UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGO c
DEPARTAMENTO DE IRRIGACIÓN
Ramón Lobato Silva ESTÁTICA
Ramón Lobato Silva
Chapingo, México, agosto de 2012
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
PRESENTACIÓN En el marco del proceso docente educativo encaminado hacia la formación de profesionales en irrigación, la Estática representa una asignatura básica del plan de estudios de la carrera de Ingeniería en Irrigación. Esto, entre otras razones, porque durante su explotación todas las estructuras invariablemente se ven sometidas a la acción de sistemas de fuerzas. La Estática, como la rama de la Mecánica, estudia un aspecto de los efectos externos de la fuerzas sobre los cuerpos o sistemas: las condiciones de equilibrio mecánico; la Dinámica, por su parte, estudia otro aspecto de los efectos externos: la relación entre las fuerzas y el movimiento; mientras que en la Mecánica de Materiales, se estudian los efectos internos de las fuerzas, principalmente lo relativo a la resistencia, la rigidez y la estabilidad elástica de elementos de máquinas y estructuras. Por tratarse de una asignatura básica para el estudio de la ingeniería, el contenido del curso de Estática contribuye a la adquisición de los conocimientos imprescindibles para la comprensión de los fundamentos del objeto de la carrera, y para la formación en ingeniería del futuro profesional en irrigación. En particular, los conocimientos y habilidades que se adquieran en Estática resultarán esenciales para la asimilación de asignaturas subsecuentes del plan de estudios, a saber: Dinámica, Mecánica de Materiales, Hidráulica, Análisis Estructural, Concreto, Construcciones Ingenieriles Agropecuarias y Obras Hidráulicas. Como sucede con cualquier asignatura básica de ingeniería, todos los conceptos que se estudian en Estática tienen un significado físico bien definido y ofrecen posibilidades de aplicaciones básicas o fundamentales, que permiten comprender los fenómenos físicos, así como predecir el funcionamiento y la respuesta de los sistemas de ingeniería ingeniería en relación con los efectos externos de las fuerzas que actúan sobre ellos; aplicaciones prácticas o de ingeniería, para el análisis y diseño de componentes de máquinas y estructuras; y aplicaciones académicas, para el estudio de otras disciplinas de la ingeniería y asignaturas del plan de estudios de la carrera. La Mecánica es la rama de la Física que estudia las leyes generales del movimiento mecánico de los cuerpos y establece los métodos generales para la solución de los problemas relacionados con este tipo de movimiento. El movimiento mecánico (o simplemente movimiento) se refiere al cambio de posición de los cuerpos, unos con respecto a otros, que sucede en el transcurso del tiempo, así como a la variación de la posición relativa de las partículas de un mismo cuerpo, es decir, la deformación de este último. El estado de reposo de los cuerpos es un caso especial de movimiento, de cuyo estudio se encarga la rama de la Mecánica denominada Estática. Con mayor precisión, el objetivo de la Estática, como ciencia, es el estudio de las propiedades generales de las fuerzas y las condiciones de equilibrio de los cuerpos sometidos a la acción a cción de fuerzas. En correspondencia con las consideraciones anteriores, el contenido del presente curso incluye la presentación y derivación de la teoría de los sistemas de fuerzas y del equilibrio mecánico de los cuerpos o sistemas -conceptos, definiciones, teoremas y principios- y sus aplicaciones a la solución de problemas. Se procura hacer una exposición lo más unificada y concisa posible, es 2
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
PRESENTACIÓN En el marco del proceso docente educativo encaminado hacia la formación de profesionales en irrigación, la Estática representa una asignatura básica del plan de estudios de la carrera de Ingeniería en Irrigación. Esto, entre otras razones, porque durante su explotación todas las estructuras invariablemente se ven sometidas a la acción de sistemas de fuerzas. La Estática, como la rama de la Mecánica, estudia un aspecto de los efectos externos de la fuerzas sobre los cuerpos o sistemas: las condiciones de equilibrio mecánico; la Dinámica, por su parte, estudia otro aspecto de los efectos externos: la relación entre las fuerzas y el movimiento; mientras que en la Mecánica de Materiales, se estudian los efectos internos de las fuerzas, principalmente lo relativo a la resistencia, la rigidez y la estabilidad elástica de elementos de máquinas y estructuras. Por tratarse de una asignatura básica para el estudio de la ingeniería, el contenido del curso de Estática contribuye a la adquisición de los conocimientos imprescindibles para la comprensión de los fundamentos del objeto de la carrera, y para la formación en ingeniería del futuro profesional en irrigación. En particular, los conocimientos y habilidades que se adquieran en Estática resultarán esenciales para la asimilación de asignaturas subsecuentes del plan de estudios, a saber: Dinámica, Mecánica de Materiales, Hidráulica, Análisis Estructural, Concreto, Construcciones Ingenieriles Agropecuarias y Obras Hidráulicas. Como sucede con cualquier asignatura básica de ingeniería, todos los conceptos que se estudian en Estática tienen un significado físico bien definido y ofrecen posibilidades de aplicaciones básicas o fundamentales, que permiten comprender los fenómenos físicos, así como predecir el funcionamiento y la respuesta de los sistemas de ingeniería ingeniería en relación con los efectos externos de las fuerzas que actúan sobre ellos; aplicaciones prácticas o de ingeniería, para el análisis y diseño de componentes de máquinas y estructuras; y aplicaciones académicas, para el estudio de otras disciplinas de la ingeniería y asignaturas del plan de estudios de la carrera. La Mecánica es la rama de la Física que estudia las leyes generales del movimiento mecánico de los cuerpos y establece los métodos generales para la solución de los problemas relacionados con este tipo de movimiento. El movimiento mecánico (o simplemente movimiento) se refiere al cambio de posición de los cuerpos, unos con respecto a otros, que sucede en el transcurso del tiempo, así como a la variación de la posición relativa de las partículas de un mismo cuerpo, es decir, la deformación de este último. El estado de reposo de los cuerpos es un caso especial de movimiento, de cuyo estudio se encarga la rama de la Mecánica denominada Estática. Con mayor precisión, el objetivo de la Estática, como ciencia, es el estudio de las propiedades generales de las fuerzas y las condiciones de equilibrio de los cuerpos sometidos a la acción a cción de fuerzas. En correspondencia con las consideraciones anteriores, el contenido del presente curso incluye la presentación y derivación de la teoría de los sistemas de fuerzas y del equilibrio mecánico de los cuerpos o sistemas -conceptos, definiciones, teoremas y principios- y sus aplicaciones a la solución de problemas. Se procura hacer una exposición lo más unificada y concisa posible, es 2
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
decir, hacer la deducción de las ecuaciones para las categorías más generales de sistemas de fuerzas y, a partir de ellas, obtener las correspondientes a los sistemas más simples. Se hace uso intensivo del formalismo matemático correspondiente al Álgebra Vectorial. Finalmente, a pesar de que la asignatura de Estática es de naturaleza básica y de tipo teórico, y, no obstante, que sus leyes y teoremas son muy pocos, la asimilación de su contenido, así como la habilidad para su aplicación a situaciones reales, requiere un alto nivel de entrenamiento. Por esta razón la parte práctica del curso se desarrolla mediante la formulación y solución de numerosos problemas, unos de valoración académica, con el propósito de asimilar los conceptos y teoría básica de la asignatura; otros relacionados con el ejercicio de la profesión, para motivar la solución de problemas que se presentarán en la vida profesional; y algunos orientados hacia la investigación, a fin de inducir actitudes hacia la búsqueda de nuevos conocimientos que fomenten la creatividad y el trabajo independiente del futuro profesional. En todos los casos es imprescindible la participación activa del estudiante, tanto en las clases como fuera de ellas.
OBJETIVOS GENERALES:
Analizar los conceptos y leyes correspondientes a: la composición y descomposición de fuerzas; la reducción de los sistemas de fuerzas a su expresión más simple; y la determinación de las condiciones de equilibrio de los sistemas de fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido. Todo a través de sus aplicaciones al análisis y diseño de sistemas en equilibrio. Valorar la importancia del conocimiento y comprensión de los conceptos de las ciencias básicas de la ingeniería, para lograr su aplicación a problemas de análisis y diseño de sistemas.
CONTENIDO:
............................................................. ...... 7 UNIDAD 1. FUNDAMENTOS DE LA ESTÁTICA ....................................................... 1.1 Caracterización de la Estática ........................................................................................................... 7 1.2 El papel de la Estática Estátic a en la ingeniería ingenie ría ................................... ................. ................................... ................................... .................................... ..................... ... 10 1.3 Dimensiones y unidades de las magnitudes físicas .................. ............................ ................... .................. .................. .................. ................. ........ 11 1.4 Algebra Al gebra vectorial vector ial ................................. ................ .................................. ................................... ................................... ................................... .................................... ..................... ... 27 1.5 Leyes de la Mecánica Clásica: Leyes de Newton …………………………………………………………………………45 1.6 Conceptos fundamentales de la Estática ................ ......................... .................. ................... ................... .................. .................. .................. ................. ........ 51 1.7 Axiomas de la Estática .................................................................................................................... 54 1.8 Fuerzas y sistemas de fuerzas ......................................................................................................... 56 1.9 Composición y descomposición de fuerzas .......................... ................................... .................. .................. .................. ................... ................... ............ ... 57 1.10 Momento de una fuerza ................................. ................ ................................... ................................... ................................... ................................... ........................ ....... 61
3
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
1.11 Teorema de Varignon o principio de los momentos .................................................................... 63 1.12 Par de fuerzas .............................................................................................................................. 70 1.13 Teorema sobre el traslado paralelo de una fuerza: r educción fuerza - par ................................ 73 1.14 Fuerzas distribuidas ...................................................................................................................... 75 1.15 Reducción de los sistemas de fuerzas: resultantes...................................................................... 77
UNIDAD 2. EQUILIBRIO .................................................................................................... 82 2.1 Definición de equilibrio ................................................................................................................... 82 2.2 Condiciones de equilibrio ............................................................................................................... 82 2.3 Apoyos y sus reacciones ................................................................................................................. 83 2.4 Diagrama de cuerpo libre (DCL) ...................................................................................................... 86 2.5 Formas independientes de las condiciones de equilibrio............................................................... 88 2.6 Sistemas isostáticos e hiperestáticos.............................................................................................. 89 2.7 Solución de problemas de equilibrio .............................................................................................. 89 2.8 Equilibrio de partículas ................................................................................................................... 90 2.9 Equilibrio de cuerpos rígidos .......................................................................................................... 96 2.10 Aplicaciones a estructuras y máquinas ....................................................................................... 114
UNIDAD 3. FRICCIÓN SECA ........................................................................................... 129 3.1 Principios básicos .......................................................................................................................... 129 3.2 Leyes de la fricción seca ................................................................................................................ 130 3.3 Problemas generales ..................................................................................................................... 131 3.4 Problemas especiales: cuñas y bandas ......................................................................................... 135
UNIDAD 4. CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE LAS SECCIONES PLANAS ................................................................................................................................................ 140 4.1 Centro de gravedad, centro de masas y centroides. .................................................................... 140 4.2 Momento estático ........................................................................................................................ 145 4.3 Momento de inercia ..................................................................................................................... 147 4.4 Producto de inercia ....................................................................................................................... 148 4.5 Momento polar de inercia ............................................................................................................ 150 4.6 Ejes principales y momentos principales de inercia ..................................................................... 151 4.7 Características geométricas de los perfiles comerciales de acero…………………………..…………………155
4
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
UNIDAD 5. FUERZAS INTERNAS EN ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS ................. 158 5.1 Método de secciones .................................................................................................................... 158 5.2 Componentes de fuerzas internas. ............................................................................................... 163 5.3 Cálculo de fuerzas internas. .......................................................................................................... 164 5.4 Armaduras..................................................................................................................................... 168 5.5 Vigas: diagramas de fuerzas internas ........................................................................................... 172 5.6 Marcos. ......................................................................................................................................... 184
METODOLOGÍA DIDÁCTICA: Con el propósito de facilitar la adquisición de conocimientos, el profesor, al inicio de cada tema, realizará clases teóricas, donde se hará el análisis de los conceptos y leyes principales. Para desarrollar habilidades en la aplicación de la teoría, el profesor realizará clases prácticas, donde se resolverán problemas representativos de cada tema. Este tipo de clases representarán más del 50% del curso. Durante las clases prácticas se hará énfasis en los aspectos metodológicos para la solución de los problemas y se promoverá la participación activa del estudiante. Con el fin de fomentar el trabajo independiente por parte de los estudiantes, para cada tema el profesor indicará la lectura de material bibliográfico, que permita complementar las clases del curso; asimismo, se asignarán problemas para que sean resueltos por los estudiantes como tareas.
EVALUACIÓN: Evaluaciones frecuentes Cinco exámenes parciales Tareas y trabajos
10% 60% 30%
BIBLIOGRAFÍA: Texto:
Meriam, J. L. and Kraige, L. G. 2012. “Engineering Mechanics”, Vol. 1, Statics, 7th. ed., John Wiley and Sons, Inc., New York, U.S.A.
5
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Consulta:
Beer, F.P.; Johnston, E.R. and Eisenberg R.E. 2010 “Vector Mechanics for Engineers”,
Boresi, A.P. and Richard J. Schmidt. 2001.”Engineering Mechanics”, Vol. 1, Statics.
Vol. 1, Statics 9th ed. SI, McGraw-Hill Book Co. Singapore. BROOKS/COLE, U.S.A.
Hibbeler, R.C. 2010. “Engineering Mechanics” Statics, 12th ed. Prentice-Hall. U.S.A. Soutas-Little, R.W.; Inman, D.J. and Balint, D. S. 2008. “Engineering Mechanics”, Vol. 1. Statics, THOMSON.
6
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
UNIDAD 1. FUNDAMENTOS DE LA ESTÁTICA Objetivo: Desarrollar los métodos y procedimientos para la composición y descomposición de fuerzas, y para la reducción de los sistemas de fuerzas aplicadas a un cuerpo a su expresión más simple, a fin de facilitar la predicción de los efectos de las fuerzas sobre los cuerpos o sistemas.
Temas: 1.1 Caracterización de la Estática 1.2 El papel de la Estática en la ingeniería 1.3 Dimensiones y unidades de las magnitudes físicas 1.4 Algebra vectorial 1.5 Leyes de la Mecánica Clásica: Leyes de Newton 1.6 Conceptos fundamentales de la Estática 1.7 Axiomas de la Estática 1.8 Fuerzas y sistemas de fuerzas 1.9 Composición y descomposición de fuerzas 1.10 Momento de una fuerza 1.11 Teorema de Varignon o principio de los momentos 1.12 Par de fuerzas 1.13 Teorema sobre el traslado paralelo de una fuerza: reducción fuerza - par 1.14 Fuerzas distribuidas 1.15 Reducción de los sistemas de fuerzas: resultantes
1.1 Caracterización de la Estática ¿Cuál es el objeto de la Mecánica? La Estática es parte de la Mecánica, y ésta es una rama de la Física. La Física es la ciencia que estudia los diferentes tipos de movimientos de la materia y sus transformaciones mutuas, así como la estructura y propiedades de las formas concretas de la materia (sólidos, líquidos, gases y campos). La palabra Física es de origen griego y significa naturaleza; como ciencia se inicia con Galileo (1564-1642). La Mecánica es la rama de la Física que estudia las leyes generales del movimiento mecánico (o simplemente el movimiento) de los cuerpos, y establece los métodos generales para la solución de los problemas relacionados con este tipo de movimiento. La palabra Mecánica es de origen griego y significa construcción, máquina o invento; aparece por primera vez en las obras de Aristóteles (384-322 a.C.). 7
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
El movimiento mecánico se refiere a los cambios de posición (desplazamientos) de los cuerpos, unos con respecto a otros, que suceden en el transcurso del tiempo, así como la variación de la posición relativa de las partículas de un mismo cuerpo, es decir, la deformación de este último. El estado de reposo de los cuerpos es un caso especial de movimiento, de cuyo estudio se encarga la parte de la Mecánica denominada Estática.
Problemas fundamentales de la Mecánica como ciencia. 1. El estudio de diferentes movimientos y la generalización de los resultados obtenidos en forma de leyes, con ayuda de las cuales pueda predecirse el carácter del movimiento en cada caso concreto.
Así se han establecido, por ejemplo, las leyes y teoremas de la Dinámica y, en particular, de la Estática. 2. La búsqueda de propiedades generales, propias de cualquier sistema, independientemente de la especie concreta de interacción entre los cuerpos de éste.
Así se han descubierto las leyes de conservación: de la energía, de la cantidad de movimiento y del momento de la cantidad de movimiento.
¿Cuáles son las divisiones o campos de la Mecánica? Como ocurre en toda la Física, la clasificación más general de la Mecánica es como sigue: Velocidad
?
c
?
Mecánica Cuántica Relativista
Mecánica Clásica Relativista
Mecánica Cuántica
MEC NICA CLÁSICA
Cosmología Relativista
c
10-15
10-10
Cosmología
1020
Dimensiones (m)
Se llama Mecánica Clásica, la Mecánica basada en las tres leyes de Newton. Actualmente la Mecánica Clásica es todo un conjunto de asignaturas técnicas, generales y especiales, dedicadas a la investigación del movimiento de los cuerpos sueltos y de sus sistemas, al análisis y diseño de distintas obras de ingeniería, especialmente estructuras, máquinas y procesos. Dependiendo de la naturaleza de los problemas que se examinan, la Mecánica Clásica se divide en: 8
ESTÁTICA
ESTÁTICA
MECÁNICA CLÁSICA
DE CUERPOS RÍGIDOS
DINÁMICA
IRRIGACIÓN
CINEMÁTICA CINÉTICA
MECÁNICA DE MATERIALES
DE CUERPOS DEFORMABLES
TEORÍA DE LA ELASTICIDAD
INCOMPRESIBLES Hidráulica)
DE FLUIDOS COMPRESIBLES Neumática)
¿Qué estudia la Estática? El objetivo de la Estática, como ciencia, es el estudio de las propiedades generales de las fuerzas (como magnitudes físicas vectoriales) y las condiciones de equilibrio de los cuerpos sometidos a la acción de fuerzas.
Problemas generales de la Estática como ciencia. 1. Establecer los métodos para la composición y descomposición de fuerzas y la reducción de los sistemas de fuerzas, aplicadas a un cuerpo, a su expresión más simple. Esto con el propósito de predecir los efectos externos de las fuerzas sobre los cuerpos o sistemas. 2. Determinar las condiciones de equilibrio de los cuerpos, sometidos a la acción de sistemas de fuerzas, y su aplicación al análisis y diseño de sistemas de ingeniería, principalmente máquinas y estructuras en general.
Problema 1/1. La siguiente armadura asimétrica se utiliza en instalaciones para sistemas de captación de energía solar. Las cinco fuerzas verticales se deben al peso de la cubierta y la fuerza de 400 N, perpendicular a la línea ABC, representa el efecto de la presión del viento. Para este sistema formule dos problemas típicos de Estática.
Prob. 1/1 9
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
1.2 El papel de la Estática en la ingeniería ¿Qué actitud se debe asumir al emprender el estudio de la Estática en una carrera de ingeniería? El estudio de cualquier ciencia básica de ingeniería incluye dos aspectos fundamentales, a saber: 1º. El entendimiento de los conceptos y leyes de la asignatura o disciplina. Esto se logra mediante el estudio y análisis de las deducciones teóricas correspondientes. 2º. La aplicación de estos conceptos y principios a situaciones físicas concretas. Esto se logra mediante la solución de problemas.
¿Cuál es el papel de la asignatura de Estática en la carrera de Ingeniería en Irrigación? Todos los conceptos, principios y leyes que se estudian en Estática tienen un significado físico bien definido y ofrecen las siguientes posibilidades de aplicaciones: 1. Aplicaciones básicas o fundamentales: Útiles para comprender y predecir la respuesta de los fenómenos físicos y el funcionamiento o comportamiento de sistemas de ingeniería (máquinas, estructura y procesos). 2. Aplicaciones prácticas o de ingeniería: Importantes para el análisis y diseño de sistemas de ingeniería. 3. Aplicaciones académicas: Necesarias para la asimilación y comprensión de otras asignaturas y disciplinas de ingeniería.
Problema 1/2. La compuerta rectangular AB en un canal de riego puede girar alrededor del eje O. Si el nivel de agua es bajo, la compuerta permanece cerrada; pero cuando el agua alcanza un cierto nivel H , la compuerta gira alrededor del eje en O, y abre el canal. Formular un problema correspondiente a cada una de las aplicaciones anteriores. B
O
H h A
Prob. 1/2
10
α
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Aquí es oportuno precisar la misión de la ingeniería. De acuerdo con la ABET (the Accreditation Board for Engineering and Technology):
Ingeniería es la profesión en la cual el conocimiento de las ciencias matemáticas y naturales – obteniendo a través del estudio, la experiencia y la práctica – se aplica con criterio para desarrollar modos para la utilización económica de los materiales y fuerzas de la naturaleza para el beneficio de la humanidad”. Esto incluye, en particular, el análisis y diseño de estructuras, máquinas y procesos. “La
En otras palabras la ingeniería es la aplicación de la ciencia a los propósitos de la sociedad .
1.3 Dimensiones y unidades de las magnitudes físicas La densidad de un suelo; la viscosidad dinámica de un líquido; la velocidad angular de un elemento de máquina; la conductividad térmica de un material de construcción; la presión de un sistema hidráulico; la energía cinética de un cuerpo en rotación; la fuerza de tracción de un vehículo; la potencia de un motor; la temperatura de un proceso termodinámico; la resistencia eléctrica de un conductor; el momento de inercia de la sección transversal de una viga; el módulo de elasticidad del acero; son algunos ejemplos de magnitudes o cantidades físicas.
¿Qué son o qué representan las magnitudes físicas? Las magnitudes físicas son los conceptos que definen las propiedades de los cuerpos o las características de un proceso, cuyas variaciones siempre han de determinarse cuantitativamente por medio de mediciones , es decir, comparando la magnitud física en cuestión con otra magnitud determinada de la misma especie que se toma como unidad .
A las magnitudes físicas también se les llama cantidades físicas o variables físicas.
¿A qué se llama unidad de una magnitud física? Se llama unidad de medición , o simplemente unidad, de la magnitud física A, a una magnitud física elegida convencionalmente que tiene el mismo sentido físico que dicha magnitud A.
¿Cómo se dividen, para facilitar su manejo, las unidades de las magnitudes físicas? Convencionalmente se dividen en unidades básicas o fundamentales y en unidades derivadas o secundarias. a) Las unidades básicas se establecen de forma arbitraria e independientes unas de otras. Se definen por medio de procesos físicos invariables o mediante prototipos normalizados. Ejemplos de unidades básicas, según el Sistema Internacional de Unidades, son el metro, el segundo y el kilogramo, para la longitud, el tiempo y la masa, respectivamente. 11
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
b) Las unidades derivadas se expresan a través de las fundamentales con ayuda de las leyes físicas o definiciones correspondientes. Ejemplos de unidades derivadas son el newton, el joule y el metro por segundo, para la fuerza, la energía y la velocidad, respectivamente.
¿Qué representa la dimensión de una magnitud física? Se denomina dimensión o fórmula dimensional , de una magnitud física B cualquiera, a la expresión matemática que define la relación existente entre la unidad de medición de esta magnitud, y las unidades fundamentales del sistema dado. Ejemplo. De acuerdo con la segunda ley de Newton, F = ma , las dimensiones de la fuerza son:
[F ] = [m] [a] = [M][LT -2] = MLT -2 Esta es la fórmula dimensional de la fuerza.
