Corrigé du devoirs Une sphère diélectrique uniformément polarisée
1. On a div P Montrer que les densités de charge surfacique σP et volumique ρP de polarisation satisfont :
ρP=- div
P =0 car P uniforme
σP =
P .n
Ici, en cordonnées sphériques, n = u r orienté vers l’exterieur de la sphère en tout point, donc
puisque P =P0 u z , on a σP = P . n =P0 cos θ.
2. On cherche à calculer le champ Ed en O dû aux charges de polarisation
P . On se place en coordonnées sphériques.
σP en fonction de
Le champ dû à un élément de surface dS de la sphère s’écrit d S =R 2 sin θ d θ d φ u r Il porte une charge σPdS et crèe au centre de la sphère un champ, par Coulomb, σ P dS q = − dE = − u ur orienté depuis la charge vers le centre de la sphère donc r 4πε 0 R 2 4πε 0 R 2
selon - u r . Par symétrie, le champ résultant final sera entièrement selon l’axe z. En effet, tout élement de surface dS et son symétrique par rapport à Oz crèent des champs identiques selon z mais opposés selon x et y donc leur somme est nécessairement selon Oz. On peut donc ne retenir
de d E que sa composante selon Oz, à savoir dE z = dE cosθ . Le champ résultant total en O est alors :
∫∫
E (O) =
dE Z u z
surface _ sphère
=
∫∫
−
surface _ sphère
=
cos θσ P dS u z 4πε 0 R 2
θ =π
∫∫
ϕ = 2π
cos θ P cos θ R sin θ dθ dϕ − u z 4πε 0 R 2 2
∫ ∫
surface _ sphère θ = 0
ϕ = 0
θ =π
cos 2 θ sin θ dθ P 2 P =− u z = − uz = − uz 4πε 0 θ = 0 2ε 0 3 3ε 0 P 2π
∫
Donc la sphère polarisée induit un champ en son centre qui s’oppose au champ extérieur,
puisqu’il est selon - u z . C’est le champ dépolarisant déjà évoqué dans le problème des condensateurs en TD. Le champ final dans le diélectrique est donc plus faible que le champ exterieur du départ.
FIUPSO-IFIPS
Ondes
3. D’un point de vue des charges électriques, les deux sphères pleines superposées reviennent graphiquement à : z
z charges positives non compensées
+
O O
+
O O
=
+ les charges se compensent
++
+++
+
+
O O
= -
-
charges négatives non compensées
-
-
-
-
q + + Par Gauss, la sphère S crèe en son centre O un champ satisfaisant EdS = int ε 0
∫∫
+
On prend une sphère de centre O de rayon r. D’où l’application de Gauss et les symétries du problème mène au champ en tout point M de la syrface de cette sphère : 4 ρ π r 3 2 où r = O +M E + ( M )4π r = 3 ε 0
et E est dirigé selon O + M (de l’interieur vers l’exterieur radial). + ρ D’où E ( M ) = O + M 3ε 0 +
De même, le champ créé par la sphère chargée négativement (-ρ) de centre O- crèe : − − ρ − E ( M ) = O M 3ε 0 Donc le champ dû aux deux sphères vaut − + ρ − ρ − ρ − + − + E ( M ) = E ( M ) + E (M ) = O M+ O M = O O 3ε 0 3ε 0 3ε 0
Si on pose P = ρ O −O + , on retrouve le résultat de la première partie : E (O) = −
P
3ε 0
uz
C’est bien logique car on retrouve l’effet d’une sorte de dipole P = ρ O −O + correspondant au fait qu’on a ici deux sphères de densité de charge opposée ρ et séparés de O-O+ (donc bien une sorte de dipole). Donc la sphère polarisée se comporte en gros comme un dipole unique, ce qui redonne une forme intuitive de ce qu’est la polarisation (une sorte de somme des dipoles élémentaires), donc l’effet est là encore un champ opposé au champ qui l’a engendré.
