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Remerciement : Nous vous présentons ce manuel dans sa deuxième partie, qui comprend des séries des examens de l’année précédente, accompagné par des modèles de solutions rédigées d'une façon simple et bien détaillée. Ce support sera utile pour pour les étudiants de 1er année universitaire pour les filières de physique, chimie et mathématique de faculté des sciences, de sciences et technique ou de classe préparatoire aux grandes écoles. Il contient à la fois L’électricité, L’optique géométrique, la chimie générale, l'analyse et l'algèbre. C’est avec un réel plaisir que nous avons effectué ce modeste travail pour que les étudiants : puissent avoir une idée préconçue sur le niveau et le degré de difficulté des examens. Puissent bien assimiler leurs cours. Puissent avoir des supports conçus afin de bien se préparer aux examens, et d’avoir de bonnes notes par la suite. Nous conseillons les étudiants de bien assimiler leurs cours de chaque c haque matière et aussi de bien travailler les séries de travaux dirigés avant d'aborder la résolution des examens dont le but de bien comprendre les concepts et pour que vous puissiez reconnaitre votre niveau. Nos remerciements et notre gratitude s’adressent s’adressent à tous les collègues qui ont participé à la rédaction de tous les documents, merci à tous. Nous tenons à remercier tous les amis qui ont contribué de loin ou de proche avec leurs encouragement pour la sortie de ce modeste effort sans oublier de remercier tous les fidèles de site RapideWay.org.
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Très important :
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Nous autorisons quiconque le souhait à placer sur son site un lien vers nos documents, mais on n'autorise personne à les héberger directement. On interdit par ailleurs
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Sommaire : Remerciement : ............................................................ .................................................................................................................................. ........................................................................... ..... 3 Très important : ......................................................................... ....................................................................................................................................... .............................................................. 4 Sommaire : ............................................................... ..................................................................................................................................... ........................................................................... ..... 5 Algèbre : ........................................................ ............................................................................................................................ .................................................................................... ................ 10 Contrôle 1 Algèbre 2 SMP, SMA, SMC - 2004/2005 ............................................................. ................................................................. .... 10 Exercice 1.............................................................. .................................................................................................................................... ......................................................................... ... 10 Exercice 2.............................................................. .................................................................................................................................... ......................................................................... ... 10 Exercice 3.............................................................. .................................................................................................................................... ......................................................................... ... 10 Corrigé : Contrôle 1 Algèbre 2 SMP, SMA, SMC - 2004/2005 .................................................. .................................................. 12 12 Exercice 1.............................................................. .................................................................................................................................... ......................................................................... ... 12 Exercice 2.............................................................. .................................................................................................................................... ......................................................................... ... 13 Exercice 3.............................................................. .................................................................................................................................... ......................................................................... ... 15 Contrôle 2 Algèbre 2 SMP, SMA, SMC - 2008/2009 .............................................................. .................................................................. .... 17 Exercice 1.............................................................. .................................................................................................................................... ......................................................................... ... 17 Exercice 2.............................................................. .................................................................................................................................... ......................................................................... ... 17 Corrigés : Contrôle 2 Algèbre 2 SMP, SMA, SMC - 2008/2009.................................................. 18 Exercice 1.............................................................. .................................................................................................................................... ......................................................................... ... 18 Exercice 2.............................................................. .................................................................................................................................... ......................................................................... ... 20 Contrôle Rattrapage Algèbre 2 SMP-SMA-SMC SMP-SMA-SMC 2008 /2009 ..................................................... 23 Exercice 2 : ............................................................ .................................................................................................................................. ......................................................................... ... 23 Exercice 3 : ............................................................ .................................................................................................................................. ......................................................................... ... 23 Exercice 4 : ............................................................ .................................................................................................................................. ......................................................................... ... 23 Soi la matrice : ................................................................. ............................................................................................................................. ............................................................ 23 Corrigés Contrôle Rattrapage Algèbre 2 SMP,SMA,SMC 2008 /2009 ....................................... ....................................... 24 Exercice 2 : ............................................................ .................................................................................................................................. ......................................................................... ... 24 Exercice 2 : ............................................................ .................................................................................................................................. ......................................................................... ... 24 Extrait de Contrôle 2 Algèbre 2 SMP- SMC - SMA -2005/2006 ................................................. 27 Exercice I : ............................................................. ................................................................................................................................... ......................................................................... ... 27 Corrigés de L’Extrait de Contrôle 2 Algèbre 2 SMP- SMC - SMA -2005/2006 ........................... 28
Exercice I : ............................................................. ................................................................................................................................... ......................................................................... ... 28 Contrôle 2 Algèbre2 SMP-SMA-SMC - 2006/2007 .................................................................... .................................................................... 30 Exercice I : ............................................................. ................................................................................................................................... ......................................................................... ... 30
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Corrigés de Contrôle 2 Algèbre2 SMP-SMA-SMC - 2006/2007 ................................................. 31 Exercice I : ............................................................. ................................................................................................................................... ......................................................................... ... 31 TD de l'algèbre diagonalisation des matrices carrées ............................................................... 34 Exercice 1 : ............................................................ .................................................................................................................................. ......................................................................... ... 34 Exercice 2 : ............................................................ .................................................................................................................................. ......................................................................... ... 34 Exercice 3 : .................................................................................... ..................................................................................................................................... ................................................. 34 Exercice 4 : ............................................................ .................................................................................................................................. ......................................................................... ... 34 Exercice 5 : ............................................................ .................................................................................................................................. ......................................................................... ... 35 Corrigés TD de l'algèbre diagonalisation des matrices carrées ................................................. 36 Exercice 1:............................................................. ................................................................................................................................... ......................................................................... ... 36 Exercice 2 : ............................................................ .................................................................................................................................. ......................................................................... ... 37 Exercice 3 : ............................................................ .................................................................................................................................. ......................................................................... ... 38 Exercice 4 : ............................................................ .................................................................................................................................. ......................................................................... ... 40 Exercice 5 : ............................................................ .................................................................................................................................. ......................................................................... ... 43 Analyse : ........................................................ ............................................................................................................................ .................................................................................... ................ 46 Contrôle 1 Analyse 2 SMP-SMC Année 2005/2006 .............................................................. .................................................................. .... 46 Exercice I : ............................................................. ................................................................................................................................... ......................................................................... ... 46 Exercice II:............................................................. ................................................................................................................................... ......................................................................... ... 46 Exercice III : ........................................................... ................................................................................................................................. ......................................................................... ... 46 Corrigés Contrôle 1 Analyse 2 SMP-SMC Année 2005/2006.................................................... 47 Exercice I : ............................................................. ................................................................................................................................... ......................................................................... ... 47 Exercice II : ............................................................ .................................................................................................................................. ......................................................................... ... 47 Exercice III:............................................................ .................................................................................................................................. ......................................................................... ... 50 Contrôle 1 Analyse 2 : Année 2008 /2009 ................................................................... ................................................................................. .............. 53 Exercice 1.............................................................. .................................................................................................................................... ......................................................................... ... 53 Exercice 2.............................................................. .................................................................................................................................... ......................................................................... ... 53 Exercice 3 (4pts) ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ 53 Corrigés Contrôle 1 Analyse 2 : Année 2008 /2009 .................................................................. 54 Exercice 1 ....................................................................... ................................................................................................................................... ............................................................ 54 Exercice 3.............................................................. .................................................................................................................................... ......................................................................... ... 57 Electricité : .............................................................................................................. ......................................................................................................................................... ........................... 59 Contrôle I Electricité I SMP-SMA-SMC 2004/2005 2004/2005 ................................................................. .................................................................... ... 59 Exercice I ............................................................................ ........................................................................................................................................ ............................................................ 59