Ejemplo. La dimensión de la energía cinética de una partícula, determinada a partir de la ecuación
es igual a [T] = [m] [v2] = [M] [L2T -2] = L2 M T -2
De esta última fórmula, en particular, se deduce que si al medir longitudes se pasa de metros a centímetros y al medir la masa se pasa de kilogramos a gramos, mientras se conserva el segundo como unidad de tiempo, resultará ser que la unidad de energía cinética aumenta en (100)2(1000)=107 veces. Por consiguiente, la dimensión se puede interpretar como una unidad generalizada de medida, es decir, como un código que nos dice cómo cambia el valor numérico de una magnitud física cuando se cambian las unidades fundamentales de medida. Es importante observar que la fórmula dimensional o dimensión de una misma magnitud física puede tener diferente aspecto, según sea la elección de las correlaciones determinantes. Por consiguiente, la dimensión no es una propiedad invariable o intrínseca de la magnitud física dada, sino que depende del procedimiento de construcción del sistema de unidades, como se demuestra en el siguiente ejemplo:
Ejemplo. Dimensiones de la fuerza. Como se sabe, además de la segunda ley de Newton existe la ley de gravitación universal de Newton, . De este modo, si se toma la segunda ley de Newton como correlación determinante para la fuerza, resulta: [F ]= MLT-2
12
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
y, por ello, la constante gravitacional G en la ley de gravitación de Newton no puede ser adimensional:
Por lo tanto:
[G]= M-1L3T-2.
La existencia de dimensiones en la constante gravitacional significa que el valor numérico de ésta depende de la elección de las unidades fundamentales. En efecto,
G = 6.67 x 10-11 N·m2 / kg2 = 6.67 x 10-11 m3·kg-l·s-2 Por otro lado si, en lugar de la segunda ley de Newton, se tomara la ley de gravitación universal de Newton como correlación determinante para la fuerza, resultaría:
[F ] = L-2M2 Con ello, la constante gravitacional G resultaría ser adimensional, es decir, independiente de las unidades fundamentales e igual a cualquier número constante, por ejemplo, a la unidad. En estas condiciones, la segunda ley de Newton adquiriría la forma:
donde la constante de inercia K tendría las dimensiones
[ K ] = ML-3T2 y su valor numérico no necesariamente sería igual a la unidad.
Problema 1/3. Establecer, mediante ejemplos, la relación que existe entre magnitud física, dimensión y unidad. Solución MAGNITUD FÍSICA
Magnitud física Longitud Masa Tiempo Densidad (volumétrica) Velocidad Calor específico
DIMENSIÓN
Dimensiones L M T ML -3 LT -1 L2T-2Θ-1
UNIDAD
Unidades m kg s kg·m-3 m·s-1 J/kg·K 13
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
¿Cómo se clasifican, desde el punto de vista de las dimensiones, las magnitudes físicas? a) Homogéneas: Cuando tienen las mismas dimensiones y el mismo significado físico. Por ejemplo, el trabajo y el calor. b) Homónimas: Cuando tienen igual dimensión, pero diferente significado físico. Por ejemplo, el momento de una fuerza y el trabajo. c) Adimensionales: Cuando sus valores numéricos no dependen del sistema de unidades de medición. Por ejemplo, el coeficiente de fricción.
Si una magnitud física A es adimensional, se escribe [A]= [1].
¿Qué es un sistema de unidades? El conjunto de unidades fundamentales y derivadas, pertenecientes a algún sistema de magnitudes, construido en concordancia con ciertos principios adoptados, forma un sistema de unidades.
Históricamente, en la Mecánica, los sistemas de unidades se dividieron en sistemas absolutos y sistemas gravitacionales. a) Sistemas absolutos: Cuando se consideran como magnitudes fundamentales a la masa (M) , la longitud (L) y el tiempo (T). La fuerza pasa a ser una magnitud física derivada, [F]=MLT -2. b) Sistemas gravitacionales: Cuando se consideran como magnitudes fundamentales a la fuerza (F) , la longitud (L) y el tiempo (T). La masa pasa a ser una magnitud física derivada, [M]=FL -1T 2.
Sistema Internacional de Unidades (SI) ¿Cuál es la estructura y características del Sistema Internacional de Unidades? a) Es un sistema absoluto ampliado. b) Considera siete magnitudes físicas fundamentales. c) Incluye dos magnitudes suplementarias. d) Las dimensiones de las magnitudes derivadas se establecen de manera lógica y coherente, a partir de las correlaciones determinantes. e) Utiliza un conjunto de prefijos para abreviar la escritura de cantidades muy grandes o muy pequeñas. f) Establece un conjunto de reglas “ortográficas” para la escritura de los símbolos y valores numéricos de las magnitudes físicas.
14
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
¿Por qué el SI es un sistema absoluto ampliado? Porque no solamente considera las magnitudes mecánicas (longitud, masa y tiempo); sino también incluye las magnitudes eléctricas, termodinámicas, ópticas y químicas.
¿Cuáles son las siete magnitudes fundamentales del SI? El Sistema Internacional de Unidades, abreviado SI por sus siglas en francés (Le Système International d'Unités), fue adoptado en 1960 por los delegados de la 11a Conferencia General de Pesas y Medidas. Hoy día en el mundo predomina el uso del SI en los ámbitos científicos, ingenieriles, comerciales y educativos. A partir de 1971, durante la 14a Conferencia General de Pesas y Medidas, se establecieron siete magnitudes físicas fundamentales, como base para la estructuración del SI y de aplicación en toda la ciencia y la técnica.
15
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Magnitudes básicas o fundamentales SI: MAGNITUD FÍSICA
DIMENSIÓN
NOMBRE DE LA UNIDAD
SÍMBOLO DE LA UNIDAD
Longitud
L
Metro
m
Masa
M
kilogramo
kg
Tiempo
T
Segundo
s
Intensidad de la corriente eléctrica
I
Ampere
A
Temperatura termodinámica
Θ
Kelvin
K
Intensidad luminosa
J
Candela
cd
N
Mol
mol
Cantidad sustancia
de
DEFINICIÓN DE LA UNIDAD
La longitud de la trayectoria recorrida por la luz en el vacío durante un intervalo de tiempo de 1/299 792 458 s. Adoptado en 1983. Masa igual a la del prototipo internacional guardado en Sévres (Francia). Establecido en 1901. Tiempo igual al de la duración de 9 192 631 770 periodos de radiación correspondiente a la transición entre dos niveles superfinos del estado fundamental del átomo de cesio-133. Adoptado en 1967. La corriente constante que, pasando por dos conductores paralelos rectilíneos, de longitud infinita y área de sección circular despreciable, situados a 1 m de distancia uno de otro en el vacío, produce entre ambos una fuerza igual a 2x10-7 N por cada metro de longitud. Adoptado en 1946. La fracción 1/273.16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua. Adoptado en 1967. La intensidad luminosa en una dirección dada de una fuente que emite radiación monocromática de frecuencia 540x1012 Hz y que tiene una intensidad radiante en esa dirección de 1/683 W por estereorradián. Adoptado en 1979. La cantidad de sustancia que contiene tantas unidades elementales como átomos hay en 0.012 kg de carbono 12. Adoptado en 1971.
¿Cuáles son las dos magnitudes suplementarias del SI? Desde su origen, el SI consideró separar en un grupo especial de magnitudes suplementarias, correspondientes a las magnitudes para el ángulo plano y el ángulo sólido. Esto debido, quizás, a la característica adimensional del ángulo, lo cual significa, simplemente, que su unidad no depende de las magnitudes fundamentales.
16
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Magnitudes suplementarias SI: MAGNITUD FÍSICA
NOMBRE DE LA UNIDAD
DIMENSIÓN
SÍMBOLO DE LA UNIDAD
Ángulo plano
Adimensional
radián
rad
Ángulo sólido
Adimensional
estereorradián
sr
DEFINICIÓN DE LA UNIDAD El ángulo plano entre dos radios de la circunferencia, la longitud del arco entre los cuales es igual al radio. El ángulo sólido con vértice en el centro de una esfera que intercepta, sobre la superficie de la esfera, un área equivalente a la de un cuadrado de lado igual al radio de esta esfera.
Ejemplos de magnitudes derivadas del SI y procedimiento para obtener sus dimensiones y unidades. Las magnitudes derivadas son aquellas cuyas dimensiones se relacionan con las magnitudes fundamentales, mediante correlaciones determinantes (ecuaciones) que expresan leyes físicas o definiciones de las magnitudes correspondientes.
Ejemplos de magnitudes derivadas SI: MAGNITUD FÍSICA Nombre Dimensiones L2 Superficie L3 Volumen LT -1 Velocidad
UNIDAD Símbolo m2 m3 m/s
Aceleración
LT -2
Frecuencia Velocidad angular Aceleración angular
T -1
Nombre de la unidad metro cuadrado metro cúbico metro por segundo metro por segundo al cuadrado hertz
T -1
radián por segundo
rad/s
rad/s = s-1
T -2
rad/s2
rad/s2 = s-2
Densidad
L -3M
Cantidad de movimiento Momento de la cantidad de movimiento Fuerza Momento de una fuerza Impulso de una fuerza
LMT -1
radián por segundo al cuadrado kilogramo por metro cúbico kilogramo metro por segundo
m/s2 Hz
kg/m3 kg·m/s
L2MT -1
kilogramo metro cuadrado por segundo
kg·m2 /s
LMT -2
newton
N
L2MT -2
newton metro
N·m
LMT -1
newton segundo
N·s
17
Observaciones
1N = 1 kg·m/s2
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Ejemplos de magnitudes derivadas SI (continuación): MAGNITUD FÍSICA Nombre Dimensiones Presión, Esfuerzo, L-1MT -2 Módulo de elasticidad Tensión MT -2 superficial Trabajo, L2MT -2 Energía L2MT -3 Potencia Viscosidad L-1MT -1 dinámica Viscosidad L2T -1 cinemática Calor L2T -2Θ -1 específico Cantidad de L2MT -2 calor, Energía interna Capacidad L2MT -2Θ -1 calorífica, Entropía J Flujo luminoso L-2J Iluminación TI Carga eléctrica Potencial L2MT -3I -1 eléctrico
Nombre de la unidad pascal
UNIDAD Símbolo Observaciones 1 Pa = 1 N/m2 Pa
newton por metro
N/m
joule
J
1 J = 1 N·m
watt
W
1 W = 1 J/s
pascal segundo
Pa
s
metro cuadrado por segundo joule por kilogramo kelvin
J kg K
joule
J
joule por kelvin
J/K
lumen lux coulomb
lm lx C
volt
V
m2 /s
Capacitancia
M-1L-2T4I2
faraday
F
Resistencia
ML2T-3I-2
ohm
Ω
1J=1N∙m
1 lx = 1 lm/m2
El análisis de las dimensiones, las unidades correspondientes y, en su caso, la definición de la unidad de las magnitudes físicas derivadas se realiza como en los siguientes problemas.
Problema 1/4. Obtener de las dimensiones y unidades SI de la fuerza. Problema 1/5. Obtener de las dimensiones y unidades SI de la presión. Problema 1/6. Obtener de las dimensiones y unidades SI del trabajo, calor y energía. Problema 1/7. Obtener de las dimensiones y unidades SI de la potencia.
18
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
¿Cuáles son los prefijos adoptados en el SI? Los múltiplos y submúltiplos de las unidades SI son creados añadiendo prefijos a las unidades. El uso de estos prefijos evita el empleo de números muy grandes o muy pequeños.
Prefijos SI: Factor 1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18 10-21 10-24
Prefijo yotta zetta exa peta tera giga mega kilo hecto deca deci centi mili micro nano pico femto atto zepto yocto
Problema 1/8. Demostrar que
Símbolo Y Z E P T G M k h da d c m
Ejemplo
120 GPa 85 MN 10 kW
100 mA
μ
25 μmol
n p f a z y
12 ns
Problema 1/9. Demostrar que
19
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Algunas reglas “ortográficas” para la escritura de las unidades SI: REGLA
EJEMPLO
No
Correcto Pa J kilogramos 12 m 12 metros N· m kg· m newton metro m/s m·s m· s-1 metro por segundo 130 Pa 130 pascales 45° 20°C
1
2
3
Descripción Los símbolos de las unidades deben escribirse en caracteres romanos rectos, no en caracteres oblicuos ni con letras cursivas. En los textos, las unidades se escribirán con palabras a menos que se estén reportando valores numéricos, en cuyo caso pueden usarse palabras o símbolos. El signo de multiplicación para indicar el producto de dos o más unidades debe ser un punto elevado. Cuando la unidad se escribe en palabras, no se requiere del punto. La división se muestra en una unidad compuesta por una diagonal o por multiplicación usando un exponente negativo. Cuando la unidad se escribe en palabras, la diagonal se reemplaza siempre por
“por”.
4
5
6
7
8
9
Siempre debe usarse un espacio entre un número y sus unidades, con la excepción del símbolo de grado (ya sea angular o de temperatura), en donde no se usa un espacio entre el número y el símbolo. Los símbolos de las unidades nunca tendrán puntos finales como parte del símbolo, y no deben pluralizarse para no utilizar la letra s que por otra parte representa al segundo. Por supuesto, un punto puede seguir a una unidad al final de una oración. Cuando se escriben como palabras, las unidades se usarán en singular o plural según el contexto. Cuando se escriben como símbolos, las unidades se usan siempre en singular. Los plurales de otras unidades se forman de la manera acostumbrada. acostumbrada. Cuando se escriben como símbolo, las unidades se anotarán con mayúsculas cuando se derivan del nombre de una persona. Una excepción es el símbolo para litro, que es L, para evitar confusión con el número 1. Cuando se escriben como palabras, las unidades no llevan mayúsculas (excepto al principio de una oración o en un título con sólo mayúsculas). Deben usarse espacios, y no comas para separar los números largos en grupos de tres dígitos, contando desde el punto decimal tanto hacia la derecha como hacia la izquierda. La dificultad en el uso de los espacios puede minimizarse usando prefijos y potencias de 10. Cuando se trata del símbolo de una magnitud que sea el cociente de dos unidades, solamente se debe utilizar un prefijo y éste debe ser colocado en el numerador. Es preferible no usar múltiplos o submúltiplos en el denominador. Una excepción es el kilogramo
que es una unidad básica (la letra “k” no se considera como
10 11
prefijo). En la escritura de los múltiplos y submúltiplos de las unidades, el nombre del prefijo no debe estar separado del nombre de la unidad. Los símbolos para la hora, la hectárea, la tonelada y el gramo son: h, ha, t y g, respectivamente. respectivamente.
20
Incorrecto Pa J
mN Pas metro entre segundo 130Pa 45 ° 20 °C
km kg
km. kgs
1 kilómetro, 20 kilómetros, 7 segundos 5 km, 25 km, 15 s, newtons, watts
56 kms
W N MPa megapascal newton 23 345 765.906
23,345,765.906
kN/m J/kg
N/mm mJ/g
microsegundo
micro segundo
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Aplicaciones de la teoría de las dimensiones de las magnitudes físicas ¿Cuáles son las principales aplicaciones de la teoría de las dimensiones y unidades de las magnitudes físicas? La teoría de las dimensiones y unidades de las magnitudes físicas tiene, entre otras, las siguientes aplicaciones: 1. Obtención de las dimensiones y unidades de las magnitudes físicas. 2. Análisis de la homogeneidad dimensional de las ecuaciones. 3. Conversión de unidades y ecuaciones. 4. Análisis dimensional. En general, si se conocen de antemano las magnitudes físicas que participan en un proceso proc eso bajo estudio, se puede establecer el carácter de la dependencia funcional que relaciona las magnitudes dadas, con base a la comparación de las dimensiones que participan. Para llevar a cabo este análisis se recurre al llamado teorema Π o de Buckingham.
5. Diseño de experimentos que involucran el estudio del comportamiento compor tamiento de un prototipo a través de un modelo y la interpretación de los resultados obtenidos durante dichos experimentos. Aquí son de gran ayuda los números o parámetros adimensionales, a saber: los números de Reynolds, Froude, Strouhal, Mach, Nusselt, Prandtl, Grashof, entre otros.
Obtención de las dimensiones y unidades de las magnitudes físicas. ¿Cuál es el procedimiento para obtener las dimensiones y unidades de una magnitud física? Se presentan dos casos: a) Cuando se trata de magnitudes físicas fundamentales
Como se ha establecido, éstas se definen por sí mismas. En el caso del SI se tienen siete magnitudes físicas fundamentales. b) Cuando se trata de magnitudes físicas derivadas
En este caso se recurre a correlaciones determinantes, es decir, a fórmulas que expresan definiciones o leyes físicas.
Problema 1/10. Obtener las dimensiones y unidades SI del calor específico. Problema 1/11. Obtener las dimensiones y unidades SI de la viscosidad dinámica o simplemente viscocidad. 21
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Análisis de la homogeneidad dimensional de las ecuaciones. ¿En qué principio se basa basa el análisis de la homogeneidad dimensional dimensional de las ecuaciones? Aquí desempeña un papel fundamental el principio de homogeneidad dimensional: Todas las ecuaciones, ya sea que se expresen en forma numérica o simbólica, deben* ser dimensionalmente homogéneas, esto es, las dimensiones de todos los términos en la ecuación deben ser iguales.
El principio de homogeneidad dimensional garantiza que la definición matemática de un fenómeno físico cualquiera, que indique la dependencia funcional entre los valores numéricos de unas magnitudes físicas, sea independiente de las unidades que se elijan para medir dichas magnitudes. * El cumplimiento del principio de homogeneidad dimensional no siempre es evidente, ya que en muchos casos (sobre todo cuando se trata de ecuaciones empíricas) los coeficientes de los términos de las ecuaciones tienen dimensiones (y por lo tanto unidades) implícitas. De este modo, se tienen dos tipos de ecuaciones: a) Ecuaciones dimensionalmente homogéneas: Todos sus términos tienen las mismas dimensiones de manera directa y sus coeficientes no tienen dimensiones. b) Ecuaciones "no dimensionalmente homogéneas”: Todos sus términos no tienen las mismas dimensiones de manera directa y sus coeficientes tienen dimensiones.
La homogeneidad dimensional es una condición necesaria, pero no suficiente, para que una ecuación describa correctamente un fenómeno físico. Una ecuación puede tener las mismas dimensiones en cada uno de sus términos y no tener significado físico alguno, o bien ser incorrecta. Al analizar la homogeneidad dimensional de las ecuaciones, debe observarse que la estructura matemática de una ecuación puede ser algebraica, trascendente, en derivadas (ecuaciones diferenciales) y con integrales. En todos los casos debe cumplirse el principio de homogeneidad dimensional.
a) Ecuaciones algebraicas. En este caso, el análisis de la homogeneidad dimensional se lleva a cabo con base en las reglas del álgebra de los números reales.
22
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 1/12. Analizar la homogeneidad dimensional de la ecuación de Bernoulli para una vena de líquido ideal incompresible:
donde z representa la altura geométrica, p la presión, γ el peso específico, V la velocidad del líquido y g la aceleración de la gravedad.
Problema 1/13. Determinar si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea o no.
donde F es la fuerza, es la viscosidad dinámica, densidad, y es la descarga o gasto volumétrico.
es la velocidad, d es el diámetro,
es la
Problema 1/14. Una ecuación comúnmente utilizada para el cálculo de la velocidad de un flujo uniforme en canales abiertos es la ecuación de Manning:
donde v representa la velocidad del agua (m/s), n es el coeficiente de rugosidad de la superficie del canal (adimensional), R el radio hidráulico de la sección transversal del canal (m) y S la pendiente topográfica del canal (adimensional). Analizar la homogeneidad dimensional de la ecuación de Manning.
√
, Q es un Problema 1/15. En la ecuación dimensionalmente homogénea volumen por unidad de tiempo (gasto), W y h son longitudes. Hallar las dimensiones de a y B.
b) Ecuaciones trascendentes. Una ecuación es de tipo trascendente cuando incluye funciones exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, trigonométricas inversas o sus combinaciones. Desde el punto de vista del análisis de las dimensiones, es necesario considerar que los argumentos de las funciones trascendentes deben ser adimensionales.
√
Problema 1/16. Hallar las dimensiones fundamentales de y, a, b, y c en la siguiente ecuación dimensionalmente homogénea, , en la que A es una longitud y t es el tiempo.
23
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
describe la deformación de un Problema 1/17. En Reología, la ecuación material viscoelástico, de acuerdo con el modelo de Voigt-Kelvin. En este modelo, ε es la deformación lineal (adimensional), E es el módulo de elasticidad del material (fuerza por unidad de área), t es el tiempo y σ 0 es un esfuerzo. ¿Cuáles son las dimensiones y unidades fundamentales de η? E y σ 0 tienen las mismas dimensiones.
c) Ecuaciones diferenciales. Estas son las ecuaciones donde participan derivadas ordinarias o parciales. Al momento de llevar a cabo el análisis de las dimensiones en este tipo de ecuaciones, es importante recordar el significado físico de la derivada como una razón de cambio. Por ejemplo, si , entonces
; si
, entonces
. En general, si
, entonces
Problema 1/18. En la ecuación diferencial
q es una masa por unidad de longitud, a es una masa y t es el tiempo. Hallar las dimensiones fundamentales de x, g y v.
Problema 1/19. Determinar las dimensiones de los coeficientes A y B en la siguiente ecuación diferencial:
donde x es la longitud y t es el tiempo.
Problema 1/20. Un circuito eléctrico simple con inductancia, capacitancia y resistencia está descrito por la ecuación diferencial , donde t denota el tiempo (s), v denota el potencial eléctrico (N·m·s-1·A-1). Para que esta ecuación sea dimensionalmente homogénea, ¿cuáles deben ser las unidades de los coeficientes a y b?
Problema 1/21. En la transferencia de calor se establece la siguiente ecuación diferencial de conducción del calor: donde T es la temperatura, t el tiempo, k la conductividad térmica, c el calor específico, ρ la densidad, y x – y – z son coordenadas. Determine las dimensiones y unidades fundamentales de la conductividad térmica k .
24
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
d) Ecuaciones con integrales. Cuando se analizan las dimensiones de las ecuaciones que contienen integrales, es importante considerar que la integración es un proceso de suma.
Problema 1/22. El momento de inercia de una sección de área A, con respecto a un eje x, se define de la siguiente manera:
donde y es una distancia. ¿Cuáles son las dimensiones del momento de inercia, I x, de un área?
y A x
dA
y O
x
∫ ∫⃗⃗
Problema 1/23. Durante el análisis del principio de conservación de la masa, aparece la siguiente igualdad: En esta expresión ρ es la densidad (volumétrica), t es el tiempo, V es el volumen, es el vector velocidad, es el vector unitario normal (adimensional) y S es el área. Comprobar la homogeneidad dimensional de esta ecuación.
