f, = 0). Existen también otros puntos P a donde las ondas llegan en fase e inter fieren constructivamente. Es decir, se puede desplazar una de las ondas de la figura 18 en una constante de fase de cualquier múltiplo entero de 2 n (o en una distancia de cualquier número entero de longitudes de onda), y la forma de la onda combinada no cambia. Estos otros pun tos de interferencia constructiva se localizan siempre don de la diferencia de la distancia desde las dos bocinas es un número entero de longitudes de onda:
tan
32. Resuelva la ecuación 16, que expresa la conservación de la energía, para d t e integre el resultado. Supóngase que x = x m en t = O, y demuestre que se obtiene la ecuación 6 (con
V
M
m
Figura 30 Problema 34.
35. Considérese un resorte sin masa de constante de fuerza k en un campo gravitatorio uniforme y unamos a él un objeto
377
de masa ni. (a) Demuestre que si x = 0 marca la posición relajada del resorte, la posición de equilibrio estático está dada por x = tng/k (véase la Fig. 31). Demuestre que la ecuación de movimiento del sistema masa-resorte es d^x m —r-r- + kx= mg dr y que la solución para el desplazamiento en función del tiempo es x = eos (cot +
h Nivel del suelo
Figura 31 Problema 35.
36. Un bloque de 4.00 kg está suspendido de un resorte con una constante de fuerza de 5.00 N/cm. Una bala de 50.0 g se dispara hacia el bloque desde abajo a una velocidad de 150 m/s y llega al reposo dentro del bloque, (a) Halle la amplitud del movimiento armónico simple resultante, (b) ¿Qué fracción de la energía cinética original de la bala aparece como energía mecánica en el oscilador? 37. Un cilindro sólido está unido a un resorte horizontal sin masa de modo que puede rodar sin resbalar a lo largo de
378
Capítulo 15
Oscilaciones
una superficie horizontal, como en la figura 32. La cons tante de fuerza k del resorte es de 2.94 N/cm. Si el sistema parte del reposo desde una posición en que el resorte está estirado 23.9 cm, halle (a) la energía cinética de traslación y (¿>) la energía cinética de rotación del cilindro al pasar por la posición de equilibrio, (c) Demuestre que en estas condiciones el centro de masa del cilindro efectúa un movimiento armónico simple con un periodo T= 2ji'Im ¡2k, donde M es la masa del cilindro.
Figura 33 Problema 41.
Figura 32 Problema 37.
38. (a) Demuestre que en el movimiento armónico simple la energía potencial promedio es igual a la energía cinética promedio cuando el promedio se toma respecto al tiempo durante un periodo del movimiento, y que cada promedio es igual a jkx¡j,. (b) Demuestre que cuando el promedio se toma respecto a la posición durante un ciclo, la energía potencial promedio es igual a j k x y que la energía ci nética promedio es igual a ^kxfn. (c) Explique físicamente por qué los dos resultados de arriba (a y b) son diferentes. Sección 15-5 Aplicaciones del movimiento armónico simple 39. Halle la longitud de un péndulo simple cuyo periodo sea 1.00 s en una localidad donde g = 9.82 m/s2. 40. Un péndulo simple de 1.53 m de longitud efectúa 72.0 oscilaciones completas en 180 s en una cierta localidad. Halle la aceleración debida a la gravedad en este punto. 41. Una bola de demolición de 2500 kg se halla suspendida del extremo de una grúa, como se muestra en la figura 33. La longitud del cable que cuelga es de 17.3 m. Halle el periodo de balanceo, suponiendo que el sistema pueda ser tratado como un péndulo simple. 42. Existe una relación interesante entre el sistema bloque-re sorte y el péndulo simple. Supongamos que usted cuelga un objeto de masa M del extremo de un resorte, y que cuando el objeto está en equilibrio el resorte es estirado una distancia h. Demuestre que la frecuencia de este sistema bloque-resorte es la misma que la de un péndulo simple de masa m y longitud h, aun cuando m * M; véase la figura 34. 43. Un aro circular de 65.3 cm de radio y 2.16 kg de masa está suspendido de un clavo horizontal, (a) Halle la frecuencia de oscilación para desplazamientos pequeños desde el equilibrio, (b) ¿Cuál es la longitud del péndulo simple equivalente? 44. Un ingeniero desea hallar la inercia rotatoria de un objeto de forma rara de 11.3 kg de masa respecto a un eje que pase por su centro de masa. El objeto está soportado con
Figura 34 Problema 42.
un alambre que pasa por su centro de masa y a lo largo del eje deseado. El alambre tiene una constante de torsión k = 0.513 N • m. El ingeniero observa que este péndulo de torsión efectúa 20.0 ciclos completos en 48.7 s. ¿Qué valor se calcula para la inercia rotatoria? 45. Un péndulo físico consta de un disco sólido uniforme de masa M = 563 g y radio R = 14.4 cm soportado en un plano vertical por un pivote situado a una distancia d = 10.2 cm del centro del disco, como se muestra en la figura 35. El disco se desplaza un pequeño ángulo y luego se suel ta. Halle el periodo del movimiento armónico simple re sultante.
Figura 35 Problema 45.
46. Una esfera sólida de 95.2 kg con un radio de 14.8 cm está suspendida de un alambre vertical unido al techo de una sala. Se requiere una torca de 0.192 N ■m para retorcer a la esfera en un ángulo de 0.850 rad. Halle el
Problemas
periodo de oscilación cuando la esfera se suelte desde esta posición. 47. Un péndulo físico consta de una barra de un metro pivotada en un pequeño orificio taladrado a través de la barra a una distancia x de la marca de 50.0 cm. Se observa que el periodo de oscilación es de 2.50 s. Halle la distancia x. 48. Un péndulo consta de un disco uniforme de 10.3 cm de radio y 488 g de masa unido a una barra de 52.4 cm de longitud que tiene una masa de 272 g; véase la figura 36. (a) Calcule la inercia rotatoria del péndulo respecto al pivote. (b) ¿Cuál es la distancia entre el pivote y el centro de masa del péndulo? (c) Calcule el periodo de oscilación para ángulos pequeños.
319
52. Una partícula se suelta desde el reposo en un punto P dentro de un tazón hemisférico sin fricción de radio R. (a) Demuestre que cuando P está cerca del fondo del tazón la partícula experimenta un movimiento armónico simple. (ti) Halle la longitud del péndulo simple equivalente. 53. Un péndulo físico tiene dos puntos de pivoteo posibles; uno tiene una posición fija y el otro es ajustable a lo largo de la longitud del péndulo, como se muestra en la figu ra 38. El periodo del péndulo cuando está suspendido del pivote fijo es T. El péndulo es luego invertido y suspendi do del pivote ajustable. La posición de este pivote se mue ve hasta que, por medio de pruebas sucesivas, el péndulo tenga el mismo periodo que antes, es decir, T. Demuestre que la aceleración de caída libre g está dada por 4n2L donde L es la distancia entre los dos puntos de pivoteo. Nótese que g puede medirse de esta manera sin que sea necesario conocer la inercia rotatoria del péndulo o cual quiera de sus demás dimensiones excepto L. I I
Figura 36 Problema 48.
49. Se forma un péndulo al pivotar una barra larga de longitud L y masa m en torno a un punto en la barra que está a una distancia d sobre el centro de la varilla, (a) Halle el periodo de pequeña amplitud de este péndulo en términos de d, L, m, y g. (b) Demuestre que el periodo tiene un valor mínimo cuando d = L/J12 = 0.289L. 50. Una rueda puede girar en torno a su eje fijo. Se une un resorte a uno de sus rayos a una distancia r del eje, como se muestra en la figura 37. Suponiendo que la rueda sea un aro de masa M y radio R, obtenga la frecuencia angular de las pequeñas oscilaciones de este sistema en términos de Ai, R, r, y la constante de fuerza k. Discuta los casos especiales r = R y r = 0.
Figura 37 Problema 50. 51. Una barra de un metro se balancea de un extremo y oscila con una frecuencia v0. ¿Cuál sería la frecuencia, en térmi nos de v0, si se cortase el tercio inferior de la barra?
Figura 38 Problema 53.
54. Un disco de 2.50 kg y diámetro de 42.0 cm, está soportado por una barra ligera de 76.0 cm de largo, la cual está pivotada en su extremo, como se muestra en la figura 39. (a) Inicialmente el ligero resorte de torsión no está unido. ¿Cuál es el periodo de oscilación? (ti) Ahora se une el resorte de torsión de modo que la barra cuelgue vertical mente en equilibrio. ¿Cuál sería la constante de torsión del resorte de modo que el nuevo periodo de oscilación sea 500 ms más corto que antes? 55. Un péndulo simple de longitud L y masa m está suspen dido en un automóvil que viaja a una velocidad constan te v alrededor de un círculo de radio R. Si el péndulo experimenta pequeñas oscilaciones en dirección radial respecto a su posición de equilibrio, ¿cuál será su frecuen cia de oscilación? 56. La figura 40 muestra un péndulo físico construido a partir de secciones de igual longitud de un mismo tubo. El radio interior del tubo es 10.2 cm y el espesor es 6.40 mm. (a)
380
Capítulo 15
Oscilaciones
y
76.0 cm
42.0
cm
Figura 39 Problema 54. Figura 41 Problema 58 Calcule el periodo de oscilación respecto al pivote mostra do. (b) Supóngase que se construye un nuevo péndulo físico al girar la sección del fondo a 90° en tomo a un eje vertical que pase por su centro. Demuestre que el nuevo periodo de oscilación respecto al mismo pivote es alrededor del 2% menor que el periodo del péndulo original.
Sección 15-7 Combinaciones de movimientos armónicos 57. Trace la trayectoria de una partícula que se mueva en el plano xy de acuerdo ajc = xmcos(ft>í- n¡2),y =2xmeos (cot). 58. El diagrama que se muestra en la figura 41 es el resultado de combinar los dos movimientos armónicos simples x = xm eos axty y = ymeos (ayt + < ¡> y). (a) Cuál es el valor d e x jy m? (b) ¿Cuál es el valor de cojap. (c) Cuál es el valor de y? 59. Los electrones de un osciloscopio son desviados por dos campos eléctricos mutuamente perpendiculares de modo que en cualquier tiempo t el desplazamiento está dado por x —A eos cot,
y = A eos (cot +
Describa la trayectoria de los electrones y determine sus ecuaciones cuando (a) (py = 0o, (b)
X = x m eos ( o
j j
+
y
>' =
ym eos (wyt +
La trayectoria de la partícula ya no es una elipse, sino que ahora recibe el nombre de curva Lissajous, en memoria de Jules Antoine Lissajous quien fue el primero en demostrar estas curvas en 1857. (a) Si o)Jcoy es un número racional, de modo que las frecuencias angulares ax y ay sean “con mensurables”, entonces la curva es cerrada y el movimien to se repite a sí mismo a intervalos de tiempo regulares. Suponga que xm = ym y que = (¡>y y trace la curva Lissajous para ax/a>y = j, y (b) Sea ax/ay un número racional, por ejemplo i, ±, ó | y demuestre que la forma de la curva Lissajous depende de la diferencia de fase (/>x -
Problemas 65.
S u p ó n g a s e q u e e s tá exam inando las características de un sistem a de suspensión de un autom óvil de 2 0 0 0 kg. La suspensión “se com prim e” 10 cm cuando se comprime sobre ella el peso de todo el autom óvil. A dem ás, la ampli tud de la oscilación dism inuye en 50% durante una o sci lación com pleta. C alcule lo s valores de k y b para el resorte y el sistem a amortiguador en cada rueda. Supóngase que cada rueda soporte 5 0 0 kg.
381
usted que este “resorte molecular” es relativamente rígido o que no lo es? 72. Demuestre que la energía cinética del oscilador de dos cuerpos de la figura 22a está dada por K = kn v2, donde til es la masa reducida y v (= u, - u2) es la velocidad relativa. Puede servir de ayuda notar que el ímpetu lineal se con serva mientras el sistema oscila. Proyectos para la computadora
Sección 15-9 Oscilaciones forzadas y resonancia 66. C onsidérense las oscilacion es forzadas de un sistem a bloque-resorte amortiguado. D em uestre que, en resonancia, (a) la amplitud de la oscilación es xm = F Jba, y (b) la velocidad m áxim a del bloque oscilatorio es = Fm/b. 67. U n autom óvil de 2 2 0 0 Ib que transporta a cuatro personas de 180 Ib viaja por una carretera de terracería “ondulada”. Las ondulaciones de la carretera tienen una separación de 13 ft. Se observa que el autom óvil rebota con amplitud máxima cuando su velocidad es de 10 mi/h. Ahora se detiene el autom óvil y se bajan las cuatro personas ¿En cuánto se eleva la carrocería del autom óvil sobre su su s pensión debido a esta dism inución del peso? 68. A partir de la ecuación 42 halle la velocidad v ( = dx/dt) en el m ovim iento oscilatorio forzado. Dem uestre que la am plitud de la velocidad es v m = ? „ /[(/» « " - k lo )")2 + ti2] '12. Las ecuaciones de la sección 15-9 son idénticas en su forma a las que representan un circuito eléctrico que contiene una resistencia R , una inductancia L , y una capa citancia C en serie con una fem alternante V = Vm e o s
Sección 15-10 Oscilaciones de dos cuerpos 69. Supóngase que el resorte de la figura 22 a tiene una con s tante de f u e r z a k = 252 N/m. S e a n m x = 1.13 kg y »>, = 3.24 kg. C alcule el periodo de oscilación del sistem a de dos cuerpos. 70.
(a)
D em uestre que cuando m 2 -> 00 en la ecuación 46,
m - * in,. (ti) D em uestre que el efecto de un muro no
infinito (m 2 < °°) sobre las oscilacion es de un cuerpo de masa m, situado en el extrem o de un resorte unido a la pared es reducir el periodo, o aumentar la frecuencia de la oscilación en comparación con (a), (c) Dem uestre que cuando w 2 = m, el efecto es com o si el resorte se cortara a la mitad, oscilando cada cuerpo independientem ente con respecto al centro de masa situado en el punto medio. 71. (a) C alcule la masa reducida de cada una de las siguientes m oléculas diatómicas: 0 2, HC1, y CO. Exprese sus res puestas en unidades atóm icas de masa unificadas, siendo 1.00 u la masa de u n átom o de hidrógeno, (b ) Se sabe que una m olécúla de HC1 vibra a una frecuencia fundamental de v = 8.7 * 103H z . H alle la “constante de fuerza” efectiva k de las fuerzas de acoplam iento entre los átomos. En función de su experiencia con resortes ordinarios, ¿diría
73. Escriba un programa de computación o diseñe una hoja de cálculo para calcular la amplitud y la fase de un movimien to armónico simple cuando se proporcionan la constante de fuerza k, la masa m, la coordenada inicial x0, y la velocidad inicial u0. Escriba la coordenada como x(t) =xm eos (cot + (j>) y utilice co = ■/k/m, jcm = i/jcJ + v \/ co2, y
Capítulo 15
Oscilaciones
Si se aplica una fuerza sinusoidal a un objeto colocado en el extremo de un resorte, la segunda ley de Newton se convierte en md2x/dt2= -kx - bu +Fmeos oi"t. Escriba un programa de computación o diseñe una hoja de cálculo para calcular la coordenada x, la velocidad u, y la energía mecánica total E del oscilador al final de cada intervalo de tiempo de duración Ai desde t = 0 hasta t = t¡. Véase la sección 6-6 y los proyectos de computación al final del capítulo 6. Para los siguientes problemas tome m = 2.0 kg, k = 350 N/m, x0 = 0.070 m, u0 = 0, t, = 2.0 s. Use un intervalo de integración de 0.001 s. (a) Desprecie el amor tiguamiento haciendo que b = 0 y considere que Fm= 18 N y cu" = 35 rad/s. Use su programa para trazar jc(t) y E(t) en gráficas por separado. Nótese que la fuerza aplicada causa desviaciones ligeras de la forma sinusoidal. Nótese tam bién que la fuerza aplicada transfiere energía al oscilador durante ciertas porciones del movimiento y la quita duran te otros. Como resultado, la amplitud cambia ligeramente con el tiempo. Use la gráfica para estimar la amplitud promedio. Calcule también el periodo y use su valor para calcular la frecuencia angular. ¿Está más cerca de 35 rad/s
o de co = •!k/m ? (b) Una vez más tome b = 0 y considere que Fm= 18 N pero suponga que ft>" ==15 rad/s, mucho más cerca de Vk/m. Trace x(t) y E(t) y note el crecimiento de la amplitud y de la energía. La fuerza aplicada pone energía en el oscilador durante periodos mucho más largos que cuando absorbe energía, (c) Tome en cuenta ahora el amortiguamiento haciendo que b = 15 kg/s. Una vez más considere que Fm= 18 N y cu" - 35 rad/s, lejos de / k/m. Trace x(t) y E(t). Use su gráfica para hallar la frecuencia angular cerca de t = 0 y cerca de t = 2 s. Usted podría medir la mitad de un periodo y duplicar el resultado. Nótese que al principio el movimiento está cerca del movimiento natural, el movimiento en ausencia de una fuerza aplicada. En 1 s aproximadamente el movimiento natural se ha amortiguado de manera considerable y el movimiento subsiguiente es aquel que resulta de la aplicación de una fuerza externa a la masa. Calcule la amplitud cerca de t = 2 s. (d) Repita la parte (c) pero tomando co" = 15 rad/s. Calcule la amplitud, (e) ¿Para cuál de las situaciones consideradas es más grande la amplitud cerca de t = 2 s? ¿Y la más pequeña?
CAPÍTULO 16
GRAVITACIÓN
Hasta aquí hemos estudiado los efectos de las fuenas, sin ser demasiado específicos acerca de lo que determina su magnitud y dirección. En este capítulo trataremos los detalles de una fuerza particularmente importante, la gravitación. En 1665 Newton dedujo que la fuerza que rige la caída de las manzanas cerca de la Tierra es la misma que la que mantiene a la Luna en su órbita. Éstefue el primer paso hacia el desarrollo de una ley de la gravitación que pudiera servir para cualquier cuerpo en el universo. Después de presentar la ley de Newton de la gravitación universal, exponemos sus conse cuencias y sus pruebas experimentales. Demostramos que la gravedad de la Tierra puede entenderse como un caso particular de esta ley universal, y que los movimientos de los planetas pueden explicarse de modo similar. Concluimos con una visión de la teoría gravitatoria moderna, llamada teoría general de la relatividad de Einstein, la cual da resultados correctos cuando la fuerza gravitatoria es fuerte (donde la teoría de Newton no sirve) y coincide con la teoría de Newton cuando la fuerza gravitatoria es débil. Al estudiar este capítulo conviene observar que muchos de los conceptos básicos de la dinámica estudiados en capítulos anteriores encuentran aquí una aplicación. Así, aplicamos las leyes básicas para las fuerzas, la energía potencial, la conservación de la energía y el ímpetu angular, el movimiento armónico, y las propiedades de los cuerpos extensos. Presen taremos también conceptos nuevos, incluyendo la noción de campo, la cual tendrá aplicación en capítulos siguientes.
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16-1 LA GRAVITACIÓN DESDE LA ANTIGÜEDAD HASTA KEPLER Cuando menos desde los tiempos de la antigua Grecia, dos problemas constituían el centro de búsqueda de conoci miento: (1) la tendencia de los objetos, como las piedras, a regresar a la Tierra al dejarlos caer, y (2) ios movimien tos de los planetas, incluyendo el Sol y la Luna, los cuales se consideraban como planetas en aquellos tiempos. En la antigüedad se creía que estos dos problemas eran temas completamente separados uno del otro. Uno de los gran des logros de Newton consiste en que él los vio claramente como aspectos de un solo problema y sometido a las mismas leyes. Los primeros intentos serios para explicar la cinemática del sistema solar fueron llevados a cabo por los antiguos griegos. Ptolomeo (Claudius Ptolemaeus, siglo n) desa rrolló un esquema geocéntrico (con la Tierra como centro) para el sistema solar según el cual, como lo implica su
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nombre, la Tierra permanecía estacionaria en el centro mientras los planetas, incluidos el Sol y la Luna, giraban alrededor de ella. Esto no debería tomarse como una deducción sorprendente. La Tierra resulta para nosotros un cuerpo sustancial. Shakespeare se refiere a ella como “esta hermosa armazón, la Tierra...” Incluso hoy en día, usamos un marco de referencia geocéntrico en la astro náutica, y en la conversación cotidiana empleamos térmi nos como “la salida del Sol”, lo cual implica la idea de un marco así. Puesto que las órbitas circulares simples no pueden ser explicación de los movimientos complicados de los pla netas, Ptolomeo tuvo que echar mano del concepto de epiciclo, según el cual un planeta se mueve alrededor de un círculo cuyo centro se mueve alrededor de otro círculo cuyo centro es la Tierra (véase la Fig. la). Tam bién tuvo que recurrir a otros diversos esquemas geomé tricos, cada uno de los cuales preservaba la supuesta santidad del círculo como una característica central de los movimientos planetarios. Ahora sabemos que no es un
384
Capítulo 16
Gravitación
Figura 1 (a) La visión ptolemaica del sistema solar. La Tierra está en el centro, y el Sol y los planetas se mueven alrededor de ella. Los planetas se mueven en círculos pequeños (epiciclos), cuyos centros viajan a lo largo de círculos grandes (deferentes). (b) La visión copernicana del sistema solar. El Sol está en el centro, y los planetas se mueven alrededor de él.
(b)
círculo el fundamental sino una elipse, con el Sol en un centro, como lo veremos más adelante. En el siglo xvi Nicolás Copémico (1473-1543) propuso un esquema heliocéntrico (con el Sol como centro), en el cual la Tierra (junto con los demás planetas) se movía alrededor del Sol (véase la Fig. Ib). Aun cuando el esque ma de Copérnico parece mucho más sencillo que el de Ptolomeo, no tuvo aceptación inmediata. Copémico aún creía en la santidad de los círculos, y su uso de los epiciclos y otros esquemas (que no se muestran en la Fig. Ib) era casi tan grande como el de Ptolomeo. Sin embargo, al poner al Sol como el centro de las cosas, Copémico proporcionó el marco de referencia correcto desde el cual pudo desarrollarse nuestra moderna visión del sistema solar. Para resolver el conflicto entre los esquemas ptolemaico y copemicano, se necesitaron datos de observa ción más precisos. Tales datos fueron compilados por Tycho Brahe* (1546-1601), que fue el último gran astró nomo en hacer observaciones sin el uso de un telescopio. Sus datos sobre los movimientos planetarios fueron ana lizados e interpretados por Johannes Kepler (1571-1630), quien había sido asistente de Brahe. Kepler encontró importantes regularidades en el movimiento de los plane tas, lo cual le condujo a desarrollar tres leyes (que se estudian en la sección 16-8) que rigen el movimiento de los planetas. Las leyes de Kepler mostraron la gran sencillez con que podían describirse los movimientos planetarios al consi derar al Sol como el cuerpo central, si abandonamos la noción de círculos perfectos en que se basaban tanto el sistema de Ptolomeo como el de Copémico. Sin embargo, las leyes de Kepler eran empíricas; simplemente descri
bían los movimientos observados de los planetas sin nin guna base en términos de fuerzas. T Por lo tanto, constitu yó un enorme triunfo el que Newton fuera capaz más tarde de derivar las leyes de Kepler a partir de sus leyes del movimiento y su ley de la gravitación, la cual especificaba la fuerza que actúa entre cada planeta y el Sol. Así pues; Newton pudo explicar el movimiento de los planetas en el sistema solar y de los cuerpos que caían en las cercanías de la Tierra con un concepto común. En efecto, él unificó en una sola teoría las ciencias anterior mente separadas de la mecánica terrestre y de la mecánica celeste. El significado científico real del trabajo de Copér nico radica en el hecho de que la teoría heliocéntrica abrió el camino para esta síntesis. Posteriormente, bajo la hipó tesis de que la Tierra gira sobre sí misma y alrededor del Sol, fue posible explicar fenómenos diversos tales como el movimiento diario y anual aparente de las estrellas, el aplastamiento de la Tierra a partir de su forma esférica, el comportamiento de los vientos alisios, y muchas otras observaciones que no podrían ser explicadas tan fácilmen te en una teoría geocéntrica. El desarrollo histórico de la teoría gravitatoria puede ser visto como el ejemplo modelo de la manera en que el método de la investigación científica conduce a la com prensión y al conocimiento. Copémico proporcionó el marco de referencia apropiado para visualizar el proble ma, y Brahe suministró datos experimentales sistemáticos y precisos. Kepler usó los datos para proponer algunas leyes empíricas, y Newton propuso una ley de fuerza universal a partir de la cual pudieran derivarse las leyes de Kepler. Por último, Einstein llegó a una nueva teoría que podía explicar ciertas pequeñas discrepancias en la teoría newtoniana.
* Véase “Copernicus and Tycho”, por Owen Gingerich, Scientific American, diciembre de 1973, pág. 86.
t Véase “How Did Kepler Discover His First Two Laws”, por Curtís Wilson, Scientific American, marzo de 1972, pág. 92.
Sección 16-2
Figura 2 Tanto la Luna como la manzana son atraídas hacia el centro de la Tierra. La diferencia en sus movimientos surge de que la Luna tiene la suficiente velocidad tangencial v para mantener una órbita circular.
16-2 NEWTON Y LA LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL En 1665 Newton, a los 23 años de edad, dejó la Univer sidad de Cambridge para trasladarse a Lincolnshire cuan do aquélla tuvo que clausurarse a causa de la peste. Unos 50 años más tarde escribió: “En el mismo año (1665) comencé a pensar que la gravedad se extendía también a la órbita de la Luna ... y después de haber comparado la fuerza necesaria para mantener a la Luna en su órbita con la fuerza de la gravedad en la superficie de la Tierra, les encontré una respuesta bastante semejante.” Un joven amigo de Newton, William Stukeley, escribió acerca de una ocasión en que, tomando la merienda con Newton bajo unos manzanos, Newton comentó que el escenario en que se hallaban era el mismo que cuando concibió la idea de la gravitación. “Fue ocasionado por la caída de una manzana estando él sentado mientras medi taba, ... y entonces, poco a poco, comenzó a aplicar esta propiedad de la gravitación al movimiento de la Tierra y a los cuerpos celestes... ” (véase la Fig. 2). Podemos calcular la aceleración de la Luna hacia la Tierra a partir de su periodo de revolución y del radio de su órbita. Obtenemos 0.0027 m/s2 (véase el problema muestra 5, capítulo 4). Este valor es aproximadamente 3600 veces menor que g, la aceleración de la caída libre en la superficie de la Tierra. Newton, guiándose por la tercera ley de Kepler (véase el problema 58), visualizó esta diferencia suponiendo que la aceleración de un cuer po al caer es inversamente proporcional al cuadrado de su distancia a la Tierra.
Newton y la ley de la gravitación universal
385
Surge de inmediato la pregunta de qué queremos decir por “distancia a la Tierra”. Newton llegó finalmente a considerar que cada partícula de la Tierra contribuía a la atracción gravitatoria que tenía sobre otros cuerpos. Tuvo la audacia de suponer que la masa de la Tierra podría ser tratada como si estuviese toda ella concentrada en su centro. (Véase la sección 16-5.) Podemos tratar a la Tierra como una partícula con respecto al Sol, por ejemplo. Sin embargo, no es obvio que podamos tratar a la Tierra como una partícula respecto a una manzana situada a sólo un par de metros sobre su superficie. Si asumimos esta hipótesis, un cuerpo que caiga cerca de la superficie de la Tierra está a una distancia de un radio terrestre (6400 km) del centro efectivo de atracción de la Tierra. La Luna está a unos 380,000 km de distancia. El inverso de los cuadrados de la razón de estas distancias es (6400/380,000)2 = 1/3600, de acuerdo con la razón de las aceleraciones de la Luna y de la man zana. En las palabras de Newton citadas anteriormente, en verdad coinciden en una “respuesta bastante parecida”. Existen tres ámbitos entrelazados dentro de los cuales podemos estudiar la gravitación. (1) La atracción gravita toria entre dos bolas de boliche, por ejemplo, aunque medible según técnicas sensibles, es demasiado débil como para caber dentro de nuestras percepciones senso riales ordinarias. (2) La atracción de la Tierra sobre noso tros y los objetos que nos rodean es una característica que controla nuestras vidas, de la cual podemos escapar sólo con medidas extremas. Los diseñadores del programa espacial no descuidan por ningún momento la fuerza gravitatoria. (3) En la escala del sistema solar y de la interacción de las estrellas y las galaxias, la gravitación es por mucho la fuerza dominante. Es notable que las tres situaciones puedan ser descritas por la misma ley de fuerza. Esta ley de fuerza, la ley de la gravitación universal de Newton, puede ser enunciada como sigue: Todas las partículas del universo se atraen entre sí con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas. La dirección de esta fuerza es a lo largo de la línea que las une. Así pues, la magnitud de la fuerza gravitatoria F que ejercen entre sí dos partículas de masas ml y m2separadas por una distancia r es
Aquí G, llamada constante gravitatoria, es una constante universal que tiene el mismo valor para todos los pares de partículas. Es importante observar que las fuerzas gravitatorias entre dos partículas son un par acción-reacción. La prime-
386
Capítulo 16
Gravitación
Figura 3 (a) La fuerza F21 ejercida sobre m2 (por m¡) tiene dirección opuesta al vector de posición, r 12, de m2respecto a m,. (¿) La fuerza F12ejercida sobre m, (por m2) tiene dirección opuesta al vector de posición, r21, de rn¡ respecto a m2. (c) F12 = -F21, siendo las fuerzas un par acción-reacción.
ra partícula ejerce una fuerza sobre la segunda partícula que se dirige hacia la primera partícula a lo largo de la línea que las une. De igual modo, la segunda partícula ejerce una fuerza sobre la primera partícula que se dirige hacia la segunda partícula a lo largo de la línea que las une. Estas fuerzas son de igual magnitud pero se oponen directamente. La constante universal G no debe confundirse con la g que es la aceleración de un cuerpo que sale de la gravedad de la Tierra. La constante G tiene las dimensiones L3/M T 2 y es un escalar, mientras que g es la magnitud de un vector, tiene las dimensiones L /T 2, y no es ni universal ni constante. Nótese que la ley de la gravitación universal de Newton no es una ecuación definitoria de cualquiera de las canti dades físicas (fuerza, masa, o longitud) contenida en ella. De acuerdo con nuestro programa de la mecánica clásica en el capítulo 5, la fuerza se define a partir de la segunda ley de Newton, F = ma. La fuerza F sobre una partícula se entiende que está relacionada de una manera simple con las propiedades medibles de una partícula y de su entorno. La ley de la gravitación universal tiene esta clase de sim plicidad. Una vez que ha sido determinada G a partir de un experimento para cualquier par de cuerpos, ese valor de G puede ser usado en la ley de la gravitación para determinar la fuerza gravitatoria entre cualquier otro par de cuerpos. Nótese también que la ecuación 1 expresa la fuerza entre partículas. Si queremos determinar la fuerza entre cuerpos extensos, como, por ejemplo, la Tierra y la Luna, debemos considerar a cada cuerpo como compuesto de partículas. Así pues, debe calcularse la interacción entre todas las partículas. El cálculo integral hace posible tal cálculo. Los motivos que Newton tuvo para desarrollar el cálculo surgieron en parte del deseo de resolver tales problemas. Aunque, en general, y para propósitos gravitatorios, es incorrecto suponer que toda la masa de un cuerpo pueda estar concentrada en su centro de masa, la hipótesis es correcta para cuerpos esféricamente simétri cos. A menudo usamos este resultado, el cual demostra remos en la sección 16-5.
La experimentación ofrece pruebas muy obvias de que la fuerza gravitatoria entre dos partículas es independiente de la presencia de otros cuerpos y de las propiedades del medio en que están inmersas las partículas. La fuerza gravitatoria entre dos bolas de boliche permanece inmu table ya sea que las bolas estén en el espacio libre, o bajo el agua, o separadas por un muro de tabique. De hecho, las “pantallas contra la gravedad” de la ciencia-ficción carecen de base. La ley de la gravitación universal es una ley vectorial, la cual puede ser expresada como sigue. Hagamos que el vector de posición r 12 apunte desde la partícula de masa wj, a la partícula de masa m2, como lo muestra la figura 3a. La fuerza gravitatoria F21, ejercida sobre m2 por m„ está dada en dirección y magnitud por la relación vectorial ^ m tm 2 _ m l m 2 r,2 ü — ;— r l2 ——(j r' 212 f i2 ' 12
(2a)
donde r 12 es la magnitud de r 12. El signo menos en la ecuación 2a muestra que F21 apunta en una dirección opuesta a r 12; esto es, la fuerza gravitatoria es de atracción, experimentando m2una fuerza dirigida hacia /«,. El vector de posición dividido entre su propia magnitud, r 12/ r 12, es simplemente un vector unitario u, en dirección del vec tor, así que la última parte de la ecuación 2a muestra la naturaleza de inverso de los cuadrados de la fuerza. La fuerza ejercida sobre ml por m2 (véase la Fig. 3b) es, similarmente, f 12=
m 2m i - ■
-G
m 2m i r21
(2b)
r\\ ri\ Nótese en las ecuaciones 2a y 2b que r 21 = - r 12 (véanse las Figs. 3a y 3b), de modo que, como lo esperábamos, F 12 = -F 21 (véase la Fig. 3c); esto es, las fuerzas gravitatorias que actúan sobre los dos cuerpos forman un par acción-reacción. '
16-3 LA CONSTANTE GRAVITATORIA G__________________ Puede parecer que determinar el valor de G es una tarea sencilla. Todo lo que necesitamos hacer es medir la fuerza gravitatoria F entre dos masas conocidas m y m2separadas por una distancia conocida r. Podemos calcular entonces G a partir de la ecuación 1. Un sistema a gran escala como el de la Tierra y la Luna o la Tierra y el Sol no sirven para determinar el valor de G. Las distancias son tan grandes que los objetos pueden ser considerados aproximadamente como masas puntua les, pero los valores de las masas no se determinan en forma independiente. De hecho, las masas de esos cuer pos, como pronto lo veremos, se determinan usando el valor de G.
Sección 16-3
Fibra de cuarzo
O
Figura 4 Vista esquemática del aparato usado en 1798 por Henry Cavendish para medir la constante gravitatoria G. Las esferas grandes de masa M, mostradas en la posición AA, pueden también moverse a la posición BB.
En vez de esto debemos basamos en mediciones a pequeña escala para lo que usamos dos muestras de labo ratorio de masas conocidas y medimos la fuerza entre ellos. La fuerza es muy débil y las marcas deben colocarse cerca entre sí para hacer que la fuerza sea lo más grande posible. Al hacerlo así, no podemos considerar a las masas como concentradas en puntos por lo que la ecuación 1 no es aplicable. Sin embargo, hay un caso especial en que podemos usar la ecuación 1 para objetos grandes. Como demostraremos en la sección 16-5, para distribuciones esféricas de la masa podemos considerar el objeto como una masa puntual concentrada en su centro. Esto no es una aproximación sino una relación exacta. La primera determinación en laboratorio del valor de G, a partir de la fuerza entre masas esféricas situadas entre sí a corta distancia, fue realizada por Henry Cavendish en 1798. Él usó un método basado en la balanza de torsión, que se ilustra en la figura 4. Dos bolas pequeñas, cada una de masa m, están unidas a los extremos de una barra ligera. Esta mancuerna rígida se suspende, con su eje hrizontal, de una fina fibra vertical. Dos bolas grandes, cada una de masa M, se colocan cerca de los extremos de la mancuer na, en lados opuestos. Cuando las masas grandes están en las posiciones A, atraen a las masas pequeñas de acuerdo con la ley de la gravitación, y sobre la mancuerna se ejerce una torca que la hace girar en sentido antihorario vista desde arriba. La barra llega a una posición de equilibrio bajo las acciones opuestas de la torca gravitatoria, ejercida por las masas M y la torca de restitución ejercida por la
La constante gravitatoria G
387
fibra. Cuando las masas grandes están en las posiciones B, la mancuerna gira en sentido horario hacia una nueva posición de equilibrio. El ángulo 26, a través del cual se retuerce la fibra cuando las bolas se mueven de una posición (AA) a la otra (BB), se mide observando la desviación de un haz de luz reflejado en un pequeño espejo unido a la fibra. A partir del valor de 6 y la constante de torsión de la fibra, determinada al medir su periodo de oscilación (véase la sección 15-5), puede de terminarse la torca y obtenerse la fuerza gravitatoria. Conociendo los valores de las masas m y M y la separación de sus centros, podemos calcular G. (Véase el problema muestra 1.) El experimento original de Cavendish dio un valor para G de 6.75 x 10'11 N • m2/kg2. En los casi 200 años desde los tiempos de Cavendish, se ha usado la misma técnica básica de la balanza de torsión para repetir esta medición muchas veces, conduciendo al valor de G aceptado actual mente, G = 6.67259 X ÍO^11 N -m 2/kg2, con una incertidumbre de ±0.00085 * 10 “ N ■m2/kg2 o alrededor de +0.013 %. En comparación con los resultados de la medición de otras constantes físicas, esta precisión no es excepcionalmente notable; por ejemplo, la veloci dad de la luz fue medida con una precisión de alrededor de 10"8% antes de que su valor fuese establecido como un patrón. Es difícil mejorar sustancialmente la precisión del valor medido de G a causa de su pequeña magnitud y el valor correspondientemente pequeño de la fuerza entre los dos objetos de nuestros experimentos de laboratorio. Si usamos dos esferas de plomo de 10 cm de diámetro (y 6 kg de masa), la fuerza gravitatoria máxima entre ellas cuando están lo más cerca posible es de alrededor de 2 x 10~7 N, que aproximadamente corresponde al peso de un trozo de papel de 1 mm2 de área. Esta dificultad para medir G es desafortunada, ya que la gravitación tiene un papel esencial en las teorías del origen y la estructura del universo. Por ejemplo, nos gustaría saber si G es realmente una constante. ¿Cambia con el tiempo? ¿Depende del estado químico o físico de las masas? ¿Depende de su temperatura? A pesar de muchas investigaciones experimentales, hasta ahora no han sido confirmadas tales variaciones de G sin ambigüe dad; sin embargo, las mediciones continúan depurándose y mejorándose, y siguen adelante las pruebas experimen tales.*
* Para una lista de referencias de las mediciones de G, véase “The Newtonian Gravitational Constant”, por George T. Gillies, Metrología, vol. 24, pág. 1, 1987. Un estudio de estos experimentos y de otros que prueban la ley del inverso de los cuadrados puede ser hallada en “Experiments on Gravitation”, por Alan Cook, Reports on Progress in Physics, vol. 51, pág. 707, 1988.
388
Capítulo 16
Gravitación
La gran fuerza gravitatoria ejercida por la Tierra sobre todos los cuerpos cerca de su superficie se debe a la gran masa de la Tierra. De hecho, la masa de la Tierra puede ser determinada a partir de la ley de la gravitación univer sal y el valor de G calculado a partir del experimento de Cavendish. Por esta razón se dice que Cavendish ha sido la primera persona que “pesó” la Tierra. (De hecho, el título del escrito de Cavendish para describir sus experi mentos se refería no a la medición de G, sino a la deter minación de la densidad de la Tierra a partir de su peso y volumen.) Consideremos a la Tierra, de masa MT, y a un objeto en su superficie, de masa m. La fuerza de atracción está dada por F=M g
y
„ F
GmMT R f'
grandes. La magnitud de la torca ejercida por la fibra se relacio na con el desplazamiento angular 6 de acuerdo con la ecuación 17 del capítulo 15, , - K 8 - ( 8 . 3 4 x l O - N . m) ( ^ X = 3.75 X 10“ 10N-m. Esta torca está equilibrada por la torca total debida a la fuerza gravitatoria ejercida por cada esfera grande sobre la esfera pe queña vecina. La fuerza F sobre cada esfera pequeña es igual a GMm/R2, y el brazo del momento es la mitad de la longitud L de la barra. La torca gravitatoria total es entonces t, t GMmL x = (2F)(L/2) = FL= r2 .
Resolviendo para G nos da
Aquí Rt es el radio de la Tierra, el cual es la separación de los dos cuerpos, y g es la aceleración en caída libre en la superficie de la Tierra. Al combinar estas ecuaciones obtenemos _ g R M. G
(9.80 m /s 2)(6.37 X 106 m )2 6.67 X 10“ 11 N - m 2/k g 2
= 5.97 X 1024 kg.
Dividiendo la masa de la Tierra entre su volumen, obte nemos que la densidad promedio de la Tierra es de 5.5 g/cm3, o alrededor de 5.5 veces la densidad del agua. La densidad promedio de las rocas de la superficie de la Tierra es mucho menor que este valor. Concluimos que el interior de la Tierra contiene material de una densidad mayor de 5.5 g/cm3. ¡El experimento de Cavendish nos dio información acerca del núcleo de la Tierra! (Véase el problema 26.)
Problema muestra 1 En el aparato de Cavendish que se ilustra en la figura 4, supongamos que M = 12.7 kg y m = 9.85 g. La longitud L de la barra que une a las dos pequeñas esferas es de 52.4 cm. La barra y la fibra forman un péndulo de torsión cuya inercia rotatoria / respecto al eje central es de 1.25 x 10° kg • m2 y cuyo periodo de oscilación T es de 769 s. El ángulo 2 6 entre las dos posiciones de equilibrio de la barra es de 0.516o cuando la distancia R entre los centros de las esferas grande y pequeña es de 10.8 cm. ¿Cuál es el valor de la constante gravitatoria que resulta de estos datos? Solución Hallemos primero a k, la constante de torsión de la fibra. El periodo de oscilación torsionante está dado por la ecua ción 21 del capítulo 15,
Resolviendo para k nos da 4tt2/
(4k2)(1.25 X 10~3 kg-m2) XT = ---------- (7 6 9 ^ ------------- 8.34 X 10 8 N-m.
La barra está en equilibrio bajo la influencia de dos torcas opuestas, resultantes de las acciones de la fibra y de las esferas
2,,rad' 360°
G=
xR2 MmL
(3.75 X 10~’° N-m)(0.l08 m)2 (12.7 kg)(0.00985 kg)(0.524 m) = 6.67 X 10"11 N-m2/kg2.
Problema muestra 2 Calcule las fuerzas gravitatorias (a) entre dos bolas de boliche de 7.3 kg separadas por 0.65 m entre sus centros y (b) entre la Tierra y la Luna. Solución (a) Usando la ecuación 1, tenemos Gmlm1_ (6.67 X 10~" N-m2/kg2)(7.3 kg)(7.3 kg) (0.65 m)2 = 8.4 X 10-9 N.
F=
(ti) Usando los datos de la Tierra y de la Luna que aparecen en el apéndice C, hallamos F _ (6.61 X 10-“ N •m2/kg2)(5.98 X 1024 kg)(7.36 X 1022 kg) (3.82 X 108m)2 = 2.01 X 1020 N.
16-4 LA GRAVEDAD CERCA DE LA SUPERFICIE DE LA TIERRA Supongamos, por el momento, que la Tierra es esférica y que su densidad depende solamente de la distancia radial desde su centro. La magnitud de la fuerza gravitatoria que actúa sobre una partícula de masa m, situada en un punto externo a una distancia r desde el centro de la Tierra, puede entonces expresarse, partiendo de la ecuación 1, como: Mrm F = G -jr , donde MT es la masa de la Tierra. Esta fuerza gravitatoria puede también expresarse, partiendo de la segunda ley de Newton, como: F = mg0.
Sección 16-4
La gravedad cerca de la superficie de la Tierra
389
TABLA 1 VARIACIÓN DE g0 CON LA ALTITUD Altitud (km) 0 5 10 50 100 400r 35,700* 380,000§
8o (m/s2) 9.83 9.81 9.80 9.68 9.53 8.70 0.225 0.0027
f Altitud típica de una nave espacial. *Altitud de los satélites de comunicación. ! Distancia a la Luna.
Aquí g0 es la aceleración en caída libre debida única mente a la atracción gravitatoria de la Tierra. Al combinar las dos ecuaciones de arriba nos da
La tabla 1 muestra algunos valores de g0 en diversas altitudes sobre la superficie de la Tierra, calculadas a partir de esta ecuación. Nótese que, contrariamente a la impresión de que la gravedad desciende a cero en un satélite en órbita, hallamos que g0 = 8.7 m/s2para altitudes típicas de las naves espaciales. La Tierra real difiere de nuestro modelo de la Tierra de tres maneras. 1. La corteza de la Tierra no es uniforme. Existen varia ciones de densidad locales en todas partes. La medición precisa de las variaciones locales en la aceleración en caída libre da información que es útil, por ejemplo, en las exploraciones de petróleo. La figura 5 muestra un levan tamiento de la gravedad en un domo salino subterráneo. Los contornos unen puntos con la misma aceleración en caída libre, trazados como desviaciones de un valor de referencia conveniente. La unidad, llamada así en honor de Galileo, es el miligal, donde 1 gal = 103mgal = 1 cm/s2. 2. La Tierra no es una esfera. La Tierra es aproximada mente un elipsoide, achatada en los polos y abultada en el ecuador. El radio ecuatorial de la Tierra es mayor que su radio polar en 21 km. Así pues, un punto en los polos está más cerca del núcleo denso de la Tierra que un punto en el ecuador. Cabría esperar que la aceleración en caída libre aumentara cuando se va al nivel del mar, desde el ecuador a los polos. La figura 6 muestra qué es lo que sucede en realidad. Los valores medidos de g en esta figura incluyen tanto el efecto del abultamiento ecua torial como los efectos resultantes de la rotación de la Tierra.
Figura 5 Un levantamiento gravimétrico en la superficie en un domo salino subterráneo en Dinamarca. Las líneas unen puntos con el mismo valor de g. La diferencia entre el valor de g en una línea y el valor en el centro está en unidades miligal, equivalentes a 10'5m/s2o alrededor de 1CT'1g. Está claro que hay aquí algo enterrado que ejerce una fuerza centrada en esta región. Suele suceder que a menudo se halla petróleo en una formación como ésta.
3. La Tierra está girando. La figura la muestra a la Tierra girando desde una posición en el espacio por enci ma del polo Norte. Un guacal de masa m descansa sobre una báscula de plataforma en el ecuador. Este guacal está en un movimiento circular uniforme debido a la rotación de la Tierra y se acelera hacia el centro de la Tierra. La fuerza resultante que actúa sobre él debe entonces apuntar en esa dirección. La figura Ib es un diagrama de cuerpo libre del guacal. La Tierra ejerce una atracción gravitatoria hacia abajo de magnitud mg0. La báscula de plataforma empuja hacia arriba al guacal con una fuerza mg, el peso del guacal. Estas dos fuerzas no se equilibran realmente, y así tene mos, partiendo de la segunda ley de Newton, F = mg0 —mg = ma o sea g o ~ g = a, donde a es la aceleración centrípeta del guacal. Para a podemos escribir co2RT, donde a es la velocidad angu-
390
Capítulo 16
Gravitación
9.84
Problema muestra 3 (a) Una estrella neutrónica es una estre lla colapsada de densidad extraordinariamente alta. La estrella pulsante (pulsar) en la nebulosa del Cangrejo es la más conocida de muchos de estos ejemplos. Consideremos una estrella neu trónica con una masa M igual a la masa del Sol, 1.99 x 1030kg, y un radio R de 12 km. ¿Cuál es la aceleración en caída libre en su superficie? Desprecie los efectos rotatorios, (£>) El asteroide Ceres tiene una masa de 1.2 x 1021 kg y un radio de 470 km. ¿Cuál es la aceleración en caída libre en su superficie? Solución (a) Partiendo de la ecuación 3 tenemos V Ecuador
Polos
Figura 6 La variación de g con la latitud al nivel del mar. Alrededor del 65% del efecto se debe a la rotación de la Tierra; el 35% restante se debe a la forma ligeramente achatada de la Tierra. A
GM (6.67 X 10” 11 N •m2/kg2X1.99 X 1030 kg) go~ R2 ~ (12,000 m)2 = 9.2 X 10“ m/s2. Aun cuando los pulsares giran a velocidad extraordinaria, los efectos rotatorios tienen solamente una influencia pequeña so bre el valor de g, a causa del pequeño tamaño de esas estrellas. (b) En el caso del asteroide Ceres, tenemos go
T 'n g ( = W)
GM R2
(6.67 X 1Q-11 N-m2/kg2X1.2 X 1021 kg) (4.7 X 105 m)2 = 0.36 m/s2.
¡Existe un acentuado contraste entre las fuerzas gravitatorias en la superficie de estos dos cuerpos!
16-5 EFECTO GRAVITATORIO DE UNA DISTRIBUCIÓN ESFÉRICA DE LA MATERIA (Opcional)
Figura 7 (a) Un guacal sobre la Tierra en rotación, descansa sobre una báscula de plataforma situada en el ecuador. La vista es a lo largo del eje rotatorio de la Tierra, viendo hacia abajo al polo norte. (b) Un diagrama de cuerpo libre del guacal. El guacal está en un movimiento circular uniforme y, por lo mismo, se acelera hacia el centro de la Tierra.
lar de la Tierra y ft,. es su radio. Esta sustitución nos lleva a gQ- g =
oj2R t
= i^ f]
^
donde T= 24 h, es el periodo de rotación de la Tierra. Sus tituyendo los valores numéricos en la ecuación 4 nos da g0 - g = 0.034 m /s2. Vemos que g, la aceleración en caída libre medida en el ecuador de la Tierra mientras gira, es menor que g0, el resultado esperado si la Tierra no estuviese girando, por únicamente 0.034/9.8, ó 0.35%. El efecto disminuye cuando se va a latitudes mayores y se anula en los polos.
Probaremos ahora un resultado que ya hemos utilizado: un cuerpo esféricamente simétrico atrae partículas del exterior como si su masa estuviese concentrada en su centro. Comenza mos considerando un cascarón esférico uniformemente denso de masa M cuyo espesor t es pequeño en comparación con su radio R (figura 8). Buscamos la fuerza gravitatoria que ejerce sobre una partícula externa P de masa rn. Suponemos que cada partícula del cascarón ejerce sobre P una fuerza que es propocional a la masa de la partícula, inver samente proporcional al cuadrado de la distancia entre esa partícula del casco y P, y dirigida a lo largo de la línea que las une. Debemos entonces obtener la fuerza resultante sobre P, atribuible a todas las partes del cascarón esférico. Üna pequeña parte del cascarón en A atrae a m con una fuerza F,. Una pequeña parte de igual masa en B, igualmente alejada de m pero diametralmente opuesta a A, atrae a m con una fuerza F„. La resultante de estas dos fuerzas que actúan so bre m es F, + F„. Cada una de estas fuerzas tiene una componente F eos a a lo largo del eje de simetría y una componente F sen a perpendicular al eje. Las componentes perpendiculares de y F„ se cancelan, como en el caso de todos los pares de puntos opuestos. Para hallar la fuerza resultante sobre P para todos los puntos del cascarón, necesitamos solamente considerar las com ponentes paralelas al eje. Tomemos como elemento de masa del cascarón a una faja circular dM. Su radio es R sen 6, su longitud es 2rc(R sen 0), su anchura es R dO, y su espesor es t. De aquí que tenga un volumen d V = IntR 2 sen 8 d6.
Sección 16-5
Efecto gravitatorio de una distribución esférica de la materia (Opcional)
j^ T O p m R l,Í - ^ + | r2 \ x 2
391 (9)
Esta es la fuerza ejercida por la faja circular dM sobre la partícula m. Debemos ahora considerar a cada elemento de masa en el cascarón al sumar todas las fajas circulares de todo el cascarón. Esto implica una integración sobre el cascarón con respecto a la variable x, la cual va desde un valor mínimo r - R hasta un valor máximo r + R. La integral necesaria es
la cual da para la fuerza, usando la ecuación 9, fr+R dF--
nGtpmR 2
(4-R)
6
Mm
( 10)
2
Figura 8 Atracción gravitatoria de una sección de un cascarón esférico de materia sobre una partícula de masa m en P.
donde
Sea p la densidad del cascarón, de modo que la masa de la faja es
es la masa total del cascarón. La ecuación 10 es exactamente el mismo resultado que obtendríamos para la fuerza entre partícu las de masas M y m separadas por una distancia r. Por lo tanto, hemos probado el importante resultado general siguiente:
Jr-R
M = 4nR2tp
dM —p dV = IntpR2 sen 6 d6. Cada partícula de la faja, tal como la de masa dmAen A, atrae a P con una fuerza que tiene una componente axial „ m dmA dFA = G — — 2— eos a. Sumando las contribuciones de todas las partículas del anillo nos da Gm
dFA+dFB +
dF--
(eos ct)(dmA + dm¡¡ + - • • • )
Gm dM •eos a,
donde dM es la masa total del anillo y dF es la fuerza total sobre m ejercida por el anillo. Sustituyendo a dM, obtenemos „ _ sen d dO dF = InGtpmR2-----¿— eos a.
(5)
Las variables x, a, y 0 se relacionan. En la figura vemos que r —Reos 6 eos a = ■
( 6)
Usando la ley de los cosenos, x2=r2+ R2- 2rR eos d, obtenemos r2 + R2 —x 2 R eos 0 = 2r
(7)
Al diferenciar la ecuación 7 nos da sen 6 d0 = — dx. rR
(8)
Ponemos ahora la ecuación 7 en la ecuación 6 y luego ponemos a las ecuaciones 6 y 8 en la ecuación 5. Como resultado eliminamos a 6 y a y obtenemos
Un cascarón esférico de densidad uniforme atrae a una masa puntual externa como si toda la masa del cascarón estuviese concentrada en su centro. Una esfera sólida puede considerarse como compuesta de un gran número de cascarones concéntricos. Si cada cascarón esférico tiene una densidad uniforme, aunque diferentes casca rones puedan tener densidades diferentes, se aplica el mismo resultado a la esfera sólida. De aquí que cuerpos como la Tierra, la Luna, o el Sol, en la medida en que son tales esferas, pueden considerarse gravitatoriamente como partículas puntuales para cuerpos afuera de ellos. Téngase en cuenta que nuestra demostración se aplica sola mente a esferas y únicamente cuando la densidad de la esfera es uniforme o es una función del radio únicamente.
Fuerza sobre una partícula interior Demostraremos ahora otro importante resultado: la fuerza ejer cida por un cascarón esférico sobre una partícula situada en su interior es cero. La figura 9 muestra a la partícula situada en el punto P adentro del cascarón. Nótese que r es ahora más pequeño que R. La integración sobre x, ahora con los límites R - r nr + R, da (r2—R2)
+x
= 0,
y por lo tanto F =0. Así pues, obtenemos otro resultado general: Un cascarón esférico uniforme de materia no ejerce ningu na fuerza gravitatoria sobre una partícula ubicada dentro de él. Este último resultado, aunque no sea obvio, es aceptable porque los elementos de masa del cascarón a la izquierda y a la derecha de m en la figura 9 ejercen ahora fuerzas en direcciones opuestas sobre m. Existe más masa a la izquierda que mueve a
392
Capítulo 16
Gravitación
R de
Figura 9 Atracción gravitatoria de una sección de un cascarón esférico de materia sobre una partícula de masa m situada en un punto P adentro del cascarón.
Figura 10 Problema muestra 4.Una partícula se mueve en un túnel que atraviesa la Tierra.
M' = pV' = p m hacia la izquierda, pero la masa más pequeña de la derecha está más cerca de m; los dos efectos se cancelan exactamente sólo si la fuerza varía precisamente según un cuadrado inverso de la distancia que separa a las dos partículas. (Véase el proble ma 29.) En los capítulos sobre electricidad se estudiarán las importantes consecuencias de este resultado. Allí veremos que la fuerza eléctrica entre partículas cargadas depende también inversamente del cuadrado de la distancia entre ellas. El resultado anterior para una partícula situada adentro de un cascarón esférico implica que la fuerza gravitatoria ejercida por la Tierra sobre una partícula disminuye a medida que la partí cula se halle a mayor profundidad en la Tierra, suponiendo para ésta una densidad constante. A medida que la partícula esté a mayor profundidad, más masa de la Tierra estará en cascarones que son externos a la posición de la partícula, y la fuerza neta sobre la partícula de esos cascarones es cero. La fuerza gravita toria se convierte en cero en el centro de la Tierra. De aquí que g tendría un máximo en la superficie de la Tierra y decrecería tanto hacia afuera como hacia adentro de ese punto si la Tierra tuviese una densidad constante. ¿Puede usted imaginar una distribución esférica simétrica de la masa de la Tierra que no diese este resultado? (Véase el problema 26.)
4nr3
Para propósitos gravitatorios, esta masa puede ser tratada co mo si estuviese concentrada en el centro de la Tierra. De aquí que la componente radial de la fuerza sobre la partícula de masa m sea F=
GM'm
El signo menos indica que la fuerza es de atracción y, por tanto, dirigida hacia el centro de la Tierra. Sustituyendo a M', obtenemos F = —G
p4nr3m 3r2
kr.
Aquí Gp4mn¡3 es una constante, a la cual hemos llamado k. Por lo tanto, la fuerza es proporcional al desplazamiento r pero directamente opuesta. Éste es exactamente el criterio del movi miento armónico simple. (b) El periodo de este movimiento armónico simple es Gp4nm Siendo p = 5.51 x 103kg/m3, tenemos
Problema muestra 4 Supongamos que pudiera cavarse un túnel que atravesara la Tierra a lo largo de su diámetro, como se muestra en la figura 10. (a) Demuestre que el movimiento de una partícula dejada caer adentro del túnel es un movimiento armónico simple. Desprecie todas las fuerzas de fricción y suponga que la Tierra tiene una densidad uniforme. (b) Si se entregara el correo a través de este tubo, ¿cuánto tiempo trans curriría entre el depósito en un extremo y la entrega en el otro extremo? Solución (a) La atracción gravitatoria de la Tierra sobre la partícula situada a una distancia r del centro de la Tierra pro viene enteramente de esa porción de materia de la Tierra situada en cascarones internos a la posición de la partícula. Los casca rones externos no ejercen ninguna fuerza sobre la partícula. Supongamos que la densidad de la Tierra es uniforme con un valor p. Entonces la masa Af adentro de una esfera de radio r y volumen V ' es
Gp V (6.67 X 10 = 5060 s = 84.4 min.
N-m2/kg2)(5.51 X 103 kg/m3)
El tiempo para la entrega es medio periodo, o unos 42 min. Este tiempo es independiente de la masa del correo. Puede demos trarse que resultaría el mismo periodo si el túnel fuera cavado a lo largo de cualquier cuerda en lugar de a lo largo del diámetro. La densidad de la Tierra no es en realidad uniforme. ¿Cuál sería en este problema el efecto si hiciéramos que p fuese alguna función de r, en lugar de ser una constante?
Prueba de la ley del inverso de los cuadrados Como lo discutiremos en la sección 16-8, las leyes de Kepler dan evidencia directa de una fuerza gravitatoria 1/r2. Por lo tanto
Sección 16-6
podemos considerar a la ley 1/r2 como bien comprobada para distancias del orden de tamaño del sistema solar (1013m). La teoría general de la relatividad de Einstein explica pequeñas excepciones en el movimiento de los planetas interiores; esta teoría reemplaza a la ley de Newton cuando la fuerza gravita toria es intensa, pero se reduce a la ley de Newton cuando la fuerza es más débil; véase la sección 16-10. Por lo tanto, nos gustaría probar la ley 1/r2para las distancias de laboratorio. A causa de que la fuerza es tan débil, es difícil hacer tal prueba repitiendo el experimento de Cavendish con separaciones diferentes entre las masas. Un método más preciso hace uso del anulamiento de la fuerza gravitatoria sobre una partícula de prueba situada dentro de un cascarón esférico. Si pudiéramos aislar a una partícula de prueba, digamos en un brazo de una balanza de torsión, y luego rodearla con un casca rón esférico, cualquier ligera rotación de la balanza cuando la partícula de prueba se moviese dentro del cascarón indicaría una desviación de la ley 1/r2. La rotación podría ser detectada por un mecanismo apropiado unido al otro brazo de la balanza. Desafortunadamente, rodear una masa de prueba con un cascarón esférico y moverla en su interior presenta grandes dificultades técnicas; como alternativa se usa un cilindro largo. Partiendo de un cálculo parecido al que usamos para el cascarón esférico, puede demostrarse que la fuerza gravitatoria ejercida por un cilindro largo hueco sobre una masa de prueba situada en el interior del cilindro se anula si el cilindro es infinitamente largo; para un cilindro de longitud finita puede aplicarse una pequeña pero fácilmente calculable corrección. La figura 11 muestra la geometría de un experimento típico. Al moverse la masa de prueba en un plano horizontal, se detectarían con la balanza de torsión las variaciones en la fuerza gravitatoria entre el cilindro y la masa de prueba. Si la fuer za gravitatoria entre las partículas tuviera una variación dife rente de 1/r2, la fuerza sobre la masa de prueba no se anularía y variaría al moverse la masa de prueba en el plano horizontal. Tales experimentos demuestran que la fuerza tiene realmente la forma 1/r2 en dimensiones de laboratorio (centímetros o metros). Una manera de expresar los resultados de estos expe rimentos es suponer que la fuerza tiene la forma 1/r2*3, donde 5 = 0 en la teoría Newtoniana, y luego demostrar que el experi mento fija un pequeño límite superior sobre 5. El límite superior actual sobre <5 es alrededor de 10"4; con la mejor precisión obtenible de los estudios de laboratorio, parece no haber des viación de la forma 1/r2de la ley de la gravitación. Por compa ración, los experimentos de prueba de la fuerza 1/r2entre cargas eléctricas (véase la sección 29-6) señalan un límite superior de alrededor de 10"16sobre 5 en este caso. ■
16-6 ENERGIA POTENCIAL GRAVITATORIA En el capítulo 8 hemos tratado la energía potencial gravi tatoria de una partícula (masa m) y de la Tierra (masa M). Consideramos únicamente el caso especial en que la par tícula permanece cerca de la Tierra de modo que podría mos suponer que la fuerza gravitatoria que actúa sobre la partícula es de magnitud mg constante. En esta sección eliminamos esa restricción y consideramos las separacio nes partícula-Tierra que pueden ser apreciablemente más grandes que el radio de la Tierra.
Energía potencial gravitatoria
393
Figura 11 Una masa de prueba en el interior de un cilindro largo. Para una fuerza 1/r2, la atracción gravitatoria entre la masa de prueba y el cilindro se anularía (despreciando los efectos de los extremos). Una balanza de torsión permite medir cambios en la fuerza que actúa sobre la masa de prueba en diferentes lugares en el interior del cilindro.
La ecuación 4 del capítulo 8, la cual podemos escribir como A U = U b- U a = - W ab, define el cambio AU en la energía potencial de cual quier sistema, en el cual actúe una fuerza conservativa (digamos, la gravedad), cuando el sistema cambia de la configuración a a la configuración b. Wab es el trabajo efectuado por esa fuerza conservativa cuando el sistema cambia. La energía potencial del sistema en una configuración arbitraria b es U ^ - W ^ + U .. (11) Para dar un valor a Ubelegimos que la configuración a sea una configuración de referencia acordada, y le asignamos a Ua un valor de referencia arbitrario, usualmente cero. Por ejemplo, en el capítulo 8 hemos considerado la ener gía potencial de una partícula sometida a la fuerza de gravedad mg cerca de la superficie de la Tierra. A una altura y, la energía potencial es U(y) = mgy, donde el valor de referencia U = 0 se toma en y = 0. Consideraremos ahora el caso más general de dos par tículas de masas m y M separadas por una distancia r. Inicialmente, las partículas están separadas por ra, y la separación cambia a rb. Para hallar el cambio AU corres pondiente en la energía potencial debemos evaluar a Wab de acuerdo con la ecuación 11. La figura 12 muestra el esquema geométrico. Hagamos que M esté en el origen de las coordenadas, y movamos a m hacia M. Nótese que
394
Capítulo 16
Gravitación
3>m ^.ds
Figura 13 El trabajo efectuado al llevar a una partícula desde A hasta E es independiente de la trayectoria. M Figura 12 Una partícula M ejerce una fuerza gravitatoria F sobre una partícula de masa m situada en r. La partícula de masa m se desplaza una corta distancia ds.
r y d s (el vector de desplazamiento) están en direcciones opuestas, de modo que ds = -dr. El trabajo efectuado por F cuando la partícula se mueve de a a b es F dr
W„ab
, _ £ G n M dr_ _ Gm M j y ( ,2)
= —Gm M
Entonces AU-
Wab = Gm M ( ■ i - i ) . V a
rj
(13)
Elegimos que nuestra configuración de referencia sea una separación infinita de las partículas (ra —►°°), y definimos U(°°) igual a cero. A una separación r arbitraria, la energía potencial es U(r) = -
+ 0
(14) (15)
El signo menos indica que la energía potencial es negativa en cualquier distancia finita; esto es, la energía poten cial es cero en el infinito y disminuye al disminuir la distancia de separación. Esto corresponde al hecho de que la fuerza gravitatoria ejercida sobre m por M es de atrac ción. Cuando la partícula se acerca desde el infinito, el trabajo W„r efectuado por esta fuerza sobre la partícula es positivo, lo cual significa, basados en la ecuación 14, que U(r) es negativa. La ecuación 15 se cumple para cualquier trayectoria seguida por la partícula al moverse desde el infinito al radio r. Podemos demostrarlo dividiendo una trayectoria arbitraria cualquiera en porciones escalonadas, las cuales
se trazan alternativamente a lo largo del radio y perpendi culares a él. (Fig. 13.) No se efectúa ningún trabajo a lo largo de segmentos perpendiculares como AB, porque a lo largo de ellos la fuerza es perpendicular al desplaza miento. El trabajo total efectuado a lo largo de todas las partes radiales de la trayectoria, una de las cuales es BC, es igual al trabajo efectuado al ir directamente a lo largo de una trayectoria radial como AE. El trabajo efectuado por la fuerza gravitatoria al moverse la partícula entre dos puntos cualesquiera es independiente de la trayecto ria real que une a estos puntos. De aquí que la fuerza gravitatoria sea una fuerza conservativa. La ecuación 15 demuestra que la energía potencial es una propiedad del sistema consistente en las dos partículas M y m, más bien que de cualquier cuerpo aislado. La energía potencial cambia si se desplazan M o m\ sobre cada una actúa la fuerza gravitatoria de la otra. Tampoco tiene ningún sentido asignar parte de la energía potencial a M y parte a m. Sin embargo, a menudo hablamos de la energía potencial de un cuerpo m (digamos, un planeta o una piedra) sobre el que actúa una fuerza gravitatoria de un cuerpo M mucho más masivo (el Sol o la Tierra, respectivamente). La justificación para hablar como si la energía potencial perteneciera al planeta o a la piedra únicamente es ésta: cuando la energía potencial de un sis tema de dos cuerpos cambia a energía cinética, el cuerpo más ligero adquiere la mayor parte de la energía cinética. El Sol es mucho más masivo que un planeta, de modo que difícilmente adquirirá algo de la energía cinética; y lo mismo sucede con la Tierra en el sistema Tierra-piedra. Podemos invertir el cálculo anterior y derivar la fuerza gravitatoria a partir de la energía potencial. En las funcio nes de energía potencial esféricamente simétricas, la rela ción F = -dU/dr da la componente radial de la fuerza; véase la ecuación 13 del capítulo 8. Con la energía poten cial de la ecuación 15, obtenemos dU
d (
GMm\ F- - *
GMm = ~ T r { ------ ( ‘6)
El signo menos muestra aquí que la fuerza es de atracción, dirigida hacia adentro a lo largo del radio. Podemos demostrar que la energía potencial definida por la ecuación 13 conduce a la conocida expresión mgy para una diferencia pequeña en elevación y cerca de la
Sección 16-6
superficie de la Tierra. Evaluemos la ecuación 13 para la diferencia en energía potencial entre la ubicación a una altura y sobre la superficie (esto es, rb = R¡ + y, donde R t es el radio de la Tierra) y en la superficie (ra = Rr): AU = U(RT + y) — U(Rr) = GMTm '{ '- — 1— ) \ Rj R t + y) GMTm Rj ( ‘ I + r / « ,) Cuando y « R¡, que sería el caso para desplazamientos pequeños de los cuerpos cerca de la superficie de la Tierra, podemos usar la expansión binomial para aproximar el último término como (1 + a:)"1 = 1 - jc + ••• “ 1 - x, lo cual nos da AU-
GMrm Rr
[-(-i)]
GMTmy ft2
= mgy.
usando la ecuación 3 para reemplazar a GMr/R \ por g. Esto demuestra que la ecuación 13 para la diferencia en la energía potencial gravitatoria es consistente con nuestro uso anterior de mgy para situaciones cerca de la superfi cie de la Tierra. De hecho, podemos usar la aproximación AU= mgy para la diferencia en la energía potencial entre dos alturas a cualquier distancia R del centro de la Tierra, en tanto que y « R y usemos el valor de g (véase la tabla 1) apropiado para ese R.
TABLA 2
Energía potencial gravitatoria
395
CIERTAS VELOCIDADES DE ESCAPE
Cuerpo Ceres' Luna Tierra Júpiter Sol Sirio B* Una estrella neutrón
Masa (kg) 1.17 X IO2' 7.36 X 1022 5.98 X 1024 1.90 X 1027 1.99 X IO30 2 X IO30 2 X IO30
Radio Velocidad de (m) escape (km/s) 3.8 X 105 0.64 1.74 X 106 2.38 6.37 X 106 11.2 7.15 X 107 59.5 6.96 X 10* 618 1 X 107 5200 1 X 104 2 X 105
r El más masivo de los asteroides. *Una enana blanca, la compañera de la brillante estrella Sirio.
energía cinética K dada por v2y una energía potencial U dada por la ecuación 15, es decir, Í7(*T) = - ^ ^ , Kt donde Mr es la masa de la Tierra y R^ su radio. Cuando el proyectil haya llegado al infinito, no tendrá ener gía cinética (recuerde que buscamos la velocidad mínima para el escape) ni tampoco energía potencial (recuerde que ésta es nuestra configuración energía-potencial-cero). Por lo tanto, su energía total en el infinito es cero. A partir de la conservación de la energía, su energía total en la superficie debe ser también cero, es decir, K+ (7 = 0. Esto nos conduce a
Problema muestra 5 ¿Cuál es la energía potencial gravitato ria del sistema Luna-Tierra, respecto a la energía potencial a una separación infinita? Solución Las masas de la Tierra y de la Luna son de 5.98 x 1024 kg y 7.36 x 1022 kg, respectivamente, y su distancia de separación media d es de 3.82 x 108 m. Entonces, según la ecuación 15: GMm d (6.67 X 1Q-" N-m2/kg2)(5.98 X 1024 kg)(7.36 X 1022 kg) 3.82 X 108 m = —7.68 X 1028J. Una energía de esta magnitud es aproximadamente igual a la producción de energía industrial mundial, a su tasa actual, durante aproximadamente 108años. Problema muestra 6 ¿Qué velocidad inicial mínima deberá tener un proyectil en la superficie de la Tierra para escapar de la Tierra? Desprecie los efectos causados por la fricción atmos férica y la rotación terrestre. Solución Un proyectil disparado hacia arriba usualmente irá perdiendo velocidad, llegará momentáneamente al reposo, y retornará a la Tierra. Sin embargo, con una cierta velocidad inicial se moverá hacia arriba para siempre, llegando al reposo solamente en el infinito. Consideremos un proyectil tal, de masa m, que deja la super ficie de la Tierra a esta velocidad inicial crítica v. Tiene una
o sea
Sustituyendo valores en la ecuación 17 nos da 2GM¡ _ 12(6.67 X 10~“ N-m2/kg2)(5.98 X IO24 kg) Rt V 6.37 X 106 m = 1.12 X 104 m/s = 11.2 km/s = 25,000 mi/h. La velocidad de escape no depende de la dirección en que se dispare el proyectil. Sin embargo, la rotación de la Tierra, que hasta ahora hemos despreciado, sí juega un papel. Dispararlo hacia el este tiene la ventaja de que la velocidad superficial tangencial de la Tierra, la cual es de 0.46 km/s en Cabo Caña veral, puede restarse del valor calculado con la ecuación 17. La tabla 2 muestra velocidades de escape para la Tierra y para algunos otros cuerpos._______________________________
Energía potencial de sistemas de muchas partículas Consideremos ahora otra interpretación de U(r). Supon dremos que equilibramos la fuerza gravitatoria con una fuerza externa aplicada por algún agente externo, y la dispondremos de modo que, en todo momento, esta fuerza
396
Capitulo 16
Gravitación
mi A m
v ^
/ G m lm 2 | Gm,m3 | Gm 2m 3\ \
n2
----------- r23------------—
m2 Figura 14 Tres masas reunidas desde el infinito.
externa sea igual y opuesta a la fuerza gravitatoria de cada partícula. (Por ejemplo, mantenemos a cada par tícula en nuestra mano y la movemos en equilibrio.) El trabajo efectuado por la fuerza externa cuando las par tículas se mueven desde una separación infinita a la sepa ración r no es W„r sino -W„r; esto se debe a que los desplazamientos son los mismos pero las fuerzas son iguales y opuestas. Entonces podemos interpretar la ecua ción 14 como sigue: La energía potencial de un sistema de partículas es igual al trabajo que debe efectuar un agente externo para armar el sistema, a partir de la configuración estándar de referencia. Así pues, si usted levanta una piedra de masa m a una distancia y sobre la superficie de la Tierra, usted es el agente externo (que separa a la piedra de la Tierra) y el trabajo que usted hace para “armar el sistema” es +mgy, lo cual es también la energía potencial. Del mismo modo, el trabajo efectuado por el agente externo, cuando un cuerpo de masa m se mueve desde el infinito hasta una distancia r de la Tierra, es negativo porque el agente debe ejercer una fuerza restrictiva sobre el cuerpo; esto va de acuerdo con la ecuación 14. Estas consideraciones se cumplen también para siste mas que contienen más de dos partículas. Consideremos tres cuerpos de masas m,, m2, y mr Supondremos que, inicialmente, están en reposo infinitamente lejos una de otra. El problema es calcular el trabajo efectuado por un agente externo que las lleve a las posiciones que se mues tran en la figura 14. Primero, traemos a m] desde el infinito hasta su posición final. La gravedad o un agente externo no efectúan ningún trabajo porque la separación entre las tres partículas permanece infinita. Traigamos luego a m2hacia m¡ desde una separación infinita hasta la separa ción r 12. El trabajo efectuado por el agente externo al oponerse a la fuerza gravitatoria ejercida por ml sobre m2 es -G m ^ m jr^ Traigamos ahora a m3 desde el infinito hasta la separación rí3 desde m, y r23 desde m2. El trabajo efectuado por el agente externo al oponerse a la fuerza gravitatoria ejercida por /«, sobre m3 es -Gm^m-Jr^, y la que se opone a la fuerza gravitatoria ejercida por m2 sobre »¡3 es -G m 2m jr 2y La energía potencial total de este siste ma es igual al trabajo total efectuado por el agente externo para armar el sistema, es decir,
r \2
r 13
r2i
)
Nótese que no se necesitan cálculos vectoriales con este método. No importa cómo armemos el sistema, es decir, inde pendientemente del orden en que se muevan las partículas o de las trayectorias que sigan, siempre hallamos esta misma cantidad para el trabajo requerido para traer a los cuerpos a la configuración de la figura 14 desde una separación infinita inicial. La energía potencial debe, por lo tanto, estar asociada al sistema más bien que con uno o dos cuerpos cualesquiera. Si quisiéramos separar al siste ma en tres masas aisladas una vez más, tendríamos que proporcionar una cantidad de energía I / G m 1m 2
\
G m ,m3 | Gm 2m 3\
rl2
r,3 r2} ) ' Esta energía se considera como la energía de descarga o también de sujeción, porque mantiene a las partículas juntas entre sí en la configuración mostrada. En el proble ma muestra 5, por ejemplo, hallamos que la energía po tencial del sistema Tierra-Luna era -7.68 x 1028 J, y, por lo tanto, la energía de sujeción del sistema Tierra-Luna es de 7.68 x lo 28 J. Esta es la cantidad de energía que un agente externo debe proporcionar para mover a la Tierra y a la Luna desde su separación actual hasta una separa ción infinita, en un sistema aislado que conste únicamente de Tierra y Luna (despreciando en este cálculo el impor tante efecto del Sol). Estos conceptos se presentan de nuevo en relación con fuerzas de origen eléctrico o magnético, o, bien, de origen nuclear. Su aplicación es bastante amplia en la física. Una ventaja del método de la energía sobre el método dinámico consiste en que el primero emplea cantidades escalares y operaciones con escalares en lugar de cantidades vecto riales y operaciones con vectores. Cuando no se conocen las fuerzas reales, como a menudo sucede en física nu clear, el método de la energía es esencial.
16-7 EL CAMPO GRAVITATORIO Y EL POTENCIAL (Opcional) Un hecho básico de la gravitación es que dos partículas ejercen sobre ellas fuerzas mutuas. Podemos considerar esto como una interacción directa entre las dos partículas, si lo deseamos. Este punto de vista se denomina acción-a-distancia, según el cual las partículas interactúan aunque no estén en contacto. Otro punto de vista es el concepto de campo, que considera que una partícula modifica de algún modo al espacio alrededor de ella y genera un campo gravitatorio. Este campo, cuya intensi dad depende de la masa de la partícula, actúa entonces sobre cualquier otra partícula, ejerciendo la fuerza de atracción gra vitatoria sobre ella. Por lo tanto, el campo desempeña un pa pel intermedio en nuestro pensamiento sobre las fuerzas entre partículas.
Sección 16-8
De acuerdo con este punto de vista tenemos dos partes separadas en nuestro problema. Primero, debemos determinar el campo gravitatorio generado por una distribución dada de partículas. Segundo, debemos calcular la fuerza gravitatoria que ejerce este campo sobre otra partícula situada en él. Usaremos este mismo enfoque más adelante en nuestro texto cuando estudiemos el electromagnetismo, en cuyo caso partí culas con carga eléctrica generan un campo eléctrico, y la fuerza sobre otra partícula cargada se determina por la intensidad del campo eléctrico en el punto donde se encuentre la partícula. Consideremos a la Tierra como una partícula aislada y des preciemos todos los efectos rotatorios y otros que no sean los gravitatorios. Utilizamos un pequeño cuerpo de prueba de masa m0 como una sonda del campo gravitatorio. Si este cuerpo se coloca en la vecindad de la Tierra, experimentará una fuerza que tiene una dirección y una magnitud definidas en cada punto situado en el espacio. La dirección es radial hacia el centro de la Tierra, y la magnitud es m¿g. Podemos asociar un vector g con cada punto cerca de la Tierra, el cual es la aceleración que ese cuerpo experimentaría si se dejara caer en ese punto. Defi nimos a la intensidad del campo gravitatorio en un punto como la fuerza gravitatoria por unidad de masa en ese punto o, en términos de nuestra masa de prueba, JF_ % m0
(19)
Al mover a la masa de prueba a varias posiciones, podemos hacer un mapa que muestre al campo gravitatorio en cualquier punto en el espacio. Entonces podremos hallar la fuerza sobre una partícula situada en cualquier punto de ese campo multipli cando la masa m de la partícula por el valor del campo gravitatorio g en ese punto: F = mg. El campo gravitatorio es un ejemplo de un campo vectorial, teniendo cada punto situado en este campo un vector asociado con él. Existen también campos escalares, como el campo de temperatura en un sólido conductor del calor. El campo gravi tatorio que surge de una distribución de materia fija es también un ejemplo de un campo estático, porque el valor del campo en un punto dado no cambia con el tiempo. El concepto de campo es particularmente útil para entender las fuerzas electromagnéticas entre cargas eléctricas en movi miento. Tiene claras ventajas, tanto conceptualmente como en la práctica, sobre el concepto de acción-a-distancia. El concepto de campo es particularmente superior en el análisis de las ondas electromagnéticas (por ejemplo, las ondas de luz o las ondas de radio); la acción-a-distancia sugiere que las fuerzas pueden ser transmitidas instantáneamente a cualquier distancia, mientras que en teorías basadas en campos las fuerzas se propagan con una velocidad finita (cuando más a la velocidad de la luz). Las ondas gravitatorias (véase la sección 16-10), que, aunque se sabe que existen no han podido observarse directamente, serían de igual manera difíciles de entender con la teoría de la accióna-distancia. El concepto de campo, que no se utilizó en la época de Newton, fue desarrollado mucho más tarde por Faraday para el electromagnetismo y sólo entonces aplicado a la gravitación. Posteriormente, este punto de vista fue adoptado para la gravi tación en la teoría general de la relatividad. Todas las teorías actuales que tratan de la naturaleza última de la materia y de las interacciones entre las partículas fundamentales son teorías de campo de una clase u otra. Podemos también describir al campo gravitatorio de un cuer po por una función escalar llamada potencial. (El potencial no es lo mismo que la energía potencial, aunque estén íntimamente relacionados.) Una vez más medimos la intensidad del campo usando una partícula de prueba de masa m0. Comencemos con
Los movimientos de planetas y satélites
397
la partícula de prueba con una separación infinita del cuerpo (donde el campo es cero) y movamos a la partícula de prueba hacia el cuerpo hasta que la separación sea r, donde la energía potencial es U(r). Luego, definimos el potencial gravitatorio V en ese punto como: V(r) = m mn
(20)
Es decir, el potencial es lo mismo que la energía potencial por unidad de masa de prueba. Nótese que el potencial es un escalar, siendo definido como la razón de los escalares U y m. Por ejemplo, la energía potencial de m0 en el campo de un cuerpo esféricamente simétrico de masa M está dada por la ecuación 15 como U(r) = -GMm0/r. El potencial gravitatorio puede entonces hallarse empleando la ecuación 20: V(r) = U(r) mn
GM r
(21 )
Nótese que el potencial V(r) es independiente del valor de la masa de prueba m0; de igual manera, el campo gravitato rio g, definido de acuerdo con la ecuación 19, es independiente de m0. Del mismo modo en que podemos hallar la componente radial de la fuerza F a partir de U(r) de acuerdo con F = -dU/dr, podemos hallar también la componente radial del campo g a partir de V(r) de acuerdo con g = -dV/dr. Por lo tanto, podemos considerar el campo y el potencial como modos alternos de analizar la gravitación; de un modo similar, la fuerza y la energía potencial pueden adoptarse como modos alternos de describir la dinámica de un sistema. ■
16-8 LOS MOVIMIENTOS DE PLANETAS Y SATÉLITES Mediante las leyes del movimiento y la ley de la gravita ción universal de Newton, podemos entender y analizar el comportamiento de todos los cuerpos en el sistema solar: las órbitas de los planetas y de los cometas con respecto al Sol y de los satélites naturales o artificales con respecto a sus planetas. Adoptamos dos hipótesis que simplifiquen el análisis: (1) consideramos a la fuerza gravitatoria solamente entre el cuerpo en órbita (la Tierra, por ejemplo) y el cuerpo central (el Sol), ignorando el efecto perturbador de la fuerza gravitatoria de otros cuer pos (tales como otros planetas); (2) suponemos que el cuerpo central es más masivo que el cuerpo en órbita de modo que podemos despreciar su movimiento bajo su interacción mutua. En realidad, ambos objetos orbitan con respecto a su centro de masa común, pero si un objeto es mucho más masivo que el otro, el centro de masa está aproximadamente en el centro del cuerpo más masivo. Se señalarán las excepciones a esta segunda hipótesis. La base empírica para entender los movimientos de los planetas son las tres leyes de Kepler, y ahora demostrare mos cómo pueden relacionarse estas leyes con los resul tados analíticos de las leyes de Newton:
398
Capitulo 16
Gravitación
(a)
Figura 15 Un planeta de masa m se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol. El Sol, de masa M, está en uno de los focos de la elipse. F' se encuentra en el otro foco “vacío”. Se muestran también el semieje mayor a de la elipse, el perihelio Rp, y el afelio Rñ. La distancia ea localiza a los puntos focales, siendo e la excentricidad de la órbita.
1. La ley de las órbitas: Todos los planetas se mueven en órbitas elípticas teniendo al Sol como uno de losfocos. Newton fue el primero en darse cuenta que existe una relación matemática directa entre el inverso de los cuadra dos de las fuerzas (1/r2) y las órbitas elípticas. La figura 15 muestra una órbita elíptica típica. El origen de las coordenadas está en el cuerpo central, y el cuerpo que gira en tomo está localizado en las coordenadas polares r y 8. La órbita se halla descrita por dos parámetros: el semieje mayor a y la excentricidad e. La distancia desde el centro de la elipse a cualquiera de los focos es ea. Una órbita circular es un caso especial de una órbita elíptica con e = 0, en cuyo caso los dos focos se funden en un solo punto situado en el centro del círculo. Para los plane tas del sistema solar, las excentricidades son pequeñas y las órbitas son casi circulares, como se muestra en el apéndice C. La distancia máxima Ra del cuerpo en órbita al cuerpo central se indica con el prefijo griego apo, que significa lejos, como en afelio (que proviene de apo (lejos) y helios (Sol) y que significa la distancia máxima desde el Sol) o en apogeo (que significa la distancia máxima desde la Tierra). De igual manera, la distancia más cercana Rp está indicada por el prefijo peri, como en perihelio o en perigeo. Como podemos ver en la figura 15, Ra = a( 1 + e) y Rp = a(l - e). Para órbitas circulares, Ra = Rp = a. 2. La ley de las áreas: Una línea que una a cualquier planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales. La figura 16a ilustra esta ley; en efecto, dice que el cuerpo en órbita se mueve más rápidamente cuando está cerca del cuerpo central que cuando está lejos. Demostraremos ahora que la ley de las áreas es idéntica a la ley de conservación del ímpetu angular.
Figura 16 (a) Las áreas iguales sombreadas son barridas en tiempos iguales por una línea que une al planeta con el Sol, demostrando la ley de las áreas. (b) El área A/l es barrida en un tiempo Af, durante el cual la línea barre un ángulo A0.
Consideremos el pequeño incremento de área AA barri do en un intervalo de tiempo At, como se muestra en la figura 16b. El área de esta cuña aproximadamente trian gular es la mitad de su base r A6, por su altura r, La tasa a la cual esta área es barrida es AA/At = |( r A0)(r)/At. En el límite instantáneo esto resulta ser dA AA 2A6 2 — = lim —— = lim \ r 2— = \ r loj. dt aí—o A t aí— *o At El ímpetu angular instantáneo del cuerpo que órbita es L = m r2ct), y entonces dA dt
L 2m '
( 22 )
En la medida en que podamos considerar a los dos cuerpos como un sistema aislado, L es una constante, y, por lo tanto, dA/dt es una constante. Por lo tanto, el aumento en la velocidad de un cometa que al pasar cerca del Sol es precisamente una demostración de la conservación del ímpetu angular. Debe observarse que la conservación del ímpetu angu lar es válida para cualquier fuerza central, es decir, para cualquier fuerza que actúe a lo largo de una línea que une a dos partículas y que dependa solamente de la magnitud de la separación entre dos partículas. Obsérvese también que, al verificar la ley de las áreas, no hemos empleado la ley
Sección 16-8 Los movimientos de planetas y satélites
399
TABLA 3 LEY DE LOS PERIODOS DE KEPLER PARA EL SISTEMA SOLAR Periodo T(y) 0.241 0.615 1.00 1.88 11.9 29.5 84.0 165 248
O
Mercurio Venus Tierra Marte Júpiter Saturno Urano Neptuno Plutón
Semieje mayor a (1010m) 5.79 10.8 15.0 22.8 77.8 143 287 450 590
*■ > S—
Planeta
2.99 3.00 2.96 2.98 3.01 2.98 2.98 2.99 2.99
Figura 17 El cometa Halley, fotografiado durante su acercamiento al Sol en 1986.
del inverso de los cuadrados; la validez de la ley de las áreas no nos dice nada con respecto a cómo varía F con r. 3. La ley de los periodos: El cuadrado del periodo de cualquier planeta alrededor del Sol es proporcional al cubo de la distancia media del planeta al Sol. Probemos este resultado en órbitas circulares. La fuerza gravitatoria proporciona la fuerza centrípeta necesaria para el movi miento circular: GMm
= m o rr.
(23)
gm
)
(24)
Se obtiene un resultado similar para órbitas elípticas, con el radio r reemplazado por el semieje mayor a. Las relación entre T 2y a3 debe estar determinada por la cantidad 4 j^/GM. Para todos los planetas que giran en tomo al Sol, la razón T 2¡a3debe ser una constante; la tabla 3 muestra que éste es, en efecto, el caso. Si podemos medir T y a para un cuerpo en órbita, podemos determinar la masa del cuerpo central. Este procedimiento es indepen diente de la masa del cuerpo que órbita, y así no nos da información con respecto a su masa.
Problema muestra 7 (a) Calcule la masa del Sol a partir del periodo y del radio de la órbita de la Tierra, {ti) Calcule la masa de Júpiter a partir del periodo (1.77 d) y radio (4.22 x 105km) de su segunda luna más cercana, lo. Solución (a) Partiendo de la ecuación 24, tenemos 4n2r3 4tt2( 1.50 X 10" m)3_______ GT2 (6.67 X 10-“ N-m2/kg2)(3.15 X 1Q7 s)2 = 2.01 X IO30 kg.
M= (b)
4n2(4.22 X 108 m)3 (6.67 X IO'" N-m2/kg2)(1.53 X 105 s)2 = 1.90 X 1027 kg.
M=
Problema muestra 8 Un satélite gira en órbita a una altura de h = 230 km sobre la superficie de la Tierra. ¿Cuál es el periodo del satélite? Solución De nuevo al usar la ecuación 24, con r = RT + h = 6370 km + 230 km = 6600 km, obtenemos \l/2 4n2(6.60 X 106 m)3 \(6.67 X IO'11 N-m2/kg2)(5.98 X 1024 kg)y \ GMt / = 5330 s = 8.9 min.
/ 47r2r 3\ ,/2
Reemplazando a
Nótese que la masa de Júpiter no puede ser obtenida de los parámetros de su órbita alrededor del Sol; para determinar la masa de un objeto a partir de la tercera ley de Kepler, necesita mos conocer el periodo y el semieje mayor de objetos que giren en tomo a él como cuerpo central.
Este periodo no es muy dependiente de h cuando h es mucho menor que RT; las órbitas de baja altura de los satélites de la Tierra tienen periodos de alrededor de 90 min. Problema muestra 9 Se desea colocar un satélite de comuni caciones en órbita de modo que permanezca fijo sobre un punto dado en el ecuador de la Tierra en rotación. ¿Cuál es la altura sobre la Tierra de esa órbita? Solución Para que el satélite permanezca sobre un punto dado de la superficie de la Tierra, debe girar a la misma velo cidad angular que el punto. El periodo del satélite debe ser por lo tanto de 24 h, o bien 86,400 s. El radio de la órbita debe entonces ser
' = { ^ y _ /(6.67 X 10-“ N •m2/kg2)(86,400 s)2(5.98 X 1024 kg)V'3 \ 4tt2 ) = 4.22 X 107m, y su altura sobre la superficie de la Tierra es h = r - Rr = 4.22 X 107 m - 6.37 X 106 m = 3.58 X 107 m = 22,300 mi. Esta órbita se denomina la Órbita Geosíncrona Clarke, en honor a Arthur C. Clarke, quien propuso la idea por primera vez en 1948. Clarke también es bien conocido como el autor de
400
Capítulo 16
Gravitación
muchos trabajos de ciencia-ficción, incluyendo 2001: Odisea en el espacio. Problema muestra 10 El cometa Halley (Fig. 17) tiene un periodo de 76 años. En 1986, su acercamiento mayor al Sol (perihelio) fue 8.9 x 1010 m (entre las órbitas de Mercurio y Venus). Halle su afelio, o distancia más alejada del Sol, y la excentricidad de su órbita. Solución Partiendo de la ecuación 24 hallamos el semieje mayor: / GT2M \ ' 3 a ~ \ 47t2 J '(6.67 X 10-“ N-m2/kg2)(2.4 X 109 s)2(2.0 X 1030 kg)V'3 4ti2 ) -e = 2.7 X 1012 m. Según la figura 15, tenemos que /?, = a - ae y modo que
= a + ae, de
Figura 18 Dos cuerpos se mueven en órbitas circulares bajo la influencia de la atracción gravitatoria entre ellos. Ambos tienen la misma velocidad angular w. El punto C es su centro de masa.
Rz + Rp = 2a R p = 2 a - R t = 2(2.7 X 1012 m) - 8.9 X 1010 m = 5.3 X 1012m,
4m
entre las órbitas de Neptuno y Plutón. La excentricidad es e=
R .- R a 2a
6.3 X 1012 m —8.9 X 1010 m = 0.96. 2(2.7 X 1012 m)
Una excentricidad tan grande (1.0 es el máximo posible) corres ponde a una elipse larga, aplanada.
N 'I /
Figura 19 Un sistema de estrellas binarias, en el que cada estrella gira en torno al centro de masa C. Los puntos A y B muestran las posiciones de la estrella de masa M cuando la estrella de masa m está en las posiciones a y b respectivamente.
M ovimiento en torno al centro de masa La figura 18 muestra, para el caso de órbitas circulares, dos objetos que se mueven en tomo a su centro de masa común. Si consideramos el movimiento del cuerpo más pequeño, entonces la ecuación 23 se convierte en GMm : = moj2r, (r + R)2 y el resultado corregido para la ley de los periodos es T2
\
gm
)
(25)
La diferencia entre las ecuaciones 24 y 25 es el factor (1 + R /r)2. En el caso de la Tierra y el Sol, R
m
5.98 X 1024 kg = 3.01 X 101 -6 1.99 X 1030 kg
y el error cometido al despreciar el factor del centro de masa y aplicar la ley de los periodos es menor de 0.001 %. La figura 19, por otra parte, muestra un diagrama de un sistema de estrellas binarias. Aquí los dos objetos tienen masas comparables, y la corrección para el centro de masa es significativa.
Consideraciones energéticas en el movimiento de planetas y satélites Consideremos una vez más el movimiento de un cuerpo de masa m (planeta o satélite, por ejemplo) en torno a un cuerpo masivo de masa M (el Sol o la Tierra, por ejemplo). Consideraremos que M está en reposo en un marco de referencia inercial con el cuerpo m moviéndose con res pecto a él en una órbita circular. La energía potencial del sistema es U(r) = -
GMm
donde r es el radio de la órbita circular. La energía cinética del sistema es K - \mo)2r2, estando el Sol en reposo. A partir de la ecuación 23 obtenemos , ,
GM
Sección 16-8 Los movimientos de planetas y satélites
401
Energía
Figura 21 Las cuatro órbitas tienen el mismo semieje mayor a y por lo tanto corresponden a la misma energía total E. Se señalan sus excentricidades.
Figura 20 Energía cinética K, energía potencia U, y energía total E = K + U de un cuerpo en movimiento circular planetario. Un planeta con energía total E0< 0 permanecerá en órbita con un radio r0. Cuanto mayor sea la distancia al Sol, mayor será (esto es, menos negativa) su energía total E. Para escapar del centro de fuerza y seguir teniendo energía cinética en el infinito, el planeta necesitaría una energía total positiva.
de modo que K-
1 GMm
(26)
La energía total es E=K+U=
1 GMm
GMm
GMm 2r
(27)
Esta energía es constante y negativa. La energía cinética nunca puede ser negativa, pero según la ecuación 26 vemos que debe tender hacia cero cuando la separación tiende al infinito. La energía potencial es siempre negativa excepto cuando su valor es cero en la separación infinita. Una consecuencia de la energía total negativa es, enton ces, que el sistema es un sistema cerrado, estando ligado el planeta m siempre al centro solar M que lo atrae y sin escapar jamás de él (Fig. 20). Puede demostrarse* que la ecuación 27 es también válida para órbitas elípticas, si reemplazamos a r por el semieje mayor a. La energía total es todavía negativa, y es también constante, correspondiendo al hecho de que las fuerzas gravitatorias son conservativas. De aquí que tanto la energía total como el ímpetu angular total sean cons tantes en el movimiento planetario. Estas cantidades sue len llamarse constantes del movimiento.
* Véase, por ejemplo, Newtonian Mechantes, por A. P. French (Norton, 1971), págs. 585 a 591.
A causa de que la energía total no depende de la excentricidad de la órbita, todas las órbitas con el mismo semieje mayor a tienen la misma energía total. La figu ra 21 muestra varias órbitas diferentes que tienen la mis ma energía. Si proporcionamos la cantidad apropiada de energía cinética, podemos arreglar que la energía total sea cero o positiva, en cuyo caso las órbitas ya no serán elípticas. Las órbitas son parabólicas para E = 0 e hiperbólicas para E > 0. Este caso ocurre a menudo en la dispersión de partículas por un núcleo, donde la fuerza electrostática varía también según 1/r2. Al vehículo espacial Pioneer 10 se le dio la energía cinética inicial suficiente para permitirle escapar del sistema solar; lanzado el 3 de marzo de 1972, pasó la órbita de Plutón, el planeta más exterior, el 14 de junio de 1983, en una órbita hiperbólica. La ecuación 27 muestra que no podemos cambiar la velocidad de un satélite en órbita sin cambiar también el radio de su órbita. Por ejemplo, supongamos que dos satélites se sigan uno al otro en la misma órbita circular. Si el satélite rezagado trata de alcanzar al que va adelante acelerando hacia adelante, y aumentando por lo tanto la energía cinética, la energía total resulta menos negativa y el radio aumenta. ¡El atraque de dos vehículos espaciales no es precisamente un simple ejercicio de acercar un vehículo al otro! De hecho, como lo demuestra el siguien te problema muestra, el procedimiento apropiado que debe seguirse para dar alcance a un vehículo espacial en órbita implica a menudo perder velocidad más bien que ganarla.
Problema muestra 11 Dos vehículos espaciales idénticos, cada uno con una masa de 3250 kg, están en la misma órbita circular a una altura de 270 km sobre la superficie de la Tierra. El vehículo espacial A va 105 s adelante del vehículo espacial B; es decir, A llega a cualquier punto fijo 105 s antes que B. En un punto particular P, el piloto de B dispara un pequeño cohete hacia adelante, reduciendo la velocidad de B en 0.95%. Halle
402
Capítulo 16
Gravitación
los parámetros orbitales (energía, periodo, semieje mayor) de B antes y después del “disparo del cohete”, y halle el orden de los dos vehículos cuando regresan después al punto P. Solución Para h = 270 km, r = + h = 6370 km + 270 km 6640 km. Entonces, antes de disparar el cohete, a = 6640 km, y E =
GmMr a
2
(6.67 X 1Q-'1 N • m 2/k g 2)(3250 kg)(5.98 X 1024 kg) 2(6.64 X 106 m) = —9.76 X 1010J, 47r2a 3\ l/2
GMT ) 47r2(6.64 X 106 m )3
V '2
(6.67 X lO '11 N - m 2/k g 2)(5.98 X 1024 k g )/ = 5.38 X 103 s.
Las ecuaciones 26 y 27 muestran que (¡para sólo una órbita circular!) la energía cinética es numéricamente igual al negativo de la energía total, de modo que K = +9.76 x 1010J, y [2 K
/2 (9 .7 6 X 1010 J)
• ■ l í i ’ V
3 2 50 1 c ,
„ „ r w , n, '
7' "
,
X 10 m /S -
Después del disparo, la velocidad disminuye en la cantidad dada deO.95% a v' = (1 - 0.0095)u= 7.68 x 103m/s, y la nueva energía cinética de B es
Figura 22 Problema muestra 11. Se muestran las órbitas de los vehículos espaciales A y B. Nótese que B alcanza a A al moverse a una órbita no circular de menor altura sobre la Tierra. Los tamaños relativos de la Tierra y de las alturas orbitales no están a escala.
circular original, ahora 35 s adelante de A. La figura 22 muestra la relación entre A y B durante la primera órbita después del disparo. Vea el problema 71 para ayudarle a entender cómo B puede reducir su velocidad en P y sin embargo rebasar a A.
K ' = ^(3250 kg)(7.68 X 103 m /s)2 = 9.58 X 1010 J.
La energía potencial de B en el punto P inmediatamente después del disparo no ha cambiado, y es igual al valor inicial E - K o 2E, de acuerdo con la ecuación 27. La energía total E‘ de B después del disparo debe ser entonces E ' = K ' + U ' = 9.58 X 1010 J + 2(—9.76 X 1010 J)
= —9.94 X 10loJ, y el nuevo semieje mayor es ü ~
GmMT 2E' (6.67 X 10~“ N • m 2/k g 2)(3250 kg)(5.98 X 1024 kg) 2(—9.94 X 10'° J)
= 6.52 X 106 m.
El periodo correspondiente es 47T2<2,3 \ 1/2 gmt
/ 47t2(6.52 X 106 m )3
V '2
16-9 GRAVITACIÓN UNIVERSAL Hasta aquí hemos estudiado aplicaciones de la ley de gravitación de Newton en la escala del sistema solar, donde sus predicciones han sido bien probadas. Volvamos ahora a los efectos gravitatorios a escalas mucho mayores. La figura 23 muestra fotografías de galaxias cuyas estructuras espirales son muy similares a la de nuestra propia galaxia, la Vía Láctea. Quizá haya 1011 estrellas unidas entre sí por sus fuerzas gravitatorias mutuas en tal estructura. El diámetro de una galaxia espiral típica podría ser de 50 kpc.* La galaxia de Andrómeda, una prominente vecina galáctica, está a una distancia aproximada de 0.7 Mpc ó 2 x lo 6 años-luz. La estructura espiral es común en las galaxias. Una región central brillante está rodeada por un disco plano con varios brazos espirales. Toda la estructura gira en tomo a un eje perpendicular al plano del disco.
_ V(6.67 X 1 0 -“ N - m 2/k g 2)(5.98 X 1024 k g )/ = 5.24 X 103 s.
La diferencia entre los periodos es de 140 s. Es decir, si A pasa originalmente por el punto P en r = 0 y B pasa (y dispara su cohete) en t = 105 s, entonces A regresa a P en t = 5380 s (de terminado por el periodo T ),y B regresa a P en 5240 s después de su paso inicial, o en t = 105 s + 5240 s = 5345 s. Entonces, B está ahora 35 s adelante de A en el punto P. Ahora B puede disparar un segundo cohete idéntico en fuerza y duración al primero, pero en dirección inversa. Esto trae a B a la órbita
* Una unidad astronómica (UA) (también conocida por sus siglas en inglés AU, de astronomical unit) es igual a la distancia promedio entre la Tierra y el Sol. Un parsec (pe) se define como la distancia a la cual 1 UA subtendería un ángulo de 1" y tiene el valor numérico de 3.084 x 1013 km ó 3.26 años-luz. Los tamaños galácticos se miden típicamente en kiloparsec (kpc) y sus separaciones en megaparsec (Mpc). Véase el capítulo 1, problema 23.
Sección 16-9
Gravitación universal
403
200
■
•
100
-J
10
20
30
Distancia desde el centro (kpc)
Figura 24 Velocidades tangenciales de las estrellas de nuestra galaxia, deducidas de la medición de los desplazamientos Doppler de sus luces. La línea gruesa muestra la dependencia de v sobre r dada por la ecuación 28 y calculada partiendo de la tercera ley de Kepler, suponiendo que las estrellas son atraídas únicamente por la gran masa central de la galaxia. La discrepancia entre los puntos medidos y la curva sugiere que existe materia invisible que atrae a las estrellas en la región exterior de nuestra galaxia.
T 2-
( 2 n r \2 _ ( An2 ~ \G M
Figura 23 Galaxias espirales típicas similares a nuestra Vía Láctea, vistas desde dos perspectivas diferentes, una normal al plano y otra a lo largo del plano.
o sea
Las estrellas individuales están unidas gravitatoriamente a la galaxia por una fuerza dirigida hacia su centro. Podemos usar las leyes de Kepler, tal y como lo hicimos para el sistema solar, para analizar la fuerza gravitatoria. Se ha medido que la velocidad tangencial del Sol respecto al centro galáctico es de alrededor de 220 km/s. (Compá rese esto con la velocidad tangencial de la Tierra con respecto al Sol de 30 km/s.) Nuestra distancia al centro de la galaxia es de 8.5 kpc; estamos en uno de los brazos espirales aproximadamente a dos tercios del camino hacia afuera desde el centro de la galaxia. A partir de estas cifras podemos calcular que la velocidad angular del Sol respec to al centro galáctico es o = vjr = 8.4 x I O 16rad/s. A esta velocidad, una rotación completa toma 240 millones de años, y entonces durante su vida de alrededor de 5000 millones de años el Sol ha efectuado ya quizá 20 revolu ciones. La galaxia no gira como un cuerpo rígido; su rotación se parece más bien a la del sistema solar. Suponiendo que podemos aplicar las leyes de Kepler a este sistema, pode mos hallar la relación entre la velocidad tangencial y el radio. Para esto conviene reescribir la tercera ley de Ke pler, ecuación 24, reemplazando a T por 2nr/v.
Aquí M se refiere a la masa contenida en la región dentro del radio r. Basados en la velocidad tangencial del Sol, podríamos estimar que dentro de la órbita del Sol se encuentra una masa equivalente a 1011 masas solares. Si suponemos que casi toda la masa de nuestra galaxia está en esta región interior, entonces, con base en la ecuación 28 y M considerada como constante, cabría esperar que la v de las estrellas más allá del Sol decreciera al aumentar r. Hasta el punto en que es válida la terce ra ley de Kepler y la masa adicional más allá del Sol sea despreciable, v debería disminuir de acuerdo con r '1/2. En vez de esto, observamos que v es constante o quizás aumente ligeramente, incluso hasta el borde mismo de la región visible de nuestra galaxia (Fig. 24). Otras galaxias espirales muestran el mismo efecto. (Estas observaciones se basan en el corrimiento Doppler de la luz emitida por la galaxia; el movimiento de la galaxia en relación a nosotros causa un cambio en la longitud de onda o la frecuencia de su luz en comparación con su valor para el movimiento no relativo; véanse las secciones 21-7 y 42-3. En una galaxia distante en rotación, las partes cuyo mo vimiento rotatorio es en sentido hacia nosotros tienen corrimiento Doppler opuesto al de las partes que se mué-
GM r
(2 8)
404
Capítulo 16
Gravitación
Halo
Sol
Figura 25 Una representación del “halo” sugerido de materia oscura en nuestra galaxia. Esta materia se hace necesaria para explicar la discrepancia ilustrada en la figura 24, pero no se ha encontrado hasta ahora evidencia directa de ella.
ven alejándose de nosotros, y la velocidad rotatoria a diferentes distancias desde el centro pueden determinarse directamente.) La velocidad permanece aproximadamen te constante hasta el límite de la parte visible de las galaxias. Podemos explicar este efecto con la ecuación 28 si M, que representa la masa contenida dentro de una región esférica de radio r, aumenta al menos linealmente con r. Esto deberá ser así incluso en el límite más externo de la galaxia. Si suponemos que la masa de una galaxia está en su mayor parte en forma de estrellas (los planetas añaden muy poca masa), entonces este aumento de M con r es inconsistente con las observaciones (Fig. 23), lo cual demuestra claramente la luz (y, por lo tanto, presumible mente el número de estrellas) concentrada cerca del centro y que disminuye según crece r. Por lo tanto, debe existir una cantidad considerable de materia oscura en la gala xia, la cual puede adquirir la forma de un “halo” casi esférico, como se muestra en la figura 25. La forma real de esta materia oscura se desconoce; las hipótesis varían desde estrellas apagadas hasta objetos del tamaño de Júpiter y hasta partículas elementales, pero hasta ahora no hay evidencia experimental directa de la existencia de alguna de ellas. Se observa que las galaxias forman enjambres (Fig. 26) de quizás 100, ligadas por fuerzas gravitatorias. El tama ño de un enjambre típico es del orden de 1 Mpc, esto es, 100 veces el tamaño de una galaxia típica. Como en el caso de las galaxias mismas, existe un problema de “masa perdida” en los enjambres; la cantidad calculada de mate ria necesaria para que los enjambres formen un sistema ligado gravitatoriamente es de 10 a 100 veces la cantidad
Figura 26 Enjambre de galaxias (llamado el enjambre Coma). Estas galaxias están reunidas en enjambre por sus atracciones gravitatorias entre ellas.
total de materia visible en las galaxias que comprenden los enjambres. Por lo tanto, se ha especulado que puede existir materia oscura no sólo en los halos galácticos sino también en el espacio entre las galaxias; se necesita un halo similar que permee a los enjambres para propor cionar la fuerza gravitatoria que forme un sistema ligado. Existen también superenjambres ligados gravitatoria mente (enjambres de enjambres en una escala de más allá de los 10 Mpc). Un mapa de los enjambres (Fig. 27) muestra que tienden a concentrarse en superficies que dejan grandes espacios vacíos intermedios con muy poca materia en ellos. La explicación de tales “burbujas” cós micas aún no se conoce. La cadena de razonamientos que va de la balanza de Cavendish a los superenjambres es lineal; parte de una medida en laboratorio de la constante G, pasando por un conjunto de leyes dinámicas bien verificadas en el Siste ma Solar y llega hasta la extrapolación de que la G medida y de que las leyes de Newton son válidas en todo el universo. Aunque aún queda un buen número de pregun tas abiertas, no existe ninguna evidencia firme de que este razonamiento sea incorrecto o de que la gravitación no sea universal.
16-10 LA TEORÍA GENERAL DE LA RELATIVIDAD (Opcional) La ley de la gravitación universal de Newton ha tenido un éxito sorprendente en sus aplicaciones. Nos proporciona los medios para calcular con gran precisión los movimientos de los cuerpos en campos gravitatorios. Por ejemplo, podemos enviar sondas espaciales a los planetas y controlar sus trayectorias con apro ximación en unos cuantos metros.
Sección 16-10
La teoría general de la relatividad (Opcional)
405
segundo método para determinar la masa. En este caso estamos midiendo la masa gravitatoria. Parece razonable preguntar si estas masas son de hecho la misma. ¿Es igual la masa inercial a la masa gravitatoria? No existe nada en el marco de la dinámica de Newton que exija que sean iguales. Su igualdad debe ser reconocida en la teoría de Newton como una coincidencia asombrosa, pero surge natural en la relatividad general. Newton fue el primero en probar la igualdad de las masas inercial y gravitatoria, usando un péndulo hecho en forma de caja vacía. Llenó la caja con muestras de materiales diferentes y midió el periodo del péndulo resultante. Si repetimos la derivación de la sección 15-5 para el periodo del péndulo simple, pero ahora teniendo cuidado de separar la masa gravi tatoria de la inercial, el resultado es T = 2 n J^ V mtg
Figura 27 Cada punto representa una galaxia. El mapa, con sus grupos y filamentos, sugiere la existencia de supergrupos. Las proyecciones tridimensionales confirman esta interpretación.
En 1916, Albert Einstein presentó un enfoque diferente para entender la gravitación. En su teoría general de la relatividad propuso que, en contraste con el enfoque de Newton, no es posible separar un sistema de coordenadas de la materia que contiene. La materia gravitatoria, de acuerdo con Einstein, modifica la geometría de su entorno y determina así, en conse cuencia, el comportamiento de los cuerpos cercanos. La relatividad general es difícil tanto conceptual como mate máticamente y pertenece a un nivel superior al de este texto. Así, exponemos aquí algo del fundamento de la teoría, estudia mos alguna de sus implicaciones, y resumimos alguna de las pruebas experimentales principales que distinguen a la teoría de Einstein de la de Newton. Deberá notarse que, en campos gravitatorios débiles, la teoría de Einstein se reduce a la de Newton, de modo que todo lo que hemos hecho hasta ahora en este capítulo permanece correcto. Únicamente en campos gravitatorios fuertes, como en las cercanías del Sol, resultan importantes las diferencias.
Masa inercial y masa gravitatoria En el capítulo 5 discutimos un procedimiento para asignar masa a un objeto, al comparar su respuesta a una fuerza determinada (es decir, a su aceleración) con la de una masa estándar. Se hace esta comparación con base en la segunda ley de Newton, y la masa que aparece en F = nía se llama masa inercial. Podemos también emplear un procedimiento basado en la ley de la gravitación de Newton para medir la masa de un objeto. Mida mos la fuerza de un kilogramo patrón en el campo gravitatorio de la Tierra (es decir, su peso), y determinemos luego la fuerza sobre nuestra masa desconocida de la misma manera. De acuer do con la ecuación 1, la razón entre aquellas fuerzas deberá ser la misma que la razón entre las masas, y por tanto tenemos un
(29)
donde la m¡ del numerador se refiere a la masa inercial de la lenteja del péndulo, y la mgdel denominador se refiere a su masa gravitatoria. Por supuesto, esta ecuación se reduce al resultado conocido cuando m¡ = mf. Newton usó pesos idénticos de sustancias diferentes y tuvo cuidado de mantener idénticas a las circunstancias físicas (por ejemplo, la amplitud) en todos los ensayos. Él concluyó que las masas inercial y gravitatoria eran las mismas aproximadamente en una parte en 103. Una mejora considerable en el experimento fue realizada por Eotvós en 1909. Él usó una balanza de torsión con diferentes materiales en los dos extremos, y comparó la masa gravitatoria (su peso) de cada material con la masa inercial (determinada a partir de la fuerza centrífuga inercial debida a la rotación de la Tierra). Cualquier diferencia entre las masas inercial y gravita toria de los dos materiales sería observada como una rotación de la balanza de torsión. Eotvos concluyó que las masas inercial y gravitatoria eran iguales dentro de una parte en 109. Posterio res experimentos de Dicke en 1964 y Braginsky en 1972 exten dieron los límites hasta una parte entre 10“ y 1012usando una técnica similar de la balanza de torsión pero refiriéndola a la atracción gravitatoria del Sol y a la fuerza centrífuga inercial producida por la órbita de la Tierra respecto al Sol. Estos experimentos extremadamente precisos sugieren que no existe una diferencia entre las masas inercial y gravitatoria, y nos obliga a reexaminar nuestras leyes de la dinámica para explicar esta igualdad aparentemente accidental.*
El principio de equivalencia He aquí cómo se le ocurrió la idea a Einstein: “Estaba yo sentado en la oficina de patentes de Berna cuando de repente acudió a mi mente un pensamiento: Si una persona cae libremente no sentirá su propio peso. Me quedé sobrecogido. Este sencillo pensamiento me causó una honda impresión. Me impulsó hacia una teoría de la gravitación.” La figura 28a muestra a una persona dentro de una cámara aislada en caída libre bajo la gravedad de la Tierra, y la figura 28b muestra a una persona que flota libremente en el espacio interestelar, donde los campos gravitatorios son sumamente débiles. Ningún instrumento de medición que opere completa mente dentro de la cámara es capaz de distinguir entre los dos casos. * Véase “Searching for the Secrets of Gravity”, por John Boslough, National Geographic, mayo de 1989, pág. 563.
406
Capítulo 16
Gravitación
Einstein fue un paso más adelante, como se muestra en la figura 29. Consideremos ahora a la persona dentro de la cámara en reposo sobre la Tierra (Fig. 29a). Se observa que una bola acelera hacia el piso a razón de 9.8 m/s2. Un péndulo sencillo de longitud especificada tiene cierto periodo de oscilación. Una masa colgada de un resorte estira al resorte en cierta cantidad. El piso ejerce una determinada fuerza normal sobre los cuerpos que reposan en él. Supongamos ahora que la cámara es parte de un cohete en el espacio interestelar, y además que los motores se hallan encen didos para darle al cohete una aceleración de exactamente 9.8 m/s2(véase la Fig. 29tí). Nuestro viajero deja caer ahora una bola y la observa moverse con esa aceleración con relación al suelo. El péndulo oscila normalmente, la masa estira al resorte en la cantidad apropiada, y el suelo ejerce su fuerza normal correcta. En resumen, no existe ningún experimento que pueda ser lleva do a cabo dentro de la cámara que distinga entre la figura 29a (la condición de reposo en un marco inercial dentro de un campo gravitatorio g) y la figura 29b (aceleración a = -g con relación a un marco inercial en el espacio, de gravedad despreciable). Este es el principio de equivalencia. La igualdad de las masas inercial y gravitatoria se deduce directamente del principio de equivalencia. Hagamos descansar a un objeto sobre una báscula de resorte situada sobre el suelo de la cámara. Cuando la cámara acelera en el cohete, el suelo de be ejercer una fuerza hacia arriba mta para acelerar al objeto; aquí mi es la masa inercial, y la báscula de resorte lee la fuerza de reacción (también m¡a) ejercida por el objeto. En cambio, cuando la cámara está en reposo en un campo gravitatorio la báscula marca el peso m^g (que depende de la masa gravitato ria). Hemos dispuesto nuestros experimentos de modo que a = g, y si las lecturas de la báscula han de ser idénticas (como lo exige el principio de equivalencia) entonces las masas iner cial y gravitatoria deben ser iguales.
La teoría general de la relatividad La relatividad general es esencialmente una teoría de geome tría. Proporciona un procedimiento para construir un sistema de coordenadas cuya forma esencial depende de la presencia de materia y de energía. En la teoría de Einstein, la materia dobla o curva el espacio; nuestro conocido sistema de coordenadas rectangulares ya no es estrictamente válido en presencia de la materia. El efecto de la masa que gravita sobre otra es entonces meramente el movimiento de la segunda masa en la geometría distorsionada establecida por la primera. Este enfoque es similar al concepto de campo que hemos tratado anteriormente en este mismo capítulo. En la teoría del campo, una masa establece un campo gravitatorio, y la segunda masa interactúa entonces con el campo directamente (en lugar de interactuar con la primera masa directamente, como en el enfoque de acción-a-distancia). La figura 30 muestra una analogía bidimensional de la cur vatura del espacio. Imaginemos una lámina de hule con una red de coordenadas extendida sobre ella. Todo movimiento se halla confinado al sistema de coordenadas de la lámina. Imaginemos ahora a una bola de acero estirando a la lámina. La distancia más corta entre dos puntos ya no es aquí una línea recta; de hecho, en tal geometría debemos redefinir precisamente qué entendemos por el término “línea recta.” La relación entre materia y geometría en la relatividad general se ha sintetizado como sigue: “La geometría le dice a la materia cómo moverse, y la materia le dice a la geometría cómo curvar
(a) Figura 28 Los efectos de caer libremente bajo la gravedad de la Tierra (a) son idénticos a los de flotar libremente en el espacio interestelar (b). Ningún experimento llevado a cabo dentro de la cámara podría señalar la diferencia.
la)
(b)
Figura 29 Los efectos de estar en un campo gravitatorio de intensidad g (a) son idénticos a los de acelerar a a = g en el espacio interestelar (b). Ningún experimento llevado a cabo dentro de la cámara podría señalar la diferencia. Esto ilustra el principio de equivalencia de Einstein.
se.” Las fórmulas de la relatividad general dan la curvatura para cualquier distribución de materia y de energía, y de ello se deduce directamente el movimiento subsiguiente de los haces de luz o de las partículas.
Pruebas de la relatividad general Se han llevado a cabo muchas pruebas experimentales para estudiar las pequeñísimas desviaciones entre las teorías gravi tatorias de Newton y de Einstein. Las diferencias entre las dos aparecen únicamente en campos gravitatorios fuertes, y en la mayoría de los casos debemos por tanto hacer mediciones cerca del Sol, el cual nos da el campo gravitatorio vecino más fuerte. Existen cuatro pruebas principales de la teoría: 1. Precesión del perihelio de Mercurio. Según la relatividad general, la órbita de un planeta no es realmente una elipse
CHIVEBSID&D DS F Á C U l TA.:' ;'V DEPAH M O N 'i'S V íí ''-'0
xims%U
BiBi,ta*rBC& v:r;rrf,Y
Sección 16-10
Figura 30 Una analogía que muestra la curvatura del espacio como consecuencia de la presencia de la masa gravitatoria, de acuerdo con la teoría general de la relatividad. La masa distorsiona a la red de coordenadas y cambia su geometría misma.
\
pi
!
soi
La teoría general de la relatividad (Opcional)
407
Figura 32 La desviación de la luz de una estrella al pasar cerca del Sol. La curvatura del espacio a causa de la masa del Sol obliga a la luz a viajar en una trayectoria similar a la mostrada en la figura 30b. Como resultado, vemos a una estrella desde la Tierra en una posición aparente B en lugar de verla en su posición real A en que estaría si el Sol no estuviera presente.
/I
Pz
Figura 31 La precesión del perihelio de Mercurio. Con cada órbita alrededor del Sol, la posición del perihelio gira en un pequeño ángulo A0. El esquema se ha exagerado a propósito; el ángulo real es de alrededor de 0.1" por órbita.
cerrada; el eje de la elipse gira un tanto en cada órbita (Fig. 31). Para Mercurio, que está más cerca del Sol y que por lo tanto mostraría el efecto más grande, la rotación predicha es de 42.98 segundos de arco por siglo. Ésta es una rotación increíblemente pequeña, pero que puede medirse con gran precisión: el valor medido es, actualmente, de 43.11 ± 0.21 segundos de arco por siglo, en excelente concordancia con las predicciones de la relatividad general. (Es interesante observar que esta desviación fue advertida por vez primera en 1859 y constituyó un problema serio para la teoría gravitatoria newtoniana antes de que Eins tein proporcionara la explicación correcta.) 2. Desviación de la luz de una estrella cerca del Sol. Aquí la analogía de la lámina de hule de la figura 30 ofrece una buena imagen de lo que sucede. Cuando la luz de una estrella distante viaja a la Tierra después de haber rozado primero el borde del Sol, su trayectoria se desvía al seguir la ruta más directa a través del espacio curvo (Fig. 32). La posición aparente de la estrella
vista desde la Tierra se halla un poco desviada de su posición real. Para que las estrellas cercanas al Sol sean visibles, la observación debe efectuarse durante un eclipse solar. Se han llevado a cabo diversas mediciones; la más antigua fue realizada en 1919 justo después de que Einstein propuso su teoría. Aquí, de nuevo la teoría y el experimento están en excelente concor dancia a pesar del pequeño efecto; la predicción del ángulo de desviación es de 1.75 segundos de arco, y las observaciones experimentales de las estrellas y de los cuásares confirman este valor dentro del 1% aproximadamente. 3. Retardo de los ecos de radar. Cuando un planeta como Venus está detrás del Sol visto desde la Tierra, una señal de radar enviada desde la Tierra a Venus y reflejada por éste sufre un retardo, ya que debe pasar a través del espaciotiempo distor sionado cerca del Sol (Fig. 33). De nuevo la analogía de la lámina de hule proporciona un medio de entender el efecto. Desde este punto de vista, el retardo no está asociado a la curvatura de la trayectoria, sino al “estiramiento” del espacio cerca del Sol. El retardo previsto es del orden de una parte en 104, y ha sido confirmado dentro de un pequeño porcentaje. El límite de la precisión lo imponen las incertidumbres de la superficie del planeta; no sabemos si las señales están siendo reflejadas por montañas o por valles. Una gran mejora fue llevada a cabo mediante los aterrizajes de los Viking en Marte a finales de la década de 1970, lo que dio resultados consistentes con la relatividad general dentro del 0.1 %. 4. Radiación gravitatoria. Al igual que las cargas eléctricas aceleradas emiten radiación electromagnética que viaja con la velocidad de la luz, así también las masas aceleradas emiten
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Capítulo 16
Gravitación
que varían poco en el tiempo y que pueden ser medidos con gran precisión. (Véase la Fig. 16 del capítulo 13). Uno de estos pulsares, llamado PSR 1913 + 16, órbita con una estrella acom pañante como parte de un sistema binario; el periodo orbital es muy corto, de alrededor de 7.75 h. Los picos agudos de radio proporcionan una manera directa de medir el tiempo de revolu ción con gran precisión, y poco después de su descubrimiento en 1974 se supo que su periodo orbital había disminuido en alrededor de 64 ns por órbita. El sistema parecía estar perdiendo energía cinética rotatoria, y la única explicación razonable de la pérdida es la energía irradiada como radiación gravitatoria. La pérdida de energía está de acuerdo con la teoría de Einstein en un 3% aproximadamente.
Figura 33 El tiempo necesario para que una onda electromagnética viaje de la Tierra a Venus se demora a causa de la distorsión de la geometría provocada por la masa del Sol, como en la figura 30b. Esta demora puede medirse al observar señales de radar reflejadas a la Tierra desde Venus.
ondas gravitatorias que también viajan con la velocidad de la luz. Muchos grupos experimentales han construido antenas para detectar esta radiación gravitatoria, pero hasta ahora ninguna ha producido una observación carente de ambigüedad. Una evi dencia indirecta, y sin embargo muy fuerte, de la emisión de radiación gravitatoria proviene de un pulsar binario. Los pulsa res emiten pulsos de radiación electromagnética bien definidos,
Estas pruebas experimentales precisas han confirmado las predicciones de la relatividad general de manera espectacular. Si bien existen otras teorías gravitatorias no newtonianas, sólo la relatividad general ha sobrevivido a la prueba experimental. Al igual que la relatividad especial, la relatividad general ofrece nuevas nociones acerca del espacio y el tiempo, y quedan aún por hacer diversas pruebas de características aun más exóticas de la teoría. Aun cuando la distinción entre la gravitación newtoniana y einsteiniana tiene poco efecto en nuestra vida cotidiana, las implicaciones fundamentales de nuestra com prensión de este aspecto, por demás básico de la naturaleza demandan que continuemos extendiendo estas mediciones has ta el límite.* ■
* Para un tratamiento elemental y altamente legible de estas mediciones, véase Was Einstein Right?, por Clifford M. Will (Basic Books, 1986).
PREGUNTAS 1. La astronomía de observación y los procedimientos de navegación modernos hacen uso del punto de vista geo céntrico (o ptolemaico) que emplea la “esfera celeste” giratoria. ¿Es esto erróneo? Si no lo es, ¿qué criterio determina el sistema (copemicano o ptolemaico) que em pleamos? ¿Cuándo usaríamos el sistema heliocéntrico (o copernicano)? 2. Existen dos planetas que nunca son visibles a medianoche. ¿Cuáles y por qué no se ven? Puede esto considerarse como una evidencia en favor de la teoría heliocéntrica y contra la teoría geocéntrica? 3. Si la fuerza de la gravedad actúa sobre todos los cuerpos en proporción a sus masas, ¿por qué no cae, en consecuen cia, un cuerpo pesado más rápido que un cuerpo ligero? 4. ¿Cómo varía el peso de una sonda espacial en ruta de la Tierra a la Luna? ¿Cambiaría su masa? 5. Nuestro análisis del experimento de Cavendish (véase la Fig. 4 y el problema muestra 1) consideraba la atracción de cada esfera grande sólo para una pequeña esfera cerca na a ella. Cada esfera grande atrae también a la esfera pe queña colocada en el extremo opuesto de la varilla. ¿Cuál
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es el efecto de esta atracción en el cálculo efectuado en el problema muestra 1? Calcule el error que pudiera hacerse en el valor de G calculado, despreciando esta atracción. ¿Se afecta la fuerza gravitatoria mutua ejercida por un par de objetos por la naturaleza del medio entre ellos? ¿Por las temperaturas de los objetos? ¿Por la orientación de los objetos? ¿Cómo podríamos comprobar estos efectos por medio de la experimentación? Debido a que la Tierra está abultada cerca del ecuador, la fuente del río Mississippi (a una latitud de 50° N), aunque a bastante altura sobre el nivel del mar, está alrededor de 5 km más cerca del centro de la Tierra que su desemboca dura (a una latitud de 30° N aproximadamente). ¿Cómo puede correr el río “cuesta arriba” al fluir hacia el Sur? ¿Habría en el polo más azúcar en una libra que en el ecuador? ¿Habría más azúcar en un kilogramo? ¿Cómo podríamos determinar la masa de la Luna? Un reloj está basado en un resorte oscilatorio, el otro en un péndulo. Ambos se trasladan a Marte. ¿Indicarán el mismo tiempo allí que el que indicaban en la Tierra? ¿Estarán en consonancia los dos? Explique. Marte tiene
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una masa de alrededor de un décimo de la Tierra y un radio de alrededor de la mitad. En la superficie de la Tierra, se le da un golpe horizontal con un martillo a un objeto que descansa sobre una super ficie horizontal sin fricción. El objeto es luego llevado a la Luna, soportado de la misma manera, y se le da un golpe igual con el mismo martillo. Hasta donde mejor sabemos, ¿cuál sería la velocidad impartida al objeto en la Luna comparada con la velocidad resultante del golpe en la Tierra (despreciando cualquier efecto atmosférico)? Use argumentos cualitativos para explicar por qué los cuatro periodos siguientes son iguales (todos ellos son de 84 min, suponiendo una densidad uniforme de la Tierra): (a) el tiempo de revolución de un satélite sobre el borde de la superficie de la Tierra; (b) el periodo de oscilación del correo en un túnel que atraviese a la Tierra; (c) el periodo de un péndulo simple que tenga una longitud igual al radio de la Tierra en un campo uniforme de 9.8 m/s2; (d) el periodo de un péndulo simple infinito en el campo gravitatorio real de la Tierra. La fuerza gravitatoria ejercida por el Sol sobre la Luna es de alrededor del doble de la fuerza gravitatoria ejercida por la Tierra sobre la Luna. ¿Por qué, entonces, no escapa la Luna de la Tierra? Explique por qué es erróneo el razonamiento siguiente: “El Sol atrae a todos los cuerpos de la Tierra. A mediano che, cuando el Sol está directamente abajo, atrae a un objeto en la misma dirección que la atracción de la Tierra sobre ese objeto; al mediodía, cuando el Sol está directa mente arriba, atrae al objeto en dirección opuesta a la atracción de la Tierra. De aquí que todos los objetos deberían ser más pesados a la medianoche (o de noche) que al mediodía (o de día).” La atracción gravitatoria del Sol y de la Luna sobre la Tierra produce mareas. El efecto del Sol sobre las mareas es de aproximadamente la mitad que el de la Luna. Sin embargo, la atracción directa del Sol sobre la Tierra es de alrededor de 175 veces la de la Luna. ¿Por qué, entonces, causa la Luna las mareas más altas? Mareas particularmente altas, llamadas mareas vivas, ocu rren durante la luna llena y la luna nueva, cuando las configuraciones del Sol, la Tierra, y la Luna son como se muestra en la figura 34. A partir de la figura podríamos concluir (¡incorrectamente!) que los efectos del Sol y de la Luna sobre las mareas tienden a sumarse durante la Luna nueva pero tienden a cancelarse durante la Luna llena. En cambio, se suman en ambas configuraciones. Explique por qué. Si las mareas lunares hacen más lenta la rotación de la Tierra (debido a la fricción), el ímpetu angular de la Tierra disminuye. ¿Qué le pasa al movimiento de la Luna como consecuencia de la conservación del ímpetu angu lar? ¿Juega aquí el Sol (y las mareas solares) un papel? (Véase “Tides and the Earth-Moon System”, por Peter Goldreich, Scientific American, abril de 1972, pág. 42). De acuerdo con la segunda ley de Kepler y las observa ciones del movimiento del Sol como se le ve desde la Tierra, ¿cómo podemos deducir que la Tierra, en el hemis ferio Norte, está más cerca del Sol durante el invierno que
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Luna nueva
O O
® ~o— M E Luna llena
— O --* E M
Figura 34 Pregunta 16.
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durante el verano? ¿Por qué no hace más frío en el verano que en el invierno? En el problema muestra 4, el tiempo de tránsito en el túnel se dedujo de la hipótesis de una Tierra de densidad uni forme. ¿Sería este tiempo más largo o más corto si fuese tomada en cuenta la distribución real de la densidad de la Tierra, con su denso núcleo interno? Explique la res puesta. ¿Por qué podemos aprender más sobre la forma de la Tierra estudiando el movimiento de un satélite artificial que por el estudio del movimiento de la Luna? Un satélite en órbita terrestre experimenta una pequeña fuerza de arrastre cuando comienza a ingresar a la atmós fera de nuestro planeta. ¿Qué le sucede a su velocidad? (¡Cuidado!). ¿Cabría esperar que la energía total del sistema solar fuese constante? ¿Y el ímpetu angular total? Explique sus res puestas. ¿Necesita siempre un cohete la velocidad de escape de 11.2 km/s para escapar de la Tierra? De no ser así, ¿qué significa entonces realmente la “velocidad de escape”? Los objetos en reposo sobre la superficie de la Tierra se mueven en trayectorias circulares con un periodo de 24 h. ¿Están en órbita en el sentido en el que un satélite está en órbita? ¿Por qué no? ¿Cuál sería la duración que tendría que tener el “día” para poner a dichos objetos realmente en órbita? Despreciando la fricción del aire y las dificultades técni cas, ¿puede un satélite ponerse en órbita al ser disparado por un cañón enorme en la superficie de la Tierra? Expli que su respuesta. ¿Qué ventaja tiene Florida sobre California para lanzar satélites (no polares) en Estados Unidos? ¿Puede un satélite navegar en una órbita estable en un plano que no pase a través del centro de la Tierra? Expli que su respuesta. Tal como lo mide un observador en la Tierra, ¿existiría alguna diferencia en los periodos de dos satélites, cada uno en una órbita circular cercana a la Tierra en un plano ecuatorial, pero uno de ellos moviéndose hacia el este y el otro hacia el oeste? Después de que el Sputnik I fue puesto en órbita, se dijo que no retomaría a la Tierra sino que se quemaría durante
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su descenso. Considerando el hecho de que no se quemó durante su ascenso, ¿cómo es posible esto? Un satélite artificial está en una órbita circular terrestre. ¿Cómo cambiará su órbita si uno de sus motores se en ciende momentáneamente (a) dirigido hacia la Tierra, (b) dirigido alejándose de la Tierra, (c) dirigido hacia adelan te, (d) dirigido hacia atrás, y (e) dirigido en ángulo recto con el plano de la órbita? Dentro de un vehículo espacial, ¿qué dificultades encon traría usted para caminar, saltar, y beber? Todos hemos visto transmisiones de TV de vehículos espaciales en órbita y hemos observado objetos flotando en una gravedad efectiva nula. Supongamos que un astro nauta, abrazado a un marco en el vehículo, le da una patada a una bola de boliche flotante. ¿Resentirá su pie la reacción de la patada? Explique la respuesta. Si un planeta de determinada densidad se hiciera más grande al adherirse a él material del espacio, su fuerza de atracción sobre un objeto situado en su superficie aumen taría a causa de la mayor masa del planeta, pero dismi nuiría a causa de la mayor distancia del objeto al centro del planeta. ¿Cuál de los dos efectos domina? El campo gravitatorio asociado a la Tierra es de cero tanto en el infinito como en el centro de la Tierra. ¿Es también nulo el potencial gravitatorio en esos lugares? ¿Es real mente el mismo en cada lugar? ¿Puede ser nulo en cual quiera de esos lugares? Debe ser nulo necesariamente en cualquiera de los dos lugares? Las órbitas de los satélites que rodean a la Tierra son elípticas (o circulares) y, sin embargo, hemos sostenido en el capítulo 4 que los proyectiles lanzados desde Ja Tie rra siguen trayectorias parabólicas. ¿Qué es lo correcto? Los satélites artificiales de la Tierra pueden localizar el nivel medio del mar con gran precisión. Sin embargo, sobre rocas bituminosas, el nivel medio del mar puede estar hasta 1 m más alto que sobre otras rocas (las cuales son generalmente más densas). Explique esto. (a) Con objeto de que dos observadores situados en dos posiciones cualesquiera en el ecuador de la Tierra man tengan comunicación por radio al usar satélites en órbita geosíncrona, debe haber cuando menos tres de esos saté lites. Explique. (b) Halle la separación angular máxima de dos cualesquiera de esos satélites. Una piedra se deja caer a lo largo del centro del tiro vertical de una mina profunda. Suponga que no existe resistencia del aire pero considere la rotación de la Tierra. ¿Continua ría la piedra a lo largo del centro del tiro? De no ser así, describa el movimiento. ¿Por qué, de hecho no hay atmósfera en la Luna? ¿Requiere la ley de la gravitación universal que los plane tas del sistema solar tengan las órbitas realmente observa das? ¿Tendrían las mismas órbitas los planetas de otra estrella similar a nuestro Sol? Sugiera los factores que pudieran haber determinado las órbitas especiales obser vadas. ¿Importa de qué modo se apunta un cohete para que escape de la Tierra? Suponga, por supuesto, que se apunta sobre el horizonte y desprecie la resistencia del aire.
42. Para llevar a cabo un vuelo a Marte, un cohete se dispara en la dirección en que la Tierra se mueve en su órbita. Para un vuelo a Venus, se le dispara hacia atrás a lo largo de esa órbita. Explique por qué. 43. Saturno está aproximadamente seis veces más alejado del Sol que Marte. ¿Cuál de los dos planetas tiene (a) el periodo de revolución mayor, (b) la velocidad orbital mayor, y (c) la velocidad angular mayor? 44. Véase la figura 35. ¿Qué se expresa en esta gráfica? Asigne números con unidades en cada eje.
Figura 35 Pregunta 44.
45. ¿Cómo puede deducir el valor de g en la superficie de un planeta previamente desconocido el capitán de un vehícu lo espacial que navegue hacia ese planeta? 46. Un cubo de hierro se coloca cerca de una esfera de hie rro en un lugar alejado de la gravedad de la Tierra. ¿Qué puede usted decir con respecto a la ubicación del centro de gravedad del cubo? ¿Y de la esfera? En general, ¿de pende la ubicación del centro de gravedad de un objeto, de la naturaleza del campo gravitatorio en el que esté situado el objeto? 47. ¿Cómo podría usted determinar si dos objetos tienen (a) la misma masa gravitatoria, (b) la misma masa inercial, y (c) el mismo peso? 48. Usted es un pasajero del S.S. Arthur C. Clarke, el primer vehículo espacial interestelar. El Clarke gira en tomo a un eje central para simular la gravedad de la Tierra. Si usted está dentro de una cabina cerrada, ¿cómo podría decir que no está en la Tierra? 49. ¿Puede uno considerar la gravedad como una fuerza “fic ticia” que surge de la aceleración del marco de referencia propio con relación a un marco de referencia inercial, en lugar de verla como una fuerza “real”? 50. La representación de la “acción-a-distancia” de la fuerza gravitatoria implica que la acción es instantánea. Real mente, la teoría física actual supone que la gravitación se propaga con una velocidad finita y esto se toma en cuenta en la modificación de la física clásica representada por la teoría general de la relatividad. (Para un estudio de las
Problemas
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acción no es instantánea? (Véase también “Infinite Speed of Propagation of Gravitation in Newtonian Physics”, por I. J. Good, American Journal of Physics, julio de 1975, pág. 640).
ideas e intentos de verificación experimental, véase “Gravitational Waves —A Progress Report”, por Jonathan L. Logan, Physics Today, marzo de 1973, pág. 44). ¿Qué les sucedería a las deducciones clásicas si se supusiese que la
PROBLEMAS Sección 16-3 La constante gravitatoria G 1. En la balanza de Cavendish del problema muestra 1, calcule la fuerza gravitatoria ejercida por una de las esfe ras grandes sobre la otra esfera grande. 2. El Sol y la Tierra ejercen cada uno una fuerza gravitatoria sobre la Luna. Calcule la razón FSaJFT¡cm de estas dos fuerzas. (La distancia Sol-Luna promedio es igual a la distancia Sol-Tierra). 3. ¿A qué distancia de la Tierra puede estar una sonda espacial a lo largo de una línea dirigida hacia el Sol de modo que la atracción gravitatoria del Sol equilibre a la de la Tierra?
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Sección 16-4 La gravedad cerca de la superficie de la Tierra 4. Uno de los satélites Echo constaba de un globo de alumi nio inflado de 30 m de diámetro y 20 kg de masa. Un meteorito con masa de 7.0 kg pasa a 3.0 m de la superficie del satélite. Si se ignora el efecto de otros cuerpos distintos al meteorito y al satélite, ¿qué fuerza gravitatoria experi menta el meteorito cuando está más cerca del satélite? 5. Si un péndulo tiene un periodo de 1.00 s en el ecuador, ¿cuál sería su periodo en el polo Sur? Véase la figura 6. 6. Suponga que usted pesa 120 Ib al nivel de la banqueta afuera del Centro Mundial de Comercio de la ciudad de Nueva York. Suponga que usted va desde este nivel hasta la cima de una de sus torres de 1350 ft. ¿Cuánto menos pesaría allí a causa de que está ligeramente más alejado del centro de la Tierra? 7. ¿A qué altitud sobre la superficie de la Tierra es la acele ración en caída libre igual a 7.35 m/s2(tres cuartos de su valor en la superficie)? 8. Demuestre que la aceleración en caída libre en un planeta hipotético que tenga la mitad del diámetro de la Tierra, pero el doble de su densidad, es la misma que en la Tierra. 9. Una estrella de neutrones típica puede tener una masa igual a la del Sol pero un radio de 10 km únicamente, (a) ¿Cuál es la aceleración gravitatoria en la superficie de una estrella de éstas? (b) ¿A qué velocidad se movería un objeto si cayese desde el reposo a una distancia de 1.20 m en una estrella así? 10. (a) Calcule g0 en la superficie de la Luna a partir de los valores de la masa y el radio de la Luna dados en el apéndice C. (b) ¿Cuál es el periodo de un “péndulo de segundos” (periodo = 2.00 s en la Tierra) en la superficie de la Luna? (c) ¿Cuánto pesaría un objeto en la superfi cie de la Luna si pesa 100 N en la superficie de la Tierra?
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(d) ¿A cuántos radios de la Tierra debe estar este mismo objeto de la superficie de la Tierra para pesar lo mismo que en la superficie de la Luna? El hecho de que g varía de lugar a lugar sobre la superfi cie de la Tierra llamó la atención cuando Jean Richer llevó en 1672 un reloj de péndulo desde París hasta Cayena, Guayana Francesa, y halló que se atrasaba 2.5 min/día. Si g = 9.81 m/s2en París, calcule g en Cayena. Si g se determina dejando caer un objeto a una distancia de 10 m (exactamente), ¿con qué precisión debe medirse el tiempo para obtener un resultado correcto dentro del 0.1 %? Calcule un error en porcentaje y un error absoluto, en milisegundos. (tí) ¿Con qué precisión tendría que me dirse el tiempo (en segundos) de 100 oscilaciones de un péndulo de 10 m de longitud para conseguir el mismo porcentaje de error en la medición de gl Considérese un marco de referencia inercial cuyo origen esté fijo en el centro de masa del sistema Tierra + objeto que cae. (a) Demuestre que la aceleración hacia el centro de masa de cualquier cuerpo es independiente de la ma sa de ese cuerpo, (tí) Demuestre que la aceleración mutua, o relativa, de los dos cuerpos depende de la suma de las masas de los dos cuerpos. Comente entonces el significado de la aseveración de que un cuerpo cae hacia la Tierra con una aceleración que es independiente de su masa. Dos objetos, cada uno de masa m, se hallan suspendidos de cuerdas de diferentes longitudes de una balanza en la superficie de la Tierra,^como se muestra en la figura 36. Si las cuerdas tienen masa despreciable y difieren en longitud por h, (a) demuestre que el error en el peso, asociado al hecho de que W ' está más cerca de la Tierra
Figura 36 Problema 14.
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Capítulo 16
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que W, es W' - W = STtGpmh/3, donde p es la densidad media de la Tierra (5.5 g/cm3). (b) Halle la diferencia de longitud que dará un error de una parte en un millón. 15. (a) Escriba una expresión para la fuerza ejercida por la Luna, de masa M, sobre una partícula de agua, de masa m, situada en la Tierra en A, directamente bajo la Luna, como se muestra en la figura 37. El radio de la Tierra es R, y la distancia entre los centros de la Tierra y de la Luna es r. (b) Suponga que la partícula de agua está en el centro de la Tierra. ¿Qué fuerza ejercería la Luna allí sobre ella? (c) Demuestre que la diferencia de estas fuerzas está dada por „
IGMmR
y que representa a la fuerza de mareas, que es la fuerza sobre el agua con relación a la Tierra. ¿Cuál es la dirección de esta fuerza? (d) Repita el cálculo para una partícula de agua situada en B, en el lado más lejano de la Tierra respecto a la Luna. ¿Cuál es la dirección de esta fuerza? (e) Explique por qué existen dos protuberancias de marea en los océanos (y en la Tierra firme), una que apunta hacia la Luna y la otra en sentido opuesto.
nente vertical de g a una distancia x de un punto situado directamente sobre el centro de una caverna esférica (véa se la Fig. 38) es menor de lo que cabría suponer, suponien do una distribución uniforme de roca de densidad p, por la cantidad Ag = Y RiGp {d2 + x 2y,2 > donde R es el radio de la caverna y rf es la profundidad de su centro, (b) Estos valores de Ag, llamados anomalías, son usualmente muy pequeños y se expresan en miligal, siendo 1 gal = 1 cm/s2. Los ingenieros petroleros, al hacer un levantamiento gravimétrico, hallan que Ag varía desde 10.0 miligal hasta un máximo de 14.0 miligal dentro de una distancia de 150 m. Suponiendo que la anomalía más grande haya sido registrada directamente sobre el centro de una caverna esférica que se sabe está en la región, halle su radio y la profundidad del techo de la caverna en ese punto. Las rocas cercanas tienen una densidad de 2.80 g/cm3. (c) Suponga que la caverna, en lugar de estar vacía, está completamente inundada de agua. ¿Qué indi can ahora las lecturas de la gravedad hallada en (b) acerca de su radio y su profundidad?
Tierra
Figura 37 Problema 15.
16. Un objeto está suspendido de una báscula de resorte en un buque que navega a lo largo del ecuador con una veloci dad u. Demuestre que la lectura de la escala será muy cercana a W0(\ ± 2 covg), donde a es la velocidad angular de la Tierra y W0es la lectura de la escala cuando el buque está en reposo. Explique los signos más o menos. 17. La rotación más rápida posible de un planeta es aquella pa ra la cual la fuerza gravitatoria sobre la materia en el ecua dor proporciona apenas la fuerza centrípeta necesaria para la rotación. (¿Por qué?) (a) Demuestre luego que el perio do de rotación más corto correspondiente está dado por
donde p es la densidad del planeta, suponiendo que ésta sea homogénea, (b) Evalúe el periodo de rotación supo niendo una densidad de 3.0 g/cm3, típica de muchos pla netas, satélites y asteroides. No se ha encontrado ningún objeto que esté girando con un periodo más corto que el hallado por este análisis. 18. Pueden emplearse medidores sensibles que midan la ace leración en caída libre g local para detectar la presencia de depósitos de rocas cercanos a la superficie de densidad significativamente mayor o menor que la de su entorno; también pueden localizarse cavidades como cavernas y tiros de minas abandonadas, (a) Demuestre que la compo
Figura 38 Problema 18. 19. Para repetir un experimento realizado por vez primera públicamente por Foucault en París en 1851 puede em plearse un péndulo cuyo extremo superior esté sujeto de modo que permita al péndulo oscilar libremente en cual quier dirección. Si el péndulo oscila, el plano de la osci lación gira lentamente respecto a una línea trazada sobre el suelo, aun cuando la tensión en el alambre que soporta a la lenteja y la atracción gravitatoria de la Tierra sobre la lenteja estén en un plano vertical, (a) Demuestre que esto es consecuencia de que la Tierra no es un marco de referencia inercial. (b) Demuestre que para un péndulo de Foucault situado en una latitud 6, el periodo de rota ción del plano, en horas, es de 24/sen 6. (c) Explique en términos sencillos el resultado en 0 = 90° (los polos) y 0 = 0° (el ecuador). Sección 16-5 Efecto gravitatorio de una distribución esférica de la materia 20. Dos cascarones esféricos concéntricos de densidad uni forme con masas M, y M2están situados como se muestra
Problemas
en la figura 39. Halle la fuerza sobre una partícula de masa m cuando la partícula esté ubicada en (a) r = a, (b) r = b, y (c) r = c. La distancia r se mide desde el centro de los cascarones.
Figura 39 Problema 20.
25. La figura 41 muestra, no a escala, una sección transversal del interior de la Tierra. En lugar de ser uniforme, la Tierra está dividida en tres zonas: una corteza, un manto, y un núcleo. Se muestran en la figura las dimensiones de estas zonas y la masa contenida en ellas. La Tierra tiene una masa total de 5.98 x 1024 kg y un radio de 6370 km. Despréciese la rotación y supóngase que la Tierra es esférica, (a) Calcule g en la superficie, (b) Suponga que se perfora un orificio hasta la superficie de contacto entre corteza y manto (el Moho); ¿cuál sería el valor de g en el fondo del orificio? (c) Suponga que la Tierra es una esfera uniforme con la misma masa total y el mismo tamaño. ¿Cuál sería el valor de g a una profundidad de 25 km? Úsese el resultado del problema 22. Las mediciones pre cisas de g son muestras sensibles de la estructura interior de la Tierra, aunque los resultados puedan estar oscureci dos por las variaciones de densidad locales y la falta de un conocimiento preciso del valor de G.
21. ¿A qué velocidad pasaría el correo por el centro de la Tierra si fuese entregado por medio del ducto del proble ma muestra 4? 22. Demuestre que, en el fondo de un tiro de mina vertical cavado hasta una profundidad D, el valor medido de g será
N ú cleo, 1 .9 3 x
g = g. ( i “
1 0 24 kg
M anto, 4 .0 1 x
siendo gs el valor en la superficie. Suponga que la Tierra es una esfera uniforme de radio R. 23. El siguiente problema proviene de un examen “Olímpic” de la Universidad estatal de Moscú en 1946 (véase la Fig. 40): Se practica una oquedad esférica dentro de una esfera de plomo de radio R, de modo que su superficie toque la superficie exterior de la esfera de plomo y pase por su centro. La masa de la esfera antes de practicar la oquedad era M. ¿Con qué fuerza, de acuerdo con la ley de la gravitación universal, atraerá la esfera de plomo ahuecada a una esfera pequeña de masa m, que esté situada a una distancia d del centro de la esfera de plomo en la línea recta que une a los centros de las esferas y de la oquedad? f í ----------------------- d ------------------------->
-•m
Figura 40 Problema 23.
24. (a) Demuestre que en un ducto que atraviese la Tierra a lo largo de una cuerda en lugar de a lo largo de un diámetro, el movimiento de un objeto sería armónico simple; supón gase una densidad uniforme de la Tierra, (b) Halle el periodo, (c) ¿Adquirirá el objeto la misma velocidad má xima a lo largo de una cuerda que como lo hace a lo largo de un diámetro?
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Corteza, 3 .9 4 x
1 0 24 kg
1 0 22 kg
Figura 41 Problemas 25 y 26.
26. Utilice el modelo de la Tierra mostrado en la figura 41 para examinar la variación de g con la profundidad en el interior de la Tierra. (a) Halle g en la superficie de contacto núcleo-manto. ¿Cómo varía g desde esta superficie de contacto hasta el centro de la Tierra? (Jb) Demuestre que g tiene un mínimo local dentro del manto; halle la distancia del centro de la Tierra donde ocurre esto y el valor de g asociado, (c) Haga un diagrama que muestre la variación de g dentro de la Tierra. 27. (a) La figura 42a muestra un objeto planetario de densidad uniforme p y radio R. Demuestre que el esfuerzo de compresión S cerca del centro está dado por 5 = \n G p 2R 1. (Sugerencia: Construya una columna angosta de área A en su sección transversal que se extienda desde el centro hasta la superficie. El peso del material de la columna es m8prono donde m es la masa de material en la columna y Spran es el valor de g en el punto medio entre el centro y la superficie.) (b) En nuestro sistema solar, los objetos (por ejemplo los asteroides, los satélites pequeños, los come tas) con “diámetros” menores de 600 km pueden ser de
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Capítulo 16
Gravitación S = \nG p2R 2.
ceptados es cero, (ti) Demuestre luego que la fuerza gra vitatoria resultante de todo el cascarón sobre una partícula interna es cero. (Este método fue ideado por Newton.)
Figura 43 Problema 29.
* l: ¿fr •? -r
Figura 42 Problema 27.
forma muy irregular (véase la Fig. 426, que muestra a Hiperión, un pequeño satélite de Saturno), mientras que los de diámetros más grandes son esféricos. Un objeto puede mantener una forma distinta a la esférica única mente si las rocas que lo constituyen tienen la resisten cia suficiente para resistir a la fuerza de la gravedad. Calcule el límite de resistencia a la compresión de las rocas que forman a los asteroides. Suponga una densidad de 4000 kg/m3. (c) ¿Cuál es el tamaño más grande posi ble de un satélite autogravitante no esférico hecho de concreto (véase la tabla 1, capítulo 14); supóngase que p = 3000 kg/m3. 28. Una partícula de masa m está situada a una distancia y de una barra infinitamente larga de densidad de masa lineal A. Demuestre que la fuerza gravitatoria entre la barra y la partícula es F = 2 GmX/y, dirigida perpendicularmente a la barra. (Sugerencia : Haga que la perpendicular de la partí cula a la barra defina el origen. Considere dos incrementos de masa din = X dx ubicados a ± x a lo largo de la barra. Calcule la fuerza total dF (magnitud y dirección) ejercida sobre la partícula por estos dos incrementos de masa. Luego, integre sobre x desde cero hasta el infinito). 29. Considere una partícula en un punto P situado en cualquier lugar dentro de un cascarón esférico de materia. Suponga que el cascarón es de espesor y densidad uniformes. Contruya un doble cono angosto con las puntas en P que intercepte las áreas <¿4, y dA2 del cascarón (Fig. 43). (a) Demuestre que la fuerza gravitatoria resultante ejercida sobre la partícula en P por los elementos de masa inter
Sección 16-6 Energía potencial gravitatoria 30. Se ha conjeturado que una estrella en “extinción” pudiera colapsarse a un “radio gravitatorio”, definido como el radio para el cual el trabajo necesario para retirar a un objeto de masa m de la superficie de la estrella hasta el infinito es igual a la energía en reposo me2 del objeto. Demuestre que el radio gravitatorio del Sol es G M J c 2 y determine su valor en términos del radio actual del Sol. (Para una revisión de este fenómeno véase “Black Holes: New Horizons in Gravitational Theory”, por Philip C. Peters, Am erican Scientist, sept.-oct. de 1974, pág. 575). 31. Un vehículo espacial marcha inactivo en la periferia de nuestra galaxia, a 80,000 años luz del centro galáctico. ¿Qué velocidad mínima deberá tener si queremos que escape enteramente de la atracción gravitatoria de la ga laxia? La masa de la galaxia es 1.4 x 10“ veces la de nuestro Sol. Suponga, para simplificar, que el material que forma a la galaxia está distribuido con una simetría esférica. 32. Demuestre que la velocidad de escape desde el Sol a la distancia de la Tierra al Sol es •Í2 veces la velocidad de la Tierra en su órbita, suponiendo que ésta sea circular. (Éste es un caso específico de resultado general para las órbitas circulares: vtsc = T2 u„b.) 33. Un cohete es acelerado hasta que alcanza una velocidad de v = 'J2gRT cerca de la superficie de la Tierra y entonces se aleja radialmente sin propulsión, (a) Demuestre que escapará de la Tierra, (ti) Demuestre que muy lejos de la Tierra su velocidad es F= ■/2gRr . 34. El Sol, de 2.0 x 1030kg de masa, gira alrededor del centro de la galaxia de la Vía Láctea, que está a una distancia de 2.2 x 1020m. Completa una revolución cada 2.5 x 10®años. Calcule el número de estrellas en la Vía Láctea. (Sugeren cia: Suponga, para simplificar, que las estrellas están distribuidas con simetría esférica en tomo al centro galác tico y que nuestro Sol está en el borde de la galaxia.) 35. Una esfera de materia, de masa M y radio a, tiene una cavidad concéntrica de radio b, como se muestra en sec ción transversal en la figura 44. (a) Grafique la fuerza gravitatoria F ejercida por la esfera sobre una partícula de
Problemas
masa m, situada a una distancia r del centro de la esfera, en función de r en el intervalo 0 < r < Considere en particular los puntos r =0,b, a, e°°. (b) Grafique la energía potencial U(r) del sistema, (c) A partir de estas gráficas, ¿cómo podrían obtenerse gráficas de la intensidad del campo gravitatorio y del potencial gravitatorio debido a la esfera?
415
1.56 x 1030kg y un radio de 12.6 km. Inicialmente están en reposo una respecto a la otra, (a) ¿A qué velocidad se moverán cuando su separación haya disminuido a la mitad de su valor inicial? (b) ¿A qué velocidad se mueven en el momento antes de colisionar? Desprecie los efectos rela tivistas. 42. Varios planetas (los gigantes gaseosos Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno) poseen anillos circundantes casi circu lares, compuestos quizá de un material que no se cons tituyó en satélite. Además, muchas galaxias contienen estructuras en forma de anillo. Considere un anillo homo géneo de masa M y radio R. (a) Halle una expresión para la fuerza gravitatoria ejercida por el anillo sobre una partícula de masa m localizada a una distancia x del centro del anillo a lo largo de su eje. Véase la figura 45. (b) Suponga que la partícula cae desde el reposo como con secuencia de la atracción del anillo de materia. Halle una expresión para la velocidad con la que pasa por el centro del anillo.
Figura 44 Problema 35.
36. Un proyectil se dispara verticalmente desde la superficie de la Tierra con una velocidad inicial de 9.42 m/s. Des preciando la fricción atmosférica, ¿a qué distancia de la superficie de la Tierra llegará? 37. Esferas de 2.53 kg y 7.16 kg de masa están fijas a una distancia de 1.56 m entre sus centros. Una esfera de 212 g se coloca a 42.0 cm del centro de la esfera de 7.16 kg, a lo largo de la línea de los centros. ¿Cuánto trabajo deberá efectuar un agente externo para mover la esfera de 212 g a lo largo de la línea de los centros y situarla a 42.0 cm del centro de la esfera de 2.53 kg? 38. Un cohete agota su combustible a una altitud h sobre la superficie de la Tierra. Su velocidad v0 al agotarse el combustible supera a la velocidad de escape utsc corres pondiente a la altitud de agotamiento. Demuestre que la velocidad v del cohete muy lejos de la Tierra está dada por v
=
(v¿ ■
)'/2-
39. (a) Calcule la velocidad de escape de Europa, un satélite del planeta Júpiter. El radio de Europa es de 1569 km y su aceleración en caída libre en la superficie es de 1.30 m/s2. (b) ¿A qué altura se elevará una partícula si abandona la superficie del satélite con una velocidad vertical de 1.01 km/s? (c) ¿Con qué velocidad golpeará un objeto al satélite si se deja caer desde una altura de 1000 km? (d ) Calcule la masa de Europa. 40. Un sistema de dos estrellas de 3.22 x 1030kg de masa cada una gira en torno a su centro de masa común, situado a una distancia de 1.12 x 10" m. (a) Calcule su periodo de revolución común, en años. (b) Suponga que un meteoroide (pequeña partícula sólida en el espacio) pase por este centro de masa moviéndose en ángulo recto con el plano orbital de las estrellas. ¿Cuál debe ser su velocidad para escapar del campo gravitatorio de la estrella doble? 41. Dos estrellas neutrónicas están separadas por una distan cia de 93.4 km entre centros. Cada una tiene una masa de
M Figura 45 Problema 42. 43. Dos partículas de masas m y M están inicialmente en re poso a una distancia infinita entre ellas. Demuestre que en cualquier instante su velocidad relativa de acercamiento atribuible a la atracción gravitatoria es V2G(M + m)/d, donde d es su separación en ese instante. Sección 16-8 Los movimientos de planetas y satélites 44. La distancia media de Marte al Sol es 1.52 veces la de la Tierra al Sol. A partir de esto, calcule el número de años necesario para que Marte complete una revolución en tomo al Sol; compare su respuesta con el valor dado en el apéndice C. 45. El planeta Marte tiene un satélite, Fobos, que viaja en una órbita de 9400 km de radio con un periodo de 7 h 39 min. Calcule la masa de Marte a partir de esta informa ción. (La masa de Fobos es despreciable comparada con la de Marte.) 46. Determine la masa de la Tierra a partir del periodo T y del radio r de la órbita de la Luna alrededor de la Tierra: T = 27.3 días y r = 3.82 x 105km. 47. Un satélite se sitúa en una órbita circular con un radio igual a la mitad del radio de la órbita de la Luna. ¿Cuál es el periodo de revolución en meses lunares? (Un mes lunar es el periodo de revolución de la Luna.) 48. Se han colocado satélites espía en la órbita geosíncrona sobre el ecuador de la Tierra. ¿Cuál es la mayor latitud L desde la que los satélites son visibles en la superficie de la Tierra? Véase la figura 46.
416
Capítulo 16
Gravitación
Figura 46 Problema 48.
49. Un vehículo espacial de reconocimiento rodea a la Luna a una altitud muy baja. Calcule (a) su velocidad y (ti) su periodo de revolución. Refiérase al apéndice C para los datos necesarios de la Luna. 50. Considere dos satélites A y B de igual masa m, que se mueven en la misma órbita circular de radio r alrededor de la Tierra T pero en sentidos de revolución opuestos y, por lo tanto, en vías de colisión (véase la Fig. 47). (á) En términos de G, MT, m y r, halle la energía mecánica total del sistema Tierra más los dos satélites antes de la colisión, (ti) Si la colisión es completamente inelástica de modo que los restos permanezcan como una sola pie za de material mezclado, halle la energía mecánica total inmediatamente después de la colisión, (c) Describa el movimiento subsiguiente de los restos.
Figura 47 Problema 50.
51. El centro del Sol está en uno de los focos de la órbita de la Tierra. ¿A qué distancia está el otro foco? Exprese su respuesta en términos del radio del Sol Rs = 6.96 x 10* m. La excentricidad de la órbita de la Tierra es de 0.0167 y el semieje mayor tiene 1.50 x 10" m. 52. Use la conservación de la energía y la ecuación 27 de la energía total para demostrar que la velocidad v de un objeto situado en una órbita elíptica satisface la relación v2= GM
alejado y a 1180 km en su punto más cercano. Calcule (a) el semieje mayor, (ti) la excentricidad de la órbita, y (c) el periodo de revolución. 55. Considere un satélite artificial situado en una órbita circu lar alrededor de la Tierra. Establezca cómo varían las siguientes propiedades del satélite con el radio r de su órbita: (a) periodo, (ti) energía cinética, (c) ímpetu angu lar, y (d) velocidad. 56. (a) Exprese la constante G de la gravitación universal que aparece en la ley de la gravedad de Newton en términos de la unidad astronómica UA como unidad de longitud, la masa solar Ms como unidad de masa, y el año como unidad de tiempo. (1 UA « 1.496 x 10“ m, 1 Aís = 1.99 x 1030kg, 1 año = 3.156 x 107s.) (ti) ¿Qué forma adquiere la tercera ley de Kepler (Ec. 24) en estas unidades? 57. En el año de 1610 Galileo construyó un telescopio, lo di rigió hacia Júpiter, y descubrió cuatro lunas prominentes. Los radios de sus órbitas medias a y sus periodos T son Nombre lo Europa Ganimedes Calixto
T (días) 1.77 3.55 7.16 16.7
(a) Grafique el log a (eje y) contra el log T (eje x) y demuestre que se obtiene una línea recta, (ti) Mida su pendiente y compárela con el valor que cabe esperar partiendo de la tercera ley de Kepler. (c) Halle la masa de Júpiter a partir de la intersección de esta línea con el eje y. (Nota: puede usar también papel log-log para grá ficas.) 58. Demuestre cómo, guiado por la tercera ley de Kepler, Newton pudo deducir que la fuerza que mantiene a la Luna en su órbita, supuesta circular, debe variar según el inverso de los cuadrados de la distancia desde el centro de la Tierra. 59. La mayoría de los asteroides giran alrededor del Sol entre Marte y Júpiter. Sin embargo, varios “asteroides Apolo” de diámetros de unos 30 km se mueven en órbitas que cruzan la órbita terrestre. En la figura 48 se muestra la órbita de uno de ellos. Tomando las medidas directamente de la figura, deduzca el periodo de revolución del asteroide en años. (Se calcula que, finalmente, estos asteroides chocarán con la Tierra.)
(H)-
53. Un cometa que se mueve en una órbita con 0.880 de
excentricidad tiene una velocidad de 3.72 km/s cuando está más distante del Sol. Halle su velocidad cuando está más cercano al Sol. 54. Un satélite que se mueve en una órbita elíptica está a 2360 km sobre la superficie de la Tierra en su punto más
a ( 10®m) 4.22 6.71 10.7 18.8
Figura 48 Problema 59.
Problemas
60. Un satélite en órbita elíptica de excentricidad e tiene una velocidad u, en el apogeo, up en el perigeo, y u0en los extremos del eje menor de su órbita. Demuestre que ( a ) vr ¡ v , - (1 + e ) ¡( 1 - e ), y (b ) v j v . - ( v j v j 12. 61. Cierto sistema de estrellas triples consta de dos estrellas, cada una de masa m , que giran en tomo a una estrella central, de masa M, en la misma órbita circular. Las dos estrellas están situadas en los extremos opuestos de un diámetro de la órbita circular; véase la figura 49. Derive una expresión para el periodo de revolución de las estre llas; el radio de la órbita es r.
67.
/ |\
?U\ V. / /f
68. Figura 49 Problema 61.
62. Un par de estrellas gira con respecto a su centro de masa común. Una de las estrellas tiene una masa M que es el doble de la masa m de la otra; esto es, M = 2m . S u s centros están a una distancia d entre sí, siendo d grande en com paración con el tamaño de cualquiera de las estrellas, ( a ) Derive una expresión para el periodo de revolución de las estrellas alrededor de su centro de masa común en térmi nos de d , m , y G . (ti) Compare los ímpetus angulares de las dos estrellas en torno a su centro de masa común calculando la razón L nJ L u . ( c ) Compare las energías ciné ticas de las dos estrellas calculando la razón K m/ K M. 63. Un satélite viaja inicialmente en una órbita aproximada mente circular a 640 km sobre la superficie de la Tierra; su masa es de 220 kg. (á) Determine su velocidad, (ti) Determine su periodo de revolución, (c) Por varias cau sas el satélite pierde energía mecánica a razón de (en promedio) 1.40 x 105J por revolución orbital. Adoptando la aproximación razonable de que la trayectoria sea un “círculo con un radio que disminuye lentamente", deter mine la distancia desde la superficie de la Tierra, la velocidad, y el periodo de] satélite al final de su revolución orbital núm. 1500. ( d ) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza retardante promedio? (e ) ¿Se conserva el ímpetu angular? 64. Un sistema binario de estrellas consta de dos estrellas, cada una con la misma masa que el Sol, que gira en tomo al centro de masa común del sistema. La distancia entre ellas es la misma que la distancia entre la Tierra y el Sol. ¿Cuál es el periodo de revolución en años? 65. ( a ) ¿Se consume la misma energía al llevar un satélite a 1600 km de la Tierra que al ponerlo en órbita una vez que está a esa distancia? (ti) ¿Qué sucede con 3200 km? (c) ¿Y qué, a 4800 km? Considere que el radio de la Tierra es de 6400 km. 66. Una posibilidad de dañar a un satélite en órbita terrestre es lanzar un enjambre de bolitas de modo tal que se
69.
70.
71.
72.
73.
417
muevan en la misma órbita que el satélite pero en direc ción opuesta. Considere un satélite en órbita circular cuya altitud sobre la superficie de la Tierra es de 500 km. Un sensor a bordo detecta una bolita de 10.0 g que se acerca y determina que es inevitable una colisión frontal, ( a ) ¿Cuál es la energía cinética de la bolita que se acerca en el marco de referencia del satélite? (ti) ¿Cómo se compara ésta con la energía cinética de la posta de un rifle moderno del ejército? Una posta de éstas tiene una masa de 4.00 g y una velocidad de salida de 950 m/s. El asteroide Eros, uno de los muchos planetas menores que giran alrededor del Sol en la región comprendida entre Marte y Júpiter, tiene un radio de 7.0 km y una masa de 5.0 x 1015 kg. ( a ) Si usted estuviera en Eros, ¿podría levantar un camión de 2000 kg? (ti) ¿Podría correr lo suficientemente rápido como para ponerse a sí mismo en órbita? Desprecie los efectos debidos a la rotación del asteroide. ( N o ta : Los récords olímpicos para los 400 m planos corresponden a velocidades de 9.1 m/s para los hombres y 8.2 m/s para las mujeres.) La órbita de la Tierra en torno al Sol es c a s i circular. Las distancias más cercana y más lejana son de 1.47 * 10®km y 1.52 x 10®km, respectivamente. Determine las variacio nes máximas de ( a ) la energía potencial, (ti) la energía cinética, (c) la energía total, y ( d ) la velocidad orbital que resulta del cambio en la distancia Tierra-Sol en el trans curso de 1 año. ( S u g e r e n c i a : Use la conservación de la energía y el ímpetu angular.) Suponga que un satélite de comunicaciones geosíncrono está en órbita en la longitud de Chicago. Usted está en Chicago y quiere captar sus señales. ¿En qué dirección debería usted apuntar el eje de su antena parabólica? La latitud de Chicago es de 47.5° N. ¿Qué velocidad inicial mínima (medida respecto a la Tierra) debe ser impartida a un objeto que está en reposo sobre la superficie de la Tierra para que escape no sola mente del campo gravitatorio terrestre sino también del Sol? Desprecie la rotación de la Tierra pero no su movi miento orbital alrededor del Sol. (S u g e r e n c i a : Observe que para una velocidad mínima el objeto debe proyectarse en dirección del movimiento orbital de la Tierra. Trate el problema en dos etapas, el escape desde el Sol después del escape de la Tierra. La velocidad orbital de la Tierra, v0, une a los dos marcos de referencia implicados.) Usando los datos del problema muestra 11, calcule ( a ) la velocidad del vehículo espacial B cuando pasa por el punto P \ y (ti) la velocidad promedio del vehículo espacial B en la órbita después de haber agotado su combustible. Apro xime la trayectoria de B a un círculo. Compare estos resultados con las cantidades correspondientes del vehí culo espacial A . Un satélite meteorológico está un una órbita geosíncrona, quieto sobre Nairobi, ciudad muy cercana al ecuador. Si el radio de su órbita se aumenta en 1.00 km, ¿a qué razón y en qué dirección se movería su punto de referencia, que anteriormente estaba estacionario, en la superficie de la Tierra? Tres estrellas idénticas de masa M están situadas en los vértices de un triángulo equilátero de lado L . ¿A qué
418
Capítulo 16
Gravitación
velocidad deben moverse si giran todas bajo la influencia de la gravedad mutua en una órbita circular que circuns cribe al triángulo equilátero y cuya forma se mantiene?
Figura 50 Problema 74.
74. ¿Cuánto tiempo le tomaría a un cometa, que se mueve en una trayectoria parabólica, moverse desde su punto de acercamiento más próximo al Sol en A (véase la Fig. 50) en un ángulo de 90°, medido en el Sol, hasta B? Sea la distancia de acercamiento más próxima al Sol igual al radio de la órbita de la Tierra, supuesta circular.
75. Imaginemos un planeta de masa M con una pequeña luna de masa m y radio a que gira a su alrededor manteniendo la misma cara hacia él. Si ahora la luna se aproxima al planeta, existirá una distancia crítica medida desde el centro del planeta a la cual se levantaría material suelto de la superficie de la luna. Demuestre que esta distancia está dada por re = a(3M/m)'p. Esta distancia crítica recibe el nombre de límite de Roche. 76. (a) Demuestre que el problema de los dos cuerpos de la sección 16-8 puede simplificarse a un problema de un cuerpo con el uso del concepto de masa reducida de la sección 15-10. Es decir, demuestre que si usamos /j = mM/(m + M) en lugar de m, donde p es la masa reducida, podemos tratar el movimiento de m con relación a M exactamente como si M fuese el origen de nuestro marco de referencia inercial. (b) Demuestre que la hipótesis expresada en la sección 16-8 de que R es despreciable mente pequeño comparado con r es equivalente a supo ner que la masa reducida ¡u es igual a m. (c) Compare a /j del sistema Tierra-Sol con la masa de la Tierra; compare a /j del sistema Luna-Tierra con la masa de la Luna. (d ) Si utilizáramos la masa reducida /u del sistema de dos cuer pos en lugar de m, ¿en qué afectaría esto a las ecuaciones de la sección 16-8?
CAPITULO 17
ESTÁTICA DE LOS FLUIDOS
La mayor parte de la materia puede ser convenientemente descrita clasificándola dentro de una de las tres fases: sólida, liquida, o gaseosa. Los sólidos y los líquidos (llamados también materia condensada) tienen cierto grupo de propiedades en común; por ejemplo, son relativa mente incompresibles a la vez que su densidad permanece relativamente constante cuando varía su temperatura (manteniendo también otras propiedades, como la presión, constantes). Por otra parte, los gases son fácilmente compresibles y su densidad cambia de manera sustancial con la temperatura cuando la presión se mantiene constante. Desde una perspectiva diferente, podemos agrupar en forma conjunta a los gases y a los líquidos bajo la denominación común de fluidos. La palabra “fluido ”proviene del latín fluere, que significa “fluir o manar ”. Los fluidos fluyen, por ejemplo, para adquirir la forma del recipiente que los contenga; los sólidos no comparten esta propiedad. En el sólido, los átomos permanecen relativamente fijos en su ordenamiento; en el fluido, los átomos pueden moverse entre sí. En este capitulo consideraremos las propiedades de los fluidos en reposo y las leyes por las que se rigen. En el capítulo siguiente estudiaremos las propiedades dinámicas de los fluidos en movimiento.
