ÁLGEBRA LINEAL – Primer Parcial (18 de Enero de 2011) Tiempo total: 3 horas. Puntuación total: 24 puntos. Número total de ejercicios: 5. Utilizar cuadernillos diferentes para cada uno de ellos. En esta hoja hay 3 ejercicios, con una duración total de 1 hora y 45 minutos. PRIMER EJERCICIO
A) 1) Definir los tipos de matrices siguientes:
i) Matriz antisimétrica (dar además un ejemplo). ii) Matriz ortogonal (dar además un ejemplo distinto de la identidad). iii) Matrices equivalentes. iv) Matrices semejantes.
(1 punto) 2) Demos Demostra trarr que el determ determina inante nte de una matriz matriz ortog ortogona onall es +1 o −1 . (1 punto) 3) Sean A, B, X, Y matrices regulares de orden n, siendo además A ortogonal y simétrica. Obtener X e Y en función de A y B, sabiendo que verifican el sistema: −1 −1 t X ⋅ Y = A ⋅ B ⋅ X −1 Y = B ⋅ A ⋅ X
B) Dado el sistema
(1 punto)
+ (m + 1) y + 2z = 0 x + 2z = 0 y ( m + 1) x + + 2z = 0 3y
1) Sin resolver, discutir qué tipo de sistema es en función función de los valores de m ∈ . 2) En el caso m = 0 , indicar la dimensión di mensión y hallar una base del subespacio vectorial de sus soluciones. (1.5 puntos)
SEGUNDO EJERCICIO
A)
Demostrar que si un espacio vectorial E es suma directa de 2 subespacios vectoriales F y G de E, E = F ⊕ G , entonces todo vector x ∈E se descompone de forma única como suma de un vector y ∈F más otro vector z ∈G . (1.5 puntos)
B) Sea
E 2x 3 () el espacio vectorial de las matrices de orden 2x3 de números reales.
Demostrar que toda matriz de dicho espacio se puede escribir de a b c como suma de una matriz de la forma y otra de la forma 0 a b
forma única m n p m n p .
Razonarlo utilizando conceptos de espacios y subespacios vectoriales. (3 puntos)
TERCER EJERCICIO
A)
En el espacio real de los polinomios de grado menor o igual que tres
3 (x) (x )
, se
considera el subconjunto S = {p( x ) ∈ 3 ( x ) / p(−1) = 0} .
1) Probar que S es subespacio vectorial de
3 (x) (x )
. Hallar una base de S y sus
ecuaciones paramétricas e implícitas.
(1.5 puntos)
2) Completar razonadamente la base de S hasta obtener una base de
3 (x) (x )
.
(0.75 puntos)
3) Hallar las ecuaciones implícitas de S respecto de la base obtenida en el apartado 2). (1.25 puntos)
B) 1)
→ F una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales E y F sobre Sea f : E ,
de dimensiones n y m respectivamente.
Partiendo de la expresión matricial de dicha aplicación lineal en las bases BE y BF (bases (bases de E y F respectiva respectivamente mente), ), deducir deducir la expresión expresión matricial matricial de la *
aplicación lineal cuando se cambia la base de F por otra BF . Indicar las dimensiones de las matrices que aparecen y explicar brevemente cómo se calculan dichas matrices. (1.5 puntos)
2) De una aplicación lineal f : E → F se sabe que en las bases BE = {e1 , e 2 } y a b y al cambiar la base en F y c d 1 2 * considerar BF = {u1 + u 2 , u1} la matriz asociada es A 2 = . Calcular A1 . 2 0 BF = {u1 , u 2 } tiene asociada la matriz A1 =
(1 punto)
ÁLGEBRA LINEAL – Primer Parcial (18 de Enero de 2011) En esta hoja hay 2 ejercicios, con una duración total de 1 hora y 15 minutos. Utilizar cuadernillos diferentes para cada uno de ellos. CUARTO EJERCICIO
A)
Sea f : E
→ F una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales y S un
subespacio vectorial de E. Demostrar que si S = Span {u1 , u 2 , ..., u n } entonces f (S) = Span {f (u1 ), f (u 2 ), ..., f (u n )} .
B)
3 → 2 ( x ) , siendo Sea una aplicación lineal f :
(1.5 puntos) 2 (x) (x )
el espacio real de los
polinomios de grado menor o igual que dos. Se sabe que ∀ α, β se cumple: f (1 1 1) t = 2 ⋅ β + α ⋅ x ,
f (0 − 1 1)t = α ⋅ x + β ⋅ x 2 , f (0 0 1) t = β + (α − 1) ⋅ x
1) Hallar la matriz asociada a la aplicación en las bases usuales.
(1 punto)
2) Hallar α y β para que f no sea inyectiva.
(1 punto)
3) Hallar bases de Ker f e Im f en función de α y β .
(1.5 puntos)
a 4) Dado el subespacio de 3 , S = b / a + c = 0, b + c = 0 , hallar f(S) según los c valores de α y β .
(0.5 puntos)
QUINTO EJERCICIO
A)
Definición de norma.
