GUÍA DIDÁCTICA
UNIDAD
12
Cuerpos geométricos 2
O S E
CONTENIDO
1 Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2 Su Suge gerrenc encias ias di didác dáctic ticas as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3 Actividades de ref refuerzo uerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
4 Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
5 Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
6 Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
*Esta programación programación y la concreción curricular de tu Comunidad Autónoma Autónoma podrás encontrarlas encontrarlas en el CD Programación y en www.smconectados.com.
Programación de aula Unidad
12 Cuerpos
geométricos
Los cuerpos geométricos están presentes en el mundo físico, y su estudio ha sido siempre de gran interés para la humanidad; existen restos arqueológicos del Neolítico (aproximadamente 2000 años antes de Cristo) encontrados en Escocia en los que aparecen las figuras de los cinco poliedros regulares, llamados poliedros platónicos, pues Platón, en uno de sus diálogos, relaciona, respectivamente, el fuego, la tierra, el aire y el agua con el tetraedro, el cubo, el octaedro y el icosaedro, y el universo con el dodecaedro, pues estos cinco poliedros eran considerados los cuerpos más perfectos que existían. Posteriormente, el estudio de los truncamientos de los poliedros regulares por Arquímedes ha dado lugar a los llamados sólidos arquimedianos. En todos los ámbitos del mundo de la naturaleza aparecen las formas poliédricas, las estructuras de cristalización de minerales, la cristalización del agua cuando se solidifica, las construcciones de los paneles de las abejas, la estructura de los granos de polen, la estructura de los virus… en fin, la lista sería interminable. En el arte, tanto en la escultura como en la pintura o en la arquitectura, tenemos exponentes de gran interés donde los alumnos pueden investigar este tipo de figuras. También en el ambiente más casero y cotidiano encontramos envases tanto de líquidos como de sólidos que se ajustan a formas poliédricas, sobre todo ortoédricas, por la facilidad de su acoplamiento para ser embaladas. Es un tema muy apropiado para que los alumnos realicen trabajos de investigación sobre la presencia de los cuerpos geométricos en el mundo del arte y de la cultura o en la naturaleza. También sería muy útil algún trabajo manipulativo, como construcción de maquetas con figuras geométricas dando rienda suelta a su creatividad, pues la percepción de los cuerpos geométricos es primero visual, pero la manipulación de figuras les ayuda a profundizar en su conocimiento.
OBJETIVOS 1.
2.
3.
Identificar y relacionar los elementos básicos del espacio.
Describir, clasificar y desarrollar poliedros.
Describir, clasificar y desarrollar cuerpos redondos.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
1.1
Determinar la posición relativa de dos rectas en el espacio.
1.2
Determinar la posición relativa de un plano y una recta en el espacio.
1.3
Determinar la posición relativa de dos planos en el espacio.
2.1
Identificar y clasificar los poliedros.
2.2
Reconocer los elementos básicos de los poliedros e indicar su desarrollo plano.
3.1
dentificar los cuerpos redondos.
3.2
Reconocer los elementos básicos de los cuerpos redondos e indicar su desarrollo plano.
COMPETENCIAS BÁSICAS
• Lingüística • Matemática • Social y ciudadana • Cultural y artística • Tratamiento de la información y competencia digital • Aprender a aprender • Autonomía e iniciativa personal
CONTENIDOS • • • • • • • • • • • 2
Elementos básicos del espacio: puntos, rectas y planos Posición relativa de rectas y planos en el espacio Ángulos diedros Poliedros. Características y elementos Fórmula de Euler Prismas. Tipos y elementos Desarrollo plano de un prisma Paralelepípedos y ortoedros Pirámides. Tipos y elementos Desarrollo plano de pirámides Tronco de pirámide
Unidad 12
Cuerpos geométricos
• • • • • • • • •
Poliedros regulares Desarrollo plano de poliedros regulares Poliedros semirregulares Cuerpos redondos. Eje Cilindros. Elementos y tipos Conos. Elementos y tipos Tronco de cono Esfera. Elementos Aplicación del teorema de Pitágoras para hallar elementos de cuerpos geométricos • Identificación de formas geométricas en el mundo que nos rodea
Programación de aula
ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1.
Conocimientos previos
Para reconocer y clasificar los cuerpos geométricos es necesario que los alumnos dominen los elementos básicos de la geometría plana, tales como clasificación de triángulos y cuadriláteros, relaciones angulares… También tienen que manejar con soltura el teorema de Pitágoras, para aplicarlo al cálculo de elementos desconocidos en poliedros y cuerpos redondos. 2.
Previsión de dificultades
Los alumnos presentarán dificultades con la visión espacial, unido a que les resulta complicado representar en el plano figuras tridimensionales. Las posiciones relativas de planos y rectas se han descrito por ello apoyándose siempre en figuras geométricas espaciales, relacionando aristas y caras. 3.
Vinculación con otras áreas
Como ya vimos en la introducción, la geometría espacial está relacionada con multitud de disciplinas y áreas. En ciencias de la naturaleza encontramos cuerpos geométricos en las moléculas y en los minerales; en tecnología, en la representación de las vistas; en ciencias sociales, en los husos horarios… 4.
Esquema general de la unidad
En esta unidad, los contenidos no son difíciles de asimilar, pues los alumnos conocen los cuerpos geométricos de cursos pasados, los identifican generalmente bien. El objetivo fundamental quizá esté en profundizar en el conocimiento de los elementos básicos de los cuerpos geométricos, en sus propiedades, en determinar con precisión qué características o propiedades diferencian unos cuerpos de otros y que sean capaces de expresarlo verbalmente y hacer una descripción precisa de dichos cuerpos. Lo lógico es comenzar por hacer este trabajo con los poliedros, distinguiendo los diferentes tipos de prismas, pirámides, troncos de pirámides y de poliedros regulares. También aprenderán a clasificarlos o identificarlos según el criterio de las propiedades que se establezcan. No se debe olvidar que los alumnos tienen que saber POLIEDROS hacer un desarrollo esquemático de los poliedros, con ello fijarán la atención en los polígonos que los forman, sus S O caras laterales y sus bases. Así estaremos preparando Prismas Pirámides Poliedros regulares C I el terreno para la comprensión en el próximo tema del R T cálculo de sus áreas. Se puede proponer algún cálculo É Tronco de pirámide M de áreas en este tema, pero cuando el desarrollo no sea O E demasiado complejo. G S CUERPOS REDONDOS Después se abordarán los cuerpos de revolución, cilin O P dro, cono, tronco de cono, esfera, zona esférica y casquete R E esférico, siguiendo el mismo tratamiento que se ha dado Cilindros Conos Esfera U C a los poliedros, solamente destacando que la esfera no tiene desarrollo plano, pero es una figura geométrica inteTronco de cono resante que ellos han trabajado en Ciencias Sociales. 5.
Temporalización
Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en ocho sesiones: 1.ª Introducción. Puntos, rectas y planos. Posiciones relativas 2.ª Ángulos diedros. Poliedros 3.ª Prismas y pirámides 4.ª Poliedros regulares y semirregulares 5.ª Cilindros y conos 6.ª Esferas 7.ª Actividades de repaso y consolidación 8.ª Trabajo de las competencias mediante la doble página final de la unidad En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto, el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.
Cuerpos geométricos
Unidad 12
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Programación de aula
CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia lingüística Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. Con la actividad 1 de “¡Con papel!”, los alumnos desarrollarán la subcompetencia comunicación en lengua extranjera, ya que la dirección de internet que tienen que consultar para construir poliedros está en inglés.
Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. Al estar dedicada la unidad a la descripción de los cuerpos geométricos, se desarrollan los descriptores de la subcompetencia uso de elementos y herramientas matemáticos, ya que en numerosas ocasiones a lo largo de toda la unidad los alumnos tendrán que asociar objetos de su alrededor con los cuerpos geométricos.
Competencia social y ciudadana La actividad final de “Grandes colosos” permite trabajar el descriptordesarrollar el juicio moral para tomar decisiones y razonar críticamente sobre la realidad de forma global, teniendo en cuenta la existencia de distintas perspectivasde la subcompetencia desarrollo personal y social.
Competencia cultural y artística Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, desarrollando las subcompetenciasexpresión artística. Expresión y comunicación personal y colectiva mediante códigos artísticos, con la construcción de cuerpos geométricos, y patrimonio cultural y artístico, con la observación de las construcciones arquitectónicas de otras culturas.
Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas. Se trabajan las subcompetencias de obtención, transformación y comunicación de la información. También puede trabajarse la subcompetencia uso de las herramientas tecnológicas haciendo uso de programas como GeoGebra.
Competencia para aprender a aprender Se trabaja la subcompetencia construcción del propio conocimiento, potenciando el pensamiento creativo propio a la hora de construir los cuerpos geométricos indicados en las actividades de “¿Con qué los construimos?” y de “¡Con papel!”. También se desarrolla el descriptor relacionar la información e integrarla con conocimientos previos y con la propia experiencia con la actividad 33.
Competencia para la autonomía e iniciativa personal La actividad 1 de “¡Con papel!” permite desarrollar el descriptor conocer y poner en práctica las fases de desarrollo de un proyecto. Planificar, identificar objetivos y gestionar el tiempo con eficacia de la subcompetencia planificación y realización de proyectos. La planificación y organización del trabajo propuesta en la actividad 3 de “¿Con qué los construimos?” permite trabajar la subcompetencia liderazgo, en concreto el descriptor saber organizar el trabajo en equipo: gestionar tiempos y tareas .
Otras competencias de carácter transversal Aprender a pensar El proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido crítico del alumno. La unidad presenta oportunidades en las que las actividades exigen al alumno este ejercicio reflexivo y crítico. En esta unidad se propone un tema de debate en internet en la actividad de Aprende a pensar sobre Grandes colosos en la que, además de la competencia social y ciudadana, citada explícitamente en la tabla de la página siguiente, se traba jan las competencias y subcompetencias: • Lingüística: Comunicación escrita • Tratamiento de la información y competencia digital: Uso de las herramientas tecnológicas y uso ético y responsable de la información y las herramientas tecnológicas. • Aprender a aprender: Manejo de estrategias para desarrollar las propias capacidades y generar conocimiento. • Autonomía e iniciativa personal: Desarrollo de la autonomía personal. En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunos temas de reflexión y debate en relación con las actividades señaladas. 4
Unidad 12
Cuerpos geométricos
Programación de aula
TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDAD A lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidad sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores competenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.
COMPETENCIA
DESCRIPTOR
DESEMPEÑO
3. nivel de concreción
4.º nivel de concreción
SUBCOMPETENCIA
1. nivel de concreción 2.º nivel de concreción er
er
– Debate con los compañeros.
Comunicación oral
Argumentar con espíritu crítico y constructivo, así como saber aceptar las críticas de los demás.
Comunicación en lengua extranjera
Comprender una lengua extranjera para acceder a otras fuentes de información, cultura, comunicación y aprendizaje.
– Sigue instrucciones en inglés.
Resolución de problemas. Relacionar y aplicar el conocimiento matemático a la realidad
Utilizar las matemáticas para el estudio y comprensión de situaciones cotidianas.
– Describe la Torre Eiffel.
Conocer y utilizar los elementos matemáticos básicos (distintos tipos de números, medidas, símbolos, elementos geométricos, etc.) en situaciones reales o simuladas de la vida cotidiana.
– Relaciona cuerpos geométricos con construcciones.
Conocer y aplicar herramientas matemáticas para interpretar y producir distintos tipos de información (numérica, gráfica…).
– Interpreta una gráfica, relacionándola con el contenido de un texto
Lingüística
Matemática Uso de elementos y herramientas matemáticos
Social y ciudadana
Cultural y artística
Desarrollo personal y social
Desarrollar el juicio moral para tomar decisiones y razonar críticamente sobre la realidad de forma global, teniendo en cuenta la existencia de distintas perspectivas.
Expresión artística. Expresión y comunicación personal y colectiva mediante códigos artísticos
Realizar representaciones artísticas de forma individual y cooperativa.
Patrimonio cultural y artístico
Conocer las principales instituciones, obras y manifestaciones del patrimonio cultural y fomentar el interés por participar en la vida cultural.
Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensar, 5 Pon a prueba tus competencias: Manipula y da forma, 1
Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensar, 3
Desarrolla tus competencias – Identifica cuerpos geométricos en la realidad.
Actividades 56 y 57
Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensar, 2 – Debate sobre la construcción de la Torre de Dubai.
Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensar, 5
– Realiza trabajos artísticos en grupo.
Pon a prueba tus competencias: Analiza y construye, 3
– Conoce manifestaciones artísticas de otras culturas.
Sabías que… epígrafe 6 – Busca en internet para complementar la información.
Tratamiento de la información y competencia digital
Obtención, transformación y comunicación de la información
Buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad.
Potenciar el pensamiento creativo propio.
Aprender a aprender
Autonomía e iniciativa personal
Construcción del conocimiento
Planificación y realización de proyectos
En la red Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensar – Visita librosvivos.net para realizar actividades. Actividades 9, 16, 23 y 27 – Realiza construcciones con distintos materiales.
Pon a prueba tus competencias: Analiza y construye
Relacionar la información e integrarla con conocimientos previos y con la propia experiencia.
– Contesta razonadamente utilizando argumentos matemáticos.
Conocer y poner en práctica las fases de desarrollo de un proyecto. Planificar, identificar objetivos y gestionar el tiempo con eficacia.
– Construye cuerpos geométricos de forma escalonada.
Actividad 33
Pon a prueba tus competencias: Manipula y da forma, 1
Cuerpos geométricos
Unidad 12
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Programación de aula
EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades para el trabajo específico de las competencias que se citan en la tabla de la página anterior nos permiten desarrollar algunos aspectos relacionados con la educación en valores : • Educación para el desarrollo: Grandes colosos. • Educación para la interculturalidad: actividad III, desarrolla tus competencias. ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Hay que recordar que los ejercicios resueltos y propuestos en el libro de texto están clasificados por un código de colores según su dificultad: verde, nivel básico; naranja, nivel me dio, y rojo, de alguna dificultad. De esta forma, el profesor podrá adaptar el contenido de la unidad bien a las características particulares de la clase, bien a las específicas de cada grupo de alumnos dentro de la misma. Además, en este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno: • Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido. • Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cada unidad del libro. • Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asimilación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados. • Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve para evaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situaciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas. MATERIALES DIDÁCTICOS Repaso de contenidos de cursos anteriores
s o c i f á r g o i l b i B
• Cuaderno de Matemáticas. 1.º de ESO. N.º 6. “Medida” – Unidad 8. Cuerpos geométricos • Cuadernos de refuerzo “Aprende y aprueba”. 1.º de ESO – Unidad 6. Cuerpos geométricos SM
Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso
• Cuaderno de refuerzo de Matemáticas. 2.º de ESO. “Aprende y aprueba” – Unidad 8. Cuerpos geométricos • Cuaderno de Matemáticas. 2.º de ESO. N.º 6: “Geometría y medida en el espacio” • Cuaderno de Matemáticas para la vida. 2.º de ESO – “Poliedros” • Cuadernos de resolución de problemas I y II • FERRER MUÑOZ, JOSÉ LUIS: Superficies poliédricas. Thomson Paraninfo. Madrid, 2000.
Otros
SM t e n r e t n I
www.smconectados.com www.librosvivos.net
Unidades didácticas sobre poliedros y cuerpos geométricos en el programa Descartes: Otros
www.e-sm.net/2esomatprd22 y www.e-sm.net/2esomatprd23
Cuerpos geométricos en el libro digital de 2.º de ESO del CIDEAD: www.e-sm.net/2esomatprd24
s e s l i o a r r t e O t a m
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• Desarrollos planos de cuerpos geométricos en www.e-sm.net/2esomatprd25 . • GEOS COLOR. Juego de desarrollos en plano de figuras geométricas. Para montar en 3D o utilizar en plano como plantilla. Materiales didácticos Manipapel. • Set de sólidos platónicos. Juego que mediante el ensamblaje de sus diferentes piezas en forma de polígonos de 2 dimensiones permite obtener poliedros volumétricos en 3 dimensiones. Materiales didácticos Manipapel.
Cuerpos geométricos
Sugerencias didácticas Desarrolla tus competencias La foto de entrada y el texto hacen referencia a la presencia de las formas geométricas en el mundo que nos rodea, deteniéndose de un modo particular en el uso de los elementos geométricos para el desarrollo de la arquitectura. Para empezar en la actividad 1, los alumnos deberán buscar información e imágenes sobre edificios que tengan forma de alguno de los cuerpos geométricos elementales. La actividad 2 complementa la anterior con la búsqueda de edificios formados por la unión de dos cuerpos. Por último, en la actividad 3, los alumnos deberán buscar información sobre el porqué de ciertas construcciones para que puedan argumentar con rigor en el debate que se desarrolle en el aula.
3. Ángulos diedros • Los alumnos identifican fácilmente un ángulo diedro, pero deben conocer el concepto de semiplano y controlar el término de arista del diedro, como recta común de los semiplanos que lo forman. Se pueden hacer ejercicios de observación de cuántos ángulos diedros identifican en un cuerpo geométrico. • Es interesante que calculen en figuras geométricas el valor de estos ángulos a través del ángulo rectilíneo. • La perpendicularidad entre rectas y planos es un concepto que los alumnos controlan intuitivamente, y se les debe hacer ver que es muy importante en la clasificación de figuras geométricas tanto en el plano como en el espacio. ACTIVIDADES POR NIVEL Básico
1. Puntos, rectas y planos en el espacio • Los conceptos de puntos, rectas y planos ya los han estudiado en cursos pasados. Es importante que aprendan a formalizarlos correctamente por escrito, y que sean capaces de identificarlos de una manera clara y precisa en las representaciones geométricas que se trabajen. • También deben profundizar, aunque solo sea gráficamente, en los conceptos de semirrecta, segmento y semiplano. • Podemos pedir a los alumnos que observando la clase identifiquen rectas, puntos y planos.
8 y 36 a 38
4. Poliedros • Conviene insistir en el concepto de poliedro como cuerpo cerrado, y hacérselo ver con ejemplos, cajas abiertas, cerradas, etc. • Se puede facilitar también más de una definición para la clasificación de poliedros en cóncavos y convexos; existen algunas basadas en si todos sus ángulos diedros son convexos u otras en la posición de sus diagonales. • Es importante trabajar ejercicios donde observen la relación de Euler, no solo en sí por la propia relación, sino para observar si conocen e identifican los elementos básicos de un poliedro, caras, vértices y aristas.
ACTIVIDADES POR NIVEL ACTIVIDADES POR NIVEL Básico
1a4
Medio
59
Alto
68
Básico
10, 11, 39 y 40
Medio
41, 42, 60 y 61
Alto
2. Posiciones relativas de rectas y planos • Los alumnos no presentarán problemas a la hora de identificar posiciones relativas de planos y reconocer rectas paralelas y secantes en el espacio. Conviene insistir especialmente en la posición relativa de dos rectas que no se cortan en el espacio, y hacerles ver que no son siempre paralelas, sino que pueden cruzarse. Este concepto es el que a veces confunden, por ello conviene que observen que si se encuentran en un mismo plano o no, esto resulta clave para la diferenciación. • Para que los alumnos asimilen las posiciones de rectas podemos trabajar con prismas, observando algunas de las rectas que contienen a las aristas de las bases opuestas o de caras opuestas. ACTIVIDADES POR NIVEL Básico
6, 31 y 32
Medio
33 a 35
44, 65 a 67 y 69
5. Prismas • Los elementos básicos que forman un prisma los conocen del curso pasado. Se aconseja que en los primeros ejercicios que trabajen marquen y nombren los elementos básicos, aristas, vértices, caras laterales, bases y altura. • Para su reconocimiento, se deben presentar los prismas en algunas ocasiones apoyados sobre sus caras laterales, no sobre sus bases, para que identifiquen la figura, salvo en el caso de los paralelepípedos, que la posición daría igual. Pues suelen confundirlos con pirámides, sobre todo los prismas triangulares. • Dentro de los prismas merecen especial atención los paralelepípedos, que aparecen en nuestro entorno en multitud de objetos. Se puede sugerir la observación de estas formas en edificios, construcciones arquitectónicas modernas, sobre todo las de tipo ortoédrico, como las Torres KIO, que aparecen en el margen. También en la escultura del siglo XX y el actual. Pueden buscar material gráfico de estos ejemplos y traerlo a clase. Cuerpos geométricos
Unidad 12
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Sugerencias didácticas
• Deben conocer los criterios de clasificación de los prismas. Se pueden realizar ejercicios en los que se describan los polígonos que forman sus caras laterales y los de sus bases, y de este modo los alumnos identifiquen si con esas características el cuerpo geométrico es un prima o no, y de qué tipo. También se puede proceder al revés: para fijar su atención se proponen figuras geométricas dibujadas, y ellos deben nombrar los polígonos que forman sus caras y sus bases, y después nombrar la figura. • El desarrollo de los prismas, aunque sea de un modo esquemático (aquí no hay que pedir mucha precisión), ayuda a los alumnos para que puedan calcular áreas sin necesidad de aprenderse las fórmulas para figuras en el espacio. Se puede aprovechar este tema para repasar las áreas de polígonos, calculando las de los prismas a través de su desarrollo. Con lo que se va preparando el alumno para el tema próximo. ACTIVIDADES POR NIVEL Básico
12 y 47
Medio
13 a 15
6. Pirámides • Para que los alumnos identifiquen y reconozcan los diferentes elementos de las pirámides es aconsejable seguir el mismo procedimiento que con los prismas. • En la pirámide regular aparece un nuevo elemento que a veces los alumnos confunden y malinterpretan: la apotema de la pirámide; deben remarcarla cada vez que hagan un dibujo esquemático de la figura o el desarrollo, es importante que no la confundan con la apotema del polígono de la base. Y deben reconocer la relación que puede haber entre esta, la apotema de la base y la altura de la pirámide, o entre esta, el radio de la base y la arista de la pirámide. • En la sección “Sabías que…” aparece un templo con forma de tronco de pirámide. Debemos aprovechar la ocasión para realizar su desarrollo plano y describir sus elementos. • A partir de los desarrollos planos, tanto de la pirámide como del tronco de pirámide, conviene hacer algún ejemplo sencillo donde se calculen las áreas de sus caras y sus bases. ACTIVIDADES POR NIVEL Básico
17, 45 y 46
Medio
18 y 48
7. Poliedros regulares y semirregulares • Se debe trabajar en clase con el cálculo del valor de los ángulos poliedros de estos cuerpos geométricos, y sabiendo que se necesitan tres caras como mínimo para formar un ángulo poliedro, observar el número máximo de caras triangulares regulares que pueden formar un ángulo poliedro, lo mismo con cuadrados que con pentágonos regulares, para que sepan por qué no hay más que cinco poliedros regulares. 8
Unidad 12
Cuerpos geométricos
• Deben conocer el nombre que se le da a cada poliedro regular, el polígono regular que forma sus caras y el número de ellas que tiene. • En el texto aparecen dos poliedros semirregulares, y se indica además cómo se obtienen a partir de un poliedro regular. Para profundizar en este tipo de poliedros podemos pedir a los alumnos que busquen cuántos hay, cuántas caras tienen y cuáles son, y cómo se obtienen a partir de un poliedro regular. • Se puede hacer alguna referencia histórica de por qué se llaman sólidos platónicos los poliedros regulares y sólidos arquimedianos los semirregulares. Podríamos aprovechar para que los alumnos investiguen sobre ello y realizaran algún trabajo y lo expusieran ante sus compañeros. ACTIVIDADES POR NIVEL Básico
19
Medio
20
Alto
43
8. Cilindros • La comprensión del cilindro como cuerpo redondo es un concepto sencillo para los alumnos, tienen que controlar sus elementos básicos: generatriz, radio de la base y altura. Deben saber que es un cuerpo cerrado para distinguirlo de una superficie cilíndrica. • Conviene que los alumnos se den cuenta de que a partir de un rectángulo pueden obtenerse dos cilindros diferentes. • A través de los desarrollos esquemáticos se puede hacer el cálculo del área lateral aplicando la del rectángulo para su área lateral y la del círculo para sus bases. De este modo repasan áreas y profundizan en el conocimiento de la figura. ACTIVIDADES POR NIVEL Básico
21 y 22
Medio
49
9. Conos • Al igual que el cilindro, el cono como cuerpo redondo es un concepto sencillo para ellos, tienen que controlar sus elementos básicos: generatriz, vértice, radio de la base y altura. También se debe insistir en que es un cuerpo cerrado. • Conviene recalcar la relación geométrica que existe entre la altura, la generatriz y el radio. • Se deben trabajar los desarrollos esquemáticos tanto del cono como del tronco de cono, y hacer algún ejemplo donde se calculen las áreas laterales y de la(s) base(s). De este modo repasan áreas y profundizan en el conocimiento de las figuras. Esto se tratará con profundidad en el próximo tema. ACTIVIDADES POR NIVEL Básico
24 y 56 a 58
Medio
25, 50 a 52 y 62
Alto
26
Sugerencias didácticas
10. Esferas
Pon a prueba tus competencias
• Este cuerpo obtenido al girar sobre su diámetro un semicírculo es muy interesante para los alumnos, pues la representación quizá más didáctica es nuestro globo terráqueo. Deben controlar sus elementos: polos, centro, radio, cuerda, diámetro, eje de rotación. Ellos tienen algunas nociones de Ciencias Sociales, seguramente ya han oído hablar de paralelos y meridianos de la esfera terrestre. • Deben observar que no tiene desarrollo en el plano. • Se deben trabajar las secciones planas de una esfera y sus perímetros en este tipo de ejercicios, teniendo que hacer uso del teorema de Pitágoras. • También deben conocer los casquetes esféricos y las zonas esféricas y diferenciarlos.
ACTIVIDADES POR NIVEL Básico Medio Alto
28 29, 30, 53 y 63 54, 55 y 64
APRENDE A PENSAR. GRANDES COLOSOS Con esta actividad puede valorarse el importante desarrollo de la tecnología al servicio de la arquitectura. Podemos dividir la clase en grupos y que cada uno de ellos se encargue de buscar imágenes de uno de los rascacielos que figuran en la gráfica de la pregunta 2 y elaboren un pequeño informe sobre los elementos geométricos que distinguen en dichos edificios. Para la pregunta 3 es preciso considerar que la altura total de la pirámide es de 450 metros. La pregunta 4 va encaminada a que los alumnos recopilen información que utilizarán después en la pregunta 5. A partir de la información obtenida podemos hacer que reflexionen sobre el gasto excesivo que hacen algunos países para ser reconocidos internacionalmente, mientras que su población pasa necesidades. En la pregunta 5 se propone realizar un debate en un blog, con el fin de desarrollar la competencia de aprender a pensar. Además de esta competencia, también trabajaremos: – La competencia lingüística, en concreto la subcompetencia escrita.
Organiza tus ideas
– La competencia social y ciudadana.
• El esquema-resumen de la unidad se divide en tres partes: posiciones relativas de puntos, rectas y planos en el espacio, poliedros y cuerpos redondos.
– La competencia de interacción con el mundo físico, valorando el desarrollo científico-tecnológico.
• Como actividades que sirvan para que los alumnos trabajen el esquema-resumen, pueden hacerse las siguientes: – Indicar el número y tipo de caras de los poliedros regulares. – Comprobar en cada uno de los poliedros que aparecen la fórmula de Euler. – Marcar en el desarrollo plano del prisma y de la pirámide sus elementos. – Indicar tanto en la pirámide como en el cono las relaciones que hay entre alguno de sus elementos mediante el teorema de Pitágoras. – Completarlo con el estudio de los troncos de pirámide y cono.
– La subcompetencia de desarrollo de la autonomía personal.
ANALIZA Y CONSTRUYE. ¿CON QUÉ LOS CONSTRUIMOS? Todas las actividades aquí propuestas giran en torno a la construcción de poliedros regulares con diferentes materiales. Pero no solo nos limitaremos a los regulares, podemos extendernos a cualquier poliedro. Podemos dividir la clase en grupos y que cada uno de ellos se encargue de construir el mismo poliedro con materiales diferentes. Además podemos pedir a cada grupo que elabore una pequeña ficha informativa sobre el poliedro que construya con el fin de colocarla junto al cuerpo geométrico en la exposición que puede hacerse con todas las construcciones.
MANIPULA Y DA FORMA. ¡CON PAPEL!
Actividades de ampliación Con estas actividades desarrollamos las competencias de aprender a aprender y de autonomía e iniciativa personal. Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, decidiendo cuáles son los más apropiados para resolver cada una de las actividades. Asimismo, deberán elaborar sus propias estrategias para resolverlos, dado que no son problemas guiados ni se ajustan a patrones preestablecidos que ya conozcan, lo que puede resultarles muy estimulante, aunque al comienzo les asuste un poco.
Empezaremos construyendo primero los módulos elementales que nos indican en la dirección, para lueg o ir formando los diferentes poliedros, siguiendo siempre las instrucciones. Con el fin de que la exposición sea llamativa, pediremos a cada uno de los alumnos que traiga a clase una cartulina de color para construir los módulos elementales. Una vez que los alumnos se hayan familiarizado con la construcción de poliedros mediante módulos, podrían realizar el taller que se indica en la actividad 2 y englobarlo dentro de la Semana Cultural del centro si la hubiese.
En la página 16 presentamos una matriz de evaluación que el profesor puede utilizar para evaluar el grado de consecución de las competencias básicas trabajadas a lo largo de esta unidad. Además, en www.smconectados.com puede descargar una aplicación informática que le facilitará esta tarea.
Cuerpos geométricos
Unidad 12
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Actividades de refuerzo Unidad
12 Cuerpos
geométricos
ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Los objetivos principales que los alumnos deberían alcanzar son: • Identificar elementos básicos (puntos, rectas y planos) en el espacio y sus posiciones relativas. • Clasificar cuerpos geométricos. • Identificar elementos básicos de prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas. En esta unidad es especialmente importante la representación de las figuras y sería deseable que, además, se hiciese de manera lo más precisa posible. También es interesante que en el aula se disponga de los distintos cuerpos geométricos para que el alumno pueda visualizar sobre ellos líneas y medidas, o hacer referencia a objetos o lugares próximos en que puedan identificarse estos.
ACTIVIDAD DE GRUPO Constructores en acción
Se pueden hacer grupos de seis alumnos para que con cartulinas y solo utilizando figuras poliédricas sencillas o cuerpos de revolución construyan una maqueta de una calle, plazoleta, iglesia, etc. Para realizar este trabajo, los alumnos tendrán que observar el lugar que van a representar, asignar distintos cuerpos geométricos a cada elemento observado y construir las figuras a partir de su desarrollo plano, respetando la escala.
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS r y s
son dos rectas secantes. r es secante al plano P .
son planos paralelos. s y t son dos rectas paralelas.
a) b)
2.
a) Las vías del tren b) Una pared y el suelo c) Una carretera y la línea continua que separa los dos sentidos.
3.
a)
Cuerpo
Caras laterales
Caras de la base
Nombre del poliedro
Regular
A
Triángulos
Pentágono
Pirámide pentagonal oblicua
No
Triángulos equiláteros
B
Rectángulos
C
4.
A:
Cuadrados
Pentágonos regulares
D
b)
c) d)
P y Q
1.
Tetraedro
Sí
Ortoedro
No
Dodecaedro
Sí
E
Triángulos
Hexágono
Pirámide hexagonal
No
F
Romboides
Pentágonos
Prisma pentagonal oblicuo
No
Cuerpo
N.º de caras
N.º de vértices
N.º de aristas
Relación de Euler
A
6
6
10
6 + 6 = 10 + 2
B
4
4
6
4+4=6+2
C
6
8
12
6 + 8 = 12 + 2
cono; B: cilindro; C: paralelepípedo; D: prisma triangular; E : esfera; F : tetraedro.
5.
Radio
Base Altura O
O’
Generatriz
En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.
10
Unidad 12
Cuerpos geométricos
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ACTIVIDADES de REFUERZO Unidad 1.
12 Cuerpos
geométricos
Dados los siguientes elementos, señala cuál es la posición relativa de: a) r y s
s Q
P
t
r
b) r y P
2.
c)
P y Q
d)
s
y T
Pon un ejemplo real de: a) Dos rectas paralelas b) Dos planos secantes c) Una recta contenida en un plano
3.
Observa los siguientes poliedros. B
A
6 cm
C
6 cm
D
E
F
8 cm
5 cm
a) Completa la tabla, indicando los nombres de los polígonos que forman sus caras laterales, sus bases, el nombre del poliedro y si es regular o no. Cuerpo
Caras laterales
Caras de la base
Nombre del poliedro
Regular
A B C D E F
b) Comprueba si se cumple la relación de Euler para las figuras A, B y C. 4.
En una caja de bombones, todos los dulces tienen formas geométricas. ¿Puedes identificar con qué cuerpo geométrico se corresponde cada uno? B o m b o n e s
5.
Señala los elementos del cilindro: e l b a i p o c o t o f a n i g á P
Cuerpos geométricos
Unidad 12
11
Actividades de ampliación Unidad
12 Cuerpos
geométricos
ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Los alumnos que tienen un nivel bueno e interés por la asignatura suelen disfrutar con la geometría, ya que pueden construir las figuras y manejarlas, observar cómo pueden inscribirse unos poliedros en otros, los que resultan de cortar por un plano un poliedro… Los ejercicios propuestos contribuyen a desarrollar la capacidad de visión espacial de los alumnos. Trabajar en el espacio no es fácil, y deben fomentarse este tipo de actividades. También se puede sugerir a los alumnos más interesados que investiguen sobre los sólidos platónicos y los sólidos arquimedianos, y realicen un trabajo mural, con gráficos y cuerpos sólidos que ellos pueden construir.
ACTIVIDAD DE GRUPO El mayor cuerpo geométrico
A partir de una hoja de papel cuadriculado igual para todos, se propone realizar el cuerpo geométrico (prisma, pirámide, cilindro o cono) de mayor superficie posible. Para ello será necesario que los alumnos dispongan de un lápiz, de pegamento y de unas tijeras. El hecho de que el papel sea cuadriculado facilitará el cálculo de la superficie, si bien se debe recomendar a los alumnos que consideren las distintas opciones antes de empezar a cortar y calculen, con el material del que disponen, qué figura les conviene y qué dimensiones tendrá la de área máxima. Evidentemente, dado que no saben todavía maximizar funciones, deberán hacerlo por tanteo. En el mismo sentido, se reparten cordeles de una longitud dada (por ejemplo, un metro) y se pide que con la ayuda de los desarrollos de cuerpos geométricos hallen el que puedan delimitar con mayor superficie.
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1.
a)
5.
9
9
r =
29,7 =
4
7,42 cm; h
=
12,86 cm
12 12
6.
9
a)
9
b) 15
12
15
Abase
15 12,7
Alateral Atotal
9
=
40,5 cm2 194,36 cm2 234,86 cm2
=
=
9
1
b) Se cortan las esquinas de un tetraedro a del vér3 tice. 4 hexágonos y 4 triángulos.
9
2,7
1
2.
c) Se cortan las esquinas de un octaedro a del vér3 tice. 8 hexágonos y 6 cuadrados.
La figura es un octaedro regular. 7,1 cm a =
7. 3.
4.
Altura
=
10 cm. Generatriz
=
18,03 cm. 16,58 cm Debemos elegir la caja A. D A
=
DB
=
11,2 cm
r 1
=
r 2
=
5 cm 5 3 3
cm
En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.
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Unidad 12
Cuerpos geométricos
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ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN Unidad 1.
12 Cuerpos
geométricos
Un ortoedro de altura 12 cm y base cuadrada de lado 9 cm se corta por un plano que pasa por un vértice de la cara superior y por la diagonal de la base, dividiéndolo en dos partes, una de ellas una pirámide triangular. a) Realiza el dibujo esquemático del corte y de las dos figuras geométricas resultantes. b) Dibuja esquemáticamente el desarrollo de la pirámide triangular. ¿Podrías calcular su área total?
2.
En un cubo de arista 10 cm inscribimos un poliedro que tiene como vértices los centros de sus caras. ¿Qué nuevo poliedro regular es este? ¿Cuánto mide su arista? Nota: si un poliedro se puede inscribir en otro, se denominan poliedros duales.
3.
Por un plano paralelo a la base de radio 5 cm y a 4 cm de ella hemos cortado un cono obteniendo una sección circular de 3 cm. Calcula qué altura tenía el cono y cuánto medía su generatriz.
4.
Tenemos dos cajas, A y B. A. Tiene forma de prisma hexagonal regular recto de altura 15 cm y de 5 cm cada lado de la base. B. Tiene forma de ortoedro de 15 cm de alto y base un cuadrado de 5 cm de lado.
¿En cuál de las dos cajas podríamos guardar un lapicero de 18 cm de longitud? 5.
Con un papel de tamaño DIN A4 (21 × 29,7 cm) queremos construir un cono cuyo radio de la base sea el mayor posible. ¿Podrías decirnos el radio de la base y su altura?
6.
Ya conoces el cuboctaedro, poliedro semirregular que se obtiene al cortar un cubo por los planos que unen los puntos medios de los tres lados de cada vértice. Queda formado por 6 cuadrados y 8 triángulos equiláteros. El cubo truncado se obtiene al cortar las esquinas del cubo a un tercio del vértice. Está formado por 6 hexágonos regulares y 8 triángulos equiláteros.
a) Dibuja el poliedro y su desarrollo plano. b) A partir del tetraedro se puede obtener el tetraedro truncado. Averigua cómo hay que cortarlo para obtener el poliedro semirregular y dibuja la figura resultante. c) Si se corta un octaedro de una determinada manera, también se obtiene un poliedro semirregular, el octaedro truncado. ¿Cómo hay que cortarlo? ¿Cómo es la figura resultante? 7.
Dentro de un cubo de lado 10 cm se construye una esfera. Dentro se inscribe un cubo, y dentro del cubo, otra esfera. Calcula la medida de los radios de las dos esferas.
e l b a i p o c o t o f a n i g á P
Cuerpos geométricos
Unidad 12
13
PROPUESTA de EVALUACIÓN Unidad
12 Cuerpos
geométricos
APELLIDOS:
NOMBRE:
FECHA:
1.
CURSO:
GRUPO:
Dibuja dos planos paralelos, una recta que interseccione con los dos y otra recta contenida en uno de los planos, que no corte a la anterior. ¿Cómo son entre sí las dos rectas?
2.
B
A
C
D
F
E
G
a) De las figuras de la ilustración, indica cuáles son poliedros y determina si estos son cóncavos o convexos. b) Completa los siguientes datos en la tabla y añade las filas necesarias con los poliedros que hayas encontrado en la ilustración, y comprueba la relación de Euler. Letra
Caras
Vértices
Aristas
Relación de Euler
3.
A
B
C
D
E
a) Clasifica los poliedros del dibujo, razonando la respuesta. b) En los poliedros regulares que hayas identificado, comprueba que se verifica la relación de Euler. c) Dibuja el desarrollo plano del poliedro B. 4.
Un ortoedro de base cuadrada de lado 6 cm y de altura 10 cm se corta por cuatro planos perpendiculares a las bases que pasan por los puntos medios de los lados de sus bases. a) Realiza un dibujo esquemático del corte. b) ¿Qué figura geométrica queda delimitada entre esos planos y las bases del ortoedro inicial? Realiza su desarrollo y calcula sus dimensiones.
5.
Dibuja esquemáticamente y nombra el cuerpo geométrico que se obtiene y los elementos que de él conozcas si: a) Un rectángulo de dimensiones 3 y 4 cm gira 360° sobre el lado de 4 cm. b) Un triángulo rectángulo de catetos 3 y 4 cm gira alrededor del cateto de 4 cm. c) Un semicírculo de radio 5 cm gira alrededor de su diámetro.
e l b a i p o c o t o f a n i g á P
14
6.
Con un papel de tamaño DIN A4 (21 × 29,7 cm) construimos un cilindro uniendo sus bordes, dejando como altura su lado menor. ¿Podrías decirnos el radio de la base y su área lateral?
7.
Si se cae una pelota a un lago, ¿cómo se llama, en términos geométricos, la parte del balón que emerge?
Unidad 12
Cuerpos geométricos
Propuesta de evaluación Unidad
12
Cuerpos geométricos
SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1.
r
α
Son rectas que se cruzan. β
s
2.
a) Son poliedros convexos A, C y F . El G es un poliedro cóncavo. b)
3.
Caras
Vértices
Aristas
Relación de Euler
A
8
12
18
8 + 12 = 18 + 2
C
4
4
6
4+4=6+2
F
9
9
16
9 + 9 = 16 + 2
G
7
10
15
7 + 10 = 15 + 2
a) A: octaedro B:
b)
4.
Letra
C: pirámide pentagonal oblicua
dodecaedro
D:
Letra
ortoedro
Caras
Vértices
Aristas
Relación de Euler
A
8
6
12
8 + 6 = 12 + 2
B
12
20
30
12 + 20 = 30 + 2
D
20
12
30
20 + 12 = 30 + 2
a)
c)
b) Queda delimitado otro ortoedro de base cuadrada. l
3 cm
4,2 cm
3 cm
10 cm
5.
E :
icosaedro
10 cm
a) Cilindro
b) Cono
c) Esfera
Radio
Radio z i r t a r e n e G
Altura
6.
Radio = 4,7 cm. Alateral = 623,7 cm2
7.
Casquete esférico
a r u t l A
z i r t a r e n e G
Radio
Cuerpos geométricos
Unidad 12
15
SOLUCIONARIO
2
O S E
SOLUCIONARIO
2
O S E