1. ¿Que es un fasor?
Si consideramos la onda:
y velocidad de giro ω supone el El vector giratorio de radio entendimiento de la evolución de la onda senoidal con el tiempo, su representación simbólica será:
La representación entre paréntesis representa un vector situado en el plano complejo que no depende del tiempo; o sea, un numero complejo en su forma exponencial. A este numero complejo es a lo que en Electrotecnia se le llama fasor. Este número complejo o vector es el vector giratorio en el momento de t=0. Sin embargo, en Electrotecnia, no es el valor máximo el que tiene importancia sino el valor eficaz por lo que el fasor se representa con una magnitud igual al valor eficaz de la señal. Para la onda anterior, el fasor será:
Un fasor es una representación gráfica de un número complejo que se utiliza para representar una oscilación, de forma que el fasor suma de varios fasores puede representar la magnitud y fase de la oscilación resultante de la superposición de varias oscilaciones en un proceso de interferencia. Los fasores son cantidades complejas que se emplean para representar funciones del tiempo que varían de forma senoidal.
es un número complejo con: 1. módulo: la amplitud de la magnitud que representa. 2. fase: la fase de dicha magnitud en t=0. El fasor se relaciona con las funciones senoidales a través de la siguiente expresión:
Los fasores se utilizan directamente en óptica, ingeniería de telecomunicaciones y acústica. La longitud del fasor da la amplitud y el ángulo entre el mismo y el eje-x la fase angular. Debido a las propiedades de la matemática de oscilaciones, en electrónica los fasores se utilizan habitualmente en el análisis rudimentario de circuitos en AC. Los fasores pueden ser utilizados para describir el movimiento de un oscilador.
1.1. Concepto de fasor temporal. En el estudio del régimen permanente de las maquinas eléctricas y de muchos circuitos de la electrotecnia intervienen con gran frecuencia magnitudes escalares (corrientes, tensiones, flujos magnéticos, etc.) cuyo conjunto de valores a lo largo del tiempo es representable mediante una curva senoidal de amplitud y periodo constantes. En tal caso, el valor instantáneo correspondiente a dicha magnitud física puede determinarse mediante la proyección cartesiana de un segmento orientado en el plano complejo elegido adecuadamente, tal como aparece en la figura. En la literatura electrotecnia española estaba antes casi generalizado el nombre de vector aplicado también al segmento de la figura esto desde un punto de vista físico es poco adecuado. En efecto un vector es una herramienta que caracteriza un único valor en un instante de una magnitud vectorial que en momentos posteriores, puede tener una evolución
arbitraria. Por el contrario, el segmento orientado de la figura caracteriza el conjunto de valores a lo largo de un periodo de tiempo de una magnitud escalar. Para poner de manifiesto esa clara e importante diferencia conceptual, a dicho segmento orientado en el plano complejo de la figura lo designamos como fasor temporal de la magnitud X(t). La velocidad angular , ω, de dicho fasor temporal recibe el nombre de pulsación.
1.2. Concepto de fasor espacial. En el contexto de la teoría de las maquinas eléctricas rotativas, se define como magnitud espacial una magnitud física de la maquina (por ejemplo la inducción en la superficie del rotor, capa de corriente del estator etc.) tal que, en todo instante, presenta para cualquier coordenada coo rdenada angular α un valor claramente identificable y especificado. Desde el punto de vista matemático se trata, pues, de una F( α). correspondencia funcional que se asigna a todo α un valor bien definido, F( α). Una distribución espacial senoidal bipolar queda definida si se conocen su amplitud y la posición espacial del máximo positivo de la onda (eje de la onda). Para esa información basta un segmento orientado apuntando en todo momento hacia la región del espacio en la maquina donde la onda presenta el máximo positivo y cuyo modulo sea siempre igual a la amplitud de la onda. A dicho segmento orientado lo llamamos fasor espacial. Un fasor espacial es, por tanto, un segmento orientado en el plano complejo que caracteriza simbólicamente, en el caso mas general (régimen dinámico), una magnitud física espacial de una maquina eléctrica rotativa que esta distribuida senoidalmente en el espacio. La amplitud y la posición instantáneas de la onda espacial.
