LISTA DE EXERCÍCIOS 1 1.1
Sistemas de Equações O valor de x que é solução, nos números reais, da equação
☺ a) 36 b) 44 c) Solução: Fazendo o Mínimo Múltiplo Comum entre 2, 3, 4 e 48
24 + 16 + 12 x = 48 48
52
1 1 1 x + + = é igual a: 2 3 4 48 d)
60
e)
68
Logo
24 + 16 + 12 = x x = 52
Num sítio existem 21 bichos, entre patos e cachorros. Sendo 54 o total de pés desses bichos, calcule a diferença entre o número de patos e o número de cachorros. b) c) d) e) 8 7 6 5 ☺ a) 9 Solução:
1.2
Os patos ( P ) têm 2 pés e os cachorros ( C ) têm 4 pés, então:
( P ⋅ 2 ) + ( C ⋅ 4 ) = 54 Somando o número de patos e de cachorros temos:
Substituindo o número de cachorros na segunda equação:
P + C = 21∴ P = 21 − C
P = 21 − C ∴ P = 21 − 6 ∴ P = 15
Substituindo uma equação na outra:
A diferença entre o número de patos e cachorros é, portanto:
( 21 − C ) ⋅ 2 + ( C ⋅ 4 ) = 54 42 − 2 ⋅ C + 4 ⋅ C = 54 4 ⋅ C − 2 ⋅ C = 54 − 42 12 2 ⋅ C = 12 ∴ C = ∴ C = 6 2
1.3
D = P − C ∴ D = 15 − 6 ∴ D = 9
Se eu leio 5 páginas por dia de um livro, eu termino de ler 16 dias antes do que se eu estivesse lendo 3 páginas por dia. Quantas páginas têm o livro? a) b) c) d) e) 100 120 140 160 180 Substituindo uma equação na outra:
Solução:
ppd: páginas por dia ndd: número de dias npl: número de páginas do livro Modelando as equações que descrevem o problema:
3 ⋅ ppd ⋅ ( ndd + 16 ) = 5 ⋅ ppd ⋅ ndd 3 ⋅ ppd ⋅ ndd + 48 = 5 ⋅ ppd ⋅ ndd 5 ⋅ ppd ⋅ ndd − 3 ⋅ ppd ⋅ ndd = 48 48 ppd ⋅ ndd = ∴ ppd ⋅ ndd = 24 2 Substituindo na equação 5 ⋅ ppd ⋅ ndd = npl :
5 ⋅ ppd ⋅ ndd = npl
npl = 5 ⋅ 24 ∴ npl = 120
3 ⋅ ppd ⋅ ( ndd + 16 ) = npl
Testando a solução:
120 120 − = 16 5 3
Patric Schürhaus
2
LISTA DE EXERCÍCIOS 1.4
Se um retângulo possui o comprimento igual ao quíntuplo da largura e a área é igual a 80 cm², quais são as medidas de seus lados? a) b) c) d) 5 e 15 cm e) 6 e 18 cm 8 e 12 cm 3 e 19 cm 4 e 20 cm
Solução: O comprimento igual ao quíntuplo da largura: C = 5 ⋅ L A área é igual a 80 cm²: A = 80 cm 2 Sabemos que a área de um retângulo é dada por: A = C ⋅ L então 80 cm 2 = ( 5 ⋅ L ) ⋅ ( L )
80 cm 2 80 cm 2 ∴L = ∴ L = 16 cm 2 ∴ L = 4 cm 5 5 Substituindo L = 4 cm em C = 5 ⋅ L teremos: C = 5 ⋅ 4 cm ∴ C = 20 cm 5 ⋅ L2 = 80 cm 2 ∴ L2 =
1.5
A razão entre dois números é 3/8. Se a soma do maior com o dobro do menor é 42, quanto vale o maior dos números? a) b) c) d) e) 21 26 28 30 24
Solução:
x 3 = y 8 Com isso, o maior é y e o menor é x. A soma do maior com o dobro do menor é 42, em matemática, se escreve assim:
y + 2 ⋅ x = 42 Mas, da primeira equação temos:
3⋅ y = 8⋅ x 8⋅ x y= 3 Substituindo na segunda equação:
8⋅ x + 2 ⋅ x = 42 3
1.6
1.7
1.8
1.9
O Mínimo Múltiplo Comum é 3, então, multiplicando a equação por 3 temos:
8⋅ x 3 ⋅ + 3 ⋅ ( 2 ⋅ x ) = 3 ⋅ ( 42 ) 3 8 ⋅ x + 6 ⋅ x = 126 14 ⋅ x = 126 126 x= =9 14 Substituindo o valor de x em y =
y=
8⋅ x 3
8⋅9 = 24 3
Testando a solução:
24 + 2 ⋅ 9 = 42
Calcular a fração equivalente a 5/7 cuja soma dos termos seja igual a 60 a) 52/53 b) 25/35 c) 10/14 d) 12/60
e)
7/30
A razão entre as medidas dos lados de dois quadrados é 1:3. Qual é a razão entre as áreas desses dois quadrados? a) 2:5 b) 1:7 c) 1:9 d) 2:8 e) 3:7
Um dos lados de um retângulo mede 10 cm. Qual deve ser a medida do outro lado para que a área deste retângulo seja equivalente à área do retângulo cujos lados medem 9 cm e 12 cm? a) 9,8 cm b) 10,8 cm c) 11,8 cm d) 12,8 cm e) 13,8 cm
Há 18 anos Hélio tinha 3 vezes a idade do filho, agora tem 2 vezes essa idade. Qual a idade do filho e de Hélio? a) 26 b) 29 c) 32 d) 36 e) 39
