´ nonc´e E
` Probleme eme
Familles obtusangles Dans tout le probl` prob l`eme eme E est est un espace euclidien de dimension n 1. On note (x (x y) y ) le produit scalaire de deux vecteurs de E .
|
1. On note m un entier strictement positif quelconque. Pour tous vecteurs u1 , u2 , . . . , um de E , on note G(u1 , . . . , um ) la matrice carr´ee ee d’ordre m et de term te rmee g´en´ en ´eral ra l (ui u j ) (`a l’intersection de la ligne i et de la colonne j ). On note ∆(u ∆(u1 , . . . , um) = det(G det(G(u1, . . . , um)).
|
(a) Dans ce cas particulie particulierr o` u m = m = 2, montrer que ∆(u ∆(u1 , u2 ) 0 (avec ∆(u ∆(u1 , u2 ) = 0 sont colin´ col in´eaires eai res). ).
⇔ u , . . . , u 1
1
(b) Dans Dan s le l e cas g´en´ en´eral, era l, soit soi t A la matrice des vecteurs u vecteurs u 1, . . . , um dans une base orthonorm´ ortho norm´ee ee (e) de E de E .. Montrer que G(u1 , . . . , um ) = A A. t
(c) Si si m = n = n,, en d´eduire eduir e : ∆(u ∆(u1, . . . , un) 0 (avec ∆(u ∆(u1 , . . . , un ) = 0 2. Soit u Soit u 0 , u1 , . . . , um
⇔ u , . . . , u sont so nt li´es). es ). une famille de m de m + 1 vecteu vecteurs rs deux ` a deux distincts de S = {u ∈ E, E , u = 1}. 1
n
Montrer que les deux conditions suivantes suivantes sont ´equivalentes equivalentes :
— Les distances u j ui (avec j = i dans 0, . . . , m ) sont toutes ´egales egales (autrement dit, les vecteurs u vecteurs u k sont so nt ´equidis equ idistant tantss sur ). ).
−
S
{
}
— Les produits scalaires (u (ui u j ) (avec j = i dans 0, . . . , m ) sont tous tou s ´egaux. ega ux.
|
{
}
Dans la suite suit e de cette partie, on suppose que les conditions condit ions pr´ ec´ ec´ edentes eden tes sont r´ ealis´ eali s´ ees ees .
3. On note λ la valeur commune des produits scalaires (u (ui u j ). Montrer que 1 λ < 1 et que ∆(u ∆(u0 , . . . , um) = (1 + mλ + mλ)(1 )(1 λ)m.
|
−
4. En d´eduire eduir e que qu e si u0 , . . . , um sont libres alors m < n et
−
< 1. −1/m < λ < 1.
5. Dans Dans cette question, question, on suppose que u0 , . . . , um son s ontt li´es. es . On dira dans ce cas que la famille u0, . . . , um po poss`ede la propri´et´e
P . m
(a) Montrer Montrer que que λ = 1/m. /m. (b) Montrer Montrer la famille famille u0 , . . . , um est de rang m (il en r´esulte esult e donc m n).
−
m
u = →−0 (indication (c) Prouve Prouverr (indication : partir d’une relation relation de liaison liaison entre les u ). k
k
k=0
6. Dans cette cett e question, on voit comment cr´eer eer une u ne famille u0, . . . , un ayant aya nt la pro pr opri´ pr i´et´e (a) Indiquer Indiquer comment choisir choisir u0 , u1 , pour que la famille u0 , u1 ait ait la prop pr oprri´et´e
P .
P .
n
1
(b) Indiquer Indiquer comment choisir choisir u0 , u1 , u2 pour que la famille u0 , u1 , u2 ait ait la propr ro pri´ i´et´ et ´e
P .
(c) Soit m dans 2, . . . , n .
