Física-Mendoza Dueñas-completo

TÍTUL O DE LLA A OBR A: TÍTULO OBRA:

FÍSICA

Octava Edición: 2 002

JOR GE MENDOZA DUEÑAS JORGE © Reservado todos los derechos. Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autorización expresa del autor.

D iagr amación y C omp osición: iagramación Comp omposición: Juan Carlos Gonzales P. Fernando Gonzales P. 481-0554 / 382-3251 Fot o gr afías: Guillermo Pacheco Q. oto grafías:

Impreso en Lima - Perú, 2 002 DISTRIBUCIÓN UCIÓN;; Telefax: 431-5031 / 522-3161 DISTRIB UCIÓN E-mail: [email protected]

Prólogo

E

n la última década la enseñanza del curso de física en los centros educativos ha evolucionado notablemente respecto a la anterior, es más; está latente la inclusión en años posteriores del cálculo infinitesimal; esto obliga y motiva a nosotros los autores a la renovación constante de nuestro material. Esta octava edición ha sido diseñada y elaborada teniendo como base la edición anterior, no obstante la novedad se manifiesta en la inclusión de fotografías, el test de evaluación y el cambio casi total de los problemas resueltos y propuestos. El curso de física, merece una enseñanza cuidadosa y extremadamente metódica, es en tal sentido (a criterio propio) que lo primero que debemos apuntar como maestros, es conseguir que nuestros nuevos alumnos empiecen a estimar nuestro curso; una manera de lograrlo es mediante la explicación audiovisual de los fenómenos físicos relacionados a nuestra vida diaria, en este texto se presentan las fotografías y esquemas que intentan complementar dicha función. La física es parte de la ciencia, y como tal su explicación tendrá que exponerse de manera cualitativa y cuantitativa. La explicación cualitativa en este libro se plasma en la exposición detallada de la teoría de cada tema, ilustrada con ejemplos, esquema, fotos, etc. La explicación cuantitativa está conformada por los llamados problemas; en nuestro material, estos han sido divididos en dos partes: Los problemas de aplicación, donde el estudiante podrá aplicar las fórmulas físicas previo raciocinio. Y los problemas complementarios, donde el alumno podrá familiarizarse con los problemas pre-universitario consiguiendo con ello elevar el nivel académico del mismo. Por otro lado, la evaluación de raciocinio rápido es otro ente que deberá tenerse presente; ello lo representamos en el llamadoTEST, donde el estudiante tendrá la oportunidad de recordar y razonar lo que el profesor y el libro le han enseñado en un determinado tema sin necesidad de realizar operaciones matemáticas extensas. Quiero terminar este prólogo agradeciendo a todos los colegas que me hicieron llegar sus críticas y sugerencias para mejorar el contenido del libro, quiero agradecer también el apoyo de mis familiares y amigos que me apoyaron en la elaboración de este texto. EL AUTOR.

Indice CAPÍTUL O 11:: CAPÍTULO

G ener alidades eneralidades

Concepto de Física El método científico CAPÍTUL O 2: CAPÍTULO

M agnitudes Físic as Físicas

7 7 9 11

Magnitud física Sistema de unidades - Notación exponencial Análisis dimensional Medición - Teoría de errores

11 13 21 31

CAPÍTUL O 3: CAPÍTULO

41

Vec es ectt or ores

Vector Operaciones vectoriales

41 43


57

E státic a stática

Equilibrio Rozamiento Leyes de Newton - 1era condición de equilibrio Momento de una fuerza - 2da condición de equilibrio Centro de gravedad

57 59 61 79 83


C inemátic a inemática

97

Movimiento Movimiento rectilíneo uniforme Movimiento rectilíneo uniformemente variado Caída libre Gráficos relacionados al movimiento Movimiento compuesto Movimiento circular

98 99 110 118 127 139 148


159

D inámic a inámica

2da ley de Newton Dinámica circular

159 174


187

Tr abajo - P ot encia - Ener gía Pot otencia Energía

Trabajo mecánico Potencia Energía mecánica

187 188 190


201

M o vimien io - G ersal vimientt o planetar planetario Grr a vitación univ universal

Movimiento planetario Gravitación universal

201 204


213

Oscilaciones y Ondas mecánic as mecánicas

Movimiento oscilatorio Movimiento armónico simple Péndulo simple Movimiento ondulatorio

213 213 215 216


E státic a de los fluidos stática

229

Presión Principio de Pascal Presión hidrostática Vasos comunicantes Empuje

229 230 231 232 232


243

C alor

Termometría Dilatación Calorimetría CAPÍTUL O 12: CAPÍTULO

243 245 247 G ases

261

Comportamiento de los gases Termodinámica

261 263


275

E lec tr icidad lectr tricidad

Teoría electrónica Introducción a la electrostática Carga - Campo eléctrico Potencial eléctrico Capacitancia Electrodinámica Corriente eléctrica Circuitos eléctricos

275 277 280 293 295 307 307 323


339

M agnetismo

Imán Electromagnetismo

340 344


363

Óptic a Óptica

Naturaleza de la luz Fotometría Reflexión de la luz Refracción de la luz

363 365 366 381


397

Ondas elec tr omagnétic as electr tromagnétic omagnéticas

Espectro electromagnético Estudio experimental del espectro visible

398 400


409

Físic a mo der na Física moder derna

Teoría cuántica Efecto fotoeléctrico Modelo atómico El rayo láser Teoría de la relatividad

409 409 411 412 413

Capítulo

1

GENERALIDADES Los fenómenos naturales son intrínsecos a la naturaleza, nacen con ella, es imposible que el hombre pueda regirlas o alterarlas, como ejemplos tenemos: la caída de los cuerpos, los fenómenos ópticos, la atracción magnética, la transformación de la energía, entre otros; por otro lado es obvio afirmar que siempre existió una interacción mutua entre el hombre y la naturaleza. El ser humano mediante su inteligencia trató de encontrar la solución al porqué de los fenómenos naturales, surgió entonces la ciencia que no es más que el conocimiento y estudio de las leyes de la naturaleza. Sería absurdo dar una fecha al nacimiento de la ciencia, pues ésta aparece tras una evolución contínua del hombre en el espacio y en el tiempo. Entiéndase que la ciencia encierra un conocimiento cualitativo y cuantitativo de las leyes naturales; pues si no se puede medir y expresar en números las leyes de un fenómeno, por más que su explicación cualitativa sea contundente, ésta será pobre e insatisfactoria; de ahí que las matemáticas se convierten en una herramienta imprescindible en la formulación de una Ley. EXPLIC A CIÓN CU ALIT ATIV A EXPLICA CUALIT ALITA TIVA

EXPLIC A CIÓN CU ANTIT ATIV A EXPLICA CUANTIT ANTITA TIVA

F= F

La manzana cae hacia la tierra, por la atracción gravitatoria.

GmM H2

Es posible calcular la fuerza gravitatoria.

¿P ar a qué sir v e la ciencia? ¿Par ara sirv Realmente esta pregunta es muy amplia, pero de manera general se puede afirmar que sirve para: -

-

Prevenir el acontecimiento futuro de un fenómeno natural (terremoto, lluvia, huracán, etc.) Poder usarlas de acuerdo a nuestros intereses. Usamos el viento para trasladarnos en avión; usamos la caída del agua para generar energía eléctrica; usamos los diferentes tipos de ondas para comunicarnos. Modernizarnos, pues la ciencia tiene su aplicación directa, por ejemplo: La Ingeniería, La Medicina, La Astronomía, etc.

Jorge Mendoza Dueñas

& El hombre, para facilitar el estudio de la ciencia ha creído conveniente dividirlas en varias ramas, y esto es enteramente convencional. La palabra Física proN aviene del término griego “physis” que significa “N tur ale za turale aleza za”, por lo tanto, la Física podría ser la ciencia que se dedica a estudiar los fenómenos naturales; este fue el enfoque de la Física hasta principios del siglo XIX con el nombre de ese entonces “Filosofía Natural”. A partir del siglo XIX se redujo al campo de la Física, limitándola al estudio de los llamados Fenómenos Físic os “F Físicos os”, los demás se separaron de ella y pasaron a formar parte de otras ciencias naturales. Es innegable que el estudio de la Física involucra la experimentación del fenómeno y la cuantificación del mismo, por eso es importante combinar la teoría, con ayuda de las clases dictadas por los profesores o la bibliografía de los diver-

A)

sos libros del curso y la práctica o experimento del fenómeno en estudio; pues así lo hicieron los grandes científicos como Arquímides, Galileo, Newton, Einstein entre otros.

CONCEPTO DE FÍSICA Es una rama de la ciencia de tipo experimental, que observa, estudia y gobierna mediante leyes los llamados fenómenos físicos.

FENÓMENO Es el cambio o modificación que sufren los cuerpos de la naturaleza, bajo la influencia de diversas formas de energía; existen muchos fenómenos. En esta oportunidad nos ocuparemos solo de tres fenómenos.

FFenómeno o Físico enómeno Físic Es el cambio que sufre la materia sin alterar su estructura íntima. Se caracteriza por ser reversible

I lustr aciones lustraciones

La piedra cambió de posición , pero no cambió su estructura química. Inicialmente era piedra,finalmente también lo es; por lo tanto se produjo un fenómeno físico.

B)

La evaporación del agua es un fenómeno físico. Inicialmente era agua, finalmente también es agua.

Fenómeno Q o Químic uímico uímic Es el cambio que sufre la materia experimentando una alteración en su estructura química. Se caracteriza por ser irreversible, es decir el cuerpo no vuelve a ser jamás lo que inicialmente era.

I lustr aciones lustraciones azúcar

fuego

Si se quema una madera, éste cambia. El fenómeno es químico; inicialmente el cuerpo era madera , finalmente no lo es.

C)

Cuando se somete al azúcar a la acción del calor, el azúcar se transforma en un cuerpo negro (carbón de azúcar); ya no vuelve a ser el azúcar primitivo.

Fenómeno Físic o-Q Físico-Q o-Químic uímico uímic o Este fenómeno tiene algunas características del fenómeno físico y otras del químico.

Generalidades

'

PARTES DE LA FÍSICA

A)

M ecánic a.- Estudia los fenómenos relacioecánica.nados con los movimientos de los cuerpos así como las fuerzas que actúan en ellos. Se divide en: a de los Sólidos Rígidos: ecánica - M ecánic - Cinemática - Estática - Dinámica ef or mables - M ecánic ecánica Def efor ormables a de los Sólidos D a de los FFluídos luídos - M ecánic ecánica

B)

C alor .- Estudia las interacciones en el intealor.rior de la materia.

C)

A cústic a.- Estudia los fenómenos referentes cústica.al sonido.

D)

E lec tr icidad .- Estudia los fenómenos relalectr tricidad icidad.cionados con la carga eléctrica.

E)

Optic a.- Estudia la interacción de la luz con Optica.la materia.

F)

M agnetismo .- Estudia los fenómenos relaagnetismo.cionados con los campos magnéticos.

G)

Físic aM o der na.- Cubre los desarrollos alFísica Mo derna.canzados en el siglo XX.

EL MÉTODO CIENTÍFICO Es un método de la Física, dirigido a las personas de ciencias y contempla los pasos a seguir para formular una ley física. En la práctica nosotros podemos comprobar la veracidad de una ley utilizando este método. El método científico es esencialmente un método experimental y tiene como gestor a Galileo Galilei. A continuación se dará a conocer cada uno de los pasos utilizando como ejemplo ilustrativo, la ley de la Gravitación Universal, formulada por Isaac Newton.

1.-

LA OBSERVACIÓN.- Consiste en realizar un examen visual-mental del fenómeno, notando su estado actual y sus transformaciones así como los diferentes factores que parecen influenciarlos. Muchas veces las condiciones y circunstancias en que se realiza el fenómeno no es el óptimo, motivo por el cual la observación debe realizarse minuciosa y reiteradamente.

Cuenta la historia que Newton observó que la manzana caía hacia la tierra . También descubrió que la luna cae eternamente hacia nuestro planeta.

2.- MEDIDA Y REGISTROS DE DATOS.- Para describir un fenómeno físico existen dos tipos: la descripción cualitativa y cuantitativa. Se dice que una descripción es cualitativa, cuando se describe con palabras y no con números, por ejemplo: el edificio es alto, la temperatura del horno es alta, el caudal de las aguas del río es grande. Obviamente que esta clase de descripción deja muchas preguntas sin respuesta, se necesitará entonces de los números y estos se basan en una medición.


El método científico exige comparación y estas se efectúan mejor en forma cuantitativa, es decir, con números. Esto no significa que el científico necesariamente tenga que partir de una medición inédita, muchas veces él aprovecha las mediciones de sus colegas antecesores, las cuales le sirven como base para describir cuantitativamente el fenómeno en estudio.

T12 T22 = = cte r13 r23

Newton aprovechó los estudios realizados por los científicos que le antecedieron como los de Nicolás Copérnico, Galileo quien inventó el telescopio, Tycho Brahe que se ocupó por 20 años de hacer mediciones de los cuerpos celestes con ayuda del telescopio, así como de Johanes Kepler (amigo de Galileo) quien formulara sus famosas “Leyes de Kepler”.

3.- FORMULACIÓN DE UNA HIPÓTESIS.- A partir de hechos y leyes conocidas, un científico puede descubrir nuevos conocimientos en una forma teórica. Se entiende por teoría al hecho que el Físico proponga un modelo de la situación física que está estudiando, utilizando relaciones previamente, establecidas; ordinariamente expresa su razonamiento mediante técnicas matemáticas. Ley de Newton: F =

4 π 2mR T2

2

Ley de Kepler:

Hipótesis:

T = K = cte R3 F=

GmM R2

Con ayuda de las leyes de Kepler, así como de su segunda Ley, Newton llevó a cabo su modelo matemático hasta llegar a una hipótesis.

Donde: G = cte. de gravitación universal.

4.- EXPERIMENTACIÓN.- Consiste en la observación del fenómeno bajo condiciones preparadas con anterioridad y cuidadosamente controladas. De esta manera el científico puede variar las condiciones a voluntad, haciendo más fácil descubrir como ellas afectan el proceso. Henry Cavendish Si esta última se llena satisfacfue quien determinó experimentaltoriamente, la hipótesis pasa a mente el valor de la ser un hecho comprobado y constante G, 70 años después de la puede ser una Ley de la Física muerte de Newton que se enuncia mediante fór; con lo cual se comprobó la veracidad mulas matemáticas. de la hipótesis de Newton(ley).

De todo lo expuesto es fácil deducir que todo científico tiene como meta descubrir las leyes de la naturaleza y ello empieza con la “curiosidad” que es lo que lleva a la observación del fenómeno (inicio del método científico).

Capítulo

2

MAGNITUDES FÍSICAS MAGNITUDES FÍSICAS Es todo aquello que se puede expresar cuantitativamente, dicho en otras palabras es susceptible a ser medido. ¿Para qué sirven las magnitudes físicas? sirven para traducir en números los resultados de las observaciones; así el lenguaje que se utiliza en la Física será claro, preciso y terminante.

CLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES FÍSICAS 1.-

POR SU ORIGEN

A)

Magnitudes Fundamentales Son aquellas que sirven de base para escribir las demás magnitudes. En mecánica, tres magnitudes fundamentales son suficientes: La longitud, la masa y el tiempo. Las magnitudes fundamentales son: Longitud (L) Masa (M) Tiempo (T)

B)

, , ,

Intensidad de corriente eléctrica (I) Temperatura termodinámica (θ) Intensidad luminosa (J) Cantidad de sustancia (µ)

Magnitudes Derivadas Son aquellas magnitudes que están expresadas en función de las magnitudes fundamentales; Ejemplos: Velocidad Aceleración Fuerza

C)

, , ,

Trabajo Superficie (área) Densidad

, ,

Presión Potencia, etc.

Magnitudes Suplementarias (Son dos), realmente no son magnitudes fundamentales ni derivadas; sin embargo se les considera como magnitudes fundamentales: Ángulo plano (φ)

,

Ángulo sólido (Ω)


12

2.- POR SU NATURALEZA A)

Magnitudes Escalares Son aquellas magnitudes que están perfectamente determinadas con sólo conocer su valor numérico y su respectiva unidad. Ejemplos: VOLUMEN

TEMPERATURA

Sólo necesito 100 mm3 y estará terminado

Tengo fiebre de 40 °C ¡Que fatal!

TIEMPO Son las 12:15 P.M. ¡Ya es tarde!

Como se verá en todos estos casos, sólo se necesita el valor numérico y su respectiva unidad para que la magnitud quede perfectamente determinada.

B)

Magnitudes Vectoriales Son aquellas magnitudes que además de conocer su valor numérico y unidad, se necesita la dirección y sentido para que dicha magnitud quede perfectamente determinada. Ejemplos:

FUERZA

DESPLAZAMIENTO

F = 5N

Sabemos que la fuerza que se está aplicando al bloque es de 5 Newton; pero de no ser por la flecha (vector) que nos indica que la fuerza es vertical y hacia arriba; realmente no tendríamos idea si se aplica hacia arriba o hacia abajo. La fuerza es una magnitud vectorial.

El desplazamiento indica que mide 6 km y tienen una orientación N 60º E (tiene dirección y sentido) con lo cual es fácil llegar del punto “o” a la casa.

Magnitudes Físicas

13

SISTEMA DE UNIDADES - NOT ACIÓN EXPONENCIAL NOTACIÓN

SISTEMA DE UNIDADES La necesidad de tener una unidad homogénea para determinada magnitud, obliga al hombre a definir unidades convencionales.

Convencionalmente: 1 pulgada = 2,54 cm 1 pie = 30,48 cm 1 yarda = 91,14 cm

Origen del Sistema de Unidades:

1 yarda

1 pulgada

El 14 de octubre de 1 960, la Conferencia General de Pesas y Medidas, estableció el Sistema Internacional de Unidades (S.I.), que tiene vigencia en la actualidad y que en el Perú se reglamentó según la ley N° 23560.

1 pie

1.

Existe 3 tipos de unidades en el Sistema Internacional (S.I), estas son:

UNIDADES DE BASE Son las unidades respectivas de las magnitudes fundamentales. MAGNITUD

UNIDAD

SIMBOLO

Longitud

metro

m

Masa

kilogramo

kg

Tiempo

segundo

s

Ampere

A

Kelvin

K

Candela

cd

Definido por la temperatura a la que hierve el agua y se congela simultáneamente si la presión es adecuada. Basado en la radiación de una muestra de platino fundido preparada especialmente.

mol

mol

Con base en las propiedades del carbono 12.

Intensidad de Corriente Eléctrica Temperatura Termodinámica Intensidad Luminosa Cantidad de Sustancia

2.

PATRON PRIMARIO Basado en la longitud de onda de la luz emitida por una lámpara de criptón especial. Un cilindro de aleación de platino que se conserva en el laboratorio Nacional de Patrones en Francia. Basado en la frecuencia de la radiación de un oscilador de cesio especial. Con base en la de fuerza magnética entre dos alambres que transportan la misma corriente.

UNIDADES SUPLEMENTARIAS Son las unidades correspondientes a las magnitudes suplementarias, sin embargo se les considera como unidades de base.

MAGNITUD

UNIDAD

SIMBOLO

Angulo Plano

radián

rad

Angulo Sólido

estereorradián

sr


14

3.

UNIDADES DERIVADAS

2.

Son las unidades correspondientes a las magnitudes derivadas. A continuación sólo se presentarán algunas de ellas. MAGNITUD

UNIDAD

Fuerza

SIMBOLO

Newton

N

metro cuadrado

m2

Velocidad

metro por segundo

m/s

Volumen

metro cúbico

m3

Trabajo

Joule

J

Presión

Pascal

Pa

Potencia

Watt

W

Frecuencia Capacidad Eléctrica

Hertz faradio

Hz f

Resistencia Eléctrica

Ohm

Ω

Superficie (Area)

OBSERVACIONES − El símbolo de una unidad no admite punto al final. − Cada unidad tiene nombre y símbolo; estos se escriben con letra minúscula, a no ser que provenga del nombre de una persona, en cuyo caso se escribirán con letra mayúscula.

SUBMÚLTIPLOS PREFIJO

SÍMBOLO

FACTOR DE MULTIPLICACIÓN

d c m µ n p f a

10 = 0,1 -2 10 = 0,01 -3 10 = 0,001 -6 10 = 0,000 001 -9 10 = 0,000 000 001 -12 10 = 0,000 000 000 001 -15 10 = 0,000 000 000 000 001 -18 10 = 0,000 000 000 000 000 001

deci centi mili micro nano pico femto atto

-1

OBSERVACIONES − Los símbolos de los múltiplos o submúltiplos se escriben en singular. − Todos los nombres de los prefijos se escribirán en minúscula. − Los símbolos de los prefijos para formar los múltiplos se escriben en mayúsculas, excepto el prefijo de kilo que por convención será con la letra k minúscula. En el caso de los submúltiplos se escriben con minúsculas. − Al unir un múltiplo o submúltiplo con una unidad del S.I. se forma otra nueva unidad. Ejemplo:

NOT ACIÓN EXPONENCIAL NOTACIÓN En la física, es muy frecuente usar números muy grandes, pero también números muy pequeños; para su simplificación se hace uso de los múltiplos y submúltiplos.

1.

MÚLTIPLOS PREFIJO Deca Hecto Kilo Mega Giga Tera Peta Exa

SÍMBOLO

FACTOR DE MULTIPLICACIÓN

D H k M G T P E

101 = 10 102 = 100 103 = 1 000 106 = 1 000 000 109 = 1 000 000 000 1012 = 1 000 000 000 000 1015 = 1 000 000 000 000 000 1018 = 1 000 000 000 000 000 000

Unidad del S.I.

m

(metro)

Nuevas Unidades

km

(kilómetro)

cm

(centímetro)

− La escritura, al unir múltiplo o submúltiplo con una unidad del S.I. es la siguiente: Primero: El número (valor de la magnitud). Segundo: El múltiplo o submúltiplo (dejando un espacio) Tercero: La unidad del S.I. (sin dejar espacio). Ejemplo: 3

20×10 m = 20 km (20 kilómetros) -6 36,4×10 f = 36,4 µf (36,4 microfaradios)

Magnitudes Físicas

15

CIFRAS SIGNIFICA TIV AS SIGNIFICATIV TIVAS

CONCEPTO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

Cuando un observador realiza una medición, nota siempre que el instrumento de medición posee una graduación mínima:

Las cifras significativas de un valor medido, están determinados por todos los dígitos que pueden leerse directamente en la escala del instrumento de medición más un dígito estimado.

Ilustración

En el ejemplo del libro, la longitud del mismo se puede expresar así: 33,5 cm ; 335 mm ; 0,335 m Es notorio que el número de cifras significativas en el presente ejemplo es tres. El número de cifras significativas en un valor medido, generalmente se determina como sigue:

La regla graduada tiene como graduación mínima el centímetro.

l

El dígito distinto de cero que se halle más a la izquierda es el más significativo. l El dígito que se halle más a la derecha es el menos significativo, incluso si es cero. l El cero que se coloca a la izquierda del punto de una fracción decimal no es significativo. 20 ; tiene una cifra significativa. 140 ; tiene dos cifras significativas. 140,0 ; tiene cuatro cifras significativas. 1 400 ; tiene dos cifras significativas. l Todos los dígitos que se hallen entre los dígitos menos y más significativos son significativos. Ejemplo; determinar el número de cifras significativas:

Al medir el largo del libro se observa que su medida está entre 33 y 34 cm.

Se podrá afirmar entonces que el largo del libro mide 33 centímetros más una fracción estimada o determinada “al ojo”, así por ejemplo, nosotros podemos estimar: L = 33,5 cm.

4,356 m ; tiene cuatro cifras significativas. 0,23 m ; tiene dos cifras significativas. 0,032 m ; tiene dos cifras significativas 36,471 2 m; tiene seis cifras significativas 6,70 m ; tiene tres cifras significativas 321,2 m ; tiene cuatro cifras significativas 2,706 m ; tiene cuatro cifras significativas


16

TEST 1.-

a) b) c) d) e) 2.-

Cantidad de sustancia - kilogramo Tiempo - segundo Intensidad de corriente - Amperio Masa - kilogramo Temperatura termodinámica - kelvin

8.-

A – Amperio mol - mol C - Coulomb kg - kilogramo m - metro

N – Newton Pa - Pascal C - Coulomb A - Amperio g - gramo

6,2 cm 5,3 cm 5,4 cm 6,7 cm 4,3 cm

0,254 cm 2 0,002 54 × 10 cm −3 254 × 10 cm −3 2,54 ×10 m Todos tienen el mismo número

Determine el número de cifras significativas en las siguientes cantidades medidas: (a) 1,007 m, (b) 8,03 cm, (c) 16,722 kg, (d) 22 m

a) b) c) d) e)

a

b

c

d

4 2 4 1 2

3 2 3 1 1

5 5 5 3 3

3 2 2 2 2

¿Qué relación no corresponde? 10.a) b) c) d) e)

6.-

4

¿Cuál de las siguientes alternativas tiene mayor número de cifras significativas? a) b) c) d) e)

9.-

50 millas y por 2,05 × 10 m 4 20 millas y por 2,1 × 10 m 5 30 millas y por 2,1 × 10 m 4 40 millas y por 10 m N.A.

Un estudiante determinado medía 20 pulg de largo cuando nació. Ahora tiene 5 pies, 4 pulg y tiene 18 años de edad. ¿Cuántos centímetros creció, en promedio, por año? a) b) c) d) e)

Entre las unidades mencionadas, señala la que pertenece a una unidad base en el S.I. a) b) c) d) e)

5.-

7.-

¿Cuál de las unidades no corresponde a una unidad fundamental en el S.I.? a) b) c) d) e)

4.-

metro (m) Pascal (Pa) Amperio (A) candela (cd) segundo (s)

¿Qué magnitud está mal asociada a su unidad base en el S.I.? a) b) c) d) e)

3.-

a) b) c) d) e)

Entre las alternativas, una de las unidades no corresponde a las magnitudes fundamentales del sistema internacional:

9

1 GN = 10 N 12 2 TJ = 2×10 J −9 1 nHz = 10 Hz 9 3 MC = 3×10 C −12 5 pA = 5×10 A

Al convertir una señal de camino al sistema métrico, sólo se ha cambiado parcialmente. Se indica que una población está a 60 km de distancia, y la otra a 50 millas de distancia (1 milla = 1,61 km). ¿Cuál población está más distante y en cuántos kilómetros?

¿Cuál de las cantidades siguientes tiene tres cifras significativas? a) b) c) d) e)

305 cm 0,050 0 mm 1,000 81 kg 2m N.A.

Magnitudes Físicas

17

PROBLEMAS RESUEL TOS RESUELTOS A 1.-

problemas de aplicación Efectuar: E = 5 000 0×0,01

B 1.-

Solución: E = 5 × 10

e

4

Dar la expresión reducida: E =

je1× 10 j

E= E=

E = 500

(32 × 103 )3 (81× 10 −5 )2 36 × 109 × 38 × 10 −10 310 × 10 −18

(0 , 000 000 243)2

Solución:

E = 34 × 1017

je je

j

36 × 109 (34 × 10 −5 )2 (35 × 10 −9 )2

= 3( 6 + 8 −10 ) × 10( 9 −10 +18 )

E = 3( 6 + 8 −10) × 10( 9 −10 +18)

E = 5 × 10 −3 10 −4 3 × 107

=

(243 × 10 −9 )2

Efectuar: E = 0 , 005 × 10 −4 × 30 000 000

e

(9 000)3 (0 , 000 81)2

Solución: −2

E = 5 × 10 4 − 2 = 5 × 102

2.-

problemas complementarios

E = 81× 1017

E = 5 × 10 −3 − 4 + 7 = 5 × 100 2.-

Dar el valor simplificado de:

E=5 3.-

5

R=

Convertir: 400 320 m a km Solución:

2

5

2

3

km m Convertir: 360 a h s

km km 1 000 m 1h = 360 × × 360 h h 1 km 3 600 s km (360)(1 000) = m/ s h 3 600

R=

km 36 × 10 4 = = 10 4 − 2 m / s 360 h 36 × 102

5.-

2

5

2

3

4

−5 2

3

−6

3

−2

4

−6

3

−2 4

510 × 1015 × 59 × 10 −18 58 × 10 −10 × 54 × 10 −8

R = 5b

10 + 9 − 8 − 4

g × 10b15 − 18 + 10 + 8g

R = 57 × 1015

km = 100 m / s h

¿Cuántos Gm tendrás en 2 230 m? Solución: 2 230 m = 2, 23 × 103 m ×

4

5

−5

Solución:

360

3

b25 000g b0, 000 125g b0, 006 25g b0, 05g e25 × 10 j e125 × 10 j R= e625 × 10 j e5 × 10 j e5 × 10 j e5 × 10 j R= e5 × 10 j e5 × 10 j R=

400 320 m = 400,320 km

360

4

Solución:

1 km 400 320 m = 400 320 m × 1 000 m

4.-

3

b25 000g b0, 000 125g b0, 006 25g b0, 05g

3.-

Hallar la altura del nevado Huascarán en hectómetros si expresado en metros mide 6 780 m. Solución:

1 Gm

109 m 2 230 m = 2, 23 × 103 − 9 Gm

6 780 m = 6 780 m ×

2 230 m = 2, 23 × 10 −6 Gm

6 780 m = 67 , 80 Hm

1 Hm 102 m


18 4.-

Dar el espesor que forman 26 monedas en lo que cada una de ellas tiene un espesor de 2 mm; expresar dicho resultado en nm.

−6

1/ 2

−6

1/ 3

e5 × 10 j e2 × 10 j Q= e5 × 10 je2 × 10 j 4

2

Solución: Q=

−4

6

−3 4

4

52 × 10 −3 × 22 × 10 −2 52 × 10 −4 × 216 × 10 −12

= 2−14 × 10b

−3 − 2 + 4 + 12

g

Q = 2−14 × 1011 7.-

e = 26 × 2 mm 1m 1 000 mm

e = 26 × 2 mm ×

Hallar en Em la distancia que existe desde la tierra a una estrella, siendo esta distancia equivalente a 2 años luz. (1 año luz = distancia que recorre la luz en un año de 365 días). Considere que la luz recorre 300 000 km en 1 segundo. Solución:

e = 52 × 10 −3 m

e = 52 × 10 −3 m ×

1 nm 10 −9 m

e = 52 × 10 −3 × 10 +9 nm e = 52 × 106 nm

5.-

d = 2 año luz

Un cabello humano crece a razón de 1,08 mm por día. Expresar este cálculo en Mm / s.

1 año luz = 300 000

1234 1234

Solución: V=

1234 km 241234 h 3 600 s 1234 × 365 dia × × 1234 1año luz = 300 000 1234 s 1 dia 11234 h

1, 08 mm 1, 08 mm = 1 día 24 h

1año luz = 300 000 × 365 × 24 × 3 600 km

123 123

1, 08 mm 1m 1123 h 123 123 123 × × V= 123 123 24 123 h 1 000 mm 3 600 s V=

1año luz = 3 × 105 × 365 × 24 × 36 × 102 km 12345 12345

12345 1año luz = 946 080 × 107 12345 km ×

−2

m 108 × 10 24 × 103 × 36 × 10 2 s

V = 0 ,125 × 10 −7

V = 0 ,125 × 10

1año luz = 946 080 × 10 −8 Em

m m s × s 10 6 m s 1M

−13

Finalmente: d = 2 946 080 × 10 −8 Em

e

Mm s

j

d = 1 892160 × 10 −8 Em d ≈ 19 × 10 −3 Em

Expresar en potencias de 10. Q=

0 , 000 625 3 0 , 000 064 2

b0, 05g b0, 016g

4

Solución: −6

1/ 2

−6

1/ 3

e625 × 10 j e64 × 10 j Q= e5 × 10 j e16 × 10 j −2 2

1234 1234

1234 1 000 m 1 Em 12345 1234 12345 × 18 1234 1234 12345 112345 km 10 1234 m 1234

1año luz = 946 080 × 107 × 10 3 × 10 −18 Em

m s

V = 0 ,125 × 10 −7

6.-

km × 365 días s

−3 4

8.-

Convertir: 30 m/s a milla/h 1 milla = 1 609, 347 m Solución: 30

m m 3 600 s 1 milla = 30 × s s 1 h 1 609 , 347 m

Magnitudes Físicas

30

19

m 30 × 3 600 milla = s 1 609 , 347 h

Solución:

9.-

* 1 litro = 1dm3 1 litro 1 = dm3 1 000 1 000

* 1 kg = 2, 2 lb

m milla 30 = 67 ,108 s h

1 000 g = 2, 2 lb 1 g = 2, 2 × 10 −3 lb

1 ml = 10 −3 dm3

Convertir: 1kw-h a Joule (J) ; 1 kw = 1 kilowatt

watt =

Newton s

*

Solución:

1 lb 3

pulg 1 lb

1 kw-h = kw × h 1 kw-h = kw × h ×

pulg3

1 000 w 3 600 s × 1 kw 1h

1 lb

1 kw-h = 36 × 105 w × s

=

1 lb 3

pulg

×

1g 2, 2 × 10

3

e2, 2 × 10 jb0, 254g

3

= 27 738 ,1

pulg

lb

1

= 27 738 ,1

1 lb

−3

−3

3

pulg

Joule 5 1 kw-h = 36 × 10 w × s × s 1w

=

1 pulg3

×

3

b0, 254 dmg g

×

dm3

g dm3 g 3

dm

×

10 −3 dm3 1 ml

1 kw-h = 36 × 105 Joule 1 lb 10.

Convertir:

pulg3 lb 3

pulg

a

= 27 , 738 1

g ml

FG IJ H K

gramo g mililitro ml

1 litro = 1dm3 ; 1 kg = 2,2 lb ; 1 pulg = 0,254 dm

PROBLEMAS PROPUESTOS A 1.-

problemas de aplicación Efectuar: E = 0,002×2 000

5.-

Expresar el resultado en notación científica. 3

E=

Rpta. E = 4 2.-

Efectuar: E = 2 250×0,02×0,000 004×10

6

Rpta. E = 180

3.-

Efectuar: E =

Rpta. 6.-

4.-

¿Cuál es el resultado de efectuar: E = Rpta. E = 26,35×104

E = 103

E=

0 , 003 × 49 000 × 0 , 9 × 0 , 081

Rpta. 2, 635 × 26 , 35 ? 0 , 000 263 5

7.-

2

b g

8 100 × 270 × 0 , 7

4

Rpta. E = 30,000 03

0 , 008 1

Dar el resultado de efectuar:

4 000 004 × 10 −4 × 0 , 003 0 , 000 004 × 10

27 000 000 4

E = 10−5

¿Qué distancia en Mm recorrió un móvil que marcha a 36 km/h en 2 Es? Rpta.

13

2×10


20 8.-

En un cm3 de agua se tiene aproximadamente 3 gotas, en 6 m3 ¿Cuántas gotas tendremos? Rpta.

9.-

2

¿A cuántos kPa equivalen 25 GN distribuidos en 2 2 5 Mm ? (Pa = N/m ) 5 kPa

Rpta. 6.-

Si 1J = N⋅m, expresar en pJ el producto de 6 GN por 12 am. Rpta.

Halla la expresión reducida en: M=

18 × 106 gotas

Rpta. 10.-

5.-

3

1.-

Efectuar: E =

7.-

0 , 000 020 123 × 25 × 10 5 146 234

0 , 000 000 000 004 45 000 000 × Efectuar: E = 0 , 000 006 30 000 Rpta.

3.-

Efectuar:

Rpta.

b0, 000 000 004 002g E=

3

45 000

9.1019 × 22 × 0 , 006

Rpta.

b6, 4 GNg ⋅ b0, 000 32 fNg ⋅ b1600 kNg b12, 8 TNg ⋅ b8 µNg 32 pN

64 Gbacterias

7,54×10−2 m

3×1017 ng

Una bomba atómica libera 40 GJ de energía. ¿Cuántas bombas se destruyeron si se obtuvo 64×1036 J de energía? Rpta.

–8

E = 5,223 x 10

Halla la expresión reducida en (pN) E=

M = 2-7×1011 m/s2

Se ha encontrado que en 1 kg de arena se tiene 6,023 ×1023 granos de arena. ¿Cuántos ng habrá en 18,069 × 1028 granos de arena? Rpta.

E = 0,001

10.4.-

m s2

Una pelota de 0,064 5 m de diámetro está sobre un bloque que tiene 0,010 9 m de alto. ¿A qué distancia está la parte superior de la pelota por sobre la base del bloque? (Dar su respuesta en metros) Rpta.

-4

E = 3,44×10

8.2.-

; 1J = N⋅

72 x 10 pJ


Rpta.

4

3

En un cultivo bacterial se observa que se reproducen en progresión geométrica cada hora, en razón de 2 000 bacterias. Si inicialmente se tuvo 8 bacterias. ¿Cuántas habrían en 3 horas? Expresar este resultados en Gbacterias? Rpta.

B

b0, 000 008 Jg b128 000 Jg b0, 025 6 Jg b400 Ng

16×1026 bombas

Un cuerpo tiene una masa de 1 500 Mg y un volumen de 4 500 km3. Hallar su densidad en µg/m3. Rpta.

µg 1 × 103 3 3 m

Magnitudes Físicas

21

ANÁLISIS DIMENSIONAL

Estudia la forma como se relacionan las magnitudes derivadas con las fundamentales. Toda unidad física, está asociada con una dimensión física. Así, el metro es una medida de la dimensión “longitud” (L), el kilogramo lo es de la “masa” (M), el segundo pertenece a la dimensión del “tiempo” (T). Sin embargo, existen otras unidades, como el m/s que es unidad de la velocidad que puede expresarse como la combinación de las antes mencionadas. Dimensión de longitud Dimensión de velocidad = Dimensión del tiempo Así también, la aceleración, la fuerza, la potencia, etc, pueden expresarse en términos de las dimensiones (L), (M), y/o (T). El análisis de las Dimensiones en una ecuación, muchas veces nos muestra la veracidad o la falsedad de nuestro proceso de operación; esto es fácil de demostrar ya que el signo “=” de una ecuación indica que los miembros que los separa deben de tener las mismas dimensiones. Mostraremos como ejemplo: A×B×C = D×E×F

1.- El análisis dimensional sirve para expresar las magnitudes derivadas en términos de las fundamentales. 2.- Sirven para comprobar la veracidad de las fórmulas físicas, haciendo uso del principio de homogeneidad dimensional. 3.- Sirven para deducir las fórmulas a partir de datos experimentales.

ECUACIONES DIMENSIONALES Son expresiones matemáticas que colocan a las magnitudes derivadas en función de las fundamentales; utilizando para ello las reglas básicas del algebra, menos las de suma y resta. Estas ecuaciones se diferencian de las algebraicas porque sólo operan en las magnitudes. NOTACIÓN A : Se lee letra “A” [A] : Se lee ecuación dimensional de A

Ejemplos: Hallar la Ecuación Dimensional de:

Es una ecuación que puede provenir de un desarrollo extenso, una forma de verificar si nuestro proceso operativo es correcto, es analizándolo dimensionalmente, así: 2

Fines del análisis dimensional

2

Velocidad (v) v=

e L e ⇒ v = = t t T

(dimensión de longitud) = (dimensión de longitud)

v = LT −1

En el presente caso comprobamos que ambos miembros poseen las mismas dimensiones, luego la ecuación es correcta.

Aceleración (a) a=

En la aplicación del Método Científico, ya sea para la formulación de una hipótesis, o en la experimentación también es recomendable usar el Análisis Dimensional.

v LT −1 v ⇒ a = = t t T

a = LT −2


22

Fuerza (F) F = m.a ; siendo a = aceleración

Presión (P) F MLT−2 Fuerza ⇒ P = = Area A L2

F = m. a

P=

F = MLT−2

P = ML−1T −2

Trabajo (W)

Densidad (D)

W = F. d

W = F. d ⇒ W = F d = MLT−2L W = ML2T −2

Potencia (P) P=

W ML2T −2 W ⇒ P = = t t T

D=

M M Masa ⇒ D = = Volumen V L3

D = ML−3

PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD Si una expresión es correcta en una fórmula, se debe cumplir que todos sus miembros deben ser dimensionalmente homogéneos. Así:

P = ML2T−3 E – A + B + C = D

V = L3

á

V = (Longitud)×(Longitud)×(Longitud)

á

V =V =V =V =V Por lo tanto se tendrá: E = A = B = C = D

A = L2

Volumen (V)

á

A = (Longitud)×(Longitud) ⇒ A = L ⋅ L

á

á

Area (A)

OBSERVACIÓN Los números, los ángulos, los logaritmos y las funciones trigonométricas, no tienen dimensiones, pero para los efectos del cálculo se asume que es la unidad.

Magnitudes Físicas

23

TEST 1.-

I. [a] + [a] + [a] = [a] II. [a] - [a] = [a] III. [a] - [a] = 0 a) b) c) 2.-

I II I y II

d) e)

−1 −1

ML T −1 −2 ML T 2 MLT

−1

M LT M LT

−2

2 −2

L+L+ L–L=L

II)

En sec (P + 12) ⇒ P = 1 ( ) x⋅

a) b) c)

VVF FFF VVV

m kg

⇒

8.-

x = ML−1 ( )

9.-

FVV FFV

10.I.- Sirve para hallar las dimensiones de los cuerpos. II.- Se emplea para verificar fórmulas propuestas. III.- Se usa para deducir fórmulas.

6.-

I II III

d) e)

I y II III y II

Tres magnitudes – dos auxiliares Siete magnitudes – dos auxiliares Seis magnitudes – una auxiliar Tres magnitudes – una auxiliar N.A.

Velocidad Fuerza Volumen Densidad Aceleración

b)

kg ⋅ s m m kg ⋅ 2 s m A⋅ s

Respecto al análisis dimensional señalar verdadero o falso:

c)

I.-

d)

kg ⋅ m2

e)

kg ⋅

Pueden existir dos magnitudes físicas diferentes con igual fórmula dimensional. II.- Los arcos en la circunferencia son adimensionales. III.- Dimensionalmente todos los ángulos y funciones trigonométricas representan lo mismo.

VFV FVF

-

−1

LT −2 ML T 3 L −3 ML 2 LT

¿Qué unidad va asociada incorrectamente a las dimensiones dadas?

a) a) b) c)

d) e)

¿Qué magnitud no está asociada a sus correctas dimensiones? a) b) c) d) e)

¿Qué proposición o proposiciones son falsas respecto al Análisis Dimensional?

VVF VVV FVV

El S.I. considera ................ fundamentales y ........................ con carácter geométrico. a) b) c) d) e)

( )

d) e)

FFV VFV

Respecto a una fórmula o ecuación dimensional, señalar verdadero o falso:

a) b) c)

Precisar verdadero o falso dimensionalmente: I)

d) e)

Todos los términos en el primer y segundo miembro tienen las mismas dimensiones. II.- Todos los números y funciones trigonometricas que figuran como coeficientes tienen las mismas dimensiones, e igual a 1. III.- La ecuación dimensional de los términos del primer miembro, difieren de las dimensiones del segundo miembro.

[fuerza] = M LT d) [trabajo] = M L T −1 [frecuencia] = T e) [carga eléctrica] = I .T −1 [velocidad angular] = T

III) En a

5.-

d) e)

VVV VVF FFF

I.-

III N.A.

¿Qué relación no es correcta dimensionalmente? a) b) c)

4.-

7.-

¿Cuál será las dimensiones de Q = 3 kg / m. s2 ? a) b) c)

3.-

a) b) c)

Siendo “a” una magnitud física, que proposición o que proposiciones siempre se cumplen:

A ⋅ s2

m3 s4

− MTL−1 − MLT −2 − ILT

− ML2A −1T −2 − ML3T −4


24


problemas de aplicación Halle la dimensión de “K” en la siguiente fórmula física: m⋅ v 2 K= F

3.-

Hallar la dimensión de “α” y “β” en la siguiente fórmula: V = α.A + β.D

Donde; m : masa F : fuerza v : velocidad

Donde; V : volumen A : área D : densidad

Solución:

Solución:

o Analizando cada elemento:

o Aplicando el principio de homogeneidad.

m =M

V = α A = β D

v = LT −1

o Determinando: α

F = MLT −2

V = α A

o Luego tendremos: m⋅ v

K =

−1

2

=

F

bMgeLT j MLT

2

−2

=

ML2T −2 MLT

L3 = α L2 ⇒

−2

o Determinando: β

K =L 2.-

α =L

V = β D L3 = β ML−3 ⇒

Halle la dimensión de “S” en la siguiente fórmula física: S=

F⋅ d m⋅ c2

4.-

Donde; F : fuerza m : masa d : distancia v : velocidad

Si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea, determinar la ecuación dimensional de “x” e “y”. Siendo; A : fuerza B : trabajo C : densidad

Solución:

Ax + By = C

o Analizando cada elemento: F = MLT −2

Solución: o Si la expresión es dimensionalmente homogénea, entonces:

d =L m =M c = LT

β = M−1L+6

m

−1

Ax + By = C

m

A x = B y = C

o Luego tendremos: −2

F d

S =

m c S =1

2

=

B = ML2T −2 C = ML−3

eMLT jbLg = ML T bMgeLT j ML T 2 −1

A = MLT −2

2 −2 2 −2

o Con lo cual se tiene: A x = C MLT −2 x = ML−3 x =

ML−3 MLT −2

⇒

x = L−4 T 2

Magnitudes Físicas o

25 B

B y = C


ML2T −2 y = ML−3

y =

5.-

1.-

ML−3 ML2T −2

y = L−5T 2

⇒

Si la siguiente expresión es dimensionalmente homoz −y x génea: P = q R s Donde;

Halle la dimensión de “A” y “B” en la siguiente fórmula física. W v = +F A B Donde; W : trabajo v : volumen F : fuerza

P : presión q : fuerza R : volumen s : longitud

Solución:

Hallar: x – 3y

o Aplicando el principio de homogeneidad:

Solución:

LM W OP = LM v OP N A Q NBQ

o

o

1/ 2

P = ML−1T −2

q = MLT −2

R = L3

s =L

o Determinando A W

P = qzR − y s x z

P = q R −1 −2

ML T

A −y

s

= MLT

e

x −2

z

−y

j eL j bLg 3

x

v B

⇒ z =1

1/ 2 1/ 2

B =

v 2

=

⇒

B

1/ 2

=

v

1/ 2

F

L3 −2

2

eMLT j

B = M−2LT 4

x – 3y x – 3y = −2

= F

F

⇒ − 1 = z − 3y + x − 1 = 1 − 3y + x

o Nos piden:

A =L

o Determinando B

ML−1T −2 = MzLz − 3 y + x T −2z

L−1 = Lz − 3 y + x

= F

ML2T −2 = MLT −2 ⇒ A

ML−1T −2 = MzLz T −2zL−3 yLx

M1 = Mz

= F

2.-

Halle la dimensión de “A”, “B” y “C” en la siguiente fórmula física. 2 E = A.F + B. v + C⋅a

NOTA Las ecuaciones dimensionales sólo afectan a las bases, más no a los exponentes, pues estos siempre son números y por lo tanto estos exponentes se conservan siempre como tales (números). De lo expuesto, queda claro que la ecuación dimensional de todo exponente es la unidad.

Donde; E : trabajo F : fuerza v : velocidad a : aceleración Solución: o Aplicando el principio de homogeneidad: E = AF = Bv 2 = C ⋅ a o Determinando A : E = A F ML2T −2 = A MLT −2

⇒

A =L


26 o Determinando B :

5.-

2

E = B v

ML2T −2 = B LT −1

2

⇒

e j

W = 0,5 mcx + Agh + BP

B =M

x

Siendo: Q = A x ⋅ B ;

o Determinando C :

Además; W : trabajo h : altura m : masa P : potencia c : velocidad A,B : constantes dimensionales g : aceleración

E = C a ML2T −2 = C LT −2 ⇒

3.-

Determinar las dimensiones que debe tener Q para que la expresión W sea dimensionalmente homogénea.

C = ML

Halle la dimensión de ”R” en la siguiente fórmula física: Solución: 2

2

R = (x + t)(x – y)(y + z)

o Aplicando el principio de homogeneidad:

Donde ; t: tiempo

x

W = m c = A g h = B P

Solución: o

o Observamos por el principio de homogeneidad:

ML2T −2 = A = LT −2L

x =T

A =M

2

y = x = T2 2

z = y = T2

W = A g h

e j

2

o

= T4

o Luego tendremos:

B P = W B⋅

R = x y z R = T × T2 × T 4 4.-

⇒

o

La potencia que requiere la hélice de un helicóptero viene dada por la siguiente fórmula: y

= W ⇒

B = t

x

W = m c

ML2T −2 = M LT −1

e j

z

x

ML2 T −2 = MLx T − x

P = K. R . W . D Donde; W : R : D : K :

t

B =T

R = T7

x

W

velocidad angular (en rad/s) radio de la hélice (en m) densidad del aire (en kg/m3) número

x=2

o Finalmente: Q = A

Calcular x,y,z.

x

B

1/ 2

Q = M2T1/ 2

Solución: P = K R

x

W

ML2T −3 = 1 L

y x

D

6.-

z

−1

y

−3

z

b gb g eT j eML j

Suponga que la velocidad de cierto móvil, que se desplaza con movimiento bidimensional, puede determinarse con la fórmula empírica: V = aT 3 +

ML2T −3 = Lx T − yMzL−3z

ML2T −3 = MzLx − 3z T − y M1 = Mz ⇒ z = 1

bg

x−3 1

L2 = L

T −3 = T − y

⇒ x − 3= 2 ⇒ x = 5 ⇒ y=3

b T2 − c

Donde: T, es tiempo; a, b, c, son constantes dimensionales. Determine las dimensiones de a, b, y c, para que la fórmula sea homogénea dimensionalmente. Solución: Por el principio de homogeneidad:

Magnitudes Físicas T2 − c ⇒

o de: o

27

V = a T

a = LT −4

Dimensionalmente; para que (n + tan θ ) sea homogénea: [n] = [tan θ ] = 1

b

V =

T

LT −1 = 7.-

tan θ = número

o

3

LT −1 = a T 3 ⇒ o

Solución:

c = T2

2

Con lo cual: n + tan θ = número

b

⇒

T2

b = LT

[n + tan θ ] = 1

Si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea.

o Con todo el sistema: F

Hallar: ”x – 2y” a = vt x 1 + k y − x

e

Siendo;

x

D

−2

Mx + y = M3

m

x − 3y + z

L

m

y−x

m

⇒ y−x=0 ⇒

y=x

9.-

x

y−y

x

0

e j a = vt e1 + k j a = vt b1 + 1g

=L

=T

0

⇒ x − 3y + z = 0 ⇒ − 2x − z = 0

x

LT −2 = 1 LT −1 T

b ge jb g

LT

−2

x

= LT −1T x

LT −2 = LT x − 1 T −2 = T x − 1 ⇒ x − 1 = − 2 x = −1

Nos piden: “x – 2y”

⇒ y = −1

x – 2y = –1 – 2(–1) x – 2y = 1

En la expresión mostrada. Hallar “z” y z

F D v = (n + tan θ) m1 m2 m3 F : fuerza D : densidad v : velocidad m1, m2,m3 : masas

En la siguiente ecuación dimensionalmente correcta. Determinar la ecuación dimensional de “x”.

Solución:

o Dimensionalmente: a = 2 v t

Donde;

T

−2 x − z

⇒ x+y=3 0

Donde; M : masa ; v : velocidad

a = 2vt x

x

z

E = Mvx + Mvx + Mvx + ........ ∞

x

8.-

−1

Resolviendo: z = -9

o Luego tendremos: a = vt 1 + k

Con lo cual:

y

−3

Mx + yLx − 3y + z T −2 x − z = M3L0 T0

Dimensionalmente se tiene:

1° = k

x

MxLx T −2 xMyL−3 yLz T − z = M3

Solución:

1= k

z

v = n + tan θ m1 m2 m3

eMLT j eML j eLT j = b1gbMgbMgbMg

j

a : aceleración v : velocidad t : tiempo

y−x

y

E = Mvx + Mvx + Mvx + ........ ∞ 14444244443 E

E = Mvx + E

⇒ E = Mvx + E 2

o Dimensionalmente: 2

E = M v x = E 2

E = E ⇒

E =1

Además: M v x = E M v x =1 −1

bMgeLT j x = 1 x =

1 MLT −1

⇒

x = M−1L−1T


28 10.-

Si la siguiente expresión es dimensionalmente homogénea. Determinar la ecuación dimensional de “K”

Resolviendo: x = y = z =

K = GMb

o Luego:

x+y

gLbz + x gTb y + zg +

2Mb

6 − 2x

gLb6 − 2ygTb6 − 2zg

K =

Solución: o Dimensionalmente:

b x + yg L bz + x g T b y + x g = b 6 − 2z g T G M

2 M

2 M

bg

K = 1 M

b6 − 2x g L b6 − 2yg

3 2

b 6 − 2 x g L b 6 − 2 y g T b 6 − 2z g

FG 6 − 2F 3 I IJ FG 6 − 2F 3 I IJ FG 6 − 2F 3 I IJ H H 2K K H H 2KK H H 2K K L

T

K = M3L3 T3

De donde: G =

2

b x + y g = M b6 − 2x g bz + x g = L b6 − 2yg L b y + x g = T b 6 − 2z g T

⇒ x + y = 6 − 2x

M

⇒ z + x = 6 − 2y ⇒ y + x = 6 − 2z


problemas de aplicación

H=

D⋅A⋅ V F

Donde; D : densidad A : aceleración V : volumen F : fuerza Rpta. 2.-

Donde; E : trabajo ; v : velocidad ; F : fuerza.

Halle la dimensión de “H” en la siguiente fórmula física.

Rpta.

β = L−1 4.-

Halle la dimensión de A y B en la siguiente fórmula: v = A⋅t + B⋅ x

[H] = 1

Donde; v : velocidad ; t : tiempo ; x : distancia

La medida de cierta propiedad (t) en un líquido se determina por la expresión: h=

Rpta.

5.-

3.-

t = MT −2

Halle la dimensión de “α” y “β” en la siguiente fórmula física. v2 F + E= α β

A = LT −2 B = T −1

2t rd

Halle la dimensión de A y B en la siguiente fórmula:

Siendo: h medida en m; d, peso específico. ¿Cuál será la ecuación dimensional de t para que r se mida en m? Rpta.

α = M−1

V=

x2 g + A B

Donde; v : velocidad ; x : distancia ; g : aceleración Rpta.

A = LT B = T −1

Magnitudes Físicas 6.-

29

Halle la dimensión de “A”, “B” y “C” en la siguiente fórmula física: e = A + Bt 2 + Ct 3

B 1.-

problemas complementarios Determinar la dimensión de “x”, si la ecuación es dimensionalmente correcta.

Donde; e : distancia (m) ; t : tiempo (s) Rpta.

xv 2 =

A =L

v : velocidad a : aceleración M : masa W : trabajo

B = LT −2 C = LT −3

Rpta. 7.-

Halle la dimensión de “G”, “H” e “I” en la siguiente fórmula física: F = Ga + Hv + I

2.-

π tan α =

G =M I = MLT −2

Rpta. 3.-

En la siguiente expresión, calcular x + y S = Ka x t y K: constante numérica S : espacio a : aceleración t : tiempo

Rpta.

T2 ⋅ a

3

4.-

L2

La fracción mostrada es dimensionalmente correcta y homogénea: Ax3 + Bx2 + Cx + D A8 + B 6 + C 4 + D

a+p b−q

20 + t + k =

y A = L−6 T 4 , determinar las dimensiones de “x”.

a : aceleración t : tiempo

Rpta. 5.-

2

T

L-14T28/3

Si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea, hallar las dimensiones de “b”.

Si la siguiente expresión es dimensionalmente homogénea; determinar la ecuación dimensional de “C”. C=

W=

3Ry 2Nx

R : longitud y : aceleración 3 -4

L T

5F log a 8F2C − 2 x b +v

W : trabajo v : velocidad F : fuerza

2

eN − 2j x

Rpta.

b g

4 π 2L2 L − b cos θ

donde; G : aceleración de la gravedad T : tiempo b y L : longitud

LM a OP = ? Nb Q

10.-

MLT-2

G=

Si la siguiente expresión es dimensionalmente homogénea. Determinar:

Rpta.

3

Determinar las dimensiones de “a”, sabiendo que la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta:

Rpta. 9.-

bw + wlog 2g + z bg + gsen φgx

w : peso ; g : aceleración

H = MT −1

8.-

M2LT-2

Hallar la ecuación dimensional de z, si la ecuación mostrada, es dimensionalmente correcta:

Donde; F : fuerza ; a : aceleración ; v : velocidad Rpta.

WMa + bt2 ; donde: sen 30°

Rpta. 6.-

L1/2T-1/2

En la ecuación: P = Kgy dxhz

Hallar: (x.y.z)


30 donde; P: presión g: aceleración de la gravedad h: altura K: constante numérica d: densidad Rpta. 7.-

h : altura m: masa A , A : areas 1

Rpta.

9.-

F πα IJ = e tan G A + H 2K

mBL

sen 30°

10

W = ba + b2c e

)

n−1

α : ángulo en radianes L : longitud F : fuerza e : base de los logaritmos neperianos m y n : números A = adimensional -1/2 B=L -3/2 -3/2 3 C=M L T

Hallar las dimensiones de “x” e “y”, sabiendo que la igualdad mostrada es dimensionalmente correcta.

FG 2 − x IJ H hK

Donde; W : trabajo e : espacio a : aceleración Rpta. 10.-

=

xy A1 − A2

M

Hallar [x][y]:

d b

x = sen π + α Donde; v : velocidad e : espacio m : masa t : tiempo B : número real Rpta.

2

0 , 85 m

Determinar la dimensión de “b” para que la ecuación sea homogénea.

2 60° cos 60°

± C(Ftan

Hallar las dimensiones de A, B y C para que sea dimensionalmente homogénea, donde:

8.-

x=L y = M−1

1

En la expresión:

Rpta.

2

M2LT 2

2

gi

vy + emB t

Magnitudes Físicas

31

MEDICIÓN - TEORÍA DE ERRORES CLASES DE MEDICIÓN

MEDICIÓN Medición, es el proceso por el cual se compara una magnitud determinada con la unidad patrón correspondiente.

A)

Medición directa Es aquella en la cual se obtiene la medida “exacta” mediante un proceso visual, a partir de una simple comparación con la unidad patrón.

Todos los días una persona utiliza la actividad “medición”; ya sea en nuestras actividades personales, como estudiante o como trabajador. Cuando estamos en el colegio, por ejemplo; al tomar la asistencia, estamos midiendo la cantidad de alumnos que llegaron a clase; en este caso la unidad patrón será “un alumno”.

Ejemplo Ilustrativo: Magnitud: Longitud 1 metro

ç Unidad patrón: 1 metro

Cuando jugamos fútbol, el resultado final lo define la diferencia de goles a favor; la unidad patrón será “un gol”. En ocasiones cuando nos tomamos la temperatura, nos referimos siempre respecto a una unidad patrón “1°C”. Esto significa que toda medición quedará perfectamente definida cuando la magnitud al que nos referimos termine por ser cuantificada respecto a la unidad patrón correspondiente. Ahora para realizar la medición, generalmente se hace uso de herramientas y/o equipos especiales así como también en algunos casos de los cálculos matemáticos. El resultado de la medición nos mostrará cuantitativamente el valor de la magnitud; y con ello podemos saber o predecir las consecuencias que conllevan dicho resultado. Así; si medimos la velocidad de un“atleta” y obtenemos como resultado “1 m/s”; sabremos entonces que éste nunca será campeón en una competencia de 100 metros planos; esto significa que gracias a la medición (actividad cuantitativa) podremos saber o predecir los resultados cualitativos.

En la figura, es fácil entender que la longitud AB mide 3 veces 1 metro: 3 metros (medición directa).

B)

Medición Indirecta Es aquella medida que se obtiene mediante ciertos aparatos o cálculos matemáticos, ya que se hace imposible medirla mediante un proceso visual simple. Ilustración

Se quiere medir el área del rectángulo

Ejemplo ilustrativo

ç Unidad Patrón (un cuadrito)

9 veces un cuadrito, dicho de otra forma: 9 cuadritos

Fórmula: Area = largo × ancho ⇒ A = (3 m)(2 m) A = 6 m2

Se recurrió al uso de una fórmula matemática


32

ERRORES EN LA MEDICIÓN La medición es una actividad que lo ejecuta el hombre provisto o no de un instrumento especializado para dicho efecto. En toda medición hay que admitir, que por más calibrado que se encuentre el instrumento a usar, siempre el resultado obtenido estará afectado de cierto error; ahora, en el supuesto de que existiendo un aparato perfecto cuyos resultados cifrados coincidieran matemáticamente con la realidad física, nunca llegaríamos a dicho valor, debido a la imposibilidad humana de apuntar al punto preciso o de leer exactamente una escala.

Al medir la longitud entre dos puntos, en días calurosos, la cinta métrica se dilata debido a la fuerte temperatura, luego se cometerá un error de medición.

B)

Instrumentales Son aquellos que se presentan debido a la imperfección de los instrumentos de medición.

Las agujas de un cronómetros son susceptibles al retraso o adelanto debido al mecanismo del mismo instrumento, luego se cometerá un error de medición.

C)

Personales Son aquellos, ocasionados debido a las limitaciones de los sentidos humanos en las observaciones (vista, tacto, etc.)

A)

Exactitud Es el grado de aproximación a la verdad o grado de perfección a la que hay que procurar llegar.

B)

Precisión Es el grado de perfección de los instrumentos y/o procedimientos aplicados.

C)

Error Podría afirmarse que es la cuantificación de la incertidumbre de una medición experimental respecto al resultado ideal.

CAUSAS DE ERRORES A)

La vista de una persona puede no permitir observar correctamente las agujas de un reloj, se cometerá entonces un error personal en la medida del tiempo.

Naturales Son aquellos errores ocasionados por las variaciones meteorológicas (lluvia, viento, temperatura, humedad, etc).

CLASES DE ERRORES A)

Propios Son aquellos que provienen del descuido, torpeza o distracción del observador, estas no entran en el análisis de la teoría de errores.

Es posible que el operador lea en la cinta métrica 15,40 m y al anotar, escriba por descuido L = 154 m; éste es un error propio, tan grave que no se debe considerar en los cálculos de Teoría de Errores.

15

16

L=

4 15

Magnitudes Físicas

B)

33

Sistemáticos

L = 0,305 m

Son aquellos que aparecen debido a una imperfección de los aparatos utilizados, así como también a la influencia de agentes externos como: viento, calor, humedad, etc. Estos errores obedecen siempre a una Ley Matemática o Física, por lo cual es posible su corrección.

L = 0,306 m

Cuando medimos el largo de un libro, cada vez que se mida, la lectura será diferente.

L= 0,304 m

TEORÍA DE ERRORES L

A

B

L’

Supongamos que se quiere medir la longitud AB, pero al usar la cinta métrica, ésta se pandea como muestra la figura, la lectura que se toma en estas condiciones no será la verdadera, habrá que corregir. L = L’ − corrección La corrección se determina mediante la siguiente fórmula: corrección =

W2L 24F

Donde: W, L y F son parámetros conocidos.

NOTA Esta clase de error no se tomará en cuenta en este libro.

Es imposible encontrar el verdadero valor del error accidental; si así fuese, podríamos entonces calcular el valor exacto de la magnitud en medición sumando algebraicamente el valor observado. No obstante es posible definir ciertos límites de error, impuestos por la finalidad u objetivo de la medición. Así pues, queda claro que los errores accidentales tienen un rango establecido, cuyo cálculo irán de acuerdo con los principios y métodos de la teoría matemática de errores con aplicación del cálculo de probabilidades. Estableceremos convencionalmente dos casos:

I.-

CUANDO SE REALIZA UNA SOLA MEDICIÓN

Hay casos en las que se toma una sola medición u observación respecto a un patrón establecido, así por ejemplo: PATRON

C)

Accidentales o Fortuitos Son aquellos que se presentan debido a causas ajenas a la pericia del observador, y al que no puede aplicarse corrección alguna, sin embargo estos errores suelen obedecer a las Leyes de las Probabilidades. Por tal motivo se recomienda tomar varias lecturas de una misma medición, pues generalmente estas suelen ser diferentes.

π = 3,141 592 654 g = 9,8 m/s2 tan 37º = 0,753 554 05

VALOR APROXIMADO 3,141 6 10 m/s2 0,75

Es importante establecer entonces bajo que error se está trabajando.

A)

Valor verdadero (A) Es el valor “exacto” o patrón que se establece en una medición, en realidad, tal valor “exacto”


34 no existe, pero se suele establecer de acuerdo al tipo de trabajo a realizar; así por ejemplo, el valor verdadero de la constante (π) se puede considerar como 3,141 6.

B)

B)

Se le llama también error aparente de una medición. Es la diferencia entre la media y el valor correspondiente a una medición.

Error Absoluto(EA)

Ejemplo:

Es la diferencia entre el valor verdadero y el aproximado.

10,20 ⇒ V = 10,20 – 10,20 = 0 10,22 ⇒ V = 10,20 – 10,22 = -0,02 10,18 ⇒ V = 10,20 – 10,18 = +0,02

EA = A′ − A

Donde;

C)

EA : error absoluto A : valor verdadero A’ : valor aproximado

C)

Desviación típica ó stándar (σ) Viene a ser el promedio de todas las desviaciones de las mediciones realizadas.

Error Relativo (ER)

σ = ±

Llamado también error porcentual y nos determina según parámetros establecidos si la equivocación puede ser aceptable o no.

ER = Donde;

ER : error relativo E : error absoluto A A : valor verdadero

Generalmente cuando se lleva a cabo una medición, no se conoce el valor verdadero; es por esto que se recomienda tomar varias mediciones, no obstante, jamás se podrá conocer el valor exacto.

Media ( X ) Es el valor que tiende a situarse en el centro del conjunto de datos ordenados según su magnitud. Es la media aritmética de un conjunto de datos.

X =

x1 + x2 + x3 + ... + xn n

10, 20 + 10, 22 + 10,18 3

X = 10 , 20

2 ≤ n ≤ 30

σ : desviación típica o stándar V : desviación de cada medición n : número de mediciones Para la explicación de la presente expresión, partiremos diciendo que el número mínimo de mediciones tendrá que ser dos, de lo contrario no tendría sentido hablar de promedio y por ende de desviación. Por otro lado no es difícil deducir que el promedio de todas las desviaciones sería: ΣV n

Sin embargo, en la práctica, el resultado de dicha expresión siempre será cero; es por ello que se utiliza la suma de los cuadrados, la cual nunca se anulará.

D)

Error probable de una observación (E0 ) Es aquel intervalo [-E0 , + E0], dentro de cuyos límites puede caer o no el verdadero error accidental con una probabilidad del 50%. E0 = ± 0, 674 5 σ

Ejemplo: 10,20 ; 10,22; 10,18 X =

ΣV2 n−1

Donde;

EA 100% A

2.- CUANDO SE REALIZA DOS O MÁS MEDICIONES

A)

Desviación (V)

Donde; E0 : error probable de una observación σ : desviación típica o stándar.

Magnitudes Físicas

E)

35

Error relativo (ER)

F)

Es la relación entre E0 y la media X ; y viene a ser el parámetro que califica la calidad del trabajo.

ER = ±

ó

ER = ±

Error probable de la media (E) Está visto que la media, también está sujeto a error. El error probable de la media al 50% de probabilidad se puede determinar así:

E0 X

E = ± 0, 674 5

1

E : error probable de la media V : desviación de cada medición n : número de mediciones

0

Donde;

X : media E0 : error probable de una observación

Ejemplo: Supongamos que se desea realizar un trabajo de laboratorio, donde es requisito para obtener las metas deseadas un error relativo 1 menor que ; si el trabajo de laborato3 000

rio arrojó un ER = ±

1 4 000

Tendremos: 1 1 < 4 000 3 000

De donde se deduce que el trabajo realizado es aceptable; de lo contrario habrá que volver a empezar.

b g

Donde;

F XI GH E JK

ER : error relativo

ΣV2 n n−1

G)

Valor más probable (V.M.P.) Es aquel que se acerca más al verdadero valor pero que no lo es. Comúnmente se considera a la media como el valor más probable de varias mediciones. V. M.P. = X

Donde; V.M.P. : valor más probable X : media

Como quiera que el V.M.P. nunca será el valor verdadero, se deduce que existirá un error y que dicho valor exacto estará ubicado dentro del rango de ciertos límites; este será: V.M.P. − E , V.M.P. + E

Donde; E : error probable de la media


36

TEST

1.-

............., es el proceso por el cual se compara una magnitud determinada con la unidad ............ previamente establecida. a) b) c) d) e)

2.-

6.-

Estimación – base Medición – patrón Estimación – de comparación Medición – base Marcación – estelar

a) b) c) d) e)

Señalar verdadero o falso en las siguientes proposiciones:

7.-

I.- Exactitud, es el grado de aproximación a la verdad o perfección a la que se procura llegar. II.- Precisión instrumental o procedimental, es el grado de perfección alcanzado. III.- Error, es la cuantificación de la incertidumbre de una medición experimental respecto al resultado ideal. a) b) c) 3.-

VVV FVF

b) c) d) e) 8.-

Naturales. Instrumentales. Personales. Temperamentales. N.A.

9.-

Sistemáticos – teoría de errores. Propios – la teoría de errores. Accidentales – métodos científicos. Fortuitos – métodos científicos. N.A.

¿Cuál es la media o promedio ponderado de las mediciones de cierta varilla cuyas medidas obtenidas fueron: 12 cm ; 14 cm ; 11 cm ; 13 cm ; 12 cm a) b) c)

12 cm 12,2 cm 12,4 cm

d) e)

11,8 cm 12,8 cm

0,1 –0,1 25,3 –25,3 N.A.

¿Cuánto pague por 0,5 Mg, 300 kg, 50 Hg de arroz a S/. 2,00 el kilo? a) b) c) d) e)

10.-

El valor real está comprendido entre 100,211 2 y 100,212 8. El valor que más se acerca es 100,22 El valor más probable es 100,212 8 El valor menos probable es 100,212 6 N.A.

La media de 5 mediciones a sido 12,6, si una de estas mediciones fue 12,7, hallar la desviación aparente obtenida. a) b) c) d) e)

Errores................... provienen del descuido, torpeza o distracción del observador, estas no entran en el análisis de................ a) b) c) d) e)

5.-

d) e)

+1,3 g –1,3 g –0,7 g +0,7 g +0,9 g

En la medición de la longitud de un terreno, el valor más probable obtenido: 100,212 ± 0,000 8; esto significa que: a)

¿Cuál de las alternativas no puede ser una causa de error en las mediciones? a) b) c) d) e)

4.-

VFF VFV FFV

La media de un grupo de medidas de cierto peso es 28,5 g, siendo una de las medidas obtenidas 27,8 g; la desviación sería:

S/. 10 000 S/. 5 000 S/. 1 610 S/. 9 050 N.A.

La suma de los cuadrados desviaciones de cierto grupo de medidas (cinco mediciones) fue 81. Hallar su desviación típica o stándar. a) b) c) d) e)

6,5 5,5 3,5 8,5 4,5

Magnitudes Físicas

37


problemas de aplicación o Calculado el error relativo

Se ha obtenido los siguientes valores al determinar la masa de un cuerpo: 2,350 g; 2,352 g; 2,348 g y 2,350 g. ¿Cuál es el valor más probable?

EA × 100% A −0 , 001 6 × 100% ER = 3,141 6

ER =

Solución: V.M.P. = X

ER = − 0 , 051%

Calculando la media: X X=

2, 350 + 2, 352 + 2, 348 + 2, 350 4

4.-

X = 2, 350 Luego: V . M. P. = 2, 350 2.-

Solución:

Consideremos la longitud de una mesa 112,8 cm; al medirla hemos obtenido 113,4 cm; hallar el error absoluto y el error relativo.

En el cuadro mostrado notamos que ambos alumnos cometieron el mismo error absoluto: 1 metro por exceso, y la medida más precisa fue la del alumno B, ya que cometió un error relativo menor.

Solución:

ALUMNO

o Calculando el error absoluto EA = A' − A EA = 113, 4 − 112, 8

EA = + 0 , 6 cm (por exceso) o Calculado el error relativo EA × 100% A 0, 6 × 100% ER = 112, 8 ER =

ER = 0 , 53% 3.-

¿Qué error relativo, se comete al dar a π = 3,141 6 el valor 3,14? Solución: o Calculando el error absoluto

Un alumno A mide la longitud de un hilo de 5 m y halla un valor de 6 m, otro alumno B mide la longitud de un paseo de 500 m y halla un valor de 501 m. ¿Qué error absoluto se cometió en cada caso?, ¿qué medida fué más precisa?

5.-

ERROR ABSOLUTO

ERROR RELATIVO

A

1 m (exceso)

1 × 100 = 20% 5

B

1 m (exceso)

1 × 100 = 0 , 2% 500

¿Con cuántas cifras decimales debemos tomar el número π = 3,141 59 para que su error relativo sea menor del 0,1%? Solución: ER < 0 ,1% EA × 100% < 0 ,1% A EA × 100% < 0 ,1% 3,141 59 EA < 0 , 00314 Rpta.

Dos cifras decimales

EA = A' − A

Verificando:

EA = 3,14 − 3,141 6

ER =

EA = − 0 , 001 6 (por defecto)

Tomando valor absoluto:

3,14 − 3, 141 59 × 100% 3,141 59

ER = + 0 , 05% < 0 , 1%


38 B 1.-

problemas complementarios En la medida de 1 metro, se ha cometido un error de 1 mm y en 300 km un error de 300 m. ¿Qué error relativo es mayor? Solución: o Cuando L = 1 m A = 1 000 mm EA ×100% A 1 × 100% ER = 1 000 ER =

ER = 0 ,1%

MEDICIONES

ERRORES (V)

4,556 mm 4,559 mm 4,553 mm 4,561 mm 4,562 mm 4,555 mm 4,557 mm 4,553 mm 4,556 mm 4,558 mm X = 4,557 mm

o Cuando L = 300 km A = 300 000 m EA × 100% A 300 × 100% ER = 300 000

Solución: o Calculando el error probable de la media (E)

ER = 0 ,1%

E = ± 0 , 674 5

ΣV2 n n−1

¿Qué medida es más precisa: La de un químico que pesa 200 mg con una balanza que aprecia el miligramo o la de un tendero que pesa 2 kg de arroz con una balanza que aprecia el gramo?

E = ± 0 , 674 5

0 , 000 084 10 9

Solución:

o El valor más probable: V.M.P. = X = 4,557

Será más precisa aquella pesada cuyo error relativo sea menor.

Luego el resultado final podrá ser expresado.

Rpta. Los dos tienen igual error relativo

Del concepto de teoría de errores, se deduce que hay un 50% de probabilidades de que el verdadero valor del resultado final esté comprendido entre 4,556 3 m y 4,557 7 m.

EA ×100% A 1 mg × 100% ER = 200 mg 4.-

Se ha medido la longitud de un terreno, los datos obtenidos en metros son:

o Con el tendero

1° Medición : 100,212 2° Medición : 100,210 3° Medición : 100,214

1g × 100% ER = 2 000 g ER = 0 , 05%

bg

4,557 ± 0,000 7

ER =

ER = 0 , 5%

b g

E = ± 0 , 000 7

o Con el químico:

Se pide: A) Calcular la media. B) Calcular la desviación típica o stándar (σ).

Rpta. Es más precisa la medida del tendero Solución: 3.-

0,000 001 0,000 004 0,000 016 0,000 016 0,000 025 0,000 004 0,000 000 0,000 016 0,000 001 0,000 001 ΣV2 = 0,000 084

¿Cómo se debe expresar el resultado final de las mediciones?

ER =

2.-

+0,001 -0,002 +0,004 -0,004 -0,005 +0,002 0,000 +0,004 +0,001 -0,001 ΣV = 0,000

V2

Consideremos la siguiente serie de mediciones realizadas con un esferómetro:

A)

Son tres mediciones n = 3

Magnitudes Físicas

X=

39

100 , 212 + 100 , 210 + 100 , 214 300 , 636 = 3 3

6.-

X = 100 , 212 B)

Los datos de campo son:

Tabulando V = X - Xi

MEDIDA

V

2

100,212

0

100,210

+0,002

4×10-6

0

100,214

-0,002

4×10

Sumatoria

8×10

-6

θ = 40° 20‘ 10“ 1 θ = 40° 20‘ 30“ 2 θ = 40° 20‘ 50“

-6

3

ΣV2 8 × 10 −6 σ=± =± 3−1 n−1

Solución: n = 1 + 4 + 3 = 8 observaciones

En el problema anterior calcular: A) El error relativo B) El resultado final

θ=

Solución: A) ER = ±

E0 X

=±

1

2

3

8

θ = 40° 20‘ 10“ + 4(40° 20‘ 30“) + 3(40° 20‘ 50“) 8

X E0

θ = 322° 44‘ 40“ ⇒ θ = 40° 24‘ 35“ 8

b

g

E0 = ± 0 , 001 349

ER =

b1gθ + b4gθ + b3gθ

1

E0 = ± 0 , 674 5σ = ± 0 , 674 5 0 , 002

ER = ±

1 medida 4 medidas 3 medidas

Calcular la media.

σ = ± 0 , 002

5.-

Con ayuda de un teodolito se midió un ángulo, realizando una observación angular en ocasiones diferentes y por diferentes observadores. Calcular la media.

7.-

Se ha efectuado la medición de una distancia y los resultados obtenidos son: 1° Medición : 2° Medición : 3° Medición : 4° Medición :

1 1 = 100 , 212 74 286 0 , 001 349

1 74 286

B) E = ± 0 , 674 5

E = ± 0 , 674 5

800,213 m 800,220 m 800,603 m 800,218 m

Se pide: Calcular el error relativo ΣV2 n n−1

b g

8 × 10 −6 32

bg

E = ± 0 , 000 8

Solución: En primer lugar, si analizamos el valor de cada medición, respecto a los demás, será fácil detectar que la tercera medición tiene un valor muy lejano a las otras mediciones, lo cual hace deducir que en el proceso de medición se debió cometer un error propio (en la 3° medición), por tal motivo no se tomará en cuenta en los cálculos. Luego;

El V.M.P. = X = 100,212 Luego el resultado final podrá ser expresado: 100,212 ± 0,000 8 Esto significa que hay un 50% de probabilidades de que el verdadero valor del resultado final esté comprendido entre 100,211 2 y 100,212 8.

1° Medición : 2° Medición : 3° Medición :

800,213 m 800,220 m 800,218 m

n=3 X=

800 , 213 + 800 , 220 + 800 , 218 2 400 , 651 = 3 3

X = 800 , 217 m


40 o Tabulando

o Tabulando: V2

MEDIDA

V= X -X

800,213

+0,004

16×10

-6

100,44

-0,065

800,220

-0,003

9×10

-6

100,46

-0,085

-0,001

1×10

-6

100,50

-0,125

Sumatoria

26×10-6

100,10

+0,275

i

800,218

V = X - Xi

MEDIDA

ä valor mayor

que 0,20 (tolerancia)

o σ=±

ΣV 2 26 × 10 −6 =± 3−1 n−1

Observamos que la desviación V correspondiente a 100,10 es mayor que el permitido; si analizamos inicialmente el problema, es fácil darse cuenta que 100,10 esta muy lejos a los demás datos, seguramente se cometió algún error propio. Por lo tanto no se tomará en cuenta en los cálculos.

σ = ± 0 , 003 6

b

o E0 = ± 0 , 674 5σ = ± 0 , 674 5 0 , 003 6

g

o Ahora tendremos: n = 3

E0 = ± 0 , 002 428 2

o ER = ±

ER = ±

8.-

E0 X

=±

1

X=

X E0

100 , 44 + 100 , 46 + 100 , 50 ⇒ X = 100 , 467 N 3

o Tabulando:

1 1 ⇒ ER = ± 800 , 217 329 552 0 , 002 428 2

En el problema anterior, determinar el resultado final.

MEDIDA

V = X − Xi

100,44

+0,027

72,9×10

100,46

+0,007

4,90×10

100,50

-0,033

108,90×10−5

Sumatoria

186,7×10−5

Solución: E = ± 0 , 674 5

ΣV 2 26 × 10 −6 = ± 0 , 674 5 23 n n−1

b g

o E0 = ± 0 , 674 5σ = ± 0 , 674 5

bg

o ER = ± V.M.P. = X = 800,217

ER = ±

800,217 ± 0,001 4 10.-

100,44 N ; 100,46 N ;100,50 N ; 100,10 N

−5

ΣV2 n−1

1

1

F X I = ± 100, 467 GH E JK 0, 020 608 0

Luego el resultado final podrá ser expresado:

Se ha pesado varias veces un saco de papas y los datos obtenidos son:

−5

E0 = ± 0 , 020 608

E = ± 0 , 001 4

9.-

V2

1 4 875

En el problema anterior, expresar el resultado final. Solución: o Calculando el error probable de la media. ΣV2 186 , 7 × 10 −5 = ± 0 , 674 5 n n−1 32

Calcular el error relativo, si la tolerancia máxima permitida es 0,20 N.

E = ± 0 , 674 5

Solución:

E = ± 0 , 012

o n=4

o El valor más probable: V.M.P. = X = 100,467 N

100 , 44 + 100 , 46 + 100 , 50 + 100 ,10 4 X = 100 , 375 N

Luego el resultado final podrá ser expresado.

X=

b g

100,467 N ± 0,012 N

bg

Capítulo

3

VECTORES MAGNITUD VECTORIAL Es aquella magnitud que aparte de conocer su valor numérico y su unidad respectiva, es necesario conocer también la dirección y sentido para que así dicha magnitud logre estar perfectamente determinada. Veamos un ejemplo sencillo:

Si una persona desea disparar una flecha al blanco, ella debe conocer la fuerza (módulo) mínima que debe aplicar a la flecha para que ésta se incruste en el tablero; pero supongamos que a dicha persona después de conocer la distancia de ella al blanco, le tapan los ojos. ¿Sabrá a donde apuntar?, la respuesta es no, pues conocerá cuanto debe tirar de la cuerda pero no sabrá hacia donde. ¿Qué falta? le falta la ubicación del blanco (dirección y sentido). Queda demostrado entonces que la fuerza es una magnitud vectorial, pues a parte del valor y unidad respectiva, se necesita la dirección y sentido.

VECTOR Es un segmento de línea recta orientada que sirve para representar a las magnitudes vectoriales. r A = A ; se lee vector A

r A = A = A ; se lee: Módulo del vector A


42

ELEMENTOS DE UN VECTOR: A)

D)

Vectores iguales Son aquellos vectores que tienen la misma intensidad, dirección y sentido.

Punto de aplicación.- Está dado por el origen del vector.

B)

Intensidad, módulo o magnitud.- Es el valor del vector, y generalmente, está dado en escala. ejm. 5 unidades de longitud equivale a 5 N (si se tratáse de fuerza). A y B soniguales

C)

Sentido.- Es la orientación del vector.

D)

Dirección.- Está dada por la línea de acción

E) del vector o por todas las líneas rectas paralelas a él.

Vector opuesto ( −A ) Se llama vector opuesto ( −A ) de un vector A cuando tienen el mismo módulo, la misma dirección, pero sentido contrario.

ALGUNOS TIPOS DE VECTORES: A)

Vectores colineales Son aquellos vectores que están contenidos en una misma línea de acción.

A, B y C son colineales

B)

Vectores concurrentes Son aquellos vectores cuyas líneas de acción, se cortan en un solo punto.

A y − A son vectores opuestos entre sí

PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR Cuando un vector se multiplica por un escalar, resulta otro vector en la misma dirección y de módulo igual a tantas veces el escalar por el módulo del vector dado. Ejemplos.

A, B y C son concurrentes

C)

Vectores coplanares Son aquellos vectores que están contenidos en un mismo plano.

4 unidades 2 unidades 8 unidades A, B y C son coplanares

Vectores

43

OPERACIONES VECTORIALES ADICIÓN DE VECTORES

B)

Método del Triángulo Válido sólo para dos vectores concurrentes y coplanares. El método es el siguiente. Se unen los dos vectores uno a continuación del otro para luego formar un triángulo, el vector resultante se encontrará en la línea que forma el triángulo y su punto de aplicación concidirá con el origen del primer vector.

Sumar dos o más vectores, es representarlos por uno sólo llamado resultante. Este vector resultante produce los mismos efectos que todos juntos. Hay que tener en cuenta que la suma vectorial no es lo mismo que la suma aritmética

R = A+B+C+D

R = A+B

C)

ADICIÓN DE VECTORES - MÉTODO GRÁFICO A)

Método del Paralelogramo Este método es válido sólo para dos vectores coplanares y concurrentes, para hallar la resultante se une a los vectores por el origen (deslizándolos) para luego formar un paralelogramo, el vector resultante se encontrará en una de las diagonales, y su punto de aplicación coincidirá con el origen común de los dos vectores.

Método del Polígono Válido sólo para dos o más vectores concurrentes y coplanares. El método es el siguiente. Se unen los dos vectores uno a continuación del otro para luego formar un polígono, el vector resultante se encontrará en la línea que forma el polígono y su punto de aplicación coincidirá con el origen del primer vector.

R = A+B+C

En el caso de que el origen del primer vector coincida con el extremo del último, el vector resultante es nulo; y al sistema se le llama “polígono cerrado”.

R = A+B

R = A+B+C+D+E=0


44

B)

OBSERVACIONES En la adición de vectores se cumplen varias propiedades, éstas son:

Suma de Vectores Concurrentes y Coplanares En este caso el módulo de la resultante se halla mediante la siguiente fórmula.

Propiedad Conmutativa

R =

A+B=B+A

A2 + B2 + 2AB cos θ

Propiedad Asociativa A+B+C= A+B +C=A+ B+C

d

i

d

i

ADICION DE VECTORES - MÉTODO ANALÍTICO A)

Suma de Vectores Colineales En este caso la resultante se determina mediante la suma algebraica de los módulos de los vectores, teniendo en cuenta la siguiente regla de signos.

La dirección del vector resultante se halla mediante la ley de senos. R A B = = sen θ sen α sen β

CASO PARTICULAR

Ejemplo: Determinar la resultante de los siguientes vectores:

Si: θ = 90° R =

Sabiendo: A = 4 ; B = 3 ; C = 3 ; D = 1

A2 + B 2

RESULTANTE MÁXIMA Y MÍNIMA DE DOS VECTORES

Solución: R=A+B+C+D

Teniendo en cuenta la regla de signos:

Resultante Máxima Dos vectores tendrán una resultante máxima cuando éstos se encuentren en la misma dirección y sentido (θ = 0°).

R = 4 − 3 − 3 + 1 ⇒ R = −1

El signo negativo indica que el vector está dirigido hacia la izquierda.

Rmax = A + B

Vectores

45

Resultante Mínima

D=A−B

Dos vectores tendrán una resultante mínima cuando éstos se encuentren en la misma dirección; pero en sentidos contrarios (θ = 180°).

D = A2 + B2 + 2AB cos 180° − θ

b

D =

g

A2 + B2 − 2AB cos θ

Rmín = A − B

SUSTRACCIÓN DE VECTORES A)

Método del Triángulo En este caso se unen los dos vectores por sus orígenes y luego se unen sus extremos, el vector “ D ” será el vector diferencia.

COMPONENTES DE UN VECTOR Se denominan componentes de un vector a todos aquellos vectores que sumados por el método del polígono, dan como resultado un determinado vector. Hay que tomar en cuenta que un vector puede tener infinitas componentes.

A+B+C+D=R A ,B ,C yD son componentes del vector R

COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR Son aquellos vectores componentes de un vector que forman entre sí un ángulo de 90°.

D=A−B

B)

D=B−A

Método del Paralelogramo En este caso se invierte el sentido del vector que está acompañado del signo negativo; y luego se sigue el mismo procedimiento para adición de vectores por el método del paralelogramo.

A = Ax + Ay Ax = A cos θ Ay = Asen θ

VECTOR UNIT ARIO UNITARIO Es un vector cuyo módulo es la unidad y tiene por misión indicar la dirección y sentido de un determinado vector. A dicho vector se le llama también versor.

u=

A A

u = vector unitario de A


46

VERSORES RECTANGULARES Son aquellos vectores unitarios que se encuentran en los ejes coordenados rectangulares. i -i j -j

: : : :

Vector unitario en el eje x (positivo). Vector unitario en el eje x (negativo). Vector unitario en el eje y (positivo). Vector unitario en el eje y (negativo).

SUMA DE VECTORES POR EL MÉTODO DE COMPONENTES RECT ANGULARES RECTANGULARES Para hallar la resultante por este método, se sigue los siguientes pasos: 1.2.3.-

Se descomponen los vectores en sus componentes rectangulares. Se halla la resultante en el eje x e y (Rx , Ry ), por el método de vectores colineales. El módulo del vector resultante se halla aplicando el teorema de Pitágoras. R = R2x + R2y

Ejemplo: En el sistema de vectores mostrado en la figura. Hallar el vector resultante y su módulo. A = 30

Ahora tendremos:

B = 15 A = Ax + Ay

C = 10

ó

A = Ax i + Ay j Ejemplo de aplicación: En el sistema mostrado en la figura, expresar el vector “A” en términos de los vectores unitarios rectangulares, sabiendo que su módulo es de 30 unidades.

Solución: Por motivos didácticos, trabajaremos con números.

FG 4 IJ − 30FG 3IJ H 5 K H 5K

Rx = 15cos 37° − 30 cos 53° = 15 A = Ax + Ay ⇒ A = Ax i + Ay j o o

FG 3IJ H 5K F 4I A = Asen 53° = 30G J H 5K Ax = A cos 53° = 30

y

A = 18 i + 24 j

⇒ Ax = 18

Rx = − 6 (hacia la izquierda)

FG 4 IJ + 15FG 3IJ − 10 H 5 K H 5K

Ry = 30sen 53° + 15sen 37° − 10 = 30 Ry = 23 (hacia arriba)

⇒ Ay = 24

R = − 6 i + 23 j ; Ahora: R = 62 + 232 R = 23,77

Vectoresy Tecnología Ciencia

47

La fuerza: un vector La fuerza es una magnitud vectorial, por tanto se representa mediante un vector. Ahora; sumar dos o más vectores no implica necesariamente sumar sus módulos, ello dependerá de la posición en que se encuentren. En el presente caso, los vectores fuerzas son colineales por tal razón habrá que aplicar el método de vectores colineales para la determinación del vector resultante.

