examenes-de-rodriguez-1era-U.docx

UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL.

Código del Curso Curso Ciclo Académico Docente Unidad Fecha

: IN -341 : MATEMATICA III : 2013 – I : Ing. José Manuel Rodríguez Chura :I : 20 de Marzo 2013.

1. Dos edificios están a 150 y 100 pies respectivamente de los puntos más cercanos A y B sobre una red eléctrica. AB es igual a 200 pies. Los dos edificios se van a conectar a un mismo punto de la línea de transición. ¿Cuál es la distancia distancia de este punto a A para que se emplee el mínimo mínimo de alambre? (Fig. 1) 2. La longitud de la base B de un trapecio crece a razón de 2 pulg/seg. y la longitud de la base b decrece a razón de 1pulg/seg. La altura crece a razón 3 pulg/seg¿Con qué velocidad varía el área cuando B=30 pulg. b=50pulg. b=50pulg. h=10 pulg? 3. Un lado de un rectángulo de X=20cm aumenta con una velocidad de 5m/seg. el otro lado de Y=30m disminuye con una velocidad de 4m/seg. ¿Con qué velocidad variarán el perímetro y el área de dicho rectángulo? 4. Hallar la ecuación del plano Tg y de la recta normal a la superficie X el punto (4,4,1)

3/2 +

Y 3/2 + Z 3/2 – 17 en

5. Hallar la derivada de la función Z=arcTg(xy) Z=arcTg(xy) en el punto (1,1) en la dirección de la bisectriz del primer primer ángulo coordenado.



: IN -341 : MATEMATICA III : 2013 – II : Ing. José Manuel Rodríguez Chura :I : 26 de Agosto 2013.

1. Sea f(x,y) = xy (3 – x – y) definida en el conjunto D  ( x, y) / x  0, y  0, x  y  3 hallar sus ptos. críticos

2. ¿Cuál es el valor del f ( x, y)

direccional de



para el cual la derivada

25 x 2







y 2 en el pto. (1,2) es

mínimo y cuál es este valor mínimo? 3. Hallar el error aproximado en el volumen de una esfera de radio r cm, debido a una disminución en el radio del 1% ¿cuál es el error relativo?. 3

2

4. Sea la función f ( x1 x2 )  x1 x2 (6  x1  x2 ) definida en el 2 conjunto  f ( x1 , x2 )  R / x1  0, x2



0 hallar los extremos

de f e indicar cuáles de ellos son extremos sobre la región D 

( x , x )  R 1

2

2

5. Sea f ( x, y) 

/ x1  x2





6

x 2 2  y 2

Si f(x,y) es una colina hallar la dirección de máximo crecimiento si se parte del pto. (2, 1, 4/3)



: IN -341 : MATEMATICA III : 2013 – EXT : Ing. José Manuel Rodríguez Chura :I : 29 de Enero 2014.

1) La ecuación de la superficie del cerro San Cristóbal es Z=500-2x 2-2y2, donde la distancia se mide en metros, el eje “X” apunta al este y el eje “y” apunta al

norte. Una persona está en el punto correspondiente a

(, √  , 400)

Si el hombre se mueve en la dirección SUR-ESTE ¿Esta ascendiendo o descendiendo? ¿Cuál es su rapidez? 2) Sea f(x,y)= 8x2-4xy+5y2 -4x-8y hallar los extremos de la función £. 3) Hallar

    

X=Tg s Cuando

−   = + y=Tg t

 =   = 

4) Hallar la derivada de la función Z= Ln(x 2+y2) en el ptoM(3,4) en el sentido del gradiente de la función Z.

5) Una fábrica de cemento se deposita arena de tal manera que forma una pila cónica cuya altura siempre es igual a los 4/3 del radio de la base. a) Con que rapidez aumenta el volumen cuando el radio de la base es 90 cm y el cual aumenta a su vez a una velocidad de 1/8 cm por min. b) Con que rapidez aumenta el radio cuando tiene 1.80cm. y su volumen aumenta a una razón de 3m 3 por min.



: IN -341 : MATEMATICA III : 2014 –I : Ing. José Manuel Rodríguez Chura :I : 02 de Julio 2014.

