FACTORIZACIÓN (Objetivo 1.3) Es el proceso de encontrar dos o más expresiones cuyo producto sea igual a una expresión dada; es decir, consiste en transformar a dicho polinomio como el producto de dos o más factores.
Caso 1. Factorización por factor común (caso monomio): se escribe el factor común (F.C.) como un coeficiente de un paréntesis y dentro del mismo se colocan los coeficientes que son el resultado de dividir cada término del polinomio por el F.C. Ejemplos: a) Descomponer (o factorizar) en factores a 2 + 2ª 2ª .. El factor común (FC) en los dos términos es a por lo tanto se ubica por delante del paréntesis a( ). Dentro del paréntesis se ubica el resultado de:
a
2
+
2a
FC FC
=
a
2
a
+
2a a
=
(a+2). Así: a 2 + 2a 2a = a (a + 2) a + 2 , por lo tanto: a (a+2).
b) Descomponer (o factorizar) 10b 10b - 30ab 30ab.. Los coeficientes 10 y 30 tienen los factores comunes 2, 5 y 10. Tomamos el 10 porque siempre se toma el mayor factor común. El factor común (FC) es 10b 10b. Por lo tanto: 10b - 30ab 2 = 10b (1 - 3ab) c) Descomponer: 18mxy 18mxy 2 - 54m 54m 2 x 2 y 2 + 36 my 2 = 18my 18my 2( x x - 3mx 3mx 2 + 2) d) Factorizar 6 x y x y 3 - 9nx 9nx 2 y 3 + 12nx 12nx 3 y 3 - 3n 3n 2 x 4 y 3 = 3 x y x y 3(2 - 3nx 3nx + 4nx 4nx 2 - n 2 x 3)
Caso 2. Factorización por factor común (caso polinomio) a) Descomponer x x (a + b ) + m (a + b ) a + b ), por lo que se pone (a Estos dos términos tienen como factor común el binomio ((a (a + b ) como coeficiente de un paréntesis dentro del cual escribimos los cocientes de dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común (a (a + b ), o sea: x a b
a b
x
y
m a b
a b
m
y se tiene:
x (a + b ) + m (a + b ) = (a (a + b )( x x + m )
b) Descomponer 2 x (a - 1) - y - y (a - 1) El factor común es (a (a - 1), por lo que al dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común (a (a - 1), con lo que tenemos: 2 x a 1
a 1
2 x
y
y a 1 y , luego: a 1
2 x (a - 1) - y (a - 1) = (a (a - 1)(2 x - y )
c) Descomponer m Descomponer m ( x x + 2) + x + x + 2 Se puede escribir esta expresión así: m ( x x + 2) + ( x x + 2) = m ( x x + 2) + 1( x x + 2) El factor común es ( x x + 2) con lo que: m ( x x + 2) + 1( x + 2) = ( x + 2)(m 2)(m + 1)
d) Descomponer a Descomponer a ( x x + 1) - x - 1 Al introducir los dos últimos términos en un paréntesis precedido d el signo (-), (-) , se tiene: a ( x x + 1) - x - 1 = a ( x x + 1) - ( x + 1) = a ( x x + 1) - 1( x + 1) = ( x + 1)(a 1)(a - 1)
x + y + z ) z ) - x - y – z z . Con esto: e) Factorizar 2 x ( x 2 x ( x x + y + z ) z ) - x - y - z = z = 2 x ( x x + y + z ) z ) - ( x x + y + z ) z ) = ( x x + y + z )(2 z )(2 x - 1)
f) Factorizar ( x x - a )( y )( y + 2) + b ( y + 2). El factor común es ( y ( y + 2), y dividiendo los dos términos de la expresión dada entre ( y ( y + 2) tenemos:
x a y 2 y 2
x ay
b y 2
y 2
b , luego:
( x x - a )( y + 2) + b ( y + 2) = ( y + 2)( x x - a + b )
g) Descomponer ( x x + 2)( x x - 1) + ( x - 1)( x - 3). Al dividir entre el factor común ( x x - 1):
x 1 x 3 x 2 x 1 x 2 y x 3 , por tanto: x 1 x 1 x + 2)( x x - 1) - ( x - 1)( x x - 3) = ( x - 1)( x + 2) - ( x - 3) = ( x - 1)( x x + 2 - x + 3) = ( x x - 1)(5) = ( x x ( x 1)
