F´ısica ısi ca - Blo Bloque que 1 Fuerzas Gravitatorias
Curso 2010-2011
1
´ Indice 1. Modelos del Universo
3
1.1. Leyes de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2. Ley de Newton Newton - Gravit Gravitac aci´ i´ on Universal
3
3. Traba jo
4
3.1. Signo del traba jo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Camp o
4
4.1. Concepto de campo . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Camp o gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Intensidad de camp o . . . . . . . . . . 4.2.2. 4.2.2. Represen Representaci taci´ o´n del camp o gravitatorio 4.3. Energ´ıa po pottencial gravitatoria . . . . . . . . . 4.4. Potencial gravitatorio . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
5. Movimiento de Planetas y Sat´ elites
5.1. 5.2. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. 5.7. 5.7.
Velo cidad orbital . . . . . . . . . Periodo Periodo de de revolu revoluci´ ci´ on . . . . . . . Energ Ener g´ıa mec´ anica anica de traslaci´on . Velo cidad de escap e . . . . . . . . Campo gravitatorio terrestre . . . Intensidad de campo terrestre . . Deducci Deducci´ on o´n de la 3a Ley de Kepler
4
. . . . . . .
2
4 4 4 5 5 5 6
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
6 6 6 7 7 7 7
1.
Mode Modelo loss del del Univ Univer erso so
oteles, oteles, Ptolomeo (Modelo geoc´entrico). entrico). a.C.: Aritst´ ernic o (Modelo (Mo delo helioc´ helio c´entrico), entrico ), Galileo (Telescopio). (Telescopio) . S. XV: Cop´ernico S. XVI: Kepler.
1.1. 1.1.
Ley Leyes de Kepl Kepler er
1. Todos los planetas describen orbitas o´rbitas el´ıpticas ıpticas con el Sol situado en uno de sus focos. fo cos. 2. La recta que une un planeta con el Sol barre areas iguales en tiempos iguales (Ley ´ ). de las Areas 3. El cuadrado del periodo del movimiento movimiento de un planeta es directamente directamente proporcional al cubo de la distancia media del planeta al Sol. T 2 = K R3
2.
Ley Ley de de New Newto ton n - Gra Gravi vita taci ci´ ´ on on Universal
Dos part´ıculas ıculas materiales se atraen atra en mutuamente con una fuerza fuerz a directamente directame nte proporprop orcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. = −G m1 m2 F ur ur 2 r
on on Universal (6,67 · 10−11). G = Cte. de Gravitaci´ El signo negativo indica que las fuerzas gravitatorias son de atracci´ on. on. Son fuerzas a distancia. 2−1 = −F 1−2 . Son a pares; F
La constante constante G es tan peque˜ na que para que las fuerzas gravitatorias sean apreciana bles las masas deben ser muy grandes.
3
3.
Trabajo ajo
Permite mover una masa m entre dos puntos A y B dentro de un campo creado por una masa M . T rA→B = −∆E p = −(V B m − V A m) T rA→B = m(V A − V B )
3.1. 3.1.
Sign Signo o del del trab trabajo ajo Positivo •
Lo realiza el campo.
•
La energ ener g´ıa potencia pot enciall disminuye. d isminuye.
•
Las masas se acercan.
Negativo
4. 4.1. 4.1.
•
Lo realizan fuerzas externas.
•
La energ ener g´ıa potencia pot enciall aumenta. a umenta.
•
Las masas se alejan.
Camp o Conc Concep epto to de campo campo
Para explicar las fuerzas a distancia, introducimos el concepto de campo. Llamamos campo a la perturbaci´ on real o ficticia del espacio determinada por la asigon naci´on on a cada punto el valor de una magnitud. Existen los campos escalares y los campos vectoriales, seg´ un la magnitud correspondiun ente. Dentro de los vectoriales, encontramos los campos de fuerza , de los cuales a su vez destacan los uniformes y los centrales.
4.2. 4.2.
Campo Campo gra gravita vitato tori rio o
Llamamos campo gravitatorio (g) a la preturba preturbaci´ ci´ on on que un cuerpo cuerpo produce produce en el espacio que lo rodea por tener masa. Se trata de un campo vectorial central. 4.2.1. 4.2.1.
Inten Intensid sidad ad de campo campo
La intensidad de g en un punto del espacio es la fuerza que actuar´ actuar´ıa sobre la unidad de masa situada en ese punto. F = g = m
G mrm ur ur
−
1
2
2
m = m F g
4
= −G
M ur ur r2
4.2.2. 4.2.2.
