Experimento doble rendija

Laboratorio Avanzado - Laboratorio 2: Experimento de Doble Rendija Juan Guillermo Guillermo Aguilar Aguilar Montero Montero Universidad de los Andes, Departamento Departamento de F´ısica

(Dated: Septiembre 18 de 2018) En este experimento se estudió el fenómeno omeno de interferencia de la luz, registrando su patr´ on on de difracci´ on on a trav´ es es de una y dos rendijas. Dichos patrones p ermitieron observar la dualidad ondapart´ part´ıcula que presentan presentan los fotones. Se usaron dos fuentes de luz para realizar dicho estudio: un l´ aser de λ = 670 ± 5nm y un bombillo con un filtro que emite fotones a λ = 546 ± 5nm. Los resultados con ambas fuentes de luz fueron comparados con el modelo te´ orico de Fraunhofer, para corroborar la orico validez de los datos, y tambi´ en en vislumbrar las deficiencias de dicho modelo. Finalmente, Finalmente, se calcularon las λ del l´ aser y el bombillo midiendo las distancias entre los picos de los patrones de interferencia, aser obteniendo los valores experimentales de λ laser = 677,39 ± 10,42nm y λ bombillo = 572,39 ± 11,64nm. ´ INTRODUCCION

La difracción on (o interferencia) es un fenómeno ome no f´ısic ıs icoo en el donde la trayectoria de una o varias ondas se ve modifica modificada da al encon encontrs trsee con alg´ un u n tipo de obstáculo. aculo. La onda onda de inte inter´ r´ es e s en este este infor informe me es la luz y su comport com portami amien ento to al pasar pasar por una rendij rendijaa doble. doble. Fue Thomas Young, en 1803, quien primero estudió dicho fen´ omeno, omeno, evidenciand evidenciandoo la naturaleza naturaleza ondulatoria ondulatoria de la luz [1]. Obtuvo un patrón o n como el de la figura 1: dicho patrón on se debe a que, al pasar una onda por las dos rendijas,las ondas resultantes interfieren entre s´ı, ı, tanto constructiva como destructivamente. Se observa una sucesión o n de máximos aximos y m´ınimos, cuya intensidad va disminuyendo a medida que n se va alejando de 0.

onda, pero al obtenerse el patrón on de interferencia, es decir, al momento de la detección, on, es detectada como part´ıcula ıcu la (fot´ (fot ón) on) [2]. El patrón on de difracción on se puede estudiar de manera sencilla con un diagrama como el de la figura 2:

Figura Figura 2. Diagra Diagrama ma de una onda onda pasand pasando o por una doble rendija. Tomada de [4]

Figura 1. Patr´ on on de difracci´ on de doble rendija. Tomada de on https://nustem.uk/activity/diffraction/attachment/ double-slit-diffraction-diagram/ .

Actualmente tambi´ en en se sabe que la luz se comporta como part´ıcula ıcula (fotón), on), lo cual significa que la luz presenta caracter´ısticas ısticas tanto de part´ıcula ıcula como onda, un fenómeno omeno que se halla en el corazón on de la Mecánica anica Cu´ antica: los resultados del experimento de doble rendiantica: ja indican que la luz al pasar por ésta esta se propaga como

La condición on para interferencia constructiva es que la diferencia de caminos δ caminos δ sea sea un múltiplo ultiplo de la longitud de onda λ onda λ ( (δ δ = nλ = nλ). ). Asumiendo que el punto P punto P se se encuentra a gran distancia de la rendija, se puede considerar a los dos rayos de luz r 1 y r 2 como paralelos, teniendo entoncesδ entonces δ ≈ r2 − r1 . Usando esto y la ley de los cosenos se puede llegar a la relación δ on δ = = dy/L dy/L,, lo cual finalmente da una fórmula ormula para la interferencia constructiva, es decir, los picos de intensidad en el patrón: on:

λ =

dy nL

(1)

Donde n son los valores ilustrados en la figura 1. La f´ ormula ormula 1 permite permite relaci relaciona onarr la λ con las distan distancia ciass medibles d medibles d,, y y L, permi tiendo as´ as´ı el cálculo alculo de la λ la λ de L , permitiendo

