Oleh :
1.
Jelaskan secara skematik, algoritma pemodelan inversi dengan pendekatan linier 1. Mendefinisikan model awal (m0) 2. Melakukan forward modeling g(m) 3. Mendefinisikan data perhitungan sebagai dcal = g(m) dan mendefinisikan data observasi 4. Mengurangkan data kalkulasi dengan data observasi, jika forward modeling cocok (fit), maka akan mendapatkan solusi/model (m) 5. Jika forward modeling tidak cocok, maka matriks kernel (G) digantikan oleh matriks Jacobi
= [⁄] Melakukan modifikasi parameter model
∆ = [ ] − ∆ + = ∆
6. Kembali mengulangi langkah 2-4 hingga mendapatkan model yang sesuai 7. Selesai 2.
Persamaan empiris a. Gauss-Newton
m+ = m [JTJ]−JTgmN d b.
Metode Gradien
m+ = m 2kJT(gm d) c.
Metode Levenberg-Marquardt
m+ = m [JTJ εI]−JT(dgm) 3. Perbedaan signifikan antara metode Gauss Newton, Metode Gradien dan Metode Levenberg-Marquardt. Pada metode Gauss-Newton penentuan koreksi atau step size berdasarkan matriks T − untuk mencari fungsi obyektif.Pada metode Gradien penentuan koreksi atau step size berdasarkan faktor yang sudah diketahui sebelumnya.. Pada metode Levenberg-Marquardt penentuan koreksi atau step size berdasarkan faktor redaman yang sudah diketahui sebelumnya. Metode Gradie sangat lamban jika dibandingkan dengan metode Gauss-Newton, terutama jika
[J J ]
2k
ε
sudah dekat dengan solusi. Hal ini disebabkan oleh harga gradient yang semakin kecil. Dipihak lain, metode gradient cukup efektif pada awal iterasi dimana metode Gauss-Newton dapat mengalami overshoot. Untuk memperbaiki kinerja tiap metode yang diterapkan secara teepisah digunakanlah metode Levenberg-Marquardt.
4. Keterbatasan pendekatan linier pada inversi non-linier yaitu sensitivitasnya terhadap pemilihan model awal. Model awal yang berbeda dapat menghasilkan solusi yang berbeda, yang belum tentu merupakan solusi optimum. Untuk memperoleh solusi optimum maka model awal harus cukup dekat dengan model yang dicari. Keterbatasan lain yaitu kemungkinan terjebak pada nilai minimum lokal dari fungsi obyektif, sementara model optimum berasosiasi dengan minimum global. Pendekatan linier dari suatu fungsi non-linier sebenarnya hanya berlaku di sekitar suatu model tertentu (model awal).
5.
Gambar 1. (kiri) ilustrasi kurva fungsi obyektif dengan banyak minimum lokal namun hanya satu minimum global sehingga terdapat terdapat solusi yang unik. (kanan) kurva fungsi obyektif dengan banyak minimum yang hamper identik sehingga solusi tidak unik.
6. Inversi non-linier dengan pendekatan linier (local search approach) dimana pencarian solusi dilakukan hanya berdasarkan informasi mengenai kecenderungan fungsi obyektif di sekitar model yang sedang ditinjau (model awal atau model hasil modifikasi pada suatu iterasi tertentu) dan pencarian nilai minimum yang hanya didasarkan pada informasi lokal di sekitar suatu model dapat terjebak ke dalam nilai minimum lokal dan solusi atau model inversi yang dihasilkan bukan model optimum. Sedangkan inversi non-linier dengan pendekatan global (global search approach) dimana pencarian solusi dilakukan berdasarkan informasi lebih menyeluruh atau global mengenai bentuk permukaan fungsi obyektif pada
suatu
model
yang
ditinjau.
7. Pencarian sistematik Kelebihan Pada metode pencarian sistematik diaman setiap grid merepresentasikan satu sampel model yang harus dihitung responnya untuk memperoleh harga model fungsi obyektif yang berasosiasi dengan model tersebut. Kekurangan pencarian solusi sistematik pada ruang model sangat tidak efisien mengingat jumlah model yang harus di-evaluasi misfit -nya sangat besar. Selain itu jlika diinginkan resolusi yang tinggi maka harus dilakukan diskretisasi ruang model menjadi grid dengan ukuran kecil. Hal tersebut akn meningkatkan jumlah sampel model yang harus dievaluasi.