Patric Schürhaus
3
LISTA DE EXERCÍCIOS 1.10
Que número devemos somar ao numerador e denominador da fração 2/3 para que tenha um aumento de 20%? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Patric Schürhaus
4
LISTA DE EXERCÍCIOS 2 2.1
Trigonometria: triângulo retângulo O lado de um triângulo equilátero T1 mede 10 cm. Qual deve ser a medida do lado de um outro triângulo equilátero T2 que possui o quádruplo da área de T1? a) 20 cm b) 2 cm c) 10 cm d) 12 cm e) 5 cm
Solução numérica: Primeiramente, calculemos h1:
h1 = 10 cm ⋅ sen 60 = 10 ⋅
3 cm 2
Agora, calculemos a área de T1:
Substituindo:
3 AT 1 = b1 ⋅ h1 = ( 5 cm ) ⋅ 10 ⋅ cm = 25 ⋅ 3 cm 2 2
3 AT 2 = b2 ⋅ 2 ⋅ b2 ⋅ 2
Em seguida, calculemos a área de T2, sabendo que é o quádruplo da área de T1
2 ⋅ b22 ⋅
AT 2 = 4 ⋅ 25 ⋅ 3 cm 2 = 100 ⋅ 3 cm 2 Por analogia:
AT 2 = b2 ⋅ h2 3 h2 = L2 ⋅ sen 60 = ( 2 ⋅ b2 ) ⋅ cm 2
3 = 100 ⋅ 3 cm 2 ∴ b22 ⋅ 3 = 100 ⋅ 3 cm 2 2
b22 = 100 cm 2 ∴ b2 = 100 cm 2 ∴ b2 = 10 cm Como L2 = 2 ⋅ b2 então
L2 = 2 ⋅10 cm ∴ L2 = 20 cm
Solução gráfica: Outra maneira de resolver este problema seria graficamente, montando 4 triângulos T1 segundo a disposição ilustrada ao lado.
Patric Schürhaus
5
LISTA DE EXERCÍCIOS Qual é a razão entre as áreas de dois triângulos equiláteros, sabendo–se que um deles está inscrito em uma circunferência de raio 6 cm e o outro circunscrito na mesma circunferência? a) 1:8 b) 2:3 c) 3:4 d) 1:4 e) 4:5
2.2
Solução:
A área do triângulo circunscrito pode ser calculada por:
A figura que ilustra o problema enunciado é a seguinte:
A=
a⋅h a+b+c = r ⋅ s onde s = 2 2 36 cm ⋅18 cm 3 AC = = 187, 06 cm 2 2 Agora, vamos calcular a área do triângulo inscrito:
O ponto de interseção das três medianas é o baricentro ou centro de gravidade do triângulo. O baricentro divide a mediana em dois segmentos. O segmento que une o vértice ao baricentro vale o dobro do segmento que une o baricentro ao lado oposto deste vértice.
Para isto, vamos calcular a2:
h2 9 cm 18 = = cm sen 60° 3 3 2 18 cm ⋅ 9 cm a2 ⋅ h2 3 AI = = = 46, 77 cm 2 2 2 Finalmente, dividindo AC por AI : a2 =
Conhecendo h, podemos calcular a:
a=
h 18 cm 36 = = cm sen 60° 3 3 2
AC 187, 06 cm 2 = =4 AI 46, 77 cm 2
ABC é um triângulo retângulo com ângulo reto em C. Se AB = 15 cm e BC = 9 cm , qual é a área do
2.3
quadrado de lado AC ? a) 44 cm² b)
154 cm²
c)
24 cm²
d)
14 cm²
e)
144 cm²
Solução: Pelo teorema de Pitágoras 2
2
AB = AC + BC 2
2
AC = AB − BC
2
AC = 152 − 92 = 225 − 81 ∴ AC = 144 A área do quadrado de lado AC será: A = AC
2 2
A = 144 Patric Schürhaus
= 144 cm 2 6
LISTA DE EXERCÍCIOS
Calcule o perímetro do triângulo retângulo ilustrado
2.4
sabendo que cos β =
19 cm
a) Solução:
3 5
24,7 cm
b)
26 cm
c)
d)
24 cm
e)
26,7 cm
Pelo teorema de Pitágoras:
Cateto Adjacente cos β = Hipotenusa c 3 c cos β = então = 10 5 10 30 5 ⋅ c = 30 ∴ c = ∴ c = 6 cm 5
10 2 = c 2 + b 2 b = 10 2 − c 2 = 10 2 − 62 ∴ b = 8 cm Então, o perímetro vale:
P = 10 cm + 6 cm + 8 cm = 24 cm
Considere a figura ao lado, na qual:
2.5
•
o segmento de reta AB é tangente à circunferência α em A;
•
o segmento de reta AC é um diâmetro da circunferência α;
o comprimento do segmento de reta AB é igual à metade do comprimento da circunferência α. Então a área do triângulo ABC dividida pela área de α é igual a: •
a)
1 2
2 3
b)
c)
d)
1
4 3
e)
5 3
Solução: Como AB é tangente a α em A, então o triângulo BAC é retângulo em A. Logo, sua área é S ∆ =
1 ⋅ AB ⋅ AC 2
