: Durante un un proceso de producción se seleccionan al azar 15 unidades cada día de la línea de ensamble para verifi car el porcentaje de defectuosos. tener una unidad defectuosa es 0.05. En cualquier momento en que se encuentran dos o m ás unida des defectuosas en la muestra de 15, el proceso se detiene. a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día dado el proceso de producción se detenga? (Suponga 5% de
unidades defectuosas.) b) Suponga que la probabilidad de una unidad defectuosa aumenta a 0.07. ¿Cuál es la probabilidad de
que en algún día dado el proceso de producción no se detenga? : Una máquina automática de soldar se considera para la producción. Se considerará para su compra si es exitosa en 99% de sus sus soldaduras. 100 soldaduras. La máquina se aceptará para la producción si no falla en más de 3 soldaduras. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se rechace una buena máquina? b) ¿Cuál es la probabilidad de que se acepte una máquina inefi ciente con 95% de soldaduras exitosas?
En cierta ciudad, el consumo diario de energí a eléctrica, en millones de kilowatts-hora, es una variable aleatoria X que tiene una distribución gamma con media μ = 6 y varianza σ2 = 12. a) Encuentre los valores de α y β. b) Encuentre la probabilidad de que en cualquier dí a dado el consumo de energí a diario exceda los 12 millones de kilowatts-hora.
: La longitud de tiempo para que un individuo sea atendido en una una cafeterí a es
una variable aleatoria que tiene una distribución exponencial con una media de 4 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea atendida en menos de 3 minutos en, al menos, 4 de los siguientes 6 días?
Pregunta 5 : En una actividad de investigación biomédica se determinó que el tiempo de supervivencia, en semanas, de un animal cuando se le somete a cierta exposi ción de radiación gamma tiene una distribución gamma con α = 5 y β = 10. a) ¿Cuál es el tiempo medio de supervivencia de un animal seleccionado al azar del tipo que se utilizó en el experimento? b) ¿Cuál es la desviación estándar del tiempo de supervivencia? c) ¿Cuál es la probabilidad de que un animal sobreviva más de 30 semanas?
Pregunta 6:
Sean X 1, y X 2 dos variables aleatorias continuas con distribuci ón de probabilidad
Conjunta Encuentre la distribuci ón de probabilidad conjunta de
Pregunta 7 Encuentre la función generadora de momentos de la variable aleatoria binomial X y después utilícela para verifi car que μ = np y σ 2 = npq.
Pregunta 8 Los cinescopios para televisión del fabricante A tienen una duraci ón media de 6.5 años y una desviaci ón estándar de 0.9 a ños; mientras que los del fabricante B tienen una duración media de 6.0 a ños y una desviaci ón estándar de 0.8 años. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 36 cinescopios del fabricante A tengan una duración media que sea al menos de 1 a ño más que la duraci ón media de una muestra de 49 cinescopios del fabricante B? S oluci o´n: Se nos da la siguiente informaci ón:
Pregunta 9 Un fabricante de bater ías para automóvil garantiza que sus bater ías durarán, en
promedio, 3 a ños con una desviaci ón estándar de 1 a ño. Si cinco de estas bater ías tienen duraciones de 1.9, 2.4, 3.0, 3.5 y 4.2 a ños, ¿el fabricante aún está convencido de que sus bater ías tienen una desviaci ón estándar de 1 año? Suponga que la duraci ón de la batería sigue una distribución normal. S oluci o´n: Usando el teorema 8.1 encontramos primero la varianza de la muestra,
Pregunta 10 : Un ingeniero qu ímico afi rma que el rendimiento medio de la poblaci ón de cierto
proceso en lotes es 500 gramos por mil ímetro de materia prima. Para verifi car dicha afi rmación muestrea 25 lotes cada mes. Si el valor t calculado cae entre − t 0.05 y t 0.05, queda satisfecho con su afi rmación. ¿Qué conclusión debería obtener de una muestra que tiene una media = 518 gramos por mil ímetro y una desviaci ón estándar muestral s = 40 gramos? Suponga que la distribución de rendimientos es aproximadamente normal. S oluci o´n: De la tabla A.4 encontramos que t 0.05 = 1.711 para 24 grados de libertad. Por lo
tanto, el fabricante queda satisfecho con esta afi rmaci ón si una muestra de 25 lotes
Pregunta 11
La resistencia a la rotura X de cierto remache utilizado en el motor de una máquina tiene una media de 5000 psi y una desviación estándar de 400 psi. Se toma una muestra aleatoria de 36 remaches. Considere la distribución de , la resistencia a la rotura de la media muestral. a) ¿cuál es la probabilidad de que la media de la muestra caiga entre 4800 psi y 5200 psi? b) ¿Qué muestra n sería necesaria para tener Pregunta 12
Considere la situación del ejercicio de repaso 8.62. Si la población de la cual se tomó la muestra tiene una media μ = 53,000 kil ómetros, ¿aquí la información de la muestra parece apoyar esa afi rmación? En su respuesta calcule y determine, consultado la tabla A.4 (con 9 g.l.), si el valor t calculado es razonable ¿o parece ser un evento raro?
