Felipe Paz Campos
2013
ELECTRÓNICA ANALÓGICA FILTROS ACTIVOS
TEORÍA Y APLICACIONES
1
Felipe Paz Campos CAPÍTULO 1 FILTROS ACTIVOS 1.1 Introducción Puede definirse un filtro como cualquier dispositivo que modifica de un modo determinado una señal que pasa a través de él. Algunos autores reservan la denominación de filtros para los dispositivos selectores de frecuencia, es decir, aquellos que “dejan pasar” las señales presentes en ciertas bandas de frecuencia y “bloquean” las señales de otras bandas. Aunque existen muchos filtros de interés práctico que no cumplen esa función, por lo que preferimos la definición más amplia, la mayoría de los filtros que trataremos son selectores de frecuencia. La excepción la constituyen los filtros pasatodo que, sin alterar la amplitud, modifican la fase. Hay diversas clasificaciones de los filtros. Cuando la señal es una magnitud eléctrica (corriente o tensión), es un filtro eléctrico. Existen también filtros mecánicos, filtros acústicos, filtros ópticos, etc. Otra clasificación es en filtros lineales y filtros no lineales según que su comportamiento pueda o no modelizarse matemáticamente con ecuaciones lineales. Un ejemplo de filtro no lineal es un comparador de tensión. Otro, un rectificador. Otra clasificación es en filtros analógicos y filtros digitales. Los filtros analógicos son aquéllos en los cuales la señal puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo, y los digitales corresponden al caso en que la señal toma sólo valores discretos. También pueden clasificarse en filtros continuos y filtros discretos o muestreados, según que la señal se considere en todo instante o en instantes discretos. Dado que los filtros digitales en la práctica son siempre muestreados, el nombre “filtro digital” se refiere habitualmente a filtros discretos digitales.
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Sin embargo, existen filtros discretos no digitales, como los filtros de capacidades conmutadas. Finalmente, los filtros también pueden clasificarse en filtros activos o filtros pasivos según empleen o no fuentes controladas (elementos activos, tales como amplificadores y sus derivados). Los filtros eléctricos pasivos se implementan en general con inductores y capacitores. Dado que los inductores son elementos, voluminosos, pesados y costosos, el empleo de filtros pasivos es poco conveniente excepto en frecuencias bastante altas. Los inductores pueden eliminarse mediante el uso de amplificadores y técnicas de realimentación. Los filtros activos tienen las siguientes características: • Pequeño tamaño y peso. • Uso en el rango de las frecuencias de audio (20KHz) • Valores de resistencias y condensadores razonables a frecuencias muy bajas. • Tiene elevadas características de aislamiento. • Puede proveer ganancia si se requiere
1.2 Selectores de frecuencia Los selectores de frecuencia son filtros que permiten el paso de las frecuencias dentro de ciertas bandas, llamadas bandas de paso y bloquean las frecuencias en otras bandas, denominadas bandas de corte. Idealmente en las bandas de paso debería haber transmisión sin distorsión, y en las bandas de corte la ganancia debería ser nula. Existen cuatro tipos básicos de selectores de frecuencia: Pasabajos, pasaaltos, pasabanda y rechazabanda. Hay también algunos selectores multibanda, como por ejemplo los filtros peine, que rechazan o permiten el paso de los armónicos de una frecuencia dada, utilizados para rescatar o eliminar componentes periódicas 1
Felipe Paz Campos poliarmónicas de una señal espectralmente compleja. No obstante, estos filtros sólo se implementan digitalmente ya que su realización analógica supone dificultades y costo muy elevado.
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Un filtro pasa altas sólo permite el paso de señales con frecuencias mayores a f 1 1.3.3 Filtros pasa banda son aquellos que permiten el paso de un determinado rango de frecuencias.
1.3 Filtros Ideales Existen básicamente cuatro tipos de filtros, que son: filtros pasa bajas, pasa altas, pasa banda y filtros supresores de frecuencias o rechaza banda. 1.3.1 Filtros pasa bajas: son aquellos que permiten el paso de las frecuencias bajas.
