Capítulo 1 Números Reais, Intervalos e Funções
1.1 1. 1
Exer Exercí cíci cios os
1. Resolva as desigualdade em R: 1 > x+7
a. c. e. g.
1 2
1; x2 (6x (6x 9) > ; 2 p 3xx1 1; 2 3
2
< x; 3 x 7 x i. < ; x x 2 1 k. x4 < ; x x 1 m. 0 < < 2; 2x 1 x x 1 o. ; 2+x 3 2x x+1 x q. < 0; 2 x 3+x x 2 x+2 s. ; > x 4 x
2. Resolva as equações em <: a. j7xj = 4 x b. 2 c. 2x j3 xj j4 x j + jxj = 54; d. 2j7 e. jxjx+5 f. j = 0; x g. 15x = 4 h. 2 i. jx2 5x + 6j + 2 jx2 5x + 6j = 8
2x + 1 x 3 ; > 2x x+2 2 x x d. 12 x + 4 > 3 3 2 1 x x+2 f. < 2 x x 1 h. x2 < ; x 1 3 j. ; x1 + 1 x 2 x 3 l. 2 > 1; 4+x 1 3 n. ; 3x + 2 x 1 p p. e x2 1 0;
b.
6 x
x2 4x + 3 r. > 0; x2 4x 1 x 1 t. ; x+4 x+2
x + 1 2x 4 + 5 2x2 3x + 1 = 28; x x1 = 83 ; x 2 7 = 6;
j j j xj = 0; j j jj j j
1 ;
3. Resolva as inequações em <: a. j6 2xj 7;
b. jx + 4j j2x 6j;
6 5x 1 ; 2 3+x x+2 e. < 4; 2x 3
c.
d. j9 2xj j4xj;
g. 2 < jx 1j + jxj + jx + 1j < 9;
j j jx1j < ; k. 9 < jx 6xj 16; p m. jxj + x < 1; j2 + xj > 4; o. j3 xj q. 3 jx 1j + jxj < 1; 1 s. 1 jxj < ; jxj 2 u. 1 + jxj < ; jxj 1x ; w. j j x i.
10 3
jj
26 5
< x +
l.
2
1 f. x + 6; x 1 h. x + < 0; x j. 5 < 4 x2 < 12;
j j jxj > 2 x ; jxj x1
jx + 1 j 3 < 1 ; jxj jxj 1 p. j x + 1 j jx + 3 j ; r. j3 xj < ; 1 t. jx + 1j jx + 3j ; 3 2x v. 4; 1+x 3 y. p + 4 < 0; x1+2 n.
1 5
1 x 1
1 5
2 x x 3
4. Em cada caso, escreva a função pedida na forma mais simples e dê o domínio da função resultante 1 x , então x+1 1 i. f 1+x ; 1+x ii. (f f ) f ) (x) :
(a) Se f ( f (x) =
1 x2 (b) Se f ( , então f (x) = 2 x +1 i. g (x) = 2f 2 f ((x) f (2 f (2x x) ii. g (x) = 12 f ( f (x) f x2 iii. f ( f ( x 1) n+1 iv. f n 1
(c) Se f ( f (x) = 2x2 3x + 4, então encontre h(x) = f ( f (x + h) f ( f (x). (d) Se f ( f (x) = 4x2 3x + 2, então obtenha g (h) = f ( f () f ( f () 1 ( ) = (e) Se f ( f () = , então g . +1 1 + f ( f () f ( f ( )
f ( f (a + h) h
f ( f (a) .
3. Resolva as inequações em <: a. j6 2xj 7;
b. jx + 4j j2x 6j;
6 5x 1 ; 2 3+x x+2 e. < 4; 2x 3
c.
d. j9 2xj j4xj;
g. 2 < jx 1j + jxj + jx + 1j < 9;
j j jx1j < ; k. 9 < jx 6xj 16; p m. jxj + x < 1; j2 + xj > 4; o. j3 xj q. 3 jx 1j + jxj < 1; 1 s. 1 jxj < ; jxj 2 u. 1 + jxj < ; jxj 1x ; w. j j x i.
10 3
jj
26 5
< x +
l.
2
1 f. x + 6; x 1 h. x + < 0; x j. 5 < 4 x2 < 12;
j j jxj > 2 x ; jxj x1
jx + 1 j 3 < 1 ; jxj jxj 1 p. j x + 1 j jx + 3 j ; r. j3 xj < ; 1 t. jx + 1j jx + 3j ; 3 2x v. 4; 1+x 3 y. p + 4 < 0; x1+2 n.
1 5
1 x 1
1 5
2 x x 3
4. Em cada caso, escreva a função pedida na forma mais simples e dê o domínio da função resultante 1 x , então x+1 1 i. f 1+x ; 1+x ii. (f f ) f ) (x) :
(a) Se f ( f (x) =
1 x2 (b) Se f ( , então f (x) = 2 x +1 i. g (x) = 2f 2 f ((x) f (2 f (2x x) ii. g (x) = 12 f ( f (x) f x2 iii. f ( f ( x 1) n+1 iv. f n 1
(c) Se f ( f (x) = 2x2 3x + 4, então encontre h(x) = f ( f (x + h) f ( f (x). (d) Se f ( f (x) = 4x2 3x + 2, então obtenha g (h) = f ( f () f ( f () 1 ( ) = (e) Se f ( f () = , então g . +1 1 + f ( f () f ( f ( )
f ( f (a + h) h
f ( f (a) .
(f) Se f ( (2x), então f + 2 . f (x) = sin2 (2x
(g) Se f ( f (x) = ln x e g (x) = x3 , então i. (f g) (x) ii. (g f ) f ) (x) 5. Determine o domínio das funções:
p x + 1 b. f ( ; f (x) = (1 e ) (x + 1) d. f ( f (x) = j1 xj jx + 2j x; 3
x 1 a. f ( ; f (x) = xex + 2 x +1
c. f ( f (x) =
arcsen
x 2
x
;
ln (x 1) x e. f ( ; f (x) = x+1 1 g. f ( ; f (x) = ln (x2 + 1)
r j j p
f. f ( f (x) = h. f ( f (x) =
p 1x2 ln(sen x).
i. f ( f (x) = e
j. f ( f (x) =
k. f ( f (x) = (x 1 j3 xj)x ;
l. f ( f (x) =
m. f ( f (x) =
s
ln 2 + x
2
1
j j x1
; n. f ( f (x) =
p
ln (ex + 1) + 3 ; xx x2 + 1
p
;
p p r r x2
+
x2
cosh 1
+1
x2 3x+5 x 5
jj
;
x2 3x+5 x 5
1 senh (1 2x); jj p e x1j3xj
senh (1 2x )
:
6. Use a de…niçã de…niçãoo de módulo módulo para rede…ni rede…nirr as funções funções abaixo. abaixo. A seguir, seguir, esboce o grá…co de f . (a) f ( f (x) = jxj + j2x 1j + jx 1j (b) f ( f (x) = j9 x2 j 7. A função f ( Escreva a função sabendo que f ( f (x) é uma função do 1o grau. Escreva f (1) = 2 e f (2) 3: f (2) = 3: 8. Determine, nas …guras abaixo, se o grá…co é simétrico em relação ao eixo x, ao eixo y, à origem ou nenhum dos procedentes. y
y
x
y
x
y
x
x
9. A …gura em anexo mostra a parte de um grá…co. Complete o grá…co de forma que ele seja simétrico com relação: (a) ao eixo x; (b) ao eixo y; (c) à origem.
y
x
10. A …gura em anexo mostra mostra a parte parte de um grá…co. grá…co. Complet Completee os grá…co grá…coss supondo que: (a) f é uma função par; (b) f é uma função ímpar. y
x
11. Classi…que as funções cujos grá…cos estão na …gura abaixo em anexo, como pares, ímpares ou nenhum dos dois casos. y
y
2
y 5
-2
100
20
1 -4 --1 2
y 10
2
4
x
-4 -2
2
4
-4 -2 0
x
2
4
-4 -2
x
2 4
-100
12. Determine quais das funções são pares ou ímpares . (a) f ( (b) f ( 2s + 2; f (x) = 5x3 2x; f (s) = s2 + 2s a +a (c) f ( f (t) = jtj ; (d) f ( f (v ) = 2 ; p 1+u 2 (e) f ( f (x) = ln x + 1 + x ; (f) f ( f (u) = ln 1+u 1u : v
v
13. Mostre que se f e g são funções ímpares , então (f + g ) e (f g ) são também funções ímpares . 14. Mostre que se f e g são funções ímpares , então
f g
é uma função par .
15. Mostre que a função 12 [f ( f (x) + f ( f (x)] é par e que a função 12 [f ( f (x) f ( f (x)] é ímpar .
x
16. Demostre que qualquer função f : R ! R pode ser expressa como a soma de uma função par com uma função ímpar. 17. Mostre que a função f ( f (x) = ex pode ser escrita como a soma de uma função par com uma função ímpar. 18. Determine a fórmula da função inversa. Faça os grá…cos da função dada e de sua inversa. p x 1; x 1; +a (a) f ( (b) ; ( ) = f (x) = xx f ( f x a p 2 (c) f ( (d) f ( f (x) = x2x+1 ; x 0; f (x) = 5 4x + 2; (e) f ( f (x) = x25+1 ; x 0; 19. Em cada parte, combine a equação e um dos grá…cos em anexo. p (a) y = 5 x; (b) y = 2x 2 x5 1 (c) y = (d) y = 8 x; x8 p (e) y = 4 x 2 (f) (f ) y = 81 x
y
y
y 5
1 0 0
2
4
6
8
-4
5 -1
x
2
4
-5
-2
2
-2
5
5
0
x
x
y 10
-2
4
-1
y 10 1
-5
-2
x
y
-4
2
4
x
-4
-2
0
2
x
20. Mostre que a função f ( f (x) = 2xx+2 1 coincide com a sua inversa. 21. Seja a função de…nida por f ( f (x) = jx2 4j + 2 jxj : (a) A função f é par ou ímpar? ímpar? Use a de…nição de…nição de função par ou ímpar ímpar para justi…car sua resposta. (b) Use a de…nição de módulo para reescrever f como uma função de…nida por partes. (c) Construa o grá…co da função f_:
1.2
Respostas Exercício 1 (a) (7; +1) [ (1; 8) (c) 1; 53 (e) [2; +1) (g) (1; 2) [ (3; +1) (i) (1; 0) [ (2; +1) (k) (0; 1) (m) 1; 13 [ (1; +1) (o) (1; 2) [ 32 ; +1 (q) (1; 3) [ (2; +1) (s) (1; 0) [ (4; +1)
Exercício 2 (a) 23 ; 12 (c) f10g (e) f9g (g) 194 ; 214 (i) f1; 4g
(b) 2; 112 [ (0; +1) (d) (2; +1) (f) (1; 0) [ (2; 4) (h) (0; 1) (j) 1; 52 [ (1; 2) (l) (14; 4) (n) 78 ; 23 [ (1; 1) (p) [2; +1) (r) (1; 0) [ (1; 3)p [ (4; +1) p (t) (1; 4) [ 6; 2 [ 6; 1
(b) f1g [ [5; +1) (d) 3; 92 (f) 3; 13 ; 13 ; 3 (h) f11; 1; 3; 15g
Exercício 3 a. 1; 12 [ 132 ; 1 b. 1; 23 [ [10; +1) c. 119 ; 53 d. 92 ; 32 e. 1; 109 [ [2; +1) p p p p f. 1; 2 2 3 [ 3 + 2 2; 3 2 2 [ 2 2 + 3; 1 f0g g. (3; 3) f0g h. (1; 0) 1 1 1 1 i. (5; 3) [p 3 ; 5 [ p [ (3; 5) j. (4; 3] [ (3; 4) 5; 3 k. 2; 3 3p 2 [ 3 + 3 2; 8 l. (1; +1) 1 3 m. 1; 2 5 + 2 n. (5; 0) [ (0; 3) 14 o. (2; 3) [ 3; 3 p. (1; 3) [ (3; 1) [ (1; +1) p q. fg r. (1; p 2) [ 2; 2 + p 2 s. R t. 6 2; 2 + 6 [ (3; 1) u. (1; 1) p f0g v. 1; 72 [ 16 ; +1 w. 1; 32 3 [ 32 ; +1 f0; 3g y. fg
