvavidas está la base del tubo? 24. Un poste vertical de 200 cm de largo y con peso en la base se extiende desde el fondo de una alberca hasta un punto situado a 64 cm arriba del agua. La luz solar incide a 55° arriba del hori zonte. Calcule la longitud de la sombra del poste en el fondo a nivel de la alberca. 25. Una moneda se encuentra en el fondo de una alberca con una profundidad d y un índice de refracción n, como se muestra en la figura 39-41. Demuestre que los rayos luminosos cercanos a la normal dan la impresión de originarse en un punto d = d/n por debajo de la superficie. Esta distancia es la profundidad apa rente de la alberca.
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Aire I_ f AguaA j k n
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F i g u r a 3 9 - 4 1 . Ejercicio 25.
26. Un prisma de vidrio con un ángulo ápice de 60° tiene n — 1.60. a) ¿Cuál es el ángulo más pequeño de incidencia en que un rayo puede entrar por una cara del prisma y salir por la otra? b) ¿Cuál ángulo de incidencia se requeriría para que un rayo cruce el prisma simétricamente? Consulte el problema resuelto 39-4. 27. Una capa de agua (n = 1.33 ) de 20 mm de espesor flota en una capa de tetracloruro de carbono {n = 1.46) de 41 mm de espe sor. ¿ A qué profundidad de la superficie del agua parece estar el fondo del tanque, vista en la incidencia normal cercana? 28. La profundidad aparente de una alberca depende del ángulo de visión. Supóngase que deposita una moneda en el fondo de una alberca llena con agua (n = 1.33 ) hasta una profundidad de 2.16 m. Determine la profundidad de la moneda debajo de la superficie cuando se ve a) en una incidencia normal cercana y tí) mediante los rayos que salen de la moneda y forman un ángu lo de 35.0° con la normal al fondo (Ejercicio 25).
R eflexión in te rn a to ta l
32. Un rayo de luz incide normalmente en la cara ab de un prisma de vidrio (n = 1.52), como se observa en la figura 39-42. a) Supo niendo que el prisma esté inmerso en el aire, obtenga el valor máximo del ángulo
33. Dos materiales, A y B, tienen índices de refracción de 1.667 y 1.586, respectivamente, a) Encuentre el ángulo crítico de la reflexión interna total en una interfaz entre los dos materiales. b) ¿En qué dirección debe un rayo incidente propagarse para que se refleje totalmente? 34. Un pescado se encuentra a 1.8 m debajo de la superficie en un lago tranquilo. ¿A qué ángulo arriba de la horizontal debe ver para mirar la luz proveniente de una pequeña hoguera en la ori lla del agua, situada a 92 m de distancia? 35. Una fuente puntual de luz se halla a 82.0 cm debajo de la super ficie de un depósito de agua. Obtenga el diámetro del círculo más grande en la superficie por donde la luz sale del agua. 36. Un rayo luminoso incide sobre una lámina cuadrada de vidrio, según se observa en la figura 39-43. ¿Cuál debe ser el índice mínimo de refracción del vidrio, si la reflexión interna total ocu rre en la cara vertical?
37. Una onda plana de luz blanca que se desplaza por un cuarzo fundido choca contra una superficie plana también de cuarzo, formando un ángulo de incidencia 6. ¿Es posible que un haz
internamente reflejado aparezca a) azulado o b) rojizo? c) ¿Aproximadamente qué valor de 6 debe utilizarse? (Sugerencia: la luz blanca aparecerá azulada si se suprimen las longitudes de onda correspondientes al rojo.) 38. Un cubo de vidrio tiene una pequeña mancha en su centro. a) ¿Qué partes de su cara han de cubrirse para evitar que la mancha sea vista, sin importar la dirección de la vista? b) ¿Qué fracción de la superficie del cubo ha de cubrirse de esa manera? Suponga un borde de cubo de lado 12.6 mm y un índice de refracción de 1.52. (No tenga el cuenta el comportamiento sub secuente de un rayo de reflexión interna.) 3 9 -s E l efecto D o p p le r d e la lu z
39. Demuestre que, en una línea de 21.1 cm que emplean tanto los astrónomos de radio, un corrimiento de frecuencia Doppler en kHz puede convertirse en una velocidad radial de km /s con sólo multiplicar por 0.211, a condición de que u « c. Demuestre que con velocidades u « c, el corrimiento Doppler puede escribirse en forma aproximada
46. ¿Con qué velocidad habría que cruzar una luz roja, a de hacer que aparezca verde? Tome 620 nm como la longitud de onda de luz roja y 540 nm como la de la luz verde. 47. En el experimento de Ivés y Stilwell, la velocidad u de los áto mos de hidrógeno en una serie era 8.65 X 105 m /s. Calcule A ///, suponiendo que a) la ecuación 39-18 es conecta y qUe b) la ecuación 39-20 también lo es; compare los resultados con los de la tabla 39-4 para esta velocidad. En la Tierra A emite señales con una linterna cada seis minutos. B se halla en una estación espacial estacionaria respecto a la Tierra. C se encuentra en un cohete que va de A a B con una velo cidad constante de 0.60c en relación con A (Fig. 39-44). a) ¿A qué intervalos recibe B señales de A? b) ¿A qué intervalos recibe C señales de A l c) Si C emite un centelleo cada vez que se recibe un centelleo de A, ¿a qué intervalos recibe B centelleos de C?
AA A donde AA es el cambio de longitud de onda. 41. Una nave espacial propulsada por cohetes se aleja de la Tierra con una velocidad de 0.20c. Una luz suya aparece azul a los pasajeros. ¿Qué color deberá recibir un observador situado en la Tierra? (Fig. 39-6). 42. Una nave espacial, que se aleja de la Tierra con una velocidad de 0.892c, se comunica con ella transmitiendo a una frecuencia de 100 Mhz (medidos dentro de la nave). ¿A qué frecuencia deben sintonizarse los receptores terrestres para recibir esas señale.«;?
43. En el espectro del quasar 3C9 aparecen algunas de las conoci das líneas de hidrógeno, pero se modifican tanto hacia el rojo que su longitud de onda es tres veces mayor que la observada en la luz emitida de los átomos de hidrógeno en reposo en un laboratorio, a) Demuestre que la ecuación clásica de Doppler, la cual supone que la luz se comporta como el sonido, imprime una velocidad de recesión mayor que c. b) Suponiendo que el movimiento relativo de 3C9 y de la Tierra sea enteramente de recesión, calcule la velocidad de recesión que predice la ecua ción relativista de Doppler. El “corrimiento rojo” de radiación proveniente de una galaxia lejana consta de la luz Hy, que según se sabe posee una longi tud de onda de 434 nm cuando se observa en el laboratorio y que parece tener una longitud de 462 nm. a) ¿Cuál es la veloci dad de la galaxia en la línea de vista en relación con la Tierra? b) ¿Se acerca o se aleja la galaxia? 45. Calcule los corrimientos Doppler de longitud de onda esperados en una luz de 553 m de longitud de onda, emitida desde el bor de del disco solar en el ecuador, a causa de la rotación del Sol. Véanse en el Apéndice C los datos necesarios.
A,j.
F i g u r a 3 9 - 4 4 . Ejercicio 48.
49. Un satélite de la Tierna, que transmite con una frecuencia de 40 MHz, pasa directamente arriba de una estación radiofónica recep tora a una altitud de 400 km y a una velocidad de 2.S X 104 km/h. Grafique el cambio de frecuencia, atribuible al efecto Doppler en función del tiempo, contando t = 0 como el instante en que el satélite está arriba de la estación (Sugerencia: la veloci dad en la fórmula de Doppler no es la velocidad real del satélite, sino sus componentes en la dirección de la estación. No tenga en cuenta la curvatura de la Tierra ni de la órbita del satélite. 50. Indique el cambio de la longitud de onda de Doppler A — A0, si la hay, en la línea de sodio D9 (589.00 nm) emitida de la fuente que describe un círculo, con una velocidad constante de 0.122c medida por un observador fijo en el centro del círculo. 51. Una fuente de ondas de radio, con una frecuencia de 188 MHz en reposo, se desplaza con una velocidad de 0.717c transversal mente a la línea visual con un detector. ¿En qué ángulo de la línea debe una segunda fuente, con una frecuencia de 162 MHz en reposo, moverse también a 0.717c si las frecuencias de las dos fuentes recibidas por el detector son iguales? 52. Una fuente luminosa se dirige en ángulos rectos a la línea visual de un detector. Su velocidad es de 0.662c. ¿A qué velocidad debe una fuente idéntica desplazarse a 75.0° con la línea visual, si son iguales los corrimientos de Doppler registrados por el detector en las dos fuentes.
I Pr o b l e m a s 1. Considere una estrella situada en una línea a través del Sol, dibu jada perpendicularmente al plano de la órbita terrestre alrededor de él. La distancia de la estrella es mucho mayor que el diámetro
de la órbita terrestre. Demuestre que, a causa de la velocidad fini ta de la luz, un telescopio con el cual se ve la estrella debe incli narse un ángulo a = 20.5" a la perpendicular, en la dirección en
que se mueve la Tierra (Fig. 39-45). Este fenómeno, denomina do aberración, es perceptible y el primero en explicarlo fue James Bradley en 1729.
Posición verdadera
ción del movimiento de la onda y la normal? (S u p ó n g a n la s -' ma ley de refracción que para la luz.) Explique por qué la mayoría de las ondas llegan en ángulo normal a la playa, a pesar de que a grandes distancias lo hacen con varios ángulos.
Posición
^
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F
F
ig u r a
3 9 - 4 5 . Problema 1.
En 1676 Ole Roemer dedujo que la velocidad de la luz es finita al observar el tiempo del eclipse de uno de los satélites de Júpiter, lo (Fig. 39-46). Basándose en las propiedades orbitales que se conocían de él, predijo que surgiría de la sombra de Júpiter en un momento determinado, correspondiente a la Tierra en la posición x de su órbita. Cuando la Tierra se hallaba en la posición y, lo salía de la sombra de Júpiter unos diez minutos más tarde. Roemer concluyó lo siguiente: la discrepancia se debe al tiempo adicional que la luz tarda en cubrir la distancia adicional de lo al radio de la órbita terrestre. ¿Qué valor puede calcularse para la velocidad de la luz a partir de esta observa ción? (Las observaciones anteriores pueden interpretarse ade más en función del efecto Doppler de la luz. Véase ‘T he Doppler Interpretation of R oem er's M ethod” de V. M. Babovicíc, D. M. Davidovic y B. A. Anicin, American Journal ofPhysics, junio de 1991, p. 515.) Sombra de •
ig u r a
39 -4 7.
Problema 3.
Dos espejos perpendiculares forman los lados de un recipiente lleno con agua, como se ve en la figura 39-48. Un rayo lumino so incide desde arriba, formando un ángulo normal con la super ficie del agua, a) Demuestre que hay dos reflexiones en las superficies del espejo, b) Repita el análisis en el caso de la inci dencia oblicua, con el rayo en el plano de la figura.
Pruebe que un rayo luminoso que incide en la superficie de una hoja de vidrio de placas cuyo espesor es t surge de la cara opues ta paralela a su dirección inicial pero desplazada a los lados, como se aprecia en la figura 39-49. a) Demuestre que, con ángulos pequeños de incidencia 6, este desplazamiento está dado por
Júpiter x = r 8Orbita de Júpiter
Júpiter Tierra
/ / / ?y 1 \ \
F
ig u r a
Soi
3S -4 S .
Problema 2.
Las ondas de mar que se mueven con una velocidad de 4.0 m /s se acercan a la playa en un ángulo de 30° a la normal, como se indica en la figura 39-47. Supóngase que la profundidad del agua cambia abruptamente y que la velocidad de las ondas cae a 3.0 m /s. Cerca de la playa, ¿cuál es el ángulo 0 entre la direc-
donde n es el índice de refracción y 6 se mide en radianes. b) Calcule el desplazamiento en un ángulo de incidencia de 10° a través de una hoja de vidrio Crown de 1.0 cm de espesor.
El índice de refracción de la atmósfera terrestre disminuye monotónicamente con la altura a partir de su valor superficial (1.00029 aproximadamente) al valor en el espacio (más o menos (1.00000) en la parte superior de la atmósfera. Esta variación continua (o gradual) puede aproximarse suponiendo que la atmósfera se componga de tres (o más) capas paralelas planas, donde el índice de refracción es constante. Así pues, en la figura 39-50, w3 > n 2 > « i > 1.00000.
Considere un rayo de luz proveniente de una estrella S que cho ca contra la parte superior de la atmósfera en un ángulo 6 con la verticál. a) Demuestre que la dirección evidente é?3 de la estre lla con la vertical, vista por un observador desde la superficie terrestre, se obtiene mediante senÉ>3
-sen©.
(Sugerencia: aplique la ley de refracción a pares sucesivos de capas de la atmósfera; desprecie la curvatura de la Tierra.) fe) Calcule el desplazamiento de posición de una estrella que está a 50° de la vertical. (Los efectos tan pequeños atribuibles a la refracción atmosférica pueden ser importantes en extremo; por ejemplo, deben tenerse presentes cuando se utilizan satéli tes de navegación para determinar posiciones precisas en la
altura y, de acuerdo con n = nQ(l + ay), donde «0, es el índice de refracción en la superficie de la pista y a = 1.5 X 10~6 m ' 1. Sus ojos están a una altura h = 1.7 m por encima de ella. ¿Más allá de que distancia horizontal d no puede ver la pista? Consulte la figura 39-51 y el problema 6. Unos muones (masa = 106 M eV /c2) y piones neutros (masa = 135 M eV /c2), cada uno con un momento de 145 M eV /c, pasan por un material transparente. Determine el intervalo del índice de refracción del material, de manera que sólo los muones emi tan la radiación Cerenkov (Ejercicio 17). Una gota de líquido puede colocarse en una lámina semicircu lar de vidrio como en la figura 39-52. a) Indique cómo deter minar el índice de refracción del líquido observando para ello la reflexión interna total. El índice de refracción del vidrio se des conoce y también debe determinarse. ¿De alguna manera está restringido el intervalo de índices susceptibles de medirse en esta forma? b) ¿Cuál es la eficacia real de este método?
-Líquido
-Vidrio
Rayo reflejado
Espacio
n = 1.00000
2 - 5 a . Problema 9.
Parte superior de la atmósfera
10. Un rayo luminoso de cierta longitud de onda, inicialmente en el aire, choca contra un prisma de 90° en P (Fig. 39-53) y se refracta allí y en O, de modo que apenas si roza la superficie derecha del prisma en O. a) Determine su índice de refracción con esta longitud de onda en función del ángulo de incidencia que origina esta situación, fe) Asigne un límite numérico superior al índice de refracción del prisma. Mediante diagramas de rayos demuestre lo que sucede si el ángulo de incidencia en P es c) un poco mayor o d) un poco menor que 8l. Superficie terrestre F
ig u r a
3 3 - 5 0 . Problema 6.
Tierra.) 7. Se encuentra usted en un extremo de la pista de un aeropuerto. Un gradiente vertical de temperatura en el aire hizo que el índi ce de refracción del aire situado arriba de la pista variase con la
Una fuente puntual de luz se pone a una distancia h debajo de la superficie de un lago grande y profundo, a) Demuestre que la fracción/de la energía luminosa que escapa directamente de la superficie del agua depende de h y está dada por / = -1 (1 - Vi - ilñ*), donde n es el índice de refracción del agua. [Nota: se prescinde la absorción dentro del agua y la reflexión en la superficie (excepto cuando es total).] b) Evalúe esta fracción numérica mente.
12. Una fibra óptica está hecha de un núcleo de vidrio no graduado (índice de refracción n x), rodeado de un revestimiento (índice de refracción n, < Hj). Suponga que un haz luminoso penetra en la fibra desde el aire, formando un ángulo 0 con el eje de la fibra como se observa en la figura 39-54. a.) Demuestre que" el máximo valor posible de 6 en que un rayo se propaga fibra aba jo está dado por
medida que se desplaza por ella, provocando pérdida de infor mación. El tiempo de retraso debería reducirse al mínimo al diseñar una fibra. Considere un rayo que recorre una distancia L en el eje de la fibra y otro que se refleja en el ángulo critico, a medida que se dirige al mismo destino que al primero. a) Demuestre que la diferencia At en los tiempos de llegada está dada por . L n, A/ = --------- (n x - n ,), c ri2
d — sen-1 y n j — n j. b) Suponga que los índices de refracción del vidrio y del reves timiento son 1.58 y 1.53, respectivamente, y calcule el valor de este ángulo.
13. En una fibra óptica (Problema 12), varios rayos describen tra yectorias diversas a lo largo de ella y producen varios tiempos de recorrido. Ello ocasiona que un pulso luminoso se disperse a
donde n x es el índice de refracción del núcleo y n, es el índice de refracción del revestimiento, b) Evalúe At en la fibra del pro blema 12, con L = 350 km. 14. Las moléculas de hidrógeno a 700 K emiten luz de 457 THz de frecuencia, a) Determine el cambio de frecuencia de la luz observado a causa del movimiento de una molécula que se diri ge hacia un observador con una velocidad raíz cuadrada media. b) Calcule el corrimiento de frecuencia si la luz se originase de átomos de hidrógeno y no de moléculas. 15. Las microondas, que se desplazan con la velocidad de la luz, se reflejan desde un avión lejano que se aproxima a la fuente de ondas. Se comprueba que, cuando hacemos chocar las ondas reflejadas contra las que irradian de la fuente, la frecuencia de batido es 990 Hz. Si las microondas se encuentran a 12.0 cm en la longitud de onda, ¿cuál es la velocidad de aproximación del avión?
. “ ROBLEM A PARA RESOLVER
FPA C O m p u t a d o r a 1. Se produce el arco iris cuando la luz blanca se refracta y se refleja contra una gota esférica de agua, según se observa en la figura 39-55. a) Trace una gráfica que muestre el ángulo de la luz de salida en función del parámetro de impacto b. b) Determine los límites angulares
F IG U R A
39-5 5.
Problema para resolver por computadora 1.
^ S f i l i t i 'i
ESPEJOS Y LENTES
os sistem a s ópticos con espejos y lentes tienen a p lica ciones im portantes. Sirven, entre otras cosas, p a ra corregir d efectos visuales, p ro yecta r una im agen sobre una pantalla donde m uchas p erso n a s p u ed a n verla al m ism o tiem po (p o r ejem plo, en un cine o en un aula) y hacer que los objetos p eq u eñ o s parezcan g ra n d es (com o en el m icroscopio) o que los objetos lejanos parezcan estar cerca (com o en el telescopio). En este capítulo estudiam os la fo rm a c ió n de im ágenes p o r m edio de espejos y lentes. D esarrollam os m éto dos algebraicos y gráficos p a ra analizar la fo rm a ció n de im ágenes; los am pliam os para abarcar sistem as con dos o m ás com ponentes, com o los m icroscopios y los telescopios.
4 © = 1 FO R M A C IÓ N D E IM Á G E N E S * P O R M E D IO D E E S P E JO S Y L E N T E S C uando em pleam os un espejo o una lente para m irar a un am i go, vem os algo que no existe en la realidad. E l am igo es m uy real pero el espejo o la lente distorsionan lo que contem pla m os, de m odo que el aspecto de este am igo será m uy distinto dependiendo del sitio donde esté (m ás cerca o m ás lejos), de su estatura (parecerá m ás grande o m ás pequeño) y, quizá, in cluso de su orientación (puede p arecer que está b o ca abajo). L o que v em o s es u n a im agen de n u e stro am ig o . P ara entender la form ación de una im agen, debem os saber prim ero cóm o la trayectoria de un haz lum inoso cam bia cuando en cuentra un espejo o un lente, para lo cual aplicam os las leyes de reflexión y de refracción expuestas en el capítulo 39. Pero tam bién debem os saber cóm o el cerebro p ro cesa la luz que proviene del espejo o lente. E l cerebro tiende a creer que la luz se desplaza en líneas rectas exclusivam ente. P o r eso, cuando dirigim os la vista a un espejo plano, pensam os que la im agen se halla en alguna parte detrás de este espejo. A l m irar un objeto, el cerebro responde a la luz que p ro viene de este objeto y que entra en los ojos. E l cerebro capta la inform ación referente al objeto, agrega algunas señales del
am biente, consigue algunos datos de la m em oria y produce u n a im agen del objeto y de su entorno. Si alguno de los ele m entos anteriores no concuerda con otros, el cerebro hace lo posible p ara integrar toda la inform ación. A lgunas veces, co m o en el caso de las “ilusiones ópticas” , el cerebro puede eq uivocarse p o r com pleto. E l proceso es sim ilar cuando vem os la luz procedente de un espejo o lente. E l cerebro intenta procesar la inform ación y darle la interpretación más congruente posible. A sí, en el caso de nuestra im agen en un espejo plano, p o r ejem plo, el cerebro p arece querer colocam os en alguna parte detrás de la pared donde está colocado el espejo. Se da el nom bre de im agen virtual a la que form a un es pejo plano, y tam bién, en algunos casos, los espejos y lentes curvos. Se caracteriza p o r varias propiedades: 1) en realidad no p asa luz alguna p o r el lugar de la im agen. D e hecho, igual que con el espejo plano, la im agen podría aparecer en un si tio donde la luz no puede desplazarse. 2) Es im posible enfo car la im agen en un a pantalla. P ara ver la im agen, debem os m irar al interior del espejo o lente. 3) U n a im agen virtual pro d u cid a p o r un espejo o lente individual siem pre es vertical (no invertida), aunque (com o verem os al final del capítulo) los sistem as ópticos con dos o m ás lentes o espejos pueden crear im ágenes virtuales rectas o invertidas.
E n cambio, una im agen real tiene otras propiedades. 1) D es pués de en contrarse con el esp ejo o con la lente, la luz cruza directam ente el sitio de la im agen. 2) P o r tanto, po d em o s en focar la im agen sobre la p an talla. S i querem os ver la im agen no es necesario ver el esp ejo o lente. (Im agine un p royector de películas o de tran sp aren cias en su salón de clases: puede m irar la im agen en la p an talla sin v e r hacia el interior de la lente.) 3) U na im agen real c read a p o r un solo espejo o lente siem pre está invertida (b o ca abajo), pero hay sistem as con v a rios com ponentes cap aces d e p ro d u cir im ágenes reales que pueden ser rectas o estar invertidas. A m edida que fo rm u lem o s reglas p ara analizar la form a ción de im ágenes m ed ian te esp ejo s y lentes, irem os am plian do nuestra exposición sobre las condiciones en que pueden form arse las im ágenes reales o virtuales. M ientras tanto, el lector puede efectu ar el sig u ien te experim ento: sostenga un a cuchara m etálica b rillante a 30 cm de distancia de la cara, de m odo que la parte cóncava qu ed e frente a usted. D eberá tener un a vista inv ertid a de su cara; es la im agen real que está si tuada en el espacio alred ed o r de un centím etro delante de la cuchara. A hora voltéela y v ea su im ag en en la parte posterior. Tendrá u n a vista vertical de su cara; es la im agen virtual que, com o verem os luego, se h a lla detrás de la cuchara.
O ptica geom étrica en com paración con la o n d u la to ria L a figura 40-1 ofrece un a v ista desde arriba de un tanque de agua, donde las ondas se orig in an en el lado izquierdo y se d i rigen de izquierd a a d erecha. L as bandas brillantes y oscuras de la fotografía rep resen tan las crestas y los valles de las on das; así, las bandas b rillantes vecinas (o las oscuras) están se paradas una longitud de onda. L as ondas encuentran una barrera que tiene un h o y o p equeño. Se aprecia cóm o las on das relam paguean y se extin g u e después de atravesar el hoyo y aparecen en la reg ió n detrás de la b arrera sólida. A este fe nóm eno se le conoce com o difracción. C om o verem os a fo n do en el capítulo 42, la d ifracción se p resen ta siem pre que una onda encuentra una abertura cuyas dim ensiones tienen m ás o m enos el m ism o tam año (un tam año m enor) que la longitud
¡Ü J
11
de onda. E n el caso de la fig u ra 4 0 -1 , el tam año de la abertu ra es ap ro x im ad am en te igual al de la longitud de onda. El efecto del relam p ag u eo dism inuye conform e hacem os la aber tura m ás grande que la longitud de onda. Si el tam año de la ab ertu ra es varias veces la longitud de onda, los efectos de di fracció n serán insignificantes y la onda aparecerá sólo en la “so m b ra” g eo m étrica de la abertura, una vez que haya cruza do la abertura. E fectos sem ejantes ocurren cuando la onda encu en tra un o bstáculo en vez de una abertura en la barrera. L a lo n g itu d de o n d a de la luz visible se h alla en el inter valo de 4 0 0 a 7 0 0 n m (4 X 1 0 ~ 7 a 7 X 1 0 ~ 7 m ). Inclusive un espejo o lente dim inutos con un diám etro apenas de unos po cos m m es 4 órdenes de m agnitud m ás grande que la longitud de onda de la luz. A sí pues, los efectos de difracción casi siem pre son d espreciables en la form ación de im ágenes por m edio de espejo y lentes. En el cam po de la óptica geom étri ca, es d o n d e los haces lum inosos encuentran objetos mucho m ayores qu e la lon g itu d de onda de la luz. Las condiciones de la ó ptica geo m étrica se aplican a todos los casos que exam i n am os en este capítulo. E n la óptica geom étrica es posible analizar la form ación de im ágenes suponiendo que la luz recorre trayectorias rectas o ra yos. P or eso, a la óptica geom étrica tam bién se le conoce como óptica de rayos. El rayo es una form a adecuada de describir el desplazam iento de la luz: se dibujan rayos perpendiculares a los frentes de onda en una dirección que representa el recorrido. Ya hem os em pleado los rayos en la sección 3 9 -4 para representar la luz cuando experim enta reflexión y refracción. P o r el contrario, si se trata de los efectos de la difracción, estarem os entonces en el cam po de la óptica fís ic a (llam ada tam bién óptica ondulatoria) porque debem os incluir específi cam ente en nuestro análisis la naturaleza ondulatoria de la luz. L a in terfe re n c ia (tem a que abordam os en el C ap. 4 1 ) y la difracció n (Cap. 4 2 ) son ejem plos de los efectos en los que debem os ap licar los m étodos de la óptica física.
ó - O- A
E S P E JO S PLA N O S
Q uizá, la ex p erien cia óptica m ás com ún es la de ver un espe jo . L a fig u ra 4 0 -2 m u estra una fuente puntual de luz O , que llam am o s el ob jeto , situ ad a a una d istan cia o d elan te de un espejo plan o . L a luz que llega a dicho espejo se representa m ed ian te rayos que p rovienen de O * En el punto donde un rayo choca contra el espejo construim os un rayo reflejado, aplicando la ley de reflexión (Ec. 3 9 -3 ). Si extendem os los ra yos reflejad o s hacia atrás, se intersectarán en un punto I, al que denom inam os la im agen del objeto O. É sta se encuentra a la m ism a distancia detrás del espejo que el objeto O delan te de él, cosa que probam os a continuación.
¡¡¡I j |¡ j j j Í¡jjj jjjlf pj¡J¡ F i g u r a 4 0 - 1 . Difracción de las ondas de agua en una abertura de una barrera. Nótese que la abertura es más o menos del tamaño de la longitud de onda.
* En la exposición anterior de la reflexión en el capítulo 39, supusimos una on da incidente plana-, en este caso los rayos incidentes son paralelos entre sí. Aquí tenemos una fuente puntual, y los rayos que inciden contra el espejo divergen de la fuente puntual. La consideramos una fuente de ondas esféricas; los rayos que irradian de ella son perpendiculares a los frentes de onda esféricos.
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Ojo
Espejo
Un lápiz de rayos provenientes de O entran en el ojo después de reflejarse contra el espejo. Sólo una pequeña parte del espejo cerca de a es efectiva. Los arcos pequeños representan las posiciones de los frentes de onda esféricos. La luz parece provenir de I. F ig u ra
F i s u r a 4 0 - 2 . Un objeto puntual 0 forma una imagen virtual / en un espejo plano. Los rayos parecen divergir de /, pero no hay luz en ese punto.
L as im ágenes de luz divergente en espejos planos siem pre son virtuales. P o r la experiencia d iaria sabem os cuán “real” la im agen virtual parece ser y cuán definido está el lu gar que ocupa en el espacio detrás del espejo, aun cuando es te espacio se halle ocupado p o r una pared de ladrillo. E n la figura 40-3 se m uestran dos rayos provenientes de la figura 40-2. Uno choca contra el espejo en v, a lo largo de una línea perpendicular. E l otro lo hace en un pu n to arbitrario a, form ando un ángulo de incidencia 9 con la n orm al en ese pun to. L a geom etría elem ental m uestra que los ángulos aO v y alv tam bién son iguales a 9. E n consecuencia, los triángulos rectán gulos aO v y alv son congruentes y, p o r lo m ism o, i= -o ,
(40-1)
donde introducim os el signo negativo para indicar que I y O se encuentran en los lados opuestos del espejo. La ecuación 40-1 no incluye 9\ esto significa que todos los rayos p ro v e nientes de O y que chocan contra el espejo p asan a través de I cuando se extienden hacia atrás, com o vim os en la figura 40-2. E n vez de suponer que el espejo es v erdaderam ente p la no y que se cum plen las condiciones de la óptica geom étrica,
40 -4 .
no hicim o s aproxim aciones al obtener la ecuación 40-1. U n objeto puntual produce una im agen tam bién puntual en un es pejo p lano, con i = —o, sin im portar qué tan grande sea el án gulo 9 en la figura 40-3. A cau sa del diám etro finito de la p u p ila del ojo, sólo los rayos que se hallan bastante cerca entre sí pueden entrar en el ojo después de reflejarse en un espejo. C on la posición del ojo que se indica en la figura 40-4, únicam ente una peq u eñ a p o r ció n del espejo cerca del punto a logra form ar la im agen; el resto del espejo puede cubrirse o quitarse. Si m ovem os el ojo hacia otro lugar, una porción distinta del espejo será eficaz; el sitio de la im agen virtual I perm anecerá inalterado, m ientras el objeto esté fijo.
La im agen de u n objeto com pleto A m en u d o no nos interesa la im agen de una fuente puntual in d iv id u a l de luz, sino la de un objeto com pleto, com o la de una cara o de un cuerpo entero. Igual que en la figura 40-5, repre sentam os al objeto com pleto con una flecha. Todos los puntos de dicho objeto se encuentran a la m ism a distancia o del es pejo. M ediante los m étodos de esta sección puede dem ostrar se que el punto del objeto O form a una im agen I qu e está a una distancia i detrás del espejo. Las distancias del objeto y de la im agen se relacionan m ediante la ecuación 40-1 (i = - o ) . E l punto del objeto O ’ form a la im agen / ' que tam bién Espejo
jt<3~ /
Espejo
Dos rayos de la figura 40-2. El rayo Oa forma un ángulo arbitrario 6 con la normal a la superficie del espejo. F ig u ra
40-3 .
se encuentra a una distancia i detrás del espejo. C on el tiem po lograríam os trazar el p erfil entero de la im agen, si supusiéra m os que el objeto co n sta ín tegram ente de fuentes puntuales. E n virtud de que todos los puntos en el objeto están a una distancia o del espejo y de que todos los puntos de la im agen es tán a una distancia i detrás de dicho espejo; es necesario encon trar el sitio de un solo p u n to de imagen p a ra localizar la imagen entera. P or lo regular hallam os la im agen de la punta del obje to, que después localiza la punta de la im agen. Entonces resulta fácil trabajar la im agen entera, porque la im agen /" de la cola de la flech a deb e e sta r a lo largo de la lín ea A B que se e x tie n de de la cola al objeto O" y que es perpendicular al espejo. E n cuanto al objeto com pleto, conviene definir t i a u m en to lateral m (llam ado sim plem ente am pliación) com o la razón de la altura t í de la im agen a la altura h del objeto:
tí
m = — . h
(40-2)
A doptam os la convención de que las alturas m edidas arriba de la línea A S (que m ás tarde llam arem os el eje del espejo o del lente) son p o sitiv as y qu e las deb ajo de A B son n egativas. Si la im agen es recta resp ecto al objeto (esto es, el objeto y la im agen se ex tienden en la m ism a dirección que el eje, am bas hacia arriba o hacia abajo), la am pliación será positiva; y será negativa si se invierte la im agen respecto al objeto (una arriba y otra abajo). M ás adelante dem ostrarem os que una ecuación g e neral de la am pliación, la cual se aplica asim ism o a un espejo o lente curvos, es m = -------. o
(40-3)
Para un espejo plano, las ecuaciones 40-2 y 40-3 m uestran que m = + 1 , es decir, la im agen es recta respecto al objeto (indicado p o r el signo + ) y que tiene el m ism o tam año que el objeto (porque la m agnitud de la am pliación es 1). Si \m\ > 1, la im agen se agranda relativ a al objeto; si \m\ < 1, la im agen se reduce.
Inversión de la Im agen C om o se aprecia en la fig u ra 40-6«, la im agen de la m ano iz quierda parece ser de la m ano derecha. E ste aspecto lo in ter pretam os com o una inversión de derecha e izquierda. Es decir, si levanta la m ano izquierda, la im agen especular eleva la m ano derecha. A m en u d o la gente se pregunta: ¿por qué un espejo invierte izq u ierd a y derecha, pero no arriba y abajo? L a figu ra 4 0 -6b ilu stra la form a en que un espejo invier te la im agen de un objeto tridim ensional, representado sim ple m ente com o un conjunto de tres flechas perpendiculares entre sí. N ótese que las flechas paralelas al plano del espejo (fle chas x y y) son id énticas a su im agen especular. Sólo la direc ción de la fle c h a z cam b ia p o r la reflex ió n . E s, pues, m ás exacto decir que un espejo invierte el frente p o r la parte p o s terior, m ás que la izq u ierd a p o r la derecha. En cierto m odo, la transform ación de la m ano izquierda en la derecha se logra intercam biando la p alm a y el anverso de la mano.
F i g u r a 4-G -S . a) El objeto O es una mano izquierda; la imagen I es una mano derecha, b) Estudio de un objeto de tres flechas reflejado donde un espejo intercambia la parte frontal y la posterior, no la izquierda y la derecha.
N ótese asim ism o lo siguiente: pu ed e suponerse que el objeto representa un sistem a coordenado ordinario de la m a no derecha (x “cru zad a” hacia los puntos y, en la dirección z) m ientras que la im agen representa un sistem a coordenado de la m ano izquierda (x “cruza” hacia los puntos y, en la dirección n eg ativ a z) ■Tales inversiones se aplican tam bién a los obje tos físicos; p o r ejem plo, la im agen de un tom illo con roscas h acia la derecha es un tom illo con roscas hacia la izquierda. Si fuera un hecho que todos los seres hum anos son dies tros, podríam os decir con seguridad la diferencia entre la situa ción física y su im agen especular: la persona “real” usaría la m ano derecha, y la im agen, la izquierda. Sin em bargo, si fue ran am bidiestros, no podríam os aprovechar ese hecho para distinguir entre el m undo real y el del espejo. L a m ism a distin ción se hizo con las leyes de la física: si éstas presentaran una sim etría perfecta de derecha-izquierda, la im agen especular de un experim ento sería un experim ento físicam ente posible. P e ro si las leyes carecieran de esa sim etría, el resultado de algún experim ento con im ágenes especulares no sería posible desde el punto de vista físico. E n 1956 se descubrió que la llam ada interacción débil, que ocasiona algunos decaim ientos radiacti vos, no tiene esta sim etría, denom inada paridad. E ste experi m ento sentó las prim eras bases fundam entales para distinguir entre nuestro m undo y su im agen especular.*
* Algunas explicaciones interesantes sobre la simetría y las distinciones en tre los objetos y su imagen especular vierten en The Ambidextrous Universe, de Martín Gardner (Scribner’s, 1979) y Reality's Mirror, de Bryan Bunch (Wiley, 1989).
donde el punto b se halla a la misma altura que los ojos. Por tanto, ac = ab + be = \ te + | e / = \tf. Con h = ac y H = tf, obtenemos h = {H. La persona puede ver su imagen entera si el espejo se halla por lo menos a la mitad de su altura. Las partes del espejo debajo de c pre sentan reflexiones del piso delante de los pies de la persona, mien tras las que están arriba de t muestran a la persona lo que está arriba de su cabeza. Adviértase que la distancia de la persona respecto al espejo no influye en este cálculo, el cual conserva su validez con cualquier distancia del objeto en un espejo plano.
Figura
4 0 -7.
Problema resuelto 40-1.
Encuentre la longitud mínima ne cesaria h de un espejo para que una persona de estatura H vea su re flexión entera. P r o b le m a
R e s u e l t o
4 0 - 1 .
Solución En la figura 40-7 muestra el p ie /d e una persona, sus ojos e y la parte superior de su cabeza t. Para que se vea de cuerpo comple to, es necesario que un rayo luminoso (tae) salga de la parte superior de su cabeza, se refleje contra el espejo en a y entre en sus ojos, mientras que otro rayo (fee) debe salir de sus pies, reflejarse contra el espejo en c y entrar en sus ojos. La persona verá un reflejo de su cuerpo completo (con imágenes virtuales de los puntos t y f) si la longitud del espejo es por lo menos ac. A partir de la geometría de la figura 40-7. vemos que ab = \te
y
be - | ef,
40=3
ESPEJO S ESFÉRICOS
Supóngase que en lu g ar de hacer un espejo plano, le dam os u n a lig era curvatura. En particular, vam os a estudiar los espe jo s que tienen form a esférica. En las figuras 40-8¿> y 40-8c se m u estra el efecto en dos casos diferentes. En el prim ero (Fig. 40-8¿>), el espejo es cóncavo (es decir, “hueco” , sem ejante a un a cueva) respecto a la ubicación del objeto. N ótese que, en com paración con el espejo plano, la im agen 1) se am plifica (es m ay o r que el objeto) y 2) se encuentra m ás lejos detrás del espejo (es decir, i tiene un valor negativo m ás grande). Se em plea este tipo de espejos para rasurarse o aplicarse el m aqui llaje, yá que en este caso se desea una am plificación a costa de la reducción del cam po visual. La figura 40-81? se aplica sólo cuando la distancia que existe entre el objeto y el espejo es peq u eñ a (m enos de r /2 , com o verem os luego).
F i g u r a 4 0 - 8 . a) Un objeto O forma una imagen virtual I en un espejo plano, b) Si doblamos él espejo para que se vuelva cóncavo, la imagen se aleja de él y se agranda, c) Si doblamos el espejo plano para que se vuelva convexo, la imagen se acerca a él y se empequeñece. Al punto C se le llama centro de curvatura del espejo; es el centro de la superficie esférica de la cual él forma parte.
En el segundo caso (Fig. 40-8c), el espejo es convexo (respec to a la ubicación del objeto. O bserve que la im agen 1) dism inu ye de tam año y 2) que se encuentra a u n a distancia m ás cercana del espejo en com paración con la del espejo plano. Ejem plos de estos tipos de espejos son los espejos laterales derechos y los de vigilancia que se em plean en las tiendas al m enudeo. El cam po visual es m ás ancho que el de un espejo plano. Suponga que los espejos esféricos de la figura 40-8 fu e sen flexibles. Si q u isiéram o s do b lar uno p ara hacerlo m ás p la no, la im agen se ap ro x im aría al lu g ar y al tam año de la de un espejo plano. P odem os, pues, p en sar que un espejo plano es un caso especial del esférico, en el cual el radio de la esfera se vuelve infinitam en te grande. Las ecuaciones que describen el espejo esférico deb erán convertirse en la ecuación de espe jo s plano (/ = —o) a m ed id a que el radio tiende al infinito.
L a ecuación de los espejos A l final de esta sección obtenem os la ecuación que relaciona la distancia del objeto o co n la distancia de la im agen i en un espejo esférico. V am os a estu d iar el caso especial en que los rayos lum inosos del objeto form an ángulos pequeños con el eje del espejo. A esos rayos se les da el nom bre de pa ra xia les. D icho de otra m anera, las m edidas del espejo son p eq u e ñas en com paración con el radio de curvatura. N uestra descripción no se ap licaría a un espejo totalm ente ilum inado con la form a de un h em isferio entero. L a ecuación de los espejos relacio n a las tres distancias en la figura 4 0 -8 : o, i y el radio de curvatura r del espejo. E sta relación está dada p o r la ecuación de espejos esféricos, 1 1 2 — + — = — • o í r
(40-4)
ción 40-6 puede servir para conseguir la ubicación de la ima gen; su tam año, en com paración con el tam año del objeto, pue de determ inarse de la am pliación, m = —i/o (Ec. 40-3).
C onvención de signos L a figura 40-9 indica la convención de signos que es preciso te ner presentes al utilizar las ecuaciones 40-4 y 40-6. El lado del espejo donde la luz es incidente recibe el nom bre de lado R, por que en ese lado se form ará la imagen real. Las im ágenes reales se producen p o r la luz convergente; en form a equivalente, pue de decirse que las im ágenes reales son aquellas que pueden ver se en una pantalla colocada en la posición de la im agen. En el lado R del espejo, p o r convención i, o, r y / s o n positivas. A la región detrás del espejo se le llam a lado V porque en es te lado pueden form arse las im ágenes virtuales. Son las que se form an m ediante la luz divergente, que no pueden mostrarse en la pantalla. En el lado V, por convención o, i, r y / s o n negativas. E n co nform idad con estas convenciones de signos, en la fig u ra 4 0 -8 b la distancia del objeto o es positiva (porque el. objeto se halla en el lado R del espejo), y la distancia de la im ag en I, negativa (porque la im ag en está en el lado V). El cen tro de cu rv atu ra C se en cu en tra en el lado R , p o r lo cual el radio de curvatura r es positivo. E n la fig u ra 40-8c, o es po sitiva, e i n eg ativ a com o en la fig u ra 40-8¿>, pero r negativa p o rq u e C se h alla en el lado V. E n la fig u ra 4 0 -1 0 se m u estran las d istan cias de las im á genes p ara tres d istan cias del ob jeto , a m ed id a que uno se dirige hacia un espejo cóncavo. En la figura 4ü-10u, las dis tancias del objeto y la im agen son positivas porque ambas aparecen en el lado R del espejo. E n la fig u ra 4 0 -10b, el ob jeto se encuentra en el punto focal. C on o = / , la ecuación 40-6
C onviene definir la lo n g itu d fo c a l / d e l espejo com o la m itad del radio de curvatura, o sea / = r/2.
Lado R
Lado
V
(40-5)
E n función de la longitud focal, la ecuación de espejos puede escribirse así 1
+
1
(40-6) a)
L a figura 40-9 contiene rayos de luz paralelos que inciden en el espejo. L a luz paralela puede obtenerse de un objeto situado m uy lejos del espejo, de m o d o que los frentes de onda del ob jeto sean esencialm ente planos. E n la práctica, la luz p aralela se obtiene por m edio de un espejo o lente. L a luz paralela se refleja y se une en un punto F, denom inado p u n to fo ca l, que se halla a una d is ta n c ia /d e l espejo. La ecuación 40-6 indica que si o = =o, corresp o n d ien te al objeto que está m uy lejos del espejo, i = / Si r = oo, correspondiente a un espejo plano, la ecuación 40-4 se reduce a i = —o en concordancia con la ecuación 4 0 -i. Por tanto, un espejo plano es sim plem ente un caso especial de un espejo esférico con un radio de curvatura infinito. L a ecua-
b) F i g u r a 4 0 - 9 . a) En un espejo cóncavo, la luz incidente paralela se lleva a un foco real en F sobre el lado R del espejo, b) En un espejo convexo, la luz incidente paralela parece divergir de un foco virtual en F sobre el lado V del espejo.
F i g u r a 4 0 - 1 i . La luz convergente (procedente de espejos o lentes no incluidos) incide en un espejo plano. El objeto virtual en O muestra el sitio donde se enfocaría la luz si no estuviera el espejo. Desde luego, no habría luz en el lado V del espejo. Se forma una imagen real I. Este arreglo produce una imagen real sólo si la magnitud de la distancia del objeto es menor que la longitud focal, pero en situaciones parecidas un lente convexo siempre produce una imagen real.
de p red ecir el resultado si el espejo de la figura 40-11 lo h i ciéram os cóncavo en vez de convexa la im agen en la figura 4 0-11? ¿Q ué relació n habría entre la m agnitud de la distancia de la im agen resu ltan te y la de la distancia del objeto? ¿E sta ría la im ag en recta o invertida?
T razad o de rayos
F i g u r a 4 0 - 1 0 . Acercamos un objeto cada vez más a un espejo cóncavo, de a) detrás del punto focal a ti) el siguiente y luego c) al interior de punto focal. Al hacerlo la imagen pasa de a) su posición en el lado R a b) el infinito y luego c) reaparece en el lado V.
da i — «i. E sto concuerda con la luz paralela que sale del es pejo. En la figura 4 0 -10c, la distancia del objeto sigue siendo positiva, sólo que ahora es m en o r q u e / E n este caso, la ecua ción 40-6 da un v alor negativo de i, es decir, u n a im agen vir tual se form a en el lado V, com o se indica allí. En la figura 4 0 -10a la am plificación lateral m, según la ecuación 40-3, es negativa, p o rque o e i son positivas. D e ahí que la im agen esté invertida. (T am bién está agrandada pues i resulta ser m ayor que o en el caso ilustrado.) E n la figura 4010c, o e i tienen signos contrarios y p o r lo m ism o m , es p osi tiva, y la im agen es recta, com o se aprecia en la figura. E n la figura 40-11 se incluye un p osible arreglo, donde se considera que el objeto se halla en el lado V del espejo, así que o es negativa. L a luz convergente (producida p o r otro dis positivo óptico, com o un lente o un espejo, que no se m uestra en la figura) incide en el espejo. Si no ex istiera el espejo, la luz convergiría en una im agen en el lugar O m ostrado. E ste lu gar define la p o sició n de un o b jeto virtual; la d ista n cia en tre el lugar y el espejo es la d istancia del objeto (negativa). La distancia de la im agen es positiva. L a am pliación tam bién es p ositiva y, por eso, la im agen es recta, com o se observa. ¿Pue-
C onviene com probar los resultados de los cálculos algebraicos o btenidos a p artir de la ecuación de espejos con un m étodo gráfico que localiza la im agen. A este m étodo se le llam a tra za d o 'd é rayos. C om o se ve en la figura 40-10, los haces de ra yos convergen en una im agen real o divergen de una im agen virtual. Si podem os trazar estos rayos tal com o se reflejan con tra un espejo, estam os en condiciones de localizar la im agen. Se puede sim plificar este procedim iento al dibujar unos cuantos rayos b ásicos, cuya intersección sirve p ara localizar la im agen. E stos rayos, que se m uestran en la figura 40-12, se escogen de una cantidad infinita de ellos atendiendo a la faci lid ad con que se lo caliza la im agen. E stos rayos no n ecesaria m ente existen en la realidad (por ejem plo, una parte del espejo po d ría cubrirse con una pantalla opaca); pero, pese a ello, p ueden servir p ara encontrar la im agen (que es com pleta, aun cuando algunos rayos queden bloqueados). H e aquí los rayos: t . Un rayo p a ra lelo al eje, que reflejam os p ara que pase p o r el p u n to focal (en el caso de un espejo convergente, Fig. 4 0 - 12a) o p ara q u e p arezca provenir del punto focal (en el ca so de un espejo divergente, Fig. 4 0 -12c). 2. Un rayo que p a sa p o r el pu n to fo c a l (espejo conver gente, Fig. 4 0 -12a) o que lo hace al ser prolongado espejo di vergente, Fig. 4 0 -12c) que se refleja para ser paralelo a su eje (Figs. 40 -1 2 6 y 4 0 -1 2 /). 3. Un rayo que p a sa p o r el centro de curvatura C, que se re fle ja h a c ia atrás en su tray ecto ria o rig in al (Figs. 40-12¿> y 40-12 d). 4. Un rayo que choca contra el vértice del espejo (el p u n to v donde el eje in tersecta al espejo), que se refleja con un ángulo igual en el lado opuesto del eje (Figs. 4 0 -1 2 b y 4012 d). Dos rayos cualesquiera de los cuatro anteriores pueden usar se p ara localizar la im agen, según se indica en la figura 40-12.
C ap ítu lo 4 0 / E s p e j o s
y le n te s
Lado V
b) F i g u r a 4 0 - 1 2 . a) Cuatro rayos que pueden emplearse en la construcción gráfica para localizar la imagen de un objeto en un espejo cóncavo. Nótese que la imagen es real e invertida (c, d). Cuatro rayos similares trazados en el caso de un espejo convexo. La imagen es virtual y recta. •
P r o b l e m a R e s u e l t o 4 0 - 2 . En la situación que se describe en las figuras 40-12a y 40-126, suponga que/ = 12 cm y que o = 36 cm. Encuentre la posición de la imagen y el aumento lateral.
Solución Al resolver la ecuación 40-6 para 1/i, obtenemos i
'!!- ■
1 12 cm
1 36 cm
tá situada en el lado V del espejo; la distancia de la imagen es más o menos la mitad de la del objeto y la imagen tiene aproximadamente la mitad de la altura del objeto. b) De acuerdo con nuestra convención de signos, el radio es negati vo si el centro de curvatura se encuentra en el lado V del espejo. Al resolver la ecuación 40-4 para 1/z, obtenemos ? ■22 cm
o bien
1 + 14 cm
que nos da
/ == 18 cm.
- 6.2 cm. Esto es consistente con las figuras 40-12a y 40-126. Si usamos la ecuación 40-3, que se aplica a los espejos esféri cos y planos, tenemos 18 cm 36 cm
Este valor concuerda con el resultado de nuestra construcción gráfica. Conforme a la ecuación 40-3, el aumento lateral es - 6.2 cm -14 cm
-0.50.
La imagen es 1/2 del tamaño del objeto y está invertida (como lo in dica el signo negativo). Esto es consistente con las figuras 40-12« y 40-126. P r o b l e m a R e s u e l t o 4 0 - 3 . Un espejo convexo tiene un radio de curvatura de 22 cm. Se pone un objeto a 14 cm de distancia de él. Localice y describa la imagen por medio de a) métodos gráficos y b) métodos algebraicos.
Solución a) La figura 40-13 muestra el objeto y el espejo. Se trazan los rayos 1, 2 y 3 para localizar la imagen. Ésta es virtual, recta y es
-r 0.44,
lo cual también concuerda con el resultado conseguido mediante métodos gráficos. Nótese que m > 0, o sea que la imagen es recta.
D em ostración de las ecuaciones de los espejos E n la figura 4 0 -1 4 se incluye un objeto puntual O en el eje de un espejo esférico cóncavo cuyo radio de curvatura es /: Un rayo pro v en ien te de O, que form a un ángulo arbitrario a con el eje, intersecta este últim o en /4 después de reflejarse contra el espejo en a. Un rayo que sale de O a lo largo del eje se refleja h a c ia atrás a lo largo de sí m ism o en v y tam bién cruza I. A sí pues, I es la im ag en de O; es una im agen real porque la luz realm en te atraviesa I. O btengam os la u bicación de 1. U n teo rem a útil establece que el ángulo exterior de un triángulo es igual a la sum a de los dos ángulos interiores opuestos. Su aplicación a los triángulos O aC y O a l en la figu ra 4 0-14 produce ¡3 = a + 6
y
y = a: + 26.
A l elim in ar 6 entre estas ecuaciones se obtiene
F i g u r a 4 0 - 1 S . Un objeto O produce una imagen real invertida / en un espejo cóncavo. F i g u r a 4 0 -1 -4 . Un objeto puntual O produce una imagen puntual real I después de reflejarse contra un espejo cóncavo.
En radianes podem os escrib ir así los ángulos a, ¡3 y y 5 (40-8) - , /3 = ~ , o r i donde s es la longitud de arco av. N ótese que sólo la ecuación para ¡3 es exacta, porq u e el centro de curvatura del arco av e s tá en C, y no en O ni en 1. N o obstante, las ecuaciones para a y para y son aproxim adam ente correctas si estos ángulos son bastante pequeños. En la siguiente exposición suponem os que los ¡-ayos divergentes p ro ced en tes del objeto fo r m a n única mente un ángulo p eq u eñ o a con el eje del espejo. A estos ra yos que se encuentran cerca del espejo se les conoce com o paraxiales. N o nos p areció necesario hacer tal suposición en el caso de los espejos planos. A l sustituir las ecuaciones 40-8 en la 4 0 -7 y al c a n c e la r la lo n g itu d del arco s se o b tie n e la ecuación 40-4, que es la que deseam os probar. L a figura 40-15 m uestra un objeto puntual en el eje de un espejo convexo. L os ángulos se indican en fo rm a sim ilar a los de la figura 40-14. P odem os realizar un análisis parecido al anterior y nos dará la ecuación 40-4, a condición de que siga-, mos la convención de signos: i y r son negativos en la figura 40-15. E ste resultado se deja com o ejercicio (Ej. 16). Para obtener la ecuación referente al aum ento lateral (Ec. 40-3), considerem os la figura 40-16 que contiene un rayo (avb), el cu al se o rig in a en la p u n ta del ob jeto , se re fle ja c o n tra el espejo en el punto v y pasa por la punta de la im agen. L a ley de la reflexión exige que form e ángulos iguales d con el eje de es pejo, tal com o se m uestra en la figura. Con dos triángulos rec tángulos sem ejante aO v y b/va podem os escribir Ib
vi
Oa
vO
(40-9)
i _ v . Eje 0 '
F i g u r a 4 0 - 1 5 . El objeto puntual O produce una imagen puntual virtual I después de reflejarse en un espejo convexo. Compare esta figura con la figura 40-14.
O bservan que h (la altura del objeto arriba del eje) es + O a y que h ’ (la altura de la im agen debajo del eje) es —Ib. E stas elecciones coinciden con la convención de signos explicada en la ecuación 40-2. E ntonces, el lado izquierdo de la ecua ción 40-9 es igual a —h '/h . Con v i = i y con vO = o, la ecuación 40-9 se reduce inm ediatam ente a m = —i/o , que es la ecua ció n 40-3 que nos habíam os propuesto probar. Es notable que la ecuación 40-4 no contenga a (o (3, y o 0); así que es válida p ara todos los rayos que incidan contra el es pejo, siem pre que sean bastante paraxiales. E n un caso con creto, podem os h acer los rayos tan paraxiales com o lo deseem os poniendo un diafragm a circular delante del espejo y centrado alrededor del vértice v; im pondrem os así cierto va lor m áxim o de a. L as "imágenes en los espejos esféricos experim entan di versas distorsiones que ocurren porque nunca se justifica por com pleto la suposición de rayos paraxiales. En términos gene rales, una fuente puntual no produce una im agen puntual (Ej. 12). Y adem ás aparece una distorsión porque el aum ento varía un poco con la distancia del-eje del espejo; la ecuación 40-3 es rigurosam ente correcta sólo con rayos paraxiales. Por último, debem os tener presente que la óptica geom étrica no es m ás que un caso especial de la óptica física; los efectos de la difracción (Cap. 42) pueden influir en la naturaleza de la imagen.
4 0 = 4 S U P E R F IC IE S ESFÉ R IC A S R E FR A C T A N T E S E n la fig u ra 4 0 -17a, la luz proveniente de un objeto puntual O incide en una superficie esférica refractante convexa, con un rad io de curvatura r. La superficie separa dos m edios; el índice de refracción del que contiene a la luz incidente es n v m ien tras que la del m edio que contiene a la luz refractada es n7. E l d iagram a p o d ría representar la luz que incide en una peq u eñ a región de una esfera de vidrio; adviértase que la im a gen real se form a dentro del vidrio (m edio 2). A unque, a m e nudo, no encontram os este tipo de im ágenes, conocer las creadas por superficies esféricas refractantes es esencial cuando hablem os de lentes delgados en la sección 40-5. E n la figura 40- 17b, una superficie cóncava origina una im agen virtual cuando n 1 < ny, la luz en el medio 2 diverge co m o si procediera del punto de im agen I. L a figura 4 0 -17c m ues tra una superficie que es nuevam ente cóncava respecto a la luz incidente, sólo que ahora ?z. > n-, y se form a una im agen real.
-<¡f—f —gg>_j
-<2r~ a)
-------
Lado V
Lado R
Lado R
Eje
P r o b l e m a R e s u e l t o 4 0 - 4 . Localice la imagen para la geome tría de la figura 40-17«, suponiendo que el radio de curvatura r sea 11 cm, «j = 1.0 y n0 = 1.9. Suponga que el objeto está 19 cm a la iz quierda del vértice v.
------- jgS— c)
Lado R
Lado V
F i g u r a 4 0 - 1 7 . a ) Una imagen real de un objeto puntual se obtiene por refracción en una frontera esférica convexa entre dos medios; en este caso, n2 > n v b) Una imagen virtual se obtiene por refracción en una frontera esférica cóncava cuando n2 > n v c) Lo mismo que b), salvo que n2 < n {. En este caso se produce una imasen real.
C om o probarem os m ás adelante, la distancia de la im a gen i se relaciona con la distancia del objeto o, con el radio de curvatura r y con dos índices de refracció n según ni — + o
n-> n-> — n , - = — ------- L i r
L as conv en cio n es de signos que se utilizan en la ecua ción 4 0 -1 0 se resu m en en la figura 40-18 y se com paran con las de un espejo esférico. P ara que una im ag en real se forme p o r la luz conv erg en te originada en la superficie, debe apare cer en el lado de la superficie opuesta a la luz incidente. A es te lado se le llam a lado R. Las im ágenes virtuales, com o se ob serv a en la fig u ra 40-176, se form an en el m ism o lado que la luz in cidente, al que designam os com o lado V. Por conven ción el radio de curvatura es positivo si el centro de la curva tu ra C se en cu en tra en el lado R (com o en la Fig. 40-17«) y n e g a tiv o si C está u b ic a d o en el lad o V (co m o en las Figs. 40-17 6 y 4 0-17c. L a d istancia de los objetos es positiva para objetos reales (en el lado V), m ientras que la de las im ágenes es p o sitiv a con im ágenes reales (en el lado R ). L a distancia de la im ag en i es p o sitiv a en las figuras 40- 17a y 4 0 -17c; i, ne gativa en la fig u ra 40-176.
(40-10)
E sta ecuación in dividual, con las convenciones apropiadas de signos, basta p ara an alizar las superficies convexas y cónca vas. L a única restricción, al igual que la de los espejos esféri cos es que los rayos sean paraxiales.
■Luz Lado/? | Lado V incidente .. i
Solución Al resolver la ecuación 40-10 para n-,!t y al sustituir los va lores dados, obtenemos 1.9 -
LO
+ 11 cm
1.0 + 19 cm
Nótese que r es positivo porque el centro de curvatura C de la super ficie en la figura 40-17« se halla en el lado R. Si resolvemos la ecua ción anterior para i, obtenemos i — +65 cm. El resultado anterior concuerda con las convenciones de signos de la figura 40-17«. En realidad, la luz pasa por el punto de imagen I, de modo que la imagen es real, como lo indica el signo positivo que en contramos con i. Además recuerde que /z¡ ( = 1.0 en este caso) siem pre se refiere al medio en el lado de la superficie de donde proviene la luz. P r o b l e m a R e s u e l t o 4 0 - 5 . Un pez nada a lo largo de un diá metro horizontal y está a 10 cm del lado de una pecera esférica de 15 cm de radio (Fig. 40-19). Suponga que el índice de refracción del agua es «j = 1.33 y determine la ubicación del pez desde el punto de
I Luz ¡ reflejada ¡ (espejo esférico) Luz incidente
Lado V i
£>-
■■ !
Lado R
n-t
I
Luz transmitida (superficie esférica refractante de una lente delgada) F i g u r a 4 0 - 1 s . Se forman imágenes reales en el mismo lado que la luz incidente en el caso de los espejos, pero en el lado opuesto tratándose de superficies refractantes y de lentes.
F i g u r a 4 0 - 1 9 . Problema resuelto 40-5. Nótese que el rayo proveniente de O se inclina y se aleja de la normal (indicada por la línea punteada), de acuerdo con la ley de Snell.
vista de un observador. Suponga que la pecera es tan delgada que puede despreciarse la refracción a causa del vidrio. Solución De acuerdo con las convenciones de signos, en la geome tría de la figura 40-19 tomamos que o es positivo porque el objeto se halla en el lado V de la superficie esférica y que r es negativo por que C está en el lado V. Utilizamos la ecuación 40-10 con n, = 1, que resolvemos para conseguir n2 _
n 2 — n¡
n¡ _
1 — 1.33
1.33
o
—15 cm
10 cm
i r Y al resolver encontramos
i = —9.0 cm. En otras palabras, el pescado parece hallarse más cerca del lado de la pecera de lo que realmente está.
M idiendo en radianes los ángulos a, ¡3, y y en la figura 4 0 -2 0 son 7 “ y ,
donde 5 es la longitud de arco av. Sólo la segunda de las ecu a ciones anteriores es exacta. Las dos restantes son aproxim a das porque ni. I ni O son el centro de círculos de los cuales av es un arco. Sin em bargo, para los rayos paraxiales (a bastan te p eq u eñ o ) las inexactitudes de las ecuaciones 4 0-14 pueden red u cirse cuanto se quiera. Las sustituciones de las ecuaciones 40-14 en la 40-13 pro d u cen d irectam ente la ecuación 40-10.
4 .@ - S O btención de ia fó rm u la de superficies re fra c tan tes La figura 40-20 m uestra un a fuente puntual O cerca de una superficie esférica refractan te de radio r. U n rayo p rovenien te de O choca contra la superficie en v con una incidencia n o r m al y penetra en el m edio 2 p o r el centro de curvatura C. E ste rayo crea un eje adecuado para nuestro cálculo. U n segundo ra yo, que form a un ángulo pequeño pero arbitrario a con el eje y choca contra la superficie refractante en a, se refracta en co n form idad con ri\ sen6>! = n 2 senéb. El rayo refractado intersecta al p rim er rayo en 7, localizando así la im agen de O. Igual que en la obtención de la ecuación de espejos, u ti lizam os el teorem a de que el ángulo exterior de un triángulo es igual a la sum a de los dos ángulos interiores opuestos. Al aplicarlo esto a los triángulos COa e IC a obtenem os (9, = a + /3
y
¡3 = 02 + y.
n ,0 , = n 282.
(40-12)
E fectuados algunos arreglos, la com binación de las ecu acio nes 40-11 y 40-12 nos da n ¡a + n 2y = (n 2 — n {)f3.
(40-13)
Lado R
Lado V
L E N T E S D ELGADAS
H ay m uchos ejem plos comunes de la refracción de la luz por un a lente. El cristalino del ojo enfoca la luz sobre la retina y las lentes correctivas de los anteojos o de los lentes de contacto com pensan las deficiencias de la vista. Las lentes m ultielem entos de una cám ara enfocan la luz sobre la película. En la presente sección vamos a estudiar las propiedades de esas lentes. E n la m ay o ría de. los fenóm enos de refracción interviene m ás de un a superficie refractante. Esto se observa inclusive en un lente de contacto, donde la luz pasa prim ero del aire al vidrio y luego del vidrio al ojo. A quí consideram os sólo el ca so especial de una lente delgada, es decir, el espesor de la len te es pequeño com parado con la distancia del objeto o, la d istan cia de la im agen i, o el radio de curvatura r, y r 2 de una de las d o s superficies refractantes. En este tipo de lente — co m o p robarem os m ás adelante en la sección— , dichas m agni tudes se relacionan p o r m edio de 1
1
^a-r-s -< 3 -------
F i g u r a 4 - 0 - 2 0 . Un objeto puntual O produce una imagen puntual real I tras la refracción en una superficie esférica convexa entre dos medios.
1
r
(40-11)
C om o lo hicim os en la sección 40-3, suponem os que todos los rayos son paraxiales; p o r eso los ángulos (/3, y, 8V son p e queños y el ángulo puede reem plazar al seno de cada uno de ellos. E sto nos perm ite escrib ir la ley de refracción en los si guientes térm inos:
(40-14)
(40-15)
donde la longitud f o c a l /d e la lente está dada por _L {n (40-16) D I/ Vr l r2 Las ecuaciones 40-15 y 40-16 son aproxim aciones válidas só lo con lentes delgadas y rayos paraxiales. N ótese que la ecua ción 40-15 es la m ism a que utilizam os con los espejos esféricos. A la ecuación 40-16 a m enudo se le llam a ecuación de fa b ric a n te de lentes: relaciona la longitud focal de la lente con el índice de refracción n de m aterial de que está hecho y los radios de curvaturas de am bas superficies. E n la ecuación 40-16, r x es el radio de curvatura de la su perficie de la lente en que la luz incide prim ero y r2 es la de la segunda superficie. L a ecuación se em plea en casos en que una lente con un índice de refracción n está inm ersa en el ai re. Si la introducim os en un m edio cuyo índice de refracción no es la unidad, la ecuación conserva su validez co n tal que reem p lacem o s n en esa fórm ula por n [eMe/ n medioEl aum ento lateral de una lente delgada está dado p o r la m ism a fórm ula que la de un espejo esférico, m =
(40-17)
M ás adelante en la sección vamos a obtener el resultado anterior.
caso, la ecuación 40-16 indica q u e /s ie m p r e es negativo. A esta lente se le llam a divergente; un a lente que es m ás delga-; L as convenciones de signos p ara o, i, r x y r2 se asem ejan a las da en el centro que en los bordes siem pre será divergente al de los espejos esférico s y de las superficies refractantes (Fig. in tro d u cirla en un m edio con m enor índice de refracción. 40-18). E n la fig u ra 40-21 se ilustran estos signos. Igual que 2. L a distancia del objeto o es p o sitiv a si el objeto es real antes, tenem os u n lad o i? y un lado V. y está situado en el lado V de la lente, com o se aprecia en las I. L os radios de curvatura r x (referentes a la prim era figuras 40-21u y 40-216. L a luz p roveniente de un objeto real superficie a la que llega la luz) y r2 (referentes a la segunda su es divergente cuando choca contra la lente. T am bién es posi perficie) son positiv o s si los centros correspondientes de cu r ble h ac e r que una luz convergente choque contra la lente, co vatura se h allan en el lad o R. L os radios son negativos si los m o se ve en la figura 4 0 -2 le . E n este caso, la luz convergente centros correspondientes de curvatura están en el lado V. E n la fo rm aría un ángulo O en el lado R del lente si éste no estuvie figura 4 0 -2 1 a, el centro de curvatura C¡ se encuentra en el la ra presente; entonces tendrem os que la im agen es un objeto do R, de m odo que es p ositivo y C2 se encuentra en el lado virtual y que o es negativa. V, de m anera que r , es negativo. L a observación atenta de ecua 3. L a d istancia de la im agen i es p o sitiva si la im agen ción 40-1 6 revela que, cuando Tj > 0 y r , < 0, la longitud focal (real) está en el lado R de la lente, co m o se aprecia en las fi /s ie m p r e es positiva. A esta lente se le llam a convergente; una guras 4 0 -2 la y 4 0 -2 le ; en cambio, i será negativa si la imagen lente m ás gruesa en el centro que en los bordes, siem pre será (virtual) se halla en el lado V, com o se ve en la figura 40-216. convergente al introducirlo en un m edio con un índice de re 4. D e acuerdo con la ecuación 40-17, el aum ento es ne fracción m en o r que el d e la lente. gativo cuando tanto i com o o son positivas com o en la im a E n la figura 4 0 -2 Ib , C x se h alla en el lado V, y C2 en el gen 4 0-21a, correspondiente a una im agen invertida. En el caso lado R. P o r co nsiguiente, r { es negativo y r2 positivo. En este de una im agen recta, com o la de las figuras 40-216 y 40 -2 le, el aum ento es positivo porque o e i tienen signo positivo. En el ca so descrito en la figura 40-216, o es positiva e i es negativa; en cam bio, en la figura 4 0 -2 le o es negativa, e i positiva. En contraste con un espejo esférico o con una superficie esférica refractante, una lente tiene dos puntos focales. En una lente delgada, los dos puntos focales se encuentran a igual dis ta n c i a /d e la lente a am bos lados de la lente. C uando un objeto puntual está situado en el p rim er punto foccd F j, una luz paralela sale de la lente, com o se señala en la figura 40-22a. En el caso de una lente divergente (Fig. 40-226), el objeto puntual es un objeto virtual. L a luz convergente, que habría sido enfocada en F x si la lente no estuviese allí, es de senfocada en luz paralela por la lente divergente. El segundo pu n to fo c a l F 0 es aquel donde se enfoca la luz paralela (o pare ce enfocarse) por m edio de la lente, com o se observa en la fi-
F i g u r a 4 0 - 2 x . a) Una imagen real invertida se forma con una lente convergente. Ésta tiene una longitud focal positiva y es más gruesa en el centro que en los bordes, b) Una imagen virtual recta se forma con una lente divergente. Éste tiene una longitud focal negativa y es más delgada en el centro que en los bordes, c) La luz convergente da origen a un objeto virtual en O. Esta lente divergente produce una imagen real recta en I.
b) F i g u r a 4 0 - 2 2 . a) Cuando un objeto puntual se encuentra en el primer punto focal F¡ de una lente convergente, ésta emite una luz paralela, b) Un objeto puntual virtual origina luz paralela en el caso de una lente divergente.
F i g u r a 4 0 - 2 3 . a ) Cuando la luz paralela incide en una lente convergente, es enfocada en el segundo punto focal F 7. b) Cuando la luz paralela incide en una lente convergente, parece salir del segundo punto focal.
gura 40-23. N ótese que, al com parar las figuras 40-22 y 40-23, la ubicación de los puntos focales prim ero y segundo en una lente convergente se opone a la de una lente divergente. E n las figuras 40-22 y 40-23 todos los rayos contienen el m ism o núm ero de longitudes de onda, esto es, tienen la m ism a longitud de trayectoria óptica (Ec. 39-16). O bsérvese cóm o las diferentes longitudes geom étricas de las trayectorias de los rayos en la lente (donde la velocidad de la luz es m en o r que en el aire) transform an ios frentes de onda esféricos en planos o los frentes de ondas planos en esféricos.
T razado de rayos C om o en el caso de los espejos esféricos, m ed ian te un m éto do gráfico con unos cuantos rayos básicos conviene lo cali zar la im agen form ada p o r una lente delgada. L a fig u ra 40-24 contiene tres rayos que pueden aplicarse a una im ag en real form ada por una lente convergente (Fig. 40-24u), a una im a gen virtual form ada por una lente convergente (Fig. 40-24¿>) y a una im agen virtual form ada p o r una lente d ivergente (Fig. 40-24c): 1. U n rayo (rayo 1 de la Fig. 40-24) que c ru za (o, al ser extendido, parece cruzar) el prim er punto fo cal F l sale de la lente paralelo al eje. 2. U n rayo (rayo 2 de la Fig. 40-24) p aralelo al eje atra viesa (o, al ser extendido, parece atravesar) el segundo punto focal F 0. 3. U n rayo (rayo 3 en la Fig. 40-24) que incide en el cen tro de la lente pasa por ella sin desviarse, porque cerca de su centro esta lente se com porta com o un trozo plan o de vidrio con lados paralelos; éstos no cam bian la dirección del rayo. C ualquiera de los dos rayos anteriores sirven p ara locali zar la im agen; el tercero se usa com o co m probación. N ótese en la figura 40-24 que, en los tres rayos, suponem os que la re fracción tiene lugar en un plano. E n la p osición de la lente. E sto puede hacerse en una lente delgada solam ente.
F i g u r a 4 0 - 2 4 . Tres rayos (1, 2, 3) que pueden usarse para localizar la imagen formada por a) un lente convergente (imagen real), b) una lente convergente (imagen virtual) y c) una lente divergente (imagen virtual).
Obtención de las fórmulas p a ra lentes delgadas N uestro plan consiste en exam inar cada superficie de la lente po r separado, u sando la im agen creada p o r la prim era super ficie com o un objeto en la segunda. L a fig u ra 4 0 -2 5 a m uestra esa “lente” de vidrio grueso, con una longitud L, cuyas superficies están fijas a los radios rj y r 7. U n objeto puntual O se coloca cerca de la superficie izq u ierd a com o se indica. Un rayo que sale de O en el eje no se desvía al entrar en la lente ni al salir de ella. U n segundo rayo que sale de O en un ángulo a con el eje incide contra la superficie en el punto a, se refracta y llega a la segunda superficie en el punto b. E l rayo vuelve a refrac tarse y cruza el eje en I, que por ser la intersección de los dos rayos provenientes de O es la im agen del punto O, form ado tras la refracción en dos superficies. En la fig u ra 40-25b se m uestra la prim era superficie, que form a un a im agen virtual de O en / '. P ara localizar / ' u tiliza m os la ecuación 40-10, con n l = 1 y = n: 1 ^
n __ n — 1
0
i'
rx
o, al tener en cuenta que i' es negativa, 1
n
o
I i' I
_
n —1 r.
(40-18)
En la figura 40-25c se m uestra la segunda superficie. U n observador en el punto b, que ignore la existencia de la prim e ra superficie, pensaría que la luz que llega a ese punto provie ne del punto / ' en la figura 40-25¿> y que la región a la izquierda de la superficie está llena con vidrio. A sí pues, la im agen (vir-
Si querem os o btener la ecuación 40-17 p ara el aumento lateral, h arem o s re fe re n c ia a la fig u ra 40-2 4 « . L os triángu los rectán g u lo s acO y b e l son sem ejantes, po rq u e am bos án gulos a cO y b e l son iguales. P ara los lados correspondientes de lo s triángulos sem ejan tes obtenem os bl _ el aO ~ cO (40-23)
a)
E l lado derecho de la expresión anterior es sim plem ente i/o , y el izquierdo —m, d o n d e e l signo negativ o in d ic a que la im a gen está invertida. C on tales sustituciones, la ecuación 40-23 se reduce d irectam ente a la ecuación 40-17. P r o b l e m a R e s u e l t o 4 0 - 6 . Las lentes de la figura 40-21 tie nen radios de curvatura de una magnitud de 42 cm y están hechas de vidrio, con n = 1.65. Calcule sus longitudes focales.
b)
Solución Como C{ se halla en el lado R del lente en la figura 40-21a, r, 'i es positivo (= +42 cm). Y como C, se encuentra en la lado V, r, es negativo ( 42 cm). La sustitución en la ecuación 40-16 nos da
_L
(n -
1)
/ o
c) 4 0 - 2 5 . a) Dos rayos procedentes de O forman una imagen real en / tras la refracción en dos superficies esféricas; la primera es convergente y la segunda, divergente, b) La primera y la segunda superficies se muestran por separado. Para mayor claridad se exageró mucho la escala vertical.
------- - ) = (1.65 - 1) ( -----ri r2 J \ + 42 cm /=
F ig u ra
tual) /', form ada p o r la p rim era superficie, sirve de objeto real O' a la segunda. L a d istan cia de este objeto respecto a la se gunda superficie es + L.
n
1
!M
1
1 i
(40-21)
r2
- 42 cm
+ 42 cm
o bien f = —2)2 cm. P r o b l e m a R e s u e l t o 4 0 - 7 . Un objeto está 38 cm delante de una lente divergente de longitud focal —24 cm. Encuentre la ubica ción y el aumento lateral de la imagen.
Solución Usamos la ecuación 40-15 y obtenemos 1
(40-20)
A hora, supongam os que el espesor L de la “len te” de la figura 40-25« es tan p eq u eñ o que podem os despreciarlo de él en com paración con otras m agnitudes lineales de la figura (com o o, i, o', /y y r0 ). E n la siguiente exposición realiza m os esta aproxim ación de lente delgada. Al h acer L = 0 en la ecuación 40-20 obtenem os +
+ - ( „ - , > ( + - + ) - o . « - . )
1 —n
L
+ 3 2 cm.
Una longitud focal positiva indica que, en concordancia con lo que hemos venido diciendo, la luz paralela incidente converge después de la refracción para crear un foco real. En las figuras 40-21 b y 40-21c, Cl se halla en el lado V de la lente, de manera que rj es negativo (= —42 cm). Puesto que C, es positivo (= + 42 cm), la ecuación 40-16 produce
(40-19)
Al aplicar la ecuación 4 0 -1 0 a la segunda superficie, in troducim os Hj = n y n-, = 1 porque el objeto se com porta com o s o s tu v ie r a in cru stad o en vidrio. Si em pleam os la ecu a ción 4 0 -1 9 , la ecuación 4 0 -1 0 q ueda así
!----—42 cm
1
1 - 24 cm
15 cm. El aumento es 15 cm ■jo cm
+ 0.39.
La figura 40-24c ilustra la solución gráfica del problema. El lector se percatará de que la ubicación, el tamaño y la orientación de la imagen son consistentes con los resultados del cálculo.
La adición de las ecuaciones 40-18 y 40-21 nos da l . l
(n -
. M 1)
1
(40-22)
L a definición del lado d erecho de la ecuación anterior com o 1 / / produce directam ente las ecuaciones 40-15 y 40-16, con lo cual se com pleta la dem ostración.
S istem as de dos lentes U n espejo o lente indiv id u al rara vez es un d ispositivo óptico útil. E n instrum entos com o los binoculares, los telescopios, los m icroscopios y las cám aras, las im ágenes se form an por un a co m binación de varias lentes o espejos. E n esta sección
vamos a estudiar las im ágenes form adas p o r sistem as que contienen dos lentes. A fin de analizar la form ación de im ágenes m ediante un sistem a de dos lentes, vam os a considerar las lentes una a la vez com o si la otra no existiera, tom ando la im agen form ada por una lente com o el objeto de la siguiente. A p licarem os las fórm ulas antes obtenidas en el caso de la len te d elg ad a (Ecs. 40-15 y 40-17), teniendo en cuenta las convenciones de sig nos en am bos casos. E n particular, recuerde lo siguiente:
tese que, aunque I es la imagen virtual de la primera lente, O' es un objeto real de la segunda, porque la luz divergente sale de este obje to y choca contra la segunda lente. Al aplicar de nuevo la ecuación 40-15, obtenemos
Cuando la luz divergente que proviene de una im agen f o r mada p o r una lente incide contra la siguiente, tratam os la imagen como un objeto real en la segunda lente. C uan do la luz convergente que proviene de la im agen fo rm a d a p o r una lente incide contra el siguiente elemento, tratam os la imagen com o un objeto virtual en la segunda lente.
correspondiente a una imagen real en el lado R de la segunda lente, tal como se señala en la figura 40-26.
El aum ento lateral total m x del sistem a de dos lentes es igual al producto de los aum entos de cada uno de ellos: m x = m m ',
(40-24)
donde m y m ' representan los aum entos laterales de los dos lentes. Es fácil generalizar estos m étodos a los sistem as de un len te y de un espejo o a los sistemas con m ás de dos com ponentes.
1 + 36 cm o bien
/' = + 26 cm,
P r o b l e m a R e s u e l t o 4 0 - 3 . El sistema óptico de la figura 4027 consta de dos lentes, con longitudes focales/ = +12 cm y / ' = - 3 2 cm, separados por una distancia de d = 22 cm. Un objeto lumi noso se coloca a 18 cm de la primera. Localice la imagen final pro ducida por este sistema.
Solución Una construcción gráfica que utiliza un diagrama de rayos se observa en la figura 40-27. Una imagen real / de la primera lente se formaría a la derecha de la segunda. La luz que forma esta imagen converge al incidir contra la segunda lente, por lo cual la tratamos co mo un objeto virtual O' de la segunda lente. Respecto a la primera lente, la ecuación 40-15 nos da J ______ 1
i
Dos lentes convergentes idénticas de longitudes focales / = / ' = +15 cm están separadas por una dis tancia d de 6 cm, como se muestra en la figura 40-26. Se pone una fuente luminosa a una distancia de o — 10 cm de la primera lente. Localice la imagen f i n a l . P r o b le m a
R e s u e l t o
+ 18 cm
40 -8 .
Solución Comenzamos por localizar la imagen empleando un diagra ma de rayos, como el de la figura 40-26. Los rayos 2 y 3 procedentes del objeto O se refractan como se indica por la primera lente; exten didos hacia atrás, muestran el lugar de la imagen (virtual) I, produ cida por la primera lente. La imagen actúa entonces como el objeto O' de la segunda lente y los rayos 2' y 3' indican la posición de la imagen final /, que está invertida y es real. Al aplicar la ecuación 40-15, podemos determinar la posición de la primera imagen:
J_ _ 1 /' + 15 cm
i
+ 1 2 cm
o / = + 3 6 cm. La imagen real se formaría a 36 cm de la primera lente, como se in dica. La distancia o ’ del objeto virtual O' a la segunda lente tiene la magnitud i — d, o sea 36 cm —22 cm = 14 cm. Como O' es un ob jeto virtual, tomamos la distancia o' como negativa. Ahora con la se gunda lente la ecuación 40-15 nos da
o
1 , 1 — 14 cm i'
1 —32 cm
/' = + 25 cm.
la imagen real 7' se forma en el lado R de la segunda lente. + 10 cm
i
+ 1 5 cm
o / = —30 cm. Es decir, la imagen es virtual y está formada a 30 cm de la lente en su lado V. Cuando la tratamos como el objeto O' de la segunda len te, la distancia del objeto o' es | ¡j + d - 30 cm + 6 cm = 36 cm. Nó
P r o b l e m a R e s u e l t o 4 0 - 1 O . El objeto de la figura 40-27 tie ne una altura h de 2.4 cm. Encuentre la altura de la imagen.
Solución Buscamos el aumento lateral del sistema compuesto. Una vez más, tratamos este último como dos sistemas individuales, y el
aumento lateral total m t del sistema combinado es el producto de los aumentos laterales m y m' de cada lente: m, = mm =
—
+ 36 cm + 1 8 cm
+ 25 cm — 14 cm
= — 3.57.
donde hemos utilizado los valores de las distancias del objeto y de la imagen que calculamos en el problema resuelto 40-9. La altura h{ de la imagen final es h { = m ji = ( —3.57)(2.4 cm) = —8.6 cm. El valor negativo nos recuerda que la imagen final es'tá invertida res pecto al objeto original.
^ .0 = 6
f i g u h a 4 Q -2 S . a) Un objeto de altura h situado a una distancia d del ojo subtiende un ángulo 8. b) Cuando se ve a través de una lente utilizado como lupa simple, la imagen I de altura h' se halla a una distancia d' y subtiende un'ángulo Q' en el ojo.
IN ST R U M E N T O S Ó P T IC O S
El ojo hum ano es un órgano de una extraordinaria eficacia, pero su dom inio puede am pliarse en muchas formas m ediante instrum entos ópticos com o los anteojos o los lentes de co n tacto, las lupas sim ples, los proyectores de películas, las cá m aras (entre ellas las de televisión), los m icroscopios y los telescopios. En m uchos casos estos aparatos am plían el alcan ce de la v isión m ás allá del lím ite visible; un ejem plo de ello lo constituye las cám aras infrarrojas de los satélites y los m i croscopios de rayos X. E n casi todos los casos de los com plejos instrum entos óp ticos m odernos, las fórm ulas de espejos y de lentes delgados sólo se em plean de m anera aproxim ada. En los m icroscopios de laboratorio, la lente no puede considerarse “delgada” . En la generalidad de los instrum entos ópticos, las lentes son com puestas, es decir, están hechos de varios elem entos. E n esta sección vam os a estu d iar los instrum entos ópti cos diseñados para p ro d u cir una im agen am plificada; quere m os que algo p a rezca m ás grande de lo que percibe el ojo sin ayuda. E l aum ento lateral es una m ed id a inexacta del tam año de una im agen p roducida p o r un sistem a óptico. É ste podría producir una im agen agrandada (|m | > 1), pero puede co lo car la im agen tan lejos de nosotros que el objeto que p ercib i ríam os sería en realidad m en o r que el objeto. A p esar de que el aum ento lateral puede ser m ay o r que la unidad y, p o r lo m ism o, el tam año de la im agen ser m ás grande que el del ob jeto , el resultado neto es lo que el observador llam aría im agen “am plificada” .
L a lu p a sim ple La figura 40-28n rep resen ta la fo rm ación de una im agen p o r el ojo hum ano. El tam año de eila en la retina depende del án gulo 6 subtendido en el ojo p o r el objeto. T ratándose de o b je tos pequeños situados a una distancia relativam ente grande del ojo, el ángulo 6 p uede aproxim arse com o (40-25) donde h es el tam año del objeto y d la distancia entre éste y el ojo.
E n la figura 40-28&, el observador contem pla el objeto a través de una len te que crea una im agen de tam año lateral h' a una d istancia d ' del ojo. U na vez m ás, tratándose de ángu los pequeños, el tam año angular aparente de la im agen perci bida p o r el o b serv ad o r es h' d'
(40-26)
A l o b servador la im agen v ista a través de la lente le parecerá m ás grande que el objeto original, si subtiende un ángulo só lido m ay o r que el que subtiende el objeto. A sí pues, al m edir el tam año de ella lo im portante no es el aum ento lateral m (= /?'//?); es el aum ento a n gular m g definido com o (40-27) E n efecto, m e es la razó n del tam año de las dos im ágenes en la retina, una con la lente y la otra sin ella. E l ojo hum ano norm al pu ed e enfocar la im agen nítida de un objeto sobre la retina, si el objeto O se halla en alguna p ar te desde el infinito (las estrellas, p o r ejem plo) hasta cierto punto denom inado p u n to cercano P , que suponem os está a unos 25 cm del ojo. Si vem os un objeto m ás cerca que ese punto, la im agen retiniana percibida se vuelve borrosa. En condiciones norm ales la ubicación del punto cercano varía con la edad. Todos hem os escuchado historias sobre personas que afirm an no n ecesitar anteojos, pero que leen el periódico ex ten d ien d o los b razo s; su pu n to cercano va alejándose cada vez m ás. L o calice su punto cercano aproxim ando esta página a los ojos, cada u n o p o r separado, h asta alcanzar un sitio don de la im agen em piece a to m arse borrosa. Tom am os com o base de com paración el tam año angular que un objeto p resen taría si lo colocáram os en el punto cerca no. P o r tanto, 9 =
— H . 25 cm
(40-28)
Si ponem os el objeto en u n sitio tal que se encuentre exacta m ente dentro del p rim e r punto focal de una lente convergen te com o en la fig u ra 4 0 -2 8b, se form ará un a im agen virtual lejos de la lente. E l aum ento lateral m tiene la m agnitud i/o ,
y la distancia d' respecto a la im agen es i. Si tom am os la m ag nitud de todas las cantidades, el tam año lateral de la im agen es h ’ = mh
(40-29)
y el tam año angular es (,Ho)h
h
7
' - 7
(40-30)
L a distancia s (denom inada longitud d e tubo) se escoge de m odo que la im agen 1 aparezca cerca del p rim er punto focal F [ del ocular de este microscopio, el cual, entonces puede fu n cio n ar com o u n a lupa sim ple com o se explicó antes. Los rayos paralelos entran en el ojo y la im agen final / ', aparece en el infinito. L a am plificación final M resulta de la am plifi cació n lin e a l m d e la lente ob jetiv a (Ec. 4 0 -3 2 ) y d e la am p lific a ció n an g u la r m g del ocular de este m iscro sco p io (Ec. 4 0 -3 1 ), es decir,
donde el últim o paso puede to m arse po rq u e supusim os que el objeto iba a ser colocado cerca d el pu n to focal. E l aum ento angular es mñ
y
h /f hl25 cm 25 cm _____
(40-31)
L a ecuación 40-31 ofrece el aum ento ang u lar de la lupa sim ple, que utiliza una sola lente. E l “ vidrio lupa” ordinario, que em plean los coleccionistas de estam pillas y los actores que re presentan a Sherlock H olm es, es en realidad, una sim ple lupa. Para obtener un aum ento angular grande, querem os que / sea lo m ás pequeña posible. En la práctica, un aum ento angular aproxim ado de 10 es lo m ejor que podem os h acer antes que las aberraciones de la lente em piecen a d istorsionar la im a gen. Las lentes de aum ento m ás com plejas, com o el m icro s copio com puesto que estudiarem os en seguida, pueden ten er aum entos angulares m ucho m ayores.
El m icroscopio com puesto L a figura 40-29 ofrece una versión de un m icroscopio co m puesto de lente delgado, el cual sirve para ver objetos pequeños que están m uy cerca de la lente objetivo del instrum ento. E l objeto O, de altura h, se coloca fuera del p rim er punto focal F ¡ del lente objetivo, cuyo punto focal es f o b . El objeto crea una im agen real invertida I de altura h ' , cuyo aum ento lateral está dado por la ecuación 40-17, o sea
h
■s tan 6 f ob
s
tan <9
(40-33) Jo b
Je y
Igual que los m icroscopios, los telescopios vienen en form as m uy diversas. L a que describim os a continuación es la del te lescopio de refracción simple, el cual consta de una lente o b je tiv a y de una ocular, am bos representados en la figura 40-30 p o r m edio de lentes delgadas. E n la práctica, cad a lente p u e de ser un sistem a com puesto com o en los m icroscopios. A p rim era vista, parecería que los arreglos de lentes en el telescopio y en el m icroscopio son sem ejantes. P ero los teles copios están diseñados para m irar objetos grandes desde m uy lejos, com o las galaxias, las estrellas y los planetas; los m i croscopios, en cam bio, están diseñados para ver los objetos pequeños desde m uy cerca. N ótese que en la figura 40-30 el segundo punto focal del objetivo F 0 coincide con el prim ero del ocular F [, m ientras que en la figura 40-29 estos puntos es tán separados p o r la longitud del tubo 5. E n la fig u ra 40-30, los rayos paralelos p rovenientes de un objeto distante inciden contra la lente objetivo, form ando un ángulo con el eje del telescopio y creando un a im agen real in v ertid a en el punto focal com ún F-,,F'V L a im agen actúa co m o objeto del o cu lar y aparece una im agen virtual (invertida todavía) en el infinito. Los rayos que la definen form an un án gulo 0ocd ar con eJe de^ telescopio. El aum ento angular m ^ d e l telescopio es fl0CU}a r/fl0blos rayos p araxiales (cercanos al eje) puede escribirse h ' / f ob
h'
25 cm
mm g
Telescopio de refracción
o bien mg =
M
Y ^ocular = /l7/ocular> 9 Ue noS d a
(40-32)
fo b
(40-34)
fo b /o c u la r
C om o de costum bre, el signo n egativo indica una im agen in vertida.
donde el signo negativo indica una im agen final invertida. Ocular
b
Objetivo
Objetivo
g
Rayos paralelos A la imagen virtual lejana
T-A— ^ “./L S— !
u
/o c u l a r
H j
F i g u r a 4 - 0 -2 3 . Versión de un m icroscopio de lentes delgadas (no dibujado a escala).
Rayos paralelos del objeto lejano
Rayos paralelos
A la imagen j. en el infinito
H-
Tob “
-H~A/oa,lar-M
F i g u r a 4 - 0 - 3 0 . Versión de un telescopio de refracción de lentes delgadas (no dibujado a escala).
•
ri
E l aum ento no es m ás que uno de tantos factores de dise ño del telescopio astronóm ico y resu lta fácil de conseguir. Un b uen telescopio necesita p o te n c ia de obtención de luz, que d e term ina la brillantez de la im agen. E sto es im portante cuando se m iran objetos tenues, en tre ellos las galaxias distantes, y se logra haciendo el diám etro del lente objetivo lo m ás grande posible. El cam po visu a l es otro p arám etro im portante. U n instrum ento diseñado p ara la o bservación galáctica (cam po visual estrecho) es m uy d istinto del diseñado p ara observar m eteoros (cam po visual ancho). A dem ás, el d iseñador debe tener en cuenta las aberraciones de la lente y del espejo com o la aberración esférica, p o r ejem plo (las lentes y los espejos con superficies verdaderam ente esféricas no pro d u cen im áge nes nítidas) y la aberración crom ática (en las lentes sim ples el índice de refracción y, p o r tanto, la longitud focal varían con la longitud de onda; así que aparecen im ágenes borrosas que presentan colores no naturales). Si querem os construir telescopios refractantes de diám e tro m ayor (para lograr un a m ejor eficiencia de obtención de luz), debem os hacer lentes m ás gruesas, las cuales aum entan las distorsiones y aberraciones causadas p o r la lente. Los teles copios refractantes m ás grandes, que se construyeron a fines del siglo xix, tienen lentes aproxim adam ente de 1 m de diám e tro. Los telescopios de reflexión, cuyo elem ento objetivo es un espejo en vez de una lente, no experim entan tales distorsiones porque la luz se refleja contra la superficie frontal del espejo. L os m ás grandes tienen un diám etro de unos 10 m y, en con secuencia, su capacidad de obtención de luz es 100 veces más que los telescopios refractantes m ás grandes. Pueden cons truirse telescopios aún m ayores com binando en una sola im a gen la luz procedente de m uchos espejos individuales. A causa de la distorsión atm osférica, los telescopios óp ticos situados en la T ierra tienen una capacidad lim itada para pro ducir im ágenes nítidas; la tu rbulencia natural de la atm ós-
' \
F ig u ra
4 0 -3 1
. El Hubble Space Telescope.
fera d eform a los frentes de onda (casi) planos que llegan a la T ierra desde objetos lejanos. Se ha logrado resolver este pro blem a gracias a la invención de la óptica de adaptación: al sentir la distorsión atm osférica, la form a de un espejo flexible puede m odificarse para com pensar la distorsión y obtener así una im agen nítida. O tra m anera de suprim ir los efectos de la atm ósfera consiste en p o n er el telescopio arriba de la atm ós fera. En la figura 40-31 se m uestra el H ubble Space Telescope, un telescopio refractante que en 1990 fue colocado en la órbita terrestre p o r m edio de un transbordador espacial.
PCIÓN MÚLTIPLE 4 0 - 1 Formación de imágenes por medio de espejos y lentes 1. ¿Existe efectivamente un objeto virtual? A) No. B) Sí, pero sólo como un constructo matemático no físico. C) Sí, existe cuando los rayos luminosos se originan en un punto que no está allí. D) Sí, existe cuando los rayos luminosos convergentes cho can contra un dispositivo óptico antes de encontrarse en un punto. 40-2
Espejos planos
2. ¿Qué sucede con la imagen cuando nos alejamos de un espejo plano? A) Se aleja del espejo y se vuelve más pequeña. B) Se aleja del espejo, pero conserva el mismo tamaño. C) Conserva la misma distancia del espejo, pero se vuelve más pequeña.
D) Conserva la misma distancia del espejo y también el mismo tamaño. 3. ¿Cuál es el tamaño mínimo del espejo necesario para que una persona de 6 pies de estatura logre contemplar una imagen ínte gra? A) 6 ft B) 4.5 ft C) 3 ft D) Depende de la distancia a que la persona se encuentra del espejo.
40-3 Espejos esféricos 4. A menudo el espejo lateral de un automóvil tiene la advertencia: "'Los objetos pueden estar más cerca de lo que parece”. ¿Está la imagen realmente más lejos que el objeto? A) Sí. es más pequeña y está más lejos que el objeto. B) No, es más pequeña y está más cerca que el objeto. C) No, es más grande y está más cerca que el objeto. D) Sí. es más grande y está más lejos que el objeto.
5. Sin importar la distancia con cierto espejo, nuestra imagen apa rece recta. ¿Qué tipo de espejo es éste? A) Cóncavo B) Convexo C) Plano D) De tipo B) o C) E) No se cuenta con suficiente información para contestar esta pregunta. 6. Delante de cierto espejo, usted se da cuenta de que su imagen parece agrandada. ¿Qué tipo de espejo es? A) Cóncavo B) Convexo C) Plano D) De tipo B) o C) E) No se cuenta con suficiente información para contestar esta pregunta. 7. Un espejo produce una imagen real en i a partir de un objeto real en o > i. ¿Qué puede concluir respecto a la longitud focal del espejo? A) / < 0 B) 0 < / < i C) / < / < o D) o < / 4-0-4. S u p e rfic ie s esfé ric a s re f ra c ta n te s 8. La luz brilla a través de una burbuja esférica de aire debajo del agua. ¿Como qué tipo de dispositivo óptico funciona la burbuja? A) Convergente B) Divergente C) Plano 9. Un buzo con un casco de vidrio mira un pez según se aprecia en la figura 40-32. a) ¿Dónde se encuentra la imagen del pez en relación con su ubicación verdadera? A) Más cerca del buzo. B) Más lejos de buzo. C) A la misma distancia del buzo. D) La respuesta depende de la ubicación del pez. b) ¿Qué tamaño tiene la imagen en comparación con la del pez? A) Más grande B) Más pequeña C) Del mismo tamaño D) La respuesta depende de la ubicación del pez.
12. Una lámpara es un objeto real para una lente; una imagen de ella se proyecta sobre una pantalla. a) ¿Qué tipo de lente es ésta? A) Convergente B) Divergente C) De tipo A) o B) D) No se cuenta con suficiente información para contestar „ esta pregunta. b) ¿Qué tipo de imagen se produce? A) Real B) Recta C) Virtual D) Invertida lateralmente 13. Un objeto de personaje de caricatura se halla a la izquierda de una lente delgada; una imagen real aparece a la derecha (Fig. 40-33«). ¿Cuál rostro de la figura 40-34¿> muestra mejor la imagen?
a)
b)
C F ig u r a
4-0-3 4.
Una tarjeta opaca se sostiene arriba de la mitad inferior de una lente convergente, como se ve en la figura 40-35«. ¿Cuál repre sentación de la figura 40-35/; muestra mejor la imagen que apa rece en la pantalla?
'" I7'
F Tarjeta
Pantalla b)
a) F ig u ra
4 0-5
40 -3 2 .
Pregunta de opción múltiple 9.
A 40-3 3.
F ig u ra
40 -3 5 .
si b.
Pregunta de opción múltiple 14.
4 © -s I n s tru m e n to s ó pticos
L e n te s d e lg a d a s
10. Una persona miope (Ej. 40) lee sin dificultad un periódico a una distancia máxima de 1 m. ¿Qué longitud focal deberían tener sus lentes correctivos? A) Más de 2 m B) Más de 1 m C) Menos de 1 m D) Menos de 0.5 m 11. En la figura 40-33 aparecen tres personas que usan anteojos. ¿Cuál de ellas es miope? (Ej. 40.)
F ig u ra
D
Pregunta de opción múltiple 13.
B
C
Pregunta de opción múltiple 11.
15. ¿A qué distancia debe una lupa de longitud fo c a l/e s ta r de un objeto para ofrecer el máximo aumento angular (medido desde el centro del lente) con una imagen recta? A) o < f B) « = / A) f < o < 2 / B) 2 / < o E) No importa; el aumento no depende de o. 16. Sostenemos una lupa de punto fo c a l/a una distancia óptima de un objeto, a fin de obtener el aumento máximo. ¿A qué distan cia debería el ojo encontrarse respecto a la luz para producir el máximo aumento angular? A) Lejos del vidrio B) Aproximadamente / C) Muy cerca del vidrio D) No importa; el aumento depende de la distancia respec to al vidrio.
r^ R E G U N m s 1. ¿Puede una imagen virtual fotografiarse exponiendo una pelícu la en el sitio de la imagen? Explique su respuesta. 2. Por la noche, en un cuarto iluminado, sopla un anillo de humo hacia un cristal de ventana. Si enfoca los ojos en él a medida que se acerca a la ventana, parecerá que atraviesa el cristal y que desaparece en la oscuridad. ¿Cómo explica esta ilusión óptica? 3. Al conducir un automóvil, a veces ve vehículos como las ambu lancias con letras pintadas de modo que aparecen en forma normal cuando mira por el espejo retrovisor. Anote su nombre de manera que pueda leerlo así. 4. Hemos visto que un reflejo simple en un espejo plano se invier te a la derecha e izquierda. Por ejemplo, cuando conducimos ca rretera abajo, las letras de los letreros se invierte como si los miráramos por el espejo retrovisor. Con todo, viendo a través de ese espejo, parece que vamos por el carril derecho. ¿Por qué el espejo invierte los letreros y no los carriles? ¿O lo hace? Ex plique su respuesta. 5. Sabemos que, cuando vemos un espejo, la derecha y la izquier da están invertidas. La mano derecha parece ser la izquierda; si partimos el cabello en la izquierda, tendremos la impresión de lo que partimos en la derecha y así sucesivamente. ¿Se le ocu rre un sistema de espejos que nos permita vemos como la gen te nos ve? Si la respuesta es afirmativa, dibuje y pruebe su afirmación trazando algunos rayos típicos. 6. Diseñe un sistema de espejos planos que le permite mirar la par te posterior de su cabeza. Dibuje los rayos para probar su afir mación. 7. ¿Qué significa “longitud de camino óptico”? ¿Puede alguna vez ser menor que la longitud de camino geométrico? ¿Puede ser mayor? 8. En muchos autobuses urbanos un espejo convexo está colocado arriba de la puerta, al alcance de la vista del conductor. ¿Por qué no un espejo plano o cóncavo? 9. Los dentistas y los higienistas dentales utilizan un espejo peque ño con un largo mango para examinar los dientes de sus clien tes. ¿Es el espejo cóncavo, convexo o plano y por qué? 10. ¿En qué condiciones un espejo esférico, que puede ser cóncavo o convexo, produce a) una imagen real, tí) una imagen inverti da y c) una imagen menor que el objeto? 11. ¿Podemos proyectar una imagen virtual sobre una pantalla? 12. Está usted viendo un perro desde una ventana de vidrio. ¿Dónde se encuentra la imagen del animal? ¿Es real o virtual? ¿Está recta o invertida? ¿Cuál es el aumento? (Sugerencia: piense en la ven tana como el caso límite de un lente delgado donde se ha permiti do que los rayos de curvatura se vuelvan infinitamente grandes. 13. En algunos automóviles, el espejo lateral de la derecha contie ne la advertencia: “Los objetos son más grandes de lo que pare cen”. ¿Qué característica del espejo la exige? ¿Qué ventajas ofrece el espejo para compensar esta desventaja? ¿Los automó viles vistos a través de él parecen moverse con mayor o menor rapidez que si se reflejase en un espejo plano? 14. ¿Están los objetos de la pregunta 13 realmente más cerca de lo que parece? ¿Dónde se localiza la imagen? 15. Todos hemos visto las imágenes televisivas de un partido de béisbol tomadas con una cámara situada atrás de las segunda base. El lanzador y el bateador se hallan separados por una dis tancia de 60 ft, pero parecen estar mucho más cerca en la panta lla de televisión. ¿Por qué las imágenes vistas a través de una lente de telefoto aparecen reducidas en esta forma?
16. Una lente delgada asimétrica forma una imagen de un objeto puntual en su eje. ¿Cambia la ubicación de la imagen si inverti mos la lente? 17. ¿Por qué una lente tiene dos puntos focales y un espejo sola mente uno? 18. ¿En qué condiciones una lente delgada, que puede ser conver gente o divergente, produce a) una imagen real, b) una imagen invertida y c) una imagen más pequeña que el objeto? 19. Un conductor quiere utilizar una bolsa de plástico llena de aire como lente convergente con visibilidad debajo del agua. Dibu je una sección transversal adecuada para esta bolsa. 20. En relación con la figura 40-23«, todos los rayos procedentes del mismo frente de onda en la onda incidente siguen la misma trayectoria óptica hacia el punto de la imagen. Explique esto a partir del principio de Fermat (Cap. 39). 21. ¿Por qué la aberración cromática ocurre en lentes simples, y no en espejos? 22. Considere varias aberraciones de lente. ¿Es posible, en teoría, cons truir una lente sin aberración alguna (por ejemplo, limando las su perficies) cuando se enfoca la luz monocromática? 23. Un espejo cóncavo y una lente convergente tienen la misma longitud focal en el aire. ¿La tienen también cuando los intro ducimos en el agua? De no ser así, ¿cuál de ellos tienen mayor longitud focal? 24. ¿En qué condiciones una lente delgada tendrá un aumento late ral a) de —1 y b) de +1? 25. ¿Qué relación existe entre la longitud focal de una lente delga da de vidrio para luz azul y una lente para luz roja, suponiendo que la lente sea a) divergente y b) convergente? 26. ¿Depende la longitud focal de la lente del medio donde se ha lla? ¿Es posible que una lente opere como lente convergente en un medio y como divergente en otro? 27. ¿Se aplican los siguientes enunciados a una lente de vidrio en el aire? a) Una lente más gruesa en el centro que en los bordes es divergente con luz paralela, ’o) Una lente más gruesa en los bor des que en el centro es divergente con luz paralela? 28. ¿En qué condiciones se volvería infinito el aumento lateral Qn = —i/o ) en las lentes y en los espejos? ¿Ofrece esta condición al gún interés práctico? 29. ¿Por qué el aumento de una lupa simple (véase la demostración que da origen a la Ec. 40-31) se define en función de los ángu los, y no del tamaño de la imagen/objeto? 30. Los anteojos ordinarios no amplían la imagen, y una lupa sim ple sí. ¿Qué función tienen entonces los anteojos? 31. El número f de una lente de cámara (Prob. 13) es su longitud focal dividida entre su apertura (diámetro efectivo). ¿Por qué es útil saber esto en fotografía? ¿Cómo puede modificarse el núme r o / ? ¿Qué relación guarda el tiempo de exposición con él? 32. Una lupa de pequeña longitud focal permite examinar los deta lles más finos que una con gran longitud focal. Explique por qué. 33. Calcule la máxima distancia a que el ojo humano puede leer los titulares de un periódico. 34. ¿Importa si producen una imagen recta o invertida a) un teles copio astronómico; tí) un microscopio compuesto; c) una lupa simple; d) una cámara (una cámara de televisión por ejemplo); e) un proyector? ¿Y qué decir de las imágenes reales o virtua les?
35. El ojo hum ano sin ayuda produce una imagen real pero inverti da sobre la retina, a) ¿Por qué no percibim os objetos invertidos como las personas o los árboles? b) Desde luego que no, pero su póngase que usam os anteojos especiales y que los percibiéramos así. Entonces si pusiéramos el libro de cabeza, podríam os leer esta pregunta con la misma facilidad con que lo hacemos ahora? 36. ¿Cuál de las siguientes lentes — una lente convergente, una di vergente, un espejo cóncavo, convexo o plano— se emplea: a) como lupa? b) ¿Cómo el reflector en la base de un proyector de transparencias? c) ¿Como el objetivo de un telescopio de re flexión? d) ¿En un caleidoscopio? e) ¿Cómo el ocular de unos gemelos de teatro? f ) ¿Para obtener una vista posterior más com pleta desde el asiento del conductor en un automóvil? 3 7 . ¿Qué propiedades de una lente la haría un buen vidrio canden te (una lente que, alineada con el Sol, rápidamente quem a papel o las ramas colocadas detrás de él)? 38. En la novela El señor de las moscas de William Golding, el perso naje Piggy usa sus anteojos para enfocar los rayos solares y hacer fuego. Más tarde, los niños lo golpean y le rompen los anteojos. No puede identificarlos desde cerca pues es miope. Detecte el error de esta narración. (Boston Globe, December 17, 1985, Letters.)
39. Explique la función de la lente objetivo en un microscopio. ¿Por qué la utilizam os? ¿Por qué no sim plem ente usam os una lente de aumento m uy potente? 40. ¿Por qué los astronautas emplean telescopios ópticos cuando diri gen la vista al cielo? Después de todo, las estrellas están tan lejos que parecen puntos luminosos, sin ningún detalle perceptible. 41. Un fabricante de relojes usa anteojos divergentes cuando con duce, no usa lentes cuando lee, y usa anteojos convergentes en su trabajo. ¿Es miope o hiperm étrope? Explique su respuesta (Ej. 40). 42. ¿Por qué todos los telescopios astronómicos modernos son de reflexión, y no de refracción? Piense en los problem as del m on taje m ecánico de las lentes y de los espejos, en la dificultad de configurar las superficies ópticas en cuestión, en los problemas de las pequeñas fallas de las matrices de vidrio óptico con que se construyen las lentes y los espejos, etcétera. 43. Explique por qué a veces a) la luz ultravioleta se usa para ilu minar objetos bajo el m icroscopio, b) se utilizan filtros azules para fotografiar una estrella contem plada a través de un telesco pio y c) se usa luz infrarroja para lograr m ayor claridad en las fotografías de paisajes.
£ je r c ic io s _ 40-
i
F o r m a c ió n d e im á g e n e s p o r m e d io d e e sp e jo s y le n te s
4 0 - 2 E s p e jo s p la n o s
1. Se encuentra usted delante de un gran espejo plano, contemplan do su imagen. Si se mueve hacia el espejo con una velocidad v, ¿a qué velocidad se dirige la imagen hacia usted? Indíqueia a) en su propio marco de referencia y b) en el marco de referencia del cuarto donde el espejo se halla en reposo. 2. Un objeto pequeño está 10 cm delante de un espejo plano. Si us ted se halla detrás del objeto a 30 cm del espejo y si contem pla su imagen, ¿a qué distancia debe enfocar los ojos? 3. Pruebe que, si hacemos girar un espejo plano un ángulo a, el haz reflejado gira en un ángulo 2a. D em uestre que este resulta do es razonable con a = 45°. 4. En la figura 40-36 se observa (vista desde arriba) que Bernie B se dirige directam ente al centro de un espejo vertical M. ¿A qué distancia de él se hallara cuando Sara S pueda verlo? Suponga que d = 3.0 m.
gura 40-37. Trace los haces correspondientes de rayos para vi sualizar las cuatro imágenes situadas más cerca del objeto.
e O
4 0 - 3 7 . Ejercicio 5.
F ig u r a
6. En la figura 40-4 se gira el espejo 30° en dirección contraria a las manecillas del reloj y alrededor de su borde inferior, dejan do en su sitio el objeto puntual O. ¿Se desplaza el punto la ima gen puntual? De ser así, ¿dónde se encuentra? ¿Puede el ojo ver todavía la imagen sin que se la mueva? Dibuje una figura que describa la nueva situación. 7. La figura 40-38 contiene una pequeña lámpara suspendida 250 cm arriba de la superficie del agua en una alberca. El agua tiene una profundidad de 186 cm y su fondo es un enorme espejo. ¿Dón de se localiza la imagen de la lám para cuando se ve desde la in cidencia norm al cercana?
250 cm
F ig u r a
40-3 6.
Ejercicio
4.
5. Se coloca un objeto pequeño O en la tercera parte de la distan cia entre dos espejos paralelos planos, según se observa en la fi
Espejo F ig u r a
40-3 3.
Ejercicio 7.
14. Complete la figura 40-40 para demostrar la trayectoria seguida por los rayos de luz procedentes del objeto puntual O después de reflejarse contra el espejo. La longitud focal es 10.0 cm y el objeto está a una distancia de 15.0 cm.
8. Dos espejos planos forman un ángulo de 90° entre sí. ¿Cuál es el mayor número de imágenes de un objeto colocado entre ellos que puede verse con un ojo situado en el lugar apropiado? El objeto no se encuentra en el bisector del espejo. 9, Un objeto puntual está a 10 cm de un espejo plano, mientras el ojo de un observador (5.0 mm de diámetro de la pupila) se halla a 24 cm de distancia. Suponiendo que el ojo y el punto se encuen tren en la misma línea perpendicular a la superficie, determine el área del espejo que se usa para observar la reflexión del punto. 10. Resuelva el ejercicio 8 si el ángulo entre los espejos es a) 45°, b) 60° y c) 120°; el objeto siempre está situado en el bisector de los espejos. 11. ¿Cuántas imágenes de su persona verá en un cuarto cuyo techo y dos paredes contiguas son espejos? Explique su respuesta. 4 0 - 3 E sp e jo s e sfé ric o s
15. Llene la tabla 40-1, donde cada columna se refiere a un espejo esférico o plano y a un objeto real. Verifique los resultados me diante el trazado de rayos. Las distancias se dan en centímetros; si un número no tiene delante un signo positivo o negativo, en cuentre el signo correcto. 16. Repita la operación que da origen a la ecuación 40-4, utilizando la geometría de la figura 40-15 con el espejo convexo; demues tre que la ecuación 40-4 es válida en este caso sólo si se supone que i y r son negativos.
12. Vuelva a dibujar la figura 40-39 en una hoja grande de papel y trace con mucho cuidado los rayos reflejados, aplicando para ello la ley de reflexión. ¿Se forma un foco puntual? Comente su respuesta.
4 0 - 4 S u p e rfic ie s e sfé ric a s r e f ra c ta n te s 17. La figura 40-41 muestra la sección transversal de un tubo hueco de vidrio con un radio interno r, con un radio extemo R y con un índice de refracción n. a) Convénzase de que el rayo ABC define el radio interno r* visto desde el lado, b) Demuestre que r* = nr, independientemente de R.
V-. i '
f-s+FIGUI
>-39. Ejercicio 12.
13. Un espejo cóncavo de rasurar tiene un radio de 35 cm de curva tura. Lo colocamos de modo que la imagen del rostro de un hombre es 2.7 veces el del tamaño de su rostro. ¿A qué distan cia se halla el espejo del rostro?
a Tipo
Cóncavo
/(c m )
20
b
c
d
e
f
g Cóncavo
20
+20
r (cm)
-4 0
40
i (cm)
-1 0
4.0
o (cm) m ¿Imagen real? ¿Imagen recta?
-M0
h
+ 10 + 1.0
+30
+60 -0 .5 0
+24 +0.10
0.50
No No
n. n2 o (cm)
a
b
c
d
e
/
1.0
1.0
1.0
1.0
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
1.0
1.0
1.0
+ 10
+ 10 -1 3
i (cm) r (cm)
+ 30
+ 20
+ 10
+ 600
-2 0
-6 .0
+30
-2 0
h
a o
1.5
+ 100
+70
+600
-7 .5 -3 0
-3 0
+ 30
¿Imagen recta?
18. Llene la tabla 40-2, donde las columnas se refieren a una super ficie esférica que separa dos medios, cuyos índices de refrac ción son diferentes. Las distancias se miden en centímetros. El objeto es real en todos los casos. Dibuje una figura para cada si tuación y construya gráficamente los rayos correspondientes. Suponga un objeto puntual. 19. Un haz paralelo de luz proveniente de un láser incide sobre una esfera sólida y transparente cuyo índice de refracción es n, como se muestra en la figura 40-42. a) Demuestre que no podemos enfocarlo en la parte posterior de la esfera, a menos que el an cho del haz sea pequeño comparado con el radio de la esfera. b) Si la condición en á) se cumple, ¿qué índice de refracción tie ne ella? c) ¿Qué índice de refracción, si es que hay, enfocará el haz en el centro de la esfera?
F ig u r a
del radio de curvatura que el otro y su longitud focal es 60 mm. Determine los radios. 23. Suponga que enfoca una imagen del Sol sobre una pantalla, em pleando para ello una lente delgada cuya longitud focal es 27 cm. Calcule el diámetro de la imagen. (En el Ap. C vienen los datos necesarios del Sol.) 24. Una lente está hecha de vidrio que tiene un índice de refracción de 1.5. Un lado es plano y el otro convexo, con un radio de curvatura de 20 cm. a) Determine la longitud focal de la lente. b) Si un objeto se coloca 40 cm a la izquierda de ella, ¿dónde se localizará la imagen? 25. Tiene un suministro de discos planos de vidrio (n = 1.5) y una cortadora de lentes que puede fijarse para que pula los radios de curvatura de 40 o 60 cm. Le piden preparar un juego de seis len tes como los de la figura 40-44. ¿Cuál será la longitud focal de cada uno? (Nota: escoja el menor radio de curvatura si pue de elegir entre varios.)
¿¡.0-42. Ejercicio 19.
4 0 - 5 L e n te s d e lg a d a s 20. Complete la figura 40-43 para demostrar la trayectoria seguida por los rayos luminosos provenientes del objeto puntual O des pués de cruzar la lente. La longitud focal es 10.0 cm y la distan cia del objeto, 6.0 cm.
Bi-convexa
Plano-convexa
Menisco convexo
«)
b)
c)
B¡-cóncava doble
Plano-cóncava
d) F ig u ra
F ig u r a 4 0 -4 3 .
Ejercicio 20.
21. Un objeto está 20 cm a la izquierda de una lente delgada con vergente, cuya longitud focal es —30 cm. ¿Dónde se forma la imagen? Obtenga su posición mediante cálculo y también me diante un diagrama de rayos. 22. Queremos construir una lente convexa doble con vidrio, cuyo índice de íefracción es 1.5. Una superficie debe tener el doble
e) 40 -4 4 .
Menisco cóncavo
f)
Ejercicio 25.
26. Se pone un objeto en el centro de curvatura de una lente cónca va doble, cuyos ambos radios de curva tienen la misma magnitud. a) Encuentre la distancia de la imagen en función del radio de curvatura r y el índice de refracción n del vidrio, b) Describa la naturaleza de la imagen, c) Verifique su resultado por medio de un diagrama de radios. 27. A la ecuación 40-15 se le llama forma gaussiana de la fórmula de lentes delgados. Otra modalidad de ella es la forma newtoniana, la cual se obtiene considerando la distancia x del objeto al primer punto focal y la distancia x' del segundo punto focal a la imagen. Demuestre que
e
/
O O
r i (cm)
+ 30
-3 0
-3 0
r, (cm)
-3 0
+ 30
-6 0
+ 10
+ 10
+ 10
1.5
1.5
1.5
a Tipo
Cóncavo
/(c m )
10
b
c
d
+ 10
10
10
h
i
+ 10
+ 10
0.50
0.50
i (cm) +20
o (cm)
+5.0
+50
+50
> 1
< 1
n m
Sí
¿Imagen real? Sí
¿Imagen recta?
28. En lo posible llene la tabla 40-3, cuyas columnas se refieren to das a una lente delgada. Si no puede calcular una cantidad, anote “X”. Las distancias se dan en centímetros; si un número (salvo en el renglón n) no tiene delante un signo positivo o negativo, en cuentre el signo correcto. Dibuje una figura para cada situación y construya gráficamente los rayos apropiados. El objeto es real en todos los casos. 29. Una transparencia iluminada se monta a 44 cm de la pantalla. ¿A qué distancia de la transparencia debemos colocar una lente de longitud focal 11 cm para que proyecte una imagen sobre la pantalla? 30. Una flecha iluminada produce una imagen real invertida a una distancia d = 40.0 cm, medida a lo largo del eje óptico de un lente (Fig. 40-45). La imagen es apenas la mitad del objeto, a) ¿Qué clase de lente debe utilizarse para obtener esta imagen? b) ¿A qué distancia del objeto debe ponerlo? c) ¿Qué longitud focal tiene la lente?
1 1
Lente
3
1
Eje
f
-<•------------ -—d---------------- Ss-J F ig u r a
40 -4 5 .
Ejercicio 30.
31. Una lente convergente con una longitud focal de +20 cm se ha lla 10 cm a la izquierda de una lente divergente, con una longi tud focal de —15 cm. Si ponemos un objeto real 40 cm a la izquierda de la primer lente, localice y describa por completo la imagen formada. 32. a) Demuestre que una lente delgada convergente de longitud fo cal/seg u id a por una lente delgada divergente de longitud focal —/p o n d rá una luz paralela en foco más allá de la segunda len te, a condición de que la separación de las lentes L satisfaga 0 < L < /. b) ¿Cambia esta propiedad si los intercambiamos? c) ¿Qué sucede cuando L = 0? 33. Se coloca un objeto 1.12 m delante de una lente convergente de 58.0 cm de longitud focal, que está 1.97 m delante de un espe jo plano, a) ¿Dónde está la imagen final, medida desde el lente, que vería un ojo que dirija la mirada hacia el espejo a través del lente? b) ¿Es real o virtual la imagen final? c) ¿Es recta o inver tida? d) ¿Cuál es el aumento lateral?
34. Un objeto está 20.0 cm a la izquierda de una lente, con una lon gitud focal fija de +10.0 cm. Una segunda lente de longitud fo cal + 12.5 cm está 30.0 cm a la derecha de la primera, a) Por medio de la imagen formada por la primera lente como el obje to de la segunda, determine la ubicación y el tamaño relativo de la imagen final, b) Verifique sus conclusiones dibujando el sis tema de lentes a escala y construyendo un diagrama de rayos, c) Describa la imagen final. 4 0 - 6 I n s tr u m e n to s ó p tico s 35. El aumento angular de un telescopio astronómico en un ajuste normal es 36 y el diámetro del objetivo del lente mide 72 mm. ¿Cuál es d diámetro mínimo de! ocular que se requiere para concentrar toda la luz que entra en la lente objetivo procedente de una lejana fuente puntual en el eje del instrumento? 36. Algunos de los primeros “microscopios” eran en realidad lupas de una sola lente hechos por Leeuwenhoelc. Tenían aumento hasta de 200. Suponga que estuvieran hechos con una lente de vidrio (n = 1.5), con dos superficies de igual curvatura R. a) Encuentre R. b) Calcule el diámetro máximo de estas lentes. 37. La figura 40-46a representa un ojo humano normal. Los rayos paralelos que entran en un ojo relajado que mira al infinito pro ducen en la retina una imagen real invertida. Así, el ojo funcio-
na como una lente convergente. La mayor parte de la refracción tiene lugar en la superficie extema del ojo. Suponga una longi tud fo c a l/d e l ojo de 2.50 cm. En la figura 40-46b el objeto se acercó a una distancia o = 36.0 cm del ojo. Para crear una ima gen en la retina, hay que reducir a / ' la longitud focal efectiva del ojo. Esto se hace mediante la acción de los músculos cilia res que modifican la forma de la lente y, por tanto, la longitud focal del ojo. a) D eterm ine/' basándose en los datos anteriores. b) ¿Se volverán más grandes o más pequeños los radios de cur vatura en la transición de la figura 40-46(2 a la figura 40-466? (En la figura la estructura del ojo apenas si se bosqueja, y en la Fig. 40-466 no se traza a escala.) 38. Un microscopio del tipo descrito en la figura 40-29 tiene una longitud focal de 4.2 cm en la lente objetivo y de 7.7 cm en el ocular. La distancia entre las lentes es 25 cm. a) ¿Cuál es la dis tancia s en la figura? b) Para producir las condiciones allí seña ladas, ¿a qué distancia conviene colocar F j en esa figura? c) ¿Cuál es el aumento lateral m de la lente objetivo? d) ¿Cuál es el aumento angular m g del ocular? e) ¿Cuál es el aumento global M del microscopio? 39. En un microscopio compuesto el objeto se halla a 12.0 mm de la lente objetivo. Las lentes están separadas por una distancia de 285 mm y la imagen intermedia se halla a 48.0 mm del ocu lar. ¿Qué aumento se produce?
40. El ojo hipermétrope enfoca los rayos paralelos de modo que la imagen se forma detrás de la retina, como en la figura 40-47cz. En el ojo miope, la imagen se forma delante de ella, según se aprecia en la figura 40-476. a) ¿Cómo diseñaría una lente correctiva para ambos defectos? Dibuje un diagrama de rayos en los dos casos. b) Si necesita anteojos sólo para leer, ¿es usted miope o hipermé trope? c) ¿Qué función desempeñan los anteojos bifocales, donde las partes superiores e inferiores presentan distinta longitud focal?
F i g u r a 4 0 - 4 7 . Ejercicio 40.
ROBLEMAS Si pone usted una fuente puntual de luz S a una distancia d de lante de ana pantalla A. ¿Qué intensidad habrá en el centro de la pantalla si coloca un espejo M a una distancia d detrás de la fuente, como se ve en la figura 40-48? (Sugerencia: recuerde que la intensidad varía con la distancia respecto a una fuente puntual de luz.)
M
d d — !¡5>*— <^J— F ig u ra
4-0-4 3.
su-imagen tendrá una longitud V , donde
L’ = L o -f b) Demuestre que el aumento longitudinal m (= L '/L ) es igual a m2, donde m es el aumento lateral. Un estrecho haz paralelo incidente llega, desde la izquierda, a una esfera sólida de vidrio en una incidencia normal. El radio de la esfera es R, y su índice de refracción n < 2. Calcule la distan cia de la imagen respecto al borde derecho de dicha esfera. 5. Demuestre que la longitud fo cal/d e una lente delgada, cuyo ín dice de refracción es n y que está inmersa dentro de un fluido cuyo índice de refracción es n', está dada por
Problema 1. /
2. a) Un punto luminoso se desplaza con una velocidad v0 hacia un espejo esférico a lo largo de su eje. Demuestre que la velocidad con que la imagen de este objeto puntual se mueve está dada por
2o b) Suponga aue el espejo es cóncavo, con r = 15 cm, y que vo = 5.0 cm /s. Determine la velocidad de la imagen si el objeto está lejos del punto focal (o = 75 cm); c) si está cerca del punto focal (o = 7.7 cm); d) si está muy cerca del espejo (o = 0.15 cm). Un objeto lineal corto de longitud L se halla en el eje de un es pejo esférico, a una distancia o de este último, a) Demuestre que
6. Suponga que y = o /l/l y }’’ - i / \ f \• Demuestre que las ecuacio nes 40-4 y 40-15 pueden escribirse como Jl ¡__ 1___| y y' Trace una gráfica de y contra y' cuando la suma anterior es +1 y otra gráfica con —1. Use —4 y + 4 como el intervalo de y y y'. a) Marque las gráficas que corresponden a espejos cóncavos, a espejos convexos, a lentes convergentes y a lentes divergentes. b) Identifique las partes de cada gráfica que corresponden a ob jetos reales y virtuales, a imágenes reales y virtuales, c) Marque los puntos en cada curva cuando el aumento es ± 2 , ±1 y ±0.5.
7. Un objeto luminoso y una pantalla se encuentran separados por una distancia fija D. a) Demuestre que una lente convergente de longitud focal/form ará una imagen real sobre la pantalla en dos posiciones separadas por
gitud fo cal/2, separado de la lente por una distancia 2 ^ ) (Fig. 40-51). a) Determine la ubicación, la naturaleza y el tama ño relativo de la imagen final, tal como la ve un ojo que mira hacia el espejo a través de la lente, b) Dibuje el diagrama de ra yos correspondiente.
d = a¡D(D - 4 /). 6) Demuestre que la razón de las dos imágenes en las dos posi ciones es
h
D D Demuestre que la distancia entre un objeto real y su imagen real formada por una lente delgada convergente siempre es mayor o igual que el cuádruple de la longitud focal de la lente. Dos lentes convergentes, con longitudes focales f x y / , se colo can a una distancia f x + f 2 entre sí, como se aprecia en la figu ra 40-49. A esta clase de arreglos se le conoce como expansores de haces y a menudo sirve para aumentar el diámetro de los ha ces luminosos de los láseres, a) Si Wl es el ancho del haz inci dente, demuestre que el del haz emergente es W0 = (/,//j)W '1. b) Demuestre cómo una combinación de una lente convergente y de otra divergente puede disponerse también como expansor de haces. Los rayos incidentes paralelos al eje deberían salir pa ralelamente al eje. c) Calcule la razón de la intensidad del haz que sale del expansor de haces a la intensidad del haz del láser.
Al--'
|w 2
;\
ca:
o \
F ig u r a
Problema 9.
4 0-4 3.
— —
1---------------?! g u r a
2(/ +f 2)
/
4 0 - 5 1 . Problema 12.
13. La figura 40-52 muestra una cámara idealizada enfocada sobre un objeto en el infinito. En la película se forma una imagen real invertida, con la distancia de imagen i igual a la longitud fo cal (fija)/ ( = 5.0 cm, por ejemplo) del sistema de lentes. En la figura 40-526 el objeto O se halla más cerca de la cámara y la dis tancia del objeto es, digamos 100 cm. Si queremos enfocar la imagen 1 sobre la película, debemos alejar la lente de la cámara (¿por qué?), a) Determine i' en la figura 40-526. 6) ¿A qué dis tancia hay que mover la lente? Nótese que la cámara no es igual al ojo (Ej. 37) en este aspecto. En la cámara /perm anece cons tante y la distancia de la imagen i debe ser ajustada al movi miento de la lente. En el ojo, la distancia i no se altera y la longitud fo cal/d eb e ser ajustada distorsionando la lente. Com pare con mucho cuidado la figura 40-46 con la figura 40-52. c) La longitud focal de una cámara pequeña es 50 mm y el alcan ce de enfoque se extiende de 1.2 m al infinito. Determine la am plitud de movimiento necesaria entre la lente y la película.
10. Una placa delgada y plana de un vidrio parcialmente reflejante se halla a una distancia b de un espejo convexo. Una fuente pun tual de luz S se coloca a una distancia a delante de ella (Fig. 4050), de modo que su imagen en la placa coincida con la del espejo. Si b = 7.50 cm y si la longitud focal del espejo es / = —28.2 cm, encuentre a y dibuje el diagrama de rayos.
A
i
1 F ig u r a
-£>-»•I 4 0-3 0.
Problema 10.
11. Dos lentes delgadas de longitudes focales y f , están en con tacto. Demuestre que equivalen a una sola lente delgada con una longitud focal dada por f-
tA
40 -5 2 .
Problema 13.
f\ f i í
+ Í2
Delante de una lente convergente se pone un objeto recto a una distancia igual al doble de la longitud focal/j de la lente. En el otro lado de esta última se halla un espejo convergente de lon
La potencia P de una lente se define mediante P = 1//, donde/ es la longitud focal. La unidad de potencia es la dioptría, donde 1 dioptría = 1/metro, a) Dé una definición razonable que pue da emplearse en la potencia de la lente? 6) Demuestre que la po-
tencia neta de dos lentes en contacto está dada por P = P { + P0, donde P í y Pn son las potencias de las lentes individuales. 15. Un fotógrafo se halla a 44.5 m de una vía férrea y la línea de vi sión es perpendicular a ella. Un tren pasa a 135 km /h y el fotó grafo toma una fotografía. Con una cámara de 3.6 cm de longitud focal, calcule el tiempo de exposición máxima, de modo que lo borroso de la imagen en la película no supere los 0.75 mm. 16. Isaac Newton, habiéndose convencido (erróneamente como se supo después) de que la aberración cromática era una propiedad intrínseca de los telescopios refractantes, inventó un telescopio de reflexión, que aparece esquemáticamente en la figura 40-53. Presentó su segundo modelo del telescopio, con una potencia de aumento de 38, a la Royal Society que todavía lo conserva. En la figura 40-53 la luz incidente llega, muy paralela al eje del te lescopio, sobre el espejo objetivo M. Tras reflejarse contra un espejo pequeño M ' (la figura no está a escala), los rayos forman una imagen real invertida en el plano focal a través de F. Esta imagen se ve después con un ocular, a) Demuestre que el au mento angular m g también está dado por la ecuación 40-34, o sea ^8
fo b ^ ./o c u la r’
donde/ob es la longitud focal del espejo objetivo y donde f xuh¡¡: es la del ocular, tí) El espejo de 200 in en el telescopio de reflexión del Observatorio Mont Palomar en California tiene una longitud focal de 16.8. Determine el tamaño de la imagen que se forma en el plano focal de este espejo cuando el objeto es un metro simado a 2.0 km de distancia. Suponga rayos paralelos incidentes, c) El espejo de otro telescopio de reflexión tiene un radio efectivo de curvatura (“efectivo” porque estos espejos presentan una forma parabólica en vez de esférica, con el fin de eliminar los defectos de aberración esférica) de 10 m. Para obtener un aumento angu lar de 200, ¿cuál debe ser la longitud focal del ocular?
F ig u r a
40-53.
Problema 16.
im
JT ROBLEM A PARA RESOLVER POR COMPUTADORA 1. En un espejo esférico cóncavo real, la luz proveniente de rayos paralelos no se refleja toda en el punto focal. Suponga que tie ne uno de estos espejos con 1.0 m de radio de curvatura, a) Pa ra rayos incidentes paralelos al eje, escriba un programa de computadora que indique el punto donde el rayo reflejado cru za el eje función de la distancia d del rayo incidente desde el eje.
b )C on ei programa genere una serie de rayos reflejados para la distancias incidentes de d = 0, 5, 10, 15... cm hasta d = 1.0 m; di bújelos en un solo diagrama. Ala envoltura externa de los rayos se le llama cáustica. Este patrón puede verlo cuando la luz brillan te se refleja del interior de una cuchara contra una hoja de papel (Ej. 12 y Fig. 40-39).
/
n este capítulo y en el siguiente explicam os la interfe
rencia y la difracción de las ondas lum inosas. Se p resen ta n en el ám bito de la óptica físic a (llam ada tam bién óptica ondulatoria), donde un haz de luz encuentra obstáculos o aberturas cuyo tam año es sem ejante a la lon gitu d de onda de la luz. En contraste con el com portam iento de lentes y de espejos, que se describe con m éto dos de la óptica geom étrica en que la luz se representó com o rayos, los fe n ó m e n o s de la físic a óptica dependen de la naturaleza ondulatoria de la luz. D e hecho, f u e a p a rtir de estos experim entos que p o r prim era vez se re cabaron p ru e b a s convincentes de la naturaleza ondulatoria de la luz.
41-1 IN T E E F E M E N C IA DE D OS FU E N T E S Cuando ondas idénticas provenientes de dos fuentes de luz se sobreponen en un punto del espacio, su intensidad com binada allí puede ser m ayor o m enor que la de una de estas dos ondas. A este efecto lo llam am os interferencia. É sta puede ser cons tructiva, cuando la intensidad neta es m ás grande que las inten sidades individuales, o destructiva, cuando la intensidad total es m ás pequeñ a qu e las intensidades individuales. Independien tem ente de que la interferencia sea constructiva o destructiva depende siem pre de la fase relativa de las dos ondas. A unque cu alq uier núm ero de ondas pu ed e en teoría in ter ferir, aquí vam os a ocupam os exclusivam ente de la in terfe rencia de sólo dos ondas. Suponem os que las fuentes de dichas ondas em iten sólo en determ inada longitud de onda. (El caso de fuentes que em iten ondas de varias longitudes puede m anejarse considerando las interferencias separadas de las com ponentes de cada longitu d de onda.) La figura 41-1 representa la dependencia tem poral de dos ondas idénticas que llegan al m ism o punto P en el espacio. En la figura 4 1 -la , las dos ondas arriban en fase, es decir, se alinean cresta con cresta y valle con valle. El efecto neto en el punto P se debe a la com binación de las dos ondas y la onda resultante tendría el doble de amplitud de las ondas originales. É sta es la condición de interferencia constructiva m áxim a. El patrón de la figura 4 1 -l¿z presentaría el m ism o aspecto si cam biáram os
una de las ondas en un ciclo com pleto 2 77 radianes o en un núm ero entero de ciclos completos. Podemos, pues, afirm ar que la interferencia constructiva máxim a de dos ondas se produce cuando su diferencia de fa se (en radianes) es 0, 2 77, 4 77, . . . E n la fig u ra 41-1 M a s ondas se alinean cresta con valle y valle con cresta. É sta es la condición de la interferencia des tru ctiv a com pleta, donde las dos ondas cancelan m utuam ente su efecto en el punto P. Si querem os p asar de una interferen-
F í g u r a 4-i - i . a) Interferencia constructiva de dos ondas que están en fase, b) Interferencia destructiva de dos ondas que están 180° fuera de fase.
cia c o n stru ctiv a (co m o en la F ig. 41-l¿z) a otra d estru ctiv a (Fig. 41-1 6), debem os cam b iar una de las ondas en un m edio ciclo (77 radianes) o en un núm ero entero de ciclos com pletos m ás un m edio ciclo. E n otras palabras, la interferencia d es tructiva com pleta de d o s on d a s se p roduce cuando su d ife rencia de fa s e (en ra d ia n es) es tt, 3 tt, 5 tt, en form a equivalente, decim os que las ondas están 180° fu e r a de fa se. P or ahora supondrem os que la relación de fase entre estas dos ondas no cam bia con el tiem po. Se dice que esas ondas son coherentes. C uando las ondas coherentes interfieren, la inten sidad de la onda co m b in ad a en cu alquier punto del espacio tam poco cam bia con el tiem po. En la sección 41-3 se exam i na a fondo la co herencia, un a condición necesaria para que haya interferencia. N o es posible h acer coherentes dos fuentes de luz diferen tes, porque la em isión de la luz p o r los átom os de una fuente es independiente de la em isió n de la otra fuente. L os picos y los valles de las procedentes de am bas fuentes no m antienen una relación clara de fase, y entonces se dice que las ondas son incoherentes. P ara efectuar experim entos de interferencia con la luz, es necesario div id ir la luz procedente de una fuente indi vidual en dos com ponentes y tratarlos com o si los em itiera una fuente de luz independiente. Si lo hacem os correctam ente, lograrem os que los dos com ponentes interfieran. En este capí tulo nos ocupam o s de v ario s esq u em as que nos perm iten crear esta división de la onda lum inosa. C uando dos fuentes em iten ondas en una región del espa cio, es posible tener sim ultáneam ente una interferencia cons tructiva en algunos puntos y una interferencia destructiva en otros. Es decir, puede hab er algunos puntos en el espacio don de las distancias entre el punto de observación y las dos fuen
F ' g u r a 41 ~2. Patrón de interferencia producido por las ondas de agua en un tanque de ondas. Dos postes vibrantes en la izquierda crean dos patrones de ondas circulares, que se superponen para originar un patrón de máximos y de mínimos en las ondas. Los máximos se identifican por los lugares de la mitad derecha de la fotografía donde las sombras indican las crestas y los valles. Los mínimos aparecen a lo largo de las líneas donde las sombras están definidas con menor claridad.
tes sean las que requieren am bas ondas p ara llegar en fas,según se aprecia en la fig u ra 4 1 - la . E stos puntos son el lugar de la interferencia m áxim a. P uede h aber otros sitios donde las distancias con las dos fuentes hagan que am bas ondas arriben fuera de fase al pu n to de observación, com o se indica en la fig u ra 41-16. E stos sitios son los m ín im o s de interferencia. En la fig u ra 41-2 se ve un patrón de m áxim os y de m ínim os pro ducido p o r ondas de agua interferentes en un tanque de ondas pequeñas. C om o verem os en la siguiente sección, las ondas de luz que interfieren producen patrones sim ilares.
4 1 - 2 IN T E R F E R E N C IA B E R E N D IJA D O B L E L a fig u ra 41-3 describe el prim er m étodo con que se divide un h az de luz en dos com ponentes que después interfieren entre sí. U n haz de luz, que suponem os es un conjunto de ondas pla nas com o el que podría obtenerse con un láser, incide en una barrera donde se han practicado dos rendijas estrechas. Algunas partes de cada frente de onda incidente pasan p o r dichas ren dijas y, p o r consiguiente, las rendijas pueden considerarse dos fuentes de ondas de luz coherentes. (La difusión de la luz al cru zar las rendijas, incluidas en la Fig. 41-3, se denom ina difracción y se explica en el siguiente capítulo. U na difusión parecida ocurre en la difracción de las ondas de agua que atra viesan una abertura pequeña, com o se describe en la figura 40-1. P or ahora supondrem os que las rendijas son tan peque ñas que pueden considerarse fuentes puntuales de luz: cada una em ite ondas esféricas de H uygens, según se com entó en la Sec. 39-4.) N ótese que las dos ondas pueden superponerse e in terfe rir d o n d e chocan co n tra la pan talla. P a ra sim plificar el análisis supondrem os que la distancia D entre las rendijas y la pantalla es m ucho m ayor que la separación de las rendijas d. (Tam bién, de m anera alternativa, podem os colocar una lente entre las rendijas y la pantalla para enfocar sobre la pantalla la luz em ergente, según verem os m ás adelante.) C uando vem os la pantalla, descubrim os una serie alterna de bandas b rillantes y oscuras, llam adas tam bién fr a n ja s de interferencia, que corresponden, respectivam ente, a los m áxi-
F i g u r a 4 1 - 3 . Un tren de ondas planas de luz (por ejemplo, las provenientes de un láser) incide en una barrera donde se practican dos rendijas separadas por una distancia d. El ancho de las rendijas es pequeño en comparación con la longitud de onda; así que las ondas que cruzan las rendijas se dispersan (difractan) e iluminan la pantalla.
F i g u r a 4-1-4. Patrón de interferencia, formado por bandas o franjas brillantes y oscuras, que aparecerán en la pantalla de la figura 41-3.
mos y m ínim os de intensidad de la luz, seg ú n se observa en la figura 41-4. E l borde derecho del tanque de ondas p eq u e ñas de la figura 41-2 cum ple la función de p an talla en la fig u ra 41-3. A dem ás de la “p an talla” del tanque hay una serie alterna de m áxim os y de m ínim os sim ilares a la figura 41-4. Si querem os analizar el patrón de interferencia, tom am os las ondas de cada rendija que se com binan en un punto arbi trario P sobre la pantalla C de la figura 41-5. E l punto P se halla a la distancia de r , y r , respecto a las rendijas estrechas 5, y 5 „ respectivam ente. La línea 5 ,6 se traza de m odo que las líneas P 5 , y Pb tengan la m ism a longitud. Si d, la sep ara ción entre rendijas, es m ucho m enor que la distancia D entre la rendija y la p antalla (la razón d /D en la figura se exagera para hacerla m ás clara), 5 ,6 será entonces p erpendicular a r, y r,. Ello significa que el ángulo 5 ,5 ,6 es casi igual al ángu lo PaO, que se m arcan 6 en la figura; de m odo equivalente, las líneas r, y r7 pueden considerarse casi paralelas. Los dos rayos que llegan a P en la fig u ra 41-5 p ro v e nientes de 5, y 5 , estaban originalm ente en fase en las ren d i jas de la fuente: se originan en la m ism a frente de onda de la onda incidente plana. C om o los rayos recorren diversas d is tancias (correspondientes a varias longitudes de cam ino ó p ti co), llegan a P con una diferencia de fase. El núm ero de longitudes de onda contenidas en la d iferencia de trayectoria 5 ,6 determ ina el tipo de in terferencia en P. Para tener un m áxim o en P , los dos rayos deben lleg ar en fase y, por lo m ism o 5 ,6 ( = d sen 9) debe inclu ir un núm ero entero de longitudes de onda (lo cual equivale a cam biar una de las ondas de la figura 4 1 -l a por un núm ero entero de ciclos), o sea 5 ,6 = m k
0 , 1, 2 ,
expresión que puede escribirse así d sen 9 = m k
m = 0, ± 1, ± 2 ,
(m áxim os). (41-1)
F i g u r a 41 -5 . Los rayos procedentes de S, y 5, se combinan en P. En realidad, D » d\ se distorsionó la figura para darle mayor claridad. El punto a es el punto medio entre las rendijas.
N ótese que los m áxim os arriba de O en la figura 41-5 tienen debajo de O un m áxim o sim étricam ente situado; equivalen a em p lear m = —1, —2 ,... en la ecuación 41-1. El m áxim o cen tral (en el punto O) se describe m ediante m — 0. C on un m ínim o en P, la fase de los dos rayos debe diferir en un m últiplo im p ar de 7r(com o en la Fig. 41-16), donde 5 ,6 ( = el sen 6) d eb e c o n ten e r un n ú m e ro sem ien tero de lo n gitudes de onda, o sea d sen 6 = (m + 0 A
m = 0, ± 1 , ± 2 , . . . (m ínim os) (41-2)
L os valores negativos de m colocan los m ínim os en la m itad in ferio r de la pantalla. A m enudo querem os conocer el sitio que un m áxim o de interferencia ocupa en la pantalla, indicado por la distancia y que se m ide del centro del patrón de interferencia en la figura 41-5. Conviene realizar este cálculo cuando y es pequeña com parada con la distancia D entre las rendijas y la pantalla. En este caso, el ángulo <9es pequeño y podem os utilizar la aproximación de ángulo pequeño sen 6 = tan 6. Con sen 6 = m k /d (según la Ec. 41-1) y tan 6 = y j D (según la Fig. 41-5, donde y m repre senta la ubicación del emésimo máximo), tenem os mk _ ym d o bien AD
0
~
D
, ± 1, ± 2 ,
(m áxim os). (41-3)
separación entre los m áxim os Av
dyacente;
y m = (m + 1)
AD _
AD
d
o bien Ay
AD d
(41-4)
M ientras 6 sea pequeño, la separación de los m áxim os no d epende de m , es decir, las franjas están espaciadas de m ane ra uniform e com o se indica en la figura 41-4. M ás aún, el espaciam iento entre los m ínim os vecinos es el m ism o que el existente entre los m áxim os. D esde el punto de vista matemático es m ás simple tratar con ondas planas que incidan en la rendija doble y que salgan de ella. Sin embargo, los frentes de onda planos no crean una imagen sobre la pantalla en una distancia finita D a partir de las rendijas. P or tanto, usam os a menudo una lente com o la de la figura 41-6 para enfocar sobre la pantalla los rayos paralelos procedentes de las rendijas. La luz enfocada en P debe llegar a la lente paralela m ente a la línea P x, partiendo de P y atravesando su centro. En tales condiciones, los rayos r, y r2 son estrictam ente p arale los a p esar de que el requisito D » d no se cum pla. Si se usa u n a lente entre las rendijas y la pantalla, tal vez p arece que una diferencia de fase debe existir entre los rayos m ás allá del p lan o representado p o r 5 ,6 ; las longitudes de tra yectoria geom étrica entre este plan o y P .so n claram ente d is tintas. N o o bstante, en la sección 40-5 vim os que los rayos
fig u ra 41-7. L a propagación de las ondas secundarias desde S Q p ro d u ce frentes de onda coherentes que atraviesan las dos aberturas. E n sus experim entos, Young se sirvió de agujeros de alfiler, en vez de rendijas; de ahí que el patrón de interfe ren cia fu era m ás com plicado que el de la figura 41-4. Pese a ello, sus co n clusiones concernientes a la naturaleza ondulato ria de la luz fueron inequívocas. A un cuando se llevó a esta conclusión al utilizar un láser, con frecuencia al experim ento de doble ren d ija se le conoce com o el experim ento de Youn
F i g u r a 4 1 - 6 . Se utiliza una lente para producir franjas de interferencia. Compara esta figura con la figura 41-5. En realidad, f » d ; una vez más se distorsionó la figura para hacerla más clara.
paralelos enfocados p o r una lente, las longitudes de cam ino ó p tico so n ig u a les. D o s ra y o s co n ig u a le s lo n g itu d e s de c a m in o ó p tic o c o n tie n e n el m ism o n ú m e ro de lo n g itu d e s de onda; de ah í que no se p roduzca diferencia de fase alguna p o r el hecho de que la luz cruce la lente.
E x p erim en to de re n d ija doble de Young En 1801 Thom as Young* realizó un experim ento de interferen cia com o el que acabam os de describir. Con este experim ento ofreció la prim era prueba concluyente de la naturaleza ondula toria de la luz. C om o se indica en la figura 41-3, la ubicación de los m áxim os de interferencia depende de la longitud de onda; por ello los experim entos de Young fueron útiles para realizar la prim era m edición directa de la longitud de onda de la luz. E n virtud de que no h ab ía láseres en la época de Young; él generó u n a fu en te de luz coherente, dejando que el sol in ci diera sobre u n a p equeña abertura S Q, com o se indica en la
* Thomas Young (1773-1829) recibió inicialmente una formación médica. Su interés en la percepción y en la visión lo llevaron a estudiar la física y la luz. Entre sus logros científicos figuran los trabajos dedicados a la tensión super ficial y a la elasticidad, que se conocieron con el nombre de módulo elástico y que hoy se llaman módulo de Young en su honor. También tiene fama por su interés en los jeroglíficos y por haber contribuido a descifrar la piedra Rosetta, que permitió entender las antiguas lenguas de Egipto.
P r o b l e m a R e s u e l t o 4 1 - 1 . El arreglo de doble rendija de la figura 41-5 se ilumina con luz procedente de una lámpara de vapor de mercurio, filtrada de modo que sea visible sólo la luz verde intensa (A = 546 nm). Las rendijas tienen una separación de 0.12 mm y la pan talla donde aparece el patrón de interferencia está a 55 cm de distancia. a) ¿Cuál es la posición angular del primer mínimo?, y ¿del décimo? b) ¿Cuál es la distancia en la pantalla entre los máximos contiguos?
Solución a) En el primer mínimo hacemos m = 0 en la ecuación 41-2, sen 9 =
(m + í)A ~T
(j)(546 X 1CT9 m) ~
0.12 x 10~3 m
0.0023.
El valor anterior de sen 9 es tan pequeño que podemos tomarlo como el valor de 6, expresado en radianes; expresado en grados es 0.13°. En el décimo máximo (sin contar el máximo central), debemos hacer m = 10 en la ecuación 41-1. Al hacerlo y al calcular como antes, obtenemos una posición angular de 2.6°. En tales condiciones, vemos que la propagación angular de aproximadamente la primera docena de franjas es pequeña, b) Conforme a la ecuación 41-4 tenemos
KD _ (546 X _10_ ' _m)(55 _ _ _X 10 2 ni) Av = _ _ _
2.5 mm.
41-3 C O H E R E N C IA P ara que se pro d u zca un patrón de interferencia, la diferencia de fa s e en los p u n to s de la p a n ta lla no debe cam biar con el tiempo. Si esto ocurre, decim os que los haces provenientes de las rendijas Sj y S 0 son com pletam ente coherentes. L a cohe rencia se da con cualquier tipo de ondas. P or ejem plo, pueden o btenerse ondas sonoras coherentes al activar dos altavoces de un m ism o oscilador de audio; tam bién se producen ondas de radio coherentes cuando dos antenas se conectan al m ism o o scilador electrom agnético.
F i g u r a 41 -7 . En el experimento de interferencia de Young, la luz solar difractada en el hoyo de alfiler S0 incide en los hoyos de alfiler 5¡ y S2 de la pantalla B. La luz difractada en estos dos se superpone en la pantalla C, produciendo el patrón de interferencia.
Supóngase que las rendijas 5j y S0 se reem plazan p o r dos fuentes de luz totalm ente independientes; por ejem plo, dos alam bres incandescentes delgados uno al lado de otro. N o aparecen franjas de interferencia en la pan talla C, sólo una ilum inación relativam ente uniform e. P odem os interpretar lo anterior si hacem os la suposición razonable de que, con fuentes luminosas totalm ente independientes, la diferencia de fase entre dos haces que lleguen a un punto cualquiera de la pantalla varía con el tiem po de un m odo aleatorio. E n cierto m o m en to, las condiciones pueden ser propicias p ara la cancelación y al cabo de poco tiem po (quizá 10“ 8 s) pueden ser idóneas para el reforzam iento. E l ojo es incapaz de seguir variaciones tan rápidas y percibe sólo una ilum inación uniform e. La in ten si dad en todos los puntos es igual a la sum a d e las intensidades que las fuentes Sj y 5 , producen p o r separado en dicho p u n to. En tales condiciones, se dice que los dos haces que salen de Sj y S7 son com pletam ente incoherentes. Si querem os determ inar la intensidad resultante de la super posición de haces de luz completam ente coherentes, 1) sum a mos las am plitudes de onda teniendo adecuadam ente en cuenta la diferencia de fase (constante) y luego 2) elevando al cuadra do la am plitud resultante para obtener un a cantidad p ro p o r cional a la intensidad resultante. Por otro lado, para calcular la intensidad resultante de la superposición de haces lum inosos completam ente incoherentes, 1) elevam os al cuadrado las am plitudes individuales para obtener cantidades proporcionales a las intensidades individuales y entonces 2) las sum am os p ara obtener la intensidad resultante. Los dos procedim ientos concuerdan con le« hechos experim entales de que, tratándose de fuentes de luz com pletam ente independientes, la intensidad resultante en todos los puntos será siempre m ayor que la que en ese punto produce una de las dos luces si actúa por su cuenta; pero en el caso de fuentes coherentes, la intensidad será m enor en algunos puntos que la producida por una de las fuentes solá. ¿Cóm o podem os obtener ondas coherentes? U na onda electrom agnética plana creada por un oscilador de cavidad (See. 38-3), conectado a una antena produce una onda que se representa (a gran distancia de la antena) com o en la figura 41-8a. E sta onda esencialm ente es infinita en el tiempo, pues abarca tanto los tiem pos futuros (t > 0) com o los pasados (t < 0). En cualquier punto, a m edida que la onda pasa por ellos, su perturbación (E o B ) varía con el tiem po de m anera perfec tam ente periódica. M ás aún, en cualquier instante de tiempo, la onda varía con la distancia en esa m ism a forma. Si dos oscila dores idénticos producen ondas que se desplazan en la m isma
A A A A A A A A AA
«>j y u y 1/ y y y y y 1 -<2
L -----------§>-
AAAA
v y y y
F i s u r a 4-1 -S. a) Sección de una onda infinita, b) Tren de ondas de longitud finita L.
dirección, la diferencia de fase entre ellas en un lugar de la d irección de propagación debería ser igual en los otros sitios a lo largo de esa dirección; y en la diferencia de fase en cierto sitio tiene el m ism o valor en todo mom ento. En otro ejemplo, los dos postes vibrantes del tanque de ondas en la figura 41-2 generan dos ondas coherentes en el agua. Si ahora nos concentramos en las fuentes com unes de luz visible, p o r ejem plo, los alambres incandescentes o una descar ga eléctrica que cruza un gas, nos percatarem os de una diferen cia fundam ental. E n ambas fuentes, los procesos de la em isión básica de luz ocurren en átomos individuales; éstos no operan juntos de m anera cooperativa (es decir, coherente). E n un caso norm al, la em isión de luz por un átomo individual tarda alrede dor de 10-8 s y la luz se describe correctam ente com o un tren de ondas (Fig. 41-8¿>) más que como una onda infinita (Fig. 418a). P ara los tiem pos de emisión de este tipo, los trenes de onda tienen unos pocos m etros de largo. Para las fuentes reales de luz, com o la que proviene de la descarga de un gas com prim ido a baja presión en un tubo, los trenes de onda alcanzan unos cuan tos centím etros. Éste es el límite de las distancias a lo largo del cual la luz de estas fuentes mantiene su coherencia. Los efectos de interferencia causados p o r las fuentes de luz com unes se producen poniendo una rendija m uy pequeña (com o la ren d ija S Qen la Fig. 41-7) delante de ellas. Se garan tiza así que los trenes de onda que choquen contra las rendijas Sj y S2 en la pantalla B de la figura 41-7 se originen en la m is m a región de la fuente. Si las longitudes de trayectoria proce dentes. de todos los puntos en la rendija S0 a S, y 54 son casi iguales, la luz que las atraviesa está en fase y se produce un patrón de interferencia estacionaria en la pantalla C. Si hacem os la rendija SQ tan ancha que haya puntos dentro de S0 cuyas lon gitudes de trayectoria de 5! y S9 difieren en m edia longitud de onda, estará fuera de fase la luz que en todos los puntos pasa por las rendijas dobles provenientes de las fuentes; aporta m áximos en la pantalla donde antes había mínim os y m ínim os donde había máxim os. El efecto en la pantalla se convierte en una superposición incoherente de la luz proveniente de muchas fuentes, elim inando así el patrón de interferencia. Si la rendija S0 es bastante pequeña, una diferencia de fase constante se conserva en cualquier punto de la pantalla C entre los haces que pasan p o r las rendijas 5j y S2- Podem os calificar de coherente esta luz dentro de una d istancia carac terizad a p o r su tren de ondas. Si se aum enta gradualmente el ancho de la rendija SQ en la figura 41-7, se observa experimentalm ente que dism inuye la intensidad de los m áxim os de las franjas de interferencia y que la de los m ínim os de las franjas deja de ser estrictam ente cero. En otras palabras, las franjas pierden nitidez. C uando S0 se abre a un ancho mayor, la reducción de la intensidad m áxim a y el increm ento de la m ínim a son tales que las franjas desaparecen, dejando apenas una iluminación típica de dos fuentes com pleta m ente incoherentes. A medida que crece el ancho de la rendija S0, sin cesar los haces provenientes de 5¡ y S , pasan de una con dició n de co h eren cia total a otra de in co h eren cia absoluta. Se dice que los haces son parcialm ente coherentes cuando no se encuentran en ninguno de esos dos límites.
p r~
A diferencia de los átom os del filam ento en una lám para incandescente, los de un láser em iten su luz en form a com pleta m ente cooperativa (Sec. 48-9). A sí pues, la luz láser es m uy coherente; podem os observar la interferencia con sólo ilum inar la rendija doble m ediante un haz láser, según se aprecia en la figura 41-3, sin necesidad de utilizar la rendija SQ. E l haz láser no es perfectam ente coherente; el tren de onda de un láser pue de tener longitudes de centenares de kilóm etros, lo cual indica la posibilidad de dividir y recom binar el haz y de contem plar los efectos de la interferencia desde largas distancias. U na aplica ción de esta coherencia es la holografía (Sec. 43-5), técnica en que uno de los haces divididos se refleja contra un objeto y el patrón de interferencia entre los haces directos y reflejados se guarda en película fotográfica; con ella puede reconstruirse una im agen tridim ensional del objeto. O tras aplicaciones basadas en la extensa longitud de coherencia de los lásers son la com unica ción a través de largas distancias u tilizando señales ópticas y las m ediciones de interferencia que siguen el m ovim iento de las placas tectónicas en la superficie terrestre.
4 1 - 4 INTENSIDAD EN LA IN TERFER EN C IA DE REN D IJA DOBLE
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Las ecuaciones 41-1 y 41-2 contienen la ubicación de los m áxi m os y los m ínim os del patrón de interferencia. Pero no indican cóm o la intensidad varía entre estos m áxim os y mínim os. En la presente sección obtenem os una expresión de la intensidad I en el punto P situado en el ángulo 6 en la figura 41-5. S upongam os que los com ponentes del cam po eléctrico* de las dos ondas en la figura 41-5 varían con el tiem po en el punto P com o £q sen cot
(41-5)
y £ 0 = £ 0 sen (cot + cj>),
(41-6)
donde io (= 2 Trf) es la frecuencia angular de las ondas, y ó la diferencia de fase entre ellas. N ótese que
(41-7)
expresión que, según probarem os luego en esta sección, p u e de escribirse £ 9 = E g sen (cot + ¡3),
(41-8)
d onde el ángulo de fase ¡3 es @ =
E e = 2E o
cos P
(41 -1 0 )
L a am plitud £ 0 de la p ertu rb ació n ondulatoria resultante, que determ in a la inten sid ad de las franjas de interferencia depende de (3 y éste, a su vez, depende del valor de 6 que se en cu en tra en el lu g ar del pu n to P en la figura 4 1 -5 . El valor m áxim o posib le de la am plitud £ 0 es 2£ 0, igual al doble de la am plitud £ 0 de las ondas com binadas, correspondiente a un refo rzam ien to íntegro. E n la sección 38-6 dem ostram os que la intensidad / de una o nda electrom agnética es pro p o rcio n al al cuadrado de la am plitud de su cam po eléctrico £ m (Ec. 38-26): / =
_L
,
Z/x0c
(41 -1 1 )
A sí pues, la razó n de intensidad de las dos ondas de luz pue de expresarse com o la razón de los cuadrados de la amplitud de sus cam pos eléctricos. Si I g es la in tensidad de la onda resul tante en P y si I Q es la in tensidad que las ondas producirían actuando solas, entonces £
(41-12)
=
Al com binar las ecuaciones 4 1-10 y 41-12, obtenem os l g = 4 /0 eos2 (3.
(41-13)
N ó tese que la inten sid ad de la onda resultante en un punto P cualquiera fluctúa entre cero [en un punto donde (f>{= 2/3) = ir p o r ejem plo] y cuatro veces la intensidad IQde las ondas indi viduales [en un pu n to donde ( = 2/3) = 0, p o r ejem plo]. C alculem os I e en función del ángulo 9 de la figura 41-5. L a diferencia de fase ó en la ecuación 41-6 se relaciona con la diferencia de trayectoria Sj¿> en la figura 41-5. Si S xb es 4 4> es 77; si S xb es A, ó es 277 y así sucesivam ente. En general, diferencia de fase 2 tr ~
d iferencia de trayectoria A
(41-14)
Si suponem os que c¡>es la d iferencia de fase y recordam os que la diferencia de trayectoria en la fig u ra 41-5 es d sen 6, p ode m os escribir así la expresión anterior 4> =
2 tt
{el sen 6),
o, em pleando la ecuación 41-9, P
= X
sen 6-
(41-15)
P or tanto, la intensidad en cualquier 6 puede escribirse 18
* Podríamos caracterizar la onda de luz por su campo eléctrico E o por su campo magnético B. Por lo regular empleamos (E en vez de B) porque los efectos de B en el ojo humano y en varios detectores de la luz son extraordi nariamente pequeños.
(41-9)
y la am plitud es
=
4/0 c o s 2
T
(41-16)
Dos fuentes coherentes
___
d seni
-5 k -47T -3/T -2/T ~tz
0
- 4 a -2A - |A
o
“2 -2
-A - 4 ~1
-1
a
+2n +3 k +47T 4-57T + |A +A +-|A +2A + |A
0 0
Dos fuentes incoherentes Una fuente
+1 0
4-2 +1
Máximos (Ec. 41-1) 4-2 Mínimos (Ec. 41-2)
En la ecuación 41-16 vem os que los m áxim os de intensidad aparecen donde eos2 \ ó = 1, o sea c¡> = 2/72 7?
m = 0, ± 1, ± 2 , . . . .
Por m edio de la ecuación 41-15 podem os escrib ir lo anterior como r is e n 0 = 7/2A
/?2 = 0, ± 1, ± 2 , . . .
(m áxim os),
expresión que es igual a la ecuación 41-1. D e acuerdo con la ecuación 41-16, los m ínim os de inten sid ad ocurren cuando eos2 j4> = 0, es decir, (f) = (2/72 + 1)77
772 = 0, ± 1, ± 2 , . . . ,
que al usar la ecuación 41-15 podem os escrib ir com o d sen il = (m + j)A
m = 0, ± 1, ± 2 , . . . (m ínim os),
en concordancia con la ecuación 41-2. En la figura 41-9 se m uestra el patrón de intensidad duran te una interferencia de rendija doble. La línea llena es 70; esto describe el patrón (uniform e) de intensidad en la pantalla, si se cubre una de las rendijas. En caso de que las dos fuentes fuesen incoherentes, la intensidad sería un ifo rm e en la p an ta lla y sería 2 IQ, com o lo indica la línea h o rizontal punteada de la figura 41-9. T ratándose de fuentes coherentes, se prev é que la energía será sólo redistribuida en la p antalla porque la ener gía no se crea ni se destruye durante el p ro ceso de la in terfe rencia. Así, la intensidad prom edio del patró n de interferencia debería ser 2 / 0, igual que con las fuentes incoherentes. Esto se deduce de inm ediato si, en la ecuación 41-16, sustituim os el valor \ por el térm ino de coseno elevado al cuadrado, que siem pre resulta cuando prom ediam os el cuadrado del térm ino seno o coseno en uno o m ás m edios ciclos. "hrf5
F i g u h a 41 -3 . Patrón de intensidad en la interferencia de rendija doble, suponiendo que las dos ondas de interferencia iluminan uniformemente esta región de la pantalla, es decir, IQno depende de la posición.
■o2TÌ12XD9-2Ìon?s ondulatori«
A continuación obtenem os las ecuaciones 41-8 a 41-10 para el cam po eléctrico com binado de la luz en la interferencia de ren dija doble. Esto puede efectuarse algebraicam ente m ediante los
m étodos de la sección 18-8. .Con todo, el método algebraico se vuelve extrem adam ente difícil cuando querem os sum ar más de dos perturbaciones ondulatorias, com o lo harem os en capítulos posteriores. P or eso recurrim os a un método gráfico, que resul ta ser adecuado en situaciones más complicadas. Este m étodo se basa en fa so res giratorios y se asem eja al que se utilizó al ana lizar los circuitos de corriente alterna en el capítulo 37. U na perturbación ondulatoria senoidal com o la de la ecuación 41-5 puede representarse gráficam ente por m edio de un faso r giratorio. E n la figura 41-10n se perm ite que un faso r de m agnitud £ 0 gire alrededor del origen en dirección contraria a la de las m anecillas del reloj, con una frecuencia ang u lar to. L a perturbación ondulatoria variable E x ( = £ 0 sen üjt, com o en la Ec. 41-5) se representa con la p royección del faso r sobre el eje vertical. Un:a segunda perturbación ondulatoria £ 0 d ad a por la ecuación 41-16, que tiene la m ism a am plitud £ 0 pero una diferencia de fase ó respecto a E¡, puede representarse gráfi cam ente (Fig. 4 1 -lü b ) com o la proyección sobre el eje verti cal de un segundo fasor de la m ism a m agnitud £ Q, qu e form a un ángulo ó con el prim ero. En conclusión, £ , = £ 0 sen ( cot + ó ) igual que en la ecuación 41-6. L a sum a E de £ j y £ , es la sum a de las proyecciones de los dos fasores sobre el eje vertical. Ello se m uestra m ás claram en te si retrazam os los fasores como en la figura 41-10c, colocan do la cola de una flecha en la cabeza de la otra, m anteniendo la diferencia adecuada de fase y dejando que el arreglo entero gi re en dirección contraria a la de las manecillas del reloj alrede dor del origen. En la figura 4 1 -10c, £ puede considerarse adem ás com o la p royección sobre el eje vertical de un fasor de longitud E e , que es la sum a vectorial de los dos fasores de m agnitud E 0. En esta figura vem os que la proyección puede escribirse E = £ ffsen(o>r + /3),
F i g u r a 4 1 -1 O. a) Una onda que varía con el tiempo E [ se representa con un fasor o vector giratorios. b) Dos ondas £j y E2 cuya fase difiere en cf). c) Otra forma de dibujar b) . .
lo cual concuerda co n la ecuación 41-8. N ótese que la sum a (algebraica) de las proy eccio n es de los dos fasores es igual a la proyección de su sum a (vectorial). En la m ayoría de los problem as de óptica, nos interesa tan sólo la a m p litu d E e de la pertu rb ació n de onda resultante y no su variación co n el tiem po. E llo obedece a que el ojo hum ano y otros instru m en to s com unes de m edición reaccio nan ante la inten sid ad resultante de la luz (al cuadrado de la am plitud), y no p ueden detectar las rápidas variaciones tem porales que caracterizan a la luz visible. P o r ejem plo, en la luz de sodio (A = 589 nm ) la fre c u e n c ia / ( = (ú /lrr) es 5.1 X 1014 Hz. E n to n ces, a m enudo no es preciso tener en cuenta la rotación de los fasores; podem os concentram os en determ inar la am plitud del faso r resultante. E n la fig u ra 41-1 Oc, los tres fasores form an un triángulo isósceles, cuyos lados tienen las longitudes E 0, E 0 y E g. En cualquier triángulo, un ángulo ex terio r (
F i g u r a 4 1 - 1 1 . Problema resuelto 41-2. Se suman gráficamente cuatro ondas por medio del método de fasores.
La longitud del lado ae puede escribirse ae = ab eos (3 + be eos (¡3 - 15°) + cd eos (/3 - 15°) + de eos ¡3. Con ae — E g y ab = be = cd = de = EQdeducimos E e = 3.83 E0.
Tam bién es claro en la figura 4 1 -10c que la longitud de la base del triángulo es
La resultante E(t) es entonces la proyección de E g sobre el eje vertical:
E g = 2 E 0 eos (3.
E(t) = E gsen{üJt + ¡3) = 3.83 £ 0 sen(c
L os resultados anteriores son idénticos a las ecuaciones 41-9 y 41-10. E n un caso m ás general, quizá queram os ob te ner la resultante de m ás de dos perturbaciones ondulatorias que varían senoidalm ente. H e aquí el procedim iento general: 1. C o n stru y a u n a serie de faso res que rep resen ten las funciones que se su m arán . D ib ú jelo s extrem o con extrem o, conservando las relaciones apropiadas de fase entre los faso res contiguos. 2. C onstruya la sum a de este sistem a de fasores, sem e jan te a la de v ectores. L a lon g itu d del fasor resultante d a la am plitud del cam po eléctrico. E l ángulo entre él y el prim er fasor es la fase de la resultante resp ecto a este últim o. Su p ro yección sobre el eje v ertical denota las variaciones tem pora les de la pertu rb ació n o ndulatoria resultante. P r o b l e m a R e s u e l t o 4 1 - 2 . Encuentre gráficamente la resul tante E(t) de las siguientes perturbaciones ondulatorias:
E | = £ 0 sen caí, E 2 = E 0 sen(cüt + 15°), £ 3 = E 0 sen (cnt + 30°), £4 = £ 0 sen(wí + 45°).
Solución La figura 41-11 muestra el sistema de cuatro fasores que representan a estas funciones. El ángulo de fase ó entre los fasores sucesivos es 15°. En cualquier polígono de n lados, la suma de los ángulos inte riores es (n - 2 ) 7r, así que en la figura de cinco lados abedea la suma de ellos es 540°. Los ángulos interiores en a, b, c y d son cada uno 180° — 15° = 165°, de donde deducimos ¡3 = s[540° - 3(165°)] = 22.5°.
4 . 1 - S IN T E R F E R E N C IA PR O V E N IE N T E D E P E L ÍC U L A S D ELG A D A S L os colores que vem os cuando la luz solar cae sobre una bur buja de jab ó n , sobre una capa aceitosa o un colibrí con el pes cuezo de color ru b í se deben a la in terferencia de las ondas de luz reflejad as c o n tra las superficies fro n tal y po sterio r de p e lícu las delgadas transparentes. El espesor de estas películas suele tener la m agnitud de la longitud de onda de luz. L as te nues pelícu las depositadas en los com ponentes ópticos, como las lentes de las cám aras, pueden reducir la reflexión e incre m entar la intensidad de la luz transm itida. E l delgado reves tim ie n to de las v e n ta n a s in c re m e n ta la re fle c tiv id a d de la rad iació n infrarro ja y su efecto es m enor en la radiación visi ble. D e ese m odo, es posible atenuar el calentam iento que la luz solar p ro d u ce sobre un edificio. Según su espesor, una pelícu la delgada puede reflejar o tran sm itir p erfectam en te con una luz de d eterm inada longitud de o n d a co m o se o b se rv a en la fig u ra 4 1 -1 2 . E sos efectos se deben a la interferencia constructiva o destructiva. La figura 41-13 m uestra una película transparente de espe sor u n ifonne d ilum inado por luz m onocrom ática de longitud de o nda A p ro v en ien te de la fuente p u n tu al S. Se co loca el ojo de m odo que un rayo incidente i proveniente de la fuente entre en el ojo com o rayo r { luego de reflejarse contra la super ficie frontal de la película en a. E l rayo incidente tam bién pe netra en la película en a com o rayo refractado y se refleja contra la superficie posterior en b\ después sale de la superficie frontal
9 V..-
-VF...
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depende la intensidad percibida por el ojo, a m edida que los rayos paralelos originados en la región ac entran en él. E sta diferencia de fase recibe dos contribuciones. E n la figura 41-13 se observa que el rayo r2 recorre un a trayectoria m ás larg a que el rayo rv puesto que r0 debe p asar dos veces la p elícu la antes que llegue al ojo. E sta trayectoria adicional aum enta la diferencia de fase entre los rayos. O tra aportación a la d iferencia de trayectoria es el cam bio repentino de fase de 180° que puede ocurrir cuando una onda se refleja. A ntes de ex p licar la interferencia de ?y y r,, debem os ex am in ar con detenim iento esta segunda aportación al cam bio de fase.
C am bio de fase en la reflexión
4 1 - 1 2 . Película de agua jabonosa en una espira vertical vista bajo luz reflejada. El segmento oscuro de la parte superior no es una película desprendida. Aparece porque la película es tan delgada allí por gravedad que ocurre interferencia destructiva de la luz reflejada entre las superficies frontal y posterior de la película. F ig u ra
de la película en c y entra tam bién en el ojo com o rayo r,. Los rayos ty y r , son paralelos en la geom etría de la figura 41-13. H abiéndose originado en la m ism a fuente puntual, son cohe rentes y, por ello, capaces de interferir. En virtud de que estos rayos han recorrido trayectorias de diversa longitud, han atra vesado varios m edios y, com o verem os luego, han experim en tado distintas clases de reflexión en a y en b\ de ahí que haya una diferencia de fase entre ellos. De esta diferencia de fase Aire
Aire
C onsiderem os una película m uy delgada, donde 2d es mucho m enor que la longitud de onda. Como la trayectoria adicional que r2 debe recorrer es aproxim adam ente 2d, la contribución a la diferencia de fase al pasar r , dos veces por la p elícula deberá aproxim arse a cero. Si la referencia de fase que se da entre r x y r0 se debiese exclusivam ente a esta trayectoria adicional, la dife rencia total se acercaría a cero y entonces r¡ y r , interferirían en una form a constructiva. De esta manera, esperaríam os ver la película brillante al reflejar la luz. Pero en la figura 41-12 se observa que no es así. La parte superior de la película, donde es m ás delgada p or la acción de la gravedad, aparece oscura en vez de brillante. Es obvio que se da una interferencia destructiva, y no constructiva, en esa porción de la película. Para explicar este fenóm eno y m uchos otros sim ilares, concluim os que uno o el otro de los dos rayos de la figura 4 i13 deben presentar un cam bio abrupto de fase de tt( = 180°) cuando se reflejan en la interfaz aire-película. Y resu lta que sólo el rayo reflejado contra la superficie frontal experim enta este cam bio de fase. El otro rayo no altera bruscam ente su fase en la trasm isión a través de la superficie frontal ni en la refle xión en la superficie posterior. En la sección 18-9 explicam os los cambios de fase durante la reflexión tratándose de ondas transversales en cuerdas. Para am p liar estas ideas exam ine atentam ente la cu erd a com bina d a de la figura 41-14, que consta de dos partes con distinta masa por unidad de longitud, estiradas hasta cierta tensión. Un pulso en la cuerda m ás pesada se dirige a la derecha de la fig ura 4114a, aproxim ándose a la unión. M ás tarde aparecerá un pulso
Inicial
_A _
a) Final
_ /A
Inicial Final F i g u r a 4 1 - 1 3 . Una película delgada se ve bajo luz reflejada contra la fuente S. Las ondas reflejadas en las superficies frontal y posterior entran en el ojo como se indica, y la intensidad de la onda de luz resultante se determina mediante la diferencia de fase entre las ondas combinadas. Se supone que el medio a ambos lados de la película es aire.
b)
Y
_/V_
F i g u r a 4 1 - 1 4 . Cambios de fase tras la reflexión en una unión entre dos cuerdas de distinta densidad lineal de masa. La velocidad de la onda es mayor en la cuerda más ligera, a) El pulso incidente se encuentra en la cuerda más pesada, b) El pulso incidente se encuentra en la cuerda menos pesada.
reflejado (que vuelve a desplazarse a la izquierda) y un pulso transm itido (que continúa a la derecha). En este caso, el pul so reflejado está en fa s e con el pulso incidente. L a situación se invierte en la figura 4 1 -14b: ahora el pulso incidente se encuen tra en la cuerda m ás ligera. E n este caso la fase del pulso refle jad o difiere del pulso incidente en 7r ( = 180°). En ambos casos el pulso transm itido está en fase con el pulso incidente. La figura 41-14« m uestra una onda de luz en, digamos, un vidrio que se aproxim a a una superficie m ás allá de la cual exis te un medio m enos denso (con m enor índice de refracción) como el aire. En la figura 4 1 -14b se ve una onda de luz en el aire que se acerca al vidrio. A sí pues, podem os resum ir en los siguientes términos la situación óptica de la reflexión en una interfaz: Si el m edio m ás a llá de la interfaz tiene un índice de refracción mayor, la onda reflejada experim enta un ca m bio de 7r (180°). Si su índice de refracción es menor, la onda reflejada no experim enta cam bio de fa s e .* En el caso de la figura 41-13, un cam bio de fase de 77 ocurre en la reflexión del rayo r x en el punto a, porque el m edio que está m ás allá de la superficie (la película) tiene un índice de refrac ción m ás alto que el m ed io p o r donde se desplaza (el aire). N o se da ningún cam bio de fase en la reflex ió n del rayo r , en el punto b, ya que se m ueve en la pelícu la y el aire m ás allá de la interfaz tiene un índice de refracción m en o r que ella. No o cu rre cam bio a lg u n o de fase en la re fra c c ió n del ray o r , en el punto c, pues nu n ca hay un cam bio de fase en la refrac ción; el rayo que se refracta dentro de la película en el punto a tam poco experim enta cam bio de fase.
Ecuaciones p a ra la interferencia en películas delgadas C onviene p recisar lo siguiente: la lo n g itu d de onda que d eter m ina el tipo de in terferen cia es k n en la película, no A en el aire. A sim ism o p o d em o s d ecir que nos interesa conocer las diferencias de cam ino óptico, y no las diferencias de trayec toria geom étrica. L as longitudes de onda AII ^y A se relacionan por m edio de la ecuación 39-14: A„ = A¡n,
(41-18)
donde n es el índice de refracción de la película. La interferencia constru ctiv a o d estructiva de los rayos r x y ty depende de la diferen cia de fase entre ellos. Si la d ife rencia es 0, 2 7t, 4 tt, . . . , la in terferen cia será constructiva. En form a equivalente, podem os d ecir que la diferencia de tra yectoria en la in terferen cia co n stru ctiv a es 0, k n, 2A , . . . , o sim plem ente m k n con m = 0, 1 ,2 , . . . . En el caso de la inter ferencia destructiva, la diferen cia de fase es 77, 3tt, 5 tt, . . . , y la diferencia de tray ecto ria eq u ivalente es A /2 , 3A, /2 , 5 A ./2 , .. . , o (m + i)A 7¡ con m = 0, 1, 2 , __
* Estas afirmaciones, que pueden probarse rigurosamente con las ecuaciones de Maxwell, deben modificarse en el caso de la luz que incide un medio menos denso y que forma un ángulo tal que se produce la reflexión interna total. También hay que modificarlas en el caso de la reflexión proveniente de superficies metálicas.
S im p lificarem o s el problem a un poco suponiendo una in cid en cia casi n orm al, es decir, 6i « 0 en la figura 41-13. En este caso, la co n trib u ció n a la diferencia de trayectoria debi do al recorrido del rayo r2 por la película es aproximadamente 2d. L as otras aportaciones posibles a la diferencia de trayec to ria to ta l en tre r x y r2 co rresp o n d en a la d iferen cia de fase de 77 (o d iferen cia de trayectoria de m edia longitud de onda) que p o d ría o cu rrir tras la reflexión en la superficie frontal de la p elícu la (si su índice de refracción es m ayor que el del m e dio donde se o rig in a el rayo) y a la d iferencia de fase de 77 ( 0 diferen cia de tray ecto ria de m edia longitud de onda) que podría o cu rrir después de la reflexión en la superficie poste rio r de la p elícu la (cuando el índice de refracción es m enor que el del m ed io que está m ás allá de dicha superficie). E ntonces p o d em o s escrib ir com o sigue una expresión de la diferencia total de trayectoria entre los rayos r { y ¡y: diferencia de tray ecto ria = 2 d
+
? yA„
+
? yA„.
f t (41-19) superficie superficie frontal p osterior Los signos de in terro g a ció n son un recordatorio que, según el índice de refracció n relativo de la pelícu la en com paración con lo que se en cu en tra en am bos lados de la película, tal vez no habría que in clu ir ninguno de los dos térm inos adicionales; o q uizá habría que inclu ir uno o los dos. E x am inem os de nuevo el ejem plo de la figura 41-13, donde una pelícu la con un índice de refracción n está rodea da p o r el aire. D ebem os agregar la m edia longitud de onda adicional en la superficie frontal, pero no en la posterior. La di fe re n c ia to ta l d e tra y e c to ria es en to n ce s 2 d + -^A . P ara la interferencia co n stru ctiv a tendríam os 2d + |A„ = m k n
m — 1, 2, 3, . . . (m áxim os), (41-20)
donde hem os elim in ad o la solución m — 0 p o r no ser signifi cativa desde el pu n to de vista físico. P ara la interferencia des tructiva obtenem os 2d + jA„ = (m + y)A„
m = 0, 1, 2, . . . (m ínim os). (41-21)
L os resultados anteriores se aplican cuando el índice de refracción de la p elícu la es m ayor que el del m aterial en am bos lad o s; p o r ejem p lo , una p e líc u la de ja b ó n en el aire. E n este caso incluim os en la figura 41-19 sólo el prim ero de los dos térm inos adicionales. Las ecuaciones se aplican asi m ism o cuando el índice de refracción de la p elícula es m enor que el de los m ateriales en cualquiera de los dos lados; así, una película delgada de aire entre las dos placas de vidrio. En este caso incluim os sólo el segundo de los dos térm inos adiciona les en la ecu ació n 41-19, com o en el problem a resuelto 41-5. El problem a resu elto 41-4 ejem plifica un caso en que no se aplican las ecuaciones 41-20 y 41-21. Si el esp eso r de la película no es u niform e com o en la figura 41-12, d onde tiene form a de cuña, la interferencia constructiva o cu rre en algunas partes de ella, y la interferen-
cia destructiva en otras. A parecen bandas de intensidad m áxim a y mínima, denominadas franjas de espesor constante. El ancho y el espaciam iento de las franjas dependen de la variación del espesor de la película d. Si la película está ilum inada con luz blanca, en vez de m onocrom ática, la luz que se refleja contra varias partes de la película es m odificada por varias interferen cias constructivas y destructivas. Se explican así los colores bri llantes de las burbujas de jabón y de las capas aceitosas. Sólo cuando la película es “delgada” (d con unas cuantas longitudes de onda lum inosa), es posible obtener estos tipos de franjas que aparecen localizadas en la película y asociadas a un espesor variable de película. E n las películas gruesas (digamos d ~ 1 cm), la diferencia de trayectorias entre los dos rayos de la figura 41-13 es de muchas longitudes de onda; la diferencia de fase en un punto determ inado de la película cam bia ráp id a m ente al alejam os inclusive una pequeña distancia de a. P or el contrario, en las películas “delgadas” , la diferencia de fase en a tam bién se m antiene en los puntos b astante cercanos; se o b serva una “brillantez fragm entaria” en cu alquier punto de la película, según se observa en la figura 41-12. Pueden producir se franjas de interferencia en películas gruesas; no se localizan en las películas sino en el infinito (Sec. 41-6). P r o s l e m a R e s u e l t o 4 1 - 3 . Una película de jabón (n = 1.33) en el aire mide 320 nm de espesor. Si se ilumina con luz blanca en la incidencia normal, ¿qué color parecerá tener la luz reflejada?
Solución En este problema queremos encontrar la longitud de onda A en que se produce la interferencia constructiva. Con Á;¡ = k /n resolvemos la ecuación 41-20 para A y obtenemos A—
2dn
| —
m —-
(2)(320 n m )(l.33) 851 nm | — i • m —7
m —s
Los máximos de la interferencia constructiva ocurren en las siguien tes longitudes de onda: 1702 nm (m = 1), 567 nm (m — 2), 340 nm (m = 3) y así sucesivamente. Sólo el máximo correspondiente a m = 2 se halla en la región visi ble (entre 400 y 700 nm); la luz de longitud de onda de 567 nm apare ce de color amarillo-verde. Si se emplea luz blanca para iluminar la película, se resalta el componente amarillo-verde cuando se ve por refle xión. ¿Qué color tiene la luz que se transmite a través de la película?
Aire ! = 1.00
n
MgF2 -Vidrió- = 1.38 n =ÍL5Ó~
F i g u r a 4 1 - 1 5 . Problema resuelto 41-4. Las reflexiones indeseables procedentes del vidrio pueden suprimirse (en una longitud de onda escogida) recubriendo el vidrio con una película del espesor adecuado.
Al hacer An = k /n y al resolver para d, obtenemos (m - ;)A 2n
1,2 ,3 ,
Buscamos el espesor mínimo en la interferencia destructiva. Cuando m = 1, obtenemos X 4«
550 nm (4)(1.38)
100 nm.
? ñ o 3 i , E K A R e s u e l t o -4 1 - 3 . La figura 41-1 6 muestra una lente plana-convexa de radio de curvatura R que se halla en una placa de vidrio exactamente plana e iluminada desde arriba por una luz de longitud de onda A. En la figura 41-17 se observa que aparecen fran jas circulares de interferencia (llamadas anillos de Newton), asocia das a la película de espesor variable en el aire entre el lente y la placa. Calcule los radios de los máximos de interferencia circular.
Solución En este caso, el rayo que proviene de la superficie posterior de la película (aire), y no el que proviene de la superficie frontal, es el que experimenta un cambio de fase de 180°, pues éste se refleja con tra un medio de mavor índice de refracción. La condición de la inter-
F r o b l s m a R e s u e l t o 4 1 - 4 . A menudo se recubren las lentes con películas delgadas de sustancias transparentes como MgF-, (n = 1.38) a fin de reducir la reflexión contra la superficie del vidrio, según se observa en la figura 41-5. ¿De qué espesor debe ser un revestimiento para que produzca una reflexión mínima en el centro del espectro visible (A = 550 nm)?
Solución Suponemos que la luz incide contra la lente en la inciden cia casi normal (por razones de claridad, 6 se exagera en la Fig. 41-15) y buscamos las condiciones de la interferencia destructiva entre los rayos r¡ y r2. La ecuación 41-21 no se aplica porque en este caso un cambio de fase de 180° se asocia a cada rayo, pues tanto en la superficie frontal como en la posterior de la película de MgF2 la reflexión se origina en el medio de mayor índice de refracción. Por tanto, la diferencia de trayectoria en la ecuación 41-19 es 2d + ^A;¡ + Í-A , y la condición de la interferencia destructiva es la diferencia i, j-)A;1, o sea 2d + A„ = (m
Luz incidente
Vidrio F i s u r a 41 - 1 s . Problema resuelto 41-5. Aparato para observar ios anillos de Newton.
L a fig u ra 4 1 - 18a m u estra un a onda de am plitud E refle ja d a y refractad a en la superficie que separa los m edios 1 y 2 donde n0 > n r L a am plitud de la onda reflejada es r p £ , donde r p es un coeficiente de reflexión de am plitud. L a am plitud de la o nda refractad a es t v E, donde ?p es un coeficiente de transm isión de am plitud. E l signo del coeficiente in d ica la fase relativa del com p o n en te reflejado o transm itido. Si nos concentram os sólo en la p o sib ilid ad de los cam bios de fase entre 0 y 180°, cuando, p o r ejem plo, r p = + 0 .5 tenem os una red u cción de una mitad en la am plitud después de la reflexión, sin que cam bie la fase. C on r p = —0.5 tenem os un cam bio de fase de 180° porque £ s e n ( o )í + 180°) = — E sen a>t.