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Exercice II : ............................................................ .................................................................................................................................. ......................................................................... ... 59 Corrigés Contrôle I Electricité I SMP-SMA-SMC 2004/2005...................................................... 61 Exercice I : ............................................................. ................................................................................................................................... ......................................................................... ... 61 Exercice II : ............................................................ .................................................................................................................................. ......................................................................... ... 63 Contrôle 2 électricités 1 2007 /2008 ............................................................. ........................................................................................ ........................... 69 Exercice 1.............................................................. .................................................................................................................................... ......................................................................... ... 69 Exercice 2.............................................................. .................................................................................................................................... ......................................................................... ... 69 Corrigés Contrôle 2 électricités 1 2007 /2008 .......................................................... .......................................................................... ................ 70 Exercice 1.............................................................. .................................................................................................................................... ......................................................................... ... 70 Exercice 2.............................................................. .................................................................................................................................... ......................................................................... ... 72 Contrôle 2 Electricité 1: SMP-SMC 2006/2007......................................................... ....................................................................... .............. 106 Exercice I : ............................................................. ................................................................................................................................... ........................................................................ 106 Exercice 2 : ............................................................ .................................................................................................................................. ........................................................................ 106 Corrigés Contrôle 2 Electricité 1: SMP-SMC 2006/2007 ........................................................ ........................................................ 106 106 Exercice I : ............................................................. ................................................................................................................................... ........................................................................ 106 Exercice II : ............................................................ .................................................................................................................................. ........................................................................ 107 Contrôle 2 d’électricité 1 SMPC & SMA 2008-2009 ............................................................... ............................................................... 110
Exercice I : ............................................................. ................................................................................................................................... ........................................................................ 110 Exercice II ........................................................................... ..................................................................................................................................... .......................................................... 110 Corrigés Contrôle 2 d’électricité 1 SMPC & SMA 2008-2009 : ............................................... 111
Exercice I : ............................................................. ................................................................................................................................... ........................................................................ 111 Exercice II ........................................................................... ..................................................................................................................................... .......................................................... 115 Exercice...................................................................................................................... .................................................................................................................................... .............. 117 Exercice 1 : ............................................................ .................................................................................................................................. ........................................................................ 117 Corrigés de l’Exercice : ............................................................. ............................................................................................................ ............................................... 118
Optique Géométrique : ................................................................................................................... ................................................................................................................... 122 Contrôle 2 optiques géométriques : SMP-SMA-SMC SMP-SMA-SMC 2004 ..................................................... ..................................................... 122 EXERCICE I : ........................................................... ................................................................................................................................. ........................................................................ 122 EXERCICE II : .......................................................... ............................................................................................................................... ....................................................................... .. 122 EXERCICE III : ......................................................... .............................................................................................................................. ....................................................................... .. 122 Corrigés Contrôle 2 optiques géométriques : SMP-SMA-SMC SMP-SMA-SMC 2004 ....................................... 124 : ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ 124 EXERCICE I : ........................................................... ................................................................................................................................. ........................................................................ 124
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EXERCICE II : .......................................................... ............................................................................................................................... ....................................................................... .. 125 EXERCICE III : ......................................................... .............................................................................................................................. ....................................................................... .. 126 Contrôle de l’optique géométrique SMP -SMA-SMC 2006 ...................................................... 128
Exercice I : ............................................................. ................................................................................................................................... ........................................................................ 128 Exercice II : ............................................................ .................................................................................................................................. ........................................................................ 128 Exercice III : ........................................................... ................................................................................................................................. ........................................................................ 128 Corrigés de Contrôle de l’optique géométrique SMP -SMA-SMC 2006 ................................... 130
Exercice I : ............................................................. ................................................................................................................................... ........................................................................ 130 Exercice II : ............................................................ .................................................................................................................................. ........................................................................ 131 Contrôle II optique géométrique : 2007Filières : SMP-SMA-SMC........................................... 133 Exercice I : ............................................................. ................................................................................................................................... ........................................................................ 133 Exercice II : ............................................................ .................................................................................................................................. ........................................................................ 133 Exercice III : ........................................................... ................................................................................................................................. ........................................................................ 133 Corrigés de Contrôle II optique géométrique : 2007Filières : SMP-SMA-SMC ....................... 135 135 Exercice I : ............................................................. ................................................................................................................................... ........................................................................ 135 Exercice II : ............................................................ .................................................................................................................................. ........................................................................ 136 Exercice III : ........................................................... ................................................................................................................................. ........................................................................ 137 Contrôle 2 optiques géométriques SMP-SMA-SMC 2007/2008 ............................................. 139 Question de cours : (4pts) ............................................................................................. ........................................................................................................... .............. 139 Problème :(16 pts) ................................................................................... ....................................................................................................................... .................................... 139 Corrigés : Contrôle 2 optiques géométriques SMP-SMA-SMC 2007/2008 2007/2008 ............................. ............................. 140 Question de cours : ........................................................... ..................................................................................................................... .......................................................... 140 Problème : ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... 140 Chimie Générale : ............................................................................................................... ............................................................................................................................ ............. 143 Extrait de contrôle de chimie SMP-SMA-SMC2004............................................................... ................................................................. .. 143 Corrigés Extrait de contrôle de chimie SMP-SMA-SMC2004 .................................................. .................................................. 144
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Algèbre : Contrôle 1 Algèbre 2 SMP, SMA, SMC SMC - 2004/2005 Exercice 1 Soit la matrice
+
1) Déterminer les valeurs de A et les sous-espaces propres associés. 2) a) Montrer que A est diagonalisable sur . b) Déterminer une matrice inversible telle diagonale.
que
soit
Exercice 2
+ +
Soit la matrice
ou
1) Déterminer les valeurs propre de et les sous-espace propre propre associés . a) Monter que est diagonalisable sur . b) Déterminer une matrice inversible telle que diagonale. 2) Calculer pour tout . 3) Soient les suites réelles définies par les relations : définies
Avec
soit
.
On note
pour tout
a) Monter que ; b) En déduire
.
. en fonction de n .
Exercice 3
Soit le canonique
-espace
vectoriel .
Soit
l’endomorphisme de
Ou
est le polynome dérivé de P. est
[X]=
[X] :
de
sa
base
[X] défini par :
1) Déterminer la matrice de relativement à la base
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muni
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.
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2)
est-il diagonalisable sur
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? Justifier votre réponse.
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Corrigé : Contrôle 1 Algèbre 2 SMP, SMA, SMA, SMC - 2004/2005
Exercice 1
+ de ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ Soit la matrice
1) On chercher les valeurs propres de A :
On a
donc ; 0 est une valeur propre double et 1 une valeur propre simple. donc
Soient
et
sa sa base canonique.
Avec ;
.
2)
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+ + + de de ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ a) Toutes les racine de sont dans donc A est diagonalisable sur .
b)
est est une base de
et on a
. soit
et
la matrice
Alors
Exercice 2
Soit la matrice
ou
1)
Donc :
Trois valeurs propre distinctes simple ; m , m+1 et m+2.
Soient
et
sa sa base canonique.
Avec
Avec
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⁄ ⁄ + + + + + + + + + + +
Avec Avec
2) – a)
admet 3 valeurs propres distinctes dans sur .
b)
est est une base de
La matrice de passage de
3) On Calcule
donc elle est diagonalisable
soit
à . Alors Alors on a :
pour tout
.
et
Avec :
,
la matrice inverse de .
On a
Avec :
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alors ;
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+ + + + + + + + + 4)
a) On a
Et
pour tout
Avec
.
et
Avec (
Donc :
, on peut le obtenir par récurrence .
b) – on on a
.
et
Avec
aussi
alors :
Donc :
Exercice 3 1)
On a
. .
;
;
par siute on a
.
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de ⁄ ⁄ 2)
est une une valeur proper triple de .
avec avec
On a
, donc
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n’est pas diagonalisable sur
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.
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Contrôle 2 Algèbre 2 SMP, SMA, SMC - 2008/2009 Exercice 1
+ + + ./ +
On munit
de sa base canonique
et on considère l’endomorphisme de donné et
par :
Soit
1) Donner la matrice de relativement à 2) Calculer l’image
pour pour un vecteur
3) Montrer que
de
est est une base de
4) Soit P la matrice de passage de
à
. Donner P.
5) Calculer
6) Exprimer
en fonction de
7) En déduire l’inverse de P.
8) Déterminer la matrice de relativement à
.
9) Déterminer le noyau de l’image de .
Exercice 2
Soit
1) Vérifier que le polynôme caractéristique de est 2) Déterminer les valeurs propres de
3) Pour chaque valeur propre se determiner le sous-espace propre cerrespondant. 4) La matrice est-elle diagonalisable sur 5) Déterminer tel que 6) Calculer
? Justifier votre réponse.
soit diagonale.
pour
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Corrigés : Contrôle 2 Algèbre 2 SMP, SMA, SMC - 2008/2009 Exercice 1
+ ./ ./ la la base canonique de
est un endomorphisme de
1) La matrice relative à
2) Pour
de
(cas particulier d’une application linéaire
de
:
on a
z
Alors
Donc,
3) On montre que
est est une base de
on a:
Donc la famille
est est libre.
On peut calculer le déterminant de
On a
, et puisque
4)
est libre alors
: La matrice de passage de la base
à
est est une base de
:
On a
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5)
6) Or 7)
+ ++ + + + + + ./ + + + + * + + * * * l’inverse de
est la matrice de passage de la base à la base
On a
Alors
8) La matrice de relativement à
On peut la calculer par deux méthodes
car on a deja montrer que
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Alors
+ ( ) e * * die L’iage de di + de Le noyau de
(Avec (Avec
)
:
Et puisque
est est libre alors
.
Exercice 2
1) 0n a
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+ ./ ./ + ././ es diagonalisable su
2) Les valeurs propres propres de On a
Alors 1 est une valeur propre double de A 2 est une valeur propre simple de A
3) -Pour
Soit
la la base canonique de
}(avec
-Pour
(avec (avec
)
)
4) On a
= le nombre de multiplicité de la valeur propre 1
et
= le nombre de multiplicité de la valeur propre 2
Donc A
5) La famille
est est libre et
, donc
est est une base de
.
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à à + + + + + + + + + + Donc il existe une matrice P : la matrice de passage de la base une matrice inversible et son inverse
telle que
(P est
est la matrice de passage de
On a
Alors
6) On a
On montre que
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Contrôle Rattrapage Algèbre 2 SMP-SMA-SMC 2008 /2009 Exercice 2 :
+ +
Soit l’ endomorphisme de a la base
donné par
. Calculer la matrice de .
relativement
Exercice 3 :
1) Calculer le polynôme polynôme caractéristique de 2)
a matrice A est – est – elle elle inversible ?