x (a - 1) + y h) Factorizar x + y (a - 1) - a + 1. x (a - 1) + y + y (a - 1) - a + 1 = x (a - 1) + y + y (a - 1) - (a (a - 1) = (a - 1)( x x + y - 1)
Caso 3. Factorización por factor común (caso agrupación agr upación de términos): a) Descomponer ax Descomponer ax + bx + ay + by Los dos primeros términos tienen el factor común x y los dos últimos el factor común y . Agrupamos los dos primeros en un paréntesis y los dos últimos en otro precedido del signo + porque el tercer término tiene el signo (+): a x + bx + ay + by = (ax (ax + bx ) + (ay (ay + by ) = x (a + b ) + y + y (a + b ) = (a (a + b )( x x + y ) Hay varias formas de hacer la agrupación, con la condición de que los dos términos agrupados tengan algún factor común, y siempre que las cantidades que quedan dentro de los paréntesis después de sacar el factor común en cada grupo, sean exactamente iguales. Si esto no es posible, la expresión dada no se puede descomponer por este método. En el ejemplo anterior podemos agrupar el 1o. y 3er. términos con el factor común a y el 2o. y 4o. con el factor común b, y: ax + bx + ay + by = (ax (ax + ay ) + (bx (bx + by ) = a( x x + y ) + b ( x x + y )
= ( x x + y )(a )(a + b ) Este resultado es idéntico al anterior, ya que el orden de los factores es indiferente.
b) Factorizar 3m 3m 2 - 6mn 6mn + 4m 4m - 8n 8n . Los dos primeros términos tienen el factor común 3m 3m y los dos últimos el factor común 4. Agrupando: 3m 2 - 6mn 6mn + 4m 4m - 8n 8n = (3m (3m 2 - 6mn 6mn ) + (4m (4m - 8n 8n ) = 3m 3m (m - 2n 2n ) + 4(m 4(m - 2n 2n ) = (m (m - 2n 2n )(3m )(3m + 4)
c) Descomponer 2 x
2
x y - 4 x + 6 y . Los dos primeros términos - 3 x y términos tienen el factor común x común x y
los dos últimos el factor común 2, entonces los agrupamos pero introduciendo los dos últimos términos en un paréntesis precedido del signo - (porque el signo del 3er. término es - ) para lo cual hay que cambiarles el signo, y tendremos:
2 x 2 - 3 x y x y - 4 x + 6 y = (2 x 2 - 3 x y x y ) - (4 x - 6 y ) = x (2 x - 3 y ) - 2(2 x - 3 y ) = x - 2) (2 x - 3 y )( x Otra alternativa es agrupar el 1o. y 3o. 3o . términos con factor común 2 x , y el 2o. y 4o. con factor común 3 y , con lo que tendremos: 2 x 2 - 3 x y x y - 4 x + 6 y = (2 x 2 - 4 x y x y ) - (3 x y x y - 6 y ) = 2 x ( x x - 2) - 3 y ( x x - 2) = ( x x - 2)(2 x - 3 y )
x + z 2 - 2ax d) Descomponer x 2ax - 2az 2az 2 x + z 2 - 2ax 2ax - 2az 2az 2 = ( x x + z 2) - (2ax (2ax + 2az 2az 2) = ( x x + z 2) - 2a 2a ( x x + 2az 2az 2) = ( x x + z 2)(1 - 2a 2a )
Al agrupar los términos 1o. y 3o., 2o. 2 o. y 4o.: x + z 2 - 2ax x - 2ax z 2 - 2az 2ax - 2az 2az 2 = ( x 2ax ) + ( z 2az 2) = x (1 - 2a 2a ) + z + z 2(1 - 2a 2a ) = (1 - 2a 2a )( x x + z 2)
e) Factorizar 3ax 3ax - 3 x + 4 y - 4ay 4ay.. 3a x - 3 x + 4 y - 4a y = (3ax (3ax - 3 x ) + (4 y - 4ay 4ay ) = 3 x (a - 1) + 4 y (1 - a ) = 3 x (a - 1) - 4 y (a - 1) = = (a (a - 1)(3 x - 4 y )
En la segunda línea del ejemplo anterior, los binomios (a (a - 1) y (1 - a ) tienen signos distintos; para hacerlos iguales los cambiamos al binomio (1 - a ) convirtiéndolo en (a (a - 1), pero para que el producto 4 y (1 - a ) no varíe de signo le cambiamos el signo al otro factor 4 y convirtiéndolo en - 4 y . De este modo, como cambiamos los signos a un número par de factores, el signo del producto no varía. En el ejemplo anterior, al agrupar los términos 1o. y 4o., 2o. y 3o.: 3a x - 3 x + 4 y - 4a y = (3ax (3ax - 4ay 4ay ) + (3 x - 4 y ) = a (3 x - 4 y ) - (3 x - 4 y ) = (3 x - 4 y )(a )(a - 1)