17-1 FLUIDOS Y SÓLIDOS En nuestra experiencia cotidiana tenemos una idea cla ra de la distinción entre fluidos y sólidos pero, como suele suceder en la ciencia, las experiencias cotidianas se obtienen dentro de circunstancias muy limitadas, y extra polarlas demasiado lejos puede conducir a conclusiones incorrectas. Por ejemplo, partiendo de la experiencia co tidiana podemos proponer la distinción siguiente: el sóli do conserva su forma pero el fluido fluye para adoptar la forma de su recipiente. Por otra parte, ciertas sustancias no pueden ser clasificadas con tanta facilidad. Por ejem plo, el vidrio debería clasificarse como fluido; aunque parece que mantiene su forma, el vidrio fluye durante un periodo grande de tiempo. Las ventanas de vidrio que han permanecido durante muchos años son, si las medimos más gruesas en la parte inferior que en la parte superior. Otra forma un tanto intermedia es la sustancia plástica, la cual puede moldearse o dársele fonna. Consideremos, por ejemplo, la arcilla. Mantiene su forma relativamente bien, y nos resistiríamos a clasificarla como un fluido, pero al aplicar presión sobre ella podemos forzarla a
adoptar la forma de su recipiente. Puede hacerse que otras sustancias, a las que podríamos identificar como sólidas en la experiencia ordinaria, fluyan bajo una presión lo bastante elevada. Por supuesto, estamos familiarizados con el cambio de estado de la materia al cambiar su temperatura, que podría fundir o evaporar esa materia. Pero estamos menos fami liarizados con el cambio de estado de la materia cuando cambia la presión sobre ella, en parte porque el intervalo de presiones necesarias está, generalmente, más allá de nuestra experiencia normal. Por ejemplo, el aluminio puede estirarse para hacer de él alambre si lo hacemos pasar a través de un orificio pequeño y puede moldearse de formas diversas sometiéndolo en un troquel, a la ac ción de una presión elevada. Las capas de roca en plegamientos profundos que vemos a menudo en las carreteras que cruzan una montaña, son evidencia de que la “roca sólida” llega a fluir también bajo una presión suficiente mente elevada. Existe aún otra fase de la materia que no puede fácil mente clasificarse como sólido, líquido, o gas. Un plasma es un gas en el que los átomos están ionizados, de modo que forman una mezcla eléctricamente neutra que con
420
Capítulo 1 7 Estática de los fluidos
tiene números iguales de iones cargados positivamente y electrones cargados negativamente. Las fuertes inter acciones eléctricas que se dan con el entorno y entre los átomos hacen que su comportamiento sea bastante dife rente al de un gas ordinario. El gas que hay dentro de una lámpara fluorescente se convierte en plasma cuando la lámpara se enciende. En una escala mucho más grande, el Sol y las demás estrellas son bolas de plasma y, así, mucha de la materia del Universo existe en esta forma. Crear y confinar plasmas de tamaño suficiente en el labo ratorio son los obstáculos principales que encaran los investigadores que buscan maneras de aprovechar las reacciones de la fusión controlada para generar energía eléctrica. Microscópicamente, ¿cómo difieren estas formas de materia unas de otras? Los sólidos son capaces de soportar una variedad de esfuerzos, como ya hemos visto en el capítulo 14. Estos esfuerzos incluyen la tensión, la com presión y el corte, entre otros. Los sólidos pueden soportar y transmitir tales esfuerzos debido a que existen fuerzas relativamente fuertes entre sus moléculas y porque tienen un orden de largo alcance, es decir, sus moléculas están dispuestas de manera ordenada, como los tabiques en una pared, de modo que no se puede desplazar a un átomo fácilmente de un lugar sin desplazar también a muchos otros átomos. En los líquidos, las distancias intermoleculares son generalmente más grandes que en los sólidos; de aquí que las fuerzas intermoleculares, que varían fuertemente con la distancia, tiendan a ser más débiles en los líquidos que en los sólidos. Muchos líquidos son, como los sólidos, relativamente incompresibles, de modo que los líquidos soportan y transmiten esfuerzos de compresión; como lo veremos más adelante en este capítulo, los sistemas hi dráulicos dependen de esta propiedad de los fluidos. Hasta un grado limitado, los líquidos pueden soportar también esfuerzos de tensión, lo cual estudiaremos en la sección 17-6. Sin embargo, los líquidos no pueden soportar es fuerzos cortantes porque las capas del líquido se deslizan entre sí con gran facilidad. En los gases, las moléculas interactúan sólo débilmente, por lo que son incapaces de transmitir esfuerzos estáticos de tensión o de corte; así, son por lo general mucho más compresibles que los sólidos o los líquidos. Sin embargo, en un plasma existen fuerzas electromagnéticas de largo alcance entre las partículas. Por lo tanto, si bien un plasma parece hallarse en estado gaseoso tiene mayor similitud con un líquido en su capacidad para transmitir esfuerzos. Hemos desarrollado un grupo de leyes mecánicas que nos permiten analizar la dinámica de partículas individua les, y hemos desarrollado también otro grupo similar de leyes que nos permiten analizar la dinámica de conjuntos de partículas en sólidos rígidos. Es importante observar que lo hicimos aun sin una teoría que explicase las fuerzas entre las partículas de que está compuesto un sólido. Aun
para el caso de los sólidos que no pueden ser considerados como perfectamente rígidos, tenemos una teoría de la elasticidad (véase el capítulo 14). La mecánica de los fluidos adquiere un planteamiento similar. Al igual que la mecánica de los cuerpos rígidos, la primera se deriva de las leyes de Newton. Para los fluidos, como para los sólidos, es conveniente desarrollar una formulación especial de estas leyes.
17-2 PRESIÓN Y DENSIDAD Presión A un sólido podemos aplicarle una fuerza a un ángulo arbitrario con su superficie. En la sección 14-5 hemos considerado el efecto del esfuerzo cortante sobre un sóli do, donde la fuerza actúa en el plano de un elemento de área de la superficie. La capacidad de fluir hace que el fluido sea incapaz de soportar un esfuerzo cortante, y en condiciones estáticas la única componente de la fuerza que debe tomarse en cuenta es la que actúa en forma normal o perpendicular a la superficie del fluido. Sin importar cuál sea la forma del fluido, las fuerzas entre el interior y el exterior actúan en todas partes en ángulo recto con las capas frontera del fluido. La magnitud de la fuerza normal por unidad de área superficial se llama presión. La presión es una cantidad escalar; no tiene propiedades direccionales. Por ejemplo, cuando nadamos bajo el agua ésta ejerce una presión sobre nuestro cuerpo en todas direcciones. Incluso si la presión es producida por una fuerza que tiene propiedades direc cionales y es un vector, la presión es, en sí misma, un escalar. Microscópicamente, la presión ejercida por un fluido sobre una superficie en contacto con él es causada por colisiones de moléculas del fluido con la superficie. Como resultado de una colisión, la componente del ímpetu de una molécula perpendicular a la superficie se invierte. La superficie debe ejercer una fuerza impulsiva sobre la molécula y, según la tercera ley de Newton, las moléculas ejercen una fuerza igual perpendicular a la superficie. El resultado neto de la fuerza de reacción ejercida por mu chas moléculas sobre la superficie da origen a la presión en la superficie. En el capítulo 23 desarrollaremos este cuadro más cuantitativamente para el caso de los gases. Un fluido sometido a presión ejerce una fuerza hacia afuera sobre cualquier superficie que esté en contacto con él. Consideremos una superficie cerrada que contenga a un fluido, como en la figura 1. El fluido que está dentro de la superficie empuja al entorno. Un elemento pequeño de la superficie puede estar representado por el vector AA, cuya magnitud es numéricamente igual al elemento de
Sección 17-2
F igura 1 Un elem ento de superficie A A puede ser representado por un vector A A de longitud igual a la magnitud del área del elem ento y dirección perpendicular al elem ento. El fluido encerrado por la superficie ejerce una fuerza A F contra el elem ento. La fuerza es perpendicular al elem ento y por lo tanto paralela a A A.
Presión y densidad
421
presión en el laboratorio se expresan a menudo en la unidad torr, que es la presión ejercida por una columna de mercurio de 1 mm de altura bajo las condiciones especificadas. La tabla 1 da algunas presiones representativas en uni dades pascal. El término “sobrepresión” indica un valor excesivo de la presión atmosférica normal. Obsérvese que en el laboratorio podemos producir presiones que varían dentro de 22 órdenes de magnitud. En el apéndice G el lector hallará los factores de conversión necesarios para convertir las mediciones de la presión de un grupo de unidades a otro.
Densidad área y cuya dirección es a lo largo de la normal a la superficie hacia afuera. La fuerza AF ejercida por el fluido contra esta superficie depende de la presión p de acuerdo con
La densidad p de un elemento pequeño de cualquier material es la masa Am del elemento dividida entre su volumen AV: p=
AF = p AA.
( 1)
Puesto que los vectores que representan a la fuerza y al área son paralelos, podemos escribir la presión en térmi nos de la relación escalar AF AA
(2 )
Tomamos al elemento AA como lo suficientemente pe queño para que la presión p definida según la ecuación 2 sea independiente del tamaño del elemento. En general, la presión puede variar de un punto a otro de la superficie. La presión tiene las dimensiones de fuerza dividida por área, y una unidad común para la presión es N/m2. Esta unidad se denomina pascal (abreviatura Pa; 1 Pa = 1 N/m2) en el SI. Puede encontrarse una amplia variedad de otras unidades. En Estados Unidos los medidores de la presión en las llantas de los vehículos dan una lectura en lb/in2. La presión ejercida por la atmósfera de la Tierra al nivel del mar se designa como 1 atmósfera (atm; 1 atm = 14.7 lb/in2 = 1.0 1325 x 105 Pa, exactamente). Debido a que el pascal es una unidad pequeña (1 Pa « 10‘5atm), los pronosticadores del tiempo usan a menudo la unidad bar (1 bar = 105Pa, o 1 atm aproximadamente) para expresar la presión atmosférica. Otra unidad común se basa en la presión ejercida en su base por una columna vertical de mercurio de una altura específica; una columna de 760 mm de altura a una temperatura de 0o C en una localidad donde g = 9.80665 m/s2ejerce una presión igual a la de la atmósfera, y así tenemos la equivalencia de 760 mm Hg = 1 atm. La altura de esta columna en pulgadas es de 29.9 in; en Estados Unidos, los barómetros comunes (y los pronosticadores del tiempo en la TV) dan la presión atmosférica en pulgadas de mercurio. Las lecturas de
Am AV
(3)
La densidad en un punto es el valor límite de esta ra zón cuando el elemento de volumen se hace pequeño. La densidad no tiene propiedades direccionales y es un escalar. Si la densidad de un objeto tiene el mismo valor en todos los puntos, la densidad del objeto es igual a la masa de todo el objeto dividida por su volumen: m p<=-
(4)
La densidad de un material en general depende de factores ambientales, incluyendo la presión y la tempera tura. En los líquidos y en los sólidos, la variación de la densidad es muy pequeña dentro de intervalos grandes de presión y de temperatura, y en muchas aplicaciones pode mos considerar a la densidad como una constante. La
TABLA 1 ALGUNAS PRESIONES S is t e m a
Centro del Sol Centro de la Tierra M ayor presión sostenida en el laboratorio La fosa oceánica más profunda Tacones puntiagudos sobre una pista de baile Llanta de autom óvil (sobrepresión) Atmósfera al nivel del mar Presión normal de la sangre' El sonido más fuerte tolerable* El sonido más débil detectable’ El mejor vacío en el laboratorio
P re s ió n (P a )
2 4 1.5 1.1 2 2 1.0 1.6
X 1016 X 10“ X 1010 X 108 X 107 X 105 X 105 X 104 30 3 X 10~5 i o - 12
f La sobrepresión sistólica, correspondiente a 120 mm Hg en el esfigmomanómetro del médico. * Sobrepresión en el tímpano del oído, a 1000 Hz.
422
Capítulo 1 7 Estática de los fluidos
TABLA 2 ALGUNAS DENSIDADES Material u objeto
Densidad (kg/ití3)
Espacio interestelar El mejor vacío en el laboratorio Aire: 20° C y 1 atm 20° C y 5 0 atm Espuma de estireno Hielo Agua: 20° C y 1 atm 20° C y 50 atm A gua de mar: 20° C y 1 atm Sangre entera Hierro Mercurio La Tierra: promedio núcleo corteza El Sol: promedio núcleo Estrella enana blanca (núcleo) N úcleo del uranio Estrella de neutrones (núcleo) H oyo negro (1 masa solar)
IO-20 10“ 17 1.21 60.5 1 X 102 0.917 X 103 0.998 X 103 1.000 X 103 1.024 X 103 1.060 X 103 7.8 X 103 13.6 X 103 5.5 X 103 9.5 X 103 2.8 X 103 1.4 X 103 1.6 X 105 1010 3 X 1017 1018 1019
17-3 VARIACION DE LA PRESION EN UN FLUIDO EN REPOSO
tabla 2 presenta algunas densidades representativas, que varían en alrededor de 21 órdenes de magnitud en el laboratorio y en casi 40 órdenes de magnitud desde los objetos más densos del Universo (un hoyo negro hipoté tico) hasta el casi vacío del espacio mismo. En analogía con la exposición del concepto esfuerzo contra deformación unitaria de la sección 14-5, un cambio Ap en la presión aplicada a cualquier material es un esfuerzo. La deformación unitaria correspondiente es un cambio de volumen, el cual escribimos como: AV/V. La relación entre esfuerzo y deformación unitaria se llama módulo volumétrico B: B=—
Ap A V /V
sólidos. Una presión dada produce entonces un cambio más pequeño en el volumen de un sólido que en el de un líquido. En circunstancias ordinarias, podemos por tanto considerar como incompresibles tanto a los sólidos como a los líquidos. Si B es pequeño, el volumen puede ser cambiado por un cambio de presión modesto, y se dice que el material es compresible. Los gases típicos tienen módulos volumé tricos de alrededor de 105 N/m2. Un pequeño cambio de presión de 0.1 atm puede cambiar el volumen de un gas en un 10%. Así, los gases son fácilmente compresibles.
(5)
En esta definición se inserta el signo menos para que B sea una cantidad positiva, porque Ap y A V tienen signos opuestos. Esto es, un aumento de presión (Ap > 0) causa una disminución de volumen (A V < 0). Obsérvese que B tiene la misma dimensión que la presión, porque AV/V es una cantidad sin dimensión. Si el módulo volumétrico de un material es grande, entonces (según la Ec. 5) un cambio grande de presión Ap produce únicamente un cambio pequeño en su volumen. En este caso, podemos considerar al material como si fuese prácticamente incompresible. El módulo volumétri co del agua, por ejemplo, es de 2.2 * 109N/m2. A la presión en el fondo del Océano Pacífico (4.0 x 107N/m2, alrededor de 400 atm), el cambio relativo de volumen causado por la presión es de sólo 1.8%. Los sólidos tienen por lo general módulos volumétricos más elevados que los líqui dos, a causa del acoplamiento mayor de los átomos en los
Si un fluido está en equilibrio, cada porción del fluido está en equilibrio. Es decir, tanto la fuerza neta como la torca neta sobre cada elemento del fluido debe ser cero. Consi deremos un pequeño elemento de volumen del fluido sumergido dentro del cuerpo del fluido. Consideremos que este elemento tenga la forma de un disco delgado y esté a una distancia y arriba de algún nivel de referencia, como se muestra en la figura 2a. El espesor del disco es dy y cada cara tiene un área A. La masa de este elemento es dm = p d V = pA dy, y su peso es (dm)g = pgA dy. Las fuerzas ejercidas sobre el elemento por el fluido que lo rodea son perpendiculares a su superficie en cada punto (Fig. 2b). La fuerza horizontal resultante es cero porque el ele mento no tiene aceleración horizontal. Las fuerzas hori zontales se deben únicamente a la presión del fluido, y por simetría la presión debe ser la misma en todos los puntos comprendidos en un plano horizontal en y. El elemento de fluido no estará acelerado en dirección vertical, de modo que la fuerza vertical resultante sobre él debe ser cero. En la figura 2c se muestra un diagrama de cuerpo libre del elemento de fluido. Las fuerzas verticales son debidas no sólo a la presión del fluido que lo rodea en sus caras, sino también al peso del elemento. Si tomamos a p como la presión en la cara inferior y p + dp como la presión en su cara superior, la fuerza hacia arriba es pA, y las fuerzas hacia abajo son (p + dp)A y el peso del elemento (dm)g = pgA dy. De aquí que, para el equilibrio vertical, 2 Fy = pA - (p + dp)A - pgA dy = 0, de donde obtenemos dp
(6) ~dy = Esta ecuación nos dice cómo varía la presión con la elevación sobre cierto nivel de referencia en un fluido en
Sección 17-3
A
(p + dp)A
Variación de la presión en un fluido en reposo
423
F ig u ra 2 (a) Un pequeño elem ento de volum en del fluido en reposo. ( b ) Las fuerzas sobre el elem ento, (c) Diagrama de cuerpo libre del elem ento.
pA
^ ( p + dp)A
(6)
Nivel de referencia, y = O
equilibrio estático. Al aumentar la elevación (dy positiva), la presión disminuye (dp negativa). La causa de la varia ción de esta presión es el peso por unidad de área de la sección transversal de las capas de fluido que están entre los puntos cuya diferencia de presión está siendo medida. La cantidad pg suele llamarse peso específico del flui do; y es el peso por unidad de volumen del fluido. Por ejemplo, para el agua, el peso específico es 9800 N/m 3 = 62.4 lb/ft3. Si p í es la presión en la elevación y,, y p 2 es la presión en la elevación y2 sobre algún nivel de referencia, la integración de la ecuación 6 da pg dy Jyi
jpx
o sea
fy pg dy.
P i~ P i = -
(7)
Jy¡
En los líquidos, que son casi incompresibles, p es prácticamente constante, y las diferencias de nivel rara mente son tan grandes que haya de considerarse algún cambio eng. Así pues, tomando a p y a g como constantes, obtenemos P i ~ P \ = - p g ( y 2 ~ yO
(c)
Esto demuestra claramente que en un líquido la presión aumenta con la profundidad, pero es la misma en todos los puntos situados a la misma profundidad. El segundo término a la derecha de la ecuación 9 da la contribución a la presión en un punto del líquido debida al peso del fluido de altura h sobre ese punto. La ecuación 8 da la relación entre las presiones en dos puntos cualesquiera de un fluido, sin que importe la forma de la vasija que lo contiene. Al no importar la forma de la vasija que lo contiene, dos puntos del fluido pueden estar unidos por una trayectoria hecha de etapas verticales y horizontales. Por ejemplo, consideremos los puntos A y B en el líquido homogéneo contenido en el tubo en forma de U de la figura 4a. A lo largo de la trayectoria en zigzag de A a B existe una diferencia de presión pgy' en cada segmento vertical de longitud y', mientras que a lo largo de cada segmento horizontal no existe un cambio de presión. De aquí que la dife rencia de presión p B - pA sea pg veces la suma alge braica de los segmentos verticales desde A hasta B, o pg(yi - yJ-
( 8)
para un líquido homogéneo. Si un líquido tiene una superficie libre, ésta es el nivel natural desde el cual se miden las distancias (Fig. 3). Sea y2 la elevación de la superficie, en cuyo punto la presión p2 que actúa sobre el fluido es usualmente la ejercida por la atmósfera de la Tierra p 0. Consideramos que y, está en cualquier nivel del fluido, y representamos a la presión de ese lugar como p. Entonces, P o -P = ~ P g (y 2 -y il Pero y2 - y, es la profundidad h bajo la superficie a la cual la presión es p (véase la Fig. 3), de modo que P = Po
+ Pgh.
(9)
F ig u ra 3 U n recipiente contiene un líquido cuya superficie superior está abierta a la atmósfera. La presión en cualquier punto del líquido depende de la profundidad h.
424
Capítulo 17 Estática de los fluidos
Figura 4 (a) La diferencia de presión entre dos puntos A y B de un líquido homogéneo depende únicamente de su diferencia en altura y2 - y¡. (b) Dos puntos A y B a la misma altura pueden estar a diferentes presiones si ahí las densidades difieren.
Si el tubo en U contiene líquidos inmiscibles diferentes, digamos, un líquido denso en el tubo de la derecha y otro menos denso en el tubo de la izquierda, como se muestra en la figura 4b, la presión puede ser diferente en un mismo nivel (puntos A y B) en lados diferentes. El líquido bajo la línea CC está en equilibrio, entonces, la fuerza ejercida por la columna de la izquierda sobre C debe ser igual a la fuerza ejercida por la columna de la derecha sobre C. La presión en C es la misma en ambos lados, pero la presión decae menos desde C hasta A que desde C hasta B, porque el líquido a la izquierda es menos denso que el líquido a la derecha. Entonces, la presión en A es mayor que en B.
Variación de la presión en la atmósfera Para los gases, p es comparativamente pequeña y la di ferencia de presión entre dos puntos vecinos suele ser despreciable (véase la Ec. 8). Entonces en una vasija razonablemente pequeña que contenga un gas, la presión puede ser considerada como la misma en cualquier parte. Sin embargo, éste no es el caso cuando y2 - y, es muy grande. La presión del aire varía notablemente cuando ascendemos a grandes alturas en la atmósfera. Además, la densidad p varía con la altitud, y p debe ser conocida en función de y antes de que podamos integrar la ecuación 7. Podemos obtener una idea razonable de la variación de la presión con la altitud en la atmósfera de la Tierra si suponemos que la densidad p es proporcional a la presión. Esto sería así de manera muy aproximada (de acuerdo con la ley del gas ideal, la cual estudiaremos en el capítulo 23) si la temperatura del aire permaneciese igual en todas las altitudes. Haciendo uso de esta hipótesis, y suponiendo también que la variación de g con la altitud sea desprecia ble, podemos hallar la presión p a cualquier altitud y sobre el nivel del mar. Partiendo de la ecuación 6 tenemos que dp T y = - pS-
Puesto que p es proporcional a p, tenemos P_= P_ Po Po
( 10)
donde p0y p 0son los valores de la densidad y de la presión al nivel del mar. Entonces, dp > — SPo > dy Po de modo que * l = - ¡ £ ° dy. P Po
( 11)
Integrando la ecuación 11 desde la presión p 0a una altitud y = 0 (nivel del mar) hasta la presión p a una altitud y, obtenemos f p dp = _ í y m
Jpo P
Jo Po
dy,
lo cual da ln — = —^ 2 y Po Po o sea
P = P0e -(&po/p¿)y
( 12)
Usando los valores g = 9.80 m/s2, p 0 = 1.21 kg/m 3 (a 20° C), y p 0 = 1.01 x 105Pa, obtenemos gPo Po De aquí que
1.17 X 10~4 n r 1 = 0.117 k m - 1.
P = P0e -y/a
(13)
donde Ija = gp0lp0 = 0.117 km '1 o a = 8.55 km. La constante a da el cambio de altitud para el cual la presión decae por un factor de e. O, lo que es lo mismo, la presión atmosférica decae por un factor de 10 cuando la altitud cambia en a ln 10 = 2.30a = 20 km. A una altitud de h = 20 km sobre el nivel del mar, la presión atmosférica sería
Sección 17-3
Variación de la presión en un fluido en reposo
425
Altitud h (km)
Figura 5 Comparación entre los datos de la presión atmosférica estándar (línea de puntos) con las predicciones de la ecuación 13 (línea continua). Las dos curvas difieren porque nuestro cálculo despreció la variación de la densidad con la temperatura al aumentar la altitud.
entonces 0.1 atm; en h = 40 km sobre el nivel del mar, sería 0.01 atm. La figura 5 muestra una comparación entre la variación de la presión con la altitud predicha por la ecuación 13 y la medida para la atmósfera. Para los gases a una temperatura uniforme la densidad p de cualquier capa es proporcional a la presión p en esa capa. Sin embargo, los líquidos son casi incompresibles, de modo que las capas más bajas no resultan notablemente comprimidas por el peso de las capas más altas sobreimpuestas a ellas, y la densidad p es prácticamente constante en todos los niveles. La variación de la presión con la distancia sobre el fondo del fluido en un gas es diferente de la de un líquido, como lo indica la ecuación 9 para un líquido y la ecuación 13 para un gas.
es la densidad del aceite, desconocida. Igualando las presiones en el punto C de cada lado, obtenemos Po + Pwg^a = p0 + pg(2a + d ) y asi 2a P=Pw (2a + d) = (1.000 X 103kg/m3)
2(67.5 mm) 2(67.5 mm) + 12.3 mm
= 916 kg/m3. La razón de la densidad de una sustancia a la densidad del agua se llama densidad relativa ( o gravedad específica)
Problema muestra 1 Un tubo en U, en el cual ambos extre mos están abiertos a la atmósfera, contiene cierta cantidad de agua. En el otro lado se vierte aceite, sustancia que no se mezcla con el agua, hasta que llega a una distancia d = 12.3 mm sobre el nivel del agua, del otro lado, nivel que se ha elevado mientras tanto a una distancia a = 67.5 mm desde su nivel original (Fig. 6). Halle la densidad del aceite. Solución En la figura 6 los puntos C están a la misma presión. (Si esto no fuera así, entonces el elemento de fluido en forma de U que está abajo del nivel CC experimentaría una fuerza neta no balanceada y se aceleraría, violando la hipótesis estática que hacemos en este problema.) La caída de presión desde C hasta la superficie del lado del agua es pwg2a, donde 2a es la altura de la columna de agua que está sobre C. La caída de presión en el otro lado desde C hasta la superficie es pg(2a + d), donde p
Figura 6 Problema muestra 1 Un tubo en U se llena parcialmente de agua y parcialmente de aceite de densidad desconocida.
426
Capítulo 17 Estática de los fluidos
de esa sustancia. En este caso la gravedad específica del acei te es 0.916. Obsérvese que al resolver este problema hemos supuesto que la presión es continua sobre la superficie de contacto entre el aceite y el agua en el punto C del lado izquierdo del tubo. Si no fuera así y las presiones fueran diferentes, entonces la fuerza ejercida por el fluido en un lado de la superficie de contacto diferiría de la del fluido en el otro lado, y la superficie de contacto se aceleraría bajo la influencia de una fuerza no balan ceada. Puesto que estamos suponiendo una situación estática, no puede haber movimiento y por lo tanto las presiones deben ser las mismas. Sin embargo, cuando vertemos primero el aceite en el tubo puede haber una diferencia de presión y una fuerza no balanceada que causaría que el sistema se moviese hasta llegar a la situación estática mostrada en la figura 6.________
17-4 PRINCIPIO DE PASCAL Y PRINCIPIO D E ARQUÍMEDES Cuando oprimimos un tubo de pasta dental, la pasta fluye hacia afuera por la abertura del tubo. Esto demuestra la acción del principio de Pascal. Cuando se aplica presión en cualquier lugar del tubo, ésta se resiente en cualquier lugar del tubo obligando a la pasta dental a salir de él. He aquí el postulado del principio de Pascal, quien lo presentó por vez primera en 1652: La presión aplicada a un fluido confinado se transmite íntegramente a todas las partes del fluido y a las paredes del recipiente que lo contiene.
F V
Figura 7 Un fluido dentro de un cilindro equipado con un émbolo móvil. La presión en cualquier punto P se debe no solamente al peso del fluido sobre el nivel de P sino también a la fuerza ejercida por el émbolo.
P = Pe«+ P gh.
Supongamos ahora que la presión externa aumenta en una cantidad ApcM, quizá por haber añadido algo de más peso sobre el émbolo. ¿Cómo cambia la presión p en el fluido como resultado de este cambio en la presión externa? Suponemos que el líquido es incompresible, de modo que la densidad p permanece constante. El cambio en la pre sión externa da por resultado un cambio en la presión del fluido que se deduce de la ecuación 14: Ap = Apexl + A(pgh).
Es decir, si aumentamos en un lugar la presión sobre un fluido en una cantidad Ap, cualquier otra parte del fluido experimenta el mismo aumento de presión. El principio de Pascal es la base de la operación de todos los mecanismos transmisores de fuerza hidráulica, tales como los que podrían encontrarse en la maquinaria para el movimiento de tierras o en el sistema de frenos de un automóvil. Ello nos permite amplificar una fuerza aplica da relativamente pequeña para elevar un peso mucho más grande (como en la plataforma de elevación de automóvi les o en la silla del dentista) y para transmitir fuerzas a grandes distancias hasta lugares relativamente inaccesi bles (como en los mecanismos de control de los alerones que se usan en los aeroplanos). Probaremos el principio de Pascal para un líquido in compresible. La figura 7 muestra al líquido dentro de un cilindro que está equipado con un émbolo. Se aplica al émbolo una fuerza externa, por ejemplo, por medio del peso de algunos objetos apilados sobre él. La fuerza externa da por resultado una presión externa prMaplicada al líquido que se halla inmediatamente debajo del émbolo. Si el líquido tiene una densidad p, entonces, según la ecuación 9, podemos escribir la presión en un punto arbitrario P a una distancia h bajo la superficie:
(14)
(15)
Puesto que el líquido es incompresible, la densidad es constante, y el segundo término a la derecha en la ecuación 15 es igual a cero. En este caso, obtenemos Ap — Apext.
(16)
El cambio de presión en cualquier punto del fluido es sencillamente igual al cambio de la presión externa apli cada. Este resultado confirma el principio de Pascal y demuestra que se deduce directamente de nuestra consi deración previa de la presión estática en un fluido. Por lo tanto, no es un principio independiente sino una conse cuencia directa de nuestra formulación de la estática de los fluidos. Si bien hemos derivado el resultado anterior para los líquidos incompresibles, el principio de Pascal se cum ple en todos los casos de fluidos reales (compresibles), ya sean gases o líquidos. El cambio en la presión exter na causa un cambio en la densidad que se propaga en el fluido como una onda a la velocidad del sonido, pero una vez que la perturbación termina y se establece el equilibrio, se encuentra que el principio de Pascal perma nece válido.
•- J.v:-,r vvEHXA D SP/iH TA ;---¡ •\T Di -OCJWOWTACIO?: V BIK 1.10730* ÍÉ'ONTF^H-O^O iTT;í rr.'T; ••• FACULTA:,'
i.
Sección 17-4
La palanca hidráulica
ii= ,£ s . A¡ A 0 ’ o sea (17)
La razón A JA a es generalmente mucho menor de 1, y entonces la fuerza aplicada puede ser mucho menor que el peso Mg que está siendo levantado. El movimiento hacia abajo del émbolo pequeño a lo largo de una distancia d¡ desplaza un volumen de fluido V = d{A {. Si el fluido es incompresible, entonces este volumen debe ser igual al volumen desplazado por el movimiento hacia arriba del émbolo grande: V = d¡A¡ - d0A0 , O d0 - d , ± . -^o
427
Entrada
La figura 8 muestra un dispositivo que se usa a menudo para levantar un objeto pesado, como un automóvil. Sobre un pistón de área A¡ se ejerce una fuerza externa F¡. El objeto que va a ser levantado ejerce una fuerza Mg sobre el émbolo grande de área A a. En equilibrio, la magnitud de la fuerza hacia arriba Fa ejercida por el fluido sobre el émbolo grande debe ser igual a la de la fuerza hacia abajo Mg del peso del objeto (despreciando el peso del propio émbolo). Deseamos hallar la relación entre la fuerza apli cada Fl y la “fuerza de salida” F0 que el sistema puede ejercer sobre el émbolo grande. La presión sobre el fluido en el émbolo pequeño, debi da a nuestra fuerza externa aplicada, es p K= Fi¡A¡. De acuerdo con el principio de Pascal, esta presión de “entra da” debe ser igual a la presión de “salida” p 0 = F0¡A0, que el fluido ejerce sobre el émbolo grande. Entonces p , = p0, y entonces
F = F a^ - = M g ^-. -^O O
Principio de Pascal y principio de Arquímedes
(18)
Si AJA a es un número pequeño, entonces la distancia a la que se desplaza el émbolo grande es mucho más peque ña que la distancia a la que se desplaza el émbolo pequeño
Figura 8 La palanca hidráulica. Una fuerza F¡ aplicada al émbolo pequeño puede producir una fuerza F„ mucho mayor sobre el émbolo grande, que pueda levantar un peso Mg.
a causa de la fuerza aplicada. El precio que pagamos por la posibilidad de levantar una carga grande es el de per der la posibilidad de trasladarla muy lejos. Al combinar las ecuaciones 17 y 18 vemos que F¡cf, = Fad0, lo cual demuestra que el trabajo efectuado por la fuerza externa sobre el émbolo pequeño es igual al trabajo efectuado por el fluido sobre el émbolo grande. Entonces, (despreciando la fricción y otras fuerzas disipativas) no existe una ganancia (o pérdida) neta de energía al usar este sistema hidráulico.
Problema muestra 2 La figura 9 muestra una vista esquemá tica de un gato hidráulico empleado para elevar un automóvil. El fluido hidráulico es aceite (densidad = 812 kg/m3). Se emplea una bomba de mano, con la cual se aplica una fuerza de magnitud F¡ al émbolo menor (de 2.2 cm de diámetro) cuando la mano aplica una fuerza de magnitud Fhal extremo del mango de la bomba. La masa combinada del automóvil que va a ser elevado y la plataforma de elevación es de M = 1980 kg, y el émbolo grande tiene un diámetro de 16.4 cm. La longitud L del mango de la bomba es de 36 cm, y la distancia x desde el pivote hasta el émbolo es de 9.4 cm. (a) ¿Cuál es la fuerza aplicada Fh necesaria para elevar el automóvil? (b) Por cada carrera hacia abajo de la bomba, en la que la mano se mueve una distancia vertical de 28 cm, ¿a qué altura se eleva el automóvil? Solución (a) Partiendo de la ecuación 17, F, -
Mgj--
(.980 W . « m /fl
- 349 N.
Figura 9 Problema muestra 2. Se emplea una bomba hidráulica para elevar un automóvil. En la carrera hacia abajo, se cierra la válvula 1 y se abre la válvula 2. Durante la carrera hacia arriba, se abre la válvula 1 y se cierra la válvula 2, permitiendo que se transfiera fluido adicional a la cámara hidráulica.
428
Capítulo 17 Estática de los fluidos
Considerando las torcas sobre el mango de la bomba con res pecto al punto de pivoteo O, despreciando las masas del mango de la bomba y del émbolo pequeño, y suponiendo que el mango de la bomba se mueva con una aceleración angular desprecia blemente pequeña, obtenemos 2 T = FhL —F¡x = 0, donde hemos empleado la tercera ley de Newton para rela cionar a la fuerza F, ejercida p o r el mango de la bomba s o b r e el émbolo con la fuerza -F¡ ejercida p o r el émbolo s o b r e el mango de la bomba. Resolviendo para Fh, hallamos que Fh = F{^ ( 349 N ) ! f f r = 91N. L cm j o
Tal fuerza, alrededor de 20 Ib, puede ser aplicada fácilmente a mano. (b) Cuando la mano se mueve a lo largo de una distancia vertical h, el émbolo pequeño se moverá a lo largo de la distancia . x . 9.4 cm d¡ = h — = (28 cm) —-----= 7.3 cm. L 36 cm La ecuación 18 da entonces la distancia recorrida por el émbolo grande: da = d 4 = (7.3 cm)
7r(1.1 cm)2 : 0.13 cm = 1.3 mm. 7 r(8 .2 cm)2
Elevar el automóvil sólo a una distancia tan corta es el precio que pagamos por ejercer una fuerza tan pequeña para elevarlo. Por supuesto, si queremos un aparato que sea útil debemos poder elevar el automóvil a una distancia más grande, lo cual se consigue por medio de muchas carreras de la bomba. Para evitar que el automóvil descienda durante la carrera hacia arriba de la bomba, se emplea el dispositivo de válvulas mostrado en la figura 9. Durante la carrera hacia abajo, las válvulas están en la posición mostrada en la figura 9, y el automóvil se eleva a una distancia d B. Durante la carrera de retorno se cierra la válvula 2, atrapando al fluido del lado derecho de la cámara y manteniendo el automóvil a una altura fija; luego, se abre la válvula 1, de modo que la carrera de retomo reciba fluido adicional del depósito del lado izquierdo de la cámara. En la siguiente carrera hacia abajo, las válvulas retoman a la posición mostrada en la figura, y el automóvil es elevado en otro incre
mento d a. En efecto, el volumen de fluido hidráulico recibido del lado izquierdo de la cámara durante la carrera hacia arriba se bombea hacia el lado derecho de la cámara durante la carrera hacia abajo. Cuando se completa el proceso, el automóvil descenderá abriendo ambas válvulas y permitiendo que el flui do se drene directamente al depósito. ¿Cómo cambia la operación del gato hidráulico cuando el automóvil es levantado y la altura del fluido en la columna derecha aumenta? Haga un cálculo numérico._____________
Principio de Arquímedes La figura 10a muestra cierto volumen de agua contenida en una bolsa de plástico delgado situada bajo el agua. El agua de la bolsa está en equilibrio estático. Por lo tanto, su peso debe estar equilibrado por una fuerza hacia arriba de igual magnitud. Esta fuerza hacia arriba es la suma vectorial de todas las fuerzas hacia adentro ejercidas por el fluido que rodea a la bolsa. Las flechas de la figura 10a representan a las fuerzas ejercidas sobre el volumen de líquido como resultado de la presión del fluido que lo rodea. Nótese que las fuerzas hacia arriba sobre el fondo de la bolsa son más grandes que las fuerzas hacia abajo sobre la parte superior, debido a que la presión aumenta con la profundidad. La fuerza neta hacia arriba que resulta de esta diferencia de presiones se denomina fuerza de flotación o empuje. La presión ejercida sobre un objeto sumergido por el líquido que lo rodea ciertamente no depende del material del cual está hecho el objeto. Por lo tanto, podríamos sustituir la bolsa de agua por un trozo de madera del mismo tamaño y forma exactas, y la fuerza de flotación no cambiaría. La fuerza hacia arriba sigue siendo igual al peso del volumen original de agua. Esto nos conduce al principio de Arquímedes: Todo cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido sufre un empuje de abajo arriba por una fuerza de magnitud igual al del peso del fluido que desaloja.
Figura 10 ( a ) Una bolsa de plástico delgado llena de agua en equilibrio bajo el agua. El agua que rodea a la bolsa ejerce fuerzas de presión sobre su superficie, siendo la resultante una fuerza de rotación o empuje hacia arriba Fbque actúa sobre la bolsa. (b ) Para una piedra del mismo volumen, la fuerza de flotación es la misma, pero el peso excede a la fuerza de flotación, y así, la piedra no está en equilibrio, (c) En el caso de una pieza de madera del mismo volumen, el peso es menor que la fuerza de flotación.
Sección 17-5
V
J
w rnm
I* («) /
Figura 11 (a) Una sección transversal de un barco que flota en posición normal. La fuerza de flotación Fbactúa en el centro de flotación B, y el peso actúa en el centro de gravedad C. El barco está en equilibrio bajo la acción de estas fuerzas. (b) Cuando el barco se ladea, el centro de flotación puede ya no estar situado en la misma línea vertical que el centro de gravedad, y puede actuar una torca neta sobre el barco. Aquí, la torca con respecto a C actúa para regresar al barco a la posición normal, (c) Aquí, el centro de gravedad está situado más arriba, de modo que la torca respecto a C debido a la fuerza de flotación tiende a ladear al barco aun más.
Medición de la presión
429
alojada es mayor que el peso del objeto. Por lo tanto, el objeto se eleva hasta subir a la superficie, y continúa elevándose hasta que la parte de él que quede sumergida sea del volumen necesario para desalojar al agua cuyo peso es igual al peso total del objeto. En esa situación el objeto flota en equilibrio. La fuerza de flotación puede verse como si actuase en el centro de gravedad del fluido desalojado por la parte sumergida de un objeto flotante. Este punto se conoce como centro de flotación. El peso actúa en el centro de gravedad de todo el objeto. Estos dos puntos no son en general los mismos (Fig. lia ) . Si los dos puntos están situados en la misma línea vertical, entonces el objeto puede flotar en equilibrio: tanto la fuerza neta como la torca neta son nulos. Si el objeto flotante se ladea ligera mente sacándolo de su posición de equilibrio, entonces la forma total del fluido desalojado cambia, y el centro de flotación cambia su posición con respecto al centro de gravedad del objeto flotante. Así pues, sobre el objeto flotante actúa una torca que podría inclinar al objeto nue vamente hacia su posición de equilibrio (Fig. 11 b), o podría actuar en la otra dirección para volcarlo completa mente (Fig. 11c).
Problema muestra 3 ¿Qué fracción del volumen total de un iceberg queda expuesta? Solución El peso del iceberg es H7, = A Kfr donde V, es el volumen del iceberg. El peso del volumen Vl del agua de mar desalojada (o, lo que es lo mismo, del volumen de la parte sumergida del iceberg) es la fuerza de flotación Fb = pwVwg. Pero Fb es igual a modo que
porque el iceberg está en equilibrio, de
y, usando las densidades de la tabla 2, Un objeto de mayor densidad que el agua (Fig. 106) desaloja un volumen de agua cuyo peso es menor que el peso del objeto. Por lo tanto, el objeto se hunde en el agua, porque la fuerza del empuje es menor que el peso del objeto. Si tratamos de elevar al objeto mientras esté bajo el agua, encontramos que exige menos fuerza que el peso normal del objeto, siendo la diferencia la fuerza del em puje. Los objetos sumergidos parecen pesar menos de lo que pesan normalmente. Los astronautas se preparan para sus viajes practicando tareas en grandes tanques bajo el agua, para simular un tanto la condición ingravidez en el espacio. Un objeto de densidad menor que el agua (Fig. 10c) experimenta una fuerza neta hacia arriba cuando está completamente sumergido, porque el peso del agua des
K, _ A _ 917 kg/m3 = 0.896 = 89.6 1024 kg/m3 El volumen del agua desalojada Vaes el volumen de la porción sumergida del iceberg, de modo que el 10.4% del iceberg se halla expuesto sobre la superficie.
17-5 MEDICIÓN DE LA PRESIÓN La presión ejercida por un fluido puede medirse usando técnicas ya sea estáticas o dinámicas. Los métodos diná micos se basan en la velocidad del flujo de un fluido en movimiento y se estudian en el capítulo 18. En esta
430
Capítulo 17 Estática de los fluidos
sección trataremos los métodos estáticos para medir la presión. La mayoría de los aparatos de medición de la pre sión usan la presión atmosférica como nivel de referencia y miden la diferencia entre la presión real y la presión at mosférica, llamada presión manométrica. La presión real en un punto de un fluido se llama presión absoluta, que es entonces la presión atmosférica más la presión manométrica. La presión manométrica se da ya sea arriba o abajo de la presión atmosférica y puede entonces ser positiva o negativa; la presión absoluta, por su parte, siempre es positiva. El barómetro de mercurio es un tubo largo de vidrio, lleno con mercurio y luego invertido dentro de una cubeta que contiene el mismo metal, como se muestra en la figura 12. El espacio sobre la columna de mercurio es, en efecto, un vacío que contiene únicamente vapor de mercurio, cuya presión p 2 es tan pequeña a las temperaturas ordina rias que puede ser despreciada. La presión p¡ sobre la superficie de la cubeta de mercurio es la presión descono cida p que deseamos medir. Partiendo de la ecuación 8, obtenemos Pi ~ Pi = 0 - p = ~ pg(y2 ~ yd = ~pgh, O p = pgh. Midiendo la altura de la columna sobre la superficie de la cubeta nos da entonces la presión. El barómetro de mercurio se utiliza para medir la pre sión de la atmósfera, p0. La columna de mercurio del barómetro tiene una altura de unos 760 mm al nivel
del mar, variando de acuerdo con la presión atmosférica. La presión de 1 atmósfera (1 atm) es equivalente a la ejercida por una columna de mercurio de 760 mm de altura a 0o C sometida a la gravedad normal (g = 9.80665 m/s2). La densidad del mercurio a esta temperatura es de 1.35955 x 104kg/m3. De aquí que 1 atmósfera sea equivalente a 1 atm = (1.35955 X 104 kg/m3)(9.80665 m /s2)(0.76 m) = 1.013 X 105 N /m 2 (= 1.013 X 105 Pa). La presión de la atmósfera en cualquier punto es numé ricamente igual al peso de una columna de aire de área unitaria en su sección transversal que se extienda desde ese punto hasta la parte más alta de la atmósfera. Puesto que la presión atmosférica normal puede expresarse como 14.7 lb/in2, sabemos que la columna vertical de aire que se extiende desde cada pulgada cuadrada de la superficie de la Tierra hasta la parte más alta de la atmósfera tiene un peso de 14.7 libras. Como ya vimos en la sección 17-3, la presión atmosférica disminuye con la altitud. Existen también variaciones de la presión atmosférica en una localidad determinada de un día a otro a causa de que la atmósfera no es estática. Las lecturas del barómetro se expresan a veces en torr, donde 1 torr es la presión ejercida por una columna de mercurio de 1 mm de altura en un lugar donde g = 9.80665 m/s 2y a una temperatura (0o C) a la cual el mercurio tiene una densidad de 1.35955 x 104kg/m3. Entonces, 1 torr = (1.35955 X 104 kg/m3)(9.80665 m /s 2)(0.001 m) = 133.326 Pa. El manómetro de tubo abierto (Fig. 13) mide la presión manométrica. Consta de un tubo en forma de U lleno de líquido, el tubo está abierto por un extremo a la atmósfera y conectado en el otro extremo al sistema (tanque) cuya presión p deseamos medir. Partiendo de la ecuación 9 obtenemos p -P o = P g h Entonces, la presión manométrica, p - p 0,es proporcional a la diferencia de altura en las columnas de líquido del tubo en U. Si el recipiente contiene gas a una presión elevada, se emplea en el tubo un líquido más denso como el mercurio; cuando se manejan presiones bajas, puede utilizarse agua.
Problema muestra 4 La columna de mercurio de un baróme tro tiene una altura h de 740.35 mm. La temperatura es de -5.0° C, a cuya temperatura la densidad del mercurio es de 1.3608 * 104 kg/m3. La aceleración en caída libre g en el sitio del baró metro es de 9.7835 m/s2. ¿Cuál es la presión atmosférica? Solución Partiendo de la ecuación 8 tenemos Figura 12 Barómetro de mercurio. El mercurio que está en la cubeta se halla en equilibrio bajo la influencia de la presión atmosférica y del peso del mercurio contenido en la columna vertical.
Pa = pgh = (1.3608 X 104kg/m3X9.7835 m/s2)(0.74035 m) = 9.8566 X 104 Pa = 739.29 torr.
Sección 17-6
Figura 13 Un manómetro de tubo abierto, que puede utilizarse para medir la presión de un fluido en un tanque.
Nótese que el valor de la presión en torr (739.29 torr) es numéricamente cercano al valor de la altura h de la columna de mercurio expresada en mm (740.35 mm). Estas dos cantidades serán numéricamente iguales sólo si el barómetro está localiza do en un sitio donde g tenga su valor normal y cuando la temperatura del mercurio sea 0° C. Otra manera de expresar el resultado de este problema mues tra sería como 0.98566 bar o 985.66 milibar, donde 1 bar = 105Pa.
Notas históricas (Opcional) El barómetro de mercurio fue inventado por el italiano Evan gelista Torricelli (1608-1647), en memoria de quien ha sido nombrada la unidad torr. Torricelli describió en 1644 sus expe rimentos con el barómetro de mercurio en cartas a su amigo Michelangelo Ricci, de Roma. Le explicaba a Ricci que el propósito de su investigación era “no simplemente producir un vacío, sino fabricar un instrumento que mostrase las mutaciones del aire, ora más pesado y denso, ora más ligero y tenue”. Al oír de los experimentos del italiano, Blas Pascal, en Francia, dedujo que si la columna de mercurio se mantenía simplemente por la acción de la presión del aire, la columna debería ser más corta si se encontraba a una altitud elevada. Realizó la prueba en el campanario de una iglesia de París, pero, como deseara resul tados más contundentes, le escribió a su cuñado para que ensayase el experimento en la Puy de Dome, una alta montaña de Auvernia. La diferencia medida en la altura del mercurio fue de 8cm, resultado “que nos llenó de admiración y asombro”. El propio Pascal construyó un barómetro usando vino tinto y un tubo de vidrio de 14 m de longitud. El principal significado de estos experimentos en aquel tiem po consiste en que ofrecieron una prueba fehaciente de que po día crearse un espacio evacuado. Aristóteles creía que no podía existir un vacío y, muchos años después, el propio filósofo Descartes mantenía el mismo punto de vista. Durante 2000 años los filósofos hablaron del “horror” que la naturaleza sentía por un espacio vacío: el horror vacui. Se decía que la naturaleza impedía la formación de un vacío abrazándose a todo lo cercano
Tensión superficial (Opcional)
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y con ello llenando cualquier espacio evacuado. De aquí que el mercurio o el vino deberían llenar el tubo invertido a causa de que “la naturaleza aborrecía al vacío”. Los experimentos de Torricelli y de Pascal demostraron que existían limitaciones a la habilidad de la naturaleza para impedir el vacío. Causaron una conmoción en aquellos tiempos. La meta de producir un vacío se convirtió en una realidad práctica gracias a la invención de las bombas por Otto von Guericke en Alemania alrededor de 1650 y por Robert Boyle en Inglaterra alrededor de 1660. Aun cuando estas bombas fueron relativamente primitivas, propor cionaron una herramienta para la experimentación. Con una bomba y un cántaro de agua, pudo habilitarse un espacio expe rimental en el cual estudiar cómo resultan afectadas las propie dades del calor, la luz, el sonido, y más tarde la electricidad y el magnetismo por una atmósfera cada vez progresivamente enrarecida. Si bien incluso hoy día no puede hacerse desapare cer completamente todo rastro de gas de un recipiente cerra do, estos sabios del siglo xvn liberaron a la ciencia del falso principio del horror vacui y estimularon los esfuerzos para crear sistemas de alto vacío. En el curso de varias décadas del siglo xvn se desarrollaron no menos de seis instrumentos importantes. Éstos son el baró metro, la bomba de aire, el reloj de péndulo, el telescopio, el microscopio, y el termómetro. Todos ellos suscitaron gran asombro y curiosidad. ■
17-6 TENSIÓN SUPERFICIAL (Opcional) Con frecuencia podemos observar a las hojas y a los insectos flotar sobre la superficie de un cuerpo de agua (Fig. 14a). No se hallan parcialmente sumergidos y por lo tanto no reciben el empuje según enuncia el principio de Arquímedes. En este caso el objeto está en la superficie por completo y nada de él se halla sumergido. El objeto se mantiene a flote a causa de la tensión superficial del líquido. Podemos demostrar la tensión superficial del agua haciendo flotar con cuidado una aguja de acero o una hoja de afeitar. Por supuesto, no existe manera de que el acero flote según el principio de Arquímedes, puesto que su densidad es mayor que la del agua. Si sumergimos a la aguja o a la hoja de afeitar, éstas quedarán hundidas tal como lo enuncia el principio de Arquímedes. Solamente podrán flotar cuando estén entera mente en la superficie. Si añadimos al agua un producto quími co, llamado agente tensoactivo o surfactante, éste reduce la tensión superficial (al reducir la fuerza de cohesión entre las moléculas), impidiendo así que el objeto flote. Los detergentes son surfactantes comunes. Si introducimos cuidadosamente detergente en el agua sobre la que esté flotando una hoja de afeitar, la tensión superficial disminuye súbitamente y la hoja de afeitar se hunde hasta el fondo. Un objeto flotante, como el que se muestra en la figura 14a, causa una ligera depresión en la capa superficial del líquido (Fig. 14¿), estirándola, y por lo tanto tiende a aumentar su energía potencial. Como la red de acrobacia en un circo, la superficie estirada ejerce una fuerza de restitución, cuya com ponente vertical puede mantener el equilibrio con el peso del objeto. Sin embargo, pronto veremos que esta analogía del com portamiento de la capa superficial no es del todo correcta. La figura 15 muestra una manera de medir la tensión super ficial de un líquido. Se dobla un alambre delgado para formar tres de los cuatro lados de un rectángulo y como cuarto lado se coloca un alambre deslizante. Si una película del líquido cubre las dos esquinas de la parte inferior (introduciendo esta parte en
432
Capítulo 1 7 Estática de los fluidos
Película de líquido Sección transversal
(b)
(a)
Figura 15 (a) Diagrama esquemático de un experimento para medir la tensión superficial de un líquido. Una película de líquido se halla sostenida en la parte rectangular vertical, cuyo borde superior es un alambre deslizante. Una fuerza externa equilibra al peso del alambre deslizante más la fuerza total hacia abajo F de la tensión superficial. (b) Diagrama de la sección transversal de la película, donde se muestra que la tensión superficial actúa sobre dos superficies.
(a)
Figura 14 (a) Una hoja de afeitar flota sobre la superficie del agua, soportada únicamente por la tensión superficial. (£>) La superficie se halla distorsionada por el objeto flotante, el cual se mantiene a ñote a causa de las componentes verticales de la fuerza superficial Fs.
un recipiente con el líquido), la tensión superficial tenderá a jalar hacia abajo al alambre deslizante que queda arriba. Apli camos una fuerza externa hacia arriba P necesaria para mantener al alambre deslizante en equilibrio. Esta fuerza hacia arriba debe equilibrar a la fuerza total hacia abajo que actúa sobre el alambre deslizante, y que es igual a su peso más la fuerza F debida a la tensión superficial. Por experimentación hallamos que la fuerza F depende de la longitud d del alambre deslizante y que no depende en absoluto de la altura h del rectángulo. Si bien podríamos pensar que la capa superficial es como una especie de tela elástica estirada sobre el líquido, esta observación nos demuestra que tal imagen es incorrecta. Imaginemos a la película de la figura 15 cortada en un número grande N de franjas verticales angostas de longi tud h y anchura Ad = d/N. Si la película se comportase como una tela elástica, cada franja se comportaría como un resorte, y así la fuerza total dependería tanto del número de franjas a modo de resorte (y por tanto de d) como de la longitud h de cada franja. Puesto que la tensión superficial depende únicamente de d y no de h, la analogía de la tela elástica no es correcta. La tensión superficial y se define como la fuerza superficial F por unidad de longitud L sobre la cual actúa, es decir, (19)
Nótese que la tensión superficial no es una fuerza sino una fuerza por unidad de longitud. Nuestro uso previo del término tensión siempre ha servido para indicar la presencia de una fuerza, pero aquí el uso es un poco diferente. En la película de la figura 15, la fuerza actúa a lo largo de una longitud L de 2d, a causa de que existen dos capas superficiales de longitud d cada una. Por lo tanto, la tensión superficial en el arreglo experimental mostrado en la figura 15 sería 7
~
F 2d '
Para el agua a la temperatura ambiente, el valor de la tensión superficial es de y = 0.073 N/m. La adición de jabón reduce la tensión superficial a 0.025 N/m. Los líquidos orgánicos y las soluciones acuosas tienen típicamente tensiones superficiales dentro de este intervalo. La tensión superficial de los metales líquidos es típicamente de un orden de magnitud mayor que la del agua. Por ejemplo, el mercurio líquido a la temperatura ambiente tiene una tensión superficial de 0.487 N/m. (Esta tensión superficial más elevada de los metales se debe a que las fuerzas entre las moléculas están típicamente dentro de un orden de magnitud mayor en los metales que en el agua. Por esta misma razón, los puntos de ebullición de los metales son mucho más elevados que los del agua.) Podemos también analizar a la tensión superficial desde el punto de vista de la energía. Si movemos al alambre deslizante de la figura 15 a lo largo de un desplazamiento Ajc, el trabajo efectuado por la fuerza de la tensión superficial es igual a F Ax y es positivo o negativo según Ax tenga el sentido de la fuerza superficial o el sentido opuesto. La fuerza superficial satisface nuestra definición de fuerza conservativa, de la que hablamos en el capítulo 8, y por tanto podemos asociar un cambio en la energía potencial AU con la acción de la fuerza superficial, de modo que AU= F A x= yL Ax,
(20)
donde L es la longitud de la capa superficial. El producto L Ax es justamente el cambio en el área AA de la superficie que tiene
Preguntas
Figura 16 Las gotas que flotan libremente adquieren de manera natural una forma esférica. Aquí el astronauta Dr. Joseph P. Alien, en órbita alrededor de la Tierra a bordo del transbordador C o lu m b io , observa una bola de jugo de naranja que él formó usando su distribuidor especial de bebida. lugar cuando la estiramos. Por lo tanto, podemos expresar a la tensión superficial como:
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sión manométrica del gas confinado dentro de la burbuja pro porciona la fuerza hacia afuera necesaria para el equilibrio. Al igual que las moléculas de una gota de líquido, los protones y los neutrones de un núcleo experimentan fuerzas de corto alcance ejercidas por sus vecinos. El núcleo experimenta una tensión superficial similar a la de una gota de líquido. En el caso del núcleo, la fuerza hacia afuera tiene su origen en la repulsión electrostática de los protones cargados. En muchos núcleos, la forma de equilibrio se determina por el balance entre las fuerzas superficial y electrostática, y por lo tanto no debería sorpren dernos que la forma preferida de los núcleos sea la esférica. El cálculo de la energía de amarre, también llamada de descarga, de los núcleos debe incluir un término que corresponda a la energía superficial, la cual típicamente es responsable del 30% de la energía total de amarre. El hecho de considerar que el núcleo se comporta como una gota de líquido cargada nos proporciona una visión muy clara para entender muchas de las propiedades del núcleo, especial mente de la fisión nuclear, donde el núcleo se divide en dos partes de tamaño comparable. Tal procedimiento se denomina m o d e la je , mediante el cual tratamos de entender a un sistema complejo, cuyas propiedades no pueden a menudo ser calcula das o entendidas directamente, sobre la base de un sistema físico más sencillo de un comportamiento relativamente similar y cuyas propiedades puedan ser calculadas y luego probadas por medio de la experimentación. El m o d e lo d e l a g o t a d e a g u a d e l n ú c le o ha jugado un papel importante en nuestro entendimiento de los núcleos atómicos, como lo estudiaremos en los capítulos 54 y 55 del texto ampliado.
Problema muestra 5 En el experimento que se muestra en la figura 15a, se encuentra que el alambre móvil está en equilibrio cuando la fuerza hacia arriba P es de 3.45 x 10° N. El alambre tiene una longitud d de 4.85 cm y una densidad de masa lineal p de 1.75 x 10"3kg/m. Halle la tensión superficial del líquido. Solución A partir de la condición de equilibrio de la figura 15¿>, tenemos
Esto nos proporciona otra interpretación de la tensión superfi cial en términos de la e n e r g í a p o t e n c i a l s u p e r f i c i a l p o r u n id a d d e á r e a d e l a s u p e r f ic ie .
La tensión superficial causa que gotas suspendidas de un líquido adquieran forma esférica (Fig. 16). Para una gota de una masa o volumen dados, la energía superficial (igual a y veces el área superficial) es menor cuando el área es más pequeña, y una esfera tiene la razón de superficie/volumen más pequeña de todas las formas geométricas. Si no actúa ninguna otra fuerza sobre la gota, ésta adoptará naturalmente una superficie esféri ca. En el equilibrio, la tensión superficial produce una fuerza neta hacia adentro sobre un elemento de superficie, la cual es equilibrada por una fuerza igual hacia afuera debida a la presión del líquido contenido en la gota. En una burbuja de jabón (la cual tiene dos superficies y por lo tanto el doble de la tensión superficial de una gota de líquido de igual tamaño), la pre-
^
F y = P - F - m g = 0,
o F = P — m g.
Siendo F
= 2dy
ym
= ¡i d ,
obtenemos
2dy
= P —pdg
o sea que P — fid g Id
_ 3.45 X 10' 3N - (1.75 X 10~3kg/m)(0.0485 m)(9.80 m/s2) 2(0.0485 m) = 0.027 N/m. ■
PREGUNTAS 1. Explique cómo es posible que la presión sea una cantidad escalar cuando las fuerzas, que son vectores, pueden pro ducirse por la acción de las presiones.
2. Haga una estimación de la densidad promedio de nuestro cuerpo. Explique un modo por el cual podríamos obtener un valor preciso usando las ideas de este capítulo.
434
Capitulo 1 7 Estática de los fluidos
3. En el capítulo 20 aprenderemos que una sobrepresión de sólo 20 PA corresponde al umbral de la sensación de dolor debida a un sonido intenso. Sin embargo, un buceador a 2 m bajo la superficie del agua experimenta una presión mucho mayor que ésta (¿de cuánto?) y no siente dolor. ¿Por qué esta diferencia? 4. Las personas confinadas a una cama tienen menos proba bilidades de desarrollar llagas en su cuerpo si usan una cama de agua en lugar de un colchón ordinario. Explique. 5. Explique por qué una persona podría estar sobre una cama de clavos sin sentir dolor. 6. Explique la aseveración “el agua busca su propio nivel”. 7. Se vierte agua hasta el mismo nivel en cada uno de los recipientes mostrados en la figura, todos los cuales tienen la misma área en su base (Fig. 17). Si la presión es la misma en el fondo de cada recipiente, la fuerza experi mentada por la base de cada recipiente es la misma. ¿Entonces por qué dan los tres recipientes pesos diferentes cuando se les pone en una báscula? Este resultado aparen temente contradictorio es conocido comúnmente como paradoja hidrostática.
17. 18. 19.
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V A l Figura 17 Pregunta 7.
8. ¿Se cumple el principio de Arquímedes en una vasija en caída libre o en un satélite que se mueva en órbita circular? 9. Una bola esférica hecha de corcho flota medio sumergida en una marmita de té en reposo sobre la Tierra. ¿Flotará, o se hundirá el corcho, a bordo de un navio espacial que (a) se desplace libremente en el espacio y (b) que se encuentre sobre la superficie de Marte? 10. ¿Cómo trabaja una ventosa (copa de succión)? 11. ¿Tiene la fuerza de flotación sobre un submarino sumer gido la misma intensidad a cualquier profundidad? 12. Explique cómo asciende un submarino, cómo se sumerge, y cómo se mantiene a una profundidad fija. ¿Emplean los peces los mismos principios? (Véase “The Buoyancy of Marine Animáis”, por Eric Dentón, Scientific American, julio de 1960, pág. 118, y “Submarine Physics”, por G. P. Hamwell, American Journal of Physics, marzo de 1948, pág. 127). 13. Un trozo de madera flota en una palangana de agua dentro de un elevador. Cuando el elevador parte del reposo y acelera hacia abajo, ¿flotará el trozo de madera más arriba sobre la superficie del agua? 14. Dos cubetas iguales se llenan hasta el borde con agua, pero una tiene un trozo de madera que flota. ¿Cuál de las dos cubetas (acaso) pesa más? 15. Calcule con cierto cuidado la fuerza de flotación que ejerce la atmósfera sobre usted. 16. De acuerdo con el problema muestra 3, el 89.6% de un iceberg se halla sumergido. Sin embargo, ocasionalmente
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los icebergs se vuelcan, con resultados posiblemente de sastrosos sobre un navio cercano. ¿Cómo puede esto su ceder considerando que la mayor parte de su masa está bajo el nivel del mar? ¿Podemos hundir a un barco de hierro sifoneando agua de mar hacia dentro de él? Se les advierte a los buceadores con tanques de aire que no contengan la respiración al nadar hacia arriba. ¿Por qué? Una vasija está completamente llena de agua líquida en el punto de congelación y tiene un cubo de hielo que flota, también en el punto de congelación. Al fundirse el cubo, ¿qué le sucede al nivel de agua en estos tres casos: (a) el cubo es hielo sólido; (b) el cubo contiene algunos granos de arena; y (c) el cubo contiene algunas burbujas? Aunque se supone que los paracaídas frenan la caída, suelen diseñarse con un agujero en la parte superior. Explique por qué. Una pelota flota sobre la superficie del agua en un reci piente expuesto a la atmósfera. ¿Permanecerá sumergida la pelota a su profundidad anterior o se hundirá o elevará un poco si (a) se tapa el recipiente y se le retira el aire o (Jb) si se tapa el recipiente y se comprime el aire? Explique por qué un globo inflado sólo se elevará hasta una altura limitada una vez que comienza a elevarse, mientras que un submarino se hundirá hasta el lecho mismo del océano una vez que haya comenzado a hundir se, a no ser que se lleve a cabo algún cambio. ¿Por qué un globo pesa lo mismo cuando está vacío que cuando está lleno de aire a la presión atmosférica? ¿Serían los pesos iguales si se pesaran en un vacío? Los recipientes de líquidos tienden a gotear cuando se les eleva en un aeroplano. ¿Por qué? ¿Importa que estén con el lado correcto hacia arriba o no? ¿Importa que estén inicialmente llenos o no? Durante la Segunda Guerra Mundial un carguero dañado que apenas era capaz de flotar en el Mar del Norte se dirigió por el estuario del Támesis hacia los muelles de Londres. Se hundió antes de que pudiera llegar. ¿Por qué? ¿Es verdad que un objeto flotante estará en un equilibrio estable únicamente si su centro de flotación está encima de su centro de gravedad? Ilustre con ejemplos. Los troncos que se descargan verticalmente en un estan que no permanecen verticales, sino que flotan “planos” sobre el agua. Explique. ¿Por qué un barco que se hunde, a menudo se voltea al sumergirse en el agua? Una barcaza llena de chatarra de hierro está en la esclusa de un canal. Si se arroja al hierro por la borda, ¿qué le pasa al nivel de agua de la esclusa? ¿Y qué si se le arroja sobre el terreno al lado del canal? Una cubeta de agua está suspendida de un dinamómetro. ¿Cambiará la lectura del dinamómetro cuando un trozo de hierro suspendido de un cordón se sumerja en el agua? ¿Y cuando se pone en el agua un trozo de corcho? Si se le añade suficiente hierro a un extremo de una viga o de un leño de madera uniforme, ¿flotará verticalmente en lugar de horizontalmente (vea la pregunta 27)? Expli que por qué.
Problemas
32. Aunque existen dificultades prácticas, es posible, en principio, hacer flotar a un trasatlántico en unos cuantos barriles de agua. ¿Cómo emprendería usted esta labor? 33. Una cubeta de agua destapada está sobre un plano sin fricción inclinado a un ángulo a con respecto a la horizontal. Halle la inclinación de equilibrio con la horizontal de la superficie libre del agua cuando (a) la cubeta se mantenga en reposo; (b) se permita que la cubeta se deslice plano abajo a una velocidad constante (a = 0, v = constan te); y (c) se deslice la cubeta hacia abajo sin restricción (a = constante). ¿Qué pasará si el plano es curvo de modo que a * constante? 34. En un barómetro, ¿qué tan importante es que su diámetro interior sea uniforme? ¿Y que el tubo del barómetro esté absolutamente vertical? 35. Un manómetro de tubo abierto tiene un tubo de diámetro igual al doble del otro. Explique cómo afecta esto a la operación del manómetro. ¿Importa cuál de los dos extre mos esté conectado a la cámara cuya presión se quiere medir? 36. Hemos considerado a los líquidos bajo compresión. ¿Pue den ser puestos bajo tensión los líquidos? De ser esto posible, ¿se separarán bajo la tensión suficiente como lo hacen los sólidos? (Véase “The Tensile Strength of Liquids”, por Robert E. Apfel, Scientific American, diciembre de 1972, pág. 58).
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37. Explique por qué dos placas de vidrio que contienen una película delgada de agua entre ellas son difíciles de separar por medio de un jalón directo, pero pueden separarse con facilidad deslizándolas. 38. Dé una explicación molecular de por qué la tensión super ficial disminuye al aumentar la temperatura. 39. Las películas de jabón son mucho más estables que las películas de agua. ¿Por qué? (Considérese cómo reacciona la tensión superficial al estiramiento.) ¿jq Explique por qué una película de jabón se revienta al aparecer un orificio pequeño en ella. ^ Explique estas observaciones: (a) el agua forma glóbulos sobre una placa engrasada pero no sobre una limpia; (tí) las burbujas pequeñas en la superficie del agua se unen entre sí. 42 Si el jabón reduce la tensión superficial del agua, ¿por qué soplamos burbujas de jabón en lugar de burbujas de agua? 43. Ciertos insectos pueden caminar sobre el agua. Calcule el peso máximo que puede tener tal insecto y aún sostenerse de este modo. 44. ¿Cuál es la fuente de energía que permite que un fluido se eleve en un tubo capilar (es decir, en un tubo de vidrio hueco y fino)? 45. ¿Qué significa decir que ciertos líquidos pueden ejercer una pequeña presión negativa?
PROBLEMAS Sección 17-2 Presión y densidad 1. Halle el aumento de presión en el fluido de una jeringa cuando una enfermera aplica una fuerza de 42.3 N al émbolo de la jeringa de 1.12 cm de diámetro. 2. Tres líquidos que no se mezclan se vierten dentro de un recipiente cilindrico. Las cantidades y densidades de los líquidos son 0.50 L, 2.6 g/cm3; 0.25 L, 1.0 g/cm3; y 0.40 L, 0.80 g/cm3(L = litro). Halle la fuerza total sobre el fondo del recipiente. (Despréciese la contribución debida a la atmósfera.) ¿Importa que se mezclen los líquidos? 3. La ventana de una oficina tiene 3.43 m por 2.08 m. Como resultado del paso de una tormenta, la presión del aire exterior decae a 0.962 atm, pero en el interior la presión se mantiene en 1.00 atm. ¿Qué fuerza neta empujará a la ventana hacia afuera? 4. Un cubo sólido de cobre tiene un borde de 85.5 cm de longitud. ¿Cuánta presión debe ejercerse para reducir a 85.0 cm la longitud del borde del cubo? El módulo volu métrico del cobre es de 140 GPa. 5. A una caja herméticamente cerrada con una tapa de 12 in2 de área se le practica un vacío parcial. Si se requiere una fuerza de 108 Ib para retirar la tapa de la caja, y la presión atmosférica exterior es de 15 lb/in2, ¿cuál es la presión dentro de la caja?
6. En 1654 Otto Von Guericke, burgomaestre de Magdeburgo e inventor de la bomba de aire, dio una demostración ante la Dieta imperial en la que dos tiros de caballos no pudieron separar a dos semiesferas de latón al vacío, (a) Demuestre que la fuerza F necesaria para separar a las semiesferas es F = kR2Ap, donde R es el radio (exterior) de las semiesferas y Ap es la diferencia de presiones dentro y fuera de la esfera (Fig. 18). (b) Haciendo que R sea igual a 0.305 m y que la presión interior sea de 0.100 atm, ¿qué fuerza deberían ejercer los tiros de caballos para separar a las semiesferas? (c) ¿Por qué se emplearon dos tiros de caballos? ¿No habría demostrado lo mismo un solo grupo de caballos?
Figura 18 Problema 6.
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Capítulo 17 Estática de los fluidos
Sección 17-3 Variación de la presión en un fluido en reposo 7. El pulmón humano funciona contra una diferencial de presión de menos de 0.050 atm. ¿A qué profundidad del nivel del agua puede nadar un buceador que respire por medio de un tubo largo (snorkel)? 8. Calcule la diferencia hidrostática en la presión de la sangre entre el cerebro y los pies de una persona de 1.83 m de altura. 9. Halle la presión total, en pascal, a 118 m bajo la superficie del océano. La densidad del agua de mar es de 1.024 g/cm3 y la presión atmosférica al nivel del mar es de 1.013 x 105 Pa. 10. Las descargas del drenaje de una casa construida en una pendiente están a 8.16 m por debajo del nivel de la calle. Si el drenaje está a 2.08 m bajo el nivel de la calle, halle la diferencia de presión mínima que debe crear la bomba de drenaje para transferir los desperdicios cuya densidad media es de 926 kg/m3. 11. La figura 19 muestra el diagrama de fase del carbono, indicando los intervalos de temperatura y de presión en que se cristalizará el carbono como diamante o como grafito. ¿Cuál es la profundidad mínima a la que pue den formarse los diamantes si la temperatura local es de 1000° C y las rocas bajo la superficie tienen una densidad de 3.1 g/cm3? Suponga que, como en un fluido, la presión se debe al peso del material que está encima.
8
;0
2
0
1000
2000
3000
Temperatura (°C)
Figura 19 Problema 11.
12. De acuerdo con el modelo de temperatura constante de la atmósfera de la Tierra, ¿cuál es la presión (en atm) a una altitud de 5.00 km, y (b) ¿a qué altitud es la presión igual a 0.500 atm? Compare sus respuestas con la figura 5. 13. Un tubo en U sencillo contiene mercurio. Cuando se vierten 11.2 cm de agua en la rama derecha, ¿a qué altura se elevará el mercurio en la rama izquierda a partir de su nivel inicial? 14. Detrás de la cara vertical aguas arriba de una presa se almacena agua con una profundidad D, como se muestra en la figura 20. Sea W el ancho de la presa, (a) Halle la fuerza horizontal resultante ejercida sobre la presa por la presión manométrica del agua y (b) la torca neta de-
bida a la presión manométrica del agua ejercida respecto a una línea que pase por O paralela al ancho de la presa, (c) ¿Dónde está situada la línea de acción de la fuerza resultante equivalente?
Figura 20 Problema 14.
15. Una alberca tiene las dimensiones de 80 ft x 30.0 ft x 8.0 ft. (a) Cuando está llena de agua, ¿cuál es la fuerza (debida al agua únicamente) sobre el fondo? ¿Y sobre los extre mos? ¿Y sobre los costados? (b ) Si se ha preguntado usted si las paredes de concreto se volcarán o no, ¿es apropiado tomar en cuenta para responder a esto la pre sión atmosférica? 16. ¿Cuál sería la altura de la atmósfera si la densidad del aire (a) fuese constante y si (b) decreciese linealmente hasta cero con la altura? Suponga una densidad al nivel del mar de 1.21 kg/m3. 17. Los miembros de una tripulación tratan de escapar de un submarino averiado que está a 112 m bajo la superficie. ¿Cuánta fuerza deberán aplicar contra la escotilla que abre hacia afuera, la cual tiene 1.22 m por 0.590 m, para poder abrirla? 18. Un barril cilindrico tiene un tubo angosto fijo a la tapa, como se muestra junto con sus dimensiones en la figu ra 21. El recipiente está lleno de agua hasta la parte supe rior del tubo. Calcule la razón de la fuerza hidrostática ejercida sobre el fondo del barril y el peso del agua contenida en su interior. ¿Por qué no es igual a uno esta razón? (Despréciese la presencia de la atmósfera.) 4.6 cm2
1.8 m
Figura 21 Problema 18.
Problemas
19. Al analizar ciertas características geológicas de la Tierra, suele ser conveniente suponer que la presión a cierto nivel de compensación horizontal, a cierta profundidad en la Tierra, es la misma dentro de una gran región e igual a la ejercida por el peso del material que está encima. Esto es, la presión en el nivel de compensación está dada por la fórmula de la presión hidrostática (fluida). Esto requie re, por ejemplo, que las montañas tengan raíces de baja densidad; véase la figura 22. Considere una montaña de 6.00 km de altura. Las rocas continentales tienen una densidad de 2.90 g/cm3; bajo el continente se encuentra el manto, con una densidad de 3.30 g/cm3. Calcule la profun didad D de la raíz. (Sugerencia: Iguale la presión en los puntos a y b; la profundidad y del nivel de compensación se cancelará.) Montaña
Üli t 1
6 . 0 Km
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Nivel de com pensación
Figura 22 Problema 19.
437
del líquido es /¡, y en la otra h2. Halle el trabajo efectuado por la gravedad al igualarse los niveles cuando las dos vasijas se conectan entre sí. 24. Un tubo en U está lleno con un líquido homogéneo. El líquido se presiona temporalmente en uno de los lados por un émbolo. El émbolo se retira y el nivel del líquido en cada lado oscila. Demuestre que el periodo de oscilación es jo ! 2 L/g, donde L es la longitud total del líquido en el tubo. 25. (a) Demuestre que la ecuación 13, la variación de la presión con la altitud en la atmósfera (tomando la tempe ratura como uniforme), puede escribirse en términos de la densidad p como: P
=
P o e ~ y'a,
donde p0es la densidad en el suelo (y = 0). (b) Suponga que la fuerza de arrastre D debida al aire sobre un objeto que se mueve con una velocidad v está dada por D = CApv2, donde C es una constante, A es el área frontal de la sección transversal del objeto, y p es la densidad local del aire. Halle la altitud a la cual la fuerza de arrastre sobre un cohete es máxima si el cohete se lanza verticalmente y se mueve con una aceleración constante hacia arriba at. 26. (a) Considere un recipiente de fluido sometido a una aceleración vertical a hacia arriba. Demuestre que la variación de la presión con la profundidad en el fluido está dada por P = ph(g + a), donde h es la profundidad y p es la densidad, (b) Demues tre también que si todo el fluido experimenta una acelera ción vertical a hacia abajo, la presión a una profundidad h está dada por P = Ph(g - a).
20. (a) Demuestre que la densidad p del agua a una profundi dad y en el océano se relaciona con la densidad superficial P-, según P ^ P s V + (P sg /B )y ],
donde B = 2.2 GPa es el módulo volumétrico del agua. Despréciense las variaciones de la temperatura. (b) ¿En qué fracción excederá la densidad a una profundidad de 4200 m a la densidad de la superficie? 21. Una probeta de 12.0 cm de longitud llena de agua se hace girar en un plano horizontal en una centrífuga a 655 rev/s. Calcule la presión hidrostática en la base exterior de la probeta. El extremo inferior de la probeta está a 5.30 cm del eje de rotación. 22. La superficie de contacto de dos fluidos de densidades diferentes que están en reposo y no se mezclan es horizon tal. Demuestre que este resultado general surge (a) del hecho de que la energía potencial de un sistema debe ser mínima en equilibrio estable; (b) del hecho de que en dos puntos cualesquiera en un plano horizontal en cualquiera de los fluidos las presiones son iguales. 23. Dos vasijas cilindricas idénticas con sus bases al mismo nivel contienen cada una un líquido de densidad p. El área de cualquiera de las bases es A, pero en una vasija la altura
(c) ¿Qué pasa en caída libre? 27. Considere la aceleración horizontal de una masa de líqui do en un tanque abierto. Una aceleración de esta clase causa que la superficie del líquido decaiga en el frente del tanque y se eleve en la parte trasera. Demuestre que la superficie del líquido adquiere una pendiente que forma un ángulo 6 con la horizontal, donde tan 6 = a/g, siendo a la aceleración horizontal, (ti) ¿Cómo varía la presión con h, la profundidad vertical bajo la superficie? 28. La tensión en un resorte que mantiene a un bloque sólido bajo la superficie de un líquido (de densidad mayor que el sólido) es T0cuando la vasija que lo contiene (Fig. 23) está en reposo. Demuestre que la tensión T, cuando la vasija tenga una aceleración vertical a hacia arriba, está dada por U \ + a/g). 29. (a) Un fluido está girando con una velocidad angular constante co con respecto al eje vertical central de un recipiente cilindrico. Demuestre que la variación de la presión en la dirección radial está dada por
(b) Sea p = pc en el eje de rotación (r = 0) y demuestre entonces que la presión p en cualquier punto r es p = p c + \p o } 2r 2.
438
Capítulo 17 Estática de los fluidos
34. Alrededor de una tercera parte del cuerpo de un físico que
Q Figura 23 Problema 28.
se halla nadando en el Mar Muerto está sobre el nivel del agua. Suponiendo que la densidad del cuerpo humano sea de 0.98 g/cm3, halle la densidad del agua en el Mar Muerto. ¿Por qué es mucho más grande que 1.0 g/cm3? 35. Suponga que la densidad de unas pesas de latón sea de 8.0 g/cm3y que la del aire sea de 0.0012 g/cm3. ¿Qué error fraccionario surge de despreciar la flotabilidad del aire al pesar un objeto de 3.4 g/cm3de densidad en una balanza de brazos? 36. Una pieza de hierro fundido que contiene cierto número de porosidades pesa 6130 N en el aire y 3970 N en el agua. ¿Cuál es el volumen de las porosidades de la pieza de fundición? La densidad del hierro es de 7870 kg/m3. 37. Un objeto cúbico de dimensión L = 0.608 m de lado y de peso W= 4450 N determinado en el vacío está suspendido de un alambre en un tanque abierto que contiene un líquido de densidad p =944 kg/m3, como en la figura 25. (a) Halle la fuerza total hacia abajo ejercida por el líquido y por la atmósfera sobre la parte superior del objeto, (b) Halle la fuerza total hacia arriba en el fondo del objeto, (c) Halle la tensión en el alambre, (d) Calcule la fuerza de flotación sobre el objeto usando el principio de Arquíme des. ¿Qué razón existe entre todas estas cantidades?
Figura 24 Problema 29.
(c) Demuestre que la superficie del líquido tiene la forma de un paraboloide (Fig. 24); es decir, una sección trans versal vertical de la superficie es la curva y = wV/2g. (d) Demuestre que la variación de la presión con la profundi dad es p = pgh. Sección 17-4 Principio de Pascal y principio de Arquímedes 30. (a) Si el pequeño émbolo de una palanca hidráulica tiene un diámetro de 3.72 cm, y el émbolo grande uno de 51.3 cm, ¿qué peso sobre el émbolo pequeño soportará 18.6 kN (p. ej., un automóvil) sobre el émbolo grande? (b) ¿A qué distancia debe moverse el émbolo pequeño para que el automóvil se eleve 1.65 m? 31. Un bote que flota en agua dulce desaloja 35.6 kN de agua. (a) ¿Qué peso de agua desalojaría este bote si estuviese flotando en agua salada de 1024 kg/m3de densidad? (b) ¿Cambia el volumen del agua desalojada? Si cambia, ¿en cuánto? 32. Un bloque de madera flota en el agua con 0.646 de su volumen sumergido. En el aceite tiene 0.918 de su volu men sumergido. Halle la densidad (a) de la madera y (b) del aceite. 33. Un bote de hojalata tiene un volumen total de 1200 cm3y una masa de 130 g. ¿Cuántos gramos de perdigones de plomo podría contener sin hundirse en el agua? La densi dad del plomo es 11.4 g/cm3.
Figura 25 Problema 37.
38. Un pez mantiene su profundidad en el agua salada ajus tando el contenido de aire de su hueso poroso o de sus bolsas de aire para hacer que su densidad promedio sea la misma que la del agua. Suponga que el pez tiene una densidad de 1.08 g/cm3con sus bolsas de aire aplastadas. ¿A qué fracción del volumen de su cuerpo expandido deberá el pez inflar las bolsas de aire para reducir su densidad promedio a la del agua? Suponga que la densidad del aire es de 0.00121 g/cm3. 39. Se ha propuesto un proyecto de traslado de gas natural desde los campos de gas del Mar del Norte en dirigibles enormes, usando el propio gas para proporcionar la fuerza de ascenso. Calcúlese la fuerza necesaria para amarrar al navio aéreo a la tierra para un aterrizaje cuando llegue completamente cargado con 1.17 xl0 6m3de gas con una densidad de 0.796 kg/m3. La densidad del aire es de
Problemas
1.21 kg/m3. (El peso del navio es despreciable en compa ración.) 40. El pequeño dirigible Columbio de Goodyear (véase la Fig. 26) está navegando lentamente a baja altitud, lleno como es costumbre de gas helio. Su carga útil máxima, inclu yendo la tripulación y la carga, es de 1280 kg. ¿Cuánta carga más podría transportar el Columbio si sustituimos el helio por hidrógeno? ¿Por qué no se hace? El volumen del espacio interior ocupado por el helio es de 5000 m3. La densidad del gas helio es de 0.160 kg/m3y la densidad del hidrógeno es de 0.0810 kg/m3.
439
5.80 ft de longitud. ¿Cuántos troncos se necesitarán para mantenerla a flote? Considere que la densidad de la ma dera es de 47.3 lb/ft3. 44. (a) ¿Cuál es el área mínima de un bloque de hielo de 0.305 m de espesor que flota en el agua para que sostenga encima de sí a un automóvil de 1120 kg de masa? (b) ¿Importa dónde esté colocado el automóvil sobre el bloque de hielo? La densidad del hielo es de 917 kg/m3. 45. Un objeto que flota en mercurio tiene una cuarta parte de su volumen sumergida. Si se añade agua suficiente para cubrir al objeto, ¿qué fracción de su volumen permane cerá sumergida en el mercurio? 46. Un leño cilindrico lleva una carga de plomo en un extremo de modo que flote en posición erecta en el agua, como en la figura 28. La longitud de la parte sumergida es L = 2.56 m. El leño es puesto a oscilar verticalmente. (a) Demuestre que la oscilación es armónica simple. (b) Halle el periodo de la oscilación. Desprecie el hecho de que el agua tiene un efecto amortiguador sobre el movimiento.
Figura 28 Problema 46. Figura 26 Problema 40.
41. Una esfera hueca de hierro flota casi completamente su mergida en agua; véase la figura 27. El diámetro exterior es de 58.7 cm y la densidad del hierro es de 7.87 g/cm3. Halle el diámetro interior de la esfera.
Figura 27 Problema 41.
42. Un bloque de madera tiene una masa de 3.67 kg y una den sidad de 594 kg/m3. Va a ser cargado con plomo para que flote en el agua con 0.883 de su volumen sumergido. ¿Qué masa de plomo se necesita (a) si el plomo está encima de la madera y (b) si el plomo está amarrado debajo de la madera? La densidad del plomo es de 1.14 x 10“ kg/m3. 43. Tres niños que pesan 82.4 Ib cada uno construyen una balsa enlazando entre sí troncos de 1.05 ft de diámetro y
47. Un automóvil tiene una masa total de 1820 kg. El volu men del espacio de aire del compartimiento de pasajeros es de 4.87 m3. El volumen del motor y de las ruedas frontales es de 0.750 m3, y el volumen de las ruedas traseras, el tanque de gas y la cajuela es 0.810 m3. El agua no puede entrar en estas áreas. El automóvil está estacio nado en una colina; el cable del freno de mano se revienta y el automóvil rueda cuesta abajo hasta un lago; véase la figura 29. (á) Al principio no entra nada de agua al compartimiento de pasajeros. ¿Qué volumen del automó vil, en metros cúbicos, está bajo la superficie del agua cuando el automóvil flota como se muestra en la figura? (b) El automóvil se hunde al entrar el agua lentamente. ¿Cuántos metros cúbicos de agua han entrado al automóvil cuando desaparece bajo la superficie del agua? (El auto móvil permanece horizontal debido a una carga pesada en la cajuela.)
Figura 29 Problema 47.
440
Capítulo 1 7 Estática de los fluidos
48. Usted coloca un frasco de vidrio, parcialmente lleno de agua, dentro de una tina (Fig. 30). Tiene una masa de 390 g y un volumen interior de 500 cm3. Ahora comienza usted a llenar la tina de agua y halla, por experimentación, que si el frasco está lleno a menos de la mitad flotará; pero si está lleno a más de la mitad permanece en el fondo de la tina mientras el agua se eleva hasta su borde. ¿Cuál es la densidad del material de que está hecho el frasco?
Figura 30 Problema 48.
jabón de 1.40 cm de radio. ¿Cuánta energía se usa para estirar la superficie del jabón? 54. La tensión superficial del 4He líquido es de 0.35 mN/m y la densidad líquida es de 145 kg/m3. Estime (a) el número de átomos/m2de superficie y (¿>) la energía por enlace, en eV, en el líquido a esta temperatura. La masa de un átomo de helio es de 6.64 * 10"27kg. Imagine a cada átomo como un cubo y suponga que cada átomo interactúa únicamente con sus cuatro vecinos más cercanos. 55. Demuestre que la diferencia de presión entre el interior y el exterior de una burbuja de radio r es 4 y/r, donde yes la tensión superficial del líquido con el cual ha sido soplada la burbuja. 56. Una barra sólida de vidrio de radio r = 1.3 cm está colo cada coaxialmente dentro de un cilindro de vidrio de ra dio interno R = 1.7 cm. Sus extremos del fondo están alineados y situados en contacto con la superficie de un tanque abierto de agua y perpendiculares a ella (véase la Fig. 31). ¿A qué altura y se elevará el agua en la región entre la barra y el cilindro? Suponga que el ángulo de contacto sea 0oy use 72.8 mN/m para la tensión superficial del agua. 1— -ü --- ►
Sección 17-5 Medición de la presión
..... h
49. Calcule la densidad del vino tinto que Pascal usó en su barómetro de 14 m de longitud. Suponga que el vino llenaba el tubo. 50. La presión en la superficie del planeta Venus es de 90 atm (es decir, 90 veces la presión en la superficie de la Tierra). ¿De qué longitud tendría que ser un barómetro de mercurio para medir esta presión? Suponga que el mercurio se mantiene a 0o C.
<í. ■>
Sección 17-6 Tensión superficial
Figura 31 Problema 56.
51. ¿Cuánta energía está almacenada en la superficie de una burbuja de jabón de 2.1 cm de radio si su tensión superfi cial es de 4.5 * 10‘2N/m? 52. Una película delgada de agua de 80.0 /jm de espesor está emparedada entre dos placas de vidrio y forma una man cha circular de 12.0 cm de radio. Calcule la fuerza normal necesaria para separar a las placas si la tensión superfi cial del agua es de 0.072 N/m. 53. Al emplear una solución de jabón en la que la tensión superficial es de 0.025 N/m un niño sopla una burbuja de
57. Una burbuja de jabón en el aire tiene un radio de 3.20 cm. Se la sopla luego hasta un radio de 5.80 cm. Use 26.0 mN/m para la tensión superficial (constante) de la burbuja. (a) ¿Cuál es la diferencia de presión inicial en la película de la burbuja? (b) Halle la diferencia de presión en la película para el tamaño más grande, (c) ¿Cuánto trabajo se efectuó contra la atmósfera para hacer más grande a la burbuja? (d ) ¿Cuánto trabajo se efectuó para estirar la superficie de la burbuja?
CAPÍTULO 18 DINAMICA DE LOS FLUIDOS Pasarnos ahora de la estática de los fluidos a la dinámica de los fluidos en movimiento. En esencia, existe poca diferencia entre la dinámica del movimiento de los fluidos y la dinámica de los movimientos de la partícula y del cuerpo rígido, que ya hemos estudiado en capítulos anteriores. Empleamos aquí conceptos ya conocidos para analizar la dinámica de losfluidos, incluyendo las leyes de Newton del movimiento y la conservación de la masa y de la energía. Así pues, en este capítulo aplicaremos estos principios a los fluidos, los que describimos em pleando variables tales como la presión y la densidad que hemos presentado en el capítulo 17. Comenzaremos con un modelo simplificado delflujo fluido, del cual no tendremos en cuenta las fuerzas de disipación. Este enfoque es similar a nuestro estudio previo de la dinámica de la partícula, donde en un principio no tomábamos en cuenta a las fuerzas de disipación (de fricción). Una ventaja de este acceso es que permite un análisis en términos de la conservación de la energía mecánica, como lo hicimos en el capítulo 8 en el caso de las partículas. Más adelante en el presente capítulo ofreceremos una descripción breve de los resultados intere santes y poco usuales que suceden en los fluidos reales cuando se toman en cuenta lasfuerzas de disipación, llamadas fuerzas viscosas.
18-1 CONCEPTOS GENERALES DEL FLUJO DE LOS FLUIDOS Una manera de describir el movimiento de un fluido consiste en dividirlo en elementos de volumen infinitesi mal, a los cuales podemos llamar partículas fluidas, y seguir el movimiento de cada partícula. Si conocemos a las fuerzas que actúan sobre cada partícula del fluido, podemos entonces resolver para las coordenadas y velo cidades de cada partícula en función del tiempo. Este procedimiento, que es una generalización directa de la mecánica de la partícula, fue desarrollado por primera vez por Joseph Louis Lagrange (1736-1813). Puesto que el número de partículas de fluido es generalmente muy grande, el uso de este método es una tarea formidable. Existe otro tratamiento distinto, desarrollado por Leonhard Euler (1707-1783), que es más conveniente en la mayoría de los casos. En él abandonamos el intento de especificar la historia de cada partícula del fluido y, en cambio, especificamos la densidad y la velocidad del fluido en cada punto en el espacio y en cada instante de tiempo. Éste es el método que usaremos. Describire mos al movimiento del fluido especificando la densidad
p(x, y, z, t) y la velocidad v(x, y, z, t) en el punto ;t, y, z en el tiempo t. Centraremos entonces nuestra atención en qué está sucediendo en un punto en particular del espacio en ese tiempo determinado, en lugar de ocupamos de qué le sucede a una partícula dada de fluido. Cualquier cantidad empleada para describir el estado del fluido, por ejemplo, la presión p, tendrá un valor definido en cada punto en el espacio y en cada instante de tiempo. Si bien, esta descrip ción del movimiento del fluido centra la atención sobre un punto en el espacio en lugar de sobre una partícula del fluido, no podemos evitar seguir a las partículas del fluido en sí mismas, cuando menos durante intervalos de tiempo cortos dt. Después de todo, las leyes de la mecánica se aplican a partículas y no a puntos en el espacio. Consideraremos en primer lugar algunas características generales del flujo de los fluidos. 1. El flujo de los fluidos puede ser estacionario o no estacionario. Describamos al flujo en términos de los valores de variables tales como la presión, la densidad, y la velocidad de flujo en cada punto del fluido. Si estas variables son constantes en el tiempo, se dice que el flujo es estacionario. Los valores de estas variables cambian por lo general de un punto a otro, pero no cambian con el
442
Capítulo 18 Dinámica de los fluidos
tiempo en cualquier punto en particular. A menudo puede conseguirse esta condición a velocidades de flujo bajas; una corriente que fluya continuamente es un ejemplo. En el flujo no es estacionario, como en una ola grande pro vocada por la marea, las velocidades v son funciones del tiempo. En el caso del flujo turbulento, tal como en los rápidos de un río o en una caída de agua, las velocidades varían erráticamente de punto a punto así como de tiempo a tiempo. 2. El flujo de un fluido puede ser compresible o in compresible. Si la densidad p de un fluido es constan te, independiente de x, y, z, y t, su flujo se llama flujo incompresible. Puede considerarse usualmente que los líquídos fluyen incompresiblemente. Pero aun en un gas altamente compresible la variación de la densidad puede ser insignificante, y para objetos prácticos podemos con siderar que el flujo es incompresible. Por ejemplo, al volar a velocidades mucho menores que la velocidad del sonido en el aire (que se describe como aerodinámica subsónica), el flujo del aire sobre las alas es casi incompresible. 3. El flujo de los fluidos puede ser viscoso o no viscoso. En el movimiento de los fluidos la viscosidad es el análo go de la fricción en el movimiento de los sólidos. Cuando un fluido fluye de modo que no disipe energía por medio de fuerzas viscosas, se dice que el fluido es no viscoso. En muchos casos, como en problemas de lubricación, la viscosidad es extremadamente importante; por ejemplo, los aceites para motor se denominan de acuerdo a su viscosidad y a su variación con la temperatura. En otros casos, la viscosidad puede ser de poca importancia relati vamente, y al despreciarla podemos emplear una descrip ción más sencilla en términos de flujo no viscoso. 4. El flujo de los fluidos puede ser rotatorio o no rota torio. Si un elemento del fluido en movimiento no gira en tomo a un eje que pase por el centro de masa del elemento, se dice que el flujo es no rotatorio. Podemos imaginar a una pequeña rueda de paletas sumergida en el flujo en movimiento (Fig. 1). Si la rueda se mueve sin girar, el movimiento es no rotatorio; de otro modo será rotatorio. Nótese que un elemento en particular del fluido puede moverse en una trayectoria circular y experimentar tam bién un flujo no rotatorio; una analogía es el movimiento de las góndolas colgantes de una “rueda gigante” de feria: aun cuando la rueda gire, las personas que viajan en las góndolas no giran respecto a sus centros de masa. El remolino que se forma cuando el agua fluye por el drenaje de la bañera es un ejemplo de esta clase de flujo no rotatorio. Para simplificar la descripción matemática del movi miento de un fluido, limitaremos nuestra exposición de la dinámica de los fluidos en su mayor parte al flujo
Figura 1 Una rueda de paletas pequeña que flota libremente en un líquido al fluir. Si la rueda gira, llamamos al flujo rotatorio-, si no, el flujo es no rotatorio.
estacionario, incompresible, no viscoso, no rotatorio. Sin embargo, corremos el riesgo de que, con tantas suposi ciones simplificantes, ya no estemos estudiando un fluido real. Además, a veces es difícil decidir si una propie dad determinada de un fluido (digamos, su viscosidad) puede ser despreciada en una situación particular. A pesar de todo esto, el análisis restringido que vamos a llevar a cabo tiene una aplicación amplia en la práctica, como veremos.
18-2 TRAYECTORIA DE UNA CORRIENTE Y LA ECUACIÓN DE CONTINUIDAD En el flujo estacionario la velocidad v en un punto dado es constante en el tiempo. Consideremos al punto P (Fig. 2) dentro del fluido. Puesto que v en P no cambia con el tiempo en el flujo estacionario, cada partícula de fluido que llegue a P pasará con la misma velocidad y en la misma dirección. El movimiento de cada partícula que pase por P sigue entonces la misma trayectoria, llamada linea de corriente. Cada partícula de fluido que pase por P pasará más tarde por puntos más a lo largo de la línea de corriente, tal como Q y R en la figura 2. Además, cada partícula de fluido que pase por R debe haber pasado previamente por P y Q. La magnitud del vector velocidad de la partícula de fluido cambiará, en general, al moverse a lo largo de la línea de corriente. La dirección del vector de la velocidad
Figura 2 En el flujo estacionario, una partícula de fluido que pase por P traza una línea de corriente, pasando más tarde por los puntos Q y R corriente abajo. Cualquier otra partícula que pase por P debe seguir esta misma trayectoria.
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Sección 18-2
Trayectoria de una corriente y la ecuación de continuidad
443
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Figura 3 flujo.
Un haz de líneas de corriente forma un tubo de
Figura 4 Un tubo de flujo que tiene un área A, de la sección transversal en P, y un área A2en Q.
y, según un análisis similar, en cualquier punto a lo largo de la línea de corriente es siempre tangente a ella. Dos líneas de corriente no pueden cruzarse entre sí ya que, si lo hicieran, una partícula de fluido que llegue podría seguir un camino u otro, y el flujo no podría ser estacionario. En el flujo estacionario el patrón de las líneas de corriente no cambia con el tiempo. En principio podemos trazar una línea de una corriente a través de cada punto del fluido. Suponiendo un flujo estacionario, elegimos un número finito de líneas de co rriente para formar un haz, como el patrón de líneas de corriente de la figura 3. Esta región tubular se llama tubo de flujo. La frontera de este tubo consiste en líneas de corriente a las cuales la velocidad de las partículas fluidas es siempre tangente. Así pues, ningún fluido puede cruzar la frontera de un tubo de flujo, y el tubo se comporta un tanto como una tubería de la misma forma. El fluido que entra por un extremo debe salir por el otro. Consideremos en detalle el flujo del fluido por un tubo de flujo como el que se muestra en la figura 4. El fluido entra en P donde el área de la sección transversal es A, y sale en Q donde el área es Av Sea v¡ la velocidad de las partículas del fluido en P y v2la de las partículas en Q. En el intervalo de tiempo At un elemento de fluido recorre aproximadamente la distancia v At. Entonces el fluido que cruce A, en el intervalo de tiempo At tiene un volumen de aproximadamente. Si su densidad en esa ubica ción es p,, entonces la masa de fluido Am, que cruza por A¡ es, de alrededor de
flujo de masa en Q = p2A 2v2, donde p2, A 2, y v2 representan, respectivamente, la densi dad, el área de la sección transversal, y la velocidad del flujo en Q. Hemos supuesto que el fluido entra en el tubo única mente en P y sale únicamente en Q. Esto es, entre P y Q no existen otras “fuentes” por donde el fluido pueda entrar al tubo ni “sumideros” por donde pueda salir. Además, el flujo es estacionario, de modo que la densidad del fluido entre P y Q no cambia con el tiempo (aun cuando pueda cambiar de lugar a lugar). Entonces el flujo de masa en P debe ser igual al flujo de masa en Q\ PiAlvl = p 2A2v2,
(1)
o, en términos más generales que se refieran a cualquier ubicación en el tubo de flujo, pA v= constante.
(2)
Este resultado expresa la ley de conservación de la masa en la dinámica de los fluidos. Si el fluido es incompresible, como lo supondremos de ahora en adelante, entonces p, = p2, y la ecuación 1 ad quiere la forma más sencilla A ,vl = A 2v2,
(3)
o, al definir que R sea la razón de flujo volumétrico (oflujo volumétrico) A v,
Am, = p i A ^ At. El flujo de masa, definido como la masa de fluido por unidad de tiempo que pasa por cualquier sección transver sal, es entonces Am JAt = p lA iv l en P, aproximadamente. Debemos considerar que A t sea lo suficientemente peque ño como para que en este intervalo de tiempo ni v ni A varíen en forma considerable durante la distancia que viaja el fluido. En el límite según At -* 0, obtenemos el resultado preciso: flujo de masa e n P = PiAxvx,
Figura 5 La velocidad debe aumentar al estrecharse el área de un tubo horizontal. Si no actúa ninguna otra fuerza sobre el fluido, la presión en P debe ser mayor que la presión en Q, de modo que en dirección PQ actúa una fuerza para proporcionar la aceleración necesaria.
444
Capítulo 18 Dinámica de los fluidos
R = Av = constante.
(4)
Las unidades de R en el SI son m 3/s. Nótese que la ecuación 3 predice que en el flujo estacionario incompre sible la velocidad del flujo varía inversamente con el área de la sección transversal, siendo mayor en las partes más angostas del tubo. La constancia del flujo volumétrico a lo largo de un tubo de flujo ofrece una interpretación gráfica importante de las líneas de la corriente, como se ve en la figura 5. En una parte angosta del tubo, las líneas de corriente deben de estar más apretadas que en una parte ancha. De aquí que, cuando la distancia entre líneas de corriente disminuya, la rapidez del fluido debe aumentar. Por lo tanto, concluimos que las líneas de corriente espaciadas indican regiones de velocidad relativamente baja, y que las líneas de corriente apretadas indican regiones de velocidad relativamente elevada. Podemos obtener otro resultado interesante al aplicar la segunda ley de Newton para el movimiento al flujo del fluido entre P y Q (Fig. 5). Una partícula de fluido en P con una velocidad v¡ debe ser acelerada en dirección hacia adelante al adquirir la velocidad hacia adelante v2 más elevada en Q. Esta aceleración puede provenir únicamente de una fuerza ejercida en la dirección PQ, y (si no existe ninguna otra fuerza externa, por ejemplo, la gravedad) la fuerza debe surgir de un cambio de la presión en el seno del fluido. Para proporcionar esta fuerza, la presión debe ser mayor en P que en Q. Por lo tanto, en ausencia de otras fuentes de aceleración, las regiones de mayor velocidad del fluido deben estar asociadas con presiones del fluido más bajas. En la sección siguiente, trataremos más a fondo esta conclusión preliminar respecto a la dinámica del fluido. ¿Ha formado usted parte, alguna vez, de un “fluido humano” en el que una muchedumbre de personas tratara de pasar por una puerta angosta? Hacia la parte de atrás de la muchedumbre, el área de la sección transversal es grande, la presión es grande, pero la velocidad de avance es bastante pequeña. Una vez atravesando la puerta, la muchedumbre se mueve más rápidamente: la velocidad del flujo aumenta. Este “fluido” es compresible y viscoso, y el flujo puede ser tanto rotatorio ¡como turbulento!
Problema muestra 1 La figura 6 muestra cómo se angosta al caer la corriente de agua que sale por un grifo. El área de la sección transversal A0 es de 1.2 cm2y la de A es de 0.35 cm2. Los dos niveles están separados por una distancia vertical h (= 45 mm). ¿En qué cantidad fluye el agua de la llave? Solución Partiendo de la igualdad del flujo volumétrico (Ec. 3) tenemos A0vo = Av, donde u0y u son las velocidades del agua a los niveles corres pondientes. Partiendo de la ecuación 20 del capítulo 2 podemos
Figura 6 Problema muestra 1. Cuando el agua cae de una llave, su velocidad aumenta. Como la cantidad de flujo debe ser la misma en todas las secciones transversales, la corriente debe volverse más angosta al caer. (Se desprecian los efectos asociados con la tensión superficial.)
también escribir, puesto que cada elemento de agua está cayen do libremente debido a la gravedad, v2 = vl + 2gh. Eliminando a v entre estas dos ecuaciones y resolviendo para u0, obtenemos /(2)(9.8 m/s2)(0.045 m)(0.35 cm2)2 (1 •2 cm2)2—(0.35 cm2)2 = 0.286 m/s = 28.6 cm/s. La razón de flujo volumétrico R es entonces I 2ghA2
2,0
R = A0v0 = (1.2 cm2)(28.6 cm/s) = 34 cm3/s. Con esta cantidad, tardaríamos unos 3 s en llenar un frasco de 100 mL.
La ecuación de continuidad (Opcional) Las ecuaciones 2 y 4 son ejemplos de relaciones matemáticas conocidas como ecuaciones de continuidad. Una ecuación de continuidad es, en efecto, una ley de conservación de la materia. Ésta nos dice que si no existen fuentes (lugares por donde se introduzca materia nueva) ni sumideros (lugares por donde la materia que fluye pueda escapar), entonces la masa dtn conte nida en cualquier volumen dV debe permanecer constante. Hemos derivado estas ecuaciones para condiciones muy espe ciales; una ecuación de continuidad más general es d(pvx) | d(pvy) | d{pvz) | dp _ Q dx dy dz dt Esta ecuación se basa en la consideración de un volumen arbitrario de espacio (no de fluido) dV = dx dy dz. El elemento de volumen permanece fijo en el espacio mientras que el fluido fluye a través de él. Los primeros tres términos, cuando se les multiplica por dV, dan el flujo de salida neto de la masa de fluido que proviene del volumen, en términos de sus componen tes de velocidad vx, vy, y vz. El cuarto término, de nuevo multiplicado por dV, da la cantidad a la cual está cambiando la
Sección 18-3
masa dentro del elemento de volumen. Cuando estos términos suman cero, significa que cualquier flujo de salida (o de entrada) neto de masa debe ser compensado por un cambio equivalente en la masa dentro del elemento. Una vez más, esto es precisa mente un postulado de la conservación de la masa. Si el elemen to de volumen dV contiene fuentes o sumideros, éstos estarían incluidos en la ecuación 5 haciendo al lado derecho igual a la cantidad a la que la materia está entrando en, o saliendo de, dV. (Las derivadas que aparecen en la ecuación 5 son derivadas parciales, porque la densidad y las componentes de la velocidad pueden ser funciones de más de una variable). Las ecuaciones de continuidad son comunes en física y juegan un papel fundamental no solamente en la mecánica de los fluidos, sino en cualquier materia o tema en el cual interven ga un flujo. Por ejemplo, en electromagnetismo consideramos no el flujo de masa sino el flujo de carga eléctrica. Las compo nentes de v en la ecuación 5 son reemplazadas por componentes correspondientes de la corriente eléctrica, mientras que la den sidad de masa es reemplazada por la densidad de carga. La interpretación de la ecuación no cambia, excepto que entonces se refiere a la conservación de la carga eléctrica más que a la masa. (Véanse los capítulos 27 y 32.) ■
18-3 LA ECUACIÓN DE BERNOULLI* La ecuación de Bernoulli, que es una relación fundamen tal en la mecánica de los fluidos, no es un principio nuevo sino que es derivable de las leyes básicas de la mecánica newtoniana. Hallamos conveniente derivarla del teorema trabajo-energía (véase la Sec. 7-4), ya que es esencialmen te un postulado del teorema trabajo-energía para el flujo de los fluidos. Consideremos el flujo estacionario, incompresible, no viscoso y no rotatorio de un fluido a lo largo de la tubería o tubo de flujo de la figura 7. La porción de tubería que se muestra en la figura tiene una sección transversal A¡ uniforme a la izquierda. Allí es horizontal con una eleva ción y¡ sobre cierto nivel de referencia. Gradualmente se ensancha y eleva, y a la derecha tiene una sección trans versal A2uniforme. Allí es horizontal en una elevación y2. Concentrémonos en la porción de fluido representada por los sombreados suave e intenso y llamemos a este fluido “el sistema”. Consideremos luego el movimiento del sis tema desde la posición mostrada en la figura la hasta la mostrada en la figura Ib. En todos los puntos de la parte angosta de la tubería la presión es p¡ y la velocidad v¡; en todos los puntos de la porción ancha la presión es p 2 y la velocidad v2. El teorema trabajo-energía (véase la Ec. 19 del capítulo 7) establece: el trabajo efectuado por la fuerza resultante
La ecuación de Bernoulli
que actúa sobre un sistema es igual al cambio en la energía cinética del sistema. En la figura 7 las fuerzas que efectúan un trabajo sobre el sistema, suponiendo que podamos despreciar a las fuerzas viscosas, son las fuerzas de la presión p¡A¡ y p 2A2 que actúan sobre los extremos a mano izquierda y derecha del sistema, respectivamente, y la fuerza de la gravedad. Al circular el fluido por la tubería el efecto neto, como lo muestra la comparación de las figuras l a y l b , es elevar al fluido representado por el área de sombreado intenso de la figura la a la posición mos trada en la figura Ib. La cantidad de fluido representada por el sombreado suave no cambia a causa del flujo. Podemos hallar el trabajo W efectuado sobre el sistema por la fuerza resultante como sigue: 1. El trabajo efectuado sobre el sistema por la fuerza de la presión p )A l e s p lA l Alt. 2. El trabajo efectuado sobre el sistema por la fuerza de la presión p 2A2 es - p 2A2 Al2. Nótese que es negativo, porque la fuerza actúa en dirección opuesta al desplaza miento horizontal. 3. El trabajo efectuado sobre el sistema por la gravedad está asociado con la elevación del elemento de fluido en sombreado intenso desde la altura y, hasta la altura y2 y es -Am g(y2 - y,) donde Am es la masa de fluido en cualquiera de las áreas con sombreado intenso. Esta contribución es también negativa a causa de que la fuerza gravitatoria actúa en dirección opuesta al desplazamiento vertical. El trabajo neto W efectuado sobre el sistema por todas las fuerzas se halla al sumar estos tres términos, es decir, W = p lA l A/, - p 2A2 Al2 - A m g(y2 - y¡).
Ahora bien, A¡ A/, (= A2 Al2) es el volumen AF del elemento de fluido en sombreado intenso, el cual pode mos escribir como Am¡p, en donde p es la densidad (constante) del fluido. Recordemos que los dos elementos de fluido tienen la misma masa, de modo que al disponer que A x A/, = A2 Al2 hemos supuesto que el fluido es incompresible. Con esta hipótesis tenemos W = ( P \ ~ p 2)(Am/p) - A m g(y2 - y,).
(6)
El cambio en la energía cinética del elemento de flui do es AK = iA m v 2 — i A m v\.
Partiendo del teorema trabajo-energía, W = AK, y enton ces tenemos (/>, - p 2)(Am/p) - Am g(y2 - y t) = \ A m v\ —\ A m v\,
* En la Encyclopaedia Britannica (edición undécima) figuran ocho miembros de la familia Bernoulli. Aquí nos referimos a Daniel Bernoulli (1700-1782), quizá el más notable de esta destacada familia.
445
(7)
lo que, después de cancelar al factor común de Am, puede reacomodarse para leerse como sigue: P\ + ipv \ + pgyt = p 2 + \ pv\ + pgy2.
(8)
446
Capítulo 18 Dinámica de los fluidos
Figura 7 El fluido fluye por una tubería en forma estacionaria. Durante el intervalo de (a) a {ti), el efecto neto del flujo es la transferencia del elemento de fluido indicado por el sombreado intenso desde el extremo de entrada de la tubería hasta el extremo de salida.
Puesto que los subíndices 1 y 2 se refieren a dos ubicacio nes cualesquiera a lo largo de la tubería, podemos suprimir los subíndices y escribir p + \p v2 + pgy = constante.
(9)
La ecuación 9 recibe el nombre de ecuación de Bemoulli para el flujo estacionario, incompresible, no viscoso y no rotatorio. Fue presentada por vez primera por Daniel Bemoulli en su Hydrodynamica en 1738. La ecuación de Bemoulli es estrictamente aplicable únicamente al flujo estacionario, siendo evaluadas las cantidades implicadas a lo largo de la línea de corriente. En nuestra figura, la línea de corriente usada está a lo largo del eje de la tubería. Sin embargo, si el flujo es no rotatorio puede demostrarse (véase el problema 33 para un caso especial) que la constante de la ecuación 9 es la misma para todas las líneas de corrientes. Así como la estática de una partícula es un caso especial de la dinámica de la partícula, la estática de los fluidos es un caso especial de la dinámica de los fluidos. No debería sorprendemos, por lo tanto, que la ley del cambio de la presión con la altura en un fluido en reposo esté incluida en la ecuación de Bemoulli como un caso especial. Si el fluido está en reposo, entonces y, = v2 = 0 y la ecuación 8 se convierte en Pi
+Pgy\ = Pi + pgy i
O P 2~P \ = - p g ( y 2 - y \ X que es la misma que la ecuación 8 del capítulo 17. De la ecuación 8 se deduce otro resultado básico cuando J’i = y: (es decir, la tubería es horizontal, de modo que no es preciso considerar los efectos gravitatorios). Entonces
pi + ipv2i= p2+ ipvl
( 10)
Cuando la velocidad es grande, la presión debe ser peque ña, y a la inversa. Éste es el postulado matemático que confirma la conclusión de lo expuesto como consecuencia de la ecuación 4. En la ecuación 9 todos los términos tienen la dimensión de una presión (lo cual debe usted verificar). La presiónp + pgy, la cual estaría presente aun cuando no hubiese flujo ( y = 0), se llama presión estática; el término ip y 2 se denomina presión dinámica. La ecuación de Bemoulli es en efecto un postulado de la conservación de la energía mecánica en un sistema. En analogía con nuestro tratamiento de la conservación de la energía en el capítulo 8, podemos reescribir la ecuación 7 como: A K + AU = W, donde los tres términos se refieren, respectivamente, a los cambios en las energías cinética y potencial y al trabajo efectuado por la fuerza de la presión, siendo consideradas
Sección 18-4 Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli y de la ecuación de continuidad
todas las cantidades por unidad de volumen del fluido. Si el fluido es compresible, puede adquirir energía interna por medios mecánicos; por ejemplo, la fuerza de la pre sión puede empujar a las moléculas acercándolas más, aumentando por lo tanto su energía potencial interna. Entonces en un fluido compresible deberíamos incluir otro término A£int correspondiente al cambio en la energía interna por unidad de volumen, y el postulado de la conservación de la energía se convierte en
447
H------- D -
A K + A U + A E int= W.
Este resultado es idéntico a la ecuación 28 del capítulo 8. Si, además, el flujo es viscoso, las fuerzas similares a la fricción realizan un trabajo que puede parecer como un aumento en la energía interna del fluido. En la práctica, podemos modificar a la ecuación de Bemoulli como sea necesario para justificar la conversión de la energía mecánica del fluido en energía interna. Si el flujo puede considerarse como aproximadamente incom presible y no viscoso, estas correcciones son desprecia bles.
Problema muestra 2 Un tanque elevado de altura h = 32 m y diámetro D = 3.0 m abastece de agua a una casa (Fig. 8). Una tubería horizontal en la base del tanque tiene un diámetro d = 2.54 cm (1 in, típico de las tuberías de abastecimiento doméstico en Estados Unidos). Para satisfacer las necesidades del hogar, la tubería de abastecimiento debe ser capaz de susti tuir agua a razón de R = 0.0025 m3/s (alrededor de | de galón por segundo). (a) Si el agua estuviese fluyendo a la cantidad máxima, ¿cuál sería la presión en la tubería horizontal? (b) Una tubería más pequeña, de diámetro d' = 1.27 cm (= 0.5 in) abastece al segundo piso de la casa, a una distancia de 7.2 m sobre el nivel del suelo. ¿Cuáles son la velocidad del flujo y la presión del agua en esta tubería? Desprecie la viscosidad del agua. Solución (a) Aplicamos la ecuación de Bemoulli a lo largo de la línea de flujo ABC mostrada en la figura 8. En los puntos A y B tenemos Pa + iPVa + P g y a = P b + ÍP V 2b + p g y B-
En A, la presión es la de la atmósfera, p0. Con yA = h y yB = 0, obtenemos, para la presión desconocida, Pb = Po + Pgh + ip(»A ~ Vb)Podemos hallar vÁy uBa partir de la igualdad del flujo volumé trico (Ec. 4), lo que nos da va-Aa
= VbA b — R,
donde R es la cantidad de flujo volumétrico constante. Entonces R A Aa
0.0025 m3/s ■= 3.5 X 10 4m/s, tt( 1.5 m)2
R 0.0025 m3/s „n , vB= — = = 4.9 m/s. B
AB
7r(0.0127 m)2
Figura 8 Problema muestra 2.
Obsérvese que el término en la expresión para p es despreciable comparado con el término | . Esto es, la velo cidad del flujo en la parte superior del tanque es bastante pequeña, debido a la gran área de su sección transversal. Ahora podemos resolver para la presión en la tubería: Pb = Po + P g h ~ i p v i
= 1.01 X 105Pa + (1.0 X 103kg/m3X9.8 m/s2X32 m) — 4(1.0 X 103kg/m3X4.9 m/s)2 = 1.01 X 105Pa+ 3.14 X 105Pa —0.12 X 105Pa = 4.03 X 105Pa. Si el agua de la tubería horizontal no estuviese fluyendo (esto es, si la válvula estuviese cerrada), la presión estática en B incluiría únicamente a los primeros dos términos de arriba, lo cual daría 4.15 x 105Pa. La presión cuando el agua fluye se reduce de este valor estático a la cantidad de la presión dinámica. (Jb) Si la tubería más angosta al segundo piso ha de tener la misma cantidad de flujo R, la velocidad en C debe ser Vc
_ R Ac
0.0025 m3/s tc(0.0064 m)2
,ft,
. m/S’
o cuatro veces el valor en B. La ecuación de Bemoulli da Pa
+
íp v a
+ p g y a = P c + l p v c2 + p g y c
O P e = Po + I p ( v 2 a-
v 2c ) + p g ( y A -
y c)
= 1.01 X 105Pa —4(1.0 X 103kg/m3)(19.7 m/s)2 + (1.0 X 103kg/m3X9.8 m/s2X32 m - 7.2 m) = 1.01 X 105Pa - 1.95 X 105Pa + 2.43 X 105Pa = 1.49 X 105Pa. A causa de la mayor velocidad del flujo a lo largo de la tubería más pequeña, la contribución dinámica a la presión es mucho mayor en C que en B. Los efectos tanto estáticos como dinámicos tienden a reducir la presión en ese punto con relación a B.
18-4 APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI Y DE LA ECUACIÓN DE CONTINUIDAD En esta sección consideraremos un número de aplicacio nes de la ecuación de Bemoulli, que ilustran su uso y demuestran la amplitud de su aplicabilidad.
448
Capítulo 18
Dinámica de los fluidos
Figura 10 Tubo de Pitot, que se emplea para medir la velocidad del flujo de un gas. velocidad del flujo de un fluido en una tubería. se encuentra en las puntas de las alas de un aeroplano se basa en este principio.
El medidor de Venturi Este aparato (Fig. 9) es un medidor de la velocidad del flujo de un fluido en una tubería. Un fluido de densi dad p fluye por una tubería de área de su sección transver sal A. El área se reduce a a en el cuello, y allí se acopla un tubo manométrico, como se muestra. Hagamos que el líquido del manómetro, digamos mercurio, tenga una den sidad p'. Al aplicar la ecuación de Bernoulli y la igualdad del flujo volumétrico en los puntos 1 y 2 , puede demos trarse (véase el problema 31) que la velocidad del flujo en el punto 1 es 2(P' ~p)gh p{A2 — a2) '
( 11)
El tubo de Pitot Este aparato (Fig. 10) se usa para medir la velocidad del flujo de un gas. Consideremos que el gas (por ejem plo, aire) fluye con una densidad p y una velocidad va paralelas a los planos de las aberturas en a. La presión en el brazo izquierdo del manómetro, que está conectado a estas aberturas, es entonces la presión estática en la línea de gas, pa. La abertura del brazo derecho del manómetro está en ángulo recto con la corriente. La velocidad se reduce a cero en b, y el gas está estancado en ese punto. Al aplicar la ecuación de Bernoulli a los puntos a y b, obtenemos Pa + hP< = Pb-
Sustituyendo la lectura p'gh del manómetro por la dife rencia de presión p b - pa, podemos resolver para va y obtener ( 12)
Este aparato puede calibrarse para que dé una lectura de va directamente. El indicador de la velocidad del aire que
La fuerza ascensional Es la fuerza que actúa sobre un cuerpo, como puede ser el ala de un aeroplano, una hidroala, o las aspas de un helicóptero, en virtud de su movimiento en el seno del fluido. Ésta es distinta a la fuerza ascensional estática, que es la fuerza de flotabilidad que actúa sobre un globo o sobre un iceberg de acuerdo con el principio de Arquíme des (sección 17-4). En el vuelo de una bola de béisbol, de una pelota de tenis, o de una pelota de golf tenemos ejemplos comunes de fuerza ascensional dinámica. Ésta, que se origina con la rotación de la pelota al volar, puede hacer que la pelota trace una curva o que ascienda o descienda con relación a una trayectoria parabólica. Puesto que el fluido (el aire en este caso) es un tanto viscoso, existe fricción a medida que la pelota avanza, y ésta tiende a transportar consigo una capa delgada de fluido llamada capafrontera. Vista desde el marco de reposo de una pelota que no gire, la velocidad del fluido desciende del valor más allá de la capa frontera (igual a la velocidad de vuelo de la pelota) a cero en la superficie de la pelota. La figura l i a muestra, en el marco de reposo de la pelota, líneas de comentes del flujo estacionario del aire al pasar por una pelota no rotatoria, a velocidades lo suficientemente bajas como para que no exista turbulen cia. La figura 116 muestra las líneas de corriente de aire que acompañan a una pelota que gira rápidamente. Sin la viscosidad y sin la capa frontera, la bola, al girar, no puede transportar así aire a su alrededor y esta circulación (como se le llama) no existiría. Las pelotas de golf son sistemáticamente rugosas gracias a los hoyuelos que tie nen para aumentar esta circulación y la fuerza ascensional dinámica que resulta de ello. Las bolas de béisbol a veces se raspan artificialmente (Lo cual no está permitido por las reglas del juego) por los lanzadores, por la misma razón.
Sección 18-4 Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli y de la ecuación de continuidad
( 6)
Figura 11 (a) Flujo de líneas de corriente alrededor de una pelota que no gira, (b) La circulación del aire alrededor de una pelota que gira, como consecuencia de la capa frontera. El espesor de la capa frontera se ha exagerado aquí a propósito, (c) Los efectos combinados de ambos movimientos. Partiendo de la ecuación de Bernoulli vemos que una fuerza ascensional dinámica actúa hacia arriba sobre la pelota. El fluido ejerce sobre la pelota una fuerza neta F que tiene una componente transversal al flujo del fluido (ascenso) y una componente paralela al flujo del fluido (arrastre).
La figura 11c muestra el efecto de combinar la circula ción (resultante de la rotación de la pelota) y el flujo estacionario (resultante de la traslación de la pelota por el aire). En el caso mostrado, las dos velocidades se suman en la parte de arriba de la pelota y se restan en la parte de abajo. A partir del espaciamento de las líneas de co rriente resultantes, vemos que la velocidad del aire debajo de la pelota es menor que la de encima de ella. Según la ecuación de Bernoulli, la presión del aire debajo de la pe lota debe entonces ser mayor que la de encima, de modo que la pelota experimenta una fuerza de sustentación dinámica. Esencialmente, una bola de béisbol lanzada se curva en su trayectoria por la misma razón. Por ejemplo, si la figura 11 representa una vista desde arriba de la bola que
449
gira mientras avanza hacia el bateador, el “ascenso” actúa en dirección hacia un lado para mover a la bola horizon talmente hacia el bateador o alejándose de él, como en el caso de una bola curva. Si la figura 11 representa una vista lateral, la bola es lanza con contragiro, como en el caso de una bola rápida. La fuerza ascensional actúa hacia arriba, provocado que la bola se eleve con relación a su trayec toria parabólica. La fuerza de asecenso que actúa sobre el ala de un aeroplano tiene una explicación parecida. La figura 12 muestra las líneas de corriente alrededor de un plano aerodinámico (o sección tranversal del ala) adosado a un aeroplano. Elijamos al aeroplano como marco de referen cia, como haríamos en el experimento en un túnel de viento, y supongamos que el aire se mueve de izquierda a derecha al pasar por el ala. Obsérvense las similitudes entre las figuras 12 y 1le. (De hecho, la explicación de la fuerza ascencional sobre el ala de un aeroplano implica una circulación similar a la Fig. 1 Ib.). El ángulo de ataque del ala provoca que el aire se desvíe hacia abajo. De la tercera ley de Newton la reac ción de esta fuerza hacia abajo del ala sobre el aire es una fuerza hacia arriba F, el ascenso, que el aire ejerce sobre el ala. Si bien la sola ecuación de Bernoulli no puede servir para predecir el patrón de las líneas de corriente alrededor de un plano aerodinámico, esta ecuación puede emplearse para verificar que sobre el plano aerodinámico se ejerce una fuerza de ascenso. Encima del ala (punto 1) las líneas de corriente están más cerca entre sí que lo están debajo del ala (punto 2). Entonces v, > v2y, según el principio de Bernoulli, p ] < p2, lo que debe ser así para que exista elevación.*
Empuje sobre un cohete Como ejemplo final calculemos el empuje sobre un cohete producido por el escape de los gases que expele. Consi deremos una cámara (Fig. 13) de sección transversal A llena de un gas de densidad p a una presión p. En el fondo de la cámara se encuentra un pequeño orificio de área de
* Para mayor información sobre cómo vuelan los aeroplanos, véase “The Science of Flight”, por Peter P. Wegener, American Scientist, mayo-junio de 1986, pág. 268. Véase también “Ber noulli’s Law and Aerodynamic Lifting Forcé”, por Klaus Weltner, The Physics Teacher, febrero de 1990, pág. 84. La fuerza ascensional dinámica se trata en “Physics and Sports: The Aerodynamics of Projectiles”, por Peter J. Brancazio, en Fun damentáis of Physics, 3a. edición, por David Halliday y Robert Resnick (Wiley, 1988). La fuerza ascencional dinámica puede emplearse también para proveer una fuerza horizontal que impulse a un navio; véase “The Flettner Ship”, por Albert Einstein, en Essays in Science (Philosophical Library, 1955), pág. 92.
450
Capítulo 18
Dinámica de los fluidos
Figura 12 Los líneas de corriente alrededor de un plano aerodinámico o ala de un aeroplano. La velocidad v„ del aire que se aproxima es horizontal, mientras que el aire que se aleja del plano aerodinámico tiene una velocidad v„ con una componente hacia abajo. El plano aerodinámico ha ejercido entonces una fuerza hacia abajo sobre el aire, y según la tercera ley de Newton, el aire debe haber ejercido por tanto una fuerza hacia arriba sobre el plano aerodinámico. Esta fuerza hacia arriba está representada por la fuerza ascensional F. sección transversal A 0. Deseamos hallar la velocidad v0 a la cual escapa el gas por el orificio. Escribamos la ecuación de Bemoulli (Ec. 8) así:
y al usar la ecuación 14 el empuje es v0 ^ = 2 A 0( p - Po).
(15)
P ~ P o = Pg(yo - y) + 4/>(” o - v 2),
donde p0 representa a la presión atmosférica justamente afuera del orificio. En un gas la densidad es tan pequeña que podemos despreciar la variación de presión por la altura de la cámara, lo que nos da P - P o = ÍP(Vo - v2) o 7( n
— n„">
(13) donde v es la velocidad del gas que fluye dentro de la cámara y v0es la velocidad del gas que pasa por el orificio. Si bien un gas es compresible y el flujo puede volverse turbulento, podemos considerar al flujo como estaciona rio e incompresible para presiones y velocidades de salida que no sean demasiado grandes. Supongamos ahora una continuidad en el flujo de masa (en el motor de un cohete esto se consigue cuando la masa del gas que escapa es igual a la masa del gas que se origina al quemar el combustible), de modo que (para una densi dad supuesta constante)
18-5 CAMPOS DE FLUJO (Opcional) En la sección 16-7 vimos cómo representar la situación en las proximidades de las masas al usar un campo gravitatorio. Cada punto del campo puede considerarse como si tuviera un vector asociado con él, digamos, g, la fuerza gravitatoria por unidad de masa en ese punto. Podemos llevar a cabo una representación gráfica del campo trazando líneas en dirección del campo cuyo espaciamiento sea proporcional a la intensidad del campo. Emplearemos un enfoque similar cuando estudiemos el campo eléctrico en el capítulo 28. Del mismo modo, en la dinámica de los fluidos podemos resumir la situación dentro de un fluido en movimiento por medio de un campo de flujo. En general, el campo de flujo es un campo vectorial. Asociamos una cantidad vectorial a cada
Av = A0v0. Si el orificio es muy pequeño de modo que A0 « A , entonces v0 » v , y podemos despreciar a y 2 en compara ción con v o en la ecuación 13. De aquí que la velocidad de escape sea vo = y¡
2 (p - Po)
(14)
Si nuestra cámara es la cámara de escape de un cohete, el empuje sobre el cohete (sección 9-8) es vQdM/dt. Pero la masa del gas que fluye hacia afuera en el tiempo dt es dM = pA0v0 dt, de modo que dM A 2 vo~¿j~ = v0pA0v0 = pA0v l
Figura 13 Corriente de fluido que se sale de una cámara, que podría representar a la cámara de escape de un cohete.
Sección 18-5
Campos de flujo (Opcional)
Figura 14 Líneas de corriente (líneas horizontales) en un campo de flujo no viscoso, homogéneo.
punto en el espacio, es decir, la velocidad de flujo v en ese punto. En un flujo estacionario el campo de flujo es estacionario. Por supuesto, aun en este caso, determinada partícula de fluido en particular puede incluso tener una velocidad variable al mover se de punto a punto del campo. El campo ofrece algunas de las propiedades del flujo, y podemos usarlo para deducir el com portamiento de las partículas en movimiento.* Una masa de fluido puede siempre, al fluir, dividirse en tubos de flujo. Cuando el flujo es estacionario, los tubos permanecen sin cambiar de forma, y el fluido que ya está en un tubo permanece a partir de entonces adentro del mismo tubo. Hemos visto que la velocidad del flujo dentro de un tubo de flujo es paralela al tubo y tiene una magnitud inversamente proporcio nal al área de la sección transversal (Ec. 2). Asignemos seccio nes transversales a los tubos de modo que la constante de proporcionalidad sea la misma para todos ellos; de ser posible tomaremos a esta constante como la unidad. Es decir, el flujo volumétrico es el mismo para todos los tubos, es decir, un flujo unitario. Entonces la magnitud de la velocidad de flujo puede ser determinada a partir de las áreas de las secciones transversales de los tubos de flujo. Existe otro procedimiento equivalente a éste que consiste en colocar un área unitaria perpendicular a la dirección de flujo y trazar a través de él tantas líneas de corriente como el número de unidades de magnitud de la velocidad en ese punto. Consideremos algunos ejemplos de campos de flujo. Para propósitos de trazo tomaremos en cuenta únicamente dos ejem plos bidimensionales. En ellos, la velocidad de flujo es la misma en todos los puntos de una línea perpendicular al plano en cualquier punto. En la figura 14 hemos trazado un campo deflujo homogéneo, igual que el que podría existir en el flujo estacionario, no viscoso de un líquido por un tubo con paredes interiores lisas. Aquí todas las líneas de corriente son paralelas, y la velocidad de flujo v es la misma en todos los puntos. En la figura 15 mostramos un campo de flujo rotatorio uniforme, tal como el que se produciría haciendo girar a una cubeta de agua sobre una mesa giratoria (véase el problema 29, capítulo 17). Aquí v es proporcional a r, porque la velocidad angular co es constante. En la figura 16 trazamos el campo de flujo de un torbellino (o remolino), tal como el que podría obtenerse al destapar una bañera llena de agua. En este caso v es proporcional a 1¡r, porque el ímpetu angular L = mvr es
* Si el flujo es no rotatorio al mismo tiempo que estacionario, lo denominamos flujo potencial. Entonces, la velocidad de flujo v puede ser relacionada con un potencial de velocidad y/y del mismo modo que, en la gravitación, g puede ser relacionada con el potencial gravitatorio V (véase la sección 16-7). De aquí que un campo vectorial para el flujo potencial sea análogo a un campo de una fuerza conservativa.
:(á)
Figura 15 (a) Campo de flujo rotatorio uniforme. (b) Variación de la velocidad del fluido a partir del centro.
(a)
(*) Figura 16 (a) Campo de flujo de un torbellino. (¿) Variación de la velocidad del fluido a partir del centro.
451
452
Capítulo 18 Dinámica de los fluidos
(a)
Figura 17 (a) Flujo de una fuente lineal. (b) Mapa del flujo del fluido a partir de una fuente lineal. El mapa se forma permitiendo que el agua fluya entre una capa horizontal de vidrio laminado y una capa horizontal de yeso. El agua pasa por un orificio en el centro y sale fluyendo hacia los bordes. La dirección del flujo se hace visible rociando al yeso con cristales de permanganato de potasio, el cual se disuelve en el agua y la tiñe de color púrpura. El mapa del flujo del fluido fue elaborado y fotografiado por el profesor A. D. Moore en la Universidad de Michigan y está tomado de Introduction to Electric Fields, por W. E. Rogers (McGraw-Hill, 1954).
constante, y el flujo es no rotatorio (véase el problema 36). Nótese que tanto la rotación uniforme como el movimiento de un torbellino se representan con líneas de corriente circulares pero son clases de flujo por completo diferentes. Obviamente, las formas de las líneas de la corriente dan sólo una información limitada; es necesario conocer también su espaciamiento. La figura 17 representa el campo de flujo de una fuente. Todas las líneas de corriente se dirigen hacia afuera en forma radial. La fuente es una línea que pasa por el centro perpendi cular al papel. La intensidad de una fuente se especifica dando la masa por la unidad de tiempo de emisión. El campo de flujo alrededor de un sumidero lineal es el mismo que el de una fuente excepto por el signo del flujo, que se dirige radialmente hacia adentro.
Figura 18 (a) Flujo bipolar lineal, cuya fuente se halla a la izquierda; el sumidero está a la derecha, (tí) Mapa del flujo del fluido en un bipolo lineal, construido como se describe para la figura 17.
En una fuente lineal y en un sumidero lineal que tengan las mismas fuerzas y estén ligeramente separados, obtenemos el campo combinado llamado flujo bipolar lineal, que se muestra en la figura 18. Según veremos más adelante, el campo electrostático, el campo magnético, y el campo de flujo de una corriente eléctrica son también campos vectoriales. En este aspecto, el campo homogéneo (Fig. 14) corresponde al campo eléctrico de un condensador (o capacitor) plano, el campo de la fuente o el campo del sumidero (Fig. 17) corresponden al campo eléctrico de un condensador cilindrico o a un alambre recto de carga positiva o negativa, respectivamente, y el campo bipolar lineal (Fig. 18) corresponde al campo eléctrico de dos alambres opues tamente cargados. En todos ellos el campo de flujo es un flujo potencial, y los campos eléctricos son conservativos. El campo homogéneo de la figura 14 representa también al campo magnético dentro de un solenoide. El campo verti ginoso de la figura 16 representa al campo magnético alrededor de un alambre recto portador de corriente. Este último es un ejemplo de campo que es rotatorio (respecto al eje del verti ginoso). A causa de estas analogías entre el campo fluido y el electro magnético, a menudo podemos determinar un campo de flujo difícil de calcular por los métodos matemáticos actuales, por
Sección 18-6
Figura 19 Un fluido viscoso llena el espacio entre dos placas planas separadas por una distancia D. La placa inferior está en reposo y la placa superior se mueve hacia la derecha con una fuerza constante F. La velocidad de cada capa de fluido disminuye uniformemente desde la placa superior hasta la placa inferior.
medio de mediciones experimentales en aparatos eléctricos apropiados. Como hemos visto a lo largo de este capítulo, las ideas básicas del campo y los principios de conservación hallan aplicación en muchas áreas de la física, y nos encontraremos con ellos muchas veces más todavía. ■
18-6 VISCOSIDAD, TURBULENCIA, Y FL U JO C A Ó T IC O (O pcional) La viscosidad en el flujo de los fluidos es similar a la fricción en el movimiento de los cuerpos sólidos. Al deslizar a un cuerpo sólido sobre otro, debemos proporcionar una fuerza externa F que se oponga a la fuerza de rozamiento f si queremos mante ner al cuerpo en movimiento a velocidad constante. En el caso del movimiento de los fluidos podemos considerar a un fluido entre dos placas paralelas, como se ilustra en la figura 19. Una fuerza F está aplicada a la placa superior, de modo que esté en movimiento a velocidad constante v respecto a la placa infe rior, la cual suponemos está en reposo. La fuerza F se opone al arrastre viscoso de la placa superior para mantener constante su velocidad. Podemos imaginar que el fluido está dividido en capas para lelas a las placas. La viscosidad actúa no solamente entre el fluido y la placa superior, sino entre cada capa de fluido y sobre las capas adyacentes. La velocidad de cada capa difiere en una
TABLA 1 VISCOSIDAD DE UNA SELECCION DE FLUIDOS Fluido Glicerina (20° C) Aceite para motoresf (0o C) Aceite para motorest (20° C) Sangre (37° C) Agua (20° C) Agua (90° C) Gasolina (20° C) Aire (20° C) C 02(20° C) f Peso medio (S.A.E. 30).
r¡(N ■s/m2) 1.5
0.11
0.03 4.0 x 10-3 1.0 x IO'3
0.32 x IO'3 2.9 x IO'4 1.8 x IO'5 1.5 x IO'5
Viscosidad, turbulencia, y flujo caótico (Opcional)
453
Figura 20 El fluido fluye por un tubo cilindrico de radio R. Se muestra la variación en la velocidad desde la pared hasta el centro.
cantidad dv de la velocidad de la que está bajo ella. El flujo del fluido en el que la velocidad varía capa a capa se denomina flujo estacionario. En esta exposición, suponemos que la capa de fluido más alta tiene la misma velocidad v que la placa de arriba y que la capa de fluido del fondo tiene la misma velocidad que la placa del fondo, es decir, cero. Por analogía con el esfuerzo cortante aplicado a los sólidos (Sec. 14-5), podemos definir que el esfuerzo cortante sobre el fluido es F/A, donde A es el área de la capa de fluido. Un sólido puede responder a este esfuerzo cortante con un cambio en su forma (la deformación al corte, la cual es un desplazamiento lateral a través de cada capa), pero un fluido responde mediante el movimiento, o sea, mediante un cambio de velocidad dv a través de cada capa de espesor dy. La razón entre el esfuerzo y la deformación en el fluido se llama coeficiente de viscosidad q (letra griega eta) del fluido: F/A (16) dv/dy ' Según nuestra hipótesis de que la capa superior se mueve a velocidad v y que la capa del fondo lo hace a v = 0, el gradiente de velocidad dv/dy es simplemente v. donde D es el espaciamiento entre las dos placas. Así, F/A _ FD v/D vA
(17)
La unidad SI de la viscosidad es el N •s/m2. La unidad cegesimal equivalente es la dina ■s/cm2, llamada poise. (La unidad recibe el nombre en memoria del fisiólogo francés Jean-Louis-Marie Poiseuille, quien fue el primero en investigar el flujo de los fluidos viscosos por de tubos, como una ayuda para entender la circulación de la sangre.) Al comparar estas unidades vemos que 1 poise = 0.1 N ■s/m2. La tabla 1 muestra algunss valores típicos de la viscosidad de los fluidos. Una aplicación práctica de la viscosidad tiene lugar en el flujo de fluidos en tuberías cilindricas. El flujo es de nuevo estacio nario, pero en este caso las capas del fluido son cilindros de paredes delgadas de radios diversos. La velocidad del flujo varía con el radio; su valor máximo se da en el eje y su valor mínimo, que suponemos es cero, en las paredes (Fig. 20). Nótese que el flujo ilustrado en la figura 20 es rotatorio, aunque los elementos del fluido viajen en línea recta. Si colocásemos una pequeña rueda de paletas en cualquier parte del flujo, excepto a lo largo de la línea de corriente central, se pondría a girar debido a la variación en la velocidad de las partículas fluidas que inciden en sus paletas. En el caso de un tubo cilindrico, como se muestra en la figura 20, la variación de la velocidad con la posición a lo largo del tubo no es lineal. Suponiendo, una vez más, que la capa cercana a las paredes esté en reposo, puede demostrarse que la velocidad en el cuerpo cilindrico de radio r es (véase el problema 41)
454
Capítulo 18
Dinámica de los fluidos
( 18)
donde v0es la velocidad en el centro del tubo. En términos de la diferencia de presión A pa largo de la longitud L del tubo, la velocidad central es Ap R2 (19) 4t]L Al considerar el flujo en cada cuerpo cilindrico delgado, pode mos demostrar (véase el problema 42) que el flujo de masa total dmldt (la masa del fluido que fluye por el tubo por unidad de tiempo) es dm __ pnR4Ap ( 20) dt $t]L Este resultado se conoce como la ley de Poiseuille. Conociendo el coeficiente de viscosidad del fluido, podemos entonces de terminar la diferencia de presión que debe proveer un agente externo (una bomba, quizás) para mantener determinado flujo de masa en el tubo. En forma equivalente, si forzamos al fluido a lo largo de un tubo con una diferencia de presión conocida, la medición del flujo de masa nos permite determinar el coeficien te de viscosidad del fluido. La viscosidad en los líquidos se origina por las fuerzas de cohesión intermoleculares. Al aumentar la temperatura, el coe ficiente de viscosidad de un líquido disminuye, porque la ener gía cinética creciente de las moléculas debilita el efecto de las fuerzas intermoleculares. Al contrario, en los gases la viscosi dad aumenta con el aumento de la temperatura, porque las propias moléculas pueden desplazarse entre las capas. A tem peraturas más elevadas, existe más movimiento molecular y por lo tanto más mezclado. Sin embargo, nótese que en un tubo existen siempre más moléculas lentas cerca de las paredes que moléculas rápidas cerca del eje central, de modo que mayor mezcla significa siempre más moléculas lentas que se mueven hacia el eje e impiden el movimiento de las moléculas que se mueven más rápidamente. (El efecto es parecido al del tráfico lento cuando se mezcla en el carril rápido de una carretera.)
Figura 21 El humo que asciende tiene primeramente un flujo estacionario, pero no tarda en convertirse en turbulento.
Los aceites pesados tienen típicamente viscosidades dentro de ___________________ este margen.
Turbulencia Problema muestra 3 Por un tubo de sección transversal cir cular se bombea aceite de castor, el cual tiene una densidad de 0.96 x 103kg/m3a la temperatura ambiente, por medio de una bomba que mantiene una presión de medición de 950 Pa. El tubo tiene un diámetro de 2.6 cm y una longitud de 65 cm. El aceite de castor que sale por el extremo libre del tubo a la presión atmosférica se junta en un recipiente. Después de 90 s, se ha juntado un total de 1.23 kg. ¿Cuál es el coeficiente de viscosidad del aceite de castor a esta temperatura? Solución El flujo de masa es dm _ 1.23 kg : 0.0137 kg/s. dt 90 s El coeficiente de viscosidad puede obtenerse ahora directamen te de la ecuación 20 si resolvemos primero para r¡, que nos da pnR4 Ap _ (0.96 X 103kg/m>(0.013 m)4(950 Pa) %{dm/dt)L ~ 8(0.0137 kg/s)(0.65 m) = 1.15 N •s/m2.
Después de elevarse a corta distancia, la columna suave de humo de un cigarrillo se fragmenta en un patrón irregular y en apariencia caprichoso (Fig. 21). De modo similar, una corriente de fluido que pase a través de un obstáculo se rompe en remo linos y torbellinos (Fig. 22), que dan al flujo componentes de velocidad irregulares transversales a la dirección del flujo. Un ejemplo de este caso es el ondear de una bandera al viento: si el flujo de aire fuese estacionario, la bandera ocuparía una posi ción fija a lo largo de las líneas de corriente, pero el asta rompe el flujo en un patrón irregular parecido al de la figura 22, que da origen al movimiento de aleteo transversal de la bandera. Éstos son ejemplos de un flujo turbulento del fluido. Otros ejemplos incluyen las estelas dejadas en el agua por el movi miento de los buques y en el aire por el movimiento de los automóviles y de los aeroplanos. Los sonidos producidos por el silbido y por los instrumentos de viento son consecuencia del flujo turbulento del aire. En un fluido viscoso, el flujo a baja velocidad puede descri birse como estacionario, lo cual sugiere que las capas se deslizan suavemente una sobre otra. Cuando la velocidad del flujo es suficientemente grande, el movimiento se vuelve desordenado e irregular; esto es el flujo turbulento. Una analogía de la mecánica es un bloque empujado a lo largo de una superficie
Sección 18-6
455
Viscosidad, turbulencia, y flujo caótico (Opcional) Fluido
c-.¡ >n C. r
a
Figura 22 El fluido que corre de izquierda a derecha luego de pasar un obstáculo cilindrico claramente sufre un cambio de estacionario a turbulento. Nótense los remolinos y torbellinos que se forman corriente abajo a partir del obstáculo.
rugosa. Si la fuerza de fricción es pequeña, el bloque se deslizará por la superficie si la fuerza aplicada F es por lo menos tan grande como la fuerza de fricción /. Si la fuerza de fricción fuese mayor, la fuerza aplicada F deberá también ser mayor, llegando a ser al final lo suficientemente grande como para volcar el bloque. La volcadura del bloque es la analogía de la transición del flujo estacionario al flujo turbulento. Podemos determinar la velocidad crítica a la cual el flujo se convierte en turbulento por medio de un análisis dimensional. Hagamos que uc represente la velocidad crítica, la cual consi deramos que sea un promedio en el tubo porque, como lo sugiere la figura 20, la velocidad varía en la sección transversal del tubo. Esperamos que esta velocidad crítica dependa de la viscosidad rj y de la densidad p del fluido y del diámetro D del tubo. Usando nuestra técnica usual de análisis dimensional, procedemos co mo sigue: vc« rfpbDc [i>J = W ] [ p bW c]
LT-‘ = (M L -‘T - 1)‘,(ML-3)*(L)C,
Figura 23 Aparato experimental para medir la viscosidad de los fluidos. El fluido se coloca entre los dos cilindros, estando fijo el cilindro exterior y girando el cilindro interior a una velocidad angular a>. La torca necesaria para hacer girar al cilindro interior a esta velocidad angular está determinada por la viscosidad del fluido.
En esta interpretación, el número de Reynolds puede utilizarse para caracterizar a cualquier flujo, y podemos determinar por experimentación el valor del número de Reynolds para el cual el flujo se convierte en turbulento. En tubos cilindricos, el número de Reynolds que correspon den a la velocidad crítica es de alrededor de 2000. Así, para el agua que fluya por una tubería de 2 cm de diámetro (la típica manguera de jardín casera, por ejemplo), la velocidad crítica es . =
2000
1 X 10“3N-s/m 2 = 0.1 m/s = 10 cm/s. ( 103kg/m3)(0.02 m)
Ésta es una velocidad bastante baja, lo cual sugiere que el flujo del agua es turbulento en una tubería doméstica ordinaria. (La velocidad de flujo de un grifo doméstico típico es de alrededor de 1 m/s.) Nótese de la ecuación 21 que la velocidad de flujo crítica aumenta con la viscosidad. Esto es, cuanto más grande sea el rozamiento viscoso ejercido por el fluido circundante, con más probabilidad el flujo será estacionario.
donde las dimensiones de la viscosidad han sido obtenidas a partir de sus unidades de N • s/m2. Resolviendo, obtenemos a = 1,
b = —1,
c = —1.
Flujo caótico
Entonces, la velocidad crítica puede escribirse: vca p D ’ o, introduciendo una constante de proporcionalidad R, R
pD
( 21)
La constante sin dimensión R se denomina número de Reynolds. Resolviendo la ecuación 21 para R, podemos escribir el número de Reynolds para cualquier velocidad del flujo u como: R=
pDv
( 22)
La geometría de la figura 19 no es particularmente conveniente para medir la viscosidad. La figura 23 muestra un dispositivo más conveniente. El espacio entre cilindros coaxiales está lleno con el fluido cuya viscosidad está por determinarse. Se hace que el cilindro interior gire, mientras se mantiene fijo al cilindro exterior. Puede determinarse la viscosidad del fluido a partir de la fuerza necesaria para mantener girando al cilindro interior a una velocidad constante. Para velocidades rotatorias pequeñas, el flujo en la figura 23 será estacionario y laminar. Al aumentar la velocidad rotatoria del cilindro interior, el flujo acaba por ser turbulento. Podemos observar que la transición de flujo estacionario a flujo turbulen to se lleva a cabo de manera ordenada. La figura 24 muestra dos etapas intermedias. Primeramente el fluido forma torbellinos toroidales (un poco similar a un montón de donas apiladas) y
456
Capítulo 18 Dinámica de los fluidos
Figura 24 Cuando la velocidad del fluido en el aparato de la figura 23 excede a la velocidad crítica, el flujo se vuelve inestable y se rompe en (a) torbellinos toroidales y luego en (b) ondas sobreimpuestas a los torbellinos.
luego se manifiesta con un patrón de ondas de frecuencia definida que se superpone a los torbellinos. Al continuar cre-
ciendo la velocidad de rotación, aparecen ondas con nuevas frecuencias. Podemos imaginar que el flujo turbulento es la ampliación de este movimiento que incluye tantas componentes de frecuencia que parece que el movimiento se vuelve comple tamente desordenado y confuso (algo así como el ruido electró nico). Puede existir una estructura periódica subyacente, pero es demasiado compleja para seguirla. La teoría del caos (véase la Secc. 6-9) adquiere un enfoque diferente para explicar el surgimiento de la turbulencia. El movimiento turbulento que resulta de la teoría del caos es verdaderamente aperiódico, no simplemente la combinación de un gran número de movimientos periódicos. Existe una distin ción crítica entre estos dos casos. Si la transición de flujo estacionario a flujo turbulento tiene lugar por medio de una sucesión de movimientos periódicos ordenados, entonces dos partículas de fluido que se muevan en forma parecida en el flujo estacionario permanecerán en estados de movimiento relacio nados íntimamente durante la transición al flujo turbulento. Sin embargo, si la condición intermedia puede describirse como caótica, entonces el movimiento deja de ser susceptible de predicción y las dos partículas pueden hallarse en el flujo turbulento en estados de movimiento muy diferentes. La teoría del caos, aplicable a una amplia variedad de sistemas físicos, proporciona una base teórica alterna para entender sistemas complejos como el movimiento turbulento de los fluidos. ■
PREGUNTAS 1. Describa brevemente lo que significa cada uno de los conceptos siguientes e ilústrelos con un ejemplo: (a) flujo de fluido estacionario; (b) flujo de fluido no estacionario; (c) flujo de fluido rotatorio; (d) flujo de fluido no rotato rio; (e) flujo de fluido compresible; (f) flujo de fluido incompresible; (g) flujo de fluido viscoso; (h) flujo de fluido no viscoso. 2. Explique las variaciones de presión de la sangre al circular por el organismo. 3. Expliquer cómo mide un médico la presión sanguínea. 4. En el flujo estacionario, el vector de la velocidad es cons tante en cualquier punto. ¿Puede existir entonces un mo vimiento acelerado de las partículas del fluido? Explique. 5. Describa las fuerzas que actúan sobre un elemento de fluido al correr por una tubería de sección transversal no uniforme. 6. En una demostración en el aula, una pelota de ping pong se mantiene en el aire por medio de un chorro vertical de aire. ¿Es el equilibrio estable, inestable, o neutro? Explique. 7. La altura del líquido en los tubos derechos de la figura 25 indica que la presión disminuye a lo largo del conducto,
aun cuando éste tenga una sección transversal uniforme y el líquido que fluye sea incompresible. Explique.
Figura 25 Pregunta 7.
8. Explique por qué una chimenea más alta crea un mejor tiro para extraer el humo fuera del hogar. ¿Por qué no se extiende el humo en el recinto en que se halla el fuego? 9. (a) Explique cómo puede hacer un lanzador de béisbol que la bola se curve a su derecha o a su izquierda. ¿Podemos justificarlo aplicando la ecuación de Bernoulli a una bola que gire así? (Véase “Bernoulli and Newton in Fluid Mechanics”, por Norman F. Smith, The Physics Teacher, noviembre de 1972, pág. 451.) (b) ¿Por qué es más fácil
Preguntas
10.
11.
12.
13. 14. 15.
16.
17.
18. 19.
20.
21. 22.
23.
24.
lograr una curva con una pelota de tenis que con una bola de béisbol? No solamente puede hacerse que una bola de superficie rugosa se curve al lanzarla sino también una bola lisa, pero estas bolas se curvarán en direcciones opuestas. ¿Por qué? (Véase “Effect of Spin and Speed on the Curve of a Baseball and the Magnus Effect for Smooth Spheres”, por Lyman J. Briggs, American Journal of Physics, noviembre de 1959, pág. 589.) Dos lanchas de remos que se mueven paralelamente entre sí y en la misma dirección son arrastradas una hacia la otra. Dos automóviles que se muevan paralelamente también son arrastrados entre sí. Explique tal fenómeno con base en la ecuación de Bernoulli. Al construir los “rascacielos”, ¿qué fuerzas producidas por el movimiento del aire deben ser contrarrestadas? ¿Cómo se hace esto? (Véase “The Wind Bracing of Buildings”, por Cari W. Condit, Scientific American, febrero de 1974, pág. 92.) Explique, mediante la ecuación de Bernoulli, la acción de un paracaídas para retardar la caída libre. ¿Por qué se vuelve más angosta la corriente de agua al salir por un grifo? ¿Puede usted explicar por qué el agua fluye en corriente continua cuando corre por un tubo vertical hacia abajo, mientras que se divide en gotas al caer libremente? ¿Cómo trabaja la descarga de un excusado? En la realidad. (Véase Flushed with Pride: The Story of Thomas Crapper , por W. Reyburn, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1969.) A veces, es posible sacar una carta del sobre cortando una tira delgada del lado estrecho, sujetándolo firmemente, y soplando hacia él. Explique, empleando la ecuación de Bernoulli, por qué tiene éxito este procedimiento. ¿Sería mejor que un aeroplano al despegar se moviese contra el viento o con el viento? ¿Y al aterrizar? Explique cómo depende la diferencia de presión entre las superficies baja y alta del ala de un aeroplano de la altitud del plano que se mueve. La acumulación de hielo en el ala de un aeroplano puede reducir significativamente su fuerza ascensional. Expli que. (El peso del hielo no es lo que aquí importa.) ¿Cómo es que un aeroplano puede volar “panza” arriba? “La forma de plátano característica de la mayoría de los bumerangs no tiene mucho que ver con su capacidad de retomo... La cuestión esencial consiste en la sección transversal de los brazos, la cual debe ser más convexa en un lado que en el otro, como en el perfil del ala de un aeroplano. (De “The Aerodynamics of Boomerangs”, por Félix Hess, Scientific American, noviembre de 1968, pág. 124.) Explique. ¿Cómo se impulsan los pájaros para remontar el vuelo? (Véase “The Soaring Flight of Birds”, por C. D. Cone, Jr., Scientific American, abril de 1962, pág. 130.) ¿Por qué aparece el factor “2” en lugar del factor “ 1”? Uno podría ingenuamente esperar que el empuje fuera simple mente la diferencia de presión multiplicada por el área, esto es, A„( p - p0).
457
25. Explique por qué el efecto destructivo de un tornado es mayor cerca del centro de la perturbación que cerca del borde. 26. Cuando se retira el tapón de una tina llena, el agua se cuela por el orificio mientras forma un pequeño remolino. La velocidad angular de un elemento de fluido en torno a un eje vertical que pase por el orificio parece ser más grande cerca del orificio. Explique. 27. ¿Es verdad que en las bañeras situadas en el hemisferio norte el agua se drena con una rotación en sentido antiho rario y en las del hemisferio sur lo hacen en sentido horario? De ser así, explique y prediga lo que pasaría en el ecuador. (Véase “Bath-Tub Vortex”, por Ascher H. Shapiro, Nature, diciembre 15, 1962, pág. 1080.) 28. Explique por qué no es posible retirar el filtro de papel del embudo de la figura 26 soplando por el extremo angosto.
Figura 26 Pregunta 28.
29. De acuerdo con la ecuación de Bernoulli, un aumento de velocidad debe estar asociado a una disminución de la presión. Sin embargo, cuando ponemos la mano fuera de la ventanilla de un automóvil en movimiento, aumen tando la velocidad a la cual fluye el aire, sentimos un aumento de presión. ¿Por qué no es esto una violación de la ecuación de Bernoulli? 30. ¿Por qué la presencia de la atmósfera reduce el alcance máximo de ciertos objetos (por ejemplo, las pelotas de tenis) pero aumenta el alcance máximo de otros (por ejemplo, los discos voladores o las pelotas de golf)? 31. Un disco puede llegar más lejos lanzado contra un viento de 25 mi/h que a favor del viento. ¿Cuál es la explicación? (Sugerencia: Piense en la fuerza ascensional dinámica y en el arrastre.) 32. Explique por qué las pelotas de golf tienen hoyuelos. 33. Cuanto más largo sea el tablón y haya menos profundidad en el agua, más lejos se deslizará una tabla para flotar sobre las olas (surf board). Explique. (Véase “The Surf Skimmer”, por R. D. Edge, American Journal of Physics, Julio de 1968, pág. 630.) 34. Si se vierte de una tetera, el agua tiene una tendencia a salir a lo largo del borde inferior de la boca de salida. Explique. (Véase “The Teapot Effect... a Problem)”, por Markus Reiner, Physics Today, septiembre de 1956, pág. 16.) 35. Las marmotas viven en colonias grandes en sistemas complejos de madrigueras interconectadas. Encaran el problema de mantener en sus madrigueras un abasteci miento de aire suficiente para evitar la asfixia. La evitan construyendo montículos cónicos de tierra sobre algunas de sus muchas aberturas de madriguera. En términos de la ecuación de Bernoulli, ¿cómo trabaja este esquema de aire
458
Capítulo 18 Dinámica de los fluidos
acondicionado? Obsérvese que, debido a las fuerzas vis cosas, la velocidad del viento en la pradera está menos cerca del nivel del suelo de lo que lo está incluso a unas cuantas pulgadas más arriba. (Véase New Scientist, enero 27, 1972, pág. 191.) 36. La viscosidad es un ejemplo de un fenómeno de transpor te. ¿Qué propiedad está siendo transportada? ¿Puede usted pensar en otros fenómenos de transporte y en sus propie dades correspondientes?
37. En tiempo de frío, ¿por qué recomiendan los fabricantes de automóviles emplear aceites “multigrado” (multiviscosidad) para el motor? 38. ¿Por qué es más importante tener en cuenta la viscosidad en un fluido que circula por un conducto angosto que en un conducto relativamente sin restricción? 39. La viscosidad puede retrasar la presencia de turbulencia en el flujo de los fluidos; es decir, tiende a estabilizar el flujo. Considere el jarabe y el agua, por ejemplo, y encuen tre una explicación aceptable.
PROBLEMAS Sección 18-2 Trayectoria de una corriente y la ecuación de continuidad 1. Un tubo de 34.5 cm de diámetro conduce agua que circula a razón de 2.62 m/s. ¿Cuánto tiempo le tomará descargar 1600 m3de agua? 2. Una manguera de jardín que tiene un diámetro interno de 0.75 in está conectada a un aspersor que consta simple mente de un accesorio con 24 orificios, cada uno de 0.050 in de diámetro. Si el agua de la manguera tiene una velocidad de 3.5 ft/s, ¿a qué velocidad sale por los orificios del aspersor? 3. La figura 27 muestra la confluencia de dos corrientes que forman un río. Una corriente tiene una anchura de 8.2 m, una profundidad de 3.4 m, y una velocidad de 2.3 m/s. La otra corriente tiene 6.8 m de anchura, 3.2 m de profundi dad, y fluye a razón de 2.6 m/s. La anchura del río es de 10.7 m y la velocidad de su corriente es de 2.9 m/s. ¿Cuál es su profundidad?
Figura 27 Problema 3.
4. Se bombea continuamente agua que se extrae de un sótano inundado con una velocidad de 5.30 m/s por medio de una manguera uniforme de 9.70 mm de radio. La manguera pasa por una ventana situada a 2.90 m sobre el nivel del agua. ¿Cuánta potencia proporciona la bomba? 5. Un río de 21 m de anchura y 4.3 m de profundidad irriga una superficie de 8500 km2donde la precipitación (plu
vial) promedio es de 48 cm/año. Una cuarta parte de ésta regresa posteriormente a la atmósfera por evaporación, pero el resto corre finalmente por el río. ¿Cuál es la velocidad promedio de la corriente del río? 6. Las corrientes de las mareas en los canales angostos que unen a las bahías costeras con el océano pueden ser muy rápidas. El agua debe fluir hacia la bahía al elevarse la marea y salir de nuevo al mar durante la bajamar. Consi dere la bahía rectangular mostrada en la figura 28a. La bahía está unida al mar por medio de un canal de 190 m de anchura y 6.5 m de profundidad respecto al nivel medio del mar. La gráfica (figura 28b) muestra la variación diurna del nivel del agua en la bahía. Calcule la velocidad promedio de la corriente de las mareas en el canal. Sección 18-3 La ecuación de Bernoulli 7. ¿Cuánto trabajo efectúa la presión al bombear 1.4 m3de agua por un tubo de 13 mm de diámetro interno si la diferencia de presión entre los extremos del tubo es de 1.2 atm? 8. La toma de agua de una presa (véase la Fig. 29) tiene un área de sección transversal de 7.60 ft2. El agua fluye en ella a una velocidad de 1.33 ft/s. En la planta de generación que está situada a 572 ft abajo del punto de toma, el agua fluye a razón de 31 ft/s. (a) Halle la diferencia de presión, en lb/in2, entre la toma y la descarga. (b) Halle el área del tubo de descarga. La densidad promedio del agua es de 62.4 lb/ft3. 9. A veces, se prueban modelos de torpedos en un tubo horizontal por el que fluye el agua, muy similar al túnel de viento que se emplea para probar modelos de aeropla nos. Considere un tubo circular de 25.5 cm de diámetro interno y un modelo de torpedo, alineado a lo largo del eje del tubo, con un diámetro de 4.80 cm. El torpedo va a ser probado con agua que circula a razón de 2.76 m/s. (a) ¿A qué velocidad deberá fluir el agua en la parte no reducida del tubo? (b) Halle la diferencia de presión entre la parte no reducida y la parte reducida del tubo. 10. Por una tubería con un área de la sección transversal de 4.20 cm2circula el agua a una velocidad de 5.18 m/s. El agua desciende gradualmente 9.66 m mientras que el área
Problemas
459
Tiempo (h)
12.5 h
(b) Presa
Figura 28 Problema 6. 15. La figura 30 muestra un líquido que está siendo descarga do por un orificio practicado en un tanque grande y situado a una distancia h bajo la superficie del líquido. El tanque está abierto por arriba. (a) Aplique la ecuación de Bemoulli a una línea de corriente líquida que una a los puntos 1, 2, y 3, y demuestre que la velocidad de salida es v = 'Jlgh.
Figura 29 Problema 8.
del tubo aumenta en 7.60 cm2. (a) ¿Cuál es la velocidad del flujo en el nivel inferior? (£>) La presión en el nivel superior es de 152 kPa; halle la presión en el nivel inferior. 11 . Supóngase que dos tanques, 1 y 2, cada uno con una gran abertura en la parte superior, contienen líquidos diferen tes. Se practica un pequeño orificio en el costado de cada tanque a la misma profundidad h debajo de la superficie del líquido, pero el orificio del tanque 1 tiene la mitad del área de sección transversal que tiene el orificio del tanque 2. (a) ¿Cuál es la razón p jp 2 de las densidades de los fluidos si se observa que el flujo de masa es el mismo a través de los dos orificios? (b) ¿Cuál es la razón de los flujos volumétricos de los dos tanques? (c) Se desea igualar los dos flujos añadiendo o drenando fluido en el tanque 2. ¿Cuál sería la nueva altura del fluido sobre el orificio del tanque 2 para hacer que la cantidad de flujo en el tanque 2 sea igual a la del tanque 1? 12. Durante un huracán está soplando aire (densidad =1.2 kg/m3) sobre el tejado de una casa a una velocidad de 110 km/h. (a) ¿Cuál es la diferencia de presión entre el interior y el exterior que tiende a levantar el tejado? (b) ¿Cuál sería la fuerza ascensional en un tejado de 93 m2de área? 13. Las ventanas de un edificio de oficinas tienen 4.26 m por 5.26 m. En un día tempestuoso, el aire sopla a razón de 28.0 m/s al pasar por una ventana en el piso 53. Calcúlese la fuerza neta sobre la ventana. La densidad del aire es de 1.23 kg/m3. 14. Un líquido fluye por una tubería horizontal cuyo radio interior es de 2.52 cm. La tubería se dobla hacia arriba hasta una altura de 11.5 m donde se ensancha y se une con otra tubería horizontal de 6.14 cm de radio interior. ¿Cuál debe ser el flujo volumétrico si la presión en las dos tuberías horizontales es la misma?
Esta ecuación se conoce como la ley de Torricelli. (b) Si el orificio estuviese curvado directamente hacia arriba, ¿a qué altura se elevaría la línea de corriente líquida? (c) ¿Cómo afectaría al análisis la viscosidad o la turbulencia?
Figura 30 Problema 15.
16 Un tanque está lleno de agua hasta una altura H. En una de sus paredes se taladra un orificio a una profundidad h bajo la superficie del agua (Fig. 31). (a) Demuestre que la distancia x desde la base de la pared hasta donde cae la corriente al suelo está dada por x = 2i/ h(H - h). (b) Podría taladrarse un orificio a otra profundidad de modo que esta segunda corriente tuviese el mismo alcance? De ser así, a qué profundidad? (c) ¿A qué profundidad debería estar el orificio para hacer que la corriente de salida caiga al suelo a la distancia máxima a partir de la base del tanque? ¿Cuál es esta distancia máxima? 17. Un francotirador dispara una bala de rifle contra un tanque de gasolina, haciéndole un orificio a 5J.0 m bajo la super ficie de la gasolina. El tanque se ha sellado y se ha sometido a una presión absoluta de 3.10 atm, como se muestra en la figura 32. La gasolina almacenada tiene una densidad de 660 kg/m3. ¿A qué velocidad comienza la gasolina a salir disparada por el orificio? 18. Considérese un tubo en U uniforme con un diafragma en el fondo y lleno de un líquido a alturas diferentes en cada
460
Capítulo 18 Dinámica de los fluidos
bajo la superficie del agua, como se muestra en la figura 34. En la salida del tubo se ha colocado un tapón, (a) Halle la fuerza de fricción entre el tapón y las paredes del tubo. (b) Se retira el tapón. ¿Qué volumen de agua sale por el tubo en 3.00 h?
Figura 31 Problema 16.
Figura 34 Problema 20.
Figura 32 Problema 17.
21. Un sifón es un aparato para extraer líquido de un recipiente sin inclinarlo. Funciona como se muestra en la figura 35. El tubo debe estar lleno inicialmente, pero una vez se ha hecho esto, el líquido fluirá hasta que el nivel descienda por debajo de la abertura del tubo en A. El líquido tiene una densidad p y una viscosidad despreciable, (a) ¿A qué velocidad sale el líquido del tubo en C? (b) ¿Cuál es la presión del líquido en el punto más elevado B? (c) ¿Cuál es la mayor altura h posible a la que el sifón puede elevar el agua?
brazo (véase la Fig. 33). Imaginemos ahora que el diafrag ma se perfora de modo que el líquido fluye de izquierda a derecha, (a) Demuestre que la aplicación de la ecuación de Bernoulli a los puntos 1 y 3 conduce a una contradic ción. (6) Explique por qué la ecuación de Bemoulli no es aplicable aquí. (Sugerencia: ¿Es estacionario el flujo?)
B
Figura 33 Problema 18.
19. Si una persona sopla aire a una velocidad de 15.0 m/s en la parte superior de un lado de un tubo en U que contiene agua, ¿cuál será la diferencia entre los niveles del agua en los dos lados? Suponga que la densidad del aire sea de 1.20 kg/m3. 20. El agua dulce embolsada tras la cortina de una presa tiene una profundidad de 15.2 m. Un tubo horizontal de 4.30 cm de diámetro pasa a través de la cortina a 6.15 m
Figura 35 Problema 21.
22. (a) Considérese una corriente de fluido de densidad p con velocidad u, que pasa repentinamente de un tubo cilindri co de área de sección transversal a, a un tubo cilindrico más ancho de área de sección transversal a2 (véase la Fig. 36). El chorro se mezclará con el fluido circundante
Problemas
461
vo
y, después de mezclarse, fluirá casi uniformemente a una velocidad promedio v2. Sin referirse a los detalles del mezclado, use argumentos del ímpetu para demostrar que el aumento de presión debido al mezclado es aproximada mente P i ~ P i = p v 2(v¡ ~ v 2).
(b) Demuestre a partir de la ecuación de Bernoulli que en un tubo que se vacíe gradualmente obtendríamos Figura 37 Problema 25. P2 ~ P\
=
h p ( p \ ~ v¡).
(c) Halle la pérdida de presión debida al ensanchamiento repentino del tubo. ¿Puede usted trazar una analogía con las colisiones elásticas e inelásticas de la mecánica de la partícula?
una velocidad uu. Demuestre que la ecuación de Bernoulli predice que la fuerza ascensional L sobre el ala será de L = ÍpA(v¡ - fu),
28.
23. Una jarra contiene 15 vasos de jugo de naranja. Cuando se abre la espita del fondo transcurren 12.0 s para llenar de jugo un vaso. Si dejamos la espita abierta, ¿cuánto tiempo tardarán en llenarse los 14 vasos restantes hasta agotar el jugo?
29.
Sección 18-4 Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli y de la ecuación de continuidad 24. Un tubo de Pitot está montado en el ala de un aeroplano para determinar la velocidad del aeroplano con relación al aire, el cual tiene una densidad de 1.03 kg/m3. El tu bo contiene alcohol e indica una diferencia de nivel de 26.2 cm. ¿Cuál es la velocidad del aeroplano respecto al aire? La densidad del alcohol es de 810 kg/m3. 25. Un tubo hueco tiene un disco DD adosado a su extremo (Fig. 37). Cuando se sopla aire de densidad p por el tubo, el disco atrae a la tarjeta CC. Sea A el área de la tarjeta y v la velocidad promedio del aire entre la tarjeta y el disco. Calcule la fuerza hacia arriba resultante sobre CC. Des precie el peso de la tarjeta; suponga que v0 « v, donde v0 es la velocidad del aire en el tubo hueco. 26. Una placa cuadrada de 9.10 cm de lado y 488 g de masa está embisagrada a lo largo de uno de los lados. Si se sopla aire sobre la superficie superior únicamente, ¿qué veloci dad debe tener el aire para mantener horizontal a la placa? El aire tiene una densidad de 1.21 kg/m3. 27. Sobre la parte superior del ala, de área A, de un aeroplano fluye el aire a una velocidad u, y pasa por debajo del ala a
30.
31.
32.
en donde p es la densidad del aire. (Sugerencia: Apliqúese la ecuación de Bernoulli a la línea de corriente que pasa justo sobre la superficie superior del ala y a la línea de corriente que pasa justo por debajo de la superficie inferior del ala. ¿Puede usted justificar que las constantes de las dos líneas de corriente sean iguales?) Un aeroplano tiene un área de ala (de cada ala) de 12.5 m2. A cierta velocidad del aire, éste fluye sobre la superficie superior del ala a razón de 49.8 m/s y sobre la superfi cie inferior del ala a 38.2 m/s. (a) Halle la masa del aeroplano. Suponga que el aeroplano viaja a velocidad constante y que los efectos de la fuerza ascensional aso ciados con el fuselaje y el conjunto de la cola son peque ños. Explique la fuerza ascensional si el aeroplano, que vuela a la misma velocidad que el aire está (b) en vuelo nivelado; (c) ascendiendo a 15°, y (d) descendiendo a 15°. La densidad del aire es de 1.17 kg/m3. Véase el proble ma 27. Considérese el aire estancado en el borde frontal de un ala y el aire que circula sobre la superficie del ala a una velocidad v. Suponga que la presión en el borde de entrada es la atmosférica aproximadamente y halle el mayor valor posible para v del flujo de corriente; suponga también que el aire es incompresible y utilice la ecuación de Ber noulli. Tome como densidad del aire 1.2 kg/m3. ¿Cómo se compara esto con la velocidad del sonido bajo estas con diciones (340 m/s)? ¿Puede usted explicar la diferencia? ¿Por qué habría de existir alguna conexión entre estas cantidades? Un tubo de Venturi tiene un diámetro de 25.4 cm y una garganta de 11.3 cm de diámetro. La presión del agua en el tubo es 57.1 kPa y en la garganta es de 32.6 kPa. Calcule el flujo volumétrico del agua a través del tubo. Considérese el medidor Venturi de la figura 9. Aplicando la ecuación de Bernoulli a los puntos 1 y 2, y la ecuación de continuidad (Ec. 3), verifique la ecuación 11 para la velocidad del flujo en el punto 1. Considérese el medidor Venturi de la figura 9, que contie ne agua, sin el manómetro. Sea A = 4.75a. Suponga que la presión en el punto 1 sea 2.12 atm. (a) Calcule los valores de v en el punto 1 y de v' en el punto 2 que harían que la presión p' en el punto 2 fuese igual a cero, (ti)
462
Capítulo 18 Dinámica de los fluidos
Calcule la cantidad de flujo volumétrico correspondiente si el diámetro en el punto 1 fuese 5.20 cm. El fenómeno en el punto 2 cuando p' decae a casi cero es conocido como cavitación. El agua se evapora en pequeñas burbujas. Sección 18-5 Campos de flujo 33. Demuestre que la constante en la ecuación de Bemoulli es la misma para todas las líneas de corriente en el caso del . flujo estacionario, no rotatorio de la figura 14. 34. Un campo de fuerza es conservativo si F ■ds = 0. El círculo del signo de la integración significa que la integra ción va a ser considerada a lo largo de una curva cerrada (un viaje redondo) en el campo. Un flujo es un flujo potencial (y por tanto no rotatorio) si f v •ds = 0 para cada una de las líneas cerradas en el campo. Usando este criterio, demuestre que los campos (a) de la figura 14 y (b) de la figura 17 son campos de flujo potencial. 35. Los efectos centrífugos son considerables en flujos que estén fuertemente curvados. Considérese un elemento de fluido que se mueva a una velocidad v a lo largo de la línea de corriente de un flujo curvo en un plano horizontal (Fig. 38). (a) Demuestre que dp¡dr = pv2/r, de modo que la presión aumenta en una cantidad pif/r por unidad de distancia perpendicular a la línea de la corriente yendo del lado cóncavo al lado convexo de ésta, (b) Luego, utilice la ecuación de Bernoulli y este resultado para demostrar que vr es igual a una constante, de modo que las veloci dades aumentan hacia el centro de curvatura. De aquí que las líneas de corriente que estén espaciadas uniformemen te en una tubería recta se agrupen hacia la pared interior del pasaje curvo y se separen hacia la pared exterior. Este problema debe de compararse con el problema 29 del capítulo 17, donde el movimiento curvo se produce al hacer girar un recipiente. Allí la velocidad variaba direc tamente con r, pero aquí varía inversamente, (c) Demues tre que este flujo es no rotatorio.
Newton demostró que este esquema de torbellino contra decía las observaciones porque: (a) la velocidad de una partícula de éter en el vértice varía inversamente a su distancia al Sol; (b) el periodo de revolución de una partícula tal varía directamente con el cuadrado de su distancia al Sol, y (c) este resultado contradice a la tercera ley de Kepler. Demuestre (a), (b), y (c). Sección 18-6 Viscosidad, turbulencia, y flujo caótico 37. La figura 39 muestra una sección transversal de las capas superiores de la Tierra. La superficie de la Tierra se divide en varios bloques rígidos, llamados placas, que se deslizan (¡lentamente!) sobre una capa “fangosa” más baja llamada astenosfera. En la figura se relacionan las dimensiones típicas. Supóngase que la velocidad de la placa rígida mostrada sea v0 = 48 mm/y (mm/año), y que la base de la astenosfera no se mueva. Calcule el esfuerzo cortante en la base de la placa. La viscosidad del material de la astenosfera es de 4.0 * 1019Pa ■s. Ignore la curvatura de la Tierra.
Superficie de la Tierra
Astenosfera
v = 0 -------------
Figura 39 Problema 37.
38. Calcular la mayor velocidad a la cual puede fluir la san gre, a 37° C, por una arteria de 3.8 mm de diámetro si el flujo ha de permanecer estacionario. 39. Por un tubo horizontal de 1.88 cm de radio interno y 1.26 m de longitud fluye mercurio líquido (viscosi dad = 1.55 x 10° N ■s/m2). El flujo volumétrico es de 5.35 x 10'2L/min. (a) Demuestre que el flujo es estacio nario. (b) Calcule la diferencia de presión entre los dos extremos del tubo. 40. En la figura 40 se muestran las líneas de corriente de un campo de flujo de Poiseuille. El espaciamiento de las líneas de corriente indica que aunque el movimiento es rectilíneo, existe un gradiente de velocidad en dirección transversal. Demuestre que el flujo de Poiseuille es rota torio.
