Exercices Résolus de l’Hydraulique Exercice : Débit maximal dans un canal rectangulaire à écoulement uniforme Soit un canal rectangulaire de largeur b et de profondeur H, toutes deux non fixées. 1) Montrer que le rayon hydraulique pour cet écoulement uniforme, donnant le profil de la section la plus avantageuse vaut la moitié de la hauteur de charge h. 2) Application numérique : 2.1) Calculer la pente i d’un canal rectangulaire pour un débit maximal de 11.3 m3/s d’eau à la vitesse moyenne V=1.8 m/s si C=66 S.I. 2.2) Que devient la pente de ce canal si sa largeur vaut trois fois sa profondeur ? Solution : 1. On peut écrire S=b.H B = b+ 2H Ce qui donne pour le périmètre mouillé :
Pour une section d’écoulement donnée, le périmètre mouillé est minimal (section la plus avantageuse) si :
C'est-à-dire
Autrement dit : Comme Le périmètre mouillé est minimal pour : Les éléments géométriques de ce profil sont donnés par le rayon hydraulique :
2. Application numérique 2.1. La formule de Chezy s’écrit :
Le rayon hydraulique correspondant au débit maximal vaut H/2. Avec H déduite du débit volumique :
C'est-à-dire D’où
Rh = 0,886 m
Ainsi :
2.2.
Si b=3.H
On a B = 5H et Qui donne La nouvelle profondeur déduite du débit volumique vaut : H = 1,446 m Rh = 0,857 m Ce qui donne pour la pente :
Exercice : Conditions critiques et optimisation d’une conduite à section circulaire. 1. Rappeler la condition du régime critique pour un débit volumique Qv constant et pour un tirant d’eau y variable. 2. Soit le schéma d’une conduite circulaire de rayon R, de hauteur de tirant d’eau y. Monter que la pente critique s’écrit :
C, étant le coefficient de Chezy. Solution 1. La condition du régime critique pour un débit volumique Qv constant et pour un tirant d’eau y variable est donnée par la relation :
; b= largeur de la surface libre ; S= section d’écoulement 2. La pente critique icr (y =ycr) s’écrit en fonction des éléments hydrauliques de l’écoulement :
:
Icr est tirée de la condition critique précédente
Avec : 3. Comme le rayon hydraulique Rh est donné par
;
Avec La relation de icr devient avec
Exercice : Profondeur critique d’un canal parabolique Calculez la profondeur critique du Canal parabolique dans la figure suivante, si le débit est 4 m3/s.
Solution :
Exercice : Ressaut hydraulique dans un canal rectangulaire. Déterminer la profondeur z2 du ressaut hydraulique dans un canal rectangulaire comme indiqué sur la figure ci-dessous, en fonction des conditions à l’amont. On prendra la largeur du canal comme unité. 1) Utiliser les équations de continuité, de quantité de mouvement et de l’énergie pour déterminer la côte z2. 2) En déduire la hauteur de perte de charge par ressaut hR. 3) Application numérique. Si le débit volumique Qv est de 12 m3/s d’eau, par mètre de largeur du canal à une vitesse de 20 m/s en z1, déterminer z2 et hR pour cet écoulement. Solution : 1) L’équation de continuité s’écrit alors : A1 .V1 = A2 . V2 z1 .V1 =z2 .V2 puisque A1=z1 et A2 =z2 L’équation de quantité de mouvement en projection horizontale donne :
L’équation de l’énergie pour deux points de la surface libre du liquide s’écrit, en tenant compte des pertes par ressaut (hR) :
Déterminons z2 : L’équation de quantité de mouvement associée à l’équation de continuité donne :
=
C'est-à-dire qu’il faut trouver les racines du trinôme du second degré :
Le signe négatif pour z2 n’ayant pas de sens physique, on retient la valeur :
2) Trouvons maintenant, en fonction de z1, z2 et hR, la hauteur de pertes de charge par ressaut. L’équation de l’énergie associée à l’équation de continuité donne :