Exercice 4 :
Soi la matrice :
1) 2) 3) 4) 5) 6)
Calculer le polynôme caractéristique de Montrer que les réels sont les valeurs propres de Pour chaque valeur propre, déterminer le sous – sous – espace espace propre correspondant. Montrer que la matrice est diagonalisable. Déterminer tel que soit diagonale. Calculer pour un entier
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Corrigés Contrôle Rattrapage Algèbre 2 SMP,SMA,SMC 2008 /2009 Exercice 2 :
+ + L’endomorphisme de Soit la base On détermine la matrice On
de f dans la base
Exercice 2 :
Le polynôme caractéristique de la matrice
(x) = det (A-X ) =
:
=
=
= = -X
= -X(-1+X2 ) = -X(X-1)(X+1) 2°) – 2°) – la la matrice A n’est pas inversible. Car 0 est une valeur propre de A en effet : A est diagonalisable on peut former une base B’ tel que
A= On a
DP
avec D =
+
et puis que les deux matrice sont semblable donc
D’on A n’est pas inversible.
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+ + ./ ./ + ./ ./ + ./ ./ A
1°)- le polynôme caractéristique de A.
(X) = det (A-X ) =
=
=
= = (X+1)(X2-1-3)
= = (X+1)
= (X-1)(X2-4) = (X+1)(X+2)(X-2) = 0 (X) = (X+1)(X+2)(x-2) = 0
3°)- on a
(X) = (X+1)(X+2)(x-2) = 0
Alors les valeurs propre de A sont :
=2 ,
=-2 ,
= -1
4°)- la matrice A possède 3 valeurs propre simple donc elle est diagonalisable sur sont simple . 5°)- pour
=2
soit Bc (e1,e2,e3) la base canonique de
On a E2= {AV = 2V / V
}
E2={x=z = y / x,y,z
} = {(x, x,z):/x
E2= { AV = -2V / V
=2
}
z = x et 2 = x
}=vect {(2,1,2)}=vect {V1}
= -2
y =-2 x et y = - 2z
E2 {(2y,-y ,2y)/y
}=vect {2,-1,2)}
E-1 = { AV = -V / V
}
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car les valeurs propret
avec V1=(2,1,2).
z=x
x = z = -1/2y
v2(2,-1,2)
=-
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+ x=-y et z=0
E-1 {(x,x ,0)/x
}=vect {1,-1,0)}
v3(1,-1,0)
Alors P =
On a
, + e 3= (V2-V1+V2-2V3+ V- - V2)
= (- V1+ V2 - 2 V3) = - V1 +
=
V2 – V V3
=
+ + + + + + AP =
6°)- on a D =
On a
AP
A = PD
=
= P
n
=
=
=
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Extrait de Contrôle 2 Algèbre 2 SMP- SMC - SMA -2005/2006 Exercice I :
+
Soit la matrice =
1) Jordaniser la matrice sur 2) On considère le système différentiel homogène suivant :
(
)
a) Résoudre le système ( ). b) Trouver un système fondamental de solutions de ( 3) Résoudre le système différentiel suivant :
(
).
)
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Corrigés Cor rigés de L’Extrait L’Extrait de Contrôle 2 Algèbre 2 SMP- SMC - SMA -2005/2006
Exercice I :
+ =
1°) – 1°) – on on détermine les valeurs propre de A.
On a
=
=
Alors a pour des valeurs propres : 1 valeur propre d’ordre double 2 valeur propre d’ordre simple
- + ./ ./ + ././ Soit la base canonique
de de
On a
au nombre de multiplicité de la valeur propre 1
n’est pas diagonalisable on peut trianguler
On choisit un vecteur
tel que
soit soit
donc on peut former une base donc
Tel que
: est la matrice triangulaire
: la matrice de passage de la base
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a a la base
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+ + + + + + + + + + + + + + + + + on a
donc
2°)
On pose
et
On a
=>
avec
Alors
et
=>
D’où
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et on pose
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Contrôle 2 Algèbre2 SMP-SMA-SMC - 2006/2007 Exercice I :
Soit la matrice A=
+
1) a) Déterminer les valeurs propres de A et les sous espaces propres associés. b) En deduire que A diagonalisable sur R et diagoniliserA . c) Calculer ( pour tout n≥1. 2) On considère les suites ) definies par leurs termes initiaux et par les relations de récurence :
Calculer
en fonction de n ;pour tout n≥1.
3) a)
Montre que A vérifié la relation suivante :
b)
Donner l’expression de
en fonction de
4) Résoudre le système différentiel suivant :
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Corrigés de Contrôle 2 Algèbre2 SMP-SMA-SMC - 2006/2007 Exercice I :
+ e + . / . / + . /. / + . /. / + A=
1)
a)
Les valeurs propres de A
On a
alors les valeurs propres de A sont :
Les ss-espaces propres associés aux valeurs propres sont :
={AV =V / V
= {(x,0,-x)/x
} = vect{(1,0,-1)} = vect{
={AV=2V / V
= {(0,y,0)/y
}
} avec
(1,0,-1)
}
} = vect{(0,1,0)} = vect{
={AV =3V / V
} avec
=(0,1,0)
}
avec
b)
(1,0,1)
A est diagonalisable car tous les valeurs propres de F sont simple On a P=
P est la matrice de passage de la base canonique à la base B= B est une base alors P admet un inverse
est la matrice de passage de la base B à Bc
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On a :
,
et par suite :
et
c)
=
+ + + + + + + + + + + + + + + on a :
=
=
2) – on on a
On pose :
=A
Donc :
A
A
,
A
.
;
;
3) a) On a :
On a donc : Alors : www.rapideway.org
=(3-X)(2-X)(1-X) = 0
;
==0
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–
+6
-11
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+6 = 0
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b) L’expression de
en fonction de
On a : Alors : A(
:
Donc : 4) on a :
+ + + + + + +
On pose :
Y=
et
=AY
A Y
tq :
Y=PZ=
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TD de l'algèbre diagonalisation des matrices carrées Exercice 1 : Les matrices sont-elles diagonalisables ? (Préciser si c’est dans R ou dans C )
+ + Exercice 2 : Soit le
deg +
-espace vectoriel
de sa base canonique B=(1,X, de
Soit f l’endomorphisme de
par :
).
P' +P
Où P' est le polynôme dérivé de P.
1) Déterminer la matrice de relativement à la base B. 2) est-il diagonalisable sur ? Justifier votre réponse.
Exercice 3 : *Soit la matrice
1) Déterminer les valeurs propres de A et les sous-espaces propres associés. 2) a) Montrer que A est diagonalisable sur . b) Déterminer une matrice inversible P telle que AP soit diagonale.
Exercice 4 :
+
Soit la matrice
où m
1) Déterminer les valeurs propres de et les sous-espaces propres associés. 2) a) Montrer que est diagonalisable sur R. b) Déterminer une matrice inversible P telle que P soit diagonale. 3) Calculer
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pour tout n
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4) Soient les suites réelles
Avec :
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définies par les relations : définies
+ ,
On note
=
et
.
pour tout n
a) Montrer que : b) En déduire
en fonction de n.
Exercice 5 :
+
Soit la matrice
où
.
1) Déterminer les valeurs propres de leurs ordres de multiplicité. leurs 2) a) Pour quelle quelle valeur de de , la matrice et diagonalisable ? Justifier votre réponse. b) Dans ce cas diagonaliser et calculer pout tout n 1.
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Corrigés TD de l'algèbre diagonalisation des matrices carrées Exercice 1:
+
on détermine le polynôme caractéristique de la
+ +
matrice A .
= det (A - X ) = 0
= (1-X)
= (1-X)(
) =0
a
A possède une valeur propre 1 simple dans A n’est pas diagonalisable dans valeur propre 1 est de dim = 1 on peut pas crée une base propre de . A possède 3 valeurs propre simple dans A est diagonalisable dans
tel que : D=
car le sous espace de la
(1 , i , -i ) .
à chaque valeur propre on a une vecteur propre crée une base base B (
AP=
P : la matrice de passage de la base canonique
à à la base B.
: la matrice de passage de B à :
on détermine le polynôme caractéristique de la matrice B .
= det (B - X ) = 0
=
=
= = (1-X)
= (1-X)(
6X + 5) = (1-X)(X-1)(X-5)
Bà:
o o
tout les racines
1 racine double ( ) 5 racine simple ( )
on peut diagonaliser B dans
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.
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)
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à + +
soit la base canonique
dans dans
o
= {
/A
=
}
x = - (2y+z)
{ (x,y,z)
/ x = - 2y – z } = {(-2y –z , y , z) / y,z )
{ y (-2,1,0) + z (-1,0,1) / z,y )
}
}
= vect { (-2,1,0) (-2,1,0) , (-1,0,1) }
dim
=
= 2 = ordre de la valeur propre 1
= {
/A
=
B est diagonalisble sur
.
}
x = y = z
vect { (1,1,1) } ; dim
soit B
=1
une une base de
la matrice de passage de
donc : D=
est P =
BP=
Exercice 2 : www.rapideway.org
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f es une endoo phise de ’ ’ ’ f + [x]= { P
[x] : deg P ≤ 2 } dans la base B=(1,X,
)
*x+ (cas particulier d’une application linéaire).
[x]
f(P)= P’ P
1) La matrice de f dans la base canonique B , M(f,B)
M(f,B) =
2) On détermine la polynôme caractéristique de M(f,B) = det (M - X ) = =
= = (1-X) )
= 0
M(f,B) a une valeur propre 1 triple .
+
Soient B la base canonique de On a
= { MV = 1 V / V(
di + = Vect{
et B’ une base de
)
B’(
).
}
} = Vect {(1,0,0)}
= 1 < à L’ordre de la valeur propre. n’est pas diagonalisable. n’est
Exercice 3 :
1) – Les valeurs propres de A :
On détermine
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= det (A - X ) = 0
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–
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=
= x.(-(2+x)(x-3)-6)
x.