El vector desplazamiento El desplazamiento es un vector: Si el objetivo fuese darle a la bola amarilla con la roja, esta última tendría que recorrer la distancia d; sin embargo podría elegirse también otros caminos convenientes en cuyos casos los vectores formados serían componentes del vector d ( d1 y d2 son componentes del vector d ).

El tiempo - escalar El tiempo, es considerado como magnitud escalar, pues sólo necesitamos el valor y la unidad respectiva para tener la información completa. En realidad la investigación sobre el tiempo es muy compleja y falta mucho por estudiarlo. Entonces: ¿Tendrá dirección y sentido el tiempo?

Jorge Ciencia Mendoza y Tecnología Dueñas

48

La velocidad - un vector Para que el avión pueda desplazarse desde el punto A hasta el B, el piloto deberá conocer las coordenadas de dichos puntos ya sea vía radio o vía satélite, lo cierto es que la obtención de dichos datos no es problema. Conocidas las coordenadas de A y B, es fácil determinar el vector desplazamiento por donde deberá recorrer el avión ( d ).

d

Si el piloto dirige la velocidad del avión en la dirección del desplazamiento calculado, el viento se encargará de desviarlo.

Para evitar que el avión se desvíe, será necesario conocer la dirección del viento y mediante el método del paralelogramo determinar la dirección que hay que imprimir al aparato para que su velocidad resultante se dirija en la dirección del desplazamiento deseado.

En realidad la dirección del viento puede cambiar, para lo cual el piloto deberá estar alerta a ello y cambiar también la dirección de la velocidad del avión para así conservar la dirección de la velocidad resultante en la línea del desplazamiento d . Este mismo principio se utiliza también en los barcos para la navegación marítima.

Vectores

49

TEST 1.-

Dados los vectores mostrados:

6.a =8

I.-

Al multiplicar un escalar positivo por un vector, se obtiene otro vector en el mismo sentido que el primero. II.- Al multiplicar un escalar negativo por un vector, se obtiene otro vector en sentido contrario al primero. III.- Un vector sólo puede ser descompuesto en dos vectores.

b =3 a) b) c) 2.-

d) e)

b−a =5 a + 4b = 20

Dos vectores tienen de módulos 4 y 8, ¿cuál de los valores enteros puede ser resultante de ellos? a) b) c)

3.-

a + b = 11 a − b = 11 a − 2b = 2

3 13 10

d) e)

2 14

a) b) c) 7.-

a) b)

I.-

c) d)

a) b) c)

VFF VVV VFV

d) e)

a) b) c)

VVV VFV VFF

d) e)

e)

9.-

FFV FVF

a)

R = 2C

d)

R = 3C 10.-

b)

R = 10 N

c)

R = 2C

e)

| R | = 20

FFF FVV

La resultante máxima es la suma de sus módulos. La resultante mínima es la diferencia de sus módulos. La resultante sigue la dirección del mayor. La mayor resultante se da cuando están en el mismo sentido. La menor resultante se da cuando tienen sentidos contrarios.

Su resultante es la suma de sus módulos. Su resultante es la diferencia de sus módulos. Su resultante es mayor que su diferencia. El módulo de su resultante se obtiene por el teorema de Pitágoras. El módulo de su resultante puede ser la suma de sus módulos.

Respecto a los vectores mostrados, señalar lo correcto respecto a su resultante. a) b) c) d) e)

Dadas las relaciones, ¿cuál no corresponde?

d) e)

Para dos vectores ortogonales: a) b) c) d)

Para dos vectores de igual módulo que forman un ángulo de 120°, marcar verdadero o falso: I.- Módulo de su resultante es igual al de uno de ellos. III.- Módulo de su resultante es el doble de uno de ellos. III.- El módulo de su resultante es cero.

5.-

e)

8.-

FFV FVV

VFF VVF VVV

Respecto a dos vectores señalar la alternativa incorrecta:

Para dos vectores perpendiculares, señalar verdadero o falso. Módulo de su resultante es igual al módulo de su diferencia. II.- El módulo de la resultante es mayor que el módulo de la diferencia. III.- El módulo de uno de los vectores es mayor que el de su diferencia.

4.-

Respecto a los vectores, señalar verdadero o falso:

10 N 20 N 30 N 0 N.A.

¿Qué podrás decir de la resultante de los vectores mostrados? a) b) c) d) e)

40 N 120 N 80 N 40 3 N 80 3 N


50


problemas de aplicación Se tienen dos fuerzas iguales a 10 N cada una, como muestra la figura, determinar el valor de su resultante. Solución:

b gb g F 1I 100 + 100 + 2b100gG J H 2K

R = 102 + 102 + 2 10 10 cos 60° R=

Solución:

R = 10 3 N

2.-

¿Cuál es la resultante en N, de dos fuerzas de 10 N de módulo cada una, si forman entre sí un ángulo de 90°?

5.-

Nos piden:

R=A+B+C

......... (1)

De la figura:

A=B+C

......... (2)

(2) en (1)

R = A + A ⇒ R = 2A

En la figura, “M” es punto medio del vector “ A ”, obtener el vector “ D ” en función de los vectores B y C .

Solución: R = 102 + 102 R = 10 2 N

3.-

Encontrar la magnir r tud del vector A + B sabiendo que A = 5 unidades, B = 8 unidades. Solución:

r r Observamos que los vectores A y B son perpendiculares entre si: R=A+B R = A2 + B2 R = 52 + 82 R = 89

Solución: o En el triángulo PQR: C=A+B A = C − B ........ (1) o En el triángulo MPQ: A + B = D ........ (2) 2 o (1) en (2): C−B +B=D 2

R ≈ 9 , 4 unidades D= 4.-

En el sistema mostrado, determinar el vector resultante en términos del vector A .

1 B+C 2

e

j

Vectores B

51 3.-


Hallar el módulo del vector resultante, si: a =6 , b =8

1.-

El módulo de la resultante de dos vectores perpendiculares es 10 y cuando forman 120° es 2 13 . Hallar el módulo del mayor de ellos. Solución: o Primer caso: cuando son perpendiculares 2

2

Solución:

2

2

Podemos observar que:

A + B = 102 A + B = 100 ........ (1)

b = d+ e + f − a+ c b + a = d + e + f + c ........ (1) Pero piden:

o Segundo caso: cuando forman 120° 2

2

R = a + b + c + d + e + f ........ (2)

2

13

R = A + B + 2 A B cos 120°

Reemplazando (1) en (2):

FG 1IJ H 2K

= 100 + 2 A B −

R

=2

e2 13 j

2

R= a+b+ b+a =2 a+b

e j e j

A B = 48 ........ (2)

Nótese que a y b forman 90°

F GH

R = 2a+ b = 2

o Finalmente: de (1) y (2) A =8 2.-

2

a +b

2

I JK

⇒ R = 2 62 + 10 2

R = 20

B =6

Dos vectores tienen sus módulos en la relación de 5 a 6. La resultante de las dos forma 37° con el menor módulo. ¿Qué ángulo forman los vectores concurrentes?

4.-

En el paralelogramo, determinar la resultante del sistema, en términos de los vectores A y B , (m y n son puntos medios).

Solución: En el triángulo ABC tan 37° =

6 sen φ 5 + 6 cos φ

3 6 sen φ = 4 5 + 6 cos φ

b

Solución:

g b

3 5 + 6 cos φ = 4 6 sen φ

g

15 + 18 cos φ = 24 sen φ ⇒ 8sen φ − 6 cos φ = 5

Aprovechando los puntos medios, adicionamos vectores A/2 y B /2.

8 6 5 sen φ − cos φ = 10 10 10 cos 37° sen φ − sen 37° cos φ =

b

g

sen φ − 37° = Luego:

1 2

1 2

φ − 37° = 30° ⇒ φ = 67°

R = A + B + C + D ........ (1)


52 Del triángulo (II):

Del triángulo (I): C=A+

B ........ (2) 2

D=B+

A ........ (3) 2

(2) y (3)en (1):

F GH 5 R = e A + Bj 2

R=A+B+ A+

5.-

I F JK GH

B A + B+ 2 2

I JK

Solución:

La figura muestra un trapecio, de vértices A, B, C, D, sabiendo que ”M” es punto medio del segmento AB, determinar el módulo de la resultante de los vectores a y b . BC = 7 ; AD = 13 Solución: Descomponiendo el vector a :

Nos piden: a + b = ?

a = p + q ........ (1) Descomponiendo el vector b : b = m + n ........ (2) (1) + (2): a + b = p + q + n + m ä

a+b=p+m

Descomponiendo a : a = p + q ........ (1)

Entonces: a + b = p + m

Descomponiendo b :

Según los datos y la figura:

b = m + n ........ (2)

p = 10 ; m = 24 ; a + b = 26

(1) + (2):

0 (de la figura)

Luego:

a + b = p + m+ q+ n ä

2

2

2

a + b = p + m + 2 p m cos α

0 (de la figura)

a+b = q+n

b gb g

262 = 102 + 24 2 + 2 10 24 cos α

Como q y n son paralelos:

cos α = 0 ⇒ α = 90°

a + b = q + n = 7 + 13

Finalmente: 64 ° + α + θ = 180°

a + b = 20

64 ° + 90° + θ = 180° ⇒ θ = 26°

6.-

Dado el trapecio MNPQ mostrado en la figura, determinar el valor del ángulo “θ” para que la resultante de a y b sea de 26 unidades. R es punto medio de PQ (MQ = 10 u; NP = 24 u).

7.-

En el siguiente gráfico se muestra un triángulo con dos vectores en su interior, si AB = 2 y BC = 4. Determinar el módulo del vector resultante. Además: AM = MN = NC

Vectores

53 Solución: Creamos vectores ”q” y “p” aprovechando los puntos medios; y le damos nombre a los vectores mostrados ( A y B)

Solución: Nos piden:

Descomponemos los vectores y observamos que el vector MA y NC se anulan.

R ⇒ R=A+B

De la figura: A + q = 2p ⇒ A = 2p − q B + p = 2q ⇒ B = 2q − p A+B=q+p Con lo cual: Pero:

R=p+q

R =L ; p =L ; q =L

Lo cual se reduce a : Luego: R2 = p2 + q2 + 2pq cos α

b gb g

L2 = L2 + L2 + 2 L L cos α L2 = 2L2 + 2L2 cos α

cos α = −

Equivalente a:

1 ⇒ α = 120° 2

Con ello la figura correcta es:

b gb g

R = 4 2 + 22 + 2 4 2 cos 60° R = 4 + 16 + 8 R=2 7

8.-

Hallar la medida del ángulo “α” para que la resultante de los vectores mostrados tenga módulo “L”.

9.-

En la figura se muestra un hexágono regular, determinar el vector resultante en términos del vector “C”.


54 Solución:

10.-

Expresar el vector

x en función de los vectores r1 y r2 . G: baricentro M: punto medio

Aprovechando que el hexágono es regular, trasladaremos los vectores A y E a la parte inferior.

Solución: Ilustrando R=A+B+C+D+E En el triángulo (I):

En el triángulo (II):

C=B+E

C=D+A

Ordenando R:

Analizando el triángulo CMA

C= A+D + B+E +C 123 123

1 r1 + r2 r +r + 3x = r2 ⇒ x = r2 − 1 2 2 3 2

e

F GH

j e j

C

C

x=

R = 3C

I JK

1 r2 − r1 6

e

j


problemas de aplicación Es posible aplicar a un cuerpo simultáneamente una fuerza de 6 kN y otra de 8 kN de modo que produzcan el mismo efecto de una sola fuerza. Determinar la magnitud de dicha fuerza (kN).

4.-

En la figura mostrada determinar las compor nentes delr vector r r F (en módulo), F = d + e

Rpta. 10 Rpta. 2.-

Dos fuerzas de módulo “F” forman un ángulo de 120°, determinar su resultante. Rpta. F

3.-

Si el vector C posee un módulo de 5 unidades. Hallar el módulo de la resultante del sistema mostrado.

Rpta. 10 u

Fx = 9 Fy = 6

5.-

r r r La figura muestra r r tres r vectores A , B y C . El vector resultante de: B + C − A , es el indicado en la figura por:

Vectores

55 B 1.-

(A)

(B)

(C)


r Hallar el módulo de “ P ” para que la resultante del sistema sea una fuerza horizontal de 280 N. Rpta.

2.(D) 6.-

(E)

3.-

k 3

Un jugador de fútbol está corriendo a una velocidad de 3 m/s, hacia el norte. Después de una violenta colisión con otro futbolista, tiene una velocidad de 4 m/s, hacia el este. ¿Cuál de los vectores representa el cambio de su velocidad? ¿porqué?

Sea el vector A = (4 ; -3). Determinar un vector unitario en la dirección de A . Rpta.

8.-

Determinar en la figura que se muestra, el ángulo “α” para que la resultante quede en el eje “x”. Rpta. α = 30°

Determinar la magnitud del vector resultante si cada cuadrado tiene de lado 10 m.

Rpta. 10 2 m

7.-

P = 56 10 N

4$ 3$ i− j 5 5

Rpta.

e Aj

Si: A = 2 $j ; B = 4 $j − 3 $i ; C = 2 $i Calcular: A + B + C Rpta.

9.-

37

La magnitud de la resultante de dos fuerzas varía desde un valor mínimo de 3 hasta un máximo de 12, a medida que varía el ángulo comprendido entre las fuerzas. Determinar el valor de la mayor de las fuerzas.

4.-

Rpta. 7,5 10.-

Hallar la resultante del sistema vectorial (módulo). Rpta.

R =0

En el siguiente conjunto de vectores. ¿Cómo deben ser las componentes del vector D, si la resultante del sistema de vectores es cero? además: A = 25; C = 30 y θ = 217°. Rpta. (5; -4)

5.-

Los vectores A y B forman un ángulo “α”. Hallar el ángulo entre −A y −B si: A = 3 $i + 4 $j ; B = $i + $j Rpta. 8°


56 6.-

Hallar el módulo de la resultante del sistema mostrado.

8.-

Sea un vector A = (6 ; 8) en las coordenadas xy, determine las nuevas coordenadas del vector A en un sistema de coordenadas x’y’, que resulta de girar el sistema xy anterior un ángulo θ = 16° en sentido antihorario. ¿Qué ocurre con el módulo? Rpta.

9.-

b g

A = 8 ; 6 ; A = 10

Hallar: q – p; sabiendo que en el paralelogramo ABCD mostrado se cumple: AC = 5AE ; BC = 3BF y además: EF = pAD + qAB .

Rpta. 10 u 7.-

Calcular la expresión vectorial del vector DE para que la resultante de DB , FG y DE (suma) sea nulo.

Rpta. 2/3

10.-

Hallar el módulo de la resultante del sistema.

Rpta: 45,5 u

Rpta. 2b $i

Capítulo

4

ESTÁTICA Concepto La estática es una rama de la mecánica cuyo objetivo es estudiar las condiciones que deben de cumplir las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, para que éste se encuentre en equilibrio.

EQUILIBRIO Un cuerpo cualquiera se encuentra en equilibrio cuando carece de todo tipo de aceleración ( a = 0 ). Ilustración

¿Porqué está en equilibrio el cuerpo?. Está en equilibrio por que las tres fuerzas concurrentes y coplanares se anulan.

FUERZA Es una magnitud que mide la interacción que existe entre dos o más cuerpos. Toda fuerza modifica el estado de reposo o movimiento de un cuerpo, además de generar deformaciones (por mínima que sea) en dicho cuerpo.


58

B)

Ilustración

Fuerzas de Campo Es aquella fuerza donde no interviene el contacto físico entre los cuerpos, pero que actúan a través del espacio, a dicho espacio se le denomina campo.

Ilustración

Toda fuerza modifica el estado de reposo de un cuerpo

Toda fuerza modifica el estado de movimiento de un cuerpo, además de deformarlo.

Unidades de Fuerza en el S.I. Newton (N)

Otras Unidades kilogramo fuerza (kg-f = kg) gramo fuerza (g-f = g) libra fuerza ( lb-f = lb )

CLASIFICACIÓN DE LAS FUERZAS RESPECTO A SU POSICIÓN 1.-

FUERZAS EXTERNAS Son aquellas fuerzas que se presentan en la superficie de los cuerpos que interactúan.

Ilustración

TIPOS DE FUERZAS A)

Fuerzas de Contacto Se produce cuando resulta del contacto físico entre dos o más cuerpos.

Ilustración

Realmente hay muchas fuerzas externas que nos son familiares: El peso, la reacción, la fuerza de rozamiento, etc.

2.- FUERZAS INTERNAS Son las que mantienen juntas a las partículas que forman un sólido rígido. Si el sólido rígido está compuesto estructuralmente de varias partes, las fuerzas que mantienen juntas a las partes componentes se definen también como fuerzas internas; entre las fuerzas internas más conocidas tenemos: La tensión y la compresión.

Estática

A)

59

Tensión (T)

B)

Es aquella fuerza que aparece en el interior de un cuerpo flexible (cuerda, cable) debido a fuerzas externas que tratan de alargarlo. Cabe mencionar que a nivel de Ingeniería la tensión o tracción como también se le llama, aparece también en cuerpos rígidos como en algunas columnas de una estructura.

Compresión ( C) Es aquella fuerza que aparece en el interior de un sólido rígido cuando fuerzas externas tratan de comprimirlo.

Ilustración

Ilustración

ROZAMIENTO

Cuando dos superficies están en contacto y se intenta mover una de ellas respecto a la otra, siempre aparecen fuerzas tangenciales llamadas fuerzas de rozamiento que impiden el movimiento, por otra parte, estas fuerzas de rozamiento son limitadas y no evitarán el movimiento si se aplican fuerzas suficientemente grandes.

CLASES DE ROZAMIENTO A)

Por Deslizamiento Cuando un sólido se desliza o trata de deslizar sobre otro.

B)

Por Rodadura Si un sólido rueda sobre otro sólido.

Ilustración

C)

Por Viscosidad En los líquidos o gases.

CLASES DE ROZAMIENTO POR DESLIZAMIENTO A)

Rozamiento Estático Es la que se presenta entre superficies que se encuentran en reposo.

FUERZA DE ROZAMIENTO Es aquella fuerza que surge entre dos cuerpos cuando uno trata de moverse con respecto al otro, esta fuerza siempre es contraria al movimiento o posible movimiento.

El valor de la fuerza de rozamiento estático varía desde cero hasta un valor máximo, el cual lo adquiere cuando el cuerpo en contacto está a punto de moverse, pero sin conseguirlo (movimiento inminente).


60 Este valor máximo de la fuerza de rozamiento estático equivale a la fuerza mínima para iniciar el movimiento, el cual puede calcularse mediante la siguiente fórmula.

LEYES DEL ROZAMIENTO POR DESLIZAMIENTO 1°

La fuerza de rozamiento es independiente del área de las superficies en contacto.

2°

La fuerza de rozamiento es independiente de la velocidad del cuerpo en movimiento, si su velocidad no es muy grande (entre 0,01 m/s y 20 m/s).

3°

El valor del coeficiente de rozamiento depende del tipo de materiales de las superficies en contacto.

4°

El coeficiente de rozamiento cinético (µk) siempre es menor que el estático (µs).

fs = µ s N

Siendo: fs = fuerza de rozamiento estático máximo µs = coeficiente de rozamiento estático N = reacción normal

B)

Rozamiento Cinético Es aquella que se presenta cuando hay movimiento de un cuerpo respecto al otro. Cuando el cuerpo pasa del movimiento inminente al movimiento propiamente dicho, el valor de la fuerza de rozamiento disminuye y permanece casi constante, si es que la velocidad no es muy grande. (Entre 0,01 m/s y 20 m/s).

0 ≤ µk ≤ µ s ≤ 1 µs

µk

Acero sobre acero

0,74

0,57

Cobre sobre cobre

0,53

0,36

Vidrio sobre vidrio

0,94

0,40

Teflón sobre acero

0,04

0,04

Madera sobre madera

0,50

0,25

Piedra sobre piedra

0,70

0,40

SUPERFICIES EN CONTACTO fk = µk N

Siendo: fk = fuerza de rozamiento cinético µk = coeficiente de rozamiento cinético N = reacción normal

Estática

61

LEYES DE NEWTON - 1ERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO

Las leyes de Newton constituyen verdaderos pilares de la mecánica, fueron enunciadas en la famosa obra de Newton “Principios Matemáticos de la Filosofía Natural”, publicada en 1 686. Ellas son conocidas como la 1ra, 2da y 3ra Ley de Newton, de acuerdo con el orden que aparecen en esta obra citada. En este capítulo, estudiamos la 1ra y 3ra ley, que nos permitirán analizar el equilibrio del cuerpo, esto es el estudio de la estática; la 2da ley será estudiada en el capítulo: “Dinámica”.

a era 1 er LEY DE NEWTON ((Ley Ley de la Iner cia cia)) Inercia

“Un cuerpo de masa constante permanece en estado de reposo o de movimiento con una velocidad constante en línea recta, a menos que sobre ella actúe una fuerza”.

En este caso supondremos que los cubiertos y el mantel son completamente lisos, esto para evitar el rozamiento. La explicación es la misma que el ejemplo anterior.

Consideremos que un móvil cuya base inferior sea lisa, así como la suela de los zapatos de una persona. Inicialmente el microbús se mueve con velocidad v; como la persona se encuentra dentro del móvil, también estará moviéndose con la velocidad v. De pronto el móvil se detiene; pero la persona sigue moviéndose en línea recta y con velocidad v, hasta que algo lo detenga. ¿Por qué? – porque el microbús se detuvo por acción de los frenos; pero ¿quién o qué detuvo a la persona?. Nadie o nada, motivo por el cual la persona seguirá moviéndose. v=0

v v

v

Ilustraciones: Para los ejemplos, idealizaremos varios casos: Supondremos que un caballo no tenga porosidades en su cuerpo, esto para evitar el rozamiento de los cuerpos. En la figura (izquierda) se observa una persona y un caballo en reposo. En la figura (derecha) se observa que el caballo se mueve bruscamente hacia la izquierda y la persona aparentemente se mueve hacia atrás. En realidad la persona no se va hacia atrás, sino más bien queda atrás. ¿Por qué? inicialmente la persona y el caballo estaban en reposo, luego el caballo se movió (por efectos que no estudiaremos todavía): pero ¿quién movió a la persona? Nadie o nada, motivo por el cual; se queda en su lugar o en el punto inicial.

3era LEY DE NEWTON ((Ley Ley de la Acción y la Reacción Reacción)) “Si un cuerpo le aplica una fuerza a otro (acción); entonces el otro le aplica una fuerza igual y en sentido contrario al primero (reacción)”.


62

Polígono cerrado

OBSERVACIONES − La acción y reacción no se anulan porque no actúan en el mismo cuerpo. − La acción y reacción no necesariamente producen los mismos efectos. NOTA De lo visto hasta el momento, se puede afirmar que estamos listos para poder estudiar las condiciones que deben cumplir las fuerzas que actúan sobre un cuerpo para que éste se encuentre en equilibrio. Empezaremos con las fuerzas concurrentes y coplanares.

TEOREMA DE LAMY Cuando se tienen tres fuerzas concurrentes y coplanares actuando sobre un cuerpo en equilibrio, se cumple:

F1 F2 F3 = = sen α sen β sen θ

1era CONDICIÓN DE EQUILIBRIO “Un cuerpo se encontrará en equilibrio cuando la fuerza resultante que actúa sobre él, sea igual a cero, para esto, las fuerzas componentes deben ser necesariamente coplanares y concurrentes”.

Ilustración

Ilustración

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE (D.C.L.) A)

Condición Algebraica

R = F1 + F2 + F3 + F4 á

B)

R = 0

RSR TR

=0 y =0 x

Condición Gráfica Se sabe que si la resultante de un sistema de vectores es nula, el polígono que se forma será cerrado. Si:

F1 + F2 + F3 + F4 = 0

Hacer el D.C.L. de un cuerpo es representar gráficamente las fuerzas que actúan en él. Para esto se siguen los siguiente pasos: 1.-

Se aísla al cuerpo, de todo el sistema.

2.-

Se representa al peso del cuerpo mediante un vector dirigido siempre hacía el centro de la Tierra (W).

3.-

Si existiesen superficies en contacto, se representa la reacción mediante un vector perpendicular a dichas superficies y empujando siempre al cuerpo (N ó R).

Estática 4.-

5.-

6.-

63

Si hubiesen cuerdas o cables, se representa a la tensión mediante un vector que está siempre jalando al cuerpo, previo corte imaginario (T).

TIPOS DE APOYO

Si existiesen barras comprimidas, se representa a la compresión mediante un vector que está siempre empujando al cuerpo, previo corte imaginario (C).

A)

Existen diversos tipos de apoyo, nosotros estudiaremos sólo dos:

Apoyo fijo En este caso existen dos reacciones perpendiculares entre sí.

Si hubiese rozamiento se representa a la fuerza de roce mediante un vector tangente a las superficies en contacto y oponiéndose al movimiento o posible movimiento.

Ilustraciones

B)

Apoyo Móvil En este caso existe sólo una reacción que es perpendicular a las superficies en contacto.

Grafico 1

MÉTODO P ARA RESOL VER PROBLEMAS PARA RESOLVER 1°

Se dibuja el diagrama de cuerpo libre (D.C.L.)

2°

Dado las fuerzas (vectores) se resuelve aplicando uno de los métodos ya conocidos. -

3°

Coordenadas rectangulares. Polígono cerrado. Teorema de Lamy.

Se resuelve el problema aplicando los principios matemáticos.

OBSERVACIÓN Si en el problema hubiesen varios cuerpos, no es necesario hacer el D.C.L. de todos ellos; hay dos posibilidades: - Hacer el D.C.L. de dos cuerpos o tal vez tres. - Hacer el D.C.L. de uno de ellos y del sistema completo.


64

EXPERIENCIA: ESTUDIO ESTÁTICO DE LOS RESORTES

PROCEDIMIENTO 1.-

Colocar el resorte como muestra la figura (A), para luego marcar el “cero” (con un lápiz), donde la aguja apunte en el estado de equilibrio.

2.-

Coger la pesa más liviana y colocarla en el resorte. Apuntar la longitud estirada en la figura (B).

3.-

Repetir el proceso 2 utilizando las otras dos pesas.

4.-

Completar la siguiente tabla:

OBJETIVO Calcular la constante de rigidez del resorte en estudio.

MATERIAL A EMPLEARSE − − − −

Estructura metálica. Placa de triplay graduado. Un resorte preparado. Un juego de pesas (5) NOTA El alumno escogerá las pesas a utilizar pero con el respectivo criterio. Así por ejemplo, no se permitirá usar un resorte de lapicero con una pesa de 5 kg.

Pesa 1

Pesa 2

Pesa 3

Pesa 4

W ( kg ) x (cm)

Nota.- La aguja no debe rozar el triplay

Pesa 5

Estática

65

Fig. A Fig. B

PROCESO ADICIONAL

EXPERIENCIA: ROZAMIENTO

En un papel milimetrado dibuja el gráfico W vs x.

OBJETIVO Determinar experimentalmente el coeficiente de rozamiento estático (µs), así como la fuerza de rozamiento estática máxima.

MATERIALES A EMPLEARSE − Una madera de 10 cm de ancho y 1 m de largo aproximadamente. − Un ladrillo king kong. − Una cinta métrica. − Un dinamómetro. − Una balanza.

PREGUNTAS 1.-

Del gráfico, calcular la pendiente de la recta.

2.-

Si la pendiente de la recta es numéricamente igual a la constante K de rigidez del resorte. Determine una expresión que relacione F, K y x.

3.-

Deducir la unidad de K en el sistema internacional.

4.-

Realizar el mismo experimento con otro resorte y calcular su constante K.

5.-

Físicamente, intente explicar: ¿Qué es la constante de rigidez K de un resorte?

NÚMERO DE ALUMNOS: Dos PROCEDIMIENTO: 1.-

Pesar el ladrillo.

2.-

Colocar la madera y el ladrillo, en la posición mostrada (ver figura A).

3.-

Inclinar la madera poco a poco hasta que el ladrillo de síntomas de un posible movimiento.

4.-

En ese momento medir la altura “h” con la cinta métrica.


66 5.-

Ahora desmontar el sistema y colocar todo en la posición mostrada (ver figura B)

6.-

Jalar el ladrillo hasta que el movimiento de éste sea inminente; en ese momento tomar la lectura que marca el dinamómetro.

5.-

Se sabe que la fuerza de rozamiento estático máxima se calcula mediante la siguiente fórmula:

Fig. (A)

Fig. (B)

PREGUNTAS 1.-

Con el primer montaje, completar el triángulo.

tan θ =

h =? x

á fmax = µ s N

2.-

3.-

4.-

Según lo aprendido en la teoría. ¿Cómo se determina experimentalmente el coeficiente de rozamiento µs entre dos cuerpos en contacto?. En nuestro caso: ¿Cuánto vale µs?

Para usar esta fórmula, Ud. ya conoce: µ (resuelto en la pregunta 2) s N = peso del ladrillo

Según el segundo montaje, graficar el diagrama de cuerpo libre (D.C.L.) del ladrillo. Según el segundo montaje, el ladrillo al encontrarse en movimiento inminente: ¿El cuerpo (ladrillo) está en equilibrio? ¿Cuánto vale la fuerza de rozamiento según el D.C.L.?

Según dicha expresión: ¿Cuánto vale fmax? 6.-

Compare la fuerza de rozamiento determinado en la pregunta 4 y 5. Teóricamente dichos valores deberán ser iguales? Si – No. Comentar.

Estáticay Tecnología Ciencia

67

Iner cia Inercia Inicialmente antes de tirar del cordel, la cuerda en “A” ya soporta cierta tensión cuyo valor es igual al peso de la piedra. Al jalar lentamente la cuerda inferior, la tensión se transmite hacia “A” pero, como allí ya existe tensión, la fuerza siempre será mayor en dicho punto; por tal motivo se romperá primero en “A”. Cuando se jala repentinamente la cuerda en “B”, la piedra quedará en su lugar por efecto de la inercia y actuará momentáneamente como un soporte, haciendo que la cuerda se rompa en “B”.

Al jalar lentamente el cordel, se rompe en “A”.

Al tirar el cordel bruscamente, se rompe en “B”.

Fuerzas concurrentes y coplanares en equilibrio

En la posición mostrada, el muchacho permanecerá en equilibrio, no obstante su incomodidad, debido a la fuerte tracción (tensión) que debe soportar en un solo brazo: Nótese: T = P

En esta posición, el niño también conserva el equilibrio gracias a las tres fuerzas concurrentes; sin embargo la posición es más cómoda que la anterior, puesto que los brazos del muchacho comparten la tracción (tensión) total.


68

¿Cinturón de seguridad? - iner cia inercia Es recomendable que toda persona que se encuentre dentro de un móvil en movimiento haga uso del “cinturón de seguridad”. De no usar discho cinturón, correremos el riesgo de salir despedido por el parabrisas y caer aleatoriamente en el pavimento, cuando el móvil por algún motivo circunstancial detenga su movimiento bruscamente; ¿por qué? Hay que recordar que cuando el auto está en movimiento, sus ocupantes también lo están (con la misma velocidad). El auto se detiene por que las fuerzas de rozamiento (por acción de los frenos) se oponen al movimiento; sin embargo a los viajeros nadie los detiene (principio de la inercia) por tal motivo ellos seguirán moviéndose hacia adelante incluso cuando el móvil se haya detenido; es por ello que se usa el cinturón de seguridad para controlar la inercia de las personas.

Fuerzas en un ar co arco Cuando las fuerzas actúan sobre el lado convexo: Analizando el peso P de la piedra central; dicha fuerza presiona a la piedra hacia abajo pero la geometría del conjunto lo impide, lo que se consigue es presionar mediante sus componentes a la piedras vecinas, sin embargo estas componentes se ven anuladas por fuerzas semejantes que generan las piedras contiguas. Cuando la fuerza actúa sobre el lado cóncavo, la geometría del conjunto que impide que las piedras no caigan, no es obstáculo para que no puedan ser levantadas, de allí su vulnerabilidad por dicho lado. Es muy difícil romper un huevo por la zona más convexa. Sin embargo el polluelo no necesita mucho esfuerzo para hacerlo desde adentro. En la construcción se aprovecha la geometría de los arcos para resistir fuerzas externas grandes.


69

Caminamos gracias al rrozamiento ozamiento Cuando una persona camina hacia delante impulsa uno de sus pies hacia atrás, por tal razón la fuerza de rozamiento es también hacia adelante. Imagine Ud. caminando sobre una plataforma de hielo (donde el rozamiento es pequeño).

El rrozamiento ozamiento en las cur vas curv El lubricante Los elementos de un motor están en constante movimiento y rozando entre ellos produciendo aumento de temperatura, si esto no se controla, el motor podría sufrir graves daños.

Si el pavimento fuese liso, el auto no podría dar la vuelta en la curva. Recuerde Ud. cuando realiza la misma experiencia a gran velocidad, seguramente su cuerpo tratará de seguir en línea recta al igual que el móvil (principio de la inercia); sin embargo Ud. podrá realizar la curva gracias a las fuerzas de rozamiento entre el pavimento y las llantas.

Para evitar consecuencias negativas se introduce entre las piezas aceite o lubricante permitiendo su fácil deslizamiento y conservación.

Rozamiento - calor

Muchas veces el roce entre dos cuerpos puede producir calor debido al incremento de temperatura en ambos cuerpos.

70


Frenos - rrozamiento ozamiento Cuando un conductor frena su vehículo; el rozamiento actúa más de una vez en el frenado del mismo.

1.- Al pisar el freno, la zapata se adhiere al tambor que está en movimiento de rotación, deteniendo en corto tiempo dicho movimiento. Para que esto suceda, la zapata presenta en su superficie externa una faja muy áspera que hace un coeficiente de rozamiento alto. 2.- Cuando las ruedas dejan de girar, si la velocidad es importante el carro puede patinar, esto se puede anular gracias al rozamiento entre las llantas y el pavimento; en virtud a ello es que las pistas se construyen con cierta porosidad.

Cerr o Cerro

Rozamiento pr oduce fuego produce

Las montañas o cerros son producto de un proceso geológico; sin embargo no se puede negar que sus pendientes están limitados por el coeficiente de rozamiento estático máximo (µs) que hay entre sus componentes.

El rozamiento produce incremento de temperatura. La cerilla del fósforo combustiona a los 50 °C, para llegar a dicha temperatura basta frotar dicha cerilla con el rascador, por ello es que el rascador se hace rugoso.

Estática

%

TEST 1.-

Hacer el D.C.L. del cuerpo.

5.-

Hacer el D.C.L. de la cuña; todas las superficies son lisas.

2.-

Hacer el D.C.L. del bloque; todas las superficies son lisas.

6.-

Considerando que entre los patines y el hielo no existe fricción; determinar las fuerzas que actúan sobre el patinador, ya en movimiento (resistencia del aire nula).

3.-

Dibujar el D.C.L. del bloque “A” mostrado; todas las superficies son lisas.

a)

d)

b)

e)

c)

7.-

4.-

Una persona de peso “P” se encuentra en el interior de un ascensor que sube con movimiento uniforme, si F es la fuerza del piso del ascensor sobre la persona ¿constituyen F y P un par acción y reacción? a) b) c) d) e)

Hacer el D.C.L. de la barra

8.-

Si. No. Depende. Podría ser. Sí, siempre que P sea igual a F.

En qué caso la cuerda que sostiene al mismo cuadro, soporta mayor tensión?.


% a) b) c) d) e) 9.

En A. En B. En ambos son iguales. Faltan datos. Ningunas de las anteriores.

10.

En el siguiente sistema determinar. ¿Cuál será la condición que debe cumplir la tercera fuerza para mantener la situación de equilibrio si el compás es ingrávido?

Después de golpear la pelota con el bate, determinar las fuerzas que actúan en la pelota.

a)

d)

b)

c)

a) Necesariamente debe ser cero. b) Necesariamente su línea de acción debe caer fuera de P. c) Necesariamente su línea de acción debe caer dentro de P. d) La tercera fuerza será AF1. e) La tercera fuerza será AF2.

e)

Ning. Anterior

PROBLEMAS RESUELTOS A 1.-

problemas de aplicación En el figura, calcular el peso del bloque, sabiendo que la tensión en la cuerda es 100 Newton.

2.-

Hallar “F” para mantener el equilibrio de “m”.

S olución: D.C.L. de “W”

1era condición de equilibrio:

S olución: o Equilibrio:

D.C.L. del bloque

Σ Fy = 0 100 − W = 0 W = 100 Newton

Del teorema de Pitágoras tendremos: T = F2 + W2

Estática 3.-

%! o 1era condición de equilibrio: Σ Fy = 0

Determinar la tensión de la cuerda si la esfera de 200 N de peso está en equilibrio y no existe rozamiento.

3 4 T + Q − 100 = 0 5 5 3T + 4 Q = 500 ............. (2)

o (1) en (2): 3T + 4 S olución: D.C.L. (esfera )

4 I F G H3 TJ K= 500

T = 60 N

1era condición de equilibrio: 5.-

En la figura mostrada:

A) B)

¿Cuánto es la fuerza de rozamiento si el cuerpo está en equilibrio cuando F = 80 N? ¿Cuál es el máximo valor de F que se puede aplicar sin que el bloque resbale?

Del triángulo rectángulo: S olución:

T = tg 30° ⇒ T = W ⋅ tg 30° W

A) D.C.L.

3 T = 200 ⋅ N 3 4.-

Mientras se conserve el equilibrio, la fuerza de rozamiento “f” tomará el mismo valor que la fuerza opuesta “F”.

En el diagrama halle la tensión T, despreciando el peso de las cuerdas f =F

B)

f = 80 Newton

El máximo valor de “F”, es cuando el movimiento sea inminente:

Σ Fx = 0 F = fmax

⇒

F = µ sN

b g⇒

F = 0 , 5 200

S olución:

⇒

F = 100 Newton

Nótese que: Σ F = 0 ⇒ N = W = 200 Newton y

D.C.L. (nudo de la cuerda)

B 1.-

o 1era condición de equilibrio: Σ Fx = 0 3 4 Q− T=0 5 5 Q=

4 T ............. (1) 3

problemas complementarios El diagrama muestra dos esferas iguales de 200 N cada una. ¿Cuál es el valor de “P” que las mantiene en la posición indicada?


%" S olución: o En la esfera “A”:

S olución:

R = 200 2 N

o Descomponiendo el peso de una de las esferas.

o En la esfera “B”

R = 200 2 N

o Tomando las tres esferas como un todo tendremos que el diagrama de cuerpo libre será:

Σ Fx = 0 ⇒ P = 200 N 2.-

Si no existe rozamiento; hallar W1 para el equilibrio del sistema. W2 = 500 N, hallar la tensión de la cuerda.

S olución:

Σ Fx = 0

o D.C.L. (Bloque 2)

RA = P + P + P = 3P Σ Fx = 0 T = 500 sen 53°

T = 500

4I F G H5 J K

RA

RA = 168 N

T = 400 N

4.-

o D.C.L (Bloque 1) Σ Fy = 0 W1 sen 37° = T 3I F G H5 J K= 400

W1

W1 =

3.-

2 000 N 3

Hallar la reacción en el punto “A” si todas las esferas son de igual radio y peso igual a 200 N.

b g F200 × 7 I = 3G H 25 J K

RA = 3 W sen 16°

Si el sistema mostrado se encuentra en equilibrio, determinar “Q” si: W = 240 N.

Estática

%#

S olución:

o De la Fig (3)

o En el punto “B”

Σ Fv = 0

b2T + 100g+ T = R + 300

Teorema de Lamy:

3T = R + 200 ................ (b)

TBC W = sen 150° sen 150°

o De (a) y (b):

TBC = W

T = 200 N

TBC = 240 N

6.-

Hallar “F” para que la cuña “A” suba con velocidad constante. Despreciar toda fricción: W = 200 N

o En el punto “C”

A

W = 400 N B

Teorema de Lamy: TBC Q = sen 150° sen 90° Q=

TBC × sen 90° sen 150°

S olución:

240 × 1 Q= 1 2

o En la cuña “A”:

Q = 480 N

5.-

Una persona de 600 N de peso se encuentra apoyada sobre una plataforma de 300 N de peso, se sabe que cada polea tiene un peso de 100 N. Hallar con qué fuerza jala dicha persona para que mantenga la plataforma en equilibrio?

o En la cuña “B”:

S olución: D.C.L. (Polea móvil)

D.C.L. (Persona)

D.C.L. (Plataforma) Σ Fx = 0

F = R sen 60° ⇒ F = 400 F = 200 3 N

Fig (1)

Fig (2)

Fig (3) 7.-

o De la Fig (2) Σ Fv = 0 T + R = 600 ⇒ R = 600 − T

................ (a)

Si el bloque se desliza a velocidad constante, determine el coeficiente de rozamiento. Peso del bloque = 200 N (g = 10 m/s2).

F3 I G H2 J K


%$ S olución:

9.D.C.L. (bloque)

o

Σ Fy = 0

Calcular las fuerzas normales que deben ejercer las paredes móviles sobre el bloque cuyo peso es 10 N para que pueda mantenerse en equilibrio.

N + 80 = 200 N = 120 Newton

o

Σ Fx = 0 (v = cte) f = 60

bg

µN = 60 ⇒ µ 120 = 60 S olución:

µ = 0, 5

8.-

o

Si el coeficiente de rozamiento estático entre el bloque y la lámina homogénea es 1 ángulo “θ” del equilibrio estático.

D.C.L. (bloque)

Σ Fx = 0 N1 = N2 = N

3 . Determine el

o

Σ Fy = 0 f1 + f2 = 10 0 , 2N1 + 0 , 3N2 = 10

0 , 2N + 0 , 3N = 10 N = 20 Newton

o Luego:

N1 = N2 = 20 Newton

S olución: 10.D.C.L. (del bloque)

o

S olución:

Σ Fx = 0

D.C.L. (barra)

f = W sen θ µN = W sen θ o

................ (1)

Σ Fy = 0 N = W cos θ

o

................ (2)

(1) : (2) µN W sen θ = N W cos θ µ = tan θ = θ = 30°

Si el sistema presenta movimiento inminente. Hallar el coeficiente de rozamiento estático entre la barra y el cilindro. (Considere el resorte vertical).

Como quiera que F y W son verticales, para mantener el equilibrio: R tendrá que ser también vertical como se muestra. R: Es la resultante de “N” y “f” Luego: tan 37° =

1 3

µ=

3 4

µN ⇒ µ = tan 37° N

Estática

%%


problemas de aplicación En la figura, el sistema está en equilibrio. Hallar la tensión en la

Rpta.

37°

cuerda CB (W = 600 N).

Rpta.

T = 500 N 7.-

2.-

El sistema mostrado está en equilibrio. Calcular la tensión en la cuerda (W = 10 N y W = 20 N). A

Hallar la fuerza “F” necesaria para mantener el sistema en equilibrio, si las poleas son ingrávidas (W = 800 N).

Rpta.

8.-

Rpta. 3.-

F = 200 N

El sistema mostrado en equilibrio, la persona pesa 700 N y la cuña pesa 200 N; hallar las reacciones en “A” y “B”, si no existe rozamiento.

Rpta.

5.-

100 N

NA = 900 N NB = 900 N

En la figura mostrada, determinar el peso del bloque “B”, si la tensión en AB es igual a 60 Newton.

Hallar el valor de F para que el bloque, empiece a deslizar hacia abajo.

Rpta.

Rpta.

60 N

El peso de A es 1 000 N y el de B es 500 N. Determinar la fuerza de interacción entre los bloques.

Rpta.

10.-

180 N

Determine la fuerza que ejerce el bloque sobre el plano inclinado, si “F” está a punto de hacer subir al bloque de 15 kg (g = 10 m/s2).

250 N

Rpta. 6.-

10 N

El sistema mostrado se encuentra en reposo. Halle el valor de la fuerza de rozamiento que actúa entre el piso y el bloque “A” si se sabe que el coeficiente de rozamiento estático es 0,5 (WA = 300 N ; WB = 100 N).

Rpta.

9.4.-

B

Hasta que valor se puede aumentar el ángulo “α” sin que el bloque resbale (µs = 0,75).

200 N


%& B 1.-


6.-

Hallar “W” para que el sistema se encuentre en equilibrio, si cada esfera pesa 40 N, θ = 60°; no hay fricción.

Rpta.

120 N

Un individuo sostiene entre sus manos un libro que pesa 10 N y evita que se le caiga apretando entre sus manos en sentido horizontal. Si la fuerza ejercida por cada mano es de 30 N. ¿Cuánto valdrá el coeficiente de rozamiento entre libro y manos?

Rpta. 7.2.-

En que relación se debe encontrar los pesos W /W 1 2 para que el sistema se encuentre en equilibrio.

Rpta.

3.-

El coeficiente de rozamiento entre la cuña y la superficie horizontal es de 0,5 y todas las demás superficies son lisas. Calcular la mínima fuerza “P” que levantará la carga “Q”.

4/3

Rpta.

Rpta.

30 N

En la figura se muestra la caida de arena de una tolva “T” a un plano inclinado “P”. Si se sabe que el coeficiente de fricción entre los granulos de arena es 0,75. Calcúlese el ángulo θ?

Rpta.

θ = 128°

Una esfera de radio “r” y de 4 5 N, está apoyada en dos semi esferas de radio “R”. Determine las fuerzas ejercidas por las semi esferas, sobre la esfera pequeña (R = 2r); si existe equilibrio.

Rpta.

5.-

P = 1 865 N

Calcular la tensión que soporta la cuerda horizontal, si el bloque suspendido pesa 20 3 N. 8.-

4.-

0,166

R1 = 6 N R2 = 6 N

9.-

Rpta.

Si las esferas están en equilibrio y las superficies son lisas . Determine el peso de la esfera “A” y la reacción entre ellas (WB = 18 N). 10.-

Rpta.

Hallar “µ” para que los bloques estén a punto de deslizar: W = 200 N A WB = 400 N

µ=

3 20

Entre que valores puede variar “F” para que el bloque no deslice (W = 100 N ; µ = 0,6 y 0,4).

WA = 14 N R = 30 N

Rpta. 12 N ≤ F ≤ 108 N

Estática

79

MOMENTO DE UNA FUERZA - 2da CONDICIÓN DE EQUILIBRIO

MOMENTO DE UNA FUERZA ((T Tor que orque que)) Es una magnitud vectorial, cuyo valor mide el efecto de giro que se produce sobre un cuerpo alrededor de un punto o eje.

Unidad de Momento en el S.I. Newton×metro = (N – m)

Otras unidades: kg − m g−m lb − pie, etc

CALCULO DEL MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN F PUNTO O (M0 )

CASOS MÁS COMUNES A)

MFo = Fd

B)

MFo = F 0

MFo respecto a un punto, se calcula multiplicando el valor de la fuerza F con la distancia perpendicular desde el punto “O” a la línea que contiene la fuerza “F”.

MFo = Fd

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL MOMENTO DE UNA FUERZA CON M RESPECTO A UN PUNTO O ( Fo ) M Fo , con respecto a un punto, se representa mediante un vector perpendicular al plano de rotación y el sentido se determina aplicando la regla de la mano derecha. M Fo

bg

⇒

MFo = 0

Notar que si la línea recta que contiene a la fuerza pasa por el punto de rotación, el momento de esa fuerza es cero. C)

MFo = Fdsen θ


80

CONVENCIÓN DE SIGNOS

TEOREMA DE V ARIGNON VARIGNON

Asumiremos signo al torque (momento de una fuerza).

“El momento de la resultante de las fuerzas concurrentes, con respecto a un centro en su plano, es igual a la suma algebraica de los momentos de las componentes con respecto al mismo centro”. M Ro

M Fo

(− )

M Fo

F

M Fo1

M o2

(+ )

APLICACIONES:

Al aplicarse la fuerza al martillo apoyado éste sobre un punto “O”; se produce un efecto de rotación (momento) que hace girar al martillo - clavo con respecto a dicho punto.

Resumiendo: Si:

R

F1

F2

R = F1 + F2 ⇒ Mo = Mo + Mo

CASO GENERAL Se demuestra que el Teorema de Varignon también es válido para más de dos fuerzas coplanares. R

F1

F2

Fn

Mo = Mo + Mo + ...... + Mo

RESUL TANTE DE UN SISTEMA DE RESULT FUERZAS P ARALELAS PARALELAS A) Al encontrarse demasiado duro el contacto del perno, es muy difícil extraerlo con una llave por mas grandiosa que sea la fuerza; por tal motivo se suele aumentar el brazo de palanca con ayuda de una barra.

Método Analítico Para determinar la resultante de dos o más fuerzas paralelas, se suman algebraicamente sus módulos, y su punto de aplicación se halla aplicando el teorema de Varignon.

EJEMPLO DE APLICACIÓN Se tiene una barra ingrávida (sin peso) en la cual se aplican varias fuerzas, como se muestran en la figura. Determinar la fuerza resultante y su posición.

La obtención de un momento de giro enorme con la ayuda de una palanca grande, condujo a Arquímedes a afirmar: “Dadme un punto de apoyo y moveré la Tierra”. Sin embargo lo que no tuvo en cuenta Arquímedes fue que la Tierra no está sola, sino que pertenece a todo un sistema ( el sistema solar, y éste a la vía láctea y éste al universo).

Estática

81

Solución: o R = Resultante R = − 10 + 5 − 20 = − 25

Luego:

R = 25 N (hacia abajo)

Se construye un segmento BE igual a la fuerza mayor F1, en sentido opuesto a la fuerza menor F2 y un segmento AD igual a la fuerza menor, sobre la fuerza mayor. Se unen los extremos D y E de estos segmentos y el punto C; donde esta recta corta a la línea AB , que se unen los puntos de aplicación de las fuerzas dadas, es por donde pasa la línea de acción de la resultante.

o x = Posición de la resultante. Para esto se traza un sistema de coordenadas rectangulares, cuyo origen es arbitrario, nosotros elegiremos como origen la parte izquierda de la barra.

Aplicando el teorema de Varignon 2do método MRo

=

M10 o

+ Mo5

bg

+ Mo20

bg b g b g

−25 x = − 10 1 + 5 3 − 20 5 −25x = − 95 x = 3, 8 m

NOTA No olvidar la regla de signos.

B)

Método Gráfico 1er método Para calcular el valor de la fuerza resultante, sólo se suman algebraicamente los valores de las fuerzas paralelas. Para determinar la posición de ésta fuerza se procede del siguiente modo:

Para determinar el punto de aplicación de dos fuerzas paralelas, se construyen dos vectores iguales y de sentidos contrarios de cualquier magnitud, como se muestra. Se determinan las resultantes de las componentes así formadas, se prolongan estas resultantes cortándose en “O”, el cual será el punto de aplicación de la fuerza resultante.


82

PAR DE FUERZAS (CUPLA) Se denomina así a un sistema de dos fuerzas, que tienen el mismo módulo, rectas de acción paralelas y sentidos opuestos.

En la primera parte de la estática vimos que para que un cuerpo permanezca en equilibrio, la resultante de todas las fuerzas que actúan en él, tenía que ser cero; pero solo si las fuerzas eran concurrentes. Ahora, en el caso que dichas fuerzas no sean concurrentes ¿qué pasaría?, sencillamente el cuerpo giraría y ya no estaría en equilibrio, para analizar el equilibrio de este tipo de fuerzas existe la llamada 2da condición de equilibrio.

2da CONDICIÓN DE EQUILIBRIO

MOMENTO DE UN PAR DE FUERZAS (M).-

Para que un cuerpo rígido permanezca en equilibrio, la fuerza resultante y el momento resultante respecto a un mismo punto, debe ser cero.

Se creerá que la suma de los momentos de las dos fuerzas respecto a un punto dado es cero; sin embargo, no lo es. Aunque las fuerzas F no producen la traslación del sólido sobre el cual actúan, tienden a hacerlo girar.

M = Fd

Ilustraciones −F

Para introducir el sacacorchos hay que aplicar un par de fuerzas para hacerlo girar e introducirlo en el corcho.

ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣMo = 0

F

Sólo así estaríamos asegurando que un cuerpo no tiene ni movimiento de traslación ni de rotación.

−F

M

Para hacer girar el volante de un auto , se aplica un par de fuerzas.

F

Estática

83

CENTRO DE GRA VEDAD GRAVEDAD

Concepto Centro de gravedad es el punto donde se encuentra concentrado el peso de un cuerpo.

CENTRO DE GRA VEDAD DE ALGUNOS GRAVEDAD CUERPOS LÍNEAS a.- Segmento de recta x=

L 2

C.G y=0

b.- Cuadrado, rectángulo, paralelogramo, rombo

x=

a 2

y=

b 2

W (peso)

CARACTERÍSTICAS DEL CENTRO DE GRA VEDAD GRAVEDAD a.-

El centro de gravedad de un cuerpo puede estar dentro o fuera del cuerpo.

b.-

El centro de gravedad de un cuerpo quedará perfectamente determinado con respecto a un eje de coordenadas, por una abscisa (x) y una ordenada (y).

c.-

El centro de gravedad no varía con la posición; pero sí depende de su forma geométrica.

d.-

Si un cuerpo presentase un eje de simetría, el centro de gravedad se encontrará en un punto contenido en dicho eje.

e.-

Si a un cuerpo se le aplica una fuerza igual al peso, pero en sentido contrario y en el centro de gravedad, dicho cuerpo permanecerá en equilibrio, independientemente de lo que pudiera inclinarse el cuerpo respecto al centro de gravedad.

c.- Semi - circunferencia x=R y=

2R π

d.- Cuarto de circunferencia

x=

2R π

y=

2R π

e.- Arco de circunferencia x=

Rsen α α

y=0


84 AREAS A.- Cuadrado, rectángulo x=

a 2

b y= 2 B.- Triángulo x=

a+b 3

VOLUMENES Esfera x=0 y=0 z=0

Cono x=0 y=0

y=

H 3

C.- Círculo x =R

z=

H 4

Prisma x=0 y=0

y=R

D.- Semi - círculo x=R

z=

H 2

Semi - esfera x=0 y=0

y=

4R 3π

E.- Cuarto de círculo

x=

4R 3π

z=

3R 8

Pirámide x=0

y=0

y=

4R 3π

z=

H 4

Estática

85

CUERPOS SUSPENDIDOS Se tiene otro cilindro, que evidentemente no está en equilibrio porque la línea de acción que contiene al peso no pasa por la base. Cabe mencionar que el cilindro caerá por acción de la cupla (R y W).

Se muestra una placa en equilibrio. ¿Por qué está en equilibrio? sencillamente porque sobre el cuerpo actúan dos fuerzas con las misma intensidad, en la misma línea de acción; pero en sentido contrario, o sea el centro de gravedad se encontrará en dicha línea recta.

También se muestra la misma placa en equilibrio; pero en otra posición. Nótese que las dos fuerzas anteriores tienen otra línea de acción que intersectándola con AB nos dará el centro de gravedad.

Se muestra la misma placa, en el cual actúan dos fuerzas iguales en módulo, en sentido contrario; pero en diferentes líneas de acción. Si bien es cierto que estas fuerzas se anulan, también es cierto que ellos constituyen una cupla (par de fuerzas), la cual haría girar a la placa hasta llevarla a la posición de equilibrio.

CUERPOS APOY ADOS APOYADOS

Se tiene un cilindro en equilibrio. ¿Por qué está en equilibrio? Porque la línea de acción que contiene el peso pasa por la base del cilindro.

EXPERIENCIA: EQUILIBRIO CON FUERZAS NO CONCURRENTES OBJETIVO 1

o

2

o

MATERIAL A EMPLEARSE − Un soporte. − Una regla de madera o de metal con agujeros cada 20 cm (con agujero en el medio). − Una cuerda de 1 metro. − Pesas de 100 g hasta 2 kg. − Una cinta métrica.

NÚMERO DE ALUMNOS: Dos PROCEDIMIENTO: 1.2.-

Se muestra un cilindro un tanto inclinado; pero sigue en equilibrio porque la línea de acción que contiene al peso sigue pasando por la base del cilindro.

Demostrar que dos o más fuerzas que no son concurrentes, provocan el equilibrio de un cuerpo si la suma algebraica de sus momentos es nula. Verificar que el momento o torque depende de la fuerza aplicada y de su brazo de palanca.

3.4.-

5.-

Colocar la regla en la posición mostrada en la figura (A). Colocar las pesas de 2 kg uno en la posición A1 y otro en la posicion A2 - anota tus observaciones, (ver figura B). Extraer la pesa de la posición A1. En una bolsa de plástico introduce un conjunto de pequeñas pesas y colócalas en la posición B1 de tal modo que se observe equilibrio, (ver figura C). Repetir el paso 4 pero con una bolsa en la posición C1 buscar conservar el equilibrio – anotar.


86 Fig. A

Fig. B

Fig. C

PREGUNTAS 1.-

Al estar las pesas en la posición de A1 y A2.

4.-

Al realizar el quinto paso del procedimiento:

− ¿ Existe equilibrio? Si – No

−

¿ Cuánto marcó el peso en la bolsa?

− ¿ Cuánto vale el momento provocado en la posición A1 ( kg – m). Dar su respuesta con el signo correspondiente.

−

¿ Calcular el momento de dicha fuerza ?

−

¿ Es igual al momento original?

−

¿ Cuánto vale el momento provocado por la pesa en la posición A2?

5.-

Si Ud. se encontrase en la situación que muestra la figura sin poder mover la piedra. ¿Qué solución daría a su problema? ¿por qué?

− ¿Cuánto vale la suma algebraica de los momentos ? 2.-

Si al colocarse la pesa de 2 kg en la posición B1, conservando la otra en su lugar original. ¿Hacia dónde se inclinará la regla?¿porqué?

3.-

Al realizar el cuarto paso del procedimiento − ¿Cuánto marcó el peso en la bolsa? − ¿Cuánto vale el momento de dicha fuerza con respecto al punto “T”. − ¿Es igual al momento original? .¿Casualidad ? Si – No , Explique.

barra


87

Equilibrio eterno ¿Podría Ud. levantarse si se encontrase sentado como la persona que se muestra en la figura?, ¿Sin echar el cuerpo hacia adelante ni introducir las piernas debajo de la silla?

La posición que muestra la persona es la de un equilibrio estable ya que la línea de acción que contiene al peso pasa dentro de la base ancha de apoyo, por tanto será imposible que la persona pueda levantarse. Cuando la persona inclina su columna o introduce su piernas debajo de la silla y ejecuta un pequeño impulso vertical hacia arriba, en ese momento el único apoyo o base son sus pies, ya que su peso y reacción se hacen colineales; y cualquier movimiento adicional haría perder el equilibrio, dado su pequeña base. Este es el principio que usan los edificios (ligeramente inclinados), cuidándose de que en un movimiento sísmico las fuerzas producidas del viento no hagan perder el equilibrio respectivo.

Equilibrio ó ma gia magia La línea de acción que contiene el peso del conjunto pasa por la base o apoyo, de manera que peso y reacción logran ser dos fuerzas colineales y opuestas, por tal razón éstas se anulan y en virtud a ello no se produce Torque, generándose en consecuencia el equilibrio buscado. Este es el principio que usan los trapecistas de los circos.


88

¿Cómo funcionan los puentes colgantes? Un puente colgante, comúnmente tiene como mínimo dos apoyos. Cuanto más sea la longitud (luz), mayor deberá ser el reforzamiento y la estructura. Un método para reducir la dimensión y estructura del puente es hacerlo colgar desde arriba. Las cuerdas secundarias están suspendidas de la cuerda primaria; así mismo el puente está suspendido por medio de las cuerdas secundarias no obstante el apoyo entre sus extremos.

La carretilla - una palanca

El uso del brazo de palanca es usado frecuentemente por los albañiles al trasladar el material con ayuda de la carretilla (nótese el esquema que representa el diagrama de cuerpo libre de la carretilla).

La ing enieria ingenieria Estructuras como las que se muestran se pueden ejecutar gracias a la aplicacción de la estática, la cual se apoya en este caso en los principios básicos del equilibrio.

Estática

89

TEST 1.-

En qué caso la tensión de las cuerdas es menor? A)

a) b) c) 2.-

B)

Sólo en A Sólo en B En ambos son iguales

d) e)

Faltan datos N.A.

Indicar la expresión correcta: a) b) c) d) e)

3.-

5.-

En el siguiente gráfico, cuales son las fuerzas que actúan sobre la puerta giratoria.

a)

d)

b)

e)

c)

Siempre que, ΣF = 0, entonces, ΣM = 0 Siempre que , ΣM = 0, entonces, ΣF = 0 Siempre que a = 0, entonces v = 0 Siempre que ΣM = 0, hay equilibrio Ninguno

6.-

En las sentencias dadas es falso que: a) b)

Si el sistema mostrado se encuentra en condición de equilibrio, determinar, ¿cuál es la alternativa correcta?

c)

d) e) a) b)

No actúan Fuerza

c)

El cuerpo no puede estar en equilibrio El centro de gravedad del cuerpo se encuentra ubicado sobre la línea que pasa perpendicularmente por el punto de apoyo. WL1 = WL2

d)

MPWL1 + MPWL 2 = MN P

7.-

Si un objeto está en equilibrio, su momento total necesariamente es cero. La fuerza de la gravedad sobre un objeto produce un momento nulo alrededor de su centro de gravedad. El módulo y el signo del momento producido por una fuerza depende del punto alrededor del cual se calcula. Un cuerpo en reposo siempre estará en equilibrio, siempre que a = 0 Todas son verdaderas.

Con relación a los bloques, ¿cuál de las relaciones es incorrecta? (a)

(b)

e) No se puede determinar. 4.-

Si un automóvil frena bruscamente, ¿cuál será el diagrama de fuerzas que describe la posición inminente de volcadura?

a)

I)

d)

El bloque (a) es más estable que (b) porque su centro de gravedad está más cerca al apoyo. II) El bloque (a) es más estable que (b) porque el área de apoyo es mayor en dicha posición . III) El mayor grado de estabilidad del bloque (a) se explica por la siguiente desigualdad: mgh1 < mgh2

b)

c)

e)

a) b) c) d) e)

Sólo I Sólo II Sólo III I, II y III Todas son verdaderas.


90 8.-

c)

En el sistema mostrado, se puede afirmar:

Si a un cuerpo se le aplica una fuerza igual al peso, pero en sentido contrario y en el centro de gravedad, dicho cuerpo permanecerá en equilibrio El centro de gravedad de una placa cuadrada está ubicada en uno de sus vértices. El centro de gravedad de una barra homogénea está en su punto medio.

d) e)

a) b) c) d) e) 9.-

La barra está en equilibrio. La barra no está en equilibrio. La barra sube con velocidad constante. La barra baja con velocidad constante. ΣMo = 0

10.-

Indicar la proposición correcta.

Determinar ¿cual de las proposiciones es falsa? a) b)

a) b) c) d) e)

El centro de gravedad de un cuerpo puede estar dentro o fuera del cuerpo. El centro de gravedad no varía con la posición; pero si depende de su forma geométrica.

El cuerpo nunca volcará. El cuerpo volcará. No se puede predecir. El cuerpo se deslizará. N.A.


problemas de aplicación El signo negativo indica que el cuerpo gira respecto al punto “A” en sentido horario.

Hallar la suma de momentos respecto al punto “A” según el caso:

NOTA Recordar que toda fuerza que pasa por un punto adquiere un momento “cero” respecto a dicho punto. Solución: 2.-

Hallar el momento resultante respecto al punto “o”. Cada cuadrado tiene lado “a”

1 000 ΣMA = M100 + MA200 A + MA

bg

b

ΣMA = + 100 6 + 0 + −200 × 4 ΣMA = 600 − 800 ΣMA = − 200 N − m

g

Solución: ΣMo = M1o + Mo2 + Mo3 + Mo4 + Mo5

b = − bFgbag

g b

g b g

ΣMo = 0 + 0 + −F × a + −F × a + F × a ΣMo

Estática 3.-

91 o ΣMA = 0

Hallar F que mantiene la placa en equilibrio si su peso es despreciable.

300 400 MA200 + MFA + M800 A + MA + MA = 0

b gb g b

gb g b

gb g b gb g

0 + F x + −800 1, 5 + −300 2, 0 + 400 3 = 0 Fx = 600 ⇒ x =

600 500

x = 1, 2 m

5.-

Hasta qué distancia “x” puede caminar la persona como máximo, si su peso es 600 N y la barra tiene una longitud de 4 m (Wbarra = 300 N).

Solución:

Solución:

Equilibrio: ΣMo = 0 600 MFo + M800 o + Mo = 0

bF × 32g + b−800 × 40g + 0 = 0 F = 1 000 N 4.-

Cuanto deben valer “x” y “F” para que la barra mostrada de 800 N permanezca horizontal y en equilibrio. La persona podrá avanzar hasta el momento en que la reacción en “A” sea cero ( N = 0). A

ΣMB = 0 NB 300 600 A MN B + MB + MB + MB = 0

b gb g b g 300 − 600b x − 3g = 0

0 + 300 1 + 0 + −600 x − 3 = 0

x = 3, 5 m

Solución: D.C.L. (barra) B 1.-

o ΣFv = 0 200 + F + 400 = 800 + 300

F = 500 N

problemas complementarios Si el semi-aro homogéneo de 80 N se encuentra en equilibrio, hallar la deformación que experimenta el resorte (K = 50 N/cm).


92 Solución: o

Solución: D.C.L. (escalera)

D.C.L. del semi-aro

ΣMo = 0

b F 4I 80 = Fb2gG J H 5K

g

80R = F 2R cos 37°

F = 50 N o Pero: F = Kx

FG H

50 N = 50

IJ K

N x cm

o

o

T = R2

x = 1cm

2.-

ΣFx = 0

o

Se tienen tres ladrillos iguales, cuyas dimensiones son 18×6 cm, si las colocamos tal como se muestra en la figura. ¿Cuál será la máxima distancia “x” para mantener el equilibrio?

ΣFy = 0 R1 = W = 10

ΣMo = 0

b g b g bg F 3I F 4 I 10G 8 × J = TG 3 × J + Tb 4 g H 5K H 5 K R1 8 cos 53° = R2 3sen 53° + T 4

48 =

12 32T T + 4T = 5 5

T = 7 , 50 N

4.Solución:

o

ΣMo = 0

bg b

g b

W 9 = W x − 9 + W 2x − 9

3.-

La longitud del resorte sin deformar es 1 cm. Determine el valor de la fuerza “F” para que la barra homogénea de 10 N se mantenga en posición horizontal (K = 10 N/cm).

g

9 W = Wx − 9 W + 2Wx − 9 W ⇒ 27 = 3x

Solución:

x = 9 cm

D.C.L. (barra)

Si no hay rozamiento, determinar la tensión del cable AB , que sujeta a la escalera, si es ingrávida (α = 37° ; W = 10 N). o Fuerza del resorte = Kx Fuerza del resorte = 10 (2) Fuerza del resorte = 20 N

Estática o

93 ΣMo = 0

Solución:

10 F M20 o + Mo + Mo = 0

D.C.L. (barra)

b g bg bg

bg bg

+20 3a + 10 a − F a = 0 ⇒ F a = 70 a F = 70 N 5.-

Determine la tensión de la cuerda AB si la barra horizontal homogénea pesa 200 N.

o

ΣFy = 0 RA + 50 = RB .................. (1)

o ΣMA = 0 MRoB + M50 o =0

bg bg

RB 3 = 50 9 ⇒ RB = 150 N Solución:

o

D.C.L. (barra)

RA = 100 N

7.-

o

En (1):

Se muestra dos poleas solidarias, cuyos radios están relacionados de 1 a 4, si P = 1 600 N. Hallar el peso de “A” para el equilibrio.

ΣMo = 0

Mo50 + Mo200 + MoT + M100 o =0

b g

b g b g

b g

−50 10 − 200 10 + T 15 − 100 20 = 0 15T = 4 500

T = 300 N 6.-

Determinar la reacción en los puntos de apoyo “A” y “B”, si la barra doblada es ingrávida y rígida.

Solución: D.C.L. (A) o

ΣFx = 0

T2 = WA sen 53° ..... (1)

D.C.L. (poleas) Polea inmóvil o

ΣMo = 0

b g bg

T2 4r = P r T2 =

P ............. (2) 4


94 o (1) = (2) WA sen 53° = WA 8.-

9.P 4

FG 4 IJ = 1 600 H 5K 4

En la figura, calcular el valor de θmínimo para que la barra homogénea se encuentre a punto de resbalar.

⇒ WA = 500 N

Una barra homogénea de longitud “L” y peso “W” se encuentra en movimiento inminente. Hallar el coeficiente de rozamiento estático en el plano horizontal.

Solución: D.C.L. (Barra)

Solución: D.C.L. (Barra)

o

ΣFy = 0 N = P .................. (1)

o ΣMA = 0

o ΣMo = 0

b

g

T 2L cos 45° = WL cos 45° ⇒ W = 2T T= o

W 2

.................. (1)

ΣFx = 0

T = f ⇒ T = µ sN .................. (2)

o

f Lsen θ − NL cos θ +

PL cos θ = 0 2

Para que θ sea mínimo, µ tendrá que ser máximo (µs) µ sNLsen θ − NL cos θ + o (1) en (2):

(1) en (2):

µ sNLsen θ − NL cos θ +

W = µ sN .................. (3) 2

µ ssen θ − cos θ +

ΣFy = 0 N= W

En (3): W = µ sN ⇒ µ s = 0 , 5 2

PL cos θ = 0 ........... (2) 2

µ ssen θ =

NL cos θ = 0 2

cos θ =0 2

cos θ 2

ctg θ = 2µ s

b g

⇒ ctg θ = 2 0 , 5

ctg θ = 1 ⇒ θ = 45°

Estática

95


problemas de aplicación Determinar el momento resultante y su sentido de rotación de una plancha rectangular de 8 m por 6 m de 40 N de peso.

5.-

Hallar la reacción en “A” si la barra es de peso despreciable.

Rpta.

6.-

Rpta.

2.-

+ 200 N-m sentido antihorario

130 N

Rpta.

7.Sobre el sistema mostrado en la figura adjunta. Calcular la posición de la fuerza vertical F, para que la barra siga en posición horizontal (W = 40 N ; F = 160 N).

Rpta.

20 cm

La barra homogénea de 160 N de peso sostiene el bloque de 80 N, en la posición mostrada. Determinar la tensión en la cuerda.

Rpta.

100 N

20 cm 9

Determinar la fuerza de rozamiento entre el piso y la barra inclinada si la barra de 800 N está en reposo.

Rpta.

8.4.-

Peso de la barra = 1 000 N ; K = 200 N /cm para el equilibrio. Hallar la deformación del resorte.

Si la barra homogénea de 40 N se mantiene horizontal, determine “F” (el bloque es de 10 N).

Rpta.

3.-

3 000 N

1 200 N

En la figura, la barra homogénea está a punto de resbalar. Calcular el coeficiente de rozamiento estático máximo en la superficie horizontal. Peso de la barra = 220 N Tensión en la cuerda = 100 N

Rpta.

µs = 0, 5


96 9.-

Si “F” , es la fuerza mínima para volcar el bloque. Calcular el coeficiente de rozamiento estático máximo en la superficie.

4.-

µ s = 0 ,125

Rpta.

Si el sistema se encuentra en equilibrio, determíne la tensión en la cuerda AB, sabiendo que la barra homogénea es de 200 N (P = 400 N). Rpta. 625 N

10.-

Un lápiz hexagonal se empuja a lo largo de un plano horizontal como se muestra en la figura. Calcular el valor de µs si el lápiz está a punto de volcar. Rpta.

B 1.-

µs =

5.-

3 3

F = 60 kg RB = 30 5 kg

problemas complementarios Peso de la barra = 100 N ; hallar la tensión en la cuerda;

Calcular el valor de “F” para mantener el sistema en equilibrio respecto a B, si W = 30 kg . Calcular también la reacción en “B”.

6.-

si: AB = 5 m , BC = 3 m

Rpta. 240 N

Una varilla de 40 cm de longitud, es doblada en su punto medio (B) formando un ángulo de 60°. Determine “x” para que el lado BC permanezca en posición vertical; la varilla es homogénea. Rpta. 15 cm

7.2.-

Hallar la tangente del ángulo φ si el sistema está en equilibrio. La barra es homogénea.

Dado el coeficiente de rozamiento estático, si el sistema se encuentra en equilibrio, hallar la reacción en B. Wbarra = 1 000 N Lbarra = 26 m

Rpta. tan φ =

Rpta.

1 4

520 N 8.-

3.-

Hallar la tensión del cable si el sistema se encuentra en equilibrio (peso de la barra = 10 N).

Rpta.

30 N

Hallar “x” máximo para que la escalera no resbale. Peso escalera = 200 N ; Peso persona = 500 N Longitud escalera = 4 m ; µs = 0,8

Rpta. 2,56 cm

Capítulo

5

CINEMÁTICA Cinemática es una parte de la mecánica que se encarga de estudiar única y exclusivamente el movimiento de los cuerpos sin considerar las causas que lo originan. Cabe mencionar que la palabra “Cinema” significa movimiento.

CONCEPTOS FUNDAMENT ALES FUNDAMENTALES Móvil.- Es el cuerpo que realiza el movimiento. Trayectoria.- Línea recta o curva que describe un móvil. Desplazamiento.- Es aquel vector que une el punto de partida con el punto de llegada ( d = ∆r = r 2 − r 1 ) su módulo toma el nombre de distancia. Espacio Recorrido.- Longitud o medida de la trayectoria. Intervalo de Tiempo.- Tiempo empleado en realizarse un acontecimiento. (∆t = tf – to) Instante.- Se define así como un intervalo de tiempo pequeño, tan pequeño que tiende a cero. (∆t) = (tf – to) → 0


98

MOVIMIENTO

IMPORTANTE − La aceleración aparece cuando varía la velocidad. − El sentido del vector aceleración no necesariamente coincide con el sentido del movimiento del cuerpo.

Es aquél fenómeno físico que consiste en el cambio de posición que realiza un cuerpo (móvil) en cada instante con respecto a un sistema de referencia, el cual se considera fijo. Se afirma también que un cuerpo está en movimiento con respecto a un sistema de coordenadas rectangulares elegido como fijo, cuando sus coordenadas varían a medida que transcurre el tiempo.

CLASIFICACIÓN DEL MOVIMIENTO

MEDIDAS DEL MOVIMIENTO

1.-

POR SU TRAYECTORIA

VELOCIDAD ( v )

A)

Rectilíneo.- Cuando la trayectoria es una línea recta.

B)

Curvilíneo.- Cuando la trayectoria es una línea curva. Entre las más conocidas tenemos:

Magnitud vectorial cuyo módulo indica cual es el espacio recorrido por un móvil en cada unidad de tiempo. Físicamente, el módulo o valor de la velocidad indica la rapidez con la cual se mueve un cuerpo. Se representa por “v”.

Circular.- Cuando Parabólico.- Cuando la trala trayectoria es una yectoria es una parábola. circunferencia.

Elíptico.- Cuando la trayectoria es una elipse.

El sentido del vector velocidad indica siempre el sentido del movimiento.

2.- POR SU RAPIDEZ

Unidad de velocidad en el S.I. metro m/ s segundo

A)

b g

Uniforme.- Cuando el módulo de la velocidad permanece constante.

ACELERACIÓN (a) Es una magnitud vectorial cuyo módulo mide el cambio de la velocidad por cada unidad de tiempo. Físicamente el módulo de la aceleración mide la rapidez con la cual varía la velocidad. Se representa por “a”.

Unidad de la aceleración en el S.I. metro m / s2 segundo2

d

i

B)

Variado.- Cuando el módulo de la velocidad varía con respecto al tiempo.

Cinemática

99

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (M.R.U.)

Un cuerpo posee movimiento rectilíneo uniforme cuando cumple las siguientes condiciones: A) B)

La trayectoria que recorre es una línea recta. La velocidad ( v ) es constante.

Ilustración

OBSERVACIÓN En esta clase de movimiento, el móvil recorre espacios iguales en tiempos iguales.

FÓRMULA QUE RIGE EL M.R.U.

v=

d t

EXPERIENCIA: MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME OBJETIVO Demostrar que el valor de la velocidad de una burbuja es constante, ahora, como quiera que la trayectoria es una línea recta el movimiento de dicha burbuja será M.R.U.

2.-

Llenar el tubo con agua coloreada hasta el borde.

3.-

Tapar el tubo con el corcho o tapón, de manera que dentro del tubo quede atrapado una burbuja (tratar en lo posible que dicha burbuja sea lo más pequeña que se pueda).

4.-

Colocar el tubo en la posición mostrada, con la burbuja abajo.

5.-

Al subir la burbuja, tomar el tiempo que demora ésta en recorrer:

MATERIAL A EMPLEARSE − Un tubo transparente de 1,50 m de longitud, aproximadamente. − Un corcho o tapón que permita tapar el extremo libre del tubo. − 4 cronómetros. − Una cinta métrica.

NÚMERO DE ALUMNOS: Cuatro

0 – 30 cm : 1er alumno

PROCEDIMIENTO:

0 – 60 cm : 2do alumno

1.-

0 – 120 cm : 4to alumno

Graduar el tubo de 30 en 30 cm como muestra la figura.

0 – 90 cm : 3er alumno


100 6.-

Repetir los pasos 4 y 5 (tres veces más) y anotarlas en la tabla.

PROCESO ADICIONAL En un papel milimetrado hacer el gráfico d vs t

Tiempo (s) d (m)

1era vez

2da vez

3era vez

0 - 0,30 0 - 0,60 0 - 0,90 0 - 1,20

PREGUNTAS 1.-

¿Es constante la velocidad de la burbuja?

2.-

¿Cuánto vale su velocidad?

3.-

¿Qué figura se origina en el gráfico d vs t?

4.-

¿Cuánto vale la pendiente de la recta (en el gráfico)?

5.-

¿El movimiento de la burbuja es M.R.U.?

4ta vez

Tiempo Promedio

v=

d (m / s) t

Cinemática Ciencia y Tecnología

101

Gol de tir o libre tiro ¿Podría un jugador hacer un gol de de tiro libre? Para que un jugador realice esta jugada espectacular, tendría que practicar muchas veces; y tener en cuenta la distancia pelota-arco, la fuerza y dirección del viento, la presión atmosférica, entre otros parámetros. Si el jugador fuese un robot que pudiese medir y calcular todos los parámetros antes mencionados, es seguro que su procesador interno, calcularía la fuerza, velocidad y ángulo de inclinación que debería darle al balón para que éste ingrese al arco contrario por muy eficiente que sea su arquero. En realidad el jugador es una persona y lo más que puede hacer es practicar constantemente en su campo de fútbol (local). Sin embargo ayudaría bastante en nuestro medio crear dicho “Robot” que pueda cuantificar todos los parámetros y calcular la fuerza, velocidad y ángulo de inclinación desde un punto preferido para diferentes horas y días para que así el jugador con dichos datos y su inteligencia pueda tener mayores herramientas para lograr su objetivo: el gol.

Reloj de arena En realidad, existen muchos instrumentos que sirven para medir el tiempo; antiguamente uno de los aparatos usados para dicho efecto era el “reloj de arena”. Para iniciar el conteo del tiempo, se voltea el aparato del tal modo que la arena quede depositado en la zona superior, de este modo los granos caerán lentamente hacia la base hasta que al final todo el material queda depositado en la zona inferior. El tiempo que demora la arena en caer totalmente siempre será el mismo.

102


Móvil, tra yectoria y desplazamiento tray Se muestran dos móviles: el muchacho y el automóvil, los cuales parten del mismo punto (A) con la intención de llegar al punto (B). Ambos eligen trayectorias diferentes, el muchacho elige el camino peatonal y el automóvil el de la pista; no obstante, el desplazamiento será el mismo para ambos.

Velocidad constante Conseguir que un móvil tenga velocidad constante en las pistas de una ciudad es casi imposible, debido al uso contínuo del acelerador y el freno. Sin embargo no es difícil obtener una velocidad constante, ello se puede conseguir en una autopista de tráfico rápido y mejor aún si el tramo es una línea recta.

Transmisión del mo vimiento cir cular movimiento circular

Las fajas y engranajes se utilizan en los árboles ó equipos para transmitir el movimiento circular, con los engranajes se evitan que una pieza resbale respecto a la otra.

Cinemática

103

TEST 1.-

Un móvil que va con M.R.U. inicia su movimiento en x = 12 m y luego de 8 s está en x = 28 m. Hallar su velocidad. a) b) c)

2 m/s 8 m/s 4 m/s

d) e)

a) b) c) d)

6 m/s 7 m/s

e) 6.-

2.-

Señalar verdadero o falso respecto al M.R.U. I.- La velocidad es tangente y contraria al movimiento. II.- La aceleración es igual a cero. III.- El radio de curvatura de la recta de movimiento es considerado infinitamente grande. a) b) c)

3.-

VVV FVV FVF

FFF VVF

Se muestran la velocidad de dos móviles en M.R.U., al cabo de 5 s estarán separados: a) b) c)

7.-

a) b) c)

∆x ∆t

4 m/ s 5 8 − m/ s 5

d) e)

25 m 30 m

Señalamos las velocidades de 4 móviles en M.R.U., al cabo de 10 s, que alternativa se cumple si salen del mismo punto.

a) b) c) d)

−4 m/s

e)

4 m/s

8.-

12 m/ s 5

∆x ∆t

9.-

b) a)

–5 m/s

d)

b)

+5 m/s

e)

N.A.

c)

20 m/ s 6

Los móviles“A”y“B” parten de las posiciones mostradas simultáneamente con vA = 4 m/s y vB = 3 m/s. ¿Qué podemos opinar?

c) d) e) 10.-

d) e)

C dista de D 40 m A dista de B 25 m

78 m 48 m 30 m

d) e)

18 m N.A.

Marque la proposición correcta. a)

10 − m/ s 6

A dista de B 40 m C dista de D 55 m A dista de B 30 m

La figura muestra dos móviles en M.R.U. que parten del mismo punto. Al cabo de 6 s ¿qué distancia los separa? a) b) c)

Para el movimiento de la partícula en M.R.U. en la figura, podemos decir que su velocidad media es: Vm =

5.-

10 m 15 m 20 m

Para el movimiento de la partícula en M.R.U. en la figura podemos decir que su velocidad media es: Vm =

4.-

d) e)

“A” llega primero a “P”. “B” llega primero a “P”. Ambos llegan simultáneamente a “P”. Falta precisar información para decidir que responder. Ninguno llega.

En el M.R.U. el vector velocidad cambia contínuamente. En el M.R.U. la trayectoria no siempre es una línea recta. En el M.R.U. la aceleración siempre es cero. El espacio es una magnitud vectorial. Todas las anteriores son falsas.

Marque la proposición correcta según el siguiente esquema. a) b) c) d) e)

El móvil tiene velocidad constante. La velocidad del móvil aumenta. El cuerpo se detendrá en el plano inclinado. La velocidad del móvil disminuye. Todas son falsas.


104


problemas de aplicación Cuantas horas dura un viaje hasta una ciudad sureña ubicado a 540 km, si el bus marcha a razón de 45 km/h?

e A = v At = 40t eB = v Bt = 60t

Solución:

OBSERVACIÓN Tiempo de Encuentro: tE =

e v A + vB

e : espacio de separación inicial

d = vt ⇒ 540 = 45t o De la figura:

t = 12 horas

2 000 = e A + eB

NOTA

2000 = 40t + 60t ⇒ 2000 = 100t

Antes de realizar cualquier operación es necesario homogenizar el sistema de unidades, si fuese necesario. 2.-

Un cazador se encuentra a 170 m de un “Blanco” y efectúa un disparo saliendo la bala con 85 m/s (velocidad constante), ¿después de que tiempo hará impacto la bala?

t = 20 s

4.-

Dos autos se mueven en el mismo sentido con velocidades constantes de 40 m/s y 60 m/s. ¿Después de que tiempo uno de ellos alcanza al otro? ver figura.

Solución:

Solución: e A = v At = 60t d = vt ⇒ 170 = 85t

eB = vBt = 40t

t = 2s

3.-

Dos autos se mueven en sentidos contrarios con velocidades constantes. ¿Después de que tiempo se encuentran si inicialmente estaban separados 2 000 m? (velocídad de los autos 40 m/s y 60 m/s). Solución: o De la figura: e A = eB + 200 60t = 40t + 200 t = 10 s

⇒

20t = 200

Cinemática

105 2.-

OBSERVACIÓN Tiempo de Alcance: t AL =

e v A − vB

e : espacio de separación inicial v A > vB

Tres móviles pasan simultáneamente por los puntos A, B, C con velocidades de 10, 15 y 13 m/s. Si la distancia entre A y B es 8 m, y entre B y C es de 32 m. Luego de qué tiempo la distancia entre los móviles serán iguales, si en ese instante guardan el mismo ordenamiento. Solución:

5.-

Un móvil “A” que se desplaza con una velocidad de 30 m/s, se encuentra detrás de un móvil “B” a una distancia de 50 m, sabiendo que los móviles se mueven en la misma dirección y sentido, y que la velocidad de “B” es de 20 m/s. ¿Calcular después de qué tiempo, “A” estará 50 m delante de “B”? Solución: o De la figura: 8 + 32 + e 3 = e1 + 2x 40 + v 3t = v1t + 2x 40 + 13t = 10t + 2x 40 + 3t = 2x

o También:

e A = v At = 30t

e 2 = e1 + x − 8

eB = v Bt = 20t

v 2t = v1t + x − 8

o De la figura:

15t = 10t + x − 8

eA = 50 + eB + 50 30t = 50 + 20t + 50

5t = x − 8 ⇒ 10t = 100

t=

1.-

............ (2)

o De (1) y (2):

t = 10 s

B

............ (1)


3.-

Un barco navega rumbo al Norte recorriendo 540 m. Luego va hacia el Este recorriendo 720 m. Determinar el espacio y distancia que recorrió el barco (en m).

24 s 7

Un muchacho para bajar por una escalera empleó 30 s. ¿Cuánto demoraría en subir la misma escalera si lo hace con el triple de velocidad? Solución:

o Cuando el muchacho baja

Solución:

b g

L = v 30 ..... (1) o Cuando el muchacho sube

Cuando el muchacho baja

bg

L = 3v t ..... (2) o Espacio = ?

o Distancia = ?

e = OA + AB

d = OB

e = 540 + 720

d=

e = 1 260 m

d = 900 m

o De (1) y (2): 2

2

b540g + b720g

t = 10 s

Cuando el muchacho sube


106 4.-

Una persona sale todos los días de su casa a la misma hora y llega a su trabajo a las 9:00 a.m. Un día se traslada al doble de la velocidad acostumbrada y llega a su trabajo a las 8:00 a.m. ¿A que hora sale siempre de su casa?

6.-

Un tren de pasajeros viaja a razón de 36 km/h, al ingresar a un túnel de 200 m de longitud demora 50 s en salir de él ¿Cuál es la longitud del tren? Solución:

Solución: o De la fig (1):

fig (1)

d = vt ..... (α) o De la fig (2): La distancia que recorre el tren es el mismo que recorre el punto A.

b g

d = 2v t − 1 .... (β) o De (α) y (β):

d = vt

fig (2)

b g

vt = 2v t − 1

200 + L = 10 50

t = 2h

L = 300 m

b g 7.-

Rpta: Sale de su casa a las 7:00 a.m. 5.-

Dos móviles A y B situados en un mismo punto a 200 m de un árbol, parten simultáneamente en la misma dirección. ¿Después de que tiempo ambos móviles equidistan del árbol? (vA = 4 m/s y vB = 6 m/s).

De Lima a Huacho hay aproximadamente 160 km; de Lima a Barranca hay 200 km, un auto va de Lima con velocidad constante saliendo a las 8 a.m. y llega a Barranca al medio día. ¿A qué hora habrá pasado por Huacho? Solución:

Solución:

o Lima a Barranca: d = vt

bg

200 = v 4

De la figura: o

dB = dA + 2x

o Lima a Huacho:

v B t = v A t + 2x

Dato: velocidad constante = 50 km/h

6t = 4 t + 2x ⇒ 2t = 2x

d = vT

t = x ............ (1)

o

160 = 50 T ⇒ T = 3, 2 h

dA + x = 200

Rpta: Pasó por Huacho a las 11.2 a.m. ó 11h 12m a.m.

4 t + x = 200 ............ (2) o

(1) en (2): 4 t + t = 200 t = 40 s

⇒ v = 50 km / h

8.-

Un auto debe llegar a su destino a las 7:00 p.m., si viaja a 60 km/h llegará una hora antes, pero si viaja a 40 km/h llegará una hora después. Si en ambos casos la hora de partida es la misma, encontrar dicha hora de partida.

Cinemática

107 o Sabemos que el tren (1) se mueve con velocidad de 15 m/s y el tren (2) con velocidad de 20 m/s, pero en sentido contrario. Respecto al pasajero. ¿Qué velocidad creerá él, que tiene el tren (2)?. La respuesta es (15 + 20) es decir 35 m/s, y esto es lógico pues el pasajero verá moverse al tren (2) con mayor rapidez. Visto esto, podemos suponer al tren (1) en reposo, pero el tren (2) tendrá una velocidad de 35 m/s.

Solución: fig. (1)

fig. (2)

fig. (3)

o Tren (2) a punto de pasar por el pasajero,

o De la figura (1):

d = vt ........................ (a)

o De la figura (2):

d = 60 t − 1 ............ (b)

o De la figura (3):

d = 40 t + 1 ............ (c)

b g

b g

o De (b) y (c):

b g b g

60 t − 1 = 40 t + 1 ⇒ t = 5 h o Tren (2) ya pasó por completo al pasajero. Rpta: La hora de partida será las 2:00 p.m. 9.-

Dos trenes corren en sentido contrario con velocidades de v1 = 15 m/s y v2 = 20 m/s. Un pasajero del primer tren (el de v1) nota que el tren 2 demora en pasar por su costado 6 s. ¿Cuál es la longitud del segundo tren? (Se supone que el pasajero está inmóvil mirando a través de la ventana). Solución: o Supongamos que el pasajero se encuentra en la parte delantera del tren (1) o Para el pasajero:

bg

e = vt ⇒ L = 35 6

L = 210 m

10.-

Dos móviles se mueven con M.R.U. en dos carreteras que se cruzan en 90° simultáneamente del punto de cruce con velocidades v1 = 4 m/s y v2 = 2 m/s. Si las carreteras están desniveladas 10 m. ¿Qué tiempo después, la distancia de separación entre móviles es de 90 m?


108

o Al formar el triángulo DFE, se tiene:

Solución:

L=

o Por motivos didácticos tomaremos parte de las carreteras los lados AB y CD de un paralelepípedo.

