3. Un día de graduación de una gran universidad, se selecciona aleatoriamente a un graduado. Sea A el evento que el estudiante está por terminar la carrera de ingeniería y sea B el evento que el estudiante tomó un curso de cálculo en la universidad. ¿Qué probabilidad es mayor, P(A⏐B) o P(B⏐ A)? Solución: Teniendo en cuenta que un estudiante de ingeniería, es casi seguro que tomó un curso de cálculo. Por lo tanto, P (B / A) está cerca de 1. Teniendo en cuenta que un estudiante que tomó un curso de cálculo, es mucho menos seguro que el estudiante de ingeniería, ya que muchos no toman cálculo de ingeniería. Por lo tanto P (A / B) es mucho menor que 1, por lo que P (B / A) > P (A / B) 7. En el proceso de producción de válvulas de motor, éstas se someten a un primer rectificado. Las válvulas cuyos espesores están dentro de la especificación se encuentran listas para la instalación. Las válvulas cuyos espesores están arriba de la especificación se rectifican, mientras que aquellas cuyos espesores están por debajo se desechan. Suponga que después del primer rectificado, 70% de las válvulas satisface la especificación, 20% es nuevamente rectificado y 10% se desecha. Además, suponga que de las válvulas que son nuevamente rectificadas, 90% satisface la especificación y 10% se desecha. a) Determine la probabilidad de que una válvula se rectifique sólo una vez. b) Dado que una válvula se hace sólo una vez, ¿cuál es la probabilidad de que se deseche? c ) Determine la probabilidad de que se deseche una válvula. d ) Dado que una válvula se desecha, ¿cuál es la probabilidad de que se rectifique dos veces? e) Determine la probabilidad de que la válvula satisfaga la especificación (después de la primera o de la segunda rectificación).
f ) Dado que una válvula satisface la especificación (después de la primera o segunda rectificación), ¿cuál es la probabilidad de que se haya rectificado dos veces? g ) Dado que una válvula satisface la especificación, ¿cuál es la probabilidad de que se haya rectificado una vez? Solución: A= Listas para la instalación. B= Válvulas que serán retificadas. C= Válvulas que se desecharan. P(A∩BC)= 0.7; P(B)= 0.2; P(C∩BC)= 0.1; P(A/B)= 0.9; P(C/B)= 0.1
a).
P(BC)= 1-P(B)= 1-0.2=0.8 P(BC)= 0.8
b).
P(C/ BC)= P(C∩ BC)/P(BC)= 0.1/0.8= 0.125 P(C/ BC)= 0.125
c).
P(C)= P(C∩ BC) + P(C∩B) P(C)= P(C∩ BC) + P(C/B).P(B) P(C)= 0.1 + (0.1).(0.2) P(C)= 0.12
d).
P(B/C)= P(C∩B)/P(C) P(B/C)= P(C/B).P(B)/P(C)
P(B/C)= (0.1).(0.2)/(0.12) P(B/C)= 0.167
e).
P(A)= P(A∩ BC) + P(A∩B) P(A)= P(A∩ BC) + P(A/B).P(B) P(A)= 0.7 + (0.9).(0.2) P(A)= 0.88
f).
P(B/A)= P(B∩A/P(A) P(B/A)= P(A/B).P(B)/P(A) P(B/A)= (0.9)(0.2)/(0.88) P(B/A)= 0.205
g).
P(BC/A)= P(BC∩A)/P(A) P(BC/A)= (0.7)/(0.88) P(BC/A)= 0.795
18. Un programa de control de calidad en una línea de montaje de botellas de plástico implica inspeccionar botellas terminadas para detectar fallas, como huecos microscópicos. La proporción de botellas que tiene tal falla en realidad es de sólo 0.0002. Si una botella tiene una falla, la probabilidad es 0.995 de que no pasará la inspección. Si una botella no tiene falla, la probabilidad es 0.99 de que pasará la inspección. a). Si una botella no pasa la inspección, ¿cuál es la probabilidad de que tiene falla?
b). ¿Cuál de las siguientes es la interpretación más correcta de la respuesta del inciso a)? i ) La mayoría de las botellas que no pasan la inspección no tienen falla. ii ) La mayoría de las botellas que pasan la inspección tienen falla. c ) Si una botella pasa la inspección, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga falla? d ) ¿Cuál de las siguientes es la interpretación más correcta de la respuesta del inciso c )? i ) La mayoría de las botellas que no pasan la inspección tienen falla. ii ) La mayoría de las botellas que aprueban la inspección no tienen falla. e) Explique por qué una probabilidad pequeña en el inciso a) no es un problema, tan grande como una gran probabilidad del inciso c ).
No fallado
Fallado
Botella
0.9998
0.0002
Probabilidad de pasar
0.99
0.005
Probabilidad de no pasar.
0.01
0.995
Denotaremos:
Falla: F
No falla: nF
Pasa: p
No pasa: nP
para una botella que tiene F su P(nP)= 0.995, entonces la P(nP) de dos botellas es 1.99 P(nP)=1.99 a).
P(F)= nP/F F= 0.9998/0.01 + 0.0002/0.995 F=101.97 P(F)= 1.99/101.97 P(F)= 0.0195
b).
i). La mayoría de las botellas que no pasan la inspección no tienen falla.
c).
P(nF)= P( nF U F) P(nF)= P(nF) + P(F) P(nF)= 0.9998/0.99 + 0.0002/0.005 P(nF)= 1.049
d). ii). La mayoría de las botellas que aprueban la inspección no tienen falla.