B)
Siendo
2
(1 punto)
(x) (x ) el espacio real de los polinomios de grado menor o igual que dos,
se considera el siguiente producto escalar ,
→ : 2 ( x ) × 2 ( x ) p, q
→ p, q = p(0) ⋅ q(0) +
∫
1
−1
p '( t ) ⋅ q '( t ) ⋅ dt
1) Hallar la matriz G del producto escalar en la base usual de
(x ) ¿Qué 2 (x)
puede
decirse de los vectores de dicha base con respecto a este producto escalar? (1.5 puntos)
2) Hallar el ángulo que forman los polinomios p(x ) = x − 1 y q( x) = x 2 − x con respecto al producto escalar anterior.
(1 punto)
ÁLGEBRA LINEAL – Segundo Parcial (6 de Mayo de 2011) Tiempo total: 2.5 horas. Puntuación total: 20 puntos. Número total de ejercicios: 5. Utilizar cuadernillos diferentes para cada uno de ellos. En esta hoja hay 3 ejercicios, con una duración total de 1 hora y 15 minutos. El tercer ejercicio está en la parte de atrás de la hoja. PRIMER EJERCICIO
A) Demostrar que el sistema ortogonal {e , e 1
2
, ..., e n } es un sistema libre. (1.5 puntos)
B) Determinar los valores de k para los que la siguiente matriz es diagonalizable 1 k A = −1 1 1 0
k
2
−1
/ k ∈ R
Cuando sea diagonalizable, hallar su forma diagonal y una matriz de paso correspondiente. (2 puntos)
SEGUNDO EJERCICIO
A) Sea
9 9 → R un endomorfismo cuya matriz asociada en una cierta base tiene f : R
por polinomio característico p A ( x ) = (λ − x )9 . Obtener la forma canónica J de Jordan de f y explicar cómo será la l a base en la que el endomorfismo f tiene asociada a la matriz J, sabiendo que dim V1 (λ ) = dim Ker ( A − λ I) = 4; dim V2 (λ ) = dim Ker (A − λ I)2 = 6 dim V3 (λ ) = dim Ker ( A − λI)3 = 8;
dim V4 (λ ) = dim Ker (A − λ I)4 = 9 (1.5 puntos)
B) a) Demostrar que las matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico. (0.5 puntos) b) Demostrar que si si A es es una matriz diagonalizable diagonalizable cuyos valores propios propios son 1 y −1 -1, entonces A = A . (0.5 puntos) c) Demo Demost stra rarr que que si A y B son son dos dos matr matric ices es de orde orden n n tale taless que que A ⋅ B = A − B y 2 es un valor propio de B, entonces -2 es un valor propio de A. Indicar quién es el vector propio asociado a este valor propio. (1 punto)
TERCER EJERCICIO
A)
Describir el algoritmo de sustitución progresiva para resolver un sistema triangular de n ecuaciones con n incógnitas. Calcular su coste operativo. (2 puntos)
B) Aplicando eliminación gaussiana con pivotaje parcial y cambio de escala obtener, razonadamente, las matrices L, U y P que dan lugar a la factorización de P t ⋅ A , siendo A la matriz:
1 0 2 A = −2 1 0 2 0 3
(2.5 puntos)
ÁLGEBRA LINEAL – Segundo Parcial (6 de Mayo de 2011) En esta hoja hay 2 ejercicios, con una duración total de 1 hora y 15 minutos. Utilizar cuadernillos diferentes para cada uno de ellos. CUARTO EJERCICIO
A) Hallar la expresión matricial del método de Gauss-Seidel, es decir, hallar la matriz T tal que x k +1 = T ⋅ x k + c .
ɶ
B)
ɶ
(2 puntos)
ɶ
2x 10x 2x
Dado el sistema
+
10 y
+
z
=
13
+
y
+
z
=
12
+
2y
+
10z
=
14
hallar su solución con una precisión del 1% mediante el método Gauss-Seidel, trabajando con redondeo a 5 dígitos significativos y utilizando como valor inicial 1.2
0 x = 0 . ɶ 0
(3 puntos)
QUINTO EJERCICIO
A) Dada la siguiente tabla
xi yi
0 0.5 1 3 0 4 encontrar la aproximación lineal que mejor se ajusta a los datos utilizando mínimos cuadrados y polinomios ortogonales. Plantear el error mínimo-cuadrático cometido. (1.5 puntos)
B) Dada la tabla xi yi
1 0
2 3
3 5
4 7
encontrar, razonadamente, una curva por el procedimiento de mínimos cuadrados, que se ajuste a los datos, de la siguiente forma: y = a x 3 .
C)
Encontrar, razonadamente,
una curva
(1 punto)
y = 1 − B eA⋅x
por el procedimiento de
mínimos cuadrados cuadrados que se ajuste a los datos: datos:
xi yi
1 -4
Trabajar con redondeo a dos decimales.
2 -11.3
3 -29 (1 punto)
ÁLGEBRA LINEAL – Examen Final (28 de Mayo de 2011) Tiempo total de la primera parte: 1 hora y 30 minutos. Puntuación total: 10 puntos. Número total de ejercicios: 3. Utilizar cuadernillos diferentes para cada uno de ellos. PRIMER EJERCICIO
A) 1) Demostrar que toda matriz cuadrada M se puede p uede descomponer descomponer como suma de una matriz simétrica y una antisimétrica.
2) Demostrar que la traspuesta de la inversa de una matriz es la inversa de la traspuesta.