1. Determinar el dominio y su gráfico (sombrear) a)

f ( x, y )  arcsen( x 2





3)

b)

f ( x, y)  (4  x 2

y 2 )( x 2





y2

y2



9)

2. Hallar los límites si existen. x  y  1

a) lim

x

X 0 Y 1



1  y

b) lim

X Y

∞

∞

3. Hallar las derivadas parciales a) u b) z



xy

Z

  ln  x  

4. Hallar u xx Si u

u

Tg

1





yy

y x

  en el pto. (1,2) 2 x  y

x x

2



y



y

2



: IN -341 : MATEMATICA III : 2014 –I : Ing. José Manuel Rodríguez Chura :I : 02 de Julio 2014.

1. Determinar el dominio y su gráfico (sombrear) a)

f ( x, y )  x  arcseny

b)

f ( x, y)  (4  x 2



y 2 )( x 2



y2



9)

2. Hallar los límites si existen. a) lim X Y

∞

x x

2



y



y

b)

2

 y  lim  1   x  X   ∞

Y k

∞

3. Hallar las derivadas parciales a) u



( xy) z

b) u



x



y



x

2



4. Hallar

Z xy en el punto (1,1)

Z



(2 xy



y 2 )1/ 2

y

2

en el pto. (3,4)

x



1.

: IN -341 : MATEMATICA III : 2014 –I : Ing. José Manuel Rodríguez Chura : I (pc-3) : 16de Julio 2014.

f ( x , y ) Sea

2

Ln(1 x

x

2

y )

01

2t t dt

2

Hallar la derivada direccional máxima de f en (1,1) y la dirección en que se alcanza este valor. 2. Si T es la temperatura en el espacio, T = f(x, y, z) y si un astronauta está viajando de modo que sus coordenadas x e y aumentan a razón de 4 dT

millas/seg. Y su coordenada Z disminuye a razón de 3 millas/seg. Hallar

dt

en un pto. Donde: dT dz



9

dT ;

dy



7

dT

;

dx



4

3. Uno de los lados de un rectángulo es a = 10 cm., el otro b = 24 cm. ¿Cómo variará la diagonal l de este rectángulo si el lado a se alarga 4 mm. Y el lado b se acorta 1 mm.? Hallar la magnitud aproximada de la variación. 4. Hallar la derivada de la función u = x2 – 3yz + 5 en el ptio. M (1:2:-1) en la dirección que forma ángulos iguales con todos los ejes coordenados. 5. En una fábrica de cemento se deposita arena de tal manera que forma una pila cómica cuya altura siempre es igual a los

4 3

del radio de la base. ¿con

qué rapidez aumenta el radio cuando tiene 1.80 m y su volumen aumenta a razón de 3 m3/minuto?.



: IN -341 : MATEMATICA III : 2014 –I : Ing. José Manuel Rodríguez Chura : I (pc-3) : 16de Julio 2014.

1. Una hormiga se encuentra en el punto (1, 1, 0) del paraboloide hiperbólico S: z = y2 – x2 ¿En cuál sentido del plano xy debe moverse para seguir la cuesta más empinada?.

2. Calcula la derivada direccional de la función f (x, y, z) = x2 – 8xy + z2 en el pto. (4,0,1) en dirección de la “normal exterior” a la superficie. x2 + y2 + z = 17

3. La ecuación de la superficie del Cerro San Cristóbal es z = 900 – 2x2 – 2y2 el eje “x” apunta al este y el eje “y” apunta al norte un hombre está en el pto. Correspondiente a ( 

14 ,6,600)

Si el hombre se mueve en la dirección SUR – OESTE ¿Está ascendiendo o descendiendo con qué rapidez?

4. Un lado del rectángulo de x = 20 m, aumenta con una velocidad de 4 m/seg. El otro lado y = 30 m. disminuye con una velocidad de 4 m/seg. ¿Con qué velocidad variarán el perímetro y el área de dicho rectángulo?

5. Un punto se mueve sobre la parte superior de la parábola Y2 = X3 de tal manera que hace que su abcisa aumenta 5 unidades/seg. Cuando x = 4 con qué rapidez cambia la ordenada.