Figura 38 Problema 35.
36. Un modelo del movimiento planetario propuesto por René Descartes fue ampliamente aceptado antes de que Newton propusiera su teoría de la gravitación. En el modelo de Descartes los planetas eran atrapados y arrastrados por un remolino de partículas de éter centrado alrededor del Sol.
Figura 40 Problema 40.
s ‘
4
4 i
%
Problemas
Figura 41 Problemas 41 y 42.
41. Un fluido de viscosidad r¡ fluye estacionariamente por un tubo cilindrico horizontal de radio R y longitud L, como se muestra en la figura 41. (a) Considere un ci lindro arbitrario de fluido de radio r. Demuestre que la fuerza viscosa F debida a la capa circundante es F = - r¡(2itrL)dvldr. (b) Demuestre que la fuerza F que empu ja a ese cilindro de fluido a lo largo del tubo es F' = (^jA p. (c) Utilice la condición de equilibrio para obtener una
463
(c) Utilice la condición de equilibrio para obtener una expresión para dv en términos de dr. Integre la expresión para obtenerla ecuación 18. 42. Considere una vez más el fluido que corre por el tubo descrito en el problema 41 e ilustrado en la figura 41. Halle una expresión para el flujo de masa por un anillo anular entre los radios ry r +dr; luego integre este resultado para hallar el flujo de masa total por el tubo, verificando por lo tanto la ecuación 20. 43. Se sopla una burbuja de jabón de 38.2 mm de radio por el extremo de un tubo angosto de 11.2 cm de longitud y 1.08 mm de diámetro interno. El otro extremo del tubo se halla expuesto a la atmósfera. Halle el tiempo que tarda el radio de la burbuja en descender a 21.6 mm. Suponga un flujo de Poiseuille en el tubo. (Use 2.50 * 10'2 N/m para la tensión superficial de la solución de jabón; la viscosidad del aire es de 1.80 * 10'5N ■s/m2.)
CAPÍTULO 19
MOVIMIENTO ONDULATORIO
El movimiento ondulatorio se manifiesta en casi todas las ramas de la física. En los cuerpos acuosos se pueden observar, comúnmente, ondas superficiales. Las ondas sonoras y las ondas luminosas son esenciales para nuestra percepción del entorno, a causa de que hemos desarro llado receptores (los ojos y los oídos) capaces de detectarlas. En el siglo pasado el ser humano aprendió a producir y utilizar las ondas de radio. Podemos también entender la estructura de los átomos y de los sistemas subatómicos basados en las propiedades ondulatorias de las partículas que los constituyen. La similitud de las descripcionesfísicas y matemáticas de estas distintas clases de ondas indican que el movimiento ondulatorio es uno de los temas unificadores de la física. En este capítulo y en el siguiente desarrollaremos las descripciones tanto verbales como matemáticas de las ondas. Utilizamos el ejemplo de las ondas mecánicas, en parte porque ya hemos desarrollado las leyes de la mecánica en este texto. Más adelante, desarrollaremos las leyes que rigen para otros tipos de ondas (por ejemplo, las ondas de luz y otras ondas electromagnéticas). A efectos de simplificación, nos concentraremos en el estudio de las ondas armónicas (es decir, aquellas que pueden ser representadas por funciones del seno y del coseno), pero los principios que desarrollamos se aplican igualmente a formas ondulatorias más complejas.
19-1 ONDAS MECÁNICAS Las ondas marinas viajan miles de millas a través del océano, pero las partículas de agua no llevan a cabo ese viaje. Cuando usted le grita a un amigo, la onda de sonido recorre la sala, pero las moléculas de aire no recorren esa distancia. Estamos familiarizados con el hecho de que la energía y el ímpetu se transportan de un lugar a otro en virtud del movimiento de las partículas; el movimiento ondulatorio proporciona una manera alternativa de que la energía y el ímpetu se muevan de un lugar a otro sin que las partículas materiales hagan ese viaje. Las ondas de agua y las ondas sonoras son ejemplos de ondas mecánicas que viajan a través de un medio deformable o elástico. Se originan cuando cierta parte del medio se desplaza de su posición normal y queda liberada. Debi do a las propiedades elásticas del medio, la perturbación se propaga a través de éste. A nivel microscópico, propieda des mecánicas tales como las fuerzas entre los átomos son las causantes de la propagación de las ondas mecánicas.
En este capítulo nos concentraremos en el estudio de las ondas mecánicas. Para ilustrar algunas propiedades generales de las ondas hemos elegido como ejemplo a un tipo sencillo de onda mecánica, que implica la oscilación de una cuerda estirada como las que se utilizan en una guitarra. Cuando una onda alcanza a una partícula situada en el medio pone a esa partícula en movimiento y la desplaza, transfiriéndole así energía tanto cinética como potencial. Mediante el movimiento ondulatorio, puede transmitirse a grandes distancias no solamente energía, sino además información sobre la naturaleza de la fuente de ondas. Podemos decir que las partículas del medio se mueven, al pasar la onda, únicamente distancias pequeñas con res pecto a sus posiciones previas, sin experimentar un des plazamiento neto en la dirección del viaje de la onda. Por ejemplo, los objetos flotantes pequeños, como una hoja o un corcho muestran que el movimiento real del agua al pasb de la onda es más bien hacia arriba y hacia abajo, y quizás ligeramente en vaivén; una vez que pasa la onda, el objeto está más o menos en el mismo lugar en que estaba
466
Capítulo 19 Movimiento ondulatorio
antes de haber pasado ésta. Este hecho era ya conocido en el siglo xv por Leonardo da Vinci, quien escribió de las ondas de agua: “A menudo sucede que la onda escapa del sitio de su creación, mientras que el agua no; como las ondas que se forman en un campo de trigo por efecto del viento, donde las vemos correr a través del campo mien tras las espigas permanecen en su lugar.”
19-2 TIPOS DE ONDAS__________________ Al enumerar a las ondas de agua, de luz, y de sonido como ejemplo de movimiento ondulatorio, estamos clasificando a las ondas de acuerdo a sus propiedades físicas más amplias. Las ondas pueden clasificarse también de otras maneras. Podemos distinguir diferentes clases de ondas mecáni cas si consideramos cómo se relacionan la dirección del movimiento de las partículas de materia con la dirección de propagación de la onda. Si el movimiento de las par tículas es perpendicular a la dirección de propagación de la onda misma, hablamos de una onda transversal. Por ejemplo, cuando una cuerda en tensión se hace oscilar en vaivén desde un extremo, a lo largo de la cuerda viaja una onda transversal; la perturbación se mueve a lo largo de la cuerda pero las partículas de la cuerda vibran en ángulo recto a la dirección de propagación de la perturbación (Fig. la). Las ondas de luz, aunque no sean ondas mecá nicas, son también ondas transversales.
Sin embargo, si el movimiento de las partículas de una onda mecánica es de vaivén a lo largo de la dirección de propagación, tenemos una onda longitudinal. Por ejem plo: cuando un resorte en tensión se pone a oscilar en vaivén desde uno de sus extremos, a lo largo del resor te viaja una onda longitudinal; los arrollamientos vibran en vaivén paralelos a la dirección en la que viaja la perturbación a lo largo del resorte (Fig. Ib). Las ondas de sonido que viajan en un gas son ondas longitudinales y las estudiaremos con mayor detalle en el capítulo 20. Ciertas ondas no son ni puramente longitudinales ni puramente transversales. Por ejemplo, en las ondas que vemos sobre la superficie del agua las partículas de ésta se mueven tanto de arriba abajo como en vaivén, trazando trayectorias elípticas al moverse. Las ondas pueden también clasificarse como uni, bi, o tridimensionales, de acuerdo con el número de dimen siones en que propaguen la energía. Las ondas que se mueven a lo largo de la cuerda o del resorte de la figura 1 son unidimensionales. Las ondas superficiales o rizos de agua, que se forman al arrojar una piedra a un estanque tranquilo, son bidimensionales. Las ondas de sonido y de luz que viajen radialmente partiendo de una pequeña fuente son tridimensionales. Puede ampliarse la clasificación de las ondas según como se muevan las partículas del medio en el tiempo. Por ejemplo, podemos producir una pulsación que via je por una cuerda estirada aplicándole un solo movimiento lateral en su extremo (Fig. le). Cada partícula permanece
de la cuerda vibra en ángulo recto a la dirección de propagación de la onda. (b) Envío de una onda longitudinal a lo largo de un resorte. Cada elemento del resorte vibra paralelo a la dirección de propagación de la onda, (c) Envío de una pulsación transversal única a lo largo de una cuerda.
Sección 19-3
Figura 2 Ondas en la superficie de un lago. Los rizos circulares representan frentes de onda. Los rayos, que son perpendiculares a los frentes de onda, indican la dirección del movimiento de la onda.
en reposo hasta que la pulsación llega hasta ella, luego se mueve durante un tiempo corto y luego permanece nue vamente en reposo. Si continuamos moviendo el extremo de la cuerda en vaivén (Fig. la), produciremos un tren de ondas que viajará a lo largo de la cuerda. Si nuestro movimiento es periódico, produciremos un tren de ondas periódico, donde cada partícula de la cuerda tendrá un movimiento periódico. El caso especial más sencillo de una onda periódica es una onda armónica, donde cada partícula experimenta un movimiento armónico simple. Imaginemos una piedra lanzada a un lago tranquilo. Los rizos circulares se esparcen hacia afuera desde el punto en que la piedra entró al agua (Fig. 2). A lo largo de un rizo circular dado, todos los puntos están en el mismo esta do de movimiento. Esos puntos definen una superficie llamada frente de onda. Si el medio es de densidad uni forme, la dirección del movimiento de las ondas está en ángulo recto al frente de la onda. Una línea normal a los frentes de onda, que indique la dirección del movimiento de las ondas, se llama rayo.
Ondas viajeras
467
Los frentes de onda pueden tener muchas formas. Una fuente central en la superficie del agua produce ondas bidimensionales con frentes de onda circulares y rayos que salen hacia afuera a partir del punto de la perturbación (como en la figura 2). En cambio, un palo muy largo arrojado horizontalmente al agua produciría (cerca de su centro) perturbaciones que viajan como líneas rectas, y cuyos rayos sería líneas paralelas. La analogía tridimen sional, en la cual las perturbaciones viajan en una sola dirección, es la onda plana. En un instante dado, las condiciones son las mismas en todas partes de cualquier plano perpendicular a la dirección de propagación. Los frentes de onda son planos, y los rayos son líneas rectas paralelas (Fig. 3a). La analogía tridimensional de las ondas circulares son las ondas esféricas. Aquí, la pertur bación se propaga hacia afuera en todas direcciones desde una fuente puntual de ondas. Los frentes de onda son esferas, y los rayos son líneas radiales que salen de la fuente puntual en todas direcciones (Fig. 3b). Lejos de esta fuente los frentes de onda esféricos tienen una curva tura muy pequeña, y dentro de una región limitada pueden considerarse a menudo como planos. Por supuesto, exis ten otras muchas formas de frentes de onda posibles.
19-3 ONDAS VIAJERAS Como ejemplo del comportamiento de las ondas mecáni cas consideraremos a una forma de onda transversal que viaje en una cuerda estirada larga. Suponemos una cuerda “ideal”, en la cual la perturbación, ya sea una pulsación o un tren de ondas, mantiene su forma mientras viaja. Para que esto suceda, las pérdidas por fricción y otros medios de disipación de la energía deben ser despreciablemente pequeños. La perturbación está en el plano xy y viaja en dirección x. La figura 4a muestra una forma de onda arbitraria en t = 0; podemos considerar que ésta es una instantánea de la pulsación que viaja a lo largo de la cuerda mostrada
longitud de onda, y las flechas representan rayos. (b) Onda esférica. Los frentes de onda, espaciados en una longitud de onda, son superficies esféricas y los rayos están en dirección radial.
468
Capítulo 19 Movimiento ondulatorio
en la figura le. Hagamos que la pulsación se mueva en dirección x positiva con una velocidad v. En un tiempo t más tarde, la pulsación se ha movido una distancia vt, como se muestra en la figura Ab. Nótese que la forma de onda es la misma en t = 0 que en tiempos posteriores. La coordenada y indica el desplazamiento transversal de un punto en particular de la cuerda. Esta coordenada depende tanto de la posición x como del tiempo t. Indica mos esta dependencia de dos variables como y(x,t). Podemos representar a la forma de onda de la figura 4a como: >
Tiempo 0
1 (a)
0
Figura 4 (a) Una pulsación transversal mostrada como una instantánea en el tiempo t = 0. El punto P representa una posición particular en la fase del pulso, no un punto particular del medio (la cuerda, por ejemplo), (ti) En un tiempo t más tarde, la pulsación se ha movido una distancia vt en la dirección x positiva. El punto P de la fase se ha movido también una distancia vt. El máximo de la pulsación define el origen de la coordenada x'.
(2)
Es decir, la funciónf(x - vf) tiene la misma forma relativa al punto x = vt en el tiempo t que la función f(x) la tiene con relación al punto x = 0 en el tiempo t = 0. Para describir por completo a la onda, debemos especi ficar a la función/. Más adelante, consideraremos a las ondas armónicas, en las cuales f e s una función seno o coseno. Las ecuaciones 1 y 2 juntas indican que podemos cam biar una función de cualquier forma en una onda que viaje en dirección x positiva simplemente sustituyendo a x por la cantidad x - vten todo lugar en que aparezca en la f(x). Por ejemplo, si f(x) = x2, entonces f(x - vf) = (x - vt)2. Además, una onda que viaje en dirección x positiva debe depender de x y de t únicamente en la combinación x - vt; así pues, x 1 - ( vt) 2 no representa a tal onda viajera. Sigamos el movimiento de determinada parte (o fase) de la onda, tal como la de la posición P de la forma de onda de la figura 4. Si la onda ha de mantener su forma mientras viaja, entonces la coordenada yP del punto P no debe cambiar. Vemos en la ecuación 2 que el único modo de que pueda suceder esto es que la coordenada x de P aumente mientras aumenta t, de modo que la cantidad x - vt mantenga un valor fijo. Es decir, la evaluación de la cantidad x - vt da el mismo resultado en P de la figura 4b que en P de la figura 4a. Esto continúa así en cualquier posición de la forma de onda y en todos los tiempos t. Entonces para el movimiento de cualquier fase particular de la onda debemos tener x —vt = constante.
p
(1)
donde f e s una función que describe la forma de la onda. En el tiempo t, la forma de onda debe todavía describirse por la misma función/, porque hemos supuesto que la forma no cambia al viajar la onda. Con relación al origen O' de un marco de referencia que viaje con la pulsación, la forma se describe por la función f(x'), como se indica en la figura Ab. La relación entre las coordenadas x de los dos marcos de referencia es x' = x - vt, como puede verse en la figura 4b. Entonces, en el tiempo t, la onda se describe por y(x,t) = f{ x ') = f ( x - vt).
y
(3)
Podemos verificar que la ecuación 3 caracteriza al movimiento de la fase de la forma de onda al diferenciar respecto al tiempo, lo cual da dx —— v = 0 dt
o sea
dx —r = v. dt
(4)
La velocidad dx/dt describe al movimiento de la fase de la onda, y por ello se conoce como velocidad de fase. Consideramos que v es una constante positiva, indepen diente de cualquier propiedad de la onda pero posiblemen te (como lo veremos) dependiente de las propiedades del medio. Si la onda se mueve en dirección x negativa, debemos reemplazar a v por - v . En este caso, obtendríamos y(x,t) = f ( x + vt),
(5)
donde una vez más f(x) representa a la forma en t = 0. Esto es, al sustituir en f(x) la cantidad x + vt en lugar de x nos da una onda que se movería hacia la izquierda en la figura 4. El movimiento de cualquier fase de la onda estaría entonces caracterizado por el requisito de que x + vt = constante, y por analogía con la ecuación 4 podemos demostrar que dx/dt = - v , indicando que la componente x de la velocidad de fase es realmente negativa en este caso. La función y(x,t) contiene la descripción completa de la fonna de la onda y de su movimiento. En cualquier tiempo determinado, digamos t¡, la función y(x,t¡) da a y en función de x, lo cual define a una curva; esta curva representa la forma real de la cuerda en ese tiempo y puede considerarse como una “instantánea” de la onda. Por otra
Sección 19-3
Ondas viajeras
469
y
— \
:--- V —^
\ y
parte, podemos tener en cuenta el movimiento de un punto particular sobre la cuerda, digamos en la coordena da fija je,. La funciónyfx^t) nos da entonces la coordenada y de ese punto en función del tiempo. La figura 5 mues tra cómo podría moverse un punto sobre el eje x con el tiempo en el transcurso de la pulsación de la figura 4, moviéndose en dirección x positiva. En los tiempos cer canos a t = 0, el punto no se mueve en absoluto. Luego, comienza a moverse gradualmente a medida que llega al borde delantero de la pulsación de la figura 4. Después de pasar el máximo de la onda, el desplazamiento del punto cae rápidamente hasta regresar a cero al pasar el borde de salida.
/ ------
■ Tiempo 0 .......... Tiempo t
-->" vt Figura 5 Un observador estacionado en un punto particular sobre el eje x registraría este desplazamiento y en función del tiempo en el transcurso de la pulsación de la figura 4. Nótese que la forma parece estar invertida, porque el borde delantero de la pulsación viajera llega al observador en los primeros momentos. Es decir, los desplazamientos registrados por el observador en los primeros momentos están aquí más cerca del origen.
v
Figura 6 En t = 0 (en tono más intenso), la cuerda tiene la forma sinusoidal dada por y =ymsen 2itxjX. En un tiempo t más tarde (en tono más claro), la onda se ha movido hacia la derecha una distancia x = vt, y la cuerda tiene una forma dada por y = ym sen 2 tc(x - vi)/X.
Nótese que ésta tiene la forma/(x - vt), necesaria para una onda viajera (Ec. 2). El periodo T de la onda es el tiempo necesario para que un punto en cualquier coordenada x efectúe un ciclo completo de movimiento transversal. Durante este tiempo T, la onda viaja una distancia v T que debe corresponder a una longitud de onda A, de modo que X
=
vT.
El inverso del periodo se llama frecuencia v de la onda; v = l/T. La frecuencia tiene unidades de ciclos por segun do, o hertz (Hz). El periodo y la frecuencia son dos temas tratados previamente en el capitulo 15. Poniendo la ecuación 8 en la ecuación 7, obtenemos otra expresión para la onda: y(x,t) = ym sen 2n ( j “ y ) •
Ondas sinusoidales La descripción anterior es bastante general. Es válida para formas de onda arbitrarias, y se cumple tanto para ondas transversales como longitudinales. Por ejemplo, conside remos una forma de onda transversal que tenga una forma sinusoidal, lo cual tiene aplicaciones particularmente im portantes. Supongamos que en el tiempo t = 0 tenemos un tren de ondas a lo largo de la cuerda dado por y(x,0) = y m sen Y x.
(6)
(8)
(9)
Según esta forma es claro que y, en cualquier tiempo dado, tiene el mismo valor en x, x + A, x + 2A, y así sucesivamente, y que y, en cualquier posición dada, tiene el mismo valor en los tiempos í, t + T, t + 2T, y así sucesivamente. Para reducir la ecuación 9 a una forma más compacta, introducimos dos cantidades, el número de onda k y la frecuencia angular co. Estas se definen por k=^
y
a> = ? j = 2 nv.
(10)
El número de onda k es, al igual que co, una cantidad angular, y las unidades de ambos implican radianes. Las unidades de k podrían ser, por ejemplo, rad/m, y de co, rad/s. En términos de estas cantidades, la ecuación de una onda seno que viaje en dirección x positiva (hacia la derecha en la Fig. 6) es
En la figura 6 se muestra la forma de onda. El desplaza miento máximo ymse llama amplitud de la curva seno. El desplazamiento transversal y tiene el mismo valor en cualquier x, como también en x + A, x + 2A, y así sucesi vamente. El símbolo A representa la longitud de onda del tren de ondas e indica la distancia entre dos puntos adya centes de la onda que tengan la misma fase. Si la onda viaja en dirección +x con velocidad de fase v, entonces la ecuación de la onda es
La ecuación de una onda seno que viaje en dirección x negativa (hacia la izquierda en la Fig. 6) es
y(x,t) = ym sen j ~ ( x ~ vt).
y(x,t) = ym sen (kx + cot).
(7)
y(x,t) = ym sen (kx - cot).
(11)
( 12)
470
Capítulo 19 Movimiento ondulatorio
Al comparar las ecuaciones 8 y 10, vemos que la veloci dad de fase v de la onda está dada por (13) ' - - y = y m sen (kx-iot-
y - ymsen (** -®f)
Fase y constante de fase En las ondas viajeras de las ecuaciones 11 y 12 hemos supuesto que el desplazamiento y es cero en la posición x = 0 en el tiempo t = 0. Esto, por supuesto, no tiene que ser aquí así. La expresión general para una onda sinusoidal que viaje en dirección x positiva es y(x,t) = ym sen (kx - cot - 0).
(14)
La cantidad que aparece en el argumento del seno, es decir, kx - wt -
y(x,t) = ym sen \ k x — u> \
w /j
(15a)
(15b)
La figura la muestra una “instantánea” en cualquier tiem po t de las dos ondas representadas por las ecuaciones 11 (donde 0 = 0) y 14. Nótese que cualquier punto en par ticular de la onda descrita por la ecuación 15a (digamos, cierta cresta de onda) está a una distancia qS¡k adelante del punto correspondiente de la onda descrita por la ecua ción 11. En forma equivalente, si observáramos el desplaza miento en una posición fija x resultante de cada una de las dos ondas representadas por las ecuaciones 11 y 14, obtendríamos el resultado indicado por la figura Ib. La onda descrita por la ecuación 15b está similarmente ade lante de la onda que tiene a (¡>= 0, en este caso por una diferencia de tiempo
Figura 7 (a) Instantánea de dos ondas seno que viajan en dirección x positiva. La onda A tiene una constante de fase
detrás de la otra que tenga
Velocidad de grupo y dispersión Las ondas sinusoidales puras son elementos matemáticos útiles para ayudamos a entender el movimiento ondulato rio. En la práctica, usamos otras clases de ondas para transportar energía e información. Estas ondas pueden ser periódicas pero no sinusoidales, tales como las ondas cuadradas o las de “diente de sierra”, o pueden ser pulsa ciones no periódicas, como las de la figura 4. Hemos usado la velocidad de fase para describir el movimiento de dos clases de ondas: la onda pulsátil, que conserva su forma al viajar (Fig. 4) y la onda seno pura
Sección 19-4 y
Tiempo 0
(a) y
(b) F igu ra 8 En un m edio dispersivo, la forma de onda cambia al viajar la onda.
(Fig. 6). En otros casos, debemos usar una velocidad diferente, llamada la velocidad de grupo, que es la velo cidad a la cual viaja la energía o la información en una onda real. La figura 8 muestra una pulsación que viaja a través de un medio. La forma de la pulsación cambia al viajar; la pulsación se esparce, o dispersa. (Dispersión no es lo mismo que disipación de energía. El contenido de energía de la pulsación de la figura 8 puede permanecer constante mientras viaja, aunque la pulsación se disperse. Supone mos que el medio es dispersivo, pero no necesariamente disipativo.) Como veremos en la sección 19-7, cualquier onda periódica puede ser considerada como la suma o superposición de una serie de ondas sinusoidales de fre cuencias diferentes o de longitudes de onda diferentes. Las frecuencias, amplitudes, y fases de las ondas sinusoi dales componentes deben elegirse con cuidado de acuerdo con un procedimiento matemático, conocido como análi sis de Fourier, de modo que las ondas se sumen para dar la forma de onda deseada. En muchos medios reales, la velocidad de propagación de estas ondas componentes (es decir, la velocidad de fase) depende de la frecuencia o de la longitud de onda de la componente en particular. Cada onda componente puede viajar con su velocidad propia. Entonces, al viajar la onda, las relaciones de fase de las componentes pueden cambiar, y la forma de onda de la suma de las componentes cambiaría de manera correpondiente al viajar la onda. Éste es el origen de la dispersión: las ondas componentes viajan a velocidades de fase diferentes. No existe una relación sencilla entre las velocidades de fase de las componentes y la velocidad de grupo de la onda; la relación depende de la disper sión del medio. Ciertos medios reales son no dispersivos aproximada mente, en cuyo caso la onda mantiene su forma, y todas las ondas componentes viajan con la misma velocidad. Un ejemplo son las ondas sonoras en el aire. Si el aire fuese fuertemente dispersivo de las ondas sonoras, la conversa
Velocidad de onda
471
ción sería imposible, porque la forma de onda producida por las cuerdas vocales de quien habla confundiría siendo irreconocible al momento en que llegase a nuestros oídos. Además, el esmero que ponen los miembros de una or questa por tocar precisamente al mismo tiempo no tendría ningún valor, porque (si el aire fuese dispersivo del soni do) las notas de alta frecuencia viajarían hasta el oído del oyente a una velocidad diferente de la de las notas de baja frecuencia, y el oyente escucharía los sonidos en tiempos diferentes. Por fortuna, esto no ocurre con las ondas sonoras. Las ondas de la luz en el vacío son perfectamente no dispersivas; la dispersión de las ondas de luz en medios reales es la causa de efectos tales como el espectro de colores del arcoiris. En un medio no dispersivo, todas las ondas componen tes de una forma de onda compleja viajan a la misma velocidad de fase, y la velocidad de grupo de la forma de onda es igual a ese valor común de la velocidad de fase. Unicamente en este caso podemos hablar de la velocidad de fase de la forma de onda entera. En este capítulo tratamos de las ondas mecánicas que se propagan en medios no dispersivos.
19-4 VELOCIDAD DE ONDA La velocidad de onda, lo que aquí significa la velocidad de fase de una onda sinusoidal o la velocidad de grupo de una pulsación en un medio no dispersivo, no depende de la frecuencia o de la longitud de onda. Es posible calcular la velocidad de una onda mecánica a partir de las propiedades del medio aplicando los principios básicos de la mecánica newtoniana. En esta sección continuaremos centrando nuestra atención en las ondas transversales de una cuerda en tensión, y en la sección siguiente mostrare mos cómo calcular la velocidad de tales ondas de la manera más general. Los cálculos de la velocidad de otras ondas, por ejemplo las ondas sonoras en el aire, siguen métodos similares. Aquí consideraremos dos enfoques: un tratamiento ba sado en el análisis dimensional y un análisis mecánico un poco menos general por medio del cual calcularemos la velocidad de una pulsación transversal a lo largo de una cuerda tensa.
Análisis dimensional La velocidad de las ondas de una cuerda musical depende de la masa de un elemento de la cuerda y de la fuerza entre elementos vecinos, la cual es la tensión F con la que se estira la cuerda. Si aumentamos la tensión (como al ajustar las clavijas de una cuerda de guitarra), la fuerza entre elementos vecinos aumentará, y podemos esperar que la
472
Capítulo 19 Movimiento ondulatorio
velocidad de la onda aumente también. Caracterizaremos a la masa de un elemento de la cuerda en términos de la densidad de masa lineal fJ, la masa por unidad de longi tud de la cuerda. Suponiendo que la velocidad de onda v dependa únicamente de F y de fu, podemos usar el método del análisis dimensional (véase la sección 1-7) y escribir V « F aflh, donde a y b son exponentes por determinarse a partir del análisis dimensional. En términos de las dimensiones de masa M, longitud L, y tiempo T, esto puede expresarse como: [v] = [F“)[iib] L T "1 = (MLT- 2)a( ML- 1)*, y resolviendo por igualación de las potencias corres pondientes de M, L, y T se obtiene a = i y b = -K Así, v « 7 F/\x, o, introduciendo una constante de proporciona lidad C, v= c
VH
J
(16)
Lo más que podemos decir de este análisis es que la velocidad de la onda es igual a una constante sin dimen siones multiplicada por / F/n. El valor de la constante puede obtenerse de un análisis mecánico del problema o por medio de la experimentación. Estos métodos demues tran que la constante es igual a la unidad.
Análisis mecánico Derivemos ahora por medio de un análisis mecánico una expresión para la velocidad de una pulsación en una cuerda tensa. En la figura 9 se muestra una “instantánea” de una pulsación de onda que se mueve de izquierda a derecha en la cuerda con una velocidad v. Podemos ima ginar en su lugar que toda la cuerda se mueve de derecha a izquierda con esta misma velocidad, de modo que la pulsación de la onda permanece fija en el espacio (quizás metiendo a la cuerda en un tubo carente de fricción que tenga la forma deseada de la pulsación). Esto significa simplemente que, en lugar de considerar que nuestro marco de referencia sean las paredes entre las que se estira la cuerda, escogemos un marco de referencia que esté en movimiento uniforme con respecto a aquél. En efecto, observamos a la pulsación mientras corremos a lo largo de la cuerda con la misma velocidad que la pulsación. Puesto que las leyes de Newton implican sólo aceleracio nes, las cuales son iguales en ambos marcos, podemos emplearlas en cualquiera de los marcos. Nos inclinamos, entonces, por el marco que para nosotros resulta más conveniente.
o Figura 9 Una pulsación que se mueva hacia la derecha en una cuerda estacionaria es equivalente a una pulsación en posición fija en una cuerda que se mueva hacia la izquierda. Consideramos las fuerzas en una sección de cuerda de longitud 51 en la pulsación “fija”.
Consideremos a una pequeña sección de la pulsación de longitud 51, como se muestra en la figura 9. Esta sección forma aproximadamente un arco de círculo de radio R. La masa 5m de este elemento es ju 51, donde ju es la masa por unidad de longitud de la cuerda. La tensión F en la cuerda es un tirón tangencial en cada extremo de este pequeño segmento de la cuerda. Las componentes hori zontales de F se cancelan, y las componentes verticales son cada una igual a F sen 6 . De aquí que la fuerza vertical total F± sea 2F sen 6 . Debido a que des, pequeño, podemos considerar que sen 6 - 6 . Partiendo de la figura 9, vemos que 26= 51/R, y así obtenemos F± = 2F sen 6 ~ 2 F d = F ^ . K
(17)
Esto da la fuerza que suministra la aceleración centrípeta de las partículas de cuerda dirigidas hacia O. La fuerza centrípeta que actúa sobre una masa 8 m (= /i 51) que se mueve en círculo de radio R a velocidad v es 5m u2/R. Nótese que la velocidad tangencial v de este elemento de masa a lo largo de la parte superior del arco es horizontal y de magnitud igual a la velocidad de la onda. Igualando la fuerza vertical neta sobre el elemento, ecuación 17, con la fuerza centrípeta necesaria, obtenemos f^
-
Óm v 2 jT
o bien SI u S l v 2 F K ------ R por lo que v= La ecuación 18 muestra, a partir de un análisis mecánico, que la constante C en la ecuación 16 tiene el valor 1. Si la amplitud de la pulsación fuese muy grande en comparación con la longitud de la cuerda, no habríamos tenido la posibilidad de usar la aproximación sen 6 - 6 . Además, la tensión F de la cuerda cambiaría por la pre sencia de la pulsación, mientras que hemos supuesto que
Sección 19-4
F no cambia a partir de la tensión original de la cuerda estirada. Por lo tanto, nuestro resultado cumple únicamen te para desplazamientos transversales de la cuerda relati vamente pequeños, un caso que es ampliamente aplicable en la práctica. Una onda periódica que entra en un medio suele ser consecuencia de una influencia externa que perturba al medio a una cierta frecuencia. La onda que viaja a través de ese medio tendrá la misma frecuencia que la fuente de la onda. La velocidad de la onda está determinada por las propiedades del medio. Dadas la frecuencia v de la onda y su velocidad v en el medio, la longitud de onda de la onda periódica en ese medio se determina por la ecua ción 13, X = vjv. Cuando una onda pasa de un medio a otro de velocidad de onda diferente (por ejemplo, dos cuerdas con densidades de masa lineal diferentes), la frecuencia en un medio debe ser la misma que la frecuen cia en el otro. (De otro modo existiría una discontinuidad en el punto en que se junten las dos cuerdas.) Sin embargo, las longitudes de onda diferirán una de otra. La relación entre las longitudes de onda se deduce de la igualdad de las frecuencias V[ y v2 en los dos medios; es decir, v, = v2 da
Velocidad transversal de una partícula El movimiento de una partícula en una onda transversal como la de la figura 6 es en dirección y. La velocidad de la onda describe el movimiento de la onda a lo largo de la dirección de viaje (la dirección.*). La velocidad de la onda no caracteriza el movimiento transversal de las partículas de la cuerda. Para hallar la velocidad transversal de una partícula de la cuerda necesitamos el cambio en la coordenada y con el tiempo. Así, centramos nuestra atención en una par tícula aislada de la cuerda, es decir, en cierta coordena da x. Por lo tanto, necesitaremos la derivada de y con respecto a t siendo x constante. Esto se representa por el símbolo dyjdt, el cual indica la derivada parcial de y con respecto a t, manteniendo constantes a todas las demás variables de las que pueda depender y. Representamos a la velocidad de la partícula, la cual varía tanto con x (la posición de la partícula) como con t, con la expresión u(x,t). Suponiendo que tenemos una onda sinusoidal de la forma de la ecuación 14, tenemos entonces que dv
d
473
du = -ym
= —o)2y.
(21)
La ecuación 21 tiene la misma forma que la ecuación 5 del capítulo 15; la aceleración transversal de cualquier punto es proporcional a su desplazamiento transversal, pero dirigida en sentido opuesto. Esto demuestra que cada partícula de la cuerda experimenta un movimiento armó nico simple transversal al pasar la onda sinusoidal.
Problema muestra 1 En un extremo de una cuerda horizontal larga se genera una onda sinusoidal transversal por medio de una barra que mueve al extremo de arriba a abajo en una distancia de 1.30 cm. El movimiento es continuo y se repite regularmente 125 veces por segundo, (á) Si la cuerda tiene una densidad lineal de 0.251 kg/m y se mantiene sometida a una ten sión de 96 N, halle la amplitud, la frecuencia, la velocidad, y la longitud de onda del movimiento de la onda, (b) Suponien do que la onda se mueva en dirección +x y que, en t = 0, el elemento de la cuerda en x = 0 esté en su posición de equili brio y = 0 y moviéndose hacia abajo, halle la ecuación de la onda. Solución (á) Al moverse la barra un total de 1.30 cm, el extremo de la cuerda se mueve |(1.30 cm) = 0.65 cm fuera de su posición de equilibrio, primero sobre ella, luego bajo ella; por lo tanto, la amplitud ymes 0.65 cm. El movimiento íntegro se repite 125 veces cada segundo, y entonces la frecuencia es de 125 vibraciones por segundo, o v = 125 Hz. La velocidad de la onda está dada por la ecuación 18,
" -V í‘ V
3 n £ - |9'6m/s-
La longitud de onda está dada por A = v/v, de modo que , 19.6 m/s A= , „ — ■= 0.156 m = 15.6 cm. 125 Hz (b) La expresión general paTa una onda sinusoidal transversal que se mueve en la dirección +x está dada por la ecuación 14, y(x,t) = ym sen (kx - c o t -
y
- y mco eos (- $ ) < 0,
lo cual significa que puede considerarse que la constante de fase tpes cero (o cualquier entero múltiplo de 2ii). De aquí que, para esta onda, y(x,t) --- ym sen (kx - cot),
u(x,t) = — = — ——
. cPy a(x ’V =
Velocidad de onda
sen (kx - c o t - 0)]
eos (kx — (at — ).
y con los valores que acabamos de hallar, (20)
Continuando de esta manera, podemos hallar la acelera ción transversal de la partícula en esta posición de x de acuerdo con
ym = 0.65 cm, k = — = -—— — = 40.3 rad/m = 0.403 rad/cm, X 0.l56m co = vk = (19.6 m/sX40.3 rad/m) = 789 rad/s,
474
Capítulo 19 Movimiento ondulatorio
obtenem os com o ecuación de la onda
y(x,t) = 0.65 sen (0.403x - 7 8 90, donde x y y están en centím etros y t está en segundos.
P rob lem a m u estra 2 Cuando la onda del problema muestra 1 pasa a lo largo de la cuerda, cada partícula de la cuerda se m ueve hacia arriba y hacia abajo en ángulo recto con la direc ción del m ovim iento de la onda, (a) H alle espresiones para la velocidad y la aceleración de una partícula P situada en xp = 0.245 m. (¿>) Evalúe el desplazam iento transversal, la velocidad, y la aceleración de esta partícula en t = 1.5 s. Solu ción (a) Para una partícula en xp = 0.245 m = 24.5 cm en la onda del problema muestra 1, obtenem os, usando la ecuación 20 con
u(xP,t) = -(0 .6 5 )(7 8 9 ) eos [(0.403X24.5) - 789?] = - 5 1 3 eos ( 9 . 8 7 - 7 8 9 0 , donde u está en cm /s y t está en segundos. D e m odo similar, usando la ecuación 21, hallam os que la aceleración es
a(xP,t) = —(0.65)(789)2 sen (9.87 - 7 8 9 0 = - ( 4 . 0 5 X 105) sen (9.87 - 7 8 9 0 , donde a está en cm /s2. (b) En t = 1.5 s, evaluam os las expresiones para y, u, y a para dar
y — + 0 .6 3 cm ,
u = — 125 cm /s,
a = —3.93 X 10 5 c m /s2.
Es decir, la partícula está cerca de su desplazam iento positivo m áxim o, se m ueve en dirección y negativa (alejándose de ese m áxim o), y está acelerando en dirección y negativa (su v elo ci dad está creciendo en magnitud al m overse la partícula hacia su posición de equilibrio).
F igu ra 10 Un pequeño elem ento de longitud dx de una cuerda larga en tensión F. La figura representa una instantánea del elem ento en un tiem po en particular durante el tránsito de una onda.
aplicam os la segunda ley de N ew ton para analizar cómo se m ueve este elem ento. Sobre el elem ento actúan dos fuerzas ejercidas por las partes de la cuerda a cada lado del elem ento. Estas fuerzas tienen m ag nitudes iguales, porque la tensión está distribuida uniformemen te a lo largo de la cuerda, pero tienen direcciones ligeramente distintas, porque actúan tangentes a la cuerda en los puntos extrem os del elem ento. La fuerza neta en la dirección y es
Fy = F sen 02 — F sen 6¡. Consideram os únicam ente desplazam ientos pequeños a partir del equilibrio, de m odo que los ángulos dt y d2 son pequeños, y podem os escribir que sen 0 “ tan 0, lo cual da
Fy *= F tan 92 — F tan 9 ¡= F ¿(tan 6),
(22)
donde <5(tan 0) = tan 02 - tan 0,. Esta fuerza resultante debe ser igual a la masa del elem ento, 8m = /j 5x, multiplicada por la com ponente y de la aceleración. Despreciando la fuerza de fricción y otras fuerzas disipativas, hallam os que la segunda ley de Newton da
Fy = Sm ay F
19-5 LA ECUACION DE LA ONDA (Opcional)
¿(tan 6) _ fi
F üy' En el capítulo 15 hem os tratado el fenóm eno de la oscilación que com únm ente encontramos. Una razón de que este fenóm eno sea tan común es que la ecuación básica que describe a un sistem a oscilatorio [x = xm eo s (cot + < p), ecuación 6 del capítulo 15] es una solución de la ecuación 5 del capítulo 15,
Para la com ponente y de la aceleración ay, usam os la aceleración transversal de una partícula, d 2y ld t2. También, reem plazam os a tan 0, que es la pendiente de la cuerda, por la derivada parcial equivalente dyjdx. H aciendo estas sustituciones, obtenem os
6(dy¡dx) _ /i d2y ~~Sx F d t2
d 2x
Ht2 que es una ecuación de una forma general que puede derivarse a partir de un análisis m ecánico de una variedad de situaciones físicas, alguna de las cuales se trataron en la sección 15-5. La situación es sim ilar en el caso del m ovim iento ondulatorio. C om o lo demostramos en esta sección , el análisis m ecánico da una ecuación de otra forma encontrada com únm ente, cuya solución es una onda de la forma dada por la ecuación 2 o por la ecuación 5. La figura 10 muestra un elem ento de una cuerda larga que som etido a una tensión F. El tránsito de una onda ha provocado que el elem ento sea desplazado de su p osición de equilibrio en y = 0. Consideram os al elem ento de la cuerda de longitud fix, y
(23)
Considerem os ahora el lím ite de la ecuación 23 cuando el elem ento de masa se vu elve m uy pequeño. El lado izquierdo está en la forma normal para expresar la derivada respecto a x com o un límite:
lím Sx— 0
S{dy/dx) Sx
d_ ( _ py dx \ d x ) dx2 ’
y el resultado final es
Py dx2
F dt 2
(24)
Sección 19-6
Reemplazando a ¡u/F por 1¡v2, obtenemos d2y H72
(25)
dt2
La ecuación 25 es la forma general de la ecuación que describe a las ondas: la segunda derivada del desplazamiento de onda y respecto a la coordenada x en dirección de la propa gación es igual a 1 /v 2 multiplicado por la segunda derivada respecto al tiempo. Esta forma general de ecuación se llama ecuación de onda. Surge no solamente en la mecánica sino también en otras situaciones. Por ejemplo, como veremos en el capítulo 41, si usamos las ecuaciones del electromagnetismo en lugar de las ecuaciones de la mecánica (las leyes de Newton), obtenemos una ecuación de exactamente la misma forma que la ecuación 25, excepto que el desplazamiento y se sustituye por la intensidad de un campo magnético o eléctrico. La velocidad de propagación v de las ondas electromagnéticas que viajan en un vacío se convierten en la velocidad de la luz c. Veamos ahora cómo la solución de la ecuación 25 es nuestra fórmula general para una onda viajera, y(x,t) =f(x ± vt). Haga mos un simple cambio de variable y que z represente a x ± vt, de modo que y = f(z). Entonces, usando repetidamente la re gla de la cadena del cálculo, dy _ df dz _ df dx dz dx dz ¡Py _ d I d f\ dz _ É l dx 2 d z \ d z ) dx dz 2 ?l = éI ¥ l = ± v éL dt dz dt ~ dz dt2
= A ( ±v £ ) ? i = /j. \2 dV dz dz \ dz) dt
2 d2f
Así, dz2
dx 2
v 2 dt2
y se satisface la ecuación 25. Puede demostrarse que únicamen te las combinaciones x ± vt en/satisfacen a la ecuación de onda, de modo que todas las ondas viajeras deben tener la forma de la ecuación 2 o de la ecuación 5.
Potencia e intensidad en el movimiento ondulatorio
475
Para expresar estos resultados de otra manera, la ecuación 24, la cual se derivó de las leyes de Newton, representa a una onda viajera únicamente cuando ¡j/F = 1/v2. Esta discusión propor ciona así una derivación independiente de la ecuación 18 para la velocidad de propagación de las ondas a lo largo de una cuerda tensada. ■
19-6 POTENCIA E INTENSIDAD EN EL MOVIMIENTO ONDULATORIO Si, como lo sugiere la figura 1, estuviese usted sacudiendo (y por tanto efectuando un trabajo en) el extremo de una cuerda, un compañero que estuviese en el otro extremo podría extraer la energía resultante (la cual se transporta a lo largo de la cuerda en la forma de la energía potencial y la energía cinética de sus elementos) y usarla para efectuar un trabajo en otro sistema. Tal transporte de energía (y de ímpetu) es, de hecho, uno de los objetivos de producir ondas. En esta sección consideraremos la cantidad de energía que transporta la cuerda. La figura 11 muestra una instantánea de la onda en los tiempos t y t + dt. Un punto de la cuerda con coordenada x tiene en un tiempo t una velocidad transversal u, la cual tiene una componente y únicamente. Esta velocidad, co mo hemos ya visto en la sección 19-4, no se relaciona con la velocidad de fase de la onda, sino que más bien tiene la magnitud dada por la ecuación 20 con (¡>= 0, dy u = — = —coym eos (kx — (ot) at para una onda sinusoidal de la forma dada por la ecua ción 11. En la figura 11 se muestra también la fuerza ejercida sobre un elemento de la cuerda por el elemento de su izquierda. La fuerza transmite energía en una cantidad dada por la ecuación 23 del capítulo 7, P = u ■F = u F .
Figura 11 Los vectores en la dirección y muestran el valor de la velocidad instantánea u de diferentes puntos de la cuerda al viajar la onda seno. La línea punteada muestra la onda en un tiempo posterior, cuando las partículas se han movido en la dirección dada por sus vectores de velocidad. Las intercalaciones muestran la fuerza sobre dos elementos diferentes de la cuerda, ejercida por el elemento de su izquierda. Nótese que la potencia instantánea u • F es positiva, sin importar dónde estemos dentro de la fase de la onda.
476
Capítulo 19 Movimiento ondulatorio
Únicamente la componente F de F a lo largo de u contri buye a la potencia; esta componente es F sen 8 , la cual, para pequeños desplazamientos, puede ser aproximada como F tan 8 = Fdy/dx, donde dy/dx es la pendiente de la cuerda en la coordenada x. Nótese que la componente y de F es paralela a u, sin importar si el elemento de la cuerda se está moviendo hacia arriba o hacia abajo. Así, uFy > 0, y por lo tanto la potencia transmitida nunca es negativa durante el ciclo de oscilación. Existe un flujo neto continuo de energía en dirección x positiva (la dirección de propagación de la onda). Sustituyendo a la componente y de la fuerza, obtenemos
(29)
Al igual que con la potencia en la onda que viaja a lo largo de la cuerda, la intensidad de cualquier onda es siempre proporcional al cuadrado de la amplitud. (Sin embargo, en ondas circulares o esféricas, la amplitud no es constante al viajar el frente de la onda; véase el proble ma muestra 3.) La energía puede disiparse mientras la onda se propaga a través del espacio. La energía mecánica de la onda puede convertirse en energía interna de la cuerda o en energía calorífica transmitida al entorno mediante la fricción in terna u otros efectos viscosos. En este capítulo desprecia mos tales transformaciones de la energía y suponemos que no se pierde energía mecánica.
- F[—a>ym eos (kx — ct>í)][—kym eos (kx — coi)] - yl,k(oF eos2(kx — cot) o sea P = yii Uva) 2 eos2(kx — o t),
(26)
donde hemos usado v = F//u y v = co/k. Nótese que la potencia o cantidad de flujo de energía no es constante. Esto se debe a que la potencia de entrada oscila: el trabajo efectuado por la mano que está moviendo el extremo de la cuerda varía con el desplazamiento trans versal de ese punto. Cuando se transporta energía a lo largo de la cuerda, la energía se almacena en cada elemen to de la cuerda como una combianción de energía cinética y de energía potencial de deformación. Esto es similar al caso del oscilador armónico simple. A menudo se considera que esta entrada de potencia a la cuerda es el promedio en un periodo del movimiento. La potencia promedio abastecida es de
J
1 f ‘+T /> = F dt,
Solución Suponemos que el medio es isotrópico y que la fuente irradia uniformemente en todas direcciones, es decir, su emisión es simétricamente esférica. La intensidad de una onda está dada por la ecuación 29. La potencia se distribuye uniformemente sobre cualquier superfi cie esférica de área A = 4nr2, y entonces
La intensidad de la onda varía inversamente con el cuadrado de su distancia desde la fuente. Puesto que la intensidad es propor cional al cuadrado de la amplitud, la amplitud de la onda debe variar inversamente con la distancia desde la fuente. Así, por ejemplo, al duplicar la distancia desde una fuente, la amplitud de una onda esférica disminuye a la mitad, y la intensidad es de únicamente la cuarta parte.___________________________
(27)
donde T es el periodo. El valor promedio de sen2 8 o de eos2 8 en un ciclo de ¿, y así obtenemos, usando la ecuación 26, F = $yhfiva>2,
Problema muestra 3 Las ondas esféricas viajan a partir de una fuente de ondas cuya potencia de salida, supuesta constante, es P; véase la figura 12. ¿Cómo depende la intensidad de la onda de la distancia a partir de la fuente?
(28)
resultado que no depende de x ni de t. La dependencia de la tasa de transferencia de energía del cuadrado de la amplitud de onda y del cuadrado de la frecuencia de onda es así, en general, para todos los tipos de ondas. A menudo es más útil especificar la intensidad de la onda en una onda tridimensional, como en el caso de una onda de luz o una onda de sonido que proviene de una fuente puntual. La intensidad I se define como la po tencia promedio por unidad de área transmitida a través de un área A normal a la dirección en que viaja la onda, es decir,
19-7 EL PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN A menudo observamos que dos o más ondas viajan en forma simultánea por la misma región del espacio, inde pendientemente entre sí. Por ejemplo, el sonido que llega a nuestros oídos proveniente de una orquesta sinfónica es muy complejo, pero podemos captar el sonido emitido por cada uno de los instrumentos por separado. En las antenas de nuestros aparatos de radio y de TV, los elec trones se ponen en movimiento por todo un conjunto de señales que parten de centros de emisión diferentes, y sin embargo podemos sintonizar cualquier estación en particular, y la señal que recibimos de esa estación es,
Sección 19-7 El principio de superposición
477
Figura 12 Problema muestra 3.
en principio, la misma que la que recibiríamos si todas las demás estaciones cesaran de emitir. Los ejemplos anteriores ilustran el principio de super posición, que postula que, cuando varias ondas se combi nan en un punto, el desplazamiento de cualquier partícula en un tiempo dado es simplemente la suma vectorial de los desplazamientos que produciría cada onda individual que actúe por sí sola. Por ejemplo, supongamos que dos ondas viajen simultáneamente a lo largo de la misma cuerda tensada. Sean_y,(x,í) y y 2 (x,t) los desplazamientos que la cuerda experimentaría si cada onda actuase por separado. El desplazamiento de la cuerda al actuar ambas ondas es, entonces, y(x,t) = y¿x,t) + y 2 (x,t),
(30)
siendo algebraica la suma en este caso. Para las ondas mecánicas en medios elásticos, el prin cipio de superposición es válido cuando la fuerza de restitución varía linealmente con el desplazamiento. Para las ondas electromagnéticas, el principio de superposición es válido porque los campos eléctricos y magnéticos se relacionan linealmente. La figura 13 muestra una secuencia de tiempo de “ins tantáneas” de dos pulsaciones que viajan en direccio nes opuestas en la misma cuerda tensada. Cuando las pulsaciones se superponen, el desplazamiento de la cuer da es la suma algebraica de los desplazamientos indivi duales de la cuerda provocados por cada una de las dos pulsaciones por separado, como lo exige la ecuación 30. Las pulsaciones se mueven simplemente entrecruzándose viajando cada una de ellas a lo largo como si la otra no existiera. El principio de superposición puede parecer un resulta do obvio, pero hay casos en los que éste no se cumple. Supongamos, por ejemplo, que una de las ondas tiene una amplitud tan grande que supera el límite elástico del medio. La fuerza de restitución ya no es directamente proporcional al desplazamiento de una partícula en el medio. Entonces, sin importar cuál sea la amplitud de la segunda onda (incluso si es muy pequeña), su efecto en un punto no es una función lineal de su amplitud. Además,
Figura 13 Dos pulsaciones viajan en direcciones opuestas a lo largo de una cuerda tensada. Se aplica el principio de superposición al entrecurzarse una y otra.
la segunda onda cambiará al pasar a través de la región no lineal, y su comportamiento posterior se alterará. Esta situación surge sólo muy raramente, y en la mayoría de los casos es válido el principio de superposición (como lo suponemos a lo largo de este texto).
Ondas complejas Cuando dos o más ondas diferentes, que puedan tener diferentes amplitudes y longitudes de onda, se hallan presentes de manera simultánea en un medio, podemos aplicar el principio de superposición en cada punto y obtener un patrón de onda y(x,t) complejo que no se parezca en absoluto a las ondas que lo componen. Sin embargo, es una forma de onda viajera aceptable. La figura 14a muestra un ejemplo del caso de dos ondas seno de igual amplitud cuya longitud de onda está en la razón de 3:1. Las ondas viajan en la misma dirección y con la misma velocidad de fase. Están en fase en x = 0. La curva más oscura muestra la forma de onda resultante que puede calcularse empleando la ecuación 30. Nóte se que no es una onda seno. En la figura 14b, las dos ondas combinadas son idénticas a las de la figura 14a, excepto
478
Capítulo 19 Movimiento ondulatorio
y
Figura 14 La adición de dos ondas con una razón de longitud de onda de 3:1 (línea más clara) produce una onda cuya forma (línea más intensa) depende de la relación de fase de las dos ondas. Compárense (a) y (b), que muestran relaciones de fase diferentes de las ondas sumadas.
que están 180° fuera de fase en x = 0. La forma de onda resultante es bastante diferente de la de la figura 14a. Al cambiar la designación del eje horizontal en la figura 14 de x a t, tendríamos una representación de la superpo sición de dos ondas en función del tiempo en un punto en particular. Tal gráfica podría representar, por ejemplo, el movimiento en el tiempo de un punto en particular de una cuerda en respuesta a la combinación de dos ondas. Análisis de F ourier (Opcional) Físicamente, la importancia del principio de superposición es que, cuando es válido, permite analizar un movimiento ondula torio complicado como una combinación de ondas sencillas. De hecho, como el matemático francés J. Fourier (1768-1830) pudo demostrar que, para construir la forma más general de una onda periódica sólo necesitamos ondas armónicas simples. Fourier demostró que cualquier movimiento periódico de una partícula puede ser representado como una combinación de movimientos armónicos simples. Por ejemplo, si y(x) representa la forma de onda (en un tiempo en particular) de una fuente de ondas que tengan una longitud de onda A, podemos analizar a y(x) como sigue: y(x) = A0 + A¡ sen kx + A 2 sen 2kx + A} sen 3kx + • • • + 5, eos k x + B2 eos 2k x + eos 3k x + ■■■, (31) donde k = 2n¡X. Esta expresión se conoce como serie de Fourier. Los coeficientes A¡ y B¡ tienen valores definidos para cualquier movimiento periódico y(x) en particular. Por ejemplo, la llama da onda de diente de sierra de la figura 15 puede escribirse v(x) = —- sen kx — sen 2kx — sen 3kx — • • •. n 2n 3n Si el movimiento no es periódico, como en el caso de una pulsación, la suma se sustituye por una integral: la integral de Fourier. De aquí que cualquier movimiento (pulsado o conti nuo) de una fuente de ondas pueda ser representado en términos de una superposición de movimientos armónicos simples, y que cualquier forma de onda así generada pueda ser analizada como una combinación de componentes que son, por separado, ondas armónicas simples. Esto ilustra una vez más la importancia del movimiento armónico y de las ondas armónicas. La forma de onda mantendrá su forma únicamente al viajar en un medio no dispersivo. En un medio dispersivo, las formas de onda de las ondas sinusoidales componentes no cambian, pero cada una de ellas puede viajar con una velocidad diferente. En este caso, la forma de la onda combinada cambia al alterarse
la relación de fase entre las componentes. La onda puede también cambiar de forma si cede energía mecánica al medio, tal como por la resistencia del aire, la viscosidad, o la fricción interna. Tales fuerzas disipativas dependen a menudo de la velocidad, y así las componentes de Fourier más fuertemente afectadas son aquellas con velocidades más elevadas de la partícula (es decir, aquellas con frecuencias altas, de acuerdo con la ecuación 20, donde se ve que u depende de co). Aquí, una vez más, la forma de onda puede cambiar, al perder amplitud más rápidamente las componentes con frecuencias más altas. Un ejemplo de este fenómeno es el debilitamiento con el tiempo del sonido de las cuerdas del piano. El movimiento vibratorio de una cuerda de piano, inmediatamente después de haber sido percutida por el martillo, incluye una amplia gama de frecuen cias, las cuales le dan su tono característico. Las componentes de más alta frecuencia de este movimiento complejo disipan su energía más rápidamente que las componentes de frecuencia más baja, por lo que el carácter de duración de un tono puede cambiar con el tiempo. ■
19-8 INTERFERENCIA DE ONDAS Cuando dos o más ondas se combinan en un punto deter minado, se dice que interfieren, y el fenómeno se conoce como interferencia. Como veremos, la forma de onda resultante depende fuertemente de las fases relativas de las ondas que interfieren. La figura 16 muestra un ejemplo de interferencia de ondas. Consideremos en primer lugar dos ondas sinusoidales transversales de igual amplitud y longitud de onda, que viajan en dirección x con la misma velocidad. Hagamos que la constante de fase de una onda sea (j>, mientras que la de la otra es cj>= 0. La figura 17 muestra la forma de onda combinada en un tiempo para los dos casos de cj> cercano a 0o (las ondas están prácticamente en fase) y de c¡>cercano a 180° (las ondas están prácticamente fuera de fase). Simplemente sumando los desplazamientos in dividuales en cada x puede verse que en el primer caso existe un refuerzo casi completo de las dos ondas y la resultante tiene casi el doble de la amplitud de sus com ponentes individuales, mientras que en el segundo caso existe una cancelación casi completa en cada punto y la
Sección 19-8 Interferencia de ondas
479
---------------------------------------------------
y
Figura 15 (a) La línea punteada es una onda de diente de sierra muy común en electrónica. Puede representarse por medio de una serie de Fourier de ondas seno. (ti) Se muestran las primeras seis ondas seno de la serie de Fourier que representan a la onda de diente de sierra, y su suma se muestra en la parte (a) por medio de una curva de línea continua. Al incluir más términos, la serie de Fourier resulta una mejor aproximación de la onda.
amplitud resultante está cerca de cero. Estos casos se conocen, respectivamente, como interferencia constructi va e interferencia destructiva. Veamos cómo surge la interferencia de las ecuaciones de las ondas. Consideremos un caso general en el que las dos ondas tengan constantes de fase 0, y
(32)
yi(x ,t) = y m sen (k x - c o i -
(33)
y
Hallemos ahora la onda resultante. Usando el principio de superposición, tomamos la suma de las ecuaciones 32 y 33, lo cual da y (x ,t) = y¡(x,t) + y 2(x,t)
= ym[sen (k x - cot - 0 ,) + sen (k x — cot — (f>2)].
(34)
Partiendo de la identidad trigonométrica para la suma de los senos de dos ángulos, sen B + sen C = 2 sen %(B + C) eos $(B — C),
(35)
obtenemos, después de cierto manejo, y(x,t) = [2ym eos (A0/2)] sen (kx — cot — 0 '),
(36)
donde 0' = (0, + 02)/2. La cantidad= A0 = (02 - ,) se llama diferencia de fase entre las dos ondas. Esta onda resultante corresponde a una nueva onda que tiene la misma frecuencia pero una amplitud 2ym|cos (A0/2)|. Si A0 es muy pequeño (comparado con 180°), la amplitud resultante es casi 2 ym (como se muestra en la Fig. 17a). Cuando A<¡>es cero, las dos ondas tienen la mis ma fase en cualquier parte. La cresta de una cae sobre la cresta de la otra y de igual modo los valles, lo cual da una interferencia constructiva total. La amplitud resultante es precisamente del doble de la de cualquier onda aislada. Si, en cambio, A(j>está cerca de 180°, la amplitud resultante es de casi cero (como se muestra en la figura 17tí). Cuando A0 es exactamente 180°, la cresta de una onda cae exac tamente sobre el valle de la otra. La amplitud resultante es cero, correpondiente a la interferencia destructiva total. Obsérvese que la ecuación 36 tiene siempre la forma de una onda sinusoidal. Así, al sumar dos ondas, seno de la misma longitud de onda y amplitud se obtiene siempre una onda seno de longitud de onda idéntica. Podemos
480
Capítulo 19 Movimiento ondulatorio
individuales son ylra y y2m, y, por lo tanto, las ondas están en fase (A
Figura 16 Dos trenes de ondas, en este caso rizos circulares de dos perturbaciones diferentes, interfieren al superponerse en puntos particulares. El desplazamiento en cualquier punto es la superposición de los desplazamientos por separado debidos a cada una de las dos ondas.
l*i — x 2¡= K
también sumar componentes que tengan la misma longi tud de onda pero amplitudes diferentes. En este caso, la resultante es nuevamente una onda seno con idéntica longitud de onda, pero la amplitud resultante no tiene la forma simple dada por la ecuación 36. Si las amplitudes
/
/
/ / \\
\\
CM
/
\
(37)
En otros puntos P, las distancias diferentes x t y x 2 dan por resultado ondas que posiblemente lleguen a P fuera de fase, aunque hayan incluso comenzado en fase al salir de las bocinas. El entorno que constituye al auditorio podría, por lo tanto, tener “puntos muertos” en los que
..." X "
?! + y2
/ /
\
//
i
(b)
3A, . . . .
yi
Figura 17 (a) La superposición de dos ondas de igual longitud de onda y amplitud que estén prácticamente en fase da por resultado una onda de casi el doble de la amplitud de cualquiera de las componentes. (b) La superposición de dos ondas de igual longitud de onda y amplitud que estén casi a 180° fuera de fase da por resultado una onda cuya amplitud es prácticamente cero. Nótese que la longitud de onda de la resultante no cambia en ninguno de los casos.
Sección 19-8 Interferencia de ondas
481
véase el problema muestra 3). No existirá entonces una interferencia destructiva completa. (En ciertas geometrías es posible que el sonido irradiado por la parte trasera de una bocina interfiera con el sonido irradiado por la parte frontal. Estas dos ondas están a 180° fuera de fase, y su interferencia puede reducir la intensidad del sonido en lu gares frente a la bocina. Se han diseñado cajas de bocinas que eliminan este efecto.)
Figura 18 Suma de dos ondas de la misma longitud de onda y fase pero de diferentes amplitudes (líneas de menor intensidad) da una resultante de la misma longitud de onda y fase, (a) Las amplitudes se suman si las ondas están en fase, y (b) se restan si las ondas están 180° fuera de fase.
Problema muestra 4 Dos ondas viajan en la misma dirección a lo largo de una cuerda e interfieren entre sí. Las ondas tienen la misma longitud de onda y viajan con la misma velocidad. La amplitud de cada onda es de 9.7 mm, y existe una diferencia de fase de 110° entre ellas. (a) ¿Cuál es la amplitud de la onda combinada que resulta de la interferencia de las dos ondas? (b) ¿A qué valor se debería cambiar la diferencia de fase de modo que la onda combinada tenga una amplitud igual a la de una de las ondas originales? Solución (a) La amplitud de la onda combinada se dio en la ecuación 36: 2yJcos (A0/2)| = 2(9.7 mm)|cos (110°/2)| —11.1 mm. (b) Si la cantidad 2ym|cos (A0/2| ha de ser igual a ym, entonces debemos tener que 2|cos (A/2)| = 1, o sea A0 = 2cos-‘(i)= 120° or -120°. Cualquier onda puede ir delante de la otra por 120° (más o menos cualquier múltiplo entero de 360°) para producir la onda combinada deseada.
Figura 19 Dos altoparlantes, accionados por una fuente común, envían señales al punto P, donde éstas se interfieren.
existe interferencia destructiva parcial o completa para una longitud de onda X en particular. La interferencia destructiva máxima se presenta en los puntos en que I * i* c* 1*1 - *zl = 2 >3 2 ’ 5 2 :
(38)
correspondientes a una diferencia de fase de 180°, 540°, 900°, y así sucesivamente. Por supuesto, si las bocinas emiten una mezcla de muchas longitudes de onda diferentes, ciertos puntos P podrían mostrar una interferencia destructiva para una longitud de onda y una interferencia constructiva para otra. El factor crítico en la determinación de las posiciones de los máximos y mínimos de la intensidad del sonido es la diferencia de trayectoria |x, - x2|. En los puntos que no estén en el plano medio representado por la línea AB, las dos componentes llegan con amplitudes diferentes (por que las distancias desde las bocinas no son las mismas;
Problema muestra 5 En la geometría de la figura 19, un oyente está sentado en un punto a una distancia de 1.2 m directamente enfrente de una bocina. Las dos bocinas, separadas por una distancia D de 2.3 m, emiten tonos puros de longitud de onda A. Las ondas están en fase al salir de las bocinas. ¿Para qué longitudes de onda oirá el oyente un mínimo de intensidad del sonido? Solución De acuerdo con los criterios de la ecuación 38, la intensidad mínima de sonido ocurre cuando las ondas de las dos bocinas se interfieren destructivamente. Si el oyente está senta do enfrente de la bocina 2, entonces x 2 = 1.2 m, y x, puede hallarse a partir de la fórmula pitagórica, x, = f x f f W
2
= V( 1.2 m)2 + (2.3 m)2 = 2.6 m.
Así, x, - x 2 = 2.6 m - 1.2 m = 1.4 m, y, de acuerdo con la ecuación 38, tenemos que 1.4m = A/2, 3A/2, 5A/2, que corresponde a A= 2.8 m, 0.93 m, 0.56 m, . . . . No ocurrirá una interferencia destructiva completa en esta posición, porque las dos ondas que llegan al punto de observa ción tienen amplitudes diferentes, siempre y cuando salgan de las bocinas con amplitudes iguales.
482
Capítulo 19 Movimiento ondulatorio
JO l
(a) (*)l
\ / m
(c)
A n y t = 0
U v
y
A A
p", ' 3
t =
4
rp
t = T
Figura 20 (a, b) Dos ondas viajeras de la misma longitud de onda y amplitud, se mueven en direcciones opuestas, (c) La superposición de las dos ondas en instantes de tiempo diferentes. Los nodos del patrón de onda estacionaria se hallan indicados por puntos gruesos. Nótese que las ondas viajeras no tienen nodos.
19-9 ONDAS ESTACIONARIAS__________ En la sección anterior considerábamos el efecto de super poner dos ondas componentes de igual amplitud y fre cuencia que se mueven en la misma dirección en una cuerda. ¿Cuál es el efecto cuando las ondas se mueven a lo largo de la cuerda en direcciones opuestas? La figura 20 es una indicación gráfica del efecto de sumar las formas de onda componentes para obtener la resultante. En la figura se muestran dos ondas viajeras, una moviéndose hacia la izquierda y la otra hacia la derecha. Se muestran “instantáneas” de las dos ondas componentes y su resultante en intervalos de ± de periodo. De esta superposición resulta una característica par ticular: existen ciertos puntos a lo largo de la cuerda, llamados nodos, en los cuales el desplazamiento es nulo en todo momento. (La figura 18 muestra también ciertos puntos en los que la resultante tenía un desplazamiento nulo, pero esa figura representaba una instantánea de las ondas viajeras en un momento particular. Si tomásemos otra instantánea un momento más tarde, hallaríamos que aquellos puntos ya no tienen desplazamiento nulo, porque la onda está viajando. En la figura 20c, los ceros perma necen como ceros en todo momento.) Entre los nodos se hallan los antinodos, donde el desplazamiento oscila con la amplitud más grande. Tal patrón de nodos y antinodos se denomina onda estacionaria. Para analizar matemáticamente a la onda estacionaria, representemos a las dos ondas por
o, haciendo uso de la relación trigonométrica de la ecua ción 35, y(x,t) = [2 ym sen kx] eos (ot.
(40)
La ecuación 40 es la ecuación de una onda estacionaria. No puede representar a una onda viajera, porque x y t no aparecen en la combinación x - v to x + vt exigida por una onda viajera. Nótese que una partícula en cualquier posición jc deter minada ejecuta un movimiento armónico simple en el transcurso del tiempo, y que todas las partículas vibran con la misma frecuencia angular co. En una onda viajera cada partícula de la cuerda vibra con la misma ampli tud. Sin embargo, en una onda estacionaria, la amplitud no es la misma para todas las partículas sino que varía con la posición x de la partícula. De hecho, la amplitud |2ymsen kx|, tiene un valor máximo de 2 ym en las posicio nes donde _ n
2
3n
5n
’T ’T ’
o bien = X 3X 5A x~ 4*4 ’ 4 ’ •
(41)
Estos puntos son los antinodos y están separados por de longitud de onda. La amplitud tiene un valor mínimo de cero en las posiciones donde kx — n, 2 n, hn, o bien
y¡(x,t) = ym sen (kx - cot),
X
y 2 (x,t) = ym sen (kx + cot).
2
3X ’
2
(42) ’
De aquí que la resultante se pueda expresar como: y(x,t) = y¿x,t) + y 2 (x,t) = ym áen (kx — wt) + ym sen (kx + wt)
(39)
Estos puntos son los nodos y están también separados por { de longitud de onda. La separación entre un nodo y un antinodo adyacente es de - de longitud de onda.
Sección 19-9
Ondas estacionarias
483
Figura 21 Onda estacionaria en una cuerda tensa que muestra un ciclo de oscilación. En (a) la cuerda está momentáneamente en reposo con los antinodos en su desplazamiento máximo. La energía de la cuerda es energía potencial elástica totalmente. (ti) Un octavo de ciclo más tarde, el desplazamiento se reduce y la energía es parcialmente potencial y parcialmente cinética. Lps vectores muestran las velocidades instantáneas de las partículas de la cuerda en ciertas posiciones, (c) El deplazamiento es cero; no existe energía potencial, y la energía cinética es máxima. Las partículas de la cuerda tienen sus velocidades máximas, (d - h) El movimiento continúa a través del resto del ciclo, transformándose continuamente la energía en las formas cinética y potencial.
Está claro que no se transporta energía a lo largo de la cuerda hacia la derecha o hacia la izquierda, ya que la energía no puede fluir más allá de los nodos de la cuerda, los cuales están permanentemente en reposo. De aquí que la energía permanezca “estacionaria” en la cuer da, si bien alterna entre energía cinética vibratoria y energía potencial elástica. Cuando los antinodos están todos en sus desplazamientos máximos, la energía se almacena enteramente como energía potencial, en espe cial como una energía potencial elástica asociada al esti ramiento de la cuerda. Cuando todas las partes de la cuerda pasan simultáneamente por la posición de equili brio (como en la segunda y cuarta instantáneas de la Fig. 20), la energía se almacena enteramente como energía cinética. La figura 21 muestra una descripción más deta llada de la transformación de la energía entre las formas potencial y cinética durante un ciclo de oscilación. Com párese la figura 21 con la figura 6 del capítulo 8 para el sistema oscilatorio bloque-resorte. ¿En qué se parecen estos sistemas? Podemos considerar de igual manera al movimiento como una oscilación de la cuerda como un todo, experi mentando cada partícula un movimiento armónico simple de frecuencia angular co y con una amplitud que depende
de su posición. Cada pequeña parte de la cuerda tiene iner cia y elasticidad, y la cuerda en su conjunto puede verse como una colección de osciladores acoplados. De aquí que la cuerda vibratoria sea lo mismo en principio que el sistema bloque-resorte, excepto que el sistema bloque-re sorte tiene únicamente una frecuencia natural, y la cuerda vibratoria tiene un gran número de frecuencias naturales (véase la sección 19-10). Una manera fácil de conseguir una onda estacionaria consiste en superponer a una onda que viaje por una cuerda con su onda reflejada que viaje en la dirección opuesta. Consideremos ahora más detenidamente el pro ceso de reflexión de una onda. Supongamos una pulsación que viaje por una cuerda tensa que está fija en un extremo, como se muestra en la figura 22a. Cuando la pulsación llega a ese extremo, ejerce una fuerza hacia arriba sobre el apoyo. El apoyo es rígido, sin embargo, y no se mueve. Según la tercera ley de Newton, el apoyo ejerce una fuerza igual sobre la cuerda pero directamente opuesta. Esta fuerza de reacción genera una pulsación en el apoyo, el cual viaja de regreso a lo largo de la cuerda en dirección opuesta a la de la pulsación incidente. Decimos que la pulsación incidente ha sido reflejada en el punto extremo fijo de la cuerda. Nótese que la pulsación reflejada regresa
484
Capítulo 19 Movimiento ondulatorio
con su desplazamiento transversal invertido. Si un tren de ondas es incidente en el punto extremo fijo, se genera un tren de ondas reflejado en ese punto de la misma manera. El desplazamiento de cualquier punto a lo largo de la cuerda es la suma de los desplazamientos causados por las ondas incidente y reflejada. Puesto que el punto extremo está fijo, estas dos ondas deben interferir entre sí siempre destructivamente en ese punto, de modo que el desplaza miento será nulo allí. De aquí que la onda reflejada esté siempre 180° fuera de fase con la onda incidente en un extremo fijo. Al reflejarse en un extremo fijo, una onda transversal experimenta un cambio de fase de 180°. En la figura 22b se representa la reflexión de una pulsación en un extremo libre de una cuerda tensa, es decir, en el extremo que tiene libertad de moverse trans versalmente. El extremo de la cuerda está unido a un aro muy ligero que puede deslizarse libremente sin fricción a lo largo de una barra transversal. Cuando la pulsación llega al extremo libre, ejerce una fuerza sobre el elemento de la cuerda allí situado. Este elemento se acelera, y (como en el caso de un péndulo) su movimiento lo lleva más allá del punto de equilibrio; se “pasa de largo” y ejerce una fuerza de reacción sobre la cuerda. Esto genera una pul sación que viaja de regreso a lo largo de la cuerda en dirección opuesta a la de la pulsación incidente. Una vez más tenemos una reflexión, pero ahora en un extremo libre. El extremo libre sufrirá obviamente el desplaza miento máximo de las partículas de la cuerda; un tren de ondas incidente y otro reflejado deben interferir construc tivamente en ese punto si han de tener un máximo allí. De aquí que la onda reflejada esté siempre en fase con la onda incidente en ese punto. En un extremo libre, una onda transversal se refleja sin cambiar de fase. La figura 23 muestra exposiciones de tiempo de los patrones de onda estacionaria que pueden obtenerse al sacudir una cuerda tensa que esté fija en un extremo. Hasta ahora hemos supuesto que la onda se refleja en el extremo sin pérdida de intensidad. En la práctica encon tramos que existe siempre una reflexión parcial y una transmisión parcial en cualquier frontera entre dos me dios; por ejemplo, si observamos un trozo de vidrio de ventana ordinario, podemos ver que parte de la luz se refleja de regreso hacia uno y parte se transmite a través del vidrio. Podemos demostrar este efecto con ondas transversales en cuerdas amarrando juntas dos cuerdas de densidades de masa diferentes. Cuando una onda que viaja a lo largo de las cuerdas llega al punto en que las cuerdas están unidas, parte de la energía de la onda se transmite a la otra cuerda y parte se refleja de regreso. La amplitud de la onda reflejada es menor que la amplitud de la onda incidente original, porque la onda transmitida a la segunda cuerda transporta parte de la energía incidente. Si la segunda cuerda tiene una densidad de masa mayor que la primera, la onda reflejada de regreso hacia la primera cuerda sufre aún un cambio de fase de 180° al ser
rv
j
y \ ( a)
0)
Figura 22 (a) Una pulsación transversal incidente desde la derecha se refleja por una pared rígida. Nótese que la fase de la pulsación reflejada se invierte o se cambia en 180°. (b) Aquí el extremo de la cuerda puede moverse con libertad, estando unida la cuerda a un aro que puede deslizarse libremente a lo largo de la barra. La fase de la pulsación reflejada no cambia.
reflejada. Pero a causa de que su amplitud es menor que la de la onda incidente, el punto frontera no es un nodo y se mueve. Ocurre así una transferencia neta de energía a lo largo de la primera cuerda hacia la segunda. Si la segunda cuerda tiene una densidad de masa menor que la primera, ocurre una reflexión parcial sin cambio de fase, pero una vez más se transmite energía hacia la segunda cuerda. En la práctica, la mejor manera de com probar un “extremo libre” en una cuerda consiste en amarrarla a otra cuerda larga y mucho más ligera. La energía transmitida es despreciable, y la segunda cuerda sirve para mantener la tensión en la primera. Nótese que la onda transmitida viaja con una veloci dad diferente de la de las ondas incidente y reflejada. La velocidad de la onda está determinada por la relación v = -JF / j j ; la tensión es la misma en ambas cuerdas, pero sus densidades son diferentes. De aquí que la onda viaje más lentamente en la cuerda más densa. La frecuencia de la onda transmitida es la misma que la de las ondas incidente y reflejada. (Si no fuera esto así, existiría una
Sección 19-10 Resonancia
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Figura 23 Un estudiante sacude una cuerda tensa (en realidad un tubo de hule) a cuatro frecuencias resonantes, produciendo cuatro patrones diferentes de ondas estacionarias.
discontinuidad en el punto en que las cuerdas están uni das.) Las ondas, que tienen la misma frecuencia pero viajan con velocidades diferentes, tienen longitudes de onda diferentes. Partiendo de la relación A = v¡v, conclui mos que la longitud de onda es más corta en la cuerda más densa, donde v es más pequeña. Este fenómeno de cambio de longitud de onda al pasar la onda de un medio a otro lo encontraremos con frecuencia en nuestro estudio de las ondas de luz. También se presenta en las ondas de sonido: una cuerda, como la de una guitarra, vibra con cierta frecuencia y cierta longitud de onda; la onda transmitida al aire tiene la misma frecuencia que la de la cuerda, pero una longitud de onda diferente, debido a que la velocidad de las ondas de la cuerda difiere de su velocidad en el aire.
19-10 RESONANCIA Veamos de nuevo los patrones de la onda estacionaria de la figura 23. Podemos ver que pueden presentarse cuatro ondas estacionarias diferentes. El espaciamiento entre los nodos difiere en los cuatro patrones, y puesto que la longitud de onda es el doble de la distancia entre nodos adyacentes, la longitud de onda difiere también. Por otra parte, la velocidad de fase es la misma en las cuatro situaciones, estando determinada únicamente por la ten sión de la cuerda. La relación v = Xv nos dice entonces que si v es constante y X cambia, la frecuencia v debe ser ciertamente diferente para las diferentes ondas estaciona rias. En las fotografías, el estudiante debe estar por lo tanto sacudiendo la cuerda a ciertas frecuencias diferentes pero bien definidas.
Las fotos de la figura 23 parecen mostrar un sistema con nodos en ambos extremos. (Si el estudiante está sacudiendo la cuerda en un extremo, lo hace con una amplitud muy pequeña de modo que el extremo sea aproximadamente un nodo.) El espaciamiento entre no dos es siempre de la mitad de la longitud de onda, de modo que la condición para que en la cuerda se produzca una onda estacionaria es que la longitud L de la cuerda sea igual a un número entero n de medias longitudes de onda: L = n\
(n = 1<2<3, ■ ■ •)
A„ = — n
(«=1,2,3,...).
o bien (43)
En términos de la frecuencia, podemos escribir la ecua ción 43 como: vn = Y = n J Z
( « = 1>2>3> • •
(44)
Es decir, el estudiante debe sacudir la cuerda a estas frecuencias particulares (correspondiendo a n = 1, 2, 3, y 4) para producir las ondas estacionarias. Podemos considerar que las frecuencias de la ecuación 44 son las frecuencias naturales del sistema oscilatorio (la cuerda). Cuando la frecuencia de la fuerza impulso ra (la mano del estudiante) concuerda con las frecuencias naturales permitidas, se produce una onda estacionaria y el sistema comienza a moverse con una gran amplitud. Esta es la condición de resonancia que estudiamos ante riormente en la sección 15-9.
486
Capítulo 19 Movimiento ondulatorio N
= 1
N
= 2
N
= 3
Figura 24 Algunos patrones de oscilación de un oscilador que tiene elementos concentrados, estando conectados los cuerpos oscilatorios en este caso mediante resortes de masa despreciable. Cada patrón de movimiento diferente tiene una frecuencia natural diferente, siendo el número de frecuencias naturales igual al número de cuerpos oscilatorios.
Un bloque colgado de un resorte es también capaz de resonar, pero únicamente a una sola frecuencia. ¿Por qué entonces tiene la cuerda tensa un número infinito de fre cuencias resonantes? En el sistema bloque-resorte la iner cia (el bloque) está concentrada (“amontonada”) en una parte del sistema mientras qué la elasticidad (el resorte) está concentrada en otra. Se dice que tal sistema resonante tiene elementos concentrados. Por otra parte, se dice que la cuerda tensa tiene elementos distribuidos, porque cada parte de la cuerda tiene propiedades tanto inerciales como elásticas. Son muchas las formas posibles en que la cuerda puede almacenar sus energías cinética y potencial, en contraste con sólo una única manera en el sistema bloqueresorte. Un sistema concentrado de N objetos tiene N frecuencias naturales, cada una de las cuales corresponde a un patrón de oscilación diferente (Fig. 24). El límite cuando N tiende al infinito nos conduce al sistema com pletamente distribuido de la cuerda tensa, con su número infinito de frecuencias resonantes. Si la cuerda vibratoria de la figura 23 se pusiera en movimiento y luego se dejara sola, las vibraciones des aparecerían en forma gradual. El movimiento de la cuerda está amortiguado por la disipación de energía a través de los soportes en los extremos y por la resistencia del aire al movimiento. Para mantener la vibración, el estudiante debe suministrar cierta energía al sistema aplicando una fuerza impulsora. Cuando la frecuencia impulsora es muy diferente a la de las frecuencias resonantes, la onda refle jada hace que la cuerda efectúe un trabajo sobre la mano del estudiante; de esta manera, la cuerda pierde energía, a lo que hay que añadir la pérdida por amortiguamiento. En la resonancia, el movimiento de la mano del estudiante está en fase con el de la cuerda, y la cuerda no pierde energía a causa del trabajo efectuado sobre la mano del estudiante. Toda la energía suministráda por el estudiante, menos la pérdida por amortiguamiento, se almacena en la
oscilación, y el resultado es un movimiento de una gran amplitud. Finalmente, se llega a una situación estable en la que la energía suministrada por la fuerza impulsora equilibra exactamente las pérdidas debidas al amortigua miento. Este movimiento es análogo al del oscilador armónico amortiguado que hemos estudiado en la sección 15-9. La frecuencia resonante es casi, pero no exactamente, una frecuencia natural de la cuerda. Los nodos aparentes no son verdaderos nodos, porque la energía debe estar flu yendo por ellos a lo largo de la cuerda para compensar las pérdidas debidas al amortiguamiento. Si no existiera un amortiguamiento, la frecuencia resonante sería exacta mente una frecuencia natural, y la amplitud aumenta ría sin límite al continuar siendo suministrada energía a la cuerda. Finalmente, se excedería el límite elástico y la cuerda se rompería. (El límite elástico puede excederse aunque haya amortiguamiento presente, como se mostró en la figura 21 del capítulo 15.) Si el estudiante sacude la cuerda con una frecuencia que difiera de una de las frecuencias naturales del sistema, la onda reflejada regresa a la mano del estudiante fuera de fase con el movimiento de la mano. En este caso, la cuerda efectúa un trabajo sobre la mano, en adición al que la mano efectúa sobre la cuerda. No se produce ningún pa trón fijo de onda estacionaria. La amplitud del movimien to resultante es pequeña y no muy diferente a la del movimiento de la mano del estudiante. Esta situación es análoga al movimiento errático de un columpio que sea impulsado con una frecuencia diferente a la natural; el desplazamiento resultante del columpio es bastante pe queño. En la resonancia, la cuerda absorbe tanta energía como puede de la mano del estudiante. Esto sucede así en todo sistema vibratorio. Al sintonizar un aparato de radio, la frecuencia natural de un circuito electrónico se cambia
Preguntas
hasta que concuerda con una frecuencia particular de las ondas de radio que estén siendo transmitidas por la esta ción. En ese momento el circuito resuena con la señal y absorbe tanta energía de la señal como puede. Otras condiciones de resonancia similares se presentan en el sonido, el electromagnetismo, la óptica, y las físicas ató mica y nuclear. En el capítulo siguiente consideraremos con mayor detalle la importancia de la resonancia para entender las propiedades de diferentes instrumentos musicales y la manera en que se producen sus sonidos característicos. Si bien en esta sección hemos utilizado una cuerda vibrante como ejemplo de un sistema vibratorio, los principios estudiados aquí se aplican a todos los sistemas vibratorios que puedan mantener un movimiento ondulatorio.
487
W
Figura 25 Problema muestra 6. Una cuerda sometida a tensión está conectada a un vibrador. A una frecuencia fija del vibrador, los patrones de la onda estacionaria ocurrirán para ciertos valores discretos de la tensión en la cuerda.
las tres longitudes de onda más largas de las resonancias de la cuerda? (b) ¿Cuáles son las longitudes de onda correspondientes que llegan al oído del oyente? Solución (a) Las longitudes de onda resonantes de una cuerda de longitud L = 0.34 m pueden hallarse directamente de la ecuación 43:
Problema muestra 6 En el arreglo de la figura 25, un vibrador pone en movimiento a la cuerda con una frecuencia de 120 Hz. La cuerda tiene una longitud de L = 1.2 m, y su densidad de masa lineal es de 1.6 g/m. ¿A qué valor debe ajustarse la tensión (aumentando el peso colgante) para obtener el patrón de movi miento de cuatro rizos? Solución Para hallar la tensión, podemos sustituir a la ecua ción 18 por la ecuación 44 y obtener 4LV/t Se encuentra que la tensión correspondiente a n =4 (para cuatro rizos) es r
4(1.2 m)2( 120 Hz)2(0.0016 kg/m) 42
E JN
Esto corresponde a un peso colgante de unas 2 Ib.
Á¡ = 2L/1 = 2(0.34 m) = 0.68 m, A2 = 2L/2 = 0.34 m, A3 = 2L/3 = 0.23 m. (b) Cuando una onda pasa de un medio (la cuerda) a otro (el aire) de velocidad de onda diferente, la frecuencia permanece igual, pero la longitud de onda cambia. La ecuación 19 da la relación entre las longitudes de onda. Para hallar la velocidad de onda de la cuerda, observamos que en el modo resonante más bajo v = 440 Hz y A = 0.68 m, de modo que v ~ vk = (440 Hz)(0.68 m) = 299 m/s. En el aire, la velocidad de la onda es de 343 m/s, y partiendo de la ecuación 19 obtenemos ^"airc
^"cufrda
=k
343 m/s - , cu'rd" 299 m/s
Entonces hallamos que las longitudes de onda en el aire son: Problema muestra 7 Una cuerda de violín sintonizada en la nota la (440 Hz) tiene una longitud de 0.34 m. (a) ¿Cuáles son
A, = 0.78 m,
A2= 0.39 m,
A3 = 0.26 m.
PREGUNTAS 1. ¿Cómo podría usted probar experimentalmente que la energía se halla asociada a una onda? 2. La energía puede transferirse por partículas y por ondas. ¿Cómo podemos distinguir experimentalmente entre estos métodos de transferencia de la energía? 3. ¿Puede generarse un movimiento ondulatorio en el que las partículas del medio vibren con un movimiento angular armónico simple? De ser así, explique cómo y describa la onda. 4. Al analizar el movimiento de una onda elástica a través de un medio material, a menudo despreciamos la estructura molecular de la materia. ¿Cuándo se justifica esto y cuán do no?
5. ¿Cómo varían la amplitud y la intensidad de las on das de la superficie del agua con la distancia desde la fuente? 6. ¿Cómo podemos crear ondas planas? ¿Y ondas esféricas? 7. Al pasar un bote de motor crea una estela que causa ondas que bañan la orilla. Al paso del tiempo, el periodo de las ondas que llegan se hace cada vez más corto. ¿Por qué? 8. Las siguientes funciones en las que A es una constante son de la forma y =j[x ± vt): y = A(x —vt),
y = A(x + vt)2,
y = A^lx —vt,
y = A ln(x + vt).
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Capitulo 19 Movimiento ondulatorio
Explique por qué estas funciones no son útiles en el movimiento ondulatorio. ¿Puede uno producir en una cuerda una forma de onda que tenga una discontinuidad en la pendiente en un punto, es decir, una esquina aguda? Explique. La ley del cuadrado inverso no se aplica exactamente a la disminución de la intensidad de los sonidos con la distan cia. ¿Por qué? Cuando dos ondas interfieren entre sí, ¿altera una el pro greso de la otra? Cuando dos ondas interfieren entre sí, ¿existe pérdida de energía? Explique su respuesta. ¿Por qué no observamos efectos de interferencia entre los haces de luz emitidos por dos lámparas de mano o entre las ondas de sonido emitidas por dos violines? Como lo muestra la figura 20, la configuración de las ondas estacionarias en una cuerda tensa es una línea recta dos veces durante el ciclo, exactamente como seria si la cuerda no vibrara en absoluto. Explique desde el punto de vista de la conservación de la energía. Dos ondas de la misma amplitud y frecuencia están via jando en la misma cuerda. En cierto momento la cuerda se asemeja a una línea recta. ¿Viajan las dos ondas nece sariamente en la misma dirección? ¿Cuál es la relación de fase entre las dos ondas? Si dos ondas difieren únicamente en amplitud y se pro pagan en direcciones opuestas a través de un medio, ¿producirán ondas estacionarias? ¿Se transporta energía? ¿Existen nodos? La reflexión parcial de la energía ondulatoria a causa de discontinuidades en la trayectoria de transmisión es usual mente disipante y puede reducirse a un mínimo por medio de la inserción de aparatos de “igualación de la impedancia” entre las secciones de la trayectoria que limitan con la discontinuidad. Por ejemplo, un megáfono ayuda a
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igualar la columna de aire de boca y garganta con el aire afuera de la boca. Dé otros ejemplos y explique cualitati vamente cómo tales aparatos minimizan las pérdidas por reflexión. Considere que las ondas estacionarias de una cuerda son una superposición de ondas viajeras y explique, usando ideas de superposición, por qué no existen nodos reales en la cuerda resonante de la figura 25, ni siquiera en el extremo “fijo”. (Sugerencia: Considere los efectos del amortiguamiento.) Las ondas estacionarias de una cuerda se demuestran por medio de un arreglo como el de la figura 25. La cuerda es iluminada por una lámpara fluorescente y el vibrador está impulsado por la misma toma eléctrica que energiza a la lámpara. La cuerda exhibe una variación curiosa del color en dirección transversal. Explique. En la discusión sobre las ondas transversales de una cuer da, hemos tratado únicamente con desplazamientos en un solo plano, el plano xy. Si todos los desplazamientos están en un plano, se dice que la onda es planamente polarizada. ¿Pueden existir desplazamientos en otro plano que aquél con el que tratamos? De ser así, ¿pueden combinarse las ondas polarizadas en dos planos diferentes? ¿Qué aparien cia tendría tal combinación de ondas? Una onda transmite energía. ¿Transfiere ímpetu? ¿Puede transferir ímpetu angular? (Véase “Energy and Momentum Transport in String Waves”, por D. W. Juenker, American Journal of Physics, enero de 1976, pág. 94). En el terremoto de la Ciudad de México ocurrido el 19 de septiembre de 1985, se alternaron zonas de mucho daño con zonas de poco daño. También, los edificios de entre 5 y 15 pisos de altura sufrieron el daño mayor. Explique estos efectos en términos de las ondas estacionarias y de la resonancia.
PROBLEMAS Sección 19-3 Ondas viajeras 1. Una onda tiene una velocidad de onda de 243 m/s y una longitud de onda de 3.27 cm. Calcule (a) la frecuencia y (¿>) el periodo de la onda. 2. Al mecer un bote, un niño produce ondas de agua en la superficie de un lago previamente tranquilo. Se observa que el bote produce 12 oscilaciones en 30 s y también que la cresta de una onda determinada llega en 5 s a la orilla, que está alejada 15 m. Halle (a) la frecuencia, (b) la velocidad, y (c) la longitud de onda de las ondas. 3. Una onda sinusoidal viaja a lo largo de una cuerda. El tiempo para que un punto en particular se mueva desde el desplazamiento máximo hasta el desplazamiento cero es de 178 ms. La longitud de onda de la onda es de 1.38 m. Halle (o) el periodo, (b) la frecuencia, y (c) la velocidad de la onda.
4. Escriba una expresión que describa a una onda transversal que viaje a lo largo de una cuerda en la dirección +* con una longitud de onda de 11.4 cm, una frecuencia de 385 Hz, y una amplitud de 2.13 cm. 5. Escriba la ecuación de una onda que viaje en dirección negativa a lo largo del ejex y tenga una amplitud de 1.12cm, una frecuencia de 548 Hz, y una velocidad de 326 m/s. 6. Una onda de 493 Hz de frecuencia tiene una velocidad de 353 m/s. (a) ¿A qué distancia entre sí están dos puntos que difieran en fase por 55.0o? (b) Halle la diferencia de fase entre dos desplazamientos en el mismo punto pero en tiempos que difieran en 1.12 ms. Sección 19-4 Velocidad de onda 7. Demuestre (a) que la velocidad transversal máxima de una partícula de una cuerda debida a una onda viajera está dada
r
Problemas
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Por um»i = wy,,,» y (¿OQ116Ia aceleración transversal máxima e S f l i„ax “
8. La ecuación de una onda transversal que viaja a lo largo de una cuerda está dada por y = (2.30 X 10“ 3) sen (1 8.2jc —588í),
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donde x y y están en metros y t está en segundos. Halle (a) la amplitud, (b) la frecuencia, (c) la velocidad, (d ) la longitud de onda de la onda, y (e) la velocidad transversal máxima de una partícula de la cuerda. La ecuación de una onda transversal que viaja a lo largo de una cuerda muy larga está dada por y = 6.0 sen (0.020;ix + 4.0 k (), donde x y y están expresadas en centímetros y t en segundos. Calcule (a) la amplitud, (b) la longitud de onda, (c) la frecuencia, (d) la velocidad, (e) la dirección de propagación de la onda, y (f) la velocidad transversal máxima de una partícula de la cuerda. Calcule la velocidad de una onda transversal en una cuerda de 2.15 m de longitud y 62.5 g de masa bajo una tensión de 487 N. La velocidad de una onda de una cuerda es lde 72 m/s cuando la tensión es de 123 N. ¿En qué valor deberá ser aumentada la tensión con objeto de elevar la velocidad de la onda a 180 m/s? Demuestre que, en términos del esfuerzo de tensión S y de la densidad de masa p, la velocidad v de las ondas trans versales de un alambre está dada por v = (S/p)'/2. La ecuación de una onda transversal de una cuerda es y = 1.8 sen (23.8* + 317?), donde* está en metros, y está en milímetros, y t en segundos. La cuerda está sometida a una tensión de 16.3 N. Halle la densidad de masa lineal de la cuerda. Una onda sinusoidal continua viaja por una cuerda con una velocidad de 82.6 cm/s. Se halla que el desplazamien to de las partículas de la cuerda en x = 9.60 cm varia con el tiempo de acuerdo con la ecuación y = 5.12 sen (1.16 - 4.08f), donde y está en centímetros y t en segun dos. La densidad de masa lineal de la cuerda es de 3.86 g/cm. (a) Halle la frecuencia de la onda. (b) Halle la longitud de onda de la onda, (c) Escriba la ecuación general que da el desplazamiento transversal de las partí culas de la cuerda en función de la posición y del tiempo. (d) Calcule la tensión en la cuerda. Una onda transversal armónica simple se está propagando a lo largo de una cuerda hacia la izquierda (ó -x). La figura 26 muestra un trazo del desplazamiento en función de la posición en el tiempo f = 0. La tensión de la cuerda es de 3.6 N y su densidad lineal es de 25 g/m. Calcule (a) la amplitud, (b) la longitud de onda, (c) la velocidad de la onda, (d ) el periodo, y (c) la velocidad máxima de una partícula de la cuerda, (f) Escriba una ecuación que des criba a la onda viajera. Pruebe que la pendiente de una cuerda en cualquier punto es numéricamente igual a la razón entre la velocidad de la partícula y la velocidad de la onda en ese punto. Para una onda en una cuerda tensa, halle la razón entre la velocidad máxima de una partícula (la velocidad máxima con la cual una sola partícula del cordón se mueve trans
versalm ente a la onda) y la velocidad de onda que tiene cierta frecuencia y cierta sobre un cordón, ¿dependería esta razón del material de que esté hecha la cuerda, alambre o de nylon?
la onda. Si una amplitud actúa de velocidades por ejem plo de
18. En la figura 21a, la cuerda #1 tiene una densidad de masa lineal de 3.31 g/m , y la cuerda #2 tiene una densidad de masa lineal de 4.87 g/m. Están bajo tensión debido al bloque colgante de masa M = 511 g. (a) C alcule la v elo cidad de la onda en cada cuerda. (¿>) El bloque se divide ahora en dos bloques (siendo Ai, + M2 = M) y el aparato se m odifica com o se muestra en la figura 21b. H alle M, y M2, de m odo que las velocidades de onda de las dos cuerdas sean iguales.
(b) F igu ra 27
M i
Problema 18.
19. Un alambre de 10.3 m de longitud y una masa de 97.8 g se estira bajo una tensión de 248 N. Si se generan dos pulsaciones, separadas en tiem po por 2 9 .6 m s, una en cada extrem o del alambre, ¿en dónde se encuentran las pulsa ciones? 20. Halle la velocidad de la onda transversal m ás rápida que puede ser enviada a lo largo de un alambre de acero.
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Capítulo 19 Movimiento ondulatorio
Permitiendo un factor de seguridad razonable, el esfuerzo máximo de tensión al que podrían estar sujetos los alam bres de acero es de 720 MPa. La densidad del acero es de 7.80 g/cm3. Demuestre que la respuesta no depende del diámetro del alambre. El tipo de banda de hule empleado en el interior de algunas bolas de béisbol y de algunas pelotas de golf obedece la ley de Hooke dentro de un amplio intervalo de elongacio nes de la banda. Un segmento de este material tiene una longitud L sin estirar y una masa ni. Cuando se aplica una fuerza F, la banda se estira una longitud adicional AL. (a) ¿Cuál es la velocidad (en términos de m, AL, y la constante de fuerza k) de las ondas transversales en esta banda de hule? (b) Usando la respuesta de (a), demuestre que el tiempo requerido para que una pulsación transversal viaje la longitud de la banda de hule es proporcional a 1/7 AL si AL « L y es constante si AL » L. Un cable uniforme de masa m y longitud L cuelga de un techo, (a) Demuestre que la velocidad de una onda trans versal en el cable es una función de y, la distancia desde el extremo inferior, y está dada por v = Vgy. (ti) Demuestre que el tiempo que le toma a una onda transversal viajar la longitud del cable está dada por t = 2VL/g . (c) ¿Afecta la masa real del cable a los resultados de (a) y de (£>)? Un alambre no uniforme de longitud L y masa M tiene una densidad de masa lineal variable dada por /i = kx, donde x es la distancia desde un extremo del alambre y k es una constante, (a) Demuestre que M = kl}¡2. (ti) Demuestre que el tiempo t requerido para que una pulsación generada en un extremo del alambre viaje hasta el otro extremo está dado por t =V8ML/9F, donde Fes la tensión en el alambre. Un aro de cuerda circular y uniforme gira en sentido horario en ausencia de la gravedad (véase la Fig. 28). La velocidad tangencial es v0. Halle la velocidad de las ondas en esta cuerda. (Nota: La respuesta es independiente del radio del aro y de la densidad de masa lineal de la cuerda.)
i Figura 28 Problema 24.
Sección 19-6 Potencia e intensidad en el movimiento ondulatorio 25. Una cuerda de 2.72 m de longitud tiene una masa de 263 g. La tensión en la cuerda es de 36.1 N. ¿Cuál debe ser la frecuencia de las ondas viajeras de amplitud de 7.70 mm para que la potencia promedio transmitida sea de 85.5 W? 26. Una fuente lineal emite una onda cilindrica expansiva. Suponiendo que el medio no absorbe energía, encuentre (a) cómo dependen la intensidad y (ti) la amplitud de la onda de la distancia medida desde la fuente. 27. Una onda se propaga uniformemente en todas direcciones desde un punto fuente, (a) Justifique la expresión para el
desplazamiento y del medio a una distancia r desde la fuente: Y
y = —
r
sen k ( r — vt).
Considere la velocidad, dirección de propagación, perio dicidad e intensidad de la onda, (ti) ¿Qué dimensiones tiene la constante 7 ? 28. Un observador mide una intensidad de 1.13 W/m2 a una distancia desconocida medida desde una fuente de ondas esféricas cuya potencia de salida es también desconocida. El observador camina 5.30 m acercándose a la fuente y mide entonces una intensidad de 2.41 W/m2en esta nueva posición. Calcule la potencia de salida de la fuente. 29. (a) Muestre que la intensidad I es el producto de la densi dad de energía u (energía por unidad de volumen) y la velocidad de propagación v de una perturbación ondula toria; o sea muestre que 7 = uv. (ti) Calcule la densidad de energía en una onda de sonido a 4.82 km de una sirena de 47.5 kW, suponiendo que las ondas son esféricas, la propagación isotrópica sin haber una absorción atmosfé rica, y que la velocidad del sonido es de 343 m/s. 30. Una onda sinusoidal transversal se genera en un extremo de una cuerda larga, horizontal por una barra que se mueve hacia arriba y hacia abajo a lo largo de una distancia de 1.12 cm. El movimiento es continuo y se repite regular mente 120 veces por segundo. La cuerda tiene una densi dad lineal de 117 g/m y se mantiene bajo una tensión de 91.4 N. Halle (a) el valor máximo de la velocidad transversal u y (ti) el valor máximo de la componen te transversal de la tensión, (c) Demuestre que los dos valores máximos calculados arriba ocurren a los mismos valores de fase de la onda. ¿Cuál es el desplazamiento transversal y de la cuerda en estas fases? (d) ¿Cuál es la potencia máxima transferida a lo largo de la cuerda? (e) ¿Cuál es el desplazamiento transversal y para las condi ciones bajo las cuales ocurre esta transferencia máxima de potencia? ( f ) ¿Cuál es la transferencia mínima de potencia a lo largo de la cuerda? (g) ¿Cuál es el desplazamiento transversal y para las condiciones bajo las cuales ocurre esta transferencia mínima de potencia? Sección 19-8 Interferencia de ondas 31. ¿Qué diferencia de fase entre dos ondas transversales por lo demás idénticas, que se mueven en la misma dirección a lo largo de una cuerda tensa, resultará en la onda com binada que tenga una amplitud de 1.65 veces la de la amplitud común de las dos ondas componentes? Exprese la respuesta tanto en grados como en radianes. 32. Determine la amplitud de la onda resultante cuando se combinan dos ondas sinusoidales que tengan la misma frecuencia y viajen en la misma dirección, si sus ampli tudes son de 3.20 cm y 4.19 cm y difieren en fase en k/ 2 rad. 33. Dos pulsaciones están viajando a lo largo de una cuerda en direcciones opuestas, como se muestra en la figura 29. (a) Si la velocidad de onda es de 2.0 m/s y las pulsaciones tienen una separación de 6.0 cm, trace los patrones des-
Problemas
491
h ---------6.0 c m --------- H
_ / S ± i _ _____ J i
*=7 \
Figura 29 Problema 33.
pues de 5.0, 10, 15, 20, y 25 ms. (b) ¿Qué le ha sucedido a la energía en t = 15 ms? 34. Tres ondas sinusoidales viajan en dirección x positiva a lo largo de la misma cuerda. Las tres ondas tienen la misma frecuencia. Sus amplitudes están en la razón 1 :~ y sus ángulos de fase son 0, n¡2, y n, respectivamente. Trace la forma de onda resultante y discuta su comportamiento al crecer t. 35. Cuatro ondas sinusoidales viajan en la dirección positiva de x a lo largo de la misma cuerda. Sus frecuencias están en la razón 1:2:3:4 y sus amplitudes en la razón respectivamente. Cuando t = 0, en x = 0, la primera y la tercera onda están 180° fuera de fase con la segunda y la cuarta. Trace la forma de onda resultante cuando t = 0 y discuta su comportamiento al crecer t. 36. Considere dos fuentes puntuales S, y S2 en la figura 30, las cuales emiten ondas de la misma frecuencia y amplitud. Las ondas se inician con la misma fase, y esta relación de fase en las fuentes se mantiene a través del tiempo. Con sidere puntos P en los cuales r, sea casi igual a r2. (a) Demuestre que la superposición de estas dos ondas pro duce una onda cuya amplitud ymvaría con la posición P aproximadamente de acuerdo con 2Y k ym = — eos - (r, - r2), donde r = (rt + r2)/2. {ti) Demuestre luego que la cancela ción total ocurre cuando r, - r2 - (n + |)A, siendo n cualquier entero, y que el refuerzo total ocurre cuando r¡- r2 = nX. El lugar geométrico de los puntos cuya dife rencia en distancia desde dos puntos fijos es constante es una hipérbola, siendo los puntos fijos los focos. De aquí que cada valor de n produzca una línea hiperbólica de interferencia constructiva y una línea hiperbólica de inter ferencia destructiva. En los puntos en que r, y r2 no son aproximadamente iguales (como cerca de las fuentes), las amplitudes de las ondas de S, y S2 difieren y las cancela ciones son solamente parciales. (Ésta es la base del sistema de navegación OMEGA.) 37. Una fuente S y un detector D de ondas de alta frecuencia están a una distancia d en el suelo. Se detecta que la onda dirigida desde S está en fase en D con la onda que parte de S, que se refleja por una capa horizontal situada a una altitud H (Fig. 31). Los rayos incidente y reflejado forman el mismo ángulo con la capa reflectora. Cuando la capa se eleva una distancia h, no se detecta ninguna señal en D. Desprecie la absorción de la atmósfera y halle la relación entre d, h, H, y la longitud de onda X de las ondas. 38. Refiérase al problema 37 y a la figura 31. Suponga que d = 230 km y H = 510 km. Las ondas son ondas de radio de 13.0 MHz (v = 3.00 * 10® m/s). En el detector D la
Figura 31 Problemas 37 y 38
intensidad de la señal combinada varía desde un máximo hasta cero y regresa de nuevo a un máximo seis veces en 1 minuto. ¿Con qué velocidad vertical se está moviendo la capa reflectora? (La capa se mueve lentamente, de modo que la distancia vertical desplazada en 1 min es pequeña en comparación con H y d.) Sección 19-9 Ondas estacionarías 39. Una cuerda fija en ambos extremos tiene una longitud de 8.36 m y una masa de 122 g. Está sujeta a una tensión de 96.7 N y se pone en vibración, (a) ¿Cuál es la veloci dad de las ondas en la cuerda? (b) ¿Cuál es la longitud de onda de la onda estacionaria más larga posible? (c) Indi que la frecuencia de esa onda. 40. Una cuerda de guitarra de nilón tiene una densidad de masa lineal de 7.16 g/m y está bajo una tensión de 152 N. Los soportes fijos están separados por 89.4 cm. La cuerda vibra según el patrón de onda estacionaria que se muestra en la figura 32. Calcule (a) la velocidad, (b) la longitud de onda, y (c) la frecuencia de las ondas componentes cuya superposición da lugar a esta vibración. 41. La ecuación de una onda transversal que viaja en una cuerda está dada por y = 0.15 sen (0.79.x —13í), donde x y y están expresadas en metros y t en segundos. (a) ¿Cuál es el desplazamiento en x = 2.3 m, t = 0.16 s? (¿>) Escriba la ecuación de una onda que, cuando se sume a la dada, produciría ondas estacionarias en la cuerda, (c) ¿Cuál es el desplazamiento de la onda estacionaria resul tante en x = 2.3 m, t = 0.16 s? 42. Una cuerda vibra según la ecuación y =0.520 sen (1.14x) eos (137í),
492
Capítulo 19
Movimiento ondulatorio -8 9 .4 cm -
Figura 32 Problema 40.
donde x y y están en centímetros y t en segundos, (a) ¿Cuáles son la amplitud y la velocidad de las ondas componentes cuya superposición pueda dar lugar a esta vibración? (b) Halle la distancia entre nodos, (c) ¿Cuál es la velocidad de una partícula de la cuerda en posición x = 1.47 cm en el tiempo t = 1.36 s? 43. Las vibraciones que parten de un diapasón de 622 Hz producen ondas estacionarias en una cuerda sujeta en ambos extremos. La velocidad de la onda para la cuerda es de 388 m/s. La onda estacionaria tiene cuatro rizos y una amplitud de 1.90 mm. (a) ¿Cuál es la longitud de la cuerda? (b) Escriba una ecuación para el desplazamiento de la cuerda en función de la posición y del tiempo. 44. Considérese una onda estacionaria que sea la suma de dos ondas que viajan en direcciones opuestas pero por lo demás son idénticas. Demuestre que la energía cinética máxima en cada rizo de la onda estacionaria es 2tf/jy^vu. 45. Una onda viajera incidente, de amplitud A¡, se refleja sólo parcialmente desde un extremo, siendo Ar la amplitud de la onda reflejada. La superposición resultante de dos ondas de amplitudes diferentes que viajan en direcciones opues tas produce un patrón de ondas tipo onda estacionaria cuya envolvente se muestra en la figura 33. La razón de onda estacionaria (SWR, de standing wave ratió) se define como {A, + At)/(A, - A,) = A„JAnun, y el porcentaje de reflexión se define como la razón entre la potencia prome dio en la onda reflejada y la potencia promedio en la onda incidente, multiplicada por 100. (a) Demuestre que la SWR = 00 para el 100% de reflexión y que la SWR = 1 cuando no hay reflexión. (b) Demuestre que una medición de la SWR justo antes del extremo revela la reflexión porcentual que ocurre en el extremo de acuerdo con la fórmula
por la cuerda de densidad fJ2 parte se refleja. Llamemos a estas ondas B sen k2 (x - v2t) y C sen kt(x + v¡t), respecti vamente. (a) Suponiendo que k2 u2 = k¡ u, = co y que el desplazamiento del nudo que surge de las ondas incidente y reflejada sea el mismo que el que surge de la onda transmitida, demuestre que A = B + C. (b) Si se supone que ambas cuerdas tienen cerca del nudo la misma pen diente (¿por qué?), es decir, dy/dx en la cuerda 1 = dy/dx en la cuerda 2, demuestre que C= A
kj k¡ =A k-, + k,
v2
¿En qué condiciones es C negativa? Sección 19-10 Resonancia 48. Una cuerda de violín de 15 cm, fija en ambos extremos, está vibrando en su modo n = 1. La velocidad de las ondas en este alambre es de 250 m/s, y la velocidad del sonido en el aire es de 348 m/s. ¿Cuáles son (a) la frecuencia y (b) la longitud de onda de la onda sonora emitida? 49. ¿Cuáles son las tres frecuencias más bajas de las ondas estacionarias en un alambre de 9.88 m de longitud que tiene una masa de 0.107 kg, y que está estirado bajo una tensión de 236 N? 50. Un alambre de 1.48 m de longitud tiene una masa de 8.62 g y se halla bajo una tensión de 122 N. El alambre está sujeto rígidamente en ambos extremos y se pone en vibración. Calcule (a) la velocidad de las ondas en el alambre, (b) las longitudes de onda de las ondas que producen ondas estacionarias de uno y dos rizos en el alambre y (c) las frecuencias de las ondas en (b). 51. Un extremo de una cuerda de 120 cm se mantiene fijo. El otro extremo está unido a un anillo sin peso que puede deslizarse a lo largo de una barra sin fricción como se muestra en la figura 34. ¿Cuáles son las tres longitudes de onda más grandes posibles de ondas estacionarias en la cuerda? Trace las ondas estacionarias correspondientes.
% de reflejo = [(SWR - 1)2/(SWR + 1)2](100). 46. Calcule (a) la SWR (razón de onda estacionaria) y (b) la reflexión porcentual en el extremo para la envolvente del patrón de onda estacionaria mostrado en la figura 33. Figura 34 Problema 51.
Figura 33 Problemas 45 y 46.
47. Dos cuerdas de densidad de masa lineal ¡u, y /j2 están anudadas entre sí en x = 0 y estiradas a una tensión F. Una onda y = A sen k, (x - v¡t) en la cuerda de densidad ¡j¡ llega a la unión de las dos cuerdas, en donde parte se transmite
52. Una cuerda de 75.6 cm está estirada entre soportes fijos. Se observa que tiene frecuencias de resonancia de 420 y 315 Hz, y ninguna otra entre estas dos. (o) ¿Cuál es la frecuencia de resonancia más baja de esta cuerda? (b) ¿Cuál es la velocidad de onda en esta cuerda? 53. En un experimento sobre ondas estacionarias, una cuerda de 92.4 cm de longitud se une al vástago de un diapasón eléctrico que vibra en dirección perpendicular a la longi tud de la cuerda con una frecuencia de 60.0 Hz. La masa de la cuerda es 44.2 g. ¿A qué tensión debe someterse la
Problemas
cuerda (en el otro extremo tiene conectadas a ella pesas) para que vibre con cuatro rizos? 54. Un alambre de aluminio de longitud L= 60.0 cm y área de la sección transversal 1.00 * 10"2cm2de área en su sección transversal está conectado a un alambre de acero de la misma área de su sección transversal. El alambre com puesto, cargado con un bloque de 10.0 kg de masa m, está dispuesto como se muestra en la figura 35 de modo que la distancia L2 desde la junta a la polea de soporte es de 86.6 cm. Se inducen ondas trasversales en el alambre usando una fuente externa de frecuencia variable, (a) Halle la frecuencia de excitación de ondas estacionarias más baja observada de modo que la unión del alambre sea un nodo, (tí) ¿Cuál es el número total de nodos observado a esta frecuencia, excluyendo los dos de los extremos del alambre? La densidad del aluminio es de 2.60 g/cm3y la del acero es de 7.80 g/cm3.
55. Una cuerda de piano de 1.4 m de longitud está hecha de acero con una densidad de 7.8 g/cm3 y un módulo de Young de 220 MPa. La tensión en la cuerda produce una deformación de 1.0%. Calcule la frecuencia de resonancia más baja de la cuerda. Proyectos de computación 56. (a) Inicialmente una cuerda tensa tiene una forma dada por/, (x) =0.02e
493
Verifique que las gráficas dibujan las pulsaciones movién dose una hacia la otra y que cuando se reúnen el despla zamiento de la cuerda es grande en la región donde se superponen. Las pulsaciones se mueven luego alejándose entre sí sin cambiar de forma, (d) Suponga que la segunda onda tiene la form a/ (x, t) = -0.02e'<'" ‘5,/9 en t = 0 y que viaja en dirección x negativa con una velocidad de 25 m/s. Use su programa para trazar y,(x, t) + y2(x, t) desde x = 0 hasta x = 50 m para t = 0,0.5, 0.8, 1.0, y 1.5 s. Cuando se reúnen las dos pulsaciones, la acción de una tiende a anular la acción de la otra. Para un valor del tiempo, el desplaza miento de la cuerda es cero en cualquier parte. Las pulsa ciones continúan luego su camino sin cambiar de forma. 57. Pueden generarse ondas en una cuerda tensa moviendo uno de sus extremos. Supongamos que la cuerda sea extremadamente larga y hagamos que g(t) sea el despla zamiento del extremo que se mueve, el cual se presume que está en x = 0. Si la cuerda se tira a lo largo del eje x positivo, en el tiempo t el desplazamiento en el punto en x es el mismo que el desplazamiento en el extremo pero en un tiempo t - x/u anterior, donde u es la velocidad de la onda. Entonces, el desplazamiento en x está dado por y(x, t) = g(t - x/v). (a) Supongamos que, comenzando en t - 0 y continuando durante 0.20 s, la cuerda en x = 0 se jala hacia arriba en la dirección y positiva con una veloci dad constante de 0.15 m/s. Luego es mantenida en su desplazamiento final. Entonces g(t) = 0 para t < 0, g(t) = 0.15r para 0 < t < 0.20 s, y g(t) = 0.15 * 0.20 = 0.030 m para t > 0.20 s. Considere que la velocidad de la onda es de 5.0 m/s y use un programa de computadora para hacer gráficas separadas de,y(x,t) desdex = 0 hasta x = 20 m para t = 0, 0.1, 0.2, 1.0, 2.0, y 3.0 s. Para esto, haga que la computadora calcule u = x — vt para cada valor de x seleccionado, luego haga a y = 0 si u < 0, a y = 0.15« si 0 < u < 0.20, y a y = 0.03 si u > 0.20. (tí) Considere que la velocidad de la onda sea de 15 m/s y trace y(x,t) desde x =0 hasta x = 20 m para í - 0,0.1,0.2,0.5,0.75,1.0, y 1.25 s. (c) ¿Qué determina la pendiente de la cuerda al moverse la pulsación a lo largo de ella? Si el extremo de la cuerda se eleva más rápidamente, ¿aumenta la pendiente de la cuerda o disminuye? Si la velocidad de la onda aumenta, ¿aumenta la pendiente o disminuye? 58. Comenzando en el tiempo í = 0 y continuando durante 0.40 s, el extremo de una cuerda tensa se mueve ligera mente hacia arriba y hacia abajo con un movimiento armónico simple. Su desplazamiento está dado por g(t) = 0.020 sen (31 At), donde g está en metros y t en segundos. Use una computadora para hacer gráficas separadas del desplazamiento y(x, t) de la cuerda desde x = 0 hasta x = 20 m para cada uno de los tiempos t = 0,0.1,0.2,0.3,0.4, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, y 2.5 s. Véase el proyecto anterior para algunas sugerencias. 59. Una cuerda tensa tiene inicialmente una forma distor sionada dada por f(x) = 0.02e'('" S)/,) donde f y x están en metros. La pulsación viaja 5.0 m/s en la dirección x positiva a lo largo de la cuerda hasta que llega al extremo fijo en x = 20 m, en donde se refleja. El desplazamiento de la cuerda está dado por y(x, t) = jy,(je, t) + y2(x, t), en donde y¡ es la pulsación incidente y y2 es la pulsación
494
Capítulo 19 Movimiento ondulatorio
reflejada. Por supuesto, la pulsación incidente está dada por^íx, t) = f(x - vt) = 0.02e‘('""'"5)/9. Demuestre que la pulsación reflejada está dada por_y2(x, t) = -f(2L - x - vt) = -0.02e"<2l A '’' ' 5|/9, donde L es la coordenada del punto fijo. Ésta es la única función de x + vt tal que y¡(L,t) + y 2(L,t) = 0. Use un programa de computadora o una hoja de cálculo para hacer graficas separadas del desplaza miento de la cuerda desde x = 0 hasta x = 20 m para t = 0, 1.0, 2.0, 2.5, 2.75, 3.0, 3.25, 3.5; 4.0, y 5.0 s. La función a trazaresy(x, t) = 0.020
f x+Ax
E = (0.04/9)2pv2 I
(x - vt - 5)2 e-<*-*~5W4-5 dx.
(b) Use una integración numérica para calcular la energía total en el segmento de cuerda desde x = 0 hasta x = 20 m en t = 1 s. Este segmento incluye a todas las pulsaciones excepto en las colas muy pequeñas. El uso de 200 inter valos produciría una precisión de cuatro cifras significa tivas. (c) Use una integración numérica para calcular la energía total en el segmento de cuerda desde x = 30 m hasta x = 50 m en t = 7 s. El resultado sería el mismo que en la parte (b) y le indicaría que la energía se ha movido desde la región de alrededor de x = 10 m hasta la región de alrededor de x = 40 m. Esto tiene sentido, porque la velocidad de la onda es de 5.0 m/s y la onda viajó 30 m en los 6 s transcurridos, (d) La cantidad a la que la energía pasa el punto en x está dada por P = - F(dy/dx)(dy/dt), así que en el intervalo de tiempo desde t hasta t + Af la energía que pasa por x está dada por ft+ A t
£= I
f í+ A í
Pdt = —F J
(dy/dx)(dy/dt) dt.
[x + H x
E =p I
(dy/dt)1 dx.
Puede usarse el programa de integración numérica descri to en los proyectos de computación del capítulo 8 para evaluar integrales de esta forma. (a) La tensión en una cuerda que tiene una densidad de masa lineal de 0.080 kg/m es de 2.0 N. En el tiempo t = 0 la cuerda está distorsionada de modo que tiene la forma dada por/(x) = 0.02e'(J' 5)/9, donde f y x están en metros. Suponga que la pulsación se mueve en la dirección x positiva. Demuestre que
Para la pulsación descrita arriba demuestre que fi+ái E = (0.04/9)2Ft> I ( x - v t - 5)2e-<^«-5)V4.5 dt Use una integración numérica para calcular la energía que pasó por el punto en x = 25 m desde t = 1 hasta t = 1 s. El resultado es de nuevo el mismo que antes, indican do que toda la energía alrededor de x = 10 m en t = 1 s pasó por x = 25 m en su camino hacia la región alrededor de x = 40 m.
CAPITULO 20
ONDAS SONORAS
En el capítulo 19 hemos estudiado las ondas mecánicas transversales, como las de las vibraciones de una cuerda en tensión. En una onda mecánica longitudinal, las partículas de material que transmiten la onda vibran en dirección de la propagación de la onda. La onda mecánica longitudinal más conocida es la onda sonora. El ser humano puede detectar estas ondas en la gama de frecuencias que va de unos 2 0 Hz a unos 2 0 , 0 0 0 Hz, gama que recibe el nombre de intervalo audible. Las ondas mecánicas longitudinales de frecuencia más alta se llaman ultrasónicas y se emplean para localizar objetos bajo el agua y para visualizar los órganos internos del cuerpo humano, en medicina; las ondas defrecuencia más baja se llaman infrasónicas, y un ejemplo de éstas son las ondas de presión sísmica producidas durante un terremoto. Las ondas sonoras viajan a través de sólidos, líquidos, y gases: estudiaremos principalmente la propagación del sonido en el aire. Un sistema vibratorio (por ejemplo, la cuerda de una guitarra, nuestras cuerdas vocales, la membrana de un tambor) pone en movimiento al aire en su vecindad inmediata. Esa perturbación se propaga por el aire hasta llegar a nuestros tímpanos, donde un receptor y un amplificador asombrosamente delicados convierten esta perturbación mecánica en una señal eléctrica que va hasta el cerebro. En este capítulo estudiaremos las propiedades de las ondas sonoras, su propagación, y su producción mediante sistemas vibratorios.
20-1 LA VELOCIDAD DEL SONIDO Si bien las ondas sonoras viajan normalmente en tres dimensiones, simplificaremos un poco nuestro análisis al considerar un sistema unidimensional. La figura 1 mues tra un tubo equipado en un extremo con un émbolo móvil, el cual representa, por ejemplo, el cono móvil de un alto parlante. Suponemos que el tubo está lleno de un me dio compresible, como el aire, y que es muy largo, de modo que no precisamos considerar las reflexiones des de el extremo lejano. Cuando el émbolo se mueve hacia atrás y hacia adelante, alternativamente comprime y en rarece el medio. Estas compresiones y enrarecimientos pueden considerarse (respectivamente) incrementos y de crementos de la densidad local con relación a su valor promedio en el medio, o quizá como incrementos y decre mentos en la presión local con relación a su valor prome dio. Estas dos descripciones nos transmiten la misma información pero tienen formas matemáticas diferentes, como veremos en la sección 20-2.
Como resultado de las fuerzas mecánicas internas del medio, las compresiones y enrarecimientos viajan a lo
Figura 1 Ondas sonoras generadas dentro de un tubo por medio de un émbolo móvil que podría representar el cono móvil de un altoparlante. Las líneas verticales dividen al medio compresible dentro del tubo en capas de igual masa.
496
Capítulo 20
Ondas sonoras
largo del tubo. Como en todas las ondas mecánicas, la velocidad de propagación depende de la razón entre una propiedad elástica del medio (la tensión, en el caso de las ondas transversales de una cuerda) y una propiedad iner cial del medio (la densidad de masa lineal, en el caso de la cuerda). En ondas longitudinales, la propiedad elástica describe cómo responde el medio a los cambios de presión con un cambio de volumen; esto es el módulo volumétri co* presentado en la ecuación 5 del capítulo 17:
donde Ap es el cambio de presión, y AF es el cambio del volumen V. El signo menos implica que un aumen to de presión (Ap > 0) causa una disminución de volumen (A F< 0). La propiedad inercial del medio debe estar dada por su densidad p. Podemos llevar a cabo un análisis dimensio nal para determinar cómo depende la velocidad de B y p usando el mismo procedimiento empleado en la sección 19-4, y el resultado es
(2) donde una vez más la constante sin dimensiones C no puede determinarse a partir de este método de análisis. Para completar la derivación nos remitimos, como hici mos en la sección 19-4, a un análisis mecánico basado en las leyes de Newton.
Análisis mecánico La esencia de esta derivación sigue muy de cerca la de la sección 19-4. Consideremos, para simplificar, una sola pulsación de compresión, como la que pudiera producirse por una sola carrera del émbolo de la figura 1. Supongamos que la pulsación de compresión viaja a través del tubo de izquierda a derecha con velocidad v.
* Un cambio de presión dado puede dar lugar a cambios dife rentes en el volumen de un medio compresible, dependiendo de las circunstancias por las cuales cambie de presión. Por ejemplo, puesto que una compresión tiende a aumentar la temperatura del medio, podríamos dejar que escapase calor con el fin de que la temperatura permanezca constante. En tal caso, siendo un ejemplo los procesos fluidos estáticos estudiados en el capítulo 17, observaríamos un módulo volumétrico isotérmico (tempe ratura constante). Sin embargo, la capacidad de un gas para conducir calor (su conductividad térmica: véase la sección 25-7) es demasiado pequeña para que pueda fluir el calor entre las compresiones, más calientes, y los enrarecimientos, más fríos, a frecuencias audibles. En este caso, necesitamos el mó dulo volumétrico adiabático (sin transferencia de calor). En gases típicos, el módulo volumétrico adiabático es de alrededor de 1.4 veces el módulo volumétrico isotérmico. Los procesos isotérmicos y adiabáticos se estudian con mayor detalle en el capítulo 25.
Elemento de fluido
un tubo largo. Se elige que el marco de referencia de esta figura sea el de la pulsación, de modo que el fluido corre de derecha a izquierda. Una rebanada de fluido de ancho Ax se mueve hacia la zona de compresión con velocidad v.
Para simplificar suponemos que la pulsación tiene caras anterior y posterior bien definidas y que tiene una presión y una densidad uniformes en su interior. Cuando analizá bamos el movimiento de una pulsación transversal en una cuerda tensa en la sección 19-4, hallamos conveniente elegir un marco de referencia en el que la pulsación permaneciese estacionaria. Como lo indicamos en la figu ra 2, aquí lo hacemos así también. En esa figura, la pulsación (llamada “zona de compresión”) permanece estacionaria en nuestro marco de referencia mientras que el fluido se mueve a través de ella de derecha a izquierda con velocidad v. Sigamos el movimiento del elemento de fluido móvil contenido entre las líneas verticales en la figura 2. Este elemento se mueve hacia la izquierda con velocidad v hasta que choca con la zona de compresión. El borde izquierdo del elemento de fluido entra a la zona de com presión en el tiempo t, y el borde derecho entra en el tiempo t + At. El intervalo de tiempo At depende del ancho Aí del elemento de acuerdo con At = Ax/ v. Durante el intervalo At, en que el elemento entra a esta zona, existe una presión p + Ap en la cara anterior del elemento de fluido y una presión p en la cara posterior. Como resultado de la diferencia de presión Ap a través del elemento de fluido, se comprime y se decelera. Dentro de la zona, el elemento se mueve con una velocidad más baja v + Av, siendo la cantidad Av negativa. El elemento emerge finalmente de la cara izquierda de la zona, donde se expande hasta su volumen original y se acelera de nuevo a su velocidad original v como resultado del dife rencial de presión Ap. Apliquemos las leyes de Newton al elemento de fluido durante el intervalo de tiempo At durante el cual entra en la zona. La fuerza resultante que actúa durante este inter valo es F = pA — (p + Ap)A = —Ap A,
(3)
donde A es el área de la sección transversal del tubo. Aquí hemos considerado que la dirección positiva es la de la velocidad, es decir, hacia la izquierda en la figura 2. El
Sección 20-2
TABLA 1 LA VELOCIDAD DEL SONIDO1 Velocidad (m/s)
Medio Gases Aire (0° C) Aire (20° C) Helio Hidrógeno Líquidos Agua (0o C) Agua (20° C) Agua de mar* Sólidos A lum inio Acero Granito
331 343 965 1284 1402 1482 1522 6420 5941 6000
volumen original V del elemento es A Ax = A u Ai, y su masa es puA At, donde p es la densidad sin perturbación del fluido afuera de la zona de compresión. La aceleración a es Av/At, y puesto que A v es negativa, a es negativa. La segunda ley de Newton da entonces F = ma Av At ’
la cual podemos escribir como: pv1 =
-Ap Av/v
(4)
Durante el intervalo At, el borde anterior del elemento de fluido se mueve con velocidad v +A v ,y por tanto se mue ve una distancia (v + Av)At. En ese mismo tiempo, el borde posterior se mueve una distancia v At. El ancho del elemento de fluido cambia entonces en ese intervalo en una cantidad negativa A v At, y el volumen cambia en correspondencia en la cantidad AV= A A v At. De aquí que AV_ A Av At _ Av V ' Av At v y obtenemos, usando la ecuación 1, pv 1
-A p ai v r
B.
(5)
un sólido ofrece una resistencia elástica a las fuerzas tangenciales o cortantes, y la velocidad de las ondas longitudinales depende del módulo cortante al igual que del módulo volumétrico. (Tanto las ondas longitudina les como las transversales pueden propagarse en un sóli do extenso. Aquí consideraremos únicamente las ondas longitudinales.) La tabla 1 ofrece algunos valores re presentativos de la velocidad del sonido en diversos medios.
Consideremos un tren continuo de compresiones y enra recimientos que viajan a lo largo de un tubo lleno de fluido, como en la figura 3. Si nos colocamos en alguna posición fija a lo largo del tubo, existen dos formas de observar esta onda viajera. (1) Podemos enfocar nuestra atención al desplazamiento oscilatorio hacia atrás y hacia adelante de un elemento de fluido en nuestra posición al pasar la onda a través de ella. (2) Por otra parte, podemos centramos en las variaciones periódicas de presión que ocurren en nuestro punto de observación. En esta sección exploraremos la conexión entre estas descripciones de una onda sonora como una onda de desplazamiento y una onda de presión. Al avanzar la onda a lo largo del tubo, cada pequeño elemento de volumen del fluido oscila respecto a su posición de equilibrio. El desplazamiento es hacia la derecha o hacia la izquierda a lo largo de la dirección de propagación de la onda, la cual hemos considerado en dirección x positiva. Representamos al desplazamiento del elemento de volumen a partir de su posición de equi librio en x (nuestro lugar de observación) por s(x, t). Esta función es análoga al desplazamiento transversal y(x, t) estudiado en el capítulo 19, con una excepción importan te: el desplazamiento s es a lo largo de la dirección de propagación en una onda longitudinal, mientras que en una onda transversal el desplazamiento y es en ángulo recto con la dirección de la propagación. En el caso de una onda sinusoidal, podemos escribir, por lo tanto, la ecuación del desplazamiento longitudinal como: í(x, t) = sm eos (kx — cot),
Entonces =W
p,
497
20-2 ONDAS VIAJERAS LONGITUDINALES
f A 0o C y 1 atm de presión, a menos que se indique lo contrario. * A 20° C y 3.5% de salinidad.
—Ap A = (pvA At)
Ondas viajeras longitudinales
(6)
lo cual demuestra que la constante C de la ecuación 2 tiene el valor 1. Si el medio en el que viaja la pulsación es una barra delgada y sólida en vez de un fluido, el módulo volu métrico B de la ecuación 6 debe ser reemplazado por el módulo de Young (véase la sección 14-5). Si el sólido es extenso, debemos tener en cuenta el hecho de que
(V )
donde hemos supuesto que la onda viaja en dirección positiva x. También hemos hecho una elección particular de la constante de fase para la onda de desplazamiento, lo cual nos permite expresarla en términos de función cose no. La amplitud sm es bastante pequeña en las ondas sonoras: véase el problema muestra 1. Por lo general, es más recomendable tratar con varia ciones de presión en una onda sonora que con los despla zamientos reales de las partículas. Escribamos por lo tanto
498
Capítulo 20
Ondas sonoras
Figura 3 (a) Instantánea, tomada en t = 0, de una onda sonora sinusoidal que se mueve con velocidad v a través de un tubo largo lleno de fluido. (b) Vista ampliada de una región cercana a la posición x. Un elemento de fluido oscila respecto a su posición de equilibrio al pasar la onda a través de él. En el momento que se ilustra, el plano central del elemento se halla desplazado una distancia s de su posición de equilibrio.
la ecuación de la onda en términos de la variación de pre sión en lugar de hacerlo en términos del desplazamiento. De la ecuación 1, podemos escribir Ap = - B
de la partícula es sinusoidal, entonces, según la ecuación 7, obtenemos ds = ~ k s m sen (kx — col), dx
AV
y de la ecuación 8 Igual que hicimos que 5 representara el desplazamiento a partir de la posición de equilibrio, hagamos ahora que Ap represente el cambio desde la presión p 0 no perturba da. Buscamos una expresión del cambio de presión Ap en función de la posición x y del tiempo t, es decir, Ap (x, t). La presión real en cualquier punto será entonces p 0 + Ap(x, t), que podría ser mayor o menor que p 0 dependiendo de si Ap es positiva o negativa en ese punto y en ese mo mento. Una capa de fluido a presión p 0 con un espesor A* y un área A en su sección transversal tiene un volumen V = A Ax. Cuando la presión cambia, el volumen cambia en A A s, donde A s es la cantidad en que cambia el espesor de la capa durante la compresión o el enrarecimiento. De aquí que AF A As Ap = - B — = -B A Ax Cuando hacemos que A x —►0 de modo que la capa de fluido se contraiga hasta un espesor infinitesimal, obtene mos &s . Ap = —Br. — (8) dx Hemos empleado una notación de derivada parcial porque s es una función tanto de x como de t. Si el desplazamiento
Ap(x, t) = Bksm sen (kx — cot).
(9)
De aquí que la variación de la presión en cada posición x sea también sinusoidal___ A causa de que v = •/ B /p , podemos escribir la ecuación 9 más convenientemente como: Ap(x, t) = [kpv1 sm] sen (kx — cot).
(10)
Recordemos que Ap representa el cambio a partir de la presión p 0 no perturbada. El término entre corchetes representa el cambio máximo de la presión y se denomina amplitud de la presión. Si denotamos a ésta por Apm, entonces Ap(x, t) = Apm sen (kx — cot),
(11)
Apm = kpvlsm.
(12)
donde
De aquí que una onda sonora pueda considerarse bien como una onda de desplazamiento o bien como una onda de presión. Si la primera se escribe como una función coseno, la otra será una función seno. La onda de despla zamiento está entonces a 90° fuera de fase con la onda de presión. Es decir, cuando el desplazamiento a partir del equilibrio en un punto sea un máximo o un mínimo, la presión en exceso ahí será de cero; cuando el desplaza
Sección 20-3
miento en un punto sea cero, el exceso o deficiencia de presión será ahí un máximo. La ecuación 12 da la relación entre la amplitud de la presión (variación máxima de la presión a partir del equilibrio) y la amplitud del desplaza miento (variación máxima de la posición a partir del equilibrio). Conviene que usted compruebe la consisten cia de las dimensiones de cada lado de la ecuación 12. Si bien hemos descrito a una onda sonora en términos ya sea de una onda de presión o de una onda de desplaza miento, las dos descripciones no son equivalentes, por lo general. Podemos escoger fácilmente entre cualquiera de las dos descripciones sólo cuando una sola onda longitu dinal se propaga en una sola dirección. Cuando conside ramos la reflexión de una onda sonora en el extremo de un tubo, o cuando superponemos dos ondas sonoras que interfieren en un punto, el uso de la descripción de la onda de desplazamiento puede conducir a errores serios.* Por ejemplo, consideremos dos ondas sonoras que parten de fuentes diferentes (quizá, dos altoparlantes) y que viajan en direcciones diferentes e interfiere en un punto, de modo que una onda da un cambio de presión Ap y la otra -Ap. Mediante la descripción basada en la presión, esperamos una interferencia completamente destructiva en ese punto, porque las presiones se suman como escalares. Sin em bargo, la suma de los desplazamientos (que tienen lugar en las direcciones de viaje de las dos ondas) no da cero, porque son vectores en direcciones diferentes. Suele ser preferible describir a una onda sonora como una onda de presión para evitar tales dificultades. Además, como ve remos en la sección siguiente, es el cambio de la presión, y no el cambio del desplazamiento, lo que se detecta por el oído y por el micrófono. Por último, observemos que en esta sección hemos tratado al fluido como un medio continuo. Sin embargo, en un gas los espacios entre las moléculas son grandes (en comparación con el tamaño de las moléculas), y las mo léculas se mueven con un movimiento térmico al azar. Las oscilaciones producidas por una onda sonora se superpo nen a estos movimientos térmicos al azar. El impulso dado a una molécula se transmite a otra molécula luego de que la primera se mueve en el espacio vacío entre ellas y choca con la segunda. Existe entonces una conexión íntima entre la velocidad molecular promedio en un fluido y la veloci dad del sonido en ese fluido. En particular, al aumentar la temperatura, la velocidad molecular promedio y la velo cidad del sonido en un gas crecen exactamente de la misma manera.
Potencia e intensidad de las ondas sonoras
alrededor de 28 Pa a 1000 Hz. El sonido más débil que puede captar el oído a 1000 Hz tiene una amplitud de presión de alrededor de 2.8 x 10"5 Pa. Halle las amplitudes de desplaza miento correspondientes. Solución Partiendo de la tabla 1, v = 343 m/s en el aire a la temperatura ambiente, de modo que 2n 2nv 2n X 103 Hz k = ~r = ---- = —— — -— = 18.3 rad/m. A v 343 m/s La densidad del aire en estas condiciones es de 1.21 kg/m3. De aquí que, para Apm = 28 Pa, obtengamos, usando la ecua ción 12, 28 Pa Ap„ m kpv2 (18.3 rad/m)( 1.21 kg/m3)(343 m/s)2 = 1.1 X 10-5 m. Las amplitudes del desplazamiento para los sonidos más fuertes son de alrededor de 10"5m, realmente un valor muy pequeño. Para los sonidos más débiles, obtenemos de manera similar 2.8 X 10~5 Pa = 1.1 X 10“ “ m. (18.3 rad/m)(1.21 kg/m3)(343 m/s): Esto es de alrededor de un décimo del radio de un átomo típico y sugiere cuán sensible debe ser el oído para detectar vibracio nes de una amplitud tan pequeña.
20-3 POTENCIA E INTENSIDAD DE LAS ONDAS SONORAS Seguiremos los métodos del capítulo 19 para calcular la potencia liberada por una onda sonora, siendo ahora la principal diferencia que la velocidad u de la partícula es a lo largo de la dirección de la onda. Al viajar la onda de presión, cada elemento de fluido ejerce una fuerza sobre el elemento que está adelante de él; la magnitud de la fuerza neta es F = A Ap, donde A es el área de la sección transversal del elemento de fluido. Usando la ecuación 11 para Ap, hallamos que la fuerza es F = A Apm sen (kx — cot).
ds w = — = - ojsm[ - sen (kx — cot)]. dt
(14)
La potencia abastecida al elemento de fluido es (15)
Usando la ecuación 12, podemos escribir esto como: P=
* Para un estudio cuidadoso de este punto, véase “Pressure and Displacement in Sound Waves”, por C. T. Tindle, American Journal of Physics, septiembre de 1984, pág. 749.
(13)
La velocidad de la delgada rebanada de fluido, como se indica en la figura 3, es
P = uF = Acó Apm sm sen2 (kx — cot). Problema muestra 1 La variación máxima de presión A,pm que puede tolerar el oído humano en sonidos fuertes es de
499
A(Apmf sen2 (kx - cot). pv
(16)
Como lo hicimos en el capítulo 19 para el caso de una onda transversal que viaja a lo largo de la cuerda, prome-
500
Capítulo 20
Ondas sonoras
diamos la potencia dentro de un ciclo; puesto que el valor promedio de sen2 9 es ±, la potencia promedio es p _ A{Apmf (17) 2 pv Como en el caso de la onda transversal, la potencia depende del cuadrado de la amplitud, en este caso la amplitud de presión. Obsérvese también que la frecuencia no aparece explícitamente en la ecuación 17 (aunque aparecería si, en cambio, expresáramos la potencia pro medio en términos de la amplitud del desplazamiento). De aquí que, midiendo las amplitudes de presión, podamos comparar directamente las intensidades de los sonidos que tienen frecuencias diferentes. Por esta razón, los instru mentos que miden los cambios de presión son preferibles a los que miden los desplazamientos; además, como lo aprendimos en el problema muestra 1, los desplazamien tos de los sonidos audibles más débiles son muy pequeños y sería difícil medirlos directamente. Cuando comparamos sonidos diferentes, es más útil usar la intensidad (la potencia promedio por unidad de área) de la onda. Partiendo de la ecuación 17, podemos obtener de inmediato la intensidad /: (A aJ2 (18) 2pv Puesto que el oído es tan sensible (es capaz de responder a intensidades dentro de un intervalo de 12 órdenes de magnitud), introducimos una escala logarítmica de inten sidades llamada nivel de sonido SL (de sound level) SL = 10 log — . ¡o
(19)
El SL se define respecto a una intensidad de referencia I0, la cual se escoge igual a 10"12 W/m2 (valor típico del umbral de la audición humana). Los niveles de sonido definidos de esta manera se miden en unidades de decibel (dB). Un sonido de intensidad 70 tiene un nivel de sonido de 0 dB, mientras que el sonido en la parte superior del espectro de audición humana, llamada umbral del dolor, tiene una intensidad de 1 W/m2 y un SL de 120 dB. Cada aumento de la intensidad I multiplicada por un factor de 10 corresponde a añadir 10 dB al SL. Podemos usar también el dB como una medida relativa para comparar diferentes sonidos entre sí, en lugar de usar la intensidad de referencia. Supongamos que deseamos comparar dos sonidos de intensidades /, e I2: SL, - SL,
La sensibilidad del oído humano varía con la frecuen cia. El umbral de 10"12 W/m2 se aplica únicamente en las frecuencias intermedias de alrededor de 1000 Hz. A fre cuencias más elevadas, digamos 10,000 Hz, el umbral se eleva a alrededor de 10 dB (10“ W/m2), mientras que a una frecuencia más baja de 100 Hz el umbral está en unos 30 dB (IO-9 W/m2). Se necesitan 1000 veces la intensidad del sonido a 100 Hz para producir la misma respuesta fisiológica que una intensidad de sonido dada a 1000 Hz. La figura 4 muestra la variación con la frecuencia de los umbrales de la audición y del dolor, y la tabla 2 muestra algunos niveles de sonido representativos y sus intensida des correspondientes.
Problema muestra 2 Se emiten ondas de sonido esféricas uniformemente en todas direcciones a partir de una fuente puntual, siendo de 25 W la potencia irradiada P. ¿Cuáles son la intensidad y el nivel de sonido de la onda de sonido a una distancia r = 2.5 m desde la fuente? Solución Toda la potencia irradiada P debe pasar a través de una esfera de radio r centrada en la fuente. Entonces /=
10 log f - 10 log ^ *o •'o 10 log
audición humana. Observe la dependencia de los niveles de umbral de la frecuencia. Un sonido que apenas podamos oír a 100 Hz debe tener 1000 veces la potencia acústica (un nivel de sonido de 30 dB mayor) que uno que apenas podamos oír a 1000 Hz, porque nuestro oído es mucho menos sensible a 100 Hz.
(20)
Por ejemplo, dos sonidos, cuya razón de intensidades sea 2, difieren en SL en 10 log 2 = 3 dB.
Anr2
Vemos que la intensidad del sonido disminuye con el inverso del cuadrado de la distancia desde la fuente. Numéricamente, tenemos que /=
25 W (47t)(2.5 m ):
= 0.32 W/m2
Sección 20-4
TABLA 2
Ondas longitudinales estacionarias
501
ALGUNAS INTENSIDADES Y NIVELES DE SONIDO
Sonido________________________ Umbral de la audición El murmullo de las hojas Un murmullo (a 1 m) Calle de la ciudad, sin tránsito Oficina, aula Conversación normal (a 1 m) Martillo perforador (a 1 m) Grupo de rock Umbral del dolor Motor de propulsión a chorro (a 50 m) El cohete Saturno (a 50 m)
Intensidad (W/m2)
Intensidad relativa (7//0)
1 X 1 0 ' 12
10°
0
1 X 1 0 -“
1 0 ‘
10
1 X 1 0 - '°
102
2 0
1 X 1 0 -9
103
3 0
1 X 1 0 -7
1 0'
5 0
1 X 1 0 -6
106
6 0
1 X 1 0 -3
109
9 0
1 X 10"'
1 0"
110
1
1 0 12
120
10
1 0 13
130
1 0 20
2 0 0
1 X 108
SL = 10 log j-m i
0-32W /EÍ 8 10-12 W/m2
Nivel de sonido (dB)
115 dB.
Una comparación de este resultado con la tabla 2 sugiere el planteamiento de dudas acerca de la cordura de comprar amplificadores de 100 W para uso en el hogar.________________
20-4 ONDAS LONGITUDINALES ESTACIONARIAS Consideraremos ahora lo que sucede cuando una onda sonora como la mostrada en la figura 1 llega al extremo del tubo. En analogía con la onda transversal de la cuerda (véase la figura 22 del capítulo 19), ocurre una reflexión, y la onda reflejada viaja de regreso por el tubo en dirección opuesta. El comportamiento de la onda en el extremo reflejante depende de si el extremo del tubo está abierto o cerrado. Consideremos primero un tubo cerrado por un extremo. Al viajar la onda por el tubo y llegar al extremo, puede comprimir a las capas de aire en el extremo cerrado contra la barrera fija. En ese extremo, la presión puede por lo tanto variar con su amplitud máxima, y el extremo cerrado es un antinodo de presión. En un extremo cerrado una onda de presión se refleja de manera similar en que se refleja una onda de desplazamiento transversal en el ex tremo libre de una cuerda (Fig. 22b del capítulo 19). Si, por ejemplo, una compresión incide sobre el extremo cerrado, se refleja de regreso a lo largo del tubo como una compresión. En analogía con nuestra discusión de las ondas transversales en las cuerdas, decimos que una onda de presión longitudinal se refleja desde un extremo cerra do sin cambiar de fase. El mismo efecto ocurre en el caso de una onda longitudinal que viaje en una cuerda,
como puede ser en un juguete Slinky, y se refleje a partir del extremo fijo : una compresión se refleja como una compresión. Consideremos ahora lo que sucede si el extremo del tubo está abierto. La presión en el extremo abierto del tubo es la misma que la presión del ambiente p 0 en el salón que lo rodea. No podemos cambiar la presión en ese extremo del tubo a menos que cambiemos la presión en todo el salón. La presión en el extremo abierto permanece por lo tanto en el valor p0, y el extremo abierto es un nodo de presión. La comparación con la figura 22 del capítulo 19 muestra que este caso es análogo a la onda de desplaza miento transversal que se refleja en el extremo fijo de la cuerda. El intento de la onda incidente sobre el extremo abierto de comprimir el aire en ese extremo causa un enrarecimiento, el cual viaja de regreso por el tubo en dirección opuesta. Así, una onda de presión longitudinal se refleja en el extremo abierto con un cambio de fase de 180°. Una vez más puede observarse el mismo efecto en un resorte enrollado: una compresión se refleja como un enrarecimiento. Supongamos ahora que tenemos un tren de ondas sinu soidales que viaja por el tubo. Las ondas se reflejan en el extremo, el cual se comportará ya sea como un nodo de presión (si el extremo está abierto) o bien como un anti nodo de presión (si el extremo está cerrado). Supongamos que la fuente del tren de ondas sea un altoparlante en el extremo opuesto. El movimiento de la bocina envía una onda de compresión por el tubo, y la superposición de las ondas original y reflejada produce un patrón de ondas estacionarias, precisamente como en el caso de las on das transversales en la cuerda. Dentro del tubo habrá un patrón de nodos y antinodos de presión (que no son puntos, como en el caso de las ondas transversales en una cuerda, sino planos). Si se elige que la frecuencia (o la longitud de onda) de la fuente de ondas tenga un valor particular que dependa de la longitud del tubo, entonces se establece un patrón de ondas estacionarias a lo largo de todo el tubo, en analogía
502
Capítulo 20
Ondas sonoras
H-------- --- L------------H A N N X = 2 L , v = £
N
A
N A
N
A
N A
N
N A N
NA N A N A N A N
los de la figura 23 del capítulo 19. En el primer modo de oscilación, la longitud L del tubo es igual a A/2, donde A es la longitud de onda de la onda producida por la bocina en esta condición de resonancia en particular. La longitud de onda es por lo tanto 2L, y la frecuencia correspondiente es v = v¡X = v¡2L. Las otras resonancias que se muestran en la figura 5a tienen longitudes de onda más pequeñas en forma sucesiva, lo cual puede escribirse en general como: j„ = — 2L , A n
3A = 4L.V=¿
N
(b) ^ 0
A
0
N
0
N
x
3
* - f¿ ,v = g
Figura 5 (a) Ondas de presión de los primeros cuatro modos resonantes de un tubo impulsado por una bocina y abierto en el otro extremo. Existe un nodo N de presión en cada extremo, y los antinodos A se ubican entre los nodos. Las curvas sugieren la variación sinusoidal de presión dentro del tubo, (b) Ondas de presión de los primeros cuatro modos resonantes de un tubo que está cerrado en un extremo. El extremo cerrado es un antinodo de presión. Obsérvense las diferencias en los patrones vibratorios y en las longitudes de onda entre los tubos abierto y cerrado.
2L ’
n = 1, 2, 3,
* Con un tubo de llama Rubens puede obtenerse una bella demostración de las ubicaciones de los nodos y antinodos de presión. Véase “Rubens Flame-tube Demonstration”, por George W. Ficken y Francis C. Stephenson, The Physics Teacher, mayo de 1979, pág. 306.
(tubo abierto).
(22)
Aquí v representa la velocidad de la onda en el medio que llena el tubo, usualmente aire. La figura 5b muestra el caso en que el tubo está cerrado en un extremo y abierto en el otro. En este caso, el extremo cerrado debe ser un antinodo de presión. En el primer modo resonante, la longitud L del tubo es ±A, y así la fuente debe estar produciendo una onda cuya longitud de onda es AL. En el modo siguiente, la longitud de onda cambia de modo que ahora L es |A, y entonces A = | L. Al continuar la serie, vemos que en este caso la expresión general para las longitudes de onda de los modos resonantes es n ’
con el caso de los patrones de una onda estacionaria mostrados en la figura 23 del capítulo 19. Si existe un nodo de presión en el extremo de la bocina, entonces se regresa poca energía a la bocina a partir del patrón de onda estacionaria dentro del tubo, y tenemos una condición de resonancia. La frecuencia impulsora debe ser igual a una de las frecuencias naturales del sistema, las cuales están determinadas por la longitud del tubo. La figura 5a muestra un tubo impulsado por una bocina en un extremo y abierto en el otro extremo. Como vimos previamente, el extremo de la bocina es un nodo de presión en resonancia y el extremo abierto es igualmen te un nodo de presión. En la figura 5a se muestran las va riaciones de la amplitud de presión resultantes de las ondas estacionarias.* Estos patrones se parecen mucho a
(2 1 )
Las frecuencias de resonancia correspondientes, determi nadas al usar la expresión v = v/X con las longitudes de onda de arriba, son v = «
A
o 3, i n = i1,2,
« = 1 , 3 , 5,
(23)
Nótese que sólo aparecen los valores impares del entero n en este caso. Las frecuencias resonantes correspondien tes son v„ = «— , « = 1 , 3 , 5 ,
(tubo cerrado). (24)
Como lo estudiaremos en la sección siguiente, las frecuen cias resonantes dadas por las ecuaciones 22 ó 24 determi nan las notas musicales tocadas por los instrumentos de aliento. La ubicación real del nodo de presión en un extremo abierto no está exactamente en el extremo del tubo. La onda se extiende ligeramente en el medio más allá del tubo, así que la verdadera longitud del tubo es un poco mayor y las frecuencias resonantes son un poco menores. En tubos angostos de forma cilindrica, la corrección de la longitud es aproximadamente igual a 0.6R, donde R es el radio del tubo. En un tubo abierto en ambos extremos, la corrección de la longitud debe aplicarse en cada extre mo. En un tubo de 0.6 m de longitud y 1 cm de radio (valores típicos para los instrumentos de aliento más pequeños, como el clarinete o la flauta), la frecuencia más baja sin la corrección del extremo sería de 286 Hz si
Sección 20-5
Sistemas vibratorios y fuentes de sonido
503
i¿ = x 2 — x¡ = 22.2 cm —6.5 cm = 15.7 cm,
y similarmente, partiendo de la segunda y tercera resonancias, }Á = x 3 — x 2 = 37.7 cm — 22.2 cm = 15.5 cm.
El promedio de estos dos valores, que tomamos como nuestro mejor valor de esta medición, es de 15.6 cm, correspondiente a una longitud de onda de 2(15.6 cm) = 31.2 cm = 0.312 m. Por lo tanto, deducimos que la velocidad del sonido es de v = Av = (0.312 m)(1080 Hz) = 337 m/s. Aparte de la corrección del extremo, ¿qué factores físicos de este experimento (incluyendo las propiedades del aire) podrían influir en el valor medido?
20-5 SISTEMAS VIBRATORIOS Y FUENTES DE SONIDO* Figura 6 Problema muestra 3. Aparato para medir la velocidad del sonido en el aire. El nivel del agua puede ajustarse elevando o bajando el recipiente de la izquierda, el cual está conectado al tubo por medio de una manguera. A la derecha se muestran las formas de la onda de presión de los primeros tres modos resonantes para una longitud de onda determinada.
el tubo fuese abierto y de 143 Hz si el tubo fuese cerrado. Con la corrección del extremo, los valores correspondien tes serían de 280 Hz y 142 Hz. Las correcciones son pequeñas, y sin embargo muy importantes.
Problema muestra 3 La figura 6 muestra un aparato que puede emplearse para medir la velocidad del sonido en el aire usando la condición de resonancia. Encima de un tubo cilindrico parcialmente lleno de agua se sostiene una pequeña bocina. Al ajustar el nivel de agua, la longitud de la columna de aire puede cambiarse hasta que el tubo esté en resonancia, en cuyo punto puede oírse un incremento en la intensidad del sonido. En un experimento, la bocina se impulsa a una frecuencia fija de 1080 Hz, y se observan tres resonancias cuando el nivel de agua está a las distancias jc, = 6.5 cm, x 2 = 22.2 cm, y x 3 - 37.7 cm por debajo de la parte superior del tubo. Halle el valor de la velocidad del sonido a partir de estos datos. Solución La columna de aire actúa como un tubo de longitud variable cerrado en un extremo. El patrón de ondas estacionarias muestra un nodo de presión cerca de la bocina y un antinodo de presión en la superficie del agua. Puesto que no conocemos la corrección del extremo, no podemos usar directamente los datos dados para hallar la velocidad del sonido a partir de la ecuación 24. Sin embargo, observamos por las condiciones de resonancia mostradas en la figura 5b que la distancia entre nodos de presión adyacentes es de ^A; lo mismo sucede para la distancia entre antinodos adyacentes. A partir de los datos dados, concluimos por lo tanto, partiendo de las primeras dos resonancias, que
Un sistema vibratorio transmite una onda a través del aire hasta los oídos del oyente. Este es el principio básico de la producción de sonido por medio de la voz o de un instrumento musical. Ya hemos estudiado la propagación de la onda sonora; aquí estudiaremos ahora el sistema vibratorio que la produce para entender la naturaleza del sonido. Como vimos en la sección 19-10 en el caso de la cuerda vibratoria y en la sección anterior en el caso de una columna de aire, un sistema distribuido tiene un número grande (quizás infinito) de frecuencias vibratorias natura les o de resonancia. Éstas son las frecuencias a las cuales puede vibrar. La frecuencia que se halla en la vibración depende de cómo se pone el sistema en vibración. Supongamos que el sistema es capaz de vibrar en un número de frecuencias v,, v2, v3,... . Escribimos éstas en orden ascendente, de modo que v, < v2 < v3 < •••.La frecuencia más baja v„ se llama la frecuencia fundamen tal, y el modo de oscilación correspondiente se llama modo fundamental. Las frecuencias más elevadas se lla man sobretonos, siendo v2 el primer sobretono superior, v3 el segundo sobretono, y así sucesivamente. En ciertos sistemas, los sobretonos son todos los múl tiplos enteros de la frecuencia fundamental: v„ = nv„
(25)
donde n es un entero. En tal caso, los sobretonos se llaman simplemente armónicos. El primer miembro de una se cuencia armónica es el fundamental, el segundo armónico es el primer sobretono, y así sucesivamente.
* Para una lista de referencias sobre la física de los instrumentos musicales y temas relacionados, véase “Resource Letter MA-2: Musical Acoustics”, por Thomas D. Rossing, American Jour nal of Physics, julio de 1987, pág. 589.
504
Capítulo 20
Ondas sonoras
¿Por qué producen algunos sistemas sonidos agradables mientras que otros producen sonidos desagradables o discordantes? Cuando se oyen varias frecuencias simultá neamente, resulta una sensación agradable si las frecuen cias están en razón de números pequeños y enteros tales como 3:2 ó 5:4. Si un sistema produce sobretonos que sean armónicos, sus vibraciones incluirán frecuencias que tie nen estas razones, y producirán un sonido agradable. Si los sobretonos no son armónicos, es probable que el sonido resulte discordante. Muchos de los esfuerzos en el diseño de instrumentos musicales están dedicados a la producción de secuencias armónicas de sobretonos. Algu nos instrumentos, como en el caso de los basados en cuerdas vibratoria, producen sobretonos que son automá ticamente armónicos cuando las vibraciones tienen una amplitud pequeña. En otros casos, la forma del instrumen to debe diseñarse cuidadosamente para hacerlo armónico; una campana es un ejemplo de tal instrumento. Los armó nicos que produce un instrumento le dan su riqueza y diversidad de tono, y son determinantes de la belleza del sonido del instrumento. Si los instrumentos produjesen únicamente sonidos fundamentales, todos sonarían exac tamente igual. Podemos clasificar a los instrumentos musicales en tres categorías: los basados en cuerdas vibratorias, los basados en columnas de aire vibratorias, y los sistemas más com plejos que incluyen platillos, barras, y membranas vibra torias.
Cuerdas vibratorias Estos instrumentos incluyen las cuerdas frotadas (por ejemplo, los violines), las cuerdas punteadas (la guitarra, el clavicordio), y las cuerdas percutidas (el piano). Si una cuerda fija en ambos extremos es frotada, pun teada, o percutida, a lo largo de la cuerda viajan vibracio nes transversales; estas perturbaciones se reflejan en los extremos fijos, y se forma un patrón de onda estacionaria. Los modos naturales de vibración de la cuerda son exci tados, y estas vibraciones dan origen a ondas longitudina les en el aire del entorno, el cual los transmite a nuestros oídos en forma de sonido musical. Hemos visto (sección 19-10) que una cuerda de longi tud L, fija en ambos extremos, puede resonar a frecuencias dadas por v = n 2
V
1 , 2 , 3,
(2 6 )
Aquí v es la velocidad en la cuerda de las ondas que viajan transversalmente de cuya superposición puede pensarse que da origen a las vibraciones; la velocidad ;; (= VF /jj) es la misma para todas las frecuencias. (Obsérvese que v no es la velocidad del sonido en el aire; aunque la ecuación 26 se vea exactamente igual a la ecuación 22, v representa
\N
íN
A
A
N
N
A
A
N
N
A
N
lx = §L, v = |^ 3 2L N
A
N
A
N
A
N
A
N
Figura 7 Los primeros cuatro modos resonantes de una cuerda vibratoria fija en ambos extremos. Los nodos y los antinodos de desplazamiento se denotan por N y A, respectivamente.
cantidades diferentes en las dos ecuaciones.) A cualquiera de estas frecuencias la cuerda contiene un número entero n de rizos entre sus extremos; tiene nodos en cada extremo y n - 1 nodos adicionales igualmente espaciados a lo largo de su longitud (Fig. 7). Si la cuerda es inicialmente deformada de modo que su forma sea la misma que cualquiera de la de los armónicos posibles, vibrará únicamente a la frecuencia de ese armó nico en particular. Sin embargo, las condiciones iniciales suelen surgir de percutir o de frotar la cuerda y en tales casos, no solamente el fundamental sino muchos sobreto nos están presentes en la vibración resultante. Tenemos una superposición de varios modos naturales de oscila ción. El desplazamiento real es la suma de los varios armónicos con amplitudes diversas. Los impulsos que se envían a través del aire hasta el oído y el cerebro dan lugar a un efecto neto, el cual es característico del instrumento de cuerda en particular. La calidad del sonido de determi nada nota (frecuencia fundamental) tocada por un instru mento se define por el número de sobretonos presentes y sus respectivas intensidades. La figura 8 muestra los es pectros del sonido y las formas de onda correspondientes al violín y al piano.
Columnas de aire vibratorias Un tubo de órgano es un ejemplo sencillo de sonido que se origina en una columna de aire vibratoria. Si ambos extremos de un tubo están abiertos y se dirige una corrien te de aire contra un borde en un extremo, se forman ondas longitudinales en el tubo. La columna de aire resuena entonces a sus frecuencias de vibración naturales, dadas por la ecuación 22. Como en el caso de la cuerda frotada, el sonido fundamental y los sobretonos (que son armón i~
Sección 20-5
505
Ap
Ap
(a)
Violín
£ 1.0
E 0.5 Vi
(a)
Sistemas vibratorios y fuentes de sonido
V2
i V3
! _ _ __ j ____ i . V4 V5 V6 V7
* . _
-
Frecuencia
(■b)
K A A A j ___________ Piano___________________ *
g 1.0 | 0.5
< n0 _____ I__ I__ l---- 1-----------------Vi
(b)
V2
V3
V4
V5
Frecuencia
F igura 8 Formas de onda y espectros de sonido de dos instrumentos de cuerda, (a) violín, y (i>) piano; cada uno de ellos toca una nota de frecuencia fundamental v, = 4 4 0 Hz (la nota La de la escala m usical). El espectro del sonido abajo de cada forma de onda muestra lo s arm ónicos que están presentes en el tono com plejo y sus correspondientes amplitudes.
eos) se producen al mismo tiempo. Si un extremo del tubo se cierra, la frecuencia fundamental se reduce en un me dio, con relación a su valor para un tubo abierto de la misma longitud, y únicamente estarán presentes los armó nicos impares, los cuales cambian la calidad del sonido. Es decir, un tubo abierto produce el mismo tono funda menta] que un tubo cerrado de la mitad de longitud, pero a causa de que la mezcla de los armónicos es diferente en los dos tubos, la calidad de los tonos difiere. Los instrumentos de lengüeta, como el clarinete, pro ducen tonos de modo distinto. El aire se sopla a través de una abertura angosta, uno de cuyos lados está cubierto por una lengüeta que tiene propiedades elásticas. Según la ecuación de Bemoulli el aire, al pasar a alta velocidad a través de una abertura angosta, forma una región local de baja presión dentro de la embocadura. La presión exterior supera a la presión interior, lo cual fuerza a la lengüeta hacia adentro de modo que cubre la abertura. Tan pronto como se cubre la abertura, se interrumpe el flujo de aire, se elimina la región de baja presión dinámica, y la lengüeta se abre súbitamente permitiendo que el flujo de aire comience de nuevo. Este abrir y cerrar repetido del conducto de aire causa variaciones de presión máximas en la embocadura del instrumento, el cual se comporta por lo tanto como un antinodo de presión. En un clarinete, el otro extremo del instrumento está abierto, y por lo tanto las resonancias del instrumento son aquellas dadas por la ecuación 24 para un tubo cerrado en un extremo y abierto en el otro. Ciertos instrumentos de aliento, como la flauta, usan un método similar al tubo de órgano para producir el
Vi V2 V3 V4 V5 V6 VI (C)
F igu ra 9 Formas de onda de algunos instrumentos de aliento: (d) flauta, (b) clarinete, y (c) trompeta, y sus espectros de sonido, com o en la figura 8. Obsérvese que el espectro del clarinete contiene principalmente armónicos impares, mientras que la flauta y la trompeta tienen arm ónicos tanto impares com o pares.
tono, de modo que la embocadura se comporta como un extremo abierto; sus frecuencias resonantes están dadas por la ecuación 22. Otros más, como el oboe y el saxofón, que usan una lengüeta para producir su tono, tienen un barreno cónico (es decir, ahusado) en lugar de cilindrico, lo cual produce en ellos sobretonos que son aproximada mente armónicos, tanto impares como pares. Los instru mentos de metal (por ejemplo, la trompeta o el trombón) se llaman también instrumentos de lengüeta labial, por que los labios del ejecutante actúan como lengüeta, pero de nuevo el barreno está ligeramente ahusado, y como resultado los sobretonos contienen todos los armónicos. La figura 9 muestra las formas de onda de algunos instru mentos de viento.
Otros sistemas vibratorios Las barras vibratorias, los platillos, y las membranas estiradas producen también ondas sonoras. Consideremos una membrana flexible estirada, como la de un tambor. Si se golpea, a partir del punto golpeado viaja una pulsación
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Capítulo 20
Ondas sonoras
bidimensional que se refleja una y otra vez en la frontera de la membrana. Si se obliga a algún punto de la membra na a vibrar periódicamente, a lo largo de ella viajan trenes continuos de ondas. Como en el caso unidimensional de la cuerda, aquí también pueden establecerse ondas esta cionarias en la membrana bidimensional. Cada una de estas ondas estacionarias tiene una cierta frecuencia natu ral (o característica) de la membrana. Una vez más la frecuencia más baja se llama fundamental, y las otras son sobretonos. Generalmente se presentan muchos sobreto nos junto con la frecuencia fundamental cuando la mem brana está vibrando. Estas vibraciones pueden excitar ondas sonoras de la misma frecuencia. Los nodos de una membrana vibratoria son líneas más bien que puntos (como en la cuerda vibratoria) o planos (como en un tubo). Puesto que la frontera de la membrana está fija, debe ser una línea nodal. En la figura 10 se muestra una membrana circular fija en sus bordes, junto con los modos de vibración posibles y sus líneas nodales. La frecuencia natural de cada modo se da en términos de la fundamental v,. Las frecuencias de los sobretonos no son armónicos; esto es, no son múltiplos enteros de vr Las barras vibratorias tienen también un juego de frecuen cias naturales que no son armónicos. Por esta razón, las barras y los platillos tienen un uso limitado como instru mentos musicales. En instrumentos como el xilófono y la marimba, se ponen en vibración pequeñas barras de ma dera o de metal que se golpean. La forma de las barras es cuidadosamente modificada, haciéndolas más delgadas en el centro, de modo que los sobretonos resulten aproxi madamente armónicos.
vi
V2 = 1.99 Vi
V3 = 2.13 V!
v* = 2.30 vi vg - 2.65 vi
vs - 2.92 vi
<«)
20-6 PULSACIONES_____________________ Hemos considerado previamente el efecto de ondas que se superponen para producir regiones de intensidad máxi ma y mínima (cero), tal como en el caso de una onda estacionaria en un tubo. Esto ilustra un tipo de interferen cia que podemos llamar interferencia en el espacio. El mismo principio de superposición nos conduce a otro tipo de interferencia, al cual podemos llamar interferencia en el tiempo. En este caso examinamos la superposición de dos ondas en un punto dado en función del tiempo. Esta superposición, que en general puede dar por resultado formas de onda bastante complejas, adquiere una forma sencilla, particularmente cuando las dos ondas tienen casi la misma frecuencia. Con el sonido una condición así se da cuando, por ejemplo, se afinan entre sí dos instrumen tos o dos cuerdas de guitarra. Consideremos un punto en el espacio a través del cual estén pasando ondas. La figura l i a muestra la presión producida en ese punto por las dos ondas separadamente, en función del tiempo. Para simplificar hemos supuesto
Figura 10 (a) Los seis modos resonantes más bajos de un parche circular sujeto en los bordes. Las líneas representan nodos; el borde es también una línea nodal. Los signos + o indican que una región particular se está moviendo hacia afuera de la página o hacia adentro de la página. En este caso, los sobretonos no son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental y, por lo tanto, no son armónicos, (b) Patrones de vibración de un timbal en los modos numerados 4, 5, y 6, y un modo adicional no ilustrado en (a). Se hacen visibles esparciendo un polvo oscuro sobre el parche y poniendo a éste en vibración a la frecuencia apropiada usando un vibrador mecánico. Al vibrar el parche, el polvo es sacudido y finalmente reposa sobre las líneas nodales, donde no existe movimiento.
que las dos ondas tienen igual amplitud, aunque esto no es necesario. La presión resultante en ese punto en función
Sección 20-6
WW!i
¿ P l(t)
2
í m i
i m —
Á
m
!
i w
w
¡
A p (t)
(b)
_
Time
n
del tiempo es la suma de las presiones individuales y su gráfica se ilustra en la figura 1Ib. Vemos que la amplitud de la onda resultante no es constante sino que varía con el tiempo. En el caso del sonido la amplitud variable da lugar a variaciones en la sonoridad, llamadas pulsaciones. Representemos la variación de la presión con el tiempo (para x constante) producida por una onda como: Api(t) = Apm sen tu,/, donde hemos elegido a la constante de fase para tener la posibilidad de escribir a la onda en esta forma sencilla. La variación de la presión en el mismo punto producida por la otra onda de igual amplitud se representa como Ap 2 (t) = Apm sen co2 t. Según el principio de superposición, la presión resultante es Ap(t) = A pl (t) + Ap2 (t) (27)
Usando la identidad trigonométrica A —B A+ B sen A + sen B = 2 eos — - — sen — - — ,
(29)
El primer factor, contenido entre los corchetes de la ecua ción 28, da una amplitud variable con el tiempo a la variación sinusoidal del segundo factor. Este factor de la amplitud varía con una frecuencia angular
J
Figura 11 (a) Dos formas de onda sinusoidales de frecuencias casi iguales. (b) Superposición de las dos formas de onda. Nótese que las dos ondas de la parte (a) van de estar en fase, dando una resultante de gran amplitud, a estar fuera de fase, dando una resultante de amplitud cero. Las curvas puntuadas muestran la variación sinusoidal de la envolvente modulante con frecuencia angular £Ump.
= Apm(sen coí t + sen co2 t).
_ co, + a>2 co = —— — -
f
i
ft>. — cu,
(30)
En términos de co y de co , podemos escribir la ecuación 28 como: Ap(t) = [2Apm eos oj3 mpt] sen cot.
Si col y co2 son casi iguales, la frecuencia de la amplitud es pequeña, y la amplitud fluctúa lentamente. La figura 11 muestra la superposición de las dos ondas de acuerdo con la ecuación 28. Obsérvese que, en el caso de frecuencias casi iguales, la variación rápida de la onda resultante ocurre con una frecuencia que es aproximada mente la de cualquiera de las dos ondas sumadas. La amplitud total de la resultante varía lentamente con la fre cuencia de la amplitud o) , la cual define una “envolven te” dentro de la cual ocurre la variación más rápida. Este fenómeno es una forma de modulación de la amplitud, que tiene una contraparte (bandas laterales) en los recep tores de radio de AM. En el caso mostrado en la figura 116, el oído perci biría un tono con una frecuencia v(= w = ¡2 k), que es apro ximadamente igual que las frecuencias v, ( = coJ 2 k ) o v2(= cúJ2n) de las dos ondas componentes. El tono crece alternativamente fuerte y débil al variar con el tiempo la amplitud de la resultante, dando máximos y mínimos como se muestra en la figura 1 Ib. Siempre que eos wampí sea igual a +1 o a -1 ocurre una pulsación, es decir, un máximo de intensidad, puesto que la intensidad depende del cuadrado de la amplitud. Cada uno de estos valores ocurre una vez en cada ciclo de la envolvente (véase la fig. 11), de modo que el número de pulsaciones por segundo es el doble del número de ciclos por segundo de la envolvente. La frecuencia angular de la pulsación co b es entonces copuls. = 2
, *
L .
/ a>, — gj2 \
1
-
(32)
Usando co = 2nv, podemos reescribir esta expresión co mo:
La ecuación 27 puede describirse como .
(31)
ft)a„,p
'
Ap(t) = I 2Apm eos y ---- ^---- J l
507
cias. Cuando las frecuencias son casi las mismas, la ecua ción 28 puede simplificarse escribiendo el segundo factor en términos de la frecuencia angular promedio cü de las dos ondas,
A p (í)
(<*)
Pulsaciones
(c o x + co2\ sen ^ ----- 2---- /
V puU . =
(28) Hasta ahora, todo lo que hemos hecho se aplica a dos ondas cualesquiera, sin importar cuáles sean sus frecuen
|V , —
v2¡.
(33)
De aquí que el número de pulsaciones por segundo sea igual a la diferencia de las frecuencias de las ondas componentes. Las pulsaciones entre dos tonos pueden ser
508
Capítulo 20
Ondas sonoras
detectadas por el oído hasta una frecuencia de unos 15 Hz. A frecuencias más elevadas no pueden distinguirse las pulsaciones individuales en el sonido producido. Los mú sicos tratan de escuchar a menudo las pulsaciones al afinar ciertos instrumentos. La afinación es cambiada hasta que la frecuencia de la pulsación disminuye y las pulsaciones desaparecen.
Problema muestra 4 Una cuerda de violín que va a ser afi nada con la nota La de la escala musical (440 Hz) está ligera mente fuera de tono. Se escuchan 3 pulsaciones por segundo cuando la cuerda de violín se toca en su modo fundamental junto con un diapasón en La. (a) ¿Cuáles son los valores posibles de la frecuencia fundamental de la cuerda? {ti) Supóngase que la cuerda fuese tocada en su primer sobretono simultáneamente con un diapasón de una octava arriba de La (880 Hz). ¿Cuántas pulsaciones por segundo se oirían? (c) Cuando se aumenta ligeramente la tensión de la cuerda, el número de pulsaciones por segundo en el modo fundamental aumenta. ¿Cuál era la frecuencia original de la fundamental? Solución (a) Partiendo de la ecuación 33, sabemos que la frecuencia vl de la cuerda difiere en la frecuencia de pulsación (3 Hz) de la frecuencia v2 del diapasón (440 Hz), pero no podemos decir que la cuerda tenga una frecuencia más alta o más baja a partir únicamente del número de pulsaciones por segundo. Así, las frecuencias posibles son v, = 440 Hz ± 3 Hz = 443 Hz or 437 Hz. (b) En el primer sobretono, la frecuencia de la cuerda es el doble de su frecuencia fundamental, y por lo tanto, puede ser 886 Hz o bien 874 Hz. Cuando se toca enfrente de un diapasón de 880 Hz, la diferencia de la frecuencia en cualquier caso es de 6 Hz, y por lo tanto se escucharían 6 pulsaciones por segundo. (c) El hecho de aumentar la tensión de la cuerda eleva la velocidad de las ondas transversales y, por lo tanto, eleva la frecuencia fundamental (véase la ecuación 26). Puesto que se nos dice que esto eleva la frecuencia de pulsación, concluimos que la frecuencia del modo fundamental era anteriormente mayor de 440 Hz, puesto que el aumento de la frecuencia hizo que la diferencia con respecto a 440 Hz fuese aún más grande. Entonces, la cuerda estaba afinada originalmente a 443 Hz, y la tensión debe ser reducida para llevarla a su afinación correcta.
20-7 EL EFECTO DOPPLER_____________ Cuando un oyente está móvil hacia una fuente estaciona ria de sonido, el tono (frecuencia) del sonido escuchado es más alto que cuando el oyente está en reposo. Si el oyente está móvil alejándose de la fuente estacionaria, se oirá un tono más bajo. Obtenemos resultados similares cuando la fuente está móvil acercándose o alejándose de un oyente estacionario. El tono del silbato de una locomo tora o de la sirena de un carro de bomberos es más alto cuando la fuente se aproxima al oyente que cuando ha pasado y se aleja.
