Final Mathway

Año del Buen Servicio al Ciudadano

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA facultad de ingeniería escuela académica profesional de ingeniería civil

EL PROGRAMA MATEMÁTICO: MATHWAY – GRAPHING CALCULATOR 3D CURSO: ANÁLISIS MATEMÁTICO II GRUPO: D DOCENTE: Ing. HORACIO URTEAGA BECERRA ALUMNOS: BRIONES ARMAS, DIEGO JOSÉ CERQUÍN MINCHÁN, JULIO CÉSAR CHAVEZ VARGAS, RICHARD ESCOBAL GARCÍA, LUIS ENRIQUE SEMESTRE ACADÉMICO: 2017-1 1


Cajamarca, Julio del 2017

ÍNDICE DE CONTENIDO I.

INTRODUCCIÓN INTRODUCCI ÓN

Pág. 3

II.

OBJETIVOS

Pág. 4

III.

DESCRIPCIÓN

Pág. 5

IV.

TEMAS A DESARROLLAR DESARROLLAR 1. Capítulo I: El Programa Matemático

Pág. 7

2. Capítulo II: Aplicación de Matemático en el Estudio de

Pág.17

Funciones Reales de una Variable Real. 3. Capítulo III: Aplicación de Matemático en el Cálculo del

Pág.29

Limite de una Función Real de una Variable Real 4. Capítulo IV: Aplicación del Matemático en el Cálculo de

Pág.35

Derivadas y para Gráficas de Funciones Reales de una Variable Real 5. Capítulo Capít ulo V: Aplicación del Matemático Matemátic o en el Cálculo de

Pág.59

Integrales de una Función Real de una Variable Real 6. Capítulo VI: Aplicación del Matemático Matemátic o en Estudio de

Pág.86

Funciones Reales de dos y tres Variables Reales 7.

Capítulo VII: Aplicación del Programa Matemático a la

Pág.151

Ingeniería Civil. 8.

Capítulo VIII: Ventajas del Programa Matemático

Pág.156

V.

CONCLUSIONES

Pág.157

VI.

RECOMENDACIONES RECOMENDACIO NES

Pág.157

VII.

BIBLIOGRAFÍA

Pág.158

2


INTRODUCCIÓN Mathway es un editor matemático online que permite resolver problemas matemáticos de muy diverso tipo: matemáticas básicas, algebra, geometría, trigonometría, cálculo, estadística, etc. Una vez se introducen los datos automáticamente, nos ofrece la solución, así como gráficos e imágenes en algunos casos. Es la primera versión que no requiere de alguna licencia para poderlo utilizar, es totalmente gratuito. Este programa lo podemos ocupar en una de las materias más importantes en la carrera de ingeniería civil, que es Análisis Estructural. El objetivo principal de esta aplicación es facilitarle el trabajo al estructurista resolviendo las ecuaciones, ya sean integrales, derivadas, etc. Es de fácil manejo ya que presenta una ventana con múltiples opciones que se pueden elegir para componer la ecuación. Antes de querer utilizar este programa o diseñar alguna estructura es necesario conocer los principios básicos para el análisis estructural, saber cómo se componen las ecuaciones y como se introducirían al programa, de lo contrario se corre el riesgo de introducir mal los datos y encontrar un resultado incorrecto. Con respecto a las características del equipo no se necesita con alguna especial, ya que no es necesario instalarlo, se consulta en internet y está disponible en español para aquellos que no saben inglés. Las ventajas que tiene son atractivas, como por ejemplo: hacen que el cálculo de ecuaciones se más rápido que si se hiciera manualmente. La desventaja es que se corre el riesgo de introducir mal los datos y no encontrar el valor verdadero .

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OBJETIVOS Objetivo General: 

Utilizar correctamente el uso del Mathway, aplicándolo a la enseñanza del curso de Análisis Matemático II

Objetivos Específicos: 

Conocer la configuración del programa.



Conocer los pasos a seguir para la solución de un problema en el Mathway.



Determinar las ventajas y desventajas del programa.

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descripción: ¿Qué es? Mathway es una aplicación web que permite resolver problemas matemáticos de álgebra, trigonometría y cálculo ¿Para qué sirve? Ofrece la posibilidad de realizar desde operaciones sencillas como sumas y divisiones hasta integrales de funciones trigonométricas. Mathway ofrece la posibilidad de incluir la fórmula en cuestión para mostrar posteriormente el resultado Es una aplicación válida tanto para los aficionados a las matemáticas como para los que no pueden con ellas. Ofrece ayuda y soluciones para casi cualquier problema matemático, incluye un glosario de términos y una impresionante colección de fórmulas y teoremas para resolver dudas. ¿Cómo se Usa? No necesita registrarse para resolver cualquier problema matemático. Con la ayuda de su editor de operaciones en línea se introduce de forma intuitiva la operación a resolver y se presiona sobre “Enser” para obtener

la respuesta que también puede graficarse. Normalmente propone la solución definitiva, pero existe un desplegable que permite seleccionar cual es el objetivo de la operación, que puede ser el resultado o algún tipo de conclusión intermedia. Si se desean obtener ejemplos, se ofrece una considerable lista de ellos para aprender su uso y obtener ideas de aprovechamiento de la herramienta. El botón “Get step-by-step solución” que podría dar el contenido definitivo para explicar los pasos de cualquier resolución no funciona como parece que debería, ya que deriva hacia la publicidad de otro producto de resolución de operaciones matemáticas. Este último aspecto es una lástima, pero con las funcionalidades descritas Mathway se convierte en una ayuda en las prácticas pedagógicas en la clase de matemáticas.

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Requerimientos mínimos de software o equipos para su implementación Complemento de Macromedia Flash Player 7.0 o posterior. Windows 2000 o posterior con las últimas actualizaciones instaladas Mac OS X 10.3 o posterior. Firefox 1.1 o posterior, Internet Explorer 5.0 o posterior, o Safari 1.0 o posterior. Conexión de banda ancha a un mínimo de 500 Kbps.

Actividades o Uso pedagógico en que podría emplearse dicho recurso TIC Los temas de matemáticas que se pueden abordar con Mathway incluyen conceptos básicos de matemáticas, Pre álgebra, Álgebra, Trigonometría, Pre cálculo, Cálculo, y Estadística. Los estudiantes pueden realizar diferentes tipos de gráficas de funciones después de haber visto los temas en clase para establecer regularidades y cambiar el sistema tradicional de enseñanza (punto a punto) a uno que involucre noción de trazado de gráficas de funciones. Este mismo uso pedagógico se puede implementar en Trigonometría (funciones trigonométricas) y Cálculo (límites de funciones). También puede ser visto como herramienta de ayuda ante posibles dificultades.

Dificultades que podrían presentarse Baja velocidad del internet. Incompatibilidad con los equipos y software de las instituciones educativas. Para acceder a mejores características ya es pago. Se debe tener conocimientos básicos en Inglés, pues por el momento no hay versión en español. Nivel al que se puede aplicar Secundaria y universitario.

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CAPÍTULO I: El Programa Matemático MANEJO DEL EQUIPO: APLICACIONES El programa Mathway tiene una serie de opciones para solucionar problemas que van desde la más simple operación básica hasta varias integrales, su uso es bastante fácil, lo primero que tenemos que hacer es entrar al siguiente link: https://www.mathway.com/es, por defecto el programa nos da la pantalla de la resolución de expresiones algebraicas, la cual es la siguiente:

Como se puede ver en la imagen en la parte superior izquierda hay una serie de opciones sobre el tipo de problema que deseamos resolver 7


Como podemos ver, este programa puede resolver ejercicios que van desde las matemáticas básicas hasta ejercicios de cálculo y diferentes cursos como son Estadística y Química.