2. La Onda Senoidal. También llamada Sinusoidal. Se trata de una señal analógica, puesto que existen infinitos valores entre dos puntos cualesquiera del dominio. Así pues, podemos ver en la imagen que la onda describe una curva continua. De hecho, esta onda es la gráfica de la función matemática seno, que posee los siguientes atributos característicos: La forma de onda senoidal es la única forma de onda alterna cuyo aspecto no se ve afectado por las características de respuesta de los elementos rlc.
En otras palabras, si el voltaje o la corriente en un resistor, bobina o capacitos es de naturaleza senoidal, la corriente resultante (o voltaje, respectivamente) de cada uno también tendrá características senoidales.
Una onda senoidal puede ser representada por un vector rotacional llamado fasor, la onda senoidal tiene dos componentes, los cuales son, el valor pico o RMS y el defase. El valor pico o RMS de la onda es numéricamente igual al modulo del fasor, y el desfase igual al angulo de fase de nuestro fasor. Una sinusoide u oscilación sinusoidal está definida como una función de la forma
Donde
y es la magnitud que varía (oscila) con el tiempo es una constante (en radianes) conocida como el ángulo de fase de la sinusoide A es una constante conocida como la amplitud de d e la sinusoide. Es E s el valor de pico de la función sinusoidal. ω es la frecuencia angular dada por donde f es la frecuencia. t es el tiempo.
Esto puede ser expresado como
Donde
i es la unidad imaginaria √ . En ingeniería eléctrica se usa "j" en lugar de "i" para evitar las confusiones que se producirían con el mismo símbolo que se usa para designar la intensidad de la corriente eléctrica. da la parte imaginaria del número complejo "Y".
De forma equivalente, según la fórmula de Euler,
"Y", la representación fasor de esta sinusoide se define de la forma siguiente:
De forma que
Así, el fasor Y es el número complejo constante que contiene la magnitud y fase de la sinusoide. Para simplificar la notación, los fasores se escriben habitualmente en notación angular:
Dentro de ingeniería eléctrica, el ángulo fase se especifica habitualmente en grados sexagesimales en lugar de en radianes y la magnitud suele ser el valor eficaz en lugar del valor de pico de la sinusoide.
3. Propiedades de los fasores.
El empleo de fasores solo es valido para señales sinusoidales.
El fasor es un número complejo independiente del tiempo.
Corriente y tensión iniciales son las amplitudes de señal.
La representación grafica y las operaciones con fasores son idénticas a las de los números complejos.
Los cálculos del régimen sinuidal permanente se realiza con fasores.
Los fasores no sirven para analizar el régimen transitorio.
4. Justificación 4. Justificación matemática matemática del empleo empleo de fasores. fasores. La ecuación más general que rige el comportamiento de un circuito lineal en el régimen sinusoidal permanente es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden con coeficientes constantes del tipo:
Hemos supuesto, para fijar las ideas, que la respuesta que nos interesa (t), es un voltaje. Observemos lo siguiente:
1. Sabemos que la forma funcional de la respuesta forzada del circuito está determinada por la señal de entrada. Por ello, en el régimen permanente sinusoidal la respuesta forzada será del tipo v(t)=V cos( ωt + ϕ). 2. V y ϕ (amplitud máxima y fase inicial) son los parámetros que hemos de calcular. 3. Hemos puesto la misma misma frecuencia angular que tiene la señal de entrada, ya que un circuito lineal no puede crear frecuencias que no estén presentes en la señal de entrada. 4. Los coeficientes dependen de los componentes R, L y C del circuito. Para justificar matemáticamente el uso de los fasores, escribimos la ecuación anterior así:
Ahora podemos intercambiar el orden de la derivación con respecto al tiempo, ϕ/dt, y la extracción de la parte real, Re{} ; además, tenemos en cuenta que la d ϕ/dt, parte real de una suma de complejos es la suma de sus partes reales y obtenemos:
Ahora derivamos y escribimos los fasores conocidos:
Hemos obtenido la igualdad de las partes reales de los dos miembros de la ecuación. La igualdad de partes reales de dos números complejos no implica, obviamente, la igualdad de los complejos (ya que pueden diferir sus partes imaginarias). Trasponiendo todos los términos al primer miembro, resulta:
Para que la última igualdad se verifique en todos los instantes de tiempo es necesario que:
Esta ecuación es la que resulta al utilizar fasores en el análisis del circuito y ejemplifica su principal ventaja: la transformación de una ecuación diferencial en otra algebraica equivalente. El fasor del voltaje de respuesta se despeja inmediatamente de la ecuación anterior.