En un trabajo escrito en 1842, Christian Johann Doppler (1803-1853, austríaco) llamó la atención sobre el hecho de que el color de un cuerpo luminoso debe ser cambiado por el movimiento relativo del cuerpo y el observador. Este efecto Doppler, como se llama, se aplica a las ondas en general. El propio Doppler menciona la aplicación de su principio a las ondas sonoras. En 1845 Buys Ballot llevó a cabo una prueba experimental en Holanda, “usan do una locomotora que transportaba a varios trompeteros en un carro abierto”.
Observador móvil, fuente en reposo Consideraremos ahora el efecto Doppler en las ondas sonoras, tratando únicamente el caso especial en el que la fuente y el observador se mueven a lo largo de la línea que los une. Adoptemos un marco de referencia en reposo en el medio a través del cual viaja el sonido. La figura 12 muestra una fuente de sonido S en reposo en este marco y a un observador O que se mueve hacia la fuente con una velocidad v0. Los círculos representan frentes de onda, separados por la distancia de una longitud de onda, que viaja a través del medio. Un observador en reposo en el medio recibiría vt/X ondas en el tiempo t, donde v es la velocidad del sonido en el medio y A es la longitud de onda. Sin embargo, a causa del movimiento hacia la fuente, el observador recibe vQt/X ondas adicionales en este mismo tiempo t. La frecuencia v' que se oye realmen te es el número de ondas recibidas por unidad de tiempo, o sea ,
vt/X + v0t/X _ v + va
v + vQ v/v
t Esto es, v —v
v+ vQ
’K
) -
(34)
La frecuencia v' captada por el oído del observador es la frecuencia v oída en reposo más el incremento v( vQ¡ v) que surge del movimiento del observador. Cuando el observador está móvil alejándose de la fuente estaciona ria, existe una disminución de la frecuencia v( va/v) co rrespondiente a las ondas que no llegan al observador en cada unidad de tiempo a causa del alejamiento. Entonces (35) De aquí que la relación general que prevalece cuando la fuente está en reposo respecto al medio pero el obser vador se mueve a través de él sea v±vQ V — v -------
(36)
donde el signo más se tiene para el movimiento hacia la fuente y el signo menos se tiene para el movimiento que
Sección 20-7 El efecto Doppler
Figura 12 Una fuente estacionaria de sonido S emite frentes de onda esféricos, mostrados con la separación de una longitud de onda. Un observador O, representado por la oreja, se mueve con velocidad va hacia la fuente. El observador en movimiento encuentra más ondas por segundo que un observador en reposo y por lo tanto mide una frecuencia más elevada. El observador mediría una frecuencia más baja para el movimiento que se aleja de la fuente.
se aleja de la fuente. Nótese que el cambio de frecuencia ocurre porque el observador intercepta más o menos on das en cada segundo como resultado del movimiento a través del medio.
Fuente móvil, observador en reposo Cuando la fuente está móvil hacia un observador estacio nario, el efecto es un acortamiento de la longitud de onda (véase la Fig. 13), ya que la fuente está viajando tras las ondas que se aproximan, y, por lo tanto, las crestas se juntan más entre sí. Si la frecuencia de la fuente es v y su velocidad es vs, entonces durante cada vibración viaja una distancia vs/ v ,y cada longitud de onda se acorta en esta cantidad. De aquí que la longitud de onda del sonido que llega al observador no sea X = v/v sino X' = v/v - vs/v. La frecuencia del sonido que el observador oye aumenta y está dada por X'
(V - vs )/v
= v■
(37)
V - V s
Si la fuente se mueve alejándose del observador, la lon gitud de onda emitida es vs/v mayor que X, de modo que el observador oye una frecuencia disminuida, es decir, v' =
(V +
— r r — v ——— . Vs ) / V
V + Vs
(38)
De aquí que la relación general que prevalece cuando el observador está en reposo respecto al medio pero la fuente se mueve a través de él sea
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Figura 13 Aquí el observador O está en reposo, y la fuente se mueve hacia él con una velocidad vs. El frente de onda 1 fue emitido cuando la fuente estaba en S„ el frente de onda 7 cuando la fuente estaba en S7, y así sucesivamente. En el instante de esta ilustración, la fuente está en S. El observador mide una longitud de onda más corta a causa del “apiñamiento” de los frentes de onda a lo largo del movimiento. Un observador situado en el eje x negativo, a partir del cual se estaría alejando la fuente, mediría una longitud de onda más larga.
v' = v
v±vs ’
(39)
donde el signo menos rige para el movimiento hacia el observador y el signo más para el movimiento alejándose del observador. Nótese que el cambio aquí es el acorta miento o el aumento de la longitud de onda transmitida en el medio debido al movimiento de la fuente en el medio. Si tanto la fuente como el observador se mueven en el medio transmisor, puede demostrarse que el observador oye una frecuencia dada por , v±vQ V = v —_ v + vs
(40)
donde los signos superiores (+ en el numerador, - en el denominador) corresponden a la fuente y al observador cuando se acercan, y los signos inferiores cuando se aleja uno del otro. La ecuación 40 incorpora a las cua tro posibilidades distintas, como lo muestra el problema muestra 5. Obsérvese que la ecuación 40 se reduce a la ecuación 36 cuando vs = 0 y a la ecuación 39 cuando Uq = 0, como debe ser. Si una fuente de sonido se mueve alejándose de un observador y hacia una pared, el observador oye dos notas de frecuencia diferente. La nota oída directamente a partir de la fuente en retroceso baja de tono debido al movimien to. La otra nota se debe a las ondas reflejadas en la pared, y ésta se eleva de tono (porque la fuente se mueve hacia la pared, y la pared “oye” la frecuencia más alta). La superposición de estos dos trenes de ondas produce pul-
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saciones. Un efecto similar ocurre si una onda que parte de una fuente estacionaria se refleja en un objeto en movimiento. La frecuencia de pulsación puede emplearse para deducir la velocidad del objeto. Éste es el principio básico de los monitores de velocidad por medio de radar, y también se utiliza para rastrear a los satélites. Lo expuesto en esta sección se aplica al corrimiento Doppler de las ondas sonoras y de otras ondas mecánicas similares. Las ondas de luz muestran también el efecto Doppler; sin embargo, puesto que no existe un medio de propagación para la luz, las fórmulas desarrolladas en esta sección no son aplicables. Véanse los capítulos 21 y 42 para un estudio del efecto Doppler en las ondas de luz. \
\
Problema muestra 5 La sirena de un auto de la policía emite un tono puro a una frecuencia de 1125 Hz. Halle la frecuencia que usted percibiría en su automóvil bajo las siguientes circuns tancias: (a) su auto está en reposo, el de la policía se mueve hacia usted a 29 m/s (65 mi/h); (b) el auto de la policía está en reposo, su auto se mueve hacia él a 29 m/s; (c) su auto y el de la policía se mueven uno hacia el otro a 14.5 m/s; (d ) su auto se mueve a 9 m/s, y el de la policía le sigue a usted a 38 m/s. Solución Las cuatro partes de este problema pueden resolver se usando la ecuación 40. (a) Aquí vQ=0 (su auto está en reposo) y vs = 29 m/s. Escogemos el signo de arriba (menos) en el denominador de la ecuación 40, porque el auto de la policía se está moviendo hacia usted. Entonces obtenemos, usando v = 343 m/s como la velocidad del sonido en aire tranquilo, 343 m/s v :(1125 Hz) v = v343 m/s —29 m/s v-vs
1229 Hz.
(b) En este caso vs = 0 (el auto de la policía está en reposo) y vQ= 29 m/s. Escogemos el signo de arriba (más) en el numerador de la ecuación 40, porque usted se mueve hacia el auto de la policía, y hallamos v + v0 ,343 m /s + 29 m/s v' = v --------- = (1125 H z)-------- — — --------- = 1220 Hz.
v
343 m/s
(c) En este caso vs = 14.5 m/s y vQ= 14.5 m/s. Escogemos los signos de arriba tanto en el numerador como en el denomi nador de la ecuación 40, porque su auto y el de la policía se mueven uno hacia el otro. Entonces obtenemos v . „ !± 1 Z = ( | 125 I b ) ? »
v — vs
343 m /s —14.5 m/s
,
V-VS
observador, sino también por sus velocidades relativas al medio que transporta al sonido.
, 224 H z.
(d) Aquí un = 9 m/s y us = 38 m/s. Su auto se mueve alejándose del auto de la policía, así que elegimos el signo de abajo (menos) en el numerador, pero el auto de la policía se está moviendo hacia usted, de modo que elegimos el signo de arriba (menos) en el denominador. El resultado es , - ,
a velocidad supersónica. Los frentes de onda son esféricos y su envolvente es un cono. Compare esta figura con la figura 13. (b) Fotografía de un proyectil disparado por un arma en un Mach 2. Obsérvese el cono Mach.
- (1125 Hz) ,34.3 m,S - 1232 H, 343 m/s —38 m/s
Obsérvese que en los cuatro casos de este problema, la velocidad relativa entre usted y el auto de la policía es la misma, es decir, 29 m/s, pero las frecuencias percibidas son diferentes en los cuatro casos. La desviación Doppler del sonido se deter mina no sólo por la velocidad relativa entre la fuente y el
Efectos a grandes velocidades (Opcional) Cuando vQ o vs resultan comparables a v en magnitud, las fórmulas dadas antes para el efecto Doppler deben modificarse. Se requiere una modificación, porque la relación lineal entre la fuerza de restauración y el desplazamiento que hasta ahora hemos supuesto ya no es válida en el medio. La velocidad de propagación de la onda ya no es la velocidad de fase normal, y la onda cambia de forma en el tiempo. Las componentes del movimiento en ángulos rectos a la línea que une a la fuente con el observador contribuyen también al efecto Doppler a estas grandes velocidades. Cuando ua o vs excede a v, la fórmula Doppler ya no tiene validez; por ejemplo, si vs > v, la fuente se adelanta a la onda en una dirección; si va > u y el observador se aleja de la fuente, la onda nunca llega al observador.
Preguntas
Hay muchos ejemplos en los que la fuente se mueve en el medio a una velocidad mayor que la velocidad de fase de la onda en ese medio. En tales casos, el frente de onda toma la forma de un cono en cuyo vértice se halla el cuerpo en movimiento. Otros ejemplos son la onda arqueada de un bote rápido sobre el agua y la “onda de choque” de un aeroplano o proyectil que se mueve por el aire a una velocidad mayor que la del sonido en ese medio (velocidades supersónicas). Otro ejemplo es la radiación Cerenkov, que consiste en ondas de luz emitidas por partículas cargadas que se mueven en un medio con una velocidad mayor que la velocidad de fase de la luz en ese medio. El resplandor azul del agua que a menudo rodea el núcleo de un reactor nuclear es un tipo de radiación Cerenkov. En la figura 14a mostramos las posiciones actuales de las ondas esféricas que se originan en diversas posiciones de una fuente durante su movimiento. El radio de cada esfera en este tiempo es el producto de la velocidad de la onda v y el tiempo t que ha transcurrido desde que la fuente estaba en su centro. La envolvente de estas ondas es un cono cuya superficie forma un ángulo 6 con la dirección del movimiento de la fuente. A partir de la figura obtenemos el resultado
sen 0 = — .
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vs
En las ondas que se forman en la superficie del agua el cono se reduce a un par de líneas que se intersecan. En aerodi námica la razón v j v se llama el número Mach. Un aeroplano que viaje a una velocidad supersónica genera un cono Mach similar al mostrado en la figura 14. Cuando el borde de ese cono intercepta al terreno que está abajo, oímos un “estampido sóni co”, el cual (contrario a la creencia común) no tiene nada que ver con el aeroplano que “rompe la barrera del sonido”. El estampido sónico es simplemente el efecto total de la concen tración sobre una superficie de la energía sónica irradiada por el aeroplano, la cual se irradiaría normalmente en todas direc ciones a velocidades subsónicas. Como lo muestra la fotografía de la figura 146, podría ser posible oír dos estampidos sónicos provenientes del mismo aeroplano, uno que partiese del borde anterior y otro que partiese del borde posterior. (Obsérvese también que el cono Mach nunca intercepta al proyectil en sí mismo; así, los pasajeros del aeroplano no oyen el estampido sónico.) ■
PREGUNTAS 1. ¿Por qué no viaja el sonido en el vacío? 2. Liste algunas fuentes de ondas infrasónicas y de ondas ultrasónicas. 3. Las ondas ultrasónicas pueden emplearse para revelar estructuras internas del cuerpo humano. Por ejemplo, pue den distinguir entre los tejidos líquidos y los tejidos blan dos del organismo humano mucho mejor que los rayos X. ¿Cómo? ¿Por qué se emplean aún los rayos X? 4. ¿Qué evidencia experimental existe para suponer que la velocidad del sonido en el aire es la misma para todas las longitudes de onda? 5. Ofrezca una explicación cualitativa de por qué la veloci dad del sonido en el plomo es menor que en el cobre. 6. Las ondas transversales de una cuerda pueden ser po larizadas planas. ¿Pueden ser polarizadas las ondas de sonido? 7. Las campanas suelen tener un sonido menos agradable que el de un piano o el de un violín. ¿Por qué? 8. En una escuela hacen sonar una campana durante un tiempo corto. Después de un rato su sonido es inaudible. Trace las ondas de sonido y la energía que transfieren a partir del tiempo de emisión hasta que se vuelven inau dibles. 9. Cuando una orquesta “entra en calor”, el tono de los instrumentos de aliento se eleva y el de los instrumentos de cuerda decae. Explique por qué. 10. Explique cómo se afina un instrumento de cuerdas. 11. ¿Es la resonancia una característica deseable en todos los instrumentos musicales? Dé ejemplos. 12. Cuando se golpea una de las ramas del diapasón, la otra rama vibra también, incluso cuando se afianza firmemente el mango de la horquilla en un tornillo de banco. ¿Por qué
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19.
20. 21.
sucede esto? Es decir, ¿cómo “sabe” esa segunda rama de la horquilla que alguien ha golpeado a la otra? ¿Cómo puede viajar una onda de sonido por un tubo de órgano y reflejarse en su extremo abierto? Parecería que allí no existe nada que la refleje. ¿Cómo podemos localizar experimentalmente las posicio nes de los nodos y de los antinodos en una cuerda, en una columna de aire, y sobre una superficie vibratoria? Explique cómo se produce una nota al soplar a través de la parte superior de un tubo de pruebas. ¿Cuál sería el efecto de soplar más fuerte? ¿Cuál sería el efecto si se elevara a la temperatura del aire que está dentro del tubo de pruebas? ¿Qué podría usted hacer para reducir el nivel de ruido en un taller de máquinas herramienta? Las trompetas para niebla emiten sonidos de tono muy bajo. ¿Con qué objeto? ¿Son siempre audibles como sonido las ondas longitudi nales en el aire, cualquiera que sea la frecuencia o la intensidad? ¿Qué frecuencias producirían en una persona la mayor sensibilidad, la mayor tolerancia, y la gama más amplia? ¿Cuál es el objetivo común de las válvulas de un cornetín y de la barra deslizante de un trombón? Un clarín no tiene válvulas. ¿Entonces cómo podemos hacer sonar notas diferentes en él? ¿A qué notas se limita la persona que toca un clarín? ¿Por qué? Explique por qué el arco hace vibrar a una cuerda de violín. ¿Cuál es el significado de cero decibeles? ¿Podría estable cerse la intensidad de referencia del sonido audible con el
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Capítulo 20
Ondas sonoras
fin de permitir niveles de sonido negativos en decibeles? De ser así, ¿cómo? Explique los factores que determinan la gama de frecuen cias y el timbre de nuestra voz. Explique el origen del sonido en un silbido ordinario. ¿Qué propiedades físicas de una onda sonora correspon den a las sensaciones humanas de tono, sonoridad, y timbre? ¿Cuál es la diferencia entre una nota de violín y la misma nota emitida por la voz humana que nos permite distinguir entre una y otra? ¿Suena nuestra voz al cantar realmente mejor en la rega dera? De ser así, ¿cuáles son las razones físicas? Explique el sonido audible producido al rozar el borde de una copa de vino con el dedo húmedo. ¿Oscilaría una cuerda de violín punteada durante un tiem po más largo o más corto si el violín careciera de caja de resonancia? Explique. ¿Es una cuerda de violín frotada por el arco un ejemplo de oscilaciones amortiguadas forzadas? ¿Cómo sonaría la cuerda si no fuese amortiguada? Un tubo puede actuar como filtro acústico, discriminando el paso a través de él de sonidos de frecuencias diferentes de las frecuencias naturales del tubo. El silenciador de un automóvil es un ejemplo, (a) Explique cómo trabaja esta clase de filtro, (b) ¿Cómo podemos determinar la frecuen cia de corte, por debajo de la cual no se transmite el sonido? Exponga los factores que mejoran la acústica en las salas de concierto. ¿Cuál es el efecto de usar un megáfono o de ahuecar las manos delante de la boca para proyectar la voz a distancia? Un relámpago disipa una cantidad enorme de energía y en esencia es instantáneo. ¿Cómo esa energía se transfor ma en las ondas sonoras del trueno? (Véase “Thunder”, por Arthur A. Few, Scientific American, julio de 1975, pág. 80.) Las ondas sonoras pueden emplearse para medir la velo cidad a la que fluye la sangre por arterias y venas.Explique cómo. Suponga que Jorge silba y que Gloria lo oye. Ella oiría una frecuencia aumentada si estuviese corriendo hacia Jorge o si Jorge estuviese corriendo hacia ella. ¿Son los aumen tos de frecuencia iguales en cada caso? Suponga las mis mas velocidades al correr. Suponga que, en el efecto Doppler del sonido, la fuente y el receptor están en reposo en algún marco de referencia pero el medio de transmisión (el aire) se está moviendo
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respecto a este marco. ¿Existirá un cambio en la longitud de onda, o en la frecuencia, recibida? Usted está parado en el centro de una carretera y hacia usted viene un autobús a una velocidad constante, hacien do sonar su claxon. ¿Se eleva, decae, o es constante el tono del claxon a causa del efecto Doppler? ¿Cómo podría emplearse el efecto Doppler en un ins trumento para detectar el latido de un corazón fetal? (Tales mediciones se practican rutinariamente; véase “Ultrasound in Medical Diagnosis”, por Gilbert D. Devey y Peter N. T. Wells, Scientific American, mayo de 1978, pág. 98.) Los murciélagos pueden conocer las características de los objetos (como su tamaño, forma, distancia, dirección, y movimiento) percibiendo la manera en que se refle jan hacia ellos los objetos mediante los sonidos de alta frecuencia que emiten. Exponga cualitativamente có mo afectan cada una de estas características a las on das de sonido reflejadas. (Véase “Information Content of Bat Sonar Echoes”, por J. A. Simmons, D. J. Howell, y N. Suga, American Scientific, marzo-abril de 1975, pág. 204). Supongamos que podemos detectar a un objeto por las ondas que rebotan de él (como en el caso del sonar o del radar, por ejemplo) siempre que el objeto sea más grande que la longitud de onda de las ondas. Consideremos luego que los murciélagos y las marsopas pueden emitir ondas sonoras de 100 kHz de frecuencia; sin embargo, los mur ciélagos pueden detectar objetos tan minúsculos como un insecto y, en cambio, las marsopas únicamente peces pequeños. ¿Por qué la diferencia? ¿Existe un efecto Doppler para el sonido cuando el obser vador o la fuente se mueven en ángulo recto con la línea que los une? ¿Cómo podemos entonces determinar el efecto Doppler cuando el movimiento tenga una compo nente en ángulo recto con esa línea? Dos buques con sirenas de vapor del mismo tono las hacen sonar en el puerto. ¿Cabe esperar que ello produzca un patrón de interferencia con regiones de intensidad alta y baja? Si no, ¿por qué no? Un satélite emite ondas de radio de frecuencia constante. Estas ondas se recogen en tierra y se las hace pulsar contra alguna frecuencia estándar. La frecuencia de pulsación se envía luego por un altavoz y uno “oye” las señales del satélite. Describa cómo cambia el sonido a medida que el satélite se aproxima, pasa por encima, y retrocede respecto al detector en tierra. ¿Cómo y en qué difieren los efectos Doppler de la luz y del sonido? ¿En qué aspecto son iguales?
PROBLEMAS Sección 20-1 La velocidad del sonido Según sea necesario en los problemas, tome la velocidad del sonido en el aire = 343 m/s y la densidad del aire =1.21 kg/m3 a menos que se den otros valores.
1. Para diagnosticar y examinar tumores en tejidos blandos se emplea un ultrasonido de 4.50 MHz de frecuencia. (a)
ÜKXVE-RSrDAD DS LA K E i'Ü tX Jí;! F A O ü lT A O DH INGENIERÍA
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Problemas
'MtOtfTJSVTDlSO - UP.UOT1AV ¿Cuál es la longitud de onda en el aire de esa onda de sonido? (b) Si la velocidad del sonido en el tejido humano es de 1500 m/s, ¿cuál es la longitud de onda de esta onda en el tejido? 2. Si la longitud de onda del sonido es grande en un factor de alrededor de 10 con relación al recorrido libre medio de las moléculas, entonces las ondas de sonido pueden pro pagarse a través de un gas. En aire a la temperatura ambiente, el recorrido libre medio es de alrededor de 0.1 fim. Calcule la frecuencia por encima de la cual no podrían propagarse las ondas de sonido. 3. La figura 15 muestra una imagen notablemente detallada del transistor de un circuito microelectrónico, formada por un microscopio acústico. Las ondas de sonido tienen una frecuencia de 4.2 GHz. La velocidad de tales ondas en el helio líquido en el que se encuentra sumergido el espécimen es de 240 m/s. (a) ¿Cuál es la longitud de onda de estas ondas acústicas de frecuencia ultraelevada? (b) Los conductores a modo de listón en la figura tienen un ancho de unos 2 ¡¡m, aproximadamente. ¿A cuántas lon gitudes de onda corresponde esta cantidad?
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concierto está siendo radiado en vivo, en estéreo, alre dedor del mundo vía satélite. Considere a un oyente a 5000 km de distancia. ¿Quién oye la música primero y con qué diferencia de tiempo? 7. La velocidad del sonido en cierto metal es V. El extremo de un tubo largo de ese metal, de longitud L, se percute con un golpe fuerte. Un oyente en el otro extremo oye dos sonidos, uno que parte de la onda que ha viajado por el tubo y otro que parte de la onda que ha viajado por el aire. (a) Si v es la velocidad del sonido en el aire, ¿qué intervalo de tiempo t transcurre entre la llegada de los dos sonidos? (b) Un martillo golpea una barra larga de aluminio en un extremo. Un oyente, cuya oreja está cerca del otro extremo de la barra, oye el sonido del golpe dos veces, con un intervalo de 120 ms intermedio. ¿Cuál es la longitud de la barra? 8. Los terremotos generan ondas de sonido en la Tierra. A diferencia de un gas, existen en un sólido ondas de sonido tanto transversales (S) como longitudinales (P). Típica mente, la velocidad de las ondas S es de alrededor de 4.5 km/s y la de las ondas P es de 8.2 km/s. Un sismógrafo registra las ondas P y S de un terremoto. Las primeras ondas P llegan 3 min antes que las primeras ondas S; véase la figura 16. ¿A qué distancia ocurre el terremoto?
Tiempo(min) Figura 16 Problema 8. Figura 15 Problema 3. 4. (a) Una regla para hallar la distancia a la que se forma un relámpago consiste en contar los segundos a partir del tiempo en que vemos el relámpago hasta que oímos el trueno y luego dividir esa cantidad entre 5. Si el resultado debe dar la distancia en millas. Explique esta regla y determine el porcentaje de error en ella a 0° C y 1 atm de presión, (b) Elabore una regla similar para calcular la distancia en kilómetros. 5. Una columna de soldados que marcha a 120 pasos por minuto se mantiene al paso con la música de una banda que encabeza la columna. Se observa que los hombres que van atrás de la columna dan el paso con el pie izquierdo cuando los de la banda lo dan con el pie derecho. ¿Cuál es la longitud de la columna, aproximadamente? 6. Está usted presente en un gran recinto de concierto al aire libre sentado a 300 m del micrófono del escenario. El
9. Una piedra se deja caer en un pozo. El sonido del chapoteo se oye 3.00 s más tarde. ¿Cuál es la profundidad del pozo? Sección 20-2 Ondas viajeras longitudinales 10. Una onda longitudinal sinusoidal continua se envía a lo largo de un resorte enrollado desde una fuente vibratoria unida a él. La frecuencia de la fuente es de 25 Hz, y la distancia entre enrarecimientos sucesivos en el resorte es de 24 cm. (a) Halle la velocidad de la onda. (b) Si el desplazamiento longitudinal máximo de una partícula del resorte es de 0.30 cm y la onda se mueve en dirección —x, escriba la ecuación de la onda. Considere que la fuente está en x = 0 y el desplazamiento es 5 = 0 en la fuente cuan do t = 0. 11. La presión de una onda sonora viajera está dada por la ecuación Ap = ( 1.48 Pa) sen ( 1.07nx — 334nt),
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Capítulo 20
Ondas sonoras
donde x está en metros y t en segundos. Halle (a) la amplitud de la presión, (b) la frecuencia, (c) la longitud de onda, y (d ) la velocidad de la onda. Sección 20-3 Potencia e intensidad de las ondas sonoras 12. Demuestre que la intensidad I de la onda de sonido puede expresarse en términos de la frecuencia v y de la amplitud del desplazamiento smen la forma I = 2n 2pvv2s l¡.
13. Una fuente emite ondas esféricas isotrópicamente (es de cir, con igual intensidad en todas las direcciones). La in tensidad de la onda a 42.5 m de la fuente es de 197 /j\V/m2. Halle la salida de potencia de la fuente. 14. Una nota de 313 Hz de frecuencia tiene una intensidad de 1.13 /iW/m2. ¿Cuál es la amplitud de las vibraciones del aire causadas por este sonido? 15. Una onda de sonido de 1.60 pW/cm2 de intensidad atra viesa una superficie de 4.70 cm2de área. ¿Cuánta energía pasa por la superficie en 1 h? 16. Halle la razón entre las intensidades de dos sonidos cuyos niveles de sonido difieren en 1.00 dB. 17. Cierto nivel de sonido se aumenta en 30 dB adiciona les. Demuestre que (a) su intensidad aumenta en un factor de 1000 y (b) su amplitud de presión aumenta en un factor de 32. 18. Un vendedor asegura que un sistema de estéreo tiene 110 W de potencia de audio. Al probar el sistema con varias bocinas dispuestas de modo que simulen una fuente puntual, la compradora advierte que puede acercarse hasta 1.3 m, estando el sistema a pleno volumen, antes de que el sonido lastime sus oídos. ¿Puede ella denunciar a la firma ante la Procuraduría del Consumidor? 19. Cierta bocina produce un sonido con una frecuencia de 2.09 kHz y una intensidad de 962 /iW/m2 a una distan cia de 6.11 m. Suponga que no existen reflexiones y que la bocina emite igualmente en todas las direcciones, (a) Halle la intensidad a 28.5 m. (b) Halle la amplitud del des plazamiento a 6.11 m. (c) Calcule la amplitud de presión a 6.11 m. 20. (a) Si dos ondas de sonido, una en el aire y la otra en el agua, son iguales en intensidad, ¿cuál es la razón entre la amplitud de presión de la onda en el agua a la de la onda en el aire? (b) Si, en vez de esto, las amplitudes de presión son iguales, ¿cuál es la razón entre las intensidades de las ondas? Suponga que el agua está a 20° C. 21. Halle la densidad de energía de una onda de sonido a 4.82 km de una sirena de emergencia nuclear de 5.20 kW (véase la Fig. 17), suponiendo que las ondas son esféricas y que la propagación es isotrópica sin que exista absorción atmosférica. 22. Una fuente lineal (por ejemplo, un tren de carga largo en una vía recta) emite una onda expansiva cilindrica. Suponiendo que el aire no absorbe energía, halle cómo depen den (a) la intensidad y (b) la amplitud de la onda de la distancia a la fuente. Desprecie las reflexiones y considere puntos cerca del centro del tren.
Figura 17 Problema 21.
23. En la figura 18 mostramos un interferómetro acústico, usado para demostrar la interferencia de las ondas de sonido. S es una fuente de sonido (por ejemplo, una bocina), y D es un detector de sonido, como lo es el oído o un micrófono. La trayectoria SBD puede variarse en longitud, pero la trayectoria SAD es fija. El interferómetro contiene aire, y se halla que la intensidad del sonido tiene un valor mínimo de 10 /vW/cm2 en una posición de 5 y sube continuamente hasta un valor máximo de 90 /iW/cm2 en una segunda posición a 1.65 cm de la primera. Halle (a) la frecuencia del sonido emitido por la fuente y (b) las amplitudes relativas de las ondas que llegan al detector para cada una de las dos posiciones de B. (c) ¿Por qué estas ondas tienen amplitudes diferentes, considerando que se originan en la misma fuente? 24. Está usted de pie a una distancia D de una fuente isotrópica de ondas sonoras. Camina 51.4 m hacia la fuente y observa que la intensidad de estas ondas se ha duplicado. Calcule la distancia D. Calcule el nivel de sonido máximo posible en decibeles 25. de las ondas sonoras en el aire. (Sugerencia: Tome la amplitud de presión igual a 1 atm.) 26. Suponga que el nivel de sonido promedio de la conversa ción humana es de 65 dB. ¿Cuántas personas se necesitan
Problemas
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Bocina
2.12 m
D
Figura 18 Problema 23. I Bocina
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para producir un nivel de sonido de 80 dB en un salón donde todos hablan al mismo tiempo a 65 dB? Supongamos que el rumor de una hoja genera 8.4 dB de sonido. Halle el nivel de sonido de un árbol que tenga 2.71 x 105hojas. En una prueba, un aeroplano de propulsión a chorro sub sónico vuela a una altitud de 115 m. El nivel de sonido en tierra al pasar el aeroplano sobre el punto de observación es de 150 dB. ¿A qué altitud debe volar el aeroplano para que el ruido en tierra no supere los 120 dB, el umbral de dolor? Desprecie el tiempo finito necesario para que el sonido llegue al suelo. Cierta bocina (suponiendo que sea una fuente puntual) emite 31.6 W de potencia acústica. A 194 m se halla un pequeño micrófono de 75.2 mm2 de área efectiva en su sección transversal. Calcule (a) la intensidad del sonido en el micrófono, (b) la potencia que incide en el micrófo no, y (c) la cantidad de energía que choca contra el micrófono en 25.0 min. Una onda sonora de 42.0 cm de longitud de onda entra en el tubo que se muestra en la figura 19. ¿Cuál debe ser el radio r más pequeño para que se escuche un mínimo en el detector?
Fuente
Detector
Figura 19 Problema 30.
31. Dos bocinas de un sistema de estéreo están separadas por una distancia de 2.12 m. Suponga que la amplitud del sonido que parte de cada bocina es la misma en la posición de un oyente que está a 3.75 m directamente enfrente de una de las bocinas; véase la figura 20. (a) ¿Para qué frecuencias en la gama audible (20 a 20,000 Hz) existirá una señal mínima? (b) ¿Para qué frecuencias es máximo el sonido? 32. Una fuente esférica de sonido está situada en P, cerca de una pared reflejante XB, y en el punto P2 está colocado un micrófono, como se muestra en la figura 21. La frecuencia de la fuente de sonido es variable. Halle las dos frecuen cias más bajas para las cuales la intensidad del sonido observada en P2 será un máximo. No existe cambio de fase con la reflexión; el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión.
Oyente
-3.75 m-
Figura20 Problema 31.
- 3.05 m
1Pl
-24.4 m-
"T ~T 15.2 m
Pi Figura 21 Problema 32.
33. Dos fuentes de sonido están separadas por una distancia de 5.00 m. Ambas emiten sonido a la misma amplitud y frecuencia, 300 Hz, pero están 180° fuera de fase. ¿En qué puntos a lo largo de la línea que los une será la intensidad del sonido la más grande? 34. El tiempo de reverberación de un auditorio o de una sala de conciertos es el necesario para que la intensidad del sonido (en W/m2) disminuya en un factor de 106. El tiempo de reverberación depende de la frecuencia del sonido. Suponga que en una sala de conciertos en particular el tiempo de reverberación de una nota de cierta frecuencia es de 2.6 s. Si la nota se emite a un nivel de sonido de 87 dB, ¿cuánto tiempo le tomará al nivel de sonido caer a 0 dB (el umbral de audición del oído humano)? 35. Un gran reflector parabólico que tiene una abertura circu lar de 0.50 m de radio se usa para enfocar el sonido. Si la energía se emite desde el foco hasta el oído de un detective que escucha a través de un tubo de 1.0 cm de diámetro con una eficiencia del 12%, ¿a qué distancia puede captarse, de modo que se entienda, una conversación en tono de susurro? (Suponga que el nivel de un susurro es de 20 dB a 1.0 m de la fuente, considerada como puntual, y que el umbral de audición del oído humano es de 0 dB.) Sección 20-4 Ondas longitudinales estacionarias 36. Las cuerdas de un violonchelo tienen una longitud L. (a) ¿En qué longitud AL deben ser acortadas digitando para cambiar el tono en una razón de frecuencia r? (b) Halle AL, cuando L = 80.0 c m y r = |, { , |y |.
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Capítulo 20
Ondas sonoras
37. Una onda de sonido en un medio fluido se refleja en una barrera de modo que se forma una onda estacionaria. La distancia entre nodos es de 3.84 cm y la velocidad de propagación es de 1520 m/s. Halle la frecuencia. 38. Un pozo con costados verticales y agua en el fondo resue na a 7.20 Hz y a ninguna otra frecuencia más baja. El aire en el pozo tiene una densidad de 1.21 kg/m3y un módulo volumétrico de 1.41 x 1Q5 Pa. ¿Qué tan profundo es el pozo? 39. En la figura 22, S es una pequeña bocina movida por un oscilador de audio y un amplificador, ajustable en las frecuencias de 1000 a 2000 Hz únicamente. D es un trozo de tubo cilindrico de metal laminado de 45.7 cm de longitud y está abierto en ambos extremos, (a) ¿A qué frecuencias ocurrirá una resonancia cuando la frecuencia emitida por la bocina varíe entre 1000 y 2000 Hz? (b) Dibuje los nodos del desplazamiento para cada resonan cia. Desprecie los efectos del extremo.
donde R es el radio de equilibrio de la estrella y vs es la velocidad media del sonido, (c) Las estrellas enanas blancas están compuestas de un material con un mó dulo volumétrico de 1.33 x 1022 Pa y una densidad de 1.0 x 1010kg/m3. Tienen radios iguales a 0.009 del radio solar. ¿Cuál es el periodo de pulsación aproximado de una estrella enana blanca? (Véase “Pulsating Stars”, por John R. Percy, Scientific American, junio de 1975, pág. 66.) 43. En la figura 24, una barra está sujeta en su centro; un disco D colocado en su extremo se proyecta dentro de un tubo de vidrio que tiene granulillos de corcho esparcidos en su interior. El tubo está provisto de un émbolo P en el otro extremo. La barra se pone en vibración longitudinal y el émbolo se mueve hasta que los granulillos de corcho forman un patrón de nodos y antinodos (los granulillos forman bordes bien definidos en los antinodos de presión). Si conocemos la frecuencia v de las vibraciones longitu dinales de la barra, una medición de la distancia promedio d entre antinodos sucesivos determina la velocidad del sonido v en el gas contenido en el tubo. Demuestre que
D
v = 2vd. Éste es el método de Kundt para determinar la velocidad del sonido en diversos gases. Figura 22 Problema 39.
40. El ancho de las terrazas de un anfiteatro en Los Angeles, California, figura 23, es de 36 in (= 0.914 m). El aplauso producido por una sola persona desde el centro del esce nario se reflejará al escenario como un tono, ¿de qué frecuencia?
ir^ —!
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Figura 24 Problema 43.
Sección 20-5 Sistemas vibratorios y fuentes de sonido
41. Un túnel que pasa recto a través de una montaña amplifica en gran manera tonos a 135 y a 138 Hz. Halle la longitud más corta que puede tener el túnel. 42. El periodo de una estrella variable pulsante puede calcu larse considerando que la estrella esté efectuando pulsa ciones longitudinales radiales en el modo fundamental de una onda estacionaria; es decir, el radio varía periódi camente con el tiempo, con un antinodo de desplazamien to en la superficie, (a) ¿Cabe suponer que el centro de la estrella sea un nodo o un antinodo (de desplazamiento)? (b) Por analogía con el tubo de órgano abierto, demuestre que el periodo T de la pulsación está dado por
44. (a) Halle la velocidad de las ondas de una cuerda de violín de 820 mg y 22.0 cm de longitud si la frecuencia de la fundamental es de 920 Hz. (b) Calcule la tensión en la cuerda. 45. Si una cuerda de violín está afinada en cierta nota, ¿en qué factor deberá aumentarse la tensión en la cuerda si ha de emitir una nota del doble de la frecuencia original (es decir, una nota a una octava más alta? 46. Cierta cuerda de violín tiene 30 cm de longitud entre sus extremos fijos y una masa de 2.0 g. La cuerda emite un La (440 Hz) cuando se pulsa sin digitar. ¿Dónde deberá ponerse el dedo para que suene un Do (528 Hz)? 47. Un tubo abierto de órgano tiene una frecuencia fundamen tal de 291 Hz. El primer sobretono (n = 3) de un tubo cerrado de órgano tiene la misma frecuencia que el segun do armónico del tubo abierto. ¿Qué longitud tiene cada tubo? 48. Un tubo de 1.18 m de longitud está cerrado en un extremo. Cerca del extremo abierto se coloca un alambre tenso. El alambre tiene 33.2 cm de longitud y 9.57 g de masa. Está fijo en ambos extremos y vibra en su modo fundamental. Pone en vibración a la columna de aire del tubo a su frecuencia fundamental por resonanacia. Halle (a) la fre-
Problemas
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cuencia de oscilación de la columna de aire y (£>) la tensión en el alambre. 49. Una cuerda de violín de 30.0 cm con una densidad de masa lineal de 0.652 g/m está situada cerca de un bocina alimen tada por un oscilador de audio de frecuencia variable. Se halla que la cuerda se pone en oscilación únicamente a las frecuencias de 880 Hz y 1320 Hz cuando la frecuencia del oscilador se varía continuamente dentro de la gama de 500 a 1500 Hz. ¿Cuál es la tensión en la cuerda? Sección 10-6 Pulsaciones 50. Un diapasón de frecuencia desconocida produce tres pul saciones por segundo contra un diapasón estándar de 384 Hz de frecuencia. La frecuencia de la pulsación dis minuye cuando se pone en una punta del primer diapasón un pequeño trozo de cera. ¿Cuál es la frecuencia de este diapasón? 51. Una cuerda La de un violín está un poco más tensa de la cuenta. Se oyen cuatro pulsaciones por segundo cuando se hace sonar junto con un diapasón que está vibrando precisamente al tono La de concierto (440 Hz). ¿Cuál es el periodo de vibración de la cuerda de violín? 52. Se le dan a usted cuatro diapasones. El diapasón con la frecuencia más baja vibra a 500 Hz. Usando dos diapaso nes al mismo tiempo, se escuchan las siguientes frecuen cias de pulsación: 1, 2, 3, 5, 7, y 8 Hz. ¿Cuáles son las frecuencias posibles de los otros tres diapasones? 53. Se le dan a usted cinco diapasones, cada uno de ellos con una frecuencia diferente. Ensayando con cada par de dia pasones, (a) ¿cuál es el número máximo de frecuencias de pulsación diferentes que podrían obtenerse? (b) ¿Cuál es el número mínimo de frecuencias de pulsación diferentes que podrían obtenerse? Sección 20-7 El efecto Doppler 54. Una fuente S genera ondas circulares en la superficie de un lago, mostrándose en la figura 25 el patrón de las crestas de las ondas. La velocidad de las ondas es de 5.5 m/s y la separación entre crestas es de 2.3 m. Usted está en un pequeño bote enfilado directamente hacia S a una velocidad constante de 3.3 m/s respecto a la orilla. ¿Qué frecuencia observa usted en las ondas? 55. ¿A qué frecuencia se oye el chillido de 15.8 kHz de las turbinas de los motores de un aeroplano que vuela a una velocidad de 193 m/s por el piloto de un segundo aeropla no que trata de adelantar al primero con una velocidad de 246 m/s? 56. Una ambulancia que emite un chillido de 1602 Hz se empareja y rebasa a un ciclista que pedalea una bicicleta a 2.63 m/s. Después de haberlo rebasado, el ciclista oye una frecuencia de 1590 Hz. ¿A qué velocidad se mueve la ambulancia? 57. Un silbato de 538 Hz de frecuencia se mueve en un círculo de 71.2 cm de radio con una velocidad angular de 14.7 rad/s. ¿Cuáles son (a) la frecuencia más baja, y (b) la frecuencia más alta captada por un oyente que está a gran distancia en reposo respecto al centro del círculo?
Figura 25 Problema 54.
58. En 1845, Buys Ballot probó por primera vez el efecto Doppler en el sonido. Colocó a un trompetista en un carro de plataforma jalado por una locomotora y a otro trompe tista cerca de las vías. Si cada uno de los trompetistas tocaba una nota de 440 Hz, y si existían 4.0 pulsaciones por segundo cuando se aproximaban entre sí, ¿cuál era la velocidad de la plataforma? 59. Una bala se dispara con una velocidad de 2200 ft/s. Halle el ángulo formado por el cono de choque con la línea de movimiento de la bala. 60. Calcule la velocidad del proyectil ilustrado en la fotografía de la figura 14. Suponga que la velocidad del sonido en el medio en que está viajando el proyectil es de 380 m/s. 61. La velocidad de la luz en el agua es de 2.25 * 10® m/s (alrededor de las tres cuartas partes de la velocidad en el vacío). Un haz de electrones a alta velocidad que parte de un betatrón emite radiación Cerenkov en el agua, forman do el frente de onda un cono de un ángulo de 58.0°. Halle la velocidad de los electrones en el agua. 62. Dos diapasones idénticos oscilan a 442 Hz. Una persona está situada en alguna parte de la línea que los une. Calcule la frecuencia de la pulsación medida por este individuo si (a) está parado y quieto y los diapasones se mueven ambos hacia la derecha a 31.3 m/s, y (b) los diapasones están estacionarios y el oyente se mueve hacia la derecha a 31.3 m/s. 63. Un aeroplano vuela a 396 m/s a una altitud constante. El choque sónico llega a un observador en tierra 12.0 s después de que el aeroplano ha pasado sobre su cabeza. Halle la altitud del aeroplano. Suponga que la velocidad del sonido es de 330 m/s. 64. Un avión de propulsión a chorro pasa sobre un punto situado en tierra a una altura de 5140 m y a una velocidad de 1.52 Mach (1.52 veces la velocidad del sonido), (a) Halle el ángulo formado por la onda de choque con la línea de movimiento del avión. (b) ¿Cuánto tiempo tardará en llegar a tierra la onda de choque después de que el avión ha pasado sobre el punto? Use 331 m/s como velocidad del sonido. 65. La figura 26 muestra a un transmisor y a un receptor de ondas contenidos en un solo instrumento. Se emplean para medir la velocidad V de un objeto-blanco (idealizado
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Capítulo 20
Ondas sonoras
como una placa plana) que se mueve directamente hacia la unidad, analizando las ondas reflejadas por él. (a) Aplique las ecuaciones de Doppler dos veces, primero con el blanco como observador y luego con el blanco como fuente, y demuestre que la frecuencia vr de las ondas reflejadas en el receptor se relaciona con la frecuencia vs de su fuente según (v + F \ Vr=V.^— j, donde v es la velocidad de las ondas, (b) En un gran número de situaciones prácticas, V « v. En este caso, demuestre que la ecuación anterior se convierte en Vr-Vs. . 2 F V,
V
66. Un aparato de sonar envía ondas de sonido de 148 kHz desde un auto de la policía a un camión que se aproxima con una velocidad de 44.7 m/s. Calcule la frecuencia de las ondas reflejadas detectada en el auto de la policía. 67. Una alarma acústica contra ladrones consta de una fuente que emite ondas de 28.3 kHz de frecuencia. ¿Cuál será la frecuencia de pulsación de las ondas reflejadas en un intruso que camine a razón de 0.95 m/s alejándose direc tamente de la alarma? 68. Una sirena que emite un sonido de 1000 Hz de frecuencia se mueve alejándose de usted hacia un peñasco con una velocidad de 10.0 m/s. (a) ¿Cuál es la frecuencia del sonido que usted oye directamente procedente de la sire na? (b) ¿Cuál es la frecuencia del sonido que usted oye reflejándose en el peñasco? (c) Halle la frecuencia de la pulsación. ¿Podría usted oír las pulsaciones? Considere que la velocidad del sonido en el aire es de 330 m/s. 69. Una persona que viaja en un auto sopla una trompeta que suena a 438 Hz. El auto avanza hacia una pared a 19.3 m/s. Calcule (a) la frecuencia del sonido como se recibiría en la pared y (b) la frecuencia del sonido reflejado que regresa a la fuente. 70. Dos submarinos se encuentran en ruta de colisión frontal durante unas maniobras en el Atlántico Norte. El primer submarino se mueve a 20.2 km/h y el segundo a 94.6 km/h. El primero envía una señal de sonar (onda sonora en el agua) de 1030 Hz. Las ondas de sonar viajan a 5470 km/h. (a) El segundo submarino capta la señal. ¿Qué frecuencia oye el detector de sonar de este segundo submarino? (b) El primer submarino capta la señal reflejada. ¿Qué fre
cuencia oye el detector de sonar de este primer submarino? Véase la figura 27. El océano está en calma; suponga que no hay corrientes.
-I¡íMIl i
| | I II l »H 11 ' " "
20.2 km /h
94.6 km/h
Figura 27 Problema 70.
71. Un auto de la policía hace sonar su sirena cuando se mueve a 27 m/s y se aproxima a un peatón estacionario. El policía que va en el auto oye la sirena a 12.6 kHz pero el peatón la oye a 13.7 kHz. Halle la temperatura del aire. (Suponga que la velocidad del sonido aumenta linealmente con la temperatura entre 0o C y 20° C; véase la tabla 1.) 72. En una conferencia sobre las desviaciones Doppler de las ondas ultrasónicas (de alta frecuencia) usadas en el diag nóstico médico, los autores decían: “La frecuencia de la onda ultrasónica incidente se desvía en unos 1.3 Hz/MHz aproximadamente por cada milímetro por segundo que se mueva una estructura en el cuerpo”. ¿Qué velocidad de las ondas ultrasónicas en el tejido humano puede usted dedu cir de tal afirmación? 73. Un murciélago revolotea en una cueva, navegando muy eficazmente al utilizar emisiones ultrasónicas (emisiones cortas de sonido de alta frecuencia que duran un milisegundo o menos y se repiten varias veces por segundo). Suponga que la frecuencia de la emisión de los sonidos de un murciélago es de 39.2 kHz. Durante una zambullida rápida en línea recta hacia una pared de superficie plana, el murciélago se mueve a 8.58 m/s. Calcule la frecuencia del sonido del eco que escucha el murciélago reflejado por la pared. 74. Un submarino que se mueve hacia el norte con una velo cidad de 75.2 km/h respecto al fondo del océano emite una señal de sonar (ondas sonoras en el agua empleadas de modo similar al radar; véase la tabla 1) de 989 Hz de fre cuencia. Si en ese punto el océano tiene una corriente que se mueve hacia el norte a 30.5 km/h con relación a tierra, ¿qué frecuencia capta un buque que es arrastrado por la corriente al norte del submarino? (Sugerencia: Todas las velocidades que aparecen en las ecuaciones Doppler de ben considerarse respecto al medio.) 75. Una sirena 2000 Hz y un oficial de la defensa civil están ambos en reposo con respecto a la Tierra. ¿Qué frecuencia oye el oficial si el viento sopla a 12 m/s (a) de la fuente hacía el observador y (b) del observador hacia la fuente? 76. Dos trenes que corren en vías paralelas viajan uno hacia el otro a 34.2 m/s con relación al suelo. Un tren hace sonar el silbato a 525 Hz. (a) ¿Qué frecuencia se oirá en el otro tren en aire tranquilo? (b) ¿Qué frecuencia se oirá en el otro tren si el viento sopla a 15.3 m/s paralelo a las vías y hacia el silbato? (c) ¿Qué frecuencia se oirá si se invierte la dirección del viento?
CAPITULO 21 LA TEORÍA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD* La teoría especial de la relatividad tiene la reputación inmerecida de ser un tema difícil. Matemáticamente, no es complicada; la mayor parte de sus detalles pueden comprenderse usando técnicas bien conocidas por los lectores de este texto. El aspecto quizá más desafiante de la relatividad especial consiste en su insistencia en que sustituyamos varias de nuestras ideas preconcebidas sobre el espacio y el tiempo, adquiridas a través de años de experiencia basadas en el “sentido común ", por otras ideas totalmente nuevas. Las ideas que en esencia constituyen la teoría de la relatividad especial fueron presentadas en público en un ensayo escrito por Albert Einstein y publicado en 1905.f En este capítulo presentamos los postulados básicos de la teoría de Einstein y sus consecuencias; introducimos también las técnicas matemáticas que permiten que las mediciones hechas en un marco de referencia se transformen a otro marco, y estudiarnos algunas de las consecuencias en el campo de la cinemática y de la dinámica. En este libro hemos presentado con anterioridad algunos aspectos de la relatividad especial y los hemos contrastado con los resultados correspondientes de la física clásica. Antes de iniciar este capítulo el lector debe revisar los siguientes apartados de nuestro libro: Sección 4-6, movimiento relativo; Sección 7-7, Energía cinética a altas velocidades; Sección 8 .7, Masa y energía; y Sección 9-4, ímpetu lineal de una partícula.
21-1 LAS DIFICULTADES CON LA FÍSICA CLÁSICA La cinemática desarrollada por Galileo y la mecánica desarrollada por Newton, que forman la base de lo que llamamos la física clásica, lograron grandes éxitos. Par
* Algunos profesores quizá desearán retrasar el estudio de la relatividad hasta después de haber estudiado las ondas electro magnéticas en el capítulo 41. En el capítulo 42 se estudian los efectos relativistas en el movimiento de ondas. *En ese año Einstein publicó también sus trabajos sobre el movimiento browniano y sobre el efecto fotoeléctrico. Por este último trabajo (y no precisamente por su teoría de la relatividad) se le otorgó el premio Nobel de Física en 1921. Einstein propuso también una teoría general de la relatividad en 1917. La teoría general trata del efecto de la gravedad en el espacio y el tiempo, algunas de cuyas consecuencias se estudiaron en la sección 16-10. En este capítulo consideraremos únicamente la teoría especial, en la que la gravedad no desempeña papel alguno.
ticularmente notables son la comprensión del movimiento de los planetas y el uso de la teoría cinética para explicar ciertas propiedades observadas en los gases. Sin embargo, cierto número de fenómenos experimentales no pueden ser explicados mediante estas teorías clásicas que siguen siendo, por otra parte completamente válidas en otros casos. Consideremos unas cuantas de estas dificultades que se nos presentan con la física clásica.
Dificultades con nuestras ideas del tiempo El pión (n* o ic~) es una partícula que puede ser creada en un acelerador de partículas de alta energía. Es una par tícula muy inestable; se observa que los piones creados en reposo se desintegran (para formar otras partículas) con una media de sólo 26.0 ns (26.0 x 10'9 s). En un experi mento en particular, se crearon piones en movimiento con una velocidad v = 0.913c (en donde c es la velocidad de la luz). En este caso se observó que los piones viajaban en el laboratorio una distancia promedio de D = 17.4 m antes de desintegrarse, de lo cual concluimos que se desintegran
520
Capítulo 21
La teoría especial de la relatividad
en un tiempo dado por D /v = 63.7 ns, mucho mayor que la vida media medida para los piones en reposo (26.0 ns). Este efecto, llamado dilatación del tiempo, sugiere que algo con respecto al movimiento relativo entre el pión y el laboratorio ha estirado el intervalo de tiempo medido en un factor de 2.5, aproximadamente. Tal efecto no puede ser explicado por la física newtoniana, en la que el tiempo es una coordenada universal que tiene valores idénticos para todos los observadores.
Señal luminosa que muestra a A lanzando la pelota
& A
B
(a) Señal luminosa que muestra a A lanzando la pelota ^ ^ V'
\
D ificultades con n u e s tra s ideas de la lo n g itu d
r
Supongamos que un observador en el laboratorio, antes mencionado, coloca un marcador en la ubicación de la formación del pión y otro en la ubicación de su desinte gración. La distancia entre los marcadores se mide en 17.4 m. Consideremos ahora la situación para un obser vador diferente que esté viajando junto con el pión a una velocidad u = 0.913c. Este observador, a quien le parece que el pión está en reposo, mide su vida media en 26.0 ns, característico de los piones en reposo. Para este observa dor, la distancia entre los marcadores que indican la formación y la desintegración del pión es (0.913c)(26.0 x 10'9 s) = 7.1 m. Entonces, dos observadores que estén en movimiento relativo miden valores diferentes del mismo intervalo. Esto es igualmente inconsistente con la física newtoniana, en la cual las coordenadas espaciales son absolutas y ofrecen lecturas idénticas a todos los obser vadores.
/ /'
D ificultades con n u e s tra s ideas de la v elocidad La figura 1 muestra un juego entre A y B, visto por un observador O. Los dos jugadores y el observador están en reposo en este marco de referencia. A lanza una pelota con una velocidad superluminosa (más rápida que la luz) hacia B, el cual la atrapa. La señal luminosa que porta la visión de A lanzando la pelota viaja hasta el observador O, como lo hace también la señal luminosa que porta la visión de B atrapando la pelota. Ambas señales luminosas viajan a la velocidad c, que es menor que la velocidad de la pelota lanzada por A. En la posición del observador O, como se muestra en la figura 1, la señal luminosa que parte de B llega antes que la señal luminosa que parte de A. Por lo tanto, de acuerdo con O, ¡B atrapa la pelota antes de que A la lance! La física newtoniana nos permite acelerar proyectiles a velocidades ilimitadas y por lo tanto permite tales violacio nes aparentes de la observación de causas y efectos.
Señal luminosa que muestra a B atrapando la pelota
A
(b) Figura 1 (a) A lanza una pelota a B. La pelota se mueve más rápido que la luz y por lo tanto está adelante de la señal luminosa que muestra a A lanzando la pelota. (b) La señal luminosa que muestra a B atrapando la pelota llegará al observador O antes que la señal luminosa que muestra a A lanzando la pelota. Tales inconsistencias lógicas son un argumento contra la posibilidad de acelerar las partículas a velocidades más rápidas que la luz.
onda electromagnética. Al igual que una onda mecánica (analizada en el capítulo 19) puede ser analizada en tér minos de partículas que oscilan en un medio, una onda electromagnética puede ser analizada en términos de cam pos eléctricos y magnéticos en oscilación. Fue por esto que los físicos experimentales de finales del siglo pasado trataron de detectar el medio en que esos campos oscilan al propagarse la luz, así como medir la velocidad con que la Tierra se mueve en este medio que llamaron éter. Desde 1881, A. A. Michelson (primer estadounidense a quien se otorgó el premio Nobel en física) y E. W. Morley efectuaron una serie de delicados experimentos ópticos (descritos en la Sec. 45-7) para medir la velocidad a la que la Tierra se mueve a través del propuesto éter. Para su sorpresa, hallaron que, dentro de su pequeño error experimental, ¡el resultado era cero! Los experimentos más recientes con rayos láser han mejorado la precisión de este resultado en muchos órdenes de magnitud, y el valor permanece consistente con el valor cero.* Dado el movimiento complejo de la Tierra (que gira alrededor de su eje y alrededor del Sol mientras el pro pio Sol gira alrededor del centro de la galaxia), parece
D ificultades con n u e s tra s id eas de la luz La teoría del electromagnetismo de Maxwell (que analiza remos posteriormente en este texto) fue uno de los grandes logros de la física del siglo xix. Una de las deducciones de esta teoría fue que la luz podía ser descrita como una
* Para mayores detalles con respecto al experimento de Michel son y Morley, uno de los experimentos culminantes en la historia de la física, véase Basic Concepts in Relativity and Early Quantum Theory, por Robert Resnick y David Halliday (Wiley, 1985).
Sección 21-2
inconcebible que el éter pudiera permanecer firmemente unido a la Tierra en movimiento. Se llevaron a cabo grandes esfuerzos teóricos hacia fines del siglo XIX para tratar de explicar cómo podía ocurrir esto. La brillante contribución de Einstein a la comprensión del espacio y del tiempo consistió en que demostró que los conceptos del éter y del medio de propagación de la luz eran inútiles e innecesarios.
Paradoja de Einstein Einstein propuso su teoría especial de la relatividad en 1905, no como un intento de explicar el resultado del ex perimento de Michelson y Morley sino basado en un experimento que él había diseñado en su mente. Siendo un estudiante de 16 años, Einstein había aprendido la teoría del electromagnetismo de Maxwell y había pensado en una paradoja: si uno estuviese en movimiento a la velocidad de la luz paralelamente a un rayo de luz que viajase en el espacio vacío, observaría patrones “estáti cos” del campo magnético y eléctrico. (De modo similar, mostramos en la figura 9 del capítulo 19 una pertubación “estática” en una cuerda, la cual sería vista por un obser vador que se moviese junto con la cuerda a la misma velocidad que las ondas en la cuerda.) Sin embargo, Einstein sabía que tales patrones estáticos del campo magnético y eléctrico en el espacio vacío violaban la teoría de Maxwell. Einstein tenía dos caminos para resolver esta paradoja: o bien la teoría de Maxwell estaba equivocada, o bien la cinemática clásica que permite que un observador viaje junto con un rayo de luz estaba equivocada. Con la intui ción que fue quizá su mayor atributo, Einstein depositó su fe en la teoría de Maxwell y buscó una alternativa a la cinemática de Galileo y de Newton. Más adelante en este capítulo demostraremos cómo esta nueva cinemática, que forma la base de la relatividad especial, evita que cual quier observador atrape a un rayo de luz. También demos traremos cómo se resuelven los otros problemas acerca del tiempo, la longitud, y la velocidad expuestos previamente. Por supuesto, la prueba crítica de cualquier teoría consiste en lo bien que concuerda con los experimentos. La teoría de la relatividad especial de Einstein ha sido sometida a prue bas exhaustivas durante los últimos 85 años y las ha pasado todas. En donde la física clásica y la teoría de la relativi dad predicen resultados diferentes, se ha encontrado siempre que el experimento concuerda con la teoría de la relatividad.
21-2 LOS POSTULADOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL Una teoría científica comienza usualmente con asevera ciones generales llamadas postulados, que intentan pro
Los postulados de la relatividad especial
521
porcionar una base para la teoría. A partir de estos pos tulados podemos obtener un conjunto de leyes mate máticas en forma de ecuaciones que relacionan a las variables físicas. Por último, probamos las predicciones de las ecuaciones en el laboratorio. La teoría es válida hasta que el experimento la contradiga, después de lo cual los postulados pueden ser modificados o reemplazados, y el ciclo se repite. Durante casi dos siglos, la mecánica de Galileo y de Newton resistió todas las pruebas experimentales. En este caso los postulados se refieren a la naturaleza absoluta del espacio y del tiempo. Basado en su experimento pensado sobre atrapar un rayo de luz, Einstein creyó en la necesi dad de reemplazar las leyes del movimiento relativo de Galileo. En su trabajo de 1905, titulado “Sobre la electro dinámica de los cuerpos en movimiento”, Einstein ofreció dos postulados que forman la base de su teoría especial de la relatividad. Podemos presentar sus postulados como sigue:
El principio de relatividad: Las leyes de la física son las mismas en todos los marcos de referencia iner ciales. El principio de la constancia de la velocidad de la luz: La velocidad de la luz en el espacio libre tiene el mismo valor c en todos los marcos de referencia inerciales. El primer postulado declara que las leyes de la física son absolutas, universales e iguales para todos los obser vadores inerciales. Las leyes que rigen para un observador inercial no pueden ser violadas por ningún observa dor inercial. El segundo postulado es mucho más difícil de aceptar, porque viola nuestro “sentido común”, el cual está firme mente arraigado en la cinemática de Galileo que hemos aprendido de las experiencias cotidianas. Consideremos tres observadores A, B, y C, cada uno de ellos en reposo en un marco de referencia inercial diferente. El observa dor A emite un destello de luz, y observa la luz viajando con velocidad c. El marco del observador B se mueve alejándose de A con una velocidad de c/4; la cinemática de Galileo predice que B mide el valor c - c/4 = 3c/4 para la velocidad de la luz emitida por A. El observador C está en un marco que se mueve hacia A con una velocidad c/4; según Galileo, el observador C mide una velocidad de c + c/4 = 5c/4 para la velocidad de la luz emitida por A. En cambio, el segundo postulado de Einstein asevera que ¡los tres observadores miden la misma velocidad c en la pulsación luminosa! Por supuesto, ésta no es la manera de comportarse de los objetos ordinarios. Un proyectil disparado desde un automóvil en movimiento tiene una velocidad con respec to al suelo determinada por la suma vectorial de la velo
522
Capítulo 21
La teoría especial de la relatividad
cidad del proyectil respecto al automóvil y la velocidad del automóvil respecto al suelo. Sin embargo, las veloci dades de las ondas y partículas que se mueven a velocida des cercanas a c no se comportan de esta manera. En la sección 21-6 discutiremos la ley relativista de la suma de velocidades y demostraremos que se reduce a la ley de “sentido común” de Galileo para bajas velocidades. Einstein enunció estos postulados en un momento en que las pruebas experimentales eran difíciles e incluso imposibles. Durante las décadas siguientes, el desarrollo de los aceleradores de partículas de alta energía hicieron posible el estudio de los movimientos de las partículas a velocidades cercanas a c. Por ejemplo, en 1964 se llevó a cabo un experimento en el CERN, el laboratorio europeo de física de partículas de alta energía cercano a Ginebra, Suiza. El acelerador de protones del CERN se usó para producir un haz de partículas llamadas piones neutros (n°), que se desintegran rápidamente (con vida media de alre dedor de 10'16 s) en dos rayos gamma: ti0
—»y + y.
Los rayos gamma son radiaciones electromagnéticas que viajan a la velocidad de la luz. Los experimentadores midieron directamente la velocidad de los rayos gamma emitidos por los piones en desintegración, que se movían a una velocidad de 0.99975c. Según Galileo, los rayos gamma emitidos en la dirección del movimiento de los piones deberían tener una velocidad de c + 0.99975c = 1.99975c en el marco de referencia del laboratorio. Según Einstein, deberían tener una velocidad de c. La velocidad medida fue de 2.9977 x 108m/s, igual a c dentro de 1 parte en 104, proporcionando así una verificación directa del segundo postulado. Los dos postulados juntos tiene otra consecuencia: ellos implican que es imposible acelerar una partícula a una velocidad mayor que c sin importar cuánta energía ciné tica le impartamos. Esta es también una predicción que puede probarse en el laboratorio y que muestra otra dife rencia entre los postulados de la relatividad y los de la física clásica. La física clásica no fija un límite superior a la velocidad que puede alcanzar un objeto; la relatividad impone este límite a la velocidad, a la que según el primer postulado, debe ser la misma en todas las marcos de referencias. En otro experimento realizado en 1964, fueron acelera dos electrones por medio de una gran diferencia de voltaje (alrededor de 15 millones de volts), y se determinó direc tamente la velocidad de los electrones. La figura 2 muestra las velocidades medidas en función de la energía cinética adquirida por los electrones. Sin importar en cuánto se au menta el voltaje de aceleración, la velocidad nunca llega a c ni la supera. Una vez más, los experimentos a altas velocidades son inconsistentes con las predicciones basa das en la cinemática de Galileo y de Newton pero, en su lugar, confirman los postulados de la relatividad especial.
Clásica
r
Velocidad = c Relativista
_L 5
10
15
Energía cinética (MeV)
Figura 2 Los puntos representan las mediciones de la velocidad de los electrones acelerados por una gran diferencia de voltaje a una energía cinética conocida. Las mediciones demuestran que, no importa cuán grande sea la energía cinética, la velocidad de los electrones no supera a c. (Véase “Speed and Kinetic Energy of Relativistic Electrons”, por William Bertozzi, American Journal of Physics, mayo de 1964, pág. 551).
21-3 CONSECUENCIAS DE LOS POSTULADOS DE EINSTEIN En la sección 21-1 tratamos las dificultades en la interpre tación de ciertas mediciones del tiempo, longitud, y velo cidad basadas en la física clásica. Veamos ahora cómo pueden resolver aquellas dificultades los postulados de Einstein.
La relatividad del tiempo Consideremos a dos observadores: S está en reposo sobre el suelo, y S' está en un tren que se mueve en una vía larga y recta con velocidad constante u respecto a S. Los obser vadores llevan aparatos idénticos para medir el tiempo, ilustrados en la figura 3, consistentes en un bulbo de destellos de luz Fuñido a un detector D y separados de un espejo M por una distancia L0. El bulbo emite un destello de luz que viaja hasta el espejo. Cuando la luz reflejada regresa a D, el reloj hace tic y se dispara otro destello. El intervalo de tiempo Aí0 entre los tics del reloj es precisa mente la distancia 2L 0 recorrida por la luz dividida entre la velocidad de la luz c: At 0
2L0/ c.
( 1)
El intervalo At0 es observado ya sea por S o por S' cuando el reloj está en reposo con respecto a ese observador.
Sección 21-3
Consecuencias de los postulados de Einstein
523
c
Lo
l\ II
f"-
Lo
ii
¡ !
I 1 I I l£
S'
L \ s
S'
-u A t-
Figura 3 El reloj hace tics a intervalos Af0determinados por el tiempo necesario para que un destello de luz recorra la distancia 2L0 desde el bulbo de destellos F hasta el espejo M y regrese al detector D. (Se supone que la distancia lateral entre F y D es despreciable en comparación con L0.)
Consideremos ahora la situación cuando un observador mira a un reloj transportado por el otro. La figura 4 muestra una representación de la secuencia de sucesos que observa 5* en el reloj transportado por S‘ en el tren en movimiento. De acuerdo con S, el destello es emitido en A, reflejado en B, y detectado en C. En este intervalo At, de acuerdo con S el reloj avanza una distancia horizon tal de u At a partir de la posición en que fue emitido el destello. De acuerdo con 5, el haz de luz viaja una distancia 2L, en donde L = VL\ + (u A t/2)2, como se muestra en la figura 4. El intervalo de tiempo medido por S para que la luz viaje esta distancia a una velocidad c (¡la misma velocidad medida por 5'!) es Ar = — = 2 V lo + (mA t/2 ) 2
( 2) c c Sustituyendo a JL0 de la ecuación 1 y resolviendo la ecua ción 2 para At nos da At =
At 0
V1 —u2/c2
(3)
El factor en el denominador de la ecuacón 3 es siempre menor que o igual a 1, y entonces At > At0. Esto es, el observador con relación al cual el reloj está en movimien to (el observador S) mide un intervalo mayor entre tics. Este efecto se llama dilatación del tiempo. El intervalo de tiempo At0 medido por un observador (5' en este caso) con relación a quien su reloj está en reposo se llama tiempo propio. El intervalo de tiempo propio entre sucesos es el intervalo más pequeño entre ellos que pueda medir cual quier observador; todos los observadores en movimiento relativo respecto al reloj miden intervalos más largos.
* Suponemos que S tiene un conjunto de relojes sincronizados, los cuales S puede usar para llevar a cabo medidas de tiempo en los puntos A, B, y C. El establecimiento de un conjunto de relojes sincronizados se discute en la sección 21-5.
Figura 4 En el marco de referencia de S, el reloj transportado por S' en el tren se mueve con velocidad u. La línea de puntos, de longitud 2L, muestra la trayectoria del haz de luz de acuerdo con S.
La ecuación 3 nos permite entender la dificultad en los experimentos de desintegración del pión discutidos en la sección 21-1. Un pión en reposo se desintegra en un intervalo de tiempo de 26.0 ns; este intervalo es un inter valo de tiempo propio y se le designa como At0. (El pión es, en efecto, un reloj, y el intervalo desde la formación hasta la desintegración del pión puede considerarse como un tic del reloj.) Un observador en el laboratorio, con relación al cual el pión está en movimiento con una velocidad de u = 0.913c, esperaría medir un intervalo de tiempo de At =
Ato
Vi - u2/c2
26.0 ns = 63.7 ns, Vi —(0.913)2
en conformidad con el valor medido. La ecuación 3, que se deduce de los postulados de Eins tein, da la relación entre intervalos de tiempo de acuerdo con la relatividad especial para observadores en mo vimiento relativo. Obsérvese que el factor en el deno minador difiere apreciablemente de 1 únicamente para velocidades que se acerquen a la velocidad de la luz. Aun a una velocidad de 0.1c, la ecuación 3 da Ai = 1.005Aí„. A velocidades ordinarias podemos tomar At = At0 con una gran precisión. Éste es el resultado clásico (el cual se obtiene directamente de la ecuación 3 cuando u « c ) que concuerda con nuestra experiencia basada en el “sentido común”. La ecuación 3 es válida para cualquier dirección del movimiento relativo de S y S'. También es válida para cualquier tipo de reloj, no sólo para el tipo particular que se usó en su derivación. Ha sido verificada experimental mente no sólo con la desintegración de partículas elemen tales moviéndose a altas velocidades (tales como el pión) sino también con precisos relojes atómicos en movimien to relativo entre sí a velocidades ordinarias (transportados en aviones comerciales). Aun los relojes biológicos que se manifiestan con el envejecimiento humano son afecta dos por la dilatación del tiempo. Un aspecto interesante
524
Capítulo 21
La teoría especial de la relatividad
1 s'¡~~r*
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U— u A ¿2
- L + u A t\ -
de este efecto, la paradoja de los gemelos, se analizará después de este capítulo.
La relatividad de la longitud Consideraremos ahora el efecto de los postulados de Einstein en la medición de los intervalos de longitud. Supongamos que S' gira 90° el reloj en el tren de mane ra que la luz viaja ahora en la dirección del movimiento del tren. La figura 5 muestra la secuencia de eventos observados por S en el reloj móvil. Según S, la longitud del reloj es L\ como veremos, esta longitud es diferente a la longitud L0 medida por S', para quien el reloj está en reposo. En la posición A de la figura 5 se emite un destello de luz que llega al espejo (posición B) en un tiempo Atl más tarde. La distancia total recorrida por la luz en este intervalo es c Af„ que puede también escribirse como la longitud L del reloj más la distancia adicional u All que el espejo avanza en este intervalo debido al movimiento del tren. Es decir, c Ai, = L + u Ai,.
(4)
Durante el viaje de retomo desde el espejo hasta el detec tor (posición C en la Fig. 5), lo cual toma un intervalo At2 de acuerdo con S, la luz viaja una distancia c At2, la cual debe ser igual a la longitud L menos la distancia u At2 que el tren avanza en este intervalo, o cA/ , = I - u At?.
(5)
Después de resolver las ecuaciones 4 y 5 para A?! y At2, sumamos para obtener el intervalo total de tiempo At, lo cual da At = A h + A t2 = —— + L c —u c + u _ 2L 1 C 1 — U2 !c 2 ‘
( 6)
Partiendo de la ecuación 3, At =
Ato Vi — u2/c2
_2Z,0
1
c V1 — u2/c2
La ecuación 8 resume el efecto conocido como contrac ción de la longitud. La longitud L0 medida por un obser vador (tal como S') que esté en reposo con respecto al objeto que se está midiendo se llama longitud en reposo (conocida también como longitud propia, en analogía con el tiempo propio). Todos los observadores en movimiento con relación a S' miden una longitud más corta, pero únicamente para las dimensiones a lo largo de la dirección del movimiento; las mediciones de la longitud transversal a la dirección del movimiento no se afectan. En la situa ción mostrada en la figura 4, la longitud L0 no es afectada por el movimiento relativo. La ecuación 8 puede ayudamos a resolver las dificulta des con el concepto clásico de longitud estudiado en la sección 21-1. Los dos marcadores colocados en el labora torio en las posiciones de la formación y la desintegración del pión están separados por una distancia de 17.4 m. Puesto que los marcadores están en reposo en el laborato rio, la distancia entre ellos es la longitud en reposo. Para un observador que viaje con el pión, todo el laboratorio está en movimiento a razón de u = 0.913c, y se mide que la distancia entre los marcadores, de acuerdo a la ecuación 8, tiene una longitud contraída L = (17.4 m)Vl — (0.9 13)2 = 7.1 m, lo cual es consistente con lo expuesto en la sección 21-1. En circunstancias ordinarias, u « c y los efectos de la contracción de la longitud son demasiado pequeños para ser observados. Por ejemplo, se mediría que un cohete de 100 m de longitud lanzado desde la Tierra con la velocidad de escape (« = 11.2 km/s) se contrae, de acuerdo con un observador en la Tierra, en una cantidad aproximadamen te equivalente ¡a 2 diámetros atómicos únicamente! La contracción de la longitud sugiere que la medida de los objetos en movimiento tiene una longitud más corta que la que tienen en reposo. No está implicada ninguna contracción real, sino meramente una diferencia en los resultados medidos, justo como dos observadores en mo vimiento relativo miden una frecuencia diferente para la misma fuente de sonido (el efecto Doppler).
(7)
La suma relativista de las velocidades
Haciendo a las ecuaciones 6 y 7 iguales entre sí y resol viendo, obtenemos L = L„V 1 - u2/c 2.
-i
Figura 5 El reloj transportado por S' en el tren emite su destello luminoso en la dirección del movimiento del tren. La figura en C ha sido desplazada hacia la derecha por claridad.
(8)
Modifiquemos ahora nuestro aparato de medir el tiempo como se muestra en la figura 6. El bulbo de destellos F se mueve hacia el extremo del espejo y se le reemplaza con
Sección 21-3
Figura 6 En este aparato de medir el tiempo, P emite una partícula con velocidad v0. Cuando la partícula llega a F, provoca la emisión de un destello de luz que viaja hasta el detector D.
un aparato P que emite partículas con una velocidad v0, tal como las mediría un observador en reposo con respecto al aparato. El bulbo lanza un destello al ser golpeado por una partícula, y un haz de luz efectúa el viaje de regreso hasta el detector D. Entonces el intervalo de tiempo At0, medido por un observador (tal como S') que esté en reposo con respecto al aparato, consta de dos partes: una debida al viaje de la partícula en la distancia L0 con velocidad v 0 y otra debido al haz de luz que viaja la misma distancia a la velocidad c: At 0 —L 0/v 0 + L 0/c.
(9)
La secuencia de sucesos observados por S cuando el apa rato de tiempo es transportado por S' en el tren es idéntica a la de la figura 5. La partícula emitida, la cual viaja a la velocidad v de acuerdo con S, llega a F después de un intervalo Ai,, durante el cual viaja una distancia u Af,, la que es igual a la longitud (contraída) L más la distancia adicional u Ai, que se movió el tren durante ese intervalo: v A ti = L + u A /,.
(10)
En el intervalo At2, el haz de luz viaja una distancia c At2 igual a la longitud L menos la distancia u At2 avanzada por el tren en ese intervalo: c At-, — L — u A t 2
(11)
Resolviendo las ecuaciones 10 y 11 para Ai, y At2, pode mos entonces hallar el intervalo total de tiempo A t = Ar, + At2 entre tics de acuerdo con S, y sustituimos ese resultado junto con la ecuación 9 en la ecuación 3, lo cual nos da (después de usar la ecuación 8 para relacionar a L0 con L) _
V
Vp + U
1 + v0 u/c 2 '
n - x
(
*
La ecuación 12 nos da una forma de la ley de la suma de las velocidades consistente con los postulados de Eins tein; aquí tratamos únicamente la suma de velocidades en la dirección del movimiento relativo (la dirección de u). Más adelante en este capítulo derivaremos resultados más generales.
Consecuencias de los postulados de Einstein
525
De acuerdo con Galileo y Newton, un proyectil dispa rado hacia adelante con velocidad v0 en un tren que se esté moviendo con velocidad u tendría una velocidad vg + u con relación a un observador en el suelo. Esto permite claramente que se obtengan velocidades mayores que c. La diferencia entre el resultado clásico y el resultado relativista es el denominador de la ecuación 12, el cual puede ciertamente reemplazarse por 1 en circunstancias ordinarias cuando las velocidades son mucho menores que c. Este importante factor, como lo veremos en el problema muestra 2, impide que la velocidad relativa supere alguna vez a c. Si el proyectil es un haz de luz (v 0 = c de acuerdo con S'), entonces la ecuación 12 da inmediatamente v = c para todos los observadores, sin importar cuál sea su velocidad con relación a S' (es decir, independiente de u). Así, la ecuación 12 es consistente con el segundo postulado de Einstein.
Problema muestra 1 Los muones son partículas elementales con una vida media (propia) de 2.2 / . Se producen con muy altas velocidades en la atmósfera superior cuando los rayos cósmicos (partículas de alta energía procedentes del espacio) chocan con las moléculas de aire. Considere que la altura L0 de la atmósfera (su longitud en reposo) es de 100 km en el marco de referencia de la Tierra, y obtenga la velocidad mínima que haría posible que los muones sobreviviesen el viaje hasta la superficie de la Tierra. Resuelva este problema de dos maneras: (a) en el marco de referencia de la Tierra y (b) en el marco de referencia del muón. j s
Solución (a) En el marco de referencia de la Tierra (Fig. la), la desintegración del muón en movimiento se hace más lenta debido al efecto de dilatación del tiempo. Si el muón se mueve con una velocidad que sea muy cercana a c, el tiempo necesario para que viaje desde la parte superior de la atmósfera hasta la Tierra es At =
Lp c
100 km = 333 ns. 3.00 X 10* m/s
El muón debe sobrevivir cuando menos 333 ¡ en el marco de referencia de la Tierra. Hallemos ahora la velocidad que dilata la vida media a partir de su valor propio At0 (= 2.2 fus) hasta este valor, de acuerdo con la fórmula de dilatación del tiempo (Ec. 3): ... 2.2 fis 333 fis = , =. V1 —m2/ c2 Al resolver, hallamos que u = 0.999978c. ís
(¿>) En el marco de referencia del muón, la atmósfera está desplazándose con una velocidad elevada. En este marco de referencia toda la atmósfera debe desplazarse en un tiempo igual a la vida media (propia) del muón, y entonces la altura de la atmósfera no puede ser mayor de L = c At0 = (3.00 X 108 m/s)(2.2 X 10-6 s) = 660 m. Por supuesto, ésta es la longitud contraída medida en el marco de referencia del muón (véase la Fig. Ib). La relación entre la
526
Capítulo 21
La teoría especial de la relatividad
A t = 333
0.80c
L o = 100 km
Figura 8 Problema muestra 2. Un vehículo espacial se aleja de la Tierra con una velocidad de 0.80c. Un observador S' situado en el vehículo espacial dispara un proyectil y mide su velocidad en 0.60c con relación al vehículo.
(a)
Ato = 2.2 MS i . (b) Figura 7 Problema muestra 1. (a) En el marco de referencia de la Tierra, un muón tarda 333 fis en recorrer una distancia de 100 km a través de la atmósfera. (b) En el marco de referencia del muón, la atmósfera tiene una altura de 660 m únicamente, y en el viaje tarda 2.2 fis.
longitud en reposo L0 (= 100 km), medida en el marco de referencia de la Tierra, y la longitud contraída, medida en el marco de referencia del muón, está dada por la ecuación 8, y entonces 660 m = (100 km) V1 —u2 /c2. Despejando la velocidad u, obtenemos el mismo resultado dado en la parte (a). Obsérvese que una dilatación del tiempo en un marco de referencia puede ser observada como una contracción de la longitud en el otro. Esta interrelación entre el tiempo y el espacio es un aspecto fundamental de la relatividad especial.
Problema muestra 2 Un vehículo espacial se aleja de la Tierra con una velocidad de 0.80c cuando dispara un proyectil paralelo a la dirección de movimiento del vehículo. El proyec til se mueve con una velocidad de 0.60c con relación al vehículo (Fig. 8). ¿Cuál sería la velocidad del proyectil medida por un observador-en la Tierra? Compárese con las predicciones de la cinemática de Galileo. Solución Este problema es muy similar al del observador y el tren. Aquí S' está en el vehículo y S está en la Tierra, y S' se mueve con una velocidad de u = 0.80c con relación a S. El proyectil se mueve con una velocidad v0 = 0.60c con relación a S', y buscamos su velocidad v con relación a S. Usando la ecuación 12, obtenemos v0 + u 0.60c + 0.80c 1 + v0u/c2 1 + (0.60c)(0.80c)/c2 1.40c = 0.95c. 1.48 De acuerdo con la cinemática clásica (el numerador de la ecuación 12), un observador en la Tierra vería al proyectil moviéndose a 0.60c + 0.80c = 1.40c, superando por lo tanto la velocidad relativa máxima de c permitida por la relati vidad. Puede verse cómo la ecuación 12 impone este límite en la velocidad. Aun cuando v0 fuese 0.9999 ■■■ c y u fuese 0.9999
0.9999 • • • c, la velocidad relativa v medida por S permanecería siendo menor que c.________________________________
21-4 LA TRANSFORM ACION DE LORENTZ Los postulados de Einstein proporcionan un primer paso en la resolución de las dificultades que presentamos en la sección 21-1, pero se necesita una base matemática más formal para dar a esta teoría todo su poder para calcular los resultados esperados de una variedad de pro cesos físicos más amplia. Por ejemplo, podríamos de sear calcular cuáles son las diferencias de los resultados de las mediciones de la energía o de la intensidad de un campo magnético para los observadores en movimiento relativo. Requerimos de un grupo de relaciones llamadas ecua ciones de transformación que relacionen las observacio nes de un suceso hechas por dos observadores diferentes. Las ecuaciones de transformación tienen tres ingredien tes: (1) un observador S en reposo en un marco inercial, (2) otro observador S' en reposo en un marco inercial diferente que esté en movimiento con velocidad constante respecto a S, y (3) un suceso que sea observado tanto por S como por S'. Según cada uno de los observadores, el suceso ocurre en un grupo en particular de coordenadas en el espacio tridimensional y también en un tiempo en particular. Conociendo la velocidad relativa de 5 y de 5', deseamos calcular las coordenadas x ',y ',z ', t' de un evento tal como lo observa S' a partir de las coordenadas x, y, z, t del mismo suceso de acuerdo con S. Simplificaremos este problema un tanto, sin perder generalidad, eligiendo siempre a los ejes x y x' a lo largo de la dirección de u (véase la Fig. 9). Este problema puede ser resuelto usando la cinemática clásica de Galileo, y las ecuaciones de transformación Galileanas resultantes son x ' = x — ut,
Y = y, z ' = z, t’ = t.
(13)
Sección 21-4
La transformación de Lorentz
527
Las ecuaciones de transformación de Lorentz, deriva das de estas hipótesis son* x — ut
VI —u2/2/c f2 =
x
y (* -« o . (14)
y ' = y,
z ' = z, t
están representados por S y S', observan el mismo suceso. S' se mueve con relación a S con una velocidad u a lo largo de la dirección común xx'. S mide las coordenadas x, y, z, t del suceso, mientras que S' mide las coordenadas x', y1, z‘, f del mismo suceso.
La primera de estas ecuaciones es consistente con nuestra experiencia de “sentido común”. Por ejemplo, suponga mos que S está en reposo sobre el suelo y que mide la posición x de un poste de una cerca. S', quien está en un automóvil que se mueve con una velocidad u relativa a S, halla realmente al poste en la posición.*' = x - u t (Fig. 10). La cuarta ecuación, t' = t, simplemente se dio por supuesta en la física clásica (como lo ejemplifica la coordenada universal del tiempo de Newton). Las relaciones relativistas que buscamos se conocen como ecuaciones de transformación de Lorentz. Se las nombra así en honor del físico holandés H. A. Lorentz, quien las propuso (antes que Einstein) por una razón bastante diferente y quien no estaba plenamente cons ciente de sus implicaciones respecto a la naturaleza del espacio y del tiempo. Las ecuaciones pueden derivarse directamente de los postulados de Einstein, si invocamos ciertas suposiciones razonables con respecto a la simetría y la homogeneidad del espacio y del tiempo. Como ejem plo de esta última propiedad, consideremos a un observa dor S que mide la longitud de una barra sostenida por el observador S' en un marco inercial diferente. El resultado de la medición llevada a cabo por S no depende de dónde está ubicado S' en el marco de referencia o de la hora del día en que S haga la medición.
=
, , - = y(t —ux/c2).
t — ux/c2
Vi — u2 /c 2
Obsérvese que un objeto situado inicialmente en el origen de acuerdo con S (es decir, x = 0 en t = 0) está también situado inicialmente en el origen de acuerdo con 5' (es decir, x' = 0 y t' = 0). En estas ecuaciones hemos empleado el factor y de Lorentz, definido como y =
.
1
(15)
Vi — m2/ c2 En las ecuaciones de relatividad es también conveniente introducir el parámetro ¡3de la velocidad, definido como la razón entre la velocidad relativa u de los dos sistemas de coordenadas y la velocidad de la luz: P ~ u/c.
(16)
En la tabla 1 se dan algunos valores de muestra de y de y, y en la figura 11 se muestra la relación entre (i y y. El intervalo de y está entre 1 (a baja velocidad, en don de u « c o (3 « 1 ) y el 00 (a alta velocidad, donde u -* c o / ? — l). Obsérvese que las ecuaciones de transformación de Lorentz se reducen a las de la transformación galilea na (Ecs. 13) cuando u « c. Una manera conveniente de demostrar esto es hacer que c -► °°, de modo que u/c -* 0. En este caso, como usted debería demostrarlo, las ecuaciones 14 relativistas se reducen directamente a las ecuaciones 13 clásicas. Todos los resultados clási cos derivados en los capítulos anteriores concuerdan con
* Para una derivación de estas ecuaciones, véase Introduction to Special Relativity, por Robert Resnick (Wiley, 1968), sección 2.2.
Figura 10 De acuerdo con S, el poste está en la coordenada x. De acuerdo con S', quien está en una coordenada ut con relación a S en el tiempo t, el poste está en la coordenada x' = x - ut. Obsérvese que los orígenes de S y de S' coinciden en t = 0.
528
Capítulo 21
La teoría especial de la relatividad
TABLA 1 VALORES MUESTRA DEL PARÁMETRO DE VELOCIDAD Y DEL FACTOR DE LORENTZ fi 0.00
y
P
y
1.000
0.10 0.30 0.60
1.005 1.048 1.25
0.90 0.99 0.999 0.9999
2.29 7.09 22.4 70.7
Problema muestra 3 En un marco inercial S, una luz roja y
P
Figura 11 El factor y de Loretitz en función del parámetro j3 de la velocidad.
los experimentos cuando u « c. Debemos tener en cuen ta los efectos relativistas únicamente a velocidades altas. Las ecuaciones 14 nos permiten hallar las coordenadas de espacio y tiempo en S' si las conocemos en 5. Sin embargo, supongamos que deseamos conocer las coorde nadas en S, dadas las coordenadas en S'. Desde el punto de vista de S' en la figura 9, S parece moverse en la dirección negativa de x (o de x'). Podemos obtener la transforma ción inversa de Lorentz simplemente cambiando las coor denadas primadas con las no primadas en las ecuaciones 14 y sustituyendo a u por -u. Esto da x = y(x' + ut'), y - y ', z = z',
(17)
una luz azul están separadas por una distancia A x = 2.45 km, con la luz roja en el valor más grande de x. La luz azul produce un destello, y 5.35 /js más tarde lo produce la luz roja. El marco S' se mueve en la dirección creciente de x con una velocidad de u = 0.855c. ¿Cuál es la distancia entre los dos destellos y el tiempo entre ellos tal como los mediría S'? Solución El parámetro de Lorentz es
r= . 1 - , 1 ....—- = 1.928. Vi - u2/c2 Vi - (0.855)2 Se nos dan los intervalos en S como Ax = 2450 m y Af = 5.35 x 10'6 s. Según la tabla 2, tenemos las transformaciones del intervalo A x ' = y(A;t — u At) = 1.928[2450 m - (0.855)(3.00 X 108 m/s)(5.35 X 10"6 s>] = 2078 m = 2.08 km y A t' = y(At — u A x / c 2)
= 1.928[5.35 X 10-6 s - (0.855)(2450 m)/(3.00 X 108 m/s)] = -3.147 X 10-6s = —3.15/zs.
t = y(t' + ux'/c2). Podemos emplear un método diferente para invertir la transformación de Lorentz (véase el problema 18) resol
TABLA 2
viendo las ecuaciones 14 algebraicamente para x y t (tra tando a la primera y última ecuaciones como un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas). Al hacerlo, obte nemos exactamente la transformación inversa dada por las ecuaciones 17, las cuales fueron obtenidas directamente a partir de un argumento de simetría. La tabla 2 resume las ecuaciones de la transformación de Lorentz cuando la velocidad relativa entre los siste mas de coordenadas está en la dirección común xx’. Se muestran las ecuaciones en cuatro formas: la transforma ción de Lorentz (Ecs. 14), la transformación inversa de Lorentz (Ecs. 17), y las dos transformaciones del intervalo correspondientes, las cuales se utilizan cuando deseamos transformar no una coordenada sino un intervalo de espa cio o de tiempo, tal como A x ‘ = x2‘ - x¡' (la distancia entre dos sucesos, tal como la mediría S') o At' = t2' - í,' (el tiempo entre dos sucesos, tal como lo mediría S').
En S \ el destello rojo está ubicado también en la coordenada más distante, pero la distancia es 2.08 km en lugar de 2.45 km.
LAS ECUACIONES DE TRANSFORMACION DE LORENTZ’
Transformación de Lorentz x ' = y(x — ut) y' = y z' = Z
t’ = y(t —ux/c2)
Transformación inversa x = y(x' + ut') y = y '
z= z' t = y(t' + ux'/c2)
Transformación del intervalo A x' = y(Ax — u At) Ay' = Ay Az' = A z At' = y(At — u Ax/c2)
Transformación inversa del intervalo A x= y(Ax' + u At') Ay = Ay' Az = Az’ At = y(At' + u A x'/c2)
TAplicar estas ecuaciones únicamente en el caso de movimiento relativo en la dirección xx'. El factor de Lorentz es y = 1/V 1 - u 2/ c 2 .
U Z ffrE R S lD A D DB L.ñ
r e , . ' : - j 's :.h-\ O s í .-Mí r-A:; ;<:STO D E
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M O N T E V I D E O
-
X JB Ü G U A *
Sección 21-6
La transformación de las velocidades
529
Además, en S' el destello rojo llega antes que el destello azul (al contrario de lo que se observa en 5); el tiempo entre destellos es de 3.15 /vs de acuerdo con S'._______________________
21-5 M EDICION DE LAS COORDENADAS ESPACIO-TIEMPO EN UN SUCESO Hasta ahora poco hemos dicho respecto a cómo hacen S y S' para medir las coordenadas y, z, t y x', y', z', t' de un suceso, como en el caso de los destellos de luz del problema muestra 3. El procedimiento que describimos ahora forma una base conceptual sobre la cual pueden basarse los procedimientos de laboratorio reales. Supongamos que S tiene un equipo grande de asistentes disponible para ayudamos a establecer un sistema de coordenadas. A cada asistente se le da un reloj y una barra de medición de una cierta longitud. Por ejemplo, tres asis tentes tienen barras de medición de 1 m de longitud. Se les instruye para que coloquen sus barras, cada una a lo largo de uno de los tres ejes de coordenadas, y esperen en la posición determinada por el extremo de la barra hasta que vean un destello de luz en el origen, en cuyo momento tie nen que hacer marchar a sus relojes en la lectura preesta blecida de 3.33 x 10'9 s (3.33 ns, el tiempo necesario para que la luz viaje la distancia de 1 m desde el origen hasta el punto donde se halla el asistente). Otros tres asistentes, a quienes se les ha asignado a cada uno en forma similar uno de los ejes de coordenadas, reciben barras de 2 m de longitud y se les instruye para hacer marchar sus relojes, cuando vean el destello de luz, al tiempo preestablecido de 6.67 ns (el tiempo para que la luz viaje 2 m). Cada asistente es enviado a un puesto con una barra de cierta longitud L y un reloj preeestablecido en í = L¡c. Cuando todos los asistentes estén en sus puestos, 5 dispara un destello de luz en el origen y simultáneamente pone en marcha el reloj que está en el origen, y previa mente puesto en cero. Cuando la señal luminosa llega a los otros relojes, cada uno a su vez se pone en marcha en la lectura preestablecida. Así, el reloj del eje x en x = 1 m se pone en marcha a la lectura preestablecida de 3.33 ns cuando el reloj del origen señala 3.33 ns; el reloj del eje x en x = 2 m se pone en marcha a la lectura preestablecida de 6.67 ns cuando el reloj que está en el origen y el reloj que está en x = 1 marcan ambos 6.67 ns; y así sucesiva mente para todos los relojes del sistema de coordenadas. Todos los relojes de todo el sistema están entonces per fectamente sincronizados. En la figura 12 se representa al sistema de barras y relojes resultante. Supongamos que S desea graficar el progreso de una partícula que se mueve a través del sistema de coordena das. Todo lo que deben hacer S y los asistentes es observar a la partícula mientras viaja y trazar cuando pase, cada
Figura 12 Armazón de barras de medición y de relojes que podría ser usada por un observador situado en un marco de referencia en particular para determinar las coordenadas espacio-tiempo de un suceso.
punto de la coordenada y la lectura que da el reloj que está en esa coordenada. Por supuesto, esta calibración sirve únicamente para el observador S. El observador S' y todos los demás obser vadores inerciales deben llevar a cabo un procedimiento similar para definir un sistema de coordenadas y sincronizar sus relojes. Con tal esquema, las barras de medición y los relojes de cada observador (los cuales están, por supuesto, en reposo en el marco de ese observador) son exclusivos de ese marco inercial e independientes de las barras y los relojes de los observadores que estén en otros marcos inerciales. Este procedimiento sugiere que el espacio y el tiempo no son coordenadas independientes, sino que la descrip ción de un suceso debe incluir a sus coordenadas tanto de espacio como de tiempo. (Es decir, no podemos usar un reloj que esté en una posición para registrar el paso de una partícula a través de otra posición.) Por esta razón, la relatividad especial se formula usualmente en términos de las coordenadas espacio-tiempo x, y, z, t combinadas. El espacio y el tiempo se tratan como coordenadas equiva lentes en la relatividad especial.
21-6 LA TRANSFORM ACIÓN DE LAS VELOCIDADES En esta sección usamos las ecuaciones de la transforma ción de Lorentz para relacionar la velocidad v de una par-
530
Capítulo 21
La teoría especial de la relatividad
tícula medida por un observador en el marco S con la ve locidad v' de la misma partícula medida por un observador en el marco S', quien a su vez se mueve con velocidad u con relación a S. En esta discusión, es importante tener en mente los significados de estas tres velocidades. Supongamos que el observador S encuentra que la partícula se mueve desde las coordenadas y,, z„ í, hasta x2, y2, z2> t2. Por otra parte, el observador S' registra las observaciones de las coordenadas inicial y final de la misma partícula como x[, y¡, z¡, t{ y x2, y2, z2', t2. Calculemos a vx (= A x'/At'), la componente x' de la velocidad medida por S'. Partiendo de la tabla 2, obtene mos las ecuaciones de transformación para los intervalos A x' y Ai'. Al dividir estas dos ecuaciones, obtenemos v’ =
Ax' _ A t'
y(Ax —u At) _ y(At — u A x fc 2)
Ax/At —u 1 — u(A x/A t)/c 2 ’
o, reemplazando a A xjAt por vx, vY— u v '= - , / 22 • 1 — u v jc
( 18)
De modo similar, obtenemos las ecuaciones de transfor mación para las componentes y y z de las velocidades: y( 1 - u v jc 2)
Vz y( 1 - u v jc 2)
y v'z
(19)
Obsérvese que vy * vy, aun cuando Ay = Ay', porque At * At'. Para v'z se tienen condiciones similares. Éste es otro ejemplo de la diferencia entre el modo en que las trans formaciones de Galileo y de Lorentz tratan las coordena das del tiempo. Conviene asegurarse de haber tomado nota de que los denominadores de las tres ecuaciones incluyen todas al factor vx. Las ecuaciones 18 y 19 dan la transformación Lorentz de la velocidad. Son análogas a las ecuaciones de la transformación de Lorentz de coordenadas: relacionan las observaciones en un marco de coordenadas con las obser vaciones en otro. La tabla 3 resume estas ecuaciones, junto con la transformación inversa correspondiente de la velocidad. Obsérvese que la ecuación de la transforma ción inversa para vx es idéntica a la ecuación 12, la cual derivamos de una manera bastante diferente. En la ecua ción 12, la velocidad v0 es la misma que la velocidad vx medida por S'. Examinemos las ecuaciones 18 y 19 en el límite no relativista. ¿Se reducen a la transformación galileana clá sica cuando u « c (o, equivalentemente, cuando c -» °°)? En este caso las ecuaciones 18 y 19 se reducen a v'x = vx - u,
vy = vy,
/
v'z = v2,
(20)
que son realmente los resultados galileanos, dados por la ecuación 43 del capítulo 4 o diferenciando la ecuación 13, la transformación galileana de las coordenadas. Demostraremos ahora directamente que la transforma ción de Lorentz de la velocidad da el resultado exigido por
TABLA 3 LA TRANSFORMACION DE LORENTZ DE LA VELOCIDAD Transformación de la velocidad
Vy v' =
Transformación inversa de la velocidad
Vx~U 1 —u v jc 2
v =
y( 1 —u v jc 2)
A____ v„ = ____ V y( 1 + u v jc 2)
?(1 - u v jc 2)
ví y( 1 + u v jc 2)
V'x +
U
1 + u v jc 2
el segundo postulado de Einstein (la constancia de la velocidad de la luz): una velocidad c medida por un observador debe ser medida también como c por cualquier otro observador. Supongamos que el suceso común que es observado por S y 5' es el paso de un haz de luz a lo largo de la dirección x. El observador S mide vx = c y vy = vz = 0. ¿Qué velocidad mide el observador S 'l Usando las ecuaciones 18 y 19, hallamos que las componentes de la velocidad medidas por S' son V' =
vr — u 1 - u v jc 2
c —u 1 - uc/c 2
c —u = c, (c - u)/c
v'y = v’z = 0. Obsérvese que este resultado se obtiene independien temente de la velocidad relativa u entre S y S‘. Una velocidad c medida en un marco de referencia inercial conduce a una velocidad c medida en todos los marcos. Entonces la velocidad de la luz es realmente la misma para todos los observadores. La misma conclusión prevalece para cualquier dirección en que viaje el haz de luz; véase el problema 19.
Problema muestra 4 Una partícula es acelerada desde el reposo en el laboratorio hasta que su velocidad es de 0.60c. Visto desde un marco que se mueva con la partícula con una velocidad de 0.60c con relación al laboratorio, la partícula recibe luego un incremento adicional de velocidad de 0.60c. Halle la velocidad final de la partícula al medirla en el marco del laboratorio. Solución Una vez más, el problema se convierte en una apli cación directa de la transformación de Lorentz de la veloci dad, una vez que hayamos especificado claramente los marcos de referencia S y S‘ y el sistema que está siendo observado. Claramente, la partícula es el sistema que está siendo observa do, y si buscamos su velocidad medida en el marco del labora torio es natural asociarlo al laboratorio con el marco S. El marco S‘ es entonces el marco de referencia inercial ocupado por la partícula después de la primera aceleración y antes de la segunda (véase la Fig. 13). Con relación a este marco, la velo cidad de la partícula después de la segunda aceleración es
Sección 21-7 Consecuencias de la transformación de Lorentz
531
21-7 CONSECUENCIAS DE LA TRANSFORM ACIÓN DE LORENTZ u = 0.6c
------ >
vi = 0.6c
•------- >
V
S'
Figura 13 Problema muestra 4. S', marco de referencia de la partícula después de la primera aceleración, se mueve con velocidad u = 0.60c con relación al laboratorio (marco S). Con relación a S', la partícula se mueve con una velocidad i>' = 0.60c después de su segunda aceleración.
v'x = 0.60c. La velocidad del marco S' con respecto al marco S es u = 0.60c. Conocemos a uj y a u, y buscamos a vx', la cual está dada por la transformación inversa de la velocidad a partir de la tabla 3: v'x + u _ 0.60c + 0.60c = 1.20c = 0.88c. 1 + uv'Jc2 ~ 1 + (0.60cX0.60c)/c2 1.36 La velocidad es menor que c, en contradicción con la predicción de la transformación galileana, la cual da vt = 1.20c. Supongamos que ahora hacemos que el marco S' sea el de la partícula después de la segunda aceleración, de modo que u = 0.88c con relación al marco original S (el laboratorio). Consi deremos ahora una tercera aceleración, de modo que, con relación al nuevo marco S', la partícula se mueve nuevamente con velocidad vx' - 0.60c. Repitiendo el procedimiento anterior, podemos demostrar que un observador en el marco del labora torio (S) medirá una velocidad de u' = 0.97c en este caso. Sin importar cuántas veces aceleremos a la partícula en un marco de referencia que se mueva con la partícula, su velo cidad medida en el marco original del laboratorio (o en cual quier otro marco) nunca superará a c.
Ya hemos demostrado que al aplicar los postulados de Einstein a situaciones físicas se desprenden algunas con secuencias inesperadas. Emplearemos ahora la base más matemática de la transformación de Lorentz para demos trar que pueden obtenerse estas mismas consecuencias y otras.
La relatividad del tiempo En la sección 21-3 demostramos que el efecto de la dilatación del tiempo se deduce directamente al aplicar los postulados de Einstein a las mediciones de los intervalos de tiempo por dos observadores en movimiento relativo uno con respecto al otro. La figura 14 muestra una visión diferente del efecto de dilatación del tiempo. El reloj C' está en reposo en el marco de S', el cual se mueve con una velocidad u relativa a S. S' mide el intervalo de tiempo At' = í2' - ti en el que la manecilla del reloj pasa entre dos marcas, pasando la primera marca en el tiempo t[ y la segunda en el tiempo tj. El paso de la manecilla del reloj C' por las dos marcas puede ser visto como dos sucesos los cuales ocurren en la misma posición jc0' de acuerdo con S' (porque el reloj C' está en reposo en ese marco). Sin embargo, S (cuyo marco de referencia contiene un grupo estacionario de relojes sincronizados de la manera descrita en la sección 21-5) observa que la manecilla del reloj C' pasa la primera marca en la posición jc, (donde el reloj estacionario local señala el tiempo t¡) y la segunda marca en la posición x 2 (en donde un reloj estacionario diferente lee el tiempo t2). Podemos hallar la relación entre los intervalos de tiempo At y At' directamente a partir de la transformación inversa de Lorentz. Según la tabla 2, tenemos
Figura 14 El reloj C' está fijo en la posición x0‘ en el marco de referencia S'. El observador S, con relación al cual el reloj C' está en movimiento con velocidad u, compara la lectura de C' con dos relojes estacionarios diferentes del arreglo de relojes sincronizados (numerados 1 y 2) establecido en el marco de S. Como se muestra, el intervalo í2- í, medido por S es mayor que el intervalo t2 - t¡. Por lo tanto, el observador S declara que, en comparación con los relojes situados en S, el reloj que se mueve avanza más lentamente.
ib)
532
Capítulo 21
La teoría especial de la relatividad
Figura 15 (a) En el marco de referencia de S', un destello de luz emitido desde un punto a media distancia entre dos relojes llega a los relojes en el mismo instante. (b) En el marco de referencia de S, el destello de luz llega al reloj 1 antes que al reloj 2.
(« At = y(At' + u A x '/c 2).
(21)
Esta expresión general da el intervalo de tiempo At medi do por S correspondiente al intervalo de tiempo A f me dido por S' para sucesos que están separados por una distancia A x'. De acuerdo con S', con relación al cual el reloj C' está en reposo, los dos sucesos (la manecilla al pasar las dos marcas) tienen lugar en la misma posición x0', de modo que A j í ' = 0. Puesto que S' está en reposo con relación al reloj C', el intervalo de tiempo A f medido por S ' es un intervalo de tiempo propio, el cual representamos como Af0. Sustituyendo A x' = 0 y A f = A?0 en la ecuación 21, obtenemos At = y At 0
_
At 0 V1 — u 2 /c 2
la cual es idéntica a la ecuación 3, la ecuación de la dilatación del tiempo. El efecto de la dilatación del tiempo es completamente simétrico. Si un reloj C en reposo en S es observado por S', entonces S' concluye que el reloj C avanza más lenta mente. Cada observador cree que el otro reloj está avan zando más lentamente que los que están en reposo en el marco de referencia del observador. La dilatación del tiempo suele resumirse en la idea de que en “los relojes en movimiento que se atrasan”. Es útil recordar esta frase, pero hay que hacerlo con precaución. La frase indica que un reloj que se mueve con relación a un marco que contiene un arreglo de relojes sincronizados se atrasa cuando el tiempo es medido por aquellos relojes. Es decir, podemos afirmar que “los relojes en movimiento se atra san” únicamente en el sentido de comparar a un reloj en movimiento con dos relojes estacionarios sincronizados separados. Consideremos otras tres consecuencias de la transfor mación de Lorentz que se relacionan con las mediciones de tiempo:
1. La relatividad de la simultaneidad. Supongamos que S' tiene dos relojes en reposo, situados en x,' y x2\ y separados por el intervalo A x' = x2' - x x'. Un destello de luz emitido desde un punto a media distancia entre los relojes llega a los dos relojes simultáneamente, de acuerdo con S' (véase la Fig. 15a). Es decir, una medición hecha por S' del intervalo entre la llegada de las señales de luz a los dos relojes da A f = 0. Consideremos ahora la situación desde el punto de vista de S, con relación al cual el marco de S' (incluyendo a los relojes) se mueve con velocidad u (Fig. 15é). Claramente, la señal luminosa llega al reloj 1 antes de llegar al reloj 2, y entonces la llegada de las señales luminosas a las ubicaciones de los dos relojes no es simultánea para S. Por lo tanto, llegamos a la siguiente conclusión: Si dos observadores están en movimiento relativo, en general no concuerdan en si los sucesos en ubicaciones diferentes son simultáneos. Si un observador halla que los dos sucesos son simultáneos, el otro no. Esta conclusión se desprende también directamente de la ecución 21: si At' = 0 y A x ' * 0, entonces At * 0. Obsérvese que esto ocurre únicamente cuando los dos sucesos tienen lugar en ubicaciones diferentes de acuer do con S'. Si los dos sucesos tienen lugar en la misma ubicación y son simultáneos de acuerdo con S', son igual mente simultáneos para 5. 2. El corrimiento Doppler. En la sección 20-7 conside ramos el efecto Doppler en las ondas sonoras, en donde el movimiento de una fuente o de un observador de las ondas con relación al medio que transporta a las ondas causa un cambio en la frecuencia medida por el observador. En el caso de las ondas de luz, “el movimiento relativo al medio” no es un concepto válido. La relatividad espe cial da un corrimiento Doppler para la luz que depende
Sección 21-7
únicamente de la velocidad relativa entre la fuente y el observador; en contraste con el caso de las ondas sonoras, donde usamos fórmulas diferentes para tener en cuenta los movimientos de la fuente y del observador, en el caso de las ondas de luz es suficiente una fórmula que involucre únicamente al movimiento relativo. La fórmula Doppler relativista es, por lo tanto, más sencilla de aplicar que la clásica. Otro aspecto del efecto Doppler en la relatividad espe cial no tiene una contraparte clásica. Se trata del efecto Doppler transversal, el cual, en contraste con los casos considerados en la sección 20-7, ocurre cuando la fuente o el observador se mueven perpendicularmente a la línea que los une. El efecto Doppler transversal es realmente otro resultado de la dilatación del tiempo, y las mediciones precisas del efecto Doppler transversal dan algunas de las pruebas experimentales más sensibles de la dilatación del tiempo. Consideraremos el efecto Doppler para la luz con más detalle en el capítulo 42. 3. La paradoja de los gemelos. La dilatación del tiempo se aplica no solamente a las partículas elementales sino a todos los intervalos de tiempo que ocurren de manera natural, incluyendo la cantidad de las pulsaciones y la duración de la vida humana. Este hecho ha sido usado para proponer un acertijo aparente que ha llegado a ser cono cido como la paradoja de los gemelos.* Supongamos a dos gemelos, Federico y Etelvina, que están en una plataforma situada en el espacio. Etelvina se embarca para un viaje en un vehículo espacial de alta velocidad hasta una estrella distante mientras que Federi co permanece en la plataforma. Durante el viaje de Etel vina, Federico es capaz de registrar los latidos del corazón y el ritmo de respiración promedio de Etelvina, y halla que son más lentos debido al efecto de la dilatación del tiempo; entonces, todo el proceso de envejecimiento de Etelvina se ha hecho más lento. Por lo tanto, Federico espera que, al regresar Etelvina a la plataforma después de su viaje a la estrella, ella sea más joven que él. La paradoja ocurre de manera similar cuando analiza mos la situación desde el marco de referencia de Etelvina, viendo por lo tanto a Federico y a la plataforma como los que hacen el viaje. De acuerdo con este análisis, Federico es el gemelo viajero y debería ser el más joven al final del viaje. He aquí la paradoja: Cuando se encuentren al final del viaje, no puede ser cierto que Etelvina sea más joven que Federico como tampoco que Federico sea más jo ven que Etelvina. La resolución de la paradoja llega cuando pensamos que Federico y Etelvina no están realmente en situaciones
* Para mayores detalles sobre la paradoja de los gemelos, véase Basic Concepts in Relativity and Early Quantum Theory, 2a. edición, por Robert Resnick y David Halliday (Wiley, 1985), pág 281.
Consecuencias de la transformación de Lorentz
533
simétricas. Al reunirse nuevamente los dos gemelos, uno de ellos debe decelerar e invertir direcciones, dando por resultado una aceleración, fácilmente medible, de uno de ellos. Dicho de otra manera, Etelvina debe cambiar de un marco de referencia inercial (el que se aleja de Federico) a otro (el que se mueve hacia Federico). Por otra parte, Federico no experimenta una aceleración y permanece en el mismo marco de referencia inercial durante toda la duración del viaje. Realmente, es Etelvina la viajera y quien será más joven a su regreso. Si bien no hemos sido capaces de llevar a cabo un experimento de esta clase con gemelos reales, el experi mento ha podido efectuarse con relojes atómicos.* Dos relojes idénticos fueron calibrados cuidadosamente; uno de ellos fue colocado en un avión comercial en vuelo alrededor del mundo y comparado con su gemelo “en casa” a su retomo. La velocidad durante tal viaje fue, por supuesto, bastante menor que c, pero los relojes atómicos son capaces de una precisión suficiente como para que la pequeña asimetría resultante en el “envejecimiento” de los dos relojes, que llegó a unos 10'7s, pueda determinarse precisa y fácilmente. Se encontró que el reloj que se colocó en el avión, que fue el sometido a una aceleración y por lo tanto el verdadero viajero, era realmente “más joven” (es decir, se atrasó) después del viaje. La lectura que marca el reloj que viajó en el avión debe ser también corregida respecto al tiempo que pasa en potencial gravitatorio diferente, un efecto de la relatividad general. Así pues, las correcciones para la relatividad general y especial son de interés práctico e importante cuando relojes de esa precisión son transportados de un lugar a otro.
La relatividad de la longitud De las ecuaciones de transformación de Lorentz se deduce directamente la contracción de la longitud, la cual se estudió en la sección 21-3. Advirtamos primero que para medir la longitud de un objeto debemos llevar a cabo una determinación simultánea de las coordenadas de los ex tremos del objeto (véase la Fig. 16). No tiene caso medir la coordenada de un extremo de un objeto en movimiento en un tiempo determinado y la coordenada del otro extre mo en un tiempo diferente. Supongamos (véase la Fig. 17) que una barra de medi ción de la longitud en reposo L0 sea transportada por S'. El observador S desea medir su longitud. Según S', en cuyo marco de referencia la barra está en reposo, los extremos de la barra están en las coordenadas x[ y x¡, de
* Véase “Around-the-World Atomic Clocks: Observed Relativistic Time Gains”, por J. C. Hafele y Richard E. Keating, Science, julio 14, 1972, pág. 166.
534
Capítulo 21
La teoría especial de la relatividad
*_t> I
<0
j
. . . . . . . f - ~ .. ....... I I I I I I I 1I 1I (fl)
XA (to)
x B (to)
Figura 17 Los extremos de una barra de medición se determinan en las coordenadas x[ y x '2 de acuerdo con S', con relación al cual la barra está en reposo. Para determinar la longitud de la barra, S debe hacer una determinación simultánea de las coordenadas x¡ y x2 de los puntos extremos.
Figura 16 (a) Para medir la longitud de un pez en movimiento, debemos determinar simultáneamente las posiciones de su cabeza y de su cola. (b) Si la determinación no es simultánea, la medición no da la longitud.
modo que A x ' = x 2' - x{ = L0, la longitud en reposo de la barra. El observador S, usando las coordenadas calibradas y sincronizadas establecidas de acuerdo con el procedi miento descrito en la sección 21-5, lleva a cabo una determinación simultánea de las coordenadas x 2 y x¡ de los extremos de la barra. El intervalo A x = x 2 da la longitud L de la barra de acuerdo con S. Partiendo de la ecuación del intervalo en la tabla 2, tenemos A x ' = y(Ax — u At).
(22)
Haciendo que Ai = 0 (porque 5 llevó a cabo una determi nación simultánea de x 2 y X[), resolvemos para A x (= L) y obtenemos A y/ ________ L = A x = ----- = L 0 V1 — u 2 /c 2 , y
que es idéntica a la ecuación 8. Hemos deducido la dilatación del tiempo y la contrac ción de la longitud, ambos a partir de los postulados (sección 21-3) y de la transformación de Lorentz (esta sección). Sin embargo, no se trata de derivaciones inde pendientes porque la transformación de Lorentz en sí misma se obtiene a partir de los postulados. Al fin y al cabo, toda la relatividad especial se deriva directamente de los postulados de Einstein. Al igual que la dilatación del tiempo, la contracción de la longitud es un efecto que rige para todos los obser vadores en movimiento relativo. Preguntas tales como “¿Realmente se contrae una barra de medición en movi miento?” tienen significado únicamente en el sentido de
que se refieran a mediciones efectuadas por observadores en movimiento relativo. La esencia de la relatividad es que los resultados de las mediciones de la longitud y del tiempo están sujetos al estado de movimiento del obser vador con relación al suceso que está siendo medido y se refieren únicamente a las mediciones efectuadas por un observador en particular en un marco de referencia en particular. Si diferentes observadores llevasen la barra al reposo en sus marcos inerciales individuales, cada uno mediría el mismo valor de la longitud de la barra. A este respecto, la relatividad especial es una teoría de la medi ción que dice simplemente que “el movimiento afecta a la medición”.
Problema muestra 5 Un observador S está parado sobre una plataforma de longitud D0 = 65 m en una estación espacial. Un cohete pasa con una velocidad relativa de 0.80c moviéndose paralelamente al borde de la plataforma. El observador S nota que las partes anterior y posterior del cohete se alinean simul táneamente con los extremos de la plataforma en un instante en particular (Fig. 18a). (a) De acuerdo con S, ¿cuál es el tiempo necesario para que el cohete pase por un punto en particular de la plataforma? (Jb) ¿Cuál es la longitud en reposo L0 del cohete? (c) De acuerdo con un observador S' situado en el cohete, ¿cuál es la longitud D de la plataforma? (d) De acuerdo con S‘, ¿cuánto tiempo transcurre para que el observador S pase la longitud entera del cohete? (e) De acuerdo con S, los extremos del cohete se alinean simultáneamente con los extremos de la plataforma. ¿Son estos eventos simultáneos para S'? Solución (a) De acuerdo con S, la longitud L del cohete es igual a la longitud D0 de la plataforma. S mide que el tiempo para que el cohete pase por un punto en particular es 0
L 0.80c
65 m _ 2.40 X 10* m/s
^
Éste es un intervalo de tiempo propio, porque S está midiendo el intervalo de tiempo entre dos sucesos que acontecen en el mismo punto en el marco de referencia de S (la parte anterior del cohete pasa por un punto, y luego la parte posterior del cohete pasa por el mismo punto).
Sección 21-8 ímpetu relativista
|-s------------- 65 m--------------
(a)
535
de acuerdo con el valor calculado arriba de la longitud propia del cohete en S'. (e) Según S', el cohete tiene una longitud en reposo de L0 = 108 m y la plataforma tiene una longitud contraída de D = 39 m. No existe entonces una manera de que S ' pueda observar los dos extremos de ambos para alinearlos simultáneamente. En las figuras 18¿> y 18c se ilustra la secuencia de sucesos de acuerdo con S '. E l intervalo de tiempo A t' en S ' entre los dos eventos que son simultáneos en S puede calcularse a partir de la ecuación del intervalo para A t' en la tabla 2 siendo A t = 0, lo cual da -(0.80c)(—65 m) : 0.29 fis. c2JT (0.80)2 Podemos verificar este resultado observando que, de acuerdo con S', el intervalo de tiempo entre las situaciones mostradas en las figuras 18Z>y 18c debe ser el necesario para que la platafor ma se mueva una distancia de 108 m - 39 m = 69 m, lo cual toma un tiempo At' = —yu Ax/c 2
(6)
Figura 18 Problema muestra 5. (a) Desde el marco de referencia de S en reposo en la plataforma, el cohete está alineado, al pasar, simultáneamente con las partes anterior y posterior de la plataforma. (b,c) Desde el marco de referencia del cohete, al pasar éste junto a la plataforma, ésta queda alineada primero con la parte anterior del cohete y después con la parte posterior. Nótense los efectos diferentes de la contracción de la longitud en los dos marcos de referencia. (b) S mide la longitud contraída L del cohete. Podemos hallar su longitud en reposo L0 usando la ecuación 8: 65 m = 108 m. VI - u2 /c 2 Vi -(0.80)2 (c) De acuerdo con S la plataforma está en reposo, de modo que 65 m es la longitud de reposo D0. Por lo tanto, de acuerdo con S’, la longitud contraída de la plataforma es D = D0 V i - u2/c 2 = (65 m) V i - (0.80)2 = 39 m. (d) Para que S pase la longitud entera del cohete, S‘ concluye que S debe moverse una distancia igual a su longitud en reposo,, o sea 108 m. El tiempo necesario para hacerlo es . . 108 m . . . Aí O S Ó ^ ^ Obsérvese que éste no es un intervalo de tiempo propio para S1, quien determina este intervalo de tiempo usando un reloj en el frente del cohete para medir el tiempo en el cual S pasa por el frente del cohete, y otro reloj en la parte trasera del cohete para medir el tiempo en el cual S pasa por la parte trasera del cohete. Por lo tanto, los dos sucesos ocurren en puntos diferen tes de S‘ y entonces no pueden estar separados por un tiempo propio en S'. El intervalo de tiempo correspondiente medido por S para los mismos dos sucesos, el cual fue calculado en la parte (a), es un intervalo de tiempo propio para S, porque los dos sucesos realmente ocurren en el mismo punto de S. Los inter valos de tiempo medidos por S y S' estarían relacionados por la fórmula de la dilatación del tiempo: At' = y At = - = 0.45 /zs, V i —(0.80)2
" ' - o s - 0-29' ' 5' de acuerdo con el valor calculado a partir de la transformación del intervalo. Este último resultado ilustra la relatividad de la simultaneidad: dos sucesos que sean simultáneos para S (el alineamiento de los dos extremos del cohete con los dos extremos de la plataforma) no pueden ser simultáneos para S‘.
21-8 IMPETU RELATIVISTA_____________ Hasta ahora hemos investigado el efecto de los dos pos tulados de Einstein sobre las variables cinemáticas de tiempo, desplazamiento y velocidad vistas desde dos mar cos inerciales diferentes. En esta sección y en la próxima ampliaremos nuestros esfuerzos para incluir las variables dinámicas de —ímpetu y energía. Aquí discutiremos la visión relativista del ímpetu lineal. Consideremos la colisión mostrada en la figura 19a, vista desde el marco de referencia S. Dos partículas, cada una de masa m, se mueven con velocidades v y - v iguales y opuestas a lo largo del eje x. Colisionan en el origen, y la distancia entre sus líneas de aproximación ha sido ajustada de modo que después de la colisión las partículas se muevan a lo largo del eje y con velocidades finales iguales y opuestas (figura 19b). Suponemos que la coli sión es perfectamente elástica, de modo que no se pierda ninguna energía cinética. Las velocidades finales deben ser entonces v y - v. Usando la fórmula clásica (p = mv), las componentes del ímpetu del sistema de dos partículas en el marco S son Inicial:
pxi = mv + m(—v) = 0, pyi - 0.
Final:
pxf = 0 ,
pyf = mv + m(—v) = 0.
536
Capítulo 21
La teoría especial de la relatividad
Marco S
m
(a)
■ Después de la colisión
Antes de la colisión
1+d2/c2 — o
una variedad de aplicaciones, no satisface el primer pos tulado de Einstein (la ley debe ser la misma en todos los marcos inerciales) si calculamos al ímpetu com op = mv. Por lo tanto, si hemos de retener a la conservación del ímpetu como una ley general consistente con el primer postulado de Einstein, debemos hallar una nueva defini ción del ímpetu. Esta nueva definición del ímpetu debe tener dos propiedades: (1) Debe hacer que la ley de conservación del ímpetu satisfaga al principio de relativi dad; es decir, si el ímpetu se conserva de acuerdo con un observador en un marco inercial, entonces se conserva de acuerdo con los observadores en todos los marcos inercia les. (2) A bajas velocidades, la nueva definición debe reducirse a p = mv, la cual sabemos que funciona perfec tamente bien en el caso no relativista. La fórmula relativista para el ímpetu de una partícula de masa m que se mueva con velocidad v es mv
p= (C)
Figura 19 Se muestra una colisión entre dos partículas de la misma masa (a) antes de la colisión en el marco de referencia de S; (b) después de la colisión en el marco de referencia de S; (c) antes de la colisión en el marco de referencia de S‘, y {d) después de la colisión en el marco de referencia de S'.
Entonces pA = y pyi = p y¡, el ímpetu (vectorial) inicial es igual al ímpetu final, y el ímpetu se conserva en el marco S. Veamos ahora a la misma colisión desde el marco S', el cual se mueve en relación al marco S con velocidad u —- v (Fig. 19c). Obsérvese que en el marco S', la par tícula 2 está en reposo antes de la colisión. Usaremos la trasformación de Lorentz de la velocidad, ecuaciones 18 y 19, para hallar las componentes x' y y' transformadas de las velocidades inicial y final, como serían observadas por S'. Estos valores, que usted debería calcular, se muestran en las figuras 19c y 19d. Usaremos ahora aquellas velocidades para hallar las componentes del ímpetu del sistema en el marco S':
■
-U = ,
(23)
Vi - v2/ c 2
la cual ya hemos presentado en la ecuación 22 del capítulo 9. En términos de las componentes, podemos escribir a la ecuación 23 así: mvv
mvr P x'
vr
Py =
v2/ c 2 "
''
(24)
V1 — v 2/ c 2
La velocidad v que aparece en el denominador de estas expresiones es siempre la velocidad de la partícula medi da en un marco inercial en particular. No es la velo cidad de un marco inercial. La velocidad en el numerador puede ser cualquiera de las componentes del vector velo cidad. Veamos ahora cómo esta nueva definición restablece la conservación del ímpetu en la colisión que hemos consi derado. En el marco S, las velocidades antes y después son iguales y opuestas, y entonces la ecuación 23 da de nuevo cero para los ímpetus inicial y final. En el marco 5', podemos usar las magnitudes de las velocidades como aparecen en las figuras 19c y \9 d para obtener, como usted debe comprobar, 2mv Px............................. 1 — v 2/ c 2 ’
----------
(25)
Pyi = Pyf= 0 2 mv 1 + v 2/ c 2 Pyi = 0 , Px f — mv + mv =
2mv,
Py{ = mv'J 1—v 2/ c 2 +
m(—W1—v 2/ c 2) - 0.
Vemos quep ‘á no es igual a p'xi, y S' concluirá que el ímpetu no se conserva. Resulta claro del cálculo anterior que la ley de la con servación del ímpetu lineal, la cual hemos hallado útil en
Así, los ímpetus inicial y final son iguales en el marco 5'. El ímpetu se conserva tanto en el marco S como en el S'. De hecho la definición del ímpetu dada en la ecua ción 23 da la conservación del ímpetu en todos los marcos inerciales, como lo exige el principio de relatividad. Obsérvese también que, en la región de velocidades bajas, el denominador de la ecuación 23 es casi igual a 1; a velocidades bajas la ecuación 23 se reduce a la fami liar fórmula clásica p = mv. Entonces, la ecuación 23 satisface también este criterio necesario de las fórmulas relativistas.
Sección 21-9
Energía relativista
537
p = 1580 MeV/c. Las unidades de MeV/c para el ímpetu se usan a menudo en los cálculos relativistas porque, como lo demostraremos en la sección siguiente, la cantidad pe aparece a menudo en estos cálculos. Usted debe ser capaz de convertir MeV/c a kg • m/s y demostrar que los dos resultados obtenidos para p son equiva lentes.
21-9 ENERGIA RELATIVISTA Velocidad (u/c)
Figura 20 Se traza la razón p/m v para electrones con varias velocidades. De acuerdo con la física clásica, p = m v, y entonces las ecuaciones clásicas predicen que p/m v = 1. Los datos concuerdan claramente con el resultado relativista y no con el resultado clásico. A velocidades bajas, las predicciones clásica y relativista no pueden distinguirse.
Por supuesto, la prueba decisiva es la concordancia con el experimento. La figura 20 muestra una colección de datos, basados en determinaciones independientes del ímpetu y la velocidad de los electrones. Los datos se trazan según la relación p/m v, la cual debe tener el valor constante de 1 según la física clásica. Los resultados concuerdan con la ecuación relativista y no con la clásica. Obsérvese que las predicciones clásica y relativista con cuerdan para velocidades bajas, y de hecho la diferencia entre las dos no es precisamente aparente hasta que la velocidad supera a 0.1c, lo cual explica nuestra incapaci dad para observar las correcciones relativistas en los experimentos con objetos ordinarios del laboratorio. Problema muestra 6 ¿Cuál es el ímpetu de un protón que se mueve con una velocidad de u = 0.86c? Solución Usando la ecuación 23, obtenemos _
P
mv V1 —v2 /c 2 _ (1.67 X 1Q-27 kg)(0.86)(3.00 X 108 m/s) Vi —(0.86)2 = 8.44 X 10-19 kg-m/s.
Las unidades de kg •m/s no son generalmente convenientes para resolver problemas de este tipo. En su lugar, manipulamos la ecuación 23 para obtener mcv mc2 (v/c) (938 MeV)(0.86) —= —= — , . ....... —— Vi - v 2/c 2 Vi - v 2/c 2 Vi —(0.86)2 = 1580 MeV.
pe =
Aquí hemos usado la energía en reposo mc2 del protón, un concepto que introdujimos en la sección 8-7. El ímpetu se obtiene a partir de este resultado al dividir entre el símbolo c (no entre su valor numérico), lo cual da
La relación entre la masa y la energía desde el punto de vista relativista se trató previamente en la sección 8-7. Puede usted encontrar útil revisar esa discusión antes de que continúe leyendo esta sección. En analogía con nuestra discusión del momento en la sección anterior, la relatividad especial da un acceso dife rente a la energía cinética. Indiquemos primero la dificul tad al reconsiderar la colisión mostrada en la figura 19. Si usamos la expresión clásica -m v2, la colisión no conserva la energía cinética en el marco S'. (Escogimos las veloci dades finales en el marco S de modo que la energía cinética se conservara.) Usando las velocidades mostra das en las figuras 19c y 19d, podemos demostrar que (véase el problema 46), con K = '-m u2, vi _
^m v 2
i _ d + v>/c>y’
(26)
K { = m v 2(2 — v 2/ c 2).
Entonces K( no es igual a y la colisión elástica apa rentemente no conserva la energía cinética en 5'. Esta situa ción viola el postulado de relatividad; el tipo de colisión (elástica contra inelástica) debería depender de las pro piedades de los objetos que chocan y no del marco de referencia particular desde el cual contemplamos la colisión. Como en el caso del ímpetu, requerimos de una nueva definición de la energía cinética si hemos de preservar la ley de la conservación de la energía y el postulado de relatividad. La expresión clásica para la energía cinética viola tam bién el segundo postulado de la relatividad al permitir velocidades que superan la velocidad de la luz. No existe un límite (ni en la dinámica clásica ni en la relativista) para la energía que podemos impartir a una partícula. Sin embargo, si permitimos que la energía cinética crezca sin límite, la expresión clásica K = ^mv 2 implica que la velocidad debe aumentar correspondientemente sin límite, violando, por lo tanto, el segundo postulado. Por lo tanto, debemos encontrar una manera de redefinir la energía cinética, con el fin de que la energía cinética de una partícula pueda aumentar sin límite mientras su velo cidad permanezca menor que c. La expresión relativista para la energía cinética de una partícula puede derivarse usando, esencialmente, el mis mo procedimiento que empleamos para derivar la expre
538
Capitulo 21
La teoría especial de la relatividad
sión clásica, comenzando con el teorema trabajo-energía en su forma aplicable a partículas (véase el problema 54). El resultado de este cálculo es K=-
m c* V1 — v 2/ c 2
(27)
La ecuación 27 se ve muy diferente del resultado clási co h nv1, pero, como lo demostramos en la sección 7-7, la ecuación 27 se reduce a la expresión clásica en el límite de bajas velocidades ( v « c ) . Podemos también ver a partir del primer término de la ecuación 27 que K -* °° cuando v -* c. Entonces podemos aumentar sin límite la energía cinética de una partícula y su velocidad no supe rará a c. Podemos también expresar la ecuación 27 como: K = E - E 0,
Figura 21 Un recurso mnemotécnico útil para recordar las relaciones entre E0, p, K, y E. Obsérvese que debe emplearse la cantidad pe para poner todas las variables en unidades de energía.
(28)
La energía en reposo es en efecto la energía relativista total de una partícula medida en un marco de referencia en el que la partícula esté en reposo. La energía relativista total está dada por la ecuación 28 como
muestra 9). Tales colisiones deben analizarse usando la conservación de la energía relativista total E\ la energía cinética no se conserva cuando la energía en reposo cam bia en una colisión. A menudo, la m de la ecuación 30 se llama masa en reposo m0 y se distingue de la “masa relativista”, que se define como m0/ f 1 - v2/c 2. Elegimos no emplear la masa relativista, porque puede ser un concepto que nos lleve a confusión. Cuando nos refiramos a la masa, siempre que rremos significar masa en reposo. La manipulación de las ecuaciones 23 y 29 da una relación útil entre la energía total, el ímpetu, y la energía en reposo:
E = K + E 0.
E = •J(pc) 2 + (me2)2.
donde la energía relativista total E se define como „
me2 (29)
y la energía en reposo E0 se define como (30)
(31)
En interacciones de partículas a velocidades relativistas, podemos reemplazar nuestro principio de conservación de la energía previo por uno basado en la energía relativista total: En un sistema de partículas aislado, la energía relati vista total permanece constante. Este principio es un caso especial del resultado expresado previamente en la forma de la ecuación 36 del capítulo 8 (AE0 + AK = W), donde W = 0 (es decir, el sistema está aislado: su entorno no efectúa ningún trabajo externo). Usando la forma relativista de la energía cinética dada por la ecuación 27, podemos demostrar que la energía cinética se conserva en el marco S' de la colisión de la figura 19 (véase el problema 47). Puesto que las energías en reposo de las partículas inicial y final son iguales en esta colisión, la conservación de la energía relativista total es equivalente a la conservación de la energía ciné tica. En general, las colisiones de partículas a altas ener gías pueden dar por resultado la producción de nuevas partículas, y entonces la energía en reposo final puede no ser igual a la energía en reposo inicial (véase el problema
(32)
La figura 21 muestra un recurso mnemotécnico para re cordar esta relación, la cual tiene la forma del teorema de Pitágoras para los lados de un triángulo rectángulo. Las relaciones entre la energía cinética y la veloci dad, y entre la energía cinética y el ímpetu pueden pro barse en un régimen relativista por medio de partículas aceleradas a altas velocidades o usando partículas de alta velocidad (es decir, electrones) emitidos en ciertos procesos de desintegración radiactiva. La figura 2 mues tra electrones a los que se les da una energía cinética conocida (usando una terminal eléctrica de alto volta je) cuyas velocidades resultantes fueron medidas. Los datos experimentales concuerdan perfectamente con la expresión relativista y no concuerdan con la expresión clásica. Hoy día se obtienen resultados similares indirec tamente en cualquier instalación que posea un acelera dor grande. Las partículas son aceleradas a velocidades muy cercanas a c, y los parámetros de diseño de los aceleradores deben basarse en la dinámica relativista. Así pues, cada acelerador moderno es, en efecto, un labo ratorio para probar la relatividad especial. No es necesario decir que el éxito de estos aceleradores es una confirma ción contundente de la relatividad especial.
Sección 21-9
Energía relativista
539
Problema muestra 7 En el Stanford Linear Collider* se aceleran electrones a una energía cinética de 50 GeV. Halle la velocidad de un electrón como (a) una fracción de c y (b) una diferencia con c. La energía en reposo del electrón es de 0.511 MeV = 0.511 x 103GeV.
la que, por conservación de la energía relativista total, hemos igualado con la energía inicial total de 823 MeV. Así, tenemos una ecuación con las dos incógnitas p¡ y p2. Para obtener una segunda ecuación con las dos incógnitas aplicamos la conservación del ímpetu. El ímpetu final del sistema de dos piones a lo largo de la dirección del haz es + p2, y haciéndolo igual al ímpetu inicial pKda
Solución (a) Primero, resolvemos la ecuación 27 para u, obteniendo
PiC + p2c = pKc = 655 MeV.
V= CV 1 ~ (T + K /m c2? ’
(33)
y entonces v = c y j l - (1 + so GeV/0.511 X 10'3 GeV)2
(36)
Tenemos ahora dos ecuaciones (ecuaciones 35 y 36) con las dos incógnitas p l y p2. Resolviendo la ecuación 36 para p2c y sustituyendo este resultado en la ecuación 35, obtenemos (des pués de cierta manipulación algebraica) una ecuación cuadráti ca para p,c, la cual puede resolverse por medio de las técnicas algebraicas normales para dar pxc = 668 MeV or -1 3 MeV.
= 0.999 999 999 948c. Las calculadoras no son confiables después de 12 cifras signi ficativas. He aquí una manera de evitar esta dificultad. Podemos escribir la ecuación 33 como v = c(l + x)'n, en donde x = -1/(1 + K/mc2)2. Puesto que K » mc1, tenemos que x « 1, y podemos emplear la expansión binómica para escribir v a c(l + | x), o sea
Puesto que las designaciones 1 y 2 de los dos piones son arbitrarias, la solución da un pión que viaja paralelo al haz con un ímpetu p¡ = 668 MeV/c, mientras que el otro pión viaja en dirección opuesta con un ímpetu p 2 = -13 MeV/c. Las energías cinéticas correspondientes se hallan empleando las ecuaciones 28 y 32, lo cual da K - Apc ) 2 + (,mnc2) 2 - mnc 2
~ 2(1 +Á7mc2)2] ’
(34)
K t = V(668 MeV)2 + (140 MeV)2 - 140 MeV = 543 MeV, K2 = V(—13 MeV)2 + (140 MeV)2 - 140 MeV = 0.6 MeV.
lo cual da v = c(l —5.2X lO"11). Esto conduce al valor de v dado arriba. (b) Partiendo del resultado anterior, tenemos c —v = 5.2 X 10_11c = 0.016 m/s = 1.6 cm/s. Problema muestra 8 Cierto acelerador produce un haz de kaones neutros (//¡Kc2 = 498 MeV) con una energía cinética de 325 MeV. Consideremos a un kaón que se desintegra en vuelo en dos piones {m,c2 = 140 MeV). Halle la energía cinética de cada pión en el caso especial en que los piones viajen paralela o antiparalelamente en dirección del haz de kaones. Solución La energía de las partículas que permanecen des pués de la desintegración puede obtenerse aplicando los prin cipios de conservación de la energía y del ímpetu relativistas totales. La energía relativista inicial total es, según la ecua ción 31, Ek = K+ mKc2 = 325 MeV + 498 MeV = 823 MeV. El ímpetu inicial puede hallarse a partir de la ecuación 32: pKc = ylEi - (mKc2) 2 = V(823 MeV)2 - (498 MeV)2 = 655 MeV. La energía total del sistema final que consiste en los dos piones es E = E ,+ E 2 = Ap¡c)2 + (mxc 2) 2 + 'J{p1c f + (m,c 2)2 = 823 MeV, (35)
* Véase “The Stanford Linear Collider”, por John R. Rees, Scientific American, octubre de 1989, pág. 58.
Este problema puede ser resuelto también de una manera diferente llevando a cabo una transformación de Lorentz a un marco de referencia en el que los kaones están en reposo. Los dos piones son emitidos en este marco en direcciones opuestas (porque el ímpetu total debe ser cero), y por lo tanto comparten por igual la energía de la desintegración. Al transformar de regreso al marco del laboratorio tenemos entonces la solución para los ímpetus y las energías (véase el problema 57). En el siguiente problema muestra tenemos otra aplicación de esta técnica.
Problema muestra 9 El descubrimiento del antiprotón p (una partícula con la misma energía en reposo que un protón, 938 MeV, pero con la carga eléctrica opuesta) tuvo lugar en 1956 en Berkeley mediante la reacción siguiente: p + p — p + p + p + p, en la que protones acelerados incidían sobre un blanco de protones en reposo en el laboratorio. La energía cinética inci dente mínima necesaria para producir la reacción se llama energía cinética umbral, bajo la cual las partículas finales se mueven juntas como si fuesen una sola unidad. Halle el umbral de la energía cinética para producir antiprotones en esta reac ción. Solución Este problema es conceptualmente el caso inverso del problema muestra anterior. Aquí las partículas se juntan para formar una compuesta. Demostramos un método alternativo de solución en el marco de referencia del centro de masa, en donde los dos protones chocan con ímpetus iguales y opuestos para formar una nueva partícula en reposo (Fig. 22). La energía relativista final total en el marco S‘ del centro de masa es la energía en reposo de los productos, los cuales se producen en reposo en este marco, de modo que
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Marco del centro de masa
v' = 0
El acelerador Bevatron de Berkeley fue diseñado pensando en este experimento, con el fin de que pudiera producir un haz de protones cuya energía superara los 5.6 GeV. El descubri miento del antiprotón en esta reacción fue galardonado con el premio Nobel de 1959 a los científicos, Emilio Segré y Owen Chamberlain.
(b)
(a)
Antes de la reacción
4V3
Después de la reacción
Marco del laboratorio
-t>
7
(d)
(C)
Figura 22 Problema muestra 9. Producción de un antiprotón, visto desde (a,ti) el marco del centro de masa y (c,d) el marco del laboratorio. Compárese con la figura 19.
E'{- :4mpc 2 La energía inicial es precisamente la suma de las energías totales de los dos protones reactantes: E[ = E\ + E'2. La conservación de la energía requiere que E{ = Ef, y puesto que las energías E¡ y E2' son iguales en el marco S', tenemos E[ = E '2 = 2wpc2. La magnitud correspondiente de la velocidad de cualquier pro tón reactante en el marco S' se halla al resolver la ecuación 29 para u/c, lo cual da
Efectuamos ahora una transformación de Lorentz de nuevo en el laboratorio usando esta velocidad como la de la transforma ción, la cual lleva uno de los protones al reposo y da al otro una velocidad v que puede ser obtenida a partir de la expresión de la transformación inversa de la velocidad para vx a partir de la tabla 3. Usando v' = cV3/4 y u = cV3/4, y suprimiendo el subíndice x, tenemos que _
V
v' + u l + uv'/c2
Ic'TbJÁ 4^3 l + ( f 3 / 4 )2==~ c-
Ésta es la velocidad del protón incidente en el marco del laboratorio. Su energía total puede obtenerse de la ecuación 29: £=
v2/c 2 V1 - (4V3/7)2 y el umbral de la energía cinética es
= 7mfc 2
V T
K= E —mvc 2 = 6 mpc 1 - 6(938 MeV) = 5628 MeV = 5.628 GeV.
21-10 LA LOGICA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL Hemos llegado a un punto en que podemos dirigir una mirada retrospectiva a nuestra presentación de la relativi dad especial y pensar acerca de su lógica natural. En primer lugar, debemos advertir que la relatividad afecta a cada aspecto de la física; nos hemos concentrado en este capítulo en la mecánica, y más adelante en este texto consideraremos el efecto de la relatividad en el electro magnetismo. En efecto, debemos reexaminar cuidadosa mente cada subeampo de la física desde la perspectiva de la relatividad especial, verificando que cada uno de ellos sea consistente con los dos postulados. Debemos observar también que la relatividad ha pasado todas las pruebas experimentales sin la menor discrepancia. Es una teoría de gran valor estético, que nos proporciona una visión más satisfactoria que la de la física clásica acerca de la validez de perspectivas y simetrías diferentes. Es también una teoría de gran valor práctico, que les suministra a los ingenieros una guía apropiada para construir grandes ace leradores de partículas, así como también a los implicados en el mantenimiento de las normas con los procedimientos adecuados para corregir las lecturas de los relojes atómi cos cuando se les transporta de una localidad a otra. El primer postulado de la relatividad es realmente una extensión de la primera ley de Newton, la ley de la inercia, la cual definió el concepto de los marcos inerciales y nos proporcionó la primera noción de que los observadores inerciales obtendrían conclusiones idénticas de la obser vación de un experimento en el cual no actúe ninguna fuerza neta. No vamos demasiado lejos si extendemos esa visión para afirmar que los observadores inerciales debe rían también extraer conclusiones idénticas de la observa ción de un experimento en el que hay una fuerza neta. Por último, ¿por qué deberíamos seleccionar las leyes de la mecánica para esta equivalencia? Al extenderla a una equivalencia para observadores inerciales de todas las leyes de la física, llegamos al primer postulado. El segundo postulado es también razonable. Parece increíble que seamos capaces de transmitir una señal a una velocidad infinita, teniéndose así una comunicación ins tantánea a todo el universo. Además, los experimentos sobre la relatividad del tiempo demuestran que tal comu nicación instantánea entre puntos distantes no es consis tente con la observación. Si existe una velocidad límite,
Preguntas
entonces con seguridad (según el primer postulado) debe ser la misma para todos los observadores, sin importar su estado de movimiento. Para algunos, la primera exposición de la relatividad de la simultaneidad, el aparente encogimiento de las barras en movimiento, y la dilatación del tiempo puede ser inquietante. Sin embargo, un poco de reflexión nos per suadirá de que las alternativas clásicas son más inquietan tes aún. Por ejemplo, una barra rígida clásica de longitud definida no es un concepto que resulta consistente con la relatividad; una señal (digamos, un movimiento rápido) en un extremo no puede transmitirse instantáneamente al otro extremo. Debemos renunciar a la idea de que todos los observadores sean capaces de usar la misma vara de medir. Reemplazamos esta idea con otra que dé a cada observador una vara de medir y que permita que cada observador use esa vara para hacer mediciones dentro de un marco de referencia en particular. Ningún instrumento de medición de un observador, o sus resultados, se prefie re sobre cualquier otro. Por último, la relatividad nos proporciona una simetría maravillosa entre estos observa dores; no afirma la realidad del atraso de los relojes, sino que, a partir de sus dos perspectivas diferentes, dos obser vadores en movimiento relativo observan cada uno que el reloj del otro se atrasa. No hay necesidad ninguna de ga rantizar un status de preferencia para cualquiera de ellos, o para cualquier otro observador inercial. De acuerdo con la física clásica, el espacio y el tiempo son absolutos. Esto implica que las leyes de la física deben
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ser diferentes para observadores diferentes. En cambio, la relatividad nos dice que las leyes de la física deben ser las mismas para todos los observadores, y en consecuencia el espacio y el tiempó se convierten en conceptos relativos. Resulta claro que la relatividad es “más absoluta” que la física clásica. El mundo físico arbitrario y complejo de la física clásica, en el que cada observador debe usar un conjunto diferente de leyes físicas, se convierte en el mundo físico, más uniforme y sencillo de la relatividad. La relatividad amplía nuestra visión del Universo al situamos entre los muchos observadores inerciales de ese universo. Trae consigo conceptos que, de acuerdo con la física clásica, se trataban por separado: por ejemplo, el espacio y el tiempo se transformaron en espacio-tiempo, o la masa y la energía se transformaron en energía en reposo. Señala el camino hacia una sola teoría unificada que incluye todas las interacciones posibles entre las partículas: la electricidad y el magnetismo se convierten en el electromagnetismo; el electromagnetismo y las lla madas fuerzas débiles (las responsables de ciertos proce sos de desintegración radioactiva) se convierten en la interacción electrodébil; las interacciones electrodébil y nuclear fuerte se convierten en una de las propuestas Teorías de la Gran Unificación (TGU) (o GUT,de Grand Unified Theories); y por último, las TGU y la gravedad se convierten en la hipotética Teoría del Todo. Con segu ridad que Einstein, quien sólo conoció la primera de estas unificaciones, estaría realmente complacido con estos desarrollos.
PREGUNTAS 1. La velocidad de la luz en el vacío es una verdadera constante de la naturaleza, independiente de la longitud de onda de la luz o de la elección de un marco de referencia (inercial). ¿Existe entonces alguna manera de que el se gundo postulado de Einstein pueda verse como contenido dentro del ámbito de su primer postulado? 2. Discuta el problema que intentó resolver el joven Eins tein; es decir, ¿cuál sería la apariencia de una onda elec tromagnética para una persona que corriese junto a ella con una velocidad el 3. ¿Es válido en la relatividad el concepto de un fluido incompresible? ¿Y qué decir de los cuerpos perfectamente rígidos? 4. Un quasar (objeto casi estelar) se aleja de la Tierra a la mitad de la velocidad de la luz. ¿Cuál es la velocidad, con respecto a la Tierra, de la luz que detectamos vinien do de él? 5. Los quásares son los objetos más intrínsecamente lumino sos del universo. Muchos de ellos fluctúan en brillo, a menudo en una escala de tiempo de un día más o menos.
¿Cómo puede emplearse la rapidez de estos cambios en el brillo para calcular un límite superior del tamaño de estos objetos? (Sugerencia: Los puntos separados no pueden cambiar de una manera coordinada a no ser que sea enviada información de uno al otro.) 6. La tasa de barrido de la cauda de un cometa puede superar a la velocidad de la luz. Explique este fenómeno y demues tre que no existe una contradicción con la relatividad. 7. Considere un frente de onda de luz esférico que se difunde desde una fuente puntual. Visto por un observador en la fuente, ¿cuál es la diferencia de velocidad de las partes del frente de onda que viajan en direcciones opuestas? ¿Cuál es la velocidad relativa de una de estas porciones del frente de onda con respecto a la otra? 8. Tomando prestadas dos frases de Hermán Bondi, podemos captar la esencia de los dos postulados de Einstein titulán dolos: (1) el principio de “la inaplicabilidad de la veloci dad” y (2) el principio de “la unicidad de la luz”. ¿En qué sentido es inaplicable la velocidad y única la luz en estas dos aseveraciones?
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9. Un rayo de láser incide en ángulo recto sobre un espejo plano y se refleja en él. ¿Cuál es la velocidad del rayo reflejado si el espejo está (a) fijo en el laboratorio y (6) moviéndose directamente hacia el láser con velocidad u? 10. Dé un ejemplo de la física clásica en el que el movimiento de un reloj afecta su pulsación, esto es, la manera en que marcha. (La magnitud del efecto puede depender de la naturaleza detallada del reloj.) 11. Si bien en la relatividad (donde el movimiento es relativo y no absoluto) encontramos que “los relojes en movimien to se atrasan”, este efecto no tiene nada que ver con que el movimiento altere la manera en que trabaja un reloj. ¿Con qué tiene que ver? 12. Hemos visto que si varios observadores registran dos sucesos, titulados A y B, uno de ellos puede decir que el suceso A ocurrió primero, pero el otro puede decir que fue el suceso B que sucedió primero. ¿Qué le diría usted a un amigo que le preguntase qué suceso ocurrió realmente primero? 13. Dos sucesos ocurren en el mismo lugar y al mismo tiempo para un observador. ¿Serían los sucesos simultáneos para todo observador? ¿Ocurrirían en el mismo lugar para todo observador? 14. Dos sucesos son simultáneos pero separados en el espacio en un marco de referencia inercial. ¿Serían simultáneos en cualquier otro marco? ¿Sería su separación espacial la misma en cualquier otro marco? 15. Hagamos que el suceso A sea la salida de un aeroplano desde San Francisco y que el evento B sea su llegada a Nueva York. ¿Es posible hallar dos observadores que discrepen respecto al orden en el tiempo de estos sucesos? Explique. 16. Dos observadores, uno en reposo en S y el otro en reposo en S', llevan cada uno una vara de medir orientada para lelamente a su movimiento relativo. Cada observador halla después de medir que la vara de medir del otro observador es la más corta de las dos. ¿Le parece esto una paradoja? Explique (Sugerencia: Compare con la situa ción siguiente. Harry le dice adiós a Walter quien está en la parte trasera de una vagoneta que se aleja de Harry. Harry dice que Walter se vuelve más pequeño. Walter dice que Harry se vuelve más pequeño. ¿Están midiendo la misma cosa? 17. ¿Cómo interviene el concepto de simultaneidad en la medición de la longitud de un objeto? 18. En la relatividad las coordenadas de tiempo y espacio están entrelazadas y tratadas sobre una base más o menos
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equivalente. ¿Son el tiempo y el espacio fundamentalmen te de la misma naturaleza, o existe alguna diferencia esencial entre ellos que sea preservada aun en la relati vidad? En la “paradoja de los gemelos”, explique (en términos de latidos del corazón, actividades físicas y mentales, y así sucesivamente) por qué el gemelo que regresa más joven no ha vivido más tiempo que su tiempo propio, aun cuando el hermano que se quedó en casa pueda decir que sí lo hizo. ¿Explique por tanto la frase: “Envejeces de acuerdo con tu tiempo propio”. ¿Podemos sustituir simplemente a ym por m en las ecua ciones clásicas para obtener las ecuaciones relativistas correctas? Dé ejemplos. Si las partículas con masa cero tienen una velocidad c en un marco de referencia, ¿pueden encontrarse en reposo en cualquier otro marco? ¿Pueden tales partículas tener cual quier velocidad diferente de c? Un partícula con masa cero (un neutrino, posiblemente) puede transportar ímpetu. Pero, según la ecuación 23, p = hiv/ / 1 - v2/c 2 , el ímpetu es directamente proporcional a la masa y, por lo tanto, debería ser cero cuando la masa es cero. Explique. ¿En cuántas expresiones relativistas puede usted pensar en los que el factor Lorentz y intervenga como un simple multiplicador? ¿Es la masa de una partícula estable, compuesta (un núcleo de oro, por ejemplo) más grande que, igual a, o menor que la suma de las masas de sus componentes? Explique. “La masa del electrón es de 0.511 MeV”. ¿Qué significa exactamente esta afirmación? “La relación E0 = mc2 es esencial en la operación de una planta de potencia basada en la fisión nuclear, pero tiene únicamente una importancia despreciable en una planta de combustible fósil”. ¿Es ésta una afirmación verdadera? Explique por qué o por qué no. Una planta hidroeléctrica genera electricidad porque el agua cae bajo la acción de la gravedad a través de una turbina, haciendo girar por tanto a la flecha de un genera dor. De acuerdo con el concepto de masa-energía, ¿debe ser identificada la generación de energía (la electricidad) con una disminución de masa en alguna parte? De ser así, ¿dónde? Algunos dicen que la relatividad complica las cosas. Dé ejemplos de lo contrario, o sea, donde la relatividad las simplifique.
PROBLEMAS Sección 21-3 Consecuencias de los postulados de Einstein 1. Independientemente de los efectos debidos a los movi mientos rotatorio y orbital de la Tierra, un marco de
laboratorio no es estrictamente un marco inercial porque una partícula situada en reposo allí no permanece, en generai, en reposo; caería debido a la gravedad. Sin em-
Problemas
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bargo, a menudo los sucesos acontecen tan rápidamente que podemos ignorar la caída libre y tratar al marco como inercial. Considérese, por ejemplo, un electrón de 1.0 MeV (para el cual v =0.941c) lanzado horizontalmen te hacia una cámara de pruebas del laboratorio y movién dose una distancia de 20 cm. (a) ¿Cuánto tiempo tomaría?, y (b) ¿cuánto caería el electrón durante este intervalo? ¿Qué podemos concluir respecto a la idoneidad del labo ratorio como un marco inercial en este caso? Un electrón de 100 MeV, para el cual v = 0.999987c, se mueve a lo largo del eje de un tubo al vacío que tiene una longitud de 2.86 m medido por un observador S en el laboratorio respecto al cual el tubo está en reposo. Un observador S' que se mueva con el electrón, sin embargo, vería que este tubo pasa moviéndose con una velocidad v. ¿Qué longitud del tubo mediría este observador? Una barra que está paralela al eje x del marco de referen cia S, se mueve a lo largo de este eje con una velocidad de 0.632c. Su longitud en reposo es 1.68 m. ¿Cuál será su longitud medida en el marco S? La vida media de los muones frenados por un bloque de plomo en el laboratorio es de 2.20 / . La vida media de muones de alta velocidad en una ráfaga de rayos cós micos observado desde la Tierra es de 16 ¡ . Halle la velocidad de estos muones en los rayos cósmicos. Una partícula inestable de alta energía entra a un detector y deja un rastro de 1.05 mm de longitud antes de desinte grarse. Su velocidad con relación al detector era 0.992c. ¿Cuál es su vida media propia? Es decir, ¿cuánto tiempo duraría antes de desintegrarse habiendo estado en reposo con respecto al detector? Se mide que la longitud de un vehículo espacial es exac tamente la mitad de su longitud en reposo, (a) ¿Cuál es la velocidad del vehículo con relación al marco del observa dor? (Jb) ¿Por qué factor se atrasan los relojes del vehículo, comparados con los relojes en el marco del observador? Una partícula se mueve a lo largo del eje x' del marco S' con una velocidad de 0.413c. El marco S' se mueve con una velocidad de 0.587c con respecto al marco S. ¿Cuál es la velocidad de la partícula medida en el marco S? El marco S' se mueve con relación al marco S a 0.620c en la dirección de la x creciente. En el marco S' se mide que una partícula tiene una velocidad de 0.470c en la dirección de x' creciente, (a) ¿Cuál es la velocidad de la partícula con respecto al marco S? (ti) ¿Cuál sería la velocidad de la partícula con respecto a S si se movió (a 0.470c) en dirección de la x' decreciente en el marco S'? En cada caso, comparar las respuestas con las predicciones de la ecua ción clásica de la transformación de velocidades. Un vehículo espacial de 130 m de longitud en reposo pasa por una estación cronometradora con una velocidad de 0.740c. (a) ¿Cuál es la longitud del vehículo medida por la estación? (ti) ¿Qué intervalo de tiempo registrará la estación entre el paso de los extremos frontal y trasero de la nave? En los estratos altos de la atmósfera de la Tierra se crea un pión al chocar una partícula incidente de rayos cósmi cos de alta energía con un núcleo atómico. El pión así formado desciende hacia la Tierra con una velocidad de j s
j s
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0.99c. En un marco de referencia en el cual estén en reposo, los piones tienen una vida media 26 ns. Medido en un marco fijo respecto a la Tierra, ¿a qué distancia se moverá este pión típico a través de la atmósfera antes de desintegrarse? 11. Un satélite debe tener una velocidad de unos 7.91 km/s para rodear a la Tierra en una órbita baja. Supongamos que dos de tales satélites giran en tomo a la Tierra en direccio nes opuestas, (á) ¿Cuál es su velocidad relativa al encon trarse? Evalúe usando la ecuación clásica de Galileo para la transformación de velocidades, (ti) ¿Qué error fraccio nario se cometió a causa de no haber usado la ecuación relativista (correcta) de la transformación? Sección 21-4 La transformación de Lorentz 12. ¿Cuál debe ser el valor del parámetro ¡3de la velocidad si el factor yde Lorentz es de (a) ¿1.01? (ti) ¿10.0? (c) ¿100? (d) ¿1000? 13. Halle el parámetro de la velocidad de una partícula a la que le toma dos años más que a la luz viajar una distancia de 6.0 años luz. 14. El observador S asigna a un suceso las coordenadas x = 100 km, t = 200 / j s . Halle las coordenadas de este suceso en el marco S', el cual se mueve en la dirección de la x creciente con una velocidad de 0.950c. Suponga que x = x' en t = t‘ = 0. 15. El observador S reporta que ocurrió un evento en el eje x en x = 3.20 * 108m al tiempo t = 2.50 s. (a) El observador S' se mueve en dirección de x creciente con una velocidad de 0.380c. ¿Qué coordenadas reportaría S' para el suceso? (ti) ¿Qué coordenadas reportaría S" si S" se estuviera moviendo en la dirección de x decreciente con la misma velocidad? 16. El marco inercial S' se mueve con una velocidad de 0.60c con respecto al marco S en la dirección de x creciente. En el marco S, el evento 1 ocurre en el origen en t = 0, y el evento 2 ocurre sobre el eje x en x - 3.0 km y en / = 4.0 /j s . ¿Qué tiempos de ocurrencia registra el observador S' para estos mismos sucesos? Explique la inversión del orden en el tiempo. 17. Un experimentador dispara dos bulbos de destellos simul táneamente, un destello azul situado en el origen de su marco de referencia y un destello rojo en x = 30.4 km. Un segundo observador, que se mueve con una velocidad de 0.247c en la dirección de x creciente, ve también los destellos, (á) ¿Qué intervalo de tiempo entre ellos encuen tra el segundo observador? (ti) ¿Cuál destello ocurre pri mero para este observador? 18. Derive las ecuaciones 17 para la transformación inversa de Lorentz invirtiendo algebraicamente las ecuaciones de la transformación de Lorentz, ecuaciones 14. Sección 21-6 La transformación de las velocidades 19. Supóngase que el observador S dispare un haz de luz en la dirección y (vx = 0, uy = c). El observador S' se está moviendo con una velocidad u en la dirección jc. (á) Halle las componentes vx' y uj de la velocidad del haz de luz de
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acuerdo con S', y (b) demuestre que S' mide una velocidad de c para el haz de luz. 20. Un protón de rayos cósmicos se acerca a la Tierra a lo largo de su eje con una velocidad de 0.787c hacia el Polo Norte y otro, con velocidad 0.612c, hacia el Polo Sur. Véase la figura 23. Halle la velocidad de acercamiento relativa de una partícula respecto a la otra. (Sugerencia:Es de utilidad considerar a la Tierra y a una de las partículas como los dos marcos inerciales de referencia.)
desde el marco S, viaje a lo largo del eje y de ese marco con una velocidad de 0.780c. ¿Cuál es su velocidad (mag nitud y dirección) medida en el marco S'l 25. En la figura 24, A y B son trenes sobre vías perpendicula res, que parten de la estación S. Las velocidades se refieren al marco de la estación (marco S). (a) Halle v,s, la veloci dad del tren B con respecto al tren A. (b) Halle v„, la velocidad del tren A con respecto al tren B.Comente el hecho de que estas dos velocidades relativas no apuntan en direcciones opuestas.
N
■ “ t>----- E 0.800c
Figura 23 Problema 20. Figura 24 Problema 25. 21. Se reporta que la galaxia A está retrocediendo con respec to a nosotros con una velocidad de 0.347c. La galaxia B, situada precisamente en la dirección opuesta, está tam bién retrocediendo con respecto a nosotros con la misma velocidad. ¿Qué velocidad de retroceso hallaría un obser vador en la galaxia A (a) para nuestra galaxia y (b) para la galaxia B? 22. Por las mediciones del corrimiento al rojo de la luz emiti da se concluye que el quasar Ql se aleja de nosotros con una velocidad de 0.788c. El quasar Q2, que está en la misma dirección en el espacio pero más cerca de noso tros, se aleja de nosotros con una velocidad de 0.413c. ¿Qué velocidad de Q2 mediría un observador situado en
Sección 21-7 Consecuencias de la transformación de Lorentz 26. Un electrón se mueve con una velocidad tal que podría rodear a la Tierra por el ecuador en 1 s. (a) ¿Cuál es su velocidad, en términos de la velocidad de la luz? (b) ¿Sin energía cinética K? (c) ¿Qué porcentaje de error comete mos al usar la fórmula clásica para calcular K? 27. El radio en reposo de la Tierra es de 6370 km y su velocidad orbital respecto al Sol es de 29.8 km/s. ¿En cuánto parecería acortarse el diámetro de la Tierra para un observador estacionarios de modo que pueda ver pasar a la Tierra con esta velocidad? 28. Un aeroplano cuya longitud en reposo es de 42.4 m se mueve respecto a la Tierra con una velocidad constante de 522 m/s. (a) ¿En qué fracción de su longitud en reposo le parecería haberse acortado a un observador situado en la Tierra? (b) ¿Cuánto tiempo tomaría según los relo jes de la Tierra para que el reloj del aeroplano se atrase 1 fjsl (Suponga que se aplica únicamente la relatividad especial). 29. Un vehículo espacial cuya longitud en reposo es de 358 m tiene una velocidad de 0.728c respecto a un cierto marco de referencia. Un micrometeorito, con una velocidad de 0.817c en este marco, encuentra al vehículo espacial en una trayectoria antiparalela. ¿Cuánto tiempo le toma a este micrometeorito pasar al vehículo espacial? 30. Un reloj se mueve a lo largo del eje x con una velocidad de 0.622c e indica cero al pasar por el origen, (a) Calcule
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el factor de Lorentz. (ti) ¿Qué tiempo indica el reloj cuando pase por x= 183 m? Un observador S ve un destello de luz roja a 1210 m y un destello de luz azul a 730 m sobre la misma línea recta. S mide que el intervalo de tiempo entre el disparo de los destellos es de 4.96 ¡j s , ocurriendo primero el destello rojo, (a) Halle la velocidad relativa (magnitud y dirección) de un segundo observador S' que registre que estos deste llos ocurren en el mismo lugar, (ti) Según el punto de vista de S', ¿cuál destello ocurre primero y cuál es el interva lo de tiempo medido entre destellos? Considere el problema anterior. Suponga ahora que el observador S vea los dos destellos en las mismas po siciones que en ese problema pero ocurriendo más cer ca entre sí en cuanto a tiempo. ¿A qué distancia en tiempo pueden estar entre sí y todavía tener la posibili dad de hallar un marco S' en el que ocurran en el mismo lugar? Un viajero del espacio despega de la Tierra y se mueve con una velocidad de 0.988c hacia la estrella Vega, que está a una distancia de 26.0 años luz. ¿Cuánto tiempo habrá pasado en los relojes de la Tierra (a) cuando el viajero llegue a Vega y (ti) cuando los observadores en la Tierra reciban su aviso de haber llegado? (c) ¿Qué tanto más viejo calcularán los observadores en la Tierra que sea el viajero al llegar a Vega de lo que era cuando inició el viaje? Usted desea hacer un viaje redondo desde la Tierra en un vehículo espacial, viajando con una velocidad constan te en línea recta durante 6 meses y regresando luego con la misma velocidad constante. Además, usted desea, a su retomo, hallar a la Tierra como si estuviese a 1000 años en el futuro, (a) ¿Qué tan rápidamente tendría que viajar? (ti) ¿Importa o no que el viaje haya sido en línea recta? Si, por ejemplo, usted viajase en un círculo durante 1 año, ¿hallaría aún al retomar que habían transcurrido 1000 años en los relojes de la Tierra? Los observadores S y S' están en el origen de sus mar cos respectivos, los cuales se mueven uno con relación al otro con una velocidad de 0.600c. Cada uno tiene un reloj ordinario, el cual, como es lo usual, ponen a cero cuando coincidan los dos orígenes. El observador S man tiene visualmente al reloj S' a la vista, (a) ¿Qué tiempo registrará el reloj S' cuando el reloj S registre 5.00 us? (ti) ¿Qué tiempo leerá realmente el observador S en el reloj S' cuando el reloj S indique 5.00 /js? (a) Puede una persona, en principio, viajar desde la Tierra hasta el centro galáctico (que está a alrededor de 23,000 años luz de distancia) en un ciclo de vida normal? Expli que, usando los argumentos ya sea de dilatación del tiem po o de contracción de la longitud, (ti) ¿Qué velocidad constante necesitaría esa persona para efectuar el viaje en 30 años (tiempo propio)?
Sección 21-8 ímpetu relativista 37. Demuestre que 1 kg • m/s = 1.875 x 1021MeV/c 38. Una partícula tiene un ímpetu igual a me. Calcule su velocidad.
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39. Calcule el parámetro de velocidad de una partícula con un ímpetu de 12.5 MeV/c si la partícula es (á) un electrón y (ti) un protón. Sección 21-9 Energía relativista 40. Halle el parámetro p de la velocidad y el factor y de Lorentz para un electrón cuya energía cinética es (a) 1.0 keV, (ti) 1.0 MeV, y (c) 1.0 GeV. 41. Halle el parámetro (3de la velocidad y el factor de Lorentz para una partícula cuya energía cinética es 10 MeV si la partícula es (a) un electrón, (ti) un protón, y (c) una par tícula alfa. 42. Una partícula tiene una velocidad de 0.990c en el marco de referencia de un laboratorio. ¿Cuáles son su energía cinética, su energía total, y su ímpetu si la partícula es (á) un protón o (ti) un electrón? 43. Se cree que los quásares son los núcleos de galaxias activas en las etapas iniciales de su formación. Un quasar típico irradia energía a razón de 1.20 x IO41 W. ¿En qué razón se está reduciendo la masa de este quasar para suministrar esta energía? Exprese su respuesta en unida des de masa solar por año, en donde una unidad de masa solar (ums) es la masa de nuestro Sol. 44. Calcule la velocidad de una partícula (á) cuya energía cinética sea igual al doble de su energía en reposo y (ti) cuya energía total sea igual al doble de su energía en reposo. 45. Halle el ímpetu de una partícula de masa m para que su energía total sea tres veces su energía en reposo. 46. Use las velocidades dadas en la figura 19 en el marco S' y demuestre que, de acuerdo con S', las energías cinéticas antes y después de la colisión, calculadas clásicamente, están dadas por las ecuaciones 26. 47. Reconsidere la colisión mostrada en la figura 19. Usando la ecuación 27 de la energía cinética relativista, calcule las energías cinéticas inicial y final en el marco S‘ y a partir de allí demuestre que la energía cinética se conserva en este marco así como en el marco S. 48. Considere lo siguiente, moviéndose todo en el espacio libre: un fotón de 2.0 eV, un electrón de 0.40 MeV, y un protón de 10 MeV. (á) ¿Cuál se está moviendo más rápidamente? (ti) ¿Cuál más lentamente? (c) ¿Cuál tiene el ímpetu más grande? (d) ¿Cuál el momento más peque ño? (Nota: Un fotón es una partícula de luz de masa cero.) 49. (a) Si la energía cinética K y el ímpetu p de una partícula pueden medirse, sería posible hallar su masa m y por lo tanto identificar a la partícula. Demuestre que
(ti) ¿A qué se reduce esta expresión cuando v¡c -» 0, en donde y es la velocidad de la partícula? (c) Halle la masa de una partícula cuya energía cinética es de 55.0 MeV y cuyo ímpetu es de 121 MeV/c; expresar su respuesta en términos de la masa nic del electrón. 50. En una colisión de alta energía de una partícula primaria de rayos cósmicos cerca de la parte superior de la atmós fera de la Tierra, a 120 km sobre el nivel del mar, se crea
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Capítulo 21
La teoría especial de la relatividad
un pión con una energía total de 135 GeV, que viaja verticalmente hacia abajo. En su marco propio este pión se desintegra 35.0 ns después de su creación. ¿A qué altitud sobre el nivel del mar ocurre la desintegración? La energía en reposo de un pión es de 139.6 MeV. ¿Cuánto trabajo es necesario efectuar para aumentar la velocidad de un electrón desde (a) 0.18c hasta 0.19c y (tí) 0.98c hasta 0.99c? Nótese que el aumento de velocidad (= 0.01c) es el mismo en cada caso. Dos partículas idénticas, de 1.30 mg de masa cada una, que se mueven con velocidades de 0.580c, iguales pero opuestas, en el marco de referencia del laboratorio, chocan y se quedan pegadas. Halle la masa de la partícula resul tante. Una partícula de masa m que viaja con una velocidad relativista choca en una colisión completamente inelástica con una partícula idéntica que inicialmente está en reposo. Halle (a) la velocidad de la partícula única resultante y (tí) su masa. Exprese sus respuestas en términos del factor de Lorentz y de la partícula incidente. (a) Suponga que tenemos a una partícula acelerada desde el reposo por la acción de una fuerza F. Suponiendo que la segunda ley de Newton para una partícula, F = dpjdt, sea válida en la relatividad, demuestre que la energía cinética final K puede escribirse, usando el teorema traba jo-energía, como K = J v dp. (tí) Usando la ecuación 23 del ímpetu relativista, demuestre que llevando a cabo la integración en (a) obtenemos la ecuación 27 de la energía cinética relativista. (a) En la física moderna experimental de alta energía, se hace que partículas energéticas circulen en direcciones opuestas en anillos llamados de almacenamiento y se permite que choquen de frente. En esta situación cada partícula tiene la misma energía cinética K en el laborato rio. Las colisiones pueden considerarse totalmente inelás ticas, en que la energía en reposo de las dos partículas que chocan, más toda la energía cinética disponible, puede ser usada para generar nuevas partículas y dotarlas de energía cinética. Demuestre que la energía disponible en esta situación puede escribirse en la forma
donde m es la masa de las partículas que chocan, (tí) ¿De cuánta energía se puede disponer cuando se emplean
de esta manera protones de 100 GeV? (c) ¿Qué energía se requerirá de los protones para disponer de 100 GeV? (Nota: Compare sus respuestas con las del problema 56, que describe otra situación de bombardeo, aunque menos eficaz en cuanto a la energía.) 56. (a) Un protón, de masa m, acelerado en un sincrotrón de protones a una energía cinética K choca con un segundo protón (el blanco) en reposo en el laboratorio. La colisión es enteramente inelástica y en ella está disponible la energía de reposo de los dos protones, más toda la energía cinética consistente con la ley de la conservación del ímpetu, para generar nuevas partículas y dotarlas de ener gía cinética. Demuestre que la energía disponible para este propósito está dada por
E— =2mc2y l l + { é ? ) (tí) ¿De cuánta energía se dispone cuando se usan de este modo protones de 100 GeV? (c) ¿Qué energía se requerirá de los protones para disponer de 100 GeV? (Nota: Com párese con el problema 55). 57. (a) Considere la desintegración del kaón descrito en el problema muestra 8, pero use un marco de referencia (el marco del centro de masa) en el que los kaones es tén inicialmente en reposo. Demuestre que los dos pio nes emitidos en la desintegración viajan en direcciones opuestas con velocidades iguales de 0.827c. (tí) ¿Cuál es la velocidad de los kaones originales observados en el marco del laboratorio? (c) Suponga que los dos piones son emitidos en el marco del centro de masa con velocidades de v’x = +0.827c y u' = -0.827c. Calculando las velocida des correspondientes en el marco del laboratorio, demues tre que las energías cinéticas en el marco del laboratorio son idénticas a las halladas en la solución del problema muestra 8. 58. Una partícula alfa con una energía cinética de 7.70 MeV choca con un núcleo de 14N en reposo. Se producen un núcleo de l70 y un protón, el protón emitido a 90° con la dirección de la partícula alfa incidente y transportando una energía cinética de 4.44 MeV. Las energías en reposo de las diversas partículas son: partícula alfa, 3730.4 MeV; 14N, 13,051 MeV; protón, 939.29 MeV; ,70 , 15,843 MeV. (a) Halle la energía cinética del núcleo de 170. (tí) ¿Con qué ángulo respecto a la dirección de la partícula alfa incidente se mueve el núcleo de l70?
CAPÍTULO 22
TEMPERATURA
Hasta aquí hemos tratado, en su momento, la mecánica de las partículas aisladas, los sistemas de partículas, los cuerpos rígidos, y los fluidos. En cada caso, hemos utilizado de una forma u otra las leyes de Newton para analizar la dinámica del sistema y estudiar a la vez los movimientos de la partícula por separado o los movimientos de los elementos del sistema. A partir de este capítulo, ampliamos ahora nuestra perspectiva para tratar con sistemas que resultan demasiado complejos como para tratarlos en términos del movimiento de la partícula por separado. Estos sistemas aparecen por lo general desordenados debido al gran número de partículas implicadas y alas muy diferentes maneras en que pueden compartir la energía del sistema. Para analizar estos sistemas hacemos uso de los principios de la termodinámica. En nuestro estudio de la termodinámica definiremos un nuevo conjunto de variables físicas para describir el estado de un sistema, y deduciremos un nuevo conjunto de leyes que rigen el comportamiento de los sistemas. También demostraremos cómo pueden entenderse estas nuevas leyes sobre la base de nuestras leyes previas de la mecánica. Un concepto central de la termodinámica es la temperatura. En este capítulo damos la definición de la temperatura y exponemos la forma de medirla.
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22-1 DESCRIPCIÓN MACROSCÓPICA Y DESCRIPCIÓN M ICROSCÓPICA Un litro de gas contiene unas 3 * 1022 moléculas. Tome mos el caso más sencillo posible y tratemos a las mo léculas del gas como partículas puntuales que chocan elásticamente entre sí y con las paredes del recipiente que las contiene. Si especificamos la posición y la velocidad iniciales de cada partícula, podemos entonces aplicar las leyes de Newton y deducir la posición y la velocidad de cada partícula en cualquier momento futuro. Dada esa información, podemos calcular ciertas propiedades men surables del sistema, tales como la fuerza impulsiva neta ejercida sobre un elemento de área del recipiente. Llama mos a esto la descripción microscópica del sistema. Pues to que el número de partículas es tan grande, nos resulta ventajoso tratar al sistema usando valores promedio de las cantidades microscópicas. Este enfoque se llama mecáni ca estadística y se discute en el capítulo 24. Un enfoque distinto se basa en la pregunta siguiente: ¿Podemos describir al sistema, incluyendo sus interaccio nes mutuas con su entorno, en términos de un número
pequeño de propiedades del conjunto que sean mensura bles por medio de operaciones relativamente sencillas llevadas a cabo en el laboratorio? En el caso de un gas confinado en un recipiente, podemos realmente obte ner tal descripción en términos de las cantidades macros cópicas, como presión, volumen, temperatura, cantidad de materia, y energía interna, entre otras. En sistemas diferentes a un gas, podemos definir y medir diferentes variables macroscópicas. Por ejemplo, en un material ferromagnético como el hierro, las partículas no interactúan por fuerzas impulsoras en las colisiones sino por fuerzas magnéticas; en la descripción macroscópica de un material ferromagnético, la magnetización debe ser in cluida entre las cantidades macroscópicas. Usualmente las propiedades macroscópicas pueden medirse directamente en el laboratorio, por ejemplo, la presión de un gas confinado o la magnetización de un trozo de hierro. Podemos también medir fácilmente la variación de cualquiera de tales propiedades con la tem peratura y derivar una ecuación de estado que describa la dependencia de las variables macroscópicas entre sí. En cualquier sistema, las cantidades macroscópica y las microscópicas deben relacionarse porque son modos sim
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Capítulo 22
Temperatura
plemente diferentes de describir la misma situación. En particular, deberíamos ser capaces de expresarla una en términos de la otra. La presión de un gas, una cantidad macroscópica, se mide operativamente usando un manó metro. Microscópicamente, la presión se relaciona con la cantidad promedio por unidad de área en que las molécu las del gas liberan ímpetu al fluido del manómetro al chocar con su superficie. En la sección 23-3 cuantificamos esta definición microscópica de la presión. De igual forma (véase la sección 23-4), la temperatura de un gas (cantidad macroscópica también) se relaciona con la energía cinéti ca promedio de traslación de las moléculas. Si las cantidades macroscópicas pueden expresarse en términos de las cantidades microscópicas, entonces las leyes de la termodinámica pueden expresarse cuantitati vamente en términos de la mecánica estadística. Esta posibilidad es uno de los logros en el desarrollo de la física. Este tema de la relación entre las variables macros cópicas y microscópicas surgirá con frecuencia según avancemos en el estudio de la termodinámica.