3) Demostrar que si A es una matriz simétrica inversible entonces su inversa también es simétrica. (1.5 puntos)
B)
Sea E un espacio vectorial de dimensión 55 y sean U y V dos subespacios vectoriales de E de dimensiones 36 y 28 respectivamente.¿Cuáles son las dimensiones más pequeña y más grande posibles de los subespacios U+V y U ∩ V ? (1 punto)
C) En el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden dos reales
E 2x 2 () , se
consideran los subespacios vectoriales U formado por las matrices simétricas y V formado por las matrices triangulares inferiores. 1) Calcular las dimensiones y una base de U y V. 2) Calcular las ecuaciones cartesianas y paramétricas de U y V. 3) Hallar una base y las dimensiones de los subespacios U ∩ V y U + V ¿Son U y V subespacios subespacios suplementarios? Justificar la respuesta.
(2 puntos)
SEGUNDO EJERCICIO
A) Determinar si el siguiente conjunto es subespacio vectorial: S = {B∈ E 2x 2 () / A ⋅ B + B = (0)} siendo A una matriz fija de E 2x 2 () . (0.5 puntos)
B) En el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden dos reales
E 2x 2 () , se
a b 2 → la / a + d = 0 . Sea f : U c d
considera el subespacio vectorial U =
aplicación lineal que verifica: 0 0 −1 0 2 f = f 2 1 = f 4 1 0
3 1
=2
−2
2
1) Hallar la matriz de f en una base de U y en la base canónica de respectivamente. 2) Hallar las dimensiones de los subespacios núcleo e imagen, así como una base del núcleo.
(2 puntos)
C) Sea
f :E
→E
un endomorfismo cuya matriz en una base B es
−1 A1 = −1 2
4
1
3
0
−3
1
Si la matriz del mismo endomorfismo respecto a la base B en el espacio de partida y a otra base U en el espacio de llegada es 1 1 2
A2 = 0 0
2 0 3 1
obtener la relación entre las bases B y U.
(1.5 puntos)
TERCER EJERCICIO
A) En el espacio vectorial
2
, el producto producto escalar de de dos vectores
x1 y1 e y = x2 y2
x=
1 0 referidos a la base B = e1 = , e2 = viene definido por: 0 1 <
x, y
>= >=
x1y1
+
x 1y 2
+
x 2y 1
+ 2x 2y 2
1) Sin utilizar la matriz asociada, demostrar que esta expresión define un producto escalar.
2) Hallar la matriz que caracteriza al producto escalar en la base
B anterior y en la
1 3 ' base B = u1 = , u 2 = . 1 1 (1.5 puntos)
ÁLGEBRA LINEAL – Examen Final (28 de Mayo de 2011) Tiempo total de la segunda parte: 1 hora y 30 minutos. Puntuación total: 10 puntos. Número total de ejercicios: 3. Utilizar cuadernillos diferentes para cada uno de ellos. PRIMER EJERCICIO
A) ¿Qué condiciones condiciones han de cumplir los valores a, b ∈ para que la siguiente matriz se pueda diagonalizar ortogonalmente?
1 a b A = 1 1 0 0 0 0 En el caso en que sea posible, diagonalizarla ortogonalmente obteniendo la matriz diagonal correspondiente D y la matriz de semejanza P. (1.5 puntos)
B) 1) Sea A una matriz diagonalizable, siendo la matriz diagonal correspondiente D y la matriz de semejanza P. Demostrar que A n es diag diagona onaliza lizable ble con con forma forma n diagonal D . 2) Dar dos matrices diferentes, reales de orden 3, que tengan el mismo polinomio característico. 3) Demostrar que si λ = 0 es valo valorr pro propi pio o de de A ⋅ B siendo A y B matrices cuadradas de orden n, entonces λ = 0 es también también valor valor propio propio de B ⋅ A . (1.5 puntos)
SEGUNDO EJERCICIO
A)
Explicar detalladamente los dos métodos existentes para el cálculo de la matriz
inversa inversa de de una una matriz matriz A (regular (regular de de orden orden n) a partir partir de su factorizac factorización ión L ⋅ U . (1.5 puntos)
B) Determinar, mediante la utilización de un método numérico para qué valores de a y 1 1 1 b la siguiente matriz A = 1 a 1 es definida positiva. Enunciar el teorema en el que 1 1 b te basas y las características del método utilizado.
