����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
AULA 3: Medidas de dispersão
1. MEDIDAS DE DISPERSÃO
1
1.1.
���������
3
1.2.
��������� ��������������� (�� ��������� ���������������)
4
1.3.
������ �� ������� � ����� ����������
4
1.4.
������ �����
6
1.5.
���������
10
1.6.
������������ ��� ������� �� ������� ������������ ��� �������
12
1.7.
����� ����������� ���� ������� �� ���������
16
1.8.
������ ������.
23
1.9.
������������ ��� ������� �� ���������
26
1.10.
����������� �� ��������.
35
1.11.
������� �� ��������� ���� ����� �� ������
41
1.12.
��������� �� ����� �� ���� ���������
45
2. BOX PLOT
56
3. RESUMO
63
4. QUESTÕES APRESENTADAS EM AULA
63
5. GABARITO
72
1.
�EDIDA� DE DI��E����
C����de�e ���� e���e�a� (A, B e C). E� cada ��a de��a� ���� e���e�a�, e���e����a��� c��c� f��c��������, �e�����a�d� � �a����� de cada �� de�e�. O �e����ad� e��� aba��� (�a���e� e� R$ 1.000,00): E���e�a A: 3, 3, 3, 3, 3 E���e�a B: 1, 3, 3, 3, 5 E���e�a C: 1, 2, 3, 4, 5 S����� ��e ��c�� a���e� e��e� dad�� e� �� ca������ �e�a�ad�, ���� a��da � ������a�e��� ����a� �e�e� a� ����� da a��a. M���� be�, �a��� �����e����. ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
1
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
Na e���e�a �A� ��d�� �� c��c� f��c�������� e���e����ad�� �a��a� R$ 3.000,00. Na e���e�a �B� �e��� ��a �e���a ��e �a��a R$ 1.000,00, ���� ��e �a��a� R$ 3.000,00 e ��a ��e �a��a R$ 5.000,00. E �a e���e�a �C� cada f��c������� �a��a �� �a����� d�fe�e��e. N��e ��e � �a����� ��d�� �a� ���� e���e�a� � � �e���. A ��d�a � de R$ 3.000,00, �a��� �a e���e�a A, ��a��� �a� e���e�a� B e C. O ��e �����f�ca d��e� ��e a ��d�a �a� ���� e���e�a� � a �e��a? S����f�ca ��e �� �a������, e� cada ��a de�a�, ���a� e� ����� de R$ 3.000,00. Sabe��� ��e �a e���e�a �A� a ��d�a de�c�e�e ���������� be� � c������� de dad��. P�� ���? P����e ��d�� �� f��c�������� �a��a� e�a�a�e��e � �a����� ��d��. T�d�� e�e� �a��a� R$ 3.000,00. J� �a e���e�a �C� a ��d�a ��� de�c�e�e � c������� de dad�� ��� be� ��a��� � fa� �a e���e�a �A�. Na e���e�a �C� a�e�a� ��a �e���a �a��a � �a����� ��d��. A�a���a�d� a�e�a� a ��d�a ��� c���e������ d�fe�e�c�a� a� ���� e���e�a�. C����d�, �e�d� ace��� a ��d�� �� �a���e� da �e�����a, �e��� c��d���e� de af���a� ��e �� �a������ e� cada ��a de�a� ��� d�fe�e��e�. O ��e e���� ��e�e�d� d��e� � ��e a ��d�a, ����ada�e��e, ��� � ��f�c�e��e �a�a de�c�e�e� ade��ada�e��e �� c������� de dad��. E � ������� da e��a�����ca de�c�����a � ����a�e��e de�c�e�e� de�c�e�e� �� c������� c������� de dad��. Na e���e�a A, �� dad�� ��� e���� �ada d���e����. E�e� e���� be� c��ce���ad��. T�d�� e�e� ��� ���a�� � ��d�a a�������ca. Na e���e�a C, �� �� ce��a d���e����. O �a����� ��d�� �a�b�� � de R$ 3.000,00. S� ��e �e��a �e�ce��a e���e�a �� dad�� e���� �a�� d���e����, a����e� �a���e� d�fe�e��e�. Pa�a �e���� de�c�e�e� ������ dad�� (�e�b�e���e: e��a��� e���da�d� e��a�����ca de�c�����a, ��e ���a de�c�e�e� �� c������� de dad��), �a��� ������a� a� �ed�da� de d���e����. S�a f��a��dade � ��d�ca� � ��a��� �� dad�� e���� d���e����. ������� 1
I�B 2006 �E�AF�
O ��a� a� ��a� �� � � dad�� ������c�� �e�de� a d���e��a���e e� ����� de �� �a��� ��d�� c�a�a��e a) ��d�a. b) �a��a��� �� d���e���� d�� dad��. c) �ed�a�a. d) c���e�a��� �� d���e����. e) ��da. ���������:
A� �ed�da� de d���e���� ��e ��� e��a f��a��dade: �e� � ��a��� �� dad�� e���� d���e���� e� ����� de �� �a��� ��d��. ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
2
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
Na e���e�a �A� ��d�� �� c��c� f��c�������� e���e����ad�� �a��a� R$ 3.000,00. Na e���e�a �B� �e��� ��a �e���a ��e �a��a R$ 1.000,00, ���� ��e �a��a� R$ 3.000,00 e ��a ��e �a��a R$ 5.000,00. E �a e���e�a �C� cada f��c������� �a��a �� �a����� d�fe�e��e. N��e ��e � �a����� ��d�� �a� ���� e���e�a� � � �e���. A ��d�a � de R$ 3.000,00, �a��� �a e���e�a A, ��a��� �a� e���e�a� B e C. O ��e �����f�ca d��e� ��e a ��d�a �a� ���� e���e�a� � a �e��a? S����f�ca ��e �� �a������, e� cada ��a de�a�, ���a� e� ����� de R$ 3.000,00. Sabe��� ��e �a e���e�a �A� a ��d�a de�c�e�e ���������� be� � c������� de dad��. P�� ���? P����e ��d�� �� f��c�������� �a��a� e�a�a�e��e � �a����� ��d��. T�d�� e�e� �a��a� R$ 3.000,00. J� �a e���e�a �C� a ��d�a ��� de�c�e�e � c������� de dad�� ��� be� ��a��� � fa� �a e���e�a �A�. Na e���e�a �C� a�e�a� ��a �e���a �a��a � �a����� ��d��. A�a���a�d� a�e�a� a ��d�a ��� c���e������ d�fe�e�c�a� a� ���� e���e�a�. C����d�, �e�d� ace��� a ��d�� �� �a���e� da �e�����a, �e��� c��d���e� de af���a� ��e �� �a������ e� cada ��a de�a� ��� d�fe�e��e�. O ��e e���� ��e�e�d� d��e� � ��e a ��d�a, ����ada�e��e, ��� � ��f�c�e��e �a�a de�c�e�e� ade��ada�e��e �� c������� de dad��. E � ������� da e��a�����ca de�c�����a � ����a�e��e de�c�e�e� de�c�e�e� �� c������� c������� de dad��. Na e���e�a A, �� dad�� ��� e���� �ada d���e����. E�e� e���� be� c��ce���ad��. T�d�� e�e� ��� ���a�� � ��d�a a�������ca. Na e���e�a C, �� �� ce��a d���e����. O �a����� ��d�� �a�b�� � de R$ 3.000,00. S� ��e �e��a �e�ce��a e���e�a �� dad�� e���� �a�� d���e����, a����e� �a���e� d�fe�e��e�. Pa�a �e���� de�c�e�e� ������ dad�� (�e�b�e���e: e��a��� e���da�d� e��a�����ca de�c�����a, ��e ���a de�c�e�e� �� c������� de dad��), �a��� ������a� a� �ed�da� de d���e����. S�a f��a��dade � ��d�ca� � ��a��� �� dad�� e���� d���e����. ������� 1
I�B 2006 �E�AF�
O ��a� a� ��a� �� � � dad�� ������c�� �e�de� a d���e��a���e e� ����� de �� �a��� ��d�� c�a�a��e a) ��d�a. b) �a��a��� �� d���e���� d�� dad��. c) �ed�a�a. d) c���e�a��� �� d���e����. e) ��da. ���������:
A� �ed�da� de d���e���� ��e ��� e��a f��a��dade: �e� � ��a��� �� dad�� e���� d���e���� e� ����� de �� �a��� ��d��. ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
2
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
G�������: B
1.1. A�������� A ����e��a �ed�da de d���e���� � a a������de. N�� a�� �� ����� � c��ce��� de a������de a��e�����e��e. a��e�����e��e. Q�a�d� e���da��� dad�� e� c�a��e�, ����� ��e a d�fe�e��a e���e � �����e ���e���� e � �����e ��fe���� � ���a� � a������de de c�a��e. A �de�a de a������de � e��a �e���. � a d�fe�e��a e���e � �a��� e � �e��� �a���. De���� de ��a c�a��e, � �a��� �a��� � � �����e ���e���� e � �e��� �a��� � � �����e ��fe����. Va��� ca�c��a� a a������de �a�a cada ��a da� ���� e���e�a� d� ����� e�e����. Na e���e�a A, ��d�� �� �a���e� ��� ���a�� a 3. A a������de f�ca: E���e�a A: A = 3 − 3 = 0 Na e���e�a B, � �a��� �a��� � 5. O �e��� �a��� � 1. A a������de f�ca: E���e�a B: A = 5 − 1 = 4 Na e���e�a C, � �a��� �a��� � 5. O �e��� �a��� � 1. A a������de f�ca: E���e�a C: 5 − 1 = 4 A a������de � ��a �ed�da de d���e����. Q�a��� �a��� a a������de, �a�� d���e���� e���� �� dad��. A a������de f�� ca�a� de �e ��d�ca� ��e, �a e���e�a A, �� �a������ e���� be� c��ce���ad��. F�� ca�a� de de������a� �a�b�� ��e, �a� e���e�a� B e C, �� �a������ ��� �a�� d���e���� ��e �a e���e�a A. C����d�, �e�a�d� e� c���a a�e�a� a a������de, ��� c���e������ de�c�b���, de���e a� e���e�a� B e C, ��a� �e� �� dad�� �a�� d���e����. O� �e�a, a a������de ��� f�� ca�a� de d�fe�e�c�a� a d���e���� d�� dad�� �a� e���e�a� B e C. D��e��� ��e a a������de � ��a �ed�da de d���e���� ���b�e�. Se� c��c��� �e�a e� c���a a�e�a� d��� �a���e�. A�e�a� � �a��� �a��� e � �e��� �a���.
A������de � ���a� a� �a��� �a��� �e��� � �e��� �a���. � ��a �ed�da de d���e���� ��b�e ��� �e�a� e� c���a a�e�a� d��� �a���e�.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
3
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
1.2. I�������� ��������������� (�� ��������� ���������������) J� e���da��� e��a �ed�da �a a��a �a��ada. T�a�a��e da d�fe�e��a e���e � �e�ce��� e � ����e��� ��a����. E�a � be� �e�e��a��e � a������de. T�a�a��e de ��a d�fe�e��a e���e d��� �a���e�, d� �e��� �e���. S� ��e �a�� �a���e� ��� �� ��a����. Na a��a de ���e, �e�e��� ���a�e��e e��a �ed�da �� ����c� de B�� P���.
1.3. D����� �� ������� � ����� ���������� O de���� e� �e�a��� � ��d�a a�������ca ��� � ��a �ed�da de d���e����. � a�e�a� ��a fe��a�e��a ��e ��� ��a�e��� da��� e� d�a��e. � e�ce��� da a������de, ��da� a� ����a� �ed�da� de d���e���� ��e ��� e���da�e��� �e�a� e� c���a � de���� e� �e�a��� � ��d�a a�������ca. Ma� � ��e � de���� e� �e�a��� � ��d�a a�������ca? De���� e� �e�a��� � ��d�a a�������ca � a d�fe�e��a e���e � �a��� c����de�ad� e a ��d�a a�������ca da �e����c�a ������ca a�a���ada. Pa�a �e���� e��e�d��e���, �a��� ����a� a� e�e���� da� ���� e���e�a� (dad� �� �a �����a 1). T��e��� a e���e�a C. O� �a������ d�� f��c�������� de��a e���e�a ���: E���e�a C: 1, 2, 3, 4, 5 Va��� ca�c��a� �� de����� de��e� �a���e� e� �e�a��� � ��d�a. A ��d�a a�������ca de��a �e����c�a de �a���e� � 3. O ����e��� �a��� � 1 ( X 1 = 1 ). O de���� de��e ����e��� �a���, e� �e�a��� � 3 (=��d�a a�������ca) �: e1
e1
=
=
X 1
−
X
1 − 3 = −2
U�����a��� a �e��a �e� �a�a ��d�ca� � de����. � ��e � ����� c����, e� �e� de fa�a���� e� �de����� e� �e�a��� � ��d�a�, ������a���� a e���e���� �e���� e� �e�a��� � ��d�a�. A�, a �e��a �e� �e�b�a��a a ���c�a� de �e����. Ma� � �����f�cad� � � �e���. C��� �� e���� ������a�d� a �e��a �d� (���c�a� de de����) �a�a ��d�ca� a �a����e� a�����a� ��e fac����a � c��c��� da ��d�a �a�a dad�� e� c�a��e�, ���e� �e�� ���b��� �e�. E���� � ����e��� de���� � − 2 . Pa�a �b�����, ���a��� � ����e��� �a��� (1), ���a��� a ��d�a d�� dad�� (3), e fa�e��� a d�fe�e��a e���e e�e�. O �e���d� de���� f�ca��a a����: e2
e2 ����� ����� �������
=
=
X 2
−
X
2 − 3 = −1
���.�������������������.���.��
4
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
T��a��� � �e���d� �a��� (2). T��a��� a ��d�a a�������ca (3). E fa�e��� a d�fe�e��a e���e e�e�. A �abe�a aba��� c����� ��d�� �� de����� �a�a a e���e�a C. De����� �a�a �� �a������ �a e���e�a C Va��� �b�e��ad� ( � ) De���� e� �e�a��� � ��d�a F�e����c�a �����e� ( � ) (�) 1 �2 1 2 �1 1 3 0 1 4 1 1 5 2 1 C�� e��e c��ce��� de de���� e� �e�a��� � ��d�a a�������ca, ��a �de�a �e�a��e��e �e� � cabe�a. E �e ca�c��a���� a ��d�a de��e� de�����? Se a ��d�a d�� de����� e� �e�a��� � ��d�a a�������ca f�� a��a, e���� �� dad�� ��� ����� d���e����. Se a ��d�a d�� de����� f�� ba��a, �� dad�� e���� ���c� d���e����. C�� e��a �de�a, ��de��� ca�c��a� a ��d�a d�� de����� d�� �a������ �a e���e�a C. De���� e� �e�a��� � ��d�a (e) �2 �1 0 1 2 ������
F�e����c�a �����e� (f)
e × f
1 1 1 1 1 5
�2 �1 0 1 2 0
A ��d�a d�� de����� f�ca: e=
0 5
=
0
P�� ��e a ��d�a � �e��? A ��d�a de� �e�� �����e a ���a d�� de����� � �e�� (���a� da c����a e × f ). L� e� ������edade� da ��d�a (f�. E���! I�������� ��� ��������.) e� d���e ��e a ���a de ��d�� �� de����� e� �e�a��� � ��d�a a�������ca � ���a� a �e��. Na ���a e� ��� e������e�. A�e�a� de��e� a ��f���a���. P��� be�, c�e��� a ���a de ���a� e��a ������edade c�� �a�� ca��a. N�� ����� ��e, �a�a a e���e�a C, a ���a de ��d�� �� de����� f�� �e��. S� ��e ���� ��� ac���ece �� �a�a �� �a������ d�� f��c�������� da e���e�a C. Pa�a ��a���e� �e����c�a ������ca ��e ��c� ����a�, a ���a d�� de����� e� �e�a��� � ��d�a a�������ca �e�� �e��. � ��a ������edade da ��d�a. P�� �a�� ��e �� dad�� e��e�a� d���e����, a ��d�a d�� de����� �e�� �e���e ���a. I��� �����e, �a�e�d� d���e����, �e�e��� �a���e� �e���e� ��e a ��d�a (de����� �e�a�����)
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
5
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
e �e�e��� �a���e� �a���e� ��e a ��d�a (de����� ���������). O� �a���e� ��������� ca�ce�a� �� �e�a����� e a ���a d� �e���e �e��. P���a���, a ��d�a d�� de����� ��� ��de �e� ������ada �a�a c���a�a� a d���e���� de d�a� �e����c�a� ������ca�.
1.4. D����� ����� A �d��a d� de���� ��d�� � ����� �a�ec�da c�� a ��e �����e��� ac��a. Ca�c��a� �� de����� e� �e�a��� � ��d�a a�������ca. S� ��e ������a��� ��a fe��a�e��a �a�a e���a���� � ���b�e�a de �e���� ���e��� �e�a����� e ���������, de �a� ��d� ��e �� de����� �e�a����� ca�ce�e� �� de����� ��������� e a ���a d� �e��. E��a fe��a�e��a � � ��d���. O ��d��� �e� a ������edade de ��a��f���a� �� ���e�� �e�a���� e� ��������. Va��� a a����� e�e�����.
