GUÍA DIDÁCTICA
UNIDAD
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Semejanza. Teorema de Tales 2
O S E
CONTENIDO
1 Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2 Su Suge gerrenc encias ias di didác dáctic ticas as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3 Actividades de ref refuerzo uerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
4 Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
5 Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
6 Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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*Esta programación programación y la concreción curricular de tu Comunidad Autónoma Autónoma podrás encontrarlas encontrarlas en el CD Programación y en www.smconectados.com.
Programación de aula Unidad
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Semejanza. Teorema de Tales
En este tema abordamos el concepto de semejanza, que está presente en cantidad de actuaciones de la vida de nuestros alumnos. Todos se han hecho fotos, fotocopias con sus ampliaciones y reducciones; han trabajado con mapas, planos, callejeros, etc., por lo que el concepto intuitivo de semejanza lo tienen claro, así como el conocimiento de la igualdad entre las formas. Aparece continuamente en el mundo de la imagen, del diseño gráfico, en la moda, en el arte, donde la proporcionalidad y la semejanza entre formas suelen estar relacionadas con el concepto de belleza y armonía. Lo que puede resultar más difícil para los alumnos es, a través de la observación de una figura semejante (foto, plano, fotocopia, etc.), determinar su tamaño en la realidad, pasar de la percepción a la concreción. Dentro de la unidad, el alumno construirá figuras semejantes a una dada que guarde las proporciones adecuadas a la razón de semejanza que se establezca. Es importante que trabajen siempre con material de dibujo y realicen sus gráficos de modo preciso. También se abordará la comprobación de la semejanza entre dos figuras, que requiere un trabajo previo del conocimiento de los criterios de semejanza, para lo cual se empezará por los triángulos, lo que dará lugar a la introducción del teorema de Tales y sus aplicaciones. El planteamiento de ejercicios de cálculo de distancias a puntos inaccesibles en la realidad donde se aplique la seme janza es imprescindible en el desarrollo de esta unidad.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
OBJETIVOS 1.
2.
3.
4.
Comprender y aplicar el teorema de Tales.
Identificar figuras semejantes.
Comprender el concepto de razón de semejanza.
Resolver problemas métricos a través de la interpretación de planos, mapas, etc.
1.1
Utilizar el teorema de Tales para determinar medidas.
1.2
Aplicar el teorema de Tales para dividir un segmento en partes iguales.
1.3
Aplicar el teorema de Tales para dividir un segmento en partes proporcionales.
2.1
Aplicar los criterios de semejanza de triángulos.
2.2
Identificar polígonos semejantes.
3.1
Calcular la razón de semejanza entre dos figuras.
3.2
Relacionar las áreas y volúmenes de figuras semejantes del plano y el espacio.
4.1
Utilizar la escala y la semejanza para interpretar planos y mapas.
COMPETENCIAS BÁSICAS
• Lingüística • Matemática • Interacción con el mundo físico • Social y ciudadana • Cultural y artística • Tratamiento de la información y competencia digital • Aprender a aprender
CONTENIDOS • • • • • • • • • •
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Figuras semejantes. Triángulos Razón de semejanza. Cálculo de la razón de semejanza Teorema de Tales Triángulos en posición de Tales Utilización del teorema de Tales para obtener medidas División de un segmento en partes iguales División de un segmento en partes proporcionales Criterios de semejanza de triángulos Identificación de triángulos semejantes Razón de semejanza de las áreas de figuras semejantes del plano
Unidad 11
Semejanza. Teorema de Tales
• Razón de semejanza de los volúmenes de figuras seme jantes del espacio • Construcción de figuras semejantes • Mapas, planos y maquetas. Escalas • Utilización de la escala para crear o interpretar planos y maquetas • Reconocimiento y valoración de la importancia del teorema de Tales en aplicaciones cotidianas • Valoración y reconocimiento de la utilidad de las escalas para poder estudiar en el papel objetos, terrenos, etc., cuyo tamaño hace imposible su estudio en la realidad
Programación de aula
ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1.
Conocimientos previos
Para que los alumnos manejen con soltura el cálculo de medidas a través del teorema de Tales y distancias reales entre dos puntos, conociendo su distancia sobre un plano, mapa o escala, es preciso que dominen las unidades de medida de longitud, superficie y volumen. También es preciso que estén familiarizados con los instrumentos de dibujo. 2.
Previsión de dificultades
Los alumnos no suelen tener dificultad en percibir a través de la vista la semejanza entre figuras, pero a la hora de representar o analizar la relación existente entre ellas pueden encontrar dificultades. Deben abordar este tema siempre con ayuda de material de dibujo, regla, compás, transportador, etc., para realizar la representación gráfica adecuada en cada caso con las medidas pertinentes. 3.
Vinculación con otras áreas
La proporción geométrica está presente en el mundo del arte y en la observación de las medidas de la naturaleza. Basta recordar algunos ejemplos de la presencia de la proporción más conocida, la proporción áurea: Partenón, concha del Nautilus, La Gioconda. 4.
Esquema general de la unidad
La unidad comienza con una imagen que ilustra perfectamente la idea de semejanza. En el primer epígrafe se introducen las figuras semejantes con ampliaciones y reducciones de una fotografía para que los alumnos analicen de un modo intuitivo la escala o razón de semejanza, estableciendo cuándo dos polígonos son semejantes y particularizándolo en el caso de los triángulos. A continuación se enuncia el teorema de Tales y se indica cuándo dos triángulos están en posición de Tales, para poder aplicarlo a la división de un segmento en partes iguales o en partes proporcionales. Se trabajan los criterios de semejanza de triángulos. Aquí es donde deben precisar y tener un concepto claro del valor exacto de la razón de semejanza como número abstracto, relacionándola también con el área y el volumen de figuras seme jantes en el plano y en el espacio.
FIGURAS SEMEJANTES Razón de semejanza
A partir de este momento se pueden construir triángulos y polígonos semejantes utilizando la división de un segmento en partes iguales.
Criterios de semejanza TEOREMA DE TALES
En este tipo de ejercicios se debe exigir precisión y exactitud, trabajando con papel cuadriculado o milimetrado. Por último, se hará la interpretación de planos, mapas, fotocopias, etc., para utilizar el concepto de escala. Se deben trabajar ejemplos sencillos en un principio, pues los alumnos suelen tener dificultades con su interpretación y precisión, sobre todo con cambios de unidades. 5.
División de un segmento Construcción de figuras semejantes Planos, maquetas y mapas
Temporalización
Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en ocho sesiones: 1.ª Introducción. Figuras semejantes. Razón de semejanza 2.ª Teorema de tales. Triángulos en posición de Tales 3.ª División de un segmento 4.ª Criterios de semejanza de triángulos. Razón de semejanza de longitudes, áreas y volúmenes 5.ª Construcción de figuras semejantes 6.ª Mapas, planos y maquetas. Escalas 7.ª Actividades de repaso y consolidación 8.ª Trabajo de las competencias mediante la doble página final de la unidad En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ej ercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto, el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.
Semejanza. Teorema de Tales
Unidad 11
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Programación de aula
CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia lingüística Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. El texto de entrada, los problemas con enunciado contextualizado y las actividades competenciales finales desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en la subcompetencia decomunicación escrita. En la entrada de la unidad y en la introducción de las actividades de “En el país de los gigantes” se hace referencia al libro Los viajes de Gulliver, lo que permite trabajar de una forma específica el descriptor adquirir el hábito de la lectura y aprender a disfrutar con ella considerándola fuente de placer y conocimiento.
Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. Al estar dedicada la unidad a la semejanza y sus aplicaciones, se desarrollan las subcompetenciasrazonamiento y argumentación y uso de elementos y herramientas matemáticos.
Competencia para la interacción con el mundo físico La interpretación y el uso de mapas, planos y maquetas para representar la realidad nos permiten desarrollar el descriptor conocer y valorar la aportación del desarrollo de la ciencia y la tecnología a la sociedad.
Competencia social y ciudadana El texto inicial y el de “En el país de los gigantes” permiten trabajar la subcompetencia desarrollo personal y social. El debate que puede establecerse a raíz de la actividad 5 de “En el país de los gigantes” desarrolla la subcompetenciacompromiso solidario con la realidad personal y social, en concreto el descriptor respetar y defender los principios universales que contiene la Declaración de los Derechos Humanos.
Competencia cultural y artística Con el visionado del vídeo sobre las maquetas de trenes que indica la actividad III de “Desarrolla tus competencias” podremos trabajar la subcompetencia sensibilidad artística.
Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas. Se trabajan las subcompetencias de obtención, transformación y comunicación de la información.
Competencia para aprender a aprender La creación y utilización de reglas mnemotécnicas permitirá que los alumnos desarrollen la competencia Aprender a aprender a través del descriptor conocer y aplicar, según las necesidades, las estrategias que favorecen el aprendizaje, como las técnicas de estudio y de memorización de la subcompetencia manejo de estrategias para desarrollar las propias capacidades y generar conocimiento.
Competencia para la autonomía e iniciativa personal Las actividades finales de la entrada permiten trabajar la subcompetencia desarrollo personal y social.
Otras competencias de carácter transversal Aprender a pensar El proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido crítico del alumno. La unidad presenta oportunidades en las que las actividades exigen al alumno este ejercicio reflexivo y crítico. En esta unidad se propone un tema de debate en internet en la actividad de Aprende a pensar sobre El país de los gigantes en la que, además de la competencia social y ciudadana, citada explícitamente en la tabla de la página siguiente, se trabajan las competencias y subcompetencias: • Lingüística: Comunicación escrita • Tratamiento de la información y competencia digital: Uso de las herramientas tecnológicas y uso ético y responsable de la información y las herramientas tecnológicas. • Aprender a aprender: Manejo de estrategias para desarrollar las propias capacidades y generar conocimiento. • Autonomía e iniciativa personal: Desarrollo de la autonomía personal En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunos temas de reflexión y debate en relación con las actividades señaladas.
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Unidad 11
Semejanza. Teorema de Tales
Programación de aula
TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDAD A lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidad sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores competenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.
COMPETENCIA
1. nivel de concreción 2.º nivel de concreción
Lingüística
DESCRIPTOR
DESEMPEÑO
3. nivel de concreción
4.º nivel de concreción
SUBCOMPETENCIA
er
Comunicación escrita
er
Aplicar de forma efectiva habilidades lingüísticas y estrategias no lingüísticas para interactuar y producir textos escritos adecuados a la situación comunicativa. Adquirir el hábito de la lectura y aprender a disfrutar con ella considerándola fuente de placer y conocimiento.
Razonamiento y argumentación
Matemática Uso de elementos y herramientas matemáticos
Interacción con el mundo físico
Conocer y utilizar los elementos matemáticos básicos (distintos tipos de números, medidas, símbolos, elementos geométricos, etc.) en situaciones reales o simuladas de la vida cotidiana.
Pon a prueba tus competencias: Escucha y aplica, 2 y 3 – Se interesa por leer Los viajes de Gulliver.
Desarrolla tus competencias Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensar – Aplica razonamientos matemáticos para decidir si King Kong podría mantenerse sobre sus pata s.
Pon a prueba tus competencias: Analiza la ficción, 2 – Usa la proporcionalidad geométrica.
Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensar, 1 a 3 Analiza la ficción, 1 y 2
Conocer y aplicar herramientas matemáticas para interpretar y producir distintos tipos de información (numérica, gráfica…).
– Realiza dibujos y mapas a escala.
Conocimiento y valoración del desarrollo científicotecnológico
Conocer y valorar la aportación del desarrollo de la ciencia y la tecnología a la sociedad
– Valora el uso de mapas y maquetas para representar la realidad.
Desarrollo personal y social
Desarrollar el juicio moral para tomar decisiones y razonar críticamente sobre la realidad de forma global, teniendo en cuenta la existencia de distintas perspectivas.
– Debate sobre las consecuencias del descubrimiento de culturas con otras características.
Compromiso solidario con la realidad personal y social
Respetar y defender los principios universales que contiene la Declaración de los Derechos Humanos.
– Fomenta la igualdad entre compañeros.
– Muestra admiración por las maquetas de trenes.
Sensibilidad artística
Adquirir sensibilidad y sentido estético para comprender, apreciar, emocionarse y disfrutar con el arte y otras manifestaciones culturales.
Social y ciudadana
Cultural y artística
Estimar y enjuiciar la lógica y validez de argumentaciones e informaciones y analizar críticamente los resultados
– Practica con reglas mnemotécnicas.
Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensar, 1 y 2
Mapas, planos y maquetas
Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensar, 4 Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensar, 5 Desarrolla tus competencias Ejemplo 14 – Busca en internet para complementar la información.
Tratamiento de la información y competencia digital
Obtención, transformación y comunicación de la información
Buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad.
Desarrolla tus competencias Pon a prueba tus competencias: Escucha y aplica – Visita librosvivos.net para realizar distintas actividades.
Actividades 11, 16 y 25 Aprender a aprender
Manejo de estrategias para desarrollar las propias capacidades y generar conocimiento
Conocer y aplicar, según las necesidades, las estrategias que favorecen el aprendizaje, como las técnicas de estudio.
– Construye sus propias reglas mnemotécnicas.
Pon a prueba tus competencias: Escucha y aplica, 2 y 3
Semejanza. Teorema de Tales
Unidad 11
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Programación de aula
EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades para el trabajo específico de las competencias que se citan en la tabla de la página anterior nos permiten desarrollar algunos aspectos relacionados con la educación en valores : • Educación para los derechos humanos: actividad 5 de “El país de los gigantes”.
ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Hay que recordar que los ejercicios resueltos y propuestos en el libro de texto están clasificados por un código de colores según su dificultad: verde, nivel básico; naranja, nivel medio, y rojo, de alguna dificultad. De esta forma, el profesor podrá adaptar el contenido de la unidad bien a las características particulares de la clase, bien a las específicas de cada grupo de alumnos dentro de la misma. Además, en este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno: • Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido. • Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cada unidad del libro. • Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asimilación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados. • Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve para evaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situaciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.
MATERIALES DIDÁCTICOS Repaso de contenidos de cursos anteriores
• Cuaderno de Matemáticas. 1.º de ESO. N.º 6. “Medida” – Unidad I. Sistema Métrico Decimal • Cuaderno de refuerzo de Matemáticas: “Aprende y aprueba”. 1.º de ESO – Unidad 7. Medida s o c i f á r g o i l b i B
SM
Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso
• Cuaderno de refuerzo de Matemáticas. 2.º de ESO. “Aprende y aprueba” – Unidad 7. Teoremas de Tales y de Pitágoras • Cuaderno de Matemáticas. 2.º de ESO. N.º 6: “Geometría y medida” – Unidad IV. Semejanza • Cuaderno de Matemáticas para la vida. 2.º de ESO – Diseña tu ruta, Números en casa, Alturas inaccesibles y El local perfecto
Otros
SM t e n r e t n I
• VV. AA.: Las matemáticas de la vida cotidiana, Addison-Wesley / Ediciones de la UAM, Madrid, 2006. El capítulo 16 está dedicado al crecimiento y la forma, donde p odremos encontrar aplicaciones curiosas y motivadoras de la semejanza. www.smconectados.com www.librosvivos.net
Semejanza en el libro digital de 2.º de ESO de educación a distancia: Otros
www.e-sm.net/2esomatprd20
Unidad didáctica del teorema de Tales en Descartes: www.e-sm.net/2esomatprd21
s e s l i o a r r t e O t a m
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Unidad 11
• Mapas, planos y maquetas • Material de dibujo: compás, regla, escuadra y cartabón
Semejanza. Teorema de Tales
Sugerencias didácticas Desarrolla tus competencias La fotografía de entrada en la que se ve a Gulliver tumbado en el suelo, atado y rodeado de liliputienses muestra al alumno de una forma llamativa la idea de semejanza. Existen muchos trabajos en la red sobre las matemáticas escondidas en Los viajes de Gulliver . Jakov Perelman, en su libro Problemas y experimentos recreativos , dedica un capítulo a ello. I. Con esta actividad podemos ver la relación existente entre el volumen y las figuras semejantes. En el libro, Swift indica que la proporción entre los liliputienses y Gulliver era de 1 a 12, tanto en estatura como en peso y en contorno. Tanto Gulliver como los liliputienses son personas tridimensionales, por lo que parece lógico que la cantidad diaria de comida de Gulliver fuera aproximadamente 123 veces lo que comía un liliputiense. II y III. Para realizar estas actividades indicaremos a los alumnos que establezcan una proporción y que calculen las diferentes medidas como están acostumbrados a hallar los términos desconocidos de una proporción. Convendría que les recomendáramos buscar previamente las dimensiones de la Torre Eiffel.
1. Figuras semejantes. Triángulos semejantes • Para la observación y comprensión del concepto de seme janza se puede recurrir a material gráfico, como fotos y fotocopias con ampliaciones y reducciones, donde puedan observar que se mantiene la forma, la igualdad entre los ángulos de las figuras representadas y la proporcionalidad de las medidas de sus segmentos. • A la hora de establecer la relación de semejanza conviene hacer ver a los alumnos que algunos de ellos obtendrán por razón de semejanza la inversa de la que hayan obtenido los otros, en función del orden en que relacionen las figuras. • En el reconocimiento de triángulos semejantes se puede comenzar con triángulos que en el gráfico tengan sus lados paralelos, pero se deben hacer representaciones de triángulos semejantes que se encuentren girados, invertidos, etc., para que recurran a la medida de ángulos y de lados siempre, para hacer sus comprobaciones. ACTIVIDADES POR NIVEL Básico
2, 3, 26 y 27
Medio
29 a 32
Alto
33
2. Teorema de Tales • Trabajando con segmentos en los que se utilizan las medidas reales, con el apoyo del material de dibujo, y construyendo el trazado correcto de las paralelas (técnica que deben controlar con ayuda de la regla y la escuadra) que dividen en segmentos proporcionales dos rectas que se cortan en un punto, pueden comprobar realmente la proporcionalidad establecida por Tales. Para ello deben medir
los segmentos y realizar las comprobaciones. Si no obtienen los resultados esperados, analizarán los errores cometidos en su construcción, lo que les servirá de ayuda para la corrección de sus propios fallos. Observarán que la razón de semejanza es un número abstracto. • En este punto no puede demostrarse la semejanza de los triángulos en posición de Tales, pero cuando enunciemos los criterios de semejanza de triángulos, resultará obvio. • En el ejercicio resuelto 4 es importante indicar a los alumnos que para calcular x se ha aplicado el teorema de Tales y que para calcular y se ha utilizado la semejanza de triángulos. • Como actividad complementaria podemos pedir a los alumnos que busquen información sobre Tales de Mileto, situándolo en la época en que vivió y enumerando alguno de los cálculos matemáticos que realizó. ACTIVIDADES POR NIVEL Básico
5, 6 y 28
Medio
37
3. División de segmentos • Una de las aplicaciones del teorema de Tales es la división de segmentos en partes iguales, que tiene una aplicación didáctica de gran utilidad para la representación exacta sobre la recta real de números fraccionarios. • Podemos proponer ejercicios de representación de números fraccionarios de diferentes rangos de valores, donde los alumnos puedan observar que tienen que utilizar el concepto de escala y hacer representaciones diferentes, y que no pueden representarlos sobre el mismo eje. ACTIVIDADES POR NIVEL Básico
7 y 34
Medio
8, 35 y 36
4. Criterios para determinar la semejanza de triángulos • Para la observación y adecuada comprensión de estos criterios se debe procurar que los alumnos trabajen con regla, escuadra o cartabón, compás y transportador, y observen cómo se cumplen estos criterios entre triángulos semejantes con la ayuda de la medida. • Siempre deben tener en cuenta que en un triángulo, a ángulo mayor se opone siempre un lado de mayor medida, clave en la representación de triángulos semejantes que no se encuentran en la posición de Tales o donde no se puede establecer una relación de paralelismo a simple vista entre sus lados. • Una vez explicados los criterios de semejanza, podríamos particularizarlos para el caso de triángulos rectángulos, indicando que para que dos triángulos rectángulos sean semejantes basta con cualquiera d e estas condiciones: Semejanza. Teorema de Tales
Unidad 11
7
Sugerencias didácticas
– Que tengan un ángulo agudo igual. – Que sus catetos sean proporcionales. – Que un cateto y la hipotenusa sean proporcionales. ACTIVIDADES POR NIVEL Básico
10 y 57
Medio
12 y 38
Alto
67
5. Semejanza y razón de longitudes, áreas y volúmenes • El trabajo con papel cuadriculado o milimetrado donde el alumno pueda observar cómo la ampliación o reducción de una figura repercute sobre la superficie que ocupa, y pueda hacerlo tomando como unidad de medida la superficie de una cuadrícula, le ayudará a la comprensión de la razón que existe entre las áreas de figuras semejantes. De este modo, cuando realice el proceso analítico del cálculo no se sorprenderá con el resultado, sino que se lo esperará y lo entenderá. • De modo análogo a lo que hicimos para comprobar la relación de la superficie con la razón de semejanza, llevaremos al aula cubos y formaremos con ellos dos cubos más grandes, uno de dos cubos pequeños por arista y otro de tres, para que comprendan la relación que existe entre los volúmenes de figuras semejantes. ACTIVIDADES POR NIVEL Básico
39 a 43
Medio
15, 17, 44 a 46 y 60 a 62
Alto
65, 68 y 69
6. Construcción de polígonos semejantes • Para la construcción de polígonos semejantes es muy útil la triangulación de los mismos y el trazado de paralelas a la distancia adecuada. • Se puede comenzar por la construcción de cuadriláteros semejantes, e ir poco a poco ampliando el número de lados. • Los alumnos deben trabajar la construcción de polígonos semejantes a uno dado con el centro de semejanza en un vértice del polígono, que es el método descrito en el epígrafe. Pero aquellos que tengan interés por aprender otros métodos pueden hacerlo en la dirección que viene en el margen. A estos alumnos se les puede dejar elegir que utilicen el método que les resulte más cómodo. Lo importante en este caso es la construcción correcta. ACTIVIDADES POR NIVEL
8
Básico
18 y 47 a 49
Medio
19
Unidad 11
Semejanza. Teorema de Tales
7. Mapas, planos y maquetas • Se puede sugerir como práctica de este apartado que sean los propios alumnos quienes traigan a clase este tipo de materiales, que seguramente serán muy sugerentes, como las maquetas, pues es muy probable que algunos de nuestros alumnos sean aficionados a las construcciones de maquetas de barcos, aviones, castillos medievales, etc. • Se puede proponer que calculen determinadas distancias en la realidad sobre el material que nos hayan proporcionado. • La utilización de GeoGebra, propuesta en el lateral, o de otros programas de geometría dinámica puede ayudar mucho a la comprensión de la composición de movimientos. ACTIVIDADES POR NIVEL Básico
21
8. Escalas • Los alumnos han manejado intuitivamente en mapas y planos este tipo de escalas, pero suelen encontrar dificultad para hacerse una idea de la medida real con la simple observación de la escala hasta que no hacen el cálculo exacto de alguna de las distancias concretas en el mapa, estableciendo la proporcionalidad dada por la escala, y entonces la toman como referencia. • Es importante que expresen de modo correcto tanto verbalmente como por escrito la relación a:b que representa la escala numérica como la razón entre la longitud determinada en la representación y la medida real que le corresponde. • La escala gráfica que acompaña a muchos planos o mapas suele ser mucho más útil para percibir las distancias reales, pues la visión simultánea del segmento que representa la escala y el gráfico da un conocimiento relativo de la medida real a simple vista. Pero no se deben dejar engañar por la vista, y regla en mano deben hacer las medidas y los cálculos pertinentes. • Se puede sugerir que busquen en el ordenador a través de internet mapas o planos de la calle donde viven, los impriman y calculen la anchura y longitud de determinadas calles, y observen que la mayoría de ellos van acompañados de la correspondiente escala gráfica. ACTIVIDADES POR NIVEL Básico
23, 50 a 52, 58 y 59
Medio
24, 53 a 56, 63 y 64
Alto
66
Organiza tus ideas • Podemos pedir a los alumnos que utilicen colores, marcadores, subrayados, etc., para destacar lo que les presente en principio una mayor dificultad, y que lo utilicen para resolver los problemas. De este modo irán fijando sus ideas hasta que llegue el momento en que ya no lo necesiten.
Sugerencias didácticas
• Otra actividad que podemos pedirles es que asignen a cada uno de los apartados del esquema-resumen actividades realizadas de la unidad.
Actividades de ampliación
que son diferentes a ellos, ya sea por estar afectados por alguna enfermedad, por ser de diferente raza, profesar una religión diferente, etc. Una vez que hayan realizado estas reflexiones, las emplearán para debatir en el blog con otros alumnos, trabajando las siguientes competencias: – Lingüística, desarrollando la subcompetencia oral.
Con estas actividades desarrollamos las competencias de aprender a aprender y de autonomía e iniciativa personal. Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, decidiendo cuáles son los más apropiados para resolver cada una de las actividades.
– Tratamiento de la información y competencia digital, a través del uso de las nuevas tecnologías.
Asimismo, deberán elaborar sus propias estrategias para resolverlos, dado que no son problemas guiados ni se ajustan a patrones preestablecidos que ya conozcan, lo que puede resultarles muy estimulante, aunque al comienzo les asuste un poco.
ANALIZA LA FICCIÓN. LA LEY DEL CUBO-CUADRADO
Pon a prueba tus competencias APRENDER A PENSAR. EN EL PAÍS DE LOS GIGANTES
Esta actividad es continuación de la de la entrada. En esta ocasión volvemos a trabajar con la semejanza, solo que ahora el gigante no es Gulliver, sino los habitantes del nuevo país.
– Autonomía e iniciativa personal, con la subcompetencia desarrollo de la autonomía personal.
Con esta actividad, los alumnos pueden comprobar con un ejemplo concreto cómo las matemáticas sirven para explicar fenómenos físicos. Para responder al apartado c de la pregunta 1 les indicaremos que utilicen como superficie de apoyo 600 centímetros cuadrados. En la pregunta 2 pueden demostrar, gracias a la semejanza, la no existencia de monstruos como King Kong o Godzilla. En el libro recomendado en los materiales didácticos se desarrolla detenidamente la idea expuesta en este apartado. ESCUCHA Y APLICA. TEOREMA DE TALES
En la actividad 1 podemos llamar la atención de los alumnos sobre que Swift utiliza la misma proporción entre los liliputienses y Gulliver y entre Gulliver y los habitantes de Brobdingnag, indicándoles que no es fruto del azar y que el motivo es que esta es la proporción que existe entre pulgada y pie en el sistema de medidas anglosajón.
Aunque esta actividad está al final de la unidad, no sería mala idea enunciar el teorema de Tales proyectando en clase algún vídeo de Les Luthiers donde cantan el teorema y pedir a los alumnos que dibujen las rectas, para luego comparar el dibujo que hayan obtenido con el que aparece en el epígrafe 2 de la unidad.
En la pregunta 2, los alumnos deben tener cuidado a la hora de hallar la proporción entre el país de Brobdingnag y España, ya que comparan superficies, y obtendrán k2, no k. Debemos indicarles que el mapa político de América del Norte que utilicen para dibujar el país de Brobdingnag debe tener la escala.
En la dirección de la pregunta 2, los alumnos encontrarán diferentes ejemplos de reglas mnemotécnicas, que les darán ideas para crear otras nuevas y aplicarlas no solo para aprender matemáticas.
La pregunta 4 va encaminada a que los alumnos reflexionen sobre el respeto que debe mostrarse ante personas
Después de que los alumnos hayan escrito la frase para recordar las ocho primeras cifras decimales del número π, podemos pedirles que vayan leyéndolas uno a uno y que de entre las que tengan sentido elijan la más original.
En la página 16 presentamos una matriz de evaluación que el profesor puede utilizar para evaluar el grado de consecución de las competencias básicas trabajadas a lo largo de esta unidad. Además, en www.smconectados.com puede descargar una aplicación informática que le facilitará esta tarea.
Semejanza. Teorema de Tales
Unidad 11
9
Actividades de refuerzo Unidad
Semejanza. Teorema de Tales
11
ORIENTACIONES METODOLÓGICAS
Los alumnos, al completar la unidad, deben: • Utilizar el teorema de Tales para determinar medidas y construir figuras semejantes. • Aplicar los criterios de semejanza de triángulos y polígonos para resolver problemas métricos. • Utilizar la semejanza y las escalas para interpretar planos y mapas. En geometría es muy importante que se insista en que dibujen todas las figuras, siendo precisos en sus medidas. También suele ayudar, cuando dibujan figuras semejantes, que trabajen con distintos colores. Como tienen que me dir y hacer cálculos con unidades de medida, es importante que en todo momento trabajen en las unidades adecuadas de medida y practiquen el redondeo. Procuraremos que utilicen las herramientas de medida adecuadas (regla, compás, escuadra o cartabón, transportador) para que puedan comprobar gráficamente los cálculos que realicen.
ACTIVIDAD DE GRUPO Días de fotos
Se puede proponer como actividad de clase a los alumnos que calculen el tamaño de determinados objetos a partir de una foto. Para ello, con una cámara digital, deben hacerse fotos al lado de la pizarra, los pupitres, la mesa del profesor, sus sillas, etc., y como conocen su estatura, pueden determinar lo que miden cada uno de los objetos. Es importante también que calculen la escala de la foto, ya la tengan impresa o en la pantalla de su ordenador. Esta actividad puede llevarse fuera del aula para calcular la altura aproximada de edificios, puentes, monumentos, etc.
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1.
ˆ = 90° y C ˆ = 30° a) Â = 60°, B ˆ ' = 90° y C ˆ ' = 30° Â' = 60°, B b)
Razón de proporcionalidad: r =
c) r = r =
2.
3
=
2 3
6
⇒ x =
x =
2
5,2
6 15 ,
⇒ y =
y
=4
3.
4 cm
3 2
D
r= r =
=
2 4 2
=
2 ⇒ r = 5
y
4
y =
⇒
=
2
15 ,
5 2
x =
C’
C A
cm
B
5,2
6
2 cm
= 15 ,
= 3,47
cm
Como el enunciado nos dice que son semejantes, no es necesario medir los ángulos para comprobarlo. Razón de proporcionalidad: 4
D’
x =
⇒
6 2
=
3 cm
2,5 cm
B’
4.
a)
Medidaenlailustraci n Medidaenlarealidad
=
A B
=
2 cm 17 70 cm
Semejanza. Teorema de Tales
85
:
b)
Farola: Árbol:
85 1
85 1
85 1
⋅
⋅
4 cm = 340 cm = 34 m
3 cm = 255 cm = 2,55 m
15 , cm =127,5 cm = 1275 , m
⋅
En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.
Unidad 11
1
Se escribe “1 85” y se lee “1 es a 85”.
Niño:
10
=
Más recursos en tu carpeta
ACTIVIDADES de REFUERZO Unidad 1.
11
Semejanza. Teorema de Tales
Dados los triángulos ABC y A'B'C' de la figura: a)
Mide el valor de sus ángulos con el transportador para comprobar que son iguales en los dos triángulos.
b)
Si aplicas el criterio de semejanza que dice que “dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos correspondientes iguales”, esto supone que sus lados son proporcionales. ¿Cuál es la razón de proporcionalidad entre los lados de los dos triángulos?
c)
2.
C’
C 5,2 cm
6 cm
x 3 cm
A’
y
2 cm
B’
A
B
Calcula la medida de los lados que faltan en el triángulo ABC.
Siguiendo las pautas del ejercicio 1, determina los valores x e y del triángulo A'B'C' de la figura que se adjunta sabiendo que es semejante al ABC. C 4 cm
α
α B
6 cm
y
2 cm
γ
A
3.
C’
5 cm
β
A’
β γ x
B’
Construye un rombo que sea el doble del de la figura. Para ello sigue estos pasos: 1.º Dibuja un rombo de 2 cm de lado como el de la figura.
D
2 cm
2.º Prolonga con la regla desde A los segmentos AD, AC y AB.
C
3.º Con el compás haciendo centro en D y tomando como radio AD, marca la medida sobre las rectas que has prolongado para obtener el vértice D'.
A B
Repite el procedimiento sobre los vértices B y C y marca C' y B', que con A formarán un rombo el doble del dado.
4.º Por último, comprueba con la regla que todos sus lados miden 4 cm. 4.
Si sabes que la chica del dibujo mide 1,70 m, calcula: a)
Escala a la que se ha hecho la ilustración. Recuerda que para calcular la escala debes utilizar la misma unidad de medida para la medida real y la de la ilustración o plano. También has de tener en cuenta que la escala es una razón cuyo valor es: Medida en la ilustración =
A
Medida en la realidad
B
Se escribe “ A : B” y se lee “ A es a B”.
b)
Utilizando ya la escala de la ilustración que has calculado, determina qué altura tienen la farola, el niño y el árbol de la ilustración. Recuerda que:
Medida en la ilustración =
Medida en la realidad
A B
⇒ Medida enlarealidad =
B
· Medida en la ilustración.
A
e l b a i p o c o t o f a n i g á P
Semejanza. Teorema de Tales
Unidad 11
11
Actividades de ampliación Unidad
Semejanza. Teorema de Tales
11
ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Los alumnos a los que van dirigidas este tipo de actividades deben trabajar con diferentes formas geométricas y observar la posible relación de semejanza no solo entre sus dimensiones por tener la misma forma, sino también entre sus áreas, como en el proceso de unión de varias figuras generalmente regulares que puede dar lugar a la construcción de figuras regulares de forma diferente. Estos alumnos pueden profundizar un poco más sobre la semejanza trabajando con fractales donde puedan observar imágenes realmente lúdicas en las que la semejanza de las formas está presente. Existen verdaderas maravillas en el mundo de la arquitectura.
ACTIVIDAD DE GRUPO Metro a metro
Se puede dividir la clase en grupos de trabajo para que realicen un plano a escala de cada una de las plantas del edificio del colegio. Para ello tomarán medidas de los diferentes recintos del centro, se pondrán de acuerdo en el tamaño del papel que usarán para hacer la representación, así como en la escala adecuada para poder representar las dimensiones de cada planta en ese formato elegido.
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1.
a)
6
D’ D
C’
3 C
h’
S' =
6
B’ 12
S´ S
b)
3+ 6 2
6
3
h A
S=
12+ 6 2
2.
2
⋅2,6 = 117 , cm
a)
2
⋅5,2 = 46,8 cm
2
2
=
2
2
2
2
6
6
= 4 ⇒ k´= 4
6
b) P = 6π cm, P ' = 18π cm ⇒ r =
3
6 3
c)
6
3.
180 ,
=
h
3
4.
2
5.
9 3
9
3 1 9
9 m. Falta 1 metro de pozo.
El triángulo ABC es semejante al triángulo ADE y
x + 800 x
9
⇒ h =
10
DE = DC:
d)
1
c) A = 3π cm2, A' = 27π cm2 ⇒ r =
12
=
5
=
DE h
4
⇒
8
⇒ DE =
8 −DE 80 + 800 80
6.
1,75 ⋅ 16 = 28 metros
7.
AB =
=
h
4
⇒
3,1 cm
h =
44 metros
4,5 cm, AC = 9 cm, BC = 6 cm
En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.
12
Unidad 11
6
Semejanza. Teorema de Tales
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ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN Unidad 1.
Semejanza. Teorema de Tales
11
Dado el trapecio isósceles de la figura:
3 cm
a) Dibuja un trapecio semejante que sea el doble de grande. Calcula sus áreas. ¿Cuál sería la razón k' entre las áreas del mayor y del menor de los trapecios?
3 cm
b) Realiza gráficamente la división en k' trapecios como el de la figura del trapecio dibujado en el apartado a.
6 cm
c) Construye un hexágono regular de lado 6 cm, comprueba que su superficie es ocho veces la del trapecio isósceles dado. Realiza gráficamente la división del hexágono en los ocho trapecios. d) Construye un triángulo equilátero de lado 9 cm, comprueba que su superficie es el triple que la del trapecio isósceles dado. Realiza gráficamente la división del triángulo en los tres trapecios.
2.
Dentro de un círculo de radio 3 cm se ha dibujado la superficie sombreada. a) Dibuja una superficie semejante a la sombreada dentro de un círculo de radio 9 cm. b) Calcula los perímetros de la figura dada y de la figura semejante que has dibu jado. ¿Qué razón de semejanza existe entre los perímetros? c) Calcula las superficies de la figura dada y de la figura semejante. ¿Qué razón de semejanza existe entre las superficies?
3.
En casa de Ana están construyendo un pozo circular de 5 metros de radio y quieren que tenga 10 metros de profundidad. Ana, que mide 1,80 m, observa que si se sitúa a 2 m del borde puede unir su visual del borde superior del pozo y del borde inferior, si dicha visual se encuentra en un plano que contiene al diámetro y es perpendicular al pozo.
1,80 m
5m 2m
¿Habrán terminado ya de construir los 10 metros de fondo? Razona la respuesta.
4.
En el triángulo ABC rectángulo en Cˆ se traza su bisectriz CD y luego el segmento DE paralelo a CB. Calcula DE si sabes que CB
5.
=
5 cm y CA
=
8 cm.
Julio quiere saber la altura de una torre y observa que en la visual del punto más alto de la misma se encuentran alineadas las copas de dos árboles, uno de 4 m que se encuentra a 800 m de la torre y otro de 14 m que se encuentra a 600 m de la torre. Calcula la altura de la torre.
6.
María, para calcular la altura de un edificio, mide las sombras que proyectan ella y el edificio a una determinada hora del día. Observa que la diferencia que existe entre las sombras es de 15 veces la suya. ¿Qué altura tiene el edificio, si María mide 1,75 m?
7.
Si ABC y CDE son dos triángulos opuestos por el vértice con las medidas que se dan del triángulo CDE y sabiendo que: A
CE
2 =
5
E
4 cm
BE
C
AB es paralelo a ED.
Calcula la longitud de AB, BC y AC.
3 cm 6 cm
D
e l b a i p o c o t o f a n i g á P
B
Semejanza. Teorema de Tales
Unidad 11
13
PROPUESTA de EVALUACIÓN Unidad
11
Semejanza. Teorema de Tales
APELLIDOS:
NOMBRE:
FECHA:
CURSO:
GRUPO:
1.
Dibuja un segmento de 8 cm de longitud y divídelo en tres partes iguales. (Usa la regla y la escuadra).
2.
Siendo la recta r paralela a r ', calcula el valor de x y de x + 1.
r’ r
1
x +
m 2 c x
3.
6 cm
Construye un cuadrilátero semejante al ABCD de tal modo que sus lados midan el doble. (Utiliza como punto de proyección uno de sus vértices).
D
C
A
4.
En el triángulo rectángulo ABC se traza la altura AD y queda dividido en otros dos triángulos rectángulos: el BAD y el DCA.
B
A
Si sabes que AC = 12 cm y AB = 9 cm:
a) ¿Podrías determinar si son semejantes los triángulos ABC y ABD?
C
D
B
Razona la respuesta.
b) Calcula la razón de semejanza entre los triángulos ABC y ABD. Utilizando la razón de semejanza, calcula los catetos AD y BD. c) ¿Son semejantes los triángulos ABD y ACD? Razona la respuesta. ¿Cuál es su razón de semejanza? 5.
Calcula la altura del edificio de la figura.
4m 27 m
6.
1,80 m 1,65 m
Dado un hexágono regular de lado 6 cm: a) ¿Cuánto mediría el lado de otro hexágono semejante cuya razón de semejanza entre el dado y su seme jante es de 3 : 4? b) Calcula sus perímetros. ¿Qué razón existe entre ellos? c) Calcula sus áreas. ¿Qué razón existe entre ellas?
7. Completa la siguiente tabla, donde se reflejan los datos tomados de tres planos. e l b a i p o c o t o f
Distancia en el plano
Entre dos ciudades
20 cm
Entre dos personas
a n i g á P
14
Distancias
Entre dos edificios
Unidad 11
Semejanza. Teorema de Tales
Distancia real
1:1 000 000 80 m
12 cm
Escala
500 m
1:2000
Propuesta de evaluación Unidad
Semejanza. Teorema de Tales
11
SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. m 2 c m 2 c m 2 c A
2.
8/3
8/3
8/3 8 cm
2 =
x +1
6
x
2 ⇒ x + x −12 = 0 ⇒ x =
B
3 cm y x + 1 = 4 cm
3.
D’
D
C’ C
A
4.
B
B’
a) El triángulo ABC es semejante al triángulo ABD, pues sus ángulos son iguales; por tanto, sus lados opuestos
son proporcionales. b) Razón =
5 3
⇒ AD =
7,2 cm y BD = 9,6 cm
c) El triángulo BDA es semejante al triángulo DCA, pues sus ángulos son iguales.
Razón = 4 3
5.
6.
18 , 18 , x , m; ⇒ x =135 = ⇒ h = 40 m , 4 x +165 , ) h x +(27+165 x
=
a) 8 cm b) Perímetro del hexágono dado: 36 cm. Perímetro del hexágono semejante: 48 cm. Razón:
3 4 2
3 9 c) Área del hexágono dado: 93,53 cm . Área del hexágono semejante: 166,3 cm . Razón: = = = 0,56 4 16 2
7.
2
Distancias
Distancia en el plano
Distancia real
Escala
Entre dos ciudades
20 cm
200 km
1:1 000 000
Entre dos personas
4 cm
80 m
1:2000
Entre dos edificios
12 cm
500 m
3:12 500
Semejanza. Teorema de Tales
Unidad 11
15
SOLUCIONARIO
2
O S E
SOLUCIONARIO
2
O S E