Pencarian acak Kelebihan pencarian acak (random search ) dilakukan secara acak. Setiap model dalam ruang model memiliki peluang yang sama untuk dipilih sebagai sebagai sampel model. Kekurangan pencarian acak kurang efisien mengingat jumlah model yang harus di-evaluasi masih cukup besar dan semua model memiliki probabilitas yang sama untuk dipilih sebagai sampel dalam perhitungan fungsi obyektif. Pencarian acak terarah ( guided random search ) Kelebihan pada pencarian acak terarah meningkatkan efisien pada kekurangan pencarian solusi acak dimana pemilihan model dimodifikasi sehingga model pada daerah tertentu yang mengarah atau dekat dengan solusi memiliki probabilitas lebih besar untuk dipih dan mudah mengeksplorasi ruang model secara acak namun terarah.
Kekurangan pada pencarian acak terarah, perturbasi yang menghasilkan konfigurasi dengan energy lebih tinggi probabilitasnya makin kecil. 8. Metode simulated annealing dikembangkan dengan target utama untuk mencari harga minimum global suatu fungsi. Harga minimum global merupakan nilai minimum terendah suatu fungsi. Metode ini dikembangkan dari analogi proses termodinamika pendinginan logam. Pada suhu tinggi, molekul-molekul logam dapat bergerak bebas dan mempunyai sistem energi yang berharga besar. Jika logam tersebut didinginkan secara perlahan-lahan (disebut proses annealing), maka molekul-molekul logam akan bisa menjadi kristal, tetapi jika didinginkan secara cepat (disebut proses quenching), maka molekul-molekul logam tersebut bisa menjadi amorf. Pada keadaan kristal, molekul-molekul logam mempunyai energi paling rendah (indentik dengan minimum global), dan pada keadaan amorf, molekul-molekul logam mempunyai energi yang
sedikit lebih tinggi dari keadaan paling rendah (identik dengan minimum lokal). Metode SA pada dasarnya mengadopsi prinsip termodinamika Boltzmann yang menyatakan hubungan antara probabilitas suatu sistem pada konfigurasi m dan temperatur T dengan harga E sebagai fungsi dari konfigurasi tersebut. Metode simulated annealing (grandis, 2003) dalam inversi didasarkan pada analogi dengan proses termodinamika pembentukan kristal suatu substansi. Pada temperatur tinggi suatu substansi padat mencair, kemudian proses pendinginan secara perlahan-lahan menyebabkan terbentuknya kristal yang berasosiasi dengan energi sistem yang minimum. Proses pembentukan kristal (annealing) dalam termodinamika diadopsi dalam penyelesaian masalah inversi, yaitu dengan menggunakan parameter model untuk mendefinisikan konfigurasi sistem dan fungsi objektif sebagai energi. 9. Algoritma Simullated Annealing 1. Menginput model awal ( 2. Menginput jumlah partikel (n) 3. Menginput Temperatur awal (T) 4. Menginput perturbasi model ( ) 5. Menghitung Fungsi missfit error 6.
∆ = + Melakukan pemodelan Simulated Annealing Jika fungsi obyektif kurang dari nol ( ∆ < 0) - Menghitung Probalilitas Bolztmann (P) P=exp(-∆/ -
Menghitung kontanta gas umum(R) dengan acak pada interval [0 1] R=rand [0 1] Jika kontanta gas umum(R) Probabilitas Boltzmann(P) maka model :
< >
Jika kontanta gas umum(R) Probabilitas Boltzmann(P) maka model : Model= 7. Jika model sesuai yang dinginkan maka didapatkan solusi namun jika tidak sesuai turunkan temperatur (T) kembali ke langkah 4 7. 8. Selesai.
–
10.
Detail Analogi proses biologi dalam metode Genetika Algoritma (GA). Penggunaan prinsip genetika pada komputer dimulai pada tahun 1950 ketika beberapa ahli Biologi mengunakan komputer untuk simulasi
sistem biologi. Akhir tahun 1975 John Holland dari Universitas Michigan Adaption in Natural and Artificial System mengunakan konsep dasar algoritma genetika. Algoritma genetika bekerja dengan suatu populasi string dan melakukan proses pencarian nilai optimal secara parallel, dengan mengunakan operator genetika. Algoritma genetika akan melakukan rekombinasi antar individu. Algoritma genetika memiliki elemen dasar berupa string yang tersusun dari rangkaian substring (gen), yang masing-masing merupakan kode dari parameter dalam ruang solusi dimana suatu string (kromosom) menyatakan kandidat solusi. Kumpulan string dalam populasi berkembang dari generasi ke generasi melalui operator genetika. Pada setiap iterasi, individu-individu (Kromosom) dalam populasi itu akan dievolusi dan diseleksi untuk menentukan populasi pada generasi berikutnya. Populasi ini akan terus berulang sampai menemukan suatu parameter dengan nilai yang paling optimal sesuai dengan yang diinginkan. Adapun struktur umum algoritma genetika dapat diilustrasikan pada gambar berikut:
melalui paper yang berjudul “
”
Gambar 1. Struktur umum Algoritma Genetika Binary encoding dapat memberikan banyak kemungkinan pada kromosom meskipun pada jumlah allele yang sedikit. Dilain pihak jenis encoding ini tidak cukup natural untuk beberapa kasus tertentu dan kadang-kadang harus dilakukan koreksi setelah melakukan crossover atau mutasi, contoh penggunaan Binary encoding adalah pada permasalahan knapsack atau pengepakan, dimana ada beberapa barang dengan jumlah dan ukuran masing-masing dan knapsack harus memberikan kapasitasnya untuk barang-barang tersebut, permasalahanya adalah bagaimana memilih barang untuk memaksimalkan jumlah barang sehingga dapat ditampung olehk napsack tanpa harus menambah kapasitasnya. Istilah-istilah yang digunakan dalam Algoritma genetika ini hampir sama dengan istilah-istilah yang dipakai dalam bidang biologi genetika, antara lain Gen, Kromosom, Populasi, Fungsi Fitness , dan operator genetika yang meliputi mutasi dan crossover .