���� � ������ �� �2�
O ���e�� �2 � �e�a����. O ��d��� ��a��f���a ���e��� �e�a����� e� ���������. −
2
=
2
Re��e�e��a��� � ��d��� ��� d�a� ba��a� �e���ca��. A����, � ��d��� de �2 � 2. Se����d� � �e��� �ac��c����, � ��d��� de �25 � 25. −
25
=
25
Q�a�d� � ���e�� f�� ��������, � ��d��� ��� fa� �ada. De��a � ���e�� c��� e���. L���, � ��d��� de 8 � � ������� 8. 8
=
8
P��� be�, e �e e� �e� de ��aba��a���� c�� �� de����� ������a���� �e�� �e��ec����� ��d����? A� acaba��� c�� � ���b�e�a de �e���� ���e��� �e�a�����. N�� �e�d� �a�� ���e��� �e�a�����, ��� �� ca�ce�a�e��� de ���e��� �e�a����� c�� ��������� e a ���a ��� d� �e��. Va��� �e� c��� f�ca��a.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
6
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
De����� �a�a �� �a������ �a e���e�a C Va��� �b�e��ad� (X) De���� e� �e�a��� � ��d�a M�d��� d� de���� (�e�) (e) 1 �2 2 2 �1 1 3 0 0 4 1 1 5 2 2 P�����. Na c����a de ��d���� d�� de����� ��� �e��� �e���� ���e�� �e�a����. Se f��e���� a ��d�a de��e� �a���e�, f�ca��� c��: M�d��� d� de���� e� �e�a��� � ��d�a (� ��) 2 1 0 1 2 ������
F�e����c�a �����e� ( � )
e
×
1 1 1 1 1 5
f
2 1 0 1 2 6
A ��d�a d�� ��d���� d�� de����� f�ca: DM =
6 5
=
1,2
E��e � � �a��� d� De���� M�d��. C��c�����: De���� ��d�� � a ��d�a d�� ��d���� d�� de����� (de����� ca�c��ad�� e� �e�a��� � ��d�a a�������ca). Se f���e��� e�c�e�e� a f�����a ��e �e��e�e��a �� c��c���� fe���� �a �abe�a ac��a, ��de��a��� d��e� ��e � de���� ��d�� � dad� ���: n
∑ X
i −
X
i =1
DM =
n
O� �e�a: Ca�c��a��� cada de���� e� �e�a��� � ��d�a a�������ca ( X i T��a��� � ��d��� de cada de���� ( X i S��a��� ��d�� �� de����� ( ∑ X i
−
−
−
X )
X )
X )
D���d���� �e�� ���e�� de dad��, �b�e�d�:
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
7
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
n
∑ X
i −
DM =
X
i =1
n
Pa�a ��e��a� �� ���c�, �a��� ca�c��a� � de���� ��d�� �a�a �� �a������ d�� f��c�������� da e���e�a B. De����� �a�a �� �a������ �a e���e�a B Va��� �b�e��ad� ( � ) De���� e� �e�a��� � ��d�a M�d��� d� de���� (���) (�) 1 �2 2 3 0 0 5 2 2 M�d��� d� de���� e� �e�a��� � ��d�a (� ��) 2 0 2 ������
F�e����c�a �����e� ( � )
e
×
1 3 1 5
f
2 0 2 4
E � de���� ��d�� da e���e�a B f�ca: DM =
4 5
=
0,8
N��e ��e � de���� ��d�� f�� ca�a� de �e d��e� ��e �� �a������ da e���e�a C ��� �a�� d���e���� ��e �� �a������ da e���e�a B. O de���� ��d�� e� C (=1,2) f�� �a��� ��e e� B (=0,8). P���a���, e� C �� dad�� ��� �a�� d���e����. O de���� ��d�� �� � ��a �ed�da de d���e���� �a�� ���ca� ��e a a������de. O de���� ��d�� �e�a e� c���a ��d�� �� dad��, ��� a�e�a� � �a��� e � �e���.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
8
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
D����� �����:
Ca�c��a��� cada de���� e� �e�a��� � ��d�a a�������ca: ( X i T��a��� � ��d��� de cada de����: ( X i
−
S��a��� ��d�� �� ��d���� d�� de�����:
X )
X )
∑ ( X
i −
D���d���� �e�� ���e�� de dad��, �b�e�d�: DM =
������� 2
−
X )
∑ ( X
i −
n
X )
.
�EFA� /BA � 2004 �FCC�
Sabe��e ��e � �a��� de ��a de�e����ada �a����e� Q � �b��da �e�a e���e���� def���da ��� Q=
2i + 3 2
�e�d� � �� ���e�� ���e��� ��������. Se � a������ �� �a���e� 1, 2, 3, 4 e 5, e����, � de���� ��d�� de��a �a����e� �: a) 1,8 b) 1,2 c) 0,9 d) 0,75 e) 0,5 ���������:
Va��� �e� ��a�� �� �a���e� a�����d�� ��� Q. � 1 2 3 4 5
Q 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5
A ��d�a de Q �:
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
9
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
2,5 + 3,5 + 4,5 + 5,5 + 6,5
Q=
5
=
4,5
Va��� ca�c��a� � de���� ��d�� de Q: DM =
2,5 − 4,5
+
3,5 − 4,5
+
4,5 − 4,5
+
5,5 − 4,5
+
6,5 − 4,5
5
DM =
DM =
−
2
+ −
1+ 0
+
1+ 2
5
2 +1+ 0 +1 + 2 5
=
1,2
G�������: B.
1.5. ��������� A �de�a da �a����c�a � be� �a�ec�da c�� a �de�a d� de���� ��d��. C������a��� ��aba��a�d� c�� de����� e� �e�a��� � ��d�a. E a��da de�e�a��� e�����a� �� ���e��� �e�a�����. N� de���� ��d�� ���� f�� fe��� a���ca�d� � ��d���. S� ��e ����a� �e�e� � d�f�c�� ��aba��a� c�� a f����� ��d���. E�a a��e�e��a a����a� ca�ac�e�����ca� ���de�e�ada��. O���a f���a �a�� ������ada �, e� �e� de a���ca� � ��d���, e�e�a� a� ��ad�ad�. Q�a�d� e�e�a��� �� ���e�� �e�a���� a� ��ad�ad�, e�e ���a ��������. A����, e�����a��� �� ���e��� �e�a����� e acaba��� c�� � ���b�e�a de a ���a d�� de����� da� �e��. Va��� �e���a� � e�e���� da� e���e�a� A, B e C, ��e ����� �� �a f�. 1. Va��� �e� c��� f�ca a �a����c�a �a�a a e���e�a C. De����� �a�a �� �a������ �a e���e�a C Va��� �b�e��ad� ( � ) De���� e� �e�a��� � ��d�a De���� a� ��ad�ad� (�2) (�) 1 �2 4 2 �1 1 3 0 0 4 1 1 5 2 4 P�����: �a c����a de de����� a� ��ad�ad� �� �e��� �a���e� ��� �e�a�����. P�de��� fa�e� a ��d�a de��e� �a���e� ��e � �e����ad� �e�� d�fe�e��e de �e��. A �a����c�a �ada �a�� � ��e a ��d�a d�� ��ad�ad�� d�� de����.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
10
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
De���� a� ��ad�ad� (�2)
F�e����c�a �����e� ( � )
e 2 × f
4 1 0 1 4 ������
1 1 1 1 1 5
4 1 0 1 4 10
O ���b��� de �a����c�a �: σ 2. A �a����c�a d�� �a������ �a e���e�a C f�ca: σ
2
=
10 5
=
2
A �a����c�a �e� ���dade ���a� a� ��ad�ad� da ���dade d�� dad��. C��� �� dad�� e���� e���e���� e� R$ 1.000,00, a �a����c�a ac��a e��� e���e��a e� (1.000.000 R$ 2) � �� ������ de �ea�� a� ��ad�ad�. Se f���e��� e�c�e�e� ��a f�����a �a�a a �a����c�a, �e��e�e��a�d� ��d�� �� c��c���� fe���� �a� �abe�a� ac��a, f�ca��a��� c��:
− ∑ =
Ca�� �� dad�� e��e�a� a����ad��, cada de���� de�e �e� ��������cad� �e�a ��a f�e����c�a. � e�a�a�e��e a �e��a c���a ��e e���da��� �a a��a �a��ada, ��a�d� c���a�a��� a� f�����a� da ��d�a �a�a dad�� e� ��� e �a�a dad�� a����ad��. O� �e�a, �e �� dad�� e����e�e� a����ad��, a �a����c�a f�ca:
� ∑ − =
U� c��e������ ������a��e. E� c��c����, � c���� �e fa�e� �efe���c�a � �a����c�a ������������ e � �a����c�a ��������. Na �a����c�a �����ac���a�, c����de�a��� ��e ��� ���e��� ace��� a ��d�� �� dad��. Le�a��� e� c���a ��da a �����a���, ��d� � ����e��� de dad��. Q�a�d� f�� a����, � ���ced��e��� � e�a�a�e��e a��e�e ����� ac��a e a f�����a da �a����c�a �:
− ∑ =
Q�a�d� a���ca��� e��a f�����a, � c��� �e e�������e��� c����de�a�d� ��e �a e���e�a C �� a�e�a� 5 f��c��������. C��� ��� c���e������ e���e����a� ��d�� e�e�, �e�a��� e� c���a ��da a �����a���. Ca�c��a��� a �a����c�a ������������. C����d�, �� ca��� e� ��e ��� ��� �e��� ace��� a ��d�� �� dad��. Se a e���e�a C ���e� �a�� f��c�������� e ��� �� ���e���� e���e����ad� c��c� de�e�, e���� ��� ��aba��a��� �a �e�dade c�� ��a a�����a. Q�a�d� �e��� ��a a�����a, a f�����a da �a����c�a f�ca �� ���c� d�fe�e��e. O ���b��� de �a����c�a �a��a a �e�: �2. E a f�����a f�ca: ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
11
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
n
∑ ( X
i −
2
S
=
X
)
2
i =1
n −1
A ���ca c���a ��e ��da � � de�����ad��. E� �e� de � ��, f�ca � n − 1 �. Va��� ����� ��e �a e���e�a C ����a �a�� �e���a� e a��e�a� 5 e�a� a�e�a� ��a a�����a. Ne��e ca��, a �a����c�a f�ca��a a����: s2
=
10 5 −1
=
10 4
=
2,5
Q�a�d� � ���e�� de dad�� f�� ��a�de (�� �e�a, ��a�d� � �� f�� ��a�de), ��a��ca�e��e ��� �� d�fe�e��a e���e a� d�a� f�����a�. P�� ��e ��b��a�� 1 �� de�����ad��? P�� e���a���, a��da ��� �e��� c��d���e� de e����ca� � ������ d����. Re���a�e��� e��e a������ �a a��a de e����ad��e�. Ma� f�ca a ��f���a��� de ��e a �a����c�a da a�����a � ������ada �a�a e����a� a �a����c�a da �����a���. Q�a�d� �e de�e�a ��e e��e e����ad�� �e��a ��a ca�ac�e�����ca c�a�ada de ���� ��c�ad��, de�e��e ��a� � de�����ad�� �� � 1�. E���� a�e�a� ��a�e�: E� c��c�����: •
Va����c�a a�����a� → ����a� � � � 1� �� de�����ad��
•
Va����c�a �����ac���a� → ����a� � �� �� de�����ad��
n
∑ ( X
i −
Va����c�a �����ac���a�:
2 i =1 σ =
X
)
2
n
1.6. ������������ ��� ������� �� ������� ������������ ��� ������� N� ���e�ad�� da f�����a da �a����c�a �e��� a ���a de ��d�� �� ��ad�ad�� d�� de�����. De����� e��e� ca�c��ad�� e� �e�a��� � ��d�a a�������ca. Pa�a a e���e�a C a ���a d�� ��ad�ad�� d�� de����� f�� 10. Va��� fa�e� �� �e��e. Va��� ca�c��a� �� ��ad�ad�� d�� de����� ���a�e��e. S� ��e, a���a, e� �e� de c����de�a� de����� e� �e�a��� � ��d�a a�������ca, �a��� fa�e� �� ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
12
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
de����� e� �e�a��� a ����� �a��� ��a���e�. A ������ de e�e����, �a��� fa�e� de����� e� �e�a��� a X 1 . Pa�a ��� c��f��d��, e��e� �de����� ��d�f�cad��� e� ��� c�a�a� de e' . O ����e��� de���� e� �e�a��� � X 1 �: e'1 = X 1 − X 1
=
0
T��a��� � ����e��� �a��� ( X 1 ). T��a��� X 1 . S�b��a���� �� d� �����. O �e���d� de���� e� �e�a��� � X 1 �: e'1 = X 2
−
X 1
e'1 = 2 − 1 = 1
T��a��� � �e���d� �a��� (2). T��a��� X 1 (1). S�b��a���� �� d� �����. A �abe�a aba��� c����� ��d�� �� de����� e� �e�a��� � X 1 , �a�a a e���e�a C: De����� �a�a �� �a������ �a e���e�a C Va��� �b�e��ad� ( � ) De���� e� �e�a��� � X 1 (e') De���� a� ��ad�ad� (e' 2 ) 1 0 0 2 1 1 3 2 4 4 3 9 5 4 16 T��a� 30 N��e ��e a ���a d�� ��ad�ad�� d�� de����� f�� de 30. Q�a�d� �� de����� f��a� ca�c��ad�� e� �e�a��� � ��d�a a�������ca, a ���a d�� ��ad�ad�� d�� de����� f�� 10. Q�a�d� �� de����� f��a� ca�c��ad�� e� �e�a��� a ����� �a���, a ���a d�� ��ad�ad�� d�� de����� f�� �a��� ��e 10. Da� �e� a �����a ������edade da ��d�a ��e ����a f�cad� �e� e����ca���. N�� ����� �� �� ����c� de ������edade� da� �ed�da� de �������, ��e a ��d�a a�������ca � � �a��� e� �e�a��� a� ��a� � �����a a ���a d�� ��ad�ad�� d�� de�����. S� ��e a ��f���a��� f�c�� a�e�a� �e�����ada e e� ��� f�� �e���� c��e������. E��a ���a d�� ��ad�ad�� d�� de����� �e�� �����a ��a�d� �� de����� f��e� e� �e�a��� � ��d�a a�������ca. Se ����� �a��� f�� ������ad� c��� �efe���c�a �a�a c��c��� d�� de�����, a ���a f�ca�� �a���. Ma� ���� ��d� f�� �� �a�a e��e�de���� �e���� e��a ������edade da ��d�a. N� c��c��� de �a����c�a: �e���e ������e de����� e� �e�a��� � ��d�a a�������ca.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
13
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
M���� be�. J� ����� e���� ��e a ��d�a � � �a��� e� �e�a��� a� ��a� � �����a a ���a d�� ��ad�ad�� d�� de�����. V���� �a�b�� ��e a ��d�a d�� de����� e� �e�a��� � ��d�a � �e���e ���a� a �e��. P��� be�, �a�a a �ed�a�a e����e ��a ������edade �a�ec�da. A ���a d�� ������� d�� de����� � �����a ��a�d� e�e� ��� ca�c��ad�� e� �e�a��� � �ed�a�a. C��� e�e����, c����de�e� � �e�����e c�������: 1, 2, 2, 2, 2, 6, 6 A ��d�a � ���a� 3 e a �ed�a�a � ���a� a 2. Va��� ca�c��a� �� de����� e� �e�a��� a cada ��a de��a� ��a�de�a�. �a���
de���� e� �e�a��� � �ed�a�a
1 2 2 2 2 6 6 �����
�1 0 0 0 0 4 4
��d��� d� de���� e� �e�a��� � �ed�a�a 1 0 0 0 0 4 4 9
de���� e� �e�a��� � ��d�a
��d��� d� de���� e� �e�a��� � ��d�a
�2 �1 �1 �1 �1 3 3
2 1 1 1 1 3 3 12
N��e� c��� a ���a d�� ��d���� d�� de����� e� �e�a��� � �ed�a�a � �e��� ��e e� �e�a��� � ��d�a. P�de��� fa�e� � �e�����e ��ad����e����: ���� ���a d�� de�����
����� ������� � ���a ��a�d� �� de����� ��� ca�c��ad�� e� �e�a��� � ��d�a ���a d�� ��ad�ad�� d�� � �����a ��a�d� �� de����� de����� ��� ca�c��ad�� e� �e�a��� � ��d�a ���a d�� ��d���� d�� � �����a ��a�d� �� de����� de����� ��� ca�c��ad�� e� �e�a��� � �ed�a�a ������� 3
��E �� 2005 �CE�G�A��I��
A�a���e a� af���a���a� a �e����, a �e��e��� da ��d�a a�������ca. I � a ���a d�� �e��d��� e� �e�a��� � ��d�a a�������ca � �e���e ���a� a �e��; II � � e� �e�a��� � ��d�a a�������ca ��e a ���a d�� �a���e� ab������� d�� �e��d��� � �����a; III � � e� �e�a��� � ��d�a a�������ca ��e a ���a d�� ��ad�ad�� d�� �e��d��� � �����a. ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
14
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
E���(��) c���e�a(�) a(�) af���a���a(�): (A) II, ���e��e. (B) I e II ���e��e. (C) I e III ���e��e. (D) II e III ���e��e. (E) I, II e III. ���������:
P���e��� ��e�. Ve�dade���. � ��� e��e ������ ��e, �a�a c��c��� da �a��ab���dade d�� dad��, ��ec��a��� ������a� �� ��d���� d� de���� (�� ca�� d� de���� ��d��) �� �� ��ad�ad�� d�� de����� (�� ca�� da �a����c�a e d� de������ad���). (A) II, ���e��e. (B) I e II ���e��e. (C) I e III ���e��e. (D) II e III ���e��e. (E) I, II e III. Se���d� ��e�. A a��e����a e��� e��ada. � e� �e�a��� � ��d�a a�������ca ��e � �����a a ���a d�� ��������� d�� de�����. S� ��e a ��e���� fa��� e� ���a d�� ������� ���������. �Va��� ab������� � �������� de ��d���. Q�a��� a�� ��d����, e��a ������edade ��� �a�e �a�a a ��d�a, ��� �a�a a �ed�a�a. O item está errado.
(A) II, ���e��e. (B) I e II ���e��e. (C) I e III ���e��e. (D) II e III ���e��e. (E) I, II e III. G�������: C
A�e�a� de �� �e���� �a�cad� a a��e��a���a c���e�a, �e�a��� � �e�ce��� ��e�. E�e af���a ��e � e� �e�a��� � ��d�a a�������ca ��e a ���a d�� ��ad�ad�� d�� �e��d��� � �����a. De fa��, e��a ��f���a��� e��� de ac��d� c�� ��e e���da��� ac��a. I�e� c���e��.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
15
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
������� 4
��� 2004 �E�AF� n
A ����a e�c��d�a�a
∑ ( X
i −
A) � �����a ��a�d� A � ���a�: 2
i =1
a) � ��d�a d�� �a���e� de X i b) � �ed�a�a d�� �a���e� de X i c) � ��da d�� �a���e� de X i d) a� ����e��� ��a���� d�� �a���e� de X i e) a� de���� �ad��� d�� �a���e� de X i ���������:
N���a e�c��d�a�a � �� ���e �e�� c�����cad�. Ma� ��� ��ec��a��� de�e. n
Ob�e��e � �a��� ��e �e ��e�e�de ca�c��a�:
∑ ( X
i −
A) . 2
i =1
De���� da �a�� ��ad�ada �e��� ��a ���a de de����� a� ��ad�ad�. De����� e��e� ca�c��ad�� e� �e�a��� a �A�. N�� ����� ��e e��a ���a � �����a ��a�d� �A� � ���a� � ��d�a a�������ca d�� �a���e�. G�������: A.
