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Introducci´ on a elemento on elementos s finitos finitos Primer Primer Parcial Parcial I-2016 I-2016
H A − H B = 0 −qr + V A + V B = 0
1. Resolver la estructura con E I , A constantes A constantes por el con E ,, I , e l m´ etodo etodo de Cast igliano
q 2 r − H B r − M A = 0
2
Se parametrizar´ an an H A , V A y M A . H A = H B V A = qr − V B q M A = r2 − rH B
2
Soluci´ Solucion on ´
Estructura equivalente
Esfuerzos internos de la viga N = H B V = qx − (qr − V B ) = qx − qr + V B q M = − x2 + (qr − V B )x −
2
q 2 r − H B r
2
q q = − x2 + (qr − V B )x − r2 + H B r
2
De la anterior estructura se obtienen tres ecuaciones con cinco inc´ ognitas. ognitas.
1
Esfuerzos Esfuerzos internos internos del arco
2
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Reemplazando en las dem´ as reacciones N = − H B cos θ − V B sin θ
2qr (9π − 23) 27π 2 + 48π − 384 qr (12 − π ) qr (18π 2 + 33π − 268) V A = qr − V B = qr − = 18π2 + 32π − 256 18π2 + 32π − 256 q q 2qr (9π − 23) q r 2 (27π2 + 12π − 292) M A = r2 − rH B = r2 − r = 2 2 2 27π + 48π − 384 54π2 + 96π − 768 H A = H B =
V = H B sin θ − V B cos θ M = − H B r sin θ − V B (r − r cos θ ) = −H B r sin θ + V B r cos θ − V B r Para simplificar el c´ alculo solo usar´e la energ´ıa de deformaci´ on por flexi´ on r
M 2 dx + 2EI
U i =
0
s
0
M 2 ds = 2EI
r
0
M 2 dx + 2EI
π 2
0
M 2 r dθ 2EI
2. Calcular el factor de forma de una secci´ on triangular
Reemplazando U i =
1
r
q 2 q x + (qr − V B )x − r2 + H B r
2 1
2EI
π 2
+
2
0
2EI
2
dx
Soluci´ on
(−H B r sin θ + V B r cos θ − V B r)2 r dθ
0
Integrando U i =
r3 20 qr 1 100 2 q 2 r2 − H B − V B + 15π − V B − 40H B V B 40EI 3 4 3
2 + 5(π + 4) H B
Minimizando ∂U i r3 3π = + 6 H B − 6V B − qr = 0 ∂H B 6EI 2 ∂U i r3 = [−24H B + (18π − 40)V B + qr ] = 0 ∂V B 24EI
El momento est´ atico es
Formando el sistema de ecuaciones
Q =
(3π + 12)H B − 12V B = 2qr −24H B + (18π − 40)V B = − qr
y dA =
A
2 3
b b− h y
2 3
h− h x b
y dy dx
y
0
Integrando respecto de y
Resolviendo 2qr (9π − 23) H B = 27π2 + 48π − 384 qr (12 − π) V B = 18π2 + 32π − 256
Q =
0
2 3
b b− h y
y2
2
2 3
h− h x b
dx = y
Integrando respecto de x 2
0
2 3
b b− h y
h2 2h2 y 2 2 h2 − − x + 2 x2 dx 9 2 3b 2b
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Soluci´ on
Q =
h2
2
y 2
−
9
2
x−
