Señales y Sistemas Fase 2: Teorías de Fourier para el análisis de señales y sistemas Unidad 2: Análisis de Fourier y Convolución
Jorge Enrique Huertas Parada, CC. 79.573.243 Brayam Martínez Perdomo, CC. 1.117.497.016 Luis Giovanni Rozo Pardo, CC. 79.496.173 Johan Fernando Adame, CC. 74379095 Carlos Augusto López, CC.
Grupo: 41
Tutor Milton Osvaldo Amarillo
Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD Abril 14 de 2018
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INTRODUCCIÓN El presente trabajo se desarrolla con el fin de afianzar los conocimientos que se van adquiriendo durante el curso de señales y sistemas, para este momento, especialmente los conceptos relacionados con la convolucion en los tiempos discretos y continuos, además de la utilización de softwares con el fin de comprobar los resultados obtenidos de forma manual, incorporando información inicial de la serie y transformada de Fourier. Cuando se estudian y aplican de señales en los diferentes campos del saber del hombre se requiere la posibilidad de combinar o realizar cambios a dichas señales dependiendo de la necesidad particular de cada aplicación que se esté desarrollando, gracias a la convolucion es posible analizar y predecir el resultado de un sistema completo donde se cuenta con una señal de entrada, una señal de respuesta a un impulso y una señal de salida. Con la misma premisa anterior, es necesario estudiar señales desde el punto de vista de la frecuencia, dominio de frecuencia, perspectiva un poco diferente a lo que se ha estudiado en cursos anteriores donde el análisis se desarrolla desde el dominio del tiempo, las series de Fourier permiten matemáticamente realizar esta conversión de dominio de manera tal que es posible realizar análisis y tratamiento a las señales desde el dominio de frecuencia.
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OBJETIVOS ➢
Comprender el concepto de convolución entre señales, de igual manera
➢
la técnica para determinarla analíticamente. Determinar mediante el método de tabulación o lápiz y papel la respuesta de un sistema, apropiándose del procedimiento para aprenderlo.
➢
Estudiar y entender las series de Fourier a través de los conceptos y demostraciones matemáticas de la manera como se llevan a cabo.
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Actividades a Desarrollar Problemas a resolver: Problema 1 Usando como guía el ejemplo 6.2 de la página 134 del libro guía (Ambardar, Tema a estudiar: Convolución analítica), y teniendo en cuenta las propiedades de dicha operación, determine la convolución entre x(t) y h(t) descritas a continuación:
= 2 − ℎ = − Donde: la constante “a” corresponde con el ultimo digito del número de su
grupo, si este digito es cero, utilice a=4.
Solución Como a=1 tenemos entonces:
= 2 − ℎ = − 1 Expresión de la convolución:
∞ = ∗ ℎ = ∫−∞ℎ Cambio de variable: 4
= → = (2 −) ℎ = ℎ → ℎ = −− 1 Aplicando la definición:
∞ ∞ = ∗ ℎ = ∫−∞ℎ = ∫−∞(2 −) −− 1 Efecto de los escalones unitarios en los límites de la integral:
=0 1 = 0 =1 − − −− − − −+ = ∫ 2 = ∫ 2
− −+ − −+ − −+ − − = ∫ 2 = ∫ 2 − −+ − − − = ∫ 2 ∫ − − − − = 2 ∫ ∫ = 2− −(−) = 2− −−
= 2−| 0 1 −−| 0 1 = 2−− −(−− −) = 2−− 1 −−+ 1 = 2− 2 − −+ − = − − −+ 5
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Problema 2
Usando como guía el ejemplo 7.3 de la página 173 del libro (Ambardar, Tema a estudiar: Convolución discreta), determine la respuesta de un filtro FIR (h(n)), a la entrada x(n).
= [1,2̌,,,6] ℎ = [0.5,0.5] Donde: la constante “a” corresponde con el ultimo digito del número de su grupo, y la constante “b” corresponde con el ultimo digito de su código
universitario. Verifique si la respuesta del filtro anterior corresponde con la acción esperada por un filtro de promedio móvil, tal y como se ilustra en el ejemplo 7.3 inciso “c” página 174 del libro guía. Explique.
Solución
Índice de inicio=-1+0=-1. Índice de terminación=3+1=4. Longitud Ly=Lx+Lh-1=7-1=6. Grupo 41: a = 1. 7
= [1,2̌,,,6] = = [1,2̌,3,1,6] ℎ = [0.5,0.5] = ∗ n
ℎ
-1
0
1
2
3
1
2
3
1
6
0.5
0.5
0.5
1
1.5
0.5
3
0.5
1
1.5
0.5
3
1.5
2.5
2
3.5
3
0.5
4
= [.,. ,.,,.,] Filtro promediador o de promedio móvil
= [,,,,] = [.,. ,.,,.,] Efectivamente el filtro encontrado corresponde a un filtro promediador, ya que si realizamos el promedio de:
= [,,,,]
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Nos da como resultado:
= 02 1 , 2 2 1 , 32 2 , 12 3 , 6 2 1 , 6 2 0 = .,.,.,,., Ejercicio #2 Johan Fernando Adame O Usando como guía el ejemplo 7.3 de la página 173 del libro guía (Ambardar, Tema a estudiar: Convolución discreta), determine la respuesta de un filtro FIR (h[n]), a la entrada x[n]
= [1,2̌,,,6] ℎ = [ 0.5,0.5] Dónde: la constante “a” corresponde con el último digito del número de su grupo, y la constante “b” corresponde con el último dígito de su código universitario (documento de identidad), si “a” es cero, o “b” es
cero utilice a=, o b=4 según sea el caso.