O segmento de reta AC é um diâmetro da circunferência α. Sabemos que ∅ = 2 ⋅ π ⋅ r então, AC = 2 ⋅ π O comprimento do segmento de reta AB é igual à metade do comprimento da circunferência α. Sabemos que o comprimento (ou perímetro) de uma circunferência é P = 2 ⋅ π ⋅ r então AB = π ⋅ r Sabemos que a área de uma circunferência é S∅ =
π ⋅∅ 2 4
ou S∅ = π ⋅ r 2
Agora basta dividir a área do triângulo S ∆ pela área da circunferência S∅
1 1 ⋅ (π ⋅ r ) ⋅ 2 ⋅ r ⋅ AB ⋅ AC S∆ 2 1⋅ π ⋅ r ⋅ r π ⋅ r 2 2 = = = = =1 π ⋅ r2 π ⋅ r2 S∅ π ⋅ r2 π ⋅ r2
(
2.6
)
A sombra de uma árvore mede 4,5m. A mesma hora, a sombra de um bastão de 0,6m, mantido na vertical, mede 0,4m. A altura da árvore é: a) 1,33m b) 6,75m c) 4,8m d) 5m e) 3m
Patric Schürhaus
7
LISTA DE EXERCÍCIOS 2.7
2.8
Um avião levanta vôo sob um ângulo de 20° em relação ao solo. Após 2000m em linha reta, a altura do avião será de aproximadamente: a) 1880 b) 1720 c) 1000 d) 728 e) 684
A frente de uma casa tem a forma de um quadrado com um triângulo retângulo isósceles em cima. Se um dos catetos do triângulo mede 7 metros, qual é a área frontal desta casa? a) 77/2 m² b) 37/2 m² c) 73/3 m² d) 47/2 m² e) 27/3 m²
Patric Schürhaus
8
LISTA DE EXERCÍCIOS 3 3.1
☺
Dimensões e unidades De acordo com o Comitê Internacional de Pesos e Medidas, o litro é, aproximadamente, o volume equivalente a um decímetro cúbico, ou seja: 1 litro = 1,000027 dm3. Porém, para todas as aplicações práticas, simples, podemos definir: 1 litro = 1 dm3. Além do litro, a unidade mais usado é o mililitro (ml), principalmente para medir pequenos volumes. Expressar 250 ml em cm3. a) 25 cm3 b) 250 cm3 c) 2500 cm3 d) 2,5 cm3 e) 250.000 cm3
Solução:
1 litro = 1000 ml e 1 dm = 10 cm, portanto: 1000 ml = 103 cm3 250 ml
3.2
☺
=
x=
103 cm3 ⋅ 250 ml = 250 cm 3 1000 ml
x cm3
Uma indústria farmacêutica fabrica 1.400 litros de uma vacina que devem ser colocados em ampolas de 35 cm3 cada uma. Quantas ampolas serão obtidas com essa quantidade de vacina? a) 40.000 b) 20.000 c) 30.000 d) 35.000 e) 45.000
Solução:
1 litro = 1.000 cm³, portanto
3.3
1.400 ⋅1.000 cm3 35 cm3
= 40.000 ampolas
A polegada milesimal é convertida em polegada fracionária quando se multiplica a medida expressa em milésimo por uma das divisões da polegada, que passa a ser o denominador da polegada fracionária resultante. Converter 0,750 in em polegada fracionária. a) 1/4 b) 3/16 c) 3/8 d) 3/4 e) 7/8
Solução: 8
4
0, 750 128 96 12 3 × = = = 8 4 1 128 128 4 16 3.4
☺
Quanto pesa 1 kg de água no Sistema Internacional de unidades; a) 981 kgf b) 0,981 N c) 1000 g d)
9,81 lbf
e)
9,81 N
Solução: O peso da água pode ser calculado por P = m ⋅ g , onde g é a aceleração da gravidade que, ao nível do mar, vale
g = 9,81
m . Então: s2
P = m ⋅ g = 1 kg ⋅ 9,81
m = 9,81 N s2
Um relógio digital marca 19:57:33. Qual o número mínimo de segundos que devem passar até que se alterem todos os algarismos? a) b) c) d) e) 187 147 127 167 179 ☺ Solução: 2 minutos equivalem a 120 segundos. Somando com os Todos os algarismos estarão alterados quando os dígitos 27 segundos restantes teremos: da hora mudarem de 19 para 20. Para que isto aconteça 120 + 27 = 147 segundos faltam 2 minutos e 27 segundos.
3.5
Patric Schürhaus
9
LISTA DE EXERCÍCIOS 2
3.6
Um corpo pesa 1000 lbf quando exposto à gravidade padrão da Terra g = 32,174 ft / s . Qual é a sua massa em kg? a) 45,36 kg b) 0,454 kg c) 453,6 kg d) 4536 kg e) 4,54 kg
Vamos utilizar a mesma fórmula da força peso: P = m ⋅ g , onde P = 1000 lbf Porém, assim como no SI N = Inglês lbf =
kg ⋅ m , no Sistema s2
slug ⋅ ft , ou seja, o slug é a unidade de s2
massa do Sistema Inglês.