Donc on a :
λ1= 0 valeur propre double de A λ2= 1 valeur propre simple de A
On considère la base canonique
de de
λ
=
⁄ ⁄ ec ec ’ ;(
λ
=
λ
=
) sont libres.
.
On a dimλ1= 2 = l ordre ordre de multiplicité de λ1, et dim λ 2 = 1 = l’ordre de multiplicité de λ 2.
Donc A est diagonalisable sur .
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+ +
2) b)- Soit la base B’ tel tel que La matrice de passage de la base Bc à la base B’ est P :
et on a B’ une base de
inversible et son inverse
.
det P ≠ 0, donc P est
est la matrice de passage de la base B’ à la base B c.
D’où :
D=
=
Exercice 4 :
+ ou m
1) Les valeurs propre de
On a :
= = det (
:
- X ) = 0
=
= = (m+1-X))
= (m-X)(m+1-X)(m+2 ( m-X)(m+1-X)(m+2-X) -X)
Donc :
valeur propre simple = m+1 m+1 valeur propre simple = m+2 m+2 valeur propre simple
Les sous espaces propre de A :
On considère la base canonique
= { A
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=m
dans dans
/
(x,y,z)
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–
}
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+ * * + * * + * * = m
x=y et y=0
= Vect {
=
} = Vect {(1,0,0)}
= { A
= (m+1)
/
}
= (m
= Vect {
=
} = Vect {(1,0,1)}
={A
= (m+2)
/
}
= (m
= Vect {
2) a) possède 3 valeurs propre simple
} = Vect {
}
à +
Et on a à chaque valeur propre une vecteur propre associé à cette valeur. Donc b)
est Diagonalisable sur );
soit la base B’ (
.
,
(1,0,1) et
P : la matrice de passage de la base de
P=
la base B’
on a B’ est une base de
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(0,0,1)
–
dest P ≠ 0
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Donc il existe
l’inverse de P .
est la matrice de passage de la base B’ à la base
+ + + + + + + * D’où :
=
P =
3)
On a
=
P
=
= P
= P
Pour m = -2 on a :
On détermine
=
la matrice de passage de la base B’ à la base
On a :
Donc :
=
=
=
=
=
4)
sont des suites réelles. sont
Avec :
=
;
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* + * =
=
=
=
On a :
* * * * + =
=
=
=
=
=
=
.
=
On peut démontrer par récurrence.
b) On a
=
avec :
Exercice 5 :
avec
1) On détermine
= det (A - X ) = 0.
=
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= (2-x)(1-x)
= (1-x)²(2-x)
Donc les valeurs de Aα sont :
λ1= 1 valeur propre double de Aα λ2= 2 valeur propre simple de Aα
ec ec ’ – on a ec } 2) a)- soit λ =
la la base canonique de
E1 =
Si
;(
λ
dim
λ =
) sont libres.
2 = le nombre de multiplicités de 1 dans ce cas A 1 est diagonalisable. Si
x = y = -z
λ
dim
λ
1
nombre de multiplicités de λ
1ans ce cas A n est est pas diagonalisable.
b) pour λ
λ
λ
= = vect{
-
est est une base de
} = vect {(0,1,-1)}
car dim
λ
+ dim
λ
= 2+1 =3 et (
Donc il existe une matrice D semblable à A1tel que D=
Bc à la base B’ et
est son inverse (
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.
A1 P avec P est la matrice de passage de la base
est la matrice de passage de la base B’ à la base B c)
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+ + + + + + + + + + on a
On a D=
A1 P
A1 = PD
On a
D
(A1 )n= (PD
n
PDn
n
= =
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Analyse : Contrôle 1 Analyse 2 SMP-SMC Année 2005/2006 Exercice I :
f f
Soit φ une fonction numérique de classe la fonction définie par 1-
φ
sur
. On considère dans
.
Vérifier que f est homogène. Quel est son degré ?
2- Montrer que f vérifier Exercice II:
On considère la fonction f définie sur
.
par :
1- Etudier la continuité de f. 2- Calculer
pour
.
3- Montrer que 4- Est-ce que
et
et
et
.
sont continues ?
5- Est-ce que f est différentiable ? Exercice III :
On considère la forme différentielle suivante :
d
1- Vérifier que n’est pas exacte. 2- Trouver un nombre réel α tel que la fonction intégrant de dans
α
.
3- En déduire la résolution de l’équation différentielle
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–
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soit un facteur
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.
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Corrigés Contrôle 1 Analyse 2 SMP-SMC Année 2005/2006 Exercice I :
Soit
f f f f * * f hh h g g cocnos si f f sin cos φ
Avec φ une fonction numérique de 1- Soit
sur IR
on a
φ
φ
Donc D’où f est homogène de degré égal à 1
2-
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
Donc
φ
φ
φ
φ
Exercice II : Soit
1- La continuité de f Les fonctions Et
→
,
→
→
sont continues sur
Donc f est continue sur
La continuité de f en (0,0)
On pose
Alors
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Par suite
lili li sin cos li . / . / . / . / . / . / . / . / . /
D’où
On a alors
Donc f est continue au point (0,0).
Conclusion : f est continue sur (0,0), on déduit alors que f est continue sur 2- Calculons
Calcul
et
et de plus f est continue au point .
pour
pour
.
.
Calcul
pour
.
3- Montrons que
Calcul de
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et
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li l i li li . / li siscocinos
Calcul de
4- Continuité de
On a
Pour
Continuité de
On a continues sur
et
Donc D’où Pour
sont des fonctions
est est continue sur
est continues sur
Calculons
Pour cela, utilisons les coordonnées polaires : Posons Alors
li li lilisin
li
Alors
Donc la fonction
est continue au point (0,0)
Donc
est continue sur
.
Continuité de
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li siscocinos li lili sin li Pour
On a continues sur D’où Pour
et
sont des fonctions
est continue sur
Calculons
Pour cela, utilisons les coordonnées polaires :
De même posons
Alors
(
On a alors
Donc la fonction
est continue au point (0,0)
Donc
5-
est continue sur
et
.
existent et sont continues continues sur
donc f est différentielle sur
.
Exercice III:
d df
1- On a
et
Et on a
Donc n’est pas exacte. 2 est un facteur intégrant de → l’existence d’une fonction f différentielle tel que Exacte →
Donc
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df f dd f dd { { { ∫ ∫ →
→ → →
Ou
Donc
Ou
(impossible car (x>0) et (y>0))
Alors
Facteur intégrant de de
facteur intégrant de de → l’existence de f différentielle tel que
3-
→
→
→
Et par suite
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,
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df On a
→
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→
Donc →
Conclusion
: Les solutions de l’équation différentielle sont donnée par
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Contrôle 1 Analyse 2 : Année 2008 /2009 Exercice 1
log sin * li sin
Soit
.
1) Vérifier que (0,0) est un point critique de . 2) Ecrire la formule de Taylor à l’ordre 2 de au point (0,0). 3) Préciser la nature de ce point critique. Exercice 2
On considère la fonction définie dans
1) Calculer
et et
pour pour tout
2) Etudier la continuité de 3)
par :
et et
dans dans
est-elle différentiable dans
.
?
? Justifier votre réponse.
4) Etudier l’existence de
et et
.
5) Montre que
.
6) En déduire que possédé un développement limité à l’ordre 2 au point point (0,0)
Exercice 3 (4pts) On considère l’équation
(E)
On pose
1) Calculer
.
en en fonction de
2) Réécrire l’équation (E) en fonction de
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–
. .
.
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Corrigés Contrôle 1 Analyse 2 : Année 2008 /2009 Exercice 1
log log logg li Soit
.
1) on calcul
On a :
.
le point
est un point critique de est
2) Formule de Taylor à l’ordre 2 de au point
.
On a :
;
et
Or ; on a la formule de Taylor s’écrit : s’écrit :
Avec :
0
Donc :
3) On a :
Or
admet un minimum en (0,0).
Exercice 2 (12pts)
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sin * sin cos cos li li li sin sin sin || li|| li li l i si n cos cos * | || || ||sin cos ||sin ||
On considère la fonction définie dans
par :
1)
Pour tout
On a : Et :
Pour tout
On a :
Or
avec
Donc :
si
On a :
D’ou :
2) la continuité de
et et
dans dans
La fonction
est continue en tout point (x,y) est
Car c’est la somme, produit, rapport et composé composé des fonctions continues continues sur {(0,0)} .
\
Pour
On a
Avec
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cos || || sin cos | | | | | | | | | | | | | | l i cos || cos ** cos ||| || || li || li li li sincos lisinl i sin sin li cos √ Et
Car
et
Alors
,
est continu sur
est continu en tout point
car
produit rapport et composé des fonction continues sur
Pour
est la somme , 0,0)} 0,0)} .
on on a
On a
et
Alors
car
et
A d’où Donc :
3)
sont continués sur
est différentiable dans
car
.
admet des dérivées partielles partielles
et
dérivées sont continués sur
4)
on a : Or
Avec
en effets : soit
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,
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cos cos l i l i cos cos li sin sin li li sin on a :
mais ,
et
.
La limite n’existe pas donc
n’existe pas
donc
5)
on a or
donc
6)
sin sin li li li on a
on pose
on a
avec avec
donc admet un développement développement limité au voisinage de (0,0) (0,0) à l’ordre 2 s’écrit : s’écrit : avec
Exercice 3 On considère l’équation
: (E)
On pose
.