1.7. F���� ����������� ���� ������� �� ��������� U�a d�f�c��dade ��e c�����a a�a�ece� �� c��c��� da �a����c�a ��� a� c���a� e������da�. De�e�de�d� d�� �a���e� f���ec�d��, � c��c��� d�� ��ad�ad�� d�� de����� ��de �e� ����� d�f�c��. U�a f���a a��e��a���a de c��c��� da �a����c�a � a ��e �e��e. Pa�a �e���� e��e�d��e���, �a��� ��a� � ����d� a��e��a���� �a�a c��c��� da �a����c�a d�� �a������ �a e���e�a C. E� �e� de ca�c��a� �� de�����, fa�e��� a����. P���e��� �a���: ca�c��a��� a ��d�a d�� ��ad�ad�� d�� �a���e�. X
X 2
f
X 2 × f
1 2 3 4 5
1 4 9 16 25 ���a�
1 1 1 1 1 5
1 4 9 16 25 55
A ��d�a d�� ��ad�ad�� da� �b�e��a��e� � dada ���: ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
16
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
X 2
55
=
5
=
11
E� �e���da, ca�c��a��� � ��ad�ad� da ��d�a. A ��d�a a�������ca � ���a� a 3. L���, � ��ad�ad� da ��d�a � 9. X
2
3
=
2
=
9
Te�ce��� �a���: a �a����c�a � dada �e�a d�fe�e��a e���e �� d��� �a���e� ac��a. σ
2
=
X 2
( X )
2
−
O� �e�a, a �a����c�a � a d�fe�e��a e���e a ��d�a d�� ��ad�ad�� ( X 2 ) e � ��ad�ad� da 2
��d�a ( X ). σ
2
σ
( X )
2
=
X 2
=
11 − 9 = 2
2
−
Q�e � � �e��� �e����ad� �b��d� a��e�����e��e. Ca�� e��e�a��� ���e�e��ad�� e� ca�c��a� a �a����c�a a�����a� (S 2), a� e��e ����d� ��ec��a de �� a����e. Ne��e ����d� a��e��a����, � ��e�������� � ��e � de�����ad�� da f�����a da �a����c�a � ���a� a �. Ca�� � de�����ad�� �e�a � � 1 , e���� ��ec��a��� a����a� � ����d�. Ma� � be� �����e�. P���e���, ��������ca��� ��� �, �a�a �a���a�� � de�����ad�� da f�����a da �a����c�a �����ac���a�. E� �e���da, d���d���� ��� n − 1 , ��e � � de�����ad�� da f�����a da �a����c�a a�����a�. C�� ����, c��������� a �a����c�a. 2
S
=
n n −1
×
( X
2
−
X
2
)
N� ca�� da e���e�a C, �����d� ��e �a �e�dade ��� ���e��� ace��� a ��a a�����a de �a�a��� 5, a �a����c�a a�����a� f�ca��a: S 2
=
5 5 −1
×
(11 − 9) = 2,5
F���a a��e��a���a de c��c��� da �a����c�a: Va����c�a �����ac���a�: Va����c�a a�����a�: S 2 ����� ����� �������
2 σ =
=
X 2
n n −1
×
( X )
2
−
( X
2
−
X
2
)
���.�������������������.���.��
17
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
������� 5
��������� 2008 �CE�G�A��I��
D� ���a� de f��c�������� de ��a e���e�a, f�� �e���ada ��a a�����a de �e�� ��d���d���. A �abe�a aba��� a��e�e��a � �e��� ��aba��ad� �a e���e�a, e� a��� c����e���, ��� cada �� de�e�.
A �a����c�a de��a a�����a � (A) 3,7 (B) 4,0 (C) 4,4 (D) 5,0 (E) 5,5 ���������.
P���e���, �a��� fa�e� � c��c��� a �a���� da f�����a de def������ da �a����c�a (��d�a d�� ��ad�ad�� d�� de�����) X =
∑ X 6
=
18 6
=
3
X
f
e = X − X
e2
e 2 × f
1 2 3 7
1 2 2 1
�2 �1 0 4
4 1 0 16
4 2 0 16 22
���a�
2
S
=
∑ f
×
e2
n −1
=
22 6 −1
=
4,4
G�������: C
A���a �a��� fa�e� � c��c��� a��e��a����. P���e��� ac�a��� a ��d�a da� �b�e��a��e� a� ��ad�ad�.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
18
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
X
X2
f
X 2 × f
1 2 3 7
1 4 9 49
1 2 2 1 6
1 8 18 49 76
���a�
A ��d�a d�� ��ad�ad�� da� �b�e��a��e� � ���a� a: X
2
=
76 6
A �a����c�a �������� f�ca: S 2
S 2
S 2
n
=
n −1 =
=
×
( X
2
−
X
2
)
76 2 −3 5 6 6
×
76 54 − = 4,4 5 5
A��e� de ����� �a�a a ������a ��e����, �a��� �e���a� �a��da�e��e �� ����c� da �a�e����ca d� �e���d� ��a�, ��e �e�� ������ad� �a �e�������. Se ��c� e�e���a��e��e ��� ��ec��a� de��a �e�����, �e� ���e��, ��de ���a� d��e�a�e��e �a�a � e�e�c�c�� �e�����e. REVIS�O: PRODUTOS NOT�VEIS E����e� a����� ���d���� ��e a�a�ece� de f���a c���e��e ��� �a�� d��e���� ���b�e�a� de �a�e����ca. Pa�a e���a� ��e, ��da� a� �e�e�, a �e��e ��ec��e ca�c�������, ��a ����, � ��e �e fa� � ��a�a� � �e����ad�, �a�a �a��a� �e���. Ne��e ���e��� �a��� �e���a� d��� ���d���� �����e�� e� �a���c��a�. P���e���:
+ = + + 2 O� �e�a, �a�a e�e�a� ��a ���a a� ��ad�ad�, fa�e��� a����. E�e�a��� � ����e��� �e��� a� ��ad�ad�. E�e�a��� � �e���d� a� ��ad�ad�. De���� ��������ca��� d�a� �e�e� � ����e��� �e�� �e���d� �e���. De���� ���a��� ��d�. C��� � ��e �e c�e�a �e��e �e����ad�? � �����e�, � �� a���ca� a ������edade d�����b����a. A����:
+ � + = � + � + � + � = + + + ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
19
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
= + + 2 O���� ���d��� �����e� � � ��ad�ad� da d�fe�e��a. F�ca a����:
− = + − 2 E��e �e����ad� �a�b�� ��de �e� �b��d� a �a���� da ������edade d�����b����a, de ��d� ����� �e�e��a��e a� ��e f��e��� ac��a. E����, �� ���d���� �����e�� ��e ������a�e��� a���a ���:
+ = + + 2 − = + − 2 O���� ���d��� �����e�, ��e ������a�e��� e� ���e��� ����e����, � � ��e �e��e:
− � + = − ������� 6
FI�E� 2009 �CE��E�
F�� �ea���ad� �� �e�a��a�e��� �a�a c���a�a� e��a�����ca�e��e � �a��� de a�a��a��� X de �� be� ����e� c�� � �e� �e��ec���� ��e�� de �e�da Y. Pa�a cada ����e� � (� = 1, 2, ..., 10), �e���������e �� �a� de �a���e� (��, ��), e� ��e �� e �� �e��e�e��a�, e� R$ 1 ������, �e��ec���a�e��e, � �a��� de a�a��a��� e � ��e�� de �e�da d� ����e� �. O� �e�����e� �e����ad�� f��a� e�c����ad��:
= −
C�� �e�a��� �� ��f���a��e� a��e�e��ada� �� �e��� e c����de�a�d� ��e �e��e�e��a a d�fe�e��a e���e � �a��� de a�a��a��� e � ��e�� de �e�da d� ����e� � , a �a����c�a a�����a� da d�����b����� d� c������� de dad�� d 1,..., d10 f�� A �������a e ��fe���� a 0,10. B ���e���� a 0,10 e ��fe���� a 0,20. C ���e���� a 0,20 e ��fe���� a 0,30. D ���e���� a 0,30 e ��fe���� a 0,40. E ���e���� a 0,40. ���������.
Pa�a �ec������a�� �a e�c���a, ��� ������ �� �����e� d� ���a�����. Ma� ��d�� �� ���a������ ��e a�a�ece�e� ��� �a�a � �a��a�d� de 1 a�� 10. P���e��� �a��� ca�c��a� a ��d�a de d.
̅ = ∑10 = ∑10 − ̅ = ∑ 10− ∑ = 1510− 18 = −0,3
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
20
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
A���a ca�c��a��� a ��d�a d�� �a���e� de d 2.
∑ = 10
Va��� ��� c��ce���a� �� ���e�ad�� da f�a���.
= − = + − 2 N��e� ac��a ��e ������a��� �� ���d��� �����e�. T��e��� �� ��ad�ad� da d�fe�e��a. C������a�d�:
= + − 2 = 23 + 33 − 2� 27 = 2 A���a ��e ca�c��a��� � ���e�ad��, ��de��� ����a� � f�a���:
2 ∑ = 10 = 10 = 0,2 A �a����c�a de �d� f�ca: = − ̅ = 0,2�0,32 = 0,2− 0,09 = 0,11 C��� a ��e���� fa��� e� �a����c�a a�����a�, �e��� ��e fa�e� � a����e: = 0,11� − 1 = 0,11 � 109 = 0,12222� G�������: B ������� 7
�C� 2009 �CE��E�
U�a ����������� �ea����� �e�a��a�e��� c�� ����a� a c���a�a� �� �a���e� de de� d�fe�e��e� ����� de ��e�� de c������. Pa�a cada ��e� �(� = 1, 2, ..., 10), f�� �e�����ad� �� �a� de �a���e� (��,��), e� ��e �� �e��e�e��a � �a��� d� ��e� � e��abe�ec�d� �e�a e���e�a A, e �� �e��e�e��a � �a��� de��e �e��� ��e� f���ec�d� �e�a e���e�a B. O� �e�����e� �e����ad�� f��a� e�c����ad��:
+ = 130; − = 10
+ = 1.790; − = 26 C�� ba�e �e��a� ��f���a��e�, �����e �� ��e�� a �e����. 97. A �a����c�a da d�����b����� da� d�fe�e��a� �� � �� � �a��� ��e 1,5 e �e��� ��e 1,9. 100. Se VA f�� a �a����c�a a�����a� d�� �a���e� �1, �2, ..., �10 e VB f�� a �a����c�a a�����a� d�� �a���e� �1, �2, ..., �10, e���� a ���a VA + VB �e�� �a��� d� ��e 7. ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
21
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
���������.
Na a��a �a��ada, �e����e��� ������ ��e�� de��a �e��a ����a e ����� ��e:
̅ = 7 = 6 I�e� 97. Se�a:
= − Va��� ca�c��a� a ��d�a de ̅ = ∑10 = ∑10 − = − ∑10 − = − 1010 = −1 �.
A���a ca�c��a��� a ��d�a d�� �a���e� de d 2.
= ∑10
Va��� ��� c��ce���a� �� ���e�ad�� da f�a���.
= −
Ca�c��a�
− e − � e�a�a�e��e a �e��a c���a. F�ca��� c��: = − = − = 26
A���a ��e ca�c��a��� � ���e�ad��, ��de��� ����a� � f�a���:
A �a����c�a de �d� f�ca:
26 ∑ = 10 = 10 = 2,6 = − ̅ = 2,6− −1 = 1,6
I�e� ce���. I�e� 100.
+ = + + 2 N��e� ��e, ac��a, ���e��� �� ���d��� �����e� (��ad�ad� da ���a)
1.790 = + + 2 1.790 = + + 2 ������� � ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
22
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
− = + − 2 N��e� ��e, ac��a, ���e��� �� ���d��� �����e�: � ��ad�ad� da d�fe�e��a.
26 = + − 2 26 = + − 2 ������� �� S��a�d� a� d�a� e��a��e�:
1.790 + 26 = + + 2 + + − 2 1.816 = 2 + 2 908 = + A �a����c�a de � � dada ���:
∑ = − ̅
10 A �a����c�a de � f�ca: ∑ = 10 − O ��e� �ede a ���a da� d�a� �a����c�a�: ∑ ∑ + = 10 − ̅ + 10 − = ∑ + ∑ −̅ − 10 = 91008 − 7 − 6 = 90,8 − 49 −36 = 5,8 I�e� e��ad�.
G�������: �����, ������
1.8. D����� ������. O de������ad��� �ada �a�� � ��e a �a�� ��ad�ada �������a da �a����c�a. Se ��aba��a���� c�� ��a �����a���, �e� ���b��� � σ. Se ��aba��a���� c�� ��a a�����a, �e� ���b��� � �. Na e���e�a C (e�e���� c�� ��e �e��� ��aba��ad� de�de a f�. 1), � de������ad��� �����ac���a� �:
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
23
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
σ
2
=
Ca�� �� c��c� �a���e� de �a������ de��a e���e�a �e�a� ��a a�����a, � de���� �ad��� a�����a� f�ca: S = 2,5
Le�b�a� ��e a �a����c�a ����a ���dade ���a� a� ��ad�ad� da ���dade d�� dad��? C��� � de������ad��� � ���a� � �a�� ��ad�ada da �a����c�a, e���� � de���� �ad��� �e� a �e��a ���dade d�� dad��. C��� �� dad�� e���� e� R$ 1.000,00, � de������ad��� e��� �a�b�� e���e��� e� R$ 1.000,00. ������� 8
CG� 2008 �E�AF�
Ca�c��e � �a��� �a�� ������� d� de������ad��� da a�����a �e��e�e��ada �e�a d�����b����� de f�e����c�a� aba��� �e��e�e��ada �e��� ������ ��d��� da� c�a��e� � e �e��ec���a� f�e����c�a� f. � 5 15 25 35 45
F 5 10 31 10 5
a) 1. b) 2,44. c) 5,57. d) 7,056. e) 10. ���������:
Pa�a ca�c��a� � de������ad���, ��ec��a��� d�� de����� e� �e�a��� � ��d�a a�������ca. P���a���, � ����e��� �a��� � e�c����a� a ��d�a a�������ca. Pa�a �a���, c��a��� a c����a ad�c���a�: x
f
x × f
5 15 25 35 45 TOTAL
5 10 31 10 5 61
25 150 775 350 225 1525
A ��d�a f�ca: ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
24
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
1525
X =
61
=
25
U� de�a��e. Pa�a e��a ����e de dad��, e��ec�f�ca�e��e, ��� e�a �ece������ fa�e� � c��c��� �a�a c�e�a� � ��d�a. Te��� ��a �e����c�a �������ca. A ��d�a � �����e��e��e � �e��� d� �e��. E� ����� ����c�, fa�a�e��� ��b�e ���e���a e a����e���a c�� �a�� ca��a. A���a ��de��� ca�c��a� �� de����� e� �e�a��� � ��d�a: x
e
5 15 25 35 45
�20 �10 0 10 20
Me����a de c��c��� =5�25 =15�25 =25�25 =35�25 =45�25
P�de��� a���a ca�c��a� a ��d�a d�� de����� a� ��ad�ad�: x
e
2
5 400 15 100 25 0 35 100 45 400 TOTAL
f
e 2 × f
5 10 31 10 5 61
2000 1000 0 1000 2000 6000
A ��d�a d�� de����� a� ��ad�ad� � a �a����c�a: σ
2
=
6000 61
A���a �� de�a��e. E��a��� ��aba��a�d� c�� ��a a�����a. Se���e ��e ��aba��a��� c�� ��a a�����a, a �a����c�a � d��a ��a����c�a a�����a��. E��a���, �a �e�dade, a �a���� de ��a a�����a, e����a�d� a �a����c�a da �����a���. Pa�a ��e e��e e����ad�� �����a ��a ca�ac�e�����ca ������a��e, de ��d� ��e ����a��� c�a���f�ca��� c��� ��� ��c�ad�, � �ece������ ��e � de�����ad�� da �a����c�a �e�a ���cad�. E� �e� de d���d����� ��� � ��, d���d���� ��� n − 1 . Ne��e� ca���, � ���b��� �e�a��e��e ������ad� �a�a a �a����c�a � �2. s2
=
6000 61 − 1
=
100
E � de���� �ad��� � ���a� � �a�� ��ad�ada da �a����c�a: s
=
100
=
10
G�������: E
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
25
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
1.9. ������������ ��� ������� �� ��������� E������ 1
C����de�e a �e�����e �e����c�a de dad��: 1, 1, 7, 7. Ca�c��e: a) a a������de b) � de���� ��d�� c) a �a����c�a d) � de���� �ad���. ���������:
a) A a������de � dada �e�a d�fe�e��a e���e � �a��� e � �e��� �a���. A = 7 − 1 = 6
Pa�a ca�c��a��� a� de�a�� �ed�da� de d���e����, ��ec��a��� d� �a��� da ��d�a a�������ca. X =
1+1 + 7 + 7 4
=
4
b) a���a ��de��� ca�c��a� a ��d�a d�� ��d���� d�� de�����, ��e � � ��e c�a�a��� de de���� ��d��. X
1 7
e = X − 4
e
f
�3 3 TOTAL
3 3
2 2 4
6 6 12
2
f
e 2 × f
9 9
2 2 4
18 18 36
e
×
f
O de���� ��d�� f�ca: DM =
12 4
=
3
c) A �a����c�a � a ��d�a d�� ��ad�ad�� d�� de�����. X
1 7
e
=
X − 4
e
�3 3 TOTAL
E a �a����c�a f�ca: f �ca: σ
����� ����� �������
2
=
36 4
=
9
���.�������������������.���.��
26
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
d) O de���� �ad��� � ���a� � �a�� ��ad�ada da �a����c�a. σ =
9
=
3
E������ 2
C����de�e a �e�����e �e����c�a de dad��: 3, 3, 15, 15. Ca�c��e: a) a a������de b) � de���� ��d�� c) a �a����c�a d) � de������ad���. ���������.