APLICACIONES: Entre las aplicaciones que podemos encontrar en este programa para el curso de Análisis Matemático II con la resolución de integrales definidas e indefinidas, así como la solución de derivadas, límites, construcción de gráficas, entre otras. Este programa tiene varias ventajas en las cuales se pueden resaltar la ventaja de imprimir la solución del ejercicio con todos sus pasos. La desventaja que tiene este programa es que no resuelve integrales impropias e integrales que se deben realizar con cambio de variable, lo cual genera una desventaja de un buen programa, la otra desventaja es que se debe escribir la ecuación de la función para que se graficar, además de demorar mucho más tiempo en realizar las gráficas. A continuación, se dará un ejemplo explicando el uso del programa para la solución de una integral definida.

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Ejemplo de Aplicación: Resolver la siguiente integral definida en el programa de Mathway

  2   3  

SOLUCION Hacemos clic en la opción de cálculo. Introducimos la ecuación en el programa

IMA G E N N°03: I ntroducci ón de la integr al al prog rama.

Damos un ENTER y nos sale la solución del problema junto con su respectiva gráfica

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IMAGEN N°04: Solución del ejercicio.

IMAGEN N°05: Gráfico del ejercicio. En la imagen N°05 se puede observar que hay una opción que nos permite ver todos los pasos que se han realizado para la solución del ejercicio. A continuación, se mostrarán los pasos que ha realizado el programa.

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11


12


13


14


15


IMAGEN N°06: Desarrollo del ejercicio NOTA: Al final del ejercicio podemos ver en la parte inferior derecha una pequeña opción, la cual nos permite imprimir todo el desarrollo del ejercicio.

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CAPÍTULO II: Aplicación Matemático Matemático en el el Estudio de Funciones Funciones Reales de una Variable Real FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL 1. Definición: Una función f es una regla de correspondencia mediante la cual a cada elemento x de un conjunto A se le asigna uno y solo un elemento y de un conjunto B -

-

En la definición anterior A se le llama dominio y B se llama llama codominio codominio de f. Si S A decimos que la función f está definida en S. Si x A , entonces entonces y = f ( x ) denota el único único elemento en B que que la función f asocia a x, (se lee: y es igual a f de x o bien: y es el valor de f en x). En este caso x es la variable independiente; y es la variable dependiente. Al conjunto conjunto de todos los valores valores posibles posibles de la variable variable dependiente dependiente y (o f(x)) conforme x varia en el dominio, se le llama rango de f. 



2. Diagrama:

(Henríquez – 2010)

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3. Cálculo de Dominios y Rangos:

El dominio de una función f se determina analizando todos los valores posibles que pueda tomar x, de tal manera que f(x) sea real, salvo el caso en que dicho dominio sea especificado. El rango de una función f se determina despejando la variable x en función de “y”, de tal manera que x sea real.

(Espinoza – 2002)

Ejemplo de Aplicación: Hallar el dominio y rango de la función Espinoza Ramos)

√  

. (Problema desarrollado

18


Procedimiento:

19


20


21


Ejemplo de Aplicación: Hallar el rango de la función Espinoza Ramos)

    ∈ , ,

(Problema desarrollado

Procedimiento:

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4. Determinación de Asíntotas Horizontales, Vertical y

Oblicuas: -

Asíntotas horizontales: La recta y = k es una asíntota horizontal de la función si: limx→−∞ = k o limx→+∞ = k.

-

Asíntotas verticales: Consideremos los puntos k que no pertenecen al dominio de la función (en las funciones racionales). Si tenemos que limx→kf(x) = ±∞, x = k será una asíntota vertical.

-

Asíntotas oblicuas: Las asíntotas oblicuas son rectas de la forma y=mx+n. Si limx→+∞(f(x) − y) = 0 o limx→−∞(f(x) − y) = 0, y = mx + n será asíntota

oblicua. Ahora bien, m y n toman las siguientes expresiones: m = limx→∞ f(x) x y n = limx→∞(f(x) − mx).

IMPORTANTE: Sólo se hallarán las asíntotas oblicuas cuando no haya asíntotas horizontales.

Ejemplo de Aplicación: Calcular las asíntotas de la función Ramos)

−+

(Problema desarrollado Espinoza

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Procedimiento:

24


Ejemplo de Aplicación: Calcular las asíntotas de la función Ramos).

−+

(Problema desarrollado Espinoza

Gráfica:

25


Procedimiento:

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4. Gráficas de funciones en coordenadas cartesianas, polares y paramétricas: Ejemplo de Aplicación: Graficar la función en coordenadas cartesianas de f = -x 2-2x+3 (Problema desarrollado Análisis Matemático II – Ing Horacio Urteaga).

Gráfico:

27


Procedimiento:

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Ejemplo de Aplicación: Graficar la función en coordenadas polares de r = 2(1 – Cos Ɵ) (Problema desarrollado Análisis Matemático II – Ing Horacio Urteaga).

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CAPÍTULO III: APLICACIÓN DEL MATEMÁTICO EN EL CÁLCULO DEL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN REAL DE UNA VARIABLE REAL El concepto de límite en Matemáticas tiene el sentido de “lugar” hacia el que se

dirige una función en un determinado punto o en el infinito. El concepto de límite es el punto de partida para el estudio del cálculo diferencial e integral. (MOISÉS LÁZARO)



1. Límites finitos. En la situación del dibujo, se dice que el límite cuando se acerca por la derecha de es , pues a medida que la se acerca , la función se hace cada vez mayor: .

 ∞→lim   ∞



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Ejemplo de Aplicación: Resolver el límite:

→ ++ −

(Eduardo Espinoza, Análisis Matemático I)

Ejemplo de Aplicación: Resolver el límite:

→ ++ −


31


2. Límites laterales: Para que exista

→lim 

, depende del comportamiento de la función

f(X)cuando x tiende hacia a, tanto para los valore de x menores que a (por la izquierda de a), como para los valores de x mayores que a ( por la derecha de a). (Eduardo Espinoza, Análisis Matemático I)

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Ejemplo de Aplicación: Calcular el límite, si se sabe que existe:

    →    { ,,  ≤> 

(Eduardo Espinoza, Análisis Matemático I) Primera parte:

→  

Segunda parte:

→lim  3

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Ejemplo de Aplicación: Calcular el límite, si se sabe que existe:

→   {,,  ≤ > 

(Eduardo Espinoza, Análisis Matemático I) Primera parte:

→ 

Segunda parte:

→ 

.

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→∞

∞ ∞

3. Límites infinitos: El límite cuando de una función polinómica es o según que el término de mayor grado sea positivo o negativo. Ejemplo de Aplicación: Hallar

  l→im ++ −+


Ejemplo de Aplicación: Hallar

l→im √ + +


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CAPÍTULO IV: APLICACIÓN DEL MATEMÁTICO EN EL CÁLCULO DE DERIVADAS Y PARA GRÁFICAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL

DERIVADA DE PRIMER ORDEN La derivada es uno de los conceptos más importante en matemáticas. La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. Pero vayamos por partes. La definición de derivada es la siguiente:

Podría, pues, no existir tal límite y ser la función no derivable en ese punto. En esta primera práctica vamos a ver qué significa cada uno de los términos que aparecen en la formula anterior. (MOISES LAZARO. Calculo I. 1995 pág. 56) Ejercicios sacados del libro de Análisis matemático I del Ing. Horacio Urteaga B. Pág. 142.