2

b2tg + b4tg

2

L = 2 5t o Ahora, en el triángulo DEB: 902 = L2 + 102 2

902 = 2 5t + 102

d

i

8100 = 20t2 + 100 8 000 = 20t 2

t2 = 400 t = 20 s


problemas de aplicación Dos móviles parten de un punto A en direcciones perpendiculares con velocidades constantes de 6 m/s y 8 m/s respectivamente. ¿Determinar al cabo de que tiempo se encontrarán separados 100 m? Rpta.

6.-

Una moto y un auto se encuentran a una distancia de 1 000 m. Si parten simultáneamente en la misma dirección y con velocidades de 25 m/s y 15 m/s respectivamente. ¿En que tiempo se produce el encuentro?

10 s Rpta.

2.-

Un móvil que va con M.R.U. inicia su movimiento en: x = −12 m y luego de 8 s está en x = +28 m, hallar su velocidad. Rpta.

3.-

5 m/s

Javier un joven estudiante, desea saber a qué distancia se encuentra el cerro más próximo, para lo cual emite un grito y cronómetro en mano, comprueba que el eco lo escucha luego de 3 s. ¿Cuál es esa distancia en metros? (vsonido = 340 m/s). Rpta.

7.-

Dos móviles con velocidades constantes de 40 y 25 m/s parten de un mismo punto, y se mueven en la misma recta alejándose el uno del otro. ¿Después de cuanto tiempo estarán separados 13 km? Rpta.

8.-

510 m

Dos atletas parten juntos en la misma dirección y sentido con velocidades de 4 m/s y 6 m/s, después de 1 minuto. ¿Qué distancia los separa? Rpta.

5.-

9.-

120 m

10.200 m

100 km/h

Dos móviles se mueven en línea recta con velocidades constantes de 10 m/s y 20 m/s, inicialmente separados por 15 m. ¿Qué tiempo transcurre para que el segundo después de alcanzar al primero se aleje 15 m? Rpta.

Hallar el espacio que recorre una liebre en 10 s. Si en un quinto de minuto recorre 40 m más. Rpta.

200 s

Un móvil debe recorrer 300 km en 5 h, pero a la mitad del camino sufre una avería que lo detiene 1 h, ¿con que velocidad debe continuar su viaje para llegar a tiempo a su destino? Rpta.

4.-

25 s

3s

Dos móviles con velocidades constantes parten simultánea y paralelamente de un mismo punto. Si la dife-

Cinemática

109

rencia de sus velocidades de 108 km/h. Hallar la distancia que los separa después de 30 s. Rpta.

B 1.-

Un auto vá de una ciudad a otra en línea recta con velocidad constante a razón de 30 km/h, pensando cubrir la travesía en 8 h. Pero luego de 3 h, el auto se malogra; la reparación dura 1 h, ¿con qué velocidad debe proseguir para que llegue a su destino con 1 h de adelanto?

Rpta. 4.-

5.-

15 s

Dos móviles están en “A” y “B” en la misma recta. El primero parte de “A” hacia “B” a las 7 a.m. a razón de 90 km/h, el segundo parte de “B” hacia “A” a las 12 m. Si se encuentran a las 3 p.m. Hallar AB, sabiendo además que el espacio del primero es al del segundo como 2 es a 1. Rpta.

8.-

1 080 km

1 190 m

Un avión desciende con velocidad constante de 100 km/h bajo un ángulo de 16° con el horizonte. ¿Qué tiempo tardará su sombra en llegar a tocar un objeto que se encuentra a 4 km? (cos 16° = 24/25). Rpta.

10.-

120 m

Un alpinista se encuentra entre dos montañas y emite un grito. Si registra los ecos después de 3 s y 4 s de haber emitido el grito. ¿Cuál será la distancia que separa las montañas? velocidad del sonido en el aire, considerar 340 m/s. Rpta.

9.-

v2 =2 v1

Dos autos separados a una distancia, parten simultáneamente con velocidades constantes de 30 m/s y 20 m/s en el mismo sentido para luego encontrarse en un punto “P”. Si el segundo auto partiese 2 s después, el encuentro de los autos sería “x” m antes de “P”, calcular “x”. Rpta.

600 m

Dos móviles se desplazan en la misma pista con velocidades constantes. Luego de 10 s el móvil “A” gira 180° y mantiene su rapidez constante. ¿Qué tiempo emplean hasta encontrarse desde las posiciones indicadas?

Rpta.

7.-

15 s

“A” y “B” realizan una carrera de 300 m, con velocidades constantes en módulo de 5 m/s y 10 m/s. Al llegar “B” a la meta regresa donde “A” y luego así sucesivamente hasta que “A” llega a la meta. ¿Qué espacio total recorrió “B”?

Un alumno sale de su casa todos los días a las 7:00 y se dirige al colegio a velocidad constante v1 llegando siempre a las 8:00. Si el alumno un día sale de su casa a las 7:15 y a medio camino observa que no llegará a tiempo por lo que aumenta su velocidad a v2 (cte), llegando finalmente a tiempo. Determinar v2/v1. Rpta.

50 km/h

Un tren de pasajeros viaja a razón de 72 km/h y tiene una longitud de 100 m. ¿Qué tiempo demorará el tren en cruzar un túnel de 200 m? Rpta.

3.-

900 m


Rpta. 2.-

6.-

150 s

Dos trenes de longitudes diferentes van al encuentro por vías paralelas con velocidades v 1 y v2 demorando en cruzarse 20 s. Si van al encuentro con velocidades v1 y (8/5)v2 respectivamente demoran en cruzarse 15 s. ¿Cuánto tiempo tardarán en cruzarse si viajan en la misma dirección con velocidades v 1 y v2 respectivamente. Rpta.

180 s


110

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME MENTE V ARIADO (M.R.U.V .) UNIFORMEMENTE VARIADO (M.R.U.V.)

Un cuerpo posee movimiento rectilíneo uniformemente variado cuando cumple las siguientes condiciones: A) B)

FORMULAS DEL M.R.U.V M.R.U.V..

La trayectoria que recorre es una línea recta. La velocidad cambia, permaneciendo constante el valor de la aceleración.

vF = v o ± at

En esta clase de movimiento, el móvil efectúa variaciones de velocidad iguales en tiempos iguales.

OBSERVACIONES

1.-

Si la velocidad del móvil aumenta: (movimiento acelerado)

−

La velocidad y la aceleración tienen el mismo sentido. El signo de la aceleración es positivo.

−

a=

vF − v o t

1 e = v ot ± at2 2

vF2 = v o2 ± 2ae

2.-

Si la velocidad del móvil disminuye: (movimiento retardado)

−

La velocidad y la aceleración tienen sentidos contrarios. El signo de la aceleración es negativo.

−

e=

FG v + v IJ t H 2 K F

o

Usar : (+); si el movimiento es acelerado. Usar : (−); si el movimiento es retardado. Donde:

vF = velocidad final vo = velocidad inicial a = aceleración t = tiempo e = espacio

Cinemática

111

TEST 1.-

− − − −

a) b) c) 2.-

b) c) d) e)

FFVV N.A

c) d) e) 7.-

El movimiento es desacelerado cuando la aceleración y la velocidad tienen sentidos contrarios. El movimiento es acelerado cuando la aceleración y velocidad tiene el mismo sentido. Siempre que la aceleración es cero el móvil está detenido. Cuando la velocidad es cero no necesariamente la aceleración es cero. N.A.

a) b) c) d) e) 8.-

Está siempre acelerado. Está siempre frenando. Tienen el mismo sentido. Son de igual valor numérico. Se mantienen constantes.

−

a)

−

Respecto al M.R.U.V. de una partícula como se muestra no se puede afirmar. a) b) c) d) e)

Lleva movimiento desacelerado y luego será acelerado. La velocidad en un instante será cero. Se mueve hacia la derecha. Se mueve hacia la izquierda. Cuando la velocidad se hace cero la aceleración se mantiene.

a) b) c) 10.-

Velocidad – constante Aceleración – constante Velocidad – en dirección Aceleración – la velocidad Aceleración – variando

Durante el desaceleramiento en el M.R.U.V. señalar verdadero o falso. −

Tendrá 9 m/s de velocidad a los 8 s. Tendrá 9 m/s a los 2 s. Habrá recorrido 20 m en 2 s. Tarda 8 s en recorrer 20 m. El movimiento es desacelerado.

Es proporcional al cuadrado del tiempo. Es proporcional al tiempo y depende de la velocidad inicial. No depende de la velocidad inicial y si de la aceleración. Es función del cuadrado del espacio recorrido. No depende del espacio recorrido.

En el M.R.U.V. la.................. se mantiene ........... y es acelerado cuando tiene el mismo sentido que la velocidad. a) b) c) d) e)

9.-

Es proporcional al tiempo. Es inversamente proporcional al cuadrado del tiempo. Es proporcional al cuadrado del tiempo. Es independiente de la velocidad inicial. Es independiente de la aceleración.

Respecto a la velocidad en el M.R.U.V. podemos afirmar:

Respecto al M.R.U.V. para una partícula como mostramos en la figura y que tiene la velocidad inicial señalada, que podemos afirmar:

b) c) d) d) 5.-

d) e)

Respecto al espacio recorrido en el M.R.U.V. podemos afirmar: a) b)

Respecto a la velocidad y aceleración de un móvil en M.R.U.V. como se muestra podemos decir que es correcto: a) b) c) d) e)

4.-

VFVF VVVV VFFV

6.-

En el M.R.U.V. no se cumple que: a)

3.-

Siempre que la aceleración tiene el mismo sentido de la velocidad el movimiento es acelerado. Desplazamiento o trayectoria es lo mismo. Siempre que el desplazamiento y la aceleración tienen la misma dirección, el movimiento es acelerado. Cuando el móvil tiene velocidad inicial y final igual a cero, se puede asegurar que tuvo primero M.R.U.V. acelerado y después M.R.U.V. retardado.

La velocidad y aceleración tienen sentidos contrarios. El espacio en el tiempo “t” viene dado por: 1 e = at 2 2 Cuando se detiene, la aceleración siempre desaparece. VFF VVV VVF

d) e)

VFV FFF

Si una partícula es acelerada desde el reposo con una aceleración “a”, el espacio recorrido en el 4to segundo viene dada por: a) b) c)

3 a 2 5 a 2 7 a 2

d)

9 a 2

e)

1 a 2


112


problemas de aplicación Un móvil aumenta su velocidad de 10 m/s a 20 m/s acelerando uniformemente a razón de 5 m/s2. ¿Qué distancia logró aumentar en dicha operación? Solución:

4.-

vF2 = v 2o ± 2ad

Un avión parte de reposo con M.R.U.V. y cambia su velocidad a razón de 8 m/s2, logrando despegar luego de recorrer 1 600 m. ¿Con qué velocidad en m/s despega? Solución:

Notamos que el movimiento es acelerado. v F2 = v 2o + 2ad 2

2

b20g = b10g + 2b5gd d = 30 m 2.-

Un automóvil corre a razón de 108 km/h y luego frena, de tal modo que se logra detener por completo en 6 s. ¿Cuál es su aceleración?

vF2 = v 2o ± 2ae Notamos que el movimiento es acelerado.

Solución:

v F2 = v 2o + 2ad

b gb

vF2 = 0 + 2 8 1 600

g

v F = 160 m / s

5.-

v o = 108 km / h = 60 m / s

Un móvil posee una velocidad de 20 m/s y acelera uniformemente a razón de 2 m/s2 durante 5 segundos. ¿Qué distancia recorrió en el 5to segundo de su movimiento? Solución:

v −v 0 − 60 a= F o ⇒ a= t 6 a = − 10 m / s2 Movimiento retardado 3.-

Una partícula recorre 30 m en 5 s con un M.R.U.V. si al partir tenía una velocidad de 4 m/s. ¿Que velocidad tuvo al término del recorrido?

Distancia recorrida hasta los 5 segundos

Solución: d=

FG v H

o

IJ K

FG H

IJ K

+ vF 4 + vF 5 t ⇒ 30 = 2 2

vF = 8 m / s

Distancia recorrida hasta los 4 segundos

Cinemática

113

La distancia recorrida en el 5to segundo será: x = d5 − d4

1 d = v ot + at 2 2 d= 0 +

1 4 8 2

b gb g

2

d =128 m

LM b g b g OP − LMv b4g + 1 ab4g OP 2 N Q N Q 1 1 L O L O x = M20b5g + × 2 × b25gP − M20b 4 g + × 2 × b16gP 2 2 N Q N Q 1 x = vo 5 + a 5 2

2

2

2.-

o

Solución:

x = 29 m

B 1.-

Un tren que lleva una velocidad de 216 km/h, aplica los frenos y produce un retardamiento de 4 m/s en cada segundo, hasta detenerse. Determinar el espacio que recorrió en el último segundo de su movimiento.

216 km / h = 60 m / s

problemas complementarios Un móvil que parte del reposo, recorre en el décimo segundo de su movimiento 20 metros más que lo recorrido en el quinto segundo; determinar el espacio recorrido desde que inicio el movimiento hasta el final del octavo segundo de su movimiento.

o Calculando el tiempo que demora en detenerse .

Solución:

v F = v o ± at

o Espacio recorrido en el quinto segundo. x = d5 − d4

0 = 60 − 4 t

⇒

t = 15 s

8 0

Reposo:

1 d = v ot + at 2 2 1 d = at 2 2

1 2 1 x= a 5 − a 4 2 2

bg

x=

bg

2

25 a − 8a ..................... (1) 2

o El espacio que recorrió en el último segundo.

o Espacio recorrido en el décimo segundo.

x = d15 − d14

x + 20 = d10 − d9 1 2 1 x + 20 = a 10 − a 9 2 2

b g

x + 20 = 50a −

LM b g b g OP − LMv b14g − 1 ab14g OP 2 N Q N Q 1 1 L O L O x = M60b15g − × 4 × b15g P − M60b14 g − × 4 × b14 g P 2 2 N Q N Q

1 x = v o 15 − a 15 2

2

bg

81 a ............ (2) 2

2

2

o

2

2

o De (1) y (2): a = 4 m / s2 x=2m

o Nos piden el espacio recorrido desde el inicio del movimiento hasta el final del octavo segundo. 3.-

Dos móviles que parten del reposo se dirigen al encuentro con movimiento uniformemente acelerado desde dos puntos distantes entre si 180 m y tardan 10 s en cruzarse. Los espacios recorridos por estos móviles están en la relación de 4 a 5. Calcular las aceleraciones de dichos móviles.


114 5.-

Solución:

Un automóvil está esperando en reposo que la luz del semáforo cambie. En el instante que la luz cambia a verde, el automóvil aumenta su velocidad uniformemente con una aceleración de 2 m/s2 durante 6 segundos, después de los cuales se mueve con velocidad uniforme. En el instante que el automóvil empezó a moverse después del cambio de luz, un camión lo sobrepasa en la misma dirección, con el movimiento uniforme a razón de 10 m/s. ¿Cuánto tiempo y cuán lejos del semáforo el automóvil y el camión volverán a estar juntos?

o Distancia total: Solución:

180 = 5x + 4 x x = 20 o Con el móvil (1): 1 d = v o 10 + a1 10 2

2

b g b g b5gb20g = 0 + 21 a b100g 1

⇒

a1 = 2 m / s2

⇒

a2 = 1, 6 m / s2

o Con el móvil (2): 1 d = v o 10 + a2 10 2

b g

b g

2

b4gb20g = 0 + 21 a b100g 2

4.-

Un automóvil que parte del reposo a razón de 2 m/s2 se encuentra a 20 m detrás de un ómnibus que marcha con velocidad constante de 8 m/s. ¿Después de cuanto tiempo el auto sacará al ómnibus una ventaja de 64 m? Solución:

o Con el camión: e = x + y = 10 T .......................... (1) o Con el automóvil: Entre A y B : vF = v o + at

bg

vB = 0 + 2 6

v B = 12 m / s

Entre A y C : y 67 4 x4 8 6 47 4 8 1 2 x + y = 2 6 + vB T − 6 2

b gb g

o Con el auto (vo = 0)

b g

b g

x + y = 36 + 12 T − 6 .............. (2)

1 d = v ot + a t 2 2 20 + x + 64 = 0 +

1 2 t2 2

bg

84 + x = t ...... (1) 2

o Con el camión (v = 8 m/s = cte)

o (1) = (2)

b g

10 T = 36 + 12 T − 6

10 T = 36 + 12T − 72 T = 18 s

x = vt

Finalmente:

x = 8t .............. (2)

e = x + y = 10 T = 10 18

o De (1) y (2):

t = 14 s

b g

e = 180 m

Cinemática 6.-

115 o Entre B y C :

Dos trenes de 200 m y 400 m de longitud avanzan en vías paralelas en sentidos opuestos y cuando se encuentran, sus velocidades son 12 y 18 m/s y sus aceleraciones constantes son iguales a 3 m/s2. Hallar el tiempo que demoran los trenes en cruzarse completamente.

v F2 = v 2o − 2aeBC (mov. retardado)

b g

2

b g

0 = 20 − 2a 44 88a = 400

Solución: o Cuando los trenes están a punto de cruzarse

8.-

⇒

a = 4 , 55 m / s2

Dos moviles A y B se encuentran inicialmente separados una distancia “d” (B detrás de A). Si ambos se mueven en el mismo sentido “B” con velocidad constante de 10 m/s y “A” partiendo del reposo con a = 2 m/s2. Después de que tiempo de iniciado el movimiento la distancia de separación es mínima. (Ambos móviles no se encuentran). Solución:

o Momento en que “A” cruza a “B” completamente. 1 e A = 600 = v ot + at 2 2 1 600 = 30t + 6 t 2 2

bg

7.-

b

g

eB = d + eA − x .............. (1)

t 2 + 10t − 200 = 0

De donde:

t = 10 s

1 2 o e A = v ot + at 2

Un conductor viaja por una autopista recta con una velocidad inicial de 20 m/s. Un venado sale a la pista 50 m más adelante y se detiene. ¿Cuál es la aceleración mínima que puede asegurar la parada del vehículo justamente antes de golpear al venado si el chofer demora 0,30 s en reaccionar?

1 e A = 0t + ⋅ 2 ⋅ t 2 2 eA = t 2 .............. (2)

o eB = v B t eB = 10t .............. (3)

Solución:

o (2) y (3) en (1): 10t = d + t 2 − x

e

j

10t = t2 − x + d x = t 2 − 10t + d

b g

2

x = t − 5 + d − 25

o Antes que el conductor reaccione su velocidad sigue siendo constante

Para que x sea mínimo: t − 5 = 0

b g b g

e AB = v 0 , 30 = 20 0 , 30

t = 5s

e AB = 6 m

Cuando el conductor reacciona, éste presiona los frenos y el movimiento pasa a ser M.R.U.V. cuya velocidad final es cero (para no atropellar al venado). eBC = 50 − 6 = 44 m

9.-

Un pasajero desea subir a un microbús que se encuentra detenido y corre tras él con una velocidad uniforme de 5 m/s y cuando estaba a 6 m del microbús, éste parte con aceleración constante de 2 m/s2. Hallar el tiempo que demora el pasajero en alcanzar al microbús. (Si lo alcanza).


116 10.-

Solución: o Suponiendo que lo alcanza: Para ello en el instante de alcance la velocidad del microbús no deberá ser mayor que la del pasajero (5 m/s).

Sale un tren hacia el norte con velocidad de 30 km/h, luego de 10 minutos sale otro también hacia el norte y con la misma velocidad. ¿Con qué velocidad en km/h constante venía un tren desde el norte, si se cruzó con el primer tren en cierto instante y luego de 4 minutos con el segundo tren? Solución:

eH − eM = 6

FG IJ H K F 1 I 5t − G 0t + ⋅ 2t J = 6 H 2 K 1 5t − v ot + at 2 = 6 2 2

⇒

5t − t 2 = 6

t 2 − 5t + 6 = 0 De donde:

o Cálculo del tiempo de encuentro entre “B” y “C” t = 2s ó t = 3s

t=

o Analizando:

o De la figura:

Si: t = 2 s ⇒ v M = v o + at

b gb g

FG H

vM = 0 + 2 2

x = 30t − 30 t −

vM = 4 m / s < 5 m / s Si:

10 60

IJ K

x = 5 km

bg

t = 3 s ⇒ vM = 0 + 2 3

o (2) en (1):

v M = 6 m / s > 5 m / s (no cumple)

o Finalmente:

4 x ............ (1) = 60 v + 30

t = 2s

4 5 = 60 v + 30

v = 45 km / h


problemas de aplicación Un cuerpo parte del reposo con M.R.U.V. y avanza 50 m en 5 s. ¿Cuál es su aceleración en m/s2? Rpta.

2.-

4 m/s2

Una gacela pasa por dos puntos con velocidad de 3 m/s y 7 m/s y M.R.U.V. Si dichos puntos están separados 50 m. ¿Qué tiempo empleó en el recorrido? Rpta.

3.-

10 s

Un móvil parte con una velocidad 36 km/h y una aceleración de 6 m/s2. ¿Qué velocidad en m/s tendrá luego de 5 s? Rpta.

4.-

40 m/s

Un móvil que se desplaza a razón de 10 m/s ve incrementada su velocidad por una aceleración de 5 m/s2. ¿Qué distancia habrá logrado avanzar durante los 2 primeros segundos de este movimiento variado? Rpta.

30 m

Cinemática 5.-

Un auto al pasar por dos puntos separados 180 m demoró 8 s. Si por el primer punto pasa con una velocidad de 20 m/s. Determinar con qué velocidad pasa por el segundo punto (en m/s). Rpta.

6.-

8.-

9.-

1.-

– 4 m/s2

Lo atrapa a 1 m del agujero

Un auto que se mueve describiendo un M.R.U.V. en cierto instante, pasó con una rapidez de 15 m/s por un punto “A” situado entre dos montañas como se muestra. Si en este instante toca el claxón, con que aceleración deberá moverse a partir de ese instante, para escuchar los ecos simultáneamente (vsonido = 320 m/s).

Rpta. 8.-

Durante que segundo de movimiento, un móvil que parte del reposo y tiene M.R.U.V. recorrerá el triple del espacio recorrido en el quinto segundo.

8 m/s

Dos móviles que parten del reposo en la misma dirección y sentido, están separados 200 m, si se observa que el alcance se produce 10 s después de iniciado los movimientos. Determinar sus aceleraciones si estas están en la relación de 3 a 1. Rpta.

9.-

a2 = 2 m/s2 ; a1 = 6 m/s2

6 m/s

Dos móviles se encuentran en una recta, inicialmente en reposo, separados por una distancia de 400 m. Si parten al mismo instante acercándose mutuamente con aceleraciones de 3 m/s2 y 5 m/s2. Calcular después de qué tiempo vuelven a estar separados por segunda vez una distancia de 200 m. Rpta.

10.-

2

10 m/s

Una zorra trata de atrapar una liebre que se encuentra en reposo. Cuando la zorra se encuentra a 9 m de la liebre, ésta acelera a 2 m/s2. Calcular la velocidad mínima constante de la zorra de tal modo que pueda atrapar a la liebre ¿y comérsela? Rpta.

N = 14avo segundo

Un auto corre una pista horizontal con una aceleración de 2 m/s2, después de 5 s de pasar por el punto A, posee una velocidad de 72 km/h. ¿Qué velocidad tenía el auto cuando le faltaba 9 m para llegar a A? Rpta.

3.-

Un ratón de regreso a su agujero, a la velocidad constante de 1 m/s, pasa al lado de un gato, despertándo2 lo, si el gato acelera a razón de 0,5 m/s y el agujero está a 5 m. ¿Atrapa el gato al ratón?. Si lo atrapa, ¿a qué distancia del agujero lo hace? Rpta.

7.-

18 s ; 180 m

6s


Rpta. 2.-

x = 96 m

10 m

2

Durante el 6to segundo de su desplazamiento una pelota logró avanzar 6 m, si su velocidad al inicio era de 28 m/s. ¿Con qué aceleración retardó uniformemente su movimiento? Rpta.

B

6.-

602,08 m

Un bote inicialmente en reposo acelera a razón de 2 m/s durante 6 s, después de la cual se mueve con velocidad constante. En el instante que el bote parte, una lancha que se mueve en la misma dirección y sentido con velocidad constante de 10 m/s lo pasa. ¿Después de qué tiempo y a qué distancia se encontrarán nuevamente? Rpta.

Un auto se mueve con velocidad de 45 m/s, desacelerando constantemente. Si luego de 3 s su velocidad se ha reducido a 30 m/s. ¿Cuánto tiempo más debe transcurrir para lograr detenerse? Rpta.

10.-

5.-

Una partícula parte del reposo con M.R.U.V., y en 5 s recorre 50 m. Calcular el espacio que recorre en el tercer segundo de su movimiento. Rpta.

Un tren va frenando y lleva un movimiento uniformemente retardado, sabiendo que emplea 20 s y luego 30 s en recorrer sucesivamente un cuarto de kilómetro. Hallar el espacio que recorrerá antes de pararse. Rpta.

e = 3 600 m

Un móvil parte del reposo con una aceleración constante y en 4 s recorre 32 m. Calcular el espacio que recorre en los 4 s siguientes. Rpta.

4.-

25 m/s

Un móvil parte del reposo con una aceleración constante. Si su velocidad aumenta a razón de 10 m/s cada 5 s. Calcular el espacio que habrá recorrido en 1 minuto (en metro). Rpta.

7.-

117

13,10 s

Una partícula parte del origen hacia la derecha con una velocidad de 10 m/s y con una aceleración de 1 m/s2 hacia la izquierda. ¿Cuáles son los instantes en que su distancia desde el origen es 1 m? Rpta.

t = 0,1 s ; t = 19,9 s ; t = 20,1 s


118

CAÍDA LIBRE

CONCEPTOS FUNDAMENT ALES FUNDAMENTALES

CAÍDA LIBRE

LÍNEA VERTICAL

Es el movimiento vertical que realizan los cuerpos en el vacío.

Es aquella línea recta, radial a un planeta. ¿Por qué en el vacío? porque si un cuerpo es soltado en un medio como por ejemplo el aire, éste se opone al libre movimiento del cuerpo y por consiguiente, el movimiento no sería de caída libre.

Experiencia de Newton − Al soltar simultáneamente una pluma y una piedra en el aire, la piedra llega − NOTA En el caso de tomar una superficie no muy grande, se asumirá líneas rectas paralelas a las verticales.

primero que la pluma, puesto que sobre esta última el aire ejerce mayor resistencia (mayor superficie) - figura 1. Al soltar simultáneamente una pluma y una piedra en el vacío ambas llegan al mismo tiempo, puesto que sobre ambas no existe ninguna resistencia, por lo tanto caen con la misma aceleración - figura 2.

fig. 1

fig. 2

MOVIMIENTO VERTICAL Cuando se suelta un cuerpo a una determinada altura, éste cae a través de la vertical, para ello ejerce un movimiento que toma el nombre mencionado. Si el cuerpo es lanzado desde la superficie hacia “arriba” también describe una trayectoria vertical.

ACELERACIÓN DE LA GRA VEDAD ((g)) GRAVEDAD Es aquella aceleración con la cual caen los cuerpos. Su valor depende íntegramente del lugar en que se tome. En la superficie terrestre esta aceleración no es constante, esto se debe a que la tierra no es perfectamente esférica y además posee superficies accidentadas.

NOTA En el caso de nuestro planeta, los cuerpos cercanos a ella caen porque la Tierra ejerce atracción sobre los cuerpos próximos a la superficie con una fuerza llamada peso.

Cinematica Test MRU 118

Sin embargo se considera como valor promedio al nivel del mar: g = 9 ,8 m / s2 g = 32, 2 pies / s2

Cinemática

119

CASOS DE CAÍDA LIBRE

A)

Cuando un cuerpo es soltado.

B)

v2 > v1 > vo Movimiento acelerado

Cuando un cuerpo es lanzado hacia abajo.

C)

v2 > v1 > vo Movimiento acelerado

Cuando un cuerpo es lanzado hacia arriba.

v3 < v2 < v1 : Movimiento retardado v5 > v4 > v3 : Movimiento acelerado

IMPORTANTE

El tiempo de subida es igual al tiempo de bajada para un mismo nivel.

El módulo de la velocidad de subida es igual al módulo de la velocidad de bajada para un mismo nivel.

FÓRMULAS DE CAÍDA LIBRE Puesto que el movimiento de caída libre es un caso particular del M.R.U.V.; las fórmulas serán las mismas, con la diferencia de que la aceleración ya es conocida (g). vF = v o ± gt

vF2 = v o2 ± 2gh

1 h = v ot ± gt2 2

h=

Usar: (+) si el cuerpo baja Usar: (-) si el cuerpo sube Cinematica Test MRU 119

FG v + v IJ t H 2 K F

o


120

TEST 1.-

Los cuerpos al caer lo hacen: a) b) c) d) e)

2.-

a) b) c)

Con aceleración constante. En una recta vertical. De diferentes maneras. Sin fricción del aire. Con velocidad uniforme.

6.-

a)

1.2.3.4.5.-

c)

a) b) c) 3.-

b)

1y2 1y3 2y3

d) e) 7.-

Son ciertas: d) e)

3y4 2y5

Un ascensor sube con aceleración “a”. El pasajero que se encuentra en el ascensor deja caer un libro. ¿Cuál es la aceleración del cuerpo respecto al pasajero?

a)

c)

g+a g–a g a cero

d) e) 8.-

4.-

Marcar la proposición correcta. a) b) c) d) e)

5.-

Para la aceleración de una partícula en un plano inclinado sin fricción, podemos afirmar que es:

− − −

a) b) c) 9.-

2v o g v2 Hmáxima = o 2g Tvuelo =

La velocidad en subida es igual a la velocidad en bajada. En el punto de altura máxima, la gravedad se hace cero al igual que la velocidad. Tiempo en subida es igual al tiempo en bajada.

Todos los cuerpos llegan con la misma velocidad al mismo nivel. Para todos los casos la aceleración sobre ellos es función del seno del ángulo de inclinación. A mayor ángulo de inclinación menor será el tiempo de recorrido. La velocidad de llegada al mismo nivel depende del ángulo de inclinación. N.A.

Respecto a la caída de los cuerpos en el vacío marcar verdadero (V) o falso (F): −

En las noches la aceleración de la gravedad es mayor que en el día. La aceleración de la gravedad es el mismo en todos los planetas. Los cuerpos no necesariamente caen hacia el centro de la tierra. Cuando un cuerpo sube, la aceleración de la gravedad está dirigida hacia arriba. La aceleración de la gravedad siempre es vertical y apuntando hacia el centro de la Tierra.

gtan α g

Galileo realizó experiencias con planos inclinados para llegar a demostrar las leyes de los cuerpos en caída. Si consideramos que se tienen planos inclinados de diferente inclinación y cuerpos sobre ellos que se sueltan de la misma altura sin fricción ¿Qué alternativa no se cumple?

b) a) b) c) d) e)

d) e)

En un lanzamiento hacia arriba en el vacío ¿Qué alternativa no se cumple cuando la velocidad de lanzamiento es vo?

Si desde un avión que vuela horizontalmente con velocidad “v” se deja caer un proyectil, éste tendrá, después de un tiempo “t”, una velocidad: Horizontal igual a “v”. Total en cualquier punto igual a “gt”. Vertical igual a “gt”. Horizontal distinta de “v”. Vertical igual “1/2 gt2”.

0 gsen α gcos α

Todos los cuerpos soltados desde un mismo nivel pesados y livianos llegan al mismo tiempo. Dos cuerpos soltados uno sobre el otro provocan una reacción nula entre ellos. El camino recorrido es proporcional al cuadrado del tiempo. La velocidad es proporcional al cuadrado de la distancia. VVVF VVFF FVVF

d) e)

FFVF FVVV

Si la gravedad en un planeta fuera el doble de la terrestre y se lanzara hacia arriba un cuerpo con la misma velocidad, con la que se lanzó en la tierra, no se cumpliría, ¿cuál de las alternativas?

Cinemática a) b) c) d) e)

121

La altura alcanzada en dicho planeta sería la mitad de la alcanzada en la Tierra. El tiempo de vuelo sería la mitad del empleado en la Tierra. La altura alcanzada en dicho planeta sería el doble del alcanzado en la Tierra. La velocidad de retorno sería igual a la de lanzamiento que tuvo en la Tierra. En este caso en el punto de altura máxima la gravedad tampoco desaparece.

10.-

Si soltamos una piedra en el vacío, marcar verdadero o falso para las siguientes proposiciones. − − − a) b) c)

En cada segundo recorrería 10 m en caso la gravedad sea 10 m/s2. En cada segundo su velocidad aumentaría en 10 m/s en caso la gravedad sea 10 m/s2. Para grandes alturas de caída en el vacío la piedra iría aumentando su peso. FVF FVV FFF

d) e)

VFV FFV


problemas de aplicación Se dispara un cuerpo verticalmente hacía arriba con velocidad de 80 m/s. Calcular el tiempo que demora en alcanzar su máxima altura (g = 10 m/s2).

02 = 10 − 2 10 h

Solución:

h= 5 m

o Entre A y B

2

b g b g

20h = 100

b) Entre A y B

v o = 80 m / s

v F = v o − gt

vF = 0

0 = 10 − 10t

g = 10 m / s2

t =1s

t AB = t = ? c)

vF = v o ± gt vF = v o − gt

2.-

a) b) c) d) e)

Calcular la altura que subirá. El tiempo que demora en subir. El tiempo que demora en bajar. El tiempo que demora en regresar al lugar de partida. La velocidad de llegada.

bg b g

t =1s

Nótese que el tiempo de subida es igual al tiempo de bajada. d)

Solución: a)

t total = 2 s Entre B y C vF = v o + gt (Mov. acelerado)

bg

v c = 0 + 10 1 ⇒ v c = 10 m / s

Entre A y B vF2 = v 2o − 2gh

Tiempo total = t subida + tbajada t total = 1 + 1

e) (Considerar g = 10 m/s2).

(Mov. acelerado)

1 5 = 0 t + 10 t 2 2

⇒ t=8s

Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 10 m/s. Se pide:

Entre B y C 1 h = v ot + gt 2 2

El cuerpo sube:

0 = 80 −10t

(Mov. retardado)

(Mov. retardado)

Nótese que la velocidad de subida es igual a la velocidad de llegada al mismo nivel.


122 3.-

Se dispara un proyectil verticalmente hacía arriba con una velocidad de 50 m/s. Al cabo de que tiempo la velocidad es de 10 m/s por primera vez y a que altura se encuentra (g = 10 m/s2).

Solución: o Entre A y B

Solución:

1 h = v ot + gt 2 2

o Entre A y B

125 = 0 +

v o = 50 m / s

b g

t 2 = 25

vF = 10 m / s

t = 5s

g = 10 m / s2

o Calculando la velocidad final vF = v o + gt

t=? v F = v o − gt

1 10 t 2 2

(sube)

10 = 50 − 10t

bg

vF = 0 + 10 5

⇒

vF = 50 m / s

t=4s

o Calculando la altura entre A y B

FG v + v IJ t H 2 K F 10 + 50 IJ 4 h=G H 2 K h=

F

o

B 1.-

o Entre B y C 1 h = v ot + gt 2 2 1 2 25 = vB 1 + 10 1 2

¿Qué velocidad inicial debe dársele a un cuerpo para que caiga 980 m en 10 s; y cual será su velocidad al cabo de 10 s.

b g b gb g

Solución:

25 = vB + 5

o Entre A y B

vB = 20 m / s

vo = ?

o Entre A y B

h = 980 m

vF2 = v o2 + 2gh

t = 10 s

b gb g b20g = 20bH − 25g vB2 = 0 + 2 10 H − 25

g = 9, 8 m / s

2

1 h = v ot + gt 2 2

2

H − 25 = 20

(baja)

b g 21 b9, 8gb10g

980 = v o 10 +

2

v o = 49 m / s o Calculando la velocidad final vF = v o + gt

(baja)

b g

vF = 49 + 9 , 8 10 vF = 147 m / s 5.-

Un cuerpo es dejado caer en el vacío sin velocidad inicial. Si en el último segundo recorre 25 m; calcular la altura desde el cual fue abandonado. Solución:

h = 120 m 4.-


Una bola se deja caer desde lo alto de un edificio de 125 m de altura. Calcular cuánto tardará en caer y con que velocidad llegará al suelo (g = 10 m/s2).

2.-

⇒

H = 45 m

Un cuerpo cae libremente desde el reposo. La mitad de su caída se realiza en el último segundo, calcular el tiempo total en segundos (g = 10 m/s2). Solución: o Entre A y B 1 2 h = v o t −1 + g t − 1 2 1 2 h= 0 + g t −1 2 1 2 h = g t − 1 ............ (1) 2

b g b g b g b g

Cinemática

123

o Entre A y C

Solución: o Dato:

1 2h = gt 2 ............ (2) 2

2t1 + t 2 = 4 s ....... (1)

o Reemplazando (1) en (2)

o Entre A y B

1 1 2 2 ⋅ g t − 1 = gt 2 2 2

v F = v o − gt

b g 2bt − 1g = t t = d2 + 2 i s 2

(sube)

0 = v − 10t1

2

t1 =

v ................ (2) 10

o Entre C y D 3.-

vF = v o + gt

Un globo se eleva desde la superficie terrestre a una velocidad constante de 5 m/s; cuando se encuentra a una altura de 360 m, se deja una piedra, calcular el tiempo que tarda la piedra en llegar a la superficie terrestre (g = 10 m/s2).

3v = v + 10t 2 t2 =

v ................ (3) 5

o (2) y (3) en (1)

Solución:

FG v IJ + v = 4 H 10 K 5

o Entre A y B v F = v o − gt

2 (sube)

2v =4 5

0 = 5 − 10t

⇒ v = 10 m / s

o Nuevamente entre A y B

t = 0 ,5 s

FG v + v IJ t H 2 K F 0 + 10 IJ FG 10 IJ h=G H 2 K H 10 K h=

o Entre B y C t = 0 ,5 s

(Ya que el tiempo de subida es igual al tiempo de bajada) 5.-

o Entre C y D 1 h = v ot + gt 2 2

(baja)

1 10 t 2 2

b g

o

1

Una esfera se deja caer desde 80 m de altura y al rebotar en el piso se eleva siempre la cuarta parte de la altura anterior. ¿Qué tiempo ha transcurrido hasta que se produce el tercer impacto? (g = 10 m/s2). Solución:

b g b g

T = tAB + 2 tBC + 2 tDE

360 = 5t + 5t2 t 2 + t − 72 = 0 ⇒

F

h= 5 m

v c = 5 m / s (A y C tiene el mismo nivel).

360 = 5t +

(baja)

................ (1)

bt + 9gbt − 8g = 0

t=8s

o Finalmente: Ttotal = t AB + tBC + t CD Ttotal = 0 , 5 + 0 , 5 + 8

Ttotal = 9 s 4.-

Un cuerpo se lanza verticalmente hacía arriba desde una ventana y luego de 4 segundos triplica su velocidad. Hallar la máxima altura alcanzada por el cuerpo respecto al lugar de lanzamiento (g = 10 m/s2).

o Entre A y B 1 h = gt 2AB 2 80 = 5t 2AB

⇒

t AB = 4 s


124 o Entre C y D

o (3) en (4):

1 2 h = v ot CD + gt CD 2 1 20 = 0 t CD + 10 t 2CD 2

b

t1 = 34 s

b g b g

t CD = 2 s

⇒

Luego:

t BC = 2 s

b gb g

h = 340 17

1 2 h = v otEF + gtEF 2

b g 21 b10gt

5 = 0 tEF +

⇒

7.2 EF

t DE = 1 s

⇒

h = 5 780 m

Un ingeniero situado a 105 pies de altura, en la ventana del décimo octavo piso ve pasar un objeto raro hacia arriba y 4 s después lo ve de regreso, hallar con qué velocidad fue lanzado el objeto desde el piso. (g = 32 pies/s2). Solución:

o En (1):

o Datos:

b g bg

T = 4 + 2 2 + 2 1 = 10

tBC + t CD = 4 s

T = 10 s 6.-

t 2 = 17 s

o En (2):

o Entre E y F

t EF = 1 s

g

5t12 = 340 51 − t1

tBC = t CD = 2 s

En la boca de un pozo se deja caer un cuerpo y una persona ubicada en el borde de ésta escucha el sonido del impacto luego de 51 segundos. ¿Cuál es la profundidad del pozo? (vsonido = 340 m/s ; g = 10 m/s2).

o Entre B y C vF = v o − gtBC

bg

0 = vB − 32 2

Solución:

vB = 64 pies / s o Entre A y B vF2 = v o2 − 2gh

b g − 2b32gb105g

vB2 = v A2 − 2g 105

b64g

2

= v A2

v A = 104 pies / s

o Con el cuerpo: 1 1 h = gt12 = 10 t12 2 2

b g

h = 5t12 ............... (1) o Con el sonido:

8.-

Se suelta una piedra de un edificio llegando al piso en 2 segundos. ¿Con qué velocidad mínima se debe arrojar la piedra hacia arriba para alcanzar la altura del edificio? (g = 10 m/s2). Solución: er

h = vt 2 = 340t 2

1 Caso:

h = 340t 2 ............ (2)

1 H = v ot + gt 2 2 t = 2s

o Dato: t1 + t 2 = 51

t 2 = 51− t1 ............ (3) o (1) = (2) 5t12 = 340t 2 ......... (4)

Reemplazando:

1 H = 0 × t + × 10 2 2

2

bg

H = 20 m

Cinemática do

2

125 10.-

Caso:

La velocidad de partida será mínima siempre y cuando la piedra llegue a la cima del edificio con velocidad cero. vF2 = v o2 − 2gH

Desde el borde de la azotea de un edificio se suelta una esferita y en ese mismo instante un muchacho de 1,70 m de estatura, parado a 10 m del punto de impacto de la esferita, parte acelerado con 1,25 m/s2. Si al llegar a dicho punto, la esferita da en la cabeza del muchacho. ¿Qué altura tiene el edificio? (g = 10 m/s2). Solución:

2 − 2 × 10 × 20 0 = vmin

vmin = 20 m / s

9.-

Un trozo de madera se suelta a un metro de distancia de la superficie libre de un estanque lleno de agua, si el agua produce una desaceleración de 4 m/s2 sobre la madera. ¿Qué profundidad máxima alcanza la madera en el estanque? (g = 10 m/s2). o Con el muchacho (M.R.U.V.) 1 e = v ot + at 2 2

Solución: o En el aire: (mov. acelerado)

10 = 0t +

vF2 = v 2o + 2gH

1 1, 25 t 2 ⇒ 2

b g

t=4s

o Con la esferita

bg

v 2 = 0 + 2 × 10 1

1 x = v ot + gt 2 2

v = 20 2

1 x = 0 × 4 + 10 4 2

o En el agua: (mov. retardado)

bg

o Finalmente:

vF2 = v 2o − 2ah 0 = v 2 − 2ah

H = 80 + 170 ,

0 = 20 − 2 × 4h ⇒ h = 2, 5 m

H = 81,70 m

2

⇒

x = 80 m

H = x + 170 ,


problemas de aplicación Un cuerpo se lanza verticalmente hacia abajo con una velocidad de 20 m/s. Luego de que tiempo su velocidad será de 80 m/s (g = 10 m/s2). Rpta.

2.-

6s

Se deja caer un objeto desde una altura de 45 m, calcular con que velocidad impactará en el piso (g = 10 m/s2). Rpta.

3.-

30 m/s

Se lanzó un cuerpo verticalmente hacia abajo comprobándose que desciende 120 m en 4 s. ¿Cuál fue la velocidad inicial del lanzamiento? Rpta.

4.-

10 m/s

Un cuerpo se lanza desde el piso y permanece en el aire 10 s. Hallar su altura máxima (g = 10 m/s2). Rpta.

125 m


126 5.-

Se suelta un cuerpo desde 125 m de altura. Hallar el tiempo que tarda en llegar al piso (g = 10 m/s2). Rpta.

3.-

Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba y vuelve a tierra al cabo de 5 s. ¿Qué altura habrá recorrido en el último segundo de su movimiento? (g = 10 m/s2).

5s Rpta.

6.-

Hallar la velocidad adquirida y la altura recorrida por un móvil que tarda 10 s en caer libremente. Rpta.

7.-

8.-

Rpta.

5.-

6.-

6s

Se tiene un pozo vacío cuya profundidad es de 170 m. Una persona en la parte superior lanza una piedra verticalmente hacia abajo con una velocidad de (125/3) m/s. ¿Luego de que tiempo escucha el eco? (vsonido = 340 m/s ; g = 10 m/s2). Rpta.

8.-

3,5 s 9.-

1.-

2.-

–25 m

Una plataforma se desplaza en línea recta y manteniendo una velocidad de 7 m/s. Si de ésta se tira una piedra verticalmente hacia arriba y retorna luego de haber recorrido 70 m la plataforma. ¿Con qué velocidad se lanzó la piedra? (g = 10 m/s2). Rpta.

B

30 m/s

Si lanzamos un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s. ¿A qué distancia del punto de lanzamiento dicho cuerpo tendrá una velocidad de 30 m/s? (g = 10 m/s2). Rpta.

10.-

8s

Un objeto se lanza verticalmente desde la azotea de un edificio. Después de 4 s otro objeto se deja caer libremente y 4 s después choca con el primero. ¿Con qué velocidad se lanzó el primero? (g = 10 m/s2). Rpta.

7.-

2 2 m/ s

Un globo aerostático sube verticalmente con una velocidad de 30 m/s. El piloto del globo al encontrarse a una altura 240 m con respecto al suelo, lanza verticalmente hacia abajo un tomate, con una velocidad respecto a su mano de 20 m/s. Al cabo de que tiempo el tomate tocará el suelo? (g = 10 m/s2). Rpta.

80 m

Un globo aerostático asciende verticalmente con una velocidad cte. de 10 m/s. Una persona situada en el globo suelta una pelotita justo cuando el globo se encuentra a 120 m de altura respecto al suelo. ¿Luego de qué tiempo la pelotita impacta en el suelo? (g = 10 m/s2).

Un arbitro de fútbol lanza una moneda hacía arriba con velocidad “v” la cual toca el césped con velocidad 2v, considerando que la mano del árbitro suelta la moneda a 1,2 m sobre le césped halle v en m/s (g = 10 m/s2). Rpta.

45 m

Dos esferitas macizas se lanzan verticalmente y simultáneamente desde A y B tal como se muestra. ¿Qué distancia las separa 2 s antes de cruzarse, si inicialmente estaban separadas 160 m? (g = 10 m/s2). Rpta.

9.-

v = 100 m/s h = 500 m

Una piedra es abandonada y cae libremente ¿Qué distancia logra descender en el 5° segundo de su movimiento? (g = 10 m/s2). Rpta.

4.-

20 m

50 m/s

Halle la velocidad con que fue lanzado un proyectil hacia arriba si ésta se reduce a la tercera parte cuando a subido 40 m (g = 10 m/s2).

Una alumna desea comprobar las leyes de caída libre, para lo cual se deja caer desde la parte superior de un edificio de 256 pies de altura. Un segundo más tarde aparece superman para lanzarse inmediatamente y salvar a la alumna justo cuando está por chocar al suelo. Hallar la velocidad con que se lanza superman en caída libre (g = 32 pies /s2).

Rpta.

Rpta.


30 m/s

Desde lo alto de un edificio se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad de 30 m/s llegando al piso luego de 8 s. Hallar la altura del edificio (g = 10 m/s2). Rpta.

80 m

10.-

37,3 pies/s

Un ascensor presenta una v = cte de –10 m/s, en cierto instante del techo del mismo se desprende un perno; e impacta en el piso luego de (4/7) s. ¿Qué altura tiene la cabina del ascensor? (considere g = 9,8 m/s2). Rpta.

1,6 m

Cinemática

127

GRÁFICOS RELACIONADOS AL MOVIMIENTO

Todos conocemos el sistema de coordenadas rectangulares en dos dimensiones, en base a esto vamos a representar las características del cuerpo en relación con el tiempo. Con ello podemos afirmar como fue el movimiento de un cuerpo y más aún, como será.

Características: A)

La gráfica v vs t es siempre un línea recta, paralela al eje del tiempo.

B)

El área bajo la gráfica equivale al desplazamiento, qué será positivo cuando el móvil se aleja del punto de partida, y negativo, si se acerca al punto de partida.

C)

El valor absoluto del área es numéricamente igual al espacio recorrido por el móvil. d = desplazamiento.

NOTA Para representar el movimiento de un cuerpo, generalmente se reemplaza al eje de las abcisas por el tiempo (t) y a las ordenadas por la posición (x), velocidad (v) ó aceleración (a).

d= A e = A =+A El móvil se aleja del punto de partida.

GRÁFICOS DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U.) 1.-

VELOCIDAD VS TIEMPO

e=A

d= −A e = −A = + A El móvil se acerca al punto de partida.

2.- POSICIÓN VS TIEMPO (x vs t) Características: A)

La gráfica x vs t es siempre una línea recta que no es paralela a ninguno de los ejes.

B)

El valor de la velocidad es numéricamente igual a la pendiente de la recta. v = tan θ


128

GRÁFICOS DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE V ARIADO VARIADO (M.R.U.V .) (M.R.U.V.) 1.-

VELOCIDAD VS TIEMPO (v vs t)

NOTA 2 Cuando el cuerpo en su movimiento cambia de sentido: el gráfico v vs t se ubicará en el primer y/o cuarto cuadrante.

a = tan θ

Si: A = A1 + A2 e=A

2.- ACELERACIÓN VS TIEMPO (a vs t) CASO PARTICULAR:

Si: vo = 0

El gráfico a vs t es una línea recta paralela al eje del tiempo, ya que el valor de “a” es constante.

e=A

3.- POSICIÓN VS TIEMPO (x vs t) Características: Características:

A)

El grafico x vs t es una parábola.

A)

B)

Dicha parábola siempre pasa por el origen.

C)

Si la parábola es cóncava hacia arriba el movimiento es acelerado, pero si es cóncava hacia abajo el movimiento es retardado.

El gráfico velocidad vs tiempo es una línea recta que no es paralela a ninguno de los ejes.

B)

La pendiente de la recta nos dá el valor de la aceleración.

C)

El área bajo el gráfico es numéricamente igual al espacio recorrido por el móvil. NOTA 1

Cuando el cuerpo en su movimiento no cambia de sentido: el gráfico v vs t es tan sólo en el primer cuadrante.

a1 = tan α ⇒ positivo a2 = tanβ ⇒ negativo

Cóncava hacia arriba ( mov. acelerado)

Cóncava hacia abajo ( mov. retardado)

OBSERVACIONES − Para hacer un gráfico se recomienda tomar escala, que no necesariamente serán las mismas para los dos ejes. − En cualquier movimiento se cumple que el área bajo la curva v vs t es numéricamente igual al espacio recorrido por el móvil.

Cinemática

129

TEST 1.-

Las velocidades “v” de tres partículas: 1, 2 y 3 en función del tiempo “t”, son mostradas en la figura. La razón entre las aceleraciones mayor y menor es:

a) b) c) d) e)

2.-

8 1/2 10 1 3

a)

d)

b)

e)

De las gráficas: A

B

C

N.A.

D c)

4.-

El gráfico corresponde con uno de los siguientes movimientos.

E

a) Las que corresponden al movimiento uniformemente variado son: a) b) c) 3.-

A, B y C C, D y E A, C y D

d) e)

b) c) d)

A, D y E Ninguna

¿Cuál de los siguientes diagramas v – t corresponde con el diagrama a – t mostrado, si el móvil parte del reposo?

e)

5.-

El de una piedra lanzada verticalmente hacia arriba. El de una pelota que se lanza verticalmente contra el piso. El de una pelota que se suelta desde cierta altura. El de un objeto que es lanzado desde cierta altura sobre el mar. El de una persona que baja y luego sube una escalera.

Según el gráfico, cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) necesariamente cierta (s).


130 8.I.- Es un M.R.U. II.- Es un M.R.U.V. III.- El movimiento es ascendente

a) b) c) 6.-

II y III Solo I Solo II

d) e)

¿Cuál de los siguientes gráficos a – t concuerda con el gráfico v – t mostrado?

Solo III I y III a)

d)

b)

e)

¿Cuál de los siguientes gráficos indica un mayor recorrido en los 10 primeros segundos, si siempre se parte del reposo?

a)

b)

c)

d)

c) e) 7.-

N.A.

¿Cuál de las siguientes gráficas v – t concuerda con la gráfica e – t mostrada?

9.-

Del gráfico se puede afirmar que: a) b)

c) a)

d) d) e) 10.-

b)

e)

N.A.

El móvil partió del reposo. Tuvo aceleración constante durante los primeros 5 segundos. Desaceleró finalmente a razón de 15 m/s2. La mayor parte del tiempo se movió con M.R.U. b y c son correctas.

Basados en el gráfico podemos afirmar: a) b)

c) c) d) e)

Para t = 0, el móvil estaba en reposo. Durante los primeros 5 segundos se movió en M.R.U.V. Después de los 5 primeros segundos se mueve con velocidad constante. El M.R.U.V. empieza después de t = 5 segundos. Después de t = 5 segundos el móvil se detiene.

Cinemática

131


problemas de aplicación Un móvil se desplaza con M.R.U. según el gráfico. Calcular el espacio recorrido al cabo de 10 segundos.

3.-

Solución:

Un auto parte del reposo y describe el gráfico adjunto. Determinar la velocidad al cabo de 5 segundos.

Solución:

b gb g

e = A = 5 10 e = 50 m

2.-

Una partícula parte del reposo con M.R.U.V. Cuando t = 2 s, su velocidad es 4 m/s manteniéndola constante. Calcular el espacio recorrido por el móvil hasta los 6 segundos.

a = tan θ = 2 = 4.-

FG v IJ H 5K

⇒ v = 10 m / s

Una partícula posee el siguiente gráfico de su movimiento (v vs t). Representar el gráfico (e vs t).

Solución:

Solución: o Entre A y B (mov. acelerado) t=0 ⇒ e=0 A = A1 + A2

A= Luego:

b2gb4g + b6 − 2gb4g = 20 2

e = 20 m

t = 3 ⇒ e = A1 = 18


132 o Entre B y C (mov. retardado) t = 3 ⇒ e = A1 = 18

t = 6 ⇒ e = A1 − A2 e = 18 −18 e=0 ( Ya que el móvil cambia de sentido) o Finalmente:

Solución: o v o = 0 , ya que tan 0° = 0 1 x = v ot + at 2 (mov. retardado) 2 o Para x = 4 cm 1 4=0 2 + a 2 2

bg

5.-

El gráfico v = f (t) nos muestra el movimiento de dos móviles “M” y “N”. Si “M” parte 3 s después que “N”. ¿Al cabo de qué tiempo ambos móviles alcanzan igual velocidad, si “M” acelera a 2,3 m/s2 y “N” inicia su movimiento a 8,6 m/s?

bg

2

⇒ a = 2 cm / s2

o Para: t = 1 s a = 2 cm / s2 ;

vF = v o + at

vo = 0

vF = 0 + 2 1

vF = ? 2.-

;

b gb g

v F = 2 cm / s

El gráfico representa el movimiento de un móvil en línea recta. Hallar el desplazamiento y espacio recorrido por el móvil entre t = 0 s y t = 8 s. (radio = 2 m).

Solución: o Para N: a = tan 37° 3 m / s2 4 v o = 8 ,6 m / s a=

;

vF = v o + at

;

v = 8, 6 +

3 t .............. (1) 4 Solución:

o Para M: a = 2, 3 m / s 2

;

vF = v o + aT

vo = 0

;

v = 0 + 2, 3 t − 3 ......... (2)

b g

o (1) = (2): t = 10 s B 1.-

problemas complementarios Una partícula se mueve a lo largo de la horizontal de acuerdo a la gráfica (x – t) mostrada. ¿Cuál es la velocidad de la partícula en t = 1 s?

o

A1 = A2 =

bg

πR2 π 2 = 2 2

2

= 2π

Cinemática

133

o d = desplazamiento

o Finalmente:

d = A1 − A2 = 0 ⇒ d = 0 o Espacio recorrido: e = A1 + A2 e = 2π +2π

3.-

⇒

e = 4π m

Dado el siguiente gráfico, determine la posición del móvil en el instante t = 2 s. 5.-

El diagrama corresponde al movimiento de dos partículas que inicialmente están separados por 200 m. ¿Qué tiempo tarda el móvil “A” para encontrar al móvil “B”?

Solución: o tanθ =

30 =5 6

Solución: o Con el móvil “A” (M.R.U.): v = 35 m/s

o En el triángulo sombreado: x x tanθ = ⇒ 5= 6−2 4

o Con el móvil “B” (M.R.U.): v = 15 m/s o Interpretando el problema:

x = 20

o Analizando el problema: 4.-

x = − 20 m

Construir la gráfica (v – t)para un móvil cuya posición respecto al tiempo se indica en el gráfico.

Nos piden el tiempo de encuentro: t = t=

F 200 I GH 35 + 15 JK

F GH v

e A + vB

I JK

⇒ t=4s

NOTA A continuación se explicará otro método para la resolución del presente problema.

Solución: o Entre O y A: Como la parábola es cóncava hacia abajo el movimiento es retardado (M.R.U.V.). Nótese que cuando el móvil llega al punto “A” ya no se mueve: vF = 0

FG v + v IJ t H 2 K F v + 0 IJ10 100 = G H 2 K e=

o

F

o

e = A1 + A2 200 = 35t + 15t t=4s

⇒ v o = 20 m / s


134 6.-

Un móvil en t = 0 está en xo = −50 m. Hallar la posición en t = 15 s. Si la siguiente gráfica (v – t) le corresponde.

Solución: o Transformando el grafico (a - t) a (v - t)

Solución:

o tanα =

o En el triángulo sombreado (inferior): tanα =

10 =5 2

o tanβ =

o En el triángulo sombreado (superior): tan α = 5 = o

A4 o

b gb g = b10 − 7gb25g = 75 F 12,5 + 25 IJ b15 − 10g = 93,75 =G H 2 K

t 2 = 3t1

b

g

b g t2 + b12t gb32t − t g

1 800 = 12t1

1

1

1

1

1 800 = 6t12 + 12t12 ⇒ t1 = 10 s o Finalmente:

d = − A1 + A2 + A3 + A4

o Interpretando el problema:

............ (2)

vt1 v t 2 − t1 + 2 2 Nótese: v = 12t1 1 800 =

1 7 − 2 25 = 62, 5 2

d = − 10 + 62, 5 + 75 + 93, 75 ⇒ d = 221, 25

g =6

2 − t1

e = 1 800 = A1 + A2

b gb g

A3

v

bt

o De (1) y (2):

v ⇒ v = 25 m / s 7−2

1 A1 = 2 10 = 10 2 A2 =

v = 12 ..................... (1) t1

8.-

b g

t 2 = 3 10

⇒ t 2 = 30 s

En el diagrama, ¿qué tiempo tarda el móvil “B” para alcanzar al móvil “A”?

Solución: x = d − 50

x = 221, 25 − 50 ⇒ x = 171, 25 m 7.-

El gráfico corresponde a un móvil que parte del reposo y luego de recorrer 1 800 m se detiene. ¿Qué tiempo tarda en recorrer dicha distancia?

o El punto de intersección que muestra el gráfico, es cuando el móvil “B” alcanza en velocidad al de “A”. Hasta ese momento sólo han pasado 3 segundos. Esto significa que el móvil “B” alcanzará al móvil “A” después de superar la velocidad de 9 m/s (como es lógico).

Cinemática

135 vf − 2 9−5 3 vf − 2 ⇒ vf = 5 m / s = 4 4 Trabajaremos sólo con valor absoluto, ya que el signo negativo tan sólo nos indica el sentido del movimiento. 1 AB = 9 − 5 2 + 9 − 5 3 ⇒ AB = 14 2 o Finalmente: e = AA + AB

o El problema nos dice que “B” alcanza a “A” ya que ambas parten al mismo tiempo.

tan 37° =

AA = AB

1 9t = t v f ...... (1) 2

b g

o tan θ =

b gb g b gb g

9 v =3= f 3 t

v f = 3t .............. (2)

e = 63 + 14

1 o (2) en (1): 9t = t 3t 2

b g

9.-

⇒ t = 6s

⇒

e = 77 m

o Interpretando el problema:

Dos automóviles presentan movimientos donde sus velocidades varían con el tiempo tal como indica la figura. Si inicialmente se encontraban juntos, ¿qué separación existe entre ellos en t = 9 s?

10.-

En el movimiento lineal del gráfico: vo = −12,5 m/s. ¿En que instante “t” la velocidad es cero?

Solución: o Las velocidades tienen signos diferentes, esto nos indica que los automóviles se van alejando: nos piden la separación para t = 9 s. Tenemos que calcular la suma de espacios hasta t = 9 s. vF − 1 9

4 vF − 1 = 3 9 v f = 13

b gb g 21 b9gb12g

AA = 1 9 +

o Con el móvil “B”:

NOTA En un movimiento donde la aceleración varía uniformemente respecto al tiempo, el área bajo la recta del gráfico (a – t) representa el cambio de velocidad entre dos puntos.

o Con el móvil “A”: tan53° =

Solución:

A = vF − v o

⇒ AA = 63

o En nuestro caso: A=

1 t−2 2

b g

2

1 2 t − 2 = v f − vo 2

b g

1 2 t − 2 = 0 − −12, 5 2

b g

t =7s

b

g


136


problemas de aplicación ¿Cuál es la velocidad que lleva el móvil entre los 10 y los 20 segundos?

Rpta. Rpta.

6.-

2.-

Según el gráfico, determinar el espacio recorrido, hasta el quinto segundo a partir de t = 0

El gráfico pertenece a un móvil que se mueve a lo largo del eje x. Si recorre 120 m en los primeros siete segundos, determinar el valor de su velocidad en el quinto segundo.

Rpta. Rpta.

Un auto viaja a 40 m/s y frena, desacelerando uniformemente de acuerdo al gráfico de su movimiento. Hallar el espacio recorrido entre t = 7 s y t = 10 s.

¿Cuál es la aceleración del móvil según el gráfico? Rpta. Rpta.

En el gráfico adjunto. ¿Cuál es la posición del móvil cuando t = 10 s?

El gráfico representa el movimiento de un móvil en una línea recta. Hallar el desplazamiento, y el espacio recorrido por el móvil entre t = 0 s y t = 10 s Rpta.

9.-

Rpta.

5.-

35 m

– 5 m/s2 8.-

4.-

20 m/s

30 m

7.-

3.-

10

0

La velocidad de tres partículas 1, 2 y 3 en función del tiempo son mostrados en la figura. Calcular la razón entre las aceleraciones mayor y menor.

Si el móvil parte con vo = 2 m/s ¿ Cuál es su velocidad al cabo de 6 s ?

Rpta.

Desplazamiento = 25 m Espacio = 35 m

10.-

32 m

3 m/s

En la gráfica a – t, determinar la velocidad en el 5to s de movimiento si el móvil parte del reposo.

Cinemática

137 3.-

Rpta.

2 m/s

Un cohete parte, con velocidad inicial de 8 m/s y su aceleración viene dada por la gráfica mostrada en la figura. ¿Cuál es su velocidad en t = 8 s? sugerencia: a = vf − vo

Rpta. B 1.-

36 m/s

problemas complementarios Del diagrama v – t de la figura. Deducir el diagrama x – t, si la posición inicial x o = 0 4.-

De la gráfica v – t de la figura deducir las gráficas x – t y a – t; considere que el móvil parte del origen de coordenadas.

Rpta. Rpta. 2.-

Del diagrama a – t de la figura deducir el diagrama v – t si se sabe que la posición y la velocidad inicial es 0.

5.-

La gráfica (v – t) muestra el movimiento horizontal de un móvil, si para t = 1 s el móvil se encuentra a 3 m a la izquierda del observador. Hallar la posición del móvil para t = 11 s.

Rpta. Rpta. 6.-

9 m a la derecha del observador

El movimiento de una partícula viene dado por la gráfica x – t, determinar la gráfica v – t correspondiente a dicho movimiento.


138 8.-

El gráfico representa la velocidad en función del tiempo de dos móviles M y N que parten de un mismo punto sobre la misma recta. Si N parte 5 s después de M, calcular en qué instante N alcanza a M.

Rpta.

9.-

25 s

La figura nos indica diagramas velocidad tiempo de dos móviles A y B que se mueven sobre la misma recta, y que parten de una misma posición inicial. Al cabo de qué tiempo, en segundos, se encontrarán los móviles.

Rpta. Rpta.

10.7.-

18 s

Hallar la velocidad instantánea en t = 10 s; x = posición, t = tiempo

El gráfico describe el movimiento de un auto y un camión que pasan por un mismo punto en t = 0. Calcular el instante en el cual volverán a estar juntos.

Rpta.

Rpta.

1 m/s

18 s

Cinemática

139

MOVIMIENTO COMPUESTO

Concepto Se denomina así a la combinación o superposición de dos o más movimientos simples. MOVIMIENTOS SIMPLES:

− −

M.R.U. M.R.U.V.

CASOS COMUNES DE MOVIMIENTO COMPUESTO

ç TRAYECTORIA : LÍNEA RECTA

M.R.U.

+ M.R.U.

M.R.U.

+ M.R.U.V. ç TRAYECTORIA : PARÁBOLA

M.R.U.V. + M.R.U.V. ç TRAYECTORIA : PARÁBOLA

CASO P AR TICULAR: PAR ARTICULAR: MOVIMIENTO P ARABÓLICO PARABÓLICO Como su nombre lo indica, es aquel movimiento en el cual la trayectoria es una parábola. Proviene generalmente de dos movimiento simples (M.R.U. y M.R.U.V.). Una aplicación directa de este movimiento es el problema del tiro.

Ejemplo 1: El caso de un avión que vuela horizontalmente con velocidad constante (M.R.U.), sin en algún momento es dejado caer desde el avión un objeto, su movimiento resultante tendrá como trayectoria una semiparábola

Si un cuerpo se lanza formando un determinado ángulo con la horizontal, éste describe una parábola como trayectoria; la componente vertical de la velocidad disminuye conforme el cuerpo sube y aumenta conforme el cuerpo cae, en cambio la componente horizontal permanece constante.

PRINCIPIO DE INDEPENDENCIA DE LOS MOVIMIENTOS

“Si un cuerpo tiene un movimiento compuesto, cada uno de los movimientos componentes, se cumplen como si los demás no existiesen”. Ejemplo 2: Las aguas de un río pueden tener en promedio cierta velocidad constante (M.R.U.); cuando una persona se lanza perpendicularmente (M.R.U.) a la orilla del río, su cuerpo será arrastrada por la corriente realizando un movimiento compuesto cuya trayectoria resultante será una línea recta.

Para resolver problemas de este capítulo, no daremos a conocer las numerosas fórmulas, puesto que no son indispensables. Los siguiente problemas serán resueltos aplicando únicamente el principio de independencia de los movimientos.


140

TEST 1.-

Una niña B, parado sobre la tierra lanza verticalmente hacia arriba una piedra. De entre las siguientes curvas indique cuál corresponde a la trayectoria espacial “vista” por A, quien como se muestra, se desplaza con velocidad constante respecto a tierra.

4.-

Para un proyectil lanzado en el vacío con cierto ángulo de inclinación, señalar verdadero (V) o falso (F): − − −

a) b) c) a)

5.-

d)

El movimiento vertical es dependiente del movimiento horizontal. En el punto de altura máxima la velocidad instantánea es cero. En el punto de altura máxima la aceleración total es g. FFF VVF FFV

d) e)

VVV VFV

Respecto a los lanzamientos de proyectiles en el vacío con cierto ángulo de inclinación, señalar verdadero (V) o falso (F). I)

b)

Si la mira de un cañón que lanza proyectiles con la misma velocidad, se ajusta en dos tiros con ángulos complementarios, se logrará el mismo alcance. II) Ajustando el ángulo de tiro 45° se logra el mayor alcance. III) El tiempo de vuelo depende expresamente de la componente horizontal de la velocidad.

e)

c)

2.-

Si en el caso de la pregunta anterior fuera a quien en su plataforma lanza la piedra verticalmente hacia arriba. La trayectoria espacial vista por un observador estático colocado al costado de la pista sería: a) b) c)

D C E

d) e)

a) b) c) 6.-

A B

a)

Un cazador ve un pájaro volando horizontalmente hacia su izquierda, por encima de él. Le dispara, acierta y el pájaro cae. La curva espacial descrita por el pájaro en su caída será:

c) d) e)

a)

d)

b)

e)

c)

7.-

d) e)

VFV VFF

Si desde un avión en vuelo, soltamos una bomba desde cierta altura “H”, se puede afirmar:

b) 3.-

VVF VVV FVF

Al cabo de cierto tiempo el avión estará más lejos que la bomba respecto a otra vertical. El avión y la bomba siempre ocuparán la misma vertical. La velocidad de la bomba siempre será igual a la velocidad del avión. El avión siempre estará más adelante que la bomba. El avión siempre estará detrás de la bomba.

Respecto a los lanzamiento efectuados de una partícula en el vacío como se observa en la figura, que alternativa se cumple:

Cinemática

8.-

9.-

141

a)

y = 2x

b)

y=

c)

y=x

x 2

d)

y
e)

x>y

El alcance máximo de un proyectil se logra ajustando la mira a 45°, en dicho caso éste alcance es: a)

v o2

b)

2v o2

c)

v o2

d)

2g

e)

g

a) b) c) d) e) 10.-

v o2 4g

Tardan igual tiempo en llegar. Al llegar al piso,“A” tiene mayor velocidad que “B”. Al llegar al piso,“A” y “B” tienen la misma velocidad. “A” tarda más tiempo en llegar. “a” y “c” son correctas.

Para el lanzamiento de un proyectil con “vo” y en el vacío con un ángulo de tiro “α” señalar verdadero (V) o falso (F). I.-

Siendo “x” el alcance e “y” la altura máxima, siempre se cumple que x = 4yctg α. II.- La componente horizontal de la velocidad siempre es vocos α. 3v o2 III.- El alcance para un ángulo de 30° sería 2g

N.A.

g

De la situación física de los cuerpos soltados de una misma altura y sin resistencias y en el vacío. ¿Qué se cumple ?

a) c) d) d) e)

VVV FVF FVV FFV VVF


problemas de aplicación o Entre A y C (M.R.U.): e = ?

Un nadador cuya velocidad es de 30 m/s en aguas tranquilas decide cruzar un río de 300 m de ancho, cuyas aguas tienen una velocidad de 40 m/s, para tal efecto se lanza perpendicularmente a la orilla del río. Calcular el espacio recorrido por el nadador. Solución:

e = vt

b g

e = 50 10 2.-

o Entre A y B (M.R.U.): e = vt 300 = 30t ⇒ t = 10 s

e = 500 m

Una lancha a motor parte desde la orilla de un río de 120 m de ancho con una velocidad constante de 30 m/s perpendicular a él; las aguas del río tienen una velocidad de 15 m/s. ¿Qué tiempo tarda la lancha en llegar a la otra orilla? Solución:

Aplicaremos el principio de independencia de los movimientos.

⇒


142 Aplicaremos el principio de independencia de los movimientos.

5.-

o Entre A y B (M.R.U.): e = vt 120 = 30t

3.-

⇒

Una pelota fue lanzada con una velocidad inicial de 10 m/s, formando con el horizonte un ángulo de 40°, hallar. a) b) c)

t= 4s

Una pelota sale rodando del borde de una mesa de 1,25 m de altura; si cae al suelo en un punto situado a 1,5 m del pie de la mesa. ¿Qué velocidad tenía la pelota al salir de la mesa? (g = 10 m/s2).

¿Cuanto tiempo se encontró en movimiento? ¿Hasta que altura subió la pelota? ¿A qué distancia del punto de lanzamiento cayó la pelota?

sen 40° = 0,642 8 ; cos 40° = 0,766 0 ; g = 10 m/s2 Solución:

Solución: o Verticalmente: (caida libre) vo = 0

1 h = gt2 2 1 1, 25 = 10 t 2 2

b g

t = 0 ,5 s

a)

v F = v o − gt

o Horizontalmente (M.R.U.):

(sube)

0 = 10 sen 40° − 10t ⇒

e = vt

b g

1, 5 = v 0 , 5 4.-

Entre A y B (verticalmente):

t = sen 40°

t = 0 , 642 8 s

⇒ v = 3 m/ s

Ttotal = t AB + tBC = 0 , 642 8 + 0 , 642 8

Un avión que vuela horizontalmente a razón de 90 m/s, deja caer una bomba desde una altura de 1 000 m ¿Con qué velocidad aproximada llega la bomba a tierra? (g = 10 m/s2).

Ttotal =1, 285 6 s b) Entre A y B (verticalmente):

FG v + v IJ t H 2 K F 0 + 10 sen 40° IJ 0, 642 8 h=G H 2 K h = b5 × 0 , 642 8gb0 , 642 8g ⇒ h=

Solución:

c)

F

o

h = 2, 07 m

Entre A y C (horizontalmente): M.R.U. e = vt

b gb g x = b10 × 0 ,766 0gb1, 285 6g x = 10 cos 40° Ttotal

o Verticalmente (caida libre) vF2 = v 2o + 2gh (baja)

b gb

vB2 = 0 + 2 10 1 000 vB2

g


= 20 000 1.-

o vR2 = v 2 + vB2

b g

vR2 = 90 vR2

B

⇒ x = 9 , 85 m

2

+ 20 000

= 8 100 + 20 000 ⇒ VR = 167 m / s

Una pelota lanzada horizontalmente choca con una pared que se encuentra a 5 m de distancia del sitio desde la cual se lanzó. La altura del punto en que la pelota choca con la pared es un metro más bajo que la altura desde el cual fue lanzada. Determinar con qué velocidad inicial fue lanzada la pelota.

Cinemática

143

Solución:

3.-

o Verticalmente (entre A y B) : vo = 0

Solución:

g = 9 , 8 m / s2

o Verticalmente:

h = 1m

1 h = v ot + gt 2 2

1 h = v ot + gt 2 2 1 1 = 0 t + 9, 8 t2 2 1 t= s 4 ,9

1 h = × 10t2 2

bg b g

h = 5t2 ....... (a) o Horizontalmente: e = vt = 3t

o Horizontalmente (M.R.U.): e = vt

e = 3t ....... (b) 1 4 ,9

5=v× 2.-

Desde el descansillo de una escalera se lanza una bola con velocidad de 3 m/s. Si el alto y ancho de cada escalón es de 0,25 m c/u. ¿En qué escalón caerán por primera vez la bola? (g = 10 m/s2).

o (a) = (b) ya que: e = h

⇒ v = 11, 07 m / s

3t = 5t 2

Determinar el ángulo de lanzamiento de una partícula de tal modo que su alcance horizontal sea el triple de su altura máxima.

⇒

t=

3 s 5

o En (b):

FG 3 IJ H 5K

e=3

Solución:

⇒

N° Escalón ≅ 4.-

e = 1, 8 m

1, 80 ≅ 7 , 2 ≅ 8° 0 , 25

Un automóvil se mueve horizontalmente con una velocidad de 20 m/s. ¿Qué velocidad se le dará a un proyectil, disparado verticalmente hacia arriba desde el auto, para que regrese nuevamente sobre él, después que el auto haya recorrido 80 m? (g = 10 m/s2). Solución:

o Verticalmente (A y B):

FG v + v IJ t H 2 K F 0 + vsen θ IJ t h=G H 2 K F vsen θ IJ t ............... (1) h= G H 2 K h=

f

o

o Horizontalmente (A y C) :

gb g

3h = v cos θ 2t ............ (2) o (1) : (2) 1 tanθ = 3 4

o Con el proyectil (verticalmente): v f = v o − gt

e = v ht

b

T = 2t

0 = v − 10t ⇒

t=

v 10

o Con el proyectil (horizontalmente) ⇒ θ = 53°

b g

e = vhT = vh 2t 80 = 20 ×

2v 10

⇒

v = 20 m / s


144 5.-

o Con el proyectil (horizontalmente):

Un jugador de fútbol patea una pelota, que sale disparada a razón de 15 m/s y haciendo un ángulo de 37° con la horizontal. Pedro, un jugador se encuentra a 27 m de distancia y delante del primero, corre a recoger la pelota. ¿Con qué velocidad debe correr este último para recoger la pelota justo en el momento en que ésta llega a tierra? (g = 10 m/s2).

bg

b g 2i ⇒

e = v H T = 50 2 2t

x = 50 2 2 × 5

d

x = 1 000 m

o Con el tanque:

bg b g

e = v T = v 2t

Solución:

y = 4 × 2× 5 2

⇒

y = 56 , 6 m

o Finalmente: d= x + y d = 1 000 + 56 , 6 7.o Con la pelota (verticalmente): v f = v o − gt 0 = 9 − 10t ⇒

t = 0 ,9 s

⇒

d = 1 056 , 6 m

En la figura, la plataforma se desplaza a razón constante de 6 m/s. ¿Con qué velocidad respecto a la plataforma debe el hombre correr sobre la plataforma para salir horizontalmente del borde y llegar justo al otro extremo? (g = 10 m/s2). Desprecie la altura de la plataforma.

o Con la pelota (horizontalmente):

b g x = 12b2 × 0 , 9g x = vT = v 2t

⇒

x = 21, 6 cm

o Con Pedro: y = 27 − x = 5, 4 m

b g

y = vT = v 2t

b

5, 4 = v 2 × 0 , 9 6.-

g

⇒

v = 3 m/ s

Un mortero dispara un proyectil bajo un ángulo de 45° y una velocidad inicial de 100 m/s. Un tanque avanza, dirigiéndose hacia el mortero con una velocidad de 4 m/s, sobre un terreno horizontal. ¿Cuál es la distancia entre el tanque y el mortero en el instante del disparo, si hace blanco? (g = 10 m/s2). Solución:

Solución: o Entre A y B (verticalmente): vo = 0 1 h = v ot + gt 2 2 1 1, 25 = 0 × t + × 10t 2 ⇒ 2 Ilustrando:

o Con el proyectil (verticalmente de subida): v f = v o − gt

0 = 50 2 − 10t ⇒

t=5 2 s

t = 0 ,5 s

Cinemática

145

o Entre A y B (horizontalmente) M.R.U.

b

g b0,5g

Solución:

e = v total t 4 = v total o Pero:

o Horizontalmente: ⇒

4 L = 10 t 5 2 t = L ............ (1) 25

b g

v total = vP + vh

8 = 6 + vh ⇒ 8.-

x = vt

v total = 8 m / s

vh = 2 m / s

Un apache desea clavar perpendicularmente una flecha en la pradera, lanzándola con un ángulo de 53° con la horizontal. Determinar la razón x/y.

o Verticalmente: 1 3 1 y = gt 2 ⇒ L = gt 2 ............ (2) 2 5 2 o (1) en (2):

gFGH IJK

3 1 2 L = 10 L 5 2 25

b

10.-

2

⇒ L = 18 ,75 m

Una partícula es lanzada desde la ventana de un edificio ubicado a 100 m de altura, con una velocidad de 50 m/s y formando un ángulo de 37° con la horizontal. Determinar el tiempo que tarda en impactar con la colina (g = 10 m/s2).

Solución: Nótese que la flecha por tener velocidad solo horizontal en B”, se encuentra en el punto de altura máxima. o Verticalmente (entre A y B): v 2f = v 2o − 2gy

b

g

0 = vsen 53° y=

2

− 2gy

v 2sen2 53° ............ (1) 2g

Además:

Solución:

v f = v o − gt

o Horizontalmente (entre A y C):

0 = vsen 53° − gt

e = vt

vsen 53° ................... (2) t= g o Horizontalmente (entre A y B)

b

4 L = 40t 5 L = 50t ...... (1)

g

x = v cos 53° t ............. (3) o (2) en (3):

b

x = v cos 53°

g bvseng53°g

............. (4)

o Dividiendo (4) entre (1): x 2 cos 53° x 3 = ⇒ = y sen 53° y 2 9.-

Desde la parte superior de un plano inclinado 37° con la horizontal, se lanza horizontalmente una esfera con una velocidad inicial de 10 m/s. Determinar el alcance “x” de la esfera a lo largo del plano inclinado.

o Verticalmente (entre A y C): 1 y = vot − gt2 ⇒ 2

FG 3L − 100IJ = 30t − 1 gt ..... (2) H5 K 2 2

o (1) en (2): 3 10 50t − 100 = 30t − t2 ⇒ t = 2 5 s 5 2 Recomendación: Investigar método vectorial para problemas de caída libre.


146


problemas de aplicación Un avión vuela a 1 470 m de altura con una velocidad de 144 km/h. ¿A qué distancia antes de estar sobre el blanco deberá soltar la bomba? Rpta.

2.-

Un proyectil es lanzado horizontalmente desde una altura de 36 m con velocidad de 45 m/s. Calcula: El tiempo que dura el proyectil en el aire y el alcance horizontal del proyectil (g = 10 m/s2). Rpta.

3.-

40 294 m

t=

6 5 s ; x = 54 5 m 5

Rpta. 9.-

En qué relación deben estar las velocidades de lanzamiento de la partícula si se desea que caiga en los puntos A y B.

Rpta.

Un avión vuela horizontalmente y suelta una bomba al pasar justo sobre un camión enemigo que se desplaza a 120 km/h y logra destruirlo 500 m más adelante. ¿Desde que altura se soltó la bomba? Rpta.

10.vA 2 = vB 3

1.-

960 m

problemas complementarios En la figura tenemos una porción de la trayectoria de un movimiento parabólico, si la velocidad en el punto “A” es 40 2 m/s. Hallar la altura que hay entre 3 “A” y “B” si: α = 45° = θ , (g = 10 m / s2 ). 4 Rpta.

160 m

8,1 m

Se arroja una piedra a un pozo con ángulo de 60° respecto a la horizontal con velocidad de 10 3 m/s. Si en 4 s llega al fondo del pozo. ¿Qué altura tendrá dicho pozo? (g = 10 m/s2). Rpta.

8.-

B

Un cañón dispara una bala con una velocidad de 91 m/s. Cuando el ángulo de elevación es de 45°; el alcance es de 820 m. ¿Cuánto disminuye el alcance la resistencia del aire? Rpta.

7.-

2 3s

Un cañón dispara un proyectil con una velocidad inicial de 100 m/s y a una inclinación de 37° con respecto al horizonte. Calcular a qué distancia llega. Rpta.

6.-

35 m

Una piedra es lanzada con un inclinación de 60° con la horizontal y una velocidad inicial de 40 m/s. ¿Al cabo de qué tiempo se encontrará nuevamente en el suelo? Rpta.

5.-

1 102,5 m

Un partícula es lanzada desde “A” con una velocidad de 50 m/s. ¿Determinar el valor de “H”? (g = 10 m/s2).

Rpta. 4.-

20 m/s

20 m

Calcular la mínima velocidad que debe tener un móvil para pasar un obstáculo, como en la figura mostrada (g = 10 m/s2).

2.-

La pelota mostrada se impulsa a 3 2 m/s con ángulo de tiro de 45°. Al impactar sobre la ventana lo hace a 5 m/s. Hallar “x” (g = 10 m/s2). Rpta.

2,10 m

Cinemática 3.-

Un mortero dispara un proyectil bajo un ángulo de 45° y una velocidad inicial de 100 m/s. Un tanque avanza, dirigiéndose hacia el mortero con una velocidad de 4 m/s; sobre un terreno horizontal. ¿Cuál es la distancia entre el tanque y el mortero en el instante del disparo si hace blanco? (g = 10 m/s2). Rpta.

4.-

d

i

Rpta.

Caerá en el 2do escalón 9.-

45°

Si“A”y“B”se impulsan simultáneamente y chocan al cabo de 6 s, en el instante en que “B” logra su máxima altura. Hallar la distancia de separación vertical entre los puntos de lanzamiento si “A” se lanzó con 160 pies/s.

Si, caerá dentro del túnel

Se lanzan al mismo instante dos piedras, una con velocidad “v1” que hace 30° con la horizontal y la otra “v2” que forma 53° con la horizontal, si el tiempo que demoró caer a Tierra la que tiene “v1”, es 5 veces lo que demoró en caer a Tierra la que tiene “v2”. Hallar: v1/v2 (g= 10 m/s2). Rpta.

7.-

Dos cuerpos lanzados simultáneamente de los puntos “A” y “B” chocan en el punto “P” tal como se muestra. ¿Cuánto vale “α” ? (g = 10 m/s2).

d = 40 25 + 2 m

Un ciclista que va a una velocidad de 108 km/h, entra a un túnel de 20 m de largo, y al momento de entrar al túnel deja caer su gorra desde una altura de 1,65 m del suelo ¿La gorra caerá dentro del túnel?

Rpta. 6.-

8.-

Una pelota sale rodando del borde de una escalera con una velocidad horizontal de 1,08 m/s, si los escalones tienen 18 cm de altura y 18 cm de ancho. ¿Cuál será el primer escalón que toque la pelota? Rpta.

5.-

147

8

Rpta. 10.-

384 pies

Un proyectil se lanza desde el punto “A” con una velocidad de 25 m/s como se indica, choca elásticamente en el punto “B” para finalmente impactar en el punto “C”. Determine a qué distancia desde el punto de lanzamiento impacta en “C”, y con qué velocidad llega.

Sobre una pista lisa inclinada, tal como se muestra, se lanza una bolita con una velocidad de 50 m/s y un ángulo de 53°. ¿Cuál es el alcance horizontal de la bolita? (g = 10 m/s2).

Rpta.

400 m

Rpta.

20 m, 25 m/s


148

MOVIMIENTO CIRCULAR

Concepto Es aquel movimiento en el cual la trayectoria es una circunferencia

CONCEPTOS FUNDAMENT ALES FUNDAMENTALES DESPLAZAMIENTO LINEAL (S) Es la longitud de arco de circunferencia recorrida por un cuerpo con movimiento circular. Se expresa en unidades de longitud.

f =

N° de vueltas Tiempo total

⇒

f=

1 T

Unidad de frecuencia en el S.I. revolución 1 = R.P.S. = = s−1 = Hertz segundo s

Otras unidades: revolución rev = = R.P.M. minuto min revolución rev = = R.P.H. hora h

VELOCIDAD LINEAL O TANGENCIAL (v) DESPLAZAMIENTO ANGULAR (θ) Es el ángulo que se recorre en el centro.

S = θ ⋅R

Unidad de desplazamiento angular en el S.I.

Es aquella magnitud vectorial cuyo valor nos indica el arco recorrido por cada unidad de tiempo, también se puede afirmar que el valor de esta velocidad mide la rapidez con la cual se mueve el cuerpo a través de la circunferencia. Se representa mediante un vector cuya dirección es tangente a la circunferencia y su sentido coincide con la del movimiento.

radián (rad) Unidades: m/s ; cm/s , etc.

PERÍODO (T) Es el tiempo que demora un cuerpo con movimiento circular en dar una vuelta completa. Se expresa en unidades de tiempo. T =

Tiempo total N° de vueltas

FRECUENCIA (f) Es el número de vueltas dado por un cuerpo con movimiento circular en cada unidad de tiempo, también se le puede definir como la inversa del período.

VELOCIDAD ANGULAR ( ω ) Es aquella magnitud vectorial que nos indica cuál es el ángulo que puede recorrer un cuerpo en cada unidad de tiempo. Se representa mediante un vector perpendicular al plano de rotación; su sentido se determina aplicando la regla de la mano derecha o del sacacorchos.

Cinematica

149

Unidad de velocidad angular en el S.I.

MOVIMIENTO ACELERADO

MOVIMIENTO RETARDADO

La velocidad y la aceleración angular tienen el mismo sentido

La velocidad y la aceleración angular tienen sentidos opuestos

Unidad de aceleración angular en el S.I.

radián rad / s segundo

b

g

radián rad / s2 segundo2

d

Otras unidades:

Otras unidades: radián rad / min minuto

b

g

radián rad / h hora

b

g

ACELERACIÓN TANGENCIAL ( a ) Es aquella magnitud vectorial que nos indica cuanto cambia la velocidad tangencial en cada unidad de tiempo. Se representa mediante un vector que es tangente a la trayectoria.

i

radián rad / min2 2 minuto

d

radián rad / h2 hora2

d

i

i

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME ( M.C.U.)) Concepto Es aquel movimiento en el cual el móvil recorre arcos iguales en tiempos iguales. En este caso la velocidad angular permanece constante, así como el valor de la velocidad tangencial.

Unidades: m/s2, cm/s2, etc.

Son ejemplos de este tipo de movimiento: La velocidad y la aceleración tangencial tienen el mismo sentido.

La velocidad y la aceleración tangencial tienen sentidos opuestos.

ACELERACIÓN ANGULAR ( α ) Es aquella magnitud vectorial que nos indica cuanto aumenta o disminuye la velocidad angular en cada unidad de tiempo. Se representa mediante un vector perpendicular al plano de rotación.

− El movimiento de las agujas del reloj. − El movimiento de las paletas de un ventilador. − El movimiento de un disco fonográfico.

FÓRMULAS QUE RIGEN EL M.C.U. v =

S t

ω =

θ t


150

RELACIÓN ENTRE LA VELOCIDAD ANGULAR Y EL PERÍODO ω =

2π T

ó

ω = 2πf

RELACIÓN ENTRE LA VELOCIDAD TANGENCIAL Y ANGULAR v = ωR

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE V ARIADO (M.C.U.V .) VARIADO (M.C.U.V.) Concepto Es aquel movimiento en el cual la velocidad angular varía pero permanece constante la aceleración angular, así como el valor de la aceleración tangencial.

R = radio

CASOS IMPORTANTES: A)

Si dos o más partículas girán en base a un mismo centro, sus velocidades angulares serán iguales.

FORMULAS QUE RIGEN EN EL M.C.U.V. LINEAL

ω A = ωB

B)

Cuando dos ruedas están en contacto o conectadas por una correa, entonces los valores de sus velocidades tangenciales son iguales.

v A = vB Usar:

v A = vB

ANGULAR

a =

vF − v o t

α =

ωF − ω o t

S =

FG v + v IJ t H 2 K

θ =

FG ω + ω IJ t H 2 K

F

o

F

o

1 S = v ot ± at 2 2

1 θ = ω ot ± αt2 2

v 2f = v 2o ± 2aS

ω 2f = ω o2 ± 2αθ

v f = v o ± at

ω f = ω o ± αt

(+) Movimiento acelerado (−) Movimiento retardado

RELACIÓN ENTRE LA ACELERACIÓN TANGENCIAL Y LA ACELERACIÓN ANGULAR a = α ⋅R

Cinemática

151

TEST 1.-

Una partícula tiene un M.C.U. ¿Cuál sería la posible gráfica “θ” en función del tiempo?

a)

5.-

a) b) c) d) e)

d)

6.-

b)

¿Qué distancia recorre “P” si la polea mayor gira (π/4) rad/s en 2 s?