4.1. Operaciones con fasores.
4.1.1. Diferenciación Diferenciación con fasores. Si tenemos una función g(t) con su parte real x(t) y su parte pa rte imaginaria y(t), y definimos la función:
Diferenciando f(t):
Si diferenciamos g(t) y luego tomamos la parte real:
Al final:
Las relaciones que tenemos en la diferenciación son:
4.1.2. Integración con fasores. Con la función h(t) definida como la integración de f(t):
Las relaciones que hay en la integración se pueden ver a continuación:
Por lo tanto, se pueden resolver las ecuaciones integro-diferenciales que aparecen en régimen permanente senoidal mediante la utilización de fasores. Esto se debe a que las derivadas y las integrales se transforman en multiplicaciones y divisiones por y así estas ecuaciones se convierten en algebraicas mediante fasores.
5. Relaciones voltaje –corriente con fasores: Definición de Impedancia. A continuación estudiaremos las relaciones entre el fasor de voltaje y el fasor de corriente en resistencias, condensadores y bobinas; como veremos, el fasor de voltaje es proporcional al fasor de corriente, siendo el factor de proporcionalidad, en general, una función de la frecuencia angular ω, que llamamos impedancia, Z(Jω). Así obtendremos una generalización de la ley deOhm para señales sinusoidales y elementos R, L y C. La Resis tencia tencia.
La corriente y el voltaje en una resistencia están relacionados por
la ley de Ohm:
Por tanto, la relación de fasores de voltaje y corriente en la resistencia es:
El voltaje en la resistencia está en fase con la intensidad. Los fasores de corriente y voltaje están relacionados mediante la ley de Ohm
Bobina.
La ecuación que relaciona voltaje y corriente en una bobina es:
Por tanto, aplicando la regla del fasor de una derivada, obtenemos:
La corriente en la bobina presenta un desfase de radianes (retraso) con respecto al voltaje, resultado de dividir el fasor V por la unidad imaginaria j; dicho retraso representa cuantitativamente la oposición de la bobina al cambio de la corriente que la atraviesa.
Condensador.
De forma análoga, aplicando su ecuación característica:
Obtenemos:
La tensión en el condensador presenta un desfase (retraso) de radianes con respecto a la corriente, resultado de dividir el fasor I por la unidad imaginaria j; dicho retraso representa cuantitativamente la oposición del condensador al cambio de tensión en sus terminales. En los elementos de circuito R, L y C se obtiene que el fasor de corriente y el de voltaje son proporcionales. Se define la razón del fasor de voltaje al fasor de corriente como la impedancia del elemento Z(jω).
5.1.
Propiedades de la impedancia.
1. Podemos generalizar la ley de Ohm, , para la representación fasorial deseñales sinusoidales en régimen permanente. En forma fasorial, la ley de Ohm es:
El inverso de la impedancia es la generalización a fasores de la conductancia:
2. La impedancia Z( jω) es una magnitud compleja, independiente del tiempo pero dependiente de la frecuencia, que constituye una generalización de la resistencia para señales de tipo sinusoidal en régimen permanente.
