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Prof. Dr. Alvaro Baaliña.(dic03.doc) EXAMEN FINAL DE MECÁNICA DE FLUIDOS. DICIEMBRE 2003.  ALUMNO/A: 1.- Un flujo uniforme se aproxima a un cilindro de radio R a lo largo de una línea que coincide con su eje. En este caso, la única componente de la velocidad es la siguiente: donde U es la velocidad de la corriente aguas arriba.    R    for − ∞ < x ≤ −R = U 1 −    x   Determinar la deceleración máxima que experimenta el flujo y su localización. (Fuente: White 4ª ed., 1.22. 2 Solución: -0.372 U /R; -1.291 R.) 2

u

15 cm 28 cm

100cm

2

2.- Un tanque, se desplaza por un plano inclinado 30º, con aceleración constante. Considerando comportamiento como sólido rígido, determinar la aceleración necesaria para mantener  la superficie libre representada, su dirección y la presión en la arista inferior izquierda si el fluido es mercurio a 20ºC (densidad relativa 13.55).

3.- Un carrito es empujado por un chorro de agua 3 de caudal 5 m /s y velocidad 50 m/s. El chorro es 30º desviado hacia atrás por el carro. Determinar la fuerza necesaria para mantenerlo fijo y para que se desplace a una velocidad de 25 m/s. Despréciese fricción en las ruedas y deflector.

4.- Un flujo de agua es descargado tangencialmente a través de dos boquillas situadas en los extremos opuestos de un brazo aspersor de longitud 0.6 m y pivotado en su centro. La velocidad de salida relativa a la boquilla v es de 6 m/s y el diámetro d de cada boquilla es 12.5 mm. Determinar: a) el par ejercido cuando el brazo se mantiene en reposo; b) el par resistente y potencia disipada cuando el aspersor gira con una velocidad tangencial o periférica de 3 m/s. 5.- Una puerta semicircular AB está articulada a lo largo de B y mantenida en posición horizontal por una fuerza horizontal aplicada en A. Calcular la fuerza necesaria F  A, para mantener la puerta en equilibrio. 1.- En régimen turbulento, el esfuerzo cortante ¿de qué términos está constituido?. Indíquense las zonas del flujo en los que se manifiestan en mayor o menor medida. 2.- ¿Por qué en régimen turbulento, el coeficiente de corrección de energía cinética y de cantidad de movimiento se aproximan al valor de 1?.

8m

A 3m B

3.¿Qué tipo de deformación representan los términos de la diagonal del tensor de velocidades de deformación, y a que esfuerzos son debidos?

4.¿Considerando régimen turbulento en un flujo interno, ¿qué ocurre con el factor de fricción cuando para una rugosidad relativa dada, aumenta la velocidad del flujo?. Razónese la respuesta. 5.- Definir los términos de NPSH requerido y disponible. Complementar la explicación con la correspondiente gráfica. 6.- ¿Cuál es el objetivo del teorema de transporte de Reynolds al aplicarlo a las diferentes leyes de conservación?

EXAMEN PARCIAL DE MECÁNICA DE FLUIDOS. ENERO 2004  ALUMNO/A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEORÍA: 1.- ¿A qué nos referimos cuando definimos un fluido como no-newtoniano?. Cita ejemplos. 2.- ¿Cuál es la ecuación diferencial de una línea de corriente en régimen estacionario? 3.- Explicar como se determina la magnitud y localización de la fuerza de presión hidrostática sobre una superficie curva sumergida. 6.-. Explicar el tubo de Prandtl. PROBLEMAS: 1.- La compuerta de la figura está articulada en H y tiene una anchura normal al papel de 2 m. Determinar la fuerza necesaria en A, para mantener la compuerta cerrada. 2.- Considérese un tanque que contiene mercurio ( 13.55 de densidad relativa), agua, benceno (0.879) y aire. Determinar la presión relativa del aire. Si se realiza un orificio en la parte superior  del tanque, determínese el nivel de equilibrio en el manómetro de mercurio. 3.- Un recipiente cúbico de lado 1 m, está lleno hasta la mitad de aceite (0.8 densidad relativa), y recibe una aceleración constante de 0.2g paralela a la base del mismo. Determinar la pendiente de la superficie libre y la presión a lo largo del fondo del recipiente. r ecipiente. 4.- Una masa de 30 kg, recibe el impacto de un chorro de agua. Si el coeficiente coeficiente de fricción con el suelo es de 0.3, determinar: a) la fuerza adicional necesaria para mantener una velocidad de la masa de 10 m/s; b) la velocidad final que alcanzaría en caso de no existir esa fuerza adicional. 5.- Para un flujo en el plano xy, la componente x de la velocidad es u = Ax 2y2, donde A = 0.3 m -3.s1 . Determínese una posible componente de la velocidad en la dirección y para flujo fl ujo estacionario e incompresible. ¿Será también válida para flujo no estacionario e incompresible?. Determinar la ecuación de la lí nea de corriente para la componente y de la velocidad más simple.

EXAMEN PARCIAL DE MECÁNICA DE FLUIDOS. ENERO 2004  ALUMNO/A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEORÍA: 1.- ¿A qué nos referimos cuando definimos un fluido como no-newtoniano?. Cita ejemplos. 2.- ¿Cuál es la ecuación diferencial de una línea de corriente en régimen estacionario? 3.- Explicar como se determina la magnitud y localización de la fuerza de presión hidrostática sobre una superficie curva sumergida. 6.-. Explicar el tubo de Prandtl. PROBLEMAS: 1.- La compuerta de la figura está articulada en H y tiene una anchura normal al papel de 2 m. Determinar la fuerza necesaria en A, para mantener la compuerta cerrada. 2.- Considérese un tanque que contiene mercurio ( 13.55 de densidad relativa), agua, benceno (0.879) y aire. Determinar la presión relativa del aire. Si se realiza un orificio en la parte superior  del tanque, determínese el nivel de equilibrio en el manómetro de mercurio. 3.- Un recipiente cúbico de lado 1 m, está lleno hasta la mitad de aceite (0.8 densidad relativa), y recibe una aceleración constante de 0.2g paralela a la base del mismo. Determinar la pendiente de la superficie libre y la presión a lo largo del fondo del recipiente. r ecipiente. 4.- Una masa de 30 kg, recibe el impacto de un chorro de agua. Si el coeficiente coeficiente de fricción con el suelo es de 0.3, determinar: a) la fuerza adicional necesaria para mantener una velocidad de la masa de 10 m/s; b) la velocidad final que alcanzaría en caso de no existir esa fuerza adicional. 5.- Para un flujo en el plano xy, la componente x de la velocidad es u = Ax 2y2, donde A = 0.3 m -3.s1 . Determínese una posible componente de la velocidad en la dirección y para flujo fl ujo estacionario e incompresible. ¿Será también válida para flujo no estacionario e incompresible?. Determinar la ecuación de la lí nea de corriente para la componente y de la velocidad más simple.

EXAMEN FINAL DE MECÁNICA DE FLUIDOS. FEBRERO 2004  ALUMNA/O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teoría: 1er  Parcial: (contestar al menos a tres cuestiones). 1.- ¿Qué se pretende a través del teorema de transporte de Reynolds?. ¿Cuándo aparece la aceleración de Coriolis dentro del término de aceleración de arrastre en la ecuación integral de conservación de cantidad de movimiento?. 2.- Explicar las componentes del tensor de velocidades de deformación en un elemento fluido. 3.- Explicar los distintos caminos a través de los cuáles hemos deducido la ecuación de Bernoulli. Indicar las hipótesis necesarias para aplicar y obtener dicha ecuación, partiendo de la expresión integral de conservación de energía. 4.- ¿Cuándo es aplicable la siguiente ecuación? 2º Parcial: (alumnos con teoría del 1er parcial, contestar al menos a tres cuestiones) 5.- Indicar las leyes de semejanza y consecuencias importantes que se derivan. 6.- En bombas centrífugas, razonar las ventajas de que los álabes del rodete sean inclinados hacia atrás en vez de hacia delante. 7.- Significado de NPSH disponible y requerido. Ayúdese de gráficas. 8.- Funcionamiento de dos bombas en paralelo con distinta curva motriz. 9.- Obtener la distribución de esfuerzos cortantes en un flujo plano de Poiseuille, considerando un gradiente de presión favorable al flujo. Problemas: 1.- El tanque de la figura tiene un tapón de 4 cm de diámetro en el fondo de la pared inclinada. Si el tapón se desprende bajo la acción de una fuerza hidrostática de 25 N, determinar la lectura h en el manómetro de mercurio. agua = 9790 N/m3; Hg = 133100 N/m3. 2.- Un tubo en V de 45º que contiene agua, está abierto en su extremo A y cerrado en C. Qué velocidad en rpm alrededor del eje AB será necesaria para que la presión en B y C sea la misma. 3.- Una tobera deflectora con brazos a 30º recibe un chorro de agua a través de un conducto de 0.02 m 2 a una presión de 135 kPa (abs). Si las salidas son de 0.008 m 2 con 275 m3/h cada una, determinar la fuerza que ejerce el agua sobre el soporte de la tobera. 4.- Las dimensiones de un rodete de una bomba centrífuga son D1 = 150 mm, b1 = 75 mm, 1 = 20º, D2 = 300 mm b2 = 50 mm, 2 = 25º. Estimando una reducción del 5% por espesor  de álabes en las secciones transversales de paso, determinar  la curva motriz teórica si la velocidad de giro es de 1450 rpm. 5.- Determinar la presión mínima en un sifón que une dos tanques con un desnivel de 11 m, sabiendo que la tubería tiene un diámetro de 200 mm, e = 0.025 mm, las longitudes a izquierda y derecha del punto más alto del sifón son 100 y 1000 m, y el desnivel de dicho punto respecto al tanque más alto (en el lado izquierdo) es de 3 m. EXAMEN FINAL DE MECÁNICA DE FLUIDOS. SEPTIEMBRE 2004  ALUMNA/O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Teoría: 1.- Significado de la expresión “estudiar un fluido como continuo”. Expresión de la presión atmosférica en función de la altura , considerando la temperatura constante. 2.- Obtener la ecuación de conservación de materia para volumen de control móvil en régimen estacionario, incompresible y flujos unidimensionales, partiendo de la expresión integral derivada del teorema de transporte de Reynolds 3.- Explicar los elementos del tensor de esfuerzos en hidrostática e hidrodinámica en forma matricial y tensorial. 4.- Obtener la distribución de velocidad de un flujo Plano de Poiseuille, partiendo de las ecuaciones de Navier-Stokes. Problemas: 1.- Sea una bomba centrífuga de cuya geometría y condiciones de flujo son las siguientes: r 1 = 37.5 mm, r 2 = 150 mm, b2 = 12.7 mm, velocidad de diseño N = 1750 rpm, caudal volumétrico de diseño diseño = 42.5 l/s, vanos vanos inclina inclinados dos hacia hacia atrás atrás con con un ángulo ángulo a la la salida salida 2 = 60º, rango de caudal requerido 50-150 % el de diseño. Considerando un 100% de rendimiento, deter minar  la altura a caudal nulo, así como las velocidades absoluta y relativa de salida, la altura y la potencia teórica para el caudal de diseño. (Fox 5ª ed, 10.11, pag. 574) 2.- Se dispone un sistema de bombeo desde un pantano a un tanque de almacenamiento. almacenamiento. El -6 2 sistema sistema debe debe suministra suministrarr 1310 l/s l/s de agua ( =1x10 =1x10 m /s). De B a C se disponen, una entrada en arista viva, 760 m de tubería, 3 válvulas de compuerta, 4 codos de 45º y 2 de 90º. La presión manométrica en C es de 197 kPa. Entre F y G se disponen 760 m de tubería, 2 válvulas de compuerta y 4 codos de 90º. Tuberías de 508 mm de fundición (cast iron). Calcular la velocidad media en la tubería, la presión manométrica en F, la potencia consumida por la bomba si su rendimiento es del 80 % y el esfuerzo cortante en la sección FG. (Fox 6ª ed. 8.137) 3.- Una chorro de 25 mm de diámetro y 30 m/s choca sobre un carro que dispone de una superficie curva que produce una desviación desviación en la dirección del chorro de 120º respecto a la horizontal. La resistencia al avance puede obtenerse de la expresión F res = kU2 en donde k = 0.92 Ns2/m2 y U la velocidad del carro. Determinar la aceleración aceleración del carro en el instante en el

que la velocidad es de 10 m/s. (Fox 6ª ed.

4.118).

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PRIMER PARCIAL DE MECÁNICA DE FLUIDOS. HIDROSTÁTICA. NOVIEMBRE 2004  ALUMNO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.- Una presa cilíndrica de 3 m de diámetro y 6 m de longitud retiene dos fluidos diferentes a ambos lados, con alturas de 3 y 1.5 m (ver  figura). Determinar la magnitud, dirección y localización de la fuerza resultante ejercida por el agua sobre la presa. (Las densidades específicas de los fluidos a izquierda y derecha son 1.6 y 0.8, respectivamente) 2.- El campo de velocidades de un flujo responde a la expresión

. Obtener una ecuación para las líneas de

corriente del flujo y dibujar alguna tomando valores positivos de y. Obtener también la aceleración para un punto del fluido de coordenadas (1,1) y la ecuación de la línea de trayectoria de una partícula que en el tiempo t =0 ocupa la posición de coordenadas (1,1). (Fox, pp 43) 3.- El manómetro de la figura dispone de dos ramas de 18 y 6 mm de diámetro respectivamente. Determinar el desequilibrio que se produce en ambas ramas cuando la presión de aire aplicada en la rama de mayor diámetro es de 25 mm de columna de agua (man.). La densidad relativa del aceite contenido en el manómetro es 0.827 y la rama de menor diámetro está abierta a la atmósfera. (Fox, pp 86) . 4.- ¿A qué velocidad de rotación en rpm respecto al eje C debe girar el tubo en U para que, cuando se estabilice el mercurio de ambas ramas, alcance las alturas indicadas en la figura (White, pp 123).

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EXAMEN FINAL DE MECÁNICA DE FLUIDOS. DICIEMBRE 2004  ALUMNO/A………………………………………………………………………. TEORÍA. 1.- Definir las deformaciones que puede experimentar una partícula fluida cuando se considera la presencia de la viscosidad. Tensores asociados. 2.- Explicar el las partes del perfil de velocidad en un flujo viscoso régimen turbulento en contacto con una placa plana. 3.- Factor de corrección de energía cinética. PROBLEMAS. 1.- El depósito y el tubo de la figura están abiertos a la atmósfera. Si L = 2.13 m, ¿cuál es el ángulo de inclinación del tubo? (White 2.36, p. 107). 2.- El depósito de la figura contiene aceite (Dr=0.8) y agua. Encontrar la fuerza resultante sobre la pared ABC que tiene 1.2 m de anchura. 3.- Considérese un tanque cilíndrico se sección At que en el fondo dispone de un orificio de vaciado de sección A o. Si el recipiente está lleno de agua hasta una altura ho, determinar el tiempo necesario para el vaciado completo del tanque, despreciando las pérdidas. (Determínese primero la velocidad de salida del tanque) (White 3.28, p. 190). 4.- La velocidad angular w de un aerogenerador depende del diámetro D, la velocidad del viento V, la densidad del aire ?, la altura del aerogenerador H comparada con la altura L de la capa límite atmosférica y del número de palas N. Obtener los parámetros adimensionales y la relación funcional entre los mismos. W = f(D, V, , H/L, N) (White 5.22, p 322). A

ACEITE

3m

B

AGUA

1.8 m

C

5.- Se pretende descargar un recipiente que dispone de agua a 10 ºC con un tubo de 20 cm de longitud y 2 mm de diámetro. Determinar la pérdida de carga en la pajita cuando descarga un caudal de 3 cm3/s, así como el gradiente de presión en sentido axial cuando a) el flujo es vertical hacia arriba ; b) el flujo es horizontal. Datos: = 1000 kg/m3; = 1.307 10-3 kg/m.s. (White 6.13. p. 415).

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SOLUCIONES FINAL DICIEMBRE 2004 1.-

 Aplicando la ecuación de la hidrostática en el fondo del manómetro a un lado y a otro, se puede determinar el ascenso vertical x, en la rama inclinada y determinar el ángulo correspondiente. ρac g φ

0.5+

ρag g

= arcsen

0.5 =

x

ρag g

x ⇒ x=

(0.8 + 1) 0.5 1

= 0.9 m

=25 º

L

2.-

Se puede resolver el problema descomponiendo la superficie en dos, considerando las fuerzas de presión sobre el tramo AB debido al aceite, y sobre el tramo BC debido al aceite y al agua: F AB =

g hcAB A AB = 0.8 x10 x 9.81 x 1.5 x 3 x 1.2 ⇒ FAB = 42.38 kN 3

ρac

FBC = (ρac g h AB +

ρag

g hcBC ) A BC

= (0.8 x103 x 9.81 x 3 + 103 x 9.81 x 0.9 ) x 1.8 x 1.2 ⇒ FBC = 69.93 kN Fneta = FAB + FBC = 112.31 kN dirigida hacia la izquierda. 3.-

Considerando que la sección transversal del tanque es muy superior a la del orificio de vaciado, la velocidad de descarga será aproximadamente la expresada por la ecuación de Torricelli, V = (2gh)1/2. Aplicando la ecuación de conservación de materia en forma integral al volumen de control formado por el t anque y el agua que contiene, se tiene:

d

0 = d

∫

dt vc

∫

∫

dt vc  ρ 

 ρ

dVol +

dVol =

ρ

V.n dA = G

sc

G

ρ 

ρ

At



V.n dA 

sc

G

 ρ 

∫

G

dh dt

A o (2 g h )1/2

  dh  A o ⇒ = 2g dt  1/2 A h t    

Integrando esta expresión se puede obtener el tiempo necesario para vaciar el tanque: 0

dh

∫h

1/2

ho

4.-

t

 A o

=∫ 0

 A t

2g dt ⇒ 2ho1/2 =

Ao At

2g t ⇒ t =

At

2ho

Ao

g

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Se trata de una relación funcional de 6 parámetros por lo que tendrán que determinarse 6-3 = 3 parámetros adimensionales. Debemos darnos cuenta que la relación H/L y N, constituyen dos de los tres parámetros, por tanto, todo se reduce a determinar el otro parámetro. Pare ello tomaremos como variables repetitivas la densidad, la velocidad y el diámetro: a

Π1 = M0 L0 T 0  = M L-3  L T -1 

b

c [L ] T -1  ⇒

Π1 =

wD V

Por tanto, la relación funcional será:

wV D

H  = f  , N L 

5.-

Comprobemos primeramente el régimen de flujo dentro de la pajita:

 4ρV 4 x 103 x 3 x 10 -6 = Re = πµ d π x 1.307 x 10 -3 x 0.002

= 1461.25 ⇒ laminar 

El factor de fricción en régimen laminar es independiente de la rugosidad e igual a 64/Re. Las pérdidas de carga primarias serán entonces:

 128 µ L V 128 x 1.307 x 10 x 0.2 x 3 x 10 Hfp = = = = 0.2036 m 4 4 πρgd π x 1000 x 9.81 x 0.002 Re d 2g Planteando la ecuación de conservación de la energía para la pajita en sentido horizontal y vertical, despreciando las pérdidas de carga secundarias y considerando flujo totalmente desarrollado, el gradiente de presión en sentido axial será en ambos casos: 64 L V

 ∆p

L

= horizontal

 ∆p

L

= vertical

2

-3

ρ g Hfp

=

L ρ g (Hfp + L) L

1000 x 9.81 x 0.2036 0.2

=

-6

= 9986.58 Pa/m

1000 x 9.81 x (0.2036 + 0.2) 0.2

= 19798.6 Pa/m

SEGUNDO EXAMEN PARCIAL DE MECÁNICA DE FLUIDOS. ENERO 2005.  Alumno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Considerando flujo estacionario en el conducto de sección rectangular de la figura (profundidad z), determinar  la magnitud y dirección de la velocidad en la sección 3 si se considera uniforme. (Fox, 4.24, pp. 156). Determinar asimismo, la fuerza por unidad de profundidad necesaria para mantener el conducto en posición. 2.- Sea el campo de velocidades en el plano xy, donde A = 10 m 2/s y x e y están en metros: ¿constituye un flujo incompresible?. Determinar la expresión de la aceleración del fluido. Evaluar la velocidad y aceleración a lo largo del eje x, del eje y y de la línea definida por x=y. (Fox 5.43, pp 227). 3.- Un brazo aspersor gira a una velocidad w alrededor  del eje O. Como consecuencia del rozamiento en los cojinetes, existe un par resistente. Determinar la velocidad angular de giro w en función de la geometría del aspersor y de las propiedades del flujo si se considera incompresible y estacionario y la velocidad relativa de salida es V0. 4.- La potencia , necesaria para arrastrar una soplante depende de la densidad , el caudal volumétrico , diámetro del impulsor y velocidad angular w. Empléese el análisis dimensional para determinar la dependencia de la potencia con los demás parámetros. 5.- Teniendo en consideración el tensor de velocidades de deformación, qué elementos del mismo representan las velocidades de deformación lineal. Indicar los valores de tales elementos en forma de subíndices.

SOLUCIONES: 1.-

a) Aplicamos la ecuación de conservación de energía en forma integral, considerando régimen estacionario: h1

G G

0 = ∫  ρ (V .n )dA; − ∫ ρ 0

sc 

V max h1

yzdy + ρV2h2z + ρ V3h3 z =   0

10 × 2 15 × 1 − ; V3 = −3.33 m / s h3 2h3 2 × 1.5 1.5 En donde se ha considerado inicialmente que el flujo es saliente. El signo negativo indica que, realmente, el flujo tiene que ser entrante con la magnitud indicada y con un ángulo de 60 º respecto a la horizontal. V3 =

Vmax h1

−

V2 h2

=

b) En este caso consideramos la ec. de conservación de cantidad de movimiento en forma integral, en régimen estacionario, siendo la presión de los chorros la atmosférica:  −F ext,x  1 2 =−  ρVmaxh1− ρV3h3 ( −V3  cos θ )  3 z  = ∫  ρ V (V .n )dA ⇒  F ext   − F ext,y  sc  = ρV2h2 ( −V2 )− ρV3h3 ( −V3 senθ )  z  G

G G G

−Fex,x =− 1 ×103 ×102 ×2 +103 ×3.332 ×1.5 ×cos 60 ⇒Fext,x =58.35 kN/m

3 −Fex,y =−103 ×152 +103 ×3.332 ×1.5 ×sen 60 ⇒Fext,y =210.59 kN/m

 Ambas componentes en sentido negativo a los ejes establecidos. Habrá que destacar que si se trabaja con la velocidad media en la sección 1, se comete un ligero error en el cálculo de la fuerza en la dirección x, puesto que aparecerá el término 1/4 en vez de 1/3. Con lo que la fuerza total será : Fext,y 2 +F2 α  = arctg Fext = Fext,x 218.52 kN/m; = = 74.5º ext,y Fext,x 2.-

a) Para comprobar si el flujo es incompresible debe verificarse el cumplimiento de la ecuación de conservación de materia en forma diferencial para este flujo bidimensional, es decir: De donde se deduce que el flujo es incompresible.  ∂u  A(x 2 + y 2 ) − 2Ax 2  =  A(y 2 − x 2 ) + A(x 2 − y 2 ) ∂u ∂v  ∂x (x 2 + y 2 ) 2 + =0⇒ =0 2 2 2 ⇒ 2 2 2 ∂x ∂y  A(x y ) 2Ay + − v ∂ (x y ) +  =  ∂y (x 2 + y 2 ) 2 

b) La aceleración del campo fluido se obtiene a partir de la derivada sustancial de la velocidad, que separada en componentes resulta:

Ax A(y 2 − x 2 ) Ay -A 2x(x2 + y2 ) ∂u ∂u ∂u ∂u −2Axy ⋅ + ⋅ + 0 ⇒ ax = ax = + u + v + w = 0 + ∂t ∂x ∂y ∂z (x2 + y2 ) (x2 + y2 )2 (x2 + y2 ) (x2 + y2 )2 (x2 + y2 )3 ay =

∂v ∂v ∂v ∂v Ax -2Axy Ay A(x2 − y 2 ) -A2y(x2 + y2 ) +u + v + w =0+ ⋅ + ⋅ + 0 ⇒ ay = ∂t ∂x ∂y ∂z (x2 + y2 ) (x2 + y2 )2 (x2 + y2 ) (x2 + y2 )2 (x2 + y2 )3

c) La velocidad y aceleración a lo largo del eje x implica que y=0, a lo largo de y que x = 0, por lo que: G  A G Vx=0 = j y 2 -A G G a x=0 = 3 j y

 A G Vy=0 = i x 2 -A G G a y=0 = 3 i x G

 A

 A G j 2x 2x 2 2 -A G -A G G a x=y = 3 i- 3 j 4x 4x G

Vx=y =

G

i+

3.-

Considerando un VC fijo que envuelva el espacio barrido por el aspersor, podemos aplicar la expresión de la ecuación integral de conservación de momento angular  tomando velocidades absolutas. En ese caso la velocidad absoluta de salida será igual a la velocidad relativa más la velocidad tangencial del brazo debido a la rotación. Además, considerando régimen estacionario, la entrada y salida de flujo unidimensional, las presiones de mismos los próximos a la presión atmosférica, el efecto de las fuerzas másicas despreciable y que la entrada no implica momento respecto al eje de giro: La igualdad de vectores exige igualdad de módulos, lo cual permite deducir la G

G

G

∫

G G

G

∫

G

G

G

G

G

 R(V − wR) k Mo = ρ( r × V)(V.n)dA; - Tok = ρ( r 2 × V2 )(V2 .n)dA = m o

sc

 A 2

dependencia de la velocidad de rotación: En caso de considerar un VC que incluya únicamente el brazo aspersor, estaríamos ante un sistema de referencia no inercial en V T w = o − o2 donde tendremos que tener en cuenta los términos de aceleración de R R m Coriolis y centrípeta. No obstante, el resultado será el mismo. 4.-

 Al disponer de 5 parámetros y restar por las tres magnitudes primarias MLT, se obtendrán dos parámetros adimensionales. Tomando como variables repetitivas , D y w, se tendra: Con lo que la relación funcional para el problema especificado es: a

b

Π = ρ .D .w

1

c

.W

 0=a+1Þa=-1 b 0 0 0  -3  a -1  c  2 -3     Þ M L T   =  M .L  . [L ] .  T  .  M .L T  Þ  0=-3a+b+2Þ b=-5  0=-c-3Þc=-3

 W 1 5 3 ρD w

Π =

d

e

f

Π = ρ .D .w .V Þ

2

Π =

1

V 3

D w

 0=dÞd=0 d f   M 0 L0 T 0  =  M .L-3  . [L ]e .  T -1  .  .L3 T -1  Þ  0=-3d+e+3Þ e=-3          0=-f-1Þf =-1

  V  W = f  3  5 3 ρD w D w 

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EXAMEN FINAL DE MECANICA DE FLUIDOS. FEBRERO 2005  ALUMNO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PRIMER PARCIAL 1.- Sea un depósito cilíndrico de 1 m de altura y 1 m de diámetro que está lleno de agua hasta el borde. Determinar la velocidad angular a la que debe girar sobre su propio eje para que la altura de agua en el mismo eje sea nula. ¿Cuál será el volumen de agua desalojado?. 2.- La compuerta ABC está articulada en B, de tal forma que los tramos AB y BC siempre forman un ángulo de 90º. Determinar la profundidad dea agua h para que la compuerta empiece a abrirse en el punto  A. SEGUNDO PARCIAL 1.- Determinar la fuerza sobre la sujeción de la bifurcación de la figura teniendo en cuenta los datos que se indican y que el estado es estacionario. Los flujos de agua se consideran unidimensionales y uniformes. 2.- La velocidad V de una ola es función de la longitud de onda , la altura D, la densidad y la aceleración de la gravedad g. Mediante análisis dimensional obténgase la dependencia funcional de V con las demás variables. Empléense como variables repetitivas la densidad, la altura y la aceleración de la gravedad. (Fox. pp. 302). TERCER PARCIAL. 1.-Un ventilador centrífugo tiene un rodete de 500 mm de diámetro exterior y una anchura de 75 mm con los álabes curvados hacia atrás un ángulo de 70º con respecto a la tangente a la periferia de la salida. Cuando el ventilador proporciona 3.1 m3/s de aire con una densidad 1.25 kg/m3, la velocidad es de 900 rpm y la diferencia de presión a través del ventilador 33 mm c.agua. La potencia suministrada en el eje es 1.65 kW y el rendimiento mecánico 93%. Suponiendo radial la admisión en el rodete y despreciando el espesor de los álabes, hallar el rendimiento hidráulico y global así como la potencia perdida por fricción en cojinetes y otros elementos mecánicos, y las pérdidas hidráulicas. 2.- Determinar el esfuerzo cortante en la pared de una tubería de 30 cm de diámetro por la que circula agua, siendo la pérdida de carga de 5 m.c.a en 100 m de longitud. Obtener también el esfuerzo a 5 cm del eje de la tubería y la velocidad media si la rugosidad relativa es 0.0003. 3.- Determinar la expresión para el cálculo de las pérdidas de carga primarias en tubo, teniendo en cuenta que el régimen de flujo es laminar. 4.- Explicar el concepto de NPSH disponible y distintos procedimientos que conozcas para aumentarlo. 5.- Se pretende descargar un recipiente que dispone de agua a 10 ºC con un tubo de 20 cm de longitud y 2 mm de diámetro. Determinar la pérdida de carga en la pajita cuando descarga un caudal de 3 cm3/s, así como el gradiente de presión en sentido axial cuando a) el flujo es vertical hacia arriba ; b) el flujo es horizontal. Datos: = 1000 kg/m3; = 1.307 10-3 kg/m.s.