Para el siguiente movimiento, respecto a la aceleración angular se puede afirmar:

e)

c)

2.-

Del siguiente movimiento se plantean las siguientes premisas: I. II. III. IV.

vA = vB = vC ωA = ωB = ωC fA = fB = fC vA < vB < vC

7.-

¿Cuál o cuáles de las sentencias son falsas? a) b) c) 3.-

4.-

Solo I IV y II Sólo II

d) e)

8.-

2π/3 cm π/3 cm 4π/3 cm π/5 cm N.A.

a)

Bα

b)

α = 0 ; movimiento circular uniforme

c)

; movimiento acelerado

d)

Aα Aα

e)

α

; constante

; movimiento acelerado

; movimiento retardado

En qué relación estarán las velocidades tangenciales de las periferias de los discos unidos por su eje, si gira con velocidad angular “ω” y los radios de los discos están en relación de 1 es a 3.

a) b) c) d) e)

Sólo IV III y IV

Si la rueda gira π/3 rad, ¿qué distancia se ha trasladado la rueda? (en cm). a) b) c) d) e)

πR/4 πR/3 2πR/3 πR/2 πR/5

2/3 1/3 3/4 1,2 1

Se muestran dos cilindros conectados por una faja. ¿Cual se mueve mas rápido?

¿Con respecto al M.C.U. ¿Cuál es la expresión falsa? a) b) c)

v = cte ω = 2πf ω = cte

d) e)

α≠0 Todas son falsas

a) b) c)

El cilindro A El cilindro B Iguales

d) e)

Faltan datos A veces A, a veces B


152 9.-

En un M.C.U. respecto a la aceleración, señalar verdadero (V) ó Falso (F). I. II. III. a) b) c)

10.-

No posee ningún tipo de aceleración. La aceleración tangencial es cero. Posee aceleración angular. FFF VFV FVF

d) e)

VFF VVV

Una rueda gira a razón de 180 revoluciones por minuto, su velocidad angular en rad/s es: a)

4π

b)

6π

c)

8π

d)

π

e)

10π


problemas de aplicación Una partícula describe una circunferencia de radio igual a 30 cm y da 4 vueltas en 20 segundos; calcular: a) b) c)

3.-

Solución:

El período La frecuencia La velocidad angular

o Velocidad angular del horario

Solución: a)

T=

Tiempo total # de vueltas

20 T= 4 b)

⇒

2π 5

ω=

π rad / h 6

ω=

f = 0 , 2 Hz

⇒

ω=

2π rad 12 h

Ángulo recorrido Tiempo empleado

⇒

ω=

2π rad 1h

ω = 2π rad / h

4.⇒

Ángulo recorrido Tiempo empleado

o Velocidad angular del minutero

2π ω= T ω=

2.-

4 20

ω=

T = 5s

# de vueltas f= Tiempo total f=

c)

⇒

En un reloj de agujas, determinar la velocidad angular del horario y minutero, en rad/h.

ω = 0 , 4 π rad / s

Un auto va a 80 km/h, el diámetro de la llanta es de 33 cm. Calcular la velocidad angular. Solución:

Considerando que el período de la Luna alrededor de la Tierra es 28 días. Determinar la velocidad angular de la Luna respecto de la Tierra en rad/h.

o v = 80 km / h =

200 m/ s 9

o Cálculo de la velocidad angular: v = ωR Solución: o TLuna = 28 días

⇒

200 = ω 0 , 33 9

b g

24 h TLuna = 28 días × 1día

ω=

TLuna = 672 h

o Calculando la velocidad angular: ω = ω=

2π 672

⇒

ω=

π rad / h 336

2π T

5.-

200 rad / s 297

Una rueda durante su recorrido necesita 3 s para girar un ángulo de 234 radianes; su velocidad angular al cabo de este tiempo es de 108 rad/s. Determinar su aceleración angular constante.

Cinemática

153

Solución:

2.-

Un cono gira con período de 4 s. ¿En qué relación están las velocidades lineales de los puntos P y Q?

o Datos: t = 3s

ω F =108 rad / s

θ = 234 rad

α=?

o Calculando la velocidad angular inicial:

FG ω + ω IJ t H 2 K F ω + 108 IJ 3 234 = G H 2 K

θ=

o

F

o

⇒ ω o = 48 rad / s Solución:

o Calculando la aceleración angular (α): α=

108 − 48 α= 3

B 1.-

o Relación de radios:

ωF − ω o t ⇒ α = 20 rad / s

3 RP = 18 RQ

2

⇒

RP 1 = RQ 6

o Datos: T = 4 s Como P y Q giran en torno a un mismo eje, sus velocidades angulares son iguales.


ωP = ω Q

Un disco rota uniformemente alrededor de su eje, v1 es la velocidad del punto “1” y v2 es la velocidad del punto “2”. Los puntos “1” y “2” distan de “O” 1,5 y 2 cm respectivamente. Calcular la relación entre velocidades: v2/v1.

vP v Q = RP RQ

⇒

vP RP 1 = = v Q RQ 6

vP 1 = vQ 6 3.-

Una partícula gira en un círculo de 3 m de diámetro a una velocidad de 6 m/s, tres segundos después su velocidad es 9 m/s. Calcular el número de vueltas que ha dado al cabo de 6 s. Solución:

U| v = 9 m / s || V| t = 3s | a = ? (m / s ) | W v = 6 m/ s U || t=6s |V a = 1m/ s | || W S = ? (m) U| S = 54 m |V R = 1, 5 m | θ = ? (rad) |W

o vo = 6 m/ s F

Solución: o Como se verá: Los puntos (1) y (2) giran en torno a un mismo centro: ω1 = ω 2 = ω

2

o

o Velocidades tangenciales:

b g = ωb2, 0g ......... (2)

v1 = ω 1, 5 ......... (1) v2

o (2) : (1) 2 v2 1 = ⇒ v1 3 2

2

o v2 4 = v1 3

o

a=

vF − v o t

a=

9−6 3

a = 1 m / s2 1 S = v ot + at2 2 1 S=6 6 + 1 6 2

2

b g b gb g

S = 54 m S = θR

b g

54 = θ 1, 5 θ = 36 rad


154 o Finalmente:

b g

o ω = 2πf = 2π 200

2π rad 36 rad

1 vuelta x

ω = 400 π rad / s

4.-

e = vt

o Con el proyectil:

x = 5,73 vueltas

2 = vt ........... (1)

Un ventilador gira con velocidad correspondiente a una frecuencia de 900 R.P.M. al desconectarlo, su movimiento pasa a ser uniformemente retardado hasta que se detiene por completo después de dar 75 vueltas. ¿Cuánto tiempo transcurre desde el momento en que se desconecta el ventilador hasta que se detiene por completo?

Ahora para que el proyectil penetre un sólo agujero, el cascarón deberá dar media vuelta. Luego: t=

Solución:

T ; siendo: T = período de revolución 2

o En (1):

o Dato: rev 1 min rev × = 15 fo = 900 min 60 s s fF = 0

o Aplicando: ω = 2πf

U| ω =0 || V| t=? | # de vueltas = 75 | W ω o = 30 π rad / s F

6.2π rad

1 vuelta

θ=?

75 vueltas

θ = 150 π rad

2= v

1 T ; pero: T = f 2

2=v

FG 1 IJ H 2 × 200 K

⇒

v = 800 m / s

Tres ruedas A, B y C, se encuentran en contacto tal como muestra el gráfico. Siendo la velocidad angular de “B” 200 rad/s. Hallar la velocidad angular de “A” y “C” en rad/s si los radios son iguales a 20, 10 y 15 cm respectivamente.

o Luego: θ=

FG ω H

F + ωo

150 π = 5.-

2

IJ t K

FG 30π + 0 IJ t H 2 K

⇒ t = 10 s

Se tiene un cascarón esférico que gira con velocidad angular constante a razón de 200 rev/s respecto a un eje vertical. Se dispara un proyectil horizontalmente de tal modo que pasa por el centro del cascarón. Determinar la velocidad angular del cascarón sabiendo que su radio es igual a 1 m. Determinar también la máxima velocidad del proyectil de tal modo que atraviesa el cascarón haciendo un solo agujero.

Solución: o v A = vB = v C ω ARA = ω BRB = ω CRC

b g

b g

o ω A 20 = 200 10 ω A = 100 rad / s

Solución:

o ω BRB = ω CRC

b200gb10g = ω b15g c

ω c = 133, 33 rad / s 7.-

La rueda “A” presenta una velocidad angular constante de 40 rad/s. ¿Cuál es el valor de la velocidad angular de la rueda “D”?

Cinemática

155

Solución: o v A = vB

o Analizando el movimiento de rotación del disco. Para que el móvil regrese al mismo hueco, el tiempo de rotación de dicho hueco, debe ser también 2,4 s.

ω ARA = ω BRB

b40gb3rg = ω b2rg

⇒ ωB = 60 rad / s

B

o ω B = ω C = 60 rad / s vC = 60 rC vC = 60 ⇒ v C = 60r r o v C = vD 60r = ωDRD

b g

60r = ω D 5r

8.-

⇒ ω D = 12 rad / s

o Se tiene:

Un disco gira en un plano horizontal, si tiene un hueco a cierta distancia del centro por donde pasa un móvil que luego al caer pasa por el mismo hueco. ¿Cuál es la velocidad angular del disco en (rad/s)? (considere: g = 10 m/s2). 9.-

ω=

θ t

ω=

π 2, 4

θ = 180° = π rad

⇒

ω = 1, 31 rad / s

Una bolita está pegada sobre un disco liso de radio “R”, a una distancia 0,6R de su eje de giro. Si el disco está girando a 8 rev/min y bruscamente se despega la bolita. ¿Después de cuanto tiempo saldrá despedida del disco? Solución:

Solución: o Analizando el movimiento parabólico (verticalmente) v F = v o − gt (cuando el móvil sube) 0 = 12 − 10t

⇒

b g

Ttotal = 2t = 2 1, 2

t = 1, 2 s

⇒ Ttotal = 2, 4 s

o f =8

rev min × min 60 s

o ω = 2πf = 2π

FG 2 IJ H 15 K

2 rev / s 15

⇒

f=

⇒

ω=

4π rad / s 15


156 o Calculando la velocidad de la bolita.

o Se tiene: ω o = 0 ; ω F = 80 π rad / s ; t = 5 s

v = ωr v=

4π 0 , 6R 15

b g

⇒

v=

o Calculando la aceleración angular (α)

4 πR ........... (1) 25

ω F = ω o + αt

o En el triángulo ACB: x=

bg

80 π = 0 + α 5

8 R ........... (2) 10

x = vt ................ (3) o (1) y (2) en (3):

5 s π

ωo = 0

t = 2s

;

α = 16 π rad / s2

2

⇒

θ2 = 32π rad

o Calculando el ángulo θ recorrido hasta los 3 segundos θ 3 = ?(rad)

;

ωo = 0

t = 3s

;

α = 16 π rad / s2

θ3 = 0 × 3 +

1 16 π 3 2

b gb g

2

⇒

θ3 = 72π rad

o El ángulo recorrido en el 3° segundo será:

Solución: fF = 2 400

;

b gb g b gb g

Las paletas de un ventilador que parte del reposo durante 5 segundos giran experimentando cambios de rapidez a razón constante alcanzando así una frecuencia de 2 400 R.P.M. ¿Cuántas vueltas realizó durante el tercer segundo de su rotación?

o

θ 2 = ? (rad)

1 θ = ω ot + αt 2 2 1 θ2 = 0 2 + 16 π 2 2

8 4 R = πRt 10 25

10.-

α = 16 π rad / s2

o Calculando el ángulo θ recorrido hasta los 2 segundos

o Finalmente:

t=

⇒

θ = θ3 − θ2

rev rev 1 min = 2 400 × min min 60

⇒

θ = 40 π rad

o El número de vueltas en el 3° segundo:

fF = 40 rev / s

# de vueltas =

b g

o ω F = 2πfF = 2π 40

40 π rad = 20 2π rad

# de vueltas = 20

ω F = 80 π rad / s


problemas de aplicación Un cuerpo que posee M.C.U. gira a razón de 10 rad/s. Si el móvil recorre 20 m en 5 s. Calcular el radio de giro. Rpta.

3.-

A las doce del día, las agujas de un reloj están superpuestas ¿Al cabo de cuántos minutos, el minutero y el horario formarán un ángulo de 30° por primera vez?

0,4 m Rpta.

2.-

Un disco A gira razón de 120 R.P.M. y un punto P se encuentra a 30 cm del centro de rotación. Otro disco B gira A razón de 90 R.P.M y un punto Q se encuentra a 40 cm del centro de rotación. ¿Cuál de los puntos (P o Q) tiene mayor velocidad lineal? Rpta.

Tienen igual velocidad lineal = 120 cm/s

4.-

5,45 minutos

Los puntos periféricos de un disco que gira uniformemente, se mueven a 40 cm/s. Si los puntos que se encuentran a 2 cm de la periféria giran a 30 cm/s. ¿Qué diámetro tiene el disco? Rpta.

16 cm

Cinemática 5.-

157

En la figura, si la rueda mayor gira a razón de 3 rad/s. Calcular la velocidad angular de la rueda menor.

B 1.-

Rpta.

6.-

9 rad/s

Si la aceleración tangencial de “A” es 3 m/s2. calcular la aceleración angular de “C” en rad/s2. (RA = 2 cm, RB = 8 cm, RC = 6 cm).

Rpta.

8.-

9.-

3.-

α = −10π rad/s2 ; n = 50 vueltas

Hallar la velocidad lineal con que giran los puntos de la superficie terrestre que se encuentra a latitud 60° Norte (radio de la Tierra = 6 370 km).

Rpta.

10.-

60π rad

Rpta.

4.-

1 668 km/h

3 vueltas

Los radios de las ruedas de la bicicleta que se mueve en la trayectoria circular mostrada en la figura, están en la relación de 5 a 1, determinar en qué relación estarán el número de vueltas que dió cada llanta, si se sabe que el ciclista dió la vuelta completa a la pista en 120 s y R = (20/π ) m. Rpta.

5.-

198

Un cuerpo que parte del reposo posee una aceleración angular constante y tarda 2 minutos en recorrer entre 2 puntos de la trayectoria circular un desplazamiento angular de 24 revoluciones. Si cuando pasa por el segundo punto gira a 18 R.P.M. Hallar el número de revoluciones entre el primer punto y el punto de partida. Rpta.

834 km/h

¿Con qué velocidad deberá volar un avión en el Ecuador, de Este a Oeste, para que sus pasajeros les parezca que el sol está fijo en el firmamento? (radio de la Tierra = 6 370 km).

Un tocadisco gira a 33 R.P.M. Al cortar la corriente la fricción hace que el tocadisco se frene con desaceleración constante, observándose que luego de 3 s gira a 32,5 R.P.M. ¿Qué tiempo en segundos, tarda el tocadisco para detenerse? Rpta.

La velocidad angular de un motor que gira a 1 800 R.P.M., en 2 segundos desciende uniformemente hasta 1 200 R.P.M. ¿Cuál es la aceleración angular? Y ¿Cuántas vueltas dió el motor en dicho tiempo?. Rpta.

150 rad/s

0,5 rad/s2

Una rueda gira con velocidad de 2 rev/s y se detiene en 0,5 minutos. Si la desaceleración es uniforme, calcular el ángulo descrito. Rpta.

La figura nos indica dos poleas coaxiales, fijas entre ellas, de radio r1 = 0,3 m y r2 = 0,2 m y una tercera polea de radio r = 0,4 m. El cuerpo F desciende con aceleración constante a = 8 m/s2 partiendo del reposo. Calcule la velocidad angular de la polea de radio r en un instante t = 5 s. Si se sabe que no hay deslizamiento entre las poleas.

Rpta.

2.-

7.-


5a1

En el sistema de transmisión de la figura: rA = 0,3 m; rB = 0,5 m y rC = 0,2 m. Si la rueda A acelera a razón de 10 rad/s2, ¿Qué velocidad adquirirá el bloque P a los 15 s de iniciado su movimiento? (en m/s). Rpta.

18 m/s


158 6.-

A 4,9 m de altura sobre un punto “P” marcado en la periferia de un disco de 45 R.P.M. se deja caer una piedra en el preciso instante en que el disco empieza a girar (ω = cte). Al caer dicha piedra sobre el disco. ¿A qué distancia del punto “P” lo hará? Radio del disco = 15 cm (g = 9,8 m/s2). Rpta.

7.-

15 2 cm

Si consideramos que el radio de la Tierra es de 6 360 km y que ella tarda 24 h en dar una vuelta. Calcular la velocidad lineal de un punto del Ecuador.

Rpta.

530π km / h

Determinar con qué velocidad tangencial giran los puntos sobre la superficie terrestre ubicados a 45° de latitud y sobre el nivel del mar. (R = radio de la tierra = 6 400 km). Rpta.

8.-

9.-

800 π km / h 3

Un cilindro gira a 5 rad/s; un proyectil lo atraviesa con una velocidad inicial de 340 m/s y una velocidad final de 300 m/s. Determinar el ángulo que forma entre sí las perforaciones y el eje del cilindro.

10.-

Se tiene una barra horizontal en reposo cuya longitud es de 80 3 cm sostenida por dos cuerdas unidas a 2 poleas que empiezan a girar, logran hacer que la barra suba; si las poleas giran con velocidad angular de 120/π R.P.M. ¿Al cabo de cuánto tiempo la barra formará un ángulo de 60° con la horizontal? (r1 = 10 cm ; r2 = 30 cm). Rpta.

Rpta.

0,25 rad

1,5 s

Capítulo

6

DINÁMICA Concepto Es una parte de la mecánica que se encarga de estudiar el movimiento de los cuerpos teniendo en cuenta las causas que lo producen. Ilustración ¿Porqué se movió la bola? Por que se le aplicó una fuerza de 100 N

DINÁMICA

2DALEYDENEWTON “La aceleración que adquiere una partícula sometida a una fuerza resultante que no es cero, es directamente proporcional a la fuerza resultante e inversamente proporcional a la masa de dicha partícula, y que tiene la misma dirección y sentido que esta resultante”.

FR = ma a F1 F2

F3 F4

(si m es cte) a FR


160

PESO ((W))

Solución:

Es la fuerza gravitatoria con la cual un cuerpo celeste (en nuestro caso la Tierra) atrae a otro, relativamente cercano a él.

a)

b)

Por lo visto en el concepto de peso ; a mayor altura menos peso, luego la respuesta sería; el saco de papas pesa más en la costa. La cantidad de papas, tanto en la sierra como en la costa es la misma si es que es el mismo saco, luego la respuesta sería: El saco de papas tiene la misma masa tanto en la costa como en la sierra.

Cuanto más lejos se encuentre un cuerpo con respecto al centro de la Tierra, la atracción será menor (el peso será menor).

MASA((m)) Es una magnitud escalar que mide la inercia de un cuerpo. Sin embargo la inercia de un cuerpo está en función de la cantidad de materia que lo forma; es aceptable entonces afirmar también que: Masa es la cantidad de materia que tiene un cuerpo; por ejemplo: La masa de un vaso es la cantidad de vidrio que lo forma. La masa de una carpeta, es la cantidad de madera, clavos y pintura que lo forma.

Unidad de masa en el S.I. kilogramo (kg)

Otras Unidades : - gramos (g) - libra (lb), etc.

CUANTIFICACIÓNDELAMASA Para esto se utiliza dos métodos, en cuyos casos la masa toma para cada uno de ellos nombres particulares, estos son:

MASA INERCIAL (mi) Se obtiene dividiendo la fuerza aplicada entre la aceleración producida

mi =

F1 F2 F3 = = = cte a1 a2 a3

PREGUNTAS Se tiene un saco de papas en la sierra a (5 000 m.s.n.m.); es llevado a la costa (± 0,00 m.s.n.m.) se quiere saber: a) b)

¿Dónde pesa más el saco de papas? (costa o sierra). ¿Dónde tiene mayor masa el saco de papas? (costa o sierra).

MASA GRAVITACIONAL (mg) Se obtiene dividiendo el peso del cuerpo, entre su respectiva aceleración (g)

Dinámica

161

mg =

EXPERIENCIA: 2da LEY DE NEWTON

WA WB WC = = gA gB gC

OBJETIVO Demostrar que para una masa constante, la fuerza resultante es directamente proporcional a la aceleración; es decir: ä a F ä 2a 2F ä 3a 3F etc.

NOTA El valor de la masa inercial y la masa gravitacional son iguales, motivo por el cual se dice que ambos son equivalentes.

Unidad de Fuerza en el S.I. Newton (N)

Unidades Tradicionales

m

a

C.G.S.

dina

g

cm/s2

M.K.S.

Newton (N)

kg

m/s2

F.P.S.

Poundal

lb

pie/s2

Sistema Técnico F

m d

Un soporte Una polea Dos baldes pequeños Una cuerda de nylon Un cronómetro Un juego de pesas

PROCEDIMIENTO: 1.-

Instalar los materiales como muestra la figura.

fig. (1) W a

C.G.S.

g

cm/ s2 g cm

M.K.S M.K.S.

kg

m U.T.M.

m/s2

F.P.S.

lb

pie Slug

pie/s2

e

− − − − − −

NÚMERO DE ALUMNOS: Dos(uno de ellos con su cronómetro).

Sistema Absoluto F

MATERIAL A EMPLEARSE

j

cm/s2

Equivalencias: FUERZA

MASA

1 N = 105 dinas 1 N = 0,102 kg

1 kg = 1 000 g 1 kg = 2,2 lb 1 U.T.M. = 9,8 kg 1 kg = 0,102 U.T.M. 1 lb = 453, 6 g

1 g = 981 dinas 1 kg = 9,8 N 1 kg = 2,2 lb

U.T.M. = Unidad técnica de masa

2.-

Colocar la pesa de 5 kg en el recipiente B.

3.-

Colocar un conjunto de pesas de modo que sumen en total 4,90 kg en el recipiente “A” y sujetar ambos baldes en la posición que muestra la figura (1).


162 4.-

Soltar ambos baldes simultáneamente.

5.-

Tomar el tiempo que demora el balde “B”en llegar al piso y anotarlo en la libreta.

6.-

B

B

B

B

Repetir los pasos 3,4 y 5 cambiando las pesas en “A”, según muestra la libreta. 2

3.-

Asumiendo que : F = 0,1 kg (que es lo que se supone en la libreta), Diga Ud. ¿Cuánto vale la resultante en “B” y hacía donde está dirigido (hacía arriba ó hacía abajo)? Comparar con la libreta.

4.-

Una vez llenado la libreta, hacer un resumen:

Peso A Peso B Masa B FR en B e(m) t(s) a = e/t 1° vez 4,90 kg 5 kg

5 kg

F

1,5

2° vez 4,80 kg 5 kg

5 kg

2F

1,5

3° vez 4,70 kg 5 kg

5 kg

3F

1,5

FR

a (m/s2)

¿Se cumple? aprox.

PREGUNTAS

1° vez

F

----------

a? Si ó No

1.-

2° vez

2F

----------

2a? Si ó No

3° vez

3F

----------

3a? Si ó No

2.-

¿Es cierto que si un cuerpo pesa 1 kg, su masa será 1 kg? Si – No, demuestre. Diga Ud. ¿Cuál de los gráficos, corresponde al D.C.L. del cuerpo B. Considere despreciable el peso del balde.

5.-

Isaac Newton Isaac Newton nació en Inglaterra, en la navidad del mismo año que murió Galileo, 1 642. Su nacimiento fue bastante accidentado, pues el parto prematuro casi lleva a su madre y a él a la muerte. Paradójicamente el destino le había separado un lugar especial en la humanidad. Su padre fue hacendado, quien falleciera tres meses antes que Isaac naciera. A los dos años, su madre contrajo su segundo matrimonio y dejó a su hijo en manos de sus abuelos maternos; así Isaac creció toda su niñez huérfano de padre y prácticamente también de madre, esto hizo que sea un niño tímido, retraído pero a la vez maduro. En ese lapso Newton no pasó de ser un alumno más en la escuela; se caracterizaba por no tener amigos y

¿Se cumplió? Si ó no.

F = ma

Dinámica

163

muchas veces era el blanco de sus compañeros bromistas; sin embargo ya mostraba síntomas de genialidad. A los catorce años de edad, cuando falleció su padrastro, su madre regresó al lado de su hijo y pidió a Isaac a organizarse en la agricultura para mantenerla, a lo cual él accedió haciéndolo de manera desastrosa, pues su mente ya estaba inclinada hacia la ciencia. Posteriormente con ayuda de su tío materno volvió al colegio donde empezó a sobresalir entre sus compañeros; sus profesores lo vieron con grandes dotes que le dieron su ingreso a cursos más avanzados. En 1 661 Newton ingresó a la Universidad de Cambridge donde aún prevalecía los principios Aristotélicos. Estuvo estudiando bajo la tutoría del Dr. Isaac Barrow, en los cuales estudió Física y óptica. Fue precisamente su tutor quien incentivó a Newton al estudio por las ciencias. Habían oportunidades en que Isaac colocaba en aprietos a sus profesores pues los consejos del Dr. Barrow hacían que Newton, un hombre bastante joven, concentrara todas sus energías en absorber mediante los libros los conocimientos de los grandes científicos que lo antecedieron. En agosto de 1 665 la peste bubónica amenazó con barrer toda Inglaterra, se tomó como medida aislar y cerrar las universidades y centros públicos. Fue así que Newton tuvo que abandonar la universidad y regresar a su ciudad natal: Woolsthorpe, pero no llegaría con las manos vacías por cuanto llevo consigo todos los libros y material de investigación que pudo reunir. Newton pasó ahí 20 meses, lo cual marcó su etapa más productiva desde el punto de vista científico, ya que en ese lapso de soledad, tranquilidad y concentración desarrolló, maduró y sentó las bases de todos sus descubrimientos, así podemos mencionar: − Concluyó sus trabajos que inició en la universidad sobre el “Coeficiente del Binomio” al que se conoce con el nombre de “Binomio de Newton”, así como el cálculo infinitesimal, inventando el cálculo diferencial e integral , los cuales son hoy en día herramientas poderosas en las matemáticas. − Sofisticando el telescopio de Galileo descubrió que la luz estaba conformada por todos los colores del arco iris, hasta ese entonces se tenía la idea que la luz del Sol era perfectamente blanca. − Inició los estudios sobre sus futuras leyes de la mecánica. − Estableció los principios básicos de la ley de la gravitación universal. Durante su época de investigación solitaria no comentó con nadie sobre sus descubrimientos, pues el joven Newton era bastante introvertido. En 1 668 presentó a la Real Academia de Ciencias de Londres, sus trabajos sobre la naturaleza de la luz blanca y en 1 672 siendo ya catedrático de Matemáticas en la Universidad de Cambridge expuso públicamente su teoría de la luz. Si bien es cierto su exposición tuvo gran acogida a tal punto que publicaron su trabajo, también es cierto que originó fuertes objeciones por parte de un sector de científicos contemporáneos, siendo los más resaltantes: Robert Hooke y Cristian Huyhens. Por tal motivo Newton juró nunca más publicar sus investigaciones y se enclaustró dentro de sí, como ya sabemos Newton era fácilmente vulnerable del punto de vista emocional. Sin embargo Newton, prosiguió con sus investigaciones de Física y Matemáticas. Fue así que ese mismo año (1 672) concluyó con su teoría de la gravitación universal, en la cual determinó la causa del movimiento de los planetas, basándose en los estudios de Galileo y Kepler, por cuanto ellos determinaron como se movían dichos cuerpos mas no la causa. Revisó su trabajo una y otra vez, pero no se atrevió a publicar su descubrimiento por temor a haber cometido algún gran error, pues bastaría uno sólo para que su credibilidad y prestigio se vengan abajo, ya que el sabía que los científicos opositores a su línea aprovecharían de ello para desprestigiarlo.

164


En los años venideros siguió con la cátedra universitaria y sus estudios de investigación. En 1 684 Edmud Halley, un famoso científico realizaba investigaciones referente a la Astronomía, su trabajo se trunco por un problema matemático que él ni nadie podía resolverlo. Fue entonces que acudió donde el catedrático Newton, pero grande fue su sorpresa cuando éste le demostró que ese problema ya lo había resuelto. Newton sintió cierta confianza en Halley a tal punto que le entregó el manuscrito de su inédito libro: “Principios Matemáticos de Filosofía Natural” para que él lo revisara. Halley al revisar los manuscritos se quedó pasmado ante los precisos cálculos de Newton. Se dió cuenta que estaba al frente de varios tratados que revolucionarían la humanidad; fue entonces que Halley se prometió convencer a Newton para que ampliara sus estudios para luego publicarlos. Es evidente que los trabajos de Newton tal vez nunca se hubiesen conocido de no haber sido por la influencia de su amigo Edmund Halley. En 1 687 se publicó la obra maestra de Isaac Newton “PRINCIPIOS MATEMÁTICOS DE FILOSOFÍA NATURAL”, libro que cubrió de gloria al Genio de Newton, cabe resaltar que dicho libro fue financiado por Halley y escrito en latín. En esta obra, Newton enuncia las leyes clásicas de la mecánica (1°, 2° 3° ley de Newton) así como la ley de la gravitación universal entre otros. A partir de ese momento Newton se alejó del campo de la ciencia y pasó al campo de la política y la burocracia. Su debut en la política lo hizo en la Cámara de los Comunes, no teniendo suerte en sus funciones, pues era neófito en dicha materia. Terminando su período en la cámara , se enclaustró nuevamente en sí mismo durante cuatro años pues el fracaso como político lo había deteriorado moralmente. En 1 696, el gobierno inglés lo nombró Inspector de la Casa de la Moneda de Londres y en 1 699 Director de la misma institución, percibiendo emolumentos que lo hacían un hombre rico. Fue entonces que Newton demostró que así como era un genio en las ciencias, lo era también en la administración ya que desempeñó su cargo brillantemente logrando restaurar las finanzas del país, que en ese entonces se encontraban en mala situación. Paralelo a su cargo como director, dedicó gran parte de su tiempo a la Religión por cuanto siempre había sido un hombre de fé. En 1 703, fue elegido Presidente de la Real Academia de Ciencias de Londres, cargo que habrían de ratificarle cada año hasta su muerte. De ahí en adelante Newton era galardonado contínuamente, sus obras que publicaba producto de sus investigaciones anteriores, aplaudidas. En 1 705 fue nombrado Caballero de la Corona de Inglaterra, lo cual le confería el título de Sir Isaac Newton. En 1 727, a los 84 años, después de una penosa agonía, Newton muere y fue enterrado con grandes honores. Cuenta la historia que Newton fue uno de los científicos con gran fe en Dios, humilde y extravagante en su forma de vestir. Su humildad llegó al punto que afirmó sin prejuicios: “Si yo pude ver más lejos que mis Colegas, fue porque me apoye en hombros de Gigantes” haciendo alusión a Galileo, Kepler, Copérnico, entre otros científicos que lo antecedieron. Días antes de su muerte, en el momento de serenidad en su lecho, expresó un pensamiento hermoso, producto de su humildad y que pasaría a la historia. “No sé que imagen tenga de mí el mundo; yo pienso que he sido algo así como un chico que jugando en la playa se divierte, hallando de vez en cuando una piedrecita más suave que las demás o una concha más hermosa que otras, en tanto que el gran océano de la verdad permanece aún sin descubrir”.

Dinámica

165

TEST 1.-

a) b) c) d) e) 2.-

Con la masa se mide la gravedad. La masa depende del lugar donde se mida. La masa depende del tamaño. La medida de la inercia es la masa. Ninguna de las anteriores.

Relacione correctamente:

a) b)

Una persona pesa igual en la costa y en la sierra. Una persona tiene la misma masa en la costa como en la sierra. El valor de masa gravitacional es diferente al valor de la masa inercial. 1 Newton = 1 kg Toda fuerza resultante diferente de cero produce un M.R.U.

I.-

Cuál (es) de las siguientes situaciones se explica (n) con la primera ley de Newton (principio de inercia)

A) B) C) D) E)

F=3N F=4N F=5N F=6N F=7N

a) b) c)

IE, IIB, IIIA, IVC, VD ID, IIE, IIIB, IVA, VC ID, IIB, IIID, IVA, VC

d) e)

II.III.IV.V.-

I.-

Al arrancar un auto los pasajeros son impulsados hacía atrás. II.- El peso de un hombre es mayor en el polo. III.- Un mago quita el mantel de una mesa sin mover los objetos que están sobre ella. a) b) c) 4.-

I y III I y II II y III

d) e)

Solo I Solo II

7.-

Marque la afirmación verdadera: a) b) c) d) e)

5.-

El bloque de la figura puede estar en reposo o desplazándose hacia la derecha. Los coeficientes de rozamiento estático y cinético son 0,3 y 0,2 respectivamente (g = 10 m/s2).

Indicar la proposición correcta

c)

3.-

6.-

Marcar la afirmación verdadera:

Para mover un cuerpo hay que aplicarle una fuerza interna. Si un cuerpo se mueve en línea recta no hay fuerzas actuando sobre él. La masa y el peso de un objeto son iguales. Las fuerzas de acción y reacción son fuerzas que se equilibran siempre. N.A.

Relacione cada uno de los siguientes casos con el número de la Ley de Newton que lo explica. I.-

En la Luna el peso de un hombre es 1/6 de su peso en la Tierra. II.- Cuando un ascensor sube, los pasajeros aumentan de peso. III.- Para hacer avanzar un bote, se rema hacía atrás. a) b) c)

I1, II2, III3 I2 , II1, III3 I3, II2, III1

d) e)

I2, II3, III1 I1, II3, III2

d) e)

ID, IIA, IIIB, IVC, VE IC, IIB, IIID, IVA, VE

Dos esferas “P” y “Q” idénticas de masa “M” se suspenden de hilos ingrávidos como indica la figura. Entonces podemos afirmar que: a) b) c) d) e)

8.-

Estando el bloque en reposo, si .... empezará a moverse. Estando el bloque en movimiento, si .... mantendrá su velocidad constante. Estando el bloque en reposo, si .... estará a punto de moverse. Estando el bloque en movimiento, si ... frenará. Estando el bloque en movimiento, si .... aumentará su velocidad.

Si cortamos el hilo 1, “P” cae con a = g/2. Si cortamos el hilo 2, “Q” cae con a = 2g. Si cortamos el hilo 2, la tensión en “1” disminuye. Si cortamos el hilo 1, en ese instante la fuerza resultante sobre “P” es 2mg. Todas son falsas.

Si Ud. tira de una cuerda hacia abajo con una fuerza que es el doble de su peso, podremos esperar que: a) b) c) d) e)

Suba con una aceleración g/2. Suba con una aceleración g. Suba con velocidad constante. No suba ni baje. Depende de mi peso.


166 9.-

Si una fuerza “F” provoca en una masa “m” una aceleración “a”, entonces una fuerza “F/2” en una masa “2 m” provocará: a)

a 2

d)

4a

b)

2a

e)

3a 4

c)

a 4

10.-

Un ascensor subía con velocidad constante y comienza a frenar con una aceleración “-g/2. Si Ud. estaba sobre una balanza. ¿Qué pasaría con el peso aparente que le señalaría? a) b) c) d) e)

Señalaría el doble de mi peso. Señalaría la cuarta parte de mi peso. Señalaría la tercera parte de mi peso. Señalaría la mitad de mi peso. Señalaría mi peso.

PROBLEMASRESUELTOS A 1.-

problemas de aplicación Ya que:

Un bloque se mueve por la acción de una fuerza constante de 200 N, sabiendo que la masa del cuerpo es de 50 kg. Calcular el valor de la aceleración. Despreciar el rozamiento.

m : kg F:N 3.-

Solución: o Horizontalmente; no existe equilibrio.

UV W

a : m/s2

En la figura, se tienen dos bloques m1 y m2 de 2 y 4 kg, respectivamente. Si se aplica una fuerza constante de 30 N al primer bloque, calcular la tensión en la cuerda. Desprecie el rozamiento.

Luego: ΣFx = ma

200 = 50a a = 4 m / s2 Ya que: m : kg F:N 2.-

UV W

Solución: 2

D.C.L. (2)

a : m/s

o ΣFx = m2 a

En la figura mostrada, hallar la aceleración del bloque.

T = 4a .......... (α)

o Con todo el sistema: Solución: o Horizontalmente: ΣFx = ma 20 cos 60° = 2a

20

FG 1IJ = 2a H 2K

a = 5 m / s2

b

g

ΣFx = m1 + m2 a D.C.L.

b g

30 = 2 + 4 a a = 5 m / s2 o En (α):

bg

T=4 5

⇒ T = 20 N

Dinámica 4.-

167 Solución:

En la figura mostrada, el cuerpo tiene una masa de 8 kg, si la fuerza aplicada es de 80 Newton y µk = 0,2 . Calcular la aceleración del bloque (g = 10 m/s2).

D.C.L. (Bloque)

Solución:

o Eje “y”:

D.C.L. (Bloque)

mov.

Equilibrio: (ΣFy = 0) N = mg cos 60° .......... (1) o Eje “x” : FR = ma mgsen 60° − fk = ma

o

mgsen 60° − µ kN = ma .......... (2)

Verticalmente:

o (1) en (2):

ΣFv = 0

mgsen 60° − µ kmg cos 60° = ma

N = mg

b gb g

N = 8 10

a = gsen 60° − µ k g cos 60°

N = 80 Newton

a = 10

o Horizontalmente: ΣF = ma

a = 6 , 6 m / s2

80 − fk = ma .......... (1)

Pero:

B

fk = µkN

b g

fk = 0 , 2 80

1.-

fk = 16 N o En (1): 80 − 16 = 8a

5.-

⇒

a = 8 m / s2

F 3 I − FG 4 IJ b10gFG 1IJ GH 2 JK H 10 K H 2 K

problemas complementarios Dos bloques están en contacto, como se muestra en la figura, sobre una mesa sin fricción. Se aplica una fuerza horizontal a un bloque, si m1 = 2 kg, m2 = 1 kg y F = 3 N; encuentre la fuerza de contacto entre los dos bloques.

Calcúlese la aceleración con que bajaría por un plano inclinado de 60° un cuerpo tal que su coeficiente de rozamiento con el plano sea µk = 0,4 (g = 10 m/s2). Solución: o Analizando todo el sistema horizontalmente ΣF = Mtotal a

b g 3 = b2 + 1g a ⇒

F = m1 + m2 a

a = 1 m / s2


168 o Analizando el cuerpo (m2) horizontalmente: ΣFH = Mtotal a

o Analizando el cuerpo A:

D.C.L. (m2)

R = m2 a

b gb g

2.-

D.C.L. (A)

3 WA Dato: N = A 2

R= 1 1

En el eje X:

R = 1N

ΣFx = 0

WAsen α = T

Una placa horizontal plana cae verticalmente con una aceleración constante de 4 m/s2 (dirigida hacia abajo). Sobre ella descansa un cuerpo de 10 kg. Hallar la fuerza que este cuerpo ejerce sobre la placa durante el descenso ( g = 10 m/s2).

WAsen α = 30 ........ (1)

En el eje Y: ΣFy = 0 NA = WA cos α

Solución: 3 WA = WA cos α 2

o Analizando el cuerpo (10 kg), verticalmente:

bg

10g − R = 10 4

⇒ α = 30°

Luego:

100 − R = 40

WA = 60 N

R = 60 N

4.3.-

3 2

cos α =

ΣFV = Mtotal a

Calcular el peso de “A” para que el sistema se mueva con velocidad constante debido a la fuerza constante F = 30 N aplicada en B; si la reacción en A es igual a

Sobre la barra homogénea mostrada, se aplican las fuerzas F1 = 50 N y F2 = 150 N. Determinar la tracción que soportará a 20 cm del extremo “A”.

3 W 2 A Solución: o Analizando toda la barra horizontalmente: ΣFH = ma 150 − 50 = ma ma =100 ........ (1) o Analizando la porción de 20 cm. 20 m 100

Solución:

m20 =

o Analizando el cuerpo B, horizontalmente:

ΣFH = m20 a

V = cte ⇒ a = 0 Luego:

T − 50 =

D.C.L. (B)

ΣFH = 0

FG 20 mIJ a H 100 K

T − 50 =

T = F = 30

ma ........ (2) 5

T = 70 N

T = 30 N

5.-

Calcular la aceleración de los cuerpos m y m y las 1 2 tensiones de las cuerdas (m1 = m2 = 10 kg; mpolea = 0).

Dinámica

169 De (1):

b g

100 − 5a1 = 10 2a1 100 = 25a1 ⇒

a1 = 4 m / s2

a2 = 2a1

a2 = 8 m / s2

⇒

Luego:

bg

⇒ T = 20 N

b g

⇒

T = 5a1 = 5 4 También:

Solución:

T' = 2T = 2 20 6.-

T' = 40 N

Determinar la aceleración máxima que puede tener un camión que transporta ladrillos, si el coeficiente de rozamiento estático es 0,5; bajo la condición que ningún ladrillo se caiga.

Observamos que cuando “m1” avanza una distancia “e”, la polea móvil baja también un espacio “e”, lo cual permite al bloque “m2” bajar un espacio “2e”. Mediante este análisis se puede deducir: a2 = 2a1 .......... (1)

o Analizando el bloque m2 ΣFV = m2 a2

Solución: o Horizontalmente.

D.C.L. (m2)

10 10 − T = 10a2

La aceleración del camión puede ir aumentando sin que los ladrillos se muevan uno respecto al otro, pero hasta un valor máximo donde fmax = fs , después de lo cual se moverán uno respecto del otro.

100 − T = 10a2 .......... (2)

fs = ma

m2g − T = m2 a2

b g

o Analizando la polea ingrávida móvil

µ sN= ma

D.C.L. (polea móvil)

µ smg= ma

ΣFV = mpolea a1

a = µ sg

b g

2T − T' = 0 a1

b gb g

a = 0 ,5 9 ,8

T' = 2 T

a = 4 , 9 m / s2

o Analizando el bloque m1 ΣFH = m1 a1 2T = 10a1 T = 5a1 .......... (3)

o (3) en (2): 100 − 5a1 = 10a2

D.C.L. (m1)

7.-

Un bloque de 3 kg está colocado sobre otro de 5 kg de masa; µs = 0,2. ¿Cuál es la fuerza máxima “F” para que los bloques se muevan juntos? (g = 10 m/s2).

D.C.L. (de un ladrillo)


170

o Verticalmente: Equilibrio

Solución:

N1 = mg + Fsen 37°

b g F = b3 + 5ga

F = m+ M a

b g FGH 35 IJK

N1 = 3 10 + F

F = 8a .......... (1) Para que F” sea máxima “m” deberá estar a punto de moverse respecto a “M” ( movimiento inminente donde µs = 0,2)

N1 = 30 +

3F .......... (1) 5


D.C.L. (m)

F cos 37° − fk = ma F cos 37° − µkN1 = ma .......... (2) o (1) en (2):

FG 4 IJ − 1 FG 30 + 3FIJ = 3a H 5K 3H 5 K

o Verticalmente:

F

N = mg

3F − 10 = 3a .......... (3) 5

o Horizontalmente: f = ma

do

2

caso:

µ sN = ma µ smg = ma a = µ sg .......... (2) (2) en (1):

b g b gb g

F = 8 µ sg = 8 0 , 2 10 F = 16 N

8.-

La fuerza “F” se aplica a un bloque de 3 kg en las dos formas mostradas, produciendo en el segundo caso el doble de la aceleración producida en el primer caso. Determinar “F”, si µk = 1/3, (g = 10 m /s2).

o Verticalmente: Equilibrio. N2 + Fsen 37° = mg N2 = mg − Fsen 37° 3 N2 = 30 − F .......... (a) 5 o Horizontalmente:

b g

ΣF = m 2a

b g = mb2a g .......... (b)

F cos 37° − fk = m 2a

FG 4 IJ − µ N H 5K

F

Solución: 1er. caso

k 2

o (a) en (b):

FG 4 IJ − 1 FG 30 − 3F IJ = 3b2ag H 5K 3 H 5 K

F

F − 10 = 6a .......... (c)

o De (3) y (c): F = 50 N

Dinámica 9.-

171

Una bala que lleva una velocidad de 50 m/s hace impacto en un costal de arena y llega al reposo en 1 /25 s. Si la bala tiene una masa de 50 g, determinar la fuerza de fricción ejercida por el costal de arena, suponiendo que es uniforme (g = 10 m/s2).

10.-

La figura muestra un bloque de peso 280 N, sabiendo que existe rozamiento. Determinar la fuerza que actúa sobre el bloque cuando se le aplica una fuerza “F” igual a 270 N. El cuerpo inicialmente está en reposo.

Solución: o

v o = 50 m / s vf = 0 t=

Solución:

1 s 25

o Analizando el bloque cuando está en equilibrio:

a = ? (m / s ) 2

fs bmaxg = µ sN = 0 , 5 N

v f = vo − a t 0 = 50 − a

FG 1 IJ H 25 K

a = 1 250 m / s

Pero: N = 280

b g

fs bmaxg = 0 , 5 280

2

fs bmaxg = 140 N


o Analizando: F = 270 N

− f = ma

−f =

D.C.L.

Es notorio que: f = 270 > fs(max)

F 50 I1 250 GH 1 000 JK

Por lo tanto el bloque se mueve.

f = − 62, 5 N

Nos piden fk = ?

b g

fk = µkN = 0 , 4 280

El signo negativo indica que dicha fuerza actúa en sentido contrario al movimiento.

fk = 112 N


problemas de aplicación Calcular la aceleración (en m/s2), si: m = 5 kg, F1 = 20 N y F2 = 60 N, el plano es liso. Rpta.

2.-

3.-

8 m/s2

Hallar la tensión en la cuerda ( en Newton) y la aceleración del sistema ( en m/s2), en la siguiente figura. Desprecie el rozamiento (m1 = 4 kg ; m2 = 6 kg). Rpta.

12 y 2

En el siguiente sistema, se aplica una fuerza, de 30 N al primer bloque y 10 N al segundo bloque. Calcular la tensión en la cuerda en Newton. Desprecie el rozamiento (m1 = m2 = 10 kg).

Rpta. 4.-

20

En la figura, las masas de los bloques A y B son 3 kg y 2 kg respectivamente. Determinar la fuerza de reacción entre ambos bloques y la aceleración del sistema (no hay rozamiento). F1 = 60 N ; F2 = 40 N


172

Rpta.

b

g µg

F= M+m Rpta.

5.-

R = 52 N a = 4 m/s2

Calcular la tensión (N) de la cuerda que sostiene al último bloque (g = 10 m/s2).

B 1.-

Rpta.

6.-

200 3

Calcular el módulo de la fuerza F si el bloque se desplaza hacia la derecha con velocidad constante de 10 m/s sobre el plano rugoso (µ = 0,4).

Rpta.

Si el cuerpo B desciende con una aceleración “a”, encontrar la aceleración con que asciende el cuerpo A.

43,4 m/s2 Rpta.

8.-

0,2 3.-

Calcular la aceleración con la que se desplaza el cuerpo C. Si MA = 50 kg ; MB = 20 kg ; MC = 30 kg ; g = 10 m/s2

Calcular la aceleración del cuerpo de 20 kg de masa (m/s2).

Rpta.

10.-

aA = 4a

Si la masa de 2 kg está en reposo con respecto a B. Hallar µ.

Rpta.

9.-

θ = 37°

18 N

Calcular la aceleración que adquiere el bloque de 2 kg mostrado en la figura (g = 10 m/s2).

Rpta.

El carrito de la figura se mueve con una aceleración a = 4 g y el dinamómetro indica una lectura de 4 mg. ¿Cuál será el valor del ángulo “θ”?. Despreciar la masa del dinamómetro.

Rpta.

2.7.-


1,2 m/s2

Hallar el mínimo valor de F para que el bloque se encuentre en reposo con respecto al carro. Despreciar el rozamiento del piso.

Rpta.

5 m/s2

Dinámica 4.-

¿Que deformación experimenta el resorte de 5 N /cm? (m = 3 kg).

Rpta.

5.-

173 8.-

6 cm

Hallar la máxima aceleración que debe tener el carril sin que “M” se mueva respecto al carril. (µs = coeficiente de fricción estático)

Rpta.

9.-

Rpta. 6.-

En el sistema mostrado, determinar la aceleración y la tensión en la cuerda que une a los trineos, si m1 = m2 = 50 kg ; µk = 0,2 ; F = 600 N

a = 3,52 m/s2 T = 276 N

En la figura mostrada se pide determinar el coeficiente de fricción “µ” entre el bloque y el piso del “ascensor” para que estén en reposo uno con respecto al otro. El ascensor asciende con una aceleración a = 2g (g = aceleración de la gravedad).

amax = µsg

Determine el módulo de “F” aplicada a la polea de peso despreciable y que se desplaza con una aceleración constante de módulo 2 m/s2. Las masas de los bloques “A” y “B” son de 10 kg cada uno y µk = 0,4 ; g = 10 m/s2. La masa de la polea es despreciable. θ

Rpta. 10.Rpta. 7.-

cos θ 2 + sen θ

Calcular la máxima aceleración de la plataforma para que el cajón rectangular no resbale respecto de él.

F = 120 N

Calcular la aceleración del sistema debido a la fuerza constante P. Considerar despreciable la reacción debido a P.

θ

Rpta.

µ=

a=

g 2sen θ

Rpta.

L a= g H


174

DINÁMICA CIRCULAR CASOS COMUNES

Concepto Es una parte de la mecánica que estudia las condiciones que deben cumplir una o más fuerzas que actúan sobre un cuerpo, para que éste realice un movimiento circular.

Analicemos el diagrama de cuerpo libre de un móvil en movimiento circular en cuatro posiciones: A,B,C y D, luego determinemos la fuerza centrípeta en cada posición.

ACELERACIÓN CENTRÍPET A ( a C) CENTRÍPETA Es una magnitud vectorial que mide la rapidez con la cual cambia de dirección el vector velocidad.

ac =

v2 R

La aceleración centrípeta se representa mediante un vector dirigido hacia el centro del circulo.

FUERZA CENTRÍPET A CENTRÍPETA

En el punto “A”:

Es la resultante de todas las fuerzas radiales que actúan sobre un cuerpo en movimiento circular y viene a ser la responsable de obligar a dicho cuerpo a que su velocidad cambie contínuamente de dirección , dando origen a la aceleración centrípeta. Fc = mac á

Fc = m

Fc = mg + TA

En el punto “B”: Fc = TB En el punto “C”: Fc = TC − mg En el punto “D”: Fc = TD − mgcos θ

2

v R

Fuerza Centrípeta: Resultante de Fuerzas Radiales La fuerza centrípeta no es una fuerza real como el peso, reacción, tensión, etc., es más bien una resultante de las fuerzas en la dirección del radio en cada instante. Siendo así, dicha fuerza se puede representar de la siguiente manera: Fc = Σ fuerzas hacia el centro - Σ fuerzas hacia afuera

FUERZA CENTRÍFUGA (SEUDO FUERZA) (SEUDO-FUERZA) Esta “Fuerza” es mencionada en muchos libros, pero realmente no existe. Muchas personas afirman que la fuerza centrífuga existe en algunos casos y se manifiesta como la reacción de la fuerza centrípeta (acción); sin embargo, todos sabemos que la tercera ley de Newton (acción y reacción) sólo se cumple para fuerzas reales (peso , reacción, tensión, etc) y no para resultantes de varias fuerzas. Muchos manifiestan que la fuerza centrípeta es la que jala al cuerpo hacia el centro del circulo y la centrífuga es la que jala hacia fuera del círculo; en realidad esto es falso.

Dinámica

175

NOTA Cuando se representa el diagrama de cuerpo libre, el lector no dibujará la fuerza centrípeta y menos aún la “fuerza centrífuga”.

ILUSTRACIONES

EXPERIENCIA: DINÁMICA CIRCULAR OBJETIVO

NÚMERO DE ALUMNOS: Dos PROCEDIMIENTO 1.-

Colocar los materiales según la figura mostrada.

2.-

Colocar el borrador en la pared interna del cilindro, observar.

3.-

Activar el disco lentamente.

Demostrar que la fuerza centrípeta obliga a un cuerpo a describir como trayectoria una circunferencia.

MATERIAL A EMPLEARSE − Un disco acoplado a un motor. − Un medidor de frecuencia (R.P.M.) − Un cilindro de aproximadamente 1 m de diámetro y una altura no mayor de 50 cm. − Un borrador (determinar su peso en kg)


176 4.-

Colocar el borrador en la pared interna del cilindro, observar.

5.-

Si el borrador ha caído, aumentar la frecuencia del disco, para luego volver a colocar el borrador en la posición mostrada.

6.-

Repetir el paso 5 hasta que el borrador no caiga.

7.-

Conseguido el objetivo, anotar la frecuencia del disco (R.P.M.)

8.-

Repetir todo el proceso cuatro veces más.

PREGUNTAS 1.-

5.-

¿Será la fuerza centrípeta la reacción normal que empuja al borrador hacia el eje del cilindro? Si - No.

6.-

¿Cuánto vale dicha fuerza centrípeta? (en términos de m = masa del borrador) recordar 2 Fc = mv /R.

7.-

Sabemos que la fuerza de rozamiento se calcula f = µN. Si el cilindro no gira, entonces no hay fuerza centrípeta, luego la normal sería cero (N = 0). ¿Hacia donde iría el borrador?, ¿Por qué? ¿Describiría una circunferencia como trayectoria?

8.-

En el momento que el borrador no cae, a que es igual la fuerza de rozamiento.

Completar la tabla 1° vez

2° vez 3° vez

4° vez

5° vez Promedio

f(RPM) f(RPS) ω = 2πf (rad/s) v = ωR (m/s)

2.-

3.-

Cuando el disco se encuentra estático y colocamos el borrador en la pared interna, ¿Por qué cae? hacer su diagrama de cuerpo libre. Cuando el disco gira lentamente y colocamos el borrador en la posición indicada, ¿Por qué cae? hacer su diagrama de cuerpo libre. Cuando el disco gira lo suficiente para que el borrador permanezca en su posición inicial. ¿Por qué no cae? se le ayudará proporcionándole el diagrama de cuerpo libre del borrador.

D) 4mg

B) 2mg

E) 5mg

C) 3mg 9.-

4.-

A) mg

Calcule el coeficiente µs entre el borrador y el cilindro.

10.- ¿Es posible que el borrador suba cuando el cilindro gira? experimente y comente.

Dinámica Ciencia y Tecnología

Fuerza interna

177

Fuerza e xterna externa

Fuerza Interna: La niña trata de mo- Fuerza Externa: Para que la carreta se mueva, es necever el coche, no cumplirá su cometi- sario la presencia de una fuerza externa, en el presente do ya que F es una fuerza interna. caso dicha fuerza se activará por intermedio del caballo.

Fuerza centrípeta Las personas dentro de “la montaña rusa” en movimiento perciben diferentes sensaciones en su paseo circular, debido a la variación contínua de la fuerza centrípeta. Evidentemente las sensaciones más extraordinarias se producen en la parte más alta y baja del aparato dado que son los puntos en donde la fuerza centrípeta alcanza valores extremos.

La fuerza centrífuga La Fuerza Centrífuga: Siempre que accionamos la licuadora para hacer un jugo por ejemplo, observamos la presencia de un cono hueco, ¿Por qué dicho hueco? El líquido está conformado por partículas y éstas al entrar en un movimiento circular tratarán de escapar tangencialmente debido a la inercia: Seudo Fuerza Centrífuga; dicha “Seudo Fuerza” será mayor cuanto más grande sea el radio, motivo por el cual se forma el “cono hueco”.


178

¿P or qué gira la piedra? - ¿Fuerza centífuga? ¿Por D.C.L. (piedra)

Cuando una persona hace girar una piedra mediante una cuerda, el brazo de la persona trata de escapar hacia afuera. ¿Fuerza centrífuga?

D.C.L. (per sona) (persona)

El peso se anula con Tsenθ. Mientras que Tcosθ es la única fuerza radial y obliga a la piedra a describir una circunferencia. En este caso la fuerza centrípeta es igual a Tcosθ

La tensión siempre se representa mediante un vector jalando al cuerpo, por lo tanto ¿Qué es lo que jala a la persona ? Rpta. La tensión, la cual si no es muy grande se anulará con las fuerzas de rozamiento (f).

Auto en la cur va - ¿Fuerza centrífuga? curv Cuando una persona se encuentra dentro de un auto que se mueve en una trayectoria curva, ésta tiene la sensación de ser empujada horizontalmente hacia afuera, incluso puede ser lanzada hacia un costado. ¿Qué obliga al auto a no seguir en línea recta? Rpta. Las fuerzas de rozamiento en las llantas, por este motivo el auto se moverá en línea curva y la sumatoria de las fuerzas de rozamiento compondrán la fuerza centrípeta.

Pero ¿Qué obliga a la persona a describir la misma trayectoria curva? Rpta. Nada. “ Todo cuerpo que se mueve en línea recta, seguirá así a no ser que fuerzas externas lo impidan” (Ley de la Inercia). En nuestro caso si no hay puerta, el rozamiento entre el asiento y el cuerpo de la persona será tan pequeño que no impedirá que ella salga disparada ( por efecto de la inercia).

¿Qué se hará para que la persona no salga disparada? Se colocará una puerta la cual presionará a la persona hacia el centro del círculo.

Dinámica

179

TEST 1.-

Se debe ejercer una fuerza centrípeta sobre un cuerpo para mantenerlo en movimiento. a) b) c) d) e)

2.-

Rectilíneo. Con aceleración constante. Con cantidad de movimiento constante. Circular. Uniforme.

La fuerza centrípeta que actúa sobre un satélite en órbita alrededor de la Tierra se debe a: a) b) c)

3.-

6.-

La gravedad. Los retro cohetes. Los cohetes.

d) e)

c) d) e)

b)

Aceleración tangencial – mantiene la velocidad constante. Aceleración instantánea – cambia la dirección de la velocidad. Aceleración centrípeta – la palabra significa busca el centro. Aceleración normal – cambia el valor de la velocidad. Ninguna de las anteriores.

Faltan datos.

F

r

N

c) W

¿En un péndulo cónico tiene sentido hablar de la fuerza centrífuga? a)

No – porque no cumple para todas las fuerzas. Si – esto siempre es cierto para fuerzas resultantes y aceleraciones. Si – para algunos casos particulares. No – solo para el movimiento unidimensional. N.A.

b) c) d) e) 8.-

En la posición “A” dibuje los vectores que representan la velocidad v, la aceleración a y la fuerza F que actúan sobre m. Considere que el movimiento es en el sentido de las manecillas del reloj como se indica.

No – porque las fuerzas de reacción se aplican para fuerzas reales y no para las resultantes de estos. Si – porque es la reacción de la fuerza centrípeta. No – porque no existe fuerza centrípeta. Si – porque siempre existe. A y D son correctas.

Un motociclista recorre las paredes internas de una esfera, en que punto sentirá mayor presión.

a)

b)

c)

d)

e) W

7.-

c) d) e)

Imposible realizar.

Fr

En la ecuación F = mv2 /r, ¿ se sobrentiende que la fuerza y la aceleración tienen la misma dirección y el mismo sentido? a) b)

d)

W

¿A qué representamos con v /r ? ¿Porqué?

b)

5.-

Fcf

a)

La pérdida de peso. Ley de la inercia.

2

a)

4.-

Un artista de circo guía una motocicleta por el lado interior de un cilindro rugoso vertical. No se desliza hacia abajo en dicho cilindro. En el diagrama hemos indicado la fuerza gravitacional que W actúa sobre el artista y la motocicleta. Dibuje las fuerzas que se necesita para que se mueva a lo largo de la circunferencia.

e)

N.A.

a) b) c) d) e)

A B C D DyB


180 9.-

Señalar con V (verdadero) ó F (falso). El sistema gira con velocidad angular constante. Las moscas reposan sobre A y B y son de igual masa “m”, (las moscas están en las paredes internas).

10.-

Se suelta la esferita“m” desde el reposo en A , por la superficie esférica lisa. Al pasar por B el diagrama de fuerzas sobre “m” es:

a)

b)

( ) La fuerza centrípeta que soportan es mayor en la mosca B. ( ) Las dos giran con la misma aceleración centrípeta. ( ) Entre las moscas existe una diferencia de fuerzas radiales igual a mω2d

c)

d) a) b) c) d) e)

FVF VFV VFF FFF FFV

e)


problemas de aplicación Una masa de 10 kg, describe una trayectoria circular de radio 1 m y con una velocidad constante de 10 m/s. Calcular la fuerza (en Newton) que mantiene su trayectoria. Solución:

Solución : La fuerza resultante que obliga al cuerpo a describir una circunferencia, es la fuerza centrípeta. Fc =

mv 2 R

⇒ Fc =

b10gb10g

2

1

Fc = 1 000 N

o En el punto “A” Fc = mg + TA mv A2 = mg + TA R TA =

2.-

Se hace girar una piedra en un plano vertical. Cuando pasa por el punto “A” tiene una velocidad de 10 m/s, en “B” tiene una velocidad de 15 m/s y en “C” 20 m/s. Calcular la tensión en A, B y C sabiendo que m = 4 kg R = 2 m ( g= 10 m/s2).

mv 2A − mg R

Remplazando datos: TA = 160 N

Dinámica

181

o En el punto “B”: Fc = TB TB =

mvB2 R

⇒

Solución: TB = 450 N

o En el punto “C”: Tc − mg = Fc Tc = 3.-

mv 2C + mg R

⇒

TC = 840 N

Una piedra atada a una cuerda gira uniformemente en un plano vertical. Si la diferencia entre la tensión máxima y la tensión mínima de la cuerda es igual a 10 Newton. 2 ¿ Cuál es la masa de la piedra? (considera g = 10 m/s ).

El valor de la fuerza que ejerce el carrito sobre la pista es el mismo que la pista le ejerce al carrito: Fc = N − mg ⇒

Solución: N = mg + 5.-

mv 2 = N − mg R

mv 2 R

A un vaso con aceite se le hace describir un movimiento circular uniforme, mediante un hilo de 2,5 m de longitud. El movimiento se realiza en un plano vertical. Calcular la velocidad angular mínima con la que debe girar el vaso para que no caiga el aceite (g = 10 m/s2). Solución:

o Tensión mínima: Punto A Fc = Tmin + mg mv 2 = Tmin + mg ........... (1) R o Tensión máxima: Punto B Fc = Tmax − mg

Para que la velocidad sea mínima, la tensión en la cuerda deberá ser nula.

mv 2 = Tmax − mg ........... (2) R

Fc = ΣFradiales

o (2) en (1):

o En la parte más alta: Fc = mg + T

0 = Tmax − Tmin − 2mg

b

g 2mb10g = 10

2mg = Tmax − Tmin

Pero: T = 0

2mg = 10 ⇒

mω 2R = mg

m = 0 , 5 kg

4.-

Un carrito de masa “m” se desplaza con una velocidad “v” sobre una pista cóncava de radio “R” como se muestra en la figura. Determinar la fuerza que ejerce el carrito sobre la pista en el punto más bajo (g es la aceleración de la gravedad).

ω=

B 1.-

g = R

10 2, 5

⇒

ω = 2 rad / s

problemas complementarios Se muestra un auto venciendo la gravedad, si se conocen: “µ”,“R” y “g”. ¿Cuál es el valor de la velocidad (cte), para que el auto no caiga?


182 Solución:

o De (1) y (2): µ =

D.C.L. (auto)

v2 gR

20mm/s v = 72 km / h = 20 / s ; g =10 m / s2 ; R = 50 m 2

µ= 3.o Verticalmente: (equilibrio) F = mg µN = mg ............ (1) o Horizontalmente: Fc = ΣFradiales = N mv 2 = N ............ (2) R

b20g b10gb50g

⇒

µ = 0, 8

Una esferita rueda con una velocidad “v” a lo largo de una circunferencia horizontal dentro de un cono hueco, tal como se muestra. Determinar “v” en función de “y”. Solución:

o De (1) y (2) µ=

gR v2 gR µ

v=

2.-

⇒ µv 2 = gR

¿Cuál es el coeficiente de rozamiento entre las llantas de un auto de 1 000 kg y la calzada, si la velocidad máxima con que puede desarrollar una curva es 50 m de radio, sin patinar, es de 72 km/h? (g = 10 m/s2).

De la figura:

o Verticalmente: N = mg ........... (1)

o Horizontalmente: f=

mv 2 R

µN =

mv 2 ........... (2) R

R y

o Verticalmente: ΣF = 0 Nsen θ = mg ........... (1) o Horizontalmente: Fc =

Soluci ón: La fuerza que obliga al auto a dar la vuelta es la fuerza centrípeta y ésta es consecuencia de por lo menos una fuerza real y radial ( fuerza de rozamiento)

tanθ =

D.C.L. (auto)

mv 2 R

N cos θ =

mv 2 ........... (2) R

o (1) : (2) tanθ =

gR v2

R gR = ⇒ v = gy y v2 4.-

Un cuerpo descansa sobre una plataforma horizontal, y se encuentra a 2 m del eje; si µ = 0,20. Calcular la velocidad angular máxima de la plataforma para que el cuerpo no salga disparado (g = 10 m/s2).

Dinámica

183

Solución: La fuerza que obliga al cuerpo a describir una circunferencia es la fuerza centrípeta y ésta es consecuencia de por lo menos una fuerza real y radial (fuerza de rozamiento). D.C.L. ( cuerpo) o Verticalmente: ΣF = 0

N = mg ...... (1)

Solución:

o Horizontalmente:

Fc = T − mg cos 60°

Fc = mω r 2

f = mω 2r

mv 2 = T − mg cos 60° R

µN = mω 2r ...... (2)

74

2

o (2) : (1) µ=

ω 2r g

ω= 5.-

⇒

ω=

b0, 20gb10g 2

2

bg

b gFGH 21IJK

= T − 7 10

T = 91 N

µg r 7.-

⇒ ω = 1 rad / s

Una piedra de masa 4 kg se hace girar en un plano horizontal mediante una cuerda de 50 cm, la resistencia a la rotura de la cuerda es 200 N. ¿ Cuál es la máxima velocidad angular a la que se podrá hacer girar la piedra?

Un motociclista efectúa un movimiento circular muy peligroso, con un radio de 4 metros. ¿ Cuál debe ser su velocidad mínima que debe tener para no caer? El coeficiente de fricción entre las llantas y la pista es 0,5 (g = 10 m/s2). Solución: D.C.L. (motociclista)

Solución: D.C.L. (piedra)

o Verticalmente: Para que no caiga:

ΣF = 0

f = mg

µN = mg ............ (1)

o Dato: Tmax = 200 N o Horizontalmente: Fc = T mω 2r = T ⇒ ω max =

o Horizontalmente: 200 4 0 ,5

b gb g

ω max = 10 rad / s 6.-

Una bolita se encuentra atada a una cuerda y gira en un plano vertical, si en el instante mostrado su velocidad tangencial es de 4 m/s. ¿Cuál es la tensión de la cuerda? (m = 7 kg ; g = 10 m/s2).

N=

Fc =

mv 2 R

mv2 ............ (2) R

o (1) : (2) µ=

gR v

2

⇒ v=

v = 8 , 94 m / s

b10gb4g 0, 5


184 8.-

Dos esferitas se encuentran unidas mediante un cable del modo como se muestra en la figura, despreciando todo tipo de fricción determinar con qué velocidad angular constante debe girar la esferita “1” para que la esferita “2” permanezca en equilibrio. (m2 = 5m1; g = 10 m/s2).

Solución: o Equilibrio vertical (m2):

D.C.L. (m2)

Solución:

Cálculo del radio “R”

Nótese que la tensión es la misma por ser la misma cuerda, ya que pasa por un anillo.

T = m2g ......... (α)

R = 6sen 37° = o Verticalmente: ΣF = 0

o Horizontalmente (m1):

D.C.L. (m1)

mg = T cos 53° + T cos 37°

b

g

mg = T cos 53° + cos 37° ......... (1)

Fc = T

o Horizontalmente: Fc = mω 2R

m1ω 2r = T......... (β)

mω 2R = Tsen 53° + Tsen 37°

o Luego: (β) = (α)

b

m1ω 2r = m2g

o (2) : (1)

b g

m1ω 2r = 5m1 g

ω= 9.-

5 g= 2

g

mω 2R = T sen 53° + sen 37° ......... (2)

5 10 2

b g

⇒

ω = 5 rad / s

Calcular la velocidad angular del anillo de masa”m” que gira en torno al eje mostrado. El anillo está sujeto por un cable inextensible (g = 10 m/s2).

4 3 + ω 2R sen 53° + sen 37° 5 5 = = =1 g cos 53° + cos 37° 3 + 4 5 5 ω2 =

ω=

g R 10 18 5

⇒

ω=

⇒

ω=

g R 5 rad/s 3

18 m 5

Dinámica

185


problemas de aplicación En la figura, “A” es una rueda motriz de 4 m de radio,”B” es una rueda movida por fricción y tiene un radio de 0,5 m. En qué relación están sus aceleraciones centrípetas? acp (A) / acp (B) = ?? Rpta.

2.-

1 8

7.-

30 rad/s

Un piloto de 80 kg de masa quiere hacer un lazo de 30 m de radio con una velocidad de 50 m/s. Determinar la reacción mínima sobre el asiento del piloto en Newton (g = 10 m/s 2).

Rpta.

4.-

En la figura se muestra una plataforma lisa, en la cual se ha colocado un cuerpo de 2 kg unido a un resorte de constante igual a 20 N/cm. Si la plataforma está girando a razón de 20 rad/s. Determinar la deformación del resorte.

Rpta.

5.-

5 866,7 N

Una esferita unida a un hilo de longitud “R” se le hace girar en un plano vertical a partir del extremo libre del hilo. Encontrar una relación entre la velocidad angular, g y R , para la cual la cuerda siempre permanezca tensa. Rpta.

ω>

g R

700 N

1 kg

Un cuerpo de 5 kg de masa atado a un cable de 1 m de longitud gira en un plano vertical constante con una velocidad tangencial de 10 m/s. Si la tensión mínima del cuerpo es 450 N y la máxima 550 N. Hallar la tensión en “c” (g = 10 m/s2).

Rpta.

10.-

8 cm

K m

Una piedra atada a una cuerda gira uniformemente (velocidad angular cte) en un plano vertical. Encontrar la masa de la piedra, si la diferencia entre la tensión máxima y mínima en la cuerda es 20 N ( g = 10 m/s2). Rpta.

9.-

ω<

Un avión da “una vuelta mortal” de radio igual a 500 m, a una velocidad constante de 360 km/h. Hallar el peso del piloto en el punto superior si su masa es de 70 kg (g = 10 m/s2). Rpta.

8.-

3.-

Estando un resorte ingrávido no deformado y el tablón girando, se une a su extremo un bloque pequeño. Encontrar una relación entre la velocidad angular, K y m, para la cual el resorte no se deforme ilimitadamente. Rpta.

Un bloque gira en un plano horizontal atado a una cuerda de 0,1 m de longitud. Calcular la velocidad angular máxima si se sabe que la máxima tensión en la cuerda sin romperse es de 9 veces su peso (g = 10 m/s2).

Rpta.

6.-

500 N

Una esfera de masa “M” se sujeta a una cuerda de longitud “L”, haciéndola girar en un circulo horizontal, formando la cuerda un ángulo “α” con la vertical. Determinar la velocidad angular de la esfera.

Rpta. ω =

g L cos α


186 B 1.-

problemas complementarios Acerca de la fuerza centrípeta, es falso que: a) b) c) d) e)

7.-

Es una fuerza resultante radial. Es necesario para que exista movimiento circular. Origina una aceleración normal ó centrípeta. Determina cambios en la dirección de la velocidad. Origina cambios en el módulo de velocidad tangencial de los cuerpos que realizan movimiento circular.

Calcular la máxima velocidad angular con la cual puede girar el sistema tal que el anillo se encuentre a una distancia de 0,5 m respecto del vértice “O”. El coeficiente de rozamiento estático entre el anillo y la barra es 0,5 (g = 10 m/s2). Rpta.

Rpta.

8.2.-

Una esfera de 0,5 kg, es soltada en el punto A. Si al pasar por B y C tiene rapidez de 5 m/s y 3 m/s respectivamente. Calcular las reacciones normales en dichos puntos (g = 10 m/s2). Rpta.

3.-

4.-

RB =

165 N 8

RC =

45 N 8

Una cuerda de longitud 60 cm cuya resistencia de rotura es 100 kg hace girar a un objeto de 8 kg en un plano horizontal. ¿Cuál es la máxima velocidad que puede comunicarse a dicho objeto (g = 10 m/s2). Rpta.

Dos esferas de 1 kg, cada uno están unidos por una cuerda de 0,5 m de longitud y una de ellas mediante otra cuerda de 0,5 m unida a un eje vertical que gira con velocidad angular constante de 10 rad/s. Calcular las tensiones que soportan cada cuerda cuando las esferas giran en un plano horizontal liso. Rpta.

9.-

Dos bolas idénticas unidas por un hilo de longitud ”L = 10 m” se mueven con velocidades iguales “v” por una mesa horizontal lisa. El centro del hilo choca contra un clavo. ¿Cuál será la tensión del hilo en el instante que éste haga contacto con el clavo? las velocidades de las bolas forman un ángulo de 30° respecto al hilo y la masa de las bolas es m = 1 kg, v = 10 m/s.

5 3 m/s

Rpta.

Un automóvil se desplaza en una pista horizontal de 200 m de radio. ¿Con qué rapidez máxima se puede desplazar dicho automóvil en dicha pista? El coeficiente de rozamiento entre la pista y los neumáticos es 0,8 (g = 10 m/s2). Rpta.

40 m/s

Determinar la velocidad que debe tener un tren sobre el Ecuador terrestre, de manera que no exista fuerza de contacto entre el tren y el camino, RT = 6 400 km. Rpta.

5N

7 m/s 10.-

6.-

T1 = 150 N ; T2 = 100 N

Que velocidad mínima será necesaria darle a un móvil que está atado a una cuerda para que describa una trayectoria circular vertical en la parte superior? ( R = 5 m) (g = 10 m/s2). Rpta.

5.-

5 2 rad/s

E

8 km/s

Un péndulo doble gira alrededor del eje vertical, de manera que los hilos yacen en un mismo plano y forma con la vertical, ángulos constantes de 37º y 53º. Las longitudes de los hilos son iguales a 5 m ¿Cuál es la velocidad angular de rotación del péndulo?

Rpta.

ω = 1,38 rad/s

Capítulo

7

TRABAJO - POTENCIA ENERGÍA TRABAJO MECÁNICO INTRODUCCIÓN El concepto común que se tiene de trabajo es muy diferente al concepto del trabajo mecánico, esto es, no coincide con el significado físico de esta palabra. Es corriente escuchar a una persona decir:“he realizado mucho trabajo”; pero desde el punto de vista físico, pueda que no haya realizado ningún trabajo.

TRABAJO MECÁNICO En física decimos que una o más fuerzas realizan trabajo mecánico cuando vencen la resistencia de otro agente y lo hacen mover de un punto a otro. v F

La fuerza que aplica la persona si realiza trabajo, ya que vence la resistencia del carro y lo hace mover de un punto a otro.

La fuerza que ejerce cada persona no realiza trabajo, cuando ellas están igualdadas

TRABAJO MECÁNICO DE UNA FUERZA CONSTANTE Matemáticamente podemos decir: “El trabajo es igual al producto del desplazamiento por la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento”. El trabajo es una magnitud escalar. W = (Fcosθ)d

F

Donde:

F : fuerza que realiza trabajo W : trabajo realizado por F θ : ángulo entre la fuerza F y el desplazamiento d d : desplazamiento

F

d


188

CASOS PARTICULARES DEL TRABAJO MECÁNICO DE UNA FUERZA CONSTANTE A) Si la fuerza está en el sentido del movimiento (θ = 0°).

b

g

W = Fcos 0° d

Equivalencias 7

1 Joule = 10 ergios 1 kg -m = 9,8 Joule 1 lb -pie = 32,2 Poundal-pie

POTENCIA

W = Fd

Es aquella magnitud escalar que nos indica la rapidez con la que se puede realizar trabajo.

P=

B) Si la fuerza es perpendicular al movimiento (θ = 90°).

b

g

W = Fcos 90° d

W t

Donde; P : potencia W : trabajo t : tiempo

W=0

C) Si la fuerza está en sentido contrario al movimiento (θ = 180°). FA

b

g

W = Fcos180° d

A

W = − Fd FB B

Unidad de Trabajo en el S.I. Joule (J)

Otras Unidades

Si preguntamos: ¿Quién tiene más potencia en los brazos?. La respuesta sería “A” tiene mayor potencia, ya que ambos realizan el mismo trabajo sólo que “A” lo hace más rápido.

Sistema Absoluto F C.G.S.

dina

d

W

cm

ergio Ergio

M.K.S

Newton

m

Joule

F.P.S.

Poundal

pie

Poundal-pie

POTENCIA EN TÉRMINOS DE LA VELOCIDAD

P = FV

Sistema Técnico F

d

W

C.G.S.

g

cm

g-cm

M.K.S

kg kg

m

kg-m

F.P.S.

lb lb

pie

lb -pie

Unidades de potencia en el S.I. Watt = vatio (W)

Trabajo - Potencia y Energía

189

Otras Unidades Sistema Absoluto W F

dt

W P

C.G.S.

ergio dina

cm s

ergio/s Ergio

M.K.S

Newton Joule

m s

Joule Watt

F.P.S.

Poundal-pie Poundal

pie s

Poundal-pie/s Poundal-pie

Sistema Técnico F

d

W

C.G.S.

g.g cm

cm s

g.cm/s

M.K.S

kgkg .m

m s

kg .m/s

F.P.S.

lb lb .pie

pie s

lb .pie/s

Unidades Comerciales

Además:

útil

P.E. = P.U. + P.P.

SIGNIFICADO DE LA PALABRA CABALLO VAPOR Antiguamente cuando no existían los vehículos motorizados, el transporte de las personas se realizaban por intermedio de carretas, las cuales eran jaladas por caballos.

C.V. = caballo de vapor H.P. = caballo de fuerza kW = kilowatts

Equivalencias 1 kW = 1 000 Watts

La carreta era jalada con la potencia de un caballo.

1 C.V. = 735 Watts = 75 kg.m/s 1 H.P. = 746 Watts = 550 lb .pie/s 1 Watt = 0,102 kg.m/s

Unidad Especial de Trabajo 1 kW-h = 3,6 ×10 Joule = kiloWatt-hora 6

Si el motor a vapor, tenía la misma potencia de un caballo, su potencia sería de un “Caballo de vapor”.

EFICIENCIA O RENDIMIENTO (η) La eficiencia es aquel factor que nos indica el máximo rendimiento de una máquina. También se puede decir que es aquel índice o grado de perfección alcanzado por una máquina. Ya es sabido por ustedes, que la potencia que genera una máquina no es transformada en su totalidad, en lo que la persona desea, sino que una parte del total se utiliza dentro de la máquina. Generalmente se comprueba mediante el calor disipado. El valor de eficiencia se determina mediante el cociente de la potencia útil o aprovechable y la potencia entregada. P.U. 100% η= P.E.

Carreta jalada con la potencia de tres caballos.

Si el motor a vapor, tenía la misma potencia que tres caballos, entonces su potencia sería de “ Tres caballos de vapor”.

Es por ello que comercialmente la potencia de los motores se expresa en términos de caballos, pero de vapor.


190

ENERGÍA MECÁNICA INTRODUCCIÓN Muchas veces usted habrá escuchado: “Ya no tengo energía”, “el enfermo está recuperando sus energías”, “se ha consumido mucha energía eléctrica”, etc. Frases como estas suelen escucharse infinidad de veces, sin embargo no se sabe el verdadero significado de la palabra energía. Ilustraremos con ejemplos el concepto de energía. ¿Tiene energía el agua? El agua antes de caer tiene cierta energía debido a la altura “H”, cuando ésta cae dicha energía será asimilada por la turbina la cual generará un movimiento de rotación que en combinación con un campo magnético, producirá energía eléctrica.

ENERGÍA POTENCIAL (EP) Es una forma de energía que depende de la posición de un cuerpo con respecto a un sistema de referencia. Es decir, es aquel tipo de energía que posee un cuerpo debido a la altura a la cual se encuentra, con respecto al plano de referencia horizontal, considerado como arbitrario. Por lo tanto podemos afirmar que es una energía relativa. E = mgh p

ENERGÍA MECÁNICA (EM) Es la suma de la energía cinética y la energía potencial.

¿Tiene energía el atleta? El atleta debido a la velocidad que tiene, está disipando energía por tal motivo llega a la meta exhausto. ¿Tiene energía el Sol? El Sol es una fuente enorme de energía y la mayor parte de la energía que utilizamos en nuestra vida diaria proviene de él. La desintegración de átomos de sustancias existentes en el Sol liberan una inmensa cantidad de energía. La energía solar calienta la Tierra, evapora el agua, produce los vientos, etc.

Existen diferentes tipos de energía, en este capítulo nos ocuparemos sólo de la energía mecánica (cinética y potencial).

ENERGÍA CINÉTICA (EK) Es una forma de energía que depende del movimiento relativo de un cuerpo con respecto a un sistema de referencia, será por lo tanto energía relativa.

PRINCIPIO DE LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA “La energía no se crea ni se destruye, sólo se transforma”

CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA Cuando las fuerzas que actúan en un cuerpo son conservativas, la energía mecánica del cuerpo permanece constante.

EMA = EMB = EMC = cte

FÓRMULA TRABAJO - ENERGÍA ΣW * = ∆Ek + ∆EP ΣW * = Ek f − Ek o + EPf − EPo

d

1 EK = mv2 2

EM = Ek + Ep

E kf E ko E Pf E Po

= = = =

i d

i

energía cinética final energía cinética inicial energía potencial final energía potencial inicial

ΣW * = Suma de todos los trabajos, sin considerar el trabajo que realiza el peso del cuerpo.

Trabajo y- Potencia Ciencia Tecnología y Energía

191

Trabajomecániconulo Para que una fuerza realice trabajo mecánico, deberá vencer la resistencia de un cuerpo y al mismo tiempo hacerlo desplazar. En la fotografia, cuando el pesista sostiene la pesa, no realiza trabajo, ya que no existe desplazamiento alguno.

Movimientoeterno Imaginémonos por un momento que estamos divirtiéndonos en un columpio; supongamos prescindible el aire para nuestra respiración. Si nos sueltan en el punto A; en ese instante tendremos cierta energía potencial respecto al césped, sin embargo nuestra energía cinética será nula ya que la velocidad inicial es cero. La energía mecánica total en ese instante será: EM = EPA Cuando caemos y llegamos al punto B, nuestra energía cinética será máxima ya que allí se producirá la máxima velocidad mientras que nuestra energía potencial será mínima respecto al césped. Asumiendo que no existe aire, tendremos: EM = EPB + EKB

Notamos que tanto la energía cinética y potencial son diferentes en cada instante, pero la suma de estos es EM, la cual se conserva constante y hará que nuestro movimiento sea eterno, a no ser la influencia de una fuerza externa como en el caso común: el aire, cuya resistencia amortigua el movimiento de nuestro cuerpo.

A

B


192

Conservacióndelaenergía

A

La energía potencial que tiene la niña en la parte más alta, se convierte en energía cinética en la zona más baja. En realidad no toda la energía potencial de A se transforma en energía cinética en B, pues hay que aceptar que en este último punto se produce disipación de calor; de modo que: Sin embargo el calor es también una forma de

B

EPA = EKB + calor

energía por lo que la “ley de la conservación de la energía” no es violada.

Trabajo - Potencia La fotografía muestra un prototipo del sistema de abastecimiento de una vivienda. El agua proveniente de la red pública se deposita en la cisterna, luego mediante un tubo y una bomba se succiona (La bomba genera para ello cierta potencia) agua para luego ser trasladado hacia un tanque elevado; el trabajo que se realiza para llevar el agua de la cisterna al tanque elevado por unidad de tiempo, viene a ser la potencia útil realizada por la bomba.

Lapotenciadeunamotobomba El agua del río funciona como cisterna, de esto aprovechan muchos para bombear el agua mediante una motobomba y una manguera. El agua es succionada realizando por tanto cierto desplazamiento en contra de la gravedad; es indudable entonces la existencia del trabajo mecánico en cierto lapso de tiempo. El caudal del líquido obtenido dependerá entonces de la potencia de la bomba como uno de sus factores importantes. Este sistema se utiliza frecuentemente para el uso de la agricultura así como en la limpieza de elementos ajenos a la alimentación y/o salud.


193

TEST 1.-

La energía potencial de un cuerpo no depende de: a) b) c) d) e)

2.-

La altura a que se halle. La gravedad. Su peso. Su velocidad. Su masa.

a) b) c) 5.-

Un cuerpo se desliza hacia abajo sobre un plano inclinado liso, partiendo de una altura ho, con respecto al piso. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa cualitativamente el trabajo“W”que realiza el peso del cuerpo en función de la altura h? [0 < h < ho]

6.-

b)

Potencial. Eólica. Cinética.

I.- El trabajo de la fuerza normal (N) es cero. II.- El trabajo es una magnitud vectorial. III.- El trabajo realizado por el peso (P) de un cuerpo es siempre nulo.

c) d) e)

4.-

8.-

La energía del Universo es constante. El trabajo total equivale a la variación de la energía mecánica. La energía cinética depende de la velocidad del móvil. La energía potencial equivale a la energía cinética alcanzada. Si ganamos energía es por haber efectuado un trabajo mecánico.

Señalar la proposición verdadera. I.-

La energía total de un sistema aislado se mantiene constante. II.- La energía tiene la misma unidad de trabajo. III.- La energía mecánica no se puede transformar en otro tipo de energía.

FVF VFF FVF

9.-

VFV VVV

La altura a que se halle. La gravedad. Su peso.

d) e)

Su velocidad. Todas las anteriores.

Indicar verdadero (V) o falso (F): ( (

a) b) c) 10.-

d) e)

La energía cinética de un cuerpo depende de: a) b) c)

Sean las siguientes proposiciones. Dar la incorrecta: a) b)

Gravitacional. Térmica.

Señalar verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones:

a) b) c)

3.-

d) e)

Su velocidad disminuye. El cuerpo se mueve aceleradamente. Solamente actúa sobre el cuerpo la fuerza de rozamiento. El cuerpo se mueve en una trayectoria circular. La velocidad del cuerpo es constante.

d) e)

e)

c)

I y II. I, II y III.

Si el trabajo neto sobre un cuerpo es negativo, entonces: a) b) c)

d)

d) e)

El trabajo producido por una masa en movimiento se llama energía.............. a) b) c)

7.a)

Sólo I. Sólo II. Sólo III.

) )

La energía cinética es constante para un M.C.U. La energía potencial gravitacional expresa la medida de la interacción de dos cuerpos. VV VF FV

d) e)

FF N.A.

¿Qué motor es más eficiente, el que pierde la quinta parte de la potencia útil o el que dá como útil los cuatro quintos de la potencia absorbida? a) b) c)

El primero. d) Faltan datos. El segundo. e) N.A. Los dos son de igual potencia.


194



b g b g W = b80gb5g + 0

WF = 80 d cos 0° + 60 d cos 90°

Un bloque de 100 N de peso, se encuentra sobre una superficie horizontal rugosa, donde µk = 0,25; se aplica una fuerza F de 100 N que forma un ángulo de 37º con la horizontal. Para un desplazamiento d = 5 m. A) ¿Cuál será el trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo? B) ¿Cuál será el trabajo neto efectuado?

F

WF = 400 Joule

B)

Trabajo neto efectuado Wtotal = WN + Wpeso + Wf k + WF

Solución: Fy

b g

Wtotal = 0 + 0 + −50 + 400

F

WTotal = 350 J Fx

A)

2.-

Un bloque se 2 000 N de peso resbala por el plano inclinado sin rozamiento como se muestra. A) Calcular el trabajo realizado por cada fuerza. B) Calcular el trabajo neto realizado sobre el bloque; para un desplazamiento de 0,1 m.

Trabajo realizado por la normal (N) WN = 0

Ya que la fuerza es perpendicular al movimiento.

Trabajo realizado por el peso Wpeso = 0 Dicha fuerza también es perpendicular al movimiento.

Solución:

Trabajo realizado por la fuerza de rozamiento ΣFy = 0 N + 60 = 100 N = 40 Newton

b g

fk = µkN = 0 , 25 40 ⇒ fk = 10 Newton

b g

A) Trabajo realizado por N

Wf k = fK d cos θ

WN = Nd cos 90°

Nótese que d y fk forman un ángulo de 180º

WN = 0

b gb g

Wf k = 10 5 cos 180° Wf k = − 50 Joule Dicha fuerza se opone al movimiento. Trabajo realizado por la fuerza F

fuerza perpendicular al movimiento

Trabajo realizado por el peso Wpeso = WPx + WPy

b

b g 4I F = G 2 000 J b0 ,1g + 0 H 5K

g

Wpeso = 2000sen53° dcos0° + 2000cos53° dcos90°

F = Fx + Fy

Wpeso

WF = WFx + WFy

Wpeso = 160 J

Trabajo - Potencia y Energía B)

195 o N = mg

Trabajo neto o total:

fk = µN fk = µmg

Wtotal = WN + Wpeso Wtotal = 0 + 160

o

Wtotal = 160 J

ΣW* = ∆Ek + ∆EP Entre los puntos A y C

3.-

Hallar la potencia que desarrolla el motor mostrado para que levante al bloque de 20 N con velocidad constante en 2 s una altura de 4 m.

WN + Wfk = Ek C − Ek A + EPC − EPA

e

j e j 0 + b − f × 40g = b0 − 0g + b0 − mgRg k

− µmg × 40 = − mgR µ × 40 = 10

Solución:

µ = 0 , 25

W P= t

B

Fd Td P= = t t

b20gb4g P= 2

4.-

1.⇒ P = 40 Watt

problemas complementarios Si el cuerpo de 16 kg de masa disminuye su energía en 800 J cuando desliza de “A” hacia “B”. Determinar la mínima rapidez de “v” que debe tener en “A” para que pueda llegar hasta “B”.

Hallar la potencia útil que dispone un motor si se le entregan 10 kW de potencia y su eficiencia es de 75%. Solución: P. E. = 10 kW

η = 75% P. U. = ?