En un filtro pasa banda, las señales con frecuencias comprendidas entre f 1 y f 2 son las únicas que pasan. 1.3.4 Filtros rechaza banda: son aquellos capaces de atenuar o incluso eliminar señales con frecuencias entre f 1 y f 2.
Un filtro pasa bajas sólo permite el paso de señales con frecuencias menores a f 1 1.3.2 Filtros los pasa altas: son aquellos que permiten el paso de frecuencias altas.
En un filtro rechaza banda, las señales con frecuencias comprendidas entre f 1 y f 2 son las únicas que no pasan.
1.4 Aproximaciones del filtro 1.4.1 Primera Aproximación: Función Butterworth. 2
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La función Butterworth es llamada algunas veces como la función máximamente plana.
1.4.2 Segunda Aproximación: Función Bessel, son también referidos como filtros Thomson. Prácticamente es similar a la aproximación Butterworth con la diferencia que la rampa en la banda de transición cae más lentamente.
1.4.4 Cuarta aproximación: Función Cauer o Elíptica, su nombre en honor al matemático Wilhelm Cauer. Están diseñados de manera que consiguen estrechar zona de transición entre bandas y, además, acotando el rizado en estas bandas. La diferencia con el Chebyshev es que este solo lo hace en una de las bandas. Suelen ser más eficientes debido a que al minimizar la zona de transición, ante unas mismas restricciones consiguen un menor orden. Por el contrario son los que presentan una fase menos lineal.
1.4.3 Tercera Aproximación: Función Chebyshev. El filtro Chebyshev tiene una variación de atenuación en la región de transición de más de 6 dB/octava/polo. Es muy útil cuando la atenuación en la región de transición debe ser muy rápida. Las ondulaciones en la banda de paso son el precio que se debe pagar por la respuesta en la región de transición.
3
Felipe Paz Campos 1.5 Realización del Filtro
V 1
Una vez que la aproximación ha sido escogida y la función de transferencia computada, al diseñador le queda crear un circuito que implementará la función deseada. Existe una gran variedad de circuitos que pueden realizar las funciones de filtros. En la mayoría de los casos, cualquier número de circuitos trabajará adecuadamente, y el diseñador escoge uno u otro basado sobre algunos criterios dominantes de costo o funcionamiento. Una de las estrategias más ampliamente usadas para la realización de filtros es implementar el filtro como una serie de filtros de primer y segundo orden. Esta aproximación es llamada la arquitectura en cascada.
1.5.1 Filtros Sallen-Key pasa bajos de segundo orden. I3
V o
I2
V o ( R2
V i
V o
V o
Z 1 Z 2
I 1
wo
R1
V in
V 1
R1 V o
? Z 1
I 2
V
( R1 R2 ) R1 R2
1 2
S c1c2 R1 R2
Sc1 ( R1
R2
1 w2 ( R1 R2c1c2 ) jwc1 ( R1 R2 ) 1
R1 R2 c1c2
c2
R1 R2
(
c1 R1
R2
1
sc1
Z 2
1
sc2
R2
)
R y c1
wo
1
RC
c2
y Q
c
1 2
A continuación se muestra las diferentes respuestas de un filtro pasa bajos con distintos valores de calidad.
I 3
V 1
V ou t
Z 2
V 1 R2
Z 1
V 1 Z 1 R2
) 1
1
Con la parte Real igual a Cero
Entonces:
V i ( s )
Z 2
Generalmente para diseño
V1
V o ( s )
) Z 1 Z 2
( jw)
V i
Z 1
Z 1
( s)
V i
Q
I1
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Z 1
4
Felipe Paz Campos Según el gráfico se observa que entre más alto el factor de calidad, mayor overshoot. El factor de calidad óptimo es 0.7071.