1)
on calcule
en en fonction de
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donc
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2)
on a
( donc la résolution de l’équation différentielle
est équivalente à la
résolution du
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Electricité : Contrôle I Electricité I SMP-SMA-SMC 2004/2005 N.B. pour l’exercice I, I, répondre brièvement mais de manière précise. Exercice I A- Soit un conducteur conducteur plein (C) qui a la fore d’un ellipsoïde (voir la figure 1-a). 1-a). Ce conducteur (C) porte une charge Q positive, isolé et en équilibre électrostatique. Répondre aux questions suivantes en justifiant vos réponses : 1- Le champ est-il est-il nul à l’intérieur de (C)? 2- Le potentiel est-il est-il le même en A et en e n A’ ? A’ ? (Les points A et A’ étant deux points de la surface du conducteur (C) (voir la figure 1-a). 3- La densité de charge est-elle positive, négative ou nulle ? 4- La densité de charge est-elle est-elle la même en A et en A’ ? A’ ? 5- Les modules des champs au voisinage des points A et A’ sont -t-ils les même ? B- On approche du conducteur (C) une sphère conductrice initialement neutre et isolée (figure 1- b). b). l’ensemble des deux conducteurs est en équilibre électrostatique. 1- Les conducteurs conducteurs (C) et (S) sont-ils en influence totale ? justifier votre réponse. 2- Illustrer sur le même schéma : a- La réparation des charges sur les conducteurs (C) et (S). b- Une représentation des lignes de champ entre les deux conducteurs. 3- Comparer les valeurs du potentiel en A et au point B. 4- Que se passera-t-il si on relie la sphère (S) au sol. Exercice II :
On considère le circuit de la figure 2-a 1- En appliquant les lois de Kirchhoff, déterminer les courants , et en fonction de E, et . Pour les questions suivantes, on prendra = = =R 2- On branche aux bornes de la résistance un dipôle (E’, r’) (voir la figure 2-b), 2 -b), par l’application du théorème de Thevenin, déterminer le courant I’ traversant le dipôle (E’, r’) (on donnera l’expression littérale de I’). 3- On donne E = 40V, E’ = 10V, r’ = 2 et R = 24 , calculer numériquement le courant I’, le dipôle (E’, r’) est-il est-il un générateur ou un récepteur ? Justifier votre réponse. 4- Calculer la puissance P consommée par le dipôle (E’, r’).
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Corrigés Contrôle I Electricité I SMP-SMA-SMC 2004/2005
Exercice I : A1- Oui le champ à l’intérieur du conducteur est nul. Parce que : - Le champ est nul à l’intérieur d’un conducteur en équilibre. Ou - puisque les charges est immobiles à l’intérieur des conducteur donc la
⃗
somme des forces électriques est nulle ( = = 0) 2- Oui le potentiel est le même en A et A’. Parce que : -
puisque on a V= 3- La densité des charges volumique est nulle. Parce que : -
Le conducteur est en équilibre électrostatique ce qui implique
donc V = constante, d’où
=
et
D’après la relation de la forme locale du théorème de Gausse et puisque E = 0 à l’intérieur du conducteur,
Donc
et par suite = 0 ( # 0).
4- La densité de charge en A et en A’ n’est pas la même.même.Parce que : - La forme de la sur face face en A et en A’ n’est pas la même. Ou - Le rayon de la courbure en A et en A’ n’est pas le même. 5- Le champ au voisinage de A et A’ n’est pas le même. Parce que : - D’après le théorème de Coulomb, le champ au voisinage d’un point du conducteur en équilibre équi libre dépend de la densité en ce point, et comme σ (A) # σ (A’) ce qui est implique que les champs au voisinage de A et A’ sont différents. B1- Non, les deux conducteurs sont en influence influence partielle. Parce que : - Aucun conducteur n’entoure pas l’autre. Ou - toutes les lignes de champ partant du conducteur (C) n’arrivent pas totalement au conducteur (S). 2- a – la la répartition des charges sur les deux conducteurs.
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Les charges positives du conducteur (C) attirent les charges négatives du conducteur (S) et repoussent les charges positives. b-La représentation de quelques lignes de champ.
Les lignes de champ partent de (C) perpendiculairement à la surface et aboutissent à (S) également perpendiculairement à la surface. 3- Le potentiel en B est inferieur à le potentiel en A (V(A)>V(B)) Parce que :
- De A vers B les potentiels décroissants ( V) 4- Si on relie (S) au sol les charges positives du conducteur (S) vont s’écouler vers la terre.
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Exercice II : 1- Application des lois de Kirchhoff (Loi des nœuds nœuds et loi des mailles) au circuit de la figure 2-a.
-Loi des nœuds : nœuds : Nœud A → Nœud B → (même équation) Donc = 0 (1) -Loi des mailles : Dans le circuit il y a deux mailles indépendantes (I) et (II). - Pour la maille (I) on a -E + = 0
On met – met – E car on rencontre le pôle (-) en premier. Si on rencontre le pôle (+) on premier on met +E.
Donc - Pour la maille (II) on a On met le signe (-) devant
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= E (2) (3)
car le sens de parcours est différent que celui du courant
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.
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On met le signe (+) devant
car le sens de parcours est le que celui même du courant .
– Les relations (1), (2) et (3) forment le système suivant :
(2)
↔
→
↔
→
(2)’
’
’ Dans (1) → →
(1)’
’ Dans (1)’ → →
→
→ →
-Pour (2)
↔
(1)’
→
(2)’’ dans (1)’
→
(2)’’
→
→
→
→
-Pour On a
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↔
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+ + + + + + + →
→
Méthode :
On a
On pose
I=
Donc
,
est la matrice associée au système.
,
Avec = det I le déterminant associé au système.
Et
Pour
:
par
+
par
+
on a
Et puisque
En remplaçant la première colonne
Et on trouve que Ce qui donne Pour
:
on a
Et puisque
En remplaçant la deuxième colonne En
Donc on trouve que Ce qui donne Pour
:
on a
Et puisque
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En remplaçant la troisième colonne
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par
+
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Donc on trouve que Ce qui donne
Par suite on prendra 2- Application du théorème de Thevenin On enlève la branche AB contenant le dipôle (E’, r’) le montage devient celui de la figure figure 2-a 2-a avec
Tension de Thevenin
.
Avec
Donc
Et par suite D’où
Résistance de Thévenin
On court-circuit le générateur E
→
R//R//R
→
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D’où
On met la branche AB enlevée
Soit le montage suivant :
Et on a
→ →
Donc
Et par suite
3- Application numérique
E = 40V, 40V, E’ = 10V, r’ = 2 et R = 24
On a I’>0 → le dipôle (E’, r’) se comporte comme un récepteur. 4- La puissance consommée par le récepteur (E’, r’)
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Donc
Application numérique :
E’= 10V, I4 = 0.33A 0.33A et r’ = 2 → D’où
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Contrôle 2 électricités 1 2007 /2008 Exercice 1 Soit un conducteur (A) sphérique de rayon équilibre.
portant la charge Q. (A) est supposé en
1) Comment est répartie la charge Q dans le conducteur (A) et avec quelle densité ? 2) Quel est le champ au voisinage du conducteur ? Justifier votre réponse. 3) Quel est le potentiel crée au centre O du conducteur (A) par un élément de sa
surface portant la charge ? En déduire la capacité du conducteur (A). 4) En déduire la capacité du conducteur (A).
Un autre conducteur (B) sphérique et creux, de rayon interne et externe initialement neutre, entoure le premier conducteur .
(A)
5) Quelle est la charge de (B) et comment est-elle répartie ? 6) On met le conducteur (B) au sol. quelle est la nouvelle répartition de charge ? Justifie votre réponse. 7) Quel est le potentiel du conducteur (B) ? 8) Déterminer le nouveau potentiel du conducteur (A). 9) Que représente l’association des conducteurs (A) et (B) ? (B) ? Quelle est ça capacité ?
Exercice 2
Soit le circuit de la figure1 constitué de résistances .
1) Exprimer les résistances équivalentes entre A et C et entre A et B en fonction des et calculer leurs valeurs.
On donne
Figure 1
2) Supposons que l’on branche entre A et B un générateur de force électromotrice E et de résistance interne r. a) Déterminer la ddp entre A et C b) Déduire les intensités des courants qui circulent dans les résistances . c) Trouver le courant débité par le générateur.(On donnera l’expression littérale puis la valeur numérique). On donne www.rapideway.org
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3) Le générateur précédent (E,r) est maintenant branché entre A et B. Calculer le courant débité par le générateur. 4) Comparer les expressions de . a quelle condition sont-t-elles sont- t-elles égales ? Le courant dérivé par un générateur de tension dépend-il dépend- il du circuit que l’on branche à ses bornes ? Justifier votre réponse. 5) Calculer pour chacune des situations des questions 2 et 3 : (On donnera les expressions littérales puis les valeurs numériques). a) Les puissances fournies par le générateur. On notera et ces puissances. b) Les puissances dissipées par effet Joule dans le générateur. On les notera et . c) Les puissances dissipées par effet Joule dans dans le circuit extérieur au générateur. On les notera et . d) Vérifier la conservation des puissances.