      516

Ejemplo de Aplicación:

Desarrollo en Mathway:

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38


Ejemplo de Aplicación: Desarrollo en mathway:

     81

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    4  24 ′   2 1

40



y   11  1 1 310

41


42


43


DERIVADAS DE SEDUNDO ORDEN, HASTA ORDEN n. El proceso de derivación de funciones reales de variable real puede obviamente iterarse, obteniendo la segunda y sucesivas derivadas de una función. Como es lógico, para n N, la definición de la derivada n-ésima de una función ha de hacerse por inducción. En este tema extendemos las reglas de derivación para que nos permitan estudiar la existencia de las derivadas sucesivas de una función y, cuando sea posible, calcularlas. Aparecerán de esta forma nuevos espacios de funciones cuya estructura iremos analizando.

∈

Ejemplos desarrollados con el programa mathway.

Ejemplo de Aplicación: Solución en Mathway.

y  sin2cos2

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45


46


Segunda derivada:

Tercera derivada:

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Cuarta derivada:

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49


y  sen′2c2cosos24 sen24    2∗2 ∗44cos44    2 ∗4sen4 −  11+ ∗ 2∗∗ 2∗4−4−sen44

50


GRAFICA DE UNA FUNCION POR SUS PUNTOS CARATERISTICOS (MAXIMOS, MINIMOS Y PUNTOS DE INFLEXION. Ejemplo de Aplicación:

      516

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Grafica:

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GRAFICA en AutoCAD:

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Solución en mathway:

  −

Hallando máximos y mínimos, puntos de concavidad y de inflexión.

54


Grafica:

55



   1

Solución en mathway. Máximos y mínimos.

56


57


Asíntotas:

58


Grafica en Mathway:

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CAPÍTULO V: APLICACIÓN DEL PROGRAMA MATEMATICO EN EL CALCULO DE INTEGRALES DE UNA FUNCION REAL DE UNA VARIABLE REAL La integración es el concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños. Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos. Entre las aplicaciones de las integrales son la solución a problemas donde se desea conocer el área de una figura amorfa, la obtención de un volumen de una figura a partir de un diferencial, entre otras. Aplicado a la Ingeniería Civil, una integral nos ayuda a encontrar el volumen de una piscina, el cálculo del número de bolsas que se necesitan para la construcción de vigas y columnas, entre otras. Este programa nos ayudará a resolver integrales de manera rápida y sencilla, al utilizar este programa nos ahorramos tiempo en el cálculo de integrales simples.

⩝⦋⦌

INTEGRAL INDEFINIDA: Sea f una función continua, definida por y= f (x), x ϵ a,b . Si existe una función

⩝ ⦋ ⦌ ⩝⦋⦌

F, definida por y=F(x), x ϵ a,b , también continua; para lo cual se verifica que

⦋⦌

F’(x)= f (x), x ϵ a,b ; a tal función F se le llama primitiva de la función f en a,b .

La integral indefinida, al no tener límites definidos se le agrega una “C” que es llamada la constante de integración.

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∫ ∗ √  √  

Ejemplo de Aplicación: Resolver

(Análisis Matemático I, Moisés Lázaro)

SOLUCION

61


∫ √ ^2 2 

Ejemplo de Aplicación: Resolver (Análisis Matemático I, Moisés Lázaro)

SOLUCION

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SUMATORIAS Y PRODUCTORIOS:

, , … ,       ⋯     =

Sumatorias: Definición: A la suma de “n” números

es decir:

representamos por la notación:

   ⋯,

Donde el símbolo Σ se llama signo de sumación y es la letra sigma mayúscula del alfabeto griego.

Generalizando: Consideremos “m” y “n” dos números enteros de tal manera que

 ≤ , ∑=   ∈ , ≤, ≤1,   2, … ,   =    1  2  ⋯  + ∑    2  3  4  5  6  2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 una función definida para cada

notación

donde

, luego la

nos representa la suma de los términos

es decir:

Donde “i” es el índice o variable, “m” es el límite inferior y “n” el límite superior.

Ejemplo de Aplicación: Si , calcular SOLUCION

Definamos la sumatoria:

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  2 3 4  5 6  34567

Propiedades de la sumatoria

,   ∀  ∈ ,   =   ∗  =    1∗  ∗   ∗    ±      ±   = + = =  −= =              =   = +  =   = − (  1)  0 (    1)   1 = = ( 1 1)   110 = ( 1  1)   1    1 =

Sean

funciones definidas

(1RA Regla telescópica)

.

(1RA Regla telescópica generalizada)

(2DA Regla telescópica)

(2DA Regla telescópica generalizada)

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∑= √ 2∗ 1 √ 2∗ 1  √ 2∗  1   2 ∗  1  122∗∗  111  1 √ 2 ∗ 1 √ 2∗ 1 √ 2∗  1  400  =  √ 2∗  1 √ 2 ∗ 1  √ 2 ∗40 1 √ 2∗0 1 =

Ejemplo de Aplicación: Hallar el valor de SOLUCION

Mediante la regla Telescópica se tiene: Donde: Entonces:

Entonces:

Aplicando la 1RA Regla telescópica, tenemos:

65


ALGUNAS FÓRMULAS DE LA SUMATORIA

   ∗  1  =  2  =    ∗ 4 1

   ∗ 1 ∗ 2 ∗ 1 6  =     ∗ 1∗6 ∗   9 ∗   1 30 =

CÁLCULO DEL ÁREA DE UNA REGION PLANA POR SUMATORIAS Partición de un intervalo cerrado: Consideremos un intervalo cerrado

[ ]  <   ,    , , … ,  ⊂ [, ]   <  <  < ⋯ <    con

, una partición del intervalo

[, ]

es toda colección de puntos

de tal manera que:

Observación

[ ] [ ]  ,   ,  [−, ]   1,2,3,…, [−, ]   1,2,3,…, ∆       1, 2 , 3 , … ,     −  ∑= ∆    ∆ −   ,| | ∆,     2∆, … ,    ∆,∀   0,1,2,…,  − /  1,2,…, ∆ [0,3] ∆    0,  , 1,  ,2,3,  , 5  ∆  41 0 41 ∆  1 14 43

1. Toda partición de P de , para

divide al intervalo

.

2. A la longitud de cada sub-intervalo denotamos

en sub-intervalos

donde

, para

y

se

cumple

3. Cuando las longitudes de cada sub-intervalo tiene la misma medida, se expresa en la forma

, y en este caso se dice que la partición es

regular donde los extremos de cada sub-intervalo es:

4. Al número

le llamaremos norma o

diámetro de partición P y que es la mayor de las longitudes

.

Ejemplo de Aplicación: Dado el intervalo y la partición Calculando las longitudes

, es decir:

66


∆  231  21 ∆  32  1 ∆  5 92 21 :[, ] → ℝ   ,   

∆  29 32 213 ∆  2 3  2 ||   ≥ 0 [, ]

Luego se encuentra que la norma de la partición P es

Aproximación del área de una región por áreas de rectángulos Sea:

una función continua y positiva

R la región plana limitada por la gráfica de la curva y las rectas

.

en

, sea

, por el eje “X”

(Llamada región bajo la gráfica f de a hasta b)

Una aproximación por defecto, se puede hallar el área usando una serie de rectángulos inscritos, es decir:

67


[ ]  ,   ,  , … ,      , , … ,   [, ]   [[,, ]] Como f es una función continua en puntos

en

los

“n”

podemos elegir una colección de

rectángulos

de

la

participación

tales que:

es el valor mínimo de en

es el valor mínimo de en es el valor mínimo de en

. . .

 [−, ]



es el valor mínimo de en

Luego los “n” rectángulos construidos cuyas bases son los sub -intervalos

de la partición de P y cuyas alturas son respectivamente.