F i g u r a Franjas circulares de interferencia (anillos de Newton) observados con el aparato de la figura 41-16.
ferencia constructiva permanece inalterada (Ec. 41-20) y es 2d = (m - j)A, suponiendo que í2 = 1 en la película en el aire. Con base en la figu ra 41-16 podemos escribir V/+
R- R
\R J
Si r/R < < 1 , podemos expandir el término a la 1/2 mediante el teo rema del binomio, conservando sólo dos términos, es decir, d = R - R
2 \ R.
r~ ~2R
Al sustituir para d a partir de la condición de interferencia y al resol ver para r, obtenernos s)AR
1,
(máximos).
que nos da los radios de los anillos brillantes. Si se emplea luz blan ca, cada componente del espectro produce su propio conjunto de franjas circulares y se superponen todos los conjuntos. Nótese que r > 0 con m — 1. Es decir, el primer anillo brillan te está en r > 0 y. en consecuencia, el centro debe ser oscuro como se observa en la figura 41-17. Esta observación puede interpretarse como evidencia experimental ulterior del cambio de fase de 180° en la reflexión con que obtuvimos la ecuación 41-20.
En la figura 41-18¿> se invirtió la dirección de los rayos indicados por r p 2? y tn E. El rayo r p £ , denotado con flechas simples en la figura, se refleja y se refracta produciendo rayos de am plitudes r p £ y r p rp £ . E l rayo t p £ ’, indicado por flechas tri ples, tam bién se refleja y se refracta, creando los rayos de ampli tudes t v t0KE y t v r0{E com o se ve en la figura. N ótese que r n describe un rayo en el m edio 1 reflejado desde el m edio 2 y que r , j describe un rayo en el m edio 2 reflejado desde el medio 1. A sim ism o, rp d escribe un rayo que p asa del m edio 1 al m e dio 2; t.n describe un rayo que va del m edio 2 al m edio 1. B asándonos en el p rin cip io de reversib ilidad, concluim os que los dos rayos en la parte superior izquierda de la figura 4 1 -1 8¿> deben eq uivaler al rayo incidente de la figura 41-18a, invertidos. Los dos rayos de la parte in ferior de la figura deben cancelarse. E ste segundo requisito nos da = O* o bien ' r2l ■ El resultado anterior significa lo siguiente: si com param os una onda reflejada en el m edio 1 con otra refractada en el m edio 2, se com portarán de m anera diferente, pues una de estas ondas experim enta un cam bio de fase de 180°. El experim ento revela que el rayo reflejado contra el m edio m ás denso ópticam ente presenta un cam bio de fase de
\ E \
\
\ \
R eversibilidad óptica y cam bios de fase en la reflexión (opcional) G. G. Stokes (1 S I9-1903) se basó en el principio de la rev er sibilidad óptica p ara in v estig ar la reflexión de la luz en una interfaz. El principio establece lo siguiente: si no se absorbe luz, un rayo lum inoso que se refleje o se refracte volverá a describir su trayectoria original cuando se invierta la direc ción. Ello nos recu erd a que cu alq u ier sisíeñia m ecánico p u e de desplazarse hacia atrás y tam bién hacia adelante, siem pre que no se disipe la energía a cau sa de la fricción.
/ rnE
¡\
! \ ' \hlE
a)
b)
F i g u r a 4 -1 -1 8 . a) Un rayo se refleja y se refracta en una interfaz. b) Situación invertida ópticamente: los dos rayos en la parte inferior izquierda deben cancelarse.
Pantalla
a) S' ® - " "
Espejo
b) 4 1 - 1 9 . a) Arreglo experimental del espejo de Lloyd. Aparecen franjas en la pantalla a consecuencia de la interferencia entre los haces directos y los reflejados, b) Se observan las franjas en el experimento del espejo de Lloyd. F ig u ra
180°. E sto puede dem ostrarse usando el arreglo de la figura 41-19, que se conoce com o el experim ento de espejo de Lloyd. La interferencia ocurre sobre la pan talla en un punto arbitrario P, debido a la superposición de haces directos y reflejados. Podem os analizar este experim ento com o interferencia de dos fuentes, donde una de ellas (S ' ) es la im agen virtual de S en el espejo plano. N o obstante, existe una diferencia im portante entre el aparato de la figura 41-19 y el experim ento de rendija doble: la luz proveniente de la fuente virtual S ' h a sido refle jad a desde el espejo y ha experim entado un cam bio de fase de 180°. A raíz del cam bio, el borde inferior de la p antalla (en O) presenta una franja oscura en vez de la franja brillante que aparece en el punto correspondiente (el centro de la pantalla) en el experim ento de rendija doble. D icho de otra m anera, el aspecto de la franja oscura en O significa que se ha m odifica do 180° uno de los haces de interferencia. N o hay nada que cam bie la fase del haz directo SP; entonces debe ser el haz reflejado el que experim ente el cam bio de fase. E sto indica que la reflexión procedente de un m edio ópticam ente denso involucra un cam bio de fase de 180°. H
C onsiderem os un a luz que sale del punto P en la fuente extendida S (Fig. 41-20) y que cae sobre el espejo sem iplateado M (algunas veces llam ado divisor de haz). El espejo tiene un recubrim iento de plata lo bastante grueso para transm itir la m itad de la luz incidente y reflejar la otra m itad; p ara facilitar la explicación, en la figura hem os supuesto que el espesor del espejo es insignificante. En M la luz se divide en dos ondas. Por transm isión una recorre una distancia d { hacia el espejo M j; p o r reflexión la otra avanza una distancia d 0 hacia M n. L as ondas se reflejan en los espejos y son enviadas hacia atrás en dirección de la incidencia; cada una term ina p o r incidir en el ojo E. L as ondas interfieren, pues son coherentes por pro v enir del m ism o punto en la fuente. El ojo percibe un patrón de interferencia de franjas circulares, com o los de los anillos de N ew ton (Fig. 41-17). La interferen cia se produce p orque los dos haces lum ino sos describen trayectorias diferentes entre iW y o M 7. Cada haz recorre dos veces su trayectoria respectiva (hacia el espe jo y desde él); así que su trayectoria es 2(d0 — d x) cuando los haces se recom binan. La diferencia de trayectoria puede modificarse m oviendo el espejo M „ que está m ontado en un ajuste preciso de m icròm e tro. A m edida que M , se desplaza, las franjas circulares parecen crecer o acortarse (según la dirección del m ovim iento de M ,); los nuevos anillos aparecen en el centro del patrón de interfe rencia y crecen hacia afuera, o anillos más grandes se colapsan y desaparecen en el centro al acortarse. Para que el centro del patrón de franjas pase de brillante a oscuro y luego a brillante nuevamente, es necesario que la diferencia de trayectoria entre los dos haces sea m odificada por una longitud de onda; ésto sig nifica (porque la onda recorre dos veces la trayectoria entre M y M ,) que el espejo M n avanza una distancia de ^A. El interferóm etro sirve para m edir los cam bios de longi tud,- para lo cual b asta contar el núm ero de franjas de interfe rencia que cruzan el cam po visual al m over el espejo M 0. Las m ediciones de longitud hechas de ese m odo serán precisas, si se cuentan m uchas franjas. Espejo
, . .5 INTERFERÓMETRO DE MICHELSON* El interferóm etro es un dispositivo que sirve p ara m edir con gran precisión las longitudes o los cam bios de longitud m ediante las franjas de interferencia. D escribirem os en seg u i da la form a en que en 1881 fue construido o riginalm ente por A. A. M ichelson (1852-1931).
* Véase “Michelson: America’s First Nobel Prize Winner in Science”, de R. S. Shankland, The Physics Teacher, enero de 1977, p. 19. Consúltese tam bién “Michelson and His Interferometer”, de R. S. Shankland, Physics Today, abril de 1974, p. 36.
F i g u r a 4 - 1 - 2 0 . Interferómetro de Michelson, que muestra ¡a trayectoria de un rayo originado en el punto P de una fuente extendida S. El rayo proveniente de P se divide en M; los dos se reflejan contra los espejos M, y M, y luego se recombinan en M. Podemos mover el espejo M 7 para modificar la diferencia de trayectoria entre los rayos combinados.
M ichelso n m id ió la lon g itu d del m etro patrón, co n serv a do en París, en fu n ció n de la lo n g itu d de onda de cierta luz m onocrom ática ro ja em itida p o r una fuente que contenía cad m io. D em ostró qu e el m etro patrón equivalía a 1,553,163.5 longitudes de o n d a de la lu z ro ja de cadm io. P or este trabajo obtuvo el P rem io N obel en 1907. Su obra sentó las bases para que (en 1961) la barra de m etro se abandonara finalm ente com o patrón de lo n g itu d y p ara que se redefm iera el m etro a partir de la longitud de onda. E n 1983, com o ya dijim os, ni siq u ie ra esta lon g itu d de o n d a patró n era lo bastante p recisa p ara atender las crecien tes exigencias de la ciencia y de la tecno logía; así pues, fu e reem p lazad o p o r otro patrón que se b a sa ba en el valo r defin id o de la velocidad de la luz. ? s o 3 L H r . ¡ A R e s u e l t o 4 - 1 - 3 . Una luz amarilla ( A ~ 589.00 n m ) ilumina un interferómetro de Michelson. ¿Cuántas franjas brillantes contaremos al desplazar el espejo 1.0000 cm?
Solución Cada franja corresponde a un movimiento del espejo de media longitud de onda. Por tanto, el número de franjas es el mismo que el de medias longitud de onda en 1.0000 cm, o sea 1.0000
X 10~2 m
i(589.0Ó"x"ÍT»'m)_ ' 33'956
r
.
fC“ J“
El interferómetro de Midi« y la propagación de la laz (opcional) En el capítulo 20 explicam os la hipótesis de E instein, hoy bien com probada, de que en el espacio libre la luz se desp la za con la m ism a velo cid ad c sin im p o rtar la velocidad relati va de la fuente ni d el observador. E sta hipótesis contradecía las ideas de los físico s de siglo x ix relativas a la propagación de las ondas. L es e ra difícil, p o r su form ación en la física clá sica de la época, p en sar que u n a onda p udiese propagarse sin un m edio. Si se p u d iera p ro b ar la existencia del m edio, la ve locidad c de la lu z p o d ría considerarse naturalm ente com o la velocidad respecto a la velo cid a d d el m ed io , del m ism o m o do que la velocidad del sonido se refiere siem pre a un m edio com o el aire. A u n q u e no se conocía m edio alguno de su p ro pagación, los físico s p o stu lab an uno, el éter, y suponían que sus propiedades eran tales que no pod ía detectarse con m e dios ordinarios, co m o pesarlo. En 1881 (24 años antes que Einstein form ulara su hipóte sis), M ichelson se propuso verificar con m edios físicos directos la existencia del éter. En particular, se asoció más tarde a E. W. M orley e intentó m edir la velocidad u con que la Tierra pasa por el éter. Su interferóm etro fue el instrum ento elegido para este experim ento hoy fam oso de M ichelson-M orley. L a Tierra, ju n to con el interferóm etro que se desplaza a una velocidad ü a través del éter, equivale a este últim o en reposo, con el éter fluyendo p o r él a una velocidad —5 , com o se observa en la figura 41-21. Considere una onda que recorre la trayectoria M M jM y o tra que reco rre la trayectoria M M 0M. L a prim era equivale clásicam ente a una persona que rem ando im pulse un bote a un a distancia d co m e n te abajo y la m ism a
\
—
11
s Mi
\
c2- u 2
cV
M
F i g u r a 4.1 - 2 1 . “Eter” que fluye con la velocidad - 5 a través del interferómetro de Michelson. Las velocidades señaladas se basan en la hipótesis (incorrecta) del éter.
distancia c o m e n te arriba; la segunda equivale a rem ar en un bote una distancia d de ida y vuelta a través de la corriente. Con base en la hipótesis del éter, la velocidad de la luz en la trayectoria M M 1 es c + u; en la trayectoria de retom o M XM es c — u. E l tiem po necesario para com pletar el recorrido es d
d
,
2c
c + u
2d
1
c
1 — (ule)2
L a velo cid ad de la luz, una vez m á s basada en la hipóte sis del éter, en la trayectoria M M , es V c2 ~ «2 com o se indi ca en la figura 41-2. E sta m ism a velocidad se observa en la tray ectoria de reto m o M~,M; así que el tiem po necesario para co m pletarla es 2d
2d
1
V e2 — u 2
C
V i — ( u ió f
ti
La d iferencia de tiem po en las dos trayectorias es A? = í, -
ti
2d_ c
1 -
í u
V -1
— \ c / _
—
u Y 1 - í— Vc J _
S uponiendo que u / c < < 1 , podem os expandir las cantidades dentro de los corchetes cuadrados recurriendo al teorem a binom ial y conservando sólo los dos prim eros térm inos. Ello nos da At
2d
1 +
c
1 2 2d j 1
u
du2
(41-22)
A continuación girem os el in terferóm etro entero 90°. Se intercam bian a sí los papeles de las dos trayectorias de la luz:
M M xM es ahora la trayectoria de “corriente cruzada” y M M 0M es la de “corriente arriba y abajo” . L a diferencia de tiempo entre las dos ondas que entran en el ojo tam bién está invertida; se altera así la d iferencia de fase entre las ondas com binadas y las posiciones de los m áxim os de interferencia. El experim ento consiste en b u scar un cam bio en las franjas de interferencia, conform e se hace girar el aparato. E l cam bio en la diferencia de tiem po es 2Aí, que corres ponde a una diferencia de fase A
Aó
oi(2A t)
2cA t
2d
A
A
2 77
— | ,
(41-23)
donde hem os em pleado la ecuación 4 1-22 con At. E n el interferòm etro de M ich elso n -M o rley sea d = 11 m (resultado obtenido p o r reflex ió n m ú ltip le en el interferòm e tro) y que A = 5.9 X 10“ 7 m. S i se supone que u es aproxi m adam ente la velocidad orbital de la Tierra, entonces u /c ~ 1CT4. E l cam bio m áxim o esperado de fran ja cuando se hace girar el interferòm etro 90° es 2d an
u ,
= ~ T \ T í -
(2X 11 m) 5.9 x 10-7 m
( i 0 4) = 0.4
A p e sa r de esperarse un cam bio apenas de aproxim adam ente 0.4 de un borde, M ichelson y M orley estaban seguros de p o d e r o b serv ar un cam bio de 0.01 de franja. Sin embargo, en su experim ento descubrieron que no existe un cam bio obser vable de fra n ja s. L a analogía entre una onda de luz en el supuesto éter y un bote que se m ueve en el agua, que p arecía tan evidente en 1881 es del toda correcta. L a dem ostración basada en esta analogía es inco rrecta para las ondas de luz. C uando el análi sis se realiza a p artir de la hipótesis de E instein, el resultado nulo observado se predice con claridad; la velocidad de la luz es c en todas las trayectorias. D esde el punto d e vista de E instein, el m ovim iento de la T ierra alrededor del Sol y la rotació n d el interferóm etro no tienen efecto alguno en la velo cidad de las ondas de luz a través de él. C on v ien e aclarar lo siguiente: aunque la hipótesis de E in stein es absolutam ente com patible con el resultado nulo del experim ento de M ichelson-M orley, éste no prueba la hipótesis de E instein. Él dijo que los experim entos, p o r num e rosos que fueran, nunca pod rían probar que tenía razón, pero que b astab a uno sólo p ara pro b ar que estaba equivocado. La aceptación actual de su hipótesis se basa en que gran cantidad de experim entos diseñados para probar esta hipótesis arrojan los m ism os resultados. T odavía no se realiza ese experim ento capaz de p ro b ar que E instein estaba equivocado.
/ PCIÓN MÚLTIPLE 4 1 -1 In te rfe r e n c ia d e d o s fu e n te s 4 1 - 2 I n te rfe r e n c ia d e r e n d ija d o b le 1. ¿Cuál es la separación mínima de rendija d para que la interf rencia produzca por lo menos un máximo que no sea el central? A) d > 5 A B) d == 3A C) d > A D) d > A/3 E) No hay un mínimo. 2. ¿Cuál es la separación máxima de rendija d en que se produci rán franjas de interferencia? A) No hay un máximo. A) d < 5A B) d ^ 3A C) d < A D) d < A/3 3. Se instala un aparato de rendija doble como se ve en la figura 41-5. Se usa luz verde para crear el patrón de interferencia. Se sus tituye después por luz roja. ¿Cuál de los siguientes cambios per mitirá que el espaciamiento de las bandas brillantes sobre la pantalla permanezcan inalteradas por el cambio del color de la luz? A) Aumento de D. B) Disminución de d. C) Aumento de d o disminución de D. D) Aumento de brillantez en la fuente de luz. 4. Suponga que se pone un filtro sobre una de las rendijas de la figura 41-3 para evitar que la luz 'las atraviese. a) ¿Qué sucederá con la intensidad de la luz en el lugar del máximo central en la figura 41-4? A) Aumentará. B) Disminuirá. C) Permanecerá inalterada. D) Depende de qué rendija se cubra. b) ¿Qué sucederá con la intensidad de la luz en la ubicación del primer mínimo?
A) Aumenta. B) Disminuye. C) Permanece inalterada. D) Depende de qué rendija se cubra. c) ¿Qué sucederá con la intensidad de la luz en la ubicación del primer máximo después del máximo central? A) Aumenta. B) Disminuye. C) Permanece inalterado. D) Depende de qué rendija se cubra. 5. Un aparato de rendija doble se usa para observar un patrón de interferencia proyectado sobre una pantalla desde una fuente de luz estacionaria. Si ahora la fuente se dirige hacia las rendi jas dobles con velocidad constante, ¿qué se observará en la pan talla? A) El patrón de interferencia permanecerá inalterado. B) Las franjas se separarán más a una nueva distancia fija. C) Las franjas se acercarán más a una nueva distancia fija. D) Las franjas seguirán alejándose más y más a medida que acercamos la fuente. ó. En una demostración de rendija doble, un profesor de física intro duce una hoja delgada de material transparente con un índice de refracción ligeramente mayor que el aire. ¿Qué sucederá con el patrón de interferencia en la pantalla? A) No habrá cambio alguno. B) Las franjas se separarán más. C) Las franjas se acercarán más. D) Las franjas cambiarán de posición, pero no se modifica rá el espaciamiento.
7. En una demostración de rendija doble, por las dos rendijas un profesor de física introduce una hoja delgada de material trans parente con un índice de refracción ligeramente mayor que el aire. ¿Qué ocurrirá con el patrón de interferencia en la pantalla? A) No habrá cambio alguno. B) Las franjas se dispersarán y se separarán más. C) Las franjas se compactarán más. D) Los franjas cambiarán de posición, pero no de espadamiento. 8. Dos fuentes luminosas monocromáticas y muy cerca una de la otra crean un patrón fijo de interferencia en una pantalla. Después disminuye la frecuencia de una de ellas. ¿Cómo afectará esto al patrón de interferencia? A) El patrón desaparecerá por completo. B) Crecerá el espaciamiento entre las franjas. C) Las franjas se desplazarán a la izquierda o a la derecha, pero el espaciamiento permanecerá constante. D) Disminuirá el espaciamiento entre las franjas. 9. La ecuación 41-4 es una aproximación con ángulos pequeños; en esta aproximación el espaciamiento entre los máximos conti guos es una constante dada por Ay. En realidad, el espaciamiento A) es menor que Ay y se hace más pequeño conforme 8 aumenta. B) es menor que Ay pero crece conforme 8 aumenta. C) es mayor que Ay, pero disminuye conforme 8 aumenta. D) es mayor que Ay y crece aún más conforme 8 crece.
E)
Ninguno de los anteriores; no pueden ocurrir los cam bios de fase especificados. b) Suponga que los rayos a y c experimentan un cambio de fasé debido a las diferencias de los índices de refracción. ¿Cuál sería el ordenamiento apropiado de ellos? A) n¡ > n, > n3 B) n7 > n3 > n l C) n2 > n0 > «j C) n- > n x > n0 E) Ninguno de los anteriores; no pueden ocurrir los cam bios de fase especificados. c) Suponga que los rayos a y d experimentan un cambio de fase debido a las diferencias de los índices de refracción. ¿Cuál sería el ordenamiento apropiado de ellos? A) «j > n, > n2 B) n-, > n 3 > n 1 C) /X3 > n7 > nj C) n- > n, > n, E) Ninguno de los anteriores; no pueden ocurrir los cam bios de fase especificados. d) Suponga que los rayos b y c experimentan un cambio de fase debido a las diferencias de los índices de refracción. ¿Cuál sería el ordenamiento apropiado de ellos? A) n ¡ > n, > t?3 B) «, > ?z3 > n l C) n 3 > n-, > /i j C) tz3 > n ¡ > n-, E) Ninguno de los anteriores; no pueden ocurrir los cam bios de fase especificados.
4 1 -3 Coherencia 10. ¿Cuál de las siguientes magnitudes debe ser idéntica para que dos rayos de luz sean considerados coherentes? (Escoja todas las que caen en esa categoría.) A) Frecuencia Cj Velocidad de onda
\fh
B) Longitud de onda D) Fase de onda
„
E) Amplitud de onda
^ c d
4 1-4 Intensidad en la interferencia de rendija doble 11. Por mera diversión, un estudiante diseña un experimento de inter ferencia con una rendija triple. Si la luz procedente de las tres ren dijas alcanza en fase el máximo central, ¿qué relación hay entre la intensidad I y la intensidad IQprocedente de la rendija simple? A) / = /0 B) I = 3/0 C) / = 6/0 D) / = 910 12. Tres rayos luminosos coherentes y de igual intensidad llegan al punto P en la pantalla para producir un mínimo de interferencia de intensidad cero. Si bloqueamos dos cualesquiera de ellos, la intensidad de la luz en P es 7,. ¿Qué intensidad tiene la luz en P si se bloquea sólo uno de ellos? A) 0 B) / , / 2 C) /, D) 27, E) 47,
4 1-3 Interferencia proveniente de películas delgadas 13. Un rayo luminoso incide en una película delgada. Se muestran dos de ios rayos, reflejados y dos de los transmitidos en la figu ra 41-22. a) Suponga que los rayos a y b experimentan un cambio de fase debido a las diferencias de los índices de refracción. ¿Cuál sería el ordenamiento apropiado de ellos? A) n ¡ > n1 > //,
B) «, > n, > n ]
C) n3 > /i, > /Z]
C) n3 > «, > n-,
F ig u r a
41 -22.
Pregunta de opción múltiple
13.
14. ¿Por qué no vemos los efectos de la interferencia procedente de películas delgadas cuando contemplamos la hoja de vidrio en una ventana? A) La interferencia no se produce en películas gruesas. B) Las franjas están muy mal definidas. C) Las franjas están demasiado separadas. D) Las franjas brillantes y oscuras tienden a superponerse. 15. Una luz de 550 nm incide contra una película delgada normal a la superficie; toda la luz se transmite y no se refleja en absolu to. Un segundo rayo de luz de longitud A incide contra la mis ma película en un ángulo muy pequeño con la normal; toda la luz se transmite enteramente sin que se refleje en absoluto. ¿Qué puede concluirse respecto a A? A) X > 550 nm B) X = 550 nm C) X < 550 nm D) Nada puede concluirse si no se conocen los índices de refracción de las sustancias en el problema.
1. ¿Es el experimento de Young un experimento de interferencia, de difracción o de ambas? 2 . ¿P°r se necesita la pantalla A en la figura 41-7 en el experi mento de interferencia de rendija doble que Young diseñó y en que utilizó una fuente de luz monocromática de laboratorio? No se necesita una pantalla A si la fuente de luz es un haz láser. ¿Por qué? 3 . ¿Qué cambios, si los hay, ocurren en el patrón de las franjas de interferencia si ponemos en agua el aparato de la figura 41-5? 4. ¿Se producen los efectos de interferenciá en las ondas sonoras? Recuerde que el sonido es una onda longitudinal, y que la luz una transversal. 5 . No es posible demostrar los efectos de la interferencia entre la luz partiendo de dos lámparas separadas de vapor de sodio, pero sí los que ocurren entre el sonido y dos altavoces activados por osciladores individuales. Explique por qué. 6 . Si fuese posible la interferencia entre las ondas de luz de distin ta frecuencia, deberíamos observar los pulsos de luz, del mismo modo que se obtienen los pulsos sonoros procedentes de dos fuentes con frecuencia un poco diferente. Explique cómo uno podría observar experimentalmente esta posibilidad. 7. ¿Por qué las rendijas paralelas son preferibles a los diminutos hoyos de alfiler con que Young demostró la interferencia? 8 . ¿Es la coherencia importante en la reflexión y en la refracción? 9. Describa el patrón de la intensidad de la luz en la pantalla C de la figura 41-5, si se cubre una rendija con un filtro rojo y la otra con un filtro azul y si la luz incidente es blanca. 10. Si se cubre una rendija en la figura 41-5, ¿qué cambio ocurrirá en la intensidad c!e la luz en el centro de la pantalla? 11. Todos estamos inmersos constantemente en la radiación elec tromagnética proveniente del Sol, de las señales de radio y de televisión, de las estrellas y de otros objetos celestiales. ¿Por qué estas ondas no interfieren entre sí? 12. Al calcular la perturbación producida por un par de trenes, de ondas sobrepuestas, ¿cuándo deberían sumarse las intensidades y cuándo las amplitudes? 13. En el experimento de doble rendija diseñado por Young, supon ga que la pantalla A de la figura 41-7 contuviera dos rendijas paralelas muy pequeñas en vez de una. a) Demuestre que, si el espaciamiento entre ellas se elige adecuadamente, pueden hacerse desaparecer las franjas de interferencia, ti) ¿En qué con diciones calificaría de coherentes los haces que salen de las rendijas 5j y S-, en la pantalla B1 ¿No producen franjas de inter ferencia? c) Explique lo que sucedería con ellos en el caso de una rendija simple de la pantalla A, si disminuyéramos gradual mente su ancho. 14. Defienda el siguiente enunciado: la figura 41-8a es una onda de seno (o coseno), no así la figura 41-8¿>. En efecto, no es posible asignarle una frecuencia especial a la curva de la segunda figu ra. ¿Por qué no? (Sugerencia: piensen en el análisis de Fourier.) 15. Muchos de nosotros estamos familiarizados con las antenas gi ratorias u oscilatorias de los radares que producen haces también giratorios u oscilatorios de radiación de microondas. Asimismo es posible generar un haz oscilatorio de ella sin ningún movi miento mecánico de la antena transmisora. Se logra cambiando periódicamente la fase de radiación cuando sale de varias sec ciones de la antena (larga). Convénzase de que, a causa de la
16. 17. 18.
19.
20. 21.
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29.
30. 31.
interferencia constructiva proveniente de diversas partes de la antena fija, un haz oscilante de microondas puede producirse en esta forma. ¿A qué se deben las oscilaciones de la recepción de radio cuan do un avión cruza el aire arriba de nosotros? ¿Es posible tener coherencia entre las fuentes luminosas que emiten luz de diversas longitudes de onda? Un automóvil dirige sus faros hacia el lado de un granero. ¿Por qué no aparecen franjas de interferencia en la región donde se superpone la luz de los dos haces? Suponga que el revestimiento con película en la figura 41-15 tuviese un índice de refracción mayor que el del vidrio. ¿Podría seguirse reflejando? De ser así, ¿qué influencia tendría el reves timiento? ¿Cuáles son los requisitos de la intensidad máxima cuando se ve una película delgada mediante la luz transmitida? ¿Por qué una película (una burbuja de jabón o una capa aceito sa) debe ser “delgada” para que presente los efectos de la inter ferencia? ¿Lo muestran realmente? ¿Que significa “delgada” en este contexto? ¿Por qué los lentes recubiertos (Prob. res. 41-4) tienen color púrpura bajo la luz reflejada? Las ventanas ordinarias reflejan la luz de sus superficies inter nas y externas. ¿Por qué no percibimos los efectos de la in terferencia? Si humedecemos los anteojos para limpiarlos, nos damos cuen ta de que, al evaporarse el agua, pierden bastante capacidad de refiexión durante breve tiempo. Explique por qué. Recubrimos una lente para atenuar la refiexión, como se hace en el problema 41-4. ¿Qué sucede con la energía que se había reflejado antes? ¿La absorbe el revestimiento? Considere los siguientes objetos que producen colores al ser expuestos a la luz solar: 1) burbujas de jabón, 2) pétalos de rosa, 3) la superficie interna de una concha de ostra, 4) capas aceito sas delgadas, 5) revestimientos no reflejantes en las lentes de las cámaras y 6) las plumas de la cola del pavo real. Los colores desplegados por todos ellos, menos uno, son totalmente fenó menos de interferencia, sin que intervengan pigmentos. ¿Cuál es esa excepción? ¿Por qué los demás parecen “coloreados”? Una película de jabón en una espira de alambre sostenida en el aire aparece negra en su parte más delgada al ser vista bajo luz reflejada. Por otra parte, una película delgada de aceite que flo ta en el agua aparece brillante en su parte más delgada cuando se ve desde el aire. Explique ambos fenómenos. Los cambios muy pequeños en el ángulo de incidencia no modi fican mucho las condiciones de interferencia en las películas “delgadas”, pero sí en las películas “gruesas”. ¿A qué se debe? Un plano óptico es una lámina de vidrio que ha sido aplanada a una pequeña fracción de longitud de onda. ¿Cómo puede usar se para probar la uniformidad de una segunda lámina de vidrio? En un experimento de anillos de Newton, ¿es oscuro o claro el punto central visto bajo la reflexión? En relación con el cambio de fase en la reflexión en una inter faz entre dos medios transparentes, ¿cree posibles los cambios de fase que no sean 0 ni tr? ¿Piensa que pueden calcularse rigu rosamente con las ecuaciones de Maxwell?
32. Se conocen las características direccionales de cierta antena de radar como un receptor de radiación. ¿Qué puede decirse sobre las de un transmisor? 33. En un cuarto oscuro una persona que ve a través de una ventana pequeña observa a otra que está de pie afuera, bajo la luz brillante del Sol. La segunda persona no puede ver a la primera. ¿Consti tuye esto una violación del principio de la reversibilidad óptica? Suponga que no se absorbe luz. 34. ¿Por qué es necesario girar el interferòmetro en el experimento de Michelson-Morley?
E
35. ¿Cómo se interpreta el resultado negativo del experimento de Michelson-Morley según la teoría de la relatividad de Einstein? 36. Las franjas empiezan a desaparecer si la longitud de trayectoria hacia el espejo móvil en el interferòmetro de Michelson (Fig. 41-20) es mucho mayor que hacia el espejo fijo (más de un metro por ejemplo). Explique por qué. Los rayos láser am plían mucho este intervalo. ¿Por qué? 37. ¿Cómo construiría un interferometro de Michelson para medir la longitud de onda del sonido? Explique las diferencias basán dose en el interferòmetro óptico.
je r c ic io s .
41-1 Interferencia de dos fuentes 41 -a Interferencia de rendija doble 1. La luz verde monocromática, longitud de onda = 554 nm, ilu mina dos pequeñas rendijas paralelas, separadas por 7.7 ¡j.m. Calcule la posición angular de la franja brillante de tercer orden (m = 3) a) en radianes y b) en grados. 2. Una luz monocromática ilumina dos rendijas paralelas, separadas por una distancia d. El primer máximo se observa en una posición angular de 15°. ¿En qué porcentaje deberíamos aumentar o redu cir d para que el segundo máximo se observe ahora a 15o? 3. Se efectúa un experimento de rendija doble con luz azul-verde de 512 nm de longitud de onda. Las rendijas están separadas por una distancia de 1.2 mm y la pantalla está a 5.4 m de ellas. ¿A qué distancia están entre sí las franjas brillantes tal como se ven en la pantalla? 4. Encuentre Ja separación de rendijas en un arreglo de dos rendi jas que producirán franjas brillantes de interferencia, distantes entre sí 1.00° en una separación angular. Suponga que la longi tud de onda es de 592 nm. 5. Un arreglo de rendija doble produce franjas de interferencia con la luz de sodio (A = 589 nm), separadas por 0.23°. ¿En qué lon gitud de onda será la separación 10% más grande? Suponga que el ángulo 6 es pequeño. 6. Un arreglo de rendija doble produce franjas de interferencia en la luz de sodio (A = 589 nm), con una separación de 0.20°. ¿Cuál es la separación angular de franjas, si todo el arreglo está sumergido en agua (n = 1.33)? 7. En un experimento de rendija doble, la distancia entre ellas es 5.22 mm y las rendijas se hallan a 1.36 m de la pantalla. Dos pa trones de interferencia se ven en ella, uno debido a la luz con 480 nm de longitud de onda y el otro a longitudes de onda de 612 nm. Encuentre la separación en 1a. pantalla entre las franjas de interferencia de tercer orden en los dos patrones. 8. En un experimento de interferencia de un gran tanque de ondas (Fig. 41-2), las fuentes vibrantes coherentes se colocan a una distancia de 120 mm entre sí. La distancia entre los máximos a 2.0 m es 180 mm. Si la velocidad de las ondas es 25 cm/s, calcu le la frecuencia de las fuentes vibrantes. 9. ¿Qué longitud de onda tiene la luz usada, si la distancia entre el pri mero y el décimo mínimo de un patrón de rendija doble es 18 mm y si las rendijas están separadas por 0.15 mm con una pantalla a 50 cm de ellas? 10. Dos fuentes puntuales coherentes de radio separadas por 2.0 m irradian en fase con A = 0.50 m. ¿Cuántos máximos presentará un detector que movemos en una trayectoria circular alrededor de ellas en un plano que las contenga?
11. Dibuje el patrón de interferencia que se espera cuando se emplean dos agujeros de alfiler diminutos en vez de rendijas estrechas. 12. Una luz de sodio (A = 589 nm) incide sobre una rendija doble de separación d = 0.180 mm. Una lente delgada ( f = 1.13 m) se coloca cerca de la rendija como se muestra en la figura 41-6. ¿Cuál es la separación lineal de las franjas en la pantalla situa da en el plano focal de la lente? 13. Una luz de sodio (A = 589 nm) incide sobre una rendija doble de separación d = 2.0 mm. La distancia de las rendijas a la pantalla D es 40 mm. ¿Qué error fraccional se comete al utilizar la ecua ción 41-1 para localizar en la pantalla la décima franja brillante?
4 1 -3 Coherencia 14. La longitud de coherencia de un tren de ondas es la distancia en que la constante de fase es la misma, a) Si un átomo individual emite luz coherente con 1 X 10~8 s, ¿cuál es la longitud de cohe rencia del tren de ondas? b) Suponga que un espejo parcialmente reflejante lo divide en dos partes que más tarde vuelven a reunir se, después que un haz recorre 5 m y el otro 10 m. ¿Producen las ondas franjas de interferencia observables por el ojo humano?
41 -4 Intensidad en la interferencia de rendija doble 15. La fuente A de ondas de radio de largo alcance aventaja 90° a la fuente B. La distancia rA a un detector es 100 m más grande que la distancia rB. ¿Cuál es la diferencia de fase en el detector? Ambas fuentes tienen una longitud de onda de 400 m. 16. Encuentre la diferencia de fase entre las ondas procedentes de dos rendijas que llegan a la emésima franja oscura en un expe rimento de rendija doble. 17. Una luz de 600 nm de longitud de onda incide normalmente en dos pequeñas rendijas paralelas, con una separación de 0.60 mm. Dibuje el patrón de intensidad observado en una pantalla lejana en función de un ángulo 8 en el intervalo de valores 0 s 6 :£ 0.0040 radianes. 18. Encuentre la suma de las siguientes magnitudes a) gráficamen te usando fasores y b) usando trigonometría: y, = 10 sen tai, y 2 — 8.0 sen (wr + 30°). 19. 5j y S2 en la figura 41-23 son fuentes puntuales efectivas de ra diación, excitadas por el mismo oscilador. Son coherentes y están en fase. Colocadas a una distancia d = 4.17 m entre sí, emiten igual cantidad de potencia mediante ondas magnéticas de 1.60 m de longitud, a) Determine las posiciones de los máximos pri mero, segundo y tercero de la señal recibida, a medida que mo vemos el detector D a lo largo de! eje x comenzando en O.
h) ¿Es igual a cero la intensidad en el mínimo más cercano? Jus tifique su respuesta.
F ig u ra
4 1-2 3.
Ejercicio 19.
20. Sume las siguientes cantidades gráficamente, aplicando el método de fasores (Prob. res. 41-2), y algebraicamente: Vi = lOsenwí, >s = 14sen(wt + 26°),
aire. Si la película tiene un grosor de 0.00121 mm, determine si parece brillante u oscura cuando la observamos desde un punto cercano a la fuente luminosa. 27. Una delgada película de acetona (índice de refracción = 1.25) recubre una gruesa placa de vidrio (índice de refracción = 1.50). Unas ondas planas de luz de longitud de onda variable inciden normalmente en la película. Cuando uno ve la onda reflejada, nota que la interferencia constructiva completa ocurre en 600 nm y que la interferencia destructiva ocurre a los 700 nm. Calcule el espesor de la película de acetona. 28. Una luz blanca reflejada en incidencia perpendicular desde una película de jabón en el aire tiene, en el espectro visible, un má ximo de interferencia en 600 nm y un mínimo en 450 nm, sin un mínimo intermedio. Si n = 1.33 de la película, ¿Cuál es su grosor suponiendo que sea uniforme? 29. Una fuente amplia de luz (A = 680 nm) ilumina normalmente dos placas de vidrio de 120 mm de largo que se tocan en un ex tremo y que están separadas por un alambre de 0.048 mm de diámetro en el otro extremo (Fig. 41-25). ¿Cuántas franjas bri llantes aparecen a una distancia de 120 mm?
v3 = 4.7 sen (wf — 41°).
4 i -s Interferencia proveniente de películas delgadas
| Luz incidente
21. Queremos cubrir una lámina plana de vidrio (» = 1.50) con un material transparente (n = 1.25), de manera que no se desvíe la luz de 620 nm de longitud de onda (en el vacío) normalmente incidente. ¿Qué espesor mínimo podría tener la capa? 22. Una película delgada en el aire mide 410 nm de espesor y está iluminada con luz blanca normal a su superficie. El índice de re fracción es 1.50. ¿Qué longitudes de onda dentro del espectro visible se intensificarán en el haz reflejado? 23. Un buque cisterna inhabilitado derrama queroseno (n = 1.20) en el Golfo Pérsico, creando una gran capa aceitosa en la superficie del agua (n = 1.33). a) Si desde un avión mira una región de ca pa aceitosa cuyo espesor es de 460 nm, ¿con qué longitud(es) de onda de luz visible es máxima la reflexión? b) Si usted practica el buceo bajo esta misma región, ¿con que longitud(es) de onda de la luz visible alcanza su máximo la intensidad transmitida? 24. En la joyería elegante, las imitaciones de diamante (hechas de vidrio con n = 1.5) se cubren a menudo con monóxido de sili cio (n = 2.0) para hacerlas más reflejantes. ¿Qué espesor ha de tener el recubrimiento para que alcance una fuerte reflexión con una luz de 560 nm, que incida normalmente? 25. Si la longitud de la luz incidente es A = 572 nm, los rayos A y B en la figura 41-24 están fuera de fase en 1.50A. Calcule el gro sor d de la película.
T 0.048 mm
l
L ú ______ i
F ig u r a
n
3
=
1.2o'
F ig u ra
■■
41 -2 4 .
•
Ejercicio 25.
26. Una luz con una longitud de onda de 585 nm incide normalmen te en una película delgada de jabón (n = 1.33) suspendida en el
4 1 - 2 S . Ejercicio 29.
30. Una gota de aceite (n — 1.20) flota en una superficie de agua (n = 1.33) y se observa desde arriba bajo la luz reflejada (Fig. 41-26). a) ¿Corresponderán las regiones exteriores (las más delgadas) a la región brillante u oscura? b) ¿Qué espesor tiene la película de acei te cuando uno observa la tercera región azul desde el exterior de la gota? c) ¿Por qué los colores desaparecen gradualmente a medida que el espesor del aceite se vuelve más grande? Luz incidente f
F ig u ra
Ih
|
[■*3---------- 120 m m -------- —6>-|
4-1-2 6.
Ejercicio
30.
31. Una luz de 630 nm de longitud de onda incide normalmente en una película delgada en forma de cuña, cuyo índice de refrac ción es 1.50. Hay diez franjas brillantes y nueve franjas oscuras en ella. ¿Cuánto cambia el espesor de la película en esta longitud? 32. En una cuña de aire formada por dos placas planas de vidrio que se tocan a lo largo de un borde, hay 4001 líneas oscuras observa das cuando se ven bajo una luz monocromática reflejada. Cuando el aire entre las placas se vacía, se observan sólo 4000 de ellas. Con los datos anteriores calcule el índice de refracción del aire.
En el experimento de los anillos de Newton, el radio de curvatura R de la lente mide 5.0 m y tiene un diámetro de 20 mm. a) ¿Cuántos anillos se producen? b) ¿Cuántos se venan si metiéra mos el arreglo en el agua (n = 1.33)? Suponga que A = 589 nm. 3 4 . El diámetro del décimo anillo brillante en un aparato de los anillos de Newton pasa de 1.42 a 1.27 cm, al introducir líquido entre la lente y la placa. Calcule el índice de refracción del líquido. 3 5 . Un aparato de los anillos de Newton sirve para determinar el ra dio de curvatura de una lente. Se miden los radios de los anillos brillantes n-ésimo y el (n + 20 )ésimo y se descubre que miden 0.162 cm y 0.368 cm, respectivamente, con una luz de 546 nm de longitud de onda. Calcule el radio de curvatura de la super ficie inferior de la lente. 36. Un barco que se acerca al puerto transmite con una longitud de onda de A = 3.43 m desde su antena situada a h = 23 m sobre el nivel del mar. La antena de la estación receptora se encuentra H = 160 m sobre el nivel del mar. ¿Qué distancia horizontal D hay entre el barco y la torre receptora cuando se pierde momen táneamente el contacto por radio la primera vez? Suponga que el mar tranquilo refleja perfectamente las ondas de radio de acuerdo con la ley de reflexión (Fig. 41-27). 33.
37.
En el problema resuelto 4 1 - 4 , suponga que no se refleja en ab soluto la luz de 5 5 0 nm de longitud de onda en incidencia nor mal. Calcule el factor en que el revestimiento disminuye la reflexión en a) 4 5 0 nm y b) 6 5 0 nm. (Sugerencia: calcule A en la Ec. 4 1 - 1 6 . )
41-s Interferómetro de Michelson 38.
39.
40.
Una película delgada, con n = 1 . 4 2 para una luz de 5 8 9 nm de longitud de onda, se coloca en un brazo de un interferómetro de Michelson. Si ocurre un cambio de 7 . 0 franjas, ¿cuál será el espesor de la película? Se cuentan 7 9 2 franjas con un medidor de luz, si desplazamos 0 . 2 3 3 mm el espejo M 2 en un interferómetro de Michelson. ¿Cuál es la longitud de onda de la luz? Una cámara hermética de 5 . 0 cm de largo, con ventanas de vi drio se coloca en un brazo de un interferómetro de Michelson, como se indica en la figura 4 1 - 2 8 . Se usa una luz de longitud de onda A = 5 0 0 nm. El aire se vacía lentamente en la cámara por medio de una bomba. Mientras se extrae, se observa que 6 0 franjas pasan delante. Con los datos anteriores calcule el índice de refracción del aire a presión atmosférica. E s p e jo
5.0 cm |-^ ---------- #=-j
t---.
F u e n te
Y
E s p e jo
A la b o m b a '■ > -" •4
(je v a c í o
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jr O F igur a
4 1 -2 7.
Ejercicio 36.
F lG U Í
l - 2 8 . Ejercicio 40.
ROBLEM AS 1. Enfrente de un salón de actos, un haz coherente de luz monocro mática procedente de un láser de helio-neón (A = 632.8 nm) ilu mina una rendija doble. De aquí recorre una distancia de 20.0 m hasta llegar a un espejo situado en la parte posterior del salón y vuelve a recorrer la misma distancia hasta la pantalla, a) ¿Cuál debería ser la distancia entre las dos rendijas para que la exis tente entre los máximos de interferencia sea 10.0 cm? b) Indi que lo que verá si el conferencista introduce una delgada hoja de celofán por una de las rendijas. La trayectoria a través del ce lofán contiene 2.5 más ondas que las que pasan por el aire del mismo espesor geométrico. 2. Un delgado trozo de mica (n = 1.58) cubre una rendija en un arreglo de rendija doble. El punto central en la pantalla lo ocupa lo que era antes la franja séptima de brillantez. Si A = 550 nm, ¿qué espesor tendrá la mica? 3. Dos fuentes puntuales S { y S2, en la figura 41-29, emiten ondas co herentes. Demuestre que son hipérbolas las curvas como las allí incluidas, donde la diferencia de fase de los rayos r¡ y r 9 es una constante. (Sugerencia: una diferencia de fase constante implica una diferencia constante de longitud, se encuentra entre r t y r2. El sistema OMEGA de la navegación marina se basa en este princi pio. 5j y S2 son transmisores ligados a la fase. El piloto observa en
un osciloscopio la diferencia de fase recibida y localiza el barco en una hipérbola. Se requiere recibir las señales provenientes de un tercer transmisor para determinar la posición en esa hipérbola.
4 . Una rendija en un arreglo de rendija doble se cubre con una del
gada placa de vidrio, cuyo índice de refracción es 1.4, y la otra con una cuyo índice de refracción es 1.7. El punto en la panta lla donde el máximo central estaba antes de introducir las pla cas de vidrio es ahora ocupado por lo que había sido antes la franja brillante m = 5. Suponga que A = 480 nm y que las pla cas tienen el mismo espesor t; obtenga el valor de t. 5 . Demuestre que el ancho medio A 8 en las franjas de interferen cia de doble rendija está dada por
6.
7.
8.
9.
Si 8 es lo bastante pequeño para que sen 6 = 0. El ancho medio es el ángulo entre los dos puntos de la franja donde la intensi dad es la mitad a la del centro de la franja. Una de las rendijas de un sistema de doble rendija es más ancha que la otra, de modo que la amplitud de la luz que desde una rendija llega a la parte central de la pantalla actúa sola y es el doble de la procedente de la otra rendija, que también actúa so la. Obtenga una expresión para la intensidad I en función de 8. Una onda plana de luz monocromática incide normalmente en una película delgada uniforme de aceite que cubre una placa de vi drio. La longitud de onda de la fuente puede modificarse cons tantemente. Una interferencia destructiva completa de la luz reflejada se observa en longitudes de onda de 485 y 679 nm y no en longitudes de onda entre ellas. Si el índice de refracción del aceite es 1.32 y el del vidrio es 1.50, calcule el espesor de la película aceitosa. Una hoja de vidrio que tiene un índice de refracción de 1.40 de be recubrirse con una película de material cuyo índice de refrac ción es J .55, de manera que se transmita de preferencia la luz verde (longitud de onda = 525 nm). a) ¿Cuál es el espesor mí nimo de la película que alcanzará el resultado? b) ¿Cuáles son otras partes del espectro visible que no se transmiten así? c) ¿Se reducirá mucho la transmisión de colores? Dos trozos de placa de vidrio se mantienen juntos de modo que el espacio de aire entre ellos forma una cuña delgadísima. Una luz con 480 nm de longitud de onda choca perpendicularmente contra la superficie superior y se refleja contra la superficie in ferior del vidrio de arriba y contra la superficie superior del vidrio de abajo, produciendo así una serie de franjas de interfe rencia. ¿Cuánto más gruesa es la cuña de aire en la franja deci mosexta que en la sexta?
10. Un trozo de vidrio perfectamente plano (n = 1.50) se coloca so bre un pedazo de plástico también perfectamente plano (n = 1.20) como se muestra en la figura 41-30«. Los dos se tocan en A. Una luz de 600 nm de longitud de onda incide normalmente desde arriba. La ubicación de las franjas oscuras en la luz refle jada se indica en el bosquejo de la figura 41-30£>. a) ¿Qué espe sor tiene el espacio entre el vidrio y el plástico en B? tí) Se desliza agua (n — 1.33) hasta el interior de la región entre el vi drio y el plástico. ¿Cuantas franjas oscuras se ven una vez que el agua desplaza todo el aire? (Lo recto y el espaciamiento uni forme de las franjas constituyen una prueba exacta de lo plano del vidrio.)
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Vidrio_ 7 7
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4 -1 -3 0 .
Problema 10.
11.,-En el experimento de los anillos de Newton, demuestre a ) que la diferencia de radio entre los anillos vecinos (máximos) está *; dada por Ar = r ,„+1 — r,„ = ¡¡ V\R /m , suponiendo que m » 1; y tí) que el área entre los anillos con tiguos (máximos) está dada por A = -ttáR , suponiendo que m » 1. Nótese que esta área es independien te de m. 12. Obtenga una expresión de la intensidad observada en el interferómetro de Michelson (Fig. 41-20) en función de la posición dci espejo móvil. Mida la posición del espejo desde el punto donde d.l = d,.
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DIFRACCION
a difracción es el doblez o dispersión de las ondas que encuentran un objeto (una barrera o abertura) durante su trayectoria. E n este capítulo estudiam os la difracción de las ondas de luz solam ente, pero es un fe n ó m e n o que se da en to d o s los tipos de ondas. P o r ejemplo, los o b je to s ordinarios difractan las ondas so noras y, en consecuencia, p o d e m o s escuchar los sonidos, aunque quizá no estem os en línea directa con su fu en te. P ara que se realice la difracción, el tam año del objeto debe se r el o r den de la longitud de las on d a s incidentes: cuando la long itu d d e onda es m ucho m en o r que el tam año d el o b jeto , la difracción rara vez se observa y el objeto p ro yecta uncí so m b ra bien definida. Los patrones de difracción son bandas claras y oscuras sem eja n tes a los p atrones de interferencia exp u es tos en el capítulo 41. A l exa m in a r estos patrones, conocem os m ejo r el objeto difractado. Así, la difracción de los rayos X es un m étodo im portante cuando se estudia la estru ctu ra de los sólidos, y la difracción de los rayos gam m a sirve p a ra estu d ia r los núcleos. La difracción tiene efectos indeseables, com o la dispersión de la luz al entrar en la abertura de un telescopio que lim ita la cá pacidad de resolver o de sep a ra r las estrellas que apare cen cercanas entre sí. Vamos a o c u p a m o s de esos efectos en este capítulo y en el siguiente.
4 2 “ 1 LA DIFRACCIÓN Y LA TEORÍA ONDULATORIA DE LA LUZ C uando la luz pasa p o r una abertura estrech a (de ancho sim i lar a su longitud de onda; Fig. 40-1), los haces de luz no sólo brillan m ucho m ás allá de la som bra geom étrica de la rendija, sino que además producen una serie de bandas alternas de luz y de oscuridad parecidas a las franjas de interferencia (Fig. 42-1). En el capítulo 41, señalam os que el aspecto de las franjas de interferencia corrobora la natu raleza ondulatoria de la luz. S e
ñalam os asim ism o que el aspecto de los patrones de difrac ción exige que la luz viaje com o ondas. A u nque la difracción y a se conocía en la época de H uygens y de N ew ton, ellos no pensaban que d icha difracción co n stitu ía una prueba de la naturaleza ondulatoria de la luz. En p articular, N ew ton estaba convencido de que la luz se des p lazaba com o una corriente de partículas. E l ingeniero francés A ugustin Fresnel (1788-1827) fue un gran d efen so r de la teoría ondulatoria. Fresnel explicaba la d ifracció n basándose en esa teoría, que no logró aceptación generalizada, ni siquiera después de que T hom as Young rea-
F s g u r a 4-2-1. Patrón de difracción que se produce cuando la luz pasa por una rendija simple estrecha.
F i g u r a 4 2 - 2 . Patrón de difracción de un disco. Nótese el punto brillante de Poisson en el centro del patrón.
F i g u r a 4 2 - 3 . Patrón de difracción de una hoja de rasurar, vista con luz monocromática. Nótense las franjas de los márgenes.
lizó sus experim entos sobre la interferencia de rendija doble. En 1819 Fersel presentó una ponencia relativa a su teoría de difrac ción en un concurso patrocinado por la A cadem ia Francesa de C iencias. U no de los m iem bros de la academ ia, Sim eon-D enis Poisson (fuerte opositor de la teoría ondulatoria), ridiculizó la teoría de Fresnel porque, com o el propio Poisson demostró, la teoría de la difracción conducía a la “absurda” predicción de que la som bra opaca de u n objeto d ebería tener un punto b ri llante en su centro. E n la figura 42-2 se m uestra el patrón de difracción de un disco: el punto de luz brillante claram ente v i sible en su centro (conocido com o punto de Poisson) apoya la interpretación de Fresnel. En la figura 42-3 vem os el patrón de difracción pro d u ci do cuando un objeto ordinario se ilum ina con luz m o nocro m ática. En realidad, no se necesita un aparato especial p ara observar la difracción. Sostenga dos dedos de m odo que quede una rendija estrecha entre ellos y observe una lám para a través de la rendija. Las líneas oscuras que percibe en ella se deben a la difracción. O tro ejem plo com ún son los “flotadores” que m uchas personas o bservan en su cam po visual. L os flo tad o res son puntos translúcidos o pequeñas cadenas que parecen flotar y deslizarse. Para verlos b asta enfocar el ojo de lejos, m ientras se co n tem p la un trozo b rillantem ente ilum inado de papel blanco. L os pro d u cen las hem atocitos y otros desechos m icroscópicos en el líquido del globo ocular; lo que observa m os es el patrón de difracción en la retina. En la figura 42-4 se describe difracción generalizada. Las superficies c u rv as de la iz q u ie rd a rep re sen tan los fren tes de onda de la luz incidente. L a luz incide sobre el objeto de difrac ción B, que se m uestra en la figura 42-4, com o una barrera opaca que contiene una abertura de form a arbitraria. (M ás tar de, vam os a considerar una abertura que es una rendija sim ple
estrech a; esto o rig in a el patrón de d ifracción de la Fig. 42-1.) C, en la figura 42-4, es una pantalla o película fotográfica que recibe la luz que pasa alrededor del objeto difractante. Para calcular el patrón de intensidad de la luz en la pantalla C, podem os subdividir el frente de onda en áreas elementales d A , cada una de las cuales se convierte en una onda secundaria de H u y g en s de ex p an sió n . L a in ten sid ad de luz en un punto arbitrario se determ in a superponiendo las perturbaciones on dulatorias (es decir, los vectores E ) causadas p o r las ondas se cundarias que llegan a P desde estas fuentes elem entales. L as perturbaciones ondulatorias que arriban a P difieren en su am plitud y en su fase porque 1) las fuentes elem entales se encuentran a distancias variables de P; 2) la onda sale de las fuentes elem entales en varios ángulos con la norm al al frente
F i g u r a 4 2 - 4 , La difracción tiene lugar cuando los frentes de onda coherentes de la luz inciden sobre la barrera opaca B, que contiene una abertura de forma arbitraria. El patrón de difracción puede verse sobre la pantalla C.
de onda, y 3) algunas fuentes son bloqueadas por la barrera B , 00 así otras. Los cálculos de difracción, sim ples en teoría, p u e den ser difíciles en la práctica. D ebem os repetir los cálculos con todos los puntos en la p antalla C donde queram os conocer la intensidad de la luz. E ste m étodo lo seguim os rig u ro sam en te al obtener el patrón de intensidad de rendija doble en la sec ción 41-4. El cálculo fue sencillo porque se supuso que sólo había dos fuentes elem entales: las dos rendijas estrechas. L a figura 42-5 ofrece otra representación de la figura 42-4 por m edio de diagram as de rayos. El patrón que se form a en la pantalla depende de la separación entre la pantalla C y la aber tura B. E n térm inos generales, pueden considerarse tres casos: 1. Separación m uy p equeña. C uando C está m uy cerca B, las ondas recom en una d istancia corta luego de salir de la abertura y los rayos divergen m uy poco. Los efectos de la di-
A ia p a n ta lla D e la
le ja n a
fu e n te . l e ja n a
fracción son insignificantes y el patrón en la p an talla es la som bra geom étrica de la abertura. 2. Separación m uy grande. L a figura 42-5¿z representa la situación cuando la pantalla está tan lejos de la abertura que po dem os considerar paralelos a los rayos o, en form a equivalente, planos a los frentes de onda. (En este caso, además suponem os que la fuente se halla lejos de la abertura, por lo cual los frentes de onda incidentes tam bién son planos. El mism o efecto se lo gra ilum inando la abertura con un láser.) En el laboratorio una form a de crear esta condición, conocida como difracción de Fraunhofer, consiste en emplear dos lentes convergentes, como en la figura 42-5¿>. L a prim er lente convierte en onda plana la luz divergente procedente de la fuente; la segunda enfoca sobre de el punto P las ondas planas que salen de la abertura. Todos los rayos que llegan a P lo hacen paralelam ente a la línea punteada P x trazada desde P a través del centro del segundo lente. 3. Separación interm edia. En el caso p resentado en la fi gura 42-5c, la pantalla puede estar a cualquier distancia de la abertura, y los rayos que entran y salen de ella no son parale los. Al caso general se le llam a difracción de Fresnel. A unque la difracción de F raunhofer es un caso lím ite es p ecial de la difracción de Fresnel m ás general, co nstituye un caso im portante y es m ás fácil de m anejar en form a m atem á tica. S upusim os la difracción de Fraunhofer al an alizar la in terferencia de rendija doble en el capítulo 41. E n este libro nos o cupam os exclusivam ente de la difracción de Fraunhofe.
'-! Á ■: 10415 D E R E N D IJA SIM P L E El patrón de difracción m ás fácil de analizar es el creado por una rendija larga y estrecha. En esta sección tratam os la ubica ción de los m ínim os y m áxim os en el patrón, com o se m ues tra en la figura 42-1. En la siguiente sección calculam os la intensidad del patrón en función de la posición en la pantalla. La figura 42-6 contiene una onda plana que llega en la in cidencia norm al sobre una rendija de ancho a. C onsiderem os prim ero el punto central P Q. Los rayos que salen de la rendi ja paralelos al eje central horizontal son enfocados en P 0.
O nda i n c id e n t e
F i g u r a 4 2 - 3 . Una luz de la fuente puntual S ilumina una rendija en la barrera opaca B. La rendija se extiende una larga distancia arriba y debajo del plano de la figura; esta distancia es mucho mayor que el ancho a de la rendija. La intensidad en el punto P de la pantalla C depende de las fases relativas de la luz recibida de diversas partes de la rendija, a) Si movemos la fuente S y la pantalla C grandes distancias desde la rendija, tanto la luz incidente como la emergente en B consistirán de rayos casi paralelos, b) En vez de utilizar grandes distancias, la fuente y la pantalla puede colocarse en el plano focal de una lente; una vez más, los rayos luminosos paralelos entran de la rendija y salen de ella, c) Los rayos no son paralelos sin la lente.
;. C o n d ic io n e s en e l m á x im o c e n tr a l d e l p a tró n d e
difracción.
C iertam ente estos rayos se h allan en fase en el p lan o de la rendija y perm anecen en esta fase cuando la lente las pone en fo c o (véase, p o r e je m p lo , la F ig . 40-21*3). C o m o todos los rayos que llegan a P Q están en fase, interfieren constructiva m ente y originan un m áx im o de inten sid ad en P Q. A continuación consideram os otro punto de la pantalla. Los rayos lum inosos que arriban a P x, en la figura 42-7, salen de la rendija en el ángulo 6 com o se indica. Sin desviarse, el rayo xP x pasa por el centro de la lente y, en consecuencia, determ ina 61 El rayo r x se origina en la parte superior de la rendija y el rayo rn en su centro. Si escogem os 9 de m odo que la distancia bb' en la figura sea m edia longitud de onda, rx y r2 estarán fuera de fase e interferirán destructivam ente'en P v Lo m ism o sucede con un rayo justo debajo de rx y con otro tam bién ju sto debajo de r2. D e hecho, por cada rayo que cruce la m itad superior de la rendija hay otro que atraviesa la m itad inferior, originándose en el pun to a /2 debajo del prim ero de m odo que los dos están fuera de fase en P x. Cada rayo que llega P x desde la m itad superior de la rendija interfiere destructivam ente con el que proviene de la m i tad inferior de la rendija. A sí pues, la intensidad en P x es cero, y P x el prim er m ínim o del patrón de difracción. Puesto que la distancia b b ' es igual a ( a /2 ) sen 6, la con dición para el p rim er m ín im o p uede escribirse
o a sen 9 = A.
(42-1)
La ecuación, 42-1 m uestra que el m áxim o central se amplía a m edida que estrecham os la rendija. Si el ancho es tan pequeño com o una longitud de onda (a = A), el prim er m ínim o ocurre en 9 = 90° (sen 9 = 1 en la Ec. 4 2 - 1 ) ; esto significa que el m áximo central llena por com pleto el hem isferio posterior a la rendija. Supusim os una condición que se aproxim a a ésta al hablar de la interferencia de rendija doble en la sección 4 1 - 2 . E n la figura 42-8 se divide la ren d ija en cuatro zonas iguales; un rayo sale de la parte su perior de cada una. E scoja m os 9 de m odo que la d istancia bb' sea m edia longitud de on da. L os rayos r x y r0 se can celan entonces en P 7. L os rayos r3 y r4 tam bién están m ed ia lon g itu d de onda fuera de fase y se
F i g u r a 4 2 - 8 . Condiciones en el segundo mínimo del patrón de difracción. El ángulo 9 es tal que la distancia bb' es media longitud de onda.
cancelan. C o n sid erem o s otros cuatro rayos que surgen de la ren d ija a cierta d istan cia debajo de los cuatro anteriores. Los dos rayos debajo de r x y r 7 se cancelan, lo m ism o que los de bajo de r 3 y r 4. P odem os avanzar por la rendija entera y con cluir o tra vez que no llega luz a P 7; hem os localizado un segundo punto de in ten sid ad cero. L a condición de la interferencia destructiva exige que b b ' , que es ( a /4 ) sen 9 según la geom etría de la figura 42-8, debe ser ~ A y p o r ello
o bien a sen 0 = 2 A.
C on d eterm inado ancho de rendija a y longitud de onda A, la ecuación 42-2 da la p o sició n que en la pantalla ocupa el se gundo m ínim o en fun ció n del ángulo 9. P or ex tensión de las ecuaciones 42-1 y 42-2, la fórm ula general de los m ínim os en el p atró n de difracción sobre la p an talla C es a s e n © = mX
O nda in c id e n t e
(42-2)
O nda d ifra c ta d a
m — ± 1 , ± 2 , ± 3 , . . . (m ínim os). (42-3)
H ay un m áxim o aproxim adam ente a la m itad entre cada par de m ínim os adyacentes. M ás adelante en el capítulo obtendrem os una fórm ula para la intensidad de la luz difractada, en que la ubicación de los m áxim os puede localizarse con exactitud. N ó tese que la ecuación 42-3 indica dos m ínim os (y sus m áxim os correspondientes) en cada nv. uno en un ángulo 9 arriba del eje central y el otro debajo (correspondiente a m < 0). A l obtener la ecuación 42-3, observe cóm o la suposición de rayos parale los (difracción de Fraunhofer) h a sim plificado el análisis. R e s u e l t o 4 2 -1 . Una iuz blanca ilumina una rendi ja de ancho a. ¿Con qué valor de a el primer mínimo de la luz roja (A = 650 nm) incide en Q = 15o?
.P so slem a
Condiciones en el primer mínimo del patrón de difracción. El ángulo 9 es tal que la distancia bb' es media longitud de onda. F
ig u r a
42^7.
Solución En el primer mínimo, m ~ 1 en la ecuación 42-3. Al re solver para a obtenemos _ m k _ (l)(650nm ) sen # sen 15° = 2 510 nm = 2.51 ¡j,m. Para que la luz incidente se esparza a ese ángulo (±15°), la rendija deberá ser muy estrecha y equivale aproximadamente a cuatro veces la longitud de onda (y mucho más pequeña que un cabello humano delgado, que puede medir apenas 100 /xm de diámetro). P roblema R esuelto 4 2 - 2 . En el problema resuelto 42-1, ¿cuál es la longitud de onda A' de la luz cuyo primer máximo de di fracción (sin contar el central) incide a 15°, coincidiendo así con el primer mínimo de la luz roja?
Solución El máximo ocurre aproximadamente a la mitad entre los mínimos; hay, pues, un máximo en 15° cuando el primer mínimo se encuentra a 10° y el segundo a 20°. En este caso, con el segundo mí nimo, asen 8 = 2A \ o bien A' = \ {2 510 nm)(sen20°) = 430 nm. La luz de esta longitud de onda es violeta. El segundo máximo de la luz de 430 nm de longitud de onda siempre coincide con el primer mínimo en la luz de 650 nm de longitud de onda, sin importar el ancho de la rendija. Si ésta es relativamente estrecha, el ángulo 8 donde ocurre la superposición es bastante grande y viceversa.
B Onda incidente
C Onda difractada
F i g u r a 4 2 - 9 . Una rendija de ancho a está dividida en N tiras de ancho Sx. La inserción muestra más claramente las condiciones de la segunda tira. En el límite diferencial, el ancho dx de cada tira se vuelve infinitesimalmente pequeño, y el número de tiras, infinitamente grande. En esta figura y en la siguiente suponemos que N = 18 para hacerlas más claras.
1Si el ángulo 8 no es dem asiado grande, una tira genera una onda de la m ism a am plitud 8EQen P. El efecto neto aquí se de # 2 - 3 IN TEN SID A D EN LA be a la superposición de N vectores de igual am plitud, cuya fa se difiere A<¿> del siguiente. Para obtener la intensidad en P, se D IF R A C C IÓ N D E R E N D IJA S IM P L E calcula prim ero el campo eléctrico neto de los N vectores. E n la ecuación 42-2 localizam os la posición de los m ín im o s ■ E n la sección 41-4 describim os el m étodo g ráfico m e en un patrón de difracción de una rendija. A hora querem os en diante el cual se sum an las perturbaciones ondulatorias que contrar u n a expresión de la intensidad del patrón entero en fu n -v nos p erm itiero n calcular la intensidad en la in terferen cia de ción del ángulo de difracción 8. E sta expresión nos perm itirá ren d ija doble. E s un m étodo que consiste en representar cada hallar la ubicación y la in tensidad de los m áxim os. A ntes de p ertu rb ació n com o un fasor (un vector giratorio) y calcu lar la efectuar el cálculo, vam os a exam inar algunas conclusiones am plitud resultante de dicho fasor con la adición vectorial, te cualitativas concernientes a los m áxim os y m ínim os. niendo en cuen ta la fase relativa dada p o r la ecuación 42-4. El E n la figura 42-9 se m uestra una ren d ija de ancho a d iv i cam po eléctrico resultante E e varía con 8 porque la diferencia dida en N tiras paralelas, cad a un a con un ancho Sx. L as tiras de fase A<£ v aría con 8. son m uy estrechas, por lo cual pueden considerarse un em isor Veamos ahora algunos ejem plos de la adición de fasores en de las ondas secundarias de H uygens; la luz p rocedente de una difracción de rendija simple. Prim ero consideram os el cam una de estas tiras llega al punto P con la m ism a fase. Las ondas po eléctrico resultante en el punto P 0 (el centro del patrón de que arriban al punto P desde cu alquier par de tiras ad y acen d ifracció n en la pantalla). E n este caso, 8 — 0 y la ecuación tes presentan la m ism a diferencia de fase (constante) A<£, que 4 2 -4 d a A<£ = 0 com o diferencia de fase entre tiras ad y acen puede obtenerse a partir de tes. D e acuerdo con el m étodo de la sección 41-4, ponem os después N vectores de longitud SEQ cabeza con cola y p arale diferencia de fase _ diferencia de trayectoria los entre sí (A<£ = 0). L a resultante E 0 se m uestra en la figura 2 77 ~ A 42-10«. Es claram ente el valor m áxim o que puede adoptar la o de resultante de estos N vectores; así que los designam os E m. 277 A l alejam os de 8 — 0, la diferencia de fase A ó adopta un A ó = —— <5xsen0, (42-4) claro valor no cero. Una vez más colocamos N vectores cabeza con cola, cuya dirección difiere A<¿, respecto al anterior; obte donde Sx sen 8, com o se observa en el detalle de la figura 42-9, nem os así la resultante que se observa en la figura 42-106. N ó es la diferencia de trayectoria de los rayos que se o riginan en tese que E 0 es m ás pequeño que en la figura 4 2 -10a. los punios correspondientes de las tiras adyacentes.
Eg(. = Em) I---------------> -----------------------------------------E> à) SEfí
tiras es tam bién m uy grande. Entonces, la cadena de fasores de la figura 42-106 se acerca al arco de un círculo, com o se traza en la figura 42-11. L a longitud del arco es E m, y la am plitud que buscam os para el cam po resultante está indicada p o r la cuerda E e . E l ángulo cf>es la diferencia total de fase entre los rayos emi tidos de la parte superior e inferior de la tira; com o se describe en la figura 42-11,
b)
8
2
D e acu erd o con la figura 42-11,
h tL R
A l c o m b in ar p ara elim inar R , se obtiene _ Em E >= w
4> T
se n a
(42-5)
donde d) F i g u r a 4 2 - 1 0 . Fasores en una difracción de rendija simple, que muestra las condiciones en a) el máximo central, b) una dirección ligeramente alejada del máximo central, c) el primer mínimo y d) el primer máximo más allá del máximo central. La figura corresponde a N = 18 en la figura 42-9.
A p a rtir de la figura 42-9, y recordando que ó es la dife ren cia de fase entre los rayos procedentes de las partes supe rio r e in ferio r de la ren d ija y que la diferencia de trayectoria en ellos es a sen 8, tenem os diferen cia de fase
A continuación consideram os el prim er m ínim o del patrón de difracción (punto P x en la Fig. 42-7). En este punto la in tensidad es cero y, p o r eso, tam bién debe serlo la resultante E e . Ello significa que los N fasores, puestos cabeza con cola, deben form ar una espira cerrada com o se ve en la figura 4 2 -10c. M ás allá del p rim er m ínim o, el cam bio de fase A ó es to davía m ayor y la cad en a de vectores se enrolla form ando un ángulo de m ás de 360°. E n cierto ángulo (correspondiente a determ inado cam bio de fase según se observa en la Fig. 42lO ri), la resultante E e alcanza su m áxim a longitud dentro de esta espira, correspondiente al p rim er m áxim o m ás allá del central. N ótese que la in ten sid ad de este m áxim o es m ucho m enor que la del m áxim o cen tral representado en la figura 4 2 -10a. C on el tiem po la espira se cierra sobre sí m ism a, dan do una resu ltan te cero y corresp o n d ien te al segundo m ínim o.
(42-6)
2
d iferencia de trayectoria A
o bien (a s e n 8).
Cálculo de la In tensidad A hora vam os a calcu lar la inten sid ad en cualquier lugar 8 de la pantalla. El m étodo con que obtendrem os la intensidad del patrón de difracción de ren d ija sim ple con cualquier 6 consis te en evaluar el cam bio de fase conform e a la ecuación 42-4 y encontrar la resultante E$, com o en la figura 42-106. El cua drado de esta resultante nos d a entonces la intensidad relati va, com o en la sección 41-4. L a luz que llega a P desde una tira estará en fase sólo si es ta últim a es infinitesim alm ente pequeña y si el núm ero de estas
Y lxtV '
F i g u r a 4 2 - 1 1 . Construcción con la cual se calcula la intensidad en la difracción de rendija simple. La situación corresponde a la de la figura 42-106.
La com binación con la ecuación 42-6 nos da ó
ira a = = ------ sen 6. 2 A
(42-7)
L a ecuación 42-5, con a evaluada conform e a la ecuación 42-7, da la am plitud de la perturbación ondulatoria en un p a trón de difracción de rendija sim ple con cu alquier ángulo 6. La intensidad I g del patrón es proporcional al cuadrado de la am plitud; así que sen a ,
„ (42-8)
La ecuación anterior, com binada con la ecuación 42-7, nos dan el resultado que buscam os para la intensidad del patrón de difracción de rendija sim ple en un ángulo 6 cualquiera. L a figura 42-12 contiene las gráficas de la intensidad relativa I e/ I m con diversos valores de la razón a /Á . N ótese que el p a trón se estrecha m ás a m edida que increm entam os a / A. L os m ínim os ocurren, en la ecuación 42-8, cuando el sen a = 0, o sea a = rm r
m = ±1, ±2, ±3, . . . .
(42-9)
Al com binar la expresión anterior con la ecuación 42-7, obte nem os a s e n # = mA
m = ± 1, ± 2 , ± 3 , . . . (m ínim os),
0.8
0.4
-10
-5
sen {m + j) i (.m + j)77 que se reduce a A L
(m + A2 -rr
Con ello obtenemos I e/ l m = 0.045 (m = 1), 0.016 (m = 2), 0.0083 (m = 3) y así sucesivamente. La intensidad de los máximos sucesi vos disminuye rápidamente.
ax J ' 0
6
con un resultado similar cuando m < 0. La sustitución en la ecua ción 42-8 produce
sen ax \ 2
0.2 -15
Solución Los máximos se hallan más o menos a la mitad entre los mínimos y están dados aproximadamente por (Prob. 3) (m + A t 1, 2,
Solución El punto x en la figura 42-12¿ se escoge de modo que I g = ^ / m o, con base en la ecuación 42-8,
0.6
-20
P r o b l e m a R e s u e l t o 4 2 - 3 . Calcule aproximadamente las in tensidades relativas de los máximos en un patrón de difracción de Fraunhofer de rendija simple.
P r o b l e m a R e s u e l t o 4 2 - 4 . Determine el ancho A# del máxi mo central en una difracción de Fraunhofer de rendija simple (Fig. 42-12b). El ancho puede representarse como el ángulo entre dos puntos en el patrón donde la intensidad es la mitad de la del centro del patrón.
l.O
á)
que es el resultado obtenido de la sección anterior (Ec. 42-3). S in em bargo, en ella obtuvim os sólo este resultado sin que o b tu v iéram o s info rm ació n cu an titativ a sobre la in tensidad del patró n de difracción en sitios donde no era cero. A quí, (Ec. 42-8) contam os con inform ación com pleta referente a la intensidad.
(grados) 1.0
5
10
15
20
La ecuación anterior no puede resolverse analíticamente para a . Con una calculadora o computadora puede conseguirse una solución apro ximada con la exactitud deseada. Reescribamos la ecuación como a r = v/isen a x.
b)
6
(grados) 1.0
c)
6
(grados)
F i g u r a 4 2 - 1 2 . Distribución de intensidades en una difracción de rendija simple con tres valores de la razón a/Á. Cuanto más ancha sea la rendija, más estrecho será el pico de la difracción central. Como se indica en b), Ad ofrece una medida del ancho del pico.
(42-10)
Introducimos el modo “radián” si queremos obtener la solución por medio de una calculadora. Se escoge un valor inicial cualquiera de ax, digamos, ax = 1. Se pone este valor en el lado derecho de la ecua ción 42-10, se resuelve y nos da 1.19. La ecuación 42-10 exige que es te valor sea igual a a x, que claramente no es (1 =4 1. 19). Se toma 1.19 como el nuevo valor tentativo y una vez más se evalúa el lado derecho, dándonos 1.31. Todavía no logramos una solución que satisfaga la ecuación 42-10 (1.19 # 1.31), pero estamos más cerca que en el pri mer intento. Continúe en esta forma: utilice el resultado de un cálculo como punto inicial del siguiente hasta que la diferencia entre el valor calculado del lado derecho de la ecuación 42-10 y el valor inicial sea tan pequeña como desee usted. (Esto puede incorporarse en un progra ma de calculadora o de computadora y hacer que realice automática mente las repeticiones. También puede hacer que se detenga cuando la diferencia entre los valores sucesivos alcanza un valor menor al límite fijado.) A este método se le llama técnica iterativa de la solución de ecuaciones. Al cabo de 10 iteraciones el resultado será a v = 1.39156, y las iteraciones adicionales cambian sólo el quinto lugar decimal. Al introducir este valor en la ecuación 42-7 (y al hacer a = 5A, co-
mo en la Fig. 42-126), obtenemos = sen
ax A = sen ~a /
\ 5i
= 5.1°.
Entonces el ancho de la curva se obtiene por medio de A <9 = 20,. = 10.2°.
4 2 = 4 D IF R A C C IÓ N EN UNA A B ER TU R A C IR C U L A R Al enfocar un a im agen, una lente deja pasar sólo la luz que cae dentro de su p erím etro circular. D esde este punto de vis ta, se com porta co m o una abertura circular en una pantalla opaca. L a ap ertu ra g en era un patró n de difracción parecido al de una rendija sim ple. C on frecuencia, los efectos de la di fracción lim itan la cap acid ad de los telescopios y de otros in s trum entos ópticos p a ra fo rm a r im ágenes precisas. L a im agen cread a p o r un a lente puede distorsionarse a causa de otros efectos, entre ellos las aberraciones crom áticas y esféricas. L o s efectos se atenúan de m odo considerable o se elim inan config u rán d o lo ad ecuadam ente o introduciendo ele m entos correctivos en el sistem a óptico. Pero p o r ingenioso que sea el diseño no es p o sib le elim inar los efectos de la d i fracción, que dep en d en sólo del tam año de la abertura (diá m etro de la lente) y de la longitud de onda de la luz. E n la difracción, la natu raleza im pone una lim itación fundam ental a la precisión d e lo s instru m en tos. Cuando utilizam os la óptica geom étrica para analizar las lentes, suponem os que no ocurre difracción. N o obstante, se tra ta de una aproxim ación, pues es el lím ite de la óptica ondulato ria. Si quisiésem os efectuar un análisis riguroso de este tipo
sobre la form ación de un a im agen por una lente, descubriríamos que los efectos de la difracción ocurren de m odo espontáneo. L a fig u ra 42-13 m u estra la im agen de un a fuente puntual lejan a de luz (una estrella) que se form ó en una película foto gráfica colocada en el plano focal de la lente convergente de un telescopio. N o es un p unto com o sugiere el tratam iento óp tico g eom étrico (aproxim ado), sino un disco circular rodeado de varios anillos secundarios g radualm ente m ás débiles. La co m p aració n con la figura 42-1 nos co rrobora que nos halla m os ante un fen ó m en o de difracción. El análisis m atem ático de la difracción causada por una ab ertu ra circular, el cual reb asa el ám bito de este libro, indica que (en las condiciones de Fraunhofer) el p rim er m ínim o ocu rre en un ángulo del eje central dado por sen 6 = 1 .2 2 ’
A (42-11)
d o n d e d es el diám etro de la abertura. H ay que com parar la ex p resió n anterior con la ecuación 42-1, A sen Q = — , a que lo caliza el p rim er m ínim o de una rendija de ancho a. Es tas expresiones difieren en un facto r 1.22, que se presentan cuan d o dividim os la abertura circu lar en fuentes elem entales de H u y gen s e integram os en dicha abertura. E l hech o de que las im ágenes creadas p o r la lente sean patrones de difracción es im portante cuando querem os distin guir dos objetos p untuales d istintos, cuya separación angular es pequeña. En la figura 42-14 se aprecian los aspectos visua les y los patrones correspondientes de intensidad de dos objetos p u n tu ales lejanos (estrellas p o r ejem plo), con pequeña sepa ració n ang u lar e intensidad central m ás o m enos igual. En la fig u ra 4 2-14« los objetos no se resuelven, es decir, no pueden distin gu irse uno del otro. E stán apenas resueltos en la figura 42-146, y to talm ente resueltos en la figura 4 2 -14c. E n la fig u ra 42-146, la separación angular de dos fuentes p u n tu ales es tal que el m áxim o central del patrón de difrac ción de una fuente incide en el p rim er m áxim o del patrón del otro. A esto se le conoce com o criterio de R ayleigh, el cual sirve p ara resolver im ágenes. D e acuerdo con la figura 42-11, dos objetos apenas resolvibles con dicho criterio deben tener una sep aració n ang u lar 0K de = sen
1.22A \
d r D ad o que los ángulos son b astante pequeños, podem os reem p lazar sen 0R por 0R; así que
F i g u r a 4 2 - 1 3 . Patrón de difracción de una abertura circular. El máximo central recibe a veces el nombre de disco de Airy (en honor de Sir George Airy, quien fue el primero en resolver en 1835 el problema de la difracción causada por una abertura circular). Nótense los máximos circulares secundarios.
0R = 1.22 — , (42-12) d d onde 0R se expresa en radianes. Si la separación anular C en tre los objetos es m ayor que 0R, podem os reso lv er los dos ob jeto s, si es m enor, no podem os hacerlo. E l ángulo 0R es la m en o r sep aración en que es posib le la resolución, aplicando el criterio de R ayleigh. C uando querem os u tilizar un a lente p ara resolver objetos de p eq u eñ a separación angular, conviene h acer lo m ás peque
F i g u r a 4 2 - 1 4 . Imágenes de dos fuentes puntuales lejanas (estrellas) formadas por una lente convergente. El diámetro de la lente (que es la abertura de difracción) mide 10 cm, por lo cual a/X = 200,000 si la longitud de onda efectiva es de 500 nm aproximadamente. En d) las estrellas están tan cerca una de otra que sus imágenes apenas se distinguen, debido a la superposición de sus patrones de difracción. En b) las estrellas están más lejos una de otra y su separación cumple con los criterios de Rayleigh para resolver sus imágenes. En c) están todavía más separadas y sus imágenes se resuelven bien. Debajo de las imágenes se incluyen gráficas de las intensidades.
ño posible el disco central del patrón de difracción. Se consigue (Ec. 42-12) acrecentando el diám etro de la lente o em pleando una longitud de onda m ás corta. E ntre otras razones, se co n s truyen telescopios grandes para obtener im ágenes m ás nítidas que nos perm itan exam inar los objetos astronóm icos con m a yor detalle. Las im ágenes son, además, m ás brillantes no sólo porque la energía se concentra en un disco m enor de difrac ción, sino porque u n a lente de m ayor tam año capta m ás luz. Así. es posible percibir los objetos m ás tenues, entre ellos las galaxias distantes. C uando querem os am inorar los efectos que la difracción tiene en los m icroscopios, a m enudo nos servim os de la luz ul travioleta porque gracias a su m enor longitud de onda perm ite exam inar m ejor los detalles finos que con luz visible. En el ca pítulo 46 verem os que los haces de electrones se com portan como ondas en algunas circunstancias. En el microscopio electrónico tales haces tienen, a veces, una longitud de onda efectiva de 4 X 10~3 nm, aproxim adam ente 105 veces m ás cor ta que la de la luz visible. G racias a ello pueden analizarse los objetos dim inutos com o las bacterias o los virus (Fig. 42-15).
Si un objeto pequeño se exam inara con un m icroscopio óptico, la difracción cancelaría irrem ediablem ente su estructura. P r o b l e m a R e s u e l t o 4 2 - 5 . Una lente convergente de 32 mm de diámetro tiene una longitud fo cal/d e 24 cm. a) ¿Qué separación angular deben tener dos objetos puntuales lejanos para cumplir con el criterio de Rayleigh? Suponga que A = 5.50 nm. b) ¿A qué dis tancia se hallan los centros de los patrones de difracción en el plano focal de la lente?
Solución a) Conforme a la ecuación 42-12, A
(1.22)(550 X 10 " 9 m) 32 x 1CT3 m = 2.10 X ÍO-3 rad = 4.3 are segundos.
b) La separación lineal es Av = fe R = (0.24 m )(2.(0 X KT5 rad) = 5.0 /xrn, o unas 9 longitudes de onda de la luz.
C O M B IN A C IO N D E IN T E R F E R E N C IA Y D IFR A C C IÓ N D E R E N D IJA D O B L E
F i g u r a 4 2 - 1 5 . Imagen de una cadena de estreptococos (diámetro 10-6 m), obtenida con un microscopio electrónico. Obsérvese la nitidez de la imagen, que no sena posible usando luz visible.
A l analizar la interferencia de rendija doble (Sec. 41-2) supusi m os que las rendijas son arbitrariam ente estrechas, esto es, que a « A. En ellas, la parte central de la pantalla sobre la que cae la luz está ilum inada uniform em ente p or ondas difractadas p ro venientes de cada rendija. C uando las ondas interfieren, produ cen franjas de interferencia con intensidad uniforme. E n la práctica, rara vez se cum ple la condición a « A con la luz visible. En esas rendijas relativam ente anchas, la intensidad de los franjas de interferencia .formadas en la p an talla no es uniform e. P o r el contrario, varía con la envolvente causada p o r el patrón de difracción de una rendija simple.
F i g u r a 4 2 - 1 6 . a) Franjas de interferencia en un sistema de rendija doble donde el ancho de ella no es insignificante comparado con la longitud de onda, b) Patrón de difracción de una rendija simple del mismo ancho. Adviértase que el patrón de difracción modula la intensidad de los franjas de interferencia, como se aprecia en la parte a).
E l efecto de la d ifracción en un patrón de in terferencia de rendija doble se ilustra en la figura 42-16, donde se com para es te patrón con el patró n d e d ifracción ocasionado p o r una ren dija sim ple del m ism o ancho que las rendijas dobles. E n la figura 4 2 -16a se observa que la difracción, efectivam ente, ofrece una envolvente de in tensidad a las franjas de in terfe rencia de ren d ija doble m enos espaciados. A nalicem os ahora el patrón de interferencia y de difrac ción com binado descrito en la fig u ra 4 2 -16a. E l p atrón de dos rendijas in finitesim alm ente estrechas se da en la ecuación 411 3 ,o con un pequeño cam bio de la notación, L m eo s2 ¡3,
(42-13)
donde ird £
~A
• sen 8,
franjas. E n la sección 41-2, donde supusim os a « A, la energía disponible era p rácticam ente la m ism a en todos los puntos de la pantalla; así que las franjas de interferencia te nían tam b ién prácticam ente la m ism a in tensidad (Fig. 41-9). Si flexibilizam os la suposición de que a « A, dicha energía no será u n iform e en toda la pantalla, sino que estará dada por el p atrón de difracción de una rendija con ancho a. E n este ca so, las franjas de interferencia tienen intensidades dependientes de la inten sid ad del patrón de difracción en una franja deter m inada. L a ecuación 42-17 es la expresión m atem ática de es te razonam iento. E sto se m uestra con perfecta claridad en la figura 42-17, la cual m u estra a) el “factor de interferencia” de la ecu ació n 42-17 (es decir, el facto r eos2 /3), b) el “factor de d ifracció n ” (sen a / cr) y c) su producto.
(42-14)
donde d es la distancia entre las líneas centrales de las rendijas. La intensidad de la onda difractada en las rendijas está dada por la ecuación 42-8 o, una vez m ás, con un ligero cam bio de la notación, Ac
s e n a \-
7,m , d i f
(42-15) -2 0
-1 5
-1 0
-5
a)
donde A
- sen 8.
(42-16)
: I
O btenem os el efecto com binado al considerar 7m int en la ecuación 42-13 com o una am plitud variable dada por 70dif de la ecuación 42-15. En el patrón com binado tal suposición nos da I e = 7m(cos ¿3)2
sen a
"
i'"
| ! !
(42-17)
-20
15
20
y
-15
-10
-5
0
5
! ! ... ! ’ ¡ i
10
15
20
10
15
20
e (g ra d o s)
20 c)
10
5
| x" N i ! / 5 \ i \ i; _........ ;1_. / 0G3> .......\ TCJO / K C cO í\ ! / c i v i
b) donde hem os suprim ido todos los subíndices que se refieren por separado, a la interferencia y a la difracción. M ás adelan te, en esta sección, obtendrem os el resultado anterior por m e dio de fasores. E xpresem os este resultado en palabras: en cualquier p u n to de la pantalla, la inten sid ad disponible de la luz provenien te de cada rendija, tom ada por separado, está dada por el patrón de difracción de esa rendija (Ec. 42-15). Los patrones de difracción de las dos rendijas, una vez m ás consideradas por separado, coinciden porque los rayos paralelos en la di fracción de F rau n h o fer están enfocados en el m ism o punto. Interfieren ya que las dos ondas difractadas son coherentes. El efecto de la interferencia consiste en redistribuir la energía disponible en la pantalla, produciendo una serie de
0 8 (g ra d o s)
-10
á
0
%
8 (g rad o s)
F i g u r a 4 2 - 1 7 . a ) Franjas de interferencia que serían producidos por una rendija doble de anchos estrechos desvanecentes. tí) Patrón de difracción de una rendija de ancho finito, c) Patrón de franjas de interferencia creado por dos rendijas del mismo ancho que el de tí). El patrón equivale al producto de las curvas que aparecen en a) y en b). Compare esta figura con la figura 42-16a.
L a figura 42-18 es una g ráfica de la inten sid ad relativa I g/ I m dada por la ecuación 42-17 con d = 50A y con tres va lores de a/A . M uestra m uy claram ente que p ara las rendijas estrechas (a = A) las franjas p resentan u n a intensidad casi uniforme. A m edida que las rendijas se ensanchan, la intensidad de las franjas es m uy m odulada p o r el “facto r de d ifracción” en la ecuación 42-17, es decir, p o r el facto r (sen a / a ) 2; co m pare esto con la figura 42-12. Si reducim os el ancho a de la rendija, la envolvente del patrón de franjas se ensancha y el pico central se esparce (com pare las Figs. 4 2 - 1 8 a y 4 2 - 1 8 6 ) . A m ed id a que el ancho a se aproxim a a cero, a - * O y sen a / a —¡►1. A sí, pues, la ecuación 4 2 - 1 7 se convierte en la ecuación 4 2 - 1 3 ; ésta descri be la interferencia a causa del d esvanecim iento de un p ar de rendijas estrechas. Si dejam os que su separación d se aproxi m e a cero, se fusionan en una sola ren d ija de ancho a. Según la ecuación 4 2 - 1 4 , /3 — ► 0 com o d — * 0 , y la ecuación 4 2 - 1 7 se convierte en la ecuación 4 2 - 1 5 , la de d ifracción p ara una rendija sim ple de ancho a. Si aum entam os el ancho a, la envolvente del patrón de franjas se estrecha más y el pico central aparece m ás pronuncia do (com pare las Figs. 42-186 y 4 2 -18c). N o cam bia la separa ción entre las franjas, que depende de d /Á . Si aum entam os la
separación d de las rendijas, las franjas se acercarán m ás una a otra, no así la envolvente de su patrón que depende de a/Á . Si agrandam os la longitud de onda de la luz incidente, se ensanchan tanto el patrón de difracción com o el patrón de in terferencia: la envolvente de difracción se ensancha más y aum enta la separación de las franjas. Se da el efecto inverso cuando dism inuim os la longitud de onda. D icho con otras pa labras, la relación entre la envolvente de difracción y las fran ja s de interferencia (por ejem plo, el núm ero de franjas en el pico central) depende de la razón d /a y es independiente de A. E l patrón de doble rendija ilustrado en la figura 42-17 com bina estrecham ente la interferencia y la difracción. Am bas son efectos de superposición que se producen al sum ar las perturba ciones ondulatorias en un punto determinado, teniendo debida m ente en cuenta las diferencias de fase. Al efecto se le llam a interferencia cuando querem os com binar las ondas procedentes de un núm ero fin ito (casi siempre pequeño) de emisores cohe rentes elem entales com o en la rendija doble. Y se le llam a di fracción, cuando hay que combinar las ondas que se obtienen subdividiendo una en emisores infinitesimales coherentes como en el tratam iento de una rendija simple. L a distinción entre in terferencia y difracción es adecuada y útil. Sin embargo, no de bería hacem os perder de vista el hecho de que se trata de efectos de superposición y que con frecuencia ocurren sim ultáneam en te, com o en el experim ento de rendija doble.
L0_
TI
te n
. -15
ñ
!= X
P r o b l e m a R e s u e l t o 4 2 - 6 . En un experimento de rendija do ble, la distancia D entre la pantalla y las rendijas es de 52 cm; la lon gitud de onda A, 480 nm; la separación de rendijas d, 0.12 mm, y el ancho a de rendija, 0.025 mm. a) ¿Qué espaciamiento existe entre las franjas contiguas? b) ¿Qué distancia hay entre el máximo central, y el primer mínimo de la envolvente de franjas?
IX
I \! j \J -5
-10
a)
0
5
10
15
e (grados)
Solución a) El patrón de intensidad está dado por la ecuación 4217; el espaciamiento de franjas depende del factor de interferencia eos2 /3. Con base en la ecuación 41-4 tenemos
1.0
Y
Av =
\
k
-4 m -1 0
sen 6 \k.
-5
b)
0
5
10
\ 15
6 (grados)
y
4
^ -15
c)
4 -10
t\
7 V ,
í
/íl TAI 1 ir! \\\\
-5
i
0
5
! | a =
k ..
10
0 .1 2 X 1 0 -3 m
2.1 m m .
10 A. ■
-7*a 7 \ í7Y> 15
e (grados)
F i g u r a 4 2 - i 8 . Franjas de interferencia en una rendija doble con una separación d = 50A. Se muestran tres anchos de rendija.
A - 480 X 10~9 m T ~ 25 X 10~6 m
0.0192.
El resultado es tan pequeño que, con un poco de error, podemos ha cer sen 9 = tan 9 y, por tanto,
1.0 S \
/ cu.: % > : \ / co h o T3 \ CO 33* \ c S £ ''
X 10~9 m)(52 X l O ^ m )
b) La posición angular del primer mínimo se deduce de la ecuación 42-1, o sea
5\
17/ \l 1/ -15
AD _ (480 ~d
= D tan 6 = 10 mm.
~
D señé*
=
(52
X
10- - m)(0.0192)
El lector puede demostrar que hay unas 9 franjas en el pico central de la envolvente de difracción. P r o b l e m a R e s u e l t o 4 2 - 7 . ¿Qué requisitos deben reunirse pa ra que el máximo central de la envolvente de un patrón de interfe rencia de rendija doble contenga exactamente 11 franjas?
Solución La condición requerida se cumplirá si el sexto mínimo del factor de interferencia (eos2 f3 en la Ec. 42-17) coincide con el pri mer mínimo del factor de difracción [(sen a /a )2 en la Ec. 42-17],
El sexto mínimo del factor de interferencia ocurre cuando d sen g = ÜA en la ecuación 41-2, esto es, J0 = (11/2)77
en la ecuación 42-14. El primer mínimo en el término de difracción ocurre con a sen 8 = A (Ec. 42-1), o sea en la ecuación 42-16. Al dividir las ecuaciones 42-14 y 42-16 se ob tiene ¡3/a = d/a , de ahí que d _ 11 a 2 Dicho de otra manera, la separación d entre rendijas debe ser 11/2 veces el ancho a de la rendija. Esta condición se basa exclusivamen te en la razón de la separación d a ancho a, y de ninguna manera en la longitud de onda. Con una A más grande, el patrón es más ancho que con una A más pequeña, pero siempre hay 11 franjas en el pico central de la envolvente.
^M ención p o r fasores en la ecuación 42-17 L a fig u ra 4 2 -1 9 m u e stra la g e o m e tría a p ro p iad a p ara a n a li zar las rendijas dobles p o r m edio de fasores. Las subdividim os en N zonas, com o lo hicim os con la rendija sim ple de la figura 42-9. El cam po eléctrico neto en P se determ inó superponiendo los N vectores del cam po eléctrico de la rendija superior a los N vectores procedentes de la rendija inferior. El m étodo de fa sores perm ite com binar las aportaciones anteriores hechas al cam po eléctrico en P, teniendo en cuenta sus fases relativas. En la figura 42-20 se ven los prim eros N fasores (corres pondientes a la ren d ija su p erio r de la Fig. 42-19) y su resul tante E v com o en la fig u ra 42-11. E xiste una diferencia de fase A = <¡>/N entre ellos. Para sum ar el segundo grupo de N fasores (correspondientes a la rendija inferior) debem os deter m inar el ángulo de fase £ entre el últim o fasor procedente de la rendija superior y el p rim ero proveniente de la rendija in ferior. D espués, trazam os los N fasores partiendo de esta últi
F i g u r a 4 2 - 2 0 . Diagrama de fasores con que se calcula el campo eléctrico resultante en una interferencia de rendija doble.
m a y o btenem os su resultante £ / . L a sum a de los fasores E { y E 0 d a la resultante E e que caracteriza a la rendija doble. E n la figura 42-20 vem os que E e es la base de un trián gulo isó sceles cuyos lados tienen las longitudes £ j y E ,, que están dadas p o r la ecuación 42-5. Con base en la geom etría de la fig u ra 40-20, 5 Ec 2E¡ sen(42-18) donde <5, el ángulo ápice del triángulo, se puede obtener a par tir de (42-19) que nos da 77 — (£ + Ó).
(42-20)
Si con la ecuación 4 2-20 evaluam os sen 5 /2 , obtenem os sen-
£ + ó
sen
£ eos ■
(42-21)
Tom am os la expresión diferen cia de tray ecto ria _ d iferencia de fase A
2 tt
con la d iferencia de fase entre los dos rayos (del fondo de la rendija su p erio r y de la p arte superior de la rendija inferior co mo se ve en la Fig. 42-19) de £ y con la diferencia de trayec toria de {el — a) sen 8, obtenem os
O nda incidente
4 2 -1 3 . Las rendijas de una rendija doble se dividen en N tiras. En el límite diferencial, las tiras se vuelven infinitesimalmente pequeñas e infinitamente numerosas. Aquí mostramos N = 18, como lo hicimos en la figura 42-9. F
ig u r a
A
(id — a) sen 8.
La com binación de la expresión anterior con la ecuación 42-7, 4> ¡2 = { ttci / á ) sen 8 , nos da £ + 4>
que es sim plem ente ¡3 según la ecuación 4 2 - 1 4 . Al sustituir en [a ecuación 4 2 - 2 1 , encontram os
Si elevam os al cuadrado la ecuación 4 2 - 2 2 , obtenem os las in- tensidades - - - •j - j com o h = L (eos 0 ) 2
s e n — = eos B. 2 Al introducir el resultado anterior en la ecuación 42-18 y al usar la ecuación 42-5 para calcular la m agnitud de £ ¡ (o £ 7), obtenemos „ „ sen a £ g = 2 £ m----------co s/3 .
s e n a \"
expresión idén tica a la ecuación 42-17. N ótese que, igual que en la ecuación 41-13, l m = 47n.
(42-22)
.a ; í í c i ó n m ú l t j p l e 42-1 La difracción y la teoría ondulatoria de la luz 1. ¿Cuál de los siguientes enunciados es correcto? A) La difracción se produce sólo en ondas transversales? B) La difracción es una prueba de que la luz se comporta como onda. C) La difracción explica el arco iris. D) Las puestas de sol de color roja constituyen un fenóme no de difracción.
42-2 Difracción de rendija simple Compare las bandas brillantes y oscuras provenientes de una rendija simple de ancho a con las de un rendija doble de sepa ración a/2. a) ¿Existe un máximo central? b) En la aproximación de ángulo pequeño están todas las bandas oscuras y brillantes igualmente espaciadas? c) ¿Se hallan ios máximos y los míni mos en ángulos dados por 0 K k, donde k es un entero? A) Sí, para ambos. B) Sólo en la difracción de rendija simple. C) Sólo en la interferencia de rendija doble. D) No, en ninguno de ellos. 3. El patrón de difracción de una rendija simple se observa con la luz verde. Se reemplaza después por luz roja. ¿Cuál de los si guientes cambios permitirá que los sitios de los mínimos de difracción en la pantalla permanezcan inalterados ante la mo dificación del color de la luz? A) Aumento del ancho de la rendija. B) Disminución del ancho de la rendija. C) Alejar de la rendija la combinación de lente-pantalla. D) Incrementar la intensidad de la fuente luminosa. 4. Se permite que dos colores de luz, el rojo y el violeta, pasen por una rendija simple. Se observa que, con cierto ancho a de ella, se superponen el segundo máximo de la luz violeta y el primer máximo de la luz violeta. Después disminuimos el ancho. ¿Qué sucede con el violeta y los rojos máximos superpuestos? A) Los máximos se separan: el ángulo del máximo rojo aumenta más rápidamente que el violeta. B) Los máximos se separan: el ángulo del máximo violeta aumenta más rápidamente que el rojo. C) El ángulo del máximo rojo crece, mientras que el del violeta disminuye. D) El ángulo de los dos máximos crece, de modo que si guen superponiéndose. 5. Se deja que el espectro entero de luz visible cruce- una rendija simple. ¿En qué parte, si la hay, las regiones no están ilumina das por algún color de la luz visible? 2.
A) Entre el máximo central y el primer mínimo con el rojo. B) Entre el enésimo máximo con el violeta y el (;¡ + l)eji- mo máximo con el rojo, donde n es un entero cualquiera. C) Entre el enésimo máximo con luz violeta y el (n + 1)ésimo máximo con el rojo, donde n > 3. D) Todo ángulo corresponde a un máximo con algún color.
42-3 Intensidad de la difracción de rendija simple 6. La intensidad del máximo central en la difracción de rendija simple A) B) C) ri~ D) ,
no depende del ancho de la rendija. es proporcional al ancho de la rendija. es proporcional al cuadrado del ancho de la rendija. es inversamente proporcional al ancho de la rendija.
7. ¿A qué porcentaje aproximado de la intensidad del máximo cen tral corresponde la intensidad del primer máximo más allá de él? A) 50% B) 25% D) Depende del ancho de la rendija.
C) 5%
8. Los mínimos del patrón dedifracción están situados en los án gulos Bm, donde m es un entero positivo no cero y A) a sen 6m = mA. C) a sen 6m < m \.
B) a sen 9m > m.Á.
9. Los máximos del patrón de difracción se encuentran en los án gulos dm, donde m es un entero positivo no cero y A)a sen dm = (m + 1/2)A. B) a sen 6m > (m + 1/2)A. C)a sen 6m < (m + 1/2)A.
4 2 -4 Difracción en una abertura circular 10. Considere la difracción procedente de una abertura cuadrada de lado el. El primer mínimo ocurrirá en d sen 6 = /cA, donde k es una constante que puede calcularse exactamente por integra ción. ¿Cuál valor esperará que tenga k? A) k < 1 D) k = 1.22
B) k = 1 E) 1.22 < k
C) 1 < k < 1.22
11. ¿Cuál es la estructura más pequeña que puede resolverse con un microscopio óptico tradicional? A) Una bacteria B) Un virus C) Una molécula de agua D) No hay límite; algún día diseñaremos mejores micros copios.
12.
El patrón de rendija doble de la figura 42-21a visto conuna fuente de luz monocromática se modifica un poco y separece al patrón de la figura 42-214. Considere los siguientes cambios posibles de las condiciones: A) aumentó la longitud de onda de la luz, B) disminuyó la longitud de onda de la luz, C) aumentó la longitud de onda de las rendijas, D) disminuyó el ancho de las rendijas.
E) aumentó la separación de las rendijas. F) disminuyó la separación de las rendijas. ¿Cuál selección o selecciones podrían explicar la alteración a patrón? e*
F
ig u r a
4 2 -2 1
. Pregunta de opción múltiple 12.
l^ R E G U N T A S 1. Distinga entre la difracción de Fresnel y la de Fraunhofer. ¿Se basan en diversos principios físicos? De ser así, ¿cuáles son? Si se apoyan en un mismo principio general, ¿cuál es? 2 . ¿En qué se parecen la interferencia y la difracción? ¿Y en qué se diferencian? 3. Suponga que sostiene una rendija simple, estrecha y vertical de lante de la pupila de su ojo y contempla una fuente luminosa le jana en la forma de un largo filamento caliente. ¿Es el patrón de difracción que ve el de Fresnel o el de Fraunhofer? 4. ¿Ocurren los efectos de la difracción en las imágenes virtuales y también en las reales? Explique su respuesta. 5. ¿Ocurren los efectos de la difracción en imágenes formadas por a) espejos planos y b) por espejos esféricos? Explique su con testación. 6 . C o m e n t e e l e n u n c ia d o : “ L a d if r a c c ió n se r e a liz a e n to d a s las r e giones del espectro electromagnético”. Considere, por ejemplo, la región de rayos X y la región de microondas y ofrezca argumen tos para aceptar que es correcto o falso. 7. Hemos afirmado (correctamente) que las ecuaciones de Maxwell predicen todos los fenómenos de la óptica clásica. Con todo, en el capítulo 41 (Interferencia) y en éste (Difracción) se mencionan po co. ¿Refleja ello una incoherencia? ¿Dónde se siente el impacto de las ecuaciones de Maxwell? Explique su respuesta. 8. Si quisiéramos rehacer el análisis de las propiedades de los len tes en el capítulo 40 con métodos de la óptica geométrica pero sin limitarlo a los ejes paraxiales ni a las lentes delgadas, ¿sur girían con nuestro análisis los fenómenos de la difracción? Ex plique su respuesta. 9. ¿Por qué la difracción de las ondas sonoras es más patente en la experiencia diaria que la difracción de las ondas de luz? 10. Podemos difractar las ondas sonoras. ¿Qué ancho aproximado tendrá la rendija simple que utilizará en caso de desear ampliar la distribución de una onda sonora plana incidente de 1 kHz de frecuencia? 11. ¿Por qué las ondas de radio se difractan alrededor de los edifi cios, no así las ondas de luz? 12. La bocina de un altavoz, que se utilizó en un concierto de mú sica de rock, tiene una abertura rectangular de 1 m de alto y 30 cm de ancho. ¿Será el patrón de intensidad sonora más amplio en el plano horizontal o en el vertical? 13. Se diseña una antena de radar para obtener mediciones exactas de la altitud de un avión, pero menos exactas de su dirección en un plano horizontal. ¿Debe la razón de altura-ancho de la ante na ser menor, igual o mayor que la unidad?
14. Describa lo que sucede a un patrón una difracción de rendija simple de Fraunhofer, si sumergimos en agua el aparato entero 15. En la difracción de rendija simple, ¿qué efecto se consigue al aumentar a) la longitud de onda y b) el ancho de la rendija? 16. Mientras escucha la radio del automóvil, seguramente se habrá dado cuenta de que, al pasar bajo un puente, se desvanece la se ñal de amplitud modulada, pero no la de la frecuencia modula da. ¿De alguna manera influye la difracción en este fenómeno? 17. ¿Qué aspecto presentará el patrón de difracción de rendija sim ple si A > a? 18. ¿Cómo será el patrón formado por una rendija doble en una pan talla, si las rendijas no tienen el mismo ancho? ¿Cambiarán de sitio las franjas? 19. Cerca de su base la sombra de un asta vertical proyectada por el Sol ofrece franjas claramente definidos, pero menos bien defi nidos cerca del extremo superior. ¿Por qué? 20. Cae luz solar sobre una rendija simple de 1 pm de ancho. Des criba cualitativamente el aspecto que presenta el patrón de difracción resultante. 21. En la figura 42-8 los rayos r t y r3 están en fase, lo mismo que los rayos r2 y r4. ¿Por qué no existe una intensidad máxima en P0 en vez de un mínimo? 22. Cuando hablamos de difracción por una rendija simple, sim plemente queremos decir que su ancho debe ser mucho menor que su longitud. Suponga que, en efecto, la longitud equivaliera al doble del ancho. Haga una conjetura aproximada del aspecto que ofrecerá el patrón de difracción. 23. En la figura 42-6 las longitudes de camino óptico procedentes de la ranura del punto P0 son todas iguales. ¿Por qué? 24. En la figura 42-104, ¿por qué no es vertical E e, el cual repre senta el primer máximo más allá del máximo central? (Suge rencia: tenga en cuenta los efectos de un pequeño enrollado o no enrollado de la espira de fasores en esta figura.) Consulte el ejercicio 12. 25. Mencione al menos dos razones por las cuales la utilidad de los telescopios grandes aumenta a medida que aumentamos el diá metro de la lente. 26. ¿Encontramos los efectos de la difracción en telescopios de re flexión como el Hubble Space Telescope, que tienen espejos en vez de lentes? De ser así, ¿por qué nos tomamos la molestia de ponerlos en el espacio? 27. Hemos visto que la difracción limita la potencia de re so lu c ió n de los telescopios ópticos ( F ig . 42-14). ¿Tiene las m is m a s con secuencias en los grandes telescopios de radio?
■V' i a difracción representa un problema más para un telescopio 2h' uue para una cámara. Explique por qué ■><) En los patrones de interferencia de rendija doble, como el de la r ^ ra 42-16«, dijimos que el patrón de difracción de una rendi-
ja simple modulaba las franjas de interferencia. ¿Podríamos in vertir la afirmación y decir que el patrón de difracción de una rendija simple es la intensidad modulada por las franjas de in terferencia? Explique su contestación.
¿JERCICIOS_ 49. i La difracción y la teoría ondulatoria de la luz Difracción de rendija simple 1 Cuando una luz monocromática incide en una rendija de 0.022 mm
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3.
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5.
6.
7.
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9.
de ancho, el primer mínimo de difracción se observa en un án gulo de 1.8° desde la dirección del haz incidente. Calcule la lon gitud de onda de la luz incidente. ¿Puede demostrar la naturaleza ondulatoria de los rayos X di fractándolos a través de una rendija simple? Determine el ancho máximo de rendija que podría utilizar, si apenas puede detectar se un ancho angular de 0.12 mrad del máximo central y si con jetura que la longitud de onda de los rayos X es 0.10 nm. Una luz monocromática de 441 nm de longitud de onda incide sobre una rendija estrecha. En una pantalla a 2.16 m de distan cia, la distancia entre el segundo mínimo y el máximo central es 1.62 cm. a) Calcule el ángulo de difracción 0del segundo míni mo. b) Determine el ancho de la rendija. Una luz de 633 nm de longitud de onda incide en una rendija es trecha. El ángulo entre el primer mínimo en un lado del máxi mo central y el primer mínimo del otro es de 1.97°. Obtenga el ancho de la rendija. Una rendija simple se ilumina con una luz cuyas longitudes de onda son Afl y Afc, escogidas de modo que el primer míni mo de difracción del componente ka coincida con el segundo mínimo del componente Ab. á) ¿Qué relación existe entre las dos longitudes de onda? tí) ¿Coinciden otros mínimos de los dos patrones? Una onda plana, cuya longitud de onda mide 593 nm, incide en una rendija de 420 /xm de ancho. Una lente convergente detsada, con una longitud focal de 71.4 cm, se pone detrás de ella y se enfoca la luz sobre una pantalla. Calcule la distancia en la pantalla entre el centro del patrón y el segundo mínimo. En un patrón de difracción de rendija simple, la distancia entre el primer mínimo de la derecha y el de la izquierda es 5.20 mm. La pantalla donde se proyecta el patrón está a 82.3 cm de la ren dija y la longitud de onda es de 546 nm. Calcule el ancho de la rendija. La distancia entre el primer y quinto mínimos de un patrón de rendija simple es 0.350 mm con una pantalla situada a una dis tancia de 41.3 cm, usando una luz cuya longitud de onda mide 546 nm. a) Calcule el ángulo de difracción 6 del primer míni mo. b) Encuentre el ancho de la rendija. Una rendija de 1.16 mm de ancho está iluminada con una luz de 589 nm de longitud. El patrón de difracción se ve en una panta lla a 2.94 m de distancia. Encuentre la distancia entre los dos primeros mínimos de difracción en el mismo lado del máximo central.
^ 2 -3
Intensidad de la difracción de rendija simple
Si suplicamos el ancho de una rendija simple, la intensidad del máximo central del patrón de difracción crecerá en un factor de 4,
aunque sólo se duplique la energía que la atraviesa. Explique es to en términos cuantitativos. . 11. Una luz monocromática cuya longitud de onda es de 538 nm cae sobre una rendija con 25.2 /xm de ancho. La distancia entre es ta última y la pantalla es de 3.48 m. Considere un punto en la pantalla a 1.13 cm del máximo central, a) Calcule 9. b) Calcule a. c) Calcule la razón de la intensidad en este punto a la inten sidad en el máximo central. 12. En la figura 41-204 calcule el ángulo que E g forma con la ver tical; consulte las pregunta 24 y el problema 3. 13. Calcule el ancho del máximo central en un patrón de difracción de rendija simple, donde a — 10A. Compare su resultado con la figura 42-12c. Consulte el problema resuelto 42-4.
4.2-4. Difracción en una abertura circular 14. Un astronauta en un satélite asegura ser capaz de resolver ape nas dos fuentes puntuales en la Tierra, a 163 km del suelo. Calcu le a) la separación angular y b) la separación lineal de las dos, suponiendo condiciones ideales. Suponga que A = 540 nm y que el diámetro de la pupila del astronauta es 4.90 mm. 15. Los dos faros de un automóvil que se acerca están separados por u n a d is t a n c ia d e 1.42 m. ¿ E n qué a) s e p a r a c ió n angular y b) dis tancia máxima los resolverá el ojo? Suponga un diámetro d e pu pila de 5.00 mm y una longitud de onda de 562 nm. Suponga asimismo que los efectos de la difracción sólo limitan la resolu ción. 16. La pared de un cuarto grande está cubierta con losas acústicas, donde se perforan hoyos pequeños a 5.20 mm de centro a centro. ¿A qué distancia puede encontrarse una persona de una losa y aun así distinguir los hoyos individuales, suponiendo condicio nes ideales? Suponga que el diámetro de la pupila del observa dor es de 4.60 mm y que la longitud de onda es de 542 nm. 17. Determine la separación de dos puntos en la superficie lunar que apenas pueden resolverse mediante un telescopio de 200 in (5.08 m) en Monte Palomar, suponiendo que esta distancia de pende de los efectos de la difracción. Suponga una longitud de onda de 565 nm. 18. Un crucero naval emplea un radar con una longitud de onda de 1.57 cm. La antena circular tiene un diámetro de 2.33 m. En un radio de 6.25 km, ¿cuál es la distancia más pequeña a que dos lanchas de carreras pueden encontrarse y aun así ser resueltas como dos objetos separados por un sistema de radar? 19. Si Superman realmente tuviera visión de rayos X con una lon gitud de 0.12 nm y con un diámetro de pupila de 4.3 mm, ¿ a qué altitud podría distinguir entre los buenos y los malos, s u p o n ie n do que el detalle mínimo requerido fuera 4.8 cm? 20. Un satélite “espía en el cielo” que gira a 160 km arriba de la su perficie terrestre está provisto de una lente con una longitud fo cal de 3.6 m. Su poder de resolución para los objetos del suelo es 30 cm; podría medir fácilmente el tamaño de las entradas por un avión. ¿Cuál es el diámetro efectivo de la lente, determinado por consideraciones de difracción exclusivamente? Suponga
que A = 550 nm. Se sabe que muchos satélites más efectivos se encuentran en operación hoy. 21. Las pinturas de Georges Seurat constan de puntos pequeños po co espaciados (= 2 mm de diámetro) de pigmento puro, según se muestra en la figura 42-22. La ilusión de la mezcla de colo res se debe a que la pupila del observador difracta la luz que pe netra en ella. Calcule la distancia mínima a que el observador debe situarse respecto a la pintura para conseguir la mezcla de seada de colores. Suponga que la longitud de onda de la luz es de 475 nm y que el diámetro de la pupila mide 4.4 mm.
j
2 mm
24. Un radar de ondas milimétricas genera un haz más estrecho que el radar ordinario de microondas. Ello lo hace menos vulnerable a los misiles antirradares. a) Calcule el ancho angular, del primer mínimo al primer máximo, del “lóbulo” central producido por un haz de radar de 220 GHz, emitido por una antena circular de 55 cm de diámetro. (Se escoge la frecuencia de modo que coincida con una “ventana” atmosférica de poca absorción.) b) Calcule la mis ma cantidad del radar de un barco descrito en el ejercido 18. 4-2-5 C om b in ación de in terferen cia y d ifracción de r en d ija d ob le 25. Dos rendijas de ancho a y con una separación d están ilumina das con un haz de luz coherente de longitud de onda A. ¿Cuál es la separación lineal de las franjas de interferencia observadas en una pantalla situada a una distancia £>? 26. d) Diseñe un sistema de rendija doble donde falte la cuarta fran ja, sin contar el máximo central, b) ¿Cuáles otras franjas, si las hay, faltan también? 27. a) Con d = 2a en la figura 42-23, ¿cuántas franjas de interfe rencia se encuentran en la envolvente central de la difracción? b) Si hacemos d = a, las dos rendijas se fusionan en una de an cho 2a. Demuestre que la ecuación 42-17 se convierte en el pa trón de difracción en la rendija.
j
I
2 m m
I
F i g u r a 4 2 - 2 2 . Ejercicio 21.
22. En junio de 1985, un haz láser fue disparado en la Air Forcé Optical Station en Maui (Hawai) y se reflejó contra el transborda dor Discovery que se desplazaba a una velocidad de 354 km en el espacio. El diámetro del máximo central de) haz en la posi ción del transbordador era de 9.14 m y la longitud de onda del haz era 500 nm. ¿Cuál es el diámetro efectivo de la abertura del láser en la estación terrestre Maui? (Sugerencia: un haz lá ser se dispersa a causa de la difracción; suponga una abertura circular de salida.) 23. a) Un diafragma circular de 60 cm de diámetro oscila a una fre cuencia de 25 kHz en una fuente subacuática que sirve para de tectar submarinos. Lejos de la fuente, la intensidad del sonido se distribuye como un patrón de difracción en un hoyo circular de diámetro igual al del diafragma. Suponga que la velocidad del sonido en el agua es de 1450 m /s y determine el ángulo entre la normal al diafragma, y la dirección del primer mínimo, b) repita el ejercicio con una fuente cuya frecuencia (audible) es de 1.0 kHz.
F
ig u r a
4 2 -2 3 .
28. Suponga que, como en el problema resuelto 42-7, la envolven te del pico central contiene 11 franjas. ¿Cuántas se hallan entre el primer y segundo mínimos de la envolvente? 29. a) ¿Cuántas franjas completas aparecen entre los primeros míni mos de la envolvente de franjas a ambos lados del máximo central con un patrón de rendija doble si A = 557 nm, d = 0.150 mm, y si a = 0.030 mm? b) ¿Cuál es la razón de intensidad de la terce ra franja al lado del centro y la franja central?
^__ROBLEMAS 1. Los fabricantes de alambre (y de otros objetos de dimensiones pequeñas utilizan a veces un láser para vigilar constantemente el grosor del producto. El alambre intercepta el haz láser, origi nando un patrón de difracción como el de una rendija simple del mismo ancho que el del alambre (Fig. 42-24). Supóngase que lo ilumina un láser He-Ne, con una longitud de onda de 632.8 nm; el patrón de difracción es proyectado contra una pantalla a 2.65 m de distancia. Si el diámetro deseado del alambre es 1.37 mm, ¿cuál será la distancia observada entre ios dos mínimos de déci mo orden a ambos lados del máximo central?
Ejercicio 27.
Láser He-Ne
Un haz monocromático de luz paralela incide en un hoyo “co limador” de diámetro a » A. El punto P está en la región geo métrica de sombra en una pantalla lejana, según se observa en la figura 42-25a. Dos obstáculos, que aparecen en la figura 4225b, se colocan uno a la vez sobre el hoyo. A es un círculo opa co con un agujero en él, y B su “negativo fotográfico”. Aplique los conceptos de superposición y demuestre que la intensidad en P es idéntica en los dos objetos difráctanos A y B (a esto se le conoce con el nombre de principio de Babinet). Dentro de este con texto puede probarse que el patrón de difracción de un alambre es el mismo que el de una rendija de igual ancho. Consúltese “Measuring the Diameter of a Hair by Diffraction”, de S. M. Curry y A. L. Shcawlow, American Journal ofPhysics, mayo de 1974, p. 412.
la Luna en una noche con neblina. El anillo suele ser de color ro jo. Explique por qué. b) Calcule el tamaño de las gotas de agua en el aire si el anillo parece tener un diámetro 1.5 veces mayor que el de la Luna. El diámetro angular de ella en el cielo es 0.5°. c) ¿A qué distancia de la Luna podría verse un anillo azulado? Al gunas veces los anillos son blancos. ¿Por qué? d) El arreglo de colores es contrario al de un arco iris. ¿A qué se debe? Dos altavoces activan un sistema acústico de rendija doble (se paración de rendija d, ancho de rendija a), como se observa en la figura 42-26. La fase de uno de ellos puede modificarse em pleando una línea de retraso variable. Describa en forma deta llada los cambios que se producen en el patrón de intensidad a grandes distancias, a medida que se cambia la diferencia de fa se de cero a 2 ir. Tenga en cuenta tanto los efectos de la interfe rencia como los de la difracción.
Pantalla^ A “ v
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, Generador ■ ¡ Línea de de señales -r- ' retraso ■ de audio
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4 2 - 2 5 . Problema 2. ;ig u s a
a) Demuestre que los valores de a en que ocurren los máximos de intensidad en la difracción de rendija simple pueden calcu larse con precisión, diferenciando la ecuación 42-8 respecto a a e igualando a cero, obteniendo la condición tan a = a. b) Para obtener los valores de a que satisfagan esta relación grafique la curva y = tan a y la línea recta y = a; a tal efecto puede deter minar sus intersecciones o usar una calculadora de bolsillo a fin de calcular un valor apropiado de a por prueba y error, c) De termine los valores (no integrales) de m correspondientes a los máximos sucesivos en un patrón de rendija simple. Nótese que los máximos secundarios no se encuentran exactamente a la mi tad entre los mínimos. En un experimento franco-soviético cuyo fin era monitorear la superficie lunar con un haz luminoso, se dirigió la radiación pulsada de un haz de rubí (A = 0.69 p m ) hacia la Luna a través de un telescopio de reflexión, con un radio de espejo de 1.3 m. Un reflector en ella se comportaba como un espejo circular pla no de 10 cm de radio, que reflejaba directamente la luz hacia el telescopio situado en la Tierra. Después, la luz reflejada era de tectada con un fotómetro, tras ponerlo en foco por medio del teles copio. ¿Qué fracción de la energía luminosa original captaba el detector? Suponga que en las direcciones de desplazamiento to da la energía se concentra en el círculo de difracción central. Puede demostrarse que, salvo con 0 = 0, un obstáculo circular produce el mismo patrón de difracción que un hoyo circular de igual diámetro. Más aún si hay muchos de esos obstáculos, co mo las gotas de aguas puestas al azar, desaparecen los efectos de la interferencia, dejando sólo la difracción debida a un solo obstáculo, a) Explique por qué uno ve un “anillo” alrededor de
4 2 - 2 S . Problema
6.
7. Una luz de 440 nm de longitud de onda atraviesa una rendija do ble, creando el patrón de difracción de intensidad I frente al án gulo de deflexión 0 que aparece en la figura 42-27. Calcule a) el ancho de la rendija y b) la separación de la rendija, c) ve rifique la intensidad mostrada de las franjas de interferencia m = 1 y de m = 2.
Deflexión (grados) F ig u r a
4 2 -2 7 .
Problema 7.
P ro b lem a s para reso lv er POR COMPUTADORA 1. Genere numéricamente una gráfica de intensidad en función de un ángulo partiendo del eje central en la difracción debida a una abertura circular. Suponga un diámetro de abertura d = 5A. Realice el ejercicio suponiendo que la abertura circular puede aproximarse mediante una red cuadrada de fuentes puntuales, separadas por una distancia de 4/10. Desde luego, sólo se per
mite que irradien los puntos de la red dentro del círculo. Verifi que el coeficiente 1.22 en la ecuación 42-11. 2. Integre numéricamente la ecuación 42-8 con diversos valores de a y A para comprobar que la potencia total que incide en la rendija simple es la misma que la que inciden en la pantalla He aquí algunos valores con que puede probar: a/A = 0.5, l y q
REJILLAS Y ESPECTROS
n el capítulo 41 estudiam os el patró n de interferencia que se produce cuando una luz m onocrom ática incide sobre una rendija doble: aparece un patró n de bandas brillantes y oscuras (franjas de interferencia). A las rendijas se les considera fu e n te de ondas difractadas. En este capítulo am pliarem os nuestro estudio a los casos en que el núm ero de fu e n te s de difracción es m a yo r (a m e nudo m ucho m ás grande) que dos. Vamos a exam inar a rreglos m ú ltip les de rendijas en un p la n o y tam bién arre glos tridim ensionales de átom os en un sólido (en el cual u tilizam os rayos X en vez de luz visible).
4 3 = Ü RENDIJAS MÚLTIPLES Así como Thom as Young utilizó su m étodo de interferencia con rendija doble cuando m idió p o r prim era vez la longitud de onda de la luz, tam bién hoy seguim os aplicando varias téc nicas para m edirla exactam ente. P o r ejem plo, entre 1960 y 1983 el metro estándar fue definido a partir de la longitud de onda de la luz em itida por los átom os de criptón (Sec. 1-4). Para poder em plearlo com o patrón, hubo que determ inar el valor de la longitud de onda hasta nueve cifras significativas. En teoría, es posible em plear un patrón de interferencia de rendija doble para m edir la longitud de onda. Si se conoce la separación el de la rendija, se localizan las franjas brillantes en la pantalla y luego por m edio de la ecuación 41-1 (d sen 6 = tfzA), se puede calcular la longitud de onda. M uchas veces es preferible determinar- la separación entre los m áxim os conti
guos; para calcular esta separación utilizam os la ecuación 41-4 (Ay = AD /d ) para obtener A. L a precisión de este método depende de la capacidad de determ inar exactam ente el sitio o el espaciam iento de las franjas. En la figura 4 3 - la se ofrece un patrón típico de interferencia de rendija doble; nos dam os cuen ta de que, al intentar m edir el punto medio de una figura al de la siguiente, los puntos medios no se localizan con certeza. El patrón de interferencia en la figura 43-l¿>, que se obtu vo usando cinco rendijas, constituye un ligero m ejoram iento; adviértase que las franjas brillantes son m ás estrechas, lo cual significa que podem os m edir m ejor el espaciam iento de las franjas y, p o r tanto, calcular la longitud de onda con m ayor precisión. L a separación d entre las rendijas adyacentes posee el m ism o valor en am bos casos; al com parar los dos patrones de interferencia, se com prueba que el espaciam iento de las franjas está determ inado por la separación el de la rendija,
a)
W .'i í
F i g u r a 4 3 - 1 . Patrón de difracción de una rejilla con a) dos rendijas y b) con cinco rendijas. Nótese que, en el caso de la segunda, las franjas son más pronunciadas (estrechas) y los máximos secundarios de poca intensidad aparecen entre los máximos principales brillantes.
independientem ente del nú m ero de ellas. C onform e aum enta m os el núm ero de rendijas, las franjas b rillantes continúan haciéndose m ás estrechas y aum enta la p recisió n de la m ed i ción de la longitud de onda. Se da el nom bre de rejilla de difracción al arreglo de m últiples rendijas, en éste el núm ero N de rendijas puede alcan zar 104. En la figura 43-16 se aprecia un segundo efecto de aum en tar el núm ero de rendijas: m áxim os secundarios débiles (tres en la Fig. 4 3 -lb ) ap arecen en tre las franjas brillantes conti guas. A l increm entarse su núm ero, tam bién crecen los m áxi m os secundarios, pero se atenúa su brillantez; cuando N es grande es posible p rescin d ir p o r com pleto de ellos. En este capítulo vam os a estu d iar los patrones de interfe rencia en las rejillas de difracción. V erem os cóm o la nitidez de las franjas depende del núm ero de rendijas de la rejilla y explicarem os el origen de los m áxim os secundarios. C om o lo hicim os en el capítulo 41, nos ocuparem os sólo del arreglo de Fraunhofer, donde se supone una d istancia in finita entre la fuente de luz y las rendijas, lo m ism o que entre las rendijas y la pantalla. D e m odo equivalente, la luz paralela incide sobre las rendijas y de ellas sale luz p aralela (quizá p ara ser enfocada por una lente) p ara p ro d u cir una im agen en la pantalla. En la figura 43-2 se m uestra una rejilla de cinco rendijas (com pare esta figura con la Fig. 41-6). O curre un m áxim o principal cuando la diferencia de trayectoria entre los rayos pro venientes de un par cualquiera de rendijas contiguas, dado por d sen 8 es igual a un núm ero entero de longitudes de onda, o sea d sen 8 — mX
0
, ± 1, ± 2,
(43-1)
donde m es el núm ero de orden. L a ecuación 43-1 es idéntica a la ecuación 41-1 en los m áxim os de la ren d ija doble. N ótese lo siguiente: si la luz que atraviesa un p a r cualquiera de ren dijas adyacentes está en fase en un punto de la pantalla, la luz que pasa p o r un par, incluso de rendijas no adyacentes, tam bién se hallará en fase en ese punto. C on determ inada separa ción d de rendija, los lugares de los m áxim os principales
A F i g u r a 4 3 - 2 . Rejilla idealizada de difracción que contiene cinco rendijas. Se supone que el ancho a de la rendija es mucho menor que A, aunque esta condición tal vez no se cumpla en la práctica. También la longitud fo c a l/se rá mucho mayor que d en la práctica; en la figura se distorsionan estas dimensiones para hacerla más clara.
ntensldad relativa 1 ¡
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a df hj h f d a 6 0 F i g u r a 4 3 - 3 . Patrones calculados de intensidad en a) una rejilla de dos rendijas y en b) una rejilla de cinco rendijas, que tienen los mismos valores de d y de A. Obsérvese el aumento de nitidez de los máximos principales y el aspecto de máximos secundarios débiles en b); compare esta figura con la figura 43-1. Las letras en b) se refieren a la figura 43-6. Este cálculo no incluye los efectos de difracción a causa del ancho de la rendija, es decir, se supone que nos hallamos cerca de la región central de la figura 43-1, donde los máximos principales poseen intensidades esencialmente iguales. b)
dependen de la longitud de onda conform e a la ecuación 43-1. L os sitios de los m áx im o s no dependen del núm ero N de ren dijas, que com o verem os rige el ancho o nitidez del m áxim o principal. E n las rendijas de ancho a , la intensidad relativa de los m áxim os principales dentro de la en volvente de difracción están determ inados p o r la razón a /X , que no afectan su posi ción. E n la fig u ra 4 3 -3 se c o m p aran los p a tro n e s de inten sidad de rejillas de dos y cinco rendijas.
Ancho de los m áxim os C on el uso de un m étodo gráfico que use fasores se puede en ten d e r el increm ento de los m áxim os principales. En las figuras 4 3 -4 a y 43-46 se describen las condiciones en los m á xim os centrales p ara ten er una rejilla de dos y de cinco rendi ja s . L as fle c h a s p e q u e ñ a s re p re se n ta n la am p litu d de las p e rtu rb a c io n e s o n d u la to ria s de c a d a re n d ija que lleg an a la pantalla en la posición del m áxim o central, donde m = 0 y, po r lo m ism o, 9 = 0, en la ecuación 43-1. E n lo tocante al m áxim o central, hay un m ínim o de inten sidad cero que se en cu en tra en el ángulo SdQfuera del eje cen tral, com o se ve en la fig u ra 43-5. Las figuras 43-4c y 43-4<¿ contienen los fasores en este punto. La diferencia de fase A
N
(43-2)
E sta d iferencia de fase de las ondas adyacentes corres ponde a un a d iferencia de trayectoria A L dada por diferencia de fase _ diferencia de trayectoria
7 2 ° > r 7 72 °/
£«= O d)
b)
a)
AL =
A 27 7
Ad>
A
27 7
_A_
277"
lv ~
A
(43-3)
Sin em bargo, la diferencia de trayectoria AL en el p rim er m ínim o (Fig. 43-2 y 43-5) tam bién está dada p o r d sen <50o; así que podem os escribir d sen S90 ------N
sen 880
A Nd '
(43-4)
D ado que N > > 1 en estas rejillas, sen 860 suele ser m uy pequeño (es decir, las líneas son nítidas), y con una buena aproxim ación podem os reem p lazar sen 880 por 88Q, exp resa do en radiaciones, es decir, 89° = ~Ñ d'
4 3 - 5 . Un máximo principal se halla en la posición dada por el ángulo 6 y el primer mínimo ocurre en el ángulo 89 a partir del máximo. Puede suponerse que el ángulo 86 es una medida del ancho o nitidez de los máximos. El ancho del máximo central está dado por el ángulo S9Q. ig u r a
\
en tre las rendijas adyacentes en el m ínim o es 0.1 A. L a dife ren cia de trayectoria entre las rendijas 1 y 6 será entonces 5(mA + 0.1 A) = 5mA + 0.5A; las longitudes de trayectoria d ifieren en un núm ero sem ientero de longitudes de onda y, p o r ello, los rayos interfieren en form a destructiva. Lo m ism o sucede con las rendijas 2 y 7, con las rendijas 3 y 8 y así suce sivam ente. Si la diferencia de trayectoria adicional es X /N , entonces los rayos provenientes de las N /2 rendijas in fe r io r a exp erim en tan una interferencia destructiva por pares con los rayos procedentes de las N /2 rendijas superiores. E n el ángulo 8 + 88, la diferencia de trayectoria entre rayos originados en rendijas adyacentes es ris e n (0 + 88) = d {sen 0 eos 88 + eos 0 se n S 0 ) = d sen 8 + {d eos 6)88, donde suponem os que 88 es pequeño; esto nos perm ite aproxi m ar eos 88 = 1 y sen 88 ~ 88. Al hacer esta diferencia de tra yectoria igual a mX + X /N , su valor en el mínim o, obtenem os
(43_5)
E sta ecuación m uestra co ncretam ente que, si aum entam os N para cierta A y d, SdQ dism inuye; esto significa que el m áx i mo principal central adquiere m ayor nitidez. Si querem os obtener el resultado con cualquier m áxim o principal, se tiene en cuenta la geom etría de la figura 43-5 en que el m áxim o principal em ésim o ocurre en un ángulo 8. N os alejam os de él a través de un desplazam iento ang u lar <50 para llegar al siguiente m áxim o; suponem os que este ángulo <50 es una m edida del ancho angular del m áxim o. E n él la d iferen cia de trayectoria entre ios rayos procedentes de ren d ijas co n tiguas es m A (Ec. 43-1). En el siguiente m áxim o, la diferencia de trayectoria entre los rayos provenientes de rendijas adya centes, es mX + X /N y la longitud de trayectoria adicional X /N está dada p o r la ecuación 43-3. C onsiderem os, p o r ejem plo, el caso de N = 10. L a longitud de trayectoria adicional
F
\ 72°
r iG U R A 4 3 - 4 . a, b) Condiciones en el máximo central con una rejilla de dos rendijas y una de cinco rendijas, respectivamente, c, d) Condiciones correspondientes en un mínimo de intensidad cero que se encuentra a ambos lados de este máximo central.
d sen 8 + (d eos 8)88 = mX
_A_ N
cLcon el uso de la ecuación 43-1. (d eos 8)88
_A_ N
A l re so lv er para 88 tenem os
X N d eos 6
(43-6)
E l resu ltad o anterior da el ancho angular* del m áxim o princi pal que se presenta en el ángulo 0 correspondiente al orden m. N ótese que la ecuación 43-6 se convierte en la ecuación 43-5 con el m áx im o central (8 = 0). C on ciertos N, d y A, el m áxi m o central es el m ás estrecho (eos 8 — 1); los anchos crecen al dirigirnos a un 8 m ás grande (y, p o r tanto, a órdenes m ayo res m). L a ecuación 43-6 indica que 88 se vuelve m ás peque ño (los m áxim os son m ás nítidos) a m edida que aum enta el producto Nd. E ste producto (núm ero de rendijas p o r la dis tancia entre ellas) da el ancho total de la rejilla. A sí pues, los picos se vuelven m ás pronunciados a m edida que va crecien do el ancho de la rejilla.
* S e g ú n se d e fin ió en la ecu a ció n 4 3-6 , el ancho es el in te rv a lo a n g u lar entre el p ico y el p rim e r m ín im o . L a d e fin ic ió n u su a l del a ncho de un p ico es el in te rv a lo entero cubierto p o r él en la m itad de su altura m á x im a (véase, por e jem p lo , la F ig . 4 2 -1 2 ). Estas dos m edidas d el ancho son aproxim adam ente ig u ale s y suponem os que la e cuació n 4 3 -6 representa una m edid a del ancho d el p ico .
Los máximos secundarlos (opcional) El origen de los m áx im o s secundarios que aparecen cuando N > 2, se puede en ten d er tam bién aplicando el m étodo de fasores. En la figura 4 3 -6 a se describen las condiciones del m áxim o principal central con una rejilla de cinco rendijas. Los fasores están en fase. C onform e vam os alejándonos del m áxim o central, 6 en la fig u ra 43-2 aum enta a partir de cero y el ángulo entre los fasores contiguos crece de cero a á ^ = (2 t t/ \ ) ( d sen 8). L as figuras sucesivas indican cóm o la am pli tud resultante de o nda E e varía con A¿>. V erifique p o r m edio de una gráfica que u n a fig u ra determ inada representa las con diciones de Ac¡> y 2 tt — A. E n consecuencia, em pezam os en A 0 = 0, pasam os a A<£ = 180° y luego retom am os a través de la secuencia, siguiendo las diferencias de fase entre parén tesis hasta llegar a A cj> — 360°. E sta secuencia equivale a recorrer el patrón de inten sid ad del m áxim o principal central al adyacente. E n la fig u ra 43-6, que debería com pararse con la figura 4 3 -3 b, se observa que con N = 5 hay tres m áxim os secundarios correspondientes a Ad> = 110°, 180° y 250°. E fectúe un análisis sim ilar en el caso de N = 3 y dem uestre que sólo ocurre un m áxim o secundario. En general, en una reji lla de N rendijas hay N — 2 máximos secundarios. En las rejillas reales, que n o rm alm ente contienen de 10 000 a 50 000 “ren dijas” , los m áxim os secundarios están tan cerca de los p rinci pales, o se reduce tanto su intensidad, que no pueden ser observados en form a experim ental. ü
P r o b l e m a R e s u e l t o 4 3 - i . Una rejilla tiene 104 rejillas con un espaciamiento de d = 2.1 ¿¿m = 2 100 nm. Está iluminada con luz amarilla de sodio (A = 589 nm). Encuentre a) la posición angu lar de todos los máximos observados y b) el ancho angular del máximo de más alto orden.
Solución a) Cqn base en la ecuación 43-1 tenemos mX m (589 nm) sen 8 = ------ = -----------------, d 2 1 0 0 nm que nos da 8 = 16.3° (m = 1), 34.10 (m = 2), y 57.3° (m = 3), con los valores correspondientes en 8 < 0 con m < 0. Cuando m = 4, sen 8 > 1. Por tanto, m = 3 es el orden más alto observado que nos da un total de siete máximos principales (un máximo central y tres a ambos lados del centro). b) Para el máximo m = 3, la ecuación 43-6 nos da 88 =
A 589 nm = ; -Nd eos 8 (10 )(2 100 nm)(cos 57.3 ) = 5.2 X 10~5 rad = 0.0030°.
Que es un máximo principal demasiado estrecho. Nótese que la ecuación 43-6 es una razón adimensional; y por eso, su resultado se da en radianes. Ello se debe a que la ecuación 43-6 la obtuvimos empleando la aproximación sen 86 ~ 86, que es válida sólo en radianes.
E0 (= £m) 130° a)
(230°) (2 8 8 °)
(216°)
90°
(270°)
-tri I
Ea
(200 °)
\/ / Ee \ <■')
> 180°
_f>/
(180°)
(250°)
/ 60° (300°)
f)
j)
F i g u r a 4 3 - 6 . Las figuras tomadas en la secuencia de a) a j) y luego en las j) a a) muestran las condiciones a medida que el patrón de intensidad de una rejilla de cinco rendijas es recorrida desde el máximo principal central hasta un máximo principal adyacente. Las diferencias de fase entre las rendijas contiguas se observan directamente; las que van de j) a a) están dentro de paréntesis. Los máximos principales ocurren en a), los secundarios en o cerca de/) y j), los mínimos de intensidad cero en d) y en h). Compare esta figura con la figura 43-3L
4 3 -2
R E JIL L A S D E D IF R A C C IÓ N
Una rejilla típica puede contener N = 10 000 rendijas d istri buidas en un ancho de unos cuantos centím etros, equivalentes a un espaciam iento d de rejilla de algunos m icróm etros. C om o vimos en el problem a resuelto 43-1, cuando N d m ide unos centím etros, los m áxim os son m uy estrechos; esto perm ite medir su posición con gran precisión. A sí pues, las rejillas sir ven para determ inar las longitudes de onda para estudiar la estructura y la intensidad de los m áxim os principales. C ualquier estructura p eriódica reg u lar puede servir de rejilla de difracción; p o r ejem plo, los surcos de un disco co m pacto que producen un patrón de arco iris al reflejarse la luz contra su superficie. Las rejillas crean im ágenes p o r m edio de la luz transm itida com o se ve en la figura 43-2; existen ad e más rejillas de reflexión, las cuales p roducen im ágenes bajo la luz reflejada. E n la rejilla de la figura 4 3-2 se aprecia un cam bio periódico de la am plitud (sin que se altere la fase) de la luz en función de la posición en la rejilla. T am bién es p o si ble construir rejillas (de reflexión o transm isión) que alteren periódicam ente la fa s e (y un cam bio insignificante de la am plitud) de la luz a causa de dicha posición. L a generalidad de las rejillas que se em plean con luz visible son de fase, ta n to de reflexión com o de transm isión. L as rejillas se construyen haciendo surcos paralelos de igual espaciam iento en una lám ina delgada de alum inio o de oro depositados en una placa de vidrio, usando para ello un punto de corte de diam ante, cuyo m ovim iento se controla autom áticam ente con una m áquina. U na v ez p reparada la re ji lla m atriz, se obtienen reproducciones vaciando un plástico líquido en ella, dejando que se endurezca y quitándolo d es pués. El plástico así obtenido se sujeta a un trozo plano de vidrio o a otro apoyo y se consigue una bu en a rejilla. L a figura 43-7 m uestra la sección transversal de un tipo com ún de rejilla de fase de reflexión. (Si fu era transparente, podría serv ir de rejilla de fase de transm isión, pues la luz que pasa p o r diversos grosores presentará cam bios de fase v aria bles.) L os ángulos de los surcos se escogen de m odo que la luz de un orden particular se refleja en cierta dirección. D e este m odo, la intensidad de un orden p articular puede superar a la de otros. Se da el nom bre de resaltado al corte de rejillas en esta form a. A este tipo pertenece la m ayor parte de las reji llas que se utilizan hoy.
F i g u r a < 5 - 3 - 3 . Tipo simple de espectroscopio de rejilla con el cual se analizan las longitudes de onda de la luz emitida por la fuente S.
L a figura 43-8 m uestra un espectroscopio de rejilla sim ple, con el cual se observa el espectro de una fuente lum ino sa, que se supone em ite longitudes de onda discretas. La luz p roveniente de la fuente S se enfoca m ediante una lente L l en u n a ren d ija S v colocando en el plano focal de la lente L9. La luz p aralela que sale del colim ador C incide sobre la rejilla G. L os rayos paralelos asociados a determ inado m áxim o de interferencia que ocurre en el ángulo 6 inciden en la lente Lv y se enfocan en el plano F F '. La im agen form ada en este pla no sejex am in a p o r m edio de un arreglo de lentes de aum en to E (el ocular). E l espectro se observa en su totalidad haciendo girar un telescopio T a través de varios ángulos. Los instru m entos usados en la investigación científica o en la industria son m ás com plejos que el arreglo sim ple de la figura 43-8. In v a ria b le m e n te se sirv en de reg istro s fo to g rá fic o s o foto eléctricos y se les conoce com o espectrógrafos. La figura 43-9 m uestra ejem plos de espectros de luz visible registrados por m edio de dicho espectrógrafo. Las líneas de la figura son. en efecto, una im agen de la rendija 5j correspondientes a una de las m uchas longitudes de onda em itidas de la fuente. Por tal razón, a esta clase de im ágenes se les llam a líneas espectra le s:; en un espectro se supone que una “línea” indica un com p onente particu lar de la longitud de onda, cualquiera que sea la técnica con que se registra el espectro. En términos generales, las rejillas pueden generar- diversas im ágenes de las líneas espectrales, correspondientes a m = ± 1,
A zul
I 400
4 3 - 7 . Sección transversal de una rejilla con resaltado vista bajo luz reflejada. Hay una diferencia de trayectoria de d sen 6 entre los dos rayos mostrados. F
R o jo
I____ I
l_____ i_____!____ I
5 00 600 L o n g itu d d e o n d a (n m )
7 00
ig u r a
F i g u r a 4 . 3 - 9 . Ejemplos de espectros de luz visible emitidos por los gases de sodio (Na) y de mercurio (Hg).
F i g u r a 4 3 - 1 0 . Espectro de luz blanca vista con un espectroscopio de rejilla como el de la figura 43-8. Los órdenes, identificados mediante el índice m , se muestran separados verticalmente para hacer más clara la ilustración. Cuando se ven en la práctica, no aparecen tan desplazados. La línea central de cada uno corresponde a una ' longitud de onda de 550 nm. Las rejillas de difracción que se utilizan hoy están diseñadas para concentrar la intensidad de la luz en un orden particular, sin que muestren los patrones simétricos que se aprecian aquí.
W S S ^S B S S S B tS S S K H S M S B S B S B M M B B B tB S B B m S S X
.I
f-..- :á a M
± 2 , ... , en la ecuación 43-1, y tam bién pueden separar las lon gitudes de onda que están distribuidas de m odo continuo (como en la Fig. 43-10) en líneas espectrales bien definidas. L a luz proveniente de un objeto brillante y caliente, digam os el fila mento de una lám para o el Sol, produce un espectro continuo. El espectro del Sol contiene adem ás líneas espectrales pronuncia das, que aparecen com o líneas oscuras superim puestas en el espectro continuo. E stas líneas se deben a la absorción de la luz generada por los átom os de elem entos en la atm ósfera que rodea al Sol. E l helio (palabra que en griego significa Sol) es un ele m ento que fue descubierto gracias al análisis de dichas líneas. La luz puede dividirse en sus longitudes de onda com po nentes cuando reem plazam os la rejilla de la figura 43-8 por un prism a. En una espectrografía de p rism a , cada longitud de onda de la luz incidente es desviada a través de un ángulo 6, determ inado por el índice de refracción del m aterial del prisma referente a esa longitud. L as curvas como las de la figura 39-11, que indican el índice de refracción de cuarzo fundido en fun ción de la longitud de onda, m uestran lo siguiente: cuanto menor sea la longitud de onda, m ás grande será el ángulo de deflexión 9. Las curvas varían de un a sustancia a otra y hay que obtener las por m edición. Los instrum entos de prism a no son adecua dos para efectuar m ediciones exactas absolutas de la longitud de onda, pues el índice de refracció n del m aterial del prism a en la longitud de o nda en cuestión rara vez se conoce con suficiente precisión. L os instrum entos de prism a y de rejilla perm iten efectu ar co m p a ra cio n es exactas de la longitud de onda, usando un espectro apropiado de com paración com o el de la figura 43-9, en éste se determ ina en form a rigurosa y absoluta la longitud de onda de las líneas espectrales. P r o b l e m a R e s u e l t o 4-3-2. Una rejilla de difracción tiene 1 0 4 elementos espaciados uniformemente en 25.0 mm. La ilumina en incidencia normal una luz amarilla proveniente de una lámpara de vapor de sodio. Esta luz contiene dos líneas poco espaciadas (el conocido doblete de sodio) cuyas longitudes de onda miden 589.00 y 589.59 nm. a) ¿A qué ángulo ocurrirá el máximo de primer orden en la primera de las longitudes de onda? b) ¿Cuál es la separación angular entre los máximos de primer orden de las líneas?
Solución El espaciamiento d de la rejilla es 2 500 nm. El máximo de primer orden corresponde a rn = 1 en la ecuación 43-1. Por tanto, tenemos mA \~ d ~
/ (1)(589 nm) \ V 2500 nm J
b) La forma más sencilla de obtener la separación angular consiste en repetir el cálculo de la parte a) cuando A = 589.59 nm y en res tar los dos ángulos. La dificultad, que se aprecia muy bien al efec tuar el cálculo, es que debemos manejar muchas cifras significativas para obtener un valor significativo de la diferencia entre los ángulos. A fin de calcular directamente la diferencia de las posiciones angu lares, resolvamos la ecuación 43-1 con sen 9 y diferenciemos el resultado, tratando como variables 6 y A: sen 9
mA
~ ■d\.
eos 9 dd
Si las longitudes de onda están lo bastante cerca una de la otra como en este caso. d/\ puede reemplazarse por AA, la diferencia real de longitud de onda; dd se transforma entonces en A 6, la cantidad que buscamos. Esto nos da A9
¡ AA d eos 6
(l)(0.59nm ) (2 500 nm)(cos 13.6°)
2.4 X 10-4 rad = 0.014°. Nótese lo siguiente: aunque las longitudes de onda contienen cinco cifras significativas, el cálculo efectuado de esta manera incluye sólo dos o tres, con la consecuente reducción de la manipulación numérica.
4 3 = 3 DISPERSION Y POTENCIA DE RESOLUCIÓN L a cap acid ad de una rejilla p ara p roducir espectros que per m itan m edir con exactitud las longitudes de onda se basa e n ' dos propiedades intrínsecas: 1) la separación Ai9 entre las líneas espectrales cuya longitud de onda difiere en una canti dad peq u eñ a AA, y 2) el ancho o nitidez de las líneas. E n el problem a resuelto 43-2, calculam os la separación ang u lar entre las líneas poco espaciadas del doblete am arillo del sodio, en que AA = 0.59 nm. En ese caso encontram os una separación de A # = 0.014° entre los m áxim os principa les de p rim er orden de las líneas. A la separación angular A0 p o r unidad de intervalo de longitud AA se le llam a dispersión D de la rejilla, o sea a e AA
Propiedades d e tres rejillas0 Rejilla
N
A B C
5 000 5 000 10 000
a C on A = 500 nm y
d eos Q dd = m d A,
d(nm)
9
10 000 5 000 10 000 m = 1.
O O)
Nos gustaría que las rejillas tuviesen la m ay o r dispersión posible p ara que las líneas de longitud de o nda casi iguales presentarán la m áxim a separación. Si querem os ver cuál propiedad física de la rejilla determ i na su dispersión, diferenciarem os la ecuación 43-1 (d sen 9 = m k), tratando com o variables 6 y A. Y así obtenem os
5.7° 2.9°
R
£5(10 4 rad/nm)
5 000 5 000 10 000
1.0 2.0 1.0
o, en función de diferencias pequeñas en vez d e d iferenciales, d eos 6 A0 = m AA.
(43-8)
La dispersión D está dada p o r A # /A A, es decir, D
d eos 9
(43-9)
La dispersión crece a m edida que dism inuye el espaciam iento entre las rendijas. Tam bién puede aum entarse trabajando en el orden superior {m grande), com o se ilustra en la figura 43-10. A dviértase que la d ispersión no depende del núm ero de elem entos (líneas de la rejilla).
P otencia de resolución Si u n a rejilla genera líneas m uy anchas, p u ed en superponerse los m áxim os de las líneas espectrales de longitudes de o nda poco espaciadas; esto dificulta d eterm inar si tienen uno o m ás com ponentes y m edir con p recisión su lon g itu d de onda. Q u e rem os, pues, seleccionar una rejilla que p roduzca las líneas lo m ás estrechas posible. P o r m edio del criterio de R ay leig h (Sec. 4 2 -4 ) o b te n e mos una m edida razonable de la capacidad de resolver líneas cercanas de distinta longitud de onda; si el m áxim o de una línea cae sobre el prim er m ínim o de su vecina, debería ser posible resolver las líneas. En la sección 43-1 definim os el ancho de la línea espectral en una sola forma: com o el intervalo angular 89 entre el m áxim o y el prim er mínim o. El lím ite de resolución de la rejilla se presenta cuando dos líneas del espectro las separa un intervalo de longitud de onda AA, tal que la diferencia 86 entre sus posiciones angulares está dada por la ecuación 43-6. La potencia de resolución R de la rejilla se define así R
A AA
N d eos 6 ’
y resolviendo con R (= A /A A ) tenem os
0 .0 0 0 5 7 ° —
R e jilla ^4
a)
2.9°
(43-10)
Si las líneas son dem asiado estrechas {88 es pequeño), el intervalo correspondiente de longitud de onda AA debe ser pequeño y grande la potencia de resolución. A sí pues, d eb e m os escoger una rejilla con la R m ás grande. A fin de identificar la propiedad física de la rejilla que determ ina R , vam os a resolver la ecuación 43-8 con el espaciam iento A 6 entre las líneas cercanas y (m ediante el criterio de R ayleigh) vam os a hacer el resultado igual al ancho de la línea, 89, dado en la ecuación 43-6, com o el que existe entre el m áxim o y el prim er m ínim o. Y así obtenem os m AA _ A d eos 8
L a potencia de resolución, com o la dispersión, aum enta con el núm ero de orden. A diferencia de la dispersión, R depende de la cantidad de líneas N, pero es independiente de su sepa ración d. Si querem os m axim izar la potencia de resolución, debem os seleccionar una rejilla que tenga el m ayor núm ero de líneas. C on un espaciam iento cualquiera de d, la rejilla con el m áxim o ancho total tendrá la potencia m ás grande de reso lución (es decir, p roducirá las líneas espectrales más bien definidas). L a dispersión y la potencia de resolución m iden diversos aspectos de la capacidad de una rejilla para generar líneas m uy separadas. T om em os, p o r ejem plo, tres rejillas A, B y C, cuyas p ropiedades se incluyen en la tabla 43-1. Supóngase que están ilum inadas con un a luz form ada por un doblete de líneas a 500 nm , separadas p o r un intervalo AA = 0.10 nm. H em os seleccionado las propiedades de la rejilla A de m ane ra que las dos líneas del doblete en el m áxim o de prim er orden se encuentren ju sto en el lím ite de resolución, esto es, el m áxim o de una línea cae en el m ínim o de la otra, com o se indica en la figura 43-1 la . L a rejilla B presenta el doble de d ispersión de A, pero la m ism a potencia de resolución; crea adem ás el espectro de la figura 43-11 b. E n efecto, todos los
0 .0 0 1 1 4 ° R e jilla B
b)
5.7° 0 .0 0 0 5 7 ° — I | - S 3 -
AA A, c)
R ejilla C
ÍU L l 2.9°
F i g u r a 4 3 - 1 1 . El patrón de intensidad de dos líneas en A = 500 nm separadas por AA = 0.10 nm, que son producidas por las tres rejillas de la tabla 43-1. La rejilla B presenta la dispersión más grande, y la rejilla C, el potencial de resolución mayor.
intervalo s an g u lares están red u cid o s a escala p o r un facto r de 2, incluidos el ancho y las separaciones angulares de los picos. Si la m edición de la rejilla A hubiera dependido de nuestra capacidad de determ in ar los intervalos angulares pequeños, la m edición se facilitaría al p asar a la rejilla B. L a rejilla C tiene el doble de potencia de resolución de A, pero la m ism a dispersión. Los picos en la figura 43-1 le presentan la m ism a separación angular que los de la figura 43-1 la, pero anchos menores. Ahora, el m áxim o de un pico cae claramente fuera del prim er m ínim o del otro, y las dos líneas se distinguen m ás nítidam ente entre sí usando la rejilla C. E l ancho total de las tres rejillas, igual al producto N d, es 50 m m en la rejilla A; 25 m m en la rejilla B, y 100 m m en la rejilla C. N ótese en la fig u ra 43-11 que el ancho de los picos depende inversam ente del ancho de la rejilla, según se apre cia en la ecuación 43-6. ? s o 3 c e ,v a R e s u e l t o 4 3 - 3 . Una rejilla tiene 9 6 0 0 líneas espa ciadas uniformemente en un ancho W = 3 . 0 0 cm y está iluminada con una luz proveniente de una descarga de vapor de mercurio, a) ¿Cuál es la dispersión esperada, en el tercer orden, cerca de una línea ver de intensa (A = 5 4 6 nm)? tí) ¿Qué potencia de resolución tiene la rejilla en el quinto orden?
Solución a) El espaciamiento de la rejilla está dado por d =
W__ = 3.00 X 10- m = 3 125 nm. N 9600
Debemos encontrar el ángulo 6 donde se localiza la línea en cues tión. Con base en la ecuación 4 3 - 1 tenemos mA ~d~
= sen
= sen-i.
nm)i \ = 3L6°. V 3 12o nm /
Solución a) El espaciamiento d de la rejilla está dado por W
m 3 D = ---------- --------------------------------d eos & (3 1 2 5 n m ) ( c o s 31.6°) 1 .1 3 X 1 0 - 3 r a d / n m
X
10~2 m
El máximo de primer orden corresponde a m = 1 en la ecuación 43-1. Por consiguiente, tenemos mA
-i ( (1X589.00 nm) = sen' \ 2 083 nm
= 16.4°.
b) Aquí entra en juego la dispersión de la rejilla. Conforme a la ecua ción 43-9, las dispersiones D =
d eos 9
(2 083 = 5.00
n m ) ( c o s 1 6 .4 ° )
X 1 0 - 4 ra d /n m .
Basándonos en la ecuación 43-7, la que define la dispersión, tenemos A 6 = D AA = (5.00 X 10“4 rad/nm)(589.59 nm - 589.00 nm) = 2.95 X 10~4 rad = 0.0169° = 1 .0 1 are min. Mientras el espaciamiento d de la rejilla permanezca fijo, el resulta do anterior es válido sin que importe cuántas líneas hay en ella. c) Aquí interviene la potencia de resolución. Según la ecuación 43-11 es R = Nm = (1.20
X
104)(1) = 1.20
X
104.
A partir de la ecuación 43-10, la que define la potencia de resolu ción, tenemos AA =
589 nm = 0.049 nm. 1.20 X 104
R
Esta rejilla puede resolver fácilmente las dos líneas de sodio, cuya separación de longitud de onda es de 0.59 nm. Nótese que el resulta do anterior depende únicamente del número de elementos de la reji lla y es independiente de d, el espaciamiento entre líneas contiguas. d) De acuerdo con la ecuación 43-10, la que define R, la rejilla ha de tener una potencia de resolución de
= 0 . 0 6 4 6 7 n m = 3 .8 7 a r e m i n /n m .
tí) Y,
2.50
T = "7.20 x lo™ = 2 083 nm-
( (3 )(5 4 6
Ahora podemos calcular la dispersión. De acuerdo con la ecuación 43-9,
=
rejilla? d) ¿Cuántos elementos puede tener una rejilla y resolver ape nas las líneas de los dobletes de sodio?
R =
A AA
589 nm = 998. 0.59 nm
d e a c u e rd o c o n la e c u a c ió n 4 3 -1 1 ,
R = Nm = (9 600)(5) = 4.80
X I 0 4.
Y conforme a la ecuación 43-11, el número de elementos necesarios para alcanzar esta potencia de resolución (de primer orden) es
Así pues, cerca de A = 546 nm y en el quinto orden, puede resol verse una diferencia de longitud de onda dada por (Ec. 43-10) AA =
A
546 nm 4.80 X 104
= 0 .0 1 1 n m
R e s u e l t o 4 3 - 4 . Una rejilla de difracción tiene 1.20 X 104 elementos espaciados uniformemente en un ancho W = 2.5 cm. La ilumina en incidencia normal una luz amarilla prove niente de una lámpara de vapor de sodio. La luz contiene dos líneas poco espaciadas cuyas longitudes de onda miden 589.00 y 589.59 nm. a) ¿En qué ángulo ocurre el máximo de primer orden en la primera de las longitudes? b) ¿Qué separación angular hay entre las dos líneas (en el primer orden)? c) ¿A qué distancia mínima de longitud de onda pueden hallarse (en primer orden) y aun así ser resueltas por la
R N = — m
= 998 rulings.
Dado que la rejilla tiene unas 12 veces más elementos que ésta, pue de resolver fácilmente las líneas del doblete de sodio como ya seña lamos en la parte c).
P roblema
43= 4
D IF R A C C IO N B E RAYOS X
L os rayos X son una radiación electrom agnética con longi tudes de onda del orden de 0.1 nm (en com paración con los 500 nm de una lo n g itu d de onda típ ica de la luz visible). En la fig u ra 43-12 se describe cóm o se producen los rayos X
F i g u r a 4 3 - 1 2 . Se generan rayos X cuando los electrones procedentes del filamento calentado F, acelerados con una diferencia de potencial V, chocan contra un blanco metálico T en una cámara al vacío C. La ventana W es transparente a los rayos X.
cuando los electrones procedentes de u n filam ento calentado F son acelerados p o r una diferencia de poten cial V y chocan contra un blanco m etálico. C on longitudes de ondá tan pequeñas, no puede usarse una rejilla de difracción ó ptica com ún; éstas se em plean con m ucha frecuencia. P or ejem plo, cuando A = 0.10 nm y d = 3 000 nm , la ecuación 43-1 indica que el m áxim o de p rim er orden ocurre en sen -i ( ( l ) ( ° - 1 0 n m ) \ \ 3 X 103 nm /
sen'
0.0019°. El resultado anterior se aproxim a tanto al m áxim o central que no es práctico. C onviene una rejilla con d = A; pero, no puede construirse en form a m ecánica porque la longitud de onda de los rayos X es más o m enos igual a los diám etros atómicos. E n 1912, al físico M ax von Laue se le ocurrió que un sólido cristalino, por estar hecho de un arreglo regular de átom os, podría form ar una “rejilla de difracción” tridim ensional natu ral para los rayos X. L a figura 43-13 m uestra lo siguiente: si dejam os que un haz colim ado de rayos X , distribuido conti nuam ente en una longitud de onda, incida sobre un cristal, dig am o s de c lo ru ro de so d io , a p a re c e n h aces in te n so s en ciertas direcciones bien definidas (correspondientes a la inter-
Haces
F i g u r a 4 3 -1 4 . Patrón de Laue de difracción de rayos X proveniente de un cristal de cloruro de sodio.
fe re n c ia c o n stru c tiv a p ro v e n ie n te de los m u ch o s cen tro s de difracción de que consta el cristal. Si los haces chocan sobre una película fotográfica, producen un conjunto de “pun tos de L au e” . La figura 43-14, donde se ofrece un ejem plo de ellos, dem uestra que la hipótesis de Laue es, en verdad, correc ta. Los arreglos atóm icos en el cristal pueden deducirse de un estudio riguroso de las posiciones e intensidades de los puntos de L aue, en form a m uy parecida a cóm o podríam os deducir la estructura de una rejilla óptica (es decir, el perfil detallado de sus rendijas) estudiando las posiciones e intensidades de las líneas en el patrón de interferencia. Hoy, otros experim entos han venido a suplantar en gran m edida la técnica de Laue, pero el principio perm anece inalterado (Preg. 23). La figura 43-15 indica cómo los átomos de sodio y de clo ro (en rigor, los iones N a + y C l~) se apilan y forman un cristal de cloruro de sodio. Este patrón, que presenta una sim etría cúbi ca, es uno de los numerosos arreglos atóm icos que pueden exhi-
d if r a c ta d o s ..- o -
-P u n to s d e L a u e
H a z d e ra y o s ( c o n t in u o s e n lo n g itu d d s o n d a )
H s Un haz de rayos X choca contra una cristal C. En ciertas direcciones aparecen haces fuertemente difractados, produciendo un patrón de Laue sobre la película fotográfica S. F
ig u r a
4 3 -1 3 .
F i g u r á 4 3 - 1 5 . Modelo de un cristal de cloruro de sodio, que muestra cómo los iones sodio N a+ (esferas pequeñas) y los iones cloruro C l_ (esferas grandes) se apilan en la celda unitaria cuyo lado a0 tiene 0.563 nm de longitud.
bir los sólidos. E l m odelo representa la celda unitaria de cloru ro de sodio. Ésta es la unidad m ás pequeña con la cual puede obtenerse un cristal en tres dim ensiones p o r repetición. A consejam os al lector verificar si ningún grupo m ás pequeño de átom os posee esta propiedad. E n el caso del cloruro de sodio, la longitud a0 del lado del cubo de la celda unitaria m ide 0.563 nm. C ada unidad del cloruro tiene cuatro iones sodio y cuatro iones cloro. En la figura 43-15, el ion sodio en el centro perte nece enteram ente a la celda m ostrada. C ada uno de los doce iones sodio restantes se com parte com o tres celdas contiguas, de m anera que le aporta un cuarto ion. Así, el núm ero total de iones sodio será 1 + i ( 1 2 ) = 4. Con un razonam iento sim ilar puede dem ostrarse que, aunque hay 14 iones cloro en la figura 43-15, sólo cuatro están unidos a la celda unitaria en cuestión. L a celda es la u n idad fundam ental repetitiva de difrac ción en el cristal, correspondiente a la rendija (y a su tira opaca vecina) en la rejilla de difracción óptica de la figura 43-1. En la figura 4 3 -16a se in clu y e un plano en un cristal d e cloruro de sodio. Se o btiene la fig u ra 43-16¿>, si las celdas unitarias intersectadas p o r él se rep resen tan m ediante un cubo. Puede im aginar cada una de las figuras extendida indefinidam ente en tres dim ensiones. T ratarem os los cubos pequeños de la figura 43-161? com o un centro elem ental de difracción, correspondiente a una ren dija en una rejilla óptica. L as direcciones (no las intensidades) de todos los haces difractados de rayos X que pueden salir de un cristal de cloruro de sodio (con cierta longitud de onda de los rayos y con cierta orientación del haz incidente) se determ inan
m ed ian te la geom etría de esta red cristalina tridim ensional de c en tro de d ifracció n . E x actam en te en la m ism a form a, las direcciones (no las intensidades) de todos los haces difractados q u e p u ed en sa lir de u n a rejilla ó p tica en p a rtic u la r (con determ inada longitud y orientación del haz incidente) se deter m inan sólo p o r m edio de la geom etría de la rejilla, es decir, a través del espaciam iento d de la rejilla. R ep resentar la celda u nitaria p o r lo que es esencialm ente un punto com o en la figu ra 4 3 -1 6 ¿, equivale a rep resen tar con líneas las rendijas de una rejilla de difracción, com o lo hicim os al referim os al experi m ento de ren d ija doble en la sección 41-2. L as in tensidades de las líneas producidas p o r una rejilla óptica de difracción dependen de las características difractan tes de una rendija sim ple, determ inadas en especial p o r el ancho a de la rendija; véase, p o r ejem plo, una serie de rendi ja s en la fig u ra 43-1. El p erfil de los elem entos de la rejilla ó p tica d eterm inan las características de la que se utilice. D e m anera idéntica, las intensidades de los haces difracta d os p ro v e n ie n te s de un c ristal depen d en de las característi c a s d ifractan tes de la celd a unitaria. F u n d am entalm ente los electrones difractan los rayos X, y la difracción p o r los núcleos es insignificante en la generalidad de los casos. A sí, las caracte rísticas difractantes de una celda unitaria dependen de cóm o se distribuyan los electrones en todo el volum en de esta celda. Al estudiar las direcciones de los haces de rayos X difractados des cubrim os la sim etría básica del cristal. Y al hacer lo m ism o con las intensidades descubrim os cóm o se distribuyen los electrones en una celda unitaria. L a figura 43-17 contiene un ejem plo de esta técnica.
Ley de B ragg
P
b
m
m
-s
m
b
a
H¡
B
a
0
H
H
— a0 e
w
E sta ley predice las condiciones en que es posible que los haces de rayos X se difracten. Al obtenerla, se ignora la estructura de la celda unitaria, que se relacionan sólo con la intensidad de los haces. Las líneas punteadas inclinadas de la figura 4 3 -18a repre sentan la intersección con el plano de la figura de un conjunto arbitrario de planos que cruzan los centros elem entales de difracción. L a distancia perpendicular entre los planos adyacen tes es d. Pueden definirse m uchas otras fam ilias de este tipo de planos, con distintos espaciam ientos interplanares. L a fig u ra 43-18Í? m uestra una onda incidente que choca co ntra \&fa m ilia de planos; el rayo incidente form a un ángu lo 9 con el plano.* En un plano simple tiene lugar una “refle xión” especular con cualquier valor de 9. Es necesario que los rayos provenientes de planos separados se refuercen entre sí, para que se produzca una interferencia constructiva en el haz difractado procedente de la fam ilia entera de planos en la direc ción 9. Ello significa que la diferencia de trayectoria en los rayos originados en planos adyacentes (abe en la Fig. 43-18¿?) debe ser un núm ero entero de longitudes de onda, o sea 2 d sen 9 — m Á
b)
m = 1, 2, 3, . . . .
(43-12)
H
F i g u r a 4.3-1 s . a) Plano a través de un cristal de NaCl, que muestra los iones Na y Cl. b) Celdas unitarias correspondientes en esta sección. Cada celda se representa con un cuadrado negro pequeño.
* En la difracción de rayos X se acostumbra especificar ¡a dirección de una onda indicando el ángulo entre el rayo y el plano (el ángulo de visión) y, no el existente entre el rayo y la normal.
l U U n H *-8**5»“ u) contornos de densidad de los electrones en la ftalocianina (C32H 18N lg), determinados por la intensidad de distribución de la dispersión de rayos X. Las curvas punteadas representan la densidad de un electrón por 0.01 nm2 y las adyacentes representan un incremento del electrón por 0.01 nm2. b) Representación estructural de la molécula. Nótese que la mayor densidad de los electrones ocurren en a) cerca de los N átomos, que tienen el máximo número de electrones (7). Nótese, asimismo, que los átomos H, que contienen sólo un electrón simple, no son muchos en a).
H
/ =C\ _ 1 CV
\
C
/
w / N-—c
w
-N — H
//
N
/
/
H
\
H— N-— C
/
XC " ''C%
Il
^/
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
«
A esta relación se le da el nom bre de ley de B ragg en honor de W. L. Bragg, quien fue el prim ero en formularla. La cantidad d en esta ecuación (el espaciam iento interplanar) es la d istan cia perpendicular entre los planos. E n los de la figura 43- 18a vem os que d se relaciona con las dim ensiones de la celda uniao \ \ \
\
\
— W-Js— -fa
\ \
\ a
\
\ \
i\ \ \ \ \ \ , l \ L ¿x \ \ \ \ \ \| Y \ \ \ V \ s- \ @ \ s \ a \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ k \ \ \ \ \ \ , \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
a
\ \ \ \ g x \ \ \ \ \ \
H \ X \ \ \ \ \ xh x
a)
C/ G
\ , / c^ c H
E s c a l a (n m )
a)
w
Vi/ Cv
, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ X V. ' fe \ X x \ \ \ \ \ O n d a in c id e n t e
tafia aQ m ediante j _ ao d ~ S ' (43~13) Si un haz m onocrom ático incidente de rayos X incide en un ángulo arbitrario 6 sobre un conjunto particular de planos atóm icos, no se producirá un haz difractado porque, en gene ral, la ecuación 43-12 no se satisface. Si la longitud de onda de los rayos incidentes es continua, aparecerán haces difrac tados cuando las longitudes dadas por
r
2 d sen 8 A = ------------m
m -
1. 2, 3, . . .
existan en el h az incidente. L a difracción de los rayos X es una poderosa hen*amienta para estudiar los espectros de los rayos X y el arreglo de los áto mos en cristales. A fin de estudiar el espectro de una fuente de rayos X, se escoge una serie de planos del cristal cuyo espacia m iento d se conozca. La difracción de los planos sitúa varias longitudes de onda en diversos ángulos. Un detector capaz de discrim inar ángulos se em plea para determinar la longitud de onda de la radiación que llega a él. También puede estudiarse el cristal con un haz m onocrom ático de rayos X para calcular no sólo el espaciam iento de varios planos del cristal, sino ade m ás la estructura de la celda unitaria. L a molécula de ADN y m uchas otras estructuras igualmente complejas han sido anali zadas m ediante los m étodos de difracción de los rayos X. P r o b l e m a R e s u e l t o 4 3 - 3 . ¿En qué ángulos debe un haz de rayos X con A = 0.110 nm incidir sobre la familia de planos repre sentados en la figura 43-186, para que se produzca un haz difracta do? Suponga que el material es cloruro de sodio (a0 — 0.563 nm).
Solución El espaciamiento interplanar d de los planos anteriores está dado por la ecuación 43-13, es decir, F i g u r a 4 3 -1 8 . a) Sección en la red cristalina del NaCl de la figura 43-16. Las líneas punteadas representan un conjunto arbitrario de planos paralelos que conectan a las celdas unitarias. El espaciamiento interplanar es d. b) Un haz incidente choca sobre una serie de planos. Un haz fuertemente difractado puede observarse si se cumple la ley de Bragg.
el
a0
0.563 nm
0.252 nm.
v f= La ecuación 43-12 nos da ( (m )(0 .1 1 0 n m ) \
sen
~2d
V 1 2 K 0 .2 5 2 n m ) / '
Los haces difractados son posibles cuando 6 = 12.6° {m = 1), B = 25.9° (m = 2), 6 = 40.9° (m = 3) y 6 = 60.8° (wj = 4). No puede haber haces de orden superior porque requieren que sen 6 > 1. En realidad, la celda unitaria en los cristales cúbicos, como NaCl, reúne propiedades de simetría, los cuales exigen que sea cero la intensidad de los haces difractados de rayos X correspondientes a los valores impares de m (Prob. 35). En consecuencia, los únicos haces que se prevén son 0 = 25.9° (m = 2) y 0 = 60.9° (m = 4).
<43 “B
H O L O G R A F ÍA (opcional)
L a luz em itida p o r un objeto contiene la inform ación com pleta de su tam año y de su form a. Suponem os que la inform ación se guarda en los frentes de onda de la luz proveniente del objeto, concretam ente en la variación de intensidad y en la fase de los cam pos electrom agnéticos. Si pudiéram os registrar esta infor m ación, seríam os capaces de reproducir una im agen tridim en sional com pleta de él. Sin em bargo, las películas fotográficas registran sólo las variaciones de intensidad; no son sensibles a las de fase. D e ahí la im posibilidad de em plear un negativo para reconstruir una im agen tridim ensional. U na excepción a la restricció n p recedente es el caso de la difracción de rayos X en un cristal. D ado el espaciam iento regular de los átom os de este m aterial, pueden deducirse fácilm ente las fases relativas de las ondas difractadas que lle gan a la pelícu la desde varios átom os. E sta posibilidad la d es cubrió W. L. B ragg, q uien ilum inó un negativo de un patrón de rayos X y así reco n stru y ó la im agen de un cristal. En este m étodo de “difracción d o b le” , la radiación de un p atrón de difracción p ro d u ce u n a im agen del objeto original. N o da resultado con los objetos cuyos átom os no están dispuestos en un arreglo periódico.
F i g u r a 4 - 3 - 2 0 . Para ver un holograma, lo iluminamos con una luz idéntica a la del haz de referencia. La imagen virtual de tres dimensiones se observa en el sitio del objeto original.
E n 1948 D ennis G abor inventó un esquem a p ara registrar la inten sid ad y la fase de las ondas provenientes de objetos; su descubrim iento le valió el Prem io N obel de F ísica en 1971. A este tipo de form ación de im agen se le conoce com o holografía, p alabra griega com puesta que significa literalm ente “im ag en en tera”, y a la im agen obtenida se le llam a hologra m a. E l procedim iento se describe en la figura 43-19. U na onda difractada proveniente de un objeto interfiere en la pelícu la fotográfica con una onda de referencia. L a interferencia entre las dos ondas sirve de m edio para alm acenar en la pelícu la la info rm ació n referente a la fase de la onda p roveniente del objeto. C uando la im agen fotográfica se ve con una luz idén tica al h az de referencia, se reconstruye una im agen virtual tridim ensional (Fig. 43-20). U na segunda im agen (la real), que no se m uestra en la figura, tam bién se obtiene m ediante el hologram a. A la pelícu la la ilum inan uniform em ente la luz difracta da procedente del objeto y el haz de referencia; toda la película
P e lí c u la f o to g r á f ic a
Aparato con el cual se producen hologramas. Una parte del haz proveniente de una fuente de luz coherente (un láser, por ejemplo) ilumina un objeto. La luz difractada por el objeto interfiere en la película con una parte del haz original, que sirve de referencia. F
ig u r a
4 3 -1 9.
F i g u r a 4 3 - 2 1 . Vista de cerca de un holograma que muestra el patrón de interferencia.
m F
ig u r a
m 4 -3 -2 2 .
Dos vistas de un mismo holograma, tomadas de diferentes direcciones. Adviértase el movimiento relativo de los objetos
en las imágenes.
contiene la inform ación necesaria para rep ro d u cir la im agen tridim ensional. Tam bién el h o logram a (Fig. 43-21) m u estra únicam ente las franjas de interferencia; en térm inos generales es preciso utilizar un haz m onocrom ático y coherente para reconstruir la im agen. P or tal razón, la h olografía se inventó apenas a principios de 1960, cuando los láseres se convirtie ron en un instrum ento de uso com ún. Algunos hologramas pueden verse bajo luz blanca. E n ellos se em plea una gruesa emulsión fotográfica, donde la luz es refle jada por capas sucesivas de granos de la película. A parece inter ferencia constructiva en ella con la longitud de onda del haz original de referencia; la interferencia destructiva se observa en otras longitudes de onda. Puede obtenerse una im agen en color por m edio de haces de referencia de diversos colores. E l hologram a reconstruye una im agen tridim ensional v erdadera; p o r ejem plo, los o b jeto s c ercan o s a p arec e n “delante de” otros m ás lejanos y al m over la cabeza de un lado a otro puede m odificarse la orientación espacial relativa
de ellos. En la figura 43-22 se presentan dos vistas de un m ism o hologram a, que ilustran el efecto de paralaje; éste consiste en visualizar este hologram a desde dos direcciones. Los hologram as tienen m uchas aplicaciones en ciencia básica y aplicada. P or ejem plo, cuando se obtienen es nece sario co nservar el objeto absolutam ente inm óvil m ientras se expone la película: cualquier m ovim iento, por pequeño que sea, cam biará la fase relativa enüre los haces difractados y los de referencia, m odificando así el patrón de interferencia guar dado en la película. Si el hologram a se crea sobreponiendo en la película dos exposiciones sucesivas de un objeto vibratorio com o la placa superior o inferior de un violín, los sitios del objeto que se m ueven entre las exposiciones debido al núm e ro entero de longitudes de onda m ostrarán interferencia cons tructiva; las que se m ueven a causa del núm ero sem ientero de longitudes de onda (A /2, 3A /2, ...) presentarán interferencia destructiva. E n la figura 43-23 se da un ejem plo de la aplica ción de esta técnica, denom inada interferom etría holográfica.
F i g u r a 4 - 3 - 2 3 . Patrón de interferencia holográfica de la parte superior de la placa de un violín que vibra a diversas frecuencias. Las que se muestran aquí (en Hz) se hallan arriba de las placas.
O p c i ó n m ú l t ip l e 4 3 -1
R en d ijas m ú ltip les
1. ¿Cuál de los siguientes es un efecto de la adición de más rendi jas al aparato de interferencia? A) Las franjas brillantes se acercan más entre sí. B) Las franjas brillantes se separan más. C) Aumenta el ancho de las franjas brillantes. D) Aumenta el ancho de las franjas oscuras. 2. Considere dos rejillas: una mide 0.5 cm de ancho con 5 000 líneas/cm, la segunda 1.0 cm de ancho con 2 500líneas/cm. Suponiendo que las dos estén totalmente iluminadas con una luz idéntica, ¿cuál de ellas tiene el máximo central más bien de finido? A) La primera B) La segunda C) Los dos tienen la misma nitidez. 3. Una “rejilla” de difracción apropiada para las ondas sonoras se obtiene cortando rendijas en una gran hoja de hule. Se sostiene esta última delante de un altavoz y se produce un estrecho máxi mo central. Luego se estira de modo que las rendijas se separen más. ¿Qué cambio se produce en el ancho del máximo central? A) Se vuelve más ancho B) Se vuelve más estrecho C) Mantiene el mismo ancho.
4 3 - 2 Rejillas de difracción 4. ¿Cuáles de las siguientes propiedades son verdaderas tanto para un prisma como para una rejilla de difracción? A) El dispositivo divide la luz blanca en líneas espectrales con distinta posición angular. B) El dispositivo genera más de una imagen de una línea espectral. C) El dispositivo puede efectuar mediciones precisas abso lutas de longitud de onda. D) El dispositivo desvía luz violeta más que luz roja. 5. El espectro solar consta de varias líneas oscuras de absorción, sobrepuestas en un espectro continuo. ¿Cuáles de los siguientes cambios permiten a las bandas oscuras ser identificadas más fácilmente mediante una rejilla de difracción? A) Aumento del número de rendijas. B) Aumento de la separación entre rendijas. C) Aumento del ancho de cada rendija. D) Ninguna de las posibilidades anteriores.
4 3 - 3 Dispersión y potencia de resolución 6. ¿Qué diferencia existe entre dispersión y nitidez?
A) La dispersión es una medida del ancho de los máximos, en tanto que la nitidez es la facilidad con que se ven. B) La dispersión es una medida de los máximos, en tanto que la nitidez es una medida del ángulo entre dos máxi mos. C) La dispersión es una medida del ángulo entre dos máxi mos, en tanto que la nitidez es una medida del ancho. D) La dispersión y la nitidez realmente miden lo mismo. 7. Considere la hoja de hule de la pregunta de opción múltiple 3. a) ¿Qué sucede con la potencia de resolución cuando estiramos la hoja? A) Aumenta B) Disminuye C) No se altera. b) ¿Qué sucede con la dispersión cuando estiramos la hoja? A) Aumenta B) Disminuye C) No se altera. 8. Dos haces monocromáticos de luz con longitudes de onda casi iguales inciden en una rejilla de N elementos, y no son muy resolubles. Pero se resuelven si se incrementa el número de los elementos. Prescindiendo, por ahora, de las fórmulas, ¿cuál de las siguientes explicaciones es la correcta? A) Puede pasar más luz por la rejilla. B) Los máximos principales se tom an más intensos y, por lo mismo, resolubles. C) El patrón de difracción se esparce más y, por ello, se resuelven las longitudes de onda. D) Hay mayor número de órdenes. E) L os m áxim os p rin cip ales se vuelven estrech o s y. p or lo
mismo resolubles.
4 3 - 4 Difracción de rayos X 9. En algunos aspectos, la reflexión de Bragg difiere de la difrac ción de rejilla plana. De los siguientes enunciados, ¿cuál es ver dadero para esa reflexión, y no para la difracción de la rejilla? A) Pueden superponerse dos longitudes de onda diferentes. B) La radiación de cierta longitud de onda puede enviarse en más de una dirección. C) Las ondas largas se desvían más que las cortas. D) Existe un solo espaciamiento de rejilla. E) Los máximos de difracción de cierta longitud de onda ocurren sólo con determinados ángulos de incidencia. 4 3 - s H olo g ra fía
r REGUNTAS 1. Explique esta afirmación: “A una rejilla de difracción también se le puede llamar rejilla de interferencia”. 2. ¿Cómo cambiará (si es que cambia) el espectro de una fuente encerrada que se forma por una rejilla de difracción sobre una pantalla, cuando la fuente, la rejilla y la pantalla están sumergi das en agua? 3. a) ¿Con qué clase de ondas podría una cerca de estacas consi derarse una rejilla útil? b) ¿Puede construir una rejilla con hileras paralelas de alambre fino encordado muy cercano?
4. ¿Podría construir una rejilla de difracción para el sonido? De ser así, ¿qué espaciamiento de rejilla es idóneo para una longitud de onda de 0.5 m? 5. Una rejilla de difracción cruzada se marca con líneas en dos direcciones, formando ángulos rectos entre ellas. Prediga el patrón de intensidad de luz sobre la pantalla, si se emite luz a través de la rejilla. ¿Tiene un valor práctico esta última? 6. Suponga que, en vez de una rendija, se coloca una abertura circu lar pequeña en el plano focal de la lente colimadora del telesco-
7.
S.
9. 10.
11.
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15. 16.
17.
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20.
pió de un espectrómetro. ¿Qué se vería cuando el telescopio fuera iluminado con la luz de sodio? ¿Cuándo solemos llamar espectros a “los espectros lineales”? En una espectografía de rejilla, varias líneas con distinta longi tud de onda y formadas en varios órdenes podrían aparecer cer ca de cierto ángulo. ¿Cómo distinguirá sus órdenes? Le dan la fotografía de un espectro donde están marcadas las posiciones angulares y las longitudes de onda de las líneas espec trales. a) ¿Cómo saber si el espectro se tomó con un prisma o con un instrumento de rejilla? b) ¿Qué información podría con seguirse acerca del prisma o de la rejilla que se utiliza para estu diar el éspectro? Un prisma de vidrio crea un espectro. Explique de qué manera. ¿Cuántos “órdenes” de espectros producirá un prisma? En el espectroscopio simple de la figura 43-8 demuestre a) que 6 aumenta con A en una rejilla y que b) 8 disminuye con A en un prisma. De acuerdo con la ecuación 43-6, cuanto más se ensanchen los máximos principales (es decir, 38), más alto será el orden m (esto es, más grande se vuelve 8). Según la ecuación 43-11, cuanto más crezca la potencia de resolución, más alto será el orden m. Expliqúe esta aparente paradoja. Con sus propias palabras explique por qué los máximos se toman más nítidos al aumentar el número N de rendijas en una rejilla de difracción. ¿Por qué se logra el mismo efecto al reducir la longi tud de onda? ¿Y al aumentar el espaciamiento d de la rejilla? ¿Cuánta información puede conseguirse respecto a la estructu ra de una rejilla de difracción analizando el espectro que forma una fuente de luz monocromática? Suponga A = 589 nm, por ejemplo. Suponga que lo s límites del espectro visible sean 430 y 680 nm. ¿Cómo diseñaría una rejilla suponiendo que la luz incidente lle gue normalmente a ella, de modo que el espectro de primer orden apenas se superponga al de segundo orden? a) ¿Por qué una rejilla de difracción tiene elementos espaciados' muy cercanos? b) ¿Por qué tiene gran cantidad de ellos? La relación R = Nm indica que la potencia de resolución de una rejilla puede hacerse tan grande como se desee, con sólo esco ger un orden arbitrariamente superior de difracción. Explique esta posibilidad. Demuestre que, con cierta longitud de onda y ángulo de difrac ción, la potencia de resolución de una rejilla depende sólo de su ancho W(= Nd). ¿Cómo mediría experimentalmente a) la dispersión D y b) la potencia de resolución R de un espectrógrafo de rejilla? En una familia de planos de un cristal, ¿puede la longitud de onda de rayos X incidentes a) ser demasiado grande o b) ser demasiado pequeña para formar un haz difractado? Si se permite que un haz de rayos X paralelo de longitud de onda A incida sobre un cristal de cualquier material orientado al azar, en general no habrá haces difractados intensos. Aparecerán si a) el haz presenta una distribución continua de longitudes de
onda y no una sola longitud o b) si el espécimen no es un cris tal simple, sino un polvo finamente dividido. Explique estos casos. 21 ¿Experimenta refracción un haz de rayos X al entrar y salir de un cristal? Explique su respuesta. 22. ¿Por qué el cubo simple «0/2 de la figura 43-15 no se emplea como celda unitaria del cloruro de sodio? 23. En la figura 43-24a mostramos esquemáticamente el experimen to de Debye-Scherrer y en la figura 43-24¿> un patrón de difrac ción correspondiente de los rayos X. a) Teniendo presente que el método de Laue utiliza un cristal simple grande y un haz de rayos X distribuidos continuamente en la longitud de onda, expli que el origen de los puntos de la figura 43-14. (Sugerencia: Cada punto corresponde a la dirección de la dispersión procedente de una familia de planos.) b) Explique el origen de los anillos recor dando que el método de Debye-Scherrer usa gran cantidad de cristales simples pequeños orientados aleatoriamente y un haz monocromático de rayos X. (Sugerencia: Se obtienen todos los ángulos posibles de incidencia, ya que los cristales peque ños muestran una orientación aleatoria.) Anillos de
Ifp itS
:!GUñA 4 3 - 2 4 . Pregunta 23.