3.7
slug ⋅ ft ft = m ⋅ 32,174 2 2 s s slug ⋅ ft 1000 2 s 2 = 1000 slug ⋅ ft ⋅ s = 31, 08 slug m= ft 32,174 s 2 ft 32,174 2 s Lembrando que 1 slug = 14, 6 kg kg m = 31, 08 slug ⋅14, 6 = 453, 6 kg slug 1000
Solução:
Você vai ao posto de combustíveis e calibra os pneus do seu carro com 26 lbf / in² (26 PSI). Quanto é esta pressão em Pa? a) 26 bar b) 179263,7 Pa c) 160 kPa d) 160 Pa e) 179,3 Pa
Solução:
slug ⋅ ft 2 lbf slug ⋅ ft 26 2 = 26 s 2 = 26 2 2 in in s ⋅ in Agora, devemos lembra que Pa =
p = 26
3.8
slug ⋅ ft s 2 ⋅ in 2
Se x = a)
⋅14, 6
N kg ⋅ m kg ⋅ m e que N = , portanto Pa = 2 2 2 m s s ⋅ m2
kg m in 2 kg ⋅ m ⋅ 0, 3048 ⋅ 39,37 2 2 = 179263, 7 2 2 = 179263, 7 Pa m s ⋅m slug ft
1 ft − 22, 225 mm , quanto vale x em polegada fracionária? 4 3 3 1 2 in 2 in 2 in b) c) d) 32 16 8
2
1 in 16
e)
7 2 in 8
Solução:
1 ft em milímetro: 4 1 in mm ft ⋅12 = 3 in ⋅ 25,4 = 76, 2 mm 4 ft in
Subtraindo o a parte inteira, 2 in, sobram 0,125 in para serem convertidas em polegadas fracionárias
Agora, vamos resolver x em mm
E, como ainda temos 2 in que foram subtraídas anteriormente, elas devem ser adicionadas para se obter a resposta final, ou seja:
Primeiro vamos converter
x = 76, 2 mm − 22, 225 mm = 53, 975 mm Em seguida, vamos converter x em polegadas:
1 in x = 53,975 mm ⋅ = 2,125 in 25, 4 mm
Patric Schürhaus
16
0,125 128 16 1 ⋅ = = in 16 1 128 128 8
1 1 x = ft − 22, 225 mm = 2 in 4 8
10
LISTA DE EXERCÍCIOS
3.9
Qual a massa do tubo ilustrado que tem espessura da parede de 3,05 mm e é de aço inoxidável AISI 304, cuja massa específica vale 8, 03
a)
2,68 kg
b)
g ? cm3 28,6 kg
2,86 kg
c)
Solução: Como a massa específica foi dada em g / cm³ então, vamos converter todas as unidades para cm:
cm ∅ INT = 3 in ⋅ 2,54 = 7, 62 cm in 1 cm ∅ EXT = 7, 62 cm + 2 ⋅ 3, 05 mm ⋅ = 7, 01 cm 10 mm cm L = 4 ft ⋅ 30, 48 = 121, 92 cm ft
A= A=
d)
0,286 kg
π ⋅ ( ∅ EXT − ∅ INT )
e)
0,237 kg
2
4
π ⋅ ( 7, 62 − 7, 01)
2
= 0, 2922 cm 2
4
∀ = A⋅ L ∀ = 0, 2922 cm 2 ⋅121,92 cm 2 = 35, 6307 cm3 m ρ = ∴ m = ρ ⋅∀ ∀ g m = 35, 6307 cm3 ⋅ 8, 03 = 286,1 g cm 3
Um reservatório tem 1,2 m de largura, 1,5 m de comprimento e 1 m de altura. Para conter 1.260 litros de água, esta deve atingir a altura de: a) b) c) d) e) 700 cm 0,07 m 7m 0,7 dm 70 cm Agora, vamos calcular a altura: Solução: ∀ = largura ⋅ comprimento ⋅ altura Lembrando que: 1 L = 1 dm3
3.10
altura = Vamos converter dm³ em cm³:
1 dm
=
13 dm3
= 103 cm3
10 cm
altura =
Então: 3
1260 L = 1260 ⋅10 cm
altura =
3
∀ largura ⋅ comprimento
1260 ⋅103 cm3 cm cm 1, 2 m ⋅100 ⋅1,5 m ⋅100 m m 1260 × 103 cm 3 18 × 103 cm3
= 70 cm
3.11 Quanto vale 28°C em Fahrenheit? a)
301,15 °F
b)
82,4 °F
c)
542,07 °F
d)
24,8 °F
e)
84,2 °F
Solução: Vamos utilizar a equação de conversão F =
3.12
9⋅C 9 ⋅ 28 + 32 = + 32 = 82, 4 °F 5 5
Um tubo de aço Ø6” tem diâmetro externo 168,3 mm e parede de ¼”. Se a massa específica do aço é 8780 kg/m³ e o preço do aço é de R$ 3,80 por kg, quanto custa um metro linear deste tubo? a) R$ 77,80 b) R$ 87,80 c) R$ 97,80 d) R$ 107,80 e) R$ 117,80
Patric Schürhaus
11
LISTA DE EXERCÍCIOS 4
Equação do 2° grau
4.1
Raízes da equação Toda equação da forma a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c = 0 , em que a, b e c são números reais com a ≠ 0, é chamada de equação do 2° grau. Quando b = 0 ou c = 0, tem–se uma equação do 2° grau incompleta. As raízes das equações do 2° grau são dadas por: x =
4.2
−b ± ∆ onde ∆ = b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c 2⋅a
Vértice da parábola
A abscissa do vértice da parábola é dada por: xV = −
b 2⋅a
A ordenada do vértice da parábola é dada por: yV = −
∆ 4⋅a
4.3
O retângulo ABCD tem área 105 cm². Qual a medida do lado do quadrado EFGC?
a)
3 cm
b)
4 cm
c)
5 cm
d)
6 cm
e)
7 cm
Solução: A área do retângulo é dada por:
Para uma equação do segundo grau existem duas soluções possíveis:
A = DC ⋅ BC onde: DC = 10 cm + EC e BC = 2 cm + GC
x1 =
Se EFGC é um quadrado, então EC = GC e, portanto:
(10 cm + EC ) ⋅ ( 2 cm + EC ) = 105 cm
2
2
10 ⋅ 2 + 10 ⋅ EC + EC ⋅ 2 + EC = 105 cm 2 2
x2 =
−12 + 122 − 4 ⋅1 ⋅ ( −85 ) 2 ⋅1 −12 − 122 − 4 ⋅1 ⋅ ( −85 ) 2 ⋅1
=5
= −17
O resultado x2 = – 17 cm será descartado por ser negativo, então vamos substituir x1 = 5 na equação
EC + 12 ⋅ EC − 85 = 0
(10 cm + EC ) ⋅ ( 2 cm + EC ) = 105 cm
A expressão resultante é uma equação do tipo a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c = 0 , ou seja, uma equação do segundo grau, cuja solução é dada por:
(10 + 5 ) ⋅ ( 2 + 5) = 105 cm 2
2
x=
−b ± b − 4 ⋅ a ⋅ c 2⋅a
Patric Schürhaus
2
Como a expressão acima é verdadeira, então o lado do quadrado EFGC vale 5 cm.