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SOLUCIONES FINAL FEBRERO 2005 1er Parcial 1.-

a)La distribución de presiones en un fluido en rotación como sólido rígido obedece a la siguiente expresión:

p2 -p1=

ρw 2

(r22 -r12 )-ρg(z2 -z1 )

2

Considerando el origen de los ejes coordenados en el eje del fondo del tanque, y considerando las coordenadas de dicho origen (1) y del borde superior (2), se puede determinar la velocidad de rotación necesaria para que la altura en el eje vertical (de simetría del recipiente) sea nula. Para estos dos puntos de la nueva superficie libre, la presión es la misma (la atmosférica):

p2 − p1 = 0 =

ρw 2

2

(0.52 − 0) − ρg(1 − 0) ⇒ w =

2g 0.52

= 8.86 rad/s ⇒ 84.6 rpm

b) Para el volumen desalojado tengamos en cuenta la relación existente entre la altura de agua en el eje de giro, h1, y la altura en reposo que debería tener el agua para que no existiese rebose. En nuestro caso h1 vale cero, por lo que:

h0 =

( wR ) 4g

2

=

( 8.86x0.5 ) 4x9.81

2

⇒ h0 = 0.5 m

Por tanto, el volumen que se desaloja es la mitad del total, es decir, 0.39 m3. 2.-

Recurriendo al equilibrio de la compuerta y tomando momentos respecto a la articulación B, el momento de la fuerza sobre el tramo BC ( en sentido contrario a las agujas del reloj) ha de ser igual al correspondiente a la fuerza sobre el tramo AB. Sólo queda determinar los módulos de la fuerzas y su localización:

FBC =ρg

(h-1)

(h-1) b localizada a 1/3 de (h-1) respecto de B 2 F AB =ρg (h-1) 0.2 b localizada en el centro de AB, es decir, a 0.1 cm de B

∑

MB =0 ⇒ FBC xBC =FAB x AB ; ρg

(h-1) 2

(h-1) b

(h-1) 3

=ρg (h-1) 0.2 b 0.1

h=1+ 6x0.2x0.1 ⇒ h=1.346 m 2º Parcial 1.-

Debemos plantear las ecuaciones integrales de conservación de materia y energía para el VC constituido por la bifurcación. De esta manera se puede obtener el caudal en 2 y la presión manométrica en 3:

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0=

d 

∫

dt  vc 

ρdVol +

∫

exámenes-notas-04-05.wpd   G G

 =m  −m  ; incompresible ⇒ ρ(V.n)dA ⇒ m 3 1 2

sc

 = V  −V  = 0.567 − 0.341 ⇒ V 2 1 3  = 0.226 m /s V 2 3

  ∫ ∫   dt  vc sc    p p  p  ( 1 + V 2 / 2 + gz ) = m  ( 2 + V 2 / 2 + gz ) + m  ( 3 + V 2 / 2 + gz )   m 1 1 1 2 2 2 3 3 3  ρ ρ ρ     4V 4x0.567  1 V1 = = ⇒ V1 = 3.41 m/s ⇒ 2 2 πD1 π0.46    4V 4x0.226 2  V2 = V 12.79 m/s = ⇒ = 2 2 2 πD2 π0.15    4V 4x0.341 3  V3 = = ⇒ V3 = 4.82 m/s 2 2  πD3 π0.3 2 2    3.41  12.792  4.82 2 2 −3 0.567 1.7 x10 +  = 0.226 1.3 x 10 + 2  + 0.341  p 3x10 + 2 2      0=

d 

G G

ρ e dVol +

p3 = 1.403x10 N/m 5

ρ(e + p/ ρ )(V.n)dA ⇒

 ⇒ 

2

De la ecuación integral de conservación de cantidad de movimiento se pueden obtener las componentes x e y de la fuerza sobre la bifurcación: G G ∂  V cos60 + m  V cos45 F ρ V dVol ρ V (V.n)dA = + ⇒ Fx + p 2 A 2cos60 − p 3 A 3cos45 = −m ∑ x ∂t  ∫ x x 2 2 3 3 ∫ vc sc  V cos60 + m  V cos45 ⇒ F = 5.58 kN Fx = −p 2 A 2 cos60 + p3 A 3 cos45 − m 2 2 3 3 x

∑

G G ∂  V sen60 + m  V sen45-m  V ρ V dVol ρ V (V.n)dA + ⇒ Fy − p 2A 2sen60 − p 3 A 3sen45+p1 A1 = m y 2 2 3 3 1 1 ∫sc y ∂t  vc∫

Fy =

 V sen60 + m  V sen45 - m  V ⇒ F = −17.5 kN Fy = p 2 A 2 sen60 + p3A 3 sen45-p1A 1 + m 2 2 3 3 1 1 y

De donde se puede concluir que la fuerza horizontal está dirigida hacia la derecha y la vertical hacia abajo. El módulo y dirección de la fuerza total serán 18.37 kN y 72.3 º respectivamente. 2.-

 Al disponer de 5 parámetros y restar por las tres magnitudes primarias MLT, se obtendrán dos parámetros adimensionales. Tomando como variables repetitivas ρ, D y w, se tendrá: 0 = a a c b  − − Π1 = ρa .Db .gc .V ⇒ M0L0 T 0  = M.L 3  . [L ] . LT -2  . LT 1  ⇒ 0 = −3a + b-c+1 ⇒ b = −1/2 0 = −2c − 1⇒ c = −1/2  Π1 =

V gD

0 = d ⇒ d = 0  Π2 = ρ .D .g .λ ⇒ M L T  = M.L  . [L ] . LT  . [L ] ⇒ 0 = −3d + e + f  + 1 ⇒ e = −1 0 = −2f ⇒ f = 0  d

Π2 =

e

f

0 0

0

−3 d

e

− 2 f 

λ

D De los resultados se deduce la influencia del número de Froude en el problema físico analizado. La relación funcional puede quedar de la siguiente forma:

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físico analizado. La relación funcional puede quedar de la siguiente forma:

λ = f   gD D V

Parcial 3º 1.-

La altura a la salida del rodete puede obtenerse de la ecuación integral de conservación del momento cinético para un VC fijo que englobe al rodete:  t2 r2 − Vt1r1 ) Mi = m(V U2 Vt2      ⇒ M = mV r ⇒ W = M w = mV U ; VgH = mV U ⇒ H = ρ  i t2 2 i i t2 2 i t2 2 i Vt1 = 0 g  Teniendo en cuenta el triángulo de velocidades a salida, se puede expresar dicha altura como función del caudal volumétrico y de la geometría del rodete: 2 2  U2 U2 cotgβ 2 V 900x2xπx0.25  1 900x2xπx0.25xcotg70x3.1  − = − ⇒ Hi = 33.59 m.c.aire. Hi =  gπD 2 bk

g



60



9.81

60x9.81x πx0.5x0.075

De donde se puede deducir la potencia indicada sin fuga, que relacionada con la hidráulica nos permite determinar el rendimiento hidráulico y el global:

ηh =     Wi = ρVgHi = 1.25x3.1x9.81x33.59 ⇒ Wi = 1276.88 W  ⇒ 3    Wh = ρVgH = 10 x3.1x9.81x0.033 ⇒ Wh = 1004 W  η = g

 W h  W

i

 W h  W

= 0.786 = 0.608

m

 Aunque no lo pide el problema podría determinarse también el rendimiento volumétrico o intersticial: ηv

=

η g  ηhη ,m

=

0.608 0.786 x 0.93

⇒ η v  = 0.83

Sólo queda obtener las distintas pérdidas de potencia mecánica, volumétrica e hidráulica (por choque en la voluta o difusor). Habrá que tener en cuenta que la potencia con fuga se obtiene a partir del rendimiento volumétrico:

 =ρ(V+V   )H =W  η = 1.535 kW W i,c.f. fuga i mec mec      W perd.mec. = Wmec − Wi,c.f. = Wmec (1-ηmec ) = 1.65(1 − 0.93) ⇒ Wperd.mec. = 0.115 kW      W perd.vol. = Wi,c.f. − Wi = Wi,c.f. (1-η v ) = 1.535(1 − 0.83) ⇒ Wperd.vol. = 0.261 kW      W perd.hid. = Wi − Wh = Wi (1-ηh ) = 1.276(1 − 0.786) ⇒ Wperd.hid. = 0.273 kW 2.-

De las ecuaciones de Navier-Stokes en coordenadas cilíndricas, se deduce que la relación entre el esfuerzo cortante y el gradiente de presión en dirección axial es: τ rx =

r  ∂p    ,expresión que es válida tanto para régimen turbulento como laminar. El 2  ∂x 

esfuerzo cortante en la pared y a 5 cm del eje, se determina teniendo en cuenta que la pérdida de carga coincidirá precisamente con el gradiente de presión en los 5 m de longitud de tubería (que consideraremos lineal):

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 0.15x103 x9.81x5 ⇒ τ r x = 36.78 N/m2  rγ  Hf   2x100 = τ rx = 3 2L  0.05x10 x9.81x5 ⇒ τ  = 12.26 N/m2 r x  2x100 1

2

La velocidad puede obtenerse a partir de las expresiones de la pérdida de carga y de la ecuación de Colebrook, considerando inicialmente que el régimen es turbulento:

 l og  +  3.51 D  e

V=-2 2gD

Hfp

D

L

2.51ν  2gD

Hfp L

  = -2 

 0.0003 2.51x1.307x10 log  +  3.51 0.3 2x9.81x0.3x

-6

2x9.81x0.3

5

100

5 100

V=4.31 m/s

Se puede comprobar que con esta velocidad el Re implica que el régimen es turbulento. 5.-

Comprobemos primeramente el régimen de flujo en la pajita:

Re =

 4V πDν 

=

4x3x10 -6 πx0.002x1.307x10

-6

= 1461.25<2300 régimen laminar  

Con lo cual la pérdida de carga puede obtenerse directamente según la siguiente expresión:

Hfp =

2 64 L 8V

64x0.2x8x(3x10 -6 ) 2

⇒ Hfp =0.2036 m.c.a = Re D π 2D4 g 1461.25x0.002 5 x π2 x9.81

Planteando la ecuación de conservación de la energía para la pajita en sentido horizontal y vertical, despreciando las pérdidas de carga secundarias y considerando flujo totalmente desarrollado, el gradiente de presión en sentido axial será en ambos casos:

 ∆p

L

= horizontal

 ∆p

L

= vertical

ρ g Hfp

=

L ρ g (Hfp +L) L

1000 x 9.81 x 0.2036 0.2 =

= 9986.58 Pa/m

1000 x 9.81 x (0.2036 + 0.2) 0.2

= 19798.6 Pa/m

  

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EXAMEN DE MECÁNICA DE FLUIDOS. RECUPERACIÓN FEBRERO 2005.  ALUMNO/A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PARCIAL 1 1.- El indicador de un tanque de uso diario que alimenta un motor marino, marca el nivel en proporción a la presión manométrica del fondo del depósito. Si el depósito tiene 3 m de alto y contiene 20 cm de agua decantada, ¿cuántos centímetros de aire habrá en la parte superior  cuando el indicador señale erróneamente que el tanque está lleno? 2.- Una puerta semicircular AB está articulada a lo largo de B y mantenida en posición horizontal por una fuerza horizontal aplicada en A. Calcular la fuerza necesaria F A, para mantener la puerta en equilibrio. 3.- Desarrollar la expresión de la distribución de presiones en un fluido que rota a w constante, si se comporta como un sólido rígido. Como aplicación, considérese un depósito cilíndrico de 1 m de altura y 1 m de diámetro, que está lleno de agua hasta el borde. Determinar la velocidad angular a la que debe girar hasta que la profundidad en su centro sea nula. PARCIAL2 1.- Un campo bidimensional de velocidades viene dado por en unidades arbitrarias. Determinar en el punto (x,y)=(2,1): a) las componentes de la aceleración ax y ay; b) la componente de la velocidad en la dirección = 30º. Comprobar si se trata de un campo de flujo incompresible. 2.- Un flujo de agua es descargado tangencialmente a través de dos boquillas situadas en los extremos opuestos de un brazo aspersor de longitud 0.6 m y pivotado en su centro. La velocidad de salida relativa a la boquilla v es de 6 m/s y el diámetro d de cada boquilla es 12.5 mm. Determinar: a) el par ejercido cuando el brazo se mantiene en reposo; b) el par resistente y potencia disipada cuando el aspersor  gira con una velocidad tangencial o periférica de 3 m/s. 3.- Un carrito es empujado por un chorro de agua de caudal 5 m 3/s y velocidad 50 m/s. El chorro es desviado hacia atrás por el carro. Determinar la fuerza necesaria para mantenerlo fijo y para que se desplace a una velocidad de 25 m/s. Despréciese fricción en las ruedas y deflector. PARCIAL3 1.- Un flujo totalmente desarrollado con velocidad media de 1.8 m/s circula entre dos placas paralelas lisas horizontales separadas una distancia de 61 mm. Determinar la pérdida de carga primaria en m.c.a y la caída de presión en kPa por cada 30 m de longitud si el fluido tiene una densidad de 979.22 kg/m3 y a) una viscosidad cinemática de 1.86 10-6 m2/s; b) 1.86 10-4 m2/s. Recuérdese emplear el diámetro hidráulico Dh = 4Area/perímetro para estudios en régimen turbulento. 2.- El perfil de velocidad para un flujo totalmente desarrollado entre dos placas infinitas paralelas y estacionarias esta dado por una expresión del tipo u = ay (h - y), en donde a es una constante, h es la distancia entre las placas e y es la distancia medida desde la placa inferior. Determinar la relación /umax . 3- Considerando una bomba centrífuga en la que, a la entrada, el fluido no presenta pre-rotación ( 1 = 90 º), ¿qué ocurre cuando el caudal se desvía por encima o por debajo del caudal de diseño?. Apoye la explicación dibujando los triángulos de velocidades de entrada para caudal de diseño y fuera de caudal de diseño. 4.- Las dimensiones de un rodete de una bomba centrífuga son D1 = 150 mm, b1 = 75 mm, 1' = 20 º, D2 = 300 mm, b2 = 50 mm, 2' = 25 º. Estimando una reducción de la sección del 5 % por causa del espesor  de los álabes, determinar la curva motriz teórica, si la velocidad de giro es 1450 rpm. Calcular el caudal y la elevación cuando 1 = 90º, así como la potencia si el fluido es agua.

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Soluciones final de recuperación. Febrero 2005 1er Parcial: 1.-

Cuando el indicador de nivel indica lleno, en ambos casos debe cumplirse que la presión a la altura del mismo es la misma, tanto en el caso en el que todo el tanque está relleno de gasolina como en la condición indicada en la figura. Teniendo esto en c onsideración se puede plantear la siguiente igualdad a partir de la ecuación fundamental de la hidrostática: (ρag -ρg ) 1-0.68 ρg gHt =ρg g(Ht -Hag -Haire )+ρag gHag ⇒ Haire = Hag = x 0.2 ⇒ Haire =0.094 m ρg 0.68 2.-

El módulo de la fuerza hidrostática sobre la compuerta será el producto de la superficie por la presión en el centro de gravedad de la compuerta, tomada desde la superficie libre:  4R  πR2  4x3  π32 3 F AB =pc A=ρg  8 2 = 10 x9.81x  8- 3π  2 ⇒ FAB =932.9 kN → 3 π     Esta fuerza estará aplica en el centro de presiones cuya profundidad será:

Ixc xc  π 8  4 zcp =zc +   R zc A   4R   8 9π  =6.92 m  zcp =  8+ 2 π  3 4R R π     8π 8  Ixc xc =  -  R4   3π   2    8 9π   Considerando el equilibrio de la compuerta, la suma de momentos con respecto al punto B, ha de ser  igual a cero, por tanto se tiene que el momento asociado a F AB tiene que ser igual al de la fuerza en F A:

∑ MB =0 ⇒ FAB zAB =FA zA ⇒ FA =

F AB (8-zcp ) 932.9(8-6.92) = ⇒ FA =366.49kN ← z A 3

3.-

a)La distribución de presiones en un fluido en rotación como sólido rígido obedece a la siguiente expresión:

p2 -p1=

ρw 2

2

(r22 -r12 )-ρg(z2 -z1 )

Considerando el origen de los ejes coordenados en el eje del fondo del tanque, y tomando las coordenadas de dicho origen (1) y del borde superior (2), se puede determinar la velocidad de rotación necesaria para que la altura en el eje vertical (de simetría del recipiente) sea nula. Para estos dos puntos de la nueva superficie libre, la presión es la misma (la atmosférica):

p2 − p1 = 0 =

ρw 2

2

(0.52 − 0) − ρg(1 − 0) ⇒ w =

2g = 8.86 rad/s ⇒ 84.6 rpm 2 0.5

Tomando como puntos de la superficie libre, el vértice de la misma situado en el eje del fondo del tanque y el borde superior, de la expresión de la distribución de presiones en un fluido en rotación como sólido rígido se deduce la velocidad de rotación. Téngase en cuenta que ambos se encuentran sometidos a la presión atmosférica: 2º Parcial: 1.-

a) La aceleración del campo fluido se obtiene a partir de la derivada sustancial de la velocidad, que separada en componentes resulta: ∂u ∂u ∂u ∂u ax = + u + v + w = 0 + (x2 -y2 +x)⋅(2x+1)-(2 xy + y ).( −2y )+ 0 ⇒ ax (2,1) = 35 ∂t ∂ x ∂y ∂z ∂v ∂v ∂v ∂v ay = + u + v + w = 0 +(x2 -y2 +x)⋅( − 2y ) −(2 xy + y )⋅(− 2x −1) + 0 ⇒ ay (2,1)= 15 ∂t ∂ x ∂y ∂z b) La velocidad para el punto (2,1) será cuya dirección coincide con la bisectriz al 4º cuadrante, por tanto, la componente de esta velocidad en la dirección de =30 en el primer cuadrante será igual a la proyección sobre está, es decir: G

Vθ=30º = V cos(θ+45)= 50 cos75 ⇒ Vθ=30º =1.83 c) Para comprobar si el flujo es incompresible, debe verificarse el cumplimiento de la ecuación de

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conservación de materia en forma diferencial para este flujo bidimensional, es decir:

 ∂u  ∂x = 2 x + 1 ∂u ∂v + =0⇒  ⇒ incompresible ∂ v ∂x ∂y  = −2 x − 1 ∂  y De donde se deduce que el flujo es incompresible. 2.-

a) El par necesario para mantener el aspersor en posición estática deberá compensar el correspondiente a los chorros. Aplicando la expresión de conservación de momento cinético al VC fijo constituido por el aspersor se tiene: G

Mok= G

G G G G G G G G G G ∂ 2  ⇒ ⇒  ρ  ρ ρ (rxV)dVol+ ( rxV)(V.n)dA M k=m(-RV -RV )k M k=-2 ARV k o 1 2 o ∫ ∂t vc∫ sc G

G

Mo =-2 ×103 ×π 0.006252 ×0.3×62 k = -2.65 k (N.m) En donde se ha considerado régimen estacionario y flujos unidimensionales y uniformes. El par deberá ser aplicado en el sentido de las agujas del reloj. El fluido ejercerá un par igual pero en sentido contrario. b) Al considerar la rotación de las boquillas con una velocidad tangencial constante de 3 m/s, al aplicar  la ecuación de conservación a un VC fijo que en un instante dado coincide con el aspersor, la velocidad absoluta del chorro estará compuesta por la relativa del mismo y por la de la boquilla: G ∂  G G G G G G G G G Mo k= ∫ ρ(rxV)dVol+ ∫ ρ(rxV)(V.n)dA  G 2  ∂t vc M k=m(-RV -RV )k M k=-2  ρ  ARV k ⇒  o sc 1 2 o G G G G G G G G G  V1=V2 =Vr +Vvc =6 i-3 i ⇒ V1 =V2 =3 i  G G G 3 2 2 Mo =-2 ×10 ×π 0.00625 ×0.3×3 k = -0.66 k (N.m) G G 3   ⇒ W=6.62 W=M W o .w=0.66× 0.3 3.-

a) De la ecuación integral de conservación de cantidad de movimiento se puede obtener la fuerza a ejercer. En este caso, despreciando el peso del carro y chorro y el rozamiento, la única componente a determinar es en la dirección x: G G ∂   V +m  (-V ) V dVol V (V.n)dA ρ ρ + ⇒ Fx = 0 − m x x x e e s s  ∫ ∫  ∂t vc ⇒ Fx = −500 kN ←  Fx = −2mV sc   =m  ; V =V m e s e s 

∑F

=

De donde se puede concluir que la fuerza horizontal a aplicar para mantener el carro fijo está dirigida hacia la izquierda. b) Aplicando la expresión anterior a un VC que se mueve a una velocidad constante de 25 m/s, se puede obtener la fuerza necesaria. En esta caso habrá que tener en consideración velocidades relativas. G G ∂  ρ ρ ∑ Fx = ∂t ∫ Vrx dVol+ ∫ Vrx (Vr .n)dA ⇒ Fx =0-m e (Vch − Vc )+m s (-1)(Vch -Vc ) Fx =-2 ρ A(Vch − Vc )2 vc sc  G G G  Vr = Vch − Vvc ; m e = m s = ρ A(Vch − Vc )  ⇒ Fx =-125 kN ←

3er  Parcial: 1.-

a) Obtengamos el número de Re con el objeto de conocer el tipo de régimen. En este caso se toma como dimensión característica el diámetro hidráulico, en el que se puede considerar despreciable el término 2a del perímetro frente a 2l:

Dh =

4A 4la = p 2l+2a VDh

Re =



 1.8×2×0.061  = 118054.51 ⇒ turbulento  ⇒ Re= -6 1.86×10  

2a 

ν  Como el régimen es turbulento resulta acertada la decisión de emplear del diámetro hidráulico. Con este valor del número de Re y teniendo en cuenta que las placas pueden ser consideradas como lisas, del

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diagrama de Moody se obtiene un valor aproximado del factor de fricción f=0.0174. De la ecuación de conservación de la energía, se deduce que la pérdida de carga coincidirá con la caída de presión en el conducto:  p1 V12 p V2 + +z1 = 2 + 2 +z 2 +Hfp  p1 -p2 L V2 30 1.8 2 =f =0.0174 ⇒ ρg 2g ρg 2g  ⇒ Hfp = ρg Dh 2g 2×0.061 2×9.81  z1 =z2 ; V1 = V2 

Hfp =0.707 m.c.fluido ⇒ p1 -p 2 =ρgHfp =6.79 kPa ⇒ Hfp =0.692 m.c.a. b) Con el nuevo valor de viscosidad obtengamos el número de Re, considerando inicialmente a como dimensión característica:

Re =

Va 1.8×0.061 ⇒ Re=590.32 ⇒ laminar   = ν  1.86×10 -4

Este resultado confirma la idoneidad de considerar inicialmente a como dimensión característica. En este caso en vez de recurrir al factor de fricción, utilizaremos las ecuaciones de Navier-Stokes para flujo incompresible, laminar y totalmente desarrollado entre las dos placas. Considerando despreciables los efectos másicos y que sólo existe gradiente de presión en la dirección x del flujo y de velocidad en la dirección y normal al mismo, se tiene:

dp d2u - +µ 2 =0 dx dy Resolviendo la ecuación diferencial teniendo en cuenta que el gradiente de presión es constante y con las condiciones de contorno, y = 0 u=0; y = a u=0, se obtiene la expresión del perfil de velocidad y del caudal en función del gradiente de presión que puede ser considerado como lineal: 1  dp  u(y)=   ( y 2 -ay ) 2µ   dx  a 1  dp  2 l  −∆p   a3 a3  a3l  −∆p    V=∫ u(y)dA = ∫   ( y -ay ) ldy =   −  ⇒ V= 2µ  L   3 2  12µ   L   A 0 2µ  dx  Con esta expresión ya estamos en condiciones de obtener directamente la caída de presión y, por tanto, la pérdida de carga:

a3l  −∆p  12νρ VL 12×1.86×10 -4 ×979.22×1.8×30 ⇒ (p1 -p2 )= ⇒ (p1 -p2 )=31.72 kPa V= = 12µ   L  a2 103 ×0.0612 p1 -p2 31.72×103 ⇒ Hfp =3.3 m.c.fluido o 3.23 m.c.a. Hfp = = 979.22×9.81  ρ g 

2.-

Teniendo en cuenta la expresión del caudal volumétrico, se puede obtener primeramente la velocidad media:

V 1 h al  h3 h3  1 V= = ∫ ay(h-y)ldy=  -  ⇒ V= ah2  A hl 0 hl  2 3  6 La distancia vertical a la cual la velocidad es máxima se obtiene derivando el perfil de velocidad respecto a dicha dirección e igualando a cero: du h h ah2 h =ah-2ay=0 ⇒ y  = ⇒ umax =a  h-  ⇒ umax =

dy

2

2

2

4

ah2 2 V  = 62 = La relación pedida será 3 umax ah 4 3.-

La curva motriz teórica se obtiene sustituyendo directamente en la expresión correspondiente:

Prof. Dr Alvaro Baaliña

exámenes-notas-04-05.wpd  

 U2 Vt2 U22 U2cotg β  '2 V H= = −  22.782 22.78×cotg25×V  π D2b2k g g g − ⇒  ⇒ H= π  9.81 ×0.3×0.05×0.95×9.81 2π  U2 =w R2 =1450× ×0.15 ⇒ U2 =22.78 m/s  60  H=52.9-111.24V Podemos obtener el caudal, altura y potencia teórica de la bomba teniendo en cuenta el triángulo de velocidades a la entrada. V 2π  tg β 1' = 1 ⇒ V1=tg20×1450× ×0.075=4.15 m/s ⇒ U1 60 3   V=V 1π D1b1k=4.15×π ×0.15×0.075×0.95 ⇒ V=0.14 m /s H=52.9-111.24×0.14 ⇒ H=37.33 m 3   ρ VgH=10   W= ×0.14×9.81×37.33 ⇒ W=51269 W

EXAMEN FINAL DE MECÁNICA DE FLUIDOS. DICIEMBRE 2005  ALUMNO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teoría: 1.- Expresión vectorial y en componentes de la 2 ley de Newton aplicada a un fluido con aceleración nula y sin movimiento relativo entre las partículas que lo constituyen. ¿Bajo estas circunstancias, en qué condición se encuentra el fluido? 2.- Factor de corrección de energía cinética. 3.- ¿Cómo varía el factor de pérdida de carga primaria con el número de Reynolds para un valor dado de la rugosidad relativa en un flujo turbulento? Problemas: 1.- Un conjunto cilindro-pistón dispone de una columna de agua en su interior de 100 cm de altura. Si el pistón se desplaza hacia arriba con una aceleración de 10 m/s 2 y el fluido se considera que se comporta como sólido rígido, determinar la presión a una distancia de 30 cm por debajo de la superficie libre. ¿Se deformará ésta con respecto a la condición estática sin aceleración? 2.- En un eductor el agua es suministrada a una tobera de 3 cm de diámetro y sale a una velocidad de 30 m/s. La velocidad en el conducto de 5 cm es de 5 m/s. Si la presión aguas abajo en donde la velocidad ya es uniforme para toda la sección es de 100 kPa, ¿cuál es la presión con la que el agua es suministrada a través de la tobera?. Considérese el volumen de control fijo de la figura y velocidades uniformes en cada sección. 3.- Una puerta semicircular   AB está articulada a lo largo de B y mantenida en posición vertical por una fuerza aplicada en algún punto de su eje de simetría. Determinar dicha fuerza para mantener la puerta en equilibrio y su posición. 4.- Un tanque de agua dispone una salida a 25.9 m de la superficie libre mediante un tubo de cobre (considerar rugosidad de tubo drawn) de 3.05 m de largo y 38.1 mm de diámetro. El tubo descarga a la atmósfera. Considerando que la entrada del tubo es aristas vivas se obtuvo un caudal de 0.016 m 3/s. Determinar el coeficiente de pérdida de carga en la entrada si la viscosidad cinemática es 8.8x10 -7 m2/s.