24. Un holograma monocromático se construye con un láser rojo He-Ne. La película del holograma se ilumina después con luz verde de láser. Describa la imagen, si es que se produce.
4.3-1 Rendijas múltiples 1. Una rejilla de difracción que mide 21.5 mm de ancho tiene 6 140 elementos, a) Calcule la distancia d entre las líneas adyacentes. b) ¿En qué ángulos ocurrirán los haces de intensidad máxima si la radiación incidente tiene una longitud de onda de 589 nm? 2. Una rejilla de difracción que mide 2.86 cm causa una desviación de 33.2° en el segundo orden con una luz de 612 nm de longitud de onda. Encuentre la cantidad total de elementos de la rejilla. 3. Con la luz proveniente de un tubo de descarga gaseosa que inci de normalmente en una rejilla con una distancia 1.73 /¿m entre los centros adyacentes de la rendija, una luz verde aparece con máximos nítidos en los ángulos medidos de transmisión 8 = ±17.6°, 37.3°, —37.1°, 65.2° y —65.0°. Calcule la longitud de onda de la línea verde que se ajuste mejor a los datos. 4. Un estrecho haz de luz monocromática incide contra una rejilla en incidencia normal y produce máximos nítidos en los siguien tes ángulos con la normal: 6°40', 13°30', 20°20' y 35°40'. No aparecen otros máximos en ningún ángulo entre 0° y 35°40'. La separación entre los centros adyacentes de elementos en la rejilla es 5 040 nm. Encuentre la longitud de onda de la luz utilizada. 5. Una luz con 600 nm de longitud de onda incide normalmente sobre una rejilla de difracción. Dos máximos principales adya centes aparecen en sen 8 = 0.20 y sen 9 = 0.30. No existe el cuarto orden, a) ¿Qué separación hay entre las rendijas vecinas? b) ¿Cuál es el menor ancho posible de rendija individual? c) Mencione todos los órdenes que aparecen sobre la pantalla con los valores obtenidos en a) y en b). 6. Una r e j i l la d e d i f r a c c i ó n consta d e r e n d ija s q u e m id e n 310 nm d e ancho, con una separación de 930 nm entre los centros. La iluminan ondas monocromáticas planas, A = 615 nm, con un ángulo de incidencia cero, a) ¿Cuántos máximos de difracción hay? b) Calcule el ancho de las líneas espectrales observadas en el primer orden si la rejilla cuenta con 1120 rendijas.
Rejillas de difracción 7. Una rejilla tiene 315 elementos/mm. ¿Con qué longitud de onda en el espectro visible puede observarse la difracción de quinto orden? 8. Una rejilla de difracción tiene 200 elementos/mm y se observa un máximo principal en 8 = 28°. a) ¿Cuáles son las posibles longitudes de onda de la luz visible incidente? b) ¿De qué color son? 9. Una rejilla tiene 400 elementos/mm, ¿cuántos órdenes del espec tro visible entero (400 a 700 nm) pueden producirse? 10. Demuestre que, en una rejilla con franjas alternativamente transparentes y opacas de igual ancho, todos los órdenes pares están ausentes (excepto m = 0). 11. Una luz blanca (400 nm < A < 700 nm) incide en un rejilla. Demuestre que, sin importar el valor de su espaciamiento d, se superponen los espectros segundo y tercero. 12. Suponga que la luz incide en una rejilla formando un ángulo ijj como se indica en la figura 43-25. Demuestre que la condición de un máximo de difracción es d{sen é + sen 6) = mÁ
m = 0, 1, 2, ...
Sólo el caso especial é = 0 puede tratarse en este capítulo (compare la expresión anterior con la Ec. 43-1).
13. Una luz de 600 nm de longitud ilumina una rejilla de transmi sión con d = 1.50 ¡Mm en varios ángulos de incidencia. En función del ángulo de incidencia (de 0° a 90°) grafique la desviación angu lar del haz difractado de primer orden a partir de la dirección incidente (Ej. 12). 14. Suponga que los límites del espectro visible se escogen arbitra riamente como 430 y 680 nm. Calcule el número de elementos por mm de una rejilla que dispersará el espectro de primer orden en un intervalo angular de 20.0°. 15. Una rejilla tiene 350 elementos/mm y la ilumina una luz blan ca en incidencia normal. Aparece un espectro en una pantalla a 30 c m d e e lla . Si s e h a c e un h o y o c u a d r a d o d e 10 mm e n la p a n talla, con su lado interior a 50 mm del máximo central y para lelo a él, ¿qué intervalo de longitudes de onda pasa por el hoyo? 4 .3 - 3
Dispersión y potencia de resolución
16. Una rejilla tiene 620 elementos/mm y mide 5.05 mm de ancho. a) ¿Cuál es el intervalo más pequeño de longitud de onda sus ceptible de resolverse en el tercer orden cuando A = 481 nm? b) ¿Cuántos órdenes superiores pueden verse? 17. El “doblete de sodio” en el espectro de este elemento es un par de líneas cuyas longitudes de onda miden 589.0 y 589.6 nm. Calcule el número mínimo de elementos de una rejilla necesa rios para resolver el doblete en el espectro de segundo orden. 18. a) ¿Cuántos elementos debe tener una rejilla de difracción de 4.15 cm de ancho para resolver las longitudes de onda de 415.496 y 415.487 nm en el segundo orden? b) ¿En qué ángulo se encuentran los máximos? 19. Una fuente que contiene una mezcla de átomos de hidrógeno y deuterio emite luz con dos colores rojos poco espaciados en A = 656.3 nm, cuya separación es 0.180 nm. Encuentre el núme ro mínimo de elementos necesarios en una rejilla de difracción que puede resolver las líneas en el primer orden. 20. Demuestre que la dispersión de una rejilla puede escribirse como D = A-1 tan 8. 21. En una rejilla, el doblete de sodio (Ej. 17) se ve en el tercer orden en 10.2° a la normal y apenas se resuelve. Determine a) el espaciamiento de los elementos y b) el ancho total de la rejilla.
22. Una luz que contiene una mezcla de dos longitudes de onda, 500 y 600 ran, incide normalmente sobre una rejilla de difracción. Se desea 1) que los máximos principales primero y segundo de cada longitud de onda aparezcan en 9 s 30°. 2) que la dispersión sea lo más grande posible y 3) que el tercer orden de 600 nm sea un orden fallante, a) ¿Qué separación debería haber entre las rendijas contiguas? b) ¿Cuál es el menor ancho posible de rendija indivi dual? c) Mencione todos los órdenes de 600 nm que aparecen real mente en la pantalla con los valores obtenidos en a) y en b). 23. Una rejilla tiene 40 000 elementos esparcidos en 76 mm. a) ¿Cuál es su dispersión esperada D en °/nm para la luz de sodio (A = 589 nm) en los tres primeros órdenes? b) ¿Cuál es la potencia de resolución de ellos?
gítud de onda es mayor que el doble de la separación más gran de entre los planos del cristal. Véase pregunta 19. 31. Pruebe que, si se miden los ángulos de reflexión de Bragg en varios órdenes, no es posible determinar en un cristal la longi tud de onda de la radiación y el espaciamiento de los planos de la reflexión. 32. Suponga que el haz de rayos incidentes en la figura 43-27 no es monocromática, sino que contiene longitudes de onda en una banda entre 95.0 y 139 pm. ¿Habrá algunos haces difractados, asociados a los planos que aparecen en la figura? De ser así, ¿qué longitudes de Onda se difractan? Suponga que d = 275 pm.
43-4 D ifracción de rayos X 24. Se observa que unos rayos X de longitud de onda 0.122 nm se reflejan en el segundo orden contra la cara de un cristal de fluo ruro de litio en un ángulo de Bragg de 28.1°. Calcule la distan cia entre los planos adyacentes de los cristales. 25. Un haz de rayos X de 29.3 pm de longitud de onda incide sobre un cristal de calcita con un espaciamiento de red de 0.313 nm. De termine el ángulo más pequeño entre los planos del cristal y el haz que producirá una reflexión constructiva de los rayos. 26. Unos rayos X monocromáticos de alta energía inciden sobre un cristal. Si la reflexión de primer orden se observa en un ángulo de Bragg, de 3.40°, ¿en qué ángulo se prevé que sea la refle xión de segundo orden? 27. Un haz de rayos X, que contiene radiación de dos longitudes de onda, se dispersa desde un cristal, originando el espectro de inten sidad de la figura 43-26. El espaciamiento interplanar de los pla nos de dispersión es 0.94 nm. Determine la longitud de onda de los rayos presentes en el haz.
F
ig u r a
4 3 -2 7.
Ejercicios 32 y 34.
33. Lafdispersión de primer orden de Bragg procedente de un cris tal ocurre en un ángulo de incidencia de 63.8° (Fig. 43-28). La longitud de onda de los rayos X es 0.261 nm. Suponiendo que la difusión procede de los planos punteados de la figura, determine el tamaño de la celda unitaria a.o-
Ángulo de difracción (grados) F
ig u r a
4 3 -2 6 .
Ejercicio 27.
28. Al comparar la longitud de onda de dos líneas de rayos X mono cromáticas, se comprueba que la línea A causa un máximo de reflexión de primer orden en un ángulo de visión de 23.2° con la cara de un cristal. La línea B, que mide 96.7 pm de longitud de onda, produce un máximo de tercer orden en un ángulo de 58.0° con la misma cara del cristal, a) Calcule el espaciamiento interplanar. b) Determine la longitud de onda de la línea A. 29. Unos rayos X monocromáticos inciden en una serie de planos de cristal de NaCl, cuyo espaciamiento interplanar es 39.8 pm. Cuando giramos el haz 51.3° respecto a la normal, se observa la reflexión de primer orden de Bragg. Encuentre la longitud de onda de los rayos. Demuestre que, en la difracción de Bragg por un haz monocro mático de rayos X, no se obtienen máximos intensos si su lon-
F
ig u r a
4 3 -2 3 .
Ejercicio 33.
34. Unos rayos X monocromáticos (A = 0.125 nm) inciden sobre un cristal de cloruro de sodio, formando un ángulo de 42.2" con la línea de referencia que se muestra en la figura 43-27. Los pla nos son los de la figura 43-18a, donde d = 0.252 nm. ¿A través de qué ángulos debe girarse el cristal para que produzca un haz difractado asociado a los planos? Suponga que se gira el cristal alrededor de un eje perpendicular al plano de la página.
1. Obtenga la siguiente expresión con un patrón de intensidad de una “rejilla” de tres rendijas: I ~
An 0 + 4 eos
COS
2 4>),
donde 2 W sen 6
Suponga que a « A y guíese por la obtención de la fórmula correspondiente de rendija doble (Ec. 42-17). 2. a) Con el resultado del problema 1 demuestre lo siguiente: suponiendo que 8 sea bastante pequeño para que sen 8 » 9, el ancho medio de las franjas en un patrón de difracción de tres rendijas es
b) Compare lo anterior con la expresión obtenida para el patrón de dos rendijas en el problema 5 (Cap. 41) y pruebe que estos resultados corroboran la conclusión de que, en un espaciamiento fijo de rendijas, los máximos de interferencia adquieren mayor nitidez al aumentar el número de ellas. 3. a) Por medio del resultado del problema 1, demuestre que una “reji lla” de tres rendijas tiene sólo un máximo secundario. Encuentre b) su ubicación y c) su intensidad relativa. 4. Una rejilla de tres rendijas tiene una separación d entre las con tiguas. Si cubrimos la rendija de en medio, ¿el ancho medio de los máximos de intensidad crecerá o disminuirá y en qué factor lo hará? Consulte el problema 2. 5. Una rejilla de difracción tiene un gran número N de rendijas, cada una con un ancho a. Denotemos con / máx la intensidad en algún máximo principal y con Ik la intensidad de k-ésimo máxi mo adyacente, a) Si k « N, demuestre a partir del diagrama
de fasores que aproximadamente Ik/ I mÍK = !/(/< + \ ) 27r2 (Compare esto con la fórmula de rendija simple.) b) En los máximos secundarios que se hallan más o menos a la mitad entre dos máximos principales contiguos, demuestre que apro ximadamente Ik/ I mix = 1/iV2. c) Tenga en cuenta el máximo central principal y los secundarios adyacentes donde k « Demuestre que esta parte del patrón de difracción se asemeja cuantitativamente al de una rendija simple de ancho Na. 6. Una rejilla de difracción tiene una potencia de resolución R A/A A = Nm. a) Demuestre que el correspondiente intervalo de frecuencia A / que apenas puede resolverse está dado por A / = c/NmÁ. b) A partir de la figura 43-2 demuestre que At = (N d /c)sen 8 es la diferencia de los “tiempos de vuelo” de dos rayos extremos, c) Demuestre que (A/)(Af) = 1, con esta rela ción independiente de varios parámetros de rejilla. Suponga que N » 1. 7. Considere una red cuadrada infinita de dos dimensiones como la de la figura 43-16b. Un espaciamiento interplanar es eviden temente aQ. a) Calcule los siguiente cinco espaciamientos interplanares dibujando figuras semejantes a la figura 43-18a. b) Demuestre que la fórmula general es d — a0/^ h 2 + k~, donde los valores de h y k son enteros relativamente primos que no tienen otro factor común que la unidad. S. En el problema resuelto 43-5, el haz m = 1, permitido por consi deraciones de interferencia, tiene una intensidad cero por las pro piedades difractantes de la celda unitaria en esta geometría de haces y cristales. Pruébelo. (Sugerencia: Demuestre que la “refle xión” causada por el plano atómico a través de la parte superior de una capa de celdas unitarias se cancela mediante una “reflexión” por un plano a través de la mitad de la capa. Todos los haces de orden impar resultan tener una intensidad cero.)
POLARIZACION
n el capítulo 3 8 m ostram os que las ondas electrom ag néticas que se desplazan de m odo tal que el vecto r d el cam po eléctrico E y el del cam po m agnético B son p e r pendiculares entre s í adem ás de la dirección en que se propagan. E n otras palabras, las ondas electrom agnéticas son transversales. E sta p red icció n se deduce de las ecuaciones de M axw ell. En m uchos de los experim entos descritos hasta ahora, las ondas de luz no m anifiestan su naturaleza trans versal. P or ejem plo, la reflexión, refracción, interferencia y difra cció n p u e d en tener lugar en las ondas longitu dinales (el sonido, entre otras), y en las ondas transversales,. En el p resen te capítulo vam os a estudiar los fen ó m e n o s que no sólo dependen de la naturaleza tra n sversa l de la radiación m agnética, sino tam bién de la orientación p a rticu la r que los vectores del cam po eléctrico y m a gnético tengan en el espacio.
4 4 = 1] P O L A R IZ A C IÓ N D E LAS ONDAS E L E C T R O M A G N É T IC A S Es probable que el lector alguna vez haya m ovido un radio por tátil hacia una u otra dirección para m ejorar la recepción de la estación que escuchaba. O quizá haya ajustado la posición u orientación de la antena conectada a su sistem a de estéreo para intensificar la intensidad de la señal. Si se tiene una antena de televisión en el techo, se debe alinear en la orientación apro piada para recibir las señales que em ite la estación. Tales ajus tes se requieren porque algunos tipos de antena responden al cam po eléctrico E de una onda electrom agnética y la señal pue de recibirse sólo si el cam po eléctrico de la onda puede ocasio nar que los electrones fluyan a lo largo de los alam bres para generar una corriente. La orientación de la antena se escoge de modo que corresponda a la orientación del cam po E de la onda al ser producido por la antena em isora. Así, en Estados U nidos las señales de televisión se transm iten en form a tal que el cam po E oscila en un plano horizontal; por eso, la antena del techo tam bién debe ser horizontal (Fig. 44-1). E n otros países, las señales de televisión se em iten con el cam po E oscilando en un plano vertical; de ahí que para recibir la señal se requiera orien tar de m anera diferente la antena.
F i g u r a 4 4 - 1 . Antenas de televisión en los techos de las casas de Estados Unidos.
— *.* 'x f x \ vo A** Transmisor
R e c e p to r
microondas
m ic ro o n d a s
de A n te n a
v -s
a.\ ~ j i ó * [ ¿ i í B
A n te n a
V.
En la figura 44-2 se m uestra un arreglo experim ental que dem uestra el efecto anterior. U n transm isor de microondas a la izquierda se conecta a una antena dipolar. Las cargas, m ovién dose hacia arriba y abajo en la antena producen una onda elec trom agnética cuyo vector E es (a grandes distancias del dipolo) paralelo a su eje. C uando la onda incide sobre la antena del receptor de m icroondas, a la derecha, su vector E ocasiona que las cargas se desplacen hacia arriba y hacia abajo por la antena. Estas cargas en m ovim iento originan una señal en el receptor. Si giráram os el tran sm iso r 90° alrededor de la dirección en que se p ro p ag a la onda, la señal en el receptor se reduciría a cero. En este caso, el v ecto r E de la onda form aría ángulos rectos con el eje de la anten a receptora; la onda no causaría m ovim iento alguno de la carga a través de la antena recepto ra y, p or lo m ism o, tam poco habida señal alguna en el recep tor. Se o b tendría un resultado sem ejante si girásem os el receptor en vez del transm isor. La figura 44-3 representa una onda electrom agnética plana com o la que se observaría lejos de la antena transm isora de la figura 44-2. C om o siem pre sucede, los vectores E y B son per pendiculares entre sí y a la dirección en que se propaga la onda, que es la im agen básica de una onda transversal. Por con vención, la dirección de polarización de una onda se define com o la dirección del vector E (la dirección y en la figura 443). El plano determ inado por el vector E y la dirección de pro pagación (el plano x y en la Fig. 44-3) reciben el nom bre de
F i g u r a 4 4 - 2 . La onda electromagnética generada por el transmisor se polariza en el plano de la página, con su vector É paralelo al eje de la antena transmisora. La antena receptora puede detectarla con la máxima eficiencia, si su antena también se halla en el plano y es paralela a E. No se detecta señal alguna cuando la hacemos girar 90° alrededor de la dirección de propagación.
plano de polarización de la onda. N ótese que, al indicar dos direc ciones de la onda electromagnética (la de propagación y la de E ), especificam os com pletam ente la onda, porque las dos direccio nes fijan la dirección de B conform e va propagándose.* Se dice que la onda ilustrada g ráficam ente en la figura 44-3 está p o la riza d a linealm ente (llam ada tam bién plano p o larizado). E llo significa que el cam po E perm anece en una d irecció n fija (la direcció n y en la Fig. 44 -3) a m edida que se p ro p ag a la onda. Igual que en el experim ento de la figura 44-2, las ondas electrom agnéticas p olarizadas linealm ente, com o las que se em plean en la transm isión de radio y de tele visión, p u ed en obtenerse orientando en cierta dirección el eje de una an ten a dip o lar transm isora. E l m o vim iento de los elec trones en la antena es coherente; actúan al unísono para tran s m itir una onda electrom agnética polarizada. L a figura 44-4« o frece una vista de la onda p olarizada linealm ente de la fig u ra 44-3, tal com o podría verse si se saliera del papel hacia nosotros. E l cam po eléctrico oscila en una sola dirección (en este caso, hacia arriba y abajo a lo largo del eje y). * Recordar el vector de Payting, S = (E X B )/¿i0, estudiado en la sección 38-6, donde S está en la dirección de la propagación de la onda. Dados S y E , podemos encontrar la magnitud y dirección de B.
D if e r e n c ia d e fa se a le a to ria
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F i g u r a 4 4 - 3 . Instantánea de una onda electromagnética viajera que muestra los vectores E y B. La onda está polarizada linealmente, en este caso en la dirección y. El plano de polarización se define como el que contiene al vector E y la dirección de propagación: en este caso el plano de polarizaciones es el plano xy.
a)
b)
c)
a) Onda polarizada linealmente, como la de la figura 44-3, vista desde la dirección de propagación. La onda sale del plano de la página. Sólo se muestra el vector E. b) Una onda no polarizada, que puede considerarse una superposición aleatoria de muchas ondas polarizadas, c) Forma equivalente de mostrarla como dos ondas linealmente polarizadas que forman ángulos rectos entre sí, con una diferencia de fase aleatoria entre ellas. La orientación de los ejes y y z respecto de la dirección de propagación es totalmente arbitraria. F
ig u r a
4 4 -4 .
L os átom os se com portan de m odo in d ependiente en vez de cooperativa en otras fuentes de ondas electrom agnéticas, com o el Sol o una lám para incadescente. En conjunto, sus em isiones no presentan un plano único de polarización; m ás bien, la radiación consta de m uchos com ponentes cuya p o la rización se distribuye aleatoriam ente alrededor de la d irec ción de propagación, com o se observa en la figura 44-4¿>. E sta luz es transversal pero no p olarizada, es decir, no existe un plano preferido de polarización. E n la figura 44-4c se ve otra m anera de rep resen tar una onda no polarizada. L os vectores aleatorios E se representan m ediante sus com ponentes netos en dos ejes perpendiculares cualesquiera (en este caso, y y z). En las ondas no polarizadas, los com ponentes poseen igual am plitud, y la diferencia de fase entre ellos varía aleatoriam ente con el tiem po.
H O JA S D E PO L A R IZ A C IÓ N E n la figura 44-5 se m uestra una luz no polarizada que incide sobre una hoja de m aterial polarizador com ercial llam ado P o la ro id * En la hoja hay una cierta dirección típica de p o la rización, que se indica con líneas paralelas. L a hoja transm ite sólo los com ponentes del tren de ondas cuyos vectores de cam po eléctrico vibran paralelam ente a esa dirección y absor be aquellas que lo hacen en ángulo recto con esa dirección. L a luz proveniente de la hoja se polariza en form a lineal. L a dirección polarizadora de la hoja se establece durante el proceso de m anufactura incrustando algunas m oléculas de cadena larga en una hoja flexible de plástico y alargándola luego, p ara que. las m oléculas se alineen paralelam ente unas a otras. L a rad ia ción con su vector E alineada paralelalem ente a las m oléculas largas se absorbe intensam ente, m ientras que la radiación con su vector E perpendicular a esa dirección pasa a través de la hoja. E n la figura 44-6, la hoja de polarización (llam ada tam bién polarizador) se encuentra en el plano de la página y la direc ción de la propagación se dirige hacia afuera. El vector E indica el plano de vibración de un tren de ondas seleccionado aleato-
* Hay otras formas de producir luz polarizada sin utilizar este producto comercial tan conocido. Más adelante mencionaremos algunas. Consúltense en “The Amateur Scientist”, de Jearl Walker, Scientific A m erican, diciembre de 1977, p. 172, algunas formas de construir hojas de polarización y placas de cuarto de onda y de media onda, así como los experimentos que pueden rea lizarse con ellas.
Hoja de polarización P1 F i g u r a 4 4 - 5 . Una luz no polarizada está linealmente polarizada (y su intensidad se reduce a la mitad) después de pasar por una hoja de polarización simple. Las líneas paralelas, que no son visibles en las hojas, indican las direcciones de su polarización.
y
F i g u r a 4 4 - 6 . Otra vista de la acción de una hoja de polarización. Una onda polarizada linealmente (quizás una de las que aparecen en la Fig. 44-4£>) orientada en una dirección_aleatoria 8 incide sobre ella. Se transmite el componente y de E y se absorbe el componente z.
riam ente que incide sobre la hoja. Dos com ponentes vectoriales, E„ (de m agnitud E sen 6) y E y (de m agnitud E eos 6), pueden reem plazar E , uno paralelam ente a la dirección de polarización y el otro en ángulo recto con ella. Sólo el com ponente E v se transm ite; el com ponente E . se absorbe dentro de la hoja. C uando la luz no polarizada incide en una hoja ideal de polarización, la intensidad de la luz p olarizada que se trans m ite a través de la hoja equivale a la m itad de la intensidad incidente, sin que im porte la orientación de la hoja. Esto lo com probam os en la representación de la luz incidente no p olarizada dada en la figura 44 -4 cs donde todos los com po nentes tienen, en prom edio, la m itad del valor de la intensidad de la luz incidente. P or ser arbitraria la orientación de los ejes en esa figura, podem os escoger cualquiera de ellos y asignar le la dirección de transm isión de la h o ja de polarización sobre la que incide. La hoja transm ite el 50% de la luz incidente, pues este com ponente de la luz se transm itirá p o r com pleto, y el otro será absorbido en su totalidad. A la m ism a conclusión puede llegarse partiendo de la figura 44-6, donde una onda pola rizada en una dirección arbitraria incide en una hoja de polari zación. El com ponente E y ( = E eos 9) se transm ite y, por lo m ism o, la intensidad transm itida será proporcional a £ 2 = £ 2 eo s2 6. Si la luz incidente no está polarizada, obtenem os la inten sid ad total transm itida prom ediando la expresión ante rio r en todas las posibles orientaciones del plano de polariza ción de la luz incidente; es decir, en todos los valores posibles de 6. E l v alor prom edio de eos2 6 es J , p o r lo cual volvem os a concluir que se transm ite la m itad de la luz incidente. Las hojas reales de polarización pueden transm itir apenas 40% de la in tensidad incidente, debido a la reflexión y a la absorción parcial de la luz en la dirección de polarización. En nuestras explicaciones suponem os poiarizadores ideales. C oloquem os la segunda hoja de polarización P 2 (gene ralm ente llam ada analizador cuando se usa en esta form a) com o en la figura 44-7. Si giram os P 2 alrededor de la direc ción de propagación, hay dos posiciones, separadas 180° don de la intensidad de la luz transm itida cae a cero; éstas son las p osiciones donde la dirección de polarización de P¡ y P 2 for m a ángulos rectos.
mm
mim
A A /X
F i g u r a 4 4 - 7 . Una luz no polarizada no se transmite por medio de dos hojas de polarización, cuyas direcciones son perpendiculares entre sí.
i ' / , : " '.
PX/ V
Si la am plitud de la luz polarizada linealm ente incidente en P 0 es E m, la de la luz que sale será E m eos 9, donde 9 es el ángu lo entre las direcciones de polarización de P x y P 0. Al recordar que la intensidad del haz de luz es proporcional al cuadrado de la am plitud, com p ro b am o s que la intensidad transm itida I varía con 9, según / = / m eos- 8,
(44-1)
donde J , el v alor m áxim o de la intensidad transm itida, ocu rre cuando las d irecciones de p olarización de P x y P 2 son paralelas, es decir, cuan d o 6 = O, o sea 180°. En la figura 448a, donde dos hojas de polarizació n sobrepuestas están en p o sició n p a ra le la (8 = O o 180° en la E c. 4 4 -1 ), m u estra que la in ten sid ad de la lu z tran sm itid a a través de la región de sobreposición alcanza su v alor m áxim o. E n la figura 44-8¿? se ha girado 90° una de las hojas, de m odo que 9 tiene el valor de 90 o 270°; ahora es m ín im a la intensidad de la luz tran s mitida a través de la región de sobreposición. L a ecuación 44-1, denom inada ley de M alus, fue descubierta experim entalm ente p o r E tienne L ouis M alus (1775-1812) aplicando varias técn i cas de polarización (Sec. 44-3). H istóricam ente, los estudios de polarización se efectuaron para investigar la naturaleza de la luz (por ejem plo, los de M alus y T hom as Young, quienes adem ás de dem ostrar la natu raleza ondulatoria de la luz p o r la interferencia de rendija doble, probaron su naturaleza transversal en sus experim entos de polarización). H oy invertim os el procedim iento y deduci m os algo sobre la naturaleza de u n objeto a partir del estado de polarización de la luz em itida p o r él y dispersada desde él. Los estudios de la p olarización de la luz reflejada contra ellos ha perm itido inferir que los granos de polvo cósm ico de nuestra galaxia han sido orientados en el cam po m agnético galáctico débil (alrededor de 1 0 ~ 8 T ); de ahí que su dim ensión larga sea
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F i g u r a 4 4 - 3 . Vista de un pedazo de plástico que está entre dos hojas de polarización entrecruzadas. Los patrones oscuros y claros muestran las regiones de tensión en la estructura; ésta es la silueta de una catedral gótica.
paralela a ese cam po. Los estudios de la polarización señalan que los anillos de Saturno se com ponen de cristales de hielo. El tam año y la form a de las partículas virales se determ inan po r la polarización de la luz ultravioleta dispersada por ellos. La inform ación referente a la estructura de los átom os y los núcleos se obtiene m ediante estudios de polarización, de sus radiaciones em itidas en todas las partes del espectro electro m agnético. D isponem os, pues, de un m étodo m uy útil para investigar estructuras, cuyos tam años van desde el de una galaxia (1 0 +22 m) hasta el de un núcleo (1CT14 m). L a luz polarizada tiene m uchas aplicaciones en la indus tria e ingeniería. En la figura 44-9 vem os un trozo de plástico que h a sido tensando y puesto entre hojas de polarización. A parece el patrón de esfuerzo, lo cual perm ite a los ingenieros perfeccionar su diseño y reducir el esfuerzo en sitios críticos de F i g u r a 4-4-8. Dos hojas de un material polarizador (en este caso, anteojos polarizadores) se colocan sobre un patrón de líneas. En á) las direcciones de polarización de ellas son paralelos, de modos que pasa la luz; en b) las direcciones son perpendiculares; por tanto, no pasa luz por los dos lentes superpuestos.
a)
b)
o bien 6 = e o s '1
= ±45°, ±135°.
El mismo efecto se logra sin importar que la hoja se gira ni la dirección con que se gira ésta.
P O L A R IZ A C IÓ N P O R R E FL E X IÓ N
-T . .
-
F i g u r a 4 4 - í o . Asistente digital personal (APD) con pantalla de cristal líquido.
una
la estructura.* E n la figura 44-10 se m uestra una pantalla com ún de cristal líquido que utiliza luz polarizada para form ar letras y números, com o los de las carátulas de los relojes y calculadores. El cristal líquido es un material con m oléculas estiradas com o hojas de polarización; sin embargo, puede lograrse que la direc ción larga siga un cam po elécüico aplicado. Se dispone el cristal líquido de m odo que transmita norm alm ente la luz a través del polarizador y del analizador. Cuando el cam po eléctrico (prove niente de una batería) se aplica a ciertas regiones, las m olécu las se alinean en form a tal que no se transm ite luz a través de estas regiones que form an los paUones oscuros de la carátula.
E n 1809 M alus descubrió que la luz p o d ía ser polarizada par cial o com pletam ente por reflexión. Q uien h ay a observado al Sol reflejarse en el agua con unos anteojos oscuros, probable m ente habrá observado este efecto. B asta inclinar un poco la cabeza de un lado a otro, con lo cual se giran las hojas de p olarización, para ver que la intensidad de la luz solar- refle ja d a pasa por un m ínim o. E n la figura 44-11 se m uestra un haz no polarizado que inci de sobre una superficie de vidrio. Los vectores E se resuelven en dos com ponentes (según se aprecia en la Fig. 44-4c), uno p erpendicular al plano de incidencia (el plano de la Fig. 44-11), y el otro paralelo a él. E n prom edio, am bos com po nentes poseen igual am plitud, con una luz incidente no pola rizad a en absoluto. E n el vidrio u otros m ateriales dieléctricos existe un ángulo especial de incidencia, denom inado ángulo de p o la ri zación 9p (o ángulo de Brew ster), d onde el coeficiente de reflexión de la com ponente de p olarización en el plano de la figura 44-11 es cero. Ello significa que el haz reflejado con tra el vidrio, aunque de poca intensidad, presen ta polarización lin eal y su plano de polarización es p erp en d icu lar al plano de incidencia. Para verificar fácilm ente esta p olarización del haz reflejado basta analizarlo con una hoja de polarización. C uando la luz incide en el ángulo de polarización, el com ponente con polarización paralela al plano de incidencia se refracta en su totalidad, m ientras que el com ponente per p en d icu lar se refleja y se refracta de m anera parcial. A sí pues,
Luz
P ? .o 3 ls w a R e s u e l t o 4 4 - 1 . Dos hojas tienen direcciones de polarización paralelas, de modo que la intensidad Im de la luz trans mitida alcanza su máximo. ¿En qué ángulo deben girarse para que la intensidad disminuya a la mitad? Solución De la ecuación 44-1, dado que / = \ l m, tenemos 57m = L C°S2 8
* Se dan ejemplos de cómo se utilizan estos modelos en el estudio de la arqui tectura clásica en ‘T h e Architecture of Christopher Wren”, de Harold Dorn y Robert Mark, Scientific A m erican, julio de 1981, p. 160, y en “Gothic Structural Experimentation”, de Robert Mark y William W. Clark, Scientific American, noviembre de 1984, p. 176.
F i g u r a 4 4 -1 1. En un ángulo particular de incidencia 6 , la luz reflejada está polarizada por completo. La luz refractada está parcialmente polarizada. Los puntos indican los componentes de polarización perpendiculares al plano de la página y las flechas dobles, los componentes de polarización paralelos al plano.
P r o b l e m a R e s u e l t o 4 4 - 2 . Queremos utilizar como polariza- '•'* dor una placa de vidrio (n = 1.50) en el aire. Determine el ángulo de A polarización y el de refracción.
Solución Con base en la ecuación 44-3 6p = tan-1 1.50 = 56.3°. El ángulo de refracción se obtiene de la ley de Snell: sen 9p = n sen 8,, o sen 56.3° sen Qr = — ——— = 0.555 l.oO
L uz c a s i p o la riz a d a e n e l p la n o d e la p á g i n a F i g u r a 4 - 4 - 1 2 . Polarización de la luz por una pila de placas de vidrio. La luz no polarizada incide en el ángulo 8 . Se polarizan todas las ondas reflejadas que son perpendiculares al plano de la página. Luego de atravesar varias capas, la onda transmitida ya no contiene un componente polarizado apreciable, que sea perpendicular- a la página.
el haz refractado que presen ta gran intensidad se polariza en parte. Si del vidrio p asara al aire y luego incidiera en la super ficie de un segundo vidrio (una vez m ás con un ángulo 0 ), el com ponente p erp en d icu lar se reflejaría y el h az refractado m ostraría un a polarizació n ligeram ente m ayor. C on una p ila de placas de vidrio obtenem os reflexiones de fuentes sucesi vas y es posib le increm en tar la intensidad del haz reflejado em ergente (Fig. 44-12). L os com ponentes perpendiculares se elim inan p o co a p oco del h az transm itido; esto lo polariza m ás com pletam ente en el plan o de la figura 44-12. E n el ángulo de polarizació n se com prueba, m ediante experim entos, que los haces reflejados y refractados form an ángulos rectos, o sea (Fig. 44-11) 0p + 0r = 90°.
4 » 4 -4
o
8, = 33.7 .
R E F R A C C IÓ N D O B L E
E n capítulos precedentes supusim os que la velocidad de la luz y, p o r lo m ism o, el índice de refracció n no depende de la dirección de propagación en el m edio ni del estado de polari zación de la luz. L os líquidos, los sólidos am orfos com o el vidrio y los sólidos cristalinos con sim etría cúbica suelen pre sentar este com portam iento y se dice que son ópticam ente isotrópicos. M uchos otros sólidos cristalinos son ópticam en te anisotrópicos (es decir, no isotrópicos).* L a anisotropia óptica es la causa del p atrón de esfuerzos ilustrado en la figu ra 44-9, aunque en este caso el m aterial no es cristalino. La figura 44-13, donde un cristal pulido de calcita (CaCCb) se colo ca sobre un patrón im preso, m uestra la anisotropía ó ptica de este m aterial: la im agen aparece doble.
* L o s só lid o s p ue den ser a n iso tró p ico s en m u ch as pro p iedades: m ecánicas (la m ic a se adh iere fá cile n te en un so lo p la n o ), e léctrica s (u n cu b o de grafito c rista lin o no tiene la m ism a re siste n cia e lé c trica entre todos lo s pares de caras opuestas), m ag néticas (u n cu b o de n íq u e l c rista lin o se m ag netiza m ás fá c il m ente en ciertas d ire c cio n e s que en o tras), y a sí sucesivam ente.
C onform e a la ley de Snell, CALCITE 1 | CALCITE |j ¡ CALCITE ¡ | CALCITE
CALCITE
CALCITE
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CALCITE
n j sen 6p = n 2 sen 6r. L a com binación de las ecuaciones anteriores nos da
J iJ lj j j j iJ
n , s e n 0 p = n 2 sen (9 0 ° - 6p) = n 2 cos 6p
a
CALCITE
CAI
| CALCITE
|j CAL(
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o tan 0p = 7 7 ’
(44-2)
donde el h az incid en te se h alla en el m edio 1 , y el haz refrac tado en elm edio 2. Si el m edio 1 es el aire n l — 1, la expre sión anterior queda así
CALCITE
n,
(4 4 , 3 )
donde n es el índice de refracció n del mediG donde incide la luz. A la ecuación 44-2 se le conoce com o ley de B rew ster, en honor de S ir D av id B rew ster (1781-1868), quien la dedujo em píricam ente en 1812. Es posible p robarla en form a rig u ro sa a partir de las ecuaciones de M axw ell (Preg. 13).
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CALCITE 1 I CALCi l E | ..« ................ Il ¡ = = = J
F i g u r a 4 4 - 1 3 . Vista a través de un cristal birrefringente, que muestra las dos imágenes resultantes de los dos índices de refracción. Las imágenes dobles pueden verse donde no hay un tira del material polarizante. El eje de polarización de las tiras es paralelo a su dirección larga. Nótese que ambas imágenes tienen polarizaciones perpendiculares.
jylás aún, las dos im ágenes m uestran p o larizaciones p erpen diculares según se in d ica en la figura 44-14; ésta m uestra un haz de luz no polarizada que incide sobre un cristal de calci ta en ángulo recto con una de sus caras. E l haz sim ple se divi de en dos en la superficie del cristal. Se da el nom bre de refracción doble o birrefrigencici a la “doble inclinación” de un haz transmitido a través de la calcita, que se ilustra en las figu ras 44-13 y 44-14. H uygens estudió este fenóm eno y lo d es cribió en su Tratado sobre la luz, obra p u b licad a en 1678. Si con una hoja de polarización se analizan los dos haces em ergentes en la figura 44-14, se descubre que presentan polarización lineal con sus planos de v ibración, form ando ángulos recto s entre sí. E n la fig u ra 4 4-13 se o b serv a que los dos polarizadores cruzados transm iten sólo un a de las dos im ágenes (pero no la otra). A lgunos m ateriales de refracción doble absorben m uy bien un com ponente de polarización, m ientras el otro com po nente pasa por él con poca absorción. A estos m ateriales se les conoce com o dicroicos. U n ejem plo de ellos son las hojas de polarización. Si se efectúan experim entos con varios ángulos de in ci dencia, se com prueba que uno de los haces de la figura 44-14 (representado p o r el rayo ordinario, llam ado tam bién rayo o) cum ple con la ley de S nell referente a la refracción en la superficie de cristal, com o cualquier otro rayo que pasa de un m edio isotrópico a otro. N o la cum ple el segundo haz (repre sentado por el rayo extraordinario, o rayo e). P o r ejem plo, en la figura 44-14 el ángulo de incidencia de la luz es cero; pero en contraste con la predicción de dicha ley el ángulo de refracción del rayo e no es cero. E n térm inos generales, el rayo e ni siquiera se encuentra en el plano de incidencia. E sta diferencia en tre las ondas rep rese n ta d a p o r los rayos o y e en lo tocan te a la ley de S nell p u ed e ex p licarse en los siguientes térm inos: 1. L a onda o se desplaza en el cristal con la m ism a v elo cidad vQen todas direcciones. Es decir, p ara ella el c ristal tie ne un solo índice de refracción nQ, co m o cualquier sólido isotrópico. 2. L a onda e se desplaza en el cristal con una velocidad que cam bia con la dirección de v0 a vg. E n otras palabras, el índice de refracción, definido com o c/v, varía con la direc ción de nQ a n .
_ - ." _ _ A > 4 4 " 1 Indices de refracción principales en varios cristales de refracción doble0
Cristal
Fórmula
Hielo Cuarzo Wurcita Calcita Dolomita Siderita
H ,0 SiO, ZnS C aC 03 CaO • MgO • 2 C 0 , FeO • C 0 7
no 1.309 1.544 2.356 1.658 1.681 1.875
+0.004 +0.009 +0.022 -0.172 -0.181 -0 .2 4 0
A las cantidades n Q y ne se les llam a índices principales de refracción del cristal. E l problem a 7 sugiere cóm o m edir los. L a tabla 44-1 contiene los índices principales de refrac ción de seis cristales de refracción doble. E n tres de ellos la onda e es m ás lenta; en los Les restantes es m ás rápida que la onda o. A lgunos cristales de refracción doble (com o la m ica y el topacio) presentan m ayor com plejidad óptica que la calcita y requieren tres índices principales de refracción para describir com pletam ente sus propiedades ópticas. Los cristales co n una estructura b ásica cúbica (com o N aCl; Fig. 43-15) son ópticam ente isotrópicos, pues requieren sólo un índice de refracción. E l com portam iento de las velocidades de dos ondas que se d esplazan en calcita se resum e en la figura 44-15; ésta con tiene d o s superficies de ondas de H uygens que se propagan des de u n a fuente puntual im aginaria S incrustada en el cristal. La dirección típica en el cristal, donde v0 = ve, recibe el nom bre de eje óptico. Éste es una propiedad del cristal sin que dependa de la polarización ni de la dirección de propagación de la luz. Las velocidades son m uy diferentes en una dirección perpen dicu lar al eje óptico; en esa dirección la superficie de las ondas e y o alcanza su m áxim a separación. L a superficie de la onda o en la figura 44-15 es una esfe ra, porque el m edio es isotrópico para las ondas o. L a superfi cie de la onda e no puede ser esférica, pues su velocidad varía con la dirección respecto al eje óptico. La superficie de la onda e es un elipsoide de revolución alrededor del eje óptico.
Eje ó p tic o
s u p e r f ic i e d e la o n d a o
r a y o o ( p o la r iz a d o )
L u z in c id e n t e (n o p o la r iz a d a )
ne ~ nn
a C o n lu z de so d io ; A = 5 8 9 nm .
Wm 1ÍA L
n. 1.313 1.553 2.378 1.486 1.500 1.635
-----
s u p e r f ic i e d e la o n d a e
-
ray o e (n o p o la r iz a d o )
F i g u r a 4 4 - i 4 . Una luz no polarizada que incide sobre un material birrefringente (como un cristal de calcita) se divide en dos componentes: el rayo o (que obedece a la ley de refracción de Snell) y el rayo e (que no obedece a ella). Los dos rayos refractados tienen polarizaciones perpendiculares, como se muestra en la figura.
C a i c íí á
F ig u r a
4 4 -1 5 .
S u p e r f ic ie s d e o n d a d e
Huygens
p o r u n a fu e n t e p u n t u a l S in c r u s t a d a e n l a c a lc it a .
p r o d u c id a s
L u z p o la r iz a d a li n e a l m e n te
7> L u z p o la r iz a d a c i r c u la r m e n te
F i g u r a 4 4 - 1 6 . Una luz polarizada linealmente incide sobre una lámina de refracción doble cortada con su eje óptico paralelo a la superficie. El plano de polarización forma un ángulo de 45° con el eje óptico. De la lámina salen dos estados de polarización que estaban en fase antes de entrar en ella y se hallan fuera de fase cuando salen.
4 -4 -S
P O L A R IZ A C IÓ N C IR C U L A R
En la figura 44-16 se d escribe una onda polarizada lin eal m ente que incide sobre u n a lám ina delgada de un m aterial birrefringente com o la calcita. L a onda sigue la dirección x, perpendicular a la cara de la lám ina (el plano yz). Se cortó el m aterial de m odo que el eje óptico es paralelo a la cara de la lám ina. D ecidim os que el plano de polarización form e un ángulo de 45° con el eje óptico, a fin de que los com ponentes del cam po E a lo largo del eje y perpendiculares a él tengan la m ism a am plitud. C om o se ilu stra en la figura 44-15, la dirección p erp en dicular al eje óptico es aqu ella en que las velocidades de las ondas o y e difieren m ás. Sabem os tam bién que la po lariza ción de dichas ondas es p erp en d icu lar entre ellas. Si d escom ponem os la o nda incidente en dos, una p olarizada en el plano
xy y la otra en el p lan o xz, estas ondas p ueden representar las ondas o y e y v iajar a diferentes velocidades a través de la lám ina. L os dos estados de polarización que aparecen debajo de la lám ina en la figura 44-16 rep resentan los cam pos E que o riginalm ente fo rm aban parte del m ism o frente de onda, antes de cru zar d ich a lám ina; una vez hecho esto, hay una diferen cia de fase entre ellas que depende del espesor de la lám ina y de sus dos índices de refracción. E scojam os el espesor de la lám ina de m odo tal que esta diferencia de fase sea 90°, es decir, un com ponente alcanza su m agnitud m áxim a cuando la am plitud del otro es cero. (Puesto que los índices de refracció n varían con la longitud de onda, el espesor tam bién variará con la longitud de onda de la luz.) En este caso a la lám ina se le llam a p la ca de cuarto de onda, porque 90° rep resentan 1 /4 del ciclo de oscilación. E n la figura 44-17 se describen los dos estados de polari zación p erpendicular 90° fuera de fase, en el m om ento que salen de la placa de cuarto de onda. En cualquier punto, el cam po eléctrico neto es la sum a vectorial de am bos com po nentes. Al desplazarse la onda, la dirección del cam po da la im presión de girar alrededor de la dirección de propagación (el eje x de la Fig. 44-17). D esde la p ersp ectiv a de un punto en el eje x, la p u n ta del cam po neto E describe un círculo alrede dor del eje x; p o r tal razón, a este tipo de onda se le conoce com o onda p o la riza d a circularm ente. En contraste con una onda p olarizada plana, donde la dirección de polarización per m anece fija, aquí la dirección cam bia continuam ente al irse desplazando la onda. E sta rotación de la dirección tiene lugar con una frecuencia angular oj = 2 ?r f d o n d e /e s la frecuencia de la onda electrom agnética. L a rotación es dem asiado rápida para observarla de m odo directo, pues las ondas lum inosas tie nen frecuencia en el intervalo de 1015 Hz. A m ed id a que la onda deja atrás a un observador situado frente a la luz y en un punto fijo del eje x de la figura 44-17, el vector E parece girar en dirección de las m anecillas del re lo j; ésta se co noce com o p o la riza ció n circular derecha. Al m odificar la orientación de la polarización lineal incidente respecto al eje óptico de la fig u ra 44-16, podem os crear una situación donde el vector E p arezca girar en dirección con traria; a ésta se le llam a p o la riza ció n circular izquierda.
F i g u r a 4 4 - 1 7 . Dos ondas de igual amplitud y con polarización lineal en direcciones perpendiculares se desplazan en la dirección x. Únicamente se muestran los vectores E. La fase de las ondas difiere 90°, de modo que una alcanza su máximo cuando la otra es cero. Con el tiempo el vector resultante E parece girar en dirección de las manecillas del reloj ante un observador situado en un lugar fijo del eje x\
Igual que en el caso de la luz no p o larizada, la luz em er gente es polarizada plana y tiene la m itad de la intensidad de la luz incidente cuando una luz circularm ente p olarizada inci da sobre una hoja de polarización. A sí pues, la h o ja no puede usarse para distinguir entre am bos tipos de luz. Si querem os hacer la distinción, b asta invertir el experim ento de la figura 44-16: cuando la luz polarizada incida en un a placa de cuarto de onda, se introducirá otra d iferencia de fase de 90°; ésta (según la orientación del eje de la placa) se sum ará o se res tará a la diferencia original de fase de 90° p ara obtener una diferencia de O o de 180°. E n consecuencia, los dos com po nentes alcanzan su m áxim o al m ism o tiem po y la luz em er gente está polarizada linealm ente en un ángulo de ± 4 5 ° con el eje óptico. P odríam os dem ostrar esta polarizació n lineal pasando la luz a través de una hoja de polarización y girán dola para dem ostrar que la intensidad se reduce a cero cuando el eje de ella form a un ángulo de 45° con el eje óptico de la placa de cuarto de onda.
Esta placa es bastante delgada. La mayor parte de las placas de cuar to de onda están hechas de mica; la hoja se rebaja para obtener el espesor correcto por prueba y error. P r o b l e m a R e s u e l t o 4 4 - 4 . Una onda de luz polarizada lineal mente, cuya amplitud es EQ, incide sobre una placa de calcita de cuarto de onda con su plano de polarización a 45° del eje óptico que es el eje y (Fig. 44-18). La luz emergente estará polarizada circu larmente. ¿En qué dirección parecerá girar el vector eléctrico? La propagación se dirige hacia afuera de la página.
Solución El componente de onda cuyas vibraciones son paralelas al eje óptico (la onda e), al salir de la placa, puede representarse así £,. = (£ 0 eos 45°) sen o>t
£ 0 sen u>t = £ msen cui.
El componente de onda cuyas vibraciones forman un ángulo recto con el eje óptico (la onda o) puede representarse como E. = (£ u sen 45°) sen (tur - 90°) = --------£ 0 eos u>t
Vi -£.,, eos a>t,
P r o b l e m a R e s u e l t o 4 4 - 3 . Una placa de cuarzo de cuarto de onda debe usarse con una luz de sodio (A = 589 nm). ¿Cuál es su espesor mínimo?
Solución Dos ondas se desplazan por la lámina con velocidades correspondientes a los dos índices principales de refracción de la tabla 44-1 (ne = 1.553 y n0 = 1.544). Si el cristal tiene un espesor x, el número de longitudes de onda de la primera onda contenida en dicho cristal es xnc A'., A donde Áe es la longitud de onda e en el cristal, y A la del aire. En la segunda onda, el número de longitudes de onda es xn„ N„
~
■(n, - n„).
La ecuación anterior nos da A A{ne — n„)
Luz incidente
589 nm (4)( 1.553 — 1.544)
£,. = 0
y
£ . = —£ m.
En t = q estas coordenadas se convierten aproximadamente en £ v = £ msenwf| = £ mwf|, £. = —£ meos ojí| = —£ m.
donde Afl es la longitud de la onda 6 en el cristal. La diferencia Ne — N debe ser m + j4,' donde m = 0, 1, 2, .... El espesor mínimo corresponde a m 0 y entonces 1
el cambio de fase de 90° representa la acción de la placa de cuarto de onda. Obsérvese que E . alcanza su valor máximo de un cuarto de ciclo más tarde que £ v, porque en la calcita la onda £ , (la onda o) se mueve con mayor lentitud que la onda £ (la onda e). Para decidir la dirección de la rotación, vamos a localizar la pun ta del vector eléctrico rotatorio en dos instantes (Fig. 44-18a) t = 0 y (Fig 44-18/5) un corto tiempo q más tarde, escogido de modo que cuq sea un ángulo pequeño. Cuando t = 0, las coordenadas de la punta del vector giratorio (Fig. 44-18a) son
0.016 mm.
En la figura 44-18£> se observa lo siguiente: el vector que representa la luz emergente polarizada circularmente gira en dirección contra ria a la de las manecillas del reloj; por convención, se le llama pola rizada circularmente a la izquierda, porque siempre se supone que el observador está situado frente a la fuente luminosa. El lector debería verificar que, si el plano de vibración de la luz incidente de la figura 44-18 se gira ±90°, la luz emergente estará polarizada circularmente a la derecha.
F i g u r a 4 4 - i S . Problema resuelto 4 4 - 4 . Una luz polarizada linealmente incide (desde atrás de la página) sobre una placa de cuarto de onda. La luz incidente polariza a 45° con los ejes y y z. a) En un momento dado t = 0, el vector saliente E apunta en la dirección — z. b) Después de un corto intervalo q el vector ha girado y ocupado una posición nueva. En este caso el vector E gira en dirección contraria a la de las manecillas del reloj, como lo advierte un observador que esté en el eje x y frente a la fuente de luz.
'\ - Í A A A á : 'W v ? v > p ¥ F F u e n te d e iu z
P o la r i z a d o r
M a te ria l ó p t i c a m e n t e a c tiv o
A n a liz a d o r
i g u r a 4-4—1 9 . Un material ópticamente activo gira en el ángulo 0 la dirección de polarización de la luz polarizado linealmente.
F
A c tiV I
i? fp?
C uando la luz polarizada linealm ente pasa por ciertos m ateria les, observam os que el plano de polarización gira alrededor de la dirección de propagación en un ángulo que depende de las propiedades del m aterial y de la distancia que la luz recorre a través de dicho m aterial. A este efecto se le da el nom bre de actividad óptica y a los m ateriales que poseen esta propiedad se les denom ina m ateriales ópticam ente activos. Los cristales de cuarzo y las soluciones en azúcar son ejem plos de m ateria les ópticam ente activos. E n la figura 44-19 se d a un ejem plo de cóm o m edir la rotación. E l polarizador y el analizador pueden alinearse cuidadosam ente cuando no hay un m aterial óptica m ente activo entre ellos; cuando los hay, el ángulo 6 en que el analizador debe girar para lograr la transm isión m áxim a indica la rotación del plano de polarización al cruzar el material. Podem os su p o n er que la luz p olarizada plana es una superposición de la luz p olarizada circularm ente a la derecha y a la izquierda. Im agine un vector E que gira en dirección de las manecillas del reloj y otro en sentido contrario, de m odo que su sum a vectorial (la cual siem pre está a lo largo del b isector del ángulo entre ellos) sim plem ente oscila en la m ism a direc ción. Al p asar p o r un m aterial ópticam ente activo, un com po nente de polarización circu lar se m ueve con m ayor rapidez que el otro. Se p ro d u ce así un cam bio en la fase relativa de am bos com ponentes y se altera la dirección de su sum a v e c torial. E ste efecto es d irectam ente p roporcional a la distancia cubierta a través del m aterial. M uchos m ateriales ópticam ente activos son líquidos orgánicos. L os com puestos orgánicos derivados de plantas y anim ales tienen a m enudo una estructura helicoidal asim étri ca; cuando la luz pasa p o r dichos m ateriales la form a de la m olécula m ejora el paso de un com ponente de polarización circular en relación con el otro. P o r lo dem ás, es posible sin tetizar com puestos orgánicos a partir de materiales no vivos; ya que contienen cantidades iguales de las dos form as h elicoida les asim étricas. Se com prueba que dichos m ateriales no son ópticam ente activos.
tiem po de la onda incidente. L a onda que atraviesa el m edio es la resultante de la onda incidente y de las radiaciones que pro ceden de los electrones oscilantes. L a onda resultante alcanza su intensidad m áxim a en dirección del haz incidente, cayendo después rápidam ente a uno de los dos lados. L a ausencia de dispersión lateral, que sería esencialm ente com pleta en un gran cristal “perfecto” , se debe a que las cargas oscilantes en el m edio operan en form a cooperativa o coherente. C uando la luz pasa p o r un líquido o un gas, se observa una m ay o r d ispersión lateral. En este caso, los electrones oscilantes se h allan separados p o r distancias relativam ente grandes y no están unidos p o r una estructura rígida; por ello, actúan de m odo independiente en lugar de m anera cooperati va. A sí pues, es p oco probable que ocurra una cancelación rígida de las perturbaciones de onda que no se desplacen h acia el frente; se produce una m ayor d ispersión lateral. L a luz disp ersad a hacia los lados desde un gas puede estar p o larizad a parcial o totalm ente, a pesar de que la luz incidente no está polarizada. En la figura 4 4-20 se m uestra un haz no p o larizad o que se dirige h acia arriba en la página y que choca contra un átom o de gas en O. L os electrones en O osci lan en resp u esta a los com ponentes eléctricos de la onda inci dente; su m ov im ien to equivale a dos dipolos oscilantes cuyos ejes siguen las direcciones y y z en O. E n las ondas electro m agnéticas transversales, un dipolo oscilante no irradia a lo largo de su p ropio eje. P or tanto, un observador situado en O no recibirá rad iació n del dipolo en O que oscila en la direc ción z- L radiació n que llegue a O ' p rovendrá en su totalidad del dipolo o scilante en O la dirección y, y estará polarizado linealm ente en la dirección y. A m edida que el observador O ' se desplaza por el eje z, la radiación ya no está totalm ente polarizada porque el dipolo en O que oscila en el eje z puede irradiar un poco en esas direccio nes. En los puntos del eje x, la radiación transm itida (x > 0) o dispersada hacia atrás (x < 0) no está polarizada, porque ambos dipolos pueden irradiar con la m ism a eficacia en la dirección x. U n ejem plo com ún de tal efecto es la dispersión de la luz solar p o r las m olécu las de la atm ósfera terrestre. Si no hubie ra atm ósfera, el cielo aparecería negro, salvo en la dirección
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4 = 4 = 6 P O L A R IZ A C IO N P O R D IS P E R S IÓ N U na onda lum inosa, al incid ir en un sólido transparente, oca siona que los electrones que form an el sólido oscilen p eriódi cam ente en resp u esta al v ecto r eléctrico que varía con el
i Un átomo en O dispersa una onda incidente no polarizada. La onda dispersada hacia O' en el eje z está polarizada linealmente. F
ig u r a
4 4 -2 0 .
del Sol, com o lo observan los astronautas que giran p o r en ci ma de la atm ósfera. C on un p o larizad o r es fácil com probar que la luz proveniente de un cielo sin nubes está polarizado por lo m enos en parte. En la ex ploración p o lar este hecho se aplica en la brújula solar. C on este instrum ento d eterm in a m os la dirección al observar la natu raleza de la p olarización de la luz solar dispersada. C om o se sabe, las brújulas m ag n é ticas no son útiles en esas regiones. Se h a com probado* que las abejas se orientan en el vuelo h acia la colm ena y las fu en tes de polen m ediante la p olarización de la luz del cielo; sus ojos contienen dispositivos que p erciben la polarización. H ace falta explicar p o r q u é la luz d ispersada desde el c ie lo es principalm ente de co lo r azul y p o r qué roja la que se recibe directam ente del Sol, sobre todo durante el ocaso, cuando es m ayor la longitud de la atm ósfera que debe reco rrer. L a sección transversal de un átom o o una m olécula en la dispersión de la luz depende de la longitud de onda; la luz azul se dispersa m ás eficazm ente que la luz roja. D ebido a esa circunstancia, la luz transm itida tiene el color de la luz solar norm al en que los azules han sido suprim idos en su m ayor parte; de ahí su aspecto m ás rojizo. L a conclusión de que la sección transversal de dispersión de la luz azul es m ás grande que la de la luz roja puede corro borarse razonablem ente por m edio de una analogía m ecánica. U na intensa fuerza restauradora lig a un electrón en un átom o o una m olécula. El electrón tiene una frecuencia natural bien definida, com o una m asa pequeña suspendida en el espacio p or un sistem a de resortes. L a frecuencia natural suele aparecer en una región correspondiente a la luz violeta o ultravioleta. C uando se deja que la luz incida sobre los electrones ligados, crea oscilaciones forzadas en la frecuencia del h az de luz incidente. E n los sistem as m ecánicos resonantes es p o si ble “excitarlos” m ás eficazm ente si aplicam os una fuerza externa cuya frecuencia se aproxim a lo m ás posible a la fre cuencia natural resonante. E n el caso de la luz, la frecuencia de la luz azul es casi igual a la frecuencia resonante natural del electrón ligado que la frecu en cia de la luz roja. C abe suponer que la luz azul logra que ex ista una m ejor oscilación de los electrones y que se disperse m ás eficazm ente.
da. Si la radiación incidente es sólo transversal, com o en la figura 44-20, la radiación propagada a O ' presentará polari zación lineal. P or tanto, la pregunta en cuanto a la naturaleza transversal de la radiación equivale a determ inar si la que se dirige a O ’ está polarizada o no polarizada. E xiste otra form a de responder a la pregunta anterior. P ongam os un segundo dispersor en O '. A quí, un dipolo osci lará en respuesta a la onda incidente (polarizada) en una dirección solam ente (la dirección y ', la del vector incidente É com o se in d ica en la Fig. 44-21). L a rad iació n d ispersada p o r ese dipolo puede desplazarse en las direcciones ± x ' , pero (para la radiación transversal) no en la dirección y'. Así, un detector D que m ida la intensidad de la radiación verá un m áxi mo en las direcciones ± x ' y un m ínim o de intensidad cero en las direcciones ± y ' . C om o se ilustra en la figura 44-21, a este experim ento se le conoce com o experim ento de dispersión doble. N ó tese que la polarización de la radiación dispersada p o r el p rim er blanco se obtiene m ediante la intensidad de la radiación dispersada p o r el segundo blanco. Si la radiación que se d esplaza hacia O ' no estuviera polarizada (y o fuera totalm ente transversal), el detector D registraría la m ism a intensidad en todas las direcciones. P uede establecerse la naturaleza transversal de la radia ción electrom agnética ya sea m idiendo la polarización de la rad iació n d ispersada desde el prim er blanco (com o se obser va en la F ig. 4 4 -2 0 ) o m id ien d o la d istrib u ció n de intensi dad de la radiación dispersada desde el segundo blanco (com o se in d ica en la Fig. 44-21). En algunas radiaciones (la luz, por ejem plo), es bastante fácil m edir su polarización; sin em bargo, el m étodo de dispersión doble no es útil para este propósito. E n otras radiaciones (com o la de rayos X o rayos
D ispersión doble (opcional) Los experimentos como el de la figura 44-20 demuestran que las ondas electrom agn éticas deb en ser tran sv ersales, es decir, no hay un com ponente del vecto r E paralelo a la d irección de propagación. Supóngase que hubiera dicho com penente en dirección de la onda incidente (la dirección x en la Fig. 4420). E ntonces, los electrones en O oscilarían en las tres direc ciones y la onda dispersada que se dirige hacia O ' indicaría las tres direcciones posibles de polarización (dos tran sv ersa les y una longitudinal). A sí, esta radiación sería no p o la riz a
* Vease “Polarized-Light Navigation by Insects”, de Rudiger Wehner, Scientific American, julio de 1976, p. 106.
F i g u r a 4 4 - 2 1 . O tro átom o en O ' p uede d isp ersar la radiación po larizad a d isp ersad a en O . U n d etecto r D m ide la intensidad de la rad iació n p o r O ' en varias posiciones 9 del plano x ' y ' .
cam ina), este m étodo es el p referido. E n efecto, tras el descubrim iento de los rayos X en 1898, se discutió si eran ondas o partículas. En un ex p erim en to de d ispersión doble efectuado
en 1906 p o r C harles B arkla, se dem ostró que los rayos X co m o la luz visible, son transversales y se confirm ó que form an parte del esp ectro electrom agnético.
C ^ ió N M ú irm ^ E 4 4 - i Polarización de las ondas electromagnéticas
4 4 - 2 Hojas de polarización 1. Una hoja ideal de polarización, orientada verticalmente, trans mite 50% de luz incidente no polarizada. La giramos 45°. ¿Qué fracción de la intensidad incidente pasa ahora? A) 0% B) 50% D) Cualquiera % o 100%
C) 100%
2. Una hoja ideal de polarización, orientada verticalmente, trans mite 50% de luz incidente polarizada. La giramos 45°. ¿Qué fracción de la intensidad incidente pasa ahora? A) 0% B) 50% D) Cualquiera % o 100%
C) 100% ;
3. Una hoja ideal de polarización transmite 90% de la luz parcial mente polarizada incidente. a) ¿Qué porcentaje de ella está polarizada? A) B) C) D)
Entre Entre Entre Entre
E)
100%
0 y 10% 0 y 20% 80 y 90% 80 y 100%
b) ¿Qué fracción de la luz transmitida está polarizada? A) B) C) D) E)
Entre 0 y 10% Entre 0 y 20% Entre 80 y 90% Entre 80 y 100% 100%
0% Entre 0 y 50% 50% Entre 50 y 80% Entre 40 y 90%
4. Dos hojas ideales de polarización se apilan de manera que no se transmita luz incidente no polarizada. Una tercera hoja se des liza entre las dos primeras en un ángulo de 45° con la del fon do. La fracción de la luz transmitida por todo el montón es A) cero todavía. B) 1/8.
Polarización por reflexión
4 4 - 3
7. La luz reflejada contra la superficie de una carretera tiene 1/3 de polarización vertical y 2/3 de polarización horizontal. a) ¿En qué ángulo deberíamos orientar la dirección de polariza ción de una hoja para conseguir la reducción máxima de la intensidad luminosa? A) vertical B) 30° de la vertical C) 30° de la horizontal D) horizontal b) ¿Qué fracción de luz pasa por el filtro si la orientamos para que produzca la máxima reducción de la intensidad luminosa? A) |
c) La hoja de polarización se gira ahora 45°; durante el proceso de rotación disminuye la intensidad de la luz transmitida monó tonamente. ¿Qué fracción de la intensidad incidente pasa ahora? A) B) C) D) E)
A) 0 B) (0.1)10 C) (0.9)10 D) (0.1)9 b) La luz incidente polarizada se reemplaza con luz no polari zada. ¿Qué fracción de la intensidad luminosa cruza ahora el montón entero? A) 0.05 B) i(0 .1 )9 C) |(0 .9 )9 D) (0.1)9 6. ¿Qué debería ocurrir con el patrón de interferencia producido con un aparato de dos rendijas, si la luz procedente de una atraviesa una hoja de polarización vertical y si hacemos pasar por una hoja de polarización horizontal la que atraviesa la otra rendija? A) El patrón de interferencia se parecerá a un patrón nor mal de rendija doble. B) El patrón de interferencia será más débil que un patrón normal de rendija doble. C) El patrón de interferencia será más difuso que el normal de rendija doble D) No habrá patrón de interferencia.
C) 1/4.
B) y
C) {
D) 0
8. Una luz no polarizada choca contra una interfaz aire-agua en un ángulo tal que el rayo reflejado está completamente polarizado como se muestra en la figura 44-22«. Un segundo rayo de luz no polarizada se desplaza hacia atrás, paralelamente al rayo refractado antes como se observa en la figura 44-22¿>. Describa la polarización del rayo reflejado en esta figura. A) El rayo está completamente polarizado. B) El rayo está parcialmente polarizado. C) El rayo experimenta reflexión interna total. D) No se cuenta con suficiente información para contestar la pregunta.
D) 1/2.
5. Se disponen 10 filtros de polarización de manera que el ángulo A 6 entre la dirección de polarización de dos filtros adyacentes sea el mismo. Este ángulo se escoge en forma tal que cada fil tro permita pasar sólo 10% de la luz proveniente del anterior. a) La luz incidente está polarizada y sigue una dirección de polarización A9 desde la primera hoja. ¿Qué fracción de la intensidad luminosa cruza el montón entero?
A gua
a)
f i l i
F
ig u r a
4 4 -2 2 .
b) Pregunta de
M
-
o p c i ó n m ú l t i p l e 8.
4 4 -s
P olarización circular
9 . Una luz polarizada circularmente a la izquierda se refleja con
tra un espejo plano. ¿Cuál es el estado de polarización del rayo reflejado? A) Polarización circular a la izquierda. B) Polarización circular a la derecha. C) Polarización plana. D) La respuesta depende del ángulo de incidencia.
44-s P olarización p or d ispersión 10. Vea directamente hacia arriba cuando el Sol se encuentre en el horizonte al este. ¿Qué estado de polarización tiene la luz azul procedente del cielo arriba de usted?
A) No está polarizada.
B) Está polarizada fundamentalmente en la dirección esteoeste. C) Esta polarizada fundamentalmente en la dirección nor te-sur. D) No se cuenta con suficiente información para contestar la pregunta. 11. Un haz de luz pasa por un filtro de polarización antes de ser pro yectado horizontalmente en una solución diluida de leche en agua. ¿Qué orientación del eje de transmisión de la hoja de polarización aumentará al máximo la intensidad de la luz dis persada vista desde arriba? A) Vertical B) Horizontal C) La intensidad dispersada no depende de la dirección de polarización. D) No se cuenta con suficiente información para contestar la pregunta.
P E G U N T A S 1 . Se dice que la luz proveniente de fuentes ordinarias no está
polarizada. ¿Se le ocurren algunas fuentes comunes que emitan luz polarizada? 2. La luz procedente de un tubo de descarga de gas de laboratorio no está polarizada. ¿Cómo conciliamos esto con el hecho de que los átomos y las moléculas irradian como dipolos eléctricos cuya radiación presenta polarización lineal? 3. Unas hojas de polarización contienen largas cadenas de hidro carburo que se alinean en un arreglo paralelo durante el proce so de producción. Explique de qué manera una hoja puede polarizar la luz. (Sugerencia: Los electrones tienen relativa liber ta d d e m o v im ie n t o a lr e d e d o r d e e sta s c a d e n a s .)
4. Tal como las experimentamos en condiciones normales, las ondas de radio casi siempre están polarizadas y la luz visible casi siempre está no polarizada. ¿A qué se debe? 5. ¿Qué determina la longitud y la orientación adecuadas de las orejas de conejo en un televisor portátil? ó. ¿Por qué las ondas sonoras no están polarizadas? 7. ¿Por qué los anteojos de sol hechos con materiales polarizadores ofrecen gran ventaja sobre los que se basan simplemente en los efectos de absorción? ¿Cuáles podrían ser sus desventajas? 8 . Una luz no polarizada cae sobre dos hojas de polarización orien tadas de manera que no se transmite luz. Si entre ellas se pone una hoja de polarización, ¿puede transmitirse luz? Si la res puesta es afirmativa, explique por qué. 9. El problema resuelto 44-1 muestra que, cuando el ángulo entre dos direcciones de polarización se modifica de 0 a 45°, la inten sidad del haz transmitido se reduce a la mitad de su valor ini cial. ¿Qué sucede con esta energía “faltante”? 10. Se le dan varias hojas de polarización. Explique cómo podría usarlas para girar en un ángulo determinado el plano de polari zación de una onda con polarización lineal. ¿Cómo podría hacerlo con la menor pérdida de energía? 11. A comienzos de la década de 1950, las películas en tercera dimensión gozaron de gran popularidad. Los espectadores usa ban anteojos polarizados y se colocaba una hoja de polarización delante de los dos proyectores que se necesitan. Explique cómo funcionaba el sistema. Mencione alguno o algunos problemas que llevaron a abandonarlo. 12. Una rejilla de alambre, que consiste en un arreglo de alambres dispuestos paralelamente, puede polarizar un haz incidente no polarizado de ondas electromagnéticas que la atraviesan.
Explique a) el hecho que el diámetro de los alambres y el espaciamiento entre ellos debe ser mucho menor que la longitud de onda incidente para obtener una polarización eficaz y b) el hecho de que el componente transmitido es aquel cuyo vector eléctrico oscila en una dirección perpendicular a los alambres. 13. La ley de Brewster, ecuación 44-2, determina el ángulo de polari zación en la reflexión contra un material dieléctrico como el vidrio (Fig. 44-11). He aquí una interpretación plausible de la reflexión cero del componente paralelo en ese ángulo: se hace que las car gas? en el dieléctrico oscilen paralelamente al rayo reflejado por este componente, sin que produzca radiación en esa dirección. E x p l i q u e e sto y c o m e n te la v e r o s im ilit u d d e l fe n ó m e n o .
14. Explique de qué manera la polarización por reflexión podría ocurrir si la luz incide sobre la interfaz desde el lado del mayor índice de refracción (vidrio a aire por ejemplo). 15. Encuentre una manera de identificar la dirección de una hoja de polarización. No aparecen marcas en ella. 16 6E s el eje óptico de un cristal de refracción doble simplemente una línea o una dirección en el espacio? ¿Tiene un sentido de dirección como la flecha? ¿Qué decir de la dirección caracterís tica de una hoja de polarización? 17. Si el hielo refracta doblemente (Tabla 44-1), ¿por qué no perci bimos dos imágenes de los objetos vistos a través de un cubo de hielo? 18. ¿Es posible, recombinándolos, obtener los efectos de interfe rencia entre el haz o y el haz e, que en la figura 44-14 están separados por un cristal de calcita respecto al haz incidente no polarizado? 19. Con base en la tabla 44-1, ¿cabe suponer que una placa de cuarto de onda hecha de calcita sea más gruesa que otra hecha de cuarzo? 20. ¿Siempre se desplaza con una velocidad dada por c /n g la onda e en cristales de refracción doble? 21. Invente la manera de identificar la dirección del eje óptico en una placa de cuarto de onda. 22. Describa la luz transmitida, si una luz polarizada linealmente incide sobre una placa de cuarto de onda con su plano de vibra ción que forma un ángulo a) de 0o o b) de 90° con el eje de ella. c) Si se escoge arbitrariamente este ángulo, a la luz transmitida se le llama polarizada elípticamente; descríbala. 23. Se le da un objeto que puede ser a) un disco de vidrio gris, b) una hoja de polarización, c) una placa de cuarto de onda o d) una placa de media onda (Ej. 15). ¿Cómo lo identificaría?
24. ¿Puede un haz de luz polarizado linealmente representarse como la suma de dos haces polarizado circularmente de rota ción contraria? ¿Qué efecto tiene el cambio de fase de uno de los componentes circulares en el haz resultante? 25. ¿Podríamos polarizar circularmente un haz de radar? 26. ¿Cómo puede un haz de luz polarizada circularmente a la derecha ser transformado en un haz polarizado circularmente a la izquierda? 27. Se dice que un haz de luz no está polarizado, que está polariza do linealmente o circularmente. ¿Cómo podría escoger entre ellos con técnicas experimentales? 28. Un haz de luz paralelo es absorbido por un objeto colocado en su trayectoria. ¿En qué circunstancias se transferirá a él a) un momento lineal y b) un momento angular? 29. Cuando se observa el cielo claro a través de una hoja de polari zación, puede comprobarse que la intensidad cambia al hacerla
girar. No sucede lo mismo cuando vemos una nube a través de la hoja. ¿Por qué? 30. En 1949 se descubrió que la luz de las estrellas lejanas de nues tra galaxia presenta una ligera polarización lineal y que el plano preferido de vibración es paralelo al de la galaxia. Se debe pro bablemente a la dispersión no isotrópica de su luz por acción de granos interestelares alargados y un poco alineados (Prob. 16 del Cap. 22). ¿Como hay que orientar el campo magnéti co respecto al plano galáctico, si orientamos los granos con sus ejes largos paralelamente a las líneas interestelares del campo magnético como se comentó en la sección 44-2, y si absorben e irradian ondas electromagnéticas como los electrones oscilantes en una antena de radio? 31. ¿Es la polarización o la interferencia una prueba más adecuada para identificar las ondas? ¿Aportan la misma información?
^ JE R C IC IQ S _ 4 4 - 1 P o la riza ció n d e las ondas electrom agnéticas 1. Las ecuaciones del campo magnético aplicables a una onda electromagnética en el espacio abierto son B x = B sen (ky + cút), B = ¿C = 0. a) ¿En qué dirección se propaga? b) Escriba las ecuaciones del campo eléctrico, c) ¿Está polarizada la onda? De ser así, ¿en qué dirección? 2. Pruebe que no pueden producir efectos de interferencia dos ondas de luz polarizadas linealmente y de igual amplitud, con sus planos de vibración formando ángulos rectos. (Sugerencia: Demuestre que la intensidad de la onda luminosa resultante, promediada en uno o más ciclos de oscilación, es la misma sin im p o rtar la d ife re n c ia de fase que existe entre las dos ondas.) 4 4 - 2 H ojas de p o larización 3. Un haz de luz no polarizada con una intensidad de 12.2 m W /m 2 llega en incidencia normal sobre una hoja de polarización, a) De termine el valor máximo del campo eléctrico del haz transmiti do. b) Calcule la presión de radiación ejercida sobre la hoja de polarización. 4. Una luz no polarizada incide sobre dos hojas de polarización puestas una encima de otra. ¿Qué ángulo debe haber entre las direcciones características de ellas si la intensidad de la luz trans mitida equivale a un tercio de la del haz incidente? Suponga que las hojas de polarización son ideales, es decir, que reducen exac tamente un 50% la intensidad de la luz no polarizada. 5. Se apilan tres placas de polarización. La primera y la tercera están cruzadas; la del medio tiene su eje en 45° con los ejes de las dos restantes. ¿Qué fracción de la intensidad de un haz inci dente no polarizado transmite el arreglo? 6. Un haz de luz polarizado linealmente incide contra dos hojas de polarización. La dirección característica de la segunda es 90° respecto a la luz incidente. Y la de la primera forma un ángulo 9 con la luz incidente. Determine el ángulo 9 de una intensidad de haz transmitido que sea 0.100 veces la del haz incidente. 7. Un haz de luz no polarizada incide sobre cuatro hojas apiladas de polarización alineadas de modo que su dirección característica se gira 30° en dirección de las manecillas del reloj respecto a la hoja anterior. ¿Qué fracción de la intensidad incidente se transmite? 8. Un haz de luz está polarizado linealmente en dirección vertical. Llega en incidencia normal sobre una hoja de polarización, con su dirección de polarización a 58.8° con la vertical. El haz trans mitido llega, también en incidencia normal, sobre una segunda
hoja con su dirección de polarización horizontal. La intensidad del haz original es 43.3 W /m 2. Determine la intensidad del haz transmitido por la segunda hoja. 9. Suponga que en el ejercicio 8 el haz incidente no estaba polari zado. ¿Qué intensidad tiene ahora el haz transmitido por la segunda hoja? 4 4 - 3 P o la riza ció n por reflexión 10. La luz que se desplaza en el agua con un índice de refracción de 1.33 incide sobre una placa de vidrio cuyo índice de refracción es 1.53. ¿En qué ángulo de incidencia la luz reflejada presenta una polarización lineal completa? 11. a) ¿En qué ángulo de incidencia la luz reflejada por el agua esta rá totalmente polarizada? b) ¿Depende este ángulo de la longi tud de onda de la luz? 12. Cuando una luz roja en el vacío incide en el ángulo de polariza ción sobre cierta lámina de vidrio, el ángulo de refracción es 31.8°. ¿Cuáles son a) el índice de refracción del vidrio y b) el ángulo de polarización? 13. Calcule el intervalo de los ángulos de polarización con luz blanca incidente sobre un cuarzo fundido. Suponga que los límites de longitud de onda son 400 y 700 nm y utilice la curva de disper sión de la figura 39-11. R efra cció n doble 14. Una luz linealmente polarizada de 525 nm de longitud de onda llega, en incidencia normal, contra un cristal de wurcita que se corta con sus caras paralelas al eje óptico. ¿Cuál es el espesor más pequeño posible del cristal si los rayos emergentes o y e se combinan para producir una luz polarizada linealmente? Consulte la tabla 44-1. 4 4 - 4
4 4 - 5 P ola riza ció n circular 15. ¿Cuál sería la acción de una placa de media onda (es decir, que tenga el doble de espesor de una placa de cuarto de onda) en a) una luz polarizada linealmente (suponga que el plano de la vibración es de 45° con el eje óptico de ella), tí) en una luz polarizada circu larmente y c) en una luz no polarizada? 16. Encuentre el mayor número de placas de cuarto de onda, que se emplearán con luz de 488 nm de longitud de onda y que podrían cortarse de un cristal de dolomita cuyo espesor mide 0.250 mm.
F . ROBLEMAS 1. Cierto día, en una playa cerca del ocaso, el componente hori zontal del vector de campo eléctrico es 2.3 veces el componente vertical. Una persona que toma el sol se pone anteojos polari zantes que suprimen el componente horizontal del campo, a) ¿Qué fracción de la energía luminosa recibida antes de ponerse los anteojos llega ahora a los ojos? b) La persona se recuesta en un costado, con los anteojos todavía puestos. ¿Qué fracción de la energía luminosa recibida antes de ponérselos llega ahora a los ojos? 2. Una haz de luz es una mezcla de luz polarizada y no polariza da. Cuando se envía a través de una hoja de polarización, obser vamos que la intensidad transmitida puede modificarse en un factor de cinco según la orientación de la hoja. Calcule la inten sidad relativa de los dos componentes del haz incidente. 3. Un grupo de hojas de polarización se dispone de modo que el ángulo entre dos hojas adyacentes es a. Las hojas se colocan en forma tal que N hojas giran el plano de polarización en 8, don de 8 = N a. Calcule la fracción de luz que pasará por ellas en el límite cuando N —►<». Suponga que 8 está fijo, por cuando a —i-O. 4. Se quiere hacer girar 90° el plano de vibración de un haz de luz polarizada, a) ¿Cómo podría lograrse empleando hojas de pola rización? b) ¿Cuántas hojas se necesitan para que la pérdida total de la intensidad sea menos de 5.0%? 5. Una hoja de polarización y una placa de cuarto de onda se pegan en forma tal que, si la combinación se pone con la cara A contra una moneda brillante, la cara de ésta puede verse cuando la ilumina una iuz de longitud de onda apropiada. Cuando la combinación se coloca con la cara A lejos de la moneda, ésta no puede verse, a) ¿Cuál componente se encuentra en la cara A y b) cuál es la orientación relativa de los componentes? 6. Un haz estrecho de luz no polarizada incide sobre un cristal de calcita cortado con su eje óptico como se muestra en la figura 44-23. a) Con t = 1.12 cm y con 6i = 38.8° calcule la distancia perpendicular entre los dos rayos emergentes x y y. b) ¿Cuál es el rayo o y cuál el rayo el c) ¿Cuáles son los estados de polari zación de los rayos emergentes? d) Describa lo que sucede si un polarizador se coloca en el haz incidente y se gira. (Sugerencia:
Dentro del cristal las vibraciones del vector E de un rayo siem pre son perpendiculares al eje óptico, y las del otro siempre son paralelas. Los dos rayos se describen mediante los índices n y ne; en este plano, cada rayo cumple la ley de Snell.) Rayo ..incidente
Eje óptico
I
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x Rayo y
F ig u r a
-J
4 -4 -2 3 . Problema 6.
7. De un pedazo de calcita se corta un prisma de modo que el eje óptico sea paralelo al lado del prisma, según se señala en la figura 44-24. Describa cómo el prisma podría servir para medir lps dos índices principales de refracción de la calcita. (Sugerencia: Consulte la sugerencia del Prob. 6 y también el Prob. res. 39-4.)
Eje óptico — ! s u r a
4 4 -2 4 .
Problema 7.
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LA NATURALEZA DE LA LUZ
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n este capítulo, el prim ero de los ocho dedicados a la
físic a cuántica, varaos a concentrarnos en la naturaleza de la luz. En el capítulo 41 ofrecim os p ru eb a s contun dentes de que p o d em o s considerarla una onda electrom agnética. En este capítulo nada se opone a ese p u n to de vista ni invalida los experim entos que lo corroboran. Con todo, p resen ta m o s un segundo pu n to de vista — ig ual m ente basado en experim entos: tam bién p o d em o s concebirla com o una partícula, llam ada fotón. Señalam os a q u í que la onda y la partícula son conceptos m eram ente clásicos y, p o r lo m ismo, no es p o si ble extenderlos am pliam ente en el cam po cuántico. E l p u n to de vista ondulatorio y el corpuscular son válidos en gran núm ero de experim entos. Si querem os conocer la verdadera naturaleza de la luz es preciso profundizar más.
1
IN T R O D U C C IÓ N A L F O T Ó N
En la sección 41-2, que debería volver a leer, vim os que el ex perim ento de rendija doble realizado p o r T hom as Young en 1801, aporta pruebas fidedignas de que la luz visible es de n a turaleza ondulatoria. E n ese im portante experim ento, la luz proveniente de una sola fuente incide sobre una barrera que contiene dos rendijas. L a luz que pasa p o r ellas incide después sobre una pantalla detectora, que p odría ser una p elícula fo to gráfica. E n algunos puntos del m aterial fotográfico, los haces que se superponen tienden a reforzarse, y en otros a can celar se, form ando una serie de franjas de in terferen cia com o los de la figura 41-4. E ste fenóm eno de interferencia es un seguro indicador de que la luz es de una onda. C on el térm ino "lu z” designam os no sólo la luz visible si no tam bién todas las radiaciones del espectro electrom agnéti co, desde las largas ondas de radio hasta los rayos X y los rayos gam m a. M ediante varios tipos de experim entos de in terferencia dem ostram os que todas las radiaciones del espec tro presentan un aspecto ondulatorio. Por ejemplo, en la sección 43-4 describim os un experim en to de interferencia, donde hicim os que un haz de rayos X inci diera sobre un cristal. Los átom os de este cristal producen un
arreglo periódico tridim ensional de centros de dispersión para el haz incidente de rayos X. E n ciertas direcciones — y en ellas so lam ente— los rayos dispersados desde los átomos individuales interfieren de m odo constructivo para generar rayos intensos m uy bien definidos. Estos rayos pueden crear un patrón carac terístico en una película fotográfica que los intercepte (Fig. 4314). E ste experim ento ofrece una prueba contundente de que los rayos X son de naturaleza ondulatoria com o la luz visible. P ero, existe otra propiedad de la luz que parece contrade c ir la teo ría de que “la luz es una onda” . C uando la luz incide en una p elícu la fotográfica, la energía es absorbida p or granos in d iv id u ales de haluro de plata de la em ulsión, un grano a la vez. E n n in g ú n m om ento es posible predecir cuál de dichos granos absorberá a continuación su paquete fijo de energía. Si la luz incide sobre un dispositivo fotoeléctrico — digam os un fotodiodo— , a la salida del fotodiodo se observa en un pantalla de osciloscopio com o una serie de pulsos discretos, espaciados aleatoriam ente en el tiem po. Por el contrario, si conectam os el fo todiodo a un altavoz, su salida se escucha com o una serie de “ clics” espaciados aleatoriam ente. A l in cid ir la luz sobre un detector com o una película fo tográfica o un dispositivo fotoeléctrico, la luz incidente no le transfiere energía uniform em ente a la superficie sobre la que
incide, sino sólo en pu n to s discretos situados aleatoriam ente. M ás aún, si la luz es m onocrom ática, es decir, si consta d e una sola longitud de onda, se transfiere energía del haz al detector no únicam ente en los puntos d iscretos sino tam bién en todos ellos con u n a can tid ad d iscreta bien definida. E ste co m p o rta m iento in d ica la n atu raleza corpuscular, m ás que ondulatoria, de la luz incidente.
L a Siiz com o fotones En 1905 Einstein, basándose en el trabajo innovador de M ax Planck* propuso que la luz podría realm ente existir com o haces discretos de energía, a los que llam ó fotones. D esde su punto de vista, la energía E relacionada con un fotón individual es £ = hf-
(4 5-1)
E n 1917 E in stein fue m ás allá y a cada fotón le asignó un m o m ento lineal de m agnitud P = h !k .
(4 5 - 2 )
E n las ecuaciones anteriores / y A son, respectivam ente, la frecuencia y la lon g itu d de o nda de la luz incidente, h, una constante cuyo v alo r co n cuatro cifras significativas es h = 6.626 X 10“ 34 J - s. L a constante de P lanck, nom bre con que esta cantidad se co noce hoy, resu lta ser la constante fundam ental de la física cuántica. U na ojead a a las ecuaciones 45-1 y 45-2 revela cuán su til es la n aturaleza de la luz. E n el lado izquierdo de ellas te nem os energía y m om ento, propiedades que asociam os a las partículas. En el lado derecho tenem os frecuencia y longitud de onda, propiedades que asociam os a las ondas. “P artícula” y “o n d a” son conceptos que la m ente h u m a na ha desarrollado a lo largo de m ilenios, partiendo de la fa m iliaridad con objetos com o las piedras arrojadas, p o r una parte, y p o r la otra, las ondas en el agua. N o es posible exten der sin variaciones estos conceptos clásicos al m undo d e los cuantos. N i lo in tente. E n ese m undo los físicos han apren d i do a no utilizar esta clase de im ágenes m entales concretas, salvo cuando la índole de un experim ento aconseje hacerlo.
R evisión del experimento de re n d ija doble R etom em os ah o ra el ex perim ento de la rendija doble de la sección 41-2. D escubrirem os el patrón de interferencia al reem plazar la p an talla con u n a p elícula fotográfica y harem os la fuente tan débil que en cu alquier m om ento la energía del aparato no sea m ay o r que la de un fotón individual. Si p u d ié ram os exam inar la pelícu la m inuto tras m inuto, distinguiría m os un p atrón de puntos que al inicio parece estar distribuido de m anera aleatoria, pero que al ir apareciendo m ás y m ás
* Max Planck (1858-1947) fue un físico teórico alemán cuya especialización en termodinámica lo llevó a estudiar la radiación térmica y a descubrir la cuantización de la energía; por este descubrimiento le fue otorgado en 1918 el Premio Nobel de Física.
puntos em p ieza a tom ar form a el patró n de franjas de interfe ren cia co n stru ctiv a y destructiva. L a interacción con un fotón individual oscurece un grano de la película. Si suponem os que la fuente de luz es tan débil que em ite fotones individuales uno a la vez, uno sale de ella y m ás tarde llega a la película. B asándonos en nuestra experien cia con la física clásica, podríam os estar tentados a preguntar cóm o un fotón se dirige de la fuente a la película. ¿C uál es su trayectoria? M ás concretam ente, ¿por cuál ranura pasa? Si tratam os de contestar tal pregunta, estarem os hablan do ev identem ente de la naturaleza co rp u scular de la luz. Las p artículas tienen trayectoria; las ondas no. Si pensam os que la luz está constitu id a p o r paquetes individuales concentrados de energía, éstos deben cruzar una de las ranuras. Pero como vim os en el capítulo 41, el experim ento de rendija doble su pone que la luz se com porta com o una onda, para que poda m os d iv id ir el frente de onda en dos partes y recom binarlas d esp u és. L as dos d escrip cio n es, b a sad a u n a en las partícu las y o tra en las ondas, son claram ente incom patibles entre sí. ¿Es la luz un a p artícula o una onda? E sta pregunta tan desconcertante adm ite dos respuestas igualm ente desconcertantes; a) la luz no es una partícula ni una onda y b) es a la vez una partícula y una onda. C on la primera respuesta querem os decir que la luz no satisface los conceptos clásicos excluyentes de un com portam iento rigurosam ente cor puscular u ondulatorio. Con la segunda querem os decir' que la naturaleza corpuscular y ondulatoria está contenida en lo que llam am os luz; ésta puede m anifestar uno u otro tipo de com por tam iento según el tipo de experim ento en cuestión. La luz tiene un com portam iento más misterioso y com plejo del que indican las sim ples nociones de “onda” o “partícula”. E n el siguiente capítulo verem os que los electrones y otras p artículas tam bién m uestran esta naturaleza dual tan com pleja. E n este capítulo describirem os prim ero los experi m entos que rev elan la naturaleza fotónica de la luz y luego un aparato sim ple que, a discreción del experim entador, puede revelar la n atu raleza corpuscular u ondulatoria de la luz que ya se encuentra en el aparato.
R A D IA C IÓ N T É R M IC A E l concepto de fotón se introdujo en física a raíz de los estu dios sobre la rad iació n em itida p o r objetos calentados. E stos estudios se rem ontan a m ediados del siglo x ix y culm inan en 1905, cuando E instein propuso la noción de fotón. En la pre sente sección vam os a reseñar este adelanto, que ocurrió en un periodo cuando em pezaban a establecerse las ideas de la term odinám ica. D e hecho, estas dos líneas de avance estuvie ron estrecham ente relacionadas. A la m ayoría de los objetos los vem os por la luz que re flejan. P ero tam bién em iten radiación electrom agnética; si su tem peratura es lo bastante elevada, podem os ver la radiación em itida o d etectarla en otras form as. P o r ejem plo, podem os p ercibir calo r al p o n er la m ano cerca de una lám para, o el fu e go que se debe a la radiación infrarroja em itida. Se da el nom
bre de radiación térm ica a la que em ite un cuerpo p o r su tem peratura. Se distribuye continuam ente en longitud de onda, pues tiene una intensidad m ensurable en una gran extensión del espectro electrom agnético. En el siglo x ix los investigadores descubrieron dos p ro piedades im portantes de la radiación térm ica: 1) a m edida que aumenta la tem peratura de un cuerpo, crece rápidam ente la intensidad de la radiación térm ica emitida. 2) C uanto m á s a l ta sea la tem peratura, m ás corta será la longitud de onda de la parte m ás intensa d e l espectro de radiación. L os intentos de expresar las observaciones anteriores en términos cuantitati vos se toparon con un problem a: la naturaleza de la radiación térmica proveniente de un cuerpo a determ inada tem peratura depende del m aterial de que esté hecho y de factores co m o la textura de la superficie. A l parecer, una cantidad tan grande de datos experim entales sensibles al m aterial no ocultaban ninguna ley fundam ental de la física. L a solución del problem a se logró en 1859 cuando el ale mán G ustav K irchhoff (1824-1887) propuso que, si form am os una cavidad en un cuerpo sólido, si m antenem os sus p aredes a una tem peratura uniforme T y si perforamos un hoyo pequeño en la pared, la radiación que salga de él no debería depender del m aterial ni del m odo en que se construya la cavidad, sino sólo de la tem peratura. L a figura 45-1 m uestra la distribución de longitud de o nd a de esta radiación de cavidad, nom bre con que se le conoce. P or su relativa sim plicidad, la radiación de cavidad (radiación dentro de una caja) desem peña en los es tudios térm icos la m ism a función que el gas ideal (m ateria dentro de una caja) en el estudio de los gases. A hora podem os expresar en térm inos cuantitativos el p ri mero de los dos enunciados cualitativos anteriores. E scrib i mos la intensidad radiante 1(T) (potencia total irradiada en todas las longitudes de onda p o r unidad de superficie) de la radiación de cavidad así I(T) = cr T 4,
(45 j )
donde T es la tem peratura absoluta (kelvin), cr y es una constan te universal denom inada constante de Stefan-Boltzmamv, su va lor actualm ente aceptado es 5.670 X 10~8 W /m 2 • K4. A la :
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1000 K¡ 4 5 6 7 L o n g itu d d e o n d a (¿¿m)
8
10
. Posible resultado de la medición de la radiancia en muchas longitudes de onda con dos temperaturas distintas. El pico Amáx se corre a longitudes de onda más cortas al ir elevándose la temperatura. F
ig u r a
4 5 -1
(45-4)
donde 4 máx es la longitud de onda en que la radiación em iti da p o r un a cavidad a una tem peratura T alcanza su intensidad m áxim a. L a constante en la ecuación 45-4 tiene hoy el valor aceptado de 2 898 /xm ■ K. El alem án W ilhelm W ien (18641928) dedujo esta ecuación de los principios term odinám icos y se le conoce com o ley de desplazam iento de Wien. Esta ley tam b ién es evidente en la figura 45-1: cuanto m ás alta sea la tem peratura, m ás corta será la longitud de onda en que la ra d iación alcanza su intensidad m áxim a. E sta ley concuerda con un a experiencia com ún. Al calentar un trozo de metal en el fuego, p rim ero em pieza a m ostrar un color rojo oscuro y luego, al aum entar la tem peratura, su color presenta longitu des de o nda m ás pequeñas y adquiere un color am arillo-ana ranjado. L a ley de W ien sirve para inferir la tem peratura su perficial de las estrellas a p artir de su color; por ejemplo, las estrellas azules son m ás calientes que las rojas. L as leyes de Stefan-B oltzm ann y de W ien no explican to do lo concerniente a la radiación térm ica. H ace falta una ex presión de la intensidad de la radiación de cavidad en función de la longitud de onda, es decir, una ecuación correspondien tes a los puntos individuales de datos de la figura 45-1. Trata m os de encontrar una expresión de la radiancia espectral R( A, T), que se define de m odo que el producto R (A, T) clk sea igual a la potencia em itida p o r unidad de superficie cuyas longitu des de onda se encuentren en el intervalo A a A + d/\. La in tensidad I(T) se relaciona con la radiancia espectral integrando R en el intervalo entero de longitudes de onda, es decir,
j
2niáx lo
3
/lmáx T = una constante.
KT)
1250 K
1
ecuación 45-3 se le llam a ley de Stefan-Boltzmann. El austríaco Josef Stefan (1835-1893) la dedujo en 1879 mediante una serie de m ediciones; B oltzm ann la dedujo teóricam ente algunos años más tarde, aplicando conceptos de las teorías term odinám ica y electrom agnética. La intensidad I(T) representa la potencial irra diada total, sum ada o integrada en todas las longitudes de onda. E n la figura 45-1 la intensidad para una tem peratura se indica con el área total debajo de los puntos correspondientes de datos; estas superficies aumentan mucho con la temperatura. P o d em o s expresar el segundo de los enunciados cualita tivos anteriores p o r m edio de
R(A, T) dÁ,
(45-5)
donde la integración se realiza sobre todas las longitudes de onda. L a ecuación anterior m uestra que l(T) se representa grá ficam ente en la figura 45-1 con la superficie bajo la curva que conecta los puntos a una tem peratura determ inada T. A fin es de la d écada de 1800 se h iciero n varias suge re n c ia s rela tiv as a la fu n ció n R (A, T). N in g u n a concordaba con los dato s ex p erim en tales en todas las lo n g itu d es de on da. E n 1900 P lan ck pro p u so una expresión, escrita en la no ta ció n m o d ern a com o 2 7TC2h R (X
T)
A3
1
(45-6)
* h d \k T
y co n o cida hoy com o ley de radiación de Planck. E n ella c es la velocidad de la luz, k la constante de B oltzm ann y h una nue-
1250 K
1000 K »
4 5 6 7 L o n g itu d d e o n d a (¿¿.m)
10
F i g u r a 4 5 - 2 . La función de Planclc coincide a la perfección con los datos observados.
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va constante, in tro d u cid a en física por prim era vez y actual m ente conocida co m o co n stan te de Planck. L a ecuación 45-6 coincide con los datos ex p erim en tales en todas las longitudes de onda y tem peraturas a las cuales ha sido probado, com o se observa en la fig u ra 45-2. P o r ejem plo, en 1990, se observó lo siguiente: las m ediciones de la rad iació n cósm ica de fondo, supuestam ente un resid u o del B ig B ang, obtenidas por el sa télite C osm ic B ack g ro u n d E x p lo rer (C O B E ) se ajustaban a la ley de Planck con ex trao rd in aria precisión: la tem peratura d e ducida de la concordancia era 2.725 ± 0.002 K (com o se seña la en el Cap. 52). Al sustituir la ecuación 45-6 en la ecuación 45-5 y al efec tuar la integración, podem os obtener la ecuación 45-3, la ley de Stefan-B oltzm ann, y dem ostrar que la constante crde ella se re laciona con otras constantes fundam entales a través de 2 7T5k 4 15c2h 3
(45-7)
Por m edio del m ejor valor experim ental de la constante de Ste fan-Boltzm ann disponible en 1900, Planck logró obtener para su nueva constante un valor de h = 6.56 X 10~34 J • s, que di fiere apenas 1% del valor actual. M ás aun, puede obtenerse la ecuación 45-4, la ley de desplazam iento de W ien, diferen ciando la ecuación 45-6 en b u sca del v alo r de A en que la ra diancia espectral alcanza su valor m áxim o. Se dem uestra adem ás que la constante de esa ecuación se relaciona con otras constantes fu n d am en tales p o r m edio de \ 'T' ' *•mñv ¿
he 4 .9 6 5 Ik '
(45-8)
que concuerda con la ecuación 4 5-4 y que reproduce el valor experim ental de la constante en esa ecuación. P lanck (1918) y W ien (1911) recibieron el P rem io N obel de Física por sus descubrim ientos rev o lu cio n ario s en la radiación térm ica que sentaron las bases de la teo ría cuántica. Al obtener la ecuación 45-6, Planck supuso que los átomos que form aban las paredes de la cavidad se com portaban como dim inutos osciladores arm ónicos. Supuso además que estas os cilaciones no podían oscilar con cualquier energía arbitraria y debían hacerlo sólo con las que fueran m últiplos enteros de hf,
d o n d e /e s la frecuencia de radiación con que los osciladores ab sorben y em iten al interactuar con la radiación atrapada en la ca vidad. Su asom brosa suposición introdujo la cuantización y la constante de Planck en física y m arcó el inicio del desarrollo pleno de la física cuántica, tal com o la conocem os hoy. A los fí sicos de la época, entre ellos el propio Planck, les resultaba di fícil creer que un oscilador no pudiera absorber o em itir energía en cualquier cantidad dentro de un intervalo razonable. En 1905 Einstein, concentrando su enorm e ingenio en la demostración de Planck, volvió a obtener la ecuación 45-6 con otra suposi ción básica: la radiación de la cavidad, en su interacción con las paredes de ella, se com portaba com o si constara de cuantos de energía en la cantidad indicada p o r la ecuación 45-1, a saber: E = hf. Así, E instein introdujo en la física el fo tó n , nom bre que se dio después a estos cuantos de luz. En 1916 propuso un mé todo ulterior p ara obtener la ecuación 45-6; su sencillez y su fa cilidad vinieron a reforzar aún m ás el concepto del fotón. E n las dos secciones siguientes vam os a exam inar las pruebas ex perim entales que co rro b o ran la realidad de los fo tones de E instein. P r o b l e m a R e s u e l t o 4 S - 1 . ¿Qué temperatura tiene una estre lla? Su “superficie” no es una frontera tan bien definida como la de la Tierra. La mayor parte de la radiación que emite guarda equilibrio térmico con los gases calientes que constituyen las capas exteriores. Así pues, sin un error demasiado grande podemos tratar la luz este lar corno radiación de cavidad. He aquí las longitudes de onda en que la radiancia espectral de tres estrellas alcanza su valor máximo:
Estrella
■^máx 240 nm 500 nm 850 nm
Sirio Sol Betelgeuse
Aspecto Azul-blanco Amarillo Rojo
a) ¿Cuál es la temperatura superficial de estas estrellas? b) ¿Cuál es su intensidad radiante? c) El radio r del Sol es 7 .0 X 1 0 s m y el de Betelgeuse e s aproximadamente 500 veces mayor, o sea 4.0 X 1 0 * 1 m. ¿Cuál es la salida total de potencia irradiada (es decir, la luminosi dad L) de ellas? Solución a) A partir de la ecuación 45-4 obtenemos en el caso de Si rio (con A - = 240 nm = 0.240 ¿im) T
2 898 gm • K _ 2 898 ¡xm ■K Amit
0.240 gm
12 000 K.
La temperatura del Sol y de Betelgeuse se comportan de la misma manera y son de 5 800 y 3 400 K, respectivamente. A 5 800 K, la ma yor parte de la radiación de la superficie solar se encuentra dentro de la región del espectro visible. Ello significa que, a través de una lar ga evolución, los ojos se adaptaron al So! para hacerse más sensibles a las longitudes de onda que irradia con mayor intensidad. b) Conforme a la ley de Stefan-Boltzmann (Ec. 45-3), en Sirio tene mos / = c -r4 = (5.67 X 10~8 W/m2- K4)( 12,000 K)4 = 1.2 X 109 W/m2. La intensidad radiante del Sol y de Betelgeuse resulta ser 6.4 W/m2y 7.7 X 106 W /m 2, respectivamente.
X
107
(c) Para calcular la luminosidad de una estrella se multiplica su in tensidad radiante por el área superficial. Por tanto, en el caso del Sol, L
= I{4rrr2) = (6.4 = 3.9 X 1026 W.
X
107 W/nr)(4n-)(7.0
X
108 m)2
En Betelgeuse, la luminosidad resulta ser 1.5 X 1031 W, alrededor de 38 000 veces más grande. El enorme tamaño que tiene, por el cual se clasifica como un “gigante rojo”, compensa con creces la intensi dad relativamente pequeña de su baja temperatura superficial. Los colores de las estrellas no son evidentes para el observador común porque los conos de la retina, encargados de la visión cromá tica, no funcionan bien bajo luz tenue. De no ser así, por la noche el cielo resplandecería con colores. D if e r e n c ia d e p o te n c ia l A V
4 5 - 4 . Gráfica (no a escala) de los datos tomados con el aparato de la figura 45-3. La intensidad de la luz incidente es el doble en la curva b que en la curva a. El emisor y la longitud de onda de la luz incidente son iguales en ambas series. Nótese que el potencial de frenado es idéntico en ellas. F ig u r a
4 1 5 -3
E L E F E C T O F O T O E L É C T R IC O
Si dejam os que una luz m ono cro m ática incida sobre una su perficie m etálica, los electrones pued en ser arrojados de ella. E n la figura 45-3 se incluye el arreglo ex p erim ental con que se estudia este efecto fotoeléctrico. Si producim os una diferen cia de potencial adecuada AV entre la superficie E (el em isor) y la superficie C (el receptor), podem os reco g er los electrones lanzados y m edirlos com o una corriente foto eléctrica i en el circuito externo. L a fig u ra 45 -4 (curva a) m u estra la corriente fo to eléctri ca en función de la diferencia de polencial AV. A dvertim os lo
siguiente: si el receptor está en un p otencial m ás alto que el em iso r y si A V es lo bastante grande, la corriente fotoeléctri ca alcan za una saturación constante en que se recogen todos los electro n es que salen del emisor. Si reducim os a cero AV, la corriente fotoeléctrica no dis m in u y e a cero, pu es los electrones se em iten con un intervalo defin id o de velocidades. Pero si invertim os el signo de la di feren cia de poten cial y si hacem os A V io b astante grande, con el tiem p o llegarem os a un punto donde inclusive los electro nes co n m ay o r energía que se em itan son devueltos antes de c h o c a r con tra el receptor, y la corriente fotoeléctrica i efecti v am en te se reduce a cero. L a m agnitud de está diferencia (ne gativa) de p o tencial recibe el nom bre de p o ten cia l de fren a d o V q, es decir, VQ — |A V | en el punto donde la corriente fo to e léctrica dism inuye a cero (Fig. 45-4). C uando AV es negativa, los electrones pierden energía cin ética y adquieren energía potencial al pasar del em isor al recep tor; el cam bio de esta últim a en ellos es A U = q AV = —e AV, una cantidad positiva cuando AV es negativa. Los elec trones con m ayor energía poseen energías cinéticas Km&x. El po tencial de frenado corresponde a la m áxim a diferencia de potencial necesaria para que pierdan toda su energía cinética. La conservación de energía (A U ~ — AK) nos da entonces eV0 = K mix.
F i g u r a 4 5 - 3 . Aparato con el cual se estudia el efecto fotoeléctrico. Las flechas indican la dirección de la corriente foto eléctrica en el circuito extemo, que se opone al movimiento de los electrones (con carga negativa). La diferencia de potencial efectiva entre el emisor E y el receptor C, que mida el voltímetro V, es la suma algebraica de la diferencia de potencial relacionada con las baterías y de la relacionada a la diferencia de potencial de contacto entre el emisor y el receptor. Estos componentes forman una “batería” por estar hechos de materiales distintos.
(45-9)
L a c u rv a b en la fig u ra 45-4 indica el resultado cuando se re pite la m ed ició n del potencial de frenado en la que se duplicó la intensidad de la luz incidente. Al com parar las curvas a y b, se advierte el prim ero de tres hechos im portantes relativos al efecto fotoeléctrico: H ech o 1. Si la luz de d eterm in a d a longitud de onda in cide so b re un em isor, e l p o te n c ia l d e fr e n a d o n o d e p e n d e de la in ten sid a d de ella. M idam os el potencial de frenado VQcuando la luz de distintas longitudes de onda incide sobre un emisor. L a figura 45-5,
¿2
In fra rro jo j
{
V is ib le
}
1
X u
j 1 / 3 = 4 3 9 x 1C 14 Hz
j~
H ech o 1: E sto se infiere p o rq u e si duplicam os la intensi dad de la lu z in cidente, no hacem os m ás que duplicar la can tidad de in teraccio n es fotó n -electró n en el em isor. El doble de estos electrones sale del em isor; pero no se altera la energía c in ética y, p o r lo m ism o, tam p o co el p otencial de frenado H ech o 2: A l com binar las ecuaciones 45-9 y 45-10 pode m os escrib ir
U ltr a v io le ta
/o
c
X
s
b
y f o 1 4 6 10 F r e c u e n c i a / ( 1 0 14 H z)
VQ = ( h le ) f - (cf>/e). 12
F i g u r a 4 5 - 5 . Potencial de frenado en función de la frecuencia para un emisor de sodio. Nótese la frecuencia de corte/0. No se expulsarán los fotoelectrones si la frecuencia de la luz incidente no alcanza este valor.
donde lo g raficam os en función de la frecuencia (no de la lo n gitud de onda) de la luz incidente, m uestra el resultado p ara el caso de un em iso r hecho de sodio. L a gráfica es una lín ea recta con un a in te rse c c ió n /0 en el eje de la frecuencia; esto in dica un segundo hecho en to m o al efecto fotoeléctrico: H echo 2. L a fre c u e n cia de la luz que incide sobre un em i sor debe ser m a yo r que la de cierto va lo r f Q. En caso co n trario no se p ro d u cirá el efecto fotoeléctrico. E sta frecu en cia de corte f 0 depende sólo del m aterial del cual está hecho el em isor y es totalm ente independiente de la in tensidad de la lu z incidente. Un tercer hecho sobre el efecto fotoeléctrico se ha d e m ostrado con seguridad en experim entos independientes: H echo 3. L o s fo to e le c tro n e s se em iten de inm ediato una vez que la luz incidente llega a la superficie del emisor. E l experim ento p ru eb a que la p alab ra “de inm ediato” signifi ca “en un lapso aproxim ado de 10~ 9 s”.
recce ¿ o to s í
ric e d e fo in s c e iii
E n 1905 E instein dem ostró que su concepto de fotón pod ía explicar los tres hechos anteriores concernientes al efecto fo toeléctrico. E scribió la siguiente ecuación, conocida hoy co m o ecuación fo to e lé c tric a de E instein: (45-10) E sta ecuación indica que un fotón individual lleva una energía h f al interior del em isor, donde se transfiere esencialm ente a un electrón. Parte de esta energía, llam ada fu n ció n de trabajo tfi del m aterial que constituye al emisor, se consum e al hacer que el electrón escape del em isor; podem os concebirla com o una especie de im puesto de la energía superficial. L a energía rem a nente {h f — 4>) es la energía m áxim a Kmáx que el electrón p o see una vez qu e h a salido de la superficie del emisor. C onsidere cóm o la ecuación 4 5-10 coincide con los tres hechos experim entales de la fotoelectricidad que acabam os de describir:
(45-11)
T anto h co m o e son constantes físicas fundam entales y 0 es u n a co n stan te de determ inado m aterial em isor. L a ecuación 4 5 -4 predice, pues, que una gráfica de VQ en función de / e n un em iso r d eb ería ser una línea recta y h / e su pendiente. Co m o con o cem o s el v alor de la carga eléctrica e, podem os em p lear la pen d ien te m edida en la fig u ra 45-5 para calcular un valor de la constante de P lan ck h: pend ien te
2.30 V - 0.68 V
ab be
10 X 10U Hz
6.0 X 1014 Hz
fo;
= 4.1 X 1CT15 V -s. E n virtu d de que la pendiente es igual a h /e (Ec. 45-11), po dem os o b ten er la constante de P lan ck h m ultiplicando esta ra zón p o r la carga electrónica e, h = {h/e){e) = (4.1 X 1 0 " IS V -s)(1 .6 X 10~i9 C)
"
= 6.6 X 1 0 -34J - s , de acuerdo con el v alo r determ inado p o r otros m étodos inde pendientes. En 1921 E instein fue galardonado con el Premio N obel “por sus servicios a la física teórica y, especialm ente, p o r el d escubrim iento de la ley del efecto fotoeléctrico” . Sin em bargo, desde 1927 (22 años después de que Einstein propuso la hipótesis del fotón) se sabe que el efecto fotoeléctri co puede explicarse en form a igualm ente satisfactoria sin recu rrir al fotón. E n 1969 W. E. Lam b y M . O. Scully lo demostraron de m odo explícito al aplicar las leyes de la física cuántica a los átom os del em isor, pero tratando la luz incidente com o una on da electrom agnética clásica. En conclusión, no puede decirse que los experim entos en torno al efecto fotoeléctrico demues tran de una m anera convincente la existencia de los fotones; he mos, pues, de acudir a otros experim entos para hacerlo. P r o b l e m a R e s u e l t o 4 S - 2 . Un emisor de sodio con una super ficie de A = 1.5 cm2 se coloca a una distancia r = 25 cm de una fuente de luz cuya salida de potencia es PQ — 1.0 W. La luz es mo nocromática con una frecuencia muy por arriba de la frecuencia de corte del sodio. La función de trabajo
Solución Si la fuente irradia uniformemente en todas direcciones, cosa que damos por cierta, la intensidad I de la luz a una distancia r estará dada por P0
1.0 W
4 7 7 /'-
4 7 r ( 0 .2 5 m ) 2
1.27 W /nr.
La máxima rapidez posible de los fenómenos fotoeléctricos se pre senta cuando el proceso fotoeléctrico absorbe la totalidad de la ener gía de la luz incidente. Con 2.3 eV por evento, esta rapidez es
R =
IA = (1.27 W /nrX l.5 cn rX K T 4 m2/cm2) 6 (2.3 eV/evento)(1.60 X 10~19 J/eV)
= 5.2
X
1014 eventos/s. 0=0°
Demuestre que lo anterior corresponde a una corriente fotoeléctrica de 83 p A. En la práctica no se alcanza la velocidad máxima anterior. Pr o b le m a R e s u e l t o 4 5 - 3 . Encuentre la función de trabajo del sodio partiendo de los datos graficados en la figura 45-5.
Solución La intersección de la línea recta en la figura 45-5 sobre el ¿je de frecuencia es la frecuencia de corte / Q. Al hacer VQ = O y / = / 0 en la ecuación 45-11 obtenemos 4> = hfQ= (6.63 X 10~34 J - s)(4.39 = 2.91 X l < r l9J = 1.82 eV.
X
à =45°
1014Hz)
En la ecuación 45-11 se observa que una determinación de la cons tante de Planck h involucra sólo la pendiente de la línea recta en la figura 45-5 y que una determinación de la función de trabajo cjb in volucra únicamente la intersección. ó =90°
EL EFECTO COMPTON En 1923 A rthur H olly C om pton, entonces en la W ashington U niversity de St. L ouis, descu b rió lo siguiente: cuando un haz de rayos X se dispersa p o r un blanco, la longitud de onda de estos rayos dispersados es ligeram ente m ay o r que la lo n g i tud de onda del haz incidente. E n la figura 45-6 se m uestra el arreglo experim ental que utilizó para observar este efecto Compton, nom bre con el que se le conoce en la actualidad. U n haz de ray o s X de lo n g itu d A incide sobre un blanco de carbono (grafito) T. C om pton o b servó que los rayos X se dispersaban en varios ángulos ó del haz incidente y m idió su in tensidad y su lo n g itu d de o nda en varios de estos ángulos. L a figura 45-7 m uestra los resultados experim entales de cuatro valores de
R a y o s X. in c id e n te s R e n d i ja s d e c o lim a c ió n F i g u r a 4 5 - 3 . Arreglo experimental con que se observó el efecto Compton. El detector, que puede ponerse en el ángulo
ó = 135°
A4 i
70
75
80
L o n g itu d d e o n d a (p m ) ig u r a 4 5 - 7 . Resultados experimentales de Compton con cuatro valores del ángulo de dispersión ó. El pico en 71 pm se debe a la dispersión de la radiación incidente (de 71 pm de longitud de onda) por los electrones internos fuertemente ligados del átomo. El segundo pico representa la radiación dispersada desde los electrones externos casi libres y poco ligados. Cuando é ~ 135°, el corrimiento de Compton AA es aproximadamente 4 pm.
F
de o nda incidente, pero la otra (A') es AA m ás grande. Este corrim iento C om pton AA varía con el ángulo ó donde se ob servan los rayos X dispersados. C om pton obtuvo su expresión relativa a AA analizando la interacción entre un fotón del haz incidente de rayos X con un electrón libre en el blanco, com o si se tratase de una colisión en tre dos partículas. Vamos a analizar prim ero la situación desde el p unto de vista cualitativo. En virtud de que el fotón inciden te de energía E ( = hf) cede parte de su energía al electrón que retrocede, por lo cual el fotón dispersado debe tener menos energía E ' ( = h f ) . Com o E ' < E debem os tener / ' < / , lo cual exige que A' > A. En otras palabras, la longitud de la onda de los rayos dispersados debe ser m ayor que la de los rayos inci dentes, exactam ente com o se observa en la figura 45-7.
A nalicem os ah o ra la situación desde el punto de vista cuantitativo. E n la fig u ra 45-8 se m uestran los estados inicial y final. Suponem os que al inicio el electrón se encuentra en reposo y que es esen cialm en te libre, esto es, no está ligado a los átom os del dispersador. L a suposición se cum ple de m odo bastante satisfacto ria en los electrones ex tem o s ligados a los átom os un poco ligeros de carbono que form an el blanco de grafito. P laneam os en co n trar una expresión p ara AA aplican do, a la interacción de la fig u ra 45-8, las leyes de conserva ción de la energía y del m om ento lineal. D ebem os abordar el análisis en form a relativista, pues los fo tones se desplazan con la v elocidad de la luz, y la velocidad del electrón d ispersado puede acercarse a la de la luz. L a conservación de energía en el sistem a fotón-electrón requiere que ^■finida!
O h f + m e 2 = h f + m e2 + K.
(45-12)
donde m e2 es la en erg ía en reposo del electrón, y K su en er gía cinética (relativista) tras la interacción. A l s u s titu ir /p o r CA (y f por c /A ') y al utilizar la ecuación 20-27 con la ener gía cinética relativista, tenem os he __
he
1
1
Vi - (v/c)2
~Y
(45-13)
com o ecuación de co n servación de la energía. A pliquem os ah o ra la ley (de vectores) de conservación del m om ento lineal a la in teracción de la figura 45-8. Según las ecuaciones 20-23 y 45-2, la m agnitud de los m om entos li neales del electrón y del fotón son, respectivam ente, mv
h
Vi —(v/c)2
P e le a ro n
r~—
;
, .
Y
(45-14)
P ro tó n
E n el caso de la co n servación del com ponente x del m om en to lineal, podem os escrib ir h mv h — - eos ó 4 r - -... cos6 (45-15) A A Vi (v /c )-' y en el caso del com p o n en te y 0
h , - sen ó 4— = = = = = = -sen 0. A ' Vi - (v/c):
(45-16)
F o tó n F o tó n X
E s ta d o inicial
E le c tr ó n
v=0
V e 4 E le c tró n E s ta d o fin a l
V
F i g u r a 4 5 - 8 . La interacción fotón-electrón de Compton se trata como una colisión entre dos partículas. En el estado inicial, un fotón de longitud de onda A choca contra un electrón en reposo. En el estado final, el fotón se desplaza un ángulo 6 con una longitud de onda mayor A' y el electrón se desplaza con velocidad v en un ángulo 6.
Com o se define en la figura 45-8, el ángulo 6 es negativo y por eso el segundo término de la ecuación 45-16 tam bién lo es. N uestro objetivo es em plear las tres ecuaciones de conserva ció n (Ecs. 45 -1 3 , 45-15 y 45-16) p ara obten er una expresión relativa al conim iento Compton AA ( = A' — A) y así poder com pararla con los resultados experim entales que obtuvo Compton; D e las cinco variables (A, A', v,
Solución a) Al hacer ó = 90° en la ecuación 45-17, para el corri miento Compton tenemos AA = ------(1 - eos 4>) me 6.63 X 1CT34 J-s ■( 1 — eos 90°) (9.11 X 1CT31 kg)(3.00 x 108 m/s) = 2.43
X
\
E -
P u ls o ( e l e c tr ó n ic o
D,
4 -5-9. Aparato de anticoincidencia. La luz procedente de la fuente S incida sobre el divisor de haces B, donde una mitad se transmite al detector D p y la otra se refleja contra el detector D ,. T indica la terminal donde aparece la salida electrónica de ellos. Para demostrar la existencia de los fotones debería ser verdad lo siguiente: si, en cierto momento, un pulso electrónico aparece en la salida de un detector (digamos, D2), no aparecerá pulso alguno en la salida del otro (Dj). Se muestra una autocoincidencia representativa. F
_
hc AA A(A + AA)
-
(6-63 X 1CT34 J-s)(3.00 X 10s m/s)(2.43 X lQ -|2 m) (100 X 10"12 m)(100 pm 4- 2.43 p m )(l(T 12 m/pm) X
1CT17 J = 295 eV.
Podemos demostrar que en este caso la energía inicial £ (= h f — h e /A) del fotón es en este caso de 12 400 eV, de modo que el fotón perdió al rededor de 2.4% de su energía original durante la interacción.
------ s>-
H az Y
10~!2 m = 2.43 pm.
Al sustituir A' = A + AA y resolviendo para K nos da
S in p u ls o
H az in c id e n t e
b) Al sustituir c/A p o r/(y c/A ' p o r /') en la ecuación 45-12, pode mos escribir he __ he __ __ T,
= 4.72
H az i
ig u r a
L os p rim eros experim entos de este tipo no revelaron un patró n convincente de anticoincidencias y, por eso, tam poco co n firm aro n el m odelo de fotón de la luz. M ás tarde se de m ostró que los resultados negativos podrían atribuirse, entre otros factores, a pequeñas fluctuaciones de intensidad de la D E S C U B R IM IE N T O fuente de luz. A sí, el experim ento que hem os venido descri DEL FOTÓN b iendo no constituye todavía una prueba rotunda de la ex is tencia* ni de la inexistencia de los fotones. Es interesante señalar lo siguiente: aunque la existencia del N ó tese que el aparato de la figura 45-9 no puede revelar fotón fue propuesta por E instein en 1905, puede afirm arse la n a tu raleza o n d u lato ria de la luz. A unque el haz incidente que pruebas experimentales verdaderam ente convincentes se re de luz se divide en dos subhaces, igual que en el ex perim en cabaron apenas en 1974 y, sobre todo, en 1986, con el trabajo to de ren d ija doble, estos rayos entran en detectores aislados que comentamos en esta sección. Buscam os un experimento que , y nu n ca se recom binan. P or eso no pueden interfeiir uno con no sólo confirm e el concepto de fotón, sino que tam bién no otro ni tam poco p roducir los efectos de interferencia que ca pueda explicarse m ediante el concepto de onda. racterizan el m odelo ondulatorio. L a figura 45-9 describe los lin eam ientos generales de un experim ento posible. L a luz em itida p o r la fuente S incide so íes d islgnados Uso bre un divisor de haces B. É ste es un d ispositivo óptico que divide un haz de luz en dos subhaces: un h az transm itido (haz En 1986 P. G rangier, G. R oger y A. A spect, inspirándose en X) y un haz reflejado (haz Y), éstos p o seen la m itad de la in el trabajo que J. F. C lauser efectuó en 1974, m odificaron el tensidad del haz incidente. En la nom enclatura de fotones, un aparato de la figura 45-9 para suprim ir sus deficiencias. P ri fotón que se acerque a un divisor tiene 50% de pro b ab ilid a m ero h icieron que los detectores D [ y D , no funcionaran des de ser transm itido y 50% de ser reflejado. (O FF) en su estado norm al. Pero podían encenderlos (O N) a D¡ y D ? en la figura 45-9 son detectores fo toeléctricos de d iscreción — y durante un intervalo breve— aplicándoles una luz que responden, respectivam ente, a los haces X y Y. La “señal de com p u erta” de corta duración. fuente de luz S se hace intencionalm ente lo b astante m ás d é L a prin cip al m odificación que realizaron estos in vestiga bil p ara que en cualquier m om ento la en erg ía total de luz del dores consistió en reem plazar la fuente S en la figura 45-9 por aparato no sea en prom edio m ayor que la de un fotón. En ta otro arreglo m ás com plejo. H icieron que un haz de átom os de les condiciones, la salida de los detectores será una serie de calcio p a sara p o r la posición de la fuente y, bom bardeando con luz láser, lograron que algunos de ellos alcanzaran un es pulsos electrónicos discretos. tado excitado, denotado con x en la figura 45-10. Al retornar Si el m odelo fotónico de la luz es correcto, esperam os que cuando en cierto m om ento aparezca un pulso en la term i espontáneam ente a su estado base, indicado con 0 en ella, ca d a átom o em itía dos fotones en una cascada rápida. Por razo nal de salida de uno de los dos detectores, no h ay a u n pulso nes que explicarem os luego, al prim ero de los fotones lo en la term inal de salida del otro en ese m ism o m om ento. E s llam am os fo tó n desencadenado}', y al otro, fo tó n designado. tas anticoincidencias, nom bre que se les da, pued en descu L a ca já rectan g u lar de la figura 45-11 contiene la fu e n te brirse y registrarse con m edios electrónicos m ediante arreglos de fo to n e s designados que se em pleó en este nuevo experique no se incluyen en la figura 45-9.
F o tó n d e > e x c ita c ió n lá se r
co n v in cen tem en te p o r m edio de experim entos. N o parece po sible in terp re tar los resultados a partir de las ondas.
sr
FO T O N E S Y ONDAS F o tó n d e s ig n a d o O E s ta d o b a s e
t o . Se muestran tres niveles de energía en los átomos de calcio; el nivel denotado con O es el estado base. Se excita al átomo hasta que alcance el estado x absorbiendo un fotón de un haz de rayos láser. Después el átomo decae a su estado base en un proceso en cascada de dos pasos; aparecen al mismo tiempo los dos fotones de decaimiento (el '‘fotón desencadenador” y el “fotón designado”). F
ig u r a
45-
mentó: reem p laza la fuente S en la fig u ra 45-9. E n esta nue va fuente el fotón d esen cad en ad o r de la figura 45-10 entra en un detector G que g en era una señal electrónica de com puerta en su term inal T. L a señal, ap licada a los detectores D¿ y D-, de la figura 45-9, los activa (O N ) en un intervalo brevísim o. En térm inos generales, el fotón desen cad en ad o r “les dice” : “ ¡D espierten! Se ap ro x im a un fotón. C iérren se una vez que lo hayan registrado.” N ótese que el fo tó n desen cad en ad o r se em ite y absorbe dentro de la caja fuente, sin que entre en el aparato de la fig u ra 45-9. Sin em bargo, el fotón designado en la figura 45-10 sí penetra en el aparato, dirigiéndose hacia el divisor ele haces B. C uando se logra que los d etectores sólo se activen (ON) cu an do deben hacerlo, se garantiza que no se vean inundados con otros que inevitablem ente están presentes. U na vez introducidas las m o dificaciones anteriores, el experim ento funcionó de m odo adm irable. Se observaron las anticoincidencias esperadas y — p o r prim era vez en form a
E n el m om ento actual, contam os con datos experim entales en favor de dos m odelos m uy distintos de la luz. E l experim ento de ran u ra doble fav o rece la hipótesis de “la luz es una onda” . Y el experim ento de anticoincidencias de la figura 45-9 corrobora la de “la luz es un fotón” . En la figura 45-12 se describe una ex tensión del aparato de esa figura, con el cual se hace una simple m odificación y puede dem ostrarse la existencia de ondas o de fotones. L os experim entos donde se em plean estos aparatos, nos perm iten conocer m ejor la naturaleza fundam ental de la luz. VLSp22’¿222SL¿93 CjUa X _ T riestr8 .n
cfiie la luz; s o l ondas L a fuente lum inosa S de la figura 45-12 es la fuente de fotones designados en la figura 45-11. El haz incidente proveniente de ella se divide en un divisor de haces B , en dos subhaces, igual que antes. El haz X se refleja entonces contra el espejo y el haz Y contra el espejo M ,. E ste últim o está fijo en su sitio, pero el espejo puede m overse hacia atrás y adelante en una exten sión controlable. A l m over M ¡, el experim entador puede m odi ficar a d iscreción la longitud de la trayectoria X y de ese m odo cam biar la diferencia de fase entre la luz que sigue la tra yectoria X y la que sigue la trayectoria Y. Si se d ibujan las trayectorias de la fig u ra 45-12, se verá que p uede hacerse que los rayos X y Y (generados en el divi sor de haces B j) se recom binen (por acción del divisor de ha ces B 2) en Dj y tam bién, p o r separado, en D,. La diferencia de fase entre los haces com binados en am bos detectores puede alterarse m ov ien d o el espejo M j. A sí pues, las salidas electró nicas de D j y D 0 d eberían m ostrar un patrón de franjas de in terferencia al m o v er este espejo el experim entador. La figura
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• .g : x.--'. %. El aparato dentro de la caja rectangular es una fuente de fotones designados que se utiliza en vez de la fuente S en la figura 45-9. En sucesión rápida, el átomo de calcio de la figura 45-10 emite un fotón desencadenador y un fotón designado. El primero se envió a un generador electrónico de compuerta G, el cual a su vez emite una señal electrónica de compuerta a los detectores D, y D-, de la figura 45-9, activándolos brevemente. El fotón designado cae sobre el divisor de haces de la figura 45-9.
S a lid a d e p u ls o F i g u r a 4 5 - 1 2 , Extensión del aparato de la figura 45-9, diseñado para demostrar las propiedades ondulatorias y de fotón de la luz. Los fotones de prueba procedentes de la fuente S siguen dos trayectorias, indicadas por X y Y, a través de él. La iuz que sigue las trayectorias se recombina en el detector D¡ y también en el detector D-,.
en
•§200 o O
100
0
300
§200
o O
100
o Conteos acumulados en los detectores y D9 de la figura 45-12 en función de la posición del espejo móvil Mj. Los detectores muestran franjas de interferencia, que pueden interpretarse diciendo que la luz es una onda en este experimento. F
ig u r a
45-13.
45-13 m uestra el pulso que cuenta las rapideces en la salida de los detectores y D 9 de la fig u ra 45-12 en función de la posición del espejo M ¡. Se observa que los patrones de in te r ferencia concuerdan con la naturaleza ondulatoria de la luz. E n este m odo de operación el aparato de la figura 45-12 es esencialm ente de rendija doble, pues los dos subhaces se generan en el divisor de haces B ¡, siguen trayectorias de d is tinta longitud y, finalm ente, vuelven a encontrarse en los de tectores D j y D 9. N o im porta si en el experim ento de rendija doble, el detector era una pantalla y en este caso son dos dis positivos electrónicos independientes, cada uno de los cuales m uestra un patrón de interferencia.
E xperim entos que muestran I* e x isíen d a de los fotones Si elim inam os el divisor de haces B 9, desde un punto de vis ta funcional el aparato de la figura 45-12 es idéntico al de la figura 45-9, es decir, los dos subhaces entran a detectores se parados y nunca se recom binan. E n tales circunstancias las salidas m ostraron un patrón de anticoincidencias, co m p ati bles con la naturaleza de fotón de la luz. C oncluim os que, si el divisor de haces B , está fijo en su sitio, el experim ento apoya el m odelo ondulatorio de la luz. Si elim inam os B 9, apoya el m odelo del fotón. Tenem os el d ere cho de preguntar: “¿C uál es la naturaleza de la luz en trán si to por el aparato de la figura 45-12, después de salir del divisor de haces B 4 pero antes de llegar al divisor B 9?” . D icho de otra m anera: ¿“sabe” la luz si el divisor de haces B ? está fijo en su sitio antes de llegar al lugar de B 2?
E xperim entos de decisión re tra sa d a U nos ingeniosos experim entos de decisión retrasada aclaran la pregunta que acabam os de form ular. U n experim ento su m am ente revelador consistiría en dejar el divisor de haces B 9 en
su sitio, com o en la figura 45-12. D espués, poco antes que la luz llegue al lugar de B 2, sacar el divisor de su trayectoria. Aunque no es posible extraer e introducir m ecánicam ente el divisor con suficiente rapidez, los resultados de un experim ento equiva lente consistente en redirigir los haces lum inosos m ediante interruptores electro-ópticos fueron descritos en 1987 por inves tigadores del M ax Planck Institute for Q uantum Optics cerca de M unich. Vamos a explicarlos como si el divisor de haces B 9 hu biera sido introducido y extraído m ecánicam ente. S upóngase que el experim ento com enzó con un divisor de haces B ? fijo en su sitio. Es la situación adecuada para re v elar las franjas de interferencia en las salidas del detector y, p o r tanto, la naturaleza ondulatoria de la luz. ¿Es posible que la luz p ercib a de alguna m anera la presencia de B 9 y que por ello adopte su aspecto de onda? Sin em bargo, una vez que la luz cruza el div iso r de haces B x pero antes que llegue al sitio del div iso r B 9, lo quitam os rápidam ente de su trayectoria. El ex perim ento indica que no se observa interferencia alguna. Si la luz “p en só ” que era una onda después de salir de B j, debe hab er “cam biado de opinión” cuando llegó al sitio de B 9 y no en contrará en su lugar al divisor de haces. C om encem os ahora el experimento una vez elim inado B 9. Es la situación idónea para revelar las anticoincidencias en las salidas del detector y, por lo mismo, la naturaleza de fotón de la luz. ¿Es posible que ésta, habiendo atravesado B j perciba de al guna m anera que B 9 no está allí y asum a su aspecto de fotón? Entonces, antes que llegue al sitio de B 9, rápidam ente interpo nem os este divisor en su trayectoria. El experim ento m uestra que la interferencia se observa siempre. Si la luz “pensó” que es un fotón después de salir de debe haber "cam biado de opi nión” al llegar al sitio de B 9 y al descubrir “inesperadam ente” que el divisor de haces se encuentra en su sitio. El ex p erim ento m uestra que es posible introducir un di v iso r de haces B 9 en cualquier m om ento — desde su inicio h asta el últim o picosegundo— y que el resultado observado en las salidas del detector será el m ism o: la luz es una onda. P or el contrario, puede extraerse B 9 en cualquier m om ento — desde el inicio del experim ento hasta el últim o picosegun do— y el resultado observado en las salidas del detector será el m ism o: la luz son fotones. ¿Qué concluimos de todo esto? Simplemente que, cuando la luz está en tránsito en el aparato, no tiene sentido ni el m ode lo ondulatorio ni el de fotón, y tam poco alguna com binación de estos conceptos clásicos. No es más que “luz” y hasta la fecha nadie h a logrado proponer una form a aceptable de visualizarla b asad a en el sentido com ún. Podem os establecer un m odelo en el aparato de la figura 45-12 sólo cuando nos concentramos en las salidas pulsadas de dos detectores. Si el divisor de haces B 9 está fijo en su sitio, las salidas presentarán interferencia y dire m os “onda” . Si B9 está ausente siempre, las dos salidas m ostra rán anticoincidencias y diremos “fotones”. No podem os afirmar absolutam ente nada sobre la luz mientras pasa por el aparato. Todo lo anterior viene a corroborar nuestra opinión inicial de que la luz es un fenóm eno sutil difícil de visualizar o de etique tar. Según com entam os al principio de este capítulo, no es ex clusivam ente corpuscular ni exclusivam ente ondulatoria. Esas
dos naturalezas están íntim am ente relacionadas y podem os con seguir que m anifieste uno de los dos com portam ientos según la clase de experim ento que decidam os efectuar.
4.5-7 R E D U C C IÓ N D E LA V E L O C ID A D D E L O S Á TO M O S P O R B O M B A R D E O C O N FO T O N E S Si queremos m edir las propiedades de un objeto cualquiera, casi siempre la form a m ás fácil de hacerlo es cuando no esté m ovién dose, sobre todo si se trata de un átomo. Por desgracia, com o se com prueba en el problem a resuelto 45-5, los átomos de un gas a tem peratura am biente distan m ucho de estar en reposo, pues ge neralmente se desplazan con velocidades superiores a las de un avión de propulsión. E n la presente sección deseam os explicar cómo, m ediante el bom bardeo con fotones, puede reducirse la velocidad de los átom os a partir de velocidades tan elevadas. Al hacerlo, aportarem os m ás datos experimentales, directos y con vincentes, en favor de la validez del concepto de fotón. En la figura 4 5 -14 se incluye un átom o de m asa m en su estado base, ilum inado p o r luz de longitud de onda A que se g e neró con un láser. S upongam os que se desplaza con una velo cidad inicial v- en dirección contraria a la de la luz que lo ilum ina. En otras palabras, se m ueve corriente arriba respecto al haz de láser. S upóngase adem ás que absorbe un solo fotón de m om ento (Ec. 45-2) p = h /Á proveniente de este haz. El fotón desaparece y su m om ento se transfiere enteram ente al átomo, dism inuyendo a vf su velocidad co m en te arriba. La conservación del m om ento ele la interacción fotónátom o exige que m v ¡ — h /Á = m v f, donde hem os supuesto que la dirección del átom o en m o v i m iento es positiv a. E l rearreg lo nos d a h/Á = m (v¡ — vf) = — m Av, (45-18) donde Av, una m ag n itu d negativa, es el cam bio de velocidad del átom o después que h a absorbido al fotón. En el problem a resuelto 45-5 calcu lam o s un v alo r represen tativ o de Av y descubrim os que es de unos cuantos c m /s , m ás o m enos la velocidad de un in secto en vuelo. R ecuérdese que v¡ a tem pe ratura am biente suele ser m ay o r que la velocidad de un avión de propulsión. A sí, la absorción de un solo fotón puede alterar la velocidad de un átom o, aunque no m ucho. Si querem os re ducir su velo cid ad inicial de m odo considerable, habrá que ilum inarlo con un haz m uy intenso de rayos láser para b o m bardearlos una y o tra vez con fotones. C uando un átom o absorbe un fotón, su energía aum enta de E0, la de su estado base, a un nivel superior Ex, la de uno de sus estados excitados. En un lapso m uy breve (norm alm ente
H az lá s e r
v¡
f ~ Á to m o
F i g u r a 4 5 -1 4-. Un haz de luz láser de longitud de onda A ilu mina un átomo de masa m que se dirige corriente arriba contra la dirección del haz. La velocidad inicial del átomo es v¡.
unos 1 0 ~ 8 s), reto rnará espontáneam ente a su estado base, em itiendo u n fo tó n al hacerlo. E n efecto, si no regresara a su estado base, no estaría en posibilidades de absorber un segum do átom o del h az de rayos láser. El proceso de reducción de velo cid ad req u iere una secuencia estacio n aria de m uchos p r o - : cesos de em isió n y absorción de fotones. L a em isión de fotones relacionada con el retom o del átomo a su estado base lo hará retroceder. No obstante, los retrocesos ocu rrirán en d irecciones aleatorias de m odo que, prom edia- j dos en m u ch o s procesos de absorción-em isión de fotones, no influirán m ucho en la m agnitud del m o vim iento dirigido del átom o, aunque p ueden fijar un lím ite a la reducción alcanzab le de velocidad. A hora supóngase que el átom o tuviera que m overse a la de recha en la figura 45-14, es decir, com ente abajo respecto al haz de rayos láser. Entonces su velocidad aum entaría en vez de dis minuir, en caso que absorbiera un fotón. E studiando el proble m a resuelto 45-5 convénzase usted m ism o de que, si un átomo absorbe un fotón, su cam bio de velocidad Av tiene la mism a m agnitud, sin im portar si se m ueve com ente arriba o abajo. En form a tentativa podríam os decir que, si bom bardeam os un gru po de átom os con un h az de rayos láser, la m itad de ellos dismi nuirá su velocidad y la otra la aumentará, sin producir una alteración neta en la velocidad prom edio del grupo. P ara cap tar el ingenio con que los ex perim entadores han superado este p roblem a, es preciso ex am inar m ás a fondo el proceso de absorción de los fotones. A unque E 0, la energía del átom o en estado base, se define con toda claridad no su cede lo m ism o con la energía Ex de su estado excitado. La fi gura 45-15 es un a gráfica de la prob ab ilid ad relativa P(A) de que un átom o — supuestam ente en reposo y en su estado ba se— absorba un fotón, elevando al prim ero a determ inado es tado excitado de energía Ex. Vemos que existe cierta longitud de onda Av en que la absorción es m uy probable; pero puede o currir en lo ngitudes de onda un poco m ás (m uy) altas o lige ram ente (m uy) inferiores a este valor. E n la fig u ra 4 5-16 se m uestra un átom o ilum inado por dos haces de ray o s láser, L y R, que apuntan directam ente uno
F i g u r a 4 5 - 1 5 . Probabilidad relativa P(A) de que un átomo en reposo en su estado base, iluminado por una luz de longitud de onda A absorba un fotón y pase a un estado excitado de mayor energía E r Con una luz de cierta longitud Av la probabilidad es máxima. Sin embargo, un fotón puede ser absorbido aún, aunque con probabilidad menor, con longitudes de onda un poco más altas o más bajas que Áx.
!■* lilis
t i g u r a 4 5 -1 S. Un átomo en su estado base es iluminado por ¿os haces de luz láser, L y R, que tienen una longitud de onda y . .S e dirige a la izquierda, corriente arriba respecto al haz L y corriente abajo respecto al haz R.
a otro. P or m otivos que en seg u id a explicarem os a la longitud de onda Aláser de cada haz se le fija no Áx, sino un v alor lige7 ram ente m ayor, com o se in d ica en la fig u ra 45-17. E l átom o de la figura 45-16 se dirige a la izquierda, corrien te arriba respecto al haz L y corriente abajo respecto al haz R. De lo que hem os dicho hasta ahora se deduce que los fotones absorbidos en el haz L deberían dism inuir la velocidad del áto mo, mientras que los absorbidos en el haz R deberían dism inuir la. A m bos efectos no se cancelan p o r una consideración que hemos olvidado mencionar: el efecto D oppler (Sec. 39-6). A causa de este efecto el átom o de la fig u ra 45-16, al m o verse c o m e n te arriba en el h az L “p ercib e” una frecuencia de luz m ás grande — y, en consecuencia, un a longitud de onda más corta— de lo que tendría si estuviese en reposo. En otras palabras, el átom o que se dirige c o m e n te arriba “percib e” una lo n g itu d de o nda AL donde AL < Aláser (P ro b . res. 45-6). U na ojeada a la figura 45-17 in d ica que la probabilidad de absor ción de fotones — y p o r lo m ism o la reducción de la v elo ci dad— m ejora m ucho con este efecto D oppler. N o obstante, respecto al haz R el átom o se m ueve co m e n te abajo y “percibirá" un a longitud de onda AR un poco m ás grande que Aláser. A hora la figura 45-17 indica una gran dis m inución de la probabilidad de que se absorban fotones y, en consecuencia, de que se aum ente la velocidad. Gracias a un arreglo tan ingenioso, la velocidad de un átom o que se m ueva hacia la izquierda dism inuye m ucho m ás p o r la acción de un
F i g u r a 4 5 - i 7 . Al átomo de la figura 45-16 lo ilumina una luz láser cuya longitud de onda A,áser se ajusta a propósito para que esté a la derecha del máximo de la curva en forma de campana. Al dirigirse el átomo a la izquierda en la figura 45-16, el efecto Doppler hará que perciba una longitud de onda más corta (AL) de luz en el haz L y más larga (AR) en el haz R. Por tanto, la probabilidad de que un fotón sea absorbido en el haz L es mucho mayor y mucho menor la de que un fotón sea absorbido en el haz R. Si el átomo se desplaza a la derecha en la figura 45-16, la probabilidad de que un fotón sea absorbido en el haz R aumentará de manera considerable y disminuirá mucho la de que sea absorbido en el haz L. Sin importar la dirección que siga el átomo, el mecanismo de absorción de los fotones disminuirá su velocidad.
h az L de lo que se aum entaría por la acción del rayo R. Hay, pues, una reducción de la velocidad. Convénzase usted mismo de que un átom o que se dirija a la derecha en la figura 45-16 ex perim entará adem ás una dism inución neta de su velocidad. L os átom os de un gas no se desplazan en una u otra di recció n a lo largo de un solo eje, sino que pueden hacerlo en cu alq u ier dirección. P ara tener en cuen ta lo anterior, los expe rim entadores ilum inaron un grupo de átom os con seis haces de rayos láser, puestos en parejas y orientados en tres direc ciones m u tu am en te perpendiculares. A sí, sin im portar la di recció n de un átom o en m ovim iento la m agnitud de los com ponentes de su velocidad se reducirían m ediante el m eca n ism o de D o p p ler que acabam os de describir. U n átom o que se h alla en la intersección de seis haces se com portará com o un in secto atrapado en un líquido viscoso. Se dism inuirá su v elocidad, cualquiera que sea la dirección en que se m ueva. L os ex perim entadores dicen que los átom os así confinados están atrapados en las m elazas ópticas. El m étodo anterior re cibe el nom bre de enfriam iento con rayos láser p orque la dis m in u ció n de la velocidad prom edio de un grupo de átom os co rresponde a la reducción de su tem peratura. H acia 1985 Steven C hu y sus colegas en los B ell L abo ratories lo graron dism inuir, con este tipo de enfriam iento, la velocidad de un grupo de alrededor de 1 m illón de átom os de sodio. A sim ple vista los grupos parecían una nube brillante del tam año de un guisante, situado en la intersección de seis haces de rayos láser. N o quedaron atrapados a pesar de que se dism inuyó su velocidad (aproxim adam ente a 30 c m /s). Para m antenerlos en su sitio contra la tendencia a caer bajo la ac ción de la gravedad, los experim entadores incorporaron en su aparato una tram pa provista de fuerzas m agnéticas p ara con trarrestar la fuerza descendente de la gravedad. A sí pudieron estu d iar con com odidad las propiedades de los átom os, una vez atrapados y dism inuida su velocidad. Steven C hu, actualm ente en la Stanford U niversity, Claude C ohen-T annoudji, del C olegio de F rancia y de la E scuela N orm al Superior, y W illiam D. P hillips, del National Institute for S tandards and Technology en G aithersburg (M aryland) com partieron en 1997 el Prem io N obel de Física “po r inven tar los m étodos para enfriar y atrapar los átom os con luz lá ser” . El grupo encabezado p o r C ohen-Tannoudji logró bajar la tem peratura de un grupo de átomos de helio aproxim adam en te a 1.8 X 1CT7 K ( = 0.18 /xK), a la cual su v elo cid ad me dia era de unos 2 c m /s. A dem ás de los estudios fundam entales de física, el trabajo colectivo de esos tres grupos y de otros culm inó en la invención del reloj atóm ico en el N ational Ins- . titute o f Standards and T echnology (el reloj de fuente de cesio; consúltese la Sec. 1-3) que constituye el actual patrón nacional de frecuencia. P r o b l e m a R e s u e l t o 4 3 - 3 . ci) ¿ Q u é velocidad raíz cuadrada media vrcm tiene un átomo de gas de argón a temperatura ambiente (T — 300 K)? La masa m de un átomo de argón es de 40.0 u. b) Un átomo de argón que se desplaza a su velocidad raíz cuadrada medía se dirige comente arriba hacia un haz de rayos láser cuya longitud de onda mide 105 nm. ¿Cuánto cambia su velocidad si absorbe un fotón proveniente dei haz?
Solución a) Al utilizar la ecuación 22-20, donde k es la constante de Boltzmann, tenemos _
(
3 k T Y
mJ
2
=
(3X1.38 X 1CT23 J/K)(300K) (40.0 u)( 1.67 X 1CT27 kg/u)
= 430 m/s. El resultado equivale a 960 m i/h, cantidad que también puede ex presarse como Mach 1.3, velocidad mucho mayor que la de un avión comercial de propulsión. Según se aprecia en la figura 22-6, más del 40% de los átomos de argón tienen velocidades mayores que esta raíz cuadrada media. b) El momento lineal debe conservarse en las interacciones de fotónátomo. La solución de la ecuación 45-18 con la reducción de veloci dad Av nos da Av = -
h mk
6.63 X 10~34 J-s (40.0 u)(1.67 X 1CT27 kg/u)(105 X 1CT9 m)
fotón procedente de un haz de rayos láser cuya longitud de onda mi de 589 nm, cantidad que suponemos exacta para simplificar el pr o blema. A causa del efecto Doppler, ¿qué cambio de longitud de onda “percibe” el átomo de sodio en ese haz, si se dirige comente arriba de él con una velocidad de 500 m /s? Solución El átomo se desplaza lentamente respecto a la velocidad de la luz; así que podemos emplear la ecuación 39-21 y prescindir de los términos que no sean lineales. Una vez revisada para tener en cuenta el movimiento y expresada en función de la longitud de onda y no de la frecuencia, esta ecuación queda así ,
AA = A0 — A = A0 (v/c) = (589 nm)(500 m/s)/(3.00 X 108 m/s) = 9.8 X 10~4 nm.
= —9.45 X 10~2 m/s « —9 cm/s. Es aproximadamente la velocidad de un insecto en vuelo. Recuérde se que la velocidad inicial del átomo era 430 m /s. r o b l e m a R e s u e l t o 4 5 -6 . Un átomo de sodio en reposo pue de ser elevado de su estado base a un estado excitado, si absorbe un
P
A = A0 (l + v/c)~' = A0 (1 — v/c).
Aquí v es la velocidad del átomo, y A0 la longitud de onda de la luz láser. Como de costumbre, c es la velocidad de la luz. Podemos reescribir esta ecuación otra vez, expresándola como un corrimiento de la longitud de onda de Doppler:
Por tanto, el átomo en movimiento “percibe” la longitud de onda de la luz láser aumentada en esa cantidad pequeña. El cambio fraccional de la longitud de onda a causa del efecto Doppler es (9.8 X 10-4 nm)/(589 nm) o 1.7 X 10~6, cantidad que representa sólo 0.00017%.
V PCIÓN M ÚLTIPLE 4 5 -1 Introducción al fotón 4 5 -2 Radiación térm ica 1. La radiación espectral de un radiador de cavidad alcanza su má ximo con la longitud de onda Amáx = A(). La temperatura del cuer po cambió ahora, de modo que la radiancia espectral obtiene su máximo en Amáx = A0/2 . El cambio de temperatura ocasiona que la intensidad radiante del cuerpo crezca un factor de A) 2. B) 4. C) 8. D) 16. 2. Un radiador de cavidad presenta su radiancia espectral máxima con una longitud de onda de 28.98 ¿tm en la región infrarroja del espectro. Ahora la temperatura del cuerpo creció de modo que se duplica su intensidad radiante I(T). a) ¿Cuál es esta nueva temperatura? A)
\ / W
B) V 2 0 0 K
C) y i 100 K
C)
100 K
b) ¿En qué longitud de onda alcanzará ahora su valor máximo la radiancia espectral? A)
V 28.98 fjxa
C)
V l / 2 28.98
B) ^2S.9% /2 fjxa ¿un D) V l / 4 28.98 jxm
3. ¿Cuál de los enunciados siguientes es consecuencia de la obten ción de la ley de radiación por Planck? A) Los osciladores atómicos pueden emitir y absorber energía sólo en valores discretos. B) Los osciladores atómicos pueden emitir y absorber energía sólo en frecuencias discretas. C) Tanto A) como B) D) Ni A) ni B)
43-3 El efecto fotoeléctrico 4. ¿Qué efecto se produce al aumentar la longitud de onda de la luz que incide sobre el emisor en un aparato de efecto fotoeléctrico?
A) B) C) D)
Disminuye la función de trabajo. Disminuye la frecuencia de corte. Disminuye el potencial de frenado. Aumenta el retraso de tiempo en la emisión de fotoelec trones. E) Ninguno de los efectos anteriores. 5. ¿Qué efecto se produce al aumentar la intensidad de la luz que incide sobre el emisor en un aparato de efecto fotoeléctrico? A) Disminuye la función de trabajo. B) Disminuye la frecuencia de corte. C) Disminuye el potencial de frenado. D) Aumenta el retraso de tiempo en la emisión de fotoelec trones. E) Ninguno de los efectos anteriores. 6. Una luz monocromática con una frecuencia muy por arriba de la de corte incide sobre un emisor en un aparato de efecto foto eléctrico. Su frecuencia se duplica entonces mientras se mantie ne constante a la intensidad. a) ¿Cómo afecta lo anterior al potencial de frenado? A) El potencial aumentará. B) El potencial disminuirá. C) El potencial permanecerá inalterado. b) ¿Cómo afecta lo anterior a la corriente fotoeléctrica? A) La corriente aumentará. B) La comente disminuirá. C) La corriente permanecerá inalterada.
45-4 E l efecto
Compton
7. La dispersión de Compton describe una colisión entre un fotón y un electrón. ¿Cuál de los siguientes enunciados es falso? A) La dispersión de Compton conserva el momento. B) La dispersión de Compton es elástica.
C) La dispersión de Compton es una prueba de la naturale za corpuscular de la luz. D) La ecuación 45-17 supone que el electrón se hallaba en reposo originalmente. §. ¿Cómo el corrimiento de Compton máximo AAmáx depende de la longitud de onda A? A) AAmáx ce A2 B) AAmix ce A C) AAmáx es independiente de A D) AAmáx ce 1/A 9. Un fotón de longitud de onda A entra en un gas de electrones. ¿Cuál es el número mayor de colisiones que pueden producirse en el fotón al ser absorbido completamente por el gas? A) =“ \m c /2 h B) = \m c /h C) ~ Tkm c/h D) = \m c~jh 1 0 . Un fotón A posee el doble de energía de un fotón B. ¿Qué razón de momento existe entre A y B? A) 4:1 B) 2:1 C) 1:1 D) 1:2
45-5 Descubrimiento del fotón Considere los primeros experimentos acerca de la anticoinci dencia. ¿Cuál de los siguientes enunciados explica de modo ra zonable por qué ambos detectores producirán un pulso? A) Dos fotones se emitieron simultáneamente desde la mis ma fuente. B) Los dos fotones se emitieron en momentos diferentes desde la misma fuente, pero los detectores muestran al gunas incertidumbres intrínsecas. C) La luz se comporta como una onda con una amplitud ar bitrariamente pequeña. D) Los tres enunciados anteriores son explicaciones plausibles. 12. ¿Cuál de los siguientes enunciados es más importante respecto a las modificaciones introducidas en 1986 a los experimentos de anticoincidencias? A) Con dos fotones emitidos las señales alcanzarían el do ble de magnitud. B) El uso de átomos excitados de calcio ayudó a cerciorar se de que los fotones se emitieran uno a la vez.
11.
C) El fotón desencadenador ayudó a cerciorarse de que só lo un fotón estuviera presente en las regiones detectores en un momento dado. D) El uso de luz láser hizo que sólo se emitiesen ondas co herentes.
45 -6 Fotones y ondas 13. Se deja que una fuente de luz muy débil, la cual emite sólo un fotón a la vez, emita luz a través de una rendija doble. Después la luz brilla sobre una película fotográfica. a) ¿Qué se verá en la película si se expone un breve periodo? A) La película mostrará únicamente puntos discretos don de los fotones chocan contra ella, sin señales de un pa trón de interferencia. B) La película deberá mostrar puntos discretos donde los fotones chocan contra ella, pero los puntos se distribui rán como un patrón de interferencia. C) La película mostrará un patrón continuo de interferencia. b) En seguida se expone la película durante largo tiempo. A) La película mostrará sólo puntos discretos donde los fo tones chocan contra ella, sin signos de un patrón de in terferencia. B) La película debería mostrar puntos discretos donde los fotones chocan contra ella, pero los puntos se distribui rán como un patrón de interferencia. C) La película mostrará un patrón de interferencia conti nuo.
45-7 Reducción de la velocidad de los átomos por bom bardeo con fotones 14.
¿ G u á l de lo s s ig u ie n t e s e n u n c ia d o s e s in d is p e n s a b le p a r a q u e se r e a lic e e l e n f r ia m ie n t o p o r lo s r a y o s lá s e r ? S e le c c io n e lo s q u e lo
sean. A) Los átomos pueden absorber fotones que posean ener gía sólo dentro de intervalos pequeños. B) La fuente de luz debe ser coherente. C) La luz debe cumplir el efecto Doppler.
r^ G U N T A S 1. Los “paquetes” formados por los carbones en un fuego hecho con ellos parecen más brillantes que los propios carbones. ¿Es su tem peratura mucho más elevada que la de la superficie de un carbón al rojo vivo expuesto? Explique este fenómeno tan común. 2. La relación IiT) = crT4 (Ec. 45-3) es exacta con cavidades ver daderas y se cumple en todas las temperaturas. ¿Por qué no la utili zamos como base para definir la temperatura a, digamos, 100°C? 3. ¿Se cumple en todos los sólidos incandescentes la ley de la cuarta potencia de la temperatura, como parece sugerirlo la ecuación 45-3? 4. ¿Basta ver el cielo por la noche para descubrir estrellas más ca lientes que el Sol? ¿Más frías que él? ¿Qué busca cuando las mi ra? ¿Es una pista la brillantez de la estrella? 5. Betelgeuse, la estrella roja prominente en la constelación de Orion, tiene una temperatura superficial mucho menor que la del Sol; pero irradia energía al espacio con una rapidez conside rablemente más rápida que el Sol. ¿A qué se debe? 6. Menos de un bajo porcentaje de la energía suministrada a una lámpara de 100 W aparece en forma de luz visible. ¿Qué suce de con el resto? ¿Que podría hacerse para aumentar el porcen taje? ¿Por qué no se ha hecho todavía?
7. La temperatura cutánea del cuerpo humano es de 300 K aproxi madamente. ¿En qué región del espectro electromagnético emi te radiación térmica con mayor intensidad? 8. Las curvas de radiancia espectral en los radiadores de cavidad no se intersectan en temperaturas diferentes (Fig. 45-1). Pero suponga que lo hicieran. ¿Puede demostrar que se violaría la se gunda ley de la termodinámica? 9. Decimos que todos los objetos irradian energía en virtud de su temperatura y, sin embargo, no podemos verlos en la oscuridad. ¿Por qué no? 10. Demuestre que la constante de Planck presenta las dimensiones del momento angular. ¿Significa ello necesariamente que éste es una cantidad cuantizada? l í . Para que los efectos cuánticos sean un fenómeno “común” en nuestra vida, ¿qué orden de valor de magnitud necesitaría tener /:? [Consúltese a G. Gamovv, Mr. Tompkins in Wonderland (Cam bridge University Press, Cambridge, 1957) donde se describe un mundo donde aparecen las constantes físicas c, G y h.] 12. Explique por qué un tubo con que se examina la emisión foto eléctrica a) se evacúa y b) se equipa con una ventana hecha de cuarzo en vez de vidrio.
13. Determine si se necesita o no la mecánica relativista para veri ficar la ecuación fotoeléctrica (Ec. 45-10) con 1% de incertidumbre. Recuerde que los potenciales normales de frenado miden unos cuantos volts. 14. En la figura 45-4, ¿no alcanza su máximo valor vertical (satura ción) la comente fotoeléctrica, cuando la diferencia de poten cial aplicada es ligeramente más positiva que vQ? 15. En el efecto fotoeléctrico, ¿por qué la existencia de una frecuencia de corte favorece la teoría del fotón y rechaza la teoría ondulatoria? 16. ¿Por qué las mediciones fotoeléctricas son tan sensibles a la naturaleza de la superficie fotoeléctrica? 17. Una placa metálica aislada genera fotoelectrones cuando la ilu mina por primera vez una luz ultravioleta, pero después deja de hacerlo. Explique el fenómeno. 18. ¿Por qué inclusive en la radiación incidente monocromática los fotoelectrones se emiten con distribución de velocidades? 19. Decimos que toda la energía de un fotón absorbido se cede a un fo toelectrón emitido. ¿Por qué prescindimos de la que recibe la red? 20. ¿Apoya el efecto Compton más la teoría del fotón de la luz que el efecto fotoeléctrico? Explique su respuesta. 21. Considere los siguientes procedimientos: a) bombardear un metal con electrones, b) colocar un fuerte campo eléctrico cerca de un me tal, c) iluminarlo con luz, d) calentarlo a temperatura elevada. ¿Cuál de estos procedimientos da por resultado la emisión de electrones? 22. Una placa metálica se ilumina con una luz de cierta frecuencia. ¿Cuál de las siguientes características decidirán si se emiten o no fotoelectrones: a) la intensidad de la iluminación, b ) la duración de la exposición a la luz, c) la conductividad térmica de la pla ca, d) su superficie, e) el material de la placa? 23. ¿Invalida la teoría de la fotoelectricidad de Einstein, según la cual la luz es una comente de fotones, el experimento de interferencia de rendija doble donde se postula que la luz es una onda? 24. Explique la afirmación de que el ojo humano no podría detectar una tenue luz estelar si la luz no fuera corpuscular. 25. ¿Cómo puede la energía del fotón estar dada por E = h f cuan do la mera presencia de la frecuencia / en la fórmula implica que la luz es una onda? 26. Un fotón no tiene masa en reposo, pues nunca puede estar en ese estado respecto a ningún observador. Si la energía es igual a me1, ¿cómo es posible que un fotón tenga energía? 27. El momento p de un fotón está dado por p = h/Á. ¿Por qué c, la velocidad de la luz, no aparece en esta expresión?
Al hablar de la propagación de la luz, algunas veces utiliz rayos rectos, otras veces ondas y otras más fotones discre °S ¿En qué medida son compatibles estos puntos de vista d' ^ tos? ¿Hay casos en que uno de ellos es evidentemente s u d = a ios demás? enor 2 9 . Dado que E = /¡/en un fotón, el corrimiento de Doppler en la frecuencia de la radiación proveniente de una fuente de luz retroceso parecería indicar reducción de la energía de los foto nes emitidos. ¿Es verdad este hecho? De ser así, ¿qué sucedió con el principio de conservación de la energía? (Véase “Ques tions Studentes Ask”, The Physics Teacher, diciembre de 198t p. 616.) . = ’ 3 0 . ¿En qué se distingue un fotón de una partícula material? 3 1 . ¿Qué dirección sigue el electrón dispersado de Compton con la energía cinética máxima, en comparación con la del haz de fo tones monocromático incidente? 3 2 . ¿Por qué en la imagen de dispersión de Compton (Fig. 4 5 - 8 ) esperaría que AA no dependa de los materiales de que se com pone el dispersor? 3 3 . ¿Por qué no observamos el efecto Compton con luz visible? 3 4 . Por el efecto Compton, los electrones libres en el espacio exte rior dispersan muchas veces la luz procedente de estrellas leja nas antes que llegue a nosotros. Ello hace que la luz se corra hacia el rojo. ¿Cómo podemos distinguir este corrimiento del corrimiento al rojo de Doppler a causa del movimiento de las estrellas que retroceden? 3 5 . En el efecto fotoeléctrico y en el efecto Compton hay un fotón incidente y un electrón expulsado. ¿En qué se distinguen ambos efectos? 36. Mencione y explique las suposiciones que hizo Planck en el problema de radiación de cavidad, las que hizo Einstein en re lación con el efecto fotoeléctrico y las que hizo Compton al es tudiar el efecto que lleva su nombre. 3 7 . Describa varios métodos experimentales que sirven para deter minar el valor de la constante h de Planck. 3 8 . Un láser proyecta un haz de luz sobre una mesa de laboratorio. Si coloca usted una rejilla de difracción en su trayectoria y observa el espectro, declarará que el haz es una onda. Pero si pone una superficie metálica limpia en la trayectoria y si obser va los fotoelectrones expulsados, declarará que el mismo haz és una comente de partículas (fotones). ¿Qué puede decir del haz si no pone nada en su trayectoria? 28.
rljERCICIp_S_ 4 5 - 1 In tro d u c c ió n a l fo tó n 1. a) Por medio de los valores “óptimos” de las constantes funda mentales que se incluyen en el apéndice B, demuestre que la energía E de un fotón se relaciona con su longitud de onda A a través de E
1240 eV ■nm -----------------A
El resultado anterior es útil cuando se resuelven algunos pro blemas. b) La luz de color anaranjado proveniente de una
lámpara de sodio de carretera tiene una longitud de onda de 589 nm. ¿Cuánta energía posee un fotón individual de la lám para? 2. Considere una luz monocromática que incide sobre una película fotográfica. Los fotones incidentes se registrarán si tienen sufi ciente energía para disociar una molécula AgBr en la película. La: energía mínima requerida para ello es 0.60 eV aproximadamen te. Calcule la longitud de corte de onda máxima de la luz a la que no la registrará la película. ¿En qué región del espectro es tá dicha longitud de onda?
3. Un átomo absorbe un fotón cuya longitud de onda es de 375 nm y
4.
5.
. 6.
7.
8.
de inmediato emite otro que tiene una longitud de onda de 580 nm. ¿Cuál es la energía neta absorbida por el átomo durante el pro ceso? En condiciones ideales el ojo normal registra una sensación vi sual a 540 nm, si los fotones incidentes se absorben con una ra pidez mínima de 100 s“ 1. ¿A qué nivel de potencia corresponde esto? En general, los procesos de ionización gaseoso exigen cambios de energía de 1.0 X 10“ 18 a 1.0 X 10“ 16 J. ¿Qué región del es pectro electromagnético del Sol es entonces la causa principal de la ionosfera en la atmósfera terrestre? En la imagen de fotón de la radiación demuestre lo siguiente: para que dos haces de luz paralelos de distinta longitud de onda presenten la misma intensidad, la rapidez por unidad de super ficie con que pasan los fotones por una sección transversal cual quiera de los haces tiene la misma razón que las longitudes de onda. Una lámpara de luz ultravioleta, que emite radiación a 400 nm, y una lámpara de luz infrarroja, que lo hace a 700 nm, tienen una potencia de 130 W. a) ¿Cuál de las dos lámparas irradia fo tones con mayor velocidad? ó)¿Cuántos más fotones genera por segundo que el otro foco? Una clase especial de lámpara emite luz monocromática con una longitud de onda de 630 nm. Tiene una potencia de 70.0 W y una eficiencia de 93.2% en la conversión de energía eléctrica en luz. ¿Cuántos fotones emitirá a lo largo de su vida de 730 h?
43-2 Radiación térm ica 9. En 1983 el Infrared Asíronomical Satellite (IRAS) detectó una nube de partículas sólidas que rodeaban la estrella Vega, irra dia normalmente con una longitud de onda de 32 pm. ¿Cuál es la temperatura de la nube? Suponga una emisividad de uno. 10. Los físicos que estudian las temperaturas bajas no juzgarán que una temperatura de 2.0 mK (0,0020 K) es demasiado bajo. ¿Con qué longitud de onda alcanza su nivel máximo la radiancia es pectral de una cavidad a esta temperatura? ¿A qué región dei espectro electromagnético pertenece esta radiación? ¿Qué pro blemas prácticos plantea operar un radiador de cavidad a una temperatura tan baja? 11. Calcule la longitud de onda de una radiancia espectral máxima e identifique la región del espectro electromagnético a que per tenece en los siguientes casos: a) una radiación cósmica de fondo de 2.7 K, un residuo de un meteoro primordial; b) su cuerpo, su poniendo una temperatura cutánea de 34°C; c) el filamento de lámpara de tungsteno a 1 800 K; el) El Sol, a una temperatura superficial de 5 800 K; e) un aparato termonuclear que explota, a una temperatura de meteoro de 107 K \f) el universo inmedia tamente después del Big Bang, a una temperatura de 103S K. En todos ios casos suponga una condición de radiación de cavidad. 12. o) La temperatura superficial efectiva del Sol es 5 800 K. ¿Con qué longitud de onda esperaría que irradie con la máxima inten sidad? ¿En qué región del espectro ocurre? ¿Por qué entonces el Sol aparece de color amarillo? b) ¿A qué temperatura es la ra diación de cavidad más visible al ojo humano? (Fig. 39-6). 13. Una cavidad cuyas paredes se conservan a 1 900 K tiene perfo rado en su pared un hoyo pequeño de 1.00 mm de diámetro. ¿Con qué velocidad escapa la energía por él desde la cavidad in terior?
14. Una cavidad a una temperatura absoluta T¡ irradia energía en un nivel de potencia de 12.0 mW. ¿En qué nivel de potencia irra dia si lo hace a una temperatura 2Ij? 15. a) Un radiador ideal tiene una radiancia espectral a 400 nm que es 3.50 veces su radiancia a 200 nm. ¿Cuál es su temperatura? b) ¿Cuál sería si su radiancia espectral a 200 nm fuera 3.50 ve ces mayor que su radiancia espectral a 400 nm?
4 3 - 3 El efecto fotoeléctrico 16. Los satélites y las naves espaciales que giran alrededor de la Tierra se cargan en parte por la pérdida de electrones, causada por el efecto fotoeléctrico que produce la luz solar sobre la su perficie externa de los vehículos espaciales. Suponga que el satélite está revestido de platino, metal que tiene una de las más grandes funciones de trabajo: cb - 5.32 eV. Calcule el fo tón de menor frecuencia que puede expulsar un fotoelectrón del platino. (Los satélites se diseñan para reducir al mínimo esa carga.) 17. Quiere obtener una sustancia para una fotocelda operable con luz visible. ¿Cuál de los siguientes materiales es el adecuado (la función de trabajo se anota entre paréntesis): tántalo (4.2 eV), tungsteno (4.5 eV), aluminio (4.2 eV), bario (2.5 eV), litio (2.3 eV), cesio (1.9 eV)? 18. Encuentre la energía cinética máxima en eV de unos fotoelec trones si la función de trabajo del material es 2.33 eV y la fre cuencia de la radiación es 3.19 X 1015 Hz? 19. a) La energía necesaria para extraer un electrón del sodio metá lico es 2.28 eV. ¿Muestra el sodio un efecto fotoeléctrico con luz roja, cuando A = 678 nm? b) ¿Cuál es la longitud de onda de corte en la emisión fotoeléctrica del sodio y a qué color co rresponde? 20. Una luz con 200 nm de longitud de onda incide sobre una su perficie de aluminio. En él se requieren 4.2 eV para expulsar un electrón. ¿Cuál es la energía cinética de a) los fotoelectrones más rápidos y b) los fotoelectrones más lentos emitidos? c) De termine el potencial de frenado, d) Calcule la longitud de onda de corte del aluminio. 0 L. Unos fotones incidentes chocan contra una superficie de sodio cuya función de trabajo es de 2.28 eV, provocando una emisión fotoeléctrica. No fluye fotocorriente cuando se impone un po tencial de frenado de 4.92 V. Calcule la longitud de onda de los fotones incidentes. 22. El potencial de frenado de unos fotoelectrones emitidos desde una superficie iluminada con una luz de 491 nm de longitud de onda es 710 mV. Cuando a la longitud incidente se le da un nue vo valor, el potencial de frenado es 1.43 V. a) ¿Cuál es esta nueva longitud de onda? b) ¿Cuál es la función de trabajo de la super ficie? 23. a) Si la función de trabajo de un metal es 1.85 eV, ¿cuál debe ría ser el potencial de frenado de la luz que tenga una longitud de onda de 410 nm? b) ¿Cuál es la función de trabajo de la su perficie? 24. Una superficie de litio, donde la función de trabajo es 2.49 eV, se irradia con una luz de frecuencia 6.33 X 1 0 14 Hz. La pérdi da de electrones causa que el metal adquiera un potencial posi tivo. ¿Cuál será éste en el momento en que su valor impida la pérdida ulterior de electrones en la superficie? 25. Los datos de la figura 45-5 los obtuvo el norteamericano Robert A. Millikan (1868-1953), quien en 1921 obtuvo el Premio No
bel de Física por su verificación del efecto fotoeléctrico. Sus da tos fotoeléctricos relativos al litio son los siguientes: Longitud de onda (nm) Potencial de frenado (V)
433.9 0.55
404.7 0.73
365.0 1.09
312.5 1.67
253.5 2.57
Trace una gráfica como la de la figura 45-5, que se refiere al so dio, y obtenga a) la constante de Planck y ti) la función de tra bajo del litio. 26. Para extraer un electrón interno, ligado con la máxima fuerza, de un átomo de molibdeno se requiere una energía de 20 keV. Si la operación se efectúa dejando que un fotón lo golpee, a) ¿cuál debe ser la longitud de onda asociada del fotón? b) ¿En qué región del espectro se halla el fotón? c) ¿Podría asignárse le a este proceso el nombre de efecto fotoeléctrico? Comente sus respuestas.
4 5 -4 El efecto Com pton 27. Un fotón de rayos X tiene una longitud de onda de 41.6 pm. Calcule a) su energía, b) su frecuencia y c) su momento. 28. Determine a) la frecuencia, b) la longitud de onda y c) el mo mento de un fotón cuya energía es igual a la energía en reposo del electrón. 29. ¿Cuánto disminuye la velocidad de un átomo de sodio al absor ber un fotón de 589 nm de longitud de onda con el cual choca frontalmente? 30. La magnitud h /m c de la ecuación 45-17 se conoce a menudo como longitud de onda de Compton, Ac , de la partícula que se dispersa y esa ecuación se escribe así AA = Ac(l — eos <¡>). a) Calcule la longitud de onda Compton de un electrón y de un
protón, ti) ¿Qué energía posee un fotón cuya longitud de onda es igual a la de Compton del electrón? ¿Y de un protón? c) De muestre que en general la energía de un fotón cuya longitud de onda sea igual a la de Compton de una partícula es la misma que la energía en reposo de esta última. 31. Unos fotones de 2.17 pm de longitud inciden sobre electrones libres, a) Determine la longitud de onda de uno que se dispersa 35.0° de la dirección incidente, b) Haga lo mismo si el ángulo de dispersión es 115°. 32. Un fotón de rayos gamma de 511 keV se dispersa por efecto Compton de un electrón libre en un bloque de aluminio, a) ¿Cuál es su longitud de onda? b) ¿Qué longitud de onda tiene? c) ¿Cuál es su energía? Suponga un ángulo de dispersión de 72.0°. 33. Demuestre que AE /E , la pérdida fraccional de energía de un fo tón durante una colisión de Compton, está dada por A£ hf —z r = ---- —(I - eos é). E mc~ 34. ¿Cuál incremento fraccional de longitud de onda ocasiona una pérdida del 75% de la energía del fotón en una colisión de Compton con un electrón libre?
P
35. Encuentre el cambio máximo de longitud de onda en una colisión de Compton entre un fotón y un protón libre. 36. Un fotón de rayos X de 6.2 keV que incide sobre un bloque de carbono se esparce tras una colisión de Compton y su frecuen cia se modifica 0.010%. a) ¿En qué ángulo se dispersa el fotón? £>)¿Cuánta energía cinética se imparte al electrón? 37. Un fotón de rayos X de A = 9.77 pm de longitud de onda es dis persado hacia atrás por un electrón (é> = 180°). Determine a) su cambio de longitud de onda, b) su cambio de energía y c) la energía cinética final del electrón. 38. Calcule el cambio fraccional de energía del fotón en una colisión de Compton con á en la figura 45-8 igual a 90° para radia ción en a) el intervalo de microondas, con A = 3.00 cm; b) el intervalo visible, con A = 500 nm; c) el intervalo de rayos X, con A = 0.10 nm; d) el intervalo de rayos gamma, con A = 1.30 pm. ¿Qué conclusiones extrae sobre la importancia del efecto Compton en estas regiones del espectro electromagnético, a juz gar exclusivamente por el criterio de pérdida de energía en un solo encuentro de Compton? 39. ¿En qué ángulo debe un electrón libre dispersar un fotón de 215 keV, para que pierda 10.0% de su energía? 45-5
Descubrimiento del fotón
40. Un detector de fotones puede resolver el tiempo de llegada de uno de ellos hasta 10~8 s. Dos de estos detectores se emplean en un experimento de anticoincidencia, a) ¿Cuál es la rapidez pro medio máxima de la emisión de fotones en una fuente, si hay la esperanza de demostrar la anticoincidencia? b) Suponiendo que la fuente emita una luz de 550 nm de longitud de onda, ¿cuál es la salida de potencia de ella?
45-6 Fotones y ondas
45-7 Reducción de la velocidad de los átomos por bom bardeo de fotones 41. Unos átomos no excitados de sodio en reposo absorberán foto nes de una fuente de luz cuya longitud de onda es 588.995 nm. El átomo de sodio originalmente se desplaza “corriente arriba” a una velocidad de 300 m /s, hacia el interior de un haz de rayos láser, a) ¿Cuál debería ser la longitud de onda de los fotones del haz láser que puede ser absorbida por el átomo? b) ¿Qué velo cidad tiene el átomo inmediatamente después que absorbe un fotón? c) El átomo excitado de sodio emite entonces otro fotón en dirección de su velocidad. ¿Cuál es su velocidad final? 42. La velocidad de los átomos de argón disminuye unos 15 cm/s por cada fotón emitido y absorbido, a) Si uno de ellos inicial mente se desplaza a 430 m/s, ¿con cuántos fotones debe interactuar a fin de aminorar la velocidad a 50 cm /s? b) Suponiendo que el aparato de enfriamiento mida aproximadamente 1 m de lon gitud, ¿a qué velocidad debe interactuar con los fotones para en friarse antes de salir del aparato?
r o b l e m a s
1. Un homo con una temperatura interna de T0 = 215°C se en cuentra en un cuarto cuya temperatura es Tl = 26.2°C. Hay una pequeña abertura de A = 5.10 cm2 de superficie en un lado del homo. ¿Cuánta potencia neta se transfiere de él al cuarto?
2.
El filamento de una lámpara de 100 W es un alambre cilindrico de tungsteno de 0.280 n m de diámetro y de 1.80 cm de largo. En el apéndice D consúltense los datos necesarios referentes al tungsteno. Suponga que el filamento irradia en forma idéntica a
un radiador de cavidad y desprecie la energía que absorbe del ambiente, a) Calcule la temperatura de operación del filamento. b) ¿Cuánto tarda en enfriarse a 500°C una vez apagada la lámpara? 3 . Una lente convexa de 3.8 cm de diámetro y con una longitud fo cal de 26 cm produce una imagen del Sol sobre una pantalla del gada negra del mismo tamaño que ella. Obtenga la temperatura máxima a la que podemos elevar la pantalla. La temperatura efec tiva del Sol es 5 800 K. 4. Demuestre que la longitud de onda Amáx a la que la ley de radia ción espectral de Planck (Ec. 45-6) alcanza su valor más alto está dada por la ecuación 45-4, Amáx = (2898 fim ■K)/T. (Sugerencia: Haga d R /d k = 0; encontrará una ecuación cuya solución numérica es 4.965.) 5. Imagine un planeta, de radio R, que gira alrededor del Sol en una órbita circular de radio r. Suponga que carece de atmósfera (y por lo mismo no produce “efecto de invernadero” en su tem peratura superficial), a) Demuestre que su temperatura superfi cial T se obtiene de la relación T 4 = Psoi/16 va-r2’ donde p Soi es la salida de energía radiante del Sol. b) Evalúe numéricamen te la temperatura de la Tierra. 6 . a) Integre la ley de radiación de Planck (Ec. 45-6) en todas las longitudes de onda y demuestre así que la potencia irradia da por metro cuadrado de una superficie de cavidad está dada por ( 2 7T5k4 \
™ =i w
) 74 - "74
7. Suponga que una lámpara de vapor de sodio de 100 W irradia su energía uniformemente en todas direcciones a través de foto nes, con una longitud de onda asociada de 589 nm. a) ¿Con qué rapidez se emiten fotones de la lámpara? b) ¿A qué distancia de ella, el flujo promedio de fotones será 1.00 fotón/(cm 2 • s)? c) ¿A qué distancia la densidad promedio de fotones será 1.00 fo tó n /cm 3? d) Calcule el flujo y la densidad de fotones a 2.00 m de la lámpara. S. Mediante el análisis de una colisión entre un fotón y un electrón libre (aplicando la mecánica relativista), demuestre la imposibili dad de que un fotón ceda toda su energía al electrón libre. En otras palabras, el efecto fotoeléctrico rio se produce con electro nes completamente libres; es necesario que estén ligados en un sólido o en un átomo. 9. Unos rayos X con una longitud de onda de 71.0 pm expulsan fo toelectrones de una hoja de oro; estos últimos se originan en lo profundo de los átomos del oro. Los electrones describen tra yectorias circulares de radio r en una región de campos magné ticos uniformes B. Los experimentos demuestran que rB = 1 8 8 /aT • m. Determine a) la energía cinética máxima de los fotoe lectrones y b) el trabajo efectuado al extraer los electrones de los átomos de oro que forman la hoja. 10. Efectúe las operaciones algebraicas necesarias para eliminar v y 8 en las ecuaciones 45-13, 45-15 y 45-16, con el fin de obtener la relación del corrimiento de Compton (Ec. 45-17). 11. a) Demuestre que, cuando un fotón de energía E se dispersa desde un electrón libre, la energía cinética máxima de retroce so de este último está dada por
(Sugerencia: Introduzca un cambio en las variables haciendo x = hc/kkT. Encontrará entonces la integral definida •f“ x 3 dx Jo
e-' - r
la cual posee el valor tt-4/15.) (b) Verifique que el valor numé rico de la constante eres 5.67 X 10 -8 W /m 2 • K4.
b) Calcule la energía cinética del electrón dispersado de Comp ton, que un haz incidente de rayos X de 17.5 keV expulsa de una delgada hoja de cobre.
DE LA MATERIA
n el capítu lo 4 5 vim os que la luz, considerada tradi cionalm ente una onda, tiene un aspecto corpuscular, a saber, el fo tó n . E n este capítulo vam os a ofrecer p ru eb a s experim entales que apoyan la hipótesis de que la m ateria, que du ra n te largo tiem po se p en só que estaba co n s tituida p o r partículas, tiene un aspecto ondulatorio. E l p rin c ip io de incertidum bre de H eisenberg nos m ostrará hasta dónde po d em o s a m p lia r el concepto de p a rtícu la dentro d e l ám bito cuántico. A continuación explicarem os la ecuación de Schródinger, la ecuación fu n d a m e n ta l de la mecánica cuánti ca, q u e tra ta d el co m p o rta m ie n to o n d u la to rio d e las p a rtíc u la s. E n tre la s p re d ic c io n e s de la m ecánica cuántica, se encuentra el fe n ó m e n o de p en etración de barreras; en éste, las p artículas entran en regiones del espacio que ¡es estarían vedadas en la m ecánica new toniana.
4 6 -1
ONDAS D E M A T E R IA
En la naturaleza abundan las sim etrías de todo tipo. Si la luz puede ser una onda y una partícula a la vez, ¿es posible que la materia reúna am bos com portam ientos? E n otras palabras, ¿puede el electrón, concebido tradicionalm ente como partícula desde su descubrim iento en 1898, presentar adem ás un aspecto ondulatorio? M ás en concreto, ¿puede asignársele una lo n g i tud de onda y una frecuencia al electrón en m ovim iento? En 1924 el físico francés P rince L ouis-V ictor de B roglie (1892-1987), m otivado enteram ente p o r el argum ento de la si metría, contestó en form a afirm ativa a las preguntas anteriores. Propuso que un electrón de energía £ y de m om ento lin eal p puede describirse com o una onda de m ateria cuya longitud y frecuencia están dadas por h A= — P
(46-1)
/ = — , h
(46-2)
y
donde h es la constante de Planck. O bsérvese que las dos ecua ciones son idénticas a las que utilizam os para describir el fotón en la sección 45-1, salvo que aquí las hem os resuelto para A y / en vez de resolverlas para p y E. L a longitud de onda de una
? partícu la en m ovim iento calculada p o r m edio de la ecuación 46-1 recibe el nom bre de longitud de onda de D e Broglie. De Broglie quien com partió el Premio Nobel de Física de 1929 por su descubrim iento de la naturaleza ondulatoria de la materia. A lg u n o s objetos com o las canicas o las pelotas de b éis bol no p arecen ser ondas en absoluto. E sto obedece a lo si guiente: la constante h de Planck en la ecuación 46-1 es tan p eq u eñ a y el m om ento p incluso de los objetos m acro scó p i cos de m ovim iento lento es tan grande que su longitud de onda de D e B ro g lie es realm ente pequeña: varios órdenes de m ag n itud m enores que el tam año de un núcleo atóm ico. Parece im p o sib le d iseñ ar un experim ento que revele la naturaleza on dulatoria de estos objetos de escala grande. En la siguiente sección verem os que este com portam iento ondulatorio es m uy co m ú n en electrones y en otras partículas m icroscópicas. P r o b l e m a R e s u e l t o 4 5 - 1 . Calcule la longitud de onda de De Broglie de a) una partícula de polvo con una masa de 1.0 X 10~'9 kg que se mueve con una velocidad de 2.0 cm /s y b) la de un electrón cuya energía cinética es 120 eV.
Solución a) Por medio de la ecuación 46-1 obtenemos A _ /i _ p
h mv
Este resultado es más pequeño que el tamaño de un núcleo ordinario en un factor de unos 50 millones. Imagine cuán pequeña debe ser la longitud de onda de De Broglie de una pelota de béisbol que va a 90 m i/h. No es posible construir un aparato que revele la naturaleza on dulatoria de estos objetos en movimiento, b) Dado que K « me2, sin riesgo podemos prescindir de la relatividad y servirnos de la relación clásica entre momento y energía cinética, a saber, K = p 2l2m . Entonces, con base en la ecuación 46-1,
A= A _ p
h 'ilm K
= ______________ 6.63
X
1Q-34 J-s______________
V(2)(9.11 X K T31 kg)(120eV)(1.6
10~l9J/eV)
X
= 1.1 X 1 0 " 10 m = 0 .1 1 n m .
La longitud de onda del electrón de De Broglie, mayor que la de la partícula de polvo de la parte a) en un factor aproximado de 3 X 1012, mide más o menos el tamaño de un átomo. En la siguiente sec ción mostraremos cómo se miden las longitudes de onda de esta magnitud, comprobando así que los electrones efectivamente pre sentan un aspecto ondulatorio.
PRUEBAS D E LA H IPÓ TESIS D E D E B R O G L IE L a form a sen cilla de d em o strar la naturaleza ondulatoria de un electrón en m ovim iento consiste en dejar que un haz de esas partículas incida sobre u n a p an talla que contiene una rendija doble y en b u scar las franjas de interferencia a m edida que los electrones salen de ella. Fue así com o probam os la naturaleza ondulatoria de la luz. C om o se advierte en el problem a resu el to 46-1, la long itu d de o n d a de D e B roglie, incluso de un elec trón de m om ento relativ am en te pequeño (K = 120 eV ), m ide apenas el tam año de un átom o individual. E n la época de D e B roglie la tecnología no perm itía construir rendijas con tan poco espacio entre ellas com o ésta. Sin em bargo, la lo n g itu d de onda de D e B roglie, calcu lada en el problem a resuelto 46-1 (0.11 nm ) se parece al espaciam iento entre los átom os en un sólido cristalino com ún com o el cobre o aluminio. Los átomos que lo constituyen son una espe cie de rejilla de difracción tridim ensional que revela la natura leza ondulatoria de un haz incidente de electrones. En 1927 C. J. Davisson y L. H. G erm er efectuaron exitosamente experim en tos basados en este principio en lo que entonces eran los Wes-
.