f) Factorizar: ax - ay + az + az + x - y + z. ax - ay + az + az + x - y + z = z = (ax - ay + az ) az ) + ( x x - y + z ) z ) = a ( x x - y + z ) z ) + ( x x - y + z ) z ) = ( x x - y + z ) z ) + (a (a + 1)
Caso 4. Factorización de un trinomio cuadrado perfecto: La regla para factorizar un trinomio cuadrado perfecto dice que se extrae la raíz cuadrada al primer y tercer términos del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado. Ejemplos a) Factorizar m Factorizar m 2 + 2m 2m + 1 m2
m
2 2m + 1 = (m (m + 1)(m 1)(m + 1) = (m (m + 1)2 1 1 por lo tanto: m + 2m
y
b) Descomponer 4 x 2 + 25 y 2 - 20 x y x y.. Al ordenar el trinomio: 4 x2
2x
así: 5 y , así:
25 y 2
y
4 x 2 - 20 x y x y + 25 y 2 = (2 x - 5 y )(2 x - 5 y ) = (2 x - 5 y )2
Es importante destacar que cualquiera de las dos raíces puede ponerse como minuendo, por lo que en el ejemplo anterior también se tiene: 4 x 2 - 20 x y x y + 25 y 2 = (5 y - 2 x )(5 y - 2 x ) = (5 y - 2 x )2 porque al desarrollar este binomio resulta: (5 y - 2 x )2 = 25 y expresión idéntica a 4 x
2
2
- 20 x y x y + 4 x
2
que es una
- 20 x y x y + 25 y 2, ya que tiene las mismas cantidades con los mismos
signos.
c) Descomponer 1 - 16ax 16ax 2 + 64a 64a 2 x 4 64a 2 x 4
8 ax
2
d) Factorizar x
y
2
16ax 2 + 64a 64a 2 x 4 = (1 - 8ax 8ax 2)2 = (8ax (8ax 2 - 1)2 1 1 , por lo tanto: 1 - 16ax
bx
b2 4
Este trinomio es cuadrado perfecto, porque el doble producto de la raíz cuadrada de x
2
x
por la raíz cuadrada de
b2 4
b 2
reproduce el segundo término. Luego:
x2
bx
b
2
4
2
b x 2
e) Factorizar raíz cuadrada de
1 4
b
b2
3
9
b
2
9
b
3
que es un cuadrado perfecto, porque la raíz cuadrada 1
b
1 4
1 2
y la
b
conduncen al segundo término a través de 2 2 3 3 , luego: 1 4
b
b
3
2
9
2
2
1 1 b b 2 3 3 2
f) Descomponer a Descomponer a 2 + 2a 2a (a - b) + (a (a - b)2 La regla para factorizar puede aplicarse a casos donde el primer p rimer o tercer término del trinomio o ambos son expresiones compuestas. En este caso tenemos: a 2 + 2a 2a (a - b ) + (a (a - b )2 = [a [a + (a (a - b )]2 = (a (a + a - b )2 = (2a (2a - b )2
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Caso 5. Factorización de un trinomio de la forma Se
2
x
bx
c
descompone en dos factores binomios cuyo primer término es x es x,, o sea la raíz cuadrada del
primer término del trinomio. En
el primer factor, después de x de x se escribe el signo del segundo término del trinomio, y en el
segundo factor, después de x de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo término por el signo del tercer término. Si
los dos factores binomios tienen en medio signos iguales, se buscan dos números cuya suma
sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio, mismos que serán los segundos términos de los binomios. Si
los dos factores binomios tienen en medio signos distintos, se buscan dos números cuya
diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos números es el segundo término del primer binomio, y el menor es el segundo término del segundo binomio.
