EXAMEN DE TEORIA DE JUEGOS HECHO POR : SOTO LEIVA JOSE JULIAN Pregunta 1:
Dos cadenas de supermercados se proponen construir, cada una, una tienda en una región rural en donde se encuentran cuatro pueblos. Las distancias entre los pueblos se muestra en la siguiente figura: A
7 Km
3 Km
5 Km
B
C
D
Aproximadamente 20% de la población vive cerca del pueblo A, 15% cerca del pueblo B, 20% cerca del pueblo C y 35% cerca del pueblo D, cada pueblo es lo suficientemente grande como para que ambas cadenas consideren ubicarse en él. Debido a que la cadena I es más grande y tiene más prestigio que la cadena II, la cadena I controlará la mayoría de los negocios, siempre que sus ubicaciones sean comparativas. Ambas cadenas conocen los intereses de la otra en la región y ambas han terminado estudios de mercado que dan proyecciones idénticas. Si ambas cadenas se sitúan en el mismo pueblo o equidistantes de un pueblo, la cadena I controlará el 65% de los negocios en ese pueblo. Si la cadena I está más cercana a un pueblo que la cadena II, la cadena I controlará 90% de los negocios en ese pueblo. Si la cadena I está más alejada de un pueblo que la cadena II, atraerá a 40% de los negocios de ese pueblo. El resto de las operaciones, bajo cualquier circunstancia, irán a la cadena II. Cada firma planea construir sólo un supermercado en la región. ¿Qué pueblo debe seleccionar cada uno y cuáles serán los porcentajes del mercado?. SOLUCION:
CONSTRUIMOS LA MATRIZ A
Pueblo
% clcli entes % qu que ga gana I % Total ga gana I
Pueblo
5 Km
7 Km
3 Km B
% clcl i entes % qu que ga gana I %Total ga gana I
C
D
P ueblo
% clcl i entes % qu que ga gana I % To Total ga gana I
P ueblo
% clcl ientes % qu que ga gana I % To Total ga gana I
A
A
20
90
18
A
20
90
18
A
20
90
18
B
B
15
40
6
B
15
40
6
B
15
90
13 1 3.5
C
C
20
40
8
C
20
40
8
C
20
40
8
D
D
35
40
14
D
35
40
14
D
35
40
14
65
Pueblo
% clcli entes % qu que ga gana I % Total ga gana I
46
Pueblo
% clcl i entes % qu que ga gana I %Total ga gana I
46
P ueblo
% clcl i entes % qu que ga gana I % To Total ga gana I
53.5
P ueblo
% clcl ientes % qu que ga gana I % To Total ga gana I
A
20
40 40
8
A
A
20
90 90
18
A
20
90 90
18
B
15
90
13.5
B
B
15
90
13.5
B
15
90
13.5
C
20 20
90 90
18
C
C
20 20
40 40
8
C
20 20
90 90
18
D
35
90
31.5
D
D
35
40
14
D
35
40
71
Pueblo
% clcli entes % qu que ga gana I % Total ga gana I
65
Pueblo
% clcl i entes % qu que ga gana I %Total ga gana I
53.5
P ueblo
% clcl i entes % qu que ga gana I % To Total ga gana I
14 63.5
P ueblo
% clcl ientes % qu que ga gana I % To Total ga gana I
A
20 20
40
8
A
20 20
40
8
A
A
20 20
90
18 18
B
15
90
13.5
B
15
40
6
B
B
15
90
13.5
C
20
90
18
C
20
90
18
C
C
20
90
18
D
35
90
31.5
D
35
90
31.5
D
D
35
40
71
Pueblo A
% clcli entes % qu que ga gana I % Total ga gana I 20
40
63.5
Pueblo
8
A
% clcl i entes % qu que ga gana I %Total ga gana I 20
40
8
65
P ueblo A
% clcl i entes % qu que ga gana I % To Total ga gana I 20
40
8
P ueblo
B
15
40
6
B
15
40
6
B
15
40
6
B
20
90
18
C
20
40
8
C
20
40
8
C
D
35
90
31.5
D
35
90
31.5
D
35
90
31.5
D
53.5
% clcl ientes % qu que ga gana I % To Total ga gana I
A
C
63.5
53.5
65
CADENA II
C
A
B
C
D
A
A
65
46
46
53.5
N
E
B C
71 71
65 63.5
53.5 65
63.5 63.5
I
D
63.5
53.5
53.5
65
A
D
14 63.5
Aplicando los criterios maximin y minimáx para las Cadenas I y II respectivamente, se tiene que este juego NO tiene punto de silla.