{
}
On suppose qu’on a construit une famille u0 , . . . , um−1 ayant aya nt la propr ro pri´ i´et´ et ´e
P
m−1
Soit F Soit F le le sous-espace de E eng e ngen endr´ dr´e par pa r u0 , . . . , um−1 (on sait que dim F = m Soit v Soit v m un vecteur unitaire orthogonal a` F . F .
2
.
− 1).
1 1 Pour tout k de 0, . . . , m 1 , on pose v pose v k = vm + 1 uk . m m2 Montrer que la famille v0 , v1 , . . . , vm po poss`ede la propri´et´e m .
{
− }
−
(d) Conclure Conclure Math´ ematiques emati ques en MPSI © Jean-Michel Ferrard
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− P
Page Page 1
Probl` eme
Corrig´e
Corrig´ e 1. (a) On rappelle l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz : pour tous u1 , u2 de E , on (u1 u 2 ) u1 u2 , c’est-`a-dire (u1 u 2 )2 avec ´egalit´e si et seulement si u1 , u2 sont li´es.
| | |
Ainsi ∆(u1 , u2 ) = (u1 u 1 ) (u2 u 2 )
|
|
− (u | u ) 1
2
2
|
(u1 u 1 ) (u2 u 2 ),
|
0, et ∆(u1 , u2 ) = 0
⇔ u , u sont li´es.
1
(b) Soit (e) = e 1 , . . . , en une base orthonormale de E . Soit A = (aij )i,j=1..n
|
2
n
a e . , ce qui signifie que pour tout j de {1, . . . , m}, u = j
ij i
i=1
On notera ici [M ]i,j le terme d’indice i, j d’une matrice M .
Posons G = G(u1 , . . . , um ). Pour tous i, j de 1, . . . , m , on a : n
[G]i,j = (ui u j ) =
|
{
n
a
n
[A]
k,i ak,j =
k,i [A]k,j =
k=1
}
k=1
[ A] t
[A]k,j = [ AA]i,j . t
i,k
k=1
Ainsi, on a l’´egalit´e matricielle G(u1 , u2 , . . . , um ) = AA. t
(c) Si mn, on en d´eduit ∆(u1 , . . . , un ) = det(G) = det( AA) = det(A)2 t
Il en d´ecoule ´egalement : ∆(u1 , . . . , un) = 0
0.
⇔ det(A) = 0 ⇔ u , . . . , u sont li´es. 2. Pour tous i, j de {0, . . . , m}, on a : u − u = u + u − 2 (u | u ) = 2(1 − (u | u )). Il est alors imm´ediat que les u − u sont constants ⇔ les (u | u ) sont constants. 3. On a |(u | u )| u u c’est-`a-dire |λ| 1 (Cauchy-Schwarz). Le cas λ = −1 est possible avec u = −u , mais λ = 1 est impossible car il en r´esulterait u = u 1
2
j
j
i
j
i
2
i
n
2
j
i
i
i
i
j
i
j
j
j
j
i
j
i
(or on a suppos´e que les vecteurs u0 , . . . , um ´etaient distincts deux a` deux). On a bien sˆ u r ∆ = ∆(u0 , u1 , . . . , um
) =
1
λ
λ
.. .
1 .. .
λ
...
...
λ
..
.
..
.. .
.
λ
λ
1
(d´eterminant d’ordre m + 1).
On ajoute toutes les lignes a` la premi`ere, puis on factorise 1 + mλ dans L1 . Ensuite on retranche λL1 a` toutes les autres lignes :
∆ = (1 + mλ)
1
1
...
1
λ
...
λ
..
..
.. .
.. . .. .
1 1 .. . .. .
.
1
λ
λ
...
...
λ
1
λ
..
.
.
= (1 + mλ)
1 0 .. . .. . 0
1 1
..
.
..
.
1 0 .. . .. .
...
...
−λ
...
1 0 .. .
...
.. 1
.