2 la luz incidente. Una forma de replicar (aproximadamente) un patrón de difracción de manera matemárica es usando el modelo de Fraunhofer. Al ser un modelo relativamente sencillo, no es del todo exacto, pero su fácil implementación lo hace una buena referencia para comparar con datos experimentales. Dicho modelo hace dos grandes suposiciones: que la luz llega a una rendija como una onda plana (esto implicar´ıa que la fuente estar´ıa a una distancia infinita de la rendija), y que el patrón de difracción se observa a una larga distancia desde la rendija [3]. Para el caso de una sola rendija, el patrón es dado por la ecuaci´ on 2, donde a es el ancho de las rendijas: I = I 0

πa λ πa λ

 sin(

sin θ) sin θ

2



(2)

El patró n de la doble rendija incluye un nuevo término, el cual incluye la distancia d entre rendijas (ecuaci´ on 3: I = I 0 cos

2

 πd  λ

sin θ

(3)

Se tiene entonces que para la doble rendija, el patrón de difracción estará definido por las dos contribuciones definidas anteriormente, de la siguiente manera: 2

I = I 0 cos

πa λ πa λ

 πd  sin( λ

sin θ

sin θ) sin θ

2



(4)

MONTAJE EXPERIMENTAL Instrumentaci´ on

El montaje principal consta de un interferómetro de doble rendija TeachSpin , el cual se puede ver en la figura 3:

Figura 3. Vista del montaje completo. Tomada de [4].

Este interferómetro incluye dos fuentes de luz (láser y bombillo), el canal donde ocurre la dispersió n y difracci´ on, y los detectores. Los outputs del experimento (voltajes/pulsos TTL) ser´ an medidos con un mult´ımetro/contador de frecuencias para medir los patrones de interferencia. En la configuraci´ on del láser se usará un fotodiodo como detector, y un fotomultiplicador en el caso del bombillo.

Figura 4. Esquema del interfer´ ometro y sus componentes principales. Tomada de [5].

Removiendo la tapa superior del canal, y con el montaje orientado como en el esquema 4, se tiene de izquierda a derecha: un bombillo con un filtro verde removible (genera luz a λ = 546 ± 5nm), el láser de λ = 670 ± 5nm, un soporte para la rendija colimadora, un soporte para la doble rendija, uno para la rendija bloqueadora acoplado a un micr´ ometro, uno para la rendija detectora (también acoplada a un micrómetro) y el módulo de detección. Dicho módulo cuenta con dos detectores y un obturador, con el cual se escoge qué detector se quiere usar. Con el obturador abierto (cilindro arriba), se mide con el tubo fotomultiplicador; con el obturador cerrado (cilindro abajo) se mide con el fotodiodo. El fotomultiplicador convierte la se˜ nal de fotones detectados en señales TTL que se leen con un contador de frecuencia TTi, el cual indica el número de fotones incidentes en el detector por segundo. El fotodiodo convierte la señal de los fotones en un voltaje que se mide con ayuda de un volt´ımetro, lo cual es equivalente a medir intensidad pues estas cantidades son directamente proporcionales (cuanto más fotones golpean mayor es el voltaje). El módulo de detección y el módulo fuente se pueden ver en la figura 5: El módulo de detección tiene salidas de ambos detectores para poder medir sus outputs . También cuenta con un módulo de alto voltaje, el cual solo es necesario para operar el fotomultiplicador. Adicionalmente se encuentra conectado al módulo fuente para la alimentació n de poder y la alarma, la cual se activará si el tubo fotomultiplicador est´ a cerca a dañarse. En el módulo fuente se encuentra un interruptor que permite cambiar la fuente de luz entre el láser, el bombillo, o ninguna (apagado). La intensidad del bombillo puede ser cambiada usando la perilla que se encuentra

3 arriba de dicho interruptor.

Se conecta el aparato a la fuente de poder y se retira la cobertura (tapa) de aluminio. Se alinea manualmente el láser de tal forma que su luz llegue con la mayor intensidad posible a donde se encuentra el detector. Ahora, esta vez de derecha a izquierda (del detector a la fuente de luz), se agregan las rendijas (todas en forma vertical) en el siguiente orden: Se coloca una rendija simple en el espacio para la rendija detectora. Se coloca la rendija ancha y se ajusta el micrómetro acoplado a unos 5mm (la mitad de su rango). Se debe verificar que se obtiene una banda rectangular de luz a la altura del detector.

Figura 5. Vista de los dos m´ odulos. Arriba: M´ odulo de detecci´ on. Abajo: m´ odulo fuente. Tomada de [5].