H a z i n c id e n t e (ra y o s X o e le c tro n e s )
E x p e rim e n to d e G eo rg e P. T h o m p so n . E n la fig u ra 4 6 -la vem os un arreglo sim ilar al que em plearon T hom son y Reid p ara dem ostrar la naturaleza ondulatoria del electrón. Se per m ite que un haz m onoenergético de electrones incida sobre un blanco hecho de un polvo fino de cristalitas m etálicas pequeñas orientadas aleatoriam ente. E n el blanco, es p rácticam ente cier to que, p o r m ero azar, el haz incidente de electrones siem pre encontrará una reducida cantidad de cristalitas orientadas de m odo que la ecuación 43-12 se satisface y ocurra la reflexión de B ragg (Sec. 43-4) del haz. P or sim etría los electrones que experim entan tales reflexiones form arán varios círculos con céntricos en una película fotográfica colocada com o se aprecia en la figura 4 6 -la . Cada círculo corresponde a un conjunto p articular de planos atóm icos en el m aterial blanco. E n la figura 46-16 se incluyen los resultados de una re petición m oderna del experim ento de Thom son, donde se utili zó com o blanco polvo fino de aluminio. L a figura 4 6 -le muestra ei patrón que se form a si el haz de electrones se sustituye por otro de rayos X. (La energía de los fotones de estos últim os y el m om ento de los electrones se escogieron de m anera que am bos haces tuvieran la m ism a longitud de onda.) U na simple ojeada a los dos patrones de difracción no deja duda de que se o riginan en la m ism a form a. Si los rayos X tienen una natura leza ondulatoria en este experim ento (y la tienen), tam bién la tendrán los electrones. E l e x p e rim en to d e D avisson y G e rm e r. El aparato utilizado por ellos se ilustra en la figura 46-2a. U n haz de electrones prove nientes de un filam ento calentado se acelera m ediante una dife rencia de potencial AL de 54 V e incide sobre un cristal de níquel m uy bien pulido. Las líneas de los átom os en la superficie crean una especie de rejilla de difracción para las ondas de electrones con un espaciam iento igual al de la red del cristal de níquel,
A nillo d e %éB d if r a c c ió n c ir c u la r
|
B la n c o (p o lv o d e a lu m in io )
-U '
a)
te m E lectric L aboratories (hoy B ell L aboratories o f Lucent Technology), así com o G eorge P. T hom pson y A . R eid en lá U niversidad de A berdeen (Escocia). L os resultados indicaron que a los electrones en m ovim iento puede asignárseles una lon gitud de onda calculada p o r m edio de la ecuación 46-1. Davis son y T hom son com partieron el Prem io N obel de Física de 1937 p o r su trabajo. A continuación vam os a describir varios experim entos que corroboran la hipótesis de que los electrones tienen un com portam iento ondulatorio.
P e lí c u la f o to g r á f i c a
b)
c)
. a) Arreglo con que se demuestra la naturaleza ondulatoria de los electrones en un haz incidente desde la izquierda. b) Patrón de difracción formado cuando un haz de electrones incide sobre un blanco de polvo de aluminio, c) Patrón que se forma cuando el haz de electrones se sustituye por un haz de rayos X. F
ig u r a
4 6 -1
a) Á n g u lo d e d is p e r s ió n
a) Aparato que se empleó en el experimento de Davisson-Germer. Se acelera un haz de electrones proveniente del filamento calentado F a través de un voltaje V y choca contra un blanco hecho de un solo cristal de níquel. Los electrones dispersa dos se observan en el detector D que puede moverse para formar varios ángulos 6 respecto al haz incidente, b) Cuando V = 54 V, la intensidad del detector muestra una interferencia máxima en 6 = 52°. F ig u r a
4 6 -2 .
’*N b) A 4 6 - 3 . a) Patrón de difracción que se forma cuando un haz de luz visible incide sobre un lado recto, b) Patrón que se forma cuando un haz de electrones de 38 keV incide sobre un lado recto. Como las longitudes de onda en ambos casos son muy distintas, el pa trón en b) ha sido aumentado en un factor aproximado de 180 000 para ponerlo en la misma escala que el patrón en a). En los dos casos el triángulo pequeño representa la posición del lado recto, es decir, la sombra geométrica del lado que se extiende a la izquierda. F
o sea 0.215 nm. U n detector puede colocarse en cualquier ángu lo 8 respecto a la dirección del haz original de electrones. L a geom etría de la figura 46-2a es idéntica a la que suele emplearse en las rejillas de difracción óptica de tipo reflexión p a ra m edir la longitud de onda de la luz. La ecuación de la rejilla d sen 8 = m k (Ec. 4 3 - 1 ) tam bién se aplica a la geom etría de la difracción del cristal. C om o se m u estra en la fig u ra 46-2¿>, D avisson y G erm er observaron un m áxim o de in terferen cia de prim er orden (m = 1) de unos 8 = 5 2 ° cuando su voltaje de aceleración era 54 V. En un electrón de 54 eV, la longitud de onda de D e B roglie es 0.167 nm. C on d = 0.215 nm, la ecua ción de la rejilla nos da 19 = sen-1 (A/ri) = 5 1 ° , lo cual coinci de m uy bien con nuestras observaciones. Este experim ento no sólo vino a confirm ar fehacientem ente la hipótesis de D e B ro glie, sino que además demostró la utilidad de los haces de elec trones de poca energía para investigar las propiedades de los cristales, técnica que todavía aplican los científicos de materiales. D ifra c c ió n m e d ia n te un la d o re c to . A com ienzos de la d é cada de 1940, las técnicas habían avanzado tanto que fu e p o : sible observar el patrón de difracción form ado p o r un haz de electrones al que se le perm ite caer no en una rendija sim ple, sino en un lado recto y afilado de una pantalla opaca. C uando se deja que un haz de luz incida sobre uno de estos lados, parte de la energía de luz se difracta una pequeña distancia, dentro de la som bra geom étrica de la pantalla y, sobre todo, un p atrón de franjas de interferencia aparece fuera de la som bra, p aralela m ente al lado. E n la figura 46-3a se ve este p atrón de luz. L a figura 46-3b m uestra un patrón sem ejante al de un haz de elec trones de 38 keV. (La longitud de onda de D e Broglie del electrón era m ucho m ás pequeña que la del haz de luz visible; p o r eso para poner las dos figuras a la m ism a escala, hubo que am pli ficar el patrón de electrones en un factor aproxim ado de 180 000 por m edio de un m icroscopio electrónico.) U na vez m ás, la sim ple com paración de los dos patrones de la figura 46-3 no deja duda de que se originan de la m ism a m anera. Si la luz se com porta com o una onda en este experim ento — y lo hace'— , lo m ism o sucede con los electrones.
ig u r a
In te rfe r e n c ia d e re n d ija d o b le. C onform e las técnicas con tinuaron perfeccionándose, fue posible verificar la naturaleza ondulatoria de los electrones con el m étodo tradicional de ren d ija doble, el que p o r prim era vez aplicó T hom as Y oung en 1801 p ara pro b ar la naturaleza ondulatoria de la luz. L a figu ra 4 6 -4 m uestra una sección transversal del arreglo de rendi ja doble que en 1989 usaron A. T onom ura y sus colegas en el L aboratorio H itachi de Investigación A vanzada y en la U ni versidad G akushuin de Toldo. C onsiste en un alam bre delga do cargado positivam ente, centrado entre dos placas m etálicas aterrizadas. Los electrones procedentes del haz incidente eran
H az in c id e n t e d e e le c tro n e s
F i g u r a 4 6 - 4 . Arreglo de rendija doble para electrones. Los campos eléctricos que desvían se producen en cada rendija mediante un alambre delgado de carga positiva, colocado entre dos hojas metálicas que se mantienen en el potencial a tierra.
desviados p o r la fu erza eléctrica que o peraba sobre ellos al m om ento de cru zar las rendijas. L os electrones em ergentes — que habían acelerado hasta alcanzar un energía de 50 keV — incidieron sobre una p an talla fluorescente; cada uno de ellos m arcaba el sitio de la in cid en cia em itiendo cientos de fotones com o pulso in dividual. T ras obtener el aum ento apropiado, dispusieron las cosas de m o d o que estos pulsos débiles de luz generasen un punto visib le en una p antalla de im agen. E n la figura 46-5 se m uestran los resultados de cuatro se ries de duración crecien te, en las cuales se reco g ía en la p a n talla un núm ero cad a vez m ay o r de electrones. E n la fig u ra 46 -5 a, donde apenas se reco g iero n 100 electrones, la distrib u ción de los puntos de im ag en parece aleatoria. C on todo, al ir creciendo el núm ero de electrones obtenidos — de 70 000 en la figura 4 6-5d— , ap arece lentam ente un patró n de franjas de interferencia: la dem o stració n clásica del com portam iento on-
dulatorio. L a ecuación 46-1 se v erifica con un análisis cuan titativo del espaciam iento de las franjas.
L a n a tu ra le z a o n d u la to ria de o tra s p a rtíc u la s L a ecuación 46-1 es válida en los electrones según lo demues tran con claridad los experim entos que acabam os de describir H ace falta m ás ex perim entos p ara saber si tam bién es válido con otras partículas. V am os a com probarlo en el caso de los neutrones usando el m étodo de ren d ija doble. L a rend ija doble es un alam bre hecho con un material que absorbe neutrones com o el boro centrado en un corte de una p an talla h echa de un m aterial sim ilar que absorbe neútrones. A los neutrones p rovenientes de un reacto r nuclear sé les perm ite in cid ir sobre la ren d ija doble y con un detector se ex p lora el haz de neutrones que sale p o r el extrem o de las ren dijas. E sto se hace con el pro p ó sito de m edir la intensidad del haz en fución de la p osición del detector. L a figura 46-6 con tiene los resultados de un experim ento cuyos resultados pu b licaro n en 1991 R. G áhler y A . Z eilinger. L os puntos-son valores de datos experim entales, y la curva sólida es la pre d icción de la m ecánica cuántica. L a excelente concordancia entre el experim ento y la teoría viene a co rroborar la natura leza ondulatoria de un haz de neutrones. E n la figura 46-7 se observan las franjas de interferencia que resultaron en un experimento de 1991, donde se permitió que un haz de átom os de helio incidiera sobre una pantalla que con tenía una rendija doble. Estas franjas de interferencia se habían d em ostrado en el caso de haces de otros átom os y de las:mo léculas de vapor de yodo (I7). S u elen u tilizarse los ex perim entos de difracción por ha ces de electrones o de neutrones p ara estu d iar las estructuras atóm icas de los sólidos o líquidos. L os electrones, por ejem plo, son m enos p enetrantes que los rayos X y, por ello, tienen gran utilid ad cuando se estudian las superficies. Los rayos X interactúan principalm ente co n los electrones en una muestra blanco y de ahí que no sea fácil usarlos para localizar átomos 5000
F j g u r a 4 6 - 5 . Cuatro series del experimento de rendija doble efectuado por Tonomura y sus colegas. Los números de electrones obtenidos en cada serie son aproximadamente a) 100, b) 3 000, c) 20 000 y d) 70 000. Nótese cómo las franjas de interferencia se acumulan al reunir más y más electrones.
r
F i g u r a 4-6-6. Patrón de interferencia descubierto por Gáhler y Zeilinger en 1991, cuando permitieron que un haz de neutrones, incidiera sobre una pantalla, que procedía de una rendija doble. Los resultados indican que no sólo los electrones tienen naturaleza ondulatoria, sino también los neutrones.
P o s i c ió n d e l d e t e c t o r ;-¡g u r a 4 6 - 7 . Patrón de interferencia reportado en 1991 por O. Camal y J. Mlynek, cuando permitieron que un haz de átomos de helio incidiera sobre una pantalla desde rendija doble. No sólo los electrones y los neutrones son de naturaleza ondulatoria, sino también los átomos de helio.
ligeros, sobre todo los de hidrógeno, que tienen pocos electro nes. Los neutrones, p o r el contrario, interactúan especialm en te con el núcleo y pueden servir p ara llen ar este hueco. A sí, en la figura 46-8 se describe gráficam ente la estructura del b e n ceno sólido (C 6H 6), tal com o se deduce de los experim entos de la difracción de neutrones. Se m uestran claram ente los seis átomos de carbono que constituyen el conocido anillo de ben ceno, lo m ism o que los seis átom os agregados de hidrógeno. C on protones o electrones de gran energía, cuya lon g itu d de onda de D e B roglie es del orden de un diám etro n u clear (10""14 m ), h asta es posible observar el patrón de difracción de un núcleo atóm ico. A p artir del patrón p u ed en d eterm in ar se el tam año del núcleo y su form a. E n conjunto, los resultados anteriores referentes a los neutrones, protones, átom os de helio y otras partículas apor tan pruebas convincentes de que la n atu raleza ondulatoria es un com portam iento general de las p artículas, y no un a ex clu siva de los electrones.
se inventó en la década cuando De B roglie propuso su hipóte sis. La potencia de resolución de los microscopios ópticos comunes está lim itada por la longitud de onda de la luz empleada: cuan to m enor sea la longitud, m ás finos detalles podrán examinarse. Los objetos puntuales separados por una distancia de apenas 200 nm pueden resolverse ópticamente con una luz de la m enor longitud de onda posible. Sin em bargo, com o se aprecia en el problem a resuelto 46-1, pueden generarse haces de electro nes con u n a long itu d de onda por lo m enos 100 veces más pequeña. P udo construirse un m icroscopio basado en haces de electrones cuando se descubrió que un solenoide com pacto y corto, recubierto con hierro, podía en fo car un haz de electro nes em itido a lo largo de su eje central, en form a m uy pareci da a com o un lente de vidrio puede en fo car un haz de luz. En 1931 el físico alem án E rnst R uska construyó el prim er m i croscopio electrónico que usaba dos de esos lentes m agnéti cos. U nos 55 años m ás tarde, R uska (entonces de 80 años de edad) com partió el Prem io N obel de 1986 por su descubri m iento. E n la actualidad los m icroscopios electrónicos se em plean en todo tipo de laboratorios científicos de todo el m undo. E n la figura 46-9 se m uestra la im agen de una m osca de fruta; esta im agen se obtuvo con un instrum ento especiali zado conocido com o m icroscopio electrónico de barrido.
El microscopio electrónico Una de las prim eras aplicaciones p rácticas de la naturaleza ondulatoria de la m ateria fue el m icroscopio electrónico, que .ó
F ig u r a 4 6 - 3 . Estructura atómica de benceno sólido (C6HS) deducida de los experimentos referentes a la difracción de neutrones. Los círculos de línea llena muestran la ubicación de los seis átomos de carbono que componen el conocido anillo del benceno. Los círculos de línea punteada indican los seis átomos de hidrógeno ligados.
'
...
F i g u r a 4 6 - 9 . (Parte superior) Una mosca de la fruta, fotografiada con un microscopio electrónico de barrido. (Parte inferior) El ojo de la mosca.
C onviene señalar que, en el m icroscopio electrónico, los electrones del haz p u ed en analizarse com o p artículas cuando se trata de su paso p o r el sistem a de lentes. Su naturaleza on dulatoria se m an ifiesta sólo al fijar la resolución que debe al canzar el m icroscopio.
L a naturaleza o n d u la to ria de los electrones individuales Cuando Tonomura y sus colegas aminoraron la intensidad del haz incidente de electrones, de m anera que un solo electrón pasara a la vez por el aparato de la figura 46-4, continuaban apareciendo las franjas de interferencia después de una exposición suficientemen te larga. En la sección 45-1 vimos que los fotones manifiestan exactamente el mismo comportamiento. D e ahí que, tanto en el ca so de los electrones como en de los fotones, el experimento nos obliga a aceptar que los electrones tienen una naturaleza corpuscu lar y ondulatoria. Si concebimos el electrón como una partícula, queremos tratar de seguir su trayectoria y averiguar por cuál de las rendijas pasó: por supuesto una partícula clásica no puede atrave sar am bas rendijas. P ero p ara observar un patrón de in terfe rencia, sabem os que el electrón (lo que él sea) debe cruzar las dos rendijas. Es un com portam iento que nos agrada asociar a las ondas, pero estam os renuentes a relacionarlo con las partículas. La experiencia cotidiana con objetos macroscópicos origina nuestra concepción intuitiva del com portam iento “correcto” de la m ateria. N inguno de dichos objetos se com porta algunas veces com o partícula y otras com o onda. Sería extrem ada m ente difícil golpear u.na p elota de béisbol y nos sorprendería m ucho ver ondas de agua que de m anera repentina liberan to da su energía en un lu g ar en fo rm a de un paquete co rp u scu lar concentrado. N in g u n a ex p eriencia diaria relacionada con el com portam iento de fotones o de electrones nos revela su n a turaleza dual; de ah í que su com portam iento cuántico parece contradecir la intuición y a m enudo lo calificam os de “ex tra ñ o ” (opinión que com parten inclusive algunos físicos). C om o la intuición de nada nos servirá cuando exam inem os fenóm e nos en el ám bito cuántico, no conviene in tentar im aginar c ó m o un electrón pasa p o r dos rendijas al m ism o tiem po. En palabras de R ichard F ey n m an galardoneado con el Prem io N obel: Si puede evitarlo no siga diciéndose “pero cóm o puede ser eso ” , pu es caerá en un callejón del cual nadie h a lo grado salir todavía. N adie sabe p o r qué puede ser así. Pese a ir contra el sentido com ún, la m ecánica cuántica es la teoría m ás exitosa que jam ás haya sido propuesta. Todas las predicciones que han sido probadas en el laboratorio pasaron la prueba con la m áxim a calificación. P r o b l e m a R e s u e l t o 4 8 - 2 . En el experimento de rendija doble usado en la figura 46-7 para investigar la naturaleza ondulatoria de un haz de átomos de helio, las rendijas medían 1 p m de ancho; la separa ción d entre ellas era de 8 p m y el detector se hallaba a una distancia D = 64 cm de su plano. Mida el espaciamiento promedio Ay entre las franjas de la figura 46-7 y calcule la longitud de onda de De Broglie de los átomos de helio en el haz que incide sobre las rendijas.
Solución En la sección 41-2 (Ec. 41-4) vimos que el espaciamiento entre franjas de interferencia adyacentes en la pantalla de imagen de una interferencia de rendija doble era AD d
Ay
De acuerdo con la figura 46-7, estimamos que el espaciamiento pro medio Ay entre esas franjas es 8 p m aproximadamente. Así pues, a partir de la ecuación anterior, d A.) D
(8 x 10~6 m)(8 x 1CT61m) 0.64 m
1.0 X 10~10
0.10 nm.
El valor calculado con base en la ecuación 46-1 fue 0.103 nm, cifra que concuerda perfectamente con el valor experimental anterior. P r o b l e m a R e s u e l t o 4 - 3 - 3 . Los reactores nucleares diseñados para experimentos de difracción de neutrones se construyen con un cilindro de grafito que atraviesa la pared de protección, según se ve en la figura 46-10. Tras muchas colisiones con los átomos de carbo no del grafito, los neutrones energéticos provenientes del núcleo ca liente del reactor alcanzan un equilibrio térmico con el grafito, que está esencialmente a temperatura ambiente (T = 293 K). Los neutro nes que salen del cilindro, denominados neutrones térmicos, tienen longitudes de onda en un intervalo de gran utilidad en los estudios de la difracción de neutrones. Puede demostrarse que el valor más probable de la longitud de onda de De Broglie en tal distribución (Probl. 2) está dado por
h (46-3)
sSm kT
donde m es la masa del neutrón; k la constante de Boltzman, y T la temperatura, en kelvins. a) Calcule la más probable longitud de onda de De Broglie en un haz de neutrones térmicos, b) Un haz de es tos neutrones cae sobre un cristal C, donde el espaciamiento entre un conjunto de planos atómicos es d = 0.304 nm. En el conjunto se observa una intensa reflexión de Bragg de primer orden, cuando el ángulo de dispersión de Bragg 6 es como el de la figura 46-10. En cuentre el ángulo 6. Solución a) Por medio de la ecuación 46-3 obtenemos A„
6.63 V5( 1.67 1.14
is r io r " -re .-'
X
X
X
10 3i J ■s
10“27 kg)( 1.38
X
10~23 J/K)(293 K)
10~'° m = 0.114 nm.
¡ 3ared '■írotectora
/
G ra fito
H az d e n e u tro n e s
*"..« L
!
.
•
F i g u r a 4 6 - 1 0 . Problema resuelto 46-3. Arreglo para generar un haz monoenergético de neutrones que se usa en los estudios de difracción de neutrones. El haz que sale del reactor e incide sobre el cristal C consta de neutrones térmicos, con un intervalo de energías. El que se refleja contra el cristal es esencialmente monoenergético.
b) La fórmula de Bragg para que ocurra una reflexión de rayos X en un conjunto de planos atómicos es la ecuación 43-12, 2rfsen 6 = mX
(m = 1, 2, 3, . . .),
donde d es el espaciamiento entre planos atómicos contiguos parale los, y el entero m, el orden del haz reflejado. Podemos emplear esta fórmula de rayos X con partículas como los neutrones, a condición de que interpretemos A como la longitud de onda de De Broglie. Al resolver para el ángulo 6, obtenemos la reflexión de primer orden (m = 1) del haz térmico de neutrones cu ya longitud más probable ya calculamos en a) como m Ap
2d
Ax = »
(1)(0-114 nm) (2)(0.304 nm)
=
t/
A
a)
Ak
=0
0.95/cn
10 . 8 ° .
b)
1.05*0 N ú m e ro d e o n d a , k
El arreglo de la figura 46-10 sirve para generar un haz monoenergético de neutrones susceptible de usarse en los experimentos de di fracción de neutrones, como se realizó para obtener el patrón de la figura 46-8.
F i g u r a 4 6 - 1 1 . d) Onda armónica vista en r = 0. tí) Esta onda (infinitamente larga) tiene una sola longitud de onda A0 y, en forma correspondiente, un solo número de onda kQ(= 2tt’/A0).
ONDAS Y PA R TIC U LA S
to del libro, será m ás fácil trabajar no con la longitud de on da, sino con el núm ero de onda k ( = 2rr/X ). C om o se ve en la fig u ra 4 6 -11b, la onda infinita de la figura 46-1 l a tiene un solo núm ero de onda bien definido kQ ( = 2m /A 0). N o obstan te, no hay nada en esta onda que indique la localización en el espacio que asociam os a una partícula. L a onda no tiene prin cipio ni fin, ni tam poco un solo m arcador individual distinti vo. Si esta o nda describiera una partícula, diríam os que dicha partícu la p o d ría encontrarse en algún lugar entre x = — «¡ y x = + oo; está enteram ente no localizada. ‘i'Según vim os en la sección 18-7, es posible crear casi cualquier form a de onda que queram os con sólo agregar ondas de seno o coseno con núm eros de onda, amplitudes y fases de bidam ente seleccionados. En la figura 4 6 -12a se m uestra un p a q u e te de ondas que pudiera form arse de esta m anera. La colección de m uchas ondas (infinitam ente largas) va sum án-
Com o vim os en páginas anteriores, las pruebas de que la m a teria tiene una naturaleza ondulatoria son m uy firm es. Pero son igualm ente sólidas las pruebas de que la m ateria tiene una naturaleza corpuscular. ¿C óm o in teg rar am bos aspectos en una descripción congruente de la m ateria? H em os descrito varios m étodos para calcular la longitud de onda de una onda de m ateria, ¿pero qué representa su am plitud? Iniciarem os en la sección 46-5 un a exposición m atem áti ca m ás rigurosa de la am plitud de la onda de m ateria; pero por ahora supondrem os que contiene inform ación relativa a la ubicación de la partícula: la onda tiene gran am plitud cuando es probable localizar la partícula, y su am plitud es pequeña cuando existen escasas p robabilidades. Si la onda p resenta una am plitud constante en una región del espacio, la p artícu la tenderá tam bién a estar en toda ella. Si la am plitud es cero, nunca se encontrará allí. U na propiedad que nos g ustaría en las partículas (inclu sive en las de índole vibratoria) es la capacidad de se r lo ca li zadas. Es decir, quisiéram os saber dónde están. Tal vez no lo sepam os con exactitud, pero tenem os una idea aproxim ada. Por ejem plo, posiblem ente sepam os que un electrón está ligado a un átom o de 0.1 nm de diám etro; esto indica que lo hem os hallado en esa región del espacio. O el neutrón puede cruzar una rendija estrecha y esto nos perm ite (por lo m enos duran te un instante) ubicar su posición en una región del tam año del ancho de la rendija. A continuación verem os las ideas que adquirim os al tra tar de integrar un grupo de ondas, a fin de obtener una d es cripción aproxim ada de un p artícula localizada.
Localización de n n paquete de ondas esi el espacio La figura 46-1 l a es una “instan tán ea” de una onda que se des plaza en el eje x, tom ada en un tiempo arbitrario, digamos t = 0. L a onda se extiende de x = — a x = + 00 y tiene una longitud de onda m uy bien defin id a AQ. A quí y en casi el res-
d)
v v v v -Ax -
F i g u r a 4 S - I 2 . a ) Segmento de una onda armónica de longitud Ax, es decir, un paquete de ondas. No puede decirse que éste sea senoidal porque, a diferencia de la onda de la figura 46-1 la, su índole ondulatoria no se extiende al infinito, b) Distribución de los números de onda de los varios componentes armónicos que se combinan para formar el paquete. El pico central tiene un ancho de Ak, medido en la mitad de su amplitud. El máximo de la distribución ocurre en k = k0 = 2 77/ AQ.
dose h asta fo rm ar un p aq u ete de longitud Ax y que sum a ce ro en las dem ás partes. A hora tenem os algo que indica la ex is tencia de una partícula: una localización en el espacio m edida p o r Ax. Si la o n d a rep resen ta u n a partícula, es probable e n contrarla en la reg ió n de tam añ o Ax y difícilm ente fuera de allí. Sin em bargo, com o se o b serv a en la fig u ra 46-126, el p a quete de ondas y a no contiene un núm ero de onda individual kQ, sino m ás bien varios núm eros de onda centrados en k0. S u pongam os que Ak en la fig u ra 46 -1 2 6 es una m edida aproxi m ada de la g am a de los n ú m ero s necesarios p ara fo rm ar el paquete de la fig u ra 4 6 -12a. E l producto (adim ensional) de A k y Ax resulta ser del orden de la unidad, o sea A L A i s 1.
(46-4)
L a ecuación an terio r nos in d ica lo siguiente: cuanto m ás bien definido queram os que sea el paquete de ondas (es decir, cuanto m ás p eq ueñ o sea el v a lo r de Ax), m ás grande debe ser el intervalo de núm eros de onda requeridos para obtenerlo. Por el contrario, cuanto m en o r sea la gam a en Ak (o, equiva lentem ente, cuanto m ás p eq u e ñ a sea la d istribución de las longitudes de onda), m enos lo calizad a estará la partícula.
Localización de un paquete de ondas en el tiempo
■ lì ■■
A (o ■ A t = 1.
P r o b l e m a R e s u e l t o 4
Solución a) La frecuencia central f 0 está dada por c Aq
_
~~
3 . 0 0 X 1 0 S m / s
7TFZ
0.012 m
o i r v i n l ú - , — 2-0 x 10 u H z
=
o - r - i , 2d G H z.
La frecuencia angular central es w0 = iTifo = 277(2.5 X 1010 Hz) = 1.6 X 101! rad/s. b) La longitud del paquete de ondas (pulso) es
_ 277
1 _ 1 277 At (2t7)(0.15 X 10~6 s)
= 1.1 X 106 Hz = 1.1 MHz.
4 6 - 4 PRINCIPIO DE IN CERTIDUMBRE DE HEISENBERG P o r m edio de la ecuación 46-1 (A = h /p ) podem os escribir así el núm ero de o n d a asociado a la o nda de m ateria k =
A
(46-6)
donde p es el m om ento de la p artícu la en cuestión. Tomemos un p aquete de onda de ondas de m ateria de ancho Ax. De acuerdo con el análisis descrito en la figura 46-12, ese pulso — de long itu d finita— deberá co n star de un conjunto de on das de seno o coseno cu y a v ariación en el núm ero de onda sea Ak. E n la ecu ació n 46-6 vem os que un a variación del núm e ro de onda im p lica la del m om ento, o sea h
A
A p artir de la ecuación 46-4 obtenem os entonces Ax • Ak = Ax • (2 77/ 6) Ap s= 1 o bien A x ■A p = -ÁC . 27 7
(46-7)
(46-5)
G ran parte de la inform ación obtenida en las conexiones de te léfono, de televisión, de radar o de com putadora se envía de punto en punto p o r m edio de paquetes de ondas. Las trayecto rias del m anejo de datos electrónicos donde se transm iten estos pulsos deberían ser sensibles en el intervalo total de frecuencias incluidas en los pulsos. L a ecuación 46-5 indica que, cuanto más corto sea el pulso, m ayor debe ser el intervalo de frecuen cias aceptable (es decir, el ancho de banda) del sistema.
f
Af =
M =
U na partícula v erdadera está lo calizad a en el tiem po y tam bién en el espacio. P odem os v isu alizar un paquete de ondas creado en el tiem po si reem plazam os, en la figura 4 6 -12a, x por i, y el núm ero de onda k p o r la frecuencia angular a> ( = 2 t- / ) . P or analogía con la ecu ació n 46-4, la duración At del nuevo paquete de ondas se relacio n a con el intervalo Aa> de las frecuencias angulares necesarias p ara crearlo m ediante
J n ~T~
c) El ancho de banda requerido del receptor está dado aproximada mente por la ecuación 46-5, esto es,
Teniendo en c u en ta que el m om ento es un vector, esta rela ción puede g en eralizarse a Ax ■ Ap x > 6 /2 tt, A y ■ Ap y > lz/2 77,
(46-8)
A z ■ A p, S : 6 / 2 t 7 ,
É stas son las relaciones de incertidum bre de H eisenberg, que el físico alem án W em er H eisenberg (1901-1976), uno de los fundadores de la m ecánica cuántica, fue el prim ero en obte ner. H ay form ulaciones m atem áticas de este principio que es tablecen lo siguiente: N o es p o sib le m ed ir sim ultáneam ente la posición ni el m om ento de una p a rtícu la con p recisión ilimitada. L a ecuación 46-8 indica que, cuanto m ás exactam ente in ten tem os id en tificar la p osición de un a partícula — es decir, cuanto m ás pequeño tratem os de hacer el valor de A x— , menos conocerem os su m om ento. D icho de otra m anera, m ás grande será Ap . T am bién lo inverso es verdadero. En particular, si lo grásem os asig n ar u n v alo r a bsolutam ente preciso al m om en to de la p artícu la (Ap = 0), no podríam os asignar una
posición en absoluto; la p artícula p o d ría estar en cualquier parte (A* = “ ). En la ecuación 46-8 hem os sustituido el sím bolo “es aproxim adam ente ig u al” (= ) de la ecu ació n 46-7 p o r el-sím bolo “igual o m ayor q u e” (S:). Lo h icim os p ara reconocer que nuestros instrum entos de medición, por refinados que sean, n u n ca serán id eales. P o r ejem p lo , en el m u n d o re a l el p ro d u c to m edido Ax • ¿spx en la ecuación 46-8 siem pre será m ayor que los lím ites im puestos p o r las relaciones de incertidum bre. N unca pod rá ser m enor.* H e aquí el m ensaje del principio de incertidum bre: tiene un límite la extensión del concepto de “partícula” del m undo newtoniano al m undo cuántico. En el m undo cuántico es un error im aginar que una partícula tiene una posición y un m om ento de finidos; pero por la m ism a razón tam poco podem os medirlos. Es un error visualizar la partícula com o un punto dim inuto de m asa que se desplaza por una trayectoria, con su posición y ve locidad bien definidas en cualquier instante. E l concepto m ism o de “trayectoria” pertenece al m undo new toniano, no al cuánti co. ¿Cuál, por ejem plo, puede ser la trayectoria de un fotón o electrón que encuentra un experim ento de rendija doble? A l m ism o tiem po los trazos bien m arcados que producen las partículas energéticas individuales al cru zar una cám ara de burbujas de hidrógeno líquido sugieren una trayectoria (Fig. 46-13). ¿C óm o conciliar esta evidencia de nuestros ojos con el concepto de onda? L a figura 46-14, que m uestra una partícula detectada en el punto A y otra vez en el punto B , nos guía para conseguir la respuesta. C onform e a la m ecánica cuántica, la onda que describe a la p artícula se desplaza — con igual probabilidad— en todas las trayectorias que conectan los puntos A y B\ sólo algunas de las cuales aparecen en la fi gura. E n el experim ento de ren d ija doble h ab ía únicam ente dos trayectorias que los conectaban; las restantes eran in ter ceptadas por la pantalla que contenía las rendijas. Sin em b ar go, en la situación de la figura 4 6-14 existe una cantidad infinita de trayectorias posibles. R esulta que sólo con las on das que siguen trayectorias cercanas a la línea recta que c o necta A y B ocurrirá una interferencia constructiva en el punto B. L a onda que describe la partícula p resen tará gran am plitud sólo cerca de ella; es decir, donde la p artícu la es probable sea
* U na demostración más rigurosa nos d a h /4 7 re n lugar de/z/2-rren la ecuación 468. S in embargo, la diferencia no tiene consecuencias prácticas en nuestra e xposición.
F i g u r a 4 6 - 1 4 . Se detecta un electrón en A y luego otra vez en B. De acuerdo con la mecánica cuántica, las ondas de materia que representan al electrón siguen todas las trayectorias que conectan esos dos puntos. Sólo las trayectorias cercanas a la de línea recta interfieren de un modo constructivo.
encontrada; fue p recisam ente lo que observam os com o su tra yectoria. L as ondas que siguen trayectorias lejos de esta línea interferirán en form a destructiva; se cancelarán. E n co nclu sión, desde el pu n to de vista de la onda, la trayectoria se de be a la in terferen cia constructiva y destructiva de m uchas líneas que rep resen tan todas las trayectorias posibles.
La relació n de incertidumbre energía-tiem po H asta ah o ra nos hem o s ocupado exclusivam ente de las longi tu d e s,d e onda de las ondas de m ateria y nada hem os dicho acerca de sus frecuencias. P o r analogía con la ecuación de fotones de Einstein (E = hf), m ediante A / = ¿sE /h la incertidum bre de la frecuencia de u n a o nda de m ateria se relaciona con la incertidum bre en la energía E de la p artícu la correspondiente. A l sustituir esto por ¿seo = É rrA /e n la ecuación 46-5, obtenem os A £-A ? 2» h!2ir,
(46-9)
que es la relació n m atem ática del principio de incertidum bre expresado en fun ció n de parám etros diferentes. E n palabras significa lo siguiente: N o es p o sib le determ in a r la energía y las coordenadas de tiem po de una p a rtícu la con precisión ilimitada. T odas las m ediciones de la energía suponen incertidum bre intrínseca, a m enos que se disponga de tiem po infinito pa ra efectuarlas. P o r ejem plo, en los átom os el estado m ás bajo F i g u r a 4 6 - 1 3 . Un electrón y un positrón, formados en el vértice izquierdo, pasan por una cámara de burbujas llena con hidrógeno líquido. Las huellas de las burbujas marcan sus trayectorias. Éstas no son rectas porque, un campo magnético que llena la cámara desvía las partículas. ¿Cómo pueden tales características explicarse a partir de las ondas de materia?
de energía (llam ado estad o base) posee energía bien definida porque el átom o suele e x istir en dicho estado in d efinidam en te. L a energía en todos los estados de m ayor energía (los es tados excitados) está d efin id a con m enor precisión, porque el átom o — tarde o tem p ran o — p asará espontáneam ente a u n es tado de m enos energía. E n p rom edio, sólo en cierto tiem po Ai está disponible, p ara que un a m edición de la energía presen tara una incertid u m b re de ¿SE dada p o r (/z/2zr)/A f. a) Un electrón de 10 ev se desplaza en dirección de x creciente con una velocidad de 1.88 X 106 m /s. Su ponga que puede medirla con una precisión de 1.0%. ¿Con qué preci sión podrá medir simultáneamente su momento? b) Una pelota de golf tiene una masa de 45 g y una velocidad de 40 m/s, ¿cuál de las dos puede medir con una precisión de 1.0%. ¿Qué límites impone el principio de incertidumbre a la capacidad de medir su posición? P
r o b l e m a
R
e s u e l t o
4 6 - 5 .
Solución a) El momento del electrón es px = mvx = (9.11 = 1.71
X
X
10~3i kg)( 1.88
X
106 m/s)
10~24 kg • m/s.
La incertidumbre Ap x del momento es 1.0% de este valor, es decir, 1.71 X 10-26 kg • m /s. Entonces, según la ecuación 46-8 la incerti dumbre de la posición será __ h _ 6.63 X 10~-’4 J-s _ * = (277)(Apt) (2—)(1.71 X 10~26 kg • m/s) ~
nm'
El tamaño de un átomo típico mide alrededor de 0.1 nm; así que Ar tiene aproximadamente la longitud de una cadena de 60 átomos. Da da la medida del momento del electrón, simplemente no es posible asignar al mismo tiempo una posición al electrón con mejor preci sión que ésta, b) Este ejemplo es idéntico a la parte a), salvo que el momento de la pelota de golf es mucho mayor que el del electrón. En el caso de la pelota, el mismo cálculo nos da Ax = 6 X 10-33 m. Es una distancia muy pequeña efectivamente, unas 10ls veces menor que un núcleo atómico común. Por lo que respecta a los objetos ma croscópicos, el principio de incertidumbre no impone un límite im portante a la precisión de su medición. Nunca se habría descubierto este principio midiendo minuciosamente las bolas de golf en el aire ni las balas de una pistola.
C on sid erem o s ahora la onda de m ateria asociada a una p artíc u la de m asa m que se m ueve en d irección de x crecien te y so b re la cual no actúa fuerza alguna, una pa rtícu la libre P ara d escrib ir el desplazam iento asociado con ella, el físico au stríaco E rw in S chródinger (1887-1961) introdujo una m a g -•• n itud ^ ( x , t) a la que llam ó fu n c ió n de onda. E n la sección 46-6 dem ostrarem os _que la fu n ción de on da, p ara una partícula libre que se dirige a x creciente, está/dada* por
'
4 4 ........... ■-....... -....
- -}
; ''Ppr, t) = 0o e l{kx~m,\
e '9 = eos 6 + i sen 6,
LA F U N C IÓ N D E ONDA
La ecuación 46-1 indica cóm o calcular la longitud de la onda de m ateria asociada a u n a partícula si conocem os su m om en to. A hora preguntam os; ¿cóm o describim os la am plitud de una onda de m ateria? D icho de un m odo m enos form al: ¿qué es lo que está ondeando? L a función de desplazam iento en una onda transversal que se desplaza por una cu erd a estirada en dirección de x cre ciente (Sec. 18-3) está dada por y(.x, t) = v0 sen (/ex - cot).
' (46-10)
A quí k ( = 2 tr/A ) es el núm ero de onda; co ( = 2 z r / ) la fre cuencia angular, y y Q la am plitud de la onda. D entro de este contexto y en lo que sigue, convendrá m ás o cupam os de k (y no de A) y de co (y no d e / ) .
(46-12)
donde 9 es un ángulo cualquiera, m uestra que la form a expo- : nencial de la ecuación 46-11 es m enos distinta de lo que cabría suponer p o r la form a trigonom étrica de la ecuación 46-10. = E l físico alem án M ax B o m (1882-1970) dio la interpre tación física a la función de onda. Sostuvo que el significado . físico d eb ería asignarse no a sino m ás bien alproducto de xlr y a su com plejo conjugado NP*. (R ecuérdese que el comple jo conjugado de un núm ero com plejo es este i reem plazado por — i, en cu alq u ier p arte d o n d e ocurra.) E n concreto, B om postuló lo siguiente: E l producto dx nos da la probabilidad de que la par-, tícula en cuestión se halle entre las posiciones x y x + dx: E n el m u n d o cuántico no podem os decir dónde está una par tícula; tan sólo dónde prob a b lem en te está. A l producto ■'ínp* lo llam am o s d ensidad de probabilidad, sím bolo P (x), de mo do que P(.x) = •'M '*.
4 6 -5
(4 6 -U )
donde 0 O es la am plitud de la onda. N ótese que la función de" onda contiene el núm ero im aginario z(= / / —l). H/Qc, t) es u n a ca n tid a d com pleja. A p rim era vista, la form a de esta expresión de una onda viajera de m ateria parece m uy distinta a la de la ecuación 4610 relativ a a una onda que se desplaza p o r una cuerda. Pero recu érd ese que cualq u ier función de (lex — cot) puede descri b ir u n a o n d a viajera que se desplaza en la dirección de x cre7 cíente. A d em ás la id entidad m atem ática
(46-13)
A p esar de que la función de o nda "^(x, t) suele ser com pleja, 1 la d e n sid a d de p ro b ab ilid ad siem p re será un núm ero real (p o sitiv o o cero), com o debe serlo para que la densidad de p ro b ab ilid ad tenga significado físico. Al utilizar la ecuación 46-13, la d ensidad de p robabilidad p ara la partícula libre descrita p o r la ecuación 46-11 es P (x) = [0o e í(tl- “')][0o:i:
= | 0o I2,
(46-14)
que es u n a constante independiente, de x o de t. L a figura 4615 m u estra una gráfica de P(x) en un in stante determ inado, digam os t = 0. P or ser P (x) una constante p ara una partícula, libre, concluim os que la p artícula p uede encontrarse con igual p ro b a b ilid a d en c u a lq u ie r p u n to de la d ire c c ió n x, de x = — c° a x = -i- °°. L a incapacidad de determ inar la ubicación de la partícula libre coincide enteram ente con el principio de incertidum bre de
Veamos ahora la ecuación de Schrödinger. P ara una par tícula (no necesariam ente libre) que se m ueven en la direc ción x, es
a, •S 13 -a to Xi 'S
■° 03 S = £> I 2 Q.
h2 d 2üj{x) ~ " s ä t + U(x) * U ) = E
0 Densidad de probabilidad 1ínIr* para una partícula libre que se desplaza en la dirección de ,r creciente. La partícula tiene la misma probabilidad de detección en todos los puntos a lo largo del eje x. F
ígu
RA 4 6 - 1 3 .
Heisenberg. Puesto que ninguna fuerza actúa sobre una partícu la libre, su m om ento debe ser una constante determ inada con precisión y, en consecuencia, Ap x = 0. E ntonces el p rincipio de incertidum bre de Heisenberg (Ec. 46-8) predice que Ax = °°, que es precisam ente lo que m uestra la figura 46-15.
(46-17)
donde E es la energía total (constante) de la partícula y 00114 ~áe~U(x) es su energía potencial. S uponemos la situación nor m al: la energía potencial no depende del tiem po. N o podem os obtener la ecuación de S chrödinger de prin cipios m ás fun d am en tales.-Es el principio fundam ental, del m ism o m odo que las leyes new tonianas del m ovim iento lo son de la m ecánica new toniana y las ecuaciones de M axw ell lo son del electrom agnetism o. E n los tres casos anteriores hay que aceptar provisionalm ente las ecuaciones básicas y ver si conducen o no a predicciones confirm adas después m ediante experim entos. Y sí lo hacen en los tres casos.
U na p a rtíc u la libre
,( Si la partícula es libre, su energía p o tencial U(x) es una cons u lta n te , l a cual podem os suponer que es cero en todos los valoLA ECUACIÓN / res de x. E ntonces J a energía total E de la partícula en DE S C H R Ö D IN G E R ’“movim iento es.enteramente cinética. En otras palabras, debemos tener E = K — p 2/2 m donde p es el m om ento de la partícula. Sin aportar prueba alguna, en la sección 45-5 afirmamos que la H echa esta sustitución, la ecuación de Schrödinger (Ec. 46-17) ecuación 4 6 -11 es la función de onda que describe a una partícu q u ed a así la libre. ¿Cómo_lo_sabemos? He aquí la respuesta: esta ecuación e s u ñ á solución de la ecuación ele Sch rö d in g er, fundam ental ¡r d 2ip(x) ijnx) = o. (46-18; para la mecánica cuántica que en 1926 propuso JBrvvin Schrödin dx2 -7Txp~ ger,"quien com pártkT el Prem io N obel de 1933 por este logro. (Existen otras form as equivalentes de form ular la m ecánica A ntes afum am os sin prueba que la función de onda 0 (x) de la cuántica; hem os optado por seguir los pasos de Schrödinger.) ecuación 46-16 describe una partícula libre que se desplaza A ntes de presentar la ecuación querem os aclarar que la en dirección de x creciente. En seguida vam os a probar la afirecuación de S chrödinger 46-11 puede reescribirse así Jn a c ió n sustituyendo esta ecuación y su segunda derivada en 4r(.r, t) = (iJrQe +lk':)(e~ lcal), donde vem os que la función t) aparece com o el p ro d u c to de dos factores: uno que incluye sólo x y el otro sólo t. E n síntesis, podem os escribir nuestra función de o nda en la form a t) = i¡j (x ) e - iM.
S u prim era derivada es dip(x)
(46-15)
En el resto del capítulo, nos concentrarem os netam ente en 0(x), la porción de la función de onda que depende del espa cio. Recuerde que la letra griega m ayúscula psi 0ÍO incluye la posición y el tiem po y que la psi m inúscula (¡/O incluye la coor denada de posición exclusivam ente.* L a com paración de las ecuaciones 46-11 y 46-15 m uestra que, p ara una partícula libre, ip(x) = ilfa e +,Lx.
la ecuación de S chrodinger (Ec. 46-18). L a función de onda que querem os pro b ar es
(46-16)
Es fácil probar' que 0 0 * = |0 op = P (x)\ así_que .0 0 * tam bién nos da la densidad de probabilidad de un onda de m ateria v ia jera (Éc. 46-14)."
* Formalmente, ip (x, t) es conocida como función de onda y 0(.r) como fun ción propia. No utilizaremos la notación anterior aquí.
dx
= 0o (ik) e lkx
y su segunda derivada (recuerde que i2 = —1) es d 2úr(x) dx2
= 0o ( - k 2)e ikx = - k 2 i¡Á.x).
Si sustituim os p o r d 2é ( x ) /d x 2 la expresión anterior y la intro ducim os en la ecuación 46-18, obtendrem os h 2
z r r k 2 0(.r) + Ip(x) = 0. 4 7T -p A1 cancelar 0 (x ) y al utilizar la ecuación 46-1 para sustituir A p o r p / h , nos queda «L Ti
A
iR p f
una identidad. C om o la su stitu ció n de la ecuación 46-16 en la de S chrödinger p ro d u ce u n a identidad, hem os probado que la prim era es efectiv am en te una solución de la segunda.
46-#
i|¡§Ít3AAr‘
EL EFECTO TÚNEL
Si rodam os un a c an ic a p o r el piso hacia un m uro de ladrillos, esperam os que reb o te co ntra dich o m uro. N o esperam os que aparezca del otro lado. S in em bargo, la m ecánica cu ántica predice que un co m p o rtam ien to de este tipo sí ocurre en los electrones y en otras partícu las de m asa pequeña. Veam os lo que la ecuación de S ch rö d in g er nos d ice de este fenóm eno. ¿ L a figura 4 6 -16a m u estra un electrón de energía total (constante,) E que se d irige h acía x creciente. Su energía p o tencial es cero, salvo cuando se h a lla en la región O < x < L. A llí su energía p o ten cial es U0, donde UQ > E. D efinim os la región com o una barrera de la energía p o ten cia l (o, con m e nos rigor, com o una barrera de p o ten cia l) de altura UQ y de grosor L. "] Si el electrón o b ed eciera la m ecánica de N ew ton, reb o ta ría contra la b arrera y retro ced ería en la dirección de donde provino, del m ism o m o d o que u n a canica rebotaría contra el m uro de ladrillo. S in em bargo, los electrones obedecen las le yes de la m ecánica, cuántica, según las. cuales el electrón re botará efectivam ente co n tra la barrera; pero, hay adem ás una probabilidad fin ita de qu e tam b ién “ atraviese” .la b arrera en un proceso den o m in ad o efecto d e túnel y de que aparezca en el otro lado. En virtud de que la en erg ía p otencial cam bia de un m odo abrupto — en x = O y tam b ién en x = L, p o r lo cual debem os
10
o c: UJ
s 6 4 2
-2
A la izquierda de la barrera. L a solución de la ecuación es é{x) =
e'Lx + ijj2 e ~ ,kx
{x < 0),
(46-19)
do n d e ^ y i/q son constantes de .am plitud. E l p rim er término ~cfeT a e c u a c ió n a n te rio r (c o m p á re la co n fa E c. 46-16)~ré~" p r e s e n tíía o n d a de m ateria que llega, la cual se_dirige a x crT~ cíente. E l seg u n d o térm ino representa la.onda reflejada co n tri la'_5árrerS- yj’pcjr ta n to ,’que se d esplaza en j i r éccíón de x~dé~ creciente. S egún se aprecia en~éTpíobíem a 46-7, las d o s ondáíTque van en direcciones opuestas, interfieren entre sí y a la izquierda de la barrera generan un patrón de onda estacionaria. L os m ín im o s.d el p a tró n n o is o n c e ro p o rq u e la onda reflejada tiene una am p litu d m en o r que la onda incidente. Es decir, \f a \ •< ¡Vql p o rq u e transm ite una parte de la onda incidente. \A. la derecha de la barrera. En el lado extrem o de la b a ñ e ra la onda tran sm itid a está dada p o r la ecuación 46-16, o sea fix ) =
e"
{x > L),
(46-20)
d onde é 5 es la constante de am plitud. C om pare esta parte de la fíg u ra 4ó-í6¿> con la figura 46-15. En am bos casos la den sidad de p ro b ab ilid ad es constante; en otras palabras, la pro b ab ilid ad de encontrar el electrón (por p equeña que sea) es la m ism a en todos los valores de x en la región x > L.
> »22 'p >
b u sca r p o r separado soluciones de la ecuación de Schrödinger"5 (Ec. 46 -1 6 ) en tres regiones: 1) a la izquierda de la barrera 2) den tro de ella y 3) a la derecha de ella. E ntonces debernos esco g er las constantes arbitrarias que aparezcan en las tres so luciones, de m odo que los valores de ip{x) se unan suavemente (sin saltos ni desviaciones) en x = O y en x = L. L a figura 46-16¿> m uestra un a g ráfica de la densidad de probabilidad P (x) que p u ed e calcularse una vez efectuadas las soluciones y los acop lam ien to s. Im aginem os a continuación las soluciones de la ecu ació n de S chrödinger en las tres regiones en cues tión.
D entro de la barrera. En este caso la ecuacion de S chrödin ger (Ec. 4 6 -1 7 ) es
L -<3— x (nai)
-1
h2
d 2é
——
~ pr
o7T~m
dx~
+ [Uo - E l f = 0.
(46-21)
N ó tese que, com o U0 > E .la cantidad dentro de los corch e tes cuadrados es positiva,. In ten tem o s un a solución de tipo di(x) = i/q e kx + üi4 b)
O
a) Con una energía total constante E, un electrón se dirige a la barrera de potencial desde la izquierda. Dentro de ella, su energía potencial U0 es mayor que su energía total, b) Densidad de probabilidad de la onda de materia que representa al electrón. A la izquierda de la barrera interfieren entre sí la onda incidente I y la onda reflejada R (con menor intensidad) procedente de la barrera. La onda transmitida T aparece a la derecha de la barrera. Dentro de ésta la densidad de probabilidad decae de manera exponencial. F
ig u r a
4 -S -1 6 .
(46-22)
L donde ¡/a y D4 son las constantes de am plitud y, según se pue de ver, no ap arece el núm ero im aginario i. Es fácil dem ostrar que. en caso de sustituir esta función y su segunda derivada en la ecu ació n 46-21, la variable x se elim inará, a condición de que la constante k ' en la ecuación 46-22 tenga el valor Id =
(46-23)
La solución detallada indica \dr^ > > |^ 4|, y entonces la densi dad de probabilidad que se deduce de la ecuación 46-22 será P{x) = i/n/r* = ) é 3 ]2 e ~ 2kx.
(46-24)
Este valor decrece con x. A sí, aunque la partícu la pu ed e h a llarse en la región clásicam ente vedada d onde U0 > E , cada vez habrá m enos probabilidades de en co n trarla cuanto m ás penetrem os en dicha región. L ocalizar u n a partícula en una región donde la prohíbe la física clásica es un aspecto com ún de la m ecánica cuántica.
El coeficiente de transmisión Podem os definir un coeficiente de transm isión T p ara la p ar tícula y la barrera com o la razó n de la in ten sid ad de la onda transmitida, |^ 5p al d é la onda incidente, |^ jp . Puede dem ostrar se que T está dado p o r ......................."
T =
<4 6 - 2 5 >
donde k' tiene el valor dado por la ecuación 46-23. Esta fórm u la es una aproxim ación que se cum ple sólo con las barreras que son lo b astante altas o gruesas p ara qu e el coeficiente de transm isión sea pequeño, esto es, T « 1. E l factor dom inante en el co eficiente es el exponencial, e- 2/c'L S1' p U e s , ei v alo r T es m uy d ependiente al espesor L de la barrera y a la cantidad ¡a cual a su vez depende de la m asa m de la partícu la y de la altura U0 de la barrera. E l coefic ié n tirfie tran sm isió n d ism in u y e "ráp id am en te co n fo rm e aum enta la m asa de la partícula, desapareciendo por su pequeñez al pasar de los electrones a — digam os— las canicas. S i la barrera es infinitam ente alta, P “ y T -> 0; esto significa que la partícula se refleja al 100% co n tra ella.
A l g i a u o s ejcaíi|jiiC fS E l efecto túnel de las ondas de m ateria se presta a m uchas aplicaciones prácticas. H e aq u í un ejem plo sencillo: con sid e re una alam bre desnudo de cobre que h a sido cortado y cuyos dos extrem os se tuercen ju n to s. A un así seguirá conduciendo electricidad sin dificultad, aunque los alam bres estén cu b ier tos con una capa delgada de óxido de cobre, un aislante. ¿C ó m o penetran los extrem os en esta cap a (extrem adam ente delgada)? Por el efecto túnel. U n ejem plo m enos com ún es el n úcleo del Sol, donde g e neran energía los procesos de fusión term onuclear. E stos p ro cesos, en los cuales se libera energía, suponen la fusión sim ultánea de los núcleos ligeros para fo rm ar otros m ás p esa dos. Supóngase que dos protones se desplazan ju n to s a gran velocidad. D eben estar m uy cerca antes que intervengan sus intensas fuerzas nucleares de atracción y los hagan fu sio n ar se. M ientras tanto, su velocidad dism inuye p o r la fuerza de repulsión de C oulom b que tiende a separarlos. Podem os decir que los separa una b arrera de C oulom b. L a probabilidad de la
fu sión depende principalm ente de su capacidad de atravesar la b a rre ra m ás que de superarla. E l ho m o solar se cerraría sin el efecto túnel. / E l efecto túnel entra en juego no sólo cuando dos partículas”3e carga positiva se desplazan ju n tas con m ucha rapidez, sino tam bién cuando se separan, rom piendo los fuertes enlaces n ucleares de atracción que las m antienen ju n tas y atravesan do la barrera de C oulom b en dirección contraria7U n ejem plo de ello es la em isión espontánea de las partículas alfa (con carga positiva) p o r los núcleos radiactivos y la fisión de los núcleos pesados en dos grandes fragm entos. E ntre las aplicaciones prácticas fig u ra el diodo de túnel', donde el flujo de electrones (por el efecto túnel) a través de un dispositivo puede activarse o desactivarse controlando la altura de la b arrera al variar — por ejem plo— el voltaje apli cado afuera. Esto puede hacerse m uy rápidam ente, con tiempos de respuesta del orden de 10- u s, o 10 ps posiblem ente. El P rem io N o b el de 1973 lo com partieron tres investigadores del efecto túnel: L eo E saki (descubridor del diodo de túnel), Iv ar G iaver (el efecto túnel en superconductores) y B rian Josephson (descubridor de ia unión Josephson).
El m icroscopio de b a rrid o de efecto túnel E n el microscopio de barrido p o r efecto túnel de barrido (M ET)*, u n a p u n ta de ag u ja fin a p rep a rad a e sp e c ialm en te se barre en un patrón de cuadro televisivo sobre la superficie de la m u estra a investigar (Fig. 46-17). U na diferencia de unos cuantos volts se- aplica entre la punta de la aguja y la m uestra, creándose así u n a barrera de energía potencial. Los electrones atraviesan com o “corriente de túnel” la b rech a entre ella y la p un ta de la aguja. E n condiciones norm ales, la corriente varía m ucho con form e la separación entre la aguja y ias estructuras superficia les va cam biando durante el barrido. N o obstante, se provee un m ecanism o electrónico de retroalim entación que autom á ticam ente eleva o baja la aguja durante el barrido, conservan do constantes la corriente de túnel y tam bién la separación. La
* Véase “The Scanning Tunneling Microscope” de Gerd Binning y Heinrich Rohrer, Scientific American, agosto de 1985. Consúltese en http://www.almaden.ibm.com/vis/stm/lobby.html una galería de este microscopio y otras fo tografías.
P u n ta d e
F i s u r a 4 6 - 1 7 . Una punta afilada de aguja se barre sobre la superficie de una muestra en un microscopio electrónico de efecto túnel de barrido.
siones se m odifican en una cantidad p equeña pero controla ble; el cam b io de longitud es directam ente proporcional a la diferen cia de potencial. P or m edio de esta técnica el movi m iento de b arrid o puede regularse con m edios electrónicos y la p o sició n vertical de la punta se coordina con la posición que o cu p a en el plan o vertical. P ueden m ostrarse los despla zam ientos verticales en una escala expandida y agregarse color a la p resen tació n visual para extraer ciertas características. P r o b l e m a R e s u e l t o 4 6 - 6 . En la figura 46-16a se ve un elec trón, cuya energía total E es 5.0 eV, que se acerca a una barrera TJ de 6.0 eV de altura. El espesor de ella L mide 0.70 nm. a) ¿Qué lon gitud de onda de De Broglie tiene el electrón incidente? b) ¿Qué coe ficiente de transmisión T se obtiene de la ecuación 46-25? c) ¿Cuál sena el coeficiente de transmisión si redujéramos el espesor de la ba rrera a 0.35 nm? ¿Si aumentáramos la altura a 7.0 eV? ¿Y si la par tícula incidente fuese un protón?
F i g u r a 4 6 - 1 S . El arreglo regular de los átomos que forman la superficie de una muestra de níquel aparece con toda claridad en esta gráfica de microscopio electrónico de efecto de túnel de barrido.
posición vertical de la ag u ja se pro y ecta entonces sobre un a pan talla en fu n ció n de su ubicación, produciendo una g ráfica tridim ensional del co ntorno de la superficie. Un ejem plo re presentativo es la figura 46-18, que ofrece el arreglo reg u lar de los átom os que co n stitu y en la superficie de una m u estra de níquel. En 1986 G erd B innig y H einrich R ohrer de la R e search L ab o ratg o ry de la IB M en Z urich com partieron el P re mio N obel (con E rnst R uska, el inventor del m icroscopio electrónico) p o r la invención de este aparato. Según se o b serv a en la figura 46-18, el m ovim iento de la punta de la aguja, tanto en el plano horizontal com o en la d i rección vertical, debe ser controlable con un a reproducibilidad que es u n a fracción p equeña de las dim ensiones de un átom o in dividual. E sto se logra sujetando la aguja en la in ter sección de tres v arillas de cerám ica, com o se ve en la figura 46-19. El m aterial de dichas varillas ofrece una p ropiedad in teresante (descu b ierta p o r los herm anos Fierre y Jacques C u rie en 1880-1881), denom inado piezoelectricidad: cuando una diferen cia de p o ten cia se aplica a una varilla, sus dim en-
Solución a) Antes que el electrón llegue a la barrera, su energía po tencial en la región por donde se desplaza es cero. Procediendo como en el problema resuelto 46-1, obtenemos A = 0.55 nm. Por tanto, la barrera mide 0.70/0.55, o sea aproximadamente 1.3 longitudes de onda de De Broglie de espesor. b) Conforme a la ecuación 46-23 tenemos 2 v Í 2 i n ( U t) - E)
(277)y(2)(9.1l X 1Q-JI kg)(6.0eV - 5.0 eV)( 1-60 X K T14 J/eV)
5. ! 2 X i 0“ m “
La cantidad k'L será entonces (5.12 X 109 m _1)(0.70 X 10~9 m) = 3.58. Al utilizar la ecuación 46-25 el coeficiente de transmisión re sulta ser T = 16(16)
5.0 eV ( 6.0 eV
5.0 eV 6.0 eV
1.73
X
10-
De cada 100 000 electrones que chocan contra la barrera, apenas 173 la atravesarán. c) Una vez efectuados los cambios apropiados (uno a la vez) en la solución de la parte b), encontramos L = 0.35 nm
produce T = 0.062
U0 = 7.0 eV
produce T —1.3
X
10-J
m = 1836me produce T = 8.8
X
I0~134
V a rilla s d e c e r á m i c a
Compare estas cantidades recién calculadas con el valor de T (= 1.73 X 10-3 ), obtenido en la parte b). Nótese que es más fácil que el electrón penetre la barrera más delgada y más difícil que penetre la más alta. El protón más voluminoso difícilmente consigue penetrar. Imagine lo pequeño que sena T en una canica.
P u n ta V v ! S u p e r f ic ie
9 . La punta de la aguja en un microscopio de efecto de túnel de barrido se sujeta a la intersección de tres varillas de cerámica. Por medio del efecto piezoeléctrico, la punta puede barrer en el plano xy y también elevarse y bajarse en la dirección z. F ig u ra
4 6 -1
P r o b l e m a R e s u e l t o 4 6 - 7 . La ecuación 4 6 - 1 9 proporciona la parte de la función de onda de variación espacial, que describe la onda de materia a la izquierda de la ban-era de la figura 46-16a, es decir, en la región x < 0. Calcule la densidad de probabilidad correspondien te en esta región.
S o lu c ió n
Al emplear la ecuación 46-19 para f( x ), la densidad de es
p r o b a b ilid a d
;
densidades de probabilidad. Fluctúa entre un valor máximo [para eos (2 kx + A f) = + 1] de
P(x) = é ú r P m áx =
= (i//, e +ikr + é 2 e " ítv) ( ^ e~'kx + ;
=
| i/f| |2 +
|
f 2p
+
á + -'tv +
e +ikx)
I
f \ |2( 1 +
y un valor mínimo para eos (2 kx + A f) = — 1] de
\¡tfip 2e~ -'kx. P m; n = I ^ P O
R e c u e rd e q u e , p a ra f o rm a r
i/A, hemos
r e e m p la z a d o
i en
( /» p o r
—i
s ie m p re q u e a p a r e c e .
Las amplitudes ^ y i/t, se refieren, respectivamente a las compo1nenies de la onda de materia que llegan y se reflejan. Puesto que la re flexión no es completa (la onda se transmite de modo parcial), la onda reflejada ha de tener menor amplitud que la de llegada. Definamos el parámetro de reflexión adimensional p = |¿í7|/Ii/'1|, donde O < p < 1. Luego de un poco de manipulación algebraica, obtenemos P(x) = |
p [1 + p2 + 2p eos (2kx + Ai//)],
donde A f es un ángulo de fase sin importancia que proviene del cálcu lo. Nótese que P(x) es un número real, como deben serlo todas las
O f G D
p )2
- p ) 2.
Los resultados anteriores coinciden plenamente con la figura 46-16A La distancia Ax entre máximos (o mínimos) adyacentes ocurre cuando la cantidad 2 tx en el coseno cambia por 2tr de modo que 2k Ax = 2-77, o sea = —
a
*
k
_ A (2tt/A) “ 2 '
= —
Así pues, los máximos (o mínimos) adyacentes de la gráfica de den sidad de probabilidades en la figura 46-16Z? están separados por un medio de la longitud de onda de De Broglie de la onda incidente.
N M Ú U IP ^
45-1 Ondas de m ateria 1. Si las partículas incluidas poseen todas la misma energía cinéti ca, ¿cuál de ellas tiene la más corta longitud de onda? A) El electrón B) La partícula a C) Ei neutrón Dj El protón 2. Si las partículas incluidas tienen todas la misma longitud de onda de De Broglie, ¿cuál de ellas posee la máxima energía cinética? A) El electrón B) La partícula a C) El neutrón D) El protón 3. ¿Qué relación hay entre la longitud de onda de De Broglie A asociada a una partícula y el tamaño de ésta? A) A debe ser más grande que la partícula. : B) A debe ser más pequeña que la partícula. C) A puede ser más grande o más pequeña que la partícula.
4 6 -2 Pruebas de las hipótesis de Be Broglie 4. Un haz de electrones con una velocidad vQpasa por rendijas do bles y luego se deja que choque contra una pantalla fluorescen te. Se observa un patrón de interferencia en la pantalla. a) Aumentamos a 2v0 la velocidad de los electrones. ¿Qué sucede con el espaciamiento de las franjas de interferencia en la pantalla? A) Aumenta. B) Disminuye. C) .Permanece inalterado. b) Los electrones se reemplazan ahora con protones cuya velo cidad es vQ. En comparación con los electrones de igual velocidad, ¿qué sucede con el espaciamiento de las franjas de interferencia en la pantalla? A) Aumenta. B) Disminuye. C) Permanece inalterado. 5. Un electrón con una longitud de onda de De Broglie A pasa por una rendija de ancho d = 2A. Después puede golpear una pan talla fluorescente. ¿Qué se observará en ella? A) Un patrón de difracción.
B) Un solo destello como si el electrón se hubiera pasado en una línea recta por la rendija. , ;C) Un solo destello que podría ocurrir en cualquier parte de la pantalla. '!)) Un solo destello que ocurriría muy probablemente don de un correspondiente patrón de difracción presentará la máxima intensidad.
4-6-3 O ndas y partículas 4-6-4- Principio de incertidum bre de Heisenberg 6. Un protón y un electrón están confinados en cajas de longitud a. Se efectúan mediciones del momento de ambos. ¿Cuál afirma ción es válida respecto a la precisión de estas mediciones? A) El momento del electrón puede medirse con mayor pre cisión que el del protón. B) El momento del protón puede medirse con mayor preci sión que el del electrón. C) El momento del elecuón puede medirse con la misma precisión que el del protón. 7. La posición de un electrón se mide dentro de los límites de ± Ax. Simultáneamente se mide el componente x de su momento den tro de los límites de ± A p x. ¿Qué puede concluirse respecto a la re lación entre Ax y Apf? A) Ax £ h ¡ rtrApx B) Ax £ h /ltr A p x C ) Ax £ h/%,rrApx D) Nada; en este caso no se aplica el principio de incerti dumbre de Heisenberg. 8. La posición de un electrónse mide dentro de los límites de ± Ax. Simultáneamente se mide el componente x de sumomen to dentro de los límites de ±Apx. ¿Qué puede concluirse respecto a la relación entre Ax y Ap f A) Ax £ h/irApx B) Ax £ h/lTtApx C) Ax £ hl%rrApx D) Nada; en este caso no se aplica el principio de incerti dumbre de Heisenberg.
9.
La posición de un electrón se mide dentro de los límites de ± A x. Al mismo tiempo se mide dentro de los límites de ±Apx el componente y de su momento. ¿Qué puede concluirse respec to a la relación entre Ax y Ap xP. A) Ax S h /irA p v B) Ax s h/2irA pv C) Ax s h/SirApy D) Nada; en este caso no se aplica el principio de Heisenberg.
4 S -5
10.
L a fu n c ió n d e o n d a
P
eos ir/6 + i sen -rr/6
L a e c u a c ió n d e S c h rö d in g e r E l efecto tú n e l
11. Una partícula con energía E = U0/ 2 incide sobre una barrera de altura U0 y de espesor L. T,0 es el coeficiente de transmisión en las condiciones donde se aplica la ecuación 46-25. Si duplica mos el espesor de la barrera permaneciendo inalteradas su altu ra y la energía de la partícula, el nuevo coeficiente será A) T02/4
En las siguientes preguntas utilice la ecuación 46-11 e‘e = eos 8 + i sen 6. a) ¿Qué es 8 si e,e = — 1? A) 8 = O B) 8 = - 1 C) 8 = tt/2 D) 8 = 77 3 ---tí) ¿Cuál de las siguientes opciones es la solución V - 1? A) eos t t / 2 + i sen t t / 2 B) eos t t ¡ 3 + i sen t t / 3 C)
4 S -S 4 S -7
B) T (cos
tt/2
+ i sen tt/2 )
B) T i
C) T 0/2
D) T J 4
12. Los protones y las partículas alfa, todos ellos con la misma energía total, inciden sobre la misma barrera de potencial. T es el coeficiente de transmisión de los protones en las condiciones donde se aplica la ecuación 46-25. En comparación con T el coeficiente de las transmisiones de las partículas alfa es A) mucho más grande B) un poco más grande C) más o menos igual D) un poco más pequeño E) mucho más pequeño
r e g u n t a s
1. ¿Cómo puede la longitud de onda de un electrón estar dada por A = h /p ? ¿Significa la mera presencia del momentop en la fórmu la que el electrón es una partícula? 2. En una repetición del experimento de Thomson para medir ejm del electrón (Sec. 32-2), se colima un haz de electrones hacién dolo pasar por una rendija. ¿Por qué el carácter de haz de los electrones que salen no desaparece con la difracción de la onda del electrón en esta rendija? 3. ¿Por qué en nuestras observaciones diarias no es patente la na turaleza ondulatoria de la materia? 4. Al examinar el comportamiento ondulatorio de los electrones, cabría pensar que podemos construir un “microscopio electrónico” valiéndonos de electrones de longitud de onda corta para lograr una resolución alta. Y efectivamente esto se ha hecho, a) ¿Cómo podría enfocarse un haz de electrones? tí) ¿Qué ventajas podría tener un microscopio electrónico sobre un microscopio de luz? c) ¿Por qué no construir un microscopio de protones? ¿O uno de neutrones? 5. ¿Cuántos experimentos puede mencionar que apoyen la teoría ondulatoria de la luz? ¿La teoría ondulatoria de la materia? ¿Y la teoría corpuscular de la materia? 6. ¿Es el electrón una partícula? ¿Es una onda? Explique su res puesta citando los datos experimentales relevantes? 7. ¿Qué expresión común puede emplearse con el momento de un fotón o de una partícula? 8. Explique la analogía de a) la óptica ondulatoria y la óptica geo métrica con tí) la mecánica ondulatoria y la mecánica clásica. 9. ¿Tiene un fotón una longitud de onda de De Broglie? Explique su respuesta. 10. Explique las semejanzas y las diferencias entre una onda de ma teria y una onda electromagnética. 11. Si en la fórmula de De Broglie A = h/m v hacemos m —* °=, ¿ob tenemos el resultado clásico referente a las partículas de materia? 12. Considerando como partículas a los electrones y a los fotones, ¿en qué se diferencian? 13. ¿Es la ecuación 46-5 de la longitud de onda de De Broglie, A = h/p, válida para una partícula relativista? Fundamente su respuesta.
14. ¿Cómo pudieron Davisson y Germer estar seguros de que el pi co de “54 V” de la figura 46-2 era un pico de difracción de pri mer orden? 15. ¿Suministran los experimentos de difracción de electrones in formación diferente sobre los cristales de la que puede obtener se de los experimentos relativos a la difracción de rayos X? ¿De los relativos a la difracción de neutrones? Dé ejemplos. 16. ¿Por qué los átomos de hidrógeno son claramente visibles en la figura 46-8, no así en la figura 43-17? 17. En la figura 46-3b (hecha con rayos X) los círculos de refrac ción están moteados, mientras que en la figura 46-3c (elabora da con electrones) son suaves. ¿Puede explicar por qué? 18. Las ondas electromagnéticas penetrarán en el agua de mar hasta cierto punto a condición de que su frecuencia sea bastante baja. Éste es el fundamento de un plan para comunicarse con ios submarinos sumergidos. Un problema de este plan radica en que, cuanto menor sea la frecuencia, más tiempo se tarda la transmisión del mensaje (en pulsos del código Morse, por ejem plo). ¿Puede explicar por qué sucede eso? 19. ¿Por qué el principio de incertidumbre de Heisenberg no es evi dente en nuestras observaciones diarias? 20. a) Dé ejemplos de cómo el proceso de medición perturba el sis tema que va a ser medido, tí) ¿Pueden las perturbaciones tener se en cuenta con suficiente anticipación por medio de un cálculo apropiado? 21. Mide usted la presión de una llanta con un manómetro. Sin em bargo, el manómetro extrae un poco de aire de la llanta durante el proceso, de manera que la acción de medir altera la propiedad que está tratando de calcular. ¿Es éste un ejemplo del principio de incertidumbre de Heisenberg? Explique su respuesta. 22. “La energía del estado base de un sistema atómico puede cono cerse con precisión, en tanto que la de sus estados excitados siempre está sujeta a un poco de incertidumbre.” ¿Puede expli car esta afirmación partiendo del principio de incertidumbre? 23. “Si un electrón está localizado en el espacio, su momento se vuel ve incierto. Si está localizado en el tiempo, su energía se toma in cierta.” Explique esta aseveración.
24. Hemos visto que el efecto túnel se produce en las ondas de ma teria y en las ondas electromagnéticas. ¿Cree que también se observa en las ondas de agua? ¿Y en las ondas sonoras? 25. Comente la siguiente afirmación: “Una partícula no puede de tectarse mientras atraviesa una barrera, por lo cual sería absur do decir que eso sucede en realidad”. 26. Dé ejemplos del efecto túnel que ocurre en la naturaleza y en los objetos fabricados. 27. Varios grupos de experimentadores tratan de detectar las ondas de la gravedad, quizá provenientes del centro de la galaxia, mi-
.diendo para ello pequeñas distorsiones en un objeto masivo por donde pasan las supuestas ondas. Intentan medir desplazamien tos apenas de 10“ 21 m. (El radio de un protón es ~ 10~15 m, un millón de veces más grande.) ¿Impone el principio de incerti dumbre alguna restricción a la precisión con que puede efec tuarse la medición? 28. Un protón y un deuterón, con una energía de 3 MeV cada uno, intentan penetrar en una barrera de potencial rectangular de 10 MeV de altura. ¿Cuál partícula tiene mayores probabilidades de lograrlo? Explique su respuesta en términos cualitativos.
E:JERCICIOS ¿ is -1 O n d a s d e m a te ria 1. Una bala de 41 g de masa se desplaza a 960 m /s. a) ¿Qué lon gitud de onda podemos asociar a ella? b) ¿Por qué la naturaleza ondulatoria de la materia no se manifiesta en los efectos de di fracción? 2. Mediante la relación clásica entre momento y energía cinética demuestre que la longitud de onda de De Broglie en un electrón puede escribirse a) como A=
9.
1.226 nm
donde Ií es la energía cinética en electronvolts, o b) como A=
, 1.50 V — - — nm,
donde Ves el potencial de aceleración en volts. (Utilice los me jores valores de las constantes necesarias que vienen en el Ap. B.) 3. Calcule la longitud de onda a) de un electrón, b) de un protón y c) de un neutrón, todos ellos de 1.00 keV. Una onda de una línea espectral amarilla de emisión de sodio mide 589 nm. ¿Con qué energía cinética poseerá un electrón la misma longitud de onda de De Broglie? 5. Si la longitud de De Broglie de un protón es 0.113 pm, a) ¿cuál es su velocidad y b) con que diferencia de potencial eléctrico deberemos acelerarlo partiendo del reposo para que alcance esa velocidad? Iones de sodio cargados unitariamente son acelerados a través de una diferencia de potencial de 325 V. á) ¿Cuál es el momen to adquirido por los iones? b) Calcule su longitud de onda de De Broglie. 7. La existencia del núcleo atómico fue descubierta en 1911 por Emest Rutherford, quien interpretó correctamente algunos ex perimentos donde un haz de partícula alfa era dispersado de una lámina de átomos como el oro. a) Si las partículas alfa tenían una energía cinética de 7.5 MeV, ¿cuál era su longitud de onda de De Broglie? b) ¿Debería haberse tenido en cuenta la natura leza ondulatoria de estas partículas incidentes en el momen to de interpretar- los experimentos? La distancia del mayor acercamiento de la partícula alfa al núcleo en ellos era 30 fm aproximadamente. (La naturaleza ondulatoria de la materia se postuló una década después de efectuados estos experimentos decisivos.) La máxima potencia alcanzable de resolución de un microsco pio está limitada por la longitud de onda que se use; en otras pa labras, el detalle más pequeño susceptible de separarse es más o
10.
11.
12.
13.
14.
menos igual a la longitud de onda. Suponga que uno desea “ver” el interior de un átomo. Suponiendo que tenga un diámetro de 100 pm, ello significa que se quiere resolver el detalle de separación en cerca de 10 pm. a) Si se emplea un microscopio electrónico, ¿qué energía mínima de electrones se requiere? b) Si se emplea un mi croscopio de luz, ¿qué energía mínima se necesita? c) ¿Cuál micros copio parece más práctico para este fin? ¿Por qué? El acelerador de electrones de 50 GeV en Stanford genera un haz de electrones de pequeña longitud de onda, adecuado para inves tigar los detalles finos de la estructura nuclear mediante experi mentos de dispersión. ¿Cuál es esa longitud de onda y cómo se relaciona con el tamaño de un núcleo promedio? (Con estas ener gías es suficiente utilizar la extrema relación relativista entre mo mento y energía, a saber: p = E /c. Es la misma relación que se usó con la luz y se justifica cuando la energía cinética de una partícu la. es mucho mayor que su energía en reposo, como en este caso. Él núcleo de masa media tiene un radio aproximado de 5.0 fm.) Considere un globo aerostático lleno con gas helio monoatómico) a una temperatura de 18°C y a una presión de 1.0 atm. Calcule a) el promedio de la longitud de onda de De Broglie en los áto mos de helio y b) la distancia promedio entre los átomos. ¿Pue den tratarse como partículas bajo estas condiciones? Un movimiento no relativista de una partícula en movimiento tiene tres tiempos como cuerpo y electrón. El radio de De Broglie de longitud de onda, partícula y electrón, es 1.813 X 10~4. Pero calculando esta masa, identificamos la partícula. Consulte el apéndice B. a) Un fotón en el espacio libre posee una energía de 1.5 eV y un electrón, también en el espacio libre, posee la misma cantidad de energía. ¿Cuáles son sus longitudes de onda? b) Repita el ejercicio con una energía de 1.5 GeV. En un televisor ordinario de color, se aceleran los electrones en una diferencia de potencial de 25.0 kV. Determine su longitud de onda de De Broglie a) utilizando la expresión clásica del mo mento y b) teniendo en cuenta la relatividad. ¿Qué voltaje de aceleración se requeriría para que los electrones de un microscopio electrónico obtuvieran el mismo poder final de resolución como el que se lograría con un microscopio de rayos gamma usando rayos gamma de 136 keV? (Sugerencia: consul te el Ej. 8.)
4 .8 - 2 P r u e b a s d e la h ip ó te sis d e D e B roglie
15. Un espectrómetro de cristal de neutrones utiliza planos cristali nos con un espaciamiento d = 73.2 pm en un cristal de berilio. ¿Cuál debe ser el ángulo de Bragg 6, de manera que tan sólo se reflejen neutrones de energía K = 4.2 eV? Tenga en cuenta úni camente las reflexiones de primer orden.
16. Un haz de neutrones térmicos procedentes de un reactor nuclear incide sobre un cristal de fluoruro de calcio, formando su direc ción un ángulo Qcon la superficie del cristal. Los planos atómicos paralelos a la superficie del cristal presentan un espaciamiento interplanar de 54.64 pm. La longitud de onda de De Broglie de los neutrones del haz incidente es 11.00 pm. ¿Con qué valores de 0 ocurrirán los tres primeros órdenes del haz de neutrones de Bragg reflejado? (Sugerencia: los neutrones, que no transportan carga y que, por ello, no están sujetos a fuerzas eléctricas, no se refractan al pasar por una superficie de cristal. Así, su difracción pueden tratarse en analogía rigurosa con la difracción de los ra yos X.) 1 17. En el experimento de Davisson y Geimer,' a) ¿en qué ángulos deberían aparecer los haces difractados de segundo y tercer orden correspondientes a un máximo fuerte en la figura 46-2, a condi ción de que existan? b) ¿En qué ángulo ocurrirá el haz difracta do de primer orden, si cambiamos de 54 a 60 V el potencial de aceleración? 18. Un cristal de cloruro de potasio (KC1) se corta de modo que las capas de los planos atómicos paralelos a su superficie presenten un espaciamiento de 314 pm entre las líneas adyacentes de los átomos. Un haz de electrones de 380 eV incide normalmente so bre la superficie del cristal. Calcule los ángulos cj) en que se de be poner el dectector para que registre los haces fuertemente difractados de todos los órdenes presentes.
22. Un átomo en estado excitado tiene una vida promedio de 12 nsen segundo estado excitado su vida promedio es 23 ns. ¿Cuál es la incertidumbre de energía en un fotón emitido, cuando un electrón cumple una transición entre ambos estados? 23. Un microscopio que usa fotones sirve para localizar un electrón en un átomo a una distancia de 12 pm. ¿Cuál es la incertidumbre mínima en el momento del electrón localizado en esta forma? 24. Imagine que juega béisbol en un universo donde la constante de Planck es 0.60 J • s. ¿Qué incertidumbre presentará la posición de una pelota de 0.50 kg que se desplace a 20 m /s, con una in certidumbre de velocidad de 1.2 m /s? ¿Por qué sería difícil atraparla? 25. Calcule la incertidumbre de la ubicación de una partícula en función de la longitud de onda de De Broglie A, de manera que la de su velocidad sea igual a esta última. 26. Un electrón está confinado dentro de una caja del tamaño de un átomo, de modo que un lado de ella tiene una longitud d = 0.1 nm. a) Calcule la incertidumbre del momento A.p del electrón. b) Suponiendo que el electrón está “rebotando” en el interior de ella con el momento p = Ap, calcule su energía cinética. Exprese su respuesta en electrón-volts. 27. Repita el ejercicio 26 para calcular la energía cinética de un electrón confinado dentro de un núcleo, cuyo tamaño es del or den de 10~14 m.
4 6 -5 La función de onda
46-3 Ondas y partículas 19. Por medio de un obturador giratorio, escuche un diapasón ordi nario de 540 Hz 0.23 s. ¿Por qué intervalo aproximado de las frecuencias está contenida en este pulso acústico? 20. La señal proveniente de una estación de televisión contiene pul sos de ancho total Ar ~ 10 ns. ¿Es posible transmitir televisión en la banda de amplitud modulada que fluctúa entre 500 y 1 600 kHz aproximadamente?
46-4- Principio de incertidumbre de Heisenberg 21. Un núcleo en estado excitado volverá a su estado base, emitien do un rayo gamma al hacerlo. Si su vida promedio es 8.7 ps en determinado estado excitado de 1.32 MeV de energía, calcule la incertidumbre en la energía del correspondiente fotón emitido de rayos gamma.
4 6 -6 L a ecuación de Schrödinger 4
S-7 El efecto túnel
28. En el problema resuelto 46-6 suponga que puede modificar el espesor L de la barrera. ¿A qué valor habría que ajustarlo para que 1 electrón de los 100 que chocan contra ella la atraviese? 29. a) Un protón y b) un deuterón (que tiene la misma carga que el protón pero el doble de masa) inciden sobre una barrera de 10 fin de espesor y de 10 MeV de altura. Poseen una energía cinética de 3.0 MeV. Calcule su coeficiente de transmisión. 30. Suponga que un haz de protones de 5.0 eV incide sobre una barre ra de 6.0 eV de altura y de 0.70 nm de espesor, con una velocidad equivalente a una corriente de 1.0 kA. ¿Cuánto habrá usted de es perar — en promedio— para que se transmita un protón?
P roblem as Un haz de neutrones con poca energía sale de un reactor y se di fracta en un cristal. La energía cinética de los neutrones está contenida en una banda de ancho AK que se centra en la ener gía K. Demuestre que los ángulos de cierto orden de difracción se dispersan en un intervalo A ndado en grados por AS =
90
(tan 0)
AK
donde 6 es el ángulo de difracción de un neutrón que posee una energía cinética K. 2. Un haz de átomos sale de un homo cuya temperatura es T. La distribución de sus velocidades en el haz es proporcional a v3e-»n’-/2AT(Sec. 22-4). a) Demuestre que la distribución de las
longitudes de onda de De Broglie en los átomos es proporcional iongitud más probable es a A~- 5 e h - / 2 m k T \ - y ^ q u e A„ = ^5/nkT 3. Considere una barrera como la de la figura 46-16, cuya altura UQ es 6.00 eV y cuyo espesor L mide 700 pm. Calcule la ener gía de un electrón incidente tal que su coeficiente de transmi sión sea 1 en 1000. 4. Considere la situación del efecto túnel, definida en el problema resuelto 46-6. ¿Qué cambio fraccional del coeficiente ocurre con un incremento de 1% en a) la altura de la barrera, tí) en su espesor y c) en la energía incidente del electrón?
5. Utilice la ecuación 46-12 para verificar la identidad trigonomé trica eos (a + b) = eos a eos b — sen a sen b. 6. Las partículas de masa m y de energía E que inicialmente se di rigen a la derecha en una región del espacio donde U = O cho can contra un escalón de potencial en x = O de altura U0 < E para toda x > 0. En la mecánica clásica todas ellas pasan sobre el escalón. Resuelva el problema en la mecánica cuántica si guiendo un procedimiento similar al descrito en la sección 46-7. a) Anote las soluciones válidas en la región x < O constituidas por una onda incidente de amplitud i¡ix y una onda reflejada de amplitud y en la región x > O formada por una onda trans
mitida de amplitud ip3. Exprese las soluciones en función de k = (2-tr/h)'\j2mE y k' = {2tr/h)\j2m {E — U0). b) En una onda que se comporta bien desde el punto de vista matemático, la función de onda y su primera derivada deben ser continuas en la frontera, es decir, en x = O debemos tener if/x<0 = ipx>0 y d éxx>0/dx. Aplique estas condiciones de frontera para obtener if t j i¡j1 y ip3/ i f v c) Demuestre que el coeficiente de transmisión, en este caso definido como es T = 4(1 + k'lk)~2.
/P r o b lem a para reso lv er po r com puta dora 1. Podemos dejar caer una pelota de ping pong desde una altura de 1 metro arriba de una bola de boliche. La pelota de ping pong caerá, golpeará la de boliche, rebotará hacia arriba, caerá de nuevo y repetirá estas acciones casi con elasticidad perfecta. Si la dejamos caer exactamente arriba del centro de la bola de bo liche, seguirá rebotando en forma indefinida. El principio de incertidumbre de Heisenberg limita la precisión con que podemos dejarla caer, de manera que con el tiempo fuera de la bola de bo-
liche. a) Escriba un programa de computadora que modele el re bote de la pelota de ping pong, suponiendo que se deja caer de una distancia vertical Ax arriba del centro de la bola de boliche, con un momento vertical inicial Apx. b) Suponiendo que Ax y Ap x se relacionen mediante el principio de incertidumbre de Heisenberg, calcule el número máximo de veces que la pelota de ping pong puede rebotar contra la bola de boliche.
L -ELECTRONES EN POZOS DE POTENCIAL
. .
n e l capítulo a n terio r estudiam os los m ovim ientos de
los electrones libres. En este vam os a estudiar los m o vim ien to s de los electrones ligados, es decir, los que no p ueden va g a r librem ente fu e r a de ciertos límites. La energía de un electrón totalm ente libre no está cuantizada, pero verem os que la de un electrón ligado sí está cuantizada. N uestro interés se centra en los m o vim ientos de los electrones ligados a los átom os. A m anera de introducción exam inarem os los electrones ligados a estru ctu ra s a rtificiales denom inadas pozos de potencial. Luego vam os a co n cen tra m o s en un electrón individual d e l átom o de hidrógeno, exam inando prim ero el m odelo del átom o de hidrógeno; dicho m odelo fu e p ro p u esto p o r B o h r en una época cuando la m ecánica c u á n tica todavía no alcanzaba su desarrollo pleno. Luego abordarem os el tratam iento cuántico m oderno
del
átom o
de hidrógeno. Identificarem os los núm eros que especifican su s estados cuánticos y explorarem os el com porta m iento del electrón en alguno de dichos estados.
4-7 - 1
Y LIG A D O S
41T7^ UN E L E C T R Ó N ATRAPADO E N UN P O Z O D E PO T E N C IA L
E n el capítulo 46 estudiam os el m ovim iento de un electrón libre, esto es, el electrón sobre el que no actúa fuerza neta alguna. E n este capítulo estudiarem os el m ovim iento de un electrón ligado, un electrón sobre el que actúan las fuerzas para confinarlo en una región lim itada del espacio, quizá dentro del volum en de un áto mo. D e inm ediato salta a la vista la diferencia entre un electrón libre y uno ligado a un átom o. U n electrón libre se d esplaza en una dim ensión únicam ente, m ientras que un electrón ligado a un átom o puede m overse en tres dim ensiones. C on todo, la d iferencia p rincipal entre un electrón libre y uno ligado es ésta: com o verem os en la siguiente sección el hecho de que un electrón ligado esté localizado significa que su energía sólo pu ed e tener valores pertenecientes a cierto conjunto discreto. E n otras palabras, su energía está cu a n tiza da, no así la de un electrón libre. C on el fin de distin g u ir los efectos de la localización y dim ensionalidad, estudiarem os prim ero un.electrón que se m ueve en un “átom o” en cierto m odo artificial, pero el m ovim iento continúa siendo unidim ensional.
E n la figura 4 7 -l a se m uestra un arreglo, susceptible de adaptar se, p ara localizar un electrón: en este caso, confinarlo a un m o vim iento unidimensional dentro de la región central de longitud L. E n la figura 47-16 vem os U(x), la variación de la energía poten cial del electrón en función de x en el arreglo. A esta energía po tencial la llam am os pozo de energía potencial o, en forma abreviada, p o zo de potencial. En la práctica, los dispositivos electrom ecánicos que atrapan partículas cargadas deben tener algunas características que no aparecen en la figura 4 7 -la . Asi m ism o es posible construirlos en la escala de las dimensiones atóm icas para lograr el mism o resultado. Este tipo de estructu ras de p o zo cuántico se fabrican sin problem as en el laboratorio. ¿Representem os con E ( = K + U) en la figura 47-16, la energía total del electrón. Supongam os que U(x) = 0 dentro del pozo, de m odo que la energía total E del electrón es enteram en te cinética allí. C uando el electrón llega al extremo de la región central, encuentra una zona estrecha donde su energía potencial pasa rápidam ente de cero a U0. Entonces, en ambos extrem os de esta región, sobre el electrón actúa una fuerza que tiende no só-
e l e c t r o n e s l ib r e s
T a) -L
¡L—
OJ <5 c LU
j ' -iV b)
-L f2
0
i
L /2
. a) Arreglo de tubos metálicos huecos que podrían servir para confinar un electrón en una región central de longitud L. b) Energía potencial de un electrón de energía total E en el arreglo ' anterior. Las regiones prohibidas en la física clásica del pozo de potencial, cuya profundidad es t/0, están sombreadas. Se supone que el origen del eje x es el centro del pozo.
F i g u r a 4 7 - 2 . Pozo infinito. Compárelo con el pozo de la figura 47-16, cuya profundidad es finita. Están sombreadas las regiones prohibidas en la física clásica.
F ig u ra 4 7-1
lo a reducir la velocidad de dicho electrón sino que lo hace dar vuelta. E n conform idad con la m ecánica new toniana, tan sólo puede rebotar hacia atrás y adelante en la región central situada en los puntos de vuelta cuando x = — L / 2 y x = + L /2 . Pero no es la m ecánica new toniana sino la cuántica la que describe el com portam iento real del electrón.
Un pozo de potencia! iannitamente profundo A hora vam os a tratar un caso especial donde son infinitas las alturas U0 de las barreras entre las que está confinado el elec trón de la fig u ra 4 1 -Ib , según se m uestra en la figura 47-2. A esta estructura la llam am os p ozo infinitam ente profundo de energía p o ten cial o, en form a abreviada, p o zo infinito. E n la sección 46-7 vim os que, aunque un electrón puede penetrar una barrera colocada en su trayectoria, no logrará h a cerlo si dicha b arrera es in finitam ente alta. E n tal caso, el electrón reb o ta contra ella com o una pelota de tenis cuando choca contra un m uro de ladrillo, com portándose com o si p re valeciera la física de N ew ton. U na situación análoga se presenta co n el pozo infinito de la figura 47-2. El electrón atrapado en dicho pozo no es capaz de penetrar los m uros del pozo y tan sólo puede m overse resonando de un lado a otro entre los m uros. En la term inología cu ántica é { x ), la parte de la función de onda que varía con el tiem po y que describe el electrón ligado en un pozo infinito, debe tener el valor cero en los m uros y en todos los puntos m ás allá de ellos: eso sig n ifi ca que la probabilidad de lo calizar al electrón allí es cero. El hecho de que debe cancelarse en los muros nos re cuerda el com portam iento de una cuerda estirada entre dos so portes rígidos. E n este caso las_ ondas „estacionarias pueden fijarse en la cuerda, som etidas a la condición de frontera de que el desplazam iento de la cuerda sea cero en los dos soportes rí gidos (Fig. 18-20). Facilitarem os la introducción a la m ecánica
'(cu án tica analizando la analogía entre las ondas m ecánicas que 1se propagan a lo largo de una cuerda estirada y las ondas de maIteria asociadas a un electrón atrapado en un pozo infinito. Las ondas m ecánicas de cualquier longitud de onda pueden propagarse a lo largo de una cuerda estirada si es lo bastante larga p ara co n sid erar in finita su longitud. N o obstante, única m ente las ondas que poseen cierto conjunto discreto de longi tudes de o nda p ueden propagarse a lo largo de una cuerda de longitud finita, com o se observa en la fig u ra 18-20. Podem os afirm ar que, una vez que se supone finita su longitud — -es de cir, una vez localizadas las ondas— , se cuantiza la longitud de onda de estas ondas perm itidas. C uando se estudian las ondas de m ateria, se acostum bra p en sar en función de la energía de las partículas asociadas y no de la long itu d de o nda de la m ateria propiam ente dicha. En el capítulo 46 vim os que una p artícula libre — es decir, aque lla sobre la que no actúa fuerza alguna— puede m overse con cualq u ier v alor razonable de energía E. V erem os m ás adelan te que, si la partícu la libre no está localizada en una región fi n ita d el espacio, su energía puede adoptar sólo los valores p ertenecientes a un conjunto discreto. D icho con otras pala bras, u n a vez localizado el electrón en una región finita, su energía se cuantiza. E n conclusión, con ondas m ecánicas en una cuerda estirad a y con ondas de m ateria, La localización origina la cuantización. L a analogía entre las ondas de m ateria y las m ecánicas lleva a concluir que los electrones-confinados a un pozo infinito pued en p o seer solam ente energías que pertenecen a un conju n to discreto. A continuación vam os a determ inarlas. ?\T| y ,c Si querem os describir la onda de m ateria asociada a un elec trón, debem os calcular su función de onda i//(x) (que varía en el espacio). L a form a sencilla de hacerlo es resolver la ecua ción de S ch rö d in g er en las condiciones del problem a por re solver. Sin em bargo, tratándose de la variación de potencial asociada a un pozo infinito, resulta que la ecuación tiene una form a m atem ática idéntica a la que describe la variación es-
pacial de las ondas m ecánicas en una cuerda estirada. En efecto, por eso ha sido tan útil h asta ahora la analogía entre las ondas de m ateria y las ondas m ecánicas. A sí pues, cabe suponer que que describe la onda de m ateria asociada a un electrón e riu n pozo infinito, presenta la n n sm a lo rm a queTy(x), que describe el desplazam iento asociado a liñ a onda m ecánica en una cuerda de longitud L estirada entre soportes rígidos. Es decir, suponem os que sólo pueden existir on das de material cuya longitud de onda de D e B roglie es tal que un núm ero entero de medias ondas encaja en el espacio L, o sea
A„ ,
L
1000 900 800 7 00 > 2-
' e?
6 00 5 00 4 00
n=3
3 00 2 00
(n = 1, 2, 3, . . .),
n =2
100
donde al entero n se le llam a núm ero cuántico. L a solución de An nos da A„
2L
(n = 1 ,2 ,3 ,
■),
(47-1)
que identifica el conjunto discreto de las longitudes de onda de D e B roglie que puede haber en el pozo. L a totalidad de la energía del electrón atrapado es cinéti ca porque (Fig. 47-2) hem os supuesto que U(x) = 0 en el in-, terior_deL pozo. A l usar la ecuación 46-1 (A = h /p ) y la ecuación 47-1, la m agnitud de los valores perm itidos del m o m ento del electrón está dada p o r t h nh I A( = _ _ = _
, „ „ („ = 1, 2, 3, . . .).
(47-2)
Si conocem os los m om entos de los estados cuánticos p erm i tidos según la ecuación 47-2, es posible calcular las energías correspondientes p o r m edio de | E„ = = n 2 - --- i 2m 8mL~
(n = 1, 2, 3, . . .).
(47-3)
La ecuación 47-3 define la_energia de los estados cuánticoipermitidos en un electrón atrapado dentro de un pozo infinito de ancHoTTLa figura 47-3 muestra diversos niveles de energía, como los llamaremos, de un pozo infinito con L = 100 pm , núm ero ele gido por'ser'aproxim adam ente el tamaño de un átomo ordinario. Al nivel m ás bajo de energía se le conoce co m o estado base y a los estados arriba de este estado base, como estados excitados.
P or lo regular, es m ás fácil m an ejar los núm eros de onda que las longitudes de onda. P or la definición d e l núm ero de onda, entonces la ecuación 47-1 queda así („ =
1,2,3,...).
(47-4)
L
A„
Por analogía con las ondas mecánicas permitidas en una cuerda estirada de longitud L, la función de onda puede expresarse co m o senos y cosenos. Para que un número im par de medias ondas se establezca dentro del pozo,Ja_füncióiirpuede escribirse. conjo__ i'é n{x) = ipimDzr eos k„x n-TTX =
‘/ 'i r
eos
L..
1, 3, 5,
F i g u r a 4 7 - 3 . Los niveles de energía de cinco estados cuánticos cuyo número cuántico se muestra. Las energías se calcularon para un pozo infinito de ancho L = 100 pm, utilizando la ecuación 47-3.
donde ¡/'¡mpar, la am plitud de la onda de materia, es una constan te ajustable. Convénzase usted m ism o de que esta función cum ple la condición de que ij/(x) = 0 en los muros (x — ± L /2 ) con los valores im pares de n. E n form a parecida, si se quiere que ..un número, p a r de m edias ondas se establezca en el pozo, la función de onda de be estar dada por ¡ ¡J/Jx) = é
s e n ta sen -
(n = 2 , 4 , 6 , . . . ) ,
(47-6)
donde ¡fj es tam bién una constante de am plitud. En esta fun ció n de onda \p(x) = 0 en los m uros con valores pares de n. La figura 47-4n m uestra ifr(x) para los números cuánticos n — 1, n = 2 y n = 3. Igual, que en el caso de una partícula libre, la cantidad if/tf/* indica la densidad de probabilidad P{x) de la onda de materia. A sí pues, con base en las ecuaciones 47-5 y 47-6 tenem os f' i -> n7rX \P„(X) = I¡Jlj/* = l/lfmparCOS 7— L
,
o
-
(« = 1, J, 0 , - - .) (47-7)
D ensidades de p ro b ab ilid ad p a ra u n pozo in fin ito
K = 1 ! L = ItZ .
n=1
0
■ ),
(47-5)
P„{x) = W *
tri par sen-
(n = 2, 4, 6,
(47-8) N ótese que n = 0 en la ecuación 47-8 no es una opción porque nos llevaría a P 0(x) = 0, expresión que nos dice que el elec trón no se encuentra en ninguna parte dentro del pozo. El po zo se halla vacío. L as tres distribuciones de probabilidad de la figura 47-4b contienen estados muy diferentes del movim iento del electrón. P o r ejem plo, PjCr) m uestra que un electrón en un estado con energía £ j tenderá a ser localizado cerca de x = 0 (en el centro del pozo). P or el contrario, nunca hallarem os en el centro del pozo un electrón en el estado n — 2; el lector debería buscarlo cerca de t = ± L /4 , donde estará con la m áxim a probabilidad.
u s a 4 7 - 4 . a) La parte de la fundón de onda = ifin{x) dependiente del espacio para tres estados cuánticos con los números cuánticos indicados, b) Densidad de ' probabilidad Pn(x), calculada a partir de las ecuaciones 47-7 y 47-8, de los mismos tres estados cuánticos.
Fíg
n=
L a figura 4 7 -4b indica que, en los estados con núm eros ■maiizacion... cuánticos cada vez m ayores, la probabilidad de encontrar en ) Es im posible asig n ar valores num éricos a la densidad de pro todas las partes del p ozo al electrón atrapado será la m ism a. bab ilid ad P n(x) m ientras no hay am o s evaluado las constantes En la figura 47-5 vem os la densidad de probabilidad para n = de am plitud lP 2-nnpíll en la ecuación 47-7 y f/'2Iiar en la ecua15. Los picos adyacentes están separados p or ¿be = L /1 5 N ó 01011(47-8. L o h arem o s dándonos cuenta de que, cualquiera tese que la prob ab ilid ad de h allar el electrón en unos cuantos que sea su estado cuántico, el electrón d ebe hallarse en algún m últiplos de este intervalo básico es la m ism a para todas las lu g a r dentro d e ! p ozo infinito de la fig u ra 47-2. En otras pa partes del pozo, com o lo sería en gran m ed id a si p red o m in a labras, en la sección 4’6-5 vim os que P (x ) d x { = ip2 (x ) dx] nos ra la física new toniana. (En ella la probabilidad de localizar da la prob ab ilid ad de en co n trar el electrón entre x y x + dx\ lo en un intervalo cualquiera no depende de la ubicación del la sum a de las probabilidades en todos esos intervalos del po intervalo.) P iense en el aspecto que o frecería un a g ráfica si zo debe ser 100% o la unidad. E n fo rm a de ecuación, m ilar a la de la figura 47-5 con un núm ero cuántico realm ente u2 grande, digam os n = 5 000. É ste es un ejem plo del p rin cip io P„(x) dx = 1. (47-9) ele correspondencia según el cual: Con núm eros cuánticos cada vez m ayores, las p red ic c io nes de la m ecánica cuántica se com binan suavem ente con las de la m ecánica new toniana.
E n el p ro b lem a resuelto 47-3 u tilizarem os esta ecuación de norm alización, nom bre que se le asigna, p ara dem ostrar ..que 2 /L , in d ependientem ente”cleí valor del nú^ impar ^ par m ero cuántico n.
E n e rg ía del p u n to cero
15 1I \! i! II V l -L/2
0
L/2
Densidad de probabilidad de un electrón atrapado en un pozo infinito de ancho L para un estado cuántico con n = 15. La línea punteada representa la distribución de probabilidad clásica uniforme. F i g u r a 4 7 -5 .
E n un electrón ligado en un pozo infinito, la energía del estado cuántico de m enor energía (estado base) corresponde a n = 1 en la ecuación 47-3; esta ecuación m uestra que la energía en ese es tado no es cero sino h 2/8 m L 2. A esta energía m ínim a se le da el nom bre de energía del pun to cero de una partícula de m asa m li gada en un pozo infinito de ancho L. Es un fenóm eno que exis te en todos los sistem as cuánticos. La partícula conservará su energía y su m om ento inclusive en el cero absoluto de tem pera tura, donde presenta su estado energético m ás bajo posible. El principio de incertidum bre de H eisenberg nos ayuda a entender la existencia de una energía del punto cero. Si una par
tícula en verdad tuviera energía cero (E = 0), tam bién tendría un mom ento (px = 0). Si p x se sabe que es cero, tam bién deberá serlo Ap x, la incertidum bre en p x. Pero si Ap x = 0, el principio ¿e incertidum bre Ap x ■ Ax ^ h /2 r r (Ec. 46-8) exige que _+ co. Puesto que Ax no puede ser m ayor que L — el ancho del pozo— , concluim os que la suposición inicial es errónea: p x no puede ser cero y debe existir u n a energía del punto cero.
uenen n ju u u u u u u u u u i y n ¿.77 77-7 7 7 7 7 7 7 . La naturaleza cuantizada del movimiento nunca se manifestaría en este ejemplo. Si comparamos este ejemplo con el anterior, veremos lo si guiente: a pesar de que su masa y su energía cinética son pequeñas en extremo a juzgar por criterios “ordinarios”, la partícula de polvo sigue siendo un objeto macroscópico voluminoso al compararlo con un electrón.
R e s u e l t o 4 7 - 3 . Evalúe la constante de normaliza ción 0 2impar en la ecuación 47-7, que permite obtener (para números cuánticos impares) la densidad de probabilidad de una partícula de masa m atrapada en un pozo infinito de ancho L.
P r o b le m a
. Un electrón está confinado en un pozo infinito cuyo ancho ¿ (= 100 pm) tiene aproximadamente el ta maño de un átomo, a) ¿Cuál es la energía de los cuatro estados cuán ticos menos energéticos? b) ¿Qué energía debe impartirse al electrón para llevarlo de un estado con n = 12 a un estado de mayor energía, con n = 2 5 ? Solución a) De acuerdo con la ecuación 47-3, si n = 1 y, expresan do las constantes hasta cuatro cifras significativas (Ap. B), obtene mos P r o b le m a
R e s u e lto
„
4 7 - 1
h1 8mÜ~
(1 ) 2 -
(6.626 X IO“34 J • s)2 (8)(9.109 X 10~31 kg)(100 X 10~12 m)2
= 6.025 X 1 0 -‘s J = 37.6 eV. Si queremos calcular las energías de los estados más altos, escribire mos 47-3 como En = n1E l y, en consecuencia, las energías de los es tados cuánticos con n = 2, n = 3 y n = 4 son 150 eV,
Ei
(2)2(37.6 eV)
A?
(3)~(37.6 eV)
338 eV,
(4)2(37.6 eV)
602 eV.
£4
b) Según la ecuación 47-3, la diferencia de energía es
Solución Se sustituye la ecuación 47-7 en la ecuación de normali zación (Ec. 47-9) y se obtiene Clu n7TX SimparCOS~ — ~ - ÓX = 1. (47-10) J-L/2 La integral puede resolverse muy fácilmente con sólo introducir otra variable 6, definida a partir de L
'
donde vemos que dx
L
-dd.
Los límites de la integral (x = ± L /2 ) se convierten en los de la nue va variable d, o 6 = ± m r/2 . Con tales cambios, la ecuación 47-10 queda.así tlTT12 -sen 29 1 ^— eos- 6 a 9 = e 1177 J^n7T;2 (La integral de eos2 ddd puede consultarse en el Ap. I.) La sustitución de los límites y la solución para 0 2¡mpar nos lleva finalmente a 2
AE = E25 - E í2 = [(25)2 - (12)2] (37.6 eV) 0 impar —
■
(47-11)
= 18 100 eV = 18.1 keV. R e s u e l t o 4 7 - 2 . Una partícula de polvo de 1 ng ( = 10-9 g = 10-í2 kg) oscila entre dos muros rígidos separados por L = 0.1 mm. Se mueve con tanta lentitud que tarde 100 s en cruzar es ta separación pequeña. ¿Qué número cuántico describe el movimiento? P roblem a
Solución La energía de la partícula es enteramente cinética y está dada por 1
1
(1 X IO-12 kg)(l X 1CT6 m/s)2
= 5 X 10~25 J. La solución de la ecuación 47-3 para el número cuántico n nos da h ^ 1 X 10~4 m V(8)(10-12 kg)(5 X IO-25 J) 6.63 X 10~34 J-s 3 X 10". Es un número muy grande. Desde el punto de vista experimental es imposible medir la diferencia entre la energía de un estado cuántico cuando n = 300 000 000 000 y el de sus dos estados adyacentes que
Nótese que la constante de normalización (con n impar) no depende del número cuántico n, ni de la masa, ni tampoco de la energía E de las partículas atrapadas. Si repetimos el procedimiento anterior en el caso de números cuánticos pares, al utilizar la ecuación 47-8, en vez de la 47-7, comprobaremos que 0 2par también es igual a 2/L. Por tanto, 01 2¡impar = 0' 2pal „ = 2/L. ' Nótese asimismo que todas esas cantidades presentan la dimensión de (longitud)-1 . Así pues, de las ecua ciones 47-7 y 47-8 se deduce que, por ser dx una longitud, la magnitud Pn{x) dx es adimensional, como debe ser para que el pro ducto represente una probabilidad. P r o b l e m a R e s u e l t o 4 7 - 4 . Un electrón está atrapado en un pozo infinitamente profundo de ancho L. Si el electrón se encuentra en el estado base, ¿cuál es la probabilidad relativa de encontrarlo en el tercio central del pozo? Solución La densidad de probabilidad para el estado base, que co rresponde a n = 1, está dada en la ecuación 47-7 como 2 , 77X P i(x) = — COS-— ■
La integral de P fx ) en el pozo entero es la unidad; esto significa la certidumbre de que el electrón se halle en alguna parte de su inte rior. El tercio central del pozo se extiende de x = — L /6 a x = -r L/6. Por tanto, la fracción que buscamos es
• dx. Al evaluar esta integral como lo hicimos en el problema resuelto 47-3, llegamos finalmente a/ = 0.61, cualquiera que sea el valor de L. Por tanto, la probabilidad de encontrar el electrón en el tercio central del pozo infinito es 61%. La probabilidad de que lo detectemos en uno de los dos tercios exteriores es 19.5% (0.195 + 0.61 + 0.195 = 1). Si el electrón obedeciera la física newtoniana (y no es así), habría las mismas probabilidades de hallarlo en las tres regiones del pozo.
~
200
100
UN E L E C T R Ó N ATRAPADO EN UN P O Z O F IN IT O
o b)
A hora vam os a analizar el m ovim iento de un electrón atrapado en un pozo de profundidad no infinita, sino finita. Este pozo lo vem os en la figura 4 7 -6 a (consúltese tam bién la Fig. 47-1/?). A prendem os algo com parando un p o zo fin ito con u n a ba rrera fin ita . E n la sección 46-7 explicam os lo siguiente: un electrón de energía total E que se acerca a una barrera de p o tencial de ancho fin ito L y de altura tam bién finita U0 (donde U0 > E) tiene una p ro b ab ilid ad definida de aparecer en el otro lado de ella aunque, co n fo rm e a la m ecánica new toniana, no puede hacerlo. E llo sig n ifica que un electrón atrapado en el pozo finito de la fig u ra 4 7 -6 a es capaz de pen etrar m ás allá de los lím ites del pozo aunque, otra vez conform e a la m ecánica new toniana, no pu ed a hallarse allí (porque su energía cinéti ca K = E — U sería negativa). La analogía con las ondas m ecánicas en una cuerda estira da — tan útil al analizar un pozo infinito— no nos sirve en el ca so de un pozo finito. E n este caso debem os encontrar if/(x) resolviendo la ecuación de Schrödinger que (Ec. 46-17) es h2 d 2ü/(x) 3-------- T~5— + E{x) = E (47-12) oTr-m dx~ A quí, m es la m asa del electrón; E su energía total, y U(x) su energía potencial. T ratándose del pozo finito obtenem os if(x ) resolviendo la ecuación 47-12 p o r separado para las tres re giones que aparecen en la fig u ra 47-6a. P o r tanto, R eg ió n 1. E sta región, donde x s —L ¡ 2, se halla afuera del pozo, a su izquierda. A q u í U(x) = UQ = una constante p o sitiva y U(x) > E. R eg ió n 2. E sta región, donde —L /2 < x ^ + L /2 está dentro del pozo donde suponem os que U(x) = 0. R eg ió n 3. E sta región, donde x S: + L /2 , se encuentra fu e ra del pozo, a su derecha. A quí U{x) = UQ = una constan te positiva y U(x) > E. L a solución de la ecuación de Schrödinger, p o r separado p a ra cada región, p ro d u ce tres expresiones independientes para iff{x). D ebem os, pues, “coserlas ju n ta s” basándonos en los tres siguientes requisitos del “sentido com ún cuántico” : 1. if/(x) debe ser finita en todas partes. D e no ser así, la densidad de prob ab ilid ad P (x) sería in finita en uno o varios puntos. 2. ip{x) debe ser contin u a en x = ± L / 2 . D e no ser así, la densidad de probabilidad qued aría indeterm inada en esos puntos.
F i g u r a 4 7 - s . a) Pozo de potencial finito con ancho L y con profundidad UQ. b) Tres niveles de energía que pueden existir en él cuando L = 100 pm y U0 = 250 eV. El área sombreada sobre E = 205 eV representa el continuo suave de las energías que pueden poseer los electrones no atrapados en el pozo.
3. L a prim era derivada, d
(47-13)
donde k ', un v alor positivo, está dado por k' =
° - V 2 m (U 0
E)
(47-14)
y A es un a constante arbitraria. L a función é fix ) = e ~ k'x es adem ás una solución form al en la región 1, pero la rechaza m os porque f (x) se vuelve infinitam ente grande a m edida que x se aproxim a a valores negativos grandes; esto constituye un a violació n del requisito 1. R e g ló n 2. E n ella encontram os ifj2{x) = físen /cc + C eos /ex,
(47-15)
donde B y C son constantes arbitrarias y donde k, una canti dad positiva, está dada por k =
2 v Í2 m E
(47-16)
h R e g ió n 3. En ella encontram os f f x ) = De~~k
(47-17)
donde D es una constante arbitraria y k' está dada por la ecua ción 47-14. L a función f f i x ) = e +k'x tam bién es una solución form al, pero la rechazam os porque se vuelve infinitam ente grande conform e x va acercándose a valores positivos grandes. Q uedan ahora p o r ajustar las constantes arbitrarias A, B C y D que aparecen en las ecuaciones 47-13, 47-15 y 47-17,
pues exigim os que no haya “salto s” ni “dobleces” en las p a redes del pozo. R ebasa el ám bito de nuestro libro, pero este program a puede llevarse a cabo sólo con algunos valores de la energía total E. Es p recisam ente aquí donde aprendem os que la energía del electrón está cuantizada, pues dicho elec trón está localizado (está confinado al pozo). L a figura 47-66 m uestra los tres niveles de energía que concuerdan con el pozo de la fig u ra 47-6(2, a los que arbitra riam ente les hem os asignado las propiedades L = 100 pm y UQ — 250 eV. A rriba del pozo, es decir, cuando E > UQ, el som breado indica que la energía ya no está cuantizada. A es ta región la llam am os el continuo. E n ella la energía del elec trón puede tener cualquier valor.
D ensidades de p ro b a b ilid a d de e n electrón en n n pozo finito L a figura 47-7 m uestra las densidades de probabilidad de tres estados cuánticos de un electrón atrapado en un p ozo finito de ancho L = 100 ppm y de p rofundidad UQ = 250 eV. L as fu n ciones de onda han sido n orm alizadas (Ec. 47-9); esto signi fica que la superficie total bajo la curva, incluidas todas las regiones en cuestión, es la unidad. E l electrón debe estar en algún lugar: adentro o afuera del pozo. E n seguida nos concentrarem os en tres propiedades de los estados cuánticos de un electrón atrapado en un pozo finito. P rim era propiedad. Sucede que los tres estados de la figura 47-66 son los únicos que pueden existir en este pozo en par ticular. Es posible dem ostrar que un cuarto estado cuántico, correspondiente a n = 4, puede ex istir en el p ozo si, co n ser vando su ancho en L = 100 ppm , aum entam os la profundidad de su valor presente de UQ = 250 eV a un valor un p oco por arriba de 340 eV. C abe suponer que un p ozo profundo contén-
A O
y
AA
ga m ás estados cuánticos, pues, cuanto más profundo sea más se asem ejará a un pozo infinito; éste puede acom odar todos los estados sin im portar su núm ero cuántico. T am bién es posible introducir el estado cuántico n = 4 en el pozo si, m anteniendo en U0 = 250 eV, su profundidad, aum entam os su ancho del valor presente de L = 100 pm a un v alo r un poco p o r arriba de 115 pm . Cabe suponer que, al ha cer m ás ancho el pozo estará en condiciones de alojar m ás es tados cuánticos pues, cuanto más ancho sea, las partículas atrapadas se parecerán a un partícula libre (capaz de poseer cu alq u ier energía). Segunda propiedad: como se m uestra en la figura 47-7, la pro babilidad de hallar un electrón fuera del pozo crece al aum entar el núm ero cuántico. En la tabla 47-1 se ve que con n = 1 (el es tado b ase) la probabilidad es 2% . C on n = 2 y n — 3, es del 10 y 30% , respectivam ente. E sta variación la entendem os si com prendem os lo si guiente: cuánto m ás próxim a esté de U0, la energía E del elec trón, m ás se acerca a ser una partícula libre; ésta no tiene una localización y, p o r lo m ism o, tam poco está cuantizada. E fec tivam ente, en térm inos generales, quizá pueda im aginarse que un electró n cerca de la parte superior del pozo casi es una par tícu la libre, de m odo que “se esparce” . Sin em bargo, el elec trón en el estado con n — 1 se aproxim a al fondo del piso y “p iensa” estar atrapado en un pozo de profundidad casi infi nita; p o r eso percibe m uros rígidos. Tercera propiedad. En la tabla 47-1 vem os que las energías de un electrón atrapado en un pozo infinito son m ucho m enores que las del atrapado en un pozo infinito del m ism o ancho. Por ejem plo, en el estado base, tenem os E l = 37.6 eV en el caso del p ozo infinito, y £ j = 24 eV en el caso del pozo finito. E sto lo entendem os al exam inar las curvas de densidad de p robabilidad relativas a los dos estados base, o sea n = 1. En el pozo infinito (Fig. 47-4¡z, n = 1), la m edia onda de De B roglie concuerda exactam ente entre las paredes rígidas del pozo. C on respecto al pozo finito, sin em bargo (Fig. 47-7, n = 1), la m edia onda es m ás grande que el ancho del pozo; existe “ algún sobrante” . Si la longitud de onda de la onda de m ateria en estado base es m ayor que el pozo finito, de la re lación de D e B roglie (Ec. 46-1, A = h /p ) se deduce que debe
n =2 E 2 = 94 eV
417“ 1
V
Niveles de energía en un pozo finito y en un pozo infinito P o z o in fin ito 2
P o z o in fin ito '' n = 1 E i = 2 4 eV P t (x)
-100
0
-5 0
x
50
100
(pm )
F ig ur a 7 . Densidades de probabilidad Pn(x), energías y números cuánticos de un electrón atrapado en un pozo finito como el de la figura 47-6«. Su profundidad U0 es 250 eV y su ancho L mide 100 pm. En este pozo no pueden existir otros estados cuánticos de electrones ligados.
P r o b a b ilid a d de
N úm ero c u á n tic o
E n e rg ía
E n e rg ía
e s ta r fu e r a
n
(eV)
(eV)
d el pozo
5 4 3 ? 1
940 602 338 150 37.6
____
—
—
200 94 24
— 30% 10% 2%
•
tener un m om ento m enor, en consecuencia, energía m enor, exactam ente com o señalam os.
Un corral cuántico Cuando funciona un m icro sco p io de efecto túnel de barrido (Sec. 46-7), su p u n ta e jerce u n a fu erza p eq u eñ a sobre los átom os aislados que p u ed en en contrarse en una superficie suave. A l m an ip u lar cu id ad o sam en te la posición de la punta, podem os “arrastrarlo s” a través de la superficie y depositarlos en otro sitio. P o r m edio de esta técn ica los científicos del A l m adén R esearch C en ter de la IB M m ovieron átom os in d iv i duales d e h ierro p o r u n a su p erficie de cobre m inuciosam ente preparada, creando átom os en un círculo al que dieron el nom bre de c orral cu á n tico (Fig. 47-8). C ada átom o está an i dado en un hueco de la superficie de cobre, equidistante de los tres átom os m ás cercan o s del m ism o m aterial. El corral se dispuso a u n a tem p eratu ra b aja (unos 4 K) para atenuar, en lo posible, la ten d en cia de los átom os de hierro a desplazarse aleatoriam ente alred ed o r de la superficie a causa de sus en er gías térm icas. L as ondulacio n es dentro del corral provienen de las o n das de m ateria asociadas a los electrones capaces de m overse arriba de la superficie de cobre, p ero atrapados en su m ayor parte en el p ozo de p o ten cial form ado p o r el corral. Las fu n ciones de o n d a b id im en sio n al y las densidades de p robabili dad pueden calcu larse co n m étodos sem ejantes a los usados en esta sección en el p o zo fin ito unidim ensional. El patrón de las ondulaciones co in cid e m uy bien con las predicciones de la m ecánica cu án tica referen tes a las densidades de probabilidad del electrón.
ción de en erg ía p o ten cial de este electrón, com o lo hicim os en la fig u ra 4 7 -6 « p a ra un pozo finito. E n ese caso su m ovim ien to era u nidim ensional. P o r el contrario, el electrón en el áto m o de hid ró g en o pu ed e m overse en tres dim ensiones. Por fo rtu n a su en erg ía p otencial contiene una so la variable, a sa ber: la d istan cia rad ial r entre el núcleo y el electrón. L a fu n ció n de energía potencial se obtiene a partir de la ley de C ou lo m b y es U(r) = -
Y
1
(47-18)
47760
d onde + e es la carga del p rotón central, y — e la del electrón. L a fig u ra 47-9 m u estra una gráfica de U(r), que tam bién es un p ozo de p o tencial. E n ella hem os expresado la separación co m o un a razó n adim ensional r / a Q. L a constante aQ, llam ada ra dio de B o h r, es u n a u n idad de longitud útil p ara distancias en la escala atóm ica. C om o verem os luego en esta sección, su v alo r n um érico es 52.9 pm , que es aproxim adam ente el radio de un átom o ordinario. E n la siguiente sección com enzarem os a estudiar las so luciones a la ecu ació n de Schrödinger concernientes al átomo de h idrógeno. P ero antes vam os a ofrecer una breve reseña h istó rica al respecto.
h istó ric a E n el p rim er cuarto del siglo x x uno de los grandes problem as p o r reso lv er de la física era: “¿C uál es la estructura del áto m o ?” Se contaba con copiosa inform ación obtenida experi m entalm en te qu e reclam aba interpretación. E n particular, se sabía que el átom o em itía (y absorbía) luz sólo en ciertas lon gitudes de o nda perfectam en te definidas. L a figura 47-10n,
.-n e=n
'41 UN E L E C T R O N ATRAPADO EN UN Á T O M O 4
?
¿
/c
D is ta n c ia r a d ia l, r / a 0
Ya estam os listos p ara estu d iar un electrón atrapado en un átom o. P ara sim p lificar la exposición escogerem os el átom o m ás sim ple — el de h id ró g en o — ■que contiene un electrón so lam ente. P ara defin ir el p ro b le m a es preciso identificar la fun-
F i g ü r a 4 7 - 3 . Conral cuántico. Visite una galería de corrales y otros despliegues de STM en vvww.almaden.ibm.com/vis/index.html.
4
6
:
10
F i g u r a 4 7 - S . Función de energía potencial de un electrón de un átomo de hidrógeno (Ec. 47-18). La energía potencial U{r) se gráfica en función de la razón adimensional r/a Q, donde aQes una longitud estándar muy útil, denominada radio de Bohr.
por ejem plo, m uestra una parte — denom inada serie de B al m er— del espectro de líneas de los átom os de hidrógeno, que podría observarse con una rejilla de difracción p ara presen tar las longitudes de onda de la luz em itid a p o r el gas hidrógeno. En la figura 47-106 se indica esq uem áticam ente que la serie no es m ás que una parte de un espectro m ás extenso, com ouesto por series discretas de líneas espectrales; a cad a una se le asignó el nom bre de uno de los prim eros investigadores. N ótese que cada una ocupa un a sección finita del espectro electrom agnético. E n la serie de B alm er de la fig u ra 4 7-10a, la línea cdn la m áxim a longitud de onda está m arcad a H a y tiene el valor A = 656.28 nm . E l v alo r A = 364.70 nm co rres ponde al lím ite de las series de lon g itu d de onda corta, m a r cada con una flech a en la figura. L os físicos que trabajan con frecuencias (y no con lo n g i tudes de onda) de las líneas espectrales intentaron relacio n ar las frecuencias a aquella con que el electrón gira en una órbi ta alrededor de su núcleo. P or desgracia, este m odelo del áto mo inspirado en el “sistem a so lar” no consigue explicar las propiedades espectrales del h id rógeno sin hacer otras suposi ciones. V eam os p o r qué. U na carga que acelera irrad ia energía h acia el espacio cir cundante. U n conocido ejem plo es la energía que em ite una antena transm isora de radio, asociada a las cargas que flu c túan con m ovim iento acelerado dentro del cuerpo de dicha antena. C om o todos los cuerpos que se m ueven en arcos circulares, un electrón que se acelera supuestam ente describe una órbita circular alrededor del núcleo atóm ico. A causa de la aceleración, el electrón radiará su energía conform e se m ueve. Y a m edida que lo hace se d irigirá en espiral al n ú cleo. U n átom o basado en los electrones clásicos que g iran no em itirá líneas espectrales bien definidas y su órbita no será estable. L im ite
Y
M odelo del átomo de hidrógeno de Botir E n 1913, m ás de una década antes que apareciera la m ecáni ca cuántica, el físico danés N iels B ohr (1885-1962) propuso un m odelo del átom o de hidrógeno basado en un una ingenio sa com b in ació n h íbrida de la física clásica y de la reciente fí sica cuántica. A unque su m odelo fue reem plazado m ás tarde p o r un m odelo cuántico plenam ente desarrollado, vino a dar un d ecidido im pulso a los avances posteriores. B o h r sabía que, según la física clásica, las órbitas del electró n no son estables; pero se planteó una pregunta atrevi da: ¿y si la física clásica está equivocada y las órbitas son en realid ad estables? E n el lenguaje m oderno hizo este postula do revolucionario: L o s electrones de un átom o p u ed en existir en estados es tables de energía fija sin que irradien. A sí, con un golpe m aestro, B o h r propuso el concepto de un estado cuántico, concepto que hem os em pleado am pliam ente al ex am in ar los electrones atrapados en pozos. D espués B o h r estableció un segundo postulado, igual m ente revolucionario: Un átom o em ite (o absorbe) radiación a una frecuencia fija , cuando un electrón suyo p a sa de un estado cuántico estable a otro. L a f r e c u e n c ia /d e la radiación em itida (o absorbida) está da da p o r la condición de frecu en cia de Bohr, que es E n, - E n< = hf
(47-19)
donde h es la constante de Planck; E n. la energía m ayor y En la en erg ía m en o r de los dos estados cuánticos (n¿ y nf) que in terv ien en en la transición. Ha | Y
i g u r a 4 7 - 1 0 . a) Serie de líneas espectrales, denominada serie de Balmer, emitida por el átomo de hidrógeno en las regiones visibles y ultravioleta cercana del espectro electromagnético, b) Espectro más completo del átomo de hidrógeno que incluye la serie de Lyman y la de Paschen. Otras dos series, la de Brackett y de Pfund, se encuentran en las longitudes lejanas infrarrojas de la longitud de onda más allá de la escala de la figura.
F
C on estas suposiciones, B o h r redujo el problem a del áto m o de hidrógeno a calcu lar la energía de sus estados cu án ti cos. U na vez obtenida, las frecuencias — y, por tanto, tam bién las longitudes de onda— de las líneas espectrales pueden calc u larse p o r m edio de la ecuación 47-19. C on el fin de efectu ar predicciones cuantitativas, B o h r form uló otro con cep to igualm ente útil: el principio de co rres pondencia, que y a explicam os en la sección 47-2. E n esencia se establece que la concepción cuántica debe fusionarse su a vem ente con la concepción clásica conform e van creciendo los núm eros cuánticos. C on la utilización ingeniosa del p rin cipio, B o h r logró d iseñ ar un m odelo donde los estados cu án ticos se rep resen tab an con un conjunto discreto de órbitas circulares cuyos rad io s estaban dados p o r e0/ r
a nn-
m ne~
n = 1, 2, 3,
• ,
(47-20)
donde n es el nú m ero cuántico; m la m asa del electrón, y eQla constante eléctrica. E n otras palabras, se perm ite que un elec trón esté en un a ó rbita de radio aQ, 4 a Q, 9aQ, pero nunca de radio 2 aQ o 6.1 a0. L a ecuación 4 7-20 introduce aQ, el radio de B ohr que h e m os m encionados al referim o s a la figura 47-9. Vemos que es el radio de la órbita perm itid a m ás pequeña. Su valor n u m éri co puede calcularse a p artir de la ecuación 47-20. C uando se usan cuatro cifras significativas de la constante en cuestión (Ap. B ), es el siguiente:
U'J
irm e 1
= 5.29
X
(8.854
X 10~12 F/m )(6.626 X 10~34J - s ) 2
(tt)(9 .1 0 9 X l ( T 3i kg)( 1.602 X 1CT19 C )2
te una partícula de m om ento fijo que en cualquier instante ocu pa una posición conocida; estas dos m agnitudes (posición y mc_ m entó) no pueden conocerse sim ultáneam ente con precisión ilim itada. Por desgracia, la im agen popular del átomo continúa propagando este m odelo orbital incorrecto. C o n todo, m uchas de las p redicciones de B ohr sí se sos tuvieron. Su ecuación de la energía de los estados del átomo de h idrógeno (Ec. 47-21) es la m ism a que se predice con una solución de la ecuación de Schródinger. M ás aún, el concep to m ism o de la existencia de los estados cuánticos de enerría fija y la v alidez de la condición de frecuencia sobreviven co m o parte del sólido fundam ento de la física cuántica moder na. L a teoría de B ohr ofreció un puente de gran utilidad que co n ecta las ideas clásicas con las cuánticas y que vino a es tim ular el plen o desarrollo de la m ecánica cuántica tal como la conocem os hoy día. L a figura 47-11 m uestra los niveles de energía del átomo de hidrógeno, calculados m ediante la ecuación 4 7 -2 1 . Las lí neas verticales, trazadas a partir de la ecuación 47 -1 9 , indican la energía de los fotones em itidos correspondientes a las lín eas: espectrales que aparecen en la figura 47-10. O bsérvese que cada serie de líneas corresponde a distintas opciones (en la Ec. 47-19) del estado inicial n¡ con el m ism o estado final nf. Por ejemplo, las líneas espectrales donde term ina el electrón en el estado cuántico co n n f = 2 form an la serie de B alm er. L a flecha ver tical en ella, m arcada H a en las figuras 4 7 - 10a y 47-11, corres ponde a la línea espectral de esa serie con la m ínim a frecuencia o, en form a equivalente, con la m ás grande longitud de onda. L os lím ites de la serie en la de B alm er corresponden a la tran sición de un estado con «; = co a nf = 2.
1 0 " 11 m = 52.9 pm. L ím ite d e ■ L ím ite d e —, L ím ite d e - , n la s e r i e \l a s e rie \la s e rie
B ohr calculó adem ás que las energías de los estados cu án ti cos orbitales están dadas p o r m e4
1
n = 1, 2, 3, . . .
(47-21) Hn
Son energías negativas porque la configuración de energía potencial cero ha sido definida com o aquella en que el elec trón se h alla m uy lejos del núcleo y en reposo. E fectiv am en te, la ecuación 47-21 verifica que En —* 0 a m edida que n —» B ohr y otros físicos aprovecharon m uy bien este m odelo del átom o, usán d o lo p ara prop o rcio n ar otras inform aciones sobre el átom o de hid ró g en o — p o r ejem plo, los m om entos angula res de los estados orbitales perm itidos— y lo extendieron a los átom os que vien en después del hidrógeno en la tab la p e riódica de los elem entos. Cuando B ohr creó su modelo del átom o de hidrógeno, to davía no existía la ecuación de Schródinger y transcurrirían años antes que se form ulara el principio de incertidumbre. D isponía tan sólo del co ncepto de cuantización de Planck y del co ncep to de fotón de Einstein. En tales circunstancias acaso no debe sorprendem os que algunas de sus conclusiones no se sostuvie ran. En particular, ya no pensam os que los electrones del átom o describen órbitas bien definidas. La m era idea de “órbita” viola el principio de incertidum bre de Heisenberg, pues trae a la m en-
S e rie de P aschen
Sene d e B a lm e r
'ai lD
-10
-1 2
-12
S e rie d e L ym an
-l
F i g u r a 4 7 -1 1. Las líneas horizontales muestran los niveles de energía del átomo de hidrógeno. Las flechas verticales, agrupadas en series, indican las transiciones que ocurren en los niveles. Las que apuntan hacia abajo corresponden a la emisión de energía por el átomo.
En el estado base (n = 1) del ion helio (Z = 2), tenemos
P r o b l e m a R e s u e l t o 4 7 - 5 . Calcule la longitud de onda de la línea espectral marcada Ha en la figura 47-10«.
Esta línea está en la serie de Balmer y, de acuerdo con la ecuación 47-11, vemos que aparece cuando el electrón del átomo de hidrógeno pasa del estado cuántico con n- = 3 al estado con n¡ = 2. Al combinar las ecuaciones 47-19 y 47-21 calculamos la frecuencia de la línea de Balmer, y una vez determinada, es fácil encontrar su longitud de onda. Queremos calcular la longitud de onda hasta cuatro cifras sig nificativas; por eso, debemos emplear los valores de las constantes fundamentales, como m y h, que ofrezcan ese grado de precisión (Ap. B). Con base en la figura 47-19 tenemos
, - (5 2 .9 p r n ) ( l 2) > 2 -----------------------
S o lu c ió n
b) Conforme al modelo de Bohr, los niveles de energía en el hidróge no están dados en la ecuación 47-21. Si efectuamos la misma sustitu ción de e2 por Ze2, habrá que reemplazar el factor e4 = (e2)2 en la ecuación 47-21 por (Ze2)2 = Z 2e4. Una vez hecha la sustitución en la ecuación 47-21, obtenemos una expresión general de los niveles de energía en cualquier ion de un solo electrón, con la carga nuclear Ze: m Z2e4 1 8eñh2 n2
o bien
Y entonces la ecuación 47-21 nos da A 2-,
(9 .1 0 9 4 X ! 0 ' 31 kg)( 1.6022 X K )- |tJ C )4
(8)(8.8542
1,2, 3,
(47-23)
El cálculo de la frecuencia en la transición de n = 3 a n = 2 en el helio se efectúa usando exactamente el mismo método que con el hi drógeno en el problema resuelto 47-5. La única diferencia será el factor adicional de Z 2 = 4 que aparecerá en lasexpresionesdel ion de helio. Es decir,/He = 4/H = 4 (4.5695 X 1014Hz) = 1.8278 X 1013 Hz. La correspondiente longitud de onda es
¥ = A
Seg/D \ 32
— 26.5 pm.
X I0"i2 F/m)-(6.6261 X l(T-’4 J -s)
T (-0 .1 3 8 8 9 )
c_ = 2.9979 / ~ 1.8278
X X
1Q8 m/s 1013 Hz
1.640
X
10 7 m = 164.0 nm.
En comparación con la misma transición en el hidrógeno, la frecuen cia es mayor por el factor Z 2, y la longitud de onda menor por el fac tor 1 /Z 2.
= 4.5695 X 10 l4 H z.
La longitud de onda correspondiente de esta línea está dada por > _ /l ”
/
_ 2.9979 X i O8 rn/s “ 4.5695 X 1 0 i4 Hz
= 6.561 X 10_7m = 656.1 nm. El valor anterior, calculado a partir de la teoría de Bohr, coincide con el experimental. P r o b l e m a R e s u e l t o 4 7 - 5 . Un átomo neutro de helio tiene dos electrones. Supóngase que se extrae uno de ellos dejando el ion helio He+. Con su único electrón, éste se asemeja al átomo de hidrógeno, sal vo que su carga nuclear es + 2e en vez de 4- e. a) Determine el radio de la órbita del electrón en el estado base del ion helio basándose en el modelo de Bohr. b) Calcule la longitud de onda del fotón emitido cuan do el electrón realiza la transición de la órbita n = 3 a la órbita n = 2.
Solución a) La ecuación 47-20 aplicada a los radios orbitales es vá lida sólo en el caso de una carga nuclear de + e. Obtengamos prime ro una expresión más general cuando la carga es + Ze. La ecuación 47-20 incluye el factor e2. Éste se origina en la expresión relativa a la fuerza de Coulomb entre el electrón y el núcleo en el hidrógeno: F = e2/47re0r2. En el caso de un átomo con un solo electrón y una carga nuclear de Ze, la fuerza será F = Ze2/Arrear2, porque el pro ducto de las dos cargas es ahora (e)(Ze). Dicho de otra manera, la fuerza debe modificarse reemplazando el factor e2 por el factor Ze2. Una vez efectuado el mismo cambio en la ecuación 47-20, obtene mos una expresión general de los radios de la órbita de Bohr en cualquier ion de un solo electrón con la carga nuclear de Ze: e„/r t m(Ze2)
1,
(47-22)
La comparación con la ecuación 47-20 indica que las órbitas son más pequeñas en un factor 1¡Z que las correspondientes del hidrógeno.
*4 “7 “ 5 E L ESTADO BASE D E L Á T O M O D E H ID R Ó G E N O Vamos ahora a explicar la solución de ia ecuación de Schrüdinger correspondiente a la energía potencial, dada en la ecuación 47-18, que representa la interacción de C oulom b en tre el electrón y el núcleo. N o presentarem os los detalles m a tem áticos de la solución de esta ecuación tridim ensional, pues rebasan el ám bito de libro. M ás bien nos lim itarem os a ofre cer las soluciones de las funciones de onda y a exponer su sig nificado. C om o la energía potencial del átom o de hidrógeno de pende exclusivam ente de r (la distancia entre el electrón y el protón central), el problem a se expresa m uy fácilm ente en un sistem a coordenado esférico polar donde el protón se halla fi jo en el origen. E ntonces sus funciones de onda se escriben atendiendo a las coordenadas r, 6, 4>en lugar de x, y, z. En una d im ensión la densidad de p robabilidad iD (x) indica la p roba bilidad p o r uniclacl de longitud de que encontremos el electrón en un elem ento pequeño de longitud en la coordenada x. En tres dim ensiones, la densidad de probabilidad \ ¡P-(r, 8,
donde aQ es el radio de Bohr. E sta función es sim étrica esfé ricam ente; no in terv ien en las variables ¡9 y
rior. E l radio de 90% resulta ser radio de 2.7 de Bohr, o sea 1.4 X 1 0 ~ 10 m = 140 pm. P r o b l e m a S e s u s l t o 4 . 7 - 7 . Verifique que el máximo de la cur va de densidad de probabilidad radial en la figura 47- 12b está en r = a0, donde aQes el radio de Bohr.
Solución Al diferenciar la ecuación 47-26 respecto a r se obtiene dP = — (2r) e -r / + — r- ( -------dr ab
—
8r
i
j - 2r/aü
_
«o En el máximo de la curva debemos tener d P /d r = 0 y, por simple observación, vemos que así es cuando r = aQ. Adviértase que tam bién tenemos d P /d r = 0 con r = 0 y r —*®. Pero como se aprecia en la figura 47-12b, éstos no corresponden a los máximos de la cur va. Es posible verificarlo con sólo obtener la segunda derivada d 2P /d r2, que debe ser negativa para un máximo.
P (r) d r = ip 2(r) d V = ip2(r)(4-Trr2)(dr). L a sustitución h ech a a p a rtir de la ecuación 47-25 produce en tonces 4 P (r) = tp2{r)(4-Trr2) = ~ r 2 e - 2rla° (47-26) L a figura 47-12¿> m u estra una gráfica de P (r). E n el problem a resuelto 47-7 dem ostram os que el valor m áxim o de P(r) o cu rre en r = a 0. L a ecu ació n 47-26 es el fundam ento de la in te r pretación m oderna del radio de B o h r aQ. Es el radio en que hay m ayor p ro b ab ilid ad de lo calizar el electrón cuando el áto mo de hidrógeno se h alla en el estado base. L a figura 4 7 -12b indica que la pregunta “¿D e qué tam a ño es el átom o de h id ró g en o ?” no tiene una respuesta firm e. N o obstante, el llam ado radio del 90% , m ostrado allí, nos da una m edida ap ro x im ad a del tam año. Es el radio de una esfe ra tal que habrá 90% de probabilidades de que encontrem os el electrón del átom o de hidrógeno dentro de la esfera y, p o r su puesto, un 10% de p robabilidades de encontrarlo en el ex te
Cl)
b)
A 7 -& M OM EN TO ANGULAR DE L O S E L E C T R O N E S EN LO S Á TO M O S A hora que, en el caso del estado base, hem os explicado la fu n ció n de onda de un electrón atrapado en un átom o de hi drógeno, nos gustaría h acer lo m ism o con las funciones de onda y con las densidades de probabilidad en el caso de los estados excitados. Sin em bargo, cuando resolvem os la ecua ción de S chrödinger para el átom o de h idrógeno — un proble m a tridim ensional— , aparece una nueva característica que no ex istía cuando estudiam os las soluciones a la ecuación de S ch rö d in g er en u n a dim ensión. N os referim os al m om ento an g u la r del electrón. P o r ejem plo, las soluciones del átom o de hidrógeno en el p rim er estado excitado (n = 2) m uestran diversos tipos de funciones de onda y las correspondientes densidades de proba bilidad, todas las cuales poseen la m ism a energía (E2 en la Ec. 47-21). U na de estas funciones (llam ém osla estado 2A) resulta ser sim étrica esféricam ente, igual que el estado base (aunque su form a funcional difiere de la de la función de onda de ese esta do). E n el estado 2A, la función de onda ip y la densidad de pro babilidad > p 2 dependen sólo de r. Existe otra función m uy distinta con energía E 2\ en este estado (que p o r ahora llam are m os 2B), la función depende no sólo de r, sino tam bién de las coordenadas angulares <9y cp y la densidad de probabilidad é 2 depende de r y de 8. (Esta últim a no depende d e
,a t¡
F i g u r a 4 7 - 1 2 . a) Una representación, mediante una “gráfica de puntos”, de la densidad de probabilidad del electrón en el estado base de un átomo de hidrógeno (Ec. 47-25). Se dibujó un círculo en el radio r = aQ. b) Densidad de probabilidad radial, dada por la ecuación 47-26. El triángulo pequeño muestra que la probabilidad máxima ocurre con r = an.
* En realidad, la función de onda é e s compleja, y la densidad de probabilidad debería escribirse como |^f¡2. Sin embargo, las partes r y 6 de la función de onda de los átomos de hidrógeno son reales, y la parte
i¡r
ne dos subestados que representan diferentes densidades de p ro babilidad; en uno de ellos el electrón tienen la m áxim a probabi lidad cerca del plano xy (esto es, con el ángulo polar 8 cerca de 90°) y en el otro es más probable que esté cerca del eje positivo o negativo z (8 cerca de 0o o 180°). En la siguiente sección exa minaremos más a fondo estas funciones de onda. E n ésta vamos a explicar cóm o el m om ento angular sirve para designar estos es tados y entender sus propiedades.
E l Momento angular orbital E n el capítulo 10 introducim os el concepto de m om ento an gular y expusim os su im p o rtan cia en la solución de pro b le m as rotacionales. E n la física clásica, el m om ento angular de una partícula respecto a un o rigen escogido O se representa com o L = F X p , donde r es la p osición de la partícu la d es de el origen, y p su m om ento lineal. C om o vim os en páginas anteriores, las variables clásicas r y p n o p ueden significar lo m ism o en la m ecánica cuántica; así que no debe sorprender nos que el m om ento angular adq u iera un nuevo significado en la m ecánica cuántica. A quí nos referim os al m om ento angular que posee un electrón p o r su m ovim iento alrededor del nú cleo y lo llam am os m om ento a n g u la r orbital. M ás adelante verem os que el electrón tiene otro tipo m ás de m om ento an gular que carece de un eq u ivalente en la física clásica. C uando resolvem os la ecuación de S ch rö d in g er en tres dim ensiones con el átom o de hidrógeno, tres núm eros cu án ti cos em ergen de la solución m atem ática. U no es el núm ero cuántico prin cip a l n, idéntico al núm ero cuántico n asociado a la designación de los estados en el m odelo del átom o de h i drógeno de Bohr. Sus valores p erm itidos son n = 1, 2, 3, ... , igual que en dicho m odelo. L o s niveles de energía calculados al resolver la ecuación de S ch rö d in g er son idénticos a los de él (Ec. 47-20). N o obstante, com o ya vim os en el caso del es tado base, la fórm ula de los radios de B ohr (Ec. 47-20) carece de significado en la solución de la m ecánica cuántica, porque la densidad de probabilidad radial tiene valores no cero que abarcan el intervalo entero entre r = 0 y r = 00. En la m ecá nica cuántica, m ás bien deberíam os hab lar del radio prom edio o m ás probable; esta cantidad sí aum enta con los valores cre cientes de n, pero no en la fo rm a sim ple que p redice el m o d e lo de Bohr. E l segundo núm ero cuántico que em erge de la solución de la ecuación de S chrödinger es el núm ero cuántico l del m o m ento angular. L a solución m atem ática m uestra que se p e r m ite que l adopte valores enteros en la siguiente form a: / = 0, 1 ,2 , .
,n
1.
(47-27)
Es decir, en cada n los valores de l fluctúan entre 0 y /máx = n — 1. Por ejem plo, en el estado base {n = 1), Zmáx = 0. Por tanto, el único valor perm itido de / es 0. E n el p rim er estado excitado (n = 2), í = 1; en consecuencia los valores per m itidos son l = 0 y l = 1. E n la siguiente sección vere m os que estos dos valores de l corresponden exactam ente a los dos estados que llam am os 2A y 2B en la ex p licación dada antes en esta sección.
A m enudo conviene nom brar los estados asignándoles el nú m ero cuántico principal n y el núm ero cuántico del m o m ento an g u lar l. El valor de l se da atendiendo al siguiente có digo*: l C ódigo C on este sistem a, el estado base será l s (con n = 1, l = 0). El p rim er estado excitado tendrá dos nom bres: 2s (n = 2, l = 0) y 2p (n = 2, l = 1). Los dos últim os estados son los que lla m am os, respectivam ente, 2A y 2B. E l cálculo de la m ecánica cuántica tam bién nos da un va lo r de la m agnitud o la longitud L del vector del m om ento an gular: h
L = W + l )
(47-28)
L a dirección ele L E l tercer núm ero cuántico que em erge de la solución de la ecuación de Schrödinger se conoce com o núm ero cuántico m a gnético m¡. P uede adquirir valores de —/ a + / en los valo res enteros, o sea rn¡ (47-29) N ó tese que hay 2 1 + 1 valores posibles de para cada valor de l. P or ejem plo, con / = 3 existen siete valores perm itidos de mf, hay —3, —2, —1, 0, + 1 , + 2 y + 3 . E l núm ero cuántico m agnético especifica el com ponente z del v ecto r del m om ento angular L: L.
h
(47-30)
2 tt
Si conocem os la m agnitud del vector L a partir de la ecuación 4 7-28 y su com ponentes z a partir de la ecuación 47-30, po d em os d eterm inar el ángulo 8 entre L y el eje z: eos
c o s“
m,
M ¡ +
O
(47-31)
L a ecuación 47-31 m uestra que no se perm ite que existan to dos los ángulos 8, sino sólo los correspondientes a los valores perm itidos de m¡. Tal restricción de las direcciones del vector del m om ento angular L recibe el nom bre de cuantización es pacial. É sta no existe en la física clásica: el m om ento angular de una partícu la clásica que gira puede seguir cualquier direc ción en el espacio. Sólo en la m ecánica cuántica se presenta
* Estas abreviaturas se remontan a los primeros días de la espectroscopia atómi ca antes de la física cuántica. Las letras s, p. d, f significan share (nítido), prin cipal (principal), diffitse (difuso) y fundamental (fundamental), calificativos con los cuales los espectrocopistas describen los espectros atómicos. Después de f, los índices vienen en orden alfabético.
F i g u r a 4 7 - 1 3 . Proyecciones permitidas del vector del momento angular L en el eje z, cuando l = 1, 2 y 10. Los números sobre el eje son el valor correspondiente al número cuántico magnéticom¡. Las tres figuras se dibujan a escala diferente.
I=1
1 = 10
1= 2
la restricción. E n la fig u ra 47-13 se m uestran los valores p e r m itidos de L y y 8 con l = 1, 2 y 10. C om o el potencial de C oulom b en el átom o de hidrógeno es sim étricam ente esférico, podem os establecer un sistem a coorde nado en la orientación que prefiram os. Entonces la dirección del eje z es del todo arbitraria. L a ecuación 47-31 se aplica a cual quier selección del eje z. Si querem os observamos el efecto de la cuantización espacial, hay que violar la simetría esférica del átomo colocándolo — p o r ejem plo— en un cam po magnético cuya dirección lo defina (de ahí el nom bre de núm ero cuánti co “m agnético” de m¡). Cuando no se cuenta con una dirección favorita, los valores m [ no corresponderán a diferentes estados del m ovim iento del electrón; así que no afectaran a la energía del átom o ni tam poco a la densidad de probabilidad del electrón.
recem o s de in fo rm ació n referente a la p osición angular de L a m ed id a que p recesa alrededor del eje z. E llo a su vez signi fica que no contam os con inform ación alguna sobre los com p on en tes L x y Ly del v ector del m om ento angular. Podem os conocer la m agnitud de L y su proyección L en la dirección ¿, p ero la m ecán ica cu ántica no nos perm ite obtener m ás cono cim ientos resp ecto a la dirección de L . P r o b l e m a R e s u e l t o 4 7 - 8 . Calcule el valor mínimo de 6 en la figura 47-13 cuando / = 1, 102, 103, 104 y 109.
Solución Convénzase usted mismo de que el valor mínimo se pre senta cuando hacernos m¡ = / en la ecuación 47-31. Esta operación y el rearreglo nos dan /
eos
1+
W + T) ■ lililí
M om ento a n g u la r y el principio de incertidum bre L no puede alinearse totalm en te con el eje z, el valor m ás p e queño de 6 que ocurre cuando m¡ = l en la ecuación 47-31. E ste hecho concuerda con el principio de incertidum bre de H eisenberg. E n la ecu ació n 46-8 lo escribim os tal com o se aplica al co m ponente z del m ovim iento de una p artícula libre, A p ,- A z > h ílir .
{A l-32)
P or analogía es p osible expresar la ecuación anterior en for m a angular así A L .-A 0 > h /lir .
(47-33)
A quí hem os reem p lazad o Ap „ la incertidum bre del com po nente del m om ento lin ea l en la dirección z, p o r ALr, la in cer tid u m b re del c o m p o n e n te del m o m en to a n g u la r en la dirección z. T am bién hem os sustituido Az, la incertidum bre de la posición lineal en la dirección z, p o r Ad>, la in certidum bre de la p osición a n g u la r alrededor del eje z. L a ecuación 4 7 -3 0 in d ica que L y se conoce con exactitud una vez especificado el núm ero cuántico m agnético m¡. Se d e duce que debe ser cero AL_, la incertidum bre en L 7. E ntonces la ecuación 47-33 exige que A 0 —► esto significa que ca
Por simple observación vemos que, si hacemos que l —> «= entonces 6 —* eos-1 1 = 0 . Es justo lo que cabe esperar del principio de corres pondencia, según el cual con números cuánticos suficientemente altos, la mecánica cuántica concuerda con la clásica, lo cual permite 8 = 0. La sustitución de / en la ecuación anterior produce a mín
1 1 102 103 104 109
.
45.0° 5.7° 1.8° 0.57° 0.0018°
En un objeto macroscópico que gire —un disco compacto por ejem plo— , l será mucho más grande que 109, y 6 ^ estará tan cerca de cero que la diferencia superará considerablemente la posibilidad de la medi ción. Por tanto, conforme el momento angular del objeto se vuelve más y más grande, la cuantización espacial de la mecánica cuántica se trans forma suavemente en la distribución continua de la mecánica clásica. Una vez más vemos cómo funciona el principio de correspondencia. Nota para el cálculo: si con la fórmula anterior se calcula 8mín para / = 109, posiblemente la calculadora se sature. Aproveche el hecho de que (l/Z) < < 1 y desarrolle la fórmula aproximada pa ra eos 0mín. Necesitará utilizar la expansión binomial y la de series con eos 8 (consulte el Ap. I).
P r o b l e m a R e s u e l t o 4 7 - 9 . a) Con n = 4, ¿cuál es el máximo valor permitido de 11 b) ¿Qué magnitud tiene el momento angular correspondiente? c) ¿Cuántos componentes en el eje z puede tener este vector del momento angular? d) ¿Cuál es la magnitud del ma yor componente z?
\
Solución a) De acuerdo con la ecuación 47-27, el máximo valor de / es n — 1 y, por tanto, lmáx = 3. b) Con base en la ecuación 47-28 tenemos L = { l{ l + 1) —— = a/3(3 + 1) 2 tt = 3.66
X
6.63
Convénzase usted mismo de que la constante de Planck tiene las mismas dimensiones que el momento angular. c) El número de componentes que el vector del momento angular puede tener en el eje z es igual al de los valores permitidos del nú mero cuántico magnético m¡. Según la ecuación 47-29 este número es 2! + 1 o 2 X 3 + 1 = 7. d) El componente más grande proyectado se obtiene de la ecuación 47-30, cuando el número cuántico magnético alcanza su máximo va lor. De acuerdo con la ecuación 47-29, éste es simplemente l; así que tenemos 3h _ 3(6.63 X 10~34 J • s) = 3.17 2-7T 2 tt
L ,= l
'1 0l 0
X 10~34 J -s 2 it
10 -4 J-s
X
10~34 J-s.
Nótese en la parte b) que el valor anterior es menor que la magnitud del vector del momento angular (= 3.66 X 10~34 J ■s), como debe ser.
4 * 7 - 7 UN ESTA D O EX C ITA D O D EL Á T O M O D E H ID R Ó G E N O En cuanto a la energía, el estado por arriba del estado base? co rresponde a n = 2 y se le conoce com o p rim e r estado excita do. Su energía ( = — 3.40 eV) se obtiene haciendo n = 2 en la ecuación 47-21. Com o nos recuerda la ecuación 47-27, existen dos números del m omento angular que se permiten cuando n = 2, a saber: l = 0 y l = 1. En nuestra notación hay, respectivamente, los estados 2s y 2p. Vamos a estudiarlos por separado.
El estado 2s
1 _ ii/200(r) = — = = = - (2 - ría0) e "-a\ 4 N 2 ira l
(47-34)
donde los tres subíndices 200 representan la secuencia de nú m eros cuánticos n = 2, / = 0 y m¡ = 0. E sta función de onda depende de la variable r exclusivam ente; a sem ejaza del esta do base éste tiene una sim etría esférica. L a densidad de probabilidad ip2{r) y la densidad de pro babilidad radial P (r) para el estado 2s están dadas p o r 7 ( r ) = t Dt t 1t1(3ñ T (2 - rla7 e ~rla°
(47-35)
\ l 10
15
r /a n
b)
F i g u r a 4 7 - 1 4 . a) Representación, mediante una gráfica de puntos, de la densidad de probabilidad del electrón en un átomo de hidrógeno en el estado 2s (Ec. 47-35). Se trazó un círculo en el radio r = 4¡z0. b) Densidad de probabilidad radial (Ec. 47-36).
P{r) = [ 7
1
(r)][4 rrr2] (r/a 0)2 (2 - r/aQ)2 e~
(■47-36)
L a fig u ra 4 7 -14a es una “gráfica de puntos” de la ecuación 47 -3 5 , la densidad de probabilidad. L a figura 4 7 -14b es una g ráfica de la ecuación 47-36, la densidad de probabilidad radial. N ótese que esta últim a tiene dos m áximos y llega a cero en r = 2 aQ. com o se com prueba con sólo exam inar la ecuación 47-36.
E l estado Is, con l = 0, no tiene un m om ento angular orbital. E n cam bio, el estado 2p , con 1= 1, sí lo tiene; su proyección en el eje z (Ec. 47-30) es m ¡ { h /lif) donde m¡, el núm ero cuánti co m agnético (Ec. 47-29) puede asum ir ios valores — 1 , 0 o f l . E n estos tres estados las funciones de onda que incluye el estado 2p no son sim étricas esféricam ente. Son funciones no sólo de r sino tam bién del ángulo p olar 6, que se define en la fig u ra 4 7 -15a. E n la fig u ra 47-15a se m uestran las “gráficas de punto s” de las tres densidades de probabilidad referentes al estado 2p, éstas son, ip \ x- f r , ff),
Para este estado la función de onda, calculada en el proceso de resolver la ecuación de Schrödinger, resulta ser
n " 2,1 = 0
é l l0{r, 6),
y
L os subíndices representan la secuencia de núm eros cuánticos n, l y m¡. Las gráficas de m l = — 1 y con m l = + 1 son idénti cas y las tres tienen sim etría rotacional alrededor del eje zE l lecto r tiene derecho a sorprenderse un poco ante la au sencia de sim etría esférica en las gráficas de puntos de la fi g u ra 4 7-15a. D espués de todo, la función de energía potencial que introducim os en la ecuación de S chrodinger depende só lo de r. ¿A qué se debe que las densidades de probabilidades tam b ién d ependan del ángulo 61 R esolvem os este enigm a al dam os cuenta de que los tres estados en cuestión poseen igual energía y, en el átom o de hi d rógeno aislado, no hay form a de separarlos experim ental m ente. E ncontram os ese átom o con la m ism a probabilidad en los tres estados que aparecen en la figura 47 -1 5 a; en conse-
/ [/
c d 3
'
V
-
,
\ S\ s « » 2, l = 1 -
j * i , A 10
m¡ = +1
a)
6)
F i g u r a 4 7 - 1 S . a ) Representaciones, mediante gráficas de puntos, de la densidad de probabilidad del electrón en un átomo de hidrógeno en el estado 2p. Las tres figuras son simétricas alrededor del eje z. b) Densidad de probabilidad radial de un promedio ponderado de las tres gráficas incluidas en a). Nótese que la probabilidad máxima ocurre con r = 4aQ.
cuencia conviene m anejar en conjunto una densidad de proba bilidad prom edio ponderada en el estado 2p. Esto lo visualiza mos en form a gráfica al considerar que, en tres dim ensiones, las gráficas de puntos correspondientes a m¡ = — 1 y m¡ = + 1 en la figura 47-15n tienen “form a de rosca”. La correspondiente a m¡ = O tiene un lóbulo superior y uno inferior; es, pues, razona ble que resulte algo con sim etría esférica cuando sobreponemos en tres dim ensiones las tres gráficas de puntos (ponderadas con un factor de 1/3). Y así es en efecto. L a d ensidad de probabilidad resu ltan te en las tres gráficas sobrepuestas resu lta ser
9 6 -7 7 (3 5
(47-37)
E l subíndice 2p en la d ensidad de prob ab ilid ad proporciona el valor de n ( = 2) y de l ( = 1). N ó tese que la variable angular 8 ya no aparece en el resu ltad o final. E n el estado 2p la den sidad depende únicam en te de r y, p o r tanto, presenta la sim e tría esférica que cabe esperar. A continuación calculam os en conjunto la densidad de probabilidad radial p ara el estado 2p, procediendo com o lo h i cim os en el caso del estado base de la sección 47-5, o sea r i 2p( r )
=
[ < H , ( r ) ] [ 4 7 r r 2]
= -------- r 4 p-r!a0 2 A al
(47-38)
L a figura 47-15£> m u estra una g ráfica de esta densidad. E n la gráfica se observa que el m áxim o de la distribución ocurre en r = 4 aQ.
C O N T E O D E L O S ESTADOS D E L H ID R Ó G E N O H asta ahora hem o s visto qu e hay realm ente dos “prim eros e s tados excitado s” del h idrógeno, que hem os designado com o 2s (n — 2, l = 0) y 2p (n = 2, l = 1). R epresentan densida des de probabilidad m uy distintas del electrón, pero poseen la
m ism a energía ( £ , en la Ec. 47-21). M ás aún, dentro del esta do 2p hem os visto que hay tres subastados, correspondientes a diversos valores del núm ero cuántico m agnético y ello, una vez m ás, a distintas distribuciones de probabilidad del elec trón. E n la presente sección vam os a resum ir lo dicho sobre el átom o de hidrógeno disponiendo los estados excitados en una secuencia ordenada. Pero antes hay que estudiar otro núm ero cuántico adicional que se requiere p ara designarlos.
E sp ín del electrón L a m ay o r p arte de los espectros observados del hidrógeno y de los átom os m ás allá del hidrógeno en la tabla periódica p o d ría m uy bien explicarse partiendo del n úm ero cuántico prin cipal, del núm ero cuántico orbital y del núm ero cuántico m agnético. N o obstante, quedan algunos problem as que no p od rían explicarse en esa form a. P ara m en cio n ar sólo dos de tantos: 1) la intensa lu z am arilla em itida p o r el átom o de so dio consta, no de un a sola longitud de onda, sino de dos poco espaciadas. 2) C iertas líneas espectrales se d ividen en un arre glo de lín eas p oco espaciadas cuando la fu en te se coloca en un fuerte cam po m agnético. E n 1924 P auli señaló la necesi dad de u n cuarto núm ero cuántico, asociado intrínsecam ente al electrón. U n año m ás tarde dos estudiantes h o landeses gra duados, G eorge U h len b eck (1900-1988) y S am uel G oudsm it (1902-1978), pro p u siero n que los electrones tienen un m o m ento an g u lar intrínseco — denom inado m o m en to a ngular de espín— adem ás de su m om ento angular orbital en los átom os. El nom bre “espín” nos trae a la m ente una im agen del electrón com o una dim inuta esfera que gira alrededor de un eje, en form a m uy parecida a com o lo hace la T ierra alrededor de su eje de rotación. Sin embargo, el espín es un fenóm eno m e ram ente cuántico y este m odelo clásico no es válido. Es una propiedad de todas las partículas: electrones, protones, neutro nes, fotones, partículas alfa, quarlts. Todos ellos presentan un m om ento angular de espín que describe su com portam iento. L as p ro p ied ad es del m om ento angular del espín en la m e cánica cu án tica se asem ejan m ucho a las del m om ento angu lar o rbital. A cada partícu la se le asigna un nú m ero cuántico
de espín s, que suele llam arse sim plem ente su espín. En contras te con otros núm eros cuánticos que hem os mencionado, el espín es una propiedad intrínseca de la partícula y no depende de su estado de m ovim iento. Por ejem plo, el espín del electrón es 1/2 . Todos los electrones tienen s = 1 /2 , sin im portar si están liga dos al átom o o si se m ueven com o partículas libres. E l espín es una propiedad fundam ental suya, com o la m asa y la carga. E l m om ento angular intrínseco se describe m ed ian te un vector S. E n analogía con la ecuación 47-28 que se aplica al m om ento angular orbital, la m agnitud o longitud del vector del m om ento angular del espín es ó = Vs(s + 1)
(47-39)
2lT
Puesto que s = 1 /2 en todos los electrones, los describim os por m edio del vecto r del m om ento angular de longitud y 3 /4 (,h/2?r). U n a vez m ás en analogía con el m om ento angular orbi tal, es posible especificar la orientación espacial del m om ento angular del espín dando su com ponente z- D icho com ponente se expresa en función del núm ero cuántico m agnético del es p ín m . A sem ejanza del núm ero cuántico m agnético orbital m¡, el núm ero cuántico m agnético del espín varía entre su v a lor m ínim o — s y su valor m áxim o + 5 en valores enteros, de m odo que los únicos valores perm itidos de mJ son m , = - 1/2, + 1/2.
(47-40)
El com ponente z del m om ento angular del espín será entonces Sz = m s - ^ — .
(47-41)
.¿ 7 7
A sí pues, la descripción com pleta de un electrón en un áto m o requiere cuatro núm eros cuánticos: n, l, m¡ y ms. Los tres p ri-, m eros surgen en form a natural al resolver la ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrógeno. D icha ecuación no pre dice el núm ero cuántico del espín; se obtiene con un cálculo más avanzado que com bina la m ecánica cuántica con la relatividad (la ecuación de Schrödinger no es una ecuación relativista). E n el capítulo 48 vam os a com entar las pruebas experi m entales en favor de la existen cia del espín del electrón, b a sándonos para ello en las propiedades de los átom os en campos m agnéticos. E n esta sección n o s concentrarem os en cóm o d e bem os m odificar nuestra descripción de los estados del h idró g eno para tener en cuenta al espín. . Y.A S L A 4 J 7 - 2
L os estados del hidrógeno atóm ico H em o s visto que los estados cuánticos donde el átom o de hi drógeno p uede existir están determ inados por cuatro núm ero cuánticos: n, l, m¡ y m s. Veamos ahora, usando esos núm eros y las conexiones entre ellos, cóm o podem os disponer en for m a o rd en ad a los estados de los átom os de hidrógeno. Se dice que el conjunto de todos sus estados co n el m is m o n ú m ero cuántico principal form an una capa. C om o se ob serva en la ecuación A l-21, poseen la m ism a energía E . El co n ju n to con el m ism o valor del núm ero cuántico / del m o m ento ang u lar orbital recibe el nom bre de subcapa. Según se o b serv a en la ecuación 47-28, todos tienen el m ism o (en m ag nitud) m om ento angular L. E l núm ero de estados dentro de una subcapa lo define la can tid ad de estados perm itidos del núm ero cuántico m agnéti co orbital m¡. C on un l, la ecuación 47-29 indica que hay 21 + 1 valores de ese tipo. E l efecto del núm ero cuántico m agnético del espín m s consiste sim plem ente en duplicarlo; cada estado se asocia a m s = + 1 / 2 o m s = —1 /2 . Por tanto, una subcapa co n / = 2 contiene 2(2/ + 1) = 2(2 X 2 + l ) = 10 estados. E n la tabla 47 -2 se resum e la clasificación de los estados del átom o de hidrógeno hasta n = 3. ¿L os núm eros de los estados en las capas (2, 8 y 18) en el ren g ló n de la parte inferior de la tabla 47-2 le parecen co nocidos, q uizá por haberlos visto en la clase de quím ica? Son los núm eros de elem entos en los renglones horizontales (pe riodos) de la tabla periódica. C om o se m uestra en el A péndi ce E :; el periodo 1 contiene 2 elem entos, los periodos 2 y 3 co n tien en 8 elem entos cada uno y los periodos 4 y 5 contie nen 18 elem entos. En la sección 48-4 verem os detalladam en te cóm o el orden de los elem entos en la tabla se b asa en los p rin cip io s de la m ecánica cuántica. P r o b l e m a R e s u e l t o 4 7 - 1 0 . Una capa tiene un número cuán tico principal n = 4. a) ¿Cuántas subcapas contiene? b) ¿Cuántos es tados tiene cada subcapa? c) ¿Cuál es el número total de estados en la capa?
Solución a) Si n = 4, sabemos por la ecuación 47-27 que los valo res permitidos de / son O, 1, 2 y 3. Es un total de cuatro valores, ¿Puede demostrar que el número de subcapas en una capa determi nada siempre será igual a n i b) El número de estados en una subcapa está dado por 2(2/ + 1); el factor 2 proviene de los dos valores permitidos del número cuántico
Estados cuánticos del átomo de hidrógeno (hasta n = 3 solamente)
n
1
1
0
2 0
3 1
0
1
2
0
0
0, ±1
0
0, ±1
0, ±1, ± 2
± 1/2
± 1/2
± 1/2
± 1/2
± 1/2
± 1/2
Número de estados en las subcapas
2
2
6
2
6
10
Número de estados en las capas
2
m,
8
18
del espín m . Entonces, con los números de estados en las cuatro subcapas que forman la capa n — 4, tendremos
1
2(21 + 1)
0 1 2 3
2 6 10 14
c) El número total de estados en la capa n = 4 se obtiene sumando los números de estados de las subcapas que contiene la capa Con base en la tabla anterior tenemos 2 + 6 + 10 + 14 = 32. Nótese que 32 es el número de elementos en el periodo 6 de la tabla de elemen tos (Ap. E). ¿Puede demostrar que los estados de una capa definidos por eb número cuántico n siempre son iguales a 2n2? Esto da resultado eit el caso en cuestión porque 2 X 42 = 32, como se comprueba con el conteo explícito.
'Ca p c i ó n m ú l t i p l e 4 7 -1
E le c tro n e s lib re s
y
lig ad o s
4 7 - 2 U n e le c tró n a tr a p a d o e n u n p o zo d e p o te n c ia l 1. Un electrón queda atrapado en un pozo infinito de potencia uni dimensional con un ancho L. a) ¿Cuál es la energía mínima posible del electrón? A) O B) Entre O y /t2/ 8m i? C) = /x2/8m L2, pero el principio de incertidumbre impide calcular el valor exacto D) Exactamente h2/8m L 2 b) ¿Cuál es el mínimo resultado posible al medir la magnitud del momento del electrón? A) O B) Entre O y h /2 L C) = h/2L, pero el principio de incertidumbre impide calcu lar el valor exacto D) Exactamente h /2 L 2. Un electrón atrapado en un pozo de potencial infinito tiene una energía de E. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre el an cho L del pozo es más verdadera? A) L debe ser mayor o igual que (h2/8m E )1/ 2. B) L debe ser menor o igual que (Jr¡ZmE)1!2. C) L debe ser exactamente igual a (h2/Sm E )1¡2. D) L puede tener cualquier valor. 3. Un electrón en un pozo de potencial infinito con un ancho L¡ se halla en el estado base. Un electrón de otro pozo que mide L? de ancho se encuentra en estado excitado. La energía de los dos es la misma. ¿Cuál es la razón L0/ L {1 A)
4
B) 3
C) 2
D) Ú 2
4 7 - 3 U n e le c tró n a tr a p a d o e n u n p o z o fin ito 4. Suponga que un electrón está atrapado en un pozo finito unidi mensional de ancho L. a) ¿Cuál es la energía cinética mínima posible del electrón? A) O B) Entre O y h2/%mÜ~. C) = /t2/8m L2, pero el principio de incertidumbre impide calcular el valor exacto D) Exactamente h2/Sm L 2 b) ¿Cuál es el resultado mínimo posible al medir la magnitud del momento del electrón?
A) O B) E n tre 0 y /z /2 L C) = h/2L, pero el principio de incertidumbre impide calcu lar el valor exacto D) Exactamente h/2 L 4 7 - 4 U n e le c tró n a tr a p a d o en u n á to m o 5. La presentación de la teoría de Bohr en el texto se realizó supo niendo que un electrón con una carga de magnitud | e | “gira” al rededor de una carga nuclear de magnitud \e\. ¿Con qué factor los niveles de energía cambian en un electrón alrededor de una carga nuclear de magnitud ¡Zej? A) Z
B) Z 2
C) Z4
D) Z~2
4 7 - 5 E l e sta d o b a se d el á to m o d e h id ró g e n o 4 7 - 6 E l m o m en to a n g u la r d e los elec tro n es en los átom os 6. Un electrón está en un potencial simétricamente esférico con m¡ = +2. ¿Cuáles de los siguientes valores de / son posibles? A) l puede tener un valor entero cualquiera. B) / puede tener un valor enteromayor que 1. C) / puede tener un valor entero menor que D) l debe ser igual a 2. 7. Considere la relación entre L, y la magnitud del momento angu lar L = |L |. a) ¿Puede L. ser exactamente igual a O? A) Sí B) Sí, pero sólo si L = O C) No, debido al principio de incertidumbre de Heinsenberg D) No, porque |Lt | se vuelve más grande junto con L b) ¿Puede L. ser exactamente igual a L? A) Sí B) No, y \L, | siempre es menor que L C) No, y | L. | siempre es mayor que L D) No, y \L t \ siempre es mayor o menorque L 8. La magnitud del momento angular orbital de un electrón está dado por L = \¡ 5 h/ir. ¿Cuántos valores de son posibles? A) 4B) 5C) 8 D) 9 E) 11 9. ¿Cuántos valores de m¡ son posibles en el estado base de un áto mo de hidrógeno? A) OB) 1C) 2 D) 3 E) La respuesta no puede determinarse si no se conoce l.
10. Un experimentador intenta medir varias características de un electrón en el estado base del hidrógeno. ¿Cuál de las siguien tes magnitudes tienen valores constantes bien definidos? A) La energía total E B) El momento angular L C) El componente z del momento angular L, D) La magnitud del momento p 4 7 -7 Un estado excitado del átomo de hidrógeno 11. ¿Cuál de los siguientes conjuntos de los números cuánticos n, l
y m¡ no sería posible en un estado excitado del hidrógeno? (Se leccione todos los apropiados.) A) n = 4, l = 2, m¡ = —3 A) n = 3, l ~ 2, m¡ = —2 A) n= 2, l = 2, m¡ = +1 A) n = 1 1 , 1 = 2, m¡ = —2 12. ¿Cuál de las siguientes funciones de onda if/nl en un estado ex citado del hidrógeno es simétrica esféricamente? (Seleccione todas las apropiadas.) A) ip3l0 B) ^3!-! C) ipWQ D) l^32+ i
47-8 Conteo de los estados del hidrógeno 13. ¿En qué condiciones podría el componente z del espín de un electrón ser cero? A) Si Sx es h/'A-ir B) Si Sy es h/4-rr C) Si tanto A) como B)son verdaderas D) Si se pone el electrón en un campo magnético debida mente diseñado E) S, nunca será cero en un electrón. 14. El protón tiene parientes subatómicos con magnitudes de espín de S = |S| = V 15 .?/4m
¿Cuál es el valor máximo posible de S_ en estas nartículas^ A) h /4 -7T B) h /2 77 C) 3A/4 tt C) 5h/4 77 b) ¿Cuántos valores diferentes de S, son posibles con dichas partículas? A) 1 B) 2 C )3 D) 4 E) 5 15. Un electrón se encuentra en un estado dentro de un átomo de hi drógeno, con el número cuántico m¡ = 2. a) ¿Qué puede decirse del número cuántico principal n del elec trón? A) n es mayor que 2. B) n es igual a 3. C) n es menor que 3. D) Nada puede decirse de n sin contar con más información. b) ¿Cuántos estados existen con un nivel menor de energía que el ocupado por este electrón? A) Exactamente 8 B) Exactamente 10 C) Por lo menos 10 D) Por lo menos 28 16. Un electrón se halla en un estado dentro de un átomo de hidró geno, con el número cuántico 1 = 3. a) ¿Qué puede decirse del número cuántico principal n del elec trón? A) n es mayor que 3. B) n es igual a 4. C) n es menor que 4. D) Nada puede decirse de n si no se cuenta con más infor mación. b) ¿Cuántos estados existen con un nivel de energía menor que el ocupado por el electrón? ■ A) E x actam en te 18 B) E x actam ente 28 C)
P or lo m enos 28
D) P or lo m enos 50
P reguntas 1. En la sección 47-2 resolvimos el problema mecánico ondulato rio de una partícula atrapada en un pozo infinitamente profun do, sin usar nunca la ecuación de Schrodinger (o ni siquiera anotándola). ¿Cómo lo logramos? 2. Una onda estacionaria puede concebirse como la superposición de dos ondas viajeras. ¿Es posible aplicar esta perspectiva al problema de una partícula confinada entre muros rígidos, dando una interpretación a partir de su movimiento? 3. Las energías permitidas en una partícula confinada entre pare des rígidas están dadas por la ecuación 47-3. Primero, convén zase usted mismo de que, al aumentar n, los niveles de energía se separan todavía más. ¿A qué se debe? El principio de corres pondencia parecería exigir que se acercarían más al crecer n, aproximándose a un continuo. 4. En el estado n = 1, cuál es la probabilidad de encontrar una par tícula confinada dentro de paredes rígidas en un elemento de longitud pequeña en la superficie de cualquier pared? 5. ¿Cuáles son las dimensiones de Pn(x) en la figura 47-4? ¿Cuál es el valor de la densidad de probabilidad esperada según la fí sica clásica? ¿Y qué valor tienen las áreas bajo las curvas? Estas preguntas pueden contestarse con solo observar la figura.
6. ¿Qué aspecto imagina que tenga la curva de P,,(x) con n = 100 en la figura 47-4? Convénzase usted mismo de que las curvas se acercan a las expectativas clásicas cuando n —>°°. 7. La figura 47-4 muestra que la función de probabilidad para n = 3 Pn(x) en una partícula confinada entre muros rígidos es cero en los dos puntos entre ellas. ¿Cómo puede la partícula cruzar al guna vez estas posiciones? (Sugerencia: reflexione sobre las consecuencias del principio de incertidumbre.) 8. En el problema resuelto 47-1, la energía del electrón se determi na exactamente por el tamaño de la caja. ¿Cómo concilia esto con el hecho de que la incertidumbre de la ubicación del elec trón no puede rebasar 100 pm y, para que se cumpla el principio de incertidumbre, también debe ser incierto su momento? 9. ¿Por qué la serie de Balmer, y no la de Lyman ni la de Pasehen, fue la primera en detectarse y analizarse en el espectro del hi drógeno? 10. ¿En qué región del espectro se descubrirá probablemente una serie cualquiera de hidrógeno atómico todavía no obser vada? 11. ¿Puede un átomo de hidrógeno absorber un fotón cuya energía sea mayor que su energía de enlace (13.6 eV)?
12. Tras emitir un fotón, un átomo de hidrógeno aislado retrocede por la conservación de su momento. Explique el hecho de que la energía del fotón emitido es un poco menor que la diferencia de ener gía entre los niveles que intervienen en el proceso de la emisión. 13. Unos radioastrónomos observan líneas en el espectro del hidró geno provenientes de átomos del mismo elemento que se en cuentran en estados con n — 350 más o menos. ¿Por qué no se producen y se estudian en el laboratorio átomos de hidrógeno en estados con números cuánticos tan altos? 14. Sólo un número relativamente reducido de líneas de Balmer pue den observarse en los tubos de descarga del laboratorio, mientras que se observa gran cantidad en los espectros estelares. Explique esto en función de una densidad pequeña, de una temperatura ele vada y de un gran volumen de gases en la atmósfera estelar. 15. ¿Por qué el concepto de órbitas de Bohr viola el principio de incertidumbre? 16. Considere un átomo semejante al hidrógeno donde un positrón (un electrón con carga positiva) circula alrededor de un antipro tón (con carga negativa). ¿En qué forma — si la hay— el espec tro de emisión de este “átomo antimateria” se distingue del de un átomo normal de hidrógeno? 17. Si la teoría de Bohr y la mecánica ondulatoria de Schródinger predicen el mismo resultado respecto a la energía de los estados del átomo de hidrógeno, ¿por qué entonces necesitamos la me cánica ondulatoria, dada su mayor complejidad? 18. Compare la teoría de Bohr y la mecánica ondulatoria. ¿En qué aspectos coinciden? ¿Y en cuáles difieren? 19. ¿Por qué no observamos la cuantización espacial en una tapa que gira? 20. El momento angular del electrón en el átomo de hidrógeno está cuantizado. ¿Por qué no lo está también el momento lineal? (Sugerencia: tengan en cuenta las consecuencias del principio de incertidumbre.)
21. El momento angular es un vector y cabe suponer que se necesi tan tres número cuánticos para describirlo, correspondientes a los tres componentes espaciales del vector. Por el contrario en un átomo sólo dos números cuánticos caracterizan al momento angular. Explique por qué. 22. Explique si la Tierra que gira alrededor del Sol es una buena analogía del electrón que gira alrededor de un protón en el áto mo de hidrógeno. 23. Un átomo en un estado con momento angular cero presenta si metría esférica por lo que respecta a su interacción con otros átomos. En ocasiones se les llama “átomo de bola de billar” Explique por qué. 24. Defina y distinga entre los siguientes términos: función de onda densidad de probabilidad y densidad de probabilidad radial. 25. ¿Cuáles son las dimensiones y las unidades del SI para la fun ción de onda, la densidad de probabilidad y la densidad radial de probabilidad? ¿Son las dimensiones que espera encontrar? 26. Dijimos que los números cuánticos necesarios para completar la descripción del movimiento del electrón en el hidrógeno son iguales a la cantidad de grados de libertad que posee el electrón. ¿Cuál es ese número? ¿Cómo puede justificarlo? 27. ¿De qué manera explicaría el hecho de que en el estado del áto mo de hidrógeno con n = 2 y l = 0, la densidad de probabili dad alcanza su máximo con r = 0, pero que la densidad de probabilidad radial es cero allí? Consulte la figura 47-14. 28. La figura 47-15« contiene las tres densidades de probabilidad en los estados del átomo de hidrógeno cuando n = 2 y l = 1. ¿Qué determina la dirección en el espacio que escogemos para el eje z? 29. Utilice el principio de incertidumbre de Heiseberg para demos trar que las densidades de probabilidad en un estado / = 2 pre sentan simetría cilindrica alrededor del eje z.
IrJ E R C IC IQ S
4 7 - 1 Electrones libres y ligados 47-2 Un electrón atrap ad o en un pozo de potencial 1. «) Calcule la energía mínima permitida en un electrón confina do en un pozo infinitamente profundo cuyo ancho es igual al diámetro de un núcleo atómico (unos 1.4 X 10~14 m). b) Repi ta el cálculo con un neutrón, c) Compare los resultados obteni dos con la energía de enlace (varios MeVj de protones y de neutrones dentro del núcleo. Con base en esto, ¿encontraremos electrones en su interior? 2. ¿Qué ancho debe tener un pozo infinito para que un electrón atrapado en el estado n = 3 posea una energía de 4.70 eV? 3. Un electrón, atrapado en un pozo infinito de 253 pm de ancho, se encuentra en el estado base (n = 1). ¿Cuánta energía deberá absorber para pasar al tercer estado excitado (n = 4)? 4. La energía de un electrón en el estado base dentro de un pozo infinito es 2.6 e V. ¿Cuál será si duplicamos el ancho del pozo? 5. a) Calcule la separación de energía entre los dos niveles de energía más bajos de un contenedor que mide 20 cm por lado y
6.
7.
o. 9.
que contiene átomos de argón, b) Obtenga la razón de la ener gía térmica de los átomos a 300 K. c) ¿A qué temperatura la energía es igual al espaciamiento entre los dos niveles? Para simplificar el ejercicio suponga que los átomos de argón quedan atrapados en un pozo unidimensional de 20 cm de ancho. La masa molar del argón es 39.9 g/m ol. a) Calcule la diferencia fraccional entre dos niveles adyacentes de energía para una partícula confinada en un pozo unidimen sional de profundidad infinita, b) Comente el resultado en fun ción del principio de incertidumbre. Considere un electrón atrapado en un pozo infinito que mide 98.5 pm de ancho. Si se halla en un estado con n = 15, ¿cuáles son a) su energía? b) ¿la incertidumbre de su momento? c) ¿la incertidumbre de su posición? Repita el problema resuelto 47-4, pero ahora suponiendo que el electrón se halla en el estado n = 2. ¿Dónde están los puntos de a) probabilidad máxima y b) proba bilidad mínima en una partícula atrapada en un pozo infinita mente. profundo de longitud L, si se halla en el estado n i
4.7-4- Un electrón atrapado en un átomo
25. Basándose en el diagrama de niveles de energía del hidrógeno, explique la observación de que la frecuencia de la segunda línea de la serie de Lyman es la suma de las de la primera línea y de la de la primera de la serie de Balmer. Es un ejemplo del prin cipio de combinación de Ritz descubierto empíricamente. Use el diagrama para obtener algunas otras combinaciones válidas. 26. a) ¿Cuánta energía se requiere para extraer el electrón en un ion He+ en su estado base? b) ¿Y de un ion Li2+ en un estado con n = 3? 27. En las estrellas la serie de Pickering está en el espectro de He+. Se emite cuando el electrón en He+ pasa de niveles superiores al nivel con n = 4. a) Demuestre que la longitud de onda de las líneas de la serie está dada por
XO. a) Determine la longitud de onda del fotón menos energético en la serie de Lyman. b) Determine la longitud de onda del límite de la serie de Lyman. 11. Por sustitución directa de los valores numéricos de las constan tes fundamentales, verifique que la energía del estado base del átomo de hidrógeno es —13.6 eV (Ec. 47-21). 12. ¿Cuáles son a) la longitud de onda, b) el momento y c) la ener gía de un fotón que se emite cuando un átomo de hidrógeno ex perimenta una transición del estado n = 3 a n = 1? 13. Calcule la más grande longitud de onda de la serie de Balmer. 14. En un diagrama de niveles de energía muestre los números cuánticos correspondientes a la transición en que la longitud de _ Cn~ onda del fotón emitido mide 121.6 nm. n 2 — 16 ’ 15. Calcule la energía de enlace (la que se requiere para extraer el electrón) del átomo de hidrógeno en el primer estado excitado. donde n = 5, 6, 7, ..., y después determine el valor de la cons 16. Obtenga el valor del número cuántico de un átomo de hidróge tante C. b) Calcule la longitud de onda de la primara línea de la no cuya órbita radial mide 847 pm. serie y de su límite, c) ¿En qué región o regiones se hallara es 17. Un átomo de hidrógeno emite una luz de 1281.8 nm de longi ta serie? tud de onda, a) ¿Cuál transición del átomo de hidrógeno causa 28. En el estado base del átomo de hidrógeno, ¿cuales son según la esta radiación? b) ¿A qué serie pertenece la radiación? (Suge teoría de Bohr a) el número cuántico, b) el radio orbital, c) el rencia: consulte la Fig. 47-10.) momento angular, d) el momento lineal, e) la velocidad angular, 18. Se excita un átomo de hidrógeno de un estado con n = l a otro f) la velocidad lineal, g) la fuerza sobre el electrón, h) la acele con n = 4. a) Calcule la energía que debe absorber, b) Calcule ración del electrón, ;') la energía cinética, j) la energía potencial y muestre en un diagrama de niveles de energía las energías foy k) la energía total? tónicas que pueden emitirse si el átomo retoma al estado n = 1. 29. ¿En qué forma las magnitudes b) a k ) en el problema 28 varían 19. La vida de un electrón en el estado n = 2 dentro del hidrógeno cón el número cuántico n i es aproximadamente 10 ns. ¿Cuál es la incertidumbre de ener 30. Suponga que queremos probar la posibilidad de que los electro gía del estado n — 2? Compare el resultado con la energía de es nes del átom o describ e órbitas “v isualizándolas” con fo to n es de te estado. suficiente longitud de onda corta, digamos de 10.0 pm. a) ¿Qué 20. a) Basándose en el modelo de Bohr, calcule la velocidad del energía tendrán los fotones? b) ¿Cuánta energía transferirá un fo electrón en el estado base del átomo de hidrógeno, b) Calcule la tón a un electrón libre en una colisión directa de Compton? correspondiente longitud de onda de De Broglie. c) Compare 5 c) ¿Qué nos indica esto sobre la posibilidad de confirmar el mo primero las respuestas a) y b) y luego determine la relación entre vimiento orbital “visualizando” un electrón atómico en dos o la longitud de onda A de De Broglie y el radio a0 de la órbita de ^ más puntos de su trayectoria? Suponga que la velocidad del Bohr en el estado base. electrón es 0.10c. 21. Un neutrón, con 6.0 eV de energía cinética, choca contra un aro 31. a) Calcule los intervalos de longitud de onda por donde se ex mo de hidrógeno en reposo en su estado base. Demuestre que la tienden las series de Lyman, de Balmer y de Paschen. (El inter colisión debe ser elástica (es decir, se conservará la energía). valo se extiende desde la más grande longitud de onda más (Sugerencia: pruebe que no es posible llevar el átomo a un es grande hasta el límite de la serie.) b) Determine los correspon tado más alto de excitación a raíz de la colisión.) dientes intervalos de frecuencia. 22. Un átomo de hidrógeno en un estado, cuya energía de enlace (la que se requiere para extraerlo) es de 0.85 eV, realiza una transi 4 7 - s El estado base del átomo de hidrógeno ción a un estado con una energía de excitación (la diferencia de 32. En la figura 47-12 verifique los valores graficados de P(r) en energía entre el estado y el estado base) de 10.2 eV. a) Calcule a) r = 0, b) r = a0 y c) r = 2aQ. la energía del fotón emitido, b) Demuestre la transición en un 33. En el estado base del átomo de hidrógeno, evalúe el cuadrado diagrama de niveles de energía del hidrógeno, marcándolo con de la función de onda tfr-(r) y la densidad de probabilidad radial los números cuánticos apropiados. P(r) en las posiciones a) r = 0 y b) r = aQ. Explique lo que sig 23. Según el principio de correspondencia, a medida que n —*°= es nifican estas cantidades. peramos los resultados clásicos en el átomo de Bohr. Por eso, la 34. Una región esférica de radio 0.05a0 está a una distancia aQ del longitud de onda de De Broglie asociada al electrón (un resul núcleo de un átomo de hidrógeno en su estado base. Calcule la tado cuántico) debería volverse más pequeña que el radio de la probabilidad de encontrar al electrón dentro de la esfera. (Su órbita de Bohr al aumentar n. En efecto, prevemos que A /r —*■0 ponga que i¡j es constante en el interior de ella.) a medida que n —* °°. Demuestre que es así. 35. Determine la razón de las probabilidades de hallar el electrón en 24. Calcule la rapidez de retroceso de un átomo de hidrógeno que el átomo de hidrógeno en una capa delgada en el radio de Bohr se supone que está en reposo, si el electrón efectúa una transi con la de encontrarlo en una capa del mismo espesor al doble de ción del estado n = 4 directamente al estado base. (Sugerencia: distancia. aplique la conservación del momento lineal.)