12
LISTA DE EXERCÍCIOS Um azulejista usou 2000 azulejos quadrados e iguais para revestir 45 m² de parede. Qual é a medida do lado de cada azulejo? a) b) c) d) e) 33,5 cm 35 cm 20 cm 12 cm 15 cm ☺ Solução: Vamos chamar de x ao lado do azulejo. Então Agora, vamos converter em cm para resultar numa x 2 ⋅ 2000 = 45 m 2 dimensão mais usual em construção civil: 2
4.4
x2 =
45 m 2000
45 m 2 x= = 0,15 m 2000
x = 0,15 m ⋅100
cm = 15 cm m
A área de um retângulo é de 64 cm². Nessas condições, determine as dimensões do retângulo sabendo que o comprimento mede ( x + 6 ) cm e a largura mede ( x – 6 ) cm. b) c) d) e) 9 × 3 cm 9 × 4 cm 10 × 4 cm 16 × 4 cm a) 10 × 3 cm Solução: C: comprimento = ( x + 6 ) cm L: largura = ( x – 6 ) cm A: área = 64 cm² Substituindo x nas equações de comprimento e largura: De posse disso, vamos lembrar que a área de um C = ( x + 6 ) cm = 10 cm + 6 cm = 16 cm retângulo é: A = C ⋅ L . Então:
4.5
64 = ( x + 6 ) ⋅ ( x − 6 )
L = ( x − 6 ) cm = 10 cm − 6 cm = 4 cm
64 = x 2 −6 ⋅ x +6 ⋅ x − 36 0 = x 2 − 36 − 64 x 2 = 100 ∴ x = 100 ∴ x = 10 cm O número –3 é a raiz da equação x 2 − 7 ⋅ x − 2 ⋅ c = 0 . Nessas condições, determine o valor do coeficiente c. b) c) d) e) 13 17 19 15 ☺ a) 11 Solução:
4.6
Se você multiplicar um número real x por ele mesmo e do resultado subtrair 14, você vai obter o quíntuplo do número x. Qual é esse número? b) c) d) e) –7 2 14 –2 a) 7 Solução:
4.7
Patric Schürhaus
13
LISTA DE EXERCÍCIOS 4.8
1 1 4 + = 2 9 3⋅ x 9⋅ x x1=4 e x2=3 b) x1=2 e x2=3
Resolver a equação
d) x1=1 e x2=2
a) c) x1=3 e x2=1 Solução: Vamos calcular o Mínimo Múltiplo Comum entre os denominadores: 9, 3·x² e 9·x
9 3 1 1 1
3·x² x² x² x 1
9·x 3·x x 1 1
÷3 ÷3 ÷x ÷x
Finalmente, vamos aplicar
x=
x=
−b ± b2 − 4 ⋅ a ⋅ c 2⋅a − ( −4 ) ±
Multiplicando: 3 ⋅ 3 ⋅ x ⋅ x = 9 ⋅ x 2 Portanto, o MMC é: 9 ⋅ x 2 Agora, vamos multiplicar o MMC por
1 1 4 + − =0 2 9 3⋅ x 9⋅ x
1 4 1 9 ⋅ x2 ⋅ + − =0 2 9 3⋅ x 9 ⋅ x 1⋅ 9 ⋅ x 2 1⋅ 9 ⋅ x 2 4 ⋅ 9 ⋅ x 2 9 ⋅ x 2 3 ⋅ 3 ⋅ x 2 4 ⋅ 9 ⋅ x ⋅ x + − = + − =0 9 3 ⋅ x2 9⋅ x 9 9⋅ x 3 ⋅ x2
e) x1=4 e x2=2
( −4 )
2
− 4 ⋅1 ⋅ 3
2 ⋅1
x1 =
4 + 16 − 12 4 + 4 4 + 2 6 = = = =3 2 2 2 2
x2 =
4 − 16 − 12 4 − 4 4 − 2 2 = = = =1 2 2 2 2
x2 + 3 − 4 ⋅ x = 0 → x2 − 4 ⋅ x + 3 = 0
4.9
O gráfico da função f ( x ) = x 2 + 3 ⋅ x − 10 intercepta o eixo das abscissas nos pontos A e B. A distância AB é igual a: a) b) c) d) e) –6 –5 3 2 7
x
f ( x ) = x 2 + 3 ⋅ x − 10
–6
−62 + 3 ⋅ ( −6 ) − 10 = 8
–5
−52 + 3 ⋅ ( −5) − 10 = 0
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3
–6 –10 –12 –12 –10 –6 0 8
A parábola intercepta o eixo x em –5 e 2. Portanto, a distância AB é 7.