(1.5 puntos)
TERCER EJERCICIO
A) Se desea resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante un método iterativo
R 4 x1 |− x | 1 | S |− x1 | | T
−
x
+
4 x2
−
−
−
2
x
2
−
x
+
4 x3
2 x
4
−
3
x
−
x
3
x
5
−
x
6
=
2
=
1
=
2
=
2
+
4 x4
−
x
−
x
+
4 x5
−
x
=
1
−
x
+
4 x 6
=
2
4
5
5
6
¿Cuál será el método más adecuado? adecuado? Enunciar los teoremas en los que te has basado. (1.5 puntos)
B) Sea E un espacio euclídeo y
H = Span {u1 , u 2 , ..., un } un subespacio de E. Dado un
elemento f ∈ E y sabiendo que el elemento u mejor aproximación mínimo cuadrática de f en H verifica que f − u ∈H ⊥ , siendo H ⊥ el subespacio ortogonal a H, deducir el sistema de ecuaciones normales y expresarlo matricialmente. ¿Cómo queda dicho sistema cuando la base de H es ortogonal? (1 punto)
C) Calcular mediante mínimos cuadrados la parábola que mejor aproxima a f(t) = cos(t) en el intervalo [- π /2, π /2], utilizando polinomios ortogonales ortogonales de Legendre. Legendre. Nota: Los polinomios de Legendre verifican ( x ) − n ⋅ Pn −1 ( x ) ( n + 1) ⋅ Pn +1 ( x ) = ( 2n + 1) x ⋅ Pn (x 2 2 = y | | P ( x ) | | n (x ) = 1, P1 ( x ) = x 2n + 1 P0 (x La integral
∫
1
−1
1 π 2 ⋅ x ⋅ dx = 3 ( 4 ⋅ π − 32) . π 2
2 x ⋅ cos
(1.5 puntos)
ÁLGEBRA LINEAL – Primera Parte (7 de Julio de 2011) Tiempo total de la primera parte: 1 hora y 30 minutos. Puntuación total: 10 puntos. Número total de ejercicios: 3. Utilizar cuadernillos diferentes para cada uno de ellos. PRIMER EJERCICIO
A)
Hallar la inversa por bloques de la matriz A siguiente realizando el proceso completo que lleva a su obtención.
1 −1 A= 0 0
1
0
0
2
0
0
0
1
0
(1 punto)
1
1 2
−
B) Decir si son verdaderas o falsas las afirmaciones siguientes, justificando brevemente la respuesta. Si la afirmación es falsa dar un contraejemplo. 1) Si A y B son son dos dos matr matric ices es cuad cuadra rada dass tal tales es que que A ⋅ B = (0) , entonces, A = (0) ó B=(0). 2) Si A es una matriz regular de orden n ¥ 2 y a la segunda fila de A se le añade un múltiplo de la primera, entonces entonces la matriz obtenida también es regular. -1 3) Sean B y B’ dos bases de 3 . Si P es la l a matriz de paso de B a B’, entonces P es la matriz de paso de B’ a B. 4) Si S y T son dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial E, entonces S ∪ T es un subespacio subespacio vectorial de E igual a S + T . (2 puntos)
C) 1)
Demostrar que la intersección intersección de dos subespacios subespacios vectoriales es también un subespacio subespacio vectorial. (0.75 puntos)
2) Sea el espacio vectorial
4
y consideremos en él los subespacios vectoriales
siguientes:
1 0 0 0 0 0 W1 = Span u1 = , u 2 = , u 3 = y 0 1 0 0 0 1 1 1 0 −1 1 0 W2 = Span v 1 = , v 2 = , v 3 = 1 1 1 −1 0 1 Obtener una base y las ecuaciones paramétricas y cartesianas del subespacio intersección W1 ∩ W2 . (1.25 puntos)
SEGUNDO EJERCICIO
A)
Sean E y F dos espacios vectoriales sobre un cuerpo de dimensiones n y m → → F una aplicación lineal. Demostrar que si Ker f = 0E respectivamente y f : E entonces, cualquier conjunto de vectores linealmente independientes en E se transforma mediante f en un conjunto de vectores linealmente independientes independientes en F. (1.25 puntos)
B) Sea
2 (x) (x ) el
espacio vectorial de los polinomios reales de grado menor o igual que
dos y considérese la aplicación lineal 3
→ f :2 ( x )
a − 2c b+c → a + b ⋅ x + c ⋅ x 2 2a + α c 1) Hallar
α ∈
para que f no sea biyectiva. Para dicho valor de
α
y las ecuaciones implícitas de los subespacios subespacios núcleo e imagen. 2) Considerando el valor
α =
(1.25 puntos)
0 y S = Span {1,1 + x} justificar cuál es la dimensión
de f(S) sin calcularlo.
C)
, hallar una base
(0.5 puntos)
En el espacio vectorial
2
(x) de los polinomios de grado menor o igual que 2
con coeficientes reales, se considera la aplicación
→ 2 (x) f:2 (x) → → p(x)+p'(x) p(x) encontrar la matriz asociada a f en la base
x+1, x -1} tant tanto o en en el el esp espac acio io inic inicia iall com como o {2, x+1, 2
en el final.