36. En un átomo de hidrógeno en su estado base, calcule la proba bilidad de encontrar el electrón entre dos esferas de radios r = 1.000 aQ y r = 1.016a0 4 7 -6
El m om ento angular de los electrones en los átom os
42.
4 7 - s C on teo de los estad os del hid rógeno 43.
37. En un átomo de hidrógeno en un estado con 1 = 3, calcule los valores permitídos de a) L z y de b) 0. c) Determine también la magnitud de L. Cuando convenga, expresa las respuestas en unidades de h. 38. Si un electrón en un átomo de hidrógeno se halla en un estado con l = 5, ¿cuál es el mínimo ángulo posible entre L y L„? 39. Demuestre que la ecuación 47-33 es una versión plausible del principio de incertidumbre Ap • A x = h /2 ir . (Sugerencia: mul tiplique por r /r ; relacione p con m v y L con mvr.)
47.
4 7 - 7 U n estado excitad o del átom o de h id rógen o
48.
40 . Por medio de la ecuación 47-38 demuestre que, en el estado del átomo de hidrógeno con n = 2 y l = 1,
49.
Jo
44. 45. 46.
P {r) d r = 1.
¿Cuál es la interpretación física del resultado anterior? 41. En el estado n = 2, / = 0, a) Localice los dos máximos de la curva de densidad de probabilidad radial de la figura 47-146 y tí) los valores de la densidad de probabilidad radial en los dos máximos; compare el resultado con la figura 47-146.
Tratándose de un átom o de hidrógeno en un estado con n = y - '- " . I = 0, calcule la probabilidad de encontrar el electrón entre dos esferas de radios r = 5.00a0 y r = 5.01a0.
50.
Anote los núm eros cuánticos de todos los estados del átomo de hidrógeno pertenecientes a la subcapa donde n = 4 y / = 3 _ Se sabe que un estado del átomo de hidrógeno tiene el número cuán tico 1 = 3. ¿Cuáles son los números cuánticos posibles n, m¡ y m . U n estado del átom o de hidrógeno posee un valor máximo m l de + 4. ¿Qué puede decirse del resto de sus núm eros cuánticos? ¿Cuántos estados del átomo de hidrógeno son para n = 5 ? ¿ y cóm o se distribuyen entre las subcapas? ¿Cuáles son los núm eros cuánticos n, l, m¡ y m para los dos electrones del átom o de helio en su estado base? Calcule los dos ángulos posibles entre el vector del momento angular del espín del electrón y el eje z. M arque como verdaderos o falsos los siguientes enunciados concernientes a los números cuánticos n, l, m¡. a) Una de estas subcapas no puede existir: n = 2, l — 1; n = 4, l = 3; n = 3, l _ 2 ; n = 1, / = 1. 6) El número de valores de m l que se permite depende exclusivamente de l, y no de n. c ) La capa n = 4 contie ne cuatro subcapas. d) El valor más pequeño de n que puede acompañar un / es / + L e ) Todos los estados donde l = 0 tienen también m¡ = 0, cualquiera que sea el valor de n . f ) Todas las ca pas contienen n subcapas. Demuestre que el número de estados en una capa está dado por 2 n 2.
¡P r o b l e m a s 1. Considere un electrón de conducción en un cristal cúbico de un material conductor. El electrón puede moverse libremente a tra vés del volumen del cristal, pero no puede salir. Está atrapado en un pozo infinito tridimensional. Puede desplazarse en tres di mensiones, por lo cual su energía total está dada por (compare la expresión con la Ec. 47-3),
donde n v n0, «3 asumen los valores 1, 2, .... Calcule las ener gías de los cinco estados distintos más bajos en un electrón de conducción que se mueve en un cristal cúbico cuya longitud del lado L, mide 2 5 0 nm. 2. Una partícula está confinada entre muros rígidos separados por una distancia L. a) Demuestre que la probabilidad P de encon trarlo a una distancia L /3 de una pared está dada por
P = J_ ( 3 V
4.
5.
6.
_ sen(27r«/3) \
2irnl3
j
Evalúe la probabilidad de tí) n = 1, c) n = 2, tí) n = 3 y e) se gún los postulados de la física clásica. 3. Una partícula está confinada entre muros rígidos situados en x = 0 y x = L. En el estado energético n = 4, a) dibuje la curva de densidad de probabilidad referente a la ubicación de la partícu la. Calcule las probabilidades aproximadas de encontrar la par tícula dentro de una región Ax = 0.0003 L cuando 6) Ax está en
7.
x = L j 8 y (c) en x = 3L/16. Consulte su figura para comprobar si sus resultados parecen razonables o no. (Sugerencia: no se re quiere integrar.) En un potencial unidimensional, la función de onda de un elec trón es T 0(x,í) = A Qe ~ 7T" l w x ~ P t -'«r/2 donde A 0 es un número real, a) Demues&e que la densidad de probabilidad es real. 6) Calcu le A0 suponiendo que la probabilidad total de encontrar el elec trón en cualquier parte es 1. (Sugerencia: utilice la integral 17 del Ap. I. c) ¿En qué parte del eje x hay mayores probabilidades de localizar al electrón? La parte dependiente del tiempo de la función de onda de un electrón de energía E = h w / 4 ir e s ^0(x) = A Qe~ ~ 'na>x2/ h donde A0 es una constante. Sustituya este valor en la ecuación de Sch rödinger (Ec. 47-17) y obtenga la ecuación de la energía poten cial U(x). ¿Qué representa esta energía potencial? Si un electrón gira en una órbita con una frecuencia/0, el elec tromagnetismo clásico predice que irradiará energía no sólo a esa frecuencia sino también a 2/0, 3/0, 4/0, y así sucesivamente. Demuestre que esto también lo predice la teoría del átomo de hi drógeno de Bohr en el caso límite de los números cuánticos grandes. Aplique el modelo de Bohr al átomo del muon-hidrógeno, compuesto por un núcleo de carga e con un muon negativo (una partícula elemental con una carga q = • — e y una masa m = 207 m e, donde m e es la masa del electrón) que gira alrededor del núcleo, a) Calcule la separación entre muon-núcleo en la prime
ra órbita de Bohr, b) la energía de ionización y c) la longitud de onda del fotón más energético que puede emitirse. Véase “The Muonium Atom” de Vemon W. Hughes, Scientific A m erican, abril de 1966, p. 93. 8. Aplique el modelo de Bohr al átomo de positronio. Éste tiene un electrón positivo y otro negativo que giran alrededor de su cen tro de masa; ésta se encuentra a la mitad entre ellos, a ) ¿Qué re lación existe entre este espectro y el de hidrógeno? b) ¿Cuál es el radio de la órbita en el estado base? (Sugerencia: calcule la masa reducida del átomo.) Véase “Exotic Atoms” de E. H. S. Burhop, C on tem porary P h ysics, julio de 1970, p. 335. 9. De los tres componentes de L, uno, L 7 está cuantizado según la ecuación 47-30. En vista de las restricciones impuestas por las ecuaciones 47-27 y 47-28 tomadas en conjunto, demuestre que lo más que puede decirse de los dos componentes restantes de L es a/L; + L j = V/(/ + 1) ~ m j h/2-rr.
Nótese que los dos componentes no están cuantizados por sepa rado. Demuestre asimismo que i i h l2 tt <
+ L j < V/(/ + 1) h/lTT.
10. En los átomos hay una probabilidad finita, aunque muy peque ña, de encontrar en algún momento un electrón orbital dentro del núcleo. De hecho, algunos núcleos inestables usan esta apa rición esporádica del electrón para decaer por la captu ra de electrones. Suponiendo que el protón también sea una esfera
de radio 1.1 X 10-15 m y que la función de onda del electrón del átomo de hidrógeno se mantenga siempre en el centro del pro tón, utilice la función de onda en el estado base para calcular la probabilidad de que el electrón esté dentro de su núcleo. (Suge rencia, cuando x « 1, e~ x = 1 .) 11. Repita el problema 10 con un electrón en el estado n = 2, l = 0, esto es, calcule la probabilidad de hallar el electrón dentro del protón, con un radio = 1 .1 fin, que constituye el núcleo del áto mo de hidrógeno. 12. a ) En el estado base del átomo de hidrógeno, demuestre que la probabilidad P de que el electrón esté dentro de una esfera de radio r está dada por P = 1 — e - l l (l + 2x + 2x2),
en la cual x = r / a Q. b) Evalúe la probabilidad de que, en el es tado base, el electrón esté dentro de una esfera de radio a0. 13. Utilice el resultado del problema 12 para calcular la probabili dad de encontrar, en el estado base, el electrón de un átomo de hidrógeno entre las esferas r = a 0 y r — 2 aQ. 14. Para un electrón en el estado base del átomo de hidrógeno, calcu le el radio de una esfera donde la probabilidad de localizar el electrón dentro de ella es igual a la de encontrarlo afuera. (Su gerencia: consulte el Prob. 12.) 15. En un átomo de hidrógeno en un estado con n = 2 y l = 0, ¿qué probabilidad hay de localizar el electrón en alguna parte del in terior del más pequeño de los dos máximos de su función de densidad de probabilidad'radial? Véase la figura 4 7 -14b.
J ‘" R O B L E M A P A R A R E S O L V E R PC R _C O M PU T^O R A 1. El problema del pozo cuadrado finito puede resolverse numéri camente preparando una hoja de cálculo como la siguiente: X (pm)
*
d é j dx
0
A
B
d 2p / d x 2
1 2
etc. donde en cada nuevo renglón ibestá dada por la del renglón anterior ip + Ax(dip/dx), y en forma semejante dip/dx está dada por la del renglón anterior d ip /d x + A x (d 2tp/dx2). Sin embargo, d 2ip/dx1 está dada por la
ecuación de Schrödinger en función de la energía E, la posición x y la función de onda tp. L es el ancho del pozo: las iteraciones comienzan en el centro del pozo porque A o B , los valores iniciales de tp o d p id x son cero según que el estado sea par o impar, a) Considere un electrón ligado al pozo de 100 pm de ancho y de 250 eV de profundidad. Deter mine el estado base escogiendo el valor mínimo de la energía E que impide que p “explote” antes de llegar a x = 1 0 0 pm en la hoja de cálculo. Recuerde que x se mide desde el centro del pozo. La exactitud con que estima E puede mejorarse con sólo exigir que p permanezca fi nita con valores más grandes de x En el estado base, haga A = 1 y B = 0. b) Calcule la energía del primer estado excitado. En este caso, haga A = 0 y B = 1; determine la energía mínima E que impide que ^ “ex plote” en una distancia determinada.
ESTRUCTURA DEL ÁTOMO
=
.
/
n e s te c a p ítu lo v a m o s a e x a m in a r lo s á to m o s c o n m u
c h o s e le c tr o n e s y v a m o s a e x p lic a r lo s m o v im ie n to s d e lo s e le c tr o n e s q u e s e h a lla n en lo p r o fu n d o d e l á to m o y q u e o rig in a n lo s r a y o s X . D e s p u é s , e l e s tu d io d e e s to s r a y o s n o s l le v a r á a d e s a r r o lla r e l c o n c e p to d e n ú m ero a tó m ic o . A co n tin u a ció n tr a ta r e m o s la s re g la s q u e p e r m ite n c o n s tr u ir á to m o s co n m u c h o s e le c tr o n e s y v e r e m o s c ó m o a p l i c a r l a s p a r a d e te r m in a r la d is p o s ic ió n d e lo s e le m e n to s en la ta b la p e r i ó d ic a . D e s p u é s d e s c r ib ir e m o s a l g u n o s e x p e r im e n to s c o n c e r n ie n te s a la s p r o p i e d a d e s d e lo s á to m o s y d e m o s tr a r e m o s q u e lo s r e s u lta d o s p u e d e n in t e r p r e ta r s e a p a r t i r d e la te o r ía c u á n tic a d e l á to m o . F in a lm e n te u s a r e m o s la in fo r m a c ió n o b te n id a d e la e s tr u c tu r a d e l á to m o p a r a a n a l i z a r e l f u n c io n a m ie n to d e un l á s e r d e h e lio -n e ó n .
4 8 - 1 EL ESPECTRO DE RAYOS X DE LOS ÁTOMOS
van sobre él. Tomemos un electrón de energía cinética K que pasa cerca del núcleo de uno de los átomos de molibdeno que forman el blanco, según se observa en la figura 48-2. En tal Hasta ahora nos hemos concentrado en los m ovim ientos del : colisión el electrón pierde energía cinética, que aparece como la energía h f de un fotón de rayos X que irradia lejos del sitio del electrón en el átomo de hidrógeno. En seguida vam os a estu diar los átomos con más de un electrón y los m ovim ientos de los electrones que se encuentran en el interior de tales átomos. Pasamos de una región de relativamente baja energía de enla ce (por ejem plo, se requieren 5 eV de trabajo para extraer el electrón de valencia en el átomo) a otra de más energía (diga mos 70 keV para extraer un electrón ubicado en la capa más profunda de un átomo de tungsteno). Aun cuando sigan for mando parte del espectro electromagnético, la longitud de on da de las radiaciones emitidas por los electrones ubicados en las capas más profundas difieren radicalmente; por ejemplo, de ~ 6 X 10-7 m en las líneas del doblete de sodio a ~ 2 X 10“ 11 m en uno de las radiaciones características del tungste no, una razón aproximada de 3 X 104. La radiación de la tan corta longitud de onda cae dentro de la región de los rayos X del espectro. En la figura 48-1 se muestra el espectro de los rayos X que se produce cuando se permite que los electrones de 35 keV choquen contra un blanco de molibdeno. Longitud de onda (pm)
El espectro continuo de rayos X Exam inarem os primero el espectro continuo de la figura 48-1, sin considerar, por ahora, los dos p icos prom inentes que se e le
F i g u r a 4 3 - 1 . Distribución de la longitud de onda que resulta cuando se bombardea un blanco de molibdeno con electrones de 35 keV. Nótese la longitud de onda mínima perfectamente definida.
F i g u r a 4 -3 -2 . El espectro continuo de rayos X consta de fotones generados cuando los electrones incidentes pasan cerca de los núcleos individuales blanco, perdiendo energía al hacerlo.
encuentro. (Podemos no tener en cuenta la energía adquirida por el núcleo relativamente masivo de molibdeno.) A esa radiación se le llama bremsstrahlung (expresión alemana que significa ra diación de frenado) y explica el espectro continuo de rayos X. U na característica sobresaliente del espectro continuo de la figura 48-1 es la netamente definida longitud de onda de corte Amín debajo de la cual no existe el espectro continuo. E s ta longitud de onda m ínim a corresponde a un evento en que uno de los electrones incidentes (con energía cinética eíXV, ad quirida al acelerar a través de la diferencia de potencial AV) pierde toda su energía en un solo encuentro, irradiándola co mo un fotón individual. Por tanto, he eV = ¥máx
A„
A„
he eA V
(48-1)
Puesto que la constante de Planck h aparece en la ecuación 48-1, la existencia m ism a de una longitud de onda mínima es un fenóm eno cuántico. Si cambiamos el material blanco, quizá el molibdeno por el cobre, la forma y la intensidad generales del espectro con tinuo se alterarán, no así la longitud de onda de corte. D epen de exclusivam ente de la energía cinética de los electrones que bombardean al blanco y no del material blanco.
El espectro característico de ios rayos X Ahora vam os a concentram os en los dos picos de la figura 48-1, denotados por K a y Kp. Estos picos caracterizan al mate rial blanco y, junto con otros que aparecen en las longitudes de onda más largas y que no se incluyen en la figura 48-1, forman el espectro característico de los rayos X del elemento blanco. He aquí cómo se producen los fotones de los rayos X: 1) un electrón energético choca contra un átomo blanco y expulsa uno de los electrones situados en la capa más profunda del alambre blanco. Si el electrón se halla en la capa n = 1 (por razones históricas conocida com o capa K ), en esta capa que dará un vacío o un “hoyo” com o lo llamaremos. 2) Uno de los electrones extem os penetra para llenarlo y en el proceso el átomo emite el fotón típico de los rayos X. Si el electrón cae en la capa con n = 2 (denominada capa L), tendremos la lí nea K a de la figura 48-1; si cae de la siguiente capa más ex-
K„
Ka
F i g u r a 4 -3 -3 . Diagrama de niveles energéticos atómicos del molibdeno, donde se muestran las transiciones que representan su espectro característico de rayos X. Todos los niveles, excepto el nivel K, tienen varios componentes cercanos; éstos no aparecen en la figura.
tem a (denominada capa M), tendremos la línea K^ y así suce sivamente. Por supuesto la transición dejará un hoyo en la ca pa L o M, pero lo llenará un electrón proveniente de una región más distante del átomo. En la figura 48-3 se ve un diagrama de niveles de ener gía del m olibdeno, elem ento que se em plea com o blanco pa ra crear el espectro de la figura 48-1. La flecha marcada K a muestra el resultado de un electrón proveniente de la capa L (n = 2) que cae para llenar el hueco en la capa K. Las ener gías de estos niveles son E 0 = —2.6 keV y £ j = —20.0 keV. La energía del fotón K a emitido cuando el electrón efectúa es te salto será entonces E — £ , - E ¡ = 17.4 keV, típica de ios fotones en la región de rayos X del espectro electrom agné tico. La longitud de onda correspondiente a esta energía del fotón mide 71 pm, correspondiente al sitio donde el pico mar cado K a aparece en la figura 48-1. En vez de un electrón proveniente de la capa L, otro pro cedente de la capa M puede caer para llenar el hueco de la ca pa K. Este salto se indica con la flecha marcada K^ en la figura 48-3. Sabiendo que la energía de M (n = 3) es — 0.4 keV, el lector debe ser capaz de demostrar que la longitud de onda del fotón de rayos X K^ coincide con el pico correspon diente de la figura 48-1. En el caso del rayo X K a, un hoyo quedará en la capa L cuando el electrón salte y baje para llenar el hueco en la capa K. Este hueco pueden llenar los electrones procedentes de ni veles de energía más altos. Dos de esos saltos (desde las capas M y AO se indican en la figura 48-3 como rayos X La y L ^ ¿Puede explicar- por qué los picos L a y L^ no aparecen en la figura 48-1? P r o b l e m a R e s u e l t o 4 -8 - í . Calcule la longitud de onda Am¡n en el espectro continuo de rayos X emitido cuando electrones de 35 keV inciden sobre un blanco de molibdeno, como se muestra en la figura 48-1.
S o lu ció n Por medio de la ecuación 48-1 obtenemos
-
hc eA V
-
(6.63 X 1Q~34 J-s)(3.00 X 108 m/s) (35.0 X IO3 eV)(1.60 X 10~l9J/eV)
= 3.55 X 10~n m = 35.5 pm.
El valor anterior concuerda con el resultado experimental marcado co mo Ajjjj,, en la figura 48-1. (Nótese que la magnitud del segundo con junto de paréntesis en el denominador es un factor de conversión.)
M S M S LOS RAYOS X Y LA NUM ERACIÓN DE LOS ELEM EN TOS D esde la época de M endeleev (1834-1907) los elem entos se listaban en la tabla periódica por orden de p e s o a tó m ic o cre ciente. U n problema consistía en que, en varios casos, había que cambiar el orden riguroso para mantener la semejanza de las propiedades químicas en las columnas verticales de las ta blas. El joven físico británico H. G. J. M oseley, cuya prome tedora cairera de investigador fue truncada a los 27 años de edad por la bala de un francotirador durante la Primera Gue rra Mundial, creó el concepto de n ú m e ro a tó m ic o (sím bolo Z) y demostró que estos problemas desaparecían sí la tabla se or ganizaba por orden de Z creciente. En efecto, probó cóm o ar mar los elem ento en una línea y asignarles un número. Su método se basaba en la medición y el análisis de los rayos X característicos de los elementos. En sus investigaciones M oseley midió la longitud de on da de los rayos X representativos del mayor número posible de elem entos (logró encontrar 38), usándolos com o blanco para bombardear con electrones en un tubo de rayos X diseñado por él. D espués buscó, y fácilm ente detectó, regularidades en los espectros a! pasar de un elem ento a otro en la tabla perió dica. En particular observó que aparecía una línea recta, si pa ra una línea espectral de rayos X com o K a . graficaba la raíz cuadrada de su frecuencia ( = \ f f = A /c/A ) en función de la p osición del elem ento dentro de la tabla periódica. La fig u ra 4 8 -4 contiene parte de sus datos. La conclusión que extra jo del conjunto de datos recabados fue la siguiente: T e n e m o s a q u í u n a p r u e b a ele q u e en e l á to m o h a \ u n a m a g n itu d f u n d a m e n ta l, q u e a u m e n ta c o n p a s o s r e g u la r e s a m e d id a q u e p a s a m o s d e un e le m e n to a l s ig u ie n te . E s ta m a g n itu d n o p u e d e s e r o tr a q u e la c a r g a en s u n ú c le o c e n tr a l.
A sí, M oseley descubrió el concepto y la importancia del nú mero atómico. Los datos de M oseley, ofrecidos en la figura 48-4, pue den representarse mediante la relación lineal 4f = C ( Z -
1),
(48-2)
donde C es una constante, y Z la posición numérica del ele mento de la tabla periódica. Esta ecuación, que puede obtener se de la teoría cuántica híbrida de Bohr, se adecúa muy bien a los datos. Apreciamos en su cabal trascendencia la hazaña de M o seley si recordamos lo que en su época (1913) se sabía de la estructura del átomo. Apenas dos años antes, Rutherford ha bía propuesto el modelo nuclear. Poco se sabía sobre la m ag nitud de la carga nuclear o del arreglo de los electrones.
F i g u r a 4 S - 4 - . Diagrama de M oseley para la línea K del espectro de rayos X de 21 elementos. La frecuencia se determina a partir de la longitud de onda medida.
Todavía no se había descubierto la mecánica cuántica. La tabla periódica contenía varios cuadros vacíos y habían proliferado las propuestas de nuevos elementos. Todavía no se clasificaban debidamente los elem entos de tierras raras, por los problemas que planteaban sus propiedades químicas similares. Gracias al trabajo de M oseley, el espectro característico de los rayos X se convirtió en la firma universalmente aceptada de un ele mento. N o es difícil entender por qué el espectro característico de los rayos X ofrece regularidades tan notables de un ele mento a otro, no así el espectro visible. La clave para identi ficar un elem ento es la carga de su núcleo; ésta determina el número de sus electrones y, por consiguiente, sus propiedades químicas. Por ejemplo, la naturaleza del oro se debe a que sus átomos poseen una carga nuclear de + 1 9 e . Si tuviera una unidad más de carga, ya no sería oro sino mercurio; si tuvie ra una menos, sería platino. Los electrones de la capa K , que intervienen de manera tan importante en la generación de los espectros característicos de los rayos X, se hallan muy cerca del núcleo y son pruebas sensibles de su carga. En cambio, el espectro visible se relaciona con las transiciones de los elec trones externos, que están fuertemente blindados o “apanta llados” del núcleo por acción de los electrones restantes; no son una prueba sensible de la carga nuclear.
L a teoría de Bohr y el diagram a de Moseley La teoría de Bohr se aplica bien al hidrógeno, pero no a los átomos que tienen más de un electrón (en parte porque no abarca la interacción de repulsión entre los electrones). Pese
a ello, ofrece una excelente primera aproximación al explicar el diagrama de M oseley de la figura 48-4. Supongamos un electrón en la capa L de un átomo que está a punto de dirigirse hacia el interior del hoyo en la capa K, emitiendo al hacerlo un fotón de rayos X K a . Por medio de la ley de Gauss (Ec. 27-16), comprobamos que el campo eléctrico en el sitio del electrón L está determinado por la carga ence rrada dentro de una esfera imaginaria de radio igual a la coor denada radial del electrón L. Esta esfera encierra una carga +Z e procedente del núcleo y otra —e procedente del electrón K individual restante. D ecim os que el electrón K “apantalla” la carga del núcleo. En parte por esa acción y por el reajuste que tiene lugar en la nube del electrón en su conjunto, el nú mero atómico efectivo en las vueltas de transición resulta ser Z — b, donde b = 1. La fórmula de Bohr al aplicarla a la frecuencia de la ra diación correspondiente a una transición en un átomo sem e jante al hidrógeno entre dos niveles atóm icos cuya energía difiera en á E será
Una medición rigurosa de la figura 48-4, por medio del triángulo
hgj, nos da una pendiente igual a gj __ (1.94 - 0.50) X 109 H z1/2 = 4.96 X 107 H zl/2, hg ~ (40 - 11) resultado que coincide con el valor predicho por la teoría de Bohr dentro de la incertidumbre de la medición gráfica. Nótese asimismo que la intersección de la figura 48-4 de hecho se aproxima a 1, se gún lo previsto por el argumento de “apantallamiento”. La coincidencia con la teoría de Bohr no es tan rigurosa en otras líneas del espectro de rayos X, correspondientes a las transiciones de electrones más alejados del núcleo; aquí debemos utilizar los cálcu los basados en la mecánica cuántica. P r o b l e m a R e s u e l t o 4 8 - 3 . Se bombardea un blanco de cobal to con electrones y se miden las longitudes de onda de su espectro característico de rayos X. También se obtiene un segundo espectro, menos característico, que se debe a una impureza del blanco. Las longitudes de onda de K a son 178.9 pm (cobalto) y 143.5 pm (im purezas). ¿Cuál es su impureza?
S o lu ció n Apliquemos la ecuación 48-2 al cobalto y a la impureza X
AE = h
mZV
ÍJ_ „2
8 e lh z \ n}
..2 )’
(48-3)
cuando se em plea la ecuación 47-23 para los niveles de ener gía. En la transición K a de la figura 48-3 podem os reempla zar Z por Z — b\ nf por 1, y por 2. Y así obtenemos m (Z — b)~e
(7 -
b),
(48-4)
1),
P r o b l e m a R e s u e l t o 4 . 8 - 2 . Calcule el valor de la constante C en la ecuación 48-5 y compárelo con el de la pendiente medida de la línea recta en la figura 48-4.
Solución La comparación de las ecuaciones 48-4 y 48-5 nos permi
C= =
3 m e4
^ 3 (9 4 1 X 10~31 kg)l/2(1.60 X 10~19 C)2
4 V2 (8.85 X 10~12 F/m)(6.63 X 10~34J -s)3/2 = 4.95 X 107 H z l/2.
= C (Z X -
1).
A l dividir queda
Zx~ i Zr„ - 1
178.9 pm _
Zx — 1
143.5 pm
27 — 1
48-5)
donde C es la constante indicada y b « 1. La ecuación 48-5 representa una línea recta; esto coinci de a la perfección con los datos experimentales de la figura 48-4. Pero si este diagrama se extiende a números atómicos más altos, resulta que dicha ecuación representa una línea no tan rec ta sino una un poco cóncava, hacia arriba. No obstante, sigue siendo extraordinaria la compatibilidad cuantitativa con la teo ría de Bohr, com o se comprueba en el problema resuelto 48-2.
te escribir
y
Y al resolver para la incógnita encontramos Zx = 30.0. Una ojeada a la tabla periódica nos dice que la impureza es zinc.
podemos escribirlo de la siguiente forma •Jf = C (Z -
= C(ZCo - 1)
Y al su stitu ir los v alo res dados obtenem os
Ai lomar la raíz cuadrada de ambos lados nos queda 3m e4 A1/2
4co
ACo Ax
( 1
f-
<7 =
A l h a c e r / = c/A , obtenemos
4 I S - 3 CONSTRUCCIÓN DE ÁTOMOS En la sección anterior vim os cóm o armar los elem entos en una línea continua, asignándole a cada uno un número atómi co Z. Ahora vam os a aplicar los principios de la mecánica cuántica para dividir la línea en segm entos correspondientes a los periodos horizontales de la tabla (Ap. E). Tendremos un éxito com pleto en nuestro esfuerzo. To dos los detalles de la tabla periódica pueden explicarse, entre ellos 1 ) los números de los elem entos en los siete periodos ho rizontales de la tabla, 2) la semejanza de las propiedades quí micas en varias colum nas verticales y 3) la existencia de la serie de lantánidos y actínidos, reunidos en un solo cuadrado de la tabla. En una palabra, la mecánica cuántica com plem en tada con algunos principios rectores explica todos los aspec tos de la tabla y, por tanto, toda la química.
Planeamos comenzar con un núcleo de carga + Z e y des pués, al agregarle Z electrones, construir un átomo neutral en su estado base. El éxito estará asegurado si nos guiam os por las tres reglas siguientes de la construcción de átomos: 1. E l prin cipio del número cuántico: pueden emplearse los cuatro números cuánticos (n, /, m¡, m ) que se establecieron con el átomo de hidrógeno para identificar los estados cuán ticos de los electrones individuales en los átomos con muchos electrones. Más aún, se aplican las restricciones entre estos nú meros; éstas están contenidas en la tabla 47-2. 2. El principio de exclusión de Pauli: este poderoso princi pio, propuesto en 1925 por el físico austríaco Wolfgang Pauli (1900-1958), establece que en un átomo con muchos electro nes, dos electrones no pueden tener el mism o conjunto de números cuánticos. En caso de que no fuera válido este prin cipio, todos los electrones del átomo se acumularían en su ca pa K y la química tal com o la conocem os no existiría, pues todos los átomos tendrían las mism as propiedades químicas. N o serían posibles los procesos bioquím icos, ni siquiera los que permiten la existencia del hombre. 3. E l principio de energía mínima: al llenar con electrones los estados cuánticos disponibles, surge la pregunta: ¿en qué or den deberíamos llenarlas? La respuesta siguiente es: al agregar un electrón, se debe ponerlo en cualquier estado cuántico vacío que produzca un átomo con la menor energía. Si no se lleva a cabo, el átomo no se hallará en su estado base. La subcapa de energía mínima se identifica con ayuda de la siguiente regla: pa ra un número cuántico n dentro de un átomo de muchos electro nes, el orden de la energía creciente de las subcapas es el de / creciente. (Pero como veremos en la siguiente sección, los esta dos no siempre se llenan en el orden de n creciente.) Tomemos, por ejemplo, la capa definida por n — 4 en un áto mo neutro de plomo. (Sus electrones de valencia tienen n = 6, por lo cual los electrones n = 4 se encuentran en la mitad de la nube untada de electrones que rodean al núcleo de plomo,) Una capa con n = 4 tiene cuatro subcapas, correspondientes a l = 0, 1, 2 y 3 que designamos com o 45, 4p, 4 d y 4f respectivamente. La energía de enlace de los electrones en esas subcapas puede calcularse experimentalmente midiendo los espectros característicos de rayos X del átomo de plom o. La tabla 48-1 muestra los resultados. El estado 4s presenta la energía más pequeña de los cuatro. Es decir, en él se debe agregar una energía de 890 eV para extraer un electrón del estado 45 de un átomo de plom o. En el otro lím ite, se necesita una energía apenas de 140 eV para extraerlo del estado 4f s L á -2-5.= í Número cuántico principal n 4 4 4 4
Energías de electrones con n = 4 en un átomo de plomo (Z = 82) Número cuántico orbital l 0 1 2
(45) (4 p) (4cD
3
(4f)
Energía leV) -
890 710 420 140
Si quisiéramos examinar los diagramas de densidad de probabilidad relativos a los cuatro estados de la tabla 48-1, descubriríamos que, cuanto más bajo sea el valor de l, existen mayores probabilidades de encontrar los electrones cerca del núcleo de plom o. A lgunos electrones cercanos “ven” la car ga nuclear efectiva más alta y su ligadura más fuerte; tienen menos energía, com o lo indican el principio de energía m íni ma y el ejem plo de la tabla 48-1.
4 8 -4
LA TABLA PERIÓDICA
La figura 48-5 muestra cómo elaborar la tabla periódica aplican do las reglas de las construcción de átomos que acabamos de ex poner en la sección anterior. La energía aumenta hacia arriba en la figura. Los estados con el mismo valor l han sido desplazados a la izquierda y agrupados en columnas. Los bloques sombrea dos representan los periodos horizontales de la tabla periódica. La dependencia de la energía respecto a / es el rasgo dom inante de la figura 48-5. Observe, por ejemplo, la secuen cia 45, 4p, 4 d y 4/. Aunque esos estados tienen el mismo núme ro cuántico principal, no poseen igual energía. Su energía crece con l y, de hecho, los estados 4 / son tan altos que se hallan arri ba de los estados 5s y 5p , que presentan un valor de n mayor. Comenzando con el hidrógeno (Z = 1) en la figura 48-5 y siguiendo la línea curva, vem os cóm o se construyen los sie te periodos horizontales de la tabla, cada uno de los cuales em pieza con un metal alcalino y termina con un gas inerte. El sexto periodo largo, por ejemplo, principia con el cesio metá lico alcalino (Z = 55) y termina con el gas inerte radón (Z = 86). C om o lo indica la línea curva, el orden en que se llenan , las subcapas es 6 5 , 4/, 5 d y 6 p. El sexto periodo contiene una serie de 14 elem entos (de \ Z = 57 a Z = 70), enlistados por separado en el fondo de la tabla periódica en el apéndice E. Estos elementos son las tie rras raras, llamados también lantánidos por el nombre del elemento lantano con que comienza la serie. Las propiedades químicas de estos elementos se parecen tanto que fueron agru pados en un solo cuadrado de la tabla. La semejanza se debe a que, mientras que los estados 4f se llenan en lo profundo dentro de la nube de electrones, permanece en su sitio una pantalla exterior de uno o dos electrones 6 5 . Son estos elec trones más externos los que rigen las propiedades químicas del átomo. Una serie similar (los actínidos) ocurre en el sép timo periodo; en este caso, los electrones más externos de la pantalla exterior se hallan en el estado 75. El número m áxim o de electrones en una subcapa deter minada es 2 (2 1 + 1). Si cuenta el número de elementos en ca da una de las subcapas de la figura 48-5, comprobará que obedecen esta regla. En otras palabras, 2 para los estados 5 (/ = 0), 6 para los estados p (l = 1), 10 para los estados d (l = 2) y 14 para los estad os/ ( / = 3).
Configuración electrónica de los elementos La figura 48-5 nos permite establecer la configuración elec trónica de varios elem entos y así nos indica algo en tom o a
7p\ ië à' | Lf [ Ri j Db [' u Np 89 90 ■- 92 93
107 108
0
Ì 1 03110411051
:Sf An Th ■-
i
Bh Hs
113 114Í115
1 111I 112
-■ = ■ Fm Md No ' 97 98 99 100 101 102
95
7
% -H
-.i
lf
s.-
Au | Hg ! " l.
□y Ho Gd La Ce Pr ■.j Pm Sm 57 60 61 62 63 64 _S5_ 66 ■■■
Tm Yb 69 70
l =3 (1 4 estados)
Ad
Zr Nb Mo Te Ru Rn 42 I43 44 ■■
■Ai 40
3d
Gei n i V j Cr jMnI Fe iCo j Ni j Cu Zn 2! ! 22 ; 23 I 24) 25 ì 26 ! 27 j 28 I 29 30
!(10 estados)
•ir-ì-i
i I P s Cl 4 i 15 16 17
kCC
W Ê S ^ ÿ Ê S S ffS Ê B X3i-
2p
G ases inertes (final de periodos)
\:.11
B | C I N I O | F | M| 5 I 6 I 7 i 8 i 9 I 1C-I /= 1
(6 estados)
Metales alcalinos (inicio de periodos) /=0
(2 estados) F i g u r a 4 8 - 5 . C o m en z an d o con el h id ró g en o en la parte inferior, l a lín ea cu rv a cru za l o s siete periodos horizo n tales (so m b read o s) de la tabla. C ada p erio d o em p ie z a con un m etal alcalino y term ina co n un gas inerte.
■ ■
wËÊÊÊËÊm
m m
■ B wmÉk
sus propiedades quím icas. Consideremos tres de ellas que se consiguen com enzando en la parte inferior de la figura 48-5 y avanzando hacia arriba hasta llegar al elemento en cuestión; al hacerlo se cuentan las subcapas: Flúor Neón Sodio
Z z
9
10
ls 2 2s2 2p6
z-
11
l s 2 2 s 2 2p 6 3s 1
ls 2 2s 2 2 p 5
En esta notación, el primer número de cada grupo (digamos ls 2) es el número cuántico principal n, que define una capa;
la letra es el código del número cuántico del momento angular, que define la subcapa; el superíndice indica el número de elec trones que ocupan esa subcapa. Así pues, l s 2 indica 2 electro nes en la subcapa ls. La suma de los superíndices corresponde al número atómico del elem ento en cuestión. A manera de ejem plo, los seis electrones en el estado 2p del neón tienen n = 2 y l = 1. Por tanto, el neón cuenta con una subcapa llena 2p, configuración sumamente estable. El neón es, por ello, un gas inerte; en la generalidad de los casos no forma com puestos con otros elem entos. También lo son
los elem entos que están arriba del neón en la figura 48-5 y en la tabla periódica del apéndice E. El flúor, en cambio, tiene un “hoyo” en su subcapa 2p. Esta última puede alojar seis electrones pero en el flúor sólo hay cinco. A sí, este elem ento acepta un electrón y forma com puestos con otros que pueden dárselo. El sodio tiene un solo electrón en la subcapa 35, fuera de un núcleo interno inerte semejante al neón. Forma fácilmente com puestos con elementos que presentan un solo “hoyo” disponible para aceptar este electrón de valencia. El fluoruro de sodio (NaF), por ejemplo, es un compuesto particularmente estable. Hay pequeñas desviaciones esporádicas de la configura ción electrónica que pueden deducirse de la figura 48-5. Una de ellas ocurre en el cobre (Z = 29), que según la figura 485 debería presentar la configuración l s 2 2 s 2 2p 6 352 3p 6 4 s 2 3 d 9. Sin embargo, resulta que desde el punto de vista energético es preferible terminar de llenar la subcapa 3d (que pueden con tener 10 electrones y sólo tiene 9 en la configuración m encio nada), antes de poner electrones en la subcapa 45. A sí pues, la configuración electrónica real del cobre es 1s 2 2s 2 2 p 6 3 s 2 3 p 6 3 d i0 4 s ‘. A este electrón individual 4s se debe la gran conductividad eléctrica del cobre. Hay otros ejem plos de esta clase de des viaciones de la configuración. Se da el nombre de energía de ionización a la que se n e cesita para extraer al electrón menos sólidamente ligado de un átomo en su estado base. La figura 48-6 muestra las energías de ionización de los elem entos. N ótese que, en cada subcapa, la energía de ionización aumenta de modo estacionario y al canza un máximo en un gas inerte, produciéndose una fuerte caí da al siguiente elemento alcalino. Así, el sodio tiene una energía de ionización de 5.14 eV. Se debe suministrar una energía mu cho más grande (47.3 eV ) para extraer un segundo electrón del sodio; una vez hecho esto, el ion sodio presenta una con figuración similar a la del neón; ésta es muy estable, pues consta de tres subcapas llenas.
Estados excitados y las transiciones ópticas Hasta ahora nos hemos referido principalmente a la configura ción de energía mínima o de estado base de los átomos. Cuan do le agregamos energía a un átomo, quizá al colocarlo en un tubo de descarga eléctrica o al bombardearlo con radiación, es posible elevarlo a uno de sus estados de mayor energía. Las diferencias de energía entre el estado base y los si guientes estados de mayor energía, a los cuales puede llevar se el electrón exterior excitándolo, suelen ser del orden de unos pocos electrovolts. Cuando el electrón vuelve a su esta do base, emite una radiación cuya energía de fotón (igual a la diferencia entre las energías del estado excitado y el estado base) se halla en el intervalo eV, correspondiente a la luz vi sible. Por tal razón, a esos cambios de su estado se les cono ce com o transiciones ópticas. La figura 48-7 muestra los estados excitados de un elec trón individual de valencia de sodio y algunas transiciones posibles. (N o todas están dentro del intervalo visible.) Nótese que simplem ente no ocurren muchas transiciones posibles desde el punto de vista energético. Dos ejemplos: no se da transición entre el nivel 5s y el nivel 45, ni tampoco entre los niveles 4 d y 45. Una vez determinadas las funciones de onda de varios estados, será posible calcular las probabilidades de que haya transiciones entre ellas. Cuando lo hacemos, de las matemáticas nacen algunas reglas denominadas reglas de se lección. La más importante en relación con la figura 48-7 es la siguiente: el número cuántico del momento angular orbital del electrón que realiza la transición deberá cambiar sólo en una unidad, o sea A/
Niveles de hidrógeno
n=5 n :A
44., 4£_
34
V_ '■i'. _ O' s? :* .
xO í 'jpxqO-N V/r.E?
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c 'O 20 1 'o 03 N ’c o 15
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10 p c LÜ 5 Li
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Kr
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0
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6s 5s
30 > 25 •S-
(48-6)
1.
7/ 75í"
Na I 10
5d I 6P | i «Rn
4d
«6s!
Rb i 20
30
Cs I
40
50
60
70
90
100
Z F i g u r a 4 3 - 6 . Energías de ionización de los elem entos, graficadas en fu n ció n de su n u m ero atóm ico. S e in d ican las subcapas de los electro n es extraib les.
F i g u r a 4 8 - 7 . D iagram a de niveles de energía para el electrón de valen cia del sodio. L os niveles se distribuyen lateralm ente, de m an era que ca d a colum na vertical contiene sólo los del m ism o n ú m ero cu án tico del m om ento an g u lar orbital. L as flechas indican ^ a lg u n as tran sicio n es que pueden em itirse, m arcadas con su longitud de o n d a en nm . (El nivel 3p consta, en realidad, de dos estados m u y p o co espaciados, po r lo cual todas las transiciones que lo co n tien en p o se en dos com ponentes cuya longitud de on d a d ifíeie iiaprqm pnfp'
I ñ S fiC .
48-8.)
Una transición del nivel 5s a 4s implica A l = O y otra del ni vel 4 d a As im plica A l = — 2. Las transiciones anteriores v io lan la regla de selección de la ecuación 48-6. Las reglas de selección no son absolutas: puede haber transiciones que las violen, pero la intensidad de la radiación emitida suele ser muy débil.
£3
M A G N ETISM O ATOM ICO
En el capítulo hemos venido comentando lo que podemos apren der acerca de las propiedades de los átom os efectuando e x perimentos para medir sus niveles de energía, observando generalmente la longitud de onda o la energía de los fotones em itidos cuando un electrón hace la transición de un estado energético a otro. Las propiedades del momento angular del átomo se estudian en la forma más directa colocándolo den tro de un campo m agnético. En la presente sección y en la si guiente vamos a explicar cóm o el momento angular orbital y de espín influyen en la estructura magnética del átomo. Más adelante veremos que un campo magnético afecta además a la longitud de onda de los fotones emitidos. C onviene comenzar la exposición usando el m odelo hí brido de Bohr, donde el electrón se ve en su órbita com o una diminuta espira de corriente (Secs. 35-1 y 35-3). Según seña lamos en la ecuación 35-10, el momento dipolar magnético de la espira es (en la notación actual) Pi
0 L, ¿m
(48-7)
donde pi es un vector que representa el momento dipolar mag nético, y L el vector del momento angular orbital del electrón. El signo negativo se debe a la carga negativa del electrón. Como se mencionó en la sección 47-6, el principio de incertidumbre Umita nuestro conocimiento de L a su magnitud y a una cualquier componente. Se acostumbra escoger el compo nente z com o el que se mide; de ahí que la ecuación 48-7 pue da escribirse tomando su componente z como P lz
■L ..
=
(48-8)
Aunque la ecuación 48-8 se obtuvo en forma sem iclásica, continúa siendo correcta en la mecánica cuántica. Los valores permitidos de LTestán dados por la ecuación 47-30 com o r u f i / l i r y por ello la ecuación 48-8 queda así m¡h P lz
2m
= —m¡
eh Amn
(48-9)
Podem os expresar el mom ento dipolar magnético en función del m agnetón de B ohr /Xg, que se define como eh P
b
~
Airm
= 9.21 A X 1(T24 J/T.
(48-10)
Del m ism o modo que el radio de Bohr es una medida útil de la distancia de la escala atómica, también el magnetón de Bohr
es una medida útil de los momentos magnéticos del átomo" A sí, la ecuación 48-9 se transforma en ' P i z =
~
m
¡ P
b.
(48-U )
donde m¡ adopta los valores dados por la ecuación 47-29 Si quisiéramos poner un átomo con un momento dipolar m agnético fZ[ dentro de un campo magnético B , que supone m os sigue la dirección z, la energía atribuible a la interacción entre el átomo y el campo magnético será U = —¡ i B = - p ¡zBz = miP bB z- Es decir>los átomos con varios valores de ml poseen diferente energía en el campo; esto permit.e deter minar su mom ento angular orbital. N o es posible emplear el modelo semiclásico para efectuar un cálculo similar en el caso del momento angular del espín; pero se obtiene un resultado parecido mediante un cálculo com pleto basado en la mecánica cuántica. El momento dipo lar m agnético causado por el espín es Psz = ~ 8 s m sP B-
(48-12)
El factor gs que aparece en la ecuación 48-12, no aparece eri la ecuación del mom ento dipolar magnético orbital. A seme janza del espín, es sólo un factor de la mecánica cuántica que no cuenta con un equivalente en la mecánica clásica. Su valor se aproxima mucho a 2, a diferencia del coeficiente de la ecuación 48-11 que es 1. El conocimiento del valor exacto de gs es decisivo, pues puede calcularse a partir de la teoría que combina la mecánica cuántica con el electromagnetismo. El valor calculado en forma teórica es gs — 2.0002319305, y el valor experimental g = 2.000231930437. En ambos casos, la ineertidumbre es aproxi madamente una unidad en el último dígito. El cálculo de un fac tor tan importante hasta 11 cifras significativas y su verificación experimental representa un triunfo que se debe a los métodos de la mecánica cuántica y a las habilidades del experimentador.
El e:iLer:ij2532t© de Einstein-de Haas Una barra ordinaria de hierro no presenta propiedades magné ticas extem as porque sus imanes atómicos elem entales están dispuestos al azar-, cancelando sus efectos todos los puntos externos. Pero cuando alineamos los imanes, com o sucede en un imán de barra, su fuerza magnética combinada está a la vista de todos; por ejem plo, pueden recogerse objetos peque ños com o las grapas para papel. Cuando se alinean los momentos magnéticos de un siste ma de átomos, lo m ism o debe suceder con sus momentos an gulares, a los que están rígidamente acoplados. Dado que las “ dos magnitudes están firmemente acopladas entre sí, el mag netism o del átomo ofrece un “m edio” cóm odo que permite analizar su momento angular. En 1915 Einstein, en colaboración con el físico holandés W. J. de Haas, efectuó un experimento para examinar esta relación entre el magnetismo del átomo de hierro y su momento angular. Recuerde lo siguiente: cuando lo realizaron, todavía no se descu bría la mecánica cuántica, hacia apenas dos años que Bohr había propuesto su teoría provisional del átomo de hidrógeno y se des conocía la existencia del momento angular- de espín del electrón.
Cojinete sin fricción (idealizado)
O
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o O
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©
O O O O O O O o o o o o
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Q j - Solenoide ~ \ ©
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O
-
-------“
C--------1
® ® ® ®
i p M i§ l 8 l 3 ÍM ÍJÍS Í si
¡ jj¡ g j|jjÍ j |¡M |a ¡jljW
® ® ® ® ® ® ® ®
F i g u r a 4 3 - 8 . Adaptación idealizada del experimento efectuado por Einstein y de Haas, a) Se suspende dentro del solenoide un cilindro de hierro que puede girar libremente, tí) Cuando se activa el campo magnético, los momentos magnéticos de los átomos de hierro tienden a alienarse, lo mismo que sus vectores del momento angular. Para conservar este último hay que girar el cilindro. El experimento tiene por objeto determinar el factor g de los átomos de hierro.
momentos uei uipoio magnéticos de los átomos de hierro se alineen paralelamente al campo. Los vectores del momento angular atómi cos, que están acoplados y consecutivos a los vectores de momento dipolar magnético, también se alinean y el cilindro empezará a girar en sentido contrario. Calcule T, el periodo de rotación del cilindro. Suponga que cada átomo de hierro posee un momento angular de 6/277 y que los átomos de hierro están completamente alineados cuando se activa el campo magnético. La masa molar del hierro es M = 0.0558 lcg/mol. S o lu ció n El momento angular Lci¡ del cilindro giratorio debe tener
la misma magnitud (aunque dirección opuesta) que ¿ át0 , el mo mento angular asociado a los átomos alineados. Si N es el número de átomos del cilindro, N A la constante de Avogadro, y m la masa del cilindro, podemos escribir
P ro b le m a R e s u e lto 4 8 - 4 . Un cilindro no magnetizado de hierro, con un radio R = 1.0 mm, está colgado de un soporte, de ma nera que gire libremente alrededor de su eje (Fig. 48-8«). De repen te se aplica un campo magnético paralelo al eje, haciendo que los
Na m M
Para el cilindro giratorio tenemos m R
2
donde I es la inercia rotacional del cilindro alrededor de su eje simé trico, y w su velocidad angular. Al igualar las dos expresiones y al resolver para T, obtenemos T = -
Si se magnetiza repentinamente una barra de hierro, quizá encendiendo una corriente en un solenoide como en la figura 48-8, se alinean en forma abrupta los mom entos magnéticos individuales y, por tanto, también los mom entos angulares in dividuales. La barra debe comenzar a girar en sentido opues to, pues su momento angular debe conservarse. Este e fe c to d e E in s te in -d e H a a s , nombre con el que se le conoce, es peque- ? ño y las m ediciones no resultan nada fáciles. Como nada sabían del espín, Einstein y de Haas espera ban confiadamente que los resultados de su experimento re velaran una relación entre el mom ento dipolar magnético y el momento angular semejante a la ecuación 48-8 o, en forma equivalente, un coeficiente de unidad en la ecuación 48-11. En cambio, los experimentos posteriores, efectuados con un aparato perfeccionado, indicaron coincidencia con la ecua ción 48-12, con g s = 1.929 ± 0.006. Parece evidente que el experimento mide el momento dipolar m agnético del e s p ín y no el momento o r b it a l del dipolo magnético. Ahora sabemos — cosa que Einstein no podía conocer— que el magnetismo del átomo de hierro depende enteramente de los momentos dipolares magnéticos del espín de sus electrones; los m om en tos magnético orbitales de los electrones se cancelan y dan cero. Aunque los resultados numéricos de Einstein y de Haas no se acercan a la precisión de m ediciones subsecuentes, su experimento demostró, sin la menor duda, la estrecha cone xión entre el momento angular y el magnetismo.
h
2 ir
(2772)R 2M N kh
(2t72)(1 X 10~3 m)2(0-0558 kg/mol) (6.02 X 1023 m o L 1)(6.63 X 1 0 '34J-s)
= 2760 s = 46 min. En realidad, Einstein y de Haas suspendieron su cilindro de una fi bra de torsión y se sirvieron de técnicas más refinadas de observa ción que las aquí descritas.
E L E X P E R IM E N T O DE
STERN-GERLACH
El vector del mom ento angular asociado a un estado atómico puede adoptar sólo algunas direcciones especificadas en el es pacio respecto a un eje seleccionado arbitrariamente (Fig. 47-13). Wolfgang Pauli predijo teóricamente este concepto de cu a n tiza c ió n e s p a c ia l. En 1922 los alemanes Otto Stem (1888-1969) y Walther Gerlach (1889-1979) intentaron verificar la predic ción en forma experimental. La figura 48-9 muestra el aparato que emplearon Stem y Gerlach. Se vaporiza plata en un “hom o” calentado eléctrica mente y se dispersan los átomos introduciéndolos en el apa rato al vacío por un hoyo pequeño en la pared del hom o. Los átomos (eléctricamente neutros pero con un momento m agné tico) forman un haz estrecho al cruzar una rendija en una pan talla. El haz, así colim ado, pasa entonces entre los polos de un electroimán y, finalmente, deposita los átomos de plata en una placa de vidrio que sirve de detector. Se configuran las caras del polo del imán para hacer el campo magnético lo más n o u n ifo r m e s posible. El haz de áto m os de plata pasa muy cerca del borde afilado en forma de V
F i g u r a 4.8 -9 . Aparato de Stem y Gerlach. Un haz de átomos de plata pasa por un campo magnético no uniforme y se deposita en una placa de vidrio. Como los átomos poseen un momento magnético, serán desviados por el campo magnético El experimento se propone demostrar la realidad de la cuantización espacial.
Horno
Haz Placa de vidrio del detector
Pantalla Imán
de la cara superior del polo, donde la no uniformidad del cam po alcanza su nivel m áxim o.
Usa clipolo en nn campo u© uniforme
■■¡s
En la figura 4 8 -lOrz se ve un dipolo de momento magnético Ji en un ángulo 6 con un campo magnético uniforme. Podemos representarlo com o un delgado imán de barra, cuyo vector dipolar magnético ¡1 apunta (por convención) de su polo sur a su polo norte. Suponem os que las fuerzas ejercidas por el campo magnético sobre el imán se concentran en sus polos, según se observa en la figura. Vemos que, en un campo uni forme, un par neto actúa sobre el imán (con 6 # 0 o 180°); sin embargo, sobre el dipolo no opera una fuerza neta sin impor tar el valor de 0, porque las fuerzas hacia arriba y hacia aba jo en los polos tienen la m ism a magnitud y se cancelan. Las figuras 4 8 - 10¿> y c describen la situación en un cam po no uniforme. Aquí, las fuerzas ascendentes y descendentes no poseen la m ism a magnitud porque los dos polos están in mersos en campos de intensidad diferente. En este caso hay una fuerza neta, cuya magnitud y dirección dependen de la orientación del dipolo, es decir, del valor de 8. En la figura
4 8 -10b la fuerza neta es ascendente y en la figura 48-10c es descendente. En consecuencia, los átomos de plata en el haz de la figura 48-9, al pasar por el electroimán, se desvían hacia arriba o hacia abajo, según la orientación de sus momentos dipolares m agnéticos respecto a la dirección z. C alculem os ahora la fuerza de deflexión. La energía po tencial de un dipolo magnético en un campo magnético B es tá dada por la ecuación 35-6, U = -£ •
S.
Por simetría (Fig. 4 8 -10b, c) el campo magnético en la posi ción del haz no tiene los componentes x ni y. Por tanto, B = Bz y entonces podem os escribir la energía así U
fX-
(48-13)
La fuerza neta F . que actúa sobre el diplo es sea F.
/V
-dü /clz, o
dBz (48-14)
dz '
A sí pues, la fuerza neta no depende de la magnitud del cam po sino de su d erivada espacial llamada también gradiente. En las figuras 4 8 -1 0 b y c,B^ aumenta junto con z; de ahí que
h jf m
\
x
\
a)
c)
a) Un dipolo magnético, representado por un pequeño imán de barra, se coloca en un campo magnético uniforme. Ninguna fuerza neta opera sobre él. b) En un campo no uniforme, una fuerza neta sigue la dirección z en la orientación mostrada, c) En esta orientación una fuerza neta sigue la dirección 2 negativa. F ig u r a
4. 3 - 1 O.
la derivada dBr/ d z sea positiva. Por eso, el signo de la fuerza de deflexión F „ en la ecuación 48-14 depende del signo de jx,. Si ¡x. es positivo (com o en la Fig. 48-10&), el átomo de plata se desviará hacia arriba; si es negativo (como en la Fig. 48-10c), la deflexión será hacia abajo.
Los resultados experimentales ¿Qué esperaban ver Stem y Gerlach cuando examinaron la pla ta depositada en la placa del detector de vidrio? Si no existe la cuantización espacial, /x, en la ecuación 48-13 podría tomar cualquier valor a partir de + ¡x a — ¡x\ el resultado sería una ex pansión afuera del haz, cuando se activara el imán. Pero lo que en realidad vieron fue que el haz se dividía netamente en dos subhaces, cada uno correspondiente a una de las dos orientacio nes permitidas del momento magnético del átomo de plata. La figura 48-11, una gráfica de la intensidad del haz en función de la posición del detector, muestra los resultados de una repetición reciente del experimento de Stem-Gerlach. Utilizaron átomos de cesio en vez de átomos de plata y emplea ron un detector más sensible, pero en los demás aspectos el experimento fue esencialm ente el mism o. Es patente la sepa ración del haz en dos subhaces cuando se encendía el campo magnético. Hoy sabem os (pero entonces se desconocía) que, en un átomo de plata (o de cesio), todos los momentos magnéticos orbitales y de espín de los electrones se cancelan, menos los del electrón de valencia individual. En este último, el momento magnético orbital es cero (por serlo también el momento an gular orbital), dejando sólo el momento magnético del espín. Como se observa en la ecuación 47-38, puede tomar sólo dos orientaciones en un campo magnético, correspondientes a m = + 1 / 2 y ms = —1 /2 . Hay, pues, dos subhaces y no al gún otro número. Stem y Gerlach terminaron el informe pu blicado de su trabajo con estas palabras: “Consideramos los resultados una prueba experimental directa de la cuantización espacial en un campo magnético”. Los físicos de todo el mun do coincidieron con ellos. Por estos experimentos y por otros en que usó haces de átomos, Stem fue galardonado con el pre mio N obel de Física en 1943.
Posición del detector d e haz
! 1 . El pico central muestra que, en una repetición moderna del experimento de Stem-Gerlach, no se desvía el haz atómico cuando apagamos el imán (o lo operamos con una potencia muy baja). La curva de pico doble muestra que los átomos del haz están alineados o antialineados con el campo magnético; no se presentan otras orientaciones. F
ig u r a
4 3 -
P r o b le m a R e su e lto 4 - 8 - 5 . El imán en el experimento de Stem-Gerlach tiene un gradiente de campo magnético d B ./d z = 1.4 T /m m en el sitio del haz de átomos de plata. La longitud D de la tra yectoria del haz al pasar por el imán es de 3.5 cm. La temperatura del hom o donde se evapora la plata se ajusta, de modo que la velo cidad más probable v de los átomos del haz sea 750 m /s. Determine la deflexión vertical de los dos subhaces al salir del imán. (La masa m del átomo de plata es 1.7 X 1CT25 kg, y su momento magnético efectivo 9.27 X 1(T24 J/T.)
S o lu ció n Según la segunda ley de Newton y la ecuación 48-14, la
aceleración vertical de un átomo de plata al atravesar el imán es = ü
= 4c id B J d z)
ni
m
Mientras se mueve horizontalmente con una velocidad v, cada áto mo de plata pasa por la longitud D del imán en un tiempo t = D /v. Entonces, al salir del imán su deflexión es d =
,
2
, ¡x.(dB .ldz)D 2 a i - = —=—-+—r ------.
2mv
La sustitución de los valores numéricos nos da (9.27 X 1Q-24 J/TX1.4 x IQ3 T/m)(3.5 X lQ -2 m)2 (2)( 1.7 X 10~23 kg)(750 m/s)2 = 8.31 X 1CT5 m = 0.083 rara.
,
i
La separación entre los dos subhaces es ei doble de ésta, esto es, unos 0.-16 min. No es grande pero se puede medir con facilidad.
-* * * -
m
R E S O N A N C IA M A G N É T IC A
NUCLEAR Com o el electrón, el protón tiene un espín de 1 /2 y, por eso, el com ponente z de su momento magnético asociado puede poseer dos valores solamente, correspondientes a = + 1 /2 y m — —1 /2 . El hecho de que muchas partículas, com o el protón, tengan espín ha resultado de gran utilidad práctica a través del fenóm eno de la resonancia m agnética nuclear (RM N), que en 1946 descubrieron en forma independiente Félix B loch y Edward Purcell. Por su trabajo compartieron el premio N obel en 1952. Cuando se pone un protón en un campo magnético B , se produce un cambio de energía de 2¡x3 . , si su momento mag nético de espín “oscila” entre una orientación paralela al cam po y otro antiparalela (Fig. 4 8 -12a). La oscilación puede desencadenarse sujetando los protones a un campo magnético alterno estimulador cuya dirección forme ángulos rectos con B y cuya fr e c u e n c ia /se escoge de manera que h f = 2/x-B..
(48-15)
Com o se ve en la figura 4 8 -1 2 b, la “oscilación de espín” pue de darse de un estado de poca energía a otro de mayor ener gía o a viceversa. En el primer caso se registra una re d u c c ió n de la energía en el campo magnético alterno, y en el segundo
F i g u r a 4 8 - 1 2 . a ) Un protón, cuyo espín es 1/2, puede adoptar únicamente dos orientaciones en un campo magnético aplicado. Si se satisface la ecuación 48-15, los protones pueden realizar la transición de una orientación a otra, b) En condiciones normales, hay más protones en el estado de menos energía que en el de más energía; así que el resultado es una absorción neta de energía por la muestra entera que contiene protones.
---
'/y'-.'. un in cre m e n to . Sin embargo, como se indica en la figura, nor malmente hay más protones en el estado inferior que en el supe rior. En conclusión, el efecto neto es una absorción (detectable) de la energía procedente del campo magnético alterno. El campo B se com pone de un campo magnético externo B ext (debido quizá a un electroimán) y de uno interno B¡nt (a causa del ambiente quím ico del protón). Por ejem plo, en una m olécula de etanol, cuya fórmula puede escribirse com o CH3-C H ,-O H , los núcleos de hidrógeno experimentan un campo interno diferente por su ubicación dentro de la molécula. Entonces la condición de resonancia de una oscilación de es pín será 2/Xj(Bext ~r B im) — hf,
(48-16)
donde suponem os que B ext y B int están en la misma dirección (la dirección z). S i m antenem os fija la frec u e n c ia /y si m odi ficam os el campo externo B ext, se encuentran varios casos en que ocurre la oscilación del espín, cada una correspondiente a un ambiente particular de un núcleo de hidrógeno (protón) en una m olécula de etanol (Fig. 48-13).
F i g u r a 4 8 - 1 4 . Imagen de resonancia magnética de la sección transversal de una cabeza humana.
La resonancia magnética nuclear se presta a multitud de aplicaciones en química y física. También constituye el fun damento de una técnica muy exitosa y conocida: la irn agin olo g ía d e r e s o n a n c ia m a g n é tic a (Fig. 48-14). P r o b l e m a R e s u e l t o 4 S - S . Una gota de agua está suspendida en un campo magnético B cuya magnitud es 1.80 T. Se aplica un campo magnético alterno estimulador, con su frecuencia ajustada para g e n erar o sc ila cio n es del espín de los p ro to n es en la m uestra de agua. La componente z del momento magnético del protón es ¿r, = 1.41 X 10-26 J/T. ¿Cuál es la frecuencia / y la longitud de onda A del campo magnético alterno? Suponga que los campos magnéticos internos locales son insignificantes comparados con B.
S o lu ció n
Suponiendo que B-ml = 0, con base en la ecuación 48-16
tenemos, 2 ¡x.B = (2)( 1.41 X 10~25 J/T)(l .80 T) _
h
6.63 X 1CT34 J • s
= 7.66 X 107 Hz = 76.6 MHz. La correspondiente longitud de onda es c
3.00 X 108 m/s
/
7.66 X i0 7 Hz
“ m'
Esta frecuencia y longitud de onda se hallan en la banda de onda cor ta de radio del espectro electromagnético.
F i g u r a 4 3 - 1 3 . Espectro de resonancia magnética nuclear del etanol. Todas las líneas se deben a la absorción de las radiaciones incidentes cuando el espín del protón cambia. Los conjuntos de líneas corresponden a diversas agrupaciones de los átomos de hidrógeno en el interior de la molécula. El alcance entero del eje horizontal, que representa al campo magnético extemo Bex(, es mucho menor que 1(T4 T.
< 4 S » S MAGNETISMO Y RADIACIONES ATÓMICAS (opcional) Cuando observamos detenidamente las líneas espectrales de un átomo bajo resolución alta, a menudo descubrimos que lo que aparece com o una sola línea es, en realidad, un par de líneas poco espaciadas. Examinaremos esta e s tr u c tu r a f in a , nombre que se le da, del espectro del átomo de sodio (Z = 11).
Los cuatro números cuánticos que describen el estado cuántico del electrón individual en el átomo de hidrógeno (Tabla 47-2) pueden usarse además para describir los estados cuánticos de los electrones individuales en átomos con más de uno. En la sección 48 -4 vim os que el átomo neutro de so dio tiene un solo electrón de valencia fuera de un núcleo se mejante al neón formado por los 10 electrones restantes. La suma vectorial de los m om entos angulares y magnéticos de los electrones en una subcapa llena da cero, por lo cual estas propiedades del átomo dependen exclusivam ente de las del electrón de valencia. La figura 48-15 es un diagrama (parcial) de niveles de energía para el electrón de valencia del átomo de sodio (véa se también la Fig. 48-7). El nivel más bajo, estado base, es un estado 3s, donde n = 3 y / = 0. El par superior de niveles re presenta un estado 3p, donde n = 3 y l = 1. Vemos aquí que, en átomos de muchos electrones, deja de ser verdad que la energía de un estado cuántico dependa únicamente del nú mero cuántico individual «; también depende del número cuántico orbital l. Quizá ello resulte comprensible porque la energía potencial del electrón de valencia del sodio se asocia no sólo a la carga nuclear, sino también a las de otros 10 elec trones; su penetración en esta nube de electrones depende del valor de l. La división del estado 3p en dos com ponentes es el ori gen de la estructura fina del espectro del átomo de sodio. La luz emitida cuando un electrón se encuentra en uno de los dos componentes del nivel 3p realiza una transición al estado ba se constituye el doblete de sodio. Es la intensa luz amarilla que emiten — por ejem plo— las lámparas de sodio en la ca lle. La figura no está a escala; la división real del nivel 3p es apenas 1 /1 0 0 0 aproximadamente de la diferencia de energía entre el nivel 3e y los 3s.
asociado al momento orbital del electrón. Estos dos imanes in ternos del átomo podemos imaginarlos como pequeños imanes de barra adosados, con sus vectores del momento magnético paralelos o antiparalelos. Las dos configuraciones no tienen la mism a energía porque se requiere trabajo para transformar la configuración antiparalela en paralela. En términos formales, describimos la situación introdu ciendo otro número cuántico j, denominado número cuántico to ta l d el m om ento angular, que se define mediante j = l±-j.
(48-17)
Este número es importante porque el componente z del vector del mom ento angular total (que incluye el m ovimiento orbital y de espín) tiene el valor m j{h/2rr), donde el valor m. fluctúa entre — j y + j en pasos enteros. En el estado 3s de la figura 48-15, donde l = 0 y j = 1/2 , no existe un mom ento magnético orbital con el cual interactúe el mom ento magnético del espín y, por tanto, tampoco di visión de estructura fina. Por el contrario, el estado 3p donde / = 1 se divide en dos componentes correspondientes a los dos valores permitidos de j, o sea (Fig. 48-15) j = 1 + 1/2 = 3/2
y
y = l -
1/2 = 1/2
El estado con j = 3 /2 cuenta con 4 subestados correspondien tes a nij = + 3 /2 , + 1 /2 , — 1 /2 y — 3 /2 . El estado con j = 1 /2 cuenta con 2 subes) ados correspondientes a w?. = -i- 1 /2 y — 1 /2 . A sí pues, los dos estados divididos tienen 4 + 2 o 6 subestados entre ellos. Cuando los niveles no se dividen, el estado 3p tendría 2 (2 1 + 1) = 2(2 X 1 + 1) = 6 subestados. En conclusión, la división de la estructura fina no cambia el número de estados; se limita simplemente a redistribuirlos.
Explicación de la estructura fina La división del estado 3p tiene lugar porque (el componente z) el momento magnético asociado al espín del electrón puede ser paralelo o antiparalelo al (componente z de) campo magnético
i
2j
+ l
3 p {n = 3, / = 1 ) —
A
3s (/! = 3 , 1 = 0)
F i g u r a 4-S-1 5 . Niveles 3r y 3p en el electrón de valencia del sodio. El nivel 3p se divide a causa de la interacción entre los mo mentos magnéticos del espín y orbital del electrón de valencia. A la derecha se muestra el número cuántico j del momento angular total.
E l efecto Zeeman M ichael Faraday (1791-1867), fam oso por su intuición ex traordinaria, pensó que el espectro de una fuente luminosa cambiaría si la ponem os en un fuerte campo magnético. Pero no logró realizar este experimento porque el equipo de su época no era lo bastante sensible. Unos 30 años más tarde el físico holandés Pieter Zeeman (1865-1943) lo repitió con un aparato más sensible y observó que las líneas espectrales em i tidas por una fuente luminosa se ensanchaban cuando la coloca ba en un fuerte campo magnético. Por este trabajo compartió el premio N obel en 1902. Con el equipo moderno se ven fá cilm ente que las líneas individuales del espectro se dividen en com ponentes discretos. La figura 48-16 ofrece un ejemplo del efecto Zeeman, nombre con que se le conoce, en la luz emitida por átomos de rodio. Para la m ecánica cuántica representa un triunfo que el número de componentes en que se divide una línea de un espectro, su separación, su intensidad y su polarización pue dan predecirse y concuerden perfectamente con los experi m entos.
Imán APAGADO
F i g u r a 43- * *] -s. E l efecto Zeeman en el rodio. La parte inferior del espectro muestra la división de sus líneas cuando se enciende el campo magnético.
ENCENDIDO
Para entender el origen del efecto Zeeman observe con mu cha atención el diagrama de niveles de energía en la figura 4817¿z; éste muestra (compárelo con la Fig. 48-15) sólo el estado excitado j = 3 /2 y el estado base j = 1 /2 del electrón de valen cia del átomo de sodio. Ahora supongamos que el átomo está in merso en un fuerte y uniforme campo magnético externo, cuya dirección se supone que es el eje z. Hem os visto que el estado j = 3 /2 contiene 4 subestados correspondientes a cuatro orien taciones del vector del momento angular total respecto a dicho eje; es decir, de los cuatro valores permitidos de «? .. Estos subes tados tendrán distinta energía en el campo magnético externo; así que el nivel j = 3 /2 se divide en cuatro componentes. En forma parecida, el estado base j = 1 /2 se divide en dos com po nentes. Como indican las flechas verticales, cuando se activa el imán extem o, la longitud de onda de un miembro del doblete de sodio en la figura 48-15 (A = 588.995 nm) se divide en 6 líneas espectrales poco espaciadas. (El otro miembro del doblete, que aparece en la figura 48-15, pero no en la figura 48-17, se divide en 4 líneas poco espaciadas.) A l estudiar con detenimiento la figura 48-17¿>, podrán encontrarse 8 com ponentes ele Zeeman, no los ó que se obser van. Pero la mecánica cuántica prohíbe 2 de esas transiciones, una de las cuales permite cambiar m¡ sólo en cero o en ± 1 .
Imán APAGADO
Imán ENCENDIDO
¿Puede verificar que las 6 líneas observadas obedezcan esta regla de selección y que las dos líneas “vedadas” correspon dan a Airij - ± 2 qué la viola?
A fines de la década de 1940 y nuevamente a com ienzos de la de 1960, la mecánica cuántica hizo dos excelentes aportacio nes a la tecnología: el transistor y el láser. La primera estimu ló el crecimiento de la electrónica que trata — en el nivel cuántico— de la interacción entre electrones y la materia ma siva. El láser condujo al nacimiento de la fotón ica, disciplina que se ocupa de la interacción — otra vez en el nivel cuánti co— entre los fotones y la materia masiva. Examinam os a continuación algunas características de la luz láser (Fig. 48-18). A lo largo de la sección la compararemos con la luz emitida por fuentes com o una lámpara de filamento de tungsteno (espectro continuo) o con un tubo de descarga de gas neón (espectro de líneas). Veremos que es casi un sueño referirse a ella com o “una luz fantástica”. 1. La luz láser es principalm ente m onocrom ática. La de tungsteno, dispersa en un espectro amplio, no ofrece una base de comparación. La luz proveniente de algunas líneas de un tubo de descarga de gas puede tener longitudes de onda en el intervalo visible cuya precisión alcanza más o menos 1 parte en 106. La luz láser alcanza fácilm ente una resolución por lo m enos m il veces mayor, o sea 1 parte en 109.
-W (./ = /-)
A»
3j (y = —)
a)
Longitud de onda
b)
Longitud de onda
Diagrama de niveles de energía que muestra la división Zeeman de un componente del doblete de sodio; compare muy bien esta figura con la figura 48-7. Cuando se enciende el campo magnético, el nivel superior se divide en cuatro componentes, y el nivel inferior en dos. F ig u r a
4-S-1 7 .
L
2. La luz láser es muy coherente. Sus trenes de onda pue den extenderse a lo largo de centenares de kilómetros. Pueden crearse franjas de interferencia combinando dos haces que siauen trayectorias independientes, cuya longitud difiere en esa cantidad. La longitud de coherencia correspondiente de la luz proveniente de una lámpara de tungsteno o de un tubo de des carga de gas tiene una longitud de unos cuantos metros. 3. La luz láser presenta gran direccionalidad. U n haz lá ser se desvía del paralelismo estricto sólo por los efectos de difracción (Sec. 42-4) a causa de la longitud de onda de la luz y de las dim ensiones de ía abertura de salida. La luz proce dente de otras fuentes pueden formarse en un haz más o m e nos paralelo por medio de un lente o un espejo. En cambio, la divergencia angular de un haz procedente de una lámpara de filamento de tungsteno no depende tanto de la difracción co mo de las dim ensiones del filamento. 4. La luz láser pu ede enfocarse muy bien. Es fácil alcan zar densidades de flujo de 1013 W /c m 2 con la luz láser enfo cada. En comparación, una flama de oxiacetileno tiene una densidad de flujo apenas de 103 W /c m 2. Los láseres más pequeños, que se emplean en reproduc toras de disco compacto y en la com unicación telefónica a través de fibras ópticas, tienen com o medio activo un cristal semiconductor de arsenuro de galio, del tamaño de la cabeza de un alfiler. Los lásers más grandes, que se usan en la inves tigación de fusión por láser, ocupan un edificio grande. Con la luz láser se sueldan retinas desprendidas, se perforan hoyos diminutos en los diamantes para introducir alambres finos; se corta la ropa (50 capas a la vez, sin bordes deshilacliados) en la industria del vestido; se hacen levantamientos de alta pre cisión; se efectúan mediciones exactas de la longitud mediante el interferómetro, y se generan hologramas. Se han reflejado rayos contra la Luna y algunos planetas.
1. Absorción. En la figura 48-19u se muestra un sistema atóm ico en el más bajo de dos estados posibles, con energías £ j y E 2. Hay un espectro continuo de radiación. Supongamos que un fotón de este campo de radiación se acerca al átomo de dos niveles y que interactúa con él; supongamos que la fre cuencia a so c ia d a /d el fotón es tal que h f = E 2 - E i.
(48-18)
El resultado es el siguiente: el fotón desaparece y el sistema atóm ico se dirige a su estado superior de energía. A este pro ceso lo llamamos absorción. 2. Emisión espontánea. En la figura 48-19P el sistema atóm ico se halla en su estado superior, sin que haya radiación en la cercanía. Tras un tiempo medio t , este sistema atómico (aislado) pasa en forma espontánea al estado de menor ener gía, emitiendo al hacerlo un fotón de energía h f ( ~ E , — £ j). A este proceso lo llamamos emisión espontánea, con lo cual se indica que ninguna influencia extem a lo desencadena. En condiciones normales, la vida media r para la emisión espontánea por átomos excitados es del orden de 10-8 s. Pero hay algunos estados donde r e s mucho más larga, quizá 10-3 s. A estos estados los llamamos metaestables\ desempeñan una función esencial en el funcionamiento del láser. (Su vida es muy larga porque pueden emitir radiación sólo mediante procesos que violan la regla de selección de la Ec. 48-6). La em isión espontánea genera la luz proveniente de un filam ento resplandeciente de una lámpara. Los fotones produc id o s:en esta forma no dependen en absoluto uno de otro. En particular, presentan dirección y fase diferentes. D icho de otra manera, la luz que producen tiene poco grado de coherencia.
Antes
Proceso
D espués
Einstein y el láser En 1917 Einstein, al intentar ofrecer ua prueba directa y muy simple de la ecuación de radiación de Planck (Ec. 45-6), intro dujo un nuevo concepto en la física, el de emisión estimulada. Se trata de un concepto básico para el funcionamiento del láser. Aunque el primer láser operativo hizo su aparición en 1960, Einstein sentó las bases de su invención. La importancia de la em isión estimulada se entiende por el hecho de que la palabra misma “láser” es un acrónimo de “Light Amplification by the Siimulated Emisión o f Eadiation” (amplificación de la luz por la em isión estimulada de la radiación). Es interesante señalar lo siguiente: en 1905 Einstein pro puso el concepto de fotón y se dio cuenta de que podía ofrecer una explicación del efecto fotoeléctrico. Estos dos ejemplos indican que se pueden inventar aparatos prácticos de gran importancia estudiando problemas al parecer irrelevantes para la tecnología. Piense en Einstein la próxima vez que vea un abridor fotoeléctrico de la puerta de elevador o que es cuche una reproductora de discos compactos. Enseguida vamos a examinar tres procesos que suponen la interacción entre la materia y la radiación.
-En
'En
¥
Ninguna
Absorción
a)
Emisión espontánea
Ninguna
~En
¥
-El
Emisión sstimulada
-En ro\>
¥
/Y A
J L Radiación
Materia
Materia
Radiación
F i g u r a 4 - 8 - 1 9 . Interacció n de m ateria y de rad iació n durante el p ro ceso de a) absorción, b) em isión esp o n tán ea y c) em isió n e stim ulada.
3. Emisión estim ulada. En la figura 4 8 -19c el sistema atómico se halla nuevamente en su estado superior, sólo que esta vez existe una radiación de frecuencia dada por la ecua ción 48-18. Igual que en la absorción, un fotón de energía h f interactúa con el sistema. El resultado es que se ocasiona que descienda de su estado bajo y ahora hay dos fotones, mientras que antes existía uno solam ente. A este proceso lo llamamos emisión estim ulada. En la figura 4 8 -19c el fotón emitido es en todos los as pectos idénticos al fotón “generador” o “estimulador”. Posee la misma energía, dirección, fase y estado de polarización. Más aún, uno de los dos causa otra em isión estimulada, dan do un total de cuatro fotones que pueden desencadenar más em isiones estimuladas y así sucesivamente. Ahora entende mos cóm o una reacción en cadena de procesos afines podría ser ocasionada por uno de estos procesos. Es la “amplifica ción” del acrónimo de láser. Los fotones tienen idéntica ener gía, fase y estado de polarización. Es así com o la luz láser adquiere sus características. La figura 48-19 indica la interacción con la radiación de un átomo individual. Sin embargo, por lo regular nos halla mos ante una gran cantidad de átomos. En el sistem a de dos niveles de la figura 48-19, ¿cuántos de estos átomos estarán en el nivel £ j y cuántos en el n ivel ¿s,? En cualquier sistema que presente equilibrio térmico, el número que ocupa un es tado de energía E se calcula mediante el factor exponencial de Boltzmann e ~ E^kT (Sec. 22-5). La razón del número de áto mos en el nivel superior al del nivel inferior es i(E 2) /n ( t |) = e (£v £i)/A7.
(48-19)
La figura 4 8-20a describe gráficamente esta situación. La magnitud kT es la energía medía de agitación de un átomo a una temperatura T; vem os que, cuanto más alta sea la tempe ratura, más átomos — o en promedio a largo plazo— choca rán por la agitación térmica y serán elevados al nivel E0. Puesto que En > £ j, la razón n{En)/n{E^) siempre será menor que la unidad; esto significa que invariablemente habrá m e nos átomos en el nivel de alta energía que en el de poca ener gía. Es lo que cabría esperar si las poblaciones de los niveles dependieran sólo de la acción de la agitación térmica. Si exponem os un sistem a com o el de la figura 4 8-20a a la radiación, el proceso dominante — por el mero peso de los números— será la absorción. Pero en caso de invertir las po blaciones de los niveles com o en la figura 48-20¿>, el proceso dominante en presencia de la radiación sería la emisión estimu lada y con él la generación de luz láser. Una inversión de la p oblación com o la de la figura 48-20¿> no es una situación que
se obtenga por procesos térmicos; hay que valerse de trucos ingeniosos para lograrla.
Cómo funciona im láser La figura 48-21 muestra esquemáticamente la forma de inver tir una población para que pueda ocurrir la acción del láser. Los átomos provenientes del estado base £ j son “bombeados” ha cia arriba a un estado excitado ¿?3; por ejemplo, mediante la ab sorción de energía proveniente de una fuente luminosa intensa que rodee el material del láser. (En esta sección nos referimos a láseres cuyo funcionamiento depende de las propiedades de los átomos individuales donde los electrones realizan la transi ción entre estados bien definidos. En el siguiente capítulo nos ocuparemos de los láseres de semiconductores, cuya operación se basa en transiciones entre bandas anchas de energía que no están asociadas a átomos individuales.) A partir de E3 los átomos decaen rápidamente a un estado de energía E0. Para que ocurra la acción del láser es necesario que el estado sea metaestable: debe tener una vida media relati vam ente larga en relación con el decaim iento por emisión espontánea. Si hay condiciones propicias, el estado E0 puede poblarse más que el estado E v con lo cual crea la inversión ne cesaria de la población. Un fotón extraviado con suficiente ener gía desencadenará entonces una avalancha de fenómenos de emisión estimulada, dando así origen a una luz láser. En este modo de tres niveles operan como un material con acción de lá ser varios láseres que usan sólidos cristalinos (como el rubí). En la figura 48-22 se incluyen los elementos de un tipo co mún de láser. El tubo de descarga de gas está lleno con una mez cla de 80% a 20% de los gases inertes helio y neón, donde el helio sirve de medio de “bombeo” y el neón de medio de “ac ción del láser”. La figura 48-23 es una versión simplificada de las estructuras de niveles en esos dos átomos. Nótese que los cuatro niveles, denotados por EQ, E V E2 y £4, intervienen en es te esquema, y no tres niveles como en la figura 48-21. El bom beo se logra creando en la m ezcla de helio-neón una descarga de gas eléctricamente inducida. A veces los elec trones y los iones en la descarga chocan con los átomos de he lio, elevándolos al n ivel E3 en la figura 48-23. Este nivel es metaestable, pues una em isión espontánea hacia el estado ba-
Estado de corta duración Bombeo (óptico)
Decaimiento rápido Estado m etaestable ^ Luz
láser
a) '
b)'
4 8 - 2 0 . a) D istribución del equilibrio térm ico norm al de sistemas atóm icos que ocupan uno de los dos estados atómicos. b) Una población invertida, que puede obtenerse por m edio de técnicas especiales. F ig u r a
Estado base F i g u r a 4 8 - 2 1 . E sq u e m a de los tres n iv eles b ásico s del fu n cio n am ien to del láser. E l estado m etaestab le E , cu en ta co n una p o b lació n m ay o r q u e el estado base £ j ; co m p are esta fig u ra con la fig u ra 4S-20Ó.
F i g u r a 4 3 - 2 2 . E lem entos básicos de un láser de gases helio-neón.
Tubo de descarga
W
ID'
_4-sj-
se (nivel EQ) es muy poco frecuente. Por azar el nivel E 3 en el helio ( = 20.61 eV ) se aproxima mucho al nivel en el neón ( = 20.66 eV ), de modo que durante las colisiones entre los átomos de helio y de neón, la energía de excitación de aquel puede transferirse fácilm ente al neón. A sí, el nivel E-, de la figura 48-23 puede poblarse más que el n ivel £ j en la fi gura. Esta inversión de la población se mantiene porque 1) la metaestabilidad del nivel E3 garantiza un suministro accesible de los átomos de neón en el nivel E0 y 2) el nivel £ j decae rá pidamente (en etapas intermedias que no se muestran en la fi gura) al estado base del neón, EQ. Predomina la em isión estimulada del nivel E0 al nivel £ j y se genera luz láser roja cuya longitud de onda mide 632.8 nm. En general, los fotones de em isión estimulada, produci dos inicialmente en el tubo de descarga de la figura 48-22, no serán paralelos al eje del tubo y pronto serán detenidos en los muros. Pero los que son paralelos al eje pueden desplazarse mu chas veces hacia adelante y atrás en el tubo de descarga, m e diante las reflexiones sucesivas contra los espejos M 1 y M?. A su vez pueden hacer que ocurran otras em isiones estimuladas. A sí pues, una reacción en cadena se produce rápidamente en
Estado m etaestable
': / 1/
/
K ;
20
■Luz láser (6 3 2 .8 nm)
iColisiones: de He-Ne ? 15
lljilÉ llijltljl Bombeo, (descarga de g as)
\
UJ
esta dirección y aparece entonces el paralelismo intrínseco de la luz láser. En vez de pensar en función de los fotones que rebotan hacia adelante y atrás entre los espejos, tal vez convenga más concebir el arreglo entero de la figura 48-22 com o una cavi dad de resonancia óptica que, a semejanza de un tubo de ór gano para las ondas sonoras, puede afinarse para que resuene nítidamente en una o varias longitudes de onda. L os espejos Aij y M 2 son cóncavos y sus puntos focales casi coinciden en el centro del tubo. El espejo M l está recu bierto con una película dieléctrica cuyo espesor se ajusta cui dadosamente para hacer que el espejo refleje al máximo en la longitud de onda de la luz láser (Sec. 41-5). Por otra parte, el espejo M , está recubierto de modo que filtre un poco y que una pequeña parte de la luz láser escape en cada reflexión pa ra formar el haz útil. Se inclinan las ventanas W en la figura 48-22, que cierran los extrem os del tubo de descarga, para que sus normales for men un ángulo 6 , el ángulo de Brewster, con el eje del tubo
tan 9n
n<
(48-20)
n es el índice de refracción del vidrio en la longitud de onda de la luz láser. En la sección 44-3 demostramos que las ventanas transmiten luz sin pérdida atribuible a la reflexión, siempre que la luz esté polarizando con su plano de polarización en el plano de la figura 48-22. Si las ventanas fueran cuadradas con los extrem os del tubo, la pérdida del haz por reflexión (apro xim adamente 4% en cada superficie de una ventana) haría im posible el funcionamiento del láser. P r o b l e m a R e s u e l t o 4 3 - 7 . Un láser de tres niveles como el de la figura 48-21 emite luz láser de 550 nm de longitud de onda, cer ca del centro de la banda visible, a) Si se apaga el mecanismo de bombeo óptico, ¿cuál será la razón de la población del nivel superior de energía (energía £ ,) a la del nivel inferior (energía E {)1 Suponga que T = 300 K. b) ¿Á qué temperatura la razón de las poblaciones será 1/2 en las condiciones de a)?
■ m n
lililí Decaimiento . • ;rápido
,10
ac>
Aí,
Wm
Solución a) En la condición de frecuencia de Bohr, la diferencia energética entre los dos niveles está dada por E, Estados del helio
Estados del neón
Estado base común
4 - 3 - 2 3 . N iveles atóm icos que in terv ie n en en el fu n cio n am ien to del láser de gas helio-neón. F ig u r a
hf-
he ~T
(6.63 X IQ-34 J-s)(3.00 X 108 m /s) (550 X IO-9 m)(1.60 X 10“ ,9J/eV)
2.26 eV. La energía media de la agitación térmica es
Solución El número de iones AP + es -(2.26 eV)/(0.0259 eV)
-87.3
Es un número extraordinariamente pequeño, pero no ilógico. A me nudo un átomo cuya energía media de agitación térmica sea apenas de 0.0259 eV no impartirá una energía de 2.26 eV (87 veces más gran de) a otro durante una colisión. b ) Si hacemos la razón de la ecuación 48-19 igual a i si tomamos el logaritmo natural a ambos lados y si resolvemos para T, obtendremos
T
AL
1.3 x i c r jS.
E2 - £,
2.26 eV
A(ln 2)
(8.62 X 10~3 eV/K)(0.693)
37,800 K.
Es una temperatura mucho más alta que la de la superficie del Sol. Resulta evidente que hará falta un mecanismo especial, si invertimos las poblaciones de los dos niveles. No será posible la acción del lá ser en caso de no invertir la población. P r o b l e m a R e s u e l t o 4 S - S . Un láser de rubí de pulsos tiene como elemento activo un cristal sintético de rubí en forma de un ci lindro de 6 cm de largo y 1 cm de diámetro. El rubí se compone de A 1,03 en que — en este caso— un ion aluminio en cada 3 500 ha si do reemplazado por un ion cromo, Cri+ . De hecho son las propieda des de absorción óptica de esta pequeña “impureza” de cromo las que explican el color del rubí. Esos mismos iones explican asimis mo la capacidad de producir la acción del láser; ésta se observa en una longitud de onda de 694.4 nm mediante el mecanismo de tres ni veles de la figura 48-21. Supóngase que todos los iones de Cr3+ estuviesen en un estado metaestable correspondiente al estado E-, de la figura 48-21 y que nin guno estuviera en el estado base £ j. ¿Cuánta energía está disponible para ser liberada en un solo pulso de luz láser, si todos esos iones vuel ven al estado base en un solo episodio de emisión en cadena de emi sión estimulada? La respuesta será un límite superior, sólo porque las condiciones postuladas no pueden cumplirse en la práctica. La densi dad p de A1?0 3 es 3 700 k g/m 3 y su masa molar M es 0.102 kg/mol.
2 N Am
2N aP V
M
M
donde m es la masa del cilindro de rabí y el factor 2 explica que ha ya dos iones de aluminio en cada “molécula” de A190 3. El volumen V es V = (7r/4)(1.0 x 10~2 m)2(6.0 x 1CT2 m) = 4.7 X 10~6 m3. Por tanto,
AL
,(2X 6.0 X 1023/mol)(3.7 X 103 kg/m3)(4.7 X 10~6 m3) 0.102 kg/mol = 2.1 X 1023.
Entonces el número de iones Cr3+ es Nr
AL.
6.0
3500
X 1019.
La energía del fotón de emisión estimulada es
hf-
he
(4.1 X 10~15 eV • s)(3.0 X 108 m/s) 694 X 10 9 m
1.8 eV,
y la energía total disponible es U = N CrE = (6.0 X 10 I9)( 1.8 e V ) ( l .6 X 1 0 " l9 J/eV ) = 17 J.
Efectivamente se han logrado esas grandes energías de pulso, pero sólo por medio de arreglos mucho más complejos de láser que los aquí descritos. En este ejemplo hemos postulado una circunstancia ideal — una inversión total de la población— donde el estado base permanece prácticamente despoblado. La inversión real de la población en un láser funcional de rubí será mucho menor que la total. Por ésta y otras razones, en la práctica la energía de pulso será mucho menor que el límite superior antes calculado.
PCIÓN M Ú L T I P L E 4 8 -1 E l espectro d e rayos X de los átom os 1. ¿Cuál de las siguientes líneas de rayos X tiene la máxima fre cuencia en un elemento? A) K a B) K p C) L a D) Depende del elemento.
4-3-2 Los rayos X y la n u m eración de los elem entos 2. La longitud de onda K a de un elemento con número atómico 2 = 1 7 está dada por A. a) ¿Cuál es el número atómico de un elemento con una longi tud de onda K a de A/4 A) 65 B) 64 C) 63 D) 33 E) 31 b) ¿Cuál es el número atómico de un elemento con una longitud de onda K a de 4A? A) 3 B) 4 C) 5 D) 7 E) 9 3. La longitud de onda K a de un elemento con número atómico Z es Az . La longitud de onda K a de un elemento con número ató mico 2 2 es A-,z . ¿Cómo se relacionan Az y A,z? A)
Az3> 4A-,Z
B) Az = 4A9Z
C) Az <2 4A9Z
D) Según Z, Az podría ser mayor o menor que 4A,Z. 4. De acuerdo con la teoría de Bohr, ¿cuántos electrones “apanta nan” la carga del núcleo visto por un electrón en la capa M? A) 2
B) 6
C )7
D) 9
E) 10
4 8 - 3 C on stru cción de átom os 5. Conteste esta pregunta sin consultar una tabla periódica. Un áto mo en el estado base tiene 17 electrones. a) ¿Cuál es el número mínimo de capas ocupadas al menos por algunos electrones de este átomo? A) 1
B) 2
C)
3
D) 4
b) Suponiendo que todas las capas internas están totalmente lle nas, ¿cuál es el número de electrones de la más extema? A) 2
B) 5
C)
7
D) 8
6. ¿Cuál de los siguientes átomos no presentará simetría esférica en el estado base? A) He
B) Be
C) C
D) Ne
7. Para contestar esta pregunta consulte la tabla periódica. a ) ¿Cuál de las siguientes expresiones muestra la clasificación correcta de la energía de las subcapas especificadas? A) C)
E4p < E4p <
E4f < E 6;.B)EAj < E 6s < E4fD) E4f <
E4p < E6s E 6s < E4p
b ) ¿Cuál de las siguientes expresiones muestra la clasificación
correcta de las subcapas especificadas? A) C)
ESf < Els <
E&d < E l f B) E5j- < E 5j < E 6pD) E ls <
Els < E 6d E6d < E5f
8. ¿Cuál de las siguientes transiciones de un electrón excitado sa tisface la regla de selección (Ec. 48-6) y podría provocar la emi sión de un fotón? A) 5p —* 6p C) 6 s —* 5 d
B) I s —<■4p D) 3p —* 4 /
9. Considere el pandemónium de un elemento pesado ficticio cu yo número atómico es 169. a) ¿En cuál periodo de la tabla es probable que aparezca? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 b) ¿Cuántos electrones se encontrarán probablemente en la ca pa extema de este elemento? A) 1 B) 3 C) 7 D) 8
4 3 - s M agnetism o atóm ico
10. Una esfera de hierro se encuentra en un soporte dentro de un solenoide. El eje del solenoide sigue la dirección norte/sur. Se in vierte su corriente; ¿alrededor de cuál eje girará la esfera? A) Norte/sur B) E ste/oeste C) Arriba/abajo D) La esfera no girará por tener una simetría esférica.
4 S -S E l exp erim en to de Stern-G erlach 11. Considere un átomo hipotético donde los electrones de valencia tienen un espín neto de 0 y un número cuántico neto de momen to angular orbital de 1 (estado p ). Si un haz de estos átomos pa sa por el aparato de Stem-Gerlach, ¿en cuántos componentes se dividirá el haz? A) 1 B) 2 C )3 D) 6
4 3 - 7 R eso n a n cia m agnética n u clear 4 3 - s M agn etism o y radiaciones atóm icas 12. Suponga unos electrones en la subcapa 4 d, que se divide en dos estados conforme a la ecuación 48-17. a ) ¿Cuántos subestados existen en el estado con el valor mayor de j? A) 3 B) 4 C )5 D) 6 b) ¿Cuántos subestados existen en el estado con el menor valor de j? A) 3 B) 4 C )5 D) 6
4-3-9 L áseres y lu z láser
“ -IE G U N T A S 1. “Si el momento angular de los electrones de los átomos no es tuviera cuantizado, la tabla periódica de los elemento sería dis tinta.” Comente esta afirmación. 2. ¿Cómo diferirían las propiedades del helio si el electrón carecie ra de espín, es decir, si los únicos números cuánticos operativos fuesen n, l y m¡7 3. Explique de qué manera las interacciones entre el espín y los movimientos orbitales del electrón de valencia en el sodio cau san la división de sus líneas espectrales, produciendo el conoci do doblete de sodio (Consulte la Fig. 48-15). 4. ¿Cuál es el origen de la longitud de onda de corte Amín en la fi gura 48-1? ¿Por qué es un indicio importante de la naturaleza de fotones de los rayos X? 5. En la figura 48-2, ¿por qué el fotón emitido se aleja en la direc ción señalada? ¿Podría mostrarse moviéndose en otra dirección cualquiera? Explique sus respuestas. 6. ¿Cuáles son los rayos X característicos de un elemento? ¿Cómo pueden emplearse para determinar el número atómico de un ele mento? 7. Compare las figuras 48-1 y 48-3. ¿Cómo se cercioraría de que los dos picos prominentes en la primera de ella corresponden numéricamente a las dos transiciones que se marcan del mismo modo en la figura 48-3? 8. ¿Puede lograrse que el hidrógeno atómico emita rayos X? De ser así, describa el mecanismo. En caso contrario, explique por qué no. 9. ¿Cómo el diagrama de niveles de energía de los rayos X en la figura 48-3 se distingue del hidrógeno que se muestra en la fi gura 47-11? ¿En qué aspectos se parecen los dos diagramas?
10. Cuando se extiende a números atómicos más altos, el diagrama de M oseley de la figura 48-4 no es una línea recta, sino cónca va hacia arriba. ¿Afecta eso la capacidad de asignarles número atómico a los elementos? 11 ¿Por qué la teoría de Bohr, que no se aplica muy bien ni siquie ra al helio (Z = 2), explica tan bien los espectros típicos de los rayos X de los elementos o, por lo menos, el de la paite que se origina en lo profundo del átomo? 12. ¿Por qué el espectro característicos de los rayos X cambia siste máticamente de un elemento a otro, no así el del intervalo visi ble? 13. ¿Por qué espera que la onda de las radiaciones generadas por las transiciones en lo profundo del átomo tenga una longitud de on da más corta que las generadas por transiciones que ocurren en los bordes extemos del átomo? 14. Si conoce el espectro característico de los rayos X de un ele mento que contiene varias líneas, ¿cómo las identificaría y las designaría? 15. ¿De qué números cuánticos depende la energía de un electrón en a) un átomo de hidrógeno y en b) un átomo de vanadio? 16. La tabla periódica de los elementos se basó originalmente en la masa atómica y no en el número atómico, pues todavía no se descubría este concepto. ¿A qué se debe el gran éxito de esas ta blas? Dicho de otra manera, ¿por qué la masa atómica de un ele mento es (aproximadamente) proporcional a su número atómico? 17. ¿De qué manera la estructura de la tabla periódica viene a apo yar la necesidad de un cuarto número atómico correspondiente al espín del electrón?
.
18. Si hubiera sólo tres números cuánticos (es decir, si el electrón no tuviese espín), ¿por qué serían diferentes las propiedades químicas del helio? 19. Explique por qué el radio efectivo del átomo de helio es menor que el del átomo de hidrógeno. 20. ¿Por qué se necesita más energía para extraer un electrón en el neón (Z = 10) que en el sodio (Z = 11)? 21 ¿Qué nos indica la figura 48-5 respecto a la causa de la gran es tabilidad química de los gases inertes? 22. ¿Conviene asignar- números cuánticos a un hueco en una subcapa llena en los demás aspectos? 23. ¿Por qué la serie de lantánidos de los elementos (Ap. E) tiene propiedades químicas tan semejantes? ¿Cómo se justifica po nerlas en un solo cuadro de la tabla periódica? ¿Por qué, a pe sar de este hecho, es tan fácil clasificarlas con sólo medir su espectro típico de rayos X? 24. Con sus propias palabras enuncie el principio de energía mínima en la construcción de átomos y ofrezca un argumento físico para defenderlo. 25. En la figura 48-5 vemos que el estado 2 s tiene menos energía que el estado 2p . ¿Puede explicar por qué debería ser así, basando su argumento en la densidad de probabilidad radial de am bos (Figs. 47-14 y 47-15)? 26. Si comienza con un núcleo vacío y lo llena de electrones para formar un átomo en su estado base, la energía de los niveles no llenados cambiará a medida que avance. ¿A qué se debe el cam bio? ¿Aumentan o reducen su energía al agregarle electrones? 27. Justifique la afirmación de que, en el efecto de Einstein-de Haas, el momento angular de la barra de hierro debe conservarse como tal cuando la magnetizamos de repente. 28. En el experimento de Einstein-de Haas (Fig. 48-8), ¿se justifica el hecho de que el periodo de rotación predicho del cilindro de pende exclusivamente de su radio y no —-por ejemplo— de su altura? ¿Que suposiciones se hicieron al obtener la expresión para el periodo de rotación? 29. Convénzase usted mismo de que son congruentes entre sí las direcciones de las flechas en la figura 48-86, que representan la corriente del solenoide, el campo magnético, los momentos anguiares atómicos y la dirección en que gira el cilindro. 30. ¿Ofrece el efecto de Einstein-de Haas pruebas de que el mo mento angular está cuantizado? 31. Un haz de luz circularmente polarizada, vista como un haz de fotones cuyos espín están alineados, puede ejercer un par sobre una pantalla de absorción. Prepare una analogía con el experimentó de Einstein-de Haas. 32. Un haz de átomos neutros de plata se emplea en un experimen to de Stern-Gerlach, ¿cuál es el origen de la fuerza y del par que operan sobre el átomo? ¿En qué forma lo afectan? 33. ¿Qué determina el número de subhaces en que se divide un haz de átomos neutrales en un experimento de Stem-Gerlach? 34. Si en un experimento de Stern-Gerlach un haz de iones se re suelve en cinco haces constitutivos, ¿qué número cuántico de momento angular tiene cada ion? 35. En un aparato de Stern-Gerlach, ¿es posible tener una configu ración de campo magnético donde el campo también es cero a lo largo de la trayectoria del haz, no así el gradiente de campo? Si su respuesta es afirmativa, ¿puede diseñar un electroimán que produzca esa configuración?
.
36. Los átomos de plata en el experimento de Stem-Gerlach del problema resuelto 48-4 no llevan carga. Suponga que un átomo en el aparato tuviera que perder repentinamente un electrón convirtiéndose así en un ion de plata. ¿Cuáles serían la natura leza y la magnitud relativa de las fuerzas que actúan sobre él a ) antes y b) después del evento? 37. ¿Cómo demostraría en el laboratorio que un átomo posee un mo mento angular? ¿Y qué tiene un momento dipolar magnético? 38. En el estado del átomo de hidrógeno con / = 1, podemos alinear paralelos o antiparalelos los vectores del espín y del momento angular orbital. ¿Cuál arreglo presenta más energía y por qué? 39. ¿Cómo llegamos a la conclusión de que el número cuántico magnético del espín ms puede tener sólo ios valores ± i ? ¿Qué clase de experimentos apoyan semejante conclusión? 40. ¿Por qué el momento magnético del electrón que gira tiene una dirección contraria a su momento angular de espín? 41. ¿Por qué la luz láser enfocada es intrínsecamente mejor que la proveniente de un diminuto filamento de una lámpara incandes cente en operaciones quirúrgicas muy delicadas, como la soldar en el momento retinas desprendidas? 42. La luz láser produce un haz casi paralelo. ¿Disminuye su inten sidad como el cuadrado inverso de la distancia con la fuente? 43. ¿En qué se parecen la luz láser y la luz de las estrellas? ¿Y en qué se distinguen? 44. Arthur Schawlow, uno de los pioneros del láser, invento un bo rrador para máquinas de escribir que enfocaba la luz láser sobre el carácter a suprimir. ¿Puede imaginar el principio en que se basa el funcionamiento del borrador? 45. ¿En qué aspectos se diferencian la emisión espontánea y la es timulada? 46. Hay emisión espontánea y estimulada. ¿Por qué no tenemos también — por simetría— absorción espontánea y estimulada? Explique la causa a partir de la figura 48-19. 47. ¿Por qué se necesita una inversión de la población entre dos ni veles atómicos para que ocurra la acción del láser? 48. ¿Qué es un estado metaestable? ¿Qué función desempeña en el funcionamiento del láser? 49. Comente la afirmación: “En igualdad de circunstancias, un dia grama de láser en cuatro niveles como el de la figura 48-23 es preferible a uno de tres niveles como el de la figura 48-21, por que en el segundo hay que mover una mitad de la población de átomos en el nivel £j al estado E-, para que por lo menos se ini cie la inversión de la población. 50. Comente la afirmación: “En el láser de la figura 48-22 sólo la luz cuyo plano de polarización se encuentra en el plano de la fi gura se transmite a través de la ventana de la derecha. Por eso se pierde la mitad de la energía disponible”. (Sugerencia: ¿es realmente verdadera esta segunda afirmación? Reflexione sobre lo que sucede con los fotones cuyo plano efectivo de polariza ción forma ángulos rectos con el plano de la figura 48-22. ¿Participan plenamente los fotones en el proceso de aumento de la emisión estimulada?) 51. Un haz de luz sale de una abertura en una “caja negra” y catza un banco de laboratorio. ¿A qué pruebas lo sometería para averi guar la coherencia que presenta en su sección transversal? ¿Có mo sabría (sin abrir la caja) si es un láser la fuente de luz escondida? 52. ¿Por qué es difícil construir un láser de rayos X?
sustancias utilizaría? Las energías de ionización K del molibdeno y de cuatro elementos vecinos son las siguientes:
£/JER CIC |O Sm
Z Elemento E k (keV)
1. Demuestre que el corte de longitud de onda corta en el espectro continuo de rayos X está dado por
40 Zr 18.00
41 Nb 18.99
42 Mo 20.00
43 Te 21.04
44 Ru 22.12
Am.n = 1240 pm/AV, 2.
3. 4.
5.
6.
donde AV es la diferencia de potencial aplicada en kilovolts. Determine la constante de Pianck basándose en el hecho de que la longitud de onda mínima de los rayos X producida por elec trones de 40.0 keV es 31.1 pm. ¿Cuál es la diferencia de potencial mínima en un tubo que pro ducirá rayos X de 0.126 nm de longitud de onda? En la figura 48-1, los rayos X se producen cuando los electro nes de 35.0 keV inciden sobre un blanco de molibdeno. Si se conserva en 35.0 kV el potencial de aceleración pero si el blanco de molibdeno se substituye por el de plata (Z = 47), ¿qué valo res se obtienen de a) A ^ , b) ÁK¡3 y c) ÁKJ1 Los niveles atómi cos K, L y M de la plata (compare esta figura con la Fig. 48-3) son 25.51, 3.56 y 0.53 keV, respectivamente. Los electrones bombardean un blanco de molibdeno, produciendo rayos X continuos y característicos como en la figura 48-1. Allí la energía de los electrones incidentes es 35.0 keV. Si se aumenta en 50.0 kV el potencial de aceleración aplicado al tubo de rayos X, ¿qué valores se obtienen de a) A ^ , b) ÁK/3 y c) \ KJ La longitud de onda de la línea Ka procedente del hierro es 19.3 pm. a) Calcule la diferencia de energía entre los dos estados del átomo de hierro (Fig. 48-3) que da origen a esta transición, b) Calcu le la diferencia de energía correspondiente en el átomo de hidró geno. ¿Por qué la diferencia es mucho mayor en el hierro que en
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el hidrógeno? (Sugerencia: en el átomo de hierro la capa Ii co rresponde a n — 1 y la capa L a n = 2.) Con base en la figura 48-1, calcule la diferencia de energía aproximada EL — los niveles de la energía atómica de los ra yos X del molibdeno. Compare el resultado con el que posible mente obtuvo en la figura 48-3. Determine la diferencia de potencial mínima que es preciso aplicar a un tubo para generar rayos X, cuya longitud de onda sea igual a la de Compton para el electrón. (Consúltese el Ej. 30 del Cap. 45.) Se producen rayos X en un tubo por medio de un potencial de 50.0 lcV. Si el electrón realiza tres colisiones en el blanco antes de detenerse y si en las dos primeras pierde la mitad de su ener gía cinética restante, determine la longitud de onda de los foto nes resultantes. No tenga en cuenta el retroceso de los átomos blanco pesados. Un blanco de tungsteno (Z = 74) se bombardea con electrones en un tubo de rayos X. a) ¿Cuál es el valor mínimo del potencial de aceleración que permitirá obtener las líneas características K^ y Ka del elemento? b) En este mismo potencial, ¿que valor tiene Amjn? c) Calcule ÁK y A^. Los niveles atómicos K, L y M del tun gsteno (Fig. 48-3) son 69.5, 11.3 y 2.3 keV, respectivamente.
(Sugerencia: una sustancia absorberá selectivamente y con más fuerza una de las dos radiaciones X, si los fotones de una po seen suficiente energía para expulsar el electrón IÍ de los áto mos de la sustancia, no así los fotones de la otra.) 12. Las energías de enlace de los electrones de las capas K y L en el cobre son 8.979 keV y 0.951 keV, respectivamente. Si un ra yo X K a procedente del cobre incide sobre un cristal de cloruro de sodio y si genera una reflexión de Bragg de primer orden a 15.9° cuando se refleja contra planos altemos de los átomos de sodio, ¿qué espacio habrá entre los planos? 4 S - 2 L o s rayos X y la num eración de los elem entos 13. A continuación se transcriben las longitudes de onda K de al gunos elementos: Ti V Cr Mn Fe
pm pm pm pm pm
Co Ni Cu Zn Ga
17.9 pm 16.6 pm 15.4 pm 14.3 pm 13.4 pm
Dibuje un diagrama de Moseley (Fig. 48-4) y verifique que su pendiente coincida con el valor calculado en el problema resuel to 48-2. 14. Basándose en la teoría de Bohr, calcule la razón de las longitudes de onda de la línea Ka del niobio (Nb) y del galio (Ga). Tome de la tabla periódica los datos que necesite. 4 3 = 3 C on stru cción d e átom os 4 3 -4 . L a tabla periód ica 15.
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11. Un blanco de molibdeno (Z = 42) se bombardea con electrones de
35.0 keV y se origina el espectro de rayos X de la figura 48-1. Aquí K¡cp = 63 pm y Afca = 71 pm. a) ¿Cuáles son las energías correspondientes de los fotones? b) Se quiere filtrar estas radiacio nes a través de un material que absorba la línea Kp con mucho ma yor fuerza que con la que absorbería la línea Ka. ¿Qué sustancia o
27.5 25.0 22.9 21.0 19.3
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Dos electrones de litio (Z = 3) tienen, respectivamente, los nú meros cuánticos n, l, m¡, ms, los valores 1, 0, 0, ±^. a) ¿Cuáles números puede tener el tercer electrón para que el átomo se ha lle en su estado base? b) ¿Y para que se encuentre en su primer estado excitado? Si un núcleo de uranio (Z = 92) tuviera un solo electrón, ¿cuál sería el radio de su órbita en estado base de acuerdo con la teo ría de Bohr? Si el electrón no tuviera espín y si aun así se aplicara el princi pio de exclusión de Pauli, ¿cómo afectaría eso a la tabla perió dica? En particular, ¿cuáles de los elementos actuales serían gases inertes? Al observar atentamente la figura 48-5, ¿cuál piensa que podría ser el número atómico del siguiente gas inerte más alto arriba de Z = 118? Suponga que la subeapa 5g aparece en el periodo oc tavo. En los metales alcalinos un electrón está afuera de la capa ce rrada. a) Por medio de la teoría de Bohr calcule el número efec tivo de carga del núcleo, visto por el electrón de valencia en el sodio (energía de ionización = 5.14 eV) y en el potasio (ener
gía de ionización = 4.34 eV). b) ¿Qué fracción de la carga nu clear Z representa esto en cada elemento? Los números cuánti cos necesarios vienen en la figura 48-5. 20. Suponga que hay dos electrones en el mismo sistema, ambos con n = 2 y l — 1. a) Si el principio de exclusión no se aplicara, ¿cuántas combinaciones de estados serían posibles? b) ¿Cuán tos estados veta el principio de exclusión? ¿Y cuáles son? 4 -8 - 5
M agn etism o atóm ico
4 8 -6
E l exp erim en to de S íern -G erlach
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21. a) Demuestre que el momento magnético de los electrones en las órbitas de Bohr están dados según su teoría por fx = n¿¿g, donde /xB es el magnetón de Bohr y n = 1, 2, 3, .... b) ¿Cómo se relaciona la expresión anterior con los valores actuales? 22. Suponga que un átomo de hidrógeno (en su estado base) avan za 82 cm en una dirección perpendicular al campo magnético que en dirección vertical posee un gradiente de 16 mT/m. a) ¿Qué fuerza en el átomo se debe al momento magnético del electrón, que suponemos que es de 1 magnetón de Bohr? b) De termine los desplazamientos verticales si la velocidad es de 970 m/s. 23. Calcule la aceleración del átomo de plata al pasar por el imán deflector en el experimento de Stem-Gerlach en el problema re suelto 48-5. 24. Suponga que en el experimento de Stem-Gerlach descrito en el caso de átomos neutros de plata el campo magnético B tiene una magnitud de 520 mT. a) ¿Qué diferencia de energía hay en tre las orientaciones de los átomos en los dos subhaces? b) ¿Qué frecuencia de rad iació n p ro v o caría una transición entre am bos estados? c) ¿Cuál es su longitud de onda y a qué parte del es
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pectro electromagnético pertenece? El momento magnético del átomo neutro de plata es 1 magnetón de Bohr. 25. ¿Cuál es la longitud de onda de un fotón que causará una tran sición del espín de un electrón de una orientación paralela a una orientación antiparalela en un campo magnético de 190 mT de magnitud? 34. 48-7
R eson an cia m agn ética n u clear
4 8 - 8 M agn etism o y rad iacion es atóm icas 26. El protón, lo mismo que el electrón, tiene un espín 1/2. En el estado base del átomo de hidrógeno existen dos niveles de ener gía, según que los espines de ambos sigan la misma dirección o una dirección opuesta. En el segundo caso el estado posee más energía. Si un átomo se halla en este estado y uno de los espi nes “cabecera”, se libera la pequeña diferencia de energía como un fotón de 21 cm de longitud de onda. Este proceso espontá neo es muy lento, pues su vida media es de 107 años, aproxima damente. Sin embargo, los radioastrónomos observan esta radiación de 21 cm desde el espacio estelar, donde la densidad del hidrógeno es tan pequeña que un átomo puede moverse an tes de ser perturbado por colisiones con otros. Calcule el cam po magnético efectivo (debido al momento dipolar magnético del protón) que experimenta el electrón en la emisión de la ra diación. 4 8 - 9 L áseres y luz láser 27. Los láseres se han vuelto muy pequeños y también muy gran des. El volumen activo de uno construido con el semiconductor GaAlAs tiene un volumen apenas de 200 (ju.m)3 (más pequeño
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que un grano de arena); y sin embargo, puede generar 5.0 mW de potencia con una longitud de onda de 0.80 jxm. Calcule la ra pidez con que se producen los fotones. Un láser de rubí emite con 694.4 nm de longitud de onda. Si un pulso se emite en 12.0 ps y si la energía liberada por pulso es 150 mJ, a) ¿cuál es la longitud de onda del pulso y b) cuántos fotones hay en cada uno? Es posible que se inventen métodos de modular la frecuencia o la amplitud de un haz láser para que sirva de portador a las se ñales de televisión, en forma muy parecida a como sucede hoy con los haces de microondas. Suponga que también se dispon ga de sistemas cuyas longitudes de onda puedan “sintonizarse” con precisión en cualquier región del intervalo visible, es decir, en el de 400 nm < A < 700 nm. Si un canal de televisión ocupa un ancho de banda de 10 Mhz, ¿cuántos canales podrían utilizarse con esta tecnología? Comente la superioridad intrínseca de la luz visible sobre las microondas como portadora de informa ción. Un láser He-Ne emite luz con una longitud de onda de 632.8 nm y tiene una potencia de salida de 2.3 mW. ¿Cuántos fotones emite por minuto cuando está funcionando? Un átomo hipotético tiene niveles de energía espaciados unifor memente por 1.2 eV. Con una temperatura de 2 000 K, calcule la razón entre el número de átomos en el decimotercer estado excitado y el número en el undécimo estado. Una inversión de población en dos niveles se describe a menu do asignándole al sistema una temperatura Kelvin negativa. De muestre que la temperatura corresponderá efectivamente a una inversión. ¿Qué temperatura negativa describiría al sistema del problema resuelto 48-7, si la población del nivel superior reba sará en 10.0% la del nivel inferior? Un átomo tiene dos niveles de energía con una longitud de onda de transición de 582 nm. A una temperatura 300 K, 4.0 X 1020 átomos se hallan en el estado inferior, a) ¿cuántos ocupan el estado superior en condiciones de equilibrio térmico? b) Su ponga, en cambio, que 7.0 X 1020 átomos se bombean al esta do superior, con 4.0 X 1020 en el estado inferior. ¿Cuánta energía se liberará en un solo pulso láser? Los espejos en el láser de la figura 48-22 forman una cavidad donde se generan ondas estacionarias de la luz láser. En la cer canía de 533 nm, ¿a qué distancia de longitud de onda están los modos permitidos de operación? Una distancia de 8.3 cm separa los espejos. El haz proveniente de un láser de argón (A = 515 nm) tiene un diámetro d de 3.00 mm y una salida de potencia de 5.21 W. Lo enfocamos sobre una superficie difusa mediante un lente de lon gitud f o c a l/= 3.50 cm. Se forma un patrón de difracción como el de la figura 42-13. a) Demuestre que el radio de disco central está dado por
Es posible demostrar que el disco central contiene 84% de la potencia incidente. Calcule b) el radio R del disco central y la densidad promedio del flujo de potencia c) en el haz incidente y d) en el disco central. 36. Se empieza a estudiar el uso de láseres para defenderse contra los misiles balísticos. Un haz láser con una intensidad de 120 MW/mr probablemente queme y destruya un misil endurecido (que no gi re) en un lapso aproximado de 1 s. a) Si el láser tiene una potencia de salida de 5.30 MW, una longitud de onda de 2.95 pm y un diá
metro de haz de 3.72 m (ciertamente un láser muy poderoso), ¿des truirá un misil a una distancia de 3 000 km? b) Si pudiera modifi carse la longitud de onda, ¿qué valor mínimo daría resultado? c) Si
P
no pudiera cambiarse, cuál sería el alcance destructivo del láser en a)? Utilice la ecuación del disco dada en el ejercicio 35 y suponga que la longitud focal es la distancia del blanco.
r o b l e m a s
1. Se pone en reposo un electrón de 20.0 eV por medio de dos fre nados sucesivos de radiación, con lo cual se transfiere su ener gía cinética a la de dos fotones. La longitud de onda del segundo es 130 pm más grande que la del primero en ser emitido, a) Calcu le la energía del electrón tras su primera desaceleración, b) Calcule la longitud de onda y la energía de ios dos fotones. 2. En un tubo de rayos X, un electrón que se desplaza inicialmen te a una velocidad de 2.73 X 108 m /s la reduce al pasar cerca de un núcleo. Un fotón con energía de 43.8 KeV se emite. De termine su velocidad final. (Hay que tener en cuenta la relativi dad; desprecie la energía impartida al núcleo.) 3. Demuestre que un electrón en movimiento no puede emitir es pontáneamente un fotón de rayos X en el espacio libre. Debe estar presente un tercer cuerpo (átomo o núcleo). ¿Por qué es necesa rio eso? (Sugerencia: examine la conservación de la energía to tal y del momento.) 4. Representemos con Áa y A¡j las longitudes de onda de los rayos Ka y K p respectivamente, de un elemento, a) Demuestre que la teoría de Bohr nos da Ag A„
( Z - l)2 Z2 - 9
y determine el valor numérico de k. b) Compare el valor predicho de esta razón con el determinado mediante la longitud de onda de algunos elementos con valores pequeños, medianos y grandes de Z. (La longitud de los rayos X está tabulada en el Handbook ofChemistry and Physics.) 5. Las dos longitudes de onda que aparecen en la transición 3p —* 3s del sodio (las llamadas líneas D del sodio; véanse las Figs. 48-7 y 48-15) se deben a la división de la estructura fina del nivel 3p. a) Con la longitud de los dos miembros del doblete 3p —* 3 s de la figura 48-15, determine la división de energía de los dos com ponentes de la estructura fina del nivel 3p. b) Use la división de energía obtenida en a) para predecir la diferencia de longitud de onda de los dos miembros en el doblete 4s —* 3p que apare ce en la figura 48-7. 6. a) Por medio de la teoría de Bohr obtenga una expresión del ra dio de la capa K en un elemento alcalino, basándose en su nú-
mero atómico Z. b) Usando nuevamente la teoría de Bohr, ob tenga una expresión del radio de la capa más externa de un ele mento alcalino y demuestre que no depende de Z. 7. Una generalización poco rigurosa de la teoría de Bohr al helio consiste en suponer que los dos electrones se encuentran en la misma órbita, pero siempre en lados opuestos del núcleo, a) De muestre que la órbita del estado base tendrá un radio de 4t¡0/7, donde a0 es el radio de Bohr. b) Calcule la energía del átomo en ese estado, c) ¿Cuál sería la energía de ionización de este átomo (la que se requiere para extraer un electrón)? Compare el resul tado con la energía de ionización del helio (24.6 eV). 8. Un átomo (hipotético) tiene solamente dos niveles atómicos, con una separación de energía de 3.2 eV. En la atmósfera de una estrella hay 6.1 X 1013 de estos átomos por cm3 en el estado ex citado (superior) y 2.5 X 1015 por cm3 en el estado base (infe rior). Calcule la temperatura de la atmósfera de la estrella. 9. Un haz láser (A = 600 nm) de alta potencia, con un diámetro de haz de 11.8 cm se apunta hacia la Luna, situada a una distancia de 3.82 X 1CP. Su expansión se debe exclusivamente a efectos de la .difracción. La posición angular del borde del disco de difrac ción central (Ec. 42-11) está dado por '
1,22A sen 6 = —:— —, d
donde d es el diámetro de la abertura del haz. Calcule el diáme tro del disco central de difracción en la superficie de la Luna. 10. El medio activo de un láser de rubí (A = 694 nm) es un cristal sintético del mismo material que mide 6.00 cm de largo y 1.0 cm de diámetro. El cristal está plateado en un extremo y —con el fin de permitir la formación del haz externo— sólo está parcial mente plateado en el otro extremo, a) Trátelo como una cavidad óptica resonante en analogía con un tubo cerrado de órgano y calcule el número de nodos de ondas estacionarias que existe a lo largo del eje del cristal, b) ¿En qué cantidad Af tendrá que cambiar la frecuencia del haz para aumentar en 1 este número? Demuestre que A f es simplemente el inverso del tiempo de re corrido de la luz en un viaje redondo sobre el eje de cristal, c) ¿Cuál es el correspondiente cambio fraccional de frecuencia? El índice apropiado de refracción es 1.75.
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CONDUCCIÓN ELÉCTRICA EN LOS SÓLIDOS
.
n los dos capítulos preceden tes vimos la eficacia de la
teoría cuántica cuando la aplicam os a átom os individuales. En este capítulo vam os a m ostrar que funciona con la misma eficacia al aplicarla a conjuntos de átom os en fo rm a de sólidos. Los sólidos p o seen m uchísim as p ro p ied a d es que p odem os examinar: ¿son duros o blandos?, ¿pueden m ar tillarse para convertirlos en una hoja d elgada o trenzarse en un alam bre fino?, ¿son transparentes?, ¿qué tipo de ondas pasan a través de ellos y a qué velocidad?, ¿conducen calor?, ¿cuáles son sus p ropiedades m agnéti cas?, ¿cuál es su estructura de cristal? Y p o dríam os continuar ¿enumerando muchas otras propiedades. En to dos los casos nos gustaría u tilizar la teoría cuántica p a ra com prender las p ropiedades medidas. En este cajrhulo nos concentram os en una p ro p ied a d de los sólidos: la conducción de electricidad. E xpli carem os la clasificación de los sólidos: en conductores, aislantes, sem iconductores y superconductores; veremos adem ás cómo la teoría cuántica ofrece un m odelo p a ra entender p o r qué algunos m ateriales se comportan en un m odo y algunos en otro.
4 9 “ 1 TEORÍA CUÁNTICA DE LOS SÓLIDOS En los dos capítulos anteriores hemos visto cóm o la mecánica cuántica se aplica exitosamente al análisis de la estructura de los átomos. Basándose en las leyes de la mecánica cuántica y el potencial de Coulomb, se comprenden muchas propiedades de los átomos (tamaño, radiación que emiten y absorben, momen to angular, momento magnético, etc.). La tabla periódica, ini cialmente construida disponiendo los átomos por sus propiedades com unes y por su masa, se reelaboró a partir de la teoría cuán tica de los átomos. Podemos formular una teoría satisfactoria de la estructu ra del átomo, basándonos en las propiedades de un electrón individual o, com o máximo, de unos cuantos electrones de valencia. Esta teoría cuántica da buenos resultados cuando se analizan las propiedades de los átomos en un gas, porque los electrones están bastante bien localizados en los átomos indi viduales y porque las propiedades de los átomos dependen e x clusivamente de la disposición de ios electrones.
En el presente capítulo aplicaremos la teoría cuántica a la estructura de los sólidos con el fin de entender su conductivi dad eléctrica. Comprobamos que hay varias diferencias entre la aplicación de la teoría cuántica a los átomos y a los sólidos. Ante todo, los electrones que contribuyen más a la conducti vidad eléctrica en un sólido no “pertenecen” a ningún tipo particular de átomo; son compartidos entre todos los átomos del material. En consecuencia, quizá se trate de un enorme núme ro de electrones; por eso sería absurdo intentar seguir el m o vim iento de uno en particular. Utilizam os a cambio métodos estadísticos, com o lo hicim os en el capítulo 22, para analizar la distribución de velocidades en las moléculas de un gas. La combinación de la teoría cuántica con la mecánica estadística se conoce como mecánica estadística cuántica. Vamos a em plear los métodos de la mecánica estadística cuántica para analizar la conductividad de los sólidos. Otra diferencia entre un sólido y un gas radica en que en el primero los átomos interactúan unos con otros. En capítu los anteriores supusimos que tratábamos con átomos indivi duales y aislados, donde los electrones interactúan sólo con el
núcleo y con otros electrones de su núcleo “de origen”. En un sólido los átomos están tan cerca entre sí que los niveles ener géticos de los electrones en un átomo se ven afectados por la presencia de otros átom os. Esto convierte en amplias bandas de energía los altos niveles energéticos de un átomo aislado. Las bandas son, en realidad, grupos de niveles tan numerosos y tan compactos que podem os considerarlos continuos. Una sem ejanza entre la teoría cuántica de los átomos y la de los sólid os co n siste en que en am bos casos los electro nes deben ajustarse al principio de exclusión de Pauli, sólo que en los sólidos se aplica al sólido entero y no únicamente a un átomo. En el sólido dos electrones no pueden tener el mism o conjunto de números cuánticos. Los electrones unidos a átomos diferentes deben tener un nombre especial que iden tifique su átomo “de origen”, ¿pero qué decir de los electrones “pertenecientes” a un sólido entero y no a átomos individua les? En el presente capítulo analizaremos principalmente esos electrones, porque en condiciones normales los que están uni dos a átomos individuales no contribuyen a la conducción eléctrica. A sí pues, queremos aplicar el principio de Pauli a un conjunto quizá de 1022 electrones; esta tarea, sin duda, se ría tremenda si no contáramos con los métodos de la estadís tica cuántica.
4 9 = 2 ELECTRONES DE CONDUCCIÓN EN UN METAL Un átomo aislado de cobre consta de 29 electrones. En el cobre sólido 28 de ellos son mantenidos cerca de sus sitios de la red por fuerzas electrónicas, sin que puedan moverse a través del volumen del sólido. El electrón restante pu ede hacerlo, y si apli camos la fuerza electromotriz entre los extremos de un alambre de cobre, son estos electrones de conducción (uno por átomo) los que constituyen la corriente generada en el alambre. En la sección 29-5 estudiamos este problema desde la perspectiva de la m ecánica clásica: comparamos los electro nes de conducción en un cubo m etálico con los átomos de un gas confinado en una caja cúbica. Usando este modelo (clási co) de gas con electrones Ubres, obtuvimos una expresión pa ra la resistividad del metal, a saber (Ec. 29-20):
p = — m_ _ t ne-w donde rn es la masa; e la carga de los electrones; n el número de electrones de conducción por unidad de volumen, y r el tiempo promedio entre las colisiones de los electrones con la red. En la sección 29-5 demostramos que r es esencialmente constante, independientemente de que se haya generado o no un campo eléctrico dentro del cubo por una fuerza electromo triz aplicada en el exterior. En conclusión, la resistividad p no depende del campo eléctrico aplicado: otra forma de decir que en los metales se cum ple la ley de Ohm. Aunque esta obtención de la forma de la ley de Ohm es un excelente logro de la física clásica, no es fácil ir mucho
más allá. También, hay otras propiedades físicas — entre ellas la capacidad calorífica de los metales— sobre las que la teo ría clásica tiene algo que decir, pero por desgracia sus predic ciones no coinciden con el experimento. En otras áreas de interés, resulta d ifícil imaginar cóm o explicar algo tan com plicado com o el transistor basándonos para ello en el modelo clásico de gas con electrones libres. Más nos vale ver qué nos ofrece la m ecánica cuántica al respecto. El primer paso al resolver un problema de mecánica cuántica consiste en especificar la energía potencial de la par tícula — que suponem os que es un electrón individual de con ducción— en función de su posición. Necesitamos información para sustituirla en la ecuación de Schrödinger. Comenzamos con la suposición razonable más simple: la energía potencial es cero en todos los puntos dentro de la muestra metálica cú bica y se aproxima a un valor infinitamente grande en todos los puntos exteriores. N os hallamos ante un gas con electro nes libres, pero ahora se rige por las reglas cuánticas y no por las clásicas. Esta energía potencial nos recuerda el problema de un electrón atrapado en un pozo infinito que resolvim os en la ecuación 47-2. N ótese, sin embargo, dos diferencias: el pro blem a actual es tridimensional e incluye dim ensiones macros cópicas en vez de atómicas. A un electrón individual de conducción atrapado en su cubo m etálico lo representamos por una onda (estacionaria) de materia if/{F ), donde r es un vector de posición, e im po nem os la condición de que la densidad de probabilidad i//2( f ) sea cero tanto en la superficie del cubo com o en lodos los puntos exteriores. Es la forma de reconocer que el electrón es tá verdaderamente atrapado en el cubo metálico. La figura 47-4 nos recuerda que procedim os del mism o m odo en el caso uni dimensional. Si im ponem os estas condiciones de frontera a la función de onda, la ecuación de Schrödinger indicará que la energía total E del electrón estará cuantizada, del m ism o modo que lo estuvo en el caso del electrón atrapado en un pozo unidimen sional. Pero hay una diferencia radical. Por ser tan grande el cubo m etálico en la escala de dim ensiones atómicas, el núme ro de ondas estacionarias de materia que encajan en el volu men del cubo y aun así cumplen con los requisitos de frontera es enorme y las energías permitidas de los electrones están muy cerca entre sí. El problema resuelto 49-1 muestra que, en un cubo de 1 cm de lado, hay unos 1020 estados cuantizados que se hallan entre £ ’ = 5 e V y E = 5.01 eV. Compare esto con el arreglo limitado de los niveles bien espaciados que se indican — por ejem plo— para el pozo finito de potencial en la figura 4 1 -6b. N o es posible ocupam os simultáneamente de un número tan vasto de estados; es preciso recurrir a m étodos estadísti cos. En vez de preguntar “¿Cuál es la energía de este estado?” hay que preguntar “¿Cuántos estados tienen una energía en el intervalo desde E y E + d E T Ya nos topamos antes con esta clase de situaciones. Por ejem plo, al describir en la sección 22-4 la velocidad de las m oléculas en un gas ideal, vim os que la única manera de pro-
ceder era plantear la pregunta: “¿Cuántas m oléculas tienen una velocidad que varía entre v y v + d v l En los electrones de conducción, el número de estados (por unidad de volum en del sólido) cuyas energía se encuen tran entre E y E + dE puede escribirse com o n{E)dE, donde n(E) es la función llamada den sidad de los estados. En el gas (cuántico) de electrones libres puede demostrarse que es
tii numero actual N de estados que están en el intervalo entre E — 5.00 eV y E = 5.01 eV en el cubo es el siguiente, si a es la longitud de su lado:
8 V2 irm
En otras palabras, hay 1.52 X 1020 estados individuales de ener gía entre 5.00 y 5.01 eV. El intervalo promedio de energía AEady en tre sus niveles adyacentes se deduce fácilmente de
n(E)
’ 1/2
(49-2)
En esta etapa nos limitamos simplem ente a contar los estados disponibles para un electrón individual de conducción. N óte se que en la ecuación 49-2 no hay nada que dependa del ma terial de que está hecho la muestra. Ajustar los patrones de las ondas estacionarias para introducirlos en una caja cúbica es un problema meramente geom étrico. En la siguiente sección explicaremos cóm o llenar esos estados. El lector se preguntará: “Si las energías de los estados per mitidos están tan cerca entre sí, ¿por qué no nos olvidam os to talmente de la cuantización y suponem os una distribución continua de energía?”. La respuesta, com o veremos en la si guiente sección, se basa en el hecho de que el principio de ex clusión de Pauli se aplica a los electrones en cualquier lugar que los encontremos, com o electrones orbitales en los átomos o com o electrones de conducción en los metales. Aunque nuestro problema contiene muchos estados, hay también mu chos electrones de conducción para ocuparlos y el principio de Pauli nos permite colocar sólo uno en cada uno de los es tados. A sí pues, a pesar de la dificultad de descubrir directa mente la naturaleza cuantizada de la energía de los electrones de conducción, el hecho de la cuantización sigue siendo un aspecto esencial y tiene consecuencias importantes. P h o b lsm a R e s u e l t o 4 3 - 1 . Un cubo de cobre mide 1 cm de la do. ¿De cuántos estados disponen sus electrones de conducción en el intervalo de energía entre E = 5.00 y 5.01 eV? Suponga que los electrones se comportan como un gas (cuántico) con electrones li bres. Solución Estos límites de energía están tan cercanos que podemos afirmar con seguridad que la respuesta, por unidad de volumen, es n{E)AE, donde E = 5 eV y AE = 0.01 eV. Con base en la ecuación 49-2 tenemos 8 V'Z'T«!3'’2 n(E) = ------- ;------E _
(8 V2 tt)(9.1 1 X 10~31 kg )3/2 (6.63 X 10—34 J - s)3
[(5 eV)(1.6 X 1 0 - 19 J/eV)]1/2
= 9.48 X 1046 m - 3 J - ' = 1.52 X 1028 m ^ eV “ 1. N ó tese que hay q ue e x p resa r en jo u le s la energía E antes de susti tu irla en la ecu ac ió n 49-2, aun cu an d o queram os ex p resa r el resu lta do fin al en electró n volts.
* Véase Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles, de Robert Eisberg y Robert Resnick (Wiley, 1985), 2a. ed., sección 11-11.
N = n(E )A E a3 = (1.52 X 1028 m -3eV -')(0.01 eV)(l x 1CT2 m)3 = 1.52 X 102°.
AE.ady '
AE N
0.01 eV 1.52 X 1020
7 X 10-23 eV.
Concluimos que, inclusive en esta angosta banda de energía, existen muchísimos estados y que se parecen mucho en su energía. Nuestras conclusiones no dependen en absoluto del material de la muestra. Tampoco es importante que ésta sea cúbica; el mismo re sultado final se consigue con cualquier otra forma que encierre a un volumen igual. Lo que sí hemos supuesto es que los electrones de conducción se comportan como un gas (cuántico) de electrones li bres, es decir, que su energía potencial es constante (que es cero se gún hemos supuesto) en todos los puntos dentro de la muestra. Tal suposición nunca se cumple estrictamente en los metales reales. Pe se a ello, siguen siendo válidas las conclusiones principales: un elec trón de conducción en un metal dispone de muchos estados y la energía de éstos es muy similar.
XENABO
>G :
Ahora que hemos visto cuántos estados existen, estamos listos para llenarlos con electrones. Este proceso ya lo estudiamos en la sección 48-4 al tratar de la construcción de la tabla periódica de los elementos. Explicamos allí la importancia decisiva del principio de exclusión de Pauü: nos indica la posibilidad de asignar sólo un electrón a un estado en particular. Ese principio es igualmente importante en el problema actual. La figura 49- la muestra la densidad de los estados dados por la ecuación 49-2. Esta función indica el número de estados posibles en un intervalo cualquiera de energía. Pero no todos es tos estados están ocupados. Llenamos los estados disponibles en un metal exactamente como lo hicim os con los estados dis ponibles en un átomo: agregamos electrones, uno por estado cuántico, comenzando en el nivel inferior de energía y termi nando cuando hayamos incorporado al metal todos los elec trones necesarios. Examinemos primero las condiciones en una temperatura de cero absoluto. Éstas representan el estado de menor energía de la muestra y las alcanzamos colocando los electrones de con ducción en los estados no llenados que presentan una energía mínima. El proceso se indica en la figura 49-1 b, la cual contie ne la función de probabilidad p{E). Esta función nos dice la probabilidad de que esté ocupado el estado con la energía E. En T — 0, todos los estados por debajo de cierta energía están lle nos {p = 1) y todos los estados por arriba de esta energía están
o, al resolver la integral, 8 ^ 2 m n 3/2 /ri
E 1/2 dE
2 773/2 3¿,f
La solución de E F nos da ÌT 8m Energía (eV)
a)
T= 0
4
10
6
Energía (eV)
b)
r=o
0
c)
2
4
6
£p
8
10
Energía (eV)
F i g u r a 4 9 - 1 . a) Densidad de los estados n(E) grañcada en función de la energía E. b) La función de probabilidad p(E) a T = 0. c) La densidad de los estados ocupados n0{£) es igual al producto de n(E) y p{E). Todos los estados por debajo de Ep están ocupados, y todos los estados por arriba de Ep, vacíos.
vacíos {p — 0). En estas condiciones, al estado más alto ocupa do se le llama nivel ele Ferm i y su energía, marcada como E¥ en la figura 49-16, se llama energía de Fermi. Por ejemplo, pa ra el cobre la energía de Fermi es 7.06 eV. Si m ultiplicam os la densidad n(E) de los estados disponi bles por la probabilidad p (E ) de que estén ocupados, el resul tado es la densidad de esta d o s ocupados, n (E), o sea na(E ) = n (E )p(E ).
(49-3)
Esta cantidad se muestra gráficamente en la figura 4 9 -le. El área sombreada en esa figura representa el número to tal de estados ocupados (por unidad de volum en). Una mane ra de calcular la energía de Fermi consiste en determinar esta área e igualarla a la densidad n de los electrones de conduc ción en el metal. A l integrar entre los límites de E = 0 y E = £p para determinar el área, obtenem os
(49-5)
Una ojeada a la figura 4 9 -le debería bastar para disipar el error común de que todo movimiento cesa en una temperatura de cero absoluto. Vemos que, enteramente por el principio de exclusión de Pauli, los electrones están apilados y el valor de su energía fluctúa entre cero y la energía de Fermi. La energía p ro m edio en las condiciones de la figura 4 9 -le resulta ser 4.2 eV aproximadamente. En comparación, la energía cinética traslacional de la m olécula de un gas ideal a temperatura ambiente es apenas 0.025 eV. Los electrones de conducción en un metal tie nen abundante energía en el cero absoluto. Parece evidente que las moléculas de un gas a temperatu ras ordinarias y los electrones de conducción en un metal se comportan de un modo muy distinto. En términos formales, de cim os que las moléculas se ajustan a la estadística (clásica) de M axwell-Boltzm ann y que los electrones se ajustan a la estadís tica (cuántica) de Fermi-Dirac. Dentro de este contexto, el tér mino “estadística” designa las reglas formales para contar las partículas. A sí, en la estadística de M axwell-Boltzmann supone m os que es posible distinguir partículas idénticas; en cambio, en la estadística de Fermi-Dirac suponemos que no es posible. Una vez más, en la estadística de Maxwell-Boltzmann, el principio de exclusión de Pauli no desempeña función alguna, mientras que, com o ya vimos, la función de dicho principio en la estadís tica de Fermi-Dirac es esencial. ¿Qué sucede con la distribución de los electrones en la fi gura 49-1 al elevar la temperatura? S ólo se produce un cam bio pequeño en la distribución; pero ese pequeño cambio tiene consecuencias trascendentales. En la figura 49-2 vem os el aspecto que presentarían las distribuciones de la figura 49-1 con una T — 1 000 K, temperatura a la que una muestra de metal brillaría en un cuarto oscuro. La característica más notable de la figura 49-2 es lo poco que difiere de la figura 49-1, las distribuciones en el cero abso luto. Cuando T = 0, la función de probabilidad p(E ) era estric tamente la unidad debajo de £ F y estrictamente cero arriba de EF. Como se observa en la figura 49-26, con T = 1 000 K hay una pequeña probabilidad de tener unos cuantos estados vacíos por debajo de E p y unos cuantos estados ocupados por arriba de Ep. En la figura 49-2c se muestra la densidad n0(E) de los esta dos ocupados, dados nuevamente por la ecuación 49-3 como el producto de n(E) y de p(E ). Una vez más esto contrasta mucho con el comportamiento de un gas ideal, donde la energía cinéti ca promedio de la molécula es proporcional a su temperatura. A l comparar las condiciones cuando T = 0 y cuando T = 1 000 K, vem os que toda la “acción” tiene lugar en los electro nes de conducción cuyas energías son similares a la de Fermi. El m ovim iento de la mayor parte de los electrones no se alte ra al aumentar la temperatura, pues su gran depósito de ener gía está bien encerrado.
donde EF es la energía de Fermi, definida ahora (Fig. 49-2¿>) com o la energía correspondiente a p N ótese que la ecuación 49-6 produce el diagrama rectan gular de la figura 49-l¿> para T — 0. A medida que T —* 0, el exponente (E - E?)/k T de la ecuación 49-6 tiende a —<» si E < EP y +co si E > EF. En el primer caso tenemos p(E ) = 1, y en el segundo p(E ) = 0, justo com o se requería. La ecuación 49-6 muestra también que la magnitud im portante no es la energía E, sino más bien E — EF, el interva lo de energía entre £ y la energía de Fermi. Además vemos que, debido a la naturaleza exponencial del término en el de nominador de esa ecuación, p{E) es muy sensible a cambios pequeños de E — EF. Ello confirma la aseveración de que los electrones cuya energía sea similar a la de Fermi son los úni cos que desempeñan un papel activo. Como veremos luego, la primera pregunta al ocupamos de los electrones en un sólido — sea un conductor, un sem iconductor o un aislante— tien de a ser: “¿Dónde se halla el nivel de Fermi en una escala de energía?”
>(O eIn s 'o
g
Energía (eV)
a)
r = íooo k
10
Energía (eV)
b)
P r o b l e m a R e s u e l t o 4 3 - 2 . Calcule la energía de Fermi en el cobre, suponiendo que los electrones de conducción por unidad de volumen (Prob. res. 29-3) es 8.49 X 102S m -3 .
r = íooo k 1
Solución A partir de la ecuación 49-5 obtenemos 0
h2 8m
m 0
2
4
c)
6
4
8
10
Energía (eV)
aS -v-. Igual que la figura 49-1, sólo que T = 1000 K. Nótese la escasa diferencia que hay con las gráficas de la figura 49-1. (Éstas están poco idealizadas, pues suponen que los electrones se desplazan en una región de potencial uniforme. En los metales reales la densidad medida de las gráficas de los estados no presenta una forma tan simple.)
Veamos por qué. La figura 49-2c muestra la magnitud de kT, medida de la energía disponible a raíz de la agitación tér mica; su valor en 1 000 K es apenas 0.086 eV. Ningún electrón puede esperar que, a causa de la agitación térmica, su energía se altere com o máximo unas pocas veces en esta cantidad re lativamente pequeña. D ebido al principio de exclusión, sólo los electrones cuya energía se parece a la de Fermi tienen es tados vacíos lo bastante cerca de ellos para que ocurran esas transiciones térmicas. Un electrón con una energía de — diga mos— 2 eV puede adquirir o perder energía porque ya están llenos todos los estados de energía bastante cercana; sim ple mente este electrón no tiene dónde ir. En analogía con las ondas del mar, la agitación térmica de los electrones suele causar rizos sólo en la superficie del “mar de Fermi”; las vas tas profundidades de éste permanecen tranquilas. A la función de probabilidad p(E), descrita gráficamente en las figuras 4 9 -lb y 49-2b, se le conoce como función de p robabilidad de F erm i-D irac y puede demostrarse que es p (E )
1 e (E~Ee)lkT
_¡_ j
(49-6)
3«
(6.63 X ¡0 ^ 4J-s)2 (8X9.11 x i(T kg) 1.13 x 1(T 18 J
(3)(8.49 X 102S m~3)
7.06 eV.
P r o b l e m a R e s u e l t o 4 9 - 3 . ¿Qué probabilidades hay de que este ocupado un estado cuya energía está a) 0.1 eV por arriba, b) 0.1 e V por debajo de la energía de Fermi y c) es igual a ella? Suponga una temperatura de 800 K.
Solución a) El exponente (adimensional) de la ecuación 49-6 es 0.1 eV 1.62 X 10“5 eV/K)(800 K)
E - EF kT
1.45.
La inserción de este exponente en la ecuación 49-6 nos da p (.E f
1
0.19.
La probabilidad de ocupación en este estado es del 19%. b) Con una energía de 0.1 eV por debajo de la de Fermi, el exponen te en la ecuación 49-6 tiene el mismo valor numérico que antes, só lo que negativo. Así pues, según la ecuación 49-6, P(E-)
1
0.81.
La probabilidad de ocupación en este estado es de 81%. c) Cuando E = £ F, el exponente de la ecuación 49-6 es cero, y ésta se convierte en P(E f )
0.50.
Obsérvese que este resultado no depende de la temperatura. Obsér vese asimismo que ninguno de los tres depende del valor real de la energía de Fermi, sino sólo del intervalo de energía entre la energía de Fermi y la del estado en cuestión. P r o 3 l h m a S e s u e l t o 4 9 - 4 . a) En el cobre a 1 000 K, calcule la energía con que la probabilidad p(E) de que esté ocupado un estado de un electrón de conducción sea 90%. (Suponga que los electrones de conducción de este material se comportan como un gas de electrones libres, con una energía de Fermi de 7.06 eV.) b) Con esta energía, ¿cuál es n(E), la distribución de energía en los estados disponibles? c) Con esta misma energía, ¿cuál es nQ(E), su distribución en los es: tados ocupados?
P ( v)
a)
VF
P ( v)
u-
Solución a) La sustitución en la ecuación 49-6 produce = 0.9,
p(E) =
donde AE = E — EF. Con un poco de álgebra se obtiene AE/kT = — 2.20; así que A £ = -2 .2 0 kT = -(2.20X 8.62 = -0 .1 9 eV.
X
KT5 eV/K)(l 000 K)
b)
Velocidad VF
F i g u r a 4 9 - 3 . Distribución de velocidades de Fermi. a) Si no hay campo eléctrico los estados arriba de la velocidad de Fermi vp están llenos, b) Cuando un campo eléctrico E se aplica en la dirección indicada, la distribución se corre a la derecha a medida que el campo acelera los electrones.
En el cobre, suponiendo que EF = 7.06 eV, tenemos E = EF + A £ = 7.06 eV - 0.19 eV = 6.87 eV. b) Al efectuar el cálculo como en el problema resuelto 49-1 con E = 6.87 eV, se obtiene n(E) = 1.78 X 1028 eV-1 . c) Conforme a la ecuación 49-3 tenemos, nuevamente cuando E = 6.87 eV, n0(E) = n{E)p{E) = (1.78
X
102S irT3 eV-')(0.90)
= 1.60 X 10-f m ~ 3 e V “ '.
4 i - i CONDUCCIÓN ELÉCTRICA EN METALES En la figura 4 9-3a se describe la distribución de velocidades de Fermi en metales. La velocidad de Fermi vF es la de un electrón cuya energía cinética es EF, o sea la energía de Fer mi. Sin ningún campo eléctrico aplicado, los electrones alcanzan velocidades entre poco más o menos 0 y vF que corresponden a energías entre 0 y £ F aproximadamente. La distribución en la figura 49-3 representa un componente común de la velo ci dad y no la rapidez. S e comprueba así que hay igual número de electrones que se desplazan en direcciones opuestas, de modo que la com en te neta es cero cuando no existe un cam po eléctrico. Al aplicar un campo eléctrico, los electrones son acelerados por el campo y adquieren un pequeño incremento de velocidad en dirección contraria a dicho campo. (Dado que los electrones tienen carga negativa, la fuerza en uno de ellos es F = —eE, que sigue una dirección contraria a E .) En presencia de un cam po, se modifica la distribución de velocidades entera un poco hacia la derecha com o en la figura 49-3b. Sin embargo, la ma yoría de los electrones continúan sumándose por pares y la ve locidad es cero, sin que contribuyan a la conducción. Los electrones que sí contribuyen son los de un grupo p e queño de velocidades alrededor de vF. El campo eléctrico g e nera estados cuya velocidad está apenas por debajo de vF en
dirección de E para quedar desocupados, mientras que se ocu pan los estados con velocidades apenas por arriba de vF en dirección contraria a E . En la figura 49-3 se ve por qué la ve locidad de deriva (velocidad promedio de todos los electrones) es mucho menor que vp, porque en el proceso promediado mu chas velocidades positivas y negativas se cancelan unas a otras. La velocidad de desplazamiento depende primordialm enle del número pequeño de electrones que, bajo la acción del campo eléctrico, pasan de los estados por debajo de la ve locidad vF a los estados con velocidad por arriba de vF. La resistividad del metal al flujo de estos electrones se de be a las colisiones hechas por los electrones con el núcleo de los iones en la red. En el problema resuelto 49-5 demostramos que, en el cobre a temperatura ambiente, la velocidad de Fermi, que es la velocidad promedio de los electrones de conducción entre colisiones, es 1.6 X 106 m /s, fracción importante de la veloci dad de la luz. El tiempo medio entre colisiones es 2.5 X 10“ 14 s, y la trayectoria libre media, 41 nm; esto equivale a unas 150 distancias del vecino más cercano en la red de cobre. Quizá al lector le sorprenda que, a temperatura ambiente; un electrón de conducción recorra una distancia tan grande a través de la red de cobre sin chocar con un núcleo de iones. A temperaturas más bajas •— donde la resistividad es menor— , dicho electrón puede recorrer distancias aún mayores. De he cho, he aquí una predicción tal vez imprevista de la mecánica ondulatoria: a una temperatura de cero absoluto una red per fectamente periódica será totalmente transparente a los elec trones de conducción. Nunca se producirá colisión alguna. Pero no existe ese tipo de redes. Siempre hay sitios vacíos en la red y átomos de impurezas, por mucho que uno se esfuer ce en eliminarlos. Más aún, con temperaturas por arriba del cero absoluto la red empieza a vibrar y estos movimientos deterioran su periodicidad. A temperatura ambiente las “colisiones” a las que antes nos hemos referido son principalmente interacciones de los electrones de conducción con las vibraciones de la red.
P r o b le m a R e su e lto 4 - 9 - 5 . Supongamos que la energía de Fermi en el cobre es 7.06 eV. a) ¿Qué velocidad tiene un electrón de conducción con esta energía cinética? b) La resistividad p del cobre a temperatura ambiente es 1.69 X 10~8 f l ■ m y n, el número de electrones por unidad de volumen, es 8.49 X 102S m-3 ¿Qué tiem po promedio r existe entre las colisiones? c) ¿Qué trayectoria libre promedio puede calcularse con los resultados de a) y 6)?
Solución a) A lo largo de la sección supusimos que los electrones de conducción se desplazan en una región donde su energía poten cial es cero. Así, su energía total E es toda energía cinética y, si E = £ F, podemos escribir £f =
\¡mvp,
U=0
Energía de Fermi
donde vF es la velocidad de Fermi. La solución de vF produce (2)(7.06 eV)( 1.60 X 10~l9J/eV) 9.11 X 1CT31 kg
vF =
b)
1.57 X 106 m/s. El lector no debería confundir esta velocidad con la velocidad de deriva de los electrones de conducción, la cual es del orden de 10-4 m /s y, por lo mismo, es menor en un factor aproximado de 1010. Según se explicó en la sección 29-5, la velocidad de deriva es la velocidad promedio a la que los electrones se mueven en un con ductor al aplicar un campo eléctrico; la velocidad de Fermi es la ve locidad promedio que existe entre colisiones. b) Al resolver la ecuación 49-1 para r obtenemos _
U=0
m ne2p _________________ 9.11 X 10~31 kg_________________ (8.49 X 1023 m~3)(1.60 X 1Ú^!9 C)2(1.69 X l(r8a-m)
= 2.48 X lCTl4s. c) Para encontrar la trayectoria libre promedio, tenemos A = vFr = (1.57 X 106 m/s)(2.48 X 10“ 14 s) = 3.9 X 10-8 m = 39 nm. En la red del cobre, los centros de los núcleos de iones vecinos están se parados por una distancia de 0.26 nm. En consecuencia, a temp-------ambiente un electrón típico de conducción puede recorrer una distancia considerable a través de una red de cobre sin hacer una colisión.
4 9 -B BANDAS Y BRECHAS En la figura 49-4¿z se muestra la variación de energía potencial que hem os utilizado al describir un electrón de conducción en un metal. La energía potencial es cero dentro de él y au menta al infinito en la superficie. N o obstante, este m odelo ofrece algunos problemas. Por ejem plo, nos indica que un electrón nunca podría escapar del interior de la muestra a tra vés de su superficie. Sabemos que no es así porque los elec trones pueden extraerse de un metal “hirviéndolos”, para lo cual se aumenta la temperatura com o en el filam ento calen tado de un tubo al vacío (emisión termiónica). También pueden “patearse” si proyectamos luz de frecuencia suficientemente alta sobre la superficie metálica (efecto fotoeléctrico). La figura 49-46 muestra que es bastante fácil resolver es te problema, con sólo hacer finita la energía potencial en la
C)
o
o
o
o
F i g u r a 4 9 - 4 . a) Variación de la energía potencial que se supone en un metal según el modelo de gas con electrones libres, b) Variación más realista, que muestra un cambio finito de energía potencial en la superficie de la muestra, c) Variación todavía más realista, que tiene en cuenta la red de los núcleos de hierro. Esta curva es un corte unidimensional a lo largo de una línea de núcleos iónicos (los cuales aparecen como puntos en el fondo de la figura). Las regiones sombreadas son las bandas de energía permitidas en los electrones. Éstos no pueden tener energía correspondiente a las brechas.
superficie. Introducimos el mismo ajuste realista (Fig. 47-6) para el electrón atrapado en un pozo unidimensional del ta maño de un átomo. La magnitud cf> de la figura 49-46 es la función de trabajo del metal, definida como la cantidad míni ma de energía que debe suministrarse a un electrón para ex traerlo de la muestra. Se dibujó la figura 49-46 para que nuestra escala de ener gía concuerde con la utilizada para el átomo de hidrógeno. En otras palabras, hem os escogido la configuración E — 0 para representar un electrón en reposo fuera de la muestra. Es po sible efectuar este cambio porque la energía potencial siem pre contiene una constante aditiva arbitraria y de todos modos nos interesan más las variaciones de las energías totales E que ella misma. En la nueva escala de energía, la energía total de los electrones atrapados en la muestra son negativas, com o lo son también en el átomo de hidrógeno.
a)
b)
a) Dos átomos neutros de cobre de diámetro d, separados por una distancia r, con r » d. b) Los átomos son sistemas independientes y, como se muestra en la figura, en su estado base tienen la misma asignación de números cuánticos en sus electrones. La escala de energía es simbólica solamente. F ig u r a
49-5.
Sin duda, el principal problema de la figura 49-4Ö consiste en suponer que la energía potencial de un electrón de conducción permanece constante en todo el volumen de la muestra. Se igno ra así el hecho de que los electrones se mueven en un arreglo de núcleos de iones con carga positiva. D e hecho, vale la pena se ñalar que hemos podido descubrir tanto sobre la resistividad de los metales, despreciando las variaciones de la energía potencial causadas por los núcleos de iones de la red. Pero no hemos lo grado contestar preguntas com o la siguiente: “¿Por qué el cobre es un conductor y no lo es un diamante?”. Si tenemos en cuenta la periodicidad de la red, tendremos la posibilidad de contestar la pregunta anterior y de ir m ucho más allá. En la figura 4 9 -4 c se muestra una curva de energía poten cial que tiene en cuenta los núcleos de iones. La sustitución de esta energía potencial (o de alguna aproximación) en la ecuación de Schrödinger revela un nuevo e interesante fenó meno. Según se observa en la figura 49-4c, ahora se agrupan en bandas los estados p erm itidos, con brechas (bandas p ro hibidas) de energía entre aquellos en que no existen estados. N ótese que los electrones un poco debajo del nivel de Fermi pueden m overse libremente a través de la red, no así los elec trones del núcleo. Veamos ahora si podem os entender estas bandas y brechas en términos físicos. La distancia entre los vecinos más cercanos en una red de cobre es 0.26 nm. Pero suponga dos átomos de cobre separa dos por una distancia m ucho mayor — digamos 50 nm— , de m odo que pueda describirlos com o “aislados” (Fig. 49-5a). En cada átomo se asignan los 29 electrones a los niveles m os trados en la figura 49-5£>. A continuación acercamos más los dos átomos, de manera que un electrón exterior pueda influir en uno de estos átomos, así sea ligeramente, por fuerzas que el otro átomo ejerce sobre él. En el lenguaje de la m ecánica cuántica decim os que sus funciones de onda em piezan a superponerse. Afirmamos, sin prueba, que ambas funciones pueden combinarse en forma in dependiente, describiendo los dos estados que tienen energías
un poco distintas, com o se ve en la segunda colum na de la fi gura 49-6. Como la superposición es mayor en los electrones ex ternos, la división de energía también será mayor en ellos que en los electrones internos. Si hubiera tres átom os en interac ción, los niveles individuales de los átomos aislados se conver tirían en tres niveles poco espaciados. Por extensión, juntamos N átomos de cobre para formar una red de ese material, donde cada nivel del átomo aislado se trans forma en N niveles poco espaciados del sólido. A sí pues, el nivel l s del átomo se convierte en la banda 1s del sólido y así sucesi vamente. En la figura 49-6 se describe gráficamente el proceso.
E =0
t
.ES "o;
1
2
3
N
Número de átom os — 8®F í s u h a 4 9 - 6 . Al reunir los átomos para formar una red, se dividen los niveles de los átomos aislados hasta que finalmente constituyen bandas de niveles cercanos. La energía de las bandas superiores se superpone en el caso aquí descrito.
D esde este punto de vista las brechas prohibidas no son tan difíciles de entender, pues se conocen por la estructura de niveles del átomo aislado. En efecto, podem os decir que N iels Bohr, aun antes que se descubriera la m ecánica cuántica, “in ventó” las brechas de energía cuando dijo: “Supongo que los átomos pueden existir sin irradiar en un conjunto discreto de estados estacionarios de energía definida, estando p roh ibidos [os estados de energía interm edia
CONDUCTORES, AISLANTES Y SEM ICONDUCTORES La figura 47-9a representa la estructura de banda de un conduc tor como el cobre. Su característica fundamental consiste en que la banda poblada de máxima energía está llena sólo en parte. Existen estados vacíos por arriba del nivel de Fermi; por tanto, si aplicamos un campo eléctrico E , todos los electrones de esta' banca podrán incrementar su momento en la dirección —E y fluirá una comente. Las bandas de menor energía están comple tamente llenas y no pueden contribuir al proceso de conducción, sumándose todas las velocidades por pares a cero. La figura 49-7¿> describe un aislante. Su característica fundamental consiste en que la banda poblada de máxima energía está completamente llena y la brecha prohibida de ener gía situada por arriba de él, marcada E a en la figura, es impor tante. Por “importante” entendemos que E a ÍS> kT, de manera que hay escasas probabilidades de levantar un electrón por energía térmica y de introducirlo en la banda colocada arriba de la brecha. Si establecem os un campo eléctrico dentro del aislante, a los electrones les será imposible responder ante él y, por consiguiente, tampoco habrá corriente. El carbono en su forma de diamante es un excelente ais lante, pues su brecha de energía es 5.5 eV, más de 200 veces el valor de kT a temperatura ambiente. La figura 49-7c representa un semiconductor. Se distingue del aislante en que su brecha de energía es lo bastante pequeña para que en ella la excitación térmica de los electrones ocurra hasta cierto punto a temperatura ambiente. Eso pone los electro-
Esarrda de conducción Banda ds ■ -■valencia
LL!
nes en la banda (casi vacía) designada como banda de conduc ción en la figura, dejando un número igual de estados vacíos, u hoyos, en la banda de valencia (casi llena). En una que esté ca si llena, resulta más fácil analizar su contribución a la conduc ción eléctrica en función del movimiento de los hoyos que se comportan com o partículas con carga positiva. El silicio es un semiconductor típico. Presenta la misma estructura cristalina que el diamante, sólo que el ancho de su brecha ( = 1 . 1 eV ) es considerablemente menor. A úna tempera tura de cero absoluto, en que no existe agitación térmica, to dos los sem iconductores son aislantes. A una temperatura más elevada la probabilidad de elevar un electrón a través de la brecha es muy sensible al ancho de la brecha. D e ahí que sea un poco arbitraria la distinción entre aislante y sem iconduc tor. Sin embargo, nadie duda en llamar aislante al diamante (E a = 5.5 eV ) y semiconductor al silicio (E a = 1 . 1 eV). P r o b l e m a R e s u e l t o 4 S - S . ¿Qué probabilidad hay a tempera tura ambiente de que un estado en el fondo de la banda de conduc ción esté ocupado en el diamante y en el silicio? Suponga que la energía de Fermi está en la mitad de la brecha entre las bandas de conducción y de valencia.
Solución En un estado en el fondo de la banda de conducción, la di ferencia de energía E — EF es 0.5£o, si la energía de Fermi se en cuentra en la mitad de la brecha. A temperatura ambiente (300 K), kT = 0.026 eV. Tenemos entonces E — EF > > kT y, por lo mismo, podemos aproximar la función de probabilidad de Fermi-Dirac (Ec; 49-6) como
yT ~
e ~ lE ~ E t),k T
=
e ~ R‘,2 iT -
En el diamante, Ea = 5.5 eV y por eso p ( E) = e -< 5 .3 e V )/2 (0 .0 2 6 e V ) _
X
1CT46.
En el silicio, Ea = 1.1 eV y por eso p{E)
=
e - ( l. le V ) / 2 ( 0 . 0 2 S e V ) =
g j x
[Q -D
En un centímetro cúbico de material, aproximadamente con 1023 áto mos, habrá una probabilidad insignificante de encontrar siquiera un electrón en la banda de conducción del diamante, mientras puede ha ber alrededor de 1013 electrones en ella (e igual número de hoyos en la banda de conducción) disponibles para la conducción eléctrica en el silicio. El cálculo anterior ejemplifica la diferencia extrema en la conductividad a causa de variaciones pequeñas en la energía de la brecha y además muestra claramente la distinción entre aislantes y semiconductores. Por el contrario, en un centímetro cúbico de un conductor podría haber 1023 electrones disponibles para la conduc ción eléctrica. ¡5>2EQIC OIiCtElC iC T 23
Conductor
a)
Aislante
b)
Semiconductor
c)
F i g u r a 4 9 - 7 . Representación idealizada de las bandas de energía de a) un conductor, b) un aislante y c) un semiconductor. Las bandas llenas aparecen en sombreado de color y las vacías en sombreado gris. El triángulo negro marca el nivel de Fermi en el conductor.
En el problema resuelto 49-6 comparamos la propiedad de un semiconductor con la de un aislante. En la tabla 49-1 se com paran algunas propiedades de un semiconductor común (el si licio) con las de un conductor común (el cobre). En seguida vam os a examinarlas más a fondo. 1. D en sid a d de portadores de carga, n. El cobre tiene muchas más portadores de carga que el silicio en un factor aproximado de 1013. En el cobre los portadores son los elec-
A
- 3 1 . A 4»9= 1
A lgunas propiedades eléctricas del cobre y del silicio3
Tipo de material Densidad de los portadores de carga* n (m- 3 ) Resistividad p ( f l • m) Coeficiente de temperatura de resistividad a (K _1)
Cobre
Silicio
Conductor
Semiconductor
9 X 1028 2 X 1CT8
1 X 1016 3 X 103
+4 X íc r3
- 7 0 x 10“ 3
“Todos los valores se refieren a la temperatura ambiente. ^Incluye electrones y hoyos en el caso del silicio.
trones de conducción, más o m enos uno por átomo. En la fi gura 49-7c se indica que, a una temperatura de cero absoluto, el silicio no tendría en absoluto portadores de carga. A tempera tura ambiente, a la cual se refiere la tabla 49-1, aparecen sólo porque en el equilibrio térmico la agitación térmica ha hecho que cierto número (muy reducido) de electrones alcance la banda de conducción, dejando una cantidad igual de estados vacíos (hoyos) en la banda de valencia. Los hoyos en la banda de valencia de un semiconductor son excelentes portadores de carga, pues permiten cierta libertad de movimiento a los electrones en esa banda. Si se crea un campo eléctrico en un semiconductor, los electrones de ella, por llevar carga negativa, se desplazan en dirección de —E . Los hoyos lo hacen hacia el campo y se comportan como partículas portado ras de una carga + e, que es exactamente como los considera mos. La conducción por hoyos constituye una característica importante de los semiconductores. 2. Resistividad, p. A temperatura ambiente la resistividad del silicio es mayor que la del cobre en un factor aproximado de 10u . En ambos elementos, la resistividad se calcula mediante la ecuación 49-1. Como se observa en ella, la resistividad crece a medida que disminuye n, la densidad de los portadores de carga. La enorme diferencia de resistividad entre el cobre y el silicio se debe a la gran diferencia de n. (El tiempo medio de colisión t también será distinto en el cobre y silicio, pero la enorme dife rencia en la densidad de las portadoras de carga supera con mu cho el efecto que ello tiene en la resistividad.) Para completar la exposición cabe mencionar que la re sistividad de un buen aislante (cuarzo fundido o diamante, por ejemplo) puede alcanzar, a temperatura ambiente, los 1020 O ■m, unas 1028 veces más alta que la del cobre. Pocas propiedades físicas tienen una gama tan extensa de valores m edibles com o la resistividad eléctrica. 3. Coeficiente de tem peratura de la resistividad, a. Esta magnitud (Ec. 29-18) es el cambio fraccional de la resistivi dad p por unidad de cambio de temperatura, o sea 1 dp a = ----- — . p dT La resistividad del cobre y de otros metales aumenta con la temperatura (d p /d T > 0). Ello obedece a que las colisiones ocurren con mayor frecuencia al elevarse la temperatura, re duciendo así r en la ecuación 49-1. En los metales la densi
dad de los portadores de carga n en esa ecuación 1 no depen de de la temperatura. Por el contrario, la resistividad del silicio (y de otros se miconductores) decrece con la temperatura (d p /d T < 0). Se debe a que la densidad de los portadores de carga n en la ecuación 49-1 crece rápidamente con la temperatura. La dis m inución de r, mencionada antes en relación con los metales, también se presenta en los semiconductores, sólo que su efecto en la resistividad se ve superado con creces por el incremen to tan rápido de la densidad de los portadores de carga. En el laboratorio puede identificarse un semiconductor por su gran resistividad p y sobre todo por su elevado — y ne gativo— coeficiente térmico de la resistividad a, comparadas ambas magnitudes con los valores de un metal ordinario.
# 9 - 7 .SEMICONDUCTORES DOPADOS El desempeño de los conductores se modifica de modo sustan cial introduciendo deliberadamente como impureza un número pequeño de átomos adecuados de sustitución en su red, pro ceso conocido com o dopado. Se califica de extrínseco al se miconductor resultante, para distinguirlo del material puro o intrínseco. En lo esencial, hoy todos los dispositivos semi conductores se basan en material extrínseco. La figura 49-8a es una representación bidimensional de una red de silicio puro. Cada uno de sus átomos posee cuatro electrones de valencia y forma una unión de dos electrones con sus cuatro vecinos más cercanos; los electrones que intervienen en la unión constituyen la banda de valencia de la muestra. En la figura 49~8¿ uno de los átomos de silicio ha sido reemplazado por uno de fósforo, que tiene cinco electrones de valencia. Cuatro de ellos forman uniones con los cuatro áto mos vecinos de silicio, pero el quinto está ligado con poca fuerza al núcleo de ion fósforo, según se observa en la figura 4 9 -8 b. Es mucho más fácil que este electrón sea excitado tér m icamente e introducido en la banda de conducción que uno de los electrones de valencia del silicio. El átomo de fósforo recibe el nombre de donador porque dona fácilmente un electrón a la banda de conducción. Puede de cirse que el electrón “extra” de la figura 49-8¿> se encuentta en un nivel localizado de donador, como se indica en la figura 49-9
F i g u r a 4 9 - 8 . a) Representación bidimensional de la red del silicio. Los iones de este material (carga del núcleo = + 4e) están ligados a sus cuatro vecinos más cercanos mediante un enlace compartido de dos electrones. Los puntos indican esos electrones de valencia, b) Con un átomo de silicio se sustituye uno de fósforo (valencia = 5), creando así un sitio de donador, c) Con un átomo de silicio se sustituye un átomo de aluminio (valencia = 3), creando con ello un sitio aceptor.
m inio, que posee tres electrones de valencia. En este caso falta
un electrón, y para el núcleo de ion aluminio es fácil “robar” un electrón de valencia al átomo cercano de silicio, con lo cual se crea un hoyo en la banda de valencia. A l átomo de aluminio también se le conoce com o a cep tor, porque fácilm ente acepta un electrón de la banda de va lencia. Ese electrón se dirige al interior del nivel localizado del aceptor, según se señala en la figura 4 9 -9 b. Una brecha de energía E&, donde £ a
N ive le s de donador A
T B a n d a de valenci
á)
Dos semiconductores extrínsecos comunes
Material de matriz Impurezas Tipo de impurezas Valencia de las impurezas Brecha de energía de las impurezas Portadores de mayoría Portadores de minoría Carga del núcleo de iones de las impurezas
Tipo n
Tipo p
Silicio Fósforo Donador 5 ( = 4 + 1)
Silicio Aluminio Aceptor 3 ( = 4 - 1)
0.045 eV Electrones Hoyos
0.057 eV Hoyos Electrones
+e
—e
P r o b l e m a R e s u e l t o 4 9 - 7 . A temperatura ambiente, la densi dad de los electrones de conducción en silicio puro es de unos 1016 m ~3. Suponga que, al dopar la red con fósforo, quiere aumentar es te número en un factor de 106. ¿Qué fracción de los átomos de sili cio hay que reemplazar por átomos de fósforo? (Suponga que a temperatura ambiente la agitación térmica es lo bastante fuerte para que prácticamente todos los átomos de fósforo donen su electrón “extra” a la banda de conducción.)
Solución La densidad np de los átomos de fósforo debe ser de unos (1016 m~3)(106) o 1022 m~3. La de los átomos de silicio en una red pura puede calcularse mediante
B a n d a de con d ucción £
Tfío<ál£l=22
«s¡ =
N ive le s de aceptor
A■
b)
F i g u r a 4-S-B. a) Semiconductor de tipo n, que muestra niveles de donador que han aportado electrones (portadores de mayoría) a la banda de conducción. En la banda de conducción también se muestra el número pequeño de hoyos (portadores de minoría). b) Semiconductor de tipo p, que muestra los niveles del receptor que han aportado hoyos (portadores de mayoría) a la banda de.. valencia. Se muestra también el número pequeño de electrones (portadores de minoría) en la banda de conducción.
NAd M
donde NA es la constante de Avogadro; d (= 2330 kg/m3) la densi dad del silicio, y M (= 28.1 g/mol) la masa molar del silicio. La sus titución produce «s¡ =
(6.02 X 1023 moL >)(2330 kg/m3) = 5 X 1028 mf 0.0281 kg/mol
La razón de estas dos densidades numéricas es la magnitud que estamos buscando. Por tanto, «Si
«p
5 X 1028 m -3
Vemos que, si sólo un átomo de silicio en cinco millones se reempla za por un átomo de fósforo, el número de electrones en la banda con ductora crecerá en un factor de 106. ¿Cómo puede una mezcla tan pequeña de átomos de fósforo causar un efecto tan grande? La respuesta es que, en silicio puro a temperatura ambiente, en un principio no hay muchos electrones de conducción. Su densidad era 1016 m-3 antes del dopado, y 1022 m~~J después de él. Por el contrario, en el cobre la densidad de los elec trones de conducción (Tabla 49-1) es 1029 m-3 aproximadamente. En conclusión, después del dopado la densidad de los electrones de conducción en el silicio sigue siendo menor que la de un conductor típico como el cobre. P r o b l e m a R e s u e l t o 4-9-3. Suponga que el electrón “extra” en un átomo donador de fósforo se mueve en una órbita de Bohr al rededor del núcleo central de los iones fósforo, según se observa en la figura 49-8L Calcule a) la energía de enlace y b) el radio de la ór bita de este electrón.
Solución a) La expresión de la teoría de Bohr para la energía de enlace £ b del estado n = 1 es (Ec. 47-23) 3) niZ2e4 8e5/i2
(49-7)
A q u í h acem o s Z = 1 p o rq u e el electró n que gira “m ira” una carga n eg ativ a de 4- e.
Obtuvimos la energía de Bohr tomando un átomo semejante al hidrógeno, moviéndose en el vacío su electrón que gira. Sin embar go, en este caso el electrón se mueve a través de una red de silicio. Un efecto de esto consiste en atenuar la fuerza electrostática en un factor de k , la constante dieléctrica del silicio. Para entender esta fuerza en términos cuantitativos, hay que reemplazar e0 en la ley de C o u lo m b por k e0- La misma sustitución en la ecuación 49-7 nos da , ,
donde el factor entre paréntesis es apenas 13.6 eV, la energía de en lace del átomo de hidrógeno. En el silicio tenemos Ke = 12, de mo do que 13.6 eV (12)2
0.094 eV.
El orden de magnitud de este resultado concuerda aproximadamen te con el valor de 0.045 eV de la tabla 49-2. b) El radio de la órbita se obtiene de la ecuación 47-22. Al sustituir como en la parte a) se tiene e0h2
(49-8)
El factor entre paréntesis no es sino el radio de Bohr (= 52.9 pm). Por tanto, r = (12)(52.9 pm) = 630 pm. Este valor se parece al espaciamiento atómico en la red de silicio (540 pm). También deberíamos reemplazar la masa m del electrón en las ecuaciones 49-7 y 49-8 por una masa efectiva ;?¡ef para tener en cuenta parcialmente la naturaleza periódica del potencial de la red de silicio. De ese modo reducimos la energía estimada de enlace e in crementamos el radio estimado de la órbita; ambos cambios mejoran la coincidencia con el experimento.
En las sigu ien tes seccio n es vam os a describir algunos dis p o sitiv o s sem iconductores de uso com ún, entre ellos los rectificadores de diodo, los diodos em isores de luz y los tran sistores. Hay infinidad de este tipo de dispositivos que podría m os describir. En efecto, gracias a la tecnología moderna es posible adaptar a necesidades concretas los com plejos dispo sitivos de sem iconducción. En lo esencial, todos ellos contienen una o más uniones pn. Tomemos un plano hipotético a través de una varilla de un mate rial semiconductor cristalino puro. En un lado del plano, se dopa la varilla con átomos donadores (creando así un material de tipo n) y en el otro se dopa con átomos aceptores (creando así un ma terial de tipo p). Es una combinación que produce una unión pn. La figura 4 9 - 10a representa una unión en el momento imaginario de su producción. Hay muchos electrones en el material de tipo n y hoyos en el material de tipo p. Los electrones cercanos al plano de unión tenderán a di fundirse a través de él, en gran medida por la mism a razón que las m oléculas de gas lo harán en un membrana permeable dirigiéndose al vacío más allá de ella. Los electrones difundidos que están en la banda de conducción, la cual se dirige de de recha a izquierda en la figura 49-10a, se combinarán fácil mente con los hoyos de la banda de valencia en el otro lado del plano de unión. Por su parte, los hoyos en la región de ti po p se difundirán por el plano de unión de izquierda a dere cha y se combinarán con los electrones en la región n. En todo fenómeno de difusión-recombinación la parte de la barra en el lado derecho de este plano adquiere una caiga posi tiva, y la parte del lado izquierdo, una negativa. A causa de las cargas* se produce una diferencia de potencial AV0 en la unión, según se observa en la figura 4 9 -10c. Relacionado con esta dife rencia de potencial (por la Ec. E = —dV /dx) hay un campo eléc trico interno EQque está a través del plano de unión apuntando como en la figura 4 9 -10c. Este campo ejerce una fuerza sobre los electrones, la cual se opone a su movimiento de difusión. D i cho con otras palabras, para que un electrón logre difundirse de derecha a izquierda o un hoyo de izquierda a derecha en la figu ra 49-10¿>, debe poseer suficiente energía para superar la ba rrera de potencial AV0 que aparece en la figura 4 9 -10c. Esto se describe gráficamente en la figura 49-10<¿; ésta muestra las ban das de energía de los electrones. Un electrón no se difunde de la región de tipo n a la de tipo p , si no “trepa” la colina de altura cAV'0. Un hoyo debe hacer lo mismo, pues de lo contrario no se difundirá de izquierda a derecha. La difusión de electrones y de hoyos genera una com ente, cuya dirección, en el sentido habi tual, es de derecha a izquierda en la figura 49-10. A esta com en te la llamamos corriente de difusión ¿dif.
* Las cargas fijas, que están cerca del plano de unión y separadas por él, son las de los núcleos de iones donadores y receptores, que como ya dijimos no son móviles. En condiciones normales las cargas de los núcleos se compen san con la carga (opuesta) de los portadores móviles. Pero cuando éstos cru zan el plano de unión, los núcleos de los iones dejan de ser compensandos y — por así decirlo— quedan al descubierto.
a)
b)
c)
d)
e) F i g u r a 4 9 -1 o . a) Una unión pn en el momento imaginado de su creación, b) La difusión de ios portadores de mayoría en el plano de unión hace aparecer una carga espacial de iones fijos de donador y receptor, c) La carga espacial crea una diferencia de potencial AV0 y un campo eléctrico correspondiente E0 a través del plano de unión, d) Bandas de energía de los electrones cerca de la unión. Las flechas indican la difusión de los portadores de mayoría, e) En estado de equilibrio, la difusión de los portadores de mayoría a través el plano de unión se compensa exactamente con el desplazamiento de los portadores de minoría en dirección contraria.
D esde luego, no es posible tener una varilla aislada de si licio en un estante con una corriente que fluya indefinidamen te en toda su extensión. A lgo ha de ocurrir que la detenga o compense. Para averiguar lo que es, hay que concentrarse en los portadores de minoría. Como se observa en la figura 49-9 y en la tabla 49-2, hay unos cuantos hoyos — los portadores de minoría— aunque la mayor parte de los que se encuentran en el material de tipo n son electrones. También hay pocos electrones en el material de tipo p, aunque los portadores de mayoría son hoyos. Los portadores de minoría se muestran gráficamente en la figura 49-1 Orí. El campo eléctrico de la figura 4 9 -10c retarda el m ovi miento de los portadores de mayoría — por ser una barrera pa ra ellos— , pero para los de minoría es un viaje cuesta abajo sin importar si son electrones u hoyos. Cuando por agitación térmica un electrón cercano al plano de unión es elevado de la banda de valencia a la de conducción del material de tipo p, deriva sin cesar de izquierda a derecha sobre el plano de
unión, barrido por el campo eléctrico EQ. Y si se crea un hoyo en el material de tipo n, también deriva hacia el otro lado. Gra cias a este proceso, la región de espacio-carga que aparece en la figura 49-106 queda liberada de los portadores de carga y, por tal razón, se le conoce como zona de agotamiento. La corriente representada por el movimiento de los portadores de minoría, denominada corriente de deriva ;'der, sigue una dirección contra ria a la de la corriente de difusión y la compensa exactamente en el equilibrio, como se observa en la figura 49-10e. A sí pues, en el equilibrio una unión pn que descansa so bre un estante adquiere una diferencia de potencial dé contac to AV0 entre sus extremos. La corriente de difusión ¿dif que pasa por el plano de unión desde la dirección p hasta n es ba lanceada por una corriente de deriva ¿der que se dirige en la di rección contraria. Un campo eléctrico EQ opera en la capa de agotam iento cuyo ancho es dQ. P r o b l e m a R e s u e l t o 4 9 - 3 . Una uniónp n basada en silicio pre senta una concentración igual nQde átomos donadores y aceptores. Su zona de agotamiento, con un ancho d, es simétrica alrededor del plano de unión, como se ve en la figura 49-11 a. a) Obtenga una expresión para £ m;íx, la intensidad máxima del campo eléctrico en esa zona, b) Ob tenga una expresión para AV0, la diferencia de potencial que existe en ella (Fig. 49-10c). c) Suponga que la medida de n — 3 X 1022 m~3 y que AV0 nos da 0.6 V. Calcule el ancho de la zona de agotamiento. d) Por medio del valor de d calcule el valor de 2?máx.
Solución a) Puede suponerse que el campo eléctrico es cero en el material de tipo n y de tipo p fuera de la zona de agotamiento. El cam po apunta de derecha a izquierda de esta zona de agotamiento y, por simetría, alcanza su valor máximo en el centro de la zona (Fig. 49-116). Apliquemos la ley de Gauss a la “caja” cerrada (superficie gaussiana) de la figura 49-lia . La ley es
donde /ce (= 12) es la constante dieléctrica del silicio, y q [= nQ eA {d/2)] la carga libre contenida en su interior. La integral debe to marse sobre la superficie de la caja.
F i g u r a 4 9 - 1 1 . Problema resuelto 49-9. a) Zona de agotamiento en la unión pn. El rectángulo punteado representa la sección transversal de una superficie gaussiana con tapas laterales de área A. b) Variación del campo eléctrico en la zona de agotamiento.
La única aportación a la integral proviene de la cara de la caja si tuada en el plano de unión, de modo que la integral tiene el valor k£E. A Al efectuar estas sustituciones *y al resolver xpara mdX se obtiene mar n0ed 2 Kce0
(49-9)
la relación que buscamos. b) Como se muestra en la figura 49-11b, el campo eléctrico dismi nuye linealmente de su valor central de Em&x a cero en los lados de la zona de agotamiento. Así pues, su valor promedio en toda ella será A £ máx. La diferencia de potencial es igual al trabajo por unidad de carga que se requiere para llevar una carga de prueba q0 de una cara de la zona a la otra. Por ello si F es la fuerza promedio que actúa so bre la carga de prueba, AV0
w
Fd
4o
(?.£máx4o)4 4o
La sustitución de £ máx en la ecuación 49-9 nos da AV0
n0ed2 4Kee0
(49-10)
c) Al resolver la ecuación 49-10 para d y al sustituir los valores da dos, obtenemos 4 ks€0 AVq (4)(12)(8.85 X 10“ 12 F/m)(0.60 V) (1.60 X 10~19 C)(3 X 1022 m~3) = 2.3 X 1CT7 m = 230 nm. d) La sustitución en la ecuación 49-9 nos da E
nQed .
2 Kee0
-
(3 X 1022 m~3)(1.60 X 1Q~I9C)(2.3 X 10~7 m) (2)( 12X8.85 X 1 0 -12 F/m)
= 5.2 X 106 V/m. ¿Qué suposiciones hicimos en este problema que pudieran pro ducir distintos valores de las cantidades calculadas en las condicio nes prácticas del laboratorio?