i
Exercício 4 x (a) (i) 2+x ; (ii) x 4 9x2 1 (b) (i) (x4x 2 +1)(4x2 +1) ; (ii) (c) 4xh + 2h2 3h (d) 8a + 4h 3 (e) 221 (f) sen2 (2) (g) (i) 3 ln x; (ii) ln3 x Exercício 5
4x4 9x2 4 2(x2 +1)2
; (iii) x(2+x) ; (iv) n22n+1 x2 +2x+2
(a) R (b) R f1; 0g (c) (1; 2) (d) 1; 13 (e) (1; +1) (f) (0; +1) (g) R f0g (h) R (i) (0; 1] (j) R f5g 5 (k) (2;p (l) f0g [ [2; +1) f5g +1) 2 (m) 2; 1 [ (1; 1) (n) [2; +1) x+7 Exercício 7: f (x) = 3 Exercício 8: origem; eixo x; eixo y; não há simetria. Exercício 9: (a) ímpar (b) nem par nem ímpar (c) par (d) par (e) nem par nem ímpar (f) ímpar
f (x) + f ( x)
f (x)
f (x)
Exercício 16: Sugestão: f (x) = + : 2 2 Exercício 17: Sugestão: escreva ex como ex = cosh (x) +sinh(x) : Exercício 18: a (x + 1) (a) f 1 (x) = (b) f 1 (x) = x2 + 1, para x 2 R+ : x
(c) f 1 (x) =
r r 1 5
x
1
x x
; f 1 : [0; 1) ! R+
(d) y =
x5
(e) f 1 (x) = ; para x 2 (0; 5] x Exercício 19: e; b; c; a; f; d. Exercício 21: x2 2x 4, se x 2 2 2x + 4, se 2 0 (a) par; (b) f (x) = xx2 + 2x + 4, se 0 x<
8>< >:
y6
(c) -2 0
2
x
2
4
Capítulo 2 Limite e Continuidade de uma Função 2.1
Exercícios
1. Para a função f (x) cujo grá…co está na …gura em anexo, determine (a) lim f (x) (b) lim+f (x) (c) lim f (x) x!3 x!3 x!3 (d) f (3) (e) lim f (x) (f) lim f (x) x!+1 x!1 y 3 2 1 -5
5
-1
10
x
2. Para a função f (x) cujo grá…co está na …gura em anexo, determine (a) lim f (x) (b) lim+f (x) (c) lim f (x) x!2 x!2 x!2 (d) f (2) (e) lim f (x) (f) lim f (x) x!+1 x!1 y2 1 -10
10
x
3. Para a função f (x) cujo grá…co está na …gura em anexo, determine (a) lim f (x) (b) lim+f (x) (c) lim f (x) x!4 x!4 x!4 (d) f (4) (e) lim f (x) (f) lim f (x) x!+1 x!1
y 4 2 0 2
-2
4
6
8
x
4. Para a função f (x) cujo grá…co está na …gura em anexo, determine (a) lim f (x) (b) lim+f (x) (c) lim f (x) x!0 x!0 x!0 (d) f (0) (e) lim f (x) (f) lim f (x) x!+1 x!1 y 10 5
-4
-2
2
4
x
5. Para a função f (x) cujo grá…co está na …gura em anexo, determine (a) lim f (x) (b) lim +f (x) (c) lim f (x) x!2 x!2 x!2 (d) f (2) (e) lim f (x) (f) lim f (x) x!+1 x!1 y3 -4
-2
0
2
x
6. Para a função f (x) cujo grá…co está na …gura em anexo, determine (a) lim f (x) (b) lim+f (x) (c) lim f (x) x!3 x!3 x!3 (d) f (3) (e) lim f (x) (f) lim f (x) x!+1 x!1 y 2 -4
-2
2 -2
4
x
7. Para a função f (x) cujo grá…co está na …gura em anexo, determine (a) lim f (x) (b) lim +f (x) (c) lim f (x) x!2 x!2 x!2 (d) f (2) (e) lim f (x) (f) lim f (x) x!+1 x!1
y 4 2 -8
-6
-4
-2-2 -4
2
4
x
8. Para a função f (x) cujo grá…co está na …gura em anexo, determine (a) lim f (x) (b) lim+f (x) (c) lim f (x) x!4 x!4 x!4 (d) f (4) (e) lim f (x) (f) lim f (x) x!+1 x!1 y 10 5
-2
2
4
6
8
10
x
9. Para a função f (x) cujo grá…co está na …gura em anexo, determine (a) lim f (x) (b) lim+f (x) (c) lim f (x) x!3 x!3 x!3 (d) f (3) (e) lim f (x) (f) lim f (x) x!+1 x!1 y
4 2
-6 -4 -2 -2
2 4
6 8
-4
x
10. Para a função f (x) cujo grá…co está na …gura em anexo, determine (a) lim f (x) (b) lim+f (x) (c) lim f (x) x!0 x!0 x!0 (d) f (0) (e) lim f (x) (f) lim f (x) x!+1 x!1 y
-4
10
-2
2
4
x
-10
11. Para a função f (x) cujo grá…co está na …gura em anexo, determine (a) lim f (x) (b) lim+f (x) (c) lim f (x) x!0 x!0 x!0 (d) f (0) (e) lim f (x) (f) lim f (x) x!+1 x!1
y
2 1
-10
10
-1 -2
x
12. Para a função f (x) cujo grá…co está na …gura em anexo, determine (a) lim f (x) (b) lim+f (x) (c) lim f (x) x!0 x!0 x!0 (d) f (0) (e) lim f (x) (f) lim f (x) x!+1 x!1 y
1.0 0.5
-4
-2 -0.5
2
4
x
-1.0
13. Considere a função g (x) cujo grá…co está na …gura em anexo. Para que valores de x0 existe lim g (x)? x!x0 y 6 4 2 -4
-2
0
2
4
x
14. Considere a função f (x) cujo grá…co está na …gura em anexo. Para que valores de x0 existe lim f (x)? x!x0 y 5
-6
-4
-2
2
4
x
-5
15. Use a de…nição de limite para mostrar que: 2x2
3x 2
(a) lim =5 x!2 x2 (b) lim (x2 x 6) = 4 x!2 1
=0 (c) lim x!1 2 x
x
1
(d) lim 2 =0 x!1 x 3x + 2 1
(e) lim+ p = x!5 x1
1 2
1
(f) lim+ = +1. x!1 x 1 p (g) lim+ x 1 = 1. x!2 (h) lim (x + 3) = 1. x!1 (i) lim ex = 0. x!+1 (j) lim ex = +1. x!1 (k) lim+ (ln x) = 1. x!0 (l) lim (ln x) = +1 x!+1 16. Dados lim f (x) = 2 ,
lim g (x) = 4 e lim h (x) = 0: x!a x!a !a Obtenha os limites abaixo. Justi…que seu raciocínio usando as propriedades de limites. (a) lim [f (x) + 2g (x)] (b) lim [h (x) 3g (x) + 1] (c) lim [g (x)] 2 x!a x!a x!a 7g (x) 3f (x) 8g (x) (d) lim 3 6 + f (x) (e) lim (f) lim x!a x!a 2f (x) + g (x) x!a h(x) x
p
17. Use os grá…cos de f (x) e g (x) na …gura abaixo para determinar os seguintes limites: (a) lim [f (x) + g (x)] x!2 (d) lim [f (x) + g (x)] x!0 (g) lim+ f (x) x!0
p
y
(b) lim [f (x) + g (x)] x!0 f (x) (e) lim 1+g(x) x!2 (h) lim f (x) x!0
(c) lim+ [f (x) + g (x)] x!0 (f) lim 1+g(x) x!1 f (x)
p
y
6 4
2 1
2 -4
-4
-2
-2
2
y = f (x)
18. Determine os limites:
4
x
-2
-1 -2
y = g (x)
2
x
x2
x4
5x + 6
1. lim ; x!3 3 x t3 + 8 3. lim t!2 t + 2 x2 4x + 4 5. lim 2 x!2 x + x 6 7. lim [ln (1 + x) ln x] x!+1
r
p
2 4u5 3 3u 9. lim u!+1 2u7 + 1 u2 8 11. lim u!1 3u4 + u s 6 13. lim 2 s!6 s 36 x+4 2 15. lim x!0 x 2 3x 17x + 20 17. lim 2 x!4 4x 25x + 36 2 a + bt a 19. lim ,a>0 t!0 t
p p p p 8 + h 2 21. lim ! p h p x 2 x+1 23. lim ! (x 1) p x + 1 p x 1 25. lim ! 1 p x
x
2
3
2
1
p
+
2
2
x2 + 1
27. lim x!+1 x + 1 p 29. lim 3x2 + 2x + 1 2x x!+1 31. lim p 3y 2 y !1p 5+4y 3
33. lim x!1
3x + 5 2 x2 1
p p p p
0
3
5y 2 2 10. lim y !1 y+3 2x + 8 12. lim x!3 x + 3 4 x 14. lim 2 x!4 x 2x 8 10x 16. lim 2 x!0 x + 3 x+3 4 (2 + h) 16 18. lim h!0 h 2 x + a2 a 20. lim 2 2 , a, b > 0 x!a x +b b 3 x 1 22. lim 4 x!1 x 1 3 5+x 24. lim x!4 1 5 x x x + 3x 10 26. lim x!+1 x3 x2 + 1 28. lim x!1 x + 1 3 y 30. lim y !+1 5 + 4y2 5x3 x2 + x 1 32. lim 4 x!1 x + x x+1
3
h
16
2. lim x!2 x 2 x2 + 6x + 5 4. lim 2 x!1 x 3x 4 s6 2s3 5s + 1 6. lim s!1 4s4 3s y2 8. lim 2 y !1 y + 2y + 1
p p p p p p
p
34. limx!4
j j 2x2 11x+12 x2 16
19. Esboce o grá…co da função f (x) de…nida por partes e, para o valor a indicado, determine cada limite, se existir. Justi…que sua resposta. (a) f (x) = (b) f (x) = (c) f (x) =
(
, se x 2 ; x3 4 2x, se x > 2
a = 2;
, se x 2 ; 1 + x + 2, se x > 2 5 2 3x
p
, se x 0 x2 + 2 2 x, se 0 < x 1 ; se x > 1 4 x2 ,
a=
2;
a = 0 e 1;
(j
(d) f (x) =
x2 27 2x 6 1,
j
, se x 6 =3 ; se x = 3
a = 3:
20. Calcule os limites, usando os limites notáveis sempre que for possível. 1.
x+1
p lim [x ( e 1)]; x
x
!1
x
3. lim p ; x!0 1 cos x p 5. lim x x2 + 1 x ; x!1 sen (a + x) sen (a 7. lim x!0 x ln (1 + ax) 9. lim ; x!0 x ln x ln 3 11. lim ; x!3 x3
sin x
3
x+2
7
2x + 3 2. lim x!1 2x + 1 1 2cos x 4. lim ; x! 3 sen x 3 6. lim (1 x) tg x2 ; x!1 tg (x) sen x x) ; 8. lim ; 3 x!0 x eax ebx 10. lim ; x!0 x 2 12. lim (1 + 3tg2 (x))cotg (x);
sin2
13. lim x!2 x2 x 15. lim x!1 1 + x
x
23. 25. 27. 29. 31. 33.
p p
p " # x+5
1 ; lim 10 + 1 + x!1 x 1 2cos x + cos (2x) ; lim x!0 x2 esen x 1 ; lim x!0 sin (2x) 1 3 4 1 ; lim x!1 sin[5(x 1)]
x
35.
x 2
1 ; lim 5 + 1 + x!+1 x e(2x2) 1 lim ; x!1 e(5x5) 1 2 1 ; lim x!0 sen2 x 1 cos x lim x+ x x ;
!+1
x
!0
ln(2
x)
q
18. lim xtg ; x!1 x 20. lim +4 (x + 5)2 ; x!4 ex1 ax1 22. lim ; x!1 x2 1 sen x 24. lim ; x! x sen x 1 26. lim 2 ; x!0 x sec x 28. lim [x (ln(x 1) ln x)]; x!+1 x2 3sen x 30. lim ; x!0 x x
x
1
x
21.