1.Considerando el origen de los ejes coordenados en el eje de la superficie libre, se aplica la ecuación correspondiente a un fluido sometido a una aceleración constante y se considera que la presión en la superficie libre es la atmosférica: p - p0 = - ρ ax (x-x0 )-ρ (g+az )(z-z0 )  p0 = 101 kPa  ⇒ p = -(9.81+10 )(-0.3-0)+p 0 ⇒ p = 104.24 kPa  ax = 0  La superficie libre no sufrirá deformación una vez alcanzado el comportamiento de sólido rígido puesto que el gradiente de presión tiene la dirección del eje vertical z. 2.Del balance de materia aplicado al VC constituido por el eductor, considerando régimen estacionario, incompresible y flujo uniforme en las entradas y salidas: 2 2 2 π ×0.02 π ×(0.05 -0.02 ) ×30+ ×5  A tob Vtob +A1V1 4 4 ⇒ V2 = 9 m/s  A tob Vtob +A1V1 = A2 V2 ⇒ V2 = = 2 π ×0.05  A 2 4 La ecuación de conservación de cantidad de movimiento aplicada a un VC constituido por el agua confinada por entre 1 y 2:  2 V2 − m  1 V1 − m  tob Vtob ⇒ p1 = 15.9 kPa (abs) (p1-p 2 )A = m

3.- Problema resuelto en parcial diciembre 2005 A 4.- Problema hecho en clase.

EXAMEN PARCIAL DE MECÁNICA DE FLUIDOS A. DICIEMBRE 2005  ALUMNO ...................................................................................................................... Teoría: 1.- Diferencia entre fluido Newtoniano y no Newtoniano. En qué consiste considerar  un fluido como un continuo. 2.- Explicar la diferencia entre aceleración local y convectiva o advectiva. 3.- Presión hidrostática en aire considerado como gas ideal y temperatura constante. 4.- ¿Qué se logra a través del teorema de transporte de Reynolds?. Explica el significado de cada uno de los términos de la expresión matemática del teorema. Problemas:

8m A 3m B

1.- Una puerta semicircular AB está articulada a lo largo de B y mantenida en posición vertical por una fuerza aplicada en A. Determinar dicha fuerza para mantener la puerta en equilibrio. 2.- Considerando un codo desviador  de 30º por el que circula aceite de peso específico 8720 N/m 3, determinar  la fuerza necesaria para mantener el codo en su posición, si los perfiles de velocidad en 1 y 2 son:  r2  V1= V01  1 - 2  y V 2 = Vo2 R1  

 r   1 R2  

1/7

.

Considérese que no existe cambio en la presión y no hay fricción pero ténganse en cuenta los factores de corrección de cantidad de movimiento. El caudal circulante es de 350 N/s. Determinar también la posición de la fuerza para que la suma de momentos respecto al eje de la entrada 1 sea cero. La distancia vertical y horizontal entre 1 y 2 es de 50 y 100 cm respectivamente (White 3.39 pag. 189). 3.- Se dispone un sifón para vaciado de un recipiente, de tal forma que la distancia entre la superficie libre del depósito y el tramo curvo del sifón es de 1 m. La altura entre el punto más alto del sifón y la descarga del mismo es de 8 m. Si se considera que el agua abandona el sifón como chorro libre a presión atmosférica, determinar, después de enumerar las hipótesis correspondientes, la velocidad de salida del sifón y la presión absoluta mínima en el sifón (p atm = 101 kPa). 4.- En el tanque de la figura, determina la aceleración a x necesaria para que la presión en B sea: a) la atmosférica; b) vacío absoluto. P atm = 103 kPa.(considérense las longitudes en metros en lugar de pies) (White).

1.En primer lugar, será necesario determinar la fuerza hidrostática. El módulo de la fuerza hidrostática sobre una superficie plana sumergida se obtiene a partir de la presión en el centro de gravedad de la superficie. Como la superficie es vertical z = h:

 4×3  π ×32 F = pc A =  ρ  g hc A = 10 ×9.81× 8 × 2 ⇒ F = 932 kN  3π   3

Para su localización será necesario determinar el momento de segundo del semicírculo respecto a un eje horizontal que pasa por su centro de gravedad. Partiendo del momento polar de un círculo, se deduce el momento respecto a un eje que pasa por el centro del mismo, se divide por dos y, finalmente, se aplica el teorema de Steiner: R 

∫ r dA ∫ r 2

Io =  A

=0

2

2

2π rdr  

⇒ Io =

2

πR

4

=2Ixx ⇒ Ixx =

4

πR

8

4

; Ix c x c

 4R   − = Ixx − Az =   8 2  3π   πR

2 c

4

πR

2

2

 π  8  −  8 9π   

Ixc xc =R4  Por tanto:

hcp = hc +

Ixc xc hc A

= 8-

4×3 + 3π 

 π  8  −   8 9π   ⇒ h = 6.82 m cp 2

34 

6.727×

π  3

2

Una vez localizada la fuerza de presión, a partir del equilibrio de la compuerta se pueden obtener el módulo y posición de la fuerza exterior a la compuerta, que denominaremos F ext:

∑M = 0 B

⇒ Fp hcp-B = Fexthext-B ⇒ 932×1.18 + Fext 3 = 0 ⇒ Fext = 376.6 kN

2.a) El factor de corrección para la entrada será: 2   r 2  α1 = Uo1  1- 2  2π rdr    2 ∫ 2 2 4 6  AVm1 2π  U 1  R1 2R1 R1    R1  − + ⇒ α 1 = 1.33  ⇒ α1 = 2  2 4  R 2 U 2 4R 6R 2  r   U  1 1  1 1  π R1 Vm1 = ∫ Uo1  1- 2  2π rdr ⇒ Vm1 = o  4 2   A 0  R1 

1

2

o

o

Este resultado indica que el perfil de velocidad en la entrada es laminar. Para la salida, la integral se resuelve haciendo el cambio de variable t= 1-r/R 2: α 

2

=

2

2

 AVm2

Vm2 =

1  A

1/7

R2

∫ 0

2/7

 r   ∫0 Uo2 1- R  2π rdr   2

R2

1

Uo2

 r    1- R   2

2π rdr ⇒ Vm2 = 14U 2 o

   ⇒α  1 − 1     8 15 

 7 − 7  ⇒ α  = 1.02   2 1 1   9 16   196  −   8 15  2

2

2

2π  Uo2 R2

=

2

π R

2 2

2

Uo2

Este resultado indica que el perfil de velocidad a la salida es turbulento.  Aplicando la ecuación integral de conservación de materia y de cantidad de movimiento al volumen de control constituido por el conducto y considerando régimen estacionario:

V   = 350/9.81 = 35.68 kg/s ⇒  ⇒ m =m  V 

m1

0=

∫ sc

G G ρ(V.n)dA;

  =m ⇒m 1 2

m2

=

 w  ρ gA

=

= 5.11 m/s 1

 w  ρ gA

= 14.2 m/s 2

G G

∑F = ∫ ρV dVol + ∫ ρV (V.n)dA ⇒ F x

x

vc

∑

Fy =

∫

x

x

sc

ρVy dVol +

vc

∫

G G ρVy (V.n)dA

 α V cos30-α  V ) ⇒ F = 205 N = m( x 2 m2 1 m1

 α  V sen30 ⇒ F = 258.4 N ⇒ Fy = m 2 m2 y

sc

F = 329.84 N ⇒ φ  = arctg

Fy

= 51.57º Fx Se observa que la fuerza para mantener el codo en posición presenta una componente horizontal hacia la derecha y una vertical hacia arriba (el fluido realiza una fuerza igual en módulo pero en sentido contrario). En caso de considerar los coeficientes de corrección igual a la unidad (flujo turbulento en ambas secciones) los resultados serían F x = 256.45 N y F y = 253.3 N. b) Para localizar la fuerza será necesario aplicar la ecuación integral de conservación del momento cinético que, en régimen estacionario, queda de la siguiente forma: G

G

( r x Fext )A =

G

G

G G

∫ ρ( r × V)(V.n)dA sc

 V m 2

 V m 1

Según la geometría tendremos: Con lo que la el brazo de la fuerza respecto al punto A será:  r2mV 0.52 + 1 × 35.68 × 14.2 × sen 3.44º 2 sen 3.44º ⇒ b = 0.103 m = F 329.84 que implica un punto de aplicación de la fuerza a 0.13 m del punto A.en dirección positiva del eje x.

b=

3.a) Considerando que la presión en la superficie libre del tanque y en el chorro de salida es la atmosférica, y que la velocidad de la superficie libre es despreciable, aplicando la ecuación de conservación de la energía, considerando flujo sin fricción, a lo largo de una línea de corriente, estacionario y uniforme se tiene: V2 =

2g(z1 − z2 ) =

2×9.81×7 ⇒ V2 = 11.7 m/s

b) la presión mínima ocurrirá en la parte más alta del sifón. Aplicando nuevamente la ecuación de la energía entre 1 y el punto A más elevado del sifón: p A = patm +  ρ g(z1 − zA )-ρ 

V22 11.72 ⇒ pA = 22.7 kPa (abs) ⇒ -78.2 kPa (man) = 101×103 + 103 ×9.81×(-1) - 103 2 2

4.a) Considerando el origen de los ejes coordenados en el vértice inferior izquierdo del tanque, se aplica la ecuación correspondiente a un fluido sometido a una aceleración constante y se considera que las presiones en A y B son iguales: pB - p A = - ρ ax (xB -x A )-ρ g(zB -zA ) g(1-3) ⇒ ax = 9.81 m/s2  ⇒ ax = pB = pA 3-1 

b) Para que en B la presión sea nula: pB - p A = - ρ ax (xB -x A )-ρ g(zB -zA ) pB = 0 kPa p A = 103 kPa

103-g(1-3)  ⇒ ax = 61.31 m/s2  ⇒ ax = 3-1  

EXAMEN PARCIAL DE MECÁNICA DE FLUIDOS B. DICIEMBRE 2005  ALUMNO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teoría: 1.- Expresión vectorial y en componentes de la 2 ley de Newton aplicada a un fluido con aceleración nula y sin movimiento relativo entre las partículas que lo constituyen. ¿Bajo estas circunstancias, en qué condición se encuentra el fluido? 2.- Factor de corrección de energía cinética. 3.-Origen de la tensión superficial. 4.- Bajo qué circunstancias aparecen la aceleración de Coriolis y Centrípeta en la ec. integral de conservación de cantidad de movimiento. Problemas: 1.-El recipiente de la figura contiene agua, mercurio y aire atrapado en la columna izquierda. Determinar la presión manométrica del aire en las condiciones de la figura. Determinar hasta que valor tiene que incrementarse la presión para que las superficies libres del agua a la izquierda y del mercurio a la derecha, se igualen (Fox.3.15. pp. 84). 2.- La compuerta en L de la figura está articulada en la arista de unión de los tramos rectos. Despreciando el peso de la compuerta, determinar a qué altura D del agua, se producirá la apertura de la compuerta. (Fox 3.56. pp. 90). 3.- Un tubo en U está lleno de agua a 20 ºC. El extremo A entorno al cual se hace rotar está cerrado y el extremo D abierto a la atmósfera. Determinar la velocidad angular de giro máxima sin cavitación. p sat (20ºC)= 2.4 kPa (Fox 3.101, pp 97). 4.- Determinar la fuerza sobre la sujeción de la bifurcación de la figura teniendo en cuenta los datos que se indican y que el estado es estacionario. Los flujos de agua se consideran unidimensionales y uniformes y se desprecia el peso de bifurcación y agua (Final Feb. 05).

1.a) Tomando el fondo del tanque como nivel de presión constante: paire +  ρag g ×1 + ρHg g ×2.9 = ρ Hg g ×3 ⇒ paire = 13.5 g (3 - 2.9) - g ⇒ paire = 3.43 kPa (man) b) Tomando como la base de la columna de agua como nivel de presión constante: paire +  ρag g ×1 = ρ Hg g ×1 ⇒ paire = 13.5 g - g ⇒ paire = 122.6 kPa (man)

2.Existirán dos fuerzas hidrostáticas, una sobre el plano vertical y otra sobre el horizontal. De esta forma puede determinarse la altura D, para la cual el momento de ambas fuerzas respecto a la articulación es nulo. Cualquier aumento del nivel por encima de ese valor implicará la apertura de la compuerta. Para ello será necesario determinar los módulos de las fuerzas, su posición y establecer la condición de equilibrio. Considerando que la anchura de la compuerta es b:

FH = pc A =  ρ g hc A = ρ g hcp,H =

D D b; Fv = p A = ρ  g D 1.5 b = 2

2 D; 3

Tomando momentos respecto a la articulación A:

∑ M A = 0

⇒ FH

(D-hcp,H ) = Fv

1.5 2

⇒

D= 2.6 m

3.La presión mínima se dará en el punto A, puesto que pertenece al eje de giro, en donde las superficies cóncavas de presión constante presentan su vértice. Considerando el eje z coincidente con el eje de giro, y el x en la dirección de la rama BC, aplicando la expresión de la diferencia de presiones entre los puntos  A y D, se tiene: 2  ρ w w2 p A - pD = (rA2 - rD2 )- ρ g(zA -zD ) ⇒ 2.4 - 101 = (− 0.0752 ) ⇒ w = 187.23 rad/s 2 2 4.Ejercicio ya resuelto en Final Febrero 2005.

EXAMEN PARCIAL DE MECÁNICA DE FLUIDOS. ENERO 2006  ALUMNO Teoría: 1.- Cuál es el criterio para considerar un flujo como incompresible. Cúales son las dos componentes del esfuerzo en un fluido (escríbelo en forma indicial). 2.- Cómo se establece la relación entre los esfuerzos y los gradientes de velocidad en un fluido Newtoniano, incompresible e isótropo. Escribe la relación en forma indicial. 3.- Define el concepto de longitud de entrada. Cómo se obtiene la relación entre el esfuerzo y el gradiente de velocidad en flujo turbulento. Problemas: 1.- Obtén la relación de parámetros adimensionales para dar respuesta al estudio de la caída de presión en un conducto, sabiendo que se consideran como variables independientes influyentes, la densidad, el diámetro, longitud y rugosidad del tubo, la velocidad, la viscosidad dinámica. 2.- El tramo de tubería de la figura dispone de un tubo Venturi y un tubo de Pitot. Si el coeficiente de descarga del Venturi es 0.88, determinar la pérdida de carga en el conducto entre la garganta del Venturi y el plano que incluye el orificio del tubo de Pitot. Las presiones que indican los manómetros 1 y 2 son 2.5 x105 y 2.3 x105 Pa respectivamente. La viscosidad cinemática 10-6 m2/s (Virto  Albert. pp. 140). 3.- En el sistema fluido de la figura circula un caudal de 0.005 m3/s de un fluido de densidad 1600 kg/m3 y viscosidad cinemática 6x10-7 m2/s. En el depósito de aspiración la presión es 0.5 x 105 Pa (man) y en el de descarga 0.3 x105 Pa (man). La tubería es de acero inoxidable (e=0.015 mm), de longitud 48.5 m y diámetro 50 mm. El coeficiente de pérdida del filtro de aspiración A es 1, el resto, deben ser estimados de las tablas sabiendo que C es una válvula antirretorno, D una válvula de compuerta abierta al 100 % (ambas acopladas), E codos roscados de 45 º, F un codo roscado de 90º suave y G un ensanchamiento brusco. Considerando un rendimiento de la bomba del 75 %, determinar la potencia absorbida por la bomba. (Virto Albert. pp. 241).

SOLUCIONES 1.-

Resuelto en la teoría del tema de Análisis Dimensional. La solución, tomando como variables repetitivas la densidad, la velocidad y el diámetro es: ∆p ρV

2

 ρVD L e  = f , ,   µ D D

2.-

Primeramente, la velocidad y, por tanto, el caudal, pueden ser obtenidos a partir de la lectura del tubo piezométrico en U del Venturi y de los balances de energía y materia entre los extremos del mismo (puntos 1 y 2, respectivamente). Se considera flujo a lo largo de una línea de corriente, estacionario, unidimensional, incompresible e, inicialmente, sin pérdidas:  V12 p V2 + gz1 = 2 + 2 + gz2   ρ 2 ρ  2 p −p   2 1 2    A 22 D22 2×60.08   ρ   = V1 = V2 2 = V2 2  ⇒ V2 = 4 ⇒ V2 = 11.32 m/s 2 2  A1 D1  D2   0.075   1−  1-  2    z1 = z2  0.15  D 1   

p1

+



Tubo en U: p1 +  ρ gh =p2 + ρ ' g h ⇒

p1 − p2  ρ

  ρ '

= gh  

ρ 

p − p2  J − 1 = 9.81×0.49 (13.5 - 1) ⇒ 1 = 60.08 (6.13 m)  ρ  kg 

Considerando el coeficiente de descarga del Venturi, la velocidad obtenida tendrá que ser  corregida multiplicando por el coeficiente de velocidad. Para la pérdida de carga entre las secciones 2 y 3, tendremos que realizar nuevamente un balance de materia y energía, con las hipótesis anteriores pero considerando ahora las pérdidas de carga. Habrá que tener en cuenta también que el manómetro 2 está indicando la presión de estancamiento de la línea de corriente correspondiente en la sección 2: p2  ρ

+ CD

z 2 = z3

 p V2 V22 + gz2 = 3 + 3 + gz3 + hf  p2 V2 p 2.5×105 -103 ×9.81×0.5 0.882× 11.322 2.3×105 -103 ×9.81×1 + C2d 2 - o3 = + − 2 ρ  2  ⇒ hf  =  ρ 2 ρ  103 2 103  

hf  = 74.52 J/kg (7.6 m) 3.-

 Aplicando el balance de energía entre las superficies libres de ambos recipientes, considerando régimen estacionario y flujo incompresible:  V2  L f + ∑ K  + Hb   2g 2g 2g  D  ρ g ρ g     = K 1+2+0.35+2×0.3+0.41+1 = 5.36 ∑

p1

+

V12

+ z1 =

p2

+

V22

+ z2 +

 4V Re = =2.12×105   π Dν   ⇒ f = 0.0176 e 0.015 = = 0.0003   D 50 V1 = V2 = 0

V=

4V 2 = 2.55 m/s π D

 50-30 2.552  48.5    Hb = 1.6×9.81 − 20 − 2×9.81 0.0176 0.05 + 5.36  = - 26.16 m    ⇒  mgH 1.6×0.005×9.81×26.16 b  W  =  =2.74 kW ⇒W = b b  ηb 0.75     

EXAMEN PARCIAL DE MECÁNICA DE FLUIDOS (B). ENERO 2006  ALUMNO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teoría: 1.- ¿Qué tipo de esfuerzo provoca al deformación lineal de un elemento fluido?. Cuáles son las componentes del tensor de velocidades de deformación que se corresponden con estas deformaciones lineales. 2.- ¿De qué términos consta la velocidad en un punto de un campo fluido en régimen turbulento? ¿Cuál es el origen del esfuerzo turbulento o de Reynolds? 3.- ¿Qué se consigue cuando se cumplen las leyes de semejanza entre modelo y prototipo? 4.- En un flujo laminar entre placas planas paralelas infinitas, en las que una se mueve a una velocidad constante V, ¿qué ocurre en el perfil de velocidad cuando el gradiente de presión es adverso? Problemas: 1.- A la hora de estudiar el comportamiento de bombas o ventiladores centrífugos que cumplan las leyes de semejanza, es necesario definir los parámetros adimensionales característicos. Teniendo en cuenta que la elevación entregada por la bomba gH, es función del caudal volumétrico, el diámetro del impulsor D, la velocidad de rotación , la viscosidad dinámica del fluido , la densidad del fluido , y la rugosidad del material , determinar los parámetros adimensionales (y su denominación en caso de que sean conocidos) que definen el proceso, tomando como variables repetitivas la densidad, el diámetro y la velocidad angular (feb2003). 2.- Un flujo de líquido viscoso de espesor constante discurre en régimen laminar por  una placa plana inclinada con ángulo . El perfil de velocidad es u = Cy (2h-y) y v=w =0. Considerando despreciable el gradiente de presión en la dirección del flujo, determinar  la constante C en función del ángulo, densidad y viscosidad del fluido. Determinar  también el caudal volumétrico por unidad de anchura en función de estos mismos parámetros (feb2003). 3.- Considerando el sistema fluido de la figura, determinar la potencia que absorbe la bomba (kW) si tiene un rendimiento del 85 % y el fluido es agua. Considérese a, como una entrada en arista viva, la pérdida de carga en el codo f 0.4 m y g como una expansión brusca. En la figura se representan las pérdidas de carga en metros de las tuberías y elementos auxiliares. E1 constituye un dispositivo en el que se verifica una pérdida de carga de 15 kPa.(Girdhar pp. 223). ,

EXAMEN FINAL DE MECÁNICA DE FLUIDOS. FEBRERO 2006  ALUMNO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teoría: 1.- Explicar cómo surgen los términos de aceleración local y convectiva y su significado. Deducir cómo se obtiene la fuerza de presión sobre una superficie curva sumergida en un líquido. Objetivo del teorema de transporte de Reynolds y aplicación. 2.- Explicar cuál es el criterio que se sigue para considerar un flujo como incompresible. Explicar el origen de las ecuaciones de Navier-Stokes y el significado de sus términos. ¿Qué esfuerzos provocan la deformación angular de una partícula fluida, cómo se denomina el tensor y qué elementos del mismo recogen dicha deformación?. 3.- Explicar cómo afecta el incremento de las pérdidas por fricción en un sistema fluido al comportamiento de una bomba centrífuga. Dibujar el efecto en un diagrama elevación-caudal. Indica al menos dos factores que caractericen el comportamiento de una bomba de desplazamiento positivo. ¿Qué utilidad tiene el parámetro velocidad específica? Problemas. 1.- El cilindro de la figura 2, recibe la presión de una capa de aceite y agua por el lado izquierdo y se mantiene en equilibrio contra la pared en la rótula A. Determinar las reacciones por metro de cilindro en el punto A, así como el peso del cilindro por  metro y la densidad. 2.- En el tubo en U de la figura, determinar la velocidad de rotación en torno al eje C.(mercurio) 3.- Un chorro de 3 cm de diámetro choca perpendicularmente con una placa plana. Si la fuerza que hay que aplicar a la placa en la dirección horizontal es de 23 N, determínese la velocidad del chorro. 4.- Por una tobera de 4 cm de diámetro de salida se descargan verticalmente 0.03 m3/s de agua. ¿A qué altura ascenderá el chorro si se desprecia la fricción?. 1.-A la hora de estudiar el comportamiento de bombas o ventiladores centrífugos que cumplan las leyes de semejanza, es necesario definir  los parámetros adimensionales característicos. Teniendo en cuenta que la elevación entregada por la bomba gH, es función del caudal volumétrico, , el diámetro del impulsor D, la velocidad de rotación , la viscosidad dinámica del fluido , la densidad del fluido , y la rugosidad del material , determinar los parámetros adimensionales (y su denominación en caso de que sean conocidos) que definen el proceso, tomando como variables repetitivas la densidad, el diámetro y la velocidad angular (feb2003). 2- Un flujo de líquido viscoso de espesor constante discurre en régimen laminar por una placa plana inclinada con ángulo. El perfil de velocidad es u = Cy (2h-y) y v=w =0. Considerando despreciable el gradiente de presión en la dirección del flujo, determinar la constante C en función del ángulo, densidad y viscosidad del fluido. Determinar  también el caudal volumétrico por unidad de anchura en función de estos mismos parámetros (feb2003). 1.- Considerando el sistema fluido de la figura, determinar la potencia que absorbe la bomba (kW) si tiene un rendimiento del 85 % y el fluido es agua a 20 º (1000 kg/m3, pv = 2.34 kPa), así como el NPSH disponible y la altura máxima de aspiración si el NPSH requerido es de 4 m. El caudal impulsado es de 15 l/s. Considérese a, como una entrada en arista viva, la pérdida de carga en el codo f 0.4 m y g como una expansión brusca. En la figura se representan las pérdidas de carga en metros de las tuberías y elementos auxiliares. E1 constituye un dispositivo en el que se verifica una pérdida de carga de 15 kPa. patm = 101 kPa (Girdhar pp. 223). 2.- Sean r 1 = 10.2 cm, r 2 = 17.8 cm, 1 = 30º, 2 = 20º y b1 = b 2 = 4.5 cm, los datos de un impulsor que rota a 1440 rpm, estímese el caudal, la altura y la potencia que entrega la bomba, considerando que no existe prerrotación a la entrada y que el coeficiente de reducción por el espesor de álabes es la unidad. (White. pp. 718). 3.- Una bomba cuando gira a 1450 rpm presenta una curva motriz de ecuación H=32.5-312.5 V 2 , en donde H y el caudal están expresados en m y l/s, respectivamente. Obténgase la nueva curva motriz de la bomba cuando se hace girar a 2900 rpm.