Ejemplos: a) Factorizar x 2 + 5 x + 6 Este trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término es la raíz cuadrada de x de x 2, o sea x sea x:: x 2 + 5 x + 6 = ( x x
x )( x
)
En el primer binomio, después de x de x,, se pone el signo (+) porque el segundo término del trinomio (+) 5 x tiene signo (+). En el segundo binomio, después de x de x,, se escribe el signo que resulta de multiplicar (+ 5 x) x) por (+ 6), y como (+) por (+) da (+), entonces: x 2 + 5 x + 6 ( x x + )( x x + ) Dado que en estos binomios hay signos iguales, buscamos dos números cuya suma sea 5 y cuyo producto sea 6. Dichos números son 2 y 3, luego: x 2 + 5 x + 6 = ( x x + 2)( x x + 3)
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b) Factorizar x 2 - 7 x + 12 Se tiene: x 2 - 7 x + 12
( x x -
)( x x - )
En el primer binomio se pone ( - ) por el signo de (- 7 x) x) . En el segundo se pone( - ) porque multiplicando( - 7 x) x) por (+ 12) se tiene que( - ) por (+) da ( - ). Como en los binomios hay signos iguales, buscamos dos números cuya suma sea 7 y cuyo producto sea 12. Dichos números son 3 y 4, luego: x 2 - 7 x + 12 = ( x x - 3)( x x - 4)
c) Factorizar x x 2 + 2 x - 15 Se tiene: x 2 + 2 x - 15
( x x + )( x x - )
En el primer binomio se pone + por el signo de + 2 x En el segundo se pone - porque multiplicando (+ 2 x) x) por (- 15) se tiene que (+) por (-) da (-) . Como en los binomios tenemos signos distintos, buscamos dos números cuya diferencia sea 2 y cuyo producto sea 15. Dichos números son 5 y 3. El 5, que es el mayor, se escribe en el primer binomio: x 2 + 2 x - 15 ( x x + 5)( x x - 3)
d) Factorizar x x 2 - 5 x - 14 Así: x 2 - 5 x – 14
( x x - )( x x + )
En el primer binomio se pone - por el signo de - 5 x En el segundo se pone (+) porque multiplicando - 5 x por - 14 se tiene que (-) (-) por ( -) da (+)
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Como en los binomios tenemos tenemos signos distintos, distintos, se buscan dos números cuya diferencia diferencia sea 5 y cuyo producto sea 14. Dichos números son 7 y 2. El 7, que es el mayor, se escribe en el primer binomio: x 2 - 5 x - 14 = ( x x - 7)( x + 2)
e) Factorizar a 2 - 13a 13a + 40 ; a 2 - 13a 13a + 40 = (a (a - 5)(a 5)(a - 8)
f) Factorizar x 2 - 6 x - 216 ; x 2 + 6 x - 216 ( x x + )( x x - )
Necesitamos dos números cuya diferencia sea 6 y el producto 216, los cuales no se ven fácilmente. Para hallarlos, se descompone en sus factores primos el tercer término:
216 216
2
Con Con esto estoss fact factor ores es prim primos os
108 108
2
form formam amos os dos dos produ product ctos os..