CADENA II
C
A
B
C
D
MIN
A
A
65
46
46
53.5
46
E
B
71
65
53.5
63.5
53.5
C
71
63.5
65
63.5
63.5
D
63.5
53.5
53.5
65
53.5
MAX
71
65 MIN
65 MIN
65 MIN
D N A I
ENTONCES FORMULAREMOS EL MODELO MATEMATICO MAX V ST 65X1+71X2+71X3+63.5X4-V>=0 46X1+65X2+63.5X3+53.5X4-V>=0 46X1+53.5X2+65X3+53.5X4-V>=0 53.5X1+63.5X2+63.5X3+65X4-V>=0 X1+X2+X3+X4=1
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 63.52224 VARIABLE VALUE REDUCED COST V 63.522240 0.000000 X1 0.000000 10.985996 X2 0.113674 0.000000 X3 0.871499 0.000000 X4 0.014827 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 7.366557 0.000000 3) 0.000000 -0.113674 4) 0.000000 -0.014827 5) 0.000000 -0.871499 6) 0.000000 63.522240 PO = [0
0.1137
Q O =
V = 63.52224
0.8715
0.0148]
MAX
Pregunta 2:
Dos empresas distintas (A y B) han estado vendiendo un producto competidor durante muchos años, que es tan sólo una pequeña parte del total de ventas de ambas. El ejecutivo de mercadotecnia encargado de la empresa A, pregunta: “¿Qué ocurrirá si cambiamos la cantidad de publicidad del producto de que se trata?”. El grupo de investigaciones de mercado de la
empresa A desarrolló los datos siguientes para varios grados de publicidad:
Publicidad nula, mediana y amplia para ambas empresas, lo que dará por resultado iguales participaciones de mercado. Publicidad nula en la empresa A: 40% del mercado con publicidad mediana de parte de la empresa B y 18% del mismo con amplia publicidad de la empresa B. Publicidad mediana de parte de la empresa A: 70% del mercado sin publicidad alguna de parte de la empresa B, y 45% del mismo con amplia publicidad de parte de la empresa B. Amplia publicidad de parte de la empresa A: 75% del mercado sin publicidad alguna de parte de la empresa B, y 47 ½ % del mercado con publicidad mediana de parte de la empresa B.
SOLUCION: a) ¿Qué política de publicidad debe proseguir la empresa A, si se considera estos factores: precio de venta $4.00 por unidad; costo variable del producto $2.50 por unidad; volumen anual de 20 000 unidades para la empresa A; costo anual de la publicidad mediana, $5 000, y costo anual de publicidad amplia, $15 000? (Utilice la salida del software mostrada abajo) CONTURIMOS LA MATRAIZ DE PROBABILIDADES
B
A
N
M
A
N
50%
40%
18%
M
70%
50%
45%
A
75%
48%
50%
N
B M
A
N
15000
12000
5400
M
16000
10000
8500
A
7500
-750
0
MATRAIZ DE UTILIDAD
A
VEMOS QUE TENEMOS PUNTO DE SILLA
A MAX
N
B M
A
N M
15000 16000
12000 10000
5400 8500
5400
A
7500
-750
0
-750
16000
12000
8500 MIN
MIN 8500 MAX
UTILIZANDO EL MODELO MATEMATICO MAX V ST 15000X1+16000X2+7500X3-V>=0 12000X1+10000X2-750X3-V>=0 5400X1+8500X2+0X3-V>=0 X1+X2+X3=1
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)
8500.000
VARIABLE VALUE V 8500.000000 X1 0.000000 X2 1.000000 X3 0.000000
REDUCED COST 0.000000 3100.000000 0.000000 8500.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 7500.000000 0.000000 3) 1500.000000 0.000000 4) 0.000000 -1.000000 5) 0.000000 8500.000000 PO = [0
1
0]
Q O =
V = 8500 $ b) ¿Cuál es la contribución disponible para la empresa A antes de deducir otros costos fijos? MATRIZ DE BENIFICIO
B
A MAX
N
M
A
N
15000
12000
5400
M
21000
15000
13500
A
22500
14250
15000
22500
15000 MIN
MIN 5400 13500 14250 MAX
15000 MIN
NOTAMOS QUE NO TENEMOS PUNTO DE SILLA POR LO UQE FORMULAREMOS EL MODELO AMTEMATICO
MODELO MATEMATICO MAX V ST 15000X1+21000X2+22500X3-V>=0 12000X1+15000X2+14250X3-V>=0 5400X1+13500X2+15000X3-V>=0 X1+X2+X3=1
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)
14500.00
VARIABLE VALUE REDUCED COST V 14500.000000 0.000000 X1 0.000000 4700.000000 X2 0.333333 0.000000 X3 0.666667 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 7500.000000 0.000000 3) 0.000000 -0.666667 4) 0.000000 -0.333333 5) 0.000000 14500.000000 PO = [0
0.3333
0.6667]
Q O =
V = 14 500 $ c) Muestre el modelo matemático para la empresa B. MATRAIZ DE UTILIDAD
B
A
N
M
A
N M
15000 16000
12000 10000
5400 8500
A
7500
-750
0
MODELO MATEMATICO MAX W ST 15000Y1+12000Y2+5400Y3-W<=0 16000Y1+10000Y2+8500Y3-W<=0 7500Y1-750Y2+0Y3-W<=0 Y1+Y2+Y3=1
d) Muestre la política óptima para la empresa B.
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)
7500.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST W 7500.000000 0.000000 Y1 1.000000 0.000000 Y2 0.000000 8250.000000 Y3 0.000000 7500.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 7500.000000 0.000000 3) 8500.000000 0.000000 4) 0.000000 -1.000000 5) 0.000000 7500.000000 PO = [0
0
1]
Q O =
V = 7 500 $ e) Si la empresa B cambia su estrategia a 50% la publicidad media y 50% la publicidad alta, ¿cuál debería ser el modelo matemático que debe de usar la empresa A para mejorar su resultado?
0
0.5
0.5
15000
12000
5400
Y1
16000
10000
8500
Y2
7500
-750
0
T3
MAX V ST 11750X1+4625X2+4250X3-V>=0 X1+X2+X3=1
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)
11750.00
VARIABLE VALUE REDUCED COST V 11750.000000 0.000000 X1 1.000000 0.000000 X2 0.000000 7125.000000 X3 0.000000 7500.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 -1.000000 3) 0.000000 11750.000000 PO = [1
0
V = 11750 $
0]