El diodo rectificador La unión pn es fundamentalmente un rectificador, aunque pue de utilizarse en muchas formas. Es decir, si la conectamos a la terminal de una batería, la corriente (unos pocos picoamperes) del circuito será mucho menor en una polaridad de la conexión que en la otra. En la figura 49-12 se ve que, en un diodo típico de unión pn de silicio, la com ente en la conexión de pola riza ción inversa (AV < 0) es insignificante comparada con la co rriente de la conexión de polarización directa (AV > 0). La figura 49-13 muestra una de la multitud de aplicaciones posibles de un rectificador de diodo. Un potencial de entrada de onda senoidal genera un potencial de salida de media onda; el rectificador funciona esencialmente com o un cortocircuito con una polaridad del potencial de entrada y esencialmente como un circuito abierto con la otra. D e hecho, un rectificador ideal
Diferencia de potencial (V) F i g u r a 4 9 - 1 2 . Diagrama de corriente voltaje de una unión típica pn, que muestra que conduce con facilidad hacia adelante, pero que es esencialmente no conductora en la dirección inversa. Los puntos se refieren al ejercicio 35.
tiene apenas estos modos de operación. O está encendido (re sistencia cero) o apagado (resistencia infinita). En la figura 49-13 aparece el sím bolo del diodo rectifica dor. La punta de la flecha corresponde a la terminal de tipo p del dispositivo y apunta en dirección del flujo convencional “fácil” de corriente. En otras palabras, el diodo está encendi do cuando la terminal con la punta de la flecha es (suficiente mente) positiva respecto a la otra terminal. La figura 49-14 muestra los detalles de las dos conexio nes. En la figura 4 9 -14a (el arreglo con polarización inversa), la fuerza electromotriz de la batería simplemente se agrega a la diferencia de potencial de. contacto, aumentando así la altura de la barrera que la mayoría de los portadores deben superar'. U n número pequeño de ellos lo logran y de ahí la reducción considerable de la corriente de difusión. Sin embargo, la corriente de deriva no percibe barrera al guna, y por ello, no depende de la magnitud ni de la dirección del potencial externo. En consecuencia, se perturba el equili brio de com ente existente en la polarización cero (Fig. 49-10e) y, como se observa en las figuras 4 9 -14a, una corriente — muy pequeña— aparece en el circuito. Otro efecto de la polarización inversa consiste en ampliar la zona de agotamiento, tal com o se observa al comparar las figura 4 9-106 y 49-14a. Ello parece razonable porque la ter minal positiva de la batería, conectada al extremo de tipo n de la unión, tiende a jalar los electrones de la zona y a regresar los al material de tipo n, rechazando los hoyos hacia el mate rial de tipo p. Es una región de gran resistividad, ya que la zona de agotamiento contiene muy pocos portadores de car ga. A sí pues, su ancho tan crecido significa un importante in cremento de la resistencia, consistente con el pequeño valor de la com en te en el diodo de polarización inversa. La figura 49-14Z? muestra la conexión de polarización di recta, con la terminal positiva de la batería conectada al extre m o de tipo p de la unión pn. Aquí la fuerza electromotriz aplicada sustrae el potencial de contacto, la corriente de difu sión aumenta de modo considerable y se produce una corriente neta relativamente grande hacia adelante. La zona de agota m iento se estrecha m ás y su resistencia baja coincide con la gran corriente hacia adelante.
AV..
AV..
F i g u r a 4 9 - 1 3 . Diodo de uniónpn conectado como rectificador. El diodo conduce fácilmente hacia adelante (secciones positivas de onda de entrada), no así en dirección inversa (secciones negativas de la onda de entrada).
AV..
AV.,
4'+ + +
“l .
la
F i g u r a 49- 14. a) Conexión de polarización inversa de una unión pn, que muestra la amplia zona de agotamiento, las bandas de energía y la correspondiente corriente pequeña hacia atrás iB. b) Conexión de polarización directa, que muestra la estrecha zona de agotamiento, las bandas de energía y la gran corriente hacia adelante z'F. Nótese que la corriente de deriva es igual en todos los casos.
e (AV0 + AVe;
G P T O E L E C T R O N IC A Todos estamos familiarizados con los números de colores bri llantes que brillan y resplandecen en las cajas registradoras, en las bombas de gasolina y en el equipo electrónico. En casi todos los casos, la luz se emite de un sistema de uniones pn que operan com o diodos em isores d e luz (LED). La figura 49-15« muestra el conocido dispositivo de siete segmentos donde se forman los números. En la figura 49-15b vemos que cada uno de sus elementos es el extremo de una len te plana de plástico, en el otro extremo de la cual hay un pequeño diodo emisor de luz, posiblemente con un área aproximada de 1 mm2. La figura 49-15c muestra un circuito típico donde el diodo emisor tiene polarización directa. ¿Cómo puede una unión pn emitir luz? Cuando un elec trón en el fondo de la banda de conducción de un sem icon ductor cae en un hoyo en la parte superior de la banda de valencia, se libera la energía E a, donde E a es el ancho de la brecha. ¿Qué sucede con ella? Existen por lo menos dos po sibilidades. Podría ser transformada en energía interna de la red vibratoria y, con mucha probabilidad, eso es precisamen te lo que acontece en un semiconductor de silicio.
Sin embargo, en algunos semiconductores la energía emiti da puede aparecer com o radiación electromagnética cuya lon gitud de onda está dada por c A - ? -
c
he
EJh
"í t
(49-11)
F i g u r a 49-13 . a) Dispositivo común de número con siete segmentos, activado para mostrar el número “7”. ti) Un segmento del dispositivo, c) Un LED conectado a una fuente extema de fuerza electromotriz.
Los diodos emisores de luz comerciales, diseñados para la re gión visible, suelen basarse en un material semiconductor que es un compuesto de galio-arsénico y fósforo. A l ajustar la razón entre fósforo y arsénico, puede modificarse el ancho de la bre cha y, por tanto, también la longitud de onda de la luz emitida. Si la luz se em ite cuando el electrón cae de la banda de conducción a la de valencia, la luz de esa misma longitud de on da será absorbida al m overse el electrón en la otra dirección, es decir, de la banda de valencia a la de conducción. Para que no se absorban todos los fotones em itidos, es necesario con tar con un gran excedente de electrones y de hoyos presentes en el material, en cantidades mayores a las que generaría la agitación térmica en el material semiconductor intrínseco. Son precisamente las condiciones que se dan cuando los portado res de mayoría — tanto electrones com o hoyos— se inyectan a través del plano central de la unión pn mediante la acción de la diferencia de potencial externa. Por eso un simple sem icon ductor intrínseco no funcionará com o un diodo emisor de luz. Se requiere una unión pn . Si se quiere disponer de portadores de mayoría — y por lo m ism o de muchos fotones— , hay que introducir grandes cantidades de impurezas e imprimirles una fuerte polarización directa. P r o b l e m a R e s u e l t o 4 9 - 1 0 . Un diodo emisor de luz se cons truye con una unión pn basada en cierto material semiconductor cu ya brecha de energía es 1.90 eV. ¿Qué longitud de onda tiene su luz emitida?
Solución De acuerdo con la ecuación 49-11 tenemos A=
h..■
he (6.63 X 10 34 J • s)(3.00 X 10s m/s ) ~É7 ~ (1.90 eV)( 1.60 x 1(T19 J/eV) 6.54 X 10~7 m = 654 nm.
La luz de esta longitud de onda es roja.
Banda de conducción
-t> Electrones
1 i
l
I
H5-! 7,150"
Banda de
Hoyos .
Banda de valencia
T"50í’
valencia F i g u r a 4 9 - 1 s . Bandas de energía en un diodo láser. La región activa posee una brecha más pequeña de energía que los materiales de tipo n y p a ambos lados. Se emite luz cuando los electrones en la banda de conducción de la región activa bajan para llenar los hoyos en la banda de valencia.
parecida, se inyectan h oyos en el material de tipo p , llegan a la capa de acción del láser y quedan atrapados allí. El exceso de electrones (y de hoyos) en la región activa origina la ac ción del láser. La construcción física del dispositivo se ilustra esquemá ticamente en la figura 49-17; en la figura 49-18 aparece una fotografía de un láser de diodo. El material es un capa angos ta (0.2 puco.) de un material com o GaAs (arseniuro de galio); el material de tipo p y n a ambos lados puede ser capas de G a A lA s (arseniuro de aluminio de galio) con algunos micrómetros de espesor. Sus extremos se juntan y crean superficies sem ejantes a los espejos que reflejan una parte de la onda lu m inosa para permitir la em isión estimulada en la región acti va. Los láseres de diodo que emiten con longitudes infrarrojas de onda se em plean en la com unicación para enviar señales a través de fibras ópticas. Pueden usarse otros materiales en forma similar para generar una radiación visible.
El diodo láser La caída de un electrón desde la banda de conducción para lle nar un hoyo en la banda de valencia, con la emisión de un fotón, nos recuerda mucho a la de los electrones en transición entre los estados atómicos estudiados en el capítulo 48. Hay aplica ciones importantes que se basan en esta semejanza: al inyectar electrones en la banda de conducción y los hoyos en la banda de valencia, es posible crear una inversión de población análo ga a la considerada al hablar de los láseres en la sección 48-9. Y así es posible construir un láser de diodo, donde el medio de la acción del láser no es un gas sino un semiconductor sólido. Estos láseres suelen utilizarse en reproductoras de discos com pactos y en otros sistemas ópticos de recuperación de datos. La figura 4 9-16 muestra una representación de los nive les de energía en un láser de diodo. El material de acción del láser queda entre las capas de tipo p y el material de tipo n, que tiene brechas de energía un poco mayores. En el material de tipo n se inyectan electrones mediante un circuito extemo; algunos electrones de este exceso se dirigen hacia el interior de la capa de acción del láser, donde una barrera de potencial impide que se desplacen hacia el material de tipo p. En forma
F i g u r a 4 3 -1 7 . Construcción física de un diodo láser. La acción del láser ocurre en la capa estrecha de GaAs.
Emisor
mm
p
* 3 i* a P
1AK,
WÊÊÊ
i
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!U
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1 A Vu,
Banda de conducción
WÊBÊBÊÊSÊÊ iiÊÊ8mÊÊÊmm Banda de valencia a)
F i g u r a 4 9 - 1 s . Diodo láser, cuyo tamaño se com para con el grano de sal de mesa a la derecha.
Entre las ventajas de los láseres de diodo figuran su tama ño pequeño y la entrada baja de potencia (en el intervalo de 10 miliwatts, en comparación con el láser estándar de HeNe que puede requerir varios watts de energía eléctrica). A semejanza de otros dispositivos semiconductores, este láser puede alimen tarse por medio de baterías. Pueden alcanzarse eficiencias del orden del 20% (es decir, 20% de la energía eléctrica suministra da aparece en el haz del láser), en comparación con 0.1% en el láser de HeNe. Es fácil modular la señal luminosa controlan do la com ente de inyección; tenemos, pues, un dispositivo óp tico capaz de responder con tiempos rápidos de conmutación ( < 100 ps) que caracterizan los circuitos electrónicos.
4 9 4 ©
EL TRANSISTOR
Los diodos de unión que hemos estudiado hasta ahora son dispositivos de dos terminales. En seguida vamos a describir un dispositivo con tres (o más terminales), denominado tran sistor*A menudo funciona de la siguiente manera: una com en te generada entre dos de las terminales se regula mediante una corriente o voltaje en la tercera. Una clase común es el transistor de unión, compuesto por tres capas de semiconductores dopados, com o npnopnp. En la figura 49-19a se describe una configuración caracterís tica de un transistor npn. Las tres secciones reciben el nombre de em isor, basey colector. Se muestran las bandas de conduc ción y de valencia; sólo se indican los portadores de mayoría. Las uniones emisor-base y base-colector se comportan en gran medida com o las unidades pn ordinarias. En la operación normal, que se indica en la figura 4919£>, la unión de emisor-base presenta polarización directa y la de base colector tiene polarización inversa; esto origina las bandas de energía mostradas en la figura.
b)
F i g u r a 4 9 - 1 9 . a)Transistor de unión npn. En la parte inferior aparecen las bandas de energía y los portadores de mayoría en las tres regiones, b)La unión emisor- base presenta polarización directa, y la unión base-colector, polarización inversa. Los electrones que se dirigen del em isor a la base se recom binan con hoyos o (lo más probable), continúan su camino hacia el colector.
L os electrones fluyen hacia el interior de la base desde el emisor de tipo n fuertemente dopado. Como la base es muy angosta, la mayor parte de los electrones llegan al colector, pe ro pocos se recombinan con los hoyos en la región de tipo p. Para volver a llenar los hoyos en la base, es necesario que los electrones provenientes de la banda de valencia en la base sal gan de} transistor por el circuito extem o com o la com ente pe queña' de la base ib. Con un ligero cambio de la corriente ibde la base puede producirse un cambio importante en la com en te del colector i . En esta configuración, el transistor sirve de amplificador de com ente, y la ganancia de com ente i j ib pue de tener valores ordinarios por arriba de 100. U n segundo tipo de transistor se conoce como transistor de efectode cam po(FET). En la figura 49-20 se describe grá ficamente su geometría básica. Los electrones fluyen por la región de tipo nde \&fuente al drenaje cuando existe una di ferencia de potencial externa AVd entre el drenaje y la fuen te. Las regiones de tipo p presentan muchas impurezas, y las capas de agotamiento formadas en las dos uniones pn deter minan el ancho del canal de tipo n. Un voltaje extem o AVa, aplicado a la región de tipo p (la puerta) modifica el ancho de la región de agotamiento y, en consecuencia, el ancho del ca-
AVL Puerta Drenaje
AVn
AL * En 1947, en lo que son actualmente los Lucent Technologies (antes AT&T) Bell Laboratories, el transistor fue inventado por John Bardeen, Walter Brattain y William Shockely. quienes por su descubrimiento compartieron el Pre mio Nobel de Física de 1956.
Fuente
|Puería
Î T ____
F i g u r a 4 9 - 2 0 . Estructura básica de un transistor de efecto de campo. Los electrones se desplazan por el angosto canal n, desde la fuente hasta el drenaje. El ancho del canal puede controlarse variando el voltaje AV„ en la puerta.
Puerta
Drenaje r
i ^Fuente
____ IzilPA. ...... ......... ............ ..................................... .. Substrato I | Metal
¡~] Semiconductor de tipo p
[U Aislante (S i02)
| . | Semiconductor de tipo n
F ig u r a
4 .9 - 2 1 . Estructura de un MOSFET. Temperatura
nal de tipo n. Ello a su vez m odifica la com ente que pasa por el dispositivo, pues la capacidad de la com ente para fluir por el canal depende del ancho de éste. Un cambio pequeño en el volta je de la puerta altera el ancho del canal y produce un cambio importante en la com en te que lo cruza, de modo que el dis positivo puede operar com o amplificador. Si hacem os bastante grande el voltaje de la puerta, el an cho del canal n se volverá cero y el transistor de efecto de campo (FET) dejará de conducir. En este caso el transistor funciona com o un interruptor: conduce (encendido) o no con duce (apagado). La com en te puede apagarse o encenderse muy rápidamente aplicando una señal a la puerta: son com u nes tiempos de conmutación menores que 1 ns (1 0 -9 s). Una clase común de FET que se utiliza mucho en los cir cuitos digitales es el sem iconductor de óxido metálico (M O S FET), que se fabrica depositando y grabando capas sucesivas en un sustrato de tipo p . Una sección transversal de un M O S FET se muestra en la figura 49-21. La región y el canal n se obtienen grabando una máscara en el sustrato y difundiendo los átomos donadores en una distancia conocida hacia el interior del sustrato. Entonces se deposita una capa de óxido (SiOQ y la capa metálica se deposita después para crear contactos en la región n y en la puerta.
:
SU PERCO N D U CTO RES
A medida que reducimos la temperatura de un conductor, dismi nuye la resistividad según se observa en la figura 29-8. ¿Qué su cede al acercamos al cero absoluto de la escala de temperatura? A l disminuir la temperatura se reduce la parte de la resis tividad a causa de la dispersión de los electrones por átomos que vibran desde su posición de equilibrio en la red, porque la amplitud de la vibración decrece con la temperatura. Según la teoría cuántica, los átomos conservan cierto movimiento v i bratorio mínimo, inclusive con una temperatura de cero abso luto. Más aún, se mantiene la contribución de los defectos e impurezas a la resistividad cuando la temperatura T cae a 0. A sí, esperamos que la resistividad se reduzca con la tempera tura creciente, pero que permanezca finita a las temperaturas más bajas. M uchos materiales, efectivamente, muestran este tipo de comportamiento, com o se ilustra en la figura 49-22. Otra clase muy distinta de comportamiento fue descu bierta en 1911 por el físico holandés Kammerlingh Onnes,
F i g u r a 4 9 - 2 2 . Comparación de la dependencia de la resistividad respecto a la temperatura en un conductor normal y un superconductor. La resistividad de un conductor normal disminuye gradualmente con la temperatura decreciente. En materiales superconductores, la resistividad cae repentinamente a cero con la temperatura crítica Tc.
quien estudiaba la resistividad del mercurio a temperaturas bajas. D escubrió que, por debajo de una temperatura de 4 IC aproximadamente, perdía repentinamente toda la resistividad y se convertía en un conductor perfecto, denominado super conductor. N o fue un cambio gradual sino una transición re pentina, com o se indica en la figura 49-22. La resistividad de un superconductor no sólo es pequeña; es cero. Si se crea una corriente en un material superconductor, deberá durar para siempre, aunque no exista un campo eléctrico. La temperatura crítica Tc es aquella a la que un materia! se convierte en su perconductor. La tabla 49-3 contiene algunos materiales, junto con sus temperaturas críticas. La superconductividad se ha observado en 27 elementos y en numerosos compuestos, pero no en los mejores conducto res metálicos (Cu, Ag, Au). Concluimos que un superconductor no es sólo un buen conductor que mejora esta propiedad; ade más sospecham os que el m ecanism o causante de la supercon ductividad puede ser distinto al que causa la conductividad en m etales com unes. Com o veremos luego, es una propiedad debida a un fu erte acoplamiento entre los electrones de conduc ción y la red. Una conducción normal en los mejores conducto res ocurre cuando hay un acoplam iento débil entre el electrón de valencia y la red.
- i
-
IS -3
Propiedades de algunos superconductores
M a te ria l
r c (K)
Energía de p a r (meVj
Cd Al Sn Hg Pb Nb Nb-Sn MgB, YBa2C u¡07 Hg gTI ,Ba2Ca2Cu3Og 33
0.56 1.19 3.75 4.16 7.22 9.46 18.1 39 90 138
0.27 0.34 1.15 1.65 2.73 3.05
Consideremos un electrón que se mueve en una red. A m e dida que lo hace, jala los núcleos de los iones positivos hacia él y modifica la densidad de carga en su proximidad. Deja una den sidad positiva un poco más alta en su estela que la que habría en condiciones normales. Esta carga atrae otros electrones que interactúan a través de la mediación de la red, en forma semejante a como lo hacen dos botes en un lago a través de sus estelas. El re sultado neto es una pequeña atracción de los electrones. La teoría de BCS (Bardeen-Cooper-Schrieffer)* de la su perconductividad establece que el sistem a de electrones posee la menor energía posible, si están ligados en pares, denominados pares de Cooper. Cuando no existe com ente en un semiconduc tor, los dos electrones del par de Cooper tienen mom entos de igual magnitud, pero de dirección exactamente opuesta; así que desparecen los mom entos totales y la corriente eléctri ca. Cuando se genera una corriente, los dos electrones del par adquieren el m ism o aumento de mom ento y producen m ovi miento en el centro de masa del par. Todos los pares de C oo per adquieren el m ism o momento. La superconductividad es un fenóm eno de cooperación. Si se han formado algunos pares de Cooper, la reducción de energía que ocurre para el siguiente es mayor que si los pares no se hubieran formado. Una vez que la temperatura cae por de bajo de Tc y que algunos pares se han formado, una pequeña re ducción adicional de la temperatura ocasiona que se formen otros. La transición del estado normal al de superconducción es muy precipitada. Los movimientos cooperativos de los pa res de Cooper también ocasionan que todos los pares tengan el mism o momento. Los pares de Cooper poseen una energía de enlace A, de nominada energía de par, que suele estar en el intervalo de 10-4 a 10-3 eV, com o se señala en la tabla 49-3. N ótese que las temperaturas críticas de 1-10 K (com unes en la generali dad de los superconductores de la Tabla 49-3) corresponden a las energías kTc en el mismo intervalo de 1 0 ~ 4 a 10“ 3 eV. La temperatura crítica del superconductor guarda relación direc ta con la energía de pares. Por arriba de Tc, se separan los pa res y el material presenta una resistencia eléctrica normal. La energía de enlace de un par de Cooper introduce una brecha de p a r 2A en la densidad de los estados n(E) cerca de la energía de Fermi. (En la Fig. 4 9 -la se da un ejemplo de la densidad de los estados en un conductor normal.) D esde el punto de vista energético favorece a los electrones cerca de la energía de Fermi en un superconductor para que se combinen en pares. D e ahí que la densidad de los estados se reduzca a cero en un intervalo de ± A de E7, con el correspondiente in cremento de n{E) arriba y debajo de E7. En la figura 49-23 se muestra la densidad de los estados resultante y de la brecha del par 2A. Por arriba de Tc, la densidad de los estados de un superconductor podría ser la de la figura 49-2a. La brecha co-
* Esta teoría de la superconductividad fue propuesta en 1957 por John Bardeen, León N. Cooper y J. Roben Schrieffer, quienes obtuvieron el Premio Nobel de Física de 1972 por su trabajo. Bardeen compartió además el premio de 1956 por su investigación de los semiconductores y por el descubrimiento del transistor.
Energía 4 9 - 2 3 . Densidad de los estados en un superconductor debajo de su temperatura de transición. Hay una brecha de energía de 2A donde la densidad de los estados es cero. Se exageró la escala de este dibujo: la energía de Fermi E7 suele ser de unos cuantos elec trón-volts, mientras que la brecha de pares es 10-4 a 10~3 eV. F ig u r a
m ienza a abrirse a medida que el superconductor se enfría por debajo de Tc; y disminuye al comenzar a disminuir la tempe ratura, alcanza su máximo conforme T se acerca a 0 K. La probabilidad de ocupación de los estados de los elec trones en un superconductor puede obtenerse con el producto de la densidad de los estados, que se incluye en la figura 4923, y con la función de distribución de Fermi-Dirac, según se indica en la figura 49-2¿>. Se consigue así una alta probabilidad de ocupación de los estados superconductores justo por deba jo de-la brecha. Arriba de ella ocurre una pequeña densidad de estados normales (sin pares) cuando T > 0. A partir de 1986 se descubrió una nueva clase de super conductores* cuyos valores de Tc eran extraordinariamente elevados. Las dos últimas líneas de la tabla 49-3 constituyen un ejem plo de estos compuestos, materiales de cerámica que (a diferencia de los tipos más conocidos de ella) son conduc tores a temperatura ambiente. La temperatura más alta a la que la superconductividad se había observado antes era de unos 20 K , estos materiales nuevos representan un adelanto notable de la tecnología. En concreto, permiten conseguir la superconductividad con temperaturas obtenibles al enfriarlos con nitrógeno líquido (77 K), y no con las características del helio líquido (4 K), más caro y menos adecuado. Con este in cremento del factor de 6 en Tc se mantiene la esperanza de que, con otro aumento del factor de m enos de 3, pudiera ser posible lograr la superconductividad a temperatura ambiente. Estos superconductores a temperaturas altas son óxidos de cobre combinados con otros elementos. Todavía no se formu la una teoría satisfactoria de cóm o funcionan: no se sabe si in terviene un mecanism o de tipo BCS. Parece claro que la superconductividad se encuentra en los óxidos del cobre; sus com binaciones son superconductoras, no así el cobre elem en tal. La estructura cristalina de estos compuestos pone el cobre y el oxígeno en planos situados entre los otros elementos,
* Véase “Superconductors Beyond 1-2-3” de Robert J. Cava, Scientific Ame rican, agosto de 1990, p. 42.
siendo probable que estos planos ofrezcan la trayectoria para los electrones que transportan la corriente superconductora. La disponibilidad de esta clase de materiales sugiere de inmediato diversas aplicaciones. 1) La energía puede trans portarse y almacenarse en alambres eléctricos sin perdidas de resistencia. En otras palabras, una compañía eléctrica pue de producir energía cuando haya poca demanda, quizá por la noche, y guardar la com en te en un anillo superconductor. En tonces puede liberarse la energía eléctrica cuando la demanda alcance su nivel m áxim o al día siguiente. En los anillos más pequeños de pruebas de laboratorio, las corrientes han sido al-
macenadas varias años sin reducción alguna. 2) Los electro im anes superconductores pueden transportar corrientes más grandes y, por tanto, producir campos magnéticos mayores que los electroim anes ordinarios. Entre las aplicaciones de es ta tecnología se encuentran los trenes levantados magnética mente y los imanes de desviación en los haces de partículas de los grandes aceleradores com o el Fermilab. 3) Los compo nentes superconductores en los circuitos electrónicos no ge nerarán calentamiento de Joule y permitirán miniaturizar aún más los circuitos. La siguiente generación de macrocomputadoras acaso utilice esta clase de componentes.
M y L J jP L E
49-1 Teoría cuántica de los sólidos 49-2 Electrones de conducción en un metal 4-9-3 Llenado de los estados permitidos 1. La energía de Ferrni del cobre a 0 K representa A) La energía promedio de los electrones. B) La energía necesaria para eliminar el electrón en la su perficie. C) La energía máxima de un electrón cualquiera. D) La energía mínima de un electrón cualquiera. 2. En un metal a 0 K, la probabilidad de que esté ocupado un esta do por debajo del nivel de Fermi A) siempre es 0. B) siempre es 1. C) depende de su energía. D) siempre es 0.5. 3. E n el cobre a tem p eratu ra am biente, la p ro b ab ilid a d de que esté o cu p ad o ci estado 1 eV p o r arrib a del nivel de F erm i es a p ro x i
madamente A) 1.
B) 0.5.
C) 0.025.
D) 1CT18.
4 9 -4 Conducción eléctrica en metales 4. La velocidad de un electrón en una superficie de Fermi de un metal común se aproxima más a A) la velocidad de la luz. B) la velocidad del sonido en el aire. C) la velo cid ad de d eriv a de un electró n en un m etal. D) la interacción de los átomos.
4 9 -s Bandas y brechas 5. La existencia de bandas de energía se debe A) al principio de incertidumbre. B) a la interferencia de las ondas de electrones. C) a movimientos aleatorios de los electrones. D) a interacciones de los átomos.
4 9 -s Conductores, aislantes y semiconductores 6. Especifique a cuáles de los siguientes tipos de materiales podrían aplicarse estas descripciones: a) una banda de valencia llena, una banda de conducción vacía, una brecha de energía de 8 eV; b) una banda de valencia llena, una banda de conducción vacía, una brecha de energía de 1 eV; c) una banda de valencia semillena, una banda de conducción vacía, una brecha de energía de 1 eV. A) Conductor B) Aislante C) Semiconductor D) Ninguno de los anteriores 7. ¿En qué tipo de material se encuentra el nivel de energía de Fermi dentro de la brecha entre las bandas de valencia y de conducción? A) Conductor y semiconductor
B) Aislante y semiconductor C) Conductor solamente D) Semiconductor solamente
4 9 -7 S em icon d u ctores dopados 8. Recibe dos muestras de silicio, una de tipo p y la otra de tipo n. ¿Cómo podrá distinguirlas? A) Midiendo su resistividad eléctrica. B) Midiendo su coeficiente térmico de resistividad. C) Determinando cuál es atraído por un objeto provisto de carga positiva. D) Determinando cuál es atraída por el polo norte de un imán. E) Ninguno de los anteriores. 9. P ara tran sfo rm ar un silicio o rdinario en un se m ic o n d u cto r de ti p o p, p odría ag regarle
A) indio. C) germanio.
B) antimonio. D) carbono.
4 9 - s L a u n ión p n 10. Cuando se aplica polarización directa a una unión pn, la comen te de deriva A) aumenta. B) se reduce a cero. C) disminuye, pero no a cero. D) permanece inalterada. 11. Tiene usted tres uniones pn idénticas: la unión 1 no está polari zada, la unión 2 presenta polarización inversa y la unión 3 tiene polarización directa. Clasifique las tres uniones por orden de creciente atendiendo a su a) comentes de deriva, b) corrientes de difusión, c) corrientes netas. A) 1, 2, 3 B) 3, 1, 2 C) 3, 2, 1 D) 2, 3, 1 E) Todos son lo mismo.
4 9 -9 Optoelecírónica 4 9 - 1 o E! transistor 49-11 Superconductores 12. ¿Por qué es necesario enfriar un superconductor portador de co mente para conservar su temperatura por debajo de TC1 A) Los electrones forman pares de Cooper sólo por debajo deT c. B) Las corrientes grandes generan un importante calenta miento de Joule. C) La sustancia se convierte en superconductora sólo cuan do kT es menor que Ep. D) A y B son opciones correctas.
J^ R E G U N T A S 1. ¿Piensa que se relacionan entre sí algunas de las propiedades mencionadas al inicio del capítulo? De ser así, ¿cuáles? 2. Los electrones de conducción en una esfera metálica ocupan es tados de energía cuantizada. ¿El intervalo de energía promedio entre estados adyacentes depende de a) el material de que esté hecho la esfera, b) de su radio, c) de la energía del estado o d) de la temperatura? 3. ¿Cómo el principio de exclusión de Pauli contribuye a explicar la conductividad eléctrica de un metal? 4. ¿En qué difieren el modelo clásico y la mecánica cuántica de la conductividad eléctrica de un metal? 5. Si comparamos los electrones de conducción de un metal con los átomos de un gas ideal, nos sorprenderá descubrir (Fig. 49-1 c) que mucha energía cinética está confinada dentro del sistema de electrones de conducción en el cero absoluto. ¿Sería mejor comparar los electrones de conducción, no con los átomos de un gas, sino con los electrones internos de un átomo pesado? Des pués de todo, gran cantidad de energía cinética está atrapada en este estado y al parecer eso no nos sorprende. Comente su res puesta. 6. ¿Qué características de la Figura 49.2 la hacen específica para el cobre, material para el cual se extrajo? ¿Qué características no dependen de la identidad del metal? 7. ¿Por qué las curvas de las figuras 4 9 -lc y 49-2c se distinguen muy poco? 8. Distinga cuidadosamente la densidad de la función de estados n(E), la densidad de la función de estados ocupados n0(E), y la función de probabilidad de Femii-Dirac p(E), todas las cuales aparecen en la figura 49-3. 9. ¿Depende del volumen de la muestra la energía de Fermi en un metal determinado? Por ejemplo, si comparamos una muesl cuyo volumen es 1 cm3 con otra de volumen doble, la segunda muestra tendrá exactamente el doble de electrones de condu ción disponibles; parecería que es necesario ir a niveles más al tos de energía para llenar los disponibles. ¿Es así? 10. En la sección 27-3 demostramos que la capacidad calorífica (molar) de un gas monoatómico ideal es 3 /2 R. Si los electro nes de conducción se comportan como ese gas, cabría suponer que hagan una contribución más o menos igual al calor especí fico medido de un metal. Sin embargo, el calor específico pue de explicarse muy bien a partir de la energía absorbida por las vibraciones de los núcleos de hierro que constituyen la red me tálica. Al parecer los electrones no absorben tanta energía al ir elevándose la temperatura de la muestra. ¿Ofrece la figura 49-2 una explicación de este enigma de la era precuántica? 11. Dé un argumento físico que explique cualitativamente la exis tencia de las bandas permitidas y prohibidas de energía en los sólidos. 12. ¿Es más difícil aceptar la existencia de una brecha prohibida de energía en un aislante que la existencia de energías prohibidas para un electrón del — digamos— átomo de hidrógeno? 13. Según la concepción de la teoría de bandas, ¿cuáles son los requisitos esenciales para que un sólido sea a) un metal, b) un aislante o c) un semiconductor?. 14. ¿Qué nos dice la teoría de bandas a propósito de los sólidos que no pueda decimos el modelo clásico (Sec. 29-5)?
15. Distinga entre la velocidad de deriva y la de Fermi en un metal. 16. ¿Por qué en un sólido las bandas permitidas pueden ensancharse más al pasar de los electrones internos a los extemos del átomo? 17. ¿Se cumple la ley de Ohm en los semiconductores sólidos (no dopados)? 18. A temperatura ambiente un campo eléctrico aplicado originará una velocidad de deriva en los electrones de conducción del si licio que es unas 40 veces mayor que la de los electrones de conducción del cobre. ¿Por qué el silicio no es un mejor con ductor que el cobre? 19. Analice los dos enunciados: a) A temperaturas suficientemente bajas el silicio deja de ser semiconductor y se convierte en un aislante bastante eficaz, b) A temperaturas suficientemente altas el silicio deja de ser semiconductor y se convierte en un conduc tor bastante eficaz. Explique hasta qué punto ambos enunciados son verdaderos o falsos. 20. ¿Depende de la temperatura la conductividad eléctrica de un se miconductor intrínseco (no dopado)? ¿Depende de la brecha de energía Ea entre las bandas llenas y vacías? 21. ¿Cómo explica el hecho de que la resistividad de los metales aumenta con la temperatura y que, en cambio, disminuya la de los semiconductores? 22. Las brechas de energía en los semiconductores de silicio y germanio son 1.1 eV y 0.67 eV, respectivamente. ¿Qué sustancia espera que presente la mayor densidad de los portadores de carga tempe ratura ambiente? ¿Y a la temperatura del cero absoluto? 23. Explica esta proposición: “La distinción entre un metal y un se m ico n d u cto r es clara y definida, no así la ex isten te entre un
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semiconductor y un aislante”. El efecto Hall es mucho mayor en semiconductores que en metales. ¿Por qué? ¿Qué aplicaciones prácticas ofrece este re sultado? ¿Transporta carga negativa neta un material de tipo n? Suponga que un semiconductor contiene igual cantidad de im purezas de donador y de aceptor. ¿Se cancelan en sus efectos eléctricos? De ser así, ¿mediante cuál mecanismo? Y en caso contrario, ¿por qué no se cancelan? ¿Por qué un semiconductor de tipo n tiene muchos más electro nes que hoyos? ¿Por qué un semiconductor de tipo p tiene mu chos más hoyos que electrones? Explique esto con sus propias palabras. ¿Qué elementos, además del fósforo, son buenos candidatos pa ra emplearse como impurezas de donador en el silicio? ¿Cuáles aparte del aluminio son buenos candidatos para usarse como impurezas de aceptor? Consulte la tabla periódica. ¿Distinguimos entre portadores de minorías en un semiconduc tor intrínseco como el silicio o el germanio? De no ser así, ¿qué criterio se aplica? Al preparar semiconductores de tipo n y p mediante la introduc ción de impurezas, ¿por qué es tan importante evitar la contami nación de la muestra, así sea con concentraciones muy pequeñas de impurezas no deseadas? ¿Cabe esperar que con el dopado cambie mucho la resistividad del silicio? Cuando una corriente fluye por un material de tipo p, los hoyos positivos se mueven hacia la terminal negativa de la batería y se
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combinan con electrones en el electrodo ohmico conectado a la frontera del cristal. ¿Por qué el cristal no adquiere carga negativa? ¿Por qué a menudo se prefiere el silicio al germanio cuando se construyen semiconductores? El germanio y el silicio son materiales semiconductores simila res. cuya distinción principal consiste en que el ancho de brecha E„ es 0.67 eV en el primero y 1.1 eV en el segundo. ¿Qué ma terial escogería y por qué, si quisiera construir una unión pn (Fig. 49-10) donde es necesario conservar la corriente de la par te posterior lo más pequeña posible? En la unión pn (Figura 49-10) hemos visto que a través de su re gión de unión los electrones y los hoyos se difunden en direc ción contraria. ¿Cuál es el destino final de las partículas al irse difundiendo hacia el interior del material en el otro lado de la unión? ¿Por qué ni los electrones ni los hoyos positivos se recombinan todos y así eliminan la posibilidad de la conducción? Examine dos técnicas posibles para fabricar una unión pn (Fig. 49-10). a) Prepare por separado un muestra de tipo n y de tipo p y júntelas, cerciorándose de que sus superficies limítrofes sean planas y bien pulidas, b) Prepare una sola muestra de tipo n y a alta temperatura difunda en ella el exceso de impurezas de aceptor desde una cara. ¿Qué método es preferible y por qué? La unión pn de la figura 4 9-la presenta iguales concentraciones de material impurificado a ambos lados de su plano. Pero supon ga que la concentración del donador fuese mucho más elevada que la del aceptor. ¿Seguiría teniendo la zona de agotamiento una ubicación simétrica alrededor del plano de unión? De no ser así, ¿se movería el plano central de la zona hacia la cara de tipo n o de tipo p l Fundamente su respuesta. ¿No puede medir la diferencia de potencial de contacto produ cida en la unión pn con sólo conectarle un voltímetro? ¿Por qué en la figura 49-10/? la zona de agotamiento se acumu la cerca del plano de unión? ¿Por qué no se dispersa en todo el volumen de la muestra?
40. ¿Qué significa decir que la unión pn está polarizada hacia ade lante? 41. a) Explique el movimiento de los portadores de mayoría (tanto electrones como hoyos) en una unión pn de polarización direc ta. b) Explique el movimiento de los portadores de minoría en esta misma unión. 42. Con sus propias palabras explique cómo el espesor de la zona de agotamiento en una unión pn puede disminuirse a) aumen tando el voltaje de polarización directa y b) aumentando la con centración de las impurezas? 43. Si elevamos la temperatura de una unión pn con polarización in versa, ¿qué sucede con la corriente (Fig. 49-14a)? ¿Es el efecto más grande en el silicio o en el germanio? (La brecha intrínse ca de energía Ea del silicio es mayor que la del germanio.) 44. ¿Obedece la ley de Ohm el diodo rectificador cuyas caracterís ticas aparecen en la figura 49-12? ¿En qué criterio se basa la de cisión? 45. Hemos visto que un semiconductor simple intrínseco (no do pado) no puede utilizarse como diodo emisor de luz. ¿Por qué? ¿Podría usarse un semiconductor muy dopado de tipo n o pl 46. En la sección 49-9 explicamos el modo de operación de un diodo emisor de luz, donde la luz se emite cuando se inyectan portado res de carga en el plano central de una unión pn por medio de un potencial extemo. Otra opción es el dispositivo inverso, un fotodiodo. Es decir, puede proyectarse una luz sobre una unión pn y entonces aparecerá una corriente en el plano de unión. Explique cómo funcionaría ese dispositivo. ¿Convendría más operarlo en modo de polarización directa o inversa? 47. Con sus propias palabras explique cómo funciona el dispositivo MOSFET de la figura 49-21. 48. En su opinión, existe una correlación entre la temperatura críti ca de un superconductor (Tabla 49-3) y su conductividad eléctrica (inverso de la resistividad) a temperatura ambiente?
_2_JERCICIOS_ 4 9 - i T eoría cu án tica de io s sólid os 4 9 - 2 E lectrones de con d u cció n en un m etal 1. a) Demuestre que la ecuación 49-2 puede escribirse así n(E) = CE1/ 2 donde C = 6.81 X 1027 m-3 • eV-3/ 2. b) Por medio de esta rela ción verifique un cálculo del problema resuelto 49-1, el de E = 5.00 eV, n{E) = 1.52 X 102S n T 3 • eV“ 1. 2. Calcule la densidad n(E) de los estados de los electrones de con ducción en un metal con E = 8.00 eV y demuestre que el resul tado es consistente con la curva de la figura 49.1c. 3. El oro es un metal monovalente con una masa molar de 197 g/mol y con una densidad de 19.3 g/cm 3 (Ap. D). Calcule la densidad de los portadores de carga. 4. ¿A qué presión tendrá un gas ideal una densidad de moléculas igual a la de los electrones de conducción en el cobre (= 8.49 X 102S m-J)? Suponga que T = 297 K.
5. La densidad y la masa molar del sodio son 971 kg/m 3 y 23.0 g/m ol, respectivamente; el radio del ion Na+ es 98 pm. a) ¿Qué parte del volumen del sodio metálico está disponible para sus electrones de conducción, b) Realice el mismo cálculo con el cobre. Su densidad, su masa molar y radio iónico son, respecti vamente, 8960 kg/nri, 63.5 g/m ol y 96 pm. c) ¿En cuáles de es tos dos metales piensa que los electrones de conducción se comportan más como un gas de electrones libres? 4 3 - 3 L len a d o de los estados perm itid os 6. Calcule la probabilidad de que esté ocupado un estado 0.0730 eV por arriba de la energía de Fermi en a) T = 0 K y b) T = 320 K. 7. La energía de Fermi de la plata es 5.5 eV. a) Con T = 0°C, ¿qué probabilidades hay de que estén ocupados los siguientes estados con energía: 4.4, 5.4, 5.5, 5.6 y 6.4 eV? b) ¿A qué temperatura la probabilidad de ocupación será 0.16 en un estado de 5.6 eV?
8. Pruebe que las probabilidades de ocupación en dos estados cu ya energía esté espaciada igualmente arriba y debajo de la ener gía de Fermi suman uno. 9. La densidad del oro es 19.3 g/cm 3. Cada átomo aporta un elec trón de conducción. Calcule la energía de Fermi de oro. En el apéndice D se incluye su masa molar. 10. La figura 49-2c indica la densidad de los estados ocupados n0(E) de los electrones de conducción en el cobre a una tempe ratura de 1 000 K. Calcule nQ(E) para el cobre con las energías E = 4.00, 6.75, 7.00, 7.25 y 9.00 eV. La energía de Fermi del co bre es 7.06 eV. 11. En la sección 47-2 examinamos la situación de un electrón atra pado en un pozo infinitamente profundo. Suponga que ponemos 100 electrones en un pozo de 120 pm de ancho, dos de ellos en un nivel con espines opuestos. Calcule la energía de Fermi pa ra el sistema. (Nota: es la energía del nivel más alto ocupado a la temperatura de cero absoluto.) 12. Los electrones de conducción en un metal se comportan como un gas ideal si la temperatura es lo bastante alta. En particular, la temperatura debe ser tal que kT » EF, la energía de Fermi. ¿Qué temperaturas se necesitan para que el cobre (Ep = 7.06 eV) cumpla con este requisito? Compare su respuesta con el punto de ebullición del cobre (Ap. D). Estudie la figura 49-2c en relación con este aspecto y observe que tenemos kT « Ep en las condiciones la figura. Es exactamente el opuesto del requi sito aquí señalado. 13. Demuestre que la ecuación 49-5 puede escribirse como Ep = Arp-/3 donde la constante A tiene el valor 3.65 X 10“ 19 m2 ■eV. 14. La energía de Fermi para el cobre es 7.06 eV. a) En el cobre a 1 050 K calcule la energía en que la probabilidad de ocupación es 0.910. Con esta energía, evalúe b) la densidad de los estados y c) la de los estados ocupados. 15. Demuestre que la función densidad de estados dada por la ecua ción 49-2 puede escribirse así n(E) = |n £ F- 3/2£i/2. Explique cómo es posible que n(E) sea independiente del material cuando la energía de Fermi EP (= 7.06 eV para el cobre, 9.44 eV para el zinc, etc.) aparece explícitamente en esta expresión. 16. Demuestre que la probabilidad p h de que exista un hoyo en un estado de energía E está dada por 1 Ph
~
g -í£ ~ £ » A T
_¡_ J
'
(Sugerencia: la existencia de un hoyo significa que el estado no se encuentra ocupado; convénzase usted mismo de que ello sig nifica que p h = 1 —p.) 17. Las estrellas enanas blancas representan una etapa tardía en la evolución de estrellas como el Sol. Se vuelven tan densas y ca lientes que podemos analizar su estructura como sólidos cuyos Z electrones por átomos son libres todos. En una estrella de es te tipo, cuya masa es igual a la del Sol y cuyo radio es igual al de la Tierra, calcule la energía de Fermi en los electrones. Su ponga que la estructura atómica puede representarse con áto mos de hierro y que T = 0 K. 18. Un estrella de neutrones puede analizarse mediante técnicas se mejantes a las que se emplean con metales ordinarios. En este caso, los neutrones (no los electrones) se ajustan a la función de
probabilidad (Ec. 49-6). Suponga una estrella de neutrones de 2.00 masas solares con un radio de 10.0 km. Calcule la energía de Fermi de los neutrones. 19. Estime el número N de electrones de conducción en un metal cuyas energías son mayores que la de Fermi como sigue. En ri gor, N está dado por
Al estudiar la figura 49-2c, convénzase usted mismo de que, con miicha aproximación, la expresión anterior puede escribir se así [ E f + 4kT
N =
n(EF)(\)dE.
Sustituya la densidad de la función de estados, evaluadas en la energía de Fermi, demuestre que, en la fracción/de los electro nes de conducción excitados hasta energías mayores que la de Fermi, _ N_ _ 3kT/2 n Ef ¿Por qué no evaluar directamente la primera integral anterior sin recurrir a una aproximación? 20. Con el resultado del ejercicio 19 calcule la fracción de los elec trones excitados en el cobre a temperatura de a) cero absoluto, b) 300 K y c) 1 000 IC. 21. ¿A qué temperatura la parte de los electrones excitados en el li tio es igual a 0.0130? La energía de Fermi en este elemento es 4:71 eV (Ej. 19). 22. La plata se funde a 962°C. En el punto de fusión, ¿qué fracción de los electrones de conducción se hallan en estados con una energía mayor que la de Fermi de 5.5 eV? (Ej. 19), 49~4. C on d u cción eléctrica en m etales 23. La plata es un metal monovalente. Calcule a) el número de elec trones de conducción por metro cúbico, b) la energía de Fermi, c) la velocidad de Fermi y el) la longitud de onda de de Broglie correspondiente a esta velocidad. Consulte los datos necesarios del apéndice D. 24. El zinc es un metal bivalente. Calcule a) el número de electro nes de conducción por metro cúbico, b) la energía de Fermi, c) la velocidad de Fermi y d) la longitud de onda de de Broglie co rrespondiente a esta velocidad. Consulte en el apéndice D los datos necesarios del zinc. 25. En el caso de la plata, calcule a) la trayectoria libre promedio de los electrones de conducción y b) la razón de trayectoria libre media a la distancia entre los núcleos de iones vecinos. La pla ta tiene una energía de Fermi de 5.51 eV y una resistividad de 1.62 X 1(T8 ñ • m. (Ej. 23). 4 S - 5 B an d as y brechas 4 9 - 6 C onductores, aislantes y sem iconductores 26. Repita el cálculo del problema resuelto 49-6 con una tempera tura a) de 1 000 K y b) de 4.0 K. 27. La función de distribución de Fermi-Dirac puede aplicarse a se miconductores lo mismo que a metales. En los primeros, E es la energía arriba de la parte superior de la banda de valencia. El ni vel de Fermi relativo a un semiconductor intrínseco se encuen
tra casi a la mitad entre la parte superior de la banda de valen cia y el fondo de la de conducción. En el germanio estas bandas están separadas por una brecha de 0.67 eV. Calcule la probabi lidad de que se halle ocupado a) un estado en el fondo de la ban da de conducción y b) de que se halle desocupado un estado en la parte superior de la banda de valencia a 290 K. 28. La brecha de banda en el germanio puro es de 0.67 eV. Supon ga, que el nivel de Fermi se encuentra en la mitad de la brecha. a) Calcule la probabilidad de que a 16°C se encuentre ocupado un estado en el fondo de la banda de conducción, b) ¿A qué tem peratura la probabilidad de este estado será 3.0 veces mayor que la probabilidad a 16°C? 4 9 - 7 Sem icon d u ctores d op ad os 29. El silicio puro a 300 K tiene una densidad de electrones en la ban da de conducción de 1.5 X 1016 m~3 y una densidad de hoyos igual en la banda de conducción. Suponga que 1 de cada 1.0 X 107 átomos de silicio se reemplaza por un átomo de fósforo, a) ¿Qué densidad de portadores de carga agregará el fósforo? Suponga que todos los electrones donadores están en la banda de conduc ción. (En el Ap. D vienen los datos necesarios relativos al silicio.) b) Encuentre la razón entre la densidad de portadores de carga en el silicio dopado y la del silicio puro. 30. ¿Que masa se necesitaría para dopar una muestra de 1.0 g de sili cio con la concentración descrita en el problema resuelto 49-7? 31. A un cristal de silicio se le dopa con fósforo hasta alcanzar una concentración de 1022 átomos de este elemento por metro cú bico. En promedio, ¿que distancia separa los átomos? (Prob. res. 49-7.) 32. Una m uestra de germ anio muy puro tiene un átomo de im pure za en 1.3 X 109 átom os de germanio. Calcule la distancia entre los átomos con im purezas.
33. En la figura 49-24 se representan dos bandas de energía de un sólido hipotético. Están llenas hasta el nivel EK, que puede en contrarse en la banda 1 o 2. Puede haber un nivel de impureza en £¡. Indique si el sólido es un conductor, un aislante, un semi conductor intrínseco o extrínseco. El tipo de impureza puede ser donador, aceptor o ninguno de ellos; el semiconductor extrínse co puede pertenecer al tipo p o n. Complete la tabla. _ 5_^
12.00
Banda 2 —
A
Brecha
.2
P>
3 3.00 c i . ig u r a
A
(eV) 3.00 3.00 3.00 1.49 4.40 3.00
.0 ¿'-S-24. Ejercicio 33.
1
U
(eV) -
4.06 -
3.04
(eV)
Sólido Impureza
Semiconductor extrínseco
9.00 4.10 4.10 9.00 4.10 4.10
4 9 - 3 L a unión pn 34. Cuando un fotón penetra en la región de agotamiento de una unión pn, pueden crearse los pares electrón-hoyo a medida que los electrones absorben parte de la energía del fotón y son exci tados de la banda de valencia a la de conducción. Así pues, las uniones anteriores se usan a menudo como detectores de foto nes, sobre todo para rayos X y para rayos gamma nucleares. Cuando con una brecha de energía de 1.1 eV un semiconductor absorbe un fotón de rayos gamma de 662 keV, ¿cuántos pares de electrón-hoyo se crean en promedio? 35. Calcule y compare las resistencia del diodo rectificador en los dos puntos que aparecen en la curva característica de la figura 49-12. La corriente del punto de la izquierda (demasiado peque ña para incluirla en la figura) es 50 pA. 36. a) Una capacitancia se asocia con una unión pn. Explique por qué. b) Obtenga una expresión de la capacitancia de la unión pn en el problema resuelto 49-9.
4 9 -9 O ptoeiecírónica 37. a) Calcule la longitud de onda máxima que producirá fotoconducción en un diamante cuya brecha de banda es de 5.5 eV. b) ¿En qué parte del espectro electromagnético se halla esta lon gitud de onda? 38. En un cristal, la banda ocupada más alta de estados está llena. El cristal es transparente a la luz de longitud de onda mayor que 295 nm, pero opaca a longitudes menos largas. Calcule el ancho (en electrón-volts) de la brecha entre la banda ocupada más al ta y la siguiente (vacía). 39. El cristal KCL presenta una brecha de banda de 7.6 eV por arri ba de la banda más alta ocupada, la cual está llena. ¿Es opaco o transparente a una radiación de 140 nm de longitud de onda? 40. a) Llene el dispositivo de siete segmentos de la figura 40-15« para indicar cómo pueden generarse los 10 números, b) Si se muestran en forma aleatoria, ¿en qué fracción de las visualizadones se usará cada uno de ellos?
- ..................- ■ i
Banda 1 —
F
LU
Tipo
4 9
-io
El
transistor
4 9 - 1 1 Superconductores
. _iC- 3 .JSM AjS 1. La energía de Fermi es de 11.66 eV en el aluminio, su densi dad es 2.70 g /cm 3 y su masa molar es 27.0 g/m ol (Ap. D). Con estos datos determine el número de electrones libres por átomo. 2. Demuestre que en un metal, a un temperatura de cero absoluto, la energía promedio Epr0 de ios electrones de conducción es igual a
j £ f , donde EF es la energía de Fermi. [Sugerencia: nótese que, por definición del promedio, E = (1/n) f En0(E) dE.] 3. a) Con el resultado del problema 2 calcule cuánta energía será li berada por los electrones de conducción en una moneda de un cen tavo (suponiendo que esté hecha totalmente de cobre, masa = 3.1 g), si de repente pudiera despreciar el principio de exclusión de
Pauli. b) ¿Durante cuánto tiempo esa cantidad de energía man tendría encendida una lámpara de 100 W? Nótese que no hay manera de eliminar el principio de Pauli. 4. En un modelo simplificado de un semiconductor intrínseco (sin impurezas), la distribución real de energía en los estados se reemplaza por una en que hay Nv estados en la banda de valen cia. Éstos tienen la misma energía Ev y Nc en la banda de con ducción, todos ellos también con la misma energía Ec. El número de electrones en la banda de conducción es igual al de hoyos en la banda de valencia, a) Demuestre que esta última condición significa que 1VC e (E ,-E t)lk T + j "
Nv
e - ( £ ,- £ f» r _|_ i •
(,Sugerencia: consulte el Ej. 16.) b) Si el nivel de Fermi se halla en la brecha entre las dos bandas y lejos de ambas bandas com paradas con kT, entonces los exponenciales dominarán en el de nominador. En tales condiciones demuestre que Ef = i( E c + Ev) + \_kT ín{Nv/N c), y por lo mismo que, si 1VV= Nc, el nivel de Fermi está cerca del centro de la brecha. 5. Con los cambios por el dopado se modifica la energía de Fermi en un semiconductor. Consideremos el silicio con una brecha de 1.1 eV entre las bandas de valencia y de conducción. A 290 K, el nivel de Fermi en el material puro se halla casi en la mitad de la brecha. Supóngase que se dopa con átomos donadores, cada uno de los cuales tiene un estado de 0.15 eV por debajo del fondo de la banda de conducción, y suponga además que el dopado alcanza el nivel de Fermi a 0.084 eV por debajo del fondo de esa banda. a) En ambos el silicio puro y el dopado, calcule la probabilidad de que se encuentre ocupado el estado en el fondo de la banda de conducción, tí) Calcule además la probabilidad de que se halle ocupado un estado donador en el material dopado (Fig. 49-25). 6. Se dopa una muestra de silicio con átomos cuyo estado donador se halla 0.11 eV debajo del fondo de la banda de conducción, a) Si los estados se encuentran ocupados con una probabilidad de 4.8 X 10~5 a una temperatura de 290 K, ¿dónde está el nivel de Fermi respecto a la paite superior de la banda de valencia? tí) ¿Cuál será
entonces la probabilidad de que se halle ocupado un estado en el fondo de la banda de conducción? La brecha de energía del silicio es 1.1 eV.
J j
■Banda de conducción; ............................................/-Nivel de Fermi ’ " x- N¡vel de donador
1.1 eV
L
........ _.
,
. Banda de valencia : ,r .c=_R.\ : 9 -3 5 . Problemas.
7. En un diodo ideal de unión pn, con una frontera bien definida entre los dos materiales semiconductores, la corriente i se rela ciona con la diferencia de potencial AL en el diodo mediante i = i0{eeáV/kT - 1), donde se da el nombre de corriente inversa de saturación a íq, que depende de los materiales pero no de la corriente ni de la diferencia de potencial. AV es positiva si la unión presenta po larización directa, y negativa si presenta polarización inversa. a) Verifique que esta expresión predice el comportamiento esperado de un diodo trazando i en función de A V a lo largo del intervalo —0.12 V < AV < +0.12 V. Suponga que T = 290 K y que iQ = 5.0 nA. b) A la misma temperatura, calcule la razón entre la comente con una polarización directa de 0.50 V y la co rriente con una polarización inversa de 0.50 V. 8. Una gota de plomo (función de trabajo = 3.4 eV) se encuentra en estrecho contacto con una hoja de cobre (función de trabajo = 4.5 eV). Determine la diferencia de potencial que aparece en la in terfaz plomo-cobre. ¿De qué manera podría medirla? Dibuje un diagrama de energía, que muestre (a la manera de la Fig. 49-4b) los niveles relativos de Fermi antes y después de unir los dos metales. ¿Puede esa unión servir de diodo rectificador?
FÍSICA NUCLEAR
*•_
n lo profundo del átom o se encuentra el núcleo, que
ocupa apenas 10~~15 d el volumen d el átomo, p e ro que le sum inistra la m a yo r p a rte de la m asa y también de la fu erza que lo mantiene unido. En esta p a rte del estudio de la físic a vam os ahora a exam inar la estructura del núcleo y la subestructura de sus componentes. Nuestra labor se fa cilita gracias a las numerosas sem ejanzas existentes entre el estudio de los átom os y el del núcleo. Am bos sistem as se rigen p o r las leyes de la m ecánica cuántica. Igual que el átomo, el núcleo tiene estados excitados que decaen al estado base em itiendo fo to n es (rayos gamma). En ciertas circunstancias, como veremos luego, puede m ostrar efectos de capa muy sim ilares a los de los átom os. También verem os que hay d i ferencia en el estudio del átom o y del núcleo que nos im piden lo g ra r un conocim iento tan com pleto de éste co mo el de aquél. En el presente capítulo vam os a an alizar la estructura d el núcleo y de sus componentes. Explicarem os a l gunos m étodos experim entales con que se estudian sus pro p ieda d es y concluim os con una descripción del fu n damente teórico del conocim iento del núcleo.
¡
S O “ 1 DESCUBRIMIENTO DEL NÚCLEO En los primeros años del siglo xx , poco se sabía sobre la natu raleza de los átomos aparte del hecho de que contenían electro nes. Esta partícula había sido descubierta (por J. J. Thomson) apenas en 1897 y por aquella época se desconocía su masa. No era posible ni siquiera decir- cuántos electrones contema un áto mo. Los átomos son neutros, y por eso, deben contener algu na carga positiva; pero en esos años nadie sabía la forma que adoptaba esta carga positiva compensadora. Tampoco se sabía cómo los electrones se movían en el interior del átomo ni cómo se dividía su masa entre los electrones y la carga positiva. En 1911 Ernest Rutherford interpretó algunos experi mentos efectuados en su laboratorio y a raíz de ello propuso que la carga positiva del átomo se concentraba densamente en el centro y que, además, representaba la mayor parte de su masa. Acababa de descubrir el núcleo atómico.
Antes que se tomara este paso, todos los intentos por en tender los m ovim ientos de los electrones dentro del átomo estuvieron condenados al fracaso. D os años después que Rut herford propuso su hipótesis, N iels Bohr se valió del concep to del átomo nuclear para formular la teoría sem iclásica de la estructura atómica que expusimos en el capítulo 47. Estos tra bajos iniciales de Rutherford y Bohr marcan el com ienzo del conocim iento de la estructura del átomo. ¿Cómo llegó Rutherford a formular su hipótesis propues ta? N o era una sim ple conjetura, sino que se basaba firme mente en los resultados de un experimento sugerido por él y realizado por sus colaboradores Hans Geiger (creador del fa m oso contador Geiger) y Em est Marsden, estudiante de 20 años de edad que todavía no obtenía la licenciatura. Rutherford se proponía investigar las fuerzas que actúan dentro del átomo disparando partículas alfa (a ) energética a través de una delgada lámina blanco y midiendo su deflexión al pasar por allí. Estas partículas, cuya masa es unas 7300 v e
ces más grande que la de los electrones, transportan una car ga de + 2e y las em iten espontáneamente (con una energía de algunos M eV ) m uchos materiales radiactivos. Hoy sabemos que estos proyectiles tan útiles son el núcleo de los átomos del helio ordinario. En la figura 50-1 se muestra el experimento de Geiger y Marsden. Consiste en contar el número de partícu las a desviadas a través de varios ángulos de dispersión 8 (Sec. 26-8). En la figura 5 0-2 se indican los resultados. N ótese espe cialmente que la escala vertical es logarítmica. Vemos que la mayoría de las partículas a están dispersas en ángulos bastan te pequeños, pero — y ésta fue la gran sorpresa— algunas lo estaban en ángulos m uy grandes, más o m enos de 180°. En palabras de Rutherford: “Fue el acontecimiento más increíble que m e ocurrió en la vida. Era casi tan increíble com o si hu biésem os disparado un proyectil de 15 pulgadas contra una hoja de seda, regresara y nos golpeara a nosotros”. ¿Por qué estaba Rutherford tan sorprendido? En la época en que se realizaron estos experimentos, muchos físicos acepta ban el modelo del átomo propuesto por J. J. Thomson. En este m odelo se pensaba que la carga positiva se distribuía en todo el volumen del átom o. Los electrones se distribuían por él, com o lo hacen las sem illas en una sandía, y vibraban alre dedor de su posición de equilibrio dentro de esta esfera de carga. La máxima fuerza de deflexión que actúa sobre la partícu la a al pasar por la esfera positiva de carga resulta demasiado pequeña para desviarla, así sea un grado. Los electrones del átomo ejercerán un efecto muy pequeño sobre esa partícula ma siva y energética. D e hecho, también serán desviados con mu cha fuerza, en forma parecida a como un enjambre de mosquitos se dispersa cuando les arrojamos una piedra. En el modelo de Thomson simplemente no hay un mecanismo que explique la deflexión hacia atrás de una partícula a.
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160°
F i g u r a 30- 2 . Los puntos indican los resultados de la dispersión de la partícula a obtenidos en los experimentos de Geiger y Marsden; la curva llena se calcula a partir de la teoría del núcleo de Rutherford. Nótese que el eje vertical está marcado en potencias de 10.
Rutherford entendió que, para producir una deflexión tan grande, se requería una gran fuerza, que podía obtenerse si la carga positiva estaba concentrada de m odo compacto en el centro del átomo, en vez de distribuirse en todo su volumen. En este modelo la partícula a puede acercarse mucho al centro de la carga positiva sin penetrarla, generando así una impor tante fuerza de deflexión (Prob. res. 50-1). En la figura 50-3 vem os las trayectorias seguidas por par tículas a comunes al cruzar los átomos de la lámina blanco. La mayoría se desvían un poco o nada, pero unas cuantas (aquellas cuyas trayectorias amplias de entrada pasan por casualidad cer ca de un núcleo) lo hacen a través de ángulos extensos. Tras ana lizar los datos, Rutherford llegó a la siguiente conclusión: las
r ' D etector
F i g u r a 3 0 - 1 . Arreglo experimental utilizando en el laboratorio de Rutherford para estudiar la dispersión de las partículas a por láminas metálicas delgadas. Puede girarse el detector para varios ángulos de dispersión 8.
F i g u r a S O - 3 . El ángulo por donde se dispersa una partícula a depende de lo cerca que su trayectoria incidente extendida se encuentre del núcleo de un átomo. Las deflexiones grandes se producen sólo a raíz de encuentros muy cercanos.
dimensiones del núcleo han de ser más pequeñas que el diáme tro del átomo en un factor aproximado de 104. En su mayor parte el átomo es un espacio vacío. Pocas veces la intuición ex traordinaria de un científico genial, apoyada por unos cuantos cálculos, ha dado resultados de tanta trascendencia. P r o b l e m a R e s u e l t o 5 0 - 1 . Por casualidad una partícula a de 5.30 MeV se dirige directamente hacia el núcleo de un átomo de oro (Z = 79). ¿Cuánto se acerca antes de detenerse momentáneamente y de invertir su trayectoria? No tenga en cuenta el retroceso del núcleo de oro (relativamente masivo).
Solución Al principio la energía mecánica total de las dos partícu las que interactúan es K a (= 5.30 MeV), la energía cinética inicial de la partícula a. Se supone que la energía potencial U es cero cuando una gran distancia separa las partículas. En el momento en que la partícula a se detiene, la energía total es la energía potencial elec trostática del sistema de dos partículas (Ec. 28-7, U = q^^/Ane^r). Puesto que debe conservarse la energía, esas dos cantidades serán iguales, o sea
donde q (= le) es la carga de la partícula a; O (= 79e) la del núcleo de oro, y d la distancia entre los centros de las dos partículas cuando la partícula a está en reposo. Al sustituir para las cargas y al resolver para d, obtenemos ¿ =
gQ 4-7re0A a
, „ (2H79)(1.60 X 1CT19 C f -------— v ......................................(5.30 MeV)í 1.60 X KT'U/M eV)
= (S 99 X 10 ' N • m /C í
= 4.29 X 10~14 m = 42.9 fm. Ésta es una distancia pequeña a juzgar por criterios atómicos, pero no por criterios nucleares. Como veremos en la siguientes sección, resulta mucho mayor que la suma de los radios del núcleo de oro y de la partícula a. Por tanto, ésta invierte su trayectoria sin siquiera “tocar” al núcleo. Si la carga positiva asociada al átomo de oro ha sido distribui da uniformemente en todo el volumen del átomo, la máxima fuerza de retraso que opera sobre la partícula a habría ocurrido en el momen to en que ésta comenzara a tocar la superficie del átomo. Esta fuerza (Ej. 2) hubiese sido demasiado débil para influir de modo considera ble en el movimiento de la partícula, la cual habría atravesado a gran velocidad un átomo “esponjoso”.
mente elem entales, pues se componen de otras partículas, de nominadas quarks. Sin embargo, la física nuclear — tema de es te capítulo— se ocupa fundamentalmente de los estudios del núcleo que no incluyan la estructura interna de los protones ni de los neutrones. La naturaleza fundamental de estas dos par tículas es un tema de la física de partículas elem entales y se aborda en el capítulo 52.
Sistemática nuclear A l número de protones del núcleo (el número de protones) se le conoce a menudo com o número atómico y se representa mediante Z A l número de neutrones se le conoce sim plem en te com o número de protones y se representa mediante N. Aparte de la diferencia en su carga eléctrica {q = + e en el protón, q = 0 en el neutrón), el protón y el neutrón son partícu las muy semejantes: poseen casi la misma masa y experimen tan fuerzas nucleares idénticas dentro del núcleo. Por tal razón los clasificam os com o nucleones. El número total de éstos ( = Z + N) recibe el nombre de número de m asa y se re presentan con A. Al especificar Z y A (y, por tanto, N) obtenemos una es pecie particular de núcleo, llamado núclido. Usam os A, la cantidad total de núcleos, a manera de superíndice de identi ficación al designar los núclidos. Por ejemplo en 81Br hay 81 nucleones. E l sím bolo “Br” indica que se trata de bromo don de Z =f 35. Los 46 nucleones restantes son neutrones; así que en este núclido Z = 35, N = 46 y A = 81. Se da el nombre de isótopos a dos núclidos con el mismo Z, pero con distinto N y A com o 81Br y 82Br. La figura 50-4 ofrece un diagrama de los núclidos cono cidos com o una gráfica de Z en función de N. El sombreado oscuro representa los núclidos radiactivos conocidos, o radionúclidos. En la tabla 50-1 se dan algunas propiedades de va rios núclidos.
5 0 = 2 ALGUNAS PROPIEDADES DEL NÚCLEO El núcleo, por diminuto que sea, posee una estructura tan compleja com o la del átomo. Consta de protones y neutrones. Estas partículas (a diferencia del electrón) no son verdadera
* Un análisis de este experimento de dispersión se da en Kenneth S. Krane,
Modern Physics, 2a. ed. (Wiley, 1996), capítulo 6.
°0
20 "
40
’
60
SO
100
120
140
N úm ero de neutrones, N F i g u r a 5 0 - 4 . Gráfica de núclidos conocidos. El sombreado oscuro indica núclidos estables, y el sombreado claro núclidos radiactivos. Adviértase que los núclidos estables ligeros tienen un número esencialmente igual de protones y neutrones, mientras que Is t> Z en núcleos pesados.
Núclido 7Li l4N 3!p 8SRb i20Sn ,57Gd 197Au 239pu
Z
N
A
Estabilidadd
Masa atómica (u)
3 7 : 15 37 50 64 79 94
4 7 16 51 70 93 118 145
7 14 31 88 120 157 197 239
92.5% 99.6% 100% 18 m -32.4% 15.7% 100% 24,100 y
7.016004 14.003074 30.973761 87.911319 119.902197 156.923957 196.966552 239.052157
Radio (fm)
Energía de enlace por nucleón (MeV)
2.30 2.89 3.77 5.34 5.92 6.47 6.98 7.45
5.61 7.48 8.48 8.68 8.50 8.20 7.92 7.56
Espín ih/lrr)
Momento dipolar magnético (AL;)
3 1 2 0 3 3 i
+3.26 + 0.404 +1.13 +0.508 0 -0.340 +0.146 +0.203
° Se da la abundancia isotópica en núclidos estables; la vida media, para radionúclidos.
N ótese que existe en la figura 50-4, una zona razonable mente bien definida de estabilidad. Los radionúclidos inesta bles están en cualquier lado de la zona de estabilidad.
La fuerza nuclear La fuerza que controla la estructura y las propiedades electró nicas del átomo es la conocida fuerza de Coulomb. Pero para mantener junto el núcleo se requiere una fuerza de atracción de un tipo totalmente nuevo entre los neutrones y protones. Debe ser lo bastante intensa para superar la fuerza de repul sión de C oulom b entre los protones (con carga positiva) y para ligarlos, junto con los neutrones, en el diminuto volumen del núcleo. Los experim entos revelan que esta fu erza fu e rte, com o se le llama, presenta el m ism o carácter entre un par cualquiera de com ponentes nucleares, sean neutrones o proto nes. La “fuerza fuerte” tiene un intervalo corto, aproximada mente de 10-15 m. Ello significa que la fuerza de atracción entre pares de neutrones cae rápidamente a cero en las sepa raciones de nucleones mayores que determinado volumen crí tico. Esto a su vez significa que, salvo en los núcleos más pequeños, un nucleón no puede interactuar mediante esa fuer za con el resto de los nucleones, sino sólo con algunos de sus vecinos más cercanos. En cambio, la fuerza de Coulomb no es de corto alcance. Un protón en un núcleo ejerce una repul sión de Coulomb en todos los demás protones, sin importar lo grande de su separación (Ej. 11). En la figura 50-4 se muestra que los núclidos estables li geros tienden a situarse en la línea Z = N o cerca de ella. Los más pesados se encuentran debajo de ella y, por eso, suelen tener muchos más neutrones que protones. La tendencia a un exceso de neutrones con números grandes de masa es el efec to de la repulsión de Coulomb. Un nucleón interactúa sólo con una cantidad pequeña de vecinos a través de la fuerza fuerte; por eso, la energía contenida en los enlaces con ella entre los nucleones crece en proporción con A. La energía contenida en los enlaces de la fuerza de Coulomb entre pro tones aumenta más rápidamente, porque cada uno interactúa
con los restantes protones del núcleo. A sí, la energía de Coulumb cobra mayor importancia con números de masa altos. Tom em os un núcleo con 238 nucleones. Si estuviera en la línea Z = N, tendría Z = N = 119. Pero si pudiéramos en samblar este núcleo, se separaría y fragmentaría de inmediato a causa de la repulsión de Coulomb. Se observa una estabilidad relativa sólo si reemplazamos 27 de los protones por neutro nes, con lo cual se atenúa el efecto de repulsión. Entonces ten dría el núclido 238U , donde Z = 92 y N = 146, un exceso de 54 neutrones. Inclusive en 238U se manifiestan los efectos de Coulomb, pues 1) este núclido es radiactivo y em ite partículas a y 2) puede dividirse fácilmente (fisión) en dos fragmentos. Los dos procesos reducen la energía de Coulomb más de lo que lo disminuirían la energía en enlaces fuerza fuerte.
[Radios del núcleo H em os utilizado el radio de Bolir aQ ( = 5.29 X 1 0 ~ n m = 52.9 pm) com o una unidad útil para medir las dimensiones del átomo. Los núcleos son más pequeños en un factor apro xim ado de 104, y una unidad adecuada para medir las distan cias de esta escala es el fem tóm etro ( = 10~"13 m). A menudo se le llama ferm i y tiene la misma abreviatura. Por tanto, 1 fermi = femtómetro = 1 fm = 1 0 " 15 m. Podem os conocer el tamaño y la estructura de los núcleos efectuando experimentos de dispersión, com o se indica en lafigura 50-1, por m edio de un haz incidente de electrones con alta energía. Su energía es lo bastante grande ( > 200 MeV), de modo que su longitud de onda de de Broglie es lo bastante pequeña para que funcionen com o sondas nucleares sensibles a la estructura. En efecto, estos experimentos miden el patrón de difracción de las partículas dispersadas y esto permite de ducir la forma del objeto que las dispersa (el núcleo). Tras varios experimentos dedicados a la dispersión, se ha deducido que la densidad nuclear presenta la forma de la fi gura 50-5. Vemos que el núcleo no cuenta con una superficie bien definida. Pero sí posee un radio medio característico R. La densidad p (r ) tiene un valor constante en el interior del,.
r (fm) F i g u r a 5 0 - 5 , Variación con la distancia radial de la densidad de un núcleo de 197Au.
Lo anterior significa que podemos escribir c2 com o 931.5 M e V /u , y por tanto, encontrar fácilmente el equivalente ener gético (en M eV ) de cualquier masa o diferencia de masa (en u) o viceversa. C onsiderem os, por ejemplo, el deuterón, núcleo del áto mo de hidrógeno pesado. Consta de un protón y de un neutrón unidos mediante la fuerza fuerte. La energía ¿sB que debe agregársele para separarlo en sus dos nucleones se conoce co mo energía de enlace. En realidad es una medida de la ener gía interna total del núcleo, a causa en parte de la fuerza fuerte entre los nucleones, a la fuerza de Coulomb entre ellos y a la energía cinética de los nucleones respecto al centro de masa del núcleo entero. Con base en la conservación de la energía podem os esciibir en este proceso de separar: mác 2 + E b = m nc 2 + mpc 2.
(50-2)
núcleo y se reduce a cero en la zona borrosa de la superficie. Gracias a este experimento se descubrió que R crece con A aproximadamente como
Si en ambos lados de la ecuación anterior agregamos rnec2, el equivalente energético de la masa de un electrón, tendremos
R = R 0A V3,
(md + m f)c2 + E B = m„c2 + (mp + me)c 2
(50-1)
donde A es el número de masa y i?0 es una constante con un valor aproximado de 1.2 fm. Por ejem plo, en el caso de 63Cu, R = (1.2 fm )(6 3 )1/3 = 4.8 fm. En comparación, el radio medio de un ion cobre en una red de cobre sólido es 1.8 radios de Bohr, unas 2 X 104 veces más grande.
o bien m (2H )c2 + E B = m„c2 + m (lH )c 2.
A quí m (2H) y m (lH) son la masa del átomo neutro pesado del hidrógeno y del átomo neutro ordinario del hidrógeno, res pectivamente. Son masas atómicas, no nucleares. La solución de la qcuación 50-3 para EB nos da . E B = [;?7n + m (lH) — «?(2H )]c2 = A m e2.
La masa atómica puede medirse con gran precisión usando el moderno espectrómetro de masa y las técnicas de la reacción nuclear. Recordemos que puede medirse en unidades de m a sa atóm ica unificadas (cuya abreviatura es u), escogida de modo que la masa atómica (no la nuclear) de 12C sea exacta mente 12 u. La relación de esta unidad con el patrón de masa en el SI es el siguiente a seis cifras significativas: 1 u = 1.66054 X 10“27kg. ■ N ótese que el número de masa (sím bolo A) que identifica a un núclido se llama así por ser igual a la masa atómica del núclido, redondeada a su entero más cercano. A sí, el número de masa del núclido 137Cs es 137. Éste contiene 55 protones y 82 neutrones, un total de 137 partículas; su masa atómica es 136.907084 u, que se redondea numéricamente a 137. En la física nuclear, a diferencia de la física atómica, los cambios de energía por evento son comunes; de ahí que la co nocida relación de masa-energía de Einstein E = A m e2 sea hoy una herramienta indispensable de uso diario. A menudo habremos de emplear el equivalente energético de una unidad de masa atómica y lo obtendremos (usando constantes eva luadas a seis cifras significativas) de ^ , (1.66054 X 10-27 kg)(2.99792 X 108 m /s)2 E = Am c~ = ------------------------------------ r;-----------------------1.60218 X 10 J/MeV
(50-3)
(50-4)
donde Am es la diferencia de masa. Al efectuar este upo de cálculos siempre se emplean masas atómicas, y no nucleares, pues es lo que normalmente se tabula. Como en este ejemplo, las masas electrónicas se cancelan, y esto las facilita de modo considerable.* Cuando se calcula el deuterón las masas necesarias son mn = 1.008665 u, m (lH) = 1.007825 u y m(2H) = 2.014102 u. La diferencia de masa en la ecuación 50-4 es Am = 1.008665 u + 1.007825 u - 2.014102 u = 0.002388 u. A l sustituir en la ecuación 50-4 y al reemplazar c2 por su equivalente, 931.5 M eV /u , comprobamos que la energía de enlace es E b = (0.002388 u)(931.5 MeV/u) = 2.224 MeV. Compare el resultado anterior con la energía de enlace del átomo de hidrógeno en su estado base que es 13.6 eV, más o menos cinco órdenes de magnitud más pequeña. Si dividim os la energía de enlace de un núcleo entre su número de masa, obtendremos su promedio por nucleón, propiedad que se incluye en la figura 50-1. La figura 50-6 muestra un diagrama de esta cantidad en función del número de masa. E l hecho de que esta curva de la energía de enlace
■R egión d e m áxim a I estabilidad
eh
4 77777p.
Fusión
Fusión
a-------
w ~°*¡—---------- —
| r
12C
120& ~ I57Gd
/ 'Li / 4He
_
239p u .
~®7Au~ -
TA c ...
es una unidad adecuada. En la física nuclear la unidad corres pondiente es el m a g n e tó n n u cle a r /i¿N, definido en forma si milar al magnetón de Bohr salvo que la masa del electrón m se reemplaza por la del protón m . Es decir,
¡
eh
An J
-
) "H
O 20
-
40
60
.....
80
......
100 120 140 160 180 200 220 240
N úm ero d e m a sa , A F i g u r a 5 0 - 6 . Energía de enlace por nucleón para un intervalo de números de masa. Se señalan algunos núclidos de la tabla 50-1, junto con otros cuantos. La región de la máxima estabilidad corresponde a números de masa entre 50 y 80.
3.15 X 1CT8 eV/T.
477?72n
‘ Como el momento magnético del electrón libre es (con gran aproximación) un magnetón de Bohr, podría suponerse que el momento magnético del protón libre sería (con gran aproximación) un magnetón nuclear. Pero no está muy cerca, pues el valor medido es + 2.7928 ¡x^. Para entender los mo mentos magnéticos del protón y neutrón, hay que tener en cuenta su estructura interna. A su vez los momentos magnéti cos de los núcleos más pesados pueden analizarse a partir de los momentos magnéticos de los protones y neutrones consti tutivos. ? r o 3 l i í « a R e s u e l t o 5 0 - 2 . ¿Cuál es la densidad aproximada de la m ateria nuclear de que están hechos todos los núcleos?
Solución Sabemos que esta densidad es grande, pues prácticamen
“caiga” en números altos y bajos de masa tiene consecuencias prácticas de gran importancia.* La caída de la curva con números de masa altos indica que los nucleones están más estrechamente ligados cuando se combinan en dos núcleos de masa media que en uno solo de gran masa. Dicho de otra manera, puede liberarse energía en la fis ió n n u cle a r de un solo núcleo masivo en dos fragmentos más pequeños. En cambio, la caída de la curva de la energía de enlace con números de masa bajos indica que puede liberarse ener gía, si dos núcleos de número de masa pequeño se combinan para formar un solo núcleo de masa intermedia. Este proceso, el inverso de la fisión, se conoce co m o fu sió n nuclear. Ocurre en el interior del Sol y en otras estrellas, y es el mecanismo por el que el Sol genera la energía que irradia hacia la Tierra.
te toda la masa del átomo se encuentra en su núcleo tan diminuto. El volumen de este último, aproximado como una esfera uniforme de radio R, está dado por la ecuación 50-1 como V
* The Curve o f Binding Energy ha sido adoptado como título de un libro (de John McPhee) respecto a las posibilidades del terrorismo nuclear.
j 77/ ? 3
r (R ¡ A ).
La densidad pn de la materia nuclear, expresada en nucleones por unidad de volumen, será entonces A Pn
V
(4 tt/3)R 30A
(47t/ 3)(L2 fm)3
0.14 nucleones/fm3.
La masa de un nucleón es 1.7 X 10 27 kg. Y así la densidad pm de la materia nuclear será pm = (0.14 nucleones/fm3)(1.7 X 10"27 kg/nucleón) X (1 fm/10-13 m)3 = 2.4 X 1017 kg/rn3,
Espín nuclear y magnetism o A semejanza de los átomos, los núcleos tienen un momento angular intrínseco cuyo máximo componente en un eje cual quiera z está dado por J (h /2 7 r). Aquí J es un número cuánti co, que puede ser entero o semi-entero y que se llama espín n u clea r; algunos de los valores para ciertos núclidos se inclu yen en la tabla 50-1. Una vez más, como en el caso de los átomos, el momen to angular nuclear tiene un momento magnético nuclear aso ciado. Recuérdese (Sec. 35-3) que en el magnetismo atómico el m a g n etó n de B o h r definido como
=
o sea 2.4 X 1014 veces la densidad del agua. A diferencia de los elec trones orbitales, los núclidos tienen una densidad casi independien te del número de nucleones. En cierta medida los nucleones están empacados como canicas en una bolsa. P r o b l e m a R e s u e l t o 5 0 - 3 . Imagine que un núcleo común de masa intermedia como 120Sn se separa y se divide en sus protones y neutrones. Calcule a) la energía total requerida y b) la energía por nucleón. La masa atómica de 120Sn es 119.902197 u (Tab. 50-1).
—50 = 70 neutrones. La masa atómica combinada de estas partículas libres es
Solución a) 120Sn contiene 50 protones y 120
M
= Zmp + Nma = 50 = 120.997800 u.
X
1.007825 u + 70
X
1.008665 u
Este valor es mayor que la masa atómica de 120Sn en Nm = 120.997800 u - 119.902197 u = 1.095603 u.
Al convertir el resultado anterior en energía en reposo se obtiene la energía total de enlace, E b = Am e2 = (1.0956 u)(931.5 MeV/u) = 1020.6 MeV. b) La energía de enlace E por nucleón es E =
EB = 1020.6 MeV A
120
= 8.50 MeV/nucleón.
Esto concuerda con el valor que puede obtenerse en la curva de la fi sura 50-6.
DECAIMIENTO RADIACTIVO Como se observa en la figura 50-4, la mayor parte de los núclidos hasta ahora descubiertos son radiactivos. En otras pa labras, emiten espontáneamente una partícula y al hacerlo se transforman en un núclido distinto. En el presente capítulo vamos a explicar' las dos situaciones más comunes: la emisión de una partícula a (decaimiento alfa) y la de un electrón (de caimiento beta). Sin importar la naturaleza del decaimiento, su característica principal consiste en ser estadístico. Consideremos, por ejemplo, una muestra de 1 mg de metal de uranio. Contiene 2.5 X 1018 átomos del emisor 238U alfa de muy larga vida. Sus núcleos han existido sin decaimiento desde que fueron creados (antes que se formara el sistema solar) al explotar- una supemova. En un segundo cualquiera decaerán unos 12 de los nú cleos de la muestra, emitiendo al hacerlo una partícula a . Pe ro no disponemos de un medio para predecir si un núcleo de la muestra figurará entre los que decaigan. Todos los núcleos 23SU tienen exactamente la misma probabilidad de hacerlo durante un periodo de observación de 1 s: 12/(2.5 X 1018), esto es, una probabilidad de 2 X 1017. En términos generales, si una muestra contiene TVnúcleos ra diactivos, expresar' el carácter estadístico del proceso de decai miento diciendo que la rapidez de cambio del número de núcleos, o sea —d N / d t (donde el signo de menos la convierte en can tidad positiva), es proporcional al número de núcleos existen tes, o sea dN
— = AN ,
dt
(50-5)
donde la constante de proporcionaliddad, A, denominada c o n sta n te d e d e s in te g ra c ió n , posee un valor característico distinto en cada núclido radiactivo. Podemos escribir la ecua ción 50-5 así dN N
= - A dt.
que se integra fácilmente y nos da N = N 0 e - X<.
F i g u r a 5 0 - 7 . Disminución exponencial en el número de núcleos radiactivos y de su rapidez de decaimiento.
A menudo, más que N, nos interesa la a c tiv id a d o rapidez de decaimiento R (= AJV) de la muestra. Al multiplicar la ecuación 50-6 por A obtenemos R = i?oe ~~Af> (50-7) donde R Q (= AN 0) es la rapidez de decaimiento en t = 0. El número de núcleos presentes y la rapidez de decaimiento si guen la misma ley exponencial. Una magnitud de interés es el tiempo t lp , denominado v id a m e d ia , transcurrido el cual se reducen A y i? a la mitad de su valor inicial. Si hacemos R = \ R q en la ecuación 50-7, tendremos { R 0 = R 0e - ^ - ,
lo cual nos conduce fácilmente a la 2
(50-8)
A
una relación entre la vida media y la constante de desintegra ción. La figura 50-7 describe cómo N y R disminuyen expo nencialmente con el tiempo. Los dos siguientes problemas indican cómo medir A en el proceso de decaimiento con vidas relativamente cortas y tam bién con vidas medias relativamente largas. P r o b l e m a R e s u e l t o 5 0 - 4 . En decaimiento de vida coila, es posible medir directamente la disminución de su rapidez de decai miento R con el tiempo. En la siguiente tabla se incluyen algunos da tos de una muestra de 128I, radionúclido usado en medicina como marcador para medir la velocidad de captación de yodo en la glán dula tiroides. A partir de estos datos determine a ) la constante de desintegración A y b) la vida media f^ 2.
Tiempo
R
Tiempo
R
(min)
(conteos/s)
(min)
(conteos./ s)
4 36 68 100
392.2 161.4 65.5 26.8
132 164 196 218
10.9 4.56 1.86 1.00
(50-6)
Aquí N q es el número de núcleos radiactivos de la muestra en t = 0. Vemos que la reducción de N con el tiempo obedece una simple ley exponencial.
Solución a ) Si tomamos el logaritmo natural a ambos lados de la
ecuación 50-7, encontramos que
y conforme a la ecuación 50-8 la vida media es t mi —
(
ln 2 A
= 1.30
V 1.69 X
0.693 10~'7
\ (
X
la 3.16
X
107 s
109 años.
Éste es el orden de magnitud de la edad del universo. No debe sor prender la imposibilidad de medir la vida media de este núclido es perando a que disminuya su rapidez de decaimiento. (Es interesante señalar que el potasio corporal tiene una participación normal del isótopo 40K. Somos un poco radiactivos).
DECAIMIENTO ALFA 5 0 - 8 . Problema resuelto 50-4. Una gráfica logarítmica de los datos de decaimiento se ajusta con una línea recta y muestra la naturaleza exponencial del decaimiento. La constante de desintegración A puede obtenerse de la pendiente de la línea. F i g u r a
Por tanto, si graficamos el logaritmo natural R en función de t, ha bremos de obtener una línea recta cuya pendiente es —A. La figura 50-8 muestra este diagrama, usando los datos indicados en el caso de 125I. Al igualar la pendiente de la línea a —A, se obtiene
-A = -■
( 6.1 - 0)
m xc -
(225 min — 0)
O —
b) Para t xp , la ecuación 50-8 da ln 2 A
0.693 0.0271 min*
= 25.6 min.
R e s u e l t o 5 0 - 5 . Se descubre que una muestra de 1.00 g de KC1 puro tomada de un almacén de productos químicos es ra diactiva y que decae con una rapidez absoluta R de 1600 conteos/s. El origen de los decaimientos se refiere al potasio y, en particular, al isó topo 40K que constituye 1.18% del potasio normal. ¿Cuál es la vida media de este decaimiento?
Solución En el caso de los decaimientos de vida larga, no es posi
ble aguardar lo suficiente para observar una reducción medible de la rapidez de decaimiento R con el tiempo. Debemos obtener A midien do A y —dN /dt en la ecuación 50-5. La masa molar de KC1 es 74.9 g / m o l , y por lo mismo, el número de átomos de potasio en la mues tra es (6 .Q 2 X I Q ^ m o r ’X L O O g )
_
8
x
|( ) ! ,
74.9 g/mol El número de átomos 40K es 1.18% de NK, o sea N aq = (0 .0 1 1 8 )(8 .0 4 X 102') = 9.49 X 1019.
De acuerdo con la ecuación 50-5 tenemos A=
-d N /d t _ N
~
_ /V40
(50-10)
1600 s - = 1.69 ~ 9.49 X 1019
X
10~i7 s ~ \
m¡c2 - m fc 2.
(50-11)
En efecto, O es la energía liberada durante el decaimiento. Una comparación con la ecuación 50-10 indica que, si el núcleo ini cial en decaimiento se halla en reposo, el valor de O nos da la energía cinética total de los productos del decaimiento:
P ro b le m a
.
= m {c 2 + K f.
Conviene definir el v a lo r O d e l d e ca im ie n to como la diferen cia entre la energía inicial y la energía final en reposo:
A = 0.0271 min-'.
fin = ■
En un proceso radiactivo, el núcleo de un átomo con masa mexperimenta una transformación que suele dar origen a un nú clido distinto, con la subsecuente emisión de una o más partícu las. La masa total de todas las partículas finales es mf. El decaimiento será posible sólo si m¡ > mf; dicho con otras pa labras, conforme a la conservación de energía la energía total antes de él (la energía en reposo m¡c2 del átomo inicial, que supuestamente se halla en reposo dentro de nuestro marco de referencia) debe ser igual a la energía total tras el decaimien to (la energía total en reposo mfc2 de todos los productos fi nales más su energía cinética total K f ):
Q = K f.
(50-12)
Los productos del decaimiento comparten la energía O, lo cual es consistente con la conservación del momento. En la ecuación 50-12 vemos claramente que el decaimien to es posible sólo con Q > 0; así que según la ecuación 50-11 m { debe ser mayor que m f , conclusión que ya extrajimos. Apliquemos los conceptos anteriores a un proceso espe cífico de decaimiento: al decaimiento alfa, donde un núcleo emite una partícula alfa (a ) (núcleo de 4He). Consideramos como ejemplo el decaimiento de 238U. Al emitir una partícu la a , el núcleo 238U pierde dos protones (de 92 a 90) y dos neutrones (de 146 a 144). De acuerdo con la tabla periódica, el elemento con el número atómico 90 es Th y, en consecuen cia, el proceso completo del decaimiento es 238U
234Th + 4He.
(50-13)
En el problema resuelto 50-6 hemos demostrado que la energía de decaimiento (valor Q ) en este proceso es 4.27 MeV, que se comparte entre la partícula a y el núcleo que retrocede 2-4Th. La vida media de este decaimiento es 4.47 X 109 años.
A /.S 0 - 2
Decaimiento alfa de 23SU y 22SU
Núclido
23Su 228u
0'„ = 6.81 MeV
F i g u r a 5 0 - 3 . Función de energía potencial que representa la emisión de las partículas a por 23SU. El área sombreada indica la barrera de potencial que inhibe el proceso de decaimiento. Las líneas horizontales representan las energías de desintegración de 238U (4.27 MeV) y de 228U (6.81 MeV).
Ahora nos preguntamos: “Si se libera energía en cada de caimiento, ¿por qué los núcleos 238U no decaen poco después de haber sido creados?”. Se piensa que el proceso de creación ha ocurrido en las violentas explosiones de las estrellas ances trales (supemovas) que antecedieron a la formación del siste ma solar. ¿Por qué estos núcleos esperan tanto tiempo antes de liberarse de su exceso de energía emitiendo una partícula a ? Para contestar la pregunta hay que estudiar el mecanismo exacto del decaimiento alfa. Escogemos un modelo donde se supone que la partícula a esté preformada dentro del núcleo antes que escape. En la figura 50-9 se muestra la función U (r) de la energía potencial aproximada de la partícula a y el núcleo residual 234Th como en función de su separación. Es una combinación de un pozo de potencial asociado a una fuerza nuclear fuerte (de atracción) que actúa en el interior del núcleo (r < R {) y un potencial de Coulomb asociado a la fuerza electrostática (de repulsión) que actúa entre las dos partículas, luego de ocurrir el decai miento (r > jRj). La línea horizontal marcada Q a = 4.27 MeV indica la energía de decaimiento durante el proceso, tal como se calcu la en el problema resuelto 50-6. Nótese que esta línea intersecta la curva de energía potencial en dos puntos R x y R 0. Ahora vemos por qué la partícula a no se emite inmedia tamente del núcleo 2jSU. Lo rodea una impresionante barrera de potencial, como lo indica el área sombreada de la figura 50-9. Visualice esta barrera como un cascarón esférico cuyo radio interno es R x y cuyo radio externo es R 0; su volumen es tá prohibido a una partícula a según las leyes de la física clá sica. Si la partícula a se encuentra en esa región, su energía potencial U será mayor que su energía total E\ eso significa ría en la física clásica que su energía cinética K ( — E — U) será negativa, situación imposible.
Qa
Vida media
4.27 MeV 6.81 MeV
4.5 X 109 y 550 s
En efecto, cambiamos la pregunta y la formulamos en los siguientes términos: “¿Cómo puede el núcleo de 238U emitir a lgu n a v ez una partícula a ? ”. Al parecer una barrera la man tiene atrapada permanentemente dentro del núcleo. He aquí la respuesta: como vimos en la sección 46-7 en la mecánica ondulatoria siempre hay posibilidades (descritas por la Ec. 46-24) de emitir una partícula a través de una ba rrera insuperable según la física clásica. De hecho, la explica ción del decaimiento alfa por el efecto túnel de la mecánica ondulatoria fue una de las primera aplicaciones de la nueva fí sica cuántica. En el decaimiento tan lento de 23SU la barrera presenta en realidad muchos agujeros. Puede demostrarse que la partícu la a , que supuestamente oscila dentro del núcleo, debe pre sentarse en la superficie interna de la barrera unas 1038 veces antes que logre atravesar el túnel. Es decir, unas 1020 veces por segundo durante 109 años aproximadamente. Desde luego, esperamos en el exterior anotando sólo las partículas a que s í consiguen escapar. , Para probar esta explicación del efecto de túnel en el decai miento alfa observamos otros emisores alfa, donde la barrera sea distinta. Un caso de contraste extremo es el decaimiento alfa de otro núclido de uranio, 228U, el cual posee una energía de desintegración O (x ' de 6.81 MeV,’ como se señala en la ñauO —
"U 238.050783 u 234Th 234.043596 u 237Pa Solución
4He
4.002603 u
'H
1.007825 u
237.051144 u.
a ) En el proceso del decaimiento alfa de la ecuación 50-13, la masa atómica mf total de sus productos *-jVTh 4- 4He es 238.046199 u. Según la ecuación 50-11 el valor O es
O
=
(m ¡
-
m f) c 2
= (238.050783 u - 238.046199 u)(931.5 MeV/u)
= 4.27 MeV. Esa energía está disponible para ser compartida como energía ciné tica entre la partícula a y el átomo en retroceso 234Th. b) Para que 238U emitiera un protón, el proceso de decaimiento sena 238u
2 3 7 p a + 1H _
En este caso el valor O es O
= (/?z¡ - m¡)c2 = (238.050783 u - 238.058969 u)(931.5 MeV/u) = -7 .6 2 MeV.
El valor negativo O indica que 238U es estable frente a la emisión es pontánea de protones.
S O -5
DECAIMIENTO BETA
Un núcleo que se desintegra de modo espontáneo emitiendo un electrón (positivo o negativo) realiza d e ca im ie n to b e ta * He aquí dos ejemplos: 3 2p
32S +
g- + V
(tin =
1 4 3 d)
(50-14)
y ^C u -> 64Ni + e + + v
( t V2 =
12.7 h).
(50-15)
Los símbolos v y v representan el n eu trin o y su antipartícula — el a n tin e n trin o — , partículas neutras que se emiten, junto con el electrón o el positrón (electrón positivo), durante el de caimiento. Los neutrinos interactúan muy débilmente con la materia, y por ello, resulta extremadamente difícil darse cuenta que por largos años su presencia pasó inadvertida. En el capítu lo 52 estudiaremos la naturaleza e importancia fundamentales de estas partículas tan elusivas. Tal vez sorprenda el hecho de que el núcleo puede emitir electrones (y neutrinos), pues antes dijimos que consta de neutrones y protones únicamente. No obstante, también diji mos que los átomos emiten fotones y no afirmamos en abso luto que el átomo “contiene” fotones. Señalamos que pueden crearse durante el proceso de emisión. Lo mismo sucede con los electrones y neutrinos emitidos de los núcleos durante el decaimiento beta. Se producen en el proceso de emisión; el neutrón se transforma en protón den tro del núcleo (o a la inversa) de acuerdo con n - » p i- e ' + v
(/3“ decaimiento)
(50-16)
p -> n le ' + y
(/3+ decaimiento)
(50-17)
En cualquier proceso de decaimiento, la energía liberada depende exclusivamente de la diferencia de la energía en re poso entre el núcleo inicial y el final, más los productos del decaimiento (Ec. 50-11). En un proceso particular de decai miento alfa, como el de 238U, todas las partículas a emitidas transportan la misma energía cinética. Por el contrario, en el decaimiento beta la energía cinética de los electrones emitidos no se determina en esa forma. Más bien, los electrones emiti dos presentan un espectro continuo de energía, desde cero has ta un máximo l^máx, según lo ilustra la figura 50-10 en el caso del decaimiento beta de 64Cu (Ec. 50-15). Durante muchos años, antes que se identificara el neutri no, las curvas como la de la figura 50-10, constituían un enig ma fascinante. Indicaban que parte de la energía “faltaba” en el proceso del decaimiento e impulsaron a muchos físicos de renombre, entre ellos Niels Bohr, a pensar que tal vez la ley de conservación de la energía podría ser válida solo estadísti camente en este tipo de decaimiento. La respuesta al enigma se encuentra en la emisión del neutrino o del antineutrino, que transporta parte de la energía del decaimiento. Si quisiéramos medir la de ambas partículas (electrón y antineutrino o positrón y neutrino) en un proceso determinado y sumarlas, todas las veces obtendríamos el mis mo valor fijo, igual a la energía del decaimiento. En efecto, la energía se conserva en todo proceso de decaimiento. En 1931 De Pauli propuso la existencia de una partícula no detectada para resolver el problema de la energía faltante; en 1934 Fermi hizo del neutrino parte de una teoría formal del decaimiento beta. No obstante, transcurrieron otros 20 años antes que fuesen descubiertos en el laboratorio. El problema de la medición obedece a sus interacciones demasiado débi les con la materia: su trayectoria libre media en la materia só lida es del orden de miles de años luz. En la actualidad la física del neutrino constituye un subcampo de la física nu clear y corpuscular, y los especialistas estudian los neutrinos emitidos de fuentes radiactivas o producidos durante reaccio nes nucleares en la Tierra, en el Sol o en las superno vas.
o
Son los procesos básicos del decaimiento beta. E n e r g í a c i n é ti c a (m e V )
* El decaimiento beta incluye además la captura de electrones, en que un nú cleo decae absorbiendo uno de sus electrones orbitales. Este proceso no lo es tudiamos aquí.
F i s u h a 5 0 -1 O. Distribución de energía cinética de los positrones emitidos en el decaimiento beta de ^Cu. La energía cinética máxima es 0.653 MeV.
Si restamos las masas atómicas en esta forma, automáticamente se tendrá en cuenta la del electrón emitido.* Entonces la energía de desintegración en el decaimiento de j2P será O
= Am c 2 = (31.973907 u - 31.972071 u)(931.5 MeV/u) = 1.71 MeV.
El valor anterior es idéntico al medido de Kmáx, la energía cinética máxima de los electrones emitidos. Así pues, aunque 1.71 MeV se libera siempre que decae un núcleo de 32P, esencialmente en todos los casos el electrón libera menos energía que ésta. El neutrino recibe la restante, pasando inadvertido cuando la extrae del laboratorio. (Una parte insignificante, del orden de eV, se dirige al núcleo 32S para con servar el momento en el decaimiento.)
S©=
í
F ig u r a 50-1 . Parte del valle de núclidos, que únicamente muestra los núclidos más ligeros. La cantidad graficada en el eje vertical es el exceso de masa definida como (m — A)c2, donde m es la masa atómica en u.
El estudio de los decaimientos alfa y beta nos permite exa minar desde una nueva perspectiva el diagrama de núclidos de la figura 50-4. Construyamos una superficie tridimensional graficando la masa de cada núclido en una dirección que forme ángulos rectos con el plano N Z de la figura. La superficie así formada ofrece una representación gráfica de la estabilidad nu clear. Según se aprecia en la figura 50-11 (en relación con los núclidos ligeros), describe un “valle de núclidos”; la zona de estabilidad de la figura 50-4 se desplaza por su fondo. Los nú clidos en la “cabecera” del valle (región que no aparece en la Fig. 50-11) decaen y se dirigen a su interior por la acción de ca denas del decaimiento alfa y por fisión espontánea. Lo mismo sucede con los situados en el lado abundante en protones que emiten electrones positivos, y con los situados en el lado abun dante en neutrones que emiten electrones negativos. P r o b l e m a R e s u e l t o SO -7. Calcule la energía de desintegra ción (valor Q ) en el decaimiento beta de 32P, como se describe en la ecuación 50-14. Las masas atómicas necesarias son 31.973907 u de 32P y 31.972071 u de 32S.
Solución Dada la presencia del electrón emitido, hay que distinguir
con mucho cuidado las masas nucleares y las atómicas. Represente mos con m! las masas nucleares de 32P y 32S, y con m sus masas atómi cas. Suponemos que la energía O de desintegración es Am c2, donde A
ni
=
m ' ( 32P )
—
[ m ' ( 32S )
+
m c],
Cuando la radiación como la de rayos X, de rayos gamma, de partículas beta o alfa se topa con un átomo, lo puede hacer ex pulsar electrones y ionizarse. Como la ionización puede dañar las células de los tejidos vivos, los efectos han despertado el interés del público. En la naturaleza, este tipo de radiación proviene de los rayos cósmicos y también de los elementos radiactivos de la corteza terrestre. Otra fuente son las radia ciones producidas con medios artificiales: rayos X utilizados con fines diagnósticos y terapéuticos; las radiaciones de ra dionúclidos que se usan en medicina y en la industria. La eli minación de ios desechos radiactivos y la evaluación de las probabilidades de los accidentes nucleares siguen siendo ob jeto de políticas nacionales. Aquí no vamos a analizar las fuentes de la radiación de ionización, sino que nos limitaremos a describir las unidades en que se expresan sus propiedades y sus efectos. Son cuatro y a menudo se emplean incorrectamente o con poco rigor en las comunicaciones populares. 1. El curie (cu ya a b re v ia tu ra es Ci). Es una medida de la a c tiv id a d de rapidez de decaimiento de una fuente radiactiva. Se definió originalmente como la actividad de 1 g de radio en equilibrio con sus productos secundarios, pero hoy se define simplemente como 1 curie = 3.7 X 1010 desintegraciones por segundo. La definición nada dice sobre la naturaleza de los decaimien tos o la cantidad de energía liberada durante dicho decaimiento. Además nótese que esta unidad no describe adecuadamente los efectos de ionización de los rayos X procedentes —por ejemplo— de una máquina de laboratorio médico. Las radia ciones han de emitirse de un radionúclido.
con m , la masa del electrón y del neutrino que se suponía que no la te nía. Si sumamos y sustraemos 15me en el lado derecho, obtendremos A m = [ot'(j2P) + 15m e] — [m '(32S) + 16m e].
Las magnitudes dentro de los corchetes son las masas atómicas. Por tanto, tenemos A
m
=
rii(32P )
— m ( 32S ) .
* No sucede lo mismo en el decaimiento de positrones ni en la captura de electrones (Probs. 11 y 12). Nótese asimismo que en este problema hemos despreciado la (pequeña) diferencia de las energías de enlace en los electro nes atómicos antes y después del decaimiento beta. fVéase “Radiation Exposure in Our Daily Lives”, de Stewart C. Bushong, The Physics Teacher, marzo de 1977, p. 135.
Un ejemplo del uso correcto del curie es la afirmación: “Un miligramo de 239Pu tiene una actividad de 62 /¿Ci”. Se desprecia el hecho de que 239Pu es un emisor alfa. 2. E l roen tgen (c u y a a b re v ia tu ra es R ). Es una medida de e x p o sició n , es decir, de la capacidad de un haz de rayos X o de rayos gamma para producir iones en una sustancia. En concreto, el roentgen se define como la exposición que pro ducirá 1 . 6 X 1 0 1 2 pares de iones por gramo de aire; con este último seco y a una temperatura y presión estándar. Por ejem plo, podríamos decir: “En 0.1 s este haz de rayos X dental ofrece una exposición de 30 mR”. Nada se dice si los iones en realidad se produjeron o si un paciente está sentado en el si llón del dentista. 3. E l rad. Es un acrónimo de rczdiation absorbed dosis (dosis absorbida de radiación) y, como lo indica su nombre, mide la dosis que se administra a un objeto, medida por la energía que se le transfiere. Un objeto, que podría ser una per sona (el cueipo entero) o una parte del cuerpo (las manos, por ejemplo) ha recibido una dosis de 1 rad cuando se le adminis tran 10-2 J/kg mediante radiaciones de ionización. Una ex presión común que muestra esta aplicación es: “Una dosis de rayos gamma de 300 rad en todo el cuerpo causará la muerte del 50% de la población expuesta”. Para tranquilizar al lector le recordamos que la exposición promedio actual a la radia ción proveniente de fuentes naturales y artificiales es 0.2 rad (= 200 mrad) por año aproximadamente. La unidad de la dosis absorbida en el SI es el g r a y (Gy), que equivale a 100 rad. 4. El rem. Es un acrónimo de roentgen ¿quivalent in man (equivalente del roentgen en el hombre) y es una medida de eq u iva le n te de d o sis. Tiene en cuenta el hecho de que, aunque diversos tipos de radiación (rayos gamma y neutrones entre ellos) pueden suministrarle al cuerpo la misma energía por uni dad de masa, no causan el mismo efecto. El equivalente de dosis (en rems) se obtiene multiplicando la dosis absorbida (en rads) por un fa c to r d e c a lid a d QF, que viene tabulado en varios libros. QF = 1 en los rayos X y en los electrones. QF = 5 en los neutrones lentos y así sucesivamente. Los dispositivos para pro teger al personal, entre ellos las placas de película o dosímetros están diseñados para registrar en rams el equivalente de dosis. Un ejemplo del uso correcto del rem es: “El National Council on Radiation Protection recomienda que nadie que haya es tado expuesto (no ocupacionalmente) a radiación deberá recibir un equivalente de dosis mayor que 500 mrem (= 0.5 rem) en un año”. Se incluye todo tipo de radiación, empleando los factores correspondientes de calidad. La unidad de equivalente de dosis en el SI es el sie v e rt (Sv): 1 Sv = 100 rem. "=r o 3 i_ e ? i a R e s u e l t o S O - S . Una dosis de 300 rad es letal para el 50% de la población que la recibe. Si se absorbiera directamente como calor la cantidad equivalente de energía, ¿cuánto aumentaría la temperatura? Suponga que c, la capacidad de calor específico del cuerpo humano, es la misma que la del agua, 4180 I/kg • K.
Solución Una dosis absorbida de 300 rad corresponde a la siguien
te energía absorbida por unidad de masa:
(300rad>(i T 7 ? ) - 3,/ks-
El incremento térmico que se produciría con esa introducción de calor se calcula por medio de AT =
Ohn
3 J/kg = 7.2 X 1CT4 K. 4180 J/kg-K
Este aumento tan pequeño nos permite comprobar que el daño causado por la radiación de ionización tiene muy poco que ver con el calentamiento. El daño se debe a que la radiación de ionización lo gra romper los enlaces moleculares y entorpecer así el funciona miento normal del tejido donde ha sido absorbido.
S ® “ ® RADIACTIVIDAD NATURAL Fuera del hidrógeno y del helio, todos los elementos se origi naron en las reacciones nucleares dentro de las estrellas o en supemovas explosivas. En ellas se formaron núclidos radiac tivos y estables. El sistema solar se compone de núclidos que se formaron hará unos 4.5 X 109 años. (Más adelante en la sec ción explicaremos cómo se descubrió eso.) La mayor parte de . los núclidos radiactivos formados en esa época tienen una vida media mucho menor que 1,000 millones de años; así que desde hace mucho decayeron y produjeron núclidos estables a través de la emisión alfa o beta. Sin embargo, la vida media de algunos de esos núclidos radiactivos no es tan breve en comparación con la edad del sistema solar. Su decaimiento puede observarse en la actualidad y forma parte del origen de la radiactividad natural del ambiente. Algunas de estas especies radiactivas son parte de las ca denas de decaimiento que comienzan con núclidos pesados como 232Th ( t y2 = 1.4 X 1010 años) o 23SU ( t y2 = 4.5 X 109 años). Éstos decaen en una secuencia de decaimientos alfa y beta, hasta que finalmente alcanzan los productos finales es tables (respectivamente, 208Pb y 206Pb. La vida media de los núcleos intermedios de las cadenas dura mucho menos; la ra pidez con que el núclido original desaparece y es reemplazado con el producto final estable depende del número de los miem bros de más larga vida de la cadena. Se piensa que los procesos de decaimiento se iniciaron desde que se formó el sistema so lar; de ahí que (como veremos luego) la cantidad relativa del núclido inicial y de los productos estables del decaimiento presen tes en un material ofrezcan una medida de su edad. También se piensa que los decaimientos contribuyen al calentamiento in terno de los planetas. En condiciones normales, los productos de estos procesos permanecen en las rocas o minerales que contienen al núclido padre. Sin embargo, una de las sustancias intermedias produ cidas en las cadenas de decaimiento — el radón— es un gas. El decaimiento natural que ocurre cerca de la superficie terrestre (y en materiales de construcción como el concreto) libera gas radón radioactivo hacia la atmósfera. Los peligros que entraña respirarlos son actualmente objeto de una investigación minu ciosa. El gas radón también puede liberarse en la fractura de rocas debajo de la superficie; por ello su detección ha sido ex plorada como una forma de predecir los sismos.
=3
Algunos isótopos radiactivos naturales
Isótopo
h fi
1.28 4.8 9 4.4 1.3 3.6 5
40K 87Rb n3Cd 1l5In l38La l76Lu 187Re
X X X X X X X
(y) 109 10'° 1015 1014 10" 10'° 10'°
Además de los elementos pesados, hay otros núclidos ra diactivos de vida larga en las sustancias naturales. Algunos de ellos se incluyen en la tabla 50-3. Otros núclidos radiactivos se producen sin cesar en pro cesos naturales, generalmente en la atmósfera terrestre por reacciones de moléculas del aire con los rayos cósmicos (pro tones con mucha energía procedentes del espacio). Entre ellos destaca 14C ( t in = 5730 años), que tiene importantes aplica ciones en el fechado radiactivo de los materiales orgánicos.
Fechado radiactivo Supóngase que tenemos un radionúclido inicial I que decae hasta convertirse en el producto final F, cuya vida media es t i p . En un momento dado t = 0, comenzamos con N Q núcleos iniciales y ninguno de los del producto final. En un momento posterior t descubrimos N { del resto de los núcleos originales, mientras que han aparecido N F (= N Q — N¡) de los núcleos del producto. Los núcleos iniciales decaen de acuerdo con asi que ln ■ A
o, al sustituir N ,
N
N,
ln 2
■ln 1
Solución Con base en la ecuación 50-18, y usando 4.5
•ln-
N_f_ Ni
X
10' atn>,
para la vida media del 23SU, tenemos 4.5 X 109a
0.693
• ln (1 + 0.65) = 3.3
X
109 años.
Este roca es un poco más joven que la edad máxima de 4.5 X 1 0 9 años, obtenidas en el caso de la rocas del sistema solar, lo cual pare ce indicar que solidificó hace 3.3 X 109 años. El 206Pb que se formó antes se desprendió de la roca fundida por ebullición. El 206Pb pudo empezar a acumularse sólo después de solidificarse la roca.
N,
por N q, ln 2
P r o b l e m a R e s u e l t o 5 0 - 9 . En una muestra de roca, se descu bre que la razón de los núcleos de 20oPb a 23SU es 0.65. ¿Qué edad tiene.la roca?
t =
N , = N 0eNa
caimientos por minuto a causa del 14C. Los organismos vivos pueden absorber esta actividad aspirando CO, o comiendo plantas que lo hayan aspirado. Cuando el organismo muere deja de absorber 14C y el que existe en el momento de su muerte empieza a decaer. Para determinar la edad de la mues tra se mide la rapidez de decaimiento de 14C. Por ejemplo, si examinamos una muestra y cada minuto presenta 6 decai mientos por gramo, sabremos que la actividad original se re dujo a la mitad y que la muestra debe tener una vida media de edad (5730 años). Este método de fe c h a d o p o r ra d io c a rb o n o (que en 1947 inventó Willard Libby, a quien se le concedió el Premio No bel de Física de 1960 por este trabajo) es útil con muestras de materia orgánica que tienen menos de aproximadamente 10 vidas medias de edad. En ese lapso la actividad de la muestra disminuye en un factor de 2-10 o sea alrededor de 10~3; la ra pidez del decaimiento es demasiado pequeña para calcularla con precisión. El límite superior práctico de la edad de las muestras fechables con este método es de unos 50,000 años. En años recientes se inventó una nueva técnica en la que se utiliza un acelerador como espectrómetro de masas para de terminar la razón 14C /12C con gran precisión. De este modo, la utilidad del fechado por radiocarbono se amplió a muestras hasta de 100,000 años de edad.
(50-18)
Es decir, para determinar la edad de la muestra se mide la ra zón presente del producto y de los núcleos originales. El cálculo anterior se basó en la suposición de que ningu no de los núcleos del producto existían en t = 0. La suposi ción no siempre será válida, pero ya se cuenta con técnicas de fechado radiactivo que permiten corregir por la presencia de estos núcleos del producto original. Este método sirve para determinar el tiempo transcurri do desde la formación del sistema solar; por ejemplo, las razo nes de 238U a 20óPb, S7Rb a 87Sr y 40K a 40Ar. Las rocas terrestres, las de la Luna y los meteoritos analizados por me dio de él parecen tener una edad común de alrededor de 4.5 X 109 años, que consideramos como la edad del sistema solar. El isótopo radiactivo 14C existe en la atmósfera; aproxi madamente 1 átomo de carbono en 10 12 es 14C radiactivo. Un gramo de carbono tiene una actividad aproximada de 12 de-
«ES
“O
REACCIONES NUCLEARES
Una reacción nuclear la representamos por medio de x
+ a —* Y + b
(50-19)
o, en una notación más compacta, X {a,b)Y .
(50-20)
Por lo regular, la partícula a es el n ú cleo p ro y e ctil, y la partícula X , el núcleo blanco, que normalmente se encuentra en reposo en el laboratorio. Si el proyectil es una partícula car gada, podemos elevarla hasta su energía deseada en un acelera dor de Van de Graaff (Sec. 28-10) o en un ciclotrón (Sec. 32-3). El proyectil puede ser un neutrón proveniente del reactor nu clear. Se acostumbra designar la partícula producto Y como el n ú cleo re sid u a l más pesado, y b como el n ú cleo em ergen te más ligero.
ecuación 50-11 como m -c2 — m ec O — (m x + m a) c 2
atn a,y
o sea ( m Y
+
m
h) c 2
(50-21)
Q
= (K y + K h) - (K x + K a),
l9F (p ,a )lsO, donde O = 8.13 MeV. Las ecuaciones 50-21 y 50-22 indican que en esta reacción el sistema pierde energía de reposo y adquie re energía cinética, en 8.13 MeV por evento. Este tipo de reac ciones, donde O > 0 se conocen como exotérm icas, y como e n d o térm ic a s aquellas en que O < 0. Estas reacciones no se producen si el proyectil no introduce en el sistema energía ci nética mínima (la e n e rg ía d e u m bral). Cuando a y b son partículas idénticas, las cuales exigen que también lo sean X y Y, la reacción se considera dispersión. Si la energía cinética de un sistema es igual antes y después del even to (lo cual significa que O = 0 y que todos los núclidos perma necen en su estado base), tendremos una d ispersión elástica. Si las energías son diferentes (O A 0), habrá un dispersión inelástica y entonces Y o b pueden quedar en un estado excitado. Para llevar un control de las reacciones nucleares basta graficarlas en un diagrama nuclídico como el de la figura 50-4. En la figura 50-12 se muestra una porción agrandada del diagrama, centrado arbitrariamente en el núclido 197Au. Se sombrearon los
p
,a
y,a
n,d
7, d
d,a n ,a
F i g u r a 5 0 - 1 3 . Al superponer esta figura a la figura 50-12, con el cuadrado central sombreado sobre un núclido blanco, aparecen los núclidos residuales que se obtienen de las reacciones indicadas.
núclidos estables y aparecen sus abundancias isotópicas. Las casillas sin sombreado representan radionúclidos y se incluye su vida media. La figura 50-13 indica una capa superpuesta transparen te que puede colocarse encima de un diagrama nuclídico co mo el de la figura 50-12. Si la casilla central sombreada de la figura 50-13 está superpuesta a un blanco particular del dia grama de la figura 50-12, están identificados los núclidos re siduales resultantes de las reacciones impresas en la capa superpuesta. Por tanto, en caso de escoger como blanco 197Au, la reac ción (p.cr) producirá 194Pt (estable) y una reacción ( 11,7') o (d,p) generará el radionúclido 198Au cuya vida media es 2.70 d. Igual que los átomos, los núclidos presentan estados esta cionarios de energía bien definida y pueden identificarse por medio de estudios de reacción. Tomemos por ejemplo la reac ción
199pb 1.5 h
81
196 ti 1.84 h
197-j"| 2.83 h
198-j-j 5.3 h
80
195Hg 9.5 h
í9 6 H g •0.15%
19 7H g 64.1 h
79
194Au
195Au
196Au
39.5 h
183 d
6.18 d
Q0pb 21.5 h
2
199 J, 7.4 h
201
pb 9.42 h
202
2 0 0 JI
201T|
2 0 2 -n
26.1 h
73.6 h
1 2 .2
Pb 5250 y
1S8H g '■'Ha 2 ° ° H g 1 0 .0% fiiS li®
°> c:
2.4 h
1
198A u 2.70 d
199Au
203pb 52.0 h
O =
5.49 MeV,
donde una delgada lámina de aluminio se bombardea con deuterones de 2.10 MeV. En el laboratorio, se ven salir los protones emergentes con energías discretas bien definidas y
d
Hg 16. 2%
201
3.14 d
48.4 min
197Pt 18.3 h
19 8 o a
199p^ 30.8 min
I96|r 52 s
19 7lr 5.8 min
£ d = 2.1 MeV
!
2 ° üA u
1
197pb 8 min.
n,p
r.p
27Al(d,p) 28Al, 82
a,p
n ,7 d,p
7,n p,d
(50-22)
donde K representa la energía cinética. Las ecuaciones 50-21 y 50-22 son válidas sólo cuando Y y b se hallan en estado base. Como veremos luego en la pre sente sección, la energía de excitación aminora la de reacción si los dos núclidos se producen en un estado excitado. Una reacción común es
d, 7 a,d
P>7 d,n
p,n
Al usar la conservación de la energía, la ecuación 50-21 pue de escribirse así
193p£ 50 y
78
192 lr 74.2 d
77
76
'I96pt j':.i ‘- i r
-
33.3 % i9 4 ¡r 19.2 h
’ÍVFÍAÜAíC i«,r 2.5 h
191O s 15.4 d
^ O s 41.0 %
193 O s 30.5 h
194O s 6 .0 y
195O s 6.5 min
196O s 35 min
115
116
117
118
119
1 2 0
N úm ero d e neutrones,
F ig u ra
S O --i 2 .
(Fig. 50-4).
19 8lr 8 s
jX i si 1
i5 Wv 4.0
i)
i
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ÍÍA _ _ 4.5
i fi{ í. j ')
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iL 5.0
1 5.5
I,
1
A 6.0
ñ 6.5
7.0
E n e r g í a d e p r o t o n e s ( M eV ) 121
N
Parte ampliada del diagrama de los núclidos
F i s u r a 3 0 - 1 4 . Distribución de energía de protones que resultan de la reacción 27Al(d,p)2SAl. El deuterón incidente tiene una energía de 2,10 MeV. Se detectan los protones al salir del blanco formando ángulos rectos con el haz incidente.
se acompañan de rayos gamma. En la figura 50-14 se mues tra la distribución de la energía de los protones emergentes. En todo proceso de reacción sabemos que se dispone de una energía igual a la energía cinética del deuterón incidente (2.10 MeV) más la energía de reacción O (= 5.4 9 MeV) para compartirla entre los dos productos de la reacción, es decir, entre el núcleo residual 28Al y el protón emergente p. ¿Cómo debe compartirse la energía total (2.10 MeV + 5.49 MeV = 7.59 MeV) entre las dos partículas? Todo depende de si el núcleo residual 28Al se produce en su ‘estado base o en uno de sus estados estacionarios excita dos. En el primer caso, el protón emergente tendrá la máxima energía posible, correspondiente al pico a la derecha extre ma del espectro del protón en la figura 50-14. Pero si el núcleo residual se forma en un estado excitado, retendrá mayor can tidad de la energía disponible y quedará mucho más poca en el protón emergente. El núcleo residual no permanecerá mu cho tiempo en estado excitado sino que se liberará del exceso de energía, emitiendo —por ejemplo— un rayo gamma. El pico de los protones en el espectro de la figura 50-14 corresponde a un estado estacionario del núcleo residual 28Al. La figura 50-15 muestra los niveles de energía que pueden de ducirse analizando el espectro. Se observa la correspondencia entre los picos de la figura 50-14 y los niveles de energía de la figura 50-15. Hemos visto que el conocimiento de cómo los átomos se combinan se basa como fundamento sólido en las energías medidas de los estados del átomo de hidrógeno. Del mismo modo podemos conocer mucho sobre la estructu ra de los núcleos estudiando la energía y otras propiedades de sus estados estacionarios.
P
r o b l e m a
R
e s u e l t o
5 0 - 1 0 . En la reacción
>H + 3H -* 2H + 2H, los protones (!H) con una energía cinética de 5.70 MeV inciden en 3H en reposo, a ) ¿Qué valor tiene O en esta reacción? tí) Calcule la energía cinética de los deuterones emitidos en dirección del protón incidente. Solución á ) De acuerdo con la ecuación 50-21 tenemos O = D?2('H) + /«(3H) — ;?i(2H) — in(2H)]c2
~ = (1.007825 u + 3.016049 u - 2.014102 u —2.014102 u)(931.5 MeV/u) = - 4.03 MeV. Esta reacción es endotérmica; los productos finales tienen la mayor masa y al mismo tiempo la menor energía cinética dada por la ecua ción 50-22. b) Usando la ecuación 50-22, y con K = 0 en el 3H inicial, tenemos K, + K 2 = Q + Kp = -4 .0 3 MeV + 5.70 MeV
= 1.67 MeV.
(50-23)
Aquí, los subíndices 1 y 2 designan los dos núcleos producto 2H. La conservación del momento en dirección del protón incidente nos da P\ + Pi
= P9 = ^Í2m C H )F p = a/2(938 MeV/c2)(5.70 MeV)
= 103.4 MeV/c.
(50-24)
Las ecuaciones 50-23 y 50-24 pueden resolverse como dos ecuacio nes con dos incógnitas (cualquiera p x y p , o K x y K7). Los resulta dos son K¡ = 0.24 MeV y K2 = 1.43 MeV.
Nótese que hemos utilizado una dinámica no relativista al resolver este problema. ¿Es una buena aproximación?
3
S O “ S MODELOS NUCLEARES (Opcional)
>
l-
28AI F i g u r a 5 0 - 1 5 . 'Niveles de energía de 28Al, deducidos de datos como los de la figura 50-14.
Hoy se conoce bien la estructura del átomo. El centro masivo (el núcleo) ejerce la fuerza de Coulomb sobre los electrones y (con suficiente tiempo para efectuar los cálculos), podemos aplicar los métodos de la mecánica cuántica para determinar las propiedades del átomo. Pero no entendemos aún muy bien la estructura del nú cleo. La ley de la fuerza es complicada y no puede escribirse explícitamente con todos sus detalles. Tampoco hay un centro natural de fuerza que simplifique los cálculos. Al intentar co nocer la estructura del núcleo nos enfrentamos con un proble ma de muchos cuerpos de gran complejidad. Ante la inexistencia de una teoría global de la estructura del núcleo, nos vemos obligados a tratar de construir m o d elo s n u c le a re s . Los físicos se sirven de ellos como una manera simplificada de examinar un sistema complicado para cono cer sus propiedades. La utilidad de un modelo depende de su capacidad de realizar predicciones verificables en el laborato rio por medios experimentales.
Se ha comprobado la utilidad de dos modelos. Uno (el describe situaciones donde cabe suponer que todos los protones y neutrones se comportan de modo cooperativo. El otro (el modelo de p a rtíc u la s in d ep en d ien tes) no considera todos los protones y neutrones, sólo un protón y un neutrón, al determinar las propiedades del núcleo. Los dos modelos representan concepciones muy contrarias de la es tructura nuclear, pero pueden combinarse para crear un solo modelo unificado.
m o d elo c o le c tiv o )
El modelo colectivo En él no se tienen en cuenta los movimientos de los nucleo nes individuales y al núcleo se le considera una entidad inde pendiente. Este modelo, inicialmente llamado “modelo de gota líquida”, fue diseñado por Niels Bohr para explicar la fi sión nuclear. Imaginamos el núcleo como un cuerpo análogo a una gota líquida, donde los nucleones interactúan como las moléculas en un líquido. La forma de equilibrio de la gota líquida depende de las interacciones de sus moléculas y la de un núcleo se basa en las interacciones de sus nucleones. Muchos núcleos presentan formas de equilibrio esférico y otros pueden ser elipsoidales. A semejanza de una gota líquida, un núcleo puede absor ber energía al girar alrededor de un eje o al vibrar alrededor de su forma de equilibrio. Mediante experimentos sobre el de caimiento radiactivo o la reacción nuclear es posible estudiar estos estados excitados. En la figura 50-16 se muestran ejem plos de las dos clases de situación. La energía rotacional - lo o 1 puede escribirse en función del momento angular L {=Ico) como L2/2/. Con base en la ecuación 47-28 escribimos el momen to angular cuantizado como L = J(J + l)(/z/ 2 -77j, donde J es el número cuántico del núcleo entero; de ese modo obtene mos h2 E.,
(50-25)
O._¿7 07T i
Nótese que el espaciamiento entre los estados crece al aumen tar el momento angular.
l a) J
b)
F i g u r a 5 0 - 1 S . a) Estados excitados rotacionales, marcados con el número cuántico del momento angular, b) Estados vibratorios marcados con el número cuántico vibratorio n.
En = nhf
n = 1 , 2,
3, . . . ,
(50-26)
donde / es la frecuencia vibratoria. Por lo regular el cuanto de energía vibratoria h f posee una energía aproximada de 0.5 MeV, correspondiente a una frecuencia del orden de 1020 Hz. Nótese que, en contraste con los estados rotacionales, los vibratorios de la figura 50-16£> presentan el mismo espaciamiento. Los datos experimentales referentes a la estructura colectiva del núcleo abarcan no sólo la observación de los estados excita dos rotacionales y vibratorios similares a los de la figura 50-16, sino también los procesos de reacción nuclear en los cuales comparten la energía todos los nucleones del núcleo, las proba bilidades de emisión de rayos gamma y las formas no esféricas (a menudo elipsoidales) de equilibrio en muchos núcleos.
El modelo de partículas independientes En el otro extremo, el modelo de partículas independientes su pone que a cada nucleón pueden asignársele estados bien defi nidos semejantes a los de los electrones en los átomos. Los neutrones y los protones deben seguir, al igual que los elec trones, el principio de exclusión de Pauli; por eso, la estructu ra del núcleo en las partículas independientes se parece mucho a la del átomo que explicamos en el capítulo 48. Y también los nucleones como los electrones se disponen en capas con núme ros cuánticos bien definidos. Cuando se llena una de ellas, se produce un núcleo de extraordinaria estabilidad, en analogía con los gases inertes que tienen a capas atómicas llenas. En las capas cerradas de los nucleones ocurren los números “mágicos” 2, 8, 20, 28, 50, 82 y 126 de neutrones o protones; difieren un poco de las capas atómicas cerradas ( 2, 10, 18, 36, 54 y 86), debido en parte a las diferencias entre la fuerza nu clear y la de Coulomb que operan sobre los electrones. Algunos núcleos, denominados “doblemente mágicos”, poseen capas cerradas de protones y neutrones y, por lo mismo, presentan gran estabilidad; por ejemplo, 40Ca con 20 protones y 20 neu trones. Para extraer un protón del 40Ca se requieren 8.3 MeV; en cambio, para extraer un protón de un núcleo que tiene un protón más ( 41Sc, con un número no mágico de 21 protones) se requiere apenas 1.1 MeV. Y para extraer un neutrón del 40Ca se necesitan 15.6 MeV, pero apenas 8.4 MeV para elimi nar un neutrón en 4!Ca, con un no-mágico de 21 neutrones. Es te incremento rápido de la energía para extraer una partícu la de una capa cerrada se observa asimismo en el átomo (en la Fig. 48-6 se describen las energías de ionización del átomo). Un efecto parecido se observa en los radios iónicos del áto mo, que muestran un incremento repentino conforme se llena una capa de electrones y el siguiente debe iniciar otra. En los radios nucleares se registra el mismo efecto de capa, según se aprecia en la figura 50-17. Nótense los saltos repentinos del radio con N = 20, 28, 50, 82 y 126, correspondientes a las ca pas llenas de neutrones. Igual que en los radios nucleares o la energía necesaria para extraer un protón o neutrón, el modelo de partículas inde pendientes en su límite extremo supone que las propiedades del núcleo dependen de un solo protón o neutrón de “valencia”-
Núclidos
Z
N
M asa atóm ica (u)
121Sb 120Sn U9Ir¡
50 + 1 50 50 - 1
70 70 70
120.903818 119.902197 118.905846
La masa atómica del protón es 1.007825 u. Solución La extracción del protón “adicional” corresponde al pro
ceso i2lSb —> l20Sn + p. F i g u r a 5 0 -1 7 . Variación del radio nuclear en función del número de neutrones. Se expresa en relación con la variación “estándar” esperada de la estructura “colectiva” de R = RQA l/'i . Los saltos abruptos indican la estructura de la capa.
La energía requerida E se obtiene de E = [m(l20Sn) + ttz('H) — m(l21Sb)]c2
= (119.902197 u + 1.007825 u - 120.903818 u) X (931.5 MeV/u) = 5.8 MeV. La extracción del protón de la capa llena corresponde a
He aquí otras propiedades nucleares que pueden interpretarse exitosamente en el modelo de partículas independientes: vida media de la desintegración alfa, momentos de dipolo magnéti co, probabilidades de reacción para capturar una partícula como el neutrón y las energías de los estados excitados. P r o b l e m a R e s u e l t o 5 0 -1 1. El núclido 120Sn (Z = 50) tiene una capa llena de protones y 50 es uno de los números mágicos del nucleón. El núclido 121Sb (Z = 51) tiene un protón “adicional” fue ra de esta capa. Según el concepto de capa, debería ser más fácil ex traer este último que un protón en la capa llena. Para verificarlo calcule la energía requerida en cada caso. Utilice los siguientes da tos relativos a la masa:
120Sn —> 119In + p. La energía requerida se calcula partiendo de E = [m(n9In) + w('H) — m (l20Sn)]c2
= (118.905846 u + 1.007825 u - 119.902197 u) X (931.5 MeV/u) = 10.7 MeV. Este resultado es mucho mayor que la energía requerida para extraer un protón “adicional” (= 5.8 MeV), justo como lo predice el modelo de capas. En forma muy parecida, la energía requerida para extraer un electrón en una capa llena de electrones (= 22 eV en la capa llena de neón) es mucho mayor que la necesaria para eliminar un electrón “adi cional” en el exterior de la capa ( = 5 eV en el caso del electrón “adicional” de sodio).
O p c i ó n m ú l t ip l e s o -1 Descubrimiento del núcleo 1. Rutherford logró ignorar el efecto de los electrones al analizar los experimentos de la dispersión de partículas alfa, porque A) los electrones no ejercen fuerza alguna sobre las par tículas alfa. B) la masa de un electrón es mucho menor que la de una partícula alfa. C) los electrones se distribuyen uniformemente en todo el átomo. D) los electrones se mueven con tanta rapidez que una partícu la alfa no puede chocar con ellos.
s o -2 Algunas propiedades del núcleo 2. ¿Cuántos neutrones hay en el núclido 66Zn? A) 26 B) 30 C) 36 D) 66 3. La energía de enlace del núcleo A es 7.7 MeV y la del núcleo B es 7.8 MeV. ¿Cuál de los dos tiene mayor masa? A) El núcleo A B ) El núcleo B C) Se necesita más información para contestar. 4. Si un núcleo fuera tan grande como una uva, el átomo sería tan grande como A) una casa. B) un campo de fútbol americano. C) una ciudad. D) la Luna.
50-3 Decaimiento radiactivo 5. La vida media de una muestra radiactiva es de 30 minutos. A las 2 de la tarde la rapidez del decaimiento se mide y se descubre que es 1200/s. ¿Cuál será el resultado de una medición de la ra pidez a las 3 de la tarde de ese mismo día? A) 4800/s
B) 1200/s
C) 600/s
D) 300/s
s o -4 Decaimiento alfa 6. Un núcleo pesado alfa decae con una energía de desintegración de 1.50 MeV. De ello puede concluirse que las energía cinéticas observadas en las partículas alfa A) B) C) D)
son iguales a 1.50 MeV. son apenas de 1.50 Mev. en ocasiones podrían ser mayores que 1.50 MeV. varían continuamente entre cero y 1.50 MeV.
s o -5 Decaimiento befa 7. Un núclido estable, tras absorber unneutrón, emite un electrón negativo y luego se divide espontáneamente en dospartículas alfa. El núclido' original es A)
®Be.
B) 7Be.
C) 7B.
D) 7Li.
8. En un experimento de decaimiento beta, se observa un electrón que tiene una energía cinética de 1.0 MeV. Con base en este he cho, ¿qué puede concluirse sobre la energía de desintegración O del decaimiento? A) Q = 1.0 Mev B) O S 1.0 Mev C) Q a 1.0 Mev D) Nada puede concluirse respecto a O. 5 0 -3
una serie de decaimiento alfa y beta. ¿Cuántas partículas alfa se emiten? A) 4
D) 8
50-8 Reacciones nucleares
Medición de la radiación de ionización
so-7 Radiactividad natural
C) 6
11. En una reacción nuclear, un haz de partículas alfa (4He) choca contra un blanco de 60Ni. Los productos de la reacción podrían ser A) 63Zn + n. B) 63Cu + p. D) Todos los anteriores.
9. La rapidez de decaimiento de una fuente radiactiva se mide en
unidades d e _________ y el efecto biológico que esa radiación causa en el ser humano se mide en unidades d e_______ . A) curies B) roentgens C) rads D) rems
B) 5
C) 61Ni + 3He.
so-9 Modelos nucleares 12. ¿Cuántos elementos se encuentran en la naturaleza que tengan capas llenas de electrones en el átomo y también capas llenas de protones y de neutrones en el núcleo?
10. La cadena de decaimiento que lleva de 2p U a 2gfPb consta de
A) 1
B) 2
C) 3
D)4
^^G U N T A S 1. Cuando una lámina delgada se bombardea con partículas a, algu nas de ellas vuelven a dispersarse hacia la fuente. De esto Ruther ford dedujo que la carga positiva del átomo —y también la mayor parte de su masa— ha de estar concentrada en un “núcleo” den tro del átomo. ¿Cómo razonó para llegar a esa conclusión? 2. ¿En qué se distinguen la fuerza fuerte y la electrostática o la de Coulomb? 3. ¿Por qué la importancia relativa de la fuerza de Coulomb crece más con números grandes de masa que la fuerza fuerte nuclear? 4. ¿Hay más neutrones que protones en el cuerpo humano? ¿Y más protones que electrones? Comente su respuesta. 5. ¿Por qué los núcleos tienden a tener más neutrones que proto nes con números de masa altos? 6. ¿Por qué empleamos la masa atómica, y no la nuclear, al anali zar la mayor parte de los procesos de decaimiento y reacción nuclear? 7. ¿Cómo se comprueba la igualdad 1 u = 1.6605 X 10~27 leg en el laboratorio? o. Los átomos de un elemento pueden diferir en su masa, poseer distintas características físicas y aun así no variar químicamen te. ¿A qué se debe? 9. La desviación de las masas isotópicas respecto a los valores en teros obedece a muchos factores. Mencione algunos. ¿Cuál de ellos es la causa principal? 10. ¿Cómo se determina la masa del neutrón? 11. Los núclidos más estables tienen un número de masa A cercano a 60 (Fig. 50-6). ¿Por qué no todos ellos tienen un número de masa cercano a esa cantidad? 12. Si ignoramos los núclidos más ligeros, la energía de enlace por nucleón en la figura 50-6 es más o menos constante de 7 a 8 MeV/nucleón. ¿Cabe esperar que en los átomos la energía elec trónica media de enlace por electrón también sea más o menos constante en toda la tabla periódica? 13. ¿Por qué la energía de enlace por nucleón (Fig. 50-6) es poca con números pequeños de masa? ¿Y con números grandes? 14. En la curva de la energía de enlace de la figura 50-6, ¿qué tie nen de especial o notable los núclidos 2H, 4He, 62Ni y 239Pu? 15. El momento magnético del neutrón es —1.9130 ¿xN. ¿Qué es un magnetón nuclear y cómo se distingue de un magnetón de Bohr?
16.
17.
18. 19.
20.
21.
22. 23.
4.
25.
¿Qué significa el signo de menos? ¿Cómo puede el neutrón, que no transporta carga neta, tener un momento magnético? Un núcleo 23SU se creó en una explosión masiva de estrellas, hará quizá 1010 años. De repente decae con una emisión a mien tras lo observamos. Después de tantos años, ¿por qué decide des integrarse en este momento en particular? ¿Puede justificar la siguiente afirmación: “Al medir la vida me dia con el método utilizado en el problema resuelto 50-4, no es necesario medir la rapidez absoluta del decaimiento i?, sino que bastará cualquier cantidad proporcional. Sin embargo, s í se ne cesita una rapidez absoluta en el método que aplicamos en ei problema resuelto 50-5”. ¿Afecta la temperatura a la tasa de decaimiento de los núclidos radiactivos? De ser así, ¿en qué forma? Está usted realizando pruebas de longevidad de las lámparas. ¿Espera que su “decaimiento” sea exponencial? ¿Cuál es la di ferencia esencial entre el decaimiento de ellas y el de los radionúclidos? Los relojes suelen ofrecer completa regularidad en algunos pro cesos periódicos. Recordando que el decaimiento radiactivo es totalmente aleatorio, ¿podemos señamos de él para medir el tiempo? ¿Puede justificar, así sea de manera parcial, el fenómeno del efecto túnel basándose en las ideas fundamentales relativas a la naturaleza ondulatoria de la materia? Explique por qué, en el decaimiento alfa, vidas medias cortas corresponden a grandes energías de desintegración y viceversa. Un núcleo radiactivo puede emitir un positrón, e+. Esto corres ponde a convertir un positrón del núcleo en un neutrón. No obs tante, la masa de un neutrón es mayor que la de protón. ¿Cómo puede entonces ocurrir la emisión del positrón? En el decaimiento beta los electrones emitidos forman un espec tro continuo, mientras que en el decaimiento alfa las partículas alfa crean un espectro discreto. ¿Qué problemas ocasiona esto al explicar el decaimiento beta y cómo pueden superarse final mente? ¿En qué se distinguen los neutrinos y los fotones? Ambos tienen carga cero y (supuestamente) una masa cero en reposo, y se mueven con la velocidad de la luz.
26. El decaimiento de elementos radiactivos produce helio, que con el tiempo llega a la atmósfera terrestre. La cantidad del que se encuentre en ella es mucho menor que la que se libera en esa forma. Explique por qué. 27. La vida media del 238U es 4.5 X 109 años, más o menos la edad del sistema solar. ¿Cómo podemos medirla? 28. En el fechado radiactivo con 238U, ¿cómo lo logra a pesar de no sa ber cuánta cantidad de este material había en las rocas inicialmen te? (Sugerencia: ¿cuál es el producto final del decaimiento de 238U? 29. Prepare una lista de varias fuentes de la radiación de ionización que se encuentran en el ambiente, tanto natural como artificial. 30. ¿Cuáles de las siguientes leyes se aplican a todas las reacciones nucleares: a) carga, b) masa, c) energía total, d) energía en re poso, e) energía cinética, f) momento lineal, g) momento angu lar y h) número total de nucleones? 31. Los cambios pequeños de temperatura causan un efecto impor tante en la rapidez de las reacciones físicas, pero generalmente su efecto es insignificante en la rapidez de las reacciones nu cleares. Explique por qué. 32. En el desarrollo del conocimiento actual del átomo, ¿se emplea ron los modelos atómicos como ahora se utilizan modelos nu-
33.
34.
35. 36. 37.
cleares? ¿Pertenece la teoría de Bohr al segundo tipo? ¿En qué se distinguen una teoría y un modelo? ¿Cuáles son las suposiciones básicas de los modelos colectivos y de los de partículas independientes relativos a la estructura nuclear? ¿En qué se diferencian? ¿Presentan semejanzas? ¿Nos ofrece el modelo colectivo del núcleo una descripción de los siguientes fenómenos: a ) aceptación de una partícula que choca por parte del núcleo, b) pérdida de una partícula por emi sión espontánea, c) fisión, d ) dependencia de la estabilidad res pecto al contenido de energía? ¿Qué tienen de especial los números mágicos del nucleón? ¿Por qué los números mágicos del nucleón y los del electrón no son iguales? ¿Cómo se explica cada uno? El número promedio de isótopos estables (o de muy larga vi da) de los gases inertes es 3.7. En cambio, el número prome dio de los núclidos estables de los cuatro números mágicos de neutrones es 5.8, una cantidad considerablemente mayor. Si los gases inertes son tan estables, ¿por qué no se crearon más isótopos estables de ellos cuando se constituyeron los áto mos?
¿JERCICIOS^ so-1 Descubrimiento del núcleo 1. Calcule la distancia de la máxima aproximación durante una co lisión frontal entre una partícula a de 5.30 MeV y el núcleo de un átomo de cobre. 2. a ) Calcule la fuerza eléctrica en una partícula a sobre la superficie de un átomo de oro, suponiendo que la carga positiva se distribu ye uniformemente en todo el volumen del átomo. No tenga en cuenta los electrones atómicos. Un átomo de oro tiene un radio de 0.16 nm; trate la partícula a como una partícula puntual, b) ¿En qué distancia habrá de actuar esta fuerza, supuestamente constan te, para poner en reposo una partícula a de 5.30 MeV? Exprese su respuesta en función del diámetro de un átomo de oro. 3. Suponga que un núcleo de oro tiene un radio de 6.98 fm (Tabla 50-1) y que una partícula a tiene un radio de 1.8 fm. ¿Qué energía de be tener una partícula a incidente para tocar apenas el núcleo?
so-2 Algunas propiedades del núcleo 4. Localice los núclidos de la tabla 50-1 en el diagrama nuclídico de la figura 50-4. ¿Cuáles de ellos se hallan dentro de la zona de estabilidad? 5. El radio de un núcleo se mide aplicando métodos de dispersión de electrones y se comprueba que tiene 3.6 fm. ¿Cuál es su nú mero probable de masa? 6. Disponga los 25 núclidos dados aquí en cuadrados como una sección del diagrama nuclídico semejante a la figura 50-4. Tra ce y marque a ) todas las líneas isobáricas (.4 constante) y b) to das las del exceso de neutrones constantes, definidas como N — Z. Considere los núclidos ll8~"122Te, U7~ 121Sb, 1I6-120Sn, 115 —119In y U 4 -1 1 8 C d _
7. Una estrella de neutrones es un objeto estelar cuya densidad equivale aproximadamente a la de la materia nuclear, tal como se calculó en el problema resuelto 50-2. Suponga que el Sol se colapsara como ella sin perder nada de su masa actual. ¿Cuál se ría su radio esperado?
8. Verifique que la energía de enlace por nucleón que se indica en la figura 50-1 en el caso de 239Pu es efectivamente 7.56 M eV/ nucleón. Las masas atómicas necesarias son 239.052156 u (C39Pu), 1.007825 u (!H) y 1.008665 u (neutrón). 9. C alcu le la energía promedio de enlace por nucleón ele 62Ni, cu ya masa atómica es 61.928349 u. Este núcleo tiene la máxima energía de enlace por nucleón de todos los núcleos estables co nocidos. 10. Las masas atómicas de Tí, 12C y 238U son 1.007825 u, 12.000000 u (por definición) y 238.050783 u, respectivamente. a ) ¿Cuáles serían esas masas si la unidad de masa se definiese de modo que la masa de ‘H fuera (exactamente) 1.000000 u? b) Con el resultado indique por qué quizá no se hizo la elección más obvia. 11. a ) Convénzase usted mismo de que la energía contenida en enlaces nucleares o de fuerza fuerte es proporcional a 4 , el núme ro de masa del núcleo en cuestión, b) Convénzase usted mismo de que la energía de los enlaces de la fuerza de Coulomb entre los protones es proporcional a Z(Z — 1). c) Demuestre que, al pasar a partículas cada vez más grandes (Fig. 50-4), la impor tancia de b) aumenta con mayor rapidez que la de a ). 12. En la tabla periódica la entrada del magnesio es 12
Mg 24.305 Hay tres isótopos: 24Mg, masa atómica = 23.985042 u; 23Mg, masa atómica = 24.985837 u; 26Mg, masa atómica = 25.982593 u. La abundancia de 24Mg es 78.99% por masa. Calcule la abundancia de los dos isótopos restantes.
Dado que el nucleón está confinado al núcleo, suponemos que la incertidumbre de la posición es aproximadamente el radio del núcleo R. ¿Qué produce el principio de incertidumbre en rela ción con la energía cinética de un nucleón de un núcleo con —digamos— A = 100? (Sugerencia: suponga que la incerti dumbre del momento Ap es el momento total p .) 14. Le piden extraer una partícula a (4He) extrayendo sucesivamen te un protón, un neutrón y un protón. Calcule a ) el trabajo nece sario en cada paso, b ) la energía total de enlace de la partícula a y c) la energía de enlace por nucleón. Las masas atómicas que se necesitan son 4He 3H
4.002603 u
2H
2.014102 u
3.016049 u
'H
1.007825 u
n
24. Demuestre que la ley del decaimiento radiactivo (Ec. 50-6) puede escribirse como N = 25.
26
27.
1.008665 u.
Para simplificar los cálculos se tabulan a veces las masas atómi cas, no la masa real m sino (m — A )c2, donde A es el número de masa expresado en unidades de masa. Esta cantidad, general mente dada en MeV, se denomina exceso de m asa y su símbolo es A. Con los datos del problema resuelto 50-3, calcule el exce so de masa para a ) 'H, b ) el neutrón y c) 120Sn. 16. a ) Demuestre que la energía de enlace total de un núclido pue de escribirse así 15.
28
29.
E b = ZAh + NAn - A,
donde AH, An y A son los excesos de masa correspondientes (Ej. 15). ¿>) Por medio de este método calcule la energía de enlace por nucleón para 197Au. Compare su resultado con el valor de la tabla 50-1. Los excesos de masa requeridos son AH = +7.289 MeV, An = +8.071 MeV y A,97 = —31.157 MeV. AH es el exceso de ma sa del ’H. Nótese que los cálculos disminuyen cuando se utilizan los excesos de masa en lugar de las masas reales. 17. Un centavo posee una masa de 3.00 g. Calcule la energía nuclear que se necesitaría para separar todos los neutrones y los protones en esta moneda. Ignore la energía de enlace de los electrones. Pa ra simplificar los cálculos suponga que el centavo está hecho en teramente de átomos de 63Cu (masa = 62.929601 u). La masa atómica del protón y el neutrón son, respectivamente, 1.007825 y 1.008665 u. Los radios del núcleo pueden medirse dispersando del núcleo electrones de gran energía, a ) ¿Cuál es la longitud de onda de de Broglie en los electrones de 480 MeV? b) ¿Son medios idó neos para este propósito? Hay que tener en cuenta la relatividad.
50' ■ 3 Decaimiento radiactivo 19. La vida media de un isótopo radiactivo es 140 d. ¿Cuántos días tardará la actividad de una muestra del isótopo en caer a un cuarto de su rapidez inicial de decaimiento? 20 . La vida media de un isótopo radiactivo es 6.5 h. Si al iniciar hay 48 X 1019 átomos de este isótopo en una muestra, ¿cuántos que darán al cabo de 26 h? Un isótopo radiactivo de mercurio, 197Hg, se transforma en oro 197Au al decaer, con una constante de decaimiento de 0.0108 h_1. a ) Calcule su vida media, b) ¿Qué parte de la cantidad original quedará después de tres vidas medias? c) ¿Y después de 10 días? De los datos ofrecidos en los primeros párrafos de la sección 50-3 deduzca a ) la constante de desintegración A y b) la vida media del 23SU. 67Ga, con masa atómica = 66.93 u, tiene una vida media de 78.25 h. Considere una muestra inicialmente pura de 3.42 g de este isótopo, a ) Determine su actividad (rapidez de decai miento). b ) Determine su actividad 48.0 h más tarde.
30.
223Ra decae por decaimiento alfa con una vida media de 11.43 d. ¿Cuántos átomos se helio se crean en 28 d a partir de una muestra inicialmente pura de 223Ra que contenga 4.70 X 1021 átomos? El radionúclido 64Cu tiene una vida media de 12.7 h. ¿Cuánto de una muestra inicíalmente pura de ^Cu decaerá durante un periodo de 2 horas a partir de 14.0 h más tarde? El radionúclido 32P (vida media = 14.28 d) se emplea a menudo como marcador para seguir la ruta de las reacciones químicas en que interviene el fósforo, a ) Si la rapidez de conteo en un expe rimento es 3050 conteos/s, ¿al cabo de cuánto tiempo disminuirá a 170 conteos/s? b) Una solución que contiene 32P se introduce en el sistema de raíces de una planta experimental de tomates y la actividad 32P de una hoja se mide 3.48 d después. ¿Por qué factor debe multiplicarse esta lectura para corregir el decaimien to que ha ocurrido desde que se inició el experimento? Una muestra de 1.00 g de samario emite partículas a con una rapidez de 120 partículas/s. I47Sm, cuya abundancia natural en samario bruto es 15.0%. Calcule la vida media de este isótopo. 239Pu, con masa atómica = 239 u, decae por decaimiento alfa con una vida media de 24.100 años. ¿Cuántos gramos de helio produce una muestra inicialmente pura de 12.0 g de 239Pu tras 20,000 años? (Recuerde que una partícula a es un núcleo de he lio con una masa atómica de 4.00 u.) Una fuente contiene dos radionúclidos de fósforo, 32P — 14.3 d) y 3;|P ( t {p = 25.3 d). Al inicio 10.0% de los decaimien tos provienen de JJP. ¿Cuánto hay que aguardar para que lo ha ga el 90.0%?
s g -4 Decaimiento aifa 31. Suponga que un núcleo 238U se compone de una partícula a (4He) y de un núcleo residual (234Th). Grafique la energía po tencial electrostática U (r), donde r es la distancia entre estas partículas. Cubra el intervalo 10 fm < r < 100 fm y compare su gráfica con la de la figura 50-9. 32. En términos generales, los núclidos más pesados tienden a ser más inestables ante el decaimiento alfa. Por ejemplo, el isótopo más estable del uranio, 238U tiene una vida media de decaimiento al fa de 4.5 X 109 años. El isótopo más estable de plutonio es 244Pu con una vida media 8.2 X 107 años; en el caso del curio tenemos 248Cm y 3.4 X 105 años. Cuando la mitad de una muestra original de 23SU ha decaído, ¿qué partes quedan de los isótopos originales de a ) plutonio y b) curio? 33. Los radionúclidos pesados emiten una partícula a en vez de otras combinaciones de nucleones, por ser una estructura muy estable y compacta. Para confirmarlo calcule la energía de desintegración de estos procesos hipotéticos de decaimiento y ex plique el significado de los resultados: JHe,
03;
233 u
■
■23lTh + 4He,
04;
235u
■ • 230Th + 5He,
04-
2j5U ■
232ph
Las masas atómicas que se necesitan son 232Th
232.038050 u
3He 3.016029 u
231Th
231.036297 u
4He 4.002603 u
230Th
230.033127 u
5He 5.012228 u.
235U
235.043923u
34. En ciertas circunstancias, un núcleo puede decaer emitiendo una partícula más pesada que una partícula a . Este tipo de decaimiento es muy raro. Considere los decaimientos 223R a
209pb
+
I4C
2 l9 R n
+
4H e ,
y 223R a
a ) Calcule los valores de O para los decaimientos anteriores y
determine que son posibles desde el punto de vista energético. b) En este decaimiento la altura de la barrera de Coulomb para las partículas a es 30 MeV. ¿Cuál es su altura en el decaimien to 14C? Las masas atómicas son :
so -3
223Ra
223.018497 u
l4C
14.003242 u
209Pb
208.981075 u
4He
4.002603 u.
2l9Rn
219.009475 u
Decaimiento beta
35. Hay 137Cs en la lluvia radiactiva causada por las detonaciones de bombas nucleares arriba de la superficie terrestre. Es un pro blema ambiental, ya que produce decaimiento beta con una lenta vida media de 30.2 años, hasta transformarse en 137Ba, liberando una gran cantidad de energía en el proceso. La masa atómica de Cs y Ba es 136.907084 y 136.905821 u, respectivamente. Calcule la energía total liberada en un decaimiento. 36. Un neutrón libre decae conforme a la ecuación 50-16. Calcule la energía máxima del espectro beta. Las masas atómicas que se requieren son: n
1.008665 u;
‘H
1.007825 u.
37. Se emite un electrón desde un núclido de masa intermedia (A = 150, por ejemplo), con una energía cinética de 1.00 MeV. a ) Deter mine su longitud de onda de de Broglie. b) Calcule el radio del nú cleo emisor, c) ¿Puede un electrón quedar confinado como onda estacionaria dentro de una “caja” de esas dimensiones? d) ¿Pode mos usar estos números para rechazar el argumento (abandonado desde hace mucho) de que existen electrones en el núcleo? 38. El radionúclido 32P decae y se convierte en 32S, como se descri be en la ecuación 50-14. En un proceso de decaimiento se emi te un electrón de 1.71 MeV, e] mayor valor posible. Calcule la energía cinética de retroceso del átomo 32S. Su masa atómica es 31.97 u. (Sugerencia: en el electrón es necesario utilizar las ex presiones relativistas de la energía cinética y del momento an gular. La mecánica newtoniana puede usarse con seguridad en el caso del átomo 32S que se mueve con relativa lentitud.) 5 0 -6 M edición de la radiación de ionización 39. El núclido 198Au, con vida media = 2.693 d, se emplea en el tratamiento del cáncer. Calcule la masa de este isótopo que se necesita para producir una actividad de 250 Ci. 40. Un contador Geiger registra 8722 conteos en 1 minuto. Calcule en Ci la actividad de la fuente, suponiendo que registre todos los decaimientos. 41. Una dosis normal de radiación del tórax con rayos X es de 25 mrem, suministrada por rayos cuyo factor de calidad es 0.85. Calcule en joules la energía absorbida, suponiendo que la masa del tejido expuesto es la mitad de la masa total de un paciente de 88 kg. 42. Una persona de 75 kg recibe en todo el cuerpo una dosis de ra diación de 24 mrad, suministrada por partículas a cuyo factor de calidad es 12. Calcule a ) la energía absorbida en joules y b) la dosis equivalente en rem.
43. En una muestra radiactiva se requiere una actividad de 3.94 ¿¿Ci para emplearla en un tratamiento médico. Una semana antes, se prepara una muestra de núclidos con una vida media de 1.82 X 103 s. ¿Cuál debe ser la actividad de la muestra en el momento de la preparación, a fin de que produzca la actividad requerida a la hora del tratamiento? 44. Un isótopo de Plutonio 239Pu, con masa atómica de 239.05 u, se crea como producto secundario en los reactores nucleares, y por tanto, se acumula en los elementos del combustible. Es radiac tivo y presenta un decaimiento alfa, con una vida media de 2.411 X 104 años. Pero el plutonio es una de las sustancias químicas más tóxicas; una dosis de 2.00 mg es letal para el ser hu mano. a ) ¿Cuántos núcleos constituyen una dosis química mortal? b) ¿Con qué rapidez decae esa cantidad? c) ¿Cuál es su actividad en curies? 45. Las células cancerosas son más vulnerables a la radiación de ra yos X y gamma que las células sanas. Hoy aceleradores lineales empiezan a reemplazarlo, antaño la fuente estándar de la radiote rapia era el 60Co radiactivo. Esta sustancia por decaimiento beta se transforma en un estado nuclear excitado de 60Ni, que de inmedia to cae al estado base, emitiendo dos fotones de rayos gamma, ca da uno con una energía aproximada de 1.2 MeV. La vida media controladora del decaimiento beta es 5.27 años. ¿Cuántos núcleos radiactivos 60Co hay en una fuente de 6000 Ci que se emplea en un hospital? La masa atómica de 60Co es 59.93 u. 4 6 . En promedio un piloto de aviación pasa 20 h por semana volando a 12,000 m, altitud a la cual una rapidez equivalente de dosis a causa de la radiación cósmica y solar es 12 ¿¿Sv/h (1 Sv = 1 sievert = 100 rem; el sievert es la unidad SI equivalente de dosis). Calcule en mrem la dosis equivalente anual. 47. Tras un largo esfuerzo, en 1902 Mane y Pierre Curie consiguieron separar de una veía de uranio 3a primer cantidad importante de radio, 1 decigramo (dg) de RaCl, puro. El radio era el isótopo ra diactivo 226Ra, que decae con una vida media de 1600 años. a) ¿Cuántos núcleos de radio habían aislado? b) ¿Cuál era en Bq la rapidez de desintegración de la muestra? (1 Bq = 1 becquerel = 1 decaimiento/s.) c) ¿Y en curies? La masa molar de CI es 35.453 g/mol; la masa atómica del isótopo de radio es 226.03 u. 48. Calcule la masa de 4.60 ¿tCi de 40K, cuya vida media es 1.28 X 109 años y cuya masa atómica es 40.0 u.
3 0 - 7 Radiactividad natural 49. Se descubre que una roca contiene 4.20 mg de 2-8U y 2.0 0 mg
de 206Pb. Suponga que no contenía plomo en formación y que el plomo actualmente existente proviene del decaimiento del uranio. Determine la edad de la roca. La vida media de 238U es 4 .4 7 X 109 años. 50. Se cree que una roca tiene 260 millones de años de edad. Si con tiene 3.71 mg de 23SU, ¿cuánto 206pb habrá de tener? 51. Se comprueba que una roca, sacada del subsuelo, contiene 860 ¿cg de 238U, 150 ¡j.g de 206Pb y 1.60 mg de 40Ca. ¿Cuánto 40K con tendrá con toda probabilidad? Las vidas medias que se requieren son 4.4 7 X 109 años para 238U y 1.28 X 109 años para 40K.
-
j
Reacciones nucleares
el núclido faltante en las siguientes reacciones: a ) u6Sn(?,p)n7Sn; b) 40Ca(a,n)? y c) ?(p,n)7Be. 53. Calcule O en la reacción 59Co(p,n)59Ni. Las masas atómicas que se necesitan son
52. Llene
59C o
58.933200 u
!H
1.007825 u
59N¡
58.934352 u
n
1.008665 u.
54. Utilice mentalmente la capa superpuesta de la figura 50-13, aplicada a la figura 50-12; anote después las reacciones con que puede prepararse ei radionúclido 197Pt (t m = 18.3 h), por lo menos en teoría. Con excepción de circunstancias especiales, únicamente los núclidos estables pueden servir de blanco prác tico a las reacciones nucleares. 55. El radionúclido 60Co ( t y2 = 5.27 años) se emplea mucho en el tratamiento del cáncer. Tabule las posibles reacciones que podrían utilizarse en su preparación. Limite los proyectiles a los neutrones, protones y deuterones. Limite el blanco a núclidos estables. Los adecuadamente cercanos a 60Co son 63Cu, 60'61. 62Ni, 59Co y 57'58Fe. (En la industria 60Co se obtiene bombar deando el cobalto elemental, que consta de un solo isótopo 59Co, con neutrones en un reactor.) 56. Un haz de deuterones cae en un blanco de cobre. Este metal tiene dos isótopos estables, 6jCu (69.2%) y 65Cu (30.8%). Tabule los núclidos residuales que pueden obtenerse mediante las reacciones (d,n), (d,p), (d,a) y (d,y). Examine atentamente la figura 50-4 e indique cuáles núclidos residuales son estables y cuáles son ra diactivos. 57. Prepare una capa superpuesta como la de la figura 50-13 donde la figura se extiende para incluir las reacciones en que intervie nen los núclidos ligeros 3H (tritio) y 3He, considerados como proyectiles y partículas emergentes. 58. Durante varias horas un blanco de platino se bombardea con deuterones acelerados por un ciclotrón y luego, a través de pro cesos químicos, se separa de él al iridio elemental (Z = 77).
¿Qué radioisótopos de iridio existente y con cuales reacciones se forman? (Nota: 190Pt y 192Pt, que no aparecen en la figura 5012, son isótopos estables de platino, pero sus abundancias iso tópicas son tan pequeñas que podemos ignorar su presencia.) 59. Prepare una capa supeipuesta como la de la figura 50-13, en la cual dos nucleones de núcleos ligeros pueden aparecer como par tículas emergentes. La reacción 63Cu(a,pn)65Zn es un ejemplo. Considere como posibilidades las combinaciones nn, np y pd.
5 0 - 9 Modelos nucleares 60. En la siguiente lista de núclidos identifique a ) los que tienen capas de nucleones, b) los que tienen un nucleón fuera de una ca pa llena y c) los que tienen un vacío en una capa llena en otras circunstancias. Los núclidos son 13C, lsO, 40K, 49Ti, 60Ni, 91Zr, 92Mo, 121Sb, 143Nd, 144Sm, 205T1 y 207Pb. 61. El núcleo 91Zr (Z = 40, N = 51) tiene un solo protón fuera de un núcleo lleno de 50 neutrones. Por ser 50 un número mágico, tal vez este neutrón debería estar muy poco ligado, a ) Calcule su energía de enlace, b) Calcule la del siguiente neutrón que de be extraerse del núcleo lleno, c) Determine la energía de enlace por partícula en todo el núcleo. Compare estos tres números y comente su significado. Las masas que se necesitan son 9iZr
90.905645 u
n 1.008665 u
90Zr
89.904704 u
'H 1.007825 u.
89Zr
88.908889 u
PRO BLEM A S 1. El núcleo retrocede cuando una partícula ex choca elásticamen te contra él. Una partícula a de 5.00 MeV tiene una colisión frontal elástica con un núcleo de oro, inicialmente en reposo. ¿Cuál es la energía cinética a ) del núcleo que retrocede y b) de la partícula a que rebota? Puede suponerse que la masa de la partícula a tiene 4.00 u y que la del núcleo de oro tiene 197 u. 2. Dado que el neutrón no transporta carga, su masa debe calcu larse en alguna otra forma sin emplear un espectrómetro de ma sa. Cuando se encuentran un neutrón en reposo y un protón, se combinan para formar un deuterón emitiendo un rayo gamma cu ya energía es 2.2233 MeV. La masa atómica del protón y del deu terón son: respectivamente, 1.007825 y 2.014102 u. A partir de esos datos obtenga la masa del neutrón con tantas cifras signifi cativas como lo exigen estos datos. 3. El espín y el momento magnético (componente z máximo) del 7Li en su estado base (Tabla 50-1) son y y + 3.26 magnetones nucleares, respectivamente. Un núcleo libre 7Li se coloca en un campo magnético de 2.16 T. a ) ¿En cuántos niveles se dividirá el estado base a causa de la cuantización espacial? b) ¿Qué di ferencia de energía existe entre los pares adyacentes de niveles? c) ¿Cuál longitud de onda corresponde a una transición entre los pares? el) ¿En qué región del espectro electromagnético se halla esta longitud de onda? 4. a ) Demuestre que la energía potencial electrostática de una es fera uniforme de carga O y de radio R está dada por
207760?? '
(.Sugerencia: forme la esfera a partir de las delgadas capas esfé ricas traídas del infinito.) b ) Calcule la energía potencial elec trostática del núclido 239Pu, supuestamente esférico (Tabla 50-1). c) Compare su energía potencial electrostática por partícula con su energía de enlace por nucleón de 7.56 MeV. d ) ¿Qué puede concluir de todo esto? 5. Un radionúclido está siendo fabricado en un ciclotrón con una rapidez constante R También está decayendo con una constante de desintegración A. Supóngase que el proceso de producción continúa durante suficiente tiempo para que el número de nú cleos radiactivos presentes en esos momentos sea constante y esté dado por N = P / A. Demuestre además que este resultado es válido sin importar cuántos núcleos radiactivos haya al inicio. Se dice que el núclido está en equilibrio secu lar con su fuente; en tal estado la rapidez de decaimiento es igual a su rapidez de producción. 6. El radionúclido 56Mn tiene una vida media de 2.58 h y se pro duce en un ciclotrón bombardeando con deutrones un blanco de manganeso. El blanco contiene sólo el isótopo estable de 55Mn manganeso y la reacción que produce 56Mn es 53Mn + d —►56Mn + p. Tras el bombardeo durante un tiempo » 2.58 h, la actividad del blanco a causa de 56Mn es 8.88 X 1010 s~* (Prob. 5). a ) ¿A qué rapidez constante P se producen los núcleos 56Mn en el ci clotrón durante el bombardeo? b ) ¿Con qué rapidez están deca yendo (también durante el bombardeo)? c) ¿Cuántos núcleos 56Mn hay al final del bombardeo? d) ¿Cuál es su masa total? La masa atómica de 56Mn es 55.94 u.
7. Una fuente de radio contiene 1.00 mg de 226Ra, que decae con una vida media de 1600 años para producir 222Rn, un gas inerte. Este gas radón a su vez decae por decaimiento alfa con una vida media de 3.82 d. a ) Calcule la rapidez de decaimiento de 226Ra en la fuen te. b) ¿Con qué rapidez decae el radón cuando alcanza el equilibrio secular con la fuente de radio? Consulte el problema. 5. c) ¿Cuán to radón se encuentra en equilibrio secular con la fuente de radio? 8. Se piensa que el protón libre tal vez no sea una partícula estable, pe ro puede ser radiactiva con una vida media aproximada de 1 X 1032 años. De ser así, ¿cuánto habría que esperar para estar razonable mente seguro de que un protón de su cuerpo haya decaído? Supon ga que usted está hecho de agua y que tiene una masa de 70 kg. 9. Un núcleo de 238U emite una partícula a de 4.196 MeV de ener gía. Calcule la energía de desintegración O durante el proceso, teniendo en cuenta la energía de retroceso del núcleo residual de 234Th. La masa atómica de una partícula a es 4.0026 u, y la de 234Th 234.04 u. Compare su resultado con el del problema resuelto 50-6a. 10. Suponga que un núcleo de 23SU emite a ) una partícula a o b) una secuencia de neutrón, protón, neutrón, protón. Calcule la ener gía liberada en cada caso, c) Con un argumento razonado y tam bién con un cálculo directo, convénzase de que la diferencia entre esos dos números es exactamente la energía total de enla ce de la partícula a. Calcule la energía de enlace. Las masas ató micas que se requieren son 238U
238.050783 u 4He
4.002603 u
237U
237.048724 u
'H
1.007825 u
236Pa
236.048674 u
n
1.008665 u.
255Pa
2 35.045432 u
234Th
234.043596 u
11. El radionúclido UC decae de acuerdo con nC —> "B + e + + v,
t ¡/2 = 20.3
m in.
La energía máxima del espectro del positrón es 960.8 keV. a) Demuestre que la energía de desintegración O en este proce so está dada por O = ( m c — m B — 2 m e)c: ,
donde mc y mB son la masa atómica de UC y UB, respectiva mente y m es la masa del electrón (positrón), b) Sabiendo que mc = 11.011434 u, mB = 11.009305 u y m e = 0.0005486 u, calcu le O y compárela con la energía máxima del espectro del posi trón dada antes. (Sugerencia: suponga que m'c y m B son las masas nucleares y proceda como en el problema resuelto 50-7 con el decaimiento beta. Nótese que el decaimiento del posi trón constituye una excepción de la regla general según la cual, si se utilizan masas atómicas en estos proceso, la masa del elec trón emitido se elimina de modo automático.) 12. Algunos radionúclidos decaen capturando uno de sus propios electrones, digamos un electrón K. Un ejemplo es J9V + e - —* 49Ti + v,
i 1/2 = 331 d.
a ) Demuestre que en este proceso la energía de desintegración O está dada por O = (/«v ~ m 7{)c2 ~ E k ,
donde m y y mTt son las masas atómicas de 49V y 49Ti, respecti vamente, y donde E K es la energía de enlace del electrón K del
vanadio. (Sugerencia: ponga m'v y m'Tl como las correspondien tes masas nucleares y proceda igual que en el problema resuel to 50 -7 ; véase el pie de página de ese problema.) ti) Calcule la energía de desintegración Q en el decaimiento de 49V mediante la captura del electrón K. Los datos que se requieren son im, = 4 8 .9 4 8 5 1 7 u, m Tx = 48.947871 u y E K = 5.47 keV. 13. Uno de los peligros de la lluvia radiactiva de una bomba nuclear es 90Sr que presenta decaimiento beta con una vida media de 29 años. Sus propiedades químicas se parecen mucho a las del cal cio; por eso, si lo come una vaca, queda concentrado en su le che y termina en los huesos de quien la beba. Los electrones energéticos del decaimiento dañan la médula ósea, deteriorando así la producción de eritrocitos. Una bomba de 1 megatón pro duce aproximadamente 400 g de 90Sr. Si la lluvia radiactiva se esparce uniformemente en una superficie de 2000 km2, ¿qué área tendrá una radiactividad igual a la carga ósea permitida en una persona de 0.002 mCi? La masa atómica de 90Sr es 89.9 u. 14. Una persona de 87 kg que trabaja en una planta de un reactor re productor ingiere accidentalmente 2.5 mg de polvo de 239Pu. Éste tiene una vida media de 24,100 años, presentando un decaimien to alfa. La energía de las partículas a emitidas es 5.2 MeV, con una factor de calidad de 13. Suponga que el plutonio permanece en el cuerpo del trabajador 12 h y que se queda en el cuerpo el 95% de las partículas a emitidas. Calcule a ) el número de átomos de plutonio ingeridos, ti) la cantidad que decae durante ese lapso, c) la energía absorbida por el cuerpo, d) la dosis física resultante en rad y e) la dosis biológica equivalente en rem. 15. Dos materiales radiactivos inestables ante el decaimiento alfa, 23SU y 232Th, y uno inestable al decaimiento beta, 40K, abundan bastante en el granito para contribuir de modo significativo al calentamiento de la Tierra mediante la energía de decaimiento que producen. El isótopo inestable a alfa origina cadenas de decaimiento que se detienen en los isótopos estables del plomo. 40K tiene un solo decaimiento beta. A continuación se da infor mación sobre el decaimiento: Núclido padre
M odo de decaim iento
Vida media
23SU
a a
4.47 X 109 1.41 x íO 10 1.28 X 109
232T h
40K
(i
(y)
P. extremo estable 206pb 208pb
40Ca
Q
/
(MeV)
(ppm )
51.7 4? 7
4 13 4
1.32
O es la energía total liberada en el decaimiento de un núcleo pa dre hasta llegar al punto final estable y / es la abundancia del isótopo en kilogramos por kilogramo de granito; ppm significa partes por millón, a ) Demuestre que estos materiales producen un calor total de 987 pW por cada kilogramo de granito, b) Su poniendo que hay 2.7 X 1022 kg de granito en una capa esférica de 20 km de ancho alrededor de la Tierra, calcule la potencia que producirá sobre ella. Compare el resultado con la potencia solar total interceptada por la Tierra, 1.7 X 1017 W. 16. Considere la reacción X(a,b,)Y, donde X se halla en reposo den tro del marco de referencia de laboratorio. La energía cinética inicial en este marco es X ¡2b = a ) Demuestre que la velocidad inicial del centro de masa del sis
tema dentro del marco de referencia del laboratorio es
¿Cambia esta cantidad con la reacción? b ) Demuestre que la energía cinética inicial, vista ahora desde un marco de referen cia unido al centro de masa de las dos partículas, está dada por
¿Cambia esta cantidad con la reacción? c) En la reacción 90Zr (d,p)91Zr la energía cinética del deuterón, medida dentro del marco de referencia del laboratorio, es 15.9 MeV. Calcule va (= vd), V y Kcm. Ignore de los pequeños efectos relativistas. 17. En una reacción endotérmica ( Q < 0), las partículas interactuantes a y X han de poseer energía cinética de por lo menos \Q\, me dida dentro del marco de referencia del centro de masa, si queremos que la reacción se inicie. Por medio del resultado del problema 16, demuestre que la energía um bral de la partícula a, medida dentro del marco de referencia del laboratorio, es
= i[0 i| E l + m *. •ÍVe s tm o K ..
mx
¿Es razonable que Késimo deba ser mayor que |0|? 18. El núclido 208Pb es “doblemente mágico”, pues su número de protones Z (= 82) y su número de neutrones N (= 126) repre sentan capas llenas de nucleones. Un protón adicional produci
ría 209Bi, y un neutrón adicional, 209Pb. Debería ser más fácil extraer estos nucleones en las capas llenas de 208Pb que un pro tón o un neutrón, a ) Calcule la energía necesaria para extraer un protón “adicional” de 209Bi y compárela con la energía nece saria para extraer un protón de una capa llena de protones de 208Pb. b ) Calcule la energía que se requiere para eliminar el neu trón “adicional” de 209Pb y compárela con la energía necesaria para extraer un neutrón de una capa llena de neutrones de 208Pb. ¿Concuerdan los resultados con sus expectativas? Utilice los si guientes datos atómicos:
Núclidos 209B i 20Spb 2 0 7 j[ 209pb 207pb
Z 82 + 1 82 82 - 1 82 82
N
126 126 126 126 + 1 126 - 1
M asa atóm ica (u)
208.980383 207.976636 206.977408 208.981075 206.975881
Las masas atómicas del protón y neutrón son, respectivamente, 1.007825 u y 1.008665 u.
¿ P r o b l e m a s pa r a r eso lver
1. Tras una breve irradiación de plata con neutrones, surgen dos ac tividades: 10SAg (tjp = 2.42 min) con una rapidez inicial de decai miento de 3.1 X 103/s y 110Ag {t{/2 = 24.6 s) con una rapidez inicial de decaimiento de 4.1 X 106/s. Haga una diagrama similar al de la figura 50-8 que muestre la rapidez combinada total de
decaimiento de los dos isótopos en función del tiempo de ; = 0 a t = 10 min. En la figura 50-8 se ilustra la obtención de la vida media para decaimientos simples. Si dispone sólo del diagrama de la rapidez del decaimiento total, ¿puede indicar una forma de ana lizarlo a fin de obtener la vida media de ambos isótopos?
ENERGIA PROCEDENTE DEL NÚCLEO
n un siste m a d e p a rtíc u la s in teractu an tes p u e d e e x tra e rse en ergía útil cu a n d o p a s a a un e sta d o d e m en o r e n erg ía (a un e sta d o lig a d o m ás fu ertem en te). En un s is tem a a tó m ic o la en erg ía se ex tra e a tra v é s d e re a c cio n e s qu ím icas, d e la co m b u stió n entre ellas. En un siste m a n u cle a r se extrae d e d iv e rs o s m odos. P o r ejem p lo , la en erg ía lib e ra d a d u ran te el deca im ien to ra d ia c tiv o se ha u tiliza n d o p a r a su m in istra r en ergía e lé c tric a a lo s m a rc a p a so s c a rd ia c o s y a las so n d a s esp a cia les. En e ste c a p ítu lo v a m o s a e stu d ia r los d o s m é to d o s p rin c ip a le s con que se extrae en ergía d e l nú cleo y se uti
fisión nuclear se d iv id e un n ú cleo p e s a d o en d o s fra g m e n to s. En la fusión nuclear se com bin an d o s n ú cleo s lig ero s en otro m á s p e sa d o . L a fig u r a 5 0 -6 indica que ninguno d e los d o s p r o liza en a p lic a c io n e s p rá c tic a s. En la
c e s o s p u e d e c re a r n ú cleo s lig a d o s m á s fu e rte m e n te y que, p o r éso, p u e d e lib e ra r el exceso de la energía n u cle a r d e enlace, su sc e p tib le d e s e r c o n v ertid a en o tra s fo rm a s. L o s re a c to re s que se b asan en la fisió n n u cle a r p r o d u cen una p a r te im p o rta n te d e la en ergía e lé c tric a d e l m undo. L a in v e stig a c ió n y la in gen iería avan zan a g ra n d e s p a s o s p a r a d e sa rr o lla r re a c to res qu e se basen en la fu sió n nuclear.
51=1
EL ÁTOMO Y NÚCLEO
Cuando obtenemos energía del carbón quemándolo en un hor no, estamos manipulando los á to m o s del carbón y oxígeno: reordenamos los e le ctro n es extemos en combinaciones más estables. Cuando obtenemos energía del uranio al consumirlo en un reactor nuclear, estamos manipulando su n ú cleo, reor denando los n u cleon es en combinaciones más estables. La fuerza de Coulomb mantiene los electrones en los áto mos y se requieren unos cuantos electronvolts para extraer uno de los electrones extemos. Por su parte, una intensa fuer za nuclear mantiene los nucleones en el núcleo y se necesitan m illones de electronvolts para extraer uno de ellos. Este factor se refleja también en la capacidad de extraer aproximadamente un millón de veces más energía de un kilogramo de uranio que de un kilogramo de carbón. En ambos casos, la aparición de energía se acompaña de un decremento en la energía de reposo del combustible. La
única diferencia entre consumir uranio y quemar carbón radi ca en que, en el segundo caso, una parte mucho mayor de la energía disponible en reposo (una vez más, en un factor de va rios millones) se convierte en otras formas de energía. Hay que aclarar si lo que interesa es la cantidad de ener gía o la rapidez con que se libera, o sea la p o ten cia . En el ca so del núcleo, ¿el kilogramo de uranio se quemará lentamente en un reactor de potencia o explotará en una bomba? En el caso del átomo, ¿pensamos en explotar un cartucho de dinamita o en ingerir una rosca de jalea? (Por extraño que parezca, se li bera más energía en el segundo caso que en el primero.) En la tabla 51-1 se muestra cuánta energía puede extraer se de 1 lcg de materia manipulada en diversas formas. En vez de registrarla directamente, la medimos indicando cuánto tiem po la energía extraída podría operar una lámpara de 100 W. El renglón 5, que denota la aniquilación mutua de la materia y de la antimateria, es lo último en la extracción de energía de la ma teria. Nada más puede hacerse una vez, consumida toda la
.-¿--5.ILA 5 1 “ 1
Energía obtenida de 1 kg de materia Proceso
Form a de la m ateria
Agua Carbón 235u Gas caliente de deuterio Materia y antimateria
Caída de agua de 50 m Combustión Fisión Fusión Aniquilación
Tiempoa
5s 8h 3 X 104 a 3 X IO4 a 3 X IO7 a
a Estos números muestran cuánto tiempo la energía generada podría mante
ner encendida una lámpara de 100 W.
masa disponible. (Sin embargo, nadie ha inventado todavía un método económico de producir y almacenar 1 kg de anti materia para utilizarlo en la producción de energía.) Recuerde que las comparaciones en la tabla 51-1 se hacen por unidad de masa. Kilogramo por kilogramo obtenemos millo nes de veces más energía del uranio que del carbón o de caídas de agua. En cambio, hay abundante carbón en la corteza terres tre y mucha agua en el Dique Bonneville del Río Columbia.
SI “2 FISIÓN NUCLEAR: EL PROCESO BÁSICO En 1932 el físico inglés James Chadwick descubrió el neu trón. En Roma, unos años más tarde, Enrico Fermi y sus co laboradores observaron que se producían elementos radiactivos nuevos si bombardeaban varios elementos con esos proyecti les. Fermi predijo que el neutrón, por no tener carga, sería un proyectil nuclear de gran utilidad; a diferencia del protón o de la partícula a , no experimenta la fuerza repulsiva de Coulomb cuando se acerca a la superficie del núcleo. Como no existe barrera de Coulomb en su contra, el neutrón más lento puede penetrar en el núcleo más grande y de mayor carga e interactuar con él. Los n eu tro n es térm ico s, que están en equilibrio con la materia a temperatura ambiente, son partículas adecua das y eficaces para bombardear. A 300 K, su energía cinética promedio es K pm =
§ k T = f(8.62 X 1(T 5 eV/K)(300 K) = 0.04 eV.
En 1939 los químicos alemanes Otto Hahn y Fritz Strassmarrn, siguiendo el trabajo iniciado por Fermi y sus colaborado res, bombardearon el uranio con neutrones térmicos. Mediante análisis químicos descubrieron que, tras el bombardeo se obte
man varios elementos radiactivos nuevos, entre ellos uno cuyas propiedades químicas se parecían mucho a las del bario. Luego de varias pruebas se convencieron, finalmente, de que el “nue vo” elemento no lo era en absoluto; en realidad se tra ta b a del bario. ¿Cómo este elemento de masa intermedia (Z = 56) se pro ducía bombardeando uranio (Z = 92) con neutrones? El enigma fue resuelto en unas semanas por los físicos Lise Meitner y su sobrino Otto Frisch. Demostraron que un núcleo de uranio, después de absorber un neutrón, podía divi dirse liberando energía en dos partes más o menos iguales, una de las cuales bien podría ser el bario. A este proceso lo bautizaron con el nombre de fis ió n nuclear. * La fisión de 235U por medio de neutrones térmicos, pro ceso de gran importancia práctica, puede representarse con 233U + n —» X + Y + bn.
(51-1)
Aquí X y Y representan fra g m e n to s de fisión , núcleos de masa intermedia que suelen ser extremadamente radiactivos. El factor b, que tiene un valor promedio de 2.47 en este tipo de procesos de fisión, es el número de neutrones liberados durante ellos. En la figura 51-1 vemos dos trazas dejadas por los fragmen tos de fisión X y Y en un proceso como el representado en la ecuación 51-1. Dos detalles se aprecian de inmediato: 1) no tie nen la misma longitud. Ello se debe a que los fragmentos no poseen la misma masa; cuando el núcleo del uranio se divide, las dos partes tienden a tener masas distintas. En la figura 51-2 se observa la distribución de las masas: hay muchas pro babilidades de que el número de masa de un fragmento sea aproximadamente 95 y el del otro 140. Además, se ve que la probabilidad de una división par es apenas 1 en 104. 2) La se gunda característica sobresaliente de la figura 51-1 es que las dos trazas no están alineadas exactamente. ¿Puede explicarlo? Un núcleo pesado como 235U tiene una razón de neutrones a protones de 1.6 aproximadamente. En promedio, cabe suponer que los fragmentos X y Y tienen más o menos esa misma razón. Una ojeada a la figura 50-4 muestra que, por ejemplo, un núcleo estable con un número de masa 95 tiene unos 40 protones y 55 neutrones, lo cual nos da una razón aproximada de neutrones a protones de 1.4. Si el fragmento A = 95 formado en la fisión tie ne una razón de neutrones a protones de 1 .6, estará lejos de la
* Véase “The Discovery of Fission", de Otto Frisch y John Wheeler, Physics Today, noviembre de 1967, p. 43. Consúltese también Lise M eitner, A Life in Physics, de Ruth Lewin Sime (University of California Press, 1996).
F i g u r a 51 - i . Cuando una partícula con carga eléctrica atraviesa una cámara de niebla, deja un rastro de gotas líquidas. Los dos rastros alineados representan fragmentos de fisión, producidos por un proceso que tiene lugar en una delgada lámina vertical de uranio en el centro de la cámara.
Solución Si sustituimos los fragmentos de fisión en la ecuación 51-2
por sus productos finales estables, vemos que la transformación total es
235U _ U0Ce + 94Zr +
^
El neutrón individual se produce porque el neutrón (iniciador) en el lado izquierdo de la ecuación cancela uno de los dos que se hallaban en el lado derecho. La diferencia de masa Am = m¡ - mf en esta reacción es Am = 235.043923 u - (139.905434 u + 93.906316 u 4- 1.008665 u) = 0.223508 u, y la energía correspondiente es
N úm ero d e m a s a , A
Distribución de masa en los fragmentos de fisión X y Y (Ec. 51-1) provenientes de la fisión de 233U por neutrones térmicos. Nótese que la escala vertical es logarítmica. F ig u r a
S í -2.
línea de núcleos estables. Así se explica por qué los fragmentos de fisión son radiactivos. Generalmente, a través de decaimien tos beta sucesivas (y en ocasiones a través de la emisión de neu trones), intentan liberar el exceso de neutrones y dirigirse a la región de los núcleos estables. Veamos un ejemplo concreto de un proceso de fisión. Cuando 235U captura un neutrón, por un instante crea un nú cleo inestable y muy excitado de 236U capaz de producir fi sión después, acaso en la siguiente forma: 235U + n
236U
140X e
+
94gr
+
2 n .
( 5 1 _2 )
Los fragmentos de la fisión 140Xe y 94Sr decaen hasta que al canzan un producto final estable: l40Xe - ¡ j j » !40Cs 94Sr
140Ba -q jj* 140La 94Y
140Ce (estable)
94Zr (estable)
Los decaimientos son procesos ¡B~, cuya vida media está in dicada en cada etapa. Igual que en todos los decaimientos be ta, los números de masa (140 y 9 4) permanecen inalterados al proseguir las desintegraciones. En la fisión la energía de desintegración O es mucho ma yor que en los procesos químicos. Esto podemos corroborarlo mediante un cálculo aproximado. En la curva de energía de en lace de la figura 50-6 vemos que, en el caso de núclidos pesa dos (A = 240, por ej.), la energía de enlace por nucleón es unos 7.6 MeV. En el intervalo intermedio (A = 120 por ej.) es unos 8.5 MeV. Entonces la diferencia de la energía total en tre un núcleo individual (A = 240) y los dos fragmentos (su puestamente iguales) en que puede dividirse puede ser O
= 2(8.5 MeV) ~
- (7.6 MeV)A = 200 MeV.
En el problema resuelto 51-1 se ofrece un cálculo más riguro so, que coincide muy bien con esta estimación aproximada. P r o b l e m a R e s u e l t o 5 1 - í . Calcule la energía de desintegra ción O en el proceso de fisión de la ecuación 51-2, teniendo en cuen ta el decaimiento de los fragmentos. Las masas que se necesitan son
235U
235.043923 u
i40Ce
139.905434 u
n
1.008665 u
94Zr
93.906316 u.
O = Am c 2 = (0.223508 u)(931.5 MeV/u) = 208.2 MeV,
que concuerda bastante con la estimación aproximada anterior de 200 MeV. Alrededor del 80% de la energía de desintegración se encuen tra en forma de la energía cinética de los dos fragmentos, y el resto corresponde al neutrón y a los productos del decaimiento radiactivo. Si el proceso de fisión tiene lugar en un sólido voluminoso, la ma yor parte de la energía de desintegración se manifestará como un incre mento de la energía interna del sólido, el cual muestra un incremento correspondiente de su temperatura. Alrededor de 5% de la energía se asocia a los neutrones que se emitieron durante el decaimiento beta de los fragmentos primarios de la fisión. Esta energía es extraída del sis tema y no contribuye al aumento de su energía interna.