Conversión de unidades y ecuaciones La conversión de unidades y ecuaciones es una necesidad práctica que se puede presentar dentro de un mismo sistema de unidades o al pasar de un sistema de unidades a otro. En ambos casos, el procedimiento se fundamenta en lo siguiente:
25
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
a) El empleo de los factores de conversión, como los siguientes: Longitud 1 pulgada = 2.54 cm 1 pie = 0.304 8 m 1 yarda = 0.9144 m 1 milla = 1.609 km = 1 760 yd 1 angströn = 1 Ǻ = 10-10 m Fuerza 1 kgf = 9.81N 1 lbf = 0.4536 kgf Aceleración g = 9.81 m/s2 = 32.2 pies/s2 Volumen 1 L = 1 000 cm3 1 galón = 3.786 L Ángulo plano 180 1 rad = = 57.296°
Presión 1 bar = 105 Pa 1 atm = 760 mm de Hg = 1.013 bar = 1.033 kgf/cm 2 = 14.7 lbf/pulg2 = 101 325 Pa = 10.332 m de H2O Energía 1 cal = 3.969 x 10-3 Btu = 4.1860 J 1 Btu = 252 cal = 1.054 x 103 J 1 kilowatt-hora = 1 kW·h = (103 W )(3600 s) = 3.60 x 106 J = 3.60 MJ Potencia 1 hp = 550 ft·lb/s = 746 W 1 cv = 736 W 1 W = 1 J/s = 0.738 ft·lb/s = 3.413 Btu/h 1 Btu/h = 0.293 W
Masa 1 000 kg = 1 t (tonelada métrica) 1 slug =14.59 kg 1 lbm = 0.453 6 kg Temperatura T(ºF) = 1.8(ºC)+32 T(ºC) = [T(ºF)-32]/1.8 T(K) = T(ºC)+273.15 T(R) = T(ºF)+459.67 T(R) = 1.8T(K) ΔT(K) = ΔT(ºC) ΔT(R) = ΔT(ºF)
Tiempo 1 h = 3600 s Área 1 ha = 104 m2 1 acre = 404 6.9 m2 Cantidad de sustancia 1 mol = 6.02 x 1023 unidades elementales
26
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
La propiedad de los números reales de que a x 1 = a = 1 x a, donde el 1 debe interpretarse de la siguiente manera: Como se sabe, por ejemplo, 1 pie = 0.3048 m. De aquí resulta:
Generalizando:
o bien
Problema 1/24. Expresar una rapidez de 80 millas por hora (mph) en metros por segundo (m/s). Problema 1/25. Convertir una presión de 14.7 lb/in2 a pascales.
Problema 1/26. Durante el diseño de un invernadero, se tiene el valor numérico de la conductividad térmica de un material de construcción, k = 0.72 . Convertir este valor a unidades correspondientes al sistema inglés, es decir, a
Problema 1/27. La siguiente ecuación permite estimar la presión que ejerce el viento sobre una estructura: p = 0.00256v2, donde v es la velocidad del viento en millas/h y p es la presión correspondiente en lbf/pie2. Convertir esta ecuación de tal modo que p resulte en kPa cuando v se exprese en km/h. Problema 1/28. En ingeniería de conservación de suelos se utiliza la siguiente ecuación para estimar la energía cinética de una lluvia: E = 210 + 89 log I, donde E es la energía cinética de la lluvia en toneladas-metro/hectárea-centímetro, I es la intensidad de la lluvia en cm/h. Convertir esta ecuación de tal modo que E resulte en J/m2·mm cuando I se exprese en mm/h.
1.4 Álgebra vectorial Vectores y escalares. ¿Cuál es la diferencia entre escalares y vectores? La investigación de los fenómenos en las ciencias naturales e ingeniería implica el tratamiento de cantidades de diversa naturaleza matemática: escalares, vectores y tensores. La diferencia entre estas cantidades radica en sus expresiones analíticas y en las leyes de transformación de tales expresiones cuando se pasa de un sistema de coordenadas a otro. Una magnitud escalar (por ejemplo, la masa, el tiempo, la temperatura y la energía) queda definida solamente por su valor numérico (módulo), el cual expresa la relación entre esta magnitud respecto a la unidad de medida elegida. Los escalares son magnitudes físicas que se caracterizan de manera plena mediante un sólo número, acompañado de las unidades correspondientes. 27
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Una magnitud vectorial (por ejemplo, la fuerza, la velocidad, la aceleración, el momento de una fuerza, la cantidad de movimiento y el impulso de una fuerza), además de su valor numérico está definida también por su dirección y sentido en el espacio. Las magnitudes vectoriales se caracterizan mediante el uso de un conjunto de ordenado de números. Los vectores se representan con símbolos como:
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
La magnitud o módulo de un vector, por ejemplo el vector simplemente, F .
, se representa por
o bien,
Tratamiento geométrico de vectores. La base del tratamiento geométrico de las magnitudes vectoriales es la posibilidad de representar un vector mediante un segmento dirigido, así como en la ley del paralelogramo.
1) Representación de un vector mediante un segmento dirigido. Línea de acción (dirección)
Q
Sentido →
F
Punto de aplicación F Magnitud o módulo
A P
2) Ley del paralelogramo. Dos vectores aplicados en un mismo punto pun to tienen un vector resultante aplicado y en ese mismo punto, y representado por la diagonal diago nal del paralelogramo construido sobre estos vectores como lados.
28
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
⃗
⃗ ⃗ ⃗
El vector , equivalente a la diagonal del paralelogramo formado por los vectores llama suma vectorial de los vectores y :
⃗
⃗
y , se
⃗
Es muy importante observar que la ecuación anterior se refiere a una suma vectorial. Por ejemplo, si el vector tiene una magnitud de 100 y el vector de 200, el módulo del vector no necesariamente es igual a 300. En los problemas aplicados, para relacionar los módulos o magnitudes, la ley del paralelogramo se complementa con relaciones trigonométricas trigonométricas basadas en la ley de los cosenos y en la ley de los senos, principalmente. a) Ley de los cosenos: b) Ley de los senos:
N
γ
S
φ
θ
B
M
A
¿Qué tipo de problemas se pueden resolver con ayuda de la ley del paralelogramo?
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
y dos fuerzas aplicadas a un punto P de un cuerpo y la resultante Problema 1/29. Sean de éstas, es decir, a) Por trigonometría, deduzca fórmulas para la magnitud R de y para el ángulo φ, en términos de F 1 , F 2 y θ . b) Verifique el resultado de R, para los casos particulares θ = 0°, 90° y 180°.
F2
R
θ φ P
F1
Prob. 1/28 29
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
⃗
Problema 1/30. Determine las componentes escalares F a y F b de la fuerza de 4 kN a lo largo de los ejes oblicuos a y b. Determine también las proyecciones Pa y Pb de sobre los ejes a y b.
Prob. 1/30
⃗
actúa sobre la estructura triarticulada. Problema 1/31. La fuerza horizontal Determinar las magnitudes de las dos componentes escalares, o simplemente componentes, de dirigidas a lo largo de las barras AB y AC .
F
A
30°
45°
C
B Prob. 1/31
30
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
⃗
Problema 1/32. Determine las componentes n y t de la fuerza ejercida por la barra AB sobre la manivela OA, en términos de la magnitud F y de los ángulos . Evalúe su expresión general para y (a) (b) .
Prob. 1/32
Problema 1/33. Determine las componentes escalares Ra y Rb de la fuerza a lo largo de los ejes no rectangulares a y b. También determine la proyección Pa de sobre el eje a.
Prob.1/33 31
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
⃗
Problema 1/34. Están dados los vectores Hallar
⃗
de tal modo que
|⃗| ⃗
Problema 1/35. Las fuerzas y actúan a lo largo de las líneas OA y OB, respectivamente, y su resultante es una fuerza de magnitud P; si la fuerza , a lo largo de OA, es remplazada por una fuerza 2 a lo largo de OA, la resultante de 2 y es otra vez una fuerza de magnitud P. Encontrar: a) La magnitud de en términos de la magnitud de . b) El ángulo entre OA y OB. c) Los ángulos entre cada una de las resultantes y la línea OA.
Tratamiento analítico de vectores. El tratamiento analítico de vectores se basa en: a) la descomposición de un vector en las direcciones de los ejes x, y, z de un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares; b) la propia ley de paralelogramo. El antecedente del tratamiento analítico es la proyección de un vector sobre un eje.
⃗
Se llama eje a una línea recta, sobre la cual se ha elegido un sentido de referencia positivo. La proyección A x del vector sobre el eje x es una magnitud escalar igual al producto del módulo del vector por el coseno del ángulo θ formado por el sentido del vector y el sentido del eje, es decir: D
B
A
A
θ
φ
θ A 0
B1 a
A x
D1
x'
b
Es claro que A x es una proyección ortogonal de
x'
E
d
⃗
A x
e
x
sobre el eje x.
Problema 1/36. Desarrollar el procedimiento para la descripción analítica de vectores. En particular, establecer lo siguiente: 1) los ángulos directores de un vector; 2) los cosenos directores; 3) las componentes y las proyecciones de un vector según los ejes de coordenadas; 4) la magnitud de un vector en función de sus proyecciones cartesianas; 5) la definición de vector unitario y la forma de obtenerlo; 6) el papel y la estructura del vector unitario; 7) los vectores unitarios de la base, es decir, los vectores que indican la dirección y el sentido de los ejes de coordenadas; y 8) la relación entre vector físico y vector geométrico.
32
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Procedimiento para la descripción analítica de un vector:
⃗
1. Un vector, por ejemplo , puede ser construido a partir del módulo de éste, A, y los ángulos directores , y formados por la línea de acción del vector y los ejes de coordenadas. Estos ángulos definen la dirección de .
⃗
z A z z
γ
→
A
k O
j
y
O
A x
i
A y
β
y
α
x
A xy x
⃗
2. Con base a la ley del paralelogramo y en la trigonometría, las proyecciones A x , A y y A z , sobre los ejes de coordenadas, de resultan ser:
⃗ ⃗ ⃗
………………………...………………(1)
3. Conociendo las proyecciones del vector sobre los ejes de coordenadas, y aplicando el teorema de Pitágoras, se obtiene el módulo del vector :
y como
resulta
……..….(2)
4. A partir de las ecuaciones (1) se determinan los llamados cosenos directores de .
……………………………………....(3)
33
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
5. Elevando las igualdades (3) al cuadrado por miembros y sumándolas, se obtiene el teorema:
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
……………………………….(4)
6. El empleo de vectores unitarios facilita la representación analítica de un vector. El vector, cuya dirección y sentido coincide con los del vector , y cuyo módulo es igual a 1, se llama vector unitario del vector . Este vector se designa, por ejemplo, por el símbolo .
Teorema: El vector
⃗
es un vector unitario en la misma dirección y sentido de .
Resulta claro que el vector unitario es adimensional.
Corolario: Todo vector puede representarse como el producto de su módulo por su vector unitario, es decir, en la forma:
⃗ ̂ ̂
…………………………………………(5)
7. En particular, los vectores unitarios de la base ejes de coordenadas x, y, z, respectivamente:
indican la dirección y sentido de los
i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1).
⃗
⃗ ̂ ⃗ ̂ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ̂ ̂ ( ) ⃗ ⃗
Los vectores se llaman componentes ortogonales del vector en las direcciones de los ejes x, y, z; mientras que los valores numéricos , se llaman proyecciones cartesianas de . Con base en todas estas consideraciones, la expresión (definición) analítica de un vector , es:
…………………..(6)
8. Vector físico y vector geométrico. Considérese el caso de una fuerza (vector físico) no aplicada en el origen de coordenadas. Sean, además, y dos vectores geométricos que se extienden desde el origen de coordenadas a los puntos A = ( x A , y A , z A) y B = ( x B , y B , z B) que pertenecen a la línea de acción de . Sea, también, el vector definido por los puntos A y B, desde A hacia B.
⃗
⃗
B(x , y , z ) B
B
B
r
z
r B
F
n
r A
⃗
O
y x
34
A(x , y , z ) A
A
A
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
De acuerdo con la ley del triángulo:
⃗
⃗⃗ ⃗
⃗ ⃗ ⃗ |⃗⃗⃗⃗| ⃗ ⃗ |⃗ ⃗|
Como los vectores , vector físico, y , vector geométrico, tienen la misma dirección y sentido, comparten el mismo vector unitario :
…………………………….(7)
donde:
y
En estas condiciones:
⃗ ⃗ |⃗⃗⃗⃗|
…………………………………..(8)
⃗ ⃗ ⃗
actúan en el punto A del soporte, dichas fuerzas están Problema 1/37. Las fuerzas especificadas de tres diferentes formas. Determine las componentes escalares en x e y de cada una de las tres fuerzas.
Prob. 1/37
Problema 1/38. La magnitud de la fuerza de tensión en el cable AB es T = 2 kN. Determinar, para los ejes xyz: a) b) c) d)
El vector unitario en la misma dirección y sentido de T ; La expresión vectorial de T ; Los cosenos directos de T ; Los ángulos directores de T . 35
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
e) Las proyecciones de T ; f) Las componentes de T .
Prob.1/38
Problema 1/39. Vector de posición y vector fuerza. El collarín C se desliza sobre una barra recta AB y está unido a un cable atado en el punto D. a) Determinar las coordenadas cartesianas o rectangulares del punto C . b) Si la fuerza de tensión en el cable es de 150 N, escribir las expresiones vectoriales cartesianas para la fuerza que el cable ejerce sobre el punto C y para la fuerza que el cable ejerce sobre el punto D.
Prob. 1/39
36
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
, aplicadas al nudo de Problema 1/40. En la figura se muestran cuatro fuerzas una armadura utilizada en una estructura y contenidas en el mismo plano. Se sabe que F 1=40 kN, F 2=60 kN, F 3= 50 kN y F 4= 30 kN.
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
a) Hallar la magnitud de la resultante de las cuatro fuerzas coplanares . También exprese esta fuerza resultante como un vector y determine sus ángulos directores. b) En el caso de que F 3 y F 4 no se conocieran, determinar el módulo de estas fuerzas que han de aplicarse para que el nudo esté en equilibrio, es decir, para que se cumpla la condición .
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
y F 3
F 4
20° 20°
F 2 40°
x F 1
Prob. 1/40
Problema 1/41. El componente de una grúa industrial que se mueve a lo largo de una viga horizontal, se encuentra bajo la acción de dos fuerzas como se muestra en la figura. Determine la magnitud y dirección de la fuerza , de tal manera que la resultante sea una fuerza vertical de 2500 N. Resuelva por ambos métodos: geométrico y usando los vectores unitarios y .
̂ ̂
Prob. 1/41 37
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Operaciones con vectores. 1) Multiplicación de un vector por un escalar.
⃗ || ⃗
⃗
⃗ ⃗
Definición. Al multiplicar el vector por una magnitud escalar r se obtiene un nuevo vector , cuyo módulo es y cuyo sentido coincide con el sentido del vector cuando r > 0, y es de sentido contrario al vector si r < 0. En particular, al multiplicar el vector por -1, se obtiene el vector . Problema 1/42. Establecer la expresión analítica de la operación de multiplicación de un vector por un escalar. Dar un ejemplo físico donde se aplique la operación de multiplicación de un vector por un escalar. Problema 1/43. Establezca, de forma analítica, las siguientes definiciones: a) igualdad de vectores y b) vector nulo o cero. 2) Adición de vectores Problema 1/44. ¿Cómo se realiza la adición de vectores por el método analítico, y en qué principio se basa la definición de esta operación? Definición. Si
⃗ ( ) ( ) ⃗ ( ) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ̂̂ ̂̂ ⃗ ̂ ̂ y
son vectores, entonces
Si se conocen las proyecciones de los vectores en la forma:
estos vectores pueden expresarse
Entonces, sumando miembro a miembro estas igualdades, se encuentra:
Esto es:
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ̂ ̂ ⃗ ⃗ ̂ ̂ 38
ESTÁTICA donde
y, finalmente,
IRRIGACIÓN
Problema 1/45. En el punto A del siguiente sistema concurren tres fuerzas: el peso P del cilindro de masa m, la tensión T AB en el cable AB y la tensión T AC en el cable AC . Dado que este sistema se encuentra en equilibrio, se cumple que . A partir de esta condición determine las magnitudes de las fuerzas de tensión en ambos cables.
Prob. 1/45
Problema 1/46. Una torre de transmisión OD se mantiene en equilibrio con la ayuda de tres cables. Si la fuerza resultante ejercida por estos cables sobre la torre en D es = -30ĵ kN, determine la magnitud de la fuerza de tensión en cada cable. y D
84 m
42 m B
28 m
21 m
48 m
O C
A
48 m
z
Prob. 1/46 39
84 m
x
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
3) Producto escalar. Problema 1/47. Definir el producto escalar o producto punto de dos vectores, y establecer sus propiedades básicas. ¿Qué problema fundamental se resuelve con ayuda de esta operación? Definición. Se llama producto escalar de dos vectores
⃗
y , , denotado por
⃗
, a una
magnitud escalar igual al producto de los módulos de estos vectores por el coseno del ángulo θ
formado por ellos: A ∙ B = AB cos θ
B ∙ A = B(A cos θ)
A ∙ B = A(B cos θ)
A
A
θ
A
s c o B
θ
θ
O
O
B
B
(a)
(b)
θ
O
A c o os θ s
B (c)
⃗ ⃗ ⃗
Problema 1/48. Demostrar el siguiente teorema: Si los vectores y están dados mediante sus proyecciones según los ejes de coordenadas, es decir, si = (A x , , A y , , A z) y =( B x , B y , B z ), su producto escalar se determina por la ecuación = A x B B x + A y B B y + A z B B z . z
(B x, By, Bz) C
B θ
A
(A x, Ay, Az) y
O
x
Prob. 1/36
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ( ) ( ) ( ) ⃗ ⃗
Problema 1/49. Demostrar el siguiente teorema acerca de las propiedades fundamentales del producto escalar: a) ; b) ; c) ; d)
40
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
Problema 1/50. La principal aplicación del producto escalar es el cálculo de la proyección ortogonal de un vector sobre la dirección y sentido de otro vector , la cual es un escalar definido por la ecuación
. Deducir esta fórmula y dar su
interpretación geométrica y física. ¿Cómo se expresa la proyección como una cantidad vectorial?
⃗
Problema 1/51. Para a = 3 m, b = 6 m, c = 2 m, F = 10 kN, determine la proyección y la componente de a lo largo de DC . También determine determine el ángulo entre las direcciones AB y CD. z D
F
A x
B c
C b
a
y
Prob. 1/51
Problema 1/52. Determinar la proyección sobre la línea BC de la fuerza ejercida sobre la placa rectangular ABCD por el cable AE . El punto E es un punto medio.
E
° 5 2
C 4 0 0 m m
=300 N T =300
B A
Esquema auxiliar Prob. 1/52
41
D m m 0 0 2 1
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
es recta y Problema 1/53. Componente de una fuerza en una dirección particular . La barra tiene un collarín en C . Un cable elástico que tiene una fuerza de tensión de 3 lb se fija entre el collarín y el apoyo D. a) Determinar las componentes de la fuerza del cable en las direcciones paralela y perpendicular a la barra AB. b) Determinar las componentes vectoriales de la fuerza del cable en las direcciones paralela y perpendicular a la barra AB. c) Si el collarín en C es libre de deslizarse sobre la barra AB y se libera del reposo, ¿La fuerza del cable tiende a hacer que el collarín se mueva hacia A o B?
(a)
(b) Prob. 1/53
Nota: En la figura Prob. 1/53 (b) se observa que la fuerza soportada por el cable tiene una componente en la dirección mostrada. La componente de la fuerza del cable en la dirección de se denota y la componente de la fuerza del cable perpendicular a la dirección de se denota por Problema 1/54. Mediante el producto escalar, derivar una fórmula para el ángulo entre dos líneas con cosenos directores dados. Problema 1/55. Describir el procedimiento para determinar, mediante el producto escalar, la proyección de un vector sobre una línea u otro vector con cosenos directores dados. Problema 1/56. Tres puntos tienen coordenadas x- y- z, expresadas en metros, como sigue: A (4, 4, 5), B (-2,-4,3) y C (3,-6,-2). Una fuerza F = 100 kN está aplicada en A y dirigida hacia B. Determinar la expresión vectorial de la componente normal a la dirección AC , , de la fuerza F .
⃗
42
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
⃗
Problema 1/57. Demostrar el siguiente teorema: Dos vectores (perpendiculares) si y sólo si 4) Producto vectorial
⃗ y
son ortogonales
Problema 1/58. Definir el producto vectorial o producto cruz de dos vectores. ¿Cuál es la magnitud, dirección y sentido del resultado de esta operación? Señale las propiedades básicas de esta operación. ¿Qué problema fundamental se resuelve con la ayuda de esta operación?
⃗ ⃗ ⃗
⃗
La operación producto vectorial de dos vectores y , denotada , tuvo su origen en el siguiente problema fundamental: Dados dos vectores y , determinar un tercer vector que éste dirigido perpendicularmente al plano determinado por dichos vectores, es decir, que sea perpendicular al vector y al vector , simultáneamente.
⃗
A x B B
A B x A
⃗ ̂ ̂ ⃗ ( ) ⃗̂̂ ⃗ ̂̂ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ( ) ( ) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
Definición. El producto vectorial de dos vectores definido por:
Problema 1/59. Si
=(A x , A y , A z) y =(B x , B y , B z), es el vector
y
calcular
y
.
Problema 1/60. Demostrar el siguiente teorema acerca de las propiedades fundamentales del producto vectorial: a) ; b) ; c) ; d)
⃗ ⃗ ⃗
Problema 1/61. Demostrar el siguiente teorema: y . Dar una interpretación geométrica a este resultado.
Problema 1/62. Demuestre el siguiente teorema: dos vectores paralelos si y sólo si
43
, donde θ es el ángulo entre
y
, tridimensionales, son
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 1/63. Componentes de fuerza en las direcciones normal y tangencial a un plano . Una casa de 95 Mg de masa está construida sobre una ladera definida por los puntos A, B y C . Para evaluar la posibilidad de falla de la pendiente (deslizamiento), es necesario: a) Determinar las componentes del peso en las direcciones normal y paralela (tangente) a la ladera. b) Determinar las componentes vectoriales del peso en las direcciones normal y paralela (tangente) a la ladera. c) Determinar la distancia mínima del punto a la ladera.
El peso de la casa se descompone en sus componentes que son normal y tangencial a la pendiente , respectivamente.
El peso de la casa es una fuerza vertical que se aplica a la pendiente.
Prob. 1/63
⃗ ( ) ⃗ ( )
Problema 1/64. La operación Demostrar que:
⃗
se llama triple producto escalar de
44
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
1.5 Leyes de la Mecánica Clásica: Leyes de Newton El estudio de las leyes de Newton, que son las leyes fundamentales de la Mecánica Clásica, implica analizar y comprender lo siguiente:
El problema que abordan o el problema a que se refieren. Su enunciado formal, y expresión matemática, si la hay. Sus consecuencias. Sus limitaciones. Sus aplicaciones.
Primera ley de Newton (ley de la inercia): “un punto material libre de toda influencia exterior conserva su estado de reposo o de movimiento rectilíneo y uniforme hasta que las fuerzas aplicadas a él lo obliguen a cambiar de estado”.
