Examen_Correction_L2_Probabilités_2007_2

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Université Paris 6 P. et M. Curie LM231

200 6–2007

Corrigé Corrigé de l’examen ’examen du 25 Mai 2007

Quest Qu estio ion n n˚1

On tire 4 fois de suite une boule avec remise dans un urne contenant 10 boules numérotées. A chaque tirage, on a 10 choix possibles, on prend alors comme espace de probabilité Ω = 1, . . . , 10 4, de cardinal Ω = 104 , que l’on munit de la probabilité uniforme. a) Soit A = "Obtenir quatre nombres dans un ordre strictement croissant". On a A = (x1 , . . . , x4 ) Ω x1 < x2 < x3 < x4 , c’est-à-dire A est l’ensemble des parties à 4 éléments de l’ensemble 1, . . . , 10 . C 4 D’où, A = C10 , et P(A) = 10 .

{

| | |

}

| |

} {

4 10 4

∈ }

{

4 4 Remarque : Il s’agit bien ici de C10 et non de A10 , bien que les tirages soient ordonnés. En effet, la donnée donnée de quatre quatre nombres nombres distincts distincts ne conduit conduit qu’à une seule suite suite ordonnée ordonnée par ordre croissant. croissant. b) Soit B = "Obtenir quatre nombres dans un ordre croissant". On a B = (x1 , . . . , x4 ) Ω x1

{

·· · ≤ x4}. -1

re

méthode : Soit (x1 , . . . , x4 ) y1 = x1 ,

∈ | ≤

∈ B. En posant, y2 = x2 + 1,

≤

y3 = x3 + 2 ,

y4 = x4 + 3,

≤

on obtient une suite strictement croissante 1 y1 < y2 < y3 < y4 13 13.. Ainsi B est en bijection avec l’ensemble des parties à 4 éléments de l’ensemble 1, . . . , 13 , i.e. avec (y1 , . . . , y4 ) 1, . . . , 13 y1 < C 4 y2 < y3 < y 4 . D’où, B = C 13 , et P(B ) = 10 .

}

4 13 4

| |

{

}

{

∈{

}|

- 2 méthode : On décompose B en une partition de quatre événements incompatibles, selon qu’il y ait ou non des nombres distincts dans la suite obtenue. Soient e

B4 = "4 nombres distincts croissants",

B3 = "4 nombres croissants dont 3 distincts"

B2 = "4 nombres croissants dont 2 distincts" ,

B1 = "Obtenir le même nombre" .

4

On a alors B =



4

Bk , et Bi

k=1

∩B

j

=

∅ pour i = j, et donc P(B) =



P(Bk ).

Or,

k=1

|B4| = C104 (comme dans la première question) , |B3| = 3 C103 (C103 choix choix des 3 nombres, nombres, et à chaque chaque choix correspond 3 tirages tirages ordonnés possibles) possibles) , |B2| = 3 C102 (C102 choix choix des 2 nombres, nombres, et à chaque chaque choix correspond 3 tirages tirages ordonnés possibles) possibles) , |B1| = C101 = 10. D’où, P(B )

=

4 3 2 1 C10 3 C10 3 C10 C10 + + + = 104 104 104 104

3

 i=0

4−i 4 C3i C10 C13 = , 104 104

par l’identité de la loi hypergéométrique. c) Soit C = "Obtenir le nombre 3 au moins une fois". Le complémentaire de cet ensemble est C c =



Soit (x1 , . . . , x4 )

∈ D. En renumérotant les boules, y1 = x1 − 1, y2 = x2 − 1, y3 = x3 − 1, y4 = x4 − 1, on obtient D = {(y1 , . . . , y4 ) ∈ {0, . . . , 9}4 | y1 + y2 + y3 + y4 = 9}. Le cardinal de D est alors le nombre C 9 de combinaisons avec répétitions, i.e. |D| = C 12 , et P(D) = 10 . 9 12 4


Soit C i = "la i-ème personne est une femme citadine" = Aci X i =

C i

=

∩ B . On introduit les v.a. i



1 , si la i-ème personne est une femme citadine 0 , sinon.

Les v.a. X i suivent la loi de Bernoulli de paramètre P(C i ) = P(Aci Bi ) = P(Aci )P(Bi ) = (1 p)q, par indépendance des événements Ai et Bi . Soit N = X 1 + + X n la v.a. égale au nombre de femmes citadines parmi les n personnes considérées. N est alors la somme de n v.a. indépendantes, et de même loi de Bernoulli Bernoulli de paramètre paramètre (1 p)q, donc N suit la loi binomiale binomiale de paramètres paramètres n et (1 p)q , i.e.

∩

···

−

−

−

− p)q 1 − (1 − p)q − , pour k = 0, . . . , n . Par linéarité, on a E(N ) = E(X 1 ) + · · · + E(X ) = nE(X 1 ), les v.a. X ayant même loi. Or E(X ) = k P(X = k) = P(X = 1) = (1 − p)q. D’où, E(N ) = n(1 − p)q. Par indépendance des v.a. X ,



k

k (1 k ) = Cn



P(N =

i





n

n k

i

i

i

i

k=0,1

on a

n

Var(N )

 −  −

Var(X i ).

=

Or,

Var(X i )

=

E(X i2 )

i=1

Var(N ) =

n(1

p)q 1

−



− p)q .