Calibraci´ on

Para calibrar correctamente el sistema, es importante identificar las rendijas que se van a utilizar: hay tres rendijas dobles marcadas con los números 14, 16 y 18, los cuales corresponden a una separación del centro de las rendijas (d en el diagrama 2) de 0.356mm, 0.406mm y 0.457mm respectivamente. Adicionalmente deben haber tres rendijas sencillas: dos del mismo ancho y una más ancha. En la figura 6 se tienen dos ejemplos de estas rendijas:

Se ubica una de las tres rendijas dobles. El fabricante provee tarjetas de cart´ o n en forma de ”T”para verificar cómo llega la luz a cada punto del interferómetro, as´ı que usando una de ellas se verifica que la luz pasa por las dos rendijas de manera individual (se observan dos l´ıneas verticales). De no ser este el caso, se mueve el micrómetro de la rendija bloqueadora hasta observarlas. A continuaci´ on se coloca la rendija sencilla restante en el lugar para la rendija colimadora. Se mueve de forma horizontal para asegurarse de que la luz del l´ aser pase por ésta y además llega con intensidad a la doble rendija. Finalmente, se verifica que se puede lograr que la luz pase por alguna de las dos rendijas de, por ambas o por ninguna. Esto se hace moviendo la rendija bloqueadora con el micr´ ometro. Procedimiento

Se realizaron dos experimentos: Experimento 1 - Patr´ on de interferencia con l´ aser

Figura 6. Rendijas. Izquierda: rendija sencilla ancha. Derecha: rendija doble. Tomada de [5].

A continuaci´ on se describirá el proceso de calibraci´ on del interferómetro usando el láser. El proceso con el bombillo es análogo. Antes de empezar, se debe asegurar que el alto voltaje está apagado y el obturador del detector cerrado (cilindro abajo).

Con el montaje calibrado, se mide el patró n de interferencia del láser. En esta configuraci´ o n, solo la porció n de la luz que pase por la rendija detectora llegar´ a al detector, por lo tanto se puede estudiar el patr´ o n de difracción secci´ o n por secci´ on moviendo dicha rendija con ayuda del micrómetro acoplado a su base. Se quiere ver el patrón de interferencia del láser a trav´ es de la rendija izquierda, la derecha, y el patr´ on doble usando ambas rendijas al tiempo. Se puede cerciorar que la luz efectivamente pasa por una rendija

4 o ambas poniendo una tarjeta T justo después de la rendija doble y viendo el patrón. Antes de tomar los datos, se coloca de nuevo la cubierta, y se conecta el cable que sale del obturador a la entrada del fotodiodo (el obturador debe estar cerrado, es decir, con el cilindro abajo). Se medirá el voltaje que arroja el detector en funci´ o n de la distancia medida desde la rendija detectora: Se recomienda medir de 10mm a 0mm en el micr´ ometro de dicha rendija en pasos de 0.1-0.2mm. Se mide voltaje vs. distancia para las tres configuraciones (rendija izquierda, rendija derecha, ambas rendijas).

des medidas con las fuentes de luz apagadas) a todos los datos en y. Los offsets hallados fueron 9mV para los voltajes y 3 conteos/s para el bombillo. Experimento 1

Para el caso de doble rendija se obtuvieron los resultados observados en la figura 7:

Experimento 2 - Medici´ o n con un fot´ o n a la vez

Ahora se usará el bombillo como fuente de luz. Se remueve la tapa y se mueve el láser para dejar pasar la luz del bombillo. Se remueve el filtro verde de éste y se enciende ajustando su intensidad con la perilla. Se realiza la alineación de manera análoga al caso del láser (basta con cerciorarse de que la luz pasa por la rendija doble y que la rendija bloqueadora cumple su función). Después de haber hecho esto se vuelve a colocar el filtro. Se vuelve a colocar la tapa, y solo despu´ es de asegurarse de que ésta est´ e bien colocada y no hayan filtraciones de luz al montaje se puede levantar el obturador para medir con el fotomultiplicador (este detector es muy sensible y se puede dañar muy fácilmente al exponerse a fuentes de luz, por eso solo se puede utilizar con la tapa puesta). Se ajusta el high voltage a unos 600V, y se procede a medir los pulsos TTL, los cuales son el output del fotomultiplicador. Esto se hace conectando el contador de frecuencias a la salida del módulo photomultiplier . Se sigue entonces la misma dinámica que el experimento anterior, solo que esta vez se mide conteos/s vs. distancia medida en el micrómetro de la rendija detectora. ´ RESULTADOS Y ANALISIS