14. lim ; x!1 x 1 sin2 x:cotg (x) 16. lim x!0 x
1;
17. lim x!2 x + 2 p 19. lim 1 2x; x!0
ln x
32. lim+ p ; x!1 x1 sen 2 x 34. lim 3 ; x!0 2tg (x)cos x 36. lim cos1xtg(x) ; sin x x! 4
p
ln e1cos x : ln 1 + x ; lim x!0 x 3 x+1 ; lim x x!0 e 1 e2x ex ; lim x!0 sen (2x) senx lim+ x :tg (x) ; 2 x! 2 x
37. 39. 41. 43.
p
r
p ln e: ln 2sen
2x
x2 + 1 38. lim x!1 x2 3
; 2
40. lim (sen2 x + 2 cos2 x)sec x ; x! 2 ex + senx 1 42. lim ; x!0 ln (x + 1)
2x 5x 44. lim x!0 sen2x senx
45. lim ; x!0 47. lim+ [7x (1 + cotg2 x)]1 ; x!0 x2 senh (x) 49. lim 2 x!0 x + 4 x
x2
sen (x2 1)
46. lim 3 ; x!1 x 3x2 x + 3 ex e3 48. lim x!3 x 3 sen (5x) 50. lim x!0 tgh (x)
21. Estude a continuidade das funções: 1. f (x) = 3. f (x) = 5. f (x) =
1 + x , se x 2 2. f (x) = 2 x , se 2 < x < 2 ; 2x 1 , se x 2 x2 + x 6 , se x = 3 ; 4. f (x) = x+3 1 , se x = 3 3x2 + 2x 6. f (x) = ; x
( (
=4 , se x 6 ; 1 , se x = 4 1 , se x < 0 0 , se x = 0 ; x , se x > 0 5
(
x 4
2x 1 ; x2 x3
j
j
6
22. Determine, se possível, o(s) valor(es) da constante k para que a função f f (x) =
seja contínua em R:
8< :
2kx , se x 1 x + k, se 1 < x < 2 , 2 , se x 2 kx
x2 + 2ax + b + 15, se x < 5, se x = 1 23. Considere a função f , de…nida por f (x) = 3 bx ax2 , se x > 1 Encontre os valores de a e b de tal forma que a função f (x) seja contínua.
(
1
:
24. Represente geometricamente o grá…co de uma função f que satisfaz as seguintes condições: f é uma função ímpar; lim f (x) = 1; lim +f (x) = 5 e lim f (x) = x!0 x!4 x!4 +1; e, lim f (x) = 2: x!1
2.2
Exercícios de Revisão dos Capítulos 1 e 2
p
1. Sejam f (x) = cos x e g (x) = x + 1. (a) Mostre que a função f é uma função periódica e de período 2. (b) A função h (x) = g1 (x) :g (f (x)) é uma função par , ímpar ou nem par nem ímpar ? Justi…que. (x 2. Sejam f e g duas funções de…nidas por g (x) = x 2 e f (x) = x e Determine lim h (x), onde h (x) = (f g) (x).
x
!6
4
p x + 1 e f (x) = ln (x + 1) :
3. Sejam f e g duas funções de…nidas por g (x) = Determine lim h (x), onde h (x) = (g f 1) (x). x!0
2x
p x + 1 e f
4. Sejam f e g duas funções de…nidas por g (x) = Determine lim h (x), onde h (x) = (g f ) (x). x!0
p 5. Sejam f (x) = ln 2 2x, 8x < 1, e k =
2
4) cosec(x 4) : e
2x
x+c lim x!+1 x c 1 o valor da constante c a …m de que f (0) = k.
1
(x) = ex
1:
x
. Encontre, se possível,
a sin (2x) + (x + 1) b, se x < 0 6. Considere a função f (x) de…nida por f (x) = x : a (x2 + 1) + 3b, se x 0 Encontre, se possível, uma relação entre as constantes a e b de tal forma que a função f (x) seja contínua em 0.
(
7. Obtenha lim F (x), sabendo que F (x) = h (f (g1 (x))), onde x!1 f (x) = ex ,
8. Sejam f (x) =
p 3
g (x) = ex
ln(2x
e
2
h (x) = x3
1 + j1 xj) e g (x) = e
1
cos(x 1) x1
.
(a) Determine o domínio da função f . (b) Estude a continuidade da função h (x), sabendo que h (x) =
8>< >:
g (f (x)) , se x Df 0, se x = 0 sin (2x) 2, se x R x
2
:
2 fDf g
Caso a função h não seja contínua em todos os pontos, classi…que a(s) descontinuidade(s).
3
x3 6
9. A desigualdade x x6
x5 120
sin x x + é válida para todo x 0. Usando a sin x x desigualdade, determine lim . Justi…que sua resposta. !0+
x
x3
10. Considere as funções g e h de…nidas por g (x) = x2
8< :
2
2x , se x = 0 . x a + 1, se x = 0
jj
2, 8x 2
R, e h (x) =
6
(a) Determine f (x) = g (h (x)); (b) Encontre o valor de a para que a função f (x) seja contínua em x = 0.
11. Use a de…nição de continuidade para decidir se a função
f (x) =
8> < >>:
1 e3sin x , sin(2x)
se x > 0
p p x+ x x+1
p
, se x 0 lim !+1 é contínua em x = 0. Caso conclua que a função não é contínua em 0 classi…que essa descontinuidade. x
x
12. Sejam f (x) = sin 5x, g (x) = x2 1 e h (x) = ln(x 1) : Determine lim F (x), x!1 f (g (x)) sabendo que F (x) = . 1 g (x) :h (h
(x
3))
8> >< >: 2
2 ebx
13. Considere a função f , de…nida por f (x) =
1
, se x < 0 5 5cos2 x : a, se x = 0 (x + 1)(ln5)=x , se x > 0
Encontre, se possível, o valor das constante a e b para que a função f (x) seja contínua em 0. 14. Um tanque contém 5000 litros de água pura. Para dentro deste tanque de água está sendo bombeada uma salmoura de 30 gramas de sal por litro a uma taxa de 25 litros por minuto. Sabendo que a concentração de sal após t minutos é 30t , use a de…nição de limite para mostrar que lim C (t) = 30. C (t) = t!+1 200 + t 15. Considere as funções f e f g de…nidas por f (x) = ln (x3) 2 e (f g) (x) = p x + 1: Determine as funções g e g1. A seguir, dê o domínio e a imagem da função g1:
2.3
Respostas
2.3.1
Respostas do Capítulo 2 1. (a) 1 (b) 3 (c) @ (d) 1 (e) 3 (f)
2. (a) 1 (b) 0 (c) @ (d) 1 (e) 2 (f) 0
1
3. (a) 1 (b) 1 (c) 1 (d) 1 (e) +1 (f) -1
4. (a) 8 (b) 8 (c) 8 (d) 8 (e) +1 (f) +1 5. (a) 0 (b) 0 (c) 0 (d) 2 (e) +1 (f) +1 6. (a) 2 (b) 2 (c) 2 (d) 3 (e) +1 (f) -1
7. (a) -1 (b) +1 (c) @ (d) @ (e) 0 (f) 2
8. (a) +1 (b) +1 (c) +1 (d) @ (e) 0 (f) 0 9. (a) -1 (b) -1 (c) -1 (d) 1 (e) 2 (f) 1
10. (a) 1 (b) -1 (c) @ (d) -1 (e) +1 (f) +1 11. (a) 0 (b) 0 (c) 0 (d) 0 (e) @ (f) @
12. (a) 12 (b) 12 (c) 12 (d) 12 (e) 1 (f) @ 13. 8x0 6 = 4
14. x0 2 R f2g 15.
(a) =
1 "
(c) N = + 2, 8" 2 0; 12 ;
(
" p p 2 6 2+ 6 (g) = min f1; 2"g ; (i) N = ln ", 8" 2 (0; 1) ;
(e) = min 1;
(k) = e ; N
" ; 4 1 + 2, " "
)
(d) N =
8 2
1 ; M (h) N = M 3; (j) N = ln M ; (l) N = eM :
; (f) =
16. (a) 6 (b) 13 (c) 16 (d) 2 (e) 1 (f) 17. (a) 2 (b) @ (c) 0 (d) 3 (e) 0 (f) 18.
n o
(b) = min 1;
" ; 2
1 +1
0; 12 ;
1 (g) @ (h) 1
1. 1 3. 12 5. 0 7. 0 9. 0 p 11. 33 13. 121 15. 14 17. 1 19. 2ab 21. 121 23. 19 25. 0 27. 1 29. +1 31. 12 33. 18
2. 32 4. 45 6. +1 8. 0 p 10. 5 12. 1 14. 16p 16. 20 3 18. 32 p a 1 2 20. b(p a2 +b)2 22. 43 24. 13 26. 0 28. 1 30. 12 32. 0 34. 118 , se x ! 4 e
19. (a) lim f (x) não existe; x!2
11 8
, se x ! 4+
(b) lim f (x) não existe; x!2
y
y 4 2
-2 -2 -4
3 1 2
4
x
(c) lim f (x) = 2; lim f (x) não existe x!0 x!1
-4
-2
y
2
x
-20
-10 -20
20.
1. 1p p 3. 2, se x ! 0+ ; 2, se x ! 0 5. +1 7. 2cos a 9. a 11. 13 13. cos2 15. e1 17. 17 ln 3 19. e2
4
x
20
4 2 -2 -4
2
(d) lim f (x) não existe; x!3
y
-2
0
2. ep 4. 3 6. 2 8. 12 ; 10. a b 12. e3 14. 1 16. 1 18. 1 20. e2
10
20
x
21. 23. 25. 27. 29. 31. 33. 35. 37. 39. 41. 43. 45. 47. 49.
(e + 5)2 2 5 1 2 1 2
e + 10 1
1 2 1 20
ln 3
0
1 1 1 0 0 0
22. 12 12 ln a 24. 1 26. 1 28. 1 30. 3 32. 0 34. 1 p 36. 2 38. e4 40. e 42. 2 44. ln 25 46. 12 48. e3 50. 5
21. 1. f é contínua 8x 6 =4 ; = 2; 2. f é contínua 8x 6 3. f é contínua 8x 6 = 0; 4. f é contínua 8x 6 = 3; 5. f é contínua 8x 6 = 0 e 1; 6. f é contínua 8x 6 = 0:
22. Não existe valor de k para que f seja contínua. 23. a = 2 e b = 7
24. Uma das possíveis soluções é:
2.3.2
Resposta dos exercícios de revisão 1. (b) função par. 2. e4 p 3. e p 4. e
p
5. c = ln 2 6. a = 2b 7. 0
6 0. 8. (a) (0; +1); (b) contínua 8 =
9. 16 10. a = 1
11. lim+f (x) = 32 ; lim+ f (x) = 12 ; descontinuidade essencial em x = 0. x!0 x!0 12. 52 13. a = 5 e b =
25 2
.
200, para 0 < " < 30. p 15. g (x) = e ; g (x) = (3 ln x 2) 1; g 14. M =
6000 "
x+1+2
3
1
2
1
h
2 3
1 !
: e ;+
[ 1; + ) :
1
Capítulo 3 Derivada e Diferencial 3.1
Exercícios
1. Use a de…nição de derivada para encontrar a primeira derivada de cada uma das funções abaixo: x 1 2x + 3 f (x) = 3 x + 1 f (x) = e2x f (x) = ln (x + 1) f (x) =senh(ax), para a
(a) f (x) = (b) (c) (d) (e)
p
2R
Use a de…nição de derivada para encontrar o coe…ciente angular da reta tangente nos exercícios a seguir.
2. Seja f (x) = p 1x uma curva. (a) Determine o coe…ciente angular da reta tangente a curva dada, no ponto da abscissa x = 1 . (b) Dê a equação da reta tangente no ponto mencionado. (c) Dê os pontos da curva onde a tangente a curva tem inclinação de 60 .
p
3. Considere a curva dada por f (x) = 4x 3. Caso exista, escreva a equação da reta tangente a curva, tal que seja paralela a reta r : x + y = 0: 4. Seja f (x) = x211 uma curva. Caso exista, escreva a equação da reta normal a curva, tal que seja paralela a reta r : y = 0 .
5. Seja f (x) = xx 1 uma curva. Se possível, determine, tanto a equação da reta tangente quanto a equação da reta normal a curva no ponto P 2; 23 .
6. Seja f (x) = x3 x2 + 2x uma curva. Dê as coordenadas dos pontos da curva onde a direção desta curva é paralela ao eixo x. 7. Mostre que as tangentes à curva f (x) = formando ângulos retos.
sin x x
em x = e x =
, se cortam
8. Seja f (x) = x2 + ln (x + 1) uma curva. Caso exista, determine a(s) equação(ões) da(s) reta(s) tangente(s) a esta curva, tal que seja(m) perpendicular(es) a reta r : 3y + 3x = 6. x 9. Seja f (x) = 1+x uma curva. Se existir escreva a equação da reta normal a esta curva que seja paralela a reta r : y + x + 3 = 0.
p
10. Dada a curva f (x) = 2x 1, se existir, determine a equação da reta normal a curva onde a reta tangente é paralela a reta r : x + 3y 7 = 0. Nos próximos exercícios não é necessário obter o coe…ciente angular através da de…nição de derivadas.