Observaciones: a) En la primera ley de Newton, inicialmente, se afirma que el reposo y el movimiento uniforme y rectilíneo de un cuerpo son un mismo estado mecánico del cuerpo. b) La primera ley de Newton establece la condición necesaria y suficiente para el equilibrio de una partícula: “un sistema d e fuerzas aplicado a un punto material (partícula) está en equilibrio si bajo su acción el punto se encuentra en estado de reposo relativo o en movimiento rectilíneo uniforme”
c) El movimiento que realiza un cuerpo en ausencia de fuerzas se llama movimiento por inercia. d) La primera ley de Newton refleja una de las propiedades esenciales de la materia, su inercia: la de encontrarse siempre en movimiento. e) A veces se dice que un cuerpo dotado de movimiento uniforme y rectilíneo se mueve por inercia. Esto no debe entenderse como que el cuerpo se mueve a causa de la inercia; pues para que el cuerpo conserve su estado de movimiento rectilíneo y uniforme no se requiere causa alguna. El movimiento rectilíneo uniforme de un cuerpo (movimiento por inercia) y el reposo, son los estados de todo cuerpo que esté libre de influencias externas o se encuentre sometido a la acción de fuerzas externas tales que la suma de las mismas sea igual a cero. f) La primera ley de Newton se puede enunciar también así: el movimiento por inercia es una propiedad de todos los cuerpos materiales. La inercia de un cuerpo no es la causa de su movimiento, sino una de sus propiedades. La inercia caracteriza la propiedad de los cuerpos materiales de cambiar más rápido o más lentamente la velocidad de su movimiento bajo la acción de las fuerzas aplicadas. 45
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
La medida cuantitativa de la inercia de un cuerpo dado es una magnitud física que se llama masa del cuerpo. En el caso general, el movimiento de un cuerpo no solamente depende de su masa total y de las fuerzas que actúan sobre él; el carácter del movimiento puede depender, además, de las dimensiones geométricas del cuerpo y de la disposición mutua de las partículas que lo forman, es decir, de la distribución de su masa .
g) El sistema de referencia respecto del cual la primera ley de Newton es válida se llama sistema inercial o newtoniano. Con mayor precisión la primera ley de Newton se formula así: Existen tales sistemas de referencia, con relación a los cuales todos los cuerpos que no estén en interacción con otros cuerpos se encuentran en movimiento rectilíneo y uniforme .
Problema 1/65 . Caída de una esfera en un medio viscoso: ley de Stokes. Examinemos la caída de un cuerpo en un medio que opone resistencia, es decir, un líquido o un gas. Sobre tal cuerpo que cae en un líquido o en un gas están aplicadas tres fuerzas: la fuerza de gravedad , la fuerza de empuje de Arquímedes, , y la fuerza de resistencia, . Es natural que, con el tiempo, a medida que crece la velocidad, la aceleración disminuye y llega un momento en que ésta se hace igual a cero. A partir de este momento, el cuerpo se moverá uniformemente. Así, pues, la caída de un cuerpo por un líquido o gas, sólo en la etapa inicial es acelerada; desde cierto momento el cuerpo cae a una velocidad constante, que se denomina estacionaria. Con base en la primera ley de Newton, determinar tal velocidad estacionaria, . Suponer que el cuerpo tiene forma esférica.
Problema 1/66. Un cuerpo, en forma de bloque, de masa m se encuentra sobre un plano inclinado liso que forma con el horizonte un ángulo . Determinar: a) La magnitud de la fuerza paralela al plano, que debe ser aplicada al cuerpo para mantenerlo en reposo.
b) La magnitud de la fuerza paralela al plano, que debe ser aplicada al cuerpo para que éste se mueva uniformemente hacia arriba con una rapidez de 2 m/s. c) ¿Por qué el plano inclinado representa en sí una máquina simple?
Segunda ley de Newton (ley fundamental de la Dinámica): “la aceleración de un punto material es directamente proporcional a la resultante de todas las fuerzas aplicadas a dicho punto e inversamente proporcional a la masa del punto y dirigida a lo largo de la resultante de las fuerzas”.
Analíticamente este enunciado se puede expresar con la siguiente fórmula:
46
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
⃗ ⃗
Observaciones:
…………………………………………………(1)
a) En realidad, la fuerza no es consecuencia de la aceleración, sino, al contrario, la aceleración es un resultado de la fuerza:
⃗(⃗) [⃗] ⃗
⃗⃗
b) El factor de proporcionalidad, k , depende de las unidades en que se miden las magnitudes , y m. Por ejemplo, si , entonces y adimensional. En estas condiciones, la ecuación (1) se puede escribir:
⃗ ⃗ ⃗⃗
………………………………………………………(2)
c) Por comodidad, al resolver los problemas, la segunda ley de Newton (2) se escribe:
……….…………………………………………… (3)
“ La fuerza es igual al producto de la masa del punto por su aceleración” d) Como se indica en el enunciado general de la segunda ley de Newton, el punto puede estar sometido a la acción de varias fuerzas, es decir:
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Por lo que la ecuación (3) tendrá la forma siguiente:
⃗ ⃗ ∑ ⃗ ó
…………………………………(4)
e) La segunda ley de Newton establece la relación entre la fuerza y la aceleración; pero la fuerza y la aceleración son magnitudes físicas vectoriales que se caracterizan no solamente por su valor numérico, sino también por su dirección y sentido. Por ello matemáticamente la segunda ley de Newton expresa una igualdad vectorial. Esto conlleva dos detalles: i.
⃗
Los vectores y están dirigidos por una misma recta y con el mismo sentido. Esto es una consecuencia de la definición de igualdad entre vectores. 47
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
→
R Trayectoria →
a
→
v
M ii.
Dependiendo del problema a resolver, la ecuación vectorial (4) se puede proyectar sobre algún sistema de ejes de coordenadas, para dar un sistema de ecuaciones escalares. Por ejemplo, en el sistema de coordenadas rectangulares cartesianas:
∑ ⃗ ⇒ ⃗ ∑ ⃗ ⇒ ∑∑ ó
f) La segunda ley de Newton establece cómo varía la velocidad del punto bajo la acción de una fuerza cualquiera. En efecto, se llama aceleración del punto a la magnitud física vectorial que caracteriza el cambio con el tiempo del módulo y la dirección de la velocidad del punto. Esto es:
⃗ ⃗ ⃗ ̇
A su vez, el vector velocidad del punto en un instante de tiempo dado es igual a la primera derivada del radio-vector o vector de posición del punto con relación al tiempo:
⃗ ⃗ ⃗ ̇ ⃗ ⃗ ⃗ ̈ ∑⃗ ⃗ ∑⃗ ,
de donde
Con estas consideraciones, la expresión matemática de la segunda ley de Newton representa una ecuación diferencial vectorial: ó , 48
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
la cual, en dependencia de los problemas a resolver, puede dar origen a un sistema de ecuaciones diferenciales escalares. Por ejemplo, en coordenadas cartesianas:
̇ ̈ ∑ ⃗ ∑ ⃗ ⇒ ̇̇ ̈ ∑ { ̈ ∑ g) Se debe subrayar que la dirección y sentido de la aceleración siempre coincide con la dirección y sentido de la fuerza, la cual no necesariamente es la dirección y sentido del movimiento mismo del punto (la dirección y sentido de la velocidad). h) En el enunciado de la segunda ley de Newton se refiere a un cuerpo considerado una partícula o un punto material. Para sistema de partículas y cuerpos rígidos la formulación de la segunda ley de newton requiere ciertas consideraciones. i) Forma general de la segunda ley de Newton: “la derivada de la cantidad de movimiento del punto con relación al tiempo es igual a la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre éste”.
donde
⃗ ⃗
∑⃗ ó ⃗ ∑⃗, se llama cantidad de movimiento del punto.
Así, en forma general, la segunda ley de Newton se formula así:
∑ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗
Cuando varía la masa del cuerpo durante el movimiento es necesario emplear la segunda ley en su forma general (con la cantidad de movimiento) que refleja correctamente los preceptos de la Dinámica para todos los casos de movimiento de un punto material. j)
La segunda ley de Newton, como la primera, se refiere solamente a un sistema inercial de referencia ¿Cómo se formula la segunda ley de Newton para sistemas no inerciales de referencia?
k) De la segunda ley de Newton se ve que la medida de la inercia de un punto material es su masa, porque bajo la acción de una misma fuerza dos puntos materiales diferentes reciben una misma aceleración solamente cuando sus masas son iguales; si las masas son 49
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
diferentes, el punto de mayor masa (es decir, de mayor inercia) recibe menor aceleración y viceversa. l) Problemas de la Dinámica para el punto material . Con ayuda de la ecuación de la segunda ley de Newton se pueden resolver los dos problemas siguientes: i.
Conociendo la ley de movimiento del punto, determinar la fuerza que actúa sobre éste (primer problema de la Dinámica).
ii.
Conociendo las fuerzas que actúan sobre el punto, determinar la ley del movimiento del punto (segundo problema de la Dinámica o problema fundamental).
m) Finalmente, de la segunda ley de Newton se deducen unos corolarios llamados teoremas generales de la Dinámica del punto. Éstos son: i.
El teorema de la variación de la cantidad de movimiento del punto.
ii.
El teorema de la variación de la energía cinética del punto.
iii.
El teorema de la variación del momento de la cantidad de movimiento del punto.
Problema 1/67. Movimiento de un punto lanzado bajo un ángulo con el horizonte. Estudiar el movimiento de un cuerpo lanzado con una velocidad inicial horizonte.
v0
bajo un ángulo θ con el
Tercera ley de Newton (ley de la igualdad de la acción y de la reacción): “dos puntos materiales actúan uno sobre el otro con fuerzas iguales en módulo y dirigidas a lo largo de la recta que une estos puntos, en sentidos opuestos”.
Observaciones: a) La tercera ley de Newton establece el carácter de la interacción mecánica entre los cuerpos materiales.
⃗ ⃗ ⃗
b) Si la fuerza que actúa sobre cierto cuerpo A es aplicada por parte de un segundo cuerpo B, designaremos esta fuerza por . La tercera ley de Newton afirma: si un cuerpo B actúa sobre un cuerpo A con una fuerza , entonces el cuerpo A actúa a su vez sobre el cuerpo B con una fuerza , de valor igual y signo contrario a la fuerza ; ambas fuerzas están dirigidas a lo largo de una misma recta. La tercera ley de Newton refleja el hecho de que una fuerza es el resultado de la interacción de dos cuerpos diferentes.
⃗
c) En las dos primeras leyes de Newton para el análisis de un fenómeno y al determinar el movimiento de un cuerpo se examina únicamente un aspecto de esta interacción. En 50
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
realidad siempre existe interacción y no existe ninguna fuerza sin fuerza de reacción. Por supuesto, los términos acción y reacción son puramente convencionales, cada uno de ellos puede considerarse indistintamente, lo uno o lo otro. d) Formalmente siempre se cumple la siguiente igualdad, independientemente de que los cuerpos A y B estén en reposo o en movimiento:
⃗ ⃗
e) La tercera ley de Newton no dice nada acerca del valor de las fuerzas, y sólo afirma que son iguales en módulo. Es muy importante subrayar que en la tercera ley de Newton se habla de fuerzas aplicadas a diferentes cuerpos. Por ello, físicamente, y no se anulan.
⃗
⃗
Problema 1/68. Dos bloques están en contacto sobre una superficie horizontal sin fricción. Una fuerza horizontal se aplica al bloque mayor como se muestra. (a) Si m 1= 2.3 kg, m2=1.2 kg, y F= 3.2 N, encuentre la magnitud de la fuerza entre los dos bloques. (b) Mostrar que si una fuerza de la misma magnitud F se aplica al bloque más pequeño, pero en sentido opuesto, la magnitud de la fuerza entre los bloques, es 2.1 N, la cual no es el mismo valor calculado en (a).
1.6 Conceptos fundamentales de la Estática La estructura de cualquier disciplina científica incluye conceptos y leyes. Los conceptos son una parte esencial para el desarrollo y la exposición de cualquier ciencia. Representan las ideas y el leguaje comúnmente utilizado para expresarla. 1. El espacio y el tiempo son conceptos primitivos de la Mecánica, en el sentido de que no se les puede dar una definición rigurosa que indique de qué modo dichos conceptos están ligados con las nociones más generales. En los fenómenos físicos se encuentran diferentes magnitudes físicas. Pero en casi todos los fenómenos participan, además de otras, dos magnitudes: longitud y tiempo. La longitud es la medida de la extensión de los cuerpos y el tiempo, la medida de la duración de los procesos y fenómenos. La definición de estas magnitudes está vinculada estrechamente en sentido filosófico con los conceptos del espacio y el tiempo. El espacio y el tiempo son las formas de existencia de la materia. Fuera del tiempo y del espacio no hay materia, no hay fenómenos. 2. Masa y peso. La masa de un cuerpo es una medida cuantitativa de la inercia de éste; mientras que el peso de un cuerpo es la fuerza de atracción gravitacional ejercida por la Tierra sobre el mismo.
51
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
De acuerdo con la segunda ley de Newton la relación que existe entre el peso, P, y la masa, m, es:
Donde P se mide en newtons (N), m se mide en kilogramos (kg) y g es la aceleración debida a la gravedad (m/s2) 3. El cuerpo de cuyas dimensiones se puede prescindir en las condiciones de un problema dado se llama partícula o punto material. 4. Se llama cuerpo rígido a aquel cuerpo en el cual la distancia entre dos de sus puntos cualesquiera permanece invariable, es decir, se supone que no se deforma. Ahora bien, el estado de equilibrio o de movimiento de un cuerpo depende del carácter de sus interacciones mecánicas con otros cuerpos, es decir, de aquellas presiones, atracciones o repulsiones que experimenta dicho cuerpo como resultado de estas interacciones. 5. La magnitud física que es la medida cuantitativa de la interacción mecánica entre los cuerpos materiales se llama, en Mecánica, fuerza. 6. A un conjunto de fuerzas que actúan sobre un cuerpo cualquiera se denomina sistema de fuerzas.
7. A todo cuerpo, no enlazado con otros cuerpos, y que a partir de la posición dada se le puede imprimir o comunicar cualquier desplazamiento en el espacio, se llama cuerpo libre. 8. Si un sistema de fuerzas que actúan sobre un cuerpo libre puede ser sustituido por otro, sin que por esto cambie el estado de reposo o de movimiento del cuerpo, entonces estos dos sistemas son equivalentes.
52
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
9. Todo sistema de fuerzas, bajo cuya acción un cuerpo libre puede encontrarse en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme, se llama sistema equilibrado o equivalente a cero. 10. Si un sistema de fuerzas es equivalente a una sola fuerza, ésta se llama fuerza resultante del sistema de fuerzas en cuestión. De este modo , la resultante es una fuerza que por sí sola reemplaza la acción que el sistema de fuerzas ejerce sobre el cuerpo rígido. 11. Toda fuerza igual a la resultante en módulo, de sentido opuesto a la de la resultante y que actúa a lo largo de la misma línea de acción se llama fuerza equilibrante. 12. Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido pueden dividirse en dos categorías: externas e internas. Las fuerzas que actúan sobre las partículas de un cuerpo por parte de otros cuerpos se llaman externas. Las fuerzas con las cuales las partículas de un mismo cuerpo actúan entre sí se llaman internas. 13. La fuerza aplicada a un cuerpo en un punto se llama fuerza concentrada. Las fuerzas que actúan sobre todos los puntos del volumen o en cierta parte de la superficie del cuerpo se llaman fuerzas distribuidas. 14. Un cuerpo cuyos desplazamientos en el espacio se ven restringidos, sea por encontrarse enlazado con otros cuerpos, sea por encontrarse en contacto con ellos, se llama no libre. 15. Todo lo que restringe los desplazamientos de un cuerpo dado en el espacio se llama apoyo o ligadura. 16. La fuerza con la cual el apoyo dado actúa sobre un cuerpo, restringiendo uno u otro de sus desplazamientos, se llama fuerza de reacción de apoyo o, simplemente, reacción. 17. A las fuerzas que no sean reacciones de ligadura (tales como la fuerza de gravedad) se llaman fuerzas activas. 18. La reacción está dirigida en sentido opuesto a la dirección en que la conexión o apoyo impide el desplazamiento del cuerpo. 19. Un diagrama de cuerpo libre (DCL) es un croquis o esquema de un cuerpo, de una porción de un cuerpo o de dos o más cuerpos interconectados y completamente aislados o libres de otros cuerpos, en donde se representan todas las fuerzas (conocidas y desconocidas) que actúan sobre el cuerpo considerado, a causa de su interacción con los cuerpos que lo circundan.
53
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
1.7 Axiomas de la Estática Todos los teoremas y las ecuaciones de la Estática se deducen de algunas afirmaciones iniciales, que se aceptan sin demostraciones matemáticas, llamadas axiomas o principios de la Estática. El primer axioma define el sistema de fuerzas en equilibrio.
Axioma 1. Un sistema de fuerzas aplicado a un punto material (partícula) está en equilibrio si bajo su acción el punto se encuentra en estado de reposo relativo o en movimiento rectilíneo uniforme. Este axioma es parte del contenido de la primera ley de Newton. El segundo axioma define el sistema de fuerzas en equilibrio más simple, ya que la experiencia muestra que un cuerpo libre sobre el cual actúa una sola fuerza no puede estar en equilibrio.
Axioma 2. Si dos fuerzas actúan sobre un cuerpo rígido libre, éste puede permanecer en equilibrio solamente cuando los módulos de estas fuerzas son iguales (F 1=F 2) y ellas están
dirigidas en sentidos opuestos ( F 1 F 2 ) a lo largo de una misma recta .
El tercer axioma sirve de base para transformar las fuerzas.
Axioma 3. La acción de un sistema de fuerzas sobre un cuerpo rígido no se modificará si se le agrega o se le quita un sistema de fuerzas en equilibrio. Corolario de los axiomas 2 y 3 (Principio de transmisibilidad). La acción de una fuerza sobre un cuerpo rígido, en lo que a efectos externos se refiere, no se modificará si el punto de aplicación de la fuerza se traslada a lo largo de su línea de acción a cualquier otro punto del cuerpo. El cuarto axioma define la regla de composición (suma) de dos fuerzas.
54
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Axioma 4 (Principio o ley del paralelogramo). Dos fuerzas aplicadas a un cuerpo en un punto tienen una resultante aplicada en el mismo punto y representada por la diagonal del paralelogramo construido sobre estas fuerzas como lados.
F 2
R
A
→
F 1
⃗ ⃗ El quinto axioma establece que en la naturaleza no puede existir la acción unilateral de una fuerza.
Axioma 5 (Tercera ley de Newton). Toda acción de un cuerpo sobre otro trae consigo, por parte de este último, una reacción de la misma magnitud, pero en sentido opuesto.
55
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Axioma 6 (Principio de rigidez). El equilibrio de un cuerpo deformable que se encuentra bajo la acción de un sistema de fuerzas, se conserva si este cuerpo se considera solidificado (rígido). El axioma seis puede ser expresado de otra forma: en condiciones de equilibrio, las fuerzas que actúan sobre todo cuerpo deformable satisfacen las mismas condiciones que en el caso de un cuerpo rígido El axioma siete conduce al concepto de diagrama de cuerpo libre (DCL).
Axioma 7. (Axioma de las ligaduras o apoyos). El equilibrio de los cuerpos ligados (no libres), se estudia en la Estática con fundamento en el axioma siguiente: todo cuerpo ligado puede considerarse como libre si se suprimen las ligaduras o apoyos, y se sustituyen sus acciones por las reacciones correspondientes a estos apoyos.
1.8 Fuerzas y sistemas de fuerzas Las magnitudes físicas que se estudian en Mecánica pueden ser divididas en tres categorías: escalares, vectores y tensores. La fuerza es una magnitud vectorial. Su acción sobre un cuerpo se determina por: 1) el valor numérico o módulo de la fuerza, 2) la dirección de la fuerza, 3) el sentido de la fuerza, y 4) el punto de aplicación de la fuerza.
Clasificación de las fuerzas: Existen diferentes criterios de clasificación de las fuerzas o de los sistemas de fuerza, a saber: COLINEALES
SISTEMAS DE FUERZAS
COPLANARES
Concurrentes
Paralelas
Generales
TRIDIMENSIONALES O ESPACIALES
56
Concurrentes
Paralelas
Generales
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
CONCENTRADAS
CLASIFICACIÓN DE LAS FUERZAS
DISTRIBUIDAS
Sobre una línea
Sobre una superficie
Sobre un volumen
ACTIVAS
CLASIFICACIÓN DE LAS FUERZAS
REACTIVAS O DE REACCIÓN
EXTERNAS
CLASIFICACIÓN DE LAS FUERZAS
INTERNAS
Problema 1/69. Dar un ejemplo de sistemas de fuerzas: a) coplanar concurrente; b) coplanar paralelas; c) coplanar general; d) tridimensional paralelas.
1.9 Composición y descomposición de fuerzas La solución de problemas de Mecánica, y en particular de Estática, está relacionada con las operaciones vectoriales de composición (adición) y descomposición de fuerzas. El proceso de combinar (sumar) dos o más fuerzas para obtener una sola fuerza se llama composición de fuerzas. La descomposición de una fuerza en dos o más componentes significa hallar un sistema de fuerzas, cuya resultante sea igual a la fuerza dada. Ambas operaciones pueden realizarse, bien por medio de construcciones geométricas (método geométrico), bien con ayuda de cálculos numéricos (método analítico). La base de ambos métodos es la ley del paralelogramo. 57
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
⃗ ⃗
Método geométrico de composición y descomposición de fuerzas. La suma geométrica de dos fuerzas , se determina según la ley del paralelogramo o construyendo el triángulo de fuerzas (ley del triángulo). La operación inversa, la descomposición de una fuerza, se basa en los mismos principios. Problema 1/70. Los cables AB y AC son atados a la parte superior de una torre de transmisión. La tensión en el cable AB es de 8 kN. Determine la tensión T en el cable AC tal que el efecto neto de las tensiones en los dos cables sea una fuerza aplicada en el punto A con sentido vertical hacia abajo. Determine, además, la magnitud R de esta fuerza vertical.
Prob. 1/70
Problema 1/71. El cable que va de A a B está sometido a una tensión de 30 kN. Descomponer esta tensión que se ejerce en el enganche A en componentes T n y T t , respectivamente normal al puntal y dirigida según él. A
10 m
D
30°
10 m
C
58
10 m
B
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Prob. 1/71 Problema 1/72. Una placa de acero está sujeta a las dos fuerzas mostradas. Reemplace estas fuerzas por dos fuerzas equivalentes, F x en la dirección x y F a en la dirección a. Determinar las magnitudes de F x y F a. Resolver por dos métodos: a) Método geométrico, y b) Método analítico.
Prob. 1/72
Generalizando, la suma vectorial de todo sistema de fuerzas se determina, ya sea mediante la composición sucesiva de las fuerzas del sistema, según la ley del paralelogramo, o formando el polígono de fuerzas (polígono vectorial).
Una magnitud, , igual a la suma vectorial de las fuerzas de un sistema, se llama vector principal de este sistema de fuerzas.
⃗ ⃗ ⃗ ∑ ⃗
Problema 1/73. Determinar la magnitud R de la resultante de las cuatro fuerzas aplicada al punto que define la dirección de R a partir del eje x. Resolver este O. Calcular, también, el ángulo problema por el método geométrico de tres maneras diferentes: a) b) c)
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
59
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
y F 2=400 N
F 3=400 N
Q:(x,y) 300 N
400 N
90°
F 1=800 N
45° O
R
90°
θ
O
F 4=300 N
y
y
R
300 N
x
800 N
800 N
Q:(x,y)
O
400 N
400 N
θ
R
400 N x
O
θ
300 N
Q:(x,y)
400 N
x
800 N 400 N
Prob. 1/73
Método analítico de composición y descomposición de fuerzas. La definición (representación o expresión) analítica de una fuerza se basa en: a) la elección de un sistema de coordenadas; b) la ley del paralelogramo; y c) la proyección de una fuerza sobre un eje. En algunos casos, para determinar la proyección de una fuerza sobre un eje, primero se determina la proyección sobre el plano en que se encuentra este eje y, luego, proyectar sobre el eje dado la proyección hallada sobre el plano.
