FASE.3 - AXIOMAS DE PROBABILIDAD
TRABAJO PRESENTADO A: ZORAIDA MONSALVE TUTORA
PRESENTADO POR: MARISEL LEDESMA: CÓDIGO: 1075253930 HENRY OTT GUTIÉRREZ. CÓDIGO: 93.379.528 ÁLVARO JAVIER ROJAS. CÓDIGO: HEIDENBER PALACIO GARZON CÓDIGO: 1.110.489.151 JUAN CARLOS MARTINEZ 1.110.494.668
GRUPO 100402_12
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS PROBABILIDAD
IBAGUE 2018
INTRODUCCIÓN La probabilidad juega un papel importante tanto para las empresas como para las personas al momento de tomar decisiones encaminadas a lograr los objetivos propuestos ya que con la aplicación de determinadas fórmulas y determinadas formas de conteo podemos saber con certeza que porcentaje de probabilidad tiene un suceso o evento de llevarse a cabo. En el presente documento analizamos y llevamos a cabo ejercicios del diario vivir que nos aclara aún más el panorama en cuanto el aprendizaje de esta ciencia los cuales nos permiten poner en práctica los conocimientos adquiridos en el curso referente a axiomas de probabilidad, técnicas de conteo de acuerdo a los sucesos o eventos planteados en los ejercicios propuestos.
ESTUDIO DE CASO 1 La publicidad en televisión es indiscutiblemente la más poderosa forma de publicidad. Anunciarse en televisión implica llegar a cientos de miles o a millones de personas al mismo tiempo, y hacerlo a través del medio publicitario más relevante y prestigioso. La publicidad en televisión aporta notoriedad y credibilidad, y ayuda más que ninguna otra a conseguir el posicionamiento deseado. Una empresa de publicidad desea determinar en qué canal es más probable que sus anuncios sean vistos y realiza una encuesta entre 400 personas de varias ciudades del país para determinar cuáles son los canales más vistos y el horario en el que más audiencia tienen. Horario en el que preferiblemente ve TV
Canal preferido Caracol Sony Fox Home & Health Discovery City Tv RCN TOTAL
Mañana
Tarde
Noche
Total
39 11 6 10 9 12 28 115
12 8 5 13 2 10 15 65
58 32 26 24 18 20 42 220
109 51 37 47 29 42 85 400
Con base en esta información y haciendo uso de los axiomas de probabilidad, prepare para la empresa de publicidad un informe en el que debe incluir como mínimo lo siguiente: 1. Canal en el que hay mayor Probabilidad de que una persona vea los anuncios de la empresa. 2. Horario en el que hay mayor probabilidad de que una persona vea los anuncios de la empresa. 3. Probabilidad de que una persona prefiera ver T.V en la tarde. 4. Probabilidad de que una persona prefiera el canal RCN o Caracol. 5. Probabilidad de que una persona prefiera ver TV en la mañana o en la tarde. 6. Probabilidad de que una persona prefiera ver el canal Caracol en la mañana. 7. Probabilidad de que una persona prefiera ver el canal Fox en la Noche. 8. Probabilidad de que una persona prefiera ver el canal Fox SI prefiere ver Tv en la noche.
9. Probabilidad de que una persona prefiera ver Tv en la noche si prefiere el canal Fox. 10. Que le sugiere a la empresa de publicidad sobre sus anuncios en TV. (tenga en cuenta las probabilidades aquí encontradas)
SOLUCIÓN: 1. Canal en el que hay mayor Probabilidad de que una persona vea los anuncios de la empresa. = = 27,25% Solución: 2. Horario en el que hay mayor probabilidad de que una persona vea los anuncios de la empresa.
= 55% Solución: =
3. Probabilidad de que una persona prefiera ver T.V en la tarde. = 16,25% Solución: = 4. Probabilidad de que una persona prefiera el canal RCN o Caracol.