11. Seja f (x) = e12 uma curva, se existirem determine tanto a equação da reta tangente, quanto a equação da reta normal a esta curva no ponto cuja abcissa é x = 1. x
12. Seja x2 +xy +y2 = 3 uma curva, se existir dertermine a(s) equação(s) da(s) reta(s) tangente(s) a esta curva e que seja(m) paralela(s) a reta(s) r : x + y = 1 . 13. Se existe, determine as abscissas dos pontos do grá…co de y = 3x cos (2x), nos quais a reta tangente a curva é perpendicular a reta r : 2x + 4y = 5 . 14. Se existir, escreva a equação da reta normal a curva (x2 + 4) y = 4x x3 e que passe na origem do sistema cartesiano.
p
15. Dada a curva f (x) = x 1. Se possível determine a equação da reta normal a curva no ponto em que a reta tangente é paralela à reta r : x + 2y 5 = 0.
p
16. Dada a curva f (x) = 3 3x + 2, determine, se possível: (a) o(s) ponto(s) da curva onde a direção é paralela a reta y = 2; (b) a equação da reta tangente a curva no(s) ponto(s) onde a inclinação é 45 .
p
17. Dada a curva f (x) = 4x 3 1. Caso seja possível determine:
(a) a direção da curva no(s) ponto(s) em que esta intercepta o eixo das ordenadas; (b) a equação da reta normal a curva no(s) ponto(s) em que esta reta seja paralela a reta r : 3x + 6y 2 = 0. 1 18. Seja f (x) = 5p 5x 1 uma curva. Se existir, determine a equação da reta tangente a curva que também seja perpendicular a reta r : 2x 2y + 3 = 0.
19. Se existir, escreva a equação da reta normal a curva f (x) = a reta r : y + 7x = 0 .
x x+7
que seja paralela
20. Mostre que as retas tangentes às curvas 4y3 x2 y x+5y = 0 e x4 4y 3 +5x+y = 0, na origem, são perpendiculares. 3
21. A reta x = a intercepta a curva y = x3 + 4x+ 3 num ponto P e a curva y = 2x2 +x num ponto Q. Para que valor(es) de a as retas tangentes a essas curvas são paralelas? Encontre a(s) equação(ões) da(s) referida(s) reta(s). 22. Determine a equação da reta normal à curva C : xy2 + y 3 = 2x 2y + 2 no ponto em que abcissa e ordenada tem o mesmo valor. 23. Seja P o ponto de interseção das curvas C 1 : 2x2 + 3y 2 = 5 e C 1 : y2 = x3 . Mostre que as retas tangentes às curvas C 1 e C 2 são perpendiculares no ponto P . 24. Caso exista, escreva na forma mais simples a derivada das seguintes funções: a. c. e. g.
( (
x = a sin t ; y = 3a cos t
b.
x = a (t y = a (1
d.
x= y=
sin t) ; cos t)
1 1+t 2t 2 t+1
;
f.
x = 32 at a(1t2 ) ; y = 1+t2
( 8< :
x = a (cos t + t sin t) ; y = a (sin t t cos t) cos3 t x = p cos2t ; 3t sin y = p cos2t
1 x = arccos p 1+t 2 1 y = arcsin p 1+t 2
25. Veri…que se a função de…nida parametricamente por t
2; 2
, satisfaz a equação
2
26. As equações paramétricas
d2 y dx2
dy + ey dx = 0.
x = 2 (t y = 2 (1
;
x = sec t , para todo y = ln (cos t)
sen t) , para t 2 [0; ], representam uma cos t)
curva chamada de ciclóide. Determine a equação da reta normal a essa ciclóide que seja paralela a reta r : 2x + 2y 1 = 0 .
27. Em cada caso, veri…que se a função dada é derivável nos pontos referidos: + 2, se 4 3 2x, se 2 a. f (x) = xx 2, sex x > 4 , em x = 4; b. f (x) = 3x 7, se xx < 2 , em x = 2; c. f (x) = jx d. f (x) = 1 32 x 13 , em x = 29 ; x = 3; p 13j, em x, se x < 1 e. f (x) = , em x = 1: 2 1 x , se x 1
3x2, se x 2 . Determine, se possível, ax + b, se x > 2 os valores das constantes a e b para que f seja uma função derivável em x = 2 . Obs: Lembre que se f é derivável em um ponto então f também deve ser contínua neste ponto.
28. Seja f a função de…nida por f (x) =
29. Escreva, caso seja possível, a derivada na forma mais simples: 1. 3. 5. 7. 9.
p
3
; f (x) = (x+1) 3 x2 f (x) = ln (sen2 x); f (x) = ex ; 2 f (x) = xx ; x
p
f (x) =arcsen
x2 ;
1
11. f (x) = (1 + 4x)3 (1 + 2x)4 ; 3 13. f (x) = p x1x ;
p 15. f (x) = p ; p p 17. f (x) = p (x+1)3 3
4
(x 1)2
(x 2)3
3
(x 3) 2
19. f (x) = ( arcsen x) ; 21. f (x) =arctg xa + ln 23. f (x) = x xa ; p
m
m
; 7
q
;
x a x+a
y x
25. = x; 27. x3 y3 3axy = 1; a 2 R
p 3
29. cos(xy) = x; b2 x a2 y
q
q
(x+2)3 (x+3)4
(x 1)2
5
4
(x+2)3
2. f (x) = (1 + 3 x)3 ; 4. f (x) = 3tg(nx) , n 2 R; 6. f (x) = ex ln x ; sin x 1 x 8. f (x) = 2cos ; 2 x 2 ln tg 4 2 b tg x ; a; b 2 R ; 10. f (x) = p a21b2 arctg aa+b + 2 4 1 1 12. f (x) = x 3 (2x 1) 3 (3x + 1) 3 ; 2 +1) 14. f (x) = 3 x(x ; (x1)2 2 16. f (x) = (x1) ;
31. = 2x, a; b 2 R ; p 33. f (x) = p 13 arctg 13x ; x2 2 35. f (x) = 2bxx3a , a; b 2 R;
x(x2 1) 18. f (x) = p ; 1x2 p 20. f (x) = a2 x2 +arcsen x2 ; 22. f (x) = x5 (a + 3x)3 (a 2x)2 ; a 2 R 24. b2 x2 + a2 y2 a2 b2 = 1; a; b 2 R
26. 28. 30.
ay x2 = y x; a R y2 ax y = cos(x + y); sin(x + y) = 1; 1 sin(x + y) 2a = yx; 3(1y 2 )
2
32. 34. f (x) = 36. f (x) =
cos3 x 3
cos x;
6b2 x2 8abx+16a2 15
p
a + bx, a; b
2 R;
37. 39. 41. 43.
ln(xy2 ) 2xy + ln x = 1; x2 y = 4a (2a xy), a 2 R; f (x) = xex ex ; f (x) = xln x + ln (lnp x); p e 45. f (x) = ln p ee +11 ; p 47. x 1 + 2y +p y = x2 ; 3 49. f (x) = eln sin(3x) ; 3 51. f (x) = arcsin x13 ; p p 53. xy + 2y = x;
38. f (x) = 2 4x :ecos x ; x3 (argtg x) ln(x2 +1) 40. f (x) = ; 2 arctg x 42. ye = 2; 44. x arcsin y = 1 + x2;
55. y2 cos
56.f (x) = ln p xx+1 2 +x+1
x
46. 48. 50. 52. 54.
x x
1 y
= 2x + 2y;
aln(x1) kx a
57. f (x) = p , a; k 2 R;
p p p
f (x) =arctg x
f (x) = 1 + tg4 ln y exy = x; f (x) = x x2 3 f (x) = a 1
58. f (x) =
arctg 3 ;
1 3 x 12
3 ln x
cos2
1+tg x 1 tg x
1 4
3x ;
x 2
1 3
3+
x2 ;
2
; 1 p 31 ; arctg 2x + p 3
;
30. Determine a expressão da derivada n-ésima em cada caso: a. f (x) = eax ; b. f (x) = cos x; m x c. f (x) = (a + bx) , com m 2 Z; d. f (x) = 1+x . 31. Sejam f : R ! R uma função diferenciável (derivável) duas vezes e g : R dada por g (x) = f (x + 2 cos(3x)).
!R
(a) Calcule g00 (x). (b) Supondo f 0 (2) = 1 e f 00 (2) = 8, calcule g 00 (0). 32. Considere a função g (x) = cos x: [f (x)]2 , onde f : R ! R é duas vezes diferenciável (derivável), f (0) = 1, f 0 (0) = f " (0) = 2. Calcule g 00 (0). 33. Determine:
(a) f 0 (0) sabendo que f sin x
p 3 2
= f (3x
) + 3x ;
(b) a função g sabendo que (f g)0 (x) = 24x+34 , f (x) = 3x2 x 1 e g 0 (x) = 2; (c) (g f h)0 (2), sabendo que f (0) = 1, h (2) = 0, g 0 (1) = 5 e f 0 (0) = h0 (2) = 2:
34. Calcule aproximadamente o valor de:
p
(a) 4 17 1 (b) p 3 30 (c) (d) (e) (f)
arctg(1; 02) log (200; 2), sabendo que log (200) = 2; 30103 : : : sin(60 30 ) e0;13
(g) etan(44 ) , sabendo que e 8; 5 (h) cotg(31o 150 ) (i) 3 ln(2; 8) 0 00 (j) cos(30 15 )
p
35. Uma janela tem o formato de um quadrado com um semicírculo em cima. A base da janela mede 60 cm com um possível erro na medida de 1 mm:Use diferenciais para estimar o maior erro possível no cálculo da área dessa janela. 36. Ao medir o raio de uma esfera, obtém-se a medida de 12cm. Sabendo que o erro dessa medida pode ser 0; 6mm para mais ou para menos, calcule, usando diferenciais, um valor aproximado para o erro máximo no cálculo do volume dessa esfera causado pelo erro de medida do raio. 37. Um material está sendo escoado de um recipiente, formando um monte cônico cuja altura é sempre igual ao raio. Se em dado instante o diâmetro é 24 cm, use diferenciais para obter a variação do raio que origina um aumento de 2 cm3 no volume do monte cônico. 38. Dê os pontos onde a função f (x) = jxj + jx + 1j não é derivável. 39. Um ponto desloca-se sobre a hipérbole xy = 4 de tal modo que a velocidade é dy = dt 2 , onde é uma constante. Mostre que a aceleração da abscissa é ddt2x = 18 ( 2 x3 ).
p
40. Seja y = 3 3x + 2 a equação do movimento de uma particula, determine: (a) a velocidade da partícula quando trancorridos 2s; (b) a aceleração da partícula quando transcorrido 2s: 41. Na terra você pode facilmente atirar um clipe a 64 cm de altura usando um elástico. Em t segundos depois do disparo, o clipe estará s = 64t 16t2 acima de sua mão. Quanto tempo o clipe leva para atingir a altura máxima? A que velocidade ele sai de sua mão?
42. Um carro está a s = 16t horas. Pergunta-se:
3 2
24t + 16
km a leste de uma parada no instante t
(a) Qual é a velocidade no instante t = 14 h e qual é o sentido que ele se move? (b) Onde está o carro quando sua velocidade é nula.
43. Dois corpos têm movimento em uma mesma reta segundo as equações s1 = t3 + 4t2 + t 1 e s2 = 2t3 5t2 + t + 2. Determine as velocidades e as posições desses dois corpos no instante em que as suas acelerações são iguais. Considere como unidades de s1 e s2 o metro e como unidade do tempo t o segundo.
44. Dois pontos partem da origem do eixo x no instante t = 0 e se movem ao longo desse eixo de acordo com as equações x1 = t2 2t e x2 = 8t t2 , x1 e x2 onde são medidos em metros e t é medido em segundos, pregunta-se: (a) em que instante os dois têm mesma velocidade? (b) quais são as velocidades desses dois pontos nos instante em que eles têm a mesma posição.