1.5.2 Filtros Sallen-Key pasa altos de segundo orden.
V o
V 1
V o V i
V o V i V o V i V o V i
V o V i
( s)
s R1 R2 c1c2 2
S c1c2 R1 R2
( jw)
SR1 (c1
c2 ) 1
2
V 1
V i Z 1 // Z 2 Z 1 // Z 2
Z 2V o R2
V o R1 // Z 2 R1 // Z 2
Z 1
Z 1 R2
R1 Z 1
( s)
( jw)
R1
R1 Z 2 Z 1 Z 2 R1 R2
R2 Sc2
2
S R1 R2
SR1 (c1
1 w c1c2 R1 R2
R1 R2 c1c2
Q
c2 ) 1
jwR2 c2
2
1
R2
(
R1 c1
jwR1 (c1
c1c2
c2
)
w R1 R2c1c2
1 w2 ( R1 R2 c1c2 ) jwR1 (c1 c2 ) 1
wo
R2V 1 Z 2
2
wo Q
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R1 R2 c1c2 R2 R1
Para: R1 Entonces:
(
c1c2 c1
R2
wo
c2
)
R y c1 1
RC
y Q
c
2
c
1
2
Al igual que en el filtro pasa bajos entre más grande factor de calidad, mayor overshoot. El factor de calidad óptimo es 0.7071.
1.5.3 Filtros Sallen-Key pasa banda de segundo orden.
Entre más alto el factor de calidad, el filtro es más selectivo, menor el factor de calidad mayor ancho de banda.
1.5.4 Filtros Sallen-Key rechaza banda de segundo orden.
V1
5
c2 )
Felipe Paz Campos Respuesta de un filtro rechaza banda de segundo orden con diferentes valores de calidad.
1.- Pasa Altos de segundo orden
K
1
wo
1.5.5 Filtros VCVS pasa bajos de segundo orden. Es una variación del Sallen-Key, con la diferencia que el seguidor de ganancia unitaria se sustituye por un amplificador no inversor de ganancia mayor que 1.
Q
1 R1 R2 c1c2
R2 R1
Q
R3
K
1
1
R2
c2
)
R4 R3
R4 ( K 1) R3
De la tabla K= 1.586 y asumiendo R 3 = 1KΩ, Entonces:
R1 R2c1c2
1µF
Solución:
( c1 R1
c1
10kΩ
R4
c1c2
1µF
10kΩ
R1 R2
(
1. Para el circuito mostrado en la figura, determinar el valor de R 3 y R 4 para una aproximación Butterworth. Vo
c2
R A
1.6 Ejemplos
Vi
wo
R B
1.- Pasa Bajos de segundo orden
K 1
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)
R4
(1.586 1)1k 586
6
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2.- Determine la frecuencia crítica para el circuito mostrado en la figura y determine el valor de R 4 para una aproximación Butterworth. 1µF
1kΩ Vi
1kΩ 1µF 2.2kΩ
Solución: wo
1
R1 R2 c1c2
Para: R1 Entonces: wo
f o K
1
RC
R2
1 K x1 F
1krad / s
2 1
R y c1
1
f o
R4 R3
c
2
159.15 Hz
R4
( K
1) R3
De la tabla K= 1.586, Entonces: R4
(1.586 1)2.2k 1,289.2
3.- Para el filtro de la figura determine los valores de los capacitores necesarios para producir una frecuencia crítica de 2,680Hz. Además determine los valores de los resistores R 3, R 4, R 7 y R 8 para obtener una respuesta Butterworth.