60
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
z A z →
A
A x
x
A y
φ
O
y
A xy
θ
1.10 Momento de una fuerza La experiencia indica que un cuerpo sometido a la acción de una fuerza, además de la tendencia a trasladarse, puede girar alrededor de un centro o punto. El efecto de rotación de una fuerza se caracteriza por su momento. El momento de una fuerza puede referirse con respecto a un punto o centro y con respecto a un eje.
Momento de una fuerza con respecto a un punto o centro.
⃗
Sea una fuerza aplicada a un punto A de un cuerpo rígido. Supongamos que esta fuerza trata de hacer girar al cuerpo alrededor del centro O. La perpendicular d , trazada del centro O a la línea de acción de la fuerza , se llama brazo de la fuerza respecto del centro O.
⃗
⃗
⃗ ⃗ (⃗)
Entonces, como una medida cuantitativa del efecto de rotación, el momento de la fuerza se define del modo siguiente: se llama momento de la fuerza respecto del centro O, a la magnitud que es igual al producto, tomado con el signo correspondiente, del módulo de la fuerza por la longitud del brazo. El momento de la fuerza respecto del centro O será designado por el símbolo . Por consiguiente:
(⃗)
61
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
F A d 90°
90°
O
A
d F
O M 0 (F)=-Fd
M 0 (F)=+Fd
Momento de una fuerza respecto de un punto como vector
⃗
El momento de la fuerza respecto del centro O, como característica del efecto de rotación de esta fuerza, se define por tres elementos: 1) el módulo del momento, que es igual al módulo de la fuerza por su brazo, Fd ; 2) el plano de rotación OAB, que pasa por la línea de acción de la fuerza y por el centro O ; 3) el sentido de rotación en este plano.
⃗
z
B
→
Mo
→
F
A →
r O
y
d
x
⃗
⃗
Teorema. El momento de la fuerza respecto del centro O equivale al producto vectorial del radio-vector , que une el centro O con cualquier punto A perteneciente a la línea de acción de la fuerza, por la propia fuerza.
̂ ̂ (⃗)⃗ ⃗
Momento de una fuerza con respecto a un eje
El momento de una fuerza respecto de un eje caracteriza el efecto de rotación, producido por esta fuerza, que trata de hacer girar el cuerpo alrededor del eje dado.
62
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Consideremos un eje λ , cuya dirección y sentido están definidos por el vector unitario , el momento de la fuerza aplicada en el punto A, con respecto al eje λ es el siguiente vector:
⃗ [(⃗⃗)] ( )
Problema 1/74. Demostrar el siguiente teorema: 1) si la fuerza es paralela al eje, su momento respecto a éste equivale a cero; 2) si la línea de acción de la fuerza corta el eje, su momento respecto de éste equivale también a cero. Uniendo ambos casos se concluye que el momento de una fuerza respecto de un eje equivale a cero si la fuerza y el eje se encuentran en un mismo plano. 3) Si la fuerza es perpendicular al eje, su momento respecto de este eje equivale al producto módulo de la fuerza por la distancia entre la fuerza y el eje. ¿Qué relación existe entre el momento de una fuerza respecto de un punto y de un eje?
⃗
Problema 1/75. Demostrar el siguiente teorema: el momento de la fuerza respecto de un eje es igual a la proyección sobre este eje, del vector que representa el momento de la fuerza respecto de un punto cualquiera dispuesto sobre dicho eje .
1.11 Teorema de Varignon o principio de los momentos Si un sistema de fuerzas posee una resultante, el momento de esta resultante respecto a cualquier punto o eje es igual a la suma algebraica de los momentos de las fuerzas componentes respecto del mismo punto o eje.
F 1
F 2
O r
A
Así, para un punto O:
∑ ⃗ 63
F 3
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 1/76. Calcular el momento de la fuerza de 90 N con respecto al punto O para la condición
. Determinar, también, el valor de
punto O es: a) cero; b) máximo.
para el cual el momento con respecto al
Prob. 1/76
Problema 1/77. La tensión T en el cable AB tiene una magnitud de 24 kN. Calcular el momento de esta fuerza con respecto a cada uno de los ejes de coordenadas que pasan por la base O de la estructura de la grúa.
Prob. 1/77 64
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 1/78. La tensión en el cable AB es de 100 N. Determine el momento alrededor del punto O de dicha tensión aplicada en el punto A de la barra en forma de T . La dimensión b es de 600 mm.
Prob. 1/78
Problema 1/79. La porción del clasificador mecánico de pequeños discos metálicos de acero y de cobre funciona como se menciona a continuación: Los discos descienden a través de la rampa inclinada 20°, la última parte en forma triangular pivotea libremente alrededor del eje horizontal a través del punto O. Los discos de acero son lo suficientemente ligeros (2.28 gramos cada uno) para mantener en reposo la porción triangular y de esta forma los discos de acero puedan rodar y llegar hasta la columna de colección de la derecha. Los discos de cobre, por otro lado, son lo suficientemente pesados (3.06 gramos cada uno) para hacer que la porción triangular gire en torno a O en sentido horario, y así los discos de cobre rueden y se depositen en la columna de colección de la izquierda. Determine el momento alrededor del punto O del peso de los discos de cobre en términos de la distancia inclinada s en milímetros.
Discos de bronce
Prob.1/79 65
Discos de acero
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 1/80. Una cuerda pasa sobre una polea ideal como se muestra en la figura, carga un cajón de peso G y es sostenida en el punto C . El radio de la polea debe despreciarse. Determinar el momento resultante de las fuerzas en la cuerda alrededor del punto A
Esquema auxiliar Prob. 1/80
Problema 1/81. Un bloque rectangular con medidas fuerzas, desde a , como se muestra en la figura. Calcular la resultante , los momentos resultantes los puntos y . Asumir que
Prob. 1/81 66
y en sus aristas, está sometido a seis
y
y sus magnitudes con respecto a
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 1/82. Hallar los momentos de las fuerzas P y Q, aplicadas a la placa horizontal representada, respecto de los ejes de coordenadas. z
b
O a
Q
B y
α
C
A
x
P
Prob. 1/82
Problema 1/83. La fuerza de 120 N es aplicada como se muestra en la figura a uno de los extremos de la llave curveada, calcular: a) El momento de F respecto del centro O del tornillo, si α = 30°. b) El valor de α que maximiza el momento de F respecto de O. 120 N α A
25 70 150
70 O
25
(Dim. en mm)
Esquema auxiliar Prob. 1/83
67
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 1/84. En el mecanismo de biela y manivela representado, la biela AB de longitud l soporta una fuerza de compresión variable C . Deducir una expresión del momento de C respecto al eje de la manivela O en función de C , r , l y el ángulo variable θ .
B l
r O
θ
C
A
Prob. 1/84
de la manivela OA, del mecanismo de biela y Problema 1/85. Para la posición angular manivela mostrado, la presión de los gases sobre el pistón induce una fuerza de compresión P a lo largo de la biela AB. Si esta fuerza produce un momento de 720 N∙m con respecto al punto O, calcular la magnitud de P. B
α
m 3 . 0
P
O
5 m 2 0. 1
60°
A
C
Esquema auxiliar Prob. 1/85
68
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 1/86. Al introducir una pieza cilíndrica en el orificio cilíndrico, el robot ejerce sobre la pieza D la fuerza de 90 N que se indica. Determinar los momentos respecto a los puntos A, B y C de la fuerza ejercida sobre el robot.
C´
B A´ m 5 5 . 0
E´ 15°
0 . 4 5 m 45°
60°
E C
A
Esquema auxiliar Prob. 1/86
Problema 1/87. Si la magnitud de la tensión T 1 es igual a 1200 N, y está aplicada en el punto C, es decir, con sentido de C hacia E, determinar el momento de esta fuerza respecto al eje AD. Indicar este momento en forma escalar, y luego expresarlo como un vector.
Prob. 1/87 69
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
1.12 Par de fuerzas Se llama par de fuerzas, o simplemente par, a un sistema de dos fuerzas paralelas, no colineales, de módulos iguales y de sentidos opuestos, aplicadas a un cuerpo rígido. →
d
-F
B A
→
F
El plano que pasa a través de las líneas de acción de las fuerzas de un par, se llama plano de acción del par. La distancia d entre las líneas de acción de las fuerzas del par, se denomina brazo del par. La acción de un par de fuerzas sobre un cuerpo rígido se reduce a un efecto de rotación, que depende de los factores siguientes: 1) El módulo F de las fuerzas del par. 2) La magnitud del brazo del par. 3) La orientación del plano de acción del par. 4) El sentido de giro en este plano.
Definición. Se llama momento de un par a la magnitud igual al producto, tomado con el signo correspondiente, del módulo de una de las fuerzas del par por su brazo .
⃗⃗
Teorema. La suma vectorial de los momentos de las fuerzas que constituyen un par, respecto de cualquier centro o punto, no depende de la posición del centro y es igual al momento del par.
70
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 1/88. Las dos fuerzas que actúan sobre los mangos de las llaves Stillson constituyen un par. Calcular el momento de este par. Expresar el resultado en forma escalar y como un vector.
Prob. 1/88
71
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 1/89. Durante la rotación uniforme de un volante, una persona ejerce las fuerzas mostradas sobre él. Note que cada fuerza consiste de una componente tangencial y una componente radial hacia adentro. Determine el momento ejercido alrededor del eje del volante en O.
Prob. 1/89
Problema 1/90. Un marco está sujeto a la acción de dos fuerzas de 250 N como se muestra en la figura. Si se desea reemplazar esas fuerzas por un sistema que contiene la fuerza de 200 N aplicada en A y una segunda fuerza aplicada en B. Determinar la coordenada y de B.
Prob. 1/90 72
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
1.13 Teorema sobre el traslado paralelo de una fuerza: reducción fuerza-par. La resultante de un sistema de fuerzas concurrentes se halla directamente con ayuda del axioma del paralelogramo de fuerzas. Para un sistema de fuerzas arbitrario, se aplica el método basado en el siguiente teorema: una fuerza aplicada a un cuerpo rígido puede ser reemplazada paralelamente a sí misma, sin que cambie su acción sobre éste, a cualquier punto del cuerpo, añadiendo al mismo tiempo un par de momento igual al momento de la fuerza que se reemplaza respecto a su nuevo punto de aplicación .
Problema 1/91. Reemplazar las dos fuerzas y el par que actúan sobre el elemento estructural de acero por un sistema equivalente fuerza-par en A.
Prob. 1/91
73
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 1/92. Reemplazar las dos fuerzas y el par mostrados, por un sistema equivalente fuerza – par aplicado en el punto A.
Prob. 1/92
Problema 1/93 La fuerza horizontal de 50 N es aplicada sobre el mecanismo que acciona una válvula industrial como se muestra. La fuerza es perpendicular al plano vertical que contiene la línea OA sobre el mecanismo. Determine el sistema fuerza – par equivalente en el punto O.
Prob. 1/93 74
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 1/94. El soporte de la polea resiste, tal como se muestra, las dos tensiones de 800 N del cable y se sujeta a la columna de acero mediante la placa y los pernos en A y B. Reemplazar las dos fuerzas por una fuerza y un par equivalentes, con la fuerza equidistante de ambos pernos. A continuación redistribuir esa fuerza y ese par sustituyendo cada uno por una fuerza en A y una fuerza en B. Combinar los efectos y hallar la fuerza de tracción o compresión que soporta cada perno. 380 mm
m m 0 5 1
800 N
160 mm
B
800 N
m m 0 2 3
A
Prob. 1/94
1.14 Fuerzas distribuidas - Sobre una línea [N/m] FUERZAS DISTRIBUIDAS
- Sobre una superficie [N/m2]
- Sobre un volumen [N/m3]
Consideremos las fuerzas distribuidas coplanares, en particular aquellas fuerzas distribuidas sobre un segmento de línea recta, tal como una viga. Un sistema plano de fuerzas distribuidas se caracteriza por su intensidad w , es decir, la magnitud de la fuerza en la unidad de longitud del segmento cargado: N/ m. 75
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
El problema de la estática de las fuerzas distribuidas consiste en: 1) Determinar la magnitud de la resultante de la fuerza distribuida, que es una fuerza concentrada. 2) Determinar la localización de esta fuerza resultante.
Problema 1/95. Determinar la resultante de la siguiente carga distribuida, y localizarla a partir del punto A.
Prob. 1/95
Problema 1/96. Determinar la resultante de la siguiente carga distribuida, y localizarla a partir del punto A.
1/96
76
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 1/97. Determinar la resultante del siguiente sistema de cargas distribuidas, y localizarla a partir del punto A. w =w0+kx
2
1.6 kN/m
x
0.8 kN/m
0.8 kN/m
0.6 kN/m
w
A
B
4m
3m
3m
Prob. 1/97
1.15 Reducción de los sistemas de fuerzas: resultantes El problema de la teoría de la resultante de un sistema de fuerzas consiste en lo siguiente: a) Determinar el tipo de resultante y su valor. Es decir, si se trata sólo de una fuerza, sólo de un momento o bien de una fuerza y un momento. b) Determinar la localización de la resultante. Es decir, indicar un punto por donde pasa la línea de acción de la resultante. La solución de este problema se fundamenta en el siguiente teorema, que es una generalización del teorema sobre el traslado paralelo de una fuerza (reducción fuerza-par).
Consideremos un sistema de fuerzas arbitrario, aplicado sobre un cuerpo rígido. La magnitud , que equivale a la suma vectorial de todas las fuerzas del sistema, se llama vector principal del , que equivale a la suma de los momentos de todas las fuerzas del sistema; la magnitud sistema respecto del centro O, se llama momento principal del sistema respecto del centro O:
R
M O
F i
M O ( F i )
Teorema Cualquier sistema de fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido al ser reducido a un centro arbitrario O, se sustituye por una sola fuerza equivalente al vector principal del
77
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
sistema, aplicada en el centro de reducción O y a un par de momento momento principal del sistema respecto del centro O .
equivalente al
Cabe señalar que, en general, la fuerza no es la resultante del sistema, pues ella sola no sustituye al sistema, sino que lo hace junto con el par.
Casos de resultantes: Caso 1.
y
. El sistema se encuentra en equilibrio.
, pero Caso 2. precisamente, .
. El sistema se reduce a un par de fuerzas, cuyo momento es,
En este caso, el momento no depende de la elección del centro O. Un cuerpo libre, bajo la acción de tal sistema de fuerzas, puede (pero no siempre) efectuar un movimiento de rotación pura.
Caso 3.
, pero
. El sistema se reduce a la resultante
que pasa por el centro O.
Un cuerpo libre, sometido a la acción de tal sistema de fuerzas puede efectuar un movimiento de traslación pura (si la resultante pasa por el centro de masa del cuerpo).
Caso 4. →
y
; pero
. El sistema se reduce también a una sola resultante igual
a R , pero que no pasa por el centro O.
Caso 5. la fuerza
y ; pero el vector es paralelo a . El sistema se reduce al conjunto de aplicada en O, y del par de momento , que se encuentra en un plano perpendicular 78
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
a . Tal resultante, de una fuerza y de un par, se llama tornillo dinámico, torsor o reducción canónica, y la recta, a lo largo de la cual están dirigidos los vectores y , se llama eje central.
; pero los vectores y no son paralelos ni perpendiculares. El Caso 6. y sistema de fuerzas se reduce también a un torsor, pero el eje de este torsor no pasará por el centro O.
Problema 1/98. Determine la resultante de las cuatro fuerzas y el par que actúan sobre la placa de acero mostrada. Determinar el punto sobre el eje x por donde pasa la línea de acción de dicha resultante.
Prob. 1/98
Problema 1/99. Las resultantes P = 8 000 tf y F = 5 200 tf de las fuerzas de presión del agua sobre la presa están aplicadas en el plano vertical perpendicularmente a las caras correspondientes, a las distancias H = 4 m y h = 2.4 m de la base, respectivamente. El peso G1 = 12 000 tf de la parte rectangular de la presa está aplicado en su centro de gravedad, el peso G2 = 6 000 tf de la parte triangular está aplicado a la distancia de una tercera parte de la longitud de la base inferior de la sección triangular a partir de la cara vertical de esta sección. El ancho de la presa en su base es b =10 m, en su parte superior es a = 5 m;
79
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Determinar la resultante de las fuerzas de reacción distribuidas del terreno, sobre el cual está construida la presa. Encuentre el valor de x del punto de intersección de la resultante con la base b de la presa. y
a
α
G1 P
G 2
F
H
h
x
b
Prob. 1/99
Problema 1/100. Una losa de cimentación de concreto soporta seis fuerzas verticales paralelas. Hallar el módulo y punto de aplicación de la resultante de estas seis fuerzas.
40 kN 48 kN 32 kN 64 kN
72 kN
56 kN
x 2.4 3.6 2.8 3.2
2.8 2
Acotaciones en metros Prob. 1/100 80
y
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 1/101. Determinar la fuerza resultante de las dos cargas distribuidas, y especificar la distancia al punto donde la línea de acción de dicha resultante interseca la barra BC, medida desde C . 200 N/m 100 N/m B
C
6m 5m
200 N/m
A
Prob. 1/101
Problema 1/102. Determinar el momento M si la resultante de éste y las dos fuerzas pasa por el punto O.
Prob. 1/102
81
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
UNIDAD 2. EQUILIBRIO Objetivo Derivar las condiciones de equilibrio de los cuerpos, sometidos a la acción de sistemas de fuerzas, y su aplicación al análisis y diseño de sistemas en equilibrio.
Temas: 2.1 Definición de equilibrio. 2.2 Condiciones de equilibrio. 2.3 Apoyos y sus reacciones. 2.4 Diagrama de cuerpo libre. 2.5 Formas independientes de las condiciones de equilibrio. 2.6 Sistemas isostáticos e hiperestáticos. 2.7 Solución de problemas de equilibrio. 2.8 Equilibrio de partículas. 2.9 Equilibrio de cuerpos rígidos. 2.10 Aplicaciones a estructuras y máquinas.
2.1 Definición de equilibrio De acuerdo con la primera ley de Newton, un sistema de fuerzas aplicado a un punto material (partícula) está en equilibrio si bajo su acción el punto se encuentra en estado de reposo relativo o en movimiento rectilíneo uniforme .
2.2 Condiciones de equilibrio Las condiciones de equilibrio son las ecuaciones necesarias y suficientes para que un cuerpo o sistema mecánico se encuentre en estado de equilibrio. Estas ecuaciones se deducen de la segunda ley de Newton:
∑ ⃗
y
∑
.
La primera ecuación garantiza que el cuerpo o sistema esté en equilibrio traslacional , la segunda en equilibrio rotacional . 82
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 2/1. Las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de un cuerpo rígido son: 1) La suma de todas las fuerzas externas aplicadas al cuerpo debe ser nula:
∑ ⃗ ∑
(1)
2) El momento resultante de las fuerzas externas con relación a cualquier punto debe ser nulo: (2)
Demostrar el siguiente teorema: cuando la condición (1) se cumple, de la igualdad a cero de la suma de los momentos para un punto cualesquiera O se sigue la igualdad a cero de la suma de los momentos respecto de cualquier otro punto Q. ¿Cómo se interpreta este resultado?
2.3 Apoyos y sus reacciones Todo lo que restringe los desplazamientos de un cuerpo dado en el espacio se llama apoyo o ligadura. La fuerza con la cual el apoyo dado actúa sobre un cuerpo, restringiendo uno u otro de sus desplazamientos, se llama fuerza de reacción de apoyo o, simplemente, reacción.
Principales apoyos: 1) Superficie lisa
2) Superficie rugosa
83
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
3) Cable flexible, cadena, cuerda o hilo
4) Resorte elástico lineal
5) Rodillo
6) Articulación o pasador
84
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
7) Empotramiento o apoyo fijo
8) Rótula o articulación en tres dimensiones
9) Empotramiento en tres dimensiones
85
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
2.4 Diagrama de cuerpo libre Un diagrama de cuerpo libre (DCL) es un croquis o esquema de un cuerpo, de una porción de un cuerpo o de dos o más cuerpos interconectados y completamente aislados o libres de otros cuerpos, en donde se representan todas las fuerzas (conocidas y desconocidas) que actúan sobre el cuerpo considerado, a causa de su interacción con los cuerpos que lo circundan. Un diagrama de cuerpo libre posee tres características esenciales: (1) es un diagrama o croquis del cuerpo; (2) el cuerpo se representa separado completamente de otros cuerpos incluyendo los apoyos; (3) la acción que le ejerce un cuerpo que se retiró durante el proceso de aislamiento se representa en el diagrama como una o varias fuerzas de reacción. En el diagrama de cuerpo libre debe indicarse completamente cada fuerza, con su magnitud, dirección y sentido si ésta es conocida o con una letra en caso contrario. Cuando el sentido de una fuerza desconocida no sea evidente, puede suponerse y corregirse posteriormente si el supuesto inicial resulta incorrecto.
Problema 2/2. Trazar los diagramas de cuerpo libre, asociados a los siguientes sistemas: a) Armadura plana P1=15 kN B
C P2=5 kN
4m
A
E
3m
3m
Prob. 2/2 (a)
86
D
F
3m
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
b) Estructura plana
600 N 0.2 m C
0.2 m E B
D
0.2 m A
0.2 m Prob. 2/2 (b)
c) Viga empotrada de masa m
Prob. 2/2 (c)
87
0.2 m
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
2.5 Formas independientes de las condiciones de equilibrio
∑ ⃗ ∑
Las condiciones generales de equilibrio y , son ecuaciones vectoriales, que, dependiendo del sistema de fuerzas que resulte en el diagrama de cuerpo libre, dan origen a un número de ecuaciones escalares independientes de equilibrio.
Ejemplos de ecuaciones independientes de equilibrio. Sistema de fuerzas
Número de ecuaciones de equilibrio independientes
Sistema tridimensional general
6
Notación de las ecuaciones de equilibrio
∑ ∑ ∑ ∑ (⃗) ∑ (⃗) ∑ ⃗ ∑ ∑ ∑ ⃗ ∑ (⃗)∑ (⃗) ∑ ⃗ ∑ (⃗)∑ (⃗) ∑ ∑ ∑ (⃗) ∑ (⃗) ∑ ∑ ∑ (⃗) ∑ (⃗) ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ , o bien
1.
,
2.
Sistema coplanar general
3
si los puntos A, B y C no se hallan en una misma recta, o bien
, si el
3.
eje x no es perpendicular a la recta AB .
Sistema tridimensional paralelo
3
, si los ejes x e y se sitúan en el plano perpendicular a las fuerzas. 1.
Sistema coplanar paralelo
2
Sistema tridimensional concurrente
3
Sistema coplanar concurrente
2
2.
, o bien
, si los puntos A y B no están sobre la recta paralela a las fuerzas dadas.
88
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
En particular, es importante identificar las condiciones de equilibrio de un cuerpo o miembro de dos y tres fuerzas.
a) Miembro de dos fuerzas: de acuerdo con el segundo axioma de la Estática, si dos fuerzas actúan sobre un cuerpo rígido libre, éste puede permanecer en equilibrio solamente cuando los módulos de estas fuerzas son iguales y ellas están dirigidas en sentidos opuestos a lo largo de una misma recta .
⃗ ⃗
b) Miembro de tres fuerzas (teorema de las tres fuerzas). Si un cuerpo rígido libre se encuentra en equilibrio bajo la acción de tres fuerzas coplanares no paralelas, la línea de acción de éstas se interceptan en un punto .