22-2 TEMPERATURA Y EQUILIBRIO TÉRMICO Consideremos los dos sistemas A y B ilustrados en la figura la. Están “aislados” uno del otro y del entorno. Por “aislados” queremos decir que ni la energía ni la materia pueden entrar o salir de cualquiera de los sistemas. Por ejemplo, los sistemas podrían estar rodeados por pare des hechas de placas gruesas de espuma de poliestireno (styrofoam), las que supuestamente son tanto rígidas co mo impermeables. En este caso se dice que las paredes son adiabáticas. (El término “adiabático” proviene del griego y quiere decir “que no puede ser atravesado”. Así, “adiabático” puede entenderse como “aislante”.) Los cambios en las propiedades de un sistema no tienen efecto sobre el otro sistema. Podemos sustituir la pared adiabática que separa a / l y a B por otra que permita el flujo de la energía (Fig. Ib) en una forma que conoceremos como calor. Un ejemplo podría ser una lámina de cobre delgada pero rígida. Esta pared se llama diatérmica (Este término, que también proviene del griego, significa que “el calor pasa a través de él”, por lo que podemos tomarlo con la connotación de “conductor de calor”.) Cuando dos sistemas están en mutuo contacto a través de una pared diatérmica, el intercambio de energía causa que las propiedades macroscópicas de los dos sistemas cambien. Por ejemplo, si los sistemas son gases confina dos, la presión debería ser una de las cantidades macros cópicas que cambian. Los cambios son relativamente rápidos al principio, pero se vuelven cada vez más lentos en el transcurso del tiempo, hasta que finalmente las
Figura 1 (a) Los sistemas A y B están separados por una pared adiabática. Los sistemas tienen temperaturas diferentes Ta y Tb. (b) Los sistemas A y B están separados por tina pared diatérmica. Los sistemas, por haber llegado al equilibrio térmico, tienen la misma temperatura T.
propiedades macroscópicas se aproximan a valores cons tantes. Cuando ocurre esto, decimos que los dos sistemas están en equilibrio térmico entre sí. Una manera de probar si los cuerpos están en equilibrio térmico es ponerlos en contacto a través de una pared diatérmica y observar si las propiedades macroscópicas de los sistemas cambian con el tiempo después de haber sido puestos en contacto. Si con el tiempo no se observan cambios en las propiedades macroscópicas, los sistemas estaban originalmente en equilibrio térmico. Sin embargo, pudiera ser inconveniente y hasta imposible mover a los dos sistemas con el fin de ponerlos en contacto entre sí. (Los sistemas podrían ser demasiado voluminosos para moverlos fácilmente, o podrían estar separados por una distancia muy grande.) Por lo tanto, generalizamos el concepto de equilibrio térmico de modo que los sistemas no necesariamente tienen que estar en contacto entre sí. Se dice que los cuerpos separados están en equilibrio térmico cuando están en estados tales que, si estuviesen conectados, estarían en equilibrio térmico. La manera de probar si tales sistemas separados están en equilibrio térmico es usar un tercer sistema C. Al poner a C en contacto con/1 y luego con B, podríamos saber si A y B están en equilibrio térmico sin poner en contacto di recto a A y a B. Esto se resume en un postulado llamado la ley cero de la termodinámica que se enuncia como sigue: Si los sistemas A y B están cada uno en equilibrio térmico con un tercer sistema C, entonces A y B están en equilibrio térmico entre sí. Esta ley puede parecer simple, pero no es del todo obvia. Si A, B, y C fueran personas, podría ser cierto que
Sección 22-3
A y C conocieran a B y que no se conocieran entre sí. Si A y C son trozos de hierro no imantados y B es un imán, entonces A y C son ambos atraídos por B sin ser atraídos entre sí. A la ley cero se le ha llamado idea lógica tardía. Salió a la luz la década de 1930, mucho tiempo después de que la primera y segunda leyes de la termodinámica hubieran sido propuestas y aceptadas. Como veremos más adelante, la ley cero define en efecto el concepto de temperatura, fundamental en las leyes primera y segunda de la termo dinámica. La ley que establece la temperatura debería tener un número más bajo; de aquí que se le llame ley cero.
La temperatura Cuando dos sistemas están en equilibrio térmico, decimos que tienen la misma temperatura. A la inversa, la tempe ratura es aquella propiedad de un sistema que iguala a la de otro sistema cuando los dos sistemas están en equilibrio térmico. Por ejemplo, supongamos que los sistemas son dos gases que inicialmente tienen temperatura, presión, y volumen diferentes. Después de haber sido puestos en contacto y esperado un tiempo lo suficientemente largo para que lleguen al equilibrio térmico, sus presiones no serán en general iguales, como tampoco sus volúmenes; sin embargo, sus temperaturas siempre serán iguales en el equilibrio térmico. Sólo mediante este argumento basado en el equilibrio térmico puede introducirse en la termodi námica la noción de temperatura. Aunque la temperatura, en su uso cotidiano, es algo que resulta familiar para todos nosotros, es necesario darle un significado preciso para que tenga valor como unidad de medida científica. Nuestra noción subjetiva de la tempe ratura no es totalmente confiable. Por ejemplo, suponga que está usted sentado en su casa en una silla hecha parcialmente de tela, madera y metal. Toque las diversas partes de la silla para decidir cuál es “la más fría”, al decir, cuál tiene la temperatura más baja. Es probable que llegue usted a la conclusión de que las partes de metal son las más frías. Sin embargo, cabría suponer que todas las partes de la silla han estado en la sala el tiempo suficiente como para estar en equilibrio térmico con el aire y, por lo tanto, deberían tener la misma temperatura que el aire. Lo que usted examina, al tocar el metal, es no sólo la tempe ratura de la silla sino también la capacidad de ésta para conducir el calor proveniente de su mano (presumible mente más caliente). En este caso, su mano realiza una medición subjetiva e incorrecta de la temperatura. Ade más, ese juicio subjetivo cambiará con el tiempo, si man tiene su mano sobre el metal, cuando la mano y el metal alcancen el equilibrio térmico entre sí. Puede usted también examinar esa subjetividad que mencionamos mojando una mano en agua fría y la otra en agua caliente. Comprobará que, al tomar un objeto de
Medición de la temperatura
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temperatura intermedia, la primera mano siente una tem peratura más alta que la segunda. Puede tratar de ser un poco más objetivo y comparar dos muestras diferentes del mismo material a temperaturas diferentes tocando cada muestra con la misma mano, la cual puede distinguir “lo más caliente” de “lo más frío”. Este procedimiento debe ría revelar cuál de los dos objetos está a una temperatura más alta, pero difícilmente es lo bastante cuantitativo como para que nos pueda dar la diferencia. Por lo tanto, es necesario especificar cuidadosamente una manera ob jetiva de medir la temperatura, lo cual cónstituye nuestro objetivo en este capítulo. En el uso práctico de la ley cero, deseamos identificar al sistema C como un termómetro. Si el termómetro entra por separado en equilibrio térmico con los sistemas A y B e indica la misma temperatura, entonces podemos con cluir que A y B están en equilibrio térmico y, por lo tanto, que tienen realmente la misma temperatura. Otro postulado de la ley cero, más riguroso y más fundamental, es el siguiente: Existe una cantidad escalar, llamada temperatura, que es una propiedad de todos los sistemas termodinámi cas en equilibrio. Dos sistemas están en equilibrio térmico si y sólo si sus temperaturas son iguales. La ley cero define entonces el concepto de temperatura y lo especifica como aquella propiedad macroscópica de un sistema que será igual a la de otro sistema cuando estén en equilibrio térmico. La ley cero nos permite construir y usar los termómetros para medir la temperatura de un sistema, ya que ahora sabemos que un termómetro en contacto térmico con un sistema alcanzará una tempera tura común con el sistema.
22-3 MEDICION DE LA TEMPERATURA En el capítulo 1 describíamos un procedimiento de dos etapas para establecer un patrón de medición o estándar de una cantidad física: definíamos una unidad básica, y luego especificábamos un procedimiento para hacer com paraciones con tal unidad básica. Por ejemplo, en el caso del tiempo, definíamos a la unidad básica en términos de la frecuencia de la luz de cierta longitud de onda emi tida por los átomos de cesio. Para que pase 1 segundo se necesitan 9,192,631.770 de esas vibraciones. Contando el número de vibraciones correspondiente podemos usar (al menos en principio) esta escala para medir la vida media humana o incluso la edad del universo. La temperatura es una de las siete unidades básicas (véase la tabla 1 del capítulo 1), por lo que podemos tratar la temperatura como hemos tratado a otras unidades bási cas en el sistema SI: estableciendo un estándar y relacio
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Capítulo 22
Temperatura
nando a las demás escalas con el estándar. Sin embargo, la temperatura tiene una naturaleza diferente de la de otras unidades básicas en el SI, y, por lo tanto, este esquema no actuará realmente en esa forma simple. Por ejemplo, si definimos a un periodo de vibración de la luz emitida por un átomo de cesio como un patrón de tiempo, entonces dos de tales vibraciones duran el doble de tiempo, y cualquier intervalo de tiempo arbitrario puede ser, en efecto, medido en términos del número de vibraciones. Pero, incluso si definimos un estándar de temperatura, como la del agua hirviendo en ciertas condiciones, no tenemos un procedimiento para determinar una tempera tura el doble de grande. Después de todo, dos marmitas de agua hirviendo tienen la misma temperatura que una marmita. No existe forma aparente de usar sólo este patrón para poder relacionar la temperatura del agua hirviendo con la del aceite hirviendo, por ejemplo; ninguna cantidad de agua en ebullición estará jamás en equilibrio térmico con el aceite en ebullición. Para establecer una escala de medición de la tempera tura adoptamos el procedimiento siguiente, que difiere del procedimiento usual para las unidades básicas del SI: buscamos una sustancia que tenga una propiedad que varíe con la temperatura, y medimos esa propiedad. La sustancia que elegimos se llama sustancia termométrica, y la propiedad que depende de la temperatura se llama propiedad termométrica. Ejemplos de ello podrían ser el volumen de un líquido (como en el termómetro de mercu rio con bulbo de vidrio común), la presión de un gas mantenido a volumen constante, la resistencia eléctrica de un alambre, la longitud de una tira de metal, o el color del filamento de una lámpara, todos los cuales varían con la temperatura. La elección de una de estas sustancias lleva a una escala individual de temperatura definida sólo para esa sustancia y que no necesariamente concuerda con otras escalas de temperatura definidas de manera inde pendiente. Para eliminar esta discrepancia es necesario adoptar estándares para la elección de determinada sus tancia termométrica, determinada propiedad termométri ca, y determinada relación entre esa propiedad y una escala de temperatura universalmente aceptada. Cada es cala de temperatura por separado puede entonces ser calibrada contra la escala universal. En las secciones 22-4 y 26-5 describimos la escala universal aceptada. Supongamos que nuestro termómetro está basado en un sistema en el cual medimos el valor de la propiedad termométrica X. La temperatura T es alguna función de X, T(X). Elegimos la relación más sencilla posible entre T y X, la función lineal dada por T(X) = aX + b,
(1)
donde deben ser determinadas las constantes a y b. Esta escala lineal significa que cada intervalo de temperatura AT corresponde al mismo cambio A X en el valor de la propiedad termométrica. Para determinar una temperatura
en esta escala, elegimos dos puntos de calibración, defi nimos arbitrariamente las temperaturas T¡ y T2 en esos puntos, y medimos los valores correpondientes X, y X 2 de la propiedad termométrica. Los ejemplos más conocidos de este tipo de escala son las escalas Celsius y Fahrenheit usadas en los termóme tros comunes, en los que la sustancia termométrica suele ser el mercurio y la propiedad termométrica puede ser su volumen, observado en la longitud de la columna de mercurio en un tubo delgado de vidrio. El comportamien to lineal significa en este caso que los intervalos entre las marcas de los grados en el tubo de vidrio de un termómetro son de tamaño uniforme.
Las escalas Celsius y Fahrenheit* En casi todos los países del mundo se emplea la escala Celsius (también llamada escala de grados centígrados) para todas las mediciones populares y comerciales y la mayoría de las científicas. La escala Celsius se basó originalmente en dos puntos de calibración: el punto normal de congelación del agua, que se definió como 0°C, y el punto normal de ebullición del agua, que se definió como 100°C. Estos dos puntos se emplearon para calibrar termómetros, y luego se dedujeron las demás temperatu ras por interpolación y extrapolación. Para expresar la temperatura en la escala Celsius, la cifra dada debe ir siempre acompañada del símbolo de grados (°). La escala Fahrenheit emplea un grado más pequeño que la escala Celsius, y su cero se establece a una tempe ratura diferente. Originalmente se basó también en dos puntos fijos, cuyo intervalo se dividió en 100 grados: el punto de congelación de una mezcla de hielo y sal, y la temperatura normal del cuerpo humano. En esta escala, los puntos normales de congelación y de ebullición del agua vienen a ser, respectivamente, 32°F y 212°F. La relación entre las escalas Celsius y Fahrenheit es Tf = f r c + 32.
(2)
También en la escala Fahrenheit, debe utilizarse el símbo lo de grados para expresar la temperatura como, por ejem plo, 98.6°F (la temperatura normal del cuerpo humano). La conversión entre las escalas Fahrenheit y Celsius se lleva a cabo fácilmente recordando unos cuantos puntos
* Anders Celsius (1701-1744) fue un astrónomo sueco que, además de desarrollar la escala de temperatura que lleva su nombre, hizo mediciones de la longitud del arco de un meridia no, lo cual sirvió para corroborar la teoría de Newton sobre el achatamiento de la Tierra en los polos. Daniel Fahrenheit (16861736), contemporáneo de Celsius, fue un físico alemán que inventó los termómetros con líquidos de alcohol y de mercurio y los empleó para estudiar los puntos de ebullición y de conge lación de los líquidos.
Sección 22-3
Medición de la temperatura
551
respectivos, tales como el punto normal de congelación (0°C = 32°F) y el punto normal de ebullición (100°C = 212°F) del agua, y haciendo uso de la igualdad entre un intervalo de 5 grados en la escalá Celsius y un intervalo de 9 grados en la escala Fahrenheit, lo cual expresamos así: 9F° = 5C°.
(3)
Obsérvese que estos intervalos se expresan como F° y C°, y no como °F y °C. Las lecturas de la escala de temperatura se dan en °F o en °C (grados Fahrenheit o grados Celsius); las diferencias de lectura se dan en F° o en C° (grados Fahrenheit o grados Celsius).
La escala Kelvin* En la escala Kelvin, uno de los puiítos de calibración se define en una temperatura de cero, donde la propiedad termométrica tiene también un valor de cero; en efecto, la constante b de la ecuación 1 se establece como cero, en cuyo caso T(X) = aX.
(4)
Para determinar una temperatura en esta escala necesita mos únicamente un punto P de calibración. En ese punto, se define que la temperatura es Tp y la propiedad termométrica tiene el valor medido XP. En este caso
Figura 2 La celda del punto triple del National Institute of Standards and Technology (anteriormente la National Bureau of Standards) de Estados Unidos. La celda interior en forma de U contiene agua pura y está sellada, después de haberse extraído de ella todo el aire. Está sumergida en un baño de agua y hielo. El sistema está en el punto triple cuando el hielo, el agua, y el vapor de agua están todos ellos presentes, y en equilibrio, dentro de la celda. El termómetro que va a ser calibrado se inserta en el pozo central.
temperatura del gas ideal que se estudia en la sección siguiente. Así pues, se define que el kelvin es 1/273.16 de la temperatura del punto triple del agua. Con esta elección del punto de calibración, la ecuación 6 resulta
j\ p
T(X) = (273.16 K ) - £ , ^tr
y por lo tanto T ( X ) = T P^ r . AP
(6)
Siguiendo la norma general, escogemos para nuestra calibración la temperatura a la cual coexisten en equilibrio el hielo, el agua líquida, y el vapor de agua. Este punto, que está muy cercano al punto normal de congelación del agua, se llama punto triple del agua (Fig. 2). Por acuerdo internacional se ha establecido que la temperatura en el punto triple sea 7* = 273.16 K, donde K (= kelvin) es la unidad básica en el SI para la temperatura en la escala absoluta, idéntica a la escala de
* Lord Kelvin (William Thomson, 1824-1907) fue un físico e ingeniero escocés que contribuyó fundamentalmente a una am plia variedad de temas, incluyendo no sólo la termodinámica sino también la ley de conservación de la energía, la electricidad y el magnetismo, la acústica, y la hidrodinámica. Sus contribu ciones científicas fueron conceptuadas como de enorme impor tancia en su época, por lo que, a su muerte, recibió sepultura en la Abadía de Westminster, en Londres.
(7)
donde Xtt es el valor de la propiedad termométrica en el punto triple. Una temperatura determinada a partir de la ecuación 7 es válida únicamente para esa propiedad termométrica en particular; otras propiedades termométricas y sustan cias termométricas pueden dar lecturas de temperatura diferentes (véase al problema muestra 1). Para eliminar esta confusión entre las lecturas de termómetros diferen tes, elegimos como norma aceptada un tipo de termómetro en el que la temperatura pueda determinarse indepen dientemente de la naturaleza de la sustancia termométrica. Esta elección se trata en la sección siguiente. El tamaño del grado es el mismo en las escalas Cel sius y Kelvin, pero el cero de la escala Celsius se desplaza a un valor más conveniente. Hoy día ya no empleamos dos puntos fijos para definir la escala Celsius; en cambio, la escala Kelvin se define, y la relación entre la temperatura Celsius Tc y la temperatura Kelvin T ahora se establece así: TC= T - 273.15.
(8)
Los puntos de congelación y de ebullición del agua se miden ahora en la escala Kelvin y se convierten luego a
552
Capítulo 22
Temperatura
|runto normal da ebullición del agua 373 125 K qioo*c
212'F
1
-
310 15 K 37.0*C 293 K 20-C 273 15 K -0.00‘C
1 íemoeratura normal del cuerno 1 Nivel de comodidad aceptado
|
Punto de congelación del agua
98.6-F ÍS*F 32.0*F
1
1
: - 321"F
|
-
-
Pun'ode ebullición del nitrógeno liquide!
77 K
m m m m
: |
Cero absoluto
0K
■27315'C
459 67"F I
Figura 3 Comparación de las escalas Kelvin, Celsius, y Fahrenheit.
Celsius usando la ecuación 8. Los valores experimentales son, respectivamente, 0.00°C y 99.975°C. La figura 3 compara las escalas Fahrenheit, Celsius, y Kelvin.
Problema muestra 1 La resistencia de cierto alambre de platino aumenta en un factor de 1.392 entre el punto triple del agua y el punto de ebullición normal de ésta. Halle la tempera tura por resistencia del platino del agua en ebullición. Solución Usamos la ecuación 7, con la resistencia R como la propiedad termométrica X. No se nos da el valor de R^, pero sabemos que en el punto de ebullición del agua, R = 1.392/J,r. Entonces T(R) = TtI
= (273.16 K)( 1.392) = 380.2 K. - 'M r
Este valor da la “temperatura por resistencia del platino” del agua en ebullición. Otros termómetros darán valores diferentes; por ejemplo, la temperatura del agua hirviendo según un termopar de cobre-constantano es de 440 K. Cada una de estas lecturas es una temperatura determinada en una escala “propia”, válida únicamente para ese aparato. La temperatura aceptada del punto de ebullición normal del agua es de 373.125 K la cual se determina usando el termómetro de gas a volumen constante que se describe en la sección siguiente.
22-4 LA ESCALA DE TEMPERATURA DE UN GAS IDEAL La temperatura de un sistema debe tener un valor bien definido, independiente del medio empleado para medir
la. Según la ecuación 7, sustancias termométricas diferen tes dan todas la misma temperatura en el punto triple, pero (como lo hemos visto en el problema muestra 1) sus lecturas en otros puntos pueden diferir. Podríamos imaginar efectuar una serie de mediciones en que simul táneamente empleásemos propiedades termométricas dis tintas para determinar la temperatura de un sistema. Los resultados de tal prueba demostrarían que todos los ter mómetros dan lecturas diferentes. Podríamos continuar eligiendo una propiedad termométrica en particular, tal como la resistencia de un alambre, y medir la temperatura del sistema usando diferentes clases de alambre, hechos con materiales diferentes: de nuevo hallaríamos una am plia variación en las mediciones. Para obtener una escala de temperatura definida, de bemos elegir determinada clase de termómetro como estándar. La elección se haría, no sobre la base de la conveniencia experimental, sino averiguando si la escala de tem peratura definida por un termómetro en particular es útil para formular las leyes de la física. La variación de lecturas más pequeña se encuentra que es entre los termómetros de gas a volumen constante que utilizan gases diferentes, lo cual sugiere elegir un gas como sustancia termométrica estándar. Sucede que cuando se reduce la cantidad de gas y por lo tanto su presión, la variación de las lecturas entre termómetros de gas que usan diferentes clases de gas se reduce también. De aquí que parezca haber algo fundamental respecto al compor tamiento de un termómetro a volumen constante que contenga un gas a baja presión. Consideremos por lo tanto las propiedades del termómetro de gas a volumen constante. Si el volumen de un gas se mantiene constante, su presión depende de la temperatura y aumenta linealmente con la elevación de la temperatura. El termómetro de gas a volumen constante emplea la presión de un gas a volu men constante como la propiedad termométrica. La figura 4 muestra un diagrama del termómetro. Cons ta de un bulbo de vidrio, porcelana, cuarzo, platino, o una aleación de platino e iridio (dependiendo de la gama de temperaturas dentro de la cual se use), conectado por medio de un tubo capilar a un manómetro de mercurio. El bulbo B que contiene algún gas es puesto dentro del baño o entorno cuya temperatura T va a ser medida; al elevar o bajar el recipiente de mercurio R, el mercurio en la rama izquierda del tubo en U puede hacerse coincidir con una marca de referencia fija, manteniendo así a volumen cons tante al gas confinado. La diferencia entre la presión p del gas confinado en la rama izquierda del tubo y la presión p 0 de la atmósfera en la rama derecha del tubo está indicada por la altura h de la columna de mercurio, y entonces P = Po~Pgh,
(9)
donde p es la densidad del mercurio en el manómetro.
FAC'jT.TX:'}
DE LA B E P m i í C * INCZM'ERIA
r;Er-■• UT.\\;ivN ro DE e o c x n v íra íx á c ío n y b t s >..t o t s o s
Sección 22-4
0
Figura 4 Termómetro de gas a volumen constante. El bulbo B está sumergido en un baño cuya temperatura T va a ser medida. La diferencia entre la presión del gas en el bulbo y la presión atmosférica se determina por la altura h de la columna de mercurio.
En la práctica el aparato es muy elaborado, y debemos llevar a cabo muchas correcciones, por ejemplo, (1) para compensar el pequeño cambio de volumen debido a la ligera contracción o expansión del bulbo y (2) para com pensar el hecho de que no se ha sumergido en el baño todo el gas confinado (como el que se halla en el capilar). Supongamos que se han efectuado todas las correcciones, y que p es el valor corregido de la presión absoluta a la temperatura del baño. Entonces la temperatura se da pro visionalmente por la fórmula T(p) — (273.16 K) — Ar
(a Kconstante).
(10)
Pongamos cierta cantidad de gas, por ejemplo nitróge no, dentro del bulbo de modo que cuando el bulbo esté rodeado de agua en el punto triple la presión p lr sea igual a un valor definido, digamos 80 cm de Hg. Ahora sumer gimos el bulbo en el sistema cuya temperatura T deseamos medir y, con el volumen mantenido constante en su valor previo, medimos la presiónp del gas, según la ecuación 9, y calculamos la temperatura provisional T del sistema usando la ecuación 10. El resultado de esta medición se indica con un punto en la figura 5. Regresemos ahora el termómetro a la celda de punto triple y retiremos algo de gas, de modo que p trtenga un valor más pequeño, digamos 40 cm de Hg. Regresamos luego el termómetro al sistema desconocido, medimos el nuevo valor de p, y calculamos otra temperatura provisional T, indicada también en la figura 5. Continuamos con este mismo procedimiento,
553
La escala de temperatura de un gas ideal
20
40 60 Ptr (cm Hg)
80
100
Figura 5 Cuando se reduce la presión del gas nitrógeno en un termómetro de gas a volumen constante de 80 cm de Hg a 40 y luego a 20, la temperatura calculada para el sistema tiende a un límite que corresponde a una presión de 0. Otros gases tienden al mismo límite, el cual es la temperatura T de gas ideal del sistema. La gama completa de la escala vertical es alrededor de 1 K para condiciones típicas.
reduciendo la cantidad de gas en el bulbo y calculando la temperatura T para cada nuevo valor más bajo de p u. Si graficamos los valores de T contra p u, podemos extrapolar la curva resultante hasta la intersección con el eje donde p u = 0. En la figura 5 se muestran los puntos-dato para el N2 y la extrapolación en línea recta resultante. Repetimos este procedimiento con otros gases en el termómetro diferentes al nitrógeno, y obtenemos los re sultados mostrados en la figura 5. Las líneas muestran que las lecturas de la temperatura de un termómetro de gas a volumen constante depende del gas empleado a valores ordinarios de la presión de referencia. Sin embargo, al disminuir la presión de referencia, las lecturas de tempe ratura de los termómetros de gas a volumen constante que empleen gases diferentes tienden al mismo valor T, el cual podemos considerar como la temperatura del sistema. El valor extrapolado de la temperatura depende sólo de las propiedades generales de los gases y no de un gas en particular. Por lo tanto, definimos la escala de tempera tura de gas ideal: T = (273.16 K) lím — a,—o pxt
(a V constante).
(11)
Elegimos como termómetro estándar un termómetro de gas a volumen constante que use una escala de tempera tura definida por la ecuación 11. Si la temperatura ha de ser en verdad una cantidad física fundamental, una en la que las leyes de la termodinámica puedan expresarse, es absolutamente necesario que su definición sea independiente de las propiedades de mate riales específicos. Por ejemplo, no serviría que una canti-
554
Capítulo 22
Temperatura
TABLA 1 TEMPERATURAS DE ALGUNOS SISTEMAS Sistema Plasma en un reactor de pruebas de fusión Centro del Sol Superficie del Sol Punto de fusión del tungsteno Punto de congelación del agua Punto de ebullición normal del N2 Punto de ebullición normal del 4He Temperatura media del universo Refrigerador por dilución 3He - “He Desimantación adiabática de la sal paramagnética Enfriamiento por espín nuclear
Temperatura (K) 108 107 6 X 103 3.6 X 103 2.7 X 102 77 4.2 2.7 5 X 10~3
10-3
2 X 10-*
dad básica como la temperatura dependiese de la dilata ción del mercurio, de la resistividad eléctrica del platino, o de cualquier otra propiedad listada en algún manual. Elegimos al termómetro de gas como nuestro instrumento estándar precisamente porque en su operación no se hallan implicadas tales propiedades específicas de los materia les. Podemos usar cualquier gas y siempre obtendremos la misma respuesta. Si bien nuestra escala de temperatura es independiente de las propiedades de cualquier gas determinado, sí de pende, en cambio, de las propiedades de los gases en general (es decir, de las propiedades del así llamado gas ideal). La temperatura más baja que puede ser medida con un termómetro de gas es de alrededor de 1K. Para obtener esta temperatura debemos emplear helio a baja presión, el cual permanece como gas a temperaturas más bajas que cualquier otro gas. No podemos dar un significado expe rimental a temperaturas por debajo de 1 K por medio de un termómetro de gas. Nos gustaría definir una escala de temperatura de modo tal que sea independiente de las propiedades de cualquier sustancia en particular. En la sección 26-5 mostramos que la escala de temperatura termodinámica absoluta, llama da la escala Kelvin, es esa escala. Mostraremos también que la escala del gas ideal y la escala Kelvin son idénticas en la gama de temperaturas en que puede ser empleado un termómetro de gas. Por esta razón usamos unidades kel vin para la temperatura del gas ideal, como ya lo hicimos en la ecuación 11. La tabla 1 lista las temperaturas en kelvin de varios cuerpos y procesos. En la sección 26-5 mostraremos también que la escala Kelvin tiene un cero absoluto de 0 K y que es imposible enfriar un sistema por debajo de 0 K. El cero absoluto de temperatura ha desafiado todos los intentos de alcanzarlo experimentalmente, pero se han conseguido temperaturas de cero absoluto dentro de un intervalo pequeño (10'8 K). Si bien existe una conexión directa, como lo veremos en el capítulo 23, entre el movimiento microscópico de las
moléculas y la temperatura macroscópica, no cesa todo movimiento molecular en el cero absoluto de temperatura. La conexión entre la temperatura y la energía cinética molecular se basa en conceptos clásicos, mientras que la teoría cuántica nos dice que existe un límite más bajo diferente de cero para la energía cinética molecular, aun en el cero absoluto. Esta energía del punto cero no puede ser deducida a partir de los cálculos clásicos.
La escala internacional de temperatura La medición precisa de una temperatura con un termóme tro de gas es una tarea difícil que requiere muchos meses de trabajo arduo en el laboratorio. En la práctica, el termómetro de gas se usa únicamente para establecer ciertos puntos fijos que puedan ser empleados más tvde para calibrar otros termómetros secundarios más conve nientes. En el uso práctico, como en la calibración de termóme tros industriales o científicos, ha sido adoptada la Escala Internacional de Temperatura. Esta escala consta de un grupo de procedimientos que proporcionan en la práctica las mejores aproximaciones posibles a la escala Kelvin. La escala adoptada consta de un conjunto de puntos fijos, junto con los instrumentos que deben utilizarse para inter polar entre estos puntos fijos y extrapolarlos más allá del punto fijo más alto. Aproximadamente, cada 20 años el Comité Internacional de Pesas y Medidas ha adoptado una escala nueva; en la tabla 2 se muestran los puntos fijos de la más reciente (1990).
22-5 DILATACIÓN TÉRMICA Sucede a menudo que podemos aflojar una tapa de metal apretada de un frasco sometiéndola a la acción de un chorro de agua caliente. Al elevarse la temperatura, la tapa de metal se dilata ligeramente con relación al frasco de vidrio. No siempre es deseable la dilatación térmica, como lo sugiere la figura 6. Todos hemos visto las juntas de dilatación situadas en las calzadas de los puentes. Las tuberías de las refinerías suelen tener un bucle de expan sión, con el fin de que la tubería no se deforme al elevarse la temperatura. Los materiales usados para obturaciones dentales tienen propiedades de dilatación similares a las del esmalte de los dientes. En la fabricación de aeroplanos se diseñan a menudo remaches y otros afianzadores de modo que deban ser enfriados en hielo seco antes de su inserción, dejando luego que se dilaten para lograr el ajuste perfecto. Los termómetros y los termostatos pueden estar basados en las diferencias de dilatación entre los componentes de una laminilla bimetálica; véase la figu ra 7. En un termómetro de tipo bastante común, la lami
Sección 22-5
Dilatación térmica
555
TABLA 2 PUNTOS FIJOS PRIMARIOS EN LA ESCALA INTERNACIONAL DE TEMPERATURAS DE 1990T Substancia Helio Hidrógeno Hidrógeno Hidrógeno Neón Oxígeno Argón Mercurio Agua Galio Indio Estaño Cinc Aluminio Plata Oro Cobre
Estado Punto de ebullición Punto triple Punto de ebullición* Punto de ebullición Punto triple Punto triple Punto triple Punto triple Punto triple Punto de fusión Punto de congelación Punto de congelación Punto de congelación Punto de congelación Punto de congelación Punto de congelación Punto de congelación
Temperatura (K) 3-5* 13.8033 17.025- 17.045c 20.26-20.28c 24.5561 54.3584 83.8058 234.3156 273.16 302.9146 429.7485 505.078 692.677 933.473 1234.93 1337.33 1357.77
TVéase “The International Temperatura Scale of 1990 (ITS-90),” por H. Preston-Thomas, Metrología, 27 (1990), pág. 3. *Este punto de ebullición es a una presión de ¿ de atmósfera. Todos los demás puntos de ebullición, de fusión, o de congelación, son a una presión de 1 atm. 5La temperatura del punto de ebullición varía un poco con la presión del gas encima del líquido. La escala de temperaturas da la relación entre T y p que puede emplearse para calcular T para una p dada.
nilla bimetálica tiene forma helicoidal, de modo que se enrolla y desenrolla con los cambios de temperatura; véase la figura 8. Los conocidísimos termómetros de líquido dentro de vidrio se basan en el hecho de que líquidos tales como el mercurio o el alcohol se dilatan en un grado diferente (mayor) de lo que lo hacen sus reci pientes de vidrio. Podemos entender esta dilatación considerando un mo delo sencillo de la estructura de un sólido cristalino. Los átomos se mantienen juntos entre sí en un arreglo regular por medio de fuerzas eléctricas, que son como las que serían ejercidas por un conjunto de resortes que uniesen a los átomos. Podemos entonces formamos una imagen del cuerpo sólido como si fuera un colchón de resortes mi croscópicos (Fig. 9). Estos “resortes” son bastante rígidos y no son ideales en absoluto (véase el problema 3 del capítulo 15), existiendo alrededor de 1023 de ellos por centímetro cúbico. Los átomos de los sólidos están vi brando a cualquier temperatura. La amplitud de la vibra ción es de alrededor de 10'9 cm, más o menos un décimo de un diámetro atómico, y la frecuencia es de alrededor de 1013 Hz. Cuando aumenta la temperatura, los átomos vibran con una amplitud mayor, y la distancia promedio entre los átomos aumenta. (Véase el estudio de la base microscó pica de la dilatación térmica al final de esta sección.) Esto
Figura 6 Deformación de las vías de ferrocarril debida a la dilatación térmica en un día muy caluroso. Las juntas de expansión entre los rieles de la vía pueden evitar esta deformación.
T = T0
T > To
Figura 7 Laminilla bimetálica, que consta de una laminilla de latón y una laminilla de acero soldadas entre sí, a temperatura T0. A temperaturas más altas de T0, la laminilla se dobla como se muestra; a temperaturas más bajas se dobla en sentido opuesto. Muchos termostatos funcionan según este principio, usando el movimiento del extremo de la laminilla para formar o romper un contacto eléctrico.
conduce a una dilatación de todo el cuerpo sólido. El cambio en cualquier dimensión lineal del sólido, tal como su longitud, su ancho, o su espesor, se llama dilatación lineal. Si la longitud de esta dimensión lineal es L, el cambio de temperatura AT causa un cambio de longitud A L. Por medio de la experimentación hallamos que, si AT es lo suficientemente pequeña, este cambio de longitud A L es proporcional al cambio de temperatura A T y a la longitud original L. Por lo tanto, podemos escribir
556
Capítulo 22
Temperatura
Elemento bimetálico helicoidal
Figura 8 termómetro basado en una laminilla bimetálica. La laminilla tiene forma helicoidal, que se enrolla y desenrolla al cambiar la temperatura.
Figura 9 Un sólido se comporta en muchos sentidos como si fuese una colección de átomos unidos por fuerzas elásticas (representadas aquí por resortes).
Solución Partiendo de la ecuación 12, tenemos A L = a L AT,
( 12)
donde a, llamada el coeficiente de dilatación lineal, tiene valores diferentes para materiales diferentes. Reescribiendo esta fórmula obtenemos a =
A L /L AT
(13)
de modo que a tiene el significado de un cambio fraccio nario en longitud por grado de cambio de temperatura. En rigor, el valor de a depende de la temperatura real y de la temperatura de referencia elegida para determinar a L (véase el problema 23). Sin embargo, su variación es usualmente despreciable comparada con la precisión con la que necesitan ser llevadas a cabo las mediciones. A menudo es suficiente elegir un valor promedio que pueda ser tratado como una constante dentro de cierta gama de temperaturas. En la tabla 3 se listan los valores experimen tales del coeficiente de dilatación lineal promedio de varios sólidos comunes. Para todas las sustancias listadas, el cambio de tamaño consiste en una dilatación al elevarse la temperatura, ya que a es positivo. El orden de magnitud de la dilatación es de alrededor de 1 milímetro por metro de longitud por 100 grados Celsius. (Obsérvese el uso de C°, y no de °C, para expresar aquí los cambios de tempe ratura.)
Problema muestra 2 Una escala métrica de acero va a ser marcada de modo que los intervalos de un milímetro sean precisos dentro de unos 5 * 10'5mm a cierta temperatura. ¿Cuál es la variación máxima de la temperatura permisible durante el marcado?
AT-
AL _ 5 X 10-5 mm = 4.5 C°, aL “ (11 X 10-6/C°)(1.0 mm)
donde hemos usado el valor de a para el acero según la tabla 3. La temperatura durante el marcado debe mantenerse constante dentro de unos 5°C, y la escala debe ser usada dentro del mismo intervalo de la temperatura a la cual fue hecha. Obsérvese que si se hubiera usado la aleación invar en lugar de acero, podríamos obtener la misma precisión dentro de un intervalo de temperatura de unos 75 C°; o, lo que es equivalente, si pudiéramos mantener la misma variación de la temperatura (5 C°), podríamos obtener una precisión de unos 3 x 10"6 mm debido a los cambios de temperatura.___________________
En muchos sólidos, llamados isotrópicos, el porcen taje del cambio en longitud para un cambio de tempera tura dado es el mismo para todas las líneas del sólido.
TABLA 3 ALGUNOS COEFICIENTES DE DILATACIÓN LINEAL PROMEDIO' Sustancia Hielo Plomo Aluminio Latón Cobre Acero Vidrio (ordinario) Vidrio (Pyrex) Aleación invar Cuarzo (fundido)
a(10'6por C°) 51 29 23 19 17 11 9 3.2 0.7 0.5
f Se consignan valores promedios típicos en el intervalo de temperatura de 0°C a 100°C, salvo para el hielo cuyo intervalo es de -10°C a 0°C.
Sección 22-5
Dilatación térmica
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Hlljtlll ttiijim1mrpnti UlijtlM mrjmn iiujnn imjnm rnipm mrjTTiTrmpm 9 O 7 8 6 4 2 3 5 1
(a) niijmrTurjniTITTIJTTII TTrtjfTTTrm|mi impnr rm|tm unjTffi TnTJJlTT iHinni 9 O 6 a 4 5 3 7 2 1 m Figura 10 Una regla de acero a dos temperaturas diferentes. La dilatación aumenta en proporción en todas las dimensiones: la regla, los números, el orificio, y el espesor crecen todos en el mismo factor. (La dilatación mostrada está muy exagerada; para obtener tal expansión se requeriría un aumento de temperatura de unos ¡20,000 C°!)
La expansión es bastante análoga a una amplificación fotográfica, excepto que un sólido es tridimensional. En tonces, si tenemos una lámina plana con un orificio tro quelado en ella, A L/L (= a AT) para una A T dada es la misma para la longitud, el espesor, la diagonal de una cara, la diagonal del cuerpo, y el diámetro del orificio. Cada línea, ya sea recta o curva, se alarga en la razón a por grado de elevación de la temperatura. Si usted graba su nombre sobre la lámina, la línea que representa a su nombre tiene el mismo cambio fraccionario de longitud que cualquier otra línea. En la figura 10 se muestra la analogía con una amplificación fotográfica. Teniendo en cuenta estas ideas, debería serle a usted posible demostrar (véanse los problemas 30 y 31) que, con un alto grado de precisión, '-1 cambio fraccionario en el área A por cambio de temperatura en grados de un sólido isotrópico es 2 a, es decir, AA= 2aAAT,
(14)
y el cambio fraccionario en el volumen V por cambio de temperatura en grados de un sólido isotrópico es 3 a, es decir, A V = 3 a V AT.
(15)
Puesto que la forma de un fluido no es precisa, única mente el cambio de volumen con la temperatura es signi ficativo. Los gases responden fuertemente a los cambios de temperatura o de presión, mientras que el cambio de volumen de los líquidos con los cambios de temperatura o de presión es mucho más pequeño. Si hacemos que fi represente al coeficiente de dilatación volumétrica de un líquido, de modo que
hallamos que f5 es relativamente independiente de la tem peratura. Los líquidos se dilatan típicamente con un au mento de la temperatura, siendo su dilatación volumétrica
una masa en particular) del agua en función de su temperatura. El volumen específico es el inverso de la densidad (masa por unidad de volumen). (b) Ampliación de la región cercana a 4°C, mostrando un mínimo en el volumen específico ( o una densidad máxima).
generalmente alrededor de 10 veces más grande que la de los sólidos. Sin embargo, el líquido más común, el agua, no se comporta como muchos otros líquidos. En la figura 11 mostramos la curva de dilatación volumétrica del agua. Obsérvese que a más de 4°C el agua se dilata al aumentar la temperatura, aunque no linealmente. (Esto es, no es constante durante estos intervalos grandes de temperatu ra.) Empero, al bajar la temperatura de 4°C a 0°C, el agua se dilata en lugar de contraerse, lo cual es la razón de que los lagos se congelen primero en su superficie. Tal dilata ción con el descenso de la temperatura no se observa en ningún otro líquido común; se observa en sustancias pa recidas al hule y en ciertos sólidos cristalinos dentro de intervalos de temperatura limitados. La densidad del agua tiene un máximo en 3.98°C, donde su valor es de 999.973 kg/m3. (En un principio se suponía que el kilogramo patrón y el metro patrón correspondían a una densidad máxima del agua de 1000 kg/m3, o sea 1 g/cm3. Sin embargo, mediciones más precisas demuestran que los patrones internacionales no corresponden exactamente a este valor.)
558
Capítulo 22 Temperatura
V(r)
Figura 12 Curva de la energía potencial de dos átomos adyacentes de un sólido en función de su distancia de separación intemuclear. La separación en equilibrio es r0. Puesto que la curva es asimétrica, la separación promedio, (r„ r2) aumenta al aumentar la temperatura (Tt, T2) y la energía vibratoria (E„ E2).
Base microscópica de la dilatación térmica (Opcional) A nivel microscópico, la dilatación térmica de un sólido sugiere un aumento en la separación promedio entre los átomos del sólido. La curva de la energía potencial de dos átomos adyacen tes en un sólido cristalino en función de su separación intemu clear es una curva asimétrica como la de la figura 12. Cuando los átomos se acercan entre sí, disminuyendo su separación a partir del valor de equilibrio r0, entran en juego fuerzas de repulsión fuertes, y la energía potencial se eleva rápidamente (F = -dU/dr); cuando los átomos se alejan entre sí, aumentando su separación a partir del valor de equilibrio, intervienen fuerzas de atracción un poco más débiles y la energía potencial se eleva más lentamente. Para una energía vibratoria dada la separación
de los átomos cambia periódicamente de un valor mínimo a un valor máximo, siendo la separación promedio mayor que la separación de equilibrio a causa de la naturaleza asimétrica de la curva de la energía potencial. Para una energía vibratoria aún más alta la separación promedio es aun mayor. El efecto se acentúa porque, como lo sugiere la figura 12, la energía cinética es más pequeña para separaciones más grandes; entonces las partículas se mueven más lentamente e invierten más tiempo en separaciones más grandes, contribuyendo entonces con una parte mayor al tiempo promedio. Puesto que la energía vibrato ria aumenta al elevarse la temperatura, la separación promedio entre los átomos aumenta con la temperatura, y todo el sólido se dilata. Obsérvese que si la curva de la energía potencial fuese simétrica con respecto a la separación de equilibrio, entonces la separación promedio sería igual a la separación de equilibrio, sin importar cuán grande fuese la amplitud de la vibración. De aquí que la dilatación térmica sea una consecuencia directa de la desviación de la simetría de la curva característica de la energía potencial de los sólidos. Algunos sólidos cristalinos, en ciertas regiones de tempera tura, pueden contraerse al elevarse la temperatura. El análisis anterior es válido si suponemos que existen únicamente modos de vibración compresivos (longitudinales) o que predominan estos modos. Sin embargo, los sólidos pueden vibrar igualmente en modos similares al modo de corte (transversales), y estos modos de vibración permiten que el sólido se contraiga al elevarse la temperatura, disminuyendo la separación promedio de los planos de los átomos. En ciertos tipos de estructura cristalina y en ciertas regiones de temperatura, estos modos de vibración transversales pueden predominar sobre los longitudi nales, produciendo un coeficiente neto de dilatación térmica negativo. Debe hacerse hincapié en que los modelos microscópicos que se presentan aquí, constituyen una gran simplificación de un fenómeno complejo que puede ser tratado con mayor detalle mediante la mecánica estadística y la teoría cuántica. ■
PREGUNTAS 1. ¿Es la temperatura un concepto microscópico o macros cópico? 2. ¿Podemos definir la temperatura como una cantidad deri vada, en términos de longitud, masa, y tiempo? Piense en un péndulo, por ejemplo. 3. El cero absoluto es una temperatura mínima. ¿Existe una temperatura máxima? 4. ¿Puede un objeto estar más caliente que otro si ambos están a la misma temperatura? Explique. 5. ¿Existen cantidades físicas, distintas a la temperatura, que tiendan a igualarse cuando se juntan dos sistemas diferentes? 6. Un trozo de hielo y un termómetro más caliente están suspendidos en un recipiente al vacío y aislado, de modo que no entran en contacto. ¿Por qué disminuye la lectura del termómetro durante cierto tiempo? 7. ¿Qué cualidades hacen a una propiedad termométrica en particular apta para usarse en un termómetro práctico? 8. ¿Qué dificultades surgirían si se definiese la temperatura en términos de la densidad del agua?
9. Sea p3 la presión en el bulbo de un termómetro de gas a volumen constante cuando el bulbo está a la temperatura del punto triple de 273.16 K y p la presión cuando el bulbo está a la temperatura ambiente. Se tienen tres termómetros de gas a volumen constante: para A el gas es oxígeno y p 3 = 20 cm Hg; para B el gas es también oxígeno pero p} = 40 cm Hg; para C el gas es hidrógeno y p, = 30 cm Hg. Los valores de p medidos en los tres termómetros son pA, P b > y Pe - (a) Puede obtenerse un valor aproximado de la temperatura ambiente T con cada uno de los termómetros usando TÁ = (273.16 K)(p^/20 cm Hg), TB = (273.16 K)(/?s/40 cm Hg), Tc = (273.16 K)(pc/30 cm Hg). Marque si es cierta o falsa para cada una de las asevera ciones siguientes: (1) Con el método descrito, los tres termómetros darán el mismo valor de T. (2) Los dos ter mómetros de oxígeno concordarán entre sí pero no con el termómetro de hidrógeno. (3) Cada uno de los tres termo-
Problemas
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metros dará un valor de T diferente, (ti) En caso de que exista un desacuerdo entre los tres termómetros, expli que cómo cambiaría usted el método de usarlos para ha cer que los tres den el mismo valor de T. El editor en jefe de una revista de negocios bien conocida, al discutir los posibles efectos de calentamiento asociados con el aumento en la concentración de bióxido de carbono en la atmósfera terrestre (efecto de invernadero), escribió: “Las regiones polares podrían llegan a ser tres veces más cálidas que ahora, ...” ¿Qué se supone usted que quería decir, y qué dijo literalmente? (Véase “Warmth and Tem peratura: A Comedy of Errors”, por Albert A. Bartlett, The Physics Teacher, noviembre de 1984, pág. 517). Aunque parece que el cero absoluto de temperatura es imposible de obtener experimentalmente, en el laboratorio se han logrado temperaturas tan bajas como 0.00000002 K. ¿Por qué se esfuerzan los físicos, como realmente lo hacen, para obtener temperaturas aún más bajas? ¿No es ésta lo suficientemente baja para todos los propósitos prácticos? Usted pone dos ollas de agua sin tapar, una conteniendo agua caliente y la otra conteniendo agua fría, a la intem perie en un clima por debajo del punto de congelación. La olla con el agua caliente comenzará por lo general a congelarse primero. ¿Por qué? ¿Qué sucedería si usted tapase las ollas? ¿Puede asignarse una temperatura a un vacío? ¿Tiene implícito nuestro “sentido de la temperatura” un sentido de dirección; es decir, más caliente significa ne cesariamente una temperatura mayor, o es esto simple mente una convención arbitraria? Por cierto que, Celsius eligió originalmente al punto de vaporización como 0°C y al punto de congelación como 100°C. En Estados Unidos muchas etiquetas de productos médicos informan al usuario que debe almacenarlos a menos de 86°F. ¿Por qué 86? (Sugerencia: Haga el cambio a Celsius) (Véase The Science Almanac, 1985-1986, pág. 430.) ¿Cómo sugeriría usted medir la temperatura de (a) el Sol, (ti) la atmósfera superior de la Tierra, (c) un insecto, (d) la Luna, (e) el fondo del océano, y (f) el helio líquido? Considerando las escalas Celsius, Fahrenheit, y Kelvin, ¿corresponde alguna a la “escala de la naturaleza”? Ex plique. ¿Es un gas mejor que otro pára construir un termómetro estándar de gas a volumen constante? ¿Qué propiedades son deseables en un gas para tales objetivos? Dé algunas objeciones al uso de un termómetro de agua dentro de vidrio. ¿Es una mejora el mercurio en vidrio? De ser así, explique por qué.
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20. Explique por qué la columna de mercurio desciende pri mero y luego se eleva al calentar con una llama el ter mómetro de este metal. 21. ¿Cuáles son las dimensiones de a, el coeficiente de dila tación lineal? ¿Depende el valor de a de la unidad de longitud empleada? Cuando se emplean grados Fahren heit en lugar de grados Celsius como la unidad de cambio de la temperatura, ¿cambia el valor numérico de a? De ser así, ¿cómo? Si no es así, pruébelo. 22. Una bola de metal puede pasar a través de un anillo de metal. Sin embargo, al calentar la bola ésta se pega en el anillo. ¿Qué pasaría si calentásemos el anillo en lugar de la bola? 23. Como un elemento de control en el termostato común se emplea una laminilla bimetálica, que consta de dos lami nillas de diferente metal remachadas entre sí. Explique cómo trabaja. 24. Dos laminillas, una de hierro y otra de cinc, se remachan entre sí lado con lado para formar una barra recta que se curva al ser calentada. ¿Por qué está el hierro en el interior de la curva? 25. Explique cómo puede mantenerse constante con la tempe ratura el periodo de un reloj de péndulo adosando tubos verticales de mercurio a la base del péndulo. 26. ¿Por qué se hace que una chimenea esté aislada, es decir, que no sea parte del soporte estructural de la casa? 27. El agua se dilata al congelarse. ¿Podemos definir un coeficiente de dilatación volumétrica para el proceso de congelación? 28. Explique por qué la dilatación aparente de un líquido en un bulbo de vidrio no da la dilatación verdadera del líquido. 29. ¿Depende el cambia de volumen de un objeto al aumentar su temperatura de si el objeto tiene cavidades en su interior, quedando en éste todas las demás características igual? 30. ¿Por qué es mucho más difícil hacer una determinación precisa del coeficiente de dilatación de un líquido que de un sólido? 31. El modelo común de un sólido supone que los átomos son puntos que ejecutan un movimiento armónico simple en torno a posiciones medias de la red. ¿Cuál sería el coefi ciente de dilatación lineal de esta red? 32. Explique el hecho de que la temperatura del océano a grandes profundidades sea casi constante durante todo el año, a una temperatura de unos 4°C. 33. Explique por qué los lagos se congelan primero en la superficie. 34. ¿Qué causa que las tuberías de agua exploten en el invierno? 35. ¿Qué puede usted concluir respecto a cómo depende el punto de fusión del hielo de la presión partiendo del hecho de que el hielo flota en el agua?
PROBLEMAS Sección 22-3 Medición de la temperatura 1. Un termómetro de resistencia es un termómetro en el que la resistencia eléctrica cambia con la temperatura. Esta-
mos en libertad de definir temperaturas medidas por uno de estos termómetros en kelvin (K) que sean directamente
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4. 5.
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9.
Capítulo 22
Temperatura
proporcionales a la resistencia R, medida en ohms (£2). Se halla que cierto termómetro de resistencia tiene una resis tencia R de 90.35 Q cuando su bulbo se sumerge en agua a la temperatura del punto triple (273.16 K). ¿Qué tempe ratura indica el termómetro si el bulbo está situado ei un entorno tal que su resistencia es de 96.28 £2? Se forma un termopar a partir de dos metales diferentes unidos en dos puntos de modo tal que se produzca un pequeño voltaje cuando las dos uniones están a tempe raturas diferentes. En un termopar de hierro-constantano, con una unión mantenida a 0°C, el voltaje de salida varía linealmente desde 0 hasta 28.0 mV al elevar la temperatura de la otra unión desde 0 hasta 510°C. Halle la temperatura de la unión variable cuando la salida del termopar sea de 10.2 mV. La amplificación o ganancia de un amplificador de tran sistores puede depender de la temperatura. La ganan cia para cierto amplificador a la temperatura ambiente (20.0°C) es de 30.0, mientras que a 55.0°C es de 35.2. ¿Cuál sería la ganancia a 28.0°C si la ganancia depende linealmente de la temperatura dentro de este limitado intervalo? El cero absoluto es -273.15°C. Halle el cero absoluto en la escala Fahrenheit. Si su médico le dice que su temperatura es de 310 kelvin sobre el cero absoluto, ¿se preocuparía? Explique su res puesta. (a) La temperatura de la superficie del Sol es de unos 6000 K. Exprese ésta en la escala Fahrenheit. (b) Exprese la temperatura normal del cuerpo humano, 98.6°F, en la escala Celsius, (c) En la región continental de Estados Unidos, la temperatura más baja registrada oficialmente es de -70°F en Rogers Pass, Montana. Exprese ésta en la escala Celsius, (d) Exprese el punto de ebullición normal del oxígeno, -183°C, en la escala Fahrenheit. (e) ¿Qué temperatura Celsius cree usted que tiene una habitación si el calor en ella resulta insoportable? ¿A qué temperatura darían los siguientes pares de escalas la misma lectura: (a) Fahrenheit y Celsius, (b) Fahrenheit y Kelvin, y (c) Celsius y Kelvin? ¿A qué temperatura es la lectura en la escala Fahrenheit igual (a) al doble de la Celsius y (b) a la mitad de la Celsius? A diario podemos comprobar que los objetos calientes y fríos se enfrían o se calientan respecto a la temperatura de su entorno. Si la diferencia de temperatura AT entre un objeto y su entorno (AT = T^ - Tcn¡) no es demasiado grande, la razón de enfriamiento o de calentamiento del objeto es proporcional, aproximadamente, a esta diferen cia de temperatura; es decir, dA T
~ á ~ = ~ A(AT)’ donde A es una constante El signo menos se debe a que AT disminuye con el tiempo si AT es positiva, y aumenta si AT es negativa. Esto se conoce como la ley de Newton para el enfriamiento, (a) ¿De qué factores depende Al ¿Cuáles son sus dimensiones? (b) Si en algún instante t = 0
la diferencia de temperatura es AT0, demuestre que esa diferencia es A T = A T 0 e~A‘ en un tiempo t más tarde. 10. Por la mañana temprano se descompone el calentador de una casa. La temperatura exterior es de -7.0°C. Como resultado, la temperatura en el interior desciende de 22 a 18°C en 45 min. ¿Cuánto tiempo más tomará para que la temperatura interior descienda otros 4.0°C ? Suponga que la temperatura exterior no cambia y que se aplica la ley de enfriamiento de Newton; vea el problema anterior. Sección 22-4 La escala de temperatura de un gas ideal 11. Si la temperatura del gas en el punto de vapor es de 373.15 K, ¿cuál será el valor limitante de la relación de las presiones de un gas en el punto de vaporización y del agua en el punto triple cuando el gas se mantiene a volumen constante? 12. Un termómetro de gas se construye de dos bulbos que contienen gas, cada uno de los cuales se pone en un baño de agua, como se muestra en la figura 13. La diferencia de presión entre los dos bulbos se mide por medio de un manómetro de mercurio ilustrado en la figura. Depósitos apropiados, no mostrados en el diagrama, mantienen cons tante el volumen de gas en ambos bulbos. No hay diferen cia en la presión cuando ambos baños se encuentran en el punto triple del agua. La diferencia de presión es de 120 mm Hg cuando un baño está en el punto triple y el otro en el punto de ebullición del agua. Por último, la diferencia de presión es de 90.0 mm Hg cuando un baño se encuentra en el punto triple y el otro tiene una tempe ratura desconocida. Halle la temperatura desconocida.
13. Se ensamblan dos termómetros de gas a volumen constan te; uno utiliza nitrógeno como gas de trabajo y el otro utiliza helio. Ambos contienen el gas suficiente para que pu = 100 cm Hg. ¿Cuál es la diferencia entre las presiones de los dos termómetros si ambos están sumergidos en un baño de agua al punto de ebullición? ¿Cuál de las dos presiones es más alta? Véase la figura 5. Sección 22-5 Dilatación térmica 14. El asta de aluminio de una bandera tiene 33 m de altura. ¿En cuánto aumenta su longitud cuando la temperatura aumenta en 15 C°?
Problemas Fuente radiactiva
Calentador eléctrico
1.8 cm
Abrazadera
Figura 14 Problema 22.
15. El espejo de vidrio Pyrex del telescopio del observatorio de Monte Palomar (el telescopio Hale) tiene un diámetro de 200 in. Las temperaturas más extremas registradas en el Monte Palomar son de -10°C y 50°C. Determine el cambio máximo del diámetro del espejo. 16. Un orificio circular practicado en una placa de aluminio tiene 2.725 cm de diámetro a 12°C. ¿Cuál es el diámetro cuando la temperatura de la placa se eleva a 140°C? 17. Se colocan unas vías de acero para el ferrocarril cuando la temperatura es de -5.0°C. Una sección estándar de riel tiene entonces 12.0 m de longitud. ¿Qué claro deberá dejarse entre secciones de riel de modo que no exista una compresión cuando la temperatura suba hasta los 42°C? 18. Una ventana de vidrio tiene 200 cm por 300 cm a 10°C. ¿En cuánto ha aumentado su área cuando su temperatura es de 40°C? Suponga que el vidrio puede dilatarse libre mente. 19. Un cubo de latón tiene una longitud de 33.2 cm de lado a 20.0°C. Halle (a) el aumento en el área superficial y (b) el aumento en el volumen cuando se calienta a 75.0°C. 20. ¿Cuál es el volumen de una bola de plomo a - 12°C si su volumen a 160°C es de 530 cm3? 21. Demuestre que cuando la temperatura de un líquido en un barómetro cambia en AT, y la presión es constante, la altura h cambia en Ah = ph AT, donde P es el coeficiente de dilatación volumétrica del líquido. Desprecie la dilata ción del tubo de vidrio. 22. En cierto experimento fue necesario estar en posibilidad de mover una fuente radiactiva pequeña a velocidades selectas extremadamente bajas. Esto se realizó aseguran do la fuente a un extremo de una barra de aluminio y calentando la sección central de la barra de una manera controlada. Si la sección calentada efectiva de la barra de la figura 14 es de 1.8 cm, ¿a qué razón constante debe hacerse cambiar la temperatura de la barra si la fuente ha de moverse a una velocidad constante de 96 nm/s? 23. Demuestre que si a depende de la temperatura T, entonces
donde L0 es la longitud a la temperatura de referencia T0. 24. Poco después de que se formara la Tierra, el calor liberado por la desintegración de elementos radiactivos elevó la temperatura interna promedio de 300 a 3000 K, a cuyo valor permanece hoy día aproximadamente. Suponiendo un coeficiente de dilatación volumétrica promedio de 3.2 x 10'5 K'1, ¿en cuánto ha aumentado el radio de la Tierra desde su formación?
561
25. Se mide una barra en 20.05 cm de longitud usando una regla de acero a la temperatura ambiente de 20°C. Tanto la barra como la regla se introducen en un horno a 270°C, en donde la barra mide ahora 20.11 cm usando la misma regla. Calcule el coeficiente de dilatación térmica del material del cual está hecha la barra. 26. Considérese un termómetro de mercurio en vidrio. Su póngase que la sección transversal A del capilar es cons tante, y que V es el volumen del bulbo de mercurio a 0.00°C. Suponga que el mercurio llena apenas el bulbo a 0.00°C. Demuestre que la longitud L de la columna del mercurio en el capilar a una temperatura T, en °C, es L = ^(fi~3a)T,
es decir, proporcional a la temperatura, siendo p el coefi ciente de dilatación volumétrica del mercurio y a el coe ficiente de dilatación lineal del vidrio. 27. (a) Demuestre que si las longitudes de dos barras de sólidos diferentes son inversamente proporcionales a sus respectivos coeficientes de dilatación lineal a la misma temperatura inicial, la diferencia de longitud entre ellas será constante a todas las temperaturas. (Jb) ¿Cuál sería la longitud de una barra de acero y de una barra de latón a 0°C, de modo que a todas las temperaturas su diferencia de longitud sea 0.30 m? 28. Como resultado de un aumento de temperatura de 32°C, una barra con una grieta en su centro se pandea hacia arriba, como se muestra en la figura 15. Si la distancia fija L0 = 3.77 m y el coeficiente de dilatación lineal es de 25 x 10'6/C°, halle x, la distancia a la cual se eleva el centro.
Figura 15 Problema 28.
29. Una barra de acero tiene 3.000 cm de diámetro a 25°C. Un anillo de latón tiene un diámetro interior de 2.992 cm a 25°C. ¿A qué temperatura común se deslizará justamente el anillo en la barra? 30. El área A de una placa rectangular es ab. Su coeficiente de dilatación lineal es a. Después de un aumento de tempe ratura AT, el lado a es más largo en A a y el lado b es más largo en Ab. Demuestre que si despreciamos la pequeña cantidad A a Abjab (véase la Fig. 16), entonces A A = 2a A AT, lo que coincide con la ecuación 14. 31. Demuestre que, si despreciamos cantidades extremada mente pequeñas, el cambio de volumen de un sólido en dilatación a través de un aumento de temperatura AT está dado por AV = 3aV AT, donde a es el coeficiente de dilatación lineal. Véase la ecuación 15.
562
Capitulo 22
Temperatura \*-L \
> |< ----------------- L 2
H-----------------L Figura 18 Problema 37.
Figura 16 Problema 30.
32. Cuando la temperatura de una moneda de cobre (que no es cobre puro) de un centavo se eleva en 100°C, su diáme tro aumenta en 0.18%. Halle el porcentaje de aumento en (a) el área de una cara, (b) el espesor, (c) el volumen, y (d) la masa del centavo, (e) Calcule su coeficiente de dilatación lineal. 33. La densidad es la masa dividida por el volumen. Si el volumen V depende de la temperatura, entonces también su densidad p. Demuestre que el cambio de densidad Ap con el cambio de temperatura AT está dado por Ap = -$ p AT, donde p es el coeficiente de dilatación volumétrica. Ex plique el signo menos. 34. Cuando la temperatura de un cilindro de metal se eleva de 60 a 100°C, su longitud aumenta en 0.092%. (a) Halle el cambio porcentual en la densidad. (b) Identifique el metal. 35. A 100°C un frasco de vidrio está completamente lleno de 891 g de mercurio. ¿Qué masa de mercurio se necesita para llenar el frasco a -35°C? (El coeficiente de dilatación lineal del vidrio es de 9.0 x 10"6/C°; el coeficiente de dilatación volumétrica del mercurio es de 1.8 x 10'4/C°). 36. La figura 17 muestra la variación del coeficiente de dila tación volumétrica del agua entre 4°C y 20°C. La densidad del agua a 4°C es de 1000 kg/m3. Calcule la densidad del agua a 20°C.
Temperatura (°C)
Figura 17 Problema 36. 37. Una barra compuesta de longitud L = L, + L¡ está hecha de una barra de material 1 y longitud L, unida a una barra de material 2 y longitud Lv como se muestra en la figura 18. (a) Demuestre que el coeficiente efectivo de dilatación lineal a de esta barra está dado por a = {alLl + aJ^IL. (b) Si se utilizara acero y latón, diseñe dicha barra compuesta cuya longitud sea de 52.4 cm y cuyo coeficien te efectivo de dilatación lineal sea de 13 x iO'6/C°.
38. (a) Demuestre que el cambio en inercia rotatoria / con la temperatura de un objeto sólido está dado por A I = 2al AT. (b) Una barra uniforme de latón, que gira libre mente a 230 rev/s en torno a un eje perpendicular a ella en su centro, se calienta sin contacto mecánico hasta que su temperatura aumenta en 170°C. Calcule el cambio en la velocidad angular. 39. Un cilindro situado en chumaceras sin fricción se hace girar en tomo a su eje y luego se calienta, sin contacto mecánico, hasta que su radio aumenta en 0.18%. ¿Cuál es el cambio porcentual en (a) el ímpetu angular, (b) la velocidad angular, y (c) la energía rotatoria del cilindro? 40. (a) Demuestre que el cambio con la temperatura en el periodo P de un péndulo físico está dado por A P = ^aP AT. (b) Un péndulo de reloj hecho de invar tiene un periodo de 0.500 s y es exacto a 20°C. Si el reloj se emplea en un clima en que la temperatura promedie 30°C, ¿qué corrección aproximada al tiempo indicado por el reloj es necesaria al cabo de 30 días? 41. Un reloj de péndulo con un péndulo hecho de latón está diseñado para mantener un tiempo preciso a 20°C. ¿De cuánto será el error, en segundos por hora, si el reloj opera a 0°C? 42. Un vaso de aluminio de 110 cm3de capacidad se llena de glicerina a 22°C. ¿Cuánta glicerina, se derramará del vaso si la temperatura del vaso y de la glicerina se eleva a 28°C? (El coeficiente de dilatación volumétrica de la glicerina es de 5.1 x 10-4/C°). 43. Un tubo vertical de vidrio de 1.28 m de longitud está medio lleno de un líquido a 20.0°C. ¿Cuál será el cambio de altura del líquido cuando el tubo se caliente a 33.0°C? Suponga que avid = 1.1 x W 5/C°y ptiq- 4.2 x 10'7C°. 44. Una barra de acero a 24°C se atornilla fuertemente en ambos extremos y luego se enfría. ¿A qué temperatura empezará a ceder? Véase la tabla 1, capítulo 14. 45. Tres barras rectas de igual longitud, de aluminio, invar y acero, todas a 20°C, forman un triángulo equilátero con pivotes en los vértices. ¿A qué temperatura tendrá 59.95° el ángulo opuesto a la barra de invar? Véase el apéndice H para las fórmulas trigonométricas necesarias. 46. Dos barras de materiales diferentes, pero de las mismas longitudes L y las mismas áreas A en sus secciones trans versales están dispuestas extremo con extremo entre so portes rígidos y fijos como se muestra en la figura 19a. La temperatura es Ty no existe un esfuerzo inicial. Las barras se calientan, de modo que su temperatura aumenta en AT. (a) Demuestre que la superficie de contacto de las barras se desplaza al calentarlas en una cantidad dada por
Problemas
563
Figura 19 Problema 46. donde a¡, a¡ son los coeficientes de dilatación lineal y E¡, E2 son los módulos de Young de los materiales. Despre cie los cambios en las áreas de la sección transversal; véase la figura 19b. (b) Halle el esfuerzo en la superficie de contacto después del calentamiento. 47. Un cubo de aluminio de 20 cm de lado flota en mercurio. ¿Qué tanto más se hundirá el bloque cuando la tempera tura se eleve de 270 a 320 K? (El coeficiente de dilatación volumétrica del mercurio es de 1.8 * 10‘J/C°). 48. Un tubo de vidrio casi lleno de mercurio está unido en serie a la base de un péndulo de hierro de 100 cm de longitud en forma de barra. ¿A qué altura estará el mercu rio en el tubo de vidrio de modo que el centro de masa de este péndulo no se eleve ni baje con los cambios de temperatura? (El área de la sección transversal del tubo es igual a la de la barra de hierro. Desprecie la masa del vidrio. El hierro tiene una densidad de 7.87 x 103kg/m3y un coeficiente de dilatación lineal igual a 12 x 10'6/Co. El coeficiente de dilatación volumétrica del mercurio es de 18 x l0-5/C°). 49. La distancia entre las torres del claro principal del puen te Golden Gate cerca de San Francisco es de 4200 ft
Figura 20 Problema 49.
(Fig. 20). La flecha del cable a la mitad entre las torres a 50°F es de 470 ft. Considere a = 6.5 x 10'6/F° para el cable y calcule (a) el cambio de longitud del cable y (ti) el cambio en la flecha para un cambio de temperatura desde 10 hasta 90°F. Suponga que no hay flexión ni separación de las torres y una forma parabólica para el cable.
r
CAPÍTULO 23 LA TEORÍA CINÉTICA Y EL GAS IDEAL Las leyes básicas de la termodinámica tratan de las relaciones entre las propiedades macros cópicas, tales como la presión, la temperatura, el volumen, y la energía interna de un gas ideal. Las leyes no dicen nada acerca del hecho de que la materia estéformada de partículas (átomos o moléculas). Debido al gran número de partículas implicadas, no es práctico aplicar las leyes de la mecánica para hallar el movimiento de cada partícula en un gas. En cambio, usamos técnicas de promedios para expresar las propiedades termodinámicas como promedios de las propiedades moleculares. Si el número de partículas es muy grande, tales promedios dan cantidades rigurosamente definidas. En este capítulo consideramos un enfoque de promedios llamado teoría cinética, en el que seguimos el movimiento de las partículas representativas de un gas y luego promediamos este comportamiento para todas las partículas. La teoría cinética fue desarrollada entre los siglos x v i i y xix por Boyle, D. Bernoulli, Joule, Kronig, Clausius, y Maxwell, entreoíros. Otro enfoque también de los promedios es la mecánica estadística, en la cual se aplican las leyes de la probabilidad a distribuciones estadísticas de las propiedades moleculares. Este enfoque se estudiará en el capítulo 24.
23-1 PROPIEDADES MACROSCÓPICAS DE UN GAS Y LA LEY DEL GAS IDEAL La figura 1 muestra un gas confinado en un cilindro equipado con un émbolo móvil. Deseamos llevar a cabo una serie de mediciones de las propiedades macroscópi cas de un gas: el tipo y cantidad de gas y su presión, volumen, y temperatura absolutas (Kelvin). Suponemos que tenemos conectados al cilindro dispositivos apropia dos para medir estas propiedades. Suponemos también que tenemos a nuestra disposición los medios para cam biar cualquiera de estas propiedades. Por ejemplo, supo nemos que el gas está en contacto con un dispositivo idealizado llamado depósito térmico, el cual podemos considerar como un cuerpo mantenido a una temperatura T, de modo que la temperatura del depósito no cambia cuando nuestro cilindro de gas entra en equilibrio térmico con él. Suponemos que podemos cambiar fácilmente la temperatura del depósito, cambiando por lo tanto la tem peratura del gas. Si deseamos cambiar la presión p, aña dimos o quitamos peso sobre el émbolo. (Se supone que
en el espacio sobre el émbolo se ha practicado un vacío, de modo que no existe la presión del aire que empuje hacia abajo sobre el émbolo). El volumen V puede ser alterado simplemente cambiando la posición del émbolo, y la cantidad de gas puede cambiarse al permitir que entre gas a la cámara, cambiando por lo tanto el número de mo léculas N. Después de cada cambio, esperamos el tiempo suficiente para que el gas alcance el equilibrio térmico y adquiera un nuevo conjunto de variables termodinámicas macroscópicas. Llevemos a cabo los siguientes experimentos con el gas. 1. V depende de N. Manteniendo constantes la tempera tura y la presión (esto es, el gas está en contacto con el depósito térmico a determinada temperatura T, y el peso sobre el émbolo es constante), permitimos que entre o salga gas de la cámara, y medimos el volumen resultante V observando la altura del émbolo. (Suponemos que co nocemos la masa de cada molécula y la masa total de gas que está presente en el cilindro. Entonces podemos deter minar N, el número total de moléculas.) La figura 2 muestra los resultados típicos de tales experimentos. Los puntos de los datos parecen seguir una línea recta, y
566
Capítulo 23
La teoría cinética y el gas ideal
Perilla de control
Figura 2 El volumen V ocupado por el gas en la figura 1 depende del número de moléculas N. A una temperatura y presión dadas, gases diferentes siguen la misma relación lineal.
Alimentación de gas
Figura 1 El gas está confinado en un cilindro que tiene contacto con un depósito térmico a la temperatura (ajustable) T. El émbolo ejerce una fuerza total hacia abajo Mg sobre el gas, la cual, en el equilibrio, está balanceada por la fuerza hacia arriba debida a la presión del gas. El volumen del gas puede ser determinado midiendo la altura h del émbolo desde el fondo del cilindro, y la temperatura del gas se mide con un termómetro apropiado. Una alimentación de gas permite añadir gas adicional al cilindro; suponemos que está también provisto de un mecanismo para remover gas y para cambiar la alimentación con el fin de admitir diferentes clases de gas.
concluimos, con una aproximación suficientemente bue na, que existe una proporción directa entre V y N; es decir, el volumen aumenta linealmente con el número de partículas. Además, al reemplazar el gas en el cilindro con un número igual de moléculas de un gas diferente a la misma presión y temperatura, hallamos que el nuevo gas ocupa el mismo volumen. Así, deberíamos concluir que el volumen ocupado por un gas a determinadas pre sión y temperatura es independiente del tipo de gas o del tamaño o masa de sus moléculas; el volumen depende únicamente del número de moléculas. Matemáticamente, V<* N, o sea V = CN
( p ,T constantes).
(l)
Aquí C es una constante, igual a la pendiente de la lí nea en la figura 2 y determinada por los valores de p y de T. Si repetimos este experimento con diferentes valores constantes de p y de T, hallaríamos siempre que la ecua ción 1 se cumple, pero con un valor diferente de la constante C. La ecuación 1 se conoce a veces como la ley de Avo gadro. Es válida con una muy buena aproximación para todos los gases, especialmente a baja densidad, donde las moléculas están muy separadas entre sí y el volumen ocupado por las moléculas mismas es realmente una frac ción despreciablemente pequeña del volumen del reci piente en que está confinado el gas. Podemos generalizar, a partir del comportamiento de estos gases reales a un gas ideal que sigue la ecuación 1 exactamente. En la sección
p
Figura 3 (a) El volumen V ocupado por el gas parece depender inversamente de la presión p, mantenidas constantes la temperatura y el número de partículas. (b) Al trazar V 1contra p se ve que la relación es realmente una relación lineal inversa.
siguiente consideraremos las propiedades microscópicas de un gas ideal. 2. V depende de p. Manteniendo constantes el número de partículas N y la temperatura T, cambiamos la presión (cambiando el peso sobre el émbolo) y medimos el volu men resultante. En la figura 3a se muestra el resultado, el cual sugiere una relación inversa: al aumentar la presión p, el volumen V disminuye. Para comprobar esto, traza mos a p contra V ', como en la figura 3b, lo cual confirma una relación lineal. Por lo tanto, concluimos que p V~\ o sea C’ p ——
(N,T constantes).
(2)
Aquí C representa a otra constante, la cual tendría un valor diferente si hubiéramos elegido valores diferentes
Sección 23-1
Propiedades macroscópicas de un gas y la ley del gas ideal
567
La constante k de la ecuación 4 se llama constante de Boltzmann. Es una constante universal con un valor de terminado experimentalmente, el cual es k = 1.38066 X lO '23 J/K. Es más común escribir la ecuación 4 en una forma algo diferente. Expresemos la cantidad de gas no en términos del número de moléculas N sino en términos del número de moles n. El mol fue definido en la sección 1-5. En términos de la constante de Avogadro NA, el número de moles es
Figura 4 El volumen V ocupado por el gas varía linealmente con la temperatura T, cuando se mantienen constantes la presión y el número de moléculas.
n=
N_ Na ’
( 6)
y podemos reescribir la ecuación 4 como: de N y de T. La ecuación 2 se llama ley de Boy le y, al igual que la ecuación 1, es una generalización ideal. Como veremos en la sección 23-8, los gases reales se desvían un poco de este comportamiento ideal. 3. V depende de T. Manteniendo constantes a p y a N, variamos la temperatura T (cambiando la temperatura del depósito térmico), y medimos el volumen resultante V. Hallamos (Fig. 4) una relación directa: el volumen aumen ta al aumentar la temperatura; entonces V x T, o sea V = C "T
( p, N constantes),
(3)
donde C" es también otra constante. La ecuación 3 se llama ley de Charles o ley de Gay-Lussac. Al igual que las ecuaciones 1 y 2, es una idealización del comporta miento de los gases reales.
Ecuación de estado Las ecuaciones 1, 2 y 3 resumen resultados experimenta les estrictamente válidos únicamente para nuestro gas ideal hipotético, pero aproximadamente válidas en un alto grado para la mayoría de los gases reales. Podemos com binar las tres ecuaciones en una sola que incluya a las tres relaciones observadas, como sigue:
^
NT
=k
’
(4)
en donde k es una constante. Reescribiendo la ecuación 4 podemos demostrar que es consistente con las ecuaciones l a 3: V = | — ) N = CN
(p, T constantes),
(5a)
(kN T) C' y = ~y P=
(N .r constantes),
(5b)
nT o bien
p V = nRT,
(7)
R = NAk = 8.3145 J/m ol-K .
(8)
donde
La ecuación 7 se llama ley de los gases ideales o ecuación de estado del gas ideal. Una ecuación de estado de un sistema da una relación matemática fundamental entre las cantidades termodinámicas macroscópicas. Los experi mentos revelan que, a densidades suficientemente bajas, todos los gases reales tienden al comportamiento del gas ideal descrita en la ecuación 7. Éste es el mismo límite que discutimos en conexión con la escala de temperatura del gas ideal en la sección 22-4. La constante R tiene el mismo valor para todos los gases y se le llama constante universal de los gases.
Problema muestra 1 Un cilindro aislado equipado con un émbolo (Fig. 1) contiene oxígeno a una temperatura de 20°C y una presión de 15 atm en un volumen de 22 litros. Al descender el émbolo, disminuye el volumen del gas a ló litros, y simultá neamente la temperatura se eleva a 25°C. Suponiendo que el oxígeno se comporte como un gas ideal bajo estas condiciones, ¿cuál es la presión final del gas? Solución Partimos de la ecuación 7, puesto que la cantidad de gas permanece sin cambio, y tenemos que Pí Ví
PMi Tt
o bien Pt
V- M \p /
t
- C '■T (p,N constantes),
(5c)
Puesto que esto está en la forma de una razón, no necesita mos convertir a p y a K en unidades del SI, pero debemos
568
Capítulo 23
La teoría cinética y el gas ideal
expresar a T en unidades de temperatura absoluta (Kelvin). Entonces, . (273 + 25 K \ /22 L \ 05 3tm) \273 + 20 K / \ l 6 l ) = 21 atm'
23-2 EL GAS IDEAL: UN MODELO Cuando los físicos desean entender un sistema complejo, a menudo inventan un modelo. Un modelo es una versión simplificada del sistema que permite hacer cálculos pero sin perder su realidad física. Un modelo puede empezar con un grupo de hipótesis que simplifican y permiten que el sistema sea analizado usando un conjunto de leyes existente, por ejemplo, las de la mecánica de Newton. El análisis puede conducir entonces a una ecuación o con junto de ecuaciones que describen al sistema físico origi nal. Puesto que el modelo es una simplificación de la naturaleza, el resultado final no es, por lo general, una descripción verdadera o completa de la naturaleza, pero si hemos sido lo suficientemente cautos en la formulación del modelo, el resultado final puede ser una aproximación muy buena del comportamiento del sistema. Lo que es más importante, el resultado final puede proporcionamos un camino para estudiar al sistema en el laboratorio y obtener una visión aún más penetrante. Previamente en este texto, hemos usado un modelo (sin llamarlo así) para describir el movimiento de un objeto complejo como si fuera una partícula puntual sometida a ciertas circunstan cias. A veces hemos modelado también la fuerza entre los átomos de una molécula, o entre los átomos de un sólido, en términos de la fuerza de un resorte, F = -kr, la cual se basa en sí misma en un tipo de modelo que simplifica (en ciertas condiciones elásticas) los complicados procesos internos en un sólido sujeto a un esfuerzo. Un gas confinado en un recipiente es un ejemplo de un sistema complejo difícil de analizar usando las leyes de Newton. Las moléculas pueden chocar inelásticamente, y la energía de la colisión puede ser absorbida por las moléculas como energía interna en una variedad de mo dos. Seguir la pista de estos procesos para todas las moléculas sería un proyecto de una complejidad imposi ble de vencer. Simplificamos este problema inventando un modelo que describa las propiedades microscópicas del gas real. Este modelo, al cual llamamos modelo del gas ideal, resulta ser enteramente consistente con el con cepto de gas ideal que hemos desarrollado experimental mente en la sección 23-1. En esa sección vimos que, especialmente a baja densidad, las propiedades macroscó picas de los gases reales siguen de manera aproximada un resultado general, la ley del gas ideal de la ecuación 7. Desde el punto de vista microscópico nuestro modelo de gas ideal incluye las hipótesis siguientes. Basados en
ellas, empleamos las leyes de Newton para analizar la mecánica del gas ideal; este procedimiento constituye la base de la teoría cinética. Más adelante relacionaremos esta descripción microscópica con la macroscópica. 1. Un gas consta de ciertas pertículas, llamadas mo léculas. Dependiendo del gas, cada molécula puede con sistir en un átomo o en un grupo de átomos. Si el gas es un elemento o un compuesto y está en estado estable, consideramos que todas sus moléculas son idénticas. 2. Las moléculas tienen movimientos al azar y obedecen a las leyes del movimiento de Newton. Las moléculas se mueven en todas direcciones y con una gama de veloci dades. Al describir el movimiento suponemos que la mecánica de Newton es válida al nivel microscópico. 3. El número total de moléculas es grande. La velocidad (en magnitud y dirección) de cualquier molécula puede cambiar en forma repentina por medio de una colisión con la pared o con otra molécula. Cualquier molécula en particular sigue una trayectoria en zigzag debido a estas colisiones. Sin embargo, ya que existen tantas moléculas suponemos que el gran número de colisiones resultantes mantiene la distribución del conjunto de las velocidades moleculares y el carácter fortuito o aleatorio del movi miento. 4. El volumen de las moléculas es una fracción despre ciablemente pequeña del volumen ocupado por el gas. Si bien existen muchas moléculas, éstas son extremadamen te pequeñas. Sabemos que el volumen ocupado por un gas puede cambiarse a través de una gama amplia de valores con poca dificultad, y que cuando un gas se condensa el volumen ocupado por el líquido puede ser miles de veces más pequeño que el del gas. De aquí que nuestra hipótesis sea plausible. Más adelante investigaremos el tamaño real de las moléculas y veremos si necesitamos modificar esta hipótesis. 5. Ninguna fuerza apreciable actúa sobre las moléculas excepto durante una colisión. Es decir, suponemos que el alcance de las fuerzas moleculares es comparable al tama ño molecular y mucho más pequeña que la distancia típica entre moléculas. En la medida en que esto sea así, una molécula se mueve con velocidad constante entre colisio nes. Por lo tanto, el movimiento de una molécula en particular es una trayectoria en zigzag que consiste, en su mayor parte, en segmentos con velocidad constante cam biada por fuerzas impulsivas. 6. Las colisiones son elásticas y de una duración des preciable. Las colisiones de una molécula con otra o con las paredes del recipiente conservan el ímpetu y (supone mos) la energía cinética. Las moléculas no son partículas puntuales verdaderas y poseen una estructura interna; así, cierta energía cinética puede convertirse en energía inter na durante la colisión. Suponemos que la molécula no
0NP/XPS1I5A.O !>£ -‘=á K£-Ü2L;C^ FA C U L T A /; O;' IN G E N ItR íÁ
KT,-’i.'--iKN,rO DE Sección 23-3 Cálculo cinético de la presión 569 DOCUMENTA CíON BIBLIOTECA' MOKTEVID2SO - UBÜGUAf por esta molécula sobre A¡ es el ímpetu transferido divi dido entre el intervalo de tiempo entre transferencias, o sea 2 2L/vx L Para obtener la fuerza total sobre A¡, es decir, la razón a la cual se imparte ímpetu a A¡ por todas las moléculas del gas, debemos sumar la cantidad m u2 ¡L para todas las partículas. Entonces, para hallar la presión dividimos esta fuerza entre el área de A¡, es decir L2. La presión es, por lo tanto, Se muestra una molécula del gas moviéndose con velocidad v hacia el lado/4,.
1 mv2xl + mv2x2 + P =
T2
L
m retiene esta energía interna, la cual está entonces nueva mente disponible como energía cinética después de un tiempo tan breve (el tiempo entre colisiones) que podemos despreciar este cambio por entero.
23-3 CALCULO CINETICO DE LA PRESIÓN Calculemos ahora la presión de un gas ideal a partir de la teoría cinética. Por simplificación, consideremos un gas en un recipiente cúbico de lado L cuyas paredes sean perfectamente elásticas. Llamemos a las caras norma les al eje x (Fig. 5) A¡ y A 2, cada una de área L2. Conside remos a una molécula de masa m con velocidad v, la cual resolvemos en sus componentes vx, vy, y uz. Cuando esta partícula choca con A¡, rebota con su componente x de la velocidad invertida; es decir, vx —> - vx. No existe un efecto sobre vy o sobre v,, de modo que el cambio en el ímpetu de la partícula tiene únicamente una componente x, dada por
donde vx¡ es la componente x de la velocidad de la partí cula 1, va es la de la partícula 2, y así sucesivamente. Si N es el número total de partículas en el recipiente, enton ces Nm es la masa total y Nm/L3 es la densidad p. Enton ces, m/L? = p¡N, y ( 12)
P= P
La cantidad dentro del paréntesis en la ecuación 12 es el valor promedio de v2x para todas las partículas en el recipiente, el cual representamos por v?.. Entonces p = pv%
(mvx) = - 2 m v x . (9)
Ya que el ímpetu total se conserva en la colisión, el ímpetu impartido a A t es +2 m vx. Supongamos que esta partícula llegue a A 2 sin golpear a ninguna otra partícula en su camino. El tiempo requerido para cruzar el cubo es L¡ vx. (Si la molécula golpea una de las otras caras de la caja en su camino hacia A 2, la compo nente x de su velocidad no cambia, como tampoco el tiempo de tránsito). En A 2 nuevamente tiene su compo nente x de la velocidad invertida y regresa a A v Suponien do que no existan colisiones con otras moléculas, el viaje redondo toma un tiempo 2L/vx, que es el tiempo entre las colisiones con A v La fuerza impulsiva promedio ejercida
(13)
Para cualquier partícula, v2 = + u2y + Puesto que tenemos muchas partículas y porque se están moviendo enteramente al azar, los valores promedio de vx , v$ , y v\ son iguales, y el valor de cada una es exactamente un tercio del valor promedio de v2. No existe una preferencia entre las moléculas para moverse a lo largo de alguno de los tres ejes. Por esto v2 x = |u 2, de modo que la ecuación 13 resulta P = \PV2-
ímpetu final - ímpetu inicial = -mvr
( 11)
(14)
Si bien hemos derivado este resultado despreciando las colisiones entre las partículas, el resultado es verdadero incluso si consideramos las colisiones. Debido al inter cambio de velocidades en una colisión elástica entre par tículas idénticas, siempre habrá una molécula que choque con A 2 con un ímpetu m vx correspondiente a la molécula que salió de/l, con este mismo ímpetu. La ecuación 14 se cumple aun cuando la caja contenga una mezcla de molé culas de masas diferentes, porque el ímpetu se conserva en las colisiones, y la pared debe recibir el mismo impulso sin importar qué moléculas lo golpeen. También, el tiem po que dura la colisión es despreciable comparado con el tiempo invertido entre colisiones. De aquí que despreciar las colisiones es meramente un recurso conveniente para
570
Capítulo 23
La teoría cinética y el gas ideal
el cálculo. De manera similar, podríamos haber escogido un recipiente de cualquier forma: el cubo meramente simplifica el cálculo. Si bien hemos calculado la presión ejercida únicamente sobre el lado A¡, se deduce de la ley de Pascal que la presión es la misma sobre todas las caras y en cualquier parte del interior. (Esto es así únicamente si la densidad del gas es uniforme. En una muestra grande de gas, los efectos gravitatorios pudieran ser significati vos, y deberíamos tener en cuenta la variación de la densidad. Véase la sección 17-3 y el problema 6 de este capítulo.) _ La raíz cuadrada de v 2 se llama velocidad media cua drática de las moléculas (rms, de root-mean-square) y es una clase de velocidad molecular promedio. (Estudiare mos este promedio con más detalle en la sección 24-3.) Usando la ecuación 14, podemos calcular la velocidad media cuadrática partiendo de los valores medidos de la presión y de la densidad del gas. Entonces
En la ecuación 14 relacionamos una cantidad macros cópica (la presión p) con un valor promedio de una can tidad microscópica (esto es, con v1 o con v2mxs). Sin embargo, los promedios pueden ser considerados durante tiempos cortos o durante tiempos largos, en regiones pequeñas del espacio o en regiones grandes del espacio. El promedio calculado en una región pequeña durante un tiempo corto debería depender del tiempo o región ele gidos, de modo que los valores obtenidos de esta manera deben de fluctuar. Esto podría suceder en un gas de den sidad muy baja, por ejemplo. Sin embargo, podemos despreciar las fluctuaciones cuando el número de partícu las en el sistema es suficientemente grande.
Problema muestra 2 Calcule la velocidad media cuadrática de las moléculas de hidrógeno a 0.00°C y 1.00 atm de presión, suponiendo que el hidrógeno sea un gas ideal. En estas condi ciones el hidrógeno tiene una densidad p de 8.99 x 10"2kg/m3. Solución Puesto que p = 1.00 atm = 1.01 x 105Pa, Vms
[}~p = I 3(1.01 X 105 Pa)~ Vp 8.99 X 10~2 kg/m3
V
TABLA 1 ALGUNAS VELOCIDADES MOLECULARES A LA TEMPERATURA AMBIENTE (300 K)
Gas Hidrógeno Helio Vapor de agua Nitrógeno Oxígeno Bióxido de carbono Bióxido de azufre
Masa molar M' w™ (m/s) (g/mol) 2.0 1920 4.0 1370 18.0 645 28.0 517 32.0 483 44.0 412 64.1 342
Energía cinética de traslación por mol (J/mol) 3720 3750 3740 3740 3730 3730 3750
1 La masa molar, a veces conocida también como el peso molecular, se da aquí en g/mol por conveniencia; su unidad SI es kg/mol.
rarse en términos de nuestro modelo de un gas; véase el problema 38. La energía de la onda sonora es transportada como energía cinética de una molécula a la siguiente con la cual choca. Por lo tanto, deberíamos de esperar que las ondas sonoras se propaguen con una velocidad que es aproximadamente la misma que la velocidad caracte rística del movimiento molecular, que es, de hecho, lo que observamos. Las moléculas en sí mismas, a pesar de sus velocidades elevadas, no se mueven muy lejos durante un periodo de la vibración del sonido; están confinadas en un espacio más bien pequeño por los efectos del gran número de colisiones. Esto explica por qué existe una demora entre la apertura de una botella de amoniaco en un extremo de un salón y su olor en el otro extremo. Si bien las velocidades moleculares son elevadas, el gran número de colisiones limita el avance de las moléculas de amoniaco. Se difunden por el aire a velocidades que son muchos menores que las velocidades moleculares.
Problema muestra 3 Suponiendo que la velocidad del sonido en un gas sea la misma que la velocidad media cuadrática de las moléculas, muestre cómo dependería de la temperatura la velo cidad del sonido en un gas ideal. Solución La densidad de un gas es nM
1
Esto es del orden de una milla por segundo, o sea 3600 mi/h.
La tabla 1 da los resultados de cálculos similares para algunos gases a la temperatura ambiente. Estas velocida des moleculares son aproximadamente del mismo orden que la velocidad del sonido a la misma temperatura. Por ejemplo, en aire a 0°C, unils = 485 m/s y la velocidad del sonido es 331 m/s; en el hidrógeno unns = 1838 m/s y el sonido viaja a 1286 m/s. Estos resultados son de espe-
p=- v ' donde M es la masa molar (la masa de 1 mol) y n es el número de moles. Al combinar esto con la ley del gas ideal pV = nRT nos da p
RT
p ~
M
'
Obtenemos de la ecuación 15
V/3P V 3RT a/’ 1
p
(16)
Sección 23-4 Interpretación cinética de la temperatura
de modo que la velocidad del sonido v¡ a una temperatura T, se relaciona con la velocidad del sonido v2 en el mismo gas a una temperatura T2 por
Ei= [T i vi
V zv
Por ejemplo, si la velocidad del sonido a 273 K es de 331 m/s en el aire, su velocidad en el aire a 300 K es 3Ó0K V 2?3 K =
347 m /s.
Obsérvese que aquí se emplea la temperatura absoluta (Kelvin). ¿Por qué? Nuestra hipótesis inicial, de que la velocidad del sonido en un gas es la misma que la velocidad media cuadrática de las moléculas, es sólo crudamente correcta. En realidad, la veloci dad del sonido es proporcional a v ¿Cambia esto las conclu siones de este problema muestra con respecto a la dependencia de la velocidad del sonido con la temperatura? Véase el proble ma muestra 6 para una derivación de la velocidad del sonido en un gas.___________________________________________
23-4 INTERPRETACIÓN CINÉTICA DE LA TEMPERATURA
De cualquier modo, ganamos cierta visión sobre el signi ficado de la temperatura en los gases. La temperatura de un gas se relaciona con la energía cinética de traslación promedio medida con respecto al centro de masa del gas. La energía cinética asociada con el movimiento del centro de masa del gas no tiene relación con la temperatura del gas. En la sección 23-2 supusimos el movimiento al azar como parte de nuestra definición estadística de un gas ideal y en la sección 23-3 calculamos a v1 sobre esta base. Para una distribución de las veloci dades moleculares que tengan direcciones al azar, el cen tro de masa estaría en reposo. Entonces, para calcular v2, debemos usar un marco de referencia en el que el centro de masa del gas esté en reposo. En todos los demás marcos las moléculas tienen cada una velocidades más grandes en una cantidad u (la velocidad del centro de masa en ese marco) que en el marco del centro de masa; de aquí que los movimientos ya no_ serán al azar, y obtendremos valores diferentes para v2. La temperatura de un gas en un recipiente no aumenta ¡cuando ponemos al recipiente en un auto en movimiento! Dividamos ahora cada lado de la ecuación 18 por la constante de Avogadro NA, que es el número de moléculas por mol de un gas. Entonces M/NA = m, la masa de una sola molécula, y tenemos
Si multiplicamos cada lado de la ecuación 14 por el volumen V, obtenemos p v = i p v i í 2, donde pV es la masa total del gas, siendo p la densidad. Podemos también escribir la masa del gas como nM, donde n es el número de moles y Af es la masa molar. Al hacer esta sustitución tenemos que p V = $ n M v 2.
(17)
La energía cinética de traslación total del gas es %m(v\ + v\ + • • • + v%) = {m(Nv2), donde N es el número total de moléculas. La masa total del gas puede escribirse como mN = nM. El lado derecho de la ecuación 17 es, por lo tanto, dos tercios de la energía cinética total de traslación. Podemos escribir la ecuación 17 como: p V = \({n M v 2). Combinando ésta con la ecuación de estado de un gas ideal ( p V - nRT), obtenemos iM v 2 = ÍRT.
K M /N A)v2 = hm v 2 = l(R /N A)T.
(19)
Ahora, v 2 es la energía cinética de traslación promedio por molécula. La razón R/NA es, según la ecuación 8, la constante k de Boltzmann, que juega el papel de la cons tante de gas por molécula. Tenemos entonces im v 2 = $kT.
(20)
La ecuación 20 es el análogo molecular de la ecuación 18, que trata de las cantidades molares. Aquí vemos que la energía cinética de traslación promedio de una molécula está determinada por la temperatura. En la última columna de la tabla 1 listamos valores calculados de Como la ecuación 18 predice para un gas ideal, esta cantidad (la energía cinética de trasla ción por mol) tiene casi el mismo valor para los gases reales a una temperatura dada (300 K en este caso). Partiendo de la ecuación 20 concluimos que a una tempe ratura T determinada la razón de las velocidades medias cuadráticas de las moléculas de dos gases diferentes es igual a la cuadrada de la razón inversa de sus masas. Es decir, a partir de
(18)
Esto es, la energía cinética de traslación promedio por mol de un gas ideal es proporcional a la temperatura. Este resultado relaciona la teoría cinética con la ecuación de estado de un gas ideal. De manera equivalente, pode mos considerar a la ecuación 18 como una conexión entre una propiedad macroscópica, la temperatura, y una pro piedad microscópica, la energía cinética de una molécula.
571
2 7>k 2
_ 2 m 2 v2 3k 2
obtenemos I___ ^ l.rm s _
vi
(21)
^2,rms
Podemos aplicar la ecuación 21 a la difusión de dos gases diferentes en un recipiente con paredes porosas
572
Capítulo 23
La teoría cinética y el gas ideal
situado en un espacio al vacío. El gas más ligero, cuyas moléculas se mueven más rápidamente en promedio, es capará más rápidamente que el más pesado. La razón del número de moléculas de los dos gases que pasan a través de las paredes porosas en un intervalo de tiempo corto, la cual se llama el factor de separación a, es igual a la razón de sus velocidades medias cuadráticas, y por lo tanto, de acuerdo con la ecuación 21, a la raíz cuadrada de la relación inversa de sus masas moleculares o, equivalente mente, de sus masas molares: a = Vm2/m, = VM2/A/,.
(22)
El proceso de difusión a través de paredes porosas es un método empleado para separar los átomos de un ele mento por masa en sus diferentes isótopos.
Problema muestra 4 El uranio natural consiste primordial mente en dos isótopos, 235U (0.7% de abundancia) y 238U (99.3% de abundancia). Únicamente el 235U es fácilmente fisionable. En una muestra del gas UF6 (hexafluoruro de uranio), se desea aumentar la abundancia del ”5U de 0.7% a 3% forzando al gas n veces a través de una barrera porosa. Halle n. Solución La masa molar M del 235UF6es de 0.349 kg/mol y la del 238UF6 es de 0.352 kg/mol. Entonces, después de pasar a través de una barrera porosa, el gas se habrá enriquecido en 235U según el factor de separación a, dado por la ecuación 22: a=
1.352 kg/mol , ;----7= 1.0043. .349 kg/mol
Cada paso sucesivo a través de una pared porosa aumenta la fracción relativa del 235U según un factor de a. Después de tales pasos n, la concentración relativa del 235U habrá aumen tado según a". Para aumentar la concentración del 235U desde 0.7%, característica del uranio natural, hasta 3%, un enriqueci miento usado comúnmente en los reactores de potencia, el número n de barreras porosas que deben ser atravesadas se determina a partir de /aoo7\/ao3\ \ 0.993/ \0.97/ ' Resolviendo, obtenemos n = 350. En la práctica, esto se lleva a cabo por medio de etapas sucesivas, en las que una porción del gas que pasa más fácilmente a través de una barrera (y por lo tanto es enriquecido ligeramente en 235U) avanza a la siguiente etapa, donde el resto (ahora ligeramente empobrecido de 235U) es regresado para alimentar la etapa más baja anterior. Para obtener 235U casi puro, tal como se requiere para las armas nucleares, se requeriría varios miles de etapas.____________
23-5 TRABAJO EFECTUADO SOBRE UN GAS IDEAL_____________ Si elevamos la temperatura del gas en el cilindro de la figura 1, el gas se dilata y eleva el peso contra la gravedad;
el gas efectúa un trabajo (positivo) sobre el peso. La fuerza hacia arriba ejercida por el gas debido a su presión p está dada por pA, donde A es el área del émbolo. Según la tercera ley de Newton, la fuerza ejercida por el émbolo sobre el gas es igual y opuesta a la fuerza ejercida por el gas sobre el émbolo. Usando la ecuación 7 del capítulo 7, podemos por lo tanto escribir el trabajo W efectuado sobre el gas como: W-- J F d x = j
pA)dx. (—
(2 3 )
Aquí dx representa el desplazamiento del émbolo, y el signo menos entra porque la fuerza ejercida por el émbolo sobre el gas está en una dirección opuesta al desplaza miento del émbolo. Si reducimos la temperatura del gas, éste se contrae en lugar de dilatarse; el trabajo efectuado sobre el gas en este caso es positivo. Suponemos que el proceso descrito por la ecuación 23 se lleva a cabo lenta mente, de modo que pueda considerarse que el gas está en equilibrio en todas las etapas intermedias. De otro modo, la presión no estaría claramente definida durante el pro ceso, y la integral de la ecuación 23 no podría ser evaluada fácilmente. Podemos escribir la ecuación 23 en una forma más general que viene a ser muy útil. Si el émbolo se mueve una distancia dx, entonces el volumen del gas cambia en una cantidad dV = A dx. Entonces el trabajo efectuado sobre el gas puede escribirse: W
~J
pd V .
(2 4 )
La integración se lleva a cabo entre el volumen inicial V¡ y el volumen final V¡. La ecuación 24 es el resultado más general del trabajo efectuado sobre un gas. No hace referencia al agente externo que efectúa el trabajo; simplemente establece que el trabajo efectuado sobre el gas puede ser calculado a partir de la presión y el volumen del gas. Obsérvese que el signo algebraico del trabajo está contenido implícita mente en la ecuación 24: si el gas se dilata, d V es positivo y W es negativo, siendo p una cantidad escalar que asume valores positivos únicamente. A la inversa, si el gas se contrae, d V es negativo y el trabajo efectuado sobre el gas es positivo. La ecuación 24 es análoga al resultado general para el trabajo efectuado sobre un sistema por una fuerza variable F. Recordará usted de la figura 7 del capítulo 7 que si trazamos a F contra x, el trabajo efectuado por F es precisamente el área bajo la curva entre xi y xf. La figura 6 muestra la situación similar para el trabajo efectuado sobre el gas. Una gráfica en la forma de la figura 6 se llama diagrama p V, estando p trazada sobre el eje vertical (como F) y V trazada sobre el eje horizontal (como x). La magni tud del trabajo efectuado sobre el gas es igual al área bajo la curva de presión en un diagrama pV. El signo
Sección 23-5
Trabajo efectuado sobre un gas ideal
573
Pf
|C
¿I e\ Figura 6 La magnitud del trabajo W efectuado sobre un gas por una presión que varía arbitrariamente es igual al área bajo la curva de presión en un diagrama pV entre el volumen inicial V¡ y el volumen final V¡.
de W se determina de acuerdo a si Vf > V¡ (en cuyo caso W es negativo, como en la Fig. 6), o si Vf < V¡ (en cuyo caso W es positivo). Una vez más, el trabajo efectuado sobre el gas es negativo si el proceso aumenta el volumen del gas y positivo si el proceso reduce el volumen del gas. La fuerza de la presión es claramente no conservativa, como lo ilustra la figura 7. Supongamos que deseamos llevar a nuestro gas ideal de las condiciones iniciales V¡ y p x (punto A) a las condiciones finales Vf y p f (punto D). Existen muchas trayectorias diferentes que podemos se guir entre A y D, de las cuales se muestran dos en la figura 7. A lo largo de la trayectoria 1 (ABD), primero aumentamos la presión desde p i hasta p { a volumen cons tante. (Lo llevaríamos a cabo girando la perilla de control del depósito térmico, aumentando la temperatura del gas, mientras que añadimos simultáneamente la cantidad pre cisa de peso adicional sobre el émbolo para evitar que se mueva.) Luego seguimos la trayectoria BD aumentando la temperatura, pero sin añadir ningún peso adicional sobre el émbolo, de modo que la presión permanezca constante en el valor p f mientras que el volumen aumenta desde V¡ hasta V¡. El trabajo efectuado durante todo este procedimiento es el área del rectángulo BDFE (el área bajo la línea BD). Podemos hallar W{, el trabajo efectuado sobre el gas a lo largo de la trayectoria 1, al considerar el trabajo efec tuado a lo largo de los dos segmentos AB y BD: w l = w AB+ WBD.
Debido a que el volumen es constante a lo largo de AB, se deduce de la ecuación 24 que WAB = 0. A lo largo de BD, la presión es constante (en el valorp¡) y sale de la integral. El resultado es W ,= WAB + WBD = o
-J p
d v = - Pí j * d V = ~ P{( Vf - V¡).
Para seguir la trayectoria 2 (ACD), primero aumenta mos la temperatura mientras mantenemos a la presión constante en p¡ (es decir, sin añadir ningún peso adicional al émbolo), de modo que el volumen crece desde V¡ hasta Vf. Luego aumentamos la presión desde p¡ hasta p, al
V;
Figura 7 Se lleva un gas de la presión y volumen en el punto A a la presión y volumen en el punto D a lo largo de dos trayectorias diferentes, ABD y ACD. A lo largo de la trayectoria 1 (ABD) el trabajo es igual al área del rectángulo BDFE, mientras que a lo largo de la trayectoria 2 (ACD) el trabajo es igual al área del rectángulo ACFE.
volumen constante Vt aumentando la temperatura y aña diendo peso al émbolo para evitar que se mueva. El trabajo efectuado en este caso es el área bajo la línea/1C, o sea el rectángulo ACFE. Podemos calcular esto como: w 2 = w AC + WCD
= - J p d V + 0 = -p i j
d V = ~ P i ( V f - Vi).
Claramente W¡ * W2, y el trabajo depende de la trayec toria. Podemos llevar a cabo diversas operaciones sobre el gas y evaluar el trabajo efectuado en cada caso.
Trabajo efectuado a volumen constante El trabajo es cero en cualquier proceso en que el volumen permanezca constante (como en los segmentos AB y CD de la figura 7); W= 0
(V constante).
(25)
Deducimos directamente de la ecuación 24 que W = 0 si V es constante. Obsérvese que no es suficiente que el proceso comience y termine con el mismo volumen; el vo lumen debe ser constante durante todo el proceso para que el trabajo sea cero. Por ejemplo, consideremos el proceso ACDB en la figura 7. El volumen comienza y termina en V¡, pero el trabajo ciertamente no es cero. El trabajo es cero únicamente en trayectorias verticales tales como la AB, que representa un proceso a volumen constante.
Trabajo efectuado a presión constante Aquí podemos aplicar fácilmente la ecuación 24, porque la constante p sale de la integral:
574
Capítulo 23
La teoría cinética y el gas ideal
Figura 8 Se representa un proceso efectuado a temperatura constante (proceso isotérmico) por medio de una hipérbola en un diagrama pV. El trabajo efectuado al cambiar el volumen es igual al área bajo la curva entre V¡ y V¡.
Figura 9 Se representa un proceso adiabático en un diagrama pV pot medio de la curva tipo hipérbola pVr = constante. El trabajo efectuado al cambiar de volumen es igual al área bajo la curva entre V¡ y V¡. Ya que y > 1, la curva adiabática tiene una pendiente negativa m 's empinada que la curva isotérmica pV = constante.
W■— = - pp fI . d V = —p (Vf — V¡)
(/«constante).
(26)
Los segmentos AC y BD de la figura 7 son ejemplos. Obsérvese que el trabajo efectuado sobre el gas es nega tivo para ambos segmentos, porque el volumen aumenta en ambos procesos.
Trabajo efectuado a temperatura constante Si el gas se dilata o se contrae a temperatura constante, la relación entre p y V, dada por la ley del gas ideal, es p V = constante. En un diagrama pV, la gráfica de la ecuación p V = cons tante es exactamente igual a la gráfica de la ecuación xy = constante en un sistema de coordenadas xy: es una hipér bola, como se muestra en la figura 8. Un proceso efectuado a temperatura constante se llama proceso isotérmico, y la curva hiperbólica correspondien te del diagrama p V se llama isoterma. Para hallar el trabajo efectuado sobre un gas durante un proceso isotérmico, usamos la ecuación 24, pero debemos hallar una manera de llevar a cabo la integral cuando p varía. Para hacerlo usamos la ecuación de estado del gas ideal para escribir p = nRT/V, y entonces f v<
w- L
’ dr- L
í Vf n R T
—
í y'd V
*r ~
,* T h - v -
donde la última etapa puede hacerse porque estamos con siderando que T es una constante. Efectuando la integra ción, hallamos W = —n R T ln — *i
(T constante).
(27)
Obsérvese que éste es también negativo si Vf > V¡ (ln x es positivo para x > 1) y positivo si V¡ < V¡.
Trabajo efectuado en aislamiento térmico Alejemos al cilindro de la figura 1 del depósito térmico y pongámoslo sobre una placa de material aislante. El gas estará entonces en completo aislamiento térmico con res pecto a su entorno; si efectuamos un trabajo sobre él, su temperatura cambiará, en contraste con su comportamien to cuando estaba en contacto con el depósito térmico. Un proceso llevado a cabo en aislamiento térmico se llama proceso adiabático. Si permitimos que el gas se dilate sin que haya otras restricciones, la trayectoria que seguirá está representada por la curva tipo hipérbola p V r = constante,
(28)
como se muestra en la figura 9. El parámetro y, llamado la razón de calores específicos, debe determinarse empí ricamente para un gas dado. Sus valores están típicamente en el intervalo de 1.1 a 1.8. (En la sección 25-4 estudiare mos los calores específicos de los gases, y en la sección 25-6 derivaremos la ecuación 28.) Debido a que yes más grande que 1, la curvap V r = constante está más empinada que la curvapV= constante, por lo que el trabajo efectuado en este proceso será de magnitud un poco más pequeña que el trabajo efectuado al dilatarse desde Vt hasta V¡ a T constante, como puede verse en la figura 9. La constante de la ecuación 28 se determina a partir de la presión y el volumen en un punto determinado de la curva. Escojamos el punto inicial p¡, Vt en la figura 9, y entonces
Sección 23-5
Trabajo efectuado sobre un gas ideal
575
p v y= p W o bien
PiV? p = - yy
(29) il
a.
Ahora podemos hallar el trabajo adiabático: fv ,
f y< n V y
w - - \ ^ iv = - l M
f v’ dV
d V ~ ~ p y : L ~ ¡ r’
p fí ( v r r - v\-y). y- 1 Introduciendo, en primer lugar, un factor de V \~ 1 y se gundo usando p y \ = p ,V ] , podemos escribir el trabajo adiabático como:
= —í— (pfVf — Pí V í) y- 1
(adiabático).
(30)
Si el gas se expande, entonces VJV\ < 1, y puesto que un número menor de 1 elevado a cualquier potencia positiva permanece menor que 1, el trabajo es otra vez negativo.
1 2 3 4 ________________________ V (m3)__________________ Figura 10 Problema muestra 5. Se lleva a un gas desde el punto inicial i hasta el punto final f a lo largo de tres trayectorias diferentes. La trayectoria 2 es una isoterma.
volumétrico adiabático para hallar la velocidad del sonido en el gas en función de la temperatura. Halle el valor para el aire a temperatura ambiente (20°C). Solución (a) En el límite diferencial, el módulo volumétrico (véase la Ec. 5 del capítulo 17) puede escribirse como:
B— Vf v Problema muestra 5 Una muestra de gas que consta de 0.11 mol se comprime de un volumen de 4.0 m3a 1.0 m3mientras su presión aumenta de 10 a 40 Pa. Compare el trabajo efectuado a lo largo de las tres trayectorias diferentes que se muestran en la figura 10.
En un proceso adiabático, la ecuación 28 ( pVr = constante) da, considerando la derivada con respecto a V, d(pV') dV o bien
Solución La trayectoria 1 consta de dos procesos, uno a pre sión constante seguido por otro a volumen constante. El trabajo efectuado a presión constante se halla de la ecuación 26,
-(£) v y+ p(yVy~') = 0, r dp_ dV~
-yp.
W= -p (V t = -(10 Pa)(1.0 m3 - 4.0 m3) = 30 J. El trabajo efectuado a volumen constante es cero (véase la Ec. 25), así que el trabajo total para la trayectoria 1 es
Entonces
W¡ = 30 J + 0 = 30 J. La trayectoria 2 representa un proceso isotérmico, a lo largo del cual T = constante. Entonces p¡V¡ = p¡V¡ = nRT. El trabajo efectuado durante el proceso isotérmico puede ser hallado usan do la ecuación 27, sustituyendo a nRT por py„ lo cual da
en un proceso adiabático para un gas ideal. (b) En la sección 20-1, determinamos que la velocidad del sonido en un gas puede ser escrita
W2 = ~PiV¡ ln -p = -(10 Pa)(4.0 m3) ln 10 m = 55 J. 4.0 m: La trayectoria 3 consta de un proceso a volumen constante, para el cual el trabajo es nuevamente cero, seguido por un proceso a presión constante, y así el trabajo total para la trayectoria 3 es f V } —0 —P f ( V t — K,) = -(40 PaXl.O m3- 4 . 0 m3) = 120 J. Obsérvese que el trabajo es positivo en los tres procesos, y que las magnitudes aumentan de acuerdo con el área bajo cada trayectoria en el diagrama pV. Problema muestra 6 (a) Halle el módulo volumétrico B para un proceso adiabático para un gas ideal. (b) Tome el módulo
B — yp
v = W P, donde B es el módulo volumétrico y p es la densidad del gas. Usando el resultado de la parte (a) y la ecuación de estado del gas ideal (Ec. 7), obtenemos ynRT pV ■ y p La cantidad pV es la masa total del gas, la cual también puede escribirse nM, donde n es el número de moles y Ai es la masa molar. Haciendo esta sustitución, obtenemos p
[yRT Así, la velocidad del sonido en un gas depende de la raíz cuadrada de la temperatura, como lo inferimos en el problema muestra 3.
576
Capítulo 23
La teoría cinética y el gas ideal
En el aire, la masa molar promedio es de alrededor de 0.0290 kg/mol, y el parámetro yes de alrededor de 1.4. Entonces para T = 20°C = 293 K, /(1.4)(8.31 J/mol-K)(293 K)
,
y= V ------- 0.0290 kg/mol------- = 343 m/S23-6 LA ENERGÍA INTERNA DE UN GAS IDEAL Nuestro modelo del gas ideal se basa en que las moléculas son consideradas como partículas puntuales. La tempera tura, como lo hemos visto, depende de la energía cinética de traslación de las moléculas. Para partículas puntuales, no existe otra forma de considerar la energía interna £ int. No existe una energía potencial molecular, como tampoco ninguna energía interna asociada con la rotación o con la vibración de la molécula. En un gas ideal, la energía interna puede ser energía cinética de traslación única mente. Si tenemos n moles de un gas ideal a la temperatura T, entonces E ia = n ( W v 2) = \n R T
(31)
usando la ecuación 18 .La energía interna de un gas ideal depende únicamente de la temperatura. No depende, por ejemplo, de la presión o del volumen del gas. Una manera de cambiar la energía interna de un gas ideal es efectuar un trabajo sobre él (o permitir que el gas efectúe un trabajo sobre su entorno). Supongamos que el gas en el cilindro mostrado en la figura 1 está aislado del depósito térmico. Hagamos que el entorno efectúe un trabajo W sobre el gas. La ley generalizada de la conser vación de la energía (véase la Ec. 28 del capítulo 8) da entonces A E ínt= W
(32)
porque el gas puede almacenar energía sólo por la energía interna, y el trabajo es la única contribución al cambio en la energía interna del gas. Supongamos que el entorno efectúe un trabajo sobre el gas, de modo que W sea positivo en la ecuación 32. Se deduce entonces que A£int debe ser positivo, y usando la ecuación 31 podemos escribir A £ int = t nR AT,
(33)
así que el cambio de temperatura es también positivo. Si el émbolo se mueve hacia arriba, el entorno efectúa un trabajo negativo sobre el gas, y según la ecuación 32 el cambio en la energía interna es negativo. De acuerdo con la ecuación 33 el cambio en la temperatura es también negativo. Modifiquemos ahora una de las hipótesis básicas de nuestro modelo del gas ideal. En lugar de considerar que
una molécula esté representada como una partícula pun tual, considerémosla como dos partículas puntuales sepa radas por una distancia dada. Este modelo ofrece una descripción mejor de los gases diatómicos, los que tienen dos átomos en cada molécula y que incluyen a gases comunes tales como 0 2, N2, o CO (monóxido de carbono). Tal molécula puede adquirir energía cinética girando con respecto a su centro de masa, y por lo tanto es necesario considerar en la energía interna las contribuciones de energía cinética rotatoria así como de energía cinética de traslación. La energía cinética rotatoria de una molécula diatómi ca, ilustrada en la figura 11, puede ser escrita Kml = i Ix,C02x, + \Iy(tí2y, donde / es la inercia rotatoria de la molécula para rotacio nes con respecto a un eje en particular. El sistema de coordenadas x'y'z' está fijo en el centro de masa de la molécula. En las masas puntuales, no existe energía ciné tica asociada con la rotación con respecto al eje z', porque Iz. = 0. La energía cinética total de la molécula es la suma de las partes rotatoria y de traslación: K = %mv2 + \m v l + %mv2z + hlx-o)2, + %Iy o)y. (34) Debido a que la energía cinética es el único tipo de energía que puede tener la molécula, la ecuación 34 representa también la contribución de una molécula a la energía interna del gas. Para hallar la energía interna total del gas, debemos hallar la suma de expresiones tales como la ecuación 34 para todas las N moléculas. Una manera más sencilla es evaluar la energía promedio por molécula y multiplicarla por el número de moléculas, N. Supongamos que efectuamos un trabajo W sobre el gas, aumentando su energía interna. ¿Cuánto de este aumento aparecería como energía cinética de traslación y cuánto como energía cinética rotatoria? Esta determinación es muy importante para entender las propiedades macroscó picas del gas, porque únicamente la energía cinética de traslación promedio de un gas contribuye a su tempera tura. Esto es, dos gases con la misma energía cinética de traslación promedio tienen la misma temperatura, aun cuando uno de ellos tenga una energía rotatoria más grande y, por lo tanto, una energía interna más grande. Para determinar las contribuciones relativas de la ener gía cinética de rotación y de traslación (y posiblemente otras formas también) a la energía interna, es necesario considerar el valor promedio de cada término diferente en la expresión de la energía interna de un gas, tal como los cinco términos de la ecuación 34, la cual se basa en la hipótesis de una molécula diatómica rígida. Para otros gases, podríamos tener que incluir un tercer término rota torio, y para moléculas no rígidas es necesario incluir términos en la energía correspondientes al movimiento vibratorio (véase la sección 15-10). A partir de la mecá nica estadística clásica, la cual estudiaremos en el capítu-
Sección 23-6
La energía interna de un gas ideal
que tres átomos estén en una línea recta, como en el C 0 2). La energía cinética interna por molécula podría entonces tener un sexto término, . Para 6 grados de libertad, la energía interna es
y'
E ini = N(ÍkT) = 3nRT
Figura 11 Se muestra una molécula diatómica, que consta de dos átomos considerados como partículas puntuales, con su eje a lo largo del eje z' de un sistema de coordenadas. En esta orientación, la inercia rotatoria para rotaciones con respecto al eje z' es cero, y entonces no existe un término de la energía cinética correspondiente a tales rotaciones. Las inercias rotatorias para rotaciones con respecto a los ejes x‘ y y' no son cero, y entonces existen términos de energía cinética para tales rotaciones.
lo 24, podemos demostrar que, cuando el número de partículas es grande y se aplica la mecánica newtoniana, cada uno de estos términos independientes tiene la misma energía promedio de ±kT. En otras palabras, la energía disponible depende únicamente de la temperatura y está distribuida en partes iguales en cada una de las maneras independientes en que una molécula puede almacenar energía. Este teorema, deducido por Maxwell, se llama equipartición de la energía. Cada forma independiente que pueda tomar la energía de un sistema como, por ejemplo, los cinco términos de la ecuación 34, se llama un grado de libertad. Un gas monoatómico tiene únicamente tres grados de libertad por molécula, puesto que únicamente tiene energía cinética de traslación (£¡ul = ±m u2x + v2 + '-m v \ ). Un gas diatómico tiene cinco grados de libertad por molécula, si la molécula es rígida. Usemos el teorema de la equipartición de la energía para escribir una expresión para la energía interna de un gas ideal monoatómico. La energía interna promedio por molécula es | kT (3 grados de libertad por ík T por grado de libertad), y la energía interna total de las N moléculas es E im = N(^kT) = \n R T
(gas monoatómico), (35)
donde hemos usado las ecuaciones 6 y 8. La ecuación 35 es idéntica a la ecuación 31. Para un gas diatómico, con 5 grados de libertad, el resultado es E inl = N (\kT ) = {n R T
577
(gas diatómico).
(gas poliatómico).
(37)
Hasta el momento hemos considerado únicamente las contribuciones de la energía cinética de rotación o de traslación a la energía interna de un gas. Pueden contribuir también otras clases de energía. Por ejemplo, una mo lécula diatómica que pueda vibrar libremente (imagine mos que los dos átomos estén conectados por un resorte) tiene dos contribuciones adicionales a la energía: la ener gía potencial del resorte y la energía cinética vibratoria de los átomos. Entonces, una molécula diatómica con liber tad para trasladarse, girar, y vibrar tendría 7 (= 3 + 2 + 2) grados de libertad. Para moléculas poliatómicas, el núme ro de términos vibratorios en la energía puede ser mayor que dos. Los modos vibratorios de la energía interna son usualmente aparentes únicamente a alta temperatura, don de las colisiones más violentas pueden hacer que la mo lécula vibre. En la sección 25-4, demostramos que los resultados derivados en esta sección dan una descripción muy buena de la relación entre la energía interna y la temperatura de gases reales. Vemos también que, cuando la temperatura de un gas desciende, los movimientos vibratorio y rotato rio pueden ser “congelados”, de modo que a temperaturas suficientemente bajas únicamente están presentes los 3 grados de libertad de traslación. La deficiencia más seria de este modelo de un gas ideal es su incapacidad para explicar los efectos cuánticos inherentes en la estructura atómica y molecular. Los experimentos con colisiones en los gases proporcionaron pronta evidencia de que la ener gía interna de un átomo está cuantizada. Podemos decir entonces que el germen de la teoría cuántica se encuentra en la teoría cinética de los gases.*
Problema muestra 7 Consideremos una vez más la situación del problema muestra 5, donde el gas comienza en el punto inicial con un volumen Vt = 4.0 m3 y una presión p¡ = 10 Pa. Quitemos al cilindro del depósito térmico, y comprimamos al gas adiabáticamente hasta que su volumen sea V¡ = 1.0 m3. Halle el cambio en la energía interna del gas, suponiendo que sea helio (un gas monoatómico con y = 1.66). Solución Para hallar el cambio en la energía interna, podemos usar la ecuación 33 si conocemos el cambio en la temperatura. Podemos hallar la temperatura inicial usando la ley del gas ideal (puesto que pi y son conocidas), y podemos hallar la tempe ratura final si conocemos la presión y el volumen en el punto
(36)
Un gas poliatómico (más de dos átomos por molécula) tiene generalmente tres ejes de rotación posibles (a no ser
* Véase “On Teaching Quantum Phenomena”, por Sir N. F. Mott, Contemporary Physics, agosto de 1964, pág. 401.
578
Capítulo 23
La teoría cinética y el gas ideal
final. La presión final puede ser hallada usando la relación adiabática de la ecuación 29: Pr
p{V? _ (10Pa)(4.0 m3)1 •= 100 Pa. V¡ (1.0 m3)166
En el diagrama pV de la figura 10, el punto final del proceso adiabático se encuentra verticalmente muy por encima del punto final del proceso isotérmico (40 Pa). Esto es consistente con el hecho de que las curvas adiabáticas son más empinadas que las curvas isotérmicas, como se muestra en la figura 9. Podemos ahora proceder a hallar las temperaturas inicial y final y luego el cambio en la energía interna: (10 Pa)(4.0 m3) = 44 K. r , - PiVi. nR (0.11 mol)(8.31 J/mol-K) f
_ pfVf nR
(100 Pa)(1.0 m3) = 109 K. (0.11 mol)(8.31 J/mol-K)
AE,nt = \nRAT = K0.11 mol)(8.31 J/mol •K)( 109 K 44 K) = 89 J. El cambio en la energía interna es positivo, consistente con la ecuación 32 para este proceso adiabático, porque el trabajo efectuado al comprimir el gas es también positivo._________
23-7 FUERZAS INTERMOLECULARES (Opcional) Las fuerzas entre las moléculas son de origen electromagnético. Todas las moléculas contienen cargas eléctricas en movimiento. Estas moléculas son eléctricamente neutras en el sentido de que la carga negativa de los electrones es igual y opuesta a la carga positiva de los núcleos. Esto no significa, sin embargo, que las moléculas no interactúen eléctricamente. Por ejemplo, cuando dos moléculas se aproximan entre sí, las cargas de cada una se alteran y se desvían ligeramente de sus posiciones usuales de manera tal que la distancia promedio entre cargas opuestas en las dos moléculas es un poco más pequeña que aquélla entre cargas iguales. De aquí que resulte una fuerza intermolecular de atracción. Este reordenamiento interno tiene lugar únicamen te cuando las moléculas están relativamente cercanas entre sí, de manera que estas fuerzas actúan sólo a distancias cortas; son fuerzas de corto alcance. Si las moléculas se acercan mucho entre sí, de modo que sus cargas exteriores comiencen a trasla parse, la fuerza intermolecular se convierte en repulsiva. Las moléculas se repelen entre sí porque no hay modo de que una molécula se reordene a sí misma internamente para impedir la repulsión de los electrones externos adyacentes. Es esta repulsión al contacto la responsable de las colisiones molecula res en los gases imitando a las colisiones de las bolas de billar. Si no fuese por esta repulsión, las moléculas se atravesarían unas a otras en lugar de rebotar en la colisión. Supongamos que las moléculas son casi simétricamente es féricas. Entonces podemos describir las fuerzas intermolecula res gráficamente trazando la energía potencial mutua de dos moléculas, U, en función de la distancia r entre sus centros. La fuerza F que actúa sobre cada molécula se relaciona con la ener gía potencial U por F = -dU\dr. En la figura 12a trazamos una U(r) típica. Aquí podemos pensar que una molécula está fija en O. Entonces, la otra molécula es repelida de O cuando la pendiente de U es negativa y es atraída hacia O cuando la pen diente es positiva. En r0 ninguna fuerza actúa entre las molécu-
Figura 12 (a) La energía potencial mutua U de dos moléculas en función de su distancia de separación r. La energía mecánica E está indicada por la línea horizontal. (ti) La fuerza radial entre las moléculas, dada por -dU/dr, correspondiente a esta energía potencial. La energía potencial es mínima en la separación de equilibrio r0. en cuyo punto la fuerza es cero.
las; la pendiente es cero allí. En la figura 126 trazamos la fuerza mutua F(r) correspondiente a esta función de la energía poten cial. La línea E de la figura 12a representa la energía mecáni ca de las moléculas al chocar. La intersección de U(r) con esta línea es un “punto de retomo” del movimiento (véase la sección 8-4). La separación de los centros de las dos moléculas en el punto de retorno es la distancia de mayor acercamiento. La distancia de separación para la cual la energía potencial mutua es cero puede ser considerada como la distancia aproximada de mayor acercamiento en una colisión de baja energía y por lo tanto, también como el diámetro de la molécula. Para moléculas sencillas el diámetro es de alrededor de 2.5 x 10'10m. Para mo léculas sencillas, la distancia r0 a la cual el potencial es mínimo (el punto de equilibrio) es de alrededor de 3.5 x 10'10m y la fuerza y la energía potencial tienden a cero al aumentar r hasta unos 10"’ m, o alrededor de 4 diámetros. La fuerza molecular tiene entonces un alcance muy corto. Por supuesto, moléculas diferentes tienen tamaños diferentes y diferentes ordenamientos internos de las cargas, de modo que las fuerzas intermoleculares varían de una molécula a otra. Sin embargo, siempre muestran el comportamiento cualitativo indicado en la figura 12. En un sólido, las moléculas vibran respecto a la posición de equilibrio rB. Su energía total E es negativa, esto es, está abajo del eje horizontal en la figura 12a. Las moléculas no tienen la energía suficiente para escapar de su valle de potencial (esto es, de su fuerza de enlace). En un sólido los centros de vibración O están más o menos fijos. En un líquido las moléculas tienen una energía vibratoria mayor con respecto a los centros que son
Sección 23-8
libres de moverse pero que permanecen aproximadamente a la misma distancia entre sí. Las moléculas tienen su energía ciné tica más grande en el estado gaseoso. En un gas, la distancia promedio entre las moléculas es considerablemente más grande que el alcance efectivo de las fuerzas intermoleculares, y las moléculas se mueven en línea recta entre colisiones. Maxwell explica la relación entre el modelo de la teoría cinética de un gas y las fuerzas intermoleculares como sigue: “En lugar de decir que las partículas son duras, esféricas, y elásticas, pode mos, si nos place, decir que las partículas son centros de fuerza, cuya acción es insensible excepto a una cierta distancia peque ña, cuando súbitamente aparece como una fuerza repulsiva de enorme intensidad. Es evidente que cualquiera de las concep ciones conduciría a los mismos resultados.” Es interesante comparar las fuerzas intermoleculares medi das con la fuerza gravitatoria de atracción entre moléculas. Si elegimos una distancia de separación de 4 x IO"10 m, por ejemplo, la fuerza entre dos átomos de helio es de unos 6 * 10'13 N. La fuerza gravitatoria para esa separación es de unos 7 x 10'42 N, más pequeña que la fuerza intermolecular ¡por un factor de 1029! Éste es un resultado típico y demuestra que la gravitación es despreciable en el caso de las fuerzas intermo leculares. Si bien las fuerzas intermoleculares parecen ser pequeñas según normas ordinarias, debemos recordar que la masa de una molécula es tan pequeña (alrededor de 10‘26 kg) que estas fuerzas pueden impartir aceleraciones instantáneas del orden de 1015m/s2(IO14#). Estas aceleraciones pueden durar únicamente un tiempo muy pequeño, por supuesto, porque una molécula puede moverse muy rápidamente fuera del alcance de la influen cia de la otra. ■
La ecuación de estado de van der Waals (Opcional)
579
Figura 13 Si se considera que las moléculas de un gas se comportan como esferas sólidas, entonces el centro de la molécula B no puede moverse dentro del hemisferio de radio d centrado en la molécula A. Aquí d es el diámetro de la molécula. El volumen libre disponible para la molécula B se reduce en el volumen de tal hemisferio centrado en cada molécula del gas.
(Interviene el factor de j porque, cuando dos moléculas se aproximan entre sí, el volumen dentro del que interactúan no es una esfera completa sino el hemisferio que mira hacia la dirección de acercamiento.) En condiciones normales, 1 mol de un gas tiene un volumen de 22.4 L, y entonces la corrección b es normalmente pequeña (0.01 - 0.1%), pero puede llegar a ser mucho más significativa si estudiamos un gas a alta densidad. El volumen “libre” disponible para el gas es entonces V- nb, y podemos modificar la ecuación de estado de acuerdo con ello: p( V— nb) = nRT.
(38)
Despejando a p, obtenemos
23-8 LA ECUACION DE ESTADO DE VAN DER WAALS (Opcional) La teoría cinética describe microscópicamente el comporta miento de un gas ideal, aunque ciertas hipótesis de nuestro modelo del gas ideal no son válidas cuando se trata de gases reales. Para corregir estas deficiencias se han sugerido muchas modificaciones a la ecuación de estado del gas ideal. En la sección anterior, demostramos que una manera realista de con siderar a la fuerza intermolecular nos conduce a concluir que las moléculas tienen un diámetro pequeño pero ciertamente no cero (que puede contradecir la hipótesis 4 del modelo del gas ideal), y que el alcance de la fuerza puede ir más allá del “diámetro de colisión” (lo cual contradice la hipótesis 5). En esta sección desarrollamos una ecuación de estado modificada que tiene en cuenta estos factores. Para considerar el efecto del tamaño finito de las moléculas, consideremos cada molécula como una esfera sólida de diáme tro No se permite que dos moléculas se acerquen entre sí a una distancia entre sus centros menor que d (Fig. 13). El “volumen libre” disponible para una molécula disminuye al volumen de un hemisferio de radio d centrado en la otra molécula. Sea b la disminución en el volumen disponible debido a las moléculas en 1 mol de un gas. El volumen total disponible para todo el conjunto de moléculas en n moles es entonces el volumen Vdel recipiente menos una cantidad nb que representa al volumen ocupado por las moléculas. Si tomamos el cálculo de la sección anterior, d = 2.5 x IO'10 m, y entonces calculamos a b como b = $NA(jnd3) = 2 X 10-5 mVmol = 2 X 10-3 L/mol.
nRT P = V — nb
(39)
La ecuación 39 indica que la presión de un gas real aumenta en relación a la de un gas ideal en las mismas condiciones. En efecto, el volumen reducido disponible para las moléculas significa que efectúan más colisiones con las paredes y por lo tanto aumentan la presión. Para tomar en cuenta el efecto del alcance de la fuerza entre moléculas, consideremos una región del gas dentro de una distancia d desde una de las paredes del recipiente (Fig. 14). Elegimos d de manera que corresponda al alcance de la fuerza entre moléculas, y centramos nuestra atención en determinada molécula C que esté a punto de chocar con la pared. Cuando choca con la pared, puede emplearse el teorema impulso-ímpe tu, dp = f F dt, para relacionar el cambio de ímpetu de la molécula con el impulso de la fuerza neta F que actúa sobre ella durante la colisión. En el modelo del gas ideal, las moléculas ejercen fuerzas una sobre otra únicamente durante las colisio nes; entonces, la única fuerza que actúa sobre una molécula al chocar con la pared es ejercida por la pared. Esta fuerza, según la tercera ley de Newton, es igual a la fuerza ejercida sobre la pared por la molécula y entonces es responsable de la presión que el gas ejerce sobre las paredes del recipiente, como ya vimos en la sección 23-3. Supongamos ahora que la molécula C experimente también fuerzas a causa de la atracción de otras moléculas cercanas (aquellas que se encuentran dentro de un hemisferio de radio d, el alcance de la fuerza). Para una molécula cerca de la pared, la suma de todas las fuerzas intermoleculares da una resultante que actúa alejándose de la pared. (Las moléculas cerca de la super-
580
Capítulo 23
La teoría cinética y el gas ideal
donde a es una constante de proporcionalidad. La ecuación de estado modificada puede expresarse como: [p + a ^ ( V - n b ) = nRT.
•
l
- - d------*\ Figura 14 Una molécula de gas C (considerada aquí como un punto) cerca de la pared del recipiente experimenta una fuerza neta que se aleja de la pared debido a la atracción de las moléculas circundantes dentro del alcance d de la fuerza entre las moléculas. La presión neta sobre las paredes del recipiente es reducida por todas estas moléculas dentro de una distancia d medida desde las paredes.
ficie de un líquido experimentan una fuerza similar hacia aden tro, la cual es responsable de la tensión superficial; véase la sección 17-6.) Entonces, durante la colisión la componente de la fuerza que actúa alejándose de la pared tiene dos contribucio nes: una proveniente de la pared y la otra de las moléculas circundantes. Para un cambio dado en el ímpetu debido a una colisión con la pared, la fuerza ejercida por la pared durante la colisión es por lo tanto más pequeña, la fuerza de reacción ejercida por la molécula es más pequeña, y la presión ejercida por el gas es, de igual manera, más pequeña. Esta reducción de la presión debida a la colisión de la mo lécula C con la pared, es proporcional al número de moléculas en el hemisferio de radio d que rodea a la molécula C y por lo tanto al número de moléculas por unidad de volumen del gas, N/V. El efecto neto debido a todas las moléculas iguales a C en la capa superficial de espesor d es proporcional al número de moléculas en esa capa, el cual es también proporcional al número de moléculas por unidad de volumen del gas. La reduc ción total en presión resultante de la fuerza entre las moléculas es entonces proporcional a (N/V)2. Esto es, si triplicamos el número de moléculas pero mante nemos constante el volumen del recipiente, nuestro hemisferio imaginario tendrá tres veces tantas moléculas y de aquí que la molécula C sufrirá tres veces la fuerza que la aleja de la pared. En todo el gas habrá tres veces el número de moléculas, cada una de las cuales sufrirá el mismo efecto. El efecto total aumenta por lo tanto nueve veces. El efecto neto de la fuerza intermolecular introduce una corrección a la presión, proporcional a (N/V)1. En lugar de escribir esta corrección en términos del número de moléculas N, la escribimos en términos del número de moles n, de modo que la presión corregida resulta ser P
nRT V-nb
( nV
a\ v j ’
(4(N
(41)
Esta expresión, deducida por vez primera por J. D. van der Waals (1837-1923) se llama ecuación de estado de van der Waals. Obsérvese que la ecuación 41 se reduce a la ecuación de estado del gas ideal (Ec. 7) cuando el gas ocupa un volumen grande (esto es, las moléculas están muy separadas entre sí y la densidad del gas es pequeña). Los valores de las constantes a y b deben determinarse experimentalmente, lo cual hace empírica a la ecuación en este respecto. Al igual que la ecuación de estado del gas ideal, se basa también en un modelo con hipótesis de gran simplifica ción. No existe ninguna fórmula simple que pueda aplicarse a todos los gases bajo todas las condiciones, y únicamente a través de la experimentación podemos saber si una ecuación es supe rior a otra en su descripción de la realidad en determinado conjunto de condiciones. La figura 15 compara las isotermas de un gas ideal con las calculadas para el C 02 con la ecuación de estado de van der Waals. Obsérvese que la desviación del comportamiento ideal se presenta principalmente a presión alta y temperatura baja. Para el C02 a temperaturas por debajo de 304 K, las isotermas comienzan a curvarse hacia abajo, indicando que cuando disminuimos el volumen, la presión disminuye igual mente. Puesto que este comportamiento es contrario a lo que se esperaba para un gas, ello nos sugiere que parte del C02se está condensando en un liquido, dejando menos de él en el estado gaseoso. El modelo de van der Waals sugiere entonces la existencia de mezclas de fases diferentes, lo cual no puede lograr el modelo del gas ideal. Si fuésemos a comprimir una muestra de C02, hallaríamos que la isoterma T = 264 K real no se inclinaría hacia abajo como lo predice la ecuación de van der Waals, sino que seguiría el segmento horizontal AB en la figura 15, conforme el gas se condensa en un líquido a presión constante. El modelo de van der Waals proporciona una mejora sobre el modelo del gas ideal, pero ningún modelo sencillo sirve para explicar el comportamiento del gas bajo todas las circuns tancias posibles. Hallamos también que los otros resultados para el gas ideal son sólo aproximadamente correctos al aplicarlos a los gases reales. Por ejemplo, la energía interna de un gas real depen de del volumen así como también de la temperatura. Si existen fuerzas de atracción entre las moléculas, entonces la energía potencial interna aumenta al aumentar la distancia promedio entre las moléculas. Por lo tanto, esperamos que la energía interna de un gas aumente ligeramente con el volumen, y esta expectativa es consistente con los experimentos en la ma yoría de los gases. Si el estado del gas es tal que las fuerzas repulsivas son más importantes que las fuerzas atractivas, en tonces al aumentar la distancia entre las moléculas disminu ye la energía potencial. Para ciertos gases (por ejemplo, el hidrógeno y el helio a temperaturas ordinarias) se observa que la energía interna disminuye cuando el volumen aumen ta. En cualquier caso, la energía interna no es simplemente una función de la temperatura sino que depende también del volumen.
Problema muestra 8 La isoterma graficada en la figura 156 para el C02a la temperatura T = 304 K se llama isoterma crítica.
Sección 23-8
(„)
K(10-4 m3)
m
La ecuación de estado de van der Waals (Opcional)
581
V(10~4 m3)
Figura 15 (a) Isotermas para 1 mol de un gas ideal. (b) Isotermas para un mol de C02determinadas por la ecuación de van der Waals. Obsérvese que a gran volumen, las isotermas ideal y de van der Waals se comportan similarmente. Cuando se elevan las temperaturas, las isotermas de van der Waals se comportan más como las del gas ideal. Obsérvese también que, si la presión es muy grande, el volumen tiende al valor de b, como lo requiere la ecuación 40, en lugar de al valor cero, como lo predice la ecuación de estado del gas ideal. La línea interrumpida AB muestra una representación más realista de la isoterma T = 264 K. Cuando el gas se comprime a lo largo de esta isoterma, parte del gas se condensa en un líquido, y la presión permanece constante.
Se distingue por tener un mínimo y un punto de inflexión (el punto donde la curva cambia el sentido de su concavidad) que coinciden en el mismo punto. Usando esta información junto con el valor de la presión crítica pa, calcule los valores de las constantes a y b de van der Waals para el C02. Solución El mínimo de una curva en un diagrama pV se determina por el punto en que la pendiente dp/dV es cero, y en cálculo aprendimos que en un punto de inflexión la segunda derivada es cero. Podemos hallar las derivadas cuando la ecua ción de estado de van der Waals se escribe en la forma de la ecuación 40: dp _
—nRT
d V ~ ( V - n b )2
2an2 T 5" ’
d2p _ 2nRT 6 an2 dV2~ ( V - n b y ~ ~ V ^ ' Al considerar ambas derivadas suponemos a T constante, como es lo apropiado para una isoterma. Haciendo a ambas derivadas iguales a cero y resolviendo estas ecuaciones simultáneamente para a y b, hallamos
21R2T l ü ==~T a— 64pa
>
Puesto que pct = 0.75 x 107 Pa por la figura 156, podemos entonces calcular que a = 0.364 J ■m3/mol2
y
b = 4.27 X 10~5 m3/mol.
Si bien el modelo de van der Waals da una descripción mucho mgs realista que el modelo del gas ideal para el comportamiento de un gas real como el C02, ello sigue representando únicamente una aproximación del comportamiento real. En el caso del C02, por ejemplo, el cálculo anterior da Vcr = 3nb = 1.28 x 10'4m3 para el volumen de 1 mol en el punto crítico. Sin embargo, el valor medido es de 0.96 * 10'4 m3. De cualquier modo, es un primer paso exitoso para mejorar el modelo del gas ideal en los casos en que las moléculas están tan cercanas entre sí, que las hipótesis básicas del modelo del gas ideal no tienen validez e incluso nos sugiere que existe condensación debida a la fuerza entre las moléculas, cosa que el modelo del gas ideal no puede lograr en absoluto. M_______________________________
PREGUNTAS 1. Al discutir el hecho de que es imposible aplicar las leyes de la mecánica individualmente a los átomos en un sistema macroscópico, Mayer y Mayer afirman: “La complejidad
real del problema (es de¿ir, el hecho de que el número de átomos sea grande) es el secreto de su solución”. Explique esta frase.
582
Capítulo 23
La teoría cinética y el gas ideal
2. En la teoría cinética supusimos que en un gas existe un número grande de moléculas. Los gases reales se compor tan como un g a s ideal a densidades b a j a s . ¿Son contradic torias estas afirmaciones? Si no lo son, ¿qué conclusión puede usted sacar de ellas? 3. Hemos supuesto que las paredes del recipiente son elásti cas en las colisiones moleculares. En realidad, las pare des pueden ser inelásticas. ¿Por qué no importa esto, siempre y cuando las paredes estén a la misma temperatura que el gas? 4. En un día húmedo, algunos dicen que el aire está “pesado”. ¿Cómo se compara la densidad del aire húmedo con la del aire seco a la misma temperatura y presión? 5. ¿En qué parte de la siguiente secuencia encaja la velocidad media cuadrática de moléculas en aire quieto y tempera tura ambiente; 0; 2 m/s (velocidad al caminar); 30 m/s (auto rápido); 500 m/s (avión supersónico); 1.1 x lO4m/s (velocidad de escape de la Tierra); 3 * 108m/s (velocidad de la luz)? 6. Dos salones de igual tamaño se comunican a través de una puerta abierta. Sin embargo, las temperaturas medias en los dos salones se mantienen en valores diferentes. ¿En cuál de los dos salones hay más aire? 7. Los movimientos moleculares se mantienen sin ninguna fuerza externa, y continúan indefinidamente sin ninguna señal de que disminuya su velocidad. ¿Cuál es la razón de que la fricción no lleve a estas diminutas partículas al reposo, como lo hace en otras partículas en movimiento? 8. ¿Qué justificación existe para despreciar los cambios de la energía potencial gravitatoria de las moléculas en un gas? 9. Hemos supuesto que la fuerza ejercida por las moléculas sobre la pared de un recipiente es estacionaria en el tiem po. ¿Cómo se justifica esto? 10. Se halla que el peso de una bolsa plana y vacía de plástico delgado no cambia cuando se llena de aire. ¿Por qué no? 11. Sabemos que una piedra caerá al suelo si la soltamos. No anteponemos ningún obstáculo a las moléculas del aire, y sin embargo no caen todas al suelo. ¿Por qué no? 12. Justifique el hecho de que la presión de un gas depende del cuadrado de la velocidad de sus partículas explicando la dependencia de la presión de la frecuencia de colisión y de la transferencia de ímpetu de las partículas. 13. ¿Cómo se relaciona la velocidad del sonido con las varia bles del gas en el modelo de la teoría cinética? 14. Considere una pelota de golf estacionaria y caliente puesta sobre el punto de partida (el teé) y una pelota de golf fría justo cuando sale del tee después de haber sido golpeada. La energía cinética total del movimiento de las moléculas con relación al tee puede ser la misma en los dos casos. Explique cómo. ¿Cuál es la diferencia entre los dos casos? 15. Se reporta que muy lejos de la superficie de la Tierra la temperatura cinética del gas es del orden de 1000 K. Sin embargo, una persona situada en ese entorno se congelaría hasta morir en lugar de evaporarse. Explique. 16. ¿Por qué no se “fuga” la atmósfera de la Tierra? En la parte superior de la atmósfera los átomos se enfilarán ocasio nalmente hacia afuera con una velocidad superior a la
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velocidad de escape. ¿No es esto sólo una cuestión de tiempo? Titán, una de las muchas lunas de Saturno, tiene una atmósfera, pero nuestra Luna no la tiene. ¿Cuál es la explicación? ¿Cómo, de ser así, esperaría usted que cambie la compo sición del aire con la altura? Explique por qué la temperatura disminuye con la altura en la atmósfera inferior. En colisiones inelásticas a gran escala se pierde energía mecánica a causa de la fricción interna, lo que conduce a una elevación de temperatura debido al aumento en la agitación molecular interna. ¿Existe una pérdida de ener gía mecánica que pasa a ser calor en una colisión inelástica entre moléculas? Al considerar cantidades que deben ser conservadas en una colisión elástica, demuestre que en general las mo léculas de un gas no pueden tener las mismas velocidades después de una colisión que las que tenían antes. ¿Es entonces posible que un gas conste de moléculas que tengan todas la misma velocidad? A menudo decimos que vemos salir el vapor del pico de una tetera en la que el agua está hirviendo. Sin embargo, el vapor es, en sí mismo, un gas incoloro. ¿Qué es lo que vemos realmente? ¿Por qué se eleva el humo de una vela encendida, en lugar de caer? ¿Obedecería a la ley del gas ideal un gas cuyas moléculas fuesen verdaderos puntos geométricos? ¿Por qué las moléculas no viajan en líneas perfectamente rectas entre colisiones y qué efecto, fácilmente observable en el laboratorio, tiene por resultado? ¿Por qué debe ser relativamente corto el tiempo permitido para una separación por difusión? Supongamos que queremos obtener 238U en lugar de 235U como producto final de un proceso de difusión. ¿Usaría mos el mismo proceso? Si no, explique cómo tendría que modificarse el proceso de separación. Considerando la mutua difusión de los gases, ¿puede usted trazar una analogía con una multitud empujándose a co dazos en medio de muchas “colisiones” en un gran plano inclinado con una pendiente de unos cuantos grados? ¿Puede usted describir un aparato centrífugo para separa ción de gases? ¿Es una centrífuga mejor que una cámara de difusión para la separación de gases? ¿Cambian la presión y el volumen del aire en una casa cuando la estufa aumenta la temperatura significativa mente? De no ser así, ¿se viola la ley del gas ideal? ¿Esperaría usted que las moléculas reales sean simétrica mente esféricas? De no ser así, ¿cómo cambiaría la fun ción de la energía potencial de la figura 12a? Explique por qué la temperatura de un gas decrece en una expansión adiabática. Si el aire caliente se eleva, ¿por qué es más frío en la cima de una montaña que cerca del nivel del mar? Comente esta aseveración: “Existen dos maneras de llevar a cabo un proceso adiabático. Una es efectuarlo rápida mente y la otra es efectuarlo dentro de una caja aislada”.
Problemas
35. Un globo de hule sellado contiene un gas muy ligero. El globo se deja ir y se eleva a gran altura en la atmósfera. Describa y explique el comportamiento térmico y mecá nico del globo. 36. Si bien los gases reales pueden ser licuados, un gas ideal no puede. Explique. 37. Demuestre que cuando el volumen por mol de un gas aumenta, la ecuación de van der Waals tiende a la ecuación de estado de un gas ideal.
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38. Las cantidades extensivas tienen valores que dependen de cuál sea la frontera del sistema, mientras que las canti dades intensivas son independientes de la elección de la frontera. Es decir, las cantidades extensivas están ne cesariamente definidas para la totalidad de un sistema, mientras que las cantidades intensivas se aplican unifor memente a cualquier parte pequeña del sistema. De las cantidades siguientes, determine cuáles son extensivas y cuáles son intensivas: presión, volumen, temperatura, densidad, masa, energía interna.
PROBLEMAS Sección 23-1 Propiedades macroscópicas de un gas y la ley del gas ideal 1. (a) Calcule el volumen ocupado por 1.00 mol de un gas ideal en condiciones estándar, es decir, a la presión de 1.00 atm (= 1.01 x 105Pa) y temperatura de 0°C(= 273 K). (b) Demuestre que el número de moléculas por centímetro cúbico (el número Loschmidt) en las condiciones estándar es de 2.68 x IO15. 2. El mejor vacío que puede obtenerse en el laboratorio corresponde a una presión de unas 10 “ atm, o sea 1.01 x 10'13 Pa. ¿Cuántas moléculas hay por centímetro cúbico en ese vacío a 22°C? 3. Una cantidad de gas ideal a 12.0°C y una presión de 108 kPa ocupa un volumen de 2.47 nv1. (a) ¿Cuántos moles contiene el gas? (b) Si la presión se eleva ahora a 316 kPa y la temperatura se eleva a 31.0°C, ¿qué volumen ocupará ahora el gas? Suponga que no existan fugas. 4. Oxígeno gaseoso, con un volumen de 1130 cm3a 42.0°C y una presión de 101 kPa, se dilata hasta que su volumen es de 1530 cm3 y su presión de 106 kPa. Halle (a) el número de moles de oxígeno en el sistema y (b) su tem peratura final. 5. Un globo meteorológico se infla libremente con helio a una presión de 1.00 atm (= 76.0 cm Hg) y una temperatura de 22.0°C. El volumen del gas es de 3.47 m3. A una elevación de 6.50 km, la presión atmosférica desciende a 36.0 cm Hg y el helio se lia dilatado, sin restricción por parte de la bolsa que lo confina. A esta elevación la temperatura del gas es de -48.0°C. ¿Cuál es ahora el volumen del gas? 6. La variación de la presión en la atmósfera de la Tierra, supuesta a una temperatura uniforme, está dada por p = p0e'Msy/RT, en donde M es la masa molar del aire. (Véase la sección 17-3.) Demuestre que nv = nme~Msy/RT, donde nv es el número de moléculas por unidad de volumen. 7. Considere una masa dada de gas ideal. Compáre las curvas que representan procesos a presión constante, volumen constante, e isotérmico (a temperatura constante) en (a) un diagrama pV, (b) un diagrama pT, y (c) un diagrama VT. (d ) ¿Cómo dependen estas curvas de la masa del gas?
8. Calcule la masa de la atmósfera de la Tierra. Exprese su respuesta como una fracción de la masa de la Tierra. Recuerde que la presión atmosférica es igual a 101 kPa. 9. Una llanta de automóvil tiene un volumen de 988 in3 y contiene aire a una presión manométrica de 24.2 lb/in2 cuando la temperatura es de -2.60°C. Halle la presión manométrica del aire en la llanta cuando su temperatura se eleve a 25.6°C y su volumen aumente a 1020 in3. (,Sugerencia: No es necesario convertir de unidades ingle sas a unidades SI. ¿Por qué? Úsese pmn = 14.7 lb/in2). 10. (a) Considere 1.00 mol de un gas ideal a 285 K y 1.00 atm de presión. Suponga que las moléculas en su mayor parte están igualmente espaciadas en los centros de cubos idén ticos. Usando la constante de Avogadro y tomando el diámetro de una molécula como de 3.00 x 10_s cm, halle la longitud de una arista de ese cubo y calcule la razón entre esta longitud y el diámetro de una molécula. La longitud de la arista es una estimación de la distancia entre las moléculas del gas. (b) Considere ahora un mol de agua que tenga un volumen de 18 cm3. Suponga de nuevo que las moléculas están espaciadas igualmente en los centros de cubos idénticos y repita el cálculo de (a). 11. Una burbuja de aire de 19.4 cm3 de volumen está en el fondo de un lago a una profundidad de 41.5 m, donde la temperatura es de 3.80°C. La burbuja se eleva a la super ficie, que está a una temperatura de 22.6°C. Considere que la temperatura de la burbuja es la misma que la del agua circundante y halle su volumen justo antes de que alcance la superficie. 12. Un tubo abierto en un extremo y cerrado en el otro de longitud L = 25.0 m contiene aire a la presión atmosférica. Se introduce verticalmente en un lago de agua dulce hasta que el agua se eleva a la mitad en el tubo, como se muestra en la figura 16. ¿Cuál es la profundidad h del extremo inferior del tubo? Suponga que la temperatura es la misma en cualquier parte y que no cambia. 13. El recipiente A contiene un gas ideal a una presión de 5.0 x 105Pa y a una temperatura de 300 K. Está conectado por un tubo delgado al recipiente B con cuatro veces el volumen de A; véase la figura 17. B contiene el mismo gas ideal a una presión de 1.0 x 105Pa y a una temperatura
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Capítulo 23
La teoría cinética y el gas ideal
Figura 16 Problema 12. Figura 18 Problema 16.
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20. de 400 K. Se abre la válvula de conexión, y se llega al equilibrio a una presión común mientras que la tempera tura de cada recipiente se mantiene constante en su valor inicial. ¿Cuál es la presión final en el sistema? 14. Dos vasijas de volúmenes 1.22 L y 3.18 L contienen gas criptón y están conectadas por un tubo delgado. Inicial mente, las vasijas están a la misma temperatura, 16.0°C, y a la misma presión, 1.44 atm. Luego, se caliente la vasija más grande a 108°C mientras que la más pequeña perma nece a 16.0°C. Calcule la presión final. (Sugerencia: No existen fugas.) 15. Considere una muestra de gas argón a 35.0°C y 1.22 atm de presión. Suponga que el radio de un átomo (esférico) de argón sea de 0.710 « 10'10m. Calcule la fracción del volumen del recipiente ocupado realmente por átomos. 16. Un manómetro lleno de mercurio con dos brazos de lon gitud desigual de igual área en la sección transversal está sellado con la misma presión p 0 en los dos brazos, como en la figura 18. A temperatura constante, se admiten 10.0 cm3 adicionales de mercurio por medio de una llave de paso situada en el fondo. El nivel en la izquierda aumenta 6.00 cm y en la derecha aumenta 4.00 cm. Halle la presión p0. Sección 23-3 Cálculo cinético de la presión 17. La temperatura en el espacio interestelar es de 2.7 K. Halle la velocidad media cuadrática de moléculas de hi drógeno a esta temperatura. (Véase la tabla 1.) 18. Calcule la velocidad media cuadrática de moléculas de amoniaco (NH3) a 56.0°C. Un átomo de nitrógeno tiene
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una masa de 2.33 x 10'26 kg y un átomo de hidrógeno tiene una masa de 1.67 x 10'27kg. A 0°C y 1.000 atm de presión las densidades del aire, del oxígeno, y del nitrógeno son, 1.293 kg/m3, 1.429 kg/m3, y 1.250 kg/m3 respectivamente,. Calcule la fracción por masa de nitrógeno en el aire a partir de estos datos, suponiendo que únicamente estos dos gases están pre sentes. La masa de la molécula de H2 es de 3.3 x 10'24 g. Si 1.6 x 1023moléculas de hidrógeno por segundo golpean a 2.0 cm2de pared a un ángulo de 55° con la normal cuando se mueven con una velocidad de 1.0 x 105 cm/s, ¿qué presión ejercen sobre la pared? A 44.0°C y 1.23 x 10"2 atm la densidad de un gas es de 1.32 x 10"5g/cm3. (a) Halle vm para las moléculas del gas. (b) Halle la masa molar del gas e identifíquelo. La ley de Dalton establece que cuando las mezclas de gases que no tienen una interacción química están juntos en un recipiente, la presión ejercida por cada constituyente a una temperatura dada es la misma que la que ejercería si uno solo de ellos llenase todo el depósito, y que la presión total es igual a la suma de las presiones parciales de cada gas. Derive esta ley a partir de la teoría cinética, usando la ecuación 14. Un recipiente encierra dos gases ideales. Hay presentes dos moles del primer gas, con una masa molar de Ai,. Las moléculas del segundo gas tienen una masa molar de M2 = 3Ai,, y está presente 0.5 mol de este gas. ¿Qué fracción de la presión total sobre la pared del recipiente es atribuible al segundo gas? (Sugerencia: Véase el problema 22).
Sección 23-4 Interpretación cinética de la temperatura 24. El Sol es una enorme bola de gas ideal caliente. El resplan dor que rodea al Sol en la fotografía de rayos-X mostrada en la figura 19 es la corona: la atmósfera del Sol. Su temperatura y presión son de 2.0 x 106 K y 0.030 Pa. Calcule la velocidad rms de los electrones libres en la corona. 25. (a) Calcule el valor promedio en electrovolt de la energía cinética de traslación de las partículas de un gas ideal a
Problemas
Figura 19 Problema 24.
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0°C y a 100°C. (b) Halle la energía cinética de traslación por mol de un gas ideal a estas temperaturas, en joules. ¿A qué temperatura es igual a 1.00 eV el promedio de la energía cinética de traslación de una molécula de un gas ideal? En una caja cúbica de 25 cm de lado está confinado oxígeno gaseoso (0 2) a 15°C y 1.0 atm de presión. Calcule la razón de cambio entre la energía potencial gravitatoria de un mol de moléculas de oxígeno que descienden la altura de la caja, y la energía cinética total de traslación de las moléculas. El oro tiene una masa molar (atómica) de 197 g/mol. Considere una muestra de 2.56 g de vapor de oro puro, (a) Calcule el número de moles de oro presentes. (b) ¿Cuán tos átomos de oro están presentes? Halle la energía cinética media de traslación de cada molécula de nitrógeno a 1600 K (a) en joules y (b) en electrovolt. (a) Halle el número de moléculas en 1.00 m3 de aire a 20.0°C y una presión de 1.00 atm. (b) ¿Cuál es la masa de este volumen de aire? Suponga que 75% de las moléculas son nitrógeno (N2) y 25% son de oxígeno (02). Considere que un gas a una temperatura T que ocupa un volumen V consta de una mezcla de átomos, es decir, Nh átomos de masa cada uno de ellos con una velocidad rms y Nhátomos de masa mbcada uno de ellos con una velocidad rms ub. (a) Dé una expresión para la presión total ejercida por el gas. (b) Suponga ahora que /Va = Nb, y que los átomos diferentes se combinan a un volumen constante para formar moléculas de masa /n, + mb. Una vez que la temperatura regresa a su valor inicial, ¿cuál sería la razón entre la presión después de la combinación y la presión antes de la combinación? Un tanque de acero contiene 315. g de amoniaco gaseoso (NH3) a una presión absoluta de 1.35 x 106 Pa y a una
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temperatura de 77.0°C. (a) ¿Cuál es el volumen del tan que? (b) El tanque se verifica más tarde cuando la tempe ratura ha caído a 22.0°C y la presión absoluta ha caído a 8.68 x 105 Pa. ¿Cuántos gramos de gas se fugaron del tanque? 33. (a) Calcule las temperaturas a las cuales la velocidad rms es igual a la velocidad de escape desde la superficie de la Tierra para hidrógeno molecular y para oxígeno molecu lar. (b) Haga lo mismo para la Luna, suponiendo que la aceleración gravitatoria en su superficie sea de 0.16 g. (c) La temperatura de las capas superiores de la atmósfera de la Tierra es de unos 1000 K. ¿Cabría que hubiera mucho hidrógeno allí? ¿Y mucho oxígeno? 34. ¿A qué temperatura tienen los átomos del gas helio la misma velocidad rmc que las moléculas del gas hidrógeno a 26.0°C? 35. La envoltura y la canastilla de un globo de aire caliente tienen una masa total de 249 kg, y la envoltura tiene una capacidad de 2180 m3. Cuando está totalmente infla do, ¿cuál sería la temperatura del aire confinado para darle al globo una capacidad de ascenso de 272 kg (adefnás de su propia masa)? Supóngase que el aire circundante, a 18.0°C, tiene una densidad de 1.22 kg/m3. Sección 23-5 Trabajo efectuado sobre un gas ideal 36. Una muestra de gas se dilata de 1.0 a 5.0 m3mientras que su presión desciende de 15 a 5.0 Pa. ¿Cuánto trabajo es efectuado sobre el gas si su presión cambia con el volumen según cada uno de los tres procesos mostrados en el diagrama pV de la figura 20?
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Vim3) Figura 20 Problema 36. 37. Suponga que una muestra de gas se dilata de 2.0 a 8.0 m3 a lo largo de la trayectoria diagonal del diagama p V que se muestra en la figura 21. Luego se comprime nuevamen te a 2.0 m3a lo largo de cualquiera de las trayectorias 1 ó 2. Calcule el trabajo neto efectuado sobre el gas para el ciclo completo en cada caso. 38. La velocidad del sonido en gases diferentes a la mis ma temperatura depende de la masa molar del gas. De muestre que v jv 2 = ■/Mj/AÍ, (Tconstante), en donde l>, es la velocidad del sonido en el gas de masa molar Ai, y v2 es la velocidad del sonido en el gas de masa molar M2. 39. El aire a 0.00°C y 1.00 atm de presión tiene una densi dad de 1.291 x 103g/cm3, y la velocidad del sonido es de
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Capítulo 23
La teoría cinética y el gas ideal
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V (m3)
F igu ra 21
Problema 37.
Halle la temperatura del aire comprimido, (tí) ¿Cuánto aire comprimido, en litros, se libera en cada segundo? 47. Un tubo delgado, sellado en ambos extremos, tiene 1.00 m de largo. Cuando está horizontal, en el centro contiene 10.0 cm de mercurio y los dos extremos iguales contienen aire a la presión atmosférica normal. Si el tubo es volteado a una posición vertical, ¿en qué cantidad se desplazará el mercurio? Suponga que el proceso es (a) isotérmico y (tí) adiabático. (Para el aire, y = 1.40). ¿Cuál de las dos suposiciones es la más razonable? Sección 23-6 La energía interna de un gas ideal
331 m /s a esa temperatura. C alcule ( a ) el valor de y para el aire y (tí) la masa molar efectiva del aire. 40. Una cantidad de aire que ocupa 0.142 m 3 a 103 kPa de presión manométrica se dilata isotérm icam ente a una pre sión manométrica cero y luego se enfría a presión con s tante hasta que alcanza su volum en inicial. C alcule el trabajo efectuado sobre el gas. 41. C alcule el trabajo efectuado por un agente externo al comprimir 1.12 m ol de o xígen o de un volum en de 22.4 L y 1.32 atm de presión a 15.3 L a la misma temperatura. 42. U se el resultado del problema muestra 6 para demostrar que la velocidad del sonido en el aire aumenta alrededor de 0.59 m /s por cada grado C elsius de elevación de la temperatura cerca de 20°C. 43. Un gas ocupa un volum en de 4.33 L a una presión de 1.17 atm y una temperatura de 310 K. Se le comprime adiabáticamente a un volum en de 1.06 L. D eterm ine (a) la presión final y (tí) la temperatura final, suponiendo que el gas sea un gas ideal para el cual y = 1.40. ( c ) ¿Cuánto trabajo fue efectuado sobre el gas? 44. ( a ) Un litro de gas con y = 1.32 está a 273 K y 1.00 atm de presión. Se le com prim e súbitamente (adiabáticamen te) hasta la mitad de su volum en original. H alle su presión y temperatura finales, (tí) El gas es ahora enfriado de nuevo a 273 K a presión constante. Halle el volum en final, (c) H alle el trabajo total efectuado sobre el gas. 45. El gas en una cámara W ilson a una temperatura de 292 K experimenta una expansión rápida. Suponiendo que el proceso sea adiabático, calcule la temperatura final si y = 1.40 y la razón de dilatación del volum en es de 1.28. 46. Un compresor de aire aspira aire a 18.0°C y 1.00 atm de presión y libera aire com prim ido a una presión de 2.30 atm. El compresor opera a 2 3 0 W de potencia útil. Suponga que el compresor opera adiabáticamente, ( a )
48. Calcule la energía interna de un mol de un gas ideal a 25.0°C. 49. Calcule la energía cinética rotatoria total de todas las moléculas contenidas en un mol de aire a 25.0°C. 50. Una partícula de rayos cósmicos con una energía de 1.34 TeV es detenida en un tubo de detección que contiene 0.120 mol de gas neón. Una vez que esta energía esté distribuida entre todos los átomos, ¿en cuánto habrá au mentado la temperatura del neón? 51. Un gas ideal experimenta una compresión adiabática de p = 122 kPa, V = 10.7 m3, T = -23.0°C a p = 1450 kPa, V = 1.36 m3. (a) Calcule el valor de y. (b) Halle la tempera tura final, (c) ¿Cuántos moles de gas están presentes? (d) ¿Cuál es la energía cinética de traslación total por mol an tes y después de la compresión? (e) Calcule la razón entre las velocidades rms antes y después de la compresión. Sección 23-8 La ecuación de estado de van der Waals 52. La b de van der Waals para el oxígeno es de 32 cm’/mol. Calcule el diámetro de una molécula de 0 2. 53. Usando los valores de a y b para el C 02 hallados en el problema muestra 8, calcule la presión a 16.0°C de 2.55 mol de gas C02 que ocupa un volumen de 14.2 L. Suponga (a) que la ecuación de van der Waals sea correcta y luego (tí) que el C 02se comporte como un gas ideal. 54. Calcule el trabajo efectuado sobre n moles de un gas van der Waals en una expansión isotérmica de un volumen V. a un volumen V¡. 55. Demuestre que Vcr = 3nb. 56. Las constantes a y b en la ecuación van der Waals son diferentes para cada sustancia. Sin embargo, demuestre que si consideramos a Vct, pct, y Tcr como las unidades de volumen, presión, y temperatura, la ecuación van der Waals resulta idéntica para todas las sustancias.
CAPÍTULO 24 MECÁNICA ESTADÍSTICA En la sección 23-4, en que tratábamos de la teoría cinética, hemos determinado el promedio de energía cinética de traslación de las moléculas de un gas. Sin embargo, el promedio no nos dice nada sobre cómo se distribuyen las velocidades de cada molécula en el promedio. En ciertos casos, el promedio puede proporcionar suficiente información respecto a las propie dades del gas, como la temperatura. En otros casos, será necesario tener más información acerca de la distribución de velocidades. Si va usted a diseñar un avión comercial de pasajeros, debe conocer el peso promedio de los pasajeros y de su equipaje para calcular la fuerza ascencional, requerida para que el aeroplano vuele con seguridad. El número de pasajeros de mayor o menor peso es de poco interés. Por otra parte, si su trabajo consiste en ordenar trajes en una tienda de ropa, necesitará información sobre la distribución de las tallas; conocer la talla promedio de los clientes no le servirá de mucho. En este capítulo estudiamos la distribución de las velocidades y de las energías moleculares, y su uso para calcular las propiedades macroscópicas de conjuntos de moléculas. Este enfoque de la termodinámica se llama mecánica estadística. Sus formulaciones clásicas fueron elabo radas por primera vez en el siglo x ix por Maxwell, Gibbs, y Boltzmann. En el siglo XX, muchas de estas técnicas fueron aplicadas por Einstein, Planck, Fermi y otros a sistemas gobernados por las leyes de la mecánica cuántica.
24-1 DISTRIBUCIONES ESTADÍSTICAS Y VALORES MEDIOS Un ingeniero de caminos desearía sin duda tener cierta in formación sobre la distribución de las velocidades de los automóviles que circulan en determinado tramo de carre tera. Colocando sensores separados por una distancia co nocida, el ingeniero puede determinar el tiempo necesario para que un automóvil recorra esa distancia y determinar así su velocidad. Después de acumular y seleccionar ta les datos durante varías semanas, el ingeniero analiza los datos para estudiar la necesidad de mejoras en la carretera. ¿Cómo puede exhibirse tal información de manera que permita este análisis? Una simple lista de las velocidades proporciona dema siada información y no resulta conveniente. En cambio, el ingeniero clasifica las velocidades en grupos. ¿Cuántos automóviles tienen velocidades entre 0 y 5 mph? ¿Entre 5 y 10 mph? El resultado de tal clasificación vendría a ser
similar al mostrado en la figura 1, la cual da la distribución estadística de las velocidades en una forma que conoce mos como histograma. Cada área rectangular tiene un ancho igual al tamaño del intervalo elegido (los cuales no necesitan ser todos iguales) y una altura igual al número de observaciones o frecuencia relativa de valores en ese intervalo. La distribución da al ingeniero toda la información esencial con respecto al tráfico en esta carretera, para la cual el límite de velocidad es de 45 mph. El número total de automóviles en el estudio es precisamente la suma de las alturas de todos los rectángulos (1205). La fracción que supera al límite de velocidad de 45 mph es el total de las alturas de los últimos cuatro intervalos (194) dividida entre el número total en el estudio (1205), lo cual da 0.16, o sea 16%. El promedio o velocidad media es de 32.4 mph, pero la velocidad más probable (el intervalo con el núme ro más grande) está en el intervalo de 35 a 40 mph. El ingeniero puede ahora decidir si se necesitarían mejo ras en la carretera para aumentar la velocidad media o si
588
Capítulo 24
Mecánica estadística Velocidad más probable (3 5 4 0 mph)
32.4 m p h
200
de velocidad medía
X
Para hallar ~v, encontramos la suma de todas las obser vaciones (que es equivalente a la suma de los productos de la velocidad representativa en cada intervalo por el número de observaciones en ese intervalo), y luego divi dimos esa suma por el número total de observaciones:
g 100 i
v- ■
*
10
20
30
40
50
60
70
Velocidad (mph)
Figura 1 Distribución estadística de las velocidades de los automóviles que viajan en un tramo dado de la carretera. Los datos se disponen en casillas de 5 mph de ancho. La altura de cada casilla muestra el número de automóviles con velocidad en esa zona de 5 mph. Los datos pueden caracterizarse por la velocidad media y la velocidad más probable.
se necesitaría una vigilancia más estricta para disminuir el número de transgresores. La figura 1 es una distribución estadística basada pura mente en datos empíricos. No existe una “teoría de las velocidades de los automóviles” que pueda utilizarse para derivar una fórmula matemática que prediga la forma de la distribución. Sin embargo, proporciona la información esencial con respecto al comportamiento estadístico de los automóviles en esta situación. No es de interés para el ingeniero si un automóvil en particular tiene una veloci dad de, digamos, 32.46 mph o de 33.14 mph. Aun cuando la velocidad sea una variable continua, elegimos las velo cidades posibles dentro de casillas discretas, y los núme ros relativos en las casillas nos ayudan a entender una situación física. El promedio o valor medio de la velocidad, v, puede calcularse a partir de la distribución estadística de la figu ra 1. Supongamos que tenemos un total de B casillas o intervalos en que han sido clasificados los datos; en la figura 1, B = 13. Los intervalos están marcados con el índice i, donde i = 1,2, ... , B. Elegimos un valor v¡ típico o representativo de la velocidad en cada intervalo; este valor podría ser, por ejemplo, la velocidad en el centro de cada intervalo. Cada intervalo tiene un ancho 5v (el cual por simplificación suponemos que es el mismo para todos los intervalos, aunque, en general, no necesita serlo) y una altura n( v¡), el número de observaciones para ese intervalo corres pondientes a la velocidad representativa v¡. El. número total de observaciones JVestá dado entonces por el total de los nú meros de observaciones en cada casilla, o sea ^
=
2
n ( v ¿>
donde la suma se extiende a todas las casillas.
( 1)
(2 )
La ecuación 2 se asemeja a la fórmula para calcular el centro de masa de un sistema de partículas (Ec. 11 del Cap. 9). Podemos considerar al centro de masa como una especie de posición “promedio” de las partículas en el sistema. Podemos también definir la frecuencia relativa o pro babilidad de cualquier valor v¡ como: m
=
n(v¡) _ n(v,)
(3)
N
Por ejemplo, en la figura 1, n( v), el número en el intervalo de 0 a 5 mph, es de 23; entonces, la probabilidad relativa de automóviles que tengan velocidades en ese intervalo es/ ( v¡) = 23/1205 = 0.019, o sea 1.9%. En términos de la probabilidad^ u), podemos escribir el valor promedio de la ecuación 2 como: (4)
Problema muestra 1 La figura 1se basa en la observación de un total de 1205 automóviles, cuya distribución de las veloci dades es como sigue:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Intervalo de velocidades (mph) 0-5 5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50 50-55 55-60 60-65
n(v¡) 23 41 54 95 123 142 177 186 170 122 50 15 7
Halle el valor medio de la velocidad para esta distribución, considerando a la velocidad en el centro de cada intervalo como representativa de todo el intervalo. Solución Usando la ecuación 2 tenemos que (2.5 mph)(23) + (7.5 mph)(41) + • • • + (62.5 mph)(7) v= 23 + 41 +
= 32.4 mph.
