1 Semestre de 2006/07 Problemas para a aula prática
5a Semana 1. Determine Determine e classifique classifique as singularida singularidades des das seguint seguintes es funções. funções. Calcule Calcule os resíduos resíduos correspondentes. 1
− cos z . z−π
a)
f (z ) =
c)
f (z ) =
e)
1 f (z ) = z exp . z
g)
f (z ) =
1 z (1
z
−z )
.
π/2 − π/2 .
cos z
b)
f (z ) =
z . (z + 2)
d)
f (z ) =
z sen z . (z π )
f)
− 1 − cos z f (z ) = .
h)
f (z ) =
z sen z
2. Justifique que a função g (z ) =
1+z 1 + z sen . z z z
−
1 sen
tem uma singularidade em z = 0 que não é isolada. 3. Utilize o Teorema dos Resíduos para calcular (considere sempre as curvas indicadas percorridas uma vez no sentido positivo) sen z dz . (z 1)
a)
b)
sen z dz . z (π z )
c)
e
4. Calcule:
−
−
− 1 dz .
z
1 e
− 1 dz,
√ onde C é a circunferência |z | = 7 percorrida no sentido positivo.
2 5. Utilize o Teorema dos Resíduos para obter os seguintes valores:
6. Estabeleça, através do Teorema dos Resíduos e mediante a escolha de um contorno de integração adequado, os seguintes resultados:
a)
b)
dx 1 = π (x + 1)(x + 4) 12 1 π dx = (x + 9) 54
7. Com base no Teorema dos Resíduos e no Lema de Jordan, obtenha os seguintes resultados:
a)
b)
x sen x π dx = (x + 1) e cos x π dx = 2e (x + 1)
8. Utilize o Teorema dos Resíduos para calcular z +1 dz, z (2z + 5z + 2) onde C é a curva z C : z = 1 percorrida no sentido positivo. Aproveite este resultado para calcular cos(2θ) dθ. 5 + 4 cos(θ)
{ ∈
||
}
9. Utilizando o Teorema dos resíduos, calcule 1 dx, 1+x onde n é um natural maior ou igual que 2.
Sugestão: Considere a fronteira da região z = ρe
{
10. Seja f (z) =
z sen(z) + cos(z) 1
−
1 k (z
− 4i)
: ρ ]0, R[, θ ]0,
∈
∈
2π [ , com R > 1. n
}
, e D(f ) o seu domínio de definição.
a) Determine o desenvolvimento em série de Taylor da função z sen(z) em potências de z 2π. 1 b) Determine o interior da região de convergência da série . k (z 4i)
−
−
c) Classifique, justificando, as singularidades de f e determine os respectivos resíduos.