, ,…,

Las áreas de los rectángulos son:

∆, ∆, … ,∆  ≥    ⋯  ∆ ∆ ⋯∆   ≥  ∆    =  [, ]   ≥ = ∆ , ó    lim = ∆ ,   → ,

respectivamente

aproximados

por

defecto el valor del área A sumando las áreas de los “n” rectángulos inscritos.

A la suma que nos dio la aproximación por defecto el valor del área A se denomina suma inferior de la función correspondiente a la partición P del intervalo

, ahora calcularemos el área de la región R en forma exacta,

mediante un proceso de límite, es decir:

En forma similar se puede aproximar el área por exceso, usando también una serie de rectángulos circunscritos.

68


[ ]  ,   ,  , … ,      , , , . . ,   [, ]   [, ] Como f es una función continua de puntos

en

los

, podemos elegir una colección de

“n”

rectángulos

de

la

partición

tal que:

es el valor máximo de en


. . .



 [−, ] , ,∆…,,∆, … ,∆  ≤     ⋯  ≤  ∆ ∆ ⋯∆   ≤   ∆  ,     ó      =   lim   ∆  ,         → =


Luego en los “n” rectángulos construidos cuyas bases son los sub -

intervalos de la partición P y cuyas

respectivamente

y las áreas de estos rectángulos son

respectivamente aproximaremos por exceso el valor de área A, sumando las áreas de los rectángulos circunscritos.

69


A la suma que nos dio la aproximación por exceso el valor del área A se denomina, sumas superiores de f correspondiente a la partición

  , , , . . ,   [, ]  ,  = ∆   ,   = ∆ , ≤  ≤ ,     →lim   ∆     =  ∆  −     i∆ del intervalo

.

A la suma inferiores de denotaremos por:

A la suma superiores de denotaremos por:

Luego

, por lo tanto para el cálculo de las áreas

mediante rectángulos inscritos y circunscritos se tiene:

Donde

y

70


Ejemplo de Aplicación: Hallar el área de la región acotada por SOLUCIÓN

  2∗ 

, el eje “X” y la recta x=2

Graficamos la función en el programa GRAPHING CALCULATOR3D:

  ∆  −2 ,→ ∈∆[0,2]       i∆   0 2   2   2 ⟹         8  →lim = ∆ →lim=  ∗2  1   16→lim  =   16 →lim 1 ∗  ∗ 1∗6 2 ∗ 1   38→lim 1  1∗2  2  163 

Además

Como

Luego:

Entonces A(R)=

71


Productorios: Definición: El productorio o productoria, también conocido como multiplicatorio, multiplicatoria o simplemente producto, es la notación matemática que representa una multiplicación de una cantidad arbitraria, que puede ser finita o infinita y se le denota por la letra griega pi mayúscula.

   ∗ ∗ …∗     =

 ≤ ,  ∑=   ∈ ,  ≤  ≤  ,  1,  2,…, =   ∗  1 ∗ 2 ∗ …∗  + ∏     2 ∗ 3 ∗ 4 ∗ 5 ∗ 6   1 2 1 31 4 1 5 1 61

Generalizando: Consideremos “m” y “n” dos números enteros de tal manera que una función definida para cada donde , luego la notación nos representa el producto de los términos , es decir:

Ejemplo de Aplicación: Si , hallar SOLUCIÓN

Definamos el producto:

72


73


Propiedades: Propiedad Multiplicativa:

Propiedad Telescópica:

Generalizando:

 ∗     ∗      = = =     ;  ≠ 0    −  = +   + = − 

SUMA INTEGRAL: La suma integral o suma de Riemann S(f,P), si f es no negativa, representa la suma de las áreas de los rectángulos de base y altura . Esta suma es también una aproximación del área bajo la curva (área de la región R); o sea:

∆ /  1,2,…,

, ≈ 

Aproximación del área de la región R

 [0,10]      3 , ,

Ejemplo de Aplicación: Sea la función acotada , en expresiones para evaluar las sumas inferior y superior una partición rectangular. Solución: 1)

. Hallar , siendo P

74


 [ ] 0 , 1 0 ∆    0∆,  1∆,  2∆,…,  ∆,…,  ∆  ,   ∆ ∆ ⋯ ∆ ⋯∆     0  3     1∆  3∆

2) Hagamos una partición regular P sobre

; luego:

3) Formemos la suma inferior: De la figura:

. . .

  −    1∆  3−∆ . . .

  −   1∆  3−∆  ,     ⋯   ⋯∆  ,  3 1 ∗ 3 /10/1  ,   ∆ ∆ ⋯ ∆ ⋯∆  ,     ⋯   ⋯∆     1  3∆     1∆  3∆

4) Formemos la suma superior:

De la figura:

. . .

75


    ∆  3∆ . . .

    ∆  3∆  3 ∆  ∆  3 3  ,   3∆ 11 ∗ ∆ 10  / 3 ∗  ,  3 1 ∗ 3/ 1

76


INTEGRAL DEFINIDA: También conocida como Integral de Rieman. Al valor límite de la suma integral cuando la norma de la participación tiende a cero o el número de subintervalos

⦋⦌ ∫−+ ∗   

tiende al infinito; le llamaremos “Integral definida”, correspondiente a la función f

en el intervalo a,b ; siempre que el límite exista, para un número grande de particiones y sea independiente de la forma de ubicar los puntos del refinamiento.



SOLUCION

77


78


GRAFICA:


∫−+ ∗ /  


79


SOLUCION

GRAFICA:

80


∫  ⦋⦌

se tiene en cuenta dos condiciones: Integrales impropias: al definir i. Que a y b sean finitos. ii. Que f sea acotada en a,b Si una integral definida no cumple, simultáneamente las 2 condiciones dadas anteriormente, se denomina Integral Impropia o lo que es lo mismo Integral Generalizada.

∫   

Ejemplo de Aplicación: Resolver (Análisis Matemático I, Moisés Lázaro)

81


SOLUCION

82


GRAFICA

83



∫−   ∗  

(Análisis Matemático I, Moisés Lázaro) SOLUCION

84


85


GRAFICA:

86


CAPÍTULO VI: Aplicación Matemático en el Estudio de Funciones Reales de dos y tres variables reales CÁLCULO DE DOMINIOS Definición: Sea D un conjunto de pares ordenados (x, y), de números reales, D  R2 . Una función real de dos variables reales es una regla que asigna a cada par ordenado (x, y) en D un único número real, denotado por f (x, y). El conjunto D es llamado el dominio de la función y el conjunto de todos los valores de la función es el rango de la función.

  9       9  9,/ ≥0→ ≤9 ≤ 9

Ejemplo de Aplicación: Dada la función , calcular su dominio e interpretarlo como una región plana. Luego graficar la función. Solución:

1) S: 2) Dz:

Dz:

87


Desarrollo MATHWAY:

88


GRÁFICAS: Programa Graphing Calculator 3D  Gráfica 2D:

Gráfica 3D:

89


Autocad: Gráfica 2D:



Gráfica 3D:

90


Ejemplo de Aplicación: Hallar el dominio de la función

   −−

,  

e interpretarlo geométricamente como una región plana.

,    −−

Solución: 1)

2) Dominio: Df Df:

        16  4 > 0 → x 4 <2 162→   < 1   ,/  < 1

Desarrollo MATHWAY

16 4

91


GRÁFICAS:  Programa Graphing Calculator 3D Gráfica 2D:

92


Autocad:



93


GRÁFICAS DE SUPERFICIES EN COORDENADAS CARTESIANAS, CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS.

ℛ     ∧     |  |  Definición: El área de una regió del plano y entre las rectas

  [  ] ∫ |  | 

comprendida entre dos curvas continuas . Se define mediante :

ℎ    

En la figura, el rectángulo genérico tiene altura de , base y área de = . El límite de las sumas de tales áreas es igual a , según la definición de la integral definida.