Va��� c�a�a� e��a �e����c�a de dad�� de � . ROL (� ): ): 3, 3, 15, 15. Va��� c�a�a� a �e����c�a de dad�� d� e�e�c�c�� a��e���� de � . ROL ( � � ): ): 1, 1, 7, 7. Re�a�e ��e cada �a��� de � ��de ��de �e� ca�c��ad� a �a���� d� c���e����de��e �a��� de � da �e�����e �a�e��a. Y = 2 × X + 1
A ������ de e�e����, ���e��� � ����e��� �a��� de Y. Y 1
=
3
T��e��� � ����e��� �a��� de X. X 1
=
1
N��e ��e Y 1 = X 1 × 2 + 1 O �e��� �e a���ca a�� de�a�� �a���e� de � e e � . De��e ��d�, ��de��� ��a� �� �e����ad�� d� e�e�c�c�� a��e���� �a�a �e����de� a e��e e�e�c�c��. Te��� ��e: Y = 2 × X + 1
A���a, ��a��� a� �ed�da� ������edade� da� �ed�da� de d���e����. Pa�a a� �ed�da� de d���e���� ��������� (��� ��da� a� �ed�da� ��e e���da��� a�� a���a), �a�e � �e�����e: ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
27
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
• •
���a� e ��b��a��e� ��� ���e�fe�e� �a� �ed�da� de d���e���� d ���e���� ��������ca��e� e d�����e� ���e�fe�e� �a� �ed�da� de d���e����. Se ��������ca���� a� �b�e��a��e� ��� ��a c����a��e, a� �ed�da� de d���e���� �a�b�� �e��� ��������cada� ��� e��a c����a��e. Se d���d����� a� �b�e��a��e� ��� ��a c����a��e, a� �ed�da� de d���e���� �a�b�� �e��� d���d�da� ��� e��a c����a��e.
E������: ���������.
Na �a����c�a, � efe��� � �e���e a� ��ad�ad�. O� �e�a, �e ��������ca���� a� �b�e��a��e� ��� � , a �a����c�a �e�� ��������cad� ��� � 2. Pa�a e��e�de� � ������ d����, ba��a �e��a� a����. •
•
N� ca�� da a������de, �e ���a���� ��a c����a��e a ��d�� �� dad��, � �a��� �a��� e � �e��� �a��� �e��� a��e��ad�� de f���a ���a�, de ��d� ��e a d�fe�e��a e���e a�b�� �e �a����. P�� ���� a a������de ��� �e a��e�a. N� ca�� da �a����c�a, d� de���� �ad��� e d� de���� ��d��, �e��� � �e�����e. Se ���a���� ��a c����a��e a ��d�� �� dad��, ��da� a� �b�e��a��e� �e��� a��e��ada�. A ��d�a �a�b�� �e�� a��e��ada. E �� de����� d e����� f�ca� ��a��e�ad��.
E��de��e�e��e, �a�a a ��b��a��� � �ac��c���� � a������. Va��� a���a ��a�a� da ��������ca���. N� ca�� da a������de, �e ��������ca���� ��d� �� �a���e� ��� ��a c����a��e �, a �a��� e a �e��� �b�e��a��� �e��� ��������cada� ��� �. A ���a a������de f�ca:
− P�de��� c���ca� � e� e��d��c�a:
� − O� �e�a, a ���a a������de � ���a� � a������de a��e���� ��������cada ��� �. N� ca�� d� de���� �ad��� e d� de���� ��d��, �e ��������ca���� ��d�� �� �a���e� ��� ��a c����a��e �, a ��d�a �e�� ��������cada ��� �, a���� c��� ��da� a� �b�e��a��e�. C�� ����, �� de�e����ad� de���� �a��a a �e� �e��e�e��ad� a����: P�de��� c���ca� � e� e��d��c�a:
− −
T�d�� �� de����� ��� ��������cad�� ��� �. I��� fa� c�� ��e de���� ��d�� e de���� �ad���, ��e de�e�de� d�� de�����, �a�b�� �e�a� ��������cad�� ��� �. Na �a����c�a, c��� �� de����� ��� e�e�ad�� a� ��ad�ad�, c���ca��� � 2 e� e��d��c�a. P�� ���� a �a����c�a ��f�e a a��e�a��� a� ��ad�ad�.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
28
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
V���� ����, �a��� ca�c��a� cada �ed�da de d���e����: a) A a������de f�ca: A = 15 − 3 = 12
Va��� �e��a� a ������edade da a������de? S��a� e ��b��a��e� ��� ���e�fe�e� �a a������de. M�������ca��e� e d�����e� ���e�fe�e� ��� �a a������de.
C�� ����, �e���: AY
=
2 × 6 = 12
Ob�e��e ��e, ��a�d� ��a��� a� ������edade� da a������de, �b���e��� e�a�a�e��e � �e��� �e����ad� ac��a, ��a�d� a���ca��� a f�����a (��b��a��� e���e � �a��� �a��� e � �e��� �a���). b) A���ca�d� a� ������edade� d� de���� ��d��, �e���:
C�� ����: DY
=
2×3 = 6
c) P�de��� ��a� a �a����c�a de X ( σ X 2 ) �a�a ca�c��a� a �a����c�a de Y ( σ Y 2 ). S��a� e ��b��a��e� ��� ���e�fe�e� �a �a����c�a. J� a ��������ca��� e a d������ ���e�fe�e� ���. ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
29
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
Q�a�d� ��������ca��� �� dad�� ��� ��a c����a��e, a �a����c�a � ��������cada �e�� ��ad�ad� de��a c����a��e. A�a���a�e��e, ��a�d� d���d���� �� dad�� ��� ��a c����a��e, a �a����c�a � d���d�da �e�� ��ad�ad� da c����a��e.
Y
=
2 × X
+
1
Y
=
2 × X
+
1
σ
2 Y
=
2
2
Não interfere na variância
× σ
2 X
A �a����c�a de � � ��a��� �e�e� a �a����c�a de � . 2 σ Y =
4 × 9 = 36
d) O de���� �ad��� � ���a� � �a�� ��ad�ada da �a����c�a. σ Y =
36
=
6
N��e ��e, �e�a� ������edade� d� de���� �ad���, � de���� �ad��� de � � ���a� a� d�b�� d� de���� �ad��� de � .
S��a� e ��b��a��e� ��� ���e�fe�e� �a� �ed�da� de d���e���� ab�����a� (a������de, de���� ��d��, �a����c�a e de���� �ad���). Se ��������ca���� �� d���d����� cada �a��� da �e����c�a de dad�� ��� ��a c����a��e �������a, � de������ad���, � de���� ��d�� e a a������de ��f�e� a �e��a a��e�a���. A �a����c�a ��f�e a a��e�a��� a� ��ad�ad�.
������� 9
�J �I 2009 �FCC�
A ��d�a a�������ca d�� �a������ d�� e���e�ad�� de ��a e���e�a � ���a� a R$ 1.200,00 c�� ��a �a����c�a ���a� a 400,00 (R$) 2. Ca�� �e�a c��ced�d� �a�a ��d�� �� �a������ �� �ea����e de 10% e, a �e����, �� ad�c���a� f��� de R$ 200,00, � c���e�� af���a�, c�� �e�a��� a�� ����� �a���e� da ��d�a, da �a����c�a e d� de���� �ad���, ��e (A) � de���� �ad��� f�ca ���a� a� a��e���� ��������cad� ��� 1,21. (B) � ���� c�ef�c�e��e de �a��a��� f�ca ���a� a� a��e���� ��������cad� ��� 1,10. (C) a �a����c�a f�ca ��a��e�ada. (D) a ��d�a f�ca ���a� a R$ 1.520,00 e � de���� �ad��� ���a� a R$ 22,00. (E) a �a����c�a f�ca ���a� a 440,00 (R$) 2.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
30
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
���������:
I��c�a��e��e a ��d�a � de R$ 1.200,00. E� �e���da, ��d�� �� �a���e� ��� a��e��ad�� e� 10%, �� �e�a, ��� ��������cad�� ��� 1,1. A ��d�a ��f�e a �e��a a��e�a���. A ���a ��d�a f�ca:
1,1� 1.200 = 1.320 De����, �� �a������ �ecebe� �� ad�c���a� de R$ 200,00. O� �e�a, �� �a������ ��� a��e��ad�� e� 200,00. A ��d�a ��f�e a �e��a a��e�a���. A ���a ��d�a �e�� de:
1.320 + 200 = 1.520 Q�a��� �� �ed�da� de d���e����, e�a� ��� afe�ada� a�e�a� �e�a ��������ca��� ��� 1,1. O de���� �ad���, � de���� ��d�� e a a������de ��� ��������cad�� ��� 1,1. J� a �a����c�a ��f�e � efe��� a� ��ad�ad�. A �a����c�a � ��������cada ��� 1,21 (=1,1 2). A �a����c�a ���c�a� e�a de 400,00. A ���a �a����c�a f�ca:
400 �1,1 = 484 O de���� �ad��� � a �a�� ��ad�ada da �a����c�a. I��c�a��e��e, � de���� �ad��� e�a:
√ 400 = 20
De����, ��d�� �� dad�� ��� ��������cad�� ��� 1,1. O de���� �ad��� �a�b�� � ��������cad� ��� 1,1. O ���� de���� �ad��� f�ca:
20 � 1,1 = 22 G�������: D ������� 10
�EFA� �� � 2006 �FCC�
C����de�a�d� a� �e��ec���a� def�����e� e ������edade� �e�ac���ada� �� �ed�da� de ������� e de �a��ab���dade, � c���e�� af���a�: a) c��cede�d� �� �ea����e de 10% e� ��d�� �� �a������ d�� e���e�ad�� de ��a e���e�a, �e���e ��e a �e��ec���a �a����c�a f�ca ��������cada ��� 1,10. b) def����d� � c�ef�c�e��e de �a��a��� (CV) c��� �e�d� � ���c�e��e da d������ d� de���� �ad��� �e�a �e��ec���a ��d�a a�������ca (d�fe�e��e de �e��) de ��a �e����c�a de �a���e�, �e���e e���� ��e CV �a�b�� ��de�� �e� �b��d� d���d��d� a c���e����de��e �a����c�a �e�� ��ad�ad� da ��d�a a�������ca. c) ��b��a��d� �� �a��� f��� de cada �a����� d�� f��c�������� de ��a e���e�a, �e���e ��e � �e��ec���� de���� �ad��� d�� ����� �a���e� e ���a� a� �a��� d� de���� �ad��� d�� �a���e� a��e����e�. d) d���d��d� ��d�� �� �a���e� de ��a �e����c�a de ���e��� e�����a�e��e ��������� ��� 4, �e���e ��e � �e��ec���� de���� �ad��� f�ca d���d�d� ��� 2. e) e� ��a���e� d�����b����� de �a���e� e� e���d�, a d�fe�e��a e���e a �ed�a�a e a ��da � �e���e d�fe�e��e de �e��.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
31
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
���������:
Le��a A. Da� �� �ea����e de 10% � � �e��� ��e ��������ca� ��d�� �� �a������ ��� 1,1. Se ��d�� �� �a������ ��� ��������cad�� ��� 1,1, a �a����c�a f�ca ��������cada ��� 1,1 2. A��e��a���a e��ada. Le��a B. N�� a��da �a��� fa�a� ��b�e � c�ef�c�e��e de �a��a���. Ma� �� ad�a��� ��e � c�ef�c�e��e de �a��a��� � ���a� a� de���� �ad��� d���d�d� �e�a ��d�a.
=
Se e�e�a���� � c�ef�c�e��e de �a��a��� a� ��ad�ad�, �b�e���:
=
A����, � ��e a a��e��a���a de� f�� � ��ad�ad� d� c�ef�c�e��e de �a��a��� (e ��� � c�ef�c�e��e de �a��a��� ������a�e��e d���) A��e��a���a e��ada. Le��a C. S��a� �� ��b��a�� ��a c����a��e e� cada �� d�� dad�� ��� ���e�fe�e �a� �ed�da� de d���e����. A��e��a���a c���e�a. Le��a D. Se d���d����� ��d�� �� dad�� ��� 4, � de���� �ad��� �a�b�� �e�� d���d�d� ��� 4. A��e��a���a e��ada. Le��a E. A��e��a���a e��ada. Ba��a �e��a� ���a �e����c�a �������ca. E�e����: 1, 2, 2, 3. A �ed�a�a, a ��d�a e a ��da ��� ���a�� a 2. A d�fe�e��a e���e a �ed�a�a e a ��da � ���a� a �e��. P���e�����e��e, fa�a�e��� �a�� de�a��ada�e��e ��b�e a����e���a. G�������: C
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
32
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
������� 11
���������� �� I��������� �������� 2012 �E�AF�
A d�����b����� de f�e����c�a� e� c�a��e� d� �a����� �e��a� �, �ed�d� e� ���e�� de �a������ �������, de ��a a�����a a�ea����a de 50 f��c�������� de ��a e���e�a, � a��e�e��ad� a �e����.
Ma�� de 0 a 10 Ma�� de 10 a 20 Ma�� de 20 a 30 Ma�� de 30 a 40 Ma�� de 40 a 50
22 13 10 3 2
U�a�d� �� dad�� ac��a, �b�e��a � �a��� �a�� ������� da �a����c�a a�����a� d� �a����� �e��a�. a) 121,5 b) 124 c) 126,5 d) 129 e) 131,5 ���������:
Se�a �X� � ����� ��d�� de cada c�a��e.
C�a��e Ma�� de 0 a 10 Ma�� de 10 a 20 Ma�� de 20 a 30 Ma�� de 30 a 40 Ma�� de 40 a 50
5 22 15 13 25 10 35 3 45 2
Va��� c��a� a �a����e� a�����a� �d�, dada ���:
= −1025
Fa�e��� a����: ��b��a���� da �a����e� "X" a c����a��e 25 (����� ��d�� da c�a��e ce���a�) e d���d���� ��� 10 (a������de de c�a��e). O �e����ad� f�ca: C�a��e Ma�� de 0 a 10 Ma�� de 10 a 20 Ma�� de 20 a 30 Ma�� de 30 a 40 Ma�� de 40 a 50 T��a�
= − 25 � 10 5 15 25 35 45
�2 �1 0 1 2
22 13 10 3 2 50
�44 �13 0 3 4 �50
A ��d�a de �d� f�ca: ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
33
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
̅ = − 5050 = −1 C�� � �e��� �ac��c����, ca�c��a��� a ��d�a de � 5 15 25 35 45
O ��e �e����a e�:
�2 �1 0 1 2
4 1 0 1 4
22 13 10 3 2 50
88 13 0 3 8 112
= 15012 = 2,24
A �a����c�a �����ac���a� � ���a� � d�fe�e��a e���e a ��d�a d�� ��ad�ad�� e � ��ad�ad� da ��d�a:
= − ̅ = 2,24− −1 = 1,24
Na �a����c�a �����ac���a�, � de�����ad�� � ���(= ���e�� de dad�� �a a�����a). Ma� ��� ��e�e��� a �a����c�a a�����a�, c�� de�����ad�� �� � 1�. E���� ��������ca��� � �e����ad� ac��a ��� ���, �a�a ca�ce�a� a d������ fe��a, e d���d���� ��� �� � 1�, �a�a c�e�a���� a� de�����ad�� de�e�ad�.
= 1,24 � 5049 = 1,26
E��a � a �a����c�a a�����a� �a�a �d�.
= 1,26 A���a ca�c��a��� a �a����c�a a�����a� �a�a X. A����: = −1025 = 10 + 25 Q�a�d� ��������ca��� �� dad�� ��� ��a c����a��e (10), a �a����c�a f�ca ��������cada �e�a c����a��e a� ��ad�ad� (10 2). Q�a�d� ���a��� ��a c����a��e a�� dad�� (25), a �a����c�a ��� �e a��e�a.