SOLUCIONES FINAL FEBRERO 2006 1er  Parcial 1.-

Mientras que el aceite origina una fuerza horizontal hacia la derecha, las fuerzas de presión horizontales debidas al agua se contrarrestan entre sí, por lo que su efecto neto es nulo:

FH,ac = pc A =  ρ ac  g hc A ⇒ FH,ac L = 0.8×9.81×1×2 = 15.7 kN/m ( → ) hcp,ac =

2 R = 1.33 m 3

En equilibrio, se cumplirá que la reacción horizontal en la rótula será igual y de sentido contrario. En cuanto a las fuerzas hidrostáticas verticales, tendremos una en sentido descendente sobre el cuarto de cilindro superior izquierdo y otra en sentido ascendente sobre el medio cilindro inferior. Estas fuerzas son iguales al peso del fluido real o imaginario sobre la superficie en cuestión:

 2 πR 2  FV,ac =  ρac gVolac = ρ ac g   R  L ⇒ FV,ac L = 0.8×9.81( 4-π ) = 6.74 kN/m ( ↓ ) 4    πR2  2 FV,ac-ag =  ρ ac gVol'ac +ρag gVolag = ρac g2R L + ρ ag g   L ⇒ 2   FV,ac-ag L = 9.81×4(0.8×2+π /2) =124.4 kN/m ( ↑ ) La fuerza vertical hacia arriba estará aplicada en la vertical del centro de gravedad del cilindro, mientras que la descendente coincidirá con la vertical del centro de gravedad del área resultante de sustraer un cuarto de circulo a un cuadrado de la lado R. Para determinar su centro de gravedad se toman momentos de dichas áreas respecto de un eje que pase por el centro del cilindro: 2 2 πR 4R  2 πR  2R 2R ⇒x= + R =1.55 m  x=R 4 3π  4  2 3(4-π ) La fuerza Fv,ac estará aplicada en una vertical que dista 2.55 m de la rótula. Tomando momentos con respecto al centro del cilindro o, se puede obtener la reacción vertical en la articulación: ∑ Mo = 0 ⇒ Fv,ac /L×1.55 +R v,A /L×2 = FH,ac /L×0.66 ⇒ 6.74×1.55 +R v,A /L×2= 15.7×0.66 = 0 ⇒ R v,A /L = -0.04 kN/m ( ↓ ) Haciendo el sumatorio de fuerzas en sentido vertical, se obtendrá el peso del cilindro y su densidad:

∑ Fv = 0

⇒ Fv,ac /L +W/L+ R v,A /L = Fv,ac-ag / L ⇒ W/L= 124.42-6.74-0.04 ⇒ W/L = 117.64 kN/m ( ↓ )

W =  ρ gVol ⇒ ρ =

117640 ⇒ ρ  = 954.28 kg/m3 gVol 9.81×π ×4 W

=

2.Problema propuesto en parcial noviembre 2004

Se toma como origen de los ejes coordenados r-z, la intersección del eje de giro con el tubo capilar. Aplicando directamente la expresión de la segunda ley de Newton entre las dos superficies libres de las ramas del capilar, la diferencia de presiones será nula y se puede despejar rápidamente la velocidad de rotación necesaria: 1 p A - pB =  ρ w 2 (rA2 - rB2 ) - ρg(z A - zB ) 2g(z A -zB ) 2g(0.2-0.12) w  = 14.46 rad/s = 2 ⇒w = 2 2 2 2 ⇒ r -r -0.1 -0.05  A B   A(-0.1,0.2); B(0.05, 0.12) 3.-

Se considera régimen estacionario, que los chorros son atmosféricos y uniformes y que son despreciables las fuerzas de viscosidad. Aplicando en la dirección x del chorro incidente y de la fuerza, la ecuación integral de conservación de cantidad de movimiento al VC que engloba la placa y corta los flujos entrantes y salientes, se tiene:

G G

∑ F = ∫ ρV dVol + ∫ ρV (V.n)dA ⇒ F x

x

vc

x

x

= −m1V1 = -  ρ  

sc

πD

4

2 2 V1

⇒ −23 = -

π 0.03

4

2

2

V 1

V1 = 5.7m/s 4.-

Considerando a la salida de la tobera un chorro atmosférico que asciende una altura z2, del balance de energía entre la salida y el punto más alto, se tiene:  p1 V12 p2 V22 + + gz1 = + + gz2  2 2  ρ ρ   V12 23.87 2 ⇒ z = 29 m  V2 = 0; p1 = p2 = p atm; z1 = 0  ⇒ z2 = = 2 V1 =

V 2 πD

4

= 23.87m/s

2g

  

2×9.81

2º Parcial 1.-

RESUELTO EN 2º PARCIAL DE ENERO DE 2005. 2.-

a) Aplicando las ecuaciones de Navier-Stokes a un volumen de control diferencial de la capa límite, se tiene, para la dirección x del flujo: ∂ p ∂ 2u Du  ρ g x  − − µ∇ 2u = ρ ⇒ ρgsenθ  − µ 2 =0 ∂ x ∂y Dt  Considerando que la velocidad u sólo varía en la dirección y , las parciales pueden ser sustituidas por totales. Sólo queda derivar dos veces la velocidad u respecto a y , para obtener la constante: d2 [Cy(2h-y)] ρgsenθ ρgsenθ  = ⇒ C= 2 d y µ 2µ b) El caudal volumétrico será: h

 V=

∫ u dA=∫0 Cy(2h-y)ldy ⇒

 A

 V=C

 3 h3  2 3   ρ gsen θ h3  h -  = Ch ⇒V = 3 3 3µ 

3er Parcial 1.-

a) Del balance de energía aplicado al VC constituido por el sistema fluido de la figura, se tiene que la altura o elevación de la bomba será la diferencia de alturas entre los tanques más las pérdidas de carga primarias y secundarias. Se consideran las hipótesis de régimen estacionario y flujo incompresible, viscoso, uniforme y a lo largo de una línea de corriente:  p1 V12 p V2 + + z1 = 2 + 2 + z2 + Hfp-s + Hb 

 ρ g

2g

ρ g 

2g

15 Hfp-s = 0.5+2+0.15+0.3+0.2+3+ +0.2+3+0.3 = 11.18 m 9.81 V1 = V2 = 0 p1 = p2 = patm z1 - z2 = -7 m

   H = -18.18 m b   0.015×9.81×(-18.18)  ⇒  ρVgH b  =3.15 kW W = = ⇒W b b  ηb 0.85     

b) Para el NPSHd, se considerará que al altura desde la superficie libre del tanque de aspiración al eje de la bomba es de 3 m: NPSHd =

pa -pv 101-2.34 + Ha - Hf-a = + 3 - (0.5+2+0.15+0.3) ⇒ NPSHd = 10.11 m ρg 9.81

c) Para la altura máxima de aspiración se aplicará un margen de seguridad de 0.5 m:

NPSHd = NPSHr =

pa -pv 101-2.34 - Ha-max - Hf-f-a -0.5 ⇒ Ha-max = - 4 - (0.5+2+0.15+0.3) - 0.5 ⇒ Ha-max = 2.61 m ρg 9.81

2.-

a) Del triángulo de velocidades a la entrada, considerando que no existe prerrotación, se puede obtener la velocidad normal y, por tanto, el caudal:

Vn1 = V1 = U1 tg tg30º ⇒ V1 =

2π n r1 tg tg30º = 8.88 m/s ⇒ V =Vn1 2π r1b1 = 0.256 m3/s 60

b) Considerando que no existen pérdidas, la altura que entrega la bomba se obtiene a partir de la ecuación de Euler y del triángulo de velocidades a la salida del impulsor: UV U (U (U − Vn2cotg β 2 )  H = 2 t2 = 2 2    ρ V  gH = 88.3 g g 35.19 9 m ⇒ W= 88.37 7 kW  ⇒ H = 35.1 3  V =Vn2 2π r2b 2 = 0.256 m /s ⇒ Vn2 = 5.09 m/s  3.-

La nueva curva motriz se obtiene a partir de las leyes de semejanza. En este caso se mantiene el diámetro y varía la velocidad de rotación, por lo que la nueva elevación será función de la relación de velocidades al cuadrado. Bastará obtener la elevación a caudal nulo para n = 2900 rpm y tener en cuenta que la constante de la curva es la misma que la de la original: 2 2  n2   2900  ⇒ H'o = 130 m ⇒ H' = 130 - 312.5 V ' 2 H'o = Ho   = 32.5    1450   n1 

RECUPERACIÓN MECÁNICA DE FLUIDOS. FEBRERO 2006.  ALUMNO/A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEORÍA: 1.- Descripción euleriana y lagrangiana de un flujo. Expresión euleriana de la aceleración de una partícula. Equilibrio hidrostático en un gas ideal de temperatura constante. ¿Cuándo es necesario aplicar los factores de corrección corr ección de energía cinética y cantidad de movimiento?. Obtener el factor  de corrección de cantidad de movimiento. 2.- Explica qué diferencia existe entre la ecuación de Cauchy y Navier-Stokes. Relaciona la velocidad de deformación lineal con la ecuación diferencial de conservación de materia. ¿Qué puede provocar en el perfil de velocidad de un flujo confinado entre una placa plana fija y otra móvil, un gradiente de presión adverso en la dirección del flujo? (dibújalo). Explica el comportamiento del factor de fricción en flujo turbulento para una rugosidad relativa dada. 3.- Cómo afecta el tipo de álabe a la curva teórica de una bomba centrífuga. Función y partes principales de un cierre mecánico. Acoplamiento en paralelo de bombas, ¿qué ocurre cuando la curva del sistema tiene mucha pendiente?. Definición de puntos homólogos en bombas. PROBLEMAS: 1.- Tres vasos comunicantes disponen de pistones sometidos a fuerzas F1, F2 y F3 de 1100, 600 y 1000 N, respectivamente. Determinar las diferencias de altura entre los distintos pistones si las secciones 1, 2 y 23, son 0.04, 0.02 y 0.03 m 2. El fluido es agua y tómese g=10 m/s . 2.- Un tapón cónico de densidad relativa rt=2 cierra la salida situada en la base de un recipiente de agua. Se 2pide la fuerza necesaria para elevar el tapón. R=H=0.02 m.g=10 m/s . 3.- Dado el campo de velocidades u = u 0coswt y v= -v 0 senwt, con u0/w=v0/v = 1, determinar: a) las ecuaciones más simples de las líneas de corriente para wt = 0 y /4 (dibujarlas); b)las líneas de trayectoria; c) la línea de trayectoria de una partícula que en t=0, ocupa la posición (0,1). 4.- En el esquema de la figura, determinar las fuerzas para mantener en posición la tobera y el vano2 deflector. A=0.2 m 22,  At=0.1 m , h = 5 m, g=10 m/s . 1.- Dado el modelo de una válvula, se hace circular un caudal de 0.2 m3/s de agua, de tal forma que la caída de presión medida es de 158 kPa. La sección de 2paso del modelo es de 0.02 m 2 y = 1 10-3 kg/m s. Si3el prototipo tiene una sección de 0.18 m y va a ser usado en un conducto de aire ( 1.25 kg/m y 1.875 10-5 kg/m s). Determinar el caudal de aire y la caída de presión en el prototipo si se cumplen las leyes de semejanza. 2.- Determinar-3la potencia necesaria para bombear aceite de densidad relativa 0.85 y viscosidad dinámica 3 10 kg/m s, manteniendo un caudal de 4 l/s a través de una tubería de rugosidad relativa 0.0009, de diámetro interior 5.25 cm y de 100 m de longitud. La tubería es horizontal y las presiones y niveles en los tanques son las mismas. Dibujar las líneas de nivel energético y altura motriz. 1.- Una bomba centrífuga tiene un punto de funcionamiento, en condiciones de rendimiento máximo, dado por un caudal de 2400 litros/minuto y H= 60 m; las pérdidas internas de la bomba equivalen a 5 veces la energía cinética relativa, a la salida del agua de la bomba. El diámetro a la salida de la bomba es d 2 = 0,2 m, y la sección útil de salida del rodete es A 2 = 0.2 D22 . El rendimiento hidráulico es 0.75, que coincide con el rendimiento global de la bomba. Determinar: a) El valor de las pérdidas internas de la bomba. b) El valor del ángulo del álabe a la salida. c) La velocidad tangencial a la salida y el número de rpm de la bomba. d) La potencia útil y el par motor. 2.- Una bomba centrífuga con un impulsor de 0.02 m tiene los siguientes datos de comportamiento cuando bombea agua a su máxima capacidad; N = 58.3 rpm; caudal = 0.012 m3/s; H=70 m; potencia 12000 W. Obtener los datos anteriores para la mitad de la velocidad de

rotación.

SOLUCIONES FINAL FEBRERO 2006 ER

1 PARCIAL 1.-

Para cada uno de los pistones en equilibrio, la fuerza de presión del fluido por la parte inferior debe ser igual a la ejercida por la superior. Las diferencias de alturas serán función de las diferencias de presión entre los pistones correspondientes:  F1 1000 = 27500 0 N/m N/m2  ⇒ p1 = 2750  A1 0.04 p −p 30000-27500  ⇒ h1 = 0.25 m p1 +  ρ gh1 = p2 ⇒ h1 = 2 1 =  103×10  ρ g F2 600 2  p2 = = 30000 N/m N/m  ⇒ ⇒ p2 = 300  A 2 0.02 p −p 33333-30000  p +  ρ gh gh2 = p3 ⇒ h2 = 3 2 = 0.33 m ⇒ h2 = 0.33 2  103 ×10  ρ g F3 1000 2 p3 = = 33333 3 N/m  ⇒ p3 = 3333  A 3 0.03 

p1 =

2.-

Las fuerzas hidrostáticas horizontales se cancelan entre sí. La fuerza que es necesario aplicar dependerá de la fuerza hidrostática vertical y del peso del tapón. Para la fuerza hidrostática será necesario determinar el volumen de fluido desalojado, que coincide con un troco de cono cuya altura será, por semejanza de triángulos, la mitad de la altura del cono. A partir de aquí se puede determinar dicho volumen de forma simple sustrayendo al cono completo el cono que no queda sumergido, o bien, por integración de un volumen diferencial del tronco de cono de altura dh y radio r: 2

1 1 R  H 7 = π R2H Vol = π R 2H - π   3 3  2  2 24

 H  H 2 2 2 Vol = ∫ π r 2 dh 7 2 πR π R  2 2 2 3 2 ⇒ Vol = π R H ⇒ ( h ) dh d h = ( h h -h h / ) V o l = H H H 3 0  0 2 ∫ 2 24 H H 0  R r  = ⇒ r = R(H-h)/H  H H-h H 2

Con lo que la fuerza de elevación necesaria será:

1 2  π R H 1 2 7    3  ⇒ Felev = Wtp - FV = π R Hg  ρ tp - ρ   7 3 8   FV =  ρ gVol ⇒ FV = ρ g π R 2H   24 1  7 Felev = π ×0.023 ×10×103  2-  ⇒ Felev = 9.42×10 -2 N 3  8

Wtp =  ρ tp g Voltp = ρtp g

3.-

a) De la definición de línea de corriente se tiene lo siguiente:

v senwt dx dy dx dy dy = ⇒ = =- o = -tan wt ⇒ ∫ dy = ∫ -tan wt dx ⇒ y =-x tan wt + C ⇒ u v uocoswt -v ose senwt dx uocoswt La ecuación más sencilla será aquella en la que la constante sea igual a cero. En este caso, para wt = 0, tendremos líneas de corriente de pendiente nula, es decir horizontales. Para wt = /4, tendremos líneas de pendiente -1, es decir, a 45 º respecto a la horizontal. b) Para la línea de trayectoria:

dx u ⇒ ∫ dx  = ∫ uocoswt dt ⇒ x = o senwt + C1 = senwt + C1 dt w v dy ⇒ ∫ dx = ∫ −v osen wt dt ⇒ y = o coswt + C2 = coswt + C2 v= dt w

u=

Para t = 0 y el punto (0,1), las constantes son cero. Elevando al cuadrado ambas ecuaciones y sumando miembro a miembro se tendrá que la ecuación de la línea de trayectoria es x2+y2 = 1, es decir, una circunferencia cuyo centro coincide con el origen de coordenadas. 4.-

a) Considerando primeramente el V.C. constituido por las paredes del recipiente y de la tobera, de la ec. de conservación de la energía se puede obtener la velocidad de salida de la tobera V t., teniendo en cuenta las siguientes hipótesis: a) régimen estacionario b) trabajo de eje y de fuerzas viscosas nulo c) flujo uniforme, la velocidad de la superficie libre del tanque despreciable y chorro atmosférico d) flujo sin fricción y adiabático. G G G G G G ∂    =  - W  ρ e dVol + ρ e (V.n)dA; a) ⇒ Q ρ ρ = + Q -W -W (e+pv) (V.n)dA (e+pv) (V.n)dA eje visc ∂t vc sc A At

∫

pa

b) y c) ⇒

∫

2

+

 ρ

Vt =

∫

Va 2

+gz a =u t -u -ua -q +

pt

+

ρ 

Vt

2

2

+gz t ; gz a =u t -u -u a -q +

∫

Vt

2

2

+gz t ; d) ⇒ Vt =

2g(z t -z -z a )

2×9. 2×9.81 81×5 ×5 = 9.9 9.9 m/s m/s

De la ec. integral de conservación de cantidad de movimiento se puede obtener la fuerza necesaria para mantener  la tobera en posición, considerando las hipótesis anteriormente anteriormente mencionadas y despreciables las fuerzas másicas: G

∑F =

G

G

G

G

∑ Fext +Fp + Fvisc +Fw =

G G G G G G ∂ 2 ρ ρ ρ + ⇒ VdVol V ( V . n ) d A F = V ( V.n) V.n x ∫ tx t ) = ρVt A t ∫ ∫ ∂t vc sc At

Fx =103 ×9.92×0.1 ⇒ Fx =9.8 kN Esta será la fuerza exterior necesaria. El fluido ejerce sobre el VC una fuerza igual pero en sentido contrario. b) Para el VC constituido por el vano, considerando que el chorro se divide en otros dos iguales con velocidad igual a la del chorro incidente, de la ec. de conservación de materia se tendrá que los chorros tendrán una sección transversal que será la mitad de la del incidente: G G G ∂   =m  ⇒  ρ V A = ρ V A + ρ V A 0= ∫ ρVdVol + ∫ ρ(V.n)dA; ⇒ m t t 1 2 1 1 2 2 ∂t vc sc   A  A1 = A 2  ⇒ A1 = A 2 = t 2 V1 = V2 = Vt   De la ec. de cantidad de movimiento y aplicadas las hipótesis antes mencionadas:

G G G G G G  A Fext,x = ∫ ρVtx (Vt .n)dA + 2 ∫ ρV1x (V1.n)dA ⇒ Fext, x =- ρVt2 A t + 2ρ(-V1 )V )V1 t = -2ρVt2 A 2t 2  A t A1

Fext,x =-2×103 ×9.92×0.1 ⇒ Fext,x =19.6 kN

2º PARCIAL

1.-

a) Del análisis dimensional se deduce para este problema que el número de Euler es función del número de Reynolds, la rugosidad relativa y la relación entre la longitud y el diámetro:  ∆p e L  = f  Re, ,  2 ρV D D  Si se cumplen las leyes de semejanza, los parámetros adimensionales de modelo y pr ototipo serán iguales. Del número de Reynolds obtendremos el caudal requerido:

V m 4Am ρ V p 4Ap ρm p ρp Vp Dp Ap π µ ρ Ap ρm Vm Dm π Am Rem = Rep ⇒ = = ⇒ ⇒ V p = V m p m µm µp µm µp µm ρp  A m V p = 0.2×

1.875×10 -5 103 0.18  = 11.25 kg/s × × ⇒ V p = 9 m 3/s ⇒ m p -3 1×10 1.25 0.02

b) Para la caída de presión: 2

 V p    2 ρp  A p  ∆pp 1.25  9×0.02  ∆pm ⇒ ∆pp = ∆pm ⇒ ∆pp = 4.94 kPa = × 2 = 158×   ρm Vm2 ρp Vp2 ρm  V 103  0.2×0.18   m  A m  2.-

De la ec. de la energía considerando régimen estacionario, flujo uniforme e incompresible, se tiene: G G G

  - W  = ∫ ρ (e+pv) (V.n)dA + Q -W b visc  A

p1 ρg

2

+

V1

2g

+z1 =

p2  ρ 

∫

G

ρ (e+pv) (V.n)dA

At 2

+

V2 2



+gz 2 +Hfp +Hb 

V1 = V2 = 0; z1 = z2 ; p1 = p2

L V 2  ⇒ Hb = -Hfp = -f   D 2g  

Se observa que la altura que entrega la bomba se emplea en vencer las pérdidas de carga. El signo menos indica que el sistema absorbe energía en forma de trabajo, según el criterio de signos empleado en Termodinámica. Con los datos del problema y haciendo uso del diagrama de Moody o por iteración de la ec. de Colebrook, se obtendrá el factor de fricción y la pérdida de carga correspondiente:  4V L 100 Re = = 3.23×10 4  2 Hb = − 0.0826 f 5 V 2 = -0.0826×0.0254×  π Dν  5 ×0.004 = - 8.42 m ⇒ ⇒ f = 0.0254 D 0.0525  e 3    = 0.28 kW  Wb =  ρ VgHb = 0.85×10 ×0.004×9.81×8.42 ⇒ W = 0.0009 b  D c) Las líneas de nivel energético y altura motriz, despreciando pérdidas secundarias quedan de la siguiente forma:

er 

3

PARCIAL

1.-

a) Del rendimiento hidráulico es posible obtener las pérdidas internas (hidráulicas): H  ηH =  1  H   1  Hi, sin fuga - 1 = 60  - 1 ⇒ Hp = 20 m ⇒ Hp = H   ⇒ ηH = H + Hp  0.75   ηH  Hi, sin fuga = H + Hp  b) La velocidad relativa puede obtenerse a partir de esta pérdida según nos indica el enunciado del problema:

2gHp Vr22 Hp = 5 ⇒ Vr2 = ⇒ Vr2 = 8.86 m/s 2g 5 La velocidad normal absoluta o meridiana (que coincide también con la componente normal de la velocidad relativa), se obtiene a partir del caudal volumétrico:

V = A 2Vn2 ⇒ Vn2 =

V 2.4 = ⇒ Vn2 = 5 m/s  A 2 8×10-3×60

Del triángulo de salida podemos deducir el ángulo del álabe:

sen β2 =

Vn2 = 0.56 ⇒ β2 = 34.35º Vr2

c) La altura teórica que entrega la bomba es la altura indicada, puesto que coincide con la indicada sin fuga al ser  el rendimiento volumétrico igual a 1. Considerando que no existe prerrotación a la entrada:

Ht = Hi = Hi, sin fuga = H + HP ⇒ Ht = 60+20 = 80 m U2 Vt2 gHt  ⇒ Vt2 = g U2  ⇒ gHt = U22 - U2 Vr2cosβ2 ⇒ U22 -7.31U2 -784.8 = 0 ⇒ U2 = 31.9 m/s  Vt2 = U2 - Vr2cosβ2  U 60U2 60×31.9 w = 2 ⇒ n = = ⇒ n = 3046 rpm π R2 R2 2×π ×0.1 Vt2 = 31.9 - 8.86×cos 34.35 ⇒ Vt2 = 24.59 m/s

Ht =

d) Finalmente obtenemos la potencia útil y el par motor: 3    W útil = ρgVH = 10 ×9.81×(2.4/60)×60 ⇒ Wútil = 23.54 kW  W

m

2.-

=

 W

i

= Me w ⇒ Me =

 ρgVH i

w

103×9.81×(2.4/60)×80  ⇒ Me = 98.41 N m ⇒ W = útil = 31.39 kW 2×π ×3046

Con las leyes de semejanza de bombas se obtienen los datos requeridos:

2

2

n  1 H2 = H1  2  = 70   ⇒ H2 = 17.5 m 2  n1  n  1 V 2 = V 1  2  = 0.012   ⇒ V 2 = 0.006 m3 / s 2  n1  3

 W

2

=

 n2   = 12 1  n1 

 W

3

 1   2  ⇒ W2 = 1.5 kW  

EXAMEN FINAL DE MECÁNICA DE FLUIDOS. SETIEMBRE 2006.  ALUMNO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEORÍA 1.- Demuestra cómo se obtienen las componentes horizontal y vertical de la fuerza hidrostática sobre una superficie sumergida. 2.- En un recipiente con agua en rotación como sólido libre, ¿qué forma tiene la superficie libre y por qué?. 3.- Tensor de velocidades de deformación. Origen de los elementos que lo componen. 4.- Explicar la diferencia entre NPSH disponible y requerido. 5.- Cómo eleva la presión del fluido una bomba de tipo centrífugo. PROBLEMAS 1.- Un cilindro sólido de 0.8 m de radio y 1 m de largo, articulado en A, se emplea como compuerta automática. Cuando el nivel del agua llega a 5 m, la compuerta se abre girando en torno a la articulación en el punto A. Determinar: a) la fuerza hidrostática que actúa sobre el cilindro y su localización, b) el peso del cilindro.(Cengel.3.9.pp87). 2.- Un recipiente de 80 cm de alto, de sección transversal 2x0.6 m, que está inIcialmente lleno de agua, se va a transportar en el remolque de un camión. Si el camión acelera a razón de 2.5 m/s 2, determinar el nivel inicial máximo admisible para que no exista rebose.(Cengel.3.12.pp 98). 3.- Un campo bidimensional y estacionario presenta las siguientes componentes de la velocidad: u = 1.1+2.8x+0.65y; v= 0.98-2.1x-2.8y. Determinar las componentes de la aceleración y demostrar si el campo fluido es incompresible. (Cengel.4.17.pp159). 4.- Determinar la presión mínima en un sifón que une dos tanques con un desnivel de 11 m, sabiendo que la tubería tiene un diámetro de 200 mm, rugosidad 0.025 mm y longitudes a izquierda y derecha del punto más alto de 100 y 1000 m, respectivamente. El desnivel de dicho punto a la superficie libre del tanque más alto es de 3 m. Desprecia las pérdidas de carga secundarias y considera la viscosidad cinemática 1.2 x10 -6 m2/s (feb04) 5.- Considerando el codo de la figura, en el que el diámetro de l a tubería es 10 cm y el de la tobera 3 cm, determinar la fuerza que ejerce el agua sobre la brida 1 si el caudal es de 150 N/s y la presión manométrica en 1 es 2.3 atm. (Feb2003)

SOLUCIONES FINAL SEPTIEMBRE 2006 1.-

a) El módulo de la componente horizontal de la fuerza hidrostática será la presión en el cdg de la proyección vertical del cuarto de cilindro sumergido: FH = ppv A pv = ρ ghc,pv A pv ⇒ FH = 10 3 ×9.81×(5-0.8+0.8/2)×0.8 ⇒ FH = 36.1 kN Su localización viene dada por la expresión correspondiente al centro de presión:

hcp,H = hc,pv +

Ix x

c c

hc,pv A pv

1/12×0.83 = 4.6+ ⇒ hcp,H = 4.61 m 4.6×0.8

El módulo de la componente vertical será igual al peso del fluido sobre la superficie sumergida: FV =  ρ gVol ⇒ FV = 103 ×9.81×(4.2×0.8+1/4× π ×0.8 2 )×1 ⇒ FV = 37.9 kN Su localización se obtiene tomando momentos de los vectores peso del agua sobre la superficie y de la componente vertical hidrostática respecto a un punto. Considerando el punto A:

 4  W1 R/2 + W2 R  1 = Fv y F ⇒  3π   V

ρgVol1

 4  R/2+ ρgVol2R  1-  = Fv yF ⇒  3π  V

  4  9.81×0.8 2 2.1 + π ×0.8× 1 1 2  4  3π       ρ g ×(4.2×R)R/2+ ρ g π R  R  1⇒  = Fv yF ⇒ yF = 4 37.9  3π   yF = 0.407 m V

V

V

Con lo cual concluimos que la fuerza vertical está situada a una distancia horizontal del punto A de 0.407 m. También pueden obtenerse la fuerza resultante y la dirección de su línea de acción, al conocer las componentes:

FR = FH2 + FV2 = 36.12 +37.9 2 ⇒ FR = 52.34 kN θ

= arctg

FV 37.9 ⇒ θ  = 46.4º = arctg FH 36.1

Se puede comprobar que las líneas de acción de las componentes horizontal y vertical terminan cortándose en un punto situado sobre la línea de acción de la fuerza resultante. b) En las condiciones del problema deja de existir reacción del suelo sobre el cilindro, por lo que tomando momentos con respecto a la articulación, podemos obtener el peso del cilindro: FR R senθ = Wcil R ⇒ Wcil = FR senθ  = 52.3×sen 46.4 ⇒ Wcil = 37.87 kN 2.- Se trata de un fluido en movimiento como sólido rígido con aceleración lineal constante. Aplicando directamente

la ecuación de la 2ª ley de Newton, se obtiene la altura inicial del fluido en el recipiente. Para ello se toman ejes coordenados cuyo origen coincida con el centro del fondo del recipiente y dos puntos de la superficie libre en los que la presión es la atmosférica. Uno de los puntos se si tuará en el borde del recipiente (lado corto) y el otro en la intersección del eje vertical con la superficie libre inicial. p - p0 = - ρ ax (x-x0 )-ρ (g+az )(z-z0 )  p0 = p = 101 kPa   az = 0  ⇒ 0 = -2.5(-1-0 )-9.81(0.8-z0 ) ⇒ z0 = 0.54 m   A(x, z)=(-1,0.8)  Si A 0se 0(xel0 ,punto z0 )=(0,z ) sitúa en el ladolargo el nivel máximo admitido sería: p - p0 = - ρ ax (x-x0 )-ρ (g+az )(z-z0 )  p0 = p = 101 kPa   az = 0  ⇒ 0 = -2.5(-0.3 -0 )-9.81(0.8-z0 ) ⇒ z0 = 0.72 m   A(x, z)=(-0.3,0.8)   0(x 0 , z0 )=(0, z0 ) De donde se deduce que el nivel admitido será mayor si el recipiente se sitúa con su lado corto en dirección paralela a la del movimiento.