Solución: =
85 400
+
109 400
=
194 400
= 48,5%
5. Probabilidad de que una persona prefiera ver TV en la mañana o en la tarde. Solución: =
115 400
+
65 400
=
180 400
= 45%
6. Probabilidad de que una persona prefiera ver el canal Caracol en la mañana. Solución: =
109 400
+
115 400
−
39 400
=
185 400
= 0,465 = 46,25%
7. Probabilidad de que una persona prefiera ver el canal Fox en la Noche. Solución: =
37 400
+
220 400
−
26 400
=
231 400
= 0,577 = 57,75%
8. Probabilidad de que una persona prefiera ver el canal Fox SI prefiere ver Tv en la noche. Solución: 26 26 = 400 = = 0,118 = 11,81% 220 220 400
9. Probabilidad de que una persona prefiera ver Tv en la noche si prefiere el canal Fox. Solución: 26 26 400 = = = 0,7027 = 70,27% 37 37 400
10. Que le sugiere a la empresa de publicidad sobre sus anuncios en TV. (tenga en cuenta las probabilidades aquí encontradas) Con los resultados de las probabilidades donde se destaca el canal caracol y RCN por tener mas televidentes con un 48,5%, la idea que trabajen los anuncios de publicidad en las horas de la tarde y la mañana que tiene un total de 45% de que vean los anuncios y ya que en la noche se estima un 55%, sigan trabajando en subir las probabilidades en los demás canales que tiene muy poca frecuencia de televidentes como Sony, Fox, Home, Discovery y City.
CONCEPTOS TEÓRICOS Probabilidades
Que es
Es la mayor o menor posibilidad de que ocurra un determinado suceso
ESPACIO MUESTRAL Conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio
EVENTOS ALEATORIOS Son conjuntos que puede contener un solo elemento y también no contener ningún elemento
MATRIZ DE PROBABILIDAD diagrama de retícula es una estructura en forma de tabla que muestra los resultados de los ensayos probabilísticos
Los axiomas de probabilidades son las condiciones mínimas que se puede verificar para una función mínima. CUADRO SINÓPTICO
NOMBRE ESTUDIANTE
Marisel Ledezma Rivas
CASO ESCOGIDO
PROPUESTA DE SOLUCIÓN AL CASO
#1
La propuesta del caso es conocer que canal y horario es de mayor frecuencia de los anuncios que observan los televidentes ya que tenemos distribuida los datos de las 400 personas encuestadas y realizar la formula de eventos excluyentes e independientes
CASO DE ESTUDIO N.2 Una pareja de jóvenes acaba de casarse, ambos tienen 20 años y viven en lo profundo de la Patagonia comiendo pescado crudo, lo que imprime un carácter fuerte: NADIE SE DIVORCIA y todos tienen BUENA SALUD. La mitad de la población de esa región, en efecto, vive hasta los 110 años, una cuarta parte vive hasta los 100 años, y el último cuarto de la población vive hasta los 90 años. Los jóvenes esposos se preguntan: “Lo más probab le es que nuestro matrimonio dure…. ?”
Haciendo uso de los axiomas de probabilidad y en especial de la probabilidad para eventos independientes, ayude a los jóvenes esposos a responder la pregunta, y encuentre como mínimo lo siguiente: 1.- Probabilidad de que ambos vivan 90 años 2.- Probabilidad de que ambos vivan 100 años 3.- Probabilidad de que ambos vivan 110 años 4.- Probabilidad de que el esposo viva 90 años y la esposa 110 años 5.- Probabilidad de que la esposa viva 90 años y el esposo 100 años.
6.- Finalmente, la
respuesta a la inquietud de los esposos es: “Lo más probable es que el matrimonio dure _____ años”.