94


4    0



Ejemplo de Aplicación: Halle el área de la región limitada por la parábola y , calcular su dominio e interpretarlo como una región plana. Luego graficar la función. Solución: Calculamos los límites de integración:

Tenemos:

95


Gráfica de la superficie requerida:

96


GRAFICAS DE SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN. Definición: Un sólido de revolución es un cuerpo que puede obtenerse mediante una operación geométrica de rotación de una superficie plana alrededor de una recta que se contenida en su mismo plano. En principio, cualquier cuerpo con simetría axial o cilíndrica es un sólido de revolución.

  2 3

Ejemplo de Aplicación: calcular el volumen del solido de revolución cuando la región R: f(x)= . Se rota alrededor del eje x. Desarrollo MATHWAY

97


98


Autocad:



99


  2 3 

Ejemplo de Aplicación: determinar el valor del volumen generado al rotar la regio acotada por la funciones f(x)=

˄ g(x)=

alrededor de la eje x

Desarrollo MATHWAY

100


101


Autocad:



102


GRÁFICAS DE SUPERFICIES CUADRÁTICAS Definición: La gráfica de una ecuación de segundo grado en tres variables se conocen como superficies cuadráticas, salvo casos degenerados Elipsoide La gráfica de la ecuación:

Paraboloide elíptico: La gráfica de la ecuación:

Paraboloide hiperbólico: La gráfica de la ecuación:

Cono Elíptico: La gráfica de la ecuación:

Hiperbólica de una hoja: La gráfica de la ecuación:

103


Ejemplo de Aplicación: Identifique cada uno de las siguientes superficies cuadráticas:

 4  2  4  0   2  6  10  0        4  2  1

Solución: a) Dividiendo por 4 la primera ecuación obtenemos: Lo cual corresponde a un hiperboloide de dos hojas, con el eje y como que simetría Gráfica en Graphing Calculator

104


b) Completando el cuadrado en x para la segunda superficie obtenemos:

 1   3 2

que corresponde a un paraboloide elíptico con eje paralelo al eje y. Gráfica en Graphing Calculator

105


GRÁFICAS DE SUPERFICIES CILÍNDRICAS Definición: Las superficies cilíndricas son superficies generadas por una recta, cuando se desplaza a través de una curva plana, manteniéndose siempre paralela a sí misma. A dicha recta se la llama generatriz de la superficie y a la curva, directriz. Coordenadas Cilíndricas: Las coordenadas cilíndricas son simplemente una extensión de las coordenadas polares al espacio, es decir son simplemente la proyección de cada punto en el plano XY. Ejemplo de Aplicación: Transformar la siguiente ecuación rectangular a coordenadas cilíndricas.

   2  

Solución:

Si z = 0 Sustituyendo en la ecuación de la superficie las ecuaciones de transformación se tiene:

 sin 2sin  0 cos  →   2sin  0 →   2sin

Ecuación que representa un cilindro circular recto. Desarrollo MATHWAY

106


107


GRÁFICAS: Programa Mathway  Gráfica 2D:



Programa Graphing Calculator 3D Gráfica 2D:

108


Autocad: Gráfica 2D:



Gráfica 3D:

109


GRÁFICAS DE SUPERFICIES EN GRÁFICAS DE SUPERFICIES EN COORDENADAS PARAMÉTRICAS



Definición: Sea x, y, z función de u y v, continuamos en un Dominio D del plano . se llama Superficie Paramétrica al conjunto de puntos (x,y,z,) dados por ( )=x( )i + y( )j + z( ). Las Ecuaciones x=( ), y=(u,v) y z=(u,v) se llaman Ecuaciones Paramétricas de la superficie.

   

Ejemplo de Aplicación: Halle el área de la elipse, Por simetría se tiene:

   3.cos ,  2.

110


111


3,   31 cos

Ejemplo de Aplicación: Halle el área de la región bajo un arco de la curva



Solución:

112


113


CURVAS DE NIVEL. Definición: Una curva de nivel es aquella línea que en un mapa une todos los puntos que tienen igualdad de condiciones, normalmente altitud sobre el nivel del mar o profundidad. Las curvas de nivel suelen imprimirse en los mapas en color siena para el terreno y en azul para los glaciares y las profundidades marinas. La impresión del relieve suele acentuarse dando un sombreado que simule las sombras que produciría el relieve con una iluminación procedente del Norte o del Noroeste. Ejemplo de Aplicación

Si x=0, z=9-y2 parábola de vértice (0, 0,9) traza plano yz. Si y=0, z=9-x2 parábola de vértice (0, 0,9) traza plano xz. Si z=0, x2+y2=9 circunferencia de radio 3 traza plano xy. Si z=k, k=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8. Autocad:



114


SUPERFICIES DE NIVEL. Definición: Existen varias maneras de visualizar una función de dos variables, en esta sección lo haremos mediante una superficie en el espacio tridimensional. La gráfica de una función es el conjunto de puntos (x,y,z) tales que y . Es decir

 →  : ⊑    ,  ∈    ,,,  / , ∈  ,     1

Ejemplo de Aplicación: Trace la gráfica de la función:



Programa Graphing Calculator 3D Gráfica 2D:

115


LIMITES

〈   〉   ,  ,       ,    >0 ,→lim, ,     > 0 | , | <  0 <       <    

Definición: Sea f una función de dos variables definida en un disco abierto ; excepto, posiblemente, en el mismo punto ; entonces: , si para cualquier número , no importando que tan pequeño, existe un número siempre que

, tal que:

, donde (Urteaga-2005)

La notación del cálculo de un límite de una función de varias variables es:

.

Para que exista la posibilidad de calcular el límite debemos tener presente varias cosas: El valor (x0,y0) no tiene porqué pertenecer al dominio de f(x,y), pero los valores alrededor de él sí. Es decir, los valores de (x,y) mediante los que definimos el acercamiento a (x0,y0) A diferencia de las funciones de una variable, f:R→R, donde el acercamiento al punto sólo tenía dos posibilidades (límites laterales por izquierda y derecha), en el caso de funciones de dos variables, f:R 2→R, las opciones de acercamiento son infinitas, puesto que en el plano XY donde se define el dominio de estas funciones se pueden definir infinitas trayectorias lineales para desplazar un punto genérico (x,y) al punto del límite (x0,y0) . Para poder afirmar que el límite de la función existe en (x 0,y0) los cálculos realizados por las infinitas trayectorias de acercamiento deben existir y ser iguales. Existen trayectorias de acercamiento de interés especial que veremos más adelante:  Acercamiento por los ejes, que llamamos límites parciales o límites iterados. Acercamiento mediante rectas, o límite por rectas.  Acercamiento por parábolas, o límite por parábolas.   Acercamiento mediante coordenadas polares. El límite de una función en un punto, si existe, es único. 

116


Límite de dos variables: Ejemplo de Aplicación Resolver:

Solución:

   ∗ ,li→m, +

 5 l,i→m,     5 ∗ 1  l,i→m, 1 2∗ 2  5 ∗ 1 l,i→m, 1 2∗ 2  2 l,→im,− +−

Ejemplo de Aplicación. Resolver:

117


Solución:

    ,l→im,−    l,→im,−     ,l→im,−   1 1  2   l i m   ,→,−,− 

Límite de la forma de la forma:

Límite de tres variables: Ejemplo de Aplicación: Resolver:

Solución:

,,→lim,−,−        l i m 1   1 2 ,,→,−,−   l i m   ,→,−,−    2

118


CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD.