−λ 0
Le d´eterminant final est triangulaire d’ordre m + 1. Conclusion : ∆(u0 , u1 , . . . , um ) = (1 + mλ)(1 λ)m .
0 1
−λ
−
4. Si u0 , . . . , um sont libres, on a bien sˆ ur m n (car dim E = n). Il en d´ecoule aussi ∆(u0 , u1 , . . . , um) = (1 + mλ)(1 λ)m > 0. Puisque 1 λ < 1, on obtient effectivement 1 + mλ > 0 donc λ <
−
−
5. (a) On a ici ∆(u0 , u1 , . . . , um ) = (1 + mλ)(1
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m
− λ)
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= 0 donc λ =
−1/m.
−1/m. Page 2
Probl` eme
Corrig´e
(b) On note que ∆(u1 , . . . , um ) = (1 + (m 1)λ)(1 λ)m−1 (on a retir´e le vecteur u 0 ). Puisque λ = 1/m, ce d´eterminant est strictement positif. Il en r´esulte que u1 , . . . , um sont libres donc que la famille u0 , u1 , . . . , um est de rang m (remarque : on aurait tout aussi bien pu retirer un autre vecteur que u0 ).
−
−
−
m
λ u = →−0 .
(c) On sait qu’il existe λ0 , . . . , λm non tous nuls tels que
k
k
k=0
Soit j dans 0, . . . , m . On multiplie scalairement cette ´egalit´e par u j . m 1 On trouve 0 = u j λk uk = λ j + λk (u j u k ) = λ j λk m k= j = j k=0 k
{
| } λ = mλ donc λ = (m + 1)λ . Ainsi
|
−
m
k
j
k
= j k
j
k=0
Il en d´ecoule que les λ j sont tous ´egaux (`a une valeur non nulle bien sˆ ur). m
m
λ u = →−0 par cette valeur commune, on trouve u = −→0 . En divisant u . L’´egalit´e v = →−0 r´esulte du calcul suivant. Autre m´ethode : posons v = 1 (v | v) = (u | u ) = u + (u | u ) = m + 1 + (m + 1)m − = 0 k
k
k
k=0
k=0
m
k
m
m
j
k
k=0
2
k
j,k=0
j
k
m
j =k
k=0
6. (a) La famille u0 , u1 d´efinie par un vecteur unitaire u0 et par u1 =
−u convient. 0
(b) On se donne deux vecteurs unitaires et orthogonaux e1 et e2 . 1 3 1 3 On pose u0 = e 1 , u1 = e1 + e2 et u2 = e1 e2 . 2 2 2 2 Ces trois vecteurs unitaires conviennent (produits scalaires ´egaux a` 1/2).
√
−
−
−
√
−
1 (c) Par construction, pour tout k de 0, . . . , m 1 , vk est unitaire et (vk v n ) = . m 1 Il reste a` montrer que (vi v j ) = pour tous i, j distincts dans 0, . . . , m 1 . m 1 Effectivement, en utilisant (vn u i ) = (vn u j ) = 0 et (ui u j ) = : m 1
{ −
|
− }
|
(vi v j ) =
|
−
|
|
1 v n + m
1 = 2+ 1 m
1
−
|
−
1 1 u v n + i m2 m 1 1 = m 1 m
− 1 − m2
−
− − }
{ − −
1
−
1 u j m2
−
(d) La m´ethode pr´ec´edente montre (par une r´ecurrence finie, et en partant de deux vecteurs unitaires oppos´es) qu’on peut donc former (dans un espace euclidien E de dimension n) une famille de n + 1 vecteurs unitaires distincts ´equidistants u0 , . . . , un (on ne peut pas faire “mieux”).
−1/n donc u − u = 2(1 + 1/n) pour tous i = j. u = −→0 et la famille u , . . . , u est de rang n (si on lui retire un Autre propri´et´e : On a alors (ui u j ) =
|
j
i
n
0
k
n
k=0
vecteur quelconque, on obtient une base de E ).
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