UNIDAD 3: FASE 6 - FUNCIONES
DIOSEMEL CARRASCAL 88.282.058
Tutor JAIME JULIO BUELVAS
UNAD MATEMATICA BASICA (LIC. EN MATEMATICAS) 551107A_471 Mayo de 2018
Introducción Este trabajo se hizo con el fin de poner en practica las temáticas del curso de matemáticas básica relacionadas con el tema de funciones, su clasificación y sus gráficas, desarrollando las actividades propuestas propuestas en la unidad 3. Como es sabido una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades, una función es una regla de correspondencia correspondencia entre dos conjuntos de tal manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto.
PARTE A DE LAS ACTIVIDADES EJERCICIOS RESUELTOS POR DIOSEMEL CARRASCAL 4)
=+ + 5 = ∞<<∞
La función no tiene puntos no definidos ni limitaciones de dominio, por lo tanto el dominio es
∞<<∞ + 5 = ∞<<∞ El rango de los polinomios con grado impar son todos los números reales
∞<<∞ + 5 no es par ni impar = + 5 = 5 Por lo tanto + 5 no es una función par ni impar + 5 = 5,0, 0,5 5,0 0,5 Paridad de
+5:5 =+5 = +5 = +5 = +5 +5 =X +55=5 =5 Pendiente
=+ Donde m es la pendiente
=5
=1 intercesión con el eje y
5
=+ 6+3 = ∞<<∞
La función no tiene puntos no definidos ni limitaciones de dominio, por lo tanto el dominio es
∞<<∞
6+3= ∞<<∞ El rango de los polinomios con grado impar son todos los números reales
∞<<∞ 6+3 no es par ni impar = 6+3 = 63 Por lo tanto 6+3 no es una función par ni impar 6+3 = (12 ,0), 0,3 1 1 6+3 = 0 = 2 2 ,0 = 6∗0+3 = = 3 0,3 Paridad de
=6+3 = 3 6 Pendiente
=+ Donde m es la pendiente
=6+3
=6
=3 intercesión con el eje y
7.
=
Para hallar la intercepción con el eje x, remplazar 0 por y y resolver para x , Para hallar la intercepción con el eje y, remplazar 0 por x y resolver para y En X
0 = 4 23 4 23=0 4 2=3 4 23=0 Formula cuadrática
4 ±√ = 2 4 4∗3 2± 2 = 2∗4 = 1±4√ 13 1+ 1 3 √ = 4 = 14√ 13
1+ 1 3 1 1 3 √ √ = 4 , 4 = 40 203 =3 Entonces Intercesión en X
= 1+4√ 13 , 14√ 13 Intercesión en Y
0,3
El dominio de la expresión es todos los números reales excepto aquellos donde la expresión esta indefinida Dominio
Rango
∞,∞ ∈ { 134 ,∞,{≥ 134}
8.
= +
En X
0 =2 + 2 + = 0 21 =0 = 12
Solución
1 =0; 2
= 20 +0 =0 Intercesiones en X
= 0;0; 12 ;0 Intercesiones en Y
=0;0
Dominio
Rango
∞,∞
∈ para cualquier número entero n ∞; 18};{≤ 18}
PARTE B PROBLEMAS DE APLICACIÓN
21. Cerca alrededor de un campo Considere el siguiente problema: Un agricultor tiene 2400 pies de malla para cercar y desea cercar un campo rectangular que bordea un río recto. No necesita cerca a lo largo del río (vea la fi gura). ¿Cuáles son las dimensiones del campo de área máxima que él puede cercar? (a) Experimente con el problema, trazando varios diagramas que ilustren la situación. Calcule el área de cada configuración y use sus resultados para estimar las dimensiones del campo más grande posible.
(b) Encuentre una función que modele el área del campo en términos de uno de sus lados. (c) Use su modelo para resolver el problema, y compárelo con su respuesta a la parte (a).
Solución a)
=2000+200+200=2400 = 2000 200 = 400000
=400+1000+1000=2400 = 400 1000 = 400000
=900+750+750=2400 = 900 750 = 675000
=1000+700+700=2400 = 1000 700 = 700000
Como se puede observar en todos los casos se utiliza la misma cantidad de malla sin embargo el área es diferente Primer número Ancho 750 700 650 600 550 500
Segundo número largo 900 1000 1100 1200 1300 1400
Producto área 675000 700000 715000 720000 715000 700000
En la tabla anterior se puede apreciar como actúa el área según los valores que se le asignen a sus dimensiones, podemos decir que el área máxima se alcanza cuando el terreno tiene 600 ft de ancho y 1200 ft de largo.
b)
El área del rectángulo es:
= . Contamos con 2400 ft de malla la cual se representa de la siguiente manera
+2=2400 Despejando se tiene
=24002 Sustituimos el valor de y
= 2400 2 =24002
Desarrollando
c) posibles valores que puede tomar x 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
A(x) 400000 540000 640000 700000 720000 700000 640000 540000 400000
Las siguientes imágenes muestran la gráfica de la función
El área máxima se obtendrá cuando las dimensiones sean 600*1200
22. Dividir un corral Un ranchero con 750 pies de malla para cercar desea encerrar un área rectangular, y luego dividirla en cuatro corrales con cercas paralelas a un lado del rectángulo (vea la fi gura). (a) Encuentre una función que modele el área total de los cuatro corrales. (b) Encuentre el área total máxima posible de los cuatro corrales.