5.-

U| η = PP..UE.. × 100% |V || 75% = P.U. × 100% 10 W

⇒ P. U. = 7 , 5 kW

Solución: o

Un cuerpo de masa “m” es soltado del punto “A”, si la superficie circular carece de rozamiento. Calcular el coeficiente de rozamiento cinético entre B y C, si el cuerpo se detiene después de 40 m de recorrido; R =10 m.

ΣW* = ∆Ek + ∆EP La energía disminuye en 800 J: ΣW* = − 800 J Luego: entre “A” y “B” −800 = Ek B − Ek A + EPB − EPA 14243 0

1 1 −800 = 0 − mv 2A ⇒ − 800 = − × 16 × v A2 2 2 v A = 10 m/s

b g e j

2.Solución:

Hallar el trabajo neto que se realiza para que el bloque de 10 kg, se desplaze de ”A” hasta “C” (en Joule).


196

o El trabajo de la fuerza de rozamiento:

Solución:

Wf = fk d cos 180°

o Analizando el rozamiento entre A y B

b gb gb g

Wf = 15 16 −1

fk = µkN

Wf = − 240 J

b g

fk = 0 , 5 100

fk = 50 Newton

Nótese que la fuerza de rozamiento y desplazamiento forman 180°. 4.-

o Analizando el rozamiento entre B y C fk = µkN

b g

fk = 0 , 4 100

El cuerpo de 1 kg se suelta de A recorriendo el plano inclinado 60º con la horizontal y de superficie lisa hasta el punto B. Luego recorre el tramo rugoso BC deteniéndose en C. Hallar “L” si se sabe que µ = 0,6; k (g = 10 m/s2).

fk = 40 Newton o Wneto = WN + Wpeso + W80 + WfAB + WfBC

b

g b

g b

Wneto = 0 + 0 + 80 × 40 + −50 × 20 + −40 × 20

g

Wneto = 3 200 − 1 000 − 800 Wneto = 1 400 J Solución: 3.-

El bloque mostrado es soltado en su posición A, y luego de 4 s recorre una distancia de 16 m. Hallar el trabajo desarrollado por la fuerza de rozamiento.

o Analizando el rozamiento fk = µkN

b g

fk = 0 , 6 10

fk = 6 Newton

Solución: o ΣW* = ∆Ek + ∆EP

o Aplicando los conocimientos de cinemática para calcular la aceleración

Entre A y C

1 d = at 2 2 1 16 = a 4 2

WN + Wf = Ek C − Ek A + EPC − EPA

bg

e j e j 0 + b −6 × Lg = b0 − 0g + 0 − bmg × 3g

2

−6L = − 1× 10 × 3

a = 2 m/s2

L = 5m

o Analizando el rozamiento ΣFx = ma

5.-

Hallar “α” si el bloque al ser soltado en “A” sube por el plano inclinado hasta detenerse en C. Sólo existe rozamiento en el plano inclinado (g = 10 m/s2).

50sen 30° − fk = ma 50

FG 1IJ − f = b5gb2g H 2K k

fk = 15 Newton

R = 10 m


197 o Analizando el movimiento circular: para que “h” sea mínimo, el cuerpo debe estar a punto de caer en “B” ( N = 0).

Solución: o Analizando el rozamiento. fk = µkN

b

fk = 0 , 6 mg cos α

g

FC =

mvB2 R

mg =

mvB2 R

vB2 = gR .......... (2) o (2) en (1): gh = 2gR + o

h=

ΣW* = ∆Ek + ∆EP

gR 2

5R 2

Entre A y C WN + Wf = Ek C − Ek A + EPC − EPA

e

j e

b

g b

0 + −0 , 6mgcos α × 2 cos ec α = 0 − 0 cosec

b

+ mg × 2 − mg × 4 −0 , 6 × 2mg cos α tanα =

7.-

j

Si se suelta la esferita en “A” y no existe rozamiento, hallar la fuerza de presión de la superficie sobre el cuerpo “B”.

g

g

1 = − 2mg sen α

3 5

α = arctg

FG 3 IJ H 5K Solución:

6.-

De qué altura mínima “h” debe partir el bloque “m” a fin de dar una vuelta completa suponiendo que la fricción es despreciable.

Solución: o ΣW * = 0 ..... ya que no hay rozamiento

o No hay rozamiento: conservación de la energía mecánica.

Por tanto:

EMA = EMB ⇒ Ek A + EPA = Ek B + EPB

EMA = EMB ⇒ EPA + Ek A = EPB + Ek B

1 0 + mgR = mvB2 + mg R − R cos φ 2

1 mgh + 0 = mg 2R + mvB2 2

mgR =

b g

gh = 2Rg +

vB2 2

.......... (1)

b

mvB2 + mgR − mgR cos φ 2

vB2 = 2gR cos φ

.......... (1)

g


198 o Analizando el mov. circular

o Calculando la masa de agua a extraer

mvB2 R

FC =

N − mg cos φ =

R| P.U. = 2 400 W S| h = 20 m T t = 2h = 2 × 3600 s

mvB2 .......... (2) R

P. U. =

o (1) en (2): N = mg cos φ +

m 2gR cos φ R

b

g

2 400 =

N = 3mg cos φ 8.-

W mgh = t t

b gb g

m 10 20 2 × 3600

m = 86 400 kg

El motor de una lancha tiene una potencia de 100 kW; si su eficiencia es el 40% ¿Cuanto es la resistencia del agua?. Si la lancha se mueve con velocidad constante de 18 km/h.

o Como la densidad del agua es la unidad: 11kg

deagua agua ä11ltltde

Luego: Solución: La cantidad de agua a extraer es 86 400 lt o Analizando la eficiencia del motor: P. U. η= × 100% P. E. 40% =

P. U. × 100% 1 00 000

P. U. = 40 000 W

10.-

Hallar la potencia que desarrolla el motor mostrado para que levante al bloque de 2 kg desde el reposo con una aceleración de 2 m/s2 en 2 segundos (g =10 m/s2).

o Analizando la potencia útil P. U. = Fv

Solución:

bg

40 000 = F 5

o Calculando la altura que sube en 2 s

F = 8 000 N o Analizando las fuerzas.

1 h = v ot + at 2 2

Como la velocidad de la lancha es constante: h= 0 +

f =F f = 8 000 N

9.-

1 2 2 2

b gb g

2

h= 4m

¿Cuántos litros de agua puede extraer una bomba de 4 kW y 60% de eficiencia, de un pozo de 20 m de profundidad al cabo de 2 h? (g = 10 m/s2). o Calculando la tensión en la cuerda

Solución: o Calculando la potencia útil η=

P. U. × 100% P. E.

60% =

P. U. × 100% 4 kW

P. U. = 2, 4 kW

P. U. = 2 400 W

ΣFv = ma

b gb g b gb g

T − mg = ma ⇒ T = 2 2 + 2 10 T = 24 N

o Calculando la potencia que desarrolla el motor. P=

b gb g

24 4 W Th = ⇒ P= t t 2

P = 48 W


199


problemas de aplicación ¿Qué trabajo realiza el peso de un cuerpo de masa 2 kg, cuando es soltado de una altura de 4 m? (g = 10 m/s2). Rpta.

6.-

Una persona sube ladrillos de 5 kg cada uno, por una escalera, hasta una altura de 9 m, tardándose 1 h en subir un millar. Hallar la potencia ejercida por la persona.

80 J Rpta.

2.-

En la figura mostrada. Hallar el trabajo realizado por la fuerza F para llevar el bloque entre B y A (F =100 N).

Rpta.

7.-

500 J

Un automóvil de 1 300 kg baja por una pendiente con el motor apagado a la velocidad constante de 18 km/h. ¿Qué potencia debe desarrollar el motor del automóvil para que suba la misma pendiente con la misma velocidad constante? (tan α = 5/12 donde: α ángulo de inclinación de la pendiente). Rpta.

3.-

Un cuerpo de 6 kg es impulsado en el punto ”A” y asciende por el plano inclinado hasta el punto B. Si µ = 0,3; hallar el trabajo realizado por:

8.-

125 W

50 kW

Un motor eléctrico que tiene una eficiencia de 80% entrega 20 kW. ¿Cuánto cuesta mantenerlo encendido durante 8 h, si EDELSUR cobra S/. 200 el kW-h?

k

1. 2.

El peso La normal

3. 4.

Rpta.

La fuerza de rozamiento. El trabajo neto 9.-

Un cuerpo de 1 kg se deja caer desde la parte más alta de una torre de 120 m de altura. Calcular su energía cinética cuando está a 50 m de altura. Rpta.

10.-

Rpta.

4.-

1. 2.

–360 J 0

3. 4.

–144 J –504 J

700 J

Si se impulsa un bloque con una velocidad de 10 m/s sobre el piso sin rozamiento mostrado. Determinar la altura “h” que alcanzará, no existe rozamiento (g =10 m/s2).

Un cuerpo de 2 kg parte del punto “A”. Hallar el trabajo neto realizado en él para ir hasta “B”, si la fuerza resultante es 3,2 N. Rpta. Rpta.

5.-

S/. 25 600

16 J

Si el bloque sube con velocidad constante, hallar el trabajo realizado por la fuerza “F”, cuando recorre una distancia de 5 m hacia arriba (m = 5 kg). Rpta.

B 1.-

h=8m

problemas complementarios En la figura se muestra un bloque de masa m = 10 kg. Determinar cuál será el trabajo que realice la fuerza “F” que logre levantar a dicho bloque con velocidad constante una altura de 18 m (µ = 0,3; g =10 m/s2).

500 N Rpta.

3 000 J


200 2.-

Calcular el trabajo neto efectuado sobre el bloque de 2 kg en ir de “A” hacia “B”.

Rpta.

3.-

– 200 J

800 J

Un cuerpo de 20 kg se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad 60 m/s. ¿Calcular a qué altura la energía cinética del cuerpo se ha reducido al 40% de la que tenía inicialmente en el lanzamiento? Rpta.

Rpta.

Cuál es la velocidad en B de la masa de 1 kg, si actúa sobre ella una fuerza F = 10 N solamente en el trayecto AC ?

6.-

1 m/s

Hallar para que ángulo “α” la tensión del hilo es igual al peso de la esfera, si ha sido soltada de la posición horizontal.

Rpta.

20 cm

Rpta.

9.-

Un bloque de 3 kg mostrado en la figura, tiene una velocidad de 10 m/s en “A” y 6 m/s en el punto “B”. La distancia de A a B a lo largo de la curva es 12 m. Calcular la distancia BC a la que se detiene el bloque si se considera la fuerza de fricción constante a lo largo del recorrido.

1 3

µk = 1/6

10.-

x = 38 m

cos α =

Hallar el tiempo que demora en subir el bloque de 500 kg si es jalado con velocidad constante por un motor de 8 kw y 75% de eficiencia.

Rpta.

Rpta.

vB = 10 5 m / s v C = 2 115 m / s

h = 108 m 8.-

5.-

Una bola gira atada al extremo de una cuerda de longitud L =10 m, en un plano vertical. Calcular la velocidad de la bola cuando la cuerda forma un ángulo de 37° con la vertical y en la parte más baja del movimiento; si se desea que tenga una velocidad mínima suficiente para que la bola describa una vuelta completa (g =10 m/s2).

Calcular el trabajo neto desarrollado sobre el bloque mostrado en ir desde “A” hacia “B” (m = 4 kg).

Rpta.

4.-

7.-

1,67 s

Un automóvil de 1 500 kg recorre con velocidad constante, en 3 h, una distancia de 120 km en una carretera en rampa ascendente, llegando a 400 m de altura. Las resistencias externas al avance del automóvil son 200 N/1 000 kg. Hallar la potencia del motor, si el automóvil tiene una eficiencia del 80%. Rpta.

4 861 W

Capítulo

8

MOVIMIENTO PLANETARIO GRAVITACIÓN UNIVERSAL MOVIMIENTO PLANET ARIO PLANETARIO

Uno de los problemas de gran discusión, desde tiempos antiguos hasta la actualidad, es precisamente el estudio de los cuerpos celeste, es decir el movimiento planetario. Fue la necesidad que obligó al hombre antiguo a la evolución del estudio de la Astronomía. La vida de los pueblos antiguos estaban orientadas por los fenómenos celestes. Las actividades huma- ¿Por qué las estrellas no caen hacia la Tierra? ¿De dónde están suspendidas? nas estaban reguladas por la presencia y ausencia del Sol, la Luna, las estrellas, los vientos, etc. Inclusive hoy en día, gran parte de nuestros quehaceres están supeditado a la presencia de los mismos.

Con la Luna llena es más difícil la pesca.

En ciertas épocas, las noches son más largas que los días ¿Por qué?

Pero, ¿Qué tiene que ver nuestra vida con el Sol, la Luna, los vientos, las estrellas?.- Muy fácil. No estamos solos, nuestro planeta pertenece a una galaxia y así también existen otras galaxias y todas estas al Universo. Por todo lo explicado, no es de extrañar que el cielo haya sido objeto de investigación y que se hayan realizado muchos intentos para explicar el movimiento de los astros. Las diferentes posiciones de los astros fueron quizá, el motivo de gran estudio para los antiguos.


202 Los egipcios y los babilonios trataron de darle explicación certera al movimiento planetario, sin embargo sólo pudieron explicarlos mediante mitos y leyendas. Cabe mencionar que un negocio o desviación de este estudio es la Astrología, a través de los horóscopos, que en la actualidad todavía atrae a ciertas personas, las cuales creen inocentemente en dicho “Estudio”. Los griegos, que consideraban al hombre como el centro del Universo, suponían que la Tierra era el centro geométrico del Universo y que los cuerpos celestes se movían alrededor de la Tierra. Los cuerpos conocidos en aquel tiempo fueron ordenados de acuerdo con la distancia promedio a la Tierra; la Luna, Mercurio, Venus, el Sol, Marte, Júpiter y Saturno.

Los Filósofos de esa época suponían que los planetas, el Sol, la Luna y las estrellas, estaban incrustadas en esferas que giraban en torno a la Tierra. A pesar de conseguir, con este modelo, una reproducción razonable de los movimientos observados, la necesidad de ajustarlo del modo conveniente a los hechos, obligó a los griegos a usar a veces un gran número de esferas para explicar el movimiento de un único planeta, con lo cual el “Universo Griego” resultó muy complicado. En el siglo segundo de la Era Cristiana, el astrónomo Claudio Ptolomeo de Alejandría, estructuró un modelo planetario que tendría gran aceptación, que prevalecería durante la Edad Media. El suponía que todos los planetas se movían en círculos, cuyos centros giraban en torno a la Tierra.

SISTEMA DE PTOLOMEO Esta teoría parecía lógica, puesto que con esto se explicaba el movimiento retrógrado de algunos planetas, o sea que a veces se veía que un planeta se movía en cierto sentido y otras veces en sentido contrario. Con el fin de mejorar esta teoría se le introdujeron ciertas modificaciones, hasta que terminó por ser una teoría muy confusa, lo que indujo a Alfonso X Rey de Castilla en el Siglo XII, a comentar que si hubiese sido consultado en la creación del Universo, habría hecho un mundo mejor y más simple. Sin embargo, las ideas de Ptolomeo guardaban gran concordancia con la Iglesia Católica, ya que la “Suprema Creación” tenía que ser el hombre y como habitaba en la Tierra, pues, la Tierra tendría que ser el centro del Universo. Esto se alimentó mucho más con algunas ideas vertidas por el filósofo Aristóteles, quien no tuvo mucha suerte en el campo de la Astronomía. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

Sol Mercurio Venus Tierra Luna Marte Júpiter Saturno

SISTEMA DE COPÉRNICO

Movimiento Planetario

203

Esta descripción fue aceptada como correcta hasta que en el siglo XVI el monje y astrónomo polaco Nicolás Copérnico, que buscaba una solución más simple, propuso describir el movimiento de todos los planetas en órbitas circulares; incluyendo la Tierra con respecto al Sol, el cual estaría en el centro. La idea no era nueva, había sido propuesta por primera vez por el astrónomo griego Aristarco alrededor del siglo III A.C. De acuerdo a Copérnico, el orden de las órbitas de los planetas, con respecto al Sol, era: Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter y Saturno; la Luna girando en torno a la Tierra. Sin embargo; un sistema en que el Sol se consideraba inmóvil y la Tierra pasaba a ser un planeta en movimiento, como cualquiera de los otros era totalmente contrario a la Filosofía de la Iglesia. Temiendo represalias por parte de la Inquisición, Copérnico se abstuvo durante mucho tiempo de publicar su libro. El primer ejemplar lo recibió en su lecho de muerte. Debido a está publicación, Copérnico fue tachado de loco y hereje; sus ideas fueron consideradas falsas y opuestas a las Sagradas Escrituras. Tycho Brahe, con el deseo de demostrar que la teoría de Copérnico era falsa, realizó mediciones de las posiciones de los cuerpos celestes durante 20 años. Lo realizó con tanta precisión, que esas medidas fueron aprovechadas por su alumno, el alemán Johannes Kepler, quien descubrió que las órbitas que realizaban los planetas no eran circulares sino elípticas. Así pues, el error que tuvo Copérnico fue admitir órbitas circulares para los planetas, siguiendo una antigua tradición griega que consideraba el círculo como curva perfecta; como el Profesor: Universo era obra de Dios y por Copérnico, tenía razón, su único error era que las lo tanto una obra perfecta, las orbitas no son circulares trayectorias de los planetas desino elípticas. berían ser circulares. Tycho Brahe

J. Kepler

Los descubrimientos de Kepler se reducen a tres leyes que daremos a conocer en la síntesis que viene a continuación.

1.-

TEORÍA GEOCÉNTRICA Fue enunciada por Claudio Ptolomeo, quien sostenía que todos los cuerpos celestes giraban alrededor de la Tierra describiendo órbitas circulares. Es decir que se consideraba a la Tierra como el centro del Universo.

2.- TEORÍA HELIOCÉNTRICA Fue enunciada por Nicolás Copérnico, quien sostenía que eran los planetas los que giraban alrededor del Sol describiendo órbitas circulares. Años más tarde esta teoría fue apoyada por Galileo Galilei, quien utilizando su telescopio rudimentario también llegó a la conclusión que los planetas giraban alrededor del Sol.

3.- TEORÍA ACTUAL Johannes Kepler, basado en las mediciones de su profesor Tycho Brahe, formuló las siguientes leyes:

A)

Ley de las Orbitas Los planetas giran alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas, en uno de cuyos focos se encuentra el Sol.


204

B)

GRA VIT ACIÓN UNIVERSAL GRAVIT VITACIÓN

Ley de la Áreas El área barrida por el radio vector que une el Sol con un planeta es la misma para tiempos iguales. Si: TAB = TCD Se cumple:

C)

A1 = A2

Ley de los Períodos Cuando un planeta se mueve alrededor del Sol, se observa que el cuadrado de su período de revolución es directamente proporcional al cubo del radio vector medio.

El estudio del movimiento de los planetas, trajo como consecuencia que el famoso astrónomo Galileo (amigo de Kepler) se inclinara a defender la teoría de Copérnico, gracias a la ayuda del telescopio que el mismo inventara. Sucede que los estudios realizados por Kepler y Galileo fueron la base para que Newton formulara su Ley de la Gravitación Universal. Newton, quien precisamente había nacido el mismo año que falleció Galileo, se preguntaba -¿Por qué los planetas giran en torno al Sol?-, llegó a la conclusión que una fuerza centrípeta obligaba a los planetas a realizar este movimiento; así pues, Newton nota que el Sol atraía a los planetas. Con cierta fuerza “F”; es más, Newton notó que cada planeta atraía también al Sol. Newton descubrió también que no solo los planetas se atraen, sino que todos los cuerpos experimentan una atracción mutua.

Radio medio = RM

RM1 =

R1 + r1 2

RM2 =

R2 + r2 2

T12 T22 = = .... = cte. RM3 1 RM3 2

LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL “Dos cuerpos cualesquiera en el Universo, se atraen con una fuerza que es directamente proporcional a cada una de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa sus centros.”

r1

R

1

F=

Gm1m2 d2

G = 6 , 67 × 10−11

N × m2 kg2

NOTA Con las leyes de Kepler no significa que se hayan resuelto los enigmas del sistema solar y menos del Universo, aún falta mucho por descubrir.

Algunos Valores: Radio de la Tierra : Masa de la Tierra : Volumen de la Tierra : Densidad de la Tierra :

RT = 6 370 km 24 MT = 5,98×10 kg 27 3 VT = 1,09×10 cm 3 DT = 5,5 g/cm

Movimiento Ciencia y Tecnología Planetario

205

Dib ujo Dibujo

Los cuerpos caen ¿Porqué los cuerpos no caen hacia arriba?, en realidad muchas personas se hacen esta pregunta en algún momento; sin embargo los términos “arriba” y “abajo” son relativos y dependen enteramente de la posición del observador. Cuando un cuerpo es soltado desde cierta altura, éste se ve atraída por la Tierra con cierta fuerza llamada peso (fuerza gravitacional); como quiera que la fuerza es una magnitud vectorial, tiene dirección y sentido; la Tierra atrae al cuerpo en mención hacia su centro. De todo lo expuesto hay que precisar que lo correcto es decir: “el cuerpo cae hacia el centro de la Tierra”.

Aguas abajo Las aguas del río aprovechan la pendiente del mismo, no podría existir un río plano. Cada partícula de agua tiene una componente de su peso en la dirección del plano del río que hace que la masa del agua se muevan “aguas abajo”. Este mismo principio se usa en los sistemas de alcantarillado, canales de irrigación, etc.


206

El peso de un astr onauta en la Luna astronauta La fuerza de atracción que un planeta ejerce sobre otro cuerpo, toma el nombre de peso; dicha fuerza se rige mediante la siguiente expresión.

F=

GmM d2

Donde “M” es la masa del planeta o cuerpo celeste; en virtud a ello, es que se puede afirmar. Mayor masa del planeta o cuerpo celeste ⇒ mayor fuerza F. Menor masa del planeta o cuerpo celeste ⇒ menor fuerza F. Como quiera que la Tierra tiene mayor masa que la Luna; una persona pesará más en la Tierra que en la Luna y por tanto flotará en la Luna como lo hace un papel en la Tierra (exagerando un tanto).

¿Cómo lanzar un satélite ar tificial? artificial? Newton fue uno de los primeros científicos que consideró la posibilidad de lanzar un cuerpo desde una cima muy alta y hacerlo girar alrededor de la Tierra gracias al lanzamiento con un cañón; sin embargo, apoyándonos en las ecuaciones de gravitación universal podemos calcular fácilmente la velocidad necesaria que requiere el proyectil para realizar tan fabulosa aventura; ésta es v = 8 km/s = 28 800 km/h; no existe un misil que empuje al proyectil a tanta velocidad. Para poner en orbita alrededor de la Tierra un cuerpo; es necesario el uso de una nave espacial, la cual está comformada por la nave en sí y un cohete cuyo interior está compuesto por un conjunto de almacenes de combustible para posteriormente quemarlo y formar grandes nubes de gas los cuales escapan con fuerza hacia atrás, mientras que la nave es empujada hacía arriba. En realidad un cohete tiene varios sub-cohetes, la primera hace que la nave alcance una velocidad de 9 500 km/h, para después ser dejado caer al océano; la segunda hace que la nave alcance 22 500 km/h; mientras que la tercera alcanza la velocidad de 28 800 km/h que es la velocidad mínima que necesita un cuerpo para que gire en orbita alrededor de la Tierra; en ese momento la altura promedio es de 190 km. Estando la nave a dicha velocidad; se puede lanzar el “satélite artificial” con una velocidad tangencial, el cual quedará en orbita.


207

TEST 1.-

Para determinar la atracción gravitacional entre dos cuerpos, es necesario conocer: a) b) c) d) e)

2.-

3.-

Sus masas y la distancia entre ellas. Sus velocidades orbitales y sus masas. Sus velocidades orbitales y la distancia entre ellas. Sus masas, la distancia entre ellas y sus velocidades. Solo sus masas.

La velocidad mínima para que un cuerpo se mantenga en órbita alrededor de la Tierra, es de aproximadamente. a) b) c) d) e)

III. Los planetas giran alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas en uno de cuyos focos se encuentra el Sol. a) b) c) d) e) 6.-

1 km por segundo. 15 km por segundo. 3 km por segundo. 8 km por segundo. No se puede predecir.

Señalar la alternativa incorrecta respecto a la Ley de Gravitación Universal. a) b)

Respecto al movimiento planetario señalar verdadero o falso:

c) d)

El período de movimiento es proporcional a la distancia media al Sol. II.- Barren áreas iguales en tiempos iguales en sus respectivas orbitas. III.- Todos los planetas describen orbitas hiperbólicas y parabólicas.

I.-

a) b) c) d) e) 4.-

e)

7.-

FFF VVF FVF VFV VVV

Relaciona correctamente: I.- Teoría Geocéntrica. (a) II.- Teoría Heliocéntrica. (b) III.- Descubrimiento de la (c) constante de gravitación (d) universal. IV.- Ley de Gravitación Universal.

Lord Cavendichs Isaac Newton Nicolás Copérnico Claudio Ptolomeo

8.a) b) c) d) e) 5.-

I c, II a, III b, IV d I c, II d, III a, IV a I a, II b, III c, IV d I b, II c, III a, IV d I d, II a, III c, IV b

FVV VVV VVF FFV FFF

La fuerza gravitatoria es proporcional al producto de las masas. La fuerza gravitatoria es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa las masas. El campo gravitatorio es un campo energético vectorial. La constante de gravitación es variable con el tiempo y de acuerdo a los cuerpos que interactúan. Los cuerpos ubicados en la superficie de los planetas soportan la mayor fuerza gravitatoria.

Un planeta barre las áreas observadas en la figura, siendo A1 = 3 A2 ¿Qué podría opinar de los tiempos transcurridos? a)

TAB = 1/3 TCD

b)

TAB = TCD

c)

TAB = 3 TCD

d)

TAB = 9 TCD

e)

TAB = 27 TCD

Hallar la relación entre los períodos de los planetas “A” y “B” alrededor del Sol, conociendo los datos de la figura.

Señalar verdadero o falso, respecto al movimiento planetario y la Ley de Gravitación Universal. a) I. II.

La teoría geocéntrica fue sostenida por Claudio Ptolomeo y apoyada por Galileo Galilei. El radio vector que une el Sol con un planeta, recorre arcos iguales en tiempos iguales.

TA = TB

d)

b g

TA2 = 7 / 9 TB2 2

b)

TA = 7/9 TB

c)

TA = 9/7 TB

e)

TA

2

TB

=

73 93


208 9.-

En la figura, la masa “m” tiene un peso “P” en el planeta “A” ¿Cuál es su peso en el planeta “B”?

a) b) c)

3 P 2 P 2

10.-

El peso de una masa “m” sobre la superficie de un planeta es “P” ¿Cuál será su peso a una altura igual al radio del planeta respecto a su superficie? a)

P 2

b)

2P

c)

4P

d)

8 P 9

d)

P 4

e)

2 P 3

e)

P 8

2P


problemas de aplicación Se tiene dos cuerpos de masa m1 y m2 separados 3 m como muestra la figura. Calcular la fuerza de atracción.

2.-

Determinar una expresión que nos permita calcular la aceleración de la gravedad en cualquier punto respecto a la Tierra.

m1 = 3 × 107 kg

Solución:

m2 = 3 × 105 kg

o En el punto “P” Solución:

F = peso = mg

o Datos:

GMm

N × m2 G = 6 , 67 × 10 −11 2

;

kg

m1 = 3 × 107 kg

d = 3m F = ?(N)

;

m2 = 3 × 105 kg

Gm1m2

2

= mg

De donde:

3.-

o De la fórmula: F=

bR + hg

g=

GM 2

bR + hg

Calcular la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra. Solución:

d2 GMT

e6,67 ×10 je3 ×10 je3 ×10 j F= b3g

g=

F = 6 , 67 × 101

Superficie de la Tierra: h= 0

F = 6 , 67 N

Luego:

−11

7

2

5

b

2

g

RT + h

g=

GMT R2T


G = 6 , 67 × 10 −11

209 o Equilibrio:

N × m2

FT = FL

2

kg

MT = 5, 98 × 1024 kg

GMT 2

GML

=

2

bd − xg Gb81M g GM = x bd − x g FG 9 IJ = FG 1 IJ ⇒ H xK H d− xK x

R = 6 370 000 m Reemplazando:

L

L

2

g=

GMT

= 9, 8

R2T

Un cuerpo pesa al nivel del mar 75 N; ¿a qué altura debe elevarse para que su nuevo peso sea 3 N? (dar su respuesta en función de R = radio terrestre).

2.-

Hallar la gravedad a una altura igual a 1 600 km sobre la superficie terrestre, asumiendo que el radio terrestre es R = 6 400 km. t

Solución:

o En la superficie (punto A)

R2

9 1 = x d− x

x = 0, 9 d

Solución:

GMm

2

2

g = 9 , 8 m / s2 4.-

2

1 600 = = 75 ........... (1) g=

6 400 Rt = 4 4

GM

bR + hg

2

t

g=

o En el punto B: GMm

bR + Hg

2

= 3 ........... (2) g=

B

2

= 25 ⇒ H = 4R


3.-

⇒ g=

GM

FG R + R IJ H 4K

2

16 9, 8 25

⇒ g = 6 , 27 m / s2

t

o De (1) y (2):

FG R + HIJ H R K

GM t

b g

FG 5 R IJ H4 K

2

=

16 gt 25

t

¿Cuánto pesará un cuerpo de 20 N en un planeta cuya densidad promedio es el triple de la densidad promedio terrestre y cuyo radio es la tercera parte del radio terrestre?, considere a los planetas como esferas perfectas. 4 Vesfera = πR3 3 Solución:

1.-

La separación entre la Tierra y la Luna es “d”, ¿en qué lugar del espacio entre estos dos cuerpos, se debe colocar una pequeña masa para que se encuentre el equilibrio si M = 81 M ?, dar como respuesta en funT L ción de “d”. Solución:

o Datos: DP = 3 D T

; RP =

RT 3

o Para calcular el peso de un cuerpo de 20 N en el planeta (P), bastará calcular (g ) en función de g . P

T


210 o Partiendo de: DP = 3 D T

Solución:

mP m =3 T VP VT

F 4 πR I F V I G JJ = 3m G J = 3m G 3 V H K GH 4 πR JK 3

mP

P

P

T

T

3

T

mP = 3 mT

3

3

T

RP

R3T

o FC = FG

o Ahora: En la superficie del planeta

F 3m R I G R JJ Gm = GG g = GG R JJ ⇒ R K H F 1I g = 3g G J ⇒ g = g H 3K

mv 2 GMm = 2 r r

3

P

P

T P 3

P

T

2

2

P

P

T

P

gP =

F I GH JK

3GmT RP RT R2T

v2 = 6.-

T

o Finalmente: Wcuerpo en = Wcuerpo en = 20 N el planeta

4.-

1 GM GM GM ⇒ v= ⇒ v= 4R 2 R r

Si la masa de la Tierra es 80 veces la de la Luna y su radio 4 veces el de ésta, ¿qué tiempo tardará en alcanzar la altura máxima, un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba en la Luna, con una velocidad de 20 m/s? Solución:

la Tierra

MT = 80 ML R T = 4RL

En la figura mostrada, un planeta demora 4 meses en hacer el recorrido AB. ¿Qué tiempo emplea el planeta en el recorrido BC?

gL = ?

U| V| W

gL =

gL =

GML RL2 GMT 5R2T

FG M IJ H 80 K = FG R IJ H 4K T

G

2

T

=

g 9, 8 = 5 5

gL = 1, 96 m / s2 o Cuando el cuerpo es lanzado en la superficie de la Luna. t AB = ?

Solución:

vF = v o − gLt AB

Ley de las Áreas:

0 = 20 − 1, 96 t AB

b g

El área barrida por el radio vector que une el Sol con un planeta es la misma para tiempos iguales. o Luego:

S 2S

4 meses t t = 8 meses

o Finalmente: 5.-

tBC = 8 meses

¿Con qué velocidad lineal se traslada un satélite alrededor de la Tierra si su órbita se encuentra a una altura h = 3R sobre la superficie de la Tierra?. Dar la respuesta en términos de G, M (masa de la Tierra) y R (radio de la Tierra).

t AB = 10 , 20 s

7.-

Determinar el período de revolución de un satélite artificial de la “Tierra”, el cual se encuentra a una altura igual al doble del radio terrestre: g : aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra. R : radio terrestre. Solución:


211

o Calculando la aceleración de la gravedad en P. gP =

gP =

GM 2

GM

=

bR + hg bR + 2Rg

2

⇒ gP =

GM 9R2

g 9

Siendo : g, la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre. o Caso “B”:

o FC = peso = mgP

b g mω b3Rg = mg

mω 2 radio = mgP 2

P

g ⇒ 27R

ω2 =

T = 6π

8.-

gB =

b g FGH g9 IJK

⇒ mω 2 3R = m

FG 2π IJ H TK

2

=

GM' r2

g GM' ........... (1) = 4 r2

g 27R

o Nótese que la densidad es la misma. ρ=

3R g

M M' = 4 3 4 3 πR πr 3 3

De donde:

Si el radio terrestre es “R”. ¿A qué profundidad de la superficie terrestre, la aceleración de la gravedad es el 25% de su valor en la superficie?

M' =

M⋅r 3 ........... (2) R3

o (2) en (1):

FG IJ H K

g G Mr 3 GM r g r = = 2 ⇒ =g 4 r 2 R3 4 R R R

Solución: Aparentemente se puede creer que a medida que uno se introduce al globo terráqueo, la aceleración de la gravedad aumenta, en realidad sucede lo contrario ( g disminuye). Esto se debe a que la masa atractiva también disminuye.

⇒ r=

R 4

o Nos piden: x = ? x =R−r =R−

3R R ⇒ x= 4 4


problemas de aplicación Si la aceleración de la gravedad en la Luna es 1/6 del valor de la aceleración de la gravedad terrestre. ¿Cuánto pesará en la Luna un astronauta, que en Tierra pesa 800 N? (g = 10 m/s2). Tierra Rpta.

2.-

133,33 N

3.-

Rpta. 4.-

¿A qué altura debe elevarse un cuerpo, para que su peso sea la mitad del que tiene en la superficie de la 2 Tierra? (gTierra = 10 m/s ; RT = 6 400 km).

Rpta.

h = 2 560 km

Si en Júpiter la aceleración de la gravedad es 2,64 veces mayor que la terrestre. ¿Cuánto pesará una persona de 70 kg? 1 811 N

¿Con qué velocidad debe dispararse un cuerpo verticalmente y hacia arriba desde la superficie terrestre, para que alcance una altura igual al doble del radio = 10 m/s2 ; R = 6 400 km). de la Tierra? (g Tierra

Rpta. 5.-

T

9,24 km/s

Dos planetas A y B giran alrededor de una estrella. El planeta A demora en dar 1 vuelta 365 días y el planeta


212 B demora 2 920 días. ¿Cuál es la relación (R /R ) sienA B do R y R los radios de sus orbitas? A

Rpta. 6.-

7.-

Rpta.

4.-

345 600 km

0,002 72 m/s2

Rpta. 5.-

4 m/s2

h= 3

GMT2 4π 2

6.-

−R

¿A qué altura un cuerpo tendrá un peso que es 1/3 del que tiene en la superficie de la Tierra? R : radio terrestre. Rpta.

2.-

e

R

3 −1

j

Un cuerpo en la superficie terrestre pesa un promedio de 800 N; a 1 000 km sobre la superficie de la Tierra, ¿cuál será su peso? Rpta.

597 N

b2

v=

400 10 m / s 3

3R 4

Un cuerpo se ha lanzado verticalmente hacia arriba desde la superficie de la Tierra con una velocidad inicial vo. Determinar la altura H alcanzada teniendo en cuenta que la variación de la fuerza de gravedad es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al centro de la Tierra. La resistencia del aire se desprecia. El radio de la Tierra es 6 400 km y vo = 1 km/s Rpta.

8.-

Gm 3

Si el radio terrestre es “R” y suponemos que la Tierra es esférica, maciza y homogénea. ¿A qué profundidad de la superficie terrestre la aceleración de la gravedad es el 25% de su valor en la superficie? Rpta.


a=

Un meteorito se encuentra inicialmente en reposo a una distancia del centro de la Tierra igual a seis veces el radio de la Tierra. Calcular la velocidad que tendría al llegar a la superficie de la Tierra (g = 10 m/s2). Rpta.

7.-

1.-

En la figura, se muestra las posiciones relativas de tres masas en un instante dado. Dos masas iguales “m” separadas una distancia “b” y una tercera masa “m/2” en un punto P equidistante de las otras dos. Calcular la aceleración de la masa colocada en el punto P.

T = 7,25 h v = 4,62 km/s

El satélite “INTELSAT”, usado para transmitir vía satélite, siempre está sobre el Brasil. ¿A qué distancia de la superficie de la Tierra se encuentra?

Rpta.

B

5

Peso en Tierra = 6,3×10 N 5 Peso en (h = 200 km) = 5,9×10 N

3b 2

La densidad de Marte es aproximadamente 5/8 de la densidad de la Tierra; y su radio es 16/25 del radio de la Tierra. ¿Cuál es el valor de la aceleración de la gravedad en Marte? (gTierra = 10 m/s2). Rpta.

10.-

Tierra

Si la Luna está a 60 radios terrestres del centro de la Tierra, ¿Cuál es el valor de la aceleración de la gravedad terrestre, sobre nuestro satélite, si el valor promedio de g en la superficie de la Tierra es 9,8 m/s2? Rpta.

9.-

RA 1 = RB 4

El tren lunar (conjunto módulo de servicio, módulo de comando, módulo de alunizaje) del proyecto Apolo para la conquista de la Luna, tiene 63 000 kg de masa. ¿Cuál será su peso cuando está en Tierra y = 10 m/s2). cuál a 200 km de altura? (g

Determinar el período de revolución de un satélite artificial de la Tierra el cual se encuentra a una altura igual al doble del radio terrestre. Determinar la velocidad tangencial con que gira. (gT = 10 m/s2 ; RT = 6 400 km) Rpta.

8.-

B

¿A qué distancia del centro de la Tierra debe estar una nave espacial en vuelo hacia la Luna para que ahí soporte una fuerza de gravedad nula. Si la distancia entre los centros de la Tierra y la Luna es 384 000 km y la masa terrestre es 81 veces la masa de la Luna? Rpta.

3.-

50 km

¿Con qué velocidad debe dispararse un proyectil para que escape del campo gravitatorio terrestre como mínimo? Rpta.

11,18 km/s

Capítulo

9

OSCILACIONES Y ONDAS MECÁNICAS MOVIMIENTO OSCILA TORIO OSCILATORIO Es aquel movimiento en el cual el cuerpo se mueve hacía uno y otro lado respecto a una posición de equilibrio, o decir efectúa un movimiento de vaivén.

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S.) Es aquel movimiento oscilatorio que se repite en intervalos iguales de tiempo y además se realiza en una trayectoria con tendencia a la línea recta. Ilustración

Se muestra una masa sujeta a un resorte sin estirar (posición de equilibrio).

Una fuerza deformadora (FD ) estira el resorte hasta su posición extrema.

Cuando se suelta el bloque, éste regresa a su posición de equilibrio e incluso lo sobrepasa hasta llegar a la otra posición extrema, gracias a la fuerza del resorte: Fuerza Recuperadora (FR ).


214

CONCEPTOS IMPORTANTES

FD = Kx FD : fuerza deformadora K : constante propio del resorte (N/m) x : elongación (deformación)

B)

A)

Oscilación Simple.- Es el movimiento que realiza un cuerpo al ir de una posición extrema hasta la otra (ABCD).

B)

Oscilación Doble o Completa.- Es el movimiento que realiza un cuerpo en ir de una posición extrema a la otra y luego regresar a la primera (ABCDCBA).

C)

T = 2π

C)

Período (T).- Es el tiempo que emplea un

Frecuencia (f).- Es el número de oscilaciones completas que realiza un cuerpo en cada unidad de tiempo (f = 1/T).

E)

F)

T : período m : masa del bloque K : constante del resorte

2π 2 2 A −x T

Aceleración (a): a=±

Elongación (x).- Es la distancia existente

4 π2 x T2

bg

entre la posición de equilibrio y el cuerpo en un instante cualquiera.

ASOCIACIÓN DE RESORTES

Amplitud (A).- Es la distancia existente en-

A)

tre la posición de equilibrio y cualquiera de las posiciones extremas.

EXPRESIONES MATEMÁTICAS IMPORTANTES A)

D)

m K

Velocidad (v): v=

cuerpo en realizar una oscilación completa.

D)

Período de Oscilación: ( T = t1 + t2)

Ley de Hooke.- “La fuerza deformadora es directamente proporcional a la deformación”

Resortes en Serie.- Un sistema de resortes está en serie cuando la deformación del resorte equivalente es igual a la suma de las deformaciones de cada resorte. En este caso, la fuerza en cada resorte será la misma.

Oscilaciones y Ondas Mecánicas

215

1 1 1 1 = + + K E K1 K 2 K 3

B)

Resortes en Paralelo.- Un sistema de resortes está en paralelo cuando ellos tienen la misma deformación.

T = 2π

K E = K1 + K 2 + K 3

L g

T : período L : longitud de la cuerda g : aceleración de la gravedad

PÉNDULO SIMPLE El péndulo simple es aquel dispositivo que está constituído por una masa de pequeñas dimensiones, suspendida de un hilo inextensible y de peso despreciable. Cuando la masa se desvía hacia un lado de su posición de equilibrio y se abandona, oscila alrededor de esa posición con un movimiento oscilatorio y periódico, cuya trayectoria es casi una línea recta si el ángulo θ entre la posición extrema y la posición de equilibrio no sobrepasa los 15 grados.

LEYES DEL PÉNDULO SIMPLE 1º

El período no depende de la masa que oscila.

2º

El período es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la longitud del péndulo.

3º

El período es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la aceleración de la gravedad.

Una aplicación directa del péndulo es el “bate segundos”, que generalmente se usaban años atrás, el período de este reloj es de 2 segundos; es decir en ir y regresar demora 2 segundos.


216

MOVIMIENTO ONDULA TORIO ONDULATORIO CONCEPTO DE ONDA

B)

Una onda es aquella perturbación en los medios elásticos o deformables. Es transportadora de energía; pero es incapaz de desplazar una masa en forma contínua. Toda onda al propagarse da lugar a vibraciones. Es importante notar que el medio mismo no se mueve en conjunto en la dirección en que avanza el movimiento ondulatorio. Las diversas partes del medio oscilan únicamente en trayectorias limitadas.

Ondas Transversales.- Son aquellas en las cuales las partículas del medio vibran perpendicularmente a la dirección de las ondas. Por ejemplo las ondas de una cuerda.

dirección de las ondas

La onda producida en la cuerda viaja verticalmente, mientras que cada partícula de la cuerda vibra horizontalmente (perpendicular a la dirección de la onda). El agua del océano es perturbado por el viento, por tal motivo se originan ondas en el mar (olas).

En este capítulo limitaremos nuestra atención a ondas en medios deformables o elásticos (ondas mecánicas).

CLASES DE ONDAS A)

ELEMENTOS DE UNA ONDA A)

Ciclo.- Se le llama también fase y viene a ser el movimiento ordenado por una onda comprendida entre dos puntos consecutivos de posición semejante.

B)

Período (T).- Es el tiempo transcurrido durante la realización de un ciclo.

Ondas Longitudinales.- Son aquellas en las cuales las partículas del medio vibran paralelo a la dirección de las ondas. Por ejemplo las ondas del sonido.

C)

Frecuencia (f).- Es el número de ciclos realizados en cada unidad de tiempo. La frecuencia es la inversa del período.

dirección de las ondas

f =

D)

Las partículas de la masa contínua vibran en la misma dirección de las ondas. Nótese que dicha masa no se mueve en conjunto con las ondas, sino que oscilan en trayectoria cerrada.

1 T

Longitud de onda (λ ) .- Es la distancia, medida en la dirección de la propagación de la onda que existe entre dos puntos consecutivos de posición semejante. También se le define como el espacio que una onda recorre en un tiempo igual al período.


217

ONDAS VIAJERAS UNIDIMENSIONALES Daremos a conocer la ecuación de una onda unidimensional.

A)

E)

Cuando la onda se propaga de izquierda a derecha.

Velocidad de una onda (v).- Es la rapidez con la cual una onda se propaga en un medio homogéneo. Una onda se propaga en línea recta y con velocidad constante. v=

λ T

T: período

F)

Crestas.- Son los puntos más altos de las ondas.

G)

Valles.- Son los puntos más bajos de las ondas.

H)

Amplitud (A).- Es la altura de una cresta o la

b

y = Asen Kx − ωt

g

T = período t = tiempo

A = Amplitud

profundidad de un valle.

B)

K=

2π = # de onda λ

ω=

2π = frecuenciaangular T

Cuando la onda se propaga de derecha a izquierda.

b

y = Asen Kx + ωt

g

OBSERVACIÓN Las ondas se pueden clasificar también como ondas unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales, según el número de dimensiones en que propague la energía. Las ondas que se mueven en una cuerda horizontal o en el resorte vertical son unidimensionales. Las olas u ondas en el agua son bidimensionales. Las ondas sonoras y las ondas luminosas son tridimensionales.

VELOCIDAD DE UNA ONDA TRANSVERSAL EN UNA CUERDA Experimentalmente se puede demostrar de una manera sencilla, que la velocidad de la onda depende sólo de la tensión o fuerza ejercida sobre la cuerda y de la masa de la unidad de longitud “µ” de la cuerda. v=

F µ

F = tensión µ = masa por unidad de longitud


218

ONDAS MECÁNICAS CONOCIDAS 1.-

LAS ONDAS DEL SONIDO

Son ondas longitudinales que se originan por el movimiento de un cuerpo. Todo cuerpo que se mueve produce sonido. En nuestra vida diaria, el sonido se propaga a través del aire (en el vacío no se propaga, es decir no hay sonido). El sonido tiene tres cualidades:

A)

Intensidad.- Es la cualidad por la que percibimos un sonido FUERTE o DÉBIL. El sonido emitido por un radiorreceptor puede tener demasiada intensidad y ser molesto, por lo que reducimos el volumen, lo cual significa que disminuimos la intensidad del sonido emitido. A mayor amplitud mayor sonido.

El sonido agudo es debido a una frecuencia alta.

C)

El sonido grave se debe a una frecuencia baja.

Timbre.- Es la cualidad que nos permite distinguir una misma nota emitida por desiguales instrumentos. Un violín y una trompeta pueden emitir una misma nota (un mismo tono), pero sus timbres serán diferentes.

Dos personas pueden entonar la misma canción, pero sus timbres siempre serán diferentes.

2.- LAS ONDAS EN EL AGUA Son ondas transversales que se originan al perturbar una masa de agua por intermedio de por lo menos un cuerpo.

Los parlantes de un equipo de sonido vibran con mayor amplitud; luego su intensidad será grande.

B)

Un radio transistor emite un sonido cuyas ondas tienen amplitud pequeña; luego su intensidad será muy pobre.

Las ondas en el agua ocurren generalmente en grupos y no aislados. Esto puede observarse al arrojar un cuerpo a un depósito. Una serie completa de crestas de ondas se mueven a partir del punto en que el cuerpo se sumerge, las separa la misma distancia (λ).

Tono.- Es la cualidad que nos hace percibir como agudo o como grave y depende de la frecuencia de la onda. Dos notas musicales distintas se diferencian en el tono. El tono que los músicos llaman La4 tiene una frecuencia de 440 Hz y el denominado Fa5, tiene una frecuencia de 739,99 Hz; cuanto mayor sea la frecuencia, mayor será el tono. El tímpano humano responde a sonidos en un amplio intervalo de frecuencias. Aunque el intervalo real varía según el individuo, podemos afirmar que en general el intervalo de audición humana oscila entre 20 Hz y 20 000 Hz. Las frecuencias mayores se denominan ultrasónicas. Los humanos no pueden oír frecuencias ultrasónicas pero algunos animales (los perros, por ejemplo) si pueden hacerlo. Los silbatos “silenciosos” para perros se basan en este principio.

plano imaginario

Un objeto flotante se mueve en trayectoria circular cuando una onda pasa; el agua también se mueve en círculos; a pesar que la onda transporta energía en la dirección de la propagación.

Oscilaciones Ciencia y Tecnología y Ondas Mecánicas

219

¿P or qu é se pr oducen las olas? ¿Por orqu qué producen Lo que se muestra en la figura, una ola por lo menos ocurre cuando las ondas se propagan en aguas profundas y cuando la altura de la onda es pequeña. Si un viento continúa soplando contra la onda, parte de la carga de velocidad del viento se transforma en una carga de gravedad en la onda, la cual crece en la altura. Si la onda adquiere tanta energía como para que su altura alcance más de un séptimo de su longitud de onda, se romperá. Cuando esto ocurre, el agua en la cresta es liberada de su movimiento circular y es lanzada violentamente en la dirección de la onda. Una vez que la onda se rompe, la altura de ésta se reduce a menos de un séptimo de su longitud de onda y la onda continúa avanzando como antes, para luego entrar en aguas poco profundas (orilla), donde se romperá y arrojará una masa de agua hacia la playa. Las olas transportan enormes cantidades de energía y las más grandes son capaces de destruir los barcos que encuentran en su camino.

El maremoto (tsunami) El maremoto no necesariamente se produce por acción de los vientos, sino más bien por efecto de algún terremoto debajo de las aguas; el movimiento sísmico empuja una parte del fondo del mar hacia arriba o hacia abajo lo que origina una larga ola la cual avanza y crece, tal es así que cuando llega a Tierra puede medir hasta 30 metros de altura provocando consecuencias dañinas.


220

Las ondas sonoras necesitan del aire para pr opa gar se propa opagar garse

En realidad, las ondas mecánicas necesitan algún medio para propagarse, así pues, el sonido necesita del aire para manifestarse. En el Sol se producen contínuamente grandes explosiones, si entre la Tierra y el Sol existiese aire en su totalidad, estaríamos condenados a escuchar explosiones todos los días.

El silbato silencioso Ultrasonido: Los ultrasonidos son sonidos que superan los 20 000 Hertz, El hombre no está en la capacidad de captar sonidos tan agudos, sin embargo animales como el murciélago, el perro entre otros pueden captar estos sonidos fácilmente. El silbato silencioso para dar ordenes a los perros es una prueba de ello.

La resonancia El edificio colapsa debido al a energía máxima que absorbe de las ondas sísmicas por efecto de la resonancia. Se produce resonancia cuando la frecuencia de un ente externo se iguala a la frecuencia natural de la estructura (edificio, casa, puente, etc). Cuando esto sucede se generan ondas estacionarias en la cual la transferencia de energía desde el ente externo hasta la estructura se hace máxima. La frecuencia natural de la estructura depende de las características propias de la misma y es fácil calcularla.


221

TEST 1.-

El sonido se transmite a alta velocidad a través del: a) b) c) d) e)

2.-

Considerando el caso anterior, la máxima compresión 1 del resorte es: (energía potencial = Kx2 ) 2 a)

Mv 2 K

b)

v

c)

7.-

FG M IJ HKK FKI vG J H MK

d) 1/ 2

e)

FG MIJ HKK FKI 2vG J H MK

1/ 2

2v

1/ 2

1/ 2

Una masa M unida a un resorte de constante elástica K mantiene un M.A.S. horizontal de amplitud “A”. Determinar la energía cinética del bloque cuando pasa por la posición de equilibrio. 1 2 (energía potencial = Kx ) 2

No escuche el eco. Escuche dos o más ecos. Encuentre que el eco se cancela. Escuche ecos continuos. Escuche solo tres ecos.

El número de ondas sonoras producidas en una unidad de tiempo se llama: a) b) c) d) e)

5.-

Absorbida. Amplificada. Medida. Reflejada. Perturbada.

Si se produce un fuerte sonido desde un punto cercano a una de las superficies reflectoras de sonido, distantes y opuestas, tales como; montañas, es posible que una persona. a) b) c) d) e)

4.-

Aire. Vacío. Agua. Acero. Madera.

Se produce un eco únicamente si una onda sonora es: a) b) c) d) e)

3.-

6.-

Tono. Frecuencia. Amplitud. Intensidad. Período.

Un Bloque de masa “M” es disparado con velocidad “v” contra un resorte de masa despreciable y constante elástica K. Suponiendo el plano horizontal liso, es correcto que durante la compresión del resorte:

8.-

a)

KA2 2

d)

Cero

b)

KA2

e)

KA 2

c)

2KA2

Respecto a los movimientos armónicos simples, señalar verdadero o falso: I.-

a) b) c) d) e)

La fuerza resultante sobre el bloque es hacia la derecha. Cuando el bloque se detiene momentáneamente su aceleración es nula. El bloque estará en equilibrio cuando su velocidad es nula. La rapidez del bloque varía entre 0 y “v”. Todas son falsas.

El carácter cinemático involucra las funciones armónicas senos y cosenos. II.- Todos los movimientos oscilatorios por una posición de equilibrio son armónicos. III.- Estos movimientos transcurren bajo la acción de fuerzas recuperadoras elásticas que son gobernadas por la ley de Hooke. a) b) c) d) e)

VFV VVV VFF FFF FVV


222 9.-

Respecto al período de oscilación de un péndulo, señalar verdadero o falso:

10.-

I.- Es proporcional a la masa oscilante. II.- Depende de la desviación respecto a la posición de equilibrio. III.- Oscila en planos variables. IV.- Es proporcional a la raíz cuadrada de la longitud e inversamente proporcional a raíz cuadrada de la gravedad. a) b) c)

VVVV FFVV FFFV

d) e)

Si un péndulo es trasladado de un lugar de menor altura respecto a la superficie terrestre a otro de mayor altura, su período de oscilación: ........................ a) b) c) d) e)

Aumenta dependiendo de la altura. Disminuye dependiendo de la altura. Permanece igual. Aumenta al doble. Disminuye en la mitad.

FFFF FVVF


problemas de aplicación En la siguiente figura, se muestra un bloque unido a un resorte que realiza un movimiento armónico simple, si la amplitud para este caso es de 1 m. Determinar qué espacio recorre el bloque en un ciclo.

Solución:

Solución:

o t ABC = 8 s

o 1 ciclo < > ABC + CBA

o e1ciclo = e ABC + e CBA

t CBA = 8 s

e1ciclo = 4 + 4

t1ciclo = t ABC + t CBA

e1ciclo = 8 m

t1ciclo = 16 s 3.-

¿Cuál es la longitud de un péndulo, cuyo período es de 4 segundos? (g = π2 m/s2). Solución:

En un ciclo se recorre cuatro veces el valor de la amplitud. e= 4m

2.-

Un bloque que realiza un M.A.S. en ir de una posición extrema a la posición de equilibrio recorre 2 m en 4 s. Determinar qué espacio recorre y qué tiempo demora en un ciclo.

o T = 2π T = 2π L=

gT2 4π 2

L g L g

⇒

T2 4 π2

=

L g

Oscilaciones y Ondas Mecánicas o Reemplazando: T = 4 s , g = π2 L= 4.-

B


2

bg

π 4 2

223

⇒ L= 4m

4 π2

1.-

Si la longitud de un péndulo simple aumentase en 2 m, su período se triplicaría. Calcular la longitud del péndulo (en metros).

Un punto tiene un movimiento vibratorio de período T = 2 s, si su velocidad máxima es 2,5 m/s. Calcular su amplitud. Solución:

Solución:

v máx

o Inicialmente: L T

UV W

T = 2π

L g v=

o Finalmente: LF = L + 2

o Para que: vmax ⇒ x = 0

TF = 3T 2π

T = 2s

F GH

LF L = 3 2π g g

I JK

v max = 2, 5 m / s

o Reemplazando en (1):

L+2 L =3 g g

LF L =3 ⇒ g g

2, 5 =

o Elevando al cuadrado ambos miembros: L+2 L =9 ⇒ g g 5.-

2π A2 − x 2 ............. (1) T

L = 0 , 25 m

y = 0 , 03 sen 2π

⇒ 2, 5 = πA

A = 0 ,796 m 2.-

La ecuación de cierta onda transversal es:

2π A2 − 0 2

En el oscilador horizontal sin fricción de la figura, hallar la amplitud máxima para que la masa superior no resbale. El coeficiente de fricción entre “m” y “M” es µ.

FG t − x IJ H 0, 02 0, 20 K

donde, x e y se miden en metros y t en segundos, calcular: A) B) C) D)

La amplitud. La longitud de onda. La frecuencia. La velocidad de propagación.

Solución: o De la fórmula: y = Asen 2π

FG t − x IJ H T λK

Comparando las ecuaciones: A) A = 0,03 m

Solución: o Para hallar la amplitud máxima tendremos que hallar la máxima aceleración.

b

FR = Kx ........................ (2) o (1) = (2):

b

1 C) T = 0,02 s ⇒ f = 0 , 02 f = 50 ciclos/s ⇒ f = 50 Hertz λ 0 , 20 = T 0 , 02

De la figura: f = ma µmg = ma a = µg

g

Kx = m + M a

B) λ = 0,20 m

D) v =

g

FR = m + M a ............. (1)

⇒ v = 10 m / s

x=

bm + Mga ............. (3) K

o En (3): x=

bm + Mgµg K

D.C.L. (m)


224 3.-

o Finalmente:

En la figura mostrada, determinar el período de oscilación del bloque de masa “m”.

3m m = 2π 4K KE

T = 2π

3m 4K

T=π 4.-

Solución: El sistema equivale a:

La escala de una balanza de resorte que registra de 0 a 200 N, tiene una longitud de 10 cm. Un bloque suspendido de dicha balanza oscila verticalmente dando 120 vibraciones por minuto. Calcular la masa del bloque (considerar π2 = 10). Solución: o Analizando el resorte con el peso de 0 a 200 N:

o Analizando el resorte con el bloque de masa “m” f =120 rev/min f = 120 o K1 : Proviene de asociar dos resortes en serie.

1 o T= s 2

1 1 1 2K = + ⇒ K1 = 3 K1 K 2K

T = 2π

o K2 : Proviene de asociar dos resortes en paralelo. K2 = K + K

⇒

1 m = 4π 2000

o K3 : Proviene de asociar dos resortes en serie. 1 1 1 1 1 2K = + = + ⇒ K3 = 3 K 3 K 2 K 2K K

1 16 π 2

o KE = ?

m=

o Por lo tanto estos se encuentran en paralelo.

2K 2K + 3 3

5.-

=

m 2000

2 000 16 × 10

⇒

m = 12, 5 kg

Un reloj pendular tiene un período de 2 segundos en un lugar donde g = 10 m/s2 . Si se lleva dicho péndulo a un planeta “x”, su nuevo período es de 4 segundos. ¿Cuánto vale la aceleración de la gravedad en ese planeta? Solución:

KE = K1 + K 3

KE =

m K

1 m = 2π 2 K

K 2 = 2K

Nótese que si K1 se comprime “A”, posteriormente K3 también se comprime “A”, lo cual significa que las deformaciones en los resortes son iguales.

rev 1min rev × =2 min 60 s s

⇒ KE =

4K 3

o Según la fórmula de péndulo simple:

T = 2π

L g

Oscilaciones y Ondas Mecánicas En la Tierra:

En el Planeta “x”:

L ......... (1) gt

2 = 2π

225

4 = 2π

7.-

L ......... (2) gP

o (2) : (1)

Solución:

gt gP

2=

⇒

g gP = t 4

4=

gt gP

f1 = 10 vib/u ⇒ T1 =

Siendo u : Unidad de tiempo. L1 ⇒ g

o T1 = 2π

¿A qué altura sobre la superficie terrestre, el período de un péndulo se duplica? Solución:

o T2 = 2π L2 g

o Recordar:

o T1 : T2

GM

g2 = g1 =

bR + hg

1 L = 2π 1 10 g 1 L = 2π 2 6 g

⇒

6 L = 1 10 L2

2

GM

36 L1 = 100 L 2

R2

o Ahora:

⇒

L1 = 0 , 36 L2

o Además: L2 – L1 = 16 cm (dato)

L T1 = 2π = 2π g1

L GM R2

L2 − 0 , 36L 2 = 16 ⇒ 0 , 64 L2 = 16

FG IJ H K

L1 = 9 cm

L2 = 25 cm

2

T1 = 2π

LR ......... (1) GM

T2 = 2π

L = 2π g2

8.-

T2 = 2π

b g

L R+h

Una onda transversal viajera en una cuerda es descrita por la ecuación:

L

LM GM OP MN bR + hg PQ 2

FG H

y = 16sen πx −

......... (2)

GM

Solución:

t=

R2 2

T1 R = ⇒ 2T1 R + h

IJ ; K

donde x, y son dados en cm, y el tiempo en segundos. Calcular “y” cuando x = 0,5 cm; t = (1/6) s.

x = 0 , 5 cm

bR + hg

3πt 2

2

o (1) : (2) T1 = T2

1 u 10

1 f2 = 6 vib/u ⇒ T2 = u 6

10 ⇒ gP = 4

gP = 2, 5 m / s2 6.-

Un péndulo efectúa 10 vibraciones, otro péndulo, en el mismo tiempo que el primero realiza 6 vibraciones, la diferencia entre las longitudes de ambos péndulos es 16 cm. Hallar las longitudes de los péndulos.

R 1 = 2 R+h

h=R h = 6 370 km Caso General: T1 R + h1 = T2 R + h2

o

1 s 6

U| V| W

y=?

FG 3πt IJ H 2K L F 3π I F 1 I O y = 16sen Mb π gb0 , 5g − G J G J P H 2 KH 6KQ N π F π πI y = 16sen G − J ⇒ y = 16sen H 2 4K 4 y = 16sen πx −

y = 16

2 2

⇒

y = 8 2 cm


226 9.-

Un pescador, en un bote anclado, observa que éste flota efectuando 10 oscilaciones completas en 8 s, y que se invierten 4 s, para que la cresta de la ola recorra los 16 m de su bote. ¿Cuántas ondas completas existe en cualquier instante a lo largo de la longitud del bote?

10 ciclos 8s v

v=

e 16 = ⇒ v = 4 m/s = t 4

o Se sabe: λ v = = λf T

⇒ 4=λ

FG 10 IJ H 8K

m λ = 3, 2 m o Como quiera que el bote mide 16 m, el número de ondas que pasa por él será: 16 m N° de ondas = 3, 2 m N° de ondas = 5

F ......... (1) µ

o Para que v sea máximo, F tiene que ser también máximo. Nótese que la cuerda es vertical, por tanto “F” no es constante.

o Según el problema: v=

Se suspende un peso “W” de una cuerda uniforme de longitud “L” y masa “M”, tal como se muestra en la figura. Agitando transversalmente el extremo inferior se origina una onda, la cual se propaga a lo largo de dicha cuerda. En consecuencia, ¿cuál es la máxima velocidad de propagación? Solución:

Solución: o f=

10.-

FG MgIJ x ; HLK F MgIJ L =W+G HLK

o F= W + Fmax

Fmax

Fmax = W + Mg ......... (2)

o (2) en (1): v=

v=

W + Mg M/L WL + gL M

⇒ x =L


227


problemas de aplicación En la figura mostrada, calcular el período de oscilación del cuerpo de masa m = 1 kg. Rpta. 2π s 5

Rpta.

8.-

2.-

Una cuerda de 3 m tiene una masa de 120 g. ¿A qué velocidad se propagan las ondas transversales en la cuerda si se pone bajo una tensión de 4 N?

Comparar los períodos de oscilación en cada caso. Rpta. 9.-

(II)

I

Rpta.

4.-

Una cuerda de 1,5 m y de 0,3 kg, contiene una onda estacionaria como muestra la figura, cuando la tensión es 180 N, calcular la frecuencia de oscilación.

4s

Rpta.

Rpta.

60 Hz

0,8 π s

Un péndulo simple oscila con un período de 0,6 s, si se lo lleva a la Luna. ¿Cuál será su nuevo período? (gL =

7.-

98 N/m

Un péndulo simple tiene una longitud de 1,6 m. Calcular su período de oscilación (g = 10 m/s2). Rpta.

6.-

10.-

40 m/s

En un M.A.S. la relación entre la velocidad máxima y la aceleración máxima es 2/π. Calcular el período del M.A.S. Rpta.

5.-

Un corcho flotando en el mar realiza 20 oscilaciones completas en 30 s, debido al movimiento de las aguas. Calcular la velocidad de propagación de la onda marina sabiendo que las aristas de las olas están separadas entre si 60 m.

Rpta.

Un cuerpo pequeño de 0,10 kg está ejecutando un M.A.S. de 1 m de amplitud y 0,2 segundos de período. Si las oscilaciones son producidas por un resorte, ¿cuál es la constante de fuerza del resorte? π2 = 9,8. Rpta.

10 m/s

TII > TI > TIII

(III) 3.-

1,2 m/s

1 g ; g = 10 m/s2). 6 t t 0, 6 6 s

La onda que se muestra es emitida por un vibrador de 60 Hz. Calcular la velocidad de dicha onda.

B 1.-

problemas complementarios En un M.A.S. ¿a qué distancia del punto de equilibrio su velocidad es igual a la mitad de su velocidad máxima siendo la amplitud de oscilación A = 20 cm? Rpta.

17,3 cm


228 2.-

Un bloque de 4 kg de masa, que está unido a un resorte de rigidez K = 9 N/m, se encuentra oscilando verticalmente con una amplitud de 50 cm. Determinar a qué distancia se encuentra el bloque, de su posición de equilibrio en el instante que su velocidad es de 60 cm/s.

7.-

Un estudiante golpea el agua de una cubeta 4 veces por segundo y nota que la onda producida recorre 60 cm en 5 s. ¿Cuál es la longitud de onda del fenómeno? Rpta.

Rpta.

8.3.-

Si la masa de 2 kg está oscilando con una amplitud de 40 cm. Determinar la máxima velocidad que adquiere en su trayectoria.

Rpta.

La ecuación de una onda transversal que se propaga en una cuerda es: y = 4 sen 2π

8 m/s

Un péndulo simple ejecuta 30 oscilaciones simples por minuto con una amplitud de 10 cm. Determinar su máxima velocidad. Rpta.

5.-

6.-

9.-

T = 0,1 s f = 10 Hz λ = 20 cm v = 200 cm/s

Dos pulsos de onda generados en una cuerda tensa se mueven como se observa en la figura. ¿Cuánto tiempo tardarán en pasar la una, sobre la otra?

10π cm/s

Dos péndulos de L1 = 30 cm y L2 = 60 cm se encuentran en lugares donde la aceleración de la gravedad son: g1 = 10 m/s2 y g2 = 5 m/s2 . Determine la relación de sus períodos (T1 /T2), sabiendo que la relación de sus masas pendulares son: m1= 2m2 Rpta.

FG t − x IJ ; H 0,1 20 K

donde las distancias están en cm y los tiempos en s. ¿Determinar el período, la frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de propagación? Rpta.

4.-

λ = 3 cm

30 cm

1/2

Rpta.

Un reloj de péndulo hecho en Tierra es llevado a un planeta desconocido donde la gravedad es 4 veces que la Tierra. Si el período en la Tierra es 1 hora, ¿cuál será el período en dicho planeta?

¿Qué diferencia de fase habrá entre las vibraciones de 2 puntos que se encuentran respectivamente a las distancias de 10 y 16 m del centro de vibración?. El período de vibración de 0,04 s y su velocidad de propagación 300 m/s.

Rpta.

Rpta.

0,5 hora

10.-

10 s

π rad

Capítulo

10

ESTÁTICA DE LOS FLUIDOS INTRODUCCIÓN La estática de los fluidos es una parte de la mecánica que estudia a los fluidos en reposo; muchos la llaman Hidrostática a pesar que este término significa “Estática del Agua”. Ese término se emplea en general para designar la estática de los fluidos. Los fluidos son sustancias que pueden fluir, por consiguiente, el término incluye tanto los líquidos como los gases. En la estática de los fluidos se presume que el fluido y los demás objetos pertinentes, tales como el recipiente que lo contiene están en reposo. Sin embargo los fluidos que existen en la naturaleza poseen movimiento en su interior debido al roce interno o viscosidad; esto dificulta el estudio de los fluidos, motivo por el cual nosotros estudiaremos a los fluidos ideales es decir, aquellos en los cuales no existe ningún tipo de viscosidad.

PRESIÓN ((P)) Es una magnitud tensorial, cuyo módulo mide la distribución de una fuerza sobre la superficie en la cual actúa. P =

F A

ilustración

200 N ⇒ P = 10 N / cm2 20 cm2 “A mayor área, corresponde menos presión”. P=

200 N ⇒ P = 25 N / cm2 8 cm2 “A menor área, corresponde mayor presión” P=


230

Unidad de Presión en el S.I.

−

Newton N = = Pascal (Pa) metro2 m2

Otras unidades -

atmósfera bar dina /centímetro2 kg /m2 mm de H2O a 20 °C mm de Hg a 0 °C, etc

En esta posición el mercurio descendió y se detuvo a una altura de 76 cm encima del nivel del mercurio del recipiente.

Torricelli concluyó que la presión atmosférica al actuar sobre el recipiente equilibraba a la columna de 76 cm de Hg, con la cual la presión atmosférica sería: Patm = 76 cm Hg = 1 atmósfera

al nivel del mar.

Ilustración

Equivalencias 1 atmósfera = 101 325 Pascal 1 bar = 100 000 Pascal 1 Pascal = 10 dina/cm2 1 Pascal = 0,102 176 mm de H2O a 20 °C 1 Pascal = 0,007 501 mm de Hg a 0 °C

PRESIÓN ATMOSFÉRICA La Tierra está rodeada por una capa de aire (atmósfera) que por tener peso, presiona a todos los objetos de la Tierra, esta distribución de fuerzas toma el nombre de presión atmosférica. Si la Tierra fuese perfectamente esférica, el valor de la presión atmosférica en la superficie, sería la misma para todos los puntos; pero esto Tierra no es así, puesto que nuestro planeta tiene montañas y depresiones.

MEDIDA DE LA PRESIÓN ATMOSFÉRICA Torricelli, fue el primero en medir la presión atmosférica, su experimento consistió en: − − −

Cogió un tubo de vidrio de 1cm2 de sección, abierto por uno de los extremos, al cual llenó completamente de mercurio. Tomó también un recipiente al cual introdujo parcialmente el mercurio. Tapando el extremo libre del tubo, lo sumergió en el recipiente antes mencionado para inmediatamente destaparlo.

Haga Ud. el mismo experimento que Torricelli; pero con otro líquido (líquido “X”) obtendrá entonces una altura h, con lo cual la presión atmosférica será: Patm = h cm de X.

PROPIEDADES DE LOS LÍQUIDOS 1.-

En un líquido, si bien tiene volumen casi constante, carece de forma definida y adopta la forma del recipiente que lo contiene.

2.-

Los líquidos transmiten presiones en todas direcciones y con la misma intensidad.

PRINCIPIO DE P ASCAL PASCAL “Si se aplica una presión a un fluido incompresible (un líquido), la presión se transmite, sin disminución, a través de todo el fluido”. Esto se puede demostrar utilizando la botella de Pascal, que básicamente, consiste en una botella de forma esférica, al cual se le a practicado varios agujeros. Tapados los agujeros con corchos, se llena con un líquido. Al aplicar una presión P por el embolo, ésta se transmite con igual magnitud en todas las direcciones haciendo saltar todos los corchos al mismo tiempo.

BOTELLA DE PASCAL

Estática de los Fluidos

PRENSA HIDRÁULICA Es aquel dispositivo o máquina que está constituido básicamente por dos cilindros de diferentes diámetros conectados entre sí, de manera que ambos contienen un líquido. El objetivo de esta máquina es obtener fuerzas grandes utilizando fuerzas pequeñas. Tener en cuenta que está máquina está basada en el Principio de Pascal. Esta máquina hidráulica funciona como un dispositivo “Multiplicador de Fuerzas”. Son ejemplos directos de este dispositivo: Los sillones de los dentistas y barberos, los frenos hidráulicos, etc.

231

Unidad de Densidad en el S.I. kg/m3 Otras unidades: UTM/ m3, slug/ pie3 Densidades más Comunes: Sustancia

Densidad (kg/m3)

Densidad (g/cm3)

Agua

1 000

1,00

Mercurio

13 600

13,60

Hielo

920

0,92

Oro

19 300

19,30

Acero

7 800

7,80

Plata

10 500

10,50

Hierro

7 800

7,80

2.- PESO ESPECÍFICO (γ) Es la magnitud escalar cuyo valor se define como el peso que posee un cuerpo por cada unidad de volumen. γ =

Fórmula de la Fuerza F2 = F1

FG A IJ HA K

Unidad de Peso Específico en el S.I.: N/m3 A1: área del émbolo (1) A2: área del émbolo (2)

2

1

Peso Volumen

Otras Unidades: kg/m3; g/cm3; lb /pie3 PRESIÓN HIDROSTÁTICA

Fórmula de los Desplazamientos

FG A IJ HA K

e2 = e1

1

2

e1: distancia émbolo (1) e2: distancia émbolo (2)

Es la presión que ejerce un líquido sobre cualquier cuerpo sumergido. Esta presión existe debido a la acción de la gravedad sobre el líquido; se caracteriza por actuar en todas las direcciones y por ser perpendicular a la superficie del cuerpo sumergido. La presión en el punto “A” es:

CONCEPTOS FUNDAMENT ALES FUNDAMENTALES 1.-

DENSIDAD(ρ) Es una magnitud escalar, cuyo valor se define como su masa (m) dividida por su volumen (V); es decir:

ρ =

Masa Volumen

h

PA = γ Líquido ⋅ h

d


232

La presión hidrostática se caracteriza por actuar en todas direcciones y por ser perpendicular a la superficie del cuerpo sumergido.

EMPUJE

Aplicaciones

Es la resultante de todas las fuerzas que un líquido aplica a un cuerpo sumergido.

Los submarinos están diseñados para soportar cierta presión hidrostática máxima, esto conlleva a no poder sumergirse más de la altura máxima prevista. ¿Qué pasaría si el submarino se sumerge a mayor profundidad?

Toda persona sumergida en agua siente ciertos zumbidos en los oídos, debido a la presión hidrostática. A mayor profundidad, mayor presión.

LEY FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTÁTICA “La diferencia de presiones hidrostáticas entre dos puntos pertenecientes a un mismo líquido, que se encuentran a diferentes profundidades, es igual al peso específico del líquido por la diferencia de profundidad”.

PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES “Si un cuerpo está sumergido parcial o totalmente en un líquido, la fuerza de empuje que el líquido le aplica es igual al peso del volumen del líquido desplazado”.

Esto significa que todos los puntos pertenecientes a un mismo líquido que se encuentran a la misma profundidad, soportan igual presión hidrostática.

b

g

P2 − P1 = γ h2 − h1

γ : peso específico del líquido

VASOS COMUNICANTES Es aquel sistema de tubos o vasos de diferentes formas unidos entre sí, de manera que si en uno de ellos se vierte un líquido, éste se distribuye entre todos y se observa que una vez encontrado el reposo, dicho fluido alcanza igual nivel en todos los recipientes.

Peso del líquido desplazado = Empuje que ejerce el líquido al cuerpo

Matemáticamente:

E = γL ⋅ V

E = empuje γL = peso específico del líquido V = volumen del líquido desalojado ó volumen del cuerpo sumergido

Observaciones: 1.-

Para que exista empuje, sobre el cuerpo debe estar actuando por lo menos una fuerza inclinada hacia arriba.


233 3.-

2.-

En el caso que un cuerpo esté sumergido total o parcialmente en varios líquidos no miscibles, el empuje se obtiene sumando los empujes parciales que ejerce cada uno de los líquidos. Etotal = E1 + E2 + E3

El empuje actúa siempre en el centro de gravedad del volumen sumergido.

Etotal = γ 1V1 + γ 2V2 + γ 3V3

Arquímedes Nació en Siracusa, antigua colonia griega en el año 287 A.J.C., fue uno de los grandes Físicos y Matemáticos que halla tenido la humanidad. Su más grande descubrimiento fue llamado “Principio de Arquímedes” con el cual determinó que todo cuerpo sólido sumergido parcial o totalmente en un líquido sufre la acción de una fuerza resultante llamada empuje. Destinó métodos para determinar el centro de gravedad de los cuerpos. Descubrió la ley de las palancas, fue el primero en construir un sistema de poleas para mover cuerpos de grandes pesos utilizando fuerzas pequeñas. Realizó diseños y construcciones ingeniosas de guerra para defender su ciudad en épocas de conflictos bélicos. Su vida se apagó mediante un asesinato a los 75 años por un soldado enemigo con una espada cuando solucionaba un problema científico. Anectoda: Cuenta la historia que Arquímedes habría descubierto el denominado “Principio de Arquímedes” cuando trataba de resolver un problema que surgió en la corte de Siracusa. El rey Hierón había prometido a los Dioses que los protegieron en sus conquistas, una corona de oro. Entregó cierta cantidad de oro a un orfebre para que confeccione la corona. Cuando el orfebre entregó el encargo, con su peso igual al del oro que Hierón le había dado, se le acusó de haber sustituido cierta porción de oro por plata. A Arquímedes le encomendó Hierón la investigación del posible fraude. Cuando se bañaba, al observar que el nivel del agua de su bañera subía a medida que él se iba sumergiendo, se dió cuenta que podía resolver el problema y salió pronunciando a gritos la palabra griega que se hizo famosa:“Eureka” (lo descubrí). Pues así, Arquímedes descubrió que V1 ≠ V2 lo cual significa que la corona no era de oro puro; estaba fraguado. Arquímedes descubrió que realmente había fraude.


234

TEST

1.-

La fuerza que soporta un objeto flotante es: a) b) c) d) e)

2.-

( ) La fuerza de gravedad que actúa sobre el cuerpo en cada caso es la misma. ( ) El líquido B ejerce mayor empuje.

La fuerza de empuje. La presión de desplazamiento. La fuerza debida a la presión. La fuerza gravitacional. La normal.

a) b) c) d) e)

Un objeto pesado es más fácil de levantar bajo el agua que en el aire ya que el agua ejerce una fuerza que: 7.a) b) c) d) e)

3.-

Esférica, debida a las fuerzas de adhesión. Esférica, debido a las fuerzas de cohesión. Aerodinámica, debido a las fuerzas de adhesión. Aerodinámica, debido a las fuerzas de cohesión. No tiene forma.

Un gas es un fluido que transmite la fuerza que se le aplica. II.- Un líquido es un fluido que transmite la fuerza que se le aplica. III.- Un líquido es un fluido que transmite la presión que se le ejerce. a) b) c) d) e) 5.-

VVF VFV FFV FVV Todas las anteriores son falsas.

Un recipiente flota en el agua contenida en un cilindro. El recipiente tiene un bloque de hierro en su interior. Si este bloque se saca del recipiente ¿qué ocurre con el nivel del agua dentro del cilindro? a) b) c) d) e)

6.-

a) b) c) d) e)

Señale verdadero (V) o falso (F). I.-

Permanece inalterable. Desciende. Asciende. No se puede afirmar nada, falta información. N.A.

En la figura se representa un mismo cuerpo que flota en dos líquidos diferentes. Indicar verdadero (V) o falso (F). ( ) El líquido A es más denso que el líquido B.

En la figura mostrada se observa que, una esferita de densidad “D” cae verticalmente desde el reposo hasta llegar al fondo del recipiente con velocidad cero. Despreciando las fuerzas de rozamiento, ¿qué afirmaciones son correctas? I.- D = D1 = D2 II.- D > D1 III.- D2 > D

La forma de una gota de agua es: a) b) c) d) e)

4.-

Se debe a la presión. Es mayor que la fuerza de empuje del aire. Es igual en todas las direcciones. Está en una dirección opuesta al objeto. Es nula.

VVV VVF VFF VFV FVV

8.-

I II III II y III N.A.

La esfera que se muestra se encuentra en equilibrio al interior de un líquido cuya densidad es 10 veces la densidad de la esfera. ¿Cuál de los gráficos representa mejor la posición de la esfera y el nivel del líquido, cuando el recipiente describe un movimiento rectilíneo uniformemente decelerado en dirección hacia la derecha?

a)

d)

b)

e)

c)

Estáticayde Ciencia Tecnología los Fluidos

235

El montacar ga montacarga

Es una prensa hidráulica, que utiliza tanto aire comprimido como aceite, para distribuir la presión al émbolo y levantar así el carro con toda comodidad.

La gata hidraúlica Está basada en la prensa hidráulica. Al aplicar la fuerza “F”, el émbolo pequeño bombea el aceite y permite ascender de esta manera la carga, multiplicando varias veces la fuerza aplicada.

El globo aer ostático aerostático

Todo cuerpo sumergido en un fluido, experimenta una fuerza resultante hacia arriba (empuje) cuyo valor es igual al peso del fluido desalojado; en el presente caso el fluido es el aire. El globo asciende cuando el empuje sea mayor que el peso; esto se puede conseguir calentando el aire interno del globo para reducir de este modo la densidad del aire contenido dentro del mismo.


236

Los bar cos flotan en el a gua barcos agua Un barco antes de conseguir su estado de equilibrio (flotamiento) se hunde parcialmente en el agua; de hecho el barco tiene peso, si éste fuese la única fuerza externa, el barco se hundiría, por consiguiente existe una fuerza contraria al peso que lo anula; ésta es el empuje que el agua ejerce sobre el barco; dicha fuerza no solo depende de la densidad del agua, también del volumen del barco que se sumerge al agua (volumen de agua que desaloja). Si en la posición que se muestra, se introdujera más peso al barco, éste se hundiría más, desalojando así mayor cantidad de agua y por ende aumentando el empuje hasta anular el nuevo peso; esto se puede seguir realizando hasta que el barco se hunda según el “límite” establecido.

Vasos com unicantes comunicantes El tanque de agua que abastece la ciudad, se encuentra a una altura superior a dicho poblado, en este caso no hay necesidad de una bomba elevadora de agua a excepción de la que se utiliza para succionar el líquido elemento del subsuelo. (aplicación del principio de los vasos comunicantes).

El submarino

Todo submarino posee en su inte- Para descender: el tanque rior un enorme tanque donde puede se llena de agua almacenar agua o aire.

Para ascender: el tanque se llena de aire.


237

PROBLEMAS RESUEL TOS RESUELTOS A


1.-

El área de contacto entre el bloque de 150 N de peso y el plano horizontal es 3 m2; calcular la presión que ejerce dicho peso sobre la superficie.

Donde: γ = peso específico del agua ρ = densidad del agua g = aceleración de la gravedad h = profundidad P = presión hidráulica

Solución: P= P= 2.-

b

g

100 000 = 1200 × 10 h

F Peso = A Area

⇒

h = 8 , 33 m

NOTA

150 N 3 m2

⇒

No olvidar de homogenizar el sistema de unidades antes de reemplazar los datos en la fórmula.

P = 50 Pascal

Una gata hidráulica tiene dos pistones de diámetro 1 y 5 cm ¿Cuál es la fuerza necesaria en el pistón pequeño para que el grande levante un objeto de 10 N?

4.-

Los recipientes que se muestran en el esquema contienen agua hasta el mismo nivel y tienen igual área en la base. Se pide:

Solución: A) B)

o En una prensa hidraúlica:

¿En cual de los casos el agua pesa más? ¿En cual de los casos la presión en el fondo es mayor?

FA I GH A JK

F2 = F1

2

1

o Dado:

D2 5 = D1 1

F πD G 10 = F G 4 GG πD H 4 F 5I 10 = F G J H 1K 1

2 2

2 1

I JJ JJ K

(2)

FD I GH D JK

⇒ 10 = F1

2

(1)

(3)

Solución:

2

1

A) Caso general para determinar el peso de un cuerpo.

2

1

3.-

⇒

F1 = 0 , 4 N

Calcular la profundidad a la que debe sumergirse un submarino para soportar una presión hidráulica igual a la presión atmosférica. Densidad del agua de mar = 1 200 kg/m3 Presión atmosférica = 100 000 N/m2 ; g = 10 m/s2

e

b g

P = ρg h

g

γ liquido

Como quiera que el líquido es el mismo en todos los recipientes (agua): γ1 = γ2 = γ3 = γagua

b g bV g bV g

Luego se tendrá: W1 = γ agua V1

Solución: P=γ h

jb

Wlíquido = γ líquido volumen

W2 = γ agua

2

W3 = γ agua

3

Como se verá, el peso sera mayor donde el volumen de agua también lo sea; de los gráficos se tiene: V1 > V3 > V2 Por lo tanto:

W1 > W3 >W2


238

o Equilibrio vertical: Etotal = peso

B) Caso general:

γ HgVsumergido = γ acero Vtotal

jb g

PA = γ líquido h

e

= bρ gg V dρ giV b13 600gAx = b7 800gAb0,10g Hg

PA : presión hidrostatica en “A”

sumergido

acero

total

Siendo: A = Area de la sección

En nuestro caso las profundidades de los recipientes son iguales, luego:

x = 0 , 057 4 m

⇒

x = 5, 74 cm

P1 = P2 = P3

5.-

Calcular el peso específico de la esfera, sabiendo que flota entre dos líquidos no miscibles; el volumen sumergido en agua es el 60% de su volumen total. γ = 8 000 N/m3 ; γ = 10 000 N/m3 aceite

B 1.-

agua

problemas complementarios Los émbolos A, B y C tienen un área de 5 cm2, 60 cm2 y 70 cm2 respectivamente; si F = 50 N, determine el valor total de (R + Q).

Solución: D.C.L. (esfera)

Solución:

Analizando volúmenes

o PA = PB = PC o

o Equilibrio vertical:

o

Etotal = peso

Eaceite + Eagua = peso

50 N 5 cm2 50 N 5 cm2

= =

⇒ R

60 cm2 Q 70 cm2

o Finalmente:

F R Q = = AA AB AC

⇒

R = 600 N

⇒

Q = 700 N

R + Q = 1 300 N

γ aceite V1 + γ aguaV2 = γ esferaV γ aceite 0 , 4 V + γ agua 0 , 6 V = γ esferaV

c

h c h 8 000b0 , 4 Vg + 10 000b0 , 6 Vg = γ

esferaV

γ esfera = 9 200 N / m3

6.-

2.-

Sobre la palanca AB como se muestra en la figura, el extremo “B” es conectado a un pistón que se mueve en el interior de un cilindro de 5 cm de diámetro. Qué fuerza “P” debe ejercerse sobre el pistón de mayor diámetro para prevenir el movimiento en el interior del cilindro de 25 cm de diámetro.

Un cubo de acero de 10 cm de arista, flota en mercurio; calcular la altura de la arista del cubo que se sumerge (ρHg = 13 600 kg/m3, ρacero = 7 800 kg/m3). Solución:

Solución: o Fuerza en el pistón chico (F): ΣMo = 0

b500 Ngb15 cmg = Fb10 cmg

⇒

F = 750 N


239

Donde: A1 =

πD12 4

b g

; A2 =

3.-

FG 25 IJ H 5K

o (2) − (1):

4

b g

PB − PA = 64 g = 64 10 PB − PA = 640 N / m2

2

⇒

P = 18 750 N

Los líquidos están en equilibrio dentro del tubo en U. Hallar: ρ1/ρ2.

5.-

Solución:

⇒

PB − PA = 640 Pa

La presión en el interior de un neumático es 168 000 Pa. Hallar el desnivel del mercurio cuando se conecta a este neumático un manómetro de tubo abierto en forma de U (ver figura), (Patmosférica = 100 000 Pa, g = 10 m/s2, ρHg = 136 000 N/m3).

Solución:

o PA = PB

o

b g

b g

PA = PB

Patm + γ 2 0 , 01 = Patm + γ 1 0 , 02

Pgas = γ Hg x + Patm

γ1 1 = γ2 2

168 000 = 136 000 x + 100 000 ⇒

⇒

bg

ρ1 g 1 = ρ2 g 2

bg

ρ1 1 = ρ2 2 4.-

6.-

Hallar la diferencia de presión entre los puntos B y A de la figura mostrada:

x = 0, 50 m

Un bloque de madera flota en el agua con las dos terceras partes de su volumen sumergido. En aceite flota sumergido los 0,9 de su volumen. Encontrar la densidad de la madera y el aceite. Solución: 1er Caso:

ρ1 ρ2 ρ3 g

b g

PB = Patm + 84 g ............. (2)

πD22

o Finalmente se tiene que: P = 750

b g

PB = Patm + 500 g 0 , 06 + 300 g 0 ,10 + 200 g 0 ,12

F P = A1 A2

o Por principio de Pascal:

2do Caso:

= 200 kg/m3 = 300 kg/m3 = 500 kg/m3 = 10 m/s2 o 1er Caso: Madera sumergida en agua Eagua = P

Solución: o Calculando la presión en A:

b g + ρ gb0 ,10g = P

γ agua

PA = Patm + γ 1 0 ,10 PA = Patm

1

b g

atm + 200g 0 , 10

PA = Patm + 20g ............. (1)

b g b g b g + ρ gb0 , 06g + ρ gb0 , 10g + ρ gb0 ,12g 2

FG 2 VIJ = P ..... (1) H3 K

o 2do Caso: Madera sumergida en aceite Eaceite = P

b

PB = Patm + γ 3 0 , 06 + γ 2 0 ,10 + γ 1 0 ,12 3

⇒ 10 000

g

γ aceite 0 , 9 V = P ..... (2)

o Calculando la presión en B:

PB = Patm

FG 2 VIJ = P H3 K

1

o (1) = (2) 10 000

FG 2 VIJ = γ H3 K

aceite

b0 , 9 Vg


240

o Equilibrio: ΣFv = 0

γ aceite = 7 407 , 4 N / m3 ⇒ ρaceite = 740 , 7 kg / m3

E=P+

o En (1) tenemos: 10 000

FG 2 VIJ = γ H3 K

γ aguaV = mg + T

madera V

b g b gb g

10 000 0 ,1 = 60 10 + T

γ madera = 6 666,6 N/m3

T = 400 N

ρmadera = 666 , 6 kg/m3

7.-

T T + 2 2

Un bloque de 10 cm3, se suelta desde la parte superior de un recipiente que contiene un líquido cuyo peso específico es de 10 000 N/m3. Calcular la aceleración del bloque de 5 N de peso (g = 10 m/s2).

9.-

Un pedazo de metal pesa 1 800 N en el aire y 1 400 N cuando se le sumerge en el agua. ¿Cuál es la densidad del metal? dar su respuesta en (kg/m3) g = 10 m/s2. Solución:

Solución: o Calculando la pérdida de peso (empuje)

o Calculando γcuerpo:

Wverdadero = 1 800 N ................... (1)

3

Vcuerpo = 10 cm ×

b g

(11m m)3

3

Waparente en agua = 1 400 N ........ (2)

(100 cm)33 100 cm

b

g

(1) − (2) = Pérdida aparente de peso = 400 N

Vcuerpo = 10 −5 m3 γ cuerpo =

Pcuerpo Vcuerpo

=

NOTA

5N 10 −5 m3

La pérdida aparente de peso es igual al empuje ejercido por el líquido.