h 2 2 h2 x + 2 x3 3b 6b
2 3
b b− h y
= 0
Numeraci´ on de nodos
b 3 4bh2 b 2 − y + y 81 3 3h
Factor de forma A k = 2 I
Q2 A dA = 2 b2 I
A
2h 3
−h 3
Q2 A x dy = 2 x2 I
2h 3
−h 3
Q2 dy x
Reemplazando valores
k =
2
bh3
36
2h 3
bh 2
−
2
4bh 81
− 3b y2 + 2 3
h 3
b −
b y h
b 3 y 3h
2
dy
1 = [ I 1 , J 1 , K 1 ] = [3, 1, 1]
4 = [I 4 , J 4 , K 4 ] = [1, 2, 2]
2 = [ I 2 , J 2 , K 2 ] = [2, 2, 1]
5 = [I 5 , J 5 , K 5 ] = [1, 1, 3]
3 = [ I 3 , J 3 , K 3 ] = [1, 3, 1]
6 = [I 6 , J 6 , K 6 ] = [2, 1, 2]
Coordenadas de nodos
Integrando
k =
648 bh5
bh4
8
2187
y +
bh 4 b 6 2 bh3 2 10 bh2 3 4b 5 y − y − y + y − y 729 729 324 135 54h
2h 3
−h 3
Simplificando k =
5
648 bh
bh5
540
=
1 = [ r3 , s1 , t1 ] = [1, 0, 0]
6 5
2 = [ r2 , s2 , t1 ] =
3. Calcular las funciones de forma N
1 1 0 , ,
2 2
3 = [ r1 , s3 , t1 ] = [0, 1, 0]
1 1 4 = [r1 , s2 , t2 ] = 0, , 2 2
5 = [ r1 , s1 , t3 ] = [0, 0, 1] 6 = [r2 , s1 , s2 ] =
1 0 1 2
, ,
2
Nodo 1 Reemplazando numeraci´ on y coordenadas T 3 (r) =
r − r − r 2 r − r1 · = r3 − r2 r3 − r 1 1 −
T 1 (s) = 1 T 1 (t) = 1
3
1 2 1 2
r − 0
·
1 − 0
= r (2r − 1)
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Reemplazando polinomios N 4 = T 1 T 2 T 2 = 1 · 2s · 2t = 4st
N 1 = T 3 T 1 T 1 = r (2r − 1) · 1 · 1 = r (2r − 1)
Nodo 5
Nodo 2
Reemplazando numeraci´ on y coordenadas
Reemplazando numeraci´ on y coordenadas
T 1 (r) = 1
r − r1 r − 0 = 1 = 2r r2 − r1 − 0 2 s − s1 s − 0 T 2 (s) = = 1 = 2s s2 − s1 − 0 2 T 2 (r ) =
T 1 (s) = 1 T 3 (t) =
t − 12 t − 0 t − t2 t − t1 · = · = t (2t − 1) t3 − t2 t3 − t1 1 − 12 1 − 0
T 1 (t) = 1
Reemplazando polinomios Reemplazando polinomios
N 5 = T 1 T 1 T 3 = 1 · 1 · t(2t − 1) = t (2t − 1)
N 2 = T 2 T 2 T 1 = 2r · 2s · 1 = 4 rs
Nodo 6
Nodo 3
Reemplazando numeraci´ on y coordenadas
Reemplazando numeraci´ on y coordenadas T 2 (r) = T 1 (r) = 1 T 3 (s) =
s− s − s2 s − s1 · = s3 − s 2 s3 − s 1 1 −
1 2 1 2
s − 0
·
1 − 0
r − r1 r − 0 = 1 = 2r r2 − r1 − 0 2
T 1 (s) = 1 t − t1 t − 0 T 2 (t) = = 1 = 2t t2 − t1 − 0 2
= s (2s − 1)
T 1 (t) = 1
Reemplazando polinomios
Reemplazando polinomios
N 6 = T 2 T 1 T 2 = 2r · 1 · 2t = 4rt
N 3 = T 1 T 3 T 1 = 1 · s(2s − 1) · 1 = s (2s − 1)
Nodo 4 Reemplazando numeraci´ on y coordenadas T 1 (r ) = 1 s − s1 s − 0 T 2 (s) = = 1 = 2s s2 − s1 − 0 2 t − t1 t − 0 T 2 (t) = = 1 = 2t t2 − t1 − 0 2
Reemplazando polinomios 4