(1 punto)
TERCER EJERCICIO
A) Sea E un espacio vectorial real de dimensión 3 y B una base de E. Determinar los valore valoress de a / a ∈ para que la matriz G siguiente sea la matriz asociada a un producto escalar
1 0 0 G = 0 a 1 0 1 1 Para a = 3 calcular el ángulo formado por dos vectores
1 1 coordenadas en la base B son 0 y 2 , respectivamente. respectivamente. 1 0
u y v de E cuyas (1 punto)
ÁLGEBRA LINEAL – Segunda Parte (7 de Julio de 2011) Tiempo total de la segunda parte: 1 hora y 30 minutos. Puntuación total: 10 puntos. Número total de ejercicios: 3. Utilizar cuadernillos diferentes para cada uno de ellos. PRIMER EJERCICIO
A)
0 Dada la matriz de coeficientes reales A = 2 −1
1
2
−
3
−
2
−
2 , encontrar una matriz
0
ortogonal que diagonalice a A, así como la matriz diagonal correspondiente. Nota: A tiene por autovalores λ 1 = 5 simple y λ 2 = − 1 doble doble.. (1.5 puntos)
B) Obtener la forma reducida de Jordan de la siguiente matriz, así como la matriz de paso P correspondiente
0 0 A = 1 0
8
0
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(1.5 puntos)
SEGUNDO EJERCICIO
A) Hallar mediante el método de las potencias, el autovalor dominante y el autovector asociado de la matriz
1 2 3 0.5 0 A= 1 -1 2 partiendo del vector inicial x = 0.25 ɶ 2 5 6 1 y finalizando el algoritmo cuando se alcance una precisión de 2% tanto en el cálculo del autovalor como del autovector. Trabajar con redondeo a 5 dígitos significativos. (1 punto)
B) Define y pon un ejemplo de:
1) Algoritmo numéricamente estable.
2) Sistema mal condicionado. 3) Error de truncatura. 4) Algoritmo convergente (2 puntos)
TERCER EJERCICIO
A)
Explica detalladamente la etapa k del algoritmo de Gauss y calcula el coste
operativo de esta etapa.
(1.5 puntos)
B)
Se trata de buscar una relación entre las magnitudes R y W de la forma a R = b ⋅ W , para lo que se dispone de los datos siguientes:
W R
0.017 0.154
0.174 0.363 a
1.11 0.531
1.74 2.23
Transformar la expresión R = b ⋅ W en una relación lineal y aplíquese la técnica de mínimos cuadrados. Plantear tanto el error mínimo-cuadrático como el error real cometido en la aproximación. Operar con redondeo 3 dígitos significativos. (2.5 puntos)
ÁLGEBRA LINEAL – Primer Parcial (9 de Enero de 2012) Tiempo total: 3 horas. Puntuación total: 24 puntos. Número total de ejercicios: 6. Utilizar cuadernillos diferentes para cada uno de ellos.
En esta hoja hay 3 ejercicios, con una duración duración total de 1 hora y 30 minutos. PRIMER EJERCICIO
1)
Calcular A −1 trabajando con la matriz particionada por bloques: 2 1 1 0 0
1 0 A= 1 0
2)
0
0
1
1
0
0
0 1
(1.5 puntos)
0 0 0 0 1 0 0 0 2
Discutir según los valores de k, a, b, c ∈ el siguiente sistema de ecuaciones:
x k ⋅ x
−
y y
=
a
−
z
=
b
+
z
=
c
Resolver el sistema en los casos en que exista solución.
3)
(1 punto)
Hallar el valor del siguiente determinante de orden n: x1 + 1
x2
x3
. . .
xn
x1
x2 +1
x3
. . .
xn
x1
x2
x3 +1 . . .
xn
.
.
.
. . .
.
.
.
.
. . .
.
.
.
.
. . .
.
x1
x2
x3
. . . x n +1
(1 punto)
SEGUNDO EJERCICIO
1)
2)
Hallar el determinante de los siguientes tipos de matrices de orden n: a) Una matriz antisimétrica de orden n impar. b) Una matriz ortogonal. 2 c) Una matriz A verificando A = A. d) La matriz adjunta de una matriz A. (1.5 puntos) →F
Sea f : E
una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales siendo
Kerf = {0} . Demostrar
detalladamente que si B = {u1 , u 2 , ..., u n } es una base de E entonces f ( B) = {f (u1 ), f (u 2 ), ..., f (u n )} es base de Im f. (1.5 puntos)
3) Sean
u
1
y
u
2
∈
n
vectores linealmente independientes y A ∈ E nxn () una matriz
regular. Demostrar que
v
1
=A ⋅ u
1
y
v
2
= A ⋅ u son también vectores de 2
linealmente independientes.
n
(1 punto)
TERCER EJERCICIO
1) Enunciar y demostrar el teorema de la base incompleta en un espacio vectorial E de dimensión n.
2) ,
Sea f : E
(1 punto) →F
una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales E y F sobre
de dimensiones n y m respectivamente. Partiendo de la expresión matricial de dicha aplicación lineal en las bases BE y
BF (bases de E y F respectivamente), respectivamente), deducir la expresión expresión matricial de de la aplicación aplicación lineal cuando se cambia la base de E por otra B*E . Indica Indicarr las dime dimensi nsion ones es de las las matrices que aparecen y explicar brevemente cómo se calculan dichas matrices. (1.25 puntos)
3)
Sea E un espacio vectorial de dimensión 3 y B = {e1 , e2 , e3 } una base de él: 1 0 λ a) ¿ Para qué valores de l la matriz P = 0 1 + λ 1 puede ser la matriz del 0 λ 2 cambio de la base B a otra base B ' = {e 1' , e'2 , e'3 } de E?
(0.5 puntos)
b) Hallar la matriz P y la base B’ de modo que las coordenadas de un vector x∈
E en la base B sean (2,1,2) y en la B’ sean (1,0,1).
c) Encontrar una base de E que contenga al vector
x∈ E
(1 punto) del apartado anterior. (0.75 puntos)
ÁLGEBRA LINEAL – Primer Parcial (9 de Enero de 2012) En esta hoja hay 3 ejercicios, con una duración total de 1 hora y 30 minutos. Utilizar cuadernillos diferentes para cada uno de ellos. CUARTO EJERCICIO
1)
Sean los subespacios de E2 x 2 () siguientes:
0 a −b b S1 = / a, b ∈ , S2 = / a, b ∈ a a + b b a
a) Hallar las ecuaciones implícitas de S1 y S2 .