45. A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo y varia com o tempo x segundo a equação y = vc0 (1 ecx ), x 0, onde v0 e c são constantes positivas. Use a DEFINIÇÃO de derivadas para determinar a velocidade da partícula no instante x. 46. Uma esfera aumenta de modo que seu raio cresce a razão de 12; 5 cm=s. Qual a variação do volume no instante em que o raio é de 15; 2 cm? 47. Um ponto se move sobre a parte superior da parábola semicúbica y2 = x3 de tal maneira que sua abscissa cresce a razão de 5 unidades por segundo. Quando x = 4, com que rapidez varia a ordenada? 48. Um corpo é lançado no espaço formando com a horizontal um ângulo , descreve no ar, por ação da gravidade uma curva cujas equações são x = v0 t cos e y = v0 t sin 12 gt 2 . Sabendo que = 60 e v0 = 50 m=s, determine a velocidade do corpo quando t = 2s? 49. Dois carros, um dirigindo-se para leste com velocidade de 77 km=h, o outro dirigindo-se para sul com velocidade de 57 km=h, estão viajando em direção ao encontro das duas rodovias. A que velocidade os carros se aproximam um do outro, no momento em que o primeiro carro estiver à 477 m e o segundo carro estiver à 277 m da intersecção das rodovias? 50. Um tanque de forma cônica invertido tem altura de 8 m, raio da base 2 m. O mesmo se enche de água à razão de 7 m3 = min. Com que velocidade sobe o nível da água quando este se encontra a 4 m de profundidade? 51. Uma piscina tem 18 m de largura, 28 m de comprimento, 2 m de profundidade em um extremo e 8 m no outro, o fundo tem forma de um plano inclinado. Se a água está sendo bombeada para a piscina à razão de 0; 8 m3 = min, com que velocidade se eleva o nível da água no instante em que ele esta a 1; 8 m na extremidade mais profunda? 52. Um triângulo retângulo inscrito no círculo x2 + y2 = 25, tem as extremidades da hipotenusa situadas nos pontos A (5; 0) e B (5; 0), enquanto que, o terceiro vértice, situado no ponto P (x; y), se move sobre a circunferência com uma velocidade dx = 12 m=s. Calcule a velocidade com que a área deste triângulo está variando dt quando x = 4 m.
53. Em que pontos da parábola y2 18x = 0 a ordenada y cresce duas vezes mais depressa que a abscissa x? 54. Uma criança esta empinando uma pipa e movendo-se horizontalmente a 4 m=s. Supondo que a pipa permaneça sempre a 80 m de altura, sobre o nível do solo, qual é a velocidade com que a criança está soltando a corda da pipa quando esta corda medir 100 m? Obs: Despreze a altura da criança.
55. Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto de 5 m de raio da base a 10 m de altura. No tempo t = 0s, a água começa a ‡uir no tanque à razão de 25 m3=h. Então: (a) com que velocidade sobe o nível da água? (b) quanto tempo levará para o tanque …car cheio? 56. Um balão está subindo verticamente acima de uma estrada a uma velocidade constante de 13 m=s. Quando ele está a 17m acima do solo, uma bicicleta que se desloca a uma velocidade constante de 5m=s passa por baixo dele. A que taxa a distância entre a bicicleta e o balão aumentará 3s depois? 57. Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 43 do raio da base. (a) Determine a razão de variação do volume em relação ao raio da base; (b) Se a raio da base varia a uma taxa de 20cm=s, qual a razão de variação do volume, quando a raio mede 2m? 58. O nível de café que escoa de um …ltro cônico para uma cafeteira cilíndrica varia a uma taxa de 2:104 cm= min. A que taxa o nível do café, na cafeteira, aumentará quando a altura de café no …ltro for a 5cm? 15cm
15cm
15cm
15cm
59. Uma lâmpada colocada num poste está a 4m de altura. Se uma criança de 90cm de altura caminha afastando-se do poste à razão de 5m=s, com que rapidez se alonga sua sombra?
60. Um cabo de cobre tem diâmetro de 1cm à 0 C . Digamos que seu comprimento seja de 1m e não se altera com a variação da temperatura. Sabe-se que seu diâmetro aumenta a uma velocidade de 0; 02cm= C . Calcule a taxa de variação do volume desse cabo quando a temperatura está a 20 C . 61. Numa granja de frangos, o abastecimento de ração é automático. A ração está num reservatório que tem a forma de uma pirâmide de base quadrada de 2m de lado e altura de 6m, cujo vértice está voltado para baixo. Se o consumo de ração é de 0; 05 m3 =h, com que velocidade desce o nível de ração quando este está a 2m do vértice? 62. A altura de um triângulo cresce a razão de 1cm= min e sua área aumenta a razão de 2cm2 = min. Qual a taxa de variação da base do triângulo quando sua altura for 10cm e sua área 100cm2 . 63. Uma partícula move-se ao longo da curva y = x ln x. Encontre todos os valores de x nos quais a taxa de variação de y é 5 vezes a de x. (Suponha que dx nunca é dt nula.)
64. Uma piscina tem 24m de comprimento e seus extremos são trapézios isósceles com altura de 6m, uma base menor 6m e uma base maior de 8m. A água está sendo bombeada para a piscina à razão de 10m3 =mim. Com que velocidade o nível de água está subindo quando a profundidade da água é de 2m? 65. A altura de um cone é sempre igual ao dobro do raio da base. Determinar a taxa de variação da área da base em relação ao volume do cone. 66. Um avião (A) voa a 124 m=s, paralelamente ao solo, a uma altitude de 1220 m no sentido oeste, tomando como referência um holofote (H), …xado no solo, que o focaliza e que se encontra à esquerda da projeção vertical ( P) do avião (ver …gura abaixo). Sabendo-se que a luz do holofote deverá permanecer iluminando o avião, qual será a velocidade com que estará variando quando a distância entre o holofote e a projeção vertical do avião for de 610 m? A
N
•
O
L
θ •
H
•
P
S
67. Às 7 : 00 hs dois navios partem de um ponto O em rotas que formam um ângulo de 120 . Os navios A e B deslocam-se a 20 km=h e 25km=h, respectivamente. Determine qual é a velocidade de afastamento desses navios às 9 : 00 hs: 68. Um reservatório tem a forma de uma pirâmide (invertida) de base quadrada. O nível de areia deste reservatório diminui com uma velocidade de 40cm=min. Esta areia forma, no chão, um monte cônico. O volume total de areia no reservatório inicialmente era 128 cm3. Calcule a velocidade com que aumenta a altura do cone
quando um terço da areia já caiu do reservatório. Use os dados fornecidos na seção transversal abaixo ilustrada. Obs : Desconsidere a abertura do reservatório.
90°
60°
69. Considere uma piscina de 20 m de largura, 40 m de comprimento e profundidade máxima de 9 m, cuja seção transversal está exibida na …gura abaixo. Supondo que esta piscina esteja sendo enchida a uma taxa de 0; 8 m3 = min, qual é a velocidade com que o nível da água está subindo quando este for igual a 5 m?
70. Um corredor corre em uma trajetória circular de raio 100 m a uma velocidade constante de 7 m=s. Um outro indivíduo está parado a uma distância de 200 m do centro da pista. Qual a taxa de variação da distância entre os dois quando esta distância era 200 m?
71. Esta vazando água de um tanque cônico invertido a uma taxa de 10:000 cm3= min. Ao mesmo tempo está sendo bombeada a água para dentro do tanque a uma taxa constante. O tanque tem 6 m de altura e o diâmetro do topo é de 4 m: Se o nível da água estiver subindo a uma taxa de 20 cm= min quando a altura da água for 2m, encontre a taxa segundo a qual a água está sendo bombeada para dentro do tanque. 72. Uma escada de 5 m de comprimento está apoiada em uma parede e sobre um plano inclinado que faz um ângulo de 30 com a horizontal, como ilustrado na …gura abaixo. Sabendo que o "pé"da escada é arrastado com uma velocidade de 2 m=s, encontre a velocidade do topo da escada quando esta estiver a 4 m de distância da parede.
30º 4
m
3.2
Respostas
Exercícios: 5 1. (a) f 0 (x) = (2x+3) (b) f 0 (x) = 2; 1 ; (e) f 0 (x) = a cosh ax f 0 (x) = x+1 2. (a) - 12 ;
(b) 2y + x = 3 ;
1
2 3(x+1) 3
;
(c) f 0 (x) = 2e2x ;
(d)
(c) não existe.
3. y = x 14 . 4. Não existe. 5. Tangente: y = x9 4 ; normal: y = 9x + 563 . 6. Não existem. 7. Deve-se mostrar que o produto dos coe…cientes angulares é igual a -1. 8. y = x e y = x + 34 + ln 2. 9. y = x e y = x. 10. Não existe. 11. Tangente: y = e1 (2x + 3); normal: y = 2e x 2e + 1e . 12. y = x e y = x + 2. 13. x = 7 + k ou x = 11 + k , com k 2 Z: 12 12 14. y = x;. 15. Tangente: y = x2 ; normal: y = 2x 5. 16. (a) não existe; (b) y = x + 49 e y = x. 17. (a) 2; (b) não existe; (c) y = 12 (x 1). 19. y = 7x + 100. 21. Para a = 1 : y = 5x + y = 13x
18:
7 3
e y = 5x 3; para a = 3 : y = 13x 5 e
22. y = 7x + 8. 28. a = 12 e b = 12.
29. ATENÇÃO!!! Você poderá obter resultados analogos a estes abaixo apresentados, pois para obter a derivada de uma função através de regras de derivação, o caminho não é único.
1. 2.
3
1) (x + 1) p p ( x + 1) x
5 2x 2
1 x
(x
3
2
3
2
3. 2 cotg(x) 4. 3tan nxn (ln 3) (tan2 nx + 1) 5. xx ex (ln x + 1) x
6. xx (ln x + 1) 2 +1
7. xx 8.
(2ln x + 1)
1 4cos3 x
9. p
(cos2x
3) +
1 4cot( 14 + 12 x)
x 1 x2 x2
10. p a2 b2 1
p
1 2
tan2 12 x
1 2
+
cot2
q
1 4
+ 12 x + 1
a b a+b a+b a+b+a tan2 1 x b tan2 1 x 2 2
11. 4 (2x + 1)3 (4x + 1)2 (14x + 5) p 3 12. 123 2x123 (36x2 + 4x 1) 13. 14. 15.
3x
(3x+1)
1 2 5x 6 x 3 2 (1 x) 2
r
2
3 x x +1 (x1)2 1 2 3x (x +1)(x 1)
3 2 (x + 3x + x + 1)
1
p
q 4
12 3 (x 1)2
16.
1 (x+2)4 (x+3)5
17.
1 60
3
(x + 2) (x + 1)
( 5x3 + 5x2 + 29x
p p p 5
4
(x 1)2
(x 2)3
3
(x 3)7
18. p 11x2 (2x2 1) p 1xx2 19. 2 arcsin 20.
p a2
1 x2 4 x2
p
2
37x2 +12x 97 x2 +x 2
29)
161x2 480x+271 x3 +6x2 11x+6
p x 4
x2
2
2
q
(a)2
a3 x4
a4
23. 5x4 (a + 3x)2 (a3 16ax2 + 24x3 ) 24.
25.
dy dx
xp1 (a xm )2 m
=
(am p + mxm
xb2 a2 y
q q
26. y0 = x1 y 3
x y
3x +
3
1 xy
m
px
)
p a x
1 0 21. p 3 (2x 2aa ) 2 4x2 ((a)2 x2 ) 2
22.
2
x xp 4 x 2
2
27. y0 = 28. y0 =
12
2
2
y
y2 +a a2 x2 2axy2 +y4 a a2 x2 2axy2 +y4 1 0 a 1 2 2ay2 a2x2 21axy 2 +y4 +2x y a2 x2 2axy2 +y4 axy2 x
x
ax
3x2 3ay (3y 2 +3xa)
sin(xy) 29. y0 = 1+y x sin(xy)
30. y0 = 1, se cos(x + y) 6 =0 2 2a2 y 31. y0 = b 2xa 2 32. x0 = 23 y2 (y2a1)2 (3y2 1)
33.
x2 +1 x4 +x2 +1
34. sin3 x 35.
1 x4
(3a
2
2bx )
2
x 36. b3 p a+bx
37. y0 = y yxxy2+x1 38.
4x cos x
2
(sin x
e
4ln2)
39. y0 = 4ay+2xy x2 +4ax 40. 0 41. xex arctan x
42. 2 e 43.
x2 +1
1 x ln x
44. y0 =
2xln x ln2 x + 1
p
1 y2 x
p x
(2x
45. 4p xe 4p xe2
arcsin (y)) p ln + 4 xe + e p p 9x 3x 3 + 3
x
46.
1 9x4 +12x2 +3
ex +1 ex 1
2
x
2
2x
ln
p 47. y0 = 2x1+p 2y+1 x
2y+1
48. tan4 121 x + 1
p
2
49. cot(3x) 3 sin3x y+y 2 e 50. y0 = xye 1 xy
xy
51.