Para resolver el estudio de caso se sugiere completar el siguiente diagrama: La Esposa vivirá hasta: (probablemente) 90 años 100 años 110 años
El Esposo vivirá hasta: (probablemente) 90 años 100 años 110 años
¼ ¼
½
PROPUESTA DE SOLUCIÓN AL ESTUDIO DE CASO SELECCIONADO Para iniciar el desarrollo de la actividad debemos completar la tabla teniendo en cuenta el porcentaje total de los años que vive la población en la región de acuerdo a lo planteado en el caso, una vez tengamos claros los datos antes mencionados procedemos a dar solución aplicando la fórmula de la probabilidad para sucesos o eventos independientes. La Esposa vivirá hasta: (probablemente) 90 años 100 años 110 años 1/16 1/16 1/8 1/16 1/16 1/8 1/8 1/8 1/4 ¼ ¼ ½
El Esposo vivirá hasta: (probablemente) 90 años 100 años 110 años
¼ ¼ ½
ó ∶ ( | ) = ( )
De la anterior fórmula se desprende la siguiente proposición: : ( ∩ ): ( ) ∗ ()
1.- Probabilidad de que ambos vivan 90 años =
1 4
∗
1 4
=
1 16
= 0.0625 ∗ 100 = . %
2.- Probabilidad de que ambos vivan 100 años
= ∗ =
= 0.0625 ∗ 100 = . %
3.- Probabilidad de que ambos vivan 110 años =
1 2
∗
1 2
=
1 4
= 0.25 ∗ 100 = %
4.- Probabilidad de que el esposo viva 90 años y la esposa 110 años = ( ∩ ) =
1 1 1 ∗ = = 0.125 ∗ 100 = . % 4 2 8
5.- Probabilidad de que la esposa viva 90 años y el esposo 100 años. = ( ∩ ) =
1 4
∗
1 4
=
1 16
= 0.0625 ∗ 100 = . %
6.- Finalmente, la respuesta a la inquietud de los esposos es: “Lo más probabl e es que el matrimonio dure ____ años”. Debido a que la intersección más alta es de ¼ de la población significa que probablemente el matrimonio dure 90 años.
RESUMEN CONCEPTOS TEÓRICOS
CONCEPTO
TEORIA
Probabilidad
Es la medida posible de que ocurra un suceso o evento
S (espacio muestral)
Todos los posibles resultados del experimento
A (evento o suceso)
Subconjunto de S
Axioma de probabilidad
Se usó el axioma para eventos independientes
Fórmula
( ∩ ): ( ) ∗ ()
Matriz de probabilidad
Enfoque aplicado para calcular la probabilidad
Es una herramienta que nos permite observar las variables marginales y las probabilidades conjuntas en columnas y filas Subjetivo: debido a que se necesita del concepto de un experto y así respetar los axiomas de probabilidad, ello significa que estén entre 0 y 1
CUADRO SINOPTICO CASO N. 2
NOMBRE ESTUDIANTE
CASO ESCOGIDO
PROPUESTA DE SOLUCIÓN AL CASO
HENRY OTT GUTIERREZ
Para iniciar el desarrollo de la actividad debemos completar la tabla teniendo en cuenta el porcentaje total de los años que vive la población en la región de acuerdo a lo planteado en el caso, una vez tengamos claros los datos antes mencionados procedemos a dar solución aplicando la fórmula de la probabilidad para sucesos o eventos independientes.
N.2
CONCEPTO Probabilidad S (espacio muestral) A (evento o suceso) Axioma de probabilidad Fórmula Matriz de probabilidad
Enfoque aplicado para calcular la probabilidad
TEORIA Es la medida posible de que ocurra un suceso o evento Todos los posibles resultados del experimento Subconjunto de S Se usó el axioma para eventos independientes ( ∩ ): ( ) ∗ ()
Es una herramienta que nos permite observar las variables marginales y las probabilidades conjuntas en columnas y filas Subjetivo: debido a que se necesita del concepto de un experto y así respetar los axiomas de probabilidad, ello significa que estén entre 0 y 1
CASO DE ESTUDIO N.3 Colombia ha clasificado al Mundial de Rusia 2018; así que muchos aficionados han comenzado los preparativos para el viaje. Teresa quiere ir al mundial y decide utilizar una aerolínea de bajo costo
por lo que es importante que decida que va a llevar para que no le toque pagar más por sobrepeso. Teresa decide hacer una lista de lo que podría llevar: una maleta, una mochila, una cámara, y unas lindas gafas que lleva a todos sus viajes. Al revisar en algunas páginas de internet sobre viajes, encuentra que hay una posibilidad sobre siete de que pierda la maleta, una sobre cinco de que pierda su mochila, una sobre tres de que pierda la cámara y una posibilidad de tres sobre diez de que pierda sus preciosas gafas. Teresa se queda preocupada y decide calcular la probabilidad de que su viaje no sea tan perfecto como lo tiene previsto si por alguna razón se pierden sus cosas.