(1 punto)
b) Halla Hallarr base, base, dimens dimensión ión y ecuac ecuacion iones es param paramétr étrica icass de S 1 ∩ S 2 y S1 + S2 . (2 puntos)
2)
Dada la función ·
∞
: C [a , b ] → / f
∞
=
max x∈[a ,b] f(x) . Probar que es norma. (1 punto)
QUINTO EJERCICIO
1)
Determinar si S es un subespacio vectorial del espacio vectorial dado:
x1 2 S = x 2 / x1 + x 22 + x 32 ≤16 ⊂ 3 . En caso de que no lo sea, justificar todas las x 3 propiedades que fallen con un contraejemplo.
(1 punto)
2) Se considera la siguiente aplicación: f : E2 x2 () a b
c d
→
2 (x)
→ p(x) = a + (b − c)x + dx 2
a) Demostrar que f es lineal.
(1 punto)
b) Calcular, razonadamente, base y ecuaciones cartesianas del núcleo núcleo de f. (1 punto) c) Sea U el espacio vectorial de las matrices simétricas de orden 2 y
{
}
V = p(x) ∈ 2 (x ) / p(−x) = −p(x) . ¿Son f (U) y V suplementarios? (Justificar la respuesta).
(1.5 puntos)
SEXTO EJERCICIO 4 → definido de la siguiente forma: Se considera el endomorfismo f : 4
I. El núcleo del endomorfismo f es el subespacio vectorial de ecuaciones cartesianas x1 + x 2 + x 3 = 0, x 4 = 0.
1 0 1 0 II. Los vectores y se transforman en sí mismos. 1 0 0 1 Se pide:
a) Hallar la matriz del endomorfismo f en la base canónica de
4
. (1.5 puntos)
b) Dado el subespacio vectorial x1 x 2 4 ∈ / x1 + x 2 + x 3 − x 4 = 0, x 4 = 0, x 1 − x 2 − 2x 4 = 0 V= x 3 x 4 ¿Existe algún vector
x de
4
tal que f (x) ∈ V ?
(0.5 puntos)
c) Hallar la matriz del endomorfismo en la base 1 0 1 1 B ' = , , 1 1 1 1
matrices.
0 0 0 0 , sin hacer uso de la expresión de la semejanza de 1 0 1 1 (1.5 puntos)
ÁLGEBRA LINEAL – Examen Final - Primer parcial (21 de Mayo de 2012) Tiempo total del primer parcial: 1 hora y 30 minutos. Puntuación total: 10 puntos. Número total de ejercicios: ejercicios: 2. Utilizar cuadernillos diferentes para cada uno de ellos.
PRIMER EJERCICIO 1) a) Definir lo que se entiende por realizar una
transformación elemental de filas sobre una matriz. ¿A qué se le llama matriz elemental de filas y matriz elemental de columnas?
2 7 8 1 2 9 b) Sean las matrices A = 8 1 , B = 2 7 y C = 8 9 . Expresar B y C como 9 5 9 5 9 14 producto de la matriz A por una matriz elemental. (1 punto)
2) Sea
(x ) 3 (x)
el espacio real de los polinomios de grado menor o igual que tres y
S = {p( x ) = a ⋅ x 3
+
b ⋅ x 2 + c ⋅ x + d / a + b = c + d = 0} .
a) Hallar una base de S. b) Completar, razonadamente, razonadamente, la base de S hasta obtener una base de 3 (x) (x ) . c) Hallar un subespacio vectorial T de 3 (x) (x ) que sea suplementario de S y escribir el polinomio p( x ) = 1 + x 3 como suma de un polinomio de S y otro de T. (2.25 puntos)
3) En
4
consideramos los subespacios vectoriales:
x1 1 2 x2 U = Span y V = / x1 − x 2 0 x 3 1 x 4
+ x3 + x4 = 0 y x 2 − x 4 = 0 .
Encontrar las ecuaciones implícitas y paramétricas U ∩ V y U + V y una base de ambos subespacios.
de
los
subespacios (1.75 puntos)
SEGUNDO EJERCICIO 1) Sea E un espacio vectorial sobre
y B = {e1 , e2 , e3 } una base de E. Se consideran los
vectores de E
u1 = e1 − e2 , u2 = e1 + e3 , v = e2 + e3 , w = e1 − 3e2 − 2e3 y el subespacio vectorial de dimensión 2, S = Span {u1 , u 2 } .