3.-

a) Las componentes de la aceleración son: ∂u ∂u ∂u ∂u ax = + u + v + w = 0 + (1.1 + 2.8 x + 0.65 y) 2.8 + (0.98 - 2.1 x - 2.8 y) 0.65 + 0 ∂t ∂ x ∂y ∂z ∂v ∂v ∂v ∂v ay = + u + v + w = 0 + (1.1 + 2.8 x + 0.65 y) (-2.1) + (0.98 - 2.1 x - 2.8 y) (-2.8) + 0 ∂t ∂ x ∂y ∂z b) Para demostrar que el campo fluido es incompresible: ∂u  = 2.8  ∂x ∂u ∂v  + = 0 ⇒ incompresible ⇒ ∂v ∂ ∂ x y = − 2.8  ∂y  4.-

De la ec.de conservación de energía entre A y B, considerado flujo uniforme, estacionario y con pérdidas de carga secundarias despreciables, se tiene: p A  ρ g

+

VA2 2g

+ z A =

pB ρ g 

V A = VB = 0 p A = pB = patm z A - zB = 11 m

carga, partiendo de la expresión de Colebrook:

+

 + zB + Hfp  2g    ⇒ Hfp = 11 m   

VB2

La velocidad de circulación en el sifón puede obtenerse a través de la expresión que relaciona a ésta con la pérdida de

 e/D  2.51ν   ⇒ V = = 1.57 m/s +  3.7 D 2gDH /L  fp  

V = -2 2gDHfp /L log 

Considerando la ec. de la energía entre A y C, se puede obtener la presión en el punto más alto del sifón: p A  ρ g

+

VA2 2g

+ z A =

pC ρ g 

V A = 0; VC = V p A = patm z A - z C = -3 m L V2 HfpA-C = f =1m D 2g f (Re, e/D) = 0.016

+

VC2 2g

 + z C + Hfp     pC  = -3 -1- 0.13 = -4.13 m ⇒ g   ρ       

5.-

Primeramente, a través de la ec. integral de conservación de materia obtenemos las velocidades en la tubería (1) y a la salida de la tobera (2). Se considera régimen estacionario, flujo incompresible y uniforme:  V = m = 1.95 m/s  1  ρ  A 150 G G w 1  =  ⇒ m 0= ∫ ρ(V.n)dA; ⇒ ρ V1 A 1 =ρV2 A 2 = m = = 15.29 kg/s ⇒  9.81 g  V = m = 21.63 m/s  2  ρ  A 2 sc

Para la fuerza que ejerce el agua sobre la brida de sujeción se aplica la ec. de conservación de cantidad de movimiento al volumen de control constituido por la tubería:

∑F = x

∂

G G

 -V cos40-V ) ∫ ρV dVol+∫ ρV (V.n)dA ⇒ F +p A =m( ∂t x

vc

x

x

1

1

2

1

⇒

sc

Fx = -15.29(21.63×cos40+1.95) - 2.3×1.013×105× π ×0.12 / 4 ⇒ Fx= -2113.06 N

∑ Fy =

∂

∫ ∂t

vc

ρVy dVol +

∫

G G ρVy (V.n)dA

 ⇒ Fy = −mV 2 sen40 ⇒ Fy = - 212.58 N

sc

F = 2123.7 3 N ⇒ φ  = arctg

Fy Fx

= 5.7º

Esta será la fuerza que realiza la brida sobre el VC, el agua r ealizará una fuerza igual en módulo pero en sentido contrario, es decir, hacia arriba y hacia la derecha.

1ER EXAMEN PARCIAL DE MECÁNICA DE FLUIDOS. DICIEMBRE 2006  ALUMNO TEORÍA 1. Distinción entre fluido newtoniano y no newtoniano 2.- Aceleración de una partícula fluida en un campo euleriano. Aceleración convectiva y aceleración local. 3.- Línea de corriente y línea de tiempo. 4.- Explica cómo se obtiene la componente horizontal de la fuerza debida a la presión que actúa sobre una superficie curva sumergida. PROBLEMAS 1.- Si el manómetro A marca una presión absoluta de 350 kPa, determinar la altura de agua h y la presión absoluta que marcará el manómetro B.(White 5ª ed, pp104, 2.21.

 Aire a 180 kPa abs

h

 Agua

80 cm

Hg

 A

B

 Agua h  Aire a 10 kPa man

30 cm

A 3m

B

2.- La compuerta de la figura tiene 30 cm de alto, 60 cm de ancho y esta articulada en la parte superior. ¿cuál es la mínima profundidad del agua h que abrirá la compuerta? (White,5ª, pp113, 2.72). 3.- Una compuerta en forma de cuarto de cilindro de 2 m de ancho y 2 de radio, está articulada en A y apoyada en B. La base de la compuerta está a 3 m de la superficie libre del agua. Determinar la reacción en B si la compuerta tiene una densidad relativa de 2.4.( Fox 6ª ed. 3.67.pp 92) 4.- A una caja cúbica, de 1 m de lado, llena hasta la mitad con aceite de densidad relativa 0.8, se le somete a una aceleración constante horizontal de 0.2g. Determinar la pendiente de la superficie libre y la presión a lo largo del fondo de la caja.(Fox.6ª ed, 3.105, pp 97).

1.-

La presión que marca el manómetro en A será la suma de la presión del aire, la columna de agua y la de mercurio. De esta forma, podemos determinar la altura h de mercurio: p A = paire + ρagg h +

ρHgg

0.8 ⇒ 350 = 180 + 9.81× h + 13.5 × 9.81× 0.8 ⇒ h = 6.53 m

La presión que marca el manómetro B será: pB = paire + ρagg (h + 0.8) ⇒ pB = 180 + 9.81× (6.53 + 0.8) ⇒ pB = 251.9 kPa 2.-

Tomando momentos con respecto a la articulación, las únicas fuerzas a tener en cuenta serán las debidas a la presión del aire en el lado izquierdo y la del agua en el lado derecho: Faire = paire A = 10 × 0.3 × 0.6 ⇒ Faire = 1.8 kN

Cuyo punto de aplicación esta a 0.15 m de A. Fagua = pc A =

ρ

g hc A = 9.81 × (h − 0.15) × 0.3 × 0.6 ⇒ Fagua = 1.77 h - 0.26 kN

que queda en función de la altura h buscada. Esta fuerza estará aplicada a una altura respecto a la superficie libre del agua, h cp: Ix x

hcp = h c +

c

c

hc A

= (h -0.15) +

1/ 12 b h' 3 0.3 2 ⇒ h cp = (h -0.15) + (h - 0.15)bh' 12 (h - 0.15)

Según la figura, la distancia del punto de aplicación de F agua a la articulación A será: z agua = hcp -(h- 0.3)

z

hc = h- 0.15

hcp

h

Finalmente el sumatorio de momentos respecto a A, nos permite determinar la altura h:   0.32 = ⇒ = ⇒ × = + − h+ 0.3 M 0 F . z F . z 1.8 0.15 (1.77 h0.26) h-0.15 ∑  A aire aire agua agua  12(h − 0.15)   h = 1.11 m 3.-

Primeramente se determinan las fuerzas hidrostáticas sobre la compuerta y su punto de aplicación.Para la fuerza horizontal se tiene: FH = p c A v = h cp = h c +

ρ

Ix x c

g hc A v = 9.81×2×2×2 ⇒ FH = 78.48 kN

c

hc A v

=2+

4 ⇒ h cp = 2.16 m 12×2

Por lo que estará aplicada a 1.16 m de la articulación A. En cuanto a las fuerzas verticales, tendremos una aplicada sobre la base plana de la compuerta y otra sobre la superficie curva. La fuerza neta hidrostática será proporcional al volumen del cuarto de cilindro, de sentido ascendente y aplicada en la vertical el centro de gravedad de dicho volumen:

FV, neta = yv =

ρ

g Vol1/4 cilindro = 9.81×

22 ×2 ⇒ Fv, neta = 61.64 kN ↑ 4

π 

4R ⇒ y v = 0.85 m 3π 

También será necesario considerar la fuerza debido al peso de la compuerta, que estará aplicada en la misma línea de acción de la fuerza hidrostática vertical: Fw =

ρ compuerta

yw =

g Vol1/4 cilindro = 2.4×9.81×

22 ×2 ⇒ Fw = 147.93 kN ↓ 4

π 

4R ⇒ y w = 0.85 m 3π 

Tomando momentos con respecto a la articulación A, se obtiene la reacción en B:

∑M

 A

= 0 ⇒ FB .hBA

+ Fv . y v = FH . hcp-A + Fw .y v ⇒ FB =

78.48×1.16 + 147.93×0.85 - 61.64×0.85 ⇒ FB = 82.2 kN 2

4.-

La dirección del gradiente de presiones coincide con la del vector g-a, por tanto, la pendiente de la nueva superficie libre respeto a la horizontal será: ∂p ∂p ∂p dz - ρ ax dz ⇒ 0 = dx + dz (superficie libre) ⇒ = - ∂x = = -0.2 ⇒ α = -11.3 º ∂p ∂x ∂z dx - ρ g  dx ∂z

La ecuación general para el fondo del recipiente, se obtiene integrando la ecuación de equilibrio considerando las presiones en dos puntos, uno cualquiera en la superficie libre, por  ejemplo el A, y otro en el fondo del tanque de coordenada genérica x: pfondo - pA = - ρax (x-x A )-ρ g(z - z0 ) ⇒ pfondo = patm - 800×0.2×9.81(x - 0) -800×9.81(0 - 0.5) ⇒ p fondo = p atm -1569.6 x + 3924 Pa

Nota: los ejes coordenados se han tomado de tal forma que el eje z coincide con el eje vertical de simetría del recipiente y el eje x coincide con el fondo del mismo.

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EXAMEN FINAL DE MECÁNICA DE FLUIDOS. DICIEMBRE 2006.  ALUMNO ............................................................................................................. 1.- La pérdida de carga manométrica por unidad de longitud,  ∆p/l en flujo turbulento a través de un tubo horizontal liso depende de la velocidad V, la viscosidad dinámica µ, de la densidad ρ y del diámetro D. Empleando análisis dimensional encuéntrense la expresión adimensional de esta relación. Explíquese el significado de cada grupo adimensional obtenido. 2.- Un carrito es empujado por un chorro de agua de caudal 5 m 3/s y velocidad 50 m/s. El chorro es desviado hacia atrás por el carro. Determinar la fuerza necesaria para mantenerlo fijo y para que se desplace a una velocidad de 25 m/s. Despréciese fricción en las ruedas y deflector. 3.- Un flujo de agua es descargado tangencialmente a través de dos boquillas situadas en los extremos opuestos de un brazo aspersor de longitud 0.6 m y pivotado en su centro. La velocidad de salida relativa a la boquilla v es de 6 m/s y el diámetro d de cada boquilla es 12.5 mm. 1 H=10 m 2 Determinar: a) el par ejercido cuando Agua el brazo se mantiene en reposo; b) el par resistente y potencia disipada Tubo de 150 12 m cuando el aspersor gira con una mm, cast iron velocidad tangencial o periférica de 3 m/s.(par01 y feb 05) 60 m 4.-Determinar el caudal que 30 m descarga el tanque de la figura si la diferencia de alturas entre 1 y 2 es H = 10 m. Determínese también el valor de H para que el caudal descargado sea de 60 l/s. Los codos son roscados y normales, y la válvula de esfera, también roscada, está cerrada un 50%. Viscosidad B  A cinemática del agua 1.01 10 -6 m2/s.  Agua 10 m Tubo cast iron. (sep 01) 5.- 1. Una compuerta en forma C cilíndrica (radio 20 m) cierra el paso del agua como se muestra en la figura. La longitud de la compuerta es de 36 m. Determinar la magnitud de la fuerza resultante del agua. Situar también las componentes horizontal y vertical de la fuerza resultante (en02).

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SOLUCIONES EXAMEN 1ER PARCIAL. DICIEMBRE 2006 1.Resuelto en la teoría del tema de análisis dimensional  ∆p

L  =f  ,Re  ρV D  2

2.a) Consideraremos como hipótesis iniciales que la sección transversal del chorro no varía, con lo cual, al aplicar la conservación de materia al VC constituido por el carro y el chorro, la velocidad absoluta del chorro en 1 y 2 será la misma. Por otro lado, de la ecuación integral de conservación de cantidad de movimiento, tendremos la fuerza necesaria para mantener el carro fijo considerando régimen estacionario: 2

y

1

x

∑F

x

=

G G ∂  ρ ρ + ⇒ Fx =m(-V V dVol V (V.n)dA -V1 )=-5(50+50) ⇒ Fx =-500 kN ( ← ) x x 2 ∫ ∫ ∂t vc sc

La fuerza deberá ser aplicada sobre el VC hacia la izquierda. b) En este caso, se trata de un VC móvil a velocidad constante. Eligiendo los ejes coordenados solidarios al VC, será necesario introducir velocidades del chorro relativas al VC:

∑F

x

Fx =-2

=

G G ∂ 2  (-V -V )=ρ(V -V )A( -2)( V -V ) ⇒ F =-2ρ A( V -V ) ⇒ ρVrx dVol + ∫ ρVrx (Vr .n)dA ⇒ Fx =m ch vc ch vc ch vc ∫ ∂t vc sc

5 50

r2

r1

x

(50-25)2 =-125 kN ( ← )

3.Resuelto en feb05. 4.a) Considerando el VC constituido por el tanque y la tubería con sus accesorios y tomando como puntos extremos la superficie libre 1 y el chorro libre 2, de la ecuación integral de conservación de energía, considerando flujo estacionario y uniforme se tiene:         ⇒ g(z1-z2 ) =    2 V2  102  +0.5+2×2+35    ⇒ hfp-s =  f 2  0.15       

V12 p V2 + gz1 = 2 + 2 + gz2 + hfp-s  ρ ρ  2 2 p1 = p2 ; V1<
+

V22  L f +K +K +K 2  D ent codos válv K ent =0.5; K codo,90º,1/2', roscado, normal =2 K val =2.5×14=35 hfp-s =

V22  102  f +0.5+2×2+35   2  0.15 

 Ahora se puede, bien estimar un valor de f (p.ej. para flujo totalmente dominado por la rugosidad) e iterar, bien introducir en el EES la ecuación de arriba junto las del número de

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Reynolds y Colebrook y obtener los valores más precisos del factor de fricción, la velocidad y el caudal. Siguiendo esta segunda opción se obtienen los siguientes resultados: V22  102  f +0.5+2×2+35    2  0.15 

10g = Re=

 f = 0.023  ⇒ V2 =1.87 m/s  V = 0.033 m3 / s 2   

V2 D ν 

1  e/D 2.51  = − 2log  + 0.5  f 0.5  3.7 Re f  

b) En este caso, a través del caudal se determina la velocidad, Reynolds y, por consiguiente, el factor de fricción. Una vez obtenido éste, se puede determinar la altura H requerida: V

= V2 A ⇒ V2 =

0.06×4 V2 D 3.4×0.15 Re=5.04×105  ⇒ ⇒ = 3.4 m/s Re = =  ⇒ f = 0.0228 2 π 0.15 ν  1.01×10-6 e/D=0.0017 

V22  L  9.81H = f + ∑ K  ⇒ H = 32.93 m  2  D 

archivos EES\4findic06.EES 5.La componente horizontal de la fuerza hidrostática será igual a la fuerza de presión en el centro de gravedad de la proyección vertical del cuarto de cilindro y aplicada en el centro de presiones correspondiente: FHBC = pc A v = ρ g hc A v = 9.81×5×10×36 ⇒ FHBC = 17658 kN h cp = hc +

Ix x c

c

hc A v

=5+

10 2 ⇒ hcp = 6.66 m 12×5

La componente vertical estará aplicada en sentido vertical hacia arriba y coincidirá en módulo con el peso del volumen de fluido sobre la superficie curva. Para determinar el volumen, se restará al sector circular el triángulo ACD: FVBC = ρ g (Vol ABC - VolADC )

  π 10  ⇒θ= sen θ =  20 6  2  ⇒ FVBC = 9.81 (3769.9 − 3117.7 ) ⇒ FvBC = 6398.1 kN ↑ πR π/6 3 V ol ABC = ×b = 3769.9 m  2π   Rcosθh 3 V ol ADC = ×b = 3117.7 m   2 Que da lugar a una fuerza total F, de orientación β:

F= FH2 +FV2 = 176582 +6398.12 ⇒ F=18781.4 kN F β=arctg V ⇒ β=19.9º FH

La componente F v estará localizada en la vertical del centro de gravedad del volumen BDC. Para ello, se obtiene la distancia del centroide de la superficie BDC al punto A, teniendo en cuenta la composición del sector circular ABC y del triángulo ACD: y2 B

A

α

D

y1

C

Para determinar el centroide de un sector circular de ángulo 2 α, consideremos un sector  diferencial e integremos para todo el área:

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1 1  dA= R d(arco) = R2 d α'   2 2  ⇒ y1 = 2  y = R cosα'  3

α

2

1

∫ 3 R cosα' 2 0

1 2 Rα 2

R 2 dα' =

2 R senα 3α

Con lo cual, ya podemos obtener la coordenada del centroide de BCD, tomando momentos con respecto al vértice A:  A ABC y1 cos α= A ACD

2   A ABC y1cos α - A ACD R cos2α  2 3 R cos2α+ABCD y2 ⇒ y2 =  3 ABCD 

π 10 ⇒ α=15º= 20 12 2 R senα 2 y1= = 20sen15=13.18 m 3α 3π/12 πR2 π/6 πR2  A ABC = = =104.72 m2 2π 12 10×20cos2α  A ACD = =86.6 m2 2  ABCD =A ABC -AACD =18.12 m2

sen2α=

    ⇒        

2 104.72×13.18cos15-86.6 20cos30 3 ⇒ y 2 = 18.39 m y2 = 18.12 y2 B

D β

A hcp

FH F

FV C

La línea de acción de la fuerza total ha de pasar por A, y forma un ángulo β con relación a la superficie libre, que debe coincidir con el anteriormente calculado: β=arctg

hcp 6.66 ⇒ β=19.9º =arctg y2 18.89

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2º EXAMEN PARCIAL DE MECÁNICA DE FLUIDOS. DICIEMBRE 2006  ALUMNO TEORÍA 1.- Cómo es la superficie libre de un fluido en rotación como sólido rígido y por qué. 2.- Por qué las gotas de agua son esféricas. Indica la diferencia entre fluido que moja y no moja. 3.- Qué relación existe entre la profundidad a la que se encuentra el centro de gravedad de una superficie plana sumergida y la del centro de presiones. 4.- Ec. fundamental de la hidrostática aplicada a un líquido y a un gas ideal. 1.- Qué se consigue a través del Teorema de transporte de Reynolds (máximo tres líneas) 2.- Hipótesis que necesarias para aplicar la ecuación de Bernouilli. 3.- Cómo se contabilizan las fuerzas de presión en un VC a la hora de aplicar la ec. integral de cantidad de movimiento. 4.- Qué términos se obtienen cuando un vector de posición de una partícula, r, de coordenadas x, y, z respecto a un sistema de referencia no inercial, se deriva respecto al tiempo y a un sistema de inercial x’, y’, z’. Qué implicaciones tiene en la aceleración de la partícula. PROBLEMAS

1m

80 cm

 Agua 5m

2m

 A

D w

B

C 75 mm

1.- El recipiente de la figura dispone un cilindro de 2.4 m de diámetro y cierra un orificio rectangular de 0.9 m de fondo. Determinar la fuerza hidrostática sobre el cilindro. 2.- El tanque de agua de la figura está presurizado como muestra el manómetro de mercurio (densidad relativa 13.5). Determinar la magnitud, dirección y localización de la fuerza hidrostática sobre la compuerta AB (finfeb03) 3.- Un tubo en U está lleno de agua a 20 ºC. el extremo  A en torno al cual se hace rotar está cerrado y el extremo D abierto a la atmósfera. Determinar la velocidad angula de giro máxima sin cavitación. (finsep01) 1.- Se dispone una serie de álabes que se mueven a una velocidad constante U = 50 m/s y reciben un chorro de agua a V = 86.6 m/s. Los ángulos de entrada y salida de los álabes son θ1 = 30º y θ2 = 45º. Determinar el ángulo α necesario para que el chorro sea tangente al perfil entrante de los álabes. Determinar la fuerza necesaria para mantener U y el rendimiento de los álabes (Fox 4.116). 2.- Sea un conducto de sección cuadrada de lado 75.5 mm con un codo de 90º en sentido ascendente. La velocidad a la entrada es uniforme e igual a V 1 = 7.5 m/s, a la salida se considera un perfil de velocidad lineal en el que V 2, max = 2V2, min . Determinar las velocidades mínima y máxima en 2 (Fox 4.26) 3.- Un fluido de densidad relativa 0.95 fluye por un conducto de 0.25 m de diámetro a razón de 0.58 m 3/s. Determinar la fuerza y el par ejercido sobre los soportes de la tubería (Fox 4.167).