  ∧ ,  ,l→i,m, ,  ,l→im, ,  ,    ;, ≠ 0,0  ,    0;+,   0,0  lim0,0  0

Definición: La función de dos variables , se dice que es continua en el punto ; si y sólo si se verifican, las tres condiciones. existe.

existe.

Ejemplo de Aplicación: Sea

; determinar si

es continua en (0,0) Solución:

Verificando que existe el límite:



,→,  +

a) Sea



un conjunto de puntos del eje x.

b) Sea



un conjunto de puntos de la recta

 3 l→im  00

   l→im 3 

.

119


         3  3  3 3 ,li→m,   →lim  →lim  →lim1   0   l,i→m, +  ,li→m, 0,0    ,      0,0 ℎ  ++ ℎ

c) Sea

un conjunto de rectas de la parábola

d) Se concluye que:

.

0

Ejemplo de Aplicación 2: Analizar la continuidad de la función: Solución:

Redefiniendo como la composición de dos funciones:

120


121


DERIVADAS PARCIALES PRIMER ORDEN Definición: La derivada es uno de los conceptos más importante en matemáticas. La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. Pero vayamos por partes. La definición de derivada es la siguiente:

Podría, pues, no existir tal límite y ser la función no derivable en ese punto. En esta primera práctica vamos a ver qué significa cada uno de los términos que aparecen en la formula anterior. (MOISES LAZARO. Calculo I. 1995 pág. 56) Ejercicios sacados del libro de Análisis matemático I del Ing. Horacio Urteaga B. Pág. 142

Ejemplo de Aplicación 1

      516

Desarrollo en MATHWAY:

122


123


   5  ′   10 37 14 605 36

124


Ejemplo de Aplicación Desarrollo en MATHWAY:

     81

125


126


DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR Definición: Si tenemos z f = (x, y), sabemos que las derivadas parciales de la función respecto de las dos variables independientes son, en general, funciones a su vez de las mismas variables. Esto es:

Ejemplo de Aplicación :

  fxx,y

Solución: 



∂z∂x  fxx,y ∂z∂y  fyx,y   34√ 1

 − ∂z  2x2 

∂x 3  1 ∂z∂x x− ∗ 32 2  1   fyx,y    ∂z∂y  0∗3y 312 64  12 ∂z∂y  24  √ 32  12

127


DERIVADAS DIRECCIONALES

⃗  cos   ⃗ sin⃗  ∆∆sin , ⃗ ,  ,∆→li m ∆cos,   í Definición: Sea f una función de dos variables x ^ y. Si es el vector unitario , la derivada direccional de f en la dirección del vector definida por:

, está

(Urteaga-2005)

En análisis matemático, la derivada direccional (o bien derivada según una dirección) de una función multivariable, en la dirección de un vector dado, representa la tasa de cambio de la función en la dirección de dicho vector. Este concepto generaliza las derivadas parciales, puesto que estas son derivadas direccionales según la dirección de los respectivos ejes coordenados. (Bombal-1988)

  , , … ,    , , … ,  ⃗   →lim ℎℎ    ⃗ ,     3   4 ^      ⃗  ,,  3cos4si n  ⃗ c∗o(s  3si n   4  ⃗       3  4 √ 3 ) 1 ⃗ ,   2  2 ∗[6 4  2  ] → ⃗ ,   3√ 32√ 3 

En la dirección del vector:

Es la función definida por el límite:

(Bombal-1988)

Ejemplo de Aplicación: Dada la función el vector unitario, en la dirección , hallar Solución: 1) 2)

es

.

,

(Urteaga-2005)

128


GRÁFICA: Programa Mathway: 

129


130


131


GRADIENTE.

 

 ∧ ∇  ∇ ,   ,    ,         ,      4 ∧        

Definición: Si es una función derivable de las variables el gradiente de , denotado por , está definido por: = Ejemplo de Aplicación : Dada la función vector unitario, en la dirección , hallar

=3

, entonces

es el

.

Solución: Desarrollo en MATHWAY:

132


INTEGRALES DOBLES Y TRIPLES. Definición: Se llaman integrales iteradas a la realización sucesiva de por lo menos 2 procesos de integración simple considerando las diferenciales dx y dy. Es importante tomar en cuenta en que posición vienen dados los límites de las integrales en cuestión para saber en qué orden serán ejecutados los procesos de integración simple; es decir, reconocer si se va integrar primero considerando la diferencial dx o la diferencial dy o viceversa.

 +  √  2   [+2  ]  √  [ ]   [1   (√ )  ]                  


Solución:

234 R: 1.083

133


Ejemplo de Aplicación 1:

   2 √        √   2      2     2   1   3 13 4  13 24 2  R:

134


INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE UNA SUMA INTEGRAL PARA INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS CARTESIANAS

IMAGEN: Interpretación geométrica de la integral doble. De la figura se obtiene:

       ∗           ∗

Siendo el área la parte pintada de blanco y la parte pintada de rojo es el diferencial de área requerido para la obtención del área Los límites de la integral doble son:

Está escrito de ese modo ya que primero se trabaja con el diferencial de y, trabajando con dx como si fuera variable.

135


INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE UNA SUMA INTEGRAL PARA INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES Definición: Cuando en la integral doble se pasa de las coordenadas rectangulares x e y a las polares r, , relacionados con las primeras por las expresiones.



  cos,   sin  ,   cos,sin ∬ ,       x  rcos,   sin    cos2   0,  √2  √  ,   −  cos,sin  √     cos,sin

Se verifica la fórmula:

(Espinoza-2007)

Ejemplo de Aplicación: la lemniscata

, donde el recinto S está limitado por

Solución: Pasando a coordenadas polares 

136


GRÁFICAS: Programa Graphing Calculator 3D 

Como se puede apreciar, por problemas gráficos, la función queda distorsionada.

137


INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE UNA SUMA INTEGRAL PARA INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CARTESIANAS Definición: Si f es continua en una región sólida, acotada D triple de f sobre D, se define como:

∈ IR

entonces la integral

Siempre que exista el límite. Elemento de volumen: dV = dx dy dz

  { ,,≥ 0 ≤ 1} ∭ .    0 1    0  1       1    √ −    −−. . .     √ −   .  1   .  2 0  √ −   1     . 2   √ −      2 2 2

Ejemplo de Aplicación: Calcular la integral

en el dominio

SOLUCION: Por la ecuación diremos que es una semi esfera y tenemos:

Luego:

138


 [   ]√ 1   4 4 8 0  [ 1 1 1 ] 4 8  4  [  ] 8 4 8       1  1

48 16 16 0 48

139


INTEGRACIÓN GEOMÉTRICA DE UNA SUMA INTEGRAL PARA INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILÍNDRICAS 1. Definición: En geometría plana, el sistema de coordenadas polares se usa para dar una descripción cómoda de ciertas curvas y regiones. La figura siguiente hace posible que recordemos la conexión entre coordenadas polares y cartesianas. Si el punto P tiene coordenadas cartesianas y coordenadas polares , entonces , de la figura, ,

En tres dimensiones hay un sistema de coordenadas, llamadas coordenadas cilíndricas, que es semejante a las coordenadas polares y da descripciones cómodas de algunas superficies y sólidos que por lo general se presentan. Como veremos algunas integrales triples son mucho más faciles de evaluar en coordenadas cilíndricas. En el sistema de coordenadas cilíndricas, un punto P en espacio tridimensional está representado por el triple ordenado , donde r y q son coordenadas polares de la proyección de P sobre el plano xy y z es la distancia dirigida desde el plano xy a P .