= 10 � = 100 � 1,26 = 126 G�������: C
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
34
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
1.10. C���������� �� ��������. T�a�a��e de �a�� ��a �ed�da de d���e����. O c�ef�c�e��e de �a��a��� � ���a� a� de���� �ad��� d���d�d� �e�a ��d�a. N� ca�� da e���e�a C (e�e���� �� da f�. 1), �e���: X = 3 σ =
2
E � c�ef�c�e��e de �a��a��� f�ca: CV =
2 3
O c�ef�c�e��e de �a��a��� � ad��e�����a�. N�� �e� ���dade de �ed�da. I��� �����e �a��� � ���e�ad�� ��a��� � de�����ad�� ��� a �e��a ���dade, ��e acaba� �e ca�ce�a�d�. E� �a�e����ca, a �a�a��a ��e�a���� � �������� de d������. P�� ����, � c�ef�c�e��e de �a��a��� � c����e��e c�a�ad� de �ed�da de d���e���� �������� (���� e�����e ��a d������). A �����dade d� c�ef�c�e��e de �a��a��� � �e������ a c���a�a��� da d���e���� e���e c�������� de dad�� ��e �����e� ��d�a� d�fe�e��e� A����, ��� e�e����, ��a���e a� �e�da� d����a� de �� �e�ded�� a�b��a��e e de ��a ��a�de e���e�a, a� ����� de ��a dada �e�a�a (e� �ea��): •
�e�ded�� a�b��a��e: 10; 11; 12; 9; 8
•
��a�de e���e�a: 1.000.000; 1.000.001; 1.000.002; 999.999; 999.998
Se ��c� ca�c��a� a �a����c�a �a�a �� d��� c��������, e�a �e�� ���a� a 2. Ma� �e�� �e��� c���e�� d��e� ��e a�b�� �� c�������� a��e�e��a� �e��a d���e����? A �a����c�a � ��a �ed�da de d���e���� ab�����a. Pa�a e�a, ���e�e��a� a�e�a� �� �a���e� ab������� d�� ��ad�ad�� d�� de�����. A�e�a� ����. J� �� c�ef�c�e��e de �a��a��� ��� �e��� ��a �efe���c�a ��a��� � ��a�de�a �e�a���a d�� de�����. U� de���� de R$ 1,00 ��� c������� e� ��e a ��d�a � de R$ 10,00 � �� de���� de 10%. � �� de���� ������������� ��a�de. O de���� de R$ 1,00 ��� c������� e� ��e a ��d�a � de R$ 1.000.000,00 � ���������, de���e���e�. O c�ef�c�e��e de �a��a��� ��� d�� ��e, ���a�d� a ��d�a c��� de�����ad��, a� �e�da� da ��a�de e���e�a ��� �a�� c��ce���ada�. ������� 12
�EFA� BA � 2004 �FCC�
C�� �e�a��� �� �ed�da� de �e�d��c�a ce���a� e de d���e����, � c���e�� af���a� ��e: a) ��������ca�d���e ��d�� �� �a���e� de ��a de�e����ada �e����c�a de ���e��� ��������� ��� �� �e��� ���e��, �a��� ��e ��, � �e� �e��ec���� c�ef�c�e��e de �a��a��� a��e��a de �a���. ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
35
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
b) a d�fe�e��a e���e a ��d�a a�������ca e a �ed�a�a de ��a �e����c�a de ���e��� ��������� � �e���e �a��� ��e a d�fe�e��a e���e a ��d�a a�������ca e a ��da de��a �e��a �e����c�a. c) a ��d�a �a�����ca de ��a �e����c�a de ���e��� ��������� � ���a� � ��d�a a�������ca d�� �e��ec����� ���e���� de��e� ���e���. d) e� ��a �e����c�a de ���e��� ���������, � ���d��� da ��d�a a�������ca �e�� �e��ec���� c�ef�c�e��e de �a��a��� � ���a� a� �a��� d� de���� �ad��� c���e����de��e. e) a ��d�a �e������ca de ��a �e����c�a de ���e��� ��������� � �e���e �a��� �� ���a� � ��d�a a�������ca de��e� ���e���. ���������:
Va��� � a��e��a���a A. A a��e��a���a �e��a ��b�e a� ������edade� d� c�ef�c�e��e de �a��a���. S� ��e ��� ��� e���da��� �e����a ������edade d� c�ef�c�e��e de �a��a���. C��� � c�ef�c�e��e de �a��a��� � �e����ad� da d������ d� de���� �ad��� �e�a ��d�a, ��de��� ������a� a� ������edade� de��a� d�a� ��a�de�a� �a�a c��c������� � ��e ac���ece c�� � c�ef�c�e��e de �a��a���. Va��� a �� e�e���� �a�a f�ca� �a�� f�c��. C����de�e � �e�����e c������� de dad��: 1, 2, 3, 4, 5. Sabe��� ��e ��a ��d�a e �e� de���� �ad��� ���: X = 3 σ =
2
E � c�ef�c�e��e de �a��a��� �: CV =
2 3
A���a ��������ca��� ��d�� e��e� �a���e� ��� ��a c����a��e �a��� ��e 1. Va��� ��������ca� ��� 3. O� dad�� f�ca� a����: 3, 6, 9, 12, 15. V���� ������edade� da ��d�a. Se���e ��e ��������ca��� ��a �e����c�a de �a���e� ��� ��a c����a��e, a ��d�a ��f�e a �e��a �a��a���. A ���a ��d�a f�ca: X ' = 3 × 3 = 9
V���� ������edade� d� de���� �ad���. Se���e ��e ��������ca��� ��a �e����c�a de �a���e� ��� ��a c����a��e, � de���� �ad��� ��f�e a �e��a �a��a���. O ���� de���� �ad��� f�ca: ' 3× 2
σ =
L���, � ���� c�ef�c�e��e de �a��a��� f�ca: ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
36
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
CV ' =
3× 2 3× 3
=
2 3
C��c�����: � c�ef�c�e��e de �a��a��� ��� � a��e�ad� ��� ��a ��������ca��� d�� dad��. I��� �����e �a��� a ��d�a ��a��� � de���� �ad��� ��� ��������cad�� �e�a �e��a c����a��e. A����, �a ���a de d���d�� �� �e�� �����, e��a c����a��e � �c���ada�. A a��e��a���a e��� e��ada. A a��e��a���a B d�� ��e a d�fe�e��a e���e a ��d�a e a �ed�a�a � �e���e �a��� ��e a d�fe�e��a e���e a ��d�a e a ��da. I��� � ��c���e��. Ba��a �e��a� �a �e�����e �e����c�a de dad��: 1, 2, 2, 2, 3. A ��d�a, a �ed�a�a e a ��da ��� ��da� ���a�� a 2 (� ��a �e����c�a �������ca, a������ ��e a��da e���da�e���). O� �e�a, a d�fe�e��a e���e a ��d�a e a �ed�a�a � �e��. A d�fe�e��a e���e a ��d�a e a ��da � �e��. A� d�a� d�fe�e��a� ��� ���a��. A a��e��a���a e��� e��ada. A a��e��a���a C d�� ��e a ��d�a �a�����ca de ��a �e����c�a de ���e��� ��������� � ���a� � ��d�a a�������ca d�� �e��ec����� ���e���� de��e� ���e���. A ��e���� e��� e��ada. N�� ����� �a a��a de �ed�da� de ������� ��e a ��d�a �a�����ca � � ���e��� da ��d�a a�������ca d�� ���e���� d�� ���e��� c����de�ad��. Na a��e��a���a D, af���a��e ��e � ���d��� da ��d�a �e�� c�ef�c�e��e de �a��a��� � ���a� a� de���� �ad���. E��a a��e��a���a e��� c���e�a. X × CV = X ×
σ
X
= σ
A a��e��a���a E d�� ��e a ��d�a �e������ca � �e���e �a��� �� ���a� � ��d�a a�������ca. N�� ����� �a a��a de �ed�da� de ������� ��e � ����a�e��e � c��������. Pa�a �� c������� de ���e��� ���������, a ��d�a a�������ca � �e���e �a��� �� ���a� � ��d�a �e������ca. G�������: D. ������� 13
�CE �� 2009 �CE��E�
E� �� e���d� e��a�����c� ce��������, f�� c����de�ad� �� ��d�cad�� X ��e a����e �� ���� �e�����e� �a���e� ������e��: �1, 0 �� 1. A ��d�a e a �a����c�a �����ac���a�� de��e ��d�cad�� X ���, �e��ec���a�e��e, 1/2 e 3/4. Ne��e ca��, � c���e�� af���a� ��e 56. a ��da de X f�� ���a� a �1. 57. � c�ef�c�e��e de �a��a��� de X f�� ��fe���� a 1,6.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
37
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
58. a f�e����c�a �e�a���a d�� ca��� e� ��e � ��d�cad�� a����e � �a��� �e�� f�� ��fe���� a 0,01. 59. a �ed�a�a d� ��d�cad�� X f�� ���a� a 1/2 ���������
N�� �abe��� a� f�e����c�a� �e�a���a� de cada ������e� �a��� de X. Ge�e��ca�e��e, �a��� de�������a� ��� �, �, �.
�1 1 0 0 1 1 ���a�
f�e����c�a �e�a���a a b c 1
A ��d�a de X � ���a� a 0,5. L���:
A ��d�a de X2 f�ca:
A �a����c�a de X � dada ���:
� � �a 0 c
a 0 c
− + +
= − + 0,5 = − + − + = 0,5� = + = −
O e�e�c�c�� d���e ��e a �a����c�a � ���a� a 0,75:
0,75 = + − 0,5 + = 1 �� S��a�d� a� d�a� e��a��e�:
− + + + = 0,5 + 1 2 = 1,5 = 0,75 V���a�d� �a e��a��� II:
+=1 =1− = 1 − 0,75 = 0,25 P�� f��, c��� a ���a de ��da� a� f�e����c�a� �e�a���a� � �e���e ���a� a 1, �e���:
++=1 ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
38
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
= 1 − − = 1 − 1 = 0 P���a���, a d�����b����� de f�e��e�c�a� � dada ���:
�1 0 1
f�e����c�a �e�a���a 0,25 0 0,75
I�e� 56. A ��da � ���a� a 1 (�e��� de �a��� f�e����c�a). I�e� e��ad�. I�e� 57. O c�ef�c�e��e de �a��a��� � ���a� � d������ e���e � de���� �ad��� e a ��d�a.
I�e� e��ad�.
3 = = 0,54 = √0, 3/25 = √ 3 � 22 = √ 3 ≅ 1,73
I�e� 58. A f�e����c�a �e�a���a �a�a
= 0 � de 0%. I�e� ce���.
I�e� 59. A �ed�a�a c���e����de � f�e����c�a ac����ada 0,5.
�1 0 1
f�e����c�a �e�a���a �����e� 25% 0% 75%
f�e����c�a �e�a���a ac����ada 25% 25% 100%
Na c����a de f�e����c�a� ac����ada� ��� �e��� � �a��� 50%. Ne��e ca��, ���a��� � �a��� ��ed�a�a�e��e ���e���� (100%). I��� �����f�ca ��e a� �b�e��a��e� c���e����de��e� �� f�e��e�c�a� �e�a���a� 26%, 27%, ..., 100%, ��c����d� a de 50%, ��da� e�a� �e �efe�e� a� �a��� X = 1. C��c����d�:
=1 I�e� e��ad�. G�������: ������, ������, �����, ������.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
39
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
������� 14
������ 2008 �FG��
O c�ef�c�e��e de �a��a��� a�����a� (e� ���ce��a�e�) de �� c������� de �a������ � 110%. Se �� �a������ de��e c������� f��e� �ea����ad�� e� 20%, � ���� c�ef�c�e��e de �a��a��� a�����a� �e��: (A) 110%. (B) 112,2%. (C) 114,2%. (D) 122%. (E) 130%. ���������:
I��c�a��e��e, a ��d�a e�a X e � de������ad��� e�a σ . O c�ef�c�e��e de �a��a��� � dad� ���: σ
CV =
X
=
1,1
P���e�����e��e, �� �a������ ��� �ea����ad�� e� 20%. I��� e����a�e a ��������ca� �� �a������ a������ ��� 1,2. Q�a�d� ��������ca��� ��da� a� �b�e��a��e� ��� ��a c����a��e, a ��d�a ��f�e a �e��a ��d�f�ca���. L���, a ���a ��d�a �e��: X ' = 1, 2 × X
Q�a�d� ��������ca��� ��da� a� �b�e��a��e� ��� ��a c����a��e, � de������ad��� ��f�e a �e��a a��e�a���. L���, � ���� de������ad��� �e��: ' 1, 2 × σ
σ =
C�� ����, � ���� c�ef�c�e��e de �a��a��� f�ca: CV ' =
'
σ
X '
=
1,2 × σ 1,2 × X
Ta��� a ��d�a ��a��� � de������ad��� ��� ��������cad�� ��� 1,2. C�� ����, �� ��a ������f�ca���. O 1,2 � a���ad�, de ��d� ��e � c�ef�c�e��e de �a��a��� ��� �e a��e�a. CV ' =
1,2 × σ 1,2 × X
σ
=
X
=
1,1
C��c�����: ��������ca� ��da� a� �b�e��a��e� ��� ��a dada c����a��e ��� a��e�a � c�ef�c�e��e de �a��a���. G�������: A
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
40
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
1.11. ������� �� ��������� ���� ����� �� ������ Se �� dad�� e����e�e� e� c�a��e�, ��� �e��� ace��� a ��d�� �� �a���e� �b�e��ad��. Pa�a ca�c��a� a� �ed�da� de d���e����, ��ec��a��� fa�e� a����a� c����de�a��e�. N� ca�� da a������de, ��� �� �a���e� ���b�e�a�. T��a��� � �a��� �����e ���e����. T��a��� � �e��� �����e ��fe����. E ��b��a���� �� d� �����. Pa�a a� de�a�� �ed�da� de d���e���� (�a����c�a, de���� �ad���, de���� ��d�� e c�ef�c�e��e de �a��a���), a c����de�a��� ��e �e fa� � a �e��a d� c��c��� da ��d�a �a�a dad�� e� c�a��e�. C����de�a��� ��e ��d�� �� �a���e� de f�e����c�a �e �efe�e� a� ����� ��d�� de cada c�a��e. Na �e����c�a, ��a�� a����� e�e����� �a�a �e���� c��� f�ca. E������ 3
C����de�e a �e�����e �abe�a, �efe�e��e �� �dade� da� c��a��a� de ��a ����a (��� e����e� �b�e��a��e� c���c�de��e� c�� �� e���e��� da� c�a��e�): Idade� 6�8 8 � 10 10 � 12
F�e����c�a ab�����a �����e� 25 50 25
Ca�c��e: a) a a������de b) � de���� ��d�� c) a �a����c�a d) � de���� �ad��� e) � c�ef�c�e��e de �a��a���. ���������:
Le��a A. Pa�a ca�c��a� a a������de, ��ec��a��� �e�a� � �a��� �a��� de �dade, � �e��� �a���, e ��b��a�� �� d� �����. S� ��e ��� �e��� ace��� a ��d�� �� �a���e�. P�� e�e����, ��� �abe��� ��a� a �dade de cada ��a da� 25 c��a��a� da ����e��a c�a��e. S� �abe��� ��e e�a� ��� �dade� e���e 6 e 8 a���. O �e��� �c���e �a�a a� de�a�� c�a��e�. Ne��e� ca���, �a�a ca�c��a� a a������de fa�e��� � �e�����e: T��a��� � �a��� �����e ���e���� (=12) T��a��� � �e��� �����e ��fe���� (=6) S�b��a���� �� d� �����. E��a � a a������de. A = 12 − 6 = 6 ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
41
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
Le��a B Pa�a ca�c��a� � de���� ��d��, ��ec��a��� �e�a� cada �a��� �b�e��ad�, e�c����a� � de���� e� �e�a��� � ��d�a a�������ca. Fe��� ����, ���a��� �� ��d���� d�� de�����. P�� f��, � de���� ��d�� � ���a� � ��d�a d�� ��d���� d�� de�����. S� ��e ��� �abe��� ��a�� �� �a���e� �b�e��ad��. S� �abe��� a� f�e����c�a� da� c�a��e�. A����, ��� �e��� �e� c��� ca�c��a� a ��d�a a�������ca �e� �� de�����. P�� c���e����c�a, ��� �e��� c��� ca�c��a� � de���� ��d��. O ��e fa�e���? Va��� �c���a��. Va��� ����� ��e ��da� a� �b�e��a��e� c���e����de� a� ����� ��d�� da� c�a��e�. � e�a�a�e��e a �e��a c����de�a��� ��e f��e��� �a�a ca�c��a� a ��d�a a�������ca �a�a dad�� e� c�a��e�. C�� e��a �de�a, ����e��� ca�c��e��� a ��d�a a�������ca. Idade� 6�8 8 � 10 10 � 12
P����� ��d��� da� c�a��e� ( X ) 7 9 11 TOTAL
F�e����c�a ab�����a S����e� ( f ) 25 50 25 100 X =
900 100
=
X × f
175 450 275 900
9
Na �e�dade, �e� ��ec��a�a de��a� c���a�. O c������� ac��a � �������c�. A ��d�a, ����a���, � ���a� a� ����� ��d�� da c�a��e ce���a� (a��da fa�a�e��� ��b�e ���e���a). Te�d� a ��d�a a�������ca, �a��� c����de�a� ��e ��da� a� �b�e��a��e� �c���e� ����a�e��e ��� ������ ��d��� da� c�a��e�. A����, �a��� ca�c��a� �� de����� e� �e�a��� a X . P����� ��d��� da� c�a��e� ( X ) 7 9 11
De����� e� �e�a��� � ��d�a a�������ca (e ) �2 0 2
Me����a de c��c���
=7�9 =9�9 = 11 � 9
A���a ba��a e�c����a� �� ��d���� d�� de����� e fa�e� a ��d�a de��e� �a���e�.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
42
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
P��� ��d��� da� c�a��e� ( X )
De����� e� �e�a��� � ��d�a a�������ca (e)
7 9 11
M�d��� d�� De�����
F�e����c�a ab�����a S����e� ( f )
e
×
f
e
�2 0 2 TOTAL
2 0 2
DM =
100 100
=
25 50 25 100
50 0 50 100
1
O de���� ��d�� � ���a� a 1. Le��a C. Pa�a � c��c��� da �a����c�a, �a�b�� c����de�a��� ��e a� �b�e��a��e� c���e����de� a� ����� ��d�� de cada c�a��e. A �a����c�a �ada �a�� � ��e a ��d�a d�� ��ad�ad�� d�� de�����. P��� ��d��� da� c�a��e� ( X ) 7 9 11
De����� e� �e�a��� � ��d�a a�������ca (e) �2 0 2 TOTAL σ
2
De����� a� ��ad�ad� e
200 100
=
e 2 × f
25 50 25 100
100 0 100 200
2
4 0 4
=
F�e����c�a ab�����a S����e� ( f )
2
Le��a D O de���� �ad��� � ���a� � �a�� ��ad�ada da �a����c�a. σ =
2
Le��a E. O c�ef�c�e��e de �a��a��� � ���a� a� de���� �ad��� d���d�d� �e�a ��d�a. CV =
������� 15
σ
X
=
2 9
B�DE� 2008 2 �CE�G�A��I��
Pa�a �� e���d� ��b�e a d�����b����� de �a����� �e��a� d�� e���e�ad�� de ��a e���e�a f��a� c��e�ad�� �� �a������ de ��a a�����a a�ea����a de 50 e���e�ad��. O�
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
43
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
�e����ad�� a�����a�� �e�a�a� � c��������� da d�����b����� de f�e����c�a aba���. N�� e����e� �b�e��a��e� c���c�de��e� c�� �� e���e��� da� c�a��e�.
A ��d�a a�������ca e a �a����c�a a�����a� da d�����b����� �a�e�, a������ada�e��e,
���������.
Va��� c��e�a� c�� � c��c��� da ��d�a. c�a��e 1�3 3�5 5�7 7 � 11
����� ��d�� ( � ) 2 4 6 9
f�e����c�a �����e� ( � ) 40 30 20 10
P�de��� ada��a� a� f�e��e�c�a�, d���d��d� ��da� ��� 10. c�a��e
����� ��d�� ( � )
1�3 3�5 5�7 7 � 11
2 4 6 9 ���a�
f�e����c�a �����e� ad�a�ada ( �� ) 4 3 2 1 10
X × f '
8 12 12 9 41
A ��d�a � ���a� a: X =
41 10
=
4,1
F�ca��� e���e a� a��e��a���a� C e D. Pa�a c��c��� da �a����c�a, �a��� ac�a� a ��d�a d�� �a���e� de X a� ��ad�ad�. ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
44
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
����� ��d�� ( � ) 2 4 6 9
f�e����c�a �����e� ad�a�ada ( �� ) 4 3 2 1 10
X 2
4 16 36 81
X
2
=
217 10
=
X 2 × f '
16 48 72 81 217
21,7
F��a��e��e, a �a����c�a de X � dada ���: s
2
=
n n −1 s
2
×
=
( X
50 49
2
×
2
−
X ) =
50 49
×
2
(21,7 − 4,1 )
(21,7 − 16,81) = 4,99
G�������: D
C��� � �a��� de � � ��a�de, a �a����c�a �����ac���a� � ��a��ca�e��e ���a� � a�����a�. Ne��e ca��, ��c� ��de��a f���� d� de�����ad�� 49. F�ca��a a����: σ
2
=
21,7 − 16,81 = 4,36
N��a�e��e, da��a �a�a �a�ca� �e��a D.
