1
Números y operaciones
Presentación En este último curso que cierra la etapa de Educación Primaria, debemos asegurar el dominio del bloque Números y operaciones con números naturales y su aplicación a la resolución de situaciones problemáticas. Iniciamos la unidad con el repaso del sistema de numeración decimal, el valor posicional de las cifras y la propiedad distributiva. A continuación abordamos la multiplicación teniendo en cuenta que el algoritmo se apoya en la descomposición de uno de los factores según el valor posicional de sus cifras. En relación con la división, repasamos el algoritmo con divisiones de tres cifras e insistimos en la prueba de la división como procedimiento para comprobar la exactitud de los cálculos. Debemos pensar que este algoritmo es el que presenta mayores dificultades dificultades en la operativa con números naturales; por ello debemos repasar adecuadamente aquellos casos que suelen inducir más a error en el cálculo. Presentamos también las operaciones combinadas, insistiendo en la prioridad de las operaciones y en la utilización de los paréntesis. Es importante que el alumnado aprenda e interiorice la prioridad de las operaciones realizando, primero, las operaciones del paréntesis, después las operaciones multiplicativas (multiplicaciones y divisiones) y por último, las aditi vas (sumas y restas). Por último finalizamos con el uso de la calculadora, para resolver operaciones básicas o comprobar los resultados obtenidos. En el «Cálculo mental», se trabaja la estrategia de sumar y restar 8, 18, 28... a números de tres cifras. • En «Aprendo a resolver problemas», se inicia la necesidad de
sistematizar unos pasos a la hora de enfrentar la resolución de un problema y la necesidad de diferenciar datos, operaciones y solución. • En «El desafío» final, por último, se aplican los contenidos
trabajados en la unidad en un contexto familiar y cotidiano. La competencia matemática del alumnado se adquiere no tanto por los contenidos aprendidos en la unidad como por su capacidad de aplicarlos en situaciones de la vida real. 24
Sugerenciass metodológicas Sugerencia A través de la lectura se introducen situaciones cotidianas en las que se ponen de manifiesto los algoritmos de las distintas operaciones. Para el desarrollo de la unidad, y, de cara a los alumnos y a las alumnas que presentan alguna dificultad en el afianzamiento de las operaciones, es conveniente preparar el material que se sugiere en los recursos didácticos, de forma que el profesorado pueda acudir a la manipulación de dicho material para apoyar el paso a la adquisición de los nuevos conceptos. Se sugiere comenzar cada sesión dedicando unos 5 o 10 minutos al cálculo mental. Ello nos permite fijar la atención de los alumnos y las alumnas. En esta unidad trabajamos la estrategia de sumar y restar 8, 18, 28... a números de tres cifras. El registro de los resultados obtenidos por el alumnado nos permite posteriormente valorar su evolución en el desarrollo del cálculo mental. En «Aprendo a resolver problemas» iniciamos el curso planteando la necesidad de un proceso sistemático para el abordaje de los problemas. La lectura pausada del enunciado y su comprensión ha de ser el comienzo de ese proceso. El análisis de los datos, distinguiendo los necesarios de los no necesarios, es fundamental antes de plantear qué operaciones son imprescindibles para dar respuesta al problema. Por último, escribir una frase con la solución nos permite comprobar si se da respuesta a lo que planteaba el problema.
Recursos y materiales • La Editorial Anaya dispone de los siguientes materiales de apo-
yo para que los alumnos y las alumnas de 6.º de Educación Primaria puedan reforzar y ampliar el estudio de los contenidos de Matemáticas: – Cuadernos complementarios al libro del alumnado. – Recursos fotocopiables de la propuesta didáctica, activida-
des de refuerzo y de ampliación. • Además, sugerimos la utilización del siguiente material ma-
nipulativo: – Ábacos, bloques multibase multibase y regletas regletas para reforzar la com-
prensión del sistema de numeración decimal. – Plantillas en las que se representen los órdenes de unida-
des.
– Colección de diferentes objetos que permitan su agrupa-
miento de diez en diez, para reforzar las equivalencias del sistema de numeración decimal (palos de polo, palillos, regletas, etc.). – Recortes de prensa, diferentes artículos, informaciones en-
contradas en Internet acerca de números grandes (distancias espaciales, extensiones de países, número de habitantes) que dan significado a la utilización de números grandes. – Tablas de multiplicar. – Plantillas en las que se representen las operaciones de
multiplicación y división sobre tablas de valores. – Calculadoras.
• Enlaces a páginas oficiales sobre recursos para la enseñanza
de las matemáticas: – http://roble.pntic.mec.es/arum0010/temas/numeracion.
htm – http://www.juntadeandalucia.es/averroes/mochiladigital/
contenidos/polavide/ccbb.html – http://www.educa2.madrid.org/web/educamadrid/princi-
pal/files/45f361d6-dad2-42d0-bab5-51907f43ee48/ Matem%c3%a1ticasPrimaria.pdf
Educación en valores Además de los valores transversales que se trabajan en general en el entorno educativo (compañerismo, respeto, tolerancia, responsabilidad, autoestima, generosidad, solidaridad…), a lo largo de la unidad se pueden trabajar la responsabilidad con el propio aprendizaje, la constancia en el trabajo, la autocrítica y la valoración de los propios logros y errores.
Recursos digitales • Libro digital. • CD de la propuesta didáctica.
ESQUEMA DE LA UNIDAD
Números y operaciones
El sistema de numeración decimal
La propiedad distributiva
Operaciones Multiplicativas
La multiplicación
Operaciones combinadas
Jerarquía de las operaciones
La calculadora
Uso del paréntesis
La división
25
1
Números y operaciones
RECUERDA, PIENSA, APLICA...
A F Í E S D Calcular L E los ingresos de un concierto benéfico.
El número 2 463 525 se representa así: UMM CM
2
G
DM
UM
C
D
U
6
3
5
2
5
4
Se lee: dos millones cuatrocientos sesenta y tres mil quinientos veinticinco
onzalo y su grupo van a participar en un concierto benéfico con la finalidad de ayudar a la asociación Sonríe. Gonzalo toca la batería desde que tenía seis años, pero nunca ha participado en un acto como este. Todos esperan que el concierto sea un éxito y se vendan todas las entradas. De los 2 456 899 habitantes que tiene la ciudad, alguno acudirá.
1 UMM = 10 CM = 100 DM = 1 000 UM = 10 000 C = 100 000 D = 1 000 000 U PROPIEDADES DE LA SUMA Y DE LA MULTIPLICACIÓN PROPIEDAD CONMUTATIVA
PROPIEDAD ASOCIATIVA
23 + 37 = 37 + 23 = 60 13 × 8 = 8 × 13 = 104
TO B E N É F ICO CO NC I E R ÍE N R A SOC I A C IÓ N SO
(12 + 23) + 37 = 12 + (23 + 37) = 72 (2 × 13) × 8 = 2 × (13 × 8) = 208
1 Copia y completa en tu cuaderno.
L D E R Ó N T R O C A T E A /15 /10 14 : Día A las 20:00 h ui lla: 12 € Precio en trada taq pada: 9 € tici an a Precio en trad pec tadores es 585 1 mo: xi f oro má A ! ¡¡¡ No te lo pierdas!!
a) 5 UMM = … UM = … U
d) … UMM = 2 000 UM = … U
b) 3 UMM = … UM = … U
e) … UMM = … UM = 8 000 000
c) … UMM = 4 000 UM = … U
f) … UMM = 6000 UM = … U
2 Calcula y compara los resultados. a) 238 + 56 56 + 258 b) 324 + 45 45 + 324
c) 23 × 12 12 × 23 d) 32 × 20 20 × 32
e) 3 × (10 × 5) (3 × 10) × 5 f) (6 × 4) × 3 6 × (4 × 3)
g) 10 × (3 × 5) (10 × 3) × 5 h) (4 × 7) × 8 4 × (7 × 8)
3 Un granjero necesita producir, al menos, 5 000 l de leche a la semana HAZLO EN EQUIPO
para que su granja sea rentable. En la tabla puedes ver la producción en litros de la semana pasada. Averigua si alcanzó o no la producción deseada y lo que sobró o faltó.
1 Si tuvieras que organizar en el colegio alguna actividad para recaudar fondos para una buena causa, ¿qué organizarías? ¿Qué aportación personal podrías hacer a ese evento? ¿Cómo lo darías a conocer? Escribid las respuestas individualmente.
L
M
X
J
V
S
D
876
695
766
840
837
725
806
4 Un silo tiene capacidad para guardar dos millones de kilos de grano. A finales del mes de julio tenía almacenados 848 250 kilos, y después de guardar el resto de la cosecha, 1 563 700 kilos. ¿Cuántos kilos entraron después de julio? ¿Cuánto faltó para que se llenara?
2 En grupos de cuatro, compartid vuestras ideas y organizad entre todos una actividad benéfica indicando la aportación personal que haría cada uno. Seleccionad la mejor forma de darlo a conocer entre todas las propuestas.
3 Buscad en Internet información acerca de organizaciones benéficas. Elegid una de ellas y explicad a vuestros compañeros por qué os ha llamado la a tención.
6
Sugerencias metodológicas Se recomienda una lectura silenciosa e individual del texto introductorio así como la realización individual de las cuestiones al pie de la ilustración. Posteriormente, procederemos a una puesta en común en clase de las respuestas facilitadas por los alumnos y las alumnas. Tanto en la lectura como en las preguntas se presentan conceptos relacionados con el tema, contextualizado en situaciones de la vida cotidiana.
7
Sugerencias metodológicas En el apartado «Recuerda, piensa, aplica…» retomamos los conocimientos previos que tienen los alumnos y las alumnas sobre la lectura y la descomposición de número y las propiedades de la suma y de la multiplicación.
Soluciones 1
a) 5 UMM = 5 000 UM = 5 000 000 U b) 3 UMM = 3 000 UM = 3 000 000 U
Hazlo en equipo
c) 4 UMM = 4 000 UM = 4 000 000 U
1
Respuesta abierta.
d) 2 UMM = 2 000 UM = 2 000 000 U
2
Respuesta abierta.
e) 8 UMM = 8 000 UM = 8 000 000 U
3
Respuesta abierta.
f) 6 UMM = 6 000 UM = 6 000 000 U 2
a) 294
c) 276
e) 150
g) 150
b) 369
d) 640
f ) 72
h) 224
Los resultados son iguales por la propiedad conmutativa. 3
Anotaciones
La producción fue de 5 545 litros. Alcanzó la producción deseada y le sobraron 545 litros.
4
715 450 kg entraron después del mes de julio. 436 300 kg faltaron para que se llenara.
26
1 4 ¿Qué número corresponde a cada descomposición?
El sistema de numeración decimal
a) 7 CM + 7 UM + 7 C + 7 U
Agrupamos de diez en diez. Cada diez unidades forman una unidad del orden superior. MILLONES DMM
UMM
MILLARES CM
DM
b) 5 UMM + 2 DM + 9 UM + 8 D + 5 U c) 3 000 000 + 7 000 + 40 + 1
UNIDADES UM
C
D
d) 10 000 000 + 5 000 000 + 3 000 + 300 + 7 U
5 ¿Cuál es el valor de la cifra 8 en estos números? 8 067 000
El valor de una cifra en un número depende del lugar que ocupa en él. UMM CM
2
5
DM
UM
C
D
U
0
3
5
1
8
d a d i n U
6 938 405
1 330 893
25 803 003
6 Escribe los tres números siguientes a 990 099. 7 Copia y completa con el signo > o <, según corresponda.
Vale 500 unidades. Vale 500 000 unidades. El número 2 503 518 se descompone así: 2 503 518 = 2 UMM + 5 CM + 3 UM + 5 C + 1 D + 8 U
a) 340 614
340 146
d) 6501 076
6 501 067
b) 700 027
702 777
e) 9236 614
9 240 100
c) 760 890
760 809
f) 3 904 046
3 900 446
8 Ordena de menor a mayor en cada caso.
2 503518 = 2 000000 + 500 000 + 3 000 + 500 + 10 + 8
a) 4 607 144 - 4 614 790 - 4 680 000 - 4 460 115
Nuestro sistema de numeración es: Decimal, porque diez unidades de un orden forman una unidad del orden superior. Posicional, porque el valor de una cifra depende del lugar que ocupa en el número.
b) 3 850 200 - 3 805 020 - 3 805 200 - 3 800 520 c) 7 902 405 - 7 902 504 - 7 902 045 - 7 900 245
9 Contesta a las siguientes preguntas: a) Si al número 300 725 le añadimos un 0 al final, ¿qué número obtienes? b) ¿Cuál es el mayor número de siete cifras, todas distintas?
1
a) 20 936 000
2
c) Sin utilizar el 0, ¿cuál es el menor?
Escribe cómo se leen estos números:
b) 99 999 990
c) 70 000 619
d) ¿Cuál es el mayor número de siete cifras que termina en 6?
d) 13 330 893
10
Escribe con cifras.
11
b) Doce millones doscientos mil setecientos cinco c) Diez millones quinientos mil
3
Redondea estos números a las unidades de millón:
a) 6145 689
a) Siete millones cuarenta mil quince
Descompón estos números como en el ejemplo:
8
e) 2 006 002
g) 38 506 058
b) 1 030 893
d) 7 000 161
f) 5 993 330
h) 56 060 606
Sumar 8, 18, 28… a números de tres cifras. –2
271
137 + 8
423 + 8
538 + 18
321 + 28
223 + 28
643 + 8
231 + 18
375 + 18
434 + 28
742 + 28
9
Repasa el sistema de numeración decimal.
f) 5 993 330 = 5 UMM + 9 CM + 9 DM + 3 UM + 3 C + 3 D
Soluciones a) Veinte millones novecientos treinta y seis mil. b) Noventa y nueve millones novecientos noventa y nueve mil novecientos noventa.
3
273
anayaeducacion.es
El objetivo de este epígrafe es destacar las características básicas de nuestro sistema de numeración (decimal y posicional). El apoyo de la tabla de valores y el ábaco son esenciales para presentar el orden de unidades, así como la descomposición de un número según sus órdenes de unidades y según el valor posicional de sus cifras. También se facilita la lectura y la escritura de números grandes reuniéndolos en grupos de tres cifras sin utilizar el punto para separar los órdenes de unidades.
2
+ 20
+ 18
Sugerencias metodológicas
1
d) 3048 000
¿Cuántas unidades de millón le faltan a seis centenas de millar para valer un millón?
253 c) 9 909 090
c) 7965 400
CÁLCULO MENTAL
4 101 007 = 4 UMM + 1 CM + 1 UM + 7 U 4 101 007 = 4 000 000 + 100 000 + 1 000 + 7 a) 2 093 600
b) 2739 170
5 993 330 = 5 000 000 + 900 000 + 90 000 + 3 000 + 300 + 30 g) 38 506 058 = 3 DMM + 8 UMM + 5 CM + 6 UM + 5 D + 8 U 38 506 058 = 30 000 000 + 8 000 000 + 500 000 + 6 000 + 50 + 8 h) 56 060 606 = 5 DMM + 6 UMM + 6 DM + 6 C + 6 U 56 060 606 = 50 000 000 + 6 000 000 + 60 000 + 600 + 6 4
a) 707 707
5
8 067 000 → 8 UMM
6 938 405 → 8 UM
1 330 893 → 8 C
25 803 003 → 8 CM
6
b) 5 029 085
c) 3 007 041
d) 15 003 307
990 100 – 990 101 – 990 102 a) 340 614 > 340 146
d) 6 501 076 > 6 501 067
c) Setenta millones seiscientos diecinueve.
b) 700 027 < 702 777
e) 9 236 614 < 9 240 100
d) Trece millones trescientos treinta mil ochocientos noventa y tres.
c) 760 890 > 760 809
f) 3 904 046 > 3 900 446
a) 7 040 015
b) 12 200 705
c) 10 500 000
7
8
a) 2 093 600 = 2 UMM + 9 DM + 3 UM + 6 C
b) 3 800 520 < 3 805 020 < 3 805 200 < 3 850 200
2 093 600 = 2 000 000 + 90 000 + 3 000 + 600 b) 1 030 893 = 1 UMM + 3 DM + 8 C + 9 D + 3 U 1 030 893 = 1 000 000 + 30 000 + 800 + 90 + 3 c) 9 909 090 = 9 UMM + 9 CM + 9 UM + 9 D
a) 4 460 115 < 4 607 144 < 4 614 790 < 4 680 000 c) 7 900 245 < 7 902 045 < 7 902 405 < 7 902 504
9
a) 3 007 250
b) 9 876 543
c) 1 234 567
d) 9 999 996
10
a) 6 000 000
b) 3 000 000
c) 8 000 000
d) 3 000 000
11 40
decenas de millar.
9 909 090 = 9 000 000 + 900 000 + 9 000 + 90 d) 7 000 161 = 7 UMM + 1 C + 6 D + 1 U 7 000 161 = 7 000 000 + 100 + 60 + 1 e) 2 006 002 = 2 UMM + 6 UM + 2 U
Cálculo mental 145 651
431 249
556 393
349 462
251 770
2 006 002 = 2 000 000 + 6 000 + 2 27
1
La propiedad distributiva
Resuelvo problemas
Producto de una suma por un número (27 + 12) × 15 = 27 × 15 + 12 × 15 39
×
15 =
585
405
=
+
5 Un barco pesquero regresa a puerto con 148 cajas de boquerones,
Producto de una resta por un número (27 – 12) × 15 = 27 × 15 – 12 × 15
180
15 × 15 =
585
225
Si multiplicamos el resultado de una suma por un número, obtenemos el mismo resultado que si multiplicamos cada sumando por ese número y luego sumamos.
d a d i n U
405
=
–
39 cajas de sardinas y 86 cajas de caballa. Si cada caja tiene un peso aproximado de 12 kilos, ¿cuál es el peso total del pescado capturado? Aplica la propiedad distributiva.
180
225
Si multiplicamos el resultado de una resta por un número, obtenemos el mismo resultado que si multiplicamos cada término de la resta por ese número y luego restamos.
Sacar factor común
6 Un comerciante recibe un pedido de 25 paquetes con 25 camisetas en
Cuando varios sumandos tienen un factor común, se puede convertir esa suma en un producto. Este es el proceso inverso a la propiedad distributiva.
cada uno. Si cada paquete le cuesta 250 euros y vende cada camiseta a 13 euros, ¿cuál será la ganancia? Plantea el problema utilizando la propiedad distributiva.
5 × 12 + 5 × 16 – 5 × 20 = 5 × (12 + 16 – 20)
7 Cada día de trabajo Gloria gasta 7 € en transporte público y 12
€ en comida. Si su jornada es de lunes a viernes, ¿cuál es el gasto semanal? ¿Y el gasto anual?
1 Calcula y compara los resultados en cada caso. a) 5 × 8 + 5 × 12
b) 15 × 10 – 6 × 10
5 × (8 + 12) •
(15 – 6) × 10
¿Qué propiedad se cumple?
2 Copia y calcula de dos formas distintas. a) 12 × 6 + 9 × 6
b) (22 + 11) × 6
(12 + 9) × 6
c) 15 × 4 – 10 × 4
22 × 6 + 11 × 6
(15 – 10) × 4
8 Sebastián, el taquillero del teatro, ha vendido 1 398 entradas el lunes, 1 460 el martes y 998 entradas ayer. Si cada entrada cuesta 9 €, ¿cuántas entradas vendió en total y cuál fue la recaudación? Resuélvelo aplicando la propiedad distributiva.
3 Aplica la propiedad distributiva y escribe mediante una suma y un producto estas operaciones:
a) 11 × 7 + 8 × 7
d) 24 × 3 – 21 × 3
g) 18 × 6 + 32 × 6
b) 13 × 6 – 13 × 5
e) 5 × 15 + 5 × 21
h) 22 × 13 + 22 × 24
c) 6 × 32 + 6 × 9
f) 24 × 3 – 12 × 3
i) 23 × 20 + 53 × 20
PIENSA UN POCO
¿Cuáles son los dos números que siguen en esta serie?
4 Saca factor común y calcula: a) 6 × 14 + 6 × 22 + 6 × 15 – 6 × 13 b) 19 × 8 + 24 × 8 – 32 × 8 + 41 × 8 c) 22 × 10 + 53 × 10 + 34 × 10 – 15 × 10
1
5
14
30
…
d) 11 × 19 + 11 × 26 – 11 × 37 10
11
Sugerencias metodológicas
7
Sistematizamos el algoritmo de la multiplicación apoyándonos en la propiedad distributiva, como producto de una suma por un número y producto de una resta por un número. En este epígrafe, además, introducimos un nuevo concepto: el de sacar factor común como fórmula para realizar una operación de forma más rápida y sencilla. Conviene trabajar estos conceptos de manera alternativa para que queden bien claros, ya que serán fundamentales para comprender aprendizajes porteriores.
Soluciones 1
a) 100
El gasto anual es de 4 940 €. 8
Piensa un poco 55 y 91.
Actividades de refuerzo
b) 90
Los resultados son iguales. La propiedad distributiva. a) 126
3
a) 7 × (11 + 8) = 133
f) 3 × (24 – 12) = 36
b) 13 × (6 – 5) = 13
g) 6 × (18 + 32) = 300
c) 6 × (32 + 9) = 246
h) 22 × (13 + 24) = 814
d) 3 × (24 – 21) = 9
i) 20 × (23 + 53) = 1 520
4
b) 198
Sofía ha adquirido por Internet un libro cuyo precio era de 65 €; además, por gastos de envío, abona 6 €. ¿Cuál es el precio final que paga por el libro?
El precio final es de 71 €.
c) 20
Actividades de ampliación 1
Cada día Gonzalo gasta 9 € en comida para perros y 19 en comida para gatos. ¿Cuál es el gasto semanal que tiene Gonzalo en comida para los animales? ¿Cuál es el gasto que tiene durante los meses de julio, agosto y septiembre?
e) 5 × (15 + 21) = 180
El gasto semanal es de 196 €.
a) 6 × (14 + 22 + 15 – 13) = 228
En los tres meses gasta 2 576 €.
b) 8 × (19 + 24 – 32 + 41) = 416 c) 10 × (22 + 53 + 34 – 15) = 940 d) 11 × (19 + 26 – 37) = 88
28
Vendió en total 3 856. La recaudación fue de 34 704 €.
1
2
Gasta 95 € a la semana.
5
12 × (148 + 39 + 86) = 3 276 kg.
6
La ganancia será de 1 875 €.
1
Práctica de la multiplicación
6 Irene tiene una colección de 50 DVD de películas de 90 minutos de
Para multiplicar 3 465 × 276, procedemos así: CM
3 465 × 6 U 3 465 × 70 U 3 465 × 200 U
DM
2+
UM
C
D
U
3
4
6
5
×
2
7
6
2
0
7
9
0
4
2
5
5
6
9
3
0
9
5
6
3
2
d a d i n U
Resuelvo problemas
4
duración cada una. Si el precio de cada uno era de 11 €, ¿cuánto cuesta la colección completa? ¿Y cuántos minutos de duración tiene la colección completa?
7 Un camión transporta 108 vigas de hierro de 265 kg de peso cada una. ¿Cuál es el peso total de la carga?
0
Podemos expresar una multiplicación también con el símbolo · en lugar de ×. 3 465 × 276
1
3 465 · 276
8 En una reserva natural viven 327
elefantes adultos. Si cada uno come 298 kilos de forraje al día, ¿cuántos kilos comen entre todos al día? ¿Sabes qué es una reserva natural? Investígalo y busca si hay alguna reserva natural en tu comunidad autónoma.
Copia y calcula en tu cuaderno. 9 872 × 465
2
6 502 × 158
4
c) 502 · 108 d) 365 · 915
con vacunas para 125 niños cada una. ¿Cuántos niños pueden ser vacunados en total?
e) 935 · 589 f) 502 · 891
Copia en tu cuaderno y une las multiplicaciones con sus resultados. 645 × 362
3 768 × 269
2 546 × 972
3 847 × 352
1 354 144
233 490
1 013 592
2 474 712
10 Inventad un problema donde se tengan que aplicar los conocimientos sobre multiplicación aprendidos. Una vez redactado, intercambiadlo con un compañero y resolvedlo. Al terminar, volved a intercambiarlo y corregidlos.
Copia en tu cuaderno y completa. 7 9 5 9 2 1 5 9 6 6 2 + 7 9 5 8 1 5 7 3 6
6 3 1 1 2 5 8 9 + 6 3 6 1 5 8 ×
6 8 2 2
11
c) 789 · 963 d) 1 783 × 465
El producto de dos números de tres cifras consecutivos es 50 850. ¿Cuáles son esos números?
CÁLCULO MENTA L
8 4
Restar 8, 18, 28… a números de tres cifras.
Calcula el resultado de estas multiplicaciones:
a) 1 374 × 326 b) 2 853 · 452
12
•
9 En una campaña de vacunación infantil, se han adquirido 525 cajas
×
5
2 935 × 264
Multiplica.
a) 854 · 128 b) 285 · 386
3
3 502 × 891
426
– 30
396
e) 823 × 456 f) 795 · 555
+2
398
– 28
234 – 8
364 – 8
836 – 18
634 – 28
523 – 28
346 – 8
322 – 18
537 – 18
465 – 28
546 – 28
anayaeducacion.es
13
Realiza las multiplicaciones que te proponemos.
Sugerencias metodológicas
6
Sistematizamos el algoritmo de la multiplicación apoyándonos en la descomposición del multiplicador según el valor posicional de sus cifras. Para ello, situados ambos factores sobre una tabla de órdenes de unidades, realizamos los productos parciales y colocamos los resultados en columnas. En la práctica no se escriben los ceros finales de los productos parciales, ya que se multiplican según el orden de unidades. Conviene destacar que cuando aparezcan ceros finales en uno de los factores o en ambos, estos no se multiplican, se añaden al resultado final; y cuando haya ceros intermedios en la multiplicación, estos no se multiplican, se desplaza la posición a la fila siguiente.
a) La colección completa cuesta 550 €. b) La duración es de 4 500 minutos.
7
La carga completa pesa 28 620 kg. Entre todos comen 97 446 kg de forraje al día.
8 9
65 625 niños pueden ser vacunados.
10
Respuesta abierta
11 225
y 226.
Cálculo mental 226 338
356 304
818 519
606 437
495 518
Soluciones 1
2
3
4
5
a) 4 590 480
c) 3 120 282
b) 1 027 316
d) 774 840
Actividades de refuerzo 1
a) 109 312
c) 54 216
e) 550 715
b) 110 010
d) 333 975
f) 447 282
a) 233 490
c) 2 474 712
b) 1 013 592
d) 1 354 144
a)
7 9 5 × 1 9 1 5 9 1 7 1 6 2 2 + 7 9 5 8 1 5 2 7 9 3
a) 447 924 b) 1 289 556
8
2 6 6
c) 759 807 d) 829 095
b)
6 3 × 1 1 2 7 5 0 8 9 + 6 3 6 2 1 1 5 7 8
e) 375 288 f) 441 225
6 2 8 2 2 4 6
Realiza estas multiplicaciones a) 326 × 74
b) 645 × 237
c) 789 × 274
a) 24 124
b) 152 865
c) 216 186
Actividades de ampliación 1
Para completar 315 estuches de 12 rotuladores cada uno, me faltan 8 rotuladores. ¿Cuántos rotuladores tengo?
Tengo 3 772 rotuladores. 8 4 En la web. http//www.anaya.es si deseas conseguir más acti-
vidades. 29
1 d a d i n U
Práctica de la división
Resuelvo problemas
Para dividir 753 281 entre 246, procedemos así:
5 El museo del Prado recibe alrededor de tres millones de visitantes al año. ¿Cuántos visitantes tendrá por término medio al día?
1.º Repartimos 753 UM entre 246. Tocan a 3 UM y sobran 15 UM. 15 UM = 150 C
CM
DM
7 0
5 1
UM C
3 5 0
2.º 150 C + 2 C = 152 C Como no podemos repartir 152 C entre 246, ponemos un cero en el cociente y continuamos la división. 152 C = 1 520 D
246 UM
C
3
0
D
faltan observando su solución. Una fábrica de bollería hornea cada día … bandejas de … magdalenas, las embolsan por docenas y las comercializan en cajas de … bolsas. ¿Cuántas cajas produce al día? Total de magdalenas → 200 × 60 = 12 000 Total de bolsas → 12 000 : 12 = 1 000 Total de cajas → 1 000 : 10 = 100 Cada día producen 100 cajas.
U
6 2
3062 246 18372 2248 1 24 53252 29 53281 ×
1 + 6 7 + 7
7 Para comprar este coche, Ángela dio una entrada de 3 384
€ y una cuota mensual durante tres años. ¿Cuánto pagó en cada cuota mensual?
12 600 €
3 062 × 246 + 29 = 753 281
•
Piensa por un momento en un mundo sin coches. Enumera tres ventajas y tres inconvenientes de este medio de transporte. ¿Qué alternativas existen al coche para poder desplazarse?
Calcula y comprueba el resultado.
a) 1 12 85 1 58
c) 67908 678
b) 556 706 309
d) 9 84 56 5 87
EMPRENDER R E D N E R P A
1 Varios amigos quedan para ir a comprar entradas para el circo. Pagan
Divide sabiendo que hay ceros intermedios en cada cociente.
a) 3 066 : 15
3
2 8 1 2 8 5 2 1 0 2 9
6 Copia en tu cuaderno el siguiente enunciado y coloca los datos que
PRUEBA
4.º 520 U + 1 U = 521 U Repartimos 521 U entre 246. Tocan a 2 U y sobran 29 U.
2
U
d×c+r=D
3.º 1 520 D + 8 D = 1 528 D Repartimos 1 528 D entre 246. Tocan a 6 D y sobran 52 D. 52 D = 520 U
1
D
con dos billetes de veinte euros y les devuelven un euro. Si cada entrada cuesta más de diez euros, ¿cuántos amigos son y cuánto les ha costado cada entrada?
b) 44 515 : 147
Simplifica como en el ejemplo y después calcula.
45 / 0 : 5 / 0 = 45 : 5 = 9 a) 320 : 80 b) 490 : 70 c) 7 200 : 900
4
d) 1 280 : 160 e) 58 800 : 1 200 f) 24 000 : 8 000
Copia y calcula estas divisiones en tu cuaderno.
a) 9 5 6 5 1 8 1
382 247
b) 7 5 8 6 1 6 4 4
8 8
14
2 Parte de la recaudación que obtenga el circo con la venta de entradas de la función del sábado por la tarde, la donará a fines benéficos. Con el objetivo de que la gente se entere y acuda a la función, diseña algún folleto publicitario en el que quede reflejada toda la información. ¿En qué lugares de tu localidad los r epartirías?
198
0 6 0 6
anayaeducacion.es
15
Realiza las divisiones que te proponemos.
Sugerencias metodológicas
Emprender y aprender
En esta doble página se aborda el algoritmo de la división entera con divisores de tres cifras. El desarrollo del algoritmo se plantea, a partir del ábaco plano, como reparto de los diferentes órdenes de unidades e insistiendo en la equivalencia entre unos órdenes de unidades y otros. Debemos remarcar la idea de iniciar la división buscando el orden de unidades del cociente o, lo que es lo mismo, el orden de unidades por el que comenzamos el reparto. Del mismo modo, remarcaremos el caso especial de ceros intermedios en el cociente, cuando no podamos repartir un orden determinado.
Soluciones c) 100
b) 1 801
d) 167
2
a) 204
b) 302
3
a) 4
d) 8
b) 7
e) 49
c) 8
f) 3
a) 9 4 5 6 5 382 1 8 1 6 247 2 8 8 5
b) 7 5 8 4 6 198 383 1 6 4 4 0 6 0 6
4
2 1 1
30
Son 3 amigos. Cada entrada les costó 13 euros.
2
Respuesta abierta.
Actividades de refuerzo 1
Calcula y haz la prueba. a) 45 679 : 342
b) 87 694 : 524
a) c = 133; r = 193
b) c = 167; r = 186
Actividades de ampliación
a) 71
1
1
1
¿Cuál es el dividendo de una división cuyo cociente es 5 438, el divisor es 225 y el resto es 823?
El dividendo es 1 224 373.
1 2
5
8 219 visitantes.
6
Una fábrica de bollería hornea cada día 200 bandejas de 60 magdalenas, las embolsan por docenas y las comercializan en cajas de 10 bolsas. ¿Cuántas cajas producen al día?
7
Pagó 256 € al mes. Respuesta abierta.
Anotaciones
1 d a d i n U
Operaciones combinadas
La calculadora
Observa cómo se realizan las operaciones en la expresión asociada a cada una de estas situaciones:
La calculadora es una herramienta de cálculo que se utiliza para realizar operaciones o para comprobar resultados.
En la hucha hay 40 €. Saco tres monedas de 2 € y meto un billete de 5 €.
En la cartera hay 40 €. Saco tres sobres con una moneda de 2 € y un billete de 5 € en cada uno.
Enciende
ON h la calculadora.
Apaga
TECLAS DE MEMORIA
40 €
→
40 – 3 × 2 + 5
→
40 €
OFF h la calculadora.
40 – 3 × (2 + 5)
40 – 3 × 2 + 5 = 40 – 6 + 5 = 34 + 5 = 39
40 – 3 × (2 + 5) = 40 – 3 × 7 = 40 – 21 = 19
Primero, la multiplicación y, después, la resta y la suma.
Primero, el paréntesis; después, la multiplicación y, al final, la resta.
TECLAS DE OPERACIONES
TECLAS DE ENTRADA DE NÚMEROS
1 Si pulsas en la calculadora las siguientes teclas, ¿qué número aparece? 1 Copia en tu cuaderno, completa y compara en cada caso. a) 2 × 8 – 3 = … – 3 = …
36+=
b) 24 : 6 + 2 = … + 2 = …
2 × (8 – 3) = 2 × … = …
¿Y si pulsas estas otras? 3 6 + = + = + =
24 : (6 + 2) = 24 : … = …
2 Comprueba con la calculadora qué ocurre si pulsas estas teclas:
2 Resuelve. a) 4 × 3 + 5 × 2
c) 24 : 3 – 30 : 6
b) 8 × 2 – 20 : 4
d) 24 : 6 + 3 × 3
45-5==
¿Cuántas veces habrá que pulsar = para que aparezca el número 0?
3 Copia en tu cuaderno y completa.
3 Si pulsas las teclas siguientes, ¿qué número aparece?
a) 12 + 3 × 2 + 4 = 12 + … + 4 = …
10*=
b) (12 + 3) × 2 + 4 = … × 2 + 4 = …
¿Cuántas veces hay que pulsar la tecla = para que aparezca el número 1 000 000 en la pantalla?
c) 12 + 3 × (2 + 4) = 12 + 3 × … = …
4 Selecciona la expresión o las expresiones que solucionan el proble-
4 Si pulsas en la calculadora estas teclas, ¿qué número aparece?
ma y resuélvelo.
En un corral hay conejos y gallinas. Hemos contado 8 orejas y 36 patas. ¿Cuántas gallinas hay en el corral? 8:2 16
8×2
(36 – 4 × 4) : 2
25/5==
5 Comprueba cuántas veces hay que pulsar la tecla = para que al
36 – 16 : 4
hacer 3 125 : 5 aparezca el 1 .
anayaeducacion.es
17
Practica las operaciones combinadas.
Sugerencias metodológicas
Sugerencias metodológicas
Cerrando el repaso de la operativa con números naturales, desarrollamos en este epígrafe las operaciones combinadas. Es importante que los alumnos y las alumnas tomen conciencia de este convenio, y de cómo el paréntesis lo modifica. Debemos insistir en la necesidad de respetar la prioridad de las operaciones multiplicativas, realizándolas en el orden en que aparecen para, después, hacer las operaciones aditivas.
Soluciones 1
a) 72
b) 288
2
a) 35
b) 9
a) 2 × 8 – 3 = 16 – 3 = 13
3
a) 100
b) 5
2 × (8 – 3) = 2 × 5 = 10
4
1
5
5
Soluciones 1
Por último, dedicamos este epígrafe al uso de la calculadora, como herramienta para realizar operaciones de forma más sencilla y rápida o para comprobar los resultados obtenidos. Para ello, mostramos diferentes estrategias de cálculo que se pueden llevar a cabo con ella.
b) 24 : 6 + 2 = 4 + 2 = 6 24 : (6 + 2) = 24 : 8 = 3 2
a) 4 × 3 + 5 × 2 = 12 + 10 = 22 b) 8 × 2 – 20 : 4 = 16 – 5 = 11
Actividades de refuerzo
c) 24 : 3 – 30 : 6 = 8 – 5 = 3
1
d) 24 : 6 + 3 × 3 = 4 + 9 = 13 3
a) 12 + 3 × 2 + 4 = 12 + 6 + 4 = 22 b) (12 + 3) × 2 + 4 = 15 × 2 + 4 = 34
Realiza estas operaciones: a) 64 + (26 – 15) b) 39 – 5 × 6
a) 75
c) (15 + 5 ) × 4 d) (8 – 2) × 5 – 15
b) 9
c) 80
d) 15
c) 12 + 3 × (2 + 4) = 12 + 3 × 6 = 30 4
(36 – 4 × 4) : 2 = 10 gallinas.
En la web. http//www.anaya.es si deseas conseguir más acti-
vidades. 31
Unidad
RECUERDO
a) 6 · 5 + 7 · 5 + 12 · 5 – 8 · 5
Propiedad distributiva
Nuestro sistema de numeración es: Decimal, porque diez unidades de un orden forman una unidad del orden superior.
•
b) 9 · 8 – 4 · 8 + 8 · 8 + 12 · 8
(12 – 3) × 14 = 12 × 14 – 3 × 14
L
d) 15 · 8 + 10 · 8 + 21 · 8 – 30 · 8
0 1 570 1 328 1 576 1 913 2 333 2 581
Sacar factor común
10 Multiplica.
0 1 296 1 287 1 602 2 250 2 425 2 488 e) 1 547 × 3 008
c) 99 × 258
f) 2 790 × 4 271
b) ¿Qué día cierra el zoo? c) ¿En cuál de las dos semanas se vendieron más entradas? ¿Cuántas más?
11 Copia y completa en tu cuaderno.
4 29
a) 7 580 500
7 UM + 8 CM + 5 DM
b) Ocho mil ochocientos millones
b) 1 300 702
1 UM + 3 C + 7 D + 2 U
c) Tres mil doscientos millones cien mil
c) 208 803
76 987 97 854
a) 7 045 800 b) 20 099 570 c) 904 670 021
a) (12 + 17) · 5 b) 6 × (12 – 8) c) 7 · (29 – 12)
4 Copia y completa la tabla. MILLAR MÁS PRÓXIMO
MILLÓN MÁS PRÓXIMO
4 17 Virginia tiene un álbum con 450 fotos. En
345 609 456 567
todas las páginas de la derecha van cuatro fotos, y en todas las de la izquierda, seis fotos. ¿Cuántas hojas tiene el álbum?
RESTO
18 En la fiesta de la empresa de Sara se han
354 243
repartido 875 canapés. Si se servían en bandejas de 25 canapés cada una, ¿cuántas bandejas han necesitado para servirlos todos?
0 9
13 Calcula.
a) 6 × 3 – 5 × 2 + 8 : 4
2 CM + 8 UM + 8 C + 3 U
19 Escribe la expresión que corresponda y
resuelve. Cristina ha sacado del cajero cinco billetes de 50 €, cinco billetes de 20 € y cinco billetes de 10 €. ¿Cuántos euros ha sacado del cajero?
b) 15 : 5 + 6 : 2 + 12 : 4 c) 25 – 3 × (6 + 2)
7 Calcula aplicando la propiedad distribu-
tiva.
8
DIVIDENDO DIVISOR COCIENTE
c) 8 UMM + 3 DM + 2 UM + 5 D
7 en cada uno de estos números?
527
12 Copia y completa la tabla en tu cuaderno.
6 Escribe >, < o =, según corresponda.
3 ¿Cuál es el valor de posición de la cifra
6 5
7 4 6 2 9 8 7
b) 8 000 000 + 700 000 + 5 000 + 400
a) Doce millones doscientos mil
•
d) 2 × (7 – 3) + 3 × (9 – 5) d) (16 – 14) × 8 e) 9 × (34 + 16) f) (121 + 3) · 4
14 Calcula y compara los resultados.
a) 38 – 6 × (11 – 8 + 2) AVANZO
b) (38 – 6) × (11 – 8 + 2)
8 Copia en tu cuaderno y completa.
c) 38 – 6 × (11 – 8) + 2
20 En un vivero hay 36 jardineras. En 15
9 239 810
a) 23 × 14 + 35 × 14 = (… + …) × …
3 296 250
b) 8 × 21 – 8 × 12 = … × (… – …)
10 260 201
c) 6 × 23 – 6 × 15 = … × (… – …)
a) 298 765 + 123 700
c) 65 789 × 325
35 733 891
d) 31 × 9 + 35 × 9 = (… + …) × …
b) 8 976 008 – 567 843
d) 897 654 : 8 796
de ellas hay plantadas 23 plantas y cada planta tiene 5 flores. En el resto de las jardineras hay plantadas 42 plantas y cada una tiene 9 flores. ¿Cuántas flores hay en total?
d) (38 – 6) × (11 – 8) + 2 15 Resuelve con ayuda de la calculadora.
18
19
Sugerencias metodológicas Este apartado recoge, a modo de resumen, los contenidos fundamentales de la unidad: el sistema de numeración decimal, la propiedad distributiva, la estrategia para sacar factor común y la jerarquía de las operaciones. La visión global y simultánea de los contenidos, además de facilitar el repaso rápido, favorece la interconexión y el establecimiento de relaciones entre los mismos. Las actividades propuestas ahora servirán para afianzar los contenidos y detectar el cumplimiento de los objetivos. En este apartado, se pretende que los alumnos y las alumnas vayan alcanzando modelos para resumir y esquematizar los contenidos trabajados alcanzando una visión global e interconectada de lo que aprenden. Para obtener el mayor rendimiento de este apartado, se puede pedir a los alumnos y a las alumnas que copien en sus cuadernos el resumen o el esquema de la unidad.
7
a) 145
8
a) (23 + 35) × 14
c) 6 × (23 – 15)
b) 8 × (21 – 12)
d) (31 + 35) × 9
a) 5 × (6 + 7 + 12 – 8) = 85
c) 3 × (11 + 16 + 21 – 30) = 54
b) 8 × (9 – 4 + 8 + 12) = 200
d) 8 × (15 + 10 + 21 – 30) = 128
a) 1 073
c) 25 542
e) 4 653 376
b) 8 528
d) 7 968 367
f) 11 916 090
9
10
2 3
3 570 140 a) 12 200 000 a) UMM
4
9 239 810 3 296 250 10 260 201 35 733 891 5 6
32
b) 24
c) 3 200 100 000
MILLAR MÁS PRÓXIMO
MILLÓN MÁS PRÓXIMO
9 240 000 3 296 000 10 260 000 35 734 000
9 000 000 3 000 000 10 000 000 36 000 000
a) 10 001 010 b) 8 705 400 c) 8 032 050 a) 7 580 500 > 7 UM + 8 CM + 5 DM b) 1 300 702 > 1 UM + 3 C + 7 D + 2 U c) 208 803 = 2 CM + 8 UM + 8 C + 3 U
d) 16
e) 450
4 2 9 0 6 5 527 0 7 4 6 814 2 1 9 5 0 8 7
12
DIVIDENDO
DIVISOR
COCIENTE
RESTO
76 987 97 854
345 609 456 567
223 160
52 414
354 243
0 9
161 424 137 790
b) 8 800 000 000 b) D c) DM
c) 119
11
Soluciones 1
D
b) 52 × 164
a) 10 000 000 + 1 000 + 10
2 Escribe con cifras.
S
= 4 × (11 + 18 – 23)
5 ¿Qué número corresponde a cada des-
U
V
a) ¿Cuál fue el día de mayor afluencia?
composición?
D
J
d) 3 109 × 2 563
3 × (5 + 1) – 20 : (8 – 6) = 3 × 6 – 20 : 2 = 18 – 10 = 8
C
X
a) 29 × 37
Primero, se realizan las operaciones que están entre paréntesis; después, las multiplicaciones y las divisiones; por último, las sumas y las restas.
UM
M
4 × 11 + 4 × 18 – 4 × 23 =
Operaciones combinadas
DM
en un zoo en las dos últimas semanas:
c) 11 · 3 + 16 · 3 + 21 · 3 – 30 · 3
Posicional, porque el valor de una cifra varía según la posición que ocupa en él.
1 ¿Qué número representa el ábaco?
16 Esta tabla recoge las entradas vendidas
(12 + 3) × 14 = 12 × 14 + 3 × 14
•
UMM CM
RESUELVO PROBLEMAS
9 Saca factor común y calcula el resultado.
El sistema de numeración decimal
1
f) 496
13
a) 10
b) 9
c) 1
d) 20
14
a) 8
b) 160
c) 22
d) 98
15
a) 422 465
b) 8 408 165
c) 21 381 425
d) 102
16 a)
El domingo de la 1.ª semana. b) El lunes. c) En la segunda semana. 47 más.
17 45
hojas (= 90 páginas).
18 35
bandejas.
19 Ha
sacado 400 €.
20 En
total hay 9 663 flores.
Unidad
1
Tarea competencial Gonzalo quedó con sus amigos para dejar todo bien preparado y hacer el último ensayo antes del gran momento. Su profesor les ha pedido que lleven los instrumentos, preparen las partituras y todo quede ordenado.
SIGO UNOS PASOS
Leo el enunciado hasta entenderlo. Juan tiene en una finca dos depó sitos con 75 600 l de agua entre los dos. Sacó para regar 12 300 l de uno y 10 700 l del otro. Ahora, cada depósito tiene la misma cantidad de litros. ¿Cuántos litros hay en cada depósito?
Aclaro los datos y la pregunta. Pregunta
Datos Había 75 600 litros de agua. Se sacan 12 300 y 10 700 litros. Queda la misma cantidad en cada depósito.
•
¿Cuántos litros hay en cada depósito?
•
•
•
Hago un dibujo para aclarar el problema.
12 300
l
+
10 700
l
= 75 600
ENTRADAS VENDIDAS
X
J
V
248
328
221
vendidas los días previos al concierto con la venta anticipada. Si el precio de cada entrada era de 9 €, ¿cuál fue la recaudación de cada día?
Agua gastada → 12 300 + 10 700 = 23 000 l Agua que queda → 75 600 – 23 000 = 52 600 l Litros en cada depósito → 52 600 : 2 = 26 300 l
2 Las entradas vendidas en taquilla tienen un precio de 12 €. Si la recau-
dación por estas en tradas ha sido d e 2 772 €, ¿cuántas entradas se han vendido en taquilla?
Escribo una frase con la solución. Hay 26 300 litros en cada d epósito.
Enrique tiene tres bolsas con canicas. En la primera hay 47 canicas, en la segunda 65 y en la tercera 98. Si quiere que cada bolsa tenga el mismo número de canicas, ¿cuántas canicas tendrá que pasar de la tercera bolsa a las otras dos?
M
351
1 Observa la tabla que ha hecho Gonzalo y que muestra las entradas
Planteo y realizo las operaciones.
Problema 1
L
206
l
3 ¿Cuál fue la recaudación total entre la venta anticipada y la venta en
taquilla?
Problema 2
4 Si el total del aforo de la sala se hubiera vendido por taquilla, ¿cuál ha-
En un colegio tienen dos fotocopiadoras. Una hace 10 800 fotocopias en una hora, y la otra, 7 200 fotocopias. Si Alejandra las pone en funcionamiento las dos a la vez, ¿cuántos segundos tardarán en sacar 100 fotocopias?
bría sido la recaudación? 5 Una guitarra tiene 6 cuerdas y un violín tiene 4 cuerdas. Si en el grupo
hay 8 guitarras y 12 violines, ¿cuántas cuerdas hay en total? Resuelve con una operación combinada. 6 Para realizar el concierto, han tenido que pagar 850 euros por el alqui-
ler del teatro y 125 euros a la imprenta. Elaborad en parejas una tabla con los ingresos, los gastos y los beneficios del concierto. Para la elaboración y la organización de los datos podréis utilizar la calculadora. Comparad vuestras tablas con las de vuestros compañeros, ¿habéis obtenido el mismo beneficio?
•
20
Sugerencias metodológicas A la hora de resolver problemas es necesario sistematizar unos pasos que nos permitan enfrentar el proceso de resolución.
21
Soluciones de El desafío 1
Martes: 3 159 €.
Primero, leer varias veces el problema, para comprender lo que se nos plantea; luego, elegir las preguntas que nos van a facilitar la resolución del problema, escribir los datos y elegir las operaciones correctas; por último, plantear una frase con la solución del problema. Solo desde la comprensión del enunciado y la organización de la información que nos da el problema, seremos capaces de resolverlo.
Soluciones Problema 1
Tendrá que pasar 28 canicas: 23 a la primera bolsa y 5 a la segunda. Problema 2
Lunes: 1 854 €. Miércoles: 2 232 €. Jueves: 2 952 €. Viernes: 1 989 €.
2
Se vendieron 231 entradas.
3
La recaudación total fue de 14 958 €.
4
Habría sido de 19 020 €.
5
(8 × 6) + (12 × 4) = 48 + 48 = 96 cuerdas.
6
El beneficio final fue de 13 983 €. • Respuesta abierta.
Anotaciones
Tardarán 20 segundos.
33