Gen adalah suatu sel dari suatu kromosom atau nilai yang terdapat dalam Algoritma genetika ini dapat dibentuk oleh sebuah byte bahkan tidak menutup kemungkinan suatu string. Gen ini mewakili sebagian kecil dari solusi permasalahan. Individu dalam populasi disebut string, genotype atau kromosomkromosom terdiri dari unit-unit yang dinamakan Gen, Karakter, Decoder. Kromosom ini dapat mewakili suatu solusi, dimana dapat diilustrasikan dalam gambar dibawah ini:
Gambar 2. Kromosom dalam algoritma genetika Untuk mempresentasikan kromosom dilakukan dengan proses encoding , dibawah ini akan dijelaskan beberapa proses encoding yang biasa digunakan dalam beberapa kasus tertentu. Untuk jenis Permutation Encoding ini digunakan untuk permasalahan proses pengurutan, misalnya terdapat kasus optimasi jadwal atau pada kasus traveling salesman. Pada Permutation Encoding, setiap Gen pada kromosom berupa angka dimana dapat ditampilkan seperti gambar di bawah ini:
Gambar 3. Permutation Encoding Permutation Encoding hanya berlaku untuk permasalahan pengurutan, untuk itu dalam kasus-kasus yang ada pada Permutation Encoding terdapat beberapa jenis crossover dan mutasi yang harus dibuat untuk mempertahankan kromosom agar tetap konsisten. Contoh penggunaan Permutation Encoding ini adalah pada kasus trvelling salesman, dimana terdapat beberapa kota dengan jarak masing-masing. Pada kasus traveling salesman ini seorang salesman harus mengunjungi semua kota yang ada, tetapi tidak harus berjalan jauh untuk mencapai seluruh kota. Permasalahanya adalah menentukan urutan kota yang akan dikunjungi untuk meminimalisasi jarak yang harus ditempuh. Binary encoding adalah jenis encoding yang paling sering digunakan karena kasus pertama yang ada pada Algiritma Genetik menggunakan algoritma jenis ini. Setiap kromosom pada Binary encoding merupakan bit 0 dan 1 dimana dapat ditampilkan pada gambar bawah:
Gambar 4. Binary encoding Binary encoding dapat memberikan banyak kemungkinan pada kromosom meskipun pada jumlah Gen yang sedikit. Dilain pihak jenis encoding ini tidak cukup natural untuk beberapa kasus tertentu dan kadang-kadang harus dilakukan koreksi setelah melakukan crossover atau mutasi, contoh penggunaan Binary encoding adalah pada permasalahan knapsack atau pengepakan, dimana ada beberapa barang dengna jumlah dan ukuran masing-masing dan knapsack harus memberikan kapasitasnya untuk barang-barang tersebut, permasalahanya adalah bagaimana memilih barang untuk memaksimalkan jumlah barang sehingga dapat ditampung oleh knapsack tanpa harus menambah kapasitasnya. Crossover adalah operator algoritma genetika yang membutuhkan parameter dua kromosom. Dua buah kromosom tersebut disebut kromosom induk. Operator ini akan menghasilkan dua buah kromosom baru. Ada beberapa jenis crossover yang sering digunakan dalam algoritma genetika antara lain: Ordered based Crossover diawali dengan menentukan posisi-posisi gen secara random pada induk pertama misalnya didapatkan posisi 3,4,6 dan 9 pada induk. P1= ( 1 2 5 7 8 ) P1= ( 4 5 8 6 9 ) Kemudian Gen-gen pada induk yang berada tepat dibawah posisiposisi tersebut dicatat yaitu 2,1,7 dan 3 untuk Q1 disalin dari P1 dengan menghilangkan angka-angka 2,1,7 dan3 tersebut sehingga menjadi Q1= ( x x x 4 5 6 x 8 9 ) Subset 2,1,7, dan 3 ini di masukan dalam Q1 dimulai dari kiri dengan mempertahankan urutan sehingga menjadi Q1 = (2 1 7 4 5 6 3 8 9) Untuk Q2 diperlukan sama hanya perlu meukar induk pertama menjadi induk kedua dan induk kedua menjadi induk pertama yang menjadi: Q2 = (3 5 2 1 8 7 4 6 9)