+ 7
Sección 24-2
La figura 2 muestra otra clase de distribución estadísti ca, los resultados de un grupo de 1000 observaciones del número de veces n(h), en una mano de 13 cartas de una baraja de 52 cartas, que usted recibiría una mano de h cartas de un palo específico (digamos, de corazones). Esta distribución se asemeja un tanto a la de la figura 1: tiene un valor medio h (que sería aproximadamente de 3.25, igual a una cuarta parte del número total de corazones, como es de esperarse puesto que seleccionamos una cuar ta parte del número total de cartas en la baraja). Por encima de la media, la probabilidad disminuye rápida mente, llegando a ser excesivamente pequeña al volverse h más grande. Este caso difiere del de la figura 1 en dos aspectos: (1) la variable h es discreta (esto es, precisamen te los números 1,2, 3 ,... , 13), en lugar de continua, y (2) podemos calcular a n(h) a partir de principios básicos. Hacemos una suposición importante: es tan probable que ocurra cualquier selección particular de 13 cartas como cualquier otra selección. A partir de esta suposición puede demostrarse que la probabilidad relativa f(h) de manos que dan h corazones es de N
(39!)2(13!)2 52![(13 —/z)!]2(26 + h)\h\ ’
(5)
donde k\ (factorial de k) significa 1 x 2 x 3 x 4 x ... el producto de todos los enteros desde 1 hasta k. (Véa se el problema 1 para una derivación de la ecuación 5 y el problema 35 para un ejercicio en la computadora que verifica a la ecuación 5.) Para un conjunto determinado de N intentos (tal co mo N = 1000 usado en la Fig. 2) podemos comparar la distribución observada con la predicha. Si repetimos el experimento con otros 1000 intentos, no esperaríamos observar exactamente la misma distribución (es decir, en lugar de 12 manos con cero corazones podríamos hallar 11 ó 13), pero tendría la misma forma. La ecuación 5 da las probabilidades cuando el número de observacio nes es infinito; las distribuciones basadas en un número finito de observaciones difieren algo de las predicciones basadas en la ecuación 5, pero cuanto más grande sea el número de observaciones, más pequeña será la des viación. Distribuciones estadísticas como las de las figuras 1 y 2 dan la frecuencia o probabilidad de observar valores de una variable dentro de un intervalo determinado. El cálculo de valores medios, o promedio, es un uso de estas distribuciones. En algunos casos, como en la figura 1, la distribución puede ser puramente empírica, sin ningu na teoría que la soporte. En otros casos, como en la figura 2, la distribución observada puede compararse con los cálculos basados en una teoría dada. El conocimiento de la distribución estadística puede ayudar a formular una teoría en los casos en que no se conozca la teoría subyacente. Por ejemplo, datos precisos sobre la distribución de la longitud de onda de la radiación
Recorrido libre medio
589
Núm ero medio = 3.25 Número más probable = 3
JíT
300
£ ° -g 1 200
100
l i l i l í 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13
Número de corazones, n
F ig u ra 2 La distribución estadística del núm ero de corazones en una mano de 13 cartas de una baraja de 52 cartas. Esta m uestra representa un grupo posible de resultados a partir de 1000 m anos diferentes.
térmica (como la emitida por objetos incandescentes) condujeron al desarrollo de la teoría cuántica en los pri meros años del siglo xx por Planck y Einstein. En el capítulo 49 de la versión ampliada del texto se considera la distribución de la radiación térmica.
P ro b le m a m u e stra 2 En una m ano de 13 cartas, ¿cuál es la probabilidad de tener 10 corazones? Solución
U sando la ecuación 5 con h - 10, hallam os (39!)2(13!)2 = 4.1 X IO"6, 52!(3!)236!10!
o alrededor de cuatro oportunidades en un millón. M uchas calculadoras científicas tienen una tecla factorial, lo cual sim plifica la evaluación de expresiones com o ésta. A un así, debe tenerse cierto cuidado; puede no ser posible evaluar todo el numerador, el cual supera a 10” , el número m ás grande que pueden alm acenar m uchas calculadoras. En tal caso, pode m os evaluar la expresión alternando factores del num erador y del denom inador, m anteniendo la cantidad resultante dentro del alcance de la calculadora. Por ejem plo, podríam os com enzar con 39!, dividir entre 52!, multiplicar por 39!, dividir entre 36!, y así sucesivamente. Si su calculadora no tiene una tecla de factorial, usted no necesita calcular cada producto factorial para evaluar esta ex presión. Podem os sim plificar la expresión escribiendo 39Í/36! = 39 x 38 x 37 y 39!/52! = 1/40 x 41 x 42 x ... x 52, reduciendo el número de factores por multiplicar.______________________
24-2 RECORRIDO U B R E MEDIO Supongamos que pudiéramos seguir el movimiento de una molécula en un gas mientras zigzaguea debido a las
590
Capítulo 24 Mecánica estadística
\ f(r)
\ r \
k
6r
Distancia recorrida antes de chocar
Figura 3 Una molécula viaja a través de un gas, chocando con otras moléculas en su recorrido. Por supuesto, las otras moléculas están moviéndose y experimentando colisiones.
colisiones con las moléculas vecinas (Fig. 3). En particu lar, medimos la distancia que recorre entre colisiones, y repetimos el experimento muchas veces. Deseamos deter minar la distancia promedio que viaja la molécula entre colisiones, y esperamos explicar ese valor sobre la base de una visión microscópica del gas. Entonces estaremos continuando nuestros esfuerzos para relacionar las propie dades macroscópica y microscópica del gas. Supongamos primero que no tenemos una teoría sub yacente de colisiones moleculares. Formamos una distri bución basados únicamente en los resultados de nuestras muchas mediciones de la distancia recorrida por una mo lécula entre colisiones. Este enfoque es similar al experi mento para estudiar la velocidad media de los automóviles descrito en la sección anterior. Después de llevar a cabo un número grande N de mediciones de la distancia reco rrida por la molécula, distribuimos las distancias en B casillas de anchuras iguales 6r. Elegimos un valor repre sentativo de la distancia r¡ para cada casilla, y trazamos el número n(r,) de moléculas que recorren distancias dentro del ancho 8r de esa casilla. Es decir, tenemos n(r¡) obser vaciones en que la distancia entre colisiones está entre 0 y 8r, n(r2) en que la distancia está entre 5r y 2 5r, y así sucesivamente. La figura 4 muestra una gráfica de la distribución resultante. Como hicimos en el caso de la velocidad de los automóviles, definimos una distancia r promedio en analogía con la ecuación 4:
Figura 4 Distribución estadística de la distancia recorrida por una molécula entre colisiones. El valor medio r da el recorrido libre medio de las moléculas.
medio representa una distancia promedio en la que se mueve una molécula (a velocidad constante) entre coli siones. Algunas moléculas pueden chocar después de recorrer distancias mucho más pequeñas, mientras que algunas otras pueden recorrer distancias mucho más gran des entre colisiones. Como veremos, el recorrido libre medio depende inversamente del tamaño de las molécu las (cuanto más grandes sean las moléculas, más proba blemente colisionarán) y del número de moléculas por unidad de volumen (cuanto más grande sea el número de moléculas, con más probabilidad chocarán). Veamos ahora si podemos entender la forma de la distribución estadística de distancias en la figura 4. Es decir, ¿podemos hallar una función continua f(r) que dé la probabilidad de que una molécula recorra una distancia r antes de tener una colisión? Para intentar responder a esta pregunta, llevemos a cabo un experimento diferente. Hagamos que un haz de moléculas de intensidad I0 incida en una capa delgada de gas, y midamos la intensidad I a la cual emergen las moléculas después de pasar a través de un espesor r del gas (Fig. 5). Las moléculas del haz que
(6)
donde/(r,) = n(r¡)/N, la frecuencia relativa o probabilidad de observaciones de la casilla correspondiente a la distan cia r¡. A la distancia r se le conoce como el recorrido libre medio y se representa por el símbolo A. El recorrido libre
Figura 5 Un haz de moléculas incide sobre una capa delgada de gas de espesor r. La intensidad I del haz que pasa a través de la capa es una medida del número de moléculas del haz que no experimentan colisiones en la distancia r.
Sección 24-2
chocan se dispersan en direcciones diferentes, y entonces la intensidad I del haz emergente está determinada por el número de moléculas que pasen a través de la distancia r sin chocar. Suponemos que ninguna molécula del haz es dispersada más de una vez por una molécula blanco; esta hipótesis se justifica si la densidad de las moléculas blan co no es demasiado grande. Aumentemos ahora el espesor de la capa en una cantidad dr y hallemos el cambio resultante d i de la intensidad I. Esperamos que la dismi nución de intensidad sea proporcional a / (cuantas más moléculas haya en el haz, más se dispersan) y al espesor adicional dr de la capa de gas. Entonces d i = —cI dr,
Recorrido libre medio
591
convertir fácilmente las sumas a integrales. Hagamos ahora a los anchos 8r muy pequeños, de modo que poda mos escribir la ecuación 11 en términos de integrales: rf(r) dr ( 12)
r f(r) dr Sustituyendo f(r) = Ae cr, podemos llevar a cabo las inte grales (véase el problema 2) y obtener 1
A= -
(13)
(7)
donde c es una constante (positiva) de proporcionalidad por determinarse. Nótese que d i es negativa (la intensidad del haz disminuye con la adición del espesor dr). Reescribiendo la ecuación 7 se obtiene una forma que puede ser integrada: d I = - c d ar , —
( 8)
e integrando entre los límites 70, correspondientes a r = 0 (no hay capa de gas), e I, correspondiente a un espesor r, obtenemos
Entonces la distribución exponencial de la probabilidad se escribiría f(r) = Ae,—r/k
(14)
La ecuación 14 muestra cómo entra el recorrido libre medio en el cálculo de la probabilidad de que las molécu las recorran una distancia r antes de una colisión. Obsér vese que la constante A se cancela a partir de la relación de la ecuación 12 y entonces no afecta el cálculo del recorrido libre medio. Podemos determinar a A exigiendo que el total de todas las n(r¡) sea igual a N (véase el problema 3).
c dr)
£ H
'< Cálculo microscópico del recorrido libre medio
ln — = —cr I(r) = I0e~cr.
(9)
Es decir, la intensidad del haz disminuye exponencial mente con el espesor r de la capa de gas. Este cálculo sugiere una forma exponencial para f(r), y elegimos f(r) = Ae~cr,
(10)
donde A es otra constante por determinarse. Esta función es en efecto la curva de puntos de la figura 4, puesto que da la altura n(r¡) de cualquier casilla cuando se la evalúa a una distancia r = rt, de acuerdo con n(r¡) = Nf(r). El número total de mediciones N es el total de las alturas de todas las casillas, N = E n(r,). Podemos por lo tanto reescribir la ecuación 6, sustituyendo a r por X, como X r M r ¡)
2 r,f(r,)ór '^ m
s r
’
( 11)
en donde en la última etapa hemos multiplicado al nume rador y al denominador por 8r de modo que podamos
Regresemos ahora a nuestra agenda de termodinámica y veamos cómo podemos entender el recorrido libre medio (una cantidad macroscópica) a partir de las propiedades microscópicas de las moléculas. Si las moléculas fuesen puntos, no chocarían en abso luto y el recorrido libre medio sería infinito. Sin embargo, las moléculas no son puntos y de aquí que ocurran las colisiones. Si las moléculas fuesen tan numerosas que llenasen completamente el espacio disponible, no dejando lugar para un movimiento de traslación, el recorrido libre medio sería cero. Entonces el recorrido libre medio se relaciona con el tamaño de las moléculas y con su número por unidad de volumen. Consideremos que las moléculas de un gas son esferas de diámetro d. Tendrá lugar una colisión cuando los centros de dos moléculas se aproximen a una distancia d entre sí. Puede hacerse una descripción equivalente de las colisiones de cualquier molécula si consideramos que esa molécula tiene un diámetro 2d y todas las demás son partículas puntuales (véase la Fig. 6). Imaginemos una molécula típica de diámetro equiva lente 2d que se mueve con velocidad u a través de un gas de partículas puntuales equivalentes, y supongamos tem poralmente que la molécula y las partículas puntuales no
592
Capítulo 24
Mecánica estadística
(a)
r ~°
Figura 7 Una molécula con un diámetro equivalente 2d (como en la Fig. 6b), viajando con velocidad v, barre un cilindro de área en su base de nd2y longitud vt en un tiempo t. El número de colisiones sufridas por la molécula en este tiempo es igual al número de moléculas (consideradas como puntos) que están dentro del cilindro. En realidad, este cilindro se doblaría muchas veces al cambiar la dirección de la trayectoria de la molécula debido a las colisiones; la trayectoria ha sido enderezada por conveniencia.
(*)
Figura 6 (a) Sucede una colisión cuando los centros de dos moléculas llegan a una distancia d entre sí, donde d es el diámetro molecular. (b) Una representación equivalente, pero más conveniente, es pensar que la molécula en movimiento tiene un diámetro 2d, siendo puntos todas las demás moléculas.
ejercen fuerzas entre sí. En el tiempo t nuestra molécula barre un cilindro de área de sección transversal nd2 y longitud vt. Si p„(= N/V) es el número de moléculas por unidad de volumen, el cilindro contiene (nd2vt)pn partí culas (véase la Fig. 7). Puesto que nuestra molécula y las partículas puntuales sí ejercen fuerzas entre sí, éste es también el número de colisiones experimentadas por la molécula en el tiempo t. El cilindro de la figura 7 es, de hecho, un cilindro doblado, que cambia de dirección con cada colisión. El recorrido libre medio Xes la distancia promedio entre colisiones sucesivas. De aquí que X sea la distancia total vt cubierta en el tiempo t dividida entre el número de colisiones que tienen lugar en este tiempo, o sea Á=
vt n(Ppnvt
1
7tcPpn '
(15)
Esta ecuación se basa en la imagen de una molécula que golpea blancos estacionarios. En realidad, la molécu la golpea blancos móviles. Cuando las moléculas blanco se están moviendo, las dos v de la ecuación 15 no son las mismas. La del numerador (= T5) es la velocidad molecular media medida con respecto al recipiente. La del denomi nador (= TJJ es la velocidad relativa media con respecto a otras moléculas; es esta velocidad relativa la que deter mina la cantidad de colisión. Podemos ver cualitativamente que 7>rel > V como sigue. Dos moléculas de velocidad v que se muevan una hacia la otra tienen una velocidad relativa de 2v (> u); dos moléculas con velocidad v que se muevan en ángulo recto en el transcurso de una colisión tienen una velocidad
relativa de J l v (también > v); dos moléculas que se muevan con velocidad v en la misma dirección tienen una velocidad relativa de cero (< v). Entonces las moléculas que llegan de todo el hemisferio delantero y de parte del hemisferio trasero tienen una urcl > v. Las moléculas que llegan desde el resto del hemisferio trasero tienen urel < v pero, puesto que son menos, el promedio general da vKi > v. Un cálculo cuantitativo que tenga en cuenta la distribu ción real de la velocidad de las moléculas da urcl = f2 ~v. Como resultado, la ecuación 15 se convierte en 1
4ln d:Pn
(16)
Al tomar en cuenta el movimiento de las moléculas blanco vemos que la frecuencia de la colisión ha aumentado y que el recorrido libre medio se ha reducido respecto a sus valores para moléculas blanco estacionarias. El recorrido libre medio de las moléculas de aire al nivel del mar es de alrededor de 0.1 pm. A una altitud de 100 km, la densidad del aire ha caído hasta el punto de que el recorrido libre medio se eleva a unos 16 cm. A 300 km, el recorrido libre medio es de unos 20 km. Un problema con el que se encuentran quienes estudian la física y la química de la atmósfera superior en el labora torio, es el hecho de que no se dispone de recipientes suficientemente grandes como para permitir que las mues tras de gas contenido simulen las condiciones de la atmós fera superior. Los estudios de las concentraciones de freón, bióxido de carbono, y ozono en la atmósfera supe rior son de preocupación pública vital. A una presión de 10~7mm Hg (alrededor de 10'10atm), un vacío de laboratorio razonablemente bueno, la densi dad de las moléculas (que puede ser hallada a partir de la forma molecular de la ley del gas ideal, pV = NkT) es p„ = N/V = p/kT = 3 x 1015m"3 a la temperatura ambiente (300 K). La ecuación 16 da entonces alrededor de 1 km para el recorrido libre medio. Es decir, en una cámara de
Íñ íIY V :R S iT '’A D F.A. J
I
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Y
B IB L IC A S
M Q W .l'& W O '& O > TIlí ■.’i ü ’U Á"'
vacio ordinaria del laboratorio de dimensión típicamente de 1 m o menos, las moléculas difícilmente chocan alguna vez una con otra; es probable que ocurran únicamente las colisiones con las paredes. Tales consideraciones pueden ser importantes en el diseño de los aceleradores de partículas, donde un haz de partículas debe recorrer muchas veces el acelerador y debe haber una probabilidad despreciablemente pequeña de que se efectúen colisiones con cualesquier moléculas de aire que pudieran estar presentes en el tubo al vacío del acelerador. Aun cuando un recorrido libre medio de 1 km parezca grande, según las normas de laboratorio ordina rias, una partícula que lleve a cabo cientos o miles de revoluciones a través de un acelerador circular puede viajar distancias mucho más largas. En el caso de los aceleradores de protones, el diámetro de un protón es del orden de 10~15m, mucho más pequeño que el diámetro de una molécula (10'10 m), y el aumento resultante en A es suficiente para reducir la probabilidad de las colisiones hasta un valor aceptablemente pequeño.
P ro b lem a m u estra 3 L os diámetros m oleculares de diferen tes clases de m oléculas de gas pueden ser hallados experim en talmente m idiendo las razones a que se difunden lo s diferentes gases uno en el otro. Para el nitrógeno, ha sido reportado d = 3.15 x 10 ' 10 m. ¿Cuáles son el recorrido libre m edio y la cantidad de colisión prom edio para el nitrógeno a la temperatura am bien te ( T = 300 K) y a la presión atmosférica? S olu ción H allem os primero p„ (= N /V ), el número de m olécu las por unidad de volum en bajo estas condiciones. Partiendo de la ley del gas ideal ( p V = N k T ) obtenem os N
(1 atm)(1.01 X 105 Pa/atm )
p
Pn~ ~ P ~ k ? ~
(1.38 X 10“ 23 J/K )(300 K)
= 2.44 X 1025 m oléculas/m 3. La ecuación 16 da entonces el recorrido libre m edio X -
1
4 ín p „ d 2
-
í
_____________________________________ _____________________________________
/ 2 71(2.44 X 1025 m -3)(3.15 X IO” = 9.3 XIO"
8
10
m )2
m.
Esto es de alrededor de 3 0 0 diámetros m oleculares. En prome dio, las m oléculas de tal gas están separados a unos p „ 1/3 = 3.45 x 10 ' 9 m, u 11 diám etros m oleculares. Entonces una m olécula pasará típicam ente a otras 30 m oléculas antes de experimentar una colisión. Para hallar la razón prom edio d e colisión , primero hallam os la velocidad prom edio, para lo cual usam os v „ dada por la ecuación 16 del capítulo 23: [3 R ? 1 3(8.31 J /m o l• K )(300 K) , «W = V l ¡ r = V --------0.028 kg/m ol--------= 5 1 7 m / s-
H allam os la razón de colisión prom edio dividiendo esta velocidad prom edio entre el recorrido libre m edio, o sea cantidad = ^ = n ,5 1 7 ™/ ? - = 5.6 X 109 s~‘. A 9.3 X 10“ 8 m
S e c c ió n 2 4 -3
L a d istr ib u c ió n d e l a s v e lo c id a d e s m o le c u la r e s
593
F ig u ra 8 Las m oléculas de un gas confinado en una cámara tienen una distribución de velocidades.
En prom edio, cada m olécula de nitrógeno produce ¡más de 5 0 0 0 m illon es de co lisio n es por segundo! El nitrógeno es el principal constituyente del aire, y por lo tanto puede conside rarse que los resultados de este problema muestra son repre sentativos del aire en condiciones norm ales de temperatura y de presión.____________________________________________________
24-3 LA DISTRIBUCION DE LAS VELOCIDADES M OLECULARES La figura 8 muestra un pequeño número de moléculas de gas confinadas en una caja. Suponemos que el gas está en equilibrio térmico a la temperatura T. Las moléculas se mueven al azar y efectúan colisiones con las paredes y entre sí. Como vimos en la sección 23-4, la temperatura determina la energía cinética media por molécula, pero deseamos aprender acerca de toda la distribución de las velocidades moleculares, no sólo el valor medio. Es poco probable que todas las moléculas tengan la misma veloci dad, porque las colisiones entre moléculas pronto desor denarían esta situación. Sin embargo, es igualmente poco probable que demasiadas moléculas tengan velocidades que sean muy diferentes del valor medio; las velocida des cercanas a cero o las velocidades mucho más grandes que uniLSrequerirían una secuencia de colisiones preferenciales que serían muy improbables en una condición de equilibrio. Supongamos que tenemos una pequeña muestra que podríamos colocar en la caja para determinar el núme ro de moléculas que la atraviesan con velocidades entre v y v + Sv. Luego distribuimos las velocidades medidas en casillas de anchura dv y trazamos la distribución esta dística resultante. La figura 9 muestra un conjunto de resultados que podrían obtenerse a partir de este experi mento. La distribución tiene una media claramente definida y cae a cero tanto a baja velocidad como a alta velocidad. Incluso si introdujésemos todas las moléculas en la caja con la misma velocidad, el efecto del azar en las colisiones produciría finalmente una distribución de la forma de la
594
Capítulo 24
Mecánica estadística
Velocidad (m/s) Velocidad
F ig u ra 10 D istribución de la velocidad de M axw ell para las m oléculas de un gas. La curva trazada es característica de las m oléculas de o xígen o a T - 300 K. El número de m oléculas con velocidades en cualquier intervalo d v e s n ( v ) d v , indicado por la faja angosta sombreada. El número con velocidades dentro de cualquier lím ite v l y v 2 está dado por el área bajo la curva entre aquellos lím ites.
F igu ra 9 D istribución de las velocidades m oleculares. C om o en la figura 1, las velocidades m edidas han sido clasificadas en casillas de anchura 5v. La altura de cada casilla da el número de m oléculas con velocidades entre v y v + dv.
figura 9. Obsérvese la semejanza entre la figura 9 y la figura 1. Maxwell fue el primero que resolvió el problema de la distribución de las velocidades en un gas que contiene un número grande de moléculas. La distribución de Maxwell de la velocidad, para una muestra de gas a la temperatura T que contenga N moléculas cada una de masa m, es /
m
\ 3/2
rt(v) = 47t N ( 2 n k T j
v 2e~mv2/2kT.
(17)
En esta ecuación n(v), que tiene las dimensiones de ir 1, es el número de moléculas por intervalo de velocidad unidad que tiene velocidades entre l>y v + dv; de manera equivalente, n(v)dv es el número sin dimensiones de moléculas de la muestra de gas con velocidades entre v y v + dv. Obsérvese que para un gas dado la distribución de la velocidad depende únicamente de la temperatura. Hallamos N, el número total de moléculas en la muestra, al sumar (esto es, integrando) el número en cada intervalo de velocidad diferencial desde cero hasta el infinito, o sea N--
/; n(v) dv.
( 18)
La figura 10 muestra la distribución de Maxwell de velocidades para moléculas de oxígeno a la temperatura ambiente. Una comparación entre las figuras 9 y 10 mues tra que la distribución de Maxwell de la velocidad tiene realmente la misma forma que la distribución medida. Si bien n( v) es una función matemática bien definida, la cantidad físicamente significativa es n( v)dv, el número de moléculas con velocidades entre v y v + dv. No podemos hablar del “número de partículas con velocidad v", porque existe un número finito de moléculas pero un número infinito de velocidades posibles. La probabilidad de que una partícula tenga una velocidad precisamente expresada, tal como 279.343267...m/s, es exactamente
cero. Sin embargo, podemos dividir la gama de las velo cidades en intervalos, y la probabilidad de que una par tícula tenga una velocidad dentro de un intervalo dv dado (como 279 m/s a 280 m/s) tiene un valor definido distinto de cero. El número de moléculas con velocidades entre dos límites cualesquiera, como y, y v2, es igual al área bajo la curva n(v) entre esos límites. El área total bajo la curva es igual al número total de moléculas N, como lo muestra la ecuación 18. La distribución n(v) puede estar caracterizada por la velocidad más probable yp [la velocidad donde n( v) tiene su máximo], la velocidad media y, y la velocidad media cuadrática yrms. La figura 10 ilustra la relación entre estas velocidades, y el problema muestra 6 indica cómo calcu larla. La curva de distribución no es simétrica con respec to a la velocidad más probable porque la velocidad más baja debe ser cero mientras que no existe un límite clásico para la velocidad más alta que una molécula pueda tener. Por lo tanto, la velocidad media es más grande que la velocidad más probable. La velocidad media cuadrática, que involucra a la media de los cuadrados, es aún más grande. AI aumentar la temperatura, aumenta la velocidad me dia cuadrática umis (y también y y yp), conforme a nuestra interpretación microscópica de la temperatura. A tempe raturas más elevadas, el intervalo de velocidades típicas es más grande, y la distribución es más ancha. Puesto que el área bajo la curva de distribución (que es el número total de moléculas en la muestra) permanece la misma, la distribución debe también aplanarse cuando la temperatu ra se eleva. De aquí que el número de moléculas que tengan velocidades más grandes que cierta velocidad dada aumenta al aumentar la temperatura (véase la Fig. 11). Esto explica muchos fenómenos, tales como el aumento en la cantidad de reacciones químicas o de ciertas reac ciones nucleares con el aumento de la temperatura.
Sección 24-3
La distribución de las velocidades moleculares
595
pequeña de escapar de la débil acción gravitatoria de la Luna, esperaríamos que fuesen moléculas o átomos de los elementos más pesados, tales como los gases inertes pesados criptón y xenón, los cuales fueron producidos principalmente por la desintegración radiactiva de las pri meras épocas de la Luna. La presión atmosférica en la Luna es de alrededor de 10'13 la presión atmosférica de la Tierra.
O
200
40 0
600
800
1000
1200
Velocidad (m/s)
F igu ra 11 Una com paración de la distribución de M axw ell de velocidades para m oléculas de oxígen o a dos temperturas diferentes. En general, las m oléculas tienen velocidades promedio m ás bajas a temperaturas más bajas, si bien ambas distribuciones cubren la gama entera de velocidades. Las áreas de las dos distribuciones son iguales, porque el número total de m oléculas es el m ism o en am bos casos.
P ro b lem a m u estra 4 Las velocidades de d iez partículas en m /s son 0 ,1 .0 ,2 .0 ,3 .0 , 3.0, 3 .0 ,4 .0 ,4 .0 ,5 .0 , y 6.0. H alle (a) la velocidad promedio, ( b ) la velocidad m edia cuadrática, y (c) la velocidad m ás probable de estas partículas. S olu ción
( a ) La velocidad prom edio es
_
0 + 1.0 + 2.0 + 3.0 + 3.0 + 3.0 + 4.0 + 4.0 + 5.0 + 6.0
V
10 = 3.1 m /s.
(b ) La velocidad m edia cuadrática es
-¡^ [0 + (1.0 ) 2 + (2.0 ) 2 + (3.0 ) 2 + (3.0 ) 2 + (3.0 ) 2 + (4.0 ) 2 + (4.0 ) 2 + (5.0 ) 2 + (6.0)2]
La distribución de las velocidades de las moléculas en un líquido se parece también a las curvas de la figura 11. La velocidad necesaria para que una molécula escape de la superficie del líquido estaría lejos en la cola de la distribución de la figura 11; únicamente un número muy pequeño de moléculas tienen velocidades arriba de este umbral. Aun cuando la temperatura del líquido esté por debajo de su punto de ebullición normal, estas pocas moléculas pueden vencer la atracción de otras moléculas en la superficie y escapar por evaporación. El escape de estas moléculas energéticas reduce la energía cinética promedio de las moléculas restantes, dejando el líquido a una temperatura más baja. Esto explica por qué la evapo ración es un proceso de enfriamiento. Si el líquido está aislado de su entorno, realmente se enfriará, y la cantidad de evaporación disminuirá. Si el líquido no está aislado, entonces la energía del entorno fluirá hacia el líquido, manteniendo constante la fracción de moléculas con ve locidades arriba del umbral de evaporación, y finalmente todas las moléculas adquirirán la energía suficiente para escapar en forma de vapor. Partiendo de la ecuación 17 vemos que la distribución de las velocidades moleculares depende de la masa de las moléculas así como de su temperatura. Cuanto más pe queña sea la masa, mayor será la proporción de moléculas de alta velocidad a cualquier temperatura dada. De aquí que el hidrógeno pueda escapar con más probabilidad de la atmósfera a grandes altitudes que el oxígeno o el nitrógeno. La Luna tiene una atmósfera tenue. Para que las moléculas en esta atmósfera tengan una probabilidad
= 12.5 m 2 / s 2, y la velocidad media cuadrática es vm s = V i2.5 m 2 / s 2 = 3.5 m /s.
(c) D e las diez partículas, tres tienen velocidades de 3.0 m /s, dos tienen velocidades de 4 .0 m /s, y cada una de las otras cinco tiene una velocidad diferente. D e aquí que la velocidad up más probable de una partícula sea vp = 3.0 m /s.
P ro b lem a m u estra 5 Un recipiente con N m oléculas de o x í geno gaseoso se mantiene a 300 K. ¿Qué fracción de las m olé culas tiene velocidades en la gama de 599 a 601 m/s? La masa molar M del oxígen o es de 0.032 kg/m ol. Solu ción Este intervalo de velocidad S u ( = 2 m /s) es tan pequeño que podem os tratarlo com o una diferencial d v . El número de m oléculas en este intervalo es n ( v ) d v , y la fracción en ese intervalo e s / = n ( v ) d v /N , donde n ( v) va a ser evaluada a u = 600 m /s, el punto m edio de la gama; véase la faja angosta sombreada en la figura 10. U sando la ecuación 17 con la sustitución m /k = M /R , hallam os la fracción m
* .
4»
(^ r
Sustituyendo los valores num éricos dados se obtiene / = 2.6 X I 0 “ 3 o 0.26%. A la temperatura ambiente, 0.26% de las m oléculas de oxígeno tienen velocidades que están en el intervalo angosto entre 599 y 601 m/s. Si la faja sombreada de la figura 10 estu viese trazada
596
Capítulo 24
Mecánica estadística
a la escala de este problema, sería realmente una faja muy angosta.
P rob lem a m u estra 6 ¿Cuál es la velocidad promedio i>, la velocidad m edia cuadrática unns, y la velocidad más probable vp de las m oléculas de o xígen o a T = 300 K? La masa molar M del oxígeno es de 0.032 kg/m ol. Solu ción Para hallar la velocidad prom edio, sum am os todas las velocidades m edidas, lo cual se hace m ás sencillam ente sumando los productos de la velocidad v en cada intervalo y el número en ese intervalo, n ( v ) d v . Esta sum a se divide después entre el número total de m ediciones N , lo cual da, en el lím ite de intervalos infinitesim ales, en lo s que la suma resulta una integral, (19)
vn(v) dv.
El siguiente paso es sustituir a n ( u ) de la ecuación 17 y evaluar la integral. El resultado es SkT _
[ 8R T
V
nm
kM
31 J /m o l-K )(3 0 0 K) _
i~R T
= 1.60
F ig u ra 12 Aparato em pleado para verificar la distribución de M axw ell de la velocidad. U n haz de m oléculas de talio deja el horno O a través d e la ranura S, viaja a través de la ranura helicoidal del cilindro giratorio R , y golpea al detector D . La velocidad angular tu del cilindro puede ser variada de m odo que m oléculas de velocidades diferentes pasen a través del cilindro.
(velocidad prom edio).
vp =
(2 0 )
1.41
0.032 kg/m ol
Sustituyendo por los valores num éricos tenem os que -
,
Confirmación experimental de la distribución de Maxwell
/(8.31 J /m o l• K )(300 K) ■6 0 V
0 0 3 2 k ¡M d —
* 4 4 5 m /s -
Para hallar la velocidad media cuadrática i>mls de las m oléculas de oxígeno, procedem os com o antes excepto que hallam os el valor promedio de u2 al multiplicar u2 (en lugar de sim plem ente v) por el factor numérico n ( v ) d u . Esto conduce, después de otra integración (véase el apéndice H), a v2 = Y r [ N Jo
v 2n ( v ) d v = ^ ^ . m
(2 1 )
La velocidad rms es la raíz cuadrada de esta cantidad, o sea 3kT
RT
0.032 k g/m ol
(22)
m
RT
= 1.41 y — Numéricam ente, esto da
tem peratura u n ifo r m e d e 8 7 0 ± 4 K . A esta tem p eratura el v a p o r d e ta lio , a u n a p r e sió n d e 3 .2 x 1 0 " 3 m m H g , llen a e l h o rn o . A lg u n a s m o lé c u la s d e v a p o r d e ta lio e sc a p a n por
lo n g itu d L , tie n e un n ú m ero d e ranuras h e lic o id a le s co r tad as d en tro d e é l, una d e la s c u a le s s e m uestra en la fig u ra 12. Para una v e lo c id a d an g u la r co d e l c ilin d ro , s ó lo p u e d e n p asar a lo la rg o d e la s ranuras y s in g o lp e a r la s p a red es m o lé c u la s d e u n a v e lo c id a d v m u y d efin id a . L a v e lo c id a d v p u e d e ser h a lla d a a partir d e
M
(velocidad m ás probable).
fu e r o n ca le n ta d a s, e n un a se r ie d e e x p e r im e n to s, a una
c a y e n d o so b r e e l c ilin d r o g ira to rio R . E ste c ilin d ro , d e
Í2R T
V
1 9 5 5 M ille r y K u s c h , d e la U n iv e r sid a d d e C o lu m b ia , p ro p o rcio n a ro n una v e r ific a c ió n e x p e r im e n ta l d e alta p re
la ranura S h a c ia e l e s p a c io a l a lto v a c ío afu era d e l h o m o ,
= 483 m/s.
La velocidad más probable es la velocidad para la cual n ( v ) de la ecuación 17 tiene su valor m áxim o. L o hallam os haciendo que d n / d u = 0 y resolviendo para v. A l hacerlo, nos da (com o usted debe poder demostrar) 2kT _
se r io para lle v a r lo a c a b o . L a s té c n ic a s m ejo ra ro n ráp id a m e n te e n m a n o s d e v a r io s ex p e r im e n ta d o r e s h asta q u e en
S u aparato s e ilu stra e n la fig u ra 12. L a s p a red es d el
(velocidad rms)
(8.31 J/m ol • K )(300 K) y j-
e fe c to , n o fu e h a sta 1 9 2 0 q u e S te m h iz o e l p rim er in ten to
h o m o O , q u e c o n tie n e n cier ta ca n tid a d d e m e ta l d e ta lio ,
La ecuación 22 es idéntica a la ecuación 16 del capítulo 23. El cálculo numérico da IU .-1 .7 3
era p o s ib le c o m p r o b a r esta le y p o r m e d ic ió n d irecta y , en
c is ió n d e la le y (para m o lé c u la s g a se o s a s).
13 R T M
1.73 y j
M a x w e ll d e r iv ó su le y d e la d istr ib u c ió n para la s v e lo c i d a d e s m o le c u la r e s (E c . 1 7) e n 1 8 5 9 . E n a q u el e n to n c e s n o
(23)
tie m p o d e v u e lo a lo la rg o d e la ranura = — = ÉL v co o b ie n
Sección 24-4
La distribución de las energías
597
tienen la oportunidad de escapar del homo, justamente en proporción a sus velocidades, y las moléculas del haz tienen una distribución v3 en lugar de una u2. Este efecto se incluye en la curva teórica de la figura 13. Si bien la distribución de Maxwell de la velocidad para los gases concuerda notablemente bien con el experimen to en circunstancias ordinarias, no sirve, en cambio, a densidades elevadas, donde las hipótesis básicas de la teoría cinética clásica no son válidas. En estas circunstan cias, debemos emplear distribuciones que se basen en los principios de la mecánica cuántica, los cuales estudiare mos en la sección 24-6. Las distribuciones cuánticas, correctas en cualquier circunstancia, se reducen a la dis tribución de Maxwell en la región clásica (a baja densi dad). Entonces, es perfectamente aceptable para nosotros emplear la distribución de Maxwell para gases a densidad baja, mientras recordemos que la teoría, como tantas otras teorías, es de aplicación limitada. distribución de M axw ell de la velocidad. L os círculos muestran lop datos tom ados con la temperatura del horno a T = 870 K, y lo s puntos gruesos muestran lo s datos a T = 944 K. A l trazar las distribuciones contra v ¡ up, las dos distribuciones deben ser idénticas. La curva de línea continua es la distribución de M axw ell. Los datos concuerdan notablem ente bien con la curva.
L
oj
donde
24-4 LA DISTRIBUCION DE LAS ENERGÍAS Puede obtenerse una descripción alternativa del movi miento de las moléculas si expresamos la distribución de la energía en lugar de la velocidad. Es decir, si busca mos la distribución n(E), de modo que n(E)dE sea el número de moléculas con energías entre E y E + dE. Este problema fue resuelto por vez primera por Max well. Derivamos el resultado, llamado distribución de Maxwell-Boltzmann de la energía, en el caso especial en que la energía cinética de traslación sea la única forma de energía que puede tener la molécula. Consideremos nuevamente la situación del problema muestra 5, en el que obtuvimos la fracción de moléculas de oxígeno con velocidades entre 599 y 601 m/s. Halla mos que 0.26% de las moléculas en el recipiente a la tempertura de 300 K tienen velocidades en este intervalo. Una moléculas de oxígeno con una velocidad de 599 m/s tiene una energía cinética de 9.54 x 10‘21 J, y otra con una velocidad de 601 m/s tiene una energía cinética de 9.60 x 10'21 J. ¿Qué fracción de las moléculas de oxígeno tiene energías cinéticas en el intervalo de 9.54 x 10"21 J a 9.60 x lO 21 J? Un poco de reflexión nos convencerá de que esta frac ción debe ser también de 0.26%. No hay diferencia si contamos las moléculas por sus velocidades o por sus energías cinéticas; mientras situemos a los límites inferior y superior del intervalo con sus velocidades y energías cinéticas correspondientes, contaremos el mismo número de moléculas entre los límites. Es decir, el número con energías cinéticas entre E y E + dE es el mismo que el número con velocidades entre v y v + dv. Matemática mente, expresamos esta conclusión como:
598
Capítulo 24
Mecánica estadística
n(E) dE = n(v) dv,
(24)
o bien n(E) —n{v)
dv dE
(25)
Puesto que la energía es únicamente cinética, debemos tener que E = -mv2 o sea v = V2E/m, y entonces dv (26) (iE - ^ ) . dE V m Sustituyendo las ecuaciones 17 y 26 en la ecuación 25, obtenemos 2N 1 n(E) = — -------- E''2 e-E>kT. (27) Jñ ok r y /2 La ecuación 27 es la distribución Maxwell-Boltzmann de la energía. Al derivar este resultado hemos supuesto que las moléculas de gas tienen únicamente energía cinética de traslación. Por lo tanto, esta distribución se aplica únicamente a un gas monoatómico. En el caso de gases con moléculas más complejas aparecerán otros factores en la ecuación 27. El factor e~E/kT, sin embargo, es una característica general de la distribución Maxwell-Boltz mann de la energía que está presente sin importar cuál sea la forma de la energía E. Este factor se toma a menu do como una estimación aproximada de la probabilidad relativa de que una partícula tenga una energía E en un conjunto de partículas caracterizadas por una tempera tura T. Usando la ecuación 27, podemos calcular la fracción de las moléculas de gas que tengan energías entre E y E + dE, la cual está dada por n(E)dE/N. Como antes, N es el número total de moléculas, el cual se determina a partir de N=
í
n(E) dE.
(28)
Un aspecto interesante de la distribución Maxwell-Boltz mann de la energía es que es precisamente la misma para cualquier gas a una temperatura dada, independientemente de cuál sea la masa de las moléculas (al contrario de lo que sucede con la distribución de Maxwell de la velocidad, ecuación 17, donde la masa aparece explícitamente). In cluso un “gas” de electrones, hasta el punto en que puedan ser tratados como partículas clásicas, tiene la misma dis tribución de energía que un gas de átomos pesados. El efecto de aumentar la masa m en cierto factor es reducir a y2en el mismo factor, de modo que el producto mv2, y por lo tanto la energía cinética, permanece la misma.
La energía interna de un gas ideal Adquirimos un grado de confianza en este enfoque esta dístico a la termodinámica demostrando que reproduce
resultados idénticos con cálculos basados en la teoría cinética. Obtengamos por lo tanto el resultado estadístico para la energía interna de un gas ideal y comparémoslo con nuestro resultado previo. Puesto que existen n(E)dE moléculas con energía entre E y E + dE, su contribución a la energía interna de este gas es de En(E)dE. El total de todas esas contribuciones da la energía interna del gas:
=/; En(E) dE, y al sustituir a n(E) de la ecuación 27, obtenemos F = ^ínt
2N
1
Vtt (kT)3/2
£ 3 / 2 e ~E/kT d R
/;
En la mecánica estadística suelen presentarse integrales de formas similares a ésta. Pongámosla en la forma nor mal sustituyendo u = E/kT, lo cual da 2N , „
'
f”
= —= kT /
Jo
uv2e “ du.
La integral puede ser evaluada (sustituya a u = x2 y use una integral definida del apéndice H) para que sea U~ñ y entonces E int = ~ k T ( i ^ ) = m T ,
en concordancia con la ecuación 31 del capítulo 23. Así, la distribución Maxwell-Boltzmann de la energía es ente ramente consistente con nuestros resultados previos deri vados de la teoría cinética.
P ro b lem a m u estra 7 H alle ( a ) la energía m edia y ( b ) la energía m ás probable de un gas en equilibrio térm ico a la tem peratura T. S o lu ció n ( a ) La energía m edia E puede expresarse, en analo gía con la ecuación 19 del problema muestra 6 ,
i/;
E n (E ) dE.
(29)
Sustituyendo a n ( E ) de la ecuación 2 7 y efectuando la integra ción, hallam os E = \k T .
(30)
¿Es éste un resultado esperado? ( b ) Para hallar la energía más probable, diferenciam os la ecuación 2 7 , igualam os el resultado a cero, y resolvem os para la energía. El resultado, cuya derivación dejam os a usted, es
(31) O bsérvese que ésta n o e s i g u a l a v 2 , la cual da una energía de kT . ¿Puede usted explicar por qué la energía correspondiente a la velocidad m ás probable no es la energía m ás probable?
Sección 24-5
24-5 M OVIM IENTO BROWNIANO* La aceptación de la teoría atómica y molecular durante el último cuarto del siglo xix no fue compartida por todos los científicos. A pesar de las muchas concordancias cuantitativas entre la teoría cinética y el comportamiento de los gases, no se obtuvo una prueba de la existencia de átomos y moléculas por separado, ni se hizo ninguna observación que pudiera demostrar realmente los movi mientos de las moléculas. Emst Mach (1838-1916) no encontraba que tuviera sentido “pensar en el mundo como un mosaico, puesto que no podemos examinar por sepa rado cada uno de los trozos de piedra”. En los primeros días del desarrollo de la teoría cinética se había estable cido que un átomo tendría un diámetro de unos 1CT7 ó 10‘8 cm, de modo que nadie esperaba ver realmente a un átomo o detectar el efecto de un átomo aislado. El líder de la oposición a la teoría atómica fue Wilhelm Ostwald, generalmente considerado “el padre de la quí mica física.” Él era un acérrimo creyente del principio de la conservación de la energía y consideraba a ésta como una realidad última. Ostwald argumentaba que con el tra tamiento termodinámico de un proceso conocemos todo lo esencial respecto al proceso y que hipótesis mecánicas más avanzadas sobre el mecanismo de las reacciones eran hipótesis no demostradas. Él abandonó las teorías atómica y molecular, y luchó por liberar a la ciencia “de conceptos hipotéticos que no conducen a conclusiones inmediatas verificables experimentalmente”. Otros científicos desta cados se resistían a aceptar la existencia de átomos como un hecho científico establecido. Ludwig Boltzmann combatió esta actitud en un artículo en 1897, reforzando la indispensabilidad del atomismo en la ciencia natural. El progreso de la ciencia se guía a menudo por las analogías de los procesos de la naturaleza que ocurren en las mentes de los investigadores. La teoría cinética fue una de estas analogías mecánicas. Como sucede con casi todas las analogías, sugiere experimentos para probar la validez de nuestras imágenes mentales y conduce a investigaciones posteriores y a un conocimien to más claro. Como sucede siempre en tales controversias de la cien cia, la decisión depende del experimento. La evidencia experimental primera y más directa de la realidad de los átomos fue la prueba de la teoría cinética atómica dada por los estudios cuantitativos del movimiento browniano. Estas observaciones convencieron tanto a Mach como a Ostwald de la validez de la teoría cinética y de la descrip ción atómica de la materia en que descansa. La teoría atómica ganó una aceptación cuestionable en los últimos
* V éase “B rownian M otion”, por Bernard H. Lavenda, S c ie n tif i c A m e r ic a n , febrero de 1985, pág. 70.
Movimiento browniano
599
años cuando una gran variedad de experimentos conduje ron a los mismos valores de las constantes atómicas fundamentales. El movimiento browniano se llamó así en honor del botánico inglés Robert Brown, quien descubrió en 1827 que un grano de polen suspendido en agua muestra un movimiento continuo al azar cuando es visto bajo un microscopio. Al principio estos movimientos fueron con siderados una forma de vida, pero pronto se encontró que partículas inorgánicas pequeñas se comportaban similar mente. No hubo una explicación cuantitativa de este fe nómeno hasta el desarrollo de la teoría cinética. Entonces, en 1905, Albert Einstein desarrolló una teoría del movi miento browniano. (La teoría de Einstein apareció como un artículo en el mismo volumen de los Annalen der Physik que contenía su famoso trabajo sobre la teoría de la relatividad y también su trabajo sobre la teoría del efecto fotoeléctrico.) En sus Notas autobiográficas, Eins tein escribe: “Mi objetivo principal en esto fue hallar hechos que garantizasen hasta donde fuera posible la existencia de átomos de tamaño definido. A la mitad de ello descrubrí que, de acuerdo con la teoría atomística, tendría que haber un movimiento de las partículas micros cópicas suspendidas abierto a la observación, sin saber que las observaciones concernientes al movimiento brow niano ya hacía tiempo que resultaban familiares.” La hipótesis básica de Einstein fue que las partículas suspendidas en un líquido o en un gas compartían los movimientos térmicos del medio y que, en promedio, la energía cinética de traslación de cada partícula es ^kT, de acuerdo con el principio de la equipartición de la energía. Desde este punto de vista los movimientos brownianos eran el resultado de los impactos de las moléculas del fluido, y las partículas suspendidas adquieren la misma energía cinética media que las moléculas del fluido. (Re cuérdese que la distribución Maxwell-Boltzmann de la energía es independiente de la masa de las partículas y está determinada únicamente por la temperatura.) Las partículas suspendidas son extremadamente gran des comparadas con las moléculas del fluido y están bombardeadas continuamente por ellas desde todos los lados. Si las partículas son suficientemente grandes y el número de moléculas es suficientemente grande, números iguales de moléculas golpean a las partículas por todos lados en cada instante. Para partículas más pequeñas y menos moléculas el número de moléculas que golpean a diferentes lados de la partícula en cualquier instante, siendo meramente un asunto del azar, puede no ser igual: es decir, ocurren fluctuaciones. De aquí que la partícula sufra en todo instante una fuerza no balanceada, que hace que se mueva de esta o aquella manera. Por lo tanto, las partículas actúan precisamente como moléculas muy grandes en el fluido, y sus movimientos deben ser cua litativamente los mismos que el movimiento de las mo léculas del fluido. Si la constante de Avogadro fuese
600
Capítulo 24
Mecánica estadística
infinita, no existiría un desequilibrio estadístico (fluctua ciones) y tampoco un movimiento browniano. Si la cons tante de Avogadro fuese muy pequeña, el movimiento browniano sería muy grande. De aquí que deberíamos estar en posibilidad de deducir el valor de la constante de Avogadro a partir de las observaciones del movimiento browniano. Profundamente arragiados en esta imagen se halla la idea del movimiento molecular y de la pequeñez de las moléculas. Por lo tanto, el movimiento browniano ofrece una prueba experimental sorprendente de las hipó tesis de la teoría cinética. Las partículas suspendidas están bajo la influencia de la gravedad y se irían hasta el fondo del fluido si no fuese por el bombardeo molecular que se opone a esta tenden cia. Puesto que las partículas suspendidas se comportan como las moléculas de gas, no nos sorprende saber que, como en las moléculas de la atmósfera, su densidad decae exponencialmente con respecto a la altura en el fluido; forman una “atmósfera en miniatura” (véase la sección 17-3; el problema 6 del capítulo 23; y el problema 32 de este capítulo). Jean Perrin, fisicoquímico francés, confir mó esta predicción en 1908 al determinar el número de partículas pequeñas de resina gomosa suspendidas a dife rentes alturas en una gota de líquido (Fig. 14a). A partir de sus datos él dedujo un valor de la constante de Avoga dro N A = 6 x 1023 partículas/mol. Perrin hizo también mediciones de los desplazamientos de partículas brownianas en muchos intervalos de tiempo iguales y halló que tenían la distribución estadística requerida por la teoría cinética y el desplazamiento medio cuadrático predicho por Einstein (Fig. 146). Perrin fue premiado con el Premio Nobel de Física en 1926 por este trabajo, que fue una confirmación extraordinariamente precisa de la existencia de los átomos. Hoy día tenemos una evidencia fotográfica más directa de la existencia de los átomos (Fig. 15).
24-6 DISTRIBUCIONES ESTADÍSTICAS CUÁNTICAS (Opcional) Hasta el m om ento, nuestro estudio de la teoría cinética y de la m ecánica estadística ha im plicado la aplicación d e lo s princi pios clásicos (las ley es de N ew ton) a las partículas clásicas. Sin embargo, cuando consideram os los efectos de la m ecánica cuántica, las distribuciones estadísticas difieren en gran manera de sus contrapartes clásicas y conducen a efectos experim enta les que no tienen análogos clásicos. E xisten dos principios de la m ecánica cuántica que afectan las distribuciones estadísticas de las partículas. 1. E n l a m e c á n i c a c u á n t ic a , p a r t í c u l a s id é n t ic a s d e b e n s e r c o n s i d e r a d a s c o m o in d is t in g u ib le s . En el m odelo del gas ideal que constituye la base de la teoría cinética supusim os que todos los átom os o las m oléculas del gas eran idénticos. N o obstante, pudim os seguir (véase, por ejem plo, nuestro uso de la teoría cinética para determinar la presión en la secció n 2 3 -3) el m o v i m iento de una p a r t í c u l a a i s l a d a en su cam ino a través de la
*
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Si (a)
F ig u ra 14 (a) Representación de las partículas de resina gom osa observadas por Perrin en 1909. Las líneas horizontales representan capas a 0 . 0 1 cm de separación, y las partículas tienen un diámetro d e 0 .6 x 10 ’ cm. (b ) El m ovim iento de una partícula diminuta, suspendida en agua y vista a través de un m icroscopio. L os segm entos de línea cortos conectan su posición a intervalos de 30 s. La trayectoria d e la partícula es un ejem plo de un f r a c t a l , curva de la que cualquier sección pequeña se parece a toda la curva. Por ejem plo, si tom am os a cualquier segm ento pequeño de 30 s y lo vem os en intervalos m ás pequeños, de 0.1 s quizá, la gráfica del m ovim iento en e se segm ento de 3 0 s sería similar a la figura entera.
cámara. Es decir, supusim os que la m olécula es algo d i s t i n g u i b le de sus vecinas, aunque sea idéntica a ellas en su estructura y propiedades. En cam bio, esto no es posible en la m ecánica cuántica. D ebem os considerar a las partículas com o física y
601
Sección 24-6 Distribuciones estadísticas cuánticas (Opcional)
P ro b lem a m u estra 8 Un sistem a consta de dos partículas, marcadas 1 y 2. Las partículas pueden estar en cualquiera de tres estados de m ovim iento posibles, marcados A , B , y C . H alle el número de m odos en que pueden estar distribuidas las partículas en este sistem a si las partículas son ( a ) clásicas y distinguibles; (b ) bosones indistinguibles, y (c) ferm iones indistinguibles, ( d ) Suponiendo que todos los arreglos permitidos sean igualm ente probables, ¿cuál es la probabilidad de hallar una partícula en el estado B y la otra en el estado C? F igu ra 15 M ediante un m icroscopio de barrido con efecto túnel, físico s de IBM dibujaron en 1990 el monograma de su compañía usando átom os individuales de xenón.
matem áticam ente i n d is t in g u ib le s ; en la teoría cuántica no po dem os considerar el m ovim iento de una partícula determinada del sistem a sin considerar sim ultáneam ente a todas las demás partículas idénticas. Por ejem plo, después de una colisión entre dos partículas idénticas tales com o las m oléculas de un gas, desde el punto de vista clásico, nos e s p osib le distinguir cuál fue la partícula incidente y cuál la partícula golpeada; desde el punto de vista cuántico, cualquier partícula que salga de la zona de colisión tiene un 50% d e probabilidad de haber sido la partícula incidente y un 50% de probabilidad de haber sido la partícula golpeada. 2. D e n tr o d e l d o m in io c u á n t ic o , l a s p a r t í c u l a s d e u n s is t e m a p u e d e n d iv id ir s e en d o s c l a s e s : a q u e l l a s p a r a l a s q u e n o e x is te lím ite e n e l n ú m e r o d e l a s q u e p u e d e n e s t a r e n d e te r m in a d o e s t a d o d e m o v im ie n to , y a q u e l l a s p a r a l a s q u e e l lím ite e s p r e c i s a m e n t e u n a p o r e s t a d o d e m o v im ie n to . Podem os con si derar esta regla com o una regla experim ental, basada en las observaciones de las propiedades de las dos clases de partículas. Sin embargo, esta regla tiene también un significado teórico profundo subyacente, basado en un resultado que puede deri varse de la teoría cuántica del campo: las partículas de la primera clase, para las que el número en cualquier estado de m ovim iento es ilim itado, todas tienen un ím petu angular intrín seco, o “espín” (véase la sección 13-6) que resulta ser un m últiplo entero de h ¡2 it, donde h es la constante de Planck. Tales partículas, de las que son ejem plos los fotones (cuantos de radiación electrom agnética) y los átom os del isótopo más c o mún del gas helio, se llaman b o s o n e s , y siguen una distribución estadística llamada d is t r ib u c ió n d e B o s e - E in s t e in . Se encuentra que la segunda clase de partícula cuántica, que está restringida a una por estado de m ovim iento, tiene un ímpetu angular intrínseco m edido en m últiplos sem ienteros de h/27c (i, | , . . . ). Las partículas de esta categoría, que incluyen a los electrones, lo s neutrones, y los protones, se llaman f e n n i o n e s , y siguen una distribución estadística llamada d is t r ib u c ió n d e F e r m i- D ir a c .
La restricción de un ferm ión por estado de m ovim iento se con oce también com o el p r i n c i p i o d e e x c lu s ió n d e P a u l i y es reponsable de las propiedades observadas de los átom os. Los estados de m ovim iento permitido de los electrones en un átomo forman un conjunto de n iveles discretos de energía (véase la sección 8 - 8 ). Si no fu ese por el principio de exclusión de Pauli, todos los electrones en un átomo irían finalm ente al estado de energía más bajo, y todos los átom os tendrían propiedades físicas y quím icas m ás o m enos sim ilares. La diversidad de nuestro mundo y la propia existencia de la quím ica y de la biología son consecuencias directas del principio de exclusión de Pauli.
S olu ción ( a ) La tabla siguiente muestra cóm o pueden distri buirse las partículas clásicas entre lo s tres estados:
A rre g lo
E sta d o A
1
1
,
E sta d o B
E sta d o C
2
2
1 ,2
3 4 5
1
6
2
7
2
1
,
2
2
1
2 1 1
8
1
2
9
2
1
Son p osibles nueve arreglos diferentes. (b ) Si se considera que las partículas sean partículas cuánticas indistinguibles, entonces las marcas 1 y 2 no tienen ya ningún significado. Por lo tanto, no es p osib le listar las ordenaciones 4 y 6 com o posibilidades por separado; debem os combinar éstas en un so lo arreglo en el que una partícula está en el estado A y la otra está en el estado B . D el m ism o m odo, los arreglos 5 y 7 deben contarse com o una posibilidad únicam ente, lo m ism o que lo s arreglos 8 y 9. En este caso, só lo son p osib les seis arreglos diferentes. (c ) Si las partículas son ferm iones, no m ás de una partícula puede estar en cualquier estado de m ovim iento. Por lo tanto 1, 2, y 3 no están permitidos, y com o resultado únicam ente son posibles tres arreglos (4 + 6 , 5 + 7, y 8 + 9). ( d ) Para las partículas clásicas existen dos arreglos (entre nueve) que tienen una partícula cada una en los estados B y C . Por lo tanto, la probabilidad es de 2/9. Para los bosones, existen seis arreglos, de los cuales só lo uno (la com binación 8 + 9) tiene una partícula en cada uno de los estados B y C . Entonces la probabilidad es de 1/6. Para los ferm iones, sólo están permitidos tres arreglos, y por lo tanto la probabilidad es de 1/3._________
El problema muestra anterior ilustra las diferencias en las distribuciones estadísticas de las partículas clásicas y las dos clases de partículas cuánticas; muestra también que el resultado de una m edición (la probabilidad de una observación) puede ser afectado directamente por estas distinciones. La función d e la distribución de M axw ell-Boltzm ann se derivó de los principios clásicos y, por lo tanto, es apropiada únicam ente para describir las partículas clásicas. La parte ca racterística de esa distribución es la función exponencial f U E ) = e - ElkT.
(32)
A partir de consideraciones estadísticas, puede demostrarse que la parte característica correspondiente de la distribución de Bose-E instein es
602
Capítulo 24
Mecánica estadística
F igu ra 16 La función característica Fermi-Dirac comparada con la función de M axw ell-Boltzm ann. La función de Fermi-Dirac difiere en 1 a baja energía y en 0 a energía elevada únicam ente en un estrecho intervalo de ancho k T aproxim adamente en las cercanías de la energía E„.
F ig u ra 18 ( a ) Por encim a de 2.2 K el helio líquido hierve normalmente. ( b ) Abajo de 2.2 K, el líquido cesa de hervir súbitamente. La evaporación y el enfriamiento pueden continuar, pero ocurren sin ebullición. En esta condición el helio está en su estado de superfluido.
F igu ra 17 La función característica Bose-E instein comparada con la función de M axw ell-Boltzm ann. Las dos concuerdan a energía elevada, donde los efectos cuánticos se vuelven despreciables, pero están sustancialm ente en desacuerdo a baja energía, d o n d e /BE se vu elve infinita al tender E a E 0, la cual suponem os aquí que es cero.
/ b e (E)
e (E—E0)/kT _ [ '
(33)
donde la energía E 0 es un parámetro que depende de la densidad de las partículas y de otros aspectos de su naturaleza. La distribución de Fermi-Dirac se caracteriza por la función / f d ( E ) — e(E- EMkT ^ j •
(34)
N ótese que la diferencia aparentemente m enor de un signo en los denominadores de las ecuaciones 33 y 34 constituye una diferencia drástica en el com portam iento de las partículas d es crito por estas dos funciones. Las figuras 16 y 17 ilustran esta diferencia. La función / BE tiende al infinito cuando la energía tiende a E 0; entonces, no existe nada que impida que todas las partículas de un sistem a de b oson es vaya a un único nivel de energía. En esta condición, todas las partículas tienen, en efecto, el m ism o estado de m ovim iento, y toda la sustancia se comporta cooperativamente. U n ejem plo de tal efecto ocurre en el caso del helio líquido CHe), donde el m ovim iento cooperativo de todos los átom os es responsable de su facultad de fluir con una viscosidad absolutamente nula aun a través de la más angosta
de las constricciones. Este efecto se llama s u p e r f lu id e z y ocurre cuando el h elio es enfriado por debajo de una temperatura de 2.2 K. (A manera de contraste, el otro isótopo estable de helio, 3 He, es un ferm ión y no muestra superfluidez hasta que es enfriado por debajo de 0.002 K, temperatura a la cual pueden juntarse dos átom os de 3He para formar un sistem a molecular que se comporta com o un bosón.) El superfluido se caracteriza también por una conductividad térmica infinita, de m odo que la ebullición cesa por debajo de 2.2 K (Fig. 18), y por un efecto cooperativo llam ado “flujo en película”, en el cual el helio puede fluir por las paredes de su recipiente y gotear desde el fondo (Fig. 19). Otras aplicaciones en las que la distribución de B ose-E instein produce resultados diferentes de los de la distribución clásica de M axw ell-Boltzm ann incluyen el cálculo del espectro de radiación térmica em itido por los objetos (véase la sección 4 9 -2 de la versión ampliada) y de las capacidades caloríficas de lo s sólid os (véase la sección 25-3); en el últi m o caso son lo s m odos vibratorios de lo s átom os del sólido los que se comportan cooperativam ente y están som etidos a la distribución. Obsérvese, al comparar las figuras 16 y 17, que la distribución de Fermi-Dirac tiene un comportamiento muy diferente a baja energía a la distribución de Bose-E instein. En lugar de permitir que todas las partículas vayan al estado de energía m ás bajo, la distribución de Fermi-Dirac permite cuando m ás una partícula en cualquier estado de energía. Éste es exactam ente el requisito im puesto por el principio de exclusión de Pauli. Ejem plos de los efectos que resultan de la aplicación de la distribución de Fermi-Dirac incluyen la conducción eléctrica en lo s sólidos (véase el capítulo 53 de la versión ampliada de este texto) y las propiedades de las estrellas de neutrones. La superconductividad (la facultad de ciertos materiales de conducir electricidad sin resistencia; véase la sección 32-8) es
Preguntas
F igu ra 19 Una ilustración del comportamiento cooperativo del helio en el estado de superfluido es el flujo en película, en el que el líquido dentro del recipiente se desliza espontáneam ente por las paredes y puede verse que gotea en el fondo.
603
otro ejem plo del efecto de las diferentes distribuciones estadís ticas cuánticas. Por lo com ún, la conducción d e electrones en un sólid o obedece a la distribución de Fermi-Dirac, la cual im pide el com portamiento cooperativo al permitir no más de un electrón por estado de m ovim iento. En un superconductor, dos electrones se juntan para formar un par, y lo s electrones aparea dos se comportan com o un bosón en lugar de un ferm ión. Están entonces som etidos a la estadística de B ose-E instein, la cual permite el comportamiento cooperativo que da lugar a la super conductividad. Cuando la densidad de las partículas es m uy baja o la tem pe ratura es m uy elevada, el término exponencial de lo s denom i nadores de las ecuaciones 33 y 34 se vu elve m ucho mayor de 1, y el 1 puede ser despreciado. En este caso, ta n to /BE com o f m dependen de E com o e~E/kT, que es la m ism a dependencia de la energía que tiene la / MB. Entonces, las distribuciones cuánticas se reducen a la clásica en el lím ite de baja densidad o de alta temperatura. El lím ite d e baja densidad se aplica en el caso de un gas; com o descubrim os en el problema muestra 3, la distan cia media entre las m oléculas de un gas es típicam ente de más de 1 0 diámetros m oleculares, y una m olécula puede reco rrer varios cientos de diámetros antes de encontrar a otra m o lécula. Por lo tanto, la indistinguibilidad de las m oléculas no afecta nuestra facultad de seguir el curso de las m oléculas de gas, y la distribución clásica proporciona una representación muy precisa d e las propiedades del gas. N o obstante, en los líquidos y en los só lid o s el espaciam ento m edio se aproxima más a 1 diámetro m olecular, y la distribución clásica por lo común no es aplicable. ■
PREGUNTAS 1. Considere el caso en que el recorrido libre m edio es mayor que la dim ensión m ás grande de un recipiente. ¿Es éste un vacío perfecto para una m olécula en esta vasija? 2. Liste las maneras eficaces de aumentar el número de colision es m oleculares por unidad de tiem po en un gas. 3. D é una explicación cualitativa de la conexión entre el recorrido libre m edio de las m oléculas de am oniaco en el aire y el tiem po que tarda en sentirse el olor del am o niaco cuando se abre una botella en el otro lado del salón. 4. Considere el principio de Arquím edes aplicado a un gas. ¿No es verdad que una vez que aceptam os el m odelo de la teoría cinética de un gas necesitam os una nueva exp li cación de este principio? Por ejem plo, supongam os que el recorrido libre m edio de una m olécula de gas es com parable a la profundidad del cuerpo sum ergido en el gas, o mayor. ¿Cuál es entonces el origen de la fuerza de flotación? (V éase “A rchim edes’ Principie in G ases”, por A lan J. W alton, C ú n te m p o r a r y P h y s ic s , marzo de 1969, pág. 181.) 5. Un gas puede transmitir únicam ente aquellas ondas son o ras cuya longitud de onda sea larga comparada con el re corrido libre m edio. ¿Puede usted explicar esto? Describa una situación en la cual esta lim itación sería importante.
6
. Si las m oléculas no son esféricas, ¿qué significado pode m os dar a d en la ecuación 16 para el recorrido libre m e dio? ¿En qué gases actuarían las m oléculas en la forma m ás parecida a esferas rígidas?
7. ¿En qué sentido e s el recorrido libre m edio una propie dad m acroscópica de un gas en lugar de una m icroscó pica? 8
. Supongam os que elim inam os la hipótesis de las colisiones elásticas en la teoría cinética y consideram os a las m olé culas com o centro de fuerza que actúa a distancia. ¿Tiene algún significado el concepto de recorrido libre m edio en estas circunstancias?
9. Puesto que la fuerza real entre las m oléculas depende de la distancia entre ellas, las fuerzas pueden causar disper siones aun si las m oléculas están lejos de “estar en con tacto” entre sí. A dem ás, la dispersión causada dependería de qué tan largo sea el tiem po en que actúan estas fuerzas y por lo tanto de la velocidad relativa de las m oléculas, ( a ) ¿Esperaría usted que el recorrido libre m edio m edido dependa de la temperatura, aun cuando la densidad per manezca constante? ( b ) D e ser así, ¿esperaría usted que A. aumente o dism inuya con la temperatura? (c) ¿Cómo interviene esta dependencia en la ecuación 16?
604
Capítulo 24 Mecánica estadística
10. Cuando una lata de nueces de diferente tamaño se sacude, ¿por qué la nuez m ás grande acaba generalm ente en la superficie, aun cuando e s m ás densa que las otras? 11. En una cantidad fija de gas, ¿cóm o se afectaría el recorrido libre m edio si ( a ) la densidad del gas se duplica, ( b ) la velocidad m olecular m edia se duplica, y (c) si tanto la densidad com o la velocidad m olecular m edia se duplican? 12. Justifique cualitativam ente la aseveración de que, en una m ezcla de m oléculas de diferentes clases en com pleto equilibrio, cada clase de m olécula tiene la m ism a distri bución de M axw ell de la velocidad que la que tendría si no estuviesen presentes las otras clases.
F ig u ra 2 0
Pregunta 17.
n{vx)
13. Un gas consta de N partículas. Explique por qué umls > v cualquiera que sea la distribución de velocidades. 14. ¿Qué observación es una buena evidencia de que no todas las m oléculas de un cuerpo se m ueven con la misma velocidad a una temperatura dada? 15. La fracción de m oléculas dentro de un intervalo A v dado de la velocidad rmc dism inuye al elevarse la temperatura de un gas. Explique. 16. ( a ) ¿Tienen la mitad de las m oléculas de un gas en equi librio térm ico velocidades m ás grandes que up? ¿Que u? ¿Que v i " J ( b ) ¿Qué velocidad — up, v, o vnns— corres ponde a una m olécula que tenga energía cinética prome dio? 17. Considere la distribución de velocidades mostrada en la figura 20. (a) Liste unm) u, y u¡t en orden de velocidad creciente. ( b ) ¿Cómo se compara esto con la distribución m axwelliana? 18. La figura 21 muestra la distribución de la com ponente x de las velocidades de las m oléculas en un recipiente a una temperatura fija, (a) La distribución es sim étrica con respecto a vx = 0; haga esto posible. ( b ) ¿Qué representa el área total bajo la curva? (c) ¿Cóm o cambiaría la distri bución al aumentar la temperatura? (d) ¿Cuál es el valor de vx más probable? (é ) ¿Es la velocidad m ás probable igual a cero? Explique. 19. El sistem a de ranura de la figura 12 selecciona únicam ente aquellas m oléculas que se m uevan en la dirección + x . ¿D estruye esto la validez del experim ento com o una m e-
F ig u ra 21
Pregunta 18.
dida de la distribución de velocidades de las m oléculas que se m ueven en todas direcciones? 20. Liste ejem plos del m ovim iento browniano en lo s fenóm e nos físicos. 2 1 . ¿Ocurriría el m ovim iento browniano en un espacio libre de gravedad? 22. Una pelota de g o lf está suspendida del techo por m edio de un cordón largo. Explique en detalle por qué su m ovim ien to browniano no e s visible. 23. H em os definido p„ com o el número de m oléculas por uni dad d e volum en de un gas. Si definim os a p„ para un vo lum en m uy pequeño de un gas, digam os, uno igual a 1 0 v eces el volum en d e un átom o, entonces p n fluctúa con el tiem po dentro del intervalo entre cero y algún valor m á xim o. ¿C óm o podem os entonces justificar la afirmación d e que p„ tiene un valor definido en cada punto de un gas?
PROBLEMAS S e c c i ó n 2 4 - 1 D i s t r i b u c i o n e s e s t a d í s t i c a s y v a lo r e s m e d io s
1. Suponga que tiene usted una co lección de N objetos. El número de maneras en que puede usted seleccionar a n de éstos, si el orden no es importante, es N !/ n ! ( N - n ) ! U sando esta fórmula, derive la ecuación 5. ( S u g e r e n c i a : D ivida una baraja en 13 d e corazones y 39 de las demás. ¿D e cuántas maneras puede usted seleccionar h corazones de entre los 13? ¿D e cuántas maneras puede usted se lec cionar 13 - h cartas de entre las 3 9 cartas que no sean de
corazones? ¿Cuántas maneras existen para seleccionar 13 cartas c u a l e s q u i e r a de la baraja?) S e c c i ó n 2 4 - 2 R e c o r r i d o lib r e m e d io
2 . Sustituya la ecuación 10 en la ecuación 12 y evalúe las integrales para obtener la ecuación 13. 3. El denominador de la ecuación 12 es igual al número total de partículas N . U se esto para demostrar que la constante A de la ecuación 14 está dada por A = N /X .
Problemas 4. A 2500 km sobre la superficie de la Tierra la densidad es de 1.0 m olécula/cm 3 aproximadamente. ( a ) ¿Qué recorri do libre m edio se predice según la ecuación 16 y ( b ) ¿cuál es su significado en estas condiciones? Suponga un diá metro m olecular de 2 . 0 x 1 0 ' 8 cm. 5. A la temperatura y presión estándar (0°C y 1.00 atm) el recorrido libre m edio en el gas h elio es de 285 nm. D eterm ine (a) el número de m oléculas por metro cúbico y ( b ) el diám etro efectivo de los átom os de helio. 6
. En cierto acelerador de partículas lo s protones viajan alrededor de una trayectoria circular de 23.5 m de diám e tro dentro de una cámara con 1.10x10"* mm Hg d e presión y 295 K de temperatura, ( a ) C alcule el número de m olé culas de gas por metro cúbico a esta presión. ( b ) ¿Cuál es el recorrido libre m edio de las m oléculas del gas en estas condiciones si el diámetro m olecular es de 2 . 2 0 x 1 0 " 8 cm?
7. El recorrido libre m edio A de las m oléculas de un gas puede ser determinado a partir de m ediciones (por ejem plo, a partir de la m edición de la viscosidad del gas). A 20.0°C y 75.0 cm H g de presión tales m ediciones dan valores de Amargón) = 9 .9 0 x 10 ' 6 cm y AN2 (nitrógeno) = 27.5 x 10 ~6 cm. (a ) H alle la razón entre los diámetros de la sección transversal efectiva del argón al nitrógeno. ( b ) ¿Cuál sería el valor del recorrido libre m edio del argón a 20.0°C y 15.0 cm Hg? (c) ¿Cuál sería el valor del recorrido libre m edio del argón a -4 0 .0 °C y 7 5 .0 cm Hg? 8
. C alcule el recorrido libre m edio de 35 cápsulas esféricas en un frasco que es agitado vigorosam ente. El volum en del frasco e s de 1.0 L y el diámetro de una cápsula es de 1 . 0 cm.
9. ¿A qué frecuencia sería la longitud de onda del sonido del orden del recorrido libre m edio en nitrógeno a 1 . 0 2 atm de presión y 18.0°C? C onsidere que el diámetro de la m olécula de nitrógeno es de 315 pm. V éase el problema 42 del capítulo 23. 10. ( a ) H alle la probabilidad de que una m olécula recorra una distancia cuando m enos igual al recorrido libre m edio antes de su próxim a colisión, (b ) ¿A qué distancia desde la últim a colisió n es la probabilidad de haber sufrido la próxima colisió n igual a ±? D é la respuesta en térm inos del recorrido libre m edio. 11. En el problema muestra 3, ¿a qué temperatura es igual a 6.0 x 10 9 s ' 1 la cantidad prom edio de colisión? La presión perm anece sin cambio. S e c c i ó n 2 4 - 3 L a d i s t r ib u c i ó n d e l a s v e lo c i d a d e s m o l e c u l a r e s
12. Las velocid ades de un grupo de diez m oléculas son 2, 3, 4, . . ., 11 km/s. (a) H alle la velocidad media del grupo. (b ) C alcule la velocidad raíz media cuadrática del grupo. 13. ( a ) D iez partículas se m ueven con las velocidades siguien tes: cuatro a 2 0 0 m /s, dos a 5 0 0 m /s, y cuatro a 600 m/s. C alcule las velocidades m edia y m edia cuadrática. ¿Es unns > v l (b ) Construya su propia distribución de la velocidad de las 1 0 partículas y demuestre que vm > ü para su distribución, (c) ¿En qué condiciones (si existen tales) se hace v ^ = u? 14. Se le da a usted el siguiente grupo de partículas (n¡ repre senta el número de partículas que tienen una velocidad u,):
n¡
v, (km /s)
2
1
4
2
6
3 4 5
8 2
605
( a ) C alcule la velocidad media v. ( b ) C alcule la v elo ci dad m edia cuadrática v ^ . ( c ) Entre las cin co velocidades mostradas, ¿cuál es la velocidad más probable up para todo el grupo?
15. En el aparato de M iller y Kusch (véase la Fig. 12) la longitud L del cilindro giratorio es de 2 0 .4 cm y el ángulo tj> es 0.0841 rad. ¿Qué velocidad rotatoria corresponde a una velocidad seleccionada v d e 2 1 2 m/s? 16. Se halla que la velocidad más probable de las m oléculas en un gas a temperatura T2 es la m ism a que la velocidad rms de las m oléculas de este gas cuando su temperatura es T¡. Calcule T2/ T v 17. D o s recipientes están a la m ism a temperatura. El primero contiene gas a una presión p , cuyas m oléculas tienen una masa m , con una velocidad m edia cuadrática El segundo contiene m oléculas de masa m 2 a la presión 2 p , que tienen una velocidad m edia v2 = 2 unns. H alle la razón m j m 2 de las masas de sus m oléculas. 18. Un gas, no necesariam ente en equilibrio térmico, consta de N partículas. La distribución de la velocidad no es necesariam ente m axw elliana. ( a ) D em uestre que > v cualquiera que sea la distribución de las velocidades, (b ) ¿Cuándo se obtendría la igualdad? 19. D em uestre que, para átom os de masa m que emerjan com o un haz de una pequeña abertura en una e stufa a temperatura T, la velocidad m ás probable e s v p = V3 k T /m . 20. U n átom o de germ anio (diámetro = 2 4 6 pm) escapa de un horno ( T = 4 2 2 0 K) con la velocidad m edia cuadrática hacia una cámara que contiene átom os de argón frío (diámetro = 3 0 0 pm) a una densidad de 4.13 x 10 19 átom os/cm 3. ( a ) ¿Cuál e s la velocidad del átom o de germa nio? (£>) Si el átom o de germanio y el átom o de argón chocan, ¿cuál es la distancia m ínim a entre sus centros, considerando que cada uno sea esférico? (c) H alle la frecuencia de colisión inicial experimentada por el átomo de germanio. 21. Para la distribución hipotética de la velocidad del gas de N partículas mostrado en la figura 2 2 [n( v) = C v 2, 0 < v < v 0; n ( v ) = 0 , v > u j , halle (a) una expresión para C en términos de N y v0, ( b ) la velocidad prom edio de las partículas, y (c) la velocidad rmc de las partículas. 22. Un gas hipotético de N partículas tiene la distribución de velocidad mostrada en la figura 23 [n( v ) - 0 para v > 2 v 0], ( a ) Exprese a en térm inos d e N y v 0. (b ) ¿Cuántas partícu las tienen velocidades entre 1.50uo y 2 .0 0 u0? (c) Exprese la velocidad promedio de las partículas en términos de v0. ( d ) H alle v nm. 23. Para un gas en el que todas las m oléculas viajen con la m ism a velocidad v , demuestre que v n¡ = jU en lugar de - í l v (que es el resultado obtenido al considerar la
606
Capítulo 24
Mecánica estadística 2 9 . C alcule la velocidad media cuadrática d e partículas de hum o de masa 5 .2 x 1 0 ' 14 g en el aire a 14°C y 1.07 atm de presión.
F igu ra 22
Problema 21.
v
F igu ra 23
Problema 22.
distribución real d e las velocidades m oleculares). V éase la ecuación 16. S e c c i ó n 2 4 - 4 L a d is t r i b u c i ó n d e l a s e n e r g í a s
24. C alcule la fracción de las partículas en un gas que se m uevan con energía cinética de traslación entre 0.01Jt7’ y 0 .0 3 k T . ( S u g e r e n c i a : Para E « k T , el término e FAT de la ecuación 27 puede ser reem plazado por 1 - E /k T . ¿Por qué? 25. ( a ) H alle £ mls usando la distribución de la energía d e la ecuación 27. (b) ¿Por qué e s Enra * Unu^1¡s, en donde um la está dada por la ecuación 2 2 ? 26. H alle la fracción de las partículas en un gas que tengan energías cinéticas de traslación dentro de un intervalo de 0 .0 2 k T centrado en la energía m ás probable E p. ( S u g e r e n c i a : En esta región, n ( E ) - constante. ¿Por qué?)
30. Una balanza d e resorte muy sen sib le tiene una constante de fuerza de 0.44 N /m . Vibra al azar debido al bombardeo de las m oléculas del aire sobre el objeto que soporta (fluctuaciones térmicas), ( a ) H alle el desplazam iento rms del objeto a partir de su p osición de equilibrio a 31°C. ( S u g e r e n c ia : C onsidere que la energía prom edio del m o vim iento al azar sea kT . ¿Por qué?) (b ) D eterm ine la incertidumbre en una determ inación del p eso debido a este efecto. 3 1 . En el espacio interestelar existen partículas sólidas muy pequeñas, llam adas granos. Son bombardeadas continua m ente por átom os de hidrógeno del gas interestelar circun dante. C om o un resultado de estas colision es, los granos ejecutan un m ovim iento browniano tanto en la traslación com o en la rotación. Supóngase que lo s granos sean esfe ras uniform es de 4 .0 x 10 ' 6 cm de diámetro y 1.0 g/cm 3 de densidad, y que la temperatura del gas sea de 100 K. Halle (a) la velocidad m edia cuadrática d e lo s granos entre co lisio n es y ( b ) la razón aproximada (rev/s) a la cual están girando lo s granos. 3 2 . Partículas coloid ales en solu ción son flotadas por el líqui do en que están suspendidas. Sea p ' la densidad del líquido y p la densidad de las partículas. Si V es el volum en de una partícula, demuestre que el número de partículas por unidad de volum en en el líquido varía con la altura según n = «o exp
V (p - p ') g h ^ ,
donde n0 e s el número de partículas a la altura h = 0. Esta ecuación fue probada por Perrin en sus estudios del m ovi m iento browniano. S e c c ió n 2 4 - 6 D is tr ib u c io n e s e s ta d ís t ic a s c u á n t ic a s
33. ¿D e cuántas maneras pueden distribuirse en dos estados tres ( a ) partículas clásicas distinguibles y ( b ) bosones indistinguibles? 34. ( a ) ¿A qué energía E es /ñ>(E) = |? ( b ) ¿Cuál es el valor d e f m ( E ) a la energía hallada en (a )? P ro y ecto p a r a la c o m p u ta d o ra
S e c c i ó n 2 4 - 5 M o v im ie n t o b r o w n ia n o
27. La velocidad media cuadrática de las m oléculas de hi drógeno a 0°C es de 1840 m /s. C alcule la velocidad de las partículas coloid ales de “m asa m olar” 3.2 x 106 g/m ol. 28. En un líquido a 26°C se encuentran suspendidas partículas de m asa 6 . 2 x 1 0 ' 14 g y se observa que tienen una velocidad m edia cuadrática de 1.4 cm /s. C alcule el número d e A v o gadro a partir del teorema d e equipartición y de estos datos.
3 5 . M uchas computadoras tienen un generador de números al azar, el cual puede utilizarse para “dar” una m ano de 13 naipes. Por ejem plo, asignando a cada naipe un valor numérico de 1 a 5 2 y generando luego un número al azar en ese intervalo, podem os “dar” un naipe al azar a partir de una baraja de 5 2 naipes. U sando esta técnica, dé una m ano de 13 naipes y determine el número de corazones. Repita 1000 v eces y trace un histograma sim ilar al de la figura 2. Compare sus resultados con las predicciones de la ecuación 5.
CAPÍTULO 25
E n e l c a p í t u lo 2 2 h e m o s p r e s e n t a d o l a n o c ió n d e s i s t e m a s e n c o n ta c t o te’r m ic o . S i s u s t e m p e r a t u r a s s o n d ife r e n t e s in ic ia lm e n te , lo s s i s t e m a s in t e r c a m b ia r á n e n e r g í a h a s t a q u e a l c a n c e n e l e q u ilib r io té r m ic o . E n e s t e c a p ít u lo e s t u d i a m o s e s t e f l u j o d e e n e r g ía e n tre d o s c u e r p o s , a l c u a l lla m a m o s calor. D e s c r i b i m o s a q u í ta m b ié n l o s e f e c t o s d e t r a n s f e r i r c a l o r a un c u e r p o , lo c u a l d e b e i m p li c a r un a u m e n to d e t e m p e r a t u r a o u n c a m b io d e e s t a d o , c o m o d e s ó l i d o a líq u id o o d e lí q u id o a v a p o r . P o r ú ltim o , r e l a c i o n a m o s l o s c o n c e p t o s d e c a lo r , e n e r g í a in te r n a , y t r a b a jo p o r m e d io d e l a primera ley de la termodinámica, u n e n u n c ia d o d e l a c o n s e r v a c i ó n d e l a e n e r g ía . E n e s e n c ia , e s te te m a c o n tin ú a y a m p l í a e l p r o g r a m a q u e c o m e n z a m o s e n l o s c a p í t u l o s 7 y 8, d o n d e p r e s e n t a m o s p o r v e z p r i m e r a e l c o n c e p t o d e e n e r g ía .
25-1 EL CALOR: ENERGIA EN TRÁNSITO Es una observación común que si situamos un objeto caliente (digamos, una taza de café) o un objeto frío (un vaso de agua helada) en un entorno a la temperatura ambiente ordinaria, el objeto tenderá hacia el equilibrio térmico con su entorno. Esto es, el café se enfría y el agua helada se calienta; la temperatura de cada uno se acerca a la temperatura del entorno. Parece claro que tales aproximaciones al equilibrio térmico deben implicar cierta clase de intercambio de energía entre el sistema y su entorno.* Definimos al calor (símbolo Q) como la energía que se transfiere, como lo que va del café a la habitación o de la habitación al agua helada. De manera general, adoptamos la definición si guiente:
El calor es energía que fluye entre un sistema y su entorno en virtud de una diferencia de temperatura entre ellos. La figura 1 resume este punto de vista. Si la temperatura Ts de un sistema es menor que la temperatura TE del entorno, fluye calor en el sistema. Elegimos nuestra con vención de signos de modo que Q sea positivo en este caso; usted puede concebir esto como un proceso en el que la energía interna del sistema aumenta. A la inversa, cuando Ts > TE, el calor fluye hacia afuera del sistema, y hacemos que Q para el sistema sea negativo. Ya que el calor es una forma de energía, sus unidades son las de la energía, es decir, el joule (J) en el sistema SI. Antes de que se reconociera que el calor es una forma de energía, se le asignaban otras unidades. En ciertos casos estas unidades están aún en uso hoy día, específicamente la caloría (cal) y la unidad térmica británica (Btu). Se relacionan con el joule de acuerdo con 1 cal = 4.186 J y
* Este punto de vista no siem pre fue defendido pór los cien tífi cos. En el sig lo xv ii i se creía que un material fluido, llamado c a l ó r i c o , era intercambiado entre lo s cuerpos a temperaturas diferentes. En el sig lo xix, los experim entos llevados a cabo por Benjamin T hom pson (más tarde conocido com o el Conde Rumford de Baviera) demostraron concluyentem ente que el trabajo m ecánico podía producir calor, lo cual dio por resultado la identificación del calor com o una forma de energía y condujo al desarrollo de la ley de la conservación de la energía.
1 Btu = 1055 I
La “caloría” en uso común como una medida de la nutri ción (Cal) es en realidad una kilocaloría; esto es, 1 Cal = 1000 cal = 4186 J El Btu se encuentra todavía comúnmente como una me dida de la facultad de un acondicionador de aire para transferir energía (como calor) de una sala al ambiente exterior. Por lo tanto, un acondicionador de aire típico en
608
Capítulo 25
El calor y la primera ley de la termodinámica
Entorno
Entorno
Sistema
Sistema
’Q <
T$m (a)
(b)
n
0
>Ti
(c)
F igu ra 1 ( a ) Si la temperatura Ts de un sistem a es menor que la temperatura TE de su entorno, el calor flu ye hacia el sistem a hasta que se establece el equilibrio térm ico, com o en (b ) . (c) Si la temperatura de un sistem a es m ayor que la de su entorno, el calor fluye hacia afuera del sistem a.
una sala especificado a 10,000 Btu/h puede extraer alre dedor de 107 J de la sala cada hora y transferirlos al ambiente exterior.
Conceptos erróneos con respecto al calor El calor es similar al trabajo en tanto que representa un medio para la t r a n s f e r e n c i a de la energía. Ni el calor ni el trabajo son una propiedad intrínseca de un sistema; esto es, no podemos decir que un sistema “contiene” cierta cantidad de calor o de trabajo. En cambio, decimos que puede transferir una cierta cantidad de energía en forma de calor o de trabajo en ciertas condiciones específicas. Parte de la confusión con respecto al significado preciso del calor proviene del uso popular del término. A menudo se usa la palabra calor cuando lo que realmente se quiere decir es temperatura o quizás energía interna. Cuando oímos hablar del calor en relación al clima, o cuando cier tas instrucciones de cocina indican “caliéntese a 300 gra dos”, se hace referencia a la t e m p e r a t u r a . En cambio, oímos también alusiones al “calor generado” por las balatas de los frenos de un automóvil o por el frotamiento rápido de las palmas de las manos. En este caso, como veremos, es usualmente la e n e r g í a i n t e r n a a lo que se hace referencia. Una clave para el uso apropiado parte de la definición del calor: cuando frotamos nuestras manos, se lleva a cabo un trabajo entre ellas, aumentando por lo tanto su energía interna y elevándose su temperatura. Este ex ceso de energía puede entonces ser transferido al entorno como calor, porque las manos están a una temperatura más alta que el entorno.
c a l o r . En la figura 2 se muestra un diagrama del aparato de Joule. Básicamente, el trabajo mecánico W efectuado por las pesas al caer (medido en joules) produce una elevación de temperatura mensurable en el agua. La calo ría se definió originalmente como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 g de agua de 14.5 a 15.5°C. A partir del aumento de temperatura medido en el agua, Joule fue capaz de deducir el número de calorías de calor Q que producirían la misma elevación de tempe ratura al ser transferidos desde alguna fuente externa a una cantidad igual de agua a la misma temperatura inicial. El trabajo ^efectuado sobre el agua por las pesas al caer (en joules) producía por lo tanto una elevación de la tempera tura equivalente a la absorción por el agua de cierto calor Q (en calorías), y a partir de esta equivalencia fue posible determinar la relación entre la caloría y el joule. El resul tado del experimento de Joule, y de otros que le siguieron, proporcionó durante casi 100 años una conversión entre el joule y la caloría. Hoy día, después de la adopción en 1948 del joule como la unidad de calor en e] SI, expresa-
El equivalente mecánico del calor En el pasado, cuando la caloría se definía independien temente como una unidad de calor, fue necesario determi nar una relación empírica entre la caloría y el joule. Esto lo hizo por vez primera James Joule en 1850, en un experimento para determinar el e q u i v a l e n t e m e c á n i c o d e l
F ig u ra 2 Aparato de Joule para medir el equivalente m ecánico del calor. A l caer las pesas hacen girar a las paletas que agitan el agua del recipiente, elevando así su temperatura.
Sección 25-2
mos todas las cantidades relacionadas con la energía, como el calor y el trabajo, en J, y así este factor de conversión ha perdido la importancia que tuvo en el tiempo de Joule. No obstante, la labor de Joule es todavía notable por la destreza e ingenuidad de sus experimentos, por su precisión (los resultados de Joule difieren en 1% únicamente de la relación definida por el SI entre joule y caloría), y por la directriz que proporcionó para demostrar que el calor, igual que el trabajo, podía verse apropiada mente como un medio para transferir energía.
25-2 CAPACIDAD CALORIFICA Y CALOR ESPECÍFICO____________ Podemos cambiar el estado de un cuerpo intercambiando energía en la forma de calor, o forma de trabajo. Una propiedad de un cuerpo que puede cambiar en tal proceso es su temperatura T. El cambio de temperatura AT que corresponde a la transferencia de una cantidad de energía calorífica Q en particular dependerá de las circunstancias bajo las cuales se transfiera el calor. Por ejemplo, en el caso de un gas confinado en un cilindro con un émbolo móvil, podemos añadir calor y mantener fijo al émbolo (por lo tanto manteniendo el volumen constante), o podemos añadir calor y permitir que el émbolo se mueva pero se conserve constante la fuerza sobre el émbolo (por lo tanto manteniendo al gas bajo presión constante). Incluso pode mos cambiar la temperatura efectuando un trabajo sobre un sistema, como al frotar entre sí a dos objetos que entre uno y otro ejerzan fuerzas de fricción; en este caso, no es necesario que ocurra una transferencia de calor. Es conveniente definir la capacidad calorífica C' de un cuerpo como la razón entre la cantidad de calor Q sumi nistrada al cuerpo durante cualquier proceso y su cambio de temperatura AT correspondiente; esto es,
C' =
AT ‘
( 1)
La palabra “capacidad” puede crear confusión porque sugie re la aseveración, esencialmente sin significado, de “la can tidad de calor que puede contener un cuerpo”, mientras que lo que se quiere decir es simplemente la energía por cada grado de cambio de temperatura que se transfiere como calor cuando la temperatura del cuerpo cambia. La capacidad calorífica por unidad de masa de un cuerpo, llamada capacidad calorífica específica, o sim plemente calor específico, como es lo usual, es caracte rística del material de que está compuesto el cuerpo: c= — = Q m m AT'
(2)
La capacidad calorífica es característica de un objeto en particular, pero el calor específico caracteriza a una sus
Capacidad calorífica y calor específico
609
tancia. Entonces podemos hablar, en primer término, de la capacidad calorífica de una moneda de cobre pero, por otra parte, del calor específico del cobre. Ni la capacidad calorífica de un cuerpo ni el calor específico de un material son constantes; ambos dependen de la temperatura (y posiblemente de otras variables, como la presión). Las ecuaciones anteriores dan única mente valores promedio de estas cantidades en el inter valo de temperatura AT. En el límite, cuando AT —►0, podemos hablar del calor específico a una temperatura T en particular. Podemos hallar el calor que debe ser proporcionado a un cuerpo de masa m, cuyo material tenga un calor específico c, para aumentar su temperatura desde la tem peratura inicial 7] hasta la temperatura final Tf dividien do el cambio de temperatura en N pequeños intervalos AT„, suponiendo que cn sea constante en cada pequeño intervalo, y sumando las contribuciones a la transferen cia de calor total de todos los intervalos n = 1,2, . . ., N. Esto da ( 2 = ¿ mcnATn.
(3 )
n—1
En el límite diferencial ésta resulta Q
-r
c dT,
(4 )
donde c puede ser una función de la temperatura. A temperaturas ordinarias y dentro de intervalos de tempe ratura ordinarios, puede considerarse que los calores es pecíficos son constantes. Por ejemplo, el calor específico del agua varía en menos de 1% en el intervalo entre 0°C y 100°C. Por lo tanto, podemos escribir la ecuación 4 de una manera más general Q = mc(Tf —T{).
(5 )
La ecuación 2 no define al calor específico en una forma única. Debemos también especificar las condiciones bajo las cuales se añade el calor Q al material. Una condición común es que la muestra permanezca a una presión atmos férica normal (constante) mientras añadimos el calor, pero existen muchas otras posibilidades, cada una de las cuales conduce, por lo general, a un valor de c diferente. Para obtener un valor único de c debemos indicar las condicio nes, tales como calor específico a presión constante cp, calor específico a volumen constante cv, y así sucesiva mente. La tabla 1 muestra los valores de las capacidades calo ríficas específicas de un número de sustancias comunes, medidas en condiciones de presión constante. Si bien, las unidades se expresan en términos de K, podemos también trabajar con temperaturas en °C, porque una diferencia de temperatura en C° es igual a la misma diferencia de tem peratura en K.
610
Capítulo 25
TABLA 1
El calor y la primera ley de la termodinámica + C 'J '. + mcccT
T =
C A P A C I D A D E S C A L O R ÍF IC A S D E A L G U N A S S U S T A N C IA S '
f
»i
+ c; + mccc
(0.220 kgX4190 J/kg-KX12°C) + (190 J/K.X12"C) + (0.075 kgX386 J/kg-KX312’ C)
C a p a c id a d c a lo r ífic a e s p e c ífic a
C a p a c id a d c a l o r í f i c a m o la r
(J/kg • K)
(J/mol • K)
S u sta n c ia
Sólidos elem entales Plom o Tungsteno Plata Cobre Carbono A lum inio Otros sólid os Latón Granito Vidrio H ielo (-1 0 ° C) Líquidos Mercurio A lcohol etílico Agua de mar Agua
129 135 236 387 502 90 0
(0.220 kgX4190 J/kg-K)+ 190 J/K + (0.075 kgX386 J/kg-K)
= 19.6°C. O bsérvese que, a causa de que todas las temperaturas fueron parte de las d i f e r e n c i a s de temperatura, podem os usar °C en esta expresión. Sin embargo, en la mayoría de las expresiones ter m odinám icas pueden ser usadas únicam ente temperaturas K el vin. Partiendo de lo s datos anteriores puede usted encontrar que
26.7 24.8 25.5 24.6 6 .0 2
24.3
Q t = 7010 J,
380 790 840
Q b = 1440 J,
y
<2c = - 8 4 5 0 J .
La suma algebraica de estas tres transferencias de calor es ciertamente cero, com o lo requiere la ecuación 6 .____________
2 2 2 0
Calores de transformación
139 2430 39 0 0 4190
f Medidas a la temperatura ambiente y la presión atmosférica a menos que se indique otra cosa.
P rob lem a m u estra 1 Una muestra de cobre cuya masa m c es de 75 g se calienta en una estufa de laboratorio a una temperatura T de 312°C. El cobre se deja caer lu ego en un vaso de precipi tados que contiene una masa w , (= 2 2 0 g) de agua. La capacidad calorífica efectiva C ¿ del vaso e s d e 190 J/K. La temperatura inicial 7’ del agua y del vaso es de 12.0°C. ¿Cuál es la tempera tura final com ún T¡ del cobre, el vaso, y el agua? Solu ción C onsiderem os com o nuestro sistem a al agua + el vaso + el cobre. N ingún calor entra o sale de este sistem a, de m odo que la suma algebraica de las transferencias caloríficas internas que ocurren debe ser cero. D e aquí que
La diferencia de temperatura e s igual, en todos los casos, a la temperatura final m enos la temperatura inicial. V em os por inspección que Q n y Q v son p ositivos (indicando que el calor ha sido transferido hacia el agua y hacia el vaso) y que Q c es negativo (indicando que el calor ha sido transferido desde el cobre). Puesto que toda la energía que sale de un objeto en este sistem a aislado entra en otro objeto, la conservación de la energía (calor) requiere que (6 )
o bien +
Gv +
G c =
L a ca n tid a d d e ca lo r p or u n id a d d e m a sa tran sferid o durante u n c a m b io d e fa s e s e lla m a c a l o r d e t r a n s f o r m a c i ó n , o c a l o r l a t e n t e (s ím b o lo L ) d e l p r o c e so . E l ca lo r total tra n sferid o e n u n c a m b io d e fa s e e s e n to n c e s (7)
Q = Lm ,
d o n d e m e s la m a sa d e la m u estra q u e ca m b ia d e fa s e . E l ca lo r tra n sferid o durante la fu s ió n o la c o n g e la c ió n se lla m a c a l o r d e f u s i ó n (s ím b o lo L f) , y e l ca lo r tran sferid o
d e tr a n sfo r m a c ió n d e a lg u n a s su sta n c ia s. E l c o n o c im ie n to d e la s c a p a c id a d e s c a lo r ífic a s y d e lo s
calor que flu y e hacia el agua: Q c = tncc c(T , - 7).
Q.
u n c a m b io d e tem p eratu ra. E n lo s p r o c e s o s in v e r s o s (el ag u a s e c o n g e la , e l v a p o r s e c o n d e n sa ), la m u estra libera c a lo r, d e n u e v o a una tem peratura co n sta n te.
v a p o r i z a c i ó n (s ím b o lo Lv). L a ta b la 2 m u estra lo s ca lo re s
calor que flu ye hacia el vaso: Q „ = CJ(7’f - 7j),
0
s ó lid o , líq u id o , o g a s e o s o ) a o tro . A s í p u e s, e l h ie lo se fu n d e y e l ag u a h ie r v e , a b so r b ie n d o ca lo r e n cada c a s o sin
durante la e b u llic ió n o la c o n d e n s a c ió n s e lla m a c a l o r d e
calor que flu ye hacia el agua: Q , = » itc t(T { - T ¡),
I< 2 =
C u a n d o entra c a lo r a u n s ó lid o o a u n líq u id o , la tem p era tura d e la m u estra n o s e e le v a n e c e sa r ia m e n te . E n ca m b io , la m u estra p u ed a ca m b ia r d e u n a f a s e o e s t a d o (e s to e s,
o.
Sustituyendo las expresiones de la transferencia de calor de antes, nos da
c a lo r e s d e tra n sfo r m a c ió n e s im p o rta n te p orq u e p o d e m o s
TABLA2
A LG UN O S CALORES D E T R A N S F O R M A C IÓ N P u n to d e fu sió n
C a lo r d e fu sió n
P u n to d e e b u llic ió n
C a lo r de v a p o r iz a c ió n
S u sta n c ia f
(K)
(kJ/kg)
(K)
(kJ/kg)
Hidrógeno O xígeno Mercurio Agua Plom o Plata Cobre
14.0 54.8 234 273 601 1235 1356
58.6 13.8 11.3 333 24.7 105 205
20.3 90.2 630 373 2013 2485 2840
452 213 296 2256 858 2336 4730
w .c. (7'f — T t ) + C : ( T f - T t ) + m c cc( T ( - T ) = 0. R esolviendo para T¡ y sustituyendo, tenem os que
' Las sustancias están listadas en el orden de sus puntos de fusión crecientes.
Sección 25-3 m ed ir un a tra n sfer e n c ia d e ca lo r d e tem peratura d e u n m a teria l c o n o c id a o la ca n tid a d d e u n a tra n sfo rm a ció n c o n o c id o q u e s e
Capacidades caloríficas de los sólidos
611
d eterm in a n d o e l c a m b io d e ca p a cid a d c a lo r ífic a su sta n cia c o n ca lo r de c o n v ie r te d e una fa s e a
otra. P or e je m p lo , e n s iste m a s a baja tem peratura q u e in v o lu c r e n h e lio líq u id o a 4 K , la r a zó n a la q u e h ie r v e e l g a s h e lio a partir d e l líq u id o da un a m e d id a d e la ra zó n d e entrada d e ca lo r a l siste m a .
25-3 CAPACIDADES CALORÍFICAS DE LOS SÓLIDOS A partir d e la tab la 1 c o n c lu im o s q u e lo s c a lo r e s e s p e c íf i c o s d e lo s s ó lid o s v a ría n g ra n d em e n te d e u n m a teria l a otro. S in em b a r g o , su r g e u n a h isto ria b a sta n te d ife re n te al com p arar m u estra s d e m a te r ia le s q u e c o n te n g a n e l m ism o n ú m ero d e á to m o s e n lu g a r d e m u estra s q u e te n g a n la m is m a m a sa . P o d e m o s lle v a r a c a b o e sto h a lla n d o la capaci dad calorífica molar d e la su sta n c ia , d efin id a e n a n a lo g ía c o n la e c u a c ió n
2
función de la temperatura. A temperaturas elevadas, las capacidades caloríficas de todos los só lid o s se aproximan al m ism o valor lím ite. Para el plom o y el alum inio, ese valor se alcanza casi a la temperatura ambiente: no para el carbono.
com o ta n cia s v a ríen c o n la tem p eratu ra d e m an era m u y sim ilar.
e n d o n d e n e s e l n ú m ero d e m o le s d e la su sta n c ia q u e tien en c a p a cid a d c a lo r ífic a C '. A s í c o m o la ca p a c id a d
L a fig u ra 4 m u estra q u e , r e a lm e n te , p u e d e h a c e r se q u e la s c a p a c id a d e s c a lo r ífic a s m o la r e s d e v a ria s su sta n c ia s c a i g a n e n la m ism a cu rva p o r m e d io d e u n a ju ste em p ír ic o , s e n c illo , d e la e s c a la d e tem p era tu ras. E n la fig u ra 4 , la
c a lo r ífic a e s p e c ífic a (s ím b o lo c , u n id a d J/k g • K ) rep re sen ta la c a p a cid a d c a lo r ífic a p or u n id ad d e m a sa d e una
e sc a la h o r iz o n ta l e s la r a z ó n s in d im e n s io n e s T(T0, d o n d e T e s la tem p eratu ra K e lv in y TDe s u n a tem peratura carac
su sta n cia , la ca p a cid a d c a lo r ífic a m o la r (s ím b o lo C , u n i dad J /m o l • K ) rep resen ta la ca p a c id a d c a lo r ífic a p o r m o l.
terística , lla m a d a temperatura de Debye, q u e tie n e un v a lo r c o n sta n te d e te r m in a d o para cad a m aterial. E n el
E n 1 8 1 9 D u lo n g y P etit en co n tra ro n q u e la s c a p a c id a
p lo m o ,
tie n e e l v a lo r e m p ír ic o d e
8 8
K y e n e l carb o n o ,
Td = 1 8 6 0
d e s c a lo r ífic a s m o la r e s d e s ó lid o s e le m e n ta le s, c o n p o c a s e x c e p c io n e s (v é a s e e l c a rb o n o e n la tabla 1 ), tie n e n v a lo
K . O b s é r v e se q u e la ca p a c id a d c a lo r ífic a m olar lle g a a u n 80% d e su v a lo r lím ite cu a n d o T = 0 .5 TD y
res c e r c a n o s a 2 5 J /m o l • K . L a ca p a cid a d c a lo r ífic a m o la r, listad a e n la ú ltim a co lu m n a d e la tab la 1 , s e h a lla al
a lred ed o r d el 90% c u a n d o
m u ltip lica r e l c a lo r e s p e c ífic o p or la m a sa m o la r (la m a sa d e 1 m o l, e l cu a l c o n tie n e 6 . 0 2 * 1 0 23 á to m o s) d e l e le m e n to. V e m o s q u e la ca n tid a d d e ca lo r req u erid o por átomo para e le v a r la tem p eratu ra d e u n s ó lid o en un a ca n tid a d dada p a rece ser a p ro x im a d a m en te la m ism a para c a si to d o s lo s m a teria les m o str a d o s en la tab la. É sta e s una e v id e n c ia n o ta b le d e la teo ría a tó m ica d e la m ateria. L as c a p a c id a d e s c a lo r ífic a s m o la r e s varían r e a lm e n te c o n la tem peratu ra, a p r o x im á n d o se a c e r o c u a n d o r - O K y a l v a lo r d e D u lo n g -P e tit cu a n d o
T a u m en ta. La
figu ra 3 m u estra la v a r ia c ió n para e l p lo m o , e l a lu m in io , y e l ca rb o n o . P o d e m o s v e r q u e e l v a lo r a p a ren tem en te a n ó m a lo d e la tabla
1
para el ca rb o n o o cu rre p o rq u e e l
ca rb o n o n o h a a lc a n z a d o a ú n su v a lo r lím ite a la te m p e ratura a m b ien te. P u e sto q u e para d eterm in a r e l c a lo r n e c e sa r io para aum en tar la tem peratura d e u n cu e r p o e n una can tid ad d ada p a rece ser im p ortan te e l n ú m ero d e á to m o s m ás b ie n q u e la c la s e d e á to m o , e llo n o s c o n d u c e a esp erar q u e la s c a p a c id a d e s c a lo r ífic a s m o la r e s d e d ife r en te s s u s
T = TD. E n to n c e s
p u ed e c o n s i
d erarse q u e 7 d e s una tem p eratu ra cara cterística d e la te n d e n c ia al lím ite . P o r lo ta n to , n o e s so rp ren d en te q u e, a la tem peratura a m b ien te , el p lo m o
(T/TD =
3 .4 ) h a y a a lc a n
z a d o su v a lo r lím ite , p e r o n o e l c a rb o n o ( T¡TD= 0 .1 6 ). P o d e m o s e n ten d er la s c a p a c id a d e s c a lo r ífic a s m o la r e s d e lo s s ó lid o s u sa n d o los r e su lta d o s d e la m e c á n ic a e sta d ístic a h a lla d o s e n lo s c a p ítu lo s 2 3 y 2 4 . E n e l lím ite de alta tem p eratu ra, c o n sid e r a m o s a lo s á to m o s d e u n s ó lid o c o n lib ertad para vibrar e n tres d ir e c c io n e s. E n la s e c c ió n 2 3 -6 p r esen ta m o s e l c o n c e p to d e n ú m ero d e grados de libertad d e un siste m a : e n e s e n c ia , e l n ú m ero d e fo rm a s d ifer e n te s en q u e u n siste m a p u ed e ten er en erg ía . U n o b je to q u e v ib re e n una d im e n sió n tie n e d o s g ra d o s de lib erta d , e l d e la en e r g ía p o te n c ia l y e l d e la en ergía c in é tic a . E sto e s , p o d e m o s dar a un o sc ila d o r cu a lq u ier can tid ad d e e n erg ía p o te n c ia l q u e e sc o ja m o s , y ta m b ién p o d e m o s in ic ia r su m o v im ie n to c o n cu a lq u ier can tid ad d e e n erg ía c in é tic a . E l m o v im ie n to d e cada á to m o o sc ila n te en un s ó lid o p u e d e v e r se c o m o una c o m b in a c ió n d e la s 3 v ib r a c io n e s u n id im e n sio n a le s , cad a una c o n d o s g rad os
612
Capítulo 25
El calor y la primera ley de la termodinámica F ig u ra 4 A lgunos valores de las capacidades caloríficas m olares de varios sólid os. La línea horizontal sólida es el lím ite de D ulong-Petit, y la curva es el resultado de la teoría de D ebye.
d e libertad; e n to n c e s e x is te n s e is g r a d o s d e lib ertad por
d istr ib u c io n e s e sta d ístic a s cu á n tic a s. L a cu rva d e lín ea
á to m o d e l s ó lid o . D e a cu e r d o c o n e l te o rem a d e e q u ip a rtició n , cad a á to m o tie n e una e n erg ía p ro m e d io d e ± k T
co n tin u a d e la fig u ra 4 fu e o b ten id a a partir d e l c á lc u lo de D e b y e , y su e x c e le n te c o n co r d a n c ia c o n lo s d a to s e s un triu n fo d e la fís ic a c u á n tic a .T
p or grad o d e lib erta d , d e m o d o q u e la en er g ía intern a p or m o l es (9 )
L o s d a to s g r a fic a d o s e n la fig u ra 4 v a ría n su a v e m e n te y ca ra cteriza n a m a te r ia le s q u e n o c a m b ia n su esta d o en
S i e le v a m o s la tem p eratu ra d e un a m u estra d e m a teria l e n A T tra n sfirién d o le c a lo r, n o e fe c tu á n d o se n in g ú n trabajo en e l p r o c e so , e l a u m en to d e en e r g ía interna p or m o l será
e s e in ter v a lo d e tem p eratu ras. E sto e s , n o s e fu n d en o c a m b ia n d e una fo rm a c r ista lin a a otra. A m e n u d o p o d e m o s d etecta r ta le s c a m b io s al m e d ir e l c a lo r e s p e c ífic o d e u n a su sta n c ia . L a fig u ra 5 m u estra lo s c a lo r e s e s p e c ífic o s
A £ mt = 3 R A T . Ig u a la n d o e s te in c re m e n to e n la e n erg ía intern a por m o l c o n e l c a lo r a ñ a d id o p o r m o l para log ra r
d e l ta n ta lio y d e l lató n . E n e l c a s o d e l ta n ta lio , p u e d e v e rse q u e ocu rre u n c a m b io sú b ito a un a tem p eratura d e u n o s
e l in crem en to d e tem p eratu ra, h a lla m o s, u sa n d o la e c u a c ió n 8 ,
4 .4 K . P o r d eb a jo d e 4 .4 K , e l ta n ta lio e s u n su p e r c o n d u c
Cv = AT = T ? = 3 R = 24 9 J/m ol-K -
tr a n sic ió n d e u n co n d u cto r n o rm a l a u n su p erco n d u cto r,
E
ím
= 6 N K(\k T ) = 3 R T .
tor: n o o fr e c e r e siste n c ia al flu jo d e la co rr ien te eléctrica . T a l “ a n o m a lía ” d e l c a lo r e s p e c ífic o n o sie m p r e in d ica la s in o q u e in d ic a u n c a m b io d e a lg u n a c la s e e n la s p r o p ie
E ste e s e l v a lo r D u lo n g -P e tit “c lá s ic o ” d e la c a p a cid a d ca lo r ífic a m o la r ,* e l c u a l, d e a cu er d o c o n la tab la 1 y la figu ra 4, co n cu erd a e x c e le n te m e n te c o n lo s v a lo r e s o b se r v a d o s e n la r e g ió n d e alta tem p eratu ra. S in em b a r g o , para
d a d e s d e l m a teria l. E n e l c a s o d e l la tó n , o cu rre u n ca m b io e n la estru ctu ra cr ista lin a a u n o s 4 6 0 ° C d e una estructura m u y o rd en a d a , p o r d e b a jo d e e sa tem p eratura, a una estructura m á s b ie n d eso rd en a d a , p o r arriba d e e lla . E l
T < T d , la teoría c lá s ic a fa lla . E n esta r e g ió n , lo s e fe c t o s
ca m b io d e estru ctu ra a 4 6 0 °C está in d ic a d o claram en te
de la teoría cu á n tica r esu lta n im p o rta n tes, y d e b e m o s u sar
por u n c a m b io s ú b ito e n e l c a lo r e s p e c íf ic o d e l la tó n (F ig . 5 b ) .
una teo ría d esarro lla d a p rim ero p o r E in ste in y m á s tarde por D e b y e (1 9 1 2 ). D e a cu e rd o c o n la teoría cu á n tica (v é a s e la s e c c ió n 2 4 -6 ) , d e b e m o s te n er e n cu en ta la n atu raleza c o o p era tiv a d e la s o s c ila c io n e s u sa n d o una d e la s
25-4 CAPACIDADES CALORÍFICAS DE UN GAS IDEAL * Los datos graficados en las figuras 3 y 4 son las capacidades caloríficas molares a volum en constante, Cv, mientras que los valores dados en la tabla 1 son Cp, las capacidades caloríficas molares a presión constante. Cp es más fácil de medir, porque la dilatación térmica no necesita tomarse en cuenta, pero Cv es m ás fácil de calcular. Las dos se relacionan por la fórmula
A l ca lc u la r la s c a p a c id a d e s c a lo r ífic a s d e u n g a s id ea l, u sa m o s lo s re su lta d o s d e la teo ría c in é tic a d e u n g a s id ea l d is c u tid o s e n e l c a p ítu lo 2 3 . P u e d e e n c o n tra rse ú til revisar la s s e c c io n e s 2 3 -5 y 2 3 -6 .
C p= C y + T p B lp ,
en donde ¡3 es el coeficiente térm ico d e dilatación volum étrica, B ( = - V A p /A V) es el m ódulo volum étrico isotérm ico, y p es la densidad. A la temperatura am biente, la diferencia entre Cp y Cv es alrededor del 5%.
TPueden encontrarse detalles del cálculo de Einstein, que es un tanto más sen cillo pero m enos aplicable que el de D ebye, en M o d e r n P h y s i c s , por Kenneth S. Krane (W iley, 1983), capí tulo 1 2 .
Sección 25-4
Capacidades caloríficas de un gas ideal
Cv =
Q
n AT
n AT
613
( 11 )
Partiendo de la ecuación 35 del capítulo 23 para un gas ideal monoatómico, A£iIIt = | n R AT, y así
Cw= %R = 12.5 J/mol • K (gas monoatómico). (12) Repitiendo esta derivación mediante las ecuaciones 36 y 37 del capítulo 23 para los gases diatómicos y poliatómi cos, hallamos Cv =
\R
= 20.8 J/mol-K (gas diatómico),
(13)
Cy = IR = 24.1 J/mol-K (gas poliatómico). (14)
Capacidad calorífica a presión constante La figura 6 muestra dos isotermas del gas ideal que difieren en temperatura en AT. La trayectoria ab es el proceso a volumen constante considerado previamente. La trayectoria ac es un proceso a presión constante que conecta a las mismas dos isotermas. En la sección 23-6 establecimos que la energía interna de un gas ideal de pende únicamente de la temperatura. Para todas las tra yectorias que conecten las dos isotermas de la figura 6, el cambio en energía interna tiene el mismo valor, porque todas las trayectorias corresponden al mismo cambio de temperatura. En particular, el cambio en la energía interna es el mismo para las trayectorias ab y ac: AEiat,ab = AEinUac.
Existen dos contribuciones al cambio de la energía interna a lo largo de la trayectoria ac —el calor Q trans ferido al gas y el trabajo W efectuado sobre el gas:
Figura 5 (a) El calor específico del tantalio cerca de su temperatura de transición a superconductor, (tí) El calor específico del latón.
Capacidad calorífica a volumen constante Introduzcamos cierta cantidad de energía como calor Q en un gas que esté confinado dentro de un cilindro equi pado con un émbolo. El gas puede entonces (1) almacenar la energía en forma de energía cinética al azar de sus moléculas (energía interna), o bien (2) usar la energía para efectuar un trabajo sobre el entorno (tal como elevando una pesa sobre el émbolo). Consideremos primero el caso en que el émbolo esté fijo, de modo que el volumen del gas permanezca constante, y no se efectúe ningún trabajo externo. En este caso toda la energía térmica se convierte en energía interna: Q
= AEmX.
(15)
(10)
Sea Cv represente la capacidad calorífica molar a volu men constante, de modo que la ecuación 8 da
A£int,flí = <2+ W. (16) Obsérvense las convenciones del signo que están im plícitas en la ecuación 16. Se considera que el calor transferido desde el entorno es positivo y tiende a incre mentar la energía interna. Si el volumen disminuye, el trabajo efectuado sobre el gas por el entorno es positivo, lo cual tiende a aumentar la energía interna. Si el volumen aumenta (W < 0), el gas efectúa un trabajo sobre el entorno, lo cual tiende a disminuir la energía interna del gas. Usando la ecuación 8, el calor transferido en un proceso a presión constante puede escribirse así: Q = nCp AT,
(17)
donde Cp es la capacidad calorífica molar a presión constante. La ecuación 26 del capítulo 23 da el trabajo a lo largo de la trayectoria ac como W= -p AV, lo cual puede expresarse para este proceso a presión constante usando la ley del gas ideal como: W = -p AV=-nRAT.
( 18)
614
Capítulo 25
El calor y la primera ley de la termodinámica TABLA 3
C A P A C I D A D E S C A L O R IF IC A S M O LARES D E LOS G ASES (J/mol • K)
G as
M onoatóm ico Ideal He Ar D iatóm ico Ideal h2 n2 F igu ra 6 D o s isoterm as de gas ideal que difieren en temperatura en A T están conectadas por el proceso a volum en constante a b y el proceso a presión constante a c .
.
Poliatóm ico Ideal
c„ -c v (J/mol • K)
y
20.8 20.8 20.8
12.5 12.5 12.5
8.3 8.3
1.67
8.3
1.67
29.1 28.8 29.1 29.4
20.8
8.3 8.4 8.3 8.3
1.40 1.41 1.40 1.40
8.3 8.5 9.0
1.33 1.30 1.31
20.4
20.8 21.1 24.9
33.3 37.0 36.8
C 02 n h 3
cv (J/mol-K)
28.5 27.8
1 .6 6
U sa n d o la e c u a c ió n 11 para o b te n e r e l c a m b io e n la e n erg ía interna a lo la rg o d e la tra y ecto ria su stitu ir en la e c u a c ió n 1 6 para hallar «C v A T =
ab,
podem os
L a tabla 3 m u estra una co m p a r a c ió n d e lo s v a lo r e s o b se r v a d o s c o n la s p r e d ic c io n e s d e l m o d e lo d e l g a s id ea l. L a c o n co r d a n c ia e s e x c e le n te .
nCp AT - nR AT
o sea
C. = Cv + R.
(1 9 )
P a rtien d o d e la s e c u a c io n e s 12 a 14 p o d e m o s e n to n c e s h allar la s c a p a c id a d e s c a lo r ífic a s m o la r e s a p r e sió n c o n s tante. C p = %R = 2 0 .8 J /m o l • K
(g a s m o n o a tó m ic o ), (2 0 )
C p = fi? = 2 9 .1 J / m o l - K
(g a s b ia t ó m ic o ) ,
(2 1 )
C p = 4 i? = 3 3 .3 J /m o l • K
(g a s p o lia tó m ic o ).
(2 2 )
O tro parám etro d e in terés q u e p u e d e m e d ir se d e m an era d irecta, in d e p e n d ie n te m e n te d e lo s v a lo r e s d e Cp y d e C v , e s la
razón de las capacidades caloríficas molares y,
d efin id a c o m o
7
S olu ción Suponem os que el aire en la sala (que en su mayoría es nitrógeno y oxígen o) se comporta com o un gas diatóm ico ideal. El volum en de la sala es
(2 3 )
= c :
Y a q u e la ca p a cid a d c a lo r ífic a e s p e c ífic a está rela c io n a d a c o n la ca p a cid a d c a lo r ífic a m o la r p or c = C /M , e n d o n d e
relación de calores específicos, o razón del calor especí fico. U s a m o s y p re v ia m en te e n la e x p r e sió n para la v e lo 6
V =
del
c a p ítu lo 2 3 ) y en la r e la c ió n en tre la p r e sió n y e l v o lu m e n en un p r o c e so a d ia b á tic o (e c u a c ió n 2 8 d e l c a p ítu lo 2 3 ). U sa n d o la s e c u a c io n e s 2 0 a 2 2 para Cp y la s e c u a c io n e s 12 a 14 para Cv, o b te n e m o s
(6
m)(4 m)(3 m) = 72 m 3 = 72,000 L.
Puesto que 1 m ol de un gas ideal ocupa 22.4 L a 0°C y 1 atm, el número de m oles es
M
e s la m a sa m o la r d e la su sta n c ia , p o d e m o s ta m b ién e x p r e sar a y c o m o cp/c v . P o r esta ra zó n e s lla m a d a a m e n u d o la
cid a d d e l s o n id o e n u n g a s (p r o b le m a m u estra
P ro b lem a m u estra 2 Una fam ilia entra en una cabaña de vacaciones de invierno que no ha sido calentada en un tiempo tan largo que la temperatura del interior es la misma que la temperatura del exterior (0°C). La cabina consta de una sola sala de 6 m por 4 m en la planta y una altura d e 3m. La sala contiene un calefactor eléctrico de 2 kW. Suponiendo que la sala sea perfectam ente hermética y que todo el calor del cale factor eléctrico sea absorbido por el aire, no escapando nada a través de las paredes o absorbido por el m obiliario, ¿cuán to tiempo después de que el calefactor haya sido encendido alcanzará la temperatura del aire el nivel de com odidad de 21°C (= 70°F)?
n=
(72,000 L )/(22.4 L /m ol) = 3.2 X 103 mol.
Si la sala es hermética (véase la explicación m ás adelante), podem os considerar que la absorción de calor tiene lugar a volum en constante, para lo cual Q
= nCv A T
= (3.2 X 10 3 m ol)(20.8 J/m ol-K )(21 K)
= 1.4 X 106 J. El calefactor entrega una potencia P de 2 kW y puede propor cionar esta energía en un tiempo de 1.4 X 106 J
y = j = 1.67
(g a s m o n o a tó m ic o ),
(2 4 )
y = | = 1.40
(g a s b ia tó m ic o ),
(2 5 )
y = f = 1.33
(gas poliatómico).
(26)
2 X 10 3 W
= 700 s
o unos 1 2 minutos. Este problema contiene algunas suposiciones p oco físicas con respecto a la absorción del calor en esta sala. Tratemos de
Sección 25-4 estimar la capacidad calorífica de algunas piezas del m obiliario para ver si fue razonable despreciar su efecto sobre la absorción del calor (y, por lo tanto, sobre el tiem po para que la sala alcance el nivel de com odidad). La pérdida de calor a través de las paredes de la sala, la cual estudiaremos en la sección 25-7, tendrá también un efecto considerable sobre este problema. ¿Es razonable la suposición de que la sala sea hermética? Si el aire de la sala estuviese originalm ente a una presión de 1 atm cuando la temperatura era de 0 °C, ¿cuál sería la presión del interior a 21°C? ¿Cuál sería la fuerza resultante hacia afuera sobre el techo y las paredes? Pudiera ser una suposición más razonable que la sala no sea realm ente hermética, sin o que escaparía alguna cantidad de aire al elevarse la temperatura, m anteniéndose por tanto constante la presión. V éase el problema 30 para un cálculo basado en esta suposición._____________
Efecto de la teoría cuántica (Opcional) L os valores mostrados en la tabla 3 son característicos de la temperatura ambiente, y por lo tanto cabe preguntar si la capa cidad calorífica molar de un gas muestra algún efecto de tem peratura. La figura 7 muestra la capacidad calorífica molar del hidrógeno en función de la temperatura. A bajas temperaturas, Cv = | R , característico de un gas con grados de libertad de traslación únicam ente. Entre unos 2 0 0 a 6 0 0 K, el hidrógeno tie ne Cv = | R com o lo esperam os para un gas d iatóm ico con dos grados de libertad rotatorios; arriba de unos 2 0 0 0 K, C v parece acercarse al valor \ R que sería característico de dos grados de libertad adicionales asociados con el m ovim iento vibratorio. La clave para entender estas características radica en la teoría cuántica. V eam os primero la energía rotatoria. D e acuerdo con la ecuación 23 del capítulo 13, el cam bio m ás pequeño posible del ímpetu angular de un sistem a rotatorio es A L = /í/2tt, donde h es la constante de Planck. La energía cinética rotatoria E R se relaciona con el ímpetu angular L por m edio de E K = jic o 2 = \ L 2jI , donde I es la inercia rotatoria de una m olécula d e H 2 con respecto a un eje que pasa por el centro de masa y e s perpen dicular a la línea que une a los dos átom os de H , dada por :m
(?r-(§y=
k
r=-
= 3.8 X 10 - 3 eV.
r
2E k
2(3.8 X 10 ~
r
"
8 .6
3
Traslación
20
50
100
200 500 1000 2000 Temperatura (K)
5000 10,000
F ig u ra 7 La razón C v / R para el hidrógeno en función de la temperatura. D ebido a que los m ovim ientos rotatorio y vibratorio ocurren a energías cuantizadas, únicam ente el m ovim iento de traslación ocurre a bajas temperaturas. A l aumentar la temperatura, puede excitarse el m ovim iento rotatorio durante las colision es. A temperaturas aún más elevadas, puede ocurrir el m ovim iento vibratorio.
energía potencial de la m olécula diatóm ica com o aproximada m ente parabólica cerca de su m ínim o (véase la Fig. 10 del capítulo 8 ). Para el H 2, sucede que la frecuencia e s v = 1.3 x 10 14 H z, y la energía vibratoria cuantificada £ v (véase la Ec. 38 del capítulo 8 ) es £ v = h v = 0.54 eV. El teorema de equipartición permite una energía total de k T para lo s dos grados de libertad vibratorios, pero la m olécula no vibrará a no ser que tenga cuando m enos 0 .5 4 eV de energía térmica disponibles. Entonces, el umbral vibratorio está deter minado por k T = E v
D e acuerdo con el teorema de equipartición, se le adjudica a esta rotación una energía de '-kT, pero este valor de E v es la m í n im a energía de rotación. Si T es tan pequeña que ~ k T < E K, no existe (en promedio) suficiente energía térmica disponible para proporcionar la energía cinética rotatoria m ínim a, y no pueden ocurrir rotaciones. H allem os este umbral de temperatura: $kT= E
615
\ m R 2,
donde in es la masa de un átom o de hidrógeno y R (= 0 .0 7 4 nm) es la separación en equilibrio de los dos átom os. Introduciendo lo s valores num éricos y calculando la energía cinética rotatoria correspondiente al cam bio m ás pequeño permitido en el ímpetu angular (/(/2 k ) , estim am os E
Capacidades caloríficas de un gas ideal
eV )
X 10 ~ 5 eV /K
=
88
K.
El valor es enteramente consistente con los datos mostrados en la figura 7: los efectos de rotación no aparecen hasta tempera turas por arriba de unos 8 8 K. Ocurre una situación sim ilar para la energía vibratoria. La frecuencia vibratoria puede ser hallada de la “constante del resorte” efectiva, la cual puede calcularse a su vez al tratar a la
7 = ^ k
0.54 eV
= 8 .6
X 10 '
5
eV /K
= 6300 K.
Esta burda aproxim ación es consistente con lo s datos de la figura 7. La descripción que hem os ofrecido de la estructura del hidró geno nos proporciona una visión del comportamiento de las m oléculas, pero deberíam os tener presente que contradice a los principios de la teoría cinética clásica que desarrollamos en el capítulo 23. La teoría cinética se basa en la aplicación de la m ecánica newtoniana a un gas de partículas, y la equipartición de la energía (Secc. 2 3-6) se deduce directamente de la m ecá nica estadística clásica. Sin em bargo, si la equipartición de la energía se cum ple, entonces la capacidad calorífica molar del hidrógeno sería independiente de la temperatura. La física clá sica no permite que un m odo de m ovim iento, com o el m ovi miento vibratorio o rotatorio de H 2, sea “con gelad o” por debajo de cierto umbral de temperatura, com o tam poco permite que se añada energía a únicam ente un m odo de m ovim iento a la vez. La física clásica está entonces en obvio desacuerdo con los resultados experim entales mostrados en la figura 7. Nuestro estudio d e la teoría cinética ha indicado la insuficien cia de la mecánica clásica y sugerido la necesidad de una nueva teoría, la m ecánica cuántica. A sí com o la m ecánica newtoniana debe ser reemplazada por la teoría de la relatividad para descri-
616
Capítulo 25
El calor y la primera ley de la termodinámica
bir el m ovim iento a alta velocidad (cerca de la velocidad de la luz), la m ecánica newtoniana debe sustituirse por la m ecánica cuántica para describir el comportamiento de los sistem as fís i cos de pequeñas dim ensiones (subatóm icos). Por fortuna, la mecánica cuántica se reduce directamente a la m ecánica n ew toniana en el lím ite de los objetos de tamaño ordinario, y por lo tanto podem os continuar aplicando la termodinámica clásica con confianza a sistem as en que no sea evidente la estructura subatómica. Límites del sistema
P rob lem a m u estra 3 La estructura interna del hidrógeno muestra una serie de estados discretos excitados, estando el primero de tales estados a una energía de E = 10.2 eV por arriba del estado m ás bajo (el estado base). ¿A qué temperatura será igual la energía cinética promedio de traslación a la energía del estado excitado? Solu ción
Requerim os que
o sea 2(10.2 eV ) 5
eV /K )
tra n sfiere n in g ú n ca lo r en tre e ste siste m a c o m b in a d o y su en to rn o , la e n e r g ía to ta l d e lo s d o s g a s e s p erm a n ece co n sta n te . E n lu g a r d e co n sid era r a la c o m b in a c ió n c o m o n u estro siste m a , e lija m o s al g a s 2 , q u e a b so rb e e l c a lo r Q 2. D e s p u é s d e q u e esta en e r g ía se a ab so rb id a , n o e x is te otro
\k T = E ,
T = — = 3k 3(8.6 X 10 ~
F ig u ra 8 D os gases separados por una pared diatérmica (que conduce calor) en un recipiente aislado.
7.9 X 104 K.
c a m b io en e l siste m a aparte d e u n a u m en to d e su te m p e ratura d e T 2 a T . Para u n g a s id ea l p o d e m o s ca lcu la r e l c a m b io c o r r esp o n d ie n te e n la en e rg ía interna A £ jnt 2. L a
Basados en este cálculo, vem os por qué la hipótesis básica de la teoría cinética, de que las m oléculas pueden ser consideradas com o si no tuviesen estructura interna, es verdadera a tempera turas ordinarias. Ú nicam ente cambiará la estructura interna de la m olécula a temperaturas lo suficientem ente elevadas com o para proporcionar a las m oléculas una energía cinética prome dio de traslación comparable a la diferencia de energía entre el estado base y el estado excitado más bajo, cuando las colision es resultan inelásticas. Inversamente, puede decirse que la falla de la teoría cinética clásica en los gases a temperaturas elevadas proporciona una evidencia de la estructura interna cuantizada de los átom os.
ú n ica fu e n te para e s te c a m b io e n la en erg ía interna e s el ca lo r a b so r b id o , y p or lo tan to A £ inl 2 = Q 2, sie n d o p o sitiv a s a m b a s c a n tid a d es. E sto e s u n e n u n c ia d o d e la c o n se r v a c ió n d e la en e rg ía a p lic a d o a l g a s 2 . T a m b ién p o d e m o s e scrib ir u n e n u n c ia d o sim ila r d e la c o n se r v a c ió n d e la e n erg ía a p lic a d o al g a s 1: A £ int ¡ - Q ¡ , d o n d e am b as c a n tid a d es so n n e g a tiv a s. S u p o n ie n d o q u e h a y a m o s te n id o e l c u id a d o s u fic ie n te para h a cer q u e lo s s ig n o s se a n co r r e c to s , p o d e m o s e sc rib ir una e c u a c ió n g en er a l q u e d escrib a c ó m o p u ed e a p lic a r se la c o n se r v a c ió n d e la en erg ía a cu a lq u ier g a s, e n a u se n c ia d e u n trabajo externo: A £ int = Q .
25-5 LA PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA L a figu ra
8
m u estra u n siste m a q u e co n sta d e d o s g a s e s
sep a ra d o s p or una p ared d ia térm ic a en un r e c ip ie n te qu e por lo d e m á s está a isla d o d e l en to rn o . E l siste m a n o tie n e partes m ó v ile s , d e m o d o q u e n o s e e fe c tú a n in g ú n trabajo. S u p o n g a m o s q u e lo s g a s e s e sté n o r ig in a lm e n te a la s te m peraturas r , y T 2 y q u e, d e sp u é s d e u n tie m p o s u fic ie n te en co n ta c to té r m ic o , e l siste m a a lc a n z a e l e q u ilib r io a algu n a tem p eratura in term ed ia T . P a rtie n d o d e la s té c n ic a s ya d isc u tid a s en e ste c a p ítu lo , sa b e m o s c ó m o o b ten er esta tem peratura b a sa d o s e n u n a h ip ó te sis : la en e r g ía p erd id a c o m o ca lo r por e l g a s m á s c a lie n te « ? [, un a can tid ad n e g a tiv a ) e s ig u a l e n m a g n itu d a la en e r g ía gan ad a c o m o ca lo r p or e l g a s m á s frío ( Q 2, una ca n tid a d p o sitiv a ). E n
(2 7 )
C o n sid e r e m o s ah ora la situ a c ió n fa m ilia r ilustrada en la fig u ra 9 . H a g a m o s q u e e l siste m a ( i n c l u y e n d o ahora el p e s o ) e s té a is la d o d e l e n to rn o , d e m o d o q u e n o entre n i sa lg a ca lo r. S u p o n g a m o s q u e la carga so b r e e l é m b o lo se a u m en ta g r a d u a lm en te, d e m o d o q u e e l é m b o lo carg a d o d e sc ie n d a a tra v és d e cierta d ista n cia . L a g ra v ed a d (una fu erza extern a ejerc id a p or e l en to rn o ) re a liz a cierta c a n tid ad d e trabajo (p o s itiv o ) W so b r e e l siste m a . (V é a s e la e c u a c ió n 3 0 d e l c a p ítu lo 2 3 para una e x p r e sió n d e l trabajo e fe c tu a d o e n e s te p r o c e so a d ia b á tic o ). L a tem peratura au m en ta e n e ste p r o c e s o , y p or lo ta n to e l siste m a e x p e r i m en ta u n c a m b io p o s itiv o e n su en e r g ía in terna. P u esto q u e n o e stá im p lica d a n in g u n a tr a n sferen cia d e ca lo r, la e n erg ía interna d e l g a s a u m en ta a ca u sa d e l trabajo e f e c tu ad o so b r e é l, o se a A E im = W ,
(2 8 )
e fe c to , e sto n o e s m á s q u e u n p o stu la d o d e la c o n se r v a c ió n
sie n d o a m b a s ca n tid a d e s p o s itiv a s en e sta e c u a c ió n . La
d e la en ergía: |@,| = |
e c u a c ió n 2 8 e s otra e x p r e s ió n d e la c o n s e r v a c ió n d e
a sen ta d o es:
la e n e r g ía a p lic a d a a l siste m a .
(?2
=
0
; e s d ecir, p u e sto q u e n o se
Sección 25-5
La primera ley de la termodinámica
617
R e c o r d a r em o s d e n u estra e x p o s ic ió n d e la s fu erza s c o n se r v a tiv a s e n e l c a p ítu lo 8 q u e , c u a n d o e l trabajo e fe c tu a d o so b r e u n o b je to d ep en d a ú n ic a m e n te d e lo s e sta d o s in ic ia l y fin a l y se a in d e p e n d ie n te d e la tra y ecto ria, p o d e m o s d e fin ir u n a fu n c ió n (la en e r g ía p o te n c ia l en e l c a p ítu lo 8 ) q u e d e p e n d e ú n ic a m e n te d e lo s v a lo r e s d e la s c o o r d e n a d a s in ic ia l y fin a l, d e m o d o q u e e l trabajo e fe c tu a d o al d e sp la z a r al o b je to e s ig u a l a la d iferen cia en tre lo s v a lo r e s fin a l e in ic ia l d e esta fu n c ió n . E n term o d in á m ic a te n e m o s un a situ a c ió n sim ila r e n la q u e la c a n
Límites del sistema
tid ad Q + W d e p e n d e ú n i c a m e n t e d e la s co o rd en a d a s in ic ia l y fin a l y n o d e p e n d e e n a b s o l u t o d e la trayectoria
Material aislante
s e g u id a en tre i y f. E x tr a e m o s una c o n c lu s ió n sim ilar: d e b e h a b e r u n a f u n c ió n d e l a s c o o r d e n a d a s te r m o d in á m i
F igu ra 9 U n gas en un contenedor aislado experim enta un trabajo externo sobre él debido a la gravedad.
c a s , cu y o v a lo r f in a l m e n o s e l v a lo r in ic ia l s e a ig u a l a l v a lo r d e Q + W en e l p ro c e so .
E sta fu n c ió n e s la e n e r g í a i n t e r n a d el sistem a. Y a h e m o s representado a la en ergía interna £ w d e u n ga s id eal c o m o la sum a d e la en ergía de traslación y p osib lem en te
E sto s d o s e je m p lo s , ca m b ia n d o e n u n o d e e llo s la en erg ía interna d e b id o a la tr a n sferen cia d e c a lo r y e l otro
d e las en ergías rotatoria o vibratoria d e su s m o lécu la s. A q u í n o s e sta m o s refirien d o a una fu n c ió n d e la energía inter
d e b id o a ca u sa d e l trabajo ex te r n o , e stá n r ep resen ta d o s e sq u e m á tic a m e n te e n la fig u ra 10. C o n sid e r a m o s u n s i s tem a te r m o d in á m ic o g e n e r a l, y h e m o s te n id o c u id a d o en trazar u n o s lím ite s d e fin id o s en tre e l siste m a y su en to rn o .
na m á s gen eral ap lica b le a c u a l q u i e r sistem a term odiná m ic o . E n e l c a so de u n g a s real, d eb iéra m o s incluir (adem ás d e las en ergías c in ética s d e traslación y rotatoria) a la ener
E l siste m a arranca e n u n e sta d o in ic ia l d e e q u ilib r io i en la figu ra 1 0 a , e n d o n d e la s v a r ia b le s te rm o d in á m ic a s
g ía p o ten cia l entre lo s á to m o s en una m o lé cu la , a sí co m o
tie n e n c ie r to s v a lo r e s. L u e g o su je ta m o s al siste m a a una in tera cció n c o n su e n to rn o , c o m o e n la fig u ra 1 0 b , d e m o d o q u e d e b e e fe c tu a r se u n trabajo W y d eb e ser in ter
a la en ergía p o ten cia l entre m o lé c u la s diferen tes. In clu so p o d e m o s in clu ir las ex c ita c io n e s internas d e lo s electron es
c a m b ia d o un c a lo r Q . P o r ú ltim o , c o m o en la fig u ra 1 0 c ,
só lid o , la en ergía interna debería inclu ir la energía d e am a rre o descarga d e lo s á to m o s d e la m alla cristalina.
de lo s átom os. S i nuestro siste m a term o d in ám ico e s u n
e l siste m a está e n u n e sta d o d e e q u ilib r io fin a l f. C o n sid e r e m o s ah ora a l siste m a d e l esta d o i al e sta d o f
E l c a m b io e n en erg ía intern a en tre lo s e sta d o s d e e q u i lib r io i y f e s
a lo la rg o d e u n a v a ried a d d e tra y ecto ria s d ife r e n te s (v e a m o s , p or e je m p lo , la fig u ra 11 y e l p ro b le m a 3 8 ). S a b e m o s d e n u estra s r e fle x io n e s p r e v ia s q u e tan to W c o m o Q
& E mt = E ^ f - E iaiti.
(2 9 )
d ep e n d e n d e la tra y ecto ria . G u ia d o s p or n uestra d is c u
E l v a lo r d e £ ¡nl i d e p e n d e ú n ic a m e n te d e la s co o rd en a d a s
s ió n d e la en erg ía intern a, e v a lu e m o s la ca n tid a d Q + W para cad a tra y ecto ria . H a l l a m o s q u e , e n c a d a c a s o , l a
d e l esta d o i (q u iz á s d e su tem p eratu ra, v o lu m e n , y p resió n e n e l c a so d e u n g a s, s i b ie n ú n ic a m e n te d e la tem peratura
c a n tid a d Q
c a n t i d a d Q + W e s in d e p e n d ie n te d e l a t r a y e c t o r ia , d e
para u n g a s i d e a l ) . D e m an era sim ila r , £ jnt ¡ d ep en d e ú n ic a m e n te d e la s c o o r d e n a d a s d e l p u n to f. T a l fu n c ió n e s lla m a d a una f u n c i ó n d e e s t a d o : d e p e n d e s ó lo d e l esta d o
p en d ie n d o ú n ic a m e n te d e lo s e sta d o s d e e q u ilib r io in ic ia l
d e l siste m a y n o d e p e n d e e n a b so lu to d e c ó m o lle g ó e l
i y fin a l f d e l g a s.
siste m a a e s e esta d o .
+
W tie n e e l m is m o v a lo r . S i b ie n Q y
W
d e p e n d e n in d iv id u a lm e n te d e la t r a y e c t o r ia s e g u id a , la
Frontera del sistema
(a)
Entorno
Entorno
Entorno
(b)
(c)
F igu ra 10 (a) Sistem a en un estado inicial de equilibrio con su entorno. ( b ) Un proceso term odinám ico durante el cual el sistem a puede intercambiar calor Q o trabajo W con su entorno, (c) Sistem a en equilibrio final logrado com o resultado del proceso.
618
Capitulo 25
El calor y la primera ley de la termodinámica
P
p r e v io para la c o n se r v a c ió n d e la e n erg ía en un siste m a de
______i
^1
partículas, e c u a c ió n 2 8 del cap ítu lo 8 : A U + A K + E ml = W E n e s e c a p ítu lo n o c o n sid e r a m o s c a m b io s d e e n erg ía por
_________
m e d io de tra n sferen cia d e ca lo r, d e m o d o q u e en un
______
se n tid o la prim era le y e s u n p o stu la d o m á s g en era l d e la c o n se r v a c ió n d e la e n er g ía , P or otra parte, e s al m ism o tie m p o m e n o s g e n e r a l, en c u a n to q u e la term o d in á m ica n o trata u su a lm e n te c o n e l m o v im ie n to d el cen tro d e m a sa ,
F igura 11 Un sistem a en un estado de equilibrio inicial i es llevado a un estado de equilibrio final f a lo largo de tres trayectorias diferentes: ( 1 ) un proceso a presión constante hasta A , seguido de un proceso a volum en constante hasta f; (2) un proceso isotérm ico hasta B , seguido por un proceso a presión constante hasta f; (3) un proceso adiabático hasta C, seguido por un proceso a volum en constante hasta f. El calor Q transferido y el trabajo W efectuado son diferentes para cada trayectoria, pero la suma Q + W tiene el m ism o valor para todas las trayectorias entre i y f.
E sto n o s lle v a a la p r i m e r a l e y d e l a t e r m o d i n á m i c a , la cual p u ed e en u n cia r se c o m o sig u e: E n c u a lq u ie r p r o c e s o te r m o d in á m ic o e n tre lo s e s t a d o s d e e q u i l i b r i o i y f, l a c a n t i d a d Q + W t i e n e e l m i s m o v a l o r p a r a c u a l q u i e r t r a y e c t o r i a e n t r e i y f. E s t a c a n tid a d e s ig u a l a l c a m b io en e l v a lo r d e u n a fu n c ió n d e e s t a d o lla m a d a e n e r g ía in te rn a .
y a sí A K = 0 , c o m o ta m p o c o trata c o n c a s o s en lo s q u e la fu erza extern a p r o p o r c io n e una e n erg ía p o te n c ia l, d e m o d o q u e A U = 0 . B a sa d o s en n u estra e x p e r ie n c ia c o n la term o d in á m ic a , e sta ría m o s ten ta d o s a escrib ir una e c u a c ió n m á s g en era l d e la c o n se r v a c ió n d e la en erg ía , c o m o A U + A K + A E m, = Q + W, y e s a p ro p ia d o v er a la prim era
le y c o m o una e x p r e sió n d e la c o n se r v a c ió n d e la en ergía v á lid a b ajo e sta s c ir c u n sta n c ia s e sp e c ia le s. S i el siste m a e x p e r im e n ta s ó lo u n c a m b io in fin ite sim a l en su e sta d o , ú n ic a m e n te e s ab sorb id a una ca n tid ad in fi n ite sim a l d e ca lo r d Q , y ú n ic a m e n te s e e fe c tú a una ca n ti dad in fin ite sim a l d e trabajo d W . E n tal c a s o , la prim era le y se e sc r ib e e n la fo rm a d iferen cia l: d E ial = d Q + d W .
(3 1 )
D e b id o q u e Q y W n o s o n fu n c io n e s d e l e sta d o d e un siste m a , n o p u e d e n ser tratadas c o m o d ife r e n c ia le s e x a c ta s en e l se n tid o m a te m á tic o ; e sto e s , n o e x is te una fu n c ió n d e la s c o o r d e n a d a s Q o W c u y a d ife r e n c ia l se a d Q o d W . Su s ig n ific a d o en la e c u a c ió n 31 e s e l d e un a ca n tid ad m u y p eq u eñ a . S in e m b a r g o , d E ml e s una d ife r e n c ia l ex a cta , p o rq u e £ int e s un a fu n c ió n d e la s c o o r d e n a d a s d e l sistem a . La prim era le y d e la term o d in á m ic a e s u n resu lta d o g e
M a tem á tica m en te, la prim era le y e s* A E int = Q +
W.
(3 0 )
En la p rim era le y e x is te n im p líc ita s tres ca ra cterística s: ( 1 ) la e x is te n c ia d e la e n erg ía interna £ lnt (e n form a p are cida a c o m o la le y c e ro in c lu y e la e x is te n c ia d e la te m p e
neral q u e s e c re e s e a p lic a a to d o p r o c e so d e la n aturaleza q u e p ro ced a en tre e sta d o s d e eq u ilib r io . N o e s n e c e s a rio q u e cad a etap a d e l p r o c e so se a u n e sta d o d e eq u ilib rio , ú n ic a m e n te lo s e sta d o s in ic ia l y fin a l. P o r e je m p lo , p o d e m o s a p lica r la p rim era le y a la e x p lo s ió n d e u n petard o den tro d e u n ta m b o r d e a cero a isla d o . P o d e m o s efectu a r
ratura); (2 ) la r e la c ió n m a tem á tica en tre E ml, Q , y W ; y (3 )
e l b a la n c e d e en e r g ía a n tes d e la e x p lo s ió n y d e sp u é s d e
la s c o n v e n c io n e s d e l s ig n o n e c e sa r ia s para a p licar la pri m era le y ( Q > 0 cu a n d o e n t r a ca lo r al s iste m a , lo c u a l
q u e e l siste m a h a y a reg r esa d o a l eq u ilib r io , y para e ste
tien d e a au m en tar £ ¡nt; W >
0
c u a n d o s e e fe c tú a un trabajo
s o b r e un s iste m a , lo cu a l tie n d e ta m b ié n a au m en tar £ inl).
c á lc u lo n o n e c e s ita m o s p r e o c u p a m o s d e q u e la c o n d ic ió n in term ed ia se a tu rb u len ta y d e q u e la p r e sió n y la te m p e ratura n o e sté n b ie n d e fin id a s.
L a e c u a c ió n 3 0 ex p resa la p rim era le y e n un a fo rm a q u e
A ca u sa d e su g en er a lid a d , la p rim era le y e s un tanto
se rela c io n a d irecta m en te c o n n u estro r e su lta d o g en era l
in c o m p le ta c o m o una d e sc r ip c ió n d e la n a tu raleza. N o s d ic e q u e la en e rg ía d e b e c o n se r v a r se e n ca d a p r o c e so , p ero n o n o s d ic e si p u e d e ocurrir rea lm e n te cu a lq u ier p r o c e so
* La forma en que se escriba la primera ley depende de la convención de signos elegida para el trabajo W, al cual defini m os com o -J p d V (trabajo efectuado s o b r e un sistem a). Alter nativamente, el trabajo puede ser definido com o $ p d V (trabajo efectuado p o r el sistem a), en cuyo caso la primera ley se escribiría AE-M = Q - W. H em os elegid o escribir la primera ley en esta forma de m odo que el trabajo term odinámico tendrá la misma convención de signos que em pleam os en el capítulo 7 para el trabajo m ecánico; esto es, el trabajo efectuado s o b r e el sistema es positivo.
en particu lar q u e c o n s e r v e e n erg ía . L a e x p lo s ió n d el p e tard o, por e je m p lo , lib era en e r g ía q u ím ica a lm a cen a d a en la p ó lv o r a q u e e v e n tu a lm e n te e le v a la tem p eratura d e l g a s en e l tam b or. P o d e m o s im a g in a r al g a s c a lie n te en treg a n d o su en e r g ía tér m ic a d e re g r e so a lo s p ro d u cto s d e la c o m b u s tió n , c o n v e r tir lo s otra v e z e n p ó lv o r a y rearm and o e l p etard o, p er o e s to n u n ca s e o b se r v a . L a c o n se r v a c ió n d e la e n erg ía s e c u m p le en a m b o s c a s o s , p ero la n atu raleza p a r e ce se g u ir una d ir e c c ió n p referid a. Para p rop orcion ar
m m m u )A T > m l a k e p o h lic ' FACULTAD DE INGENIERIA D sr*K r a m e n to d s SOCÍJTt íS íí’rA C iO N Y B IB LIO T SC a MONTE vID S O - X T K V G U á Y S e c c ió n 2 5 -6 esta d is tin c ió n , n e c e s ita m o s la seg u n d a le y d e la te r m o d i
A p lic a c io n e s d e la p r im e r a ley
619
lo c u a l p u e d e e x p re sa rse
n á m ica , q u e será d isc u tid a e n e l c a p ítu lo 2 6 .
Px V \ - ~ P f V f ■
P u e sto q u e i y
f son
(36)
p u n to s arb itrarios, p o d e m o s escrib ir
esta e c u a c ió n co m o :
25-6 APLICACIONES DE LA PRIMERA LEY
p V y — co n sta n te .
L a s e c u a c io n e s 3 6 y 3 7 d an la re la c ió n en tre la p resió n y e l v o lu m e n d e un g a s id e a l q u e e x p e r im e n te u n p r o c e
Proceso adiabático
s o a d ia b á tico . D a d o s lo s v a lo r e s d e la p r esió n y d e l v o lu
E n un p r o c e so a d ia b á tic o , e l siste m a está b ie n a is la d o de m o d o q u e n o entra n i s a le n in g ú n c a lo r, e n c u y o c a s o Q = 0 . La prim era le y resu lta ser, e n e s te c a so , A E ini =
(p r o c e so a d ia b á tico ).
W
(3 2 )
D e r iv e m o s la r e la c ió n en tre p y V para u n p r o c e so a d ia b á tic o lle v a d o a ca b o e n u n g a s id e a l, q u e e m p le a m o s en la s e c c ió n 2 3 - 5 . S u p o n e m o s q u e el p r o c e so s e v a a llev a r a c a b o len ta m en te, d e m o d o q u e la p r e sió n e s té sie m p r e
m e n e n e l p u n to in ic ia l, e l p r o c e s o a d ia b á tic o p roced erá a tra v és d e p u n to s fin a le s c u y a p r e sió n y v o lu m e n p u e dan se r c a lc u la d o s a partir d e la e c u a c ió n 3 6 . D e m anera e q u iv a le n te , la e c u a c ió n 3 7 d e fin e una fa m ilia d e cu rvas en u n d iagram a p V . T o d o p r o c e so a d ia b á tic o p u ed e e s tar rep resen ta d o p or u n se g m e n to d e u n a d e e sta s cu rvas (F ig . 12). P o d e m o s reescrib ir e s t o s r e su lta d o s e n té rm in o s d e tem p eratu ra, u sa n d o la e c u a c ió n d e e sta d o d e l g a s ideal:
b ie n d efin id a . Para u n g a s id e a l, p o d e m o s e scrib ir la e c u a c ió n
11
(37)
(p V )y y -
c o n sta n te
Tyy-
co n sta n te .
co m o : d E iM = n C v d T .
(38)
L a c o n sta n te en la e c u a c ió n 3 8 n o e s la m ism a q u e la d e la
E n to n c e s, p d V = — d W = — d E im = — n C y d T .
(3 3 )
e c u a c ió n 3 7 . D e m an era e q u iv a le n te , p o d e m o s escrib ir la e c u a c ió n 3 8 c o m o :
L a e c u a c ió n d e e sta d o d e l g a s p u ed e se r esc rita e n fo rm a d ife r e n c ia l co m o :
T ¡V r l =
T f Vf
7-1
d (p V ) = d (n R T )
(39) (3 4 )
P d V + V d p = nR dT.
P ero p d V e s p r e c isa m e n te - d W , q u e e s ig u a l a - d E mt
A partir d e n u estra d e fin ic ió n b á sic a d e l trabajo term o-
(p u e sto q u e la E c. 3 2 p u e d e e x p r esa rse e n fo rm a d ife r e n
d in á m ic o , W = -
c ia l c o m o d E mí = d W ) . R e s o lv ie n d o la e c u a c ió n 3 4 para
S e c c . 2 3 -5 ) q u e, para u n p r o c e so a d ia b á tic o ,
J
o b ten er V d p y s u s titu y e n d o la e c u a c ió n 3 3 , te n e m o s V dp = nC v d T + n R d T = nC p dT,
p d V , p o d e m o s d em o stra r (v é a s e la
1
(3 5 )
W =
( P t v { — p ¡ Vi)-
(40)
d o n d e el ú ltim o r e su lta d o s e o b tu v o u sa n d o la e c u a c ió n 19, C p = C v + R . P o d e m o s ahora co n sid era r la r a zó n entre
S u p o n g a m o s q u e c o m p r im im o s u n g a s e n un p r o c e so a d ia b á tic o (c o m o se ilu str ó e n la F ig . 9 ). E n to n c e s V¡ > Vs,
la s e c u a c io n e s 35 y 3 3 , lo cu a l da
y la e c u a c ió n 3 9 req u iere e n to n c e s q u e T ¡ > T¡. L a te m p e ratura d e u n g a s se e le v a a l se r c o m p r im id o , c o m o o b se r v a m o s fr e c u e n te m e n te d e l c a le n ta m ie n d o d e una b o m b a
V dp
nCp dT
p dV
- nCv dT
_ £
p
cv
=
- 7,
d e b ic ic le ta . In v e r sa m e n te , la tem p eratu ra d ism in u y e
u sa n d o la e c u a c ió n 2 3 para la ra zó n d e la s c a p a c id a d e s
cu a n d o un g a s s e e x p a n d e , lo c u a l s e u sa a m e n u d o c o m o
c a lo r ífic a s m o la r e s y. R e e sc r ib ie n d o , h a lla m o s
un m e d io para a lca n za r tem p era tu ra s b a ja s e n e l la b o ra to rio (v é a s e la F ig . 12).
dp P
dV -y T
L a s o n d a s so n o r a s e n e l a ire p u e d e n rep resen tarse en té rm in o s d e p r o c e s o s a d ia b á tic o s. A la s fr e c u e n c ia s d e
’
la cu a l p o d e m o s in tegrar en tre e l esta d o in ic ia l i y e l esta d o fin a l f d v V
rtn v t
a u d io , el aire e s u n m a l c o n d u c to r d e l ca lo r. E x is te u n a u m en to d e tem p eratu ra e n la s z o n a s d e c o m p r e s ió n de una on d a so n o r a , p ero d e b id o a la m a la c o n d u c c ió n n o e x is te un flu jo d e c a lo r a p r e cia b le a lo s en ra r ecim ien to s v e c in o s m á s frío s; e l p r o c e so e s e n to n c e s a d ia b á tico . L as c o m p r e s io n e s y e x p a n s io n e s d e l v a p o r en una m á q u in a d e vap or, o d e lo s g a s e s c a lie n te s e n lo s c ilin d r o s d e una
620
Capítulo 25
El calor y la primera ley de la termodinámica p
F ig u ra 13 U n gas experimenta un proceso cíclico que com ienza en el punto A y consiste en (1) un proceso A B a volum en constante, (2) un proceso B C a presión constante, y (3) un proceso C A isotérmico.
Volumen (m3)
F igu ra 12 Procesos isotérm icos (líneas continuas) y procesos adiabáticos (líneas de puntos) llevados a cabo en 1 m ol de un gas ideal diatóm ico. O bsérvese que un a u m e n to adiabático del volum en (por ejem plo, el segm ento a b ) está siem pre acompañado de una d is m in u c ió n en la temperatura.
in ic ia l, c o m o , p o r e je m p lo , e l p r o c e so d e tres etap as ilu stra d o e n la fig u ra 13. D e b id o a q u e e l p r o c e s o c o m ie n za y term in a e n e l p u n to A , e l c a m b io e n la e n e r g ía interna durante e l c ic lo e s ce r o . E n to n c e s, d e a cu erd o c o n la prim era le y ,
m áq u in a d e c o m b u s tió n in tern a, s o n ta m b ién e s e n c ia l m e n te a d ia b á tica s, p o rq u e e l tie m p o para q u e e l ca lo r flu y a e s in su fic ie n te .
Procesos isotérmicos E n u n p r o c e so is o té r m ic o , la tem p eratu ra p e r m a n e c e co n sta n te . S i e l siste m a e s u n g a s id e a l, e n to n c e s la e n e r g ía in tern a d e b e , p o r lo ta n to , p er m a n e c e r co n sta n te ta m b ién . C o n A £ inl = 0 , la p rim era le y da Q + W = 0 (p r o c e s o is o té r m ic o ; g a s id e a l).
Q +
W = 0
(p r o c e s o c íc lic o ) ,
(4
3
)
en d o n d e Q y W rep resen ta n lo s to ta le s para e l c ic lo . E n la fig u ra 13, e l trabajo tota l e s p o s itiv o , p o rq u e e x is te m á s área p o sitiv a b a jo la cu rva q u e rep resen ta a la etap a 3 q u e área n e g a tiv a b a jo la lín ea q u e rep resen ta a la etapa 2 . E n to n c e s, W > 0 y s e d e d u c e d e la e c u a c ió n 4 3 q u e Q < 0. D e h e c h o , para c u a lq u ie r c ic lo q u e s e e fe c tú e e n la d ir e c c ió n a n tih oraria, d e b e m o s ten er W > 0 (y p o r e llo Q < 0 ), m ien tra s q u e lo s c ic lo s q u e s e e fe c tú e n e n la d ir e c c ió n horaria tie n e n W < 0 y Q > 0.
(4 1 )
S i s e efe c tú a so b r e e l g a s un a ca n tid a d d e trabajo (p o s iti v o ) W , una can tid a d e q u iv a le n te d e ca lo r Q = - W s e libera p or e l g a s h a cia e l en to rn o . N a d a d el trabajo e fe c tu a d o so b re e l g a s p e r m a n e c e c o n e l g a s c o m o e n erg ía interna a lm acen ad a.
Expansión libre L a fig u ra 14 rep resen ta e l p r o c e so c o n o c id o c o m o e x p a n s i ó n l i b r e . E l g a s está in ic ia lm e n te s ó lo e n u n la d o d el
L a figu ra 12 com p a ra lo s p r o c e s o s is o té r m ic o y a d ia b á tic o para 1 m o l d e u n g a s m o n o a tó m ic o id ea l.
r e c ip ie n te , y c u a n d o s e abre la lla v e d e p a so , e l g a s se e x p a n d e h a cia la m ita d p r e v ia m e n te e v a c u a d a . N o h ay p e s a s q u e p u e d a n se r e le v a d a s e n e ste p r o c e s o , a sí q u e n o
Procesos a volumen constante
s e e fe c tú a n in g ú n trabajo. E l r e c ip ie n te está a is la d o , d e m o d o q u e e l p r o c e so e s a d ia b á tico . D e a q u í q u e, c o n W =
S i e l v o lu m e n d e u n g a s p e r m a n e c e c o n sta n te , n o p u e d e e fe ctu a rse u n trabajo. E n to n c e s W = 0 , y la p rim era le y da A£"jnt = Q
(p r o c e s o a v o lu m e n c o n sta n te ). (4 2 )
E n e ste c a s o , to d o e l c a lo r q u e entra a l g a s ( Q > 0 ) e s a lm a cen a d o c o m o e n e r g ía interna ( A £ ¡nl > 0 ).
Procesos cíclicos
0
y Q =
0
, la p rim era le y da A£"jnt = 0
(e x p a n s ió n lib re)
(4 4 )
E n to n c e s, la e n e r g ía intern a d e u n g a s id e a l q u e e x p e r i m e n te una e x p a n s ió n lib re p e r m a n e c e c o n sta n te , y d e b id o a q u e la en er g ía intern a d e u n g a s id e a l d e p e n d e ú n ic a m e n te d e la tem p eratu ra, su tem p eratu ra d e b e , sim ila r m e n te , p erm a n e ce r co n sta n te. L a e x p a n s ió n lib re e s u n b u e n e je m p lo d e un p r o c e so q u e n o e s t á e n e q u i l i b r i o . S i u n g a s tie n e una p r e sió n y un
E n u n p r o c e so c íc lic o , lle v a m o s a c a b o una se c u e n c ia d e o p e r a c io n e s q u e fin a lm e n te lle v a n al siste m a a su e sta d o
v o lu m e n (y p o r lo ta n to un a tem p eratu ra) b ie n d e fin id o s, p o d e m o s rep resen ta r e l e sta d o d e l g a s c o m o u n p u n to en
Sección 25-6 Aplicaciones de la primera ley
W = -p (V t -
621
V¡)
= - ( 1 .0 1 X 10 5 Pa)( 1.671 m 3 - 1 X 1 0 - 3 m 3) = — 1.69 X 10 5 J = — 169 kj. El trabajo efectuado sobre el sistem a e s negativo; de manera equivalente, el trabajo positivo es efectuado p o r el sistem a sobre su entorno al levantar al ém bolo cargado de la figura 15. (b ) Partiendo de la ecuación 7 tenem os Q = L m = (2260 kJ/kg)(1.00 kg) = 2260 kJ. Estado de equilibrio inicial
Estado de equilibrio final
Esta cantidad es positiva, com o es lo apropiado para un proceso en el que se añade calor al sistem a. (c) H allam os el cam bio en la energía interna a partir de la primera ley:
F igu ra 14 Expansión libre. A l abrir la llave de paso se permite que el gas fluya de un lado del recipiente aislado al otro. N o se efectúa ningún trabajo, y no se transfiere ningún calor al entorno.
A £ int = Q + W = 2260 kJ + ( - 169 k j) = 2090 kJ. Esta cantidad es positiva, indicando que la energía interna del sistem a ha aumentado durante el proceso de ebullición. Esta energía representa el trabajo interno efectuado para vencer la fuerte atracción que las m oléculas de HzO ejercen entre sí en el estado líquido. V em os que, cuando el agua hierve, alrededor del 7.5% (169 kJ/2260 kJ = 0.075) del calor añadido se convierte en trabajo externo al empujar a la atmósfera. El resto se convierte en energía interna que se añade al sistem a.
un diagram a p V. La a sig n a c ió n d e una tem peratura a l g a s s ig n ific a q u e d e b e estar en e q u ilib r io té rm ico ; cad a p u n to en un d iagram a p V rep resen ta , p or lo ta n to , u n sistem a en eq u ilib rio . E n e l c a s o d e una e x p a n sió n lib re, e l esta d o in ic ia l (to d o e l g a s e n u n la d o ) e s u n e sta d o d e eq u ilib r io , a sí c o m o ta m b ié n e l e sta d o fin a l; p ero e n tie m p o s in ter m e d io s , cu a n d o e l g a s pasa d e un la d o al otro, la te m p e ratura y la p resió n n o tie n e n v a lo r e s ú n ic o s , y n o p o d e m o s trazar e s te p r o c e so e n u n d iagram a p V . U n ic a m e n te lo s
P ro b lem a m u estra 5 El ciclo mostrado en la figura 13 con siste en tres procesos, que com ienzan en el punto A : una reduc ción de presión a volum en constante del punto A al punto B ; un aumento de volum en a presión constante del punto B al punto C; una compresión isotérmica (dism inución de volum en) desde el punto C regresando al punto A . Hagam os que el ciclo sea llevado a cabo sobre 0.75 m ol de un gas diatóm ico ideal, con p A = 3.2 x 103 Pa, VA = 0.21 m 3, y p B = 1.2 x 10 3 Pa. Hallar Q , W, y A E int para cada uno de los tres procesos y para el ciclo.
p u n to s in ic ia l y fin a l a p a recen e n la g rá fica . N o o b sta n te, p o d e m o s to d a v ía em p lea r la p rim era le y para a n a liza r e ste p r o c e so , p orq u e e l c a m b io e n la e n erg ía interna d ep en d e ú n ic a m e n te d e lo s p u n to s in ic ia l y fin a l. L a tab la 4 resu m e lo s p r o c e so s q u e h e m o s c o n sid er a d o y su s tra n sferen c ia s d e en erg ía .
Solución El primer paso es hallar los valores de p , V, y T en cada punto. En el p u n to/l, se nos dan p Ay VA, y podem os resolver para TÁ a partir de la ley del gas ideal: P rob lem a m u estra 4 Convirtam os 1.00 kg de agua líquida a vapor por m edio de una ebullición a la presión atm osférica estándar; véase la figura 15. El volum en cambia de un valor inicial de 1 . 0 0 x 1 0 ‘ 3 m 3 com o líquido a 1.671 m 3 com o vapor. Para este proceso, halle ( a ) el trabajo efectuado sobre el sistem a, ( b ) el calor añadido al sistem a, y (c) el cam bio en la energía interna del sistem a.
A
nR
En el punto B , se nos dan p „ y VB (= V J , y podem os hallar a T similarmente: T
(!-2 X 103 Pa)(0.21 m 3) (0.75 m ol)(8.31 J/m o l-K )
- P b Vb B
Solu ción ( á ) El trabajo efectuado sobre el gas durante este proceso a presión constante está dado por la ecuación 2 6 del capítulo 23: TABLA 4
(3.2 X 10 3 Pa)(0.21 m 3) (0.75 m ol)(8.31 J /m o l-K )
T
nR
En el punto C, sabem os que p c (= p B) y que Tc (= TÁ, porque el proceso C A es isotérmico). Entonces podem os hallar Vr :
A P L IC A C IO N E S D E L A P R IM E R A L E Y P r i m e r a le y
O t r o s r e s u lt a d o s
P ro c eso
R e s tr ic c ió n
Todos A diabático
Ninguna
A E ml = Q + W
A E iM = n C y A T , W = - f p d V
Q =
A E int = W
w = ( p ( v f - p ¡ v ,) / ( y - Q = nCyA T
'
Ap = 0 A £ int = 0 A E iM = 0 Q = W = 0
A £ im = Q A E im = Q + W Q = -W
1
)
W = - p A V ,Q = n C v A T W = - n R T ln(Ff/K¡)
Q = -W A E .n , = 0
II o
Isotérmico C íclico E xpansión libre
W = 0
>
A volum en constante A presión constante
0
L as ex p re sio n e s su b ray ad a s se ap lican ún icam en te a lo s g a se s id eales; todas las dem ás se aplican en g eneral.
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Capítulo 25
El calor y la primera ley de la termodinámica p
F ig u ra 13 Un gas experim enta un proceso cíc lico que com ienza en el punto A y consiste en (1) un proceso A B a volum en constante, (2) un proceso B C a presión constante, y (3) un proceso C A isotérm ico.
Volumen (m 3)
F igu ra 12 P rocesos isotérm icos (líneas continuas) y procesos adiabáticos (líneas de puntos) llevados a cabo en 1 m ol de un gas ideal diatóm ico. O bsérvese que un a u m e n to adiabático del volum en (por ejem plo, el segm ento a b ) está siempre acompañado de una d is m in u c ió n en la temperatura.
in ic ia l, c o m o , p o r e je m p lo , e l p r o c e so d e tres etap as ilu stra d o e n la fig u ra 13. D e b id o a q u e e l p r o c e so c o m ie n za y term in a e n e l p u n to A , e l c a m b io e n la e n e r g ía interna d urante e l c ic lo e s cero . E n to n c e s, d e a cu erd o c o n la prim era le y ,
m áq u in a d e c o m b u s tió n in tern a, so n ta m b ién e s e n c ia l m e n te a d ia b á tica s, p o rq u e e l tie m p o para q u e e l ca lo r flu y a e s in s u fic ie n te .
Procesos isotérmicos E n u n p r o c e s o is o té r m ic o , la tem p eratu ra p e r m a n e c e co n sta n te . S i e l siste m a e s u n g a s id e a l, e n to n c e s la en e r g ía in tern a d e b e , p o r lo ta n to , p e r m a n e c e r co n sta n te ta m b ién . C o n A £ int = 0 , la p rim era le y da Q +
W = 0 (p r o c e s o is o té r m ic o ; g a s id e a l).
Q +
W = 0
(p r o c e s o c íc lic o ) ,
(4
3
)
e n d o n d e Q y W rep resen ta n lo s to ta le s para e l c ic lo . E n la fig u ra 1 3 , e l trabajo to ta l e s p o s itiv o , p o rq u e e x is te m á s área p o sitiv a b a jo la cu rv a q u e rep resen ta a la etapa 3 q u e área n e g a tiv a b a jo la lín e a q u e rep resen ta a la etapa 2 . E n to n c e s, W > 0 y s e d e d u c e d e la e c u a c ió n 4 3 q u e Q < 0 . D e h e c h o , para cu a lq u ie r c ic lo q u e s e e fe c tú e e n la d ir e c c ió n an tih oraria, d e b e m o s ten er W > 0 (y p o r e llo Q < 0 ), m ien tra s q u e lo s c ic lo s q u e s e e fe c tú e n e n la d ir e c c ió n horaria tie n e n W < 0 y Q > 0 .
(4 1 )
S i s e e fe c tú a so b r e e l g a s u n a ca n tid a d d e trabajo (p o s iti v o ) W , una ca n tid a d e q u iv a le n te d e c a lo r Q = - W s e lib era por e l g a s h a cia e l en to rn o . N a d a d e l trabajo e fe c tu a d o so b re e l g a s p e r m a n e c e c o n e l g a s c o m o e n e rg ía interna alm a cen a d a . L a figu ra 12 co m p a ra lo s p r o c e s o s iso té r m ic o y a d ia b á tic o para 1 m o l d e un g a s m o n o a tó m ic o id ea l.
Procesos a volumen constante S i e l v o lu m e n d e u n g a s p er m a n e c e c o n sta n te , n o p u e d e e fectu a rse un trabajo. E n to n c e s W = 0 , y la prim era le y da
Expansión libre L a fig u ra 14 rep resen ta e l p r o c e so c o n o c id o c o m o e x p a n s i ó n l i b r e . E l g a s e stá in ic ia lm e n te s ó lo e n u n la d o d e l
r e c ip ie n te , y c u a n d o s e abre la lla v e d e p a so , e l g a s s e e x p a n d e h a c ia la m ita d p r e v ia m e n te e v a c u a d a . N o h a y p e s a s q u e p u e d a n se r e le v a d a s e n e ste p r o c e s o , a s í q u e n o s e e fe c tú a n in g ú n trabajo. E l r ec ip ie n te está a is la d o , d e m o d o q u e e l p r o c e so e s a d ia b á tic o . D e a q u í q u e, c o n W = 0 y Q =
0
, la p rim era le y da A E ¡nl = 0
(e x p a n s ió n lib re)
(4 4 )
(p r o c e s o a v o lu m e n c o n sta n te ). (4 2 )
E n to n c e s, la e n e rg ía intern a d e u n g a s id e a l q u e e x p e r i
E n e s te c a so , to d o e l c a lo r q u e entra a l g a s ( Q > 0 ) e s a lm a c e n a d o c o m o en e r g ía in tern a ( A £ int > 0 ).
a q u e la en er g ía interna d e u n g a s id e a l d e p e n d e ú n ic a
A £ ’,m = Q
Procesos cíclicos E n u n p r o c e so c íc lic o , lle v a m o s a c a b o u n a se c u e n c ia d e o p e r a c io n e s q u e fin a lm e n te lle v a n al siste m a a su esta d o
m e n te una e x p a n s ió n lib re p e r m a n e c e c o n sta n te , y d e b id o m e n te d e la tem p eratu ra, su tem peratura d e b e , sim ila r m e n te , p er m a n e c e r co n sta n te . L a e x p a n sió n lib re e s u n b u e n e je m p lo d e u n p r o c e so q u e n o e s t á e n e q u i l i b r i o . S i u n g a s tie n e una p r e sió n y u n v o lu m e n (y p o r lo tan to u n a tem p eratu ra) b ie n d e fin id o s, p o d e m o s rep resen ta r e l e sta d o d e l g a s c o m o un p u n to en
Sección 25-6 Aplicaciones de la primera ley
621
W = - p ( V f - V{) = - ( 1 .0 1 X 105 Pa)( 1.671 m ’ - l X
1 0 ' 3 m 3)
= — 1.69 X 10 5 J = — 169 kJ. El trabajo efectuado sobre el sistem a es negativo; de manera equivalente, el trabajo p ositivo es efectuado p o r el sistem a sobre su entorno al levantar al ém bolo cargado de la figura 15. ( b ) Partiendo de la ecuación 7 tenem os Q = L m = (2260 kJ/kg)( 1.00 kg) = 2260 kJ. Estado de equilibrio inicial
Estado de equilibrio final
Esta cantidad es positiva, com o es lo apropiado para un proceso en el que se añade calor al sistem a. (c) H allam os el cam bio en la energía interna a partir de la primera ley:
F igu ra 14 Expansión libre. A l abrir la llave de paso se permite que el gas fluya de un lado del recipiente aislado al otro. N o se efectúa ningún trabajo, y no se transfiere ningún calor al entorno.
A £ ,nt = < 2+ W = 2260 kJ + ( - 169 kJ) = 2090 kJ. Esta cantidad es positiva, indicando que la energía interna del sistem a ha aumentado durante el proceso d e ebullición. Esta energía representa el trabajo interno efectuado para vencer la fuerte atracción que las m oléculas de H20 ejercen entre sí en el estado líquido. V em os que, cuando el agua hierve, alrededor del 7.5% (169 kJ/2260 kJ = 0.0 7 5 ) del calor añadido se convierte en trabajo externo al empujar a la atmósfera. El resto se convierte en energía interna que se añade al sistem a.
u n d iagram a p V . L a a s ig n a c ió n d e un a tem p eratu ra a l g a s s ig n ific a q u e d e b e esta r e n e q u ilib r io térm ico ; ca d a p u n to en un diagram a p V r ep resen ta , por lo ta n to , u n siste m a en e q u ilib rio . E n e l c a s o d e u n a e x p a n sió n lib re, e l esta d o in ic ia l (to d o e l g a s e n u n la d o ) e s u n esta d o d e e q u ilib r io , a sí c o m o ta m b ié n e l e sta d o fin a l; p ero e n tie m p o s in ter m e d io s , cu a n d o e l g a s p a sa d e un la d o al o tro , la te m p e ratura y la p r e sió n n o tie n e n v a lo r e s ú n ic o s , y n o p o d e m o s trazar e s te p r o c e so e n u n d iagram a p V . Ú n ic a m e n te lo s p u n to s in ic ia l y fin a l a p a recen en la g r á fica . N o o b sta n te , p o d e m o s to d a v ía e m p lea r la prim era le y para a n a liza r e ste
P ro b lem a m u estra 5 El cic lo mostrado en la figura 13 con siste en tres procesos, que com ienzan en el punto A : una reduc ción de presión a volum en constante del punto A al punto B ; un aumento de volum en a presión constante del punto B al punto C; una com presión isotérm ica (dism inución de volum en) desde el punto C regresando al punto A . Hagam os que el ciclo sea llevado a cabo sobre 0 .7 5 m ol de un gas diatóm ico ideal, con p A = 3.2 x 10 3 Pa, VA = 0.21 m3, y p B = 1.2 x 10 3 Pa. Hallar Q , W, y AEimpara cada uno de los tres procesos y para el ciclo.
p r o c e so , p o rq u e e l c a m b io e n la en e r g ía in tern a d e p e n d e ú n ic a m e n te d e lo s p u n to s in ic ia l y fin a l. L a tab la 4 re su m e lo s p r o c e s o s q u e h e m o s co n sid e r a d o y s u s tra n sferen c ia s d e en erg ía .