Haciendo uso de los axiomas de probabilidad, su tarea es ayudar a Teresa y para eso debe encontrar como mínimo lo si guiente:
1. Probabilidad de que no pierda la maleta. 2. Probabilidad de que pierda la maleta y pierda el bolso de mano 3. Probabilidad de que pierda la maleta o pierda el bolso de mano 4. Probabilidad de que NO pierda ninguna de sus cosas 5. Finalmente, Determine la probabilidad de que el viaje de Teresa no sea tan perfecto como lo tiene previsto, si por alguna razón se pierden todas sus cosas. Para resolver el estudio de caso se sugiere completar el siguiente cuadro: Probabilidades que tiene Teresa de Perder
No Perder
La Maleta
1/7
La Mochila
1/5
6/7 4/5
La Cámara
1/3
2/3
Las Gafas
3/10
7/10
1.- Probabilidad de que pierda la maleta, es de 1/7 eso quiere decir: =
1 7
= ,%
Por lo tanto, la posibilidad de que no pierda la maleta es de 6/7 lo que quiere
decir:
=
6 7
= ,%
2.- Probabilidad de que pierda la maleta y pierda el bolso de mano: ()
( ∩ ): ( ) ∗
= ∗ =
= . %
3.- Probabilidad de que pierda la maleta o pierda el bolso de mano: ( ∪ ): ( ) + () − ( ) ∗ ()
=
1 7
+
1 5
−
1 7
∗
1 5
=
12 35
−
1 35
=
385 1225
= . %
4.- Probabilidad de que NO pierda ninguna de sus cosas.
=
6 4 2 7 336 ∗ ∗ ∗ = = % 7 5 3 10 1050
5. Finalmente, Determine la probabilidad de que el viaje de Teresa no sea tan perfecto como lo tiene previsto, si por alguna razón se pierden todas sus cosas.
=
ESTUDIO DE CASO 4 1
1 1 1 3 3 ∗ ∗ ∗ = = % 7 5 3 10 1050
Los exámenes de selección están asociados principalmente con exámenes médicos de diagnóstico pero ahora están encontrando aplicaciones en varios campos de actividad. Estos exámenes se evalúan sobre la probabilidad de un falso negativo o un falso positivo y éstas dos son probabilidades condicionales. Un falso positivo es el evento de que el examen sea positivo para una condición determinada, dado que la persona no tiene la condición. Un falso negativo es el evento de que el examen sea negativo para una condición determinada, dado que la persona tiene la condición. Se supone que una cierta prueba detecta cierto tipo de cáncer con probabilidad del 85% entre gente que lo padece, y no lo detecta el 15% restante. Si una persona no padece este tipo de cáncer la prueba indicará que no lo tiene un 95% de las veces e indicará que lo tiene un 5% de ellas. Por estudios realizados se supone que el 5% de la Población padece este tipo de cáncer. Con base en esta información y usando el Teorema de Bayes, elabore un informe que como mínimo, debe incluir: 0.85 D 0.05 P 1
Tomado y adaptado de Pateiro B., Bioestadística 2011
0.15 -D 0.95 D 0.95 -P 0.05 –D P = Padece este tipo de cáncer -P = No padece este tipo de cáncer D = Lo detecta -D = No lo detecta
1. Probabilidad de que una persona NO tenga este tipo de cáncer La probabilidad es del 95% 2. Probabilidad de que el examen indique que la persona tiene cáncer = 0.85 ∗ 0.05 + 0.95 ∗ 0.95 = 0.0425 + 0.9025 = 0.945 = 94.5%
3. Probabilidad de que el examen indique que la persona no tiene cáncer = 0.95 ∗ 0.95 = 0.9025 = 90.25%
4. Probabilidad de un falso positivo, es decir que el examen indique que la persona tiene cáncer dado que la persona no lo tiene. =
0.95 ∗ 0.95 0.95 ∗ 0.95 + 0.05 ∗ 0.85 =
0.9025 0.945
= 0.9550 = 95.50%
5. Probabilidad de un falso negativo, es decir, que el examen indique que la persona no tiene cáncer dado que la persona tiene la enfermedad =
0.05 ∗ 0.95 0.05 ∗ 0.95 + 0.15 ∗ 0.05 =
0.0475 0.0475 + 0.0075 =
0.0475 0.055
= 86.36%
6. De acuerdo con las probabilidades encontradas, que tan confiable es este examen para detectar este tipo de cáncer Considero que el examen no es confiable dado los altos porcentajes encontrados en los falsos positivos y en los falsos negativos, con valores de 95.50% y 86.36% respectivamente.