2.6 Sistemas isostáticos e hiperestáticos Durante la resolución de problemas de equilibrio de un cuerpo rígido no libre (apoyado), las reacciones de los apoyos aplicadas a él son magnitudes previamente desconocidas. El número de estas incógnitas depende de la cantidad y del carácter de los apoyos introducidos. El problema correspondiente de la Estática se puede resolver solamente cuando el número de reacciones desconocidas no sea mayor que la cantidad de ecuaciones independientes de equilibrio disponibles. Tales problemas se llaman estáticamente determinados o isostáticos, y los sistemas de cuerpos, para los cuales esto tiene lugar, se llaman sistemas estáticamente determinados. Los problemas en los cuales el número de reacciones de apoyos desconocidas es mayor que la cantidad de ecuaciones independientes de equilibrio disponibles, se llaman problemas estáticamente indeterminados o hiperestáticos , y los sistemas de cuerpos para los cuales esto tiene lugar, se llaman sistemas estáticamente indeterminados.
2.7 Solución de problemas de equilibrio El equilibrio de los cuerpos ligados (no libres), se estudia en la Estática con fundamento en el axioma siguiente: todo cuerpo ligado puede considerarse como libre si se suprimen las ligaduras o apoyos, y se sustituyen sus acciones por las reacciones correspondientes a estos apoyos. Las magnitudes de las reacciones, previamente desconocidas, pueden ser determinadas a partir de las condiciones del equilibrio de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, al que ahora podemos considerar como libre. En esto consiste el método principal para resolver problemas de Estática. La determinación de las reacciones de los apoyos tiene la importancia práctica siguiente: al conocer estas reacciones, conoceremos las fuerzas que actúan sobre los apoyos, es decir, los datos iniciales necesarios para calcular la resistencia de los elementos correspondientes de una construcción o máquina. 89
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
La metodología general para resolver problemas de equilibrio se compone de los siguientes pasos: 1º. Comprensión del problema. 2º. Identificación o elección del cuerpo, cuyo equilibrio debe ser examinado. 3º. Liberación del cuerpo de los apoyos y construcción del diagrama de cuerpo libre correspondiente. Aquí se incluye la elección del sistema de ejes de coordenadas 4º. Composición de las condiciones equilibrio. 5º. Determinación de las magnitudes incógnitas, análisis de los resultados obtenidos y revisión de la exactitud y unidades de la solución.
2.8 Equilibrio de partículas Problema 2/3. Dos cuerdas se atan juntas en C y se cargan con el bloque de 200 kg como se muestra en la figura. Sabiendo que α = 20°. Determine las fuerzas de tensión en los cables AC y BC .
Prob. 2/3
90
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 2/4. Dos cables se amarran juntos en C y son cargados como indica la figura. (a) Si W = 840 N, determine la tensión en el cable AC y en el cable BC . (b) Determine el rango de valores de W para los que la tensión no será mayor de 1050 N en cualesquiera de los cables. 750 mm
300 mm
A
B
400 mm C
15 8 680 N
W
Prob. 2/4
Problema 2/5. Un contenedor de peso W está suspendido de una argolla A, a la cual se atan los cables AC y AE . Una fuerza P está aplicada en el extremo F de un tercer cable el cual pasa sobre una polea en B y a través de la argolla A y termina fijo en el soporte D. Si W = 1000 N, determinar la magnitud de P y las tensiones en los cables AC y AE .
Prob. 2/5
91
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 2/6. Un bloque de peso W está suspendido de una cuerda de 500 mm de longitud y de dos resortes cuyas longitudes sin estirar miden 450 mm cada una. Si las constantes de los resorte son k AB = 1500 N/m y k AD = 500 N/m, determinar (a) la tensión en la cuerda AC , (b) el peso del bloque. 580 mm
460 mm C
160 mm
B
D
330 mm
320 mm
A W
140 mm
Prob. 2/6
̂
Problema 2/7. Los collarines A y B unidos por medio de un alambre de 1 m de largo pueden deslizarse libremente sin fricción sobre las barras. Si una fuerza P = (680 N) se aplica en A, determinar: a) la tensión en el alambre cuando y = 300 mm, b) la magnitud de la fuerza Q requerida para mantener el equilibrio del sistema.
400 mm
Prob. 2/7 92
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 2/8. La placa de acero de 1800 kg tiene su centro de masa en el punto G . Calcular la tensión en cada uno de los cables que sirven para levantar la placa y mantenerla horizontal. z D
y
T C C
2.4 m G
T A A
m 1. 2 √ 2
1.2 m
T B
x 1.2 m
2 .4 m
B W= 1.8 (9.81) = 17.66 kN
Prob. 2/8
Problema 2/9. Una rueda con peso G se mantiene sobre un plano inclinado liso con la ayuda de un cable. Determinar la fuerza en el cable y la fuerza de contacto entre el plano y la rueda.
Prob. 2/9
93
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 2/10 Tres cajas con pesos y están atadas a dos cables como se muestra en la figura. Las poleas son lisas. Calcular los ángulos y en el estado de equilibrio.
P Prob. 2/10
Problema 2/11 Dos barras 1 y 2 están fijadas en y a una pared por pernos lisos. Ambas están articuladas en y sometias a un peso (Figura 2.16a). Calcular las fuerzas en las barras.
Prob. 2/11
94
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 2/12. Una estructura consiste de dos barras 1 y 2 y una cuerda 3. Está cargada en A por una caja de peso G como se muestra en la figura. Determinar las fuerzas en las barras y en la cuerda. Desprecie el peso tanto de las barras como de la cuerda.
Prob. 2/12
Problema 2/13. Un mástil vertical está soportado por dos cuerdas, 1 y 2. La fuerza cuerda 3 es conocida. Determine las fuerzas en las cuerdas 1 y 2, y en el mástil.
Prob. 2/13
95
en la
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
2.9 Equilibrio de cuerpos rígidos
Problema 2/14. La viga simplemente apoyada (longitud está sometida a tres fuerzas concentradas y el momento Calcular las reacciones en los apoyos.
mostrada en la Figura 5.28 la carga lineal
Prob. 2/14
Problema 2/15. La viga mostrada en la figura puede rotar alrededor de su apoyo, está cargada por dos fuerzas y . Despreciar su peso propio de la viga. Determinar la ubicación del apoyo para que la viga se encuentre en equilibrio. Además, encontrar la fuerza A ejercida sobre la viga por el apoyo.
Prob. 2/15
Problema 2/16. La viga mostrada en la figura está sometida a una fuerza F que actúa bajo el ángulo . Determine las fuerzas de reacción en los apoyos A y B.
Problema 2/16
96
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 2/17. La viga empotrada mostrada en la figura está cargada por dos fuerzas Determinar las reacciones en el apoyo.
Prob. 2/17
.
Problema 2/18. Un cable es guiado sobre una polea ideal y sometido a las fuerzas y , que actúan bajo los ángulos dados y β . Las dos fuerzas están en equilibrio. Si se da la fuerza , determinar la fuerza requerida y la fuerza de reacción en la articulación O que sujeta la polea.
Prob. 2/18
Problema 2/19. Una viga homogénea de longitud 4 a y peso G, está suspendida en C por una cuerda. La viga toca la pared lisa vertical en A y B como se muestra en la figura. Encontrar la fuerza en la cuerda y las fuerzas de contacto en A y B.
Prob. 2/19
97
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
√
está situada dentro de una carcasa esférica lisa de Problema 2/20 Una viga de longitud radio , como se muestra en la figura. Si se considera el peso G de la esfera colocada en la viga, determinar la distancia del extremo izquierdo de la viga requerida para mantenerla en equilibrio con el ángulo Calcular las fuerzas de contacto en A y B. Desprecie el peso de la viga.
Prob. 2/20
Problema 2/21. Una palanca de longitud l que está sometida a una fuerza vertical ejerce una fuerza de contacto sobre un cilindro circular de radio r y peso G. El peso de la palanca debe despreciarse y además, todas las superficies son lisas. Determinar la fuerza de contacto entre el cilindro y el piso si la altura h del escalón es igual al radio r del cilindro.
Prob. 2/21
98
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 2/22. Determine las reacciones en los apoyos A y B de la viga sujeta a las fuerzas y par indicados. 5 kN
3
10 kN
4
1.25 kN·m
B
A
2m
1m
2m
1m
Prob. 2/22
Problema 2/23. Determine las reacciones de los apoyos de la viga sujeta a las condiciones de carga indicadas. 5000 N 900 N/m
1.2 m
0.6 m
0.6 m
Prob. 2/23
Problema 2/24. Determinar las reacciones en el empotramiento de una viga en voladizo, sometida a la acción de una fuerza concentrada, de un par de fuerzas y de una carga distribuida que varía de acuerdo con la ley del triángulo y del trapecio. Indicar las cantidades calculadas en un DCL correcto. x
4 tf·m
q q= 2 tf/m
y 4.5 m
3m
30°
5 tf
Prob. 2/24 99
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 2/25. La barra uniforme AB con una masa de 200 kg soporta en A la carga de 600 kg. Calcular la tensión T en el cable portante y la magnitud F B de la fuerza que soporta el pasador B.
2.5 m T
B m 5 2.
60°
m 5 2.
A
600 kg
Prob. 2/25
Problema 2/26. El cable de la figura tiene una masa de 1.5 por metro de longitud y soporta la polea y el gancho de elevación que juntos, tienen una masa de 5.4 kg. Hallar la fuerza P necesaria para mantener el equilibrio. P
2.5 m 1.2 m
150 mm
Prob. 2/26 100
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 2/27. Calcular las reacciones en los apoyos A y B de la viga sujeta a las fuerzas distribuidas indicadas.
Prob. 2/27
Problema 2/28. El marco simétrico tiene una masa de 1200 kg y está apoyado y cargado como se muestra. Si la carga que puede soportar el pasador A está limitada a 20 kN, hallar la carga lateral P máxima permitida.
P
4m A
B
6m
Prob. 2/28
101
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 2/29. La siguiente figura representa un poste de una cerca utilizada en un terreno agrícola. El poste se considera articulado en A, y se fija al suelo mediante el alambre BC . Tres alambres horizontales se atan al poste y la tensión en cada uno de ellos es de 300 N. Encontrar la tensión en el cable BC y las reacciones en la articulación en A. 300 N 550 mm B
300 N 550 mm
1000 mm 300 N
250 mm C
A
60°
100 mm
Prob. 2/29
Problema 2/30. Una rueda dentada C de 1 m de radio y un piñón D de 10 cm de radio están montados sobre un árbol horizontal AB. Otras dimensiones están indicadas en el dibujo. Una Fuerza horizontal P = 10 kgf está aplicada, en dirección de la tangente, a la rueda C y una fuerza vertical Q está aplicada, también en dirección de la tangente, al piñón D. Determinar la fuerza Q y las reacciones de los cojinetes A y B en el estado de equilibrio. Dar las respuestas en kgf. P c m 8 0
z
y B
C
c m 1 0
Q
D
c m 1 0
|
A
Prob. 2/30 102
x
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 2/31. Para la posición representada, el cigüeñal de un motor bicilíndrico está sometido a las fuerzas de 400 y 800 N, ejercidas por las bielas. Si el cigüeñal está en equilibrio, hallar las fuerzas de reacción de los cojinetes A y B y el par M que actúan sobre dicho cigüeñal.
M
Prob. 2/31
Problema 2/32. Un árbol de transmisión horizontal, que lleva dos poleas C y D de transmisión por banda, puede girar en los cojinetes A y B. Los radios de las poleas son r C = 20 cm, r D = 25 cm; las distancias entre las poleas y los cojinetes son ; la distancia entre las poleas y de las ramas de la banda montada sobre la polea C son c = 100 cm. Las tensiones horizontales; . Las tensiones y de las ramas de la banda montada sobre la polea D forman con la vertical un ángulo ; . Determinar las tensiones en el estado de equilibrio y las reacciones de los cojinetes provocadas por las tensiones de las bandas.
z b
c
a
D
C
B
A t 1 T 2 x
α t 2
T 1
Prob. 2/32
103
α
y
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 2/33. Determinar la fuerza F necesaria para iniciar la rodadura del cilindro uniforme de peso G y radio r sobre el escalón.
r
F
α h
Prob. 2/33
Problema 2/34. La pluma ligera en ángulo recto que soporta al cilindro de 400 kg, está soportada por tres cables y una rótula en O fija al plano xy . Hallar las reacciones en O y las tensiones en los cables.
y D C
1 m 1.5 m
1 m
Oy
Oz
Ox TAC
TBE 0 .7 5 m
0 .7 5 m
400 (9.81) = 3924 N
Prob. 2/34
104
E
TBD
A z
1 m
O 2 m
B
1 m
x
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 2/35. Determinar las magnitudes de la fuerza y el par perno en O sobre la ménsula cargada para mantenerla en equilibrio.
z R y
m 2 . 0
0. 2 m
ejercidas por la tuerca y
M z
m 5 1 . R z 0
1.6 kN
R x
M x
M y
2.4 kN 30°
50° x
y
Prob. 2/35
Problema 2/36. Una placa homogénea de peso es soportada por seis barras y sometida a la fuerzas como se muestra en la figura. Calcular las fuerzas en las barras.
Prob. 2/36 105
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 2/37. Un miembro angular está en equilibrio bajo la acción de cuatro fuerzas; las cuales son perpendiculares al plano determinado por el miembro. La fuerza F es conocida, calcular las fuerzas y Despreciar el peso del miembro.
Prob. 2/37
Problema 2/38. La palanca rectangular que está empotrada en está cargada por una fuerzas distribuida , dos fuerzas Determinar las reacciones en los apoyos. y el momento
Prob. 2/38
106
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 2/39. La válvula de seguridad A de una caldera de vapor está unida por medio de la barra AB con la palanca homogénea CD de 50 cm de longitud y de 1 kgf de peso, que puede girar alrededor del eje fijo C ; el diámetro de la válvula es d = 6 cm, el brazo BC = 7 cm. ¿Qué carga Q debe ser suspendida del extremo D de la palanca para que la válvula se abra por sí sola cuando la presión en la caldera sea de 11 atm (1 atm = 1 kgf/cm 2)? C
B D A Q d
Prob. 2/39
Problema 2/40. Un trípode ABDE con forma de una pirámide regular, está articulado en dos vigas en voladizo. Un cable que pasa sobre una polea fijada en el vértice E del trípode, levanta uniformemente con ayuda de un cabrestante una carga de peso P. Entre la polea y el cabrestante el cable es paralelo a las vigas. Determinar las reacciones del empotramiento de la primera viga despreciando su peso y el peso del trípode. La altura del trípode es igual a
Prob. 2/40
107
l
2
.
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 2/41.. Una barra uniforme AB, que puede girar alrededor del punto A, soporta una carga de Q [N] a la distancia de a [cm] del punto A y se mantiene en equilibrio por medio de una fuerza vertical P, aplicada en su extremo libre B. Cada centímetro de longitud de la barra pesa q [N]. Determinar la longitud x de la misma, de tal forma que la fuerza P sea la mínima posible y hallar Pmín . P
x
A
B
a Q
Prob. 2/41
Problema 2/42. Una placa homogénea rectangular ABCD de peso P está sujeta por unas barras, articuladas en sus extremos con la placa, y por apoyos articulados en el piso, como se muestra en la figura. En la esquina A sobre la placa actúa la fuerza Q que forma en el plano AEHD un ángulo β con la arista AD. Determinar las fuerzas en las seis barras de apoyo considerando nulo el peso de las barras. Las dimensiones y los ángulos están indicados en la figura, AM = MB. z D
A
β M
R1
h 90°
Q
B
C
R3
ψ
x R4
R2
R5 P
φ
E R6
ψ φ
F a
Prob. 2/42 108
G
b
H
y
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 2/43. Un tanque elevado cilíndrico, para distribución de agua, de 6 m de altura y de 4 m de diámetro, está montado en cuatro columnas colocadas simétricamente e inclinadas respecto al horizonte; el fondo del tanque se halla a la altura de 17 m sobre el nivel de los apoyos; la torre pesa 8 tf ; la presión del viento se calcula para el área de la proyección de la superficie del recipiente sobre el plano perpendicular a la dirección del viento, considerando la presión específica del viento igual a 125 kgf/m2. Determinar la distancia necesaria AB entre los apoyos de las columnas.
6m
4m
17 m
A
B Prob. 2/43
Problema 2/44. La presión del agua sobre un área pequeña de una presa crece proporcionalmente a la distancia entre éste y la superficie libre del agua y es igual al peso de la columna de agua, cuya altura equivale a esta distancia y el área de su base es igual al área considerada. Determinar el espesor de la base de la presa en los dos casos siguientes: 1) la sección transversal de la presa es rectangular; 2) esta sección es triangular. La presa debe ser calculada al vuelco alrededor de la arista B por la presión del agua, el coeficiente de estabilidad debe ser igual a 2. La altura h de la presa es igual a la profundidad del agua y es de 5 m. El peso específico del agua , el peso específico del material de la presa .
109
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Se llama coeficiente de estabilidad la relación del momento del peso del macizo al momento de la fuerza de vuelco. La presión del agua sobre el área de la presa de 1 m de longitud y de dy de altura, donde y es la distancia desde esta área hasta el fondo en metros, es igual a , en toneladas. El momento de esta presión respecto al punto B es igual a .
∫
y
y A
A
h
y B
B a
b Prob. 2/44
Problema 2/45. Un terraplén se apoya en una pared de piedra vertical AB. Hallar el espesor necesario a de la pared considerando que la presión del terreno sobre la pared va dirigida horizontalmente, está aplicada a 1/3 de su altura y es de 6 tf/m (por un metro de largo de la pared); el peso específico de la mampostería es de 2 gf/cm3. La pared debe ser calculada contra el vuelco alrededor del borde A.
a
A Prob. 2/45 110
B
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 2/46. ¿Qué relación deben satisfacer las dimensiones H y B de la presa representada, para que el momento de vuelco respecto al punto K constituya el 50% del momento de estabilidad? El peso específico del material de la presa es γm = 2250 kgf/m3
H
γm K B
Prob. 2/46
Problema 2/47. Una grúa está instalada sobre un camión. El peso del contrapeso B es igual a P2 = 20 kN. El peso del camión junto con la grúa sin contrapeso, igual a P1 = 50 kN, está aplicado en el centro de gravedad C . Determinar la distancia mínima DE entre los ejes de las ruedas del camión y el peso máximo P3 de la carga A que puede levantarse para que el camión no sufra volcadura tanto con la carga A como sin ésta. Las dimensiones se indican en la figura.
P2
A C
P3
P1
4m
D
E
1.5 m
Prob. 2/47
111
2m
B
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 2/48. Una mujer está sosteniendo en su mano con el brazo completamente extendido y horizontalmente una esfera de 3.6 kg, como se muestra en la figura. Una fuerza de tensión en el músculo deltoide evita que el brazo gire entorno a la articulación en el hombro O; está fuerza actúa a un ángulo de 21° como se muestra. Determine la fuerza ejercida por el músculo deltoide localizado en la parte superior del brazo en A y determine también las componentes en x e y de la fuerza de reacción en la articulación del hombro en O. La masa en la parte superior del brazo es mU = 1.9 kg, la masa de la parte inferior del brazo es m L = 1.1 kg, y la masa de la mano es m H = 0.4 kg; todos los pesos correspondientes actúan en los puntos mostrados en la figura.
Prob. 2/48
Problema 2/49. Una persona está realizando levantamientos lentos con el brazo con un peso de 10 kg como indica la figura. El grupo de músculos braquiales (consta de los biceps y músculos braquilaes) es el factor más importante en este ejercicio. Determine la magnitud F de la fuerza del grupo de músculos braquiales y la magnitud E de la reacción en la articulación del codo en el punto E para la posición del antebrazo que se muestra en la figura. Tome las dimensiones mostradas para localizar los puntos efectivos de aplicación de los dos grupos de músculos; estos puntos están 200 mm directamente sobre E y 50 mm directamente a la derecha de E . Incluya el efecto de la masa del antebrazo de 1.5 kg con centro de masa en el punto G. Prob. 2/49
112
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 2/50. La grúa móvil portátil de un taller mecánico sostiene un motor de 420 lb. Para la posición mostrada calcule la fuerza soportada por el pasador en C y la presión p del aceite sobre el pistón del cilindro hidráulico de 3.20 in de diámetro en el elemento AB.
Prob. 2/50
113
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
2.10 Aplicaciones a estructuras y máquinas Problema 2/51. Determinar las reacciones en A, F y E .
F BD A
B
60°
C
x
0.5 m
0.3 m 250 N
A y
D
E E x
0.2 m 462 N
30°
0.2 m F
Prob. 2/51
114
E y
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 2/52. Determinar la magnitud de la fuerza soportada por el pasador C . También encontrar las reacciones en la articulación A. 600 N 0.2 m C
0.2 m E B
D
0.2 m A 0.2 m
0.2 m
Prob. 2/52
Problema 2/53. Las uniones A, B, C y D son de pasador o articulación. Despreciando el peso de las barras, determinar la fuerza total (fuerza cortante) soportada por el pasador B. También determinar las reacciones en A y C . 0.15 m
y C
D
0 . 3 5 m
m 5 . 0
45°
B
45°
A
m 5 . 0
x
50 kg
Prob. 2/53 115
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 2/54. El siguiente marco es típico de instalaciones para maquinaria o naves industriales. Los apoyos A y E son articulaciones, y la unión C también es una articulación. Determine las reacciones en los apoyos A y E .
5 kN/m C B
D
10 kN
m 2 m 4
A
E
10 m Prob. 2/54
Problema 2/55. Para la siguiente estructura plana, determinar las reacciones en los apoyos A y B, indicando en un DCL los valores y sentidos correctos de dichas reacciones. También, en un DCL, indicar todas las fuerzas externas que actúan sobre el elemento ACD.
Prob. 2/55 116
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 2/56. Para la estructura plana siguiente, encontrar las reacciones en los apoyos A, F y G.
Prob. 2/56
Problema 2/57. La longitud no deformada del resorte EF es de 300 mm, para la siguiente configuración determinar la magnitud de la reacción en la articulación O.
200 mm
D
600 mm
C B
200 mm
O
O y T
E T
Prob. 2/57 117
O x
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 2/58. Para los siguientes datos del cargador frontal, y para la posición mostrada, determinar las fuerzas ejercidas por el cilindro hidráulico CF y los eslabones AE y BG sobre el brazo ABCHD. Datos: P=10 kN, a = 2.5 m, b = 0.15 m, c = 0.9 m y L = 2.4 m. P
b
B
a C
H
L
D
c 80°
70°
40°
G
A 60°
F E
b= 0.15 m
B
C
P=10 kN a= 2.5 m L= 2.4 m
H 40°
c = 0.9 m 80°
F BG A 60°
F CF
50°
F AE
Prob. 2/58 118
D
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 2/59. En la posición mostrada, la excavadora aplica una fuerza de 20 kN paralela al suelo. Hay dos cilindros hidráulicos: en AC para controlar el brazo OAB , uno en DE para controlar el eslabón EBI y otro en GH para accionar el cucharón. Determine la fuerza en cada uno de los cilindros hidráulicos y la presión que actúa sobre el émbolo de cada cilindro si los diámetros son d AC 95 mm , d DE 105 mm y d GH 95 mm , respectivamente. El peso de los miembros es despreciable en comparación con la fuerza de 20 kN .