1.12. ��������� �� ����� �� ���� ��������� ������� 16
�EFA� BA � 2004 �FCC�
Sabe��e ��e a a����a ��d�a d�� 5.000 �ab��a��e� de ��a c�dade X � ���a� � a����a ��d�a de ��a ����a c�dade Y c�� 10.000 �ab��a��e�, �� �e�a, ���a� a 1,70�. O de����� �ad��� c���e����de��e e�c����ad� �a�a a �����a��� da c�dade X � 2 c� e �a�a a �����a��� da c�dade Y � 5 c�. E����, a �a����c�a da� a����a� da �����a��� da� d�a� c�dade� �e���da� �: a) 12,25 c�2 b) 16,00 c�2 c) 18,00 c�2 d) 24,50 c�2 e) 29,00 c�2 ���������:
P���e��a �������: ��a�d� a f�����a de def������ da �a����c�a O e�e�c�c�� de� � de���� �ad��� da c�dade X. Pa�a ac�a� a �a����c�a, ba��a e�e�a� a� ��ad�ad�. A �a����c�a da c�dade X � ���a� a 4 c� 2 (=2 a� ��ad�ad�). E c��� �e c�e�a ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
45
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
�a �a����c�a? Ba��a fa�e� a ��d�a d�� de����� a� ��ad�ad� (��d�a e��a ca�c��ada e� �e�a��� a 170 c�, ��e � a a����a ��d�a da c�dade). O� �e�a: σ X
2
1
=
5.000 1
4=
5.000
∑ ( X
×
∑ ( X
×
−
−
170)
170)
2
2
M�������ca�d� c���ad�:
∑ ( X
−
170)
2
=
4 × 5.000
A �a����c�a da� a����a� �a c�dade Y � ���a� a 25 c� 2. Ba��a e�e�a� � de���� �ad��� f���ec�d� a� ��ad�ad�. C��� � �b��da e��a �a����c�a? E��a �a����c�a � ���a� � ��d�a d�� de����� a� ��ad�ad� (de����� e��e� ca�c��ad�� e� �e�a��� a 170 c�, ��e � a a����a ��d�a �a c�dade). σ Y
2
=
25 =
1 10.000 1
10.000
×
×
∑ (Y
∑ ( X
−
−
170)
170)
2
2
M�������ca�d� c���ad�:
∑ ( X
−
170)
2
=
25 × 10.000
P��� be�. A���a ����a��� a� �e���a� da� d�a� c�dade�. A a����a ��d�a c������a �e�d� de 170 (�� ��e a� d�a� c�dade� ����a� ��d�a� ���a��). E a �a����c�a? F�ca e� ��a���? Pa�a ac�a� a �a����c�a, �a��� ���a� ��d�� �� ��ad�ad�� d�� de����� (de����� e��e� ca�c��ad�� e� �e�a��� a 170). De���� d����, d���d���� � �e����ad� ��� 15.000 (���� e��a ���a �����a��� �e� 15.000 �ab��a��e�, �e����ad� da ���a d�� �ab��a��e� de X e Y). C�� e��e ���ced��e���, �b�e��� ����a�e��e a �a����c�a da ���a �����a���. σ
2
=
1 15.000
×
(∑ ( X − 170)
2
+
∑ (Y
−
170)
2
)
S�b�������d� �� �a���e� d�� ���a������: σ
2
=
1 15.000 σ
2
=
×
(4 × 5.000 + 25 × 10.000)
1 15.000
×
270.000 = 18
A ���a �a����c�a � de 18 c� 2. G�������: C
U� de�a��e. N��e be� �a f�����a a ��e c�e�a���: ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
46
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
σ
2
=
1 15.000
(4 × 5.000 + 25 × 10.000)
×
Na f�����a ac��a �e��� a� �a����c�a� da� d�a� c�dade�, ��������cada� �e��� ���e��� de �ab��a��e�. peso da variância da cidade X: número de habitantes da cidade
σ
2
=
1 15 .000
×
peso da variância da cidade Y: número de habitantes da cidade
(4 × 5.000 + 25 × 10 .000 ) variância da cidade Y
variância da cidade X
A �a����c�a da� d�a� c�dade� �e���da� � ��a ��d�a ���de�ada da� �a����c�a� de cada c�dade. E �� �e��� de ���de�a��� ��� �� ���e��� de �ab��a��e� (�� ���e�� de e�e�e���� de cada c�������). De��a��e��e ��e e��a f�����a �� �a�e �e a� ��d�a� da� d�a� c�dade� f��e� ���a��. Ce���? Se a� ��d�a� da� c�dade� f��e� d�fe�e��e� ��a da ����a, a� � ���ced��e��� � �� ���c� �a�� c�����cad�. Se���da �������: ��a�d� a f�����a a��e��a���a da �a����c�a Pa�a a c�dade X, �e���: σ X
4 = X
2
−
2
=
X 2
( X )
2
−
170 ⇒ X 2
2
=
170
2
+
4
A�a���a�e��e, �a�a a c�dade Y, �e���: σ Y
25 = Y
2
−
2
=
Y 2
170 ⇒ Y 2
(Y )
2
−
2
=
170
2
+
25
Se�a Z � c������� c���e����de��e � ����� de X e Y. A ��d�a de Z � a ��d�a ���de�ada e���e a� ��d�a� de X e Y. Z =
X × 5.000 + Y × 10.000 15.000
=
170 (c�)
A ��d�a de � 2 � a ��d�a ���de�ada e���e a� ��d�a� de � 2 e � 2. 2
Z
=
X 2 × 5.000 + Y 2 × 10.000 15.000
����� ����� �������
=
5.000 × (170 2
+
4) + 10.000 × (170 2 15.000
���.�������������������.���.��
+
25)
=
47
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
=
170
2
5.000 × 4 + 10.000 × 25
+
15.000
=
170
2
+
18
E a �a����c�a de Z f�ca: 2 σ Z =
Z 2
−
Z
2
=
(170
2
+
2
18) − (170 ) = 18
E��a �e���da ������� �e� a �a��a�e� de �a�e� �e���e, �e��� ��e a� ��d�a� de X e Y ��� �e�a� ���a��. ������� 17
A�CE/2006 �FCC�
U�a ad�������ad��a de ����e�� �ea����� �� e���d� ��b�e ��d�� �� ����e�� a���ad�� e� d�a� �e���e�, A e B, �e�a��a�d� � �e�����e ��ad��: Re���� A B
Qdade de ����e�� a���ad�� 1.000 4.000
Va��� ��d�� d�� a������� R$ 500,00 R$ 500,00
C�ef�c�e��e de �a��a��� 20% 30%
(Ob�e��a���: �� e���c�ad� ������a�, � dada a def������ de c�ef�c�e��e de �a��a���.) A �a����c�a c������a de A e B, ���� �, a �a����c�a d�� �a���e� d�� a������� da� �e���e� A e B �e���da� �, e� R$ 2, ���a� a: a) 20.000 b) 25.000 c) 32.500 d) 40.000 e) 62.500 ���������:
C��� a� d�a� ��d�a� ��� ���a�� a 500,00, a ��d�a da� d�a� �e���e� �e���da� �a�b�� �e�� ���a� a 500,00. P���a���, a �a����c�a c������a (�� �e�a, da� d�a� �e���e� ���ada� c������a�e��e) �e�� a ��d�a ���de�ada da� �a����c�a� ��d���d�a��. O� �e��� de ���de�a��� ��� �� ���e��� de e�e�e���� de cada c�������. P�ec��a��� ac�a� a� �a����c�a� da� d�a� �e���e�. M�������ca�d� � c�ef�c�e��e de �a��a��� �e�a ��d�a, �e��� ����a�e��e � �a��� d� de���� �ad���. σ A =
A × CV A
=
500 × 0,2
100 ⇒ σ A
2
σ B =
B × CV B
=
500 × 0,3 = 150 ⇒ σ B
2
=
=
10.000
=
22.500
E a���a ��de��� ca�c��a� a �a����c�a c������a: σ
����� ����� �������
2
=
1 5.000
×
(10.000 × 1.000 + 22.500 × 4.000)
���.�������������������.���.��
48
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
S�����f�ca�d�: σ
σ
2
2
= =
(2 × 1.000 + 22.500 × 0,8)
(2.000 + 18.000 ) = 20.000
G�������: A. ������� 18
��� 7� �EGIA� 2009 �FCC�
U� �e�a��a�e��� �ea���ad� e� d�a� e���e�a� X e Y ������c����� �� �e����ad�� a��e�e��ad�� �a �abe�a aba���.
A �a����c�a d�� �a������ da� d�a� e���e�a� �e���da� �, e� (R$) 2, ���a� a (A) 112.500. (B) 87.750. (C) 75.375. (D) 63.000. (E) 57.600. ���������:
Pa�a ac�a� � de���� �ad���, ba��a ��������ca� � c�ef�c�e��e de �a��a��� �e�a ��d�a. E� �e���da, e�e�a��� � de���� �ad��� a� ��ad�ad�, e�c����a�d� a �a����c�a.
= � = 0,1� 1.500 = 150 = 150 = 22.500 Pa�a a e���e�a Y �� c��c���� ��� �e�e��a��e�: = � = 0,2� 1.500 = 300 = 300 = 90.000 Se�a Z � c������� c���e����de��e � ����� e���e X e Y.
C��� a� ��d�a� de X e Y c���c�de� (a�ba� ���a�� a 1.500), a ��d�a de Z �a�b�� �e�� ���a� a 1.500.
̅ = 1.500
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
49
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
Q�a�d� ���� ac���ece, �� �e�a, ��a�d� X e Y ��� a �e��a ��d�a, a �a����c�a da ����� � a ��d�a ���de�ada da� �a����c�a� de cada c�������:
+ 150 � 100 � = 100 + 150
+ 150 � 90.000 = 100 � 22.500250
Va��� ��������ca� � ���e�ad�� e � de�����ad�� ��� 4. C�� ����, ������� ��a d������ ��� 1.000. D���d�� ��� 1.000 � �a�� f�c��, ba��a c���a� �e���, �� a�da� c�� a ������a.
= 100 �22.500 � 1.4+000150 � 90.000 �4 = 2.250 �4 + 150 � 90 � 4 = 63.000
G�������: D
Q�a�d� �� c�������� X e Y ��� ���e�e� �e��a ��d�a, � c��c��� da �a����c�a da ����� f�ca be� �a�� c�����cad�. Ve�a� e��e e�e����: ������� 19
BACE�/2006 �FCC�
A ��d�a a�������ca d�� �a���e� da� �e�da� d����a� �ea���ada� �e�a� 50 e���e�a� d� Se��� A � de R$ 1.000,00, c�� de���� �ad��� de R$ 100,00. Sabe��e a��da ��e a ��d�a a�������ca d�� �a���e� da� �e�da� d����a� �ea���ada� �e�a� 200 e���e�a� d� Se��� B � de R$ 2.000,00, c�� de���� �ad��� de R$ 200,00. A �a����c�a, e� R$ 2, d�� �a���e� da� �e�da� d����a� �ea���ada� �e��� d��� �e���e� �e���d�� �: a) 34.000 b) 50.000 c) 194.000 d) 207.500 e) 288.000 ���������:
P���e��a �������: ��a�d� a f�����a de def������ da �a����c�a, c��b��ada c�� a �a�����a��� d� ���a�����. Na ����a �������, e��a ������� de�e �e� e���ada, ��� �e� be� ��aba����a. Va��� c�a�a� de � � c������� da� �e�da� d� �e��� A, de � � c������� da� �e�da� d� �e��� B. A��e� de c��e�a���� a �e�������, �a��� fa�e� � �e�����e. Va��� c��a� a� �a����e�� a�����a�e� � e �, de f���a ��e: ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
50
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
A
C =
100
B
; D =
100
C�� ���� d��������� � ���e�� de ��e����, � ��e �a� fac����a� a� c���a� ��a �e��e. E���� � c������� � �e��e�e��a a� �e�da� d� �e��� A, ��d�f�cada�. O c������� � �e��e�e��a a� �e�da� d� �e��� �, ��d�f�cada�. U�a�d� a� ������edade� da ��d�a e d� de������ad���, �e���: C = 10 ;
σ C =
1
20 ;
σ D =
2
D
=
A ��d�a de C � dada �e�a ���a de ��d�� �� �a���e� de C, d���d�da ��� 50 (���� ��� 50 e���e�a� �� �e��� A). C =
∑ C ⇒ 50
∑ C
=
50 × C ⇒
∑ C
50 × 10 = 500
=
A ��d�a de � � dada �e�a ���a de ��d�� �� �a���e� de �, d���d�da ��� 200 (���� ��� 200 e���e�a� �� �e��� �). D
=
∑ D ⇒ 200
∑ D
200 × D ⇒
=
∑ D
=
200 × 20 = 4.000
Se�a � � c������� ��e �e��e�e��a a ����� de � e �. Pa�a ac�a� a ��d�a de � , ���a��� ��d�� �� �a���e� de � e � e d���d���� ��� 250 (���� ��� 250 e���e�a� a� ��d�). X =
∑ C ∑ D ⇒ X +
250
=
500 + 4.000 250
=
18
A ��d�a da� ��e�da� ��d�f�cada�� d�� d��� �e���e� ������ � de R$ 18,00. A �a����c�a de � � ���a� a 1 (=1 a� ��ad�ad�). I��� �����f�ca ��e:
∑ (C
1=
−
10)
2
50
⇒ ∑ (C − 10)
2
=
50
=
800
Pa�a � c������� �, a� c���a� ��� a�����a�. 4=
∑ ( D
−
20)
2
200
⇒ ∑ ( D − 20)
2
E c��� fa�e��� �a�a ac�a� a �a����c�a de � ? P�ec��a��� �e�a� cada �a��� de �e�da ��d�f�cada, de cada ��a da� 250 e���e�a�, e ca�c��a� � de���� e� �e�a��� a 18,00 (��e � a ��d�a �e�a�). De���� d����, e�e�a��� � de���� a� ��ad�ad� e d���d���� ��� 250, ac�a�d� a ��d�a d�� ��ad�ad�� d�� de�����, ��e � a �a����c�a. 50
∑ (C
i −
σ X
����� ����� �������
2
=
i =1
200
18)
2
+
∑ ( D
i −
18)
2
i =1
250
���.�������������������.���.��
51
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
σ X
2
50 2 × ∑ (C i − 18) 250 i 1
200
1
=
∑ (D
+
i −
2
i =1
=
18)
E a���a �e� � ���b�e�a. N�� �abe��� ��a��� �a�e a ���a d�� ��ad�ad�� d�� de����� d� c������� � e� �e�a��� a 18. O� �e�a, ��� �abe��� ��a��� �a�e a �e�����e e���e����:
50 ∑ (C i − 18) 2 i 1 =
Pa�a � c������� � , � ��e ��� �abe��� � � �a��� de:
∑ (C
10 )
−
2
50
=
B��, e���� �a��� �f���a� a ba��a�. Va��� �e��a� fa�e� c�� ��e a�a�e�a � �e��� ��e �� c���ece���. F�ca a����: 50
50
∑ (C
i −
18)
2
∑ (C
=
i −
i =1
10 − 8)
2
i =1
P�����. A���a a�a�ece� a ��a���a ��e �� c���ece���. Va��� de�e�����e� � ��ad�ad� da d�fe�e��a: 50
50
∑ (C
i −
18)
2
∑ {(C
=
i −
i =1
10 )
2
−
2 × (C − 10) × 8 + 8
2
}
i =1
Se�a�a�d� � ���a����� da ���a e� ���a de ���a������: 50
50
∑ (C
i −
18)
2
∑ (C
=
i −
i =1
10 )
2
50
−
16 ×
∑ (C
i =1
−
10) +
i =1
50
∑ 64 i =1
E a��� de�e��� �e�b�a� da ������edade da ��d�a. A ���a d�� de����� e� �e�a��� � ��d�a a�������ca � ���a� a �e��. 50
50
∑ (C
i −
18)
2
∑ (C
=
i −
i =1
10)
2
50
−
16 × 0 +
i =1 50
i =1 50
∑ (C
i −
18)
2
=
∑ 64
∑ (C
i =1
i −
10 )
2
+
50 × 64
i =1
50
∑ (C
i −
18)
2
=
50 + 50 × 64 = 3.250
i =1
Pa�a � c������� � a �d��a � a �e��a: 200
∑
200
( Di
−
18)
2
=
i =1 200
i −
18)
2
=
i =1
∑
∑ {( D
i −
200
i =1
����� ����� �������
20 + 2)
2
20 )
2
+
2 × ( Di
−
20) × 2 + 2
2
}
i =1
200
( Di
i −
i =1
200
∑ ( D
∑ (D
−
18)
2
=
200
∑ ( Di − 20)2 + 4 × ∑ (Di i =1
i =1
−
20)
2
200
+
∑2
2
i =1
���.�������������������.���.��
52
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
200
∑ ( D
i −
18)
2
=
800 + 0 + 800 = 1.600
i =1
A���a ��de��� f��a��e��e ca�c��a� a �a����c�a da ����� de � e �: σ X
2
50 2 × ∑ (C i − 18) 250 i 1 1
=
200
+
∑ (D
2
=
1 250
×
18) 2
i =1
=
σ X
i −
(3.250 + 1.600) = 19,4
C��� ��� d���d���� ��d�� �� �a���e� da� �e�da� ��� 100, ��� �b���e��� ��a �a����c�a �e��� ��e a ��e �e��a �b��da �e� e��a ��d�f�ca���. A �a����c�a f�� d���d�da ��� 100 a� ��ad�ad�. De�fa�e�d� a ��d�f�ca���, ��ec��a��� ��������ca� a �a����c�a ac��a ��� 100 a� ��ad�ad�. 19,4 × 10.000 = 194.000
G�������: C.