Pregunta 13
Se encuentra que la concentraci ón promedio de zinc que se obtiene a partir de una muestra de mediciones de zinc en 36 sitios diferentes es 2.6 gramos por mililitro. Encuentre los intervalos de confi anza de 95 y 99% para la concentraci ón media de zinc en el río. Suponga que la desviaci ón estándar de la población es 0.3. S oluci o´n: La estimaci ón puntual de μ es x. = 2.6. El valor z , que deja un área de 0.025 a la derecha
y, por lo tanto, un área de 0.975 a la izquierda, es z 0.025 = 1.96 (tabla A.3). De aquí que el intervalo de confi anza de 95% sea
Pregunta 14 : El contenido de 7 contenedores similares de ácido sulf úrico es de 9.8, 10.2, 10.4, 9.8,
10.0, 10.2, y 9.6 litros. Encuentre un intervalo de confi anza de 95% para la media de todos los contenedores, si se supone una distribuci ón aproxi madamente normal.
Pregunta 15: Un inspector de alimentos midió aleatoriamente 30 paquetes de carne de res 95% sin
grasa. La muestra result ó en una media de 96.2% con la desviaci ón estándar muestral de 0.08%. Encuentre un intervalo de predicci ón de 99% para un paquete nuevo. Suponga normalidad.
Pregunta 16: En un estudio realizado en el Departamento de Zoología del Virginia Tech, se recolectaron 15 “ muestras” de agua de una determinada estación en el río James, con la fi nalidad de conocer la cantidad de ortof ósforo en el río.
Pregunta 17: Se considera cierto cambio en un proceso de fabricación de partes componentes. Se
toman muestras del procedimiento actual y del nuevo, para determinar si el nuevo tiene como resultado una mejor ía. Si se encuentra que 75 de 1500 art ículos del procedimiento actual son defectuosos y 80 de 2000 art ículos del procedimiento nuevo
también lo son, encuentre un intervalo de confi anza de 90% para la diferencia real en la fracci ón de defectuosos entre el proceso actual y el nuevo.
Pregunta 18: Un fabricante de cierta marca de cereal de arroz afi rma que el contenido promedio
de grasa saturada no excede de 1.5 gramos. Establezca las hip ótesis nula y alternativa a utilizar para probar esta afi rmación y determinar d ónde se lo caliza la regi ón crítica. Solución. La afi rmaci ón del fabricante se deber ía rechazar sólo si μ es mayor que 1.5 miligramos y no se debería rechazar si μ es menor o igual que 1.5 miligramos. Entonces, probamos H 0: μ = 1.5, H 1: μ > 1.5,
de manera que el no rechazo de H 0 no descarta valores que 1.5 miligramos. Como tenemos una prueba de una cola, el s ímbolo mayor que indica que la regi ón crítica yace por com pleto en la cola derecha de la distribuci ón de nuestro estad ístico de prueba X ¯.
Pregunta 19 : Una muestra aleatoria de 100 muertes registradas en Estados Unidos el a ño pasado
mostró una vida promedio de 71.8 a ños. Suponiendo una desviación estándar poblacional de 8.9 años, ¿esto parece indicar que la vida media actual es mayor que 70 años? Utilice un nivel de signifi cancia de 0.05.
pregunta 20 : Al comparar el comportamiento de dos catalizadores sobre el efecto del rendimiento
de una reacci ón, se realiza una prueba t de dos muestras con α = 0.05. Las varianzas de los rendimientos se consideran las mismas para los dos catalizadores. .De qu é tamaño se necesita una muestra para cada catalizador, si se desea probar la hip ótesis H 0: μ1 = μ2, H 1: μ1 =/ μ2,
si es esencial detectar una diferencia de 0.8 σ entre los catalizadores con probabilidad 0.9?
Pregunta 21 : En un estudio sobre un taller, se re úne un conjunto de datos para determinar si
la proporción de art ículos defectuosos producida por los trabajadores fue la misma para el turno matutino, el vespertino o el nocturno. Los datos se reunieron y se presentan en la tabla 10.11: Tabla 10.11: Datos para el ejemplo 10.16 Utilice un nivel de signifi cancia de 0.025 para determinar si la proporci ón de defectuosos es la misma para los tres turnos.
Pregunta 22 : Encuentre un intervalo de confi anza de 95% para β en la recta de regresi ón μY | x = α + βx, con base en los datos de contaminaci ón de la tabla 11.1.
pregunta 23 : En un experimento que se realice para determinar cu ál de tres sistemas de misiles
distintos es preferible, se midió la tasa de combustión del propulsor para 24 hipótesis: a) no hay diferencia en las tasas medias de combusti ón del propulsor cuando se emplean diferentes sistemas de misiles, b) no existe diferencia en las tasas medias de combustión de los cuatro tipos de propulsor, c) no hay interacci ón entre los distintos sistemas de misiles y los tipos diferentes de propulsor.