γ cuerpo = 5 × 105 N / m3

Luego: E = 400 N

o Aplicando la 2da ley de Newton: P−E=

o Calculando el volumen del metal:

W a g

FG E IJ g ⇒ a = FG1− γ V IJ g H WK H γ VK F 10 000 V I10 ⇒ a = 9, 8 m / s a = G 1− H 5 × 10 V JK a = 1−

ρagua = 1 000 kg / m3 ; g = 10 m / s2 ; E = 400 N

L

γ agua Vmetal = 400

cuerpo

ρagua gVmetal = 400 2

5

8.-

La esfera mostrada de 60 kg y 0,1 m3 está en reposo. Hallar las tensiones en las cuerdas (γagua = 10 000 N/m3, g = 10 m/s2).

b1 000gb10g V

metal

Vmetal = 0 , 04 m3

o Nos piden la densidad del metal: Wmetal = 1 800 N

;

g = 10 m / s2

Vmetal = 0 , 04 m3

;

ρmetal = ? (kg / m3 )

γ metal = Solución:

D.C.L.

= 400

W V

ρmetal g = ρmetal =

W V

W 1 800 = gV 10 0 , 04

b gb g

ρmetal = 4 500 kg / m3


241


problemas de aplicación Calcular la fuerza que ejerce el agua sobre una loseta de 10 cm de lado colocada en el fondo de una piscina cuyo nivel de agua es de 2,8 m. Rpta.

7.-

Un recipiente en forma de cubo de 2 m de arista está lleno de un líquido. El peso del recipiente lleno es de 40 000 N y el peso del recipiente vacío es de 30 000 N. Hallar la densidad del líquido.

280 N Rpta.

2.-

¿Cuánto aumenta la presión en el fondo del recipiente al colocar el pistón de masa m = 100 kg. Si el agua ya estaba en el recipiente? A = 2 m2.

8.-

Un cuerpo pesa en el aire 2 N mientras que cuando se introduce en el agua pesa aparentemente 0,8 N. Determinar su densidad. (ρaire = 1,29 kg/m3). Rpta.

Rpta.

3.-

Un bloque de corcho reposa con la tercera parte de su volumen sumergido en un líquido cuya densidad es 1 200 kg/m3, hallar la densidad del corcho 2 (g = 10 m/s ). Rpta.

4.-

500 Pa

9.-

ρcorcho = 400 kg/m3

En un tubo en U, se tiene tres líquidos no miscibles, Calcular “h”. DA = 3 000 kg/m3, DB = 2 000 kg/m3, DC = 4 000 kg/m3

Rpta.

6.-

32 000 Pa

h = 1,5 m

El recipiente muestra un líquido de densidad igual a 800 kg/m3. Calcular la diferencia de presión entre los puntos “A” y “B”.

Rpta.

10 000 N

El tubo de vidrio mostrado está cerrado en su extremo superior. ¿Qué presión existe en este extremo? Rpta.

B 5.-

1 668 kg/m3

Dentro del agua, a 1 metro de profundidad, se coloca un cubo de 1 m de arista. Calcular la diferencia de las fuerzas hidrostáticas que actúan en la cara superior e inferior (g = 10 m/s2). Rpta.

10.-

ρL = 125 kg/m3

23,52 kPascal

1.-

problemas complementarios La relación de áreas del émbolo menor respecto al mayor es como b/a. Determinar cuál debe ser la fuerza que se debe aplicar sobre el émbolo menor para mantener en equilibrio a la prensa hidráulica (despreciar el peso de émbolos, poleas y barra). No hay rozamiento y el líquido es agua D = 1 000 kg/m3.

El cuerpo mostrado de 0,2 m3 descansa sobre el fondo de un recipiente con aceite, calcular la fuerza normal sobre el cuerpo γaceite = 800 N/m3 m = 250 kg g = 10 m/s2 Rpta.

900 N

Rpta.

W


242 2.-

Para el sistema mostrado se tienen las siguientes densidades: ρb = 13 600 kg/m3 ρc = 600 kg/m3 ρd = 1 000 kg/m3 ρe = 1 300 kg/m3

6.-

Determinar la presión hidrostática en “M” y la presión total en “N”.

7.-

Rpta.

Rpta. PM = 1 300 Pa PN = 102 920 Pa

Hallar el peso específico del líquido 3 en la figura: ρ1 = 800 kg/m3 ; ρ2 = 1 000 kg/m3 ; g = 10 m/s2

Rpta.

γ3 = 3 000 N/m3

Calcular a partir de la figura el desnivel “h” que existirá al colocar un bloque de 800 N de peso sobre el émbolo de 0,3 m2 de superficie, y al jalar simultáneamente ha2 cia arriba el émbolo de 1,5 m con un fuerza de 400 N. El líquido es agua. (Despreciar el peso de los émbolos).

Rpta.

9.-

29,33 cm

Calcular la fuerza horizontal que ejerce el agua sobre una plancha de acero que se encuentra a una profundidad de 20 m (dimensiones de la plancha: 10 cm×10 cm).

Rpta.

3 005 N

10.-

18 2 − 3 N

d

i

Un tubo en “U” de sección transversal constante, que contiene un líquido, es acelerado hacia la derecha con una aceleración constante “a”, como indica la figura. ¿Cuál es la diferencia de alturas “h” entre las columnas de líquidos de las ramas verticales?. Rpta.

5.-

125 m

Dos cilindros idénticos de 18 N de peso y 300 mm de radio cada uno, son colocados en un canal rectangular liso de 900 mm de ancho, de tal forma que uno de los cilindros queda 50% sumergido. Calcular el valor de la fuerza que ejerce el cilindro inferior sobre la pared lateral del canal.

Rpta. 4.-

2,5 m/s2

Calcular la distancia que separa los puntos A y B sabiendo que un bloque de 50 kg de masa y 500 kg/m3 de densidad demora 5 s en ir de “A” hasta “B”. Partiendo del reposo.

Rpta.

8.3.-

Calcular la aceleración con que un submarino de 100 m3 y 80 toneladas de peso emerge a la superficie al expulsar toda el agua que lleva en sus tanques de inmersión.

h=L

a g

Determinar a que altura máxima llegará la esfera al salir respecto a la superficie libre del líquido. ρ = 300 kg/m3 ; ρ = 1 200 kg/m3 cuerpo

Rpta.

agua

30,72 m

Capítulo

11

CALOR TERMOMETRÍA TEMPERATURA Es una magnitud escalar que mide el grado de agitación molecular de un cuerpo.

Termómetro Es aquel instrumento que sirve para indicar la temperatura de un cuerpo. Este aparato está basado en el fenómeno de la dilatación que produce el calor en la sustancia encerrada en un tubo de vidrio (mercurio, alcohol, gas, etc).

Las moléculas de agua se mueven rápidamente, luego su temperatura será alta.

Las moléculas de agua se mueven lentamente, luego su temperatura será baja.

ESCALAS TERMOMÉTRICAS Para poder medir las diferentes temperaturas es necesario establecer una serie de referencias, cuyo conjunto constituye la escala termométrica. Así para disponer de una escala práctica y fácil de verificar en cualquier aparato destinado a medir temperatura, se eligen dos puntos fijos que se obtienen al establecerse los estados de equilibrios térmico en condiciones rigurosamente controladas; luego se divide en intervalo cada uno de los cuales recibe el nombre de grado. En la actualidad se usan con mayor frecuencia Termómetro de mercurio las escalas termométricas propuestas por los físicos: Celsius (1 701-1 744), Fahrenheit (1 686 – 1 736) y Kelvin (1 824 – 1 907).


244

A)

Escala Celsius (Centígrada) Para construir esta escala se toman dos puntos fijos: Uno que es el punto de fusión del hielo a una atmósfera y el otro, el punto de ebullición del agua a una atmósfera. A estos puntos se le atribuyen las temperaturas de 0 °C y 100 °C, respectivamente. Enseguida se divide el intervalo entre los dos puntos en pequeños intervalos de 1 °C (1 grado centígrado). La graduación del termómetro podrá también extenderse por debajo de 0 °C y por encima de 100 °C.

B)

Escala Fahrenheit Para construir esta escala se toma dos puntos fijos: Uno que es el punto de fusión de una mezcla de NaCl, NH4Cl y el hielo fundente; y el otro, la temperatura normal del cuerpo humano, a las cuales se atribuyen las temperaturas de 0 °F y 100 °F, respectivamente. En esta escala, el termómetro marca 32 grados Fahrenheit (32 °F) en la fusión del hielo y 212 °F en la ebullición del agua; intervalo que contiene 180 partes iguales o grados “F”.

C)

Escala Kelvin Se sabe que la temperatura no tiene un límite superior, pero si uno inferior. Métodos modernos de la Física de bajas temperaturas han conseguido bajar la temperatura de un cuerpo, máximo a la vecindad de -273 °C; pero no se ha conseguido llegar hasta ella, ni bajar más. La temperatura de -273 °C se denomina Cero Absoluto y un gran Físico del siglo XIX, llamado Kelvin, propuso la construcción de una escala termométrica cuyo cero fuese el cero absoluto y cuyos intervalos de 1 grado fueran iguales a las de la escala Celsius. A esta escala se le da el nombre de escala Kelvin o escala Absoluta.

Relación entre “C” y “K”:

K = 273 + C

C

Relación entre “C” y “F”:

0 °C

K 273 K

C F − 32 = 100 180 C F − 32 = 5 9

-273 °C

0K

Determinación de Altas Temperaturas 100 °C

C

0 °C

212 °F

F

32 °F

El termómetro de mercurio no puede utilizarse para temperaturas superiores a 350 °C porque hierve a 360 °C; pero se fabrican tipos con envoltura de cuarzo y atmósfera de nitrógeno que permiten utilizar el mercurio para medir hasta 750 °C. Los instrumentos destinados a medir altas temperaturas se designan generalmente con el nombre de pirómetros.

Calor

245

DILA TACIÓN DILAT

Ilustración

Concepto Es aquel fenómeno físico que consiste en el cambio de dimensiones que experimenta un cuerpo cuando aumenta o disminuye la temperatura. Esto es debido a lo siguiente: cuando la temperatura aumenta, las moléculas de un cuerpo se mueven con mayor intensidad y tratarán de ocupar el mayor volumen posible, el cuerpo cederá y se dilatará. El estudiante deberá tener en cuenta que todo cuerpo al dilatarse lo hace en sus tres dimensiones; sin embargo, a veces puede interesarnos la variación de su longitud solamente, como el caso de los alambres; o quizás la variación de una superficie, (caso de una pizarra).

DILATACIÓN SUPERFICIAL Es el aumento superficial que experimenta un cuerpo al ser calentado.

b

Sf = So 1 + β ⋅ ∆T

Ilustración

g

Sf : superficie final So : superficie inicial ∆T = Tf – To : variación de temperatura β : coeficiente de dilatación superficial (°C−1) Ilustración Temperatura T1

T2 > T1

Temperatura T2

En el presente capítulo estudiaremos las tres clases de dilataciones.

DILATACIÓN LINEAL Es aquella dilatación que aparece en cuerpos en que se hace notoria la longitud, esto no significa que sus demás dimensiones no se dilatan, ¡si se dilatan!; pero en mínima escala.

b

L f = L o 1 + α ⋅ ∆T

g

Lf : longitud final Lo : longitud inicial ∆T = Tf – To : variación de temperatura α : coeficiente de dilatación lineal (°C−1)

DILATACIÓN VOLUMÉTRICA El volumen de un cuerpo aumenta cuando éste se calienta. Este aumento de volumen recibe el nombre de dilatación volumétrica o cúbica.

b

g

Vf = Vo 1+ γ ⋅ ∆T Vf : volumen final Vo : volumen inicial ∆T = Tf – To : variación de temperatura γ : coeficiente de dilatación volumétrica (°C −1)


246 Ilustración

EXPERIENCIA: DILATACIÓN DE LOS SÓLIDOS OBJETIVO Demostrar que los sólidos se dilatan por efecto de un incremento en su temperatura.

MATERIAL A EMPLEARSE

OBSERVACIÓN Los coeficientes de dilatación dependen del tipo de material, además: γ =3α β = 2α

Coeficientes de dilatación lineal de sólidos Sustancia Plomo

− Un soporte. − Un anillo metálico. − Una bola de acero cuyo diámetro sea igual al diámetro interior del anillo. − Un mechero.

NÚMERO DE ALUMNOS: Dos

α (°C−1)

PROCEDIMIENTO:

29×10−6

1.-

Colocar el anillo en la posición mostrada, (fig. a).

2.-

Introducir la bola de acero con ayuda de una cuerda, (fig. b).

−6

Zinc

26×10

Aluminio

23×10−6

Latón

18×10−6

Cobre

17×10−6

3.-

Extraer la bola y calentarlo en el mechero.

Acero

11×10−6

4.-

Tratar de introducir nuevamente al anillo con ayuda de la cuerda.

Vidrio (común)

9×10−6

Vidrio (pirex)

3,2×10−6

Diamante

0,9×10−6

fig. a

fig. b

Coeficientes de dilatación volumétrica de fluídos Sustancia

γ (°C−1)

Aire

36,0×10−4

Eter

16,0×10−4

Alcohol

11,0×10−4

Petróleo

9,20×10−4

Glicerina

5,0×10−4

Mercurio

1,82×10−4

Agua

1,80×10−4

PREGUNTAS 1.-

La bola caliente. ¿Se introduce en el anillo? Sí-No. ¿Porqué?

2.-

¿Qué se dilató, el anillo o la bola? ¿Por qué?

3.-

¿Qué pasaría si la bola fría, se trata de introducir en el anillo caliente? Inténtelo.

Calor

247

CALORIMETRÍA

Concepto

Tf = 64 °F

Es una parte de la física que se encarga de realizar las mediciones referentes al calor.

To = 63 °F

CALOR Es una magnitud escalar que mide el “paso de energía” (energía en tránsito) de un cuerpo a otro, exclusivamente por diferencia de temperatura.

Equivalencias

Unidad de Calor en el S.I.:

1 kcal = 1 000 cal 1 B.T.U. = 252 cal

Joule (J)

PROPAGACIÓN DEL CALOR

Unidades Tradicionales del Calor:

La transmisión de calor se efectúa mediante tres mecanismos.

Caloría – gramo (cal).- Se define así a la cantidad de calor que se le debe suministrar a un gramo de agua para que aumente su temperatura en 1 °C (14,5 °C a 15,5 °C).

A)

agua

Tf = 15, 5 ° C To = 14 , 5 ° C

Kilocaloría (kcal).- Se define así a la cantidad de calor que se le debe suministrar a 1 kg de agua para que su temperatura aumente en 1 °C (14,5 °C a 15,5 °C).

Conducción.- Es la transferencia de calor a través de un cuerpo sin transporte de materia, esto se debe a que la energía cinética de las moléculas del extremo caliente, transmite por choques a las moléculas vecinas y así sucesivamente. Algunos cuerpos buenos conductores conducen bien el calor, en tanto que otros, llamados malos conductores o aislantes lo conducen mal (los metales son buenos conductores; la madera, el carbón y el azufre son malos conductores). ! ¡Ay

Tf = 15, 5 ° C

To = 14 , 5 ° C Cuando tocamos con la mano un pedazo de hierro y un pedazo de madera, que según el termómetro tiene la misma temperatura, sentimos como si el hierro estuviese más caliente. La diferencia notada se debe a la rapidez con que el hierro conduce el calor a nuestra mano.

Brittish Thermal Unit (B.T.U.).- Se define así a la cantidad de calor que se le debe adicionar a una libra de agua para que su temperatura aumente en 1 °F (63 °F a 64 °F).

B)

Convección.- Sólo se efectúa en los fluídos (líquidos y/o gases); consiste en la transferencia de calor de un lugar a otro por transporte de masa caliente.


248

CALOR ESPECÍFICO ((Ce))

Las masas de agua del fondo son las primeras en calentarse; ahora como su densidad disminuye, estas se desplazan hacia arriba y su lugar es reemplazado por otra masa fría, este proceso se repite por ciclos.

c)

Es aquella magnitud escalar que indica la cantidad de calor que debe suministrarse a la “Unidad de masa” de una sustancia para que su temperatura se incremente en un grado, (escogido). El calor específico, es una característica de cada material.

Ce =

El sistema de calefacción de las casas se realizan utilizando el sistema de convección.

Radiación.- Todo cuerpo cuya temperatura sea mayor al cero absoluto, emite radiación térmica que viene ser infrarroja, semejantes a las ondas luminosas; se propagan en línea recta y con una velocidad en el vacío de 300 000 km/s (también se propagan en cuerpos transparentes). Cuando inciden sobre un cuerpo opaco, estas absorben la energía transportada y se transforma en calor:

Q m∆T

Pero la fórmula que más se empleará es: Q = Ce m ∆T

Q = calor entregado o calor perdido Ce = calor específico del cuerpo ∆T = Tf – To : variación de temperatura m = masa del cuerpo

Unidad de Calor Específico en el S.I.: Joule kg ° C

Unidades Tradicionales: La Tierra recibe el calor del Sol por radiación, pero sólo la porción expuesta al Sol.

La persona absorbe el calor de la fogata, en su mayor parte por radiación.

CAP ACIDAD TÉRMICA CAPACIDAD OCALORÍFICA((C)) Es una característica de cada cuerpo, es decir que diferentes trozos de un mismo material pueden tener diferentes “C”. La capacidad térmica se mide por la cantidad de calor comunicado al cuerpo para aumentar su temperatura en un grado, (por la escala elegida de temperatura).

C =

Q ∆T

Equivalencias:

cal kcal B. T. U. , , g ° C kg ° C lb °F

1kcal 1cal 1B. T.U. = = kg ° C g ° C lb °F

Tabla de calores específicos: Sustancia Hielo Agua Vapor de agua Aluminio Cobre Vidrio Hierro Plomo Mercurio Plata

Ce (cal/g °C) 0,5 1,0 0,5 0,217 0,093 0,199 0,113 0,031 0,033 0,056

Calor

249

EQUILIBRIO TÉRMICO Si tomamos dos cuerpos a diferentes temperaturas y los colocamos en un ambiente aislado, se observa que uno de ellos se calienta, mientras que el otro se enfría, hasta que al final los dos cuerpos quedan a la misma temperatura, llamada temperatura de equilibrio.

TRANSFERENCIA DE ENERGÍA

TEMPERATURA DE EQUILIBRIO

Las moléculas de mayor temperatura, empujarán a las de menor temperatura y harán que éstas se muevan más rápido, sin embargo para esto, las moléculas (80 °C) perderán energía y bajarán la rapidez de su movimiento.

Finalmente todo el sistema tendrá un movimiento promedio (energía promedio), es decir habrá ocurrido el Equilibro Térmico.

El mecanismo de transferencia de calor podrá entenderse del modo siguiente:

CALORÍMETRO

El cuerpo a temperatura más alta tiene mayor energía de vibración en sus partículas atómicas, cuando se coloca en contacto con el cuerpo más frío que tiene una energía de agitación menor; las partículas del cuerpo caliente entregan energía a las del cuerpo frío, que pasan a tener mayor agitación, produciendo un aumento de temperatura de este cuerpo y un descenso en la del cuerpo caliente. Se produjo una transferencia de energía y después un paso de calor del cuerpo caliente hacia el cuerpo frío. Cuando las dos temperaturas se igualan, las moléculas de los cuerpos tienen, en promedio, la misma energía de agitación. Pueden existir en cada cuerpo, individualmente, partículas con energía de agitación diversa; pero en promedio, la energía es la misma para los dos cuerpos.

Es aquel recipiente térmicamente aislado que se utiliza para determinar el calor específico de un sólido o líquido cualquiera; para ello se sigue el siguiente procedimiento: A)

El cuerpo cuyo calor específico se desea calcular se calienta hasta una temperatura superior a la del calorímetro y el líquido que contiene.

B)

El cuerpo así calentado se sumerge en el líquido que contiene el calorímetro, de manera que el líquido y el calorímetro se calientan mientras que el cuerpo sumergido se enfría. Al final todo el sistema queda a una sola temperatura, llamada Temperatura de Equilibrio. Si se desprecia las pérdidas de calor con el medio ambiente, se puede decir entonces que el calor perdido por el cuerpo caliente es igual al calor ganado por el calorímetro y líquido contenido en él.

Ilustración Supongamos:

Qganado = Qperdido

Las moléculas de agua se mueven más rápido, tienen mayor energía de vibración.

EQUIV ALENTE MECÁNICO DE CALOR EQUIVALENTE Es aquel valor que nos indica la relación existente entre la energía mecánica y la energía calorífica. W = J⋅ Q

J = equivalente mecánico de calor Q = calor ganado W = energía perdida Las moléculas de agua se mueven más lento, tienen menor energía de vibración.

Veamos lo que pasa cuando se mezclan. Un cuerpo de mayor temperatura con otro de menor temperatura.

Valores “J”:

J = 4,186 Joule/cal J = 427 kg – m / kcal J = 778 lb – pie/B.T.U.


250

CAMBIO DE EST ADO DE UNA SUST ANCIA ESTADO SUSTANCIA

Si a un cuerpo que está a una determinada temperatura en estado sólido se le calienta progresivamente, se puede observar que, al llegar a una presión y temperatura determinada, se convierte gradualmente en un líquido. Si se continúa calentando ese líquido, llega un momento en que se convierte gradualmente en vapor. Se llama cambio de estado, al fenómeno que consiste en el paso de un estado cualquiera a otro, por adición o sustracción de calor.

Todo cambio de estado se realiza a una temperatura y presión constante y depende de cada sustancia. Así tenemos que el hielo se convierte en líquido a 0 °C y 1 atmósfera de presión, y el agua se convierte en vapor a 100 °C y 1 atmósfera de presión. Para otro cuerpo estos valores son diferentes. Cuando un cuerpo cambia de estado, adquiere otras propiedades que le son inherentes a su nuevo estado. En el aspecto macroscópico podemos distinguir tres estados de la materia: El sólido, el líquido y el gaseoso.

Ilustración

Recientemente se estudió un cuarto estado denominado “Plasma”. El plasma es un gas cuyos constituyentes están cargados eléctricamente o ionizados. Su comportamiento depende mucho de la presencia de fuerzas eléctricas y magnéticas. Como la mayor parte de la materia del Universo existe en forma de plasma, varios investigadores en el campo de la Física Moderna se han dedicado a su estudio.

Existen dos tipos de calor latente:

A)

Es la cantidad de calor que se le debe suministrar o quitar a la unidad de masa de una sustancia, que está en condiciones de cambiar de estado, para que pase del estado sólido al líquido o viceversa. Así, el plomo se funde a 327 °C y a la presión de 1 atm, y el hielo que está a O °C y a 1 atm se necesita adicionarle 80 calorías, para derretir un gramo.

CALOR LA TENTE ((L)) LATENTE Es la cantidad de calor que se le debe adicionar o quitar a la unidad de masa de una sustancia, para que cambie de estado. La cantidad de calor absorbida o emitida durante el cambio de estado se usa para realizar dicho fenómeno; esto es, para quebrar o unir la ligazón o separación respectiva, entre los átomos o moléculas del cuerpo. Sin producir por lo tanto, una elevación o disminución de la temperatura. Resumiendo: En un cambio de estado, la temperatura permanece constante.

Calor Latente de Fusión (Lf)

o

Para una masa “m”: Q = m⋅ L f

o

En el caso de agua:

ó

Lf = 80 cal/g Lf = 144 B.T.U. / lb

Calor

1g 1 atm

B)

251

+ 80 cal =

Calor latente de Vaporización (Lv) Es la cantidad de calor que se le debe adicionar o quitar a la unidad de masa de una sustancia, que está en condiciones de cambiar de estado, para que pase del estado líquido al estado gaseoso o viceversa. Así tenemos que si el agua está a 100 °C y 1 atmósfera de presión, entonces para que pase a vapor de agua un gramo de este líquido se necesita adicionarle una cantidad de 540 calorías.

1g 1 atm

o

+ 540 cal =

1g 1 atm

Para una masa “m”: Q = m⋅ Lv

o

En el caso de agua:

ó

vapor de agua 100 °C

1g 1 atm

- 80 cal =

Lv = 540 cal/g Lv = 970 B.T.U. / lb

vapor de agua 100 °C

1g 1 atm

1g 1 atm

OBSERVACIONES El estudiante debe darse cuenta que ya conocemos dos fórmulas para calcular el calor: − La primera fórmula se aplica cuando la temperatura varía. Q = Ce m ∆T

− La segunda fórmula se aplica cuando hay un cambio de estado; recuerde que “L” es el calor latente, puede ser de fusión o de vaporización, según sea el caso. Q = m⋅ L


252

TEST

1.-

El agua que obtiene calor de vaporización está:

a) b) c) d) e)

2.-

6.-

En ebullición. En congelación. En calentamiento. En enfriamiento. Reposo.

a) b) c) d) e)

a) b) c) d) e)

Evaporarse. Condensarse. Ganar calor. Congelarse. Fusionarse.

¿Cuál de las siguientes, es la temperatura de congelación del agua?

a) b) c) d) e)

4.-

8.-

9.-

a) b) c) d) e)

Una presión atmosférica aumentada. Un termómetro defectuoso. Agua impura. Las 3 razones anteriores. Un mal día.

Sólidos y líquidos. Líquido y gases. Varios y gases. Líquidos y varios. Sólo sólidos.

¿Cuál de los siguientes, es el peor conductor de calor?

a) b) c) d) e)

10.-

La convección. El intercambio de calor. La conducción. La absorción. La radiación.

El calor produce corriente de convección en:

a) b) c) d) e)

Obtiene calor de fusión. Pierde calor de vaporización. Obtiene calor de vaporización. Pierde calor de fusión. No se puede predecir.

Si una muestra de agua está hirviendo, y la temperatura que indica el termómetro no es su punto de ebullición, puede deberse a:

El calor se transfiere en un cuarto debido principalmente a:

a) b) c) d) e)

–273 °C 0 °F 32 °C 32 °F 100 °C

La temperatura de ebullición del agua, es la temperatura a la que:

a) b) c) d) e)

5.-

Metales. Líquidos. Gases. Espacio. Madera.

Para transformar el vapor a agua, ésta debe: 7.-

3.-

El calor se transfiere más fácilmente por conducción a través de:

Cobre. Hierro. Agua. Plata. Oro.

Un aparato utilizado para medir la energía térmica se llama:

a) b) c) d) e)

Termómetro. Máquina térmica. Calorímetro. Caloría. Mechero.

Calor y Tecnología Ciencia

253

La Tierra - fuente de calor La Tierra es internamente una gran fuente de energía calorífica, en promedio por cada 100 metros de profundidad hay un aumento de 3 °C; así tenemos que a 6 km de profundidad la temperatura supera los 2 000 °C. Ejemplo típicos de este fenómeno son los volcanes, los lagos termales y la centrales geotérmicas en donde el vapor de agua proveniente del subsuelo llega a una turbina térmica transformando así el calor en energía eléctrica.

Elaguahierve Todos sabemos que el agua hierve cuando alcanza una temperatura de 100 °C, siempre y cuando la presión sea de 1 atmósfera; veamos que sucede cuando aumentamos la presión del agua (haciendo uso de una olla a presión), si en una de estas ollas se consigue aumentar la presión a dos atmósferas (1 520 mmHg), el agua, cuando alcance los 100 °C de temperatura seguirá siendo líquido y cambiará al estado gaseoso cuando su temperatura llegue a 121 °C y es que, a mayor presión se necesita mayor temperatura para que el líquido hierva, mientras que a menor presión se necesitará menor temperatura para el mismo efecto. Es por ello que en la sierra (por ejemplo donde la altitud es 3 160 m) cuando la presión es 526 mmHg el agua hierve a 90 °C y es por esta razón que los alimentos no consiguen cocinarse completamente ya que el agua no es tan caliente cuando hierve.

Dilatacióntérmica Cuando se construye un edificio hay que tener en cuenta la dilatación térmica. Si el edificio se calienta pero carece de espacio para dilatarse surgen fuerzas internas que hacen fisurar la estructura, en tal sentido es conveniente utilizar una junta.

254


¿Qué calor podemos sopor tar? soportar? Se han hecho experimentos para determinar cuál es la temperatura máxima que puede soportar el organismo humano. Resultó que en una atmósfera de aire seco y calentándolo paulatinamente, nuestro organismo es capaz de resistir no sólo la temperatura del agua hirviendo (100 °C), si no a veces hasta la de 160 °C como lo demostraron los físicos ingleses Blagden y Centry, los cuales estuvieron horas enteras dentro de un horno de panadería, calentando. “En el aire de un local en que el hombre puede permanecer sin peligro para la salud, se puede cocer un huevo o freír un bistec”, escribía Tyndall con motivo de este experimento. ¿Cómo se puede explicar esta resistencia?.Por el hecho de que nuestro organismo no adquiere la temperatura del medio en que se encuentra, sino que conserva aproximadamente la suya. El organismo lucha contra el calentamiento segregando sudor, cuya evaporación absorbe una parte considerable del calor del aire que está en contacto directo con la piel y de esta forma disminuye la temperatura. Son condiciones necesarias para el éxito del experimento: primero, que el cuerpo no esté en contacto en la fuente de calor y, segundo, que el aire esté seco.

El viento Los vientos se generan gracias a la variación de la temperatura en diferentes puntos de una porción de espacio. Cuando el aire es calentado, su densidad disminuye haciéndose más ligera y por ende se eleva dirigiéndose a donde hay aire más frío, por otro lado, el aire más frío desciende y se mueve hacia donde hay aire más caliente, el movimiento cíclico toma el nombre de viento. Similar operación sucede con los vientos que trasladan nubes; la zona más fría son los polos y la zona caliente el Ecuador.

Las n ubes nubes La nube es el conjunto de gotitas de agua (gotículas) y trocitos de cristales de hielo. Las nubes se generan gracias al vapor de agua (humedad) que existe sobre la superficie de la Tierra, el vapor de agua no se encuentra quieto, se mueven bajo la acción de los vientos siendo trasladados desde la superficie terrestre hasta las zonas más altas (zonas frías); el aire frío allí no puede conservar el vapor de agua en dicho estado, es así que es condensada y se transforma en gotitas de agua, muchas de las cuales se convierten aun en diminutos cristales de hielo; la acumulación de estos elementos toma el nombre de nube.

Calor

255


problemas de aplicación ¿A que temperatura la lectura Fahrenheit es 40 unidades mayor a la correspondiente en grados centígrados?

4.-

Solución: 100 − 0 212 − 32 = x−0 x + 40 − 32

b

g

Un calorímetro de latón de 200 g, tiene 501 g de agua a 20 °C, se introducen 250 g de plomo a 100 °C y la temperatura final de equilibrio es de 21,32 °C. ¿Cuál es el calor específico del plomo? (Celatón = 0,067 cal/g °C) Solución:

100 180 = x x+8

2.-

x = 10 ° C ó 50 ° F

¿En que lectura, el valor que marca la escala en °C y en °F son numéricamente iguales, pero con signos diferentes?

Plomo

0,067

1

?

m (g)

200

501

250

To (°C)

20

20

100

TF (°C)

21,32

21,32

21,32

Qganado = Qperdido

Solución:

Qlatón + Qagua = Qplomo

100 − 0 212 − 32 = 0 − −x 32 − x

b g

Nótese: Q = Cem(∆T) (0,067)(200)(21,32 – 20) + (1)(501)(21,32 – 20) = (Ce)(250)(100 – 21,32)

100 180 = x 32 − x

Ceplomo = 0,035 cal/g °C

x = 11, 43 ° F ó

5.-

x = − 11, 43 ° C 3.-

Agua

Ce (cal/g °C)

x = 10 ° C Rpta.

Latón

En la figura, determinar la temperatura que debe incrementarse a ambas barras para que justamente

Hallar la temperatura de la mezcla de 150 g de hielo a –10 °C y 300 g de agua a 50 °C. Solución: 50

se junten (α1 = 15×10−4 °C−1 ; α2 = 10−3 °C−1).

-10 con el hielo

o El hielo para pasar de –10 °C a 0 °C, necesita calor (Q1), el cual sirve para cambiar su temperatura: Q1 = Cem(∆T)

Solución: o Para que las barras se junten:

b g

o Para que el hielo se derrita, necesita (Q2), en el cual su temperatura permanece constante:

α1Lo ∆T + α 2 Lo ∆T = 6 2

∆T 15 × 10 −4 × 60 + 10 −3 × 30 = 6

Q2 = mL f = 150 80

∆T = 50 ° C

Q2 = 12 000 cal

e

b gb g

Q1 = Ce m 0 − −10 = 0 , 5 150 10

Q1 = 750 cal

∆L1 + ∆L2 = 6 cm 1

con el agua

j

b g


256 o Ahora, el hielo se ha derretido (es agua); luego aumenta su temperatura por acción de (Q3) hasta “T”

3.-

b g = 1b150gT

Q3 = Ce m T − 0 Q3

La longitud de un puente es 100 m cuando la temperatura es 20 °C. ¿En cuánto aumenta su longitud en un día de verano en que la temperatura es 40 °C, (αpuente = 2×10−4 °C−1). Solución: ∆L = ?

o Por otro lado, el agua que se introduce, baja su temperatura hasta “T”, perdiendo calor (Q4).

b g = 1b300gb T − 50g

Q4 = Ce m T − 50 Q4

o ΣQ = 0 Q1 + Q2 + Q3 + Q4 = 0

b

g

750 + 12 000 + 150 T + 300 T − 50 = 0 450 T = 2 250 T = 5 °C

b

g

L f = Lo 1 + α∆T) B 1.-

L f = Lo + Loα∆T 123

problemas complementarios ¿A qué temperatura, las escalas Fahrenheit y Kelvin dan la misma lectura?.

aumento = ∆L

o Como: ∆T = Tf − To = 40 − 20 = 20 °C

Solución

∆L = αL o ∆T

o Sabemos:

K − 273 F − 32 = 100 180

Dato: K = F = x x − 273 x − 32 = 100 180 x = 574 , 25

2.-

∆L = 2 × 10 −4 100 20

b gb g

C F − 32 = 100 180

y o Luego:

K = 273 + C ⇒ C = K − 273

∆L = 0 , 40 m 4.-

⇒

∆L = 40 cm

Se tiene un círculo metálico de radio 1 cm y β = 2,02×10−4 °C−1. ¿En cuántos °C se debe elevar la temperatura, de tal modo que el nuevo radio del círculo sea igual a 1,02 cm? Solución: final

inicial

Si al construir un termómetro graduado en °F, se cometiese el error de considerar el punto de ebullición del agua como 200° y el de congelación como 0°; cuando dicho termómetro marque Q°. ¿Cuál será la verdadera temperatura en °F? Solución: 212 − 32 200 − 0 = x − 32 Q−0 180 200 = x − 32 Q 9 x = ⋅ Q + 32 10

Rf = 1,02 cm

2

bg

Ao = π 1

Ao = π cm2 β = 2, 02 × 10

Af = 1, 04 π cm2 −4

°C

−1

b∆Ag = βA b∆Tg b1, 04 π − πg = e2, 02 × 10 jbπgb∆Tg

o Ahora:

o

−4

∆T = 198 ° C

2

b g

Af = π 1, 02

Calor 5.-

257 Una vasija de vidrio contiene 1 000 cm3 de mercurio lleno hasta el borde. Si se incrementa la temperatura en 100 °C y el recipiente alcanza un volumen de 1 009 cm3, ¿Cuánto de mercurio se derrama? (αHg = 6×10−5 °C−1).

o ΣQ = 0

Solución:

o Cuando se utiliza ΣQ = 0, la variación de temperatura (∆T )se considera estrictamente así: ∆T = Tf − To

Estado inicial

Q1 + Q2 = 0

b

Q = Ce m Tf − To

Estado final

g

Por lo tanto: Ce1 m1 Tf1 − To1 + Ce2 m2 Tf2 − To2 = 0

e j e j b1gb40gbT − 50g + b1gb60gbT − 80g = 0 4b T − 50g + 6b T − 80g = 0

Vo= 1 000 cm3

4 T − 200 + 6 T − 480 = 0

o Con el mercurio:

b

Vf = Vo 1 + 3α∆T

g

Vo = 1 000 cm3

,

α = 6 × 10 −5 °C-1

,

∆T = 100 ° C

Vf = 1 000 1 + 3 × 6 × 10 −5 × 100

e

10 T = 680

7.-

j

Vf = 1 018 cm3 ......................... (1)

T = 68 ° C

Se mezclan 40 g de agua a 40 °C, con 50 g de agua a 50 °C, con 60 g de agua a 60 °C, con 70 g de agua a 70 °C. ¿Cuál es la temperatura de equilibrio? La mezcla se realiza en un ambiente térmicamente aislado. Solución:

o Con la vasija:

o Existen cuatro cuerpos, todos son agua.

Vf = 1 009 cm3 (dato) ........... (2)

m1 = 40 g ; m2 = 50 g ; m3 = 60 g ; m4 = 70 g

o Si los volúmenes finales, tanto del mercurio como de la vasija, hubiesen sido iguales; no se habría derramado el mercurio. En nuestro caso, se derrama porque el volumen final del mercurio es mayor que el volumen final de la vasija así:

ΣQ = 0 Q1 + Q2 + Q3 + Q4 = 0

b

Q = Ce m Tf − To

V = Volumen de mercurio derramado

V = 1 018 − 1 009

⇒

g

o La temperatura de equilibrio (final) es la misma para todos (T).

o (1) − (2):

6.-

⇒

1(40)( T − 40) + 1(50)(T − 50) + 1(60)(T − 60) + 1(70)( T − 70) = 0

V = 9 cm3

En un recipiente térmicamente aislado, se mezclan 40 g de agua a 50 °C, con 60 g de agua a 80 °C. ¿Cuál es la temperatura de equilibrio?

40T − 1 600 + 50T − 2 500 + 60T − 3 600 + 70T − 4 900 = 0 220T = 12 600

Solución: o Existen dos cuerpos. Llamaremos (1) al primer cuerpo y (2) al segundo.

Cuerpo (1)

Cuerpo (2)

m (g)

40

60

To (°C)

50

80

Ce (cal/g °C)

1

1

Tf (°C)

T

T

8.-

⇒

T = 57,27 °C

En un recipiente de capacidad calorífica despreciable se mezclan “m” kg de agua a 15 °C con “2 m” kg de agua a 75 °C, cuando se alcanza el equilibrio térmico se vuelve a echar al recipiente “5 m” kg de agua a 79 °C. ¿Cuál será la temperatura de equilibrio al finalizar los procesos? Solución: 1er Caso: o Con el cuerpo (1): m1 = m

,

Ce = 1 cal/g °C

To = 15 °C

,

Tf = T


258 o Con el cuerpo (2): m2 = 2 m

,

Ce = 1 cal/g °C

To = 75 °C

,

Tf = T

ΣQ = 0

⇒

o Finalmente elevamos la temperatura del vapor obtenido de 100 °C a 220 °C.

c hFGH

Q3 = m Ce ∆T = 10 g 0 , 5

IJ c K

cal 220 − 100 ° C g °C

h

Q3 = 600 cal

Q1 + Q2 = 0

QT = Q1 + Q2 + Q3 = 1 000 + 5 400 + 600

Ce1 m1 Tf1 − To1 + Ce2 m2 Tf2 − To2 = 0

e j e j b1gbmgbT − 15g + b1gb2mgbT − 75g = 0 bT − 15g + 2bT − 75g = 0

QT = 7 kcal

10.-

En un lago a 0 °C se colocan 10 g de hielo que está a −10 °C ¿Cuánto más de hielo se formará? Solución:

T = 55 ° C

Con el Hielo

Con el Lago (agua)

2do Caso: o Con el cuerpo (1) + (2): m3 = 3 m

,

Ce = 1cal / g ° C

To = 55 ° C

,

Tf = T

o Con el cuerpo (3): m4 = 5 m

,

Ce = 1cal / g ° C

To = 79 ° C

,

Tf = T

ΣQ = 0

⇒

b g Q = 0 , 5b10g 0 − b10g Q1 = mCe ∆T

Q3 + Q4 = 0

b

Si: Q = Ce m Tf − To

g

1

b1gb3mgbT − 55g + b1gb5mgbT − 79g = 0 3b T − 55g + 5b T − 79g = 0

Q1 = 50 cal

o Con el hielo, asumiendo que parte del hielo se fusiona (se derrite): Q2 = mLF

T = 70 ° C

9.-

o Con el hielo; el hielo al ser introducido al lago, se calienta, ganando calor Q1 hasta alcanzar la temperatura de 0 °C (después de la cual seguirá siendo hielo).

¿Qué cantidad de calor se le debe entregar a 10 g de agua a 0 °C para obtener vapor de agua a 220 °C? Solución: o Calentamos el agua hasta obtener agua a 100 °C

b gb gb

g

Q1 = m Ce ∆T = 10 1 100 − 0 = 1 000 cal o Le entregamos al agua líquida un calor “Q2” para que se realice el cambio de estado.

b gFGH

Q2 = mL = 10 g 540

IJ K

cal = 5 400 cal g

b g

Q2 = m1 80

o Con el lago; el agua pierde calor Q3; como quiera que su temperatura es 0 °C, la única manera de perder calor, será solidificándose.

b g

Q3 = − m2 80

o Finalmente: ΣQ = 0 Q1 + Q2 + Q3 = 0 50 + 80m1 − 80m2 = 0 m2 − m1 = 0 , 625 g ya que m2 > m1; se formará 0,625 g más de hielo

Calor

259


problemas de aplicación Un termómetro en escala de °F, por error de fabricación, su escala marca 220 °F para la ebullición del agua y 0 °F para la congelación del agua. ¿Cuál será el valor en que este termómetro malogrado marque una lectura correcta?.

9.-

Rpta. 10.-

3.-

El rango diario en la temperatura del aire un día fue 5,5 °C, ¿Cuál es este rango expresado en °F? Rpta.

Rpta.

200,066 cm

B 1.-

2.-

98,13 °C

AA 1 = AB 7

¿Qué cantidad de calor en calorías; se requiere para elevar la temperatura de 150 lt de agua contenidos en un depósito, desde la temperatura de 15 °C a la de 60 °C. Rpta.

Un trozo de latón (aleación de Cu y Zn) se halla a 23 °C y disminuye su temperatura en 63 °F. ¿Cuál es su temperatura final en la escala Kelvin?

675×104 cal

¿Cuántos kilogramos de agua a 10 °C deben mezclarse con 70 kg de agua a 50 °C para obtener agua a 35 °C? Rpta.

8.-

42 kg

En un calorímetro de capacidad calorífica 6 cal/°C, se tiene 400 g de agua a 40 °C. Se le introduce una esfera metálica de masa 100 g y calor específico 0,2 cal/g °C. Calcular la temperatura inicial, si la temperatura de equilibrio térmico es 70 °C. Despreciar la transferencia de calor con el medio ambiente. Rpta.

20 min

Una esfera de cobre de coeficiente de dilatación α = 0,000 019 °C−1 a 16 °C, tiene un radio de 20 mm. ¿A cuántos grados habrá que calentarla para que pase justamente por un anillo de 20,1 mm de radio? Rpta.

7.-

261 K

Se tiene un recipiente en el cual hay 2 líquidos no miscibles cuyos volúmenes iniciales están en la relación de 4 a 3, siendo sus coeficientes de dilatación volumétrica 3×10−4 °C−1 y 44×10−4 °C−1 respectivamente. Si la temperatura del sistema aumenta uniformemente a razón de 25 °C por cada 6 minutos. ¿Al cabo de qué tiempo los volumenes de dichos líquidos serán iguales? Rpta.

3.-

T = 83,9 °C m = 820 g


Rpta.

Hallar la relación entre las áreas de 2 láminas A y B, sabiendo que calentadas hasta cualquier temperatura mantienen constante la diferencia entre los valores de sus áreas (αA = 21×10−5 °C−1; αB = 3×10−5 °C−1). Rpta.

6.-

9,9 °F

Dos varillas, una de hierro y otra de zinc, tienen 25,55 cm y 25,5 cm de longitud respectivamente a 0 °C. ¿A qué temperatura tendrán las dos varillas la misma longitud? (αFe = 0,000 01 °C−1 ; αzn = 0,000 03 °C−1). Rpta.

5.-

176 °F

Una cinta metálica de acero es exactamente de 2 m de longitud cuando la temperatura es 0 °C. ¿Cuál es la longitud cuando la temperatura sube a 30 °C? (αacero = 11×10−6 °C−1). Dar su respuesta en cm. Rpta.

4.-

0 °C

Constituye un sistema, la mezcla de 600 g de agua y 100 g de hielo a la temperatura de equilibrio de 0 °C; se introduce en este sistema 120 g de vapor a 100 °C. Hallar la temperatura final del sistema y la masa de agua al final de la experiencia.

Rpta. 2.-

540 g de hielo a 0 °C se mezclan con 540 g de agua a 80 °C; determinar la temperatura final de la mezcla.

679 °C

4.-

279,8 °C

Se muestra una barra AB de 8 m y una cuerda BC de 9,988 m. Determinar la variación de temperatura con la finalidad que el ángulo “x” disminuya a 0°, asumiendo que la barra y la pared tienen deformación despreciable αcuerda = 12×10−6 °C−1 Rpta.

100,1 °C


260 5.-

Una vasija de vidrio cuyo volumen es exactamente 1 000 cm3 a 0 °C, se llena por completo de mercurio a dicha temperatura; cuando se calientan la vasija y el mercurio hasta 100 °C se derraman 15,8 cm3 de Hg. Si el coeficiente de dilatación cúbica del mercurio es 0,000 182 °C−1, calcúlese el coeficiente de dilatación cúbico del vidrio. Rpta.

. 6.-

Un recipiente térmicamente aislado, contiene 200 g de agua a 27 °C. Si en él se introduce un trozo de latón de 89 g que está a 100 °C, al cabo de cierto tiempo el agua y el latón estarán a una temperatura de equilibrio. Hallar dicha temperatura. (Celatón = 0,067 cal/g °C). Rpta.

7.-

γvidrio = 2,4×10−5 °C−1

29,11 °C

Se mezclan 6 kg de agua a 20 °C, 4 kg de agua a 30 °C y 10 kg de agua a 40 °C. Calcular la temperatura de equilibrio de la mezcla resultante.

Rpta.

32 °C

8.-

¿Qué volumen de hulla debe quemarse, para aprovechar el 75% de calor liberado y lograr vaporizar totalmente 5 lt de agua inicialmente a 40 °C, se sabe que durante la combustión de 1 m3 de hulla este entrega 20 000 000 Joule. Rpta.

9.-

Se tiene 4,5 kg de agua a 0 °C. ¿Qué parte de esta masa de agua ha de congelarse para que todo el calor desprendido transforme la otra en vapor a 100 °C? Rpta.

10.-

0,84 m3

4 kg

Se tienen tres tanques iguales, llenas de agua: fría, tibia e hirviendo respectivamente, en caso de incendio. ¿Qué agua apagará más rápido el fuego? Rpta.

Hirviendo

Capítulo

12

GASES COMPOR TAMIENTO DE LOS GASES COMPORT GASES Son aquellas sustancias que se caracterizan porque sus moléculas se mantienen en desorden, dotadas de alta energía y separadas por “grandes” distancias, la atracción intermolecular es casi nula.

CARACTERÍSTICAS DE LOS GASES Los gases se caracterizan por no poseer volumen ni forma determinada, es decir, que a diferencia de los sólidos y los líquidos, ocupan todo el volumen del recipiente que los contiene. Existen tres parámetros que definen las características de un gas, estos son:

A)

Volumen.- Es el espacio que ocupa; un gas ocupa todo el volumen del recipiente que lo contiene.

B)

Temperatura.- Mide el grado de agitación molecular del gas. En los gases la temperatura se mide en base a la temperatura absoluta (K), en tal sentido si tenemos los datos en °C, habrá que convertirlo a K.

C)

Presión.- Indica el sentido en que se desplaza la masa de gas. La masa se mueve desde donde hay mayor presión hacia donde ésta es menor.

DEFINICIONES PREVIAS A)

Sistema Aislado Es aquella región de espacio que se aísla en forma real o imaginaria, con el fin de poder estudiar lo que ocurre dentro de ella. Durante este estudio, la materia no debe salir ni entrar.


262

B)

Sustancia de Trabajo

F)

Es aquel elemento que se utiliza primero como medio de transporte del calor que luego interviene en la transformación de calor en trabajo. Generalmente se utiliza un gas.

C)

Proceso Termodinámico Es el recorrido o la sucesión ininterrumpida de varios estados. Es el paso de una sustancia de trabajo desde un estado inicial hasta otro final, con el objeto de transformar el calor que lleva, en energía mecánica.

Fase Son las diferentes formas que puede tomar un cuerpo sin cambiar su estructura química. Algunos autores afirman que una fase es la mínima expresión.

i = inicial ; f = final

G)

Ciclo Es la sucesión de varios procesos termodinámicos

Cuando en un recipiente se vierten agua y aceite, para luego agitarlos, se observa la mezcla de estos. Existen entonces tres fases, en este caso fase aceite, fase intermedio (inter-fase), fase agua.

Los parámetros dependen de las condiciones del problema.

H) D)

E)

Es la energía disipada por el movimiento de las moléculas en un determinado cuerpo, esto se debe a que los choques entre ellos no son perfectamente elásticos y además existe rozamiento entre ellos.

Estado El estado de un cuerpo es el conjunto de propiedades que posee en un momento dado, los posibles estados de un cuerpo caen dentro de tres grupos generales: sólido, líquido y gaseoso. El cambio de estado es un fenómeno de carácter estrictamente molecular, ya que un estado difiere de otro sólo por las circunstancias de agregación de las moléculas. Un cuerpo puede presentarse en un estado, pero en diferente fases.

Coordenadas Termodinámicas Es la representación gráfica de la variación de la presión, el volumen o la temperatura en un cambio de estado.

P = presión, V = volumen, T = temperatura

Energía interna (U)

I)

Gas ideal Se denomina así, a los gases que cumplen exactamente con las leyes antes mencionadas. En realidad estas leyes son “aproximaciones válidas” para gases reales (O2, N2, aire, etc). Sin embargo, si la temperatura no es muy baja o la presión muy alta, los gases reales tienen un comportamiento muy cercano al de un gas ideal.

Hipótesis de los gases ideales a) Un gas está constituído por pequeñas partículas (moléculas) b) Las moléculas están en constante movimiento y éste es completamente al azar. c) En un gas no hay fuerza de atracción molecular, sólo existe energía cinética. d) Las colisiones de las moléculas son perfectamente elásticas.

Gases

263

TERMODINÁMICA CALORES ESPECÍFICOS PARA GASES

Concepto Es una parte de la física que se encarga de estudiar las relaciones existentes entre el calor y el trabajo, especialmente el calor que produce un cuerpo para realizar trabajo.

1RA LEY DE LA TERMODINÁMICA “En un proceso determinado, el calor entregado a un sistema, es igual al trabajo que realiza el gas más la variación de energía interna”. No se puede hallar la energía interna en un momento, esto es imposible; pero si se puede hallar la diferencia de energías internas de un momento a otro.

A diferencia de los sólidos y los líquidos, en que el calor específico permanece casi constante, en los gases el valor del calor específico depende de cómo se caliente el gas: a presión constante, a volumen constante o haciendo variar ambos parámetros. El calor específico de un gas que se calienta a presión constante es mayor que el de un gas calentado a volumen constante y la relación existente entre ambos es la siguiente: CP − CV = R

CP = calor específico a presión constante CV = calor específico a volumen constante

Ilustración

R = 1, 99 Q1, 2 = W1, 2 + ∆U1, 2

Es decir: ∆U = Q − W

cal cal ≅2 mol K mol K

bg

bg

PROCESOS TERMODINÁMICOS A)

PROCESO ISOBÁRICO Es aquel proceso termodinámico en el cual permanece constante la presión (P = cte).

Donde: = calor entregado desde el estado (1) hasta el estado (2) W = trabajo realizado por el gas desde el esta1, 2 do (1) hasta el estado (2) ∆U = variación de la energía interna desde el es1, 2 tado (1) hasta el estado (2)

Q

1, 2

Regla de signos

Cálculo del Calor.- El calor entregado para que el gas pase del estado (1) al estado (2), se puede calcular así: Q = CP m ∆T

b g

CP = calor específico a presión constante

Cálculo del Trabajo (W):

b

W = P Vf − Vi

g


264

Cálculo de la Variación de la Energía Interna (∆U):

Ley de Boyle – Mariotte “El volumen de un gas es inversamente proporcional a su presión cuando su temperatura permanece constante”. PV i i = Pf Vf

∆U = Q − W

Ley de Charles: “El volumen de un gas es directamente proporcional a su temperatura absoluta cuando su presión permanece constante”. Vi Vf Ti , T (escala Kelvin) = f Ti Tf

Gráfico (Presión – Volumen)

Pi

Gráficos Relacionados al Trabajo Expansión

P

f

Compresión V

C)

B)

PROCESO ISOTÉRMICO

V

i

f

PROCESO ISOCÓRICO Es aquel proceso termodinámico en el cual, al incrementar una cantidad de calor, el volumen permanece constante (V = cte).

Es aquel proceso termodinámico en el cual la temperatura permanece constante.

Cálculo de Trabajo (W): Puesto que no existe desplazamiento, el trabajo realizado por el gas es nulo.

Cálculo de Trabajo (W):

W=0

LM F V I OP MN GH V JK PQ

W = 2, 3 Pi Vi log

f


i

∆U = Q − W ∆U = Q − 0


∆U = Q

Puesto que la temperatura permanece constante, la energía interna no varía. ∆U = 0

Cálculo del Calor Entregado ∆U = Q − W 0=Q−W Q=W

Cálculo del Calor Entregado

b g

Q = C V m ∆T

CV = calor específico del gas a volumen constante

Ley de Gay Lussac: “La presión de un gas es directamente proporcional a su temperatura absoluta, cuando su volumen permanece constante”.

Gases

265

Pi Pf = Ti Tf

Ti , Tf (escala Kelvin)

Gráfico (Presión – Volumen)

P

C)

Una máquina térmica es un dispositivo que permite transformar la energía calorífica en energía mecánica. El rendimiento de una máquina térmica no puede ser nunca el 100%. El calor fluye del vapor de agua hacia el aire. ¿Es posible que el aire entre a la tetera espontáneamente?

f

P

i

RENDIMIENTO O EFICIENCIA (η)

NOTA

El rendimiento de una máquina de Carnot puede calcularse teóricamente por medio de la siguiente fórmula:

En todo proceso termodinámico se cumple:

b g

∆U = CV m ∆T

η=

ECUACIONES GENERALES P ARA PARA GASES IDEALES Tener presente que las siguientes expresiones son válidas sólo para gases ideales; pero si un gas real no está demasiado frío ni demasiado comprimido puede ser descrito con buen grado de aproximación por el modelo de un gas ideal. Debemos anotar que para los gases contenidos en el aire (por ejemplo el nitrógeno y oxígeno), estas condiciones se cumplen a la temperatura ambiente. PV = nRT

V P n T R

PV PV i i = f f Ti Tf

: : : : :

volumen presión número de moles contenidos en la masa de un gas temperatura (escala Kelvin) constante universal de los gases 1 R = 6, 2 cmHg = 8, 31× 103 Joule / K mol⋅ grad grad

b

g

b

g

2DA LEY DE LA TERMODINÁMICA Esta ley se puede condensar en los siguientes aspectos: A) B)

El calor fluye espontáneamente, de los cuerpos calientes a los fríos. Se puede lograr que el calor fluya de un cuerpo frío a otro caliente; pero para ello es necesario realizar trabajo.

T1 − T2 T1

η=

Q1 − Q2 Q1

Donde: T2 y T1, son las temperaturas Kelvin de la fuente fría y de la fuente caliente, respectivamente. Q2 y Q1, representan el calor de la fuente fría y de la fuente caliente, respectivamente. Notas importantes de la segunda ley de la Termodinámica: − No puede existir un sistema termodinámico con una sola fuente; es decir, no puede haber un sistema como en el esquema A ya que este sistema transformaría todo el calor Q1 que se extrae de la fuente caliente en trabajo. − La representación del funcionamiento de una máquina térmica es la que se muestra en el esquema B. ESQUEMA A

ESQUEMA B


266

TEST

1.-

Por gases ideales se entienden los gases que: a) b) c) d) e)

2.-

b) c) d) e)

3.-

a) b) c) 6.-

Cada molécula de este gas tienen siempre el mismo vector de velocidad. La cantidad de moléculas que tienen la misma energía cinética no cambia con el tiempo. En cualquier punto del gas la cantidad de moléculas por volumen unitario es la misma. Cada molécula tiene igual probabilidad de moverse en cualquier dirección. El movimiento de las moléculas es completamente al azar.

El movimiento de las moléculas es caótica. Las fuerzas intermoleculares se consideran nulas. El volumen de cada molécula se considera nulo. Los choques moleculares son inelásticos. N.A.

d) e)

VVVVV VVFVF

Con respecto a la siguiente gráfica de un gas ideal:

I.-

La temperatura permanece constante. II.- Para el tramo de 1 a 2, la masa varía. III.- El valor de la constante de los gases es diferente para los puntos indicados. a) b) c) 7.-

Sólo I Sólo II II y III

d) e)

I y III Todos

Si el volumen de un gas permanece constante, la presión es directamente proporcional a su temperatura absoluta; esto lo anunció: a) b) c) d) e)

¿Cuál o cuáles de las siguientes proposiciones son correctas? El volumen de un gas es directamente proporcional a la temperatura absoluta a presión constante. II.- El volumen de un gas es directamente proporcional a la temperatura constante. III.- La temperatura de un gas es inversamente proporcional a la densidad a presión constante. IV.- La presión de un gas es inversamente proporcional a la densidad a temperatura constante.

FFFVF FFFFF FFFVV

Indicar que proposiciones son correctas:

¿Cuál de las siguientes proposiciones es incorrecta en relación a la teoría cinético molecular? a) b) c) d) e)

4.-

Reaccionan mejor que otras sustancias. Se encuentran en el espacio interestelar. Se encuentran en los pozos de petróleo. Se licúa fácilmente por acción de la presión. Cumplen exactamente las leyes químicas sobre el estado gaseoso.

Un gas encerrado en un recipiente se encuentra en equilibrio termal; diga ¿Cuál de los siguientes enunciados es incorrecto? a)

III.- En un proceso isocórico la temperatura se mantiene constante. IV.- En un proceso isocórico el volumen se mantiene constante. V.- En un proceso adiabático la variación de energía interna es constante.

Boyle Mariotte. Charles. Blas Pascal. Gay - Lussac. Arquímedes.

I.-

a) b) c) 5.-

I, II y III II y IV I, III y IV

d) d)

II y III N.A.

Señalar verdadero o falso. I.-

En un proceso isobárico la temperatura permanece constante. II.- En un proceso isotérmico la presión se mantiene constante.

8.-

Al graficar que ley se obtiene ISOCORAS. a) b) c) d) e)

9.-

Boyle Mariotte. Charles. Gay - Lussac. Ley de newton. Ecuación Universal de los gases.

Teóricamente las moléculas de un cuerpo deben cesar su movimiento a: a) b) c) d) e)

273 °C 0 °F −273 °C 212 °F −212 °F

Gases y Tecnología Ciencia

267

Elrefrigerador El refrigerador, puede ser considerado como una máquina térmica que opera en sentido contrario al ciclo de CARNOT. El principio de funcionamiento de los refrigeradores está basado en la propiedad que tienen los líquidos de absorber calor cuando se vaporizan y por el desprendimiento de calor cuando los gases se licúan. Un refrigerador funciona sustrayendo una cantidad de calor Q2 del ambiente y cediendo un calor Q1 hacia la vecindad. Después que un trabajo W se realizó sobre el vehículo de estos intercambios de calor, entonces este vehículo debe ceder al ambiente, además del calor Q2 extraído del refrigerador, el calor correspondiente al trabajo W ejecutado por la máquina. El refrigerador más eficiente será aquel que retira el máximo calor Q2 con un mínimo de trabajo W.

En el esquema representamos el cielo de un refrigerador común. Al principio el fluido, se encuentra en estado líquido, a la temperatura y a presión ambiente. Después de pasar por la válvula de expansión o estrangulamiento su presión y temperatura descienden. Mediante un mecanismo mecánico, se bombea el fluido con el fin de evaporarlo. En esta sección del circuito, el evaporador está dentro de un recinto aislado térmicamente, que constituye el frigorífico propiamente dicho. La evaporación da lugar a la absorción de cierta cantidad de calor (Q2), con lo que la temperatura del recinto desciende de modo muy particular. Después de esta fase, el fluido se halla en forma gaseosa, a baja temperatura y a baja presión. Luego se comprime al fluido, lo que hace elevar su temperatura; el fluido se encuentra entonces en forma gaseosa a alta temperatura y elevada presión. Por último se hace circular el fluido por un serpentín refrigerado por aire ambiente (es por esto que el refrigerador no debe colocarse donde no haya circulación de aire). Después de esta operación, el fluido se encuentra otra vez en estado inicial y el proceso puede reiniciarse.

268


Aire acondicionado El sistema de aire acondicionado está basado en el principio del refrigerador. En días calurosos; el sistema absorbe calor del aire de la vivienda u oficina; este aire es enviado luego al exterior siguiendo procedimientos similares al del refrigerador.

La máquina a v apor vapor La máquina de vapor o motor a vapor tuvo sus bases en la “EOLIPILA”, invento atribuido a Herón de Alejandría, este aparato consta de una esfera hueca adosada a dos tubos como se nuestra y que puede girar respecto a un eje horizontal. Si se hace ingresar algún fluido dentro de la esfera y se calienta mediante una caldera o algún mecanismo, dicho calor hará evaporar parcialmente el agua hasta hacerlo expulsar; esto origina un par de fuerza y con ello un movimiento cinético de rotación (trabajo). Se habrá conseguido un motor térmico, ó turbina de vapor.

Tren a v apor vapor El tren a vapor tiene sus raíces en la turbina de vapor; el calor genera trabajo, en este caso energía cinética.

Gases

269


problemas de aplicación ¿Qué gráfica indica un proceso isotérmico?

a)

3.-

d)

Un recipiente contiene 100 g de hidrógeno a 2 atmósferas de presión y a 7 °C. Se calienta, manteniendo el volumen constante, hasta alcanzar una temperatura de 27 °C. Calcular la presión final. Solución:

b)

e) N.A.

En un proceso isocórico, al incrementar la cantidad de calor el volumen permanece constante (V = cte). En este proceso, se cumple: “La presión de un gas es directamente proporcional a su temperatura absoluta” (Ley de Gay Lussac).

c)

V = cte P = 2 atm T = 7 + 273 = 280 K P=? T = 27 + 273 = 300 K

Solución: En un proceso isotérmico la temperatura de la masa permanece constante; por lo tanto la alternativa correcta será:

Pi Pf = Ti Tf 2 P = f 280 300 Pf = 2,14 atm

2.-

Si la variación de la energía interna de un gas ideal es 100 J y ha perdido una cantidad de calor de 100 J; calcular el trabajo. Solución: o Datos:

4.-

Una masa gaseosa con un volumen de 0,05 m3, se comprime hasta que su volumen se reduce a 0,025 m3, manteniéndose su energía interna constante, según esto si su presión inicial es 100 000 Pascal, calcular su presión final.

∆U = 100 J

Solución:

Q = − 100 J (calor perdido)

o Datos:

W=?

Vo = 0 , 05 m3

o 1ra Ley de la termodinámica: ∆U = Q − W

100 = − 100 − W

,

Po = 100 000 Pascal ,

Vf = 0 , 025 m3 Pf = ?

o Si energía interna = cte ⇒ ∆U = 0 ⇒

W = − 200 J

Luego el proceso será isotérmico:


270 Po Vo = Pf Vf

Entonces:

NOTA

b100 000gb0, 05g = P b0, 025g

Tener cuidado con las unidades antes de reemplazar los datos en las fórmulas

f

Pf = 200 000 Pascal

5.-

Del diagrama P – V mostrado determinar: WAB, WBC, WCD, WDA.

7.-

Una máquina de Carnot absorbe 80 kJ y realiza un trabajo de 40 000 J. Determinar la eficiencia de la máquina y la temperatura del foco frío, si el depósito está a 800 K. Solución: Máquina térmica

Solución: 40 000 J

A) WAB = ? (Proceso isobárico: P = cte)

b

g b g

WAB = P VB − VA = 8 6 − 2

Q2 = 40 000 J

WAB = 32 kJ B) WBC = ? (Proceso isocórico: V = cte) o

WBC = 0 C) WCD = ? (Proceso isobárico: P = cte)

b

Q1 − Q2 80 000 − 40 000 = 80 000 Q1

η = 0 , 5 .............. (1)

g b g

WCD = P VD − VC = 2 2 − 6

o η=

WCD = − 8 kJ

D) WDA = ? (Proceso isocórico: V = cte)

η=

WDA = 0 6.-

η=

T1 − T2 800 − T2 = 800 T1 800 − T2 ..... (2) 800

o (1) = (2)

Calcular el trabajo realizado por un gas ideal cuando se calienta isobáricamente desde 27 °C hasta 87 °C, si se encuentra dentro de un recipiente cerrado por un émbolo móvil. El volumen inicial es de 0,005 m3 y la presión atmosférica es 100 000 Pascal (g = 10 m/s2).

800 − T2 800

0, 5 =

B

⇒

T2 = 400 K


Solución: 1.-

o Proceso isobárico: P = cte Vo = 0 , 005 m3 To = 27 + 273 = 300 K ,

Tf = 87 + 273 = 360 K

Un recipiente contiene 50 g de hidrógeno a una temperatura de 5 °C, si se calienta manteniendo el volumen constante hasta alcanzar 30 °C, calcular la variación de energía interna (CV = 2,40 cal/g °C). Solución:

Vo Vf = To Tf

o Tratando al hidrógeno como gas ideal.

0 , 005 V = f 300 360

⇒

Vf = 0 , 006 m3

o Calculando el trabajo realizado:

b

W = P Vf − Vo

b

g

Cv = 2, 40

cal g °C

m = 50 g

;

∆T = 30 − 5 = 25 ° C

;

∆U = ? (cal)

c

h

∆U = C V m ∆T

g

W = 100 000 0 , 006 − 0 , 005

⇒ W = 100 J

b gb gb g

∆U = 2, 40 50 25

⇒

∆U = 3 000 cal

Gases 2.-

271 o Finalmente:

Un tanque de 18 lt de capacidad está lleno de un cierto gas a la presión de 150 atm. ¿Cuántos balones de 9 lt de capacidad se pueden llenar con dicho gas a la presión de 15 atm, manteniendo la temperatura constante.

∆U = Q − W ⇒ W = Q − ∆U W = 217 − 177 ⇒

4.-

Solución Pi = 150 atm

W = 40 cal

Un cilindro que contiene un gas, se encuentra cerrado por un pistón cuya superficie es de 100 cm 2 y su masa es 40 kg. Si se transfiere 320 cal lentamente al sistema, elevándose el pistón 10 cm, calcular ∆U. Considere presión constante = 1 atm. Solución: 1atm = 1, 03 × 105 N / m2 o Presión constante:

b

W = P Vf − Vi

g

W = P × ∆V ¿Cuántos balones?

P = 1, 03 × 105 N / m2 ∆V = A × h ∆V = 100 × 10 −4 m2 0 ,10 m = 10 −3 m3

e

o Temperatura constante: PV i i = Pf Vf

Luego:

b150 atmgb18 ltg = b15 atmgV

f

⇒ Vf = 180 lt

W = 4 ,186 Q

180 lt 9 lt

Q = 320 cal ; W = 24 , 60 cal ; ∆U = ? (cal) ∆U = Q − W ∆U = 320 − 24 , 60 ⇒ 5.-

o Presión constante: cal CP = 0 , 217 ; g °°C C ;

∆T = 130 − 30 = 100 ° C Q = ? (cal)

Solución:

c

h

n = # de moles =

o Oxígeno:

gb gb g

Q = 0 , 217 10 100

⇒ Q = 217 cal

o Tratando al oxígeno como gas ideal.

1=

m 2 × 16

⇒

;

∆T = 130 − 30 = 100 ° C

CP = 0 , 217

m = 10 g

;

∆U = ? (cal)

m = 32 g

c

h

m = 32 g

cal g °C

;

∆T = 127 − 27 = 100 ° C

;

Q = ? (cal)

c

h

Q = CP m ∆T

∆U = C V m ∆T

gb gb g

Masa Peso molecular

o Presión constante:

cal C V = 0 , 177 g°C

∆U = 0 , 177 10 100

∆U = 295, 40 cal

Un cilindro provisto de un pistón, contiene 1 mol de oxigeno a 27 °C, manteniendo la presión constante de 1 atm, se calienta el gas hasta 127 °C. Calcular el trabajo realizado (CP = 0,217 cal/g°C; CV = 0,157 cal/g°C).

Q = CP m ∆T

b

Q = 24 , 60 cal

o Finalmente:

Solución:

b

⇒

Esto significa: W = 103 J <> 24 , 60 cal

10 g de oxígeno son calentados desde 30 °C hasta 130 °C, manteniendo la presión constante.Calcular el trabajo realizado (CP = 0,217 cal/g °C ; CV = 0,177 cal/g °C). Dar su respuesta en calorías.

m = 10 g

−3

5

103 = 4 ,186 Q

# de balones = 20 3.-

g W = 1, 03 × 10 e10 j = 103 Joule

o Transformando a calorías:

o Ahora como cada balón contiene 9 lt. # de balones =

jb

⇒ ∆U = 177 cal

b

gb gb g

Q = 0 , 217 32 100

⇒ Q = 694 , 4 cal


272 o Finalmente:

o Además: ∆U = C V m ∆T

b

b gb

gb gb g

⇒ ∆U = 502, 4 cal

o Finalmente:

Q = 421 815 cal 7.-

∆U = Q − W ⇒ W = Q − ∆U

W = 694 , 4 − 502, 4 ⇒

W = 192 cal

P

= 0 , 24

cal cal ; C V = 0 ,17 gg °C g °°C °C C

V

= 0 ,169

cal cal , CP = 0 , 237 g °C °C g °°C C

IJ K

o Presión constante:

o Presión constante: P = 1atm = 1, 03 × 105 N / m2

;

∆T = 1 − 0 = 1 °C

;

Q = ? (cal)

c h

Q = CP m ∆T 3 3 ; Vf = 10 = 15 m 2

b g

b

W = 1, 03 × 105 15 − 10

b

gb

gb g

Q = 0 , 237 1 000 1

⇒ Q = 237 cal

o En todo proceso:

g

∆U = C V m ∆T

W = 5,15 × 105 Joule

b

gb

gb g

∆U = 0 , 169 1000 1 ⇒ Q = 169 cal

o Convirtiendo Joule a Caloría:

o 1° ley de la termodinámica:

W = 4 ,186 Q

∆U = Q − W ⇒ W = Q − ∆U

5,15 × 10 5 = 4 ,186 Q ⇒ Q = 123 029 cal

W = 237 − 169 ⇒

Luego: W = 5,15 × 105 J < > 123 029 cal

W = 0 , 068 kcal ×

bT , T g = K i

f

Toi = 273 + 15 = 288 K 10 15 = ⇒ Tf = 432 K 288 Tf Convirtiendo K a °C la temperatura final. Tf = 432 − 273 ° C ⇒ Tf = 159 ° C

c

h

o 1° ley de la termodinámica:

8.-

b0,17gmb144g = b0, 24gmb144g − 123 029 m = 12 205, 3 g

427 kgm ⇒ W ≅ 29 kgm 1 kcal

Una máquina recibe 1 kcal y realiza un trabajo de 1 676 Joule. Si su fuente caliente tiene una temperatura de 500 K. Calcular la temperatura (°C)de la fuente fría (1 cal = 4,19 Joule). Solución: Wutil = 1 676 J × o η=

∆U = Q − W

C V m ∆T = CP m ∆T − W

W = 68 cal = 0 , 068 kcal

Pero: 1 kcal = 427 kg -m

o Gas ideal y P = cte: ;

cal g °°C C

m = 1 000 g

g

3 Dato: Vi = 10 m

Vi Vf = Ti Tf

IJ K

Solución:

CP = 0 , 237

b

Q = 421, 8 kcal

1 kcal = 427 kg -m. Dar su respuesta en kg -m

Solución:

W = P Vf − Vi

⇒

¿Qué trabajo produce 1 kg de aire, encerrado a la presión de 76 cm Hg y temperatura de 0 °C, si por causa de la elevación de 1 °C se expansiona contra la presión de 1 atm?

FG C H

Hallar la cantidad de calor, en kilocaloría, para que aumente en su mitad el volumen de una masa de aire que ocupa 10 m3 a 1 atmósfera de presión y 15 °C de temperatura, permaneciendo constante la presión.

FG C H

gb g

Q = 0 , 24 12 205, 3 144

∆U = 0 , 157 32 100

6.-

Q = CP m ∆T

η=

Wutil Qentregado 400 cal 1 000 cal

η = 0 , 40

1 cal = 400 cal 4 ,19 J

Gases

273

o Además: η =

o Ahora:

T1 − T2 T1

716 cal Q1

500 − T2 0 , 40 = ⇒ T2 = 300 K 500 T2 = 27 °C 9.-

Una máquina térmica trabaja bajo el ciclo de Carnot entre las temperaturas 100 K y 400 K. Si en cada ciclo levanta un bloque de 200 N hasta una altura de 15 m. Determinar el calor absorbido por la fuente en cada ciclo (1 cal = 4,19 Joule).

Q1 = 10.-

716 × 100 75

75% 100% ⇒

Q1 = 955 cal

En el sistema mostrado. Si el rendimiento de cada máquina es el mismo, calcular dicho valor.

Solución: o η= η=

T1 − T2 T1 400 − 100 400

Solución: o η1 =

⇒ η = 0 , 75

600 − Tx T − 200 ; η2 = x 600 Tx

Dato: η1 = η2

o W = Fd Datos: F = 200 N , d = 15 m , W = ? (Joule) W = 200 15

600 − Tx Tx − 200 = 600 Tx

W = 3 000 Joule

De donde: Tx = 346 K

b gb g

o Luego:

o 1 cal = 4,19 Joule W = 3 000 Joule ×

1 cal 4 ,19 Joule

η1 =

600 − 346 600

W = 716 cal η1 = 0 , 43 ⇒

η1 = 43%


problemas de aplicación La temperatura de un gas se ha elevado desde 0 °C hasta 600 °C y su presión ha aumentado en un 100%. ¿En qué porcentaje aumenta su volumen? Rpta.

4.-

Si el gas recibe 50 J de calor de B a C, calcular la energía interna en C (en Joule).

60% Rpta.

2.-

¿Cuánto trabajo externo realiza un gas ideal cuando se expande de un volumen de 5 lt a uno de 20 lt, contra una presión constante de 2 atmósferas? Rpta.

3.-

3 090 J

¿Cuánto pesa el aire desalojado por un globo de 1 400 m3 de cabida, a la temperatura de 7 °C y 1 atm de presión? ρaire = 1,3 kg/m3 en condiciones normales. Rpta.

17 750 N

5.-

70 J

Cuando un sistema pasa del estado A al B a lo largo de la trayectoria ACB, recibe 20 000 cal y realiza 7 500 cal de trabajo.¿Cuánto calor recibe el sistema a lo largo de la trayectoria ADB si el trabajo es 2 500 cal. Rpta.

15 000 cal


274 6.-

En un compresor de aire se tiene, al empezar, el émbolo a una distancia a1 = 2 m del fondo, con una temperatura interior de 10 °C y una presión de 400 000 Pa. Después de la compresión, el émbolo dista a2 = 0,25 m del fondo, y la temperatura interior es de 37 °C. Hallar la presión final.

3.-

En un recipiente tenemos 4 moles de Argón, cuando recibe 920 J de calor la temperatura de este gas se incrementa en 10 K, mientras tanto, ¿qué trabajo produce? (CV = 3 cal/mol⋅K). Rpta.

4.-

En el diagrama P - V de un gas ideal el proceso de A hacia B, el gas recibe 1 254 J, encuentra el incremento de su energía interna. Rpta.

Rpta. 7.-

9.-

1

3

2

3

Rpta.

Rpta.

2

6.-

Qabsorbido = 100 J ; Qcedido = 70 J

Una máquina térmica de gas ideal trabaja con un ciclo de Carnot entre 227 °C y 127 °C. Durante el cual absorbe 6×106 cal, a la temperatura mayor. ¿Cuánto trabajo por ciclo, puede efectuar está máquina? 5,02×106 J

7.-

8.-

Una máquina térmica funciona siguiendo el ciclo de Carnot, tiene una eficiencia del 40%, cuando recibe 5×106 J desde la fuente de alta temperatura. ¿Qué cantidad de calor llega al foco frío? 3×106 J

Isobáricamente a la presión de 1 662 Pa, 5 moles de gas experimentan una expansión tal que su volumen se incrementa en 0,4 m3, si la temperatura inicial del gas es 15 °C, halle la temperatura final.

1 125 K

8 moles de gas ideal es comprimido isotermicamente a la temperatura de –73°C hasta que la presión absoluta se hace 10 veces mayor. Hallar el trabajo desarrollado por el gas [Ln(0,1) = –2,3].

Dos máquinas térmicas reversibles funcionan entre los mismos límites de temperatura, una desarrolla una eficiencia de 30%, la otra recibe 4 240 kJ, por minuto del foco térmico a alta temperatura.Determine la potencia desarrollada por la segunda máquina.

Rpta.

Rpta.

Rpta. 2.-

1 839 J

En el esquema, I y II son dos máquinas térmicas reversibles NI = 2NII, para los datos que se dan, calcular Tx Rpta.

31 °C

–30,58 kJ

10.-

5 °C

En la gráfica P – V se muestra el proceso ABC, de 2 moles de cierto gas monoatómico, encuentre el calor suministrado en todo el proceso. (CV = 12,54 J/mol⋅K) Rpta.


150 J

Cuando se suministran 468 J a 4 moles de N2, el gas realiza un trabajo de 50 J. Halle el incremento de temperatura que experimenta el N2 (CV = 20,9 J/mol⋅K). Rpta.

9.-

1.-

309 J

Una máquina con una producción de 300 J tiene rendimiento del 30%, trabaja a 10 ciclos. ¿Cuánto calor absorbe y cuánto cede en cada ciclo?

Rpta.

B

En un cilindro se introducen 64 g de O2 y en cierto proceso el gas hace un trabajo de 100 J, al final la temperatura queda aumentada en 5 °C. Halle el calor entregado en el proceso. Rpta.

bP − P gbV − V g

504 J

Un gas ideal experimenta un proceso a presión constante de 4×104 Pa desde un volumen inicial de 0,001 m3 hasta un volumen final de 0,005 m3. Si el calor transferido es de 310 J. Hallar la variación de la energía interna del gas en Joules (J).

Rpta. 10.-

5.-

Un gas ideal realiza un ciclo 1231. Hallar el trabajo realizado por el gas en dicho ciclo. Rpta.

8.-

3,5 MPa

418 J

21,2 kW

Capítulo

13

ELECTRICIDAD TEORÍA ELECTRÓNICA En esta sección se analizará las cualidades del electrón, para lo cual se tomará como muestra una gota de agua, para así obtener una explicación simple y sencilla. Supongamos que usted posee un súper microscopio capaz de aumentar las imágenes tanto como vuestra imaginación desee.

Una gota de agua (H2O).

La gota inicial se dividió en partículas.

Una partícula se dividió a su vez en partículas más pequeñas.

Esta división de partículas se puede seguir realizando, sin embargo llegará un momento en que la gotita sea tan pequeña que toda nueva división le hará perder Según la teoría cinético – molecular, una molécula de las características de agua. A esta partecita se le deno- agua está conformada por tres átomos ( 2 de hidrógeno y 1 de oxigeno): H2O. mina, Molécula.

Si analizamos uno de estos átomos, por ejemplo el de hidrógeno, se comprobará que éste es como un sistema solar (un Sol con un planeta que gira a su alrededor). Al planeta se le conoce como el electrón y al Sol como núcleo.


276 Dentro del núcleo se encuentra el protón (es) y los neutrones. Electrón : carga negativa Protón : carga positiva Neutrón : sin carga

2.-

statCoulomb (stC)

Equivalencia

+ +

= 0

1 C = 3×109 stC

OBSERVACIONES 1.-

Sistema Adicional

CUANTIFICACIÓN DEL ELECTRÓN Y PROTÓN

En el átomo el número total de electrones que giran alrededor del núcleo es exactamente igual al número de cargas positivas contenidas en el núcleo (estado neutro del cuerpo). Los números de protones, neutrones y electrones dependen del átomo del cuerpo en referencia.

MASA

CARGA

Electrón

9,02×10−31 kg

−1,6×10−19 C

Protón

1,66×10−27 kg

+1,6×10−19 C

Como se verá el electrón y protón tienen la misma carga pero de signo contrario; además:

ELECTRICIDAD

q = ne

Es el efecto que produce los electrones al trasladarse de un punto a otro. La palabra electricidad proviene del término elektron (en griego electrón) que significa ámbar.

Donde: q = carga del cuerpo e = carga del electrón n = número entero

CARGA ELÉCTRICA (q)

Ejemplo.- El siguiente cuerpo muestra la presencia de cuatro electrones y un protón; determinar el número “n”.

Es una propiedad fundamental del cuerpo, la cual mide el exceso o defecto de electrones. La carga fundamental, es la carga del electrón.

Cuerpo descargado

Cuerpo cargado negativamente

Cuerpo cargado positivamente

Unidades de carga eléctrica en el S.I. Coulomb (C)

Solución: El cuerpo muestra un exceso de electrones: q = 3e De donde se deduce que el número entero n es 3

Electricidad

277

INTRODUCCIÓN A LA ELECTROSTÁTICA

dos de sus órbitas e incorporarse al otro. El material que capta a los electrones tendrá carga negativa, mientras el material que pierde electrones adquirirá carga positiva.

Concepto de Electrostática Es una parte de la electricidad que se encarga de estudiar las cargas eléctricas en reposo. Conductor (buen conductor de la electricidad) Es aquel cuerpo en el cual las cargas eléctricas se mueven sin encontrar mayor resistencia; ejemplo: Los metales, el cuerpo humano, etc. Aislador o dieléctrico (mal conductor de la electricidad)

Algunos materiales que producen electricidad estática fácilmente son: el vidrio, el ámbar, la bakelita, ceras, franela, seda, rayón, etc., así tenemos: si se frota PVC con lanilla, la varilla gana electrones y se carga negativamente, mientras que la lanilla adquiere carga positiva.

Es aquel cuerpo en el cual las cargas eléctricas encuentran gran resistencia para poder moverse.

REPRESENTACIÓN:

ESTADOS ELÉCTRICOS DE UN CUERPO Después de ser frotados, ambos quedan cargados.

Un cuerpo en su estado natural tiene el mismo número de electrones que protones en el núcleo.

NOTA La Tierra es considerada como un gran manantial de electrones, por tener una inmensa cantidad de electrones.

ç Si un electrón recibe un exceso de energía, debido a un fenómeno externo, el electrón puede escaparse del átomo, entonces se habrá electrizado el cuerpo. El átomo tendrá mayor cantidad de protones que electrones, se habrá cargado entonces positivamente.

El caso contrario: el átomo puede recibir uno o más electrones de otro átomo, se cargará entonces negativamente.

FORMAS DE ELECTRIZAR UN CUERPO A)

Por frotamiento Si se frotan dos materiales entre sí, los electrones de uno de ellos pueden ser expulsa-

B)

Por Inducción Cuando un cuerpo cargado negativamente (inductor) se acerca a un cuerpo “conductor”, los electrones libres del conductor serán repelidos hacia el otro extremo, de manera que un lado del conductor (inducido) queda cargado positivamente y el otro lado negativamente.


278

C)

Por Polarización

¿Cómo funciona el electroscopio?

Cuando un cuerpo cargado positivamente por ejemplo (inductor) se acerca a un extremo de un cuerpo “aislador”, se produce un reordenamiento de las cargas en dicho aislador ya que se produce en él, un movimiento pequeño (menor que el diámetro atómico) por parte de los electrones.

El electroscopio funciona cumpliendo la cualidad de fuerzas de atracción y repulsión entre cuerpos cargados eléctricamente así como la conductividad en los metales. En el ejemplo se tomará una barra cargada positivamente, para hacer funcionar un electroscopio se puede ejecutarlo por “contacto” o “inducción”. A)

Por inducción.- Cuando la barra cargada positivamente se acerca a la bola de metal (sin tocarla), se producirá una inducción electrostática en el electroscopio. Los electrones serán atraídos por la barra trasladándose éstas a la bola de metal quedando las cargas positivas en las hojas, rechazándose entre si, por lo cual éstas se abrirán. Al alejar la barra del electroscopio, los electrones ubicados en la bola se trasladarán a las hojas quedando neutro dichas hojas, motivo por el cual éstas se cerrarán.

B)

Por contacto.- Cuando la barra cargada positivamente toca a la bola de metal, los electrones del electroscopio pasan a la barra creando en él una deficiencia de electrones quedando cargado positivamente; como quiera que ahora las láminas tienen cargas del mismo signo, se rechazarán y por lo tanto se abrirán. Al alejar la barra del electroscopio, éste quedará cargado positivamente (signo de la barra) y por lo tanto las hojas permanecerán abiertas (debido a la repulsión electrostática).

CONSERVACIÓN DE LA CARGA En la electrización de un cuerpo, las cargas eléctricas no se crean ni se destruyen, tan sólo sufren un intercambio de éstas, en otras palabras la carga total se ha conservado.

ANTES

DESPUÉS

EL ELECTROSCOPIO Es un instrumento que sirve para determinar la presencia o ausencia de cargas eléctricas de un cuerpo. Para esto, el cuerpo cargado se acerca o se pone en contacto a la esferita metálica, en esta situación las hojas metálicas se abrirán.

Electricidad

279

¿Cómo determinar el signo de una carga eléctrica empleando el electroscopio? Para ello en primer lugar hay que tener un electroscopio cargado cuyo signo se conoce. Supongamos que empleamos el electroscopio cargado positivamente. a)

Si las hojas se alejan.- Las hojas se abren más debido al incremento de la fuerza electrostática y ésta debido al aumento de cargas positivas para lo cual los electrones del electroscopio han debido escapar a la barra producto de una atracción de cargas eléctricas (cargas de signo contrario) lo cual significa que la barra tendrá carga positiva.

Electroscopio cargado positivamente.

b)

Si las hojas se abren más, la barra o cuerpo tendrá el mismo signo.

Si las hojas se acercan


Al conectar el electroscopio a Tierra, los electrones de ésta subirán y entrarán a dicho aparato neutralizando las cargas positivas.

Electroscopio cargado negativamente.

Al conectar el electroscopio a Tierra, los electrones del primero escaparán hacia Tierra hasta que el electroscopio logre ser descargardo.

PODER DE LAS PUNTAS Una superficie puntual tiene área muy pequeña y si está cargada, la densidad de carga eléctrica se hace máxima en dicha punta, tanto así que las cargas ahí acumuladas tienden a escaparse más o menos con gran fuerza, generando él llamado “viento eléctrico” capaz de apagar una vela. Una aplicación directa de este fenómeno es el pararrayos.


Si las hojas se cierran un tanto, la barra tendrá signo contrario (negativo).

¿Cómo descargar un electroscopio cargado eléctricamente? Para descargar un electroscopio cargado negativa o positivamente, bastará conectarlo a Tierra; ya que ésta tiene un gran manatial de electrones, de tal manera que ganar o perder electrones no difiere la carga total de la Tierra.


280

CARGA - CAMPO ELÉCTRICO

LEYES DE LA ELECTROSTÁTICA 1RA LEY (LEY CUALITATIVA) “Cargas del mismo signo se repelen y cargas de signos diferentes se atraen”.

R = F1, 2 + F1, 3 + F1, 4 Observar que la fuerza actúa a lo largo de la línea imaginaria que une las cargas.

CAMPO ELÉCTRICO

2DA LEY (LEY CUANTITATIVA) “La fuerza de atracción o repulsión qué existe entre dos cuerpos cargados es directamente proporcional a la carga de cada cuerpo e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa”. Se le llama también ley de Coulomb. F=

Es aquella región de espacio que rodea a una carga eléctrica y que está conformada por la materia en estado disperso. Este campo funciona como un transmisor mediante el cual una carga interacciona con otra que está a su alrededor.

KQ1Q2 d2

Carga de prueba(q)

Unidades F

Q

d

K

S.I.

N

C

m

9 × 109

Sistema adicional

dina

stC

cm

1

N − m2 C2

dina − cm2

bstCg

2

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN En el caso de la presencia de varias cargas, la fuerza resultante es la suma vectorial de las fuerzas debido a cada una de las cargas.

Carga ficticia que sirve para verificar si un punto está afectado del campo eléctrico generado por “Q”; si “q” sufre repulsión o atracción, significa que dicho punto está afectado del campo.

Electricidad

281

INTENSIDAD DEL CAMPO ELÉCTRICO (E ) Es aquella magnitud vectorial que nos indica cual es la fuerza que aplica el campo en un punto sobre la unidad de carga. Se le representa mediante un vector que tiene la misma dirección y sentido que la fuerza electrostática. Representación del campo eléctrico de una carga puntual positiva.

F E = q

E =

Representación del campo eléctrico de una carga puntual negativa.

KQ d2

Unidades de E en el S.I. Newton Coulomb

Otras Unidades:

dina statCoulomb

OBSERVACIÓN Si se presentan varias cargas y se desea calcular el campo eléctrico en un punto “P”; se aplica el principio de superposición.

LÍNEAS DE FUERZA Son líneas imaginarias creadas por Miguel Faraday y se utiliza para representar un campo eléctrico. Sus características son: − − −

− −

A)

En una esfera conductora maciza o hueca en “equilibrio electrostático”, el exceso de cargas eléctricas se distribuye sobre la superficie externa. Las cargas eléctricas se repelen entre ellas y los electrones libres se alejan entre si lo más que puedan.

ç Zona electrizada por frotamiento, inducción, etc.

Después de un lapso muy pequeño de tiempo las cargas eléctricas regresan a su estado de reposo pero ahora ubicadas en la superficie externa del cuerpo.