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SOLUCIONES 2º PARCIAL DICIEMBRE 2007 PARTE A: 1Problema del boletín resuelto en clase 2.a) La magnitud de la fuerza sobre la compuerta será proporcional a la presión a la altura del centro de gravedad de la misma. Siendo la presión en D, la de la superficie libre de agua, su valor viene dado por el desequilibrio de las columnas de mercurio en el tubo en U: pc,AB =pD +ρghc =ρHg gl+ρghc ⇒ pc,AB =9.81×103 (13.5×0.8+6) ⇒ pc,AB =164.8 kPa F AB =pc,AB AAB =164.8×2×1 ⇒ FAB =329.6 kN

Esta fuerza estará dirigida hacia la derecha. b) Para su localización vertical se tendrá: hcp = hc +

ρgIxc xc

(pD +ρghc )A

=6+

103 ×9.81×23 ⇒ hcp = 6.02 m (13.5×9.81×0.8+9.81×6)10 3×12×2

3.Para que no exista cavitación, la presión mínima en el tubo en U no debe ser inferior a la de vapor del agua a 20 ºC, concretamente, 2.4 kPa. Al situarse el eje de giro en la vertical que une  A y B, la presión mínima se alcanzará en el punto A, aplicando la expresión de equilibrio hidrostático entre los puntos A y D, de presión conocida, se puede determinar la velocidad de rotación máxima. Tomando los ejes coordenados con su origen en el punto B, se tiene: p A -pD =

ρw 2

2

(rA -rD )-ρg(zA -zD ) ⇒ 2.4-101.3=

w2 2(2.4-101.3) ⇒ w=187.5 rad/s (0-0.0752 )-9.81(0-0) ⇒ w= 2 -0.0752

PARTE B: 1a) Del triangulo a la entrada y aplicando el teorema del seno se puede deducir el ángulo de entrada para la velocidad absoluta:

U Vr 1 θ1

α1

θ1 β

V1 α1

senα1 sen(90+θ1 ) senβ 50 ⇒ senβ= = = sen(90+30) ⇒ β=30º; θ1+β+α1 = 90 ⇒ α1 = 30º Vr1 V1 U 86.6

b) La fuerza necesaria para mantener el desplazamiento de los álabes a la velocidad U, se obtendrá de la ecuación integral de conservación de cantidad de movimiento para un VC fijo que engloba la serie de álabes y que es cortado por los chorros de entrada y salida a las velocidades absolutas V1 y V2. Para la dirección horizontal x, tendremos: α1 ) Fx= ρ V1A1(V2cosα2 -Vcos 1

  π0.052 sen30  α ⇒ ⇒ ⇒ Vr1 cos θ1=Vsen V =86.6 V =50 m/s=V F =86.6 (14.64-86.6 cos30)=-10.26 kN  1 1 r1 r1 r2 x cos30 4  Vr2senθ 2 =U-V2 cos α2 ⇒ V2 cos α2 =50-50sen45=14.64 m/s

El signo negativo indica que la fuerza exterior al VC ha de aplicarse en sentido contrario al desplazamiento de los álabes. Cabe remarcar que será necesaria una componente vertical para mantener la serie de álabes sin desplazamiento vertical. c) El rendimiento de los álabes relacionará el trabajo realizado por el chorro contra la fuerza horizontal Fx y la energía cinética inicial del chorro: V12 -V22 FU 10.26×50 ηálabes = x 2 = 22 = η =0.80 2 3 ⇒ álabes V V π ×0.05 86.6 1 1  m 2 2 8

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2. Aplicando la ecuación integral de conservación de materia al VC constituido por el conducto:

∫

G G

∫

ρ(V.n)dA=0 ⇒

 ρ

∫

∫

A2

A2

(-V1)dA+ ρV2 dA=0 ⇒-ρ V1A1+ ρV2dA=0

 A1

Como V2 no es uniforme en la sección, será necesario obtener la expresión de la velocidad en función de la coordenada x en la sección de salida. Dado que se trata de una distribución de velocidad de tipo lineal: 

 V2 =mx+b  Vmin -Vmax x=0 ⇒ V2 =Vmax ⇒ b=Vmax x +Vmax  ⇒ V2 = h  V -V x=h ⇒ V2 =Vmin ⇒ min max =m  h

Con lo cual ya se puede integrar la primera expresión: -ρV1A1+

h

 Vmin -Vmax

∫ ρ 

h

0

 Vmin -Vmax 2   V -2V  h +Vmaxh  =0 ⇒ ρV1h2 =ρh2  min min +2Vmin  2  2h   

 

x+Vmax  hdx=0 ⇒ -ρV1A1+ρh 

2 Vmin = V1=5 m/s ⇒ Vmax =10 m/s 3

3.a) De la expresión integral de conservación de cantidad de movimiento y considerando las reacciones del esquema, se tiene: G G ∂   -V1 ) ∑ Fx = ∂t ∫ ρVx dVol + ∫ ρVx (V.n)dA ⇒ Rx1 +Rx2 +p1 A1-p2 A 2 =m(V 2 vc sc  G G  ⇒ R x1 +R x2 =p2 A2 -p1 A 1 ∫ ρ(V.n)dA=0    ⇒ V1 =V2    A1 =A 2  Obtenemos una ecuación con dos incógnitas. Podemos resolver el problema aplicando ahora la conservación del momento angular al VC considerado: sc

G

∂

G G

G G

G G

G

G

G

G

G

 ∑ M1= ∂t ∫ ρ(r×V)dVol+ ∫ ρ(r×V)(V.n)dA ⇒ r2× R x2 +r2×Fp =m(r 2×V2 ) ⇒ 2

vc

20R x2 -20×332×

sc

π0.252

4

=0.95×0.58×20×

0.58×4 ⇒ Rx2 =22.8 kN ( → ) π0.25 2

Sustituyendo en la primera ecuación se obtiene la reacción en 1: R x1 +R x2 =p2 A2 -p1 A1

⇒ Rx1 =-22.8+(332-345)

π0.25

4

2

⇒ Rx1 =-23.4 kN ( ← )

El signo negativo indica que el sentido inicialmente asumido en el esquema no es correcto, con lo que la fuerza de reacción actúa hacia la izquierda. Recuérdese que las fuerzas obtenidas son las que realiza el VC sobre el agua, mientras que ésta ejerce sobre el VC fuerzas iguales en magnitud pero de sentido contrario. Podemos contabilizar el par ejercido por el agua considerando el punto 2 para la toma de momentos. De esta forma se ejerce un par sobre el conducto respecto a 2 de 23.4x20 = 468 kN.m en el sentido de las agujas del reloj.

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33r  PARCIAL DE MECÁNICA DE FLUIDOS (Y RECUPERACIONES). ENERO 2007.

 ALUMNO………………………………………………………………………………… TEORÍA.  A) 1. Relación entre esfuerzo y gradiente velocidad en un fluido newtoniano (caso unidimensional) 2.- Distinción entre criterio lagrangiano y euleriano. 3.- Línea de corriente y línea de tiempo. B) 1.- Explica los distintos términos de la ley de conservación de energía en forma integral 2.- Qué modificación sufre la ecuación de conservación de cantidad de movimiento en forma integral cuando el VC se mueve a una velocidad constante. 3.- Factor de corrección de cantidad de movimiento. C) 1.- Explica qué criterio se sigue para considerar un flujo incompresible en Mecánica de Fluidos, tomando como base la ecuación de conservación de materia en forma diferencial. 2.- Cuando campo de flujo dispone líneas de corriente con una cierta curvatura, ¿qué aparece en la dirección normal a esas líneas?. Explica. 3.- ¿Qué provoca en una partícula fluida la presencia de esfuerzos tangenciales? 4.- Cómo se determina el número de parámetros adimensionales dada una relación de parámetros físicos del tipo p1 = f(p2, p3, …….,pn).

PROBLEMAS

aceite

aire 0.1 m 0.2 m

 Agua

0.35 m

mercurio

A 3m

B

 A) 1.- Se dispone un taque de agua presurizado con aire (un hidróforo). Se quiere medir la presión de aire mediante un manómetro de fluidos múltiples según la figura. Determinar  dicha presión (en kPa y en m), si la presión atmosférica es de 85.6 kPa y las densidades relativas de aceite y mercurio son 0.85 y 13.6 respectivamente. (Cengel, pp73.3-3) 2.- Una compuerta en forma de cuarto de cilindro de 2 m de ancho y 2 de radio, está articulada en A y apoyada en B. La base de la compuerta está a 3 m de la superficie libre del agua. Determinar la reacción en B si la compuerta tiene una densidad relativa de 2.4.( 1parcen2007) 3.- Se transporta un tanque cilíndrico de agua de 60 cm de alto y 40 cm de diámetro, sobre una cinta transportadora horizontal. Si la aceleración es de 4 m/s 2, determinar la altura inicial máxima admisible en el tanque para que no exista rebose. (Cengel, pp112, 3-98) B) 1.- En un tubo inversor de flujo(180º) con expansión, la presión en la brida 1 es de 200 kPa (abs), caudal 30 kg/s y diámetro 5 cm. En la brida 2 150 kPa (abs), 10 cm. Antes de la brida 2 se dispone una salida de caudal a la atmósfera de 8 kg/s, 3 cm. Si la presión atmosférica es de 100 kPa, determinar fuerzas sobre las bridas, despreciando las fuerzas de viscosidad y gravedad. (Cengel, 265, 6-58) 2.- Debe seleccionarse un ventilador para enfriar un PC de 12x40x40 (en cm). La mitad del volumen está ocupada por  componentes y el resto por aire ( ρ=1.2 kg/m3). De dispone un orificio de 5 cm de diámetro para la instalación del ventilador  que debe garantizar una renovación por segundo del espacio vacío. Se disponen unidades motor-ventilador de un rendimiento del 30 %. Determinar a)la potencia de la unidad que debe instalarse (VC de 1 a 2); b) la variación de presión en el ventilador(VC de 3 a 4). (Cengel, pp212, 5-14) C) 1.Sea G un campo bidimensional de velocidad G G V=(0.5+0.8x)i+(1.5-0.8y)j determinar las componentes del tensor de velocidades de deformación y del vector vorticidad

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de este campo. Determina también el campo de aceleraciones. ¿Es incompresible este campo? (Cengel, pp. 142, 4-6) 2.- En un separador ciclónico se considera la caída de presión a través del mismo como dependiente del flujo volumétrico y la densidad del fluido, así como del diámetro. Determinar la relación entre la caída de presión y el resto de parámetros. Si el tamaño del ciclón se duplica y el resto permanece invariable, ¿en qué factor cambiará la presión?. Lo mismo en caso de que se duplique el caudal volumétrico. (Cengel, pp 318, 7-104). 3.- La instalación sanitaria de un baño está constituida por tubo de cobre de 1.5 cm de diámetro (e= 0.0015 mm). La tubería de la ducha consta de un tubo de 11 m de largo con una conexión en T (a 6 m de la ducha y a 5 m de la entrada de la instalación) hacia el retrete (K=0.9), dos codos estándar (K=0.9 cada uno) una válvula de globo abierta (K=10) y una regadera de ducha (K = 12). Si la presión manométrica a la entrada de la instalación es de 200 kPa y la altura de la ducha es 2 m, determinar: a) el caudal descargado por la ducha si nadie acciona el retrete; b) El efecto sobre el caudal de la ducha cuando se acciona el retrete (a 1 m de altura sobre el suelo, y con una pérdida de carga secundaria total de 26.9 m). Nota: despréciense las variaciones de energía cinética en los balances de energía. Viscosidad cinemática= 1.004 10 -6 m2/s. (Cengel, pp 362, 8-9).

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PARTE A 1.-

La ecuación del manómetro será: paire = ρHgg 0.35-ρagg 0.1-ρac g 0.2=44.04 kPa(man) ⇒ Haire =

paire =4.49 m.c.a (man) ρagg

2.-

Resuelto en el 1er  examen parcial de enero de 2007-02-07 3.-

Tomando como eje de ordenadas el de simetría del recipiente y de abscisas el coincidente con el fondo del mismo, de la ecuación general del movimiento para un fluido que actúa como sólido rígido baja la acción de una aceleración lineal constante, se puede obtener la altura máxima para que no exista rebose. Se consideran dos puntos de la superficie libre, uno coincidente con el borde (A) y otro con la intersección del eje de ordenadas y dicha superficie libre (o), con lo que su diferencia de presiones será nula: p A - po = - ρ ax (xA -x0 )-ρ g(zA - z0 ) ⇒ 0 = - 4(-0.2 - 0) -9.81(0.6 - zo ) ⇒ zo = 0.6-

0.8 = 0.518 m 9.81

PARTE B 1.-

Se considera régimen estacionario, que los chorros son atmosféricos y uniformes y que son despreciables las fuerzas de viscosidad. Se aplica la ecuación integral de conservación de cantidad de movimiento al VC constituido por el codo y que corta los flujos entrantes y salientes. Así mismo se restará a todo del VC la presión atmosférica dado que sus efectos se cancelan en un VC cerrado. Para la dirección x se tiene: G G  V -m  V ⇒ = + ⇒ Fx +p1A 1 +p2 A 2 =-m F ρ V dVol ρ V (V.n)dA ∑x ∫ x 1 1 2 2 ∫ x vc

sc

2 2  π0.05   π0.1  30×4 22×4 ⇒ Fx =-1.11 kN Fx =-  100× - 22× 6  -  50×  - 30× 6 2 2 4   4  10 π0.05 10 π0.1  Para la dirección y:

G G

∑ Fy = ∫ ρVy dVol + ∫ ρVy (V.n)dA ⇒ Fy =m 3 V3 =8× vc

sc

8×4 3

2 10 π0.03

⇒ Fy =90.5 N

2.-

a) Considerando el VC con entrada y salida 1-2, se puede tomar despreciable la diferencia de presiones así como la velocidad de entrada frente a la de salida. De la ec. integral de conservación de energía para flujo sin fricción, estacionario y uniforme se tiene:    −3  V22 4.892   = ρVhv = 1.2×9.6×10 ×(- 11.95) ⇒ hv =-11.95 J/kg ⇒ W =  ⇒ hv = m ηm-v 2 2 0.3 2   V=0.5×(0.4) ×0.12=9.6×10-3 m3 /s  -3 2   V2 =V/A 2 =9.6×10 ×4/(π ×0.05 )=4.89 m/s

V12 p V2 + gz1-hv = 2 + 2 + gz2  ρ ρ  2 2 z1 = z2 ;p1  p2 ; V1<
+

 W m = -0.46 W

b) Considerando ahora el VC entre 3 y 4, la variación de energía cinética puede considerarse despreciable, por lo que la variación de presión experimentada por el aire considerado como fluido incompresible será igual a la energía transferida por el ventilador:  V32 p V2 + gz3 -hv = 4 + 4 + gz4   ρ 2 ρ  2  ⇒ p4 -p3 =- ρ hv = -(1.2×(-11.95)) ⇒ p4 -p3 =14.34 Pa  z3 = z 4 ; V3  V4 

p3

+

PARTE C 1.-

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a) Se trata de un flujo bidimensional por lo que sólo dispondremos de 4 elementos del tensor  de velocidades de deformación:  1  ∂u ∂u  ∂u e xx =  +  = =0.8 2  ∂x ∂ x  ∂x   0   0.8 1  ∂V  ∂V    1  ∂u ∂v  eij =  i  +  j   ⇒ exy =eyx =  +  =0 ⇒ eij =   2  ∂ x j ∂x i    2  ∂y ∂x   0 −0.8   e yy = 1  ∂v + ∂ v  = ∂v =-0.8  2  ∂y ∂ y  ∂y

b) En cuanto al vector verticidad:

w i =ε ijk

 w x =ε xyz   ∂Vk  ⇒ w y =ε yzx ∂ x  j    w z =ε zxy 

∂w ∂v +ε xzy =0 ∂y ∂z ∂u ∂w  + ε yxz =0 ∂z ∂x ∂v ∂u +ε zyx =0 ∂x ∂y

Con lo que se deduce que el campo fluido es irrotacional. c) Campo de aceleraciones: ∂u ∂u ∂u  ax = +u +v =(0.5+0.8x)0.8  ∂t ∂x ∂y ∂V DV ∂V  ai = i = i +Vj i ⇒  ∂x j Dt ∂t a = ∂v +u ∂v +v ∂v =(1.5-0.8y)(-0.8)  y ∂t ∂x ∂y

d) La condición de flujo incompresible es la siguiente: ∂u ∂v + =0.8-0.8=0 ∂x ∂y

Por lo que el flujo es incompresible. 2.-

a) Se trata de adimensionalizar la relación funcional:  D)  ∆p = f(ρ, V,

Eligiendo como magnitudes primarias M,L y T, los parámetros presentan las siguientes dimensiones: ρ D Dp V M 1 1 0 0 L -1 -3 3 1 T -2 0 1 0 Se observa que el orden del mayor determinante no nulo es 3, por lo que tendremos m-r=43=1, es decir, un único parámetro adimensional. De esta forma se tiene: Π1= ρ a V bD c ∆p=[ML-3 ]a [L3 T-1]b [L]c [ML-1T -2 ]  ∆pD4 M → 0=a+1 ⇒ a=-1   ⇒ Π 1=  2  ρ V L → 0=-3a+3b+c -1 ⇒ c=4   T → 0=-b-2 ⇒ b=-2 

 Al no existir más parámetros adimensionales, se tendrá que es igual a una constante. b) Si el diámetro del ciclón se duplica manteniéndose la misma densidad y caudal voluméntrico, siempre que se cumplan las reglas de semejanza se tendrá: ∆p1D14 2  ρ V

=

∆p 2D42 2 ρ V

⇒ ∆p1D14 =∆p2 (2D1 )4 ⇒ ∆p2 =

∆p1

16

La caída de presión se reduce hasta 16 veces la inicial. c) Si se duplica el caudal ocurrirá lo siguiente: ∆p1D4 2  ρ V 1

=

∆p 2D4 2 ρ V 2

⇒

∆p1

V 2 1

=

∆p 2

(2V 1)2

⇒ ∆p2 =4∆p1

La caída de presión se cuadruplica.

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3.-

a) Se trata de un problema en el que la pérdida de carga es conocida a partir de la ecuación de conservación de la energía:  p1 V2 p V2 + α1 1 + z1= 2 + α2 2 + z2 +Hfp-s  ρg ρg 2g 2g  p1 200  − 2 = 18.38 m V1=V2 + z1 - z2 =  ⇒ Hfp-s = ρg 9.81  p2 =0  

   2 2 11    V2     ⇒ 0.012 +(0.9+2×0.9+10+12)    2g = 18.38 ⇒ V=3.28 m/s 0.015      1 1   festimado =  − = 0.012   = − e 0.0015  15   2log D   2log   3.7   3.7   

 L  V2 Hfp-s = Hfp + Hfs =  f +∑ K  = 18.38 m  D  2g

Con esta velocidad debemos realizar una nueva iteración para obtener un valor más preciso: V = 3.28 m/s ⇒ Re=

3.28×0.015  = 49018.2 -6  = 1.9 m3 /h 1.004×10  ⇒ f = 0.0213 ⇒ V = 2.99 m/s ⇒ V  

e/D = 1×10-4

Que no justifica una nueva iteración puesto que con el EES se obtiene un valor exacto de 2.98 m/s. b) Como los tres conductos disponen de un punto en común C, sus líneas de nivel energético coincidirán en dicho punto. Estimando una altura de presión en C es posible obtener los caudales circulantes. Como primera estimación tomaremos una altura H c = 15 m. Para el tramo común se tiene: p1  = Hc +Hf1-c  ρg  p1 200 L V2 V1=V2 - Hc = − 15 = 5.38 m = f  1 1  ⇒ Hf1-c = ρg 9.81 D 2g  z 1=zc 

H1=



 e/D  2.51ν  +  = 3.57 m/s ⇒ V 1=2.27 m 3 / h  3.7  D 2gDH /L f1-c 1  

V1=-2 2gDHf1-c /L1 log 

Para la conexión con el retrete: Hc=z2 +Hfc-2 ⇒ Hfc-2 = Hc - z2 = 15-1 = 14 m    2 2 1    V22     ⇒ 0.012 +26.9    2g =1 4 ⇒ V2 =3.12 m/s     0.015   1 1  f2,estimado =  − = 0.012  = − e 0.0015  15   2log D   2log   3.7   3.7    3.12×0.015  V=3.12 m/s ⇒ Re= =46533  3 -6 1.004×10  ⇒ f2 = 0.0215 ⇒ V2 =3.11 m/s ⇒ V 2=1.98 m /h  e/D=1×10-4 

 L V 2 Hfc-2 = Hfp + Hfs =  f2 2 +∑ K2  2 = 14 m  D  2g

Para la conexión con la ducha: Hc=z3 +Hfc-3 ⇒ Hfc-3 = Hc - z3 = 15-2 = 13 m   L V2 Hfc-3 = Hfp + Hfs =  f3 3 +∑ K3  3 = 13 m  6  V32 D 2g 0.012 +24.7 ⇒      2g =13 ⇒ V3=2.94 m/s 0.015    f3,estimado = 0.012 

V3 =2.94 m/s ⇒ Re= e/D=1×10-4

2.94×0.015  =43937  3 -6 1.004×10  ⇒ f3 = 0.0218 ⇒ V3 =2.76 m/s ⇒ V 3 =1.76 m /h  

Nuestra estimación en Hc no ha sido correcta puesto que sale más caudal del que entra. Será necesario tomar un valor más bajo de H c. Nuestra nueva estimación será de 10 m: Tramo común:

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p1  = Hc +Hf1-c  ρg  p1 200 L1 V12 V1=V2 ⇒ H = H = − 10 = 10.38 m = f    f1-c c ρg 9.81 D 2g  z 1=zc 

H1=



 e/D  2.51ν  +  = 5.05 m/s ⇒ V 1=3.21 m 3 / h  3.7  D 2gDH /L f1-c 1  

V1=-2 2gDHf1-c /L1 log 

Para la conexión con el retrete: Hc =z2 +Hfc-2 ⇒ Hfc-2 = Hc - z2 = 10-1 = 9 m    2 2 1   V2     +26.9  2 =9 ⇒ V2 =2.52 m/s  ⇒ 0.012     0.015   2g 1 1 f2,estimado =  − = 0.012   =− e 0.0015  15   2log D   2log   3.7   3.7    2.52×0.015  V=2.52 m/s ⇒ Re= =37722  3 1.004×10 -6  ⇒ f2 = 0.0225 ⇒ V2 =2.49 m/s ⇒ V 2=1.58 m /h  e/D=1×10-4 

 L V2 Hfc-2 = Hfp + Hfs =  f2 2 +∑ K2  2 = 9 m  D  2g

Para la conexión con la ducha: Hc =z3 +Hfc-3 ⇒ Hfc-3 = Hc - z3 = 10-2 = 8 m   L V2 Hfc-3 = Hfp + Hfs =  f3 3 +∑ K3  3 = 8 m  6 V2 +24.7  3 =8 ⇒ V3=2.3 m/s  D  2g  ⇒ 0.012 0.015  2g   f3,estimado = 0.012 

V3 =2.3 m/s ⇒ Re=

2.3×0.015  =34467  3 -6 1.004×10  ⇒ f3 = 0.023 ⇒ V3 =2.15 m/s ⇒ V 3 =1.36 m /h

e/D=1×10-4

 

Con lo que se deduce que entra más caudal que el que sale, pero con escasa diferencia. Tomando un valor de H c=11.75, se logra la conservación de materia en el nodo, con los siguientes caudales volumétricos: V c =3.24 m3 /h; V r =1.73 m 3/h; V d=1.51 m3/h . Se observa que el caudal en la ducha disminuye al accionar el retrete. Nota: El problema puede resolverse directamente a través del EES, planteando el siguiente sistema de ecuaciones: Entrada 1 hasta cisterna 2:  p1 V2 p V2 + α1 1 + z1= 2 + α2 2 + z2 +H f1-2  2g 2g ρg ρg  p1 200  V1=V2 + z1 - z2 = − 1 = 19.38 m  ⇒ Hf1-2 = 9.81 ρg  p2 =0  

Hf1-2 = f1

L1 V12  L 2 V2 +  f2 + ∑ K 2  2 D 2g  D  2g

Entrada 1 hasta ducha 3:  p1 V2 p V2 + α1 1 + z1= 3 + α3 3 + z3 +H f1-3  2g 2g ρg ρg  p1 200  V1=V3 + z1 - z3 = − 2 = 18.38 m  ⇒ Hf1-3 = 9.81 ρg  p3 =0  

Hf1-3 = f1

L1 V12  L3 V2 +  f3 + ∑ K 3  3 D 2g  D  2g

Caudales: V 1=V 2 + V 3

Y las expresiones correspondientes a las velocidades como función del caudal, números de Reynolds y ecuaciones de Colebrook para los tres factores de fricción. archivos EES\3cparc3en07.EES

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EXAMEN FINAL DE MECÁNICA DE FLUIDOS. FEBRERO 2007  ALUMNO TEORÍA  A) 1. Definición de fluido. 2.- Distinción entre criterio lagrangiano y euleriano. 3.- Ecuación de la hidrostática para un gas ideal. B) 1.- Explica los distintos términos de la ley de conservación de momento angular en forma integral. 2.- Qué modificación sufre la ecuación de conservación de cantidad de movimiento en forma integral cuando el VC se mueve a una velocidad constante. 3.- Factor de corrección de energía cinética. C) 1.- Explica qué criterio se sigue para considerar un flujo incompresible en Mecánica de Fluidos, tomando como base la ecuación de conservación de materia en forma diferencial. 2.- Gradientes de velocidad en el entorno de un punto fluido. 3.- Semejanza incompleta. PROBLEMAS 1.- Un tubo cilíndrico de sección A’ flota en agua contenida en un recipiente también cilíndrico de sección A. Después de añadir al interior del  A’ tubo A’ una masa m, se observa un ascenso de la superficie libre del líquido. Determinar este Dh h2 una expresión que relacione dicho ascenso con h1 m la densidad del fluido, la sección transversal del H  A recipiente y la masa m. (Krause pp. 69. nº 1.4). 2.- Se introduce un tubo de 1.9 mm de diámetro en un líquido de densidad relativa 0.96, observándose un ascenso capilar de 5 mm y un ángulo de contacto de 15 º. Determinar la tensión superficial del líquido. 3.- Una puerta semicircular AB está articulada 8m a lo largo de B y mantenida en posición A vertical por una fuerza aplicada en algún 3m punto de su eje de simetría. Determinar dicha fuerza para mantener la puerta en equilibrio y B su posición. 1.- Un compresor aspira aire a 297 K y 92 kPa (abs) a razón de 5 kg/s y lo descarga a 380 K y 300 kPa (abs). Mientras que a la entrada el flujo se considera uniforme (D1=D2 = 0.2 m) a la salida el perfil de velocidad es parabólico y de ecuación u = umáx(1-(r/R)2). Considerando flujo estacionario y transferencia de calor despreciable, determinar la potencia requerida para accionar el compresor. C v=0.72 kJ/kg K (Bregada, pp111, 1 31). 2.- Considerando el codo de la figura, en el que el diámetro de la tubería es 10 cm y el de la tobera 3 cm, determinar la fuerza que ejerce el agua sobre la brida 1 si el caudal es de 150 N/s y la presión manométrica en 1 es 2.3 atm. (Feb2003) 1.- Un ventilador axial de diámetro D=1 m y velocidad 12.5 rev. por segundo, se quiere utilizar para impulsar aire (1.25 kg/m3 y 1.875 10-5 kg/ms) a razón de 30 m3/s. En un 40º 2 modelo a escala 1:4 se realizan pruebas con agua y se obtiene una elevación en la presión de 0.3 105 Pa (para el agua 1000 kg/m3, 10-3 kg/ms). Determinar, haciendo uso de las leyes de semejanza en turbomáquinas: a) el caudal y el número de revoluciones por minuto durante el experimento en agua; b) La elevación de presión en aire; c) La potencia en ambos casos. (Krause pp. 87. nº 6.9).

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2.- A través de un tubo de 30 cm de diámetro, 100 m de longitud, e/D=0.0002 fluye un líquido de densidad relativa 0.95 y 0.00002 m2/s, con una pérdida de carga de 8 m. Determinar el caudal y la velocidad media. (boletín) 1.- Una bomba aspira agua de un recipiente A a 0.05 bar (abs), elevación 1 m y la descarga en otro recipiente B a 2 bar (abs), elevación 0 m. La pérdida de carga en la aspiración en m.c.a 2

2

viene dada por 104 V (caudal volumétrico en m3/s) y en la impulsión 312 V . Si se utiliza una bomba modelo 150/135 con diámetro de rodete 270 mm (constante de la curva motriz A = 646.96 m/(m3/s)2 y elevación a caudal nulo de la gráfica), determinar: a) el punto de funcionamiento de la bomba y la curva resistente del sistema; b) la altura mínima por debajo del nivel del recipiente A, a la que hay que situar la bomba para que no se produzca cavitación. 2.- Sean r1 = 10.2 cm, r2 = 17.8 cm, β1 = 30º, β2 = 20º y b1 = b2 = 4.5 cm, los datos de un impulsor que rota a 1440 rpm, estímese el caudal, la altura y la potencia que entrega la bomba, considerando que no existe prerrotación a la entrada y que el coeficiente de reducción por el espesor de álabes es la unidad. (White. pp. 718. feb 03).