a) Demostrar que { v, w} es otra base de S. b) Dado el vector x = −2 e1 + 2 e 2 ∈ S , hallar sus coordenadas en la base {u1 , u 2 } . Hallar también sus coordenadas en la base { v, w}, utilizando la matriz del cambio de base entre {u1 , u 2 } y {v, w}. (2 puntos)
2) En el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden dos reales E 2x 2 () , se a b 2 − = / a d 0 → la . Sea f : U c d
considera el subespacio vectorial U =
aplicación lineal que verifica: 0 0 1 0 2 f =f = f 1 0 2 1 4
a) b)
3)
3 1
=
2 2 Hallar la matriz de f en una base de U y en la base canónica de 2 respectivamente. Hallar las dimensiones de los subespacios núcleo e imagen, así como una base del núcleo. (2 puntos)
Sea f : E
→
E una aplicación lineal siendo E un espacio vectorial de
dimensión n. Demostrar detalladamente que si la dimensión del subespacio Ker f es p, siendo 0
ÁLGEBRA LINEAL – Examen Final - Segundo parcial (21 de Mayo de 2012) Tiempo total del segundo segundo parcial: 1 hora y 35 minutos. Puntuación total: 10 puntos. Número total de ejercicios: ejercicios: 2. Utilizar cuadernillos diferentes para cada uno de ellos.
PRIMER EJERCICIO 1)
En
3
se considera la aplicación: < >
<
:
3
x
3
/
→
( x1 , x 2 , x 3 ) t , ( y1 , y 2 , y 3 ) t >= ( x 1 + x 2 ) ⋅ ( y1 + y 2 ) + α ⋅ x 2 ⋅ y 2 + ( x 2 − x 3 ) ⋅ ( y 2 − y 3 ) Para algunos valores de
α∈
esta aplicación define un producto escalar.
a) Hallar la matriz asociada a dicho producto escalar respecto a la base canónica de
3
.
(0.5 puntos)
b) Hallar, mediante un método numérico, los valores de expresión anterior define un producto escalar.
2)
α
para los que la (1.25 puntos)
Hallar la mejor aproximación aproximación lineal por mínimos cuadrados de 2 f ( x ) = x para para la func funció ión n de peso peso w(x) = x en [ 0,1] utili utiliza zand ndo o
ortogonales. 3)
polinomios
(1.25 puntos)
La matriz asociada a un endomorfismo T: polinomios
0 0 A= 0 0
la función
de
grado
menor
o
3 ( x ) → 3 ( x ) en
igual
que
tres,
la base usual de los
B = {1, x, x 2 , x 3 } ,
es
0 1 1
0 0 3 . Encontrar la matriz semejante a A más sencilla posible y la 0 0 0
0 0 0
base de polinomios de
3 (x) (x )
en la que el endomorfismo T viene representado por
tal matriz. (2 puntos)
SEGUNDO EJERCICIO 1)
Resolver mediante eliminación gaussiana con pivotaje parcial y cambio de escala el siguiente sistema A ⋅ x = b ⌢:
3x 3x 3x 6x
ɶ
+
5y
+
3z
+
7t
=
−
8
+
4y
+
z
+
2t
=
−
+
5y
+
3z
+
5t
=
−
+
8y
+
z
+
5t
=
−
3
6 8
Obtener las matrices L, U y P del proceso de factorización. ¿Qué se obtiene al multiplicar L por U?
Nota: No reordenar la matriz A durante el proceso de resolución del problema. (2 puntos)
2) a) Estudiar la convergencia o divergencia del método iterativo de Gauss-Seidel para la resolución del siguiente sistema, según los valores de a + z =1 x
x
+
4⋅ y
a⋅y
−
z
=
0
+
z
=
2
(1.25 puntos)
b) Para a=1.25, realizar una iteración mediante el método de Gauss-Seidel, t 1.45 ) . Operar utilizando tomando como valor inicial el vector x 0 = ( −0.5, 0.5, 1. ɶ redondeo a 3 dígitos significativos y calcular el porcentaje de error cometido. (0.75 puntos)
3) Dada la tabla xi
-5.00
yi
2.16 2.16x1 x100
-4 1.46 1.46x1 x100
-2
1
6607 660799
0.02 0.02
utilizar la técnica de mínimos cuadrados para obtener un ajuste aproximado a estos valores. (Operar utilizando redondeo redondeo a dos cifras decimales). decimales). (1 punto)
ÁLGEBRA LINEAL – Primer Parcial (29 de Junio de 2012) Tiempo total de la primera parte: 1 hora y 30 minutos. m inutos. Primer Ejercicio: 1 hora
Segundo Ejercicio: Ejercicio: 30 minutos
Puntuación total: 10 puntos. Número total de ejercicios: ejercicios: 2. 2. Utilizar cuadernillos diferentes para cada uno de ellos.
PRIMER EJERCICIO
1.- Una matriz se dice idempotente si A 2 = A e involutiva si A 2 = I, siendo I la matriz identidad. Sea A una matriz idempotente no nula y sea B = a ⋅ A − I . Determinar los valores de a que hagan que la matriz B sea involutiva. (0.75 puntos)
2.- Calcular razonadamente pero sin desarrollar, el valor del siguiente determinante:
3.- a)
1 a
e
b +c +d+f +g+ h
1 b
f
a +c +d+ e+g+ h
1
c
g
a + b + d+ e+ f + h
1
d
h
a +b +c+ e+ f +g
.
(0.75 puntos)
Sea S= {e1 , e 2 , ....., eq } un conjunto de q vectores de un espacio vectorial E. Se
considera el conjunto de vectores formado por todas las combinaciones lineales de los vectores e1, e2, ..., eq . Demostrar que este conjunto es el menor subespacio vectorial de E que contiene a S. ¿Qué nombre recibe este subespacio?