(1

  E(X i )

2

E(X i2 )

, et

=

E(X i )

= (1

− p)q, d’où


On choisit au hasard r objets parmi n. On prend pour espace de probabilité Ω l’ensemble des parties à r éléments de l’ensemble 1, . . . , n , de cardinal Ω = C nr , que l’on munit munit de la probabilit probabilitéé uniforme. uniforme. a) X i = 1 signifie que l’objet numéroté i a été choisi. Il reste donc r 1 objets à choisir parmi

{

}

| |

{ } − C 1 les n − 1 objets restants. D’où, |{X = 1}| = C − −1 , et P(X = 1) = C = . X suit donc une loi de Bernoulli de paramètre . De même, pour i  = j , {X = 1, X = 1} signifie que les objets numérotés i et j C 1) ont été choisis, et il reste r − 2 objets à choisir parmi n − 2. D’où, P(X = 1, X = 1) = C = (( − −1) . On remarque que P(X = 1 , X = 1)  = P(X = 1)P(X = 1), 1), et donc que X et X ne sont pas indépendantes. On a pour i  = j , cov(X , X ) = E(X X ) − E(X )E(X ). Or, r(r − 1) E(X X ) = xy P(X = x, X = y ) = P(X = 1 , X = 1) = . n(n − 1) ∈{0 1} r −1

r n

i

r n

i

r−2

j

i

i

i

j

i

b) Soit S =

k i=1



− −

r(r 1) n(n 1)

−(

j

j



j

x,y

D’où, cov(X i , X j ) =

i

j

i

i

r n

n−1 r n

i

j

i

i

j

j

i

j

i

j

,

r 2 n)

=

X i . Par linéarité,

Var(S ) = Var(X 1

+

− −

r r n . n n(n 1)

E(S )

=

k i=1 E(X i )



· · · + X ) = n

= k nr . On a,

k



Var(X i ) + 2



cov(X i , X j )

n−2 r n

r r n n




Soit S n le nombre de fois où l’on a obtenu face lors d’une série de n lancers d’une pièce équilibrée, les lancers étant supposés indépendants. S n suit alors une loi binomiale de paramètres n, 12 . On a E(S n ) = n2 , et Var(S n ) = n4 . La fréquence de face est alors F n = Sn . On cherche le plus petit n tel que P(0, 48 < F n < 0, 52) 0, 95 95.. On a, n

≥

P(0, 48

< F n < 0, 52) = P(0, 48n < S n < 0, 52n) = P( 0, 02n < S n

√

− √  ≈ =P

0, 04 n <

0,04 n

−0,04√n

−

√ −√

S n 0, 5n < 0, 04 n n 0, 25

1 exp 2π

√

x2

−  2

dx,

par le théorème théorème central limite limite (ou le théorème théorème de Moivre-Lap Moivre-Laplace) lace).. Or,

−1 + 2

 −∞ √ √ 0,04 n

1 2π

t

x2

− 0, 5n < 0, 02n)

√

− 2 )dx. Posant ϕ(t) = −∞ √12 −1 + 2ϕ(0, 04√n) ≥ 0, 95, i.e.



x2

√ √ √1 exp(− x2 )dx = 2π

0,04 n 0,04 n

 −

2

− 2 )dx, on cherche donc le plus petit n tel que √ 0, 04 n ≥ ϕ−1 (0, 975). 2 D’après la table numérique de la loi normale, on a ϕ−1 (0, 975) = 1, 96 96.. On obtient alors n ≥ ( 10 96 04 ) , et exp(

π

exp(

, ,

donc n = 2401. 2401. Quest Qu estio ion n n˚5

a)

E(X )

=

≥  x 0

x(1

x

− a)a

dérivée de la série géométrique E(X (X

− 1)) =

x(x

x 2

≥

≥

=

≥

x 0

x 1 x

x(1

x

= (1

− a)a

≥

x 1

xax−1 . En reconnaissant la série

(1−a)a a − on obtient E(X ) = (1−a) = 1−a . De même,

1 1 a,

a =

− 1)(1 − a)a

x

− a)a

= (1

− a)a2



x(x

x 2

≥

2

2

− 1)a −2 = (1 − a)a2 (1 −2 a)3 = (1 2−a a)2 , x

en reconnaissant la série dérivée seconde de la série géométrique. D’où, 2 Var(X ) = E(X )

 

−

E(X )

2

= E(X (X

− 1)) + E(X ) −

  E(X )

2

=

a

(1

− a)2 .

b) Par indépendance de X et de Y , on a f (u, v ) = E(uX vY ) = E(uX )E(vY ). En effet, par indépendance de X et de Y , la loi du couple (X, Y ) est le produit des loi de X et de Y , et on a X Y

E(u

v )=

  ≥

ux v y

P(X =



x, Y = y ) =

x,y 0

=

ux v y

P(X =

x)P(Y = y )

x,y 0 x

u

P(X =

 

x)

x 0

≥

v

y

P(Y

y 0

≥

≥



= y)

= E(uX )E(v Y ).

≤ u < 1, 1−a = . 1 − au

La fonction génératrice de la loi géométrique est pour tout 0 E(u

X

)=



x 0

≥

ux (1

x

− a)a

b De même, E(vY ) = 11−−bv , pour tout 0 v < 1. On obtient donc f (u, v ) = génératric génératricee de la v.a. Z = X + 2Y est alors donnée par

≤

E(u

X +2Y

)=

X

E(u

(u2 )Y ) = f (u, u2 ) =

−

− −

(1 a)(1 b) . (1 au)(1 bu2 )

−

1 a 1 b 1 au 1 bv .

− −

− −

La fonction

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