Problema El
vector resultante de dos vectores tiene 10 unidades de longitud y hace un angulo de 35 con uno de los vectores componentes el cual tiene 12 unidades de longitud. encontrar la magnitud del otro vector y en angulo entre ellos. Soluci´ on on Sea la figura, que ilustra el problema:
Con arreglo a la anterior figura determinamos las componentes de los vectores como:
→ − La resultante resultante R queda determinada como: − →
− →
− →
R = A+B
→ − Las componentes de la resultante R , ser´an: an: Rx = A x + Bx
(1)
Ry = A y + By
(2)
Los datos del problema son: |A| = 12 |R| = 10 1
→ − → − Y el ´angulo entre la resultante R y el vector A de 35 . Determinamos las componentes en el eje x: ◦
Ax = 12 Bx = − cos(β ) |B | Rx = cos (35) |R|
Las componentes en el eje y , son: Ay = 0 By = sin (β ) |B | Ry = sin (35) |R|
Seg´ un la ecuaci´on (1) ser´ a: Rx = 12 − cos(β ) |B |
Y por la ecuaci´ on (2), obtenemos: Ry = sin (β ) |B |
→ − Igualando a los valores de las componentes del vector resultante R , obtenemos un sistema como:
cos (35) |
R| = 12 − cos(β ) |B | sin (35) |R| = sin (β ) |B |
→ − Del cual despejamos el m´odulo del vector B e igualamos para obtener el ´angulo β : |B | =
12 − cos (35) |R| cos(β )
|B | =
sin (35) |R| sin(β )
Igualando: 12 − cos (35) |R| sin (35) |R| = cos(β ) sin(β ) sin(β ) sin (35) |R| = cos(β ) 12 − cos (35) |R| β = arctan
sin (35) | | R
12 − cos (35) |R|
Resolviendo para los valores del problema y obtener β : β = arctan
sin (35) 10 12 − cos(35)10
β = 56,416
→ − → − El ´angulo entre los vectores A y B es: α = 180 − β α = 180 − 56,416
2
α = 123,584
→ − Para determinar el m´ odulo del vector B , observamos de la figura que: Ry = B y
Igualando las componentes: sin (35) |R| = sin (β ) |B | |B | =
sin (35) |R| sin(β )
|B | =
sin (35) 10 sin (56,416)
|B | = 6,88 Prueba: − → → − determinar las componentes del vector B y luego hallar el m´odulo de la resultante R : Bx = − cos (56,416)6,88 By = sin (56,416)6,88
Operando: Bx = −3,80 By = 5,73
Las componentes de la resultante son: Rx = A x + Bx Rx = 12 − 3,80 Rx = 8,2 Ry = A y + By Ry = 0 + 5,73 Ry = 5,73
El m´odulo es: |R
|=
|R| =
Rx 2 + Ry 2
(8,2)2 + (5,73)2
|R| = 10,006 ≈ 10 Puesto que el m´odulo de la resultante es 10, valida nuestros c´ alculos. Resumen
Angulo entre los vectores: α = 123,584
→ − M´odulo del vector B |B | = 6,88 3