Prob. 2/59
119
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
. Está sometida a una carga Problema 2/60. Una armadura espacial está apoyada en distribuida las fuerzas Determinar las reacciones en los apoyos.
Prob. 2/60
Problema 2/61. La estructura mostrada en la figura consiste de una viga etiquetada con el número 1 y la parte angular con el número 2, que están conectadas por la articulación G. La parte angular está empotrada en y la viga esta apoyada en . El sistema está sometido a la fuerza . Determinar las reacciones en los apoyos y las uniones.
Prob. 2/61
120
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 2/62. La estructura simétrica mostrada en la figura consiste de dos vigas conectadas en una articulación y fijada mediante la cuerda . Está cargada con un cilindro libre de fricción de peso . Determinar las reacciones en los apoyos en , la fuerza de tensión en la cuerda y la reacción en la unión . El peso de las dos vigas puede despreciarse.
Prob. 2/62
121
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 2/63. La estructura mostrada en la figura consta de dos vigas, unidas por una articulación y apoyada en y mediante articulaciones. El sistema está sometido a las fuerzas Determinar las fuerzas en los apoyos y en la articulación G. y
Prob. 2/63
Problema 2/64. La viga articulada mostrada en la figura está sometida a una fuerza simple una carga distribuida . Determinar las fuerzas en los apoyos y articulaciones.
Prob. 2/64 122
y
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 2/65. Determine la fuerza de corte F aplicada por la hoja DE a la barra en G en términos de la fuerza P aplicada al mango de la cortadora. Asuma que la fuerza de corte F es perpendicular a la cara inferior de la hoja DE .
Dimensiones en mm Prob. 2/65
Problema 2/66. La figura muestra una bomba de mano de alta presión utilizada para impulsar presión de aceite en una línea hidráulica. El maneral se encuentra en equilibrio en y bajo la acción de la fuerza P = 120 N, determine la presión de aceite p la cual actúa sobre el pistón de 46 mm de diámetro. (La presión en la cara superior del pistón es la atmosférica.)
Prob. 2/66 123
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 2/67. La viga en la figura está soportada por tres puntales y sometida a una fuerza distribuida triangular. Determinar las fuerzas en los puntales.
Prob. 2/67
Problema 2/68. La estructura mostrada en la figura consta de una viga y tres barras. Ésta soporta una carga concentrada . Determinar la reacción en el apoyo y las fuerzas en las barras.
Prob. 2/68
Problema 2/69. Encontrar las reacciones en los apoyos para la viga articulada mostrada en la figura.
Prob. 2/69 124
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 2/70. La viga articulada mostrada en la figura soporta una fuerza concentrada y una carga distribuida triangular. Determinar las reacciones en los apoyos y la fuerza en la articulación.
Prob. 2/70
Problema 2/71. Determinar las reacciones en los apoyos para la estructura mostrada en la figura. Considerar la polea sin fricción.
Prob. 2/71
Problema 2/72. Una viga homogénea de peso cuelga de unos ganchos como se muestra en la figura. Determinar las reacciones en los apoyos en y la fuerza en la articulación en
Prob. 2/72 125
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
está apoyado mediante una rótula (articulación en tres Problema 2/73. Un mástil de peso dimensiones) en . Además está soportada por dos puntales. Su extremo superior carga un peso . Determinar las fuerzas de reacción en y las fuerzas en los puntales.
Prob. 2/73
Problemas 2/74.La compuerta rectangular AB de un canal de riego puede girar alrededor del eje O. Si el nivel de agua es bajo la compuerta está cerrada, pero cuando el agua alcanza un cierto nivel H la compuerta gira alrededor del eje y abre el canal. Despreciando la fricción en la articulación O y el peso la compuerta, determinar la altura H a la cual la compuerta se abre.
B
O
H h A
Prob. 2/74
126
α
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 2/75. Carga por presión de fluidos. Se retiene agua dulce en un canal por una compuerta plana con 0.6 m de espesor (dentro del plano de la figura) que está soportada por una articulación en B. La pared vertical BD está fija en su posición. Si el peso de la compuerta es despreciable, determinar la fuerza requerida F para comenzar la apertura de la compuerta.
Prob. 2/75
127
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 2/76. Se retiene agua dulce en un canal por una compuerta cilindrica con 0.6m de espesor (dentro del plano de la figura) que está soportada por la articulación en B. La pared vertical BD está fija en su posición. Si el peso de la compuerta es despreciable, determinar la fuerza requerida F para comenzar la apertura de la compuerta.
Prob. 2/76
128
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
UNIDAD 3. FRICCIÓN SECA Objetivo Aplicar la teoría del equilibrio al análisis de problemas donde participa el fenómeno de la fricción.
Temas: 3.1 Principios básicos 3.2 Leyes de la fricción seca. 3.3 Problemas generales. 3.4 Problemas especiales: cuñas y bandas.
3.1 Principios básicos La experiencia demuestra que al tratar de desplazar un cuerpo sobre la superficie de otro, en el plano de contacto entre ambos surge una fuerza de resistencia a su desplazamiento relativo, la fuerza de fricción de deslizamiento. La aparición de la fricción está condicionada, ante todo, por la rugosidad de las superficies, la cual engendra una resistencia al desplazamiento y por la presencia de adhesión entre los cuerpos comprimidos unos contra otros. El estudio de todas las particularidades del fenómeno de la fricción es una cuestión físico-mecánica compleja.
Se distinguen tres tipos de fricción, a saber: 1) Fricción seca 2) Fricción fluida o viscosa 3) Fricción interna
129
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
3.2 Leyes de la fricción seca Los cálculos de ingeniería se basan habitualmente en las leyes generales de la fricción seca, establecidas experimentalmente, que reflejan con una precisión suficiente para la práctica, las particularidades fundamentales del fenómeno de la fricción. Estas particularidades, llamadas leyes de la fricción de deslizamiento, se pueden enunciar de la forma siguiente: 1. La fuerza de fricción que aparece en reposo relativo de un cuerpo se llama fricción estática; la fuerza de fricción que obra durante el deslizamiento de un cuerpo se llama fricción cinética.
2. La fuerza de fricción no depende de las dimensiones de las superficies en fricción, siendo iguales las demás condiciones.
3. Al igual que el valor de cualquier reacción la magnitud de la fuerza de fricción depende de las fuerzas aplicadas y hasta un cierto límite siempre es tal que impide el deslizamiento de los cuerpos uno sobre el otro. Sin embargo, ella no puede superar un cierto valor máximo, el cual es fijo para cada caso dado. 4. El valor máximo de la fuerza de fricción es directamente proporcional a la fuerza de la presión normal que ejerce un cuerpo sobre el otro.
130
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Por la fuerza de la presión normal se entiende la fuerza de presión dirigida a lo largo de la normal a la superficie de deslizamiento. 5. La magnitud máxima de la fuerza de fricción depende tanto del material y estado de las superficies en fricción como de la existencia y clase de lubricante entre ellas. 6. La fuerza de fricción en movimiento es menor que la fuerza de fricción en reposo.
3.3 Problemas generales Problema 3/1. Los coeficientes de fricción estática y cinética entre el bloque de 100 kg y el plano inclinado son 0.30 y 0.20, respectivamente. Determine: a) la fuerza de fricción F que actúa sobre el bloque cuando P se aplica con una magnitud de 200 N al bloque en reposo; b) la fuerza P requerida para iniciar el movimiento hacia arriba del plano inclinado a partir del reposo; y c) la fuerza de fricción F que actúa sobre el bloque si P = 600 N. 100(9.81) P
1 5 °
20° F F
N
Prob. 3/1
Problema 3/2. Un bloque de peso colocado sobre un plano inclinado rugoso con un ángulo de pendiente y coeficiente de fricción estática . El bloque está sometido a una fuerza externa como se muestra en la figura. Especificar el intervalo de valores de tales que el bloque permanezca en reposo.
Prob. 3/2 131
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 3/3. La barra uniforme AB de 60 kg está sujeta a la fuerza P. Las guías en B son lisas. En A, μs = 0.8. a) Si P = 400 N, encontrar la fuerza de fricción en A sobre la barra. B) Encuentre la fuerza P requerida para causar un deslizamiento sobre A. y
B l/2 P l/2
60°
A
x
Prob. 3/3
Problema 3/4. Una barra recta homogénea AB de peso Q se apoya en el punto B sobre una pared vertical rugosa. El coeficiente de fricción estático entre la barra y la pared es igual a . En el punto A la barra se apoya sobre un piso liso horizontal. La barra se mantiene en equilibrio mediante el hilo AD que pasa por la polea D. Determinar el rango dentro del cual se puede variar la magnitud del peso P sin alterar el equilibrio de la barra.
y
B
F B
y
N B
N B
B
B C
A
α
D
N A
α
A a)
Q
Pmín
P
b)
Prob. 3/4
132
F B
C
N A x
A
α
Q
Pmáx c)
x
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 3/5. Un hombre de peso se apoya sobre una escalera como se muestra en la figura. Determinar la máxima posición que puede alcanzar sobre la escalera sí: a) Sólo el piso tiene superficie rugosa y b) El piso y la pared tienen superficies rugosas. El coeficiente de fricción estática en ambos casos es
(b)
(a)
(c) (d) Prob. 3/5
133
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 3/6. En la figura se muestra una propuesta de diseño para un freno articulado. Las dos superficies de frenado tienen el mismo coeficiente de fricción. Obtener una expresión que relacione la magnitud del par o momento T con la magnitud de la fuerza de frenado P cuando la rotación del tambor es inminente en el sentido horario.
Prob. 3/6
Problema 3/7. Un par de fuerzas de momento M = 100 kgf·m está aplicado a un árbol, sobre el cual está fijada por chaveta una rueda de freno de radio r = 25 cm. Hallar la fuerza Q con la cual hace falta apretar las zapatas de freno contra la rueda para que ésta permanezca en reposo, si el coeficiente de fricción estático entre la rueda y las zapatas es igual a 0.25.
Q
Q
2r Prob. 3/7
134
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 3/8. El montacargas es utilizado para mover un rollo de papel sólido de 1200 kg hacia arriba en la rampa inclinada 30°. Si el coeficiente de fricción estático y cinético entre el rollo y la barrera vertical del montacargas y entre el rollo y la rampa inclinada son ambos 0.40, calcule la fuerza de tracción P requerida entre las llantas del montacargas y la superficie horizontal.
Prob. 3/8
3.4 Aplicaciones especiales: cuñas, bandas, tornillos y embragues Fricción en cuñas Problema 3/9. Dos cuñas de 5° se utilizan para ajustar la posición de una columna que está bajo la acción de una carga vertical de 5 kN. Determinar la magnitud de las fuerzas P requeridas para levantar la columna si el coeficiente de fricción para todas las superficies es 0.40.
Prob. 3/9 135
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 3/10. Fricción de un hilo flexible (tal como una banda plana) sobre una superficie cilíndrica. Una fuerza P se aplica a un hilo arroyado sobre un árbol cilíndrico. Hallar la fuerza mínima Q que debe ser aplicada al otro extremo del hilo para mantener el equilibrio, teniendo el ángulo dado .
y d θ 2
(T+dT)
dN dF
D E R d θ θ α O
d θ 2
x T Q
P
Prob. 3/10
Problema 3/11. El rodillo cilíndrico mostrado en la figura está sometido a un momento . Una correa lisa (coeficiente de fricción estática está envuelta alrededor del rodillo y conectada a una palanca. Determinar el valor mínimo de tal que el rodillo permanezca en reposo (freno de cinta).
Prob. 3/11
136
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 3/12. Un bloque de peso descansa sobre un tambor. Ésta agarrado por una cuerda que se encuentra fijada en el punto (Figura 9.10a). Determinar la tensión en si la fricción actúa entre el tambor y ambos, el bloque y la cuerda (cada uno con coeficiente de fricción cinética ).
Prob. 3/12
Problema 3/13. Calcular la fuerza P sobre la palanca del freno diferencial de banda que evitará que el volante gire sobre su eje cuando se aplica el par M = 150 N∙m. El coeficiente de fricción entre la banda y el volante es μ=0.40. 450 mm P
75 mm
O
M
30° C
150 mm Prob. 3/13
137
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 3/14. En diversas aplicaciones se usan “bandas V” para transmitir potencia desde un motor a una máquina. Una banda en V se utiliza para transmitir un par de 100 N m a una polea A de una bomba, desde la polea B de un motor, cuyo eje gira en sentido antihorario a una rapidez constante. Si R 400 mm , r 40 mm y el coeficiente de fricción entre la banda y las poleas es s 0.3 . Determinar: (a) la tensión mínima requerida en la banda, (b) el momento que transmite el motor.
Prob. 3/14
Problema 3/15. Determinar el rango de valores de la masa m del cilindro, para el cual el sistema estará en equilibrio. El coeficiente de fricción entre el bloque de 50 kg y el plano inclinado es 0.15, y entre la cuerda y el soporte cilíndrico es 0.25. y
W = 491 N T 2
x
20°
N
0.15 N
W = 491 N T 2 20°
0.15 N Prob. 3/15 138
N
x
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 3/16. Una banda que sirve de accesorio para un motor de combustióm interna se muestra en la figura. La polea A está unida al cigüeñal de un motor y gira en sentido horario. El tensor de la banda costa de una polea loca sin fricción en B que está montada a una barra horizontal D que se desliza en una guía sin fricción con una fuerza horizontal P. La polea C opera una bomba hidraulica que requiere . Los coeficientes de fricción estática para las poleas A y C son 0.4 y 0.6 respectivamente, y los radios de las poleas A y C son 110 y 80 mm, respectivamente. Determinar el valor mínimo de P para que la banda no se patine.
Prob. 3/16
139
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
UNIDAD 4. CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE LAS SECCIONES PLANAS Objetivo Desarrollar la teoría para el cálculo de centroides, momentos y productos de inercia de cualquier área o sección plana.
Temas: 4.1 Centro de gravedad, centro de masas y centroides. 4.2 Momento estático. 4.3 Momento de inercia. 4.4 Producto de inercia. 4.5 Momento polar de inercia. 4.6 Ejes principales y momentos principales de inercia. 4.7 Características geométricas de los perfiles comerciales de acero
La resistencia y la rigidez que presenta una barra a los diferentes tipos de fuerzas externas aplicadas, depende no sólo del material, sino también de la forma y dimensiones de las secciones transversales correspondientes. En esta unidad se analizan las principales características geométricas de las secciones transversales que pueden presentarse en los elementos estructurales y de máquinas. Estas características son áreas de las secciones planas, centroides, momentos estáticos, momentos de inercia, producto de inercia y momentos polares de inercia.
4.1 Centro de gravedad, centro de masas y centroides Centro de gravedad: La resultante de las fuerzas de gravedad de las partículas de un cuerpo se llama fuerza de gravedad del cuerpo; el módulo de esta fuerza se llama peso del cuerpo. El centro de gravedad de un cuerpo es un punto invariablemente relacionado con este cuerpo, a través del cual pasa la línea de acción del peso de éste. Las coordenadas del centro de gravedad de un cuerpo respecto a todo sistema de coordenadas fijo se pueden hallar, si se conocen las coordenadas de todas las partículas del cuerpo respecto a este sistema. Para ello es preciso aplicar la condición siguiente: el momento de la fuerza de gravedad 140
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
de todo el cuerpo respecto a un eje cualquiera debe ser igual a la suma de los momentos de la fuerza de gravedad de todas las partículas del cuerpo respecto a ese mismo eje.
z
P2 P1
G Pn
O
y
x P
∑ ∑ ∑
Para un cuerpo con una distribución continua de la masa, su peso total es ecuaciones anteriores adquieren el siguiente aspecto:
Centro de masas:
∫
y las
∫ ∫ ∫
Transformemos las ecuaciones que determinan las coordenadas del centro de gravedad en una forma que contenga la masa del cuerpo o sistema. La masa de un sistema es igual a la suma aritmética de las masas de todos los puntos o de todos los cuerpos que lo componen:
∑ ∑ ∑
En un campo de gravedad homogéneo, para el cual g = const., el peso de cualquier partícula del cuerpo es proporcional a su masa, y para todo el cuerpo de lo cual resulta:
El punto geométrico G, cuyas coordenadas se determinan por estas ecuaciones, se llama centro de masas o centro de inercia del cuerpo o sistema.
141
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Si se considera una distribución continua de la masa en todo el volumen del cuerpo o sistema, y:
∫
∫ ∫ ∫
Problema 4/1. Se tiene un cilindro homogéneo de 30 kg conectado con tres barras A, B y C , cuyas masas son 10, 5 y 8 kg, respectivamente. Localice el centro de masa de dicho sistema.
D
y
160 mm
B z
A
C
100 mm
200 mm 120 mm x
Prob. 4/1
Centroide:
Para un cuerpo homogéneo el peso pi de cualquier parte de éste es proporcional al volumen V i de esta parte: El peso P de todo el cuerpo es proporcional al volumen V de éste: donde es el peso específico del cuerpo. Sustituyendo estas relaciones en las ecuaciones del centro de gravedad, se obtiene:
∑ ∫
∑ ∑ ∫ ∫
Como se observa, el centro de gravedad de un cuerpo homogéneo depende solamente de su forma geométrica, y es independiente de la magnitud Por esta razón, el punto C , cuyas coordenadas se determinan por las ecuaciones anteriores, se llama centroide o centro geométrico del volumen V .
142
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
En la práctica a menudo se requiere determinar la localización del centroide de figuras planas, en cuyo caso las ecuaciones correspondientes adquieren la siguiente forma:
para un área o región continua.
∫ ∫
O bien, cuando se trata de un área compuesta:
∑ ∑
Problema 4/2. Determinar la distancia desde la base hasta el centroide del siguiente triángulo.
h
b
Prob. 4/2
Problema 4/3. Determinar las coordenadas del centroide del siguiente cuadrante de círculo.
r
Prob. 4/3
143
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 4/4. Localizar el centroide del sector circular mostrado en la figura.
Prob. 4/4
Problema 4/5. Encontrar el centroide del área en forma de L mostrado en la figura.
Prob. 4/5 Problema 4/6. Un círculo es removido de un triángulo, como se muestra en la figura. Localizar el centroide del área.
Prob. 4/6 144
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 4/7. Hallar el centro de gravedad de la sección transversal de la presa representada en el dibujo, teniendo en cuenta que el peso específico de concreto es igual a 2 400 kgf/m3 y el de la tierra equivale a 1 600 kgf/m3. También localice el centroide de dicha sección transversal. y 2m
Concreto
5m
4m Tierra
2m
x 8m
1m
1m
3m
4/7
4.2 Momento estático ¿Cómo se define el momento estático de un área o sección plana, y cuál es su significado y características? El momento estático con respecto al eje x del área A es:
El momento estático con respecto al eje y del área A es:
El subíndice A de las integrales indica que la integración se realizará sobre toda el área de la sección.
145
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Recordando las expresiones que determinan las coordenadas del centroide C de un área:
resulta que:
̅ ∫∫ ∫∫ ̅
Esto es, el momento estático de un área A con respecto a cualquier eje es igual al producto del área total de la figura (sección) y la distancia de su centroide a este eje.
Problema 4/8. Demostrar el siguiente teorema. Si el eje con respecto al cual se determina el momento estático pasa a través del centroide del área, el momento estático con respecto a este eje es igual a cero. Problema 4/9. Determinar el momento estático con respecto al eje centroidal z de la mitad superior (semicírculo) de la sección circular de radio r . y
r
π r2 A* = 2 C
4r 3π
z
Prob. 4/9 146
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
4.3 Momento de inercia ¿Cómo se define el momento de inercia de un área o sección plana, y cuál es su significado y características? El momento de inercia de un área con respecto a cualquier eje contenido en su plano, se define como la suma de los productos de las áreas elementales y los cuadrados de sus distancias a este eje.
Teorema de los ejes paralelos: el momento de inercia de un área con respecto a un eje cualquiera es igual al momento de inercia de la misma con respecto a un eje paralelo al primero y que pasa por su centroide, más el producto del área y el cuadrado de la distancia entre los dos ejes.
147
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 4/10. Hallar el momento de inercia de la sección rectangular respecto al eje x0, que pasa por el centroide y es paralelo a la base. También encontrar el momento de inercia con respecto al eje x que coincide con la base.
h
b
Prob. 4/10
̅
Problema 4/11. Calcular el momento de inercia de la sección circular con respecto al eje centroidal . r
Prob. 4/11
4.4 Producto de inercia ¿Cómo se define el producto de inercia de un área o sección plana, y cuál es su significado y características? El producto de inercia de un área se define como la suma de los productos de las áreas elementales y sus coordenadas (es decir, sus distancias a los dos ejes de coordenadas) realizada sobre toda el área de la sección o figura.
∫ 148
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
El producto de inercia puede ser positivo, negativo o, como caso particular, igual a cero. Si los ejes ortogonales x e y, o uno de ellos, son ejes de simetría de la figura, entonces el producto de inercia, respecto a estos ejes, es igual a cero .
Teorema de los eje paralelos para el producto de inercia: el producto de inercia, respecto a un sistema de ejes ortogonales paralelos a los ejes centroidales, es igual al producto de inercia respecto a los ejes centroidales más el producto del área de la figura por las coordenadas de su centroide, respecto a los nuevos ejes.
149
ESTÁTICA
̅
IRRIGACIÓN
Problema 4/12. Calcular el producto de inercia del triángulo rectángulo respecto a los ejes x e y, e y x e y1.
y
y
y1
h C
x
b
x Prob. 4/12
4.5 Momento polar de inercia ¿Cómo se define el momento polar de inercia de un área o sección plana, y cuál es su significado y características? Se denomina momento polar de inercia de la sección la característica geométrica, determinada por la integral,
siendo r la distancia del área dA al punto (polo), respecto al cual se calcula el momento polar de inercia.
150
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Teorema: el momento polar de inercia, respecto a un punto arbitrario, es igual a la suma de los momentos de inercia respecto a dos ejes ortogonales que pasan por dicho punto.
∫ ∫ ∫
En efecto, del teorema de Pitágoras:
.