Solución
=750 =5+2 = . = 750 = 5+2 750=5+2 7502=5 = 7502 5 Despejando y
= . = [7502 5 ] 7502 = 5
750 2 = 5 5 2 = 150 5 =150 25 Es la función encontrada Grafica de la función
2 150 5 ,=0..375
Aquí se puede ver los puntos donde y = 0
Resolviendo
150 ; = 0, =375
150 2 5 150 45 Resolviendo 150 ; 375 { = 2 } 150 25 ,=185..190
R/ 14,062.5 sería el área máxima
23. Cercar un terreno para jardín El dueño de una propiedad desea cercar un terreno para jardín adyacente a un camino, como se ve en la fi gura. La cerca junto al camino debe ser más robusta y cuesta $5 por pie, pero la otra cerca cuesta sólo $3 por pie. El jardín ha de tener un área de 1200 pies2. (a) Encuentre una función que modele el costo de cercar el jardín. (b) Encuentre las dimensiones del jardín que reduzcan al mínimo el costo de cercar el jardín. (c) Si el dueño tiene a lo sumo $600 para gastar en la cerca, encuentre el rango de longitudes que puede cercar a lo largo del camino.
Solución a)
∗=1200 Y el precio que nos cuesta es
5∗+2∗3∗+3∗=, lado de la carretera + 2 lados laterales + lado opuesto a la carretera
8∗+6+3∗=, b)
x=1200/x
= 9600 +6 Derivamos respecto a y,
f′y= 9600 +6 Igualamos a 0 y despejamos la y, resolviendo una ecuación de 2º grado, obtenemos ,
y=+40 (descartamos la solución negativa) Volviendo al área, despejamos la x,
x = 1200 40 = 30 c)
x∗y=1200 8∗x+6∗y=600 x = 1200 40 = 30
Resolviéndolo, obtendrás una ecuación de segundo grado que te dará dos soluciones para y (o bien para x). Descartas los valores que sean iguales a los del mínimo (es decir, y=40, x=30) y te quedas con los otros. Para y obtienes y=80, y para la x x=15. El intervalo entonces es, para las longitudes de la carretera, los valores x,
15,30.
24. Maximizar un área Un alambre de 10 cm de largo se corta en dos partes, una de longitud x y la otra de longitud 10 - x, como se ve en la fi gura. Cada pieza se dobla en forma de cuadrado. (a) Encuentre una función que modele el área total encerrada por los dos cuadrados. (b) Encuentre el valor de x que reduzca al mínimo el área total de los dos cuadrados.
Solución
a. El cuadrado formado por el trozo x tendrá lado y su área será
= El cuadrado formado por el trozo 10 – x tendrá lado
−
Y su área será
20+100 10 ( 4 ) = 16 La función del área total será
20+100 = 16+ 16 20+100 2 = 16 10+50 = 8 b. El área mínima será el punto mínimo de la función La abscisa del vértice es:
= 2 = 2 108 = 2 1 = 5 8
Con x=5 será el área máxima
= ∈∈ 10+50 =∈ 8 ∈ = ∈= = ∞,+∞ Según la grafica obtenemos el rango los valores que toma la variable y
= (258 ,+∞)
25. Luz de una ventana Una ventana normanda tiene la forma de un rectángulo rematado por un semicírculo, como se muestra en la fi gura de la izquierda. Se ha de construir una ventana normanda con perímetro de 30 pies. (a) Encuentre una función que modele el área de la ventana. (b) Encuentre las dimensiones de la ventana que deje pasar la máxima cantidad de luz.
Solución a.
1 = La formula para calcular el área de un semicírculo es
= 2 Tomando en cuenta que la medida del diámetro es la misma que el lado x del rectángulo la formula para calcular su área seria
2 = 2 Entonces
4 = 2 Simplificando
=
8
Área total de la figura
=+ 8 b. perímetro de la figura
=+2+ 2 El perímetro de la ventana es de 30 pies
30=+2+ 2 Despejar z
2=30+ 2 = 2 4 +15 Sustituimos z en la formula del área
= 2 4 +15+ 8
=15 2 4 + 8 1 = 2 4 + 8 +15 = (12 2+8 )+15 = 12 8+15 Expresando como función
= 12 8+15 Graficando
Conclusiones Tras el estudio de las funciones matemáticas, se puede concluir en que son muy importantes, de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables. Además a través de este trabajo se pudo conocer los diversos tipos de funciones y la importancia de ellos para realizar las gráficas lo cual va a depender de cada tipo de función.
Creemos que el resultado obtenido tras el trabajo de investigación fue positivo, ya que se cumple la consiga en cuanto a la información teórica, brindada por el tutor.