: IN -341 : MATEMATICA III : 2014 –I : Ing. José Manuel Rodríguez Chura : I (pc-3) : 16 de Julio 2014.

1. Uno de los lados de un rectángulo es a = 10 cm., el otro b = 24 cm. ¿Cómo variará la diagonal l de este rectángulo si el lado a se alarga 4 mm. Y el lado b se acorta 1 mm.? Hallar la magnitud aproximada de la variación.

2. Hallar la derivada de la función u = x2 – 3yz + 5 en el ptio. M (1:2:-1) en la dirección que forma ángulos iguales con todos los ejes coordenados

3. Un lado del rectángulo de x = 20 m, aumenta con una velocidad de 4 m/seg. El otro lado y = 30 m. disminuye con una velocidad de 4 m/seg. ¿Con qué velocidad variarán el perímetro y el área de dicho rectángulo?

4. Calcula la derivada direccional de la función f (x, y, z) = x2 – 8xy + z2 en el pto. (4,0,1) en dirección de la “normal exterior” a la superficie. x2 + y2 + z = 17

5. La ecuación de una colina es f(x,y) = 74 – x2 – 7xy – 4y2, el eje Y, señala hacia el norte y el eje x hacia el este; un hombre está en el punto (-1,5,8) sobre la colina y se mueve hacia el Nor-Oeste ¿Está subiendo o bajando? ¿En qué dirección descenderá más rápidamente?



: IN -341 : MATEMATICA III : 2014 –I : Ing. José Manuel Rodríguez Chura : I (Parcial) : 23 de Julio 2014.

1.

Hallar el dominio y trazar la gráfica (SOMBREAR).

2.

Hallar los extremos relativos de función).

3.

La longitud de la base B de un trapecio crece a razón de 2cm/seg y la longitud de la base b decrece a razón de 1cm/seg. La altura crece a razón de 3cm/seg. Con qué velocidad varia el área cuando B=30cm, b=40cm y h=15cm.

4.

La longitud de una caja rectangular crece a razón de 3cm/seg, su ancho decrece a razón de 2cm/seg y su altura crece a razón de 1cm/seg. ¿Cuál es la variación del volumen en el instante en que la longitud es de 15cm, ancho=15cm y altura=10cm.

5.

Hallar la ecuación de la recta Tg y normal a la curva dad por:

 = 

(,) =   (grafique

        = en el punto (3,2)

la



: IN -341 : MATEMATICA III : 2014 –I : Ing. José Manuel Rodríguez Chura : I (Parcial) : 23 de Julio 2014.

1. Hallar la derivada de la función u = x2 – 3yz + 5 en el ptio. M (1:2:-1) en la dirección que forma ángulos iguales con todos los ejes coordenados.

2. En una fábrica de cemento se deposita arena de tal manera que forma una pila cómica cuya altura siempre es igual a los

4 3

del radio de la base. ¿con

qué rapidez aumenta el radio cuando tiene 1.80 m y su volumen aumenta a razón de 3 m3/minuto?.

3. La ecuación de la superficie del Cerro San Cristóbal es z = 900 – 2x2 – 2y2 el eje “x” apunta al este y el eje “y” apunta al norte un hombre está en el pto. Correspondiente a ( 

14 ,6,600)

Si el hombre se mueve en la dirección SUR – OESTE ¿Está ascendiendo o descendiendo con qué rapidez?

4.

f ( x , y ) Sea

2

Ln(1 x

2

y )

x 2t

0

1

dt t

2

Hallar la derivada direccional máxima de f en (1,1) y la dirección en que se alcanza este valor.

5.

Hallar el dominio y trazar la gráfica (SOMBREAR).

 = 



: IN -341 : MATEMATICA III : 2014 –II : Ing. José Manuel Rodríguez Chura : I (PC- I) : 28 de Noviembre 2014.

1. Hallar el dominio: a) f(x,y) =

x

2



4



4 y

2

(graficar)

b) Cos-1(4x2 + 9y2 – 35)

2. Evaluar: 3

a)

lim

x seny b)

(x,y)(3,0)

3. Si f(x,y) = x + y –

x

lim x

y

(x,y)(0,0)

x

2

 y

2

2



y

2

2

Hallar las derivadas en el pto. (3,4)

4.