Patric Schürhaus
14
LISTA DE EXERCÍCIOS Uma tela retangular com área de 9600 cm² tem de largura uma vez e meia o seu comprimento. Quais são as dimensões desta tela? a) b) c) d) e) 70 × 105 90 × 135 100 × 150 110 × 165 80 × 120 Solução: L = Largura da tela C = Comprimento da tela L = 1,5 ⋅ C Substituindo em L = 1,5 ⋅ C A área d tela será A = L ⋅ C , então L = 1,5 ⋅ 80 = 120
4.10
9600 = (1,5 ⋅ C ) ⋅ C C2 =
9600 1, 5
C=
9600 = 80 1,5
Esta tela tem as dimensões de 80 cm de altura, por 120 cm de largura
4.11 Quais são as raízes da equação x 2 − 14 ⋅ x + 48 = 0 ? b) c) 6e5 5e7 ☺ a) 4 e 6
Primeiro, vamos calcular ∆ = b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c 2
∆ = ( −14 ) − 4 ⋅ (1) ⋅ ( 48 ) ∆ = 196 − 192 = 4
6e8
Agora, apliquemos Bhaskara: x =
Solução:
4.12
d)
x1 =
− ( −14 ) + 4 14 + 2 = =8 2 ⋅1 2
x2 =
− ( −14 ) − 4 14 − 2 = =6 2 ⋅1 2
e)
8e9
−b ± ∆ 2⋅a
O produto da idade de Pedro pela idade de João é igual a 374. Pedro é 5 anos mais velho que João. Quantos anos tem cada um deles? a) b) c) d) e) 22 e 27 55 e 50 15 e 20 18 e 23 17 e 22
Solução:
Agora, apliquemos Bhaskara: x =
P = idade de Pedro J = idade de João
J1 =
− ( 5) + 1521 −5 + 39 = = 17 2 ⋅1 2 − ( 5 ) − 1521 −5 − 39 J2 = = = −22 2 ⋅1 2
P ⋅ J = 374 P = J +5 Substituindo uma equação na outra:
( J + 5) ⋅ J = 374 J 2 + 5 ⋅ J − 374 = 0
Como não existe idade negativa, J 2 será descartado. Com isso, João tem 17 anos. Agora, substituindo a idade de João na equação
2
Vamos calcular ∆ = b − 4 ⋅ a ⋅ c 2
−b ± ∆ 2⋅a
∆ = ( 5 ) − 4 ⋅ (1) ⋅ ( −374 ) ∆ = 25 + 1496 = 1521
P = J +5 P = 17 + 5 = 22 Ou seja, Pedro tem 22 anos. Testando a solução:
22 ⋅17 = 374
Patric Schürhaus
15
LISTA DE EXERCÍCIOS Comprei 4 pastéis a um certo valor unitário. Também comprei algumas coxinhas, com o mesmo preço 4.13 unitário, cuja quantidade comprada foi igual ao valor unitário de cada pastel. Paguei com duas notas de cem reais e recebi R$ 8,00 de troco. Qual o preço unitário de cada lanche? a) b) c) d) e) 8 9 10 11 12 Solução:
$ = preço de cada lanche
Agora, apliquemos Bhaskara: x =
A compra de 4 pastéis custará: 4 ⋅ P = 4 ⋅ $ A quantidade de coxinhas é igual ao preço do pastel, portanto: C = $ . E como a coxinha tem o mesmo preço do pastel, a compra de $ coxinhas custará: $ ⋅ $ O valor total pago foi de R$ 192, então
−b ± ∆ 2⋅a
$1 =
− ( 4 ) + 784 −4 + 28 = = 12 2 ⋅1 2
$2 =
− ( 4 ) − 784 −4 − 28 = = −16 2 ⋅1 2
Portanto o preço de cada lanche é $ = 12
4 ⋅ $ + $ ⋅ $ = 192 $2 + 4 ⋅ $ − 192 = 0
Testando a solução: Pastéis: 4 ⋅12 = 48 Coxinhas: 12 ⋅12 = 144
Vamos calcular ∆ = b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c 2
144 + 48 = 192
∆ = ( 4 ) − 4 ⋅ (1) ⋅ ( −192 ) ∆ = 16 + 768 = 784 2
4.14 Achar a raiz da equação ( 2 ⋅ x + 5 ) + 3 ⋅ x = 25 que seja diferente de 0.
−
a)
2 3
b)
−
23 4
c)
−
3 4
d)
3 4
e)
4 3
Solução:
( 2 ⋅ x + 5)
2
+ 3 ⋅ x = 25 2
Devemos reconhecer que ( 2 ⋅ x + 5 ) é um produto notável, ou seja, é o quadrado da soma de dois termos. Neste caso, a regra básica é: quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo.