54
2
Por tante nteo, vari ariando los
27
3
facto actorres de cada cada prod produc ucto to
9
3
obtendremos los dos números
3
3
que buscamos, así:
1
2×2×2=8
3 × 3 × 3 = 27
2 × 2 × 2 × 3 = 24
3×3=9
2 × 2 × 3 = 12
2 × 3 × 3 = 18
27 - 8 = 19, no sirven 24 - 9 = 15, no sirven 18 - 12 = 6, sí sirven
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Los números que buscamos son 18 y 12, porque su diferencia es 6 y su producto necesariamente 216, ya que para obtener estos números empleamos todos los factores que obtuvimos en la descomposición de 216, por tanto: x 2 + 6 x - 216 = ( x x + 18)( x x - 12)
7) Factorizar a 2 - 66a 66a + 1080 a 2 - 66a 66a + 1080
(a -
)(a )(a - )
Necesitamos dos números cuya suma sea 66 y el producto 1080. Al descomponer 1080 tendremos:
1080
2
2×2×2=8
3 × 3 × 3 × 5 = 105
540
2
2 × 2 × 2 × 3 = 24
3 × 3 × 5 = 45
270
2
2 × 3 × 5 = 30
2 × 2 × 3 × 3 = 36
135
3
45
3
15
3
5
5
1
105 + 8 = 113, no sirven 45 + 24 = 69, no sirven 30 + 36 = 66, sí sirven
Los números que buscamos son 30 y 36, porque su suma es 66 y su producto necesariamente 1080, ya que para obtener estos números empleamos todos los factores que obtuvimos en la descomposición de 1080, por tanto: a 2 - 66a 66a + 1080 = (a (a - 36)(a 36)(a - 30)
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Descomposición de un polinomio en factores por el método de evaluación (Ruffini) Paolo Ruffini (1765-1822): ¿Cuántos años vivó? Matemático y médico italiano, nacido en Roma. x - a demostramos que si un polinomio entero y racional en x Al estudiar la divisibilidad por x en x se anula anula para para x = a, el polinomio es divisible por x por x - a. Este mismo principio aplica a la descomposición de un polinomio en factores por el Método de Evaluación.
Ejemplos 1) Descomponer por evaluación x evaluación x 3 + 2 x 2 - x - 2 Los valores que daremos a x a x son los factores del término independiente 2: + 1, - 1, + 2 y - 2. Veamos si el polinomio se anula para x para x = 1, x 1, x = - 1, x 1, x = 2, x 2, x = - 2, y si se anula para algunos de estos valores, el polinomio será divisible por x x menos ese valor v alor.. Aplicando la división previamente explicada se verá si el polinomio se anula para estos valores de x de x y simultáneamente se encontrarán los coeficientes del cociente de la división. En este caso:
1 +1 1
2 1 3
1 2 3 2 2 0
Coeficientes del polinomio
Coeficientes del cociente
El residuo es 0, o sea que el polinomio dado se anula para x para x = 1, luego es divisible por ( x - 1). Dividiendo x Dividiendo x 3 + 2 x 2 - x - 2 entre x entre x - 1 el cociente será de segundo grado y sus coeficientes son +1, +3 y +2, luego el cociente es +1 x
2
+3 x +2 = x
2
+3 x +2 y como el el dividendo dividendo es igual al
producto del divisor por el cociente, se tiene: x 3 + 2 x 2 - x - 2 = ( x x - 1)( x x 2 + 3 x + 2) (factorizando el trinomio) = ( x - 1)( x x + 1)( x x + 2)
2) Descomponer por evaluación x 3 - 3 x 2 - 4 x + 12
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Los factores de 12 son ± (1, 2, 3, 4, 6, 12)
1 1 1
3 1 2
4 2 6
+12
Coeficientes del polinomio
6 6
Coeficientes del cociente
El residuo es 6, luego el polinomio no se anula para x para x = 1, y no es divisible por ( x - 1)
1 -1 1
3 1 4
4
+12
+4
0
0
+12
Coeficientes del polinomio
Coeficientes del cociente
El residuo es 12, luego el polinomio no se anula para x para x = - 1 y no es divisible por x x - (- 1) = x = x + 1
1
3 +2
+2 1
1
4 +12 2 12 0 6
Coeficientes del polinomio
Coeficientes del cociente
El residuo es 0, luego el polinomio se anula para x para x = 2 y es divisible por ( x - 2) El cociente de dividir el polinomio dado x dado x 3 - 3 x 2 + 4 x + 12 entre x entre x - 2 será de segundo grado y sus coeficientes son +1, - 1 y - 6, luego el cociente será +1 x 2 - 1 x – 6 = x = x 2 - x – 6. Por tanto: x tanto: x 3 - 3 x 2 + 4 x + 12 = ( x x - 2)( x 2 - x - 6) (factorizando el trinomio) = ( x - 2)( x x - 3)( x + 2)