Z 

x cos y  y cos x 1  senx  seny

dz

Hallar

dx

,

dz dy (0,0)

5. Determinar el valor de los coeficientes A y C en la función u = Ax4 – 3x2y2 + cy4, para que se verifique que la suma de las derivadas parciales de 1er. Orden sea divisible por x + y

y que

la suma de las derivadas de 2do. Orden sea el cuadrado de un binomio de la forma mx + ny.



: IN -341 : MATEMATICA III : 2014 –II : Ing. José Manuel Rodríguez Chura : I (PC- I) : 28 de Noviembre 2014.

1. Hallar el dominio: a) z =

x 

b) Cos-1 (4x2 + 9y2 – 35)

y

2. Evaluar: 2

x b)

a) lim x

(x,y)(3,0)

2



lim y

2

e

 x

2

 2 y

(x,y)(1,2)

x cos y  y cos x 3. Z Hallar Zx, Zy en el pto. (0,0) 1  senx  seny

4. Dado Z = xy2 – y senx Hallar: YZxy – Zx 5. Determinar el valor de los coeficientes A y C en la función u = Ax4 – 3x2y2 + cy4, para que se verifique que la suma de las derivadas parciales de 1er. Orden sea divisible por x + y

y que

la suma de las derivadas de 2do. Orden sea el cuadrado de un binomio de la forma mx + ny.



: IN -341 : MATEMATICA III : 2014 –II : Ing. José Manuel Rodríguez Chura : I (PC- II) : 12 de Diciembre 2014.

1. La temperatura T en una esfera de metal sólida es inversamente proporcional a la distancia al centro de la esfera el cual se considera que es el origen. La Tº en el punto (1,2,2) es 120ºC a) Encontrar la razón de cambio de T en (1,2,2) en dirección hacia el punto (2,1,3) 2. La longitud de una caja rectangular crece a razón de 3 cm/seg. Su ancho decrece a razón de 2 cm/seg. y su altura crece a razón de 1 cm./seg. ¿Cuál es la variación del volumen en el instante en que la longitud es 15 cm., ancho 10 cm. y altura 8 cm.? 3. Hallar los valores de las constantes a, b y c tales que la derivada direccional de f(x,y,z) = axy2 + byz + cx3z2 en el punto (1,2,-1) tenga el valor máximo 64 en la dirección paralela del eje z. 4. Si Z = Ln (ex + ey) Hallar: (Zxx) . (Zyy) - Zxy 5. Dos lados paralelos de un rectángulo se alarga a razón de 2 cm./seg. Mientras que los otros 2 lados se acortan de tal manera que la figura permanece como rectángulo de área constante A de 50 cm2. ¿Cuál es la velocidad de cambio del perímetro P cuando la longitud del lado que aumenta es de 5 cm.? b) Cuáles son las dimensiones cuando el perímetro deja de crecer.

UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL. Código del Curso : IN -341 Curso : MATEMATICA III Ciclo Académico : 2014 –II Docente : Ing. José Manuel Rodríguez Chura Unidad : I (PC- II) Fecha : 12 de Diciembre 2014.

1. F(x,y) = Ln (1 + x2 + y2) – arctg (x2) en el pto. (1,1). Calcular el valor de la derivada direccional máxima de f y encontrar la dirección en la cual alcanza este valor máximo.

2. Hallar la derivada de la función Z = tg -1 (x,y) en el pto. (1,1) en la dirección de la bisectriz del primer ángulo coordenado.

3. La ecuación de una colina es f(x,y) = 74 – x2 – 7xy – 4y2. El eje Y, señala hacia el norte y el eje “x” hacia el este, un hombre está en el punto ( 1,5,8) sobre la colina y se mueve hacia el Nor-Oeste ¿Está subiendo ó bajando?. ¿En qué dirección descenderá más rápidamente?.

4. Para que el valor de la constante “a” La función V = x3 + axy2 satisface la ecuación Vxx + Vyy = 0

5. Dos lados paralelos de un rectángulo se alarga a razón de 2 cm./seg. Mientras que los otros 2 lados se acortan de tal manera que la figura permanece como rectángulo de área constante A de 50 cm2. ¿Cuál es la velocidad de cambio del perímetro P cuando la longitud del lado que aumenta es de 10cm.? b) Cuáles son las dimensiones cuando el perímetro deja de crecer.

UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL. Código del Curso Curso Ciclo Académico Docente Unidad Fecha

: IN -341 : MATEMATICA III : 2015 –I : Ing. José Manuel Rodríguez Chura : I (PC-II)Grupo B : 19 de Junio 2015.

1. Una caja cerrada, cuyas dimensiones exteriores son de 10cm, 8cm y 6 cm está hecha de madera contrachapada de 2mm de espesor. Determinar el volumen aproximado del material que se gastó en hacer la caja.

2. Hallar la derivada de la función

 =  35

en el punto M (1,2,1) en la dirección que forma ángulos iguales con todos los ejes coordenados.

3. Un lado de un rectángulo de

=30

=20 aumenta con una velocidad de 5m/seg el otro lado

de disminuye con una velocidad de 4m/seg ¿Con qué velocidad variaran el perímetro y el área del rectángulo?

4.

El Capitán NEMO tiene dificultades acerca del lado soleado de Mercurio, la temperatura del casco de la nave cuando el ésta en la posición (x,y,z) estará dada T =

e

-x2 2y 3z2 –

–

x,y,z están en mt. Actualmente está en (1,1,1) a. En qué dirección deberá avanzar para disminuir más rápido la temperatura. b. Si se dirige hacia el punto (1,2,1) ¡Cuál será la razón de cambio de la T° del casco.

donde

UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL. Código del Curso Curso Ciclo Académico Docente Unidad Fecha

: IN -341 : MATEMATICA III : 2015 –I : Ing. José Manuel Rodríguez Chura : I (PC-II)Grupo C : 20 de Junio 2015.

 =    ¿En cuál

1. HULK se encuentra en el punto (1, 1, 0) del paraboloide hiperbólica sentido del plano debe moverse para seguir la cuesta más empinada.



=10

 = 24 

2. Uno de los lados de un rectángulo es el otro ¿Cómo variará la diagonal del rectángulo si el lado a se alarga 4mm y el lado b se acorta 1mm? Hallar la magnitud aproximada de la variación.



  2  3 = 21 trazar a ella planos Tg que sean paralelas al plano   4  6 = 0

3. Dada la superficie

4. Explique porque no es necesario aplicar la regla del cociente para calcular

 +  + ? se debe usar la regla del cociente para calcular    +   + 

UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL. Código del Curso : IN -341 Curso : MATEMATICA III Ciclo Académico : 2015 –I Docentes : Ing. José Manuel Rodríguez Chura Ing. Wilber Mendoza Ramírez Unidad : I - EXAMEN DE UNIDAD (Grupos A-B-C) Fecha : 27 de Junio 2015.

1. Use la aproximación para estimar el cambio porcentual en el volumen de un cono circular de radio 40 cm. y la altura aumenta de 40 a 41 cm. 2. Hallar los puntos sobre la gráfica de z = xy3 + 8y-1 en los que el plano Tg es paralelo a 2x + 7y + 2z = 0 3. Un insecto se encuentra en (3,9,4) empieza a caminar en línea recta hacia el (5,7,3) la temperatura del insecto viene dada por

T(x,y,z) = xey-z ¿Cuál es la tasa de variación de la Tº? 4. Hallar la ecuación del plano Tg a la superficie z = eySen(x+z) en el punto en que el plano Tg es paralelo al plano 2x + z – 5 = 0. 5. En una fábrica de cemento se deposita arena de tal manera que forma una pila cónica cuya altura siempre es igual a los 4/3 del radio de la base ¿Con qué rapidez aumenta el volumen cuando el radio de la base es de 90 cm y el cual aumenta a su vez a 1/8 cm/minuto?. 6. Analizar los extremos de la función: z = x3y2 (a – x – y) 7. Se quiere construir una caja de una hoja de papel de 12 cm. de lado cortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando los lados. Halle la longitud del lado del cuadrado que le debe cortar para que el volumen sea máximo. Resuelva solo 6 preguntas.

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