(1.75 puntos)
b) Sean B1, B2 y B3 tres bases de un espacio vectorial vectorial de dimensión finita. Sea P 1 la matriz de paso de B 1 a B2 y P2 la matriz de paso de B 2 a B3. Deducir detalladamente quién es la matriz P3 de paso de B 1 a B3, indicando además, qué representa tal matriz P 3. (1.25 puntos)
4.- Sea el espacio vectorial de las l as matrices tridiagonales cuadradas de orden n=4: a11 a12 0 0 a 21 a 22 a 23 0 F4 x 4 () = / ai j ∈ R 0 a 32 a 33 a 34 0 0 a 43 a 44 Sea U el subespacio vectorial de las matrices tridiagonales simétricas y V el de las matrices tridiagonales antisimétricas. Demostrar que F4x 4 () es suma directa de U y V. (2 puntos)
TIEMPO: 1 HORA
SEGUNDO EJERCICIO 1.
p(1) − p(0) 0 , siendo Dada la aplicación f: P2 (x) (x ) → E 2 x 2 ( ℝ) / f (p) = ′ 0 p (0)
P2 (x) (x ) el
espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual que dos y
E 2 x 2 ( ℝ) el espacio vectorial real de las matrices cuadradas de orden dos. Se pide:
a) b) c)
Demostrar que f es una aplicación lineal.
(0.5 puntos)
Ecuaciones cartesianas cartesian as y una base del Núcleo de f.
(1 punto)
Ecuaciones cartesianas y una base del subespacio Imagen de f.
(1 punto)
2.- Sea V un espacio vectorial real y B una base de V. Para cada valor de
λ ∈ se
→ V cuya matriz asociada en la base B es considera el endomorfismo f λ : V
λ A λ = 1 1
1
λ
λ
0 . Estudiar la naturaleza naturaleza del endomorfismo endomorfismo f λ según los valores de λ .
λ
1
(1 punto)
TIEMPO: 30 MINUTOS
ÁLGEBRA LINEAL – Segundo Parcial (29 de Junio de 2012) Tiempo total de la segunda parte: 1 hora y 30 minutos. Primer Ejercicio: 1 hora
Segundo Ejercicio: Ejercicio: 30 minutos
Puntuación total: 10 puntos. Número total de ejercicios: ejercicios: 2. Utilizar cuadernillos diferentes para cada uno de ellos.
PRIMER EJERCICIO 1.- Sea E un espacio vectorial real y B = {e1 , e2 , e3 } una base de E. En E hay definido un producto escalar del que se sabe: || e1 || = 1, || e2 || = 2 , || e3 ||= 3 , || e1 + e2 ||= 3 , U1 = {x ∈ E / x1 − x 2 + 3x 3 = 0} y U 2 = Span {e 3 } son subespacios ortogonales.
a) Determinar la matriz G asociada al producto escalar anterior en la base B. (1.25 puntos)
b) Hallar una base ortogonal de E respecto de este producto escalar.
(0.5 puntos)
2.- ¿Qué condiciones condiciones han de cumplir los valores a, b,c b, c ∈ para que la siguiente matriz A sea diagonalizable
−1 a A= 0 1 0 0
b
c ? −1
En los casos en que sea s ea diagonalizable:
i) Obtener la matriz diagonal D y la matriz P tal que A = P ⋅ D ⋅ P 1 . −
ii) Calcular las potencias A n con n par. (2.25 puntos)
0 0 0 0 3.- Sea C = 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 la matriz asociada a un endomorfismo 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0
f : E → E en una cierta base B* = {u1 , u2 , u3,
u4, u5 , u6 , u7 , u8 } de E.
a) Obtener los valores propios del endomorfismo f y su multiplicidad algebraica y geométrica.
( 0.5 puntos)
b) Si A es la matriz asociada al mismo endomorfismo en otra base B de E hallar las dimensiones de los subespacios {x / A 2 ⋅ x = 0} y {x / A 4 ⋅ x = 0} , indicando razonadamente razonadamente los vectores de la l a base B* que perten pertenece ecen n al Ker Ker f . (1.5 puntos)
4.- Hallar la segunda columna de la inversa de la matriz A siguiente, utilizando el método de Crout:
1 2 0 A= 2 0 1 0 1 2
(1.5 puntos)
TIEMPO: 1 HORA SEGUNDO EJERCICIO 1.- Dado el sistema lineal A ⋅ x = b enunciar dos condiciones suficientes que garanticen ɶ
ɶ
que el método iterativo de Gauss-Seidel converge. (0.5 puntos)
2.- Deducir las ecuaciones normales para el cálculo del elemento mejor aproximación mínimo cuadrática de un vector f perteneciente a un espacio vectorial, cuando tal elemento mejor aproximación se elige perteneciente a un subespacio subespacio vectorial dimensión 2.
de
(1 punto)
3.- Encontrar una curva de la forma y = b ⋅ x a por el procedimiento de mínimos cuadrados que se ajuste a los datos de la tabla:
x y
0.02 0.15
0.2 0.36
1.2 0.53
Operar con redondeo a dos dígitos significativos.
TIEMPO: 30 MINUTOS
(1 punto)