140


         ѳ  16    ѳ    

Ejemplo de Aplicación: Calcular el volumen del cuerpo limitado por el cono

y la esfera

z≥0

Autocad:



141


  ≤ ≤16√16 2√ 2 0 ≤  ≤ 2√ 2   √ √ −

∫  √∫ ∫       1 6        16   √  [ 3  3 ] V=

  642√2 3 

142


INTEGRACIÓN GEOMÉTRICA DE UNA SUMA INTEGRAL PARA INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS ESFÉRICAS Se repite el mismo proceso que en las integrales dobles. Se consideran los siguientes tipos de regiones: Tipo I: con paredes frontal y posterior rectas).

(paralelepípedo

Las regiones del tipo II son aquellas en las que con paredes izquierda y derecha planas).

(paralelepípedos

Las regiones del tipo III son aquellas en las que e (paralelepípedos con fondo y tapa planas). Sus integrales triples se resuelven de manera análoga. Las regiones del tipo IV son aquellas que se pueden expresar indistintamente como regiones de los tipos I, II o III. Consecuencia: Si f(x, y, z) = 1 y W es una región acotada de

entonces

Ejemplo de Aplicación: Calcular el volumen de un sólido que está acotado por ,

y



3x

x

2



y

2



2

z



4

, y



x

, z=0, en el primer octante.

Grafica

143


Plano y= x, Angulo 45. y

1



x

tan 

y 



1

x



 

4

tan 

y 



3

x



 

3

En coordenadas esféricas. x



 sen cos

y



 sen sen

z



 cos 

 x

2



2

2

4

y  z 

 2 sen2 cos 2   2 sen2 (cos 2 



 2 sen 2 sen 2



sen

 2 sen2   2 cos 2 



 2 cos 2 

2

 )   2 (cos 2  )



 2 (sen 2



cos 2  )   2

144


 2  4   2  / 6  / 2

v

 



 / 4

0

 /6

V



2



 / 4

 2 sen d  d d

0

 / 2

d

 0

2

sen d

 0

 2 d  

2 9

145


FUNCIONES VECTORIALES: GRÁFICAS, LÍMITES, DERIVADAS E INTEGRALES

::  ⊆  →  ::  ⊆  →  ::::  ⊆⊆  →→  ::  ⊆  →   →   : :  ,,   2 , ,3 5

Definición: Una función del tipo se le denomina función vectorial o campo vectorial. Si m = 1, tenemos , se le denomina Función Escalar, Campo Escalar, o Función de Varias Variables. Si , tenemos una función de dos variables. Si , tenemos una función de tres variables. Si n = 1, tenemos , se le denomina Trayectoria o Curva. (Villena-2003) , tal que Ejemplo de Aplicación 1: Sea

Solución: Esquemáticamente tenemos:

146


CAMPOS VECTORIALES BIDIMENSIONALES Y TRIDIMENSIONALES: GRÁFICOS. ROTACIONAL Y DIVERGENCIA. APLICACIONES CAMPOS VECTORIALES

 ⊂ ℝ , ∈  , ∈  , ,,  , ,   , , ,   , , ,     ⊂ ℝ  ,  ,   ∈  ,, ∈    ,  ,  ,   ,  ,  ,   ,  ,   ,,,,,,,,,,, ,   ,, ,,,,⃗  ℝ ℝ Definición: Un campo vectorial sobre es una función que cada punto le asigna un (único) vector de dos componentes . Para el par ordenado , se tiene vector bidimensional podemos escribirlo en términos de sus 2 funciones componentes , que son funciones escalares de dos variables:

; luego y

Usaremos también la notación de vector del plano como par ordenado:

Un campo vectorial sobre es una función que cada punto le asigna un (único) vector de tres componentes . En este caso se puede expresar el campo en términos de sus funciones componentes , que son funciones de tres variables: Se denota también

Dominio: El dominio de un campo vectorial en el plano es un subconjunto de , y el de un campo vectorial en el espacio es un subconjunto de . El “dominio natural” del campo está dado por la intersección de los dominios naturales de sus funciones componentes. Continuidad: Un campo vectorial es continuo si y sólo si todas sus funciones componentes son continuas. Representación Gráfica: Una manera de representar gráficamente un campo vectorial en el campo es mediante un conjunto de flechas donde cada una corresponde al vector , con origen en el punto del plano. Análogamente para un campo vectorial en el espacio. Veamos ejemplos de campos vectoriales y su representación gráficas

, 

, 

147


Ejemplo de Aplicación: Describa algunos de los vectores

,   

en el plano, trazando

Solución: Para empezar, digamos que el dominio natural de este campo vectorial es todo . Evaluemos el campo en algunos puntos del plano, por ejemplo , . Estos son todos los vectores de módulo 1, y los puntos donde se aplican están a 1 unidad de distancia del origen. Evalúe en (2, 0), (0, 2), (−2, 0), (0, −2) y (1, 1) y ¿qué se observa?

ℝ1,0   0,1 ,1,0 ,0,1   2,0  ,0,2 ,,2,0 ,,0,2  ,1,1 ||   , 

El módulo para cualquier es , donde denota el vector posición del punto de coordenadas . Esto significa que el campo tiene el mismo módulo para todos los puntos sobre una circunferencia dada, centrada en el origen. A medida que aumenta el radio de la circunferencia, el módulo del campo es mayor. Graficando:

Aplicaciones: Entre las aplicaciones de campos vectoriales tenemos mayormente su aplicación en el campo de la Física, siendo en los temas de campos de fuerzas como son la fuerza de atracción gravitatoria, en temas de electrostática y electromagnetismos Campo de fuerzas

    6.67 ∗10− /

Donde r es la distancia entre los objetos y es la constante de gravitación universal, de acuerdo a la ley de gravitación universal de Newton.

148


Podemos escribir el campo de fuerza gravitatoria en términos de sus funciones componentes como:

       ⃗ ,,     

Fuerza eléctrica entre 2 casa puntuales Q (ubicada en el origen) y q ubicada en el punto (x, y, z)). Según la ley de Coulomb, la fuerza que produce Q sobre q es el campo vectorial.

,,      ⃗



Siendo una constante.

ROTACIONAL Y DIVERGENCIA

  , ,  , ,   ∇ ()∇∇. )  ∇.       (     ∇.( )  ∇. ∇.   , ,   , ,  ,  ,   ∇.(  )                     ∇.∇.        ∇.     ⃗ ⟹      ⃗   ∇.∇  ∇.∇    ∇   ∇.∇  ∇.∇∇ϕ∇   ∇

Divergencia de una función vectorial: Si una función vectorial es , donde son funciones escalares, entonces el producto escalar de la función vectorial y el vector simbólico es decir: se denomina la divergencia de la función vectorial y se denota por es decir:

1. Teorema: Si

y

son 2 funciones vectoriales, mostrar que:

Demostración Si y

2. Teorema: Si

, entonces se tiene:

es una función escalar, entonces la divergencia del

gradiente de es Demostración Como

La divergencia del gradiente se escribe como . Entonces se escribe como . Al operador le llamamos Laplaciano, es decir: Laplaciano=

  

entonces se tiene:

149


∇         



Definición Una función escalar se dice armónica si es continua, tiene segundas derivadas continuas y satisface a la ecuación de Laplace.

∇   0  ‖‖   / ≠0  , ,  ∇ 1      −/     −/    −/     −/ …1     −/    −/    −/    −/ 3  −/     −/    −/ 3  −/    −/    −/ 3  −/ ∇ 1  3 −/ 3−/−/−/  −/     − /   3   ∇   3  −/ 3    −/  0 Ejemplo: Mostrar que la función , donde ecuación armónica siempre que Solución Claramente es continua, puesto que Laplaciano

es una

y r son continuas entonces el

De donde la primera y segunda derivada de con respecto a x son:

En forma similar, las derivadas parciales de con respecto a las variables y, z:

Luego al momento de reemplazar en (1) se tiene:



Como satisface la ecuación de Laplace, la función es armónica.