3. La impedancia de un componente resistivo es real y constante con la frecuencia y equivale a su resistencia en ohmios.
4. La impedancia de una bobina es imaginaria pura y aumenta con la frecuencia. En régimen permanente: •la bobina se comporta como un cortocircuito ( Z= 0) para la corriente continua. •la bobina se comporta como un circuito abierto para las frecuencias elevadas.
5. La impedancia de un condensador es imaginaria pura y disminuye disminuye con la frecuencia. En régimen permanente: •el condensador se comporta como un circuito abierto ( Z→∞) para la corriente continua.
•el condensador se comporta como un cortocircuito para las frecuencias elevadas. 6. La unidad de impedancia, como la de resistencia, es el ohmio (Ω).
7. Las impedancias de los elementos de un circuito se asocian según las las reglas vistas para las combinaciones de resistencias en serie y paralelo. Por tanto, de modo general, la impedancia entre dos puntos de un circuito se define como el cociente entre el fasor de voltaje y el fasor de corriente en los puntos considerados.
Escrita como número complejo en forma rectangular, la impedancia se denota en general por Z (jω)= R+ jX, donde:
R= Re( Z) es la componente resistiva o resistencia. X= Im(Z ) es la componente reactiva o reactancia.
Tanto R como X son, en general, funciones reales de la frecuencia.
6. Diagrama fasorial Es un grafo de variaos fasores en el plano complejo (usando ejes real e imaginario). Un diagrama fasorial ayuda a visualizar las relaciones entre corrientes y voltajes.
Diagrama fasorial de la impedancia de distintos elementos de un circuito. El fasor rojo es la impedancia total en serie, suma de los otros tres fasores.
7. Leyes de circuitos Utilizando fasores, las técnicas para resolver circuitos de corriente continua se pueden aplicar para resolver circuitos en corriente alterna. A continuación se indican las leyes básicas. Ley de ohm para resistencias: Una resistencia no produce retrasos en el tiempo, y por tanto no cambia la fase de una señal. Por tanto V=IR sigue siendo válida. Ley de Ohm para resistencias, bobinas y condensadores: V=IZ donde Z es la impedancia compleja. En un circuito AC se presenta una potencia activa (P) que es la representación de la potencia media en un circuito y potencia reactiva (Q) que indica el flujo de potencia atrás y adelante. Se puede definir también la potencia compleja S=P+jQ y la potencia aparente que es la magnitud de S. La ley de la potencia para un circuito AC expresada mediante fasores es entonces S=VI * (donde I * es el complejo conjugado de I). Las Leyes Kirchhoff de son válidas con fasores en forma compleja. Dado esto, se pueden aplicar las técnicas de análisis de circuitos resistivos con fasores para analizar circuitos AC de una sola frecuencia que contienen resistencias, bobinas y condensadores. Los circuitos AC con más de una frecuencia o con formas de oscilación diferentes pueden ser analizados para obtener tensiones y corrientes transformando todas las formas de oscilación en sus componentes sinusoidales y después analizando cada frecuencia por separado. Este método, resultado directo de la aplicación del principio de superposición, no se puede emplear para el cálculo de potencias, ya que éstas no se pueden descomponer linealmente al ser producto de tensiones e intensidades. Sin embargo, sí es válido resolver el circuito mediante métodos de superposición y, una vez obtenidos V e I totales, calcular con ellos la potencia.
8. Transformada fasorial La transformada fasorial o representación fasorial permite cambiar de forma trigonométrica a forma compleja:
Donde la notación
se lee como "transformada fasorial de X"
La transformada fasorial transfiere la función sinusoidal del dominio del tiempo al dominio de los números complejos o dominio de la frecuencia.
9. Transformada fasorial inversa La transformada fasorial inversa del tiempo.
permite volver del dominio fasorial al dominio