Corrigés Contrôle 2 électricités 1 2007 /2008 Exercice 1
1) Comme le conducteur conducteur (A) est supposé en équilibre donc le charge Q est répartie sur la surface, avec une densité surfacique
∬ ∬
En effet : Comme le conducteur (A) est sphérique donc le rayon de courbure est uniforme ou S la surface de (A)
2) Le champ au voisinage de (A) la surface S du conducteur est une
∯
équipotentielles
, et les ligne de champ sont normales
au équipotentielles , ou bien la distribution admet une symétrique donc le champ est porté par avec avec
S
ou ou la normal au conducteur
Théorème de Gauss :
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∬ ∬ ∬ ∬ (
S
( avec S=
)
E=
Donc le champ au voisinage du conducteur est avec
et
3) Le potentiel
crée au centre O du conducteur.
dQ
O
Pour V(0) :
On a:
Si la surface de la sphère {conducteur (A)} Alors :
Le conducteur (A) est en équilibre, donc d’après (1) on a
Donc le potentiel V est le même que celui crée par la charge Q placée au centre O . 4) La capacité C par définition est :
5) Le conducteur (B) est initialement neutre donc La répartition des charges sur les deux conducteur
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Influence total
Et puisque puisque (B) est neutre
6) Si on met le conducteur (B) au sol les charges (+Q) de la face extérieur vont s’écouler vers la terre ce qui implique que la charge Sur cette face devient nulle.
7) Potentiel On a :
,
pour un point P
Avce OP= 8)
On a pour un point O,
D’après (3) : (3) :
, comme A en équilibre
9) L’association des conducteurs (A) et (B) représente un conducteur sa capacité est donné par
,
,
Exercice 2
1) La résistance équivalente
A
, Alors :
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C
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-
La résistance équivalent
Avec :
:
+
=
.
et
2)
a) On a la loi de maille :
(1) ,
I
(2)
(1)
r
E
(2) dans (1)
b) L’intensité de courant qui circulé dans
Maille (I) : Nœud
: :
I
On a :
Alors :
(I)
r
Donc : Nœud
:
E
C www.rapideway.org
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{
Avec
De même
Ou plus simple, toutes les résistances ont la même tension
Donc
Et :
car le circuit est ouvert.
c)
D’après la relation (2) de { 2)-a)} 2) -a)}
, application numérique
.
3) Le générateur (E,r) est branche entre A et B Maille (I) :
avec :
AN ;
4) On a
et
donc :
Il est donc évident que le courant délivré par un générateur de tension dépend du circuit branche entre ses bornes.
5) a)
b)
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c)
d) On a vérifié bien que
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Contrôle 2 Electricité 1: SMP-SMC 1: SMP-SMC 2006/2007 Exercice I : Une sphère conductrice pleine de centre O et de rayon R portant portant une charge Q uniformément répartie avec une densité σ est en équilibre électrostatique . 1°-Déterminer 1°-Déterminer le potentiel électrostatique V de ce conducteur 2°- Déterminer 2°- Déterminer la capacité C de ce conducteur 3°- Déterminer 3°- Déterminer la valeur de rayon R pour pour réaliser une capacité de 1 Farad. 4°-Physiquement 4°-Physiquement cette capacité est elle réalisable? Justifier votre réponse. On donne Exercice 2 :
Dans une salle de travaux pratiques ; on dispose d’un générateur idéal de force électromotrice E supérieur à supérieur à 12 V. On V. On veut alimenter une lampe de 12V (la lampe ne s’allume que lorsque la tension à ces bornes est égale à 12V). Pour ce faire on a réalisé le montage de la figure 1. r. la résistance entre A et B est R . lorsque le curseur mobile C est La lampe a une résistance r. la au niveau de B ;la lampe est éteinte. On déplace doucement le curseur à partir du niveau B jusqu’à la position où la lampe est s’allume. La résistance entre A et C est alors xR
1°- En 1°- En appliquant les lois de kirchhoff ; déterminer les courants dans les différentes branches en fonction de E ; x ; r et R et et calculer les valeurs de ces courants. 2°- Quelle 2°- Quelle est la valeur de la d.d.p. d.d.p. U aux bornes de la lampe ? Exprimer U en fonction de E ; x ; r et R 3°- En déduire la valeur de E . 4°- En 4°- En comparant E comparant E et et U ; quel le role de ce montage ?
5°- Calculer 5°- Calculer la puissance fournie
lampe . Comparer
6°- Par 6°- Par application du théorème de Thevenin ; trouver le courant I’ traversant I’ traversant la deuxième lampe. 7°- Déterminer 7°- Déterminer la valeur de I’. I’. 8°- Les 8°- Les lampes seront-elles allumées ou éteintes ? justifier votre réponse.
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Figure 1 xRxR
A
E I’
Figure 2
C
D
(1-x)Rrlampe .
B B
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A
E
(1-x)R.
C
r
r
E
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Corrigés Contrôle 2 Electricité 1: SMP-SMC 1: SMP-SMC 2006/2007 Exercice I : 1/ le potentiel V de conducteur
M
Le conducteur possede une symétrie sphérique Donc
O r
R
∯ → est porté par
Sg
et ne dépend que de r
Surface de Gauss ,
On a
Comme le conducteur en équilibre Pour r=R on a 2/ la capacité C
On a C =
3/calculons R pour C= 1F On a C =
avec
A.N
4/ physiquent cette capacité n’est pas réalisable à réalisable à cause de dimention du rayon R est très petit
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Exercice II : 1/ Application des lois de kirchoff (loi des nœuds et loi des mailles )
Loi des nœuds Nœud c
A
1
xR
Loi des mailles
+
Dans le circuit il ya deux mailles indépendantes *maille (1). – E+xR E+xR 2 *maille (2).
r
1
E
C
(1-x)R
3
2
B
Les relation 1 ; 2 et 3 forment le systémesuivant .
Donc
Avec
= Er + E(1-x)R
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r
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à = E
Pour Pour Pour
2/la valeur de la ddp U au bornes de la lamp
U
r
3/ d’après 2
A.N 4/
5/ la puissance fourmi par le générateur
6/ Application du théoréme de thevenin
On enléve la
Tension de thevenin
xR
C
r
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B
E
Résistance de thevenin On court-circuite le générateur E xR
xR
(1-x)R
r
r
On remet la branche enleveé r
8/ les 2 lampes seront allumeé car la tension au sa bornes égale à 12V
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4
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Contrôle 2 d’électricité 1 SMPC & SMA 2008-2009 Exercice I : Soit le montage de de la figure 1 avec les générateurs (E1, r 1), (E2, r 2) et (E3, r 3) et X une résistance. 1) Calculer les intensités des courants I1 et I2 2) Calculer le courant I dans la résistance X : a) par application du théorème de superposition b) par application du théorème de Thevenin
Exercice II Soient deux sphères S1 et S2 concentriques conductrices, placées dans le vide (voir figure 2) . S 1 est pleine de rayon R 1, S2 est creuse et infiniment mince de rayon R 2 (R 2i 2i=R 2e 2e=R 2) 1) S1 et S2 sont reliées par un fil conducteur et portées au potentiel V, calculer les charges Q1 de la sphère S1, Q2i de la face interne de S2 et Q2e de la face externe de S2 2) Le fil est maintenant rompu ; S 1 est portée au potentiel V1 et S2 est portée au potentiel V2 tels que V1≠ V2. Donner Donner les charges Q’1 , Q’2i et Q’2e en fonction de R 1 ,R 2,V1 et V2 3) En déduire la capacité du condensateur ainsi formé.
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Corrigés Contrôle 2 d’électricité 1 SMPC & SMA 2008-2009 : Exercice I :
1°/ Calculons
Pour
et
et
Les lois de Nœuds Nœud A : A :
+ =I
NœudB : NœudB : + =I (meme equation) :
+ -I=0
Lois des mailles
Dans le circuit il y a deux mailles indépendantes indépendantes (I) et (II)
Maille (I) :
(2)
Maille (I) :
(3)
∆=
∆=1
=
=
Pour
Pour
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2°/-Calculons I le courant dans la résistance X
a-théorème de superposition Les intensités des courants
et
Etat 1 : On considère le premier générateur
l’ensemble de de résistances X et
se calculent à partir des états 1 et 2. débite un courant d’intensité dans
en parallèle.
La déférence de potentiel entre les points A et B est telle que :
*
*(X//
=
-D’après la loi de Pouillet : Pouillet : on a
=
-ou bien la maille (I) donne
(X//
)
Finalement :
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(X//
avec
X//
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Donc :
Donc :
Finalement :
Etat 2 : le générateur
fonctionne seul le générateur
dans l’ensemble de résistance
débite un courant d’intensité
et X en parallèle.
La d.d.p entre les deux points A et B est telle que :
=
( //X)
=
Pour
La maille (I) ( //X)
avec
//X=
Donc :
-Finalement
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b°/-Application du théorème de Thevenin
On élève la résistance X et on calcule la d.d.p
Tension de Thevenin
à vide
à vide
=
Ou
à vide
=
Le courant
est donné par la loi de Pouillet : est
Ou bien
La maille (I)
C.à.d.
Donc
Donc
Resistance de Thevenin
On court-circuite les générateurs
et
//
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On remet la résistance X enlevée
Maille (I) :
Donc
-Finalement
Exercice II 1°/- lorsqu’on relie ( équilibre.
) et
par un fil conducteur on a qu’un seul conducteur en
Toute la charge est répartie sur la surface extérieure de rayon
à l’intérieur, il n a pas de charge donc :
Toute la charge est répartie sur la surface de rayon crée le potentiel V du conducteur.
Pour r=
Donc -Finalement
2°/-
qui
La distribution admet une symétrie sphérique donc le potentiel à l’extérieur est le même que celui crée par la charge
Pour
cette charge
placée au centre O.