ç

−

Las líneas de fuerza comienzan en las cargas positivas y terminan en las negativas. El número de líneas que abandonan una carga puntual positiva o entran en una carga negativa es proporcional a la carga. Las líneas se dibujan simétricamente saliendo o entrando a la carga puntual. La densidad de líneas es proporcional al valor del campo. Las líneas de fuerza nunca se cortan. La tangente a la línea en cualquier punto es paralela a la dirección del campo eléctrico en ese punto.

CAMPO ELÉCTRICO EN UNA ESFERA CONDUCTORA


282 B)

En una esfera conductora maciza o hueca en “equilibrio”, el campo eléctrico en el interior de dicha esfera es cero, como no hay campo eléctrico, tampoco habrá líneas de fuerza en el espacio interno, estas empezarán a partir de la superficie externa y serán perpendicular a dicha superficie.

Si “E” fuese diferente de cero en el interior de la esfera, los electrones libres estarían en movimiento, lo cual contradice la condición del estado de reposo de las cargas eléctricas.

C)

Las líneas de fuerza son perpendicular a la superficies del conductor. Si tuviera una componente, las cargas se moverían sobre ella, lo cual no puede ser pues el cuerpo se encuentra en equilibrio electrostático.

Para cualquier punto que se encuentre fuera de la esfera, la intensidad de campo eléctrico es igual al de una carga eléctrica situada en el centro de la esfera. En el punto “P”: E=

KQ d2

Benjamin Franklin Nació en Boston, Estados Unidos, en 1706. En ese tiempo (siglo XVIII) era escaso el conocimiento sobre la electricidad. Fue entonces que Franklin, un periodista y autodidacta que había leído los escritos de los grandes científicos entre ellos los de Isaac Newton, empezó a interesarse por dicho tema recién a los 40 años de edad, paradójicamente con la historia de otros científicos que realizan la cumbre de sus investigaciones en plena juventud. Con él apareció una nueva rama de la ciencia después de Newton: La electricidad. Benjamín Franklin descubrió lo que hoy se conoce con el nombre de “conservación de la carga”, inventó el condensador plano paralelo, demostró que las nubes están eléctricamente cargadas, demostró también que el rayo es una descarga eléctrica, inventó el pararrayos. Todo en corto tiempo, ya que más tarde se dedicó a la política. Muchos afirman que Franklin no fue Científico puro, si no más bien inventor, sin embargo dichos inventos y demostraciones surgieron producto de una investigación científica. Falleció en 1 790 a los 85 años de edad.

Electricidad Ciencia y Tecnología

283

El peine atrae al cabello: atracción electr ostática electrostática Al peinarnos, generamos frotamiento entre el peine y el cabello, hasta llegar cargar electrostáticamente dicho peine. Al acercar el peine cargado al cabello, se producen fuerzas de atracción electrostática, haciendo erizar los pelos de la persona. Esta experiencia se hace más evidente en la sierra que en la costa, ya que en este último, la humedad neutraliza las cargas del peine.

Generador de Van de Graaff Este aparato es una máquina electrostática que sirve para producir cargas eléctricas extraordinarias en la superficie externa de una esfera conductora hueca. Para ello se hace uso de la propiedad de la distribución de cargas eléctricas en la superficie externa de una esfera conductora.

284


Copiadora Xer ox Xero El principio está basado en el uso de una placa o tambor recubierta con un material semiconductor y fotoconductor, es decir cuando dicha placa recubierta es cargada electrostáticamente, en la oscuridad dichas cargas permanecen estáticas, ya que la placa se comporta como un perfecto aislante. Cuando la luz ingresa e incide en la placa recubierta, ésta se convierte en material conductora e inmediatamente empezarán a fluir las cargas hasta descargarse la zona en contacto con la luz. Al colocar la “original” (papel con texto o dibujo, el cual se quiere copiar) frente a la placa recubierta, la luz pasa por la original y luego llega a dicha placa; la zona donde incide la luz se hará conductora y por tanto se descargará, mientras que la zona donde no llega la luz seguirá cargada.

Luego de esto, la placa es bañado por un polvo negro (toner) el cual se sentirá atraído por las cargas positivas y quedaran atrapados por ésta, formándose así la figura o texto deseado.

Finalmente se coloca sobre la placa un papel el cual se cargará positivamente por el lado posterior; mediante un proceso de inducción electrostática, el otro lado del papel atraerá al toner de la placa y la figura o texto se trasladará a dicho papel; la imagen se fija al papel por acción del calor.

Electricidad

285

TEST 1.-

Entre cargas de electricidad estática. a) b) c) d) e)

2.-

Los negativos atraen a los positivos. Los negativos atraen a los negativos. Los negativos repelen a los positivos. Los positivos atraen a los positivos. Los negativos a veces repelen a los positivos.

Cargado negativamente. Cargado positivamente. Cargado positiva y negativamente. No tiene carga. Faltan datos.

Considere dos cargas (Q1 > Q2) como se indica: ¿Dónde se debe colocar una tercera carga “q” para que quede en equilibrio sobre la línea que une las cargas.

a) b) c) d) e)

Si un objeto tiene 3 cargas negativas y 2 cargas positivas, está: a) b) c) d) e)

3.-

7.-

8.-

Un cuerpo “A” rechaza a un grupo de sustancias, otro cuerpo “B” rechaza a otro grupo de sustancias, pero las sustancias de ambos grupos se atraen entre sí; entonces señale lo incorrecto. a) b) c)

Gana electrones. Pierde electrones. Ni a ni b. Ya sea a ó b. Cumple la ley de la inercia.

d) e) 9.-

Protones. Electrones. Electrones libres. Protones libres. Neutrones.

indicar lo incorrecto: a) b) c)

Al acercar un cuerpo electrizado negativamente a una esferita de un péndulo eléctrico, dicha esferita es repelida. Entonces la esferita sólo podría:

d) e)

a) b) c) d) e) 6.-

A y B están cargados positivamente. A y B están cargados negativamente. A está cargado positivamente y B negativamente o viceversa. A está neutro y B está cargado positivamente o viceversa. A y B están polarizados o descargados.

Se cree que una corriente eléctrica es un movimiento de: a) b) c) d) e)

5.-

2

Un objeto tendrá una carga eléctrica si: a) b) c) d) e)

4.-

En el punto medio de la distancia que las separa. Mas cerca de Q entre ambas cargas. 1 Más cerca de Q entre ambas cargas. 2 A la izquierda de Q . 1 A la derecha de Q .

Estar cargada positivamente. Estar cargada negativamente. Estar electrizada o neutra. Estar neutra. Ninguna de las anteriores.

Si un cuerpo se carga positivamente:

Un electroscopio está cargado positivamente, si se le acerca un cuerpo, las hojas disminuyen su abertura ¿Qué carga cree que existe en el cuerpo?

a) b) c) d) e)

a) b) c) d) e)

Ganó protones. Perdió peso. Aumentó de peso. No contiene iones positivos. Ninguna de las anteriores.

10.-

En electricidad: “Tierra”, actúa como un inmenso manantial de electrones. Si un cuerpo cargado positivamente se pone a Tierra aumenta su peso y queda neutro. El aire se convierte en semi-conductor con la humedad. En las fábricas de papel se acostumbra humedecer el ambiente, para evitar los incendios. Con una varilla cargada positivamente se toca a un cuerpo pequeño aislado y descargado, dejándolo luego con carga positiva, finalmente la varilla queda necesariamente con carga negativa.

Positiva solamente. Negativa solamente. Negativa o neutra. Positiva o negativa. No se puede saber.


286


problemas de aplicación Dos cargas puntuales Q1 = 4×10−6 C y Q2 = -8x10−6 C, están separadas 4 metros. ¿Con qué fuerza se atraen?

o Por el teorema de Pitágoras: R=

2

2

b300g + b400g

⇒ R = 500 N

Solución: 3.-

o Datos: Q1 = 4 × 10 −6 C , d = 4 m Q2 = 8 × 10 −6 C , K = 9 × 109 N × m2 / C2

Se tienen tres cargas puntuales como se muestra en la figura: Q1 = (25/36)×10−4 C Q2 = 4×10−5 C Q3 = 4×10−4 C Calcular la fuerza resultante que actúa sobre Q3.

o Luego: F=

Solución:

KQ1Q2 d2

=

9 × 109 8 × 10 −6 4 × 10 −6

e

je

j

2

b 4g

F = 18 × 10 −3 Newton

NOTA El signo de la carga eléctrica sólo se usa para determinar si las fuerzas “F” son de atracción o repulsión. 2.-

Se tienen 3 cargas como muestra la figura: Q1 = 10−3 C; Q2 = 3×10−4 C y Q3 = 16×10−4 C. Calcular la fuerza resultante en Q1.

KQ1Q3

F1, 3 =

2

b5g

9 × 109 =

FG 25 × 10 H 36

−4

IJ e4 × 10 j K −4

25

F1, 3 = 10 N F2, 3 =

KQ2Q3 2

b 4g

=

9 × 109 4 × 10 −5 4 × 10 −4

e

je

j

16

F2, 3 = 9 N o Aplicando el método del paralelogramo: R= Solución: F1, 2 =

KQ1Q23 32

=

9 × 109 10 −3 3 × 10 −4

e je

R=

j

9 4.-

F1, 3 =

KQ1Q23 62

F1, 3 = 400 N

=

9 × 10 10

−3

−4

e je16 × 10 j 36

1, 3

2

2, 3

2

1, 3

2, 3

2

R = 235 N

F1, 2 = 300 N 9

2

eF j + eF j + 2eF jeF j cos 37° b10g + b9g + 2b10gb9gFGH 45 IJK

Se tiene una carga puntual: Q = 4×10−8 C. Calcular la intensidad de campo eléctrico a 2 m de distancia como muestra la figura.

Electricidad

287

Solución:

B

o Datos: Q = 4×10−8 C ; d = 2 m ; K = 9×109 N×m2/C2

1.-

problemas complementarios En una recta se encuentran tres cargas: una positiva q y dos negativas: −Q. ¿Para que relación de valores de las cargas, estas últimas estarán en equilibrio? Solución: o Para el equilibrio “q” deberá estar entre ambas cargas negativas.

E=

KQ

E=

Luego:

d2

9 × 109 × 4 × 10 −8 2

b2g

o Analizando las fuerzas electrostáticas

E = 90 N / C 5.-

Se tienen dos cargas: Q1 = 5×10−6 C y Q2 = −2,5×10−6 C como se muestra en la figura; calcular la intensidad de campo eléctrico en el punto “P”.

o En la partícula (1): F3, 1 = F2 , 1 =

KQ2

b2dg

2

........ (α)

o En la partícula (2): Solución:

F3 , 2 = F1, 2 =

o Para determinar el sentido de E2 y E1, se toma una carga de prueba (+) y se analiza si hay atracción o repulsión en este punto con respecto a las otras cargas, el sentido de “E” coincidirá con el de la fuerza eléctrica.

KqQ ........ (β) d2

o (α) = (β) KQ2

b2dg

2

=

KqQ d2

q 1 = Q 4

2.-

ET = E1 + E2 Siendo: E = ET =

KQ1 2

+

KQ d2

Solución:

KQ2 2

b1g b2, 5g 9 × 10 e5 × 10 j 9 × 10 e2, 5 × 10 j = + b1g b2, 5g −6

9

ET

Se tienen dos cargas “+q” y “+4q” separadas una distancia “d”; en la recta que las une se ubica una tercera carga, de tal manera que en dicha condición el sistema esté en equilibrio. Calcular el signo, la magnitud y la posición de esta tercera carga. Inicialmente el sistema está en equilibrio.

2

ET = 45 × 103 + 3, 6 × 103 E T = 48 600 N / C

−6

9

2

o Analizando las diversas posiciones de “Q”, ésta deberá situarse entre q y 4q siendo su signo negativo, para de este modo conseguir el equilibrio del sistema.


288 o Analizando las fuerzas electrostáticas en la carga “3”.

4.-

F1, 3 = F2, 3

b g bd − x g b d − x g = b 2x g KqQ

=

2

x

K 4q Q

⇒

2

2

2

bd − xg

2

= 4 x2

⇒ d = 3x ó d = − x (no cumple )

x=

Para mantener el equilibrio de la barra, determinar la magnitud de la carga “q”; si: d = 0,6 m y W = 160 N

Solución:

d 3

o Analizando la fuerza electrostática entre (−q) y (+q): F=

o Analizando las fuerzas electrostáticas en la carga“1”. F2 , 1 = F3 , 1

b g = KqQ FG dIJ H 3K

Q=

⇒ Q=

2

4 q 9

2

b 0 , 6g

=

9 × 109 q2

b 0 , 6g

2

F = 25 × 109 q2 ......... (1)

Kq 4 q d2

Kq2

4 q 9

o Analizando el equilibrio de la barra: ΣMo = 0

b g

bg

F 2L − 160 L = 0

Signo negativo

F = 80 N

3.-

Si no existe rozamiento y el sistema está en equilibrio, determinar la relación de “Q” con “M” y con “d”.

o Reemplazando en (1): 80 = 25 × 109 q2 ⇒

5.Solución: o Analizando (−Q)

D.C.L. (−Q)

o Por el principio de la conservación de la carga, se establece un flujo de electrones hasta que se alcanza el equilibrio eléctrico; las cargas se distribuyen proporcionalmente al radio y como estos son iguales, las nuevas cargas serán también iguales.

F = mg + mgsen 30°

2

d

3 = mg ..... (1) 2

o Analizando (+Q)

Tres esferas conductoras del mismo radio poseen cargas: +90 C, −20 C, +20 C, luego de juntarlas y separarlas, hallar la carga de la tercera esfera. Solución:

ΣFx = 0

KQ2

q = 0 , 565 × 10 −4 C

D.C.L. (+Q)

ΣFx = 0 o

F + mgsen 30° = Mg F = Mg − KQ2 d2

90 − 20 + 20 = q + q + q

mg 2

6.-

mg ..... (2) = Mg − 2

o Despejando mg de (1) y reemplazando en (2): KQ2 2

d

= Mg −

ΣQinicial = ΣQfinal

KQ2 2

3d

⇒ Q=

d 3Mg 2 K

⇒

q = 30 C

Determinar la posición de una carga situada en la línea recta que une dos cargas concentradas de +50 y −18 stC separadas 40 cm de tal manera que todo el sistema se encuentra en equilibrio horizontal.

Electricidad

289

Solución:

Solución:

o Analizando las posibles alternativas:

o Caso I

D.C.L. (carga): Caso I

T1 sen 45° = Eoq ... (1) T1 cos 45° = mg ... (2)

No existe equilibrio

(1) : (2) tan 45° =


Eo q ....... (α) mg

o Caso II

D.C.L. (carga): Caso II

T2 sen 53° = Eq ... (3) T2 cos 53° = mg ... (4)


(3) : (4) tan 53° =

Eq ....... (β) mg

o (α) : (β) tan 45° Eo q = tan 53° Eq

Posible equilibrio F3 , 1 = F3 , 2

o En el punto (3): KqQ1 x2 50 x

2

=

=

E = 120

KqQ2 2

8.-

bx + 40g 18 2

bx + 40g

⇒

x = − 100 cm

FG 4 IJ H 3K

tan 53° tan 45°

⇒

E = Eo

⇒

E = 160 N / C

En la figura mostrada, el carro acelera a 4 m/s2 (constante). Calcular la intensidad del campo eléctrico para que la masa de 2,5 kg se mantenga en la posición indicada (q = −5 Coulomb).

o Interpretando la respuesta:

60 cm a la derecha de (2) 7.-

Solución:

Una esfera conductora muy pequeña suspendida de un hilo aislante es usada para medir la intensidad de un campo eléctrico, cuando se le coloca en un campo cuya intensidad es Eo = 120 N/C, se observa que el hilo forma un ángulo de 45° con la vertical. Calcular la intensidad del campo E si el sistema (hilo + esfera) se desvía un ángulo de 53° respecto a la vertical.

o Si no existiese “F” la masa “m” se desplazaría hacia atrás. o Horizontalmente (en la masa “m”): FR = ma F = ma

b g b gb g

E 5 = 2, 5 4 9.-

Caso I

Caso II

⇒

Eq = ma

⇒ E = 2N/ C

Se tiene un campo eléctrico uniforme vertical hacia abajo cuya intensidad es igual a 5 N/C. Si se lanza horizontalmente una carga eléctrica de 2×10−7 C, con una velocidad igual a 100 m/s. Hallar después de qué tiempo llega a la placa inferior que se muestra, si inicialmente estaba a una altura de 50 m. Masa de la carga = 0,50 kg ; g = 10 m/s2


290 10.-

Una esferita de 0,5 kg de masa y carga 0,5×10−5 C, puede girar en un plano vertical suspendida de un hilo de 1 metro de longitud. En el centro del círculo se encuentra una segunda esferita, cuya carga es igual en valor y en signo a la esferita que gira. ¿Qué velocidad horizontal mínima hay que darle a la esferita en su posición más alta para que pueda realizar una vuelta completa? (g = 10 m/s2). Solución:

Solución: o Verticalmente: 2da ley de Newton. ΣF = ma mg + F = ma

⇒

mg + Eq = ma −7

b0, 5gb10g + b5ge2 × 10 j = b0, 5ga a = 10 , 000 002 m / s2

o En “A”: Fcentrípeta =

o Verticalmente: M.R.U.V. h = 50 m

,

a = 10 , 000 002 m / s

vo = 0

,

t = ? ( s)

2

mg + T − F =

mg −

1 10 , 000 002 t 2 2

b

t = 3,16 × 10

g

−3

R

mv A2

b1g

o Ahora, para que vA sea mínima “T” deberá ser cero.

1 h = v ot + at 2 2 50 =

mv A2

Kqq 2

b1g

= mv A2

v A = 10 −

s

⇒

9 × 109 10 −5

vA = g −

Kq2 m

2

e j

⇒ v A = 2, 86 m / s

0, 5


problemas de aplicación Q1 = −24×10−19 C Q2 = 64×10−19 C Q3 = 19,6×10−19 C

Determine que carga poseen los siguientes cuerpos según el número de electrones en defecto o exceso. 1030 electrones (defecto) 4×1023 electrones (defecto) 15×1020 electrones (exceso) 20×1015 electrones (defecto)

⇒ ………. ⇒ ………. ⇒ ………. ⇒ ……….

Rpta.

3.Rpta.

16×1010 C 64×103 C −240 C 32×10−4 C

Exprese cada una de las siguientes cargas como un número de electrones en exceso o defecto:

………. ………. ……….

15 electrones (exceso) 40 electrones (defecto) No puede ser carga

Se tienen dos cargas de 2 µC y 3 µC respectivamente que están separadas 3 mm. ¿Cuánto vale la fuerza de interacción electrostática? Rpta.

4.2.-

⇒ ⇒ ⇒

6×103 N

Una barra de cierto material descargada pierde 50 electrones, determinar la carga que adquiere. Rpta.

8×10−18 C

Electricidad 5.-

Un trozo de plástico gana 200 electrones, determinar la carga que adquiere: Rpta.

6.-

1.-

q=

2.-

10.-

E=

q=

3d Md K 5

KQ 2 4L2

3.-

En la figura mostrada, hallar la inclinación “α” del plano inclinado, para que el sistema se encuentre en equilibrio, si se sabe: W1 = 4W2 = 1012 N, q2 = q3 = 1 C, q1= 0; x = 0,2 m y no hay rozamiento.

Rpta. sen α = 0,475

100 N/C

Una esférita de peso 4×10−4 N, de carga q = −10−6 C, unida a un hilo de seda se encuentra suspendido de un punto fijo, dentro de un campo homogéneo de intensidad “E”. Sabiendo que la esferita se encuentra en equilibrio, determinar “E”.

Rpta.

No existiendo rozamiento y estando el sistema en equilibrio, hallar “q” para que se cumpla dicho estado. (en términos de M y d).

Rpta.

Si, la figura muestra la carga “Q” que genera en el centro del cuadrado un campo cuya intensidad es 25 2 N/C, determinar la intensidad de campo resultante en el centro del cuadrado. Rpta.

mga2 KQ

300 N/C

q = 8 2 µC 9.-

La figura muestra dos cargas “Q” y “q” de masas “M” y “m” en equilibrio, determinar la tensión en la cuerda que las une. Hallar “q” en términos de “Q”.

T = mg

En la figura mostrada, determinar la intensidad de campo “E” en el vértice (A), si Q = 32 µC, hallar la magnitud de “−q” para que el campo sea horizontal. Rpta.


Rpta.

25 337 Kq2 576 d2

¿Cuál debe ser la intensidad de un campo eléctrico capaz de sostener una carga de 5 g que posee una carga de (−5/3)×10−4 C Rpta.

8.-

q = −32×10−18 C

B

En la figura se observa tres cargas en los vértices de un triángulo rectángulo. Determinar la fuerza resultante en la carga ubicada en el vértice del ángulo recto. Q = q/4 Rpta.

7.-

291

4.-

Se muestran dos esferas pequeñas de masas y cargas iguales, si el peso de las esferas es de 7 N, calcúlese la carga para el equilibrio: r = 5 cm; sen α = 7/25

300 N/C

Rpta.

4,96×10−6 C


292 5.-

Dos esferas conductoras eléctricas idénticas tienen cargas de signos contrarios y se atraen con una fuerza de 0,108 N; cuando se encuentran separadas una distancia de 0,5 m. Las esferas se ponen en contacto y luego se separan y se encuentra que a la misma distancia se separan con una fuerza de 0,036 N. ¿Cuáles eran las cargas iniciales? Rpta.

6.-

Q1 ≅ −3×10−6 C ; Q2

8.-

Rpta. E=

= 1×10−6 C

Dos cascarones esféricos conductores, de cargas +28 C y −8 C, con radios “r” y “2r”, deben hacer contacto según los casos (a) externamente, (b) internamente. ¿Qué cargas tendrán los cascarones después del contacto, según sea el caso?

En la figura, hallar la intensidad del campo uniforme, para que la esfera de carga “Q”(+) y masa “m”, se encuentre en equilibrio.

9.-

mg 3 3Q

Tres cargas son colocadas como se muestra en la figura en los vértices A, C y D. Calcule q si el campo eléctrico en B sigue la dirección mostrada.

Rpta. q = 7,5 2 C

(a) 10.-

Rpta.

(a) q1 = 4 C q2 = 16 C

El electrón entra a una región entre dos placas cargadas con un ángulo de 37°. Su velocidad inicial es 5×10−6 m/s y está a 2 cm de la placa positiva, determinar: a) b)

(b) q1 = 0 q2 = 20 C

Intensidad de campo eléctrico. El tiempo en que tarda en golpear la placa.

Considerar despreciable la acción de la gravedad.

(b) 7.-

Dos cargas puntuales de 4 C y 9 C se repelen con una fuerza de 0,012 5 N. Hallar la intensidad de campo eléctrico en el punto medio de la distancia que las separa. Rpta.

6,94×10−3 N/C

Rpta.

(a) 710,9 N/C

(b) 4×10−8 s

Electricidad

293

POTENCIAL ELÉCTRICO CONCEPTO DE POTENCIAL ELÉCTRICO El potencial eléctrico en un punto de un campo eléctrico se define como el trabajo que se debe realizar para transportar la unidad de carga desde el infinito hasta dicho punto del campo eléctrico. El potencial eléctrico es una magnitud escalar.

Equivalencia 1 stv = 300 v

DIFERENCIA DE POTENCIAL Es el trabajo que se debe realizar para llevar una carga de prueba desde un punto hasta otro, dentro de un campo eléctrico. Los dos puntos están dentro del mismo campo.

VB − VA =

VP =

W∞P q

La fuerza F = Eq, es conservativa, motivo por el cual el trabajo no depende de la trayectoria.

VP : potencial en el punto “P” W∞P : trabajo realizado para llevar “q” desde el infinito hasta “P” q : carga de prueba Desarrollando la expresión y asumiendo que la carga “Q” es puntual, se tiene : VP =

VP K Q d

: : : :

WAB q

CASOS PARTICULARES DEL TRABAJO QUE HAY QUE REALIZAR PARA TRASLADAR UNA CARGA. A)

KQ d

potencial en el punto P constante de Coulomb carga puntual generadora del campo eléctrico distancia de la carga “Q” al punto en mención

Al trasladar la carga q(+) desde “A” hasta “B”, el campo eléctrico ayuda a dicho traslado, sin embargo la fuerza de repulsión entre Q(+) y q(+) también ayudan, luego el trabajo será positivo W(+).

W(+)

Unidades V S.I.

voltio (v)

Q

d

C

m

9 × 109

cm

1

Sistema statvoltio (stv) stC adicional

K N − m2 C

2

dina − cm2

bstCg

2

B)

Para trasladar la carga q(−) desde “A” hasta “B”, si bien es cierto el campo eléctrico ayuda a esto, la fuerza de atracción entre Q(+) y q(−) se opone al movimiento, luego el trabajo será negativo: W(−).


294

W(−)

C)

−

igual a la carga, multiplicada por la diferencia de potencial entre ambas superficies. El trabajo realizado por el campo para transportar una carga, no depende de la trayectoria que siga.

Al llevar la carga q(+) desde “A”hasta “B”, el campo eléctrico se opone al movimiento, además entre Q(-) y q(+) existe una fuerza de atracción que se opone al movimiento, luego el trabajo será negativo: W(-). W(−)

La Batería como Fuente de Diferencia de Potencial Batería.- Dispositivo generalmente químico que transforma la energía de reacciones químicas en energía eléctrica.

D)

Al llevar la carga q(−) desde “A” hasta “B”, el campo eléctrico se opone al movimiento, pero entre Q(−) y q(−) existe una fuerza de repulsión que ayuda al movimiento, luego el trabajo será positivo: W(+).

Comúnmente el signo de los terminales no aparece marcada en una batería, pero se acostumbra a pintar de rojo el terminal positivo.

W(+)

POTENCIAL ELÉCTRICO DE UNA ESFERA CONDUCTORA A)

SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES

V=

Son aquellas superficies de un campo eléctrico a un mismo potencial. Con respecto a estas superficies se pueden decir:

−

−

El trabajo realizado por el campo para llevar una carga desde el punto de la superficie equipotencial hasta otro punto de la misma superficie es igual a cero. El trabajo realizado por el campo para llevar una carga desde una superficie hasta otra es

El potencial en cualquier punto dentro de la esfera y en su superficie tiene un mismo valor e igual a:

KQ R

VA = VB = VC

B)

Para puntos fuera de la esfera la carga total se considera en el centro de la esfera. VD =

KQ d

Electricidad

295

CAP ACIT ANCIA CAPACIT ACITANCIA

Equivalencias

INTRODUCCIÓN De lo estudiado hasta el momento es fácil entender que un conductor aislado tendrá un potencial V, siempre y cuando se le proporcione una carga Q. Ahora, si consideramos un conductor aislado con un potencial V1, bajo determinada carga electrostática Q1, al llevarle a un potencial V2, llegará rápidamente a un segundo estado de equilibrio caracterizado por una carga Q2, de manera que: Q1 Q2 = V1 V2 Análogamente, para estados de equilibrio sucesivos, la relación de la carga al potencial se mantiene siempre constante: Q1 Q2 Q3 = = = ... ... = C V1 V2 V3

1 f = 9×1011 stf 1 µ f = 10−6 f 1 µµ f = 10−12 f

CONDENSADORES ELÉCTRICOS Son aquellos dispositivos constituidos por dos conductores pero de cargas con signo contrario, separados una pequeña distancia, de tal manera que entre ellos se origina un campo eléctrico que es prácticamente constante. Estos dispositivos se utilizan fundamentalmente para obtener una gran capacidad así como para almacenar energía eléctrica: Pueden ser de diversas formas; planas, cilíndricas, etc. Los condensadores se dividen en dos grandes grupos: fijos y variables.

A esta relación constante “C” que caracteriza al conductor en cuestión, se le llama capacidad del conductor. Su valor depende del tipo de material así como de la forma geométrica del conductor.

CAPACIDAD ELÉCTRICA Llamada también “capacitancia”, es una magnitud escalar que indica cual es la carga que puede almacenar un conductor por unidad de potencial. C =

Q V

C : capacidad eléctrica Q : carga eléctrica V : diferencia de potencial

A)

Condensadores Planos

V = diferencia de potencial V = V(+) – V(−)

Unidades C

Q

V

S.I.

faradio (f )

C

v

Sistema adicional

statfaradio (stf )

stC

stv

V = Ed

C=

A d

Q V

W=

QV CV2 Q2 = = 2 2 2C

C=


296

B)

C=

Condensadores Cilíndricos

C)

Asociación de Condensadores en Paralelo Dos o más condensadores están en paralelo cuando están conectados a una misma diferencia de potencial.

2πε oL Ln b / a

b g qE = q1 + q2 + q3 VE = V1 = V2 = V3

C)

Condensadores Esféricos

FG R IJ HR −R K

C = 4 πε oR1

2

2

1

ASOCIACIÓN DE CONDENSADORES

CE = C1 + C2 + C3

CONDENSADORES CON DIELÉCTRICO Como recordará Ud. dieléctrico es una mal conductor de la electricidad. Faraday descubrió que cuando el espacio entre los dos conductores de un condensador se ve ocupado parcial o totalmente por un dieléctrico, la capacidad aumenta.

Con el fin de obtener condensadores con capacidades mayores o menores, que nos permitan almacenar mayor o menor cantidad de carga se suelen agrupar éstos en conjuntos llamados baterías de condensadores, los que más se usan son la asociación en serie y en paralelo.

A)

Asociación de Condensadores en Serie Dos o más condensadores están en serie, cuando la placa positiva de un condensador, se encuentra interactuando con la placa negativa del otro y así sucesivamente.

Entre los casos más comunes tenemos: 1° Caso .- Supongamos que se conecta un condensador de capacidad Co a una pila que lo carga a una diferencia de potencial Vo, obteniendo una carga Qo = CoVo en las placas. Si la pila se desconecta a continuación y se inserta un dieléctrico en el interior del condensador, rellenando todo el espacio entre las placas, la diferencia de potencial disminuye hasta un nuevo valor: V = Vo /K y E = Eo /K; pero la carga original Qo está todavía sobre las placas de modo que la nueva capacidad es: C=

qE = q1 = q2 = q3

VE = V1 + V2 + V3 1 1 1 1 = + + CE C1 C2 C3

VE: diferencia de potencial entre A y B

Qo Qo = = KCo ⇒ C = KCo vo Vo K (K: constante del dieléctrico)

FG IJ H K

2° Caso.- Si se inserta el dieléctrico mientras la pila sigue conectada, ésta deberá suministrar más carga para mantener la diferencia de potencial original. La carga total sobre las placas es entonces Q = K Qo, de manera que la nueva capacidad es: C=

Qo KQo = = KCo (K: constante del dieléctrico) Vo Vo

C = KCo En ambos casos la capacidad se ve aumentada en el factor K.

Electricidad Ciencia y Tecnología

297

El ra yo ray

Las cargas eléctricas van escapando de Tierra a su atmósfera, gracias a la humedad.

Una nube puede adquirir carga positiva y otra cerca de ella negativa, esto hace que entre ellas se produzca una chispa (rayo), debido a una gran diferencia de potencial.

Una nube se puede cargar, ésta produce cargas de signo contrario en la Tierra, provocando millones de voltios de diferencia de potencial entre nube y Tierra, produciéndose el rayo, éste atraviesa el espacio hacia la Tierra.

Cuando entre dos cuerpos existe una diferencia de potencial mayor de 10 000 voltios se produce la chispa. El rayo trae consigo un ruido ensordecedor que es el trueno, producido por los cambios bruscos de densidad del aire en el trayecto de la chispa. Todo relámpago busca el camino más corto para llegar a Tierra, por lo tanto, los objetos se hallan más expuestos a los rayos, cuando más sobresalen a los objetos cercanos y mejor comunicados con la Tierra (chimeneas, torres, árboles, puertas metálicas, antenas, etc.). El rayo tiende a saltar de una a otra pieza metálica, vigas columnas, cerrojos, etc). a través de los aisladores que la separan (ladrillo, madera, etc.). Esto indujo a Benjamín Franklin a analizar el poder de las puntas e inventar el pararrayos. El 95% de los rayos son descargas eléctricas que parten de la Tierra hacia la nube y sólo el 5% restante son descargas producidas de la nube hacia la Tierra. ¿Cuánto cuesta un ra yo? ray Un rayo tiene un poder tan potente que en un tiempo tan pequeño (aproximadamente una milésima de segundo), su energía promedio es de 1 400 kiloWatt – hora (1 400 kW-h) cuyo costo significa $ 200,00 (doscientos dólares americanos). Es fácil deducir entonces que este fenómeno es una fuente para generar energía eléctrica en zonas donde se frecuenta el rayo.

298


El pararra yos pararray El pararrayos, es un instrumento que sirve para evitar que un rayo caiga sobre una vivienda, edificio, puente, etc. y que lo destruya. Consiste en una barra metálica con el extremo superior en punta. Este debe estar comunicado a Tierra por un cable de cobre que llegará al pozo de Tierra, su explicación es la siguiente. Caso a: la nube cargada, carga por inducción la superficie de la Tierra y las partes metálicas del pararrayos, especialmente las puntas para finalmente escapar por estos. Caso b: si ya se produjo el relámpago, será más probable que el rayo caiga en las puntas del pararrayos que en otra zona próxima; las cargas pasarán a la Tierra.

El condensador v ariab le variab ariable

En un condensador variable de aire; se tiene un conjunto de capacitores, en el que al hacer girar el eje, el área neta entre las placas varía, cambiando así la capacidad total a voluntad. En este tipo de condensador un conjunto de placas permanece fijo mientras que el otro puede estar en movimiento.

Los condensadores En la actualidad se usan condensadores cilíndricos, planos etc. el tamaño no es problema ya que las hay también muy diminutos los cuales incluso llevan su propio dieléctrico.

Electricidad

299

TEST 1.-

Si varias pilas idénticas se conectan en serie, el voltaje resultante es igual a : a) b) c) d) e)

2.-

III.- Un cuerpo está en potencial cero si conectado a Tierra las cargas eléctricas no van ni vienen de Tierra.

El voltaje de una pila. La mitad del voltaje de una pila. El doble del voltaje de una pila. La suma de los voltajes de todas las pilas. π.

Respecto a un conductor metálico señalar verdadero o falso:

a) b) c) d) e) 6.-

I.

En una esfera, el potencial en la superficie es mayor que en su interior. II. En una esfera, el potencial en la superficie es igual que en su interior. III. El potencial fuera de una esfera conductora cargada es mayor que en su superficie. a) b) c) d) e)

b)

c) d)

e)

7.3.-

El potencial eléctrico en una esfera conductora es ....................... proporcional a su radio y ....................... proporcional a la carga distribuida en él. a) b) c) d) e)

4.-

Directamente – Inversamente Inversamente – Directamente Inversamente – Inversamente Directamente – Directamente N.A.

e) 8.-

b) c) d) e) 5.-

Las cargas no requieren trabajo para moverse sobre ella. Para mover una carga entre dos puntos sobre ella se realiza trabajo. Para mover una carga entre dos superficies equipotenciales no se realiza trabajo. Las líneas de fuerza no son siempre perpendiculares a las superficies equipotenciales. N.A.

Señalar verdadero o falso según las proposiciones: I.-

Las cargas negativas viajan del mayor potencial al menor potencial. II.- Las cargas positivas viajan del mayor potencial al menor potencial.

Los dieléctricos son materiales no conductores eléctricos. La capacidad equivalente de dos condensadores en paralelo es mayor que la capacidad equivalente de éstos dos capacitores en serie. Faradio = Coulomb × (voltio)−1 El potencial eléctrico de un conductor es directamente proporcional a su carga en condiciones electrostáticas. De las proposiciones anteriores todas son correctas.

Un condensador plano está cargado y sus placas se encuentran desconectadas de la batería. Suponga que reducimos luego la distancia entre las armaduras. En estas condiciones señale ¿cuál de las afirmaciones siguientes está equivocada? a) b) c) d)

Sobre las cargas en superficies equipotenciales, podemos afirmar: a)

Indicar la proposición incorrecta: a)

VFV VVV FVF FFF FFV

VVV FVF FFF FVV FFV

El voltaje entre las armaduras disminuye. La capacidad del condensador aumenta. La carga en las placas no varía. La energía almacenada en el condensador aumenta. Todas las anteriores son correctas.

Un capacitor plano con aire entre sus armaduras se ha desconectado de una batería. Suponiendo que el condensador se ha sumergido totalmente en agua pura (aislante). Señalar ¿cuáles de las afirmaciones siguientes son correctas? I.- La carga en las armaduras no cambia. II.- El campo eléctrico entre las armaduras disminuye. III.- El voltaje entre las armaduras disminuye. a) b) c) d) e)

I II I y II Todas son correctas. Ninguna es correcta.


300 9.-

Se carga un capacitor plano uniendo sus armaduras a los bornes de una batería. Suponiendo que se desligara al capacitor de la batería antes de aproximar sus armaduras, entonces es incorrecto que:

10.-

Un capacitor sin dieléctrico se mantiene conectado a los extremos de una batería de f.e.m. constante. Al introducir un dieléctrico de constante dieléctrica K.... a)

a) b) c) d) e)

La intensidad del campo entre las armaduras no varía. El voltaje entre las armaduras disminuye. La capacidad del capacitor aumenta. La carga en las armaduras no varía. Todas las afirmaciones anteriores son incorrectas.

b) c) d) e)

La carga del capacitor aumenta y la capacidad disminuye. La carga del capacitor no varía. La capacidad y la energía almacenada aumenta K2 veces. La capacidad y la energía almacenada aumenta K veces. La energía almacenada disminuye K veces.


problemas de aplicación Se tiene una carga de Q = 5×10−5 C, calcular el potencial en el punto “A”.

3.-

Hallar el trabajo realizado para mover la carga qo = 3C desde “A” hasta “B”, Q = 6 C

Solución: o En el punto A:

Solución:

Q = 5×10−5 C K = 9 × 10

9

N×m

,

d= 3m

,

VA = ? (voltio)

2

C2

VB − VA =

2.-

3

WAB = ⇒ VA = 15 × 10 4 voltios

Solución:

3 × 9 × 109 × 6 4

4.-

Se tienen cuatro condensadores como se muestra en la figura. Determinar la capacidad equivalente entre A y B.

Solución:

V = VB − VA = ?

ç

V = Ed

gb g

V = 1 000 2

g

WAB = 40 , 5 × 109 J

Entre dos puntos A y B de una recta separados 2 m, existe un campo eléctrico de 1 000 N/C, uniforme dirigido de A hacia B. ¿Cuál es la diferencia de potencial entre A y B?

b

b

WAB = qo VB − VA

FG KQ − KQ IJ = 3FG KQ IJ H2 4K H4K

−5

e9 × 10 je5 × 10 j 9

⇒

WAB = 3

KQ VA = d VA =

WAB qo

⇒ V = 2 000 voltios

Electricidad

301

o C1 : Proviene de asociar dos condensadores que se encuentran en paralelo.

2.-

C1 = C + C ⇒ C1 = 2C

o C2 : Proviene de asociar dos condensadores que se encuentran en serie: 1 1 1 2 = + = C2 C C C

⇒ C2 =

C 2

Solución:

o C3 : Proviene de asociar C1 y C2 las cuales se encuentran en serie:

VD − VA =

1 1 1 = + CE C1 C2

WAD qo

WAD = 2 × 10 −5

1 1 2 5 = + = ⇒ CE 2C C 2C 5.-

Una carga de q = 2×10−5 C se mueve siguiendo la trayectoria ABCD frente a una carga Q en reposo de 8×10−4 C. Calcular el trabajo necesario para llevar la carga “q” por esta trayectoria.

CE =

2C 5

b

g FG KQ IJ H6K

WAD = q VD − VA

FG KQ − KQ IJ = 2 × 10 H3 6K

WAD = 2 × 10 −5 ×

Se conectan tres condensadores iguales cada uno de 12 microfaradios, en paralelo, a una diferencia de potencial de 4 voltios. ¿Cuál es la carga de cada condensador?

−5

9 × 109 × 8 × 10 −4 6

WAD = 24 J 3.-

Solución:

⇒

Un dipolo está ubicado, como se indica en la figura; respecto a una carga puntual Q ¿Qué trabajo se realiza para colocar el dipolo en posición vertical? q = 4×10−5 C ; Q = 5×10−4 C

o Como los tres condensadores se encuentran en paralelo; cada uno de estos tiene la misma diferencia de potencial; luego: Q1 = CV = 4 12 × 10 −6 C ⇒ Q1 = 48 × 10 −6 C Q2

e j = CV = 4e12 × 10 j C ⇒ −6

Q2 = 48 × 10 −6 C

También: Q3 = 48 × 10 −6 C

Solución: o Para colocar al dipolo en posición vertical, tan sólo hay que ubicar (−q) en el punto D. Luego nos piden: WCD = ?

b g = − qb V − V g ............ (1)

WCD = − q VCD B 1.-

WCD

problemas complementarios En la figura mostrada calcular el potencial eléctrico en el punto central “O” del cuadrado de arista “a”.

D

C

VC =

KQ Kq ................... (2) + 0, 7 0, 3

VD =

KQ Kq .................. (3) + 0, 5 0, 3

o (2) y (3) en (1):

FG KQ + Kq − KQ − Kq IJ H 0 , 5 0, 3 0, 7 0, 3 K F4 I = − qG KQJ H7 K F 4I = e −4 × 10 je9 × 10 je5 × 10 jG J H 7K

WCD = − q Solución: Vo = V1 + V2 + V3 + V4 Vo =

WCD

b g + Kb−Qg + Kb+Qg + Kb+Qg

K −Q

Vo = 0

b

b

b

b

WCD

−5

WCD = − 102, 86 Joule

9

−4


302 4.-

Una esfera de 10 cm de radio posee una carga de 6 µc, se conecta con otra esfera metálica de 5 cm de radio, mediante un hilo conductor. Determinar la carga adquirida por cada esfera en equilibrio.

En este caso la esfera conductora se induce simétricamente por cada lado, sin embargo la carga neta total es cero. o Cuando la esfera conductora se conecta a Tierra.

Solución:

Antes de conectar

Después de conectar Los electrones del lado derecho se dirigen a Tierra y la esfera queda cargada positivamente (+Q).

o Conservación de la carga: ΣQantes = ΣQdespués

o Además:

Q1 + Q2 = Q1' + Q2'

⇒

KQ1' KQ2' = 10 5

NOTA Para puntos sobre la superficie o fuera de la esfera la carga total se considera concentrada en el centro de la esfera.

Q1' = 2Q2' o En (1):

5.-

Vo =

Q1' = 4 µC y Q2' = 2 µC

Se tiene una esfera conductora de radio R, inicialmente neutra, determinar la carga inducida en ella por acción de la carga puntual –q

VB = Vo

o Pero en una esfera conductora:

o En el equilibrio los cuerpos alcanzan el mismo potencial: KQ ' KQ ' V= 1 = 2 R1 R2

VA = VB

y

Q1' + Q2' = 6 µC ............... (1)

VA = VTierra = 0

0= 6.-

b g + Kb+Qg

K −q 4R

R

b g + Kb+Qg

K −q 4R

R

⇒

Q=

q 4

Las capacidades de tres condensadores conectadas en serie son de 8 µf c/u, están conectadas a un generador de 240 voltios, calcule la caída de voltaje en cada condensador: 1 µf = 10−6f

Solución:

Solución:

o Asumiendo que la esfera no está conectada a Tierra.

o Asociación en serie: 1 1 1 1 3 = + + = CE C C C C CE =

8 × 10 −6 f 3

⇒ CE =

C 3

Electricidad o Nótese que:

303 o CE : Proviene de asociar tres condensadores en serie.

V1 = V2 = V3 = V

VE = V1 + V2 + V3 = V + V + V

1 1 1 1 1 1 1 = + + = + + ⇒ CE = 2 µf CE 6 6 C 4 6 6 6

VE = 3V ⇒ 240 = 3V V = 80 voltios c / u 7.-

B)

En la figura mostrada: A) Determinar la capacidad equivalente entre X e Y B) Si VXY = 180 v, ¿Cuánto vale VAB? (Las capacidades se dan en µf ).

qE = VXY CE = 180 2 × 10 −6 C

b ge

j

qE = 360 × 10 −6 C

o La carga en C4 será: (por estar en serie) q4 = 360 × 10−6 C Luego: V4 =

q4 360 × 10 −6 = C4 6 × 10 −6

⇒ V4 = 60 voltios

o La diferencia de potencial en C3 será (por estar en paralelo): V3 = 60 voltios q3 = V3C3 = 60 2 × 10−6 C ⇒ q3 = 120 × 10−6 C

b ge

Solución:

j

o La carga en C2 será: (por estar en serie)

A)

q2 = 120 × 10 −6 C

ç

V2 =

q2 120 × 10 −6 = ⇒ V2 = 20 × 10 −6 voltios C2 6

o La diferencia de potencial en C1 será: (por estar en paralelo - ver figura) VAB = 20 × 10 −6 voltios

8.-

ç

En el sistema de condensadores mostrado, hallar la diferencia de potencial entre A y B. Si VAC = 33 v

o C1 : Proviene de asociar tres condensadores en serie: 1 1 1 1 = + + ⇒ C1 = 2 µf C1 6 6 6 o C2 : Proviene de asociar dos condensadores en paralelo. C2 = C1 + 4 = 2 + 4

⇒

C2 = 6 µf

o C3 : Proviene de asociar tres condensadores en serie. 1 1 1 1 1 1 1 = + + = + + ⇒ C3 = 2 µf C 3 6 6 C2 6 6 6 o C4 : Proviene de asociar dos condensadores en paralelo. C 4 = 4 + C3 = 4 + 2

⇒

C 4 = 6 µf

Solución:


304 o C1 : Proviene de asociar dos condensadores en serie: 1 1 1 = + C1 2 4

⇒ C1 =

9.-

4 µf 3

o C2 : Proviene de asociar dos condensadores en serie:

K1 = 2 K2 = 4 K3 = 6

1 1 1 = + ⇒ C2 = 4 µf C2 6 12

Solución:

o C3 : Proviene de asociar dos condensadores en paralelo: 4 C3 = C1 + C2 = + 4 3

o La figura equivale a:

16 µf C3 = 3

⇒

En la figura mostrada, determinar la capacidad equivalente entre los puntos a y b.

o CE : Proviene de asociar dos condensadores en serie: 1 1 1 1 3 = + = + CE 2 C3 2 16

⇒ CE =

16 µf 11

A A A C1 = K1 ε o 2 = K1 ε o = 2ε o d d d 2 A A A C2 = K 2 ε o 2 = K 2 ε o = 4 ε o d d d 2 A A A C3 = K 3 ε o = 2K 3 ε o = 12ε o d d d 2

o Calculando QE:

b gFGH 1611 × 10 IJK C −6

QE = VACCE = 33 QE = 48 × 10 −6 C

o La carga en C3 será: (por estar en serie) q3 = 48 × 10 −6 C

q3 48 × 10 −6 = ⇒ V3 = 9 voltios C3 16 × 10 −6 3 o La diferencia de potencial entre N y C será: V3 =

VNC = V3 = 9

⇒

VNC = 9 voltios

1 1 1 = + C3 C1 + C2 C3 10.-

⇒ CE =

4 ε oA d

En el sistema mostrado, hallar la capacidad equivalente entre A y B.

o La diferencia de potencial: VAN = ?

El sistema equivale a:

VAC = VAN + VNC 33 = VAN + 9

⇒

VAN = 24 voltios

o La diferencia potencial en C1 será: V1 = VNC = 9 voltios Q1 = C1V1

Q1 =

FG 4 × 10 IJ b9g H3 K −6

⇒

Q1 = 12 × 10 −6 C

o La carga entre los puntos N y B será: QNB = 12 × 10 −6 C VNB =

QNB 12 × 10 −6 = CNB 2 × 10 −6

⇒

VNB = 6 voltios

o Finalmente: VAB = VAN + VNB VAB = 24 + 6

⇒

VAB = 30 voltios

Solución: o Sabemos: C = K C1 =

C3 =

ε oA d

A 3 = K ε oA 3d d

,

A 3 = 2K ε oA , d 3d 2

K εo

A 3 = 2K ε oA C2 = d 3d 2 A K εo 3 = 4K ε o A C4 = d 3d 4 K εo

K εo

Electricidad

305

A 3 = 4K ε o A C5 = d 3d 4 A K εo 3 = 4K ε o A C7 = d 3d 4 o Ahora reduciendo el sistema: K εo

C6 =

A 3 = 4K ε o A d 3d 4

K εo

o

1 1 1 = + CA C2 C3 CA =

o

1 1 1 1 1 = + + + CB C 4 C5 C6 C7 CB =

ç

K ε oA 3d

K ε oA 3d

o CE = C1 + CA + CB ⇒ CE =

K ε oA d


problemas de aplicación ¿Cuál es la diferencia de potencial entre dos puntos de un campo, si para mover una carga de 2 C entre ellos se ejecutó un trabajo de –20 GJ? Rpta.

2.-

63×109 J 6.-

Considerar una carga puntual con q = 1,5×10−8 Coulomb. ¿Cuál es el radio de una superficie equipotencial que tenga un potencial de 30 voltios? Rpta.

3.-

–10×109 v

Rpta.

4,5 m

Rpta. 7.-

Determinar el potencial eléctrico del punto “A”, generado por la distribución de cargas mostrada en la figura. Q =175 µc

8.-

459×105 v

Considerando el campo eléctrico mostrado en la figura con sus respectivas superficies equipotenciales, hallar el trabajo externo para mover la carga de 20 C desde “A”hacia “B”.

5.-

400 J

¿Qué trabajo se debe realizar para mover qo = −2 C desde “A” hasta “B”? Q1 = 4 C ; Q2 = −3 C

10−4 C

En la figura, cada condensador C3, tiene 3 µf y cada condensador C2 tiene 2 µf. Calcular la capacidad equivalente de la red comprendida entre los puntos A y B.

Rpta. Rpta.

5×10−2 J

En un tratamiento de electrochoques, se descarga en el corazón 5 veces un condensador de 10 microfaradios cargado a una diferencia de potencial de 2 voltios.¿ Qué carga recibió el corazón? Rpta.

9.-

16×10−6 C

Hallar la energía almacenada en el sistema de condensadores mostrados, si la diferencia de potencial entre A y B es 100 voltios. Rpta.

Rpta.

4.-

Se conectan tres condensadores iguales, cada uno de 12 microfaradios, en serie, a una diferencia de potencial de 4 voltios. ¿Cuál es la carga de cada condensador?

2×10−7 f


306 10.-

Hallar la capacidad equivalente entre A y B, si se sabe que todos los condensadores mostrados tienen una capacidad de 3 µf c/u Rpta.

6.-

6,6 µf

Rpta.

7.-

B 1.-

problemas complementarios Hallar el trabajo realizado para trasladar una carga de 8 C, desde”A” hasta “B”. q1 = 8×10−9 C q2 = 72×10−9 C q3 = 16×10−9 C Rpta.

2.-

La capacidad equivalente del sistema acoplado de condensadores es 6 µf, la diferencia de potencial es 3 v. Hallar “C” y “q”.

¿Cuál será la capacidad del condensador equivalente cuando la llave S se cierre?. Las capacidades están dadas en µf. Rpta.

8.-

5 760 J

Halle la carga que debe ubicarse en el pie de la altura de 12 cm para que el potencial total en el punto “P” sea cero.

Rpta.

–26 stC

9.-

Se tienen dos esferas de radios muy pequeños, con cargas de 8×10−6 y 16×10−6 C. Siendo los radios diferentes, se las pone en contacto y luego se las separa 50 cm. Hallar el potencial eléctrico en el punto medio de la recta que las separa.

Dos gotas de agua aislada de r1 = 0,5 mm y r2 = 0,8 mm tienen cargas eléctricas q1 = 40 µc y q2 = 50 µc.¿Cuál es el potencial de la gota que se forma al unirse las dos primeras? Rpta.

5.-

864 000 v

480 µc

Dos condensadores planos están conectados en paralelo, y a su vez están conectados en serie con un tercero, siendo sus constantes dieléctricas: 2; 5; 9 respectivamente y sus placas son iguales, tienen un área A, estando separadas por una distancia “d”, hallar la capacidad equivalente. Rpta.

10.Rpta. 4.-

3 µf

En la figura mostrada, determinar la carga almacenada por el condensador de 8 µf.

Rpta.

3.-

C = 3 µf q = 6×10−6 C

63 Aε o 16 d

Si el capacitor en el vacío tiene una capacidad “C”. Determinar la constante dieléctrica del sistema, cuando en el capacitor se introducen los dieléctricos K1 =1,5; K2 =2 , K3 =2,5; como se observa en la figura.

9,4×108 v

Una esfera metálica de radio “r” con potencial Vo, se rodea con una envoltura esférica conductora de radio “R” sin carga. ¿A qué será igual el potencial de la esfera si dicha envoltura se conecta a Tierra? Rpta.

Vo

FG R − r IJ H RK

Rpta.

K = 59/28

Electricidad

307

ELECTRODINÁMICA

Electrodinámica es una parte de la electricidad que se encarga de estudiar las cargas eléctricas en movimiento.

INTENSIDAD DE CORRIENTE ELÉCTRICA ( i ) Es la cantidad de carga (∆Q) que atraviesa una sección del hilo conductor en la unidad de tiempo.

CORRIENTE ELÉCTRICA i =

Es el movimiento o flujo libre de electrones a través de un conductor, debido a la presencia de un campo eléctrico que a su vez es originado por una diferencia de potencial.

∆Q ∆t

Unidad de Intensidad de Corriente en el S.I. Amperio (A) =

NATURALEZA DE LA CORRIENTE ELÉCTRICA

Coulomb segundo

TIPOS DE CORRIENTE ELÉCTRICA A)

Corriente Contínua Se realiza cuando las cargas eléctricas se desplazan en un solo sentido, debido a que el campo eléctrico permanece constante ya que su diferencia de potencial es invariable, ejemplo: en la pila, en la batería, etc.

En un conductor metálico, los electrones se mueven en forma desordenada, no tienen ninguna dirección y sentido definido, sin embargo en promedio el número de electrones que se desplazan en un sentido es igual al número de electrones que se desplazan en sentido contrario, con lo cual el movimiento neto es nulo, con ello concluimos que el flujo neto de electrones es cero.

B)

Corriente Alterna Se realiza cuando las cargas eléctricas se desplazan cambiando periódicamente de sentido, esto se debe a que el campo eléctrico cambia de sentido con cierta frecuencia, producto del cambio frecuente de la diferencia de potencial; ejemplo: la corriente que generalmente usamos en casa.

Cuando el hilo conductor se conecta a dos cuerpos de diferentes potenciales, se produce un campo eléctrico dentro del hilo, haciendo que los electrones se muevan en sentido contrario al campo eléctrico existente dentro del conductor. Los dos cuerpos (A y B) de diferentes potenciales pueden ser los bornes de una batería.


308

SENTIDO DE LA CORRIENTE ELÉCTRICA

RESISTENCIA ELÉCTRICA ((R))

A)

Es la medida de la oposición que presenta un cuerpo al paso de la corriente eléctrica a través de él.

Sentido Real En un conductor sólido, los electrones se desplazan del polo negativo (potencial menor) al polo positivo (potencial mayor) oponiéndose al campo eléctrico E .

Se le representa mediante un segmento de línea quebrada.

En los buenos conductores, las cargas eléctricas encuentran poca oposición a su paso. Luego la resistencia del cuerpo será baja.

B)

Sentido Convencional Para esto asumiremos que quienes se mueven en un conductor sólido son las cargas positivas. En un conductor sólido, las cargas positivas se desplazan del polo positivo (potencial mayor) al polo negativo (potencial menor). En el mismo sentido que el campo eléctrico.

En los malos conductores las cargas eléctricas encuentran gran oposición a su paso. Luego la resistencia del cuerpo será alta.

LEYES FUNDAMENTALES: RESISTENCIA ELÉCTRICA A)

Leyes de Paullet

1°

La resistencia eléctrica ofrecida por un conductor es directamente proporcional a su longitud. RαL

2°

NOTA

La resistencia eléctrica ofrecida a un conductor es inversamente proporcional al área de la sección recta de dicho conductor. Rα

De ahora en adelante el sentido de la corriente que se tomará en cuenta será el convencional.

1 A

Luego:

FUENTES DE CORRIENTE ELÉCTRICA

R =

ρL A

ρ (resistividad): depende del material

NOTA Fuente de corriente eléctrica es aquel dispositivo capaz de transformar algún tipo de energía, en energía eléctrica. Las seis fuentes básicas de energía que se pueden utilizar son: − Frotamiento − Presión − Calor

− Luz − Magnetismo − Acción química

El mejor conductor de la electricidad es la plata siguiendo el cobre, el aluminio y el hierro, en ese orden.Todos los materiales conducen la corriente eléctrica en cierta medida, y a todos los materiales se les pueden asignar un valor de“resistividad” que indica exactamente la facilidad con que ese material habrá de conducir la corriente eléctrica.

Electricidad

B)

309 eléctrica: Si son lámparas se transformará en energía luminosa y calórica; si son motores en energía mecánica; si son aparatos radiotelefónicos en energía sonora, etc.

Ley de Ohm “En una corriente eléctrica, la diferencia de potencial es directamente proporcional a la intensidad de corriente eléctrica”.

W = Vq

V1 V2 V3 = = = cte. i1 i2 i3

R =

También: W = Vit = i2 Rt =

V i

W (Joule) V( Voltio) i ( Amperio) R ( Ohmio)

V (Voltio) i ( Amperio) R (Ohmio)

B)

P=

También:

C)

Rf : resistencia final Ro : resistencia inicial α : coeficiente de variación térmica de la resistencia ∆T : incremento de temperatura ( Tf – To)

A)

Energía Eléctrica (W) Para que un circuito se encuentre en funcionamiento habrá que darle energía puesto que la energía no se crea ni se destruye. Así un generador le cede su energía química para la transformación a otra clase de energía. En los receptores que están en el circuito se producen nuevas transformaciones de la energía

W t

P = Vi = i2 R =

V2 R

P (Watts)

Efecto de Joule Toda corriente eléctrica que atraviesa una resistencia eléctrica origina en ella un desprendimiento de calor que es directamente proporcional a la resistencia, al cuadrado de la intensidad de corriente y al tiempo que dura la corriente. Q (calorías) W (Joule) Q = 0,24 i2Rt = 0,24 W i (Amperio) R (Ohmio) t (segundo)

Rf = Ro (1 + α∆T)

CONCEPTOS FUNDAMENT ALES FUNDAMENTALES

Potencia Eléctrica (P) Es la rapidez con la cual se realiza trabajo.

OBSERVACIÓN Existen algunos materiales que no obedecen a la leyes de OHM, a éstos se les llama materiales no óhmicos, en ellos “R” no es constante; evidentemente en estos, la gráfica (V - i) no será la línea recta. En nuestro curso supondremos que todos los cuerpos son óhmicos; a no ser que se diga lo contrario. Experimentalmente se demuestra que la resistencia de un material varía con la temperatura, así:

V2 t R

D)

Fuerza Electromotriz (εε) Es la energía o trabajo que se realiza para llevar la carga de un potencial menor a otro mayor, se puede decir también que es la fuerza motriz que hace mover los electrones.

ε =

W q

ε (Voltio) W (Joule) q ( Coulomb)


310

RE = R1 + R2 + R3 iE = i1 = i2 = i3 VE = V1 + V2 + V3

B)

En Paralelo La diferencia de potencial en cada una de las resistencias es la misma.

En la figura derecha, la unidad de carga sale de la fuente (pila), alimentada de una gran energía (ε), luego empieza a moverse y al pasar por la resistencia R, sufre un desgaste de energía, de manera que para recuperar nuevas energías, tendrá que pasar nuevamente por la fuente.

Regla de signos

E)

Circuito Eléctrico Es el recorrido o conjunto de recorridos cerrados que siguen las cargas eléctricas formando una o varias corrientes. Los circuitos pueden estar constituidos por generadores, resistencias, condensadores, bobinas, etc. El circuito más simple que puede existir está formado por una fuente y una resistencia.

1 1 1 1 = + + RE R1 R2 R3 iE = i1 + i2 + i3 VE = V1 = V2 = V3

EXPERIENCIA: CIRCUITO SIMPLE OBJETIVO ASOCIACIÓN DE RESISTENCIAS Asociar dos o más resistencias, significa reemplazarlas por una sola que tenga los mismos efectos que todas juntas, los más elementales son:

A)

En Serie Las intensidades de corrientes son iguales.

Conocer experimentalmente el circuito más simple (constituido por una pila y una resistencia).

MATERIALES A EMPLEARSE − Un foco pequeño que funcione con 1,5 v. − Una pila de cualquier tamaño (1,5 v). − Un alambre (conductor) de 15 a 20 cm de longitud.

NÚMERO DE ALUMNO: Dos PROCEDIMIENTO 1.-

Coger el conductor y armar el montaje mostrado en la figura (a).

Electricidad 2.-

311

Tomar la pila y colocar el casquillo del foco sobre el polo positivo de la pila y el otro extremo sobre el otro polo (fig. b).

PREGUNTAS 1.-

¿Se encendió el foquito? Si-No ¿Por qué?

2.-

Si Ud. tuviese un foco para 6 voltios. ¿Cuántas pilas usaría? ¿Por qué?

3.-

Según lo visto ¿Cuál es el principio de una linterna de mano?

4.-

Fabricar un linterna de mano.

EXPERIENCIA: ASOCIACIÓN DE RESISTENCIAS EN SERIE OBJETIVO Observar las características de un sistema de resistencias asociadas en serie. (b)


Seis foquitos iguales. Tres baterías pequeñas de 6 voltios o más. Un conductor (alambre), L = 2 m aprox. Tres tableros.

NÚMERO DE ALUMNOS: Tres

(c)

PROCEDIMIENTO 1.-

Realizar tres montajes (a, b, c) como se muestra a continuación.

PREGUNTAS

2.-

Cerrar los interruptores (acostúmbrese a protegerse con un material aislante) en a, b, y c. Anotar sus observaciones.

1.-

¿En qué caso brillan con mayor intensidad los foquitos? En a, b ó c ¿Porqué?

2.3.-

Extraer el foquito (1). Anotar sus observaciones.

En el caso (a) ¿Cuál de los foquitos brilla con mayor intensidad?

4.-


3.-

En el caso (b) ¿Cuál de los foquitos brilla con mayor intensidad? ¿Qué se concluye?

4.-

Si se extrae el foquito (1) en el caso (a). ¿Qué pasa?

5.-

Si se extrae el foquito (4) en el caso (b). ¿Qué pasa? ¿Por qué? ¿A qué conclusión se llega?

(a)


312 6.-

Si se extrae el foquito (6). ¿Existirá corriente eléctrica en el caso (c)? Si-No ¿Por qué?

7.-

Si tuviesen amperímetro y voltímetro, medir la intensidad y el voltaje en cada foquito con ayuda del señor Profesor, para luego apoyán-

dose en la ley de Ohm; calcular la resistencia eléctrica en cada foquito. 8.-

Si pudiese conseguir dos foquitos diferentes a los ya adquiridos y reemplazarlos en (1) y (2). ¿Cuál de los tres foquitos (1,2,3) brillará más? ¿Por qué?

EXPERIENCIA: ASOCIACIÓN DE RESISTENCIAS EN PARALELO OBJETIVO Observar las características de un sistema de resistencias asociadas en paralelo. (c)


Seis foquitos iguales. Tres baterías pequeñas de 6 voltios o más. Un conductor (alambre), L = 2 m aprox. Tres tableros.

NÚMERO DE ALUMNOS: Tres

PREGUNTAS 1.-

¿En qué caso brillan con mayor intensidad los foquitos? En a, b ó c ¿Por qué?

2.-

En el caso (a). ¿Cuál de los foquitos brilla con mayor intensidad?

3.-

En el caso (b). ¿Cuál de los foquitos brilla con mayor intensidad? ¿A qué se concluye?

4.-

Si se extrae el foquito (1) en el caso (a). ¿Qué pasa? Explique.

5.-

Si se extrae el foquito (4) en el caso (b). ¿Qué pasa? Explique.

6.-

Si se extrae el foquito (6). ¿Existirá corriente eléctrica en el caso (c)? Si-No ¿Por qué?

7.-

Si tuviesen amperímetro y voltímetro, medir la intensidad y el voltaje en cada foquito con ayuda del señor Profesor, para luego apoyándose en la ley de Ohm; calcular la resistencia eléctrica en cada foquito.

8.-

Mencione diez ejemplos de resistencia eléctrica.

9.-

Las lámparas, focos fluorescentes, artefactos eléctricos que usamos en casa. ¿Están asociados en serie o paralelo?

PROCEDIMIENTO 1.-

Realizar tres montajes como se muestra a continuación.

2.-

Cerrar los interruptores (acostúmbrese a protegerse con un material aislante) en a, b, y c. Anotar sus observaciones.

3.-

Extraer el foquito (1). Anotar su observaciones.

4.-


(a)

(b)

Ciencia y Tecnología Electricidad

313 313

Electricidad en la noc he noche

La ciudad de noche sin electricidad carecería de luz, no sería lo que hoy en día es. Prácticamente la vida activa diaria de las personas terminaría cuando se oculta el Sol; no sería error entonces afirmar: “La electricidad es el principio de muchos principios físicos”.

Ef ecto de Joule Efecto Aplicaciones del ef ecto Joule: Todos los artefactos eléctriefecto cos, al estar en funcionamiento sufren un incremento de temperatura, es más, ésta se aprovecha en algunos de ellos tales como la plancha, la cocina eléctrica, el soldador eléctrico, la secadora de cabello, etc.

Ciencia y Tecnología Jorge Mendoza Dueñas

314 314

Resistencia en serie

Las resistencias en una vivienda

Las luces de navidad, están compuestas por un conjunto de minúsculos focos asociados en serie, si uno de ellos es extraído o se interrumpe su funcionamiento, los demás también dejan de funcionar.

Generalmente las viviendas tienen sus aparatos eléctricos instalados en paralelo. Podemos encender todos los aparatos a la vez; así como también encender los aparatos necesarios sin alterar en absoluto su normal funcionamiento.

Electr oencefalograma Electroencefalograma El electroencefalograma, consiste en recoger las señales eléctricas que emite el encéfalo. En realidad el cerebro produce diferentes tiras de impulsos eléctricos cuyos parámetros límites son conocidos por los médicos. Esto se realiza con el electroencefalógrafo, el cual con ayuda de electrodos que se colocan en el cuero cabelludo, recogen las señales eléctricas; con ello es posible detectar anormalidades en el paciente, si los hubiese.

¿Cuánto cuesta la ener gía eléctrica? energía La mayor parte de las viviendas tienen como generador de electricidad, una central hidroeléctrica. La compañia que nos suministra electricidad, coloca en la fachada de la casa un contador de energía eléctrica cuya unidad de medida es el kW - h (kiloWatt-hora). 1 kW-h cuesta en promedio US$ 0,10 (diez céntimos de dólar).

Electricidad

315

TEST 1.-

Un fusible eléctrico se quema cuando: a) b) c) d) e)

2.-

7.-

Existe demasiada corriente. Existe demasiado voltaje. La conexión está en serie. La conexión está en serie y paralelo. La conexión está en paralelo.

a) Proporcional a la intensidad de corriente y voltaje. b) Proporcional al voltaje y resistencia. c) Proporcional a la intensidad de corriente y la resistencia. d) Proporcional a la resistencia, al cuadrado y el voltaje. e) N.A.

Un circuito que proporciona múltiples caminos para el flujo de electrones. 8.a) b) c) d) e)

3.-

4.-

a) b) c) 9.-

VVF VVV VFV

d) e)

Señalar verdadero o falso sobre la ley de OHM. El voltaje es proporcional a la intensidad de corriente. II. el voltaje es proporcional a la resistencia. III. la resistencia de un conductor se aproxima a cero, a medida que su temperatura se acerca al cero absoluto.

kiloWatt – hora. Watt. Voltio. Amperio. Caloría.

a) b) c)

La cantidad de energía utilizada. La potencia eléctrica suministrada. El voltaje de la línea de abastecimiento. La distancia desde la línea de abastecimiento. El número de días.

10.-

VVV VVF VFF

d) e)

II)

I.

III)

IV)

a) b) c)

a) b) c) d) e)

Respecto a conductores del mismo material señalar verdadero o falso: Si la longitud se duplica y su sección se duplica, su resistencia no se altera. II. Si la longitud se duplica y su sección se reduce a la mitad, su resistencia no se altera. III. Su resistencia no depende del área ni de la longitud del conductor. d) e)

FFF VFV

FFF VFV

¿Cuál de las siguientes gráficas expresa la ley de OHM?

I)

VVF VFF FVV

FVV FFF

I.

La factura de la electricidad que se debe pagar, está determinada por. a) b) c) d) e)

6.-

120 voltios. 240 voltios. Ni A ni B. Ya sea A ó B. 1 voltio.

Señalar verdadero o falso: I. La resistencia eléctrica depende del material. II. La resistencia es proporcional a la longitud. III. La resistencia es inversamente proporcional al área de la sección recta.

La energía eléctrica se produce y se adquiere por el consumidor, en unidades llamadas. a) b) c) d) e)

5.-

Está conectado en serie. Está conectado en paralelo. Es una conexión muy corta. Está conectado inversamente. Está conectado en serie y en paralelo.

Una persona puede morir si es parte de un circuito de: a) b) c) d) e)

La energía eléctrica transformada en una resistencia es:

Sólo I y II son correctas. Sólo III es correcta. Sólo II y IV son correctas. Sólo I es correcta. N.A.


316


problemas de aplicación ¿Qué cantidad de cargas pasa por un conductor en el tiempo de una hora, si por él circula una corriente de 6 Amperios?

Solución:

Solución: i=6A

q = ? (Coulomb)

,

t = 3 600 s ⇒ q = it

R=9Ω

Rf = ?

Lo = L

L f = 2L

Ao = A

Af = ?

Volinicial = Volfinal

g

q = 6 3 600 ⇒ q = 21 600 C 2.-

Final

o Partiendo del siguiente dato:

q i= t

b

Inicial

bg b g

A L = A f 2L

Una lámpara trae marcado los siguientes datos: 100 Watts y 220 voltios, ¿cuál es la resistencia del filamento?

,

Rf = Rf =

R = ? (Ω )

V = 220 voltios P=

V2 R

100 =

Final

i = 10 A

i= 4A

R=?

R=6Ω

o Partiendo del voltaje final: V = iR ⇒

V = 24 voltios

o Ahora como la fuente de voltaje no varía, se tiene; Inicialmente: V = 24 voltios V I 24 R= 10

Un alambre de 1 000 m de longitud y resistividad de 5×10−8 Ω×m está conectado a un voltaje de 100 voltios. ¿Cuál debe ser su sección si queremos que una corriente de 2 Amperios lo atraviese?, dar su respuesta en mm2.

V = 100 voltios

R = ? ( Ω)

,

i = 2A

o Aplicando la ley de Ohm: R=

V I

R=

100 2

⇒

R = 50 Ω

o Aplicando la Ley de Paullet:

R=

4.-

5.-

Solución:

Inicial

bg

g IJ K

R f = 36 Ω

Solución:

V=4 6

b FG H

ρ 2L ρL =4 A A 2

R

La corriente en un circuito sencillo es de 10 A. Cuando se instala una resistencia de 6 Ω, la corriente se reduce a 4 A. ¿Cuál era la resistencia del circuito original?

A 2

9Ω

Rf = 4 × 9

R = 484 Ω

3.-

ρL f Af

b220g

2

⇒

Af =

o Aplicando la Ley de Paullet:

Solución: P = 100 W

⇒

⇒

R = 2, 4 Ω

Un alambre tiene una resistencia eléctrica igual a 9 Ω; si se estira hasta duplicar su longitud permaneciendo constante su volumen y resistividad eléctrica, determinar la nueva resistencia.

R=

ρL A −8

50 =

e5 × 10 jb1 000g

A = 1 mm2

A

⇒

A = 10 −6 m2

Electricidad B 1.-

317 o Las tres resistencias se encuentran en serie:

problemas complementarios Dos barras metálicas “A” y “B” tienen la misma resistencia. La barra “A” tiene una longitud de “LA” y el diámetro DA. La longitud LB y el diámetro DB de la barra “B” se relacionan con “LA” y “DA ” mediante L B = 2LA y D B = 2DA. Determinar la relación entre sus resistividades.

RE = R1 + R2 + R3 RE =

3.-

Solución: o Barra “A”: RA = R =

ρA L A

........ (1)

F πD I GH 4 JK 2 A

⇒ RE =

3ρL 2A

Un cable conductor de 20 cm de largo está sometido por sus extremos a una diferencia de potencial de 20 voltios. ¿Qué diferencia de potencial hay entre un punto que está a 5 cm del extremo a menor potencial? Solución:

o

o Barra “B”: LB = 2LA RB

ρL ρL 3ρL + + 4 A 2A 4 A

VB − VA = 20 voltios

b g

Pero: VB − VA = E 0 , 20

b g ........ (2) =R= πe2D j ρB 2LA

⇒

b g

20 = E 0 , 20

E = 100 N / C

2

A

o

4

VC − VA = ?

b g

VC − VA = E 0 , 05

⇒

b g

VC − VA = 100 0 , 05

VC − VA = 5 voltios

4.o (1) = (2) 4ρA LA

=

πDA2 2.-

2ρB LA πDA2

⇒

ρB = 2ρA

En la figura se muestran tres conductores. Determinar la resistencia equivalente (ρ = resistividad del material).

Se tiene un motor en serie con una resistencia de 0,05 Ω y en la cual la tensión es de 1,25 voltios. Si la tensión en el motor es de 0,9 voltios. ¿Cuál es su resistencia? Solución: o La intensidad de corriente que pasa por las dos resistencias es la misma.

Solución: L ρL o R1 = 4 = 4A A ρ

o R2 =

ρL 2A

FG IJ H K

3L ρρx 3ρL 4 = o R3 = A 4A

o De (2): V = iR

b g

1, 25 = i 0 , 05

⇒

i = 25 A

⇒

R = 0 , 036 Ω

o En (1): R=

V i

R=

0, 9 25


318 5.-

Tres cables de resistencia 2 Ω, 5 Ω y 10 Ω respectivamente, montados en paralelo, se unen a los terminales de una batería. Si se observa que la intensidad que pasa por el cable de 5 Ω es de 2 A. ¿Cuál será la intensidad en los otros dos cables?

b g

+ 0 , 5 + 0 , 5 + .......... + 0 , 5 + 0 , 5 = 20 0 , 5 o iE = 01, 5444444 24444443 20 veces

iE = 10 A

b10gFGH 20R IJK = 110 7.-

o

iE RE = VE

o Finalmente:

Solución:

1 1 1 1 = + + RE 2 5 10

⇒ RE =

5 Ω 4

o En la resistencia de 5 Ω:

b gb g

V = iR = 2 5

⇒

⇒

R = 220 Ω

Un circuito está formado por 4 partes en serie. La primera comprende dos conductores en paralelo cuyas resistencias son de 2 y 6 Ω; la segunda un conductor de 4 Ω; la tercera comprende 5 lámparas en paralelo cada una de las cuales presenta una resistencia de 150 Ω y la cuarta se reduce a un hilo cuya resistencia es de 8,5 Ω. Si la intensidad de corriente en cada lámpara es 1 A. ¿Cuál es la corriente principal?, ¿cuál es el voltaje aplicado? Solución:

V = 10 voltios

o Como las resistencias se encuentran en paralelo, la diferencia de potencial es la misma en cada una de ellas. V1 = i1 R1

bg

10 = i1 2

⇒

i1 = 5 A

⇒

i3 = 1 A

V3 = i3 R3

b g

10 = i3 10 6.-

Se conectan 20 lámparas en paralelo entre dos puntos cuya diferencia de potencial es de 110 v. Si por cada una de las lámparas circula una corriente de 0,5 A, determinar la resistencia de cada lámpara y la intensidad de la corriente principal.

o Cálculo de la corriente principal. iE = i1 = i2 = i3 = i 4 Pero:

Solución:

i3 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

⇒

i3 = 5 A

Luego: iE = 5 A o Calculando R1, R2, R3, R4 y RE R1 =

3 Ω 2

R2 = 4 Ω

R3 = 30 Ω

RE = 44 Ω

R4 = 8, 5 Ω

o Calculando VE:

b gb g

VE = iE RE = 5 44 8.o

1 1 1 1 1 1 20 = + + + ............ + + = RE 1 R 44444 R R 244444 R 3 R R 20 veces

RE =

R 20

⇒

VE = 220 voltios

Cuando se conecta una diferencia de potencial a través de tres resistencias iguales conectadas en serie, se consume una potencia de 15 Watts; a continuación las tres resistencias se conectan en paralelo y se aplica la misma diferencia de potencial. Hallar la potencia en este caso.

Electricidad

319 o Para veinte focos:

Solución:

bg

W = 20 9

o En serie:

⇒

−h kW-h W = 180 kw

o 1 kw-h kW-h kW-h 180 kw-h x= 10.V2 RE

P1 =

V2 3R

⇒ 15 =

V 2 = 45R ........ (1) o En paralelo:

P2 =

P2 =

V2 RE 3V R

⇒ P2 =

Una lámpara de 0,4 Watts se diseña para que funcione con 2 voltios entre sus terminales. Una resistencia R se coloca en paralelo con la lámpara y la combinación se pone en serie con una resistencia de 3 Ω y una batería de 3 voltios, cuya resistencia interna es 1/3 Ω. ¿Cuál deberá ser el valor de R si la lámpara diseñada a de funcionar al voltaje dado?

V2 R 3

FG IJ H K

ç

........ (2)

b g

3 45R

⇒

R

P2 = 135 W

o En la lámpara: P1 = R1 =

V12

⇒

R1

;

iE =

W = Pt

F 50 kW I180 h W=G H 1 000 JK

o RE = R x + 3 +

i1 = 0 , 2 A 1 10 ⇒ RE = R x + 3 3

Además: iE RE = VE ⇒ iE =

t = 6 × 30 = 180 h

⇒

P1

i1 R1 = V1

b g

W=?

V12

R1 = 10 Ω

i1 10 = 2 ⇒

o Para un foco (en un mes):

F 50 I kw P = 50 w W= G H 1 000 JK kW

R1 =

22 ⇒ 0, 4

Luego:

Solución:

W t

⇒ x = S/. 9 , 00

o Equivale a:

Una vivienda tiene 20 focos eléctricos de 50 Watts cada uno. Si todos funcionan simultáneamente 6 horas diarias. ¿Cuánto se deberá pagar por un mes de consumo si 1 kW-h cuesta S/. 0,05?

P=

1

2

o (1) en (2): P2 = 9.-

b g

180 0 , 05

Solución:

Vserie = Vparalelo

Dato:

S/. 0,05 x=?

⇒

W = 9kW kW − h

3

FG R H

x

+

10 3

IJ K

VE RE

.......... (1)

De la figura: iE = i1 + i2 .......... (2)


320

o Cálculo de i2: i2 R2 = V2

De (1) y (2): 3 Rx +

10 3

= i1 + i2 ......... (3)

i2 R = 2

2 R

o En (3):

o Cálculo de Rx:

3 2 = 0, 2 + 10R 10 R + 10 + R 3

1 1 1 1 1 = + = + R x R1 R2 10 R Rx =

⇒ i2 =

10R 10 + R

R = 20 Ω


problemas de aplicación ésta circule sólo la décima parte de i. Calcular cuál es la resistencia R2 de la misma en la segunda rama.

¿Cuál es la resistencia de un alambre de cobre de 1 000 m de longitud y 1,5 mm de diámetro, a 20 grados centígrados? Ω ⋅ mm2 ° ρ20 cu = 0 , 017 8 m Rpta.

Rpta.

10 Ω 7.-

2.-

Una lámpara de incandescencia presenta una resistencia de 220 Ω y está construida para la tensión de 110 v. ¿Qué cantidad de calor se desarrolla por segundo en su filamento. Rpta.

3.-

55 J/s

Por un conductor eléctrico circula una corriente de 40 A durante 10−19 s. Calcular el número de electrones que atravesaron al conductor. Rpta.

8.-

¿Qué potencia desarrolla una resistencia de 0,74 Ω cuando es atravesado por una corriente de 16 A? Rpta.

189,44 W

En un puchero eléctrico de 110 voltios y 6 A, se han de hacer hervir 1,5 lt de agua, cuya temperatura inicial es de 10 °C . ¿Qué tiempo se demora? Rpta.

5.-

6.-

9.-

2 775 unidades monetarias

Una corriente i se divide entre dos resistencias paralelas, de las cuales una es R1 = 1 Ω, de manera que por

135 W

Hallar la intensidad de corriente que circula por la resistencia “R” (ε = voltaje de la fuente)

14,27 minutos

Determinar el costo de funcionamiento mensual de un horno eléctrico cuya resistencia equivalente es de 40 Ω y la intensidad de corriente es de 5 Amperios. El equipo funciona 5 horas diarias y se cobra 18,5 unidades monetarias el kW-h. Rpta.

25

Cuando se conecta una diferencia de potencial a través de tres resistencias iguales conectadas en serie, se consume una potencia de 15 W; a continuación tres resistencias se conectan en paralelo y se aplica la misma diferencia potencial. Hallar la potencia en este caso. Rpta.

4.-

1 Ω 9

Rpta. ε 3R

Electricidad 10.-

Calcular la resistencia equivalente en el circuito mostrado.

Rpta.

B 1.-

Un galvanómetro cuya bobina presenta una resistencia de 84,2 Ω, debe dotarse de una derivación que permita el paso por el galvanómetro de: 1/ 1 000 de la corriente que se trata de medir. ¿Cuál es la resistencia de esa derivación?

Rpta. 7.-

V = 9,50 voltios W = 531,86 J

La fuerza electromotriz de una batería de celdas electrolíticas es de 8 v y entrega a una corriente de 4 A por un lapso de 5 minutos. Encuentre la reducción de la energía química de las celdas en este tiempo. 9 600 J

196,8 unidades monetarias

En la medición de una intensidad se ha provisto de un galvanómetro, cuya resistencia es de 400 Ω, de una derivación de resistencia 0,2 Ω. La corriente indicada por el galvanómetro ha sido 0,006 4 A. ¿Qué intensidad poseía la corriente que se trataba de medir?

84,28 Ω

La corriente i = 32 A se bifurca entre los puntos A y B a través de las resistencias r1 = 0,6 Ω y r2 = 0,4 Ω. Determínese las intensidades de las corrientes derivadas y la diferencia de tensión entre los puntos A y B.

Rpta. x = 12,8 A y = 19,2 A V = 7,68 v

Una estufa eléctrica posee en caliente una resistencia de 7,3 Ω y consume 15 A. ¿Calcular el costo de funcionamiento durante 10 horas al precio de 12 unidades monetarias el kW-h? Rpta.

5.-

6.-

12,806 4 A

10,04 m

Una corriente de 56 A, recorre un alambre de cobre de 212 m de longitud y 20 mm2 de sección. Hallar el valor de la pérdida de tensión V y la pérdida de enerΩ ⋅mm2 gía en el alambre por segundo. ρ = 0,016 m

Rpta. 4.-

Rpta.

Con diez alambres de cobre de diámetro 1,5 mm y de Ω ⋅mm2 , montados en resistencia específica 0,017 6 m paralelo, se debe preparar una resistencia de 0,01 Ω. ¿Cuál debe ser la longitud de cada hilo?

Rpta.

3.-

7R 2


Rpta. 2.-

321

AB

8.-

Cuatro resistencias en serie se conectan a los terminales de una fuente de 240 voltios, tres de las resistencias son iguales y la cuarta es una resistencia variable que oscila entre 0 y 6 Ω. Si la corriente mínima que circula es 2 A. Calcular el valor de las 3 resistencias iguales (en Ohmios). Rpta.

38 Ω


322 9.-

Una lámpara de arco ha de funcionar con una intensidad de corriente i = 10 A y a una tensión ε1 = 40 v. Para empalmarla a una red a ε = 220 v, se le añade en serie una resistencia R. Calcular: a) b) c) d) e)

La caida de tensión V en la resistencia. El valor R de ésta. La energía desarrollada por hora en la lámpara. La potencia desarrollada en la resistencia. El rendimiento η.

10.-

Una lámpara de 0,4 W se diseña para que funcione con dos voltios entre sus terminales. Una resistencia R se coloca en paralelo con la lámpara y la combinación se pone en serie con una resistencia de 3 Ω y una batería de 3 voltios, cuya resistencia interna es 1/3 Ω. ¿Cuál deberá ser el valor de R si la lámpara diseñada ha de funcionar al voltaje dado?

Rpta. a) b) c) d) e)

180 v 18 Ω 1 440 kJ 1 800 W 18% Rpta.

200 Ω

Electricidad

323

CIRCUITOS ELÉCTRICOS

TRANSFORMACIONES DE UN CIRCUITO A OTRO

TIPOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS A)

A veces es necesario reemplazar un circuito por otro que tenga los mismos efectos, así tenemos:

A)

Circuitos Eléctricos Simples Es aquel recorrido cerrado por el cual se desplaza la carga eléctrica formando una sola corriente.

∆ - Y) Transformación Delta-Estrella (∆

Si tomamos dos puntos del circuito: A : potencial menor B : potencial mayor

x=

R1R2 R1 + R2 + R3

z=

VB − VA + Σε − i ΣR = 0

R1R3 R1 + R2 + R3

En nuestro caso (ver figura) se tendrá:

y=

B)

R2R3 R1 + R2 + R3

b

g

VB − VA + ε1 − ε 2 − i R1 + R2 = 0

Transformación Estrella-Delta (Y - ∆)

B)

Circuitos Complejos Es aquel conjunto de recorridos por las cuales se desplaza la carga eléctrica, está formado por varias corrientes.

ELEMENTOS DEL CIRCUITO COMPLEJO R1 =

xy + xz + yz z

R2 =

xy + xz + yz y

R3 =

xy + xz + yz x

Nudo.- Es todo punto de un circuito donde concurren 3 ó más conductores; ejemplos: los puntos A y B de la figura. Malla.- Es todo circuito simple imaginario tomado de otro real, ejemplo: en la figura hay dos mallas.


324

LEYES QUE RIGEN UN CIRCUITO COMPLEJO: LEYES DE KIRCHOFF 1ra Ley: Teorema de los Nudos “La suma de las corriente que llegan a un nudo es igual a la suma de corrientes que salen de él”. Este teorema proviene de la Ley de la conservación de la carga eléctrica y del hecho de que la carga eléctrica no se acumula en los nudos.

n

∑ ii

B)

Voltímetro Sirve para medir la diferencia de potencial entre dos puntos, para ello se conecta en paralelo con una resistencia; el voltímetro contiene en su interior otra resistencia; ésta debe ser la máxima posible, para que la corriente sea prácticamente la misma en la resistencia que se desea medir.

= 0

i =1

i1 + i2 = i3

2da Ley: (Teorema de las Mallas) “La suma algebraica de las f.e.m. en una malla cualquiera es igual a la suma algebraica de los productos iR de la misma malla”. Este teorema es consecuencia de la conservación de la energía. n

∑ Vi

= 0

⇒

Σε = ΣiR

C)

Galvanómetro Sirve para medir intensidades de corrientes pequeñas. Es un aparato muy sensible, para su uso se conecta en serie con la resistencia.

i=1

Regla de signos

Puente de Wheatstone

INSTRUMENTOS ELÉCTRICOS DE MEDICIÓN A)

Amperímetro Sirve para medir la intensidad de corriente; el instrumento más general en estos casos es el galvanómetro, pero el más utilizado es el amperímetro. Para medir la intensidad en una resistencia; se conecta resistencia y amperímetro en serie; en el interior del amperímetro existe resistencia, pero ella es pequeña.

Un método preciso para medir resistencia es utilizando el puente de Wheatstone. La intención es calcular una resistencia desconocida (Rx) conociendo además otras tres resistencia: R1, R2 y R3, de los cuales dos de ellos se hacen variar (R1 y R2) hasta que el galvanómetro (sensible) marque cero, en ese momento no pasará corriente por él, de manera que la resistencia interna del galvanómetro se pueda despreciar y:

R1R3 = R2 Rx Rx =

R1R3 R2

Electricidad

325

TEST 1.-

Señalar verdadero o falso:

e)

La f.e.m. se considera positiva cuando la corriente pasa por la fuente en igual dirección y negativa si va en contra. II.- Cuando varias fuentes están conectados en serie, la f.e.m. total del circuito cerrado es igual a la suma algebraica de cada una de las f.e.m. del circuito. III.- Si se aplica una misma diferencia de potencial a distintos sectores de un circuito externo, en ellos se disiparán potencias que dependen inversamente de la resistencia eléctrica respectiva.

Si en un nudo entran varias corrientes, la corriente de salida es la mayor de todas las que entran.

I.-

a) b) c) 2.-

Conectando tres pilas en serie, la resistencia exterior es grande. Entonces se obtiene el máximo voltaje. II.- Conectando tres pilas en paralelo, entonces la resistencia externa es muy pequeña. Se obtiene la máxima intensidad de corriente. III.- En cada malla de un circuito complejo siempre tendremos una corriente circulante. a) b) c) 6.-

b) c)

d)

d) e)

FVF VFV

Señalar verdadero o falso: Un circuito eléctrico es el conjunto formado por un circuito interno y un circuito externo. II.- Un circuito interno está compuesto por una fuente de energía eléctrica o generador. III.- Un circuito externo está dotado de resistencia eléctrica, instrumentos de medida e interruptor.

Semisuma-semidiferencia Suma – suma Diferencia - diferencia Diferencia - suma Suma - diferencia

a) b) c) 7.-

Resistencia – corriente Malla – tensión Corriente – voltaje Resistencia – tensión Malla – corriente

La elección del sentido de circulación de las corrientes, en cada malla, es arbitraria. Sólo se requieren formar tantas ecuaciones (de mallas) como corrientes desconocidas se tengan. No es necesario que nuestra elección sea la correcta puesto que si una de las corrientes resultase negativa esto significará simplemente que la corriente realmente fluye en sentido contrario al supuesto. La caída de tensión en una línea de conducción por la cual pasan dos corrientes es igual al producto de la diferencia de ambas corrientes multiplicada por la suma de las resistencias ubicadas en dicha línea.

FFV FVV VVV

I.-

VVF VFV VVV

d) e)

FVF FFF

Señalar verdadero o falso: I.-

El amperímetro mide la intensidad de corriente y se coloca en serie al circuito por tener muy baja resistencia eléctrica. II.- El voltímetro usado para medir la diferencia de potencial entre dos puntos del circuito. Se coloca en paralelo por tener gran resistencia eléctrica. III.- El calor disipado en una resistencia es proporcional al cuadrado de la corriente.