( a + b)
2
= a2 + 2 ⋅ a ⋅ b + b2
Então:
(2 ⋅ x) quadrado do primeiro
2
2
+ 2 ⋅ ( 2 ⋅ x ⋅ 5 ) + ( 5 ) + 3 ⋅ x − 25 = 0 2 vezes o primeiro vezes o segundo
Vamos calcular ∆ = b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c 2
∆ = ( 23 ) − 4 ⋅ ( 4 ) ⋅ ( 0 ) ∆ = 529 Agora, apliquemos Bhaskara: x =
−b ± ∆ 2⋅a
x1 =
− ( 23) + 529 −23 + 23 = =0 2⋅4 8
x1 =
− ( 23) − 529 −23 − 23 −46 23 = = =− 2⋅4 8 8 4
2 vezes o segundo
4 ⋅ x 2 + 2 ⋅ (10 ⋅ x ) + 25 + 3 ⋅ x − 25 = 0 4 ⋅ x 2 + 20 ⋅ x +25 + 3 ⋅ x −25 = 0 4 ⋅ x 2 + 23 ⋅ x = 0
Patric Schürhaus
16
LISTA DE EXERCÍCIOS O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito pela equação 4.15 y = −40 ⋅ x 2 + 200 ⋅ x . Onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x segundos após o lançamento. A altura máxima atingida e o tempo que esse projétil permanece no ar corresponde, respectivamente, a
6,25 m 5s
a)
250 m 0s
b)
c)
250 m 5s
d)
250 m 200 s
e)
10.000 m 5s
Solução: Primeiramente, calculemos o tempo de permanência do projétil, ou seja, x segundos. Para isto, vamos calcular
∆ = b2 − 4 ⋅ a ⋅ c 2
∆ = ( 200 ) − 4 ⋅ ( −40 ) ⋅ ( 0 ) ∆ = 40.000 Agora, apliquemos Bhaskara: x =
x1 = x2 =
−b ± ∆ 2⋅a
− ( 200 ) + 40.000 −200 + 200 0 = =− =0 2 ⋅ ( −40 ) −80 80
Agora devemos calcular a ordenada do vértice da parábola
− ( 200 ) + 40.000
yV = −
2 ⋅ ( −40 )
=
−200 − 200 −400 = =5 −80 −80
∆ 4⋅a 40.000 −40.000 yV = − = = 250 4 ⋅ ( −40 ) −160
4.16 A razão entre a soma e o produto das raízes da equação 2 ⋅ x 2 − 7 ⋅ x + 3 = 0 7 7 3 3 b) c) d) a) 3 2 2 7 Solução: Vamos calcular ∆ = b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c
A soma entre as raízes é
e)
2 7
6 1 + 2 2
2
∆ = ( −7 ) − 4 ⋅ ( 2 ) ⋅ ( 3 ) ∆ = 25
O produto entre as raízes é
Agora, apliquemos Bhaskara: x =
−b ± ∆ 2⋅a
6 1 ⋅ 2 2
A razão entre a soma e o produto das raízes é:
2
− ( −7 ) + 25 7 + 5 12 6 x1 = = = 2 = 2 2 ⋅ ( 2) 4 4 2
− ( −7 ) − 25 7 − 5 2 1 x2 = = = 2 = 2 ⋅ ( 2) 4 2 4
Patric Schürhaus
6 1 7 7 2 + 2 2 = 2 = 2 = 7 ⋅ 2 = 14 = 7 2 2 6 1 3 2 3 3 6 6 ⋅ 2 2 2 2 4
17
LISTA DE EXERCÍCIOS 2
4.17 O vértice da parábola que corresponde à função y = ( x − 2 ) + 2 é
(–2, –2)
a)
b)
(–2, 0)
c)
Solução: Primeiro vamos desmembrar o produto notável
( x − 2)
( x)
(2, –2)
parábola, que é dada por: xV = − 2
+ 2 ⋅ ( −2 ) ⋅ ( x )+ ( −2 ) = x 2 − 4 ⋅ x + 4
o quadrado do primeiro
d)
2 vezes o primeiro vezes o segundo
e)
(2, 2)
Agora devemos calcular a abscissa do vértice da
2
2
(–2, 2)
xV = −
o quadrado do segundo
b 2⋅a
( −4 ) = 4 = 2 2 ⋅ (1) 2
y = x2 − 4 ⋅ x + 4 + 2
Agora devemos calcular a ordenada do vértice da
y = x2 − 4 ⋅ x + 6
parábola, que é dada por: yV = −
Vamos calcular ∆ = b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c
∆ 4⋅a
( −8 ) = 8 = 2 4 ⋅ (1) 4
∆ = ( −4 ) − 4 ⋅ (1) ⋅ ( 6 )
yV = −
∆ = 16 − 24 ∆ = −8
Portanto, o vértice da parábola ( xV , yV ) é ( 2, 2 )
2
Um corpo lançado do solo verticalmente para cima tem posição em função do tempo dada pela função 2 4.18 f (t ) = 40 ⋅ t − 5 ⋅ t onde o tempo t é dado em segundos. Quanto tempo o corpo levará para atingir o solo
novamente? a) 2s
b)
4s
Solução: Primeiro vamos reorganizar a função:
c)
8s
t1 =
2
∆ = ( 40 ) − 4 ⋅ ( −5 ) ⋅ ( 0 ) ∆ = 1600 − 0 ∆ = 1600
Patric Schürhaus
16 s
Agora, apliquemos Bhaskara: x =
f (t ) = −5 ⋅ t 2 + 40 ⋅ t Vamos calcular ∆ = b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c
d)
t2 =
− ( 40 ) + 1600 2 ⋅ ( −5 ) − ( 40 ) − 1600 2 ⋅ ( −5 )
e)
32 s
−b ± ∆ 2⋅a
=
−40 + 40 =0 −10
=
−40 − 40 −80 = =8 −10 −10
18
LISTA DE EXERCÍCIOS Geraldo, um bem armado caçador, avista um galináceo que está prestes a ser seu jantar. Mas entre Geraldo e a ave há um arbusto. Geraldo, então, rapidamente calcula que terá que lançar seu letal disparo de bodoque segundo a trajetória descrita pela função f (t ) = −2 ⋅ t 2 − 4 ⋅ t + 30 onde o tempo t é dado em segundos. Quanto tempo a ave levará para ser atingida?