Repre Represen sentac taci´ i´ on del campo gravitatorio on
ıne as cuya direcc dir ecci´ i´on on en cada punto coincide con el g en ese punto. L´ıneas ın eas de fuerz fu erza: a: L´ıneas Son siempre tangentes, y nunca secantes. Superficies equipotenciales: Todos los puntos que distan lo mismo del foco de las
fuerzas son equipotenciales. Son perpendiculare p erpendicularess a las l´ıneas de fuerza en cualquier punto, y el trabajo para desplazar una masa entre dos puntos equipotenciales es nulo. T r = m(V A − V B ) = m · 0 = 0
4.3.
Energ´ Energ´ıa potencial gravitatoria gravitatoria
Una masa m , por el hecho de situarse en un punto del campo, posee p osee energ´ıa ıa potencial. pot encial. La energ´ energ´ıa potencial gravitatoria gravitatoria siempre se calcula como diferencias diferencias entre dos puntos, puntos, asignando al punto de referencia el valor 0. En el campo gravitatorio, se le asigna el valor 0 al punto en el ∞. T rA→∞ = −(E pB
−
E p = −G
E pA ) = E pA
Mm r
La E pg de una masa en un punto del espacio es el trabajo que realiza el campo gravitatorio gravitatorio para trasladar la masa desde dicho punto hasta ∞.
4.4. 4.4.
Poten Potencia ciall gravit gravitato atorio rio
El potencial gravitatorio (V ) en un punto del espacio es el trabajo que realiza el campo gravitatorio para trasladar la unidad de masa desde dicho punto hasta ∞. Dicho de otro modo, V es el equivalente escalar de g . E p = V = m
−
G Mrm m
5
=
GM r
−
5.
Movimie Movimien nto de Planetas Planetas y Sat´ elites elites Aplicable para orbitas o´rbit as Sol-Plane Sol -Planeta ta o Planet P laneta-Sat´ a-Sat´elite. elite .
5.1. 5.1.
Veloci elocida dad d orbi orbita tall
Se supone MCU, por lo que siempre hay aN . Al haber a, existe siempre una F . v2 aN = r
Toda la F g se invierte en el movimiento circular, por lo que m no cae hacia M . F g = F N N m1 m2 v2 −G =m r2 r v=
5.2. 5.2.
GM r
Periodo eriodo de rev revoluc oluci´ i´ on on v =ω·r 2π v= r T 2πr T = v
Nota: Los sat´ elites elites geoestacionarios geoestacionarios poseen el mismo periodo que la Tierra (T = 24h ).
5.3. 5.3 .
Energ Ener g´ıa mec´ anica anic a de traslaci tras laci´ ´ on on E m = E c + E p =
1 2 Mm mv − G 2 r
1 Mm G 2 r Cuandoo un Cuand u n sat´ s at´elite elite cambia de orbita o´rbita (sin rozamiento), E m = cte. E m =
6
5.4. 5.4.
Veloci elocida dad d de esca escape pe
Velocidad de un cuerpo necesaria para escapar de un campo gravitatorio. Para esto, se reguiere E m al menos nula (siempre negativa). Depende de la masa del planeta y de la distancia al centro centro de ´este. este. E m = 0 E c + E p = 0 E c = −E p Mm 1 2 ) mv = −(−G 2 r ve =
5.5. 5.5.
2GM r
Campo Campo gravit gravitato atorio rio terres terrestre tre
Lo crea la Tierra por el hecho de tener masa. Cualquier Cualquier part´ part´ıcula dentro del campo se ve sometida a una fuerza gravitatoria. = m ) u orbita La fuerza gravitatoria se puede manifestar de dos formas: peso (F o´rbita g ) = P mv (F N N = maN = r ). 2
5.6. 5.6.
Inte Intens nsid idad ad de de campo campo ter terre rest stre re F = g p = m
G mrm ur ur 1
−
2
M P P
2
m g 0 = −G
= −G M T T
(RT + h)2
(RP + h)2
ur ur
ur ur
2
g 0 = 6,67 · 10−11
5.7. 5.7.
5,97 · 1010 4 m = 9 81 , (6,37 · 106 + 0)2 s2
Dedu Deduc cci´ cion o ´ n de la 3 Ley de Kepler a
v=
√
GM r 2πr v
T =
GM 4π 2 r 2 = r T 2
GM r 2πr T
v2 = v=
v2 = 2
v =
GMT GM T 2 = 4π2 r 3
GM r 2 2 4π r T 2
2
T =
T 2 = K R3
7
4π 2
R3 GM