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SOLUCIONES DEL EXAMEN FINAL. FEBRERO 2007 PARTE A 1.-

En ambos casos el recipiente está sometido a un empuje vertical hacia arriba igual al volumen de fluido desalojado: Fe1 =  ρ gVol1=ρ gA'h1; Fe2 = ρ gVol2 =ρ gA'h2

La masa m solicitada será proporcional a la variación que experimenta la fuerza de empuje: Fg = mg= ρ g(Vol2 -Vol1 ) ⇒ m = ρ A'(h2 -h1 )

Solo queda obtener la relación con la variación del nivel de agua en el recipiente de sección transversal A. Para ello, se tiene en cuenta que el volumen total de agua permanece invariable una vez situada la masa m: Volinicial =Volfinal ⇒ HA-A'h1 = (H+∆H)A-A'h2 ⇒ h2 -h1 =

∆H A

 A'

Sustituyendo en la expresión correspondiente a la masa se obtiene la relación buscada: m =  ρ  ∆hA ⇒ ∆h =

m  ρ  A

2.-

En este caso la fuerza de tensión superficial equilibra el peso de la columna de líquido en el tubo capilar. Debe tenerse en cuenta que la fuerza de tensión superficial actúa tangente a la superficie libre, por lo que habrá que considerar la componente vertical de la misma: Fg = Fσ ,v  ⇒ ρgVol = σ2πRcosθ ⇒ σ =

ρgRh

2cos θ

=

960 × 9.81× 0.95 × 10 −3 × 5 × 10 −3 ⇒ σ = 0.032 N/m 2 cos 15

3.-

Resuelto en exámenes anteriores. PARTE B 1.-

De la ec. Integral de conservación de la energía se tendrá: G G  ∂ v2 ρ ρ edVol+ (u+pv+ +gz)(V.n)dA   p p V2  1 ∫ ∫ 3    u -u + 2 - 1 - 1  + ∂t vc 2  ρ 2u2dA  ⇒ -W=m sc 2 1 ∫  ρ 2 ρ 1 2  2  A 2    Q=0; z1=z2 ; estacionario; uniforme en 1    Q-W=

La variación de energía interna y las densidades se obtienen considerando que el aire se comporta como gas ideal de calores específicos constantes con c v=0.72 kJ/kg K (también se puede resolver considerando la hipótesis de calores específicos variables, con lo que se obtendría mayor precisión). La velocidad uniforme a la entrada se tiene del caudal másico, mientras que el flujo de energía de salida precisa la resolución de la integral en donde la velocidad es variable y dependiente de la posición radial “r” en la sección. También se podría recurrir al cálculo del coeficiente de corrección de energía cinética:

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u2 -u1=c v (T2 -T1 )=0.72×103 (380-297) ⇒ u2 -u1 =59760 J/kg p1

 ρ 1=

rT1

 ρ 2 =

V1=

=

p2 rT2

0.287×297

=

 m  ρ1 A1

V2 =

92

=1.08 kg/m3

300 0.287×380

=

 m  ρ 2 A 2

=2.75 kg/m3

5

⇒ V1=147.3 m/s

1.08×π ×0.22 / 4

=

5 2.75×π ×0.22 / 4

⇒ V2 =57.9 m/s 3

3

   r 2     r 2  2   3   π V 1 − 2 rdr= V     rdr   max 1−   3 2 ∫ ∫ ∫A  max   R   V2 R A   R      2 La integral anterior se puede resolver haciendo el cambio de variable t=1-(r/R) , con lo que 1/2 2 r=r(1-t) y dr=-(R /2r)dt. Teniendo en cuenta que para este perfil se cumple que V max=2 V (se deduce de la expresión del caudal volumétrico) y resolviendo, el factor de corrección es igual a 2 (valor correspondiente a flujo laminar totalmente desarrollado en un tubo). La potencia requerida para accionar el compresor en estas condiciones será: 1 1 1 3 3  ρ 2 V2 dA= ρ 2 V2 A 2α 2 ⇒ α 2= 3 2  A2 2 V2 A 2



   u -u + -W=m 2 1

2

2

p2 p1 α 2V22 V12  - +  =380275 W  ρ2 ρ 1 2 2 

 C:\Documents and Settings\user\...\archivos EES\1bfinfeb07.EES 2.Resuelto en feb2003 PARTE C 1.-

a) Para determinar el caudal y la velocidad de giro en el agua: ρair w airD2air

µair

 V air  w airDa3ir

=

=

ρag w agD2ag

µag

 V ag w agD3ag

2

D  ρ µ 1.25 10−3 ⇒ w ag =w air  air  air ag  =12.5×42 ⇒ wag =13.3 rps  Dag  ρ ag µair   1000 1.875×10−5  

3 w agD3ag 13.3  1     =0.5 m3 / s ⇒ Vag =Vair =30 ⇒V ag   3 w airDa ir   12.5  4 

b) la elevación de presión en el aire se obtendrá con el coeficiente manométrico: gHair 2 2 w air Dair

=

gHag 2 w ag Da2g

⇒

∆pair ρ airw 2airD 2air

=

∆pag ρ agw 2agD 2a g

⇒ ∆pair = ∆pag

ρair w 2airD2air ρ agw 2agD2a g

2

5   =0.3×10

1.25  12.5  2     4 ⇒ ∆pair =530 Pa 1000  13.3 

c) la potencia se deduce directamente de la ecuación de la energía:  =V  ∆p = 30×0.53 ⇒ W  =15.9 kW W air

air

air

air

 

 =V  ∆p = 0.5×30 ⇒ W  =15 kW W ag ag ag ag 2.-

Se trata de un problema de flujo interno en el que la pérdida de carga es conocida. La velocidad y, por tanto, el caudal, se pueden determinar combinando las expresiones que definen la pérdida de carga primaria y el factor de fricción. Se obtiene una ecuación en al que la velocidad aparece como función de la pérdida de carga:     −5  e/D  2.51ν 2.51× 2 × 10   = − 2 2 × 9.81× 0.3× 8 log 0.0002 + V = −2 2gDHfp /Llog  +  3.7 D 2gDHfp /L   3.7  100 8   0.3 × 2 × 9.81× 0.3 ×   100   V = 4.84 m/s  =V V

πD2

4

= 4.84

π0.32

4

C:\Documents and EES\2cfinfeb07.EES

 = 0.34 m3 /s ⇒V

Settings...\DOCUMENTOS\..\exámentes\historialdesde2004\archivos

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PARTE D 1.-

a) La curva resistente del sistema se obtendrá aplicando la ecuación de conservación de la energía al volumen de control constituido por los recipientes, conductos y bomba. Considerando régimen estacionario se tendrá: p A V A p V  + + z A − Hb = B + B + z B + H fp  pB − p A 200 − 5 ρg ρg 2g + z B − z A + H fp = − 1 + (104 + 312)V 2 2g  ⇒ Hb = ρ g 9 . 81  V A , VB ≅ 0  Hb = 18.88 + 416 V 2

Para determinar el punto de funcionamiento, será necesaria la curva característica de la bomba. De la gráfica se puede obtener directamente la altura a caudal nulo H 0=24 m, con lo que se tiene: Hb = 24 − 646.96V 2 . Igualando ambas expresiones, se tendrá el caudal entregado: 18.88 + 416 V 2 = 24 − 646.96 V 2 ⇒ V =

24 - 18.88 ⇒ V = 0.0694 m3 /s (250 m3 /h) 646.96 + 416

Que implica una altura de 20.88 m, que puede ser comprobada en la curva característica para rodetes de 270 mm de diámetro. b) Para determinar la altura mínima necesaria por debajo del tanque de aspiración, se obtiene el NPSHR de la gráfica “g” para un caudal de 250 m 3/h y se iguala con el NPSH D. A continuación se despeja la altura de aspiración y se le aplica un coeficiente de seguridad de 0.5 m que, en este caso, será aditivo al situarse la bomba por debajo del recipiente de aspiración: NPSHD =

p A − p v p − pv + H A - H fp,asp = NPSHR ⇒ H A = NPSHR -  A + H fp,asp + 0.5 = 3 + 104 × 0.0694 2 + 0.5 ⇒ ρg ρg

H A = 4 m

archivos EES\1dfinfeb07.EES 2.-

Resuelto en el final de febrero de 2003

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1ER EXAMEN PARCIAL DE MECÁNICA DE FLUIDOS. DICIEMBRE 2007  ALUMNO TEORÍA 1. Distinción entre fluido newtoniano y no newtoniano 2.- Aceleración de una partícula fluida en un campo euleriano. Aceleración convectiva y aceleración local. 3.- Línea de corriente y línea de tiempo. 4.- Explica cómo se obtiene la componente vertical de la fuerza debida a la presión que actúa sobre una superficie curva sumergida. PROBLEMAS 1.- Si el manómetro A marca una presión absoluta de 350 kPa, determinar la altura de agua h y la presión absoluta que marcará el manómetro B.(White 5ª ed, pp104, 2.21.

 Aire a 180 kPa abs

h

 Agua

80 cm

Hg

 A

B

 Agua h  Aire a 10 kPa man

30 cm

A 3m

B

2.- La compuerta de la figura tiene 30 cm de alto, 60 cm de ancho y esta articulada en la parte superior. ¿Cuál es la mínima profundidad del agua h que abrirá la compuerta? (White,5ª, pp113, 2.72). 3.- Una compuerta en forma de cuarto de cilindro de 2 m de ancho y 2 de radio, está articulada en A y apoyada en B. La base de la compuerta está a 3 m de la superficie libre del agua. Determinar la reacción en B si la compuerta tiene una densidad relativa de 2.4.( Fox 6ª ed. 3.67.pp 92) 4.- Un manómetro en U presenta una distancia entre ramas de 25 cm y un nivel de equilibrio de 20 cm de alcohol. Si se hace girar  el manómetro en torno a una de sus ramas a 4.2 rad/s, determinar la diferencia de alturas entre las dos ramas (Cengel 3-104)

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SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS. 1, 2, 3.-

Resueltos en el examen parcial de diciembre 2006.

4.-

Teniendo en cuenta la ecuación de la superficie libre en función de la altura inicial sin rotación, será posible obtener la diferencia de alturas entre la rama que actúa como eje de rotación (1) y la otra rama (2) (z2 – z1):  1  r 1 2    -     2  R     2 r1 = 0 ( 4.2×0.25) (wR)2  = = 0.056 m  ⇒ z 2 - z1 = 2 2  2g 2×9.81  (wR) 1  r 2   z2 = ho   2g  2  R     r2 = R 

(wR)2 z1 = ho 2g

Se observa que el resultado es independiente de la densidad del fluido. De igual modo, con la expresión de la distribución de fuerzas en función de z y r, eligiendo como puntos de referencia las superficies libres de las dos ramas, una vez establecido el movimiento como sólido rígido: p2 -p1 = p2 = p1

ρw

2

2

2  ( wR ) = 0.056 m  ⇒ z2 - z1 = 2g  

(r22 - r12 ) - ρg(z2 - z1 )

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2º EXAMEN PARCIAL DE MECÁNICA DE FLUIDOS. DICIEMBRE 2007  ALUMNO TEORÍA 1.- Explica las consecuencias de aplicar los principios de conservación a un molino eólico. (Explain consequences of applying conservation laws on a wind turbine) 2.- Deduce la ecuación de Bernouilli a partir de la ecuación integral de conservación de energía. Enumera las hipótesis necesarias. (Obtain Bernouilli equation from energy conservation integral equation. List necessary hypothesis) 3.- En la teoría de hélices hemos deducido una expresión para determinar  el área de la hélice en función de la fuerza de empuje, la velocidad, la densidad y el rendimiento de la propulsión. En cuál de estos parámetros estará incluida la incidencia de factores tales como el nº de palas, ángulo de ataque, etc. (In the propeller theory we have deduced an equation for the propeller area in function of velocity, density, force and propulsion efficiency. In which of these parameters is included the number or blades, pitch angle, etc.) PROBLEMAS 1.- Un generador eólico con un diámetro de 9.1 m genera 0.4 kW de potencia a una velocidad del viento de 11.3 km/h (20ºC, 1 bar). Determinar: a) el rendimiento del molino eólico; b) la fuerza ejercida por el viento sobre el mástil del molino; c) efecto al duplicar la velocidad del viento sobre la potencia y la fuerza si el rendimiento es el mismo. (Ç; pp244). (Wind turbine diameter 9.1 m generates 0.4 kW of power with wind speed 22.5 km/h. Calculate: a) efficiency of the wind turbine; b) wind force on turbine mast; c) repeat calculations for  double wind speed). 2.- Un aspersor de cuatro brazos en ángulos rectos, dispone de boquillas de 1 cm de diámetro que descargan chorros de agua tangenciales diametralmente opuestos. Distancia entre eje y boquilla es de 0.6 m. Si a través del conducto de alimentación circulan 20 l/s de agua y el aspersor gira a 300 rpm, determinar  el par resistente necesario y la potencia para mantener la velocidad de rotación constante. (Ç;pp257). (Sprinkler of four arms perpendicular between them discharges tangential water jets from nozzles with diameter 1 cm. Distance between sprinkler axis and each nozzle 0.6 m. Flow rate 20 l/s and angular  speed 300 rpm. Calculate moment and power to maintain constant rotation). 3.- Se dispone de un sifón para vaciado de un recipiente. La distancia entre la superficie libre y el tramo curvo del sifón es 1 m. La altura entre este y la descarga es de 8 m. Determinar, después de enumerar las hipótesis correspondientes, la velocidad de salida del sifón y la presión mínima en el mismo. Dibújense las líneas de altura motriz y nivel energético. (Siphon mounted to empty a tank have a height of 8 m, and 1 m from the free surface of  water to the upper part of the siphon. Calculate exit velocity and minimum pressure in the siphon). 4.- Un recipiente de sección transversal A t, lleno de agua, se vacía a través de un orificio de sección A en la parte inferior. No se consideran pérdidas en el orifico. La distancia entre la superficie libre del agua y el orificio de descarga es h (variable). Determinar: la velocidad de descarga en función de h y el tiempo que tardaría en vaciarse el recipiente. Enumera las hipótesis que necesites. (A tank of transversal section A t, full of water, is emptied through an orifice of A section. Distance between level of water and the orifice is h (variable). Calculate velocity of discharge as a function of h and time necessary to empty the tank).

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SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS. 1.-

a) El rendimiento será la relación entre la potencia real entregada por el aerogenerador  y la potencia máxima del flujo de aire:  W  gen η  =  W 

   max  1  2 1 3 2 3   ρ π  0.5 1.19 9.1 0.25 3.14 1200 W W max = mV AV   = = × × × × × = 2 1 2 1 1  0.4  2  =  ρ AV  m = 0.33  ⇒ η  = 1 1 = 1.19 × π × 9.1 × 0.25 × 3.14 = 243.02 kg/s 1.2  100  p   ρ  = = = 1.19 kg/m3 rT  0.287 × 293   1000 V 1 = 11.3 × = 3.14 m/s  3600  

No obstante, habrá que tener en cuenta que el límite de Betz establece un rendimiento máximo de 0.593, de tal manera que los aerogeneradores reales suelen alcanzar la mitad de este valor. b) La fuerza ejercida sobre el mástil precisa determinar la velocidad de salida. Para ello se parte de que la potencia real entregada por el generador será la máxima menos la pérdida por energía cinética de salida, siempre y cuando no se tengan en cuenta las pérdidas por fricción:  2W  1  2 2 × 400 gen 2 2 m(V1 − V2 ) ⇒ V2 = V1 −   = 3.142 − ⇒ V2 = 2.56 m/s  2 243.02 m  (V2 − V 1 ) = 243.02(2.56 − 3.14) ⇒ Fmas = − 141 N =m

W gen =

Fmas

Esta es la fuerza de reacción que realiza el mástil sobre el volumen de control, el aire realiza una fuerza igual y de sentido contrario sobre el mástil. c) el hecho de duplicar la velocidad de aire provocará que la potencia generada, al ser  proporcional al cubo de la velocidad, se incremente 8 veces respecto a su valor inicial. La fuerza sobre el mástil es proporcional al cuadrado de la velocidad por lo que su valor se multiplica por cuatro. 2.-

Si se establece un sistema de referencia fijo (inercial), deberán tomarse en consideración las velocidades absolutas en cada una de las boquillas, y no aparecerán los términos asociados con la aceleración de arrastre. Esto simplifica la resolución del problema. Dividiendo el caudal total por cuatro, se tendrá la velocidad con la que sale el agua de cada boquilla, según un observador montado sobre el aspersor. La velocidad absoluta con la que un observador fijo ve salir el agua, será la suma vectorial de la velocidad relativa y la velocidad de arrastre, siendo esta última de sentido contrario a aquella e igual a la velocidad tangencial de la boquilla. De esta forma la ecuación integral de conservación deGmomento cinéticoGqueda como sigue: G G G G G G G  b R (Vr − wR )k = − 20 × 0.6 × 44.81k ⇒ Mres = − 537.7k Mres k =  ρ (r × V )(Vr .n )dA = − 4m

∫

 

sc 

V r  =

 V 

4 Ab

=

0.02 = 63.66 m/s π 0.012

V = Vr − Varr = Vr −  wR = 63.66 − 300

2π    m/s 0.6 ⇒ V = 44.81 60

 = 4m  b = 1000 × 0.02 = 20 kg/s m

Se observa que el momento resistente se aplica en el sentido de las agujas del reloj Los chorros de agua generan un par igual y de sentido contrario, al que le corresponderá una potencia de:

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2π  W = Mres w  = 537.7 × 300 = 16.9 kW 60

Se podría resolver el problema considerando un sistema de referencia en rotación con el VC, en cuyo caso se trabajaría con la velocidad relativa a la boquilla y se tendría en cuenta el momento de la aceleración de arrastre. 3.-

a) Se considera flujo sin fricción, uniforme, estacionario. La velocidad de salida se determina por medio de la ecuación de Bernoulli entre la superficie libre del tanque 1 y la salida s. Se toma como referencia de alturas la superficie libre del tanque: Vs = 2g(z1 -zs )= 2×9.81×[ 0-(-7)] ⇒ Vs =11.7 m/s b) la presión mínima se sitúa en la curva del sifón, o punto más alto 2. Tomando la ecuación de la energía entre 2 y s, al ser las velocidades iguales y la presión de salida la de chorro libre atmosférico:  p2  ρ g 

+ z2 = zs ⇒ p2 =  ρ g ( zs − z2 ) = 9.81(− 7 − 1) ⇒ p2 = − 78.4 kPa

4.-

a) De la ecuación de la energía, considerando que la variación de energía total dentro del volumen de control con el tiempo es despreciable, flujo sin fricción, salida uniforme, velocidad despreciable de la superficie libre en el recipiente y chorro libre de salida a presión atmosférica, se concluye que: V =

2gh

En donde h será variable con el tiempo. b) De la ecuación integral de conservación de materia se tiene que: 0=

G G d    ρ dVol + ρ (V .n )dA  dt vc sc  

∫

∫

d dh  ρ dVol = ρ At  dt vc dt G G  ρ (V .n )dA = ρ VA

∫

∫

sc 

 0 t   dh  A VA A dh A h 2gh ⇒ ∫ 2gdt ⇒ t = 2 t   =− =− = −∫ ⇒ dt At At A 2g h h 0 At     

 

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 ALUMNO ................................................................................................................................... 1.- La ecuación diferencial de conservación de materia en coordenadas cilíndricas para un campo fluido en el que la velocidad es función exclusiva del radio es de la forma:  ρV r

r 

+

d ( ρ V r  ) dr 

=

0

En donde Vr  es la componente G radial G de la velocidad, en un campo fluido del tipo V = V r e r  Suponiendo un flujo a baja velocidad de aire entre dos discos paralelos en el que la velocidad es puramente radial, es incompresible, no viscoso y uniforme en cualquier sección. Demostrar conGla ecuación de continuidad G que la expresión general para el campo de velocidad es V = V ( R / r ) e r  para ri≤r ≤R, siendo V=15 m/s en R=75 mm.(Fox 5.40, pp252).

G 2.- Dado un campo de flujo del tipo V

G =

10 xi

G

G −

10 yj

+

30k

,  determinar si se trata

de un flujo incompresible e irrotacional. (Fox 5.63 pp255) 3.- Considerando que la potencia requerida para mover un ventilador depende de la densidad del fluido, del caudal volumétrico, del diámetro del impulsor y de la velocidad angular. Determinar mediante análisis dimensional la dependencia de la potencia en relación a las variables indicadas empleando como repetitivas la densidad, el diámetro y la velocidad angular. (Fox 7.12.pp346). 4.- Determinar los elementos de la diagonal del tensor de velocidades de deformación para el campo fluido del problema 2. ¿Qué 150 mm d. significado tienen estos elementos del tensor? 75 mm d 200 mm d.

0.9 m

0.6 m

2.4 m

Hg 175 mm

1.- Calcular la potencia de la bomba de la figura si el líquido aspirado es agua. Dibujar líneas de nivel energético y altura motriz.(parmay98) 2.- Un conducto de 1 m de diámetro, correspondiente a un oleoducto que conecta una refinería con una terminal portuaria de descarga de crudo (densidad relativa 0.94), tiene un ángulo de 30º con respecto a la horizontal, y circula por su interior un caudal de 2 m3/s. Si la presión en el codo se mantiene uniforme e igual a 75 kPa (manométrico), el volumen del mismo es 1.2 m 3 y pesa 4 kN, determinar las fuerzas que deben ser aplicadas para mantener el codo en su posición.(parmay98) 3.- Determinar la potencia producida por un aspersor que rota en un plano horizontal a 500 r.p.m. El radio de la “turbina” es de 0.5 m. El agua se recibe mediante un tubo vertical que es coaxial con el eje de rotación y sale a través de toberas cada una con una sección de 10 cm 2. La velocidad de salida del agua es 50 m/s con respecto a la tobera. La densidad del agua es 103 kg/m3 y la presión de salida es la atmosférica. (parmay98).

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SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS TERCER PARCIAL 1.-

Se procede a resolver la ecuación diferencial, separando variables y aplicando los límites de integración correspondientes:

∫

V

Vr 

dV r  Vr

=−

∫

R 

r 

G dr V r R RG ⇒ ln = ln ⇒ Vr = V ⇒ V = V er  r Vr  R r r

   

2.-

a) Para que el flujo sea incompresible y se conserve la materia ha de cumplirse: ∂V i  ∂u ∂v ∂w ∂(10 x) ∂ (−10y ) ∂ 30  = + + =0⇒ + + = 10 − 10 = 0 ∂ xi  ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂ z 

Con lo que se concluye que es incompresible. b) La condición de que el flujo sea irrotacional es que el vector verticidad sea nulo: ∂w ∂v   w  x = ε xyz ∂y + ε xzy  ∂z  = 0  ∂V k   ∂u ∂w  w i = ε ijk ⇒ w y = ε yzx + ε yxz = 0 ⇒ w i = 0  z x  ∂ x j  ∂ ∂   ∂v ∂u  w z = ε zxy ∂ x + ε zyx ∂ y  = 0 

Por lo tanto, el flujo es irrotacional. 3.-

Se trata de adimensionalizar la relación funcional:  = f(ρ, D, w, V)  W

Eligiendo como magnitudes primarias M,L y T, los parámetros presentan las siguientes dimensiones:  ρ D w V W  M 1 1 0 0 0 L 2 -3 1 0 3 T -3 0 0 -1 1 Se observa que el orden del mayor determinante no nulo es 3, por lo que tendremos m-r=53=2, es decir, dos parámetros adimensionales. De esta forma se tiene: Π1 =  ρ a D bw c W ⇒ M 0 L0T 0  = ML−3  [L ] T −1  ML2T −3   M → 0 = a + 1 ⇒ a = −1   W   L → 0 = −3a + b + 2 ⇒ b = − 5  ⇒ Π 1 =  ρ w 3 D5  T → 0 = −c − 3 ⇒ c  = −3  a

b

c 

Para el segundo parámetro adimensional: Π1 =  ρ a D bw c V ⇒ M 0 L0T 0  = ML−3  [L ] T −1  L3T −1   M →0=a   V   L → 0 = −3a + b + 3 ⇒ b = − 3  ⇒ Π 2 = wD 3  T → 0 = −c − 1 ⇒ c  = −1  a

b

c 

Con lo que la relación funcional de la potencia respecto a las demás variables será: W

   V  F  =  3   ρ w 3 D5  wD  4.-

Los elementos de la diagonal principal del tensor de velocidades de deformación indican las deformaciones lineales por la acción de esfuerzos normales viscosos. La suma de dichos

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elementos constituye la velocidad de deformación volumétrica unitaria, que en un flujo incompresible debe ser nula. SEGUNDO PARCIAL 1.-

Considerando el VC constituido por la superficie libre del agua y la tubería de aspiración hasta el manómetro (1-2), y teniendo en cuenta flujo totalmente desarrollado, incompresible, turbulento (α=1), sin fricción y adiabático, de la ec. integral de conservación de la energía se tiene:  p1 V12 p V2 + + z1 = 2 + 2 + z2   ρ g 2g ρ g  2g  p2   29.06    V1  0; z1 - z2 = -2.4 m ; p1 =0 ⇒  ⇒ V2 = 2g  z1 - z2 -  = 2×9.81 -2.4+  ρ g  9.81     p2 = -( ρHg g 0.175 + ρ g 0.6)  = -9.81(13.5×0.175+0.6)= -29.06 kPa(man)   V2 = 3.32 m/s ⇒ V=V 2 A = 3.32×

π 0.22

⇒ V = 0.1 m3 / s

4 En donde se ha resuelto la ecuación del manómetro para obtener p 2 y se ha calculado el caudal volumétrico entregado por la bomba bajo estas condiciones. Considerando ahora un VC entre la superficie libre 1 y la descarga de la tobera 3, teniendo en cuenta las hipótesis anteriores y que la bomba suministra energía en forma de trabajo al fluido se tiene:  p V2 V12 + z1 -Hb = 3 + 3 + z3   ρ g 2g ρ g  2g  V2 23.6 2  p1 = p3 ; V1  0; z3 -z1 = 3.3 m  ⇒ -Hb = 3 +(z3 -z1 )= +3.3 ⇒ -Hb = 31.7 m 2g 2×9.81  D22 0.22 V3 =V2 2 =3.32 =23.6 m/s;  D3 0.0752 En donde se remarca con el signo negativo que se trata de trabajo absorbido por el VC. La potencia será:   ρ gVH   W= b = 9.81×0.1×(-31.7) ⇒ W= -31.1 kW Las líneas de nivel energético (rojo) y altura motriz (negro) tomarán la siguiente forma:

p1

+

Hb=31.7 m

V 32

=28.4 m 2g 

V 22

2g 

 pd   ρ g 

= 0.5 m

= 36.7 m

10.2 m  p1  ρ g 

 p2

= 10.2 m

 ρ g 

= 7.2 m

2.4 m 1

2

3.3 m Bomba

3.3 m 3

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2.-

De la expresión integral de conservación de cantidad de movimiento se tendrán las componentes de la fuerza exterior necesaria para mantener el codo en su posición: G ∂ G G G G  ∑ F = ∂t ∫ ρVdVol + ∫ ρV(V.n)dA  2 cosα -V1 )  Fx +p1A1 -p2 A 2 cosα = m(V vc sc 

 α -1)=(75×0.78+0.94×2×2.54)(cos30-1)  Fx = (pA+mV)(cos  ∫sc   Fx =-8.48 kN ( ← ) 8  ⇒ ⇒ V =V = =2.54 m/s   1 2  2 senα  Fy -Wcrudo -Wcodo +p2 A 2 senα = -mV π  π    A1=A 2 = =0.78 m2   4  Fy =0.94×9.81×1.2+4-sen30(0.94×2×2.54+75×0.78)  G ∂ Fy =-16.6 kN( ↓ )  ρVdVol = 0; p1 =p2 ∫  ∂t vc G G ρ(V.n)dA=0

3.-

 Al aplicar la ecuación de conservación del momento cinético a un VC fijo que en un instante dado coincide con el aspersor, la velocidad absoluta del chorro estará compuesta por la relativa del mismo y por la de la boquilla. Recuérdese, que el caudal se calcula en función de la velocidad relativa del chorro: G ∂