Se utiliz´ o la doble rendija de d = 0,457mm para todos los experimentos. Se tomaron datos de distancia de desplazamiento de la rendija detectora, de 10mm a 0mm en pasos de 0.2mm. Estas distancias se convirtieron en radianes mediante la relación tan θ = y/L. Todas las gráficas presentan barras de error que corresponden a la incertidumbre de las mediciones de V , conteos/s y y (equivalente a θ). Todas las gráficas generadas a partir de los datos experimentales son comparados con el modelo de Fraunhofer, calculado usando la ecuación 4 y las λ del láser y el bombillo reportados por el fabricante: λ laser = 670 ± 5nm, λbombillo = 546 ± 5nm. Los valores de I 0 fueron ajustados manualmente, usando las intensidades máximas observadas en cada experimento . Finalmente, se restó el offset o background (intensida-

Figura 7. Patr´ on de interferencia para el l´ aser (doble rendi ja).

A primera vista se puede apreciar tanto el alcance como las limitaciones del modelo teórico de Fraunhofer: la distribuci´ on de los m´ınimos y máximos de intensidad son correctamente reproducidos por el modelo, pero a medida que los órdenes de difracción n aumentan o disminuyen, la intensidad de los máximos y m´ınimos es menor a las que indican los datos. En primera instancia, este modelo nos permite visualizar que los datos tomados efectivamente s´ı presentan un patrón de doble rendija, corroborando la validez del experimento. Teniendo y como la distancia entre el máximo central y los demás, se calculó la λ experimental de acuerdo con la ecuación 1 (se promedió entre cada λ calculado correspondiente a cada n disponible). Se halló el valor de λlaser(exp) = 677,39 ± 10,42nm. La incertidumbre se calcul´ o con la teor´ıa de propagació n de error. Comparando este valor con el valor teórico (reportado por el fabricante) de λlaser(teorico) = 670 ± 5nm, lo cual da un error relativo del 1.1 %. Considerando esto es es posible afirmar que el valor calculado se aproxima razonablemente al valor te´ orico, una vez m´ as dando validez a los datos obtenidos. Los patrones obtenidos para el caso de una sola rendija (izquierda y derecha) se muestran en las figuras 8 y 9 respectivamente:

5 Experimento 2

Para el caso del bombillo, como se med´ıan conteos por segundo, un valor mucho más volátil que los voltajes del experimento anterior, para cada distancia (ángulo) se tomaron 5 conteos y se promediaron. Se obtuvieron los resultados mostrados en la figura 10:

Figura 8. Patr´ on de interferencia para el l´ aser (rendija izquierda).

Figura 10. Patr´ on de interferencia para el bombillo (doble rendija).

Figura 9. Patr´ on de interferencia para el láser (rendija derecha).

En este caso se tiene un único pico, pues no hay una doble rendija que divida el camino de la onda original. Se puede apreciar c´ o mo el modelo de Fraunhofer tambi´ en se acerca a los datos, pero esta vez falla en reproducir la amplitud del pico. Este experimento permite observar la naturaleza ondulatoria de la luz, pues, como se discuti´ o anteriormente, el fen´ o meno de difracción/interferencia responsable de los patrones observados es inherente a las ondas.

De nuevo se observa c´ omo el modelo Fraunhofer acierta en varios aspectos pero falla en otros. Se calculó la longitud de onda de manera análoga al experimento 1 y se obtuvo λbombillo(exp) = 572,39 ± 11,64nm. El valor λbombillo(teorico) = 546 ± 5nm da un error relativo del 4.8 %. En este caso, el error fue mayor, y teniendo en cuenta el valor de la incertidumbre de la λ experimental, es claro que el valor teórico no entra en el rango del valor calculado. Esta discrepancia se debe principalmente al factor de conteos por segundo, un valor que pod´ıa variar drásticamente para un mismo valor de distancia (´ angulo). Se trat´ o de mitigar este efecto tomando varios datos y promediándose, pero un promedio de 5 valores no fue suficiente. Una toma de datos más rigurosa hubiera permitido obtener un patr´ on más correcto. A pesar de esto, la comparación con el modelo Fraunhofer permite afirmar que s´ı se obtuvo un patrón de difracción de doble rendija. Estos resultados tambi´ en permitieron observar la naturaleza corpuscular de la luz satisfactoriamente. Un argumento a favor de esta afirmación es el siguiente: Durante el experimento se observó un conteo promedio de unos 50 conteos/s. Teniendo en cuenta que la eficiencia del detector (el porcentaje de fotones recibidos convertidos en se˜ n ales) es de un 4 %, realmente se tiene que en promedio cada segundo llegan al detector unos 1000 fotones. Esto indica que el tiempo de vuelo