Contoh kerja operator ini adalah dengan menentukan crossover point (gen tertentu). Kromosom baru pertama berisi gen pertama sampai gen crossover point dari kromosom induk pertama ditambah dengan gen dari crossover point sampai gen terakhir dari kromosom
induk kedua. Kromosom baru kedua berisi gen pertama sampai gen crossover point dari induk kedua ditambahkan dengan gen dari crossover point sampai gen dari kromosom induk pertama. Adapun metode crossover ini dapat diilustrasikan pada gambar berikut:
Gambar 5. Proses crossover dengan satu crossover point Dari ilustrasi di atas maka contoh penerapan metode One-Point Crossover adalah sebagai berikut: Parent 1: 1 2 3 4 5 | 6 7 8 9 Parent 2: 4 5 3 6 8 | 9 7 2 1 Setelah proses crossover turunan yang dapat dihasilkan adalah dari kedua parent diatas adalah: Parent 1: 1 2 3 4 5 | 9 7 2 1 Parent 2: 4 5 3 6 8 | 6 7 8 9 Proses Two-Point Crossover hampir sama dengan prosedur One- Point Crossover , kecuali pada Two-Point Crossover harus dipilih dua crossover point dan hanya gen yang ada di antara kedua crossover point itu yang akan ditukarkan. Metode ini dapat menjadi bagian awal dan akhir dari kromosom dan hanya menukar bagian tengahnya saja. Crossover hampir Prosedur N-Point sama baik dengan prosedur one-point crossover maupun two-point crossover , hanya saja dalam n-point crossover ini harus dipilih n crossover point dan hanya gen di antara crossover point ganjil dan genap yang dapat ditukarkan sedangkan gen diantara genap dan ganjil operator crossover tidak berubah. Atau dengan kata lain harus dipilih posisi n dan hanya bit antara ganjil dan genap posisi crossover yang akan dihilangkan. Contoh: P1= 9 7 6 3 2 8 P2= 2 1 9 7 4 5 Jika didapatkan angka random untuk n=3 dan diacak 1,2 dan 4 sebagai posisi dari gen yang akan di crossover , didapatkan kromosom turunan: T1= 9 1 6 3 4 5 T2= 2 7 9 7 2 8
Mutasi adalah operator yang membutuhkan satu perameter. Kromosom operator ini merupakan nilai suatu gen dari sebuah kromosom sehingga kromosom yang baru ini berbeda dengan kromosom yang lama. Sekumpulan kejadian dengan suatu nilai pelanggaran maksimal dapat dengan mudah dihilangkan selama evaluasi fitness
“tujuan dari proses mutasi ini, untuk mempertahankan
dari suatu bit atau gen” Whitley,1993:16.
kehilangan permanent Seluruh proses mutasi ini menjanjikan keuntungan melalui pengarahan mutasi kemana mutasi ini tersebut sangat dibutuhkan. Oprator mutasi digunakan untuk melakukan modifikasi satu atau lebih dari nilai gen dalam individu yang sama. Mutasi memastikan bahwa probabilitas untuk pencarian pada daerah tertentu dalam persoalan tidak akan pernah nol dan mencegah kehilangan total materi genetika setelah pemilihan dan penghapusan. Mutasi ini bukanlah operator genetika yang utama, yang dilakukan secara acak pada gen dengan kemungkinan yang lebih kecil. Metode ini disebut metasi gen ( gene mutation ) terdapat metode lain dimungkinkan untuk menghilangkan order mutation seluruh gen dari dua gen yang dipilih secara acak. Terdapat empat operator yang biasa digunakan untuk permasalahan penjadwalan antara lain:
yaitu: “
” dimana
Memilih sutatu kejadian dengan suatu nilai pelanggaran maksimal, dan secara acak mengubah waktu penugasan. Memilih suatu kejadian dengan sauatu pelanggaran maksimal, kemudian memberi waktu baru yang mana akan mengurangi secara maksimal angka ini. Secara stokastik memilih suatu kejadian ,bias melalui kejadian itu dengan nilai pelanggaran yang tinggi, kemudian secara stokastik memilh waktu baru untuk kejadian ini, bisa melalui waktu yang mana akan mengurangi secara maksimal angka pelanggaran kejadian. Fungsi objektif adalah tujuan dari optimasi permasalahan. Biasanya fungsi objektif ini hanya dua macam yaitu memaksimalkan dan meminimalkan.