5 ! r * 3 TEORÍA DE LA FISIÓN NUCLEAR Poco después del descubrimiento de la fisión, Niels Bohr y John Wheeler formularon una teoría, basada en la analogía entre el núcleo y una gota de líquido con carga eléctrica, que explicaba sus características fundamentales. En la figura 51-3 se describe cómo se lleva a cabo el pro ceso de fisión. Cuando un núcleo pesado como 235U absorbe un neutrón lento, según se ve en la figura 51-3«, éste cae en el pozo de potencial asociado a las fuerzas nucleares fuertes que operan en el interior del núcleo. Entonces su energía po tencial se transforma en energía interna de excitación, como se aprecia en la figura 51-3A Según veremos en el problema resuelto 51-2, la energía de excitación resultante de 236U es considerable, unos 6.5 MeV. La figura 51-3c muestra que tarde o temprano el núcleo, el cual se comporta como una gota de líquido con carga eléc trica oscilando energéticamente, formará un “cuello” pequeño y empezará a separarse para formar dos “globos” cargados. Si se dan las condiciones adecuadas, la repulsión electrostática entre ellos los apartará y romperá el cuello. Entonces los dos fragmentos se dividirán, llevando cada uno un poco de la ener gía residual de excitación. Ha ocurrido la fisión. Hasta hora este modelo ofrece una buena descripción cua litativa del proceso de fisión. Sin embargo, queda por compro bar si contesta o no la pregunta: ¿por qué hay algunos núclidos pesados (235U y 239Pu, por ej.) fácilmente fisionables median te neutrones lentos, no así por otros núclidos igualmente pesa dos (238U y 24A m , por ej.)?
Neutrón _ :
\
/ \
Un núcleo de 235U absorbe un neutrón térmico a)
"" ' _ • Forma un núcleo de 236y con exceso de energía y oscila violentamente
Parámetro de distorsión r (ím) Energía potencial en varias etapas del proceso de fisión, que muestra la energía de desintegración O y la altura de la barrera E ,. 51-4.
“ A 2 L A ¿5 1 “2 Núclido blanco
233U 23Su 239Pu 243Am
Ocurre la fisión
e)
“ Los fragmentos se separan; los neutrones "hierven” y se separan f)
5 1 - 3 . Etapas de un proceso de fisión según el modelo de fisión de una gota de líquido.
Bohr y Wheeler lograron contestar esta pregunta. En la figura 51-4 se describe gráficamente la curva de energía po tencial de la fisión que obtuvieron de su modelo. En el eje ho rizontal se indica el p a r á m e tr o d e d isto rsió n r, medida aproximada de la desviación del núcleo oscilante respecto a una forma esférica. La figura 51-3 d indica cómo este paráme tro se define antes que ocurra la fisión. Cuando los fragmen tos están muy separados, el parámetro no es más que la distancia entre sus centros. El intervalo de energía entre los estados inicial y final del núcleo fisionante — es decir, la energía de desintegración O — se muestra en la figura 51-4. La característica principal de la figura es que la curva de la energía potencial pasa por un má ximo con cierto valor de r. Existe una b a rrera de p o te n c ia l de altura E h que debe superarse (o atravesarse) antes que se pro duzca la fisión. Lo anterior nos recuerda el decaimiento alfa
F ig u r a
Las fuerzas de Coulomb lo estiran
d)
c)
b) ?i g u r a
El movimiento puede producir un cuello
jf
_0
(Fig. 50-9), otro proceso inhibido también por una barrera de potencial. Vemos entonces que la fisión tendrá lugar só lo si el neutrón absorbido suministra suficiente energía de excitación E n para superar la barrera o para tener buenas probabilidades de atravesarla. La tabla 51-2 contiene una prueba de fisionabilidad me diante los neutrones térmicos aplicados a cuatro núclidos pe sados, escogidos entre docenas de candidatos que podrían haberse considerado. En cada núclido se dan la altura de la barrera Eb y la energía de excitación Ea. Se calculó E b a par tir de la teoría de Bohr y Wheeler (como en el Prob. res. 51-2); se calculó E n usando a las masas conocidas. Para 235U y 239Pu vemos que E n > E b. Es decir, se predi ce que la fisión mediante la absorción de un neutrón térmico ocurrirá en estos núclidos. Eso se confirma observando en la tabla las grandes secciones transversales medidas (las proba bilidades de reacción) del proceso. En los dos núcleos restantes (23SU y 243Am) tenemos ¿s < E b, de modo que no se dispone de suficiente energía para superar la barrera o atravesarla eficazmente. El núcleo excitado (Fig. 5 1 -3b) prefiere liberarse de su energía de excitación emi tiendo un rayo gamma en vez de dividirse en dos fragmentos grandes. La tabla 51-2 indica, como cabe suponer, que las secciones transversales durante la fisión del neutrón térmico son demasiado pequeñas en estos casos. No obstante, es p o s i b le hacer que se dividan los núclidos, si absorben un neutrón bastante energético (más que térmico). Por ejemplo, en 238U el neutrón absorbido debe tener una energía por lo menos de 1.3 MeV para que el proceso de fisión ocurra con suficiente probabilidad.
Prueba de fisionabilidad de cuatro núclidos Núclido en proceso de fisión
236u 239U 240Pu 244Am
Eb (MeV)
En (M eV)
En ~ Eb (MeV)
Sección transversal de fisió n 0 (b a rn s)
5.2 5.7 4.8 5.8
6.5 4.8 6.4 5.5
+ 1.3 -0 .6 + 1.6 -0 .3
584 5 X 10~6 742 <0.08
a La sección transversal es una medida de la probabilidad de que se realice una reacción nuclear. Se mide en unidades de bams donde 1 bam = 10 28 m‘ .
neutrones representa un efecto de volumen y es proporcional al cu b o de una dimensión típica (volumen = A r r 3 de una es fera). Podemos reducir al mínimo la fracción de neutrones perdida por fugas, haciendo el núcleo del reactor suficiente 235U 235.043923 u; n 1.008665 u; 236U 236.045562 u. mente grande; disminuye así su razón de superficie a volumen (= 3 / r en una esfera). Solución El aumento de la masa del sistema al extraer el neutrón es 2. E l p ro b le m a de en ergía de los neutrones. En la fisión Am = 1.008665 u + 235.043923 u - 236.045562 u se producen neutrones rá p id o s , con una energía cinética apro = 0.007026 u. ximada de 2 MeV, pero se logra con la máxima eficacia me Lo anterior significa que debe consumirse una energía igual a diante neutrones lentos. Puede reducirse la velocidad de los E n = A m r = (0.007026 u)(931.5 MeV/u) = 6.545 MeV neutrones rápidos mezclando el combustible de uranio con una sustancia que tiene dos propiedades: a) hace que los neu Esta definición es la energía de enlace del neutrón en el núcleo de 236U. trones pierdan energía cinética por las colisiones y b) no ab Cuando un núcleo de 235U absorbe un neutrón térmico, 6.545 sorbe demasiados neutrones y, por lo mismo, las extrae de la MeV es la energía de excitación que introduce en el núcleo de 2j6U. cadena de fisión. A esa sustancia se le llama m oderador. En En efecto, este último se forma en un estado excitado 6.545 MeV por Estados Unidos, la mayoría de los reactores de potencia se arriba del estado base. El núcleo excitado puede liberarse de esta moderan con agua, en la cual los núcleos de hidrógeno (pro energía emitiendo rayos gamma (lo cual deja al 236U en su estado ba tones) son el elemento moderador efectivo. se) o por fisión (Ec. 51-1). Y la probabilidad de que ocurra la fisión 3. E l p ro b le m a de la captu ra de neutrones. Los neutrones es una seis veces mayor que la emisión de rayos gamma. pueden ser capturados por los núcleos en formas que no pro ducen fisión. La posibilidad más frecuente es la captura acompañada de la emisión de un rayo gamma. En particular, S 1 “Al REACTORES NUCLEARES: a medida que en el moderador se reduce la velocidad de los neutrones rápidos generados en los procesos de fisión hasta LOS PRINCIPIOS BÁSICOS que alcanzan el equilibrio térmico (0.04 eV), han de pasar por un intervalo de energía (1 — 100 eV) donde son muy suscep La liberación de energía por átomo en los proceso nucleares tibles ;a la captura sin fisión por 238U. individuales, entre ellos la emisión alfa, es aproximadamente Con el fin de minimizar la captu ra p o r reson an cia, nom un millón de veces mayor que en los procesos químicos. Si bre que se le da al fenómeno, no se mezclan íntimamente el queremos utilizar la energía nuclear a gran escala, es preciso combustible de uranio y el moderador (agua, por ejemplo) si hacer que un proceso nuclear desencadene otro hasta que se no que se “amontonan”, permaneciendo en estrecho contacto, difunda en la materia masiva como una llama en un leño ar pero ocupando distintas regiones del volumen del reactor. Se diente. El hecho de que en la fisión se generen más neutrones espera que un neutrón rápido de fisión, producido en una ma que los que se consumen (Ec. 51-1) ofrece esas posibilidades; los sa de uranio (que bien pudiera ser una varilla de combustible), neutrones producidos originan la fisión en los núcleos cerca se encuentre muy probablemente en el moderador al pasar por nos y de ese modo puede propagarse una cadena de fisiones. el “peligroso” intervalo de energía de resonancia. Una vez A este proceso se le conoce como reacción en caden a. Puecie que alcance las energías térmicas, seguramente retomará a ser rápido e incontrolado como en una bomba nuclear o con una masa de combustible y ocasionará el fenómeno de fisión. trolado como en un reactor nuclear. Los diseñadores del reactor deben crear el arreglo geométrico Supóngase que queremos diseñar un reactor nuclear, ba más eficaz de combustible y moderador. sado como la mayoría de los actuales en la fisión de 235U por La figura 51-5 describe el balance de neutrones en un reac neutrones lentos. Su combustible casi siempre se “enriquece” tor de potencia típico que funciona con una salida estacionaria. artificialmente, de modo que 235U representa un bajo porcen Sigamos el comportamiento de una muestra de 1000 neutrones taje de los núcleos de uranio y no el 0.7% que se presenta en térmicos en el núcleo. Generan 1330 neutrones por fisión en el el uranio natural; el 99.3% restante de éste es 23SU, el cual no combustible de 235U y 40 más por fisión rápida en el 238U; es pueden fisionar neutrones térmicos. Aunque en promedio se to nos da un total de 370 neutrones nuevos, todos ellos rápidos. producen 2.47 neutrones en una fisión de 2j5U por cada neu Exactamente el mismo número se pierde en la cadena por fuga trón térmico consumido, plantea serios problemas lograr una desde el núcleo del reactor y por la captura de no fisión, dejan reacción en cadena. A continuación se comentan tres de ellos do 1000 neutrones térmicos que continúan en la cadena. Lo que junto con sus soluciones. se ganó en este ciclo es que los 370 neutrones obtenidos por fi 1. E l p ro b le m a de la fu g a d e neutron es. Cierto porcenta sión depositen cada uno aproximadamente 200 MeV de ener je de neutrones producidos saldrán simplemente del núcleo gía en el núcleo del reactor, calentándolo. del reactor y se perderán para la reacción en cadena. El reac Un importante parámetro del reactor es el f a c to r d e m u l tor no funcionará si muchos lo hacen. El escape constituye un tip lic a c ió n k, razón del número de neutrones presentes al ini efecto de superficie; su magnitud es proporcional al c u a d ra ciarse una generación y del número existente al iniciarse la do de una dimensión común del núcleo del reactor (área su siguiente. Para la situación de la figura 51-5, el factor de muíperficial = 4 tt>-2 de una esfera). En cambio, la producción de
Consideremos un núcleo de 2:,6U en su estado base. ¿Cuánta energía se requiere para extraerle un neu trón, dejando un núcleo de 235U? Las masas atómicas necesarias son P r o b l e m a
R esuelto
51 -2.
Fuga de neutrones térmicos
Capturas térmicas
Capturas por resonancia
Fuga de neutron rápidos
Fisiones rápidas F i g u r a 5 1 - 5 . La generación de 1000 neutrones térmicos pasa por varias etapas en un reactor. En un nivel estacionario de operación, la pérdida de neutrones debido a capturas (en el combustible, en el moderador y en los elementos estructurales) y a fugas en la superficie se equilibra exactamente con la producción de neutrones en los procesos de fisión.
tiplicación es exactamente 1. Con k = 1, se dice que la opera ción del reactor es exactamente crítica, como lo deseamos en la producción estacionaria de potencia. Los reactores se diseñan de modo que sean intrínsecamente s u p é r a m e o s (k > 1); después el factor de multiplicación se ajusta a la operación crítica (Je = 1) introduciendo v a rilla s d e con trol en el núcleo del reactor. Des pués estas varillas, las cuales contienen un material como el
cadmio, que absorbe neutrones fácilmente, pueden retirarse se gún se necesite para compensar la tendencia del reactor a des cender a un nivel subcrítico a medida que los productos de la fisión (absorbedores de neutrones) vayan acumulándose en el núcleo del reactor durante la operación continua. Si se extrae una de las varillas de control, ¿con qué rapi dez aumentará el nivel de potencia del reactor? Este tiem po de re sp u e sta es controlado por la fascinante circunstancia de que una pequeña fracción de los neutrones generados por fisión no se emiten inmediatamente de los fragmentos recién forma dos sino más tarde, al ir decayendo por la emisión beta. Por ejemplo, de los 370 neutrones “nuevos” analizados en la figu ra 51-5, se retrasa a unos 16, pues se emiten de los fragmen tos tras decaimientos beta cuya vida media fluctúa entre 0.2 y 55 s. Estos neutrones son pocos, pero cumplen la función tan útil de aminorar el tiempo de respuesta para igualar el tiempo de las reacciones humanas. La figura 51-6 ofrece el esquema general de una central eléctrica que se basa en un rea cto r d e agua p re su riza d a , tipo de uso frecuente en Estados Unidos. El agua se utiliza como mo derador y como medio para transferir calor. En la e sp ira p rim a ria, el agua a alta temperatura y presión (posiblemente 600 K y 150 atm) circula por el vaso del rector y transfiere calor del nú cleo al generador de vapor; éste suministra vapor de alta presión para activar la turbina que impulsa al generador. Para completar la e sp ira secu n daria, el vapor de baja presión proveniente de la turbina se convierte en agua por condensación y una bomba lo devuelve al generador de vapor. Para damos una idea de la es cala en cuestión, un vaso de un reactor común en una planta eléctrica de 1000 MW puede estar situado a 10 m de altura y pe sar 450 toneladas. El agua fluye por la espira primaria con una velocidad aproximada de 300,000 gal/min.
reactor, y si O ( —200 MeV) es la energía promedio liberada por pro ceso de fisión, en una operación estable 3.4 X 109 I/s
O
(200 MeV/fisión)( 1.6 = 1.06
X
X
KT13J/MeV)
102° fisiones/s.
c) El 23;>U desaparece por fisión a la velocidad calculada en b). Tam bién lo consume la captura de neutrones (sin fisión) con una rapidez aproximada de un cuarto. Entonces la rapidez total de consumo 235U será (1.25)( 1.06 X ICA s *■) o 1.33 X 102®s~h Esto lo reexpresamos como una rapidez de masa en la siguiente forma: dM dt
(1.33 5.19
1020 s-1)
X X
10-5 kg/s
0.235 kg/mol 6.02 X 1023átomos/mol) : 4.5 kg/d.
d ) Con los datos anteriores, es posible calcular que al inicio había
Tiempo (años) F i g u r a 5 1 - 7 . Potencia térmica liberada por desechos radiactivos en una gran planta de energía nuclear que opera durante un año, teniendo en cuenta el tiempo transcurrido desde que se extrajo el combustible. La curva representa el efecto de muchos radionúclidos con varias vidas medias. Nótese que ambas escalas son logarítmicas.
Una característica inevitable del funcionamiento del reactor es la acumulación de desechos radiactivos, entre ellos los productos de fisión y los núclidos pesados “transuránicos” com o el plutonio y el americio. Una medida de su radiactivi dad es la rapidez con que libera energía en forma térmica. En la figura 51-7 se muestra la variación que con el tiempo expe rimenta la potencia térmica generada por los desechos durante un año de operación de una gran planta nuclear ordinaria. N ó tese que ambas escalas son logarítmicas. La actividad total del desecho 10 años después de desprenderse del reactor es aproximadamente 3 X 107 Ci. ' s c b l í g a R e s u e l t o S í - 3 . Un reactor nuclear de agua presurizada alimenta una gran central eléctrica. La potencia térmica del núcleo del reactor es 3400 IvIW y se generan 1100 MW de electrici dad. El combustible son 86,000 kg de uranio en forma de 110 tone ladas de óxido de uranio, distribuidas entre 57,000 varillas. El uranio está enriquecido con 235U al 3.0%. a ) ¿Qué eficiencia tiene la cen tral? b) ¿Con qué rapidez R ocurren los procesos de fisión en el nú cleo del reactor? c ) ¿Con que velocidad desaparece el combustible 235U? d ) ¿Cuánto dura el suministro de combustible a esta velocidad de consumo? e) ¿Con qué rapidez se pierde masa en el núcleo del reactor?
Solución a ) La eficiencia e es la razón entre la salida de potencia (en
forma de energía eléctrica) y la de potencia (en forma de energía tér mica), es decir, salida eléctrica entrada térmica
1100 MW 3400 MW
0.32 o 32%.
En todas las plantas eléctricas, su eficiencia está controlada por la segunda ley de la termodinámica, sin importar si consumen combus tible fósil o nuclear. En esta planta, 3400 MW — 1100 MW, o sea 2300 MW de potencia, deben liberarse como energía térmica al am biente. b) Si P (= 3400 MW) es la potencia térmica del núcleo del
aproximadamente (0.03)(86,000 kg), o sea 2600 kg de 235U. Por tan to, una respuesta simplista pudiera ser 2600 kg 4.5 kg/d
T-
580 d.
En la práctica, las varillas de combustible se sustituyen (a menudo por lotes) antes que se consuma enteramente su contenido de 235U. é) Con base en la relación de Einstein E = Am c2, podemos escribir dM _ dE/dt dt
c~ c2
3.8
X
3.4 X 109 W
(3.00 10~8 kg/s
108 m/s)2 3.3 g/d.
La rapidez con que se pierde la masa es más o menos la de un cen tavo diario. Esta rapidez (reducción de la energía en reposo) es una magnitud muy distinta a la del consumo de combustible (pérdida de 23;,U), calculada en la parte c).
f
UN REACTOR NATURAL
El 2 de diciem bre de 1942, cuando el reactor montado por Enrico Fermi y sus colaboradores entró por primera vez en la fa se crítica, tenían todo el derecho de pensar que habían puesto a funcionar el primer reactor de fisión del planeta. U nos 30 años más tarde se descubrió que se equivocaron si en verdad lo habían creído. Hará unos 2,000 millones de años, en un depósito de ura nio que actualmente se extrae en Gabón (África Occidental), em pezó a funcionar un reactor natural de fisión y estuvo acti vo quizá m iles de años antes de apagarse. La historia de este descubrimiento es tan fascinante co mo una novela de detectives. Más importante aún: ofrece un excelente ejem plo de la índole de los datos científicos nece sarios para corroborar lo que al inicio puede parecer una afir mación poco probable. Es una norma que deben seguir los que intentan reconstruir el pasado. Aquí vamos a concentrar nos en dos puntos exclusivamente.*
* Una explicación más completa se da en “A natural Fission Reactor", de George A. Cowan, Scientific A m erican, julio de 1976, p. 36.
1. ¿ H a b ía su ficien te c o m b u stib le ? El combustible de un reactor de fisión basado en uranio ha de ser el isótopo fácil mente fisionable 235U, que represente apenas 0.72% del uranio natural. Esta razón isotópica se ha medido no sólo en mues tras terrestres, sino también en rocas de la Luna y en meteo ritos, donde siempre se registra el mismo valor. La pista inicial del descubrimiento en Gabón fue que el uranio del de pósito contenía poco 235U, pues algunas muestras tenían una abundancia apenas de 0.44%. La investigación condujo a su poner que el déficit podía explicarse si, en algún momento del pasado, parte del isótopo se consumió por la actividad de un reactor natural. Queda por resolver el serio problema de que, en una abundancia isotópica de sólo 0.72%, el reactor puede montar se (como descubrieron Fermi y su equipo) con muchísima dificultad. Al parecer es poco probable que todo ello haya acaecido de modo natural. Sin embargo, las cosas eran diferentes en el pasado remo to. 235U y 238U son radiactivos, con vidas medias de 0.704 X 109 años y 4.47 X 10 9 años, respectivamente. Por tanto, la vida media de 235U fácilmente fisionable es unas 6.4 veces menor que la de 238U. Como 23;>U se desintegra más rápi damente, en el pasado debe haber existido mayor cantidad de él que de 23SU. De hecho, hace 2000 millones de años la abundancia no era 0.72% como hoy, sino 3.8%. Es decir, más o menos la abundancia a que el uranio natural es enriquecido artificialmente para servir de combustible en los modernos reactores. La existencia de un reactor natural resulta mucho menos inverosímil, dada esta cantidad de combustible fácilmente fisio nable que había en el pasado remoto. Se contaba con suficiente combustible. A propósito, hace 2000 millones de años el or den más alto de formas de vida que habían evolucionado eran las algas azul verdes. 2. ¿ Q u é p r u e b a s h ay ? El mero agotamiento de 235U en un depósito de mineral no es una prueba suficiente en la cual basar la afirmación de que existió una reactor natural de fi sión. Hacen falta datos más convincentes.
Si hubo un reactor, también debió haber productos de la fisión (Fig. 51-2). De los aproximadamente 30 o más elemen tos cuyos isótopos estables se producen en esta forma, algunos han de subsistir todavía. El estudio de sus razones isotópi cas podría aportar las pruebas convincentes que necesitamos. Entre los elementos investigados, el neodimio ofrece una fuerza probatoria extraordinaria. La figura 5 1-8« contiene las abundancias isotópicas de los siete isótopos estables de él, tal como se encuentran normalmente en la naturaleza. En la figu ra 51-8¿> se indican estas abundancias tal como aparecen en los productos estables finales de la fisión de 235U. Las claras diferencias no nos sorprenden, si recordamos su origen total mente distinto. Los isótopos de la figura 51-8« se produjeron durante las explosiones de las supemovas que acontecieron an tes que se formara el sistema solar. Los de la figura 51-8¿ se generaron en un reactor mediante procesos radicalmente dis tintos. Nótese en especial que 142Nc, el isótopo dominante en el elemento natural, no existe en los productos de fisión. He aquí la gran pregunta: ¿qué aspecto ofrecen los isóto pos de neodimimio que se hallan en la veta de uranio en Gabón? Cabe suponer que, si un reactor natural había funcionado allí, podrían haber subsistido los isótopos de a m b a s fuentes (es decir, los isótopos naturales y también los producidos por fi sión). La figura 51-8c ofrece los resultados después de efec tuar en los datos iniciales éstas y otras correcciones. La comparación de las figuras 51-8¿ y 51-8c sugiere, sin duda, que se produjo efectivamente una fisión natural. P r o b l e m a R e s u e l t o S I - 4 . Hoy la razón isotópica entre 235U a 238U en los depósitos naturales de uranio es 0.0072. ¿Cuál fue es ta razón hace 2.0 X 109 años? Las vidas medias de los dos isótopos son 0.704 X 109 años y 4.47 X 109 años, respectivamente.
S olución Consideremos dos muestras que, en el tiempo t, contenían N3(Q) y iVg(0) átomos de 2j5U y 23SU, respectivamente. El número de
los que quedan en el momento actual son N ft) =
A Q 0 ) e - 'V
y
iVg(r)
=
;V8( 0 ) < r A>',
30-
25 i
05
1 5 ■-
10;
142
a)
143
144
145
146
148
Número de masa, A
142
150
b)
143
144
145
146
148
Número de masa, A
142
150
c)
143
144
145
146
148
150
Número de masa, A
i g u r a 31 -s. Distribución del número de masa dedos isótopos de neodimio tal como existen a ) en depósitos naturales terrestres, b) en el combustible consumido de un reactor de potencia y c) en la mina de uranio de Gabón (África Occidental). Nótese que b) y c) son prácticamente idénticos y muy distintos de a).
F
respectivamente, donde A5 y Ag son las constantes correspondientes de desintegración. La división da
M
Ns{t)
=M
Ns(0 )
e^
Expresado en función de la razón isotópica R = N5/N%, la expresión anterior queda así
i?(0) = í?(r)e(A' - A»>'. Las constantes de desintegración se relacionan con las vidas medias mediante la ecuación 50-8, o sea ln 2 0.693 0.984 X ICT9 a" A5 í i/3(233U ) 7.04 X 108 a ñ o s
ln 2 ri/2(23SU)
4.47
0.693 109 años
Km
0.155
X
ICT9 a-
X
La sustitución en la expresión para la razón isotópica nos da R( 0) = R{t)eu >~^' = (O-OC^)^0'984-0155'110"' a")t2'00x i°,a)
= (0.0072)e'-65 = 0.0378 o 3.78%. Comprobamos que hace 2000 millones de años la razón de 235U a 238U en los depósitos de uranio natural era mucho mayor que hoy. Era de 30% cuando se formó la Tierra (hace 4.5 mil millones de años).
FUSION TERMONUCLEAR: EL PROCESO BÁSICO 3
?
ra a manera de blanco y acelerar la otra mediante un ciclotrón o un dispositivo similar. Si queremos generar energía en forma útil mediante un proceso de fusión, la interacción de la materia debe realizarse en forma masiva tal como se da en la combus tión del carbón. El método del ciclotrón no es muy prometedor en este aspecto. La esperanza más prometedora de conseguirse en forma controlada consiste en elevar la temperatura del material para que las partículas tengan suficiente energía y penetren la ba rrera, debido exclusivamente a sus movimientos térmicos. A este proceso se le llama fu sió n termonuclear. Según se señaló en la sección 22-4, la energía cinética promedio K de una partícula en equilibrio y a una tempera tura T está dada por
tì
Al tratar de la curva de la energía de enlace de la figura 50-6, señalamos que la energía puede liberarse si los núcleos lige ros se combinan para formar otros de número de masa un poco mayor, proceso conocido como fu s ió n nuclear. Es un proceso que se ve obstaculizado por la repulsión mutua de Coulomb que tiende a impedir que dos partículas con carga positiva se com binen dentro del campo de acción de sus fuerzas nucleares de atracción y se “fusionen”. Ello nos recuerda la barrera de po tencial que inhibe la fisión nuclear (Fig. 51-4) y también la que inhibe el decaimiento alfa (Fig. 50-9). En el caso del decaimiento alfa, al inicio dos partículas con carga —la partícula a y el núcleo residual— se hallan en el in te rio r de su barrera de potencial mutua. Para que se pro duzca este decaimiento, la partícula alfa debe escapar de la barrera por un proceso de efecto túnel y aparecer en el e x te rior. La situación se invierte en la fusión nuclear: las dos par tículas deben penetrar su barrera mutua desde el e x te rio r para que se produzca la interacción nuclear. La interacción de dos deuterones es muy importante en la fusión. En el problema resuelto 51-5 se ofrece un cálculo aproximado de la barrera de potencial entre ellos, que resulta ser de 200 keV aproximadamente. La barrera correspondiente de los dos núcleos interactuantes 3He (carga = + 2 e ) es 1 MeV más o menos. Desde luego será mayor en partículas con ma yor carga eléctrica. Para conseguir que los núcleos ligeros penetren en su ba rrera mutua de Coulomb, puede emplearse una partícula lige
\k T ,
(51-3)
donde k ( = 8.62 X 10 ~5 eV/K) es la constante de Boltzman. A la temperatura ambiente (T 300 K), K pvo = 0.04 eV, va lor desde luego demasiado pequeño para nuestros fines. Inclusive en el centro del Sol, donde 1.5 X 107 K, la energía térmica media calculada a partir de la ecuación 51-3 ape nas es 1.9 keV. Todavía se antoja irremediablemente pequeña dada la magnitud de la barrera de Coulomb de 200 keV, calcu lada en el problema resuelto 51-5. Sin embargo, sabemos que la fusión termonuclear no sólo ocurre en el interior del Sol, sino que constituye su característica central y dominante. El enigma se resuelve al observar que 1) la energía calcu lada según la ecuación 51-3 es una energía cinética m edia; las partículas con energía mayor que este valor medio son las “co las” dé gran energía de las curvas maxwellianas de distribución de la velocidad (Fig. 22-6). 2) Las alturas de barrera que hemos mencionado representan apenas los p ico s. Puede registrarse el efecto túnel en alto grado con energías muy por debajo de ellos, como vimos en la sección 50-4 al tratar del decaimiento alfa. En la figura 51-9 se resume la situación mediante un ejem plo cuantitativo. La curva marcada n(IQ es una distribución maxwelliana de las energías cinéticas (Sec. 22-5) trazadas en correspondencia con la temperatura del centro del Sol,
F i g u r a S I - 9 . La curva marcada n(IQ indica la distribución de la energía de protones en el núcleo del Sol, que corresponde a la temperatura de 1.5 X 107 K. La línea vertical indica la energía cinética media por partícula a esa temperatura. La curva marcada como p (K ) denota la probabilidad de penetrar la barrera durante las colisiones de protón-protón. Las dos curvas están trazadas a diferentes escalas verticales arbitrarias.
1.5 X 10 7 K. Aunque la misma curva es válida sin importar la partícula en cuestión, nos concentramos en los protones te niendo presente que el hidrógeno representa aproximadamen te 35% de la masa del núcleo central del Sol. Para T = 1.5 X 10 7 K, Ec. 51-3 produce K = 1.9 keV, y este valor se indica con una línea vertical en la figura 51-9. Adviértase que hay muchas partículas cuya energía es mayor que el valor medio anterior. La curva marcada p {K ) en la figura 51-9 es la probabili dad de penetrar la barrera de dos protones que chocan. Por ejemplo, con K = 6 keV tenemos p — 2.4 X 10~5. Es la pro babilidad de que dos protones que chocan, cada uno con K = 6 keV, conseguirán penetrar su barrera mutua de Coulomb y llegar dentro del radio de acción de sus intensas fuerzas nu cleares. Dicho de otra manera, en promedio 1 de cada 42,000 de esos encuentros resultará exitoso. Resulta que la energía más probable de que ocurran los procesos de fusión de protón-protón es la temperatura del centro del Sol es 6 keV. Si la energía es mucho mayor, la ba rrera será penetrada más fácilmente (es decir, p será más gran de), pero habrá muy pocos protones en la “cola” de Maxwell (n es más pequeño). Si la energía es mucho menor, habrá abundantes protones, pero la barrerá será enorme ahora. r o b l e m a R e s u e l t o 5 1 - 5 . El deuterón (2H) tiene una carga + e y su radio mide 2.1 fm. Dos de estas partículas se disparan una contra otra con la misma energía cinética inicial K. ¿Cuál debe ser K si las pone en reposo su repulsión mutua de Coulomb cuando apenas “se tocan”?
P
Solución Como los dos deuterones se encuentran momentáneamen
te en reposo cuando se “tocan”, su energía cinética ha sido transfor mada en energía potencial electrostática asociada a la repulsión de Coulomb entre ellos. Si los tratamos como cargas puntuales separa das por una distancia 2R , tendremos 2K
1 4-7re0
q,q-,
1 e2 47reu 2R
= -------------- = ------------- , r
que nos da
-
g2
1
4i7€0 4 R
-
(9-0 x 109 N -n r/C 2)(1.6 X K r l9C)2 4(2.1 x 10~i5 m)
= 2.7
X
10“ lJ J = 170 keV.
La cantidad anterior ofrece una medida razonable de la altura de la barrera de Coulomb entre dos deuterones.
En esta sección vamos a analizar más a fondo los procesos de la fusión termonuclear que tienen lugar en el Sol y en otras es trellas. En lo profundo del Sol, donde su masa está concentra da y se produce la mayor parte de la energía, la temperatura (del centro) es 1.5 X 10 7 K y la densidad central es del orden
de 1(P kg/m 3, unas 13 veces la densidad del plomo. La tem peratura del centro es tan grande que, a pesar de una elevada presión del centro (2 x 10 11 atm) el Sol permanece gaseoso durante todo el proceso. La actual composición aproximada de su núcleo es 35% de hidrógeno por masa, más o menos 65% de helio y 1% de otros elementos. A estas temperaturas los elementos ligeros quedan esencialmente ionizados por completo, por lo cual te nemos un conjunto de protones, electrones y partículas a en movimiento aleatorio. El Sol irradia a una velocidad de 3.9 X 10 26 W y lo ha venido haciendo desde que nació el sistema solar, o sea hará unos 4.5 X 10 9 años. Desde la década de 1930 se sabe que los procesos de fusión termonuclear en su interior explican su ex traordinaria producción de energía. Sin embargo, antes de proseguir nuestro análisis, vamos a excluir otras dos posibili dades que fueron propuestas en épocas anteriores. Considere mos primero algunas reacciones químicas como la simple combustión. Si el Sol, cuya masa es 2.0 X 10 30 kg, estuviera hecho de carbón y oxígeno en las proporciones adecuadas pa ra quemar, duraría sólo unos 103 años, que naturalmente es muy poco tiempo (Ej. 41). Como veremos luego, el Sol no quema carbón sino hidrógeno y lo hace en un homo nuclear, no en uno atómico ni químico. Una tercera posibilidad es que, al irse enfriando el Sol y al descender la presión, el Sol se encoja bajo la acción de sus propias fuerzas gravitacionales de gran intensidad. Al transfe rir la energía potencial gravitacional a la interna (como lo hacemos al dejar caer una piedra sobre la superficie de la Tie rra), la temperatura del núcleo solar aumentará y, por lo mis mo, proseguirá la radiación. Sin embargo, el cálculo indica que podría irradiar apenas durante unos 10s años, demasiado poco tiempo por un factor de 25 (Prob. 7). La energía solar se genera mediante “combustión” termo nuclear (es decir, por “fusión”) del hidrógeno para formar helio. En la figura 51-10 se muestra el c ic lo ele p ro tó n -p r o tó n en virtud del cual se logra esto. Nótese que las reacciones son una reacción de fusión, pues uno de los productos ( 2H, 3He o 4He) tiene un número mayor de masa que cualquiera de las partícu las de la reacción que lo forman. Es positiva la energía O de ca da reacción que aparece en la figura 51-10. Esto caracteriza la reacción exotérmica, con la liberación neta de energía. El ciclo se inicia con la colisión de dos protones í 1!! + 1H) para formar un deuterón ( 2H), con la creación simultánea de un positrón (e +) y de un neutrino (v). El positrón se encuen tra muy pronto con un electrón Ubre (e~) en el Sol y ambas partículas se aniquilan, apareciendo su energía en reposo co mo dos fotones gamma ( y ). En la figura 51-10 seguimos las consecuencias de dos de estos procesos, indicados en la hilera superior de la figura. Son extremadamente raros. De hecho, se forma un deuterón apenas una vez en unas 1026 colisiones de protón-protón. Es la lentitud del proceso lo que regula la rapidez con que se produce energía e impide que el Sol explote. No obstante esta lentitud, hay tan pocos protones en el inmenso volumen del núcleo solar que el deuterio se produce allí en es ta forma con una rapidez aproximada de ¡ 1012 kg/s!
F i g u r a 5 1 -1 o . Ciclo de protón-protón que explica principalmente la producción de energía en el Sol.
Una vez producido el deuterón, choca pronto (en cues tión de segundos) contra otro protón y crea un núcleo 3He como se aprecia en la segunda hilera de la figura 51-10. Después dos de esos núcleos terminan chocando (en unos 105 años), generando una partícula a ( 4He) y dos protones, según se indica en la tercera hilera de la figura. Ocurren otras variacio nes en el ciclo de protón-protón que incluyen otros elementos ligeros, pero vamos a concentramos en la secuencia principal representada en la figura 51-10. Al adoptar una perspectiva global del ciclo de protónprotón, vemos que constituye una combinación de cuatro pro tones y de dos electrones para formar una partícula a , dos neutrones y seis rayos gamma: 4'H + 2e~ —» 4He + 2v + 67 .
(51-4)
Ahora agreguemos formalmente dos electrones a ambos lados de la ecuación 51-4 y nos da 4 ('H + e~) —> (4He + 2e~) + 2v + 67 .
(5 1 o ;
Las cantidades entre paréntesis representan entonces á to m o s (no meros núcleos) de hidrógeno y helio. Si utilizamos las masas de esos dos elementos, la libera ción de energía en la reacción de la ecuación 51-5 es O = (m , — m f) c 2 =
[4(1.007825 u) 26.7 MeV.
[4/n('H) — m(4H e)]c 2 4.002603 u](931.5 MeV/u)
(Los fotones de rayos gamma carecen de masa y los neutrinos tienen masa cero o insignificantemente pequeña; de ahí que ninguna de las dos partículas entre en el cálculo del valor O en la reacción de fusión.) Este mismo valor se obtiene (como debiera ser) al sumar los valores O en los pasos individuales del ciclo de protón-protón en la figura 51-10. No toda la energía anterior está disponible como energía in terna dentro del Sol. Unos 0.5 MeV se asocian a los dos neutri nos producidos en cada ciclo. Tienen tal fuerza de penetración que prácticamente en todos los casos escapan de él, transportan do energía consigo. La Tierra intercepta algunos, trayéndonos sólo información directa sobre el interior del Sol.
Al sustraer la energía del neutrino quedan 26.2 MeV por ciclo disponibles en el interior del Sol. Como vimos en el pro blema resuelto 51-6, esa energía corresponde a un “calor de combustión” en la combustión nuclear del hidrógeno trans formándose en helio de 6.3 X 10 14 J/kg de hidrógeno consu mido. En comparación, el calor de combustión del carbón es aproximadamente 3.3 X 10 7 J/kg, unas 20 millones de veces me nor; eso refleja más o menos la razón general de las energías en los procesos nucleares y químicos. Cabe preguntarse cuánto tiempo seguirá el Sol brillando con su intensidad actual antes que todo el hidrógeno de su nú cleo se convierta en helio. El proceso lleva realizándose alre dedor de 4.5 X 10 9 años, y los cálculos revelan que hay suficiente hidrógeno disponible para otros 5 X 10 9 años. Transcurrido ese lapso empezarán a ocurrir grandes cambios. El núcleo del Sol, que para entonces constará principalmente de helio, comenzará a colapsarse y a calentarse demasiado mientras la envoltura externa se expandirá mucho, quizá has ta abarcar la órbita terrestre. El Sol se convertirá entonces en lo que los astrónomos llaman g ig a n te rojo. Si la temperatura del núcleo se calienta hasta alcanzar unos 10 8 K, puede producirse energía quemando helio para obtener carbono. El helio no se quema fácilmente y la única reacción posible es 4He + 4He + 4He - * l2C + 7 (O = + 7.3 MeV). Esta colisión entre tres cueipos de tres partículas a debe ocurrir en 1CT16 s, para que la reacción pueda proseguir. Pero si la den sidad y la temperatura del núcleo de helio son lo bastante gran des, se formará carbono ai quemar el helio en esta forma. Al evolucionar una estrella y al calentarse todavía más, se crean otros elementos por reacciones de fusión. No obstante, los elementos más allá de A = 56 no pueden obtenerse median te procesos posteriores de fusión. Los elementos con A = 56 ( 36Fe, 56Co, 56Ni) se hallan cerca del pico de la curva de ener gía de enlace en la figura 50-6; la fusión entre núclidos más allá de este punto requiere consumo de energía y no su pro ducción. En el capítulo 52 veremos cómo se originan los ele mentos durante los procesos de fusión. P r o b l e m a R e s u e l t o 5 1 - 6 . ¿Con qué rapidez se consume hi drógeno en el núcleo del Sol, suponiendo que toda la energía irradia da es generada por el ciclo de protón-protón de la figura 51-10? Solución Hemos visto que 26.2 MeV aparecen como energía inter na del Sol en los cuatro protones consumidos, con una rapidez de 6.6 Mev/protón. Esto podemos expresarlo así
(6.6 MeV/protón)(1.6 X 10~13 J/MeVj 1.67 X 10-27 kg/protón
6.3
X
1014 J/kg,
el resultado nos indica que el Sol emite por irradiación 6.3 X 1014 J por cada kilogramo de protones consumido. La rapidez de consumo de hidrógeno es entonces la potencia de salida (= 3.9 X 10-DW), di vidida entre esta cantidad, es decir, dm _ 3.9 X 1026 W 6.2 X 10" kg/s. dt ~ 6.3 x 10 14 J/kg Para mantener el número en perspectiva, recuerde que la masa del Sol es 2.0 X 103° kg-
S 1 “8 FUSIÓN TERMONUCLEAR. CONTROLADA Las reacciones termonucleares se han venido produciendo en el universo desde su creación durante el supuesto “Big Bang” cósmico de hace unos 15,000 millones de años. Sin embargo, en la Tierra empezaron a realizarse apenas en octubre de 1952, cuando se hizo explotar la primera bomba de fusión (o de hidrógeno). Las altas temperaturas necesarias para iniciar la reacción termonuclear en este caso se obtuvieron mediante una bomba de fisión usada como disparador. Resulta mucho más difícil obtener una fuente controlable y sostenida de potencia termonuclear, esto es, un reactor de fusión. Pese a ello, se procura conseguirla porque para mu chos es la fuente más poderosa de potencia, por lo menos res pecto a la generación de electricidad. La interacción de protón-protón presentada gráficamente en la figura 51-10 no es idónea para emplearse en un reactor terrestre de fusión, porque el proceso descrito en la primera hilera es desesperadamente lento. De hecho, la probabilidad de reacción es tan pequeña que es imposible medirle en el labo ratorio. La reacción se produce en condiciones que predomi nan en el interior de las estrellas, debido exclusivamente al enorme número de protones disponibles en los núcleos de es trellas de gran densidad. Las reacciones más atractivas para usarlas en la Tierra pa recen ser la de deuterón-deuterón (d-d) y deuterón-tritón (d-t): (O
d-d: d-t:
2H + 2H
3H + 'H
2H + 3H —*■4He + n
— + 3.27 MeV), (51-6)
(O = + 4.03 MeV), (51-7) (O =
+ 17.59 MeV). (51-8)
Aquí tritó n indica 3H, el núcleo de hidrógeno con A = 3. Nó tese que las reacciones anteriores son efectivamente de fusión y tienen un valor positivo O. El deuterio, cuya abundancia isotópica en el hidrógeno normal es 0.015% , está disponible en cantidades ilimitadas como un componente del agua de mar. El tritio ( 3H atómico) es radiactivo y generalmente se en cuentra en el hidrógeno natural. El funcionamiento exitoso de un reactor termonuclear exige tres condiciones básicas. 1. U n a a lta d e n s id a d d e n p a r tíc u la s . El número de par tículas interactuantes (deuterones, por ejemplo) por unidad de volumen debe ser lo bastante grande para garantizar una rapi dez bastante alta de colisión deuterón-deuterón. Con las altas temperaturas que se requieren, el gas deuterio se ionizará por completo convirtiéndose en p la s m a neutro compuesto de deu terones y electrones. 2. U n a a lt a te m p e ra tu ra T d e l p la s m a . El plasma debe estar caliente. De lo contrario los deuterones que chocan no tendrán suficiente fuerza para penetrar en la barrera mutua de Coulomb que tiende a mantenerlos separados. En la investi gación de la fusión, a menudo las temperaturas se registran
dando el valor correspondiente de kT (no f kT ). En el labora torio se ha conseguido una temperatura del”plasma de 43 keV, correspondiente a 5.0 X 10 8 K. Es mucho más alta que la temperatura del centro del sol (1.3 keV o 1.5 X 10 7 K). 3. Un la rg o tie m p o d e c o n fin a m ie n to r. Un problema consiste en contener el plasma caliente suficiente tiempo pa ra garantizar que su densidad y su temperatura se mantengan a un nivel alto. Evidentemente ningún contenedor sólido pue de soportar las altas temperaturas en cuestión, de modo que es preciso emplear técnicas especiales que describiremos más adelante. Con una de ellas se han conseguido tiempos de con finamientos mayores que 1 s. En el funcionamiento eficaz de un reactor termonuclear, puede demostrar que n, T y t deben ser lo bastante grandes para que > 50 X 10 20 keV -s/m3, (51-9) estado al que se le conoce también como c r ite rio d e L aw son. Esta ecuación nos indica que, con una temperatura suficiente mente elevada del plasma, puede optarse entre confinar' muchas partículas durante un tiempo relativamente corto o confinar menos partículas por un tiempo más largo. Se han empleado dos métodos para cumplir con el criterio de Lawson y controlar así la fusión. En el co n fin a m ie n to m ag né tic o se usan campos magnéticos para aislar el plasma al mis mo tiempo que se aumenta su temperatura. Por el contrario, en el c o n fin a m ie n to in e rc ia l, se comprime y se calienta una canti dad pequeña de combustible con tanta rapidez que ocurre la fu sión antes que el combustible se expanda y se enfríe. Ambos métodos se explican en las dos secciones siguientes. n rT
Confinam iento
m a g n é tic o
El plasma está constituido por partículas cargadas y, por eso, su movimiento puede controlarse mediante campos magnéticos. Por ejemplo, las partículas cargadas se mueven en espiral en dirección de un campo magnético uniforme. Si se modifica convenientemente la fuerza del campo, es posible diseñar un "espejo magnético” (Fig. 32-14) contra el cual se reflejan las partículas. Otro diseño aplica la geometría toroidal, donde las partículas se desplazan en espiral alrededor del eje de un toroide dentro de una cámara al vacío en forma de rosca. Al tipo de reactor de fusión basado en este principio, inventado en Rusia, se le llama to k am a k , acrónimo ruso que significa “cámara magnética toroidal”. Se han construido y probado máquinas grandes de este tipo. En un tokamak el campo magnético consta de dos com ponentes, como se ilustra gráficamente en la figura 51-11. El campo to r o id a l B ( es el que suele asociarse a un devanado to roidal de alambres; en la figura 51-11 se muestra una peque ña sección de una bobina extema que contribuye al campo toroidal. El campo disminuye al aumentar' el radio; de ahí la necesidad de agregar un segundo campo para confinar las par tículas. Este componente p o lo id a l £>p se agrega al toroidal para darle al campo total una estructura helicoidal, según se apre cia en la figura 51-11. El campo poloidal se origina en una co miente i' en el plasma, la cual se induce mediante un conjunto
Cámara vacío
I
1022
Ignición— J. i
■
Equilibrio
IO2»
© «3
Líneas de campo
>o 10is
F i g u r a 5 1 - i i . Cámara toroidal que constituye la base del tokamak. Obsérvese el plasma, el campo magnético helicoidal 1 que lo confina y la corriente inducida i' que lo calienta.
© €>
-
E-
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1016 í>
de devanados que no aparecen en la figura. Otro efecto de esta corriente consiste en calentar el plasma. Par alcanzar su tem peratura deseada se requieren otros medios más de calenta miento; por ejemplo, disparar haces neutros de partículas hacia el interior del plasma. En la figura 51-12 se muestra la cámara toroidal al vacío del Tokamak Fusión Test Reactor en el Princeton Plasma Physics Laboratory. El radio interior de la cámara mide unos 2 m y el radio principal del toroide, 2.5 m. Esta instalación operó hasta 1998 ; en ella se desarrollaron y probaron muchos de los conceptos necesarios para construir un reactor funcio nal de fusión. Podía producir 10 MW de potencia de fusión durante 1 segundo aproximadamente. Una instalación experi mental más amplia, denominada International Thermonuclear Experimental Reactor (ITER) se prepara actualmente en un e sfu e rz o con ju n to de la Unión Europea, Japón y Rusia. Pla neada para empezar a funcionar en el año 2008, su operación inicial se diseña para que genere 500 MW de potencia de fu sión durante varios minutos. Se pretende incrementar n, r y T al diseñar dispositivos de confinamiento magnético como el tokamak. Con valores suficientemente altos de estos parámetros, se cumple el crite rio de Lawson y las reacciones de fusión en el plasma crearán bastante energía para igualar la que debe suministrarse para calentar el plasma. Esta condición recibe el nombre de “equi-
1014 © í 1960
1970
1980
1990
Tiempo F i g u r a 5 1 - 1 3 . Método con que se logran el equilibrio y la ignición en los reactores de fusión controlada, descritos como un diagrama de n rT en función del tiempo.
librio”. Con valores todavía más elevados de esos parameños, el dispositivo alcanzará la “ignición”, estado en que se produci rán reacciones de fusión autosustentables. En la figura 51-13 se observa que se ha avanzado constantemente hacia la con secución de tales nietas. Ya estamos a punto de lograr el esta do de equilibrio, pero todavía quedan formidables problemas de ingeniería p o r resolver y pasarán décadas antes de que se produzca energía eléctrica por medio de la fusión. P r o s l e m a R e s u e l t o 5 1 - 7 . El Tokamak Fusión Test Reactor en Princeton logró un tiempo de confinamiento de 400 ms. a) Si la temperatura del plasma, medida como kT en unidades de energía, es 20 keV, ¿qué densidad deben tener las partículas del plasma para que se cumpla el criterio de ignición de Lawson? b) ¿Cómo se relaciona este número con la densidad de partículas de los átomos ele un gas ideal en condiciones estándar? (c) En esas mismas condiciones de densidad y de temperatura, ¿qué tiempo de confinamiento se requie re para alcanzar el estado de equilibrio?
Solución a) Al aplicar el criterio de Lawson (Ec. 51-9), debemos
obtener 50
X
102° keV ■s/m3 tT
.. Y
50 (400
X X
IO20 keV ■s/m3 10~3 s)(20 keV)
6.3 X 102° m"
b) La densidad numérica de los átomos de un gas ideal en condicio nes normales está dada por n = NÁ/V m, donde AT es la constante
de Avogadro, y Vm (= 2.24 X 10~“2 m3/mol) el volumen molar de un sas ideal en dichas condiciones, lo cual nos da
Al
F zgl-r a 5 : - 1 3 . Trabajadores en el interior de la cámara toroidal del Tokamak Fusión Test Reactor en Princeton University.
6.02 X 1023 moU1 2.24 X 10"~2 m3/mol
2.7 X 1023 nnf
La densidad de partículas del plasma que calculamos en la parte a) es menor que la de un gas ideal en un factor de 4 X 10” aproxima damente.
c) En la figura 51-13 se indica que para alcanzar el equilibrio hay que tener n r T = 1 X 1021 keV • s/m 3, o sea alrededor de F del cri terio de Lawson de ignición. Así pues, con la misma densidad y tem peratura que en la parte a ) tendremos y del tiempo de confinamiento, o sea unos 80 ms.
l^ i S ¡
Confinamiento inercia! El confinam iento inercial es un segundo método que permite ais lar el plasma para que se produzca la fusión termonuclear. Aten diendo al criterio de Lawson (Ec. 51-9), consiste en trabajar con densidades n de partículas extremadamente elevadas durante tiempos muy breves de confinamiento r. Los tiempos se dispo nen para que sean tan cortos que el proceso de fusión concluya antes que las partículas del plasma tengan tiempo para dejar las posiciones que ocupan al comenzar la fusión. Las partículas que interactúan se ven confinadas por su propia inercia. La fu sió n láser, que se basa en el principio del confina miento inercial, se investiga en los laboratorios de todo el mundo. Por ejemplo, en el Lawrence Livermore National Laboratory el proyecto de fusión láser NOVA (Fig. 51-14) consiste en lo si guiente: unos perdigones de alimentación de deuterio-tritio, más pequeñas que un grano de arena (Fig. 51-15), deben ser eliminados por 10 pulsos láser sincronizados y de alta potencia, dispuestos simétricamente alrededor del perdigón. Los pulsos se diseñan para proporcionar un total aproximado de 35 kJ de energía a cada perdigón en menos de un nanosegundo. Eso equivale a una potencia suministrada de 4 X 1 0 ° W durante el pulso, es decir, unas 100 veces la capacidad total instalada de generación de energía eléctrica del mundo. La energía del pulso láser sirve para calentar el perdigón, ionizándolo hasta convertirlo en plasma y —se espera— ele vando su temperatura a alrededor de 10 8 K. Conforme las capas superficiales del perdigón van evaporándose a estas altas tem peraturas térmicas, la fuerza de reacción de las partículas que es capan comprime el núcleo del perdigón, aumentando su densidad en un factor quizá de 103. Si ocurren todas estas cosas, las condiciones serán propicias para que tenga lugar la fusión
p í g u r a 5 1 - 1 4 . Cámara blanco de la instalación N O V A para fusión por confinamiento inercial en el Lawrence Livermore National Laboratory. La foto muestra algunos de los 10 tubos de haces láser.
F i g u r a S I - 1 5 . Las esferas delgadas, que aparecen en una moneda de 10 centavos, son perdigones de combustible de deuterio -tritio para utilizarse en los experimentos de confinamiento inercial.
termonuclear en el núcleo muy comprimido del plasma, siendo la reacción de fusión la reacción d-t de la ecuación 51-8. En un reactor termonuclear de fusión láser en funciona miento, se visualiza que los perdigones de alimentación ex plotarán como bombas de hidrógeno en miniatura con una velocidad probable de 10-100 por segundo. Las partículas ener géticas que emergen de la reacción de fusión (4He y n) podrían quedar absorbidas en una “manta” formada por una corriente de litio fundido en movimiento que la calentaría. Después la ener gía interna sería extraída de la comente en otro sitio y serviría para generar vapor, tal como sucede en un reactor de fisión o en una central eléctrica de combustible fósil. El litio sería una op ción adecuada como medio de transferir calor, porque con mu chas probabilidades el neutrón energético suministraría su energía a la “manta” mediante la reacción 6Li + n - * 4He + 3H. Sería fácil poner las dos partículas cargadas en reposo en li tio. El tritio generado en la reacción puede extraerse para uti lizarlo como combustible en el reactor. En el Livermore Laboratory se está construyendo una nueva instalación experimental de fusión por confinamiento inercial. La instalación National Ignition Facility, que se pla nea terminar en el año 2002, centrará 192 haces láser en un blanco de deuterio-tritio, suministrando una energía de 1.8 MJ. A semejanza del confinamiento magnético, la fusión me diante el confinamiento se sigue investigando exhaustiva mente y se han logrado grandes avances.
Supóngase que un perdigón de combustible en un dispositivo de fusión láser se compone de una mezcla líquida de deuterio-tritio; ésta contiene igual cantidad de áto mos de ambos. La densidad d (= 200 kg/m 3) del perdigón crece en un factor de 103 por la acción de los pulsos láser, a ) ¿Cuántas par tículas por unidad de volumen (deuterones o tritones) contiene el perdigón en el estado comprimido? b) En la temperatura del plasma correspondiente a kT = 50 keV, ¿cuánto tiempo hay que mantener esta densidad de partícula para cumplir con el criterio de Lawson? P roblema
R esuelto
5 1 -S .
Al combinar las ecuaciones anteriores y al resolver para n se obtiene 2d'N A
Má + Mt = (2)(103 X 200 kg/m3)(6.02
2.0 = 4.8 b)
d
n
= lCPd = « d— + mt — ,
donde n es el número de partículas por unidad de volumen (deutero nes o tritones) en el perdigón comprimido, md es la masa de un átomo de deuterio y m l es la masa de un átomo de tritio. Estas masas atómi cas se relacionan con la constante de Avogadro NA y con las masas molares correspondientes (Md y M t) por medio de m d = M d/NA y m, = M JN A.
_
P C IÓ N
50 7
n
X
KT3 kg/mol + 3.0
X X
10a m o r 1) KT3 kg/mol
1031 m~3.
Conforme al criterio de Lawson (Ec. 51-9), tenemos
Solución a ) En el caso de la densidad d' del perdigón comprimido
podemos escribir
X
“
X
l02OkeV-s/m~3 nT
50 X 1020 keV-s/m-3 ------------(4.8 x 10J| m~J)(50keV)
= 2
X
10
s.
El perdigón debe permanecer comprimido al menos ese tiempo para que ocurra la operación de equilibrio. Una comparación con el problema resuelto 51-7 indica que, a diferencia de la operación tokamak, la fusión láser trata de producir se en el ámbito de densidades muy altas de partícula y, por lo mis mo, con tiempos extremadamente breves de confinamiento.
MÚLTIPLE
s i - i El átomo y el núcleo s u - 2 F isió n n u c le a r: el p ro c e so b ásico 1. Considere la reacción de fisión 2j5U + n —►" X + lj4Te + xn. a ) ¿Qué elemento químico representa X? A) Sr B) Zr C) Nb D) No se cuenta con suficiente información para contestar la pregunta. b ) ¿Qué valor tiene x? A) 1 B)2 C) 2.47 D) 3 2. ¿Por qué los fragmentos de fisión suelen ser radiactivos? A) Provienen originalmente de 233U radiactivo. B) Tienen gran exceso de neutrones. C) Poseen gran energía de enlace por nucleón. D) Se mueven a gran velocidad. 3. En un proceso de fisión de un átomo de uranio en reposo se pro ducen fragmentos de números de masa Aj y A,. Una buena es timación de la razón de las energías cinéticas I í j K , es A) A2/Aj. B) ( A j A {) 2. C) A ,/A 2. ' D) (Aj/A,)2.
5 1 - 3 Teoría de la fisión nuclear 5 1 - 4 Reactores nucleares: los principios básicos 4. En un reactor nuclear la función del moderador consiste en A) absorber neutrones. B) evitar que el reactor alcance el nivel crítico. C) reducir la velocidad de los neutrones. D) absorber calor del núcleo.
5 1 - 3 Un reactor natural 5 1 - 6 Fusión termonuclear: el proceso básico 5. Los protones con velocidad extremadamente alta no son impor tantes en la fusión termonuclar porque
A) les es más difícil penetrar la barrera de Coulomb, c B) se mueven demasiado rápido como para chocar con otro protón. C) se registra un incremento relativista en su caiga eléctrica. D) hay relativamente muy pocos de ellos.
3 1 -7 Fusión term onuclear en las estrellas 6. En promedio el universo se compone aproximadamente de 25% de helio y 75% de hidrógeno. El núcleo de Sol está consumido más o menos por 65% de helio. Este exceso de helio A) se necesita en las reacciones de fusión que producen la energía solar. B) es sólo una fluctuación aleatoria de su concentración en el universo. C) es un producto de ¡as reacciones defusión en el Sol. D) es un catalizador que mejora la producción de energía por la fusión.
51 -8 Fusión term onuclear controlada 7. ¿Cuál es el principal problema relacionado con el proceso de fu sión como fuente de energía eléctrica? A) La escasez de combustible B) La barrera de Coulomb C) La radiactividad de los productos D ) El peligro de una explosión 8. El carbono y oxígeno también son elementos abundantes y ba ratos. ¿Por qué no se intenta utilizarlos en vez del hidrógeno co mo combustible de un reactor de fusión? A) La energía obtenida por nucleón es mucho menor. B) La barrera de Coulomb es mucho más alta. C) Debido a (A) y a (B). D ) Ni por (A) ni por (B).
9. En comparación con las reacciones d-d, se libera mucha energía en la reacción d-t porque A) el tritio (3H) es radiactivo y, por tanto, acumula más energía.
B) el producto de la reacción 4He está muy ligado. C) participan más nucleones en la reacción d-t. D) la barrera de Coulomb es menos alta.
REGUNTAS 1. Es mucho más difícil extraer un nucleón de un núcleo que un electrón de un átomo. ¿Por qué intentarlo entonces? 2. Tras examinar la tabla 51-1, ¿puede decir que una fuente de energía, o de potencia, es mejor que otra? De no ser sí, ¿qué otras consideraciones intervienen? 3. ¿A cuál de los procesos de la tabla 51-1 se aplica la relación E = Am c2l 4. De las trazas de los dos fragmentos de fisión que aparecen en la figura 51-1, ¿cuál tiene el a ) momento, b) energía cinética, c) velocidad o d ) masa más grandes? 5. En la ecuación generalizada de la fisión de 235U por neutrones térmicos, 235U + n —1► X + Y + bn, ¿espera que la O de la reac ción dependa de la identidad de A y de F? 6. ¿Es la curva del fragmento de fisión en la figura 51-2 necesaria mente simétrica alrededor de su mínimo central? Explique su res puesta. 7. En los decaimientos de cadena de los fragmentos de fisión primaña (Ec. 51-21), ¿por qué no ocurren decamientos /3+? 8. La vid a m ed ia de 2’3U es 7.0 X 10s años. E xplique la afirma ción de que hoy no existiría la bomba atómica si su duración fuera menor en un factor de 10 aproximadamente. 9. 23SU no es fisionable por medio de neutrones térmicos. ¿Qué energía mínima cree que necesitaría para provocar la fisión en este núclido? 10. La vida media para el decaimiento de 235U por la emisión alfa es 7 X 10s años; sería 3 X 1017 años por una fisión espontánea que actuara sola. Ambos son procesos del efecto túnel, como se indica en las figuras 50-9 y 51-4. ¿A qué se debe esta enorme diferencia en la probabilidad del efecto túnel? 11. Compare la fisión con el decaimiento beta en todas las formas que pueda. ¿Cómo puede un neutrón térmico generar millones de electrovolts de energía de excitación a un núcleo que lo ab sorba, según se muestra en la figura 51-3«? El neutrón carece esencialmente de energía. 12. En la figura 50-6, la curva de energía de enlace nos indica que un núcleo mayor que A == 56 puede liberar energía en un proce so de fisión. Pero sólo los núclidos muy voluminosos parecen hacerlo. ¿Por qué el plomo — por ejemplo— no puede liberar energía mediante ese proceso? 13. Con el bombardeo de núclidos pesados en el laboratorio, es po sible preparar otros núclidos pesados que decaen, por lo menos en parte, a través d&fisión espontánea. Dicho de otra manera, después de cierta vida media se dividen espontáneamente en dos grandes fragmentos. ¿Puede explicarlo basándose en la teorías de Bohr y de Wheeler? 14. Los neutrones lentos producen más eficazmente la fisión que los rápidos. ¿Puede hacerlo plausible? (Sugerencia: considere có mo las longitudes de onda de de Broglie de un neutrón podría relacionarse con la sección transversal de captura en 235U.)
15. Compare un reactor nuclear con la lumbre de carbón. ¿En qué sentido la reacción en cadena ocurre en ambos? ¿Cuál es el me canismo liberador de energía? 16. No todos los neutrones producidos en un reactor están destina dos a iniciar un proceso de fisión. ¿Qué sucede con los que no lo están? 17. Explique lo que significa decir que en un núcleo de reactor la fuga de neutrones es un efecto de superficie y su producción es un efecto de volumen. 18. Explique el propósito del moderador en un reactor nuclear. ¿Es posible diseñar un reactor que no lo necesite? Y de ser así, men cione algunas ventajas y desventajas del reactor. 19. Describa cómo operar las varillas de control de un reactor nu clear a ) durante el arranque; b) para reducir el nivel de poten cial; c) a largo plazo a medida que va consumiéndose el combustible. 20. Un reactor funciona a toda potencia con su factor de multiplica ción k ajustado a la unidad. ¿Qué valor habrá de tener k si lo ajustamos para que opere establemente a media potencial? 21. La separación de los dos isótopos 23SU y 235U del uranio natu ral requiere un método físico, como la difusión, y no un método químico. Explique por qué. 22. Un trozo de 235U (o 239Pu) puro explotará espontáneamente si supera cierto “tamaño crítico”. Un trozo más pequeño no lo ha rá. Explique por qué. 23. ¿Qué puede decirse sobre el valor del factor de multiplicación k en una bomba atómica (de fisión)? 24. Se piensa que el núcleo de la Tierra se compone principalmen te de hierro porque, cuando se formó, algunos elementos pesa dos como él se hundieron en el centro de ella y algunos más ligeros como el silicio flotaron hacia arriba para formar la su perficie terrestre. Sin embargo, el hierro dista mucho de ser el elemento más pesado. ¿Por qué el núcleo de la Tierra no está he cho de uranio? 25. Con la información proporcionada en el texto, reúna y anote las alturas aproximadas de la barrera de Coulomb en a ) el decai miento alfa de 238U, b ) en la fisión de 235U por neutrones térmi cos y c) en la colisión frontal de dos deuterones. 26. Se supone que la energía solar se genera a través de reacciones nuclearse como el ciclo de protón-protón. ¿Qué formas alternas de producirla se propusieron en el pasado y por qué se rechaza ron? 27. Los elementos con un número de masa = 56 se crean por fusión termonuclear en el núcleo de las estrellas. ¿Por qué los elemen tos más pesados no se crean también mediante este proceso? 28. ¿Cree que la reacción por fusión termonuclear controlada por las dos curvas de la figura 51-9 necesariamente alcanza su efi cacia máxima en la energía en que se cruzan? Explique su con testación.
29. En la figura 51-9 ¿le sorprende que, a juzgar por las áreas bajo la curva marcada n(K ), el número de partículas con K > K sea menor que el número con K < Kpm, donde Kpco es la ener gía térmica promedio? 30. Los núclidos de uranio que existen hoy en la Tierra se acumularon y se dispersaron por el espacio cuando explotaron las estrellas, en los llamados eventos de supemova. Las explosiones, que tuvie ron lugar antes que se formara el sistema solar, representan el colapso de las estrellas bajo su propia gravedad. ¿Puede enton ces decirse que la energía procedente de la fisión estuvo una vez almacenada en el campo gravitacional? ¿Tiene entonces la fi sión en este sentido limitado algo en común con la energía pro veniente de las fuentes hidroeléctricas? 31. ¿Por qué tardan tanto en difundirse a la superficie los fotones de los rayos gamma (¡~ 106 años!) generados durante las reaccio nes nucleares del núcleo central del Sol? ¿Qué clases de interac-
32.
33.
34.
35. 36.
ciones tienen con los protones, con las partículas a y con los electrones que constituyen el núcleo? Se cree que la materia primordial del universo fue principal mente el hidrógeno. ¿De dónde proviene el silicio de la Tierra? ¿Y todo el oro? ¿Cumple las condiciones en el núcleo del Sol el criterio de Lawson para que se produzca a una reacción sostenida de fusión nu clear? Explique su respuesta. Para lograr la ignición en un tokamak, ¿por qué se necesita una elevada temperatura del plasma? ¿Una gran densidad de sus partículas? ¿Y un largo tiempo de confinamiento? ¿Qué generará más productos radiactivos de desecho, un reac- ' tor de fisión o uno de fusión? ¿Se cumple el criterio de Lawson en los tokamaks y en los dis positivos de fusión láser?
i^_JERCICIOS_ s i -1 El átomo y el núcleo 5 1 -2 Fisión nuclear: el proceso básico 1. Quiere usted producir 1.0 GJ de energía. Calcule y compare a ) la cantidad de carbón necesaria si se obtiene la energía quemándo lo y b) el uranio natural requerido para obtenerla por fisión en un reactor. Suponga que la combustión de 1.0 kg de carbón libera 2.9 X 107 J; la fisión de 1.0 kg de uranio en un reactor libera 8.2 X 1013 J. 2. En Estados Unidos, el carbón contiene normalmente unas 3 partes por millón (3 ppm) de uranio y torio fisionable. Calcule y compare a ) la energía obtenida al quemar 100 kg de carbón y b) la que podría obtenerse con la fisión de las impurezas fisionables que quedan en sus cenizas. Suponga que la combustión de 1 kg de carbón produce 2.9 X 107 J; la fisión de 1 kg de uranio o torio en un reactor genera 8.2 X 1013 J. 3. a ) ¿Cuántos átomos están contenidos en 1.00 kg de 235U puro? b) ¿Cuánta energía en joules se produce en la fisión completa de 1.00 kg de 235U? Suponga que O = 200 MeV. c) ¿Durante cuán tos años esta energía encenderá una lámpara de 100 W? 4. ¿Con qué rapidez deben los núcleos de 235U experimental- fisión por neutrones para generar 2.00 W? Suponga que O = 200 MeV. 5. Verifique que, como se indica en la tabla 51-1, la fisión de 1 kg de 235U podría mantener encendida una lámpara de 100 W du rante 3 X 104 años. 6. Las propiedades de fisión del isótopo de plutonio 239Pu se pare cen mucho a las de 235U. La energía promedio liberada por fisión es 180 MeV. ¿Cuánta se produce en joules si todos los átomos de 1.00 kg de 239Pu experimentan fisión? 7. De modo muy esporádico un núcleo de 233U, luego de absorber un neutrón, se divide en tres fragmentos. Si dos de ellos se iden tifican con medios químicos como isótopos del cromio y de ga lio y si no hay neutrones rápidos mezclados, ¿cuál es por lo menos una posibilidad de identificarlos? Consulte un diagrama o tabla nuclídica. 8. Demuestre que, en el problema resuelto 51-1, no es necesario tener en cuenta explícitamente las masas de los electrones emi tidos durante el decaimiento beta de los fragmentos de fisión primaria.
9. 235U decae por la emisión alfa con una vida media de 7.04 X 108 años. También lo hace (rara vez) por fisión espontánea; si no ocu rre el decaimiento alfa, su vida media a causa sólo de este proce so será 3.50 X 1017 años, a ) ¿Con qué rapidez se realiza la fisión espontánea de 1.00 g de 233U? b) ¿Cuántos procesos de decai miento alfa se producen en cada evento de fisión espontánea?
s i -s Teoría de la fisión nuclear 10. Llene la siguiente tabla, que se refiere a la reacción de fisión ge neralizada 235u
-f n — X + Y + bn.
X
Y
1391
—
— l4lCs
i00Zr 92Rb
b~
2 2 -
Calcule la energía de desintegración O en la fisión espontánea de 52Cr en dos fragmentos iguales. Las masas que se requieren son 52Cr, 51.94012 u y 26Mg, 25.982593 u. Explique su resultado. 12. Calcule la energía de desintegración O en la fisión de 9SMo en dos partes iguales. Las masas que se necesitan son 98Mo, 97.905408 u y 49Sc, 48.950024 u . Si O resulta ser positiva, ex plique por qué este proceso no se efectúa de modo espontáneo. 13. Calcule la energía liberada en la reacción de fisión
11.
233U + n — 141Cs + 92Rb + 3n. Las masas atómicas requeridas son 235U 141Cs
235.043923 u 140.920044 u
92Rb 91.919726 u n 1.008665 u.
14. El 23SNp tiene una energía de barrera para la fisión de 4.2 MeV. Para extraer un neutrón en este núclido hay que consumir una energía de 5.0 MeV. ¿Puede lograrse la fisión de 23'Np por me dio de neutrones térmicos? 15. Considere la fisión de 238U por neutrones rápidos. En un proce so de fisión no se emiten neutrones y los productos finales esta bles, tras el decaimiento beta de los fragmentos primarios del
proceso, fueron 140Ce y "Ru. a ) ¿Cuántos procesos de decaimien to beta hubo en las dos cadenas de decaimiento beta tomadas en conjunto? b) Calcule O. Las masas atómicas relevantes son
3Su
238.050783 u 1.008665 u
140Ce "Ru
139.905434 u 98.905939 u.
16. En una fisión de 235U por neutrones lentos, no se emiten electro nes y uno de los fragmentos primarios de la fisión es SjGe. á ) ¿Cuál es el otro fragmento? b) ¿Cómo la energía de desintegración O = 170 MeV se divide entre los dos? c ) Calcule la rapidez inicial de cada uno de estos fragmentos. 51 -4
11
¡lili:'
Reactores nucleares: los principios básicos
17. Muchos temen que al ayudar a otras naciones a desarrollar la tecnología del reactor de potencia nuclear, aumentarán las pro babilidades de una guerra nuclear, porque los reactores pueden usarse no sólo para producir energía, sino — como un producto secundario mediante la captura de neutrones con 2jSU, para ob tener 239Pu, que es un “combustible” de las bombas nucleares (reactores reproductores). ¿Con qué serie simple de reacciones en que interviene la captura de neutrones y el decaimiento beta se obtendrá este isótopo de plutonio? 18. Un reactor de fisión de 190 MW consume la mitad de su com bustible en 3 años. ¿Cuánto 235U contenía al inicio? Suponga que toda la energía generada proviene de la fisión de 235U y que este núclido se consume sólo en el proceso de fisión. Consulte el problema resuelto 51-3. 19. Repita el ejercicio 18 teniendo en cuenta la captura de neutro nes sin fisión por 2j;>U. Vea el ejercicio 51-3. 20 . 90Sr {i]P = 29 años) es uno de los numerosos productos de fi sión que p o r m edios q u ím ico s p u ed en extraerse del com bustible
consumido de un reactor de potencia nuclear. Se produce en los grandes reactores con velocidad aproximada de 18 kg/año. Por su radiactividad genera energía térmica a una velocidad de 2.3 W /g. a ) Calcule la energía efectiva de desintegración Opro que acompaña al decaimiento de un núcleo de 90Sr. (Qpr0 incluye las contribuciones procedentes del decaimiento de los productos afi nes de 90Sr en su cadena de decaimientos pero no los proceden tes de los neutrinos, que escapan totalmente de la muestra.) b) Se quiere construir una fuente de energía (eléctrica) que ge nere 150 W para usarla en operar equipo electrónico, una bali za acústica subacuática. Si la fuente se basa en la energía térmica generada por 90Sr y si la eficiencia del proceso de con versión termoeléctrico es de 5.0%, ¿cuánto 90Sr se necesita? La masa atómica de 90Sr es 89.9 u. 21. En un reactor el tiempo de generación de neutrones ta^n es el tiempo promedio entre una fisión y las causadas por los" neutro nes que se emiten durante el proceso. Suponga que la salida de potencia del reactor en el tiempo r = 0 es PQ. Demuestre que la salida en t más tarde es P (t ) en que P (t) = P 0 k'"-,
donde k es el factor de multiplicación. Nótese que k = 1 con una salida de potencia constante. El tiempo de generación de neutrones (Ej. 21) de un reactor de potencia es 1.3 ms. Produce energía con una rapidez de 1200 MW. Para realizar ciertas revisiones de mantenimiento, hay que reducir temporalmente el nivel de potencia a 350 MW. Se quiere que la transición alcance ese nivel en 2.6 s. ¿En qué valor (cons tante) deberá ponerse el factor de multiplicación para que logre la transición en el tiempo deseado?
23. El tiempo de generación de neutrones foen (Ej. 21) en un reactor es de 1.0 ms. Si éste opera en un nivel He potencia de 500 MW, ¿aproximadamente cuántos neutrones libres (que después cau sarán una fisión) hay en el reactor en un momento cualquiera? 24. Un reactor opera a 400 MW con un tiempo de generación de neutrones de 30 ms. Si su potencia crece durante 5.0 min en un factor de multiplicación de 1.0003, calcule la salida de potencia al cabo de 5.0 min. Consulte el ejercicio 21. 25. La energía térmica producida cuando las radiaciones proceden tes de radionúclidos se absorben en la materia puede servir de base a una pequeña fuente de potencia para utilizarla en satéli tes, en estaciones meteorológica remotas, etc. Los radionúclidos se construyen en abundancia en los reactores de energía nuclear y pueden separarse del combustible consumido por medios quí micos. Un radionúclido idóneo es 238Pu ( t in = 87.7 años), que es un emisor alfa con O = 5.59 MeV. ¿Con qué rapidez se ge nera energía térmica en 1.00 kg de este material? 26. Un método posible de descubrir la presencia de armas nuclea res encubiertas consiste en detectar los neutrones emitidos en la fisión espontánea de 240Pu en la ojiva. En un intento, un detec tor de neutrones de 2.5 m2 de superficie, transportado en un he licóptero, midió un flujo de neutrones de 4.0 s ' 1 a 35 m de distancia de una ojiva de misil. Calcule la masa de 240Pu en la ojiva. La mitad de la fisión espontánea en 240Pu es 1.34 X 10u años y en promedio se emiten 2.5 neutrones en cada fisión.
5 1 - s Un reactor natural 27. ¿En qué época habría sido el uranio natural un combustible práctico de reactor, con una razón de 235pj/238u ¿g 3 00%? Consulte el problema resuelto 51-4. 28. Se calcula que el reactor natural de fisión descrito en la sección 51-5 ha generado 15 gigawatt-años de energía en toda su vida. a ) Si duró 200,000 años, ¿en que nivel promedio de potencia operó? b) ¿Cuánto 235U consumió durante ella? 29. Se descubrió que algunas muestras de uranio tomadas de un reactor natural descrito en la sección 51-5, estaban un poco en riquecidas con 235U en vez de agotadas. Explique esto en fun ción de la absorción de neutrones por el isótopo abundante 238U y el subsecuente decaimiento beta y alfa de sus productos.
5 1 - s Fusión term onuclear: el proceso básico 30. ¿Durante cuánto tiempo podría la fusión de 1.00 kg de deuterio mediante la reacción 2H + 2H
( Q = + 3.27 MeV)
3He
mantener encendida una lámpara de 100 W? La masa atómica del deuterio es 2.014 u. 31. Calcule la altura de la barrera de Coulomb en la colisión de dos protones frontales. El radio efectivo de un protón es de 0.80 fm. Consulte el ejemplo resuelto 51-5. 32. La ecuación de la curva n{K) en la figura 51-9 es 2/V
n{K) = —
f r r
K 1/2
— —
e -Kt*r
(k T f 2
donde N es la densidad total de las partículas. En el centro del Sol la temperatura es 1.5 X 107 K y la energía media de los protones K es 1.9 keV. Determine la razón entre la densidad de los protones a 5.0 keV y la densidad con la energía media de ellos. 33. Se han propuesto otros métodos además de calentar el material para superar la barrera de Coulomb en la fusión. Por ejemplo,
podría estudiarse la conveniencia de emplear aceleradores de partículas. Si quisiéramos utilizar dos de ellos para acelerar di rectamente dos haces de deuterones entre sí y lograr una coli sión frontal, a ) ¿qué voltaje requeriría cada uno para superar la barrera de Coulomb? b) ¿Sería difícil alcanzarlo? c) ¿Por qué supone que este método no se aplica en el momento actual?
5 1 - 7 Fusión term onuclear en las estrellas 34. Vimos que O es 26.7 MeV en el ciclo global de protón-protón. ¿Cómo puede relacionar este número con los valores O para las tres reacciones que lo constituyen, tal como se indica en la figu ra 51-10? 35. Demuestre que la energía liberada cuando tres partículas alfa se fusionan para formar 12C es 7.27 MeV. La masa atómica de 4He es 4.002603 u y de 12C es 12.000000 u. 36. En el núcleo central del Sol la densidad es 1.5 X 105 kg/m 3, y la composición es esencialmente 35% de hidrógeno por masa y 65% de helio, a ) ¿Qué densidad hay de protones en el núcleo del Sol? b ) ¿Cuál es la razón entre esto y la densidad de las par tículas en un gas ideal en condiciones estándar de temperatura y presión? 37. Calcule y compare en MeV la energía liberada por a ) la fusión de 1.0 kg de hidrógeno en lo profundo del Sol y b) la fisión de 1.0 kg de 235U en un reactor de fisión. 38. El Sol tiene una masa de 2.0 X 1030 kg e irradia energía con una rapidez de 3.9 X 1026 W. a ) ¿Con que rapidez disminuye la ma sa? tí) ¿Qué fracción de su masa original ha perdido en esa forma desde que empezó a quemar hidrógeno, hará unos 4.5 X 109 años? 39. Supongamos que el núcleo del Sol tiene un octavo de su masa y queestá comprimido dentro de una esfera cuyo radio es un cuarto del radio solar. Supongamos asimismo que la composi ción del núcleo es 35% hidrógeno por masa y que prácticamen te toda la energía solar se genera allí. Si el Sol sigue quemando hidrógeno con la rapidez calculada en el problema resuelto 51-6, ¿cuánto tiempo pasará antes que se consuma todo el hidrógeno? La masa solar es 2.0 X 103° kg. 40. Verifique los valores O registrados en las reacciones de la figu ra 51-10. Las masas atómicas que se necesitan son
La masa de la estrella es 4.6 X 1032 kg y genera energía con una rapidez de 5.3 X 10J° W. ¿Cuánto tardará en convertirse todo el helio en carbono?
5 1 - 3 Fusión term onuclear controlada 43. Verifique los valores O señalados en las ecuaciones 51-6, 51-7 y 51-8. Las masas que se necesitan son 'H
1.007825 u
3He 3.016029 u
2H
2.014102 u
4He 4.002603 u
3H
3.016049 u
n 1.008665 u.
44. El agua ordinaria tiene aproximadamente 0.015% por masa de “agua pesada”, donde el deuterio, 2H reemplaza uno de los dos hidrógenos. ¿Cuánta potencia promedio de fusión podría obte nerse si durante 1 día “quemáramos” todo el 2H en 1 litro de agua mediante la reacción 2H + 2H —» 3He + n (O = 3.27 MeV)? 45. En la reacción de fusión deuterón-tritón de ia ecuación 51-8, ¿cómo comparten la energía de reacción O la partícula a y el neutrón (es decir, calcule las energías cinéticas Ka y ifn)? Des precie las energías cinéticas relativamente pequeñas de las dos partículas que se combinan. 46. En la figura 51-16 se muestra una representación idealizada de la bomba de hidrógeno. El combustible de fusión es deutérido de litio (LiD). Un “disparador” de bomba atómica (fisión) pro duce la temperatura elevada, la densidad de partículas y los neu trones para provocar la fusión. Las reacciones de fusión son 6Li + n - » 3H + 4He
y;”
2H + 3H
4He + n
= X159 Meyy
es decir, el tritio QH) producido en la primera reacción fusionán dose con el deuterio (D) en el combustible (Ec. 51-8). Calcule Q en la primera reacción para obtener la masa LiD que se necesita y así producir una fusión de 1 megatón de TNT ( = 2.6 X 102S MeV). Las masas atómicas que se requieren son
'H
1.007825 u
3He 3.016029 u
6Li
6.015122 u
4He 4.002603 u
2H
2 .0 1 4 1 0 2 u
4He 4 .0 0 2 6 0 3 u
3H
3.016049 u
n 1.008665 u.
e-
0.0005486 u.
(.Sugerencia: distinga rigurosamente entre masa atómica y nu clear, teniendo en cuenta los positrones.) 41. El carbón se quema de acuerdo con C - t O , - * C 02. El calor de combustión es 3.3 X 107 J/kg del carbono atómico consumido, a ) Exprese esto en función de la energía por átomo de carbono, b ) Exprese esto en función de la energía por kilogra mo de los reactivos iniciales: carbono y oxígeno, c) Suponga que la masa del Sol (= 2.0 X 1030 kg) estuviera constituida por carbono y oxígeno en proporciones combustibles y que conti nuara irradiando energía con la rapidez actual de 3.9 X 1026 W. ¿Cuánto tiempo duraría? 42. Luego de convertir todo su hidrógeno en helio, una estrella pre senta una composición de 100% de ese elemento. Ahora empie za a convertir todo el helio en carbono a través del proceso triple alfa “’He + "‘He + ’He ■—> 13C + y
( Q = /.2 / MeV).
47. Suponga que una temperatura de plasma de 1.3 X 108 K se al canza en un dispositivo de fusión láser, a ) ¿Cuál es la velocidad más probable de un deuterón a esta temperatura? tí) ¿Qué distan cia recorre ese deuterón en el tiempo de confinamiento calculado en el problema resuelto 51-8?
ROBLEM AS Suponga que, según la ecuación 51-2, inmediatamente después de la fisión de 2j6U apenas se toca la superficie con los núcleos resultantes 140Xe y 94Sr. a ) Suponiendo que los núcleos sean es féricos, calcule la energía potencial de Coulomb (en MeV) de repulsión entre los dos fragmentos. (Sugerencia: con la Ec. 50-1 calcule los radios de ellos.) b) Compare esta energía con la que se libera en un proceso ordinario de fisión. ¿En qué forma apa recerá finalmente en el laboratorio? Un núcleo 236U experimenta fisión y se divide en dos fragmen tos de masa intermedia, 140Xe y 96Sr. a ) ¿En qué porcentaje cambia el área superficial del núcleo de 236U durante el proce so? b) ¿En qué porcentaje cambia su volumen? c) ¿En qué por centaje cambia su energía potencial electrostática? La energía potencial de una esfera con carga uniforme de radio r y de car ga O está dada por u -M
-S L
5 V 4 TT€0r ,
En una bomba atómica se libera energía por la fisión incontro lada de plutonio 239Pu (o 235U). La magnitud de la energía se es pecifica atendiendo a la masa de TNT que se requiere para producir la misma liberación (“clasificación” de la bomba). Un megatón (10 6 tons) de TNT produce 2.6 X 102S MeV de ener gía. a ) Calcule en toneladas de TNT la clasificación de una bomba atómica que contiene 95 kg de 239Pu, 2.5 de los cuales experimentan fisión. En el plutonio la O promedio es 180 MeV. tí) ¿Por qué los restantes 92.5 kg de 239Pu se requieren si no se produce la fisión? a ) Un neutrón con una energía cinética inicial K realiza una co lisión elástica frontal con un átomo en reposo de masa m. De muestre que su pérdida fraccional de energía está dada por AK
4 m„m
K
{m + mn) 2
donde m es la masa del neutrón, b ) Determine AK /K si el áto mo en reposo es hidrógeno, deuterio, carbono o plomo, c) Si k = 1.00 MeV al inicio, ¿cuántas colisiones se tardaría en redu cir la energía del neutrón a los valores térmicos (0.025 eV) en caso de que el material sea deuterio, un moderador de uso co mún? {Nota: en los moderadores actuales la mayor parte de las colisiones no son frontales.) Calcule la altura de la barrera de Coulomb en dos núcleos 7Li disparados entre sí con la misma energía cinética inicial K. Con sulte el problema resuelto 51-5. (Sugerencia: utilice la ecuación 50-1 para calcular los radios de los núcleos.) En algunas estrellas el ciclo de carbono es más probable que el de protón-protón sea más eficaz para generar energía. Este ciclo es
12C + >H l3N -
+ %
Q, = 1.95 MeV,
l3C + e~ + v,
0 2 = 1.19 MeV,
y.
0 3 = 7.55 MeV,
l4N + 'H ■ l50 + y.
0 4 = 7.30 MeV,
I3C
+
'H
I5 Q
isN + 'h
'
,4N +
isN + e + + v,
Q¡ = 1.73 MeV,
-i- 4He,
0 6 = 4.97 MeV.
a ) Demuestre que los efectos globales de este ciclo de reaccio nes equivalen exactamente al de protón-protón de la figura 5110. b ) Verifique que ambos ciclos poseen la misma O conforme a lo esperado. 7. La energía potencial gravitacional de un objeto esférico unifor me de masa M y de radio R es U = - 3CM V5R,
donde G es la constante gravitacional. a ) Demuestre la compatibi lidad de esta expresión con la del problema 4 en el capítulo 50. b) Utilice esta expresión para determinar la energía máxima que podría liberar un objeto esférico, inicialmente de radio infinito, al encogerse hasta alcanzar el tamaño actual del Sol. c) Suponga que durante este encogimiento, el Sol irradia energía a la velocidad ac tual y calcule la edad del Sol basándose en la hipótesis de que el Sol obtiene su energía de la contracción gravitacional. 8. a ) Calcule la velocidad con que el Sol genera neutrinos. Supon ga que la energía se produce enteramente durante el ciclo pro tón-protón. b ) ¿Con qué velocidad los neutrinos solares chocan contra la Tierra? 9. Suponga que tuviéramos una cantidad N de deuterones (2H núcleos), a ) ¿Cuál de los siguientes procedimientos con que se fusionan estos núcleos libera más energía y cuánta más? (A) N /2 reacciones de fusión del tipo 2H + 2H - + 3H + 1H, o (B) N /3 reacciones del tipo 2H + 3H —* 4He + n, empleando N /3 nú cleos de 3H que se obtienen primero en N /3 reacciones de tipo A. b) Indique los núcleos del producto final que se obtienen con los dos procedimientos y la cantidad de cada uno. 10. El radio no comprimido del perdigón de combustible del proble ma resuelto 51-8 es 20 ,um. Suponga que el perdigón comprimido “se quema” con una eficiencia de 10%. Es decir, apenas 10% de los deuterones y 10% de los tritones participan en la reacción de fusión de la ecuación 51-8. a ) ¿Cuánta energía se libera en cada microexplosión de un perdigón? tí) ¿A cuánta TNT equivale cada perdigón? El calor de combustión de TNT es 4.6 MJ/kg. c) Si se construye un reactor de fusión basando en 100 microexplosiones por segundo, ¿qué potencia se generará? (Nótese que una parte de esta potencia debe servir para operar los láseres.)
FÍSICA DE PARTÍCULAS Y COSMOLOGÍA
a f í s i c a d e p a r tíc u la s se o c u p a d e lo m uy p e q u e ñ o . F o rm u la p re g u n ta s referen tes a la e stru c tu ra d e la m a te ria en su n iv el m á s elem en ta l o fu n dam en tal. A p a r tir de lo s d e se ch o s d e c o lisio n e s de m ucha en ergía, lo s f ís ic o s han lo g ra d o c re a r una en orm e v a rie d a d d e p a r tíc u las, e stu d ia r su s p ro p ie d a d e s , c la s ific a rla s en g ru p o s y d e se n tra ñ a r a s í su estru ctu ra interna. L a c o sm o lo g ía se ocu pa de lo m uy g ra n d e: el origen y la e vo lu c ió n d e l u n iverso. A l e stu d ia r la ra d ia ció n que n os lleg a d e l un i v e r so es p o s ib le e x tr a e r c o n c lu sio n e s d e cóm o se f o r m ó y d e c u á l s e rá su fu tu ro. Q u izá so rp re n d a e l h ech o de que h a ya m o s a g ru p a d o e so s d o s tem a s en un ca p ítu lo . En r e a lid a d están estrech am en te co n ecta d o s: lo que los f ís ic o s descu bren so b re la s p ro p ie d a d e s d e la s p a r tíc u la s e le m e n ta le s nos revela la estru ctu ra d e l u n iverso j u s to d e sp u é s de su n acim ien to, y las c o n c lu sio n e s d e lo s c o sm ó lo g o s fija n el lím ite a la d iv e rs id a d de p a rtíc u la s que p u e d e n e x is tir y a su s in teraccion es.
U INTERACCIONES DE LAS PARTÍCULAS Existen miles de compuestos químicos con diverso grado de complejidad. Sería imposible entender esa enorme cantidad de sistemas si no fuera por la simplicidad básica de las 116 unidades fundamentales (elementos) de que constan y del nú mero relativamente pequeño de tipos de enlaces a través de los que interactúan. Si queremos entender la química, no es necesario estudiar las propiedades de tantos compuestos, sino tan sólo las de unos 100 elementos, junto con unos pocos ti pos fundamentales de enlaces entre ellos. En realidad la tarea es más simple todavía. Los 116 ele mentos conocidos hasta hoy pueden clasificarse en grupos de propiedades semejantes: gases inertes, halógenos, metales al calinos, metales de transición, tierras raras, etc. Si conocemos las propiedades de un miembro de un grupo, será posible in ferir las propiedades del resto de ese grupo. El mundo subatómico puede conocerse en una forma pa recida. Sabemos que los 116 tipos de átomos no son unidades fundamentales, sino que a su vez se componen de tres partícu las distintas: protones, neutrones y electrones. Cuando pro
fundizamos en su análisis, haciendo chocar las partículas a al ta energía y examinando el resultado de las colisiones (Fig. 52-1), descubrimos lo que a primera vista parece una gran complejidad similar a la de la química: se producen cientos de partículas diferentes. Pero cuando nos fijamos bien, nos da mos cuenta de que es posible clasificarlas en unos cuantos grupos cuyos miembros presentan propiedades afines. A la postre esa clasificación nos ofrece pistas sobre la subestructura que una vez más se basa en un reducido número de partículas verdaderamente fundamentales y de posibles interacciones entre ellas.
Las fuerzas conocidas del universo pueden agruparse en cua tro grandes tipos. Por orden de intensidad creciente son la gravitacional, la fuerza débil, la electromagnética y la fuerza fuerte. Las cuatro desempeñan funciones importantes no sólo en las interacciones entre partículas, sino también en su decai miento y conversión en otras. 1. F u e rza g ra v ita c io n a l. Sobra decir que la gravedad tie ne extremada importancia en la vida diaria, pero carece abso
F i g u r a 5 2 - 1 . a) Sistema detector CDF en Fermilab. Las colisiones entre protones y antiprotones tienen lugar en su interior y producen multitud de partículas que el detector registra y sigue, b) Un ejemplo de las trayectorias de las partículas que salen de la región de las colisiones, tal como las reconstruye el detector. Las trayectorias curvas se deben a la presencia de un campo magnético, el cual permite determinar el momento de las partículas. Si desea más información visite http://www-cdf.fnal.gov.
; lutamente de ella en la escala de las interacciones fundamen tales entre partículas en el ámbito subatómico. Una cifra nos dará una idea más clara: la fuerza gravitacional entre dos pro tones cuyas superficies apenas se toquen es aproximadamen te 10_3S de la fuerte fuerza existente entre ellos. La principal diferencia entre la fuerza de gravedad fuerte y el resto de las fuerzas radica en que, en la escala práctica, la gravedad es acumulativa y de alcance infinito. Por ejemplo, el peso del lector es el efecto acumulativo de la fuerza gravitacional ejer cida por cada átomo de la Tierra, sobre todos los átomos de su cuerpo. 2. F u erza d éb il. Causa el decaimiento nuclear beta (Sec. 50-5) y otros procesos similares de decaimiento que afectan a las partículas fundamentales. No interviene de manera im portante en el enlace de los núcleos. La fuerza débil que exis te entre dos protones vecinos representa un 10~7 de la que hay entre ellos; su alcance no llega a 1 fm. En otras palabras, con separaciones mayores que esa cantidad, la fuerza débil entre partículas resulta insignificante. Con todo, ayuda a co nocer el comportamiento de las partículas fundamentales, y sin ella no podríamos entender la evolución del universo. 3. F u erza e le ctro m a g n étic a . El electromagnetismo es im portante en la estructura y en las interacciones de las partículas fundamentales. Por ejemplo, algunas interactúan o se desinte gran principalmente a través de este mecanismo. Las fuerzas electromagnéticas tienen alcance infinito, pero el blindaje ge
neralmente atenúa su efecto en los objetos ordinarios. Las propiedades de átomos y moléculas depende de ellas y, en úl timo término, muchas fuerzas macroscópicas comunes (fric ción, resistencia al aire, arrastre y tensión) se deben a ella. La fuerza electromagnética entre protones vecinos es unas 10~2 menor que la fuerza fuerte, pero dentro del núcleo puede ope rar de modo acumulativo porque no hay blindaje. De ahí que pueda competir con la fuerza fuerte para determinar la estabi lidad y la estructura de los núcleos. 4. F u e rza fu e rte . Esta fuerza, causante del enlace de los núcleos, es la que predomina en las reacciones y decaimiento de las partículas fundamentales. Pero, como veremos luego, algunas partículas (entre ellas los electrones) no la experi mentan en absoluto. Tiene un alcance relativamente corto, del orden de 1 fm. Su intensidad relativa determina la escala de tiempo en la que opera. Si acercamos lo bastante dos partículas para que actúen algunas de estas fuerzas, la fuerza débil tardará más tiempo en provocar un decaimiento o reacciones que la fuer za fuerte. Como veremos más adelante, la vida media de un proceso de decaimiento suele ser una señal del tipo de inter acción causante del proceso: las fuerzas fuertes se hallan en el extremo más corto de la escala de tiempo (a menudo apenas de 10 ” 23 s). En la tabla 52-1 se resumen las cuatro fuerzas y algunas de sus propiedades. El tiempo normal de cada una ofrece una serie típica de intervalos temporales observados en
Tipo
Intervalo
Intensidad relativa
Tiempo norm al
ftn
1
1CT23 s
CO
IO“2
IO“ 14 - 1CT20 s
Fuerte Electromagnética
in
\
i
10-38
0
CO
1(T7
1
1 fm
O
Gravitacional
«
co
Débil
Años
sistemas sobre los que opera cada una. Por lo general, ésta re- ¡ presenta la típica vida media de una partícula que decae por ' esa fuerza.
Unificación de las fuerzas Uno de los hitos en los avances de la historia de la física es la teoría del electromagnetismo formulada en el siglo xix. Ésta se basó en la teoría de Maxwell y en los experimentos de Faraday y de Oersted según los cuales los efectos mag- , néticos podían producir campos y efectos eléctricos capaces de crear campos magnéticos. La electricidad y el magnetis mo, ciencias hasta entonces separadas, quedaron vinculadas bajo la designación común de electromagnetismo. Más tar de se demostró que esta combinación constituye parte esen cial de la teoría especial de la relatividad, según la cual los campos eléctricos y magnéticos pueden transformarse entre sí, debido enteramente al movimiento relativo del observa dor. En el siglo XX se intentó profundizar este vínculo para in cluir otras fuerzas. Primero se demostró que el electromag netismo y la fuerza débil pueden interpretarse como dos aspectos de una misma fuerza denominada e le ctro d é b il. Am bas fuerzas se comportan de manera similar, si estudiamos las interacciones de las partículas que transportan una energía su ficientemente alta. Conviene considerarlas independientes en muchos de los efectos que vamos a explicar, como lo hicimos con las fuerzas eléctricas y magnéticas al tratar los fenómenos electromagnéticos. La teoría de la fuerza electrodébil, que en 1967 fue propuesta independientemente por Stephen Weinberg y Abdus Salama (quienes, junto con Sheldon Glashow, otro creador de la teoría, recibieron el Premio Nobel de Física en 1979), establece lo siguiente: del mismo modo que el fo tón es portador de la fuerza electromagnética, debe haber par tículas pesadas que lleven la fuerza débil estas partículas nuevas y, en una escala de energía de 100 GeV (unas 100 ve ces la energía en reposo del protón), deberían comportarse de modo similar a un protón de mucha energía. En 1983 un equipo de investigación en el Centro Europeo de Física Nuclear, en cabezado por Cario Rubba y usando los métodos experimen tales ideados por Simón van der Meer, descubrió esas partículas, conocidas ahora como W +, W~ y Z°; por este des cubrimiento Rubbia y van der Meer obtuvieron el Premio No bel de Física en 1984. Se consiguió así la evidencia para unificar las interacciones electromagnéticas y débiles en la in teracción electrodébil.
F i g u r a 5 2 - 2 . El detector Super-Kamiokande, situado en Japón. Contiene 32,000 toneladas de agua. El decaimiento de los protones en la molécula de agua produce destellos de luz, que se visualizan mediante 11,200 tubos fotomultiplicadores que pueden verse recubriendo los muros de la cámara. A la derecha los investigadores emplean una balsa para darles mantenimiento. El detector sirve además para observar los neutrinos emitidos por el Sol. Visite http:/www-sk.icrr.u-tokyo.ac.jp.
Después se intentó combinar las fuerzas fuertes y electrodébiles en un nivel más alto de unificación. Las teorías con que se hace se llaman teorías unificadas grandes; en el mo mento actual se han formulado muchas pero ninguna es hasta ahora la correcta. La energía de estas fuerzas es inmensa, qui zá 10 13 GeV (1 0 11 veces la energía del acelerador de partícu las más grande que se haya construido o proyectado). Por eso no es posible efectuar experimentos para probar directamente este tipo de teorías. En consecuencia, hay que basarse en energías obtenibles, en que ios efectos son demasiado peque ños. Según una predicción de las teorías, el protón no debería ser una partícula estable pero decaer en una escala temporal mayor que 10-’ 1 años. (Compare esta cifra con la edad del uni verso, unos 10 !0 años.) Se ha investigado el decaimiento de los protones buscando una señal de luz característica de su decaimiento en un gran volumen de agua (Fig. 52-2). Hasta ahora en los experimentos no se ha observado el decaimiento de los protones, pero se ha impuesto un límite inferior de 103j años a la vida media del decaimiento. Los resultados anterio res excluyen algunas de las grandes teorías unificadas y si guen efectuando experimentos para verificarlas. El paso final de la unificación ha de incluir en el esque ma la gravedad para crear una teo ría de todo. Como todavía no se cuenta con una teoría cuántica de la gravedad, resulta difícil prever la forma que estas teorías adoptarán, pero pese a ello plantean un desafío al razonamiento teórico.
P r o b l e m a R e s u e l t o 5 2 - 1 . Supóngase que la vida media de los protones fuera 1031 años, tal como lo prevén algunas de las gran des teorías unificadas, a ) ¿Cuánto hay que observar en promedio un litro de agua antes que veamos decaer uno de sus protones? b ) ¿Qué volumen de agua se requerirá para que alcance una rapidez de decai miento de un protón por día? Solución a ) Un litro de agua (aproximadamente 1000 g) contiene varias moléculas dadas por
(1000g)(6.02 X 1023 moléculas/mol) _ = 3.3 X 1025 moléculas. 18 g/mol Cada molécula contiene 10 protones (2 procedentes del hidrógeno y 8 del oxígeno), por lo cual el número de protones en un litro de agua es N = 3.3 X 1026. La rapidez de decaimiento' R está dada por la ecuación 50-5 como R = À/V =
ln 2 ._
0.693 3.3 X 102 103'años
-N =
= 2.3 X 1CT5 a"1 =
J__ 43,000 años’
En otras palabras, en promedio habrá que esperar 43,000 años para que un protón decaiga en un litro de agua. b) Si R = I d -1 , obtendremos
1 d‘
N =
0.693/(10-’' a)
= 5.3
X
1033 protones
o sea 5.3 X 1032 moléculas de agua. Esto nos da 1.6 valente a un cubo de agua cuyos lados midan 25 m.
S 2°2
X
107 L, equi
FAMILIAS DE PARTÍCULAS
Aprendemos mucho de las cosas clasificándolas. Es una téc nica que utilizan comúnmente los científicos; por ejemplo, al agrupar plantas o animales en categorías basadas en ciertas características obvias de su estructura, el biólogo crea una ba se para estudiar su comportamiento. Desde el punto de vista científico, puede resultar más revelador comparar una araña con otra que con una mosca o una polilla. Una parte de la for mación del científico consiste en aprender a hacer clasifica ciones y emplearlas. La taxonomía más antigua de las partículas se fundaba en su masa. A las más ligeras, entre ellas el electrón (m e 2 = 0.511 MeV), se les llamaba lep to n e s (palabra de origen grie go que significa “pequeño”). A las más pesadas, entre otras el protón (.m e 2, = 938 MeV), se les llamaba b a rio n e s (palabra de origen griego que significa “pesado”). Un lugar intermedio
T A BLA » 2 - 2
ocupaban las partículas, entre ellas el pión (m ^c 2 = 140 MeV), que se conocían como m eso n e s (palabra de origen griego que significa “medio”). Hoy estas clasificaciones ba sadas en la masa han dejado de ser válidas; por ejemplo, un leptón y muchos mesones poseen mayores masas que el pro tón. A pesar de ello, conservamos los tres nombres que des criben partículas de propiedades afines. En la tabla 52-2 se resumen estas tres familias y algunas de sus propiedades.
Leptones Son partículas fundamentales que interactúan sólo a través de interacciones débiles y electromagnéticas; aun cuando la fuer za fuerte pueda ser mayor que la débil o electromagnética en muchos órdenes de magnitud, no la experimentan en absolu to. Los leptones son verdaderas partículas fundamentales; carecen de estructura interna y no se componen de otras par tículas todavía más pequeñas. Cabe suponer que se trata de partículas puntuales sin dimensiones finitas. Sabemos que po seen un espín de i En la tabla 52-3 se muestran los seis leptones que apare cen como tres pares de partículas. Cada par contiene una par tícula con carga eléctrica (e _ , p T , t ~ ) y un neutrino sin carga (ve, v , VT) . Ya tratamos del neutrino de electrón al referimos al decaimiento beta (Sec. 50-5). Tanto los leptones con carga como los neutrinos tienen antipartículas. Los neutrinos y los antineutrinos de electrón se producen en el decaimiento beta (Sec. 50-5) de los elementos radiacti vos. También se crean en grandes cantidades durante los pro cesos de fusión solar; para observar los neutrinos solares y medir sus propiedades se han construido grandes detectores subterráneos como el de la figura 52-2. Dado que los neutrinos interactúan sólo muy débilmente con la materia, los solares nos llegan directamente del núcleo del Sol, donde tienen lugar las reacciones de fusión. (En cambio, los fotones solares nos llegan desde su superficie y, por consiguiente, no contienen in formación directa referente a los procesos de fusión del núcleo.) En los últimos 40 años han venido realizándose experimentos para contar esos neutrinos solares; los resultados indican que a la Tierra llega apenas de una tercera a una mitad del número esperado. También se producen neutrinos en las fuertes explo siones de las supemovas; la primera de las observaciones de estos neutrinos se realizó en 1987 (Fig. 52-3). Algunas teorías de las propiedades de los neutrinos exi gen que carezcan de masa. Otras permiten una masa pequeña pero definitivamente no cero. Medir la masa de un neutrino
Tres familias de partículas
Fam ilia
E structura
Interacciones
Espín
Leptones
Fundamental
Débiles, electromagnéticas,
Semi entero
e, v
Mesones
Compuesta
Débiles, electromagnéticas, fuertes
Entero
tt,K
Bariones
Compuesta
Débiles, electromagnéticas, fuertes
Semi entero
p,n
Ejem plos
Carga de p artícu la P artícu la
A ntipartícula
e" ve
(e)
e+ ve
-1 0
V*
-1 0
A¿“ T -f
r~
v_
Espín (h / l r r )
1 2 i i
1 2 I I
-1 0
V-
0.511 <0.000015
co
40 !
105.7 <0.19
2.2 X 10~6 oo
medir la masa del neutrino, en parte para conocer más a fon do sus propiedades, pero también debido a las consecuencias que una masa no cero tiene en la cosmología como veremos más adelante en el capítulo. El electrón es una partícula estable; en cambio, el muón y el tau se desintegran formando otros leptones según e - + ye + v^ t~
¡jC + v^ A
X
10 ~6 s),
vT (vida media = 2.9
X
10" 13 s).
Estos decaimientos se deben a la interacción débil, como conclui mos de la presencia de neutrinos (que siem pre indica un proceso de interacción débil) entre los productos de decaimiento y co mo inferimos al comparar la vida media del decaimiento con los tiempos típicos de la tabla 52-1. La forma de estos decai mientos se entiende a partir de la ley de conservación de los leptones explicada en la sección 52-3.
Mesones Son partículas que interactúan con mucha fuerza y que tienen un espín entero. En la tabla 52-4 se ofrece una lista parcial de algunos mesones. En general, se producen en reacciones por una interacción fuerte; decaen casi siempre formando otros mesones o leptones, a través de interacciones electromagnéti cas, fuertes o débiles. Por ejemplo, los piones pueden deber se a reacciones de nucleoenes; por ejemplo, o
i
r*
cJ U
10
1 °
- 60
o
o í1
- 30
|l
o
c
oo
© o©
0
30
F i g u r a -5 2 - 3 . Datos de una ráfaga de neutrinos provenientes de la supernova SN 1987A.
conforme a
(vida media = 2.6
X
10 " 8 s),
tt 0 —» y + y
(vida media = 8.4
X
10 " 17 s),
donde el primer decaimiento proviene de la interacción débil (indicada por los neutrinos y por la vida inedia), y el segundo de la interacción electromagnética (indicada por los fotones y por la vida media).*
|
Tiempo (s)
p + n —>p + n + -tr0,
—* ¡i~ +
tt~
o
(Vida media = 2.2
y los piones pueden disminuir
tu
_
e ” + ve 4- V)l __
2.9 X KT'3 /x_ + + vr oo---------------------------- ---
p + n —»p + p + 7r"
30
_
oo
1777 <18
pequeño, sobre todo el del electrón, plantea un gran problema experimental. Hasta ahora el mejor límite superior experi mental de la energía en reposo del neutrino del electrón pro viene del decaimiento beta de 3H. Se calculó un límite similar de unos 20 eV, al comparar el tiempo de llegada de la explo sión de neutrino proveniente de Supernova 1987A (Fig. 52-3) con el de la señal de luz de la supemvoa. Si los neutrinos tienen masa, se les permite transformar se de un tipo a otro; por ejemplo, los neutrinos de electrón en neutrinos de muón. Esta conversión, llamada oscilación de neu trinos, todavía no se observa directamente, pero se sospecha como una explicación de la reducción del número de neutri nos de electrón que nos llegan del Sol. En 1999 el detector de la figura 52-2 aportó las primeras pruebas en favor de las os cilaciones de neutrino: el número de neutrinos de muón (pro ducidos en la atmósfera por colisiones de rayos cósmicos de energía con las moléculas del aire) que nos llegan de arriba era distinto al que nos llegan de abajo (es decir, que se desplazan por la Tierra). Semejante discrepancia no podía explicarse simplemente por la absorción durante el paso por la Tierra, ya que los neutrinos tienen una trayectoria libre media que se mide en años luz; así que eran prácticamente nulas las proba bilidades de ser absorbidos en esos momentos. En el momen to actual se efectúan numerosos experimentos destinados a
©
Productos Enet gia en reposo Vida media comunes del (M eV)________________ (r)_____________ decaimiento
60 * Aunque los neutrinos indican siempre un decaimiento de interacción débil, no todos los decaimientos de este tipo producen neutrinos. Lo mismo sucede con los fotones en el decaimiento electromagnético.
- :
- . )2S=4
Algunos mesones seleccionados
A ntipartícula
P artícula
7f~ 7T° K" K°
'Jf0 K+ K° V
V
P+ D*
P~ v' D-
*
*
B" Y
B" Y
v’
C argaa (e )
Espín {h/lTf)
+1
0
0 + 1
0 0
1.2 X 1 0 ' 8
0
+1 +1
494
0
498
0 .9 X 1 0 ~ 10
0
0
0
547
5 .5 X 1 0 ~ 19
+ 1
1
0
770
4 .4 X 1 0 ' 24 2 .2 X 1 0 ' 21
E nergía en reposo (MeV)
Vida media (s)
0
140
2 .6 X 1 0 ' s
0
135
8 .4 X 1 0 ~ 17
E xtrañezaa
0
0
0
958
+1
0
0
1 869
1.1 X 1 0 ' 12
0
1
0
3097
7 .6 X 1 0 '2i
+1 0
0 1
0 0
5279
1.6 x 1 0 ~ 12 1.3 X IO'20
9460
Productos comunes del decaimiento
+ 7+7 A+ + 7T + 7T~ 7+7 + 77» 77 '+ 77+ + TT~ K- + 77~ + TT~ e+ + e D~ + t C + TT~ e+ + eAL
a La carga y la extrañeza se refieren a la partícula. Los valores de las antipartículas llevan signo contrario. El espín, la energía en reposo y la vida media son
iguales en una partícula y en su antipartícula.
Bailones Son partículas que interactúan con mucha fuerza y que tiene espín semientero (L A - • ■ ,)• La tabla 52-5 tiene una lista parcial de algunos bariones. Los miembros más conocidos de esta familia son los protones y los neutrones. Los bariones tie nen antipartículas bien definidas; por ejemplo, el antiprotón (p ) y el antinuetrón (ñ ). Podemos producir bariones más pesados en reacciones entre nucleones como P T p — p T A ° T K +, que produce el barión A° y el mesón K +. El A° decae de acuerdo con A° —* p + ir~ (vida media = 2.6 X 10 -8 s). Algunos mesones seleccionados
co
+1 0 -1 0
a~
-1
x-
Â*
+ 2, + 1 , 0 , —1
2*
2*
+ 1 ,0 , - 1
H*
H*
- 1,0
n~
a -
Ac Ag
Ac Ag
-1 +1 0
T i 2 Ï 1 1 1 3 3 2 i 3 1
2 1
Extrañezaa
(i) co
938 940 1116 1189 1193 1197 1315 1321 1232
2.6 0.8 7.4 1.5 2.9 1.6 5.9
-1
1385
1.8
—2
1530
-3
1672 2285 5624
7.3 8.2 2.1 1.2
0 0 -1 -1 -1 -1 -2 -2 0
0
0
Productos comunes del decaim iento
887 X I O - 10
p + e~ + ve p + tT
X IO “ 10
p + rr í
,0-20 X 10-10
X
+
2+ 2°
+1 0 0
\_
Vicia media
<í
A*
P
ñ Xo
(e)
Energía en reposo {MeV)
O
P n A° 2+ 2° 2" so
A ntipartícula
Espín {h/27f)
X 10-1°
n + tt~ A° + 77° A° + 77~
X 10-24 X 10-23
A ° + 77
X 10-23
¡Z -T 77
X
10-'°
X io - " X I O ' 13 X
IO-12
P + 7T
1
C argaa P articula
Hay otra familia pequeña de partículas que no puede clasifi carse en la categoría de leptones, mesones o bariones. Nos re ferimos a las p a r tíc u la s ele c a m p o , las que transportan las fuerzas con que interactúan. La ley de gravitación de Newton y la de electrostática de Coulomb se basaron originalmente en el concepto de “ac ción a distancia”. Más tarde, en el siglo xix este concepto fue
+
- "32,=S
Las partículas de campo y las fuerzas de Intercambio
>0
1
Aunque en el decaimiento no se crean neutrinos, la vida me dia indica que el proceso está gobernado por la interacción débil. En la sección 52-3 expondremos las causas de este de caimiento “lento”.
K + 774 + D° + 77-
p + p
a La carga y la extrañeza se refieren a la partícula. Los valores de las antipartículas llevan signo contrario. El espín, la energía en reposo y la vida media son
iguales en una partícula y en su antipartícula.
Y ' ó Ya S 2 = 6 P a rtíc u la
Gravitón Bosón débil Bosón débil Fotón Gluon
Partículas de campo Símbolo
Interacción
Gravitación Débil Débil Electromagnética Fuerte (color)
w +, wZ°
7 O
reemplazado por el de campo. Dos partículas interactúan en los campos que crean; uno da origen a uno y la otra interactúa con ese campo en vez de hacerlo directamente con la pri mera partícula. La teoría cuántica del campo lleva esta noción más allá: supone que los campos son transportados por cuan tos. En esta perspectiva, no decimos que la primera partícula genera el campo, sino que emite cuantos de él. Y después la segunda los absorbe. Por ejemplo, la interacción electromag nética entre dos partículas puede explicarse en función de la emisión y absorción de fotones, que son cuantos del campo electromagnético. Cada tipo de campo tiene sus partículas es peciales. En la tabla 52-6 se incluye una lista de las partículas asociados a las cuatro fuerzas fundamentales. Se da el nombre de fu e r z a d e in tercam bio, a la que se ob tiene a través del intercambio de partículas. Por ejemplo, una fuerza entre dos nucleones de un núcleo tiene lugar en el in tercambio de piones. En este caso los piones, junto con otros mesones, actúan como partículas de campo relacionadas con la gran fuerza entre los nucleones. ¿Cómo es posible que una partícula —el protón por ejem plo— emita otra con masa cero y pese a ello siga siendo un protón? Este proceso parece violar la conservación de la ener gía. La solución del dilema nos la da la forma de las relaciones de incertidumbre entre energía-tiempo. El principio de incertidumbre constituye una limitación de la capacidad de medir un sistema. En otras palabras, si lo observamos en un interva lo temporal Ai, según la ecuación 46-9 habrá la incertidumbre correspondiente AE en su energía, cuyo mínimo está dado por AE =
2 ir At
(52-1)
No es posible conocer la energía de un sistema con mayor precisión que esta AE, salvo que midamos un tiempo mayor que At. Si observamos durante un tiempo muy corto, la incerti dumbre de la energía en reposo de un protón podrá al menos ser la misma que la de un pión, como se demuestra en el si guiente problema resuelto. R e s u e l t o 3 2 - 2 . a ) ¿Cuál es el intervalo de tiempo más largo en que puede observarse un protón para que la incertidum bre de su energía en reposo sea igual a la energía en reposo del pión? b) ¿Cuál es la distancia máxima que el pión puede recorrer durante ese lapso?
Solución a ) Para que la energía en reposo del protón tenga una incertidumbre de AE = m ^c 2, según la ecuación 52-1 el intervalo del
tiempo de observación puede ser como máximo
Carga (e)
Espín {h/2rr)
Energía en reposo (GeV)
0 ±1 0 0 0
2
0 80.4 91.2 0 0
1 1 1 1
At =
2 ir AE
lir m - c 1
4.14 X 10~15 eV-s = 4.7 X IO“ (2ir)(140 MeV) Con un intervalo temporal menor que 4.7 X 10-24 s, el protón pue de emitir y absorber un pión, sin que observemos una violación de la conservación de la energía. b) Si el pión se desplaza casi con la velocidad de la luz, la distancia máxima d que puede recorrer en dicho intervalo es d = c At = (3.00 X 108 m/s)(4.7 X 10~24 s)
= 1.4 X 1 0 '15 m = 1.4 fm. Esta distancia define el intervalo de la fuerza nuclear. Dos nucleo nes, situados a una distancia menor que 1.4 fm aproximadamente, pueden interactuar intercambiando piones. Si la distancia es más grande, no se da el intercambio y tampoco existe una fuerza nuclear.
y
il
- .5
LEYES DE CONSERVACION
Sería difícil analizar los procesos físicos sin las leyes de con servación de la energía y sin las del momento linear y angu lar. Estas leyes de conservación nos ayudan a entender por qué se dan ciertos resultados (como en el caso de las colisio nes que se estudiaron en el Cap. 6). Nos ayudan además a en tender por qué nunca se observan algunos procesos (los que violan las leyes de conservación de la energía). En cierto sen tido se trata de leyes empíricas, deducidas de la observación de procesos físicos y comprobadas rigurosamente en el labo ratorio. En otro sentido nos revelan aspectos fundamentales de las leyes de la naturaleza. Un ejemplo de una de estas leyes es la conservación de la carga eléctrica. Se llega a su formulación al observar los re sultados de muchos procesos: la cantidad neta de carga no de be modificarse en ninguno de ellos. En forma equivalente podemos decir que la carga antes de una reacción o decai miento debe ser igual a la existente después de esos procesos. Jamás se ha observado una violación de esta ley, aun cuando ha sido sometida a pruebas muy estrictas (Sec. 25-6).
Conservación del número de leptones En las reacciones y en los decaimientos de las partículas fun damentales, a menudo aparece cierto conjunto de resultados, pero no se observa un conjunto de resultados relacionados que de lo contrario cabría esperar. En tales casos sospecha-
mos que interviene alguna ley de conservación desconocida, la cual permite el primer conjunto y prohíbe el segundo. Por ejemplo, podemos producir un neutrino de electrón cuando un protón captura un electrón: e ~ + p —» n + ve . Siempre encontramos neutrinos en este proceso, pero nunca antineutrinos. Más aún, la reacción, invariablemente, crea neutrinos de electrón, pero jam ás muones ni neutrinos tau. Explicamos la im posibilidad de observar determinados procesos proponiendo una ley de conservación del n ú m ero de lep to n e s, parecida a la de conservación de la carga eléctrica. A cada leptón le asignamos un número + 1 y a cada antileptón un número — 1. El resto de las partículas tienen número 0 de leptones. La ley de conservación aplicada a este número establece lo siguiente: E n c u a lq u ie r p ro c e s o el n ú m e ro d e le p to n e s d e tipo e le c tró n , el de lo s d e tip o m u ó n y el d e los d e tip o ta u h a n de p e r m a n e c e r c o n s ta n te s todos.
Por lo que sabem os, la ley de la conservación de leptones es rigurosamente válida: no se ha descubierto ninguna violación a pesar de haberse realizado búsquedas experimentales suma mente rigurosas. En el proceso de captura de electrones se asigna un núme ro de leptón de electrón Le de + l a éste y al neutrino de elec trón, mientras que Le = 0 en el protón y en el neutrón. Este proceso tiene entonces Le = + 1 en ambos lados y cumple con la ley de conservación del número de leptones. En caso de que se produjera un onríneutrino de electrón, el lado derecho ten dría Le = — 1 y se violaría la ley. Se explica así la imposibili dad de observar este proceso. Si obtuviera otro tipo de neutrino (uno de muón, por ejemplo), el proceso tendría Le = + 1 a la izquierda y Le = 0 en el lado derecho. Más aún, tendría = 0 en el izquierdo y = + 1 en el derecho. A sí pues, el proceso violaría la conservación del número de electrones y de letpones de muón, cosa que jamás se ha comprobado. La ley de conservación de leptones nos permite explicar muchas observaciones experimentales. Igual que las leyes de conservación, resulta de gran utilidad cuando se analizan los decaimientos y las reacciones. P r o b l e m a R e s u e l t o 5 2 - 3 . Use la conservación del número de leptones para averiguar la identidad de la partícula X en el si guiente decaimiento p.+ —* e + + vg + X.
Solución Asignamos a las partículas el número de leptones de tipo electrón Le y el de leptones de tipo muón L como sigue:
X
L„
0
0
Nótese que a los leptones de tipo electrón se les asigna L¡x = 0, y a los de tipo muón se les asigna Le = 0. La conservación del número de leptones significa que la canti dad de leptones de tipo electrón ha de ser igual antes y después del decaimiento; lo mismo puede afirmarse del número de leptones de tipo muón. El número de los del primer tipo es 0 antes del proceso,
y por tanto, habrá de serlo también una vez concluido, para lo cual se requiere que la partícula X tenga Le = 0. El número de leptones de tipo muón es — 1 antes del decaimiento y la partícula X ha de te ner Lp. = — 1 para que el número de leptones de tipo muón sea — 1 después del decaimiento. Así pues, la partícula X ha de ser un leptón con Le = 0 y Lp. = — 1. Deberá estar cargada, pues en el proceso las otras partículas ya cumplen con la conservación de la carga de electrones. Una ojeada a la tabla 52-3 indica que la única partícula con estas características es el antineutrino de tipo muón .
Conservación del número de bariones Una ley similar de conservación se aplica a los bariones. A ca da uno — el protón o el neutrón, por ejem plo— le asignamos un número B de + 1 y les asignamos B = — 1 a los antibariones com o el antiprotón. La ley de conservación del núme ro de bariones establece: E n c u a lq u ie r p r o c e s o e l n ú m ero to ta l d e b a rio n e s d e b e p e r m a n e c e r c o n sta n te .
Todavía no se ha observado una violación de esta ley. (Sin embargo, según algunas teorías, las grandes teorías unificadas explicadas en la Sec. 52-1, el protón puede desintegrarse y convertirse en no bariones. Esto violaría la ley de conservación de su número. Nunca se ha comprobado que ocurra; si se com probara, habría que m odificar la ley de conservación del nú mero de bariones.) Por ejem plo, considerem os la reacción en que se produ cen antiprotones cuando un haz de protones incide sobre un blanco de protones:
B:
p +
P
P
P
+1
+1
+1
+1
p
+
+1
p -1
En la reacción anterior, el número neto de bariones es + 2 en los lados derecho e izquierdo. A diferencia de lo que ocurre con el número de leptones, hay un solo tipo de número de bariones. La ley de conserva ción aplicada a este último es una versión más general de la regla con que se analizaron los procesos nucleares en los ca pítulos 50 y 51; allí mantuvimos constante el total de neutro nes más protones en todos los decaim ientos y reacciones, lo cual equivale a conservar el número total de bariones porque los neutrones y protones son bariones. Aun cuando hay leyes de conservación para ambos tipos de partículas (leptones y bariones), no existe una que se apli que a los m esones. A sí, en una reacción de protones sobre protones, puede obtenerse cualquier cantidad de m esones (a condición de que las partículas incidentes posean suficiente energía cinética): p f p -> p + I l T P +
p —> p
+ p
77 +
f r í
,
+
p + p —* p + n + 77+ +
7T~,
7T° + 77Ü.
O bsérvese que se conserva la carga eléctrica en este proceso.
E x trá ñ e la Existen otros procesos difíciles de entender, si uno se basa ex clusivamente en las leyes de conservación que acabamos de explicar. Consideremos, por ejemplo, el grupo de kaones (me sones K), que en muchos aspectos se asemejan a los piones. Como no hay una ley de conservación aplicable a ellos, cabría suponer que en las reacciones puede producirse cualquier cantidad de kaones. Por el contrario, comprobamos que se producen en pares; por ejemplo, p
+
p —» p
+
p
+ K + + K~,
p + p —->p + n + K~ + K°, o, si se produce una solo, siempre está acompañado de otra partícula “extraña”; por ejemplo, un A°. p
+
p
—=>p + A° + K +.
Explicamos estos procesos (y la imposibilidad de observar otros que al parecer permiten las leyes previamente conocidas de conservación) asignando a las partículas un nuevo número cuántico denominado extrañ eza, que obedece a otra ley cono cida como co n serva ció n d e extrañeza. Dos kaones (K + y K°) se asignan para que tengan una extrañeza 5 = + 1, y otros dos (K~ y K°) se asignan de modo que 5 = — 1. Las partículas no extrañas (como p, n y e) tienen 5 = 0. Entonces la reacción en que se producen dos kaones tienen 5 = 0 en la izquierda (só lo partículas no extrañas) y también 5 = 0 en la derecha. Al barión A° se le asigna 5 = — 1 , de modo que la reacción don de se crea A° + K+ tenga también S = 0 a ambos lados. Cuando analizamos el decaimiento de las partículas ex trañas, en ocasiones no se cumple la conservación de la extra ñeza. Los kaones pueden desintegrarse y transformarse en dos piones (no extraños); por ejemplo, K + —* TT+ + TT°. Aquí tenemos 5 = + 1 en la izquierda y 5 = 0 en la derecha, una clara violación de la conservación de extrañeza. Obtene mos una pista de cómo resolver el problema cuando medimos la vida de este decaimiento, que resulta ser de unos 10-8 s. Los kaones y los piones son partículas que interactúan con mucha fuerza; cabe, pues, esperar que el decaimiento ocurra con un tiempo de vida típica de interacción intensa en el ran go de 1 (T 23 s (Tab. 52-1). Pero sorpresivamente resulta que su velocidad disminuye en 15 órdenes de magnitud. ¿A qué se debe esta reducción? Otra pista proviene del modo de decaimiento del K + que se observa con mayor frecuencia: K + -»■ p + + vA, un proceso de interacción débil en que la vida media de ICO8 s no debería ser inusual. Al parecer la in teracción d é b il p u e d e m o d ific a r la extrañ eza en una unidad. En ambos modos de decaimiento de los kaones, 5 cambia en una unidad. Pese a que no produce los neutrinos que suelen caracterizar un pro ceso de interacción débil, el decaimiento’K + —» tt+ + 7r° se rige por la interacción débil. En este caso, la violación de la
extrañeza es un indicio de que no puede ser una interacción fuerte (la extrañeza se conserva en ellas) y que por lo mismo ha de ser un decaimiento de interacción débil. ¿Se conserva la extrañeza durante la interacción electro magnética? Para contestar la pregunta buscamos decaimientos electromagnéticos que la violen, entre ellos A° —*■n + y . Por lo visto este no ocurre, por lo cual concluimos que en la inter a c c ió n e le ctro m a g n étic a se con serva la extrañeza.
Podemos resumir los resultados anteriores en la ley de conservación de la extrañeza: En lo s p ro c e so s g o b e rn a d o s p o r in tera cc io n e s fu e r te s o electro m a g n ética s, la extrañ eza to ta l d e b e p e rm a n e c e r con stan te. En los g o b e rn a d o s p o r la in tera cc ió n débil, p e r m a n e c e r á con stan te o se m o d ific a rá en una unidad. P r o b l e m a R e s u e l t o 52-4-. El barión Í1 tiene S = —3. a) Se desea producirlo usando un haz de K~ que incide en los protones. ¿Qué otras partículas se originan durante esta reacción? b) ¿Cómo podría realizarse el decaimiento íl? Solución a) Las reacciones suelen ocurrir exclusivamente a través de la interacción fuerte que conserva la extrañeza. Consideremos la reacción K" + p —» I T + ?
En el lado izquierdo tenemos S = 1 ,5 = + 1 y O = 0. En el lado derecho tenemos S = —3 , 5 = + l y O = — 1. Por eso, a las par tículas de la derecha hay que agregar 5 = + 2 , 5 = 0 y O = + 1. Al analizar las tablas de mesones y bariones descubrimos que estos criterios pueden cumplirse con K+ y K°, de modo que la reacción es HA + p —► -i- K+ + K°. b) El barión íí no puede desintegrarse en una interacción fuerte por no estar disponibles los estados finales S = —3. En consecuencia, debe decaer y convertirse en partículas con S = — 2 mediante la in teracción débil, que puede modificar S en una unidad. Una de las partículas ha de ser un barión para que se conserve el número de ellos. He aquí dos posibilidades: ÍL -> A° -í- K -
y
ÍT -» H° + n--.
¿¿¿¿“‘A? EJL M ODELO DE LOS QÜARJhJS Los decaimientos y las reacciones en que intervienen meso nes y bariones están sujetos a las leyes de conservación refe rentes a dos magnitudes: la carga eléctrica O y la extrañeza 5. Así, es lógico preguntar si existe alguna conexión entre am bas propiedades de una partícula. ¿Encontramos en un grupo de partículas semejantes (por ej. los mesones de espín 0 y los bariones de espín i ) todas las combinaciones posibles de O y de 5? El hecho de hallar sólo un pequeño conjunto de combi naciones indica lo siguiente: las partículas están construi das conforme a una serie de reglas provenientes de unidades más fundamentales cuya carga eléctrica y extrañeza poseen ciertos valores. Para empezar a contestar la pregunta referente a la posible estructura interna de las partículas, examinaremos la relación en tre carga eléctrica y extrañeza. Para ello dibujamos un diagrama que muestre la carga eléctrica sobre un eje y la extrañeza sobre
■rl
F i g u r a 52-4.. Diagrama que muestra a) los mesones de espín 0 y b) los bariones de medio espín. Las partículas se encuentran en una rejilla según su extrañeza S y su carga eléctrica O. Las líneas de la rejilla para la carga eléctrica se trazaron oblicuamente para que los patrones aparezcan más simétricos.
otro. Al poner en esta rejilla un grupo de nueve de los mesones de espín 0 (Tab. 52-4), obtenemos la figura 52-4a; a! hacer lo mismo con los bariones de espín j (Tab. 52-5), obtenemos la fi gura 52-4¿>. La regularidad de estos patrones significa que quizá las partículas presenten una estructura básica común. En 1964, Murray Gellman y George Zweig señalaron en forma independiente que los patrones regulares podían expli carse suponiendo que los mesones y los bariones se compo nen de partículas más fundamentales, denominadas quarks. El modelo original propuesto por ellos constaba de tres quarks, que se conoce como arriba (u), abajo (d) y extraño (s), junto con sus antipartículas (los antiquarks ü, d y~s). Sus pro piedades se enlistan en la tabla 52-7. Más tarde se descubrió que los tres quarks no bastan para explicar las propiedades de todos los mesones y bariones; hace falta un total de seis de ellos, como veremos más adelante. Los quarks poseen dos propiedades muy especiales que los distinguen de las demás partículas: 1) tienen cargas eléctricas fracciónales, iguales (en unidades de carga elemental e) + \ en el quark u y —- en los quarks d y s. Ninguna otra partícula lle
va este tipo de carga y no se ha confirmado experimentalmente la existencia de partículas libres con la carga fraccional. 2) Los quarks tienen además números fracciónales de bariones; los nú meros de todas las partículas libres conocidas son + 1 (en los bariones), — 1 (en los antibariones) y 0 (en los no bariones co mo los mesones y los leptones). La carga eléctrica y el número de bariones en los antiquarks poseen la misma magnitud, pero signo contrario como los valores del quark correspondiente. Todos los quarks tienen un espín de Eso significa que (según las reglas que rigen la combinación de espines en la mecánica cuántica) las combinaciones de dos quarks (o de un quark con un antiquark) pueden tener un espín total de 0 o 1 y la combinación de tres un espín total de \ o f . En el caso de los mesones y bariones más ligeros a que nos hemos referido aquí, supondremos que las combinaciones de los quarks care cen de momento angular orbital. Es decir, en el lenguaje del capítulo 48, se combinan en estados s (Z = 0). Y efectivamen te hay combinaciones de quarks que incluyen estados p (l = l ) o estados d (/ = 2), pero son más masivos que las partícu las que estamos estudiando. De acuerdo con este modelo los mesones se componen de un quark y de un antiquark, en tanto que los bariones se componen de tres quarks. Consideremos la combinación ud de un quark arriba y de un antiquark abajo tal que sus dos es pines sumen 0. La carga del quark arriba (en unidades de e ) es 4- j, y la del antiquark abajo es + (la carga de una anti partícula es lo contrario de la de la partícula). La combinación ud tiene O = + 1, S = 0 (porque ambos quarks tienen 5 = 0) y .8 = 0 (porque el quark tiene B = + y el antiquark tiene B = —i). Esta combinación tiene los mismos números cuány ticos que el mesón Prosiguiendo en esta forma, descubri mos 9 combinaciones posibles de un quark y de un antiquark que se muestran en la tabla 52-8. Reproducen exactamente las combinaciones de carga eléctrica y de extrañeza de los meso nes de espín 0. Los bariones constan de tres quarks. Como cada uno de los quarks posee un número de barión de + el número total de barión de estas partículas compuestas será + 1, como cabe supo ner tratándose de los bariones. Tomemos por ejemplo la combinación uno con el e s p í n L a carga eléctrica total es O = + —j = + l , y l a extrañeza total es 0. Ello corresponde a las propiedades del protón. Hay un total de 9 combinaciones posibles de tres quarks, las cuales se muestran en la tabla 52-9 junto con la identificación del barión correspondiente en la ta bla 52-5. Una vez más, el modelo explica satisfactoriamente las propiedades de este grupo de partículas. Un éxito similar se con sigue con los bariones de e s p í n ( E j s . 14 y 15).
S 2 “’7' Propiedades de tres quarks Quark
Arriba Abajo Extrañeza
Carga“ (e)
Símbolo
Antiquark
u d
ü d
~3
s
s-
3
Espín {h/27T)
Número de barión a
1
j-i
I
1
j _ j_
i
i
,i
a Los valores de la carga, del número de barión y de extrañeza se refiere a los quarks. Los de los antiquarks llevan signo contrario.
E xtrañezaa
0 0 -1
ift(:S 2 “3 i Com binación
t: f i
f 1 fí
t
1 í:'
Número de barión
Carga (e )
ud US
0 0
0 0 0 0 +1
dü ds
-1 0
0 0
0 +1
1T~
sü sd
-1 0
0 0
-1 -1
K~ k5
•
uuu uud udd uus uss uds ddd dds dss sss
1 f
y'
J
7T+ K+
K°
Aunque nunca se han visto quarks libres, sí se han observa do quarks individuales ligados. Los experimentos de dispersión que penetran en el interior del nucleón revelan tres objetos en forma de punto que parecen tener un espín de \ y una carga de + j o — Se obtiene así una prueba directa de que en el inte rior del núcleo existen partículas semejantes al quark.
La Interacción entre quarks ¿Qué mantiene a los quarks unidos dentro de un mesón o un nucleón? Esta fuerza es la versión más básica de la fuerza fuer te, proveniente del intercambio de partículas denominadas g lu o nes'. D el m ism o modo que la interacción electromagnética entre las partículas cargadas puede considerarse un intercambio de fo tones, también la fuerte interacción entre quarks se logra inter cambiando gluones. En consecuencia, imaginamos que un nucleón consta de tres quarks que intercambian gluones. La interacción entre quarks presenta dos propiedades. 1) S requiere mucha energía (quizá infinita) para separar dos con una distancia mayor que el tamaño de un nucleón o m e són (1 fm aproximadamente). Tal vez a ello se debe que toda vía no se han visto quarks libres. Cuando tratamos de bombear energía en un nucleón para separar uno de sus quarks, lo que crea es un par quark-antiquark. El antiquark se combina con uno de los quarks para formar un mesón; esto coincide con nuestras observaciones: cuando estrellamos dos
Combinaciones de tres quarks C argaa
Combinación
Identidad
0 0 0
El m odelo de quarlcs no se limita tan sólo a reproducir los patrones geométricos sim ples de la figura 52-4. El lector de be ver en ellos una forma de organizar las partículas con pro piedades similares, del m ism o modo que la tabla periódica permite organizar los átomos con propiedades similares. La tabla periódica se basa en la teoría atómica que sirve para calcu lar las propiedades de los átomos prescindiendo de su estruc tura geométrica. D e modo parecido, este m odelo nos permite calcular las propiedades de las partículas: su masa, su m o mento dipolar magnético, su m odo de decaim iento, su vida media y los productos de sus reacciones. La correspondencia entre las propiedades medidas y calculadas representa un éx i to impresionante del modelo. D e hecho, se explican todas las partículas conocidas (cientos de ellas) partiendo de él, con al gunos quarks adicionales que describiremos más adelante. El aspecto más original del modelo lo constituyen las car gas eléctricas fracciónales de los quarks. Todas las partículas descubiertas hasta la fecha transportan cargas eléctricas suscep tibles de expresarse como múltiplos enteros de la unidad básica de carga e. Nunca se ha visto ninguna que lleve ese tipo de car ga. En efecto, nadie ha visto jamás un quark libre, pese a los he roicos esfuerzos experimentales en busca de uno. Es posible que los aceleradores de partículas todavía no cuenten con suficiente energía para producir un quark libre. También se ha propuesto que su existencia está prohibida, de manera que quizá sólo ob servemos los ligados en mesones y bariones.
C5 2 = 3
E xtrañeza
0 0 0 +1 +1
uü dd ss
í
Combinaciones quark-antiquark
(e) +2 +1 0 +1 0 0 -1 -1 -1 -1
Espín {h/2TT) 3
2 1 2’ 2 3
3 i
3 1 2’ 2 3 i
2? 2 3
1
2’ 2 3 2 3 J_ 3 i 3
Número de barión
+1 +1 +1 +1
Extrañeza
0 0 0 -1
+1 +1 +1 +1
-1 0 -1
+ 1
- 2
+1
Identidad de medio espín —
P n v+
- 2
—3
A°, 2 o —
X-
—
nucleones con altas energías, obtenemos de nuevo los nu cleones (u otros bariones) además de algunos mesones más. Cuanto más energía usemos más mesones producimos, pero sin que aparezcan quarks libres. 2) Aunque parezca paradóji co, dentro del nucleón o del mesón los quarks parecen mover se libremente. La fuerza entre los quarks se aproxima a cero en distancias muy cortas (menos del tamaño de un nucleón). Este comportamiento extraño de los quarks y de los gluones se entiende comparándolo con el electromagnetismo. Dos partículas con carga interactúan a través del intercambio de protones. Sin embargo, el fotón no transporta carga; de ahí que la interacción entre la partícula con carga y el fotón intercam biado no origine un intercambio de más fotones. En cambio, un quark puede emitir un gluón e interactuar con él. Y así pueden crearse gluones adicionales. Cuando un electrón interactúa con otro, un electrón puede emitir un fotón sin perder por ello su identidad. No sacrifica su “electricidad” (es decir, su carga eléctrica) para emitir el fotón. Por el contrario, un quark trans fiere al gluón emitido una parte de su “fortaleza”, que los físi cos llaman “color”. En la interacción de quarks, el color cumple la misma importante función que la carga eléctrica en la interacción de partículas cargadas. El fotón no transporta carga pero el gluón transporta color y, al hacerlo, cambia el co lor residual del quark que emitió al gluón. En realidad el quark está difundiendo su color en una esfera del tamaño de un nu cleón (el alcance de los gluones), y por ello, la interacción en tre los quarks se debilita mucho en estas distancias. Los físicos de partículas escogieron nombres divertidos y caprichosos para designar las partículas fundamentales y sus propiedades. Algunos como quark, extrañeza, gluón o color son meras etiquetas. Los gluones proporcionan el “pegamen to” que une los quarks, pero sin que se parezca a ninguna otro “pegamento” de la vida diaria. El “color” de los quarks y gluones nada tiene que ver con el uso ordinario de ese térmi no. Simplemente es más fácil recordar esas propiedades y ex plicarles si les damos nombres conocidos.
Más cira-Ais En experimentos simultáneos efectuados durante 1974 en el Brookhaven National Laboratory de Nueva York y en el Stanford Linear Accelerator Center de California, los investigado res descubrieron un mesón especial cuya energía en reposo era tres veces mayor que la del protón. Se suponía que este nuevo mesón, llamado 4r (psi), decaería y formaría otros más ligeros en un tiempo de interacción fuerte quizá de unos 10 “ 23 s. Por el contrario, se observó que lo hacía en lO-20 s aproximadamente, tiempo que caracteriza más la interacción electromagnética (Tab. 52-1). Más aún, los productos del de caimiento no eran mesones sino un electrón y un positrón, otra señal más de un proceso electromagnético. ¿Por qué la rápida trayectoria de interacción fuerte que da bloqueada por esa partícula, disminuyendo así su decai miento en tres órdenes de magnitud? Un efecto similar lo comentamos en el caso de la extrañeza, un nuevo número cuántico que introdujimos en parte para explicar algunos de
caimientos lentos. Atribuimos los decaimientos a una vio lación de la conservación de extrañeza. En forma análoga suponemos que el decaimiento de ip se hace lento cuando no se cumple otra ley de conservación, de nominada encanto. De acuerdo con esta interpretación, el mesón ip se compone de un nuevo quark c (encanto) y su antiquark c. El quark c lleva una carga eléctrica de + Así como al quark extraño se le asigna un número cuántico de extrañeza 5 = —1, al quark encantado se le asigna un encanto de C = +1. Se disminuye la rapidez de decaimiento del mesón ip, porque el quark c debe desintegrarse y formar otros (u, d, o s), en to dos los cuales C = 0. Así pues, el decaimiento consiste en violar la conservación de encanto y, por consiguiente, no pue de ocurrir en la interacción fuerte que conserva al encanto. El quark c puede combinarse también con otros para formar un mesón o un barión; por ejemplo, el mesón D + de la tabla 52-4 tiene un contenido de quark cd, y el barión A * de la ta bla 52, un contenido de quark udc. En 1977 un descubrimiento similar se hizo en el Fermi National Accelerator Laboratory cerca de Chicago. Una vez más se descubrió un mesón pesado (en este caso, diez veces ma yor que la energía en reposo del protón), que según se supo nía se decaería y formaría otros en un tiempo característico de la interacción fuerte, pero se decayó originando e- + e+ en 10 ” 20 s aproximadamente. En este caso, volvió a disminuir la rapidez del decaimiento por la violación de otra regla de con servación en que intervenía un nuevo quark, denominado b (fondo) y cuya carga eléctrica era de —i . Se supone que este nuevo mesón, denominado Y (ípsilon) está constituido por la combinación bb. Si al quark b le asignamos otro número cuántico que represente sin fondo, disminuirá la rapidez del decaimiento porque debe convertirse en quarks más ligeros que carezcan de dicha propiedad; esta violación de la conser vación de sin fondo ocasiona la reducción de la rapidez del decaimiento. También el quark b puede combinarse con otros para formar varios mesones y bariones; por ejemplo, el me són B + de la figura 52-4 tiene un contenido de quark ub y el barión de la tabla 52-5 se compone de quarks udb. En 1994 se descubrió en Fermilab otro quark a partir de las colisiones de protón-protón.* Esas colisiones de gran energía crearon un nuevo quark y su antiquark, que al decaer rápida mente produjo multitud de partículas secundarias. A partir del momento de ellas se dedujo la existencia de las partículas ori ginales en el decaimiento. A este nuevo quark, con una carga de + j se le conoce como quark cima t y a semejanza de los quarks encantado y fondo tiene una propiedad común deno minada c a r á c te r cim a. TOitvr! f í p g v g ! s i m e t r í a
La materia ordinaria consta de protones y neutrones, que a su vez están constituidos sólo por quarks u y d. Además consta de electrones y en la conversión de protones en neutrones o * Para mayores detalles de este descubrimiento visite http://www. fnal.gov/ pub/top95/top95_background.html.
de éstos en aquellos durante su decaimiento beta encontramos neutrinos de tipo electrón, junto con el positrón o el electrón. Así pues, construimos el mundo entero y los fenómenos que observamos comúnmente a partir de dos pares de partícu las fundamentales: los quarks u, y d y los leptones e~ y ve. Dentro de cada par las cargas eléctricas difieren en una uni dad (+ | y - 1 y 0). Si efectuamos experimentos a un nivel de energía un po co más alto, encontraremos nuevos tipos de partículas: un nuevo par de leptones (¿U y su neuüino v ) y otro de quarks (c y s). Una vez más, dentro de cada par las cargas eléctricas difieren en una unidad. Con energías aún más elevadas apare cen un nuevo par de leptones ( r y vT) y de quarks (t y b). Por tanto, las partículas verdaderamente fundamentales —los quarks y los leptones— aparecen en pares, y un par de quarks y de leptones puede combinarse en una “generación” así: la. generación:
tiempo de vida observado se deduce que el número de genera ciones de leptones no puede ser mayor de tres. La pregunta anterior se contesta de modo muy distinto al examinar las propiedades del universo poco tiempo después de su nacimiento. En esa época era un gas caliente formado por leptones y quarks. Su evolución y sus propiedades subsecuentes se debían al número de generaciones existentes entonces. A par tir de las observaciones sobre las propiedades actuales podemos concluir nuevamente que son tres. Es, pues, muy probable que nuestra lista de leptones y de quarks esté completa. P r o b l e m a ¡ R e s u e l t o 3 2 - s . Analice los siguientes proce sos a partir de su contenido de quarks:
á)
Las propiedades de estos seis quarks y leptones se resumen en el apéndice F. Al modelo de la estructura de las partículas elementales descrito hasta ahora se le conoce corno m o d e lo estándar. En él hay tres generaciones de leptones y de quarks, que supues tamente son partículas elementales. El resto de las partículas materiales son compuestas. Las partículas interactuan a través de las fuerzas electrodébiles y fuerte (la gravitación ejerce un efecto insignificante en las interacciones de las partículas in dividuales). La fuerza electrodébil se debe al intercambio de fotones o de los llamados bosones débiles W +, W~ y Z°. Los seis quarks vienen en tres variedades o colores; hay ocho gluones coloreados que transportan la carga de color y que causan la interacción entre quarks. Ninguno de los baldones ni de los mesones tienen color; los tres quarks en un bailón de ben tener color diferente; el quark y el antiquark de un mesón deben llevar un color y su anticolor. Aunque el modelo estándar ha logrado explicar satisfacto riamente las propiedades e interacciones de las partículas, ahora el lector se preguntará si nos hemos limitado a reemplazar un nivel de complejidad por otro. ¿Es posible que, en vez de cien tos de mesones y bailones, nuestra lista de partículas contenga centenares de leptones y de quarks a media que efectuamos experimentos con energías cada vez más grandes? Hay da tos sólidos de que el número de generaciones es exactamente tres y de que la lista de leptones y quarks descritos aquí sea completa. El número de generaciones de leptones se ve limi tado por el decaimiento de ciertas partículas. Por ejemplo, Z° puede decaer y transformarse en un leptón y en su antileptón, digamos e+ + e" o ¡x+ + ¡jT . El tiempo de vida del decai miento depende de en cuántos de estos pares pueda decaer; del
b)
íl~ - * A° + K~,
c)
K~ + p —> Ci~ + K* + K°.
Por medio de la tabla 52-9 determinamos el con tenido de quarks de las partículas y luego podemos escribir el decaimiento así
S o lu c ió n a)
2 a. generación:
3a. generación
p —» n + e + + ve,
uud —> udd + e+ + ve. Al cancelar en ambos lados el par común de quarks ud, obte nemos u —* d + e + + ve. El quark u se transforma en un quark d por el decaimiento be ta. Esta ecuación representa una interacción fundamental en tre lo s :quarks y tam bién podem os escribirla com o
u —* d + W+
y
W+ —> e+ + ve.
El contenido de quark de fi~ es sss (porque tiene una extrañeza — 3), de modo que el decaimiento puede escribirse
b)
sss —* uds + sü. Al cancelar en ambos lados el par común de quarks s, encon tramos que el proceso neto es s —» u + d + u, usando las identidades de A° y K~ incluidas en las tablas 52-9 y 52-8. Es decir, transformamos el quark s en un quark d y creamos un par uü a partir de la energía de decaimiento. c) Volvemos a reemplazar las partículas por su contenido de quark y entonces podemos escribir así la reacción su + uud —>sss t u s r ds, y, al eliminar en ambos lados los quarks comunes de u, d, y s, nos queda uü —>ss + ss. El proceso neto consiste en cancelar el par uü y la producción de dos pares sü en la energía de reacción. Los ejemplos anteriores son típicos de los procesos de quark: la interacción débil puede convertir un tipo de quark en otro. Una interacción fuerte crea o destruye los pares quark-antiquark, pero no puede transformar un tipo de quark en otro.
LA COSMOLOGIA DEL BIG BANG Desde el inicio de la historia escrita, el hombre ha reflexionado sobre el origen y el futuro del universo, una rama de la ciencia que hoy se conoce como cosm o lo g ía . Antes del siglo XX estas ideas provenían en su mayor parte de filósofos y teólogos, por que no se contaba con evidencia experimental de ningún tipo para fundamentar una teoría científica. En ese siglo, dos trascen dentales descubrimientos abrieron el camino para formular una teoría coherente que hoy aceptan casi todos los físicos.
La expansión del universo
D istancia (Mpc)
5 2 - 3 . Relación entre velocidad y distancia en grupos y conglomerados de galaxias. Las líneas rectas indican las relaciones de Hubble con varios valores de su parámetro H. F
El primero de ellos lo realizó el astrónomo Edwin Hubble (Fig. 52-5) durante la década de 1920. Estudiaba los diminu tos objetos llamados n e b u lo sa s en aquellos años. Al resolver las estrellas individuales en nebulosas, consiguió demostrar que son galaxias como la Vía Láctea y que se componen de millones de estrellas. Más sorprendente aún, dedujo que las galaxias se alejan entre sí y de nosotros y que a una mayor distancia corresponde una velocidad rececional mayor. En otras palabras, si d es la distancia entre la galaxia y la Tierra (o cualquier otro punto de referencia en el universo) y si v es la velocidad con que parece alejarse, la ley de Hubble nos da v = H d, (52-2) donde H es la constante de proporcionalidad denominada p a rám etro de H ubble.
El parámetro de Hubble tiene las dimensiones de inverso del tiempo. Su valor puede calcularse sólo mediante experi mentos: hay que deducir en forma independiente la distancia entre una galaxia y la Tierra, así como la velocidad en rela-
ig u r a
ción con ella. La velocidad rececional puede medirse fácil mente usando el corrimiento Doppler de la luz proveniente de la galaxia (Fig. 39-28), pero la escala de distancias es difícil de determinar (de hecho, las primeras estimaciones de Hub ble se equivocaron en un factor de 10). La figura 52-6 ofrece un ejemplo de datos más recientes que confirman la ley de Hubble* y dan una serie de valores de su parámetro. El mejor conjunto de datos actuales da un valor de km/s H = 7 2 -------- , Mpc donde Mpc (megaparseg) es una unidad con que suele medir se la distancia de la escala cósmica: 1 Mpc = 106 pe = 3.26 X 106 años-luz = 3.084 X 10 19 km. A causa de las incertidumbres que presentan las estimaciones de la escala cósmica de la distancia, el parámetro de Hubble también es incierto y sus valores posibles fluctúan entre 65 y 80 (km/s)/Mpc. Si el universo se ha venido expandiendo desde siempre y a una misma velocidad, H ~ l será su edad. Con el valor acep tado del parámetro de Hubble es posible estimarla en 14 X 10 9 años; la variación de la incertidumbre de H permite valo res en el rango de 12 — 15 X I O9 años. Pero, como veremos más adelante, la expansión del universo no ha sido constante, y por lo mismo, su verdadera edad es menor que el valor ac tualmente deducido de H ~ 1.
La radiación de fondo ti° las microondas cósmicas Aunque se propusieron otras explicaciones de la expansión del universo, la que obtuvo mayor aceptación fue la basada en la siguiente suposición: si hoy las galaxias se separan apresuF i g u r a 5 2 - 5 . Edwin Hubble (1889-1953) en los controles de un telescopio de 100 in en Mount Wilson, donde realizó gran parte de las investigaciones que lo condujeron a proponer que el universo se está expandiendo.
* Véase “The Expansion Rate and Size of the Universe”, de Wendy L. Freed man, Scientific A m erican, noviem bre de 1992. Consúltese también http:///www.hubbleconstant.com/.
redámente, debieron haber estado más cercanas en el pasado remoto. Si hacemos retroceder lo suficiente el reloj cósmico, descubriremos que en su estado primitivo el universo se com ponía de densidades extraordinariamente altas de materia y de radiación. Ambas se enfriaban a medida que se expandía; po demos imaginar la longitud de onda de los fotones radiantes que se alargaba durante el proceso. La radiación llenaba el universo entero en su estado compacto y sigue haciéndolo en la expansión. Esa expansión todavía la observamos hoy, enfria da al grado que su componente más intenso se halla en la re gión de microondas del espectro electromagnético. Se le da el nombre de ra d ia c ió n de fo n d o de m ic ro o n d a s có sm ica s. Esta radiación la descubrieron en 1965 Amo Penzias y Robert Wilson de los Bell Laboratories en Nueva Jersey, mientras probaban una antena de microondas utilizada en las comunicaciones vía satélite (Fig. 52-7). Sin importar hacia donde dirigieran la antena, escuchaban el mismo silbido mo lesto de fondo. Con el tiempo se dieron cuenta de que estaban viendo un vestigio del universo primitivo y este descubri miento les valió el Premio Nobel de Física de 1978. La radiación de fondo de microondas tiene un verdadero espectro térmico como el que describimos en la sección 45-2. En la figura 52-8 se incluyen mediciones de su intensidad en varias longitudes de onda; el lector puede apreciar la gran co rrespondencia entre la ley de radiación de Planck y la tempera tura de 2.725 K. Los puntos de los datos incluyen las mediciones recientes efectuadas de un satélite en órbita terrestre, con lo cual se elimina la absorción atmosférica. Las mediciones de la intensidad de este tipo de radiación en varias direcciones muestran lo siguiente: presenta una in tensidad uniforme en todas direcciones; al parecer no provie ne de una fuente particular en el cielo, sino que lo llena totalmente de una modo uniforme, como cabe esperar de la que llenó el universo primitivo. Con todo, las observaciones recientes revelan que hay fluctuaciones de temperatura de unos 10 ~5 K entre diversas regiones del cielo. Estos resulta-
jg r
F i g u r a 5 2 - 7 . Amo Penzias (derecha) y Robert Wilson, de pie frente a una larga antena de cuerno, con la cual fueron los primeros en detectar la radiación de fondo de microondas.
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100
Longitud de onda (cm) F i g u r a 5 2 - 8 . Espectro de la radiación cósmica de fondo de microondas. Los puntos representan las observaciones, y la línea llena, el espectro de Planck de la energía radiante correspondiente a una temperatura de 2.725 K. Nótese la excelente concordancia entre los puntos de datos y la curva teórica. Los datos entre 0.05 y 1.0 cm provienen de las observaciones hechas por el satélite COBE (COsmic Background Explorer) lanzado en 1989.
dos han sido interpretados como prueba de la distribución no uniforme de la materia en el universo primitivo que condujo finalmente a la condensación de las estrellas y de las galaxias. La densidad de energía de la radiación se calcula aplicando la ley de radiación de Planck (Ec. 45-6). La densidad numéri ca de éstos fotones de fondo es de unos 400 por cm 3 y la den sidad energética de unos 0.25 eV/cm 3 (correspondiente aproximadamente a la mitad de la energía en reposo de un electrón por m3). La energía promedio por fotón es de unos 0.00063 eV, lo cual explica por qué rara vez nos percatamos de la presencia de estos fotones.
La cosm ología de!
Bang
La teoría que mejor concuerda con estos dos resultados experi mentales (la ley de Hubble y la radiación de fondo) es la cosm o logía d e l B ig Bang. De acuerdo con ella, el universo nació hace unos 10-15 mil millones de años en un estado de extrema den sidad y temperatura. No había galaxias o ni siquiera la materia amontonada como la conocemos hoy; en aquella época tan re mota el universo estaba constituido por gran diversidad de par tículas y antipartículas, más la radiación. La densidad de la radiación y de la materia se relacionan con la temperatura del universo. A medida que se expande va enfriándose (igual que se enfría cualquier sistema termodinámico). Si hacemos algunas suposiciones razonables sobre la rapidez de expansión, des cubriremos una relación entre la temperatura y el tiempo transcurrido desde que se formó el universo: 1.5 X 10 10 sI/2-K T = j (52-3) donde la temperatura T se da en K y el tiempo t en segundos. La radiación en el universo primitivo estaba constituida por fotones de gran energía, cuya energía típica puede esti
marse aproximadamente como kT, donde k es la constante de Boltzman, y T ía temperatura en un tiempo particular f, deter minado mediante la ecuación 52-3. Los procesos dominantes en aquella época pueden representarse como fotones —» partícula + antipartícula partícula + antipartícula —> fotones
(52-4a) (52-46)
Las reacciones de tipo 52-4a (llamadas p ro d u cc ió n de son posibles sólo si la energía combinada de los foto nes en el lado izquierdo es más grande que la energía total en reposo 2m e2 de la partícula y antipartícula en el lado derecho. Cuando la temperatura es lo bastante elevada, las dos reaccio nes serán posibles; la velocidad de ambas reacciones será la misma y habrá un equilibrio entre los fotones, lo mismo que entre las partículas y antipartículas. Conforme el universo se expande y se enfría, la energía promedio de los fotones dis minuye hasta que en algún momento las reacciones del tipo 52-4a ya no serán posibles en determinado momento. Enton ces no se producen nuevas partículas ni antipartículas de ese tipo y se altera el equilibrio porque pueden seguir aparecien do reacciones del tipo 52-46 (denominado a n iq u ila ció n ). El número de ambas partículas decrece a medida que se aniqui lan entre sí. Veamos un ejemplo concreto en el caso de los protones. La reacción puede representarse así
p a res)
P + P
Y
p + p ~ > 7 + 7.
La energía en reposo del protón es 938 MeV. Para que se pro duzca esta reacción, la energía en el lado izquierdo 2 E y debe al menos ser tan grande como 2mpc2. Si representamos como k T la energía promedio del protón a una temperatura T, la temperatura correspondiente será BC~ J’ = -m P
938 MeV 8.62 X 1CT3 eV/K
1.1 X IQ13 K.
Cuando la temperatura del universo cae por debajo de este valor, la reacción y + y —*■p + p será cada vez menos proba ble, mientras que p + p —» y + y continuará produciéndose. Conforme a la ecuación 52-3, se alcanza esa temperatura en el tiempo de 1.5 X 10 10 s1/2-K V T
(
1.5 X 10 10sI/2-K 1.1. X 10i3K
10 '
En otras palabras, en épocas anteriores a unos 2 /xs, el univer so estaba lo bastante caliente para producir pares de protónantiprotón, pero más tarde ocurre su aniquilación. En épocas muy remotas, con temperaturas también más altas, quizá la radiación fue lo bastante caliente para crear parejas de quark-antiquark. De ser así, entonces el universo constaba fundamentalmente de leptones (y antilepíones), de quarks (y antiquakrs) y de fotones. Posiblemente los quarks se unieron para crear mesones o bariones, pero la radiación era lo bastante fuerte para disociarlos tan pronto se formaban. No conocemos todavía los detalles de la interacción entre los
quarks libres (ni siquiera si podían existir), tampoco podemos co nocer mucho de las características del universo en aquellos años. Más bien comenzamos la historia en épocas posteriores, cuando el universo ya se había enfriado lo suficiente para que los quarks y los antiquarks formaran mesones y bariones. t = IKT6 s (F = 1.5 X 10 13 K o kT = 1300 MeV). En ese entonces el universo constaba principalmente de protones, antiprotones, neutrones, antineutrones, leptones, antileptones y fotones. La rapidez con que se producían y se aniquilaban los pares (Ecs. 52-4a y 52-46) era más o menos idéntica, de modo que el número de cada clase de partículas es aproxima damente igual al de su antipartícula. La cantidad de fotones es más o menos la misma que la de protones y ésta a su vez era aproximadamente igual a la de electrones. Como los quarks y los antiquarks formaron mesones y bariones, la mayor parte de la influencia de la interacción fuerte ya había desaparecido para esta época. Las interaccio nes electromagnéticas y débiles continúan desempeñando una función central. Las primeras se representan por procesos co mo los de las ecuaciones 52-4c, 6 y las segundas pueden ocu rrir en proceso como éste n + v.
p + e
y
p + ve
n + e+
y otros similares, donde los neutrinos se crean y se destruyen con la misma rapidez. Mientras los leptones tengan suficien te energía, la rapidez de reacción inversa y hacia adelante se rán iguales; así se conserva el equilibrio entre el número de leptones (e + y e~) con carga eléctrica y neutrinos. Como esas reacciones convierten con la misma facilidad los neutrones en protones y viceversa, el universo primitivo contenía aproxi madamente igual cantidad de protones y de neutrones. t = 10~ s (T = 1.5 X 10-11 X o k T = 13 MeV). En este mo mento dejan de producirse pares de nucleones (protones y neutrones). Sigue dándose la aniquilación de nucleones-antinucíeones; debido a un ligero exceso de materia respecto a la antimateria (tema que abordaremos más adelante), desapare cen todos los antinucleones dejando sólo un exceso pequeño de nucleones. Los fotones aún tienen una temperatura suficien temente alta para crear pares de electrones-positrones. Entonces el universo se compone de protones, neutrones, electrones, positrones, neutrinos, antineutrinos y fotones. El número de protones es más o menos igual al de neutrones. = 1 s (T = 1.5 x 10 iO K o k T = 1.3 MeV). Al irse expan diendo el universo, los neutrinos se enfrían junto con los fo tones, y su energía promedio es aproximadamente kT. Dado que la diferencia de energía en reposo de neutrones-protones es de unos 1.8 MeV, los neutrinos ya no poseen bastante ener gía para convertir los protones en neutrones; pero es posible convertir neutrones en protones mediante —por ejemplo— la captura de neutrinos (n + ve - + p -f e - ). En este momento los neutrinos comienzan a “desacoplarse” de la materia en el uni verso, es decir, sus interacciones con ella se toman menos fre cuentes y las pocas restantes no ejercen mucha influencia sobre las propiedades de los neutrinos (sobre todo en su tem
t
peratura o energía promedio). Desde entonces hasta el mo mento actual, los neutrinos siguen llenando el cosmos y en friándose a medida que se enfría. Hoy su energía promedio es muy reducida, unos 0.0005 eV, y su densidad es de unos 400 por cm3. A consecuencia de su desacoplamiento, se altera el equili brio entre el número de neutrones y de protones y en t = 1 s los nucleones constan de un 73% de protones y de un 27% de neutrones. í = 6 s ( 7 = 6 X 10 9 K o k T = 0.5 M eV). En la actualidad los fotones tienen muy poca energía para crear inclusive pa res de electrones-positrones; la aniquilación de ellos ha aca bado con casi todos los positrones y electrones. Con ello se altera aún más su capacidad de transformación para seguir ambas direcciones; por eso, el número relativo de protones continúa aumentando, y hoy hay aproximadamente 83% de protones y 17% de neutrones. Hoy el universo se compone de un número N de proto nes, 0.2 N neutrones, N electrones y una cantidad mucho ma yor de fotones y neutrinos. En épocas pasadas el número de fotones era más o menos igual al de nucleones y de antinu cleones; pero en el momento actual el número de protones re presenta apenas un ligero exceso respecto al de antiprotones que quedaron tras la aniquilación. Podemos deducir la razón entre fotones y nucleones, pues determina la cantidad relativa de ciertos elementos ligeros como el deuterio ( 2H) que se for maron en el universo primitivo. Este número resulta ser 10 9 aproximadamente. En otras palabras, por cada 1,000,000,001 protones y, 1 ,000,000,000 antiprotones en el universo prirni-
tivo, después de la aniquilación queda apenas un protón y nin gún antiprotón. Por lo que sabemos, el universo actual no contiene estre llas ni galaxias hechas de antimateria. Consta enteramente del pequeño exceso de la que quedó tras la aniquilación. ¿Dónde se originó ese exceso de materia respecto a la antimateria? La prueba de esta asimetría entre ambas se observa en la diferen cia en las propiedades de decaimiento del mesón neutro K K° y su antipartícula K°. La interacción que causa la asimetría to davía no se conoce bien, pero su efecto en la distribución de las partículas y de las antipartículas puede haber provocado el exceso durante la primera era en la evolución del universo cuando predominaban los quarks y los leptones. Hasta ahora el K° es el único sistema que muestra este efecto, aunque se piensa que también lo ocasionan el mesón neutro B B° y su antipartícula B°. En el Stanford Linear Accelerator Center es tá construyéndose una nueva instalación de aceleración y de tección para probar esta predicción. Es otro ejemplo de cómo los resultados de la física de partículas incide profundamente en el desarrollo de la cosmología. Esta descripción de la evolución del universo, ilustrada gráficamente en la figura 52-9 nos ha llevado desde su forma ción durante la Big Bang, a través de las eras calientes y tur bulentas dominadas por reacciones nucleares, hasta el tiempo de unos cuantos segundos cuando la composición se volvió idéntica con las partículas que hoy lo constituyen. En la si guiente sección veremos cómo las partículas se combinaron para formar los núcleos y los átomos que se observan en la ac tualidad.
Tiom nn
5 2 - 9 . Evolución del universo según la cosmología de la Gran explosión (Big Bang). La línea llena indica la relación entre la temperatura y el tiempo conforme a la ecuación 52-3. Se muestran las reacciones importantes en cada área. (Aquí, q y q representan el quark y el antiquark, respectivamente.) F i g u r a
P r o b í - e m a R e s u e l t o 5 2 - 6 . ¿Cuándo el universo se enfrió tan to como para permitir que la radiación creara pares //Ú p T n.
Solución Un muón de energía tiene una energía en reposo de 105.7 MeV. Los fotones presentan esta energía promedio a una temperatu ra determinada por _ _
_
mi±c ~ _
_
^
105.7 MeV
^
= 1.23
X
10I2K.
El tiempo correspondiente se calcula por medio de la ecuación 52-3: t =
1.5 X 1010 sl/2-K 1.23 X IO12 K
= 1.5
X
E (MeV)
10~4 !
5 2 -1 o . Espectro de energía de los fotones en un momento particular de la evolución del universo. Pueden disociar deuterones los fotones con energía por arriba de 2.2 MeV, que constituyen una pequeña parte del número total de fotones. F ig u r a
NUCLEOSÍNTESIS Cuando el universo tenía unos cuantos segundos de edad es taba constituido por protones, neutrones y electrones. Hoy se compone fundamentalmente de hidrógeno y de helio, con una pequeña abundancia de elementos más pesados. ¿Cómo se crearon los núcleos y átomos actuales a partir de la Big Bang? A la formación actual de los elementos se le conoce como n ú cleo sín tesis. Según veremos luego, la observación de la abundancia presente de los elementos nos da pistas sobre los procesos que ocurrieron durante la gran explosión.
Nucleosíntesis
ll
Bang
El primer paso en la constitución de átomos complejos es la formación de los núcleos de deuterio (deuterones) debido a la combinación de un protón y de un neutrón de acuerdo con n + p -e* d + y. La energía de enlace del deuterón (Sec. 50-2) es 2.2 MeV, que es la del rayo y que se libera durante la formación. La reac ción inversa, d + y —^ n + p, puede separar los núcleos de deuterio en sus protones y neu trones constitutivos, si la energía de rayos y es por lo menos de 2.2 MeV. Si el universo está lleno de fotones energéticos, las dos reacciones ocurrirán con la misma velocidad y el deuterio se disociará con la misma rapidez con que se creó. Pero si el universo es bastante viejo, los fotones no tendrán suficiente energía para realizar esa reacción y el deuterio empezará a acumularse. Al concluir nuestra historia en la sección anterior, el uni verso tenía unos 6 s de edad y la energía promedio de la ra diación era aproximadamente 0.5 MeV, menos de la que se requiere para evitar que el deuterio se siguiera formando. No obstante, recuérdese que la radiación tenía una distribución de energía de Planck (Fig. 52-10, que se comentó en la Sec. 45-2) y que hay quizá 10 9 fotones por cada protón o neutrón. Exis te una cola de gran energía en la distribución; esto indica que con cualquier temperatura de la radiación siempre habrá algu-
nos fotones de energía por arriba de 2.2 MeV capaces de se parar los núcleos de deuterio. Si en promedio el número de ellos es menor que el de protones y de neutrones, el deute rio podrá comenzar a acumularse. La razón aproximada de neutrón a protones es 0.2 en esta fase de la evolución del universo y hay alrededor de 109 foto nes por nucleón, de manera que dicha razón es de unos 0.2 X 10~9. Si la fracción de fotones con energía mayor que 2.2 MeV es más pequeña que 0.2 X 10~9, de la cantidad total de fotones, habrá menos de un fotón energético por neutrón y el deuterio podrá continuar formándose. Con base en la expre sión de la distribución de Planck (obtenida de la Ec. 45-6), en contramos que la fracción de fotones con una energía mayor de 2.2 MeV será más pequeña que 0.2 X 10 “ 9 cuando la tem peratura haya bajado a 9 X 10 8 K. En la ecuación 52-3 se ve que el descenso puede darse en un tiempo de 250 s. En un tiempo de 250 s comienza a constituirse el núcleo de deuterio. Puesto que su abundancia es menor que la de pro tones o neutrones, los deuterones reaccionarán fácilmente con ellos confonne a las reacciones d ~b- p —> 3He + y.
d + n —» 3H + y
Por último, los 3H y 3He también reaccionarán con protones y neutrones, como se indica en 3H + p —» 4He + y
y
JHe
■4He
7-
En las cuatro reacciones anteriores la energía de enlace de la partícula final es mayor que la del deuterón. Por eso, si la radiación es demasiado débil para impedir la formación de deuterones, también los será para evitar las reacciones sucesi vas. Podemos, pues, suponer que casi todos los deuterones terminan convirtiéndose en 4He, de modo que en esta etapa de la evolución del universo los productos finales son protones y las partículas a . No existen núcleos estables con un número de masa de 5, por lo cual estas reacciones no pueden proseguir más allá de 4He. Si queremos calcular el número relativo de núcleos de 4He, hay que determinar el número de neutrones disponibles en t = 250 s, cuando los deuterones empiezan a formarse.
Cuando t = 6 s, alrededor de 17% de los nucleones son neu trones, pero a causa del decaimiento radiactivo del neutrón al gunos serán convertidos en protones entre t = 6 s y t = 250 s. Usando la vida media del neutrón (unos 11 minutos), compro bamos que en t — 250 s los nucleones constarán aproximada mente de 12.5% de neutrones y de 87.5% de protones. Es decir, por cada 10,000 nucleones habrá 1250 neutrones y 8750 protones. Los neutrones se combinarán con 1250 proto nes para crear 625 núcleos de 4He dejando 8750 — 1250 = 7500 protones. De la cantidad total de núcleos existentes en el universo en este tiempo, 7.7% son 4He y 92.3% son proto nes. En lo tocante a la masa, el 4He constituye una parte de la masa total del universo dada por 4 x 625 7500 + 4 X 625
0.25 o 25%.
La abundancia de 4He en el universo actual debería ser igual a este valor, si ignoramos la combustión del hidrógeno para convertirse en helio que tiene lugar en la estrellas. La abundancia medida en varios sistemas, entre ellos las estre llas, las nebulosas gaseosas y planetarias, resulta ser 24 ± 1 %, valor que concuerda con nuestra estimación y según el cual nuestra descripción es sin duda razonable. El último paso en la producción de materia durante la gran explosión es la formación de átomos neutros de hidrógeno y de helio, cuando los protones y ios núcleos de 4He se combinan con los electrones. Igual que en el caso de la formación de deuterones, esto no puede ocurrir cuando hay suficientes fotones en la cola de gran energía de la distribución de Planck para separar los átomos neutros que pueden producirse. En este caso quere mos que la fracción relativa de fotones con energías por arriba de 13.6 eV (la energía de enlace del hidrógeno atómico) sea me nor de 10- 9 . Ello ocurre a temperaturas de unos 6000 K, que corresponde a una edad del universo de 200,000 años aproxima damente. (Al enfriarse la radiación, la densidad de energía que da más bajo el dominio de la materia que de la radiación. En este caso no es muy correcta la ecuación 52-3, que supone un uni verso dominado por la radiación. Si tenemos en cuenta dicho efecto, la temperatura del universo cuando empiezan a formarse átomos de hidrógeno se acerca más a 3000 K, correspondiente a una edad de 700,000 años aproximadamente.) Una vez constituidos los átomos neutrales, prácticamen te ya no quedan en el universo partículas libres con carga eléctrica. Es el momento de desacoplar la materia y el campo de radiación. El universo se toma transparente a la radiación, la cual recorre largas distancias sin interactuar con la materia. Esta radiación, que ha venido desplazándose desde la desacoplación, se observa hoy como el fondo de las microondas. La expansión del universo ha disminuido la temperatura de ra diación en un factor de 1000 desde esa época. La historia de la evolución del universo tal como la des cribe la cosmología inspirada en la Big Bang es sumamente interesante. Integra los experimentos modernos en la física nuclear y corpuscular a la física cuántica y a la termodinámi ca clásica. Aporta resultados susceptibles de comprobarse en el universo actual, entre ellos: la abundancia de helio, la radiación
de fondo de las microondas y la pequeña abundancia del deuterio residual que no se “coció” integrándose a núcleos de ma sa 3. Es una historia que se basa decisivamente en la intensidad de las fuerzas nucleares o subnucleares y en varias partículas que intervinieron en el universo antiguo. Por ejemplo, si hubie ra una cuarta generación de leptones, la rapidez de reacción en los procesos de interacción débil sería mayor y se formarían más neutrones, lo cual vendría a acrecentar la abundancia de 4He. Para muchos cosmólogos su abundancia hoy observada li mita a tres el número de generaciones de leptones.
Form ación de los elementos pesados Tras el desacoplamiento de la materia y de la radiación, la pri mera (constituida por hidrógeno y helio) quedó sometida ex clusivamente a la fuerza gravitacional. En las observaciones recientes y muy precisas del fondo de microondas se ha des cubierto que la distribución de la materia en esa época fue un poco no uniforme. Las regiones de densidad un poco mayor comenzaron a condensarse en nubes de densidad cada vez más grande. Al encontrarse las nubes bajo su propia gravedad, la temperatura se elevó hasta alcanzar suficiente intensidad co mo para desencadenar reacciones de fusión. Fue así como se formó la primera generación de estrellas. En el capítulo 51 vimos que las estrellas convierten el hi drógeno en helio a través de reacciones de fusión. Después que una ha consumido su suministro de hidrógeno y se convierte en helio principalmente, puede empezar a contraerse otra vez, ele vando así su temperatura. (Este incremento aumenta la presión de la radiación, lo cual a su vez agranda el radio de la estrella. El área superficial se incrementa más rápidamente que la tem peratura, de modo que decrece la energía por unidad de área en la superficie y el color de la estrella pasa de amarillo a rojo. És ta es la fase del gig a n te rojo en la evolución de una estrella.) Con el tiempo la temperatura alcanza un nivel tan alto que la ha rtera de Coulomb entre dos núcleos de 4He puede franquearse exitosamente mediante su movimiento térmico y se produce la fusión del helio. Su reacción simple '’Fie + 4He —> sBe no contribuye a la fusión en una estrella, pues sBe es inesta ble y se divide con la misma rapidez con que se forma. La fu sión de helio requiere que participe un tercer 4He, de manera que la reacción neta es 4He + 4He + Uie —> 12C + y. Una vez constituido el 12C, podemos tener otras reacciones de 4He, entre ellas l2C + 4He - * l60 + y, l60
4He —> 20Ne + y,
20Ne 4He -> 24Mg + y, y así sucesivamente. Sus barreras de Coulomb son cada vez más altas y de ahí que exijan temperaturas crecientes. Cuando el combustible de helio se agota, aparece de nue vo la contracción que eleva la temperatura y pueden ocurrir otras reacciones como la combustión del carbono:
Con el tiempo alcanzan un nivel máximo en la curva de energía de enlace (Fig. 50-6) aproximadamente en A = 56. Más allá de este punto no se libera energía en las reacciones de fusión. En la figura 52-11 se muestra la abundancia de núcleos en este intervalo de masa. Las abundancias relativas apoyan el es cenario produciendo los elementos en las reacciones de fusión. Nótese que C tiene una abundancia de más de cinco órdenes de magnitud que Li, Be y B, que no se crearon durante estos pro cesos. Nótese asimismo que, en promedio, inclusive los nú cleos Z pares presentan en promedio una abundancia de más de un orden de magnitud que sus vecinos Z impares. Las reaccio nes de fusión con 4He producen sólo productos Z pares, de mo do que la mayor abundancia observada de ellos concuerda con nuestra explicación de su formación. Obsérvese detenidamente el último punto de la figura 5211: indica que la abundancia total de los 50 elementos más allá de los núcleos en la variación de masa 56 es menor que la de todos los elementos, menos uno, en la región desde C hasta Zn. Al parecer, la mayor parte de la materia que cono cemos se originó en los procesos de fusión. El elemento más allá de A = 56 no puede obtenerse a tra vés de reacciones de fusión en las estrellas. Más bien se crean mediante los procesos de captura de neutrones. Un núcleo en el interior de una estrella puede realizar esta acción hasta que su exceso de neutrones es suficiente y le hace querer convertir un neutrón adicional en protón con el decaimiento beta, n —*p + e + + vg, con lo cual aumenta en 1 el número de protones. De este modo, el número atómico crece un paso a la vez hasta al canzar los núcleos más pesados que existen en la naturaleza. Por ejemplo, el proceso comienza así con Fe (Z = 26): 56Fe + n —> 57Fe + y 57Fe + n ■ 58Fe + y 58Fe + n ■
S 9 p e
+
y
57Fe y 5SFe son estables, mientras que 59Fe es radiactivo y presenta el decaimiento beta con una vida media de 45 días, transformándose en 5yCo (Z = 27). El proceso prosigue a me dida que 39Co captura un neutrón para convertirse en 60Co, que es radiactivo, pasa por el decaimiento beta y se transforma en
:
N C
F O
Na Al P Cl K Sc V Cu Co M n i N e M g Si S A r Ca Ti C r Fe Ni Znl
Total d e todo lo d e m á s — ----------- 1
5 2 - 3 1 - A bundancias relativas (por masa) de los elementos más allá del helio en el sistem a solar. F i g u r a
60Ni (Z = 28). Prosiguiendo así podemos producir todos los elementos más pesados a través del proceso de decaimiento beta-captura de neutrones. Hay una densidad pequeña de neutrones en el interior de las estrellas, y por eso, este proceso tiene lugar lentamente durante la vida de una estrella. De ahí que se le conozca como núcleosíntesis por proceso s (s es la letra con que empieza la palabra inglesa slow = lentamente). Por otra parte, en una supemova explosiva la densidad de los neutrones puede ser 1010 — 102° veces más grande, y el proceso entero a veces ocurre muy rápi damente (en cuestión de segundos o minutos). En este caso se le llama nucleosíntesis por proceso r (r es la letra con que em pieza la palabra inglesa rapid — rápido). Muchos núcleos ra diactivos se forman con mucha rapidez durante el proceso r para desintegrarse luego en los elementos estables de la naturaleza. Los elementos resultantes se distribuyen en el espacio una vez concluida la nucleosíntesis por proceso s o r . Los elemen tos más allá de la masa 56 existentes en la Tierra se crearon de este modo en las estrellas de la primera generación. Los ele mentos del sistema solar (y de hecho también nosotros) están hechos de las cenizas recicladas de estrellas quemadas.
2 - a7 l a e d a d d e l u n i v e r s o En la sección 50-7 explicamos cómo con los métodos del fe chado radiactivo se calcula la edad de la Tierna. Al examinar las cantidades relativas de isótopos padres e hijas en ciertos procesos del decaimiento radiactivo con una vida media en el intervalo 108 — 109 años (por ejemplo, 238U —* 206Pb, S7Rb —*• 87Sr y 40K —‘ 40Ar). Se ha determinado que las rocas más viejas de la Tierra tienen una edad aproximada de 4.5 X IO 9 años. Un valor idéntico se obtiene en el caso de los meteori tos y de las rocas procedentes de la Luna. Por tanto, podemos estar bastante seguros de que este valor representa el tiempo transcurrido desde que se condensó el sistema solar. Sabemos que la edad del universo debe ser mayor que este valor, pues el sistema solar se constituyó a partir de elemen tos creados en el interior de las estrellas o en las supernovas. Su com posición química actual quedó establecida durante una era anterior de nucleosíntesis, que tuvo lugar en una ge neración previa de las estrellas. Si queremos conocer la edad verdadera del universo, hay que determinar el intervalo tem poral necesario para producir los elementos. El tiempo total entre la Gran explosión (Big Bang) y el mo mento actual puede dividirse en cuatro periodos: 1) de la gran explosión a la formación de átomos neutros de H y He (q); 2) la condensación de galaxias y la formación de las estrellas de la primera generación (í7); 3) la nucleosíntesis en las estrellas y las supernovas que dio origen a los elementos químicos ac tuales (t3): 4) la formación y evolución del sistema solar a par tir de los desechos de las primeras estrellas (f4). La edad del universo es la suma de los siguientes cuatro términos: r = r, + t2 + ?3 + t4.
(52-5)
Al estudiar la cosm ología de la gran explosión, dijimos que el tiempo í, transcurrido desde ese momento hasta los átomos
neutros constituidos no es mayor de 106 años. No se conoce con exactitud el tiempo transcurrido t2 desde las galaxias has ta la condensación a partir del hidrógeno y del helio creados en ella, pero se estima que se sitúa en el intervalo de 1-2 X 109 años. Sabemos que f4 es 4.5 X 109 años, de modo que la edad del universo puede calcularse si obtenemos el tiempo ?3 asociado a la nucleosíntesis. Este tiempo puede estimarse partiendo de las abundancias relativas de los productos que quedan al final de la nucleosíntesis. Tomemos, por ejemplo, los isótopos 235U y 238U, que hoy presentan una abundancia relativa de 0.72% (consúltese lo dicho en la Sec. 51-5 sobre el reactor de fisión natural). 235U y 238U han venido desintegrándose durante el intervalo transcurrido desde la formación del sistema solar. Su razón hace 4.5 X 109 años es (Prob. res. 51-4) R{ 0) = = (0.0072)e(0'984_0-155Kir’ a_1)(4-3x loSa) = 0.30. Durante el intervalo f3, ambos isótopos iban formándose más o menos continuamente a través del proceso r, en tanto que naturalmente también ocurría decaimiento relativo. Dada la producción de isótopos en este tiempo, la razón de su abun dancia no se alteraba con la misma rapidez que durante el de caimiento libre en el intervalo t4 (Fig. 52-12). La evidencia aportada por la abundancia del uranio indica que u se halla en el intervalo 4—9 X 109 años; el análisis de las abundadas de otros núcleos con proceso r arroja valores similares aunque un poco mayores. La mejor estimación de L es de unos 8 X 109 a ñ o s, con un in te rv a lo de 4 -3 2 X 109 años.
Al combinar los resultados tenemos como estimación de la edad del universo t = t\ + /i + íj + = 106 a + 1 - 2 X 109 a + = 14 X 109 años.
Este número es un poco incierto a causa del intervalo de va lores en el cálculo de ty Si tenemos en cuenta la incertidumbre obtendremos t = 1 0 -1 8
X
109 años.
Consideremos todas las implicaciones de la física conte nidas en este resultado tan simple. Al calcular tx utilizamos el conocimiento acumulativo de la física de partículas, del elec tromagnetismo, de la física térmica y de la física atómica y nuclear para saber cómo se formó la materia tal como la co nocemos. El intervalo í, se obtiene mediante cálculos en que se utilizan la termodinámica y la teoría gravitacional para analizar la condensación de la materia fría en estrellas calien tes. La estimación de t3 se basa en el conocimiento de la nu cleosíntesis mediante los procesos r y s, basada en los estudios de la física nuclear efectuados en los laboratorios de la Tierra; el intervalo í4 se basa en experimentos posteriores de física nuclear y en la investigación de la geoquímica.
Determ inación cosmológica de la edad Si hacemos la suposición aproximada, pero no muy correcta, de que el universo ha venido expandiéndose con la misma ve locidad desde su formación, la separación d entre las galaxias comunes debería relacionarse con la edad de él conforme a d =
v i,
donde V es la velocidad (supuestamente constante) de separa ción. Al comparar el resultado anterior con la ecuación 52-2 vemos que la edad t del universo no es otra cosa que la inver sa del parámetro de Hubble: t = H ~\
8 X
109 a + 4.5
109 años
X
(52-6)
La mejor estimación actual del parámetro de Hubble, H = 72 (km/s)/Mpc, produce un valor de la edad del universo t = 14
X
109 años,
que concuerda de modo extraordinario con el valor obtenido mediante el cálculo por nucleosíntesis. El intervalo de incertidumbre del parámetro de Hubble, 65-80 (km7s)/Mpc, nos da el siguiente intervalo correspondiente de edades: t = 1 2 -1 5
i
i____ !____ !____ !____ !____ !____ I____ j____ !____ !____ 1____ ¡____ 1 12
10
8
6
4
2
0
T iem p o a n te s del p r e s e n te (1 0 9 a ñ o s ) F i g u r a 5 2 - 1 2 . El cambio de la razón 235U /238U con el tiempo. Durante la vida del sistema solar (el tiempo ¿4), la razón cambia debido solamente a los decaimientos relativos, alcanzando finalmente el valor actual de 0.0072. Durante el intervalo A, la producción por el proceso r ocurre junto con el decaim iento. La duración deducida para el intervalo i3 depende del valor que adoptem os para la razón inicial, el cual debe determinarse mediante un cálculo.