Problema 4/13. Calcular el momento polar de inercia de la siguiente sección circular con respecto a su centro O.
r O
Prob. 4/13
4.6 Ejes principales y momentos principales de inercia v
y
dA
A y
θ
u
v
u
θ C
E D
θ O
B
151
x
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Primero resolvamos el problema de la transformación de momentos y productos de inercia, que consiste en lo siguiente: Sean conocidos los momentos de inercia I x e I y y el producto de inercia I xy para alguna figura, con respectos a los ejes x-y. Se trata de determinar estas mismas magnitudes, pero con respecto a los ejes u-v con el mismo origen O que x-y, pero girados con respecto a éstos un ángulo θ . Con este propósito se recurre a las siguientes ecuaciones de transformación de coordenadas en el plano:
Por definición, los momentos y el producto de inercia buscados son:
Sustituyendo las expresiones de u y v, desarrollando y haciendo uso de las identidades
se obtiene:
(a) (b) (c)
Al sumar (a) y (b) se descubre la siguiente propiedad invariante para los momentos de inercia:
Al variar el ángulo θ de giro de los ejes, cada una de las magnitudes varía mientras que su suma permanece constante. Por tanto, existe un ángulo θ tal que uno de los momentos de inercia alcanza su valor máximo, mientras que el otro alcanza su valor mínimo. Derivando la expresión (a) respecto a θ e igualando la derivada a cero, se obtiene:
152
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Cuando θ adquiere este valor, uno de los momentos de inercia será máximo y el otro mínimo. Al mismo tiempo, el producto de inercia I uv correspondiente a este ángulo θ será igual a cero. Los ejes, respecto a los cuales el producto de inercia es igual a cero, mientras que los momentos de inercia adquieren valores extremos, se denominan ejes principales. Si al mismo tiempo estos ejes son también centroidales, se denominarán entonces ejes principales centroidales. Los momentos de inercia respecto a los ejes principales se denominan momentos de inercia principales. Los valores de los momentos de inercia principales se determinan mediante la siguiente ecuación:
Problema 4/14. Determinar los momentos de inercia del siguiente rectángulo de lados b= 9 cm y , a =10 cm y c = 8 cm. h= 4 cm, con respecto a los ejes x1 y y1 si
y´
y1
x
y h
b
C
θ =30° x´ a
c O
x1 Prob. 4/14
153
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 4/15. Para la siguiente sección transversal, determine: a) las coordenadas del centroide; b) la orientación de los ejes principales centroidales; c) los valores de los momentos principales de inercia correspondientes a los ejes principales del inciso b; d) indique a qué eje principal le corresponde I máx y a cuál I mín . y
x
Prob. 4/15
Problema 4/16. Para la siguiente sección transversal compuesta, formada por un triángulo, un rectángulo y un semicírculo, determine: a) La posición del centroide C . b) La orientación de los ejes principales centroidales del área de toda la sección compuesta. c) Los valores de los momentos principales de inercia para la sección compuesta, correspondientes a los ejes principales del inciso b. d) Indicar a qué eje principal le corresponde el momento de inercia máximo. y
0 2
C 3
C 2
60
40
30
C 1 O
60
30 Prob. 4/16 154
x
Acotación en cm
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
4.7 Características geométricas de los perfiles comerciales de acero Nombres y símbolos de perfiles y
y
y
tamaño x
x
x
x
x
Espesor
x
Espesor
y tamaño
y tamaño
ÁNGULO DE LADOS IGUALES (LI) y
y
ÁNGULO DE LADOS DESIGUALES (LD)
PERFIL C ESTÁNDAR (CE)
y
y x
x
x
x d
d
x
x
d
d
y y
y
PERFIL I ESTÁNDAR (IE)
PERFIL T RECTANGULAR (TR)
PERFIL I RECTANGULAR (IR)
b f y t f
D
D
y
y
t w x
y PERFIL I SOLDADO (IS)
tamaño y
espesor x
x
d w
x
x
t f
x
x
y
y
REDONDO SÓLIDO LISO (OS) tamaño y
TUBO CIRCULAR (OC) y
y
espesor tamaño x
x x
y
y
y TUBO CUADRADO O RECTANGULAR (OR)
x
x
PERFIL C FORMADO EN FRÍO (CF)
155
d
x
x
y
PERFIL Z FORMADO EN FRÍO (ZF)
d
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
DESIGNACIÓN DE PERFILES NOMBRE 1. ÁNGULO DE LADOS IGUALES 2. ÁNGULO DE LADOS DESIGUALES 3. PERFIL C ESTÁNDAR 4. PERFIL I ESTÁNDAR 5. PERFIL I RECTANGULAR 6. PERFIL T RECTANGULAR 7. PERFIL I SOLDADTO
DESIGNACIÓN LI tamaño y espesor LD tamaño y espesor CE d x Peso IE d x Peso IR d x Peso TR d x Peso
UNIDADES mm x mm mm x mm x mm mm x kg/m mm x kg/m mm x kg/m mm x kg/m
8. REDONDO SÓLIDO LISO 9. TUBO CIRCULAR 10. TUBO CUADRADO O RECTANGULAR 11. PERFIL C FORMADO EN FRÍO 12. PERFIL Z FORMADO EN FRÍO
OS D OC D x t OR tamaños y espesor CF d x cal ZF d x cal
mm mm x mm mm x mm x mm mm x cal mm x cal
El Instituto Mexicano de la Construcción en Acero, A. C. (IMCA) consideró conveniente designar los perfiles de acero con sólo dos letras, una ideográfica y la otra abreviatura de su descripción, en vez de las tres o más siglas tradicionales. A continuación se indican las equivalencias: LI es APS de lados iguales TR es TPR LD es APS de lados desiguales IS es IPC CE es CPS OR es PTR o PER IE es IPS CF es CPL2 IR es IPR ZF es ZPL2
EJEMPLO DE TABLA DE PROPIEDADES DE PERFILES Y W Z e z
LI ÁNGULO DE LADOS IGUALES PROPIEDADES
X
X
ew
y
W
Z
x Y
Designación espesor t mm x mm* 19 x 3 19 x 5 22 x 3
tamaño y in. x in. ¾ x 1/8 ¾ x 3/16 7/8 x 1/8
Área Ejes X- X y Y-Y I S r 2 4 3 cm cm cm cm 1.11 0.37 0.28 0.58 1.59 0.50 0.39 0.56 1.32 0.58 0.38 0.66
x=y cm 0.58 0.66 0.66
156
Ejes W-W I S 4 cm cm3 0.58 0.43 0.83 0.62 0.90 0.58
Ejes Z-Z r I S 4 cm cm cm cm3 0.73 1.34 0.16 0.19 0.72 1.34 0.17 0.18 0.82 1.56 0.26 0.28
r cm cm 0.38 0.82 0.38 0.93 0.48 0.93
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 4/17 Para la siguiente sección armada a partir de perfiles comerciales de acero estructural, calcular: los momentos principales centroidales de inercia de dicha sección.
11.9 mm m m 6
38 mm 11.07 mm
LI 38 x 6
mm x mm
CE 76 x 6.10
mm x kg/m
m m 6 7
35.81 mm Prob. 4/17
157
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
UNIDAD 5. FUERZAS INTERNAS EN ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS Objetivo Establecer los procedimientos para la determinación de las fuerzas internas que actúan en las secciones transversales de los elementos estructurales, y la construcción de los diagramas correspondientes.
Temas: 5.1 Método de secciones. 5.2 Componentes de fuerzas internas. 5.3 Cálculo de fuerzas internas. 5.4 Armaduras. 5.5 Vigas: diagramas de fuerzas internas. 5.6 Marcos.
5.1 Método de secciones Con el propósito de revelar las fuerzas internas que surgen en un cuerpo cualquiera, en particular en las secciones transversales de una barra, se hace uso del método de secciones. Expliquemos, mediante ejemplos, la esencia de este método.
Problema 5/1. a) Determinar las reacciones del empotramiento de la siguiente viga. b) Hallar las fuerzas internas en la sección transversal que se encuentra a una distancia de 2 m del empotramiento. y
q=1.5 kN/m
2 kN·m x
45
O 3m
1m
Prob. 5/1
158
1m
4 kN
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Solución.
a) Las reacciones en el empotramiento se obtienen al analizar el equilibrio del DCL de la viga completa. y
q=1.5 kN/m
2 kN· m
M o
O x
x 45
O y 3m
1m
1m
4 kN
Sustituyendo la fuerza distribuida por su resultante ,
4.5 kN
y
1.5 m
2 kN· m
M o
O x
x
45
O y
5m
4 kN
Aplicando las ecuaciones de equilibrio,
F x 0 F y 0 M O 0
O x 2.83 kN Oy 4sen 45 4.5 0 Oy 1.67 kN M O 5.39 kN m M O 4.5 1.5 2 4sen 45 5 0
Ox 4 cos 45 0
159
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
c) Ahora, conocidas todas las fuerzas externas, se divide la viga y se analiza el equilibrio del DCL de cualquiera de las dos partes resultantes, y
y
q=1.5 kN/m
2 kN· m
M o
M
x O x
q=1.5 kN/m
V O y
N
V
x
N
45
M
1m
4 kN
2m
Nótese que la parte izquierda de la viga, respecto a la parte derecha, se encuentra empotrada, y viceversa, por lo cual fue necesario incluir las fuerzas tangencial V y normal N a la sección de corte, así como también el momento M . Obsérvense los sentidos contrarios para N ,V y M al considerar las dos partes de la viga.
Reemplazando la fuerza distribuida, en cada parte de la viga, por una fuerza concentrada, 0.5 m
y
y
3 kN 1m
M o
1.5 kN
M
V
2 kN· m
x
N O x
x
O y
N
45°
V
M
4 kN
2m
Aplicando las ecuaciones de equilibrio a la parte izquierda de la viga, F x 0 Ox N 0 0 3 0 F O V y y M corte 0 M M O Oy 2 3 1 0
N Ox 2.83 kN
V Oy 3 1.33 kN M 5.73 kN m
El signo negativo para V indica que el sentido correcto es contrario al propuesto en el DCL. ¿Cuál es la idea y el propósito del método de secciones?
160
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 5/2. Hallar las fuerzas internas en la sección AA ubicada en el centro de una barra cargada como se muestra en la figura. La fuerza Q pasa por el centro de la parte derecha de la barra; la fuerza F se encuentra en el plano xy ; la fuerza P es paralela al eje z . La longitud de la mitad derecha de la barra es equivale a b , y su peralte es igual a h . y
Q F
A
O
x h
b z
A P
Prob. 5/2
Solución. Primero se calculan todas las fuerzas externas que actúan sobre la barra completa lo cual resulta de analizar el equilibrio del DCL de la barra; nótese el empotramiento de la barra en O.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, F x 0 ROx F cos 0 0 sen 0 F R Q F y Oy F z 0 ROz P 0 M x 0 M Ox P 12 h 0 M y 0 M Oy P 2b 0 M z 0 M Oz Q 32 b F sen 2b 0
161
ROx F cos ROy Q F sen
ROz P M Ox 12 hP M Oy 2bP M Oz 32 bQ 2bF sen
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Ahora se secciona la barra y se analiza el equilibrio del DCL de la parte izquierda. Nuevamente obsérvese que la parte izquierda, respecto a la parte derecha, se encuentra empotrada, y viceversa, por lo cual es necesario incluir las fuerzas tangenciales V y y V z , la fuerza N normal a la sección de corte, así como también los momentos M x , M y y M z .
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, F x 0 N ROx 0
F y 0 F z 0 M x 0 M y 0 M z 0
N ROx F cos Vy ROy 0 V y ROy Q F sen Vz ROz 0 Vz ROz P M x M Ox 0 M x MOx 12 hP M y MOy ROz b bP M y MOy ROz b 0 M z MOz ROy b 12 bQ bF sen M z MOz ROy b 0
Por lo tanto, en la sección AA actuarán: dos fuerzas tangenciales, V y y V z , una fuerza normal a la sección, N , y tres momentos, M x , M y y M z ; el primero de dichos momentos crea una torsión alrededor del eje longitudinal de la barra (eje x ), mientras que los otros tienden a flexionar la barra.
Resumen del método de secciones: 1. Dibujar el DCL del cuerpo de interés. Dado que las deformaciones permisibles son pequeñas en comparación con las dimensiones del cuerpo, el DCL contiene las dimensiones iniciales y se ignoran las deformaciones ( principio de la rigidez relativa ). 2. Aplicar las ecuaciones de equilibrio para determinar las fuerzas externas desconocidas. 3. Cortar el cuerpo en la sección de interés mediante un plano imaginario; dibujar el DCL de una de las partes resultantes, y aplicar el paso 2. COMENTARIO. Para calcular las fuerzas internas en una sección cualquiera se recomienda trabajar con aquella parte, de las dos en que se dividió el sólido, que exhiba la mayor simplicidad en cuanto al número de fuerzas y momentos aplicados, siempre que sea posible. A manera de comprobación se puede trabajar con la parte menos simple para verificar los resultados obtenidos. 162
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
5.2 Componentes de fuerzas internas. De acuerdo con el teorema sobre la reducción fuerza-par, es posible trasladar el sistema de fuerzas internas, que se encuentran distribuidas por la sección de corte, a un punto (por ejemplo, al centroide de la sección de corte) y como resultado se obtendrá en cada lado de la sección un vector principal R y un momento principal M . Supóngase que se coloca un sistema de coordenadas con origen en el centroide C de la sección de corte y los vectores R y M se descomponen según sus componentes en las direcciones de los ejes coordenados como se muestra a continuación.
Las componentes del vector principal R y del momento principal M se asocian con efectos físicos importantes, sobre la deformación del cuerpo, lo cual se manifiesta en el nombre que se le asigna a cada componente:
La fuerza normal (o axial) N es la suma de las proyecciones de todas las fuerzas internas que actúan en la sección sobre la normal a la sección. La fuerza normal se desarrolla siempre que las fuerzas externas tiendan a alargar (o comprimir) el cuerpo según su eje longitudinal (eje x ). Las fuerzas cortantes V y y V z son las sumas de las proyecciones de todas las fuerzas internas en la sección sobre los ejes centroidales y y z de la sección, respectivamente. Las fuerzas cortantes aparecen cuando las fuerzas externas tienden a provocar un desplazamiento relativo (corte) entre las partes del cuerpo a ambos lados de la sección. El momento torsionante M x T es la suma de los momentos de todas las fuerzas internas en la sección respecto al eje longitudinal del cuerpo. El momento torsionante se desarrolla cuando las fuerzas externas tienden a torcer el cuerpo a lo largo de su eje longitudinal. 163
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Los momentos flexionantes, M y y M z son las sumas de los momentos de todas las fuerzas internas en la sección respecto a los ejes centroidales y y z de la sección, respectivamente. Los momentos flexionantes aparecen cuando las fuerzas externas tienden a flexionar el cuerpo respecto a los ejes x e y.
Si el cuerpo está sometido a un sistema de fuerzas externas que actúan en un sólo plano, por ejemplo en el plano xy , entonces unicamente tiene sentido hablar de la fuerza normal , N , la fuerza cortante, V , y el momento flexionante M , como se muestra en la siguiente figura: y
M
V
M N
z
x V
plano positivo
plano negativo
La siguiente es una vista de la figura anterior.
5.3 Cálculo de fuerzas internas. El cálculo de las fuerzas internas puede llevarse a cabo en secciones transversales específicas de interés, o bien en todas las secciones de una barra o cuerpo cualquiera.
164
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Ejemplos de cálculo de fuerzas internas en secciones específicas: Problema 5/3. Determinar las fuerzas internas que actúan en la sección a a , que se encuentra a la mitad de la línea AB , de la barra ABC del marco de tres barras que se muestra en la figura.
Prob. 5/3
Solución. Primero es necesario calcular todas las fuerzas externas que actúan sobre la barra completa, lo cual se obtiene del equilibrio de DCL de la barra.
F x 0 F y 0 M A 0
Ay FBD 3 0 FBD 6 kN, Ax 0, Ay 3 kN. F BD 200 3 400 0
Ax 0
Ahora, conocidas todas las fuerzas externas, se divide la barra y se analiza el equilibrio del DCL de cualquiera de las dos partes resultantes,
165
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Obsérvese que la parte izquierda, respecto a la parte derecha, se encuentra empotrada, y viceversa, por lo cual es necesario incluir las fuerzas tangencial V y normal N a la sección de corte, así como también el momento M . Nótese los sentidos contrarios para N , V y M en las partes de la barra. La parte izquierda es la más simple porque sólo incluye la acción de una fuerza externa (la parte derecha involucra dos fuerzas externas). Analizando el equilibrio de la parte izquierda,
F x 0 N 3sen 0 F y 0 V 3cos 0 M aa 0 3 0.1 M 0
N 1.54kN
V 2.57 kN M 0.3 kN m
El signo negativo obtenido para el momento M indica que su sentido correcto es contrario al asumido en el DCL.
Problema 5/4. Para la siguiente estructura plana, calcular las reacciones y determinar la fuerza normal N , la fuerza cortante V y el momento flexionante M en la sección transversal a-a. Mostrar en un diagrama de cuerpo libre la magnitud y el sentido correcto de estas fuerzas internas calculadas. 100 kN 1800 mm
1200 mm
a 900 mm
a 600 mm
50 kN 1500 mm
A
B
Prob. 5/4
166
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 5/5. Determine las fuerzas axial y cortante y el momento flexionante en la sección a-a de la siguiente estructura coplanar. Pluma Cable 0.9 m
2
a
1
1
1
10 Ton
0.3 m 0.6 m
a 1.2 m 3m
1.5 m
3m
Prob. 5/5
Problema 5/6. Una estructura está construida a partir de tres barras unidas rígidamente entre sí: AD, BC y DE . Determine: a) las reacciones en los apoyos C y E ; b) las fuerzas internas sobre la sección correspondiente al punto O. 3m w = 1.6 kN/m P= 5 kN A
B
D
O
1.8 m
w0 = 2 kN/m
1.4 m
3.6 m
C
E
2m
Prob. 5/6
167
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
5.4 Armaduras. Se llama armadura a una estructura rígida construida a partir de barras rectas unidas en sus extremos en arreglos triangulares estables. Las siguientes son ejemplos de armaduras para diferentes aplicaciones.
Partes de una armadura
1) Nudos; 2) Diagonales; 3) Montantes; 4) Cuerda superior; 5) Cuerda inferior.
El análisis estructural de una armadura se refiere al cálculo de las fuerzas internas (de tensión o de compresión) que actúan en cada una de las barras de la armadura. Para armaduras isostáticas el análisis puede llevarse a cabo por el método de los nudos o por el método de las secciones. 168
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Ejemplo. Análisis de una armadura por el método de los nudos. Problema 5/7. Determine las fuerza que soporta cada uno de los miembros de la siguiente armadura.
Prob. 5/7
Problema 5/8. Mediante el método de los nudos, determinar las fuerzas en cada una de la barras de la siguiente armadura. Compruebe los resultados mediante el método de las secciones, para las barras BC , HC y HG.
Prob. 5/8
169
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 5/9. Mediante el método de los nudos, determinar las fuerzas en cada una de la barras de la siguiente armadura. Compruebe los resultados mediante el método de las secciones, para las barras BC , BG y HG.
Prob. 5/9
Problema 5/10. Para la siguiente armadura: a) Determinar el sistema fuerza – par en el punto A, equivalente a las seis fuerzas externas aplicadas. La fuerza inclinada de 400 N es perpendicular a la barra AC . b) Encontrar la resultante de las seis fuerzas anteriores, y localícela a partir del apoyo A. c) Calcular las reacciones en A y F , primero a partir del valor y localización de la resultante hallada en el inciso b, y, después, directamente a partir de las seis fuerzas que actúan sobre la armadura. d) Mediante el método de los nudos, determine las fuerzas en cada una de la barras de la armadura.
Prob. 5/10
170
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 5/11. Determine las fuerzas axiales en los miembros BC , EF y EC de la siguiente armadura. Aplicar el método de secciones. P1=15 kN B
C P2=5 kN
4m
A
E
3m
D
F
3m
3m
Prob. 5/11
Problema 5/12. La armadura mostrada en la figura está sometida a una fuerza externa . Determinar las fuerzas en los apoyos y en las barras de la armadura.
Prob. 5/12
171
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
, como se muestra Problema 5/13 Una armadura está sometida a dos fuerzas, en la figura. Determinar las fuerzas en las barras. 4, 5 y 6 por el método de las secciones.
Prob. 5/13
5.5 Vigas: diagramas de fuerzas internas. Convenio general de signos.
Fuerza normal. Si la fuerza normal, N , produce tensión se considera como positiva; de otra manera, cuando produce compresión, se toma como negativa.
172
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
tiene la misma dirección que Momento torsionante. Si el momento torsionante, la normal exterior de la sección de corte se toma como positivo; si las direcciones son contrarias el momento se considera negativo:
Fuerza cortante. Una fuerza cortante, V , que actúa en la parte izquierda de la sección de corte y está dirigida hacia abajo, o una fuerza cortante que actúa en la parte derecha de la misma sección y está dirigida hacia arriba, se toman como positivas. Momento flexionante.
173
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Relación entre la carga distribuida q , la fuerza cortante V , y el momento flexionante M en una viga. Problema 5/14. Demostrar los siguientes teoremas: a) La derivada de la fuerza cortante respecto a la abscisa de la sección de la viga es igual a la intensidad de la carga distribuida: dV q. dx
b) La derivada del momento flexionante respecto a la abscisa de la sección de la viga es igual a la fuerza cortante: dM V . dx
c) La segunda derivada del momento flexionante respecto a la abscisa de la sección de la viga es igual a la intensidad de la carga distribuida: 2
d M q. 2 dx
Para las demostraciones analice el equilibrio del elemento de viga de longitud en la siguiente figura:
Prob. 5/14
174
dx
que se muestra
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 5/15. Trazar el diagrama de fuerza normal, para la siguiente barra sometida a cargas axiales.
y l=1 m F 2=120 kN
F 3=100 kN
F 1=80 kN x
6.5 l 0.5 l
2.5 l
3.5 l 80 kN
80 kN 60 kN
+
+ 40 kN
40 kN
Prob. 5/15
175
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 5/16. Trazar el diagrama de momento torsionante para el eje BE .
Prob. 5/16
176
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 5/17. Construir los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la siguiente viga. P
y
x
L
L
2
2
P
y
x P 2
L 2
L 2
P 2
V P 2 x
M
PL 4
x
Prob. 5/17
177
P 2
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 5/18. Construir los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la siguiente viga. y M 0
A
L
B
x L
2
C
2
y M 0 x M 0 L
L 2
L 2
M 0 L
V x
M 0 L M
M 0
2 x
M 0
2
Prob. 5/18
178
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 5/19. Construir los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la siguiente viga. y
w x B
A
y w x
wL 2
wL 2
L V
wL 2 x
M L 2
wL 8
2
x
Prob. 5/19
179
wL 2
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 5/20. Construir los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la siguiente viga. 19 kN
y
3 kN/m
x B
A 2m
C 2m
D 2m
y
19 kN
8 kN m
3 kN/m x
13 kN
2 m
2 m
2 m
V 6 kN
x
13 kN M 8 kN m
x
6 kN m 18 kN m
Prob. 5/20
180
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Construcción de los diagramas de fuerzas cortantes y de momentos flexionantes mediante los puntos característicos. Con base en los ejemplos anteriores se pueden obtener conclusiones acerca de la interrelación entre la carga y la configuración de los diagramas de fuerzas cortantes y de momentos flexionantes: 1) En los tramos en que el momento flexionante es constante (flexión pura), la fuerza cortante es nula. 2) En los tramos libres de cargas uniformemente distribuidas, la fuerza cortante es constante y el momento flexionante varía según una ley lineal, es decir, siguiendo una recta. 3) En los tramos con carga uniformemente distribuida, la fuerza cortante varía según una ley lineal y el momento flexionante siguiendo una parábola. 4) En los ´puntos de aplicación de fuerzas concentradas, en el diagrama de fuerza cortante se producen saltos cuya magnitud es igual a la de las fuerzas. 5) En los puntos de aplicación de pares concentrados, en el diagrama de momentos flexionantes se producen saltos iguales a las magnitudes de estos pares. 6) En los puntos en que la fuerza cortante es nula, el momento flexionante toma un valor extremo, máximo o mínimo.
181
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 5/21. Construir los diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante para la viga.
Prob. 5/21
182
ESTÁTICA
IRRIGACIÓN
Problema 5/22. Una viga simplemente apoyada se somete a una fuerza concentrada y una carga distribuida triangular como se muestra en la figura. Trazar los diagramas de fuerza cortante V y momento flexionante M .
Prob. 5/22
Problema 5/23. Trazar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la siguiente viga.
Prob. 5/23
Problema 5/24 Trazar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la siguiente viga, (
Prob. 5/24
183