150


  , ,  , ,  ∇ ⃗     ∇∗          ⃗  ∗(    ⃗ )             ⃗         ∇∗  ∇∗    ∇∗ ( )  ∇∗ ∇∗   ⃗   ∇∗ ∇   0   ∇. ( ∇∗ )  0   ( ∗ ∇)  . ∇∗

Rotacional de una función vectorial: Si una función vectorial , donde son funciones escalares con primeras derivadas continuas entonces su producto vectorial o cruz con el vector simbólico es:

Llamamos a esta función el rotacional ( ) de la función vectorial , es decir: Rotacional Nota: no necesariamente es perpendicular a .

Propiedades 1. Sea y funciones vectoriales, entonces:

2. Si es una función escalar con segundas derivadas entonces

3. Sea una función vectorial con segundas derivadas continuas entonces: 4. Sea y funciones vectoriales, entonces:

151


CAPÍTULO VII: Aplicaciones Aplicacion es del programa matemático a la ingeniería civil. Este programa tiene varias aplicaciones a la carrera de Ingeniería Civil, tal es el caso de ayudarnos a resolver problemas donde el uso de integrales es prioritario; como por ejemplo en problema de Estática en donde se usa integrales para hallar el centroide de una estructura, el cual es necesario para hallar el punto exacto donde se concentran las fuerzas de una estructura. Ot ra aplicación se da en los cursos de Dinámica, Fluidos; asimismo hacemos mención del tener a mano un programa que nos ayudaría a resolver el dilema de crear una carretera a raíz de un modelo matemático. Dicho modelo matemático debe ser una expresión algebraica, que sea derivable, ya sea de manera entera o de forma parcial, y que al graficar recree la forma del lugar por donde se desea realizar la carretera. El programa GRAPHING CALCULATOR 3D es excelente opción al crear gráficas de manera exacta y dinámica; por otra parte, el programa MATHWAY es una excelente calculadora en línea que sería el complemento perfecto para el GRAPHING CALCULATOR 3D. Dicho esto se dará un ejemplo para explicar de manera más eficiente el uso de estos 2 programas matemáticos aplicados a la ingeniería civil.

     ∗   ∗

Ejemplo de Aplicación: La superficie de una montaña está representada por el modelo matemático , donde la distancia se mide en metros, el eje x apunta al este y el eje y hacia el norte. Un hombre se encuentra en el punto de coordenadas (-1, 5, 8): a. ¿Cuál es la dirección de máxima inclinación para el ascenso? ascenso? b. Si el hombre se se desplaza desplaza en la dirección dirección noroeste, ¿asciende ¿asciende o desciende y a qué velocidad? c. Si el hombre se desplaza desplaza en la dirección dirección sureste, ¿asciende ¿asciende o desciende desciende y a qué velocidad? d. ¿En qué dirección, el hombre recorre una una curva de nivel? Solución: Paso 01: Graficamos el modelo matemático en el GRAPHING CALCULATOR 3D y escalamos a la parte que nos ayude a solucionar el problema

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IMAGEN 7.1: Modelo matemático de la montaña y el punto donde se encuentra la persona. Paso 02: Resolvemos los ítems que pide el problema a. Dirección de máxima inclinación: Sea

⃗     ,  ,  ,    2 ∗y     z  f x,x, y → f x,x, y  900 90 0 2  2 ∗ x ∇⃗ 1,1,5,8  1,1,5,81,5,8

IMAGEN 7.2: Determinación de las derivadas parciales Dxf y Dyf respectivamente.

∇⃗ 1,1,5,8  420…1

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  °

b. Si el hombre hombre camina en la dirección dirección noroeste: noroeste: Para hallar el ángulo nos ayudamos de la siguiente gráfica:

IMAGEN 7.3: Orientación de la montaña y de la dirección NO que toma la persona.

⃗ ⃗cos135°  cossisinn135°  √ 22  √ 22  ⃗    u⃗u1,⃗1,51,,85,8[[441,1,205,8]∗√ 2  1,5√ ,82  ] ∗⃗ 2 2 u⃗ 1,1,5,8  12 ∗√ ∗√ 2 12∗ √ 2 /

El hombre desciende con una velocidad de

.

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  °

c. Si el hombre se desplaza en la dirección sureste = Para la obtención del ángulo hicimos un proceso similar al hecho en el ítem “b”

IMAGEN 7.4: Orientación de la montaña y de la dirección SE que toma la persona.

⃗ ⃗cos315°  cossisinn315°  √ 22  √ 22  ⃗   u⃗u⃗1,5,81, 5[,8[41,520,8]∗√ 2  1,√ 52,8 ] ∗⃗ 2 2 u⃗1,5,8  12 ∗√ 2 12 ∗ √ 2 /

El hombre asciende con una velocidad de

.

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d. La dirección donde el hombre no desciende ni asciende, en otras palabras, recorre una curva de nivel Para la solución de este ejercicio nos vamos a ayudar del siguiente gráfico:

IMAGEN 7.5: Montaña con sus curvas de nivel y la ubicación del hombre. Como no asciende ni desciende, se concluye que

  u ⃗   1, 5 , 8  0 u⃗1,5,8  1,5,8∗ cos 1,5,8∗ sin  0 4 ∗cos 20 ∗ sin  0 20 ∗sin  4∗ cos sicosn 204 tan  51   tan− 15   11.3099°  ≈ 11.31°

156


CAPÍTULO VIII: VENTAJAS DEL PROGRAMA MATEMÁTICO Si bien el programa matemático que tratamos no cumplió con todas nuestras expectativas, no obstante, entregó resultados que cumplieron con lo estudiado en clase; la ventaja de este programa sobre los otros programas fue en la facilidad con la que se puede acceder a este; esto se debe a que no se debe instalar un software para poder utilizarlo ya que es completamente usado vía página web. Además, nos da opciones para la solución de problemas de diferente índole, tal es el caso de resolución de ejercicios geométricos, trigonométricos, estadísticos, entre otros. Asimismo, cuenta con una aplicación para los teléfonos con sistema Android, el cual puede ayudarnos a resolver integrales simples haciéndonos los cálculos más fáciles de obtener. Aplicado este programa a la ingeniería, nos ayudaría a solucionar integrales no muy complejas; esto es una gran ventaja en cursos como Estática y Dinámica, donde es fundamental para la obtención de centros de gravedad y movimientos de cuerpos respectivamente. Para finalizar, una de las desventajas del programa es en el tiempo que toma para realizar gráficas en 3D, por lo cual nos vimos en la necesidad de usar AUTOCAD, EXCEL y GRAPHING CALCULATOR 3D para realizar este tipo de gráficas. El GRAPHING CALCULATOR 3D nos dio buenos resultados al crear fielmente las gráficas en 3D, ya que solo bastó introducir la ecuación para la creación de la gráfica en 3D y de la misma forma poder ver de forma dinámica las vistas que nos ofrece la figura creada en este programa.

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CONCLUSIONES: - El programa Mathway y Graphing Calculator 3D, son dos programas matemáticos que se complementan en cierto grado, debido a la complejidad de gráficas que nos puede brindar el programa Graphing Calculator 3D - En cuanto a las gráficas de funciones polares y cartesianas, realizó las gráficas con rapidez y sin complejidad. - La nitidez de imagen no es tan buena tanto en el programa Mathway, como en el Graphing Calculator 3D

RECOMENDACIONES: - Reconocer las limitaciones del programa en la aplicación de ciertos temas, ya que no se pudo desarrollar por completo algunos puntos del informe.

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Final Mathway

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