X
109 años,
que se sobrepone con el conseguido a través de la nucleosín tesis. La suposición referente a la velocidad constante de separa ción de las galaxias es casi ciertamente incorrecta. La atracción gravitacional mutua que ejercen ha disminuido la rapidez de su separación desde la (Big Bang) Gran explosión, de modo que en épocas anteriores pudo haber sido mayor que la actual. En la figura 52-13 se ofrece una representación de una distancia típica de separación intergaláctica en función del tiempo. Si fuera válido el modelo de “velocidad constante” , la edad del universo sería t = H ~ l. Si hubiera disminuido desde la gran explosión, la edad deducida dependería de la velocidad de desaceleración. El hombre no ha observado bastante tiempo para detectar cambios en la rapidez de separación; debemos,
Tiem po F i g u r a 5 2 - 1 3 . D ependencia de una distancia de separación galáctica normal respecto al tiempo durante la evolución del universo, según diversos modelos. Si el universo se hubiera venido expandiendo con una rapidez constante (línea recta), podríamos extrapolar hacia atrás hasta la separación cero (la Big Bang) la Gran explosión en un tiempo H ~ l antes del presente. Si la rapidez de la expansión hubiera dism inuido a causa de la interacción gravitacional (un escenario más razonable), la Gran explosión habría ocurrido en menos tiempo que H~~l antes del presente. La expansión se convertirá con el tiempo en una contracción, si la fuerza gravitacional es lo bastante fuerte.
pues, confiar en dos métodos indirectos para determinar la de saceleración: 1) podemos medir los corrimientos rojos al inferir así la rapidez de los objetos más lejanos (y por tanto los más vie jos) observables por medio del telescopio; 2) podemos calcular la desaceleración a partir de los efectos gravitacionales que en el universo tiene la materia total. Sorprende un poco lo siguiente: las mediciones recientes de los corrimientos al rojo de la mayoría de las galaxias leja nas indican que la expansión se acelera en vez de desacele rarse. En otras palabras, la rapidez de expansión en la era de esas galaxias viejas era más lenta de lo que cabría suponer al
extrapolar la velocidad actual de expansión. Este efecto, que todavía no se explica de una manera convincente, se atribuye a la presencia de una “energía oscura” en todo el universo que im pulsa la aceleración. Es difícil calcular el efecto desacelerador de la materia en el universo, porque todavía ignoramos cuánta contiene. Las me diciones señalan que la materia observable no es suficiente pa ra explicar la atracción gravitacional dentro de las galaxias o en grupos de ellas. Los astrofísicos han postulado la existencia de la materia oscura que no es visible, pero que debe existir para producir la atracción gravitacional. Su cantidad y su forma (des de los tipos conocidos o exóticos de las partículas elementales hasta las estrellas extinguidas) son inciertas, pero pueden repre sentar hasta el 90% de la masa del universo. Se han propuesto varios modelos cosmológicos que en la figura 52-13 dan curvas de distinta curvatura y, por tanto, dis tintas edades del universo. Por ejemplo, algunas ofrecen una edad equivalente a una m itad o a dos tercios de H ~ 1, o 6-10 X 109 años. A unque no sabemos cuál de ellos (si es que algu no) es correcto, parece claro que la nucleosíntesis y las esti maciones cosm ológicas de la edad coinciden con valores en el intervalo 10-15 X 109 años. A los físicos les causa enorme frustración no poder visua lizar la historia del universo con mayor certidumbre, pues también se ve lim itada su capacidad de ver hacia adelante. ¿Continuará la expansión por siempre o existe suficiente materia para invertirla? La figura 52-13 contiene varios resul tados posibles. Tal vez los cosmólogos del futuro observarán que las galaxias se apresuran a unirse a medida que el univer so “se calienta” y ellas se juntan, alcanzando finalmente un punto (un “gran crujido”) que podrá acompañarse de otra gran explosión. O quizá la expansión continué de modo indefini do, hasta que el universo se enfríe y se oscurezca. Si quere mos encontrar la solución a este problema fundamental, habrá que efectuar investigaciones vigorosas en la vanguardia de la astrofísica, de la física nuclear y de la física de partículas.
O p c ió n m ú l t ip l e 5 2 - 1 Interacciones de las partículas
c) M edio espín, los productos del decaim iento son un barión y algunos mesones. d) Espín entero, los productos del decaim iento son únicam ente mesones. e) M edio espín, los productos del decaim iento son únicamente mesones. A) Leptón B) Mesón C) B arión D) No es posible
1. Identifique la interacción causante de los siguientes decaimien tos (se incluye la vida de cada uno): a) A* -+ p + 77“ (1CT23 s); b) K° -* + tt~ (10“ 10 s), c) r¡ —►y + y (1 0 ~ 15 s). A) Fuerte B) Electrom agnético C) Débil D ) Gravitacional
32-2 Familias de partículas 2. En el espín y los productos del decaim iento señalados, ¿a cuál familia pertenecen las siguientes partículas? a) M edio espín, los productos del decaim iento son únicamente leptones y/o antileptones. b) Espín entero, los productos del decaim iento son únicamente leptones y/o antileptones.
52-3 Leyes de conservación 3.
M encione la ley de conservación que se viola en cada uno de los siguientes decaim ientos: a) jjl~ —* e + + v + ve; b) ir+ —* e + + y \ c) /x+ — 77+ + Vp A) Carga eléctrica B) Núm ero de leptones C) Energía D) Núm ero de bariones
4. M encione la ley de conservación que se viola en cada uno de los siguientes decaimientos: a) ü - — 2 + + ir0; b) A° — ir+ + tr~; c) A° — p + K “ . A) Energía B) Extrañeza C) Núm ero de bariones D) N úm ero de mesones
5 2 -4 E l m odelo de los quarks 5. Si q = quark y si q = antiquark, indique dos de las siguientes com binaciones que serían posibles? A) qqq B) qqqq C) qqq D) qqqqq E) qqqqq
= 2 -5 L a cosm ología del Big Bang 6.
L a densidad de energía del universo primitivo (t < 10-6 s) estuvo dominada p o r______________ y la del universo actual es tá dom inada p o r _____________ . A) radiación, radiación B) radiación, materia C) materia, radiación D) materia, m ateria
5 2 - s N ucleosíntesis 3 2 - 7 L a ed ad de! universo
P reguntas 1. En el átomo de hidrógeno, es aproxim adam ente 10~~4° la razón de la fuerza gravitacional entre el electrón y el protón y la m ag nitud de la fuerza electrom agnética entre ellos. Si ésta es mucho m ás débil que aquélla, ¿por qué se descubrió prim ero la fuerza gravitacional y es mucho más evidente para nosotros? 2. ¿Qué se entiende por partícula elem ental? Al obtener una res puesta considere propiedades como vida, masa, tamaño, conver sión en otras partículas por decaim iento, fusión para form ar otras partículas y reacciones. 3. ¿Por qué los físicos de partículas quieren acelerarlas para gene rar energías cada vez más fuertes? 4. M encione dos partículas que no tengan masa ni carga. ¿Cuáles serán sus propiedades? 5. ¿Por qué los neutrinos no dejan vestigios en las cámaras de detección? 6. Los nuetrinos carecen de m asa (supuestamente) y se desplazan con la velocidad de la luz. ¿Cómo entonces transportan cantida des variables de energía? 7. ¿Tienen antipartículas todas las partículas? ¿Y los fotones? 8. En el decaim iento de un antineutrón para convertirse en antipro tón, ¿se emite un neutrino o un antineutrino? 9. Los fotones y los neutrinos se parecen en que tienen cero carga, cero m asa y se desplazan con la velocidad de la luz. ¿Qué dife rencia existe entre ellos? ¿Cómo los produciría? ¿En qué forma los detectaría? 10. Explique por qué decimos que el m esón tP es su propia antipar tícula? 11. U n electrón no puede convertirse por decaim iento en dos neu trones. ¿A qué se debe? 12. ¿Por qué es estable el electrón? Es decir, ¿por qué no se desin tegra y se convierte espontáneam ente en otras partículas? 13. Un electrón en reposo no puede emitir un fotón de rayos gam m a y desaparecer. ¿Por qué? ¿Podría hacerlo un electrón en m o vimiento? 14. Un neutrón es lo bastante voluminoso para decaer em itiendo un protón y dos neutrinos. ¿Por qué no lo hace? 13. Un positrón invariablemente encuentra un electrón y los dos se aniquilan entre sí. ¿Por qué entonces podem os llam arlo partícu la estable? 16. ¿Cuál es el m ecanism o en virtud del cual dos electrones ejercen una fuerza m utua? 17. ¿Por qué no agrupam os las partículas en familias a partir de su masa?
18. U na partícula que reacciona ante la fuerza fuerte es un m esón o un barión. Puede saberlo permitiendo que decaiga hasta que só lo queden productos finales estables. Si entre ellos hay un pro tón, la partícula original era un barión. Y si no lo hay era un m esón. Explique esta regla de clasificación. 19. ¿Cuántas clases de leptones estables existen? ¿De mesones es tables? ¿De bariones estables? M enciónelas en cada caso. 20. L a m ayor parte de las reacciones físicas son endotérmicas en vez de exotérmicas. ¿Por qué? 21. ¿Cuál es la partícula más ligera que interactúa con m ucha fuer. za? ¿Cuál es la partícula más pesada que no se ve afectada por una interacción fuerte? 22. Éh las siguientes partículas indique cuál de las fuerzas básicas ejerce influencia: a) electrón, b) neutrinos, c ) neutrón, d) pión. 23. A sí com o los rayos X sirven para descubrir las imperfecciones internas de la fusión de un metal causada por burbujas de gas, tam bién los muones de rayos cósmicos se usan en los intentos de detectar cámaras mortuorias ocultas en la pirám ides de E gip to. ¿Por qué se em plean los muones? 24. ¿Influye la interacción débil en las partículas de interacción fuerte? 25. ¿Producen neutrinos todos los decaimientos con interacción débil? 26. Los mesones y los bariones son sensibles a la fuerza intensa. ¿En qué aspectos se diferencian? 27. Com pare las tablas 52-3 y 52-7; señale después el m ayor núme ro posible de sem ejanzas y diferencias entre los leptones y los quarks. 28. ¿Qué pruebas experimentales hay en favor de la existencia de los quarks? 29. C on dos leptones y dos quarks podemos explicar el mundo “or dinario” que nos rodea. Menciónelos. 30. El pión neutro presenta una estructura de quark uü y se desinte gra con una vida m edia apenas de 8.3 X 1 0 ~ 17 s. Por el contra rio, el pión con carga eléctrica tiene una estructura de ud y se desintegra con una vida m edia de 2.6 X 10~~s s. Basándose en la estructura del quark, explique por qué la vida media de un pión neutro debería ser mucho menor que la de un pión con car ga. (Sugerencia: recuerde la aniquilación.) 31. ¿C ontienen quarks los leptones? ¿Los m esones? ¿Los fotones? ¿Y los bariones? 32. El barión A* puede tener una carga eléctrica de + 2e (Tab. 52-5). Con base en el m odelo de quark, ¿cabe suponer que habrá m e sones con la carga + 2e? ¿Y bariones con ia carga — 2e?
33. El barión 2 + se desintegra con una vida m edia típica de la interac ción débil (Tabla 52-5). ¿Debería convertirse en el barión A° por la interacción füerte sin modificar la extrañeza? ¿Por qué no lo hace? 34. ¿Por qué no podem os encontrar el centro del universo en expan sión? ¿Lo estam os buscando? 35= Debido al efecto de la gravedad, la rapidez con que se expande el universo debe haber dism inuido en el tiem po que siguió a la gran explosión. D em uestre que ello significa que el universo tiene una edad m enor que l/H .
E
36. U sando telescopios sensibles en cualquier parte del espectro electrom agnético, no es posible retroceder con la m irada más allá de unos 500,000 años antes de la gran explosión. ¿Por qué? 37. ¿Cómo se llega a la conclusión de que la m ateria visible puede representar alrededor de 10% de la m ateria del universo? 38. ¿Siem pre estam os retrocediendo en el tiem po al observar una galaxia lejana? ¿Im porta la dirección en que m irem os? 39. ¿Se le ocurre alguna otra forma de explicar el universo en ex pansión aparte de la gran explosión?
j e r c ic io s
52-1 Interacciones de las p artícu la s 1. a) Una distancia r separa un electrón y un positrón. Encuentre la razón de la fuerza gravitacional y la fuerza electrostática en tre ellos. ¿Qué concluye del resultado respecto a las fuerzas que actúan entre las partículas detectadas en una cámara de burbu jas o en un detector sim ilar? b) Repita el ejercicio con un par de protón-antiprotón. 2. Algunas grandes teorías unificadas predicen los siguientes es quemas posibles de decaim iento del protón: p —» e + + -y,
productos del decaim iento. Considere el m esón p ° que se desin tegra así p ° —*■77+ + 77“ . Calcule la energía en reposo del m e són p ° , si los m omentos de los piones creados con dirección opuesta tienen una m agnitud de 358.3 M eV /c. En la tabla 52-4 se incluyen las energías de los piones. 6. Las observaciones de los neutrinos emitidos por la supernova SN 1987a en la gran nube M agellànica (Figs. 52-3 y 52-15) im ponen un lím ite m áxim o a la energía en reposo del neutrino de electrón de 20 eV. Suponga que su energía en reposo es 20 eV en vez de cero. ¿Con cuánta m enor velocidad que la luz se des plaza un neutrino de 1.5 M eV emitido en un decaim iento /3.
p —* e + + ir0. a) Calcule los valores O en estos decaim ientos, b) Demuestre que no violan las leyes de conservación de la carga, de la ener gía relativista ni del m om ento lineal. La energía en reposo de un protón es 938.27 MeV; de un electrón 0.511 MeV, y de un pión neutro es 135 MeV. 3. Se ponen un electrón y un protón a una distancia igual a un ra dio de Bohr aQ. D eterm ine el radio R de una esfera de plom o que debe colocarse detrás del electrón, de modo que la fuerza gravitacional que opera sobre él anule exactam ente la atracción elec trostática entre el protón y el electrón (Fig. 52-14). Suponga que se cumple la ley de gravitación de Newton y que la densidad de la esfera es igual a la del plom o en la Tierra.
7 1 3 ’j h
a
5 2 - 3 4 . E je rcic io s. F ig u r a
3 2 - 1 5 . Ejercicio 6.
5 2 -2 Fam ilias de p artícu la s 4. Un pión neutro se desintegra convirtiéndose en dos rayos gam ma: 77° —»• y + y. Calcule la longitud de onda de los rayos pro ducidos por el decaim iento de un pión neutro en reposo. 5. La energía en reposo de m uchas partículas de vida corta no pue de m edirse directam ente, sino que debe deducirse de los m o m entos m edidos y de las energías en reposo conocidas de los
7. Calcule el intervalo de la fuerza débil entre dos protones ve cinos. Suponga que el bosón Z° es la partícula de campo (Tabla 52-6). 8. Identifique la interacción que causa los siguientes decaimientos: a) 77° —i■ y + y, b) K + —►/x+ + v \ c) r¡' —►r¡ 4- 77+ + tt" ;
d)
♦ p + 77°.
9. Por medio de las leyes de conservación identifique la partícula m arcada x en las siguientes reacciones que se realizan a través de una interacción fuerte: a) p + p —¡>•p -F A° -f- j:; í>) P + r p" —> n + x\ c) tt~ + p —►H° + K° + x. 10. La reacción tt+ + p —’■p + p + ñ s e lleva a cabo con una inte racción fuerte. Aplique las leyes de conservación para deducir la carga, el número de bariones y la extrañeza del antineutrón. 11. Examine la extrañeza para determ inar cuáles de los siguientes decaimientos o reacciones se realizan en una interacción fuerte: a) K° —i> -J7+ + tt~; b) A° + p —►Y + + n; c) A° —+ p + tt~; d) K + + p —►A° 4- 77°. En las tablas 52-4 y 52-5 se ofrecen los valores de 5. 12. Además del modo de decaim iento descrito en la tabla 52-4, m encione otros 4 decaim ientos posibles del m esón K + que cumplan las leyes de conservación. 13. Indique un modo posible de decaim iento de a) A°, b) ñ , c) r + ,
d)
K ~ .
5 2 - 4 . E l m o d e lo d e lo s q u a r k s 14. Trace un diagrama sim ilar al de la figura 52-4 para los 10 bario nes de espín de tres medios que se incluyen en la figura 52-5. 15. Identifique los 10 bariones de espín de tres medios con las com binaciones de tres quarks que se incluyen en la tabla 52-9. 16. Usando sólo los quarks arriba, abajo y extraño, de ser posible construya un barión d) con Q = + 1 y con 5 = —2; b) con O = + 2 y con 5 = 0 . 17. No se conoce un mesón con O = + 1 y con 5 = — 1 ni con O = — 1 y 5 = + 1. Explique por qué, basándose en el m odelo de quarks. 1S. L a c o m p o s ic ió n d e q u a rk s d e l p ro tó n y d e l n e u tró n s o n uud y udd, respectivamente. ¿Cuál es la com posición de quarks del á) antiprotón y b) antineutrón? 19. a) M encione las 7 posibles combinaciones quark-antiquark de u, d, c y s que contienen por lo menos un quark o antiquark c. Indique la carga eléctrica, la extrañeza y el encanto de pada combinación, b) Identifique los 10 m esones de espín 0 en la si guiente tabla con la combinación quark-antiquark de su lista. 20. Analice los siguientes decaim ientos o reacciones a partir del contenido quark de las partículas, d) T~~ —- n + 77~; b) K° —» 77* + 7r~; c) 77+ + p —>• V + + K + ; d) y + n —*■77“ + p.
¿ P
Partícula
Antipartícula
Ve D+
Vc D~
D°
D°
Dj
D s~
0
5
0
0
0
+1
0
+1
0
0
+1
+ 1
+1
+1
c
5 2 -5 L a cosm ología del Big B ang 21. Para verificar los valores numéricos del parám etro de Hubble, seleccione dos puntos en las líneas de la figura 52-6 y calcule las pendientes. 22. Si la ley de Hubble puede extrapolarse a distancias muy gran des, ¿en cuál de ellas la velocidad recesional será igual a la ve locidad de la luz? 23. ¿Por qué la longitud de onda observada de la línea H a de 656.3 nm del hidrógeno emitido por una galaxia se encuentra a una distancia de 2.4 X 108 pe? 24. E n el laboratorio una de las líneas de sodio se m ide con una lon gitud de onda de 590.0 nm. Pero cuando se observa la luz pro veniente de una galaxia en particular, la línea se ve en una longitud de onda de 602.0 nm. Calcule la distancia con la gala xia, suponiendo que se cumple la ley de Hubble. 25. a) ¿Cuál es la tem peratura m ínim a del universo necesaria para que los fotones produzcan pares 7r+ 77“ ? b) ¿A qué edad tenía esta tem peratura? 26. a) Calcule la longitud de onda m áxima de la radiación de fondo de m icroondas en la figura 52-8. b) Determine la frecuencia y la energía de los fotones correspondientes a esa longitud de onda. 27. ti) ¿Qué edad tenía el universo cuando su tem peratura era 5000 K? ¿En qué era sucedió eso (Fig. 52-9)? b) Calcule la energía prom edio de los fotones en ese tiempo, c) Si en aquella época había 109 por nucleón, determine la razón entre la energía de la radiación y la energía de la m ateria en reposo.
52-6 Nucleosíntesis 5 2 -7 L a edad del universo
r o b l e m a s
1. Un pión neutro tiene una energía en reposo de 135 M eV y una vida media de 8.4 X 10“ 17. Si se produce con una energía ciné tica inicial de 80 MeV y si decae al concluir una vida media, ¿cuál es la traza más larga que podría dejar en una cám ara de burbujas? Tenga en cuenta la dilatación relativista del tiempo. 2. Una tau positiva ( t + energía en reposo = l i l i MeV) se mueve con 2200 MeV de energía cinética en una trayectoria circular per pendicular a un campo magnético uniforme de 1.2 T. d) Calcule el momento de tau en kg • m /s. Hay que tener presentes los efec tos relativistas, b) Determ ine el radio de la trayectoria circular. (1S ugerencia: consulte la Sec. 32-3.) 3. La longitud de onda de los fotones en que un cam po de tem pe ratura T irradia con la m áxim a intensidad está dada por Amáx = (2898 /nm • K )/T (Ec. 45-4). a) D em uestre que la energía E en
M eV del fotón puede obtenerse mediante E = (4.28
X lC T 10M e V / K ) r .
b) ¿A qué tem peratura mínima puede el fotón crear un par de electrón-positrón? 4. A grandes distancias la velocidad recesional de las galaxias y de los quasares se acercan a la velocidad de la luz; por eso es ne cesario utilizar la fórm ula relativista del cam bio de Doppler (Sec. 39-6). El corrimiento al rojo se indica como z, donde z = AA/A0 es el corrimiento rojo (fraccional). a) Dem uestre que, en función de z, el parámetro de la velocidad recesional ¡3 = v /c está dado por z~ + 2z
b) Uno de los quasares más distantes detectado tiene z — 4.43. Calcule su parám etro de velocidad, c) Determ ine la distancia del quasar, suponiendo que la ley de Hubble es válida en estas distancias. 5. Como en todas partes se registra la radiación de fondo de las m icroondas, la tem peratura m ínim a posible de un gas en el es pacio interestelar o intergaláctico no es 0 K sino 2.7 K. Signifi ca lo siguiente: una parte im portante de las moléculas en el espacio que presentan estados excitados de poca energía de ex citación puede hallarse efectivam ente en ellos. La subsecuente desexcitación provoca la em isión de radiación detectable. Con sideremos una m olécula (hipotética) con un solo estado excita do. a) ¿Cuál debería ser la energía de excitación para que 23% de las moléculas se encuentre en ese estado? (Sugerencia: consulte la Sec. 48-9.) b) Calcule la longitud de onda del fotón emitido en una transición al estado base. 6. ¿Continuará expandiéndose el universo para siempre? Para con testar la pregunta haga la suposición (¿razonable?) de que la ve locidad recesional v de una galaxia a una distancia r de nosotros se obtiene sólo por la m ateria situada en el interior de una esfe ra de radio r centrado en nosotros (Fig. 52-16). Si la masa total dentro de la esfera es M, la velocidad de escape ve está dada por = y 2GM/'r (Sec. 14-6). a) D em uestre que la densidad pro medio p dentro de la esfera ha de ser por lo menos igual al va lor dado por p = 3 H 2/8 ttG para im pedir una expansión ilim itada, b) Evalúe num éricam en te esta “densidad crítica” y después exprese la respuesta en fun ción de H - á to m o s/m 3. Las m ediciones de la densidad real se dificultan y se com plican por presencia de la m ateria oscura. 7. La existencia de la m ateria oscura (es decir, no luminosa) en una galaxia com o la nuestra se deduce determ inando por obser vación la variación con la distancia del periodo orbital de las es trellas alrededor del centro galáctico. Después el resultado se compara con la variación obtenida partiendo de la distribución de la materia indicada por el material luminoso (estrellas en su ma yor parte). Cualquier desviación significativa implica la existen cia de m ateria oscura. Supongam os por ejem plo que la materia (estrellas, gas, polvo) de una galaxia particular — masa total
.-.c - .t a
5 2 - 1 6 .
Problem a 6.
M — está distribuida uniform em ente en toda la esfera de radio R. Una estrella, de m asa m, gira alrededor del centro de la gala xia en una órbita circular de radio r < R. a) D em uestre que la velocidad orbital v de la estrella esta dada por v = r ^ G M /R \ y que, en consecuencia, el periodo T de la revolución es T = 2tW a,3/GM. independiente de r b) ¿Cuál es la fórm ula correspondiente del periodo orbital suponiendo que la m asa de la galaxia está muy concentrada hacia el centro de ella, de m odo que prácticam ente toda la masa se encuentra a distancias del centro menores que r? Estas consideraciones aplicadas a la Vía Láctea indican que existen considerables cantidades de m ateria oscura. 8. Calcule la tem peratura a la cual la fracción de protones con energía m ayor que 2.2 M eV en la distribución de Planck es 0.2 X 10- 9 . (Sugerencia: utilice la Ec. 45-6.)
v H l£
m g r
EL iSIS TEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S I)*
Unidades básicas del SI Cantidad
Nombre
Símbolo
Definición
Longitud
metro
m
“ . . . la longitud de la trayectoria recorrida por la luz en el vacío en 1/299,792, 458 de segundo.” (1983)
M asa
kilogram o
kg
“. . . la masa del prototipo internacional del kilogramo.” (1901)
Tiempo
segundo
s
la duración de 9, 192, 631, 770 periodos de la radiación correspondientes a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del áto mo de cesio 133.” (1967)
C om ente eléctrica
ampere
A
“ . . . la corriente constante que, si se la mantiene en dos conductores paralelos rectos de longitud infinita, con una sección transversal despreciable y coloca dos 1 metro aparte en el vacío, producirá entre ellos una fuerza igual a 2 X 10-7 newton por m etro de longitud.” (1948)
Tem peratura termodinámica &
kelvin
K
“. . . la fracción 1/273.16 de la tem peratura term odinám ica del punto triple del agua.” (1967)
Cantidad de sustancia
mol
mol
“. . . la cantidad de sustancia de un sistem a que contiene un número de enti dades elementales equivalentes a los átomos presentes en 0.012 kilogramos de carbono 12.” (1971)
Intensidad luminosa
candela
cd
. . la intensidad lum inosa, en determinada dirección, de una fuente que emite radiación m onocrom ática de frecuencia 540 X 1012 hertz y que tiene una intensidad radiante en esa dirección de 1/683 watt por esteradián.” (1979)
.5
* A daptado de “G uide for the U se o f the Internationa! System o f U nits (SI)”, N ational B ureau o f Standards Special Publication 811, edición de 1995. Las definiciones fueron adoptadas por la C onferencia G eneral de Pesos y M edidas, un organism o internacional, a partir de los datos citados. En este libro no se em plea la candela.
A lgunas u n id ad e s d e riv a d a s del S I Cantidad
Nombre de la unidad
Símbolo
Superficie Volumen Frecuencia D ensidad de m asa (densidad) Rapidez, velocidad Velocidad angular Aceleración A celeración angular Fuerza Presión Trabajo, energía, cantidad de calor Potencia Cantidad de carga eléctrica Diferencia de potencial, fuerza electrom otriz Campo eléctrico Resistencia eléctrica Capacitancia Flujo magnético Inductancia Campo magnético Entropía Calor específico Conductividad térm ica Intensidad radiante
metro cuadrado metro cúbico hertz kilogram o por m etro cúbico m etro por segundo radián por segundo metro por segundo cuadrado radián por segundo cuadrado newton pascal joule watt coulomb volt volt por metro ohm farad weber henry tesla joule por kelvin joule por kilogramo kelvin watt por metro kelvin watt por esteradián
m2 m3 Hz k g /m 3 m /s ra d /s m /s 2 r a d /s2 N Pa J W
U nidades su p le m e n ta ria s dei SI Cantidad
Nombre de la unidad
Símbolo
Ángulo plano Ángulo sólido
radián esteradián
rad sr
c V V /m n
F Wb H T J /K J/(k g • K) W /(m • K) W /s r
Equivalente
s~l
kg • m /s 2 N /m 2 N •m J /s A ■s N ■m /C N /C V /A A - s/V V •s V ■s/A W b /m 2, N /A ■m
CONSTANTES FÍSICAS Y FUNDAMENTALES *
Valor óptimo (1998) Constante
Símbolo
Valor para cálculos
Velocidad de la luz en el vacío Carga elem ental Constante eléctrica (permitividad) Constante m agnética (permeabilidad) M asa de electrón M asa de electrón6' M asa d e protón M asa de protón6 M asa de neutrón M asa de neutrón6 Razón de carga a m asa del electrón Razón de masa de protón a electrón Constante de Planck Longitud de onda Com pton del electrón Constante m olar de gas Constante de Avogadro Constante de Boltzm ann Volumen m olar de gas ideal a TPS^ Constante de Faraday Constante de Stefan-Boltzm ann Constante de Rydberg Constante gravitacional Radio de Bohr M om ento m agnético del electrón M om ento m agnético del protón M agnetón de Bohr M agnetón nuclear Constante de estructura fina Cuanto de flujo magnético Constante de Von Klitzing
c e
3.00 X 108 m /s 1.60 X 10“ 19 C 8.85 X 10-12 F /m 1.26 X 10~6 H /m 9.11 X 10 31 leg 5.49 X 10-4 u 1.67 X 10~2?; kg 1.0073 u 1.67 X 10~27 kg 1.0087 u 1.76 X 10u C /k g 1840 6.63 X 10~34 J • s 2 4 j X 10-12 m 8.31 J/m o l ■K 6.02 X 1023 m o r 1 1.38 X 10~23 J /K 2.24 X 10~2 m 3/m o l 9.65 X 104 C /m o l 5.67 X 1 0 - 8 W /m 2 • K4 1.10 X 107 m -1 6.67 X 10_!1 m 3/ s 2 • kg 5.29 X 10 ~ u m 9.28 X 10~24 J /T 1.41 X 10“ 26 J /T 9.27 X 10~24 J /T 5.05 X 10~27 J / T 1/137 2.07 X 10“ 15 W b 25800 a
e0
9*0 me mt mp mv mn mn e /m e m /m e h K R n a
k Vm
F cr R* G ao Pe Pp Pe. Pn a % Rk
Valor2 2.99792458 1.602176462 8.85418781762 1.25663706143 9.10938188 5.485799110 1.67262158 1.00727646688 1.67492716 1.00866491578 1.758820174 1836.1526675 6.62606876 2.426310215 8.314472 6.02214199 1.3806503 2.2413996 9.64853415 5.670400 1.0973731568549 6.673 5.291772083 9.28476362 1.410606633 9.27400899 5.05078317 1/137.03599976 2.067833636 25812.807572
Incertezab exact 0.039 exact exact 0.079 0.0021 0.079 0.00013 0.079 0.00054 0.040 0.0021 0.078 0.0073 1.7 0.079 1.7 1.7 0.040 7.0 0.0000076 1500 0.0037 0.040 0.041 0.040 0.040 0.0037 0.039 0.0037
a M ism a unidad y potencia de 10 que el valor para cálculos. * P artes por millón. c M asa dada en unidades de m asa atóm ica unitaria, donde 1 u = 1.66053873 X 10~27 kg. d TPS: tem peratura y presión estándar = 0°C y 1.0 bar. * Fuente: Peter J. M ohr y B arry N. Taylor, Jo u rn a l o f P hysical a n d C hem ical R eference D ata, vol. 28. núm. 6 (1999) y Reviews oj M odem Physics, vol. 72, num . 2 (2000). V éase tam bién h ttp :// physics.nist.gov/constants.
DATOS ASTRONÓMICOS
El Sol, la Tierra y la Luna Sola
Propiedad M asa (lcg) Radio m edio (m) D ensidad m edia (lcg/m 3) Gravedad superficial (m /s 2) Velocidad de escape (k m /s) Periodo de rotación0 (d) Radio orbital medio (km) Periodo orbital
1 .9 9 6 .9 6
X 1 0 30 X 10 s
Tierra
Luna
5 .9 8 X 1024
7 .3 6 X 1 0 22
6 .3 7
X 106
1 .7 4 X 106
1410
5520
274
9.81
1.67
618
11.2
2 .3 8
26 2 .6
37a
0 .9 9 7
X 1 0 17d
1 .50
2 .4 X 1 0 s a ñ o 0
3340
2 7 .3
X 10 8°
1.00 a ñ o 0
3 .8 2 X 1 0 5-7 2 7 .3 d'
a El Sol irradia energía con una rapidez de 3.90 X 102S W; ju sto fuera de la atm ósfera terrestre se recibe energía solar, suponiendo una incidencia norm al con una rapidez de 1,380 W /m 2. b El Sol — una bola de gas— no gira com o un cuerpo rígido. Su periodo rotacional fluctúa entre 26 d en el ecuador a 37 d en los polos. ° M edido respecto a las estrellas lejanas. d A lrededor del centro galáctico. e A lrededor del Sol. A lrededor de la Tierra.
M ercurio Venus
Tierra
M arte
Júpiter
Saturno
Urano
Neptuno
Plutón
Distancia media del Sol (106 Ion)
57.9
108
150
228
778
1,430
2,870
4,500
5,9000
Periodo de traslación (a)
0.241
0.615
1.00
1.88
11.9
29.5
84.0
165
248
Periodo de rotación“ (d)
58.7
243
0.997
1.03
0.409
0.426
0.4516
0.658
6.39
Rapidez orbital (km /s)
47.9
35.0
29.8
24.1
13.1
9.64
6.81
5.43
4.74
Inclinación del eje a la órbita
< 28°
=3°
23.4°
25.0°
3.08°
26.7°
97.9°
29.6°
57.5°
Inclinación de la órbita a la
7.00°
3.39°
---
1.85°
1.30°
2.49°
0.77°
1.77°
17.2°
E xcentricidad de la órbita
0.206
0.0068
0.0167
0.0934
0.0485
0.0556
0.0472
0.0086
0.250
Diám etro ecuatorial (km)
4,880
12,100
12,800
6,790
143,000
120,000
51,800
49,500
2,300
M asa (Tierra = 1 )
0.0558
0.815
1.000
0.107
318
95.1
14.5
17.2
0.002
D ensidad prom edio (g /c m 3)
5.60
5.20
5.52
'3.95
1.31
0.704
1.21
1.67
2.03
Gravedad superficial“ (m /s2)
3.78
8.60
9.78
3.72
22.9
9.05
7.77
11.0
0.03
Rapidez de escape (lcm/s)
4.3
10.3
11.2
5.0
59.5
35.6
21.2
23.6
1.3
1
2
16 + anillos
19 + anillos
15 + anillos
8 + anillos
1
órbita terrestre
Satélites conocidos
0
0
a M edido respecto a las estrellas lejanas. b El sentido de rotación es contrario al del m ovim iento orbital. c M edida en el ecuador del planeta.
PROPIEDADES DE LOS ELEMENTOS
Elemento
Símbolo
Actinio A lum inio Am ericio Antimonio Argón Arsénico Astatino Azufre Bario Berkelio Berilio Bism uto Boro Boron Brom o Cadmio Calcio Californio Carbono Cerio Cesio Cloro Criptón Cromo Cobalto Cobre Curio Dubnio Disprosio Einsteinio Erbio Escandio Estaño Estroncio Europio Ferm io
Ac Al Am Sb Ar As At
S
Ba Ble Be Bi Bh B Br Cd Ca Cf
c
Ce Cs C1 Kr Cr Co Cu Cm Db Dy Jbs Er Se Sn Sr Eu Fm
Número atómico, Z
M asa m olar (g/m ol)
89 13 95 51 18 33 85 16 56 97 4 83 107 5 35 48 20 98 6 58 55 17 36 24 27 29 96 105 66
(227) 26.9815 (243) 121.76 39.948 74.9216 (210) 32.066 137.33 (247) 9.0122 208.980 (264) 10.81 79.904 112.41 40.08 (251) 12.011 140.12 132.905 35.453 83.80 51.996 58.9332 63.54 (247) (262) 162.50 (252) 167.26 44.956 118.71 87.62 151.96 (257)
99
68 21 50 38 63 100
D ensidad (g /cm 3) a 20°C 10.1 (cale.) 2.699 13.7 6.69 1.6626 X 10~3 5.72 —
2.07 3.5 14 (est.) 1.848 9.75 —
2.34 3.12 (líquido) 8.65 1.55 — 2.25 6.770 1.873 3.214 X 10~3 (0°C) 3.488 X 10~3 7.19 8.85 8.96 13.5 (cale.) —
1051 660 1176 630.6 -1 8 9 .3 817 (28 at.) 302 115.2 727 1050 1287 271.4 — 2075 -7 .2 321.1 842 900 (est.) 3550 798 28.44 -1 0 1 .5 - 1 5 7 .4 1907 1495 1084.6 1345 —
8.55 —
9.07 2.99 7.31 2.54 5.244 —
Punto de fusión (°C)
1412 860 (est.) 1529 1541 231.93 777 822 1527
Punto de ebullición (°C) 3200 2519 2011 1587 -1 8 5 .9 614 (subí.) 337 444.6 1597 —
2471 1564 — 4000 58.8 767 1484 — — 3424 671 - 3 4 .0 —153.2 2671 2927 2562
Calor específico (J /g • C°) a 25°C 0.120 0.897 —
0.207 0.520 0.329 —
0.710 0.204 — 1.83 0.122 — 1.03 0.226 0.232 0.647 — 0.709 0.192 0.242 0.479 0.248 0.449 0.421 0.385
—
—
—
■—
2567 —
2868 2836 2602 1382 1529 —
0.170 —
0.168 0.568 0.228 0.301 0.182 —
Elemento Flúor Fósforo Francio Gadolinio Galio Germ anio Hafnio Helio Hierro Holmio Hidrógeno Hassio Indio Iridio Iterbio Itrio Lantano Laurencio Litio Lutee io M agnesio M anganeso M eitnerio M endelevio M ercurio M olibdeno N eodim io Neón Neptunio Níquel Niobio N itrógeno Nobelio Oro Osmio Oxígeno Paladio Plata Platino Plom o Plutonio Polonio Potasio Praseodim io Prom eteo Protactinio Radio Radón Renio Rodio Rubidio Rutenio Rutherfordio Sam ario Seaborgio
Simbolo F P Fr Gd Ga Ge •H f He Fe Ho H Hs In Ir Yb Y La Lr Li Lu Mg Mn Mt Md Hg Mo
Nd Ne Np Ni Nb N No Au Os 0 Pd Ag Pt Pb Pu Po K Pr Pm Pa Ra Rn Re Rh Rb Ru Rf Sm Sg
Nùmero atòmico, Z 9 15 87 64 31 32 72 2 26 67 1 108 49 77 70 39 57 103 3 71 12 25 109 101 80 42 60 10 93 28 41 7 102 79 76 8 46 47 78 82 94 84 19 59 61 91 88 86 7o 45 37 44 104 62 106
D ensidad (g /c m 3) a 20°C
M asa m olar (g/m ol) 18.9984 30.9738 (223) 157.25 69.72 72.61 178.49 4.0026 55.845 164.930 1.00797 (269) 114.82 192.2 173.04 88.905 138.91 (260) 6.941 174.97 24.305 54.9380 (268) (258) 200.59 95.94 144.24 20.180 (237) 58.69 92.906 14.0067 (259) 196.967 190.2 15.9994 106.4 107.68 195.08 207.19 (244) (209) 39.098 140.907 (145) (231) (226) (222) 186.2 102.905 85.47 101.07 (261) 150.35 (266)
1.696 X IO“ 3 (0°C) 1.82 —
7.90 5.904 5.323 13.31 0.1664 X IO“ 3 7.87 8.79 0.08375 X IO“ 3 —
7.31 22.4 6.966 4.469 6.145 —
Punto de fusión (°C) -2 1 9 .6 44.15 27 1313 29.76 938.3 2233 - 2 7 2 .2 1538 1474 -2 5 9 .3 4 —
156.6 2446 819 1522 918 —
0.534 9.84 1.74 7.43 — —
13.55 10.22 4 7.00 0.8387 X IO“ 3 20.25 8.902 8.57 1.1649 X IO“ 3 — 19.3 22.57 1.3318 X IO“ 3 12.02 10.49 21.45 11.35 19.84 9.32 0.86 6.773 7.264 15.4 (cale.) 5.0 9.96 X IO“ 3 (0°C) 21.02 12.41 1.53 12.41 —
7.52 —
180.5 1663 650 1244 —
827 -3 8 .8 3 2623 1021 - 2 4 8 .6 644 1455 2477 - 2 1 0 .0 —
1064.18 3033 -2 1 8 .8 1555 961.8 1768 327.5 640 254 63.28 931 1042 1572 700 -7 1 3186 1964 39.31 2334 —
1074
_
Punto de ebullición (°C) -1 8 8 .1 280.5 677 3273 2204 2833 4603 -2 6 8 .9 2861 2700 -2 5 2 .8 7 —
Calor específico (J/g ■C°) a 25°C 0.824 0.769
—
0.236 0.371 0.320 0.144 5.19 0.449 0.165 14.3
—
2072 4428 1196 3345 3464 —
1342 3402 1090 2061 — —
356.7 4639 3074 -2 4 6 .0 3902 2913 4744 -1 9 5 .8 — 2856 5012 -1 8 3 .0 2963 2162 3825 1749 3228 962 759 3520 3000 (est.) — 1140 -6 1 .7 5596 3695 688 4150 — 1794 —
0.233 0.131 0.155 0.298 0.195 —
3.58 0.154 1.02 0.79 — — 0.140 0.251 0.190 1.03 1.26 0.444 0.265 1.04 — 0.129 0.130 0.918 0.246 0.235 0.133 0.129 0.130 — 0.757 0.193 — — — 0.094 0.137 0.243 0.363 0.238 — 0.197 —
Elemento Selenio Silicio Sodio Talio Tàntalo Tecnecio Tèlurio Terbio Titanio Torio Tulio Tungsteno Ununilio* Unununio* Unumbio* Ununcuadio* Ununhexio* Ununnoccio* Uranio Vanadio Yodo Xenón Zinc Zirconio
Simbolo
Nùmero atòmico, Z
M asa m olar (g/m ol)
Se Si Na Ti Ta Tc Te Tb Ti Th Tm W Uun Uuu Uub Uuq Uuh Uuo U V I Xe Zn Zr
34 14 11 81 73 43 52 65 22 90 69 74 HO ili 112 114 116 118 92 23 53 54 30 40
78.96 28.086 22.9898 204.38 180.948 (98) 127.60 158.924 4788 (232) 168.934 183.85 (271) (272) (277) (285) (289) (293) (238) 50.942 126.9044 131.30 65.39 91.22
Densidad (g /cm 3) a 20°C 4.79 2.33 0.971 11.85 16.6 11.5 (cale.) 6.24 8.23 4.54 11.72 9.32 19.3 — — — — — —
18.95 6.11 4.93 5.495 X IO“ 3 7.133 6.506
Punto de fu sió n (°C) 221 1414 97.72 304 3017 2157 449.5 1356 1668 1750 1545 3422 — — — — — — 1135 1910 113.7 -1 1 1 .7 5 419.53 1855
Punto de ebullición (°C) 685 3265 883 1473 5458 4265 988 3230 3287 4788 1950 5555 —
—
— —
— — 4131 3407 184.4 - 1 0 8 .0 907 4409
Calor específico (J /g ■C°) a 25°C 0.321 0.705 1.23 0.129 0.140
—
0.202 0.182 0.523 0.113 0.160 0.132 — •—
—
— —
— 0.116 0.489 0.145 0.158 0.388 0.278
Los valores de las m asas m olares corresponden a un mol de átom os del elem ento. En los gases diatóm icos (H-,, 0 2, N-,. etc.), la m asa de un m ol de m olécu las es el doble del valor tabulado. Los valores entre paréntesis en la colum na de m asas m olares son el núm ero de m asa de isótopos de m ayor vida de los elem entos radiactivos. Todas las propiedades físicas corresponden a una presión de una atm ósfera, salvo que se indique otra cosa. C on excepción de la m asa m olar, los datos referentes a los gases son válidos sólo cuando se encuentran en su estado m olecular habitual, com o H „ H e, O ,, Ne, etc. El calor específico de los gases es el valor a presión constante. * N om bres tem porales de estos elem entos. Fuente: H andbook o f Chem istry a n d Physics, 79a. edición (CRC Press, 1998), C onsúltese tam bién h ttp ://w w w .w eb e le m e n ts.c o m .
TABLA PERIODICA DE LOS ELEMENTOS
METALES ALCALINOS (incluido el hidrógeno)
2
GASES NOBLES
'1
2
H
He
.3 ■ 4 Be
5 B
8
o 1<5
9 F
10 N e' 18 .A r
Si
s
17 Cl
. IS
20 Ca
21 Se
22 Ti
23 V
24 25 Cr M n
26 Fe
27 Co
28 Ni
29 Cu
30 Zn
31 Ga
32 Ge
33 As
34 Se
35 Br
K r.
5
37 Rb
38 Sr
39 Y
40 Zr
41 Nb
42 Mo
43 Te
44 Ru
45 Rh
46 Pd
47 Ag
48 Cd
49 In
50 Sn
51 Sb
52 Te
53 I
54 Xe
6
55 Cs
56 07-70:; 71 Ba Lu
72 Hf
73 Ta
74
75 Re
76 Os
77
78 Pt
79
Au
80 Hg
81 T1
82 Pb
83 Bi
84 Po
85
w
At
86 Rn
87 Fr
88 89-102 103 R af Lr
104 105 Rf Db
107 Bh
108 Hs
109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 Uuq* Uuh* Uuo* M t Uun* Uuu* Uub*
4
7
a
Na Mg
Serie de lantánidos ^ Serie de actínidos
57
La 89 Ac
106 Sg
Ir
13 Al
7 N 15 P
3
12
6 c î4
62. 63 60 64 58 59 61 65 66 C e ' Pr N d Pm Sm Eu Gd Tb D y 94 90 91-. 92 93 95 96 97- 98' Th P a XL N p Pu A m C m B k C f
.67 Ho
68 Er
99 Es
Fm
100
26 -
69 70 Tm Y b 10.1 -102 No
Md
*Se ha dado a conocer el descubrim iento de estos elem entos, pero todavía no se adoptan los nom bres respectivos. Los sím bolos representan los nombres tem porales asignados a los elem entos. C onsúltese en h ttp ://w w w .w eb elem en ts.co m la inform ación más reciente sobre su descubrim iento y propiedades.
PARTICULAS ELEMENTALES
1 o LAS PARTÍCULAS FUNDAMENTALES L eptones
A ntipartícula
Símbolo
P artícula Electrón Electrón neutrino Muón M uón neutrino Tau Tau neutrino
e~
&+
ve p VjLL T~ VT
L p
'
A fT yr
Carga (e)
Spin ( h /2-tt)
-1 Ö -1 0 -1 0
1/2 1 /2
1/2 1 /2 1 /2 1/2
Energía en reposo (MeV)
Vida media (s)
0.511 < 0.000015 105.7 < 0 .1 9 1777 <18
CO
Productos típicos de decaimiento
CO 2.2 X 10~6 CO
e ---- r Ve + VJM
2.9 X IO "13 CC
+ Vfl + VT
Q u a rk s Sabor Arriba Abajo Encanto Extraño Cima Inferior
Símbolo
A ntipartícula
Carga (e)
Spin (/j/ 2 tt)
u d c s t b
ü d c 's t b
+ 2 /3 -1 /3 + 2 /3 -1 /3 + 2 /3 -1 /3
1 /2 1 /2 1 /2 1 /2 1/2 1 /2
Energía en reposo (MeV)
Otras propiedades
3 6 1,300 120 174,000 4,300
C = S = T = B = 0 C = S = 7 = 5 = 0 Encanto (Cj = + 1 Extrañeza (5) = — 1 Lo alto (7) = + 1 Lo bajo (5) = — 1
P a rtíc u la s de cam po Partícula
Símbolo
Interacción
Carga (e)
Gravitónfc Bosón débil Bosón débil Fotón Gluón
wE w zo 1 a
Gravedad Débil Débil Electrom agnética Fuerte (color;
0 ±1 0 0 0
Spin (A/2-rr)
Energía en reposo (GeV)
2 1 1 1 1
0 80.4 91.2 0 0
A
p é n d i c e
F
/ P
a r t í c u l a s
j
e l e m e n t a l e s
. ALGUNAS PARTÍCULAS COMPUESTAS Baliones
Partícula
Símbolo
Protón N eutrón L am bda Omega D elta L am bda encantada
P n A° o ~
A +.+
AT C
Contenido de quark uud udd uds sss uuu udc
A nti partícula P n A° n~ A+ + A +C
Carga (e)
Spin i h f 2 tt)
Energía en reposo (MeV)
Vida media
+ 1
1 /2
938
> 1 0 33
0
1 /2 1 /2
940
8 87
1116
-1
3 /2
1 672
2 .6 X 1 0 “ 10 8 .2 X 1 0 “ 11
+2
3 /2
1 232
5 .7 X 1 0 “ 24
+ 1
1 /2
2285
1.9 X 1 0 “ 13
0
Decaimiento típico
(s)
tt ° + e + (?) p + e~ + ve p + 71~ A° 4- K~ p + TT^ A° + tr +
Mesones
Partícula Pión Pión Kaón Kaón Rho
M esón D Psi M esón B Ipsilon
Símbolo
Contenido de quark
A nti partícula
Carga (e)
Spin ( h / li í )
Energía en reposo (MeV)
Vida media (s)
Decaimiento típico
7T” TT°
+ 1
0
140
2 .6 X 1 0 ~ 8
0
0
135
8 .4 X 1 0 ~ 17
+ vM 7+ 7
US
K“
+ 1
0
494
1.2 X 1 0 ~ s
p + 4- Vfi
ds
K°
0
0
498
0 .9 X 1 0 “ 10
P+ D+
ud
P~ D“
4-1 4-1
1
770
4 .4 X 1 0 “ 24
-A B+ Y
cc
4> B~ Y
0 4-1
ir+
ud
TT° K+ K°
u ü 4- d d
cd ub bb
0
A
0
1869
1.1 X 1 0 “ 12
1
3097
7 .6 X 1 0 -21
0 ' ■'
5279
1.6 X 1 0 “ 12
7T' T 7T 7T+ ~r 7?“ _j_ 4 e+ + eD~ 4 ^ + 4 qf'r
i
9460
1.3 X IO “ 20
e+ + e-
a Las energías en reposo m encionadas para los quarks no son las relacionadas con los quarks libres; com o todavía no se observan quarks libres, hasta la fecha no ha sido posible m edir su energía en reposo durante el estado libre. Los valores tabulados son energías efectivas en reposo correspondientes a los quarks confinados en partículas com puestas. b Se piensa que existen las partículas, pero todavía no se com prueba su existencia. Fuente: “R eview o f Particle Properties”, E uropean Physical Jo u rn a l C,-vol. 15 (2000). V éase tam bién h ttp ://p d g .lb l.g o v /.
AL*SMffLv3E m
FACTORES DE CONVERSIÓN
Los factores de conversión pueden leerse directam ente en las tablas. Por ejemplo, 1 grado = 2.778 X 10~3 revoluciones, así que 16.7° = 16.7 X 2.778 X 10~"3 rev. Las unidades del SI están en mayúsculas.
Adaptado en parte de G. Shortley y D. Williams, E lem ents o f Physics, Prentice-H all, 1971.
Angulo plano ° 1 grado =
1
1 m inuto =
1.667
1 segundo =
'
"
R A D IÁ N
revolución
60
3600
1.745
X
10~2
2.778
X
10~3
1
60
2.909
X
10~4
4.630
X
10~5
2 .7 7 8 X i ü ~ 4
1 .6 6 7 X 10~~2
1
4 .8 4 8 X 1 0 - 6
7 .7 1 6 X 1 0 ~ 7
1 RAD IÁN =
57.30
3438
2.063
X
105
1
0.1592
1 revolución =
360
2.16
1.296
X
106
6.283
1
X
10~2
X
104
Ángulo sólido 1 esfera = 4ir esteradianes = 12.57 esteradianes
Longitud cm
M ETRO
km
pulgada
pie
1 centímetro =
1
io -2
io -5
0.3937
3.281
1 M ETRO =
100
1
io -3
39.37
1 kilóm etro =
105
1000
1
3.937
1 pulgada =
2.540
2.540
1 p ie
30.48
=
1 milla =
1.609
1 angstrom = 10~10 m 1 milla náutica = 1852 m = 1.151 m illas = 6,076 pies 1 ferm i = 10“ 15 m
X
IO5
10~2
X
IO4
X
IO -6
3.281
6.214
X
IO” 4
3281
0.6214
X
IO -5
1
8.333
0.3048
3.048
X
I O '4
12
1609
1.609 1 año-luz = 9.460 X 1012 km 1 parsec = 3.084 X IO13 km 1 fathom = 6 pies 1 radio de Bohr = 5.292 X IO-11
6.336
X
IO4
IO“ 2
6.214
2.540
X
milla
X
IO -2
1.578
X
IO -5
1
1.894
X
IO -4
5280
1
X
1 yarda = 3 pies 1 rod = 16.5 pies 1 m illa = 10-3 pulgadas 1 nm = 10-9 m
Área
1 M ETRO CUADRADO =
cm 2
pie2
pulgada2
1
IO4
10.76
1550
1
1.076 X IO -3
0.1550
l O
M ETRO2
1 centímetro cuadrado = 1 pie cuadrado =
9.290 X 10~2
929.0
1
144
1 pulgada cuadrada =
6.452 X 10“ 4
6.452
6.944 X IO-3
1
1 m illa cuadrada = 2.788 X 107 pies2 = 640 acres 1 b am = 10~25 m 2 :
1 acre = 43,560 pies2 1 hectárea 104 m 2 = 2.471 acres
Volumen M ETRO 3
cm 3
L
pie3
pulgada3
1 M ETRO CÚBICO =
1
IO6
1000
1 centímetro cúbico
io -6
1
1.000 X IO“ 3
3.531 X IO-5
6.102 X 10~2
1 litro =
1.000 X 10~3
1000
1
3.531 X IO-2
61.02
1 pie cúbico =
2.832 X 10-2
2.832 X IO4
28.32
1
1728
1 pulgada cúbica =
1.639 X 10~5
16.39
1.639 X IO“ 2
5.787 X IO“ 4
1
35.31
6.102 X IO4
1 galón fluido U SA = 4 cuartos de galón fluidos U SA = 8 pintas fluidas U SA = 128 onzas fluidas U SA = 2 3 1 pulgadas3. 1 galón im perial inglés = 277.4 pulgadas3 = 1.201 galones fluidos USA .
Masa p
slug
U
oz
:
lb
ton
0.001
6.852 X IO-5
6.022 X IO23
3.527 X IO- 2 ' : 2.205 X IO“ 3 : 1.102 X IO“ 6
1 KILOGRAM O =
1000
1
6.852 X IO -2
6.022 X IO26
35.27 '
2.205
; 1.102 X IO-3
1 slug =
1.459 X IO4
14.59
1
514.8
32.17
¡.609 X IO -2
1u =
1.661 X IO“ 24 1.661 X IO“ 27 1.138 X IO "23
1 onza —
: 2 8 .3 5
¡1 libra = i 1 ton =
; 2 .8 3 5 X 1 0 - 2
453.6 ; 9.072 X 105
0.4536 ; 907.2
Í.9 4 3 X 1 0 ~ 3
3.108 X 10-2 - 62.16
..
X
1
o
1 gramo =
0'. 00 o\
KILOGRAM O
1 !
5,857 X IO“ 26: 3.662 X IO "271 1.830 X IO-30
1 . 7 1 8
X.
1 Ò 25
>1
2.732 X lu 26 - 16 5.463 X 1029
6 :2 5 0 X 1CT2 í 3 .1 2 5 X 1 0 ~ 5
~
[1
3.2 X 104
; 2000
. ■0.0005 ;
"
:1 •'____________
1 tonelada m étrica = 1000 kg Las cantidades som breadas en color no son unidades de m asa, aunque a m enudo se utilicen com o tales. Por ejemplo, cuando escribim os kg “ = ” 2.205 Ib, esto significa que un kilogram o es una m asa que p e sa 2.205 libras en condiciones norm ales de gravedad (g = 9.80665 m /s 2).
Densidad slu g /p ie J
K IL O G R A M O /M ET R O 3
g /c m 3
Ib/pie-3
Ib/pulgada3
1 slug por pie3
1
515.4
0.5154
32.17.
1.862 X 10~2
1 KILOGRAM O p o r M ETRO 3 =
1.940 X IO-3
1
0.001
6.243 X 10-2 '
3.613 X IO-5
62.43
3.6.13 X 10~2
1
5.787 X IO“ 4
1728'-
í
1 gramo por cm3 =
1.940
1000
1
1 libra por pie3 = .
3.108 X 10~2 .
16.02
1.602 X IO "2 ■. . 27.68 ■ :
1 libra por pulgada3 .=
53.71 __ . ..........
2.768 X 104 . ................ -___
. •.
.
Las cantidades en las áreas som breadas en color son densidades de peso, y com o tales se distinguen de la de masa desde el punto de vista dim ensional. V éase la nota a la tabla de masa.
T iem po |
1 ... I
d
a
,
SEGUNDOS
m in
h
1 año =
1
3 6 5 .2 5
¡ 8 .7 6 6 X 103
5 .2 5 9 X 1 0 5
3 .1 5 6 X 107
1 día =
2 .7 3 8 X 1 0 ~ 3
1
1
I 24
1440
8 .6 4 0 X 104
1 hora =
1.141 X 1 0 “ 4
4 .1 6 7 X 1 0 ~ 2
60
3600
1 minuto =
1 .901 X 1 0 - 6
6 .9 4 4 X 1 0 ~ 4
1 SEGUNDO =
3 .1 6 9 X 1 0 ~ 8
1 .1 5 7 X 1 0 ~ 5
1
| 1 .6 6 7 X 1 0 ~ 2
60
1
1
1 .6 6 7 X 1 0 ~ 2
j 2 .7 7 8 X 1 0 ~ 4
V elocidad p ie /s
m in /h
M E T R O /SE G U N D O
k m /h
cm /s
l pie por segundo =
1
1.097
0.3048
0.6818
30.48
1 kilómetro por hora =
0.9113
1
0.2778
0.6214
27.78
1 M ETRO por SEGU NDO =
3.281
3.6
1
2.237
100
1 milla por hora =
1.467
1.609
0.4470
1
3.281
3.6 X 10~2
0.01
2.237
1 centímetro por segundo =
X
1 nudo = 1 m iila n á u tic a/h = 1.688 p ie s /s
10~2
44.70 X
10—2
1
1 m in /m in = 88.00 p ie s/s = 6 0 .0 0 m in /h .
F u e rz a
NEW TON
dina
pdl
Ib
■ kgf _■
1.020 X 10~3
1.020 X IO“ 6 .
1 dina =
1
10~5
2.248 x 1 0 -6
7.233
1 NEW TON =
105
1
0.2248
7.233
102.0
0,1020 ^
1 libra =
4.448
X
105
4.448
1
32.17
453.6.
0.4536
1 poundal =
1.383
X
104
0.1383
3.108
1' 1 -gram o'fuerza ■==>.
980.7
.; 1 kilogramo fuerza =
9.807
X
10“ 5
9.807 X 10~3
2.205
9.807
2.205
■
X X
10“ 2
1
10“ 5
7.093 70.93
X
X
10~5
gf
10~2
14.10
1.410 X lO“ 2
1
0.001
1000
'
i
Las cantidades en las áreas som breadas en color no son unidades de fuerza, aunque a m enudo se em plean com o tales. Por ejemplo, si escribim os un gram o-fuer za “ = ” 980.7 dinas, querem os decir que un gram o-m asa experimenta una fuerza de 980.7 dinas en condiciones normales de gravedad {g = 9.80665 m /s 2).
Btu
erg
ft • Ib
cal
JO ULE
hp ■h
kW • h
eV
M eV
. u
kg
1 Unidad térm ica inglesa =
1
1.055 X 1010
777.9
3.929 X 10~4
1055
252.0
2.930 X 10~4
6.585 6.585 X 1021 X 1015
.1:174 ■ . 7.070 . X 1 0 ~ u . .X 'ití12
1 erg =
9.481
1
7.376 X 10~8
3.725 X 10 ~ 14
IO“ 7
2.389 X 10~8
2.778 X 10-14
6.242 X 10“
1.113 - 670.2 X 10~24
8.464 8.464 X 1018 X 1012
1.509 X IO“ 17
1.676
1.676
2.988
X 1025
X 1019 ' X 10~ u-
X K T 11
6.242 X 105
-
1 pie-libra =
1.285 X 1(T 3
1.356 X 107
1
5.051 X 10~7
1.356
0.3238
3.766 X 10~7
1 caballo de fuerza-hora =
2545
2.685 X 1013
1.980 X 106
1
2.685 X 106
6.413 X 105
0.7457
1 JO ULE =
9.481 X 1(T 4
107
0.7376
3.725 X 10~7
1
0.2389
2.778 X 10~7
6.242 6.242 X 1018 X 1012
1.113 X .10“ 17
6.702 X. 109
1 caloría =
3.969 X 1CT3
4.186 X 107
3.088
1.560 X 10~6
4.186
1
1.163 X 1 0 -6
2.613 2.613 X 1019 X 1013
4.660 X 10~ 17
2.806 / X IO10 "
1 kilowatthora =
3413
3.6
2.655 X 106
1.341
3.6 X 106
8.600 X 105
1
X 1013
2.247 2.247 X 1025 X l o 19
4.007 ; : 2.413 X 10~u X 1Ö16 '
1 electrónvolt =
1.519 X 1(T 22
1.602 X 10~ 12
1.182 5.967 X 10~ 19 X 10~26
1.602 X 10“ 19
3.827 4.450 X 10~20 X 10~26
1
10~6
1.783 X 10_3S'
1.074 X 10-9
1 m illón de electrón-volts =
1.519
1.602 X 10~6
1.182 5.967 X 10~ 13 X IO“ 20
1.602 X 10~13
3.827 4.450 X 10~14 X IO-20
106
1
1.783
X 10~16
1.074 X 10“ 3
8.52 Ì , . X 1013
8.987 ■' X JO23
6.629 . .X 1016
2.146 . .2.497 X 1016. X IO10
5.610 - 5.610 X 1035. X 1029
1 kilogram o'=
3.348 X IO10
.8.987 X 10iS
9.037 ' X-109 ' '
1:799 X i o 16
X IO-30
1
.
6.022 X 1026 -4 ' V .
-
4:146 ' 9.32 1 unidad de m asa : 1.415 . 1 .4 9 2 / 932.0 5.559 .1.492- " -.3.564 1.6611:101 r'-vrìL V ;?; : atómica ; ; • ; ■ • /' • ¡ ; ! -unificada = : X 10- I 3 Í X IO- 3 ì X 10“ 10 i X IO-17 ; X IO-10 ¡ X 10~” ¡ X 10-17 ¡ X 10s •' . X 10~2" i- - _____i___ _______ i _ ___' - i '................. ;__________ i________i_______ i.:........ .. L :_________ _____ i......:_____ í_______
1
Las cantidades en las áreas som breadas en color no son estrictam ente unidades de energía, pero se incluyen para facilitarle la consulta al lector. Provienen de la fórm ula de equivalencia relativista de m asa-energía £ = me2 y representan el equivalente energético de una m asa de un kilogram o o de una unidad de m asa atóm ica unificada (u).
Presión dina/cm 2
atm
pulgada de agua
cm Hg
PASCAL
lb/pulgada2
íb/pie2
O
en
O
2116
7.501 X 10~5 0.1
1.405 X 10~5
2.089 X 10~3
0.1868
249.1
3.613 X IO“ 2
5.202
5.353
1
1333
0.1934
27.85
10
4.015 X 10~3
7.501 X 10~4
1
1.450 X 10~4
2.089 X 10“ 2
6.805 X 10~2
6.895 X 104
27.68
5.171
6.895 X 103
1
144
4.725 X 10~4
478.8
0.1922
3.591 X 10~2 47.88
6.944 X 10~3
1
406.8
76
9.869 X 10~7
1
4.015 X 10~4
2.458 X 10~3
2491
1
1 centímetro de m ercurio“ a 0°C =
1.316 X 10“ 2
1.333 X 104
1 PASCAL =
9.869 X 10“ 6
1 libra por pulgada2 = 1 libra por pie2 =
1
1 dina por cm 2 = 1 pulgada de agua a 4°C =
0 D onde la aceleración de la gravedad tiene el valor estándar de 9.80665 m /s 2. 1 bar = 10s d in a /c m 2 = 0.1 M Pa 1 m ilibar = 103 d ín a /c m 2 = 102 Pa
X
14.70
1.013 X 106
1 atm ósfera =
1 torr = I m ilím etro de mercurio
Potencia B tu /h
pie • lb /s
1
1 pie-libre por segundo =
hp
c a l/s
kW
WATT
0.2161
3.929 X 10~4
6.998 X 10~2
2.930 X 10~4
0.2930
4.628
1
1.818 X 10~3
0.3239
1.356 X 10~3
1.356
1 caballo de fuerza =
2545
550
1
178.1
0.7457
745.7
1 caloría por segundo =
14.29
3.088
5.615 X 10~3
1
4.186 X 10~3
4.186
1 kilowatt =
3413
737.6
1.341
238.9
1
1000
1 WATT =
3.413
0.7376
1.341 X 10~3
0.2389
0.001
1
1 unidad térm ica británica por hora =
Flujo magnético m axwell
W EBER
1 maxwell =
1
10~8
1 W EBER =
10s
1
Campo magnético gauss
TESLA
miligauss
1 gauss =
1
IO-4
1000
1 TESLA =
104
1
107
1 miligauss =
0.001
10~7
1
1 tesla = 1 w e b er/m e tro 2
VECTORES
H = 1 COMPONENTES DE LOS VECTORES
ax = a eos
ay = a s e m
a = y
tan ó = a,Jax
+ íiy
bx = b eos
a x = a sen 6 eos
av=asen 0sen < f> a, —aeos 6 yax a\
a =
+ al +
tan
6=aja
VECTORES UNITARIOS Cartesiano bidim ensional a = a j + a yj
Cartesiano tridim ensional a = a xi 4- a yj + a ¿ k
Polar bidimensional
a = a '\i r +
=ü=3 ADICIÓN DE VECTORES = a sx = a x + bx
sy = a y + by
s =a+b
a + b = b + "a
(ley conmutativa)
í + ("e + T) = ("J +
e -)
+ f
(ley asociativa)
(í = "a — "5 = af + ( —S ) d x = a x - bx
k 'M1
d, = a, - bx
MULTIPLICACION DE VECTORES
M ultiplicación de un vector por un escalar: t) = c a
bx = cax
by = ca v
b — \c \a
Producto cruz (o producto escalar) de dos vectores:
"a • b — ab eos 4> = a(b eos
"a-b = axbx + a Yby + a.b. "a • a ’ = a 1 = crx + a j + cr. A c=a xb Producto cruz (o producto vectorial) de dos vectores:
c = a X b
:■
|
b X "a = —"a X b I x í = I x ] = k x k = 0
i X j = k
j X k = i
k X i = j
i 2” X o — (avb. — a .b y)i + (a.bx
—
axb.)j + {axby
—
a X ( b -i- c ) = ( a X K) + ( a X c-) ( s a ) X. b = 'a X ( i b ) = s ( a X b )
(s = un escalar).
"a *(b X
a X (K X c) = ( 'a - 'c ) b — ( a '• b ) e ‘
aybx)k
=
ax
j ay
k C¡-
K
by
b.
a FORMULAS MATEMÁTICAS
G eo m etría
Signos y sím bolos m ate m á tic o s
Círculo de radio r: circunferencia = 2irr; área = t t A Esfera del radio r: área = volum en = ^ t t A Cilindro circular recto de radio r y de altura h: área = 2 ttE + 2 irrh\ volumen = -tti2h. Triángulo de base a y de altura h: área = A ah.
= =
F ó rm u la c u a d rá tic a
Si a x 2 + bx + c = 0, e n to n c e s x =
—b ± 'ib 1 — 4ac
F unciones trig o n o m é tric a s del ángulo 6
2a
igual aproxim adam ente igual no es igual a = idéntico a, definido como > m ayor que ( » es m ucho m ayor que) < m enor que ( « es m ucho m enor que) S m ayor o igual que (o no m enor que) :S m enor o igual que (o no m ayor que) ± m ás o menos cc es proporcional a 2 la sum a de x valor prom edio de x (tam bién x )
eje y
se n 8 =
Id e n tid a d e s trig o n o m é tric a s
tan 0 = — x
cot 9 = —
y
r esc 0 = —
y
T eorem a de P itá g o ra s
sen (90° - B) = eos 6 cos(90° - 6) = sen 6 sen 81eos 9 = tan 6 sen2 6 + eos2 d = 1 sec^ s e n 26 = 2 sen 9 eos 8
tan2 0 = 1
esc2 0 — cot2 0 = 1
eos 28 = eos2 8 —sen2 0 = 2 eos2 0 — 1 = 1 — 2 sen2 se n (a ± /3) = sen a cos jS ± eos a sen /3 c o s(a ± ¡5) = cos a cos (3 T sen a s e n ¡5 tan a ± tan B
b2 = c2
tan (a ± /3) = - r - = --------------- ¿r 1 -t- t a n a t a n ¡3
s e n a ± sen ¡3 = 2 sen | ( a ± (3) cos | ( a T ¡3)
E x p an sió n binom ial nx n(n — l)x 2 (1 ± x)n = 1 ± — + ------- -----------
T riángulos
nx Á ngulos A, B, C Lados opuestos a, b, c A + B + C — 180° E x p an sió n exponencial se n A a
se n B b
se n C e
c 2 = a 2 + b 2 — l a b cos C
X-
n(n + l)x 2
(x2 <
1)
(x2 < 1)
In (1 + x) = x — jjc2 + j x 3 — • • • ( |x | < 1)
Expansión trigonométrica (8 en radianes) el sene- B- — +-95q2 eos 6 = 1 - — + — „
„
03
-
2 0 5
tan 6 = B + —— i----- ~ 3 15
Derivadas e integrales En las fórmulas siguientes, las letras u y v representan cualquier función de x; a y m son constantes. A las integrales indefinidas debe agregarse una constante arbitraria de integración. En el Handbook o f Chemistry and Physics (CRC Press Inc.) se incluye una tabulación más completa. dx L ~dx ~ 1 d 2. —— (aw) dx
3-
d ~ r~
dx d
1. J dx = x du
= a ——
dx
,
du
dv
dx
dx
(« + v) - —- + —-
2.
\ au dx — a I u dx
3.
\(u + v ) d x = j u d x + \ v d x
4.
x m dx =
H
dx
dx
d , 1 ln x = — dx x d dv du 6. — (uv) =u — + v — dx dx dx
o.
7. ——- ex = dx
7. I e x dx — ex
s 5.
dx 9. 10.
dx dx
6.
senx = eos x
|
(m A
m ,-h 1
= ln x
dx
J
dx
se n x dx = —eos x
c o sx = —se n x
J c o s x d x — sen.T
ta n x = sec2x
10.
ta n x ¿ x =
—ln c o s x
11. —— c o tx = —csc2x dx
11. | sen2 x<áx = j x — |s e n 2 x
12.
— sec x = tan x sec x dx
12.
lo .
d— dx
13. I e ^ d x = ------- e “ a
CSC X
d u
= —c o tx
-1)
CSC X
n du
dx6 B dx d du 15. —- senu = eos u ----dx dx d du 16. —— eos u = —senw —— dx dx
e o s-x ¿ir = rx + 7 se n 2x
14. | x e - “ dx = ----- —(ax + l)e~ 1 y (a-x~ + 2ax + 2)e~
15. | x-e “ dx = ni 16.
1 x ne~ax dx =
17.
I x ^ d x
= -1 -3 ' 5 " - ( 2 n 2 n+l a”
dx ' [ ( x r ± a 2y
± x ___ cP -íx
a2
l)
PREMIOS NOBEL DE FÍSICA*
W ilhelm Konrad R öntgen H endrik Antoon Lorentz Pieter Zeeman Antoine Henri B ecquerel Pierre Curie M arie Sklowdow ska-Curie
1845-1923 1853-1928 1865-1943 1852-1908 1859-1906 1867-1934 1842-1919
1905 1906
Lord Rayleigh (John W illiam Strutt) Philipp Eduard Anton von Lenard Joseph John Thom son
1907
Albert Abraham M ichelson
1852-1931
1908
Gabriel Lippm ann
1845-1921
1909 1910 1911 1912
Guglielm o M arconi Carl Ferdinand Braun Johanees D iderik van der Waals W ilhelm Wien Nils G ustaf Dalen
1874-1937 1850-1918 1837-1923 1864-1928 1869-1937
1913
Heike Kam erlingh Onnes
1853-1926
1914 1915 1917 1918 1919
M ax von Laue W illiam Henry Bragg W illiam Lawrence Bragg Charles Glover Barkla M ax Planck Johannes Stark
1879-1960 1862-1942 1890-1971 1877-1944 1858-1947 1874-1957
1920
Charles-Edouard Guillaum e
1861-1938
1921
Albert Einstein
1879-1955
1922
Niels Bohr
1885-1962
1923
Robert Andrews M illikan
1868-1953
1901 1902 1903
1904
1862-1947 1856-1940
por el descubrim iento de los rayos X por su investigación de la influencia del magnetismo en los fenómenos de la radiación por el descubrim iento de la radiactividad espontánea por sus investigaciones conjuntas sobre los fenómenos de la radiación descubiertos por el profesor Henri Becquerel por sus investigaciones de las densidades de los gases más importantes-y-por su descubrim iento del argón por su trabajo sobre los rayos catódicos por sus investigaciones teóricas y experim entales sobre la conducción de electricidad por los gases por sus instrum entos de precisión óptica y por las investigaciones meteorológicas efectuadas con su ayuda por su m étodo para reproducir fotográficam ente los colores basándose en los fenóm enos de interferencia por su contribución a la invención de la telegrafía inalám brica por su trabajo en la ecuación de estado de ios gases y de los líquidos por sus descubrim ientos referentes a las leyes que rigen la radiación del calor por su invención de los reguladores autom áticos para usarlos con acum uladores de gas para ilum inar los faros y las boyas por sus investigaciones de las propiedades de la materia a bajas tem peraturas, que entre otras cosas condujeron a la producción del helio líquido por su descubrim iento de la difracción de los rayos Rontgen por cristales por sus trabajos en el análisis de la estructura cristalina m ediante los rayos X por su descubrim iento de los rayos X característicos de los elementos por su descubrim iento de los cuantos de energía por su descubrim iento del efecto D oppler en la radiación de átomos en m ovim iento la división de las líneas espectrales en los cam pos eléctricos por los servicios que prestó a las m ediciones de precisión en física por su descubrimiento de anomalías en las aleaciones de níquel y acero por sus trabajos en la física teórica y, especialmente, por su descubrim iento de la ley del efecto fotoeléctrico por su investigación de la estructura del átomo y de la radiación que emana de ellos por su trabajo en la carga elemental de la electricidad y en el efecto fotoeléctrico
* Vea N obel Lectures, Physics, 1901-1970. E lsevier P ublishing Company, para biografías de los galardonados y para sus ponencias al recibir el prem io. Para m ayor inform ación, vea http://w w w .nobel.se/physics/laureates/index.htm l.
A
p é n d i c e
J
1924
Karl M anne Georg Siegbahn
1886-1978
1925
Jam es Franck Gustav Hertz Jean Baptiste Perrin
1882-1964 1887-1975 1870-1942
1927
A rthur Holly Com pton Charles Thom son Rees Wilson
1892-1962 1869-1959
1928
Owen W illiams Richardson
1879-1959
1929 1930
Prince Louis-Victor de Broglie Sir Chandraselchara Venkata Raman
1892-1987 1888-1970
1932
W erner Heisenberg
1901-1976
1933
1938
Erwin Schrödinger Paul Adrien M aurice Dirac Jam es Chadwick Victor Franz Hess Carl David Anderson Clinton Joseph Davisson George Paget Thom son Enrico Fermi
1887-1961 1902-1984 1891-1974 1883-1964 1905-1991 1881-1958 1892-1975 1901-1954
1939
E m est Orlando Lawrence
1901-1958
1943
Otto Stern
1888-1969
1944
Isidor Isaac Rabi
1898-1988
1945 1946
W olfgang Pauli Percy W illiams Bridgman
1900-1958 1882-1961
1947
Sir Edward Victor Appleton
1892-1965
1948
Patrick M aynard Stuart Blackett
1897-1974
1949
Hideki Yukawa
1907-1981
1950
Cecil Frank Powell
1903-1969
1951
1953
Sir John Douglas Cockcroft E m est Thom as Sinton Walton Felix Bloch Edward M ills Purcell Frits Zem ike
1897-1967 1903-1995 1905-1983 1912-1997 1888-1966
1954
Max Bom
1882-1970
1955
Walter Bothe W illis Eugene Lamb Polykarp Kusch
1981-1957 19131911-1993
W illiam Shockley John Bardeen W alter Houser Brattain
1910-1989 1908-1991 1902-1987
1926
1935 1936 1937
1952
1956
/ P r e m io s
N o b e l
d e
F ísica
.4 = 2 3
por sus descubrim ientos e investigaciones en el campo de la espectroscopia por rayos X por su descubrim iento de las leyes que rigen el impacto de un electrón en el átomo por su trabajo sobre la estructura discontinua de la materia y, especialm ente, por su descubrim iento del equilibrio de sedimentación por su descubrim iento del efecto que lleva su nombre por su método de hacer visibles por condensación de vapor las trayectorias de las partículas con carga eléctrica por su trabajo sobre los fenóm enos termoiónicos y, especialm ente, por la ley que lleva su nom bre por su descubrim iento de la naturaleza ondulatoria de los electrones por su trabajo sobre la dispersión de la luz y por el descubrimiento del efecto que lleva su nombre por su creación de la m ecánica cuántica, cuya aplicación condujo, entre otras cosas, al descubrim iento de las form as alotrópicas del hidrógeno por su descubrim iento de nuevas formas productivas de la teoría atómica por su descubrim iento del neutrón por su descubrim iento de la radiación cósmica por su descubrim iento del positrón por su descubrim iento experim ental de la difracción de electrones por cristales por su dem ostración de la existencia de nuevos elementos radiactivos producidos por la irradiación de neutrones y por el descubrim iento conexo de las reacciones nucleares producidas por neutrones lentos por la invención y el desarrollo del ciclotrón y por los resultados obtenidos con él, sobre todo con los elementos radiactivos artificiales por su contribución al desarrollo del método de rayos moleculares y por su descubrim iento del momento magnético del protón por su método de resonancia para registrar las propiedades m agnéticas de los núcleos atómicos por el descubrim iento del principio de exclusión (principio de Pauli) por la invención del aparato para producir presiones extremadamente altas y por descubrim ientos que con ellas hizo en el área de la física a alta presión por sus investigaciones de la física de la atm ósfera superior, sobre todo por el descubrim iento de la capa Appleton por la creación del m étodo de la cámara de niebla de W ilson y por los descubrim ientos hechos con ella en la física nuclear y en la radiación cósm ica por su predicción de la existencia de los mesones, basándose en el trabajo teórico relativo a las fuerzas nucleares por el desarrollo del m étodo fotográfico para estudiar los procesos nucleares y por sus descubrim ientos concernientes a los mesones logrados con él por su innovador trabajo sobre la transmutación de los núcleos atómicos por partículas aceleradas artificialmente por su invención de nuevas técnicas en los métodos de precisión m agnética nuclear y por los descubrim ientos conexos por la dem ostración del m étodo de contraste de fases, especialmente por su invención de la m icroscopía por contraste de fases por su investigación fundam ental en la mecánica cuántica, sobre todo por su interpretación estadística de la función ondulatoria por el m étodo de coincidencias y por los descubrimientos hechos con él por sus descubrimientos referentes a la estructura fina del espectro de hidrógeno por su determ inación de la precisión del m omento magnético del electrón por su investigación sobre’ los semiconductores y por su descubrim iento del efecto de transistor
1957
1958
1959 1960 1961
Chen Ning Yang Tsung Dao Lee
1922-
Pavel A leksejecic Gerenkov IT ja M ichajlovic Frank Igor Yevgenyevich Tamm Emilio Gino Segre Owen Cham berlain Donald Arthur Glaser Robert Hofstadter
1 9 0 4 -1 9 9 0
1926-
1 9 0 8 -1 9 9 0 1 8 9 5 -1 9 7 1 1 9 0 5 -1 9 8 9 19261 9 1 5 -1 9 9 0
1929-
1962
Lev Davidovic Landau
1 9 0 8 -1 9 6 8
1963
Eugene P. W igner
1 9 0 2 -1 9 9 5
1 9 0 6 -1 9 7 2
1966
M aria Goeppert M ayer J. Hans D. Jensen Charles H. Townes Nikolai G. Basov Alexander M. Prochorov Sin-itiro Tomonaga Julian Schwinger Richard P. Feynm an Alfred Kastler
1967
Hans Albrecht Bethe
1906-
1968
Luis W. Alvarez
1 9 1 1 -1 9 8 8
1969
M urray Gell-M ann
1929-
1970
Hannes Alfvén
1 9 0 8 -1 9 9 5
Louis Néel
1904-
Dennis Gabor John Bardeen Leon N. Cooper J. Robert Schrieffer Leo Esaki Ivan Giaever Brian D. Josephson
1 9 0 0 -1 9 7 9
1965
1971 1972
1973
1974 1 975
1976
Anthony Hewish Sir M artin Ryle Aage Bohr Ben M ottelson Jam es Rainw ater Burton Richter Samuel Chao Chung Ting
por su descubrim iento del antiprotón
1920-
R udolf Ludwig M össbauer
1964
por su penetrante investigación sobre las leyes de paridad, que condujeron a descubrim ientos im portantes relacionados con las partículas elem entales por el descubrim iento y la interpretación del efecto Cerenkov
por la invención de la cám ara de burbujas por sus trabajos innovadores sobre la dispersión de electrones en los núcleos atóm icos y por los descubrim ientos del efecto que lleva su nombre por sus investigaciones referentes a la absorción de resonancia de los rayos gam m a y por su descubrim iento conexo del efecto que lleva su nombre por sus teorías innovadoras sobre la m ateria condensada, especialm ente el helio líquido por su contribución a la teoría del núcleo atómico y de las partículas elementales, especialm ente con el descubrim iento y la aplicación de los principios fundam entales de la sim etría por sus descubrim ientos acerca de la estructura nuclear de capas
1 9 0 7 -1 9 7 3 1915192219161 9 0 6 -1 9 7 9 1 9 1 8 -1 9 9 4
por el im portante trabajo en el cam po de la electrónica cuántica, que llevó a construir osciladores y am plificadores basados en el principio de m áser-láser por su im portante trabajo en la electrodinám ica cuántica, con trascendentales consecuencias en la física de las partículas elem entales
1 9 1 8 -1 9 8 8 1 9 0 2 -1 9 8 4
1 9 0 8 -1 9 9 1
por su descubrim iento y desarrollo de m étodos ópticos para estudiar la resonancia hertziana en los átomos por sus contribuciones a la teoría de las reacciones nucleares, en especial sus descubrim ientos concernientes a la producción de energía en las estrellas por su trascendental contribución a la física de las partículas elem entales, en particular el descubrim iento de m uchos estados de resonancia, que fueron posibles gracias a que inventó la técnica de usar la cám ara de burbujas de hidrógeno y el análisis de datos por su contribución y sus descubrim ientos referentes a la clasificación de las partículas elem entales y de sus interacciones por su trabajo y descubrim ientos tan im portantes en la magnetohidrodinám ica, con fecundas aplicaciones en varias partes de la física del plasma por sus innovadores trabajos y descubrim ientos concernientes al antiferrom agnetism o y al ferrom agnetism o, que condujeron a importantes aplicaciones en la física del estado sólido por su descubrim iento de los principios de la holografía por su form ulación de la teoría de la superconductividad
1930193119251929194019241 9 1 8 -1 9 8 4 192219261 9 1 7 -1 9 8 6 19311936
por su descubrim iento de túneles en los sem iconductores por su descubrim iento de túneles en los superconductores por su predicción teórica de las propiedades de una supercorriente a través de una barrera de túneles por el descubrimiento de los pulsares por su innovador trabajo en radioastronom ía por el descubrim iento de la conexión entre el m ovim iento colectivo y el m ovim iento de las partículas, así com o la form ulación de la teoría de la estructura del núcleo atóm ico basada en esta conexión por su descubrimiento (independiente) de una importante partícula fundamental
Philip Warren Anderson N evill Francis M ott John H asbrouch Van Vleck Peter L. Kapitza Am o A. Penzias Robert W oodrow W ilson Sheldon Lee Glashow Abdus Salam Steven W einberg James W. Cronin Val L. Fitch Nicolaas Bloem bergen Arthur L eonard Schawlow Kai M. Siegbahn K enneth Geddes W ilson
1923 1905-1996 1899-1980 1894-1984 1926193619321926-1996 19331931192319201921-1999 1918-1999 1936-
Subrehm anyan Chandrasekhar W illiam A. Fow ler Carlo Rubbia Simon van der M eer
1910-1995 1911-1995 19341925-
Klaus von Klitzing Ernst Ruska G erd Binning Heinrich Rohrer Karl Alex M uller J. Georg Bednorz Leon M. Lederm an M elvin Schwartz Jack Steinberger Hans G. Dehmeit W olfgang Paul Norman F. Ramsey
19431906-1988 194719331927195019221932192119221913-1993 1915-
1991
Richard E. Taylor Jerome I. Friedm an Henry W. Kendall Pierre-Gilles de Gennes
192919301926-1999 1932-
1992
George Charpak
1924-
1993
Joseph H. Taylor Russell A. Hulse Bertram N. Brockhouse Clifford G. Shull M artin L. Perl Frederick Reines David M. Lee Douglas M. Osheroff Robert C. Richardson Steven Chu Claude Cohen-Tannoudji W illiam D. Phillips Robert B. Laughlin Horst L. Storm er Daniel C. Tsui Gerardus ‘t Hooft M artinus J. G. Veltman Zhores I. Alferov Herbert Kroem er Jack S. Kilby
194119501918191519271918-1998 19311945193719481933194819501949193919461931193019281923-
1977
1978
1979
1980 1981
1982 1983 1984
1985 1986
1987 1988
1989
1990
1994 1995 1996
1997
1998
1999 2000
por sus im portantes investigaciones teóricas sobre la estructura electrónica de los sistem as magnéticos y desordenados por sus invenciones y descubrimientos básicos en la física de bajas temperaturas por su descubrim iento de la radiación de fondo de las microondas cósmicas por su m odelo unificado de la acción de fuerzas electrom agnéticas y débiles, y por su predicción de la existencia de corrientes neutrales por el descubrim iento de las violaciones de los principios básicos de la sim etría en los decaim ientos de los m esones neutrales K por su contribución a la invención de la espectroscopia láser por su contribución de espectroscopia de electrones de alta resolución por su m étodo de analizar los fenómenos críticos propios de los cambios de la m ateria bajo la influencia de la presión y de la tem peratura por sus estudios teóricos sobre la estructura y la evolución de las estrellas por sus estudios sobre la form ación de los elementos químicos en el universo por sus decisivas contribuciones al gran proyecto que culminó en el descubrim iento de las partículas de campo W y Z, comunicadoras de la interacción débil por su descubrim iento de la resistencia cuantizada de Hall por su invención del m icroscopio electrónico por su invención del microscopio electrónico por barrido-túneles por su descubrim iento de una nueva clase de superconductores por sus experim entos con haces de neutrino y por el descubrim iento del neutrino m uón por su invención: de la técnica para atrapar átomos individuales por sus descubrim ientos en espectroscopia de resonancia atómica, que dieron origen a los m áseres de hidrógeno y a los relojes atómicos por sus experim entos sobre la dispersión de electrones desde el núcleo, que revelaron la presencia de quarks dentro de los nucleones por sus descubrim ientos sobre el ordenam iento de las m oléculas en sustancias com o los cristales líquidos, los superconductores y los polím eros por su invención de los detectores electrónicos rápidos para partículas de gran energía por su descubrim iento e interpretación del primer pulsar- binario por el desarrollo de las técnicas de dispersión de los neutrones por su descubrim iento del leptón tau por la detección del neutrino por su descubrim iento de la superfluidez en 3He
por la invención de los m étodos para enfriar y atrapar los átomos con luz láser por sus descubrim ientos de una nueva forma del fluido cuántico con excitaciones cargadas fraccionalmente por explicar la estructura cuántica de las interacciones electrodébiles en física por inventar las heteroestructuras que se usan en alta velocidad y en optoelectrónica por su parte en la invención de los circuitos integrados
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS IMPARES C A P Í T U L O
2 5
Ejercicios I. 0.50 C. 3. 2.74 N. 5. (a) i . 77 N. (b) 3.07 N. 7. q¡ — — 4q2 9. 24.5 N, a lo largo del bisector de ángulo. I I . E n el punto a 82.3 cm de la_carga positiva y a 144 cm de la carga negativa. 15. a) F = F.k. b) (2q0q/4ire0R 2){l - [ 0 / ( 0 + /e2)],/á]( z /|z jÁ 17. A lo largo del eje y a una distancia de (y4 3- y 2L 2i4 )>H a) a la derecha de q, o b) a la izquierda de q019. F. = - (9oA/2irc0)[l/y - l/(>’2 + L2/4 )l/2]. 21. a) Borón. b) Nitrógeno, b) Carbono. 23. 2.89 nN. 25. 3.8 N. 27. 5.08 m debajo del electrón. 29. 13.4 MC. 31. a) 57.1 TC; no. b) 598 toneladas métricas.
Problemas 1. 1.00 ¡xC y 3.00 ¡xC, pero de signo contrario. 3. a) Debe localizarse una carga —4q/9 en el segm ento lineal que une las dos cargas positivas, a una distancia L/3 de la carga + q . 5. b) 2.96 cm. 7. q = OI2. 9. ( v 3m e0d 3/2qO )'n . 11. a H 2. C A P Í T U L O
2 6
Ejercicios 1. 10.5 mN/C, hacia el oeste. 3. 203 nN/C, arriba. 5. 144 pC. 7. 19.5 IcN/C. 9 .9 :3 0 . 13. R I'Ü . 15. a )1 0 4 n C . b) 1.31 X 1017. c) 4.96 X 10- s . 17. a) 6.50 cm. b) 4.80 ¡xC. 23. A la derecha. 27. a) 6.53 cm. b) 26.9 ns. c) 0.121. 29. a) 585 kN/C, hacia la carga negativa. b) 93.6 fN, hacia la carga positiva. 31. 5e. 33. 1.64 X 10“ 19 C ( = 2.5% grande). 35. 1.2 mm. 37. a) Cero. b) 8.50 X 10-22 N • m. c) Cero.
Problemas I. b) Paralelo a p . 3. (a) qz/47reQ(R2 + z1)212b) {q¡ - ? 2)l? /2 ire 0(ü 2 + r ) 3/2. 5. +q en z = + 2 a y z = — 2a; — 4q en z = + a y z = — a; -i-6q en r = 0. I I . La placa superior; 4.06 cm. 13. 2 p E c o s d 0. 15. a )8 q h re0a3. C A P Í T U L O
2 7
Ejercicios 1. — 7.8 mN ■m 2/C. 3. a) — i tR2E. b) t tR2E. 5. 208 kN • m 2/C. 7. q/6e0. 9. 4.6 ¡xC. 13. a) 322 nC. (¿>) 143 nC. 15. a) Cero. b) crle0, a la izquierda c) Cero. 17. 5.09 /xC/m3. 19. - 1 . 1 3 nC. 21. a) 2.19 MN/C, radialm ente hacia afuera, b) 436 kN/C, radialm ente hacia adentro. 23. 97.9 cm. 25. (b) pR2/2e0r. 27. (a) 452 n.C/nr. (b) 51.1 kN/C. 29. (a) 53 M N/C. (b) 60 N/C.
P ro b le m a s 3. 5.11 nC/m 2. 5. (a) q/2ire0Lr, radialm ente hacia afuera. b) —q en las superficies interna y externa, c) ql2zTe0Lr, radialm ente hacia aden tro . 7. a) Á /2ire0r. b) Cero. 9. 270 eV. 11. a) q/4TreQr 2. b) q/4Tre0r 2. c) Sólo dentro de la capa propiamente. d) Sí, las cargas se inducen en las superficies, e) Sí f ) No. g) No. 13. qll-rra1. 19. a) - O. b) - Q. c) - (Q + q). d) Sí.
C A P ÍT U L O 2 8 E jercicios I. a )4 8 4 k e V . ¿>)Cero. 3. a) 27.2 fJ. b) 3.02 X 10~31 kg. en error por un factor aproxim ado de 3. 5. a) 3.0 kN. b) 240 MeV. 7. a) 30 GJ. ¿>)7.1 km/s. c) 9.0 X 104 kg. 9. 2.6 km/s. I I . a) 27.2 V. b) - 27.2 eV. c) 13.6 eV. d ) 13.6 eV. 13. a) 24.4 kV/m. ¿0 2.93 kV. 15. a )1 3 2 M V /m . b) 8.43 kV/m. 17. a) 32 MeV. 19. a) - 3.85 kV. b) - 3.85 kV. 21. - 1 . 1 nC. 23. 637 MV. 25. n) qd/2Tre0a(a + d). 27. a) 2.76 MV. è) 5.27 J. c) 7.35 J. 29. 186 pJ. 31. 746 V/in. 33. —2.3 X 102 lV/m. 35. — 39.2 V/m. 37. a) 2.46 V. fe) 2.46 V. c)C ero. 43. a ) - 1 1 5 m V . ¿0 18. In V /m . 45. a) 3.64 nC. b) 12.5 nC/m 2. 47. a) Esfera grande; 38.6 nC; esfera pequeña 18.6 nC. ¿>)2.84kV cad au n o . 49. a) 110/U.C; 1.1 ¡xC. b) 8.75 /xC/m2; 8.75 ¿¿C/m2.
P ro b le m a s 1. rt) 256 kV. b) 0.745c. 3. (gQ/87re0)(l/r| — l /r 2). 5. 2.17 d. 7. o) 562 fxm. ¿>)813V. 9. a) — 5.40 nm. è) 9.00 nm. c) No. 13. a) (k/4Tre0)[(L2 + y 2)'12 - y], b) {kl4rre0)[\ - y/(L 2 + y 2) l/2]- (c) 0.75L. 15. 2.0 X IO "8. 17. a) Cero. b) Cero. c)C ero. d) Cero. e) No.
C A P ÍT U L O 2 9 E jercicios 1 . a ) 1.33 kC. ¿0 8.31 X 102'. 3. a) 9.41 A/m 2, norte. 5. 0.400 mm. 7. 0.67 A, hacia la terminal negativa. 9. (a) 654 nA/m 2. (b) 83.4 MA. 11. 52.5 min. 13. 0.59 ÍL 15. (a )1 .5 k A . (¿0 53 MAAn2. (c) 110 nO • m; platino. 19. 3. 21. (a) 6.00 mA. (¿?)15.9nV. (c )2 1 .2 n fl. 23. 1 1 9 0 ( n - m ) _1. 25. (a) Cu: 55.3 A/cm2; Al: 34.0 A /cm 2. ib) Cu: 1.01 kg; Al: 495 g. 27. (a) 8.52 kfl. (b) 4.51 ¡xA. 29. (a) 7.65 X 103 N/C. (b) 3.60 X 106 N/C. (c) 2.51 X 10~5 C/m 2. 31. (a) <3 X 106 V/m)/?
b) Negativo, c) 4.3 min. I. 7.1 ras. 3. a) 380 /xV. 5. a) 95.0 ¿rC. b) 158 C°. 7. a) 250°C. 9. 54 H. I I . a) Plata. b) 60.8 nfi. 13. 0.036. 15. R = (p/4-r)(l/a — 1Ib). C A P ÍT U L O 3 0 E jercicios 1. 7.5 pC. 3. 3.25 mC. 5. 0.546 pF. 7. a) 84.5 pF. b) 191 c m l 9 .9 0 9 0 . 11. 7.17 ¿xF. 13. a) 2.4 juE b) p4 = q6 = 480 pC . c) AV4 = 120 V; AV6 = 80 V. 15. a) di3. fe)3d. 17. a) 942 pC . b) 91.4 V. 21. 13.2 0. 23. a) 28.6 p F fe) 17.9 nC. c) 5.59 p.J. ¿ ) 482 kV/m. 25. 74.1 mJ/m3. 29. 3.89. 31. La hoja de mica. 33. 86.3 nF. 35. a) 730 pF. b) 28 kV. 37. a) e0A /(d - b). b) d/{d — b). c ) p 2fe/2Ae0; jalado al interior. 39. a) 13.4 kV/m. fe) 6.16 nC. c) 5.02 nC. P ro b le m a s 5. a) 45.4 V. b) 52.7 p,C. c) 146 ,u.C. 7. a) 50 V. ¿>)Cero. 9. a) pi = 9,0 /xC; p2 = 16 p,C; <73 = 9.0 /xC; pi = 16 ¡xC. fe) p¡ = 8.40 ¿xC; q2 = 16.8 /xC; p3 = 10.8 /xC; p4 = 14.4 /xC. 11. a) 2.0 J. 13. a) e2l327r2e0r 4. b) e2/&Tre0R. c )1 .4 0 fm . 17. 1.63 kV. 21. a) 2 AV. fe) í/¡ = e0A (á V )2/2d; Us = e0A (A V )2/d. c) e0A {A V )2l2d. 23. a) 85.6 pF. fe)119pF. c) 10.3 nC; 10.3 nC. d ) 9.86 kV/m. e) 2.05 kV/m. / ) 86.6 V. g) 170 nJ.
-ejercim os i . 10.6 lcJ. 3. 13 h 38 min. 5. - 1 0 V . 7. a ) 1 4 f l . b) 35 mW. 9. a) 44.2 V. 6) 21.4 V. c) Izquierda. 11. %¡1R. 13. a) i] = 668 mA, abajo: i2 = 85.7 mA, arriba; /3 = 582 mA, arriba. b) - 3.60 V. 15. a) 3.4 A. b) 0.29 V. Y: a) 0.59 A. fe) 1.7 V. 17. 4.0 í l; 12 íl. 19. 7.5 V. 21. 262 í l o 38.2 íl. 23. a) 131 íl. i¡ = 47.5 mA; i2 — 21.2 mA; ;3 = 14.4 mA; z4 = 11.9 riiA. 25. a) R/2. fe) 5/?/8. 29. 18kC . 31. a) 1.03 kW. 34.5C. 33. a ) R 2. fe)/?,. 35. a) S4.46. fe) 144 0 . c) 833 mA. 37. a ) 2 . 8 8 x l 0 " . fe) 24.0 p.Ac) 1.14 kW; 23.1 mW. 39. a ) 6 .1 m . b) 13 m. 43. 4.61. 45. a) 2.20 s. b) 44 mV. 47. 2.35 M il. 49. a) 955 nA. b) 1.08 ¿xW. c) 2,74 ¿xW. d) 3.82 /xW.
b)
b)
P ro b le m a s 1. El cable. 3. a ) 1 .5 k ü . h )4 0 0 m V . c) 0.26%. 5. a) pA = 16.3 n fl • rn; pB = 7.48 n íl ■m. = 62.3 kA/cm 2. c) EA = 10.2 V/m; £ B = 4.66 V/m. d) AVa = 435 V; AVB = 195 V. 7. a) 3P/4. h) 5P/6. 9. a) En paralelo, b) 72.0 O; 144 íl. 11. 0.45 A. 15. 27.4 cm/s. 17. a) 1.37L. b )0 J 3 0 A . 19. /? C ln 2 .
b) jA=Jb
C A P ÍT U L O 3 2 E jercicios 1. 1: + ; 2: - ; 3 : 0 ; 4 : 3. a) 3.4 km/s. 5. 8.2 X 109. 9. a) 0.34 mm. fe) 2.6 keV. 11. a) 1.11 X 107 m/s. fe) 0.316 mm. 13. a) 2600 km/s. fe)110ns. c)1 4 0 k eV . d ) 70 kV. 15. a) Kp. b) Kpl2. 17. a ) ^ 2 r p. fe) rp. 19. <:;) 0.999928c. 21. Una partícula alfa. 23. ~ 2 4 0 m .
20. ;>7 cm/s. 29. 467 m A;izquierda a derecha. 31. a) 330 MA. b) 1.1 X 10,7W. 33. ( - 0 .4 1 4 N)k 35. a) Cero; 0.138 N; 0.138 N. 37. a) 20 min. fe) 0.059 N -m .
Problemas 1. (0.75 T)k
3. a) Al este. fe) 6.27 X 10i4 m/s2. c) 2.98 mm. 7. a) B A x(qm /2A V )m . fe) 7.91 mm. 9. a ) —q. b) Tnn/qB. 11. a) 78.6 ns. fe) 9.16 cm. c) 3.20 cm. 15. 4.2 C. 19. 1.63 A. C A P ÍT U L O 3 3
Ejercicios I . a) 3 X 108 m/s. 3. 7.7 mT. 5. 12 nT. 7. a) 0.324 fN, paralelo a la corriente, fe) 0.324 fN, radialm ente hacia afuera, c) Cero. 9. 30.0 A, antiparalelo. I I . a) 2.43 A -m 2. fe) 46 cm. 13. (/xo/0/47r)(l/fe — 1/a), fuera de la página. 15. (¡j.0í/2 ttw) In (1 + w/d), arriba. 19. a) 68 /xT. fe) 9.3 X 10~7 N -m . 21. 606 /xN, hacia el centro del cuadrado. 23. tí) 2.3 km/s. 27. 109 m. 31. a ) - 2 . 5 / x T - m . fe) Cero. 33. a) f i 0ir/27rc2. fe) ¡x qU2t¡r. c) {fj,0i/2'rrr)[(a2 — r 2)/(a2 — fe2)]. d )C e ro. 35. 3/0/8, hacia el interior de la página. 37. a) Negativo, fe) 9.7 cm.
Problemas 1. 8ÍV/x0z/5a/5(?.
5.
c) '/^nia2 sen (27r/n).
7. a) (2/j.0U3ttL )(2 ^2 + VlO). 13. pL0ir 2/2'írai .
fe) Mayor.
9. 0.272 A.
C A P IT U L O 3 4 E jercicios I. 57 /xWb. 3. tí) 31 mV. fe) Derecha a izquierda. 5. a) 1.12 m il. fe)1.27T /s. 7. fe) 58 mA. 9. 4 .9 7 /xW. I I . fe) No. 13. 600 nV. 15. Cero. 17. iLBt/m, lejos de G. 21. 25 ¿xC. 23. a) ( n 0ia/2ir) ln (1 + fe/D). fe) /j.0iabv/2TrRD(D + fe). 25. 6.3 rev/s. 27. 5.5 kV. 29. a: - 1 .2 0 mV; fe: - 2 .7 9 mV; c: 1.59 mV. 31. a) 4.53 X 107 m /s2, a la derecha, fe) Cero, c) 4.53 X 107 m /s2, a la izquierda. 33. a) 0.15°. P ro b le m a s 3. a) 28.2 jllV. fe) De c a fe. 5. 80 ¡xV, en dirección de las m anecillas del reloj. 7. 0.455 V. 11. (Barfwcrt. 15. a) 34 V/m. fe) 6.0 X 1012 m /s2. C A P ÍT U L O 3 5 E jercicios 1. 2.1 X 109 A. 3. a) ( — 2.86 A • m 2)k. fe) (1.10 A • m 2)k. 5. b) ia2. 7. x/2-rri{a2 + b 2). 9. a )5 1 4 G V /m . fe) 19.0 mT. 13. 24 mJ/T. 15. 0.58 K. 17. a) 150T. fe) 450 T. 19. Sí. 21. a) 3.0 /xT. fe) 9.0 X 10 ~29 J. 23. a) 180 km. fe) 2.3 X 10~5. 25. 1660km . 27. 61 |ixT; 84°. 29. + 3 Wb. 31. I¡x 0í LI tt) ln 3. P ro b le m a s 3. fe) KJB, opuesto al campo.
fe) 312 A/m.
C A P ÍT U L O 3 6 E jercicios 1. lOOnWb. 3. 0.261 mH/m. 5. a) 0.60 mH. fe) 120. 7. 7.87 H. 11. 29.8 fi. 13. a) 4.78 mH. fe) 2.42 ms.
13. a) 4.78 mH. fe) 2.42 ms. 15. 42 V + (20 V/s)/. 17. 12 A/s. 19. a) i, = i2 = 3.33 A. b) ij = 4.55 A; i2 = 2.73 A. c) i¡ = 0; i2 = 1.82 A. d ) / j = L= 0. 21. I. a) 2.0 A. b) Cero*. c )2 .0 A . d) C ero’ e) 10 V. / ) 2.0 A/s. II. a) 2.0 A. fe) 1.0 A. c )3 .0 A . d )1 0 V . e) Cero. / ) Cero. 23. a) 13.2 H. fe) 0.124 A. 25. 63.2 M J/m 3. 27. 150 MV/m. 29. a) 117 H. fe) 0.225 mJ. 31. 1 2 X 1 0 ,SJ. 33. 0.123 A. 35. 0.038 mH. fe) 70.3 ms. c) 24.1 ¿tF- 41. a) 6.08 /xs. 39. a) 89.3 rad/s. fe) 164 kHz. c) 3.04 /xs. 43. a) No. fe) 6.1 kHz. c) 16 nF. 45. a) 5800 rad/s. fe) 1.1 ms. 47. a) q j ' l 3. fe) t / T = 0.152. 49. n) 6 .0 :1 . fe) 36 pF; 2 2 0 /xH. 51. a) 180 /xC. fe) 778. c) 67 W. 53. (L//?) In 2. 55. 2.96 fl.
P ro b le m a s 9. a) fj.0i2N 2/&'¡r2r 2.
C A P Í T U L O
3 9
Ejercicios 3. a) 4.5 X 1024 Hz. fe)10,000km . 5. a) 515 nm; 610 nm, aproxim adam ente, fe) 555 nm ; 541 THz; 1.85 fs. 7. a) 8.68 y. fe) 4.4 My. 9. 67 ps. 13. (a) 38.0°. fe) 52.9o. 1 5 .1 .5 6 . 17. 1.95 X 108 m/s. 19. 1.25. 23. 74 m. 27. 43 mm. 29. a) 405 nm. fe) 2.37 ftm . c) 42.5°. 33. a) 72.07°. fe) De A a B. 35. 187 cm. 37. a) Sí. fe) No. c) 43°. 41. Am arillo-anaranjado. 43. fe) 0.80c. 45. ± 0.0036 nm. 47. a) 1.66 X 1 0 -5. fe) 0.83 X 1 0 -5. 51. 78.9°.
Problemas 3 .2 2 ° . 11. fe)
,
5. fe) 0.60 mm. 7. 750 m.9. a) n liquido 0.170. 13. fe) 6 0 .2 /xs. 15. 59.4 m/s.
C A P Í T U L O
fe) (/j.0N 2h i2/47r) In (fe/a).
13.
a) Cero,
fe) 2i. C A P ÍT U L O 3 7 E jercicios I. 377 rad/s. 3. a) 3750 rad/s. fe) 23.4 O. 5. a) 39.1 mA. fe) Cero, c) 32.6 mA. d ) Sum inistro de energía. I I . l.O kV ( > cá m). 13. a) 36.0 V. (fe) 27.4 V. c )17.0V . d )8 .4 V . 15. a)39.1 fl. fe) 21.7 fl. c) Capacitivo. 17. 177 ÍL 19. a) 1.82 W. fe) 3.13 W. 21. 100 V. 25. a) 2.49 A. fe) 37.4, 153, 218, 65.0, 75.0 V. c) Pc = PL = 0; P* = 93.0 W. 27. 1.8 kV. 29. Paso arriba: 5; 4; 1.25. Paso abajo: 0.8; 0.25; 0.2. 31. 40 V. P ro b le m a s 1. a) 6.73 m /s. fe) 11.2 ms. c) Inductor. d) 144 mH. 3. a) 45°. fe) 76.0 ÍL 7. a) 229.0 rad/s. fe) 6.11 A. (c) 233.5, 224.5 rad/s. d ) 0.039. 9. a)4 1 .2 W . f e ) - 16.9 W. (c) 43.7 W. d ) 14.3 W. 11. a) 76.4 mH. fe) 17.8 fl. C A P ÍT U L O 3 8 E jercicios 1. r = 2.5 cm, 10 cm. 3. Cam bio de potencial en la placa a una rapidez de 1.0 kV/s. 5. a) 1.84A. fe)1 4 0 G V /m -s. c) 460 mA. d ) 578 n T -m . 7. a) 0.84 A. fe) Cero. c )1 .3 A. 9. 2.27 pT. 15. 5.0 X 10~21 H. 17. 1.07 pT. 21. 100 kJ. 23. 4.62 X 1 0 -29W /m 2. 25. 78 cm. 27. a) 883 m. fe) No. 29. a) 6.53 nT. fe)5 .1 0 m W /n r. c) 8.04 W. 31. a) 76.8 mV/m. fe) 256 pT. c )1 2 .6 k W . 33. 0.043 kg ■m/s. 35. 7.7 MPa. 37. a) 586 MN. fe) 1.66 X lo -14. 39. 1(2 - f ) / c . 43. 490 nm.
P ro b lem as 3. a) 7.63 ¡j.A. fe) 862 kV ■m/s. c) 3.48 mm. d) 5.07 pT. 5. «) ± Eba2//J.{) en las caras paralelas al plano xy\ cero en las cuatro caras restantes, fe) Cero. 9. a) w/k = c\ Em = cB,„. b) S = ( £ m2/4/x0c) sen 2 cor sen 2/cv. 11. a) E = %ír ln (fe/a); B = /x0%12-ñRr. (fe) S = %2l2irR r2 ln (fe/a). 13. (a) 94.3 MHz. fe) + z; 960 nT. (c) 1.98 m ' 1; 593 Mrad/s. d ) 110 W /m 2. e) 678 nN; 367 nPa. 15. (a) 3.60 GW /m 2. fe) 12.0 Pa. c) 16.7 pN. (d) 2.78 km /s2.
< « vidrio.
4 0
Ejercicios 1. o) 2v. fe) v. 7. 390 cm debajo de la superficie del espejo. 9. 1.7 m m 2. 11. Seis 13. ll.O c m . 15. a) + , + 40, —20, + 2 , no, si fe) Plano, * , =c, —10, sí c) Cóncavo, + 4 0 , + 6 0 , —2, sí, no. d) Cóncavo, + 20, + 40, + 30, sí, no. e) C ó n cav o ,—20, + 20, + 0.50, no, sí. / ) Convexo, —, —40, —18, + 180, no, sí. g ) —20, —, —, + 5.0, + 0.80, no, sí. fe) C ó n c av o ,+8.0, + 1 6 , + 12, —, sí. 19. fe) 2.0. c) Ninguno. 21. 12 cm a la izquierda de la lente. 23. 2.5 mm. 25. á) 40 cm. fe) 80 cm. c) 240 cm. (d) —40 cm. e) —80 cm. / ) —240 cm. 29. 22 cm. 31. 30 cm a la izquierda de la lente divergente; virtual; recta; m = 1.0. 33. a) 73.6 cm en el lado de la lente lejos del e s p e jo .
fe) R e a l.
37.
2 .3 4 c m .
a)
c ) R e c ta .
d ) 0 .2 8 9 .
3 5 . 2 .0 m m .
fe) Más p e q u e ñ o . 3 9 . 103.
Problemas 1- /nuevo = (1 0 /9 )/viejo 9. fe) Separar las lentes por f 2 - |/, |. (c) (/[ //i) 2- 13. a) 5.3 cm. fe) 3.0 mm. 15. 25 ms.
C A P Í T U L O
4 1
Ejercicios 1.
a ) 0 .2 2 ra d .
7. 0 .1 0 3 m m .
fe) 12°. 9. 600 nm .
3 . 2 .3 m m .
5 . 6 5 0 nm .
1 3 . 3 .2 X 10 “ 4.
15 . 0 o.
19. a) 1.21, 3.22, 8.13 m. 21. 124nm . 23. a) 552 nm. fe) 442 nm. 25. 215 nm. 27. 840 nm. 29. 141. 31. 1 .8 9 /xm. 33. a) 34. fe) 45. 35. 1.00 m. 37. a) 88%. fe) 95%. 39. 588 nm.
Problemas 1. a) 0.253 mm. fe) Los m áxim os reeplazan a los m ínim os y éstos a aquellos. 7. 643 nm. 9. 2.4 ¡xm.
C A P Í T U L O
4 2
E jercicios 1. 690 nm. 3. a) 0.430°. fe)118/xm . 5. a) Aa = 2Ab. fe) Los m ínim os coinciden cuando m b = 2m a. 7. 1 7 3 /xm. 9. 1.49 mm. 11. a) 0.186°. fe) 0.478 rad. c) 0.926. 13. 5.07°. 15. a )0 .1 3 7 m ra d . fe) 10.4 km. 17. 51.8 m. 19. 1400 km. 21. 15 m. 23. a) 6.8°. fe) No existe un mínimo. 25. ADld. 27. a) Tres. 2 9 . a ) Nueve. fe) 0 .2 5 5 .
1. 24.4 mm. 3. (b) 0, 4.493, 7.725 rad, etcétera c) - 0.50, 0.93, 1.96, etc. 5. b) 70 ¡xm. c) Tres veces el diám etro de la luna 7. (a) 5.0 ¡xm.
1 9 .0 .6 9 Hz. 21. 76 ¡xeV. 23. 8.8 X 10"24 kg • m/s. 25. A/2ir. 27. a) 1.1 X 10"20k g-m /s. fe)19M eV. 29. a) 3.0 X 10"5. fe) 2.5 X 10"7. (b) 20 ¡xm.
C A PÍT U L O 4 3 Ejercicios 1. (a) 3.50 ¡xm. (b) 9.69°; 19.7°; 30.3°; 42.3°; 57.3°. 3. 523 nm. 5. (a) 6.0 fim. (b) 1.5 ¡xm. (c ) «z = 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9. 7. 400 nm < A < 635 nm. 9. Tres. 15. 470 nm < A < 560 nm. 17. 491. 19. 3650. 21. 9.98 ¡xm. (fe) 3.27 mm. 23. (a) 0.032°/nm; 0.077°/nm; 0.25°/nm. {b) 40,000; 80,000; 120,000. 2 5 .2 .6 8 °. 27. 26 pm; 39 pm. 29. 49.8 pm. 33. 0.206 nm. P ro b le m a s 3. b) A la mitad entre los m áxim os principales.
c) I J 9 .
7. a) a0/^ 2 ; a0/^¡5; a0/^flO; a0/^[Í3; a0/^ fl7 . C A P Í T U L O
44
Ejercicios I. (a) —y. (fe) Ex = 0; £ v = 0; £ . = —cB sen {ley +
1. «) 0.16. (fe) 0.84. 3. '/2[cos2(0//V )f • 0.5 as N —» “ . 5. a) Hoja de polarización b) 45°. C A P Í T U L O
47
C A P Í T U L O
E je rc id o s 1. a) 1900M eV. fe)1.0M eV ;no. 3. 88.3 eV. 5. a) 6.2 X 10"41 J. fe) 1.0 X 10"20. c) 3.0 X 10"18 K. 7. a )8 .7 4 k eV . fe) 1.01 X 10"22 kg • m/s. c) 98.5 pm. 9. a) x = Nl/2n, N = 1, 3, 5, . . . , (n - 1). b) x — Nl/n, N — 0, 1, 2, . . . , n. 13. 656.3 nm; 486.1 nm; 434.1 nm; 410.2 nm; 397.0 nm. 15. 3.40 eV. 17. a) n = 5 —> 3. fe) Paschen. 19. 66 neV; £ 2 = 3.4 eV. 27. fe)1013 nm; 364.6 nm. c) Ultravioleta, visible, infrarrojo. 29. fe)«2. c ) n. d) Un. e) 1ln3. f ) 1/n. g) 1/n4. h) l/« 4. í) 1/n2. j ) Un2. k) Un2. 31. a) 30.4 nm; 292 nm; 1055 nm. fe) 823 THz; 366 THz; 206 THz. 33. a) 2150 nm “ 3; cero. fe) 291 nm -3; 10.2 n m " 1 35. 1.85. 37. a) 3, 2, 1, 0, — 1, —2 , —3 fi. fe) - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3 ¡xB. c) 30.0°; 54.7°; 73.2°; 90.0°; 106.8°; 125.3°; 150.0°. d)
V l2 ñ.
{ e ) 4 ñ f x B.
fe) 0.981 n m " 1; 3.61 n m "1.
41.
a) 0.764a0; 5.236a0.
43. n = 4; / = 3;
nij = 3, 2, 1, 0, — 1, — 2, —3; ms = ± l/ 2/ = 4; ms = ± y2.
45. « S 5 ;
47. 1, 0, 0, >/2; 1, 0, 0, - '/,.
49. Todas las afirm aciones son verdaderas. P ro b le m a s I. 18.1,36.2, 54.3, 66.3, 72.4 ¿ieV. 3. (fe) 0.0006. (c) 0.0003. 5. 7. (a) 0.284 pm. (fe) 2.53 IceV. (c) 0.490 nm. I I . 1.5 X 1 0 " 15. 13. 0.439. 15. 0.0527.
4 5
Ejercicios
C A P Í T U L O
I. fe)2.11eV . 3. 1.17 eV. 5. Ultravioleta. 7. a) L a lám para infrarroja, fe) 1.97 X IO20. 9. 91 K. I I . a) 1.06 mm; microonda. fe) 9.4 /¿m; infrarroja. c) 1.6 ¡xm; infrarroja, d) 500 nm; visible. e) 0.29 nm; rayo X. / ) 2.9 X 10"41 m; rayos gam m a duro. 13. 580 mW. 15. a) 7650 K. fe) 17,200 K. 17. Cesio, litio, bario 19. a) No. fe) 544 nm; verde. 21. 172 nm. 23. a )1 .1 7 V . fe) 641 km/s. 27. a) 29.8 keV. fe) 7.19 X 1018 Hz. c) 1.59 X 10"23 kg • m/s = 29.8 keV/c. 29. 2.95 cra/s. 31. a) 2.87 pm. fe) 5.89 pm. 35. 2.64 fm. 37. o) 4.86 pm. fe) —42.1 keV. c) 42.1 keV. 3 9 .4 2 .6 ° . 41. a ) 588.9944 nm. fe) 299.97 m/s. c) 299.94 m/s.
Problemas 1. 1.44 W. 3. 1300 K. 5. fe) 6°C. 7. a) 2,97 X 1020 s " 1. fe) 48,600 km. c )2 8 1 m . d ) 5.91 X 1018 (m 2 • s ) " 1; I.97 X 10lom -3. 9. a)3 .1 0 k e V . fe)14.4keV. I I . fe) 1.12 keV. C A P Í T U L O
P ro b le m a s 1. 5.07 eV.
4 6
Ejercicios 1. a) 1.7 X 10~33m. 3. a) 38.8 pm. fe) 1.24 nm. c) 907 fm. 5. a) 3510 km/s. fe) 64.4 kV. 7. a) 5.3 fm. 9. 0.025 fm. 11. Un neutrón. 13. a) 7.77 pm. fe) 7.68 pm. 15. 5.5°. 17. a) N o hay haces, fe) 47°.
48
E jercicios 3. 9.84 kV. 5. a ) 24.8 pm. fe) Sin cambio, c) Sin cambio. 7. 2.1 keV. 9. 49.6 pm; 99.2 pm; 99.2 pm. 11. a )1 9 .7 k e V ; 17.5 keV. fe) Zr o Nb. 15. a) 2, 0, 0, + '/,. fe) n = 2; / = 1; m¡ = 1, 0, — 1; ms = ± y2. 17. Sólo el argón perm anecerá como gas inerte. 19. a) 1.84; 2.26. (fe) 0.167; 0.119. 23. 72 km /s2. 25. 5.64 cm. 27. 2.0 X 10i6 s " '. 29. 3.2 X 107. 31. 9.0 X 10"7. 33. a) Ninguno, fe) 240 J. 35. fe) 7.33 ¡xm. c) 73.7 W /cm 2. d) 2.6 M W /cm 2. P ro b le m a s 1. a) 5.72 keV. 5. a) 2.1 meV. 9. 4.74 km.
fe) 86.8 pm, 14.3 keV; 217 pm, 5.72 keV. fe) 2.2 nm. 7. fe) - 83.3 eV. c) 28.9 eV.
C A P ÍT U L O 4 9 E je rc id o s 3. 5.90 X 102Sm " 3. 5. a) 0.90. fe) 0.69. c) Sodio. 7. a) 1.00; 0.986; 0.500; 0.014; cero. fe) 700 K. 9. 5.53 eV. 11. 65.4 keV. 17. 234 IceV. 21. 201°C. 23. a) 5.86 X 1028 m "3. fe) 5.51 eV. c) 1390 km/s. d ) 524 pm. 25. a) 52.1 nm. fe) 202. 27. a) 1.5 X 10"6. fe) 1.5 X 10 "s. 29. a) 5.0 X 1021 m "3. fe) 1.7 X 105. 31. 46 nm. 33. aislante, ninguno - ; ext. semi., donador, n;
int. semi., ninguno, —; conductor, ninguno, —; conductor, ninguno, —; ext. semi., aceptor, p . 35. 20 GO ; 90 fí. 37. a) 230nm . 6) Ultravioleta. 39. Opaco.
Problemas 1 . 3 . 3. a) 2 0 kJ. b) 2 0 0 s. 5. a) Puro: 2 .8 X 1 0 ~ 10; dopado: 0 .0 3 4 . 6 )0 .9 3 . 7. 6 ) 4 . 9 X 1 0 8.
C A PIT U L O 5 0
Ejercicios 1.
15.7 fm. 3. 26 MeV. 5. 27. 7. 13 km. 9. 8.79 MeV. 670 keV. 1 5 . a) 7.289 MeV. 8.071 MeV. c) - 91.10 MeV. 17 . 2.53 TJ. 1 9. 280 d. 2 1 . a) 64.2 h. 0 .1 2 5 . c) 0 .0 7 4 9 2 3 . a ) 7 . 5 7 X 1 0 l 6 s H . 6 )4 .9 5 X 10!6 s -1. 2 5 . 3.84 X I0 21. 2 7 . (a) 59.5 d. 6) 1.18. 29. 87.8 mg. 33. 0 3 = -9 .4 6 0 MeV; 0 A = 4.679 MeV; 0 5 = - 1 .3 2 6 MeV. 3 5 . 1.17 MeV. 37. a) 874 fm. 6) 6.4 fm. c) No. 39. 1.02 mg.
b)
13.
b)
4 1 . 13 m J.
4 3 . 3 9 .4 jllC í .
I. a) 34 kg. 6) 12 mg. 3. a) 2.56 X 10 24. 6) 81.9 TJ. c) 25,900 y. 9. a) 13.9 d " 1. 6 )4 .9 7 X 108. I I . - 2 3 . 0 MeV. 13. 174 MeV. 15. 231 MeV. 17. 238U + n - » 239U 239Np + e; 239Np - » 239Pu + e. 19. 548 kg. 23. 1.6 X 1016. 25. 566W . 27. 1.72Gy. 31. 450 keV. 33. a )1 7 0 k V . 37. a) 4.0 X 1027 MeV. 6) 5.1 X 1026 MeV. 39. 4.5 Gy. 41. a) 4.1 eV/átomo 6) 9.0 M J/kg. c) 1500 y. 45. Ka = 3.52 MeV; Kn = 14.07 MeV. 47. a )1 0 0 0 k m /s. 6) 2.0 p.m.
Problemas 1. a) 253 MeV. 3. a) 44 kilotón. 5. 1.4 MeV. 7. 6) 2.28 X 1042 J. c )1 8 5 M y . 9. a) B; 5.19/7. MeV. 6) A: 'AiV3H, n; B: 4He, n.
C A PÍT U L O 5 2 Ejercicios
4 3 . 5 .3 3 X 1 0 23.
a) 2.03 X 102°. 6) 2.78 X 109 Bq. c )7 5 .1 m C i. 49. 2.83 Gy. 5 1 . 1.78 mg. 5 3 . - 1.855 MeV. 61. a) 7.19 MeV. 6) 12.0 MeV. c) 8.69 MeV.
47.
Problemas I. a) 0 .3 9 0 MeV. 6) 4.61 MeV. 3 . a) 4. 6) 148 neV. c) 8.38 m. d ) Región de radio. 7 . a) 3.65 X 107 s~'. 6) 3.65 X 107 s ” f. c) 6.41 ng. 9. 4.268 MeV. II. 960.2 keV. 13. 730 c m l 15. 6) 27 TW.
b)
C A P ÍT U L O 51 Ejercicios
I. a) 2.4 X 10~43. 6 )8.1 X 10~37. 3. 2.84 X 1028 m. 5. 769 MeV. 7. 3_l_nm. 9. a) KU 6 )ñ . c) tt°. I I . 6, d. 13. a) A° —* p + 77+. 6) ñ —» p -i- e + + ve. c) r + —■* + v¡. d ) K~ —* ¡x~ + 7P. 23. 690 nm. 25. a )1 .6 T K . 6) 88 /xs. 27. a) 285,000 y; era de form ación nuclear. 6) 0.43 eV. c) 0.5.
Problemas 1. 7.
31 nm. 3. (6) 2.39 GK. b)2-nTy2{ G M )-m .
5.
a) 280 q.eV.
6) 4.4 mm.
CRÉDITOS DE LAS FOTOGRAFÍAS
C a p ítu lo 25 Página 569: cortesía de X erox C orporation. P ágina 572: © Fundam ental P ho tographs. Página 583: cortesía de Seattle Times. C a p ítu lo 26 Página 596: cortesía de Educational Services, Inc. C a p ítu lo 28 P ágina 651: cortesía de H igh Voltage Engineering Co. Página 656: cortesía de la N A SA . C a p ítu lo 30 P ágina 680: cortesía de Spague Electric Co. Página 658: cortesía de L aw ren ce L iverm ore Laboratory. Página 693: cortesía de Pasco Scientific. C a p ítu lo 32 Página 729: cortesía de D. C. Heath and Co. with Education Developm ent C en ter. P ágina 731: cortesía del profesor J. Le P. W ebb, U niversity o f Sussex, B righton, Inglaterra. Página 732: cortesía de Argonne National Laboratory. Pá gina 742: cortesía de Lawrence Livermore Laboratory, University of California. C a p ítu lo 33 Página 754: cortesía de D.C. Heath and Co. with Education Development Center. C a p ítu lo 35 Página 806: M ehau K ulyk/Photo R esearchers. P ágina 811: cortesía de R. W. De B lois. Página 812: W ayne R. B ilenduke/Stone. C a p ítu lo 38 Página 866: cortesía de Stanford Linear A ccelerator Laboratory. Página 873: cortesía de David W. DuBois. Página 874: Eurelios/Phototake. Página 878': cor tesía de la NASA. C a p ítu lo 39 Página 884 (parte superior): cortesía de la NASA. Página 884 (parte inferior): cortesía de A stronom ical Society o f the Pacific.Página 885 (parte superior izquierda): cortesía de AT&T Bell Labs. Página 885(parte inferior izquierda): cortesía de la NASA. Página 885 (derecha): cortesía de Astronomical Society of the Pacific. Página 887 (parte superior): Richard M egna/Fundamental Photo graphs. Página 887 (parte inferior): © Colourview Publications. Página 890: cortesía de D.C. Heath and Co. with Education Development Center. Página 897: Photo Researchers. Página 898: Bell System. Página 900: cortesía de M ount W ilson and Palom ar Observatories.
D e Sears, Zem ansky y Young, University Physics, 5a. ed. Addison-W esley, © 1976. Página 970: de A tlas o f O ptical Phenom ena de C agnet y colaborado res, Springer-V erlag, Prentice-H all, 1962. Página 971 (parte inferior): corte sía del Dr. G.D. Shockm an, según D.C. Shing, J.B. Cornett, G.D. Shockm an, J. B acteriology, 138:598-608, 1979. Página 972: de A tlas o f O ptical P h en o m ena, de C agnet y colaboradores, Springer-Verlag, Prentice-H all, 1962. C a p ítu lo 43 Página 981: de A tlas o f O ptical Phenom ena, de C agnet y colaboradores, Springer-V erlag, Prentice-H all, 1962. Página 989: cortesía de W. A rrington y J.L. K atz, R ensselaer Polytechnic Institute. Páginas 992- y 993 (parte supe rior): R oñal R. Erickson y M useum o f H olography. Página 993 (parte infe rior) de R igden, Physics and the Sound o f M usic, Scientific A m erican, John W iley & Sons, Inc. 1985. C a p ítu lo 44 Página 999: Corbis-B ettm an. Página 1002 (parte superior): ©R. M ark, Expe rim ents in G othic Structure, M IT Press, Cam bridge, M A, 1982. Página 1002 (parte inferior): Fundam ental Photographs. Página 1003: cortesía 3C om C or poration. Página 1004: de R obert Guenther, M odern Optics, John W iley & Sons, Inc., 1990. C a p ítu lo 46 P ág in a 1036: c ortesía de G. M ateucci. P ágina 1038: co rtesía de A. Tonom ura, J. Endo, T. M atsuda y T. K aw asaki, A dvanced R esearch Laboratory, H itachi, L td., K okubinju, Tokio; H. Ezaw a, D epartam ento de F ísica, Unvie rsid a d G akushuin, M ejiro, Tokio. Página 1039: M anfred K age/P eter A r nold, Inc. P á g in a 1043: cortesía de L aw rence B erkeley Laboratory. Página 1048: c o rte sía de IBM . C a p ítu lo 47 P ágina 1062: cortesía de IBM. Página 1063: de Finkelnburg. Structure o f M atter, Springer-Verlg, 1964. C a p ítu lo 48 Página 1090: D avid Job/Stone. Página 1092 (parte inferior): © AP/W ide W orld Photos. C a p ítu lo 49 P ágina 1119: cortesía de AT&T.
C ap ítu lo 40 Página 914: cortesía de Education D evelopm ent Center. Página 930: cortesía de la NA SA .
C a p ítu lo 51 P ágina 1165: R oger R essm ever/CO RBIS. Página 1166 (izquierda): cortesía de U niversity o f C alifornia, Law rence Liverm ore N ational Laboratory. Pági na 1166 (derecha): cortesía Los A lam os Scienti-fic Laboratory U niversity of California.
C ap ítu lo 41 Página 942: cortesía de Education D evelopm ent Center. Página 943: de A tlas o f O p tical Ph en o m en a, de C agnet y colaboradores, Springer-Verlag, Prentice-Hall, 1962. Página 949: Richard M egnal/Fundamental Photographs. Página 952: cortesía de B ausch & Lom b. Págin 953: cortesía de Robert G uenther.
C a p ítu lo 52 Página 1174: cortesía de Ferm i N ational A ccelerator Laboratory. Página 1175: © K yodo N ew s International. Página 1186: cortesía de A m erican Insti tute o f Physics, N eils B ohr Library, M argaret B ohr Collection. Página 1187: cortesía de AT&T.
C a p ítu lo 42 Páginas 963 y 965 (izquierda): D e A rlas o f O ptical Phenom ena, de C agnet y colaboradores, Springer-Verlag, Prentice-H all, 1962. Pàgina 965 (derecha):
A Aberración cromática, S92, 930 Aberración esférica, 930 Absorción, de fotones, 1093 Acción a distancia, 588 Acelerador de Van de Graaff, 651-652, 1141 Acelerador electrostático, 651-652 Aceleradores) ciclotrón, 731-733 electrostático, 651-652 Aceleradores de partículas betatrón, 786 ciclotrón, 731-733 sincrotrón, 733 Actínidos, 1083 Actividad óptica, 1008 Agua, propiedades dieléctricas polares del, 671-672 Aislantes, 571, 661-662 en el campo eléctrico, 670-672 estructura de banda de, 1111 Alternador, de automóvil, 783 Alternancia del espín, 1089-1090 Amplificador simple, 928-929 Amortiguamiento magnético, 793 (pregunta 25) Amperímetro analógico, principios del, 738-740 ampare (unidad), 664 fuerza entre comentes paralelas, en definición de, 758 Amplificador simple, 928-929 Analizador, 1001-1003 Ancho de banda, 1042 Ancho de par, 1121 Ángulo crítico, 897 Ángulo de Brewster, 1003 Ángulo de polarización, 1003 Angulo(s) de incidencia, 890 de desviación mínima, 893 de reflexión, 890, 894 de refracción, 890, 895-896 Anillo de carga uniforme campo eléctrico del, 593-594 fuerza del, en carga puntual, 577-578 potencial eléctrico del, 645 Anillos de Newton, 952-953 Aniquilación, 1188 Antena, 866 Antena de dipolo, 866-867 Anticoincidencia(s), 1023 Antmeutrino, 1138-1139, 1176-1177
Antineutrón, 1178 Antipartículas, 570 Antiprotón, 1178 Aparato de anticoincidencia, 1023-1024 Aparato de Fizeau, para medir la velocidad de la luz, 888 Aparato de la gota de aceite de Millikan, 598-599 Aproximación de lente delgado, 926 Aumento angular, 928 Átomo(s), 1062 aceptor, 1113 bombardeo de fotones del, 1026-1028 donador, 1112 energía de ionización del, 1085 estado base del, 1065-1066 estados capa del, 1071 estados excitados del, 1064, 1069-1072 estados subcapa del, 1071 estructura del, 1062-1063 periódica, 1083-1086 reglas de la, 1082-1083 estructura fina de líneas espectrales del, 1090-1092 espectro de rayos X del, 1079-1081 espectro lineal del, 1063 magnetismo del, 1086-1087 y radiación atómica, modelo de Bohr del, 1063-1065 1090-1092 modelo nuclear del, 602-603 momento angular de electrones en el, 1066-1067 momento angular y magnetismo en el, 1086-1087 núcleo del. Núcleo números cuánticos del, 1067-1071 y transiciones ópticas, 1085-1086 Aurora boreal, 812f Autotransformador, 858 (ejercicio 30)
Véase
B Banda de conducción, 1111 Banda de valencia, l i l i Bardeen, John, 1119, 1121 Barión(es), 1178 Barkla, Charles, 1010 Barrera de energía potencial, 1046
Baterías, 703-704 Betatrón, 786 Binnig, Gerd, 1047, 1048 Bioluminiscencia, 886 Birrefringencia, 1005-1006 Bloch, Félix, 1089 Bobina de Helmholtz, 772 (problema 1) Bohr, Niels, 1063, 1129 postulados de, 1063 principio de correspondencia de, 1064 teoría del átomo de hidrógeno, 747 (problema 10), 1063-1065 teoría de la fisión nuclear, 1155-1156 Bombardeo con fotones, 1026-1028 Bordes, interferencia de, 942-943 de espesor constante, 951 Bom, Max, 1044 Bradley, James, 887-888, 909 (problema 1) Bragg.W. L„ 991 Brattain, Walter, 1119 Bremsstrahlung (radiación de frenado), 1080 Brewster, David, 1004 Brújula solar, 1009
f~" Calentamiento de Joule, 713 por corriente eléctrica inducida, 780 ' Campo cercano, 867 Campo de radiación electromagnético, 867-868 Campo eléctrico, 588 almacenamiento de energía en el, 685-687 aislantes en, 670-672 cálculo del, 589 a partir del potencial eléctrico, 646-648 carga puntual en la, 597-598 conductores del en condiciones dinámicas, 663-666 de cargas puntuales, 590-592 de dipolo, 591-592 difusión de partículas por, 602-603 dipolo en, 600-602 ejemplos de, 589 en circuitos, 709-710
flujo de, 613-616 fuentes y sumideros de, 613 fuera de conductor. 622-624 fuerza de, en carga puntual, 589 inducido, 783-786. Flujo magnético líneas del, 595-597. Líneas de campo eléctrico magnético combinado y, 730-731 en condiciones estáticas, 662-663 no uniforme, movimiento en, 599-600 potencial eléctrico calculado partiendo de, 640-641 Campo escalar, 587 Campo estático, 587 Campo gravitacional, de la Tierra, 587-588 Campo magnético almacenamiento de energía en el, 827-829 aplicaciones de, 753-755, 761-764 atrapamiento de partículas en el, 733-734 campo eléctrico combinado y, 730-731 de dipolo, 803 efecto de!, en la corriente eléctrica, 736-740 de la corriente eléctrica, 752-755 en una espira, 754-755 en paralelo, 756-758 en un solenoide, 758-760, 762-764 en un alambre recto, 753-754,761-762 en un toroide, 763 de partículas cargadas en movimiento, 749-752 densidad de energía del, 829-830 efecto Hall del, 734-736 ley de Ampère en el cálculo del, 760-761 ley de Biot-Savart en el cálculo del, 753 en un alambre recto, 736-738 en una espira, 738-740 movimiento en el, 734 valores típicos del, 729
Véasetambién Véase también
Campo variante en el tiempo, 587 Campo vectorial, 587 flujo de, 612-613 Campo(s), tipos de, 587-588 Capa atómica, 1071 Capa de carga uniforme esférica, campo eléctrico de, 594-595 Capa esférica de carga, campo eléctrico uniforme de, 594-595 fuerza sobre carga puntual en la, 579-580 ley de Gauss aplicada a la, 618-619 Capacitancia, 679-681 cálculo de la, 681-683 como constante de proporcionalidad, 680 equivalente, 683 unidad de, 680 Capacitor esférico, 682 Capacitor(es), 679 carga de, 714-715 cilindricos, 682-683 con dieléctrico, 687-690 de placa paralela, 681-682 descarga de, 715-716 en paralelo, 683-684 en serie, 684 esféricos, 682 Capacitores de placas paralelas, 681-682 Capacitores paralelos, 683-684 Captura de electrón, 1077 (problema 10), 1138 Captura de resonancia, 1157 Carga eléctrica, 568 carga por contacto, 572 carga por inducción, 572 conservación de la, 580, 702-703 cuantización de, 570 densidad de la, 576-577 distribución continua de la, 576-580 campo eléctrico de la, 592-595 potencial eléctrico de la, 644-646 elemental, 570 en superficies de conductor, 621-622 en movimiento campo magnético de, 749-752 Campo(s) magnético(s) fuerza magnética en, 727-731 magnetismo y, 726-727 fuerzas de la, 569, 574-576 neta, 569 polarización de, 571-572 positiva y negativa, 569 puntual, 573. Carga(s) puntual(es) unidad de medición de la, 569 y flujo de fluidos, analogía de, 681 Carga elemental, 570 medición de, 598-599 Carga libre, 689 Carga superficial inducida, 670, 689 Carga(s) puntual(es), 573 colección de potencial debido a, 642-643
Véasetambién
Véasetambién
campos eléctricos de, 590-592 en campo eléctrico, 597-598 energía potencial de sistema de, 638-639 potencial debido a, 641-644 Carga. Carga eléctrica Camal, O., 1039 Celda unitaria, 990 CERN
Véase
(EuropeanCenterfor NuclearPhysics),
investigación de la física de partículas en, 1175 Ciclo de protón-protón, 1162-1163 Ciclo del carbono, 1172 (problema 6) Ciclotrón, 731-733 condición de resonancia en, 732 Cinturones de radiación de Van Alien, 733 Circuito de corriente alterna de espira simple, 848-851 elemento capacitivo del, 847-848 elemento inductivo del, 846-847 elemento resistivo del, 846 factor de potencia del, 852 potencia del, 851-852 Circuito 830-833 frecuencia de oscilaciones del, 832-833 frecuencia natural del, 834 oscilante, y analogía con el movimiento armónico simple, 832 condición de resonancia del, 835 Circuito 834-835, 848-851 análisis diferencial del, 850-851 análisis gráfico del, S49-850 análisis trigonométrico del, 849 condición de resonancia del, 835 de espira simple, 848-851 frecuencia natural del, 834 impedancia del, 849 oscilaciones amortiguadas y forzadas en, 833-835 potencia en, 852 Circuito(s) eléctrico(s) análisis de, 704-709 campos de, 709-710 conexión en paralelo de los, 703 corriente eléctrica en, 701-702 de corriente alterna, 845-859 Circuito de corriente alterna de corriente directa (CD), 701 diferencias de potencial en los, 706 dirección de la corriente en, 705 fuerza electromotriz en, 703-704 independencia de trayectoria de los, 706 inductores de, 826-827 830-833 826-827 método de diferencia potencial en el análisis de los, 705 oscilaciones amortiguadas y forzadas en, 833-835 713-716 regla de la espira para analizar los, 705 regla de la unión para analizar el, 702-703 834-835, 848-851
LC,
RLC,
Véasetambién
LC, LR,
RC,
RLC,
resistencia interna de fuerza electromotriz en, 706-709 resistencia interna de la, 706-709 transferencias de energía en, 713 Circuitos de corriente directa (CD), 701-724 Circuitos 826-827 Circuitos 713-716 Circuitos. Circuito(s) eléctrico(s) Coeficiente de reflexión de amplitud, 952 Coeficiente de transmisión de amplitud, 952 Coeficiente de transmisión, 1047 Cohen-Tannoudji, Claude, 1027 Compton, Arthur Holly, 1021 Condición de frecuencia deBohr, 1063-1064 Condición de frontera, 1056 Condición de resonancia de circuitos 835 Conductividad, 666 unidad de, 666 Conductores, 571-572, 661-662 campo eléctrico fuera de, 622-624 cargados, potencial eléctrico de los, 649-650 en un campo eléctrico en condiciones dinámicas, 663-666 en condiciones estáticas, 662-663 estructura de banda de, 1111 y ley de Gauss, 621-624 Conexiones de flujo, 824 Conexiones de polarización inversa, 1116-1117 Conjugado complejo, 1044 Conservación de energía, en electrostática, 637-638 Conservación de la carga eléctrica, 580, 702-703 Constante de Coulomb, 573-574 de Curie, 809 de permeabilidad, 751 de Planck, 1016 de Stefan-Bokzmann, 1017-1019 de tiempo capacitiva, 714-715 de tiempo inductiva, 826 de von Klitzing, 736 dieléctrica, 671 eléctrica, 573 magnética, 751 Contador Geiger, 632 (problema ¡0) Cooper, León N., 1121 Corral cuántico, 1062 Corriente alterna (Ca) 782-783, 845-846 de deriva, 1115 de desplazamiento, 863-864 de difusión, 1114 de saturación inversa, 1127 (problema 7) desplazamiento de, 863-864 eléctrica. Corriente eléctrica transformador de, 852-854 y voltajes, relaciones de fase y de amplitud en, 848í eléctrica inducida, 776
LR, RC, Véase
RLC,
Véase
Comente eléctrica, 663, 701-703 calentamiento de Joule por, 780 campo magnético de la, 752-755 comportamiento transitorio de, 702 corrientes parásitas, 780-782 definición de, 664 densidad de, 664 dirección de la, 702 efectos del campo magnético en, 736-740 en alambre recto, 736-738, 753-754, 761-762 en una espira, 738-740, 754-755 en paralelo, 756-758 ' en solenoide, 758-760, 762-764 ' en toroide, 763 inducida. Fuerza electromotriz; Flujo magnético ley de Faraday y, 776-779 ley de Lenz y, 777-778 unidad de, en el SI, 664 y flujo de calor, analogía del, 667-668 y rapidez de deriva, 664-666 Corrimiento al rojo, 900 Corrimiento de Compton,
Véansetambién
1021-1022
Cosmología, 1173, 1186 del Big Bang, 1187-1190 determinación de la edad del universo en la, 1192-1194 expansión del universo en la, 1186-1187 formación de elementos pesados en la, 1191-1192 interacciones de partículas en la, 1187-1190 nucleosíntcsis en la, 1190-1191 coulomb (unidad), 569 derivación del, 569-570 Coulomb, Charles A„ 573 Criterio de Lavvson, 1164 Criterio de Rayleign, 970 Cuadrupolo eléctrico, 592, 606 (ejercicio 11), 609 (problema 4) potencial debido al, 644 Cuantización espacial, 1067, 1087-1089 Cuarzo(s), 570, 1181-1184 curie (unidad), 1139-1140 Curie, Jacques, 1048 Curie, Pierre, 1048 descubrimiento de la relación entre magnetismo y temperatura, 809 Curva de histéresis, 81 Of Curva de la energía de amarre, 1133-1134 Chadwick, James, 1154 Chu. Steven, 1027
D Davisson, C. J., 1036 De Broglie, Louis-Victor, 1035 Decaimiento alfa, 1136-1138 beta, 1138-1139 radiactivo, 1135-1136 valor de, 1136 Densidad de carga, 576 de carga lineal, 576 de carga superficial, 576
O
de carga volumétrica, 576 de comente, 664 y velocidad de desplazamiento, 664-665 de estados, 1105 de probabilidad, 1044 de probabilidad radial, 1066 Descarga de corona, 650 Desmagnetización adiabática, 809 Detector Super-Kamiokande, 1175 Deuterón(es) en el Sol, 1162-1163 energía de enlace de, 1133-1134 formación de en nucleosíntesis de BigBang, 1190-1191 fusión de, 580, 1164 Diagrama de fasor, 846 Diamagnetismo, 806, 809-810 Dieléctrico no polar, 671 Diferencia de potencial de Hall (voltaje de Hall), 735 Difracción, 963 combinada con interferencia de ranura doble, 971-975 de Fraunhofer, 965 de Fresnel, 965 de ranura múltiple, 981-982. Rejiüa(s) de difracción; de ranura simple, 965-967 intensidad de, 967-970 de rayos x, 988-989 ley de Bragg y, 990-992 por estructuras cristalinas, 989-992 espaciamientos interplanares en, 990-991 estructura molecular revelada por, 991 en apertura circular, 970-971 frente a interferencia, 973 y teoría ondulatoria de la luz, 963-965 Diodo de túnel, 1047 Diodos emisores de luz, 1117-111S Dipolo eléctrico, 591 en campo eléctrico, 600-602 campo eléctrico del, 591-592 líneas de campo del, 596-597, 596f potencial debido al, 643-644 en campo no uniforme, 1088-1089 magnético, 755, 801-803 Dipolo eléctrico, 591-592. Dipoio en campo eléctrico, 600-602 energía potencial del, 601 par en, 600 líneas de campo de, 596-597, 596f potencial debido al, 643-644 Dipolo magnético, 755, 801-803 campo magnético del, 802-803 fuerzas sobre, en campo no uniforme, 804-805 Dirac, Paul, 815 Disco de Airy, 970 Disco de carga uniforme campo eléctrico del, 593-594 fuerza del, en carga puntual, 578-579 potencial eléctrico del, 645-646
Véansetambién
tatnbién
Véase
Dispersión de la luz, 889, 891, 1008-1009 doble, 1009-1010 por rejilla, 986-987 Dispositivos de fibra ópüca, 897-898 Divisor de voltaje, 706 Divisores de haz, 953, 1023 Doblete de sodio, 1091 Dominios magnéticos, 811 histéresis y, 810-811
Ecuación de normalización, 1058 Ecuación de Schroedinger, 1045-1046 aplicada al efecto túnel, 1046-1049 aplicada a partícula libre, 1045-1046 Ecuación del fabricante de lentes, 923 Ecuación fotoeléctrica de Einstein, 1020-1021 Ecuaciones de los espejos, 918 obtención de las, 920-921 Ecuaciones de Maxwell característica simétrica de, S64 como básicas para el electromagnetismo, 861-862 compatibilidad de las, con la teoría de la relatividad, 864 electromagnetismo y, 862-864 ley de Gauss de electricidad, 861-862, 8651 ley de Gauss del magnetismo, 815, 861-862, 865t monopolos magnéticos y, 864 ondas viajeras y, 868-870 predicción de ondas electromagnéticas partiendo de, 864 velocidad de la luz según consideraciones electromagnéticas mediante, 870 y ley de Ampère, 760, 861-862, 865t y ley de Faraday, 784, 861-862, 865t Efecto Compton, 1021-1023 Efecto Doppler en ondas luminosas, S99-902 prueba experimental del, 899-900 relativista, 899-900 derivación del, 900-901 transversal, 901-902 Efecto fotoeléctrico, 1019-1020 Efecto Hall, 734-736 cuantizado, 736 Efecto túnel, 1046-1049 coeficiente de transmisión en, 1047 ejemplos de, 1047-1048 Einstein, Albert análisis del efecto fotoeléctrico por, 1020-1021 experimento de, con Haas, 1086-1087 ideas de, sobre electrodinámica de cuerpos en movimiento, 765 prueba de, de la hipótesis de la velocidad de la luz, 954-955 teoría cuántica (fotónica) de, de la luz, 1016-1018
y concepto de emisión estimulada de la luz, 1093-1094 Eje óptico, 1005 Electrodinámica cuántica, 568 Electromagnetismo, 567-568 corriente de desplazamiento en el, 863-864 ecuaciones de Maxwell de, 568,815, 861-864,
Véasetambién
Ecuaciones de Maxwell invariancia de la transformación de Lorentz, 765, 788 relatividad especial y, 764-765 y marcos de referencia, 764-765 Electrón(es) ' comportamiento ondulatorio de, 1035-1038 configuración de, en elementos, 1083-1085. Tabla periódica de hidrógeno atómico, 1063-1072. Hidrógeno atómico ligado(s), 1055 de conducción, 571, 1103-1104. Semiconductores; Superconductores bandas y anchos en los estados de energía, 1109-1111 densidad de estados ocupados de, 1106-1108 en metales, 1104-1105, ' 1108-1109 función probabilística de, 1105-! IOS del núcleo, 1110 densidad de estados ocupados de, 1106-1108 densidades de probabilidad del, 1061-1062 en pozo de potencial finito, 1060-1062 energía cuantizada de, 1065
Véasetambién
también
también
Véase
Véase
Véansetambién
Mecánica cuántica; número(s) cuántico(s) en metales, 1104-1105, 1108-1109 en pozo de potencial infinito, 1056-1060 densidades de probabilidad de, 1057-1058 nivel de energía de, 1056-1057 números de onda de, 1057-1058 estados de energía de, 1055-1061 bandas y anchos en, 1109-1111 función probabilística de, 1105-1108 libres, 1055 momento angular de. 1066-1067 naturaleza ondulatoria de, individuales, 1040-1041 niveles de energía del, 1060-1061 números de onda de, 1057-1058 rapidez de Fermi de, 1108-1109 y carga eléctrica, 568-579. Carga eléctrica y efecto fotoeléctrico, 1019-1023
también
Véase
Electrones de conducción, 571, 668, 1103-1104. Semiconductores; Superconductores bandas y anchos en los estados de energía de, 1109-1111 densidad de estados ocupados de, 1106-1108 en metales, 1104-1105, 1108-1109 función probabilística de, 1105-1108 Electrónica óptica, 1117-1119 Electrostática, 569 conservación de energía en, 637-638 gravitación y, 579-580 Elementos, Núclido(s) configuración electrónica de los, 1083-1085 orden de los, y número atómico, 1081-1082 tabla periódica de los, 1083-1086 Emisión espontánea, 1093 Emisión estimulada, 1093-1094, 1094 Energía de amarre, 637, 1133-1134 de disociación, 637 de Fermi, 1106 de ionización, 637, 1085 de par, 1121 eléctrica, 636-639 potencial, 635-636 Enfriamiento Láser, 1027-1028 Equilibrio de torsión, 573 Equilibrio secular, 1150 (pi oblenia 5) Equipotenciales, cerca del conductor, 662-663 Esaki, Leo, 1047 Espaciadas interplanares, 990-991 Espectro de rayos x características del, 1080 continuo, 1079-1080 de átomos, 1079-1081 Espectro electromagnético, 883-886 región de microondas del, 884 región de ondas de radio, SS4 región de rayos gamma del, 885-886 región de rayos X del, 885 región infrarroja del, 884 región ultravioleta del, 884-885 región visible del, 883-884 Espectrografía de prisma, 986 Espectrógrafo(s), 985-986 de prisma. 986 Espectrómetro de masa de Bainbridge, 746 (problema 5 Espectros, 985-986 Espectroscopio de rejilla, 985 Espejo esférico convención de signos utilizada en, 918-919 formación de imágenes en el, 917-918 imagen real formada por el, 918 imagen virtual formada por, 918 longitud focal del, 918 obtención de la ecuación de espejo para, 920-921 punto focal del, 918
también
Véanse
véasetambién
)
Espejo magnético, 733-734 Espejo plano formación de imágenes en, 914-917 imagen de objeto extendido en, 913-916 inversión de imágenes en, 916-917 Espejos planos, 914-917 esféricos, 917-921 Espín del electrón, 1070-1071 Espín nuclear, 1134-1135 Espira de Ampère, 760-761 Espira de corriente eléctrica momento dipolar magnético de, 802 campo magnético de, 803 Espira primaria, 1158 Espira secundaria, 1158 Estado base, 1057 Estado cuántico, concepto de, 1063-1064 Estado excitado, 1057 Estrellas fase de gigante rojo de las, 1191-1192 fusión termonuclear en las, 1162-1163 Estructura atómica, 1062-1063 reglas de la, 1082-1083 Estructura cristalina célula unitaria de, 990 como rejilla de difracción, 988-989 doblemente refractiva, 1005-1006 índices principales de refracción de, 1005-1006 ley de Bragg y difracción de rayos X por, 990-992 simetría cúbica de, 989-990 Estructura fina, 1090-1091 y efecto Zeeman, 1091-1092
EuropeanCernerforNuclear Physics(CERN),
investigación de la física de partículas en, 1175 Exceso de masa, 1148 (ejercicio 15) Expansión en multipolos, 644 Expansores de haz, 938 (problema 9) Experimento de Debye-Scherrer, 995 (pregunta 23) de dispersión doble, 1009-1010 de Einstein-Haas, 1086-1087 de espejo de Lloyd, 953 de Michelson-Morley, 954-955 de ranura doble de Young, 944 de Stem-Gerlach, 1087-1089 Experimentos de decisión retrasada, 1025-1026 Extrañeza, 1181
O,
Factor 843 (problema 15) farad (unidad), 680, 775 Faraday, Michael concepto de campo eléctrico propuesto por, 595 concepto de capacitancia propuesto por, 680 descubrimiento de la ley de inducción por, 775-776
descubrimiento del diamagnetismo por, 809 e ideas sobre espectros luminosos en campo magnético, 1091 investigación de materiales capacitores por, 687 dieléctricos en y experimentación con carga eléctrica, 625 Fase del gigante rojo, en la evolución de las estrellas, 1191-1192 Fechado por radiocarbono, 1141 Fechado radiactivo, 1141 femtómetro (unidad), 1132 Fermat, Pierre, 894 fermi (unidad), 1132
FertniNationalAccelerator Laboratory,
descubrimientos de la física de partículas en, 118 Fermi, Enrico y experimento con bombardeo de neutrones, 1154 y teoría del decaimiento beta, 1138 Fermilab, 1184 Ferromagnetismo, 806, 810-811 Física de partículas, 1173-1186 clasificación de partículas en la, 1176-1179 interacciones en, 1173-1176 leyes de conservación de la, 1179-1181 modelo de cuarzo de la, 1181-1184 modelo estándar de, 1184-1185 terminología usada en la, 1184 Fisión nuclear, 1134. Fusión nuclear Fisión nuclear, 1134, 1153, 1157-1159. barrera de potencial de la, 1156 Reactores nucleares proceso básico de, 1154-Ü55 teoría de la, 1155-1157 Fizeau, Hippolyte Louis, 888 Rujo de calor, corriente eléctrica v. analogía de, 667-668 Flujo, 612 eléctrico, 613-616 magnético, 776-777 regla de la mano derecha del signo de, 869 Flujo eléctrico, 613-616 Fluorescencia, 886 Formación de elementos pesados, en la cosmología del Big Bang, 1191-1192 Formación de imágenes. 193-914 ecuaciones de espejos en. 918 por espejo esférico, 917-921 por espejo plano, 914-917 por instrumentos ópticos, 928-930 por lentes, 923-928 por superficies refractantes esféricas, 921-923 reales y virtuales, 918-919 trazado de rayos en la, 919 Formación de la cola de cometa, 873-874 Fosforescencia, 886 Fósforo, 886
también
Véase
Véasetambién
Fotón(es), 1016, 1024-1025 absorción de, 1093 concepto de, 1018 desarrollo teórico de, 1016-1019 designados, 1023 disparador, 1023 evidencia experimental en favor de, 1023-1028 y análisis del efecto Compton, 1021-1023 y análisis del efecto fotoeléctrico, 1020-1021 y efecto fotoeléctrico, 1019-1020 Fragmentos de fisión, 1154-1155 Franklin, Benjamín experimentos de, con carga eléctrica, 624 clasificación de la carga eléctrica en positiva/ negativa por, 568n Frecuencia de ciclotrón, 731 Frecuencia de corte, 1020 Frecuencia natural, de circuito 834 Fresnel, Augustin, 963-964 Frisch, Otto, 1154 Fuente puntual, 914 (pie de página) Fuerza(s) cuatro, básicas, 1173-1175 débil, 1174 de cargas eléctricas, 569, 574-576 de intercambio, 1179 electrodébil, 568, 1175 electromagnética, 1174 fuerte, 637-638, 1132, 1174-1175 gravitacional. 1173-1174 unificación de, ¡¡75-1176 Fuerza de Lorentz, 730-731 campos eléctricos inducidos por. 783-786 ley de Faraday y de Lenz para, 777-779 unidad del, 776 y corrientes parásitas, 780-781 Fuerza electromotriz, 703-704 inducida, 776-777 aplicaciones prácticas de la, 782-783 campos eléctricos de, 783-786 de movimiento, 780-782 diferencias de potencial y, 784-785 resistencia interna de, 706-709 reversibilidad de, 704 Fuerza gravitacional, 1173-1174. Gravedad Fuerza magnética, sobre partículas cargadas en movimiento, 727-731 Fuerzas de intercambio, 1179 Fuerzas dieléctricas, 671 Fuerzas eléctricas, 569, 574-576 Función de onda, 1044-1045 Función de probabilidad, 1105-1108 de Fermi-Dirac, 1107-1108 Fundón de trabajo, 1020, 1109-1111 Fusión Láser, 1166-11657 Fusión nuclear, 1134, 1153. Fusión termonuclear Fusión termonuclear, 1161-1162 controlada, 1164-1167. Reactor de fusión en estrellas, 1162-1163
RLC,
Véasetambién
también también
Véase
Véase
W3 Gabor, Dennis, 992 Gahler, R., 1038 Galilei, Galileo, y explicación de la velocidad de la iuz, 887 Galvanómetro, rudimentos del, 740 Gas de electrones, 668 Gauss, Karl Friedrich, 616n Geiger, Hans, 1129 Gell-Mann, Murray, 1182 Generador elementos básicos del, 782-783 impedancia del, 854 Generador homopolar, 798 (problema 8) Gerlach, Walther, 1087 Germer, L. H., 1036 Giaver, Ivar, 1047 Gilbert, William, 811 Glashow, Sheldon, 1175 Gluon(es), 1183-1184 Gráfico de Moseley, 1081-1082 Grandes teorías unificadas, 1175 Gravitación, y electrostática, 579-580 Goudsmit, Samuel, 1070
H Hahn, Otto, 1154 Hall, Edwin, 734 Heaviside, Olivar, 861 Heisenberg, Weraer, 1042 henry (unidad), 775, 823 Henry, Joseph, 775, 823 Hertz, Heinrich, 864, 870 Hidrógeno, atómico estado del. 1069-1070 estado 2 del, 1069 estado base del, 1065-1066 estados cuánticos del, 1071-1072 estados excitados del, 1069-1072 espectro de líneas del, 1063 densidad de probabilidad radial del, 1066 modelo de Bohr del, 1063-1065 niveles de energía del, 1064 Hipermetropía, 937 (ejercicio 40) Hipótesis de De Broglie, pruebas de la, 1036-1038 de Haas, W. J„ 1086-1087 experimento de DavissonGermer en la, 1036-1037 experimento de difracción en la, 1037 experimento de Thomson en, 1036 experimento de Tonomura en. 1037-1038 interferencia de ranura doble, 1037-1038 Hipótesis del éter. 954-955 Histéresis, 810 y dominios magnéticos, 810-811 Hoja de carga, campo eléctrico infinito/uniforme de, 594 ley de Gauss aplicada a, 6 i S líneas de campo de, 595, 59óf Hojas de polarización, 1001-1003 Holografía, 992-993 Homo de inducción, 781 Húbole, Edwin, 1186 Hull, G. F„ 873 Huygens, Christiaan, 893 estudios de, sobre refracción doble, 1005
2p s
Imagen, 913 real, 913, 918 virtual, 913 Imágenes de resonancia magnética, 806, 1090 Impedancia del circuito 849 del generador, 854 Incandescencia, 886 Incidencia ángulo de, 890 plano de, 890 índice (índices) de refracción, 890 de cristales de refracción doble, 1005 principal, 1005-1006 Inducción, carga mediante, 572 Inductancia, 823-824 cálculo de la, 824-826 en circuitos 830-835 en circuitos 826-827 del solenoide, 824-825 del toroide, 825 y almacenamiento de energía en el campo magnético, 827-829 y densidad de energía en el campo magnético, 829 Inductor(es), 823 con materiales magnéticos, 825-826 conexiones de flujo, 824 Instrumento(s) óptico(s), 928 amplificador simple como, 928-929 aumento angular de, 928 microscopio compuesto corno, 929 telescopio de refracción como, 929-930 Intensidad de onda en difracción de ranura única, 967-970 en interferencia de ranura doble, 946-948 Interferencia, 941 coherente, 944-946 constructiva, 941-942 destructiva, 941-942 de ranura doble, 942-944 difracción combinada con, 971-975 intensidad de, 946-948 máximos de, 943 mínimos de, 943 de película delgada, 948-952 bordes de espesor constante en la, 951 cambio de fase de reflexión en, 949-950 diferencia de trayectoria óptica frente a diferencia de trayectoria geométrica, 950 ecuaciones de la, 950-952 reversibilidad óptica y cambios de fase en la reflexión, 952-953 e ¡nterferómetro de Michelson, 953-955 franjas causadas por, 942-943 frente a difracción, 973
RLC,
LC, LR,
incoherente, 945-946 máximos de, 942-943 mínimos de, 981-984 proveniente de películas delgadas, 948-952 rendijas múltiples, 981-984 Interferencia de rendija doble, 942-944 difracción combinada con, 971-975 experimento de Young en, 944 intensidad de la, 946-948 máximos en la, 943 mínimos en la, 943 perturbaciones de onda en, adición de, 947-948 Interferencia de ranura múltiple, 981-984. Rejilla de difracción Interferómetro, 953-954 de Michelson, 953-954 y propagación de la luz, 954-955
Véasetambién
International Thermonuclear ExperimentalReactor (ITER), 1165 Inversión de población, 1094 Ion (iones), 662 Ionización, 662 Isótopos, 1131 radiactivos, 1131, 1141 Ives, H. E. 899-900
J Josephson, Brian, 1047
Kjrchhoi'í, Gustav, 894, 1017 Klistron, 866 Kundig, Water, 901
L Lamb, W. E. 1020 Lantánidos, 1083 Láser(s), 1092-1096 de diodo, 1118-1119 Lawrence Livermore National Laboratory', 1166-1167 Lente(s) convergentes, 924 divergentes, 924 dos lentes, formación de imágenes por, 926-928 formación de imágenes por, 923-928 convención de signos usados en, 924-925 invertidos, 924 trazados de rayos en, 925 magnéticos, 1039 primer punto foca! de, 924 segundo pumo focal de, 924-925 y obtención de fórmulas de lentes delgados, 925-926 Lenz, Heinrich, 777-779 Lenz, ley de, 777-779 leptón(es), 1176-1177 Ley de Ampére, 760-761 de Biot-Savart, 753 aplicaciones de la, 753-755 de Bragg, 990-992 de Brewster, 1004
de Coulomb, 573-574 forma vectorial de la, 574-576 frente a ley de Gauss, 611-612 pruebas experimentales de, 624-625 de Curie, 809 de desplazamiento de Wien, 1017 de Faraday, de inducción 776-777 aplicación de la regla de la mano derecha en, 778-779 aplicaciones prácticas de, 782-783 campos eléctricos inducidos y, 783-786 en marcos inerciales de referencia, 786-788 y dirección de corriente eléctrica, 778-779 de Gauss, 616 aplicación(es) de, 617-621 a la línea de carga, 617-618 a hoja de carga, 618 a cascarón esférico de carga,618-619 a distribución de carga simétricamente esférica, 619-620 del magnetismo, 814-815 frente a ley de Coulomb, 611-612 pruebas experimentales de, 624-625 y conductores, 621-624 y flujo de campo eléctrico a través de superficie cerrada, 613 y flujo neto por superficie cerrada, 612 y la ley de Coulomb, 617 y materiales dieléctricos, 688-690 de Malus, 1002 de Ohm, 666-667 en nivel microscópico, 668-670 de radiación de Planck, 1017-1019, 1187 de reflexión, 890 obtención de la, 893-895 de refracción, 890 obtención de la, 895-897 de Snell, 890 de Stefan-Boltzmann, 1017-1019 Leyes de conservación, en la física de partículas, 1179-1181 Libby, Willard, 1141 Línea de transmisión, 866 Línea uniforme de carga aplicación de la ley de Gauss a la, 617-618 campo eléctrico de la, 592-593 fuerza en el punto de carga de la, 577 potencial eléctrico de, 644-645 Líneas de campo eléctrico, 595-597 cerca de conductor, 662-663 de superficies equipotenciales, 648-649 flujo y, 615-616 propiedades de, 595
representación común de, 595-597 Líneas de campo. líneas de campo eléctrico Lineas espectrales, 985-986 Longitud contraída, 764 de onda de Broglie, 1035 de trayectoria óptica, 896, 925 focal, 918 propia, 764 Luminiscencia, 886 tipos de, 886-887 Luz, 883-884. Radiación electromagnética; Ondas electromagnéticas efecto Doppler de la, 899-902 en comportamiento de partículas, 1015-1016,1025 espectro del blanco, 986 estudios experimentales de la, 1023-1028 naturaleza de la experimento de ranura doble y, 1016 ondulatorio, 1015, 1024-1025 polarizada, 999-1013. Polarización propagación de la, en la materia, 889 reflexión de la, 890-891. Reflexión refracción de la, 890-891. Refracción teoría cuántica de la, 1018 teoría fotónica de la, 886, 1016-1019. Fotóníes) teoría ondulatoria de la, 963-965 uso de, en industrias, 1002-1003 velocidad de la, 887-890 en la materia, 889 visible, 886-887 y teoría de difracción y de ondas, 963-965. Difracción Interferencia Luz láser concepto de Einstein sobre, 1093-1094 producción de, 1094-1096 propiedades de, 1092-1093
Véase
Véansetambién
Véase
también
también Véasetambién
Véase
Véasetambién
también
Véanse
M Magnetismo atómico, 805-806, 1086-1087 y radiación atómica, 1090-1092 de planetas, 811-814 nuclear, 806-807, 1134-1135 vectores de campo en el, 727 y partículas cargadas en movimiento, 726-727 Magnetización, 807-808 valor de saturación de, 809 Magnetón de Bohr, 1086, 1134 Magnetostáticas, 751-752 Magnetrón nuclear, 1134 Magnetrón, 866 Malus, Etienne Louis, 1002 Marco(s) de referencia, electromagnetismo y, 764-765, 786-788 Marsden, Emest, 1129 Materia oscura, 1194
Materiales anisotrópicos, desde el punto de vista óptico, 1004 dicroicos, 1005 dieléctricos, 671-672 en capacitores, 687-690 y ley de Gauss, 688-690 ferroeléctricos, 661-662 lineales, 671 magnéticos, 808-811 en inductores, 825-826 óhmicos, 666-668 ópticamente isotrópicos, 1004 Máximos principales, 982-983 Máximos secundarios, 982, 984 Máximos, interferencia de, 942, 943 principales, 982-983 secundarios, 982, 984 Maxwell, James Clerk, 861 y generalización de la ley de Ampére, 862 Mecánica cuántica. Ondas de materia desarrollo inicial de la, 1018 ondas de materia y, 1035-1036, 1041-1042 aplicaciones de, 1039-1040 de electrones, 1035-1038 de partículas, 1038-1039 ecuación de Schrödinger en, 1045-1046 propiedades de, 1042-1045 relaciones de incertidumbre de Heisenberg en, 1042-1043 y efecto túnel, 1046-1049 y periodicidad de elementos, 1083-1086 y naturaleza ondulatoria de electrones, 1040-1041. Electrón(es) Mecánica cuántica estadística, 1103, 1104 Megaparsec (unidad), 1186 Meitner, Lise, 1154 Mendeleev, D., 1081 Mesones, 1177-1178 Metaestable, 1093 Metales bandas de los, 1109-1114 bandas y anchos en los estados de energía de los, 1109-1111 densidad de estados ocupados délos, 1106-1108 electrones de conducción en los, 1104-1105, 1108-1109 estructura de banda de los, 1111 función de trabajo de los, 1109-1111 llenado de estados permitidos délos, 1105-1108 Microondas, 884 Microscopio(s) compuesto, 929 de efecto túnel, 1047-1048 electrónico (de electrones), 971, 1039-1040 electrónico de barrido, 1039 reducción de difracción en el, 971 Michelson, Albert A., 888, 953 Millikan, Robert A., 598, 1032 Mínimos, interferencia de, 942, 943 Miopía, 937 (ejercicio 40)
Véasetambién
también
Véase
Mlynek, J., 1039 Modelo angular de electrones en átomos, 1066-1067 del núcleo, 1134-1135 espín, 1070-1071 orbital, 1067 y principio de incertidumbre, 1068-1069 de Bohr del átomo de hidrógeno, 1063-1065 y frecuencias de rayos X, 1081-1082 de cuarzo, 1181-1184 interacción entre cuarzos en, 1183-1184 de electrones libres, de conducción de electrones en metales, 668 de fisión de la gota de líquido, 1155-1156 de Thomson, 602, 1130 estándar, de partículas elementales, 1184-1185 de tetrapolo eléctrico, 644 dipolar eléctrico, 591 inducido, 672 dipolar magnético, 755 algunos valores del, 803t de una espira de corriente, 802 inducido, 804-805 magnético nuclear, 1134 Monopolo(s), 644 magnético, 726, 815 y ecuaciones de Maxwell, 864 Morley, E. W„ 954 microfarad (unidad), 680 Moseley, H. G. J., 1081 Motor eléctrico elementos básicos del, 783 principio del, 738-740
N National Ignition Facility, 1167 Nebulosas, 1186 Neutrino(s), 1138-1139, 1176-1177 del electrón, 1176-1177 del muón, 1177 Neutrón(es) difracción del, 1038-1039 en el núcleo, 1131 térmico, 1040, 1154-1155 Nichols, E. F„ 873 Nivel de Fermi, 1106 Núcleo, 602 carga eléctrica del, 570, 602-603 decaimiento radiactivo del, 1135-1136 descubrimiento del, 1129-1131 fuerzas dentro del, 1132 masa del, y energías de Enlace, 1133-1134 modelo colectivo del, 1144 modelo de partículas independientes del, 1144-1145 modelos del, 1143-1145 momento angular del, 1134-1135 neutrones en él, 1131 nucleones del, 1131
protones del, 1131 radiación de ionización procedente del, 1139-1140 radio del, 1132-1133 determinación del, 603 reacciones de las partículas en el, 1141-1143 Nucleón(es), 1131 Núcleos de deuterio. Deuteron(es) Nucleosíntesis, 1190-1191 Núclido(s), 1131 diagrama expandido de los, 1142 gráfico de, conocidos, 1131 propiedades de algunos, 1132 Número atómico, 570, 602, 603, 1131. Número(s) cuánticos origen del concepto de, 1081 y orden de los elementos, 1081-1082 y periodicidad de los elementos, 1083-1086 Número de bariones, conservación del, USO Número de neutrón, 1131 Número de onda, 1041 Número de protón, 1131 Número leptónico, conservación del, 1179-1180 Número(s) cuántico(s) atómico, 1067-1069 y periodicidad de elementos, 1083-1086 espín magnético, 1071 magnético, 1067 momento angular total, 1091 momento angular y, 1067 principal, 1067
Véase
Véasetambién
O Objeto aterrizado, 571 Objeto virtual, 919 Obtención de la fórmula de lente delgado, 925-926 Oersted, Hans Christian, 749 Onda(s) coherentes, 942 de luz (o luminosas), 883-884. Radiación electromagnética; Luz de materia, 1035-1036, 1041-1042. Ondas de materia difracción de, 963-980. Difracción electromagnéticas, 866-868. Ondas electromagnéticas; Luz incoherente, 942 interferencia de. Interferencia polarizada circularmente, 1006 Ondas de materia, 1035-1036, 1041-1042 aplicaciones délas, 1039-1040 ecuación de Schrödinger y, 1045-1046 electrones como, 1035-1038. Electrón(es) frecuencia de, 1043-1044 función de onda de, 1044-1045 número de onda de, 1042-1043
Veánsetambién
Véasetambién Véase
también Véansetambién Véase
Véasetambién
partícula de, 1038-1039 relaciones del principio de incertidumbre de Heisenberg y, 1042-1043 Ondas de radio, 884 Ondas electromagnéticas ecuaciones de Maxwell y, 868-870 generación de, 866-868 intensidad de, 871-872 polarización de, 999-1013. Polarización presión ejercida por, 872-874 reflexión y refracción de, 891-892 transporte de energía por, 870-872 viajeras, 868-870 Ondas incoherentes, 942 Onnes, Kammerlingh, descubrimiento de la superconductividad por, 1120 Optica de adaptación, 930 de los rayos, 914 fibra, 897-898 física, 914. Optica física geométrica, 914. Formación de imágenes onda, 914 rayo, 914 Óptica física, 914 difracción en la, 963-980. Difracción interferencia de ondas, en, 941-961 Óptica ondulatoria, 914, 941. Difracción; Interferencia Oscilación de neutrino, 1177 Oscilaciones de cavidad, 865-866 Oscilaciones electromagnéticas, amortiguadas y forzadas, 833-835 forzadas, y resonancia, 834-835 propiedades cualitativas de, 830-832 propiedades cuantitativas de, 832-833 Oscilador electromagnético, 830 cavidad electromagnética, 865-866
Véasetambién
Véasetambién Véasetambién
Véasetambién
Véansetambién
P Paquete de ondas, localización en el espacio, 1041-1042 en el tiempo, 1042 Paramagnetismo, 806, 808-809 Parámetro de distorsión, 1156 Parámetro de Hubble, 1186 Pares de Cooper, 1121 Partícula(s). Física de partículas cargada. Partículas cargadas; Carga eléctrica clasificación de, 1176-1179 de campo, 1178-1179 elementales, 1184-1185. Física de partículas mecánica cuántica de, 1035-1046. Electrón(es); Ondas de materia
Véasetambién Véase
también
Véase
Véasetambién
Partículas cargadas circulantes, 731-734 magnetismo y movimiento, 726-727, 749-752. Campo(s) magnético(s) en movimiento, fuerza magnética sobre, 727-731. Campo(s) magnético(s) Partículas de campo, 1178-1179 Patrón de difracción, 963-964. Rejilla(s) de Difracción; Espectros Pauli, Wolfgang, 1083, 1087 Penetración de barrera, 899 Penzias.Amo, 1187 Perdigones de alimentación de deuterio-tritio, 1166 Permeabilidad, 807 de sustancias diamagnéticas, 810t de materiales paramagnéticos, 808-809, 80St Permisividad de espacio líbre, 573 de materiales, 672 Phillips, William D„ 1027 Picofarad (unidad), 680 Piezoelectricidad, 1048 Pion(es), 1177-1178 Placa de ondas de cuarzo, 1006 Planck, Max, descubrimiento de cuantización de la energía por, 1016 Planetas, campo magnético de los, 811-814, 813t Plano de incidencia, 890 Plasmáis), 733 Plimpton y Lawton, experimentos de, con carga eléctrica, 625 Poisson, Simeon-Denis, 964 Polarización, 670 actividad óptica y, 1008 circulares, 1006-1008 de cargas eléctricas, 571-572 de ondas electromagnéticas, 999-1001 analizadores y polarizadores en, 1001-1003 dirección de, 1000 hojas causantes de, 1001-1003 lineal, 1000 plano de, 1000 por reflexión, 1003-1004 por dispersión, 1008-1010 uso industrial de la, 1002-1003 y refracción doble, 1004-1006 Polarización plana, 1000 Polarizadores. 1001-1003 Polaroid, 1001 Polos magnéticos, 727 Portadores de mayoría, 1112 Portadores de minoría, 1112 Positrón, carga de, 570 Potencia de resolución, de reticulado. 987-988 Potencial de detención, 1019 Potencial eléctrico, 639-640 cálculo de, a partir del campo eléctrico, 640-641 de conductores cargados, 649-650 campo eléctrico calculado partiendo del, 646-648
Véase
también
Véasetambién
Véansetambién
Poynting, John Henry, 870 Pozo de potencial, 1055-1056 finitos, 1060-1061 infinitos, 1056-1060 niveles de energía de los, 1056-1057 densidades de probabilidad de los, 1057-1058 Pozo infinito, 1056 Presión de radiación, 872-874 medición de la, 873 y formación de cola de cometa, 873-874 Priestly, Josephj experimentos de, con carga eléctrica, 625 Primera ley de Kirchhoff, 702-703
PrincetonPlasmaPhysics Laboratory, 1165
Principio de Babinet, 979 (problema 2) de combinación de Ritz, 1075 (ejercicio 25) de correspondencia, 1058, 1064 de energía mínima, 1083 de exclusión de Pauli, 1083 de Fermat en la obtención de la ley de reflexión, 894-895 en la obtención de la ley de refracción, 896 de Huygens en la obtención de la ley de reflexión, 893-894 en la obtención de la ley de refracción, 895-896 de incertidumbre de Heise.nberg, 1042-1043 de incertidumbre, momento angular y, 1068-1069 del número cuántico, 1083 Proceso r, 1192 Proceso s, 1 i 92 Producción de pares, 1188 Protón(es), 1131 Proyecto de fusión láser NOVA, 685, 1166 Puente de VVheatstone, 723 (problema 12) Punto cercano, 928 Punto de Poisson, 964 Punto focal de lente, 924-925 de espejo, 918 Puntos de Laue, 989 Purcell, Edward, 1089
Q Quark cima, 1184 encanto, 1184 inferior, 1184 Quimioluminiscencia, 886
rad (unidad), 1140 Radiación atómica, 1090, 1092 cósmica de fondo de microondas, 1186-1187 de cavidad, 1071 de dipolo eléctrico. 867 electromagnético, 886, 867-868
como radiación térmica, 1016-1019 de ionización, 1139-1040 unidades de, 1139-1140 y efecto Compton, 1021-1023 y efecto fotoeléctrico, 1019-1021 térmica, 886, 1017 investigación experimental de la, 1016-1019 propiedades de la, 1017-1019 Radiactividad natural, 1140-1141 Radiancia espectral, 1017 Radio de Bohr, 1062 Radionúclidos, 1131 Radón, 1140 Rapidez de deriva y densidad de corriente, 664-666 Rapidez de Fermi, 1108-1109 Rayo 1005 extraordinario, 1005 incidente, 890 o, 1005 ordinario, 1005 reflejado, 890 refractado, 890 Rayo(s) gamma, 885-886 ultravioleta, 884-885 infrarrojos, 884 paraxiales, 918, 921 X, 885, 988-989 y numeración de elementos, 1080 Reacción de deuterón-deuterón, 1164 Reacción de deuterón-tritón, 1164 Reacciones nucleares, 1141-1143. V'áí.iz Reactores nucleares difusión elástica en las, 1142 dispersión inelástica en, 1142 endotérmica, 1142 energía umbral de, 1142 exotérmicas, 1142 Reactancia capacitiva, 848 Reactancia inductiva, 847 Reactor de fusión, 1164-1167 componente poloidal de, 1164-1165 reacciones del, 1164 confinamiento inercial del, 1166-1167 confinamiento magnético, 1164-1166 condiciones del, 1164 tokamak, 1164-1166 campo toroidal de, 1164-1166 Reactor de Prueba de Fusión de Tokamak, 1165 Reactores de agua presurizada, 1158 Reactores nucleares acumulación de desechos radiactivos de los, 1159 agua presurizada de los, 1158 naturales, 1159-1161 operación crítica de los, 1158 parámetro de factores de multiplicación de los, 1157-1158 principios básicos de los, 1157-1159 problema de energía de los neutrones en los, 1157
e,
también
problema de fuga de neutrones en los, 1157 problemas de la captura de electrones en los, 1157 reacción en cadena de, 1157 tiempo de respuesta y nivel de potencia en los, 1158 varillas de control de los, 1158 Rectificador de diodo, 1116-1117 Reflector de esquina, 892 Reflexión ángulo de, 890, 894 de la luz, 890-891 de ondas electromagnéticas, 891-892 difusa, 891 interna total, 892, 897-899 frustrada, 898-899 ley de, 890, 893-895 polarización por, 1003-1004 Refracción ángulo de, 890, 895-896 de la luz, 890-891 de ondas electromagnéticas, 891-892 doble, 1004-1006 índice de, 890-891 ley de, 890, 895-897 proveniente de superficies esféricas, 921-923 Regla de espira, 705 Regla de la mano derecha aplicada al signo de flujo, 869 aplicada en la ley de inducción de Faraday, 778-779 Regla de unión, 702-703 Regias de selección, 1085 Reíd, A., 1036 Rejilla de reflexión, 985 Rejilla(s) de difracción, 981-982 ancho de máximos que usan, 982-983 de resaltado, 985 dispersión de, 986-987 estructura cristalina como, 988-992. Difracción por rayos X intensidad de líneas, y difracción de ranura características de. 990 máximos secundarios de la, 984 potencia de resolución de la, 987-988 realización de, 985 Reloj a base de Cesio, tecnología del, 1027 rem (unidad), 1140 Resistencia de Hall, 736 Resistividad, 666 de semiconductores, 1112 variaciones de temperatura de la, 668 Resistores en paralelo. 710-711 en serie, 711 Resonancia magnética nuclear, 806, 1089-1090 Reversibilidad óptica, y cambios de fase en la reflexión. 952-953 Roemer, Ole, 887, 909 (problema 2) roentgen (unidad), 1140
Véasetambién
Rohrer, Heinrich, 1047, 1048 Rompimiento magnético, 781 regla de interacción de los, 727 Rowland, Henry, 749 Rubbia, Cario, 1175 Ruptura, 662, 671 Ruska, Emst, 1039, 1048 Rutherford, Emest experimentos de dispersión de partículas alfa de, 602-603 descubrimiento del núcleo atómico por, 1129-1131 como fundador de la física atómica y nuclear, 603
Salam, Abdus, 1175 Scully, M. O., 1020 Schrieffer, J. Robert, 1121 Schrödinger, Erwin, 1044, 1045 Segunda ley de Kirchhoff, 705 Selector de velocidad, 730-731 Semiconductor de óxido metálico, 1120
Semiconductores, 662, 1111 coeficiente de temperatura de resistividad de los, 1112 estructura de banda de, 1111 de tipo 665, 1112 de tipo 1112, 1113 densidad de portadores de carga en los, 1111-1112 dispositivos que usan, 1114-1116 dopados, 1112-1114 en diodos lásers, 1118-1119 en optoelectrónica, 1117-1119 en rectificador de diodo, 1116-1117 en transistores, 1119-1120 extrínsecos, 1112 intrínsecos, 1112 resistividad de los, 1112 unión 1114-1116 Serie de Balmer, 1063 Shockley, William, 1119 Siemens (unidad), 666 sievert (unidad), 1140 Simetría cúbica, 989-990
n, p,
pn,
Sincrotrón, 733 Sistema detector CDF, 1174 Sol, fusión termonuclear en el, 1162-1163 Solenoide, 758 campo magnético de, 758-760 inductancia de, 824-825 Sólidos, conductividad eléctrica de, 1103-1104 Stanford Linear Accelerator, 866f Stefan, Josef, 1017 Stem, Otto, 1087 Stilwell, G, R„ 899-900 Strassmann, Fritz, 1154 Subcapa atómica, 1071 Supercapacitores, 683 Superficie gaussiana, 616 y aplicación de la ley de Gauss, 617 Superficies equipotenciales, 648-649 Superficies esféricas de refracción, 921-923 Superconductores, 662, 1120-1122 Superposición, principio de aplicado al campo eléctrico de cargas puntuales, 590 aplicado a fuerzas eléctricas, 575
T Tabla periódica, 1083-1086 Telescopio de refracción, 929-930 aberración cromática del, 930 aberración esférica de!, 930 campo visual del, 930 de Hubble, 930 óptica adaptativa de, 930 Potencia de incidencia luminosa del, 930 Temperatura crítica, 1120 Temperatura de Curie, 810 Tensión electrostática, 698 (problema 15) Teoremas de capa electrostática, 579 Teoría BCS, 1121 de Bardeen-Cooper-Schrieffer, 1121
de todo, 1175 electromagnética, desarrollo de la, 568, 56Sf
especial de relatividad en el desarrollo de la teoría electromagnética, 568 y marcos de referencia en electromagnetismo, 764-765, 786-788 tesla (unidad), 729 Tetrapolo eléctrico, 592, 606 (ejercicio 11), 609 (problema 4) potencial debido al, 644 Thomson, George P., 1036 Thomson, J. J„ 602 modelo atómico de, 1130 Tiempo propio, 900 Tierra campo magnético de la, 725-727,811-813 registro geológico del campo magnético de la, 812-813 y cinturones de radiación de Van Alien, 733 Tierras raras, 1083 Tokamak, 1164-1166 Tonomura, A., 1037-1038 Toroide, inductancia de, 825 Transformación de Lorentz, e invariancia de las leyes del electromagnetismo, 7 65 ,7 88 Transformador, 852-854 de paso, 853 Transistores, 1119-1120 de efecto de campo, 1119-1120 unión de, 1119 Transitorios, 846 Trazado de rayos en imágenes de. espejo esférico, 919-920 en imágenes de lentes, 925 Tren de ondas finito, 945 Triboluminiscencia, 886-887 Tritio, 580 Tritón, 1164
Universo determinación de edad del, 1192-1194 expansión del, 1186-1187 teoría de Big Bang de formación del, 1187-1192
V Valor
Q,de decaimiento
radiactivo, 1136 Van de Graaff, Robert J„ 651 Van de Mear Simón, 1175 Vector de Poynting, 870-872 Velocidad de la luz, 887-890 la materia, 889, 839t medición histórica de la, 887-888, SSSt Voltaje, 639 Voltímetro, principio de analogía del, 740 Von Klitzing, IClaus, 736 Von Laue, Max, 989
en
w weber (unidad), 776 Weinberg, Stephen, 1175 Wheeler, John, teoría de fisión nuclear de, 1155-1156 Wien, Wilhelm, 1017 Wiles, Andrew, 894 Wilson, Robert, 1187 V
Young, Thomas, 944 estudios de polarización de,
1002
Zeeman, Pieter, 1091 Zeeman, efecto de, 1091-1092 Zeilinger, A., 1038 Zona de agotamiento, 1115 Zweig, George, 1182
u Uhlenbeck, George, 1070 Unidad de masa atómica, equivalente de energía de la, 1133
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Tabla
Capítulo
Unidades básicas del SI Prefijos del SI Algunas velocidades terminales del aire Coeficientes de fricción Inercias rotacionales (figura) Repaso y comparación de la dinámica traslacional y rotacional Comparación de las magnitudes traslaciones y rotaciones relacionadas con la energía Variación de g0 con la altitud Algunas velocidades de escape Algunas densidades Viscosidades de algunos fluidos La velocidad del sonido Algunas intensidades y niveles del sonido Ecuaciones de la transformación de Lorentz Transformación de velocidades de Lorentz Algunos coeficientes promedio de expansión lineal Algunas rapideces moleculares a temperatura ambiente Algunas conductividades térmicas y valores R Capacidades calom i de algunas sustancias Algunos calores de u usformación Capacidades de c tr de los gases
A LG U N AS
U N ID A D E S
1 1 4 5 9 10 11 14 14 15 16 19 19 20 20 21 22 23 23 23 OV
Página 2 2 72 97 185 221 244 304 310 333 361 431 433 459 461 486 500 518 524 525 532
Y ABREVIATURAS *
ampere atmósfera unidad térmica inglesa caloría (física) caloría (nutricional) coulomb día grado Celsius grado Fahrenheit electrón-volt farad pie gauss gramo henry hertz caballo de fuerza hora pulgada joule
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