Verifique si la respuesta del filtro anterior corresponde con la acción esperada por un filtro de promedio móvil, tal y como se ilustra en el ejemplo 7.3 inciso “c” página 174 del libro guía. Explique.
a=1, b=5 reemplazamos
= [1,2̌,,,6]
9
ℎ = [ 0.5,0.5] = [1,2̌,5,1,6]
h[n]
= 0.5 0.5
x[n]
= 1
Entrada
2
5
1
6
Respuesta
10
Suma=x[n]
h[n]
= 0.5 0.5
2h[n-1]
=
5h[n-2]
=
1h[n-3]
=
6h[n-4]
=
Suma=y[n]
= 0.5 1.5
1
1 2,5
2,5 0,5
0,5 3
3,5
3
3,5
3 3
Entonces
= 0.5,1.5,3.5,3,3.5,3 La ecuación de diferencia seria
= 12 1 Y la respuesta al impulso es
ℎ = 0.5 1, ℎ = {0.5,0.5} utilizando la convolucion discreta X
1
2
Y
½
½
0,5
Y
0,5
5
1
6
1
2,5
0,5
3
0,5
1
2,5
0,5
3
1,5
3,5
3
3,5
3 11
Tenemos como resultado para el filtro Y
0,5
1,5
3,5
3
3,5
3
Versión-Problema 2, por Luis Giovanni Rozo
La respuesta de un filtro FIR h[n] (respuesta finita al impulso, Ambardar, 2002, pág. 172) a una entrada x[n] es la convolución discreta entre la entrada y el sistema
= ⋆ℎ El procedimiento para encontrar la convolución discreta consiste en una tabulación ordenada que permita hacer la sumatoria de los productos en cada caso, con la entrada desplazada
En la anterior tabla, se realiza para cada momento (columnas n), el producto respectivo de la entrada y la respuesta al impulso y se añade en las filas sucesivas la respuesta qu e corresponde al momento anterior (n-1, n-2, ...). En la última fila se presenta la sumatoria, que es la señal respuesta al problema: ˬ
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y[n] = [0.5, 1.5, 2.5, 2, 3.5, 3]
A continuación, se realiza la comprobación de la función filtro promediador móvil de este sistema; los promedios calculados son los siguientes:
Estos promedios concuerdan con los valores de y[n] presentados antes. La función de promedio resulta de que h[n] presente los valores 0,5 = ½.
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Problema 3
Dibuje unos cuantos periodos de cada una de las siguientes señales periódicas y calcule el coeficiente indicado de la serie de Fourier. Posteriormente resuelva el ejercicio usando software y verifique sus resultados teóricos. Tema a estudiar: Coeficientes de la serie de Fourier (Ambardar, capitulo 8):
a) b)
= 2 ∗ = 5 = ,0 ≤ ≤ 1 = 4
Donde: la constante “a” corresponde con el ultimo digito del número de su grupo, y la constante “b” corresponde con el ultimo digito de su código
universitario. Para el ítem “b”, se debe presentar solo una propuesta de solución en el trabajo grupal, en el caso del ítem “a” se deben recopilar las soluciones de
todos los integrantes que hayan participado en el trabajo.
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Solución a)
Coeficiente
= 2∗ 3 = 5
de la serie trigonométrica de Fourier = 2 ∫ cos2 . . 2 2 1 4 = 5 ∫. 2cos2 5 = 5 ∫. cos 5 = 25 → = 25 → = 52 . . 4 5 4 5 = 5 ∫. cos 2 = 5 ∗ 2 ∫. cos
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. 2 = ∫. cos = 2 sin 3.2.55 = 2 sin25 3.2.55 = 2 sin25 3.5 25 2.5 = 2 25 72 25 52 = 2 75 = b)
= , ≤ ≤ = = , ≤ ≤ =
= 2 ∫ 2 16
1 2 1 1 = 4 ∫ 2 4 = 2 ∫ 2 = 12 → = 12 → = 2 1 2 1 2 = 2 ∫ = 2 ∗ ∫ = 1 ∗ cos = 1 ∗ cos12 = 1 ∗ cos12 10 = 1 cos12 1 cos12 0 = 1 cos12 1 = 1 cos12 1
=
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CONCLUSIONES
•
•
Se logro concluir que con la convolución entre señales y teniendo operaciones matemáticas definimos la integral de un producto a ambas direcciones desplazando una de ellas. Con las series de Fourier logramos concluir que una función continua y periódica por métodos matemáticas se da a partes, obteniendo combinación de senos y cosenos.
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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Ambardar, A. (s.f.). Procesamiento de señales analógicas y digitales. Michigan Technological University: segunda edicion. Convolución Discreta. (2008). In A. Ambardar, Procesamiento de señales analógicas y digitales (2nd ed., p. 169). Mexico City: Cengage Learning. Recuperado de http://go.galegroup.com/ps/i.do?id=GALE%7CCX4060300069&v=2. 1&u=unad&it=r&p=GVRL&sw=w&asid=9216176bfe3118887d3ff0ec6f6 606e8
Series de Fourier. (2008). In A. Ambardar, Procesamiento de señales analógicas y digitales (2nd ed., p. 197). Mexico City: Cengage Learning. Recuperado de http://go.galegroup.com/ps/i.do?id=GALE%7CCX4060300081&v=2. 1&u=unad&it=r&p=GVRL&sw=w&asid=2bd27e3e9ede734f0c9539e425 8be694
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