G G G G G G ρ(rxV)dVol+ ρ(rxV)(Vr .n)dA

 G G G G    Mok=m(-RV r ARVk 1 -RV2 )k ⇒ Mo k=-2 ρ V  G G G G G G G G G V1 =V2 =Vr +Vvc =50 i-26.18 i ⇒ V1 =-V2 =23.82 i  G G G G G G G VVC = W .r = wk .Rj = −wRi ⇒   VVC = −26.18 m/s

Mok=

∂t vc∫

∫ sc

2π n 2π 500 w  = = = 52.36 rad/s 60 60 G 3

G

G

Mo =-2 ×10 ×50×0.0010×0.5×23.82 k = -1191 k (N.m) M0 representa el par exterior resistente para que se mantenga la rotación de 500 rpm. El agua ejerce un par de igual magnitud pero en sentido contrario, por lo que la potencia que desarrolla será: G

G

  W=-M o .w=1191×52.36 ⇒ W=62360.8 W

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EXÁMEN FINAL DE MECÁNICA DE FLUIDOS. FEBRERO 2008.  ALUMNO: 1.- Una placa rectangular de 5 m de altura y 4 m de  A ancho, bloquea el extremo de un canal de agua dulce de 4 1m m de profundidad. La placa está articulada en torno a un eje horizontal que está a lo largo de su borde superior y que pasa por el punto A, y su apertura la restringe un borde fijo en el punto B. Determina: a) la fuerza 4m hidrostática que se ejerce sobre la placa y su localización; b) la reacción en B (Cengel 3-66,pp 110). B 2.- Un cilindro vertical sellado, de 1.2 m de diámetro y 3 m de alto, está lleno de gasolina de densidad relativa 0.74. Si se hace girar a 70 rpm, determina: a)la diferencia de presiones entre el centro de las superficies del fondo y superior; b) lo mismo entre el centro y borde de la superficie del fondo.(Cengel, 3-105,pp113). 3.- ¿Cómo se determina el módulo de la fuerza hidrostática que actúa sobre una superficie curva sumergida en un fluido deG densidad constante? G G 4.- Dado el siguiente campo fluido V = (0.5 + 1.2x )i + (−2 − 1.2y ) j , determinar:   a) Expresión analítica genérica para las líneas de corriente; b) vector  aceleración; c) especificar si el flujo es incompresible e irrotacional. (cengel) 5.- Un tanque cilíndrico de 4 pies de alto y 3 de diámetro, abierto a la atmósfera, está inicialmente lleno de agua. Cerca del fondo, se dispone de un orificio de descarga de 0.5 pulgadas de diámetro. Determinar en cuanto tiempo el nivel en el tanque desciende hasta la mitad. (g = 32.2 ft/s 2) (Cengel pp. 179) 6.- Un codo reductor en ángulo de 45º, recibe un caudal de agua de 30 kg/s en dirección horizontal y presión desconocida a través de una sección de entrada 150 cm2. La sección de salida (desviada a 45 º de la horizontal y con una elevación de 40 cm respecto a la entrada) es de 25 cm 2 a la atmósfera. La masa del codo y del agua en su interior se estima en 50 kg. Determinar la fuerza necesaria para mantener el codo en su posición, tomando el factor de corrección de cantidad de movimiento igual a 1.03. (Cengel pp261) 7.- Explicar qué efectos provocan los esfuerzos cortantes sobre una partícula fluida. y 8.- La fuerza de sustentación que produce un ala, F, se considera dependiente de V, L c, ρ, x µ, a, α, en donde a es la velocidad del sonido y α dx el ángulo de ataque del ala. Obténganse los g parámetros adimensionales relevantes. Elíjanse dy como repetitivas V, Lc y ρ. (Cengel pp291) 9.- Un fluido viscoso, incompresible, Newtoniano, fluye en régimen estacionario y laminar por una pared vertical. El grosor de la película de líquido es constante, δ. Dado que la presión atmosférica actúa sobre la cara exterior de la película no existe gradiente de presión en la dirección vertical. Para este flujo controlado por la gravedad, aplicar la ecuación de conservación del momento lineal a un volumen de control diferencial para así obtener el perfil de velocidades en la película. 10.- Explica las diferencias que se encuentran en la proporcionalidad de los esfuerzos viscosos y velocidad de flujo, cuando se considera régimen laminar y turbulento. 11.- Se dispone de una bomba de 11.25 in de la serie FI modelo 4013 de Taco para bombear agua a 25 ºC (p v= 2.169 kPa, patm= 101.3 kPa, ρ= 997 kg/m3 y µ= 8.91 10-4 kg/m s) desde un depósito cuya superficie está a 4 ft por encima del eje central de aspiración de la bomba. Entre el tanque y la bomba se disponen 10.5 ft de tubo de 4 in

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de diámetro y rugosidad 0.02 in., entrada en arista viva, tres codos de 90 º embridados (Kcd= 0.3 cada uno) y una válvula de globo embridada totalmente abierta (K v=6). Determinar si para un caudal volumétrico de 400 gal/min (1m 3/s= 15850 gal/min) existe peligro de cavitación. (Cengel pp746). 12.- Un ventilador ideal gira a 1750 rpm. El aire entra sin prerrotación ( ρair =1.2 3 kg/m ) y sale con una velocidad absoluta manteniendo un ángulo con la dirección tangencial de 50 º. El radio de entrada es de 4 cm y el ancho b1=5.2 cm. El radio de salida es 8 cm y el ancho 2.3 cm. Si el caudal volumétrico es de 0.13 m 3/s, determinar  la altura ideal entregada por el ventilador en mm.c.a, así como la potencia necesaria (Cengel pp758)

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SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS 1.a) El módulo de la fuerza hidrostática será función de la presión en el centro de gravedad de la superficie sumergida: F = p A = ρ g h A = 9.81 × 2 × 4 × 4 ⇒ F = 313.9 kN ag c c ag

Que estará localizada a 2/3 de la superficie libre: I x x h 1/ 12 b h3 2 2 = h + c c = + = = 4 = 2.66 m h h⇒ h cp c cp 3 h A 2 h/2 h b 3 c

b) Para determinar la reacción en B, se toman momentos respecto al punto A: ∑M

 A

=0 ⇒F . h

ag

= R . h ⇒ RB = B B ag

313.9 × 3.66 = 230.2 kN ( ← ) 5

2.a) La diferencia de presiones entre A y B, que coinciden con el eje de giro, será independiente de la velocidad de rotación:

z

p A -pB =

  ⇒ p A -pB =-0.74×9.81(-3-0)=21.8 kPa  

(rA -rB )-ρg(zA -zB )

2  A(0,-3); B(0,0)

B r 

b) Entre C y A, ya interviene el término asociado a la rotación: pC -p A =

C

ρw 2

ρw 2



(rC -rA )-ρg(zC -zA )

2 C(-0.6,-3) 2π 70 w= =7.33 rad/s 60

 A

 0.74 × 7.332 ⇒ p -p = (0.62 )=7.15 kPa  C A 2   

4.a) A lo largo de una línea de corriente del campo fluido se cumple que: dx u

=

dy   v 

Resolviendo la ecuación diferencial para las componentes u y v dadas en el problema se tiene: ln(0.5 + 1.2x ) ln(−2 − 1.2y )   = + C ⇒ (0.5 + 1.2x )(−2 − 1.2y ) = C ' ⇒   −1.2 1.2 C '' 1 + 2.4 x  −1 − 0.6y − 2.4 x − 1.22 xy = C ' ⇒ 1.2y (0.5 + 1.2x ) = C ''− (1+ 2.4x ) ⇒ y =   − ⇒ 1.2(0.5 + 1.2 x ) 1.2(0.5 + 1.2x ) C '' C '' 2(1 + 2.4 x ) 2 y  = − = − 1.2(0.5 + 1.2 x ) 1.2(1 + 2.4 x ) 1.2(0.5 + 1.2x ) 1.2 dx

dy

∫ 0.5 + 1.2 x = ∫ −2 − 1.2y  ⇒

Con lo que ya se dispone de la ecuación general de las líneas de corriente. Basta con dar  distintos valores a C’’ para obtener una representación gráfica de las mismas. A modo de ejemplo, la representación para valores de C entre 5 a 25, con valores positivos de x e y, es la siguiente:

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9 8 7 6 5

C=25

  y

4 3 2 1

C=5 0 1

2

3

4

5

6

7

x

b) El vector aceleración será: a x = u

∂u ∂u ∂v ∂v   +v = (0.5 + 1.2x)1.2; ay  = u +v = 1.2(2 + 1.2y ) ∂ x ∂y ∂x ∂y 

G G G a = 1.2(0.5 + 1.2 x )i + 1.2(2 + 1.2y ) j

 

 

c) El flujo es incompresible: ∂u ∂v  + = 0; 1.2 − 1.2 = 0 ∂ x ∂y 

Si el vector verticidad es nulo el flujo es irrotacional: ∂w ∂v   w  x = ε xyz ∂y + ε xzy  ∂z  = 0  ∂V k   ∂u ∂w  w i = ε ijk ⇒ w y = ε yzx + ε yxz = 0 ⇒ w i = 0  ∂ x j  ∂z ∂x    ∂v ∂u  w z = ε zxy ∂ x + ε zyx ∂ y  = 0 

Por tanto, el flujo es incompresible e irrotacional. 5.-

De la ecuación de la energía, considerando que la variación de energía total dentro del volumen de control con el tiempo es despreciable, flujo sin fricción, salida uniforme, velocidad despreciable de la superficie libre en el recipiente y chorro libre de salida a presión atmosférica, se concluye que: V =

2gh

En donde h será variable con el tiempo. De la ecuación integral de conservación de materia se tiene que:

0=

G G d    ρ dVol + ρ (V .n )dA  dt vc sc  

∫

∫

d dh  ρ dVol = ρ At  dt vc  dt G G  ρ (V .n )dA = ρ VA

∫

∫

sc 

6.-

  ⇒      

dh VA A =− =− dt At At

ho / 2

2gh ⇒

∫

h0

dh h

t 

= −∫ 0

 A A 2g dt ⇒ t = − 2  t  At  A

(3 × 12)2 2 − 4 t  = − 2 = 756.8 s 0.5 2 2 × 32.2

ho / 2 − ho

2g 

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Considerando el VC constituido por el codo reductor y tomando como puntos extremos la entrada 1 y el chorro libre de salida 2, de la ecuación integral de conservación de la energía se puede obtener la presión a la entrada, en régimen estacionario y flujo incompresible sin fricción: V12 p V2 + gz1= 2 + 2 + gz2  ρ 2 ρ  2  m 30 ⇒ V1=2 m/s V1= = 3  ρ  A1 10 × 0.015  m 30 ⇒ V2 =12 m/s V2 = = 3  ρ  A 2 10 × 0.0025 z2 -z1= 0.4 m p1

+

    V22 V12  p1 ⇒ ⇒ p1 = 73.9 kPa =g(z -z ) +  2 1 2 2   ρ     

De la ecuación integral de conservación de cantidad de movimiento: ∑ Fx =

G G ∂  α (V2cos45-V1) ⇒ ∫ ρVxdVol + ∫ ρVx (V.n)dA ⇒ Fx +p1A 1=m ∂t vc sc

 V2c os45-V1 )-p1A1=30×1.03(12 cos 45 − 2) − 73.9×103 ×0.015 ⇒ Fx =-908.1 N ( ← ) Fx =m(

∑ Fy =

G G ∂  2sen45 ⇒ Fy =m  α V2 sen45+mg=30×1.03×12sen45+50 × 9.81) ∫ ρVydVol + ∫ ρVy (V.n)dA ⇒ Fy -mg=mV ∂t vc sc

Fy = 752.7 N( ↑) F= Fx2 +Fy2 =1.18 kN ( 3 ) ; θ =arctg

Fv =39.7º Fh

8.Se trata de adimensionalizar la relación funcional: F= f(V,Lc , ρ, µ, a, α )

Eligiendo como magnitudes primarias M, L y T, los parámetros presentan las siguientes dimensiones: F α V Lc ρ µ a M 1 0 0 1 1 0 0 L 1 1 1 -3 -1 1 0 T -2 -1 0 0 -1 -1 0 Se observa que el orden del mayor determinante no nulo es 3, por lo que tendremos m-r=73=4, es decir, dos parámetros adimensionales. De esta forma se tiene: a

b

c 

a

b

c 

Π1 = V a Lc b ρ c F ⇒ M 0 L0T 0  = LT −1  [L ] ML−3  MLT −2   M → 0 = c + 1 ⇒ c  = −1  F   L → 0 = a + b − 3c + 1 ⇒ b = − 2  ⇒ Π 1 =  ρ V 2L2c   T → 0 = −a − 2 ⇒ a = −2 

Para el segundo parámetro adimensional: −1

Π 2 = V a Lc b ρ c µ −1 ⇒ M 0 L0T 0  = LT −1  [L ] ML−3  ML−1T −1   M → 0 = c − 1 ⇒ c  = 1   ρ VLc   L → 0 = a + b − 3c + 1 ⇒ b = 1 ⇒ Π 2 = = Re µ   T → 0 = −a + 1 ⇒ a = 1 

El tercer parámetro se deduce fácilmente que será el número de Mach: a

b

c 

Π 3 = V a Lc b ρ c a ⇒ M 0 L0T 0  = LT −1  [L ] ML−3  LT −1   M → 0 = c   a  L → 0 = a + b − 3c + 1 ⇒ b = 0  ⇒ Π 3 = = M   V   T → 0 = −a − 1 ⇒ a = − 1 

El cuarto parámetro será la variable adimensional α:

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a

b

c 

Π 4 = V a Lc b ρ c α  ⇒ M 0L0T 0  = LT −1  [L ] ML−3  M 0 L0T 0    M → 0 = c    L → 0 = a + b − 3c ⇒ b = 0  ⇒ Π 4 = α   T →0=a 

Con lo que la relación funcional de la fuerza de sustentación respecto a las demás variables será: F   ρ V 2 L2c 

= f ( Re, M, α )

9.Problema resuelto en el boletín de flujo viscoso. 11. Aplicando la ecuación de conservación de la energía entre el tanque y la aspiración de la bomba, podremos obtener la presión de estancamiento a la entrada de la bomba y el NPSH d:           V22  L   Hfp-s =  f +K ent +Kcodos +Kválv   2g  D     101.3-3.169  K ent =0.5; +1.22-4.11=7.14 m  ⇒ NPSHd=  0.997×9.81 K codo,90º,4', embridado, norm al =0.3     K val =6   3.112  10.5×12  ⇒ Hfp-s = 0.03 +0.5+0.3×3+6 =4.11 m      V 400×4 2×9.81 4    V2 = = 2 = 3.11 m/s   A 15850×π ×(4×0.0254)    997×3.11×4×0.0254 5   = Re= 3.53×10    8.91×10-4  ⇒ f=0.03   e 0.02    = =0.005   D 4 

 V12 p V2 + z1= 2 + 2 + z2 + Hfp-s   ρ g 2g ρ g  2g patm -pv  + Ha -Hfp-s  ⇒ NPSHd = 2  ρ g  p2 V2 pv  + − NPSHd =   ρ g 2g ρ g  p1 = patm ; V1  0;Ha = z1 -z2 = 4 ft=1.22 m

p1

+

De las curvas características de la bomba, para un caudal de 400 gal/min se tiene un NPSH r  de aproximadamente 4 ft. Teniendo en cuenta que el NPSH d es de 23.5 ft, está muy por encima del requerido, por lo que no existe peligro de cavitación. 12.a) Con el caudal volumétrico se puede determinar la componente normal de la velocidad absoluta a la salida del rodete y la componente tangencial necesaria para determinar la altura:  V 

0.13 ⇒ Vn 2 = 11.24 m / s π D2b2 π 0.16 × 0.023 V n 2 11.24 = ⇒ Vt 2 = 9.43 m / s Vt 2 = tan α 2 tan50 Vn 2 =

=

La altura en metros de columna de aire será, considerando que no existe prerrotación en la entrada: H=

U 2Vt 2 g

=

w 2r2Vt 2   1750 × 2π  × 0.08 × 9.43 g 

=

60 × 9.81

⇒ H = 14.1mcaire

Que en mm de columna de agua serán: Hag =

H air ρ air    ρ ag 

=

14.1× 1.2 1000 ⇒ Hag = 16.9 mm  .c.a. 1000

b) La potencia teórica necesaria será:  = 1.2 × 0.13 × 9.81× 14.1⇒ W t  = 21.57W W t = mgH

 

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EXÁMEN FINAL DE MECÁNICA DE FLUIDOS. SETIEMBRE 2008.  ALUMNO: TEORÍA

1.- Ecuación integral de conservación de materia. Partiendo de la expresión general, obténgase la ecuación en caso de que el flujo sea estacionario, incompresible y uniforme. 2.- Dibuja el VC que empleamos para el análisis de un molino eólico y cómo varían la presión y la velocidad respectivamente. Cómo se denomina el límite en cuento a extracción de energía del aire. 3.- Escribe la ec. de conservación de la energía para un flujo incompresible, uniforme y estacionario, indicando el significado de los distintos términos. 4.- Criterio que se sigue para considerar un flujo incompresible. ¿A qué tipo de flujo es aplicable la expresión: G

G

∇.( ρ V ) = 0

5.- Términos de los que se compone un esfuerzo fluido. Expresión general de un esfuerzo viscoso en términos de gradientes de velocidad, para un flujo compresible, isótropo de esfuerzos simétricos. 6.- Obtener la distribución de esfuerzos cortantes en un flujo plano de Poiseuille, considerando un gradiente de presión favorable. 7.- Explica las diferencias de dependencia del factor de fricción en régimen laminar y turbulento. 8.- Curva característica de un sistema. Términos que incluye y representación gráfica. Explica gráficamente qué ocurre con esta curva con el deterioro de las tuberías del sistema fluido. PROBLEMAS

1.- Un carrito es empujado por un chorro de agua de caudal 5 m 3/s y velocidad 50 m/s. El chorro es desviado hacia atrás por el carro. Determinar la fuerza necesaria para mantenerlo fijo y para que se desplace a una velocidad de 25 m/s. Despréciese fricción en las ruedas y deflector. .(finsept03) 2.- Un flujo de agua es descargado tangencialmente a través de dos boquillas situadas en los extremos opuestos de un brazo aspersor de longitud 0.6 m y pivotado en su centro. La velocidad de salida relativa a la boquilla v es de 6 m/s y el diámetro d de cada boquilla es 12.5 mm. Determinar: a) el par ejercido cuando el brazo se mantiene en reposo; b) el par resistente y potencia disipada cuando el aspersor gira con una velocidad tangencial o periférica de 3 m/s. .(finsept03). 3.- A la hora de estudiar el comportamiento de bombas o ventiladores centrífugos que cumplan las leyes de semejanza, es necesario definir los parámetros adimensionales característicos. Teniendo en cuenta que la elevación entregada por la bomba gH, es función del caudal volumétrico, el diámetro del impulsor D, la velocidad de rotación ω, la viscosidad dinámica del fluido µ, la densidad del fluido ρ, y la rugosidad del material ε, determinar los parámetros adimensionales (y su denominación en caso de que sean conocidos) que definen el proceso tomando como variables repetitivas la densidad, el diámetro y la velocidad angular. 4.- La salida de agua desde un depósito se realiza a través de un orificio de aristas vivas a una tubería horizontal de 100 mm de diámetro y 30 m de longitud, la cual descarga a la atmósfera mediante una válvula roscada de esfera, abierta un 50 %. La tubería tiene una rugosidad relativa de 0.0001, el flujo puede considerarse totalmente dominado por la rugosidad y la altura entre la superficie libre del tanque y la descarga es H. Determinar la mejora en tanto por ciento del caudal entregado si a) se sustituye la salida en aristas vivas del tanque por una redondeada de r/D ≥0.15; b) por mantener la válvula totalmente abierta. Dibújense las líneas de nivel energético y altura motriz para la condición inicial.(finsept03) 5.- Las dimensiones de un rodete de una bomba centrífuga son D 1 = 150 mm, b1 = 75 mm, β1 = 20º, D2 = 300 mm b 2 = 50 mm, β2 = 25º. Estimando una reducción del 5% por espesor de álabes en las secciones transversales de paso, determinar la curva motriz teórica si la velocidad de giro es de 1450 rpm. (finfeb04) 6.- El modelo a escala de una bomba suministra 50.4 l/s de agua a 15 ºC (p sat= 1.7 kPa) girando a 2900 rpm y comienza a cavitar cuando la presión absoluta y la velocidad en la tubería de entrada a la bomba son p E = 0.416 bar y VE = 6 m/s. ¿Cuánto vale el NPSH r  para este punto de funcionamiento de la bomba?

EXAMEN FINAL DE MECÁNICA DE FLUIDOS. DICIEMBRE 2008.  ALUMNO………………………………………………………………………………. TEORÍA: 1.- Capilaridad. Origen y ejemplos 2.- Definición de fluido y ecuación fundamental de la hidrostática. 3.- Tensor de velocidades de deformación. Identificación de componentes. 4.- Ecuación de conservación de la energía. Desglose del término de trabajo y deducción de la ecuación de Bernoulli. 5.- Curva motriz teórica de una bomba centrífuga. NPSH d y NPSHr . PROBLEMAS: 1.- Un cilindro horizontal de 4 m de diámetro reposa sobre un plano inclinado 30º. Por un lado, el cilindro soporta la acción del agua con un nivel que coincide con la generatriz más alta del cilindro, mientras que por el otro actúa la presión atmosférica. Determina la fuerza hidrostática total sobre el cilindro, así como la localización de sus componentes. 2.- Un avión describe una trayectoria ascendente circular de radio 2600 m a una velocidad de 180 m/s. En un instante dado el ángulo con la horizontal es de 40 º y la deceleración es de 4 m/s 2. Determina la pendiente de la superficie libre de un líquido contenido en un recipiente que transporta el avión. 3.- Un campo bidimensional y estacionario presenta las siguientes componentes de la velocidad: u=1.1 +2.8 x+0.65 y; v=0.98 – 2.1x-2.8 y. Determinar las componentes de la aceleración y demostrar si el campo fluido es imcompresible. 4.- Determinar la presión mínima en un sifón que une dos tanques con un desnivel de 11 m, sabiendo que la tubería es de 200 mm de diámetro, rugosidad 0.025 mm y longitudes a izquierda y derecha del punto más alto 100 y 1000 m, respectivamente. El desnivel entre dicho punto y la superficie libre del tanque más alto es de 3 m. Desprecia las pérdidas de carga secundarias y considera la viscosidad cinemática 1.2x10 -6 m2/s. 5.- Un flujo de agua circula a través de un codo reductor de 180 º. El agua se descarga a la atmósfera en la sección 2 con un caudal de 0.1 m 3/s. El volumen de agua contenida en el codo es 0.1 m 3 y el reductor pesa 450 N. Los diámetros de entrada y salida son 0.2 y 0.1 m respectivamente, y la distancia vertical entre ambas secciones es de 0.35 m. Calcular fuerza necesaria para mantener el codo en posición

1er EXAMEN PARCIAL DE MECANICA DE FLUIDOS. DICIEMBRE 2008  ALUMNO……………………………………………………………………………….. TEORÍA: 1.- Capilaridad. Origen y ejemplos 2.- Definición de fluido y ecuación fundamental de la hidrostática. 3.- Viscosidad dinámica 4.- Distribución de presiones en una atmósfera de temperatura constante. PROBLEMAS: 1.- Un cilindro horizontal de 4 m de diámetro reposa sobre un plano inclinado 30º. Por un lado, el cilindro soporta la acción del agua con un nivel que coincide con la generatriz más alta del cilindro, mientras que por el otro actúa la presión atmosférica. Determina la fuerza hidrostática total sobre el cilindro, así como la localización de sus componentes (findic08) 2.- Un avión describe una trayectoria ascendente circular de radio 2600 m a una velocidad de 180 m/s. En un instante dado el ángulo con la horizontal es de 40 º y la deceleración es de 4 m/s 2. Determina la pendiente de la superficie libre de un líquido contenido en un recipiente que transporta el avión.(findic08) 3.- Un campo bidimensional y estacionario presenta las siguientes componentes de la velocidad: u=1.1 +2.8 x+0.65 y; v=0.98 – 2.1x-2.8 y. Determinar las componentes de la aceleración y demostrar si el campo fluido es imcompresible. (findic08) 4.- El manómetro de la figura dispone de dos ramas de 18 y 6 mm de diámetro respectivamente. Determinar el desequilibrio que se produce en ambas ramas cuando la presión de aire aplicada en p la rama de mayor diámetro es de 25 Nivel de mm de columna de agua (man.). La equilibrio antes de densidad relativa del aceite contenido L medir  en el manómetro es 0.827 y la rama de x menor diámetro está abierta a la atmósfera. (Fox, pp 86) (parcnov04) 5.- ¿A qué velocidad de rotación en rpm respecto al eje C debe girar el tubo en U para que, cuando se estabilice el mercurio de ambas ramas, alcance las  A D C alturas indicadas en la figura (White, pp 123). (parcnov2004) w

20 cm

B 12 cm

10 cm

5 cm

ER

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DEL 1

PARCIAL.

1.-

Para la componente horizontal se tiene que la fuerza neta será la correspondiente a la fuerza de presión sobre la proyección vertical AC, situada a 2/3 de la distancia AC desde la superficie libre:  A H F G O E C

B

D

30º

/m FH =  ρ ghc Av = ρ g (R + R cosα )2 / 2 = 9.81× 4(1+ cos30)2 / 2 ⇒ FH = 68.31 kN   hcp,H  = 2 / 3R (1 + cos α ) = 2.49 m

En cuanto a la fuerza vertical neta, se corresponde con el peso de fluido sobre BDE, menos el situado sobre EA. Se trata de sumar los volúmenes de primas cuyas bases son un semicírculo (BDEF), un triángulo (BOG), un rectángulo (OAHG) y un sector circular de 30º (OFA): FV =  ρ gVol = ρ g (π R 2 / 2 + R 2senα cosα / 2 + R 2senα + π R 2 /12) ⇒ Fv  = 100 kN / m Para su localización se toman momentos con respecto a O, teniendo en consideración la distancia a este de los centros de gravedad de cada uno de los volúmenes de fluido, y i. De la geometría se tiene: y1(semicírculo)=4/3Rπsen45; y2 (triángulo)=2/3Rsen30; y 3 (rectángulo)=1/2Rsen30; 2 / 3Rsen15cos15 y 4 (sectorcircular) = π  /12 Por tanto: FV y v =

∑W y i

i

 ⇒  

i 

 π R 2 4Rsen 45 R 2 senα cosα 2Rsenα Rsenα π R 2 2 Rsen15cos15  2 100 y v  = g  − − R senα  +  3π 2 3 2 12 3π  /12  2  y v  = 0.346 m

Por lo que se sitúa a 0.346 m a la izquierda del centro del círculo. La fuerza total y el ángulo con la horizontal serán: F = FH2 + FV 2 = 121.1kN   θ  = arctg 

F V  F H 

= 55.6º

2.-

Considerando la ecuación de la hidrostática para un fluido sometido a aceleración como sólido rígido, habrá que tener en cuenta que cada partícula de fluido estará sometida a una aceleración lineal y otra centrípeta, que deberán ser incluidas en la ecuación con sus respectivas componentes en la dirección de los ejes coordenados x e y:

G

ac 

40º G

al 

G

g