Sobre las leyes de kirchoff señalar lo que no se cumple: a)

Señalar verdadero o falso: I.-

VFV FVF

“En toda............... de un circuito, la fuerza electromotriz total será igual a la suma de caídas de .......... en cada uno de los sectores de la malla”. a) b) c) d) e)

4.-

d) e)

“Si por una misma línea de conducción tienden a pasar dos corrientes con igual sentido, la corriente que circulará por dicha línea será igual a la …………….de sus intensidades, o a la ……………….. de las mismas si estos son de sentidos contrarios”. a) b) c) d) e)

3.-

FFF FVV VVV

5.-

a) b) c) 8.-

VVF VFV VVV

d) e)

VFF FFF

Si en un circuito complejo como el de la figura se abre el interruptor “S” podríamos negar que:


326 a) b) c) d) e) 9.-

No pasa nada ya que la corriente circula solo por R1. Aumentaría la corriente que circularía por R1. Disminuiría la corriente que circularía por R1. La caída de voltaje a través de R2 aumentaría. La caída de voltaje a través de R2 disminuiría.

Respecto a la Ley de mallas en un circuito complejo de las leyes de Kirchoff, señalar verdadero o falso. I.-

La suma de fuerzas electromotrices es igual a la suma de productos de la corriente circulante por las resistencias. II.- La fuerza electromotriz neta es la diferencia entre las que buscan mover las cargas en uno y otro sentido. III.- Cuando en una malla encontramos una o más resistencias atravesadas por corrientes contrarias la caída de voltaje es la suma de estas corrientes por cada resistencia.

a) b) c) d) e) 10.-

VFF FVF FFV VVF VVV

En todo circuito complejo con simetría entre la corriente de entrada y salida, un plano de simetría ubica puntos ...................... y la resistencia equivalente se reduce a dos resistencias equivalentes previamente asociadas en ................. a) b) c) d) e)

De diferente potencial — serie. De igual potencial — paralelo. De diferente potencial — paralelo. De igual potencial — serie. Potencial cero — serie.

PROBLEMASRESUELTOS A 1.-

problemas de aplicación En la figura, determinar la resistencia equivalente entre los puntos A y B.

Solución: o Reduciendo:


ç

o R1, proviene de asociar tres resistencias en paralelo. 1 1 1 1 3 = + + = R1 R R R R

⇒ R1 =

R 3

o RE, proviene de asociar dos resistencias en serie. RE = R + R1 + = R + 2.-

R 3

ç

⇒ RE =

4R 3

Calcule la resistencia equivalente entre A y B.

o R1, proviene de asociar tres resistencias en serie. R1 = 4 + 4 + 4 ⇒ R1 = 12 Ω

o R2, proviene de asociar dos resistencias en paralelo. 1 1 1 1 1 = + = + ⇒ R2 = 4 Ω R2 6 R1 6 12 o R3, proviene de asociar cinco resistencias en serie. R 3 = 2 + 2 + 2 + 2 + R2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 4

R3 = 12 Ω

Electricidad

327

o R4, proviene de asociar dos resistencias en paralelo.

4.-

1 1 1 1 1 = + = + ⇒ R4 = 3 Ω R 4 4 R3 4 12

En el circuito mostrado. Calcular la intensidad de corriente eléctrica, así como la diferencia de potencial entre los puntos A y B.

o RE, proviene de asociar tres resistencias en serie. RE = 4 + R 4 + 4 = 4 + 4 + 4 + 3 ⇒ RE = 11 Ω

3.-

Calcular la corriente eléctrica que circula por la resistencia A de la figura. Solución: o Recordando:

VA − VB + Σε − i ΣR = 0


o Asumiendo un sentido a la corriente:

ç

o R1, proviene de asociar dos resistencias en paralelo. o Cálculo de i :

1 1 1 = + ⇒ R1 = 2 Ω R1 3 6

Para esto se toma: Vinicial = VA ; Vfinal = VA 14444244443

o RE, proviene de asociar dos resistencias en serie.

1 circuito completo

RE = 2 + R1 = 2 + 2 ⇒ RE = 4 Ω

b

RE = 4 Ω

i = 1A El signo positivo indica que el sentido asumido de la corriente es correcto.

bg

iE RE = VE ⇒ iE 4 = 20

o VA − VB = ?

iE = 5 A o V1 = ?

;

g

0 + 6 − 6i = 0

iE = ?

o VE = 20 voltios ;

g b

VA − VA + −6 + 12 − i 2 + 4 = 0

Donde: VB : potencial menor VA : potencial mayor

i1 = 5 A

R1 = 2 Ω i1 R1 = V1 ⇒

b5gb2g = V

1

V1 = 10 voltios

o VA = V1 = 10 voltios ,

VA

RA = 3 Ω

B

VA − VB = 8 v

bg

iA RA = VA ⇒ iA 3 = 10 iA = 3, 33 A

bg b g − V − 1b2g − 6 = 0

VA − VB − i 2 + −6 = 0

iA = ?

5.-

Hallar la corriente en cada uno de los ramales del circuito.


328

Solución:

NOTA

o Asumiendo sentidos arbitrarios a las corrientes.

Para asumir inicialmente tanto el sentido de las corrientes como de las mallas, Ud. Puede tomar los sentidos que se le ocurra, al final la respuesta será la misma, pues los signos definen el sentido verdadero de cada corriente.

o Dando sentido arbitrario al recorrido de las mallas.

B 1.-

problemas complementarios En la figura mostrada, calcular la intensidad de corriente que pasa por las resistencias (VPB = 0).

Solución: o 1º Ley de Kirchoff:

i3 = i1 + i2 ........ (1)

Σε = Σ iR

o 2º Ley de Kirchoff:

En R3 : V = VP – VB = 0

o Σε = Sumatoria algebraica de ε

o Esto significa que por dicha resistencia no pasa corriente; ahora, como las tres resistencias se encuentran en serie, sus intensidades serán iguales (cero), no pasa corriente. i=0

2.-

En la figura mostrada, determinar la resistencia equivalente entre A y B.

Malla A: Σε = Σ iR

b g b g

120 − 60 = i1 20 + i3 10

⇒ 2i1 + i3 = 6 ....... (2)

Malla B: Σε = Σ iR

b g b g

− 60 = i2 30 + i3 10

⇒ i3 + 3i2 = − 6 .......... (3)

o De (1), (2) y (3): i1 =

30 24 6 A ; i2 = − A ; i3 = A 11 11 11

El sentido negativo de i2, significa que el sentido de éste es el inverso.

Solución: o Supongamos que tenemos el siguiente circuito.

Electricidad

329 o Reduciendo:

La corriente eléctrica siempre trata de circular por donde existe menor o nada de resistencia. Al hilo conductor se le puede considerar resistencia cero. Por tal motivo la corriente i, evitará pasar por R y ésta no cumplirá ninguna función.

ç

ç

A dicho fenómeno se le llama corto circuito. o R1, proviene de asociar tres resistencias en serie. R1 = 2 + 2 + 2 ⇒

R1 = 6 Ω

o R2, proviene de asociar dos resistencias en paralelo.

En nuestro caso:

ç

1 1 1 = + R2 2 R1

ç

⇒

1 1 1 = + R2 2 6

3 Ω 2

R2 =

o R3, proviene de asociar tres resistencias en serie. o RE, proviene de asociar dos resistencias en serie. RE = R + R 3.-

⇒

R3 = 2 + R2 + 2 = 2 +

RE = 2R

3 +2 ⇒ 2

R3 =

11 Ω 2

o R4, proviene de asociar dos resistencias en paralelo. 1 1 1 = + R 4 2 R3

En la figura mostrada, calcular la resistencia equivalente entre los puntos A y B.

⇒

1 1 2 = + R 4 2 11

22 Ω 15

R4 =

o RE, proviene de asociar dos resistencias en serie. RE = 2 + R 4 ⇒ RE =

Solución: o Recordar: La corriente eléctrica siempre circula por un circuito cerrado. En la figura notamos que entre C y E no existe ningún circuito cerrado, motivo por el cual no hay corriente eléctrica; lo mismo sucede entre D y F. De lo expuesto podemos deducir que las resistencias entre (C y E) así como entre (D y F) se pueden excluir.

4.-

RE = 2 +

22 15

52 Ω 15

En el circuito mostrado, determinar la resistencia equivalente entre los bornes “A” y “B”.

Solución: o Se unen los puntos de igual potencial.

ç


330 Ordenando las resistencias: Resistencias que se encuentran entre A y M. Resistencias que se encuentran entre B y M.

VA + VB 2

Resistencias que se encuentran entre A y B.

o De ahora en adelante, cuando encontremos casos de simetría dividimos la figura en dos:

Como quiera que el potencial en cada punto de E.S. es el mismo, se deduce que la presencia de resistencias de dicho eje no tienen incidencia. o Por tanto la figura anterior equivale a: o R1, proviene de dos resistencias en paralelo. 1 1 1 = + R1 R R

⇒

1 R = R1 2

o R2, proviene de dos resistencias en serie. R2 = R1 + R1 ⇒

R2 = R

o RE, proviene de dos resistencias en paralelo. 1 1 1 1 1 = + = + RE R2 R R R

⇒

RE =

R 2

o Equivale a:

Problemas de Simetría: 5.-

En la figura mostrada, determinar la resistencia equivalente entre los puntos A y B.

o Finalmente:

Solución: o En la figura se observa que el sistema es simétrico respecto al eje E.S.(eje de simetría). También es fácil deducir que el potencial en cada punto de E.S. es:

RE =

2R 3

Electricidad 6.-

331

En la figura mostrada, determinar la resistencia equivalente entre los puntos A y B.

Solución:

Solución:

o El sistema es simétrico, respecto al eje E.S.

o Es evidente que el sistema es simétrico respecto al eje E.S.

o Luego se tiene: o Luego:

o Resistencia en paralelo:

Como se notará, las tres resistencias se encuentran entre A y C, por tanto, estas se encuentran en paralelo. 1 1 1 2 = + + R1 R R R R1 =

o Finalmente:

o Finalmente:

RE = 7.-

R R + 2 2

R 4

⇒ RE = R

En el circuito, determinar la resistencia equivalente entre los puntos A y B.

RE =

R R + 4 4

⇒

RE =

R 2


332 Solución:

Problemas referentes al Puente de Wheatstone

o Ordenando: 8.-

En la figura, calcular la resistencia equivalente entre A y B.

Como se verá, cumple el producto en aspa: Solución: (4)(6) = (2) (12)

o Se observa que el sistema no es simétrico, por lo tanto no es posible trazar un eje de simetría.

Por lo tanto es aplicable el puente de Wheatstone y se puede despreciar la resistencia de 7 Ω

o Sin embargo, si hacemos el producto en cruz, comprobaremos que estos son iguales: (2)(3) = (6) (1) Por lo tanto se cumple el puente de Wheatstone y podemos despreciar la resistencia central puesto que por allí no pasa corriente. o Entonces:

o Equivale a:

1 1 1 = + RE 8 16

ç 1 1 1 = + ⇒ RE 3 9 9.-

RE =

⇒

RE =

16 Ω 3

Problemas referentes a la Transformación ∆ - Y , Y - ∆ 9 Ω 4

10.-

En el sistema mostrado, calcular la resistencia equivalente entre A y B.


Solución: o Producto en aspa: (20) (20) ≠ (10) (10) por lo tanto, no es posible aplicar el puente de Wheaststone.

Electricidad

333

o Aplicaremos, transformación ∆ a Y.

o Equivalente a:

x= y= z=

b20gb10g 20 + 10 + 10

b20gb10g 20 + 10 + 10

b10gb10g 20 + 10 + 10

=5 =5 = 2, 5

o R1 = y + 10 = 5 + 10 R1 = 15 Ω o R2 = z + 20 = 2, 5 + 20

x=

b10gb10g + b10gb10g + b10gb10g = 30 Ω

y=

b10gb10g + b10gb10g + b10gb10g = 30 Ω

z=

b10gb10g + b10gb10g + b10gb10g = 30 Ω

10

10

R2 = 22, 5 Ω o

1 1 1 1 1 = + = + R3 R1 R2 15 22, 5 R3 = 9 Ω

o

o RE = x + R 3 = 5 + 9

1 1 1 1 1 = + = + R1 10 x 10 30

o Análogamente:

RE = 14 Ω

11.-

10

o R 4 = R2 + R3 =


o

R2 =

⇒

R1 =

15 Ω 2

15 15 Ω ; R3 = Ω 2 2

15 15 + 2 2

1 1 1 2 1 = + = + RE R1 R 4 15 15

⇒

R 4 = 15 Ω

⇒

RE = 5 Ω

Problemas sobre Circuitos Simples 12.-

Solución: o El sistema es simétrico respecto a un eje, por lo tanto se puede aplicar el método de simetría; sin embargo aplicaremos el método de transformación Y - ∆. o Con las resistencias centrales podemos hacer la transformación Y - ∆

En el circuito mostrado, determinar la corriente y la diferencia de potencial entre los puntos A y B.


334 o VA − VB = ?

Solución: o Recordando:

VA − VB + Σε − i ΣR = 0 Nótese que tanto: Σε y ΣR solo es entre A y B según el recorrido de la corriente.

o Asumiendo un sentido a la corriente:

b g b + b10g − b2gb6g = 0

g

VA − VB + −20 + 30 − i 1 + 2 + 3 = 0 VA − VB

VA − VB = 2 voltios

13.-

Donde:

En el siguiente circuito eléctrico, determinar la intensidad de corriente y la diferencia de potencial entre A y B.

V1 : potencial mayor V2 : potencial menor

Solución: V1 − V2 + Σε − i ΣR = 0

o Asumiendo sentido horario a la corriente eléctrica.

o Cálculo de i. Para esto se toma circuito completo. V1 = VA V2 = VA Con el objetivo de encontrar una ecuación con una incógnita. Así:

b 0 − 20 − ib10g = 0

g b

g

VA − VA + −50 + 40 −30 + 20 − i 4 + 3 + 2 + 1 = 0

i = − 2 A El signo negativo significa que el sentido está errado

Luego:

i = 2 A (Sentido anti-horario)

o Dibujando el sentido correcto de la corriente.

o Calculo de i. V1 − V2 + Σε − i ΣR = 0 o Hacemos: V1 = V2 = VA

b

g b

g

VA − VA + 10 − 2 + 4 − i 3 + 2 + 2 + 5 = 0 i = 1A El signo positivo de i, nos indica que el sentido asumido es correcto. o Cálculo de: VB − VA (recorrido B - A) VB − VA + Σε − i ΣR = 0

bg − b1gb5g = 0

VB − VA + 0 − i 5 = 0 VB − VA

VB − VA = 5 voltios

Electricidad

335

Problemas sobre Circuito Complejo 14.-

En la figura, la lectura del amperímetro es 3 A. Calcular i1 e i3 y la lectura del voltímetro.

En (1):

i3 = 5 A

En (2):

ε = 54 v

Respuesta:

Solución: o Asumiendo sentidos arbitrarios a las corrientes.

o Asumiendo sentidos arbitrarios al recorrido de las mallas.

15.-

Calcular las corrientes en el siguiente circuito.

Solución: o Dando sentidos arbitrarios al recorrido de las corrientes.


i3 = i1 + i2

i3 = i1 + 3 ........ (1)


Σε = Σ iR

bg bg ε − 2 = 8 i + b3gb 4 g

Malla A: ε − 2 = i3 8 + i2 4 3

ε − 2 = 8 i3 + 12

ε = 8 i3 + 14 ........ (2)

bg bg −6 = 3i1 − b3gb 4g

Malla B: −6 = i1 3 − i2 4 −6 = 3 i1 − 12 i1 = 2 A

o Dando sentidos arbitrarios al recorrido de la mallas.


336 o 1º Ley de Kirchoff: o 2º Ley de Kirchoff:

o De (1), (2) y (3):

i1 = i2 + i3 ........ (1)

i1 = − 1A ; i2 = − 3 A ; i3 = 2 A

Σε = Σ iR

Malla A:

b g bg b g b g b g

−52 + 14 = i1 3 + i1 1 + i1 4 + i2 8 + i2 2 −38 = 8 i1 + 10 i2 ........ (2)

Malla B:

bg bg b g bg bg

−14 + 80 = − i2 2 − i2 8 + i3 10 + i3 3 + i3 5 66 = − 10 i2 + 18 i3 33 = − 5i2 + 9 i3 ........ (3)

PROBLEMASPROPUESTOS A 1.-

problemas de aplicación En la figura, determinar la resistencia equivalente entre A y B.

Rpta.

2.-

4.-

Calcular la corriente que circula por la resistencia R4, y la diferencia de potencial en la resistencia R2.

5Ω

En la figura, determinar la resistencia equivalente entre A y B. Rpta. i= Rpta. 5.1Ω

3.-

15 75 A ; VMN = v 13 13

En el siguiente circuito, calcular la razón de la corriente que atraviesa R1, a la corriente que atraviesa R2. R1 = 10 Ω , R2 = 15 Ω ; R3 = R4 = R5 = 5 Ω ; V = 12 v

En el circuito mostrado. Halle la resistencia R.

Rpta. Rpta. 7,5 Ω

3/2

Electricidad 6.-

En el circuito mostrado, la resistencia interna de la fuente es 1 Ω. El punto A está conectado a Tierra (está a un potencial de 0 v). Asumiendo que las fugas de corriente hacia Tierra son despreciables, calcular los potenciales de los puntos C y D respecto de Tierra. Rpta.

7.-

337 10.-

Hallar la resistencia equivalente entre A y B, en forma aproximada. R1 = R2 = R3 = 10 Ω R4 = 4×106 Ω

Rpta.

20 Ω 3

VC = 25 v VD = 0

Calcular la diferencia de potencial entre los puntos A y B. V1 = 2 v , R1 = 10 Ω , V2 = 3 v , R2 = 5 Ω V3 = 5 v , V4 = 16 v.

B 1.-

problemas complementarios Calcular lo que marca el amperímetro, si el voltímetro marca 40 v. Considerar instrumentos ideales.

Rpta. V –V =2v A

8.-

B

En el circuito de una sola malla, halle la lectura del amperímetro ideal. Rpta. 2.-

Rpta. 9.-

En el circuito, hallar el calor disipado por la resistencia de 2 Ω en un tiempo de 16 s.

2A Rpta.

Calcular la diferencia de potencial entre los puntos C y F, VCF = VC – VF. R1 = 10 Ω , R2 = 5 Ω , R3 = 10 Ω V1 = 20 v , V2 = 40 v

3.-

−5 v

2J

¿Por cuál de las tres resistencias mostradas circula la menor cantidad de carga eléctrica por unidad de tiempo?

Rpta. Rpta.

8A

Por la resistencia de 1 Ω, i = 0 En las resistencias de 2 Ω y 3 Ω , i = 3 A


338 4.-

Encuentre la resistencia equivalente entre los bornes A y B.

8.-

Calcular la resistencia equivalente entre A y B del circuito mostrado.

Rpta. 2,4 Ω

Rpta. 5.-

En el circuito mostrado, cuando la resistencia R vale 300 Ω, el galvanómetro “G” marca cero. ¿Cuál es el valor de la fuerza electromotriz “ε”?

Rpta.

6.-

9.-

Hallar la resistencia equivalente entre A y B si todas las resistencias son iguales a R.

4,68 v

Hallar la resistencia equivalente entre los bornes A y B.

Rpta.

Rpta.

7.-

4Ω

20 Ω 7

10.-

4R 5

En las aristas de un cubo, se colocan resistencias iguales, cada uno de valor R. Hallar la resistencia equivalente entre los vértices adyacentes a y b.

En el circuito que se muestra en la figura, determinar la lectura del voltímetro ideal.

Rpta.

VA – VB = 1 v

Rpta.

3 R 10

Capítulo

14

MAGNETISMO INTRODUCCIÓN Desde hace miles de años, se observó que cierta piedra (magnetita) tenía la propiedad de atraer pequeños trozos de hierro; el estudio de sus propiedades tomó el nombre de MAGNETISMO, nombre que proviene de la antigua ciudad: Magnesia (Asia Menor) en donde abundaban estas piedras. Fue así que durante muchos años, el estudio de los fenómenos magnéticos se limitó al análisis de las interacciones entre el imán y los metales (MAGNETOSTÁTICA). Ilustraciones

A inicios de nuestra era, los chinos descubrieron que el imán podía ser utilizado como instrumento de orientación, ya que al ser colocado horizontalmente y suspendido de un hilo, dicho mineral se orientaba aproximadamente en la dirección Norte-Sur. En el siglo XVII Willian Gilbert investigó minuciosamente las propiedades del imán y descubrió la existencia de zonas pertenecientes al imán donde la atracción hacía el hierro se manifiesta con mayor intensidad, a dichas zonas se les conoce como polos. Posteriormente en el siglos XIX, el danés Hans Cristiam Oersted dió un gran vuelco en el mundo de la Ciencia, descubrió experimentalmente que toda corriente eléctrica o carga eléctrica en movimiento genera un campo magnético; había iniciado el estudio del electromagnetismo. Si hoy en día gozamos del uso del motor eléctrico, centrales hidroeléctricas, equipos de sonido, electrodomésticos, se debe en gran parte al aprovechamiento de la interacción que hay entre los campos eléctricos y magnéticos.


340

MAGNETISMO

INSEPARABILIDAD DE LOS POLOS

Es una parte de la física que estudia las propiedades referentes al imán

De lo visto hasta el momento se puede afirmar que un imán tiene como mínimo dos polos (N y S). Si este imán es dividido en dos partes tendremos dos imanes, cada uno con dos polos (N y S), si una de las partes la volvemos a dividir, tendremos nuevamente otros dos imanes, cada uno con dos polos (N y S) y así sucesivamente si seguimos dividiendo, de manera que nunca conseguiremos obtener un imán de un solo polo (monomagnético).

IMÁN Es aquel cuerpo que goza de dos propiedades fundamentales, una de ellas consiste en atraer al hierro, mientras que la segunda consiste en orientarse aproximadamente en la dirección Norte – Sur geográfico (cuando se encuentra libremente suspendido o apoyado en el centro de gravedad).

Polos de un Imán Es el nombre dado a aquellas zonas donde la atracción ejercida sobre el fierro se manifiesta con mayor intensidad. Todo imán puede tener varios polos pero como mínimo tiene dos, a los que se le denomina: Polo Norte (al extremo dirigido hacia el Norte geográfico) y Polo Sur (al extremo dirigido hacia el Sur geográfico). Las limaduras de hierro indican donde están los polos de un imán.

CLASES DE IMÁN A)

Imán Natural Cuando debido al ordenamiento molecular, gozan de propiedades magnéticas. imán natural

B) En un imán recto

Imán Artificial Cuando es necesario alguna causa externa para que un cuerpo se vea obligado a adquirir propiedades magnéticas.

Modelo Teórico del Imán En realidad se puede asumir un modelo teórico del imán, en el cual se puede considerar que dicho imán está compuesto por un gran número de imanes elementales o dipolos magnéticos, los cuales están conformados por dos polos magnéticos (N y S) en forma ordenada.

Metal en estado natural

Varilla metálica en estado natural

Si frotamos dicho cuerpo con uno de los polos de un imán se produce un ordenamiento de los dipolos magnéticos (Imán artificial).

Si la varilla es enrollada por un alambre y hacemos circular cierta corriente eléctrica, también se produce un ordenamiento de los dipolos magnéticos (Imán artificial).

Magnetismo

341

PÉRDIDAS DE LAS PROPIEDADES MAGNÉTICAS DE UN IMÁN Todo imán puede perder sus propiedades magnéticas debido fundamentalmente a dos motivos. A)

B)

Ley Cuantitativa (Ley de Coulomb) La fuerza magnética de atracción o repulsión que existe entre dos cargas magnéticas, es directamente proporcional al producto de sus cargas magnéticas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa”.

Si se golpea repetidamente provocando vibraciones que dan lugar a un cierto desorden molecular. Si se calienta hasta alcanzar una temperatura adecuada denominada “Temperatura de Curie”, el nombre en honor a Pierre Curie, quien descubrió este efecto; así tenemos que, para el hierro es 750 °C, para el níquel 350 °C, para el cobalto 1 100 °C. OBSERVACIONES

En adelante se supondrá la existencia de polos magnéticos separados (cargas magnéticas) este modelo servirá para visualizar con facilidad el estudio del magnetismo. Sin embargo, es necesario aclarar que una carga magnética no existe. q* N

q* S

carga magnética de Polo Norte

carga magnética de Polo Sur

F=

Kq1* q2* d2

Unidades en el S.I. F

q1* , q*2

d

K

N

A⋅m

m

10−7 N/A2

CAMPOMAGNÉTICO Es el espacio que rodea a una carga magnética, el cual se manifiesta mediante fuerzas magnéticas hacia trozos de hierros u otras cargas magnéticas. B =

F q*

Unidad de q* en el S.I. Ampere⋅metro = A-m

LEYES DE LA MAGNETOSTÁTICA Ley Cualitativa “Polos magnéticos del mismo nombre se repelen y polos magnéticos de nombres diferentes se atraen”.

q* : carga magnética que crea el campo magnético B : intensidad de campo magnético en el punto P F : fuerza magnética en “P”

Unidades en el S.I. B Tesla (T) = N/(A⋅m)

F

q*

N

A⋅m


342

Líneas de fuerza Son líneas imaginarias creadas por Michael Faraday que sirven para representar al campo magnético. El conjunto de todas las líneas de fuerza que se genera en un imán natural o artificial toma el nombre de espectro magnético. dura

lima

Cada partícula de limaduras se convierte en una pequeña aguja imantada al estar cerca de un imán; dichas agujas se orientan a una dirección bien definida.

La orientación permanente de la barra sólo se puede explicar si se considera a la Tierra como un enorme imán (P) de polos: − Polo Sur magnético (P.S.M.) − Polo Norte magnético (P.N.M.)

Características de las Líneas de fuerza

δ) Declinación Magnética (δ

A)

Es el ángulo que forma la dirección Norte-Sur magnético y la dirección Norte-Sur geográfico.

B) C) D)

Las líneas de fuerzas salen del polo Norte del imán, y entran por el polo Sur. Las líneas de fuerza son cerradas, es decir no tienen principio ni fin. Las líneas de fuerza nunca se cruzan. En un punto cualquiera de una fuerza la dirección del vector campo magnético séra el de la tangente a dicho punto.

Inclinación Magnética (i) Es el ángulo que forma la dirección Norte-Sur magnética con el plano horizontal.

MAGNETISMO TERRESTRE

Si suspendemos un imán tipo barra de un hilo, éste siempre se va a orientar en una dirección.

Capítulo

15

ÓPTICA Es una parte de la física que se encarga de estudiar la luz, su naturaleza, sus fuentes de producción, su propagación y los fenómenos que experimenta. Óptica geométrica.- Estudia el comportamiento de los haces luminosos en los instrumentos ópticos. (En este capítulo estudiaremos esta rama). Óptica física.- Se le llama también óptica ondulatoria, y se encarga de estudiar ciertos fenómenos de la óptica, teniendo en cuenta la naturaleza ondulatoria.

NA TURALEZA DE LA LUZ NATURALEZA Desde tiempos muy remotos, la naturaleza de la luz fue uno de los grandes enigmas para el hombre; hoy en día se conocen varias teorías al respecto.

A)

Teoría Corpuscular Formulada por Isaac Newton en el siglo XVII: “La luz está formada por pequeños corpúsculos que salen del cuerpo luminoso y que al llegar a otro cuerpo se reflejan (rebotan) para luego viajar al ojo, permitiendo así la observación de los objetos”.


364

B)

Explicación En 1 900 se descubrió un fenómeno; cuando un cuerpo cargado de electricidad es iluminado, preferentemente con luz ultravioleta, se desprenden de él, cargas eléctricas negativas (electrones), a este fenómeno se le llamó “Efecto fotoeléctrico” y sólo se puede explicar, si se admite que la luz no está formada por ondas, sino por corpúsculos.

Teoría Ondulatoria Se fundamenta en que la luz está formada por ondas.

B.1) Teoría Mecánica.- Enunciada por Cristiam Huygens, en el siglo XVII; apoyado un siglo después por Thomas Young y luego por Augustin Fresnel. “La luz está formada por ondas similares a las ondas del sonido, es decir ondas longitudinales”. Sabemos que las ondas longitudinales son ondas mecánicas, y éstas siempre se propagan en un medio elástico, pero también se sabe que la luz se propaga en el vacío (y en el vacío no hay ningún medio). Conclusión: contradicción. Apareció entonces la teoría electromagnética.

En cierto modo un retorno a la teoría corpuscular, es así que Planck formula su teoría de los Cuamtons.

D)

Teoría Actual En la actualidad se considera que luz tiene naturaleza Dual, es decir que en algunos fenómenos se comporta como corpúsculos y en otros como onda electromagnética. En realidad la investigación sobre la naturaleza de la luz no ha terminado.

PROPAGACIÓN Y VELOCIDAD DE LA LUZ

En cierta época se supuso la existencia de un cuerpo elástico en los espacios transparentes; también se supuso que el vacío estaba conformado por éter (medio elástico).

En un medio homogéneo, la luz se propaga en línea recta y con velocidad constante que en el vacío es igual a: v = (2,997 92 ± 0,000 03)×108 m/s, aproximadamente: 300 000 km/s.

B.2) Teoría Electromagnética.- Formulada por James Maxwell y comprobada experimentalmente por Heinrich Hertz, en el siglo XIX. “Las ondas electromagnéticas experimentan los mismos efectos que las ondas luminosas: reflexión, refracción, polarización, interferencia, difracción, etc.” La existencia de un cuerpo eléctrico y magnético descarta la necesidad de un medio elástico para la propagación de la luz.

C)

Teoría de los Cuamtons Formulada por Max Planck y ampliada en 1 905 por Albert Einstein. “La luz está formada por pequeños paquetes de energía llamados FOTONES”.

Si la luz se propagase en línea curva, podríamos ver lo que hay al otro lado de la esquina.

Actualmente la mayor velocidad conocida por el hombre es la velocidad de la luz: c = 300 000 km/s. Si el ser humano fuese capaz de construir un aparato que tenga una velocidad cercana a la de luz, estaríamos hablando entonces del viaje hacia la cuarta dimensión (el tiempo, es decir el viaje hacia el futuro).

Óptica

365

FOTOMETRÍA

Es la parte de la óptica que estudia las medidas prácticas de la luz.

ω =

A d2

I=

ϕ ω

Cuerpos Luminosos Son aquellos que tienen luz propia.

Cuerpos Iluminados Son aquellos que no tienen luz propia, pero reflejan la luz proveniente de otros cuerpos.

Unidad en el S.I.

Cuerpos Transparentes

S.I.

I

ϕ

ω

Candela (cd) ó bujía

Lumen

Stereoradián (sr)

Son aquellos que dejan pasar la luz a través de su masa y permite ver los objetos que hay detrás de él.

Iluminación (E)

Cuerpos Opacos

Se define como el flujo luminoso irradiado por un foco que incide sobre una unidad de área.

Son aquellos que no dejan pasar la luz.

Cuerpos Traslucidos E=

Son aquellos que dejan pasar la luz, pero no permiten ver los objetos que hay detrás.

φ A

ϕ) Flujo Luminoso (ϕ Es la medida de la energía que en forma de luz emite un foco en cada unidad de tiempo, la unidad se denomina “lumen” que se define como el flujo luminoso irradiado por una lámpara de luz verde de potencia igual a: 1/685 Watts. ϕ=

Energíalumin osa Tiempo

Unidad

Leyes de la Iluminación 1°

La iluminación es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de la superficie al foco.

2°

La iluminación es directamente proporcional a la intensidad del foco.

3°

Ley de Lambert.- La iluminación es directamente proporcional al coseno del ángulo formado por el rayo luminoso y la normal al plano iluminado.

1 Lumen < > Watts 685

Intensidad Luminosa (I) Es la unidad de flujo luminoso irradiado por un foco, por unidad de ángulo sólido. En ángulo sólido se define como el espacio encerrado por los rayos de la luz que parten de un foco, y se calcula dividiendo el área iluminado entre el cuadrado de la distancia del foco al área llamándose a la unidad: “STEREORADIAN”.

E=

I cos α d2


366

Caso Particular: si α = 0°

E=

El fotómetro más conocido es el de “BUNSEN” que está constituido por un regla graduada, dos focos y una pantalla móvil. Para determinar la intensidad de uno de los focos, se mancha con aceite la pantalla para luego moverlo ya sea hacia atrás o hacia adelante, hasta conseguir que la mancha se haga invisible, en ese momento se verá a la pantalla como si nunca hubiese estado manchado, esto significa que las iluminaciones son iguales.

I d2

Unidad en el S.I.

S.I.

E

I

d

Lux

cd

m

Fotómetro Es todo aquel dispositivo que permite conocer la intensidad luminosa de un foco comparando la iluminación que ocasiona con la iluminación provocada por otro foco de intensidad conocida.

I1 I = 22 2 d1 d2

REFLEXIÓN DE LA LUZ

Es aquel fenómeno que consiste en el cambio de dirección que experimenta un rayo de luz (en un mismo medio) al incidir sobre una superficie que le impide continuar propagándose cambiando de dirección para continuar su propagación en el medio en el cual se encontraba inicialmente.

B)

Difusa (irregular) Es cuando la superficie presenta irregularidades o porosidades, en este caso, al emitir rayos incidentes paralelos entre sí, estos cambian de dirección obteniéndose rayos reflejados que ya no son paralelos entre sí.

CLASES DE REFLEXIÓN A)

Regular Es cuando la superficie se encuentra perfectamente pulida, en este caso, sí se emiten rayos incidentes paralelos entre si, al cambiar de dirección se obtienen rayos reflejados que siguen siendo paralelos entre sí.

ELEMENTOS DE LA REFLEXIÓN A)

Rayo Incidente.- Es aquel rayo luminoso que llega a la superficie.

B)

Rayo Reflejado.- Es aquel rayo que aparentemente sale de la superficie.

Óptica

367

C)

Normal.- Es aquella línea recta imaginaria perpendicular a la superficie en el punto de incidencia.

D)

Angulo de Incidencia (i).- Es el ángulo formado entre el rayo incidente y la normal.

E)

Angulo de Reflexión (r).- Es el ángulo formado entre el rayo reflejado y la normal.

Objeto.- Es aquel cuerpo, a partir del cual se trazan los rayos luminosos que inciden en el espejo, como siempre está en la zona real, la distancia al espejo será siempre positiva. Imagen.- Es la figura geométrica obtenida mediante la intersección de los rayos reflejados o la prolongación de éstos, llamándose en el primer caso real y en el segundo virtual.

IMAGEN DE UN PUNTO EN UN ESPEJO PLANO

∧

∧

r

i

Para obtener la imagen de un punto, basta con trazar dos rayos incidentes y ver donde se cortan los rayos reflejados o sus prolongaciones.

LEYES DE LA REFLEXIÓN REGULAR 1°

El rayo incidente, la normal y el rayo reflejado se encuentran en un mismo plano, el cual es perpendicular a la superficie reflectante.

2°

El valor del ángulo de incidencia es igual al valor del ángulo de reflexión.

Método práctico

∧

∧

i =r

IMAGEN DE UNA FIGURA EN UN ESPEJO PLANO ESPEJOS Un espejo es toda aquella superficie reflectante perfectamente pulida donde únicamente ocurre reflexión de tipo regular. Se clasifica en planos y curvos, cumpliéndose en cualquier caso que dividen el espacio que los rodea en dos dimensiones, la que está frente al espejo (zona real) donde cualquier distancia que sea medida se considera positiva y la región detrás del espejo denominada (zona virtual), donde cualquier distancia medida se considera negativa.

Para obtener la imagen de una figura, se determina las imágenes de varios puntos pertenecientes al objeto para luego unirlos.


368

ESPEJO ESFÉRICO Es aquel casquete de esfera cuya superficie interna o externa es reflectante. Si la superficie reflectante es la interna, el espejo es cóncavo, mientras si la superficie reflectante es la externa el espejo es convexo.

ESPEJOS ANGULARES Es este tipo de espejos, el número de imágenes depende del ángulo diedro que forman los espejos planos. o

Si:

180° = Número entero α

El número de imágenes “n” se calculará así:

n=

o

Si:

360 −1 α

180° = Número no entero α

El número de imágenes dependerá de la posición del objeto.

Cóncavo

Convexo

ELEMENTOS DE UN ESPEJO ESFÉRICO A)

Centro de Curvatura (C).- Es el centro de la esfera que origina al espejo.

B)

Radio de Curvatura (R).- Es el radio de la esfera que da origen al espejo.

C)

Vértice (V).- Es el centro geométrico del espejo.

D)

Eje Principal (l).- Es la recta que pasa por el vértice y el centro de curvatura.

E)

Foco Principal (F).- Es aquel punto ubicado sobre el eje principal en el cual concurren los rayos reflejados o la prolongación de ellos, provenientes de rayos incidentes paralelos al eje principal.

F)

Distancia Focal (f).- Es la distancia entre el foco principal y el vértice; aproximadamente es la mitad del radio de curvatura.

G)

Abertura.- Es la cuerda que subtiende al casquete; cuando la abertura de un espejo es muy grande, las imágenes pierden nitidez.

Ejemplo:

Conclusiones Importantes en Espejos Planos A) B) C) D)

La imagen se forma en la zona virtual. La imagen es derecha. La distancia de la imagen al espejo es igual a la distancia del objeto al espejo. El tamaño de la imagen es igual al tamaño del objeto.

Óptica

369

Concavo

Convexo

CONSTRUCCIÓN DE IMÁGENES: MÉTODO GRÁFICO Para la obtención de la imagen de un objeto situado frente a un espejo esférico se emplean básicamente tres rayos, de los cuales, resultan indispensables sólo dos de ellos; para esto se traza: 1° 2° 3°

Un rayo paralelo al eje principal que incide en el espejo, se refleja pasando por el foco principal. Un rayo luminoso que pasa por el foco principal que incide y se refleja paralelamente al eje principal. Un rayo luminoso que pasa por el centro de curvatura el cual incide y se refleja siguiendo la misma trayectoria.

EN UN ESPEJO CÓNCAVO Caso General

Caso A Cuando el objeto se encuentre más allá del centro de curvatura, la imagen es real, invertida y de menor tamaño que el objeto.

Caso B Cuando el objeto se encuentra en el cen-

Caso C Cuando el objeto está entre el foco y el

tro de curvatura, la imagen es real, invertida y del mismo tamaño que el objeto.

centro de curvatura, la imagen es real, invertida y más grande que el objeto.


370

Caso D Cuando el objeto está en el foco no se

Caso E Cuando el objeto está entre el foco y el

forma imagen porque los rayos no se cortan.

espejo, la imagen es virtual derecha y más grande.

EN UN ESPEJO CÓNVEXO Los espejos convexos sólo producen imágenes virtuales, derechas y más pequeñas que el objeto.

Caso General

CONSTRUCCIÓN DE IMÁGENES: MÉTODO ANALÍTICO

A)

Ecuación de Descartes (focos conjugados) 1 1 1 + = p q f

Regla de signos: p : siempre positivo q

f

B) p = distancia objeto q = distancia imagen O = tamaño objeto I = tamaño imagen

R| + I.R.I. (imagen real e invertida) S| −I.V.D. (imagen virtual y derecha) T R| + cóncavo S| − convexo T Aumento (A): A=

I O

A=

−q p

A

R| +I.V.D. S| −I.R.I. T

Óptica y Tecnología Ciencia

371

Espejo plano Un espejo plano es toda superficie plana totalmente pulida; sin embargo si queremos emplear un espejo cuya imagen se aprecie con total nitidez, se recomienda usar una porción de vidrio cuyo reverso deberá estar bañado con una capa de plata o estaño, de este modo la luz se refleja casi totalmente. En un espejo plano la imagen formada se apreciará en la zona virtual, derecha, simétrica y del mismo tamaño que el objeto.

El periscopio La luz que llega al objeto, se refleja llegando al espejo superior donde rebota (se refleja) para luego llegar al espejo inferior y volver a reflejarse nuevamente, finalmente dichos rayos llegan al observador. Estos aparatos sirven para observar objetos que por su ubicación nos es posible observarlos.

Espejo esf erico con ve xo esferico conve vexo Algunos supermercados, entidades de seguridad, vehículos, etc. usan espejos convexos. Aprovechando la propiedad de obtener imágenes virtuales, derechos y más pequeños que el objeto, lo cual explica el gran campo de visión.


372

El espejo de Ar químedes Arquímedes

El espejo gracioso El lado convexo de la cuchara funciona como un espejo convexo, donde la imagen siempre será más pequeña que el rostro del niño y derecha. En virtud a ello es que se produce la deformación de la cara, dado que el rostro de la persona es interpretado por el espejo como un conjunto de objetos de diferentes “distancia objeto”.

Los espejos esféricos cóncavos tienen la propiedad de concentrar la luz en un solo punto, aumentando así la temperatura en dicho punto. Esto fue aprovechada por Arquímedes al lograr incendiar los barcos enemigos que llegaban a Siracusa.

El horno solar Horno solar, situada en Francia; los espejos planos móviles forman en conjunto un espejo cóncavo que persigue el movimiento del Sol. Los rayos solares después de su reflexión se concentran en su foco, permitiendo aprovechar la potente energía generada.

El color de las cosas En el verano, se prefiere usar ropa clara y no oscura; en el invierno es preferible usar ropa oscura ya que el frío se hace menos intenso.

En una prenda blanca, los rayos que llegan del Sol se reflejan en un 100%, llegando al observador todos los rayos; la combinación de los siete colores nos dará el “blanco”.

En una prenda negra, los rayos que del Sol son absorvidos en un 100% por la ropa; el observador sólo verá la vecindad, motivo por el cual notará la prenda oscura (negra).

Óptica

381

REFRACCIÓN DE LA LUZ

Es aquel fenómeno luminoso que consiste en el cambio de dirección que experimenta la luz al atravesar la superficie de separación de dos medios de diferente densidad. Este fenómeno se explica de manera satisfactoria utilizando la teoría ondulatoria.

ÍNDICE DE REFRACCIÓN DE UNA SUSTANCIA (n) Es aquel valor que se define como el cociente de la velocidad de la luz en el vacío (o aire) y la velocidad de la luz en un medio.

nmedio =

c v

Ejemplos: OBSERVACIONES − Si un rayo de luz pasa de un medio, a otro más denso, el rayo refractado se acerca a la normal.

o

En el agua: v = 225 000 km/s

nagua = o

300 000 4 ⇒ nagua = 225 000 3

En el vacío: v = 300 000 km/s

nvacío =

300 000 ⇒ nvacío = 1 300 000

NOTA Densidad II > Densidad I

− Si un rayo de luz pasa de un medio, a otro menos denso, el rayo refractado se aleja de la normal.

Densidad II < Densidad I

El índice de refracción nunca puede ser menor que la unidad, el mínimo valor que puede tomar es 1.

LEYES DE LA REFRACCIÓN 1°

El rayo incidente, la normal y el rayo refractado se encuentran en un mismo plano, el cual es perpendicular a la superficie de refracción.

2°

Ley de Snell.- El índice de refracción del medio en el cual se propaga el rayo incidente, multiplicado por el seno del ángulo de incidencia es igual al índice de refracción del medio en el cual se propaga el rayo refractado, multiplicado por el seno del ángulo de refracción.


382 ∧

∧

nI sen i = nII sen r

ANGULO LÍMITE (L) Cuando un rayo luminoso pasa de un medio denso a otro menos denso, el rayo refractado se aleja de la normal, de modo que si el ángulo de incidencia aumenta, hasta que llega un momento en que ángulo de refracción mida 90° y el rayo luminoso sale al ras de la superficie de separación, el ángulo de incidencia que corresponde a esa refracción se llama ángulo límite. Densidad (2) > Densidad (1)

L = arcsen

n1 n2

Densidad (2) > Densidad (1)

¿Por qué en días calientes se ve la calle como si estuviese mojada? Esto es a consecuencia de la reflexión total. En la figura (a), la luz del cielo llega directamente a los ojos del observador (rayo I); pero la luz cercana al suelo como la del rayo II, pasa de capas de aire superiores más frías hacia las capas más calientes, (la densidad el aire caliente es mayor que la densidad del aire frío o menos caliente); el rayo luminoso se va alejando de la normal hasta que experimenta reflexión total, de este modo la luz penetra a los ojos del observador como si viniera de un punto bajo de la calle, en dirección a la línea punteada como en las figuras a y b.

PROFUNDIDAD APARENTE REFLEXIÓN TOTAL Cuando un rayo luminoso pasa de un medio denso a otro menos denso y el ángulo de incidencia es mayor que el ángulo límite, el rayo ya no se refracta; si no más bien se refleja en la superficie como si éste fuera un espejo, en esas condiciones, la luz no puede salir del medio y el fenómeno se llama reflexión total, también se llama espejismo.

Cuando una persona observa un objeto localizado en otro medio de diferente densidad, lo que ve, no es realmente la posición exacta del cuerpo, si no más bien su imagen, formada por las prolongaciones de los rayos refractados.

h= H

Fn I GH n JK ojo

objeto

h = altura aparente H = altura verdadera

Óptica

383

B)

Divergentes.- Cuando los bordes son más anchos que la parte central, se caracteriza por hacer que los rayos paralelos al eje principal que llegan a la lente se separen de manera que sus prolongaciones se corten en un sólo punto.

PRISMA ÓPTICO Es aquella sustancia transparente limitada por dos superficies planas que se cortan formando un ángulo diedro denominado ángulo del prisma (A); todo rayo luminoso que atraviesa un prisma, experimenta cierta desviación que resulta ser mínima cuando los ángulos de entrada y salida sean iguales.

φ = desviación

φ = d1 + d2

LENTES

ELEMENTOS DE UNA LENTE

Una lente es toda sustancia transparente limitada por dos superficies de las cuales por lo menos una de ellas debe ser esférica.

A)

CLASES DE LENTES A)

Convergentes.- Cuando la parte central es más ancha que los bordes; se caracteriza por hacer que los rayos paralelos al eje principal que llegan a la lente se refracten de manera que todos concurran en un sólo punto.

Centro Óptico (Co).- Es el centro geométrico de la lente.

B)

Centros de Curvaturas (C1, C2).- Son los centros de las esferas que originan la lente.

C)

Radios de Curvatura (R1, R2).- Son los radios de las esferas que originan la lente.

D)

Eje Principal.- Es la recta que pasa por los centros de curvatura y el centro óptico.

E)

Foco (F).- Es aquel punto ubicado en el eje principal en el cual concurren los rayos incidentes paralelos al eje principal. Toda lente tiene 2 focos, puesto que la luz puede venir por uno u otro lado de la lente.


384

F)

Distancia focal (f).- Es la distancia del foco principal a la lente, este valor se determina con la ecuación del fabricante que posteriormente estudiaremos.

OBSERVACIONES Foco objeto (Fo).- Es el foco ubicado en el espacio que contiene al objeto. Foco imagen (Fi).- Es el foco ubicado en el espacio que no contiene al objeto. Foco principal (F).- Es el punto en el cual concurren los rayos refractados o las prolongaciones de los refractados que provienen de los rayos incidentes paralelos al eje principal y que provienen del objeto, el foco principal puede estar ubicado en el foco imagen o en el foco objeto.

− En las lentes, a diferencia de los espejos, la zona en que está el objeto se llama zona virtual, en donde cualquier distancia tiene signo negativo; la zona detrás de la lente se llama zona real y allí cualquier distancia tiene signo positivo; la distancia objeto, es la distancia del objeto a la lente y a pesar que se encuentra en la zona virtual, siempre se mide con signo positivo. − En los espejos, la distancia focal es la mitad del radio de curvatura, en las lentes, esto casi nunca sucede.

CONSTRUCCIÓN DE IMÁGENES: MÉTODO GRÁFICO Para la determinación de la imagen de un objeto, se emplean básicamente 3 rayos luminosos, de los cuales sólo son indispensables 2 de ellos; estos son: 1° 2° 3°

Un rayo paralelo al eje principal que luego de atravesar la lente y refractarse pasa por el foco principal. Un rayo luminoso que pasa por el centro óptico y que no se desvía. Un rayo luminoso dirigido hacia el foco no principal y que luego de atravesar la lente y refractarse se propaga paralelo al eje principal.

EN UNA LENTE CONVERGENTE Caso General

Óptica

385

Caso A Cuando el objeto está muy lejos, la

Caso B Cuando el objeto está más allá del do-

imagen es real, casi puntual invertida y en F.

ble de la distancia focal, la imagen es real, invertida y más pequeña.

Caso C Cuando el objeto está en 2F, la imagen,

Caso D Cuando el objeto está entre F y 2F, la ima-

es real, invertida, del mismo tamaño y en 2F.

gen es real, invertida, de mayor tamaño y más lejos de 2F.

Caso E Cuando el objeto está en el foco princi-

Caso F Cuando el objeto está entre F y la lente,

pal, no se forma imagen, porque los rayos refractados son paralelos.

la imagen es virtual, derecha y de mayor tamaño.


386

EN UNA LENTE DIVERGENTE Las lentes divergentes, sólo producen imágenes virtuales, derechas y de menor tamaño que el objeto.

Caso General

CONSTRUCCIÓN DE IMÁGENES DE UNA LENTE: MÉTODO ANALÍTICO

B)

Ecuación del Fabricante

FG H

1 n − nM = f nM

IJ FG 1 − 1 IJ KH R R K 1

2

n = índice de refracción de la lente nM = índice de refracción del medio R1 = radio de la superficie más cercana al objeto R2 = radio de la superficie menos cercana al objeto

C) f = distancia focal ; O = tamaño objeto I = tamaño imagen ; q = distancia imagen p = distancia objeto

A)

Fórmula de las lentes conjugadas (Gauss) 1 1 1 + = p q f

Ecuación de Newton f 2 = x1 ⋅ x 2

x1 = distancia del objeto al foco objeto x2 = distancia de la imagen al foco imagen

D)

Potencia (P) P =

1 f

Regla de signos: p : siempre positivo q

f

|RS + I.R.I. (Imagen real e invertida) |T −I.V.D. (Imagen virtual y derecha) R| + Convergente S| − Divergente T

P (dioptría) f (metro)

E)

Aumento (A) A=

I O

A=

−q p

A

|RS − I.R.I. |T +I.V.D.

Óptica y Tecnología Ciencia

387

La lupa de cer ca cerca Cuando el objeto está entre F y la lente, la imagen es virtual, derecha y de mayor tamaño.

La lupa de lejos Cuando el objeto está más allá del doble de la distancia focal, la imagen es real, invertida y más pequeña.

El ar co iris arco El “arco iris” generalmente aparece después de una lluvia, cuando el Sol resplandece, mayormente en el atardecer. Esto se debe a que después de la lluvia, gotas de agua quedan suspendidas en la atmósfera comportándose cada una como un pequeño prisma. Los colores del arco iris van desde el violeta hasta el rojo (de abajo hacia arriba), sin embargo, nosotros vemos arriba el violeta y abajo el rojo, ya que la imagen proyectada sobre el cielo se aprecia invertida.

El espectr o de luz visib le espectro visible El rayo de luz blanco está compuesto por siete colores. La luz blanca al atravesar el prisma óptica se descompone en sus colores primarios.


388

El ojo humano

Cuando miramos un objeto, la luz proveniente de dicho objeto incide sobre el ojo y forma una imagen real, invertida y de menor tamaño que el objeto sobre la retina, impresionándola; en estas condiciones la imagen es llevada al cerebro a través del nervio óptico, consiguiendo automáticamente la falsa sensación recibida.

1 1 1 + = p q f En nuestro caso: q = cte, si p varia (alejándose o acercando el objeto), 1/f debe variar ya que 1/q es constante, esto se consigue abriendo o cerrando más los ojos “acomodamiento”, con ello modificamos la distancia focal. Cuando los músculos no actúan, el ojo ve los objetos a una distancia máxima D (punto remoto: P.R.), cuando los músculos son contraídos hasta el máximo, el ojo ve los objetos a una distancia mínima d (punto próximo: P.P.) El acomodamiento varía con la edad de la persona: Para una edad de 15 años : d ≅ 10 cm Para una edad de 20 años : d ≅ 17 cm Para una edad de 30 años : d ≅ 25 cm.

El estereoscospio Es un instrumento que puede estar constituido a base de espejos, lentes, prismas, o por una combinación de estos tres elementos. El funcionamiento consiste en observar dos fotografías simultáneamente, de modo que cada ojo ve una sola imagen; cada foto muestra la misma escena desde ángulos ligeramente diferentes. El cerebro combina ambas imágenes en una sola pero tridimensional.

Óptica

389

TEST 1.-

Una lente que refracte un espejo que refleje los rayos de luz juntos puede. a) b) c) d) e)

2.-

La interferencia de la luz. Presión atmosférica. Difracción de la luz. Refracción de la luz en las capas de la atmósfera. Polarización de la luz.

Cuales de los diagramas muestra mejor los rayos de luz que pasan a través de una lente biconvexa?.

Una lente convergente. Una lente cóncava. Ni a ni b. Ambos a y b. Una lente divergente.

Una lente cóncava. Un espejo convexo. Un espejo plano. Un espejo cóncavo. Otra hoja.

a) b) c) d) e)

El ángulo con el que un rayo de luz será refractado por un prisma depende de la: 9.a) b) c) d) e)

6.-

I, III N.A.

El fenómeno del espejismo, se produce debido a: a) b) c) d) e)

8.-

d) e)

(I)

(II)

(III)

(IV)

La imagen de un objeto se puede enfocar sobre una hoja de papel por medio de: a) b) c) d) e)

5.-

Distancia al objeto. Curvatura de la lente. Distancia a la imagen. Tamaño de la imagen. Tamaño del objeto.

I, II, III I, II II, III

Un espejo cóncavo es similar en su efecto a: a) b) c) d) e)

4.-

7.-

Las cámaras fotográficas de alta precisión se ajustan cambiando la: a) b) c) d) e)

3.-

Amplificar un objeto. Enfocar la luz. Ambos, a y b. Ni a ni b. Desaparecer un objeto.

a) b) c)

Fuente de la onda. Frecuencia de la onda. Intensidad de la onda. Velocidad de la onda. N.A.

i)

El ángulo de incidencia y el de refracción se relacionan de acuerdo a la ley de Snell. ii) Todo índice de refracción absoluto (respecto al vacío) es mayor o igual que uno. iii) El plano que contiene el rayo incidente y la normal, no tiene que ser perpendicular a la superficie de refracción.

Un objeto se coloca a 5 cm de una lente convergente. Determinar las características de la imagen. a) b) c) d) e)

En la refracción de la luz, se cumple que: 10.-

I II III IV Todas

Real, invertida, mayor tamaño. Virtual, invertida, mayor tamaño. Virtual, derecha, menor tamaño. Real, invertida, menor tamaño. Virtual, derecha, mayor tamaño.

Con una lente convergente no es posible obtener: a) b) c) d) e)

Imágenes reales. Imágenes virtuales. Imágenes más grandes que el objeto. Imágenes de menor tamaño que el objeto. Imágenes virtuales y más pequeñas que el objeto.


390


problemas de aplicación Solución:

El diamante tiene un índice de refracción n = 2,5. ¿Cuál es la velocidad de la luz en el diamante?

o Ley de Snell (Superficie A).

Solución :

nairesen 53° = nvidriosen α ............. (1)

ndiamante = 2,5

o Ley de Snell (Superficie B).

naire =1

nv sen α = naguasen θ ..................... (2)

vA = Velocidad de la luz en el aire = 300 000 km/s vB = Velocidad de la luz en el diamante = ?

o (1) = (2):

v o ndiamante = A vD 2, 5 =

300 000 vD

⇒

vD =

2.-

b1gFGH 45 IJK = 43 sen θ

300 000 2, 5

vD = 120 000 km / s

naire sen 53° = naguasen θ ⇒

sen θ =

θ = 37° 4.-

Un rayo de luz entra al agua como muestra la figura. Calcular el ángulo θ.

Un trozo de madera se encuentra a 20 m debajo de la superficie del agua como muestra la figura. Calcular la altura aparente con la cual ve la persona. Índice de refracción del agua = 4/3.

Solución: Solución:

o Según la expresión:

F I G 1J h = 20G J GH 43 JK

naire sen 53° = naguasen θ ⇒

3 sen θ = 5

θ = 37° 3.-

Fn I GH n JK

h=H

aire

agua

o Según la Ley de Snell:

b1gFGH 45 IJK = 43 sen θ

3 5

Un haz de luz íncide sobre una placa de vidrio (nv = 1,5) y emerge en agua (nagua = 4/3). Calcular el ángulo θ.

5.-

⇒

h = 15 m

¿A qué distancia de una lente convergente de 15 cm de distancia focal sobre su eje, debe colocarse un punto luminoso para que su imagen real se produzca a doble distancia. Solución:

Óptica

391

1 1 1 + = p 2p f

⇒

Solución:

1 1 1 + = p q f

o Datos: f = 15 cm ,

3 1 = 2p 15

p = 22, 5 cm

B 1.-

problemas complementarios En la figura mostrada, determinar el ángulo de incidencia “α”. Sabiendo que el rayo reflejado es igual al rayo refractado (nagua = 4/3).

o Cuando el rayo entra: nairesen α = nv sen β ............... (1)

o Cuando el rayo sale: nv sen β = nairesen γ ............... (2) o De (1) y (2):

sen α = sen γ

Deducido α = γ, se tiene:

Solución: o De la figura:

α + β = 90° .............. (1)

o Ley de Snell: nairesen α = naguasen β

b1gsen α = FGH 45 IJK sen β .......................... (2) o De (1):

o De la figura:

sen β = cos α

b

θ=2 α−β

o En (2):

b1gsen α = FGH 43 IJK cos α

⇒

tg α =

o De (1):

4 3

.......... (3)

nairesen α = nv sen β

b1gsen α = 43 sen β

α = 53° 2.-

g

Si: α = 53°

Un rayo luminoso íncide sobre un cuerpo esférico transparente formando un ángulo “α” respecto a la normal. Si el índice de refracción del vidrio es 4/3. Determinar el ángulo “θ” que forma el rayo emergente respecto del incidente cuando α es 53°.

sen 53° =

4 sen β 3

⇒

β = 37°

⇒

θ = 32°

o En (3):

b

θ = 2 53° − 37°

3.-

g

En la figura mostrada, hallar la altura del niño, si éste logra ver al pez que se encuentra en el agua en la forma como se indica. nagua =

4 (desprecie el tamaño de los ojos a la parte 3 superior de la cabeza del niño).


392

F n Ix h= G H n JK aire

⇒

agua

Solución:

h=

o Ley de Snell:

⇒

108 = 100 +

3 sen β = 5

x=

β = 37° o Construyendo: tan 37° =

4.-

3 x 4

o Dato: 108 = 100 + h

naire sen 53° = naguasen β

b1gFGH 45 IJK = 43 sen β

F I G 1J h= G Jx GH 43 JK

x 1, 6

⇒

x = 1, 2 m

Un aeroplano y un submarino están en un instante dado en la misma vertical. La distancia aparente del submarino al aeroplano es de 108 m y éste vuela a 100 m sobre el nivel del mar. Hállese la profundidad x del submarino.

5.-

32 3

3 x ⇒ 4

⇒

8=

3 x 4

x = 10 , 66 m

En el fondo de una piscina de 2 metros de profundidad se encuentra un foco que irradia luz en todas direcciones. ¿Cuál es el área de la mancha luminosa que se observa en la superficie? (en m2).

Solución:

o La mancha tendrá la forma de un círculo de radio “R”. nH2O senL = nA sen 90° Solución: o Datos:

naire = 1 ; nagua =

4 3

h = altura aparente x = altura verdadera

4 senL = 1 1 3 3 senL = 4

b gb g

Óptica

393 tanL =

o Además: 3 R = 7 2

⇒

R=

R 2

2 2 + =1 3 3I

6 m 7 7.-

A = πR2 = π

FG 6 IJ H 7K

⇒ A=

2 1 = 3I 3

I = 2 cm

o Ahora: 2

⇒

36 π m2 7

Una lente biconvexa, simétrica, de radios R = 30 cm, da un objeto situado a 1,5 m una imagen a 37,5 cm. ¿Cuál es el índice de refracción del vidrio de la lente? Solución:

6.-

La lente mostrada en la figura es delgada y tiene una distancia focal de “F” cm. Calcular la altura de la imagen de un objeto “A” de 1 cm de altura. Solución: o En primer lugar veámos donde se forma aproximadamente la imagen según el método gráfico.

o

1 1 1 + = p q f 1 1 1 + = 150 37 , 5 f

⇒

1+ 4 1 = 150 f

f = 30 cm

á

o

I.R.I. 3 O = 1 cm ; f = F ; p = F 2

o Datos:

gFGH b g IJK 1 15 F 1I =n = bn − 1gG J ⇒ H 15 K 30 30

⇒

A=−

I .............. (1) 1

v

q .............. (2) p

8.-

o Como tenemos I.R.I. (“q” es positivo) (1) = (2) q I =− p 1

FG 3 FIJ H2 K

v

−1

nv = 1, 5

o También:

o Ahora:

2

b

A = −A

q= I

1

1 1 1 = nv − 1 − −30 30 30

o Como tenemos I.R.I.:

A=−

IJ FG 1 − 1 IJ KH R R K

Reemplazando:

I A= O

A=−

FG H

n − 1| 1 = v f 1

⇒

⇒

q = Ip Solución:

q=

3 If 2

1 1 1 + = p q F

Reemplazando:

La distancia entre un foco (lámpara eléctrica) y una pantalla (plana) es: d = 1 m. ¿Para qué posiciones de una lente convergente, intermedia entre el foco y la pantalla, con distancia focal f = 21 cm, la imagen del filamento incandescente de la lámpara se verá nítida en la pantalla?

1 1 1 = + 3 3 F F IF 2 2

FG IJ H K


394 p + q = 100 cm

o Datos:

⇒

q = 100 − p

f = 21 cm Pero: 1 1 1 + = p q f

Una lente divergente tiene un índice de refracción n = 1,5 y una potencia de −2 dioptrías. ¿Cuál será su nueva potencia cuando se le sumerge en el agua cuyo índice de refracción es 4/3? Solución:

1 1 1 + = ⇒ p 100 − p 21

b

10.-

100 1 = p 100 − p 21

b

o Lente divergente en aire: P = − 2 dioptria

g

n = 1, 5

g

p 100 − p = 2100

p= p2 − 100p + 2100 = 0 p= p= 9.-

Por otro lado:

2

b−100g − 4b2100g

100 ±

o

2 100 ± 40 2

1 ; f1: distancia focal en el aire (m) f1

⇒

p = 70 cm y 30 cm

Hallar los radios de curvatura de una lente bicóncava cuyo índice de refracción es 1,5; su distancia focal es 30 cm y sus radios están en la relación de 3 es a 5.

F IF 1 − 1 I GH JK GH R R JK F 1, 5 − 1IJ FG 1 − 1 IJ −2 = G H 1 KH R R K 1F 1 1I −2 = G − J 2HR R K F 1 1I −4 = G − J ........ (1) HR R K 1 n − nm = f1 nm

1

Solución:

1

1

2

1

2

2

2

o Lente divergente en agua:

F IF 1 − 1 I GH JK GH R R JK F 3− 4I 1 G 2 3 JF 1 1I − =G f G 4 JJ GH R R JK H 3 K n − nagua 1 = f2 nagua

2

o Datos:

nL = 1, 5

,

f = − 30 cm (divergente )

naire = 1 R1 3 ............ (1) = R2 5 o Ecuación del fabricante:

IF 1 − 1 I JK GH R R JK 1 F 1, 5 − 1I F 1 − =G J G − − 1 IJ 30 H 1 K H R R K 1 1F 1 1I = G + J ........ (2) 30 2 H R R K F GH

n − naire 1 = L f naire

1

2

1

1

2

2

o (1) en (2): R1 = 24 cm ; R2 = 40 cm

1

1

2

2

F 9 − 8 IF GG 6 JJ G 1 − 1 IJ GH 43 JK H R R K F 1I 1 G 6 JF 1 1I = − f GG 4 JJ GH R R JK H 3K 1 = f2

1

2

1

F GH

2

2

I JK

1 1 1 1 ........ (2) = − f2 8 R1 R2 o (1) en (2): 1 1 = −4 f2 8

b g

P2 =

⇒

1 1 =− ⇒ f2 2

f2 = − 2 m P2 = − 0 , 5 dioptrías

Óptica

395



Rpta. 2.-

3.-

n = 1,33

Rpta. 9.-

Con una lente plano convexa de radio 64 cm; n = 1,5 se obtiene una imagen 1,5 veces mayor que el objeto. ¿A que distancia se halla el objeto?

Rpta.

Rpta.

n=2

El índice de refracción en el caso de un rayo de luz que pasa del aire a un cristal, es 1,25. Si el rayo de luz pasa del mismo cristal al aire. ¿Cuál es la relación entre los senos del ángulo de incidencia, y el ángulo de refracción?

10.-

Un buzo mira desde el agua al exterior, observando un avión a 100 m de altura sobre la superficie. Determinar la altura real del avión.

B


Un avión y un submarino están, en un instante dado en la misma vertical. La distancia aparente del submarino para el avión es 309 m y la altura del avión sobre el agua es 300 m, hallar la profundidad (H) del submarino (nH 0 = 1,3) Rpta.

Rpta.

11,7 m

En la figura mostrada calcular el valor del ángulo θ.

2.-

1, 5

Un rayo de luz que se propaga en el aire, forma un ángulo de incidencia de 45° con la superficie de una capa de hielo, el rayo se refracta con un ángulo de 30°, ¿Cuál es el ángulo límite para el hielo? Rpta.

Rpta. θ = 53°

3.-

45°

Sea una lámina de vidrio de 5 cm de espesor con un índice de 1,5. ¿Bajo qué ángulo de incidencia (desde el aire) los rayos reflejado y refractado en la lámina serán mutuamente perpendiculares?

Un objeto de 4 cm de altura está situada a 20 cm de una lente delgada convergente y de distancia focal 12 cm, determinar la posición y tamaño de su imagen. Rpta.

8.-

30 cm

Determinar el índice de refracción de un cristal cúbico, sabiendo que un rayo luminoso íncide en una de las caras del cubo con un ángulo de incidencia de 45°, emerge coincidiendo con una de las caras laterales del cubo.

75 m

2

7.-

Una lente biconvexa de vidrio (n = 1,5) tiene 60 cm y 30 cm como radios de curvatura. Si a una distancia de 60 cm de la lente se ubica un objeto de 15 cm de altura. ¿Cuál es el tamaño de la imagen? Rpta.

1.-

6.-

213 cm

4/5

Rpta. 5.-

q = 10,8 cm I.V.D. ; i =1,6 cm

Si la velocidad de la luz en cierto medio es 1,5×1010 cm/s, calcular el índice de refracción del medio.

Rpta. 4.-

de un objeto de 4 cm de altura y situado a una distancia de la lente 27 cm.

Si se considera que la velocidad de la luz en el aire es 300 000 km/s y en el agua 225 000 km/s; calcular el índice de refracción del agua.

30 cm , 6 cm

Determinar la posición y tamaño de la imagen dada por una lente divergente de 18 cm de distancia focal

Rpta. tan x =

3 2


396 4.-

El prisma mostrado tiene un índice de refracción de 2 . Dos rayos luminosos A y B son paralelos cuando inciden en el prisma. ¿Qué ángulo forman A y B al salir del prisma? Rpta.

5.-

7.-

La figura muestra una lente cuyo índice de refracción es n = 1,5. Si, x = 30 cm, y = 60 cm. Hallar la distancia focal de la lente.

30°

Un prisma de reflexión total como el mostrado en la figura es muy usado en espectroscopia descubierto por Pellín Broca; este produce siempre una desviación constante “θ”. El índice de refracción del material es 0,8; y un rayo de luz que entra en el prisma “A” sigue la trayectoria “AB” que es paralela a la línea “CD”. Calcular el ángulo “θ” entre las direcciones inicial y final en el aire.

Rpta. 8.-

Una lente de vidrio cuyo índice de refracción es 1,5 tiene una superficie cóncava de 20 cm de radio y una superficie convexa de 60 cm de radio ¿Cuál es su longitud focal si se le sumerge en el agua cuyo índice de refracción es 1,33? Rpta.

Rpta.

6.-

9.-

90°

40 cm

f ≅ 2,4 m

Los radios de las caras de una lente biconvexa son R1 = R2 = 60 cm y de índice de refracción n = 1,25. ¿Cuál es la mínima distancia entre un objeto y su imagen dada por esta lente?

Un buceador de “h” m de estatura se encuentra a una profundidad de “H” m sobre un fondo que tiene forma de plano inclinado cuyo ángulo de inclinación es α. Hallar la distancia que lo separa de un pez en la superficie del agua. (índice de refracción del agua = n), L = ángulo limite

Rpta. 10.-

Rpta.

d=

b2H − hg sec α n2 − 1 − tan α

480 cm

La altura de la llama de una vela es 5 cm, una lente proyecta en una pantalla la imagen de esta llama de 15 cm de altura. Sin mover la lente se desplaza en 1,5 cm la vela aún más de la lente y después de correr la pantalla, se nota nuevamente una imagen nítida de la llama de 10 cm de altura; determinar la distancia focal de la lente. Rpta.

f = 9 cm lente convergente

Capítulo

17

FÍSICA MODERNA INTRODUCCIÓN La Física Moderna aparece a fines del siglo XIX con el descubrimiento de la Teoría Cuántica y la Teoría de la Relatividad. Surge como consecuencia de la inexplicabilidad de ciertos fenómenos con la aplicación de las leyes de la Física Clásica (Newtoniana); así si analizamos una partícula cuya velocidad es tan grande como la de la luz, la Física clásica falla. Si se analiza microscópicamente las partículas de un átomo, también falla. Surgieron entonces grandes científicos que dieron un gran avance a la ciencia: Albert Einstein, Max Planck, Niels Bohr, entre otros.

TEORÍA CUÁNTICA Es aquella que se encarga de estudiar la cuantificación de la energía (cuantum) o paquetes de energía. La revolución de está teoría consiste en descubrir que la energía existe en forma discreta y no en forma contínua. Analogía

Los granos de maíz se pueden cuantificar, es decir, existe un elemento mínimo, el grano, luego se puede contar: 1, 2, 3, 4......., n granos (forma discreta).

La cantidad de agua varía en forma contínua (aparentemente).

Uno de los pioneros de esta teoría fue el Físico alemán Max Planck (1 858 – 1 947). El análisis científico se explica a continuación: Si se dirige un rayo de luz de un cuerpo incandescente hasta un prisma, se formaría un espectro de luz aparentemente contínuo. El cuerpo caliente, emite radiaciones que dan un aspecto contínuo, sin embargo, la luz emitida no es uniforme, pues depende de: − −

La naturaleza química Y de la temperatura del cuerpo.


410 Ahora; para que la luz emitida sea uniforme a una determinada temperatura independiente de la naturaleza química del cuerpo, se hizo uso del cuerpo negro.

Planck llevó a cabo varios modelos matemáticos, de los cuales la única manera de llegar a la misma respuesta experimental era asumiendo que un oscilador podría emitir sólo ciertas energías, es decir, que son múltiplos de hf (h = cte de Planck), f = frecuencia. En síntesis, la energía de un oscilador puede ser: 0, 1hf, 2hf, 3hf,................,nhf E = nhf n = # entero h = 6,6×10−34 Joule-s E = energía

Cuando elelcuerpo cuerponegro negroesescalentado calentadohasta hasta alcanzar temperatura sufialcanzar unauna temperatura suficiencientemente elevada, luz uniforme. temente elevada, este éste emiteemite luz uniforme.

Algunos científicos utilizando el montaje de la figura midieron experimentalmente la intensidad contenida en cada región del espectro, obteniendo diversas curvas entre las cuales podemos citar.

En otras palabras, la emisión de energía por estos electrones está CUANTIFICADA o dividida en PAQUETES cada una con magnitud hf (CUANTUM), por ende, el cambio de energía no ocurre gradual y contínuamente, sino en saltos y súbitamente. (Un gran descubrimiento).

Cuerpo Negro T = 250 K

T = 10 000 K

Llegando a varias conclusiones, entre ellas: Cuando la temperatura del cuerpo negro aumenta, fmax aumenta cumpliendo:

fmax = cte T Por otro lado; los trabajos de Maxwell y Hertz llevaron a Max Planck a afirmar que la radiación se origina en cada electrón que oscila con una frecuencia f dada (osciladores eléctricos microscópicos).

Es aquel que absorbe en un 100% toda radiación que cae sobre él, y no refleja nada. Un modelo ideal de cuerpo negro es una esfera de hierro con un orificio muy pequeño a través del cual se puede ver su interior. En la figura se observa que una radiación ingresa a la esfera hueca; ésta se refleja varias veces hasta que al final es absorvido totalmente. También sería preferible llamarlo radiador integral, en lugar de cuerpo negro, porque a temperatura suficientemente elevada, el cuerpo negro emite “Luz uniforme”, lo cual contrasta con su nombre.

EFECTO FOTOELÉCTRICO Es aquel fenómeno en el cual, ciertas placas metálicas emiten electrones cuando se someten a la acción de la luz. El fenómeno se hace más acentuado cuando las radiaciones son de alta frecuencia (ondas ultravioletas) y con metales como el cesio, el sodio y el potasio.

Física Moderna

411 Por lo tanto: Para que un electrón abandone la placa metálica, deberá cumplir: o

v>0

o

bhf − Wg > 0

⇒

hf > W ; de lo contrario, el electrón no sale.

Ilustración

¿Cómo explicar la naturaleza de dicho fenómeno? Albert Einstein, científico alemán nacionalizado en E.E.U.U. propuso basarse en los estudios de Max Planck (el Cuantum). Einstein llamó al Cuantum de luz: FOTON o partícula de luz. Con esto la luz es tratada como si tuviese naturaleza corpuscular. Al igual que Planck, Einstein planteó su modelo matemático, el cual fue afinado hasta que al final obtuvo.

El sistema toma el nombre de célula fotoeléctrica – no circula corriente eléctrica.

La luz incide a la placa metálica, los electrones se desplazan, surge la corriente eléctrica.

MODELO A TÓMICO ATÓMICO Desde el descubrimiento del átomo, muchos modelos se han planteado, al respecto citaremos algunos de ellos.

Modelo de Thompson

hf = W +

1 mv 2 2

d i

Siendo: hf = Contenido de energía (fotón) que se entrega en su totalidad a cada electrón de la placa. W = Energía mínima necesaria para sacar un electrón de la placa metálica; si dicho valor es menor que el mínimo, no se produce ningún efecto. 1 mv2 = Energía cinética máxima que 2 puede tener el electrón para dejar la superficie.

d i

Los electrones se emiten con relativa facilidad calentando un metal (emisión termoiónica), iluminándolo (efecto fotoeléctrico), etc. En cambio, las cargas positivas no son tan fáciles de extraer, por lo que deben hallarse ligadas firmemente a la masa del átomo.

Modelo atómico de Thompson. El átomo es una esfera con carga positiva ligada a él y con electrones incrustados en la superficie.

Posteriormente Rutherford, comprobó experimentalmente la equivocación de este modelo.


412 2.-

Modelo de Rutherford El átomo está compuesto por un núcleo central que contiene toda la masa y la carga positiva del átomo y girando alrededor de él; los electrones, formando un sistema planetario en miniatura.

A) La emisión de la luz por parte del átomo, sucede cuando el electrón pasa de una orbita estacionaria a otra. B) Si un electrón en un átomo, pasa de una órbita de mayor a otra de menor energía emite un fotón de energía, el cual es igual a la diferencia de energía correspondiente a los estados inicial y final. hf = Ef − Ei

h = cte de Planck = 6,63×10−34 Joule-s

Con este modelo y tomando los principios del sistema planetario; matemáticamente se demuestra que el electrón iría perdiendo energía y disminuyendo su radio; con lo que su trayectoria se transformaría en una espiral. Con esto se verifica que la física clásica no nos sirve para describir los fenómenos atómicos.

Con esto se comprende perfectamente que el electrón sólo puede pasar de una orbita a otra de radio diferente mediante un salto, ya que si lo hiciera siguiendo una trayectoria espiral, el radio de la curva pasaría por valores prohibidos.

El electrón se encuentra en una órbita estacionaria, luego no hay emisión de luz.

El átomo tratado en forma similar al sistema planetario.

El electrón al perder energía reducirá su radio y acabará cayendo al núcleo.

Modelo de Bohr Niels Bohr, Físico danés, presentó un nuevo modelo del átomo, basado en los estudios de Rutherford. Este consistía en un modelo de átomo con electrones planetarios en orbitas circulares o elípticas. Es decir electrones que giran alrededor del núcleo, el cual tiene la misma carga positiva que los electrones que giran. Bohr en 1 913 enuncia ciertos postulados. 1.-

En el átomo, los electrones se mueven en órbitas circulares en la que no emiten energía radiante; estas órbitas toman el nombre de órbitas estacionarias.

El electrón saltó de una a otra órbita estacionaria, luego se produce una emisión de luz.

EL RA YO LÁSER RAYO El rayo láser viene a ser la luz concentrada o luz amplificada y su estudio se inicia en 1 917 con Albert Einstein. Láser, significa: amplificación de la luz por emisión estimulada de radiación. Explicaremos su principio:

Física Moderna En primer lugar la sustancia a partir de la cual se quiere obtener el rayo láser debe tener ciertos átomos excitados; veamos que le pasa a uno de sus átomos excitados. Un fotón con la energía necesaria proveniente de otro lugar, interactúa con el átomo y estimula la emisión de un fotón idéntico al original, es decir, entra un fotón y salen dos fotones idénticos coherentes (con la misma energía, fase, frecuencia y dirección) obteniéndose de este modo la amplificación o concentración de la luz.

413 con mucha frecuencia. Sin embargo son muchos los fenómenos físicos que serían imposibles de explicar sin la teoría de la relatividad. A continuación se enfocará las partes más importantes de la teoría relativista.

1.-

La Velocidad Máxima La máxima velocidad que puede existir es de 300 000 km/s, la cual coincide con la velocidad de la luz, no es posible concebir una velocidad mayor que esta velocidad límite Recordemos: 300 000 km/s, significa que por cada segundo que pasa el cuerpo recorre 300 000 km.

Si bien es cierto, la energía obtenida se ha duplicado, el principio de la conservación de la energía no pierde vigencia, ya que la disminución en la energía del átomo (ver figura) es igual a la energía del fotón emitido, el proceso toma el nombre de “bombeo óptico”. La radiación obtenida se puede amplificar aún más haciéndola resonar o rebotar por medio de espejos. El láser tiene múltiples aplicaciones, así por ejemplo, se usa para dirigir mísiles de guerra, en la lectura de códigos de barras, en la grabación y lectura de discos compactos, en la medición de distancias con aparatos topográficos; en las operaciones quirúrgicas, etc.

TEORÍA DE LA RELA TIVIDAD RELATIVIDAD Esta teoría, promulgada por el físico más grande del siglo siglo pasado, el científico alemán Albert Einstein (1 880-1 955), consiste en analizar los fenómenos para cuerpos cuya velocidad sea comparable a la velocidad de la luz en el cual las leyes de la física clásica dejan de cumplirse. Esto no significa que la física de Newton y Galileo no sirva; no es así, simplemente sucede que dichas leyes tienen su límite (La velocidad de la luz). En la actualidad, casi todos los cuerpos que percibimos tienen velocidades extremadamente pequeños comparadas con la de la luz (300 000 km/s), por tal motivo las leyes clásicas de la Física son usadas

Si hacemos comparaciones con instrumentos conocidos, por ejemplo un cohete espacial tiene un velocidad de 13 km/s. El descubrimiento de la velocidad máxima es uno de los triunfos más grandes de la historia. Incluso es posible que al viajar a tan grande velocidad percibamos una cuarta dimensión (el tiempo). v = 2 m/s v = 40 m/s

v = 13 km/s

2.-

v = 300 000 km/s

Dilatación del Tiempo Si un cuerpo tiene una velocidad comparable a la de la luz, por ejemplo 280 000 km/s, entonces éste viaja a través del tiempo hacia el futuro. Cualquier reloj sincronizado en movimiento se atrasa respecto a otro que está en reposo.


414 −

Explicaremos con un ejemplo este fenómeno. Supongamos que dos hermanos mellizos de 10 años se despiden el 1 de abril de 1 998; uno de ellos queda en reposo (o moviéndose como de costumbre), mientras que el otro viaja en una nave cuya velocidad alcanza los 280 000 km/s.

Para conseguir un nave que alcance y luego conserve dicha velocidad, se necesitará tanta energía como produce la humanidad durante varias decenas de años.

La expresión que permite calcular la relación entre los tiempos es:

T = To 1 −

v2 c2

To : tiempo con respecto a cuerpos de velocidades pequeñas T : tiempo con respecto a cuerpos de gran velocidad c : velocidad de la luz (300 000 km/s) v : velocidad de viaje Cuando la nave llegue a su destino y luego regrese, Mario tendrá 45 años, mientras que Goyo tendrá 80. Qué ha pasado?. Simplemente que para Mario que voló a gran velocidad se redujo el tiempo y por lo tanto se habrá trasladado al futuro, de modo que cuando se encuentra con su hermano mellizo, éste estará ya un anciano.

3.-

La Energía Einstein encontró una expresión para calcular la energía, la cual es válida hasta para grandes velocidades como la de la luz. E = mc2

E : energía m: masa c : velocidad de viaje

4.-

Sin embargo no todo es felicidad, pues Mario no podrá regresar al pasado, ello es imposible. Es como admitir que una persona existe antes de nacer sus padres. Todo esto está demostrado matemáticamente, pero en la práctica para lograrlo es preciso vencer ciertos obstáculos los cuales es seguro que se conseguirán conforme avance la ciencia. Entre ellos tenemos: −

El organismo humano no está capacitado de por sí a la aceleración que necesita para llegar a tan fabulosa velocidad.

Variación de la Masa La masa de todo cuerpo aumenta cuando está en movimiento. Ciertamente resulta difícil admitir que la masa por ejemplo de una persona aumenta cuando camina; esto es cierto, sólo que ese incremento es totalmente insignificante para tan infima velocidad. Sin embargo si hablamos de velocidades grandes, comparables a la de la luz, ahí si habría que tener presente el incremento, pues para ese orden de velocidad, la masa aumenta según la siguiente fórmula.

m=

mo 1−

v2 c2

mo : masa en condiciones normales

Física Moderna

5.-

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Contracción de la Longitud Las longitudes que hay entre dos puntos para un cuerpo que se mueve con velocidad comparable a la de la luz disminuye según la siguiente expresión. L = Lo 1 −

Lo : longitud respecto al sistema de velocidad pequeña L : longitud respecto al sistema con velocidad grande v : velocidad de viaje c : velocidad de la luz

v2 c2

v = 280 000 km/s v=0

Ilustración extraida del libro: ¿Qué es la teoría de la relatividad? De L. Landau, Y. Rummer.

Albert Einstein Albert Einstein nació el 14 de marzo de 1 879 en el hogar de un comerciante de productos químicos en Alemania. De niño era un muchacho retraído y no tenía muchos amigos, le gustaba hacer construcciones complicadas; empezó hablar recién a los tres años de edad, en el colegio nunca fue un alumno sobresaliente, pero si era enemigo a todo tipo de autoridad que se le quisiera imponer, tal es así que no le agradó nunca el tipo de vida militarista de las escuelas alemanas. A los dieciséis años él y su familia se mudaron a Italia donde permanecieron poco tiempo, para dirigirse a Suiza donde el joven Einstein encontró una escuela a su gusto y pasó ahí un año muy satisfactorio. En 1 901, antes de entrar al Instituto Politécnico de Zurich donde tuvo las primeras ideas de la relatividad, se nacionalizó como ciudadano Suizo

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En 1 902 se casó con una joven estudiante de matemática con quién tuvo dos hijos para luego divorciarse. Como no tuvo suerte de realizarse como profesor, pasó ocho años (1 901-1 909) como consultor oficial en la oficina de patentes de Berna, en la cual encontró el tiempo suficiente para analizar, estudiar y meditar sobre temas que hoy en día son de gran importancia. En 1 905, a la edad de 26 años, Einstein presentó tres teorías que remecieron el mundo intelectual. El efecto fotoeléctrico, basados en los estudios de Max Planck. El movimiento Browniano, basados en los estudios de Robert Brown. La teoría de la relatividad, basados en los estudios de los físicos Fitzroy y Lorents. Con ésta última teoría demuestra que los principios de Galileo y Newton no le servían como verdad definitiva. En 1 909, la Universidad de Zurich lo sacó de Berna y de ahí en adelante, Einstein pasaría por diversas posiciones académicas en diferentes Universidades, fue así que en la Universidad de Berlín, de dieron una plaza donde él no tendría ninguna obligación, concreta, para que pudiera dedicarse a la investigación. Con esto Einstein profundizó sus estudios sobre la relatividad con su teoría de la “Relatividad generalizada” en la cual afirmaba que el espacio posee la forma de curvatura. En 1 914 estalló la primera guerra mundial, la cual terminó en 1 918, en ese lapso todo estaba concentrado en el conflicto, mientras que Einstein enemigo de las guerras, maduraba cada vez su teoría generalizada. En 1 919, contrajo segundas nupcias, en esta oportunidad con una de sus primas. Ese mismo año aprovechando el eclipse solar que se produjo, mediante observaciones al Sol se comprobó su teoría “Los rayos de luz se curvean cuando pasan cerca del Sol”. En 1 921 se le concedió el Premio Nobel de Física, por sus trabajos sobre ”el efecto fotoeléctrico y el campo de la física teórica” y no por sus estudios sobre la teoría generalizada de la relatividad. Al igual que Newton, para Einstein fue muy difícil llegar a difundir sus descubrimiento, no por falta de apoyo, sino por lo complejo de sus operaciones matemáticas, tal es así que otros científicos que colaboraban con él, se encargaban de traducir sus expresiones matemáticas en términos más “simples”, pero sin embargo esto llevaba consigo distorsiones de los enunciados iniciales de Einstein. En 1 931, Einstein presentó un trabajo sobre la energía atómica, en la cual relacionaba la 2 materia con la energía, E = mc , donde E representa la energía de cualquier partícula de masa “m” y “c” el valor de la velocidad de la luz. Con esto demuestra que la energía que puede obtenerse de una partícula pequeña sería fantásticamente elevada: Había sentado las bases para el nacimiento de la era de la energía atómica. En 1 933, Adolfo Hitler asume el poder en Alemania, con lo cual Einstein renunció a la Universidad de Berlín, pues él era de origen Judío, fue entonces que se alejó de Alemania y esto sirvió para que el Gobierno Nazi pusiera precio a su cabeza, al genio de todos los tiempos. Fue así que Einstein llega a los Estados Unidos de Norteamérica donde fue recibido en la Universidad de Princenton (New Jersey); donde seguiría con sus investigaciones. Un año después se hizo ciudadano Norteamericano. De ahí en adelante se dedicó a investigar su nueva teoría “Teoría del campo unificado” la cual relaciona la gravitación y el electromagnetismo, lamentablemente no pudo terminar su trabajo y hoy en día algunos científicos continúan con su estudio. En 1 939 Einstein envió un memorándum al presidente Roosevelt alertándolo de la amenaza de una nueva arma: la bomba atómica; que los alemanes estaban perfeccionando, fue entonces que el Presidente de los E.E.U.U. reunió a los mejores científicos de todo el mundo para que desarrollarán la bomba atómica antes que lo hiciera Alemania. Cuando Hiroshima y Nagasaki fueron destruidas por dicha arma, Einstein quedó profundamente abatido, tal es así que al término de la segunda guerra mundial, él trato de crear un acuerdo Internacional a favor de la paz en el mundo mediante el desarme mundial y la prohibición de la bomba atómica. El 18 de abril de 1 955, a criterio de muchos, el más grande genio de todos los tiempos, fallece a la edad de 76 años.

Física Moderna Ciencia y Tecnología

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Caja fuerte - efecto fotoeléctrico Una caja fuerte, es generalmente un ambiente cerrado y oscuro, cuando el ladrón abre la caja, hace incidir luz dentro de ella; esto hace que se desprendan electrones de la placa metálica generando así corriente eléctrica y activando el sistema de alarma.

Ascensor - efecto fotoeléctrico Cuando el rayo de luz llega desde “A” hasta la célula fotoeléctrica “B” se desprenden de la placa metálica electrones, generando corriente eléctrica y activando así el motor que permite abrir o cerrar las puertas del ascensor. Si se colocase un obstáculo en “A”, la puerta no abre ni cierra. El emisor de luz es activado mediante interruptores adheridos a la pared.

El ra yo láser en el mer cado ray mercado El código de barras contenido en el producto, es revisado por un emisor de rayos láser, el cual lee dicho código. La información pasa a una computadora la cual identifica el producto para luego proporcionar el precio a la caja registradora electrónica. En caso el sistema no reconozca el código de barras, la cajera tendría que digitar manualmente los números que contienen dicho código.


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El rayo láser - disco compacto La lectora de discos compactos emite rayos láser. En el proceso de grabación el sonido se transforma en códigos; el rayo láser graba estos códigos en la cara inferior del disco. En el proceso de difusión el rayo láser lee los códigos y las transforma en sonido.

Loscablesdeteléfono

La fibra óptica se utiliza en los cables telefónicos en donde el sonido es transformado en impulsos luminosos.

Endoscopiabronquial La fibra óptica se utiliza para visualizar órganos que están dentro del cuerpo humano. Los bronquios de los pacientes pueden ser observados mediante la fibra óptica ingresada vía fosa nasal, en tiempo real, tal como se muestra en la fotografía.

La fibra óptica Las fibras ópticas son finos cables de vidrio, constituido por dos elementos diferentes: el vidrio interior o núcleo y el que le rodea (revestimiento) que es otro tipo de vidrio. Cuando un rayo de luz (preferible rayo láser, por su concentración) ingresa a una fibra de vidrio, logra chocar con el revestimiento produciéndose así una reflexión, es así que la luz en su viaje interno rebota de un lado a otro sin escapar, y lo que es más sorprendente sin disminuir su intensidad luminosa. En realidad el rayo luminoso o láser que ingresa a la fibra óptica está destinado a experimentar una serie contínua de reflexiones totales con lo cual la luz resulta canalizada y puede seguir la curvatura de la fibra.

Física-Mendoza Dueñas-completo

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