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Les deux conducteurs sont en influence total donc : A l’extérieur : :
La distribution admet une symétrie sphérique donc
Surface de Gauss : la sphère sphère de rayon r et de centre O.
Théorème de Gauss :
∯ ∑ dd ∫ ∫ .ds =
=
+C
Pour
Pour
On a
=
avec (V(
)
V
=
Donc
Alors
3°/- par définition on a
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Exercice Exercice 1 : 1. Un condensateur plan est constitué de deux armatures A et B planes, de surface S et séparées par une distance e . 2. Déterminer la capacité da ce condensateur.
3. Calculer la capacité d’un condensateur cylindrique constitué de deux cylindres coaxiaux de rayons
et
(
) et de hauteur h.
4. Calculer la capacité d’un condensateur sphérique constitués de deux sphères concentrique de rayons
et
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(
).
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Corrigés de l’Exercice : l’Exercice : 1. Condensateur plan On néglige les effets de bord.
+
∑
+
Tout plan perpendiculaire aux armatures est un plan de symétrie. Le champ
étant contenu dans ces
plans, celui-ci est perpendiculaire aux plaques. Le champ est invariant par translation le long des axes Ox et Oy. Le champ électrostatique ne dépend que de Z.
= E(z)
Les lignes de champ sont parallèles entre les deux armatures, par conséquent, le champ uniforme.
=
+
=
+
est
=
Circulation du champ électrostatique :
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∫ d ldl =
-
-
=
Expression de la capacité :
C=
=
C= 2. Condensateur cylindrique
s
:
Soient deux cylindres infinis coaxiaux de rayons respectifs
L’armature interne porte la charge Q . Le champ
et
avec
.
est par raison de symétrie, radial (voir chapitre chapitre 1), on ne considère donc que la
surface latérale du cylindre, le flux sortant par les bases étant nul. Vue en coupe du cylindre
h
Axe
Théorème de Gauss
∯
On choisit comme surface de Gauss un cylindre de rayon r (r
=
E. 2rh =
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) et de hauteur h.
E =
–
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Circulation du champ électrostatique
∫ ∫ ln =
-
=
=
On en déduit C :
C=
C=
3. Condensateur sphérique
Soit
un
et
condensateur
avec
>
formé
par
deux
sphères
concentrique
de
rayons
le
champ
.
L’armature interne porte la charge + Q. Le
système
possède
la
symétrie
(voir
chapitre
1)
électrostatique est donc radial. Théorème de Gauss : On choisit comme surface de Gauss, une sphère de rayon r.
∯ .
=
.4
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=
avec
=Q
E=
Circulation du champ électrostatique : F. DANI
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∫ ∫ -
=
-
=
.
=
. dr
Expression de la capacité :
C=
C= 4
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Optique Géométrique : Contrôle 2 optiques géométriques : SMP-SMA-SMC 2004
EXERCICE I :
|̅|
On considère un dioptre sphérique concave de sommet S, de centre et de rayon , séparant deux milieux homogènes transparents d’indices
1/
2/ 3/ 4/ 5/
6/
.
a) Donner dans les conditions de Gauss, l’expression de la relation de conjugaison du dioptre sphérique, avec origine au centre C. quelle est la nature de ce dioptre sphérique? b) Rappeler la relation du grandissement transversal en fonction de . Donner la définition des plans principaux objet et image .montrer .montrer que les points principaux objet et image du du dioptre sphérique sont confondus avec S. Déterminer les foyers principaux objet et image (on (on demande ). Etablir la relation entre a distance focale objet , la distance focale image , Ce dioptre donne d’un objet réel de hauteur 1 cm placé sur l axe optique, une image virtuelle droite de hauteur 2 cm. Déterminer la position de l’objet droite et celle de l’image . Faire une construction géométrique a l’échelle
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅
EXERCICE II :
Soit une lentille mince convergente, de centre optique O, de foyer convergence . 1/ 2/
et et de
Ou doit – doit – on on placer un objet réel pour obtenir une image droite droite quatre fois plus grande que l’objet ? l’objet ? Cette lentille est destinée à servir d’une loupe pour observer un objet proche de petite taille. L’œil d’observation étant normal et placé en un point au au voisinage du foyer image sur l’axe optique de la lentille. sur a) S’agit – dans – dans ce cas d’un instrument objectif ou subjectif ? ? justifier votre réponse. b) Donner l’expression de d e la puissance P de la loupe en fonction de f. la position du foyer image et et celle de l’image par rapport a l’œil placé en . par c) Calculer sa puissance intrinsèque et sa latitude de mise au point.
On donne les distances minimale et maximale de vision distincte:
EXERCICE III :
On considère un doublet constitué de deux lentilles minces et de centre optique , de même axe principale et baignant dans l’air. Le doublet a pour symbole (3, 2,1) et pour épaisseur optique
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̅
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̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅
1/ 2/ 3/
Donner la relation qui au symbole du doublet. Sachant que l’épaisseur optique , calculer les distances focales images et et . Déterminer par calcule les positions des points cardinaux du doublet : (on (on
4/
donnera ). Construire géométriquement les points cardinaux puis mesurer les grandeurs algébriques : . comparer aux résultats obtenus en 3/.
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Corrigés Contrôle 2 optiques géométriques : SMP-SMA-SMC 2004 : EXERCICE I :
|̅|
1. a.
̅ ̅ ̅
Formule de conjugaison d’un dioptre sphérique :
̅
au milieu plus réfringent
b.
2.
̅
dioptre convergent.
grandissement transversale. grandissement
Le plan principal objet est le lien d’intersection des incidents passant par F et leurs émergents correspondants.
Le plan principal image est le lieu des points d’intersection d’incident à l’axe optique et leurs émergents correspondants.
Les deux plans principaux objet et image sont
à l’axe optique pour lequel
̅̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅
De même on remplace
par
(
Donc
3.
Position des foyers :
Pour un objet
situé a F (
)
l’image
sera sera a l’infini l’infini
Pour
Si l’objet poser à l’infini son image
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–
a travers DS sera au foyer image
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4.
̅ ̅ ̅ ̅
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ * ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ * ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ Relation entre la distance focale objet et la distance focale image
.
Soit
Soit
On fait le rapport de
5.
La position de l’objet
par par
et de l’image
On a On a
6. Construction geométrique :
F
B
A
C
S
EXERCICE II :
̅ ̅
1. Objet réel AB Droit Droit
image
droit. droit.
Plus grand 4fois de l’objet
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̅̅̅ ̅ ̅ ̅̅ ̅ ̅ ̅ ̅
Donc On a Or :
AN :
2.
a. Comme l’objet est proche et réel et donne une image virtuelle alors cet instrument est subjectif. b. La puissance P de la loupe.
̅ .. ̅ / ̅ * ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ c. La puissance intrinsèque AN :
Latitude de mise au point de la loupe.
AN :
EXERCICE III :
1. Relation entre Le doublet a pour symbole (3, 2,1)
2. L’épaisseur
On a
3. Position des points cardinaux du doublet :
Foyer
(Application de formule de newton)
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̅ ̅ ̅ ̅ ̅
Points principaux
4. Construction géométrique.
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Contrôle de l’optique géométrique SMP-SMA-SMC 2006 Exercice I :
|̅|
On considère un dioptre sphérique de centre C, de sommet S et de rayon égale égale à 2cm. Ce dioptre sépare deux milieux transparents et homogènes d’indices d’entrée et de sortie
tel que
. La distance focale image de ce dioptre est f’= 6cm.
1- Sachant que le milieu de sortie est l’air, déterminé . 2- Construire géométriquement ce dioptre sphérique et placer ses foyers objet F et image F’. 3- On place un objet réel AB de hauteur 1cm à 4cm du sommet S du dioptre sphérique.
a- Déterminer la position de l’image A’B’. En déduire sa nature. b- Faire une construction construction à l’échelle unité. 4- Où faut-il faut-il placer un objet AB réel, par rapport à S, pour obtenir une image A’B’ réelle, renversée et 2 fois plus grande que AB ? Exercice II :
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅
Un oculaire est constitué par deux lentilles minces et de distances focales images respectives et . La distance entre leurs centres optiques est . 1- Déterminer par construction géométrique (utiliser la feuille graduée) : a- Les foyers objet et image de l’oculaire, on donnera et étant le foyer objet objet de et le foyer image de ). b- Les points principaux objet et image et image de l’oculaire, on donnera
et
.
2- Utiliser les formules d’association de deux systèmes centrés pour calculer
, et 3- En déduire la puissance intrinsèque oculaire. Exercice III :
(
. et le grossissement commercial
et
de cet
On associe un oculaire de distance focale image à un objectif de distance focale image pour constituer un un microscope microscope ayant ayant un intervalle optique optique = 18cm. 1- Calculer la puissance intrinsèque et le grossissement commercial de ce microscope. 2- L’objectif de ce microscope donne d’un point objet A une image située au foyer objet de l’oculaire. a- Déterminer le grandissement linéaire de cet objectif.
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b- Retrouver à partir de les valeurs de la puissance intrinsèque et le grossissement commercial du microscope (on utilisera pour cette
question
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).
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Corrigés de Contrôle de l’optique géométrique SMP-SMA-SMC SMP -SMA-SMC 2006
Exercice I : 1- On a
donc
avec
D’où 2-
(air)
La construction géométrique du dioptre R=2cm et
(A=F implique que A’→ ∞ implique 3-
réel (SA<0)
a-
On a
)
implique que
Et par suite Alors
Application numérique
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b- C o n s t r u c t i on
(1)
4- on a
ET on a
Donc
On remplace dans la relation (2) Donc
(2)
d’où
L’objet AB à 12cm du sommet S.