C�� a �e��a �de�a ������ada �a �e������� de��e e�e�c�c��, ��de��� c�e�a� ���a f�����a �a�a a �a����c�a da �����a��� �e����a��e da ����� de d��� c��������. Se�a� A e B d��� c��������, c�� � e b e�e�e����, �e��ec���a�e��e. O c������� A �e� ��d�a A e �a����c�a σ A 2 . O c������� B �e� ��d�a B e �a����c�a σ B 2 . S�����a a��da ��e A > B . Se�a X � c������� dad� �e�a ����� de A e B. A ��d�a de X f�ca: X =
a × A + b × B a+b
E���� a �a����c�a de X f�ca: σ X
2
=
a 2 × ∑ ( Ai − X ) a +b i 1 1
b
+
σ X
=
a 2 × ∑ ( Ai − A + A − X ) a +b i 1 1
=
σ X
2
=
a 2 × ∑ [( Ai − A) a +b i 1 1
+
2 × ( Ai
−
i −
i =1
=
2
∑ ( B
X ) 2
b
+
∑ ( B
i −
B + B − X ) 2
i =1
A) × ( A − X ) + ( A − X ) 2
]
+
=
b
+
∑ [( B i =1
����� ����� �������
i −
B) 2
+
2
]
2 × ( B − B) × ( B − X ) + ( B − X )
���.�������������������.���.��
53
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
σ X
2
=
a 2 × ∑ ( Ai − A) a +b i 1 1
a
+
2 × ( A − X ) ×
∑ ( A
i −
b
∑ ( B
b
i −
B )
2
+
+
i =1
=
+
A) + a × ( A − X ) 2
2 × ( B − X ) ×
i =1
∑ ( B
−
B) + b × ( B − X ) 2
i =1
Le�b�a�d� ��e a ���a d�� de����� e� �e�a��� � ��d�a � �e���e ���a: σ X
2
=
a 2 × ∑ ( Ai − A) a +b i 1 1
+
2 × ( A − X ) × 0 + a × ( A − X )
2
+
=
b
+
∑ ( B
i −
B) 2
2
i =1
σ X
2
=
a 2 ∑ ( Ai − A) a +b i 1 1
×
b
+
a × ( A − X )
2
+
∑ ( B
i −
σ X
2
2
=
=
1
a+b
1
a+b
×
{a
× σ A
×
{a
× σ A
2
2
B )
2
+
2
2
+
a × ( A − X )
+
a × ( A − X ) 2
+
b × σ B
2
+
b × σ B
2
b × ( B − X )
i =1
=
σ X
2 × ( B − X ) × 0 + b × ( B − X )
+
+
b × ( B − X )
2
}
+
b × ( B − X ) 2
}
E����, ��a ����� �a�a �e����e� e��e ���� de e�e�c�c�� � dec��a� a f�����a ac��a. A� �e� a �e�����a: c���e��a dec��a� e��a f�����a? Re�����a: ���, ac�� ��e ���. S�� �a��� e�e�c�c��� de��e ����. Ma�, �e ��c� a� �e��� c���e���� e��e�de� a �e�������, ac�� ��e ���� �� � ������a��e, ��de a��da��� ba��a��e ��a�d� c�e�a���� e� �e��e���� ���ea� e c���e�a��� ���ea�. Se ��c� ��� ����e� dec��a� a f�����a e �a�b�� ��� ����a ����� de e�a�a�, ac�� ��e e��e�de� �� ca��� dad�� a��e�����e��e, e� ��e a� ��d�a� de cada c������� e�a� ���a��, �� e��� �����. Se���da �������: ��a�d� f���a a��e��a���a de c��c��� da �a����c�a. E��a �� � ��a f���a be� �a�� �����e� ��e a a��e����, e�b��a a��da ��� �� �a��� ��a��� ��aba����a. A �a����c�a de C � ���a� a 1. A ��d�a de C � 10. L���: 2 σ C =
2
1 = C
−
2
C
2
−
C
10 ⇒ C 2
2
=
101
A �a����c�a de D � ���a� a 4. A ��d�a de D � 20. P���a���: 2 σ D =
4 = D ����� ����� �������
2
−
D 2
−
D
20 ⇒ C 2
2
2
=
404
���.�������������������.���.��
54
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
Se�a X � c������� c���e����de��e � ����� e���e C e.D A ��d�a de X � a ��d�a ���de�ada e���e a� ��d�a� de C e D: X =
50 × C + 200 × D 250
=
50 × 10 + 200 × 20 250
=
18
A ��d�a de � 2 �e�� a ��d�a ���de�ada e���e a� ��d�a� de � 2 e �2. 2
X
2
=
50 × C
+
200 × D
250
2
= =
50 × 101 + 200 × 404 250
=
85.850 250
=343,4
A �a����c�a de � �e��: 2 σ X = 2 σ X =
X 2
−
X
2
2
343,4 − 18 = 343,4 − 324 = 19,4
C��� d���d���� �� dad�� ��� 100, a �a����c�a f�� d���d�da ��� 100 2. P�ec��a��� ��������ca� � �a��� ac��a ��� 100 2, �a�a de�fa�e� a ��a��f���a���. A �a����c�a �ea� � dada ���: 100 × 100 × 19,4 = 194.000
������� 20
BACE� 2006 �FCC�
E� ��a ����������� ba�c���a, � �a����� ��d�� d�� 100 e���e�ad�� d� �e�� �a�c����� � de R$ 1.500,00, c�� de���� �ad��� de R$ 100,00. O �a����� ��d�� d�� 150 e���e�ad�� d� �e�� fe������ � de R$ 1.000,00, c�� de���� �ad��� de R$ 200,00. A �a����c�a, e� R$2, d�� d��� ������ �e���d�� �: a) 25.600,00 b) 28.000,00 c) 50.000,00 d) 62.500,00 e) 88.000,00 ���������:
Va��� d��e�� �a�a a f�����a a��e��a���a de c��c��� da �a����c�a. V�� c�a�a� de X � c������� d�� �a������ d�� ���e��, d���d�d� ��� 100 (�a�a d������� a ��a���dade de �e���). V�� c�a�a� de Y � c������� d�� �a������ da� ����e�e�, d���d�d� ��� 100. V�� c�a�a� de Z a ����� e���e X e Y. A ��d�a da ����� d�� d��� c�������� � a ��d�a ���de�ada da� ��d�a� de X e Y.
� = 100 � 15 + 150 � 10 ̅ = 100 �100 ++ 150 150 250
Va��� ��������ca� � ���e�ad�� e � de�����ad�� ��� 4. A���� ������� ��a d������ ��� 1.000, ��e � �����e� de �e� fe��a (ba��a �c���a�� �� �e���). ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
55
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
+ 150 �10 = 4� 1,5+ 1,5 = 12 ̅ = 4 � 100 �15 1.000 O de���� �ad��� de X � 1. L���, a �a����c�a de X � 1 2.
= − 1 = − 15 = 15 + 1 = 226 O de���� �ad��� de Y � 2. L���, a �a����c�a de Y � 2 . = − 2 = −10 = 10 + 2 = 104 A ��d�a de Z � ���a� � ��d�a ���de�ada e���e a� ��d�a� de X e Y . + 150 � = 100 �100 + 150 2
2
2
2
Va��� ��������ca� � ���e�ad�� e � de�����ad�� ��� 4. A���� ������� ��a d������ ��� 1.000, ��e � �����e� de �e� fe��a (ba��a �c���a�� �� �e���).
= 4� 100 � 1. +000150 � = 4� 0,1 � + 0,15 � = 4 � 0,1 �226 +0,15� 104 = 152,8 P�� f��, a �a����c�a de Z � dada ���: = − ̅ = 152,8 − 12 = 8,8
C��� d���d���� ��d�� �� dad�� ��� 100, a �a����c�a f�� d���d�da ��� 1002. Pa�a ac�a� a �a����c�a d�� dad�� ������a��, ��ec��a��� ��������ca� e��e �a��� ��� 100 2.
8,8� 10.000 = 88.000 G�������: E
2.
B�� �L��
Va��� �e� d� ��e �e ��a�a d��e�� ��� e�e�c�c���. ������� 21
��������� 2005 �CE�G�A��I��
O ���f�c� a �e���� � � b������� da d�����b����� de �e�da, e� ��� �ea��, da �����a��� de �� de�e����ad� ����c����. ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
56
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
Q�a� � a ���bab���dade de �� �ab��a��e de��e ����c���� �e� �e�da ���e���� a 6 ��� �ea��? (A) 0,15 (B) 0,20 (C) 0,25 (D) 0,50 (E) 0,75 ���������.
Pa�a e��e�de� �e����, �a��� c����de�a� � �e�����e c������� ������c�, ��e ��de��a �e�fe��a�e��e �e� �e��e�e��ad� �e�� b������� ac��a: 5; 5; 5,6; 5,8; 6,2; 6,5; 6,6; 7; 7; 8; 9; 10; 10; 11; 12; 22 N�� � ������e�, a �a���� d� B�������, de�e����a���� � c������� de ���e��� ��e ��e de� ����e�. E� a�e�a� ���e��e� � c������� ac��a. E� c��e� �� ca�� ��e ��de��a �e� �e��e�e��ad� �e�� B������� dad� �a ��e����. O b������� � f���ad� ��� �� �e������� e d�a� ��e�����a��, ��a e� c��a e ����a e�ba���. O �e������� ��d�ca �� ��a����. A����, da f����a ac��a, �e��� ��e �� ��a���� ���: Q1
=
6 ; Q2
=
7 ; Q3
=
10
De fa��, �e ��c� �b�e��a� � c������� ac��a, �e�� ��e �� ��a���� ��� e�a�a�e��e e��e� ��e ��d�ca���. A a������de ���e���a�����ca, dada �e�a d�fe�e��a e���e � ����e��� e � �e�ce��� ��a����, f�ca: d = Q3
−
Q1
=
10 − 6 = 4
A���a �e�a��� a� ��e�����a�� (a� ����a� ��e �ae� d� �e�������).
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
57
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
A ����a de c��a �a� a�� a �b�e��a��� �a�� a��a e����e��e. S� ��e �e� �� de�a��e. E��a ����a ��� ��de ����a�a��a� � �����e e��abe�ec�d� ���: Q3
+
1,5d
O� �e�a, � �a�a��� ������ da ����a � ���a� a 1,5 �e�e� a a������de ���e���a�����ca. C��� a a������de ���e���a�����ca � ���a� a 4, � �a�a��� ������ da ����a � ���a� a 6. L���, a ����a ��de ��, �� ������, a��: Q3
+
1,5d = 10 + 6
=
16
A ����a ��de �� a�� 16. L���, a ����a ��� �a� ��de� ��d�ca� � �a��� �a��� de ��d�� (=22). O efe��� d���� � ��e � �a��� 22 � c����de�ad� a����c�, �� a��da, �� � �������� . T�da� a� �b�e��a��e� ��e f�ca�e� f��a d� �����e da� ����a� ��� c����de�ada� a����ca�. B��, e�c����d���e �� �a���e� a����c��, a �a��� �b�e��a��� ��e ��b�a � � 12. P�� ���� a ����a de c��a �a� a�� 12. Pa�a a ����a de ba��� � a �e��a c���a. E�a c��e�a �� ����e��� ��a���� e de�ce. Ma� e�a �e� �� �����e de �a�a���. Se� �a�a��� ������ � de 1,5d . A����, e�a �a� a��: Q1 − 1,5d = 6 − 6 = 0
T�d�� �� �a���e� aba��� de �e�� ��� ��d�� c��� a����c��. N� ca��, ��� �� �e���� �a��� aba��� de �e�� ��e ����a �e� c����de�ad� �����e�. De��e ��d�, a ����a de ba��� ��de �� a�� 5, ��e � a �e��� �b�e��a���.
B��, ����� � �a� d� d�a��a�a de b�������, �a��� �e����e� a ��e����. E�c���e��e �� �ab��a��e a�ea����a�e��e. Pe�����a��e a ���bab���dade de e��e �ab��a��e �e� �e�da �a��� ��e 6 ��� �ea��. C��� 6 � � ����e��� ��a����, ��� c��c������ ��e 25% da� �b�e��a��e� ��� �e���e� ��e 6 e 75% ��� �a���e� ��e 6. A ���bab���dade ���c��ada � 75%. G�������: E
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
58
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
������� 22
CEB 2009 ���I�E��A�
C����de�e � ���f�c� B������ �e�����e:
O �a��� �a�cad� c�� �� a��e���c� (*) �e��e�e��a (A) � �e��� �a���;
1,5� − (C) − 1,5 � − (D) − (B)
(E) �� �����e�. ���������.
A��e���c�� ��� ��ad�� �a�a ��d�ca� a e������c�a de �����e��. E�e� ��� a��cad�� f��a d�� �����e� def���d�� ��� e .
− 1,5 + 1,5
G�������: E ������� 23
I��E��� 2010 �CE��E�
N�� ������� c��c� �e�e�, ��a fa����a a��e�e���� � �e�����e ��ad�� de de��e�a�: 1.� ���: R$ 1.000,00; 2.� ���: R$ 1.200,00; 3.� ���: R$ 900,00; 4.� ���: R$ 1.100,00; 5.� ���: R$ 800,00. E� �e�a��� a e��e c������� de dad��, a����a�e a ����� c���e�a. A O de���� �ad��� a�����a� � ���e���� a R$ 200,00. B O ����e��� ��a���� � ���a� a R$ 1.100,00. C O �e�ce��� ��a���� � ���a� a R$ 1.200,00. D A� �e c�������� �� B�� ���� �a�a e��e c������� de dad��, �� �����e� ��fe���� e ���e���� e��a��� c����d�� �� ���e��a�� [R$ 400,00, R$ 1.600,00]. E A ��d�a � �a��� ��e a �ed�a�a d�� dad��. ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
59
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
���������.
Va��� d��e�� �a�a a a��e��a���a ��e ��a�a de B�������. R��: 800, 900, 1.000, 1.100, 1.200 A �ed�a�a � � �e��� d� �e��:
= 1.000 A �ed�a�a d���de � c������� de dad�� e� d�a� �a��e� c�� 2 e�e�e���� cada. 800, 900
1.100, 1.200
= 900 +2 800 = 850 = 1.200 +2 1.100 = 1.150
O ���e��a�� ���e���a�����c� � ���a� a:
= − = 1.150 − 850 = 300 O� �����e� d� B�� ���� ���:
− 1,5 = 850 − 1,5 � 300 = 400 � L����e ���e����: + 1,5 = 1.150 + 1,5�300 = 1.600 � L����e ��fe����:
O� �����e� d� B������� ��� 400 e 1.600. A a��e��a���a D e��� c���e�a. G�������: D
A���a �e�a��� a� de�a�� a��e��a���a�. A �e��a �a� � a de �e��f�ca��� �a�� de���ada, ���� de�e�de de ��a �a��� ��a���dade de c��c����. Na ���a da ����a, � �dea� � �a�c���a ���� e�c������. Le��a B: J� ����� ��e � ����e��� ��a���� � 850. A��e��a���a e��ada. Le��a C: J� ����� ��e � �e�ce��� ��a���� � 1.150. A��e��a���a e��ada. Le��a E:
1.100 + 1.200 = 1.000 = 800 + 900 + 1.000+ 5
A ��d�a � ���a� � �ed�a�a. A��e��a���a e��ada. ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
60
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
F��a��e��e, �a�a a�a���a� a �e��a �a�, �a��� c��a� a �a����e� a�����a�:
O� �a���e� de �d� ���:
1.000 = −100 �2, �1, 0, 1, 2
L���:
̅ = −2 − 1+50 + 1+ 2 = 0 = 4 + 1+ 50 + 1 +4 = 2 = 2 − 0 = 2 ⟶ = √ 2 = 100 = 100√ 2 E � de���� �ad��� a�����a� f�ca: = 100√ 2 � 54 ≅ 100 � 1,4� 1,25 = 175 O de���� �ad��� a�����a� ��� � ���e���� a 200. ������� 24
�� AD� 2009 �CE��E�
A f����a ac��a a��e�e��a �� ���a�� a��a�� de ca��� de feb�e �e�������ca da de���e, de 1988 a 2008, e� F���a�e�a, c�dade e� ��e a d�e��a f�� c��f���ada �e�a ����e��a �e� e� 1994. A �a���� de 1998, �e��f�ca��e a �c�����c�a a��a� da e�fe���dade, ���c�a�d� e� �� �a�a�a� de ba��a ��c�d��c�a (1998 a 2000) e �e����d� �a�a �� �a�a�a� e�e�ad� ��e �a��a de 44 a 254 ca���, c�� e�ce��� de 2004. Sec�e�a��a M���c��a� da Sa�de de F���a�e�a. P�a�� de c��������c�a �a�a � c������e da de���e �� ����c���� de F���a�e�a e� 2009, (c�� ada��a��e�). C�� ba�e �a� ��f���a��e� ac��a, c����de�a�d� ��e a �a����e� X �e��e�e��a � ���a� a��a� de ca��� de feb�e �e�������ca da de���e e� F���a�e�a, �����e �� ��e�� a �e����.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
61
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
54 C��������d���e � d�a��a�a B������� ���a�, c�� �e�a��� � �a����e� X e c�� �� dad�� d� a�� 2001 e� d�a��e, � c���e�� af���a� ��e a e�ce��� �b�e��ada e� 2004 ��� de�e �e� c����de�ada c��� �� �a��� a����c�. ���������.
Dad��: 60, 44, 166, 6, 119, 123, 118, 254. R��: 6, 44, 60, 118, 119, 123, 166, 254 Te���:
I��e��a�� ���e���a�����c�:
= 118 +2 119 = 118,5 = 44 +2 60 = 52 = 166 +2 123 = 144,5 = 144,5− 52 = 92,5
O �����e ��fe���� d� B������� � ���a� a:
− 1,5 = 52 − 1,5� 92,5 = −86,75 C��� � �a��� 6 � �a��� ��e � �����e ��fe����, e���� ��� � c����de�ad� �a��� a����c�. G�������: �����
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
62
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
3.
�E���� ������
A������de Va����c�a � f�����a� de def������
L�������� Med�da de d���e���� ��b�e � �a��� �a��� �e��� � �e��� M�d�a d�� ��ad�ad�� d�� de�����. Va����c�a �����ac���a�: n
∑ ( X
i −
σ
2
=
X
)
2
i =1
n
Va����c�a a�����a�: n
∑ ( X
i −
2
S
Va����c�a � f���a de c��c��� a��e��a���a
σ
2
S 2
=
= =
X
)
2
i =1
n −1 X 2
( X )
2
−
n n −1
×
( X
2
−
X
2
)
De���� �ad��� C�ef�c�e��e de �a��a���
Ra�� ��ad�ada �������a da �a����c�a
B�� P���
O �e������� �e��e�e��a �� ��a����. A� ��e�����a�� ��� a�� �� �a���e� e���e���, de�de ��e ��� ����a�a��e� � �a�a��� de 1,5 �e�e� a d�����c�a ���e���a�����ca.
4.