Solu ción El primer paso es hallar lo s valores de p , V, y T en cada punto. En el punto .4, se nos dan p Ay VA, y podem os resolver para TA a partir de la ley del gas ideal: P ro b lem a m u estra 4 Convirtamos 1.00 kg de agua líquida a vapor por m edio de una ebullición a la presión atm osférica estándar; véase la figura 15. El volum en cambia de un valor inicial de 1 . 0 0 x 1 0 ' 3 m 3 com o líquido a 1.671 m 3 com o vapor. Para este proceso, halle ( a ) el trabajo efectuado sobre el sistem a, ( b ) el calor añadido al sistem a, y (c) el cam bio en la energía interna del sistem a.
nR
En el punto B , se n os dan p B y VB (= VA) , y podem os hallar a T similarmente: _ P» K"
T B
S olu ción ( a ) El trabajo efectuado sobre el gas durante este proceso a presión constante está dado por la ecuación 2 6 del capítulo 23: TABLA 4
(3.2 X 10 3 Pa)(0.21 m 3) _ {I}Q y (0.75 mol)(8.31 J /m o l-K )
_ p ÁVA A
(1.2 X 10 3 Pa)(0.21 m 3) (0.75 mol)(8.31 J /m o l-K )
nR
En el punto C, sabem os que p c (= p „ ) y que Tc (= TÁ, porque el proceso C A es isotérm ico). E ntonces podem os hallar Vc :
A P L IC A C IO N E S D E L A P R IM E R A L E Y O t r o s r e s u lt a d o s
P ro c eso
R e s tr ic c ió n
Todos
Ninguna 0 = 0
A E ia t= Q + W A E in t= W
W - i P 'V '- f r V M y - ~
1 ^ = 0
A £ int= < 2
Q = nCy A T
Ap = 0
A E iM = Q + W
W = —p A V , Q = n C p A T
A £ im = 0
Q = —W
W — — n R T Ir ^ V f/V J)
A diabático A volum en constante A presión constante
Q = —W
Q = W = 0
A-Eint =
0
1
)
o II
A £ int = 0
A E ¡nt = nCy A T , W = — f p d V
<
Isotérmico C íclico Expansión libre
P r i m e r a ley
' L a s ex p re sio n e s su b ra y a d a s se ap lican ú n icam en te a lo s gases id eales; to d as la s d e m á s se ap lican e n general.
622
Capitulo 25
El calor y la primera ley de la termodinámica
Perdigones de plomo
F ig u ra 16 El calor Q fluye a través de una losa rectangular de material de espesor A x y área A . Perilla de control
F igu ra 15 Problema muestra 4. El agua está hirviendo a presión constante. El calor flu ye desde el depósito hasta que el agua ha sido cambiada com pletam ente a vapor. Se efectúa un trabajo cuando el gas en expansión levanta al ém bolo.
Q=
Gi + Q i + 0 3 = - 1060 J + 1480 J + ( - 6 6 0 J)
= - 2 4 0 J, W = W, + W2 + W3 = 0 + ( - 4 2 0 J) + 660 J = 240 J,
A £ ,nl = A £ int, + A £ int. 2 + A E lnu 3 = - 1060 J + 1060 J + 0 = 0.
„
nRTc (0.75 mol)(8.31 J /m o l-K )( 108 K) , = ~ P c ~ ~ --------------- 1.2 X 10 3 Pa--------------- = 0.56 m .
N ótese que, com o era de esperarse para el ciclo , AEinl = 0 y Q = - W. El trabajo total para el ciclo es positivo, com o lo esperam os para un ciclo que se efectúa en la dirección antihoraria.
Con esta inform ación, podem os ahora calcular la transferencia de calor, el trabajo efectuado, y el cam bio en energía interna para cada proceso. Para el proceso 1 (/IB), tenem os Q l = n C y {T B -
Ta )
= (0.75 m ol)(20.8 J/m ol • K)(40 K -
H e m o s d is c u tid o la tr a n sferen cia d e ca lo r en tre u n siste m a
(proceso a volum en constante),
(V ¡= 0 A £ í„ , , ,
25-7 LA TRANSFERENCIA DE CALOR 108 K) = - 1060 J,
= (2i +
y su en to rn o , p e r o n o h e m o s d e sc r ito aú n c ó m o tie n e lu gar la tra n sferen cia . E x is te n tres m e c a n ism o s : c o n d u c c ió n ,
- 1 0 6 0 J + 0 = - 1 0 6 0 J.
El sistem a transfiere energía al entorno com o calor durante el proceso 1 , y su temperatura cae, correspondiendo a un cam bio negativo en la energía interna. Para el proceso a presión constante 2 (B Q , obtenem os
Conducción
Q 2 = n C p ( T c - T B)
= (0.75 mol)(29.1 J/m o l-K X 108 K - 40 K) = 1480 J, W2 = - p ( V c - VB)
tra n sfiere en e r g ía d e la lu m b re al m a n g o p o r c o n d u c c i ó n a lo la rg o d e la lo n g itu d d el m a n g o d e m eta l. E n virtu d d e
A £ ¡ „ , , 2 = Q i + W 2 = 1480 J + ( - 4 2 0 J) = 1060 J. Se transfiere energía al gas com o calor durante el proceso 2 y, al dilatarse, el gas efectúa trabajo sobre su entorno (el entorno efectúa un trabajo negativo sobre el gas). A lo largo de la isoterma ( C A ), el trabajo está dado por la ecuación 27 del capítulo 23:
3
= - ( 0 .7 5 mol)(8.31 J /m o l-K )( 108 K) ln ^ m, 0.56 m 3
0
(proceso isotérm ico),
Q } = A £ inU -
Para el ciclo, tenem os
W3 = 0 - 660 J = - 6 6 0 J.
la alta tem p eratu ra e n e s e e x tr e m o , lo s á to m o s d e l ex tr e m o c a lie n te e stá n v ib r a n d o c o n una a m p litu d gran d e. E sta s a m p litu d e s v ib ra to ria s g ra n d e s p a sa n a lo la rg o d e l m a n g o , d e á to m o a á to m o , d e b id o a la s in te r a c c io n e s entre á to m o s a d y a c e n te s. D e esta m a n era reco rre una r e g ió n d e tem p eratu ra e le v a d a a lo la rg o d e l m a n g o h a cia nu estra m ano.
W3 = - n R T c \ n ^ f
A£"int, 3 =
S i d e ja m o s u n a tiza d o r m e tá lic o e n la lu m b re durante c u a lq u ier p e r io d o d e tie m p o , su m a n g o s e c a lien ta . S e
= - ( 1 . 2 X 103 Pa)(0.56 m 3 - 0.21 m 3) = - 4 2 0 J,
= 660 J,
c o n v e c c ió n , y ra d ia ció n . E x p lic a r e m o s ca d a u n o d e e llo s p or ord en .
C o n sid e r e m o s un a lo s a d e lg a d a d e m a teria l h o m o g é n e o d e e s p e s o r A x y á r e a A e n su s e c c ió n tra n sv ersa l (F ig . 16). L a tem p eratu ra e s T + A T e n un a cara y T e n la otra. P or e x p e r im e n ta c ió n , d e sc r ib im o s v a ria s ca ra c te rística s so b re la ra zó n H = Q / A t a la c u a l será tran sferid a u n a p eq u eñ a can tid ad d e c a lo r Q a tra v és d e la lo s a e n u n tie m p o A t . L a razón d e flu jo c a lo r ífic o a tra v és d e la lo sa e s ( 1 ) d irecta m en te p ro p o rc io n a l a A : c u a n to m a y o r se a e l área d is p o -
Sección 25-7 La transferencia de calor TABLA 5
623
A L G U N A S C O N D U C T IV ID A D E S
T E R M IC A S Y V A L O R E S D E R . f
Aislamiento
C o n d u c t iv id a d
V a lo r d e R
(W /m • K)
(ft 2 • F° • h/Btu)
M a te ria l
M etales Acero inoxidable Plom o A lum inio Cobre Plata G ases Aire (seco) H elio Hidrógeno M ateriales de construcción Espuma de poliuretano Lana mineral Fibra de vidrio Pino blanco Vidrio de ventanería
Temperatura
Temperatura fija
Flujo d e c a lo r -
14 35 235 401 428
fija
h
h 0 .0 1 0
0.0041 0.00061 0 .00036 0 .00034
0.026 0.15 0.18
5.5 0.96 0.80
0.024 0.043 0.048
5.9 3.3 3.0 1.3 0.14
ta
>h
(a)
(b)
0 .1 1 1 .0
F ig u ra 17 (a) C onducción de calor a través de una barra conductora aislada. ( b ) V ariación de la temperatura a lo largo de la barra.
TLos valores son a la temperatura ambiente. Nótese que los valores de k están dados en unidades SI y los de R en las unidades británicas acostumbradas. Los valores de R son para una losa de 1 in de espesor.
se n ta tiv o s d e k . D e n tr o d e la g a m a d e tem p eratu ras qu e en co n tr a m o s n o rm a lm e n te , p o d e m o s c o n sid era r a k c o m o u na c o n sta n te , p er o e n g a m a s d e tem p eratu ra m á s a m p lia s
n ib le , m á s c a lo r flu irá p or u n id a d d e tie m p o ; ( 2 ) in v e r sa
s e m u estra una lig e ra v a r ia c ió n c o n T . N ó te s e q u e lo s s ó lid o s , au n a q u e llo s q u e c o n sid e r a m o s c o m ú n m e n te c o
m en te p ro p o rcio n a l a A x : c u a n to m á s g ru esa se a la lo s a ,
m o a isla n te s, tie n e n c o n d u c tiv id a d e s m á s e le v a d a s q u e lo s
m e n o s ca lo r flu irá p o r u n id a d d e tiem p o ; y (3 ) d ir ec ta m e n te p ro p o rcio n a l a A T : c u a n to m á s g ra n d e se a la d ife r e n c ia
g a se s .
d e tem p eratu ra, m á s c a lo r flu irá p or u n id a d d e tie m p o .
c ió n 4 5 . V e a m o s p rim ero e l c a s o d e u n a barra larga d e lo n g itu d L y s e c c ió n tra n sv ersa l u n ifo r m e A , d o n d e un e x tr e m o s e m a n tie n e a la tem p eratu ra e le v a d a T A y el
[E sto s r e su lta d o s e x p e r im e n ta le s p r o p o rcio n a n c la v e s p a ra m in im iz a r la p érd id a d e ca lo r e n su c a sa durante e l in v iern o : h a g a q u e e l área d e la su p e r fic ie se a m á s p eq u eñ a (una ca sa d e d o s p la n ta s e s m á s e fic ie n te q u e un a c a sa de una planta c o n la m ism a área to ta l); u s e p a red es g ru esa s lle n a s d e m a teria l a isla n te; y , q u izá lo m á s im p o rta n te, c á m b ie se a u n c lim a m á s te m p la d o .] M a te m á tic a m e n te , p o d e m o s resu m ir e s to s re su lta d o s e x p e r im e n ta le s co m o : h
C o n sid e r e m o s d o s lím ite s d e a p lic a b ilid a d d e la e c u a
otro ex tr e m o a la tem p eratu ra baja T B (F ig . 1 7). E sto e s, lo s e x tr e m o s d e la s barras e stá n su m e r g id o s e n d e p ó sito s té r m ic o s, d e m o d o q u e u n o p u e d e a b a stec e r una can tidad ilim ita d a d e c a lo r y se g u ir m a n te n ie n d o la tem peratura T A, m ien tra s q u e e l otro p u ed e ab so rb er u n a can tid ad ilim itad a d e ca lo r y aú n m a n te n e r la tem peratura T B. (U n d e p ó sito p u e d e ser d e un m a teria l d e m a sa m a y o r q u e la barra, y p o r lo tan to ten er un a c a p a c id a d ca lo r ífic a tan gran d e q u e
- 2 - . At
a
e l ca lo r q u e flu y e h a c ia , o d e sd e la barra e s d e sp recia b le,
^ . Ax
In tro d u cien d o u n a c o n sta n te d e p r o p o rcio n a lid a d k , lla m ad a c o n d u c t i v i d a d t é r m i c a (n o d eb e c o n fu n d ir se c o n la co n sta n te d e B o ltz m a n n ), p o d e m o s escrib ir
At
Ax
(45)
o b ie n q u e e l d e p ó sito p u ed a ser c o n e c ta d o a una m áq u in a d e ca lo r c o m o u n h o m o o u n refrigerad or q u e p u ed a a b a stecer o ab so rb er c a lo r c o n tin u a m e n te a c o sta d e tra b ajo ex te r n o . U n a m e z c la d e ag u a y h ie lo a 0°C o una m e z c la d e v a p o r y ag u a a 1 0 0 °C p u e d e n se r co n sid era d a s ta m b ién c o m o un d e p ó s ito té r m ic o .) L la m a m o s a e s to una situ a c ió n d e e s t a d o e s t a c i o n a r i o :
U n a su sta n c ia c o n u n v a lo r g ran d e d e k e s b u en a c o n ductora d e l calor; un a c o n u n v a lo r p e q u e ñ o d e k e s m ala
la s tem p eratu ras y la ca n tid a d d e c a lo r tra n sferid o so n c o n sta n te s e n e l tie m p o . E n esta situ a c ió n , to d o in c r e m e n
co n d u cto ra , o b u en a a isla n te . E n e l c a s o d e lo s s ó lid o s , las p r o p ied a d es d e lo s m a ter ia le s p u e d e n h a c e r lo s b u e n o s
to d e ca lo r Q q u e en tre a la barra p o r e l e x tr e m o ca lie n te sa le d e e lla p o r e l e x tr e m o frío . P u e sto d e otra m anera,
co n d u c to r e s e l é c t r i c o s (p or e je m p lo , la c a p a cid a d d e lo s
m e d ir ía m o s la m ism a r a zó n d e tra n sferen cia d e ca lo r a
e le c tr o n e s d e m o v e r s e c o n rela tiv a fa c ilid a d e n to d o e l
tra v és d e cu a lq u ier s e c c ió n tra n sv ersa l a lo largo d e la
v o lu m e n d el m a teria l) a s í c o m o ta m b ién b u e n o s c o n d u c to res t é r m i c o s . L a tabla 5 m u estra a lg u n o s v a lo r e s repre-
lo n g itu d d e la barra. Para e ste c a s o , p o d e m o s e scr ib ir la e c u a c ió n 4 5 así:
624
Capítulo 25
El calor y la primera ley de la termodinámica
H = kA - - -
(4 6 )
A q u í L e s e l e s p e s o r d e l m a teria l e n la d ir e c c ió n d e la tran feren cia d e l ca lo r. L a r a zó n d e flu jo d e ca lo r H e s una c o n sta n te, y la tem p eratu ra d is m in u y e d e m o d o lin ea l en tre lo s e x tr e m o s d e la barra (F ig . 1 7 b ) . A l e le g ir lo s m a te r ia le s d e c o n str u c c ió n , a m e n u d o lo s h a lla m o s ca ra cter iz a d o s p o r la r e s i s t e n c i a t é r m i c a o v a lo r d e R , d e fin id o p or R = J .
(4 7 )
E n to n c e s, cu an to m á s baja se a la c o n d u c tiv id a d , m a y o r será e l v a lo r d e R : lo s b u e n o s a is la n te s tie n e n v a lo r e s d e R alto s. N u m é r ic a m e n te , e l v a lo r d e R s e o b tie n e d e a cu e r d o c o n la e c u a c ió n 4 7 e x p r e sa d a e n la s u n id a d e s b ritán i c a s, ft 2 ■ F ° ■ h /B tu . E l v a lo r d e R s e d eterm in a para u n c ier to e s p e s o r d e l m ateria l. P o r e je m p lo , u n e sp e s o r d e 1 in d e fibra d e v id r io tie n e u n R = 3 e n e l siste m a b ritá n ico , m ien tra s q u e u n e s p e s o r d e 1 in d e m ad era tie n e una R = 1 en e l siste m a b ritá n ico , y p o r lo tan to, c o n d u c e ca lo r a 3 v e c e s la r a zó n d e la fib ra d e v id r io . U n a p u lg a d a d e aire tie n e un R = 5 e n e l siste m a b ritá n ic o , p e ro e l aire e s un m a l a isla n te té r m ic o p o rq u e p u e d e tran sferir m á s c a lo r p or c o n v e c c ió n , y la c o n d u c tiv id a d térm ica n o e s
F igu ra 18 El aire se eleva por con vección alrededor de un cilindro calentado. Las áreas oscuras representan regiones de temperatura uniforme.
e n to n c e s una b u en a m e d id a d e l v a lo r a isla n te d e l aire. La tabla 5 m u estra lo s v a lo r e s d e R para a lg u n o s m a teria les. C o n sid e r a r e m o s ahora e l c a s o e n q u e la lo sa ten g a u n e s p e s o r in fin ite sim a l d x y u n a d ife r en cia d e tem peratura d T a tra v és d e su esp e so r . E n e ste lím ite , o b te n e m o s
e stá e n c o n ta c to c o n e l o b je to c a lie n te a u m en ta , y (en la m a y o ría d e lo s c a s o s ) e l flu id o s e d ilata. P o r ser m e n o s d e n so q u e e l flu id o m á s frío c irc u n d a n te, s e e le v a a ca u sa d e la s fu e r z a s d e flo ta c ió n ; v é a s e la fig u ra 18. E l flu id o m á s frío c irc u n d a n te ca e para to m a r e l lu g a r d e l flu id o q u e
" ■ - “ i -
(4 8 )
A m e n u d o s e c o n o c e a la d eriv a d a d T ¡ d x c o m o e l g r a d i e n
s e e le v a , m á s c a lie n te , y s e e s ta b le c e una c ir c u la c ió n p or c o n v e c c ió n .
t e d e t e m p e r a t u r a , sie n d o la p alab ra “g r a d ie n te ” u n té r m i
L a c o n v e c c ió n a tm o sfé r ic a ju e g a u n p a p e l fu n d a m en ta l
n o m a te m á tic o g en er a l para la d eriv a d a d e una v a ria b le e sca la r c o n r e sp e c to a una co o r d e n a d a e s p e c ífic a . C o m o
e n la d e te r m in a c ió n d e lo s p a tro n es c lim á tic o s g lo b a le s y e n n u estra s v a r ia c io n e s d iaria s d e l tie m p o . L o s p ilo to s d e
una v a ria b le, x in d ic a la d ir e c c ió n d e l flu jo d e ca lo r y , por
lo s p la n e a d o r e s y lo s c ó n d o r e s b u sc a n p o r ig u a l la s c o
lo tan to, in tr o d u c im o s u n s ig n o m e n o s e n la e c u a c ió n 4 8
rrien tes p o r te r m o c o n v e c c ió n q u e lo s m a n tie n e n en v u e lo
c o m o un reco rd a to rio d e q u e e l ca lo r flu y e e n la d ir e c c ió n
al e le v a r se d e s d e la T ierra, m á s c a lie n te . E n lo s o c é a n o s
de d T jd x d e c r e c ie n te . L a e c u a c ió n 4 8 tie n e una a p lic a b ilid a d particu lar e n lo s
tie n e n lu g a r e n o r m e s tra n sfe r en c ia s d e e n e r g ía p or e l
c a s o s en q u e la s e c c ió n tra n sv ersa l d e l m a teria l n o sea u n ifo rm e. U sa r e m o s esta fo rm a d ife r e n c ia l e n la s o lu c ió n d e l p ro b lem a m u estra 7.
Convección
m is m o p r o c e so . L a r e g ió n ex te rio r d e l S o l, lla m a d a f o t o s f e r a , c o n tie n e u n a v a sta o r d en a ció n d e c e ld a s d e c o n v e c
c ió n q u e tran sp ortan en e r g ía a la su p e r fic ie so la r y d an a la su p e r fic ie una a p a rien cia gran u lad a. H e m o s e sta d o d e sc r ib ie n d o la c o n v e c c ió n l i b r e o n a t u r a l . L a c o n v e c c ió n p u e d e ta m b ié n se r fo rza d a , c o m o cu a n d o e l so p la d o r d e u n h o m o p r o v o c a q u e la c ir c u la c ió n
d e l aire c a lie n te la s h a b ita c io n e s d e una ca sa . S i s e m ira a la lla m a d e u n a v e la o d e u n c e r illo , e sta m o s v ie n d o q u e la en e r g ía c a lo r ífic a e s transportada h a cia arriba por c o n v e c c i ó n . L a tr a n sferen cia d e ca lo r p o r c o n
Radiación
v e c c ió n ocu rre cu a n d o u n flu id o , tal c o m o e l aire o el ag u a , está en c o n ta c to c o n u n o b je to c u y a tem p eratu ra e s m á s alta q u e la d e su en to rn o. L a tem p eratu ra d e l flu id o q u e
L a e n erg ía e s tran sp ortad a d e sd e e l S o l h asta n o so tr o s p or m e d io d e o n d a s e le c tr o m a g n é tic a s q u e v ia ja n lib rem en te
Sección 25-7 La transferencia de calor
625
F ig u ra 20 Problema muestra 6 . C onducción d e calor a través de dos capas de material con conductividades térmicas diferentes.
en su mayor parte absorbida. La temperatura T t de la Tierra se ajusta por sí m ism a a un valor en el que la pérdida de calor de la Tierra por radiación es precisamente igual al calor solar que absorbe.
Hagam os que H sea la razón de transferencia de calor (la misma para todas las seccion es). Entonces, resolviendo para Tx y sus tituyendo en cualquiera de las ecuaciones para H ¡ o para H 2, obtenem os H-
a tra v és d e l c a s i v a c ío d e l e s p a c io in ter m ed io . S i n o s p a ra m o s cerca d e una fo g a ta , n o s c a le n ta m o s m e d ia n te el
A (T 2 -
T {)
a
( L \ / k ¡ ) + ( L 2/ k 2)
{t2* , +
r ,)
* 2
La extensión a cualquier número de seccio n es en serie es H-
m is m o p r o c e so . T o d o s lo s o b je to s e m ite n e sa ra d ia ció n e le c tr o m a g n é tic a a c a u sa d e su tem p eratu ra y ta m b ién
A (T 2 -
r ,) _ A ( T 2 - T x)
M L Jk ,)
'Z R ,
(49)
a b so rb en p arte d e la ra d ia ció n q u e c a e so b r e e llo s a partir d e o tro s o b je to s. C u a n to m á s alta se a la tem peratura d e un o b je to , m á s irradiará. E n e l c a p ítu lo 4 9 d e la v e r sió n a m p lia d a d e e ste te x to v e r e m o s q u e la en e rg ía irradiada p or un o b je to e s p r o p o rcio n a l a la cuarta p o te n c ia d e su tem peratura. P o r e je m p lo , la tem peratura p r o m e d io de nuestra T ierra e s d e cerca d e 3 0 0 K , a ca u sa d e q u e a esa tem peratura la T ierra irradia en e r g ía al e s p a c io a la m ism a razón q u e la q u e r e c ib e d e l S o l; v é a s e la fig u ra 19.
P rob lem a m u estra 6 Considerem os una losa com puesta, que consta de dos materiales con espesores diferentes, L , y L 2, y diferentes conductividades térmicas, k¡ y k7. Si las temperaturas de las superficies exteriores son T2 y T v halle la cantidad del calor transferido a través de la losa com puesta (Fig. 20) en un estado estacionario.
P ro b lem a m u estra 7 Una tubería m etálica cilindrica delgada transporta vapor a una temperatura de Ts = 100°C. El tubo tiene un diámetro de 5.4 cm y está forrado con un espesor de 5.2 cm de fibra de vidrio aislante. A través de un salón pasa una tubería de longitud D = 6.2 m en que la temperatura es TR = 11°C. ( a ) ¿Cuánto calor se pierde a través del aislante? (b ) ¿Cuánto aislante adicional debe ser añadido para reducir a la m itad la pérdida de calor? Solu ción ( a ) La figura 21 ilustra la geometría apropiada para el cálculo. En el estado estacionario, a través de cada capa cilindrica delgada, com o la que se indica por m edio de líneas discontinuas en la figura 2 1 , pasará la misma cantidad constante de flujo de calor H . Podem os considerar a esta capa com o una placa de material que tiene un espesor d r y un área de 2 n r D . Aplicando la ecuación 48 a esta geom etría, tenem os H = — kA
S olu ción Sea Tx la temperatura en la superficie de contacto entre los dos m ateriales. Entonces la razón de calor transferido a través de la losa 2 es H,
k 2A ( T 2 -
y la razón a través de la losa
1
k \ A ( T x — T ¡)
En el estado estacionario H 2 = / / , de m odo que k 2A ( T 2 - T x) _ k lA ( T x - T í) L 2
L,
= —k ( 2 n r D ) ~ dr
o sea H
Tx )
es
dr
dr
~2nkD dT.
Suponem os que la tubería m etálica delgada está a la temperatura del vapor, de m odo que no interviene en el cálculo. Integramos a partir del radio interior r, del aislante a la temperatura Ts al radio exterior r 2 a la temperatura Tx:
J
dr H — = -2 n k D
f r*
J
dT.
Sacando la constante H de la integral de la izquierda y llevando a cabo las integraciones, obtenem os
626
Capítulo 25
El calor y la primera ley de la termodinámica
H ln - = - 2 n k D ( T R ri
Ts ) = 2 n k D (T s -
T K).
R esolviendo para H e insertando lo s valores num éricos, halla m os H-
2 n k D ( T s - T R)
ln (r2 /r,) 2^ (0.048 W /m -K )(6 .2 m )(89 K) ,„ -------------------------------------------------- 155 W. ln(7.9 cm /2 .7 cm) Temperatura Ti
(b ) Para reducir la pérdida de calor a la mitad, debem os aumentar r2 al valor r 2‘ , de m odo que el denominador de la expresión de arriba para H resulte el doble de grande; esto es, ln (^ A i) _ ln (r2 /r,)
2
R esolviendo para r2', hallam os
Temperatura 7r
F igu ra 21 Problema muestra 7. La superficie interior (radio r,) del aislante de un tubo cilindrico está a la temperatura Ts y la superficie exterior (radio r 7) está a T R. A través de cada capa cilindrica de aislante, tal com o la intermedia de espesor d r y radio r que se muestra con líneas de puntos, flu ye el m ism o calor Q .
(7.9 cm ) 2 = 23 cm. 2.7 cm Entonces, ¡necesitam os casi cuatro v eces el espesor del aislante para reducir la transferencia de calor a la mitad!. Este efecto es debido al aumento de área, y por lo tanto al aumento de masa, contenidos en cada capa delgada cuando aumentamos el radio en la geometría cilindrica. E xiste m ás material disponible para conducir calor a los radios exteriores, y por lo tanto debem os
suministrar una cantidad creciente de aislante al crecer r. Esto difiere de la geom etría lineal, en la cual el calor transferido dism inuye linealm ente al aumentar el espesor del aislante. En la geom etría esférica (que pudiera ser apropiada para calcular el calor perdido a partir del núcleo de la Tierra hacia su superficie), el cálculo es también diferente; véase el problema 61.
PREGUNTAS 1. La temperatura y el calor se confunden a menudo, com o cuando decim os “hoy hará frío”. A m odo de ejem plo, distinga estos dos conceptos tan cuidadosam ente com o pueda. 2. D é un ejem plo de un proceso en que no se transfiera ningún calor a o desde el sistem a pero la temperatura del sistem a cambie. 3. ¿Es el equivalente m ecánico del calor un concepto físico o sim plem ente un factor de conversión para convertir energía de unidades de calor a unidades m ecánicas y viceversa? 4. ¿Puede considerarse el calor com o una forma d e energía almacenada (o potencial)? ¿Contradice tal interpretación al concepto de calor com o energía en el proceso de trans ferencia debida a una diferencia de temperatura? 5. ¿Puede añadirse calor a una sustancia sin causar que la temperatura de la sustancia se eleve? D e ser así, ¿contra dice esto el concepto de calor com o energía en el proceso de transferencia debido a una diferencia de temperatura? 6 . ¿Por qué debe suministrarse energía calorífica para fundir hielo si, después de todo, la temperatura no cambia? 7. Explique el hecho de que la presencia de un cuerpo grande de agua cercano, com o el mar o el océano, tiende a moderar los extrem os de temperatura del clim a en la tierra adyacente. 8
. Cuando se calienta el hielo se funde, formando un líquido, y luego hierve. Sin em bargo, cuando se calienta b ióxi do de carbono sólid o se convierte directamente al estado
de vapor (decim os que s e s u b l im a ) sin pasar por el esta do líquido. ¿C óm o podría producirse bióxido de carbono líquido? 9. En tiem po de h ielo se colocan unas ollas con agua caliente y fría. E xplique ( a ) si las ollas tienen tapa, el agua fría se congelará primero pero ( b ) si las ollas no tienen tapa, es posible que el agua caliente se con gele primero. 10. El aum ento de presión siem pre favorece la condensa ción y por lo general favorece la solidificación. Explique estas tendencias del cam bio de estado en térm inos m icros cópicos. 11. ¿Por qué aumenta con la presión la temperatura de ebulli ción de un líquido? 12. Un bloque de madera y un bloque de metal están a la misma temperatura. Cuando lo s bloques se sienten fríos, el metal se siente m ás frío que la madera; cuando los bloques se sienten calientes, el metal se siente más caliente que la madera. Esplique. ¿A qué temperatura se sentirán los bloques igualm ente fríos o calientes? 13. ¿Cóm o puede usted usar mejor una cucharilla para en friar una taza de café? Agitándola, lo cual im plica efec tuar un trabajo, parecería calentar al café en vez de enfriarlo. 14. ¿Por qué, durante el frío las plantas quedan protegidas bajo una capa de nieve? En las temporadas de heladas, los productores de cítricos en Florida rocían a menudo sus frutos con agua, a sabiendas de que se congelará. ¿Por qué ayuda esto?
Preguntas 15. Explique por qué las bajas temperaturas y el fuerte viento c a u s a n d a ñ o s en la piel expuesta a la intemperie. 16. E s m ás probable que un vaso grueso se raje antes que uno delgado cuando se pone agua caliente en él. ¿Por qué?
627
eleva su temperatura? ( b ) ¿Se la ha añadido calor? (c) ¿Se ha efectuado un trabajo sobre él? (d ) ¿Ha cambiado su energía interna? 34. ¿Se conserva la temperatura de un sistem a aislado (que no tiene interacción con el entorno)? Explique.
17. U sted introduce su m ano en el h om o caliente para reti rar una cacerola y se quema los dedos con ella. Sin em bargo, el aire en el hom o está a la m ism a temperatura que la cacerola y usted no se quema lo s dedos con él. ¿Por qué no? 18. L os obreros de la industria metalúrgica saben que pueden sumergir su m ano breves m om entos en el metal fundido caliente sin sufrir quemadura. Explique.
36. ¿Puede usted decir si la energía interna de un cuerpo fue adquirida por transferencia de calor o por efectos del trabajo?
19. ¿Por qué debe usarse un a is la n t e m ás g r u e s o e n un ático que o buhardilla que en las paredes de una casa?
37. Si se dan la presión y el volum en de un sistem a, ¿queda siem pre determinada la temperatura?
20. ¿Está siem pre a 0°C el hielo? ¿Puede estar m ás frío? ¿Puede estar más caliente? ¿Qué suced e si hay una m ezcla de agua y hielo? 21. (a) ¿Puede calentarse el h ielo a una temperatura por en ci ma de lo s 0°C sin que se funda? Explique, (b ) ¿Puede enfriarse el agua a una temperatura abajo de 0°C sin que se congele? Explique. (V éase “The U ndercooling o f Liquids”, por D avid T um bull, S c ie n tif ic A m e r ic a n , enero de 1965, pág. 38).
38. Teniendo en cuenta que la energía interna de un cuerpo consta de la energía cinética y la energía potencial de sus partículas, ¿cóm o distinguiría usted entre la energía inter na de un cuerpo y su temperatura?
22. Explique por qué lo s d e d o s se pegan a una charola m etá lica de h ielos que acaba de sacarse del refrigerador. 23. El agua de una marmita hace un ruido burbujeante notable cuando se la calienta hasta la ebullición. Sin embargo, una v ez que com ienza a hervir, cesa el ruido. ¿Cuál es la explicación? (S u g e r e n c i a : P iense en el destino de una burbuja de vapor que se eleva desde el fondo de la marmita antes de que el agua se caliente uniformemente.) 24. Es difícil “hervir” un huevo en agua en la cim a de una montaña m uy alta porque el agua hierve allí a una tem pe ratura relativam ente baja. ¿Cuál es una manera sencilla y práctica de vencer esta dificultad? 25. ¿Se cocerá un huevo (en 3 m inutos normalmente) más rápidamente si el agua está hirviendo con fuerza que si está hirviendo despacio a fuego lento? 2 6 . El agua es un enfriandor m ucho mejor que la mayoría de lo s líquidos. ¿Por qué? ¿Habría ejem plos en que pudiera preferirse otro líquido? 2 7 . Explique por qué cabría esperar que el calor latente de vaporización de una sustancia fuese considerablem ente mayor que su calor latente de fusión. 28. Explique por qué el calor esp ecífico a presión constante es mayor que el calor esp ecífico a volum en constante. 29. ¿Por qué se desprecia a menudo la diferencia entre Cp y Cv en lo s sólidos? 3 0. L os gases reales siem pre se enfrían al efectuar una expan sión libre, mientras que un gas ideal no. Explique. 31. Exponga las sim ilitudes y especialm ente las diferencias entre calor, trabajo, y energía interna. 32. Explique punto de R ecuerde una masa
el proceso de congelación d e l agua d e s d e e l vista de la primera ley de la termodinámica. que el hielo ocupa un volum en más grande que igual de agua.
33. Una botella termo contiene café. El termo es sacudido vigorosam ente. Considere al café com o el sistem a, ( a ) ¿Se
35. ¿Es el calor lo m ism o que la energía interna? Si no, dé un ejem plo en el que la energía interna de un sistem a cam bie sin haber un flujo de calor a través de la frontera del sistema.
3 9 . L os gases dentro de dos recipientes idénticos están a 1 atm de presión y a la temperatura ambiente. U no contiene gas helio (m onoatóm ico, masa molar = 4 g/m ol) y el otro con tiene un número igual de m oles de gas argón (m onoató m ico, masa molar = 4 0 g/m ol). Si 1 J de calor añadido al gas helio a u m e n ta s u te m p e r a tu r a e n una cantidad deter minada, ¿qué cantidad de calor debe añadirse al gas argón para aumentar su temperatura en la misma cantidad? 4 0 . Explique c ó m o podríam os mantener un gas a temperatura constante durante un proceso termodinámico. 41. ¿Por qué es m ás com ún excitar una radiación a partir de átom os gaseosos por m edio del uso de una descarga eléc trica que por m edio de m étodos térmicos? 42. H em os visto que la “conservación de la energía” es una ley universal de la naturaleza. A l m ism o tiem po, los líderes en las nacionaes nos instan a cada uno de nosotros a “conservar la energía” (por ejem plo, conduciendo más despacio). Explique lo s dos significados bastante diferen tes de esa recom endación. 43. En un día invernal la temperatura de la superficie interior de una pared es m ucho m ás baja que la temperatura de la habitación y la de la superficie exterior e s mucho más alta que la temperatura am biente exterior. Explique. 44. Los m ecanism os fisio ló g ico s que mantienen la tempera tura interna de una persona actúan dentro de un intervalo limitado de temperatura externa. Explique cóm o pue de extenderse este intervalo en am bos extrem os con el uso de la ropa. (V éase “Heat, Coid, and C lothing”, por James B. K elley, S c i e n t if ic A m e r ic a n , febrero de 1956, pág. 109.) 45. ¿Qué requisitos, a su ju icio , debería llenar un material para uso com o utensilio de cocina para una buena conductivi dad térmica, determinada capacidad calorífica, y co efi ciente de dilatación? 46. Tanto la conducción del calor com o la propagación de las ondas im plican la transferencia de energía. ¿Existe alguna diferencia en principio entre estos dos fenóm enos? 47. ¿Puede transferirse por radiación la energía calorífica a través de la materia? D e ser así, dé un ejem plo. Si no es así, explique por qué.
628
Capítulo 25
El calor y la primera ley de la termodinámica
48. ¿Por qué lo s utensilios de cocina de acero inoxidable suelen tener una capa de cobre o de alum inio en el fondo?
por qué una botella de termo tiene pared doble, y ésta está al vacío y es plateada.
49. Considere que el calor puede ser transferido por co n v ec ción y radiación, así com o por conducción, y explique
50. Un lago se congela primero en su superficie. ¿Participa la con vección en este fenóm eno? ¿Qué sucede con la con ducción y la radiación?
PROBLEMAS S e c c ió n 2 5 - 2 C a p a c id a d c a lo r ífic a y c a lo r e s p e c ífic o
1. En cierta casa con energía solar, se alm acena energía del sol en barriles llen os con agua. En un lapso de cin co días nublados de invierno, se necesitaron 5.22 GJ para mante ner el interior de la casa a 22.0°C. Suponiendo que el agua de lo s barriles estuviera a 50.0°C , ¿qué volum en de agua se necesitó? 2. Los icebergs del norte del Atlántico presentan peligros a la navegación (véase la Fig. 2 2), provocando que la lon gitud de las rutas de navegación aumente en casi un 30% durante la estación de icebergs. Entre lo s intentos para destruirlos se cuentan la utilización de exp losivos, el bombardeo, el torpedeo, la desintegración, el uso de arie tes, y la pintura con negro de humo. Suponga que se intenta la fusión directa del iceberg colocando fuentes de calor en el hielo. ¿Cuánto calor se requeriría para fundir el 10% de un iceberg de 2 1 0 ,0 0 0 toneladas métricas? (Una tonelada métrica = 1 0 0 0 kg.)
6
. Un pequeño calentador eléctrico por inm ersión se utiliza para hervir 136 g de agua para una taza de café instantáneo. El calentador es de 220 watts. C alcule el tiem po necesario para llevar esta agua de 23.5°C al punto de ebullición, despreciando cualquier pérdida de calor.
7. Un tazón de 146 g de cobre contiene 223 g de agua; tanto el tazón com o el agua están a 21.0°C . Se deja caer en el agua un cilindro de cobre m uy caliente de 314 g. Esto hace que el agua hierva, convirtiéndose 4 .7 0 g en vapor, y la temperatura final de todo el sistem a es de 100°C. (a) ¿Cuánto calor se transfirió al agua? (ti) ¿Cuán to al tazón? (c) ¿Cuál era la temperatura original del cilindro? 8
. Un atleta necesita perder peso y decide hacerlo levantando pesas, (a) ¿Cuántas v eces debe levantar una pesa de 80.0 kg a una altura de 1.30 m para quemar 1 Ib de grasa, suponiendo que se requieren 3500 Cal para hacerlo? (ti) Si la pesa se levanta una v ez cada 4 s, ¿cuánto tiem po le tomará?
9. C alcule la cantidad mínima de calor necesario para fundir com pletam ente 130 g de plata inicialm ente a 16.0°C. Suponga que el calor esp ecífico no cambia con la tem pe ratura. V éanse las tablas 1 y 2. 10. Un termómetro de 0.055 kg de masa y 46.1 J/K de capaci dad calorífica indica 15.0°C. Luego se le sumerge com ple tamente en 0.300 kg de agua y llega a la misma temperatura final del agua. Si el termómetro indica 4 4 .4 ° C , ¿cuál era la temperatura del agua antes de la inmersión del termómetro, despreciando otras pérdidas de calor? F igu ra 22
Problema 2.
3. ¿Cuánta agua permanece sin congelar después de haber extraído 50.4 kJ de calor de 258 g de agua líquida inicial m ente a 0°C? 4. Un objeto de 6.50 kg de masa cae desde una altura de 50.0 m y, por m edio de una transmisión m ecánica, hace girar a una rueda de paletas que agita 5 2 0 g de agua. El agua está inicialm ente a 15°C. ¿Cuál e s la máxima elevación posible de la temperatura? 5. ( a ) C alcule el aumento posible de la temperatura del agua que pasa por las Cataratas del Niágara, de 49.4 m de altura. (ti) ¿Qué factores tenderían a impedir esta posible eleva ción?
11. U n je fe de cocina quien, una mañana se encuentra que la estufa no funciona, decide hervir agua para café sacu diéndola en un termo. Suponga que el “ch ef” usa 560 cm 3 d e agua de la llave a 59°F, y que el agua cae 35 cm en cada sacudida, ejecutando el “ch ef” 3 0 sacudidas por m i nuto. D espreciando cualquier pérdida de energía. ¿Duran te cuánto tiem po estará sacudiendo el frasco antes de que hierva el agua? 12. En un calentador solar de agua, lo s colectores del tejado, dentro de cu yos tubos circula el agua, captan energía del sol. La radiación solar entra al colector a través de una cubierta transparente y calienta el agua en lo s tubos; esta agua e s bombeada a un tanque de depósito. Suponiendo que la eficien cia de todo el sistem a sea de 2 0 % (es decir, se pierde el 80% de la energía solar incidente en el siste ma), ¿qué área del colector es necesaria para sacar agua de un tanque de 20 0 L y elevar su temperatura de 20 a 40°C
Problemas
■*—
en 1.0 h? La intensidad de la luz solar incidente es de 700 W /m 2. 13. Una marmita eléctrica de alum inio tiene una masa de 0.560 kg y contiene un elem ento calefactor de 2 .4 0 kW. Se llena con 0 .6 4 0 1 de agua a 12.0°C. ¿Cuánto tiem po se necesitará (a) para que com ience la ebullición y ( b ) para que la marmita se quede seca? (Suponga que la tempera tura de la marmita no sobrepasa lo s 100°C en ningún m om ento.)
conocida a una corriente del líquido que pasa por el calorímetro con un volum en conocido. Entonces, una m edición de la diferencia de temperatura resultante entre lo s puntos de entrada y salida de la corriente de líquido nos permite calcular el calor esp ecífico del líquido. Un líquido de 0.85 g/cm 3 de densidad flu ye a través de un ca lorímetro a razón de 8.2 cm ’/s. Se añade calor por medio de un calentador eléctrico en espiral de 25 0 W , y se establece una diferencia de temperatura de 15 C° en con diciones de estado estacionario entre los puntos de entrada y salida del flujo. H alle el calor esp ecífico del líquido. 15. El agua estancada a cie lo abierto a 32°C se evapora a causa del escape de algunas de las m oléculas de su superficie. El calor de vaporización es aproximadamente igual a en donde e es la energía media de las m oléculas que escapan y n es el número de m oléculas por kilogramo, (a) H a lle €. ( b ) ¿ C u á l e s la razón e n tre e y la energía cinética promedio de las m oléculas de H 20 , suponiendo que la energía cinética se relaciona con la temperatura de la m is ma manera que lo hace en lo s gases? 16. ¿Qué masa de vapor a 100°C debe mezclarse con 150 g de hielo a 0°C, en un recipiente térmicamente aislado, para producir agua líquida a 50°C? 17. Una persona prepara una cantidad de té helado m ezclando 520 g del té caliente (esencialm ente agua) con una masa igual de h ielo a 0°C. ¿Cuáles son la temperatura final y la masa de h ielo restante si el té caliente está inicialm ente a una temperatura de (a) 90.0°C y (¿>) 70.0°C?
18. (a) D os cubos de h ielo de 5 0 g cada uno se dejan caer en 200 g de agua en un vaso. Si el agua estaba inicialm ente a una temperatura de 25°C, y el h ielo venía directamente de un congelador a - 15°C, ¿cuál es la temperatura final de la bebida? (b ) Si só lo se hubiera usado un cubo de hielo en ( a ) , ¿cuál sería la temperatura final de la bebida? D esprecie la capacidad calorífica del vaso.
19. Un anillo de cobre de 21.6 g tiene un diámetro de 2.5 4 0 0 0 cm a la temperatura de 0°C. Una esfera de alum i nio tiene un diámetro de 2.54533 cm a la temperatura de 100°C. La esfera se sitúa sobre el anillo (Fig. 23), y se deja que am bos lleguen al equilibrio térm ico, sin que se disipe calor alguno al entorno. La esfera pasa justam ente a través del anillo a la temperatura de equilibrio. H alle la masa de la esfera.
Sección 25-3 Capacidades caloríficas de los sólidos 20. Cierta sustancia tiene una masa molar de 5 1 .4 g/m ol. Cuando se añaden 3 2 0 J de calor a una muestra de 37.1 g
2 . 5 4 5 3 3 cm— »■
ni
...
100°C
*
L — 2.54000 c m - J
14 Para medir el calor esp ecífico de un líquido se em plea un c a lo r í m e t r o d e f l u j o . Se añade calor en una cantidad
629
F ig u ra 23
Problema 19.
de este material, su temperatura se eleva de 26.1 a 42.0°C. (a) H alle el calor esp ecífico de la sustancia. ( b ) ¿Cuán tos m oles de la sustancia están presentes? (c) Calcule la capacidad calorífica molar de la sustancia. 21. Cerca del cero absoluto la capacidad calorífica molar del alum inio varía con la temperatura absoluta T y está dada por C = (3.16 x 10"5,7'3, en J/mol • K. Cuánto calor se necesita para elevar la temperatura de 1 . 2 g de alum inio de 6 . 6 a 15 K? 22. Se encuentra que la capacidad calorífica molar de la plata, medida a la presión atm osférica, varía con la temperatura entre 5 0 y 100 K según la ecuación empírica C = 0 .3 1 8 7 ’ - 0.00109r2 - 0.628, donde C está en J/mol • K y T está en K. Calcule la cantidad de calor necesario para elevar 316 g de plata desde de 50.0 a 90.0 K. L a m a s a m o la r de plata es 107.87 g/m ol. 23. Partiendo de la figura 3, calcule la cantidad de calor necesario para elevar la temperatura de 0.45 m ol de car bono de 2 0 0 a 5 0 0 K. ( S u g e r e n c i a : A proxim e la curva real en esta región con un segm ento de línea recta.) S e c c ió n 2 5 - 4 C a p a c i d a d e s c a l o r í f i c a s d e u n g a s i d e a l
24. La masa de un átom o de helio es de 6 . 6 6 * 1 0 27 kg. Calcule el calor esp ecífico a volum en constante del gas helio (en J/kg • K) a partir de la capacidad calorífica molar a volum en constante. 25. En un experim ento, se calientan 1.35 m ol de oxígeno ( 0 2) a presión constante com enzando en 11.0°C. ¿Cuánto calor debe añadirse al gas para duplicar su volumen? 26. Se calientan d oce gramos de nitrógeno (N 2) en un tan que de acero de 2 5 .0 a 125°C. (c) ¿Cuántos m oles de nitrógeno están presentes? (¿>) ¿Cuánto calor se transfiere al nitrógeno? 27. Una muestra de 4 .3 4 m ol de un gas diatóm ico ideal experimenta un aumento de temperatura de 62.4 K bajo condiciones de presión constante, (a) ¿Cuánto calor se añadió al gas? ( b ) ¿En cuánto aumentó la energía interna del gas? V éase la ecuación 36 del capítulo 23. (c) ¿En cuanto aumentó la energía cinética interna de traslación del gas? 28. Un recipiente contiene una m ezcla de tres gases no reac tivos: n¡ m oles del primer gas con calor específico molar a volum en constante C„ y así sucesivam ente. H alle el c a lo r e s p e c í f i c o m o la r a volum en constante de la m ezcla,
630
Capítulo 25
El calor y la primera ley de la termodinámica
en términos de los calores esp ecíficos molares y de las cantidades de los tres gases por separado. 29. La masa atóm ica molar del yod o es de 127 g. Una onda estacionaria en un tubo lleno de yodo gaseoso a 4 0 0 K tiene nodos separados por una distancia de 6.77 cm cuando la frecuencia e s de 1000 Hz. Determ ine mediante estos datos si el yodo gaseoso e s un gas m onoatóm ico o diató m ico. 30. Una sala de volum en V está llena con un gas ideal diató m ico (aire) a temperatura T¡ y presión p 0. El aire se calienta a una temperatura más alta T2, permaneciendo la presión constante en p 0, ya que las paredes de la sala no son herméticas. D em uestre que el contenido de energía interna del aire que permanece en la sala e s el m ism o a T¡ y T2 y que la energía suministrada por el h om o para calentar el aire se ha ido toda para calentar el aire e x t e r io r a la sala. Si no añadim os energía al aire, ¿por qué preocu parse por encender el hom o? (D esprecie la energía del hom o empleada para elevar la temperatura de las paredes, y considere únicam ente la energía empleada para elevar la temperatura del aire.) S e c c i ó n 2 5 - 6 A p l i c a c i o n e s d e l a p r i m e r a ley
31. Una muestra de n m oles de un gas ideal experimenta una expansión isotérmica. H alle el flujo de calor hacia el gas en términos de los volúm enes inicial y final y de la temperatura. 32. Un gas encerrado en una cámara pasa por el ciclo mostra do en la figura 24. D eterm ine el calor neto añadido al gas durante el proceso C A si Q AB = 2 0 J, Q „c = 0, y WBCA = -1 5 J.
P B
m en te de regreso a la posicióti 1. La figura 2 5 b es un diagrama p V del proceso. Si durante el ciclo se funden 1 2 2 g de h ielo, ¿cuánto trabajo se efectuó s o b r e el gas?
F ig u ra 2 5
Problema 34.
35. ( a ) Un gas ideal m onoatóm ico inicialm ente a 19.0°C es com prim ido súbitamente a un décim o de su volum en original. ¿Cuál es su temperatura después de la compre sión? ( b ) Haga el m ism o cálculo para un gas diatómico. 36. Una cantidad de gas ideal ocupa un volum en inicial V0 a una presión p 0 y una temperatura T0. Se dilata hasta el volum en V, ( a ) a presión constante, ( b ) a temperatura constante, (c) adiabáticamente. Grafique cada caso en un diagrama p V. ¿En qué caso es Q m áxim o? ¿M ínimo? ¿En qué caso es W máxim o? ¿M ínimo? ¿En qué caso e s A E M m áxim o? ¿M ínimo? 37. Una cantidad de gas m onoatóm ico ideal consta de n m oles inicialm ente a la temperatura T¡. La presión y el volum en se duplican luego lentamente de manera que se traza una línea recta en un diagrama p V . En términos de «, R , y T¡, halle ( a ) W, (b ) A£.nl, y (c) Q . ( d ) Si fuésem os a definir un calor esp ecífico equivalente para este proceso, ¿cuál sería su valor? 38. En la figura 11, suponga los siguiente valores: p K= 2.20 x 105 Pa, V. = 0 .0 1 2 0 m 3 , / 7f = 1.60 x 10 5 Pa, Ff = 0 .0 2 7 0 m 3. H alle el valor de Q , Wy y Q + W para cada una de las tres trayectorias mostradas. ( S u g e r e n c i a : H alle p , V, T en los puntos A , B , C . Suponga un gas m onoatóm ico ideal.)
F igu ra 24
Problema 32.
33. Considere que se efectúa un trabajo de 214 J sobre un sistem a y que se extraen 293 J de calor del sistem a. En el sentido de la primera ley de la termodinámica, ¿cuáles son los valores (incluyendo los sign os algebraicos) de ( a ) W, (b ) Q , y (c) A E - J 34. La figura 2 5 a muestra un cilindro que contiene gas, el cual está confinado por m edio de un ém bolo m óvil. El cilindro está sum ergido en una m ezcla de h ielo y agua. El ém bolo se empuja r á p id a m e n t e hacia abajo de la posición 1 a la posición 2. El ém bolo se mantiene en la posición 2 hasta que el gas está de nuevo a 0°C y luego se le eleva le n t a
39. Cuando un sistem a se lleva del estado i al estado / a lo largo de la trayectoria i a f e n la figura 2 6 , se encuentra que Q = 5 0 J y W = -2 0 J. A lo largo de la trayectoria ib f, Q = 36 J. ( a ) ¿Qué valor tiene W a lo largo de la trayectoria ib p . (b ) Si W = +13 J para la trayectoria curva de regreso f i , ¿qué valor tiene Q en esta trayectoria? (c) Considere que E ml¡ = 10 J. ¿Cuánto vale E m,J? (d ) Si E m Ji = 22 J, halle Q para el proceso ib y para el proceso bf. 40. Un gas dentro de una cámara experim enta lo s procesos mostrados en el diagrama p V de la figura 27. C alcule el calor neto añadido al sistem a durante un ciclo com pleto. 41. Sea 2 0 .9 J el calor añadido a determinado gas ideal. C om o resultado, su volum en cambia de 63.0 a 113 cm 3 mientras que la presión permanece constante a 1.00 atm. ( a ) ¿En cuánto cam bió la energía interna del gas? ( b ) Si la cantidad
Problemas
631
Volumen
F igu ra 27
F ig u ra 28
Problema 43.
F ig u ra 2 9
Problema 44.
Problema 40.
de gas presente es de 2 . 0 0 x 1 0 3 m ol, halle la capaci dad calorífica molar a presión constante, (c) H alle la ca pacidad calorífica molar a volum en constante. 42. La temperatura de 3.15 m ol de un gas poliatóm ico ideal se eleva 5 2 .0 K mediante cada uno de lo s tres procesos di nám icos diferentes: a volum en constante, a presión con s tante, y según una com presión adiabática. C om plete una tabla que muestre, para cada procedim iento, el calor aña dido, el trabajo efectuado sobre el gas, el cam bio de energía interna del gas, y el cam bio de la energía cinética total de traslación de las m oléculas del gas. 4 3. Una máquina lleva 1.00 m ol de un gas m onoatóm ico ideal alrededor del ciclo mostrado en la figura 28. El proceso A B tiene lugar a volum en constante, el proceso B C es adiabático, y el proceso C A tiene lugar a presión constante. ( a ) C alcule el calor Q , el cam bio en la energía interna AEin„ y el trabajo W para cada uno de lo s tres procesos y para el ciclo en total. ( b ) Si la presión inicial en el punto A es de 1 . 0 0 atm, halle la presión y el volum en en los puntos B y C . U se 1 atm = 1.013 * 105 Pa y R = 8.314 J/m ol • K. 44. U n cilindro tiene un ém bolo de metal de 2 .0 kg bien ajustado con área en su sección transversal de 2 . 0 cm 2 (figura 29). El cilindro contiene agua y vapor a tempera tura constante. Se observa que el ém bolo desciende lenta mente a razón de 0 .3 0 cm /s ya que fluye calor hacia afuera del cilindro a través de sus paredes. Cuando esto sucede, parte del vapor se condensa en la cámara. La densidad del vapor dentro de la cámara es de 6 . 0 x 1 0 '* g/cm 3 y la presión atm osférica es de 1.0 atm. (a) Calcule la cantidad de condensación del vapor. ( b ) ¿A qué cantidad está saliendo el calor de la cámara? (c) ¿Cuál es la cantidad de cam bio de la energía interna del vapor y del agua dentro de la cámara?
45. En el motor de una m otocicleta, después de que ocurre la com bustión en la parte superior del cilindro, el ém bolo es forzado hacia abajo mientras la m ezcla de lo s productos gaseosos experimenta una expansión adiabática. H alle la potencia promedio implicada en esta expansión cuando el motor está girando a 4 0 0 0 rpm, suponiendo que la presión indicada inm ediatam ente después de la com bustión es de 15.0 atm, el volum en inicial es de 5 0 .0 cm 3, y el volum en de la m ezcla al final de la carrera, de 2 5 0 cm 3. Supoga que los gases son diatóm icos y que el tiem po im plicado en la expansión es la mitad del tiem po total del ciclo. S e c c ió n 2 5 - 7 L a t r a n s f e r e n c i a d e c a l o r
46. Calcule la cantidad de calor que se perdería en un día de invierno muy frío a través de una pared de ladrillos de 6.2 m x 3.8 m y 32 cm de espesor. La temperatura del interior es de 26°C y la temperatura del exterior es de - 1 8° C; suponga que la conductividad térmica del ladrillo es de 0.74 W /m • K. 47. La cantidad prom edio a que fluye el calor a través de la superficie de la Tierra en América del Norte es de 54 m W /m 2, y la conductividad térmica promedio de las rocas cercanas a la superficie es de 2.5 W /m ■K. Suponiendo una temperatura en la superficie de 10°C, ¿cuál sería la temperatura a una profundidad de 33 km (cerca de la base de la corteza)? D esprecie el calor generado por los ele m entos radiactivos; puede ignorarse también la curvatura de la Tierra.
632
Capítulo 25
El calor y la primera ley de la termodinámica
48. ( a ) C alcule la cantidad a la cual flu ye el calor del cuerpo a través de la ropa de un esquiador, dados los datos siguientes: el área de la superficie del cuerpo es de 1 . 8 m 2 y la ropa tiene un espesor de 1 . 2 cm; la temperatura de la piel es de 33°C, mientras que la superficie exterior de la ropa está a 1.0°C; la conductividad térmica de la ropa es de 0.040 W /m ■ K. ( b ) ¿Cuál sería el cam bio en la respuesta si, después de una caída, las ropas del esquiador quedasen empapadas de agua? Suponga que la conducti vidad térmica del agua es de 0 .6 0 W /m • K. 49. Considere la placa mostrada en la figura 16. Suponga que A x = 24.9 cm , A = 1.80 m 2, y que el material es cobre. Si T = -12.0°C , A T = 136°C, y que se alcanza el estado permanente, halle ( a ) el gradiente de temperatura, ( b ) la cantidad del calor transferido, y (c) la temperatura en un punto de la placa a 1 1 . 0 cm del extrem o de mayor tem pe ratura. 50. Una barra cilindrica de plata de 1.17 m de longitud y 4.76 cm 2 de área en su sección transversal se aísla para impedir la pérdida de calor a través de su superficie. Los extrem os se mantienen a una diferencia de temperatura de 100 C° colocando un extrem o en una m ezcla de agua y hielo y el otro en agua hirviendo y vapor, (a) Halle la cantidad a la que se transfiere el calor a lo largo de la barra. ( b ) C alcule la cantidad a la que se funde el hielo en el extrem o frío. 51. Para cubrir una abertura de área 2A se dispone de cuatro piezas cuadradas de dos m ateriales aislantes diferentes, todas con el m ism o espesor y área A . Esto puede hacerse en cualquiera de las dos maneras mostradas en la figu ra 30. ¿Cuál de los arreglos, ( a ) o ( b ), daría el menor flujo de calor, siendo k2 * £,?
* 1 ., *1
*■r V JOÜíi 51
(a) F igura 30
(b )
Problema 51.
52. Dem uestre que la temperatura Tx en la superficie de con tacto de una placa compuesta (véase el problema m ues tra 6 ) está dada por
..R , T , + R , T 2 r
, +
r
2
■
53. Un alambre largo de tungsteno de un calefactor está tie ne una especificación de 3.08 kW/m y un diámetro de 0.520 mm. Está empotrado a lo largo del eje de un cilindro de cerámica de 12.4 cm de diámetro. Cuando se opera a la potencia especificada, el alambre está a 1480°C y el exterior del cilindro está a 22.0°C. C alcule la conductivi dad térmica de la cerámica. 54. D os barras rectangulares de metal idénticas están soldadas a tope com o se muestra en la figura 31a, y a través de las
barras fluyen 10 J de calor en 2 .0 min. ¿Cuánto tiempo transcurriría para que fluyesen 30 J a través de las barras si están soldadas com o se muestra en la figura 31 b l
m
F ig u ra 31
Problema 54.
55. Calcule la cantidad de pérdida de calor a través del vidrio de una ventana de 1.4 m 2 de área y 3.0 mm de espesor si la temperatura del exterior es de -2 0 °F y la temperatura del interior es de +72°F. (¿>) Se instala una ventana contra tormentas que tiene el m ism o espesor de vidrio pero con un claro de aire de 7.5 cm entre las dos ventanas. ¿Cuál será la cantidad de pérdida de calor correspondiente supo niendo que la conducción sea el único m ecanism o impor tante de pérdida de calor? 56. C alcule la cantidad de flujo de calor a través de dos puertas contra tormentas de 1.96 m de altura y 0 .7 7 0 m de ancho, (a) Una puerta está hecha de lám inas de alum inio de 1.50 mm de espesor y una hoja de vidrio de 3.10 mm que cubre el 75.0% d e su superficie (se considera que el marco estructural tiene un área despreciable). ( b ) La segunda puerta está hecha enteramente de abeto con 2.55 cm de espesor. C onsidere que la caída de temperatura a través de las puertas es de 33.0 C° (= 59.4 F°). V éase la tabla 5. 57. En la figura 32 se muestra una representación idealizada de la temperatura del aire en función de la distancia desde una ventana de un so lo vidrio en un día de invierno en calma. Las dim ensiones de la ventana son 6 0 cm x 60 cm x 0 .5 0 cm. ( a ) ¿En qué cantidad flu ye el calor hacia fuera de la ventana? (S u g e r e n c i a : La caída de temperatura a través del vidrio es m uy pequeña.) ( b ) C alcule la diferen cia de temperatura entre las superficies interior y exterior del vidrio. 58. Un tanque de agua ha estado a la intemperie en un clima frío hasta que se formó en su superficie una capa de hielo de 5 .0 cm de espesor (Fig. 33). El aire sobre el hielo está a -10°C . C alcule la razón de form ación de hielo (en cm por hora) en el fondo de la capa de hielo. Considere que la conductividad térmica y la densidad del hielo son 1.7 W /m • K y 0 .9 2 g/cm 3. Suponga que no flu ye calor a través de las paredes del tanque. 59. S e ha formado h ielo en un estanque poco profundo y se ha alcanzado un estado estacionario estando el aire de encim a del hielo a -5.20°C y el fondo del estanque a 3.98°C. Si la profundidad total del h ielo + agua es de 1.42 m, ¿qué espesor tiene el hielo? (Suponga que las conductividades térmicas del hielo y el agua son de 1.67 y 0.502 W /m ■K, respectivam ente.)
Problemas
633
razón fluye el calor a través de esta pared para un diferen cia de temperatura de 3 0 F°? ( b ) ¿Cuál es el valor de R para la pared así estructurada? ( c ) ¿Qué fracción del área d e la pared contiene puntales, en comparación con el área de espuma? ( d ) ¿Qué fracción del flujo de calor pasa a través d e los puntales, en comparación con el que pa sa por la espuma? 61. Suponiendo que k sea constante, demuestre que la canti dad radial d e flujo de calor en una sustancia entre dos esferas concéntricas está dada por „
(Ti — T 2) 4 n k r i r2
11
F igu ra 32
Problema 57.
IP É m
^ ' re .... .
l|l
f f
Hi
| Hielo l|l f
'M F igu ra 33
Problema 58.
60. La estructura de una pared consta de un marco de 20 ft * 12 ft hecho de 16 puntales verticales de 2 x 4 , cada uno de 12 ft de altura y colocad os a 16 in centro a centro. El exterior de la pared está recubierto con hojas de madera chapeada de i in de espesor ( R = 0.30) y hojas de abeto de ~ in (/? = 0.98). El interior está recubierto de yeso de ± in ( R = 0 .4 7 ), y el espacio entre los puntales está lleno de espum a de poliuretano (i? = 5.9 para una capa de 1 in.) Un puntal de “dos por cuatro” tiene realmente un tamaño de 1.75 in x 3.75 in. Suponga que están hechos de madera para la cual R = 1.3 para un tablero de 1 in. ( a ) ¿A qué
h - r ,
»
en donde la esfera interior tiene un radio r l y una tem pe ratura T,, y la esfera exterior tiene un radio r 1 y una temperatura T2. 62. (a) U tilice lo s datos del problema 47 para calcular la cantidad a la que flu ye el calor hacia afuera a través de la superficie de la Tierra, (a) Suponga que este flujo de calor se debe a la presencia de un núcleo caliente en la Tierra y que este núcleo tenga un radio de 3470 km. Suponga también que el materiar que está entre el núcleo y la superficie de la Tierra no contiene fuentes de calor y tiene una conductividad térmica prom edio de 4.2 W /m • K. U se el resultado del problema 61 para calcular la temperatura del núcleo. (Suponga que la superficie de la Tierra está a 0°C.) La respuesta que se obtiene e s dem asiado grande por un factor de aproximadamente 10. ¿Por qué? 63. A bajas temperaturas (por debajo de unos 50 K ), la con ductividad térmica de un m etal es proporcional a la temperatura absoluta: es decir, k = a T , donde a es una constante con un valor num érico que depende del metal en particular. D em uestre que la razón de flujo de calor a través de una barra de longitud L y área A en su sección transversal y cu yos extrem os están a las temperaturas T, y T2 está dada por nA
H = —
(T \-T \).
(D esprecie la pérdida de calor de la superficie.)
r
CAPITULO 26 ENTROPIA Y LA SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA P o d e m o s i m a g i n a r m u c h o s p r o c e s o s q u e c o n s e r v a n l a e n e r g ía (y p o r lo ta n t o s a t i s f a c e n la p r i m e r a le y ), p e r o q u e n o lle g a n a s u c e d e r j a m á s . P o r e je m p lo , q u e u n a t a z a d e c a fe ' c a lie n t e c e d a a l g o d e e n e r g í a in te r n a a e n e r g í a r o t a t o r i a y e s p o n tá n e a m e n te c o m ie n c e a g i r a r ; q u e un b l o q u e y l a s u p e r f ic ie d e u n a m e s a c o n v ie r ta n p a r t e d e s u e n e r g ía in te r n a p a r a h a c e r q u e e l b lo q u e s e m u e v a ; q u e u n v a s o d e a g u a f r í a s e tr a n s f o r m e e n u n c u b o d e h ie lo e n un v a s o d e a g u a m á s c a lie n te . S in e m b a r g o , e n c a d a u n o d e e s t o s c a s o s s u e le o b s e r v a r s e , p o r lo g e n e r a l, e l p r o c e s o in v e r s o . C o m o e s t u d i a r e m o s e n e s te c a p ítu lo , l a segunda ley de la termodinámica t r a t a d e s i o c u r r e n o n o t a l e s p r o c e s o s e n l a n a t u r a le z a . A m e n u d o s e d i c e q u e l a s e g u n d a ley s i g u e l a d ir e c c ió n d e l a “f l e c h a d e l tie m p o ”, s ig n i f i c a n d o c o n e s to q u e l o s s i s t e m a s e v o lu c io n a n n a t u r a lm e n t e c o n e l tie m p o en u n a d ir e c c ió n p e r o n o e n l a o tr a . E n e s t e c a p í t u lo e m p le a m o s l a s e g u n d a le y p a r a a n a l i z a r l a s m á q u i n a s q u e c o n v ie r te n e l c a l o r e n t r a b a j o ú til, y d e m o s t r a m o s q u e e x is te u n lím ite s u p e r i o r p a r a l a e f i c ie n c i a a l a q u e p u e d e f u n c i o n a r u n a m á q u in a . L a s e g u n d a ley c o n d u c e a un n u e v o c o n c e p t o , l a entropía, a l i g u a l q u e l a le y c e r o c o n d u c ía a l a t e m p e r a t u r a y l a p r i m e r a le y a l a e n e r g í a in te rn a . C o n c lu im o s n u e s t r o e s tu d io d e l a t e r m o d in á m ic a d e m o s t r a n d o c ó m o l a r e la c i ó n e n tr e la e n t r o p í a ( u n a c a n t i d a d m a c r o s c ó p i c a ) y s u c a n t i d a d m i c r o s c ó p i c a c o r r e s p o n d ie n t e ( la p r o b a b i l i d a d e s t a d í s t ic a d e d ife r e n t e s a r r e g l o s d e u n s i s t e m a ) r e fu e r z a n l a c o n e x ió n e n tr e la t e r m o d in á m ic a y l a m e c á n i c a e s t a d ís t ic a , e l o b je tiv o q u e n o s p r o p u s i m o s e n l a s e c c i ó n 2 2 - 1 .
tem peratura n o e stá n b ie n d e fin id o s. N o p o d e m o s trazar
26-1 PROCESOS REVERSIBLES Y PROCESOS IRREVERSIBLES C o n sid e r e m o s u n siste m a típ ic o e n e q u ilib r io term o d in á m ic o , d ig a m o s n m o le s d e u n g a s (re a l), c o n fin a d o s e n un arreglo c ilin d r o -é m b o lo d e v o lu m e n V , te n ie n d o e l g a s una p r e sió n p y una tem peratura T . E n u n e sta d o d e eq u ilib r io , e sta s v a r ia b le s te r m o d in á m ic a s p e rm a n e ce n c o n sta n te s c o n e l tie m p o . S u p o n g a m o s q u e e l cilin d r o , c u y a s p a red es s o n a isla n te s p ero c u y a b a se c o n d u c e calor, s e c o lo c a e n u n d e p ó sito gran d e a la m ism a tem peratura
e l p r o c e so c o m o una lín e a c o n tin u a en u n d iagram a p V p o rq u e n o sa b ría m o s q u é v a lo r d e la p r e sió n (o d e la tem p eratu ra) a so c ia r ía m o s c o n u n v o lu m e n d a d o . E l s i s tem a p a sa d e u n e sta d o d e eq u ilib r io i a o t r o / a tra v és de una s e r ie d e e sta d o s d e n o e q u ilib r io (F ig . l a ) . 2.
P r e sio n a m o s e l é m b o lo (s u p o n ie n d o q u e n o e x is te
fr ic c ió n ) m u y len ta m e n te, q u izá a ñ a d ie n d o e n fo rm a gra d u al arena a la p arte su p e r io r d e l é m b o lo , d e m o d o q u e la p r esió n , e l v o lu m e n , y la tem p eratu ra d e l g a s se a n , e n to d o
T , c o m o v e m o s e n la fig u ra 1. L le v e m o s ahora a l sistem a a otro e sta d o d e e q u ilib r io e n e l q u e la tem peratura T sea
m o m e n to , c a n tid a d e s b ie n d e fin id a s. P rim e ro , d eja m o s ca er u n o s c u a n to s g ra n o s d e arena so b r e e l é m b o lo . E sto reducirá e l v o lu m e n d e l siste m a u n p o c o y la tem peratura
la m ism a p ero e l v o lu m e n V s e red u zca a la m ita d . D e entre la s m u c h a s m a n era s e n q u e e sto s e p u e d e h a cer, e stu d ia
ten d erá a e le v a r se ; e l siste m a s e sald rá d e l e q u ilib r io , pero s ó lo lig e r a m e n te. S e transferirá a l d e p ó sito u n a p eq u eñ a
r e m o s d o s c a s o s ex tr e m o s.
ca n tid a d d e c a lo r , y e n u n tie m p o co rto e l siste m a a lca n zará u n n u e v o e sta d o d e eq u ilib r io , sie n d o su tem peratura d e n u e v o la d e l d e p ó sito . L u e g o d e ja m o s ca er u n o s cu a n
1.
P r e sio n a m o s e l é m b o lo m u y rá p id a m en te; e n to n c e s
e sp e r a m o s q u e s e r e sta b le z c a e l e q u ilib r io c o n e l d e p ó sito . D u ran te e s te p r o c e s o e l g a s e s tu rb u len to, y su p r esió n y
to s g ra n o s m á s d e arena so b r e e l é m b o lo , r e d u cien d o e l v o lu m e n aún m á s. D e n u e v o , e sp e r a m o s q u e s e e sta b le z c a
636
Capítulo 26
F igu ra
1
Entropía y la segunda ley de la termodinámica
Se hace que un gas real pase de un estado inicial i (caracterizado por la presión y 7}). El proceso puede llevarse a cabo (a ) irreversiblemente, dejando caer de forma súbita un peso sobre el ém bolo, o ( b ) reversiblem ente, añadiendo arena al ém bolo, unos cuantos granos a la vez.
p „ el volum en V„ y la temperatura T¡) a un estado fin al/(caracterizad o por p ; ,
un n u e v o esta d o d e e q u ilib r io , y a sí s u c e s iv a m e n te . D e s
E n la p rá ctica , to d o s lo s p r o c e s o s s o n ir r e v ersib les, p ero
p u é s d e m u ch a s r e p e tic io n e s d e e s te p r o c e d im ie n to red u c im o s , fin a lm e n te e l v o lu m e n a la m ita d . D u ra n te to d o e ste p r o c e s o e l siste m a está sie m p r e e n u n esta d o q u e d ifiere s ó lo lig e r a m e n te d e u n esta d o d e e q u ilib rio . S i
p o d e m o s a p r o x im a m o s arb itrariam en te a la r ev ersib ilid a d por m e d io d e r e fin a m ie n to s e x p e r im e n ta le s a p rop iad os. E l p r o c e so e str ic ta m e n te r e v e r sib le e s u n a a b stra cció n
im a g in a m o s lle v a r a c a b o e ste p r o c e d im ie n to c o n a u m e n to s s u c e s iv o s d e p r e sió n a ú n m á s p e q u e ñ o s, lo s e sta d o s
p r o c e so s r e a le s c o m o la a b stra c ció n d e l g a s id ea l lo h a ce c o n lo s g a s e s r e a le s.
se n c illa y ú til q u e gu ard a una r e la c ió n sim ila r c o n lo s
in te r m e d io s s e sald rán d e l e q u ilib r io to d a v ía m e n o s q u e
N o to d o s lo s p r o c e s o s lle v a d o s a c a b o len ta m e n te so n
an tes. A u m e n ta n d o in d e fin id a m e n te e l n ú m ero d e c a m
r e v e r sib le s. P o r e je m p lo , s i e l é m b o lo d e n u estro e je m p lo
b io s y d is m in u y e n d o e n c o n s e c u e n c ia e l ta m a ñ o d e cad a
ejerciera u n a fu erza d e fr ic c ió n so b r e la s p a red es d el
c a m b io , lle g a m o s a u n p r o c e so id e a l e n e l q u e e l siste m a
cilin d r o , n o reg resa ría a su esta d o p r e v io p or e l h e c h o d e
p asa a tra v és d e una s u c e s ió n c o n tin u a d e e sta d o s d e eq u ilib r io , lo s c u a le s p o d e m o s trazar c o m o un a lín ea
quitar u n o s c u a n to s g ra n o s d e arena. S i a ñ a d im o s arena al
c o n tin u a e n un d iagram a p V (F ig . I b ) . D u ra n te e s te p ro c e s o se tran sfiere cierta ca n tid a d d e c a lo r Q d e l siste m a al d e p ó sito . L o s p r o c e so s d el tip o 1 s e lla m a n i r r e v e r s i b l e s , y lo s d e l tip o 2 s e lla m a n r e v e r s i b l e s . U n p r o c e s o r e v e r s i b l e e s a q u e l e n q u e , p o r m e d io d e u n c a m b io d if e r e n c ia l e n e l
é m b o lo le n ta m e n te , e l siste m a se g u ir ía e v o lu c io n a n d o a tra v é s d e una se r ie d e e sta d o s d e e q u ilib r io , p ero n o lo haría e n fo rm a re v e r sib le . S e u sa la p alab ra c a s i - e s t á t i c o para d esc r ib ir p r o c e s o s q u e s e lle v a n a c a b o c o n la len titu d s u fic ie n te c o m o para q u e e l siste m a p a se a tra v és d e una se c u e n c ia c o n tin u a d e e sta d o s d e e q u ilib rio ; u n p r o c e so c a s i-e s tá tic o p u e d e ser o p u e d e n o se r r ev e r sib le .
e n to rn o , p u e d e h a c e r s e q u e r e g r e s e s o b r e s u tr a y e c to r ia .
E l p r o c e so d e sc r ito e n 2 e s n o s ó l o r e v e r sib le s in o
E s d ecir, s i a ñ a d im o s u n o s c u a n to s g ra n o s d e arena al
ta m b ién i s o t é r m i c o , p o rq u e h e m o s su p u e s to q u e la te m peratura d e l g a s d ifie r e e n to d o m o m e n to e n s ó lo una
é m b o lo cu a n d o e l siste m a está e n u n e sta d o particular A , e l v o lu m e n d is m in u y e e n d V y u n a p e q u e ñ a c a n tid a d d e
ca n tid a d d ife r e n c ia l d T d e la tem peratura (c o n sta n te ) d el
ca lo r e s transferid a a l d e p ó sito . S i se g u id a m e n te q u i t a m o s a q u e llo s p o c o s g r a n o s d e arena (u n c a m b io d ife r e n c ia l en e l en to rn o ), e l v o lu m e n a u m e n t a e n d V y una can tid ad
d e p ó sito e n q u e d e sc a n sa e l cilin d r o . P o d r ía m o s ta m b ié n red u cir e l v o lu m e n a d i a b á t i c a m e n te sa c a n d o a l c ilin d r o d e l d e p ó sito té r m ic o y p o n ié n d o lo
ig u a l d e ca lo r s e tra n sfiere d e l d e p ó s ito , r e g r esa n d o por e llo tan to e l siste m a c o m o e l e n to rn o al e sta d o o r ig in a M .
so b re una p la ta fo rm a n o co n d u cto ra . E n u n p r o c e so a d ia b á tic o n o s e p erm ite q u e e l c a lo r en tre o sa lg a d e l sistem a .
Sección 26-2
Máquinas térmicas y la segunda ley
637
U n p r o c e so a d ia b á tic o p u e d e se r r e v e r sib le o irrev ersib le; la d e fin ic ió n n o e x c lu y e a n in g u n a d e la s d o s p o sib ilid a d es. E n u n p r o c e so a d ia b á tic o r e v e r sib le m o v e m o s al é m b o lo c o n len titu d e x trem a , q u iz á s u sa n d o la té c n ic a d e la carga c o n arena; e n u n p r o c e so a d ia b á tico irrev ersib le em p u ja m o s al é m b o lo h a c ia a b ajo rá p id a m en te. L a tem p eratu ra d e l g a s s e e lev a rá durante una c o m p r e s ió n adiab ática p o rq u e, se g ú n la p rim era le y c o n Q = 0 , el trabajo W e fe c tu a d o so b r e e l siste m a p o r e l en to rn o al em p u jar h a c ia a b ajo a l é m b o lo d e b e ap arecer c o m o u n a u m en to A £ ¡me n la en e rg ía interna d e l siste m a . E l trabajo W tien e v a lo r e s d ife r e n te s para ca n tid a d e s d ife r e n te s del d e s c e n s o d e l é m b o lo , s ie n d o - J p d V (e s d ecir, e l área b ajo una cu rva d e u n d ia g ra m a p V ) ú n ic a m e n te para p r o c e so s r e v e r sib le s , para lo s c u a le s p tie n e u n v a lo r b ie n d e fin id o .
~ T b
F igu ra 2 U n proceso cíclico , que consta de cuatro etapas, dos ( a b y c d ) a volum en constante y dos (b e y d a ) a presión constante. Las líneas de puntos muestran las isotermas correspondientes a las temperatura T „ T b, Tc, y Td.
E n to n c e s, A £ inl y e l c a m b io d e tem peratura c o r r esp o n d ien te A T n o s o n lo s m is m o s para p r o c e so s a d ia b á tic o s r e v e r sib le s e irre v e r sib le s. P or otra parte, para un a tra n sfo r m a ció n d e u n p u n to
y s e efe c tú a trabajo p o r e l g a s. P u e sto q u e la tem peratura
in ic ia l d a d o i a u n p u n to fin a l d a d o f e l c a m b io e n la en erg ía interna d e p e n d e ú n ic a m e n te d e la s co o rd e n a d a s
e n to n c e s te n e m o s u n aparato para co n v e r tir ca lo r e n tra
ter m o d in á m ic a s ( p , V , y T , q u izá ) d e i y / . S i b i e n W y Q d e p e n d e n d e l a t r a y e c t o r i a , A E inl n o d e p e n d e d e e l l a . E n p a r t i c u l a r , s i n o s e s p o s i b l e c a l c u l a r A £ illt p a r a u n a t r a y e c to ria
r e v e r s ib le d e te r m in a d a ,
tie n e e l m is m o v a l o r
p a r a l a s d e m á s t r a y e c t o r ia s , in c lu y e n d o l a s ir r e v e r s ib le s .
L a en trop ía, c o m o v e r e m o s , e s ta m b ién u n a v a ria b le d e e sta d o c o m o E m, c u y o c a m b io e n cu a lq u ie r p r o c e so irre v e r sib le p u e d e h a lla r se a partir d e u n p r o c e so r e v e r sib le e s c o g id o a p ro p ia d a m en te q u e c o n e c te a lo s m is m o s e sta d o s in ic ia l y fin a l.
e s c o n sta n te , la en e r g ía interna e s c o n sta n te ta m b ién , y b ajo. E sta m á q u in a térm ica n o se r ía m u y ú til a la larga, p o rq u e n o p o d ría op erar in d e fin id a m e n te: n o s q u ed a ría m o s s in p e s o q u e quitar d e l é m b o lo o b ie n e l é m b o lo lleg a r ía hasta arriba d e l c ilin d ro . U n a m á q u in a m á s útil sería la q u e o p e r a se e n u n c ic lo , r e g r e sa n d o a su pu n to in ic ia l d e sp u é s d e h ab er e fe c tu a d o ca d a trabajo unitario W , y re p itien d o s u s e ta p a s c o n tin u a m en te. L a fig u ra 2
m u estra u n e je m p lo d e u n p r o c e so c íc lic o q u e p od ría co n stitu ir la b a se para una m á q u in a térm ica . E l c ic lo co n sta d e v a ria s eta p a s, p u d ie n d o to d a s e lla s e fectu a rse en p e q u e ñ o s in c r e m e n to s y p o r lo ta n to r e v e r sib le m e n te . S u p o n e m o s q u e e l c ilin d r o d e g a s está situ a d o so b r e un d e p ó sito té r m ic o , c u y a tem p eratu ra p u e d e a ju starse fá c il
26-2 MAQUINAS TERMICAS YLASEG UNDALEY U na m á q u i r n t é r m i c a e s u n d isp o sitiv o para convertir calor en trabajo útil. E sto e s , la en ergía flu y e hacia un sistem a en
m en te. A l a n a liza r la s e ta p a s d e l c ic lo , e s c o n v e n ie n te ten er en cu en ta la s c o n v e n c io n e s d e s ig n o q u e h e m o s e sta d o u sa n d o para e l ca lo r y e l trabajo: S e c o n sid e r a q u e e l c a lo r q u e e n tra a l siste m a e s
form a d e calor, y parte d e esta en ergía sa le d el sistem a en form a d e trabajo efectu a d o sobre e l entorno. E l p ro ce
p o s it iv o , y q u e e l c a l o r q u e s a l e d e l s is t e m a e s n e g a tiv o .
so in verso, q u e co n v ierte trabajo e n calor, ocurre tam bién: las fu erzas d e fric c ió n p u ed en convertir e l trabajo en ener
E l t r a b a jo e fe c tu a d o s o b r e un siste m a , c o r r e s p o n d ie n
gía interna, c o m o e n e l ca len tam ien to d e d o s su p erficies que se frotan entre sí, y esta energía p u ed e ser en to n ces
te a u n a d i s m i n u c i ó n d e v o l u m e n s e c o n s i d e r a p o s i t i v o ;
transferida a otros o b jeto s d el entorno en form a d e calor.
t r a b a jo e fe c tu a d o s o b r e un siste m a .
e l t r a b a jo e fe c tu a d o p o r u n s is t e m a e s e l n e g a tiv o d e l
E n otro ejem p lo , e l trabajo m ecá n ic o efectu a d o por un g e nerador eléctrico c o n d u ce c o m e n te a lo s h o g a res, d on d e
E l tr a b a jo e fe c tu a d o en un p r o c e s o c íc lic o e s n e g a ti
un calefactor eléctrico co n v ierte e l trabajo e n en ergía inter
v o s i e l c ic lo s e
na, la cu al flu y e en to n c es en form a d e calor.
d ia g r a m a p V , y p o s it iv o s i e l c ic lo s e e fe c tú a en se n ti
E l cilin d r o d e g a s id e a l c o lo c a d o so b r e e l d e p ó sito té r m ic o a un a tem p eratu ra T p u ed e serv ir c o m o u n e je m p lo r e p r esen ta tiv o d e una m á q u in a térm ica . S i q u ita m o s una p eq u eñ a ca n tid a d d e p e s o d e l é m b o lo , e l g a s s e d ilata (iso té r m ic a m e n te ). E ntra ca lo r al g a s a partir d e l d e p ó sito ,
e fe c tú a e n se n tid o
h o r a rio
en un
d o a n tih o r a r io .
Para recordar e sta s c o n v e n c io n e s d e s ig n o , p o d e m o s rela cio n a r e l e fe c t o d e l c a lo r tr a n sferid o o d e l trabajo e fe c tu a d o c o n e l ca m b io e n la e n e r g ía interna d el sistem a .
638
Capítulo 26
Entropía y la segunda ley de la termodinámica
L a s cu atro eta p a s d e n u estro c ic lo so n la s sig u ie n te s: E ta p a 1 ( a b ) . A u m e n ta m o s la tem peratura d e l d e p ó sito , y sim u ltá n e a m e n te a ñ a d im o s a lg ú n p e s o a d ic io n a l al é m b o lo , d e m o d o q u e la p r e sió n a u m en te p ero e l v o lu m e n
E l trabajo e fe c tu a d o so b r e e l e n to rn o , q u e e s c o m o m e d i m o s la sa lid a ú til d e una m á q u in a , e s e l n e g a tiv o d el
p erm a n ezca co n sta n te .
trabajo e fe c tu a d o p or e l en to rn o so b r e e l g a s. E sc r ib i
E ta p a 2 ( b e ) .
m o s la ra zó n e n la e c u a c ió n 3 d e esta m an era para q u e tan to e l n u m erad or c o m o e l d en o m in a d o r se a n ca n tid a d es p o sitiv a s.
A u m e n ta m o s la tem peratura d e l d e p ó sito
y d eja m o s q u e e l g a s s e d ila te a p r e sió n c o n sta n te. E l é m b o lo efe c tú a u n trabajo n e g a tiv o so b r e e l g a s.
P o d e m o s ta m b ié n e scrib ir la e fic ie n c ia c o m o :
E ta p a 3 ( c d ). D is m in u im o s la tem p eratu ra d e l d e p ó sito y sim u ltá n e a m e n te retira m o s a lg o d e p e s o d el é m b o lo , d e m o d o q u e e l v o lu m e n p e rm a n ez c a co n sta n te .
„ _
IQinl ~
IQou,l _
IQinl
,
IQoutl
IQinl ‘
,
K )
P o d r ía m o s h a c e r una m á q u in a p e r fe c ta m e n te e fic ie n
E ta p a 4 ( d a ) . C o n tin u a m o s d is m in u y e n d o la tem p era tura d e l d e p ó sito , p ero m a n te n e m o s c o n sta n te la carga so b re e l é m b o lo , c o n e l fin d e q u e la p r e sió n p e r m a n e z ca c o n sta n te m ien tra s e l v o lu m e n d ism in u y a a su v a lo r o rigin al. O b s é r v e se d e la s iso te r m a s m o stra d a s e n la fig u ra 2 q u e la tem peratura au m en ta e n la s e ta p a s 1 y 2 y d is m in u y e e n la s etap as 3 y 4. E n to n c e s, durante la s eta p a s 1 y 2 entra ca lo r al siste m a ( Q ¡ > 0 y Q 2 > 0 ), y durante la s etap as 3 y 4 sa le ca lo r d e l siste m a ( Q 3 < 0 y Q 4 < 0 ). A d e m á s, o b sr v a m o s q u e W < 0 para to d o e l c ic lo , p o rq u e e l c ic lo se efe c tú a e n d ir e c c ió n h oraria. E n la etapa 1, h e m o s a ñ a d im o s p e s o cu a n d o e l é m b o lo esta b a e n la p o s ic ió n
te ( e =
1 .0 0
ó
1 0 0
%) si p u d ié r a m o s d iseñ a r u n c ic lo
q u e r ed u zca a c e ro a |Q 0Ut|, e l ca lo r d esca r g a d o ; d e otro m o d o , la e fic ie n c ia e s sie m p r e m e n o s d e 100% . U n a form a d e la s e g u n d a l e y d e l a t e r m o d i n á m i c a afirm a q u e e l h a cer una m á q u in a térm ica p er fe c ta m e n te e fic ie n te e s im p o sib le :
E n u n p r o c e s o c íc lic o , n o e s p o s ib le c o n v e r tir c a lo r e n te r a m e n te e n t r a b a jo , s in q u e e x is t a a lg ú n o tr o c a m b io .
E n n u e str o e je m p lo e l “otro c a m b io q u e e x is te ” e s e l calor d e e sc a p e |C?ou,|, y e n to n c e s la se g u n d a le y d ic e q u e e s im p o sib le red u cir |£)out| a cero . L a e c u a c ió n 4 im p lic a q u e la e fic ie n c ia d e la m á q u in a térm ica n o p u e d e n u n ca lleg a r al 100% . E sta fo rm a d e la se g u n d a le y , q u e su e le lla m a rse
m á s b aja, y e n la etap a 3 h e m o s retirad o p e s o cu a n d o el é m b o lo estab a e n la p o s ic ió n m á s alta. E l e fe c to total d e l
fo rm a d e K e l v i n - P l a n c k , e s ta b le c e q u e n o e x i s t e n m á q u i
c ic lo so b r e e l en to rn o e s , e n to n c e s , e le v a r c ie r to p e s o m g
n a s té r m ic a s p e r fe c ta s .
a la d ista n cia h a la q u e a sc ie n d e e l é m b o lo e n la etapa
;
L a figu ra 3 m u estra u n a r e p r e se n ta c ió n e sq u em á tica
la m a g n itu d d e l trabajo e fe c tu a d o p o r e l g a s so b r e e l
sim p lific a d a d e un a m á q u in a p e r fe cta , la c u a l c o n v ie r te al
en to rn o e s ig u a l a m g h .
ca lo r Q en te r a m e n te e n trab ajo, y una m á q u in a real, q u e o b tie n e e l ca lo r @H d e u n r e c ip ie n te a alta tem p eratura T n
2
E x a m in e m o s ahora la s tra n sfe r en cia s d e en e r g ía duran te e l c ic lo . E l ca lo r to ta l Q in q u e entra al siste m a e s Q l + Q 2, y e l ca lo r total Q mn q u e s a le d e l siste m a e s Q 3 + Q 4. E l calor n e to tra n sferid o Q para e l c ic lo e s + (?oul; para recordar q u e Q in e s p o sitiv a y Q out n e g a tiv a , e sc r ib im o s , u sa n d o m a g n itu d e s a b so lu ta s, l<2l = l < 2 i „ | - K 2 o u . | .
(i)
E l c a m b io e n la en e r g ía in tern a para e l c ic lo d e b e ser ce r o , p orq u e e l c ic lo c o m ie n z a y term in a en e l m is m o pu n to. La
y d esca rg a c a lo r Q L a l r e c ip ie n te a baja tem peratura T L. E n esta m á q u in a g e n e r a liz a d a , e l c a lo r d e entrada, q u e p u ed e se r tra sferid o en v a ria s eta p a s, s e rep resen ta sim p le m e n te c o m o @H, y e l c a lo r d e e sc a p e s e rep resen ta sim ila r m e n te c o m o Q l . E l c ic lo im p lic a un a se r ie d e o p e r a c io n e s lle v a d a s a ca b o so b r e un a s u s t a n c i a d e o p e r a c i ó n ; en n u estro c a s o , la se r ie d e o p e r a c io n e s m o stra d a s en la fig u ra 2 s e lle v a r o n a c a b o e n u n g a s id e a l, p ero e n la p ráctica p o d e m o s d ise ñ a r una m á q u in a térm ica u sa n
prim era le y da e n to n c e s W = - Q o s e a , u sa n d o d e n u e v o
d o cu a lq u iera d e una gran v a ried a d d e su sta n c ia s d e o p e
m a g n itu d es a b so lu ta s,
ra ció n . P o r e je m p lo , e n una plan ta d e p o te n c ia , e l agua e s a m e n u d o la su sta n c ia d e o p e r a c ió n , a b so r b ien d o ca lo r
l ^ l =
l <2! =
IG i„|-|<2„u,|.
(2)
Q l} cu a n d o s e c o n v ie r te e n v a p o r y d e sc a rg a n d o ca lo r Q L
Para e s te c ic lo , |( ) ln| > |@oul|, d e m o d o q u e lo s m ie m b r o s d e r e c h o s d e la s e c u a c io n e s 1 y 2 s o n p o s itiv o s , c o m o e s n e c e sa r io cu a n d o e sc r ib im o s a q u e lla s e c u a c io n e s en tér
cu a n d o e l v a p o r s e c o n d e n sa n u e v a m e n te e n agua. (N o d eb e c o n fu n d ir se e l c o m b u s tib le d e u n m o to r c o n la s u s ta n cia d e o p e r a c ió n ; e l c o m b u s tib le s im p le m e n te m a n tie
m in o s d e m a g n itu d es. D e fin im o s la e f i c i e n c i a e d e c u a lq u ie r c ic lo c o m o la can tid ad n eta d e trabajo e fe c tu a d o s o b r e e l e n t o r n o duran
n e la tem p eratu ra T ¡¡ d e l r e c ip ie n te c a lie n te .) E l recip ien te d e baja tem p eratu ra, h a cia e l q u e e sc a p a e l c a lo r
te el c ic lo , d iv id id o p or la e n t r a d a d e c a l o r Q in:
un río.
Sección 26-3
Refrigeradores y la segunda ley
639
26-3 REFRIGERADORES Y LA SEGUNDA LEY Máquina perfecta
Máquina real
W (= - Q )
(a)
(b)
F igu ra 3 Se representa una máquina por las flechas en el sentido horario que rodean al bloque central, ( a ) En una máquina perfecta, todo el calor extraído de un depósito a alta temperatura se convierte en trabajo. ( b ) En una máquina real, el calor extraído del depósito de alta temperatura se convierte parcialmente en trabajo y parcialmente en calor Q¡ que escapa a un recipiente de baja temperatura.
Un refrigerador es básicamente una máquina térmica que funciona en sentido inverso. Al igual que una máquina térmica, se considera que un refrigerador funciona en un proceso cíclico, y el recorrido del ciclo de la figura 2 en sentido inverso representaría la operación de un tipo de refrigerador. Un refrigerador más general puede estar representado por el motor de la figura 3 operado en sentido inverso. El calor
P rob lem a m u estra 1 Un motor de autom óvil, cuya eficiencia térmica e es de 22% , opera a 95 ciclo s por segundo y efectúa trabajo a 120 hp. (a) ¿Cuánto trabajo por ciclo efectúa el entorno sobre el sistem a? (b ) ¿Cuánto calor entra y sale del m otor en cada ciclo? Solu ción (a ) El trabajo por ciclo efectuado sobre el sistem a, una cantidad negativa, es (120 hp)[746 (J/s)/hp]
942 J
0.22
I < 2 h I - I G l I-
(5)
En el refrigerador, el calor e n t r a a partir del recipiente de baja temperatura, de modo que Q L > 0, y s a l e al recipiente de alta temperatura, de modo que Q„ < 0, como lo sugiere la figura 4. También, W> 0, puesto que el entorno efectúa un trabajo sobre la sustancia de operación. En analogía con la eficiencia de una máquina térmica, evaluamos un refrigerador en términos del c o e f i c i e n t e d e r e n d i m i e n t o K , definido por
W ~ -------------- 9 5 ^ --------------- " 9 4 2 J -
O, lo que es lo m ism o, el motor efectúa +942 J de trabajo por ciclo sobre el entorno. (b) Para hallar el calor de entrada absorbido del depósito a alta temperatura (la explosión de la m ezcla de com bustible), usam os la ecuación 3:
=
K =
\Q l \
\w \
\Q l
(6)
iG hI-IG iT
En un refrigerador perfecto, W= 0 (entonces |(?H| = |
4.3 X 10 3 J. E n u n p r o c e s o c íc lic o , n o e s p o s ib le q u e f lu y a c a lo r d e
Partiendo de la ecuación 2, hallam os el calor de salida, que se descarga al recipiente a baja temperatura (el entorno):
u n c u e r p o a o tr o a m a y o r te m p e r a tu r a sin q u e e x is ta a lg ú n o tr o c a m b io .
IQ l I = !<2hI - IW'l = 4.3 X 103 J - 942 J = 3.4 X 103 J.
El calor descargado del motor lleva un signo negativo de m odo que Q l = —3.4 X 103 J.
V em os que este motor absorbe 4,3 x 10 3 J de calor por ciclo, por el que debem os pagar en la estación de gasolina, efectúa 942 J de trabajo, y transfiere 3.4 x 10 3 J de calor en el escape. El motor desecha 3.6 v eces m ás energía de la que convierte para propósitos útiles. A lgunas máquinas pueden poner este calor del escape a trabajar en forma útil. Por ejem plo, el calor del vapor escapado en una planta de potencia puede transferirse a ed ificios com erciales para mantenerlos calientes durante el tiem po frío. _______ _______ ________________________
En este enunciado, el “otro cambio existente” significa que durante el ciclo debe efectuarse un trabajo extemo para hacer que el calor se mueva de este modo, puesto que de por sí preferiría fluir en el sentido contrario. Este enunciado de la segunda ley se llama a menudo la forma C l a u s i u s , y en efecto dice que n o e x i s t e n r e f r i g e r a d o r e s p e rfe c to s.
En un refrigerador doméstico ordinario, la sustancia de operación es un líquido (Freón) que circula dentro del sistema. El depósito a baja temperatura es la cámara fría en la que se almacenan los alimentos, y el depósito a alta temperatura es la habitación en que se mantiene la unidad.
640
Capítulo 26
Entropía y la segunda ley de la termodinámica
(a)
(b)
F igu ra 4 S e representa un refrigerador por flechas apuntando en sentido antihorario alrededor del bloque central. (a ) En un refrigerador perfecto no se requiere ningún trabajo. ( b ) En un refrigerador real, el calor es extraído de un depósito a baja temperatura mediante la ejecución de algún trabajo externo, y la energía equivalente del calor extraído y del trabajo se descarga com o calor a un depósito a alta temperatura.
El trabajo externo es proporcionado por un motor que impulsa a la unidad. Los refrigeradores típicos tienen coeficientes de rendimiento alrededor de 5.
Equivalencia de los enunciados de Clausius y de Kelvin-Planck Los dos enunciados de la segunda ley que hemos presen tado no son independientes y, de hecho, son enteramente equivalentes. Para demostrar esto, consideremos lo que pasaría si la forma Kelvin-Planck fuese incorrecta, y que pudiéramos construir una máquina perfecta, convir tiendo el calor C?Henteramente a trabajo W. Usemos este trabajo W para impulsar un refrigerador real, como se muestra en la figura 5a. Este refrigerador toma el calor |Ql| del depósito a baja temperatura y bombea el ca lor |<5hI = |
i<2hI- iqhi= isíiI
\qi\.
Entonces nuestro aparato combinado actúa como un refri gerador perfecto, tomando el calor |(?¿| del depósito a baja temperatura y bombeando el calor |Qj|| al depósi to a alta temperatura, sin que se efectúe ningún trabajo externo.
F ig u ra 5 (a) U n refrigerador real, im pulsado por una máquina perfecta, es equivalente a ( b ) un refrigerador perfecto.
Este ejemplo demuestra que, si podemos construir una máquina perfecta, entonces podemos construir un refri gerador perfecto. Es decir, una violación del enunciado de Kelvin-Planck de la segunda ley implica una viola ción del enunciado de Clausius. De manera similar, un refrigerador perfecto nos permite convertir a una máquina térmica real en una máquina térmica perfecta. Entonces, una violación del enunciado de Clausius implica una violación del enunciado de Kelvin-Planck. Puesto que una violación de cualquiera de los enunciados implica una violación del otro, los dos enunciados son lógicamente equivalentes.
P ro b lem a m u estra 2 Un refrigerador dom éstico, cuyo co efi ciente de rendim iento K es 4 .7 , extrae calor de la cámara de enfriamiento a 2 5 0 J por ciclo, (a) ¿Cuánto trabajo por ciclo se requiere para operar el refrigerador? ( b ) ¿Cuánto calor por ciclo se descarga a la habitación, la cual constituye el depósito de alta temperatura del refrigerador? Solu ción
( a ) Partiendo de la ecuación
6
, K = |QJ/| W\, tenem os
W representa el trabajo efectuado s o b r e el sistem a, de m odo que es una cantidad positiva. (b ) Para hallar el calor Q H descargado a la habitación (la cual sirve com o depósito de alta temperatura), usam os la ecuación 5, que es la primera ley de termodinámica para un aparato cíclico y es válida tanto para refrigeradores com o para máquinas. E ntonces, tenem os IGhI = I W \ + |(2l | = 5 3 J + 2 5 0 J = 3 0 3 J.
Un refrigerador ¡es también un calefactor eficiente! A l pagar por 53 J de trabajo (efectuado por el motor), obtenem os 303 J de calor abastecido a la habitación por m edio de lo s tubos de condensación colocad os atrás de la unidad. (V éase el problema muestra 4, que trata de la operación de una b o m b a d e c a l o r , aparato sim ilar al refrigerador que puede calentar el hogar.)
Sección 26-4
El ciclo de Carnot
641
Si calentásem os la habitación con un calefactor eléctrico, ob tendríamos cuando m ás 53 J de calor por cada 53 J de trabajo por el que pagamos. Pensem os en lo sensato (?) que puede ser tratar de enfriar la cocina en un día caluroso ¡dejando abierta la puerta del refrigerador! Por supuesto, un cálculo com pleto de la eficiencia relativa de varios sistem as de calefacción debe tener en cuenta la eficiencia termodinámica de la producción de potencia eléctrica en la planta generadora.___________________
26-4 EL CICLO DE CARNOT H e m o s v is to q u e la seg u n d a le y d e la term o d in á m ica n o s im p id e con stru ir m á q u in a s tér m ic a s y refrig era d o res p er f e c to s . E n to n c e s e s ló g ic o preguntar s i p o d e m o s lleg a r tan c erca d e la p e r fe c c ió n c o m o q u era m o s, o s i e x is te algu n a otra lim ita c ió n fu n d a m en ta l e n e l fu n c io n a m ie n to d e las m á q u in a s térm ica s y d e lo s refrigerad ores. S u c e d e q u e s í e x i s t e u n lím ite fu n d a m en ta l, y para su e stu d io e x p lic a r e m o s una m á q u in a q u e fu n c io n a e n u n c ic lo particular, lla m a d o c i c l o d e C a r n o t *
Proceso adiabático
Proceso adiabático
E n e l c ic lo d e C arn ot, la su sta n cia d e o p e r a c ió n e s u n g a s id ea l en n u estro c ilin d r o u su al. U s a m o s d o s d e p ó sito s té r m ic o s, u n o a alta tem peratura T H y otro a baja te m p e ratura Tl . E l c ic lo co n sta d e cu atro p r o c e so s r e v e r sib le s, d o s is o té r m ic o s y d o s a d ia b á tico s. L a se c u e n c ia , in d ica d a e sq u e m á tic a m e n te e n la fig u ra
6
y trazada e n u n d iagram a
Proceso isotérmico
p V e n la figu ra 7 , e s c o m o sig u e:
E ta p a 1 ( a b ) . P o n e m o s e l c ilin d r o so b re e l d e p ó sito a alta tem peratu ra, c o n e l g a s en u n esta d o rep resen ta d o por e l p u n to a e n la fig u ra 7 . G ra d u a lm en te, q u ita m o s a lg o de
F igu ra 6 C iclo de Camot. Las cuatro etapas (1, 2, 3, 4) y lo s cuatro puntos finales (a, b , c , d ) corresponden a los de la figura 7. El arreglo cilindro-ém bolo se muestra en puntos intermedios, durante la realización de cada proceso.
p e s o d e l é m b o lo , p erm itie n d o q u e e l g a s s e d ila te len ta m en te hasta e l p u n to b . D u ra n te e s te p r o c e so , e l g a s d el d e p ó sito a alta tem peratura a b so rb e ca lo r
A is la m o s e l cilin d r o d el d e p ó sito y , q u i
tan d o g ra d u a lm en te m á s p e s o d e l é m b o lo , d e ja m o s q u e el g a s s e d ila te le n ta m e n te h asta e l p u n to c d e la fig u ra 7. E sta e x p a n sió n e s ad ia b á tica p orq u e n o entra n i sa le ca lo r d e l siste m a ( Q 2 = 0 ). E l é m b o lo e fe c tú a u n trabajo (n e g a tiv o ) W2 so b r e e l g a s. L a tem peratura d e l g a s c a e a T h, p o rq u e la en erg ía para e fectu a r e l trabajo d e b e v e n ir d e la en erg ía interna d e l g a s. E ta p a 3 (c d ).
P o n e m o s e l c ilin d r o so b r e e l d e p ó sito a
la fig u ra 7 . D u ran te e ste p r o c e so , s e tra sfiere ca lo r Q 3 = -|
A is la m o s al c ilin d r o d e l d e p ó sito y , añ a
d ie n d o aún m á s p e so , c o m p r im im o s al g a s len ta m en te d e r eg r e so a su p u n to in ic ia l a d e la fig u ra 7 , c o m p le ta n d o a sí e l c ic lo . L a c o m p r e s ió n e s a d iab ática p o rq u e n in g ú n ca lo r entra o sa le d e l siste m a . E l trabajo WH e s e fe c tu a d o so b re e l g a s, y su tem peratura s e e le v a hasta J H. L a s tr a n sferen cia s d e en erg ía durante e l c ic lo p u ed en re su m ir se c o m o sig u e :
baja tem peratura y , a ñ a d ie n d o g ra d u a lm en te p e s o al é m b o lo , c o m p r im im o s e l g a s len ta m en te h asta e l p u n to d en
* Llamado así en honor del ingeniero y científico francés N. L. Sadi Carnot (179 6 -1 8 3 2 ), quien propuso el concepto en 1824.
Q Etapa Etapa Etapa Etapa C iclo
1 2 3 4
> 0 0 < 0 0 > 0
w < 0 < 0 > 0 > 0 < 0
A£i„, 0 < 0 0 > 0 0
642
Capítulo 26
Entropía y la segunda ley de la termodinámica
!G h I = ?
\Q l\
h
(9)
Tl •
L a e c u a c ió n 9 e s u n r e su lta d o im p o r ta n te y fu n d a m en ta l d e l c ic lo d e C arnot. N e c e s ita r e m o s e s te resu lta d o n u e v a m e n te m á s a d e la n te e n e s te m is m o c a p ítu lo cu a n d o d is c u ta m o s la en trop ía. U sa n d o la e c u a c ió n 4 c o n Q m = Q H Y Qo„t = Q l Y su stitu y e n d o la e c u a c ió n 9 , o b te n e m o s la e fic ie n c ia d e una m á q u in a térm ica q u e o p e r e e n u n c ic lo d e C arnot: e =
Tl _ Th - Tl 1
th
th
•
( 10)
L a e fic ie n c ia d e u n a m á q u in a C a r n o t d e p e n d e ú n ic a m e n te d e l a t e m p e r a t u r a d e l o s d o s d e p ó s i t o s e n t r e l o s q u e o p e r a . O b s é r v e se q u e la e fic ie n c ia a u m en ta al d ecrecer
F igu ra 7 Un diagrama p V d e 1 ciclo de Carnot ilustrado en la figura 6 . S e supone que la substancia útil es un gas ideal.
C a lc u le m o s ahora la e fic ie n c ia d e una m á q u in a térm ica q u e o p ere en u n c ic lo d e C arn ot. A lo la rg o d e la tr a y e c toria iso té r m ic a a b e n la fig u ra 7 , la tem p eratu ra p erm a
T l , te n d ie n d o a 1 c u a n d o T h tie n d e a 0 . P u e s to q u e T L n o p u e d e lle g a r n u n ca a 0 , la e fic ie n c ia d e b e se r m e n o s d el
100 %. U n c ic lo d e C arn ot, p or se r r e v e r sib le , p u e d e recorrer s e e n se n tid o in v e r so para c o n stitu ir u n refrigerad or. S e d eja c o m o e je r c ic io (v é a s e e l p r o b le m a 1 9 ) d em ostrar q u e e l c o e fic ie n t e d e r e n d im ie n to d e u n refrigerad or C arn ot e s
n e c e c o n sta n te . P u e sto q u e e l g a s e s id e a l, s u en erg ía in tern a, q u e d e p e n d e ú n ic a m e n te d e la tem p eratu ra, p er m a n e c e ta m b ién c o n sta n te . C o n A E M = 0 , la p rim era le y req u iere q u e e l c a lo r @H tra n sferid o d e l d e p ó sito d e alta tem peratu ra se a ig u a l a la m a g n itu d d e l trabajo W e fe c tu a d o so b re e l g a s a l e x p a n d ir se . S e g ú n la e c u a c ió n 2 7 d el c a p ítu lo 2 3 te n e m o s e n to n c e s \Q n \ = \W ,\ =
K= T -_ v •
(11)
H e m o s e m p le a d o u n g a s id e a l c o m o e je m p lo d e una su sta n cia d e o p e r a c ió n . L a su sta n c ia d e o p e r a c ió n p u ed e ser cu a lq u ie r c o s a , a u n q u e lo s d ia g ra m a s p V para otras su sta n c ia s se r ía n d ife r e n te s. L a s m á q u in a s térm ica s c o m u n e s u sa n v a p o r o una m e z t la d e c o m b u s tib le y a ire o c o m b u s tib le y o x íg e n o c o m o su s ta n c ia s d e o p era ció n .
n R T „\n ^ . 'a
S im ila rm en te, para e l p r o c e s o is o té r m ic o c d e n la figura 7 , p o d e m o s escrib ir
P u e d e o b te n e r se c a lo r m e d ia n te la c o m b u s tió n d e un c o m b u s tib le c o m o la g a so lin a o e l ca rb ó n , o m e d ia n te la lib e r a c ió n d e en er g ía n u cle a r e n lo s rea c to res d e fis ió n . E l
\QL\ = \W3\ = nRTL\ n ^ .
c a lo r p u e d e se r d e sc a r g a d o e n e l e s c a p e o a u n c o n d e n sa dor. S i b ie n la s m á q u in a s térm ica s r e a le s n o op era n e n un
' d
c ic lo r e v e r sib le , e l c ic lo d e C arn ot, q u e e s rev e r sib le , da una in fo r m a c ió n ú til r e sp e c to a l c o m p o r ta m ie n to de
Dividiendo estas dos ecuaciones tenemos que |G„I _ r „ In {Vb/ v a) T L \ n ( V c/ V d)
I G l I
cu a lq u ier m á q u in a térm ica . E s e sp e c ia lm e n te im p ortan te,
(7)
L a e c u a c ió n 3 8 d e l c a p ítu lo 2 5 n o s p erm ite escrib ir, para lo s d o s p r o c e so s a d ia b á tic o s b e y d a , 1T H V v by~ ‘ =
1T ,L yV cy
1
c o m o lo v e r e m o s m á s a d e la n te , p o rq u e p o n e u n lím ite su p er io r al r e n d im ie n to d e la s m á q u in a s re a le s y p o r lo tan to o fr e c e u n o b je tiv o a lograr.
El teorema de Carnot y la segunda ley
Dividiendo estas dos ecuaciones resulta - y -i
rr
• y-*
■y- 1
B a sa d o e n s u m á q u in a térm ica r e v e r sib le id e a l, C arn ot
1
d e sa r r o lló u n te o rem a g e n e r a l a p lic a b le a to d a s la s m á q u i n a s térm ica s:
o sea L a e fic ie n c ia d e c u a lq u ie r m á q u in a té r m ic a q u e o p e r e
(8 ) k
vd
A l co m b in a r la s e c u a c io n e s 7 y
8
e n tre d o s te m p e ra tu r a s e s p e c ífic a s n u n c a p o d r á s u p e r a r la e fic ie n c ia d e u n a m á q u in a C a r n o t q u e o p e r e
n o s da
e n tre la s m ism a s d o s te m p e ra tu ra s.
Sección 26-4
643
El ciclo de Carnot
(13)
efrigerador perfecto
In v e s tig u e m o s la s c o n s e c u e n c ia s d e esta h ip ó te sis. P ar tie n d o d e la e c u a c ió n 3 d e la d e fin ic ió n b á sic a d e la e fic ie n c ia , nuestra h ip ó te sis e s e q u iv a le n te a m
\Q h \
^
m
\Q h \
o se a \Q n ' \ > |Q h \
(c o n s e c u e n c ia d e la h ip ó t e s is ).
(14)
A l com p arar la s e c u a c io n e s 12 y 14 v e m o s qu e Q > 0 c o m o
F ig u ra 8 ( a ) La máquina X im pulsa un refrigerador Carnot. Si la máquina X fu ese m ás eficiente que una máquina Carnot, entonces la com binación sería equivalente al refrigerador perfecto mostrado en (b ).
E s d ecir, la e fic ie n c ia C arn ot (E c. 1 0) e s e l lím ite su p erio r d e l d e se m p e ñ o d e u n a m á q u in a térm ica . C la u siu s y K e lv in d em o stra ro n q u e e l teo rem a d e C arnot era una c o n s e c u e n c ia n e c esa ria d e la se g u n d a le y d e la term o d in á m ica , p ero e s n o ta b le q u e e l trabajo d e C arn ot h a y a s id o term in a d o m u c h o tie m p o a n tes d e q u e C la u siu s y K e lv in d esa rro lla
un a c o n se c u e n c ia d irecta d e n u estra h ip ó te sis d e que p o d e m o s con stru ir una m á q u in a q u e v io le e l teo rem a de C arnot. E n to n c e s, la c o m b in a c ió n d e la m á q u in a X y e l refrigerad or C arn ot e s e q u iv a le n te a l refrig era d or p erfecto m o str a d o e n la fig u ra 8 b , d o n d e e l c a lo r Q e s tran sferid o d e l d e p ó sito d e baja tem peratura a T { al d e p ó sito d e alta tem peratura a 7jt sin trabajo ex tern o . E sto v io la cla ra m en te la form a C la u siu s d e la se g u n d a le y , y p or lo tanto n u estra h ip ó te sis o r ig in a l (E c . 13) d e b e ser fa lsa . E l te o rem a d e C arnot e s , p o r lo ta n to , una c o n se c u e n c ia n e c e saria d e la se g u n d a le y . ¿ C ó m o d iferiría e ste a rg u m en to si X fu e s e una m áqu ina real? S i e x < e , e n to n c e s la e c u a c ió n 14 ca m b iaría a
s e n lo s e n u n c ia d o s d e la se g u n d a le y . (¡E l trabajo de C arnot so b r e m á q u in a s té rm ic a s s e p u b lic ó e n 1 8 2 4 , e l a ñ o d e l n a ta lic io d e K e lv in y d o s a ñ o s d e sp u é s d e h ab er n a c id o C la u siu s!) Para d em ostrar q u e la v io la c ió n d e l teo rem a d e C arnot e s ta m b ién una v io la c ió n d e la seg u n d a le y , su p o n g a m o s q u e te n e m o s una m á q u in a , a la q u e lla m a re m o s m áq u in a X , c u y a e fic ie n c ia e x su p era a la e fic ie n c ia C arn ot e .
A c o p le m o s la m á q u in a X a una m á q u in a C arnot q u e o p ere e n se n tid o in v e r s o c o m o u n refrigerad or, c o m o e n la figu ra . L a m á q u in a X ex tr a e c a lo r C?H d e l d e p ó sito d e alta tem peratura y d esc a r g a ca lo r Q L al d e p ó sito d e b aja te m 8
peratura, e fe c tu a n d o e l trabajo W durante e l p r o c e so . H a g a m o s q u e e s te trabajo W im p u lse e l refrigerad or C ar n o t, q u e ex tra e ca lo r Q ‘ L d e l d e p ó sito d e b aja tem peratura y d esca rg a c a lo r Q ¿¡ a l d e p ó sito d e alta tem peratura. E l ca lo r n e to q u e flu y e d e l d e p ó sito d e b aja tem peratura d e b id o a la c o m b in a c ió n d e lo s d o s ap aratos e s |<2 ¿| - |C?L|, y e l c a lo r n e to a b a ste c id o al d e p ó sito d e alta tem peratura e s |
I G h I < I G h I,
y a partir d e la e c u a c ió n 12 d e d u c ir ía m o s q u e Q < 0 . E n e s te c a s o , in v e r tir ía m o s la s d ir e c c io n e s d e la s fle c h a s en la fig u ra 8 b , q u e e n to n c e s y a n o sería m á s u n refrigerador. E n c a m b io , e l ca lo r Q flu iría d e l d e p ó sito d e alta te m p e ratura a l d e p ó sito d e baja tem p eratu ra, q u e e s u n p r o c e so n atural y n o v io la n in g u n a le y b á sica . S i la m á q u in a X op era e n u n c ic lo c o m p u e s to en tera m e n te d e p r o c e s o s r e v e r sib le s , e n to n c e s su e fic ie n c ia e s ig u a l a la e fic ie n c ia C arnot. S i e l c ic lo e s en parte irrever s ib le , e n to n c e s e n e fe c to , una p o r c ió n d e la e n erg ía trans ferid a e n cad a c ic lo s e p ier d e, q u iz á s p or fr ic c ió n , y n o p u e d e recu p era rse c o m o trabajo ú til. E n la figu ra
8
, por
e je m p lo , n o sería v erd a d q u e to d o e l trabajo W p ro d u cid o p or una m á q u in a X p a r c ia lm en te irre v ersib le estaría d is p o n ib le para h a cer fu n c io n a r a l refrigerad or; parte se perdería c o m o fr ic c ió n o p o r otra c a u sa . E n to n c e s p o d e m o s resu m ir e l te o rem a d e C arn ot, a p lic a d o a la e fic ie n c ia e d e c u a lq u ier m á q u in a , c o m o sig u e:
e = e Carnot t
(r e v e r sib le ),
(15)
I w \ = |Q h I - I<2lI = IQ h I ~ \Ql\, o , d e fin ie n d o q u e Q se a la d ife r en c ia en tre |
I(2hI ~
\Q h \ = \ Q í \ ~ \Qi\-
(12)
N u estra h ip ó te s is e s q u e la e fic ie n c ia d e la m áq u in a X p u ed e e x c e d e r a la e fic ie n c ia C arnot; e s d ecir,
P rob lem a m u estra 3 La turbina de una planta de potencia por vapor toma vapor de una caldera a 520°C y lo descarga a un condensador a 100°C. ¿Cuál es su eficiencia máxima po sible?
644
Capítulo 26
Entropía y la segunda ley de la termodinámica
Solución La eficiencia máxima es la eficiencia de una m áqui na Carnot que opera entre las m ism as dos temperaturas. Enton ces, según la ecuación 1 0 , _ T H — T L _ 793 K — 373 K Th
= 0.53 o s e a
793 K 53%
O bsérvese que en esta ecuación las temperaturas deben expre sarse en la escala K elvin. D ebido a la fricción, la turbulencia, y las pérdidas térmicas no deseadas, pueden obtenerse en tal turbina de vapor, eficien cias reales de alrededor del 40%. Ob sérvese que la eficien cia m áxim a teórica depende únicam ente de las dos temperaturas im plicadas, no de las presiones o de otros factores. La eficiencia teórica de un motor ordinario de autom óvil es de alrededor del 56%, pero por consideraciones prácticas se reduce a alrededor del 25%.
P rob lem a m u estra 4 Una bomba de calor (véase la fig. 9) es un aparato que, actuando com o un refrigerador, puede calentar una casa extrayendo calor del exterior, efectuando cierto traba jo, y descargando calor al interior de la casa. La temperatura exterior es de -1 0 °C , y el interior ha de mantenerse a 22°C. Es necesario entregar calor al interior a l ó kW para com pensar las pérdidas de calor normales. ¿Qué cantidad mínima de energía debe suministrarse a la bomba de calor? Solu ción El depósito de baja temperatura e s el exterior a TL “ 273 - 10 = 263 K, y el depósito de alta temperatura es el interior a T „ = 273 + 22 = 295 K. Partiendo de la ecuación 11, el coeficiente de rendimiento m áxim o de la bomba de calor, que actúa com o un refrigerador, es Tl Th- T
_
Problema muestra 4. Una bom ba de calor.
para otra indicación de que el refrigerador es un calefactor eficiente.)
26-5 LA ESCALA DE TEMPERATURA TERMODINÁMICA
263 K 295 K - 263 K
l
F ig u ra 9
Podem os volver a escribir la ecuación
6
com o:
L a e fic ie n c ia d e un a m á q u in a r e v e r sib le e s in d e p en d ien te d e la su sta n c ia d e o p e r a c ió n y d e p e n d e ú n ic a m e n te d e la s d o s tem p eratu ras en tre la s q u e trabaja la m áq u in a. Y a q u e
r _ l g Ll _ IQHl - l ^ l \ W\ | W\ ' R esolviendo para \W\ y dividiendo entre el tiem po para expresar el resultado en términos de potencia, obtenem os
t
K +
1
16 kW 8.22+1
e = 1 - ||||, e n to n c e s |Q J/|£ > hI p u e d e d ep en d er ú n ic a m e n te d e la s tem p eratu ras. E sto co n d u jo a K e lv in a su g erir
una n u e v a e sc a la d e tem p eratu ra. S i h a c e m o s q u e d L y d u rep resen ten e sta s d o s tem p era tu ra s, su e c u a c ió n d e fin ito ria e s
J / KW-
En esto radica la “m agia” de la bomba de calor. A l usar la bomba de calor com o un refrigerador para enfriar el enorme exterior, podem os abastecer 16 kW al interior de la casa pero necesitam os pagar únicam ente los 1.7 kW que toma hacer funcionar la bomba. En realidad, los 1.7 kW es un requisito m ínim o teórico porque se basa en un rendim iento ideal. En la práctica se requeriría una mayor entrada de potencia, pero todavía existiría un ahorro m uy considerable sobre, digam os, calentar la casa directamente con calefactores eléctricos. En ese caso, tendríamos que pagar directamente por cada kilowatt de transferencia de calor. Cuando la temperatura exterior es mayor que la temperatura interior, la bomba de calor puede utilizar se com o un acondicionador de aire. Aun operando com o un refrigerador, bombea ahora calor del interior de la casa al exterior. D e nuevo, debe efectuarse un trabajo (y pagar por él) pero la energía trasladada com o calor del interior de la casa supera a la energía equivalente del trabajo efectuado. ¡Otra ganga termodinámica! (V éase también el problema muestra 2
@H
\Q h\
E s d ecir , d o s tem p eratu ras e n esta e sc a la tie n e n la m ism a ra zó n q u e e l ca lo r a b so r b id o y e l ca lo r c e d id o , r e sp e c tiv a m e n te , p o r una m á q u in a C arnot q u e o p e r e en tre esta s tem p eratu ras. T a l e sc a la d e tem peratura s e d e n o m in a e s ca la d e tem p eratu ra t e r m o d i n á m i c a (o d e K e l v i n ) . Para c o m p le ta r la d e fin ic ió n d e la e s c a la te r m o d in á m i ca , a sig n a m o s e l v a lo r están d ar d e 2 7 3 .1 6 a la tem peratura d el p u n to trip le d el ag u a . D e a q u í q u e 0lt = 2 7 3 .1 6 K . P o r lo tan to, para una m áq u in a C arnot q u e o p ere en tre d e p ó s ito s a la s tem p era tu ra s 6 y 6 U, te n e m o s i . = M 0
o sea
«r
m
Sección 26-5
(9 = 273.16 K
La escala de temperatura termodinámica
645
(16) l& rl
Si comparamos a ésta con la ecuación 7 del capítulo 22, T = 273.16 K
X
vemos que, en la escala termodinámica, |
\Q Ú _ @H
\Q h\
®L
(17)
Oh
Pero hemos demostrado que la eficiencia de una máquina Carnot que use un gas ideal como sustancia de operación es - - 16hI ~ I 6
l 1_
Th - T l
(18)
IS hI
donde T es la temperatura dada por el termómetro a volumen constante que contiene el gas ideal. Al comparar las ecuaciones 17 y 18, vemos que |Qh|/IC?iI = TJT, y IChI/IClI = W , Ya que 6it = Tu = 273.16 y 6/d, = T/Tü, se deduce que 6= T. De aquí que si estuviese disponible un gas ideal para usarse en un termómetro a volumen constante, el termómetro indicaría la temperatura termo dinámica (o Kelvin). Hemos visto que, si bien no se dispone de un gas ideal, las mediciones hechas usando el proceso límite con gases reales corresponden al compor tamiento del gas ideal. Trataremos la escala del gas ideal y la escala termodinámica como idénticas, y usaremos la designación K intercambiablemente para cada una, como de hecho ya lo hemos llevado a cabo. El cero absoluto y las temperaturas negativas (O p c io n a l)
En la práctica no podem os tener un gas a m enos de 1 K, y por lo tanto no podem os medir temperaturas de m enos de 1 K usando un termómetro de gas a volum en constante. Por fortuna, e s posible medir temperaturas inferiores a 1 K usando la escala termodinámica directamente. Supongam os que tenem os un sis tema a una temperatura T2que querem os medir. Podem os llevar al sistem a alrededor de un ciclo Carnot (Fig. 10), primero efectuando un trabajo adiabático sobre él para elevar la tem pe ratura a r „ que e s supuestamente conocida en la escala del gas ideal, luego transfiriendo el calor conocido l
el cero absoluto de temperatura. La diferencia en pendiente entre los procesos isotérm icos y adiabáticos se ha exagerado aquí para mayor claridad.
para regresar al sistem a a su condición original. A partir de los argumentos anteriores concluim os que T
— T
~~
\QÍ\
(19)
A sí pues, conociendo T, y m idiendo |<2,| y |] transferido en un proceso isotérm ico entre dos procesos adiabá ticos determinados (Fig. 10). En el lím ite del cero absoluto de la escala de temperatura termodinámica, el sistem a podría e x perimentar un proceso isotérm ico sin transferencia de calor. La característica fundamental de todos lo s procesos de enfria m iento es que cuanto m ás baja es la temperatura tanto mayor la dificultad para bajarla m as aún. Esta experiencia ha conducido a la form ulación de la t e r c e r a le y d e l a te r m o d in á m ic a , que puede enunciarse com o sigue: E s im p o s ib le p o r c u a l q u i e r p r o c e d im ie n to , s in im p o r t a r lo i d e a li z a d o q u e é s te s e a , r e d u c ir un s is t e m a a l c e r o a b s o l u t o d e t e m p e r a t u r a e n u n n ú m e r o f in i t o d e o p e r a c i o n e s . D e aquí que una máquina térmica con 100% de
eficiencia sea una im posibilidad práctica, a causa de que no podem os obtener un depósito al cero absoluto. C om o una alternativa al proceso cíclico podem os usar ciertos termómetros a b s o l u t o s para determinar la temperatura termo dinámica directamente. Estos termómetros se basan en la de pendencia de la temperatura de los resultados básicos de la m ecánica estadística. Un tipo de termómetro, llamado te r m ó m e tr o d e r u id o , utiliza el m ovim iento browniano de los electro nes en un sólido. En analogía con nuestra explicación de la media de los cuadrados de la velocidad en la sección 24-3, podem os demostrar que la media de lo s cuadrados de la corrien te de estos electrones e s proporcional a la temperatura. H valor promedio de estas corrientes fluctuantes puede ser medido con sondas sensibles, y puede determinarse la temperatura tec lamente sin hacer uso de una calibración. De as manera, pueden determinarse las temperaturas en la gama del m umw vin (0.001 K). Otro aparato útil en esta región d e temperaturas hace
646
Capítulo 26 Entropía y la segunda ley de la termodinámica
uso de la distribución de Maxwell-Boltzmann de la energía para determinar la temperatura. Supongamos que tenemos un siste ma (un átomo o un núcleo) en que la energía pueda adquirir dos valores El y E1 = E, + AE (Fig. 11). Si tenemos un gran número de esos átomos o núcleos en equilibrio térmico a la temperatu ra T, entonces una estimación burda del número relativo de átomos o de núcleos con energías E¡ y E2 está dada por la parte exponencial de la distribución de Maxwell-Boltzmann (véase la Ec. 32 del capítulo 24): — p —A E /k T ■EJkT
(20)
Existen numerosas maneras de medir directamente la razón/MB (E2)/fMB(E¡), como, por ejemplo, mediante la observación de la radiación electromagnética emitida por los átomos o los nú cleos, y por lo tanto, una vez más, podemos determinar la temperatura termodinámica. En el límite de temperatura muy baja, la mayoría de los átomos o de los núcleos en el esquema de la figura 11 estaría en el estado de energía más bajo, porque la ecuación 20 sugiere quef UB(E2) -» 0 cuando T -* 0. En el límite de alta temperatura, la ecuación 20 indica que f MB(E2) = / MU(£,); es decir, existen números iguales de átomos o de núcleos con los dos valores de la energía. Así pues, el aumento de la temperatura de muy baja a muy alta está acompañado por un aumento en el número relativo en el estado más alto de la energía de cerca de 0 a 50%. ¿Es posible que el número sobrepase el 50%? Podemos artifi cialmente “bombear” sistemas del estado de energía más bajo al estado más alto, haciendo que absorban radiación de la energía AE apropiada. (Tal procedimiento es básico para la ope ración de un láser, donde debemos tener una “inversión de la población” con más átomos en el estado de energía más alto.) Si tratamos de emplear la ecuación 20 para describir un sistema con/mb(£2) > /mb(£'1), el resultado es una temperatura negativa. Es, pues, posible tener temperaturas negativas, pero en contraste con el significado usual de los números negativos, las tempera turas negativas no están por debajo de cero: ¡están por arriba del infinito!* ■
26-6 ENTROPIA: PROCESOS REVERSIBLES La ley cero de la termodinámica se relaciona con el concepto de temperatura T, y la primera ley se relacio na con el concepto de energía interna Em. En esta sec ción y en las siguientes demostraremos que la segunda ley de la termodinámica se relaciona con una variable termodinámica llamada entropía, S, y que podemos ex presar la segunda ley cuantitativamente en términos de esta variable. Comenzaremos considerando un ciclo de Carnot. Para tal ciclo podemos escribir la ecuación 9 como: IQ hJ =
th
I 0 J
tl
•
* Véase “Negative Absolute Temperatures”, por Warren G. Proctor, Scientific American, agosto de 1978, pág. 90.
Figura 11 En un sistema que conste de un gran número de átomos o de núcleos con dos estados de energía discretos, los números relativos que ocupan cada estado de la energía pueden ser hallados partiendo de la distribución de Maxwell-Boltzmann (línea de puntos).
Descartamos ahora la notación del valor absoluto, reco nociendo en el proceso que si el ciclo de Carnot se lleva a cabo en el sentido horario, como en una máquina, o antihorario, como en un refrigerador,
(21 )
Esta ecuación establece que la suma de las cantidades algebraicas Q/T es cero en un ciclo de Carnot. Como paso siguiente, queremos generalizar la ecua ción 21 a cualquier ciclo reversible, no precisamente a un ciclo de Carnot. Para hacerlo, aproximamos cualquier ciclo reversible como un conjunto de ciclos de Carnot. La figura 12a muestra un ciclo reversible arbitrario super puesto en una familia de isotermas. Podemos aproximar el ciclo real al unir las isotermas por medio de segmentos cortos de líneas adiabáticas elegidos convenientemente (Fig. 126), formando así un conjunto de ciclos de Carnot delgados. Debe usted convencerse de que atravesar los ciclos de Carnot individuales de la figura 126 en secuencia es exactamente equivalente, en términos del calor trans ferido y del trabajo efectuado, a atravesar la secuencia mellada de líneas isotérmicas y adiabáticas que aproxima el ciclo real. Esto es así porque los ciclos de Carnot adyacentes tienen una isoterma común, y dos travesías, en direcciones opuestas, se cancelan entre sí en la región de traslape en lo que concierne a la transferencia de calor y al trabajo efectuado. Haciendo suficientemente pequeño el intervalo de temperatura entre las isotermas de la figura 126, podemos aproximar el ciclo real tan cercanamente como lo deseemos por medio de una secuencia alternante de líneas isotérmicas y adiabáticas. Entonces podemos escribir para la secuencia de líneas isotérmicas-adiabáticas de la figura 12b,
2 y~»-
Sección 26-6
Entropía: procesos reversibles
647
dQ en la ecuación 22 no es una diferencial exacta, como ya hemos indicado previamente en conexión con la ecua ción 31 del capítulo 25. Es decir, no existe una Junción Q, de la que dQ sea la diferencial. Usamos aquí dQ para significar una cantidad de calor pequeña, no como una diferencial verdadera. En el caso de la figura 12b, dQ significa la pequeña cantidad de calor que entra o sale del sistema a lo largo de un elemento corto de la trayectoria.) Como ya lo hemos visto en la sección 8-1 en el caso de la energía potencial, si la integral de una variable alrede dor de cualquier trayectoria cerrada en un sistema de coordenadas es cero, entonces el valor de esa variable en un punto depende únicamente de las coordenadas del punto y no depende en absoluto de la trayectoria por la que se ha llegado a ese punto. Esta variable se llama variable de estado, significando que tiene un valor única mente característico del estado del sistema, sin importar cómo se llegó a ese estado. La ecuación 22 es una integral de éstas, y por lo tanto dQJT debe ser un cambio diferen cial en una variable de estado. Llamamos a esta nueva variable la entropía S, de modo que
(a)
wc dQ d s -- —
(23)
y entonces la ecuación 22 se convierte en (b)
dS = 0.
O (c) Figura 12 (a) Ciclo reversible superpuesto en una familia de isotermas, (b) Las isotermas están unidas por líneas adiabáticas, formando un conjunto de ciclos de Carnot que aproxima al ciclo dado, (c) a y b son dos puntos arbitrarios en el ciclo, y 1 y 2 son trayectorias reversibles que los unen.
o, en el límite de las diferencias de temperatura infinite simales entre las isotermas de la figura 12 b,
dQ
=
0 ,
(22)
f donde j>indica que la integral es evaluada para una trave sía completa del ciclo, comenzando y terminando en el mismo punto arbitrario del ciclo. (Téngase en cuenta que
(24)
La unidad SI para la entropía es J/K. El punto esencial en las ecuaciones 22 a 24 es que, si bien dQ no es una diferencial exacta, dQ/T sí lo es. La energía potencial gravitatoria Ug, la energía interna £ lllt, la presiónp, y la temperatura T son otras variables de estado, y las ecuaciones de la forma jd X = 0 son válidas para cada una de ellas, donde X se reemplaza por el símbolo apro piado. El calor Q y el trabajo Wno son variables de estado; sabemos que, en general jd Q * 0 y j dW * 0, como po demos demostrarlo fácilmente en el caso especial de un ciclo de Carnot. La propiedad de una variable de estado expresada por j dX = 0 puede expresarse también diciendo que JdX en tre dos estados de equilibrio cualesquiera tiene el mismo valor para todas las trayectorias (reversibles) que unen a esos estados. Demostremos esto para la variable de estado entropía. Podemos escribir la ecuación 24 (véase la Fig. 12c) como: J * d S + J a dS = 0, iray 1
(25)
tray 2
donde a y b son puntos arbitrarios y 1 y 2 describen las trayectorias que unen a esos puntos. Puesto que el ciclo es reversible, podemos recorrer la trayectoria 2 en la dirección opuesta (esto es, de a a b en lugar de &a a), en cuyo caso podemos escribir la ecuación 25 como:
648
Capítulo 26
Entropía y la segunda ley de la termodinámica
tray 2
o sea dS.
(26)
= -287 J/K.
tray 1
Nótese que para cambiar el orden de los límites en la segunda integral de la ecuación 25 se requiere que cam biemos también el signo de la integral. Esto da la ecuación 26, la cual nos dice que la cantidad/ ba dS entre dos estados de equilibrio cualesquiera del sistema, tales como a y b, es independiente de la trayectoria que une a esos estados, ya que 1 y 2 son trayectorias completamente arbitrarias. Recordemos nuestra exposición casi idéntica en la sec ción 8- 1, donde introdujimos el concepto de fuerza con servativa. El cambio en la entropía entre dos estados i y /c u a le s quiera es entonces
v ' í\ d S
AS = S f - S , = f dQ T
-I.
allá y consideremos también el cambio de entropía del entorno. En este caso, el entorno es el depósito térmico del que se extrae el calor necesario para fundir al hielo. Cada unidad térmica que entra al hielo debe haber salido del depósito, siendo la tempe ratura la misma tanto del hielo como del depósito. Por lo tanto, el cambio de entropía del depósito es igual en magnitud pero opuesto en signo al del hielo, o sea
(proceso reversible),
(27)
donde la integral se evalúa sobre cualquier trayectoria reversible que una a estos dos estados.
El cambio de entropía para el hielo + el depósito, considerados juntos, es entonces cero. Esto es cierto para cualquier proceso reversible, porque cualquier incremento de calor +dQ que entre al sistema debe originarse de un incremento igual -dQ que salga del depósito. En la práctica, la fusión del hielo es más bien irreversible, como cuando ponemos un cubo de hielo en un vaso de agua a la temperatura ambiente. La diferencia de temperatura entre el hielo y el depósito (el agua) en este caso no es una cantidad diferencial sino que es de alrededor de 20°C. El proceso sólo opera en una dirección (el hielo se funde) y no puede ser invertido en ninguna etapa haciendo sólo un cambio diferencial en la temperatura del agua. No podemos emplear la ecuación 27 en tal caso, y los cálculos de este problema no son válidos, En la sección siguiente veremos cómo manejar un cálculo de este tipo.
26-7 ENTROPIA: PROCESOS IRREVERSIBLES
Solución Fundir el hielo reversiblemente significa que debe mos poner al hielo en contacto con un depósito térmico cuya temperatura supere los 0°C en una cantidad diferencial única mente, fundiéndose por lo tanto sólo una pequeña cantidad del hielo. (Si después bajamos la temperatura del depósito en la misma cantidad diferencial, el hielo fundido se congelará; en tonces el proceso es reversible.) Para un proceso reversible así, podemos usar la ecuación 27, o, puesto que la temperatura es constante,
La ecuación 27 describe el cálculo del cambio en entropía para un proceso reversible. Sin embargo, no existen en la naturaleza procesos absolutamente reversibles. La fric ción y las transferencias de calor no deseadas están siem pre presentes, y rara vez podemos llevar a cabo procesos reales en pasos infinitesimales. Por lo tanto, todo proceso termodinámico es hasta cierto punto irreversible. Para calcular el cambio de entropía para un proceso irreversible, tomamos ventaja del hecho de que la entro pía es un estado variable. La diferencia en entropía entre los estados i y / es independiente de la trayectoria que elijamos de i a /. Aun cuando la naturaleza puede elegir una trayectoria irreversible entre i y / para el proceso real, nosotros podemos elegir para el cálculo cualquier trayectoria reversible conveniente.
Aquí dQ significa los pequeños elementos de energía térmica que entran al hielo desde el depósito térmico, y el total de todos estos elementos es precisamente el calor total absorbido por el hielo, o sea
Para hallar el cambio de entropía para una trayectoria irreversible entre dos estados de equilibrio, debe ha llarse el proceso reversible que une a los mismos estados, y calcularse el cambio de entropía usando la ecuación 27.
Problema muestra 5 Un trozo de hielo cuya masa m es de 235 g se funde (reversiblemente) a agua, permaneciendo la temperatura a 0°C durante el proceso. ¿Cuál es el cambio de entropía del cubo de hielo? El calor de fusión del hielo es de 333 kJ/kg.
Q = mL = (0.235 kg)(333 kJ/kg) = 7.83 X 104J. Entonces Q _ 7.83 X 104J 273 K La respuesta anterior completa nuestro análisis del cambio de entropía del sistema, pero llevemos el problema un poco más
Consideremos dos ejemplos. 1. Expansión libre. Como en la sección 25-6 (véase la figura 14 del capítulo 25), hagamos que un gas ideal duplique su volumen expandiéndose en un espacio vacío. No se efectúa ningún trabajo contra el vacío, de modo que
Sección 26-7 Entropía: procesos irreversibles
649
W = O, y el gas está confinado en un recipiente aislante, por lo que Q = 0. De la primera ley, debemos por lo tanto tener A£iut = 0. Para un gas ideal, cuya energía interna depende únicamente de la temperatura, se deduce que
T, = Tf . La expansión libre es ciertamente irreversible, porque perdemos el control del sistema una vez que hemos abier to la válvula que separa los dos compartimentos. Existe una diferencia de entropía entre los estados inicial y final, pero no podemos calcularlo usando la ecuación 27, que se aplica únicamente a los procesos reversibles. Claramente, la ecuación 27 no debe ser empleada en forma directa, porque la temperatura no está definida para los pasos intermedios no en equilibrio a través de los cuales evolu ciona el sistema una vez que el gas comienza a fluir. Además, Q = 0, lo cual presenta una dificultad más para emplear la ecuación 27. Para hallar el cambio de entropía elegimos una trayec toria reversible de i a / para la cual podamos hacer este cálculo. Una elección conveniente es una expansión iso térmica que sufriese un gas ideal del mismo punto inicial (p„ V¡, T¡) al mismo punto final (pf , Vf , 7}). Representa un procedimiento muy diferente al de una expansión libre, pero une al mismo par de estados en equilibrio. De la ecuación 27, podemos tener entonces
-w donde la última etapa puede llevarse a cabo porque A£im = 0 en un proceso isotérmico, y por lo tanto - W = Q. Usando la ecuación 27 del capítulo 23 para W, obtenemos AS =
-W
= n R ln — = nR ln 2.
(28)
Esto es igual al cambio de entropía para la expansión libre irreversible. Nótese que AS es positivo para el sistema. Puesto que en la expansión libre no existe transferencia de energía de ninguna clase al entorno, el cambio de entropía del entorno es cero. Así, la entropía total del sistema + el entorno aumenta durante una expansión libre. 2. Transferencia de calor irreversible. La figura 13a muestra dos bloques cuyas temperaturas iniciales son 7, y Tr Para simplificar, suponemos que los bloques tienen la misma masa m y el mismo calor específico c. Quita mos la barrera aislante que separa a los bloques y los ponemos en contacto térmico, como se muestra en la figura 136. Finalmente, llegan a la temperatura de equili brio común Tc. Al igual que en la expansión libre, este proceso es totalmente irreversible, porque perdemos el control una vez que hayamos colocado a los bloques en contacto térmico entre sí. Para hallar el cambio de entropía en este proceso irre versible elegimos una vez más una trayectoria reversible
Figura 13 (o) El estado inicial: dos bloques están a temperaturas diferentes en recintos aislados individuales. (b) El estado final: la pared aislante entre los bloques se retira, y se permite que lleguen al equilibrio a la temperatura intermedia Tr.
que nos conduzca al mismo estado final. Consideremos primero el bloque 1 a la temperatura inicial Ty (Supone mos que ésta es la temperatura inicial más baja.) Imagi nemos una serie de depósitos térmicos a las temperaturas r „ J, + dT, r , + 2dT, ... , Tc - dT, Tc. Comenzamos con el bloque 1 en contacto con el primer depósito, y luego lo movemos al siguiente hasta recorrer la secuencia. En cada etapa, entra al bloque una cantidad infinitesimal de calor dQ. El proceso es claramente reversible; en cualquier punto podemos mover el bloque de regreso a la etapa más baja anterior, y fluirá la misma cantidad de calor dQ del bloque de regreso hacia el depósito. Cada transferencia reversible de calor dQ puede expresarse como mc dT, pudiendo entonces emplear la ecuación 27 para hallar el cambio de entropía para el bloque 1 : mc ln Te Tx
(29)
De manera similar podemos construir una serie descen dente de depósitos para el bloque 2 entre las tempe raturas T2 y Te, y hallamos el cambio de entropía para el bloque 2 :
dT = mc .ln — T* • A S 2 — mc J{ T' —
(30)
El cambio total de la entropía es A S = AS, + AS 2 = mc ln
+ mc ln Tx Tl = mc ln T ,T 2
•NIYJSRSIDÁD DE LA K K P s m iC a F A C U L T A D Ti?. INGENIERIA
/vTEKTO DE
(31)
650
Capitulo 26
Entropía y la segunda ley de la termodinámica
Si Ti es la temperatura más baja, entonces AS, > 0 y AS 2 < 0. Podemos demostrar que el cambio total de entropía AS es siempre positivo, para lo cual necesitamos demostrar que T 2e ¡TXT2 > 1. Hallamos primero la temperatura de equi librio exigiendo que el calor total transferido sea cero:
Gi + Qi = mc(Te - r,) + mc(Te - T2) = 0, o sea Te = (7, + T2 )/2. Por lo tanto, podemos escribir la cantidad T \ / TXT2 como: n _ (T t + T2f _ 4 r , r 2 + (7-, - r 2)2 r ,r 2 4 r ,r 2 4 r ,r 2
Claramente, esto es mayor que uno (la última cantidad es siempre positiva), de modo que el logaritmo de la ecua ción 31 es mayor que cero, y el cambio de entropía es positivo. El hecho de colocar a los dos bloques en contacto térmico no produce ningún cambio en absoluto en el entorno, de modo que AS = 0 para el entorno. Por lo tanto, la entropía total del sistema + el entorno aumenta en esta transferencia de calor irreversible.
26-8 ENTROPÍA Y LA SEGUNDA LEY Ahora estamos listos para expresar la segunda ley en su forma más general en términos de entropía: En cualquier proceso termodinámico pasa de un esta do de equilibrio a otro, la entropía del sistema + el entorno o bien permanece sin cambio o bien aumenta. Para los procesos reversibles, como vimos en la sección 26-6, la entropía permanece sin cambio. Como pudimos ver en el caso del problema muestra 5, el cambio de la entropía del sistema era positivo y el del entorno era negativo y de igual magnitud, así que el total era cero. Para los procesos irreversibles, (es decir, para todos los procesos naturales), la entropía total del sistema + el entorno debe aumentar. Es posible que la entropía del sistema disminuya, pero la entropía del entorno siempre muestra un aumento de mayor magnitud, de modo que el cambio total en la entropía es siempre positivo. Ningún proceso natural puede mostrar jamás una disminución en la entropía total del sistema + el entorno. Como era el caso para las leyes cero y primera, está implícito en esta forma de la segunda ley un enunciado acerca de la existencia y utilidad de una nueva variable termodinámica, en este caso la entropía. La segunda ley, al igual que las leyes cero y primera, es una generalización de la experiencia. No puede ser de
mostrada, pero podemos confirmarla en una variedad de circunstancias. Podemos demostrar que es consistente con la observación, en cuanto que prohíbe procesos que pu dieran parecer satisfacer a todas las demás leyes conoci das, pero que no son observados. Consideremos este enunciado de la segunda ley respecto a alguno de los principios que ya hemos establecido en este capítulo.
Compresión libre Imaginemos llevar a cabo la expansión libre con una división removible que separe a las dos mitades del reci piente. Cuando quitamos la división, las moléculas del gas que se movían originalmente hacia la derecha en la figu ra 14 del capítulo 25 no encuentran una división con la cual chocar, y por lo tanto se diseminan en la mitad del recipiente antes vacía, chocando finalmente contra la pa red más lejana. Cuando rebotan de esa pared, no todas encuentran su camino de regreso a la otra mitad, porque posiblemente chocan con otras moléculas que encuentran en su camino. Al final, las colisiones tienden a hacer que los movimientos de las moléculas sucedan al azar, y llenen todo el recipiente. ¿Qué nos impide encontrar todas las moléculas de regreso en la mitad del recipiente un tiempo más tarde? Podríamos llamar a este proceso compresión libre, el inverso de la expansión libre. La ecuación 28 muestra que una compresión libre, en la que V} < V„ tendría un cambio negativo en la entropía del sistema (sin ningún cambio en la entropía del entorno, como en la expansión libre). Esta aseveración de la segunda ley en términos de entropía prohíbe entonces la compresión libre, y por lo tanto es poco probable que podamos hallar a todo el aire precipi tándose al lado opuesto del salón en que estamos sentados. (En la siguiente sección damos otra interpretación de este suceso que nunca se presenta.)
La forma Kelvin-Planck de la segunda ley A causa de que todas las máquinas operan en ciclos, el cambio de la entropía del sistema (la sustancia de operación) debe ser cero para un ciclo completo de ope ración. En una máquina perfecta, el entorno (véase la Fig. 3a) libera el calor Q a la temperatura T, y su cambio de entropía es Q/T, una cantidad negativa. Por lo tanto, el cambio total de la entropía del sistema + el entorno es negativo en una máquina perfecta. La existencia de una máquina perfecta violaría entonces el enunciado de la entropía de la segunda ley.
La forma Clausius de la segunda ley En un refrigerador perfecto, el sistema nuevamente no tiene un cambio de entropía en un ciclo completo, sino
Sección 26-9
que el entorno libera el calor -Q a la temperatura TL y absorbe el calor Q a la temperatura TH. Por lo tanto, el cambio total en la entropía del entorno es AS= r „ - r r Q (-k -T -)Como Th > Tl , este cambio de entropía es negativo. Entonces, un refrigerador perfecto violaría el enunciado de la entropía de la segunda ley.
Entropía y probabilidad
651
miento del hielo a 0°C, la fusión del hielo, y por último el calentamiento del agua resultante a Tr. Usamos la ecuación 29 para el cambio de entropía (reversible) asociado con un cambio en la temperatura y usamos el resultado del problema muestra 5 para el cambio de la entropía en la fusión. El resultado del cambio de entropía AS¡ para el hielo es , 273 K , m,L , A5, = mA ln — + ^ 3K + = (0.012 kg)(2220 J/kg-K) ln
, Tt ln — 273 K
(0.012 kg)(333 kJ/kg) 273 K
La flecha del tiempo
+ (0.012 kg)(4190 J/kg •K) ln Es el cambio en la entropía el que nos proporciona en última instancia la respuesta a por qué los sistemas evo lucionarán naturalmente en una dirección con el tiempo y no en la otra: los sistemas evolucionan siempre en el tiempo de modo que la entropía total del sistema + el en torno aumenta. Si observamos a un sistema en el que la entropía parece disminuir, podemos estar seguros de que en alguna parte existe un cambio en la entropía del entorno lo suficientemente grande como para hacer posi tivo el cambio total de la entropía.
= 16.7 J/K. Para el agua, obtenemos similarmente su camb'o de entropía (reversible): ASW= mwcwln -jr = (0.056 kg)(4190 J/kg-K) ln = -15.9 J/K. El cambio de entropía del entorno es cero, puesto que todo el procedimiento tiene lugar en un recipiente aislado. El cambio total de la entropía del sistema más el entorno es, por lo tanto: AS = AS¡ + ASW= 16.7 J/K + (-15.9 J/K) = 0.8 J/K,
Problema muestra 6 Un trozo de hielo de masa m¡ - 0.012 kg está inicialmente a la temperatura T¡ = - 15°C. Se le deja caer en un recipiente aislado de capacidad calorífica despreciable que contiene una masa ;;iw = 0.056 kg de agua a la temperatura Tw = 23°C. El sistema llega al equilibrio a la temperatura Tt. Calcule el cambio total de la entropía del sistema + el entorno. Utilice las capacidades térmicas específicas y el calor de fusión siguien tes: c, = 2220 J/kg • K, cw= 4190 J/kg • K, L = 333 kJ/kg. Solución Echar el hielo al agua es claramente un proceso irreversible; no se hace en etapas infinitesimales, y no podemos regresar al sistema a su estado original invirtiendo el proceso. Para calcular el cambio en la entropía del sistema, debemos primero hallar la temperatura de equilibrio final. Para hacerlo, suponemos que la temperatura final es mayor de 0°C y que todo el hielo se funde, convirtiéndose finalmente en agua a la tem peratura de equilibrio. Más adelante, podemos comprobar si esta hipótesis es consistente. Exigiendo que el calor total trans ferido entre todos los objetos sea cero, podemos hallar la tem peratura de equilibrio: mjC¡(0°C —T¡) + m¡L + m¡cw(Tc —0°C) + mwcw(T„ - T J = 0, e insertando los valores dados y resolviendo hallamos r e = 276.6 K=3.5°C. Esto es ciertamente consistente con que todo el hielo se funda. (Si, por otra parte, hubiéramos obtenido una temperatura fi nal de 0°C o más baja, sospecharíamos que nuestra hipótesis original era incorrecta, y cambiaríamos la solución en conse cuencia.) Ahora podemos hallar los cambio en la entropía. Primero para el hielo, separamos el procedimiento en tres etapas: el calenta
y éste es claramente positivo, como lo exige la segunda ley.
26-9 ENTROPÍA Y PROBABILIDAD La entropía es una variable macroscópica, asociada con el estado general de un sistema y calculable a partir de cantidades macroscópicas asociadas con su estado gene ral. Hemos visto que todas las variables macroscópicas en la termodinámica tienen una cantidad microscópica co rrespondiente (como temperatura, una cantidad macros cópica, y energía cinética molecular media, una cantidad microscópica). Si hacemos ciertas suposiciones respecto a las propiedades microscópicas del sistema, usualmente podemos hallar una manera de relacionar las cantidades macroscópicas y microscópicas. En el caso de la tempe ratura de un gas, estas suposiciones incluyen un modelo mecánico de las moléculas y sus interacciones, junto con una distribución estadística de las energías moleculares. Por lo tanto, nos gustaría considerar el cálculo microscó pico de la entropía de un sistema. La cantidad microscópica relacionada con la entropía es la probabilidad relativa de diferentes maneras de distri buir las moléculas del sistema. Consideremos primeramente algunas aplicaciones cualitativas de esta relación: 1. Expansión libre. En una expansión libre se permite que las moléculas de gas confinadas a una mitad de una
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Capítulo 26
Entropía y la segunda ley de la termodinámica
caja llenen toda la ésta. Consideremos a toda la caja en sus dos circunstancias: primero, en el instante en que la división se retira y todas las moléculas ocupan una mitad de la caja, y segundo, cuando las moléculas llenan toda la caja. La primera condición es un estado de probabilidad muy baja; dejado en libertad, sería muy poco probable que el sistema se distribuyera por sí mismo de esta manera. La segunda condición es más bien de alta probabilidad. Po demos considerar que las moléculas en expansión libre se mueven de una condición de probabilidad baja a otra de probabilidad alta. Es decir, dadas todas las maneras posi bles de distribuir las moléculas al azar dentro de la caja, un gran número de esas maneras posibles muestra una distribución más bien uniforme de las moléculas, mien tras que un número muy pequeño muestra una distribu ción no uniforme. Por ejemplo, consideremos una caja con 10 moléculas únicamente y evaluemos el número de maneras en que un número n determinado se encuentra en la mitad izquierda de la caja en cualquier instante. Pues to que, en este esquema, cada molécula tiene dos ubi caciones posibles en la caja (mitad izquierda o mitad derecha), el número total de maneras en que podemos distribuir a las moléculas, con dos alternativas para cada una, es 2 10 = 1024. De estas 1024 maneras, en sólo una hallaremos a todas las moléculas en la mitad izquierda (n = 10), mientras que puede demostrarse que existen 252 maneras de tener una distribución uniforme (n = 5). Al aumentar el número de moléculas, la probabilidad relativa de una distribución uniforme aumenta de manera muy acusada. Con 100 moléculas existe todavía una sola manera de distribuirlas a todas en la mitad izquierda, pero existen unas 1029 maneras de distribuirlas igualmente entre las dos mitades. La expansión libre, en la cual existe un aumento en entropía, puede ser entonces considerada microscópicamente como una transformación de un esta do de muy baja probabilidad a un estado de muy alta probabilidad. 2. Conducción de calor. En este ejemplo dos cuerpos de temperaturas diferentes Tí y T2 alcanzan una tempe ratura intermedia uniforme Tc cuando entran en contacto. Este caso es similar a la expansión libre, excepto que hacemos la distribución por velocidad en lugar de hacerlo por posición. De nuevo, consideraremos a todo el sistema en dos circunstancias: justo después del contacto, con las moléculas “calientes” (las que se mueven más rápidamen te) en un lado y las moléculas “frías” (que se mueven más despacio) en el otro, y mucho después, cuando la distri bución de las velocidades entre las dos mitades es unifor me. Una vez más, la distribución separada (moléculas rápidas en un lado, moléculas lentas en el otro) es un estado de baja probabilidad y la distribución uniforme es un estado de alta probabilidad. Al entrar en contacto, el sistema evoluciona espontáneamente de un estado de baja probabilidad a otro de alta probabilidad.
3. Una taza de café revuelto. Supongamos que menea mos una taza de café y luego retiramos la cucharilla. Con el tiempo, la circulación del líquido cesa, y la viscosidad hace que la energía del fluido en rotación se disipe como energía interna de las moléculas. En el estado inicial, existe un movimiento ordenado del café en rotación. En el estado de equilibrio final existe un movimiento mole cular al azar. Una vez más, la circulación ordenada de las moléculas es un estado de baja probabilidad, mientras que el movimiento desordenado al azar es un estado de alta probabilidad. En este proceso natural, el sistema ha pasa do de un estado de baja probabilidad a un estado de alta probabilidad. En los tres casos anteriores, el sistema ha pasado espon táneamente de un estado de baja probabilidad a otro de alta probabilidad. Las tres situaciones son procesos natura les irreversibles que se caracterizan por un aumento en la entropía del sistema. Por lo tanto, es razonable concluir que existe una relación cuantitativa entre la probabilidad y la entropía. Esta relación, que fue propuesta por Boltzmann, es
S=k\nP.
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Aquí k es la constante de Boltzmann, y S es la entropía del sistema. P, para definirla vagamente, es el número de orde namientos moleculares diferentes que corresponden al mis mo estado macroscópico. Si, por ejemplo, las circunstancias son tan especiales que únicamente es posible un ordena miento, entonces P = 1 y S (= £ Ln P) = 0, y tenemos un estado completamente ordenado. Los valores de P más grandes, como el que corresponde a la distribución más uniforme de las moléculas en el recipiente, dan valores de entropía más grandes. Cuando decimos que el estado A de un sistema es más probable que el estado B, queremos decir simplemente que el estado A tiene el valor de P más grande. Se ha dicho también que un aumento en la entropía es una medida del aumento en el desorden de un sistema, y entonces la entropía es, en efecto, una medida del desorden. El término “desorden” no tiene una defini ción matemática precisa, sino que se relaciona cualita tivamente con la probabilidad. Un estado de desorden bajo es un estado en el que las componentes de un sistema han sido distribuidas cuidadosamente, como colocando a todas las moléculas con velocidades bajas en una parte de un sistema. Un estado de desorden alto es un estado al azar en el que no ha ocurrido ninguna distribución. El aumento en la entropía de un sistema en los procesos naturales puede entonces considerarse también como un aumento en el nivel de desorden del sistema. Los procesos naturales tienden a hacer al universo más desordenado.* * Para una relación de intentos de violar la segunda ley, inclu yendo al diablo de M axwell y un diseño de una m áquina térm ica perfecta en la que la sustancia de operación es una m olécula de un gas, véase, “Demons, Engines, and the Second L aw ”, por Charles H. Bennet, Scientific Am erican, noviembre de 1987, pág. 108.
Preguntas
La segunda ley de la termodinámica nos dice que, si un sistema aislado experimenta un proceso espontáneo, su estado final será uno en el que la entropía (y tam bién P) es máxima. Existe siempre (en principio) la po sibilidad de que, debido a una fluctuación estadística, pueda ocurrir algún otro estado, incluso un estado cuya entropía sea más baja que la del estado inicial. En siste mas con un número de partículas muy pequeño, tales fluctuaciones del comportamiento promedio existen, en efecto, siendo un buen ejemplo el movimiento browniano (sección 24-5). En sistemas macroscópicos, sin embargo, la probabilidad de que la entropía crezca realmente en un proceso espontáneo resulta ser increíblemente pequeña. Entonces, podemos predecir con completa seguridad que ( 1) las moléculas del aire del salón no se agruparán
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espontáneamente en un lado, (2) un vaso de agua a la temperatura ambiente no se separará espontáneamente en cubos de hielo y agua más templada, y (3) el café no comenzará a girar espontáneamente en la taza. Cada uno de estos procesos puede conservar energía, siendo enton ces consistente con la primera ley. Sin embargo, no podremos observarlos, ¡aunque nos quedemos esperando un tiempo tan largo como la edad actual del universo! Se ha dicho que los cálculos de las probabilidades de tales eventos le dan un significado operativo a la palabra “nunca”. El área de aplicación de la segunda ley de la termodinámica es tan amplia y la posibilidad de que la naturaleza la contradiga es tan pequeña que cuenta con la distinción de ser una de las leyes más útiles y generales de toda la ciencia.
PREGUNTAS 1. ¿Es el ser hum ano una máquina térm ica? Explique. 2. ¿No podríam os igualm ente definir la eficiencia de una m áquina com o e = IW^I/IC^J en lugar de e = |JP |/|Q J? ¿Por qué no podemos? 3. Las eficiencias de las plantas de potencia nuclear son m enores que las de las plantas de com bustibles fósiles. ¿Por qué? 4. ¿Puede una cantidad dada de energía mecánica ser con vertida com pletam ente en energía térm ica? De ser así, dé un ejemplo.
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5. Un inventor sugirió que una casa podría calentarse de la manera siguiente. Un sistema que se asem eje a un refrige rador extrae calor de la Tierra y lo descarga en la casa. El inventor afirm ó que el calor abastecido a la casa podía sobrepasar al trabajo efectuado por la m áquina del siste ma. ¿Usted qué opina? 6. Com ente la aseveración: “Una m áquina térmica convierte movim iento m ecánico desordenado en movim iento m e cánico organizado”. 7. ¿Es posible el concepto de que una m áquina térmica opere entre el agua de la superficie templada de un mar tropical y el agua más fría bajo la superficie? ¿Es práctica la idea? (Véase “Solar Sea Pow er”, por Clarence Zener, Physics Today, enero de 1973, pág. 48).
8. Dé una explicación cualitativa de cómo producen energía interna las fuerzas de fricción entre superficies móviles. ¿Por qué no ocurre el procedimiento inverso (que la ener gía interna produzca un movimiento relativo de esas su perficies)? 9. ¿Son reversibles alguno de los fenómenos siguientes: (a) la rotura de una botella de refresco vacía; (b) el mezclado de un coctel; (c) dar cuerda a un reloj; (d ) fundir un cubo de hielo en un vaso de té helado; (e) quem ar un leño; ( / ) ponchar una llanta de automóvil; (g) calentar eléctrica m ente un bloque de metal con aislamiento; (h) expandir
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isotérmicamente un gas no ideal contra un émbolo; (i) terminar la “Sinfonía Inconclusa”; (j) escribir este libro? Dé algunos ejemplos de procesos irreversibles en la na turaleza. ¿Existen procesos naturales que sean reversibles? ¿Podemos calcular el trabajo efectuado durante un proce so irreversible en términos de un área en un diagrama p V? ¿Se efectúa algún trabajo? Si una máquina Carnot es independiente de la sustancia de operación, entonces las máquinas reales serían similar mente independientes, hasta un cierto punto. Entonces, ¿por qué para las máquinas reales nos preocupa tanto hallar combustibles apropiados como el carbón, la gasoli na, o un material fisionable? ¿Por qué no usar piedras como combustible? ¿En qué condiciones sería una máquina térmica ideal 100% eficiente? ¿Qué factores reducen la eficiencia de una máquina tér mica de su valor ideal? Se desea incrementar la eficiencia de una máquina Carnot tanto como sea posible. Podemos hacerlo aumentando TH a cierta cantidad, manteniendo a TLconstante, o disminu yendo TLen la misma cantidad y manteniendo a T„ cons tante. ¿Cuál elegiría usted? Explique por qué una habitación puede calentarse dejando abierta la puerta de un horno, pero no puede enfriarse dejando abierta la puerta de un refrigerador de cocina. ¿Por qué obtenemos menos kilometraje de la gasolina de nuestro automóvil en invierno que en verano? De vez en cuando los inventores pretenden haber perfec cionado un aparato que efectúe un trabajo útil pero que no consuma combustible (o muy poco). ¿Qué piensa usted que es lo más verosímil en tales casos: (a) los inventores tienen razón, (b) los inventores están equivocados en sus mediciones, o (c) los inventores son unos charlatanes?
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Entropía y la segunda ley de la termodinámica
¿Piensa usted que tal pretensión debería ser examinada a fondo por una mesa de científicos e ingenieros? En su opinión, ¿se justificaría el tiempo y el esfuerzo? Hemos visto que las máquinas reales desechan siempre cantidades sustanciales de calor a sus depósitos de baja temperatura. Parece vergonzoso desperdiciar esta energía calorífica. ¿Por qué no usar este calor para mover una segunda máquina, sirviendo el depósito de baja tempera tura de la primera máquina como depósito de alta tempe ratura de la segunda? Dé ejemplos en los que la entropía de un sistema dismi nuye y explique por qué no se viola la segunda ley de la termodinámica. ¿Violan los seres vivos la segunda ley de la termodinámi ca? Por ejemplo, cuando un pollito sale de un huevo se vuelve cada vez más ordenado y organizado. Sin em bargo, el aumento de la entropía requiere desorden y decadencia. ¿Está disminuyendo realmente la entropía del pollito mientras crece? Dos recipientes de gases a diferentes temperaturas están aislados del entorno y separados entre sí por una división que permite un intercambio de calor. ¿Qué tendría que pasar si la entropía fuese a disminuir? ¿A aumentar? ¿Qué es más probable que pase? ¿Existe un cambio de entropía en los movimientos mecá nicos puros? Demuestre que la entropía total crece cuando el trabajo se convierte en calor por la fricción entre superficies desli zantes. Describa el aumento de desorden. Del Sol a la Tierra fluye energía calorífica. Demuestre que la entropía del sistema Tierra-Sol aumenta durante este proceso. ¿Es cierto que la energía calorífica del universo está siendo poco a poco cada vez menos disponible? De ser así, ¿por qué? Considere una caja que contiene un número de moléculas muy pequeño, digamos cinco. Puede suceder a veces, por azar, que todas estas moléculas se hallen en la mitad izquierda de la caja, estando completamente vacía la mitad derecha. Esto es precisamente el inverso de la expansión libre, un proceso que hemos declarado ser irreversible. ¿Cuál es su explicación? Una banda de hule se siente más caliente que su entorno inmediatamente después de haber sido estirada con rapi dez; resulta marcadamente más fría cuando se deja que se contraiga súbitamente. También, una banda de hule que
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soporte una carga se contrae al calentarse. Explique estas observaciones usando el hecho de que las moléculas de hule constan de cadenas largas de átomos entrelazados y estrechamente unidos con una orientación al azar. ¿Qué cambio en la entropía ocurre, en caso de que suceda, cuando los 52 naipes de una baraja quedan barajados de un modo particular? ¿Es apropiado en este caso el concep to de entropía? De ser así, explique cómo podría uno obtener un enfriamiento útil llevando a cabo este proceso adiabáticamente. Comente la siguiente opinión de Panofsky y Phillips: “Desde el punto de vista de la física formal existe única mente un concepto que es asimétrico en el tiempo, a saber, la entropía. Pero esto hace que sea razonable suponer que la segunda ley de la termodinámica puede ser emplea da para cerciorarse del sentido del tiempo de manera independiente de cualquier marco de referencia; es decir, tomaremos como dirección positiva del tiempo aquella que sea de un desorden estadísticamente creciente, o de entropía creciente.” (Véase, a este respecto, “The Arrow of Time”, por David Layzer, Scientific American, diciem bre de 1975, pág. 56.) Explique la frase: “Los rayos cósmicos disminuyen conti nuamente la entropía de la Tierra sobre la que inciden.” ¿Por qué no contradice esto a la segunda ley de la termo dinámica? Cuando ponemos naipes juntos en una baraja o ladrillos juntos para construir una casa, por ejemplo, aumentamos el orden del mundo físico. ¿Viola esto la segunda ley de la termodinámica? Explique. ¿Podemos emplear la termodinámica terrestre, que se sabe se aplica a cuerpos circunscritos y aislados, para todo el universo? De ser así, ¿está el universo limitado y de qué está aislado el universo? La temperatura y la presión son ejemplos de propieda des intensivas de un sistema, siendo sus valores para cual quier muestra del sistema independientes del tamaño de la muestra. Sin embargo, la entropía, al igual que la energía interna, es una propiedad extensiva, siendo su valor para cualquier muestra de un sistema proporcional al tamaño de la muestra. Comente. La primera, segunda, y tercera leyes de la termodinámica pueden parafrasearse, respectivamente, como sigue: ( 1) Uno no puede ganar. (2) Ni siquiera puede uno empatar. (3) Uno no puede salirse del juego. Explique en qué sentido son permisibles estas frases comparativas.
PROBLEMAS Sección 26-2 Máquinas térmicas y la segunda ley 1. Una máquina térmica absorbe 52.4 kJ de calor y descarga 36.2 kJ de calor en cada ciclo. Calcule (a) la eficiencia y (b) el trabajo efectuado por la máquina por ciclo. 2. Un motor de automóvil desarrolla 8.18 kJ de trabajo por ciclo, (a) Antes de una afinación, la eficiencia es del
25.0%. Calcule, por ciclo, el calor absorbido de la com bustión del combustible y el calor descargado a la atmós fera. (b) Después de una afinación, la eficiencia es del 31.0%. ¿Cuáles son los nuevos valores de las cantidades calculadas en (a)? 3. Calcule la eficiencia de una planta de potencia por com bustible fósil que consume 382 toneladas métricas de car
Problemas
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bón cada hora para producir trabajo útil a razón de 755 MW. El calor de combustión del carbón es de 28.0 MJ/kg. 4. Dos moles de un gas ideal monoatómico se hacen pasar por el ciclo mostrado en la figura 14. El proceso be es una expansión adiabática reversible. También, pb = 10.4 atm, Vb = 1.22 m3, y Vc = 9.13 m3. Calcule (a) el calor añadido al gas, (b) el calor que sale del gas, (c) el trabajo neto efectuado por el gas, y (d) la eficiencia del ciclo. P
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Figura 15 Problema 6.
11. Figura 14 Problema 4.
5. Un mol de un gas monoatómico ideal inicialmente a un volumen de 10 L y una temperatura de 300 K se calienta a volumen constante a la temperatura de 600 K, se deja expandir isotérmicamente a su presión inicial, y finalmen te se comprime isobáricamente (es decir, a presión cons tante) a su volumen, presión, y temperatura originales, (a) Calcule la entrada de calor al sistema durante un ciclo. (b) ¿Cuál es el trabajo neto efectuado por el gas durante un ciclo? (c) ¿Cuál es la eficiencia de este ciclo? 6. Un motor de combustión interna de gasolina puede ser aproximado por el ciclo mostrado en la figura 15. Suponga un gas diatómico ideal y use una relación de compresión de 4:1 (V„ = 4VJ. Suponga quepb = 3p„. (a) Determine la presión y la temperatura en cada uno de los vértices del diagrama pV en términos de pa y de Ta. (b) Calcule la eficiencia del ciclo. 7. La máquina A, comparada con la máquina B, produce, por ciclo, cinco veces el trabajo pero recibe el triple y descarga el doble de calor. Determine la eficiencia de cada máquina.
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16. Sección 26-3 Refrigeradores y la segunda ley
8. Un refrigerador efectúa 153 J de trabajo para transferir 568 J de calor desde su compartimento frío, (a) Calcule el coeficiente de rendimiento del refrigerador. (b) ¿Cuánto calor es descargado a la cocina? 9. Para hacer hielo, un congelador extrae 185 kJ de calor a -12.0°C. El congelador tiene un coeficiente de rendimien to de 5.70. La temperatura ambiente es 26.0°C. (a) ¿Cuán to calor fue abastecido a la habitación? (b) ¿Cuánto trabajo se requirió para hacer funcionar el congelador? Sección 26-4 El ciclo de Carnot 10. Cuánto trabajo debe efectuarse para extraer 10.0 J de calor (a) de un depósito a 7°C y transferirlo a otro a 27°C por
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medio de un refrigerador usando un ciclo de Carnot; (b) de uno a -73°C a otro a 27°C; (c) de uno a -173°C a otro a 27°C; y (rf) de uno a -223°C a otro a 27°C? En un ciclo de Carnot, la expansión isotérmica de un gas ideal tiene lugar a 412 K y la compresión isotérmica a 297 K. Durante la expansión se transfieren al gas 2090 J de energía calorífica. Determine (a) el trabajo llevado a cabo por el gas durante la expansión isotérmica, (b) el calor rechazado por el gas durante la compresión isotér mica, y (c) el trabajo efectuado sobre el gas durante la compresión isotérmica. Una máquina de Carnot tiene una eficiencia de 22%. Opera entre depósitos de calor cuya temperatura difie re en 75°C. Halle las temperaturas de los depósitos. Para el ciclo de Carnot ilustrado en la figura 7, demuestre que el trabajo efectuado por el gas durante el proceso be (etapa 2) tiene el mismo valor absoluto que el trabajo efectuado sobre el gas durante el proceso da (etapa 4). Un aparato que licúa helio está en un laboratorio a 296 K. El helio en el aparato está a 4.0 K. Si se transfieren 150 mJ de calor del helio, halle la cantidad mínima de calor abastecido al laboratorio. Un acondicionador de aire toma aire de una habitación a 70°F y lo transfiere al exterior, el cual está a 95°F. ¿Cuán tos joules de calor se transfieren de la habitación por cada joule de energía eléctrica necesaria para hacer funcionar al refrigerador? Un inventor pretende haber creado una bomba de calor que extrae calor de un lago a 3.0°C y abastece calor a razón de 20 kW a un edificio a 35°C, empleando únicamente 1.9 kW de potencia eléctrica. ¿Cómo juzga usted esta pretensión? (a) Una máquina Carnot opera entre un depósito caliente a 322 K y un depósito frío a 258 K. Si absorbe 568 J de calor por ciclo del depósito caliente, ¿cuánto trabajo por ciclo abastece? (b) Si la misma máquina, trabajando en sentido inverso, funciona como un refrigerador entre los mismos dos depósitos, ¿cuánto trabajo por ciclo debe ser suministrado para transferir 1230 J de calor del depósito frío? Se usa una bomba de calor para calentar un edificio. La temperatura del exterior es de -5.0°C y la temperatura dentro del edificio debe mantenerse a 22°C. El coeficiente
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Capitulo 26
Entropía y la segunda ley de la termodinámica
de rendimiento es 3.8, y la bomba suministra 7.6 MJ de calor al edificio cada hora. ¿A qué razón debe efectuarse trabajo para hacer funcionar la bomba? 19. Si un ciclo de Carnot se recorre en sentido inverso, tene mos un refrigerador ideal. Se absorbe una cantidad de calor |
m = i qa
Th - T
l
(b) El coeficiente de rendimiento K de un refrigerador se define como la razón del calor extraído de la fuente fría al trabajo necesario para hacer funcionar al refrigerador. Demuestre que, idealmente, K—
Z ^-
(c) En un refrigerador mecánico el serpentín de baja tem peratura está a una temperatura de -13°C y el gas compri mido en el condensador tiene una temperatura de 25°C. Halle el coeficiente teórico de rendimiento. 20 . El motor de un refrigerador tiene una potencia de salida de 210 W. El compartimiento de congelar está a -3.0°C y el aire exterior está a 26°C. Suponiendo que la eficiencia sea el 85% de la ideal, calcule la cantidad de calor que puede ser extraído del compartimiento de congelar en 15 min. 21 . Demuestre que la eficiencia de una máquina térmica re versible ideal se relaciona con el coeficiente de rendimien to del refrigerador reversible obtenido al hacer marchar el motor en reversa según la relación e = 1f(K + 1). 22. (a) En una máquina térmica de Carnot de dos tiempos, se absorbe una cantidad de calor |@,| a una temperatura T„ se efectúa un trabajo ¡WJ, y se descarga una cantidad de calor |(?2| a una temperatura más baja T2 durante el primer tiempo. El segundo tiempo absorbe el calor cargado por el primero, efectúa el trabajo | W2\, y descarga una cantidad de calor |Q3| a la temperatura T} más baja. Demuestre que la eficiencia de la combinación es (T¡ - T3)/T¡. (b) Una combinación mercurio-turbina de vapor aspira vapor de mercurio saturado de una caldera a 469°C y lo descarga para calentar una caldera de vapor a 238°C. La turbina de vapor recibe el vapor a esta temperatura y lo descarga a un condensador a 37.8°C. Calcule la eficiencia máxima de la combinación. 23. Una máquina de Carnot trabaja entre las temperaturas T{ y T2. Impulsa a un refrigerador de Carnot que trabaja entre dos temperaturas diferentes T}y Tt (véase la Fig. 16). Halle la razón |Q3|/|
Máquina
Figura 16 Problema 23.
ley, de la termodinámica la primera o la segunda viola cada máquina? 25. En una locomotora de vapor, entra a los cilindros vapor a una presión de caldera de 16.0 atm, se expande adiabática mente a 5.60 veces su volumen original, y luego escapa a la atmósfera. Calcule (a) la presión del vapor después de la expansión y (b) la mayor eficiencia posible de la máquina. 26. (a) Trace con precisión un ciclo de Carnot en un diagrama pV para un mol de un gas ideal. El puntoa (véase la Fig. 7) corresponde a p - 1.00 atm, T = 300 K, y el punto b corresponde a 0.500 atm, T = 300 K; considere que el depósito de baja temperatura está a 100 K. Sea y = 1.67. (Jb) Calcule gráficamente el trabajo efectuado en este ciclo, (c) Calcule el trabajo analíticamente. 27. Un mol de un gas monoatómico ideal se emplea como la sustancia en una máquina que opera según el ciclo mos trado en la figura 17. Calcule (a) el trabajo efectuado por la máquina por ciclo, (b) el calor añadido por ciclo duran te la carrera de expansión abe, y (c) la eficiencia de la máquina, (d) ¿Cuál es la eficiencia Carnot de una máquina que opera entre las temperaturas más alta y más baja presentes en el ciclo? ¿Cómo se compara ésta con la eficiencia calculada en (c)? Suponga que p, - 2p0, Vt = 2 V0,p 0 = 1.01 x 105Pa, y V0 = 0.0225 m3. Sección 26-6 Entropía: procesos reversibles 28. En la figura 12c, supongamos que el cambio en la entropía del sistema al pasar del estado a al estado b a lo largo de
V'l.Pl
V0, Po
Figura 17 Problema 27.