Qui donne AB réel. réel.
Exercice II :
1- La représentation de -
,
,
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,
,
et
et de
la position de
et de
et
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2- La représentation de -
,
,
,
,
et
et de
la position de
et de
Et
N.B : pour les deux figures on pourra pourra considérer que les carreaux de la feuille sont de 1cm de côté, échelle unité. 2-
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Contrôle II optique géométrique : 2007Filières : SMP-SMA-SMC Exercice I : (A traiter dans les conditions de l’approximation l’approximatio n de Gauss)
On considère un dioptre sphérique convergent de sommet Ce dioptre sépare deux milieux homogène et transparent d’indices (milieu de sortie).
1. 2. 3.
Rappeler la relation de conjugaison ainsi que celle du grandissement linéaire pour un dioptre sphérique avec origine au centre. Déterminer la position des foyers objet F er image F’ de ce dioptre (On
̅ ̅ ’ ̅ ⁄̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅
donnera et ). Ou doit-on doit-on placer, sur l’axe principal de , un objet réel AB de hauteur 1 cm pour pour que son image a travers ce dioptre soit virtuelle, droite et deux fois plus grande que l’objet ? en déduire la position de l’image. On donnera
4. 5.
et de rayon . (milieu d’entrée) et
.
Faire une construction géométrique a l’échelle . On associe au dioptre un autre dioptre sphérique de centre , de sommet et de rayon comme comme indiquer sur la figure ci-contre. a. En utilisant la relation de conjugaison avec origine au centre pour monter que le système optique monter obtenu est équivalent a une lentille mince ? b. En déduire sa distance focale f en fonction de et R. Exercice II :
On considère deux lentilles L et L de centre optique
même axe optique, tel que 1. 2.
et
, placées dans l’aire et ayant
. On donne les distances focales
images
.
Calculer les distances focales du système optique équivalent aux deux lentilles du (On donnera et ). En déduire la nature du système ainsi formé.
et
a. Construire géométriquement les positions des foyers objet et image et les positions des
points et plans principaux objet et image (On donnera donnera feuille jointe . b. Comparer a celles de la question 1.
,
,
et
).Utiliser la
Exercice III :
Le système construit par deux lentilles de l’exercice 2 ci-dessus, ci-dessus, forme un oculaire de distance focale image pour un microscope dont l’objectif pour l’objectif est une lentille de www.rapideway.org
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distance focale image . Ce microscope d’intervalle optique est utilisé par un œil d’observation normale placé au foyer image de l’oculaire. Il sert à analyser un objet réel AB placé sur son axe optique devant l’objectif. 1. 2. 3.
Construire géométriquement l’image obtenue a travers ce microscope dans le cas d’une vision a l’infini. Calculer la distance focale du microscope. En déduire sa puissance pour une mise au point a l’infini. Etablir e calculer le grossissement commercial.
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Corrigés de Contrôle II optique géométrique : 2007Filières : SMP-SMA-SMC Exercice I : 1. ა
̅̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ა
2.
̅ ̅ ̅
Relation de conjugaison avec origine au centre pour u dioptre sphérique :
Grandissement linaire :
Position des foyers principaux.
Foyer objet Objet A placé a ა
;
ა
Foyer image : Objet a l’infini
l’image confondue avec
Alors :
AN :
3.
On à l’objet AB réel donne une image droite et deux fois plus grande que l’objet
AN :
On a
4.
Construction géométrique
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̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ * .̅̅/ * * * * ̅ ̅
Dioptre
:
Dioptre
=
5.
Soit
Exercice II :
1.
̅ Les distances focales et On a
On a 2.
de système optique équivalent aux deux lentilles de
et
avec
équivalent est convergent.
1. Construction géométrique
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̅
̅
̅ ̅ ̅ ̅
A partir de la construction On a :
2.
Les valeurs des distances focales calculées en 1°) sont égale aux valeurs trouvées géométriquement Exercice III :
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1.
’ ’
Les étudiants doivent noter que dans ce cas
2.
La distance focale
du microscope
Pour une mise au point à l’ infini, la puissance P
3.
Le grossissement commercial
: Pour l’observatoire normal.
AN :
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Contrôle 2 optiques géométriques SMP-SMA-SMC 2007/2008 Question de cours : (4pts) Pour un instrument optique définir : a. b. c. d.
Le grandissement linéaire Le grossissement La puissance Le grossissement commercial
Problème :(16 pts)
̅ ⁄ ’ ⁄ ’ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅
Sur un banc optique, on place deux lentilles minces
focales images respectives . . Un objet réel AB, de hauteur 1,5mm, est placé a 30mm du centre optique de . 1) Déterminer la position de l’image intermédiaire , par rapport a , et la position de l’image finale finale par par rapport a . 2) Calculer le grandissement linéaire de l’image finale. 3) Construire géométriquement (Figure 1, une demi page) les deux images et 4)
SVP). Quelle est la nature de l’image (échelle sur et sur , a respecter SVP). l’image ? Déterminer par construction géométrique (figure 2, même échelle, une demi page) les deux points cardinaux (
) du système optique (S) constitué de
approximativement
Calculer l’intervalle l’intervalle optique :
6) 7)
Calculer, en utilisant les formules de Newton, Calculer :
et
et
.
(ne (ne pas utiliser les valeurs de la question 4) 4)
8)
Construire l’image
9) 10)
3meme échelle). Quelle est la nature de l’image ? Le système est il convergent ou divergent ? justifier. Quelle utilité peut avoir le système étudie.
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. En déduire
.
5)
En déduire
et
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de l’objet
–
à travers le système centré
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(figure (figure
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Corrigés : Contrôle 2 optiques géométriques SMP-SMA-SMC 2007/2008 Question de cours : a) Grandissement linéaire
On appelle grandissement linéaire ou transversal le rapport de la mesure algébrique de de :
b) Grossissement G. G.
̅ ̅
G est le rapport de l’angle sous lequel on voit l’image depuis la pupille de sortie (Os) du système a l’angle sous lequel on voit l’objet la ou il est a l’œil nu sans instrument.
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ̅̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅
c) Puissance P La puissance d’un instrument est le rapport de l’angle sous on voit l’image donnée par l’instrument a la longueur de l’objet.
d) Grossissement commercial Est défini en choisissant la distance minimum de vision distante égale à 0.25 m
Problème :
1)
:
Donc
:
Donc
Avec
AN : 2) Grandissement : On a
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a a celle
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3)
4)
Mesure approximative d’apures la construction géométrique
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̅ ̅
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̅̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ̅ ̅ ̅ 5)
6)
(
) : Formule de newton :
On applique la formule de newton pour la lentille (
7)
):
AN
AN :
8) Construction géométrique : de l’image
L’image A’B’ est virtuelle
9) On
a
10) Le système donne une image virtuelle agrandit d’objet virtuelle Alors parle d’un oculaire
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Contrôle 2 Semestre 2 SMPC & SMA Tome II
Chimie Générale : Extrait de contrôle de chimie SMP-SMA-SMC2004
I/ Le cyanure d’argent est un peu très soluble.
1) Calculer la solubilité de dans l’eau pure en supposant que et sont des ions indifférents. 2) En fait, l’ion est une base faible. Etablir l’expression de la solubilité de en fonction de 3) En déduire la valeur de la solubilité de dans une solution tampon de . Comparer les deux valeurs de la solubilité et conclure. Données : à 25 °C
;
=7,24.
II/ A partir du couple on réalise les deux demi-piles suivantes à 25 °C : -Compartiment 1 : une une électrode de platine plangeant plangeant dans une solution aqueuse contenant des ions ( M) et des ions ( M). -Compartiment 2 : une électrode de platine plongeant dans une solution aqueuse contenant des ions ( M), des ions ( M) et des ions ( M). L’ion forme avec l’ion le complexe tandis que l’ion n’est pas complexé. 1)Ecrire les réactions ayant lieu dans cheque compartiment. 2)Donner l’expression des potentiels et relatifs aux compartiment 1 et 2. Sans faire de calcul, comparer ces potentiels. 3)On constitue une pile en associant les deux demi-piles décrites ci-dessus. Faire un schéma de cette pile en indiquant les polarités, le sens de déplacement des électrons et celui du courant électrique. 4)Sachant que la f.e.m de la pile ainsi formée est égale à , calculer la concentration des ions contenus dans le compartiment . 5)Calculer la constante de formation du complexe . Données :
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à
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Contrôle 2 Semestre 2 SMPC & SMA Tome II
Edition 2012
Corrigés Extrait de contrôle de chimie SMP-SMA-SMC2004
[] [] I/
1) La solubilité de
:
+
S=
Donc S= AN : S=
=
2)
On a
S=
=
=
=
Donc S=
3)
donc
Alors : La solubilité de
augmente lorsque le
diminue.
II/
1) Les réaction ayant lieu dans chaque compartiment Compartiment-1 : Compartiment-2 : 2) Les potentiels
et
relatifs au compartiment 1 et 2
Compartiment-1 :
Compartiment-2 : On a 3)
I courant éléctrique
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Contrôle 2 Semestre 2 SMPC & SMA Tome II
4) On a
log log E
Ceci équivalent à A.N : 5) La constante de formation t=0 teq
On a A.N
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C C-x
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du complexe
C C-x
–
0 x
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