C
1 2 f o R
1
C
K
RC 2
c
1 Krad / s
1
2 2,680 x1800
1
R4 R3
R4
( K 1
32.99nF
1) R3
De la tabla K 1= 1.152 y asumiendo R 3 =1k8Ω, Entonces: R4
(1.152 1)1.8k
273.6
( K 2 1) R8 De la tabla K 2= 2.235 y asumiendo R 8 =1k8Ω, Entonces: R7 (2.235 1)1.8k 2,223 R7
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TABLAS DE FILTROS CONECTADOS EN CASCADA FILTROS SALLEN-KEY BUTTERWORTH Orden 2 3 4 5 6 7 8
Primera etapa
Segunda etapa
Tercera etapa
Cuarta etapa
α
Factor f c
α
Factor f c
α
Factor f c
α
Factor f c
1.414 1.00 1.848 1.00 1.932 1.00 1.962
1 1 1 1 1 1 1
1.00 0.765 1.618 1.414 1.802 1.663
1 1 1 1 1 1
0.618 0.518 1.247 1.111
1 1 1 1
0.445 0.390
1 1
CHEBYSHEV CON ONDULACION DE -0.5DB. Orden 3 4 5 6 7 8
Primera etapa
Segunda etapa
Tercera etapa
Cuarta etapa
α
Factor f c
α
Factor f c
α
Factor f c
α
Factor f c
1 1.418 1 1.463 1 1.478
0.626 0.597 0.362 0.396 0.256 0.296
0.586 0.340 0.849 0.552 0.916 0.621
1.069 0.031 0.690 0.768 0.504 0.599
0.220 0.154 0.388 0.288
1.018 1.011 0.823 0.816
0.113 0.087
1.008 1.006
CHEBYSHEV CON ONDULACION DE -1DB. Orden 3 4 5 6 7 8
Primera etapa
Segunda etapa
Tercera etapa
Cuarta etapa
α
Factor f c
α
Factor f c
α
Factor f c
α
Factor f c
1 1.275 1 1.314 1 1.328
0.494 0.529 0.289 0.353 0.205 0.265
0.496 0.281 0.715 0.455 0.771 0.511
0.997 0.993 0.655 0.747 0.480 0.584
0.180 0.125 0.317 0.234
0.994 0.995 0.803 0.851
0.092 0.702
0.996 0.997
CHEBYSHEV CON ONDULACION DE -2DB. Orden 3 4 5 6 7 8
Primera etapa
Segunda etapa
Tercera etapa
Cuarta etapa
α
Factor f c
α
Factor f c
α
Factor f c
α
Factor f c
1 1.076 1 1.109 1 1.206
0.369 0.471 0.218 0.316 0.155 0.238
0.392 0.218 0.563 0.352 0.607 0.395
0.941 0.964 0.627 0.730 0.461 0.572
0.138 0.096 0.243 0.179
0.976 0.983 0.797 0.842
0.070 0.054
0.987 0.990
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CHEBYSHEV CON ONDULACION DE -3DB. Orden 3 4 5 6 7 8
Primera etapa
Segunda etapa
Tercera etapa
Cuarta etapa
α
Factor f c
α
Factor f c
α
Factor f c
α
Factor f c
1 0.926 1 0.958 1 0.967
0.299 0.443 0.178 0.298 0.126 0.224
0.326 0.179 0.468 0.289 0.504 0.325
0.916 0.950 0.614 0.722 0.452 0.566
0.113 0.078 0.199 0.147
0.967 0.977 0.792 0.839
0.057 0.044
0.983 0.987
BESSEL. Orden 3 4 5 6 7 8
Primera etapa
Segunda etapa
Tercera etapa
Cuarta etapa
α
Factor f c
α
Factor f c
α
Factor f c
α
Factor f c
1 1.916 1 1.959 1 1.976
2.322 2.067 3.647 2.872 4.972 3.701
1.447 1.241 1.775 1.636 1.878 1.787
2.483 2.654 2.874 2.867 3.562 4.389
1.091 0.977 1.513 1.407
2.711 3.722 5.004 0.637
0.888 0.816
4.709 5.680
FILTROS VCVS Orden 2 4 6
8
BUTTERWORTH
BESSEL
K
f in
1.586 1.152 2.235 1.068 1.586 2.483 1.038 1.337 1.889 2.610
1.274 1.432 1.606 1.607 1.692 1.908 1.981 1.835 1.956 2.192
K
CHEBYSHEV (-0.5DB) f in K
CHEBYSHEV (-2DB) f in K
1.286 1.084 1.759 1.040 1.364 2.023 1.024 1.213 1.593 2.184
1.231 0.597 1.031 0.396 0.768 1.011 0.297 0.599 0.861 1.006
0.907 0.471 0.964 0.316 0.730 0.983 0.238 0.572 0.842 0.990
1.842 1.582 2.660 1.537 2.448 2.846 1.522 2.379 2.711 2.913
2.114 1.924 2.782 1.891 2.648 2.904 1.879 2.605 2.821 2.946
Nota: En todos los filtros de orden impar, la primera etapa es un filtro de primer orden, todos los demás son filtros de segundo orden. Para filtros pasa bajos: f c =f(-3db)xf c; Para filtros pasa altos: : f c =f(-3db)/f c
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