CONCEPTO Probabilidad Espacio muestral Evento o suceso
TEORIA Posibilidad de que un evento ocurra en un momento determinado Conjunto de los resultados posibles que se pueden obtener de un experimento Subconjunto del espacio muestral.
ESTUDIO DE CASO 5 5 Un almacén importante considera cambiar su política de otorgamiento de crédito para reducir el número de clientes (deudores) que finalmente no pagan sus cuentas. El gerente de crédito sugiere que a futuro, el crédito se le cancele a cualquier cliente que demore una semana o más en sus pagos en dos ocasiones distintas. La sugerencia del gerente se basa en el hecho de que, en el pasado 90% de los clientes que finalmente no pagaron sus cuentas se demoraron en sus pagos por lo menos dos ocasiones.
Un estudio independiente encontró que 2% de todos los deudores finalmente NO pagan sus cuentas y que de aquellas que SÍ las pagan, el 45% se demoró en por lo menos dos ocasiones. Utilice su conocimiento de la probabilidad y las aplicaciones del Teorema de Bayes para preparar un INFORME en el que incluya como mínimo:
1. Probabilidad de que un deudor cualquiera finalmente si pague sus cuentas.
2. Probabilidad de que un deudor cualquiera se demore por lo menos dos ocasiones
3. Probabilidad de que un deudor que no se demoró por lo menos dos ocasiones, finalmente, pague su cuenta.
4. Probabilidad de que un cliente que ya se demoró por lo menos dos ocasiones, finalmente, no page su cuenta.
5. Con los resultados obtenidos analice la política que sugiere el Gerente de crédito. Esta de acuerdo, sí o no, ¿por qué? Para resolver el estudio de caso se sugiere realizar un diagrama de árbol, que represente las probabilidades utilizadas para resolverlo.
Solución.
2 ocasiones(O)= (0,45)
PAGAN(P)=0,98
1 ocasión(Ó) = (0,55)
2 ocasiones(O) = (0,90)
NO PAGAN(N)= 0,02
1 ocasión (Ó) = (0,10)
1. Probabilidad de que un deudor cualquiera finalmente si pague sus cuentas. Probabilidad de que ocurra P(P)= 1-0,02= 0,98 Entonces equivale al 98 % 2. Probabilidad de que un deudor cualquiera se demore por lo menos dos ocasiones Probabilidad de que ocurra P(O)= 0,98*0,45 + 0,02*0,90 = 0,459 Entonces equivale al 45,9 % 3. Probabilidad de que un deudor que no se demoró por lo menos dos ocasiones, finalmente, pague su cuenta. Probabilidad de que ocurra
P(P/Ó) =P (P n Ó) /P(Ó)= 0,98*0,55/0,541=0,996
Es decir una probabilidad del 99,6 % P(Ó) = 0,98*0,55+0,02*0,10= 0,541
4. Probabilidad de que un cliente que ya se demoró por lo menos dos ocasiones, finalmente, no page su cuenta. Probabilidad de que ocurra P(N/O) = P(N n O) / p(O)=0,02*0,90 / 0,459 = 0,039 Es decir, una probabilidad del 3,9 % 5. Con los resultados obtenidos analice la política que sugiere el Gerente de crédito. Está de acuerdo, sí o no, ¿por qué? Según los resultados no estoy de acuerdo con la política, ya que podemos ver que el porcentaje de personas que se retrasan es alto pero al final de todos los que se retrasan un porcentaje el 96,1 % finalmente si pagan y solo el 3,9 % no lo hace.
Bibliografía Bencardino, C. M. (2011). Estadística Básica Aplicada. Bogota: Ecoe ediciones. Jesús Rodríguez Franco, a. A. (s.f.). Estadística para administración. Recuperado el 04 de ABRIL de 2018, de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2460/lib/unadsp/reader.action?docID=3227823&ppg=177 util, E. (03 de Agosto de 201 4). Independencia de eventos. Recuperado el 04 de Abril de 2018, de https://www.youtube.com/watch?v=d4yIg-nEk-M Martínez, C. (2011). Estadística Básica Aplicada. Ecoe, 4a edición. Capítulos 1 a 4. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2460/lib/unadsp/reader.action?ppg=57&docID=3203901&tm=151225997 2279