4.19
2s
a)
b)
4s
c)
16 s
d)
8s
Agora, apliquemos Bhaskara: x = Solução: Vamos calcular ∆ = b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c
t1 =
2
∆ = ( −4 ) − 4 ⋅ ( −2 ) ⋅ ( 30 ) ∆ = 16 + 240 ∆ = 256
t2 =
− ( −4 ) + 256 2 ⋅ ( −2 ) − ( −4 ) − 256 2 ⋅ ( −2 )
32 s
e)
−b ± ∆ 2⋅a
=
4 + 16 20 =− = −5 −4 4
=
4 − 16 −12 = =3 −4 −4
A ave levará 5 + 3 = 8 segundos para ser atingida
−b −∆ , da parábola é o ponto de máximo ou mínimo da função. O vértice da parábola 2⋅a 4⋅a 4.20 descrita pela função f ( x ) = x 2 − 4 ⋅ x + 3 é: O vértice V =
☺
a)
(–1,–3)
b)
(1,–3)
c)
(–1,3)
d)
e)
(1,3)
(3,–1)
O lucro de uma loja, pela venda diária de x peças, é dado por L( x ) = 100 ⋅ (10 − x ) ⋅ ( x − 4 ) . O lucro máximo, por dia, é obtido com a venda de quantas peças? b) c) d) e) 10 14 50 100 a) 7 Para obter o maior lucro devemos encontrar a abscissa Solução:
4.21
L( x ) = 100 ⋅ (10 ⋅ x − 10 ⋅ 4 − x ⋅ x + x ⋅ 4 )
do vértice da parábola xV = −
L( x ) = 100 ⋅ ( − x 2 + 10 ⋅ x + 4 ⋅ x − 40 ) L( x ) = 100 ⋅ ( − x 2 + 14 ⋅ x − 40 )
xV = −
L( x ) = −100 ⋅ x 2 + 1400 ⋅ x − 4000
b 2⋅a
1400 −1400 = =7 2 ⋅ ( −100 ) −200
Suponha que o custo C para produzir x unidades de um certo produto seja dado por
4.22 C = 2 ⋅ x 2 − 400 ⋅ x + 100.000 . Qual o nível de produção (valor de x) para que o custo seja mínimo? ( x)
a)
Patric Schürhaus
70
b)
100
c)
140
d)
500
e)
1000
19
LISTA DE EXERCÍCIOS 4.23
Deseja-se construir uma casa térrea retangular. Determine as dimensões do retângulo onde a casa será construída, sabendo que o seu perímetro é 60 m e que a área deve ser máxima. a) 12m × 15m b) 12m × 10m c) 10m × 15m d) 15m × 15m e) 11m × 12m
Solução:
L = Largura C = Comprimento Sabemos que a área de um retângulo é:
Substituindo o comprimento encontrado na equação da área:
A = C⋅L
A = ( 30 − L ) ⋅ L = 30 ⋅ L − L2
E sabemos que o perímetro de um retângulo é
A = − L2 + 30 ⋅ L
P = 2⋅C + 2⋅ L
Nota-se que a equação resultante é uma equação do segundo grau, onde temos a área como função da largura. Se plotarmos um gráfico desta equação, veremos como a área varia em função do comprimento:
Isolando o comprimento na equação do perímetro:
2 ⋅ C + 2 ⋅ L = 60 60 − 2 ⋅ L C= = 30 − L 2
Aplicando Bhaskara x =
−b ± ∆ encontraremos os 2⋅a
pontos onde a área será mínima:
L1 =
L2 =
− ( 30 ) + 900 2 ⋅ ( −1) − ( 30 ) − 900 2 ⋅ ( −1)
E, para encontrar qual é a largura responsável pela maior área, devemos encontrar a abscissa do vértice da parábola xV = −
=
−30 + 30 0 = =0 −2 −2
=
−30 − 30 −60 = = 30 −2 −2
xV = L = −
b 2⋅a
30 −30 = = 15 m 2 ⋅ ( −1) −2
Se a largura é L = 15 , substituindo em C = 30 − L
C = 30 − 15 Pelo gráfico acima, vemos que a máxima área será o vértice da parábola, ou seja: yV = −
yV = Amáx = −
Patric Schürhaus
∆ 4⋅a
900 −900 = = 225 −4 4 ⋅ ( −1)
C = 15 m Portanto, o retângulo que resulta na maior área possível é um retângulo de 15 m x 15 m
20
LISTA DE EXERCÍCIOS
Patric Schürhaus
21
LISTA DE EXERCÍCIOS 5
Desafios matemáticos
5.1
Troque apenas dois fósforos de lugar e obtenha sete quadrados. Solução:
5.2
12 fósforos compõem a figura. Movendo 3 fósforos consegue–se reduzir a área para 2/3 da área original. Solução:
5.3
5.4
Três homens querem atravessar um rio. O barco suporta no máximo 130 kg. Eles pesam 60, 65 e 80 kg. Como devem proceder para atravessar o rio, sem afundar o barco? Solução: Os homens de 60 e 65kg atravessam. Um deles volta. O que pesa 80kg atravessa sozinho. O barco volta com o que havia ficado. Finalmente os de 60 e 65kg atravessam, e os três estarão do outro lado do rio. Na figura temos 3 círculos grandes, e cada um deles passa por 4 círculos menores. Coloque os números 1, 2, 3, 4, 5 e 6 nos círculos pequenos de modo que os números de cada círculo grande somem 14. Solução:
Patric Schürhaus
22
LISTA DE EXERCÍCIOS FORMULÁRIO CA CO Triângulo retângulo: cos β = sin β = H H Área do círculo vazado: A =
π ⋅ ( ∅ EXT − ∅ INT )
tan β =
CO CA
2
4
Volume: ∀ = A ⋅ L
m ∀ Conversão de pés: 1 ft = 12 in = 304,8 mm Massa específica: ρ =
C
[ ºC ]
[ ºF ]
[ ºR ]
[K]
Celcius
Fahrenheit
Réaumur
Kelvin
5 F 32 9
5R 4
F
9C 5
32
9 R 32 4
R
4C 5
4 F 32 9
K C 273,15
Legenda
☺
MUITO FÁCIL
FÁCIL
INTERMEDIÁRIA
DIFÍCIL
CAVERNOSA
Patric Schürhaus
23