Problemas
la trayectoria 1 es +0.60 J/K. ¿Cuál es el cambio de la entropía al pasar (a) del estado a al estado b a lo largo de la trayectoria 2 y (b) del estado b al estado a a lo largo de la trayectoria 2? 29. Un gas ideal experimenta una expansión isotérmica rever sible a 132°C. La entropía del gas aumenta en 46.2 J/K. ¿Cuánto calor fue absorbido? 30. Se hace que cuatro moles de un gas ideal se expandan de un volumen V¡ a un volumen V2 = 3.45 V. (a) Si la expan sión es isotérmica a la temperatura T = 410 K, halle el trabajo efectuado sobre el gas al expandirse, (b) Halle el cambio en la entropía, de haber alguno, (c) Si la expan sión fuese reversiblemente adiabática en lugar de isotér mica, ¿cuál es el cambio en la entropía? 31. (a) Demuestre que un ciclo de Carnot, graficado sobre un diagrama de temperatura versus contra entropía (TS), es un rectángulo. Para el ciclo de Carnot mostrado en la figura 18, calcule (b) el calor que entra y (c) el trabajo efectuado sobre el sistema.
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36. Se hace que un mol de un gas monoatómico ideal recorra el ciclo mostrado en la figura 19. (a) ¿Cuánto trabajo se efectúa sobre el gas al expandirlo de a a c a lo largo de la trayectoria abe? (b) ¿Cuál es el cambio en la energía interna y en la entropía al pasar de b a c? (c) ¿Cuál es el cambio en la energía interna y en la entropía al pasar por un ciclo completo? Exprese todas las respuestas en térmi nos de la presión p 0 y del volumen V0 en el punto a del diagrama. p
J ______________ L
Vo
4V0
Figura 19 Problema 36. 400 350 300 2 250
Sección 26-7 Entropía: procesos irreversibles
h 200
150 100
50
0
0
0.2
0.4
--- ---0.6
S (J/K)
Figura 18 Problema 31.
32. Halle (a) el calor absorbido y (b) el cambio en entropía de un bloque de cobre de 1.22 kg cuya temperatura aumenta reversiblemente de 25.0 hasta 105°C. 33. A temperaturas muy bajas, el calor específico molar de muchos sólidos es (aproximadamente) proporcional a T1; es decir, Cv = A T \ donde A depende de la sustancia en particular. Para el aluminio, A = 3.15 * 10‘5J/mol • K4. Halle el cambio de entropía de 4.8 mol de aluminio cuando su temperatura se eleva de 5.0 a 10 K. 34. Puede transferirse calor del agua a 0°C, a la presión atmosférica, sin provocar que el agua se congele, si se ha ce con poca agitación del agua. Suponga que el agua se enfría a -5.0°C antes de que el hielo comience a formarse. Halle el cambio en entropía que ocurre durante la conge lación súbita de 1.0 g de agua que tiene lugar entonces. 35. Un objeto de capacidad calorífica constante C se calienta de una temperatura inicial T¡ a una temperatura final T¡ al ponerse en contacto con un depósito a Tt. Represente el proceso en una gráfica de C/T contra T y demuestre gráficamente que el cambio total AS en la entropía (objeto + depósito) es positivo y (b) demuestre cómo el uso de depósitos a temperaturas intermedias permite que el pro ceso se lleve a cabo de una manera que haga a AS tan pequeña como se desee.
37. Un gas ideal experimenta una expansión isotérmica a 77°C, aumentando su volumen de 1.3 a 3.4 L. El cambio de entropía del gas es de 24 J/K. ¿Cuántos moles de gas están presentes? 38. Suponga que se trasfiere la misma cantidad de energía calorífica, digamos 260 J, por conducción de un depósito térmico a una temperatura de 400 K a otro depósito, cuya temperatura es (a) 100 K; (b) 200 K; (c) 300 K, y (d) 360 K. Calcule los cambios en la entropía y explique la tendencia. 39. Una barra de latón está en contacto térmico con un depó sito de calor a 130°C en un extremo y un depósito de calor a 24.0°C en el otro extremo, (a) Calcule el cambio total en la entropía que surge del proceso de conducción de 1200 J de calor a través de la barra, (b) ¿Cambia la entropía de la barra durante el proceso? 40. Se hace que un mol de un gas diatómico ideal recorra el ciclo mostrado en el diagrama pV de la figura 20 don de V2 = 3 Vr Determine, en términos dep¡, 71,, y R: (a) p2, p3, y T3 y (b) W, Q, AEul¡, y AS para los tres procesos. P
Figura 20 Problema 40.
658
Capítulo 26
Entropía y la segunda ley de la termodinámica
41. Un mol de un gas monoatómico ideal es llevado de un estado inicial de presión pay volumen V0 a un estado final de presión 2p 0 y volumen 2 V0 por dos procesos diferentes. (I) Se expande isotérmicamente hasta que su volumen se duplica, y luego se aumenta su presión a volumen cons tante hasta el estado final. ( II) Se le comprime isotérmica mente hasta que su presión se duplica, y luego se aumenta su volumen a presión constante hasta el estado final. Muestre la trayectoria de cada proceso en un diagramapV. Calcule para cada proceso, en términos de p 0 y de V0: (a) el calor absorbido por el gas en cada parte del proceso; (b) el trabajo efectuado sobre el gas en cada parte del pro ceso; (c) el cambio en la energía interna del gas, , - Em ; y (tí) el cambio en la entropía del gas, S, Sección 26-8 Entropía y la segunda ley 42. Un bloque de cobre de 50.0 g que tiene una temperatura de 400 K se sitúa en una caja aislante con un bloque de plomo de 100 g que tiene una temperatura de 200 K. (a) ¿Cuál es la temperatura de equilibrio de este sistema de dos bloques? (b) ¿Cuál es el cambio en la energía interna del sistema de los dos bloques al cambiar de la condición inicial a la condición de equilibrio? (c) ¿Cuál es el cambio
en la entropía del sistema de los dos bloques? (Véase la tabla 1 en el capítulo 25.) 43. Una mezcla de 1.78 kg de agua y 262 g de hielo a 0°C se lleva, en un proceso reversible, a un estado final de equi librio donde la relación agua/hielo, por masa, es de 1:1 a 0°C. (a) Calcule el cambio de entropía del sistema durante el proceso, (b) El sistema es luego regresado al primer estado de equilibrio, pero de un modo irreversible (hacien do uso de un quemador Bunsen, por ejemplo). Calcule el cambio de entropía del sistema durante este proceso, (c) Demuestre que su respuesta es consistente con la segunda ley de la termodinámica. 44. En un experimento de calor específico se mezclan 196 g de aluminio a 107°C con 52.3 g de agua a 18.6°C. (a) Calcule la temperatura de equilibrio. Halle el cambio de entropía de (b) el aluminio y (c) el agua. (d ) Calcule el cambio de entropía del sistema. (Sugerencia: Véanse las Ec. 29 y 30). 45. Un cubo de hielo de 12.6 g a -10.0°C se coloca en un lago cuya temperatura es de +15.0°C. Calcule el cambio en la entropía del sistema cuando el cubo de hielo llegue al equilibrio térmico con el lago. (Sugerencia: ¿Afectará el cubo de hielo la temperatura del lago?)
APENDICE A EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI)t LAS UNIDADES SI BÁSICAS Cantidad
Nombre
Símbolo
Definición
longitud
metro
m
masa
kilogramo
kg
tiempo
segundo
s
corriente eléctrica
ampere
A
temperatura termodinámica
kelvin
K
cantidad de sustancia
mol
mol
intensidad lum inosa
candela
cd
“ ...la longitud de la trayectoria recorrida por la luz en el vacío en 1/299,792,458 de segundo.”(1983) “ ...e ste prototipo [un cilindro de platino-iridio] se considerará en lo su cesivo com o la unidad de m asa.” (1889) “ ...la duración de 9,192,6 3 1 ,7 7 0 periodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos n iveles hiperfinos del estado base del átomo c e sio -133.” (1967) “ ...aquélla corriente constante que, si se mantiene en dos conductores paralelos rectos de longitud infinita, de sección transversal circular despreciable, y situados a 1 metro de separación en el vacío, produciría entre estos conductores una fuerza igual a 2 x 10"7 newton por metro de longitud.” (1946) “ ...la fracción 1/273.16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua.” (1967) “ ...la cantidad de sustancia de un sistem a que contenga tantas entidades elem entales com o átom os existen en 0.012 kilogramos de carbono 12.” (1971) “ ...la intensidad luminosa en la dirección perpendicular, de un área de 1/600,000 metros cuadrados de un cuerpo negro a la temperatura de congelación del platino a una presión de 101.325 newton por metro cuadrado.” (1967)
' A daptada de " T lie In te rn a tio n a l System o f U n its (S I)" , N a tio n a l B ureau o f Standards Special P u b lic a tio n 330, e d ic ió n de 1972 de Estados U nidos. Las d e fin ic io n e s fu e ro n adoptadas p o r la C onferen cia G eneral de Pesas y M edidas, organism o in te rn a cio n a l, en las fechas m ostradas. E n este lib ro no se usa la candela.
A-2
El sistema internacional de unidades (SI)
ALGUNAS UNIDADES SI DERIVADAS Cantidad área volumen frecuencia densidad de masa (densidad) velocidad velocidad angular aceleración aceleración angular fuerza presión trabajo, energía, cantidad de calor potencia cantidad de electricidad diferencia de potencial, fuerza electromotriz campo eléctrico resistencia eléctrica capacitancia flujo magnético inductancia campo magnético entropía capacidad calorífica específica conductividad térmica intensidad radiante
Nombre de la unidad metro cuadrado metro cúbico hertz kilogramo por metro cúbico metro por segundo radián por segundo metro por segundo al cuadrado radián por segundo al cuadrado newton pascal joule watt coulomb volt volt/metro ohm farad weber henry tesla joule por kelvin joule por kilogramo kelvin watt por metro kelvin watt por esterradián
Símbolo m2 m3 Hz kg/m3 m/s rad/s m/s2 rad/s2 N Pa J W C V V/m Q F Wb H T J/K J/(kg-K) W/(m-K) W/sr
Nombre de la unidad radián esterradián
Símbolo rad sr
LAS UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS Cantidad ángulo plano ángulo sólido
Equivalente s_l
kg-m/s2 N/m 2 N-m J/s A-s N-m/C N/C V/A A-s/V V-s V-s/A Wb/m2, N/A •m
APENDICE B ALGUNAS CONSTANTES FUNDAMENTALES DE LA FÍSICA Constante
Símbolo
V elocidad de la luz en el vacío Carga elem ental Masa del electrón en reposo Constante dieléctrica Constante de permeabilidad
c e me
Masa Masa Masa Masa
en en en en
reposo reposo reposo reposo
del del del del
electrón* neutrón5 átom o de hidrógeno5 átom o de deuterio5
Masa en reposo del átom o de h elio 5 Razón carga a masa del electrón Masa en reposo del protón Razón de la masa protón a electrón Masa en reposo del neutrón Masa en reposo del muón Constante de Planck Longitud de onda Compton del electrón Constante universal de los gases Constante de Avogadro Constante de Boltzm ann Volum en molar del gas ideal a STP1 Constante de Faraday Constante de Stefan-Boltzm ann Constante de Rydberg Constante gravitatoria Radio de Bolir M omento m agnético del electrón M om ento m agnético del protón M agnetón de Bolir M agnetón nuclear Constante de la estructura fina Cuanto de flujo m agnético Resistencia Hall cuantizada
€o
Ho mt mn m ( ' H) m { 2H)
m (4He) e/m e mp m jm t m„ h
K R A'a k Vm F a
R G ao
Ut Mp Ab Mn a %
Valor de cálculo 3.00 1.60 9.11 8.85 1.26
108 m /s 10“ 19C 10~31 kg 10-12 F/m 10~6 H /m
2.99792458 1.60217733 9.1093897 8.85418781762 1.25663706143
exacto 0.30 0.59 exacto exacto
5.49 X 1.0087 1.0078 2.0141
10~4 u u u u
5.48579902 1.008664904 1.007825035 2.014101779
0.023 0.014 0.012
4.0026 1.76 X 1.67 X 1840 1.67 X
u 10" C/kg 10“27 kg
4.00260324 1.75881962 1.6726231 1836.152701 1.6749286
0.012 0.30 0.59 0.020 0.59
1.8835327 6.6260755 2.42631058 8.314510 6.0221367
0.61 0.60 0.089 8.4 0.59
1.88 6.63 2.43 8.31 6.02
X X X X X
Mejor valor(1986) ValorT Incertidumbre’
10“27 kg
X 10-28 kg X 10~34 J - s X 10-12 m J /m o l-K X 1023 m o r 1
0.011
1.38 X 2.24 X 9.65 X 5.67 X 1 .1 0 X 6.67 X
10“23 J/K 10~2 m 3/m ol 104 C /m ol 10-8 W /m 2-K 4 107 m - ’ 10~" m 3/s 2-kg
1.3806513 2.2413992 9.6485309 5.670399 1.0973731571 6.67259
1.8 1.7 0.30 6.8 0.00036 128
5.29 9.28 1.41 9.27 5.05
10-" m 10“24 J /T 10~26 J/T 10“24 J /T 10“27 J /T
5.29177249 9.2847700 1.41060761 9.2740154 5.0507865
0.045 0.34 0.34 0.34 0.34
1/137.0359895 2.06783461 25812.8056
0.045 0.30 0.045
X X X X X
1/137 2.07 X lO"15 Wb 25800 Q
' M is m a u n id a d y po tencia de die z que el v a lo r de c á lc u lo * Partes p o r m illó n 5 M asa dada en unidades u n ific a d a s de masa ató m ica, donde 1 u = 1.6605402 x 10'27 kg. ’ STP — tem peratura y presión estándar = 0°C y 1.0 bar. (Las siglas corresponden a sta n d a rd tem p erature a n d p re s s u re .)
¡TíTVTyiíin
%.i
APENDICE C ALGUNOS DATOS ASTRONÓMICOS E L S O L , L A T IE R R A , Y L A L U N A
Sor
Propiedad Masa (kg) Radio m edio (m) Densidad media (kg/m 3) Gravedad en la superficie (m /s2) V elocidad de escape (km/s) Periodo de rotación8 (d) Radio orbital m edio (km) Periodo orbital
Tierra
1.99 X 10» 6.96 X 108 1410 274 618 2 6 -3 7 * 2.6 X 1 0 '71 2.4 X 108 y 1
Luna
5.98 X 1024 6.37 X 106 5520 9.81 11.2 0.997 1.50 X 108* 1.00 y*
7.36 X 1022 1.74 X 106 3340 1.67 2.38 27.3 3.82 X IO5'1 27.3 d 11
f E l Sol irra d ia energía a razón de 3.90 x 102
A L G U N A S P R O P IE D A D E S D E L O S P L A N E T A S
Venus
Tierra
Marte
57.9
108
150
228
Periodo de revolución (años)
0.241
0.615
1.00
Periodo de rotación' (días)
58.7
243*
0.997
V elocidad orbital (km/s)
47.9
35.0
Inclinación del eje respecto a la órbita
O O O
Mercurio Distancia media desde el Sol (10''km)
2.6°
Inclinación de la órbita respecto a la órbita de la Tierra
7.00°
3.39°
Excentricidad de la órbita
0.206
0.0068
Diámetro ecuatorial (km)
4,880
12,100
Masa (Tierra = 1)
0.0558
0.815
Densidad promedio (g/cm 3)
5.60
5.20
Gravedad en la superficie* (m /s2)
3.78
8.60
9.78
Velocidad de escape (km/s)
4.3
10.3
11.2
5.0
Satélites conocidos
0
0
1
2
f M e d id o con respecto a las estrellas distantes. * E l sen tido de ro ta c ió n es opuesto al del m o v im ie n to orb ita l. 5 M e dida en el ecuador del planeta.
Júpiter
Urano
Neptuno
Plutón
2 ,870
4 ,500
5,900
84.0
165
248
0.426
0.451*
0.658
6.39
9.64
6.81
5.43
4.74
26.7°
82.1°
28.8°
65°
1.30°
2.49°
0.77°
1.77°
17.2°
0.0934
0.0485
0.0556
0.0472
0.0086
0.250
6,790
143,000
120,000
51,800
49,500
3,400
1.000
0.107
318
95.1
5.52
3.95
1.31
0.704
3.72
22.9 59.5
Saturno
778
1,430
1.88
11.9
29.5
1.03
0.409
29.8
24.1
13.1
23.5°
24.0°
3.08°
1.85°
0.0167 12,800
14.5
17.2
0.002
1.21
1.67
0.5(?)
9.05
7.77
11.0
0.03
35.6
21.2
23.6
*
16 + anillos 19 + anillos 15 + anillos 8 + anillos
1.3 1
APENDICE D PROPIEDADES DE LOS ELEMENTOS E le m e n to
Actinio A lum inio A m ericio Antim onio Argón A rsénico Astato Azufre Bario Berilio Berkelio Bism uto Boro Bromo Cadmio Calcio Californio Carbono Cerio C esio Cinc Cloro Cobalto Cobre Criptón Cromo Curio Disprosio Einstenio Erbio Escandio Estaño Estroncio Europio Fermio Flúor Fósforo Francio Gadolinio Galio Germanio Hafnio Helio Hidrógeno Hierro Holm io
S ím b o lo
Ac Al Am Sb Ar As At S Ba Be Bk Bi B Br Cd Ca Cf C Ce Cs Zn C1 Co Cu Kr Cr Cm Dy Es Er Se Sn Sr Eu Fm F P Fr Gd Ga Ge Hf He H Fe Ho
Masa
D e n s id a d
m o la r
(g/cm 3) a 20°C
N ú m e ro a tó m ic o Z
(g/m ol)
89 13 95 51 18 33 85 16 56 4 97 83 5 35 48 20 98 6 58 55 30 17 27 29 36 24 96 66 99 68 21 50 38 63 100 9 15 87 64 31 32 72 2 1 26 67
(227) 26.9815 (243) 121.75 39.948 74.9216 (210) 32.066 137.33 9.0122 (247) 208.980 10.811 79.909 112.41 40.08 (251) 12.011 140.12 132.905 65.37 35.453 58.9332 63.54 83.80 51.996 (247) 162.50 (252) 167.26 44.956 118.71 87.62 151.96 (257) 18.9984 30.9738 (223) 157.25 69.72 72.61 178.49 4.0026 1.00797 55.847 164.930
-
2.699 13.7 6.69 1.6626 x IO’’ 5.72 -
2.07 3.5 1.848 -
9.75 2.34 3.12(líquido) 8.65 1.55 -
2.25 6.768 1.873 7.133 3.214 x 10'3 (0°C) 8.85 8.96 3.488 x 10 3 7.19 8.55 -
9.07 2.99 7.31 2.54 5.245 1.696 x 10° (0°C) 1.83 -
7.90 5.907 5.323 13.31 0.1664 x 10~3 0.08375 x 10'3 7.87 8.79
P u n to d e fu sió n
P u n to d e e b u llic ió n
(°C)
(°C)
a 25°C
1050 660 994 630.5 -1 8 9 .2 817 (28 at.) 302 112.8 725 12.78
3200 ^ <67 2607 1750 -1 8 5 .7 613 337 444.6 1640 2970
0.092 0.900
-
271.3 20.79 -7 .2 320.9 839 -
3550 798 28.40 419.58 -101 1495 1083.4 -1 5 6 .6 1857 1340 1412 -
1529 1541 231.97 769 822 -2 1 9 .6 44.25 (27) 1313 29.78 937.4 2227 -2 7 2 .2 -2 5 9 .3 4 1535 1474
-
1560 2550 58 765 1484 -
3443 6.69 907 -3 4 .6 2870 2567 -1 5 2 .3 2672 2567 -
2868 2836 2270 1384 1527 -1 8 8 .2 280 (677) 3273 2403 2830 4602 -2 6 8 .9 -2 5 2 .8 7 2750 2700
C a l o r e sp e c ,
(j/g ■c°:
-
0.205 0.523 0.331 -
0.707 0.205 1.83 0.122 1.11 0.293 0.226 0.624 0.691 0.188 0.243 0.389 0.486 0.423 0.385 0.247 0.448 0.172 0.167 0.569 0.226 0.737 0.163 -
0.753 0.741 -
0.234 0.377 0.322 0.144 5.23 14.4 0.447 0.165
A-6
Propiedades de los elementos
Elemento Indio Iridio Iterbio Itrio Lantano Laurencio Litio Lutecio Magnesio Manganeso Mendelevio Mercurio Molibdeno Neodimio Neón Neptunio Niobio Níquel Nitrógeno Nobelio Oro Osmio Oxígeno Paladio Plata Platino Plomo Plutonio Polonio Potasio Praseodimio Promecio Protactinio Radio Radón Renio Rodio Rubidio Rutenio Samario Selenio Silicio Sodio Talio Tantalio Tecnecio Telurio Terbio Titanio Torio Tulio Tungsteno Uranio Vanadio Xenón Yodo Zirconio
Símbolo ln Ir Yb Y La Lr Li Lu Mg Mn Md Hg Mo Nd Ne Np Nb Ni N No Au Os O Pd Ag Pt Pb Pu Po K Pr Pm Pa Ra Rn Re Rh Rb Ru Sm Se Si Na Tl Ta Tc Te Tb Ti Th Tm W U V Xe I Zr
Número atómico Z 49 77 70 39 57 103 3 71
12
25
101
80 42 60
10
93 41 28 7
102 79 76
8
46 47 78 82 94 84 19 59 61 91
88
86
75 45 37 44
62 34 14
11
81 73 43 5 2
65 22
90 69 74 92 23
54 53 40
Masa molar (g/mol) 114.82 192.2 173.04 88.905 138.91 (260) 6.939 174.97 24.305 54.9380 (258) 200.59 95.94 144.24 20.180 (237) 92.906 58.69 14.0067 (259) 196.967 190.2 15.9994 106.4 107.68 195.09 207.19 (244) (209) 39.098 140.907 (145) (231) (226) (222) 186.2
102.905 85.47 101.107 150.35 78.96 28.086 22.9898 204.38 180.948 (9 8 )
127.60 158.924 4788
Densidad (g/cm3) a 20°C 7.31 22.5 6.966 4.469 6.145 -
-
7.00 0.8387 x 10‘3 20.25 8.57 8.902 1.1649 x io 3 -
12.02
10.49 21.45 11.36 19.84 9.24
0.86
6.773 7.264 -
5.0 9.96 x 10 3(0°C) 21.04 12.44
1.53 12.2
7.49 4.79 2.33 0.9712 11.85 1 6 .6
11.46 6.24
1064.43 3045 -218.4 1554 961.9 1772 327.50 641 254 63.25 931 1042 1600 700 -71
3180 1965 38.89 2310 1074 217 1410 97.81 304 2996 449.5 1357 1660 1750 1545 3410
4.54
6.1 5 .4 9 5
-210
2 1 7 2
8 .2 5
9.31 19.3 19.07
1021
-248.67 640 2468 1453 -
19.32 22.57 1.3318 x lO'3
11.72
50.942 131.30 126.9044 91.22
-
-38.87 2617
10.22
x
lO
'3
4.94 6.506
Punto de Calor especifico ebullición (J/g • C°) a 25°C (°C) 0.233 2080 0.130 4130 0.155 1196 0.297 5338 0.195 3464 -
180.54 1663 649 1244
13.55
168.934 183.85 (238)
-
0.534 9.84 1.74 7.43
(232)
Punto de fusión (°C) 156.6 2410 819 1552 918
1342 3402 1090 1962
-
3.58 0.155 1.03 0.481
-
-
357 4612 3074 -246.0 3902 4742 2732 -195.8
0.138 0.251 0.188 1.03 1.26 0.264 0.444 1.03
-
2808 5027 -183.0 3140
2212
3827 1740 3232 962 760 3520 (3000) -
1140 -61.8
5627 3727 686
3900 1794 685 2355 882.9 1457 5425 4877 990 3230 3287 (3850) 1950 5660
1132
3818
1890 -111.79 113.5 1852
3380 -108 184.35 4377
-
0.131 0.130 0.913 0.243 0.234 0.134 0.129 0.130 -
0.758 0.197 -
0.092 0.134 0.243 0.364 0.239 0.197 0.318 0.712 1.23 0.130 0.138 0.209 0.201 0 .1 8 0
0.523 0.117 0.159 0.134 0.117 0.490 0.159 0.218 0.276
L o s valores entre paréntesis en la c olum na de masas atóm icas son los núm eros de masa de los isóto pos más estables de los elem entos que son ra d ia ctivo s.
L o s puntos de fu s ió n y de e b u llic ió n entre paréntesis son inciertos.
atm ósfera a menos que se in d iq u e lo c o n tra rio .
Todas las propiedades física s están dadas para una p resión de una
L o s datos para los gases son vá lid o s ú n ica m en te cuando están en su estado m o le c u la r usual, ta l com o
H 2, H e, 0 2, N e, etc. L o s calores esp ecíficos de los gases son los valores a presión constante. m ím . 71 (C R C Press, 1990).
Fu e n te : H a n d b o o k o f C h e m istry a n d P h y s ic s , e d ic ió n
APÉNDICE E TABLA PERIÓDICA DE LOS ELEMENTOS
METALES ALCALINOS (incluyendo al hidrógeno)
1
GASES NOBLES 2
1
He
u
9
10
O
F
Ne
r17
18
P
16 s
3
4
5
6
7
Li
Be
B
c
N
il
12
13
14
15
Al
Si
31
32
N a Mg
33
34
35
Ti
Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As
Se
Br Kr
39
40
41
42
48
49
50
51
52
Sr
Y
Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd
In
Sn
Sb Te
53 I
Xe
56
Í7 i
80
86
21
22
K
Ca
Se
37
38
Ba
87
Fr
36
23 V
20
Cs
C1 Ar
89-103
Ra
24
25 43
26 44
27 45
29
28
47
46
30
54
73
74
75
76
77
78
81
82
83
84
85
H f Ta
w
Re Os
Ir
Pt Au Hg Tl
Pb
Bi
Po
At Rn
72
104 105 106 107 108 109 Rf* Ha* ** ** ** **
Serie de los lantánidos Serie de los actínidos
79
I J
57 ss o
59 60 61 62 [ 63 Pr Nri pyn
89 90 Ac Th
91 Pa
64
65
92 93 94 95 96 97 u Np Pu Am Cm Bk
* Los nombres de estos elementos (Ruterfordio y Hahnio) no han sido aceptados debido a la controversia por el crédito a sus descubridores. Un grupo de la antes Unión Soviética ha propuesto los nombres de Kurchatovio y Neilsbohrio.
66 | 67 98 Cf
68
69 j 70
7Jy
99 100 101 102 103 Es Fm Md N o Lr
** Se ha reportado el descubrimiento de estos elementos, pero no tienen un nombre universalmente adoptado todavía.
APENDICE F ■
.
• .
■
í^fB ■-.-'VX'-^iiii
PARTÍCULAS ELEMENTALES 1.
L A S P A R T ÍC U L A S F U N D A M E N T A L E S
LEPTONES
Partícula Electrón Neutrino del electrón Muón Neutrino del muón Tau Neutrino tan
Símbolo e~
Anti partícula
Carga
Espín
(e)
(h/2n)
e+
- 1 0 - 1 0 1 0
1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2
vc
Ve
fi~ vn
vn
T
T+ vt
Energía de reposo
Vida media
(M eV )
(s)
0.511 < 0 .0 0 0 0 2 105.7 < 0 .3 1784 <40
00
Productos típicos de la desintegración
00
e~ + ve + v„
2.2 X 10~6 00
3.0 X 10~'3
/i” + v„ + vt
00
QUARKS
Sabor*
Símbolo
Arriba Abajo Encanto Extraño Cima* Fondo
u d c s t b
Antipartícula u d c s t b
Carga (e)
Espín (h/2 n)
+ 2/3 -1 /3 + 2/3 -1 /3 + 2/3 -1 /3
1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2
Energía de reposof
O/ra propiedad
(M eV ) 300 300 1500 500 > 4 0 ,0 0 0 4700
C= C=
S
=
S
=
T=B = 0 T=B = 0
Encantamiento (C) = + 1 Extrañeza (5 ) = — 1 Encumbramiento ( 7 j = + 1 Profundidad (fi) = — 1
P A R T IC U L A S D E C A M P O
Partícula Gravitón’ B osón débil Bosón débil Fotón Gluón
Símbolo W+, W Z° y
g
Interacción
Carga (e)
Espín (h/2 n)
Gravedad Débil D ébil Electromagnética Fuerte (color)
0 ±1 0 0 0
2
1 1 1 1
Energía en reposo (G eV) 0 80.6 91.2 0 0
Apéndice F
2.
A-9
ALGUNAS PARTÍCULAS COMPUESTAS
BARIONES
Partícula Protón Neutrón Lambda Omega Delta Lambda encantada
Símbolo P n A° nA++ A?
Contenido de quarks uud udd uds sss uuu udc
Anti partícula P n A° £2" A++ A?
Carga (*) +1
0 0 -1 +2 +1
Energía en reposo (MeV)
Vida media
(s)
Desintegración típica
1/2
938 940 1116 1673 1232 2285
> 1040 889 2.6 X IO"10 8.2 X 10-“ 5.7 X 10“24 1.9 X IO"13
n° + e+ (?) p + e_ + ve p + n~ A° + KP + 7t+ A° + n+
Espín (h/2 n)
Energía en reposo (MeV)
Vida media
Espín (h/2 n)
1/2 1/2 1/2
3/2 3/2
MESONES
Partícula Pión Pión Kaón Kaón Rlio Mesón-D Psi Mesón-B Ipsilon
Símbolo 7C+ 7T° K+ K° P+ D+ ¥ B+ Y
Contenido de quarks lid uü + dd US ds. ud cd c5 ub bb
Anti partícula
Carga (e)
7t~
+1 0 +1 0 +1 +1 0 +1 0
7T° K~ K° P~ D~ V B~ Y
0 0 0 0 1 0 1 0
1
140 135 494 498 768 1869 3097 5278 9460
(s) 2.6 X 10“8 8.4 X IO"17 1.2 X 10-8 0.9 X 10“ 10 4.5 X IO"24 1.1 x io-'2 1.0 X 10'20 1.2 X 10-12 1.3 X IO"20
Desintegración típica 7+ 7 fi++ vM 7l+ + 7t
n++ n~ K- + 7T+ + 7l+ e+ + e“ D“ + n++ n+ e+ + e_
f Las energías en reposo listadas para lo s quarks n o son las asociadas con los quarks lib re s ; puesto que tod avía n o ha s id o observado n in g ú n q u a rk lib re , no ha s id o p o s ib le la m e d ic ió n de sus energías en reposo en e l estado lib re . L o s va lo re s tab ulado s son energías en reposo efe ctivas correspondientes a quarks constituyentes, aq uellos lig a d o s en p a rtícula s com puestas. * Se cree que existe n las pa rtícula s pero todavía no han sid o observadas. F uente: “ R e v ie w o f P a rtic le P ro p e rtie s ” , P h y s ic s L e tte rs B , v o l. 2 3 9 (a b ril de 1990).
APÉNDICE G ____
0
FACTORES DE CONVERSIÓN i-'Os iactores ae conversión pueden leerse directamente de las tablas. Por ejemplo, 1 grado = 2.778 x 10'3 revoluciones, de modo que 16.7° = 16.7 * 2.778 x 10 3 rev.
Las cantidades SI están en letras mayúsculas. Parcialmente adaptado de G. Shortley y D. Williams, Elements o f Physics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1971.
ÁNGULO PLANO /
°
1 grado = 1 m inuto = 1 segundo = 1 RADIAN = 1 revolución =
f/
RADIAN
rev
1
60
3600
1.745 X lO”2
2.778 X 10~3
1.667 X 10"2
1
60
2.909 X 10-4
4.630 X 10"5
2.778 X 10-4
1.667 X 10~2
1
4.848 X 10“6
7.716 X 10~7
57.30
3438
2.063 X 105
1
0.1592
360
2.16 X 10"
1.296 X 106
6.283
1
ÁNGULO SÓLIDO 1 esfera = 4ttesterradianes = 12.57 esterradianes LONGITUD
METRO
cm
ft
mi
1 centímetro =
1
10-2
10-5
0.3937
3.281 X 10-2
6.214 X 10"6
1 METRO
100
1
io-3
39.37
3.281
6.214 X
1 kilóm etro =
105
1000
1
3.937 X 104
3281
0.6214
1 pulgada =
2.540
2.540 X 10-2
2.540 X 10"5
1
8.333 X 10"2
1.578 X 10~5
1 pie =
30.48
0.3048
3.048 X 10-4
12
1
1.894 X 10“4
1 m illa =
1.609 X 105
1609
1.609
6.336 X 104
5280
1
=
1 angstróm = lO"10 m 1 milla náutica = 1852 m = 1.151 millas = 6076 ft 1 fermi = 10"15m
km
in
1 año-luz = 9.460 x 1012 km 1 parsec = 3.084 x 1013 km 1 fathom = 6 ft 1 radio de Bohr = 5.292 x 10"“ m
i yarda = 3 ft 1 rod = 16.5 ft 1 mil = 10° in liun-lO^m
ÁREA
METRO2
cm 2
ft2
in 2
I METRO CUADRADO =
1
104
10.76
1550
1 centímetro cuadrado -
10-4
1
1.076 X 10-3
0.1550
1 p ie cuadrado =
9.290 X 10-2
929.0
1
144
1 pulgada cuadrada =
6.452 X 10-4
6.452
6.944 X 1 0-3
1
1 milla cuadrada = 2.788 x 107 ft2 = 640 acres 1 bamio = 10 28 m
1 acre = 43,560 ft2 1 hectárea = 104 m2 = 2.471 acres
lO”4
Apéndice G
A - ll
VOLUMEN cm3
METRO3 1 METRO CÚBICO = 1 centímetro cúbico = 1 litro = 1 pie cúbico = 1 pulgada cúbica =
L
ft3
in 3
1
106
1000
35.31
6.102 X 104
IO '6
1
1.000 X 10-3
3.531 X 10~3
6.102 X 10"2
1.000 X IO '3
1000
1
3.531 X 10^2
61.02
2.832 X 10“ 2
2.832 X 104
28.32
1
1728
1.639 X 1 0-5
16.39
1.639 X 10-2
5.787 X 10-“
1
1 g a ló n flu id o U .S . = 4 cuartos flu id o s U .S . = 8 pintas U .S . = 128 onzas flu id a s U .S . - 231 in 3 1 ga ló n im p e ria l b ritá n ic o = 27 7.4 in 3 = 1.201 galones flu id o s U .S.
MASA KILOGRAMO
g
1 gramo =
1
0.001
1 KILOGRAMO = 1000 1.459 X 10“ 1 slug = 1.661 X 10~24 1u= 28.35 1 onza ~ 453.6 1 libra 9.072 X 105 1 ton -
slug u oz Ib 6.852 X 10"5 6.022 X 1023 3.527 X 10~2 2.205 X 1Q~3
1
6.852 X 10- 2 6.022 X 1026 1 8.786 X 1027 14.59 1.661 X 10~27 1.138 X 10”28 1 2.835 X 10~2 1.943 X 10"3 1.718 X 1025 3.108 X 10-2 2.732 X 1026 0.4536 907.2 62.16 5.463 X 1029
35.27 2.205 514.8 32.17 5.857 X IO"26 3.662 X 10~27 1 6.250 X 10“2 16 1 3.2 X 10“ 2000
ton 1.102 X 10-6 1.102 X 10~3 1.609 X IO"2 1.830 X IO"30 3.125 X 10~5 0.0005 I
1 tonelada m é tric a = 1000 kg Las cantidades en las zonas som breadas no son unidades de masa pero se usan a m enudo co m o tales. P or e je m p lo , cua ndo e sc rib im o s 1 k g “ = ” 2.205 Ib s ig n ific a que un k ilo g ra m o es una masa que pesa 2.205 lib ra s en co n d ic io n e s de gravedad estándar (g = 9.80665 m /s2).
DENSIDAD slug/ft3
1 slug por ft3=
1
1 KILOGRAMO por METRO3= 1 gramo por cm3= 1 libra por ft3= 1 libra por in3-
1.940 X 10~3 1.940 3.108 X 10~2 53.71
KILOGRAMO/METRO3 g/cm3 515.4 0.5154
1 1000
0.001 1
16.02 2.768 X 104
1.602 X 10~2 27.68
Las cantidades en las zonas som breadas son densidades de peso y , co m o tales, son dim e n sio n a lm e n te d ife rentes a las densidades de masa. Véase la nota en la tabla de masas.
TIEMPO y
1 año = 1 día = 1 hora = 1 minuto =
i 2.738 X 1.141 X 1.901 X 1 SEGUNDO = 3.169 X
d 365.25
h
min 5.259 X 105 1440 60
8.766 X 103 24 IO"3 1 10^4 4.167 X 10~2 1 10~6 6.944 X 10“4 1.667 X 10~2 1 IO"8 1.157 X 10-5 2.778 X 10”4 1.667 X 10"2
SEGUNDO 3.156 X 107 8.640 X 104 3600 60
1
1
lb/in 3 1.862 X i
1728
1
lb/ft/ 32.17 6.243 X IO' 2 62.43
A-12
Factores de conversión
VELOCIDAD ft/s
km/h 1.097
METROS/SEGUNDO mi/h 1 1 pie por segundo = 0.3048 0.6818 1 0.9113 1 kilómetro por hora = 0.2778 0.6214 1 METRO por SEGUNDO = 3.281 3.6 2.237 1 1.467 1 milla por hora = 1.609 1 0.4470 0.01 2.237 X lO”2 1 centímetro por segundo = 3.281 X 10-2 3.6 X lO”2 1 nudo = 1 milla náutica por hora 1.688 ft/s
cm/s 30.48 27.78
100 44.70
1
1 m i/m in = 88.00 ft/s = 60.00 m i/h
FUERZA dina
1 105
1 dina = 1 NEWTON1 libra = 1 poundal* ** 1 gramo-fuerza 1 kilogramo-fuerza -
4.448 X 105 1.383 X 104 980.7 9.807 X 105
1
Ib 2.248 X 10-6 0.2248
4.448 0.1383 9.807 X 10~3 9.807
3.108 X 10~2 2.205 X 10~3 2.205
NEWTON io- 5
1
pdl 7.233 X 10~s 7.233 32.17
gf 1.020 X 10-3
kgf 1.020 X 10~*
102.0
0.1020
1
453.6 14.10
0.4536 1.410 X 10"2
7.093 X 10~2 70.93
1 1000
0.001 I
* (U n id a d absoluta de fuerza) Las cantidades en la zonas som breadas n o son unidades de fuerza pero a m enudo se usan co m o tales. P o r e je m p lo , si e scrib im o s 1 g ra m o-fuerza “ = ” 980.7 dinas, querem os d e c ir que un gram o-m asa exp erim e nta una fuerza de 980.7 dinas en co n d icio n e s de gravedad estándar (g = 9.80665 m /s2)
ft •Ib 777.9
hp-h 3.929 X lO”4 7.376 3.725 X 10~8 X 10“14 1 5.051 X 10~7 1.980 1 X 106 0.7376 3.725 X 10“7 3.088 1.560 X 10-6 2.655 1.341 X 106 1.182 5.967 X 10~19 X 10“26 1.182 5.967 X 10' 13 X 10~ 20 6.629 3.348 X 1016 X 1010 1.101 5.559 X lO"10 x io-*7
JOULE 1055
cal 252.0
kW-h 2.930 x 10-4 lO' 7 2.389 2.778 X 10“8 x io-14 1.356 0.3238 3.766 X 10~7 2.685 6.413 0.7457 X 106 X 105 1 0.2389 2.778 X 10~7 4.186 1 1.163 X 10~6 3.6 8.600 1 X 106 X 105 1.602 3.827 4.450 X 10-19 X 10~20 X 10~26 1.602 3.827 4.450 X 10~‘3 X 1014 X I0~2n 8.987 2.497 2.146 X 1016 X 10“ X 1010 3.564 1.492 4.146 x io-‘° X lO-11 X 10~17
eV 6.585 X 1021 6.242 X 10" 8.464 X 1018 1.676 X 1025 6.242 X 1018 2.613 X 1019 2.247 X 1025
MeV 6.585 X 1015 6.242 X 105 8.464 X 1012 1.676 X 1019 6.242 X 1012 2.613 X 1013 2.247 X 1019
1
10“6
106
1
5.610 5.610 X 1035 X 1029 9.32 932.0 X 10*
Las cantidades en las zonas som breadas no son unidades de energía propiam ente pero se in c lu y e n p o r con veniencia. P rovien en de la fó rm u la de eq u iva le n cia masa-energía re la tiv is ta E = m c2 y representan la energía e q uivalen te de una masa de un k ilo g ra m o o una un id ad u n ific a d a de masa ató m ica (u).
kg 1.174 X 10-M 1.113 X lO"24 1.509 X 10~17 2.988 X 10"n 1.113 X 10~17 4.660 X lO"17 4.007 X lO- " 1.783 X 10““ 1.783 X 10-30
1
u 7.070 X 1012 670.2 9.037 X 109 1.799 X 1016 6.702 X 109 2.806 X lO10 2.413 X 1016 1.074 X lO”" 1.074 X 10-3 o ^ '
ENERGÍA, TRABAJO, CALOR Btu erg 1 unidad térmica 1 1.055 británica = X 1010 1 erg = 1 9.481 X io-“ 1 libra-pie = 1.285 1.356 X 10~3 X 107 1 caballo de fuerza- 2545 2.685 hora = X 1013 1 JOULE = 9.481 107 X 10“4 1 caloría = 3.969 4.186 X 10-3 X 107 1 kilowatt-hora = 3413 3.6 X 1013 1 electrónvolt = 1.519 1.602 X 10“22 X 10-12 1 millón de 1.519 1.602 electronvolts = X lO”'6 X 10"6 1 kilogramo = 8.521 8.987 X 10‘3 X 1023 1 unidad unificada 1.415 1.492 de masa atómica = X 10~13 X 10“3
1.661 1 X lO”27
Apéndice G
A-13
PRESIÓN cm Hg lb/in 2 lb/ft2 PASCAL dina/cm2 in de agua 76 1.013 X 105 14.70 1.013 X 106 406.8 1 2116 4.015 X 10“4 7.501 X IO"5 0.1 1.405 X 10-5 2.089 X IO"3 9.869 X 1(T7 1 1 0.1868 249.1 3.613 X ÍO-2^ 5.202 2.458 X IO-3 2491 atm
1 atmósfera = 1 dina por cm2=
1 in de aguar a 4°C = 1 centímetro de mercurioT 1.316 X 10~2 a 0°C = 9.869 X 10~6 1 PASCAL = 6.805 X IO"2 1 libra por in2= 1 libra por ft2= 4.725 X 10~4
1.333 X 104 5.353 4.015 X 10“3 10 6.895 X 104 27.68 0.1922 478.8
* E n donde la ace le ració n de la gravedad tien e el v a lo r estandar 9.80665 m /s2. 1 ba r = IO6 d in a s /c m 2 = 0.1 M P a 1 m ilib a r = 103 din a s/cm 2 = 102 Pa
1
0.1934 27.85 7.501 X IO"4 1 1.450 X 10-4 2.089 X IO"2 5.171 6.895 X 103 1 144 3.591 X 10“2 47.88 6.944 X 10“3 1 1333
1 to rr = 1 m ilím e tro de m e rc u rio
POTENCIA Btu/h
1 unidad térmica británica por hora = 1 1 libra-pie por segundo = 4.628 1 caballo de fuerza = 2545 1 caloría por segundo = 14.29 3413 1 kilowatt : WATT =
3.413
1
hp 3.929 X 10“4 1.818 X 10-3
550 3.088 737.6 0.7376
5.615 X 10~3 1.341 1.341 X IO"3
ft-lb/s 0.2161
1
FLUJO MAGNÉTICO maxwell
WEBER
1 108
10 ~ 8 1
gauss
TESLA
milligauss
1 104 0.001
10'4 1 10-7
1000 107 1
1 maxwell = 1WEBER =
CAMPO MAGNÉTICO
1 gauss ! TESLA = 1 milligauss = 1 tesla = 1 weber/metro2
1
kW 2.930 X 10- 4 1.356 X IO"3 0.7457 4.186 X 10“3
WATT 0.2930 1.356 745.7 4.186
238.9 0.2389
1 0.001
1000 1
cal/s 6.998 X IO"2 0.3239 178.1
APÉNDICE H FÓRMULAS MATEMÁTICAS GEOMETRÍA
SIGNOS Y SÍMBOLOS MATEMÁTICOS
Círculo de radio r: circunferencia = 2kr; área = nr2. Esfera de radio r: área = Anr1-, volumen = jw 3. Cilindro circular recto de radio r y altura h: área = 2 nr2 + 2 nrh; volumen = nr2 h. Triángulo de base a y altura h: área = \ah.
= igual a - aproximadamente igual a ~ es del orden de magnitud de * no es igual a s es idéntico a, se define como > es mayor que ( » es mucho mayor que) < es menor que ( « es mucho menor que) > es mayor que o igual a (o, no es menor que) < es menor que o igual a (o, no es mayor que) ± más o menos (\Í4 = ± 2) es proporcional a E la suma de x el valor promedio de x
FORMULA CUADRÁTICA Si ax2 + bx + c = 0, entonces x = —b ± V¿>2—4ac 2a
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO y
x
sen 9 = - eos 0 = r r
eje y
tan 6 = — cot i x T
T
x
y
6
PRODUCTOS DE VECTORES Sean i, j, k vectores unitarios en las direcciones x, y, z. Entonces i-i = j-j = k-k = 1, i-j = j-k = k-i = 0, i x i = j x j = k x k = 0,
sec 9 = — ese 9 = —
i x j = k,
j x k = i,
kxi=j.
Cualquier vector a con componentes a,, ay, aza lo largo de los ejes x, y, z puede escribirse TEOREMA DE PITAGORAS a2 + b2 = c2
Sean a, Entonces
b, c
a = ax\ + a vj + a, k. vectores arbitrarios con magnitudes a, b, c. a X (b
+ c) =
(a X b)
+
(a X c)
= a X ( j b ) = í ( a X b ) (s = un escalar). Sea 0el más pequeño de los dos ángulos entre a y b. Entonces (sa ) X b
a - b = b - a = axbr + a j ) v + a,b, = ab
TRIANGULOS Ángulos A, B, C Lados opuestos a, b, c A + B + C = 180° sen A _ sen B _ sen C a b e c2 —a2 + b2 —lab eos C
• a X b = —b X a =
j
eos 6
k
ax ay a, by
bv
b
,
(ayb2- byaz)i + (azbx - bzax)j + (axby - bxay)k |a X b|
= ab sen
6
a • (b X c) = b • (c X a) = c • (a X b) a X (b X c) = (a ■c)b — (a • b)c
Apéndice H
A-15
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DESARROLLO EXPONENCIAL
sen(90° - 0) = eos 0 cos(90° - 0) = sen 6 sen 0/cos 0 = tan 0 sen2 0 + eos26 = 1 sec20 - tan2 6 = 1 ese2 6 - cot2 8 = 1 sen 20=2 sen 0 eos 0 eos 20 = eos20 - sen2 0=2 eos2 0 - 1 = 1 - 2 sen20 sen(a ± fi) = sen a eos p ± eos a sen p eos(a ± /5) = eos a eos /3 ± sen a sen /3 , ... tan a ± tan B tan(a ± /?) = 1 + tan a tan ¡i sen a ± sen p = 2 sen Ha ± p) eos Ha ± P)
^ = 1+ X + 2! + Í í + DESARROLLO LOGARÍTMICO ln ( 1 + x) = x —%x2 + ^x3— • • • (|x| < 1) DESARROLLOS TRIGONOMÉTRICOS ( 6 en radianes) sen 0 = 0 - -03 + _05 - .
TEOREMA DEL BINOMIO (1±JC)*= 1 ± H + z f c ^ + .
C O
A S 0 =,
.
1 - 6-2 +
03
-0 4 -
.
205
ta n 0=0 + ^v + 3 + 415
(*2< n ' (x2 < 1)
DERIVADAS E INTEGRALES En lo que sigue, las letras u y v son válidas para cualquier función de X, y a y m son constantes. A cada una de las integrales indefinidas deberá añadírsele una constante de integración arbitraria. El Handbook of Chemistry and Physics (CRC Press Inc.) proporciona una tabulación más extensa.
1.
dx = x
2.
audx -=aa fí uu dx
* ( „ + „ * + * dx dx dx
3.
(w + v)dx
4. -^-xm= rnxm~' dx <5. — d l. n x = -1 dx x , d dv du 6. -dxr (uv) = u -dxr + v -jdx 7— d e x = g x dx
4.
x mdx =
1- xax - 1 d , x
du
2■ 3.
dx
9. - r
dx
dx
13.
sec
9.
eos x d x = sen x
x —se c 2 x
10.
tan x dx = ln |sec x|
11.
sen2x d x = \ x ~ i sen 2x
=
x=
— c se 2 x tan
x
sec
12.
x x
1Ql dx dx d du 15. ~r sen u eos u — dx dx d du 16. - 7- eos u = —sen u -rdx dx
14.
[ d u
x — —se n x
-4 - c s c x = — c o t x ese
dx
dv ,
sen x dx = —eos x
-v -c o tx
dx
= ln|x|
8.
11 .
v dx
(m ¥= - 1)
ex dx = ex
- 7- tan
dx
m+ 1
J
7.
10.
12. ■“
f
udx+
6. I u — ax = uv— 1 v —^ a x
sen x = eos x eos
dx
5.
=j
dx —— e “ a
13.
xe ^ dx = — ; {ax + l)e_“ a1
14.
x 2 e~ax dx = —7 (a2x 2 + 2ax + 2)e“ ar «! x ne Xdx = —r 7 a 1-3-5- • -(2n —1) 'd x = 2"+ \ a n
15. 16.
Vf
APÉNDICE I PROGRAMAS DE COMPUTADORA Se proporcionan tres ejemplos de programas de computadora que han sido usados en el texto para los cálculos cinemáticos que involucran a fuerzas no-constantes que actúan sobre una partícula. Los programas están escritos en el lenguaje BASIC y pueden adaptarse fácilmente a la
mayoría de las computadoras personales. En cada caso, la velocidad y la posición iniciales de la partícula deben ser puestos en los programas en las líneas 40 y 50, respectivamente.
1. FUERZAS DEPENDIENTES DEL TIEMPO Este programa se usó en la sección 6-6 para hallar la posición y la velocidad de un automóvil cuya aceleración depende del tiempo. El programa puede ser usado para
cualquier aceleración dependiente del tiempo cambiando la línea 180 de modo que muestre la a(t) deseada. En este caso usamos el ejemplo de la sección 6-6, a(t) = -2.61 1 .
LISTADO DEL PROGRAMA 1y 20 30 50 y~ |-| L-i 80
' 1 1
B fi S I C K I H E Í1 ñ T I U 8 P R U U R H M - G I U E H H
X0 0 ' S P E C I F Y T H E M H X I MU M H U M B E R PROGRñM F OR U H I C H THE T Mp 1o
T I ME D E P E N D E H T U
0 F T I ME U H I í 8 8H0ULD R UH
1 P E C I F: V í H Ei y H L U h U h u rnE T I M L U N I T F U F! tí ¡ 5 S E C O N D EXñMPLE: 0.5 10 0 F 0 R 2 , 0 H0 UR EXHMPLE: 2,0 1 10 120 TU = ,5 'SPECIFY THE HUMBER OF I í 1T E R y fi L 8 DT 130 18 D I I DE D IHTO WHI CH EñCH TIM E UHIT 14 0 NT = 1 0 0 150 1 6 0 DT = T U , - N T FH IH HE HF T E R DEF ' I N 8 E R T H
P" U R U E 8
Apéndice I
300 310 320 330 340 350 360 370 400
A-17
DU = AU t DT V = V + DV DX = . 5 * < V + V - DV > t 0 T X = X+DX NEXT N P R I N T T I M E í TU V , X L P R I H T T I ME * T ¡J , , X NEXT T I ME END
SALIDA DE MUESTRA T I ME . 5 1 1, 5 ¿
,
5
“7
5 4 4 ,5 5 "7
V E L OC I T Y ¿ !“ ! , 8 6 6 2 5 lü i 1 y 6 4 9 9 2 6 , 19618 85994 20 . 8 5 6 1 5 17 , 1 8 4 8 6 12 , 8 4 6 1 2 r’ i o 3 9 8 4 3 2 , 16 6 0 8 4 - 4 , 1 75166
F'OS I T I OH 14 , 5 4 4 3 7 2 y , 75499 42 , 2 9 8 1 54 , 8 3 9 9 3 6 6 . tí 4 6 7 6 75 , 5 8 4 8 8 3 , 1203 88 , 31959 90 , 8 4 8 8 6 90 , 3 7 4 3 1
2. FUERZAS DEPENDIENTES DE LA VELOCIDAD Este programa puede utilizarse como se describió en la sección 6-7 para analizar el movimiento de un proyectil sujeto a una fuerza de arrastre. En este caso la fuerza está escrita en la línea 200 como F(x) = g - bv2, siendo g = 9.8 y b = 0.33. Pueden ser sustituidas en la línea 200 otras
expresiones para fuerzas dependientes de la velocidad. La salida nos muestra que la partícula alcanza su velocidad terminal de alrededor de 5.4 m/s después de un tiempo de 1.5 s, durante el cual ha viajado unos 6 m.
LISTADO DEL PROGRAMA_________________________________________________________________________ 18 ' BAS I C K I H E M A T I C S PROGRflM - - V E L OC I T Y DEPENDENT 20 ' G I VE N A' ; V>, V 0 , X0: COMPUTES V Í T ) , X ( T > 30 ' S P E C I F Y I N I T I ñ L VALUES 4 0 V0 = ü 5 0 X0 = 0 60 ' S P E C I F Y THE MAXIMUM HUMBER 0F TI ME U N I T S 70 1 F0R WHICH THE PROGRñM SHOULD RIJN 80 TMAX = 10 9 0 ' S P E C I F Y THE VALUE OF ONE T I M E UN I T 10 0 ’ E X A MP L E : tí , 5 F 0 R 0 , 5 S E C 0 N D 110 1 EXAMPLE: 2 , 0 FOR 2 . 0 HOUR 120 T U = . 2 5 130 ' S P E C I F Y THE NUMBER OF I NTERVALS DT 140 1 I NTO WHICH EACH T I M E UN I T I S D I V I D E D 150 HT = 1 0 0
160
DT = TU/ NT
170 180 190 200 210 220 230 240 250
V=V0 X= X 0 ’ I NSERT A < V > I MME DI AT E L Y AFTER DEF F N A ( V >= 9 , 8 - , 3 3 * V * V PRINT "TIME VELOCITY LF' RI NT " T I M E VELOCITY ' BEGI N I T E R A T I O H FOR TI ME = 1 TO TMAX FOR N = 1 TO NT
DEF
FN
IN
NEXT
POS I T I ON" POS I T I ON"
FORCES
STATEMENT
A-18
Programas para la computadora
260 270
m
2gy
i¡ =
= FHf\
DU^F l U *:DT y
+
o
2 9 0 D X = ,5 * < 300 X = X+DX 310 32 0 330 340 400
-
D M :>t D T
HEXI N PRIHT TIME t TU , V , X L P R I H T T I M E t TU V , X HEXT TIME END
SALIDA DE MUESTRA TIME ,2 5 ,5 .75 1 1:2 5 1.5 1,75 2 2,25 2.5
VELOCITY 2,299237 3,905542 4,765719 5,161553 5,330923 5,4 01125 5,42984 5,441519 5,446261 5 ,448183
P O S I T I OH ,2966358 1 ,0 8 959 2, 1 86 36 3,434 4 , 74 8592 6,0913 82 7,445783 8 , 8 0 4 9 18 10,16598 11,52782
3. FUERZAS DEPENDIENTES DE LA POSICIÓN Este programa se usó en la sección 8-4 para analizar el movimiento de una partícula oscilante sujeta a una fuerza F = -kx. La fuerza está insertada en la línea 200 como
F(x) = -9.6x, de modo que k = 9.6. La salida muestra que la partícula oscila con un periodo de 3.2 s, como es de esperarse para una partícula de esta masa (línea 60).
LISTADO DE PROGRAMA 10 2ü 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160
' B H S I C K I H E M ñ T I C S PROGRHM - - P O S I T I O H D E P E H D E H T ' G I E H F
FORCES
17 0
i, i = i,¡ 0
190 2 00 210 220 230 240 250 260
' I H S E R T F
Apéndice I
•i”r
!— LJ
+
'BEGIN ITERñTION FOR TIME = 1 TO TMHX FOR N = i TO NT ñ = F NF í X > / M ' ñCCELERÑTION IN INTE RVñ L + , 5 1 Ht DTtDT ' POSITION flT END OF INTERVfiL y = y + n*DT ' VELOCITY HT END OF INTER VAL NEXT N T I ME*TU .i : PR I NT USING " + # # # # # # # # # # . # ## " V PRINT IJSIHG LPRINT USING; 11# # # , # # " .i T I ME*TU : LPR I NT USING " + # # # # # # # # # # , # # # " NEXT TIME END El
278 2 S0 290 300 3 10 320 330 3 40 350 360 400
A-19
SALIDA DE MUESTRA
TIME h) 0 00 0 10 0 20 0 30 0 40 0 50 0 60 0 70 0 80 0 90 1 0 tí 1 10 1 20 1 30 1 4ü 1 5tí 1 60 1 70 1 80 1 90 2 00 ¿1 10 •j 20 ¿1 3 0 40 2 5tí 60 70 80 90 i; 00 10 yt 20 30 ;•? 40 50 60 70 -7 80 T 90 4 00
VELOCITY
POS IT ION i M> +0 050 + 0 04 9 + 0 04 6 +0 042 + 0 035 + 0 028 0 19 + 0 0 10 + 0 - 0 000 - 0 0 10 - 0 0 19 - 0 028 - 0 036 - 0 042 - 0 047 - 0 050 - 0 05 1 - 0 050 - 0 04 7 - 0 042 - 0 036 - tí tí 2 8 - 0 020 - 0 0 10 - 0 000 + 0 0 10 + 0 0 19 +0 028 + 0 036 + 0 043 04 7 + 0 050 + 0 + 0 052 051 + 0 + 0 048 + tí 04 3 + 0 03 7 O2 9 + 0 +0 020 + 0 01 1 +0 00 1 ¡
APÉNDICE J PREMIOS NOBEL DE FÍSICA* 1901 Wilhelm Konrad Roentgen 1902 Hendrik Antoon Lorentz Pieter Zeeman 1903 Antoine Henri Becquerel Pierre Curie Marie Sklowdowska-Curie 1904 Lord Rayleigh (John William Strutt) 1905 Philipp Eduard Antón v. Lenard 1906 Joseph John Thomson
1862-1947 1856-1940
1907 Albert Abraham Michelson
1852-1931
1908 Gabriel Lippmann
1845-1921
1909 Guglielmo Marconi Cari Ferdínand Braun 1910 Johannes Diderik van der Waals
1874-1937 1850-1918 1837-1932
1911 Wilhelm Wien
1864-1928
1912 Nils Gustaf Dalén
1869-1937
1913 Heike Kamerlingh Onnes
1853-1926
1914 Max von Laue
1879-1960
1915 William Henry Bragg William Lawrence Bragg 1917 Charles Glover Barkla
1862-1942 1890-1971 1877-1944
1918 Max Planck 1919 Johannes Stark
1858-1947 1874-1957
1920 Charles-Édouard Guillaume
1861-1938
1921 Albert Einstein
1879-1955
1922 Neils Bohr
1885-1962
1923 Robert Andrews Millikan
1868-1953
1924 Karl Manne Georg Siegbahn
1888-1979
1925 James Franck Gustav Hertz
1882-1964 1887-1975
1845-1923 1853-1928 1865-1943 1852-1908 1859-1906 1867-1934 1842-1919
por el descubrimiento de los rayos X por sus investigaciones sobre la influencia del magnetismo en los fenómenos de radiación por su descubrimiento de la radiactividad espontánea por sus investigaciones conjuntas sobre los fenómenos de radiación descubiertos por el profesor Henri Becquerel por sus investigaciones de las densidades de los gases más importantes y por su descubrimiento del argón por su trabajo sobre los rayos catódicos por sus investigaciones teóricas y experimentales sobre la conducción de la electricidad en los gases por sus instrumentos ópticos de precisión y las investigaciones metrológicas llevadas a cabo con su ayuda por su método para reproducir los colores fotográficamente basado en los fenómenos de interferencia por sus contribuciones al desarrollo de la telegrafía inalámbrica por su trabajo sobre la ecuación de estado para los gases y los líquidos por sus descubrimientos con respecto a las leyes que gobiernan la radiación del calor por su invento de los reguladores automáticos para usarse junto con los acumuladores de gas para iluminar los faros y las boyas por sus investigaciones de las propiedades de la materia a bajas temperaturas que condujeron, entre otras cosas, a la producción del helio líquido por su descubrimiento de la difracción de los rayos Róntgen en los cristales por sus servicios en el analisis de la estructura cristalina por medio de los rayos X por su descubrimiento de los rayos X característicos de los elementos por su descubrimiento de los cuantos de energía por su descubrimiento del efecto Doppler en los rayos canal y la separación de las líneas espectrales en los campos eléctricos por el servicio rendido a las mediciones de precisión en física a través de su descubrimiento de las anomalías en las aleaciones de acero-níquel por sus servicios a la física teórica, y especialmente por su descubrimiento de la ley del efecto fotoeléctrico por la investigación de la estructura de los átomos y de la radiación que emana de ellos por su trabajo sobre la carga elemental de electricidad y sobre el efecto fotoeléctrico por sus descubrimientos e investigación en el campo de la espectroscopia de rayos X por su descubrimiento de las leyes que gobiernan el impacto de un electrón sobre un átomo
Apéndice J 1926 Jean Baptiste Perrin
1870-1942
1927 Arthur H olly Compton Charles Thom son R ees W ilson
1892-1962 1869-1959
1928 O w en W illans Richardson
1879-1959
1929 Prince Louis-V ictor de Broglie 1930 Sir Chandrasekhara Ventaca Raman 1932 W em er Heisenberg
1892-1987 1888-1970
1933 Erwin Schrodinger
1887-1961
Paul Adrien Maurice Dirac 1935 James Chadwick 1936 Víctor Franz H ess Cari D avid Anderson 1937 Clinton Joseph D avisson G eorge Paget Thomson 1938 Enrico Fermi
1902-1984 1891-1974 1883-1964 1905-1991 1881-1958 1892-1975 1901-1954
1939 Ernest Orlando Lawrence
1901-1958
1943 Otto Stern
1888-1969
1944 Isidor Isaac Rabi
1898-1988
1945 W olfgang Pauli 1946 Percy W illiam s Bridgman
1900-1958 1882-1961
1947 Sir Edward Victor Appleton
1892-1965
1948 Patrick Maynard Stuart Blackett
1897-1974
1949 Hideki Yukawa
1907-1981
1950 C ecil Frank Pow ell
1903-1969
1951
Sir John D ouglas Cockcroft Ernest Thomas Sinton W alton 1952 F élix B loch Edward M ills Purcell 1953 Frits Zernike
1897-1967 19031905-1983 19121888-1966
1954 Max Born
1882-1970
Walther B othe 1955 W illis Eugene Lamb
1891-1957 1913-
Polykarp Kusch
1901-1976
1911-
1956 W illiam Shockley John Bardeen Walter Houser Brattain 1957 Chen N ing Yang Tsung D ao Lee
1910-1989 1908-1991 1902-1987 19221926-
1958 Pavel A lecksejecic Cerenkov Il’ja M ichajlovic Frank
19041908-1990
A-21
por su trabajo sobre la estructura discontinua de la materia, y especialm ente por su descubrimiento del equilibrio de la sedimentación por su descubrimiento del efecto que lleva su nombre por su m étodo para hacer visib les las trayectorias de las partículas cargadas eléctricam ente por la condensación del vapor por su trabajo sobre los fenóm enos term oiónicos y especialm ente por el descubrimiento de la ley que lleva su nombre por su descubrimiento de la naturaleza ondulatoria de los electrones por su trabajo sobre la dispersión de la luz y por el descubrimiento del efecto que lleva su nombre por la creación de la m ecánica cuántica cuya aplicación ha conducido, entre otras cosas, al descubrimiento de las formas alotrópicas del hidrógeno por el descubrimiento de nuevas formas productivas de la teoría atómica por su descubrimiento del neutrón por el descubrimiento de la radiación cósm ica por su descubrimiento del positrón por sus descubrimientos experim entales de la difracción de los electrones por cristales por sus demostraciones de la existencia de nuevos elem entos radiactivos producidos por la irradiación con neutrones, y por su descubrimiento relacionado con las reacciones nucleares causadas por neutrones lentos por el invento y desarrollo del ciclotrón y por los resultados obteni dos con él, especialm ente en elem entos radiactivos artificiales por su contribución al desarrollo del m étodo de rayos moleculares y su descubrimiento del m om ento m agnético del protón por su m étodo de la resonancia para registrar las propiedades m agnéticas de los núcleos (de los átomos) por el descubrimiento del Principio de exclusión (principio Pauli) por el invento de un aparato para producir presiones extremadamente altas, y por los descubrimientos que hizo por ello en el campo de la física de altas presiones por sus investigaciones de la física de la alta atmósfera, especialm ente por el descubrimiento de la capa llamada Appleton por su desarrollo del m étodo de la cámara W ilson, y con ello sus descubrimientos en física nuclear y radiación cósm ica por su predicción de la existencia de los m esones con base en el trabajo teórico sobre las fuerzas nucleares por su desarrollo del m étodo fotográfico para estudiar los procesos nucleares y sus descubrim ientos, hechos con este m étodo, con respecto a los m esones por su trabajo pionero sobre la transmutación de los núcleos atóm icos por partículas atóm icas aceleradas artificialmente por su desarrollo de nuevos m étodos de precisión para la resonancia magnética nuclear y sus descubrim ientos en conexión con ellos por su demostración del m étodo de contraste de fase, especialm ente por su invento del m icroscopio de contraste de fase por su investigación fundamental en la m ecánica cuántica, especialm ente por su interpretación estadística de la función de onda por el m étodo de coincidencia y sus descubrimientos a partir de ello por sus descubrimientos concernientes a la estructura fina del espectro del hidrógeno por su determinación de precisión del mom ento m agnético del electrón por sus investigaciones sobre los sem iconductores y su descubrimiento del efecto transistor por su penetrante investigación de las ley es de la paridad que condujeron a importantes descubrimientos sobre las partículas elem entales por el descubrimiento e interpretación del efecto Cerenkov
A-22
Premios Nobel en física
Igor’ Evgen’ evic Tamm 1959 Emilio Gino Segré Owen Chamberlain 1960 Donald Arthur Glaser 1961 Robert Hofstadter Rudolf Ludwig Móssbauer
1895-1971 1905-1989 192019261915-1990 1929-
1962 Lev Davidovic Landau
1908-1968
1963 Eugene P. Wigner
1902-
Maria Goeppert Mayer
1906-1972
J. Hans D. Jensen 1964 Charles H. Townes Nikolai G. Basov Alexander M. Prochorov 1965 Sin-itiro Tomonaga Julián Schwinger Richard P. Feynman 1966 Alfred Kastler
1907-1973 1915192219161906-1979 19181918-1988 1902-1984
1967 Hans Albrecht Bethe
1906-
1968 Luis W. Alvarez
1911-1988
1969 Murray Gell-Mann
1929-
1970 Hannes Alvén
1908-
Louis Néel
1904-
1971 Dennis Gabor 1972 John Bardeen León N. Cooper J. Robert Schrieffer 1973 LeoEsaki Ivar Giaever Brian D. Josephson
1900-1979 1908-1991 19301931192519291940-
1974 Antony Hewish Sir Martin Ryle 1975 Aage Bohr Ben Mottelson James Rainwater 1976 Burton Richter Samuel Chao Chung Ting 1977 Philip Warren Anderson Nevill Francis Mott John Hasbrouck Van Vleck 1978 Peter L. Kapitza
19241918-1984 192219261917-1986 1931 1936192319051899-1980 1894-1984
Amo A. Penzias
1926-
Robert Woodrow Wilson
1936-
por su descubrimiento del antiprotón por el invento de la cámara de burbujas por sus estudios pioneros sobre la dispersión de los electrones por núcleos atómicos y por sus descubrimientos realizados concernientes a la estructura de los nucleones por sus investigaciones concernientes a absorción de los rayos y en resonancia y su descubrimiento a este respecto del efecto que lleva su nombre por sus teorías pioneras de la materia condensada, especialmente del helio líquido por su contribución a la teoría del núcleo atómico y las partículas elementales, particularmente a través del descubrimiento y la aplicación de los principios fundamentales de la simetría por sus descubrimientos concernientes a la estructura de capas del núcleo por el trabajo fundamental en el campo de la electrónica cuántica que condujo a la construcción de los osciladores y los amplificadores basada en el principio maser-láser por el trabajo fundamental en el campo de la electrodinámica cuántica, con consecuencias de profunda penetración en la física de las partículas elementales por el descubrimiento y desarrollo de métodos ópticos para el estudio de la resonancia Hertziana en los átomos por sus contribuciones a la teoría de las reacciones nucleares, especialmente sus decubrimientos concernientes a la producción de energía en las estrellas por su contribución decisiva a la física de las partículas elementales, en particular el descubrimiento de un gran número de estados de resonancia, hecho posible a través de su desarrollo de la técnica de emplear la cámara de burbujas de hidrógeno y el análisis de datos por su contribución y descubrimientos concernientes a la clasificación de las partículas elementales y sus interacciones por el trabajo fundamental y los descubrimientos en magnetohidrodinámica con aplicaciones fructíferas en diferentes partes de la física del plasma por el trabajo fundamental y los descubrimientos concernientes al antiferromagnetismo y el ferromagnetismo que condujeron a aplicaciones importantes en la física del estado sólido por su descubrimiento de los principios de la holografía por su desarrollo de una teoría de la superconductividad por su descubrimiento del efecto túnel en los semiconductores por su descubrimiento del efecto túnel en los superconductores por su predicción teórica de las propiedades de una supercorriente a través de una barrera túnel por su descubrimiento de los púlsares por su trabajo pionero en radioastronomía por el descubrimiento de la conexión entre el movimiento colectivo y el movimiento de partícula y el desarrollo de la teoría de la estructura del núcleo atómico basada en esta conexión por su descubrimiento (independiente) de una partícula fundamental importante por sus investigaciones teóricas fundamentales de la estructura electrónica de los sistemas magnéticos y desordenados por sus inventos y descubrimientos básicos en física de bajas temperaturas por su descubrimiento de la radiación fósil (radiación cósmica de fondo en la región de las microondas)
Apéndice J
1979 Sheldon Lee Glashow Abdus Salam Steven Weinberg 1980 James W. Cronin Val L. Fitch
19321926193319311923-
1981 Nicolaas Bloembergen Arthur Leonard Schawlow Kai M. Siegbahn
192019211918-
1982 Kenneth Geddes Wilson
1936-
1983 Subrehmanyan Chandrasekhar William A. Fowler
19101911-
1984 Cario Rubbia Simón van der Meer
19341925-
1985 Klaus von Klitzing 1986 ErnstRuska Gerd Binnig
194319061947-
Heinrich Rohrer 1987 Karl Alex Müller J. Georg Bednorz 1988 León M. Lederman Melvin Schwartz Jack Steinberger 1989 Hans G. Dehmelt Wolfgang Paul Norman F. Ramsey
193319271950192219321921192219131915-
1990 Richard E. Taylor Jerome I. Friedman
19291930-
Henry W. Kendall 1991 Pierre-Gilles de Gennes
19261932-
por sus modelos unificados de la acción de las fuerzas débiles electromagnéticas y por su predicción de la existencia de corrientes neutras por el descubrimiento de las violaciones de los principios fundamentales de la simetría en la desintegración de los mesones K neutros por su contribución al desarrollo de la espectroscopia láser por su contribución de la espectroscopia electrónica de alta resolución por su método para analizar los fenómenos críticos inherentes en los cambios de la materia bajo la influencia de la presión y la temperatura por sus estudios teóricos de la estructura y evolución de las estrellas por sus estudios de la formación de los elementos químicos en el Universo por sus contribuciones decisivas al gran proyecto que condujo al descubrimiento de las partículas de campo W y Z, portadoras de la interacción débil por su descubrimiento de la resistencia Hall cuantizada por su invento del microscopio electrónico por su invento del microscopico electrónico de barrido por efecto túnel por su descubrimiento de una nueva clase de superconductores por experimentos con haces de neutrinos y el descubrimiento del neutrino del muón por su desarrollo de las técnicas para atrapar átomos individuales por sus descubrimientos en la espectroscopia por resonancia atómica, que condujeron a los masers de hidrógeno y a los relojes atómicos por sus experimentos sobre la dispersión de los electrones por núcleos, lo que revela la presencia de los quarks dentro de los nucleones por descubrimientos respecto al ordenamiento de las moléculas en sustancias tales como los cristales líquidos, los superconductores y los polímeros
* Véase N o b e l L ectores, P h y s ic s , E ls e v ie r P u b lis h in g C om p any para las bio g ra fía s de los prem iados y las disertaciones dadas p o r e llo s al re c ib ir el p rem io.
A-23
APÉNDICE K
TABLAS ALGUNOS SÍMBOLOS MATEMÁTICOS = = = > » > < « <
~ OC lím £
igual a aproximadamente igual a no es igual a es idéntico a, se define como es mayor que es mucho mayor que es mayor que o igual a es menor que es mucho menor que es menor que o igual a
JAx w
X dfjdx d f/d x
es del orden de la magnitud de es proporcional a el límite de la suma de la integral de el cambio o diferencia en x el valor absoluto o la magnitud absoluta de x el valor promedio de x la derivada de/con respecto a x la derivada parcial de/ con respecto a x
LOS PREFIJOS DEL SISTEMA INTERNACIONAL (SI) Factor
1018 IO15 1012 IO9 106 103 102 10'
Prefijo exa peta tera giga mega kilo hecto deca
Símbolo E P T G M k h d
Factor
10 1 IO2 IO3 10'6 10-9 1012 1015 1018
Prefijo deci centi mili micro nano pico femto atto
Símbolo d c m V n P f a
ALFABETO GRIEGO alfa beta gamma delta épsilon zeta eta theta
A B
r A E Z H 0
a P y
8 £
c n 6
iota kappa lambda my ny xi ómicron Pi
K
i K
A
A
I
M N
V
0
? 0 K
n
rho sigm a tau ípsilon fi ji psi omega
n E T Y 4>
X »P
Q
p a T V
X V co
ALGUNAS TABLAS EN EL TEXTO Tabla Unidades básicas del SI Prefijos del SI Ecuaciones para el movimiento con aceleración constante Ecuaciones vectoriales para el movimiento con aceleración constante Coeficientes de fricción Algunas velocidades terminales en el aire Movimiento con aceleración lineal o angular constante Inercias de rotación (figura) Comparación de las ecuaciones de la dinámica lineal y de rotación Resumen de las ecuaciones de la dinámica rotatoria Algunas propiedades elásticas de materiales selectos de interés en ingeniería Variación de g0 con la altitud Ciertas velocidades de escape Algunas densidades Viscosidad de una selección de fluidos La velocidad del sonido Algunas intensidades y niveles de sonido Las ecuaciones de transformación de Lorentz La transformación de Lorentz de la velocidad Algunos coeficientes de dilatación lineal promedio Algunas velocidades moleculares a la temperatura ambiente Capacidades caloríficas de algunas sustancias Algunos calores de transformación Capacidades caloríficas molares de los gases Algunas conductividades térmicas y valores de R
Capítulo
Página
2
1 1 2 4
6 6 11 12 12
13 14 16 16 17 18
20 20 21 21 22 23 25 25 25 25
3 27 62
120 132 265 282 288 321 343 389 395 422 453 497 501 528 530 556 570 610 610 614 623
ALGUNAS UNIDADES Y SUS ABREVIATURAS ampere año atmósfera caballo de vapor caloría coulomb día electronvolt farad gauss grado Celsius grado Fahrenheit gramo henry hertz hora joule kelvin libra
A y atm hp cal C d eV F G °C °F g H Hz h J K Ib
litro metro milla minuto mol newton ohm pascal pie pulgada radián revolución segundo tesla unidad de masa atómica unificada unidad térmica británica volt watt weber
L m mi min mol N Q Pa ft in. rad rev s T u Btu V W Wb
A-26
Tablas
ALGUNAS PROPIEDADES FÍSICAS Aire (seco, a 20°C y 1 atm) Densidad Calor específico a presión constante Razón de las capacidades caloríficas específicas Velocidad del sonido Resistencia a la disrupción eléctrica Masa molar efectiva
1.21 kg/m3 1010 J/kg • K 1.40 343 m/s 3 x 106V/m 0.0289 kg/mol
Agua Densidad Velocidad del sonido Calor específico a presión constante Calor de fusión (0°C) Calor de vaporización (100°C) índice de refracción (A = 589 nm) Masa molar
1000 kg/m3 1460 m/s 4190 J/kg • K 333 kJ/kg 2260 kJ/kg 1.33 0.0180 kg/mol
Tierra Masa Radio medio Aceleración de la caída libre en la superficie de la Tierra Atmósfera estándar Periodo del satélite a 100 km de altitud Radio de la órbita geosíncrona Velocidad de escape Momento dipolar magnético Campo eléctrico medio en la superficie
5.98 x 1024kg 6.37 x 106m 9.81 m/s2 1.01 x 10’ Pa 86.3 min 42,200 km 11.2 km/s 8.0 x io22A • m2 150 V/m, abajo
Distancia a: La Luna El Sol La estrella más cercana El centro galáctico La galaxia de Andrómeda Borde del universo observable
3.82 x 108 m 1.50 x 10" m 4.04 x io 16m 2.2 x io20m 2.1 x io22m - 1026m
Apéndice K
ALGUNAS CONSTANTES FÍSICAS* Velocidad de la luz Constante gravitatoria Constante de Avogadro Constante universal de los gases Relación masa-energía
c G N, R c2
Constante dieléctrica Constante de permeabilidad Constante de Planck
Mo h
Constante de Boltzmann
ife
Carga elemental Masa de un electrón en reposo Masa de un protón en reposo Radio de Bohr Magnetón de Bohr
*0
e « c w p
a0 Hb
3.00 x 108m/s 6.67 x 10“ N • m2/kg2 6.02 x 1023mol-1 8.31 x J/mol • K 8.99 x 1016J/kg 931.5 x MeV/u 8.85 x 10 12F/m 1.26 x 10"6H/m 6.63 x 10 MJ • s 4.14 x 10'1SeV • s 1.38 x 10'23J/K 8.62 x IO'5eV/K 1.60 x 10'19C 9.11 x 10-31kg 1.67 x 10 27kg 5.29 x 10 “ m 9.27 x IO'24J/T 5.79 x 10'5eV/T
*Para una lista más completa que muestre también los valores experimentales más usados, véase el apéndice B.
ALGUNOS FACTORES DE CONVERSIÓN* Masa 1 kg = 1000 g = 6.02 x 1026u 1 u = 1.66 x 10'27kg
Velocidad 1 m/s = 3.28 ft/s = 2.24 mi/h 1 km/h = 0.621 mi/h
Longitud 1 m = 100 cm = 39.4 in = 3.28 ft 1 mi = 1.61 km = 5280 ft 1 in = 2.54 cm 1 nm = 10"9m = 10 A
Fuerza y presión 1 N = 105dinas = 0.225 Ib 1 Pa = 1 N/m2=10 dinas/cm3= 1.45 x IO4lb/in2 1 atm = 1.01 x IO3Pa = 14.7 lb/in2= 76 cmHg
Tiempo 1 d = 86 400 s 1 año = 365 -4 d = 3.16 x 107s Volumen 1 L = 1000 cm3= 10"3m3= 1.06 cuartos de galón 1 gal (U.S.) = 231 in3= 3.79 L Medidas angulares 1 rad = 57.3° = 0.159 rev 7rrad = 180° = i rev *Véase el apéndice G para una lista más completa.
Energía y potencia 1 J = 107erg = 0.239 cal = 0.738 ft • Ib 1 kW • h = 3.6 * 10* J 1 cal= 4.19 J 1 eV = 1.60 x IO'19J 1 horsepower = 746 W = 550 ■lb/s Electricidad y magnetismo 1 T = 1 Wb/m2= 104gauss
A-27
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS CON NÚMERO IMPAR CAPÍTULO 1 3. 52.6 min; 5.2%. 5. —0.44%. 7. ( a ) Sí. (b) 8.6 s. 9. 720 días. 11. 55 s; alrededor de un minuto. 13. 2 d 5 h. 15. (a) 100 m; 8.56 m; 28.1 ft. (b) 1 mi; 109 m; 358 ft. 17. 1.88 X 1022 cm3. 19. (a) 4.00 X 104km. (b) 5.10 X 10* km2, (c) 1.08 X 10'2 km3. 21. 2.86 X 10-3 años-luz/siglo. 23. ( a ) 4.85 X 10-6 pe; 1.58 X 10-5 años-luz. (tí) 9.48 X 1012 km; 3.08 X 1013 km. 25. ( a ) 390. (b) 5.9 X 107. (c) 3500 km. 27. 5.97 X 1026. 29. Nueva York. 31. 840 km. 33. 132 kg/s. 37. 605.780211 nm. 39. ( a ) 43.2 cm2. (b ) 43 cm2. 41. slGh/c3= 4.05 X 10“35m. CAPÍTULO 2 1. 81 ft (24 m). 3. 2 cm/año. 5. 48 mi/h. (El físico hizo otro movimiento además de este viaje semanal.) 7. ( a ) 45.0 mi/h (72.4 km/h). (tí) 42.8 mi/h (68.8 km/h). (c) 43.9 mi/h (70.6 km/h). 9. ( a ) 0, 0, - 2 , 0, 12 m. (tí) - 2 , 12 m. (c) 7, 0 m/s. 11. ( a ) 5.7 ft/s. (b ) 7.0 ft/s. 13. ( a ) 28.5 cm/s. (b ) 18.0 cm/s. (c) 40.5 cm/s. ( d ) 28.1 cm/s. (e) 30.4 cm/s. 15. —2 m/s2. 19. ( á ) O A : +, - ; A B : 0, 0; B C : +, +; C D : +, 0. (b ) No. 21. ( e ) Situaciones ( a ) , (b ) , y ( d ) . 23. ( a ) 80 m/s. (tí) 110 m/s. (c) 20 m/s2. 25. (b ) -0.030, -0.020, -0.010, 0.0 m/s. (c) -0.040, -0.020, 0.0, 0.020, 0.040, 0.060 m/s. (e ) 0.020, 0.020, 0.020 m/s2. 27. ( b ) 19 m/s. (c) 31 m. 29. 2.8 m/s2(9.4 ft/s2). 31. 560 ms. 33. 1.4 X 1015 m/s2. 35. 2.6 s. 37. ( a ) 4.5 X 104ft/s2. (b ) 5.8 ms. 39. ( a ) 5.71 m/s2. (tí) 3.68 s. (c ) 5.78 s. ( d ) 95.4 m. 41. ( a ) 60.6 s. (b ) 36.4 m/s. 43. ( a ) 0.75 s. (b ) 50 m. 45. ( a ) 82 m. (b ) 19 m/s. 47. ( a ) 12 ft/s2(3.6 m/s2). (b ) 3.7 ft/s (1.4 m/s). 49. ( a ) 0.74 s. (b) -2 0 ft/s2. 51. ( a ) 48.5 m/s. (b ) 4.95 s. (c ) 34.3 m/s. ( d ) 3.50 s. 53. (a) 32.4 m/s. (b) 6.62 s. 55. Mercurio. 57. 1.23, 4.90, 11.0, 19.6, 30.6 cm. 59. 3.0 m (9.8 ft). 61. ( a ) 350 ms. (b ) 82 ms. 63. 22.2 y 88.9 cm abajo de la boca de una regadera. 65. 130 m/s2, arriba. 67. ( a ) 3.41 s. (b) 57.0 m. 69. = 0.3 s. 71. ( a ) 17.1 s. (b ) 293 m. 75. 6.8 cm.
CAPÍTULO 3 1. Los desplazamientos deberán ser ( a ) paralelos, (b ) antiparalelos, (c) perpendiculares. 3. ( a ) 370 m, 57° al Este del Norte. (b ) Magnitud del desplazamiento = 370 m; distancia caminada = 420 m.
7. (a) 4.5 unidades, 52° al Norte del Este. (b) 8.4 unidades, 25° al Sur del Este. 9. Walpole (la prisión estatal). 11. (a) 4.9 m. (b) 12 m. 13. 4.76 km. 15. (a) 28 m. (b) 13 m. 17. (a) lOi + 12j+ 14k. (tí) 21 ft. (c) Puede ser igual o mayor, pero no menor, (d) 26 ft. 19. (a) 3i —2j + 5k. (b) 5i —4j —3k. (c) —5i + 4j + 3k. 21. (a) 1400i + 2 lOOj - 48k. (tí) Cero. 23. (a) rx = 2.50, ry = 15.3. (b) 15.5. (c) 80.7°. 27. (a) ai + aj + ak, ai + aj —ak, ai —aj —ak, ai —aj + ak. (b) 54.7°. (c) a/3~. 33. (a) -19. (b) 27, dirección +z positiva. 39. (d) -21. (b) - 9 . (c) 5i —1lj —9k. 41. (a) 0. (b) - 16. (c) —9. 43. (a) 2.97. (b) 1.5li —2.67j —1.36k. (c) 48.5°. 49. 70.5°. CAPÍTULO 4 1. (a) 920 mi, 63° al Sur del Este. (b) 410 mi/h, 63° al Sur del Este, (c) 550 mi/h. 3. (a) 3.9 km/h. (tí) 13°. 5. (a) 24 ns. (tí) 2.7 mm. (c) 9.6 X 108cm/s; 2.3 X 108cm/s. 7. (a) 8íj + k. (b) 8j. (c) Una parábola. 9. 60°. 11. (a) 514 ms. (b) 9.94 ft/s. 13. (á) 18 cm. (b) 1.9 m. 15. (a) 3.03 s. (tí) 758 m. (c) 29.7 m/s. 17. No. 19. (a) 1.16 s. (tí) 13.0 m. (c) 18.8 m/s; 5.56 m/s. (d) No. 21. (b) 76.0°. 23. (a) 99 ft. (,b) 90 ft/s. (c) 180 ft. 25. (a) 285 km/h. (tí) 33°. 27. (a) 310 ms. (b) 1.9 m y 2.9 m sobre las manos. 29. El tercero. 31. Sí. 33. (a) 260 m/s. (b) 45 s. 35. 23 ft/s. 37. (a) 9.8 s. (b) 2700 ft. 39.40 m (130 ft) aproximadamente. 41. (a) 20 cm. (b) No; la pelota golpea la red a 4.4 cm arriba del suelo. 43. Entre los ángulos 31° y 63° sobre la horizontal. 45. 115 ft/s. 47. (a) D = V'J(2L/g) sen 6 —L eos 0. (b) El proyectil pasará sobre la cabeza del observador si D es positiva y pega en el suelo antes si D es negativa. 49. 5.66 s. 51. 8.98 X 1022 m/s2. 53. (a) 7.49 km/s. (tí) 8.00 m/s2. 55. (a) 94 cm. (b) 19 m/s. (c) 2400 m/s2. 57. (a) 130 km/s. (tí) 850 km/s2. 61. (a) 92. (tí) 9.6. (c) 92 = (9.6)2. 63. 2.6 cm/s2. 65. (a) 33.6 m/s2. (b) 89.7 m/s2. 67. 36 s; no. 69. El viento sopla del Oeste a 55 mi/h. 71. 31 m/s. 75. (a) 5.8 m/s. (tí) 17 m. (c) 61°. (d) 49°. 77.170 km/h, 7.3° al Sur del Oeste. 79. (a) 30° corriente arriba. (b) 69 min. (c) 80 min. (d) 80 min. (e) Perpendicular a la corriente; 60 min. 81. Dirigir al bote 25° corriente arriba, (b) 0.21 h. 83. 0.83c. 85. (tí) t = 2.16 s, x = 97.7 m, y = 22.8 m. (c) t = 4.31 s, x = 195 m, vx = 45.3 m/s, vy = —21.1 m/s.
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Respuestas a los problemas con número impar
CAPÍTULO 5 1. 6.3 años. 3. (a) 1.0 * 10 15N. (b) 8.9 * 10"50N. 5. 8.0 cm/s2. 7. 6500 N. 9. (a) 3.1 cm/s2. (b) 1.2 X 105km. (c) 2.7 km/s. 11. (a) 42i + 34j, m/s. (b) 630i + 250j, m. 13. (a) 1.39 x 108N; 6.94 * 106N. (b) 4.11 años; 4.19 años. 15. (a) 0.62 m/s2. (b) 0.13 m/s2. (c) 2.6 m. 17. (a) 44.4 slug; 1420 Ib. (b) 412 kg; 4040 N. 19. (a) 12.2 N; 2.65 kg. (b) Cero; 2.65 kg. 21. 1600 Ib 23. 1.19 X 106N (133 ton). 25. (a) 1.8 mN. (b) 3.3 mN. 27. 0.15 N. 29. (a) 210 m/s2(710 ft/s2). (b) 17 kN (4000 Ib). 31. (a) 7.3 kg (0.50 slug). (b) 89 N (20 Ib). 33. (a) 2.1 m/s2. (b) 120 N. (c) 21 m/s2. 35. (a) 1.8 m/s2. (b) 3.8 m/s. (c) 4.0 m. (d) 11°. 37. 18.4 kN. 39. (b) 12 ft/s2. (c) 8.9°. 41. 33 m/s. 43. (a) 730 N. (b) 1300 N. 45. (a) 3260 N. (b) 2720 kg. (c) 1.20 m/s2. 47. (a) 5.0 X 105N. (b) 1.4 X 106N. 49. 2 A í(—— ] . \a + g} 51. (a) g sen 6 , hacia abajo del plano inclinado. (ti) g sen 8 , hacia abajo del plano inclinado, (c) (g - a) sen 6 , hacia abajo del plano inclinado. (d) (S + a) sen hacia abajo del plano inclinado, (e) Cero. (/) m(g —a) eos 9. 53. (a) 6.8 m/s. (ti) Si; puede subir por el cable mientras cae. 55. (a) 0.97 m/s2. (b) T, = 1.2 N; T2 = 3.5 N. 57. (a) 135 N. (b) 45.3 N. (c) 75.4 N. 59. (a) 0.217 m/s2. (b) 17.8 N. 61. (a) 12.1 kN. (b) 10.5 kN. (c) 1.60 kN, hacia el contrapeso. 63. (a) 37 N. (ti) 55 N. (c) 36 m/s2, hacia arriba. 65. (b) P/(m + M). (c) PM/(m + M). (d) P(m + 2M)/2(m + M). 67. 1301b.
CAPÍTULO 6 I. 2.3°. 3. 9.3 m/s2. 5. 900 N. 7. (a) 9.1 kN. (b) 9.0 kN. 9. (a) No. (ti) Una fuerza de 12 Ib hacia la izquierda y una fuerza de 5.0 Ib hacia arriba. II. (a) 11.1 N. (ti) 47.3 N. (c) 40.1 N. 15. (a) u20 ¡4g sen 6 . (b) No. 17. (a) 10 kg. (b) 2.7 m/s2. 19. (a) 61 N. (b) 66 N. (c) 5.9 kN. 21. (a) 70 Ib. (b) 4.6 ft/s2. 23. (b) 30 MN. 25. ( a ) 1.24 m / s 2. (ti) 13.4 N. 27. g ( s c n 6 - ñ f i k eos 9). 29. (a) 3.46 m/s2. (ti) 0.910 N, en tensión. (c) 3.46 m/s2; 0.910 N en compresión. 31. (a) 7.6 m/s2. (b) 0.86 m/s2. 33. (a) 730 Ib (3200 N). (b) 0.30. 35. (a) 0.46. (b) 0.92. 37. 870 N; 17°. 39. 0.032. 41. (a) 0.43. (b) 42 m. 43. (a) 175 Ib. (b) 50.0 Ib. 45. (a) 30 cm/s. (b) 170 cm/s2, radialmente hacia adentro, (c) 2.9 mN. (d) 0.40. 47. 2.32 km. 49. (a) En el fondo del círculo. (b) 31 ft/s. 51. (a) 0.0337 N. (b) 9.77 N.__________ 1 / g(tan 9 + fisY , 1 / g(tan 9 —¿tsj~ ' 2n r( 1 —//s tan 9) ’ 2 n r(l + tan 9)' 55. (a) 235 m/s. (b) 107 m/s2. (c) 232 N. 57. (a) 0.632 F0 T/m. (b) 0.368F0T2/m. 59. 4mg/b. 61. 2.0 X 10-5 N-s/m. 63. 1.30 m/s.
V
65. (a)
V
1° (vJ vf)- (b) 19 s. 67. (b) 370 m.
69. (a) 11.7 s. (b) 59.8 m/s. (c) 0.610. 71. 819, 838, 833, 805, 762 m; 30°. 73. (a) t = 1.95 s, jc = 80.4 m, y = 20.0 m, vx = 37.3 m/s, vy = 0, ax = —3.73 m/s2, ay = —9.80 m/s2; (b) t — 1.79 s, x = 68.3 m, y = 17.8 m, vx = 31.7 m/s, vy = 0, ax = —6.33 m/s2, ay = —9.80 m/s2; (c) 151 m, 121 m; (d) para b = 0.10 s 1: vx = 30.3 m/s, vy = -18.5 m/s; para b = 0.20 s-1: vx = 21.1 m/s, vy = —16.4 m/s
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CAPÍTULO 7 1. (a) 580 J. (ti) Cero, (c) Cero. 3. (a) 430 J. (ti) -400 J. (c) Cero. 5. (a) —Mgd. (ti) Mgd. 7. (a) 2160 J. (b) — 1430 J. 9. (a)215 1b.(¿) 1.01 X 104ft-Ib. (c) 48.0 ft. (d) 1.03 X 104ft -Ib. 11. 800 J. 13. (3/2)F0x0. 15. (a) 23 mm. (b) 45 N. 17. (a) 135 N. (b) 60.0 J. 19. 1200 km/s. 21. AB: +; BC: 0; CD\ —, DE: +. 23. 100 ft; no. 25. 20.2 ft -Ib (24.4 J). 27. Hombre, 2.41 m/s; joven, 4.82 m/s. 29. (a) 9.0 x IO4“megatones de TNT”. (ti) 45 km. 31. 6.55 m/s. 33. (a) 304 mJ. (b) - 1.75 J. (c) 3.32 m/s. (d) 22.5 cm. 35. 720 W (0.97 hp). 37. 24 W. 39. (a) 2.45 X 105ft •Ib. (b) 0.619 hp. 41. 90.3 kN. 43. 25 hp. 45. (a) 0.77 mi. (b) 71 kW. 47. 16.6 kW. 49. ( b ) m t v } / t l 51. 2.66 hp. 53. (6)1.95. 55. (a) 10.0 kW. (b) 2.97 kJ. 57. 69 hp. 61. (a) 0.13c. (b) 4.6 keV. (c ) Bajo por 1.3%. 63. (a) 79.1 keV. (6)3.11 MeV. (c) 10.9 MeV. CAPÍTULO 8 1. 110 MN/m. 3. (a) 7.8 MJ. (b) 6.2. 5. 2.15 m/s. 7. (a) 27.0 kJ. (b) 2.94 kJ. (c) 158 m/s; a, b. 9. (a) 2.56 J. (b) 11.1 m/s. 11. 830 ft. 13. 2.75 m/s. 15. (a) 1300 MW. (b) 137 M$. 19. 4.24 m. 21. (a) 34.2 ft/s. (b) 4.32 in. 23. mgL/32. 25. ll.lcm . 27. (a) 8.06mg, a 82.9° a la izquierda de la vertical, (b) 5Rj2. 29. (a) U(x) = —Gmlm1 /x. (b) Gm¡m2 d/xt(xl + d). 31. ( a ) 69.2 J. (b ) 7.99 m/s. ( c ) Conservativa. 35. (a) 44.6 cm. (b) 3.41 cm. 37. (a) V5gR. (ti) 6 = sen'1 (1/3). 41. (c) -1.2 * 10-19J. (d) 2.2 * IO"19J. (e) a 1 x 10"9N, hacia M. 45. (a) - U0(r0r 2 + r~')e:r/'°. (b) 0.14, 0.0078, 6.8 X 10“6. 47. (a) 3.02 y . (b) 391 J. (c) 2.63 kJ. 49. 39 kW. 51. 472 kJ. 53. 4.19 m. 55. 65.1 cm/s. 57. (a) 48.7 m/s. (b) 64.5 kJ. 59. (a) 24.0 ft/s. (b) 3.00 ft. (c) 9.00 ft. (d) 48.8 ft. 61. (a) 10.8 PJ. (ti) 263,000 años. 63. Disminuye en 1.10 kg. 65. 266 veces la circunferencia ecuatorial de la Tierra. 67. 191. 69. 2.21 eV. 71. (a) - 12.5 kJ. (b) 2.70 kJ. (c) -9.80 kJ. (d) 1.70 kJ. (é) 100 J. ( /) x = 2.95 m, y — —2.95 m. 73. (a) 0.541, 0.541, 0.541 J. (b) 0.541, 1.08, 0.383 J.
CAPÍTULO 9 I. (c) x¡ = x cm — ( m 2/ M ) ( L + d¡ eos cot);
= *cm + (m\/M)(L + 4 eos o>t): v, = (m1 /M)diü) sen mt; v2 = —(mJM)d¡(o sen cot. 3. 4640 km (1730 km bajo la superficie de la Tierra). 5. 75.2 km/h. 7. (a) Abajo; mu/(m + M). (ti) Globo de nuevo estacionario. 9. (a) L. (ti) Cero. II. (a) A medio camino entre ellos. (ti) Se mueve 1.12 mm hacia el cuerpo más pesado. (c) 0.00160g, hacia abajo. 13. g(l - 2x/L). 15. 55.2 kg. 17. L¡5 a partir de la barra pesada, a lo largo del eje de simetría. 19. xcm= >’cm= 20 cm; zcm = 16 cm. 21. 4 R ¡3 it arriba de la base plana, a lo largo del eje de simetría. 23. (a) 6.94 X 104J. (b) 3.56 x io4kg • m/s, 38.7° al Sur del Este. 25. (a) 6.96 J. (ti) Pi = 0.854 kg •m/s, 27.4° arriba de la horizontal; P¡ =0.854 kg •m/s, 27.4° abajo de la horizontal; 0.786 kg ■m/s, verticalmente hacia abajo, (c) 1.53 s. 29. 0.0103 ft/s, hacia atrás. 31. wvJ(W + w). 33. 27. 35. ( a ) Cubierta del cohete: 7290 m/s; carga útil: 8200 m/s. *2
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Respuestas a los problemas con número impar
(b) Antes: 12.71 GJ; después: 12.75 GJ. 37. (a) 1.4 x 10 “ kg •m/s, a 150° de la traza del electrón y 120° de la traza del neutrino. (b) 1.0 eV. 39. (a) 746 m/s. (b) 963 m/s. 41. Sí. u eos a \ ,— r rn - = = = = = ) 4lgh, u = ——— . 45. 2.66 m/s. v 1 —u eos2a ) m +M 47. (a) 1790 N. (b) 609 J. 51. (a) 2.72. (b) 7.39. 53. 1.33 km/s. 55. 60 N. 57. (a) 49.1 kg. (b) 141 kg. 59. (a) 23.4 kN (5260 Ib), (b) 4.31 MW (5780 hp).
(
CAPÍTULO 10 I. 64 kN. 3 .2 fiu. 5. (a) 2.40 N •s. (b) 2.40 N •s. (c) 2.00 kN. (d) 62.7 J. 7. 3.29 kN (744 Ib). 9. (a) 2.20 N • s, a la izquierda. (b) 212 N, a la derecha. II. (a) 1.95 x 105kg • m/s, para cada dirección del empuje: (b) Hacia atrás: +66.1 MJ; hacia adelante: -50.9 MJ; lateralmente: +7.61 MJ. 13.41.7 cm/s. 17. (a) 1.03 kg-m/s. (b) 250 J. (c) 10.3 N. (d) 824 N. 19. 124 kW. 21. (a) 1.9 m/s, a la derecha, (b) Sí. 23. 4.2 m/s. 25. (a) 2.74 m/s. (b) 1.46 km/s. 27. =2 mm/año. 29. 1.2 kg. 31. (a) 74.4 m/s. (b) 81.5 m/s; 84.1 m/s. 33. (a) A: 4.57 m/s; B: 3.94 m/s. (b) 7.53 m/s. 35. 12.9 toneladas 37. (a) 4.21 ft/s; 2210 ft • Ib. (b) 3.21 ft/s; 5.51 ft/s. 39. 41.0 N. 41. 35.9 cm. 43. J 2 e ( - + - ) . 47. (a) 4.0i + 5.0j, m/s. Y \ Mm / (b) Se gana 700 J. 51. (a) 26° a partir de la dirección de llegada del protón, (b) 227 m/s; 466 m/s. 53. v = V/4. 55. (a) 3.43 m/s, desviado 17.3° a la derecha. (b) 954 kJ. 57. (a) 28.0°. (¿>) 7.44 m/s. 61. 2.44 m/s, a la izquierda. 63. (a) 117 MeV. (b) Kx = 102 MeV; K„ = 15.0 MeV. 65. (a) ( - 1.041 + 0.655j) X 10~19kg-m/s. (b) 7.66 MeV.
CAPÍTULO 11 3. (a) 5.5 X 1015 s. (b) 26. 5. (a) 0.105 rad/s. (b) 1.75 X 10“3rad/s. (c) 1.45 X 10~4rad/s. 7. 11 rad/s. 9. (a) 4.8 m/s. (b) No. 11. (b) 23 h 56 min. 13. (a) 8140 rev/min2. (b) 425 rev. 15. (a) — 1.28 rad/s2. (b) 248 rad. (c) 39.5 rev. 17. (a) 2.0 rev/s. (b) 3.8 s. 19. (a) 369 s. (6) -3.90 X 10“3rad/s2. (c) 108 s. 21. (b) -2.30 X 10~9rad/s2. (c) «4610. (d) 24 ms. 23. (a) 3.49 rad/s. (b) 20.6 in./s. (c) 10.1 in./s. (d) 71.9 in./s2; 35.3 in./s2. 25. 5.6 rad/s2. 27. (a) 3.65 rad/s. (b) 38.0 m/s. (c) 6.78 m/s2. (d) 139 m/s2. 29. 4.56 s. 31. (a) -1.18 rev/min2. (b) 10,300. (c) 1.08 mm/s2. (d) 30.2 m/s2. 33. (a) 6.3 X 104ft/min (1.9 X 104m/min). (b) 6.8 X 104ft/min (2.1 X 104m/min). 35. 16.4 s. 37. (a) ra2 t2. (b) ra. (c) 44.1°. 39. (a) 71 rad/s. (b) —13 rad/s2. (c) 72 m. 41. (a) x 2 + y 2 = R2-, un círculo de radio R; a>es la velocidad angular del objeto. (b) vx = - coy; vy = ax\ v es tangente al círculo; v = coR. (c) a = cú2R\ a apunta radialmente hacia adentro. CAPÍTULO 12 1. (a) 1305 g-cm2. (b) 545 g-cm2. (c) 1850 g-cm2. 3. 6.75 X 1012 rad/s. 5. (a) 6490 kg-m2. (b) 4.36 MJ. 7. 0.097 kg-m2. 9. (b) MR 2/4. 13. (a) dm/M = 2r dr/R2. (b) di = 2Mr3 dr/R2. (c) I = ±MR2. 15.3.66 N ■m, hacia la página. 17.12 N -m, saliendo de la página. 19. 7.63 rad/s2, saliendo de la página. 21. (a) 28.2 rad/s2.
(b) 1.94 G-años. 27. 690 rad/s. 29. (a) 20/t2. (b) 2R0/T2. (c) T, = M(g - 2R6/Í2)- T2 = M g - (26/t2)(MR + I/R). 31. 1.73 X 105g-cm2. 33. 6.11 m/s. 35. (a) -7.67 rad/s2. (b) -11.7 N-m. (c) 45.8 kj. (d) 624 rev. (c) La energía disipada por fricción; 45.8 kJ. 37. (a) 4.82 X 105N. (b) 1.12 X 104N-m. 39. (a) 1.88 X 1012J/s. ( b) - 2.67 X 10"22 rad/s2. (c) 4.06 X 109N. 41. (a) 47.9 km/h. (A) 3.65 rad/s2. (c) 8.68 kW. 45. (a) 56.5 rad/s. (¿>) —8.88 rad/s2. (c) 69.2 m. 47. (a) 12.5 cm/s2. (b) 4.63 s. (c) 28.8 rev/s. (d) 70.8 rev/s. 49. 48 m. 51. (a) W/6 . (b) 2g/3. 55. a = 2F/MR; a = F/M. 57. (a) 57.9 rad/s. (b) 4.21 m.
CAPÍTULO 13 5. mvd. 11. (a) —4.17 m/s2. (,b) —16.9 rad/s2. (c)-2.62 N-m. 15. (a) 1.49 N-m. (6) 20.8 rad. (c) - 31.0 J. (d) 20.3 W. 17. El centro de masa se mueve en la dirección de la fuerza impulsiva con una velocidad de 2.90 m/s; la estaca gira con respecto a su centro de masa con una velocidad angular de 10.7 rad/s. 21. (b) ML2¡(L2 + 12^). 25. (a) 1.18 s. (b) 8.60 m. (c) 5.18 rev. (rf) 6.07 m/s. 27. 3.0 min. 29. mv/(m + M)R. 31. (a) 171 rev/min. (b) 0.792. 33. (a) 5.12 mrad/s. (b) 1.90 cm/s. 35. (a) MR 2 cog/4; MR 2 (o0 /2. (b) R 2 oj20 /2g. (c) co0. 37. V2gr sec 6 0. 39. (a) Cada uno se mueve en un círculo de 1.46 m de radio a 0.945 rad/s. (b) 9.12 rad/s. (c) Ka = 97.5 J; Kb = 941 J. 41. -0.127. 43. 1.90 min.
CAPÍTULO 14 I. (a) Dos. (b) Siete. 5. (a) 2.5 m. (b) 7.3°. 7. (a) Se desliza; 31°. (b) Se vuelca; 34°. 9. 1200 Ib. II. (a) 2.78 kN. (b) 3.89 kN. 13. Pedestal izquierdo: 1.17 kN (tensión); pedestal derecho: 1.89 kN (compresión). 15. Tres cuartos de la longitud de la viga desde el obrero del extremo. 17. F _ ulo = 1.91 kN, arriba, 3fV; Fhllc„ = 2.55 kN, abajo, 4W. 19. W'!h(2r —h)/(r —h). 21. (a) F, = w sen djsen (02- 0,); F2 = w sen 0,/sen (02- 0,); normal a los planos. 23. (a) 416 N. (b) 238 N; 172 N. 25. (a) 47.0 Ib. (¿j) 21.3 Ib; 10.9 Ib. 27. (a) 1460 Ib. (b) 1220 Ib; 1420 Ib. 29. (a) Wx/L sen 8 . (b) Wx¡L tan 6 . (c) W(l - x/L). 31. (a) Pivote inferior: Fk = 180 Ib, F, = 210 Ib; pivote superior: Fh = 180 Ib, Fv= 60 Ib. (b) Fh= 180 Ib, Fv= 60 Ib, en cada viga, directamente opuestas. 33. (a) 47 Ib. (b) FA = 120 Ib; FE = 72 Ib. 35. (a) 446 N. (b) 0.500. (c) Sí; empuje 45° hacia arriba; 315 N. 37. (a) L/2, L/4, L / 6 . (c) N=n. 41. 75 GN/m2. 43. 3.65 mm. 45. 201 kN. 47. 802 rev/min. 49. (a) 18.0 MN. (b) 14.4 MN. (c) 16. CAPÍTULO 15 I. 289 ms. 3. 708 N/m. 5. (a) 495 N/m. (b) 1.57 cm. (c) 1.55 Hz. 7. (a) 1250 N/cm. (b) 2.63 Hz. 9. 30.4 Ib. II. (b) 12.47 kg. (c) 72.85 kg. 13. 2.08 h. 15. 2.83 cm. 17. (c) 2nfmPja*. 19. (a) 0.183L. (b) Misma dirección. 23. (a) 1.07 Hz. (b) 4.73 cm. 27. (a) 6.97 MN/m. (b) 48,500. 29. (a) 3.04 ms. (b) 3.84 m/s. (c) 90.7 J. 33. (a) 31.9 cm. (b) 34.4°. 37. (a) 5.60 J. (b) 2.80 J. 39. 24.9 cm. 41. 8.35 s. 43. (a) 436 mHz. (b) 1.31 m.
Respuestas a los problemas con número impar
45. 906 ms. 47. 5.57 cm. 49. (a ) 2 n J Ü J + T 2 d 2j/\2gd. 51. 1.22v0. 55
(±)V(í)V'*(0
59. (a) Línea recta^ y = ± *. (ti) Elipse, y 2 - J3xy +x1 =A2/4. (c) Círculo, x 2 + y2 =A2. 65. k = 490 N/cm; b = 1100 kg/s. 67. 1.9 in. 69. 362 ms. 71. (a) 8.00 u; 0.98 u; 6.86 u. (b) 490 N/m. 73. (a) 2.8 cm, 0. (b) 2.8 cm, 3.14 rad. (c) 1.98 cm, —1.57 rad. (d ) 1.98 cm, 1.57 rad. (e) 3.43 cm, —0.615 rad. (/) 3.43 cm, 0.615 rad. (g) 3.43 cm, 3.76 rad. (h) 3.43 cm, 2.53 rad.
CAPÍTULO 16 1. 39.2 nN. 3. 2.60 X 105km. 5. 997 ms. 7. 997 km. 9. (a) 1.33 X 1012 m/s2. (b) 1.79 X 106m/s. 11. 9.78 m/s2. 17. (b) 1.9 h. 21. 7.90 km/s. GMm [ 1 n 23' d 2 L* 8(1 - R/2d)2_ 25. (a) 9.83 m/s2. (b) 9.84 m/s2. (c) 9.79 m/s2. 27. (b) 2.0 X 108N/m2. (c) 180 km. 31. 220 km/s. 37. 98.4 pj. 39. (a) 2.02 km/s. (b) 523 km. (c) 1.26 km/s. (d) 4.80 X 1022 kg. 41. (a) 3.34 X 107m/s. (b) 5.49 X 107m/s. 45. 6.5 X 1023kg. 47. 0.354 meses lunares. 49. (a) 1.68 km/s. (b) 108 min. 51. 1.20RS. 53. 58.3 km/s. 55. Las propiedades son proporcionales a (a) ry2; (b) r (c) rl,2\ (d) r~'/2. 59. 3.5 años. 61. 47tr3/2/\/G(4M + m). 63. (a) 7.54 km/s. (b) 97.3 min. (c) 405 km; 7.68 km/s; 92.3 min, (d) 3.18 mN. (e) Del satélite, no; del sistema Tierra + satélite, sí. 65. (a) No. (ti) La misma, (c) Sí. 67. (a) Fácilmente; pesaría sólo unas 3 Ib. (ti) Probablemente; tendría que serle posible correr a 6.9 m/s. 69. Sur, 35.4° sobre el horizonte. 71. (a) 7964 m/s (7750 m/s para A), (b) 7820 m/s (7750 m/s para A). 73. -ÍGM/L. CAPÍTULO 17 1. 429 kPa. 3. 27.4 kN. 5. 6.0 lb/in.2 7. 0.52 m. 9. 1.29MPa. 11. 130km. 13. 0.412 cm. 15. (a) 600, 30, 80 toneladas. (ti) No; aun cuando las respuestas anteriores cambiasen a 3100, 280,760 toneladas, la presión atmosférica actúa sobre cada lado de las paredes y se cancela. 17. 809 kN. 19. 43.5 km. 21. 230 MPa. 23. \pgA(h2 — h¡)2. 25. (b) a. 27. (b)p = pgh. 31. (a) 35.6 kN. (b) Sí; disminuye en 0.0851 m3. 33. 1070 g. 35. 2.0 X 10'4. 37. (a) 38.4 kN. (b) 40.5 kN. (c) 2.35 kN. (d) 2.08 kN. 39. 4.74 MN. 41. 56.1 cm. 43.4. 45.0.190. 47. (a) 1.82 m3. (b) 4.61 m3. 49. 740 kg/m3. 51. 500p¡. 53. 61.6 pi. 57. (a) 3.25 Pa. (b) 1.79 Pa. (c) 68.7 J. (d) 765 pi. CAPÍTULO 18 1. 1 h 49 min. 3. 3.9 m. 5. 1.1 m/s. 7. 1.7X10 5N-m. 9. (a) 2.66 m/s. (b) 271 Pa. 11. (a) 2. (b) 1/2. (c) h/4, abajo. 13. 10.8 kN. 15. (b) A la altura h. 17.41.0 m/s. 19. 1.38 cm. 21. (a) -J2g(h2 + d). (b) palm - pg(h2 + d + /¡,). (c) 10.3 m. 23. 5 min 42 s. 25. {pv2A. 29. 410 m/s. 37. 320 kPa. 39. (b) 35.5 mPa. 43. 3630 s. CAPÍTULO 19 1. (a) 7.43 kHz. (b) 135 ps. 3. (a) 712 ms. (b) 1.40 Hz. (c) 1.93 m/s.
A-31
5. y = 0.0112 sen (10.6* + 3440/), en donde x y y están en metros y t está en segundos. 9. (a) 6.0 cm. (b) 100 cm. (c) 2.0 Hz. (d) 200 cm /s. (e) D irección x negativa, ( f ) 75 cm/s. 11. 135 N. 13. 91.9 g/m . 15. (a) 5.0 cm. (b) 40 cm. (c) 12 m /s. (d) 33 ms. ( e) 9.4 m/s. (f) y = 5.0 se n (0 .16* + 190í + 0.9 3 ), con x y y en cm y t en segundos. 17. 2 icyJX. 19.7.54 m desde el extrem o del alambre donde generó el primer pulso. 21. (a) \ík~ÁL(L + AL)/m. 25. 198 Hz. 27. (ft) Longitud2. 29. (b) 474 n j/m 3. 31. 68.8°, 1.20 rad. 37. X = 24A(H + h)2 + d 2 (b) 16.7 m. (c) 4.87 Hz. 41.
2VA H 2 + d 2. 39. (a) 81.4 m /s. (a) —3.9 cm. (ti) y = 0.15 sen (0.79* + 13í). (c) -1 4 cm. 43. (a) 1.25 m. (b ) y = (3.80 x 10"3) sen 10.1* eos 3910f, en donde * y y están en metros y t está en segundos. 49. 7.47, 14.9, 22.4 Hz. 51. 480, 160, 96 cm. 53. 36.8 N. 55. 190 Hz.
CAPÍTULO 20 I. (a) 7 6 .2 pm. (b) 3 3 3 p m. 3. (a) 57 nm. (b) —35. 170 m. 7. (a) L ( V — v)/Vv. (b) 43.5 m. 9. 40.7 m. I I . (a) 1.48 Pa. (b) 167 Hz. (c) 1.87 m. (d) 312 m/s. 13. 4.47 W. 15. 27.1 mJ. 19. (a) 44.2 /¿W /m2. (b) 164 nm (c) 894 mPa. 21. 51.9 n J/m 3. 23. (a) 5.20 kHz. (b) B/A = 5. 25. 190 dB. 27. 63 dB. 29. (a) 66.8 /iW /m 2. (b) 5.02 nW. (c) 7.53 p j . 31. (a) v = 307 n Hz, « = 1 , 3 , . . . 65. (b) v = 615 n Hz, n = 1 ,2 . . . . 32. 33. A ±0.286,0.857, 1.43, 2.00 m del punto m edio. 35. 346 m. 37. 19.8 kHz. 39. (a) 1130, 1500, 1880 Hz. 41. 57.2 m. 45. Cuatro. 47. Tubo abierto: 58.9 cm; tubo cerrado: 4 4 .2 cm. 49. 45.4 N. 51. 2.25 ms. 53. (a) D iez, (ti) Cuatro. 55. 17.4 kHz. 57. (a) 522 Hz. (b) 554 Hz. 59. 31° 61. 2.65 X 108 m /s. 63. 7.16 km. 67. 160 Hz. 69. (a) 464 Hz. (b) 490 Hz. 71. 8.8°C. 7 3 .4 1 .2 kHz. 75. (a) 2.0 kHz. (b) 2.0 kHz.
5.
CAPÍTULO 21 I. (o) 7.1 X 10 '° s. (b) 2.5 X IO-'8 m. 3. 1.30 m. 0.445 ps. 7. 0.805c. 9. (a) 87.4 m. (b) 394 ns. I I . (a) 15.8 km/s. (b) 6.95 X IO” 10. 13. 0.75. 15. (a) x ' = 3.78 X 107 m; t' = 2.26 s. (b ) 6.54 X 108m; 3 . 14 s. 17. (a) 25.8 p s .
5.
(ti) El destello rojo, corrido por Doppler. 19. (a) -u; cv 1 —u2/c2. 21. (a) 0.347c. (ti) 0.619c. 23. Siete. 25. (a) 0.933c, 31.0° al Este del Sur. (ti) 0.933c, 59.0° al Oeste del Norte. 27. 6.29 cm. 29. 1.23 p s. 31. (a) 0.491c, en la dirección * negativa, (ti) 4.32 p s \ rojo. 33. (a) 26.3 años, (ti) 52.3 años, (c) 4.06 años. 35. (
43.
(c) 0.073; 1.0027.
ums/año. 45. \f&mc. 49. (b) K —p 2/2m. (c) 207me. y■ 996 eV. (b) 1.05 M eV. 53. (a) y+ i
21.2
51. (a)
(b) 72( y + l)m. 55. (b) 202 GeV. (c) 49.1 GeV. 57. (b ) 0.796c.
CAPÍTULO 22 1. 291.1 K. 3 .3 1 .2 .
5 . No; 310 K = 98.6°F. 7. (a) -40°
(b) 575°. (c) Ninguna. 11. 1.3660.
A-32
Respuestas a los problemas con número impar
13.0.073 cm Hg; nitrógeno. 15.0.038 in. 17. 6.2 mm. 19. (a) 13.8 cm2. (b) 115 cm3. 25. 2.3 X 10-5/ C \ 27. (b) Acero: 71 cm; latón: 41 cm. 29. 360°C. 35. 909 g. 37. (b) Usar 39.3 cm de acero y 13.1 cm de latón. 39. (a) Cero, (b) -0.36%. (c) -0.36%. 41. +0.68 s/h. 43. 0.17 mm. 45. 66.4°C. 47. 0.27 mm. 49. (a) 2.25 ft. (ib) 3.99 ft.
CAPÍTULO 23 1. (a) 0.0225 m3. 3. (a) 113. (b) 0.900 m3. 5. 5.59 m3. 9. 26.9 lb/in.2 11. 104 cm3. 13. 200 kPa. 15. 4.34 X 10~5. 17. 180 m/s. 19.0.76. 21. (a) 531 m/s. (b) 28 g/mol; N2. 23. 1/5. 25. (a) 3.53 meV; 4.83 meV. (tí) 3400 J; 4650 J. 27. 2.2 X lO"5. 29. (a) 3.31 X lO' 20J. (b) 0.207 eV. 31. (a) (AT. + NJ.kT/V). (b) i. 33. (a) 1.0 X 104K; 1.6 X 105K. (b) 440 K; 7000 K. 35. 89.0°C. 37. 45 kJ a lo largo de la trayectoria 1; -45 kJ a lo largo de la trayectoria 2. 39. (a) 1.40. (b) 29.0 g/mol. 41. 1.14 kj. 43. (a) 8.39 atm. (b) 544 K. (c) 966 J. 45. 265 K. 47. (a) 2.95 cm. (b) 2.11 cm. 49. 2.48 kJ. 51. (a) 1.20. (b) 105°C. (c) 628 mol. (d) 1.96 MJ; 2.96 MJ. (
CAPÍTULO 24 5. (a) 2.69 X 1025. (b) 0.171 nm. 7. (a) 1.67. (b) 49.5 X 10- 6cm. (c) 7.87 X 10~6cm. 9. 3.86 GHz. II. - 12°C. 13. (a) 420 m/s; 458 m/s; sí. 15. 13.9 rev/s. 17. 4.71. 21. (a)3N/vl(b)0.750v0.(c)0.775v0. 25.
(a)-yp^kT .
27. 1.5 m/s. 29. 1.5 cm/s.
31. (a) 35 cm/s. (tí) 4.4 X 106rev/s. 33. (a) 8. (b) 4.
CAPÍTULO 25 1. 44.5 m3. 3. 107 g. 5. (a) 0.12 C°. 7. (a) 75.4 kJ. (6) 4.46 kJ. (c) 757°C. 9. 42.7 kJ. 11. 2.4 días. 13. (a) 117 s. (b) 718 s. 15. (a) 6.75 X lO"20J. (b) 10.7. 17. (a) 5.26°C; no queda hielo. (b) 0°C; quedan 62.0 g de hielo. 19. 4.81 g. 21. 17 mJ. 23. 1.2 kj. 25. 11.3 kJ. 27. (a) 7880 J. (b) 5630 J. (c) 3380 J. 29. Diatómico. 31. nRT\n(V{/VJ. 33. (a) +214 J. (b) -293 J. (c) -79.0 J. 35. (á) 1090°C. (¿>) 460°C. 37. (a) - 1.5«/f7'1. (6) 4.5nRT¡. (c) 6nRT,. (d) 2R. 39. (a) -6 .0 J. (tí) -4 3 J. (c) 40 J. (d) 18 J; 18 J. 41. (a) 15.9 J. (tí) 34.4 J/mol-K. (c) 26.1 J/mol •K. 43. (a) Q, A£,nI, W: AB: 3740, 3740, 0 J; BC: 0, - 1810, -1810 J; CA: -3220, - 1930, + 1290 J; ciclo: 520, 0, - 520 J. (b) VB= 0.0246 m3; pB= 2.00 atm; Vc = 0.0373 m3; pc — 1.00 atm. 45. 12.0 kW. 47. 720°C. 49. (a) 546 C°/m. (b) 394 kW. (c) 63.9°C. 51. Arreglo b. 53. 1.84 W/m • K. 55. (a) 24 kW. (b) 25 W. 57. (a) 1.8 W. (b) 0.025 C". 59. 1.15 m.
CAPÍTULO 26 1. (a) 30.9%. (b) 16.2 kj. 3. 25.4%. 5. (a) 7200 J. (b) 960 J. (c) 13%. 7. eA = 33.3%; ) 200 J. (c) —75 J. 33. 0.044 J/K. 37. 3.0 mol. 39. (a) + 1.06 J/K. (6) No. 41. (a) Trayectoria I: Q7 = p 0V0 ln 2; Qv = (9/2)p0V0. Trayectoria II: Qr = -p0V0 ln 2; Qf = (15/2)p0F0. (b) Trayectoria I: WT = -/>0K0 ln 2; Wv = 0. Trayectoria II: WT =p0V0 ln 2; Wp = 3p0V0. (c) (9/2)p0V0para cada proceso, (d) 4R ln 2 para cada proceso. 43. ( a) - 926 J/K. (6) 926 J/K. 45. +0.95 J/K.
CREDITOS DE LAS FOTOGRAFIAS
CAPÍTULO 1 Figura 1: Cortesía de National Bureau of Standards and Techno logy. Figura 4: Cortesía de National Physical Laboratories, Teddington, England. Figura 5: Cortesía de National Bureau of Standards and Technology. Figura 6: Cortesía del Profesor R. C. Barber, The University of Manitoba. Figura 7: Stephen Pitkin. CAPÍTULO 2 Figura 21: Cortesía de National Bureau of Standards and Te chnology. Figura 22: Cortesía de Baltimore Office of Promotion and Tourism. Figura 30: NASA. Figura 31: Cortesía de Marriott Marquis, N.Y.C., Figura 33: National Basketball Asociation. CAPÍTULO 3 Figura 21: NASA. CAPÍTULO 4 Figuras 6 y 7: Education Development Center, Inc. Figura 15: De The Particle Explosion, Oxford Press, 1987. Figura 32: Cortesía de Boeing. CAPÍTULO 5 Figuras 11 y 23: NASA. Figura 25: Cortesía de Hale Observatories. Figura 29: Cortesía de Smithsonian Astrophysical Observatory. Figura 32: Cortesía de A. A. Bartlett y Boeing. Figura 36: NASA. Figura 46: Cortesía de USAADTA. Foto de PUT Eugenio P. Redmond. CAPÍTULO 6 Figura 2: De Friction and Lubrication of Solids, de F. P. Bowden y S. Tabor, Clarendon Press, 1950. Figura 18: NOAA. Figura 19: NASA. Figura 23: Ira Kirschenbaum/Stock, Boston. Figura 41: EPU/Heine Pederson/Woodfin Camp. CAPÍTULO 7 Figura 2: Ed Goldfarb/Black Star. Figura 21: UPI/Archivo Bettmann. Figura 22: Cortesía de Cunard. CAPÍTULO 8 Figura 8: Cortesía de Six Flags. Figura 15: De Introduction to the Detection of Nuclear Particles in a Bubble Chain ber, Ealing Press, 1969. Cortesía de Lawrence Berkeley Radiation Labora tories, University of California at Berkeley. Figura 17: Cortesía del Departamento de Astronomía, University of Texas at Austin. Figura 45: NASA. Figura 50: Cortesía de American Red Cross.
CAPÍTULO 9 Figura 31: United Feature Syndicate. CAPÍTULO 10 Figura 1: Cortesía de Harold E. Edgerton, M. I. T., Cambridge, Mass. Figura 2: PSSC, Physics, Haber-Scham, Cross, Dodge, y Walter, D. C. Health and Co., Boston. Education Development Center, Newton, Mass., 1976. Figura 4: Cortesía de CERN. Figura 5: Bob Kalman/The Image Works. Figura 13: Cortesía de Laurence Radiation Laboratory, Figura 18: Cortesía del Stanford Linear Accelerator Center. Figura 19: Cortesía de Fermi National Accelerator Laboratory. Figura 21: Sylvia Johnson/Woodfin Camp and Associates. Figura 28: Marca registra da de DC Comics, Inc., copyright © 1963. Figura 31: Georg Gerster/Compstock CAPÍTULO 11 Figura 1: K. Bendo. Figura 10: Reproducido con autorización de The Courier-Journal y The Louisville Times. Figura 13: NASA. CAPÍTULO 12 Figura 19: Education Development Center, Inc. Figura 22: Cortesía de Alice Halliday. Figura 44: Cortesía de Lawrence Livermore Laboratory. CAPÍTULO 13 Figura 15: NASA. Figura 20: Cortesía de GE Medical Systems. CAPÍTULO 14 Figura 15: Cortesía de Micro Measurements División, Measurements Group, Inc., Raleigh, N. C. Figura 20: The Bettmann Archive. CAPÍTULO 15 Figura 17: Cortesía de Tektronix. Figura 24: NASA. CAPÍTULO 16 Figura 17 y 23o: Cortesía del observatorio de Lick. Figura 23b: observatorios Mt. Wilson y Palomar. Figura 26: Cortesía de Kitt Peak National Observatory. Figura 27: Cortesía de P. J. E. Peebles, basado en el catálogo del observatorio de Lick por C. Shane y C. Wirtanen. CAPÍTULO 17 Figura 14: Mark Antman/The Image Works. Figura 16: NASA. Figura 26: Cortesía de Goodyear Tire y Rubber Company.
F-2
Créditos de las fotografías
CAPÍTULO 18
Figura 21: Richard Megna/Fundamental Photos. Figura 22: Imperial College, London. Figura 24: Profesor Harry Swinney, University of Texas en Austin.
CAPÍTULO 22
Figura 6: AP/Wide World Photos. Figura 20: Palmer/Monkmeyer Press. CAPÍTULO 23
CAPÍTULO 19
Figura 2: G. Whiteby/Photo Researchers. Figura 16: Clifford Swartz, Figura 23: De PSSC, Physics, D. C. Health, Lexington, Mass., 1960, con autorización.
Figura 19: NASA. CAPÍTULO 24
Figura 15: Cortesía de IBM. Figuras 18 y 19: Mendelssohn, The Questfor Absolute Zero.
CAPÍTULO 20
CAPÍTULO 25
Figura 10: Cortesía del Dr. T. D. Rossing, Northern Illinois University. Figura 14: Cortesía de U. S. Army Ballistic Re search Laboratory. Figura 15: Cortesía de John S. Foster, Stan ford University. Foto de C. F. Quate. Figura 17: Cortesía de Pilgrim Nuclear Power Plant/Boston Edison.
Figura 28: Cortesía de Soehngen. CAPÍTULO 26
Figura 9: Cortesía de The Bryant Day and Night y Payne Brands de Carrier Corporation.
ÍNDICE A
Acción a una distancia, 396 Aceleración angular: como vector, 267 componentes radial y tangencial, 268 constante, rotación con, 264-265 movimiento rotacional, 263 Aceleración, 18-19, 22, 23-25 caída libre, 28-32 centrípeta, 68-69, 70 centro de masa, 206 componentes radial y tangencial, 268 constante, 25-28 en dos y tres dimensiones, 61-63 definición, 23 instántanea, 23-70 masa y, 90-92 movimiento en dos y tres dimensiones, 59-60 radial, 68 relación entre las variables lineal y angular, 269-270 tangencial, 69-71 vectores, movimiento circular, 69-71 véase también Aceleración angular Aceleradores de partículas, 247-248 Adhesión superficial, 120 Afelio, 398 Agentes surfactantes, 431-432 Agua: expansión volumétrica, 557 punto triple, 551 Aislamiento del sistema, 334-335 Alcance horizontal, de un proyectil, 64 Amortiguamiento crítico, 369 Amplificador de transistores, ganancia, 560 Amplitud, 354 modulación, 507 Análisis dimensional, 10-11 Aproximación de un ángulo pequeño, 67 Ángulo azimutal, 44 Ángulos, factores de conversión, A-10 Año-luz, 7, 14 Anomalías, 412 Antinodos, 482 Antiprotón p, 539-540
Apogeo, 398 Área: factores de conversión, A-10 ley del, 398 Arrastre, fuerzas de, 130-133 Arquímedes, Principio de, 428-429 Átomos, movimiento browniano, 599-600 Atwood, máquina de, 104-105 Avogadro, constante de, 8, 566 movimiento browniano y, 599-600 Avogadro, ley de, 566 B
Balanza de brazos iguales, 100 Bariones, A-9 Barómetro, 430-431 Barras vibratorias, 506 Barrera sónica, 511 Báscula de resortes, 99 Bernoulli, aplicaciones de la ecuación, 447 ecuación de, 445-447 Binomio, teorema del, A-15 Bohr, modelo del átomo de hidrógeno, 143 Boltzmann, Ludwig, 599 constante de, 567-571 Bose-Einstein, distribución, 601-602 Bosones, 601 Boyle, ley de, 566-567 Brahe, Tycho, 384 Brazo, del momento 285 Brown, Robert, 599 Browniano, movimiento, 599-600 C Caballo de fuerza, 160 Caída libre: aceleración en la, 28-32 cuerpos en, 28-32, 130 Galileo, 29-30 medición, 30-32 Calisto, movimiento circular uniforme, 365 Calor, 607-626 bomba de, 644 conceptos erróneos, 608 convección, 624
- £ y' i, ; *' :. .- . *
1-2
Indice
de fusión, 610 de transformación, 610 de vaporización, 610 definición, 607 equivalente m ecánico, 608-609 específico, 609-610 razón del, 614 factores de conversión, A - 13 latente, 610 radiación, 624-625 transferencia, 622-626 irreversible, 649-650 v é a s e ta m b ié n Primera ley de la termodinámica; Segunda ley de la termodinámica; Termodinámica Caloría, 607-608 Capacidad calorífica, 609-611 definición, 609 D ulong-Petit, valor, 612 gas ideal, 612-616 molar, 611-612 sólidos, 611-612 Calorímetro de flujo, 629 Campo eléctrico, 397 Campo, concepto de, 396-397 Campo, partículas de, A -8 Campos de flujo, 450-453 Cantidades extensivas, 583 Caos, teoría del, 136, 455-456 Carga, fuerza de, 101, 119-120 Carnot, ciclo de, 641-644, 646-647 eficiencia de la máquina de 642-643 teorema de, en la segunda ley de la termodinámica, 642-643 C asi-estático, proceso, 636 Cavendish, Henry, 387 Cedencia, lím ite de, 342 C elsius, Anders, 550 escala de, 550-551 Centígrada, escala, 550-551 Centrífuga, fuerza, 134 Centrípeta, aceleración, 68-70 en el m ovim iento circular, 68-70 Centrípetas, fuerzas, 10, 123 Centro de masa, 211-214 aceleración, 207 centro de gravedad, 333 ecuación, 218 marco de referencia, 244-248 objetos sólidos, 209-212 sistem a Tierra-Luna, 207 trabajo, 218 velocidad, 245-246 Centro de flotación, 429 Centro de oscilación, 364 Cero absoluto, 645-646 C esio, reloj de, 4-5 Charles, ley de, 567 C icloide, 290 Cifras significativas, 8-9 Cinemática, partículas, 17
Clarke, órbita geosíncrona de, 3 99-400 Clausius, forma de, segunda ley de la termodinámica, 6 4 0 -6 4 1 ,6 5 0 -6 5 1 Coeficiente: de dilatación lineal, 556 de expansión volum étrica, 557 de fricción, variables, 120 de fricción cinética, 119 estática, 119 de rendimiento, 639 refrigerador de Carnot, 642 de viscosidad, 453 Cohete: ecuación, 222-224 lanzam iento, 44 9 -4 5 0 C olapso, estrellas en, conservación del ímpetu angular, 316317 C olisiones, 2 33-250 bidim ensionales, 241-244 centro de masa, marco de referencia, 244-248 conservación del ímpetu, 236-237 lineal, 237 definición, 233-234 elásticas, 23 8 -2 4 0 bidim ensionales, 241-243 centro de masa, marco de referencia, 249 blanco m asivo, 240 conservación del ímpetu, 239 masas iguales, 239 proyectil m asivo, 240 unidimensional, 237-241 centro de masa, marco de referencia, 244-245 gas ideal, 5 68-569 im pulso e ímpetu, 2 34-236 inelásticas, 240-241 bidim ensional, 241-244 com pletam ente inelásticas, 238, 2 4 0 partículas que se adhieren entre sí, 240 unidim ensional, 240-241 centro de masa, marco de referencia, 245-246 molecular, recorrido libre m edio, 591-593 parámetro del im pacto, 242 procesos de desintegración espontáneos, 248-250 unidim ensionales, 237-241 Compresión, 342-343 Computadora, programas para la, A -16-A -19 Conducción de calor, 622-624, 652 Conductividad térmica, 4 9 6 , 622-624 Conservación: de la energía m ecánica, 174, 176-177 de la masa, 188, 443 de la paridad, 53 del ímpetu angular, 313-319 del ímpetu lineal, 214-217 del ímpetu, 236-237 leyes de, 157 Constante de torsión, 361 Constantes del m ovim iento, 401 Constantes fundam entales, A -3 Contacto, fuerzas de, 101
índice C onvección, calor, 624 Convención de signos, 184 Conversión, factores de, A -10-A -13 Coordenadas espacio-tiem po, 529 Coordenadas, sistem as de, 45 -4 6 Copérnico, N icolás, 384 Coriolis, fuerza, 134-135 Corriente, líneas de flujo, 44 2 -4 4 5 , 449 Coulomb, Charles Augustin, ley es de fricción, 119 Cuadrática, fórm ula,,A -14 Cuanto, 190 distribuciones estadísticas del, 600-603 teoría del, capacidad calorífica molar del gas ideal, 615-616 Cuarzo, reloj de, 4 Cuerda, instrumentos de, 503-505 Cuerpo libre, diagrama del, 92-93 Cuerpo rígido: centro de gravedad, 332-334 dinámica rotatoria, 28 6 -2 9 0 elasticidad, 341-344 energía cinética rotatoria, 278-279 m ovim iento de traslación, 262 rotación pura, 261-262 v é a s e ta m b ié n Equilibrio, cuerpos rígidos Cuerpos asim étricos, ímpetu angular, 313 C u e r p o s s i m é t r ic o s , ím p e tu a n g u la r , 313 Curva peraltada, 125-126
Dinámica rotatoria, 2 77-296 m ovim ientos de traslación y rotación com binados, 290-296 comparación de ecuaciones dinám icas y lineales, 286-287 energía, gas ideal, 615 energía cinética, 278-281 teorema de ejes paralelos, 280 cuerpo rígido, 286-290 rodamiento sin deslizam iento, 292-293 inercia rotacional, 278-281 resumen de ecuaciones, 322 torca sobre una partícula, 283-286 teorema de trabajo y energía, 228 D isociación, energía de, 180-181 Dispersión, ondas de, 470-471 Distribución estadística, 587-589 cuántica, 600-603 Doppler, efecto, 508-511 a alta velocidad, 510-511 efecto transversal, 533 fuente en m ovim iento, observador en reposo, 509-510 fuente en reposo, observador en m ovim iento, 508-509 transformación de Lorentz, 531 consecuencias, 531-535 inversa, 528 relatividad de longitud, 533-534 relatividad de tiem po, 531-533 velocidad, 52 9 -53 0
E D da V inci, Leonardo, ley es de fricción, 119 Darcy, ley de, 15 D atos astronóm icos, A -4 D ebye, temperatura, 611 D esceleración, 24 D ecibeles, 500 D eform ación, 342 medidor de la, 343 Densidad: estática de los fluidos, 421-422 factores de conversión, A - 11 gas, 425 relativa, 425-426 Densidad de masa lineal, 472 D epósito térmico, 565 Derivadas, A - 15 Desarrollo esponencial, A -15 D esintegraciones beta, 53 Desintegración espontánea, procesos de, 248-250 Desintegración radiactiva, procesos de, 248-250 Desplazam iento, 41 m ovim iento en dos y tres dim ensiones, 59-61 Detergentes, 432 Diagrama pV, 572-573 Dilatación del tiempo, 520, 523, 531 Dilatación térmica, 554-558 bases m icroscópicas, 558 Dinámica caótica, 136-137
1-3
Ecuación de estado, 547 gas, 567 van der W aals, 579-581 Ecuación de continuidad, 444-445 aplicaciones, 447 Ecuación del m ovim iento, 126-128 oscilador armónico sim ple, 356-357 Ecuación de onda, 474-475 Efecto de honda, 234 Einstein, Albert: paradoja de, 521 teoría del m ovim iento browniano, 599 teoría especial de la relatividad, 135 transformación de velocidades, 74 Elasticidad: cortante, 343 compresión, 342-343 cuerpos rígidos, 341-344 propiedades de los materiales, 343 tensión, 342-343 Electromagnética, fuerza, 117 Electrón-positrón, aniquilación, 187 Electronvolt, 151 Elementos: propiedades de los, A -5-A -6 tabla periódica, A -7 Energía: cuantización, 189-190 de amarre o sujeción, 200, 396 distribución, 597-598 en el m ovim iento de planetas y satélites, 400-402
1-4
Indice
en reposo, 188 factores de conversión, A-12 interna, 184 base microscópica, 186-187 gas ideal, 576, 598, 616-617 masa y, 187-189 mecánica, conservación de la, 174, 176-177 sistema de partículas, 185-186 movimiento armónico simple, 359-361 relativista, 537-540 sistema de partículas, 217-220 transferencia en la máquina de calor, 637-638 Energía, conservación de la, 171-190 escala microscópica, 189-190 fuerza de fricción, 172 fuerza de resorte, 171-172, 185 gravedad, 172 ley de, 185 ley generalizada, 185 límite cuántico, 189 sistemas conservativos bi y tridimensionales, 182-183 sistema de partículas, 183-187 solución analítica, 181 solución numérica, 181-182 Energía cinética, 157-159 colisiones, 238-239 definición, 157 molécula diatómica, 576-577 fórmula general, 162 alta velocidad, 162-163 neutrones, 158-159 expresión relativista, 537-538 rodada sin deslizamiento, 292-293 rotatoria, 278-281 en el movimiento armónico simple, 359-361 Energía potencial, 174-176 átomos adyacentes, distancia de separación internuclear, 558 cambio en, 175 función de la: fuerzas conservativas, 339-340 oscilaciones, 353-355 gravitación, 393-396 gravedad, 177-179 sistema de muchas partículas, 395-396 gravitatoria, 393 sistemas conservativos unidimensionales, 176-177 movimiento armónico simple, 359-360 fuerza en resortes, 177 Yukawa, 198 Entropía, 635-653 conducción de calor, 652 definición, 646 expansión libre, 651-652 proceso irreversible, 648-649 probabilidad, 651-653 segunda ley de la termodinámica, 650-651 Epiciclos, 383-384
Equilibrio: cuerpos rígidos, 331-344 condiciones de, 331-332 centro de gravedad, 332-334 ejemplos, 334-339 en campo gravitacional 339-341 estable, 180 inestable, 180 mecánico, 331 neutro, 180 Equipartición de la energía, 577 Equivalencia, principio de, 405-406 erg, 151 Escalares, 42 Escape, velocidades de, 395 Esfuerzo cortante, 343 Esfuerzo, 342 definición, 342 Esfuerzo-deformación, curva, 342 Espín, número cuántico del, 320 Estabilidad direccional, 316 Estabilidad de orientación, 316 Estabilidad, objetos en giro, 316 Estrella pulsante, 273 Estrellas, desviación de la luz cerca del Sol, 407 Estrellas: en colapso, conservación del momento angular, 316-317 velocidades tangenciales, 403 Euler, Leonhard, 441 Excentricidad, 398 Expansión libre, 648-649 entropía, 651-652 primera ley de la termodinámica, 616-619 Expansión logarítmica, A-15
F Factor de separación, 572 Factorial, 589 Fahrenheit, Daniel, 550 Fahrenheit, escala, 550-551 Fase, constante, 357, 470 combinaciones de movimientos armónicos, 367 Fase: diferencia, movimiento ondulatorio, 479 onda viajera, 470 velocidad, 468 Fermi National Accelerator Laboratory, 248 Fermi-Dirac, distribución de, 601-602 Fermiones, 601 Física clásica, problemas con la, 519-521 Fluidos, dinámica de los: 441-456 arranque del cohete, 449-450 campos de flujo, 450-453 capa frontera, 448 ecuación de Bernoulli, 445-447 ecuación de continuidad, 444-445, 447 elevación dinámica, 448-449 flujo caótico, 455-456 gradiente de velocidad, 453
índice
ley de, 454 líneas de corriente, 442-444, 448-449 medidor Venturi, 448 presión dinámica, 446 presión estática, 446 teorema de trabajo y energía, 445-446 tubo pitot, 448 turbulencia, 454-455 viscosidad, 453-454 Fluidos, estática de los: 419-433 Principio de Arquímedes, 428-429 densidad, 421-422 palanca hidráulica, 427-428 principio de Pascal, 426 presión, 420-421 medida, 429-431 variación, fluido en reposo, 422-426 tensión superficial, 431-433 densidad de peso, 422 Fluido no rotatorio, 442 Flujo bipolar lineal, 452 Flujo caótico, 455-456 Flujo de los fluidos, conceptos, 441-442 Flujo en película, 542 Flujo estacionario, 453 Flujo rotatorio uniforme, 451-452 Fotosfera, 624 Fourier, análisis de, 471 Frecuencia angular: movimiento armónico simple, 357 ondas, 469 resonante, 371 Frecuencia relativa, 587 Frecuencia, 354 Frente de onda, 467 Fricción cinética, 119 Fricción de deslizamiento, 120 Fricción estática, 119-120 Fricción: base microscópica, 120-121 fuerzas de, 118-123 cinética, 119 conservación de la energía, 172 estática, 119-120 resistencia, 120 Fuerza, 90 básica, 117 bidimensional, trabajo efectuado por, 155-157 centrífuga, 134 centrípeta, 123-124 conservativa contra no conservativa, 172-173 constante: ecuaciones del movimiento, 126-127 trabajo, 149-153 constante de, 153 Coriolis, 134-135 de contacto, 101 definición, 88, 89 de fricción: cinética, 119 conservación de la energía, 172
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estática, 119-120 de arrastre, 130-133 de resorte: conservación de la energía, 171-173, 183-186 energía potencial, 177 de restitución, 154 dependiente del tiempo, 127, 128-129 electrodébil, 117 fuerte, 117 impulsiva, 233 intermolecular, gas ideal, 578-579 interna, 185 medición: método dinámico, 90 método estático, 98-99 momento de la, 285 no constante, ecuaciones de movimiento, 126-128 normal, 101 nuclear débil, 117 leyes de la, 88, 117-118 unidades de, 96-97 unidimensional, trabajo efectuado por, 155-157 Fuerza impulsiva, colisiones en la, 234-235 Fuerzas inerciales, 133-135 véase también Fuerza Centrífuga; Fuerza Coriolis Función de estado, 617 Fusión, calor de, 610 G Galaxia: enjambres, 403-404 materia oscura, 404 Galileo, aceleración en caída libre, 29-30 Ganancia, amplificador de transistores, 560 Gas: diatómico, 576 densidad, 424 ecuación de estado, 567 equipartición de la energía, 577 función de estado, 617 grados de libertad, 577 ley de Avogadro, 566 ley de Boyle, 566-567 ley de Charles, 567 Maxwell-Boltzmann, distribución de la energía, 597-598 propiedades macroscópicas, 565-567 razón de ios calores específicos, 574 recorrido libre medio, 591-593 volumen, dependencia de número de moléculas, 566-567 presión, 565-567 temperatura, 565-567 véase también Primera ley de la termodinámica; Gas ideal; Segunda” ley de la termodinámica Gas ideal: capacidad calorífica molar: a presión constante, 613-615 a volumen constante, 613 efecto de la teoría cuántica, 615-616 cálculo de la presión, 569-571
1-6
Indice
colisiones, 568-569 ecuación de estado, 567 van der W aals, 579-581 energía cinética de traslación, 571 energía interna, 576, 598, 616-617 energía potencial mutua de dos m oléculas, 578-579 energía rotacional, 615 energía vibratoria, 615 factor de separación, 572 fuerzas intermoleculares, 578-579 hipótesis, 568 isotermas, 580-581 m odelo, 568-569 presión sobre las paredes de un recipiente, 579 razón de las capacidades caloríficas molares, 613-614 razón del calor esp ecífico, 614 temperatura, 571-572 teoría cinética, 569 trabajo, 572-576 a presión constante, 573-574 a temperatura constante, 574 a volum en constante, 573 en aislam iento térmico, 574-575 velocidad media cuadrática, 570, 594 velocidades m oleculares, 570 distribución, 593-597 v é a s e ta m b ié n Gas Gases diatóm icos, 576 Gay-Lussac, ley de, 567 Geometría, fórmulas, A -14 Giro, objetos en: estabilidad, 316 ímpetu angular, 320-321 Gotas de lluvia, 130 Gradiente de temperatura, 624 Grados de libertad, 577, 611 Gran unificación, teorías de la, 117-118, 541 Gravedad, 383-408 aceleración debida a, 28-29 centro de gravedad, cuerpo rígido, 332-334 cerca de la superficie de la Tierra, 388-390 conservación de la energía, 172 constante fundamental, 10-11 distribución esférica de la materia, 390-393 energía potencial, 177-179, 393-396 específica, 425 fuerza, 117 sobre la partícula interior, 391-392 historia, 383-384 ley del inverso de los cuadrados, 392-393 masa, 405 N ewton, Isaac, 384, 385-386 carga debida a la, 333 planetas, 397-402 potencial, 397 radiación, 407-408 satélites, 397-402 universal, 402-404 variación con la:
altitud, 389 latitud al nivel del mar, 390 Gravitación universal, 402-404 Gravitatoria, constante, 10-11, 386-388 determinación de la, 387-388 Gravitatorio, campo, 396-397 equilibrio de lo s cuerpos rígidos en el, 339Grupo de ondas, velocidad del, 470-471
H H alley, com eta, 400 H elio, superfluidez, 602 Hertz, 354 Hidrógeno, m odelo Bohr del átom o, 143 H ooke, ley de, 154, 359, 361
I Impacto, parámetro del, 242 Impetu: a altas velocidades, 212-214 conservación, 236-238 de fuerza, 285 brazo del, 285 de la inercia, 245 definición, 482 en colision es, 234 partículas, 212-213 relativista, 535-537 segunda ley de N ew ton, 221 v é a s e ta m b ié n ím petu angular, Impetu lineal ímpetu angular, 305-321 conservación, 313-319 clavadista en el trampolín, 314-315 estabilidad de los objetos al girar, 316 estrellas en colapso, 316-317 patinador que gira, 314 rueda de bicicleta girando, 315-316 cuantización, 320-321 cuerpos sim étricos vs. asim étricos, 313 definición, 305 intrínseco, 320 partículas, 305-307 regla de la mano derecha, 306 relación en torca 306 sistem a de partículas, 307-309 torca, 307 trompo, 319-320 velocidad angular e, 309-313 ímpetu angular orbital, 320 ímpetu lineal, 235 conservación, 214-217 partículas, 213-214 sistem a de partículas, 213-214 ímpetu relativista, 482-483 Impulso angular, 324 Impulso-ímpetu, teorema, 235 Incertidumbre, 8-9 Incom presible, flujo, 442 Inelásticas, co lision es, 240-241 Inercia rotatoria, 277-281
índice
Inercia, 89 momento de, 277 Integrales, A-15 Intensidad: movimiento ondulatorio, 478-481 ondas de sonido, 499-501 Ingravidez del astronauta, 98-99 Interferencia: constructiva, 479-480 destructiva, 479 en el espacio, 506 en el tiempo, 506 movimiento ondulatorio, 478-482 Intermolecular, fuerzas, gas ideal, 578-579 Intrínseco, ímpetu angular, 320 Inversa, transformación de Lorentz, 528 Isotermas, 574 críticas, 580-581 gas ideal, 581 módulo volumétrico, 496, 612 Isotérmicos, procesos, 574 primera ley de la termodinámica, 620 Isotrópicos, sólidos, dilatación lineal, 556 J
Joule, 151,607 Joule, aparato de, 608 K
Kelvin, William Thomson, 551 escala de temperatura, 551-552, 644-646 Kelvin-Planck, forma, segunda ley de la termodinámica, 640-641, 650. Kepler, Johannes, 384 tercera ley, 399, 403 Kilowatt-hora, 160 L
Lagrange, Joseph Louis, 441 Laminilla bimetálica, 554, 555 Lengüeta, instrumentos de, 505 Leptones, A-8 Ley: asociativa, adición vectorial, 42-43 cero de la termodinámica, 548-549 conmutativa, suma de vectores, 42-43 de la conservación de la energía, 185 de la conservación de la masa, 443 de la gravitación universal, 385-386 de la inercia, 89 de la transformación de velocidades, 72 de las áreas, 398-399 de las órbitas, 398 de los periodos, 399 del inverso de los cuadrados, 392-393 Límite de cedencia, 342 Límite elástico, 342 Límites de un sistema, 183-184 Línea, integrales de, 156
Lissajous, curva de, 380 figura de, 369 Longitud: contracción, 524 factores de conversión, A-10 medición, 5-7 problemas con nuestras ideas sobre la, 520 relatividad, 524-525 transformación de Lorentz, 533-534 Longitud propia, 524 Lorentz, factor de, 527-528 transformación de, 526-529 consecuencias, 531-535 inversa, 528 relatividad de la longitud, 533-534 relatividad del tiempo, 531-533 velocidad, 529-530 Lubricación, 120 Luna: datos astronómicos, A-4 presión atmosférica, 595 Luz: problemas con nuestras ideas sobre la, 520-521 velocidad de la, 6 principio de constancia, 521 M
Mach, Ernst, 599 Mach, cono de, 511 Mach, número, 511 Magnética, resonancia, imagen de la, 321 Magnético, campo, factores de conversión, A-13 Magnético, flujo, factores de conversión, A-13 Mano derecha, regla de la: ímpetu angular, 306 ímpetu rotatorio, 267 productos vectoriales, 49 Manómetro, tubo abierto, 430 Máquina de calor, 637-639 Ciclo de Carnot, 641-644 coeficiente de rendimiento, 639 eficiencia, 638 Marcos de referencia, 160-162 Mareas, fuerza de las, 412 Mareas vivas, 409 Masa, 90-92 conservación de la, 188, 443 de la Tierra, 388 energía y, 187-189R factores de conversión, A-11 flujo de, 443 ley de la conservación de la, 443 norma del SI, 7-8 reducida, 372 relación a peso, 97-98 reposo, 538 total, 204 Matemáticas, fórmulas, A-14-A-15 Materia oscura en la galaxia, 404 Materia oscura, 135 Maxwell-Boltzmann, distribución de la energía, 597-598, 601-602,646
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Indice
Mecánica: aplicación de las leyes de Newton, 100-106 clásica, 87-88 marcos no inerciales, 133-135 estadística, 547, 587-603 movimiento browniano, 599-600 energía interna, gas ideal, 598 distribución Maxwell-Boltzmann de energía, 597-598 trayectoria libre media, 589-591 distribución velocidad molecular, 593-597 probabilidad, 588 distribuciones estadísticas cuánticas, 600-603 velocidad media cuadrática, 596 distribución estadística 587-589 fuerza, 90 masa, 90-92 primera ley de Newton, 88-90 segunda ley de Newton, 92-94 tercera ley de Newton, 94-96 Medición, 1-11 Análisis dimensional 10-11 longitud, 5-7 masa, 7-8 precisión y cifras significativas, 8-9 patrones, 1-2 sistema internacional de unidades, 2-3 tiempo, 3-5 Membrana vibratoria, 506 Mercurio, barómetro de, 480 Mercurio, precesión del perihelio, 406-407 Mesones, A-9 Método de componentes en la suma vectorial, 46-48 Metro, patrón, 5-7 Michelson-Morley, experimento de, 520 Movimiento armónico, 356-359 amortiguado, 368-370 combinaciones, 367-368 Modelaje, 433, 568-569 Módulo de Young, 343 Módulo de corte, 343 Módulo de elasticidad, 342 Módulo volumétrico adiabático, 496 Mol, definición, 8 Molécula diatómica, energía cinética, 576 Molecular, velocidad: distribución, 593-597 confirmación experimental, 596-597 gas idea], 570 selector de la velocidad, 597 Movimiento, 17-32 a velocidad constante, 18 aceleración, 18, 22, 23-25, 59-61 aceleración constante, 25-28 en dos y tres dimensiones, 61-63 armónico simple angular, 361 armónico simple, 356-359 automóvil en aceleración y frenado, 18-19, 22 bola de arcilla pegajosa, 19, 23 browniano, 599-600
centro de masa, 218 circular uniforme, 67-69 curva peraltada, 125-126 aceleración centrípeta, 366 péndulo cónico, 124-125 dinámica, 123-126 rotor, 125 con respecto al centro de masa, 400 cuerpos en caída libre, 28-32 descripción, 17-20 desplazamiento, 59-60 disparo a un blanco en caída, 65-67 en dos y tres dimensiones, 59-74 partículas, 17 principio de exclusión de Pauli, 601 proyectiles, 63-65, 130-133 puntos de retorno, 179 rebote del disco de goma en el hockey, 19, 22-23 relativo, 71-74 rotatorio, 261-270 a altas velocidades, 74 segunda ley, 212-213 velocidad, 59-60 velocidad instantánea, 21-23 velocidad media, 20 Movimiento armónico simple, 356-359 angular, 361 frecuencia angular, 357 aplicaciones, 361-365 péndulo físico, 363-365 péndulo simple, 362-363 oscilador de torsión, 361-362 consideraciones energéticas, 359-361 energía cinética, 359 energía potencial, 359 movimiento circular uniforme, 365-367 Movimiento circular: aceleración tangencial, 69-71 uniforme, 67-69 dinámica, 123-126 vectores de velocidad y de aceleración, 69-71 Movimiento ondulatorio, 465-487 amplitud, 469 elementos concentrados, 486 elementos distribuidos, 486 frecuencia, 469 intensidad, 476 interferenc ia,478-481 resortes unidos con densidad de masa diferente, 483-484 frecuencias naturales, 485 diferencia de trayectoria, 481 periodo, 421 diferencia de fase, 481 plano polarizado, 488 potencia e intensidad, 475-476 resonancia, 485-487 principio de superposición, 476-478 transmisión de ondas, 484 ondas viajeras, 467-471
índice
ecuación de onda, 474-475 longitud de onda, 469 velocidad de onda, 471-474 Movimiento rotatorio, 261-270 de aceleración angular, 263, 269 de componentes tangencial y radial, 268 desplazamiento angular, 263 velocidad angular, 263 con constante de aceleración angular, 264-265 puro, en el cuerpo rígido, 261-262 cantidades como vectores, 265-268 relación entre variables lineal y angular, forma escalar, 268-269 forma vectorial, 269-270 regla de la mano derecha, 267 variables, 262-264 Muones, 525-526 N Neutrino, 186 Neutrones, energía cinética, 158 Neutrónica, estrella, 317, 390 Newton, 89, 96 Newton, leyes: de la gravitación universal, 385-386 primera ley de, 88-90 segunda ley de, 51, 92-94 forma angular, 361 curva peraltada, 125-126 péndulo cónico, 124-125 movimiento armónico amortiguado, 369 fuerzas de arrastre, 130-131 flujo fluido, 444 fricción, 120-121 analogía rotatoria, 277 rotor, 125 ondas sonoras, 496-497 movimiento de translación, 294 dinámica rotatoria de dos cuerpos, 371 movimiento circular uniforme, 123-124 unidades, 96-97 validez, 136 ecuación de onda, 474-475 tercera ley de, 94-96 forma fuerte de la, 307 Newton-metro, 151 Nivel de compensación, 437 Nivel del sonido, 500 No-inerciales, marcos, 133-135 No-viscosidad, 442 Nobel, premios de Física, A-20-A-23 Nodos, 482 Normal, fuerza, 101, 119-120 Nuclear, resonancia magnética, 321 O Onda, número de, 469 Onda: armónica, 467 clasificación, 466-467
complejas, principio de superposición, 477-478 esférica, 467 estacionarias, 482-485 sistema bloque-resorte, 483 sonido longitudinal, 501-503 pulsación reflejada, 483-484 frecuencia angular de la, 469 frente de la, 467 longitudinal, 466 mecánicas, 465 plana, 467 sinusoidales, 469-470 sonoras, 495-511 transmitida, 484 transversal, 466 viajeras, 467-471 velocidad de la, 471-474 análisis dimensional, 471-472 análisis mecánico, 472-473 velocidad transversal de la partícula, 473 Ondas sonoras, 495-511 alcance del oído humano, 500 amplitud de la presión, 498 análisis mecánico, 472-473 columnas de aire vibratorias, 504-505 cuerdas vibratorias, 504 desplazamiento longitudinal, 497 efecto Doppler, 508-511 modulación de la amplitud, 507 nodos y antinodos de presión, 502 ondas longitudinales estacionarias, 501-503 ondas longitudinales viajeras, 497-499 potencia e intensidad, 499-501 pulsaciones, 506-508 principio de superposición, 506 velocidad, 495-497 sistemas vibratorios, 503-506 umbral de dolor, 500 Órbitas, ley de las, 398 Oscilaciones, 353-373 armónicas, 355 combinaciones de frecuencias diferentes, 367-368 condiciones, 353-354 de dos cuerpos, 371-373 forzadas, 370-371 frecuencias naturales, 485 fuerza de restitución, 356 función de la energía potencial, 354-355 puntos de retomo, 354 véase también movimiento armónico simple Oscilador armónico simple, 355-356 Oscilador de torsión, 361-362 Osciladores de dos cuerpos, 371-373 Oscilatorios, sistemas, 353-355 Ostwald, Wilhelm, 599 P
Palanca hidráulica, 427-428 Par, producción del, 187 Paradoja de los gemelos, 524, 533
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índice
Paradoja hidrostática, 434 Pared adiabática, 548 Pared diatérmica, 548 Paridad, conservación de la, 53 Parsec, 402 Partículas: aceleradores de, 247-248 cinemática de las, 17 compuestas, A-9 conservación de la energía, 183-187 distribución estadística, 600-601 efecto de la gravitación de la distribución esférica de la materia, 390-393 elementales, A-8 elementales, colisiones entre, 234 energía de sujeción, 396 fluidos, 441 fundamentales, A-8 ley de la gravitación universal de Newton, 385 ímpetu lineal, 212-213 movimiento en trayectoria circular, torca, 312-313 torca que actúa sobre, 283-286 velocidad trasversal, ondas, 473 véase también Sistemas de partículas Pascal, 421 principio de, 426 Patinador, giro, conservación del ímpetu angular, 314 Pauli, principio de exclusión de, 601 Péndulo: balístico, 241 centro de oscilación, 364 cónico, 124-125 de torsión, 362 físico, 363-365 método de, medición de la aceleración en caída libre, 30-32 torca de restitución, 362 simple, 362-363 Perigeo, 398 Perihelio, 398 precesión, Mercurio, 406-407 Periódica, tabla, A-7 Periodo: 354 ley del, 399 Perrin, Jean, 600 Peso, 97 carencia de, 98 densidad, 422-423 relación con la masa, 97-98 Pión, 519-520 Pitágoras, teorema de, A-14 Pitot, tubo de, 448 Planetas: movimiento, 397-402 consideraciones energéticas, 400-402 en torno al centro de masa, 400 propiedades, A-4 Planck; constante de 11, 190 Planetas: movimiento, 397-402 con respecto al centro de masa 400
consideraciones de energía 400-402 propiedades A-4 Plasma, 419-420 Plasticidad, 342 Poder ascensional dinámico, 448-449 Poise, 453 Poiseuille, ley de, 454 Polar, ángulo, 44 Polar, vector, 52 Posición, fuerzas dependientes de la, 128 programas de computación, A-18—A-19 Positrón, emisión, 187 Potencia, 159-160 definición, 160 factores de conversión, A-13 movimiento ondulatorio, 475-476 Precesión, perihelio de Mercurio, 406-407 Presión: absoluta, 430 amplitud, ondas sonoras, 498 cálculo, gas ideal, 569-571 estática, 446 estática de los fluidos, 420-421 factores de conversión, A-13 manométrica, 430 medición, fluidos, 429-431 onda de, 498 variación atmosférica, 424-426 variación, fluido en reposo, 422-426 Presión atmosférica, variación de la, 424-426 Presión dinámica, 446 Primera ley de la termodinámica, 616-619 procesos adiabáticos 619-620 aplicaciones, 619-622 procesos a volumen constante 620 procesos cíclicos 620 expansión libre 620-621 procesos isotérmicos 620 Principio de equivalencia, 405-406 Principio de la constancia de la velocidad de la luz, 521, 540 Principio de relatividad, 521, 538 Principio de superposición, 476-478 Probabilidad, 588 entropía, 646-648 Proceso adiabático, 574-575, 636 primera ley de la termodinámica, 619-620 Procesos cíclicos, primera ley de la termodinámica, 620 Proceso reversible, 635-637 entropía 646-648 Proceso irreversible, 635-637 entropía, 648-650 Producto punto, vectores, 48 Propiedad termométrica, 550 Proyectiles movimiento, 397 en torno al centro de masa, 400 consideraciones energéticas, 400-402 propiedades, A-4 Proyección, 44 Ptolomeo, 383-384
índice
Pulsaciones, 506-508 Pulsar, 273 Punto silla, 341 Punto triple del agua, 551 Puntos de retorno, 354
Q
Quarks, A-8
R Radar, retardo del eco, 407 Radiación gamma, 187, 522 Radiación: calor, 624 gravitatoria, 407-408 presión, 317 Radiactividad, 187-189 Rayo, 467 Razón de las capacidades caloríficas molares, 613-614 Razón de los calores específicos, 574, 614 Recorrido libre medio, 589-593 cálculo microscópico 591-593 Red cristalina, 341 Referencia, marcos de, 160-162 centro de masa, 244-248 no inercial, 133-135 transformación de la velocidad entre, 245-246 Refrigeradores, segunda ley de la termodinámica, 639-641 Regulador, 169 Relatividad de la simultaneidad, 532 Relatividad de la longitud, transformación de Lorentz, 533-534 Relatividad del tiempo, 522-524 transformación de Lorentz, 531-534 Relatividad especial, 135-136 Relatividad, 135-136 teoría general de la, 404-408 principio de, 521, 538 Reloj de cesio, 4-5 Relojes atómicos, 4-5 Reposo, energía de, 188 Reposo, longitud, 524 Reposo, masa, 538 Resistencia del aire, movimiento de proyectiles, 132-133 Resistencia térmica, 624 Resistencia, friccional, 120 Resistencia, termómetro de, 558-559 Resonancia, 370-371 definición, 371 movimiento ondulatorio, 485-487 Resorte, fuerza del: Resortes: energía potencial, 174-176 ley de la fuerza, 154 Reverberación, tiempo de, salas de concierto, 515 Reynolds, número de, 455 Roche, límite de, 418 Rodamiento, sin deslizamiento, 292-296 Sistemas vibratorios, 503-506 Rotación: del sistema de coordenadas, 45-46 véase también ímpetu angular
Rueda: en rotación, conservación del ímpetu angular, 315-316 Rueda rodante, dinámica, 291 Ruido, termómetro de, 645 S SI: véase Sistema Internacional de Unidades Satélites: en órbita de la Tierra, 95 movimientos, 397-402 consideraciones de energía, 400-402 en torno al centro de masa, 400 Segunda ley de la termodinámica, 639-640 compresión libre, 650 entropía, 650-651 flecha del tiempo, 651 forma de Clausius, 640-641, 650-651 forma de Kelvin-Planck, 640-641, 650 refrigeradores, 639-641 teorema de Carnot, 642-643 Segunda ley del movimiento, 212-213 Selector de velocidad, 597 Semieje mayor, 398, 402 Seudofuerzas, 133-135 véase también Fuerza Centrífuga; fuerza Coriolis” Seudotrabajo, 218 Seudovector, 52 Signos y símbolos matemáticos, A-14 Simetría axial, 310 Simultaneidad, relatividad, 531-532 Sistema Internacional de Unidades, 2-3, A-l-A-2 calor, 607 hertz, 354 masa 7-8 metro, 5-7 presión, 420-421 temperatura, 549-550 trabajo, 151 unidades de base, A-1 unidades de fuerza, 97 viscosidad, 453 Sistema binario de estrellas, 400 Sistema bola-cascarón, fuerzas externas, 212 Sistema inglés: trabajo, 151 unidades de fuerza, 97 unidades térmicas, 607 Sistema cgs: trabajo, 151 unidades de fuerza, 97 Sistema de partículas: de dos partículas, 203-206 giro de, 313 energía, 217-220 energía potencial, gravitación, 393-396 energía relativista total, 538 masa variable, 220-224 ímpetu angular, 307-308 ímpetu lineal, 213-214 muchas partículas, 206-209
1-11
1-12
índice
torca externa, 307-308 trabajo, 217-220 Sistema solar, ley de los periodos, 399 Sistemas de dos partículas, 203-206 Sistemas de muchas partículas, 206-209 Sistemas vibratorios, 503-506 Sol: cambio en masa, 188 datos astronómicos, A-4 desviación de la luz de las estrellas, 407 Sólido cristalino, expansión y contracción, 554-556 Sólidos, 419-420 capacidad calorífica, 611-612 centro de masa, 209-212 inercia rotatoria, 281-283 Stanford Linear Accelerator Center, 247-248 Sublimación, 626 Sustancia plástica, 419 Sustancia termométrica, 550 Superconductividad, 602-603 Superfluidez, 603-603 Supergrupos, ligados gravitatoriamente, 404 Superposición, principio de, 476-478 ondas complejas, 477-478 análisis de Fourier, 478 interferencia en el tiempo, 506
T Tacoma Narrows, puente de Bridge, 371 Tambor, parche de, 505-506 Tangencial, aceleración, movimiento circular, 70-71 Tangencial, fuerza, 309 Temperatura: cambio de volumen en los fluidos, 557 cero absoluto, 645-646 coeficiente de dilatación lineal, 556 Debye, 611 definición, 549 descripciones macroscópica y microscópica, 547-548 dilatación térmica, 554-558 equilibrio térmico, 548-549 escala Celsius, 550-551 escala de temperatura del gas ideal, 552-554 escala Fahrenheit, 550-551 escala internacional, 554 escala Kelvin, 551-552 gas ideal, 571-572 medición, 549-552 negativa, 645-646 punto triple del agua, 551 termodinámica, definición, 644 véase también termodinámica Temperatura termodinámica, definición, 644 Temperaturas negativas, 645-646 Tensión, 100, 342-343 definición, 343 Tensión superficial, 432 Tensor, 50 Teorema de los ejes paralelos, 280-281
Teoría especial de la relatividad, 519-541 y el sentido común, 540-541 transformación de Lorentz, 526-529, 530 consecuencias, 531-535 coordenadas de medición espacio-tiempo, 529 postulados, 521-522, 540-541 suma relativista de velocidades, 524-525 energía relativista, 537-540 ímpetu relativista, 535-537 relatividad de longitud, 524 relatividad del tiempo, 522-524 transformación de velocidades, 529-531 Tercera ley de la termodinámica, 645 Térmica, máquina, 637-639 Termómetros, 549 gas a volumen constante, 552-553 laminilla bimetálica, 554-555 resistencia, 559-560 Tiempo: factores de conversión, A-l 1 medición, 3-5 problemas con nuestras ideas acerca del, 519-520 propio, 523 relatividad, 522-524 transformación de Lorentz, 531-533 Tiempo de vuelo, método, 158 Tiempo propio, 523 Tierra: datos astronómicos, A-4 masa de la, 388 Tierra-Luna (sistema), centro de masa, 207-208 Torca: actuación sobre partículas, 283-286 ímpetu angular, 307-308 debido a la gravedad, 333 definición, 277 externo, 307-308 partícula moviéndose en una trayectoria circular, 312-313 relación con el ímpetu angular, 306 unidades, 285 Torr, 421 Torricelli, Evangelista, 431 ley de, 459 Trabajo, 572-576 definición, 149-151 factores de conversión, A-13 fuerza constante, 149-152 fuerza variable: bidimensional, 155-157 unidimensional, 153-155 sistema de partículas, 217-220 unidad de, 151 Trabajo-energía, teorema, 157-159 dinámica de los fluidos, 445 dinámica rotatoria, 278 dinámica rotatoria del cuerpo rígido, 286 limitación, 159 prueba general, 158-159 Transformación, ecuaciones, 50 teoría especial de la relatividad, 526-529 Transformación galileana, ecuaciones de, 526-527
índice
Traslación: combinada con movimiento rotatorio, 290-296 cuerpo rígido, 262 del sistema de coordenadas, 45-46 segunda ley de Newton, 294 Tren de ondas, 467 Triángulos, formulas, A-14 Trigonometría: desarrollos, A-15 funciones, A-14 identidades. A-15 Tren de ondas periódico, 467 Trompo, giro, ímpetu angular, 319-320 Tubo de flujo, 443 Turbulencia, 454-455
U Unidad astronómica, 14, 402 V Valor medio, 587-589 Valor-R, 624 van der Waals, ecuación de estado, 579-581 Vaporización, calor de, 610 Variable de estado, 647 Vectores, 41-53 axiales, 52-53 cantidades rotatorias como, 265-268 componentes, 43-45 en dos o tres dimensiones, 63-64 definición, 42-52 ecuaciones, aceleración constante, dos y tres dimensiones, 60-63 ecuaciones de transformación, 50 en dos y tres dimensiones, 60-63 fuerzas como, 90 invariantes, 51 leyes, 50-52, 386 multiplicación, 48-50 polares, 52-53 producto escalar, 150 productos, A-15 productos generalizados, 50 proyección, 44 simetría de reflexión, 52-53 sistemas de coordenadas, 45-46 suma de: método de las componentes, 46-48 método gráfico, 42-43 Vectores, suma de: método de las componentes, 46-48 método gráfico, 42-43 Velocidad angular: ímpetu angular, y 309-313 movimiento rotacional, 263 vector, 52
1-13
Velocidad: crítica, turbulencia, 455 factores de conversión, A-12 parámetro, 527-528 fuerzas dependientes de la, 127-128 gradiente, dinámica de los fluidos, 453 instantánea, 21-23 ley de transformación, 72 media, promedio, 20 media cuadrática, 570, 594 movimiento en dos y tres dimensiones, 59-60 onda transversal, 473 problemas con nuestras ideas sobre, 520 proceso límite, 21 suma relativista, 524-525 transformación: entre marcos de referencia, 245-246 ley de, 72 teoría especial de la relatividad, 529-531 vectores, movimiento circular, 69-71 véase también Velocidad angular Velocidad de Maxwell. Véase Velocidad molecular Velocidad molecular: distribución, 593-597 confirmación experimental, 596-597 en el gas ideal, 569-570 selector de velocidad en la, 597 Velocidad terminal, cuerpo en caída, 130-133 Velocidad transversal, partículas, ondas, 473 Velocidad, ley de la suma, 525 Venturi, medidor, 448 Vibratoria, energía, gas ideal, 615 Vibratoria, membrana, 506 Vibratorias, columnas de aire, 504-505 Vibratorias, cuerdas, 504 Vibratorios, sistemas, 503-506 Viscosidad, 442, 453-454 Volumen: factores de conversión, A-11 caudal, flujo, 443 Volumen constante, procesos, primera ley de la termodiná mica, 620 Volumen constante, termómetros de gas a, 552-553 Volumen específico, 557 Volumétrico, módulo, 422 Vórtice, campo de flujo, 451 W Watt, 160 Y Yarda, definición, 5 Young, módulo de, 343 Yukawa, energía potencial de, 198