2 1 9 arcsin x3 1 x4 6 1) 6 (x
q
x
1 tan3 12 x
1 tan2 12 x+1
ex 1 ex +1
p 2 1 x+ p 2 p p 52. x2 3 (2x 3) 3 x2(x+ xx2 3) p xy4y p p p 0 53. y = x xy xy (x2 16xy)p xy 54.
a sin x
1 2
cos x
1 2
55. x0 = 12 sin y1 + y cos 1y 1 56.
57.
1 aln(x1) 2 (kx a) 32 (x 1)
58.
1 2x+1 3 x3 +2x2 +2x+1
(k
kx 2a ln a + 2kx ln a)
1 2(
tan1 1 (tan x+1))
3 4
tan2 x+1 (tan x 1)2
x
31. g00 (0) = 10. 32. g00 (0) = 3. 33: (a) f 0 (0) = 65 ; (b) g (x) = 2x + 3; (c) 20. 35. dA = 16; 7263 cm2 . 36. dV = 108; 5184 cm3 . 40. (a) 14 u:c:=s; (b) 161 u:c:=s2 41. 2s; 64 cm=s. 42. (a) 12 km=h; (b) 8km: 43. 3s; s1 = 65m e s2 = 14m; v1 = 52m=s e v2 = 25m=s 44. 2; 5s; t = 0s ! v1 = 2cm=s e v2 = 8cm=s; t = 5s ! v1 = 8cm=s e v2 = 2cm=s: 45. voecx u.c./u.t. 46. 11552 cm3 =s. 47. 15 u:c:=s: p 3 4 m=s. 48. 5 49. 95; 48 km=h. 50. 7 m=mim: 51. 5; 29:103 m= min ou 0; 025m= min.
Obs: A resposta depende da sua interpretação ao montar a piscina. 52. 103 m2 =s.
53. 98 ; 92 54. 2; 4 m=s. 55. (a) 1 m=h; 56. p 2761 m=s:
(b) 31; 4h
57. (a) 43 r 2 ; (b) 3; 349cm3 =s. 58. 29 :104 cm=mim:
59. 1; 45m=s. 60. 20; 4 cm3 =mim: 61. 0; 1125m=h. 62. 85 cm=mim: 63. e4 : 64. 685 m=mim: p 67. 30561 61 km=h: 480 68. p cm=mim: 3 36 69. 1; 3187 103 m= min p 70. 7 4 3 m=s 71. 2; 8925 105 m3 = min 72.
3; 3m=s
Capítulo 4 Regra de L’Hôpital 4.1
Exercícios
1. Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hôpital, quando possível: x arcsen x sen x sen y 1. lim ; 2. lim ; x!0 x!y x xy sec2 x ex senx 1 3. lim ; 4. lim 2 ; x!0 x! 2 sec (3x) ln (1 + x)
xn 6. lim 2x , para n N; x!1 e ln x 8. lim n , para n N; x!+1 x 10. lim (1 x)cos( 2 ) ;
ln x
5. lim ; x!0 cossec x tg (x) 7. lim ; x! 2 tg (3x) cotg (x) 9. lim ; x!0 cotg (2x)
2
2
x
!1
1
x
13. lim+ [x ln(sin x2 )]; x!0 a 15. lim x sin ; x!1 x
25. lim x!0
27. lim ex x!1
17. lim [(1 tgx)sec(2x)]; x! 4 p 19. lim x 3 x3 x ; x!+1 2 1 21. lim ; x!0 sen2 x 1 cos x 1 1 23. lim ; x!0 sen2 x x2
x
ln (sen2x) 12. lim+ ; x!0 ln (sen x) tg (x) 14. lim ; x!0 x 2 16. lim [( 2x) tg (x)]; x! 2
e + ln x 11. lim+ ; x!0 cotg (x)
4x
2x (ex + 1) x1 1 ; 1+ x e
;
x
h i
18. lim (a2 x2 ) tg ; x!a 2a 20. lim x3 tgx(x22) cos(x x!2 1 1 22. lim ; x!1 x 1 ln x 1 1 24. lim 2 ; x!0 x xtg (x) x2 4 x 26. lim tg x!0 4 x2 x2 2 28. lim cos ; x!1 x
2) ;
;
x
2 29. lim +1 ; x!1 x 31. lim (1 + sen x)cotg(x) ;
33. 35. 37. 39.
1
30. lim x 1 ; x!1 1 32. lim (ex + x) ; x!0 34. lim+ (1 + x)ln x ; x!0 tg 36. lim tg x4 ( 2 ) ; x!1 38. lim+ (ex + x)ln x ; x!0 sen2 x cotg (x) 40. lim ; x!0 x2 x
x
x
!0 4x lim (e2x + 2x) ; x!0 sen x 1 ; lim x!0 x 1 tg x p 2sen x lim x! 4 1 xsen2 x lim x!0 3tg3 x cos x
x
1 41. lim x x ln 1 + x!1 x tg 43. lim 2 xa ( 2 ) ; 2
; 42. lim x x!0
1 ln(ex 1)
;
45. lim ; x!1 2arctg (x2 ) 2 47. lim (ex + 1)x ; x!0 p 49. lim 3x x2 1 ; x!1 arccos x 51. lim p ; x!1 1x
44. lim ln (cotg (x))tg x ; x!0 p 1 1x p 1 x2 ; 46.lim p x!0 1 + x 1 1 48. lim (x + 1) 4 x 4 ; x!1 2 4 50. lim (x 3) ; x!4 3x2 52. lim x ; x!0 2e 2
53. lim ln (ex + 1) x!1
54. lim x!1
x a
x
!a
2
ex
1
1 x2
;
x
x
2x
1
2x 1x2
x
x+a 2. Determine o valor da constante a para que lim x!+1 x a
;
x
= 4.
x2 3. Determine todos os valores das constantes a e b para que lim = x!0 a + cos (bx) 1 + e2x 4. Determine o valor da constante a para que lim x!+1 2
a=x
=
5. Determine, se possível, o valor da constante a para que lim+
x
!0
xsen2 (x) 1 + a ln (x + 1) = lim : x!0 3tg3 (x)cos(x)
p
ln(x+1)
p e:
8:
4.2
Respostas Exercícios 1. 1. 0 3. 0
2. cos y 4. 9
5. 0 7. 3 9. 2 11. +1 13. 0 15. a 17. 1 19. 0 21. 12 23. 13 25. 18 2 27. e 29. e2 31. e 33. 1 35. 1 37. 2 39. 13 41. 12 2 43. e 45. 12 47. 1 49. 1 p 51. 2 53. 0
, para x ! 1 6. 0, para x ! +1 8. 0 10. 1 12. 1 14. 12 2 16. 2 18. 4 a2 20. 6 22. 12 24. 13 26. 1 28. e2 30. e1 32. e2 34. 1 36. 38. 1 40. 1 42. 44. 0 46. 1 48. 0 50. e8 52. 0 54. e1
1
2. c = ln 2 3. a = 1 e b = 12 . 4. a = 14 : 5. a = ln 3:
Capítulo 5 Análise da Variação das Funções 5.1
Exercícios
1. Em cada caso, examine se as funções satisfazem as condições e veri…cam o Teorema de Rolle. (a) f (x) = 2x2 + x sobre o intervalo (b) (c) (d) (e)
p
1 ;1 2
;
f (x) = 1 x2 sobre o intervalo [ 1; 1]; f (x) =tg(x) sobre o intervalo [0; ]; f (x) = (x 1) (x 2) (x 3) sobre o intervalo [1; 3]; f (x) = sin2 (x) sobre o intervalo [0; ].
3
2. Sabendo que f (x) = 4x3 4x + x2 1 tem raízes 1 e 1, pelo teorema de Rolle para veri…car é possível a…rmar que a derivada tem alguma raiz entre 1 e 1? Justi…que. 3. Em cada caso, examine se as funções satisfazem as condições e veri…cam o Teorema deo Valor Médio (de Lagrange). (a) (b) (c) (d) (e) (f)
p x 5x + 6 sobre o intervalo [3; 4]; p f (x) = 1 x sobre o intervalo [0; 2]; f (x) = x sobre o intervalo [1; 1]; f (x) =
3
2
5
4
4 3
sobre o intervalo [0; 1]; f (x) = x1 sobre o intervalo [1; 1]; f (x) = (x12)2 sobre o intervalo [0; 1]. f (x) = sin
x 2
4. Através do teorema de Rolle é possível a…rmar que a função f (x) = 2 j3 xj possui um ponto crítico no intervalo [1; 5]? Justi…que.
5. Use algum dos teoremas estudados para determinar em que ponto da curva f (x) = x3 2x2 1 a reta normal a esta curva é perpendicular a reta que passa pelos pontos A (1; 2) e B (0; 1). 6. Utilize o Teorema de Lagrange para demonstrar as desigualdades: (a) (b) (c) (d)
ex
1 + x, para x 0;
arctg(x) < x, para x > 0; bn an < nbn1 (b a), para b > a , n 2 N; jsin sin j j j, para e 2 R.
7. Para que valores de a, m e b a função f (x) =
(
o teorema do Malor Médio no intervalo [0; 2]?
3, se x = 0 x2 + 3x + a, 0 < x < 1 satisfaz mx + b, se 1 x 2
8. Em que ponto da curva f (x) = xn a tangente a curva é paralela a corda que une os pontos A (0; 0) e B (a; an)?
p
9. Seja g a função de…nida por g (x) = 4 x2 . (a) Usando um dos teoremas estudados, determine o ponto em que a reta normal à curva y = g (x) também é normal a reta que passa pelos pontos A (2; 0) e B (0; 2). p (b) A função y = f (x) = 16 x4 :g0 (x), veri…ca o teorema de Rolle entre as raízes da função g ? Justi…que. 10. Seja p (x) = Ax2 + Bx + C , onde A, B e C são constante reais e A 6 = 0. Mostre que para qualquer intervalo [a; b], o valor de c cuja existência é garantida pelo Teorema de Lagrange, é o ponto médio do intervalo. 11. A…rma-se que f (0) = 3 e f 0 (x) 5, para todo x real, então pelo Teorema do Valor Médio (ou de Lagrange) o maior valor possível para f (2) é 7. Pergunta-se: é verdade? Justi…que. 12. Em cada caso, determine os intervalos onde f (x) é crescente e decrescente bem como todos os pontos de valor máximo e mínimo: 2 x 1. f (x) = (x8)(x+2) ; 2. f (x) = x x2x+2 ; 1 3. f (x) = x + sin x; 4. f (x) = x ln x; 5. f (x) = arcsin (1 + x); 6. f (x) = 2e1+x ; 7. f (x) = xex ; 8. f (x) = x(416 x2 ) ; 3 9. f (x) = x2x+3 ; 10. f (x) = 2 sin x + cos (2x); (x2)(8x) 11. f (x) = ; 12. f (x) = cos x; x2 2 x 13. f (x) = p x2 1 .
13. Em cada caso, determine todos os intervalos de concavidade e convexidade bem como os pontos de in‡exão. a. f (x) = cos x; b. f (x) = xp sin x; 4 c. f (x) = (x + 1) ; d. f (x) = 3 2ax2 x3 ; 2 e. f (x) = ex . 14. Em cada caso, determine a equação de todas as assíntotas: 2 a. f (x) = p xx2 1 ; b. f (x) = (x12)2 ; 2 c. f (x) = x2 x4x+3 ; d. f (x) = x 2 + p xx2 +9 ; 2 e. f (x) = 2 + ex ; f. f (x) = ln (1 + x); 1 g. f (x) = e ; h. f (x) = sinx x . x
15. Faça a análise e construa o grá…co de cada uma das funções: ln x 1. f (x) = ; x4 3 x 3. f (x) = ; x 5. f (x) = 3 2x x3 ;
2. f (x) =
4. f (x) =
6x2
4
x ;
9 x
; 4 1 6. f (x) = ; 1e
p
x4
x
1
x2
7. f (x) = e + 2; 9. f (x) =sen(x);
8. f (x) = e ; 1 10. f (x) = x
(x
2
2) ;
1 x f (x) = 2x + 1 + ex; 1 f (x) = 2x + 2 ; x x2 1 f (x) = 2 ; x +1 f (x) = (x 1) ex ; 1 ; f (x) = x x 3 f (x) = 3x + (x + 2) 5 ; f (x) = ex + xex ; f (x) =cotg(x), x ( ; ) f (x) =arctg(x);
11. f (x) = xex ;
12. f (x) = x + ;
13. f (x) = cosh (x); 15. f (x) = x2 e1x ;
14. 16.
p
17. f (x) = 2 x x; 19. f (x) = 163 x3 + x1 ; p 2 21. f (x) = x + p 23. 25. 27. 29. 31.
p
p 2 2; x
3
f (x) = ex2 ; f (x) = xex ; f (x) = x + ln x; f (x) = sec (x), x ( 2; 2); f (x) = ln (cos (2x)), x (0; 2)
8 2 8 2
18. 20. 22. 24. 26. 28. 30. 31.
2
8 2
16. Dada a função f (x) = ln (x2 + 1), explique, usando o Teorema de Rolle, porque é possível a…rmar que existe um possível ponto de in‡exão no grá…co da curva de y = f (x), no intervalo 12 ; 2 .
17. Seja f (x) = 2ax3 + bx2 cx + d uma função. (a) Determine uma relação entre as constantes a, b, c e d para que f (x) tenha pontos críticos em x = 0 e x = 1.
(b) Se a > 0 em qual dos pontos críticos a função terá máximo e/ou mínimo? 18. Considere a função f (x) = x8 + 2x7 8x6 + x5 2x4 + 2x3 + 4x2. A…rma-se que no intervalo (0; 1) esta função tem pelo menos um ponto crítico. Pergunta-se: é verdade ? Justi…que sua resposta. 19. Determinar os coe…cientes a e b de forma que a função f (x) = x3 + ax2 + b tenha um extremo relativo no ponto (2; 1). 20. Esboce o grá…co da função f (x) que satisfaz as seguintes condições: i. ii. iii. iv. v. vi.
f (0) = 1; y = 1 é uma assíntota horizontal de f ; f não possui assíntota vertical. f 0 (x) > 0 para todo x ( ; 1) (1; + ) ; f 0 (x) < 0 para todo x ( 1; 1) ;
2 1 [ 1 2 p p f 00 (x) > 0 para todo x 2 1; 3 [ 0; 3 p p vii. f 00 (x) < 0 para todo x 2 3; 0 [ 3; +1
; :
Determine os pontos de máximo(s) e/ou mínimo(s) e o(s) ponto(s) de in‡exão. Justi…que cada um desses itens. 21. Construa o grá…co de uma função que satisfaz as seguintes condições: f 0 (1) = f 0 (1) = 0; f 0 (x) < 0 se jxj < 1; f 0 (x) > 0 se 1 < jxj < 2; f 0 (x) = 1 se jxj > 2; f 00 (x) < 0 se 2 < x < 0; o ponto P (0; 1) é um ponto de in‡exão. 22. Considere o grá…co da função abaixo: y 4 2 -6
-4
-2
-2 -4
2
4
6
x
Faça a análise grá…ca de f , observando, se existir(em), assíntota(s) vertical(is), assíntota(s) horizontal(is), os intervalos em que f 0 (x) > 0 e f 0 (x) < 0 , os intervalos em que f 00 (x) > 0 e f 00 (x) < 0 , pontos de máximo(s) e/ ou mínimo(s) relativos e o(s) ponto(s) de in‡exão. Justi…que cada item. 23. Sabe-se que f é uma função contínua em R. Construa o grá…co de f de tal forma que sua primeira e sua segunda derivada apresentem o comportamento abaixo ilustrado
y
y2
1
1 -6
-4
-2
2
4
6
x -4
-2
-1
y = f 0 (x)
2
4
x
y = f 00 (x)
24. Construa o grá…co de uma função contínua em R que satisfaz as seguintes condições: i. f 0 (x) > 0 se jxj < 2; f 0 (x) < 0 se jxj > 2; f 0 (2) = 0; ii. lim f (x) = 1 e f (x) = f (x) ; x!+1 iii. f 00 (x) < 0 se 0 < x < 3; iv. P (3; f (3)) é ponto de in‡exão. 25. Esboce o grá…co de função f , contínua em R, sabendo que grá…co da primeira derivada de f está abaixo ilustrado. y
y = f ( x ) '
-3/2
-3
1
4
6
x
26. A resistência de uma viga retangular é diretamente proporcional ao produto de sua largura pelo quadrado de sua altura da secção transversal. Determine as dimensões da viga mais resistente que pode ser cortada de um toro cilíndrico de raio a. h
a
b seção transversal
27. Quer-se construir uma residência retangular que tenha 236 m2 de área. Quais devem ser as dimensões para que seu perímetro seja o menor possível? 28. Tem-se um terreno retangular de 4328 m2 de área. Pretende-se murá-lo e sabe-se que o vizinho de um dos lados paga a metade do muro que faz limite com sua propriedade. Para tanto, quais devem ser as dimensões deste terreno para que se gaste o mínimo possível ao murá-lo?
29. Dentre todos os retângulos de área 49 cm2 , qual tem perímetro mínimo? 30. Um fazendeiro tem 24 m de cerca para construir três chiqueiros retangulares ad jacentes (de mesma área), conforme …gura. Quais devem ser as dimensões totais dos chiqueiros de modo a maximizar sua área total ?
31. Num sólido será construído acoplando-se a um cilindro circular reto de altura h e raio r uma semi-esfera também de raio r. Deseja-se que a área da superfície do sólido seja de 5. Determine os valores de r e h para que o sólido tenha volume máximo. 32. Num arame de comprimento L é cortado em dois pedaços, sendo que um pedaço é dobrado em forma de quadadro cujo lado é `, e o outro pedaço é dobrado em forma de circulo cujo raio é R. Como devemos cortar o arame para que a soma das áreas englobadas pelos dois pedaços seja máxima? ( Considere L = 12 m:) 33. Há várias semanas, o Departamento de Estradas vem registrando velocidade do tráfego ‡uindo numa rodovia após uma saída. Os dados sugerem que a velocidade do tráfego na saída é aproximadamente f (t) = t3 10; 5t2 + 30t + 20 km=h, onde t é o número de horas após o meio dia. A que horas entre 15 : 00 e 18 : 00 hs, o tráfego se move mais rápido, e a que horas ele se move mais lentamente? 34. Considere três números positivos tais que sua soma é 15. Sabendo-se que o dobro do primeiro mais três vezes o segundo, mais quatro vezes o terceiro é 45, determine então esses números de modo que o produto dos três seja o maior possível. 35. Determine o comprimento da maior “vara” que pode ser transportada horizontalmente, através das quina de um corredor de 2 m de largura, para outro de 4 m de largura. 2 m
4 m
36. Considere o retângulo, da …gura, cujo perímetro é 16. Determine os lados do retângulo para que a área do trângulo ABC seja a maior possível. B
A
b
C a
37. Determine, se existir, um número positivo tal que a soma de seu cubo com 4 vezes o inverso de seu quadrado seja o menor possível. 38. Considere um semi-círculo de raio 2. Determine: (a) as dimensões do retângulo com máxima área que seja inscrito neste semicirculo; (b) a área deste retângulo. 39. Quer-se contruir um galpão retangular com área de 12:100 m2 . Exige-se que exista um espaço livre de 25 m na frente, 20 m nos fundos e 12 m em cada lado. Determine as dimensões do terreno que tenha área mínima, na qual possa ser contruído este galpão. 40. Quer se pendurar um peso mediante um …o em forma da …gura a abaixo ilustrada, a 16 metros abaixo de uma viga AB . Sabe-se que a distância entre os pontos A e B é de 8 m. Calcular o comprimento mínimo do …o a ser empregado. A
B
41. Um recipiente com a forma de um paralelepípedo de base quadrada tem um volume de 2:000 cm3 . Sabendo-se que o custo da base e da tampa é o triplo do custo dos lados, determine as dimensões do recipiente de menor custo possível. 42. Duas cidades estão localizadas ao sul de um rio, distantes 10 km, conforme a …gura. Uma estação bombeadora de água será instalada para servir as duas cidades. A tubulação seguirá as retas que ligam cada cidade à estação. De…na o ponto onde a estação bombeadora deve ser instalada para minimizar o custo da tubulação. 10 km
N
S
2 km
A
5 km
estação
B
43. Determine as dimensões de um cilindro reto inscrito em uma esfera de raio R a…m de que tenha seu volume o maior possível. 44. Um campo retangular está limitado por uma cerca em três de seus lados e por um córrego reto no quarto lado. Determine as dimensões do campo com área máxima que pode ser cercado com 1:000 m de cerca.
45. Uma pista de atletismo com comprimento total 400m, consiste em 2 semi-círculos e dois segmentos retos, conforme a …gura abaixo. Determine as dimensões da pista de tal forma que a área retangular, demarcada na …gura, seja máxima. r
46. Uma folha de papelão quadrada com 16 cm2 é usada para fazer uma caixa aberta, retirando quadrados do mesmo tamanho dos quatro cantos e dobrando-se os lados. Qual é o tamanho dos quadrados que resulta na caixa com o maior volume possível? 47. Pretende-se estender um cabo de uma usina de força à margem de um rio, de 900m de largura, até uma fábrica situada do outro lado do rio, 3000m rio abaixo. O custo para estender um cabo pelo rio é de R$5; 00 por metro, enquanto que para estendê-lo por terra custa R$4; 00 o metro. Qual é o percurso mais econômico para o cabo? 48. Quando um pessoa tosse, o raio da traquéia diminui, afetando a velocidade do ar na traquéia. Se r0 é o raio normal da traquéia, a relação entre a velocidade v do ar e o raio r da traquéia é dada por uma função da forma v (r) = ar2 (r0 r), onde a é uma constante positiva. Determine o raio para o qual a velocidade do ar é máxima. 49. Uma pesquisa de opinião revela que x meses após anunciar sua candidatura, certo político terá o apoio de S (x) = 291 (x3 + 6x2 + 63x + 1080) % de eleitores, sendo 0 x 12. Se a eleição estiver marcada para novembro, qual o melhor mês para anunciar a candidatura? Se o político necessita de pelo menos 50% dos votos para vencer, quais são as chances de ser eleito? 50. Considere um trapézio isósceles de área A. Sabendo que é com um ângulo da base, determine a medida da lateral l para que o perímetro seja mínimo. l α
51. Determine o volume máximo de um cilindro circular reto que pode ser inscrito em um cone de altura H e raio da base R, sabendo que a base do cilindro esta contida na base do cone.
5.2
Respostas 1. (a) não; (b) não; (c) não; (d) sim; (e) sim. 2. Sim.
(a) não; (b) sim; (c) sim; (d) sim; (e) não; (f) sim. 4. Não. f 0 não existe em x = 3 . 3. 5.
1 ; 3
32 27
p p p p
7. a = 3, 8.
a
1
n
e
b=4
n
m = 1.
an 1 n n
;
n
9. (a) 2; 2 ; (b) não. 11. A…rmação verdadeira. 15.
1. f (x) =
2. f (x) =
ln x x
y
y 0 2 4 6 -1
x
4 3. f (x) = x x3
y
6x2 x4 9
4
x
y 0.2 2
4
x
p
5. f (x) = 3 2x x3 y
-4 -0.2 -2
-2 -2
2
x
2 7. f (x) = ex + 2
2
4
x
4
x x
2
-4 -2 -2
2
8. f (x) = e y
y
2
6. f (x) = 11e y
2
-4 -2 0
2
4. f (x) = x4x4
100
-4 -2 -100
-4 -2 -2
4
x
1 x
10
-4 -2 0
2
4
x
9. f (x) = sin x y
10. f (x) = (x12)2 y
1
-4 -2 -1
2
-5
4
2
11. f (x) = xex y
0
y 2
4
5
-4 -2 -5
x
13. f (x) = cosh x
y
5 -2
0
2
4
y 2
4
6
p
y
0
y -2
+
1 x
2
x
x
1 5
y 1
4
x
20. f (x) = (x 1) ex
20
-1 -20
2
-1
x
16 3 x 3
x
10
-5
4
4
2 18. f (x) = xx2 +11
y1
19. f (x) =
2
-4 -2 -10
x
17. f (x) = 2 x x
2
0
16. f (x) = 2x + x12
y 10 0
x
10
-4 -2
x
15. f (x) = x2e1x
-2
2 4
14. f (x) = 2x + 1 + ex
y -4
x
12. f (x) = x + x1
20
-4 -2 -20
5
x
-4
-2
6
0
2
x
p
p
21. f (x) = x + p 2x 2 2
22. f (x) = x x1 y
y 0.4
5
0.2 0.0 0
2
4
p
23. f (x) = 3 ex2 y
-4 -2 -5
x
4
x 3
24. f (x) = 3x + (x + 2) 5 y
10
-4 -2
2
10 0
2
4
x
25. f (x) = xex y
-2
2
4
x
27. f (x) = x ln x
5 0 -5
2
x
4
x
28. f (x) =cotg(x) y
y 10
4
26. f (x) = x + ln x y
-4 -2 -2
2
5
0 0
2
4
x
29. f (x) = sec (x)
2
x
30. f (x) =arctg(x) y
y
1
5 -5
-2 -5
5
-5
x
-4 -2 -1
2
4
x
31. f (x) = ln (cos (2x)) y
02
4
6
x
0 -8
16. Sugestão: Aplique o Teorema de Rolle para a função g (x) = f 0 (x) : 17. (a) b = 3a, c = 0 e d 2 R. (b) P 1 (0; f (0)) e P 2 (1; f (1)) são pontos de máximo e mínimo relativo, respectivamente; 18. A…rmação verdadeira. 19. a = 3 e b = 3. p p 2 3 2 6 26. b = 3 a u:c: e h = 3 a u:c:
p
p
27. 2 59 e 2 59 28. 75; 96 m e 56; 97 m. 29. O retângulo que tem perímetro mínimo é o quadrado. Dimensão: 7cm.
30. 2 m e 3 m. 31:r = h = 1 u:c: 6 32. 4+ = 0:84015 m e 3 3 +4 = 1: 6803 m: 33. Velocidade máxima: 15 hs; velocidade mínima: 17 hs. 34. 5, 5 e 5.
35. 8; 3m 36. 4 u:c: e 4 u:c: 37.
q 5
8 3
.
p
p
38. (a) 2 u:c: e 2 2 u:c:; 39. 80; 33 m e 150; 62 m. p 20 41. 5 3 144 cm e p cm. 3 12
(b) 4 u:a:
42. 2; 8 km após o ponto N . p 43. 23 R e 2 3 3 R. 44. 45. 46. 47. 48. 50:
q
250 m e 500 m. 100 m e 100 m: 2 3
cm 982 m pelo rio e 2607 m por terra. 2 r. 3 o
q
sen . A
Capítulo 6 Integral Inde…nida 6.1
Exercícios
1. Calcule as integrais inde…nidas abaixo usando integração imediata ou o método da substituição. 3 dx (a) 1 + x1 dx (b) (x+2) 3 p p (c) x x 1dx (d) p x3 x2 + 3dx (e)
(g) (i) (k)
RR R R p R p p p R R p p p R R ln3 x dx x
sin x cos xdx
x
(m) (o) (q)
3 x7 x dx 4 6 x 1 e +1 dx x2 sec x tg x dx 2 x dx 1 + cos x senh(3x) dx
(f)
(h) (i) (l) (n) (p) (r)
R R R R R p R p p R R R x
dx x2 sin x3 dx x 2+ cos 3 p x e + p xe1p dx x arctg x dx (1 + x) x e4x dx (1 + 3e4x )2 ln x dx x + 4x ln2 x tgh(ln (cos x)) tg x dx x
2. Use o método de integração por partes para calcular as integrais inde…nidas abaixo: (a) (c) (e) (g)
2
R R R R 2 R p x cos xdx
eax cos(bx) dx, onde a e b x sen(3x 2) dx xn ln(2x3 ) dx, n N x (i) arctg dx 1 x2
2 R
x3 (b) 2x dx e (d) ln x + 1 + x2 dx (f) x sec2 xdx (h) arcsen(2x) dx
R R R R R
p
(j) cos (ln x) dx
3. Resolva as integrais de funções trigonométricas abaixo:
(a) (c) (e) (g) (i)
sin4 (ax) dx, a R sen2 x2 cos2 x2 dx sen(3x)sen(2x) dx cotg3 (2x)cossec(2x) dx cotg3 (2x) dx
R R R R R
(b) (d) (f) (h) (j)
2
sen2x cos5 xdx 2 (sen2 3x + cos 3x) dx (2 sen (x))2 dx tg3 (x)sec4 (x) dx tg2 x sec3 xdx
R R R R R
4. Calcule as integrais inde…nidas, a seguir, pelo método da substituição trigonométrica. (a) (c)
x dx 1 + x4 x2 a2 dx, a
R R p R R R p
2 R
dx x 4 + ln2 x dx (i) a2 sin2 x + b2 cos2 x dx (k) x3 x2 4
(g)
R p R p R R p
9 x2 (b) dx x3 dx (d) x2 25 x+4 (h) dx 4x2 + 5 dx
(j)
(1 +
3
x) 2
5. Resolva as integrais inde…nidas elementares, que contém um trinômio quadrado, abaixo: (a) (c) (e) (g)
x+3 dx x2 2x 5 5x + 3 dx x2 + 4x + 10 2x 1 dx (2x + x2 ) 2x + x2 2ex + 1 dx ex + 2 e5 cos x dx sen2 x 6sen x + 12
R R p R p R R
(b) (d) (f) (h)
x
(i)
(x 1)2 dx x2 + 3x + 4 x 1 dx (x2 + 2x + 3)2 dx x2 x2 + x + 2 x dx 6x x2
R R R p R p
6. Use o método da decomposição em frações parciais para resolver as integrais inde…nidas abaixo: (a) (c) (e) (g) (i) (l)
5x x2
2 dx 4 4x 2 dx x3 2x2 2x x x 4 dx (x2 + 4) (2x 1) 3x2 x + 4 dx x (x3 + 2x2 + 2x) 3e2x + 2ex 2 dx e3x 1 x3 + 3x 1 dx (x 1) (x4 + x2 )
R R R R R R
(b) (d) (f) (h) (j)
x2 dx x2 + x 6 dx 3x2 x3 + 2 x + 2x 1 dx (x 1)2 (x2 + 1) x5 + 9x3 + 1 dx x3 + 9x
R R R R R
2x3 x+1 dx x(x2 +1)2
7. Use alguma das técnicas de integração estudadas para provar que: du = a1 arctg ua + k 2 2 u +a du = ln u + u2 a2 + k 2 2 u a sec u du = ln sec u + tg u + k
Z Z p R
(a) (b) (c)
j
p j
8. Resolva as integrais inde…nifas abaixo pelo método que julgar conveniente: sen x ln x x2 (a) (b) + p dx dx 2 3 2 (c) (e) (g)
R R R R p R p R p R R R R R R p R x 1 + ln x e2x 1 dx e2x + 1 sec2 x (tg x + 9) 2
1+
3 2
dx
ex dx
x dx 1+x dx (k) 1 + ex ln (ln x) (m) dx x ln3 x x2 ln (1 + x3 ) (o) dx 1 + x3
(i)
(d) (f) (h) (j)
(n) (p) (r)
(s) (ln (cos x))2 tg xdx
(t)
(u) ln (x2 + 1) dx
(v)
(w) (y)
dx e2x + 1 ln[ln(ln x)] dx x ln x
cos x 1+x 3 2 x dx 3 x
cos x sen x ln2 x + x dx x 1
1
(x) (z)
dx 1 + ex ln x dx x 1 ( x + 1) 3 dx x dx 3 + 2 1 + 2x esec x tan x dx cos2 x x arcsen x dx 1 x2 xtg3 x2 1 dx x2 1
sen4 x dx
x ln x dx
(l) x (ln x)2 dx
(q) sin4 (e2x )cos(e2x ) e2x dx
ex
R R p p p p R R p R p R R R p R p p R p R R p p R p
(aa) (cc) (ee)
x
R p p Z p p p Z Z Z R Z 4
1+x
1+x
cotg (4x)
tg (x)sec x cos2 x + 9
cossec2 (4x) dx
dx 2
sin (4x) ecos x dx
(ii)
e2x cos2 (3ex ) dx
(mm)
cotg (4x) 3 cotg (4x)
(gg)
(kk)
dx
3x (sin(3x ) + cos (3x ))2 dx
p 3 x4 p dx 3 x(2 x2 +1)
ln (x + 3) dx x+3 dx (dd) x2cossec8 x2 sec3 x2 ln2 x 2 ln x + 10 (¤) dx x (3 cos2 x 2)sin x (hh) cos3 x cos2 x + cos x 5x + 93x + 1 (jj) dx 3x + 9x (ll) e x 1 + ex ln (1 + ex ) dx tg3 x 1+sec2 x (nn) e dx cos2 x
(bb)
R p Z Z p Z R R p R
1
dx
6.2
Respostas OBS: Ao resolver essas questões você poderá obter resultados equivalentes. Exercício 1:
(a) 2x12 (6x2 ln x 6x + 2x3 1) + k 1 (b) 2(x+2) 2 + k 3
(c) 152 (3x + 2) (x 1) 2 + k 3 (d) 15 (x2 2) (x2 + 3) 2 + k (e) 14 ln4 x + k 1 (f) ln + k 3 (g) 23 sin 2 x + k (h) 3 lnp cos 13 x + 2 + k 3 13 7 2 x 12 + k (i) 512 x 4 xp 13 (j) ep 1 2e2 x 2 + k 1 (k) x1 xe + 1 + k p (l) arctan2 x + k (n) 36e41 +12 + k (p) 18 ln ln2 x + 14 + k (q) 13 cosh (3x) + k (r) ln jcosh (ln (cos x))j + k x
x
x
x
Exercício 2:
(a) x2 sin x 2sin x + 2x cos x + k (b) 18 e2x (4x3 + 6x2 + 6x + 3) + k
a (cos bx) eax + beax sin bx +k a2 + b2 (d) x ln x + x2 + 1 x2 + 1 + k (e) 19 sin(3x 2) 13 x cos (3x 2) + k 1 (f) 2cos (cos x ln(2cos2x + 2) + 2x sin x) + k x +1 x (g) (n+1) 3) + k 2 (ln 2 + 3 ln x + n ln 2 + 3n ln x
(c)
p p
n
p 1 4x
2 + x arcsin 2x + k (h) 12 (j) 12 x (cos (ln x) + sin (ln x)) + k
Exercício 3 1 (a) 32a (sin4ax 8sin2ax + 12ax) 5 1 3 1 (b) 64 sin x 192 sin3x 320 sin5x 448 sin7x + k 1 1 (c) 8 x 16 sin2x + k (d) 78 x + 16 sin3x 181 sin9x + 961 sin12x + k (e) 12 sin x 101 sin5x + k (f) 92 x + 4 cos x 14 sin2x + k
2
(g) 8(tan 1 x)(1tan2 1 x1) tan2 12 x + 1 + k 2 2 1 (i) 4 ln(2 2cos4x) + k
Exercício 4
(a) 12 arctan x2 + k
p x 3x arctanh p + (9 x ) (b) 18x p p (c) x x ap a ln x + x a + k (d) ln 2x + 2 x 25 + k x2 9
3 9 x2
2
2
2
3 2
+k
2
1 2
2
1 2 2
2
2
2
2
(e) 16 p 6xx2 + k p (f) arcsin 12 2sin x + k (g) 12 arctan 12 ln x + k p p 1 5 2 2 2 (h) 8 ln x + 4 + 5 5 arctan 5 5x + k Exercício 5
p p p 6 x + 1 + k (a) ln (x 2x 5) + 2 3 ln (b) xp ln (x + 3x + 4) + p p 7p arctan p 7 x + p + k p p (c) 5 x + 4x + 10 7 ln 6 x + 4x + 10 + 6x + 2 3 +k p p 6 ln e + p 6 + 1 + k (g) ln (e + 2e 5) + e 6+1 (h) p 3 arcsin 1 x x (x 6) + k p 3sin x p 3 + k (i) 3 arctan 1 2
5 2 2
2x
1 3
Exercício 6
1 3
2
2
1 6
9 7
p 1 12
x
1 3
2
x
1 x2 +2x+5 2 7
2
3 7 1 6
1 3
x
1 3
(a) 2 l n (x 2) + 3 ln(x + 2) + k (b) x + 45 ln (x 2) 95 ln (x + 3) + k (c) ln x (x 2) 2 l n (x + 1) + k (d) 9x1 (x ln x x ln (x + 3) + 3) + k (e) 12 ln (x2 + 4) 12 ln x 12 + k ln(x2 +1)2 arctanx+2ln(x1)+2x arctan x2x ln(x1)+x ln(x2 +1)+2 (f) +k 2(1x) (g) 4x1 (7x 14x arctan (x + 1) 5x ln (x2 + 2x + 2) + 10x ln x + 8) + k (h) 19 ln x 181 ln (x2 + 9) + 13 x3 + k p p p (i) 32 ln (e2x + ex + 1) ln (ex 1) + 13 3 arctan 23 3ex + 13 3 + k 4 ln x6x2 ln(x2 +1)+2 arctanx2x2 ln(x2 +1)x2 +4x2 ln x+2x2 arctan x (j) +k 4(x2 +1) (l) 4x1 (6x ln (x 1) 6x arctan x + x ln (x2 + 1) 8x ln x 4) + k
Exercício 8