6 promedio de cada fotón ser´ıa de unos 1000ns (de un extremo del interferómetro al otro, el cual mide casi 1m), pero un fotón viajando a la velocidad de la luz se tarda unos 3ns en viajar dicha distancia, es decir: En promedio se tiene que hay un fotón viajando del bombillo al detector 3ns de cada 1000ns. Esta gran diferencia entre el tiempo de vuelo detectado y el tiempo real del fotón indica que la gran mayor´ıa del tiempo (un 99.7 %), no se tiene ning´ un fotón en vuelo, y cuando s´ı se detectan fotones (un 0.3 % del tiempo) solo viaja un fotón a la vez. De esta forma se tiene que se en este experimento se estudió el comportamiento de fotones individuales, pasando uno a la vez por cada rendija.

Este resultado es supremamente interesante, pues teniendo fotones individuales pasando por la doble rendija, se tiene un patrón de interferencia propio de las ondas. Se observó as´ı, efectivamente, la dualidad onda-part´ıcula que presenta la luz.

Como comentario final, se hubiera deseado comparar las intensidades en máximos y m´ınimos para el caso de una rendija abierta (izquierda y derecha) y las dos rendijas abiertas pues, por ejemplo, se sabe que la relación entre máximos de intensidad para casos de una y dos rendijas es del orden de 1:4 [5]. Esta comparación no es posible en este caso pues el montaje fue alterado entre tomas de datos, lo cual no asegura que las condiciones para la toma de intensidades de los patrones de la rendija izquierda, derecha y ambas se hayan mantenido iguales. Es f´ acil ver que efectivamente las condiciones se vieron afectadas, pues el máximo de intensidad para la rendija izquierda es del orden de 200mV y 400mV para la derecha, una diferencia del doble cuando en realidad estos valores deber´ıan ser mucho más cercanos entre s´ı.

CONCLUSIONES

Se observó que la naturaleza ondulatoria de la luz. Los patrones de interferencia para rendijas dobles y sencillas fueron hallados, y se corrobor´ o su validez compar´ andose con un modelo sencillo pero ilustrativo, el modelo Fraunhofer. Se calcularon cantidades f´ısicas de interés (λlaser y λbombillo ), y aunque la segunda no se acercó lo suficiente al valor teórico, s´ı se puede afirmar que en el caso del láser esta cantidad es un indicativo m´ a s de la veracidad de los datos. Este resultado tambi´ en demuestra el alcance y la utilidad de un aná lisis de doble rendija, pues a partir de cantidades f´ısicas fácilmente medibles (distancias) se puede calcular la longitud de onda de la luz incidente, lo cual claramente tiene aplicación al estudiar fuentes de luz visible, y radiaci´ on electromagnética en general. Se observó el comportamiento de la luz como part´ıcula al poder detectar el patrón de difracción generado por fotones individuales pasando por la doble rendija. Se pudo justificar que efectivamente se estaban observando fotones individuales al analizar el tiempo de vuelo indicado por el detector y el tiempo que un fotón realmente tarda en llegar desde la fuente hasta el detector. Todos estos resultados permiten finalmente concluir que la luz presenta una dualidad onda-part´ıcula.

BIBLIOGRAF´ IA

[1] Heavens, O. S., Ditchburn, R. W. (1991). Insight into Optics . John Wiley Sons. ISBN 978-0-471-92769-3. [2] Feynman, R. (1985) QED; The Strange Theory of Light and Matter . Princeton University Press. ISBN 978-1-40084746-4. [3] Born M., Wolf E. (1999). Principles of Optics . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-64222-4. [4] Universidad de los Andes. Gu´ıa de Laboratorio Avanzado - Dualidad onda part´ıcula: Experimento de doble rendija . [5] Inc. David A. Van Baak; TeachSpin (2013). Two-slit interference one photon at a time The Essential Quantum Paradox, instruction manual, tws1-a. Online, 2495 Main Street Suite 409 Buffalo NY.

Experimento doble rendija

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