=
��E���E� A��E�E��ADA� E� A�LA
������� 1
I�B 2006 �E�AF�
O ��a� a� ��a� �� dad�� ������c�� �e�de� a d���e��a���e e� ����� de �� �a��� ��d�� c�a�a��e a) ��d�a. b) �a��a��� �� d���e���� d�� dad��. c) �ed�a�a. d) c���e�a��� �� d���e����. e) ��da. ������� 2
�EFA� /BA � 2004 �FCC�
Sabe��e ��e � �a��� de ��a de�e����ada �a����e� Q � �b��da �e�a e���e���� def���da ���
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
63
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
Q=
2i + 3 2
�e�d� � �� ���e�� ���e��� ��������. Se � a������ �� �a���e� 1, 2, 3, 4 e 5, e����, � de���� ��d�� de��a �a����e� �: a) 1,8 b) 1,2 c) 0,9 d) 0,75 e) 0,5 ������� 3
��E �� 2005 �CE�G�A��I��
A�a���e a� af���a���a� a �e����, a �e��e��� da ��d�a a�������ca. I � a ���a d�� �e��d��� e� �e�a��� � ��d�a a�������ca � �e���e ���a� a �e��; II � � e� �e�a��� � ��d�a a�������ca ��e a ���a d�� �a���e� ab������� d�� �e��d��� � �����a; III � � e� �e�a��� � ��d�a a�������ca ��e a ���a d�� ��ad�ad�� d�� �e��d��� � �����a. E���(��) c���e�a(�) a(�) af���a���a(�): (A) II, ���e��e. (B) I e II ���e��e. (C) I e III ���e��e. (D) II e III ���e��e. (E) I, II e III. ������� 4
��� 2004 �E�AF� n
A ����a e�c��d�a�a
∑ ( X
i −
A) � �����a ��a�d� A � ���a�: 2
i =1
a) � ��d�a d�� �a���e� de X i b) � �ed�a�a d�� �a���e� de X i c) � ��da d�� �a���e� de X i d) a� ����e��� ��a���� d�� �a���e� de X i e) a� de���� �ad��� d�� �a���e� de X i ������� 5
��������� 2008 �CE�G�A��I��
D� ���a� de f��c�������� de ��a e���e�a, f�� �e���ada ��a a�����a de �e�� ��d���d���. A �abe�a aba��� a��e�e��a � �e��� ��aba��ad� �a e���e�a, e� a��� c����e���, ��� cada �� de�e�.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
64
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
A �a����c�a de��a a�����a � (A) 3,7 (B) 4,0 (C) 4,4 (D) 5,0 (E) 5,5 ������� 6
FI�E� 2009 �CE��E�
F�� �ea���ad� �� �e�a��a�e��� �a�a c���a�a� e��a�����ca�e��e � �a��� de a�a��a��� X de �� be� ����e� c�� � �e� �e��ec���� ��e�� de �e�da Y. Pa�a cada ����e� � (� = 1, 2, ..., 10), �e���������e �� �a� de �a���e� (��, ��), e� ��e �� e �� �e��e�e��a�, e� R$ 1 ������, �e��ec���a�e��e, � �a��� de a�a��a��� e � ��e�� de �e�da d� ����e� �. O� �e�����e� �e����ad�� f��a� e�c����ad��:
= −
C�� �e�a��� �� ��f���a��e� a��e�e��ada� �� �e��� e c����de�a�d� ��e �e��e�e��a a d�fe�e��a e���e � �a��� de a�a��a��� e � ��e�� de �e�da d� ����e� � , a �a����c�a a�����a� da d�����b����� d� c������� de dad�� d 1,..., d10 f�� A �������a e ��fe���� a 0,10. B ���e���� a 0,10 e ��fe���� a 0,20. C ���e���� a 0,20 e ��fe���� a 0,30. D ���e���� a 0,30 e ��fe���� a 0,40. E ���e���� a 0,40. ������� 7
�C� 2009 �CE��E�
U�a ����������� �ea����� �e�a��a�e��� c�� ����a� a c���a�a� �� �a���e� de de� d�fe�e��e� ����� de ��e�� de c������. Pa�a cada ��e� �(� = 1, 2, ..., 10), f�� �e�����ad� �� �a� de �a���e� (��,��), e� ��e �� �e��e�e��a � �a��� d� ��e� � e��abe�ec�d� �e�a e���e�a A, e �� �e��e�e��a � �a��� de��e �e��� ��e� f���ec�d� �e�a e���e�a B. O� �e�����e� �e����ad�� f��a� e�c����ad��:
+ = 130; − = 10
+ = 1.790; − = 26 ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
65
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
C�� ba�e �e��a� ��f���a��e�, �����e �� ��e�� a �e����. 97. A �a����c�a da d�����b����� da� d�fe�e��a� �� � �� � �a��� ��e 1,5 e �e��� ��e 1,9. 100. Se VA f�� a �a����c�a a�����a� d�� �a���e� �1, �2, ..., �10 e VB f�� a �a����c�a a�����a� d�� �a���e� �1, �2, ..., �10, e���� a ���a VA + VB �e�� �a��� d� ��e 7. ������� 8
CG� 2008 �E�AF�
Ca�c��e � �a��� �a�� ������� d� de������ad��� da a�����a �e��e�e��ada �e�a d�����b����� de f�e����c�a� aba��� �e��e�e��ada �e��� ������ ��d��� da� c�a��e� � e �e��ec���a� f�e����c�a� f. � 5 15 25 35 45
F 5 10 31 10 5
a) 1. b) 2,44. c) 5,57. d) 7,056. e) 10. ������� 9
�J �I 2009 �FCC�
A ��d�a a�������ca d�� �a������ d�� e���e�ad�� de ��a e���e�a � ���a� a R$ 1.200,00 c�� ��a �a����c�a ���a� a 400,00 (R$) 2. Ca�� �e�a c��ced�d� �a�a ��d�� �� �a������ �� �ea����e de 10% e, a �e����, �� ad�c���a� f��� de R$ 200,00, � c���e�� af���a�, c�� �e�a��� a�� ����� �a���e� da ��d�a, da �a����c�a e d� de���� �ad���, ��e (A) � de���� �ad��� f�ca ���a� a� a��e���� ��������cad� ��� 1,21. (B) � ���� c�ef�c�e��e de �a��a��� f�ca ���a� a� a��e���� ��������cad� ��� 1,10. (C) a �a����c�a f�ca ��a��e�ada. (D) a ��d�a f�ca ���a� a R$ 1.520,00 e � de���� �ad��� ���a� a R$ 22,00. (E) a �a����c�a f�ca ���a� a 440,00 (R$) 2. ������� 10
�EFA� �� � 2006 �FCC�
C����de�a�d� a� �e��ec���a� def�����e� e ������edade� �e�ac���ada� �� �ed�da� de ������� e de �a��ab���dade, � c���e�� af���a�: a) c��cede�d� �� �ea����e de 10% e� ��d�� �� �a������ d�� e���e�ad�� de ��a e���e�a, �e���e ��e a �e��ec���a �a����c�a f�ca ��������cada ��� 1,10. b) def����d� � c�ef�c�e��e de �a��a��� (CV) c��� �e�d� � ���c�e��e da d������ d� de���� �ad��� �e�a �e��ec���a ��d�a a�������ca (d�fe�e��e de �e��) de ��a �e����c�a
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
66
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
de �a���e�, �e���e e���� ��e CV �a�b�� ��de�� �e� �b��d� d���d��d� a c���e����de��e �a����c�a �e�� ��ad�ad� da ��d�a a�������ca. c) ��b��a��d� �� �a��� f��� de cada �a����� d�� f��c�������� de ��a e���e�a, �e���e ��e � �e��ec���� de���� �ad��� d�� ����� �a���e� e ���a� a� �a��� d� de���� �ad��� d�� �a���e� a��e����e�. d) d���d��d� ��d�� �� �a���e� de ��a �e����c�a de ���e��� e�����a�e��e ��������� ��� 4, �e���e ��e � �e��ec���� de���� �ad��� f�ca d���d�d� ��� 2. e) e� ��a���e� d�����b����� de �a���e� e� e���d�, a d�fe�e��a e���e a �ed�a�a e a ��da � �e���e d�fe�e��e de �e��. ������� 11
���������� �� I��������� �������� 2012 �E�AF�
A d�����b����� de f�e����c�a� e� c�a��e� d� �a����� �e��a� �, �ed�d� e� ���e�� de �a������ �������, de ��a a�����a a�ea����a de 50 f��c�������� de ��a e���e�a, � a��e�e��ad� a �e����.
Ma�� de 0 a 10 Ma�� de 10 a 20 Ma�� de 20 a 30 Ma�� de 30 a 40 Ma�� de 40 a 50
22 13 10 3 2
U�a�d� �� dad�� ac��a, �b�e��a � �a��� �a�� ������� da �a����c�a a�����a� d� �a����� �e��a�. a) 121,5 b) 124 c) 126,5 d) 129 e) 131,5 ������� 12
�EFA� BA � 2004 �FCC�
C�� �e�a��� �� �ed�da� de �e�d��c�a ce���a� e de d���e����, � c���e�� af���a� ��e: a) ��������ca�d���e ��d�� �� �a���e� de ��a de�e����ada �e����c�a de ���e��� ��������� ��� �� �e��� ���e��, �a��� ��e ��, � �e� �e��ec���� c�ef�c�e��e de �a��a��� a��e��a de �a���. b) a d�fe�e��a e���e a ��d�a a�������ca e a �ed�a�a de ��a �e����c�a de ���e��� ��������� � �e���e �a��� ��e a d�fe�e��a e���e a ��d�a a�������ca e a ��da de��a �e��a �e����c�a. c) a ��d�a �a�����ca de ��a �e����c�a de ���e��� ��������� � ���a� � ��d�a a�������ca d�� �e��ec����� ���e���� de��e� ���e���. d) e� ��a �e����c�a de ���e��� ���������, � ���d��� da ��d�a a�������ca �e�� �e��ec���� c�ef�c�e��e de �a��a��� � ���a� a� �a��� d� de���� �ad��� c���e����de��e.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
67
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
e) a ��d�a �e������ca de ��a �e����c�a de ���e��� ��������� � �e���e �a��� �� ���a� � ��d�a a�������ca de��e� ���e���. ������� 13
�CE �� 2009 �CE��E�
E� �� e���d� e��a�����c� ce��������, f�� c����de�ad� �� ��d�cad�� X ��e a����e �� ���� �e�����e� �a���e� ������e��: �1, 0 �� 1. A ��d�a e a �a����c�a �����ac���a�� de��e ��d�cad�� X ���, �e��ec���a�e��e, 1/2 e 3/4. Ne��e ca��, � c���e�� af���a� ��e 56. a ��da de X f�� ���a� a �1. 57. � c�ef�c�e��e de �a��a��� de X f�� ��fe���� a 1,6. 58. a f�e����c�a �e�a���a d�� ca��� e� ��e � ��d�cad�� a����e � �a��� �e�� f�� ��fe���� a 0,01. 59. a �ed�a�a d� ��d�cad�� X f�� ���a� a 1/2 ������� 14
������ 2008 �FG��
O c�ef�c�e��e de �a��a��� a�����a� (e� ���ce��a�e�) de �� c������� de �a������ � 110%. Se �� �a������ de��e c������� f��e� �ea����ad�� e� 20%, � ���� c�ef�c�e��e de �a��a��� a�����a� �e��: (A) 110%. (B) 112,2%. (C) 114,2%. (D) 122%. (E) 130%. ������� 15
B�DE� 2008 2 �CE�G�A��I��
Pa�a �� e���d� ��b�e a d�����b����� de �a����� �e��a� d�� e���e�ad�� de ��a e���e�a f��a� c��e�ad�� �� �a������ de ��a a�����a a�ea����a de 50 e���e�ad��. O� �e����ad�� a�����a�� �e�a�a� � c��������� da d�����b����� de f�e����c�a aba���. N�� e����e� �b�e��a��e� c���c�de��e� c�� �� e���e��� da� c�a��e�.
A ��d�a a�������ca e a �a����c�a a�����a� da d�����b����� �a�e�, a������ada�e��e,
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
68
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
������� 16
�EFA� BA � 2004 �FCC�
Sabe��e ��e a a����a ��d�a d�� 5.000 �ab��a��e� de ��a c�dade X � ���a� � a����a ��d�a de ��a ����a c�dade Y c�� 10.000 �ab��a��e�, �� �e�a, ���a� a 1,70�. O de����� �ad��� c���e����de��e e�c����ad� �a�a a �����a��� da c�dade X � 2 c� e �a�a a �����a��� da c�dade Y � 5 c�. E����, a �a����c�a da� a����a� da �����a��� da� d�a� c�dade� �e���da� �: a) 12,25 c�2 b) 16,00 c�2 c) 18,00 c�2 d) 24,50 c�2 e) 29,00 c�2 ������� 17
A�CE/2006 �FCC�
U�a ad�������ad��a de ����e�� �ea����� �� e���d� ��b�e ��d�� �� ����e�� a���ad�� e� d�a� �e���e�, A e B, �e�a��a�d� � �e�����e ��ad��: Re���� A B
Qdade de ����e�� a���ad�� 1.000 4.000
Va��� ��d�� d�� a������� R$ 500,00 R$ 500,00
C�ef�c�e��e de �a��a��� 20% 30%
(Ob�e��a���: �� e���c�ad� ������a�, � dada a def������ de c�ef�c�e��e de �a��a���.) A �a����c�a c������a de A e B, ���� �, a �a����c�a d�� �a���e� d�� a������� da� �e���e� A e B �e���da� �, e� R$ 2, ���a� a: a) 20.000 b) 25.000 c) 32.500 d) 40.000 e) 62.500 ������� 18
��� 7� �EGIA� 2009 �FCC�
U� �e�a��a�e��� �ea���ad� e� d�a� e���e�a� X e Y ������c����� �� �e����ad�� a��e�e��ad�� �a �abe�a aba���.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
69
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
A �a����c�a d�� �a������ da� d�a� e���e�a� �e���da� �, e� (R$) 2, ���a� a (A) 112.500. (B) 87.750. (C) 75.375. (D) 63.000. (E) 57.600. ������� 19
BACE�/2006 �FCC�
A ��d�a a�������ca d�� �a���e� da� �e�da� d����a� �ea���ada� �e�a� 50 e���e�a� d� Se��� A � de R$ 1.000,00, c�� de���� �ad��� de R$ 100,00. Sabe��e a��da ��e a ��d�a a�������ca d�� �a���e� da� �e�da� d����a� �ea���ada� �e�a� 200 e���e�a� d� Se��� B � de R$ 2.000,00, c�� de���� �ad��� de R$ 200,00. A �a����c�a, e� R$ 2, d�� �a���e� da� �e�da� d����a� �ea���ada� �e��� d��� �e���e� �e���d�� �: a) 34.000 b) 50.000 c) 194.000 d) 207.500 e) 288.000 ������� 20
BACE� 2006 �FCC�
E� ��a ����������� ba�c���a, � �a����� ��d�� d�� 100 e���e�ad�� d� �e�� �a�c����� � de R$ 1.500,00, c�� de���� �ad��� de R$ 100,00. O �a����� ��d�� d�� 150 e���e�ad�� d� �e�� fe������ � de R$ 1.000,00, c�� de���� �ad��� de R$ 200,00. A �a����c�a, e� R$2, d�� d��� ������ �e���d�� �: a) 25.600,00 b) 28.000,00 c) 50.000,00 d) 62.500,00 e) 88.000,00 ������� 21
��������� 2005 �CE�G�A��I��
O ���f�c� a �e���� � � b������� da d�����b����� de �e�da, e� ��� �ea��, da �����a��� de �� de�e����ad� ����c����.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
70
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
Q�a� � a ���bab���dade de �� �ab��a��e de��e ����c���� �e� �e�da ���e���� a 6 ��� �ea��? (A) 0,15 (B) 0,20 (C) 0,25 (D) 0,50 (E) 0,75 ������� 22
CEB 2009 ���I�E��A�
C����de�e � ���f�c� B������ �e�����e:
O �a��� �a�cad� c�� �� a��e���c� (*) �e��e�e��a (A) � �e��� �a���;
1,5� − (C) − 1,5 � − (D) − (B)
(E) �� �����e�. ������� 23
I��E��� 2010 �CE��E�
N�� ������� c��c� �e�e�, ��a fa����a a��e�e���� � �e�����e ��ad�� de de��e�a�: 1.� ���: R$ 1.000,00; 2.� ���: R$ 1.200,00; 3.� ���: R$ 900,00; ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
71
����� ������� �� ����������� ����� ����� ������� � ���� �
4.� ���: R$ 1.100,00; 5.� ���: R$ 800,00. E� �e�a��� a e��e c������� de dad��, a����a�e a ����� c���e�a. A O de���� �ad��� a�����a� � ���e���� a R$ 200,00. B O ����e��� ��a���� � ���a� a R$ 1.100,00. C O �e�ce��� ��a���� � ���a� a R$ 1.200,00. D A� �e c�������� �� B�� ���� �a�a e��e c������� de dad��, �� �����e� ��fe���� e ���e���� e��a��� c����d�� �� ���e��a�� [R$ 400,00, R$ 1.600,00]. E A ��d�a � �a��� ��e a �ed�a�a d�� dad��. ������� 24
�� AD� 2009 �CE��E�
A f����a ac��a a��e�e��a �� ���a�� a��a�� de ca��� de feb�e �e�������ca da de���e, de 1988 a 2008, e� F���a�e�a, c�dade e� ��e a d�e��a f�� c��f���ada �e�a ����e��a �e� e� 1994. A �a���� de 1998, �e��f�ca��e a �c�����c�a a��a� da e�fe���dade, ���c�a�d� e� �� �a�a�a� de ba��a ��c�d��c�a (1998 a 2000) e �e����d� �a�a �� �a�a�a� e�e�ad� ��e �a��a de 44 a 254 ca���, c�� e�ce��� de 2004. Sec�e�a��a M���c��a� da Sa�de de F���a�e�a. P�a�� de c��������c�a �a�a � c������e da de���e �� ����c���� de F���a�e�a e� 2009, (c�� ada��a��e�). C�� ba�e �a� ��f���a��e� ac��a, c����de�a�d� ��e a �a����e� X �e��e�e��a � ���a� a��a� de ca��� de feb�e �e�������ca da de���e e� F���a�e�a, �����e �� ��e�� a �e����. 54 C��������d���e � d�a��a�a B������� ���a�, c�� �e�a��� � �a����e� X e c�� �� dad�� d� a�� 2001 e� d�a��e, � c���e�� af���a� ��e a e�ce��� �b�e��ada e� 2004 ��� de�e �e� c����de�ada c��� �� �a��� a����c�.
5.
GABA�I��
1
b
2
b
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
72