Ala Awadhi 1er ENER G1
But Le but de la manipulation est d’étudier les systèmes échantillonnés. Il s’agit de rechercher les modèles discrets de systèmes du premier ordre et les déclarer en Matlab avec plusieurs méthodes, d’essayer des différentes périodes d’échantillonnage, des correcteurs, et de tracer les réponses temporelles et d’étudier la stabilité des systèmes échantillonnés.
Introduction
La commande numérique par calculateur s’effectue nécessairement à temps discret. En règle générale, une même période d’échantillonnage Te conditionne le rythme d’acquisition des mesures et de la génération des signaux de commande par calculateur, Le schéma ci-dessus montre la structure de la boucle d’asservissement numérique. Cette dernière repose sur 5 éléments indispensables : Le processeur que l’on doit asservir, qui est de façon générale un processeur à temps continue Le calculateur numérique sur le quel on implante sou la forme d’une récurrence, l’algorithme de régulation Le BOZ (bloquer d’ordre zéro) permet de maintenir ma commande u(k) constante entre KTe et (K+1)Te Le A/D (convertisseur analogique Digital) qui transforme en valeurs numériques les grandeurs à manipuler (consigne yc(t) et sortie y(t)) Le D/A (convertisseur Digital Analogique) qui permet d(obtenir sous forme analogique l’information fournie par le calculateur
Généralité sur les Systèmes échantillonnées 𝐺(𝑝) =
2𝑝 + 1 𝑝² + 2𝑝 + 1
On utilise la commande c2d pour discrétiser cette fonction continue :
Une faible période d’échantillonnage nous renseigne mieux sur le signal continu
Fonction de transfert discrète 𝐻𝑑(𝑧) =
0.047𝑧 + 0.046 𝑧² − 1.81𝑧 + 0.9
La même figure en utilisant la commande zpk ou tf
Dans le cas continu pour qu’un système soit stable, il est impératif que ses pôles se trouvent dans le demi-plan gauche. Pour les systèmes discrets, le changement de variable 𝑧 = 𝑒 𝑇.𝑝 transforme l’axe imaginaire en un cercle de rayon à l’intérieur duquel, doivent se trouver les pôles pour assurer la stabilité ; D’où il est clair que ce système est stable.
Influence du période d’échantillonnage sur la stabilité ℎ(𝑝) =
10 0.1𝑝 + 1
On peut voir clairement l’influence du choix de Te, si Te = 𝜏 le système n’est pas stable, si Te<𝜏 le système est stable ; d’où pour le moment, le meilleur choix est de Te<𝜏
Commande numérique 𝐹 (𝑝) =
0.5 1 + 20𝑝
COMMANDE NUMERIQUE AVEC UN CORRECTEUR PROPORTIONNEL
A l’aide du rltool, le lieu de déplacement de pôles, nous avons dégagé le gain critique Kpc qui vaut 16.08 c’est le gain qui représente la limite de la stabilité et aussi la meilleure précision
Partie Simulink :
𝑡𝑟5% 𝜀% M° Mdb Sans correction 48.7 67.7 23.6 Correcteur P (kp=4) 18.6 33.3 9.6 On peut remarquer les corrections faites par le régulateur proportionnel P avec le gain 4 : Une augmentation de la rapidité, le système a devenu 2 fois plus rapide et 2 fois plus précis de 33% à 67%, la marge du gain à diminuer mais il reste dans la zone de stabilité
COMMANDE NUMÉRIQUE AVEC IN CORRECTEUR PROPORTIONNEL INTÉGRAL
𝐷%
𝑡𝑟5% 𝜀% M° Mdb 48.7 67.7 23.6 PI 1.37 40 25.4 0 175 11.1 Le correcteur Pi augmenté la précision, précision parfaite, avec une grande augmentation de la marge de phase et de la rapidité aussi, le seul défaut est le dépassement, mais c’est un très faible dépassement de 1.37% 𝑡𝑝𝑖𝑐
Sans correction
Le nombre d’échantillonnage ici vaut 0/s
𝐷% P PI
1.37 Tableau récapitulatif :
𝑡𝑝𝑖𝑐 40
𝑡𝑟5% 18.6 25.4
𝜀% 33.3 0
M° 175
Mdb 9.6 11.1
Le correcteur PI est parfait pour la précision, il annule l’erreur statique de position, ainsi que la stabilité, par contre le correcteur P est plus rapide avec moins d’oscillation, dans ce cas, 0 oscillations
CHOIX DE TE =0.5S Noté bien : il faut changer la valeur de Te dans la configuration du bloqueur et le P et PI (le sampling time et le facteur I) Commande numérique avec un correcteur proportionnel
Sans correction Correcteur P
𝑡𝑟5% 51.8 25.4
𝜀% 67.7 33.3
(kp=4)
Les mêmes remarques qu’à précédemment
M° -
Mdb 44 31.8
Commande numérique avec un correcteur proportionnel intégrale
𝐷% Sans correction Correcteur PI
43.2
𝑡pic 12.5
𝑡𝑟5% 51.8 59.6
𝜀% 67.7 0
M° 66.2
Mdb 44 33
(kp=4, I=2)
On a pour les deux systèmes la même conclusion, mais il faut noter que la période d’échantillonnage pour les deux cas reste Te<𝜏 d’où le système reste stable, alors la cause de la différence entre les courbe c’est le nombre d’échantillonnages par seconde, pour le 1 er cas, Te est très grande, d’où le processeur n’a pas pu dégager des informations suffisante pour savoir le comportement du système, mais aussi, une valeur de Te très petite vas surchauffer me processeur et le bloquer. Alors il faut utiliser le théorème de Shanon : Pour que l’observation échantillonné d’un signal soit significative, il est nécessaire que l’échantillonnage soit effectué à une fréquence (fe) au minimum double de la fréquence maximale (fm) présente dans le signal : Règle pratique Oit fm=1/Tm la fréquence max à considérer dans un signal. Alors en pratique, pour satisfaire à la 𝑇
𝑚 condition de Shanon, avec une bonne marge de sécurité on prendra : 25 < 𝑇𝑒 <